Краевые задачи механики сплошных сред: Рабочая программа дисциплины

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Механико-математический факультет Кафедра механики сплошных сред

УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе «

В.П. Гарькин »

2006 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Краевые задачи механики сплошных сред (блок «Дисциплины специализации»; раздел « »; основная образовательная программа специальности 010200 «Прикладная математика»)

Самара - 2006 г.

Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования специальности 010200 «Прикладная математика» и типовой (примерной) программы дисциплины «Краевые задачи механики сплошных сред», одобренной Советом УМО ВУЗов РФ.

Составитель рабочей программы: Лычев Сергей Александрович. Рецензент: Рабочая программа утверждена на заседании кафедры механики сплошных сред (протокол № от « » 2006 г.) Заведующий кафедрой «

»

2006 г.

Ю.Н. Радаев

2006 г.

В.И. Астафьев

2006 г.

Н.В. Соловова

СОГЛАСОВАНО Декан факультета «

»

СОГЛАСОВАНО Начальник методического отдела «

»

ОДОБРЕНО Председатель методической комиссии факультета «

»

2006 г.

И.А. Власова

1

1. Цель и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе, требования к уровню освоения содержания дисциплины 1.1. Цель и задачи изучения дисциплины Цель дисциплины– постановка и решение краевых задач, определяемых моделями механики сплошных сред. Задачи дисциплины: • изложение базовых понятий, определяющих соотношений и термодинамических принципов, используемых в механике сплошных сред, применяемого формализма, в том числе техники прямой тензорной записи, а также необходимого математического аппарата, в том числе теории дифференцирования отображений в банаховых пространствах и представления операторных рядов Вольтерра– Фреше; • демонстрация процедур построения и обоснования моделей сплошных сред и соответствующих краевых задач; • изложение различных методов их решений: использование интегральных преобразований, теории потенциала, построение фундаментальных решений, а также решений для областей канонической формы; • обзор экспериментальных методов идентификации моделей сплошной среды.

1.2. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение данной дисциплины В результате изучения дисциплины слушатели должны Иметь представление: о способах феноменологического описания сплошных сред, о классах порождаемых при этом краевых и начально–краевых задач, о методах их решений. Знать: законы состояния и вариационные уравнения, соответствующие классическим моделям сплошной среды; фундаментальные решения; представления решений статических и динамических задач для областей канонической формы. Уметь: строить решения линейных начально–краевых задач механики сплошных сред.

1.3. Связь с предшествующими дисциплинами Дисциплина основывается на знаниях, полученных слушателями при изучении дисциплин «Дифференциальные уравнения», «Дифференциальная геометрия и тензорный анализ» и «Уравнения матаматической физики».

1.4. Связь с последующими дисциплинами Знания и навыки, полученные при изучении дисциплины «Краевые задачи механики сплошных сред» используются студентами при выполнении курсовых и дипломных работ.

2

2. Содержание дисциплины 2.1. Объём дисциплины Дневная форма обучения, 6,7-й семестры - зачет, экзамен. Вид учебных занятий Всего часов аудиторных занятий Лекции Практические занятия (семинары) Лабораторные занятия Всего часов самостоятельной работы Подготовка к практическим занятиям Разработка творческого проекта Изучение тем, вынесенных на самостоятельную проработку (рефераты) Всего часов по дисциплине

Количество часов 104 64 40

104

2.2. Разделы дисциплины и виды занятий п/п

Название раздела дисциплины лекции

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Введение Математический аппарат. Операторные ряды Вольтерра–Фреше Основные понятия термодинамики и механики сплошной среды Термодинамические основы консервативных и диссипативных систем Вариационные уравнения Простейшие феноменологические модели Дифференциальные модели теории вязкоупругости Наследственно-упругое тело Элементы общей теории вискозиметрии Стареющие материалы Ползучесть Связаная термоупругость Применение преобразований Лапласа к задачам теории наследственной упругости Представления решений Распространение волн Экспериментальные методы определения реологических характеристик

2 6

Количество часов практические лабораторные занятия занятия – – 4 –

4

2

–

4

2

–

4 4 4

2 4 2

– – –

4 4 4 4 4 4

2 2 2 4 4 2

– – – – – –

4 4 4

6 2 –

– – –

2.3. Лекционный курс Тема 1. Введение 1.1. Понятия упругости, ползучести и пластичности. 1.2. Течение в твердых телах. Понятия о реологии материала, релаксации, диссипации механической энергии. Термическая и внутренняя диссипация. 1.3. Физическое и экспериментальное обоснование введенных понятий. 1.4. Обзор реологических свойств и структуры различных материалов: полимеров, бетона, гелей. Тема 2. Математический аппарат. Операторные ряды Вольтерра–Фреше 2.1. Банаховы пространства. Операторы. 3

2.2. Дифференцируемость. Производная Фреше. Дифференциал Гато. 2.3. Ряд Вольтерра–Фреше. Тема 3. Основные понятия термодинамики и механики сплошной среды 3.1. Кинематика. Конфигурации. Отсчетное пространство. 3.2. Силы. Постулат Коши. Тензор напряжений Коши, уравнения равновесия, функции напряжений. 3.3. Плоское напряженное состояние. 3.4. Градиент трансформации. Меры деформаций. Совместность деформаций. Тензор малых деформаций, формулы Чезаро для определения перемещений, уравнения совместности Сен–Венана, теория дисторсии Вольтерра. 3.5. Плоская деформация. 3.6. Законы состояния. Тема 4. Термодинамические основы консервативных и диссипативных систем 4.1. Термодинамические потенциалы. 4.2. Термодинамические основы диссипации. 4.3. Нормальный диссипативный механизм. 4.4. Термическая диссипация. 4.5. Теорема о независимости термической и внутренней диссипации. Тема 5. Вариационные уравнения 5.2. Вариационные принципы теории упругости. 5.1. Вариационная теорема термовязкоупругости. Функция диссипации. 5.2. Вариационные уравнения вязкоупругости. 5.3. Вариационные уравнения термоупругости. 5.4. Теоремы взаимности. 5.5. Метод Бетти интегрирования упругих уравнений. Интегрирование термоупругих уравнений. Тема 6. Простейшие феноменологические модели теории вязкоупругости 6.1. Простейшие модели упруго-вязкого тела. Модели Фойгта, Максвелла, Томпсона. 6.2. Модели с жестко-пластическими элементами. 6.3. Диаграммы зависимостей напряжения от деформации. 6.4. Явление гистерезиса. Тема 7. Дифференциальные модели теории вязкоупругости 7.1. Дифференциальные законы общего вида. 7.2. Спектр времен запаздывания. Спектр времен релаксации. 7.3. Интегральные зависимости напряжения и деформации. 7.4. Модели с бесконечным количеством элементов. 7.5. Модель консолидации грунта Н.Х.Арутюняна.

4

Тема 8. Наследственно-упругое тело 8.1. Вязкоупругие среды Кельвина-Фойхта. 8.2. Вязкоупругие среды Максвелла. 8.3. Вязкоупругие среды со скрытыми параметрами. 8.4. Общая форма зависимости деформации от напряжения. 8.5. Ядра ползучести и релаксации. 8.6. Условия замкнутого цикла Вольтерра. 8.7. Сингулярные ядра ползучести. 8.8. Э-операторы Работного. Тема 9. Элементы общей теории вискозиметрии 9.1. Объемные и сдвиговые вязкости. 9.2. Динамические эффекты в реологически сложных средах. 9.3. Представление о затухающей памяти. Забывающие меры. 9.4. Общее представление определяющих соотношений в форме операторного ряда Фреше. 9.5. Вязкоупругость при больших деформациях. Тема 10. Стареющие материалы 10.1. Неинвариантное во времени уравнение ползучести. 10.2. Ядра и резольвенты неинвариантных уравнений. 10.3. Применение интегральных преобразований для построения решений неинвариантных уравнений ползучести. 10.4. Динамическая реакция стареющего вязкоупругого стержня. Тема 11. Ползучесть 11.1. Установившаяся и неустановившаяся ползучесть. 11.2. Степенной закон ползучести. 11.3. Решение задач для установившейся ползучести. 11.4. Приближенные методы решения задач для неустановившейся ползучести. 11.5. Установившаяся и неустановившаяся ползучесть круглой пластины. Тема 12. Связаная термоупругость 12.1. Закон сохранения энергии для деформированного тела. Внутрення энергия. 12.1. Баланс энтропии. Закон теплопроводности Фурье. 12.1. Свободная энергия. Закон Дюгамеля-Неймана. Материальные константы. 12.1. Термодинамический потенциал Гиббса. Коэффициенты податливости. 12.1. Полная система уравнений термоупругости.

5

Тема 13. Применение преобразований Лапласа к задачам теории наследственной упругости 13.1. Принцип соответствия Вольтерра. 13.2. Комплексные модули. 13.3. Задачи о подвижной нагрузке. Несовпадение по фазе напряжений и деформаций. 13.4. Простейшие динамические задачи. Динамическая реакция вязкоупругого стержня. Тема 14. Представления решений 14.1. Разложение Гельмгольца. 14.1. Представление решений уравнений термоупругости в виде суммы потенциального и соленоидального полей. 14.1. Самосопряженность упругих операторов и полярность операторов для связанных полей. 14.1. Представление решений в формах Папковича-Нейбера, Буссинеска-Галеркина, Лява. 14.1. Фундаментальные решения. Представления Кельвина–Сомильяны. 14.1. Построение решений связных термоупругих задач в форме спектральных разложений. 14.1. Термоупругая задача для конечного цилиндра. Тема 15. Распространение волн 15.1. Распространение волн в упругих и термоупругих средах. 15.1. Распространентие волн в вязкоупругих средах. 15.1. Периодические и апериодические волны. Тема 16. Экспериментальные методы определения реологических характеристик 16.1. Статические методы. 16.2. Динамические методы. 16.3. Определение реологических характеристик волновых процессов.

6

2.4. Практические (семинарские) занятия п/п 1 2

Номер раздела 2 6

Количество часов 4 4

3

7

4

4

8

4

5

4

4

6

11

4

7

11

4

8

12

4

9

13

4

10

14

2

11

15

2

Тема практического занятия Производная Фреше. Ряды Вольтерра–Фреше. Простейшие модели упруго-вязкого тела. Модели Фойгта, Максвелла, Томпсона. Модели с жесткопластическими элементами. Дифференциальные законы общего вида. Модели с бесконечным количеством элементов. Модель консолидации грунта Н.Х.Арутюняна. Вязкоупругие среды Кельвина-Фойхта. Вязкоупругие среды Максвелла. Вязкоупругие среды со скрытыми параметрами. Общее представление определяющих соотношений в форме операторного ряда Фреше. Вязкоупругость при больших деформациях. Применение интегральных преобразований для построения решений неинвариантных уравнений ползучести. Динамическая реакция стареющего вязкоупругого стержня. Степенной закон ползучести. Решение задач для установившейся ползучести. Приближенные методы решения задач для неустановившейся ползучести. Установившаяся и неустановившаяся ползучесть круглой пластины. Построение решений связных термоупругих задач в форме спектральных разложений. Термоупругая задача для конечного цилиндра. Принцип соответствия Вольтерра. Комплексные модули. Задачи о подвижной нагрузке. Несовпадение по фазе напряжений и деформаций. Динамическая реакция вращающегося вязкоупругого стержня. Распространентие волн в упругих и вязкоупругих средах. Периодические и апериодические волны.

2.5. Лабораторный практикум Лабораторный практикум не предусмотрен.

3. Организация текущего и промежуточного контроля знаний Промежуточный контроль знаний проводится по результатам выполнения заданий на практических занятиях. Итоговый контроль проводится в виде зачета и экзамена. Зачет ставится на основании выполнения заданий на практических занятиях. Экзаменационная оценка ставится на основании письменного и устного ответов по экзаменационному билету.

3.1 Программа экзамена 1. Векторы. Диады. Тензоры. Ранг тензора. Компоненты тензора. Алгебраические операции с тензорами. Симметрические и кососимметрические тензоры. Тензорное произведение. 2. След тензора. Определитель тензора. Разложение тензора на девиаторную и шаровую части. Ортогональные тензоры. Положительно определенные тензоры. 3. Собственные значения и собственные векторы тензора второго ранга. Собственные значения положительно определенного тензора. Собственные значения симметрического тензора. Спектральное

7

разложение симметрического тензора второго ранга. Спектральное разложение тензора второго ранга общего вида. 4. Теорема о квадратном корне. Теорема о полярном разложении. 5. Главные инварианты тензора второго ранга. Теорема Кэли-Гамильтона. 6. Нормированные векторные пространства. Тензорные поля. Дифференцирование тензорных полей. Дифференцируемые тензорные функции. Вычисление производных. 7. Теорема о производной детерминанта. Теорема о производной квадратного корня. Производная произведения, производная сложной тензорной функции. 8. Градиент, дивергенция, вихрь тензорного поля. 9. Теорема о дивергенции. Теорема о локализации. 10. Производные высших порядков тензорных полей. Формула Тейлора. Ряд Тейлора. Ряд ВольтерраФреше. 11. Криволинейные координаты. Ковариантный и контравариантный базисы. Метрический тензор. Символы Кристоффеля. 12. Вычисление градиента, дивергенции и вихря тензорного поля в криволинейных координатах. 13. Ортогональные координаты. Физические компоненты тензора. Дифференциальные операции в ортогональных координатах. 14. Сплошная среда. Деформация сплошной среды. Вектор места. Конфигурации. Материальное и пространственное описания. Материальная, локальная и конвективная производные (по времени). Градиент места. 15. Меры деформаций (Коши-Грина, Альманзи, Фингера, Пиолы). Геометрический смысл компонент мер деформаций. 16. Жесткое перемещение среды. Ортогональные тензоры, сопровождающие деформацию. Левый и правый тензоры искажений. Тензоры деформаций. Малые деформации. Главные удлинения. 17. Определение вектора места по заданной мере деформации. Тензор кривизны Римана-Кристоффеля. Условия совместности деформаций. 18. Жесткие движения. Индифферентные тензоры. Неиндифферентность векторного поля скоростей. Спин. 19. Объективная производная. 20. Материальная производная интеграла. Закон сохранения массы. 21. Тензор напряжений. Постулат Коши, лемма Коши, фундаментальная теорема Коши. Главные напряжения. 22. Моментные напряжения. 23. Тензор напряжений Пиолы. 24. Уравнения движения сплошной среды. 25. Линеаризованные уравнения движения. Уравнения Ламе. 26. Представление Гельмгольца, приведение уравнений Ламе к волновым уравнениям. 27. Представление Папковича-Нейбера. Линейное деформирование упругого слоя. 28. Представление Галеркина. Линейное деформирование толстой плиты. 29. Вариационные принципы линейной теории упругости. Принцип минимума потенциальной энергии. 30. Принцип минимума дополнительной работы. 8

31. Теорема взаимности. 32. Тензор Кельвина-Сомильяны. 33. Численные методы механики сплошных сред. Прямые вариационные методы. Метод Ритца. Метод конечных элементов. Метод граничных элементов. 34. Плоская задача теории упругости. Плоское напряженное состояние. Плоская деформация. Функция напряжений. Решение Гурса. Формулы Лява. Формулы Колосова-Мусхелишвили. Решение первой основной задачи для круга. 35. Экспериментальные методы механики сплошных сред. Метод голографической интерферометрии.

9

3.2 Пример экзаменационного билета Экзаменационный билет I

По дисциплине Факультет Кафедра

Краевые задачи в МСС Механико–математический Механика спошных сред

1. Векторы. Диады. Тензоры. Ранг тензора. Компоненты тензора. Алгебраические операции с тензорами. Симметрические и кососимметрические тензоры. Тензорное произведение.

2. Определение вектора места по заданной мере деформации. Тензор кривизны РиманаКристоффеля. Условия совместности деформаций.

3. Задача.

Зав. кафедрой Составил

д.ф.-м.н., проф. Ю.Н. Радаев к.ф.-м.н. С.А. Лыч¨ев

Дата составления

10

10.12.06

3.3 Темы рефератов (a) Установившаяся и неустановившаяся ползучесть круглой пластины. (b) Определение реологических характеристик среды волновыми методами. (c) Напряженно-деформируемое состояние стареющего и наращиваемого стержня. (d) Модель консолидации грунта Н.Х.Арутюняна. (e) Исторический обзор экспериментальных исследований неупругого деформирования твердых тел.

3.4 Методические рекомендации студенту Целью дисциплины является изучение методов математического моделирования реологически сложных сред. В курсе излагаются основы классической теории упругости, вязкоупругости и ползучести, методы феноменологического описания реологически сложных сред, термодинамические принципы описания диссипативных процессов, теория скрытых переменных состояния, а также приведены различные методы решений линеаризованных начально–краевых задач, в том числе с помощью специальных классов интегральных преобразований. Подробно рассматриваются динамические процессы в вязкоупругих средах с микроструктурой. Обзорно затрагиваются вопросы экспериментальных методов идентификации вязкоупругих моделей. В результате изучения дисциплины слушатели должны иметь представление о способах феноменологического описания реологически сложных сред, термодинамических принципах описания диссипативных процессов, методах экспериментальной идентификации феноменологичских моделей

3.5 Методические рекомендации преподавателю Курс, помимо традиционно излагаемых основ теории упругости и методов решения соответствующих краевых задач, включает элементы теории вязкоупругости и ползучести. Напряженнодеформированное состояние вязкоупругих тел зависит от истории процесса протекания нагружения во времени и характеризуются постепенным исчезновением деформации при полном снятии нагрузки. Термином "ползучесть"называют совокупность явлений, которые можно объяснить, допустив, что зависимость между напряжениями и деформациями содержит время, явно или через посредство некоторых операторов. Свойство ползучести обнаруживают материалы различной природы: металлы, полимеры, горные породы, бетон, лед и т.д. Хотя физические механизмы ползучести у перечисленных материалов различные, феноменологическое описание их макроскопических свойств может быть осуществлено с единых позиций, а именно методами механики сплошной среды и неравновесной термодинамики, в частности, теории скрытых переменных состояния. При этом существенную роль играют универсальные представления определяющих соотношений в форме операторных рядов. В этой связи программа курса включает краткое изложение элементов дифференциального исчисления в векторных пространствах и теории рядов Вольтерра-Фреше. Представленная программа рассчитана на двухсеместровый период обучения студентов по специальности "механика"и состоит из девяти разделов: вводные понятия; элементы дифференциального исчисления в векторных пространствах; основные понятия механики сплошных сред; элементы неравновесной термодинамики; простейшие модели теории вязкоупругости; наследственная упругость; теория стареющих материалов; ползучесть и экспериментальные методы определения реологических характеристик. Предполагается, что материал, включенный в пять первых разделов будет изучаться в течение одного семестра.

4.Технические средства обучения и контроля, использование ЭВМ • Для проведения вычислительных работ на практических занятиях требуется компьютерный класс с установленной программой "Mathematica 5.0".

11

5. Активные методы обучения (деловые игры, научные проекты) • Выполнение индивидуальных заданий с элементами исследования.

6. Материальное обеспечение дисциплины • Учебные классы.

7. Литература 7.1. Основная литература (a) А. И. Лурье. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с. В монографии излагаются основные положения симметричной теории упругости, вводятся тензоры напряжений и деформаций линейной теории (Коши), тензоры напряжений Пиола и меры конечных деформаций, представления решений в формах Папковича-Нейбера, Буссинеска-Галеркина, потенциалы теории упругости. (b) В. Новацкий. Теория упругости. M.: Мир, 1975. 872 с. Детально излагаются термодинамические основы теории упругости, закон Дюгамеля-Неймана, связные задачи термоупругости, представления для диссипативного потенциала. Особое внимание уделено несимметричной теории упругости, континууму и псевдоконтинууму Коссера. (c) Жермен П. Курс механики сплошных сред. М.: "Высшая школа", 1983. 398 с. Изложена общая теория определяющих уравнений и термодинамика сплошных сред. Подробно рассмотрены вязкоупругие среды Кельвина-Фойхта, Максвелла, среды со скрытыми параметрами. (d) Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. M.: Мир, 1974. 338c. Приведено общее построение определяющих соотношений в форме операторного ряда Фреше. Одна из глав целиком посвящена экспериментальным методам определения реологических параметров. (e) Бленд Д. Р. Теория линейной вязкоупругости. M.: Мир, 1965. 390 с. Компактное изложение основ линейной вязкоупругости. (f) Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с. В монографии, наряду с теоретическими основами, излагаются опытные факты, относящиеся к ползучести, и формулируются кинетические уравнения ползучести применительно к различным материалам. (g) Качанов Л. М. Теория ползучести. М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960. 390 с. Систематическое изложение основ теории ползучести. (h) Ржаницын А. Р. Теория ползучести. М.: Изд-во литературы по строительству, 1968. 415 с. Систематическое изложение основ теории ползучести. В книге приведено большое количество примеров решения прикладных задач.

7.2. Дополнительная литература (a) Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с. В книге дано полное и логически строгое изложение механики сплошных сред как математической теории.

7.3 Учебно-методические материалы по дисциплине ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ В РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ за

/

учебный год

В рабочую программу «Краевые задачи механики сплошных сред» для специальности вносятся следующие дополнения и изменения: 12