Математическое моделирование и компьютерный эксперимент: Методическое пособие

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н ЫЙ У Н И В Е РСИ Т Е Т

Ф а куль т е т пр и кла д ной м а т е м а т и ки и м е ха н и ки К а ф е д р а т е ор е т и че с кой и пр и кла д ной м е ха ни ки

323

М А ТЕМ А ТИЧЕС К ОЕ М ОД ЕЛИРОВА Н ИЕ И К ОМ ПЬЮ ТЕРН Ы ЙЭК С ПЕРИМ ЕН Т М е тод и че с кое пос оби е д ля с т уд е нт ов 3-5-г о кур с ов по с пе ци а ль нос т и 010200 – пр и кла д на я мате мат и ка и 010500 – ме хани ка

С оста вите л и М .А.Артем ов, Е.Н .К орж ов

Вор оне ж 2001

А р те мов М .А ., К ор ж ов Е.Н . М а т ем ат и чес кое м од ели р ов а ни е и ком пь ю т е р ны й экс пер и ме нт . Вор оне ж : ВГ У , 2001. – 64 с . В нас т оя щ ем мет од и че с ком пос оби и д а ю т с я не котор ы е ос нов ны е поня ти я и пр е д с та в ле ни я , и с поль зуе м ы е в с ов р е менной те ор и и мат е мат и че с кого мод ели р ов ани я. В пер в ой ча с т и пос оби я р а с с мат р и в а ю тс я общ и е в опр ос ы м ат ема т и че с кого мод ели р ов ани я безот нос и те ль но к какой-ли бо обла с ти зна ни я и ли че лов е че с кой пр акт и ки . Во в тор ой час ти пр е д с т а в ле н м ате р и а л, кас а ю щ и йс я ли ш ь и с с лед ов ани й в е с т ес т в е ннона учной, и нж ене р ноконс т р укт ор с кой и ли те хнолог и че с кой облас т я х. Пр и этом а в т ор ы с тр е ми ли с ь и с поль зов ат ь е д и ны й под ход , и збега я час т ны х под ход ов и с пеци ф и че с кой т ер м и нологи и , пр и няты х в от д е ль ны х пр е д ме т ны х обла с т я х. Вм ес т е с т ем в ы д ер ж и в а ла с ь ли ни я на р а с ш и р ени е и учет в с е го т ого лучш е го, чт о в ы р а бот ано в от д е ль ны х конкр е т ны х наука х и облас т я х челов е чес кой д е ят ель нос ти . Тр еть я час т ь мет од и че с кого пос оби я с од е р ж и т ма те р и а л, от нос ящ и йс я к мате мат и че с ком у м од е ли р ов а ни ю в ме хани ке с плош ны х с р е д . М а т ер и ал р ас с чи та н на с т уд е нт ов 3-г о – 5-го кур с ов , обуча ю щ и хс я по с пе ци а ль нос т я м 010200 – пр и клад на я ма те м ат и ка и и нфор м ати ка и 010500 - м е ха ни ка , с та лки в а ю щ и хс я с не обход и мос ть ю пос т р оени я м ат емат и че с ки х мод е ле й р а знообр а зны х пр оцес с ов р еа ль ной д ейс т в и т е ль нос т и , но мож е т бы т ь и нте р ес ен т акж е и с пе ци а ли с т ам р азли чны х пр е д м ет ны х облас т ей, и нт ер е с ую щ и хс я и с поль зов а ни е м м етод ов ма те мат и че с кого мод ели р ов ани я. Ре це нзе нт : за в . ка фе д р ой мате м ат и че с кого мод е ли р ов а ни я ВГ У д окт ор ф и з.-м ат . на ук, пр офес с ор В.А .К ос т и н. Ре ком енд ов а но к и зд ани ю на учно-м е тод и че с ки м м ат ем а ти ки и м е ха ни ки ВГ У 6.06.2001 г ., пр отокол№ 7.

с ов ет ом

фа куль т ет а

пр и кла д ной

С ОД ЕРЖ А Н ИЕ М а те ма тиче ское м оде л ирова ние ка км е тод позна ния, те оре тиче ского иссл е дова нияи инж е нерно-ко нструкторской пра ктики … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… … .. 1.1. Ос нов ны е понят и я , пр ед с т а в ле ни я и м е тод ы т еор и и м ат ем а ти чес кого м од е ли р ов а ни я … … … … … … … … … … ... 1.2. Ос нов ны е эта пы мат е ма ти чес кого м од е ли р ов а ни я … … . 1.3. Вы чи с ли т ель ны й и ли компь ю т ер ны й экс пер и ме нт .… ... 1.4. Пр оект OLYMPUS … … … … … … … … … … … … … … … ... 2. О сновные принципы м а тем а тиче ского модел ирова нияв е сте ствозна нии и инж ене рии … … … … … … … … … … … … … … … … 2.1. Ос нов ны е ур а в не ни я бала нс ов … … … … … … … … … … .. 2.2. Вза и м од ейс т в и е с эле кт р ом а гни тны м и поля ми … … … .. 2.3. Опр е д е ля ю щ и е ур а в не ни я … … … … … … … … … … … … . 2.4. Па кеты пр и кла д ны х пр огр а м м … … … … … … … … … … .. 3. М а те ма тиче ское м оде л ирова ние физико-хим иче скихпроце ссов 3.1. Ф азов ы е пе р е ход ы и хи ми чес ки е р е акци и … … … … … … 3.2. За кон д ейс тв ую щ и х мас с … … … … … … … … … … … … … 3.3. У р а в не ни е А р р ени ус а ...… … … … … … … … … … … … … .. 3.4. Х и м и чес ки й поте нци а л… … … … … … … … … … … … … ... 4. М а те ма тиче ские м оде л и физико -хим иче ских систе м … … … … .. 4.1. Ра с пр ос т р анени е тепла в полупр ос т р а нс т в о … … … .… ... 4.2. Д и ф фузи я че р ез с лой и зотр опного ма те р и а ла … … … … . 4.3. Ионны й обм ен на зе р не и они та … … … … … … … … … … . 4.4. Те плов ой эф ф ект плазмохи м и че с кого напы ле ни я … … .. 4.5. Ес те с тв е нна я конв е кци я … … … … … … … … … … … … … . 4.6. Те чени е и т еплом а с с ообмен в ка на ла х с о в с т ав кам и … .. 4.7. Ба р оме м бр а нное р азд е лени е с ме с е й … … … … … … … … . 4.8. Пр оцес с ы пер е нос а в элект р оме мбр анны х с и с те ма х … .. 4.9. С ме с е обр а зов ани е в Ж РД … … … … … … … … … … … … ... 4.10. Г е нер а ци я озона … … … … … … … … … … … … … … … … ... 4.11. Вет р ов ое в озд ейс т в и е на па р а боли чес кую анте нну ........ 5. М а те ма тиче ское м оде л ирова ние в м еха нике континуума … … .. 5.1. Пр е д с т а в лени я о макр ос копи че с ки х с и с т е ма х … … … … . 5.2. Н е кот ор ы е ос нов ны е понят и я в М СС … … … … … … … ... 5.3. Опи с а ни е д в и ж ени я конт и нуума … … … … … … … … … ... Ли т ер а тур а ................................................................................................ 1.

4

4 9 13 18 28 28 34 35 36 40 40 41 42 42 43 43 43 44 44 45 46 47 48 48 50 51 53 53 55 56 60

1. М ат ем ат и чес к о е м о дели ро вани е к ак м ет о д по знани я , т ео рет и чес к о го и с с ледо вани я и и нж енерно -к о нс т рук т о рс к о й прак т и к и М а т ема т и ка т р а д и ци онно пр и ме ня ла с ь в пр а кт и че с кой д е ят ель нос ти че лов е ка . По ме р е р азв и т и я общ ес т в а в озр ас т а лур ов е нь мат ема т и чес ки х знани й и с те пень с лож нос т и и с поль зуе мы х м ат ем ат и че с ки х конс т р укци й [48]. 1.1.О сновные понятия, представления и методы теории математическог о моделирования М е т од м ат ема т и че с кого мод ели р ов ани я от нос и тс я к чи с лу на и боле е в аж ны х и нс т р уме нт ов познани я , р оль и значе ни е котор ого пос т оянно в озр ас та ю т в с и лу р азли чны х пр и чи н. С его пом ощ ь ю в на с т оя щ е е в р е мя не толь ко р е ш а ю т с я на учно-и с с ле д ов ат е ль с ки е за д а чи , но т акж е р азр а бат ы в а ю т с я опы тно-конс т р уктор с ки е , и нж е не р но-те хни че с ки е и с оци а ль но-экономи че с ки е пр обле мы . М од ели р ов а ни е , как ме т од позна ни я , и с поль зуе т с я д а в но и под р азуме в ает и с с ле д ов ани е ос нов ны х законом ер нос т ей и ос обе ннос те й пов е д ени я ка ки х-ли бо пр оцес с ов , я в лени й и ли д р уги х р еа ль ны х объект ов с помощ ь ю и х м од еле й [31]. Вв е д е м р я д ос нов ны х понят и й и опр е д е ле ни й. О пределение1. Предм ет ная о блас т ь – час ть и ли ф р агме нт р е аль ной д е йс т в и т ель нос т и , с од е р ж а щ и й и нт е р е с ую щ и й нас объект , пов е д ени е кот ор ого д олж но бы т ь и с с ле д ов а но с пом ощ ь ю ка кого-ли бо ме т од а . Эт и м опр е д е лени е м за кр е пля етс я , чт о мод е ли р ов ани е какого-ли бо р е а ль но с ущ е с тв ую щ ег о объект а не м ож ет в ы полня т ь с я от д е ль но, бе з уче та е го с в язе й с д р уги м и объе кта ми д анной пр е д ме т ной обла с ти . Это тр е бов ани е и ме ет в а ж ное ме тод ологи чес кое зна че ни е д ля лю бого в и д а м од е ли р ов а ни я , в том чи с ле мат е ма ти чес кого. О пределение2. Объек т – лю бой р еа ль ны й пр оцес с , я в ле ни е и ли эф фект , с ущ ес т в ую щ и й в не на ш его с ознани я и я в ля ю щ и йс я пр ед ме том т е ор ети чес ког о и зуче ни я и ли пр акт и че с кой д е я те ль нос т и . Та ки м обр а зом , под объе ктом и ли оригина л ом пони м ает с я от д е ль ны й элем е нт и ли с ов окупнос ть эле мент ов пр ед м етной облас т и , пов ед е ни е кот ор ы х и с с лед уетс я с це ль ю ус т анов ле ни я ос нов ны х за кономе р нос те й и ли ос обе ннос те й и х ф ункц и они р ов ани я. Объе кт с ущ е с тв уе т не за в и с и мо от нас и в не на ш е го с озна ни я . Его пов ед е ни е опр ед е ляе тс я р я д ом ха р акт ер ны х с в ойс т в . Он я в ляе тс я пр е д ме том познани я и ли пр акти чес кого в озд е йс т в и я . В те ор е т и че с ки х д и с ци пли на х объектом и с с ле д ов а ни я м ож е т я в лят ь с я не толь ко эм пи р и чес ки й объект (ки р пи ч, в од а , гли на , ка р а нд а ш , а в т ом оби ль и т .д .), но и т е ор ет и че с ки й объе кт , с озд а нны й челов е чес ки м и нтелле кт ом (мат ер и аль ная т очка , а бс олю т но т в е р д ое тело, с плош ная с р е д а и т .п.). Эт от « те ор е ти чес ки й» объе кт , в с в ою оче р ед ь , я в ля ет с я обр азом не кот ор ого р е а ль но с ущ е с т в ую щ ег о ор и ги нала и ли я в ляе т с я плод ом в нутр е нне й логи ки р азв и ти я с а м ой на уки . О пределение3. М о дель– и с кус с т в е нно с озд а нны й мат е р и а ль ны й и ли т еор ет и че с ки й обр а з р еа ль ного объект а , отр а ж а ю щ и й его на и более в аж ны е и пр и нци пи а ль ны е с в ойс т в а и позв оля ю щ и й пр е д с казы в а ть его пов е д ени е на ос нов е экс пер и мента с мод ель ю . М а т ер и аль на я мод ель в ос пр ои зв од и т в боле е пр ос т ом и ли уме нь ш енном в и д е с т р укт ур у и ос нов ны е че р ты , в за и м ос в язи и отнош е ни я ме ж д у отд е ль ны ми эле ме нта ми и с с лед уе мого объекта . Ос обеннос т ь те ор ет и че с ки х мод е ле й в нас т оя щ е е в р е м я за клю ча ет с я в том , чт о они , как пр а в и ло, ха р акт ер и зую тс я д ос та т очно в ы с оки м ур ов не м обобщ ени я , с обс т в е нной лог и кой р а зв и т и я и в ы с окой с те пе нь ю общ нос ти д ля р а знообр азны х р еа ль ны х объект ов . О пределение4. М о дели ро вани е – и с с ле д ов а ни е ос нов ны х за кономе р нос те й и ос обеннос т е й ф ункци они р ов а ни я р еа ль ны х объектов с пом ощ ь ю м од елей в це ля х в озмож нос т и пр ед с ка за ни я и х пов е д е ни я в опр е д е ленны х ус лов и я х. Ес ли ка кое -ли бо от обр а ж е ни е ор и ги на ла г еоме тр и че с ки полнос т ь ю е му под обно, но не уд ов ле т в ор я е т каки м –т о в а ж нейш и м с в ойс тв ам , т о такое от обр а ж ени е назы в а етс я не м од ель ю , а м ак ет о м . Д а нное поня ти е , ка к и многи е д р уги е , я в ляе тс я относ и т е ль ны м . Так, на пр и ме р , т очна я копи я с а молет а , ус та нов ленная на с т оле конс т р уктор а , не ум е ю щ а я ле тат ь , я в ля етс я д ля него м акетом . Н о она с полны м пр а в ом м ож ет бы т ь назв ана м од ель ю д ля и с т ор и чес ког о музе я , в

кот ор ом с та в и т с я цель ли ш ь в не ш не го, общ е го с опос та в ле ни я ле т а тель ны х а ппа р ат ов р а зли чного ти па. М а ке т с а молет а м ож е т бы т ь назв а н м од е ль ю и и нж ене р ом , за ни ма ю щ и м с я не конс т р уи р ов а ни е м , а покр ас кой с амоле та . Д ля не го ма кет полнос т ь ю с оот в ет с т в уе т в с ем тр е бов ани ям цели е го « и с с ле д ов а ни я » , а пот ом у т а кж е мож ет бы т ь назв а н м од е ль ю с а м олет а . О пределение5. М ат ем ат и чес к ая м о дель – обр аз и ли от обр а ж ени е р еа ль ного объе кта , пос т р оенны й с помощ ь ю мат ема т и чес ки х с оотнош е ни й, котор ы е ус т ана в ли в а ю т с в язи м еж д у опр е д е ля ю щ и ми с в ойс тв а ми объект а (ур а в нени я , нер а в енс т в а ). Та ки м обр азом , м ат е ма ти чес кая м од е ль , как пр а в и ло, пр е д с т ав ля е т с обой с ов окупнос т ь не кот ор ы х м ат ема т и че с ки х с оотнош ени й (и ли эле ме нт ов - геомет р и чес кая мод ель , напр и ме р ), с пом ощ ь ю кот ор ы х за д ае т с я опи с а ни е р еаль ного объект а. М ат ем а ти чес ка я м од е ль , ка к и в с яка я д р уга я , не мож ет опи с ы в ат ь в с е х с в ойс т в р е аль ного объект а , а ус та на в ли в а ет с в язи ли ш ь ме ж д у е го ос нов ны ми д ля д анного и с с ле д ов а ни я фа ктор а м и . Ц е ль пр ов од и м ого и с с лед ов ани я опр е д е ляе т , ка ки е и ме нно с в ойс т в а я в ля ю тс я опр е д еля ю щ и м и и д олж ны бы т ь учт е ны пр и пос тр оени и м ате мат и че с кой м од е ли , каки е я в ля ю тс я в т ор ос тепе нны ми и м огут на пер в ы х эт апа х и с с ле д ов а ни я не учи ты в а ть с я . О пределение6. М атематическое м о дели ро вани е – мет од и с с ле д ов ани я д ейс т в и т е ль нос т и с помощ ь ю м ат ем ат и че с ки х мод е ле й.

р е а ль ной

С уть эт ого м ет од а за клю чает с я в пос т р ое ни и ма т ема т и че с ки х м од еле й, и зуче ни и и х с в ойс т в и на этой ос нов е ус т а нов лени е ос нов ны х законом ер нос т е й и ос обеннос т е й ф ункци они р ов ани я р еа ль ного объекта . Х а р а кт е р ной чер т ой м ат ем а ти чес кого мод е ли р ов ани я я в ляет с я в озм ож нос т ь пр е д с каза ни е пов е д е ни я объект а пр и опр е д е лени и т е х и ли и ны х и с ход ны х ус лов и й. М од ели под р а зд е ля ю тс я на д в е ос нов ны е г р уппы и м огут бы т ь нес коль ки х в и д ов : • П ре дм е тные и ли физиче ские – когд а и с с ле д ов а ни е в ед е т с я на ос нов е некотор ой м од ели т ой ж е пр и р од ы и в ос пр ои зв од я щ ей те ж е д и на ми чес ки е и ф ункци ональ ны е ха р акте р и с т и ки , котор ы м и обла д ает р еаль ны й объе кт ; • Те оре тиче ские, зна ковые и ли символ ьные – ког д а м од ели р ов ани е в ы полняет с я на ба зе не кот ор ой с ов окупнос ти ус лов ны х знаков , отр а ж а ю щ и х т е и ли и ны е с в ойс т в а р е а ль ног о объекта и с в язи ме ж д у ни ми . М а т ема т и че с ки е м од е ли от нос ят с я и менно к эт ом у пос ле д не му т и пу. От ли чи тель на я ос обеннос т ь и х от ос та ль ны х м од е ле й эт ог о в и д а заклю ча етс я в т ом , чт о ка ж д а я мате м ат и че с ка я м од е ль с т ро го фо рм али зо вана, а пот ом у д опус кает ли ш ь е д и нс т в е нное е ё пр е д с та в ле ни е и и нт ер пр ет а ци ю . Из этого ни кои м обр азом не с лед ует , чт о д ля од ного р еа ль ного объе кт а м ож ет с ущ ес т в ов ат ь ли ш ь од на ед и нс т в е нна я мат е мат и че с ка я мод ель . Н а обор от , с ов р еме нна я теор и я ма те мати чес кого м од е ли р ов а ни я под р а зуме в а ет , чт о д ля на и более полного и в с ес т ор онне го и с с ле д ов а ни я р е а ль ного объект а необход и ма р а зр а ботка и е р а р хи чес кой с ов окупнос т и м а те мат и че с ки х м од е лей. И т оль ко ли ш ь в эт ом с луча е мож но на д е ят ь с я в ы я в и т ь глубокую р оль ка ж д ого с в ойс т в а и ли фа кт ор а в от д е ль нос ти , чт о за ча с т ую д а ж е не д ос тупно пр я мому ф и зи чес кому экс пе р и м ент у. Им е нно та кого р од а мет од ологи я ле ж и т в ос нов е с озд ани я и р а зв и ти я с ов р е менны х м ощ ны х с р е д с т в компь ю те р ного экс пе р и ме нта , та к на зы в а ем ы х, « т я ж е лы х» пакет ов пр и кла д ны х пр огр а м м и ли па кетов на учного и и нж ене р ного а на ли за – CAE – systems (Computer Aided Engineering), пр и ход я щ и х на с ме ну т р а д и ци онны х с и с те м а в том ат и зи р ов а нного пр оект и р ов а ни я – СА ПР. Лю ба я мат ема т и че с кая мод ель д олж на уд ов ле т в ор ят ь ус лов и ям к о ррек т но с т и . Пр и че м эт о тр е бов ани е отли ча е тс я от ус лов и й кор р ект нос ти , в в ед енны х в с в ое в р е м я в мат е ма ти чес кой ф и зи ке Ж .А д ам а р ом [1]. Ос нов ное от ли чи е с ос т ои т в т ом , что пр и м ат ем а ти чес ком м од е ли р ов а ни и пос т р ое нна я м од е ль не м ож ет с чи та ть с я кор р ект ной, е с ли она пр от и в ор ечи т и ме ю щ и мс я пр оя в лени ям р еаль ного объект а и ли ус та нов ле нны м р ане е на ос нов е опы т а его с в ойс т в а м . Пус т ь z = R (u) я в ляет с я р е ш ени ем не кот ор ой м ате мат и че с кой зад ачи , на хож д е ни е котор ого за клю ча ет с я в опр е д еле ни и не кот ор ого элем е нта z по и с ход ны м д анны м u. Пр и эт ом пр е д полага ет с я , чт о и с ход ны е д а нны е u я в ля ю тс я эле ме нта ми не кот ор ого ме тр и чес кого пр ос т р анс т в а U, а р е ш ени е z и щ ет с я в мет р и чес ком пр ос т р анс т в е Z, т о ес т ь z∈Z.

О пределение7. М ат ема т и че с кая за д а ча z = R (u )

Н а зы в а ет с я кор р ект но пос т а в ленной на па р е пр ос тр а нс т в U и Z, е с ли в ы полня ю тс я с ле д ую щ и е ус лов и я : 1) д ля лю бог о u∈U р еш е ни е за д а чи с ущ е с т в уе т ; 2) д ля лю бог о u∈U р еш е ни е за д а чи ед и нс т в е нно; 3) р е ш е ни е за д а чи z не пр е р ы в но за в и с и т от и с ход ны х д а нны х u. За д а чи , не уд ов лет в ор я ю щ и е хот я бы од ном у и з эти х с в ойс тв , назы в а ю т с я некор р ект но пос та в ленны ми . Пос т р ое ни е общ е й т еор и и и р а зр аботка м ет од ов р еш е ни я та кого р од а за д а ч, р азв и в ае м ы е в р а бота х А .Н .Ти хонов а , А .В.Г онча р енко, М .М .Ла в р е нть е в а , В.А .М ор озов а и д р ., на с е год ня не я в ля ю тс я законче нны ми [12]. В пр и кла д ной м а тема т и ке , в ообщ е , и в ма те мат и че с ком мод ели р ов ани и и компь ю т ер ном экс пер и ме нте , в час тнос т и , т акое опр е д е лени е к о ррек т но с т и по с т ано вк и задачи не мож ет бы т ь пр и зна но уд ов лет в ор и те ль ны м . Ос нов ное с в ойс т в о пос т анов ки пр и кла д ной мат е ма ти че с кой за д а чи , котор ая м ож ет бы ть назв ана кор р е ктной, за клю ча ет с я в т ом , чт о пос т р ое нна я м ат ем а ти че с ка я мод е ль д олж на обла д а ть с ле д ую щ и ми с в ойс т в а ми : • Резуль т ат ы в ы чи с лени й с пом ощ ь ю д анной мод е ли д олж ны уд ов ле т в ор ять с ущ е с тв ую щ и м экс пе р и ме нта ль ны м д а нны м (фа кта м , пр оя в ле ни ям р е аль ного объекта ); • Облад ать пр е д с ка зуе мос т ь ю , то е с ть д ля не кот ор ы х ус лов и й, не пр от и в ор е ча щ и х облас ти д опус ти мы х значени й па р а ме тр ов , получе нны е с помощ ь ю мат е ма ти чес кой м од е ли р езуль тат ы буд ут под т в ер ж д ены пов е д е ни е м р еаль ного объект а пр и с оот в е тс т в ую щ и х ус лов и я х; • М а т ема т и че с кая мод ель не м ож ет бы т ь пр и зна на кор р е ктной, ес ли с од е р ж и т я в но и ли не я в но пр от и в ор е чи в ы е и ли в заи м ои с клю ча ю щ и е ут в ер ж д ени я , ги потезы и ли м а те м ат и че с ки е зав и с и м ос т и , с в язы в а ю щ и е каки е -ли бо ха р а кт е р и с ти ки и ли пар а мет р ы р еаль ного объект а. Так, напр и ме р , е с ли т ензор напр я ж е ни й не с и м метр и че н, т о в чи с ло ос нов ны х ур а в не ни й м од е ли д олж но бы т ь в клю чено ур ав нени е ба ланс а моме нт ов коли че с т в а д в и ж ени я. Пр и эт ом необход и мо в в од и т ь в р ас с мот р е ни е с обс т в е нны й момент и мпуль с а , м оме нт ны е напр я ж ени я и р ас пр е д е ленные объе мны е и ли мас с ов ы е м оме нты . Или , ес ли коэф фи ци ент д и ф ф узи и р а с т в ор е нного в е щ е с т в а в пот оке ж и д кос т и и ли газа пр и ни ма етс я пос тоя нной в е ли чи ной, т о т олщ и ны д и ф ф узи онны х с лое в на обеи х с т е нка х плос кого кана ла не могут пр е д пола га ть с я р а зли чны ми . К чи с лу таки х пр и мер ов м ож но от не с т и т а кж е с луча й, когд а р а с с мат р и в ает с я с ущ е с т в енно неи зот ер м и че с кое я в ле ни е , а ур а в не ни е д ля т е мпер ат ур ы не в клю ча ет с я в мат е ма ти чес кую мод е ль пр оце с с а (ни в ка кой ф ор ме ) и т .д . Непро т и во речи во с т ь я в ля ет с я од ни м и з пр и нци пи а ль ны х с в ойс т в мат е ма ти чес кой мод е ли . То ес т ь р ечь и д е т о т ом , что од на и та ж е мод ель не мож ет с од ер ж ат ь и с клю ча ю щ и е д р уг д р уга пр е д полож е ни я и ли пос т р ое ни я . В некотор ы х с луча я х в ы я в и т ь пр от и в ор е чи я м од е ли д ос та точно с лож но, и эт о могут ос ущ ес т в и т ь ли ш ь с пеци али с ты в ы с око кла с с а и ли экс пер т ы в облас т и м ат ем а ти че с кого м од ели р ов а ни я . 1.2. О сновныеэтапы математическог омоделирования (1) М а т ема т и че с кое м од е ли р ов ани е на чи на ет с я с ф ор мули р ов ки зад а н и я д л я и с с л ед о в а н и я . Она ос ущ е с т в ля е тс я с ов мес тно с за казчи ком и ли с пе ци а ли с том т ой пр е д ме т ной облас ти , в р а мка х котор ой пр ов од и тс я и зучени е р е а ль ного объе кт а . За д ани е , ка к пр а в и ло, в клю ча ет в с е бя с ле д ую щ и е пункт ы : • • • •

Общ ую пос т а нов ку пр облем ы (ф ор м ули р ов ка пр обле м ы ); Пе р е чень от д е ль ны х и зв ес т ны х фа кт ор ов и хар а кте р ны х с в ойс т в и зучае мого объе кт а ; С в е д е ни я , не обход и мы е д ля коли чес т в е нной оце нки и в ы полне ни я р ас чет ов и в ы чи с ле ни й; У ка за ни я конкр етны х в опр ос ов , на котор ы е д олж ны бы ть получе ны от в ет ы в р езуль тат е в ы полнени я получе нног о за д ани я ;

• С пи с ок ос нов ной ли т е р а тур ы , кот ор ы м д олж ны р уков од с т в ов ать с я и с полни т ели т е мы . М ы бе р е м на с е бя с м елос т ь пр е д с ка зат ь , чт о в с в язи с р а зв и ти е м т акой пр и нци пи а ль но нов ой и нфор м аци онной т е хнологи и , ка к Internet, в чи с ло в ы ш е ука занны х пункт ов с ле д ует д оба в лять пункт о с е р в ер а х, с од ер ж а щ и х на и более полную и нфор м аци ю об и с с ле д уе м ом объект е . (2) Н а ос нов а ни и зад а ни я фор м ули р уе тс я к а ч е с т в е н н а я м о д е ль и с с лед уем ог о пр оцес с а , я в лени я и ли эф фект а , учи т ы в а ю щ ая его наи более с ущ ес т в е нны е с в ойс т в а . Н а эт ом эта пе пр ои с ход и т фор ма ли за ци я р е аль но объект а . К а чес т в е нна я м од ель – это его и д е али зи р ов анное от обр а ж е ни е , с од е р ж а щ е е на и более общ и е и ус т ойчи в ы е с в я зи ме ж д у от д ель ны м и эле мент ами . В ход е эт ого эт апа ут очняе тс я и конкр е т и зи р ует с я обла с ть пр ос т р анс т в а , в нут р и кот ор ог о и щ ет с я р е ш ени е (на пр и м ер , ф ор м а те ла ; объе м , в кот ор ом пр ои с ход и т т е че ни е ж и д кос ти и ли газа и т .д .). Вт ор ы м в а ж ны м моме нт ом я в ля ет с я опи с а ни е в не ш ни х с в язей и ли в озд ейс т в и й, котор ы м под в е р га е тс я р еа ль ны й объе кт. К ни м могут относ и т ь с я с и лов ы е , те плов ы е , электр ом агни т ны е и т .п. факт ор ы пов е р хнос т ного, объемного и ли ма с с ов ого ха р а кте р а . У ка зы в ает с я д и апазон в озмож ны х и зм енени й в е ли чи н и ли зна че ни й эт и х факт ор ов . Тр ет ь и м ш а гом фор м ули р ов ки ка чес т в е нной м од ели я в ля ю тс я ука за ни я от нос и те ль ного ха р а кте р а р а зв и ти я пр оцес с а (на пр и м ер , д е фор ми р ов а ни я и ли те чени я ) и ф и зи ко-хи м и че с ки х с в ойс т в , пр оя в ляе мы х и зуча е м ы м объект ом в и нт ер е с ую щ е м нас д и апа зоне и зме нени я па р ам е тр ов с и с те мы (напр и ме р , с ж и мае мос т ь , в язкос ть , и зотр опнос ть , а д и а бат и чнос ть и ли и зот е р ми чнос т ь и т .д .). Н а и более гр ам отна я ка чес т в е нна я мод е ль буд ет пос т р ое на в том с лучае , ес ли и с с ле д ов а те ль я в ля ет с я пр офес с и она лом в и с с лед уем ой пр ед м етной обла с ти , обла д ае т не т оль ко в ы с оки м и нт еллект уаль ны м потенци а лом , но и и м еет хор ош и е пр а кт и че с ки е на в ы ки пои с ка и обр а бот ки не обход и мой и нфор ма ци и в Internet. (3) Н а т р ет ь е м эта пе пр ои с ход и т пос тр оени е мате мат и че с кой м од е ли . • Н е пос р е д с т в енно пос тр оени ю мат ема т и че с кой м од ели пр е д ш ес т в ует пр е д в а р и те ль ны й а нали з, в клю ча ю щ и й с ле д ую щ и е ш а ги : o Вы бор с и с те м ы коор д и на т , в кот ор ой буд е т пр ои зв од и т ь с я р а с с м от р ени е и с с ле д уе мого пр оце с с а . Вы с каза нны е р анее м од е ль ны е пр е д с т а в лени я о ге оме т р и и обла с т и р е ш ени я за ча с т ую опр е д е ля ю т эт от в ы бор ; o Вы би р а ет с я с пос об опи с а ни я д в и ж ени я – пр ос т р а нс т в е нны й (в пер е менны х Эйле р а ) и ли от с чет ны й (в пер е ме нны х Лаг р анж а ). В не кот ор ы х с луча я х и с поль зуе тс я с м е ш анный под ход Эйле р а -Ла гр а нж а . Н а пр и ме р , в с луча е и зуче ни я пр оце с с ов в многофазны х с и с т ема х, ког д а пов е д е ни е с плош ной фазы опи с ы в ае тс я с т очки зр е ни я Эйлер а , а д и с пер с ной – с т очки зр е ни я Ла гр а нж а ; o Общ а я коли чес т в е нна я оценка ос нов ны х и в тор ос т епе нны х ф актор ов , опр ед е ля ю щ и х ха р а кт е р и ли р е ж и м пр оте ка ю щ е го пр оце с с а . • За пи с ы в а ю тс я ос нов ны е ур ав нени я , с лед ую щ и е и з фунд аме нта ль ны х законов пр и р од ы , в ы р а ж е ни я д ля объе мны х и с точни ков и ли с т оков . Пос ле эт ого р е ш ае тс я в опр ос о в ы бор е м од ели с р е д ы и ли ма т ер и а ла , ур а в нени й с ос т оя ни я и законов пр оцес с ов пе р е нос а (и м пуль с а , т епло- и мас с ообмена и т.д .), то ес т ь р е чь и д е т о за пи с и р еолог и че с ки х и д р уги х опр е д е ля ю щ и х ур ав нени й м од е ли . Н а пр и мер , р е ологи че с кое ур а в не ни е в язкой не с ж и мае м ой ж и д кос ти и ли упр угоплас т и че с кого тв е р д ого т ела , закон т еплообм ена Ф ур ь е , закон эле ктр омас с опе р е нос а Н ер нс та -Планка и т .д . • Вы полня ет с я пр е обр азов а ни е общ ей мат е ма ти чес кой м од е ли с учет ом хар а кт ер а пов е д ени я объекта (на пр и м ер , с т а ци онар нос т ь , ос ес и ммет р и чнос т ь , од ном е р нос ть и т .п.) к боле е пр ос т ом у в и д у; • Опр е д е ля ю т с я и запи с ы в а ю т с я кр а е в ы е ус лов и я (на чаль ны е и /и ли гр а ни чны е ); • Вы би р а ю т с я хар а кте р ны е в е ли чи ны (мас ш та бы ) д ля за в и с и м ы х и не зав и с и мы х пе р еме нны х. Пос ле че го м ате м ат и че с ка я зад а ча пр и в од и т с я к бе зр а зме р ному в и д у. Д е ла е тс я оценка пор яд ков в е ли чи н бе зр азме р ны х па р а ме тр ов и ус т ана в ли в а ю т с я кр и тер и и под оби я . В не кот ор ы х с лучая х это позв оляе т найт и а с и м птот и чес ки е р еш е ни я , а такж е опр е д е ли т ь т е и ли и ны е ха р акте р ны е р е ж и м ы (напр и ме р , р е ш и т ь в опр ос о ха р а кт е р е д в и ж ени я ж и д кос т и и ли газа – лами нар ны й и ли тур буле нтны й в за в и с и м ос ти от в ели чи ны чи с ла Ре йноль д с а и

т .д .). Вы бр а нна я р анее р е ологи че с ка я м од е ль с р е д ы и ли д р угое опр е д еля ю щ ее ур ав нени е м огут бы ть пр и эт ом и зме нены и ли ут очнены ; • Д ля полученной в р е зуль т ат е кр ае в ой за д ачи (д в ухт оче чной и ли на чаль но-кр ае в ой) и ли за д а чи К ош и ос ущ ес т в ляе тс я пр ов ер ка кор р ект нос т и (е д и нс т в еннос т ь , ус т ойчи в ос ть и с ущ е с тв ов ани е р е ш ени я ); Н а эт ом с обс т в енно пос т р ое ни е ма те мат и че с кой м од е ли за канчи в а ет с я . Од на ко пос лед ов а те ль нос т ь д ейс тв и й в плане м ат ема т и че с кого м од е ли р ов ани я не нос и т та кого « ли нейного» ха р акт е р а . Пос ле оче р е д ного ш а га м ож е т неод нокр ат но в озни кать не обход и мос т ь в озв р а щ ени я к р а нее пр ойд енном у эт а пу, но уж е с учет ом нов ы х зна ни й, полученны х в ход е пр ов од и мого и с с ле д ов а ни я . Та ки м обр а зом , этот пр оцес с нос и т и т е р а ци онны й ха р акте р . Д а ль нейш а я пос ле д ов ат е ль нос т ь д ейс тв и й опр е д еляет с я в озм ож нос ть ю получе ни я р еш ени я в а на ли ти чес кой фор м е и ли не обход и мос т ь ю и с поль зов а ни я чи с ленны х метод ов и ЭВМ . В с ов р е м енной д ейс т в и те ль нос т и пр и в ы полне ни и р а бот по мат ем а ти чес кому мод ели р ов ани ю мы р ед ко с та лки в ае мс я с в озм ож нос т ь ю ог р ани чи т ь с я ли ш ь а нали т и чес ки м и с с ле д ов а ни е м . К ак пр а в и ло, под обного р од а с и т уаци и в озни ка ю т ли ш ь в с лучае пос т р ое ни я гр убы х м од е лей нуле в ы х и пе р в ы х пр и бли ж е ни й. Реа ль ны е пр оцес с ы , кот ор ы е пр и ход и т с я мод е ли р ов ать , тр е бую т учета м ногообр азны х фа кт ор ов и эфф е ктов и , ка к с ле д с т в и е , и с поль зов ани я с лож ны х мат е ма ти чес ки х м од е ле й, ка к пр а в и ло, не ли не йны х. Ес ли мод ели р ов а ни е огр а ни чи в а ет с я а на ли т и че с ки м р е ш е ни е м пос тр ое нной кр ае в ой за д а чи и ли за д а чи К ош и , т о • пр ои зв од и тс я в ы бор и обос нов а ни е на и более р а ци она ль ного ме тод а р еш е ни я ; • е го пр и м енени е к получе нной за д а че и на хож д ени е т очног о и ли пр и бли ж е нног о а нали т и чес ког о р е ш е ни я ; • д а ле е в ы полня етс я а на ли з найд енного р е ш ени я ; • с опос та в ле ни е с д а нны ми экс пе р и ме нта и ли р езуль т ат а ми р е ш е ни я , найд енного д р уги м и м е тод а ми ; • р а бот а с мат ем а ти чес кой мод е ль ю , ус та нов лени е ос нов ны х за кономе р нос тей и ос обеннос т е й пов ед ени я р е ш е ни я пр и р азли чны х значе ни я х па р аме т р ов ; • за в е р ш ае тс я р абота ус та нов ле ни е м гр ани ц пр и ме ни мос ти полученной мод е ли и ф ор м ули р ов кой р е коменд аци й д ля е ё пр а кти чес кого и с поль зов ани я . Ес ли в ход е пр ов е д енного и с с ле д ов ани я буд ут в ы я в ле ны с ущ ес т в енны е р ас хож д е ни я с опы т ны м и д анны ми , т о не обход и мо в е р нут ь с я на нес коль ко ш агов наза д и пов т ор и т ь пр од еланную р аботу с уче том нов ы х с в е д ени й и полученны х р е зуль тат ов . Толь ко в та ком с лучае м ож но и с поль зов ат ь д а нны е м ат е мат и че с кого м од е ли р ов а ни я в пос лед ую щ ей пр а кти ке и д ля ус т анов ле ни я ос нов ны х за кономе р нос те й и ос обе ннос т ей в озм ож ного пов е д ени я р е а ль ного объект а в те х и ли и ны х ус лов и я х. 1.3. В ычислитель ный иликомпь ю терный эксперимент С ов р е менны е зад ачи на уки , те хни ки и д р уги х с фер че лов ече с кой д ея те ль нос т и на с т оль ко с лож ны , чт о кла с с и че с ки е мет од ы а нали за , ка к пр а в и ло, оказы в а ю т с я бе с с и ль ны ми д ля получени я д ос т ов ер ной коли че с т в енной и нф ор ма ци и об и с с лед уем ом объекте . Разв и т и е ме т од ов м ат ем а ти че с кого мод е ли р ов ани я , с од ной с т ор оны , и поя в ле ни е уд обны х и м ощ ны х пе р с она ль ны х компь ю те р ов с р азв и т ы м пр огр ам мны м обе с пе че ни ем , с д р угой, пр и в е ли к в озни кнов е ни ю пр и нци пи аль но нов ого м етод а научного позна ни я и и нж е не р но-конс т р укт ор с кой д е ят ель нос ти вычисл ител ьно му и ли ком пьюте рно му экспе рименту. Пр е ж д е в с его, опр е д е ли м эт о поня ти е и от м ети м ос нов ны е р азли чи я м еж д у т р а д и ци онны м и с ов р е м енны м в и д ом ма те мати чес кого м од е ли р ов а ни я , и с поль зую щ и м с р е д с т в а в ы чи с ли т е ль ной т е хни ки . О пределение8. Вы чи с ли т ель ны й и ли компь ю т е р ны й экс пер и мент ви д м ат ем ат и чес к о го м о дели ро вани я , и с поль зую щ и й с ов р е ме нны е и нф ор мац и онны е те хнологи и и с р е д с т в а в ы чи с ли т е ль ной т е хни ки . В с луча е , когд а м ы в ы нуж д ены обр ат и ть с я к пом ощ и ком пь ю т ер а , мож е т та кж е в озни кнут ь д и лем ма в за в и с и м ос ти от т ого, ка ки м и пр огр а ммны м и с р е д с т в а ми м ы р ас пола гае м . На эт от р аз с ут ь ее с ос т ои т в том , и м ее м ли м ы д ос т уп к м ощ ны м уни в ер с аль ны м пр огр а м мны м с и с те м ам ,

та ки м ка к СА ПР (с и с те мы а в т омат и зи р ов анного пр ое кт и р ов ани я ) и ли CAE – с и с т емы и нж е нер ного и научного ана ли за . Ещ е не с коль ко ле т т ом у на за д , когд а р ы нок пр огр ам м ны х с р е д с т в у на с в с тр а не бы л оче нь с куд ен, и с с ле д ов ате ля м пр и ход и лос ь , как пр а в и ло, с а м ос т оят ель но с озд а в ат ь с обс т в енны е пр огр а м мы , компле кс ы и ли па кет ы . В нас т оя щ е е в р е мя с озд а ны м ощ ны е пр огр а мм ны е с и с т ем ы , обес печи в а ю щ и е боль ш ую час т ь с фер ы че лов е чес кой д ея т е ль нос т и , в т ом чи с ле научно-и с с ле д ов ате ль с кой, и нж енер но-конс т р уктор с кой и т .д . Ор и е нта ци я на таки е пр огр ам мны е с р е д с т в а пот р е бует от д е ль ного р а с с м отр ени я . Се йча с ж е м ы огр а ни чи мс я с лучае м , когд а т акого р од а с и с т е мы на м не д ос т упны (в узы не в с ос тоя ни и пр и обр ет ат ь пр огр а ммное обе с пе чени е с т ои мос т ь ю в т ы с я чи и д ес ят ки ты с яч д олла р ов ) и т р е бует с я р азр аботка с пеци а ли зи р ов а нного пр огр ам много обе с пе че ни я . В эт ой с и т уац и и с т уд е нт , за канчи в а ю щ и й учебное за в е д ени е по с пе ци а ль нос т и пр и кла д на я мат е ма ти ка и и нф ор мат и ка , получа ет не огр а ни ченное поле т в ор чес т в а . Таки м обр а зом , р е чь д олж на и д ти о в ы чи с ли те ль ном и ли компь ю тер ном экс пер и м ент е на базе с ам ос т оят ель но с озд а в а ем ого пр огр а мм ного обес пе че ни я . Ос о бенно с т и к о м пью т ерно го эк с пери м ент а: К ом пь ю те р ны й экс пер и мент пр и ме ня ет с я в том с лучае , когд а нат ур ны е и ли мод е ль ные экс пер и мент ы , ка к пр а в и ло, ли бо д ос тат очно с лож ны и т р е бую т боль ш и х мат ер и а ль ны х зат р ат , ли бо пр и нци пи а ль но не в озм ож ны , по кр айне й м е р е , пр и нас тоящ ем ур ов не р азв и т и я экс пер и мента ль ной базы и ли и зме р и те ль ной т е хни ки (попр обуйте и зме р и ть т е мпер ат ур у в це нт р е я д ер ного в зр ы в а и ли в нут р и с олне чног о с в е ти ла , с кор ос ть д в и ж е ни я га лакти ки и ли в р а щ е ни я в це нтр е т ор над о, д е ф ор маци и конт и нент аль ного ма те р и ка и ли д а в ле ни я на под в од ны е аппар а т ы д о и х с пус ка под в од у). Н а ли чи е не от д е ль ной мат е ма ти чес кой мод е ли , а и ерархи чес к о й с о во к упно с т и м о делей. Д анное обс т оя т ель с т в о объя с ня ет с я т ем , чт о в о м ноги х с луча я х д а ж е ка чес т в енны й ме ха ни зм (ф и зи че с ки й, хи ми че с ки й, би ологи че с ки й и т .п.) и зуча е мого объе кт а не с ов с е м поня те н, а опр е д е лени е р оли т ого и ли и ного ф акт ор а полнос ть ю не в озм ож но. В эт ой с в язи ог р омную р оль и гр а ю т с ам ы е пр ос ты е и ли « ба зов ы е» мод ели , д опус ка ю щ и е т очны е и ли пр и бли ж е нны е а нали т и чес ки е р е ш ени я . Именно они я в ля ю т с я не обход и мы ми д ля те с ти р ов а ни я пр огр а мм ны х комплекс ов , в ы д е лени я р оли от д е ль ны х ф а кт ор ов и ли эф ф ект ов с р е д и многочи с ленны х па р а мет р ов р еа ль ного объе кта . М но го парам ет ри чес к о еи с с ле д ов а ни е . Д р уг ой ха р а кт е р ной чер т ой компь ю т е р ного экс пер и ме нта я в ля ет с я не обход и мос ть пр ов е д ени я р а с че т ов д ля многочи с ле нны х в озм ож ны х зна чени й па р а мет р ов мод е ли , пои с к ос обы х ус лов и й, пр и кот ор ы х в озни ка ю т ка че с т в енно и ны е с ос тоя ни я (и с ход ны е ур а в не ни я , ка к пр а в и ло, не ли не йны !). М но го вари ант но с т ь - не с коль ко мод еле й, нес коль ко с пос обов д и с кр ет и за ци и , не с коль ко в ы чи с ли т е ль ны х а лгор и т м ов и т .п. пр и в од я т к ш и р оком у с пект р у р а знообр азны х с ов окупнос тей, в а р и а нтов , кла с с ов , гр упп мод е ле й, д ля кот ор ы х пр ов од я тс я р ас четы . Вс е эт о ха р а кт ер ны е с и т уаци и с компь ю те р ны м экс пе р и м е нтом . Вот почем у в озни кает е щ е од на ос обеннос т ь , кот ор а я не бы ла с в ойс т в енна тр ад и ци онном у м ате мат и че с ком у мод е ли р ов а ни ю . Плани ро вани е к о м пью т ерно го эк с пери м ент а - пос ле д ов ат е ль нос ти от д е ль ны х с еа нс ов д ля с лож ной и е р а р хи че с кой с т р укт ур ы м од еле й (в ш и р оком с мы с ле эт ого с лов а – с ов окупнос т ь г еомет р и че с ки х, ки нем ат и чес ки х, д и на ми чес ки х и пр очи х па р ам е тр ов и с в ойс т в , зна че ни й и ус лов и й, опр е д е ля ю ш и х р езуль т ат ы компь ю те р ного экс пер и ме нта ). С уть за клю чает с я в том , чтобы обе с пе чи т ь на и более р а ци она ль ную ор гани за ци ю ком пь ю т е р ного экс пер и ме нта , получе ни е макс и м а ль ной и нфор ма ци и , по в озмож нос ти , пр и ми ни ма ль ны х зат р ат а х в р ем е ни и р ес ур с ов ЭВМ . Пе р в ы е эт апы компь ю те р ного экс пе р и ме нт а ма ло от ли ча ю т с я от с оот в е тс т в ую щ и х д ейс т в и й пр и т р ад и ци онном м од е ли р ов а ни и . Ис клю че ни е с ос та в ляе т , пож а луй, ли ш ь опр е д е лени е в озмож нос т е й и с поль зов ани я р ес ур с ов ЭВМ , котор ы м и р е а ль но р ас полагае т и с с ле д ов ат ель в т ой и ли и ной обс танов ке. Под обны е в опр ос ы обс уж д а ю тс я в ход е пр е д в ар и те ль ного а на ли за и зуча е м ой пр обле мы . (4) Эта п с в я за н с не обход и м ос т ь ю пер е ход а от не пр е р ы в ной м од е ли к с оот в е тс т в ую щ е м у д и с кр е тном у а на логу, кот ор ы й м ож ет бы ть р е али зов ан на ком пь ю т е р е . Этот эт а п тр е буе т на ос нов а ни и ка чес т в енного ана ли за за д ачи (в озмож ног о т ече ни я , на ли чи я облас т ей с пов ы ш енной и ли пони ж енной с кор ос т ь ю и зм ене ни я каки х-ли бо пе р е м енны х и т .п.) в в е с т и , пр е ж д е в с е го,

д и с кр е тны й аналог е в кли д ов а пр ос тр а нс т в а , на кот ор ом пр ои зв е с ти аппр окс и м аци ю и с ход ной м ат ем а ти че с кой м од ели . По этом у пов од у и мее тс я д ос тат очно боль ш ое чи с ло уче бной ли т ер а тур ы , чт о позв оляет на м огр ани чи т ь с я ли ш ь с с ы лкам и на некот ор ы е и зд ани я [5, 28].Опыт пр и м ене ни я р а знообр азны х д и с кр е тны х мод е лей показы в ае т , что на и более ус пеш но р абота ю т те и з ни х, котор ы е с тр оят с я в р а м ка х с охр а не ни я ус лов и й баланс а на ка ж д ой элем ента р ной я чейке д и с кр е тной обла с т и (и нтег р о - и нте р поля ци онны й ме т од ; и ное на зв а ни е - м ет од конт р оль ны х и ли коне чны х объе м ов ). К р ом е т ого, боль ш ое зна че ни е и ме ю т с а ми в ы чи с ли т ель ны е а лгор и т мы , р еа ли зую щ и е р ас чет ы по с оот в е тс т в ую щ и м д и с кр ет ны м ана логам . (5) Разр а ботка в ы чи с ли те ль ны х а лгор и т мов от нос и т с я к чи с лу т е х р азд елов т е ор и и м ат ем а ти че с кого мод ели р ов ани я , гд е многое опр е д еля ет с я пока эв р и с ти чес ки . В ж ур на ла х и с бор ни ка х с тат ей, т ем более в учебной и моногр а фи чес кой ли тер ат ур е , эт и в опр ос ы , как пр а в и ло, с ов ер ш е нно не ос в е щ а ю тс я и относ я тс я к « в нут р енни м» в опр ос а м , « и нт еллект уа ль ной» с обс т в е ннос т и р а зр а бот чи ков пр огр а мм ного обес пече ни я . (6) Пр ое кт и р ов а ни ю и р азр аботке пр огр а мм ного обе с пе чени я , в пр от и в ополож нос т ь пр е д ы д ущ ем у эт апу, уд е лено д ос т а точно много в ни ма ни я , опубли ков а но боль ш ое чи с ло за меча те ль ны х и зд а ни й, в т ом чи с ле д ля научно-и с с ле д ов ат е ль с ки х и и нж енер но-те хни чес ки х пр огр а мм ны х с и с т ем . От ме ти м не кот ор ы е и з ни х - [7, 9, 29, 40, 60]. (7) Эт а п от ла д ки и д оказа те ль с т в о р аботос пос обнос т и с озд анного пр ог р а ммног о обе с пе чени я в клю чае т пос лед ов а те ль нос т ь не котор ого чи с ла ш а гов , по за в е р ш ени ю в ы полнени я кот ор ой м ы мож е м с боль ш ей ув ер е ннос ть ю от нос и ть с я к с озд а нному ком пле кс у и ли па ке ту пр огр а мм (от д ель ны е од номод уль ны е пр ог р ам м ы уш ли в пр ош лое ). М е тод ологи я т ес т и р ов ани я пр огр а мм под р обно р ас с мот р е на в и м е ю щ е йс я и д ос т упной ли те р ат ур е . У ка ж е м ли ш ь од но с пе ци а ль ное и зд ани е , с од ер ж а щ ее , по на ш е му мне ни ю , боль ш ое чи с ло поле зны х с ов етов [22]. От ме ча я в а ж ную р оль с ов р е менны х в и зуа ль ны х с р е д пр огр а мм и р ов ани я , мы не мож ем не с ка за ть , чт о р е ш а ю щ и м я в ля ет с я в с е ж е р аци она ль ны й, кор р е ктны й, од ни м с лов ом , хор ош о пр од ума нны й и г р ам отно р азр абота нны й в ы чи с ли т е ль ны й алгор и тм . Н а ни ж е пр и в е д енной с хе м е пр е д с т а в ле ны ос нов ны е эта пы ма те мати чес ког о м од е ли р ов а ни я , в ы полняе мы е в с лучае пр ов ед е ни я ком пь ю те р ного экс пер и ме нт а .

1.4. П роектOLYMPUS Ис тор и я р е ш ени я на учно-те хни че с ки х зад ач с пом ощ ь ю ЭВМ нас чи т ы в а ет уж е боле е полув е ка . За эт от пе р и од с ф ор ми р ов а лос ь нов ое на пр а в ле ни е в те хнологи и пр огр а м ми р ов а ни я и и с поль зов ани и с р е д с тв в ы чи с ли т ель ной т е хни ки в и нж е нер но-конс тр укт ор с кой и на учнои с с ле д ов а т е ль с кой д ея те ль нос т и , получи в ш ее на зв а ни е те хнологи и м ат ем ат и чес к о го м о дели ро вани я и вычи с ли т ельно го эк с пери м ент а. Те хнологи я пр огр а мм и р ов а ни я за д а ч в ы чи с ли те ль ного экс пе р и ме нта обобщ ае т на копленны й опы т и р азр а бат ы в а ет пр и нци пы , м е т од ы и с пос обы с озд а ни я и экс плуа тац и и пр огр а мм ного обес пе че ни я . Од ни м и з её на и более уд ачны х в а р и а нтов я в ляет с я пр оект OLYMPUS [63-66], получи в ш и й ш и р окое р ас пр ос т р а не ни е в о многи х с т р ана х м и р а . Его ме т од ологи я лег ла в ос нов у с озд а ни я т акой и зв е с т ной с и с те мы , ка к СА Ф РА – Си с т ема А в т ома ти за ци и Ф и зи че с ки х Рас чет ов , с озд а нна я в и нс т и т уте пр и клад ной ма те ма ти ки А Н С С С Р [7,10]. Пр оект OLYMPUS пр е д лож е н с отр уд ни ка м и гр уппы в ы чи с ли т е ль ной ф и зи ки К а лхэмс кой лабор а т ор и и , в ход и в ш е й в коми те т по а том ной энер ги и Ве ли кобр и та ни и , в о г ла в е с K.V.Roberts’ом в с ер е д и не 70-х год ов и пр е д с т ав ля лс обой набор с огла ш е ни й, р е гла мент и р ую щ и х конс т р уи р ов а ни е , д окуме нти р ов а ни е , ор га ни зац и ю в за и м од е йс т в и я и и с поль зов а ни я пр ог р а мм . Пр ое кт пр е д назна ча лс я д ля р е ш е ни я целого клас с а за д а ч эв олю ци онного т и па

∂u + G ( u ) = f (X, t ) , ∂t t = 0 : u ( X , o) = u 0 ( X ) ;

(1) S:

u ( X s , t ) = u s (X s , t )

(2)

гд е G - некотор ы й ли не йны й и ли не ли не йны й опе р атор . В с е р и и с т ат е й а в т ор ов пр ое кта д е та ль но обс уж д а лс я в опр ос о необход и м ос ти и с поль зов ат ь общ ую хор ош о р азр а бота нную с та нд а р т ную с т р уктур у д ля пр ог р ам м , пр е д назначе нны х д ля р еш е ни я за д ач од ного кла с с а , опи с ы в а ет с я паке т упр а в ля ю щ и х и с луж е бны х под пр огр амм OLYMPUS, кот ор ы й и с поль зуе т с я как пр и с озд ани и , т ак и пр и экс плуа т а ци и пр ог р а мм , опи с ы в а ю щ и х эв олю ци онны е пр оцес с ы . Этот пакет а в т ома ти чес ки на кла д ы в а ет тр е буе м ую с т а нд а р т ную с тр укт ур у на лю бую пр огр а м му, кот ор а я е го и с поль зуе т , пр и ус лов и и в ы полнени я не кот ор ы х р е ком е нд а ци й и с оглаш ени й [63-66]. Ос нов ны е це ли , кот ор ы е пр ес ле д ов а ли эт и с ог ла ш е ни я , за клю ча ли с ь в с ле д ую щ ем : • Ст а нд ар т и заци я р азр аботки , с тр уктур ы па кет а и офор м лени я пр огр а ммного обес пе чени я ; • Пов ы ш ени е на гля д нос ти т екс т ов и с ход ны х м од улей, обе с пе чени е в озмож нос т и бы с т р ого и зуче ни я с ущ е с т в ую щ и х ППП; • У пр ощ е ни е экс плуа та ци и пос тоя нно р ас ш и р я ю щ е гос я с лож ного пр огр а ммного ф онд а ; • Возм ож нос ть на р а щ и в а ни я пр огр а ммного компле кс а и обме н пр огр а мм ны ми е д и ни ца ми м е ж д у р а зли чны м и гр уппа ми поль зов ат е лей. Ст а нд ар т и за ци я р азр а бот ки ППП позв оля ет пр огр а м ми с та м с окр ат и т ь с р оки с озд ани я пр огр а мм ного обес пе чени я , и с клю чи ть пр и няти е пр от и в ор е чи в ы х р е ш е ни й д ля ор гани зац и и в заи мод ейс тв и я р азли чны х пр огр а ммны х е д и ни ц и с в ес ти к ми ни м ум у ош и бки пр оект и р ов ани я глоба ль ного ха р а кте р а. Ст р ого фи кс и р уе тс я в е р хни й ур ов е нь с ос т а в а пр огр ам м ного обе с пе чени я и опр е д е ля ю т с я пр а в и ла е го р а зв и ти я на ни ж ни х ур ов ня х. Пов ы ш ени ю нагля д нос т и те кс т ов пр огр а мм с луж ат с оглаш е ни я , с в я за нны е с оф ор м ле ни е м и д окуме нти р ов а ни е м пр огр ам м. У с та на в ли в а ет с я ф ор ма и мес т о ком ме нта р и е в , опр е д е ля ю щ и х назначени е пр ог р ам мны х ед и ни ц и и с поль зуе м ы х а лгор и т мов , р азр а бот а ны мет од ы кла с с и фи ка ци и в с е х пр и м еня ем ы х пр ог р а м м . Сущ е с т в ую т с огла ш ени я о в ы бор е и ме н д а нны х и пр а в и ла х и х объя в ле ни я . Вс е эт о с пос обс т в ует тому, чт о поль зов ат е ль ле гко ор и енти р ует с я в с в ои х и чуж и х пр огр а мм а х, бе з ос обого т р уд а опр е д е ля ет ф ункци ональ ное назна че ни е лю бой пр огр а мм ной е д и ни цы , бы с т р о на ход и т и уя с ня ет с мы с л не обход и мы х ф р а гмент ов а лгор и т м ов и м н. д р . У пр ощ е ни е экс плуа та ци и ППП д ос т и га ет с я с пом ощ ь ю с огла ш ени й об ор гани заци и в заи мод ейс тв и я и и с поль зов ани я и м е ю щ и хс я пр огр а мм ны х е д и ни ц. Эти с огла ш ени я обе с пе чи в а ю т в озмож нос т ь пр и менени я е д и ной т е хнологи и пр огр а мм и р ов ани я пр и с озд ани и пр огр а мм ного обес пече ни я , р е али зую щ е го мод е ли р ов ани е объе кт ов , пов е д е ни е котор ы х опи с ы в а ет с я за д а ча м и эв олю ци онного ти па . Пр ог р ам ма , в ы полня ю щ а я конкр ет ны й р ас чет , пр е д с т а в ляе тс я в в и д е ф и кс и р ов а нного на бор а с ос та в ны х ф ункци она ль ны х час т ей, обр азую щ и х ка р кас пр ог р ам м ы , на зы в а е мы й схе м ой ра счета . За ка ж д ой и з т а ки х час тей закр е пляет с я с т р ого опр е д е ленная час т ь р а бот ы по р ас чет у и ха р а кте р и зую щ е е е е и мя . Д ля лю бой и з ф ункци она ль ны х час те й мож ет бы т ь напи с а но, в ообщ е гов ор я , нес коль ко р а зли чны х р е али за ци й, и ли м од уле й. В ка ж д ом конкр е тном с лучае буд е т уча с т в ов а т ь ли ш ь од и н. Возм ож нос т ь на р а щ и в а ни я пр огр а мм ного комплекс а без пе р епр огр а м м и р ов ани я с ущ е с т в ую щ и х пр огр а мм ны х е д и ни ц и и х « под клю че ни е» к р а нее с озд а нному функци она ль ному на полнени ю д ос ти гае тс я с помощ ь ю с луж е бны х пр огр ам мны х е д и ни ц. С д р угой с т ор оны , т ака я с т р укт ур а пр огр а м м ного обе с пе че ни я пр е д ос та в ляе т в озм ож нос т ь обм е ни в ат ь с я ме ж д у р азли чны ми поль зов ат е ля ми ли ш ь м од уля ми ф ункци она ль ного на полнени я , не пр и бе гая к пе р е д а че с е р в и с ны х и пр очи х в с пом огат е ль ны х пр огр ам м. Пр ос т ота а д апта ци и нов ы х м од улей д ос т и гае т с я и с поль зов а ни е м е д и ной с хем ы р а с че та . Од но и з пр еи мущ ес т в с хе мы пр оекта OLYMPUS с ос т ои т в т ом , чт о она зна чи т е ль но с окр а щ а ет коли че с т в о д окуме нта ци и , необход и м ой д ля ка ж д ой пр огр а мм ы с е м ейс т в а , пос коль ку зна чи т е ль на я час ть с т р укт ур ы пр огр ам мы фи кс и р ов а на . Опи с ани я нов ы х пр огр а мм пр ос т о буд ут с с ы лат ь с я на д а нную р а бот у и д р уги е опи с а ни я ус луг общ е го поль зов а ни я . Пе р в онача ль но пр оект р азр а ба ты в а лс я д ля р е али за ци и пр огр а мм ного обес пе чени я на язы ке пр огр а мм и р ов а ни я Ф ор тр а н д ля ЭВМ , т ак на зы в ае м ого, тр е ть е го поколе ни я - IBM 360/370. Позж е

бы ла пр е д лож е на в е р с и я д ля нов ого язы ка пр огр а мм и р ов ани я – Пас ка ль , получи в ш а я на и ме нов ани е OLYMPUS–TP и пр е д назначе нна я д ля р а боты в с и с те ме пр огр а мм и р ов а ни я TurboPascal на пе р с она ль ны х ком пь ю те р а х [18]. 1.4.1. Ст р уктур а и назна чени е OLYMPUS Г ла в на я пр огр а м мна я ед и ни ца ком плекс а мож е т бы т ь д в ух в и д ов : • полны й – пр ед ус м а тр и в а ет в озм ож нос ть пр ов е д е ни я ком пь ю т ер ного экс пе р и мента в в и д е с ов окупнос ти от д е ль ны х с еа нс ов с в озм ож нос т ь ю пр е р ы в а ни я в ы чи с лени й, запи с ь ю пр оме ж ут очны х р езуль тат ов на д и с к и пр од олж е ни я компь ю т е р ного экс пер и мента ; • кр ат ки й – когд а в р ам ка х од ног о с еа нс а пр ов од и т с я не с коль ко в ы чи с ле ни й с получени ем окончат е ль ны х р е зуль т ат ов . В с оот в ет с т в и и с эт и м а лг ор и т м ос нов ной пр ог р а ммной е д и ни цы и мее т в и д , пр е д с т а в ленны й на р и с . 2 и ли 3. А лг оритм У пр а в ле ни я ком пь ю т е р ны м экс пе р и мент ом в р а м ка х те хнологи и пр огр а м ми р ов а ни я OLYMPUS-ТР начало Ид е нти ф и ка ци я р а с чета Очи с тка пер еме нны х и ма с с и в ов Чте ни е и с ход ны х д а нны х повторять К ор р е кти р ов ка и с ход ны х д анны х Вы чи с ле ни е пр ом еж ут очны х д анны х За д а ни е на ча ль ны х ф и зи чес ки х зна чени й У с т анов ка нача ль ны х значе ни й па р а м ет р ов Вы в од и с ход ны х д а нны х повторять Вы чи с ле ни е на од ном ш а ге Вы в од пр оме ж уточны х значени й Пр ов е р ка ус лов и я окончани я в ы чи с лени й до Выпол ненияусл овияоконча ниявычисл е ний Вы чи с ле ни е ос нов ны х ха р а кт е р и с т и к Вы в од оконча т е ль ны х р езуль т а тов Пр ов е р ка ус лов и я за в е р ш е ни я экс пе р и ме нта до Выпол ненияусл овияза ве рш енияко м пью те рного эксперимента За пи с ь пр отокола ком пь ю те р ного экс пе р и ме нт а конец. Ри с .2. А лгор и т м компь ю т ер ног о экс пе р и м ента кр ат кого ти па

А лг оритм У пр а в ле ни я ком пь ю те р ны м экс пе р и мент ом в р а м ка х те хнологи и пр огр а м ми р ов а ни я OLYMPUS-ТР начало Ид е нти ф и ка ци я р а с чета Очи с тка пер еме нны х и ма с с и в ов еслиН овыйра сче т то Чт ени е и с ход ны х д а нны х иначе Чт ени е пр оме ж уточны х р е зуль та тов все повторять К ор р е кти р ов ка и с ход ны х д анны х Вы чи с ле ни е пр ом еж ут очны х д анны х За д а ни е на ча ль ны х ф и зи чес ки х зна чени й У с т анов ка нача ль ны х значе ни й па р а м ет р ов Вы в од и с ход ны х д а нны х повторять Вы чи с ле ни е на од ном ш аге Вы в од пр оме ж уточны х значени й Пр ов е р ка ус лов и я окончани я в ы чи с лени й до Выпол ненияусл овияоконча ниявычисл е ний Вы чи с ле ни е ос нов ны х ха р а кт е р и с т и к Вы в од оконча т е ль ны х р езуль т а тов Пр ов е р ка ус лов и я за в е р ш е ни я экс пе р и ме нта довыпол ненияусл овияза ве рш енияко м пью терного эксперим ента За пи с ь пр от окола ком пь ю те р ного экс пер и мент а конец. Ри с .3. А лгор и т м компь ю те р ного экс пе р и м ент а в с лучае полного т и па

К л а сс 0 У п равление Control

К л а сс 1

К л а сс 2

К л а сс 3

К л а сс 4

Labru Clear Preset Data Inital Auxval Start

Output.

-

Stepon

Output.

Tesend

Result

Output.

Endru

EndCal +

-

EndExp +

Report

DECLAR INPUT DOC Д ополни тель ны е клас с ы : Н а ча ло р аботы в р а м ка х пр ое кт а OLYMPUS пос ле пр ов ед е ни я а нали за зад ани я за клю ча етс я D в в ы бор е в и д а гла в ной пр огр а ммной е д и ни цыI (полны й иCли кр а тки й) и за пи с и е ё т екс та в от д е Ри ль ны й ка та л ог. Впос л ед с т в и и эт от т е ксс т р мукт ож ур етынепродогр нокр но и с поль зов ат ь с я пр и пов тор ны х с . 4. Ф ункци она ль на я с хе ма кр ат кой а мматного р азр а бот ка х д р угиобес х прпечени ог р а мм . З а т ем с озд ае тс я би бл и от е ка CRONUS – би бли оте ка мод уле й, в я в пр оект е OLYMPUS-TP кот ор ы х р азме щ а ю тс я « пус т ы е» пр оце д ур ы и функци и . CRONUS яв ля е тс я пр огр а мм ой – « пус т ы ш кой» , с тр уктур а кот ор ой а в тома ти чес ки от р а ж ает с я на ос нов ной с т р уктур е лю бой « р е а ль ной» пр ог р а ммы р а бот а ю щ е й с огла с но ме т од ологи и OLYMPUS. Ее с тр уктур а пр е д с та в ле на на р и с .3. В пос ле д с т в и е , по м е р е р азр аботки пр ог р ам м ного обес пече ни я , пр ои с ход и т на полнени е « пус т ы ш е к» и с озд а ни е р абота ю щ и х пр огр а мм ны х е д и ни ц - под пр огр а м м . Под пр огр а м мы р азд е лены на 7 кла с с ов , как показа но в та бли це 1, и ка ж д ая под пр ог р ам м а и мее т с ос та в ной д ес ят и чны й номер , на пр и м ер <1.5> относ и т с я к пя т ой пр ог р ам ме кла с с а 1.

Та бли ца 1. К лас с и ф и каци я пр огр а мм в с и с те ме OLYMPUS № к лас с а 0 1 2

Н а и м енов а ни е клас с а Управлени е- Control Про ло г - Prolog Вычи с лени я - Calcul

3 4 5 6

Выво д - Output Эпи ло г - Epilog Д и агно с т и к а - Diagnostic Служ ебныепро грам м ы- Utiliets

К лас с 0 – CONTROL - Управлени е - я в ляе тс я ос нов ой CRONUS и общ и м д ля в с е х пр огр а мм . Пр огр а мм ны е е д и ни цы эт ого кла с с а я в ля ю тс я обязате ль ны ми д ля лю бого пр оект а и обе с пе чи в а ю т с озд ани е с р е д ы под гот ов ки и в ы полнени я пр огр ам много комплекс а. К лас с 1 – PROLOG - Про ло г обе с пе чи в а ет под готов ку д ля пр ов е д ени я компь ю т е р ног о экс пер и ме нта . К лас с 2 – CALCUL - Вычи с лени я ос ущ ес т в ляет ос нов ную обр а ботку и нф ор ма ци и , с в я за нную с р е а ли за ци е й д и с кр е тной м од е ли . К лас с 3 – OUTPUT - Выво д и с ход ной, пр ом еж ут очной и нф ор маци и и р езуль т ат ов в ы чи с ле ни й. К лас с 4 - EPILOG - Эпи ло г - пр ов од и тс я пр ов е р ка в ы полнени я ус лов и й окончани я в ы чи с ле ни й и зав е р ш ени я компь ю т ер ного экс пе р и м ента . К лас с 5 – DIAGNOSTIC - Д и агно с т и к а - в ы полня ю т с я р азнообр азны е д е йс т в и я по контр олю за ход ом ком пь ю те р ног о экс пер и ме нта. К лас с 6 – UTILITES - Служ ебные про грам м ы - пр ои с ход и т в ы полнени я р азли чны х в с пом огат е ль ны х д е йс т в и й и с ер в и с ны х ф ункци й. Под пр огр а м мы кла с с ов 1-4 буд ут и зме нят ь с я от од ной пр огр а мм ы к д р угой, но и х и м е на , та ки е ка к Data, Auxval, Stepon, Output, указа нны е на р и с . 3, д олж ны пр и с утс т в ов а т ь в каж д ой пр огр а мме , пос коль ку по эт и м и ме нам они в ы зы в а ю т с я и з общ ей пр ог р а ммы упр а в лени я р ас чет ом. К чи с лу д ополни т ель ны х кла с с ов относ и т с я м од уль DECLAR, в котор ом в ы полня етс я опи с а ни е нес т анд ар тны х т и пов д а нны х и глобаль ны х пе р ем е нны х, и с поль зуе мы х в р азли чны х м од уля х пр огр ам м ного комплекс а . 1.4.2. К ла с с 0. У пр а в ле ни е р ас четом Эт от кла с с в клю ча ет ос нов ную пр ог р а м му и 4 под пр огр ам мы . Ос нов на я пр огр а мма Main за пр а ш и в ае т у с упер в и зор а в р е м я , за ка занное д ля р а бот ы пр огр а м мы и запоми нае т ег о (в с е кунд а х) в пер е менной Altime, т ак чт о OLYMPUS-пр ог р ам ма пр и не обход и м ос т и м ож ет за кончи ть р а с че т д о и с т ече ни я за ка занног о в р е ме ни . За т ем в ы зы в ае тс я Basic д ля очи с т ки не кот ор ы х пе р е ме нны х и ма с с и в ов и д ля пр и с в а и в ани я д р уги м пе р ем е нны м , на пр и ме р , ном ер ам ка налов в в од а /в ы в од а , с т анд а р т ны х зна чени й. Пр е и м ущ е с т в о та ког о под ход а с ос тои т в том , чт о в о в с е х под пр огр а м ма х на кана лы м ож но с с ы лат ь с я по и ме ни . Эт о позв оля ет , в о-пе р в ы х, пе р еклю чат ь пр и не обход и мос т и ка налы в о в р ем я с чет а и , в ов тор ы х, позв оля ет ле гко пер е ход и т ь на в ы чи с ли т е ль ную с и с те м у с д р угой нуме р а ци е й ка на лов . Basic в ы зы в а ет Modify д ля т ого, чт обы пр огр ам ма м огла и зме ни т ь , ес ли нуж но, с та нд а р тные зна че ни я , ус та нов ленны е Basic. Обы чно Modify бы в ае т пус т ой пр огр ам м ой, но пр огр а мм и с т м ож е т зам ени т ь ее с в ое й в е р с и е й. За те м ос нов на я пр огр а м ма пе ча т ает д ат у и в р е м я по ка налу Nout, котор ы й тепе р ь опр е д еле н и в ы зы в ае т Control д ля упр а в лени я р ас чет ом. Эт о гла в на я пр огр а мма , упр а в ля ю щ а я р ас чет ом . Она в ы зы в ае т 12 под пр огр а м м кла с с ов 1 - 4, ка к показа но на р и с .3, фи кс и р уя с танд а р тную с т р укт ур у д ля в с е х « оли мпи йс ки х» пр огр а мм . 1.4.3. К лас с 1. Пр олог Пр е ж д е чем нача т ь р ас чет , нуж но пр ои зв е с т и не кот ор ы е пр ед в а р и те ль ны е д ейс т в и я . Пос лед ов ат е ль нос ть эт и х в ы чи с ле ни й за фи кс и р ов ана в пе р в ой с екц и и под пр огр а мм ы Control, кот ор а я в ы зы в ае т 8 под пр огр а мм кла с с а 1. Ра с с мот р и м ос нов ны е и з ни х: Labrun – с чи т ы в а ет и с ход ны е д а нны е , и д ент и фи ци р ую щ и е р ас че т , а зат е м в ы д а ет на экр а н и в в ы ход ной файлнаи ме нов ани е пр огр а мм ы и некотор ы е д р уги е с в е д ени я . Clear – и с поль зует с я д ля очи с тки г лоба ль ны х пе р ем е нны х и ма с с и в ов , не пр и на д ле ж а щ и х гр уппе 1. Это с тои т в с е гд а д е лат ь , пос коль ку пе р е д на ча лом с че та они могут с од е р ж ат ь пр ои зв оль ны е в е ли чи ны .

Preset – ус т ана в ли в ае т зна чени я в с е х ос нов ны х пе р е м енны х и ма с с и в ов д ля т ого, чт обы м и ни ми зи р ов ат ь в в од на ча ль ны х д а нны х. С ле д ую щ и й эта п р а бот ы в ы полня ет с я под пр огр а мм ой Data. Он заклю ча ет с я в кор р екти р ов ке ос нов ны х пар а ме т р ов и пр и с в а и в а ни и и м зна чени й, нуж ны х д ля конкр е тного р ас чет а. Inital - пр е д на зна че на д ля опр е д еле ни я фи зи чес ки х на чаль ны х ус лов и й за д а чи , т .е . за д ани я на ча ль ны х значе ни й не и зв ес тны х ф ункци й. Иногд а эт о лучш е в с его д е лать с пом ощ ь ю од ной и ли не с коль ки х ф ункци й-опе р ат ор ов и ли функци й-под пр огр ам м , с од е р ж а щ и х пр ои зв оль ные па р а ме тр ы , кот ор ы е м огут бы т ь ус т а нов ле ны в Data, в пр от и в ном с лучае пр и д етс я пе р ет р анс ли р ов а ть не кот ор ы е час ти пр огр а мм ы , е с ли и с поль зую т с я ус лов и я р а зны х ти пов . Auxval – в ы чи с лени е пр оме ж ут очны х и ли в с помогате ль ны х пер е менны х, кот ор ы е м огут не од нокр а тно и с поль зов а т ь с я в р а зли чны х мод уля х. За д а ча пр огр а ммной ед и ни цы Start с ос тои т в пр ов е д ени и не кот ор ы х в ы чи с ле ни й, пр е д ш е с тв ую щ и х нача лу р а с чета , а в ы зов под пр ог р а м мы Output пр ои зв од и тс я д ля лю бого в и д а в ы д а чи в в ы ход ной ф а йл (пе ча ти , в ы в од на г р а ф и к и т .д .), в ча с т нос т и , д ля в ы в од а на ча ль ны х ус лов и й. Ес ли под пр огр а м мы пр олога напи с аны , и х м ож но те с ти р ов ать с пом ощ ь ю д и а гнос ти чес ки х в озмож нос т е й. Служ е бны е под пр огр ам мы печа та ю т и ли в ы д а ю т на экр ан в и д е омони тор а от д е ль ны е блоки общ и х пе р ем е нны х и ма с с и в ов в яс ной ф ор ме в с оот в етс т в и и с код ом пр и зна ка за д анного на ча ль ны ми д анны ми . Вс е за м еня ем ы е пр огр а мм ы , кот ор ы е е щ е не напи с аны и ли не отт ес ти р ов а ны , та ки е , как Stepon, м ог ут бы т ь опущ ены , пос коль ку они буд ут а в т ома т и чес ки за мене ны пус ты ми пр огр ам ма ми и з CRONUS. Пр и отла д ке с ле д уе т и с поль зов ат ь ма с с и в ы м алой д ли ны , кот ор ая мож е т бы т ь ус т анов лена в Preset и ли Data д ля т ого, чт обы и збе ж ат ь боль ш и х в ы д а ч. 1.4.4. К ла с с 2. Вы чи с ле ни я К а к в и д но и з р и с . 3, ос нов ной ци клв под пр огр а мме Control начи нае тс я с в ы зов а Stepon. Эт о е д и нс т в енна я под пр огр а мм а кла с с а 2 в пр огр а мм е CRONUS, кот ор а я м од е ли р ует пр од в и ж ени е р ас чет а на в р е менной ш а г. В р е а ль ной пр огр а мме Stepon буд е т упр а в лят ь ор га ни заци ей в ы чи с ле ни й с помощ ь ю в ы зов а по м ер е на д обнос ти д р уги х пр ог р а м м клас с а 3. Пос коль ку ф и зи че с ки е пр оцес с ы в CRONUS я в но не за д аны (нет , на пр и м е р , пе р еме нной в р е мени ), м ет од ологи я OLYMPUS м ож ет бы т ь и с поль зов ана в лю бой в ы чи с ли т ель ной за д а че , в кот ор ой р абота пр ои с ход и т ш аг за ш аг ом , на пр и мер , пр и обр а бот ке пос ле д ов ат е ль нос т и кар т и ли м од улей д окуме нти р ую щ ей пр ог р а мм ой. 1.4.5. К лас с 4. Вы в од Ве с ь в ы в од пр огр ам мы в е д е тс я под упр а в лени ем под пр ог р а м м Output_1, Output_2 и Output_3, с оот в ет с т в ую щ и х и с ход ны м д анны м , пр оме ж ут очном у и коне чном у в ы в од у, как показа но на р и с .3. 1.4.6. К лас с 5.Эпи лог Под пр огр а м ма Tesend пр ов е р я ет на ка ж д ом ш а ге , нуж но и ли нет пр екр ащ ат ь р ас че т . Ес ли нуж но, т о пе р еме нна я EndCalculation ус т ана в ли в ае тс я р а в ной true и пр ои зв од и т с я коне чный в ы в од , пос ле кот ор ого под пр огр а мма Endrun заканчи в а ет р а с чет нор ма ль ны м обр а зом . 1.4.7.К ла с с 6. Д и а гнос ти ка . Под пр ог р ам м а Report С р е д с т в а д и агнос ти ки обы чно и с поль зую т с я в с ле д ую щ и х с луча я х: • на с та д и и р а зр а бот ки и от ла д ки пр огр ам мы ; • ес ли в с тр е ча ю тс я т р уд нос ти в пр ов е д ени и р абот ; • ес ли пр огр ам ма пе р е нос и тс я на д р угую в ы чи с ли т ель ную с и с т е му; • пр и и нс т р укт и р ов а ни и нов ого поль зов а те ля и ли пр огр ам м и с т а . Пр е д пола га ет с я , что д и а гнос т и ка мож е т бы т ь в ос нов ном ор г ани зов ана под пр огр ам мой Report, кот ор а я м ож е т и м ет ь р а зли чны е ф ор мы . В от ли чи е от « фор тр а нов с кого» ха р акт е р а пер в она чаль ного пр оект а OLYMPUS е го в ер с и я , р азр а бот анна я д ля р аботы в с и с т е ме пр огр а м ми р ов а ни я Turbo Pascal, д опус ка ет « д ли нны е» и м е на .

Пр а в и ло и х обр азов а ни я с оот в етс т в ует пр а в и лам обр азов а ни я и м ен в эт ом я зы ке и с од е р ж и т с ле д ую щ и е р екоменд аци и : • Им е на пе р е ме нны х д олж ны нос и т ь с од ер ж ат ель ны й с мы с л; • Пе р в ы й с и м в ол и м е ни – за гла в на я букв а , ос та ль ны е – с тр очны е ; Им е на м од уле й д опус ка е тс я за пи с ы в ат ь толь ко за гла в ны м и букв а м и д ля наг ля д нос ти : • Ес ли и м я я в ляе тс я с ос т а в ны м , т о ес ть обр азов а но и з нес коль ки х с лов , то в эт ом с луча е на ча ль на я букв а ка ж д ого обр азую щ ег о с лов а – загла в на я ; • Д ля с ос т а в ны х и ме н д опус ка е тс я объед и не ни е обр азую щ и х и х с лов с помощ ь ю с и м в ола под че р ки в ани я . Пр и ме р ы : Velocity, Skorost, BubbleVelocity, Bubble_velocity, Skorost_pusurka, StreamFunction, Stream_function, Pressure_Drop и т .п. 2. Ос но вныепри нци пым ат ем ат и чес к о го м о дели ро вани я в ес т ес т во знани и и и нж енери и В ос нов у пос т р ое ни я мат е ма ти чес ки х мод е ле й боль ш и нс т в а р е аль ны х пр оце с с ов , я в лени й и ли эф фе кт ов полож е ны фунд а ме нта ль ны е за коны пр и р од ы . Ра с с м отр и м в ы в од с оот в е тс т в ую щ и х ур а в не ни й в с луча е , ког д а и с с ле д уе мы й объект ха р акте р и зует с я р ас пр е д еле ни е м ос нов ны х па р а ме тр ов в пр ос т р анс т в е с плош ны м обр азом. 2.1. О сновныеу равнениябалансов Пус т ь Ω - не кот ор а я обла с ть пр ос т р а нс т в а , заня тая с плош ной с р е д ой, и нт егр и р уем а я на Ω те нзор -ф ункци я. Тог д а и нте гр а л

F=

f ( x, t ) -

∫ f (x, t )dV Ω

опр е д е ляе т баланс в ели чи ны f ( x, t ) на Ω , и ли экс т енс и в ную в е ли чи ну F . Изме не ни е ба ла нс а F в о в р е мени в ы зв а но д в ум я пр и чи на ми : пот ока м и в ели чи ны F чер е з гр а ни цу ∂Ω облас т и Ω и и с т очни ка ми и ли с т ока ми в ели чи ны F в нутр и облас т и Ω . Эти пр е д полож е ни я опр е д е ля ю т ура внение ба л а нса в ели чи ны F

d d F= dt dt

∫ f dV = ∫ n ⋅ J

V

∂Ω

Ω

∫

dS + σ dV . Ω

Ес ли функци и f и JV я в ля ю т с я глад ки ми в облас ти Ω , т о, в ы полняя д и фф ер енци р ов ани е по па р аме тр у t под зна ком и нте гр а ла , пр и ме ня я пр еобр а зов ани е Г аус с а – Ос т р огр а д с кого, в с и лу пр ои зв оль нос ти в ы бор а обла с т и Ω , пр и ход и м к д и ф фе р е нци а ль ной фор ме ур а в не ни я баланс а

∂f = ∇ ⋅ JV + σ . ∂t

(1)

Ес ли р ас с мат р и в ат ь под в и ж ную обла с т ь Ω , на пр и ме р с ос тоя щ ую и з од ни х и т е х ж е м ат ер и аль ны х точек, т о ур ав нени е ба ланс а буд ет и мет ь в и д

d d F= dt dt

∫ Ω

∫

f dV = ( Ω

r ∂f + ∇ ⋅ ( f v))dV = n ⋅ J dS + σ dV , (2) ∂t ∂Ω Ω

∫

гд е v – с кор ос т ь , J - поток в е ли чи ны f че р ез под в и ж ную гр ани цу ∂Ω д и ф фе р е нци а ль ной фор м е ур а в не ни е (2) и ме е т в и д

∂f + ∇ ⋅ ( f v) = ∇ ⋅ J + σ . ∂t

∫

обла с ти

Ω . В

Оче в и д но, что потоки JV и J с в яза ны с оот нош е ни е м JV = J − f v . Ес ли и с точни ки от с утс т в ую т (σ = 0) , т о ур а в не ни е (1) в ы р а ж ае т закон с охр а не ни я с оот в е тс т в ую щ ей в е ли чи ны .

2.1.1. Б а л а нс м а ссы Ес ли и ме етс я многокомпоне нтна я с м е с ь , т о и змене ни е ма с с ы i -го ком понента в облас ти Ω пр ои с ход и т за с чет пот ока час ти ц че р е з гр ани цу облас т и ∂Ω и и змене ни е ма с с ы i -го ком понента в ед и ни це объе ма за с че т хи ми чес кой р еакци и и ли и они за ци и [4, 41, 42, 54]

∫

∫

∫

d ρ i dV = − ρ i v i dS + κ i dV , dt Ω ∂Ω Ω гд е ρ i - плотнос ть час т и ц i -го с ор та (па р ци а ль на я плотнос т ь ), v i - с р е д няя с кор ос ть час т и ц i -го с ор та . В д и ф ф ер е нци а ль ной фор м е ур а в нени е баланс а па р ци а ль ной плот нос ти ρ i буд е т и м е ть в и д

∂ρi = −∇ ⋅ (ρi v i ) + κ i ∂t

(1)

С огла с но закону с охр а нени я ма с с ы , общ а я ма с с а с м е с и ос т а етс я пос т оя нной, поэт ом у N

∑κ

i

= 0.

i =1

Резуль т а том с ум ми р ов а ни я (1) я в ля етс я ур а в не ни е нер а зр ы в нос ти

∂ρ = −∇ ⋅ (ρ v) , ∂t N N 1 гд е ρ = ρ i - плотнос т ь с мес и , v = ρi v i - с кор ос т ь с мес и . Пр и v ≠ v i и ме ет м ес то ρ i =1 i =1 пр оцес с д и ф ф узи и i -г о ком понента с мес и .

∑

∑

В общ е м с лучае пр и нали чи и хи ми че с кого в заи м од е йс т в и я и д и ф ф узи и ур а в не ни е ба ла нс а па р ци а ль ной плот нос т и и мее т в и д

∂ρ i + ∇ ⋅ (ρi v) = −∇ ⋅ J i + κ i , ∂t гд е J i = ρ i (v i − v) - в ект ор потока д и ф ф узи и i -г о компоне нт а с мес и . У р а в не ни е ба ла нс а моля р ной концент р аци и Ci i -го ком поне нт а с м ес и и ме ет в и д ∂Ci 1 + ∇ ⋅ (Ci v) = ( −∇ ⋅ J i + κ i ) , ∂t MiNA

гд е C i = ρ i / (M i N A ) , Mi - м оле куля р на я мас с а i -г о компоне нт а , NА = 6.0022045⋅1023 моль -1 чи с ло А в ога д р о. 2.1.2.У ра внение ба л а нса им пул ьса Изме не ни е и мпуль с а и нд и в и д уа ль ного объема Ω (с ос т оя щ е го и з од ни х и те х ж е м ат ер и аль ны х точек) обус лов ле но д е йс т в и е м пов е р хнос т ны х с и л p n на гр а ни це ∂Ω и д ейс т в и ем объе мны х с и л F (и с т очни ки и м пуль с а ) d ρ vdV = p n dS + ρ FdV . dt Ω ∂Ω Ω

∫

∫

∫

Ве кт ор плот нос т и пов е р хнос тны х с и л p n с в я за н с те нзор ом на пр я ж ени й σ с оотнош ени е м

p n = n ⋅σ , гд е n - в е кт ор нор ма ли к площ а д ке , на котор ую д ейс т в ует в е кт ор p n . У чи т ы в а я ур а в нени е не р азр ы в нос т и , ур ав нени е ба ланс а и мпуль с а в и нт ег р аль ной ф ор ме буд е т и ме т ь в и д

∫ ρ dt dV = ∫ (∇ ⋅σ +ρF )dV . dv

Ω

(1)

Ω

В д и ф фе р е нци а ль ной фор м е ур а в не ни е (1) и м е ет в и д

ρ

dv = ∇ ⋅σ + ρF . dt

(2)

У р а в нени е (2) на зы в ает с я ур ав нени ем д в и ж ени я. Ес ли р а с с м ат р и в а етс я многокомпонент на я с р е д а , т о плат нос т ь мас с ов ы х с и л N

ρF =

∑ρ F , i

i

i =1

гд е Fi - плот нос т ь мас с ов ы х с и л, д е йс т в ую щ и х на час ти цы i -г о с ор та. 2.1.3. У ра внение ба л а нса м омента кол иче ства движ е ния К р оме в не ш не го м ом е нта коли чес т в а д в и ж е ни я от нос и т е ль но в ы бр анного полю с а x × ρv м ат ер и аль на я т очка мож ет и мет ь с обс т в енны й и ли в нут р енни й м оме нт коли чес т в а д в и ж е ни я , тог д а ур ав нени е ба ланс а моме нт а и мпуль с а в и д а и мее т в и д [42]

∫

∫

∫

d ( x × ρv + ρk )dV = (x × p n + q n )dS + ( x × ρF + ρh)dV , dt Ω Ω ∂Ω гд е q n - плот нос т ь пов е р хнос тны х с и лов ы х пар , h - м а с с ов а я плотнос ть с и лов ы х па р . Ес ли в в е с т и те нзор м оме нтны х напр я ж е ни й qn = n ⋅ m , то д ля гла д ки х поле й на пр яж ени й и м ом ентны х на пр я ж ени й, пр и ме ня я пр еобр азов а ни е Г а ус с а – Ос тр ог р ад с кого, и ме е м

r

∫ (x × (n ⋅σ ) + n ⋅m)dS = ∫ (∇ ⋅m+ x × (∇ ⋅σ ) − σ ⋅ ×I )dV .

∂Ω

Ω

Зд е с ь учте но, что ∇ ⊗ x = I - е д и ни чны й те нзор . У чи ты в а я , что

x × (ρ

dv − ∇ ⋅ σ − ρF ) = 0 dt

ур а в не ни е бала нс а м оме нта и мпуль с а пр и ни м ает в и д dk (ρ − ∇ ⋅m +σ ⋅ ×I − ρh )dV = 0 , dt

∫ Ω

и ли в д и ф фе р енц и аль ной ф ор ме

dk − ∇ ⋅ m + σ⋅ ×I− ρh = 0 . dt В безм ом е нтной теор и и пола гае тс я , что k = 0, m = 0, h = 0 . Поэт ом у и з ур ав нени я ба ланс а ρ

м ом е нта и мпуль с а с ле д уе т ус лов и е с и мм ет р и и те нзор а на пр я ж ени й σ ⋅ ×I = 0 1. 2.14. У ра внение ба л а нса энергии Эне р г и я в с е х ф ор м д в и ж е ни я те ла назы в ае тс я полной энер ги ей. Пос т ули р ует с я , чт о и зм ене ни е полной эне р ги и пр ои с ход и т толь ко за с чет в не ш не го пр и тока эне р ги и обус лов ле нного р аботой с и л, д е йс т в ую щ и х на т ело, пе р е д аче й т еплоты те лу за с чет те плообме на и в неш не му пр и току энер ги и за с че т р азли чны х м е ха ни зм ов в за и мод е йс т в и я , от ли чны х от р а боты с и л и те плообме на

1

r

r r

r

Зд ес ь σ ⋅ ×I = σ g ei ⋅ ek e j × em ij

km

dЭ dA dQ e dQ i . = + + dt dt dt dt

Обы чно и з полной эне р ги и т е ла в ы д еля ю т ки нет и чес кую энер ги ю и в нут р енню ю эне р ги ю Э = K + U , поэт ому

dE dA dQe dQi dK = + + − . dt dt dt dt dt Пе р е д а ча т еплоты те лу ос ущ ес т в ляе тс я за с чет потока т е пла чер е з е го гр а ни цу, т о е с т ь dQ e = n ⋅ qdS = ∇ ⋅ qdV , dt ∂Ω Ω

∫

∫

гд е q - пов е р хнос т на я плот нос т ь пот ока те пла че р е з гр ани ц у тела . У множ а я ур а в не ни е д в и ж ени я на в е кт ор с кор ос т и , пр и ход и м к ур а в не ни ю и зме нени я ки нети чес кой энер ги и ма те р и а ль ной т очки

ρ d | v |2 − ∇ ⋅(σ ⋅ v ) + tr(σ ⋅ ∇ v ) − ρF ⋅ v = 0 2 dt

(1)

гд е tr(A) – с лед т ензор а А . В и нте гр а ль ной ф ор ме ур а в нени е (1) опр е д еляет ба ланс ки не т и чес кой эне р ги и с р ед ы в облас т и (V)

dK d = dt dt

∫ Ω

ρ | v |2 dV = 2

∫p

n

∫

∫

⋅ vdV + ρ F⋅ vdV − tr( σ ⋅ ∇ v)dV .

∂Ω

Ω

Ω

Д ля безмоме нтной те ор и и tr (σ ⋅ ∇ v) = tr (σ ⋅ ε) , ε - т ензор с кор ос т ей д е фор м а ци й. У чи ты в а я , что мощ нос ть р а бот ы в не ш ни х с и л

∫

∫

dA = p n ⋅ vdV + ρF ⋅ vdV , dt ∂Ω Ω ур а в не ни е бала нс а в нут р енней энер ги и за мкнут ой с и с те м ы буд е т и ме т ь в и д

dU d = ρudV = ∫ (−∇ ⋅ q + tr (σ ⋅ ε) + q& i )dV , dt dt ∫Ω Ω i

зд е с ь q& - ф ункци я и с т очни ка энер ги и за с че т р азли чны х м е ха ни зм ов в за и мод ейс тв и я , отли чны х от р а бот ы с и ли те плообме на . В д и ф ф ер е нци а ль ной фор м е ур а в нени е баланс а эне р ги и

ρ

du = −∇ ⋅ q + tr (σ ⋅ ε) + q& i . dt

Д ля д ос тат очно ш и р окого кла с с а ж и д кос те й и мее т м ес то р а в е нс т в о u = cV T ,

(1)

гд е T - т е м пе р атур а , cV - т е плоем кос т ь пр и пос тоя нном объеме . У чи т ы в а я (1), пр и ход и м к ур а в не ни ю

ρcV

dT = −∇ ⋅ q + tr(σ ⋅ ε) + q& i dt

2.2. В заимодей ствиесэлектромаг нитнымиполями Пр и д в и ж е ни и эле кт р опр ов од ной ж и д кос т и в элект р и чес ком и маг ни т ном поля х в озни кае т объе мна я с и ла эле кт р ома гни т ной пр и р од ы , назы в а е ма я т акж е панд ер мот ор ной и ли с и лой Лор енца [37]

1 F = ρe E+ j× H , c

гд е ρ e - плот нос ть электр и че с кого за р я д а , E - напр я ж е ннос т ь элект р и чес кого поля , j - плотнос ть тока , H - напр я ж е ннос т ь ма гни тного поля , c - пос т оя нна я , р а в на я с кор ос т и с в ет а. К р оме того, пр и пр охож д ени и че р ез ж и д кос т ь и ли га з элект р и че с кого т ока в ы д е ля е тс я те пло q& iел = (j − ρe v ) ⋅ E Пр и и с с ле д ов ани и д в и ж ени я электр опр ов од ной ж и д кос т и и ли газа в эле ктр и че с ком и м агни т ном поля х пр и ход и тс я учи т ы в ат ь эти д в а нов ы х в озд е йс т в и я , в клю ча я в ур а в нени я д в и ж ени я и энер ги и с оот в е тс т в ую щ и е д ополни те ль ны е члены . Эт о обс тоя те ль с т в о пр и в од и т к ув е ли чени ю чи с ла пе р е ме нны х, и к необход и м ос ти с оот в е тс т в ую щ е го ув е ли че ни я чи с ла ур а в не ни й. Та ки ми д ополни т ель ны ми ур а в нени ями я в ля ю тс я ур а в не ни я эле кт р од и нами ки М а кс в елла

1 ∂B , c ∂t 4π 1 ∂D ∇×H = j− , c c ∂t ∇× E = −

∇ ⋅ B = 0, ∇ ⋅ D = 4 πρ e ,

Д ля на м агни чи в а ю щ и хс я и поля р и зую щ и хс я с р ед в ект ор ы элект р и чес кой и ма гни т ной и нд укц и и D и B с в яза ны с в е ктор ам и с оот в е т с т в ую щ и х напр я ж ённос те й Е и Н ли нейны м и с оотнош ени я ми D = E + 4π P , B = H + 4π M гд е P и M - в ектор ы поля р и заци и и нама гни ченнос ти . С ов окупнос ть ур а в нени й М акс в е лла , ур а в не ни е нер азр ы в нос т и , ур а в не ни я д в и ж ени я , в кот ор ое в не с ены элект р омагни т ны е объем ны е с и лы , ур а в не ни я эне р ги и , в клю ча ю щ е го д ж оуле в о те пло, ур а в нени я д и ф ф узи и и ур а в нени я с ос т оя ни я пр е д с т а в ляе т с обой с и с те му д и ф фе р е нци а ль ны х ур а в не ни й многоком поне нтной с р е д ы . 2.3. О пределяю щ иеу равнения У р а в не ни е ба ланс а лю бой поле в ой в е ли чи ны f м ож е т с од ер ж а ть конд укт и в ны е (неконв е кти в ны е ) пот оки J эт ой в е ли чи ны . Н а пр и м ер , в ур а в не ни и ба ланс а и м пуль с а - это те нзор на пр я ж е ни й σ , в ур а в нени и ба ла нс а энер ги и - это т е плов ой пот ок q , в ур а в нени и ба ланс а ма с сы i -г о ком поне нта в ещ ес т в а - это д и ф фузи онны й пот ок J i и т .д . В те р м од и нам и ке в с е эт и пот оки назы в а ю тс я обобщ е нны ми потоками . Пр и чи ны , в ы зы в а ю щ и е обобщ енны е пот оки , на зы в а ю тс я те р м од и на м и че с ки м и обобщ е нны м и с и ла ми X . К а к показы в а ет экс пе р и м е нт , на ли чи е пот оков обус лов ле но не од нор од нос ть ю поля f , поэт ом у, в пр ос те йш е м с луча е , обобщ енны ми те р м од и на м и че с ки м и с и ла ми я в ля ю тс я гр а д и е нт ы ∇f . Н а пр и ме р , гр а д и е нт т емпе р ат ур ы , гр а д и е нт конце нтр а ци и , т ензор с кор ос те й д е фор ма ци й и т.д . Пр и те р мод и нам и че с ком р а в нов ес и и в с е па р а мет р ы с и с те мы пр и ни ма ю т пос т оянны е зна че ни я , поэтом у обобщ енны е пот оки и с оот в ет с т в ую щ и е обобщ е нны е т е р м од и нам и че с ки е с и лы с т а нов ят с я р а в ны м и нулю , с ле д ов а те ль но, пр ос те йш и е опр е д е ля ю щ и е ур а в не ни я (ур а в не ни я , ус т ана в ли в а ю щ и е с в я зь ме ж д у потока ми и с и ла м и ) мож но пр е д с т а в и т ь в в и д е Ji = αiXi , (1) Ес ли коэф ф и ци е нт ы α i я в ля ю т с я пос т оя нны ми , т о ур а в нени е на зы в а ет с я ф и зи чес ки ли нейны м . Ес ли α i за в и с и т от обобщ е нны х с и л, то ур ав нени е (1) на зы в а ет с я ф и зи чес ки не ли не йны м . Пр и ме р а м и опр е д еля ю щ и х ур а в не ни й я в ля ю т с я : • р еологи че с кое ур а в не ни е нь ю тонов с кой ж и д кос ти • закон Ф и ка

σ = (− p + λ∇ ⋅ v )I + 2μ ε , J i = − Di ∇ C i ,

• закон Ф ур ь е

q = −λ∇ T ,

Д ля в ы с окои нт енс и в ны х пр оцес с ов пе р енос а опр е д е ля ю щ и е ур а в не ни я пр е д с та в ля ю т с я с уче т ом коне чнос т и с кор ос т и р ас пр ос т р ане ни я в озм ущ е ни й [20]

∞

q ( t ) = − λ(0) ∇T − ∫ λ ′( ζ ) ∇T( t − ζ )dζ . 0

2.4. П акеты прикладных прог рамм Разв и т и е в ы чи с ли те ль ной те хни ки и е ё пр огр ам м ного обе с пе чени я ка че с тв е нно в и д ои зм е ни ли тр уд и нж е не р а -конс тр укт ор а , уче ного и ли и с с лед ов а теля . В чи с ло е го и нс тр уме нтов в ош ли с и с те м ы а в т ом ат и зи р ов анного пр ое кт и р ов а ни я – С А ПР/CAD-systems (Computer Aided Design), с и с те м ы а в том ати чес кого и нж енер ного ана ли за – CAE-systems (Computer Aided Engineering) и д р уги е . С ле д уе т от м ети ть , чт о на с т оящ е е поколени е с и с те м и нж ене р ного и на учного а нали за ха р акт ер и зует с я на ли чи е м в озмож нос т и не т оль ко в ы полнять с обс т в енно компь ю те р ны й экс пе р и ме нт , но и с а мос тоя тель но пр ов од и ть пос тр оени е , хот я бы пока и д ос та т очно пр ос ты х, г еомет р и че с ки х м од е лей. Ис поль зов а ни е пос т р ое нны х с лож ны х ге омет р и чес ки х мод елей и д и с кр ет и за ци и р ас четной облас ти , в ы полненны е в с пе ци а ли зи р ов а нны х конс тр укт ор с ки х с и с т е ма х пр оект и р ов а ни я , ха р а кте р ны д ля боль ш и нс т в а с ов р е м енны х “тя ж е лы х” с и с те м . Таки м обр азом , м ож но конс та т и р ов а ть , что на ча ло ф ор м и р ов ат ь с я нов ое поколени е пр огр а мм ны х с р е д с т в – “д и на ми че с ки х” СА ПР, с ое д и ня ю щ и х в с е бе в озмож нос т и как CAD-, т ак и CAE-с и с те м. В нас т оя щ ее в р ем я с озд ано не с коль ко д ос тат очно с ов ер ш е нны х па кет ов , пр е д назна че нны х д ля р е ш е ни я с лож ны х за д а ч в ы чи с ли те ль ной ги д р од и на ми ки , в т ом чи с ле с учет ом пр оце с с ов те пло- и м ас с ообмена , м ногофазнос ти пот оков и хи ми чес ки х р еа кци й ме ж д у ком поне нт ам и с м ес и . К чи с лу ли д е р ов ми р ов ого р ы нка т я ж елы х паке тов CFD (Computational Fluid Dynamics) – клас с а от нос я тс я т аки е пр огр а м мны е с и с т емы , как PHOENICS, STAR-CD, FLUENT, CFX TaskFlow и д р . Од на ко в в и д у в ы с окой с т ои м ос ти и с поль зов ани е и х в уче бном пр оце с с е р ос с и йс ки х в узов в бли ж а йш е м буд ущ е м пр е д с т а в ляет с я в ес ь ма пр обле мат и чны м . Ис клю че ни е , пож а луй, с ос та в ля ю т па кеты ANSYS и STAR-CD, в в и д у ос обой поли ти ки р уков од с т в а ф и р м ANSYS Inc. и гр уппы Adapco – Computational Dynamics, пр е д ос та в ля ю щ е й пр и опр ед е ле нны х ус лов и я х полугод ов ые ли цензи и д ля не кот ор ы х уни в е р с и те т ов , а за те м пр од ле в а ю щ и х с р ок и х д ейс т в и я . В чи с ло эт и х уче бны х за в е д е ни й в клю че н и Вор онеж с ки й г ос уни в е р с и те т . К а к и лю бой д р угой “т я ж е лы й” па кет та кого ур ов ня , ANSYS и STAR-CD д опус ка ю т не с коль ко в озмож ны х в а р и а нт ов и пос ле д ов ат ель нос т е й р е ш ени я конкр ет ны х за д ач. Поэт ому с т р ого р е гламе нти р ов а ть оче р е д нос т ь д е йс т в и й поль зов а те ля бы ло бы не в ер но. Те м не ме нее , р азр а бот чи ки пакет а с очли не обход и мы м р екоме нд ов ать ос нов ны е этапы мод е ли р ов а ни я с пом ощ ь ю пр огр а м мны х с и с т ем та кого ти па . Пр оцес с чи с ленного и ли компь ю т ер ного мод е ли р ов ани я те чени й ж и д ки х и ли газообр азны х с р е д обы чно не на чи на е тс я непос р е д с т в енно с пр ям ого и с поль зов а ни я CFD-пр огр а м м ы . Оче нь в а ж но от д а в а т ь с е бе от че т в т ом , чт о к паке та м ANSYS и STAR-CD, и ли лю бой д р угой CFD, CAD и ли CAE-с и с те ме , нуж но от нос и ть с я ка к к и нс т р ум ент у, помога ю щ ем у ученом у и ли и нж ене р у в пони мани и фи зи че с кой пр и р од ы и с с лед уе м ого я в ле ни я и ли пр оцес с а. Резуль т ат ы мод е ли р ов ани я те чени й ж и д кос т и и ли га за за в и с ят пр е ж д е в с е го от кор р е ктнос т и пос танов ки за д а чи , в ы бр анной с т р ат еги и и с с ле д ов а ни я и за д а ни я в ход ны х д а нны х, та ки х ка к: • Г е омет р и я обла с т и т е чени я • С в ойс т в а ж и д кос ти • Г р а ни чны е ус лов и я • Па р а ме тр ы , упр ав ля ю щ и е р е ш ени е м Д ля ус пе ш ного м од е ли р ов ани я та ка я и нф ор ма ци я д олж на бы ть фи зи че с ки р е а ли с т и чна и пр а в и ль но пр е д с т а в ле на д ля компь ю т е р ного ана ли за . Ос нов ны е ш а ги , котор ы е не обход и мо пр е д пр и нят ь д о на чала CFD-мод е ли р ов а ни я , та ков ы : • Ф ор м ули р ов ка за д ачи те чени я в ф и зи чес ки х те р ми на х (ф ор м ули р ов ка фи зи че с кой м од е ли пр оце с с а ). • Опр е д е лени е коли че с т в а не обход и мой д ля пос ле д ую щ е го фи зи че с кого ана ли за и нф ор ма ци и , ее д ос т ат очнос т ь и обос нов аннос т ь . • Оце нка в озмож нос тей и ос обе ннос те й пр ов е д е ни я компь ю те р ного экс пер и ме нта с пом ощ ь ю конкр етного пакет а пр и кла д ны х пр огр ам м д ля т ог о, чт обы га р а нт и р ов ат ь кор р е ктнос т ь ф ор м ули р ов ки мат ема т и че с кой м од е ли и в озм ож нос ти е е чи с ле нного р е ш е ни я с пом ощ ь ю

в ы бр анной пр огр ам мы . • Тщ ат ель ное пла ни р ов а ни е с т р а те ги и м од е ли р ов а ни я . Обы чно д ля на хож д ени я окончате ль ного р е ш ени я пр и ме няет с я и т е р аци онны й м е тод . Толь ко пос ле за в ер ш е ни я т акого пр е д в ар и т ель ного эт а па поль зов ат е ль м ож ет обр а ти т ь с я к паке ту и пр од олж и ть фа кт и чес кое м од е ли р ов а ни е . Ос но вныеэт апы к о м пью т ерно го эк с пери м ент а с ППП Пр оцес с ком пь ю т е р ного мод е ли р ов ани я ка ког о-ли бо я в ле ни я , пр оце с с а и ли эф фе кт ус лов но м ож е т бы ть р азд елен на четы р е ос нов ны х эта па : Э тап 1 — Р азработкастратег иимоделирования Н а эт ом этапе т р ебует с я т очно опр е д е ли т ь ге ом ет р и ю и зуча ем ой ф и зи чес кой с и с те мы , ф и зи ко-хи ми че с ки е с в ойс т в а д в и ж ущ ейс я с р ед ы и ус лов и й т ече ни я . Н е обход и мо за д ат ь с ле д ую щ ую и нф ор м аци ю : • Опр е д е лени е с ет очной обла с т и , в котор ой буд ет и с кат ь с я р еш ени е (на пр и мер , чи с ло я че ек, р а зме р и р ас пр е д е лени е яче ек по в ели чи не и т.д .). • За д ани е чи с ле нны х зна че ни й д ля с оотв е т с т в ую щ и х ф и зи че с ки х пар а мет р ов т екущ ей с р е д ы (напр и ме р , плот нос ть , в язкос ть , уд е ль на я т еплота , и т .д .). • Вы бор наи боле е под ход я щ е й с ов окупнос ти общ и х пар а мет р ов мод е ли р ов ани я и з т ог о, что д ос т упно (на пр и м е р , мод е ль тур буле нтнос ти , на ли чи е и мод е ль гор е ни я и т .д .). Поль зов а т ель та кж е д олж е н на ход и т ь р а зум ны й ком пр оми с с ме ж д у т р е бов ани я ми ф и зи че с кой полноты и чи с ленной точнос ть ю , с од ной с т ор оны , и с тои мос ть ю м од е ли р ов а ни я и в ы чи с ли те ль ны х в озм ож нос те й ег о с и с тем ы – с д р угой. Эт от нача ль ны й эт ап м од е ли р ов а ни я ос обенно в а ж ен д ля ус пе ш ного и эф фе кт и в ного пр ов е д е ни я ком пь ю т е р ного экс пер и мент а. Э тап 2 — Заданиемоделитечениясисполь зованием п репроцессора Ос нов ны е за д ачи эт ог о эт а па заклю ча ю т с я в с ле д ую щ е м : • С озд а ни е в ы чи с ли те ль ной с е тки , чт обы пр е д с та в и т ь обла с т ь т ече ни я (т о е с ть г еом етр и че с кая м од ель ). • Опр е д еле ни е те плоф и зи чес ки х с в ойс т в ж и д кос т е й и /и ли т в е р д ы х те л, уча с т в ую щ и х в м од ели р ов а ни и , и , гд е не обход и мо, м од е ли тур буле нт нос ти , объе мны х и ли м ас с ов ы х с и л и т .д . • У с та нов ка па р аме т р ов р е ш ени я (на пр и ме р , в ы бор пе р ем енны х р еш е ни я , коэф фи ци е нт ов р е ла кс а ци и , и т .д .) и ф ор матов в ы ход ны х д анны х. • С пеци фи ка ци я полож ени я и опр е д е лени я г р ани ц, а д ля нес т аци она р ны х за д а ч такж е д ополни т ель ное опр е д еле ни е гр а ни чны х ус лов и й и ш а гов по в р еме ни . • За пи с ь с оот в ет с т в ую щ и х ф а йлов д анны х, ка к в ход ны х д ля а нали т и че с кого в ы полнени я на с лед ую щ и х эт апа х. Э тап 3 — В ыполнениеанализатечениясисполь зованием пакета Эт от эта п с ос т ои т и з: • Чт ени я в ход ны х д а нны х, с озд а нны х в пр огр а мм е пр епр оце с с ор а и , ес ли и м ее т ме с то р е с та р т , р е зуль т ат ов пр е д ы д ущ е го в ы полнени я. • Оце нка ход а в ы чи с ли те ль ного пр оцес с а , а нали з р а зли чны х чи с ле нны х д а нны х контр оля и с тат и с т и ки р е ш ени я , в ы д а в ае мого пр огр а мм ой-р е ш ате ле м (solver, пр оцес с ор ). Э тап 4 — П оследу ю щ ая обработкарезу ль татов сисп оль зованием препроцессора Эт от эт ап в клю чае т в с е бя от обр а ж е ни е и пр е обр азов ани е в ы ход ны х д а нны х, с озд а нны х пр огр а мм ой пр оцес с ор ом с и с поль зов а ни е м с оот в ет с т в ую щ и х с р е д с т в пр ог р а ммы пос тпр оце с с ор а . Более под р обны й а на ли з с од е р ж а ни я ш аг ов ка ж д ого эт апа с од ер ж и тс я в ле кци онном м ат ер и але , а та кж е м ож но на йти в ма те р и а ла х [67]. 3. М ат ем ат и чес к о ем о дели ро вани ефи зи к о -хи м и чес к и х про цес с о в 3.1. Ф азовыепереходы ихимическиереакции

М ноги е пр оце с с ы в ж и в ой и не ж и в ой пр и р од е , те хнологи я х и т .п. пр ои с ход ят в ус лов и я х ф и зи че с ки х и ли хи ми че с ки х пр е в р а щ ени й в ещ ес т в . В с лучае , ес ли и м еет ме с то и зм ене ни е а гр е гатного с ос т ояни я ка ког о ли бо ком понент а , т о такое пр е в р а щ ени е и м енуе т с я ф и зи че с ки м , а е го закономер нос т и и с с лед ую тс я в р а мка х ф и зи чес кой ки нет и ки [22]. Ес ли ж е в ход е в за и мод ейс т в и я каки х-ли бо в ещ е с т в не кот ор ы е и з ни х и с чеза ю т и в озни ка ю т д р уги е , т о таки е пр е в р а щ ени я я в ля ю т с я хи м и че с ки м и р еа кци ям и , а и х за кономе р нос ти и зуча ю т с я в хи м и чес кой ки не ти ке [57,58]. Эт от р а зд е л науки пр и зв ан и с с ле д ов а ть с кор ос ти хи м и чес ки х в за и м од е йс т в и й р а зли чны х в ещ е с тв и в ли яни е на ни х р азли чны х ф актор ов (т ем пе р а т ур а , конце нтр аци я в е щ е с т в и т .п.). Лю ба я хи ми че с ка я р еакци я м ож ет бы т ь пр е д с та в ле на с помощ ь ю так назы в а ем ог о с т е хи омет р и чес кого ур а в не ни я ν 1A + ν 2 B ↔ ν 3C

и ли n

∑ν i =1

i

Ai = 0

Зд е с ь ν i (i = 1, 2,... n ) - с те хи омет р и че с ки е коэф фи ци ент ы ; Ai - и с ход ны е в е щ ес т в а , в с тупа ю щ и е в р еа кци ю и пр од укты р е акци и . Х и м и че с ки е р е акци и м огут ос ущ е с т в лят ь с я с р а зной с т епе нь ю и нт е нс и в нос т и . Д ля её ха р акт ер и с т и ки в в од и тс я понят и е с кор ос т и хи м и че с кой р еа кци и , кот ор а я опр ед еля ет коли чес т в о в е щ е с т в а , в озни ка ю щ ее и ли и с че за ю щ ее в ед и ни це объема за е д и ни цу в р е ме ни . В те ор е ти чес кой ф и зи ке эт а в е ли чи на нос и т на и м е нов ани е ф ункци и объе м ног о и с т очни ка и ли с т ока . С огла с но с ущ ес т в ую щ и м пр е д с та в лени ям , боль ш и нс т в о хи м и че с ки х р еа кци й нос и т м ногос та д и йны й ха р а кте р , то е с ть пр оте ка ю т в не с коль ко эта пов . Пр и этом на ка ж д ой с т ад и и пр ои с ход и т в заи м од е йс т в и е ли ш ь д в ух в ещ е с тв . В фи зи чес кой хи м и и с чи та е тс я ус та нов ле нны м ф акт незав и с и мос т и с т а д и й д р уг от д р уг а , что в ы р а ж е но в П ринципе независимости. Ес ли р еакци я я в ля ет с я с лож ной, т о ес ть в с и с т е ме од нов р е ме нно пр оте ка ет не с коль ко р еакци й, то ка ж д ая и з ни х ос ущ ес т в ляет с я не за в и с и мо от д р уги х. Про с т о й назы в ае тс я та ка я р е акци я , с кор ос ть кот ор ой опр ед е ляе тс я конце нт р а ци я м и и с ход ны х в е щ е с т в и не за в и с и т от концентр а ци и пр од уктов р е а кци и . Её за пи с ь и ме ет с ле д ую щ и й ви д : κ = k1C1C 2

В общ е м с луча е с кор ос т ь р еа кци и опр е д е ля ет с я р азнос ть ю пр я м ой и обр а тной р еакци й. Обрат и м о й на зы в а ет с я р е а кци я , и д ущ а я в пр я м ом и обр а тном на пр а в лени я х од нов р е менно, а е ё с кор ос ть мож ет бы т ь пр е д с та в ле на в в и д е κ = k1C1C 2 − k 2C 3 3.2. Закон дей ству ю щ их масс За в и с и мос т ь с кор ос т и р е акци й от конце нт р аци й и с ход ны х в е щ ес т в в ы р а ж ае тс я ос нов ны м за коном хи ми чес кой ки нет и ки [52] Зак о н дейс т вую щ и х м ас с . С кор ос т ь хи ми чес кой р е акци и пр опор ци ональ на пр ои зв ед е ни ю с т е пене й конце нтр а ци й р е аги р ую щ и х в е щ е с т в , р а в ны х и х с те хи оме т р и чес ки м коэф фи ци е нт а м в е ё ур а в не ни и κ = k 1C1ν C ν2 1

2

гд е k 1 - конс т ант ы с кор ос т и р еа кци и , не зав и с я щ и е от конце нт р аци й в ещ е с тв и на зы в ае м ы е т акж е уд е ль ны м и с кор ос т ям и р е акци й. Чи с ле нно k 1 р а в ны с кор ос т и р еа кци й, ког д а в с е концент р аци и в е щ е с т в р а в ны ед и ни це . 3.3. У равнениеА ррениу са

Ва ж ное значе ни е д ля хи ми чес ки х с и с т е м и мее т мес то учет за в и с и мос т и с кор ос т и р еа кци и от те м пе р атур ы . Экс пер и ме нт а ль но ус та нов ле но, чт о с кор ос т ь боль ш и нс т в а хи ми чес ки х р е акц и й бы с т р о в озр ас та ет с пов ы ш е ни е м те м пер ат ур ы . С ог ла с но пр и нят ы м в хи ми чес кой ки не ти ке пр е д с т а в ле ни я м эт а за в и с и мос т ь опр е д еля ет с я эмпи р и чес ки м ур ав нени ем А р р е ни ус а  E  k1 = k10 exp   RT  Зд е с ь E - эне р ги я акти в аци и , чи с ленно р а в на я в е ли чи не , пр и пр е в ы ш ени и котор ой в е щ ес т в о в с т упа ет в хи ми че с кое в за и м од е йс т в и е ; R = 8.31441 Д ж /(К ⋅м ол ь) - уни в е р с аль на я га зов ая пос тоя нна я . 3.4. Х имический потенциал Пр и и с с ле д ов ани и пр оцес с ов в многоком поне нт ны х с м е с я х поми мо та ки х т р ад и ци онны х па р а ме тр ов с ос т оя ни я как д а в ле ни е и т ем пе р а тур а в в од и т с я понят и е хи м и че с кого потенци а ла. О пределение 8. Под хи м и че с ки м пот енци алом пони мае тс я некотор ы й и нте нс и в ны й па р а мет р с мес и , ха р а кт ер и зую щ и й с ос т оя ни е и ли и зм ене ни е эне р ге т и че с кого с ос т оя ни я с и с т ем ы и опр е д е ля е мы й как ча с т ная пр ои зв од на я от в нут р е нне й энер ги и по чи с лу ча с ти ц (и ли м оле й) пр и пос т оянны х д а в ле ни и , те м пер ат ур е и ма с с е д р уги х компонент ов . µ i = µ0i + RT ln Ci

гд е µ 0i - с т анд а р т ны й пот е нци а л i-го компонента с ме с и . Ес ли ком поне нт ы в заи м од е йс т в ую т с эле кт р и че с ки м поле м , т о в в од и т с я понят и е элект р охи м и че с кого пот енци ала

µ i = µ i + z i Fϕ

и ли µ i = µ i0 + RT ln Ci + z i Fϕ

Зд е с ь ϕ - электр и че с ки й поте нци а л и ли поте нци а лэле ктр и че с кого поля , F = 96484.56 К л /м ол ьчи с ло Ф ар ад е я . 4. М ат ем ат и чес к и ем о дели фи зи к о -хи м и чес к и хс и с т ем В д анном пункте опи с а ны за д ани я д ля с а м ос т оя те ль ной р аботы с т уд ент ов по пос т р ое ни ю м ат ем а ти че с ки х мод е лей с и с поль зов ани ем с оот в етс т в ую щ е й ли т ер а тур ы , пр и в е д енной в конце д анног о мет од и чес ког о пос оби я . 4.1. Распространениетеплав полу пространство Н е кот ор ое т в е р д ое т ело д ос та точно боль ш и х р азм е р ов с од ной с т ор оны р а в ном ер но на гр е в а е тс я т е плов ы м пот оком. Тр е буе т с я опр е д е ли т ь ус лов и я , пр и котор ы х на чне тс я его пов ер хнос тное пла в ле ни е . ∂T ∂2T =a 2 ∂t ∂x

(1)

t =0:

(2)

T ( 0, x ) = T0 ; t >0, x = 0: −λ

∂T =qw ; ∂x

x → ∞ : T ( t , x ) → T0 .

(3) (4)

Па р а мет р ы a, λ, T0, qw – за д а ны . 4.2. Д иффу зия через слой изотропног о материала Им е ет с я ме м бр а на , чер е з котор ую пр ои с ход и т д и фф узи онны й пе р е нос в е щ ес т в а , ос лож не нны й хи ми чес кой р е акци ей пер в ого пор я д ка . Н е обход и м о опр е д е ли т ь р а с пр е д е лени е в е щ е с т в а в мем бр а не и е го пот оки че р е з пов ер хнос ти ме м бр а ны [52]. ∂C ∂ 2C = D 2 + κ(C ) , κ( C) = k 0 C ∂t ∂x

(1)

t = 0 : C (0 , x ) = C 0 ;

(2)

t > 0 , x = 0 : C ( t ,0) = C 0 ;

(3)

x = h : C(t, h ) = C * .

(4)

Зд е с ь С , D – конц ент р аци я и коэф фи ц и ент д и фф узи и , k 0 – конс т а нт а с кор ос т и хи ми че с кой р еа кци и . 4.3. И онный обмен назернеионита С фе р и че с кое зер но и они та поме щ ае тс я в р а с т в ор би нар ног о элект р оли т а д ос т а точно боль ш ого объе ма . Тр ебует с я получи т ь в р е менную за в и с и м ос т ь наполне ни я зе р на и они та пр оти в ои на ми и з р ас т в ор а [8].

∑z C i

k i

∂ C ki ze = −div N ki , N ki = − D ik gradC ik − i D ik C ki grad ϕ ; kT ∂t

(1)

− sign ( z1 )σδ1k = 0 .

(2)

t = 0 : C ki ( 0, r ) = C ki 0 ; t >0, r = 0:

(3) ∂ C1i = 0 , ϕ1 ( t, 0) = 0 ; ∂r

(4)

r = r0 : N 1i = N 2i , µ i1 = µ i2 ;

(5)

r → ∞ : C 2i → C i20 , ϕ 2 → 0 .

(6)

гд е µ = µ + RT ln C + z i Fϕ - эле кт р охи м и че с ки й пот енци а ли онов i-г о с ор та в k-ой под обла с т и ; е = 1.6021892 ⋅10-19 К л – эеле мент а р ны й электр и чес ки й за р я д ; k = 1.380662⋅10-23 Д ж /К . – пос тоя нна я Боль цма на . k i

k0 i

k i

k

4.4. Т епловой эффектплазмохимическог онапыления Ра с с матр и в а ет с я кр угла я пла с ти на пос тоя нной т олщ и ной h и д и а ме т р ом d >> h. С од ной с т ор оны пла с т и на под в е р гает с я и онно-пла зм е нной обр а бот ке , что экв и в а ле нт но е ё на гр е в у те плов ы м пот оком за д анной и нтенс и в нос ти [29]. Н а д р уг ой пов е р хнос ти пла с т и ны ос ущ ес т в ля ет с я те плообме н и злучени ем с окр уж а ю щ ей с р е д ой по за кону Ст е фа на -Боль цм а на . Зад а ны на чаль на я те м пе р атур а пла с т и ны , р а в ная т е мпе р а тур е окр уж а ю щ е й с р е д ы , и коэф фи ци е нт и злуче ни я . Пос коль ку т олщ и на плас т и ны с ущ е с т в е нно ме нь ш е е е д и ам ет р а , т о пла с т и ну мож но с чи тат ь бес коне чной. Те плов ой поток д е йс т в уе т нор м а ль но к пов е р хнос т и плас т и ны . Теплофи зи че с ки е па р а ме тр ы : плотнос ть , те плопр ов од нос т ь и т е плое м кос т ь я в ля ю тс я ф ункци я ми тем пер а т ур ы . Н а пр а в ой гр ани це пр ои с ход и т т еплообмен и злучени е м с окр уж а ю щ е й с р ед ой по за кону Сте ф ана -Боль ц мана . Тв е р д ое т е ло с абс олю тной т е мпе р а тур ой T, окр уж енное че р ны м т е лом с а бс олю т ной т емпе р ат ур ой, T0 буд е т т ер ять коли чес т в о т епла , от не с е нное к ед и ни це пов ер хнос т и и в е д и ни цу в р еме ни , р а в ное σε(T 4 − T04 ) , гд е σ - пос т оя нна я Сте ф ана -Боль цм ана , ε от нос и тель на я и злуча т е ль ная с пос обнос т ь ма те р и а ла . ∂T ∂  ∂T  ρ(T)C(T) =  λ (T ) , 0 < x < α, t > 0 (1) ∂t ∂x  ∂x  T (0, x ) = T0 , 0 ≤ x ≤ α (2) − λ(T)

∂T = q w ,t > 0 ∂x x=0

∂T − λ (T ) = σ * (T 4 − T04 ), t > 0, T > T0 ∂x x = α Па р а мет р ы T0, qw и функци она ль ны е за в и с и м ос ти ρ(T), C(T), λ(T)– за д аны . 4.5. Е стественнаяконвекция

(3) (4)

Ра с с матр и в а ет с я д ли нна я гор и зонт а ль ная т р уба пр я м оуголь ного с ече ни я , боков ы е пов ер хнос ти кот ор ой обр азую т не кот ор ы й угол с в е р т и ка ль ю . Вы нуж д е нное т е че ни е в т р убе от с ут с т в ует . В с и с т ем е в озм ож ны д в а с пос оба наг р е в а : с боку и ли с ни зу. Д ля с т аци онар ного р е ж и ма , ког д а боков ы е пов е р хнос т и и м е ю т пос тоя нны е , но р азли чны е те мпе р атур ы , в е р хнее и ни ж нее ос нов а ни я облас ти м огут бы ть и згот ов лены и з м а те р и а ла , хор ош о и ли плохо пр ов од ящ е го те пло. В пе р в ом с луча е т е мпе р ат ур а с т енки м ож ет бы ть за д а на в в и д е ли нейной за в и с и м ос ти от пр од оль ной коор д и на ты , в о в тор ом , пр е д е ль ном , с луча е - за д ает с я ус лов и е от с ут с т в и я т е плов ого пот ока . А налоги чна я с и туа ци я в озмож на т акж е пр и на гр е в е с ни зу - т емпе р а т ур а ос нов ани й облас т и пос тоя нна , а боков ы е с т енки м огут пр ов од и ть т епло ли бо хор ош о, ли бо плохо. Пос коль ку ха р актер ны е р азм ер ы с ече ни я зна чи т е ль но м ень ш е д ли ны т р убы , м ож но огр ани чи т ь с я и с с ле д ов а ни ем плос кой за д а чи . С р е д а с чи та етс я в я зкой и нес ж и м ае м ой. Д и с с и па ци е й, обус лов ленной в нутр е нни м т р ени ем , пр е не бр егае м . На с т енка х облас ти в ы полня ю т с я ус лов и я пр и ли па ни я . Разнос ти те мпе р ат ур пр оти в ополож ны х с те нок незна чи те ль ны , что позв оля ет в ос поль зов ат ь с я пр и бли ж ени е м Бус с и нес ка [39]. Из закона с охр а нени я коли че с т в а д в и ж ени я получает с я ур а в нени е д в и ж е ни я ∂ v  ρ  + (v ⋅∇ ) v = −∇p + µ∇ 2 v − ρβ (Τ− Τ* )g (1)  ∂t  Из за кона с охр ане ни я м ас с ы запи с ы в ает с я ур ав нени е нер азр ы в нос т и ∇⋅v =0 (2) Из за кона с охр ане ни я энер ги и на ход и т с я ур ав нени е д ля т ем пе р а т ур ы   ∂Τ (3) ρc p  + v ⋅ ∇ Τ  = λ∇ 2 Τ   ∂t Зд е с ь v - в ект ор с кор ос т и ; Т – т ем пер а т ур а ; t – в р ем я ; ρ, с р , β, µ, λ - плот нос ть , теплое мкос ть , коэф фи ци ент объе мног о р ас ш и р е ни я , в я зкос т ь и т еплопр ов од нос ть ж и д кос ти и ли газа ; ∇ и ∇2– опе р ат ор ы Г а ми ль тона и Лаплас а .

4.6. Т ечениеитепломассобмен в каналах совставками В плос ком ка на ле с пр я моуголь ны ми в с т а в ка ми , пе р и од и чес ки р а с полож е нны ми на од и наков ом р а с с т ояни и на ос и ка на ла , д в и ж е тс я р а с т в ор некот ор ог о в е щ ес т в а с за д анны ми зна че ни я м и на в ход е те м пе р ат ур ы и концент р а ци и . Н е обход и мо и с с лед ов а ть в ли я ни е на и нт енс и в нос т ь пр оцес с ов т е пло- и мас с опер енос а р а зли чны х конс т р укт и в ны х па р а ме тр ов с и с те м ы . ∇⋅v = 0 (1)

ρ v ⋅ ∇ v = ∇ ⋅ P + ρF ρc p v ⋅ ∇Τ = λ ∇2 Τ + µD ∇ ⋅ ( Cv ) = D ∇ 2 C ,

(2) (3) (4)

Н а с т е нка х ка нала и пов е р хнос т я х в с та в ок зад а ны ус лов и я пр и ли пани я , т е плообм ен ос ущ ес т в ля ет с я по од ному и з в озм ож ны х р е ж и мов , с оот в е тс т в ую щ и х ус лов и ю теплообме на на хор ош о пр ов од ящ и х пов е р хнос тя х, м ас с ообм ен пр ои с ход и т ли ш ь на с т енка х ка нала . Ис поль зуетс я ус лов и е пер и од и чнос т и пот ока на не кот ор ом р ас с т оя ни и от в ход а в ка на л. Пр и пос та нов ке за д а чи учи т ы в а ет с я пер и од и чнос т ь т е че ни я и р ас пр е д еле ни я д а в ле ни я в с ос е д ни х с е кци я х кана ла , поэтом у на г р ани це р а с че т ной обла с т и пр и р а в ни в а ю т с я зна че ни я , а д а в ле ни е пр е д с та в ляет с я в ви де P ( x, y ) = −αx + p( x, y ) , гд е α опр е д е ля ет с я че р е з в е ли чи ну пад е ни я д а в ле ни я на од ной с екци и . 4.7. Б аромембранноеразделениесмесей В ка на л, с те нка ми кот ор ого я в ля ю тс я в ы с окопор и с ты е м ем бр а ны , под д е йс т в и е м за д а нног о пе р епа д а д а в ле ни я пос т упа ет в од ны й р ас т в ор не кот ор ого в е щ е с т в а относ и т е ль но не в ы с окой конце нтр а ци и . Че р ез с т енки кана ла с в обод но пр ои с ход и т уль т р а фи ль т р а ци я р ас т в ор и теля , а

пр оход моле кул р а с тв ор е нного в е щ ес т в а за тр уд не н. Не обход и мо опр е д е ли ть концент р а ци ю р ас т в ор а на в ы ход е и з ка на ла и объе м чи с т ой в од ы , получае мой с пом ощ ь ю опи с анног о пр оцес с а [56]. vr

∂vr ∂v r v  1 ∂p  + vz =− + ν ∇ 2 v r − 2r  ∂r ∂z ρ ∂r r  

(1)

∂vz ∂v z 1 ∂p + vz =− + ∇2vz ∂r ∂z ρ ∂z

vr

(2)

∂vr vr ∂vz + + =0 ∂r r ∂z vr

(3)

∂C ∂C + vz = D∇ 2C ∂r ∂z

(4)

z = 0 : v r ( r, 0) = 0,

v z ( r ,0) = v 0z ( r ) ,

C ( r, 0 ) = C 0 ;

(5)

∂ vz ∂ C = = 0; ∂r ∂r

r = 0 : v r (0, z ) = 0 ,

(6)

r = r0 : v r (r0 , z ) = v w , v z = 0 ,

∂C ∂C = 0 и ли + a 2C = 0 ; ∂r ∂r

(7)

k гд е v w = − ∆p - с кор ос т ь фи ль т р аци и . µ 4.8. П роцессы переносав электромембранных системах Че р ез д и ф ф узи онны е с лои и и онообме нную ме м бр а ну пр ои с ход и т пр оцес с пер е нос а и онов би на р ного р а с т в ор а элект р оли т а , ос ущ ес т в ля ю щ и йс я под д ейс т в и е м в не ш не го электр и чес кого поля. Пола гает с я , чт о в о в с е м объе м е с пр а в е д ли в о ус лов и е лока ль ной элект р онейт р а ль нос ти . На м е ж ф а зны х пов ер хнос т я х в ы полняет с я ус лов и е не пр е р ы в нос т и потоков и онов и эле кт р охи ми че с ки х пот е нци а лов и ли концент р аци й [15].

2

∑zC i =1

x = h:

i

k i

d 2 Cki zi e d  k dϕ k   = 0 , (i = 1, 2; k = 1, 2,3) C + dx 2 kT dx  i dx 

(1)

− sign ( z1 ) σδk2 = 0 , ( k = 1, 2,3)

(2)

x = -δ:

C ik (−δ) = C ki 0 ,

ϕ( − δ ) = 0 ;

(3)

x = 0:

N =N ,

µ =µ ;

(4)

1 i

N =N 2 i

3 i

1 i

2 i

2 i

µ =µ ; 2 i

x = h+δ:

3 i

(5)

C ( h + δ) = C , 3 i

3* i

ϕ( h + δ) = −ϕ , (6) *

гд е N ki - плот нос т ь пот ока и онов , уд ов лет в ор я ю щ а я закону Не р нс та -Пла нка -Эйнш те йна . Электр охи м и че с ки й пот е нци алопр е д еле н в ы ш е (пункт 3.4). 4.9. Смесеобразованиев Ж РД Од ни м и з эта пов пр оце с с а с мес еобр азов а ни я я в ля етс я получени е гор ю чей с м ес и , кот ор а я в ос пла меня ет с я в кам е р е с гор а ни я и обес пе чи в ае т р абочи й р е ж и м д в и ж ени я пр од укт ов р е акц и и гор ени я в с опле д в и га т еля д ля с озд а ни я т яги . Г ор ю че е и оки с ли т е ль под а ю т с я в ка мер у с гор ани я чер ез с оос нос т р уйны е фор с унки , кот ор ы е обес пе чи в а ю т д р облени е ж и д кой с тр уйки и ли пе ле ны на с е р и ю ме лки х ка пе ль , д в и г а ю щ и хс я в в ы с окот емпе р а т ур ном газов ом пот оке . За с че т д ейс т в и я а эр од и на ми чес ки х с и л ка пли мог ут д р оби т ь с я , а под д ейс т в и е м пот оков те пла и с пар я ю тс я , чт о и пр и в од и т к обр азов ани ю газообр азной т опли в ной с м е с и . Г ор е ни е г азообр азной с ме с и пр ои с ход и т

в с оот в е тс т в и и с законам и хи м и чес кой ки нет и ки . Д в и ж е ни е г азов ого пот ока нос и т тур буле нт ный ха р акт ер и опи с ы в а е тс я в пер е ме нны х Эйле р а , ка пе ль – в пе р е ме нны х Ла гр а нж а [20, 27]. Ра с с мот р и м плос кую с т е нку д ос т ат очной пр от я ж еннос ти , в котор ой и ме ю т с я од и на ков ы е от в е р с ти я од и на ков ой ф ор мы (кр уг лы е , пр я моуг оль ны е , р ом бов и д ны е , кр ес тообр а зны е и т .д .), р ас полож е нны е на р а в ны х р а с с т оя ни я х д р уг от д р уга . Че р е з от в ер с т и я в пр ы с ки в а етс я га зож и д кос тна я с ме с ь , пр ед с та в ля ю щ ая с обой га зов ы й пот ок, с од е р ж ащ и й обла ко капе ль . Под д ейс т в и ем а эр од и нам и че с ки х с и л ка пли , д в и га ю щ и е с я в га зов ом потоке , д еф ор ми р ую тс я и р ас па д а ю т с я на боле е м елки е ка пли . Пр и эт ом капе ль ки и с па р я ю т с я за с чет в ы с окой те м пер ат ур ы га зов ого пот ока . К р оме т ого, с чи та ет с я , чт о в потоке пр ои с ход и т гом оге нное гор ени е га зообр а зной с ме с и [20, 27].

∂ρ + ∇ ⋅( ρ v ) = Ω ρ ∂t ∂ρ v + ∇ ⋅ ( ρ v v ) = ∇ ⋅ P + ρF + Ω vr ∂t P = -pI + λ div v + 2µeffE;

 µ eff  ∂ ρk + ∇ ⋅ ( ρk v ) = ∇ ⋅  ∇k  + Gk − ρε + Ω k 0 ∂t  σk 

(1) (2) (3) (4)

 µ eff  ε ∂ ρε + ∇ ⋅ ( ρ ε v ) = ∇ ⋅  ∇ε  + (C1 G k − C 2 ρε ) + Ω ε 0 (5) ∂t  σε  k

∂C i + ∇ ⋅ ( C i v ) = − ∇⋅ N i + Ω i , (i=f,o,p) ∂t µ eff Ni = − ∇C i , (i=f,o,p) σϕ ∂E + ∇ ⋅( Ev ) = − ∇ ⋅ q − ∇ ⋅ ( v ⋅ P ) + Ω E ∂t Ω W

i

3

Ai ∏ C j j

=

ν

(6) (7) (8) (9)

j =1

=

X pc   ρε X Aebu min  X Γ , Γ ,B ebu  k к 1+ к  

(10)

d vL = ∑ Fi e dt i

(11)

d 2 d L = f ( Nu ) dt

(12)

ρL

d D( t ) 1 = , dt τ def

t = 0 : D( 0 ) = 0 .

(13)

4.10. Генерацияозона В ка нал коль це в ог о ци ли нд р и чес кого с е чени я под ае тс я газов а я с м ес ь , с од е р ж а щ а я ки с лор од . В с и с т е ме накла д ы в ае тс я в ы с окоча с тот ное пер е ме нное элект р и чес кое поле , под д ейс т в и ем кот ор ого в озни кает т а к на зы в ае м ы й ба р ь ер ны й р а зр я д . В р е зуль т ат е пр ои с ход и т д и с с оци а ци я молекулки с лор од а и обр азов а ни е м оле кулозона [51]. u( r )

∂C = D∇ 2 C + κ(C) ; ∂z

(1)

κ(C ) = k 0 − k 1C ;

z = 0:

(2)

C(0,r) = C0; ∂C r = r1 , r = r2: =0. ∂r

(3) (4)

К онс та нты с кор ос те й пр ям ой и обр ат ной р еа кци й элект р ос и нт еза озона с чи т а ю т с я за д анны ми в ели чи нам и . Ра с пр ед е лени е с кор ос ти те чени я газа в ка нале опр е д е ля етс я и з р е ш ени я с оот в е тс т в ую щ ей ги д р од и на ми че с кой за д ачи .

4.11. В етровоевоздей ствиенапараболическу ю антенну . Па р а боли че с ка я а нт е нна с пут н и ков ого т е ле в и д е ни я ус т а нов ле на на от кр ы т ой м е с т нос т и и и с пы т ы в а е т с т а ци она р ное в е т р ов ое в озд е йс т в и е . Тр е буе т с я опр ед е ли т ь ос нов ны е д и на м и че с ки е ха р а кт е р и с т и ки , кот ор ы е д олж ны бы т ь полож е ны в ос нов у м е ха ни че с кого р а с че т а конс т р укци и . Ра зр а бот а т ь а лг ор и т м д ля ком пь ю т е р ного экс пе р и м е нт а и и с с ле д ов а ни я и зм е не ни я эт и х ха р а кт е р и с т и к в за в и с и м ос т и от уг ла а т а ки в озд уш ног о пот ока [9]

[

]

π 0 C D ρV∞2 R 2 2 − cos3 θ 0 (3 cos2 α − 1) − 3 sin 2 α ⋅ cosθ 0 6 π FL = C L0 ρV∞2 R 2 sin α 2(1 − cos4 θ 0 )cos2 α − (3 cos2 α − 1)sin 4 θ 0 4 π M D = C D0 ρV∞2 R 3 sin α 2(1 − cos4 θ 0 )cos2 α − (3 cos2 α − 1)sin 4 θ 0 6 (12 + 3 sin 4 θ 0 − 4 cos 2 θ 0 )sin 2 α −    π 0 ML = C L ρV∞2 R 3 sin 2α ⋅ cos θ 0 8 cos 2 α + 4(sin 2 α − cos 2 α ) ⋅  Зд ес ь 40    2 5 3 cos θ cos θ − ( )  0 0     FD =

[

]

[

]

α - угол а та ки

в ет р ов ого потока (уголм е ж д у ос ь ю отр а ж а те ля и в е кт ор ом с кор ос т и пот ока ); θ0 - угол р ас кр ы в а от р а ж а те ля ; R - с ф е р и чес ки й р а д и ус от р а ж а теля ; FD, FL - а эр од и на ми чес ки е с и лы с опр оти в ле ни я и под ъе ма ; MD, ML - м оме нты эти х с и лот нос и те ль но ос и пов ор от ного ус т р ойс т в а .

Вс е в ы ш е пр и в е д е нны е м од е ли т р е буе т с я обос нов а т ь , в ы полни т ь и с с ле д ов а ни е и х с в ойс т в , пос ле че го пе р е йт и к пр ов е д е ни ю с ни м и ком пь ю т е р ного экс пе р и м е нт а.

П ерваяматематическаямодель п роцессаг енерацииозона

М а т е м а т и че с ка я м од е ль u dC/dx = K(C)

(1)

K(C)=k0 - k1C(x)

(2)

x=0:

(3)

C(0)=C0

И с хо дныеданные: u := 0.001

- С кор ос ть д в и ж ени я газа, м /с

k0 := 10

- К онс танта пр я м ой р екци и обр азов ани я озона

k1 := 0.001

- К онс танта обр атной р еакци и р азр уш ени я озона

C0 := 10

- К онцентр аци я озона на в ход е в канал, м оль /м 3

L := 1

- Д ли на отр езка д ля в ы чи с лени й, м

n := 100

- К оли чес тв о точек д ля р ас чета

Р еш ени езадачи : x := 0,

L n

.. L

x  − k0 ⋅ k1⋅   u 1 − ( 1 − k1 ⋅ C0 ) ⋅ e   C( x) :=

k1

999.955

1000 750 500

C (x )

250 0

0

0 0

0.25

0.5 x

0.75

1 1

Ри с 1. Пр офи ль конце нтр а ци и озона .

5. М ат ем ат и чес к о ем о дели ро вани ев м ехани к ек о нт и нуум а 5.1. К лассификацияпараметров макроскопической системы М а кроскопиче ска ясисте ма М а кр ос копи че с кой с и с т ем ой назы в а е тс я объе кт (м нож е с т в о), с ос т оя щ и й и з бол ьш ого числ а эле мент ов . Лю бое мате р и а ль ное тело, р азм ер ы котор ого много боль ш е р а зм е р ов ат ом ов и м оле кул, обр азую щ и х т ело, м ож но р ас с ма т р и в ат ь как м акр ос копи чес кую с и с те му. Зд е с ь “бол ьш ое числ о” и “много бол ьш е” я в ляе тс я и нтуи ти в ны ми (каче с т в енны м и ) поня т и я м и . Н апр и ме р , 1 с м 3 в озд уха пр и нор ма ль ны х ус лов и я х с од ер ж и т пор я д ка 10 19 молекул. Элеме нты , не в ход я щ и е в р ас с мат р и в ае м ую с и с те му, обр азую т в не ш ни е с и с тем ы по от нош ени ю д а нной. За м кнута ясистем а . И зол ирова нна ясисте ма С и с те м а , с ос т оя щ а я и з од ни х и т е х ж е элем е нтов , на зы в ает с я за кр ы той. С и с т е ма , кот ор а я м ож е т обм е ни в ат ь с я с в не ш ни ми с и с т е ма ми эле ме нта ми , назы в ае тс я откр ы той. За кр ы той с и с те м а , ни ка к не в заи м од е йс т в ую щ а я с в не ш ни ми с и с т ема ми , назы в а етс я и золи р ов а нной. С и с те м а , с ос т оя щ а я и з эле м ентов од ног о т и па , назы в а етс я од ноком поне нтной, а с и с т е ма , с ос тоя щ ая и з эле мент ов р азны х ти пов , - мног окомпонент ной. П а ра метры систе м ы С ос тояни е ма те р и а ль ной ма кр ос копи че с кой с и с те м ы опр е д еляет с я д в и ж е ни е м е е эле ме нт ов . Ве ли чи ны , ха р акт е р и зую щ и е пов ед е ни е с и с т е мы макр ос копи чес ки , на зы в а ю тс я па ра ме тра ми состояния с и с т е мы . Ес ли ма кр ос копи чес кая с и с те м а р ас с мат р и в ает с я ка к с плош ная с р е д а , то па р а ме тр ы с ос т ояни я яв ля ю тс я функци я м и пр ос т р а нс т в енны х коор д и нат и в р ем е ни . В м е ха ни ке ма те р и а ль ного конт и нуума с т р оя тс я мод е ли , в клю ча ю щ и е конечное чи с ло па р а ме тр ов с ос тоя ни я т е ла . Чи с ло па р ам е тр ов с ос тоя ни я за в и с и т от т ого, каки е ф ор м ы д в и ж ени я р ас с м а тр и в а ю т с я од нов р е м енно (ме хани чес ка я , т еплов а я , элект р омаг ни т на я и т .д .). С ов окупнос ть не за в и с и мы х па р а м ет р ов , опр е д еля ю щ и х с ос тоя ни е с и с те м ы , назы в а етс я опр е д е ля ю щ и м и па р аме тр а ми . Лю ба я функци я па р аме т р ов с ос т ояни я я в ля етс я па р а мет р ом с ос тоя ни я . С ле д ует р азли чать с и с т ем у опр е д е ля ю щ и х па р а метр ов д анной конкр е т ной за д а чи , когд а не обход и мо учи ты в ат ь на ча ль ны е , гр а ни чны е ус лов и я , ге омет р и ю облас т и , и т .д ., и с и с те му па р а ме тр ов , опр е д е ля ю щ и х с ос т оя ни е с р е д ы [41]. Вне ш ние па ра м е тры. Внутренние па ра м етры Па р а ме т р ы р азд е ля ю т с я на в неш ни е па р а ме тр ы и в нут р енни е . Вне ш ни е па р а м етр ы – в ели чи ны , зна че ни е кот ор ы х опр ед е ля етс я с ос т оя ни е м те л, не в ход я щ и х в р ас с ма тр и в ае м ую с и с те м у. Н а пр и м ер , напр я ж е ннос т ь в не ш него с и лов ого поля. Внутр е нни е пар а ме тр ы – с т а ти с ти чес ки с р е д ни е в ели чи ны , значе ни е кот ор ы х опр е д еля етс я

д в и ж ени е м эле мент ов , в ход я щ и х в с и с те му. На пр и ме р , плот нос т ь , д а в ле ни е , энер ги я , те мпе р ат ур а . Взаи м од ейс т в и е д анной с и с т ем ы с в не ш ни м и с и с те м ам и опр е д еляет с я за в и с и м ос т ь ю в нутр е нни х пар а мет р ов с и с т е мы от в неш ни х пар а мет р ов . Од ни и т е ж е па р ам е тр ы , в за в и с и мос ти от под ход а , м огут р ас с м а тр и в ат ь с я как в неш ни е и ли в нутр е нни е. Н а пр и м ер , ф и кс и р уя уд ли нени е пр уж и ны , д е фор м аци я - в не ш ни й па р а ме тр , а на пр я ж ени е – в нут р е нни й. Ф и кс и р уя в неш нее ус и ли е , р а с т я ги в а ю щ е е пр уж и ну, д е ф ор ма ци я - в нут р е нни й па р а м етр , а на пр я ж е ни е – в не ш ни й. И нтенсивные и эксте нсивные па ра метры Па р а ме т р ы , не за в и с ящ и е от чи с ла эле ментов с и с те м ы , назы в а ю т с я и нте нс и в ны ми . Па р а мет р ы , за в и с ящ и е от чи с ла час ти ц с и с т е мы , на зы в а ю тс я экс те нс и в ны ми . Пос коль ку м ас с а те ла я в ля етс я ме р ой на м нож ес т в а м ате р и а ль ны х точек, т о в ме ха ни ке и нт е нс и в ны е и экс те нс и в ны е па р а ме тр ы опр ед е ля ю т с я ка к па р ам етр ы , не за в и с я щ и е и за в и с я щ и е от ма с с ы . Н а пр и ме р , с кор ос т ь v – и нте нс и в ны й па р ам ет р , и мпуль с mv - экс т енс и в ны й. Э кстенсивные па ра ме тры и связа нные с ним и пл отно сти Пус т ь Ω - не кот ор а я обла с т ь , f - кус очно-не пр е р ы в на я од нозна чно опр ед е ле нна я почти в с ю д у на Ω ф ункци я , µ - некот ор а я ме р а на Ω . Тогд а и нт егр ал

F ( Ω ) = ∫ f dµ Ω

опр е д е ляе т экс те нс и в ную в ели чи ну F (Ω ) . Ф ункци ю

f =

dF dµ

назы в а ю т плотнос ть ю в е ли чи ны F на Ω относ и т ель но м е р ы µ [49]. П ростра нство состояний. Д виж ение систе м ы Пр ос т р а нс т в о, коор д и на та ми т оче к котор ог о я в ля ю тс я зна чени я неза в и с и мы х па р а ме тр ов с ос тоя ни я с и с т е м ы , назы в ае т с я пр ос т р анс т в ом с ос т ояни й. Измене ни е полож ени я т очки в пр ос т р анс т в е с ос т оя ни й ха р акте р и зует д в и ж е ни е с и с тем ы . Тр а ект ор и я д в и ж е ни я в пр ос т р а нс т в е с ос тоя ни й опр е д еляет пр оцес с . Ф ункции состояния Па р а ме т р ы , не за в и с я щ и е от пр е д ы с тор и и с ос т оя ни я с и с т е мы , т о ес ть опр е д е ля е м ы е те кущ и м с ос т ояни е м с и с т е мы назы в а ю тс я функци я ми с ос т оя ни я . 5.2. Н екоторыеосновныепонятияв М СС М е хани ка с плош ны х с р ед не опи р ает с я на каки е -ли бо м од е ль ны е пр е д с т а в ле ни я об ат ом ном оле куля р ной с т р уктур е в е щ е с т в а , я в ляе тс я фе номенологи че с кой на укой. Та кой под ход обус лов ли в ае т в ы бор с оот в етс т в ую щ и х мод е ле й те л. В нер е ля т и в и с т с кой (клас с и че с кой) ме хани ке с плош ны х с р е д и с ход я т и з пр е д полож е ни я , что • в р е м я т е чет од и наков о в о в с е х точка х фи зи че с кого пр ос т р анс т в а : • ф и зи чес кое пр ос т р анс т в о я в ляе тс я од нор од ны м и и зот р опны м , е го с в ойс т в а не и зменя ю тс я с т е че ни е м в р е м ени . М оде л ьпростра нства , вре мени М а т ема т и че с кой м од е ль ю , от в е ча ю щ е й понят и ю фи зи че с кого пр ос т р анс т в а , в котор ом пр е д в а р и т е ль но не ф и кс и р ует с я ни ка кая точка , я в ля ю т с я т р е хм ер ное т очечное е в кли д ов о пр ос т р анс т в о E 3 . М а т ема т и че с кой м од е ль ю , от в еча ю щ е й понят и ю в р ем я , я в ля етс я од ном ер ное точе чное е в кли д ов о пр ос т р анс тв о E 1 . Лю бой пер и од и чес ки й пр оцес с , и ме нуем ы й ча с ам и , отр а ж ае т поня ти е ход в р еме ни . С исте м а отсчета В м е хани ке понят и е д в и ж е ни я в в од и т с я в с в язи с в озмож нос т ь ю м ате р и а ль ны х те ли зме нят ь в заи мное р ас полож ени е в пр ос тр а нс т в е с те чени ем в р е мени . С ов окупнос ть в ы бр а нной с и с т ем ы в заи мно непод в и ж ны х те лплю с час ы на зы в ае тс я с и с т е мой отс чет а .

М оде л ьсисте м ы о тсче та С и с те м а коор д и нат , в в е д е нна я в E 3 плю с с и с т е ма коор д и на т , в в е д е нна я в E 1 , опр е д еля ю т м од е ль с и с т е мы от с че та . Аксиом а не проница е м ости Д в е лю бы е ма те р и аль ны е т очки не м ог ут од нов р е менно на ход и ть с я в од ной т очке пр ос т р анс т в а . Гипотеза спл ош но сти Г и пот еза с плош нос т и позв оляе т ус та нов и ть гом е омор ф и зм 2 м еж д у множ е с т в ом т оче к м ат ер и аль ного те ла ℜ и за мкнутой р егуляр ной обла с ть ю т р е хме р ного е в кли д ов а пр ос т р а нс т в а . 5.3. О писаниедвиж енияконтину у ма Д в и ж ени е конти нуума (с плош ной с р е д ы ) ℜ опр е д еля ет с я д в и ж ени ем ка ж д ой е го точки Χ . Д в и ж е ни е т очки те ла относ и те ль но в ы бр а нной с и с т е мы от с че та на и нт е р в а ле в р еме ни Τ за д а етс я гла д ки м отобр а ж ени е м

x = r( Χ , t ),

Χ ∈ ℜ, t ∈ Τ .

(1)

рис 6

Зд е с ь x - р а д и ус -в ект ор т очки от нос и т е ль но в ы бр анного полю с а . Д ля ка ж д ой от д е ль ной т очке те ла р а в енс тв о (1) опр е д е ляе т т р аект ор и ю д в и ж ени я (р и с .6). В м е ха ни ке мат е р и а ль ног о конт и нуума пр е д полага е тс я , чт о функци я r( Χ , t ) д ля ка ж д ог о X д и ф фе р енц и р уе м а по в р ем е ни по кр а йне й м е р е д в а ж д ы . Пе р в ая ча с тна я пр ои зв од ная по в р е мени назы в ае т с я с кор ос ть ю ма тер и аль ной т очки

v=

∂ r( X , t ) , ∂t

в тор ая час тна я пр ои зв од на я по в р ем е ни на зы в а ет с я ус кор е ни е м мат е р и аль ной т очки

r ∂v( X , t ) ∂ 2 r( X , t ) a= = . ∂t ∂t 2 К онфигура циятел а К онфи гур а ци я конти нуума ℜ в м оме нт в р е мени t е с ть обр аз от обр а ж ени я r в м оме нт в р е мени t Ω (ℜ , t ) = {r ( Χ , t ), Χ ∈ ℜ } , Из акс и ом ы непр они цаем ос т и с ле д уе т , чт о от обр а ж е ни е r (⋅, t ) : ℜ → Ω (ℜ, t ) д олж но бы т ь в заи мно од нозна чны м . Актуа л ьна яконфигура циятел а К онфи гур а ци я т ела в т екущ и й моме нт в р е ме ни на зы в а ет с я акт уа ль ной. О тсче тна яконфигура циятел а М ож но в ы бр а ть пр ои зв оль ную конф и г ур а ци ю конт и нуума ℜ , не с в я занную с пр оцес с ом е го д в и ж е ни я , как не кот ор ы й гла д ки й обр а з, опр е д е ляе м ы й не кот ор ы м гоме омор фны м От обр а ж е ни е ϕ т опологи чес кого пр ос т р анс т в а V в т опологи че с кое пр ос т р анс т в о W на зы в ае т с я гом е омор ф и змом , ес ли оно би екти в но (в заи м но од нозна чно), непр е р ы в но и непр ер ы в но обр а тное к не м у от обр а ж е ни е ϕ −1

2

от обр а ж е ни ем r0 м нож ес т в а ℜ на облас т ь Ω

0

пр ос т р а нс т в а E 3

Ω 0 = {r0 ( X ),

X ∈ ℜ} .

Такую конф и гур аци ю т ела на зы в а ю т отс чет ной. От обр а ж ени е x 0 = r0 ( X ) . опр е д е ляе т мес то т очки X в конф и гур аци и Ω 0 (ℜ ) . Так ка к эт о отобр аж е ни е обр а ти мо −1

X = r0 ( x 0 ) , то д в и ж ени е мож но опр е д е ли т ь с оотнош е ни е м −1 x = r(r0 ( x 0 ), t ) = r~( x 0 , t ) . (2) ~ Зд е с ь r - от обр а ж е ни е отс четной конфи г ур а ци и Ω 0 (ℜ) те ла на а ктуа ль ную конф и гур а ци ю те ла Ω (ℜ , t ) . Час то полага ю т , чт о отс чет ная конфи г ур а ци я я в ляе тс я актуа ль ной конфи гур аци ей в не кот ор ы й мом ент в р еме ни t 0 , т о е с т ь x =~ r (x , t ) . 0

0

0

Д ефо рма ция Изме не ни е конфи гур а ци и те ла назы в а етс я д е фор м аци е й. Сле д ов а те ль но, от обр а ж ени е ~ r за д ае т д е фор ма ци ю те ла . С пособы описа ниядвиж е ния Вы д еля ю т че ты р е с пос оба опи с ани я д в и ж е ни я ма т ер и а ль ного те ла : ма те р и а ль ны й, от с че т ны й, пр ос т р анс т в е нны й и относ и т ель ны й. М а те риа л ьное описа ние Пр и ма те р и а ль ном опи с ани и р ас с мат р и в а ю т с я непос р ед с т в е нно т очки т ела . Вс е пар а мет р ы с и с те м ы р а с с м ат р и в а ю тс я ка к ф ункци и ма тер и аль ны х точек (м а те р и а ль ны х коор д и на т X) и в р е мени t. О тсче тное описа ние Вв е д е ни е от с че тной конфи гур а ци и позв оля ет пе р е йти от пе р е ме нны х X , t к пе р еме нны м x 0 , t . Поэт ом у лю ба я функци я

~ f ( X , t ) = f ( ~r −1 ( x 0 ), t ) = f ( x 0 , t ) .

С ле д уе т от ме ти т ь , что

~ ∂ n f ( X , t ) ∂ n f (x 0 , t ) = , n = 1,2,... . ∂t n ∂t n

Л а гра нж е во описа ние движ е ния Ла гр а нж е в о опи с а ни е я в ля ет с я час тны м с луча е м отс четного опи с а ни я , ког д а в каче с т в е от с че т ной конф и гур аци и в ы би р а ет с я р е аль ная конф и гур а ци я т ела в не кот ор ы й мом ент в р еме ни t = t 0 . Па р а ме т р ы с и с те мы я в ля ю т с я функци я м и пр ос тр а нс т в енны х коор д и нат мат ер и а ль ны х точек в м ом ент t = t0 и в р ем е ни . Ф ункци и мат ер и а ль ны х коор д и нат ( X , t ) с в язаны с ф ункци я ми лагр а нж е в ы х коор д и нат ( x 0 , t ) с оотнош е ни я ми

~ f ( X , t ) = f ( ~r −1 (x 0 , t 0 ), t ) = f ( x 0 , t ) .

П ростра нстве нное описа ние движ ения Пр и пр ос т р анс т в е нном опи с ани и в с е пар а мет р ы с и с те м ы р а с с ма тр и в а ю тс я ка к функци и пр ос т р анс т в е нны х коор д и на т x и в р е ме ни t . То ес ть пр и пр ос т р а нс т в енном опи с а ни и в ни м ани е с ос р е д оточе но на актуа ль ной конфи г ур а ци и т е ла . В с и лу (1), лю ба я ф ункци я

f ( X , t ) = f (r −1 ( x, t ), t ) = fˆ(x , t )

x= r~( X ,t )

.

Пос т р ои т ь отобр а ж е ни е акт уа ль ной конф и гур аци и на лю бую отс чет ную конф и гур а ци ю те ла (опр е д ели ть д е ф ор маци ю ) на и нте р в але в р е мени T м ож но, ес ли на указа нном и нт е р в але и зв е с т но поле с кор ос тей v (x , t ) . К онс тант ы и нт е гр и р ов а ни я ур а в не ни я

dx = v( x, t ) , dt

опр е д е ля я и з ус лов и я , что пр и t = t 0 актуа ль ная конфи г ур а ци я я в ля етс я от с че тной, т о е с т ь

r( X , t 0 ) = x 0 . О тносител ьный спо собо писа ниядвиж е ния Пр е д ы д ущ и й с пос об опи с ани я и с поль зов а л пр е д полож е ни е , чт о в ы би р ает с я фи кс и р ов а нна я от с че т на я конф и гур а ци я . Н о мож но пос т оянно в те кущ и й момент в р еме ни в ы би р ать нов ую от с че т ную конф и г ур а ци ю . Ес те с т в енно в качес т в е та кой и зме ня ю щ е йс я от с че тной конфи гур ац и и р ас с м а тр и в ат ь актуа ль ную конф и гур аци ю . Ес ли р ад и ус -в ект ор мат ер и аль ной т очки в а ктуаль ной конф и гур а ци и в моме нт а в р е м ени t обозна чат ь че р ез x , x = r( X , t ), X = r −1 ( x, t ) , а р а д и ус -в е ктор т ой ж е мат е р и а ль ной т очки в а кт уа ль ной конф и г ур аци и в м оме нт в р е мени τ обозна чи т ь чер ез ξ ,

X = r −1 (ξ, τ ) ,

(3)

ξ = r(r −1 ( x, t ), τ) = rt ( x, τ ) .

(4)

ξ = r( X , τ ), то мож но за пи с ать , чт о

Ф ункци я rt назы в а е тс я относите л ьнойде форм а цие й тел а .

ЛИТЕРА ТУ РА 1. А д а ма р Ж . За д а ча К ош и д ля ли нейны х ур а в не ни й с ча с т ны м и пр ои зв од ны м и ги пер боли чес кого ти па. М .: Н а ука , 1978. 352 с . 2. А р т е мов М .А ., К ор ж ов Е.Н . М а те м ати чес кое м од ели р ов а ни е в ме хани ке с плош ной с р ед ы : м ет од и чес ки е указа ни я к с пе цкур с у. Вор оне ж : ВГ У , 1994. 12 с . 3. Бе лов И.А ., Ш е ле нш е в и ч В.А ., Ш уб Л.И. М од е ли р ов а ни е ги д р оме ха ни чес ки х пр оцес с ов в те хнологи и и згот ов ле ни я полупр ов од ни ков ы х пр и бор ов и ми кр ос хе м . Л.: Поли те хни ка , 1991. 287 с . 4. Бе р д Р., Ст ь ю а р т В., Лайт фут Е. Я в ле ни я пе р е нос а . М .:Х и м и я ,1974. 688 с . 5. Бле хма н И.И., М ы ш ки с А .Д ., Па нов ко Я .Г . М е хани ка и пр и кла д ная мат е ма ти ка : Логи ка и ос обе ннос ти пр и кла д ной мат е ма ти ки . М .: Н аука , 1983. 328 с . 6. Ва би щ е в и ч П.Н . Чи с ленное м од ели р ов ани е . М .: М Г У , 1993. 156 с . 7. Г а йфули н С .А ., К а р пов В.Я ., М и щ енко Т.В. С и с те м а OLYMPUS (Инс т р укци я ). Пр е пр и нт Инс ти т ута Пр и клад ной мат ем а ти ки А Н С СС Р, 1981. 64с . 8. Г е ль фе р и х Ф . Иони т ы . Ос нов ы и онного обмена . М .: ИИЛ, 1962. 490 с . 9. Г олов ков А .А ., К ор ж ов Е.Н ., Зна ме нс ки й В.А ., М яс нянки н Ю .М . М ет од и ка опр е д е лени я в е тр ов ой на гр узки и р ас чет на пр очнос т ь узлов пов ор от ног о ме хани зма па р а боли чес ки х а нт е нн с путни ков ого т е ле в и д ени я : на учно-те хни чес ки й от чет ВТК . – Вор оне ж : ВК ТБ ПО Эле ктр ос и гна л, 1993. 22 с . 10.Г ор бунов -Пос а д ов М .М ., К ор я ги н Д .А ., М а р т ы ню к В.В. С и с тем ное на полне ни е пакетов пр и кла д ны х пр огр ам м . М .: Н аука , 1990. 208 с . 11.Г р и нфе ль д М .А . М е тод ы ме хани ки с плош ны х с р ед в те ор и и фа зов ы х пе р е ход ов . М .: Н а ука , 1990. 312 с . 12.Г улд Х ., Та бочни к Я . К ом пь ю те р ное м од е ли р ов а ни е в фи зи ке : В 2-х ча с тя х. М .: М и р , 1990. 698 с. 13.Д ени с ов А .М . Вв е д ени е в те ор и ю обр а тны х зад а ч. М .: М Г У , 1994. 208 с . 14.Д е Г р оот С .Р., М а зур П. Н е р ав нов ес ная т е р м од и нам и ка . М .: М и р , 1964. 456 с .

15.За болоцки й В.И., Н и коненко В.В. Пе р е нос и онов в м ем бр а на х. М .: Н аука , 1996. 392 с . 16.Иш ли нс ки й А .Ю . М ат ема т и ка и м ет од ы м е хани ки . // Ис тор и я от е че с т в енной ма те ма ти ки : В 4-х т . Т.2. К и е в : Н а уков а д умка , 1970. 17.К ом пь ю те р ы , м од ели , в ы чи с ли т ель ны й экс пе р и м е нт . Вв ед е ни е в и нфор м ати ку с пози ци й м ат ем а ти чес кого м од е ли р ов а ни я . М .: Н аука , 1988. – 176 с . 18.К ор ж ов Е.Н ., Под холзи н А .И. Те хнологи я пр огр а мми р ов а ни я OILYMPUS-TP. Вор оне ж : ВГ У , 1994. 25 с . 19.К р а с нощ еков Н .С ., Пе т р ов А .А . Пр и нци пы пос тр оени я мод е ле й. М .: М Г У , 1983. 264 с . 20.К р оу К ., Ш а р ма М ., Ст ок Д . Чи с ленное и с с ле д ов а ни е газокапель ны х пот оков с пом ощ ь ю м од ели « капля - в нутр е нни й и с точни к» . // Те ор е т и че с ки е ос нов ы и нж ене р ны х р ас четов . 1977. Т.99, № 2. С .150-159. 21.К ут ате ла д зе С .С . Те плопе р е д а ча и ги д р од и на ми че с кое с опр от и в ле ни е . Энер гоат ом и зд а т , 1990. 367 с . 22.Ланд ау Л.Д ., Ли в ш и ц Е.М . Те ор ет и че с ка я фи зи ка : В 10 тома х. Т6. Г и д р од и на ми ка . М .: Н а ука , 1988. 660 с . Т.7. Те ор и я упр угос т и . М .: Н аука , 1987. 248 с . Т.8. Эле кт р од и на м и ка с плош ны х с р е д . М .: Н а ука , 1982. 624 с . Т.10. Ф и зи чес ка я ки не ти ка. М .: Н а ука , 1979. 528 с . 23.Ле в и ч В.Г . Ф и зи ко-хи ми чес ка я ги д р од и на ми ка . М .: Н аука , 1959. 700 с . 24.Лы ков А .В. Те плома с с ообм ен: с пр а в очни к. М .: Энер ги я , 1978. 460 с . 25.М а йе р с Г . Ис кус с т в о т ес т и р ов а ни я пр огр а мм . – М .: Ф и нанс ы и с та ти с ти ка , 1982. 176 с . 26.М а те мат и че с ка я фи зи ка . Энци клопед и я ./Г л. р е д . Л.Д .Ф а д д е е в . М .: Боль ш а я Рос с и йс кая энци клопе д и я , 1998. 691 с . 27.М а те мат и че с кое м од ели р ов а ни е в ы с окот е мпе р а тур ны х пр оцес с ов в энер гос и лов ы х ус танов ка х./В.Е.А ле мас ов , А .Ф .Д р е га ли н, В.Г .К р ю ков и д р . М .: Н аука , 1989. 256 с . 28.М а те мат и че с кое мод е ли р ов а ни е конв ект и в ного т епломас с ообме на на ос нов е ур а в не ни й Н а в ь е Ст окс а . /Поле ж ае в В.И., Буне А .В., Ве р езуб Н .А . и д р . М .: Н а ука , 1987. 372 с . 29.М и нки на В.Г . М а т е мат и че с кое м од ели р ов ани е пла змохи ми че с кого р е а ктор а.//Те ор ет и че с ки е ос нов ы хи ми чес кой те хнологи и . 1995. т .29, № 1. с .40-45. 30.М ои с е ев Н .Н . М а те ма ти ка с т ав и т экс пе р и ме нт. М .: Н а ука , 1979. 213 с . 31.М ор озов К .Е. М а те мати чес кое м од е ли р ов а ни е в на учном позна ни и . М .: М ы с ль , 1969. 320 с . 32.Н а йуми н Я .Г . М од ели в на уке и те хни ке . Л.: Н а ука , 1984. 190 с . 33.Н и г мат ули н Р.И. Д и на м и ка м ногофазны х с р ед . М .: Н а ука , 1987. 824 с . 34.Па с конов В.М ., Поле ж ае в В.И., Чуд ов Л.А . Чи с ленное мод ели р ов а ни е пр оце с с ов т е пло- и м ас с ообме на. М .: Н а ука , 1984. 288 с . 35.Пе че нки н А .А . М а те мат и че с кое обос нов ани е и р азв и т и е ф и зи ки . М .: Н аука , 1984. 426 с . 36.Ра м м В.М . А бс ор бци я газов . М .: Х и м и я , 1976. 656 с . 37.Са м а р с ки й А .А . М а т ема т и че с кое м од ели р ов ани е и в ы чи с ли т е ль ны й экс пе р и м е нт .//Ве с т ни к А Н С СС Р. 1979. № 5. С .28-49. 38.Са м а р с ки й А .А ., М и хайлов А .П. М ат ем а ти чес кое мод е ли р ов ани е. Ид еи . М ет од ы . Пр и ме р ы . М .: Н а ука , 1997. 320 с . 39.С в обод но-конв екти в ны е те чени я , тепло- и м а с с ообмен: В 2-х т ом а х./Г ебхар д т Б., Д ж а лур и я Й., М а га д ж а н Р. и д р . М .: М и р , 1991. 1206 с . 40.Се д ов Л.И. М ет од ы под оби я и р азмер нос ти в ме хани ке . М .: Н а ука , 1987. 430 с . 41.Се д ов Л.И. Об ос нов ны х мод е ля х в м е ха ни ке . М .: М Г У , 1992. 124 с . 42.Се д ов Л.И. М е ха ни ка с плош ной с р е д ы : в 2-х т . М .: Н а ука , 1994. 1148 с . 43.С ле тте р и Д ж . Те ор и я пе р е нос а и мпуль с а , эне р ги и и м ас с ы в с плош ны х с р е д а х. М .: Энер ги я , 1978. 448 с . 44.С ли нь ко М .Г ., Зеле ня к Т.И., А кр а м ов Т.А ., Ла в р е нть е в М .М . Н е ли не йна я д и на ми ка ка т али че с ки х р еа кци й и пр оцес с ов (обзор ). //М а те мат и чес кое мод е ли р ов ани е . 1997. Т.9, № 12. С .87-109. 45.Та м м И.Е. Ос нов ы те ор и и элект р и чес т в а . М .: Н а ука , 1976. 616 с .

46.Та р уни н Е.Л. Вы чи с ли т ель ны й экс пе р и ме нт в за д ача х с в обод ной конв е кци и . Ир кутс к: Изд -в о Ир кутс кого ун-т а . 1990. 228 с . 47.Те хнологи я в ы чи с ли те ль ного экс пе р и м е нт а. / Под р е д . В.П.Иль и на . - Н ов ос и би р с к: ВЦ С О А Н С СС Р, 1988. 125 с . 48.Ти хонов А .Н ., К ос том ар ов Д .П. Вв од ны е лекци и по пр и кла д ной мат ема ти ке . М .: Н а ука , 1994. 192 с . 49.Тр ус д е ллК . Пе р в она ча ль ны й кур с р а ци ональ ной ме ха ни ки с плош ны х с р е д . М .: М и р , 1975. 592 с. 50.У и лс он С .Ф ., М е йплс Б., Лэнд гр е йв Т. Пр и нци пы пр оект и р ов а ни я и р азр аботки пр огр а м много обес пече ни я . М .: Рус с ка я р е д акц и я , 2000. 608 с . 51.Ф и ли ппов Ю .В., Вобли ков а В.А ., Па нт еле ев В.И. Элект р ос и нт ез озона . М .: М Г У , 1987. 237 с . 52.Ф р а нк-К а ме не цки й Д .А . Д и ф фузи я и те плопер е д а ча в хи м и че с кой ки не ти ке. М .: Н а ука , 1987. 502 с . 53.Ф укс Н .А . М е хани ка а эр озолей. М .: и зд -в о А Н С СС Р, 1955. 352 с . 54.Х а а зе Р. Те р м од и на ми ка не обр ати мы х пр оцес с ов . М .: М и р , 1967. 544 с . 55.Х и м и чес кая ги д р од и нам и ка : с пр а в очное пос оби е . /А .М .К уте пов , А .Д .Поляни н, В.Д .Запр я нов и д р . М .: Бю р о-К в а нт ум , 1996. 336 с . 56.Ш е р в уд Т., Пи г фор д Р., У и лки Ч. М ас с опе р е д ача . М .: Х и м и я , 1982. 696 с . 57.Эв е р и Г . Ос нов ы ки не ти ки и м е ха ни зм ы хи ми чес ки х р еакци й. М .: М и р , 1978. 214 с . 58.Эма нуэль Н .М ., К нор р е Д .Г . К ур с хи ми чес кой ки нет и ки . М .: Вы с ш а я ш кола , 1984. 464 с . 59.Я не нко Н .Н ., Пр е обр а ж енс ки й Н .Г ., Разумов с ки й О.С. М е тод ологи чес ки е пр обле мы м ат ем а ти чес кой фи зи ки . Н ов ос и би р с к: Н аука , 1986. 296 с . 60.Biot M.A. Applied Mathematics; An art and science.//J. Aeronaut. Sci. 1956. V.7. Р.408-417. 61.Harlow F.H., Fromm J.E. Computer experiments in fluid dynamics. // Sci. Amer. 1965. V.212, № 3. P.104-110. 62.Probstein R.F. Physicochemical Hydrodynamics: An introduction. 2nd ed.– New York: Wiley, 1994. 406 p. 63.Roberts R.V. An introduction to the OLYMPUS system.// Comput. Phys. Commun. 1974. V.7. P.237243. 64.Christeansen J.P., Roberts R.V. OLYMPUS. A standart control and utility package for initial-value FORTRAN programs.// Comput. Phys. Commun. 1974. V.7. P.245-270. 65.Roberts R.V. The OLYMPUS programming system.//Atom (Gr. Brit.). 1975. N.226. P.137-147. 66.Huges M.H., Roberts R.V. OLYMPUS convections.//Comput. Phys. Commun. 1983. V.29. P.15-43. 67.Methodology. STAR-CD documentation. – London: Computational dynamics, 1999. 124 p.

С ос т а в и те ли : А р т е мов М и хаи лА нат оль е в и ч, К ор ж ов Ев ге ни й Н и колае в и ч.

Ре д акт ор : Буни на Та ма р а Д м и тр и е в на .

За ка з №

от 09.2001г. Ти р . 75 экз. Лабор а т ор и я опе р а ти в ной поли гр аф и и ВГ У