Классическое введение в современную теорию чисел

К.Айерлэнд, М.Роузен КЛАССИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ В СОВРЕМЕННУЮ ТЕОРИЮ ЧИСЕЛ М.: Мир, 1987, 416 с.

Учебное пособие по теории чисел, написанное известными математиками из Канады и США. От читателя не требуется предварительных знаний. Авторы начинают с простейших понятий и примеров и доводят изложение до современных проблем и результатов теории чисел. В книге приведено много задач различной трудности вместе с указаниями для их решения. Для математиков разной квалификации в качестве введения в предмет, для преподавателей и студентов вузов. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора перевода 5 Предисловие 6 Глава 1. Однозначное разложение на множители 9 § 1. Однозначное разложение на множители в Z 9 § 2. Однозначное разложение на множители в k [x] 15 § 3. Однозначное разложение на множители в областях главных идеалов 18 23 § 4. Кольца Z [i] и Z [ω] Замечания 25 Упражнения 26 Глава 2. Применения однозначного разложения на множители 29 § 1. В Z бесконечно много простых чисел 29 § 2. Некоторые арифметические функции 30 34 § 3. Ряд Σ 1/p расходится 36 § 4. Рост функции π (x) Замечания 40 Упражнения 41 Глава 3. Сравнения 43 § 1. Элементарные наблюдения 43 § 2. Сравнения в Z 44 § 3. Сравнение ax = b (m) 47 § 4. Китайская теорема об остатках 50 Замечания 52 Упражнения 53 Глава 4. Структура группы U (Z/nZ) 55 § 1. Примитивные корни и структура группы U (Z/nZ) 55 § 2. n-степенные вычеты 63 Замечания 65 Упражнения 66 Глава 5. Квадратичный закон взаимности 68 § 1. Квадратичные вычеты 68 § 2. Квадратичный закон взаимности 72 § 3. Доказательство квадратичного закона взаимности 78 Замечания 82

Упражнения Глава 6. Квадратичные суммы Гаусса § 1. Алгебраические числа и целые алгебраические числа § 2. Квадратичный характер числа 2 § 3. Квадратичные суммы Гаусса. § 4. Знак квадратичной суммы Гаусса Замечания Упражнения Глава 7. Конечные поля § 1. Основные свойства конечных полей § 2. Существование конечных полей § 3. Приложение к квадратичным вычетам Замечания Упражнения Глава 8. Суммы Гаусса и Якоби § 1. Мультипликативные характеры § 2. Суммы Гаусса § 3. Суммы Якоби § 4. Уравнение xn + yn = 1 в Fp § 5. Дальнейшие результаты о суммах Якоби § 6. Применения § 7. Общая теорема Замечания Упражнения Глава 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности § 1. Кольцо Z [ω] § 2. Кольца классов вычетов § 3. Характер кубического вычета § 4. Доказательство кубического закона взаимности § 5. Другое доказательство кубического закона взаимности § 6. Характер кубического вычета числа 2 § 7. Биквадратичный закон взаимности: предварительные сведения § 8. Символ вычета степени 4 § 9. Биквадратичный закон взаимности § 10. Рациональный биквадратичный закон взаимности §11. Построение правильных многоугольников § 12. Кубические суммы Гаусса и проблема Куммера Замечания Упражнения Глава 10. Уравнения над конечными полями § 1. Аффинное пространство, проективное пространство и многочлены § 2. Теорема Шевалле § 3. Суммы Гаусса и Якоби над конечными полями

84 87 87 91 93 95 99 100 102 102 106 109 110 110 113 113 117 118 124 125 128 130 131 133 136 137 139 140 144 146 148 149 151 153 158 161 163 165 166 170 170 176 179

Замечания Упражнения Глава 11. Дзета-функция § 1. Дзета-функция проективной гиперповерхности § 2. След и норма в конечных полях § 3. Рациональность дзета-функции гиперповерхности a0 x0m + a1 x1m + ... + an xnm = 0 § 4. Доказательство соотношения Хассе — Дэвенпорта § 5. Последняя запись Замечания Упражнения Глава 12. Теория алгебраических чисел § 1. Алгебраические подготовительные результаты § 2. Однозначность разложения на множители в полях алгебраических чисел , § 3, Ветвление и степень Замечания Упражнения Глава 13. Квадратичные и круговые поля § 1. Квадратичные числовые поля § 2. Круговые поля § 3. Снова квадратичный закон взаимности Замечания Упражнения Глава 14. Соотношение Штикельбергера и закон взаимности Эйзенштейна § 1. Норма идеала § 2. Символ степенного вычета § 3. Соотношение Штикельбергера § 4. Доказательство соотношения Штикельбергера § 5. Доказательство закона взаимности Эйзенштейна § 6. Три приложения Замечания Упражнения Глава 15. Числа Бернулли § 1. Числа Бернулли; определения и приложения § 2. Сравнения для чисел Бернулли § 3. Теорема Хербранда Замечания Упражнения Глава 16. L-функции Дирихле § 1. Дзета-функция § 2. Частный случай

182 183 186 186 195 198

201 203 207 208 210 210 213 221 225 227 230 230 237 245 246 246 249 249 250 254 256 264 269 275 276 279 279 287 296 301 302 305 305 308

§ 3. Характеры Дирихле 309 § 4. L-функции Дирихле 313 § 5. Ключевой шаг 315 321 § 6. Значения L (s, χ) в отрицательных целых числах Замечания 327 Упражнения 329 Глава 17. Диофантовы уравнения 331 § 1. Общие сведения и первые примеры 331 § 2. Метод спуска 334 § 3. Теорема Лежандра 335 § 4. Теорема Софи Жермен 338 § 5. Уравнение Пелля 340 § 6. Сумма двух квадратов 342 § 7. Сумма четырех квадратов 345 § 8. Уравнение Ферма: экспонента 3 349 § 9. Кубические кривые с бесконечным числом рациональных точек 352 2 3 354 § 10. Уравнение y = x + k § 11. Первый случай гипотезы Ферма для регулярных показателей 356 § 12. Диофантовы уравнения и диофантово приближение 359 Замечания 361 Упражнения 362 Глава 18. Эллиптические кривые 364 § 1 Общие замечания 364 § 2. Локальная и глобальная дзета-функции эллиптической кривой 369 373 § 3. y2 = x3 + D, локальный случай 2 3 375 § 4. y = x - Dx, локальный случай § 5. L-функции Гекке 377 2 3 380 § 6. y = x - Dx, глобальный случай 382 § 7. y2 = x3 + D, глобальный случай § 8. Заключительные замечания 384 Замечания 387 Упражнения 388 Указания к отдельным упражнениям 391 Литература 398 Предметный указатель 409 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсолютно неособая Алгоритм Евклида 26 гиперповерхность 200, 365 Аномальное число 388 Автоморфизм Фробениуса 225 Арифметические функции ν(n), σ(n), Алгебраический характер Гекке 377 µ(n), ϕ(n) 30—33 Алгебраическое замыкание 193 Ассоциированные элементы 19 — многообразие 173 Биквадратичный вычет 85 — множество 173 — закон взаимности 153, 154, — число 87

— — — рациональный 158, 159 Бесконечно удаленная гиперплоскость 171 — — точка 171 Вес характера 377 Взаимно простые многочлены 17 — — числа 13 — — элементы 20 Вполне вещественное поле 377 — комплексное поле 377 Гильбертово поле классов 266 Гиперплоскость 184 Гиперповерхность 172, 173 — — абсолютно неособая 200, 365 Гипотеза Артина 57, 65 — Бёрча — Суиннертона-Дайера 372 — Вейля 200 — Пуанкаре 367 — Римана 42, 190, 370 — — расширенная 66 — Кассе 371 — — Вейля 388 Главный идеал 19 Глобальная дзета-функция кривой 371 Грассманово многообразие 208 Группа инерции идеала 225 — разложения идеала 225 Дедекиндово кольцо 213 Делимость 9, 11, 19 Дзета-функция гиперповерхности 187 — кольца Z [i] 344 — кривой глобальная 371 — — локальная .370 — многочлена 187 — поля 385 — Римана 42, 193, 294, 305 Диофантово уравнение 43, 331 Дискриминант числового поля 211, 215 — эллиптической кривой 369 Дополнение к кубическому закону взаимности 143

Дробная часть числа 257 Дробный идеал 226 Евклидова область 18 Единицы 11, 15, 19, 28, 234 Закон взаимности биквадратичный 153, 154 — — — рациональный 158, 159 — — квадратичный 72, 129, 245 — — кубический 143 — — Эйзенштейна 253 Идеал 13 Индекс ветвления 221 — регулярности 286 Инертное число 232 Иррегулярное число 285 Касательная 365 Квадратичная сумма Гаусса 93 — форма 172 Квадратичное числовое поле 230 Квадратичный вычет 68 — закон взаимности 72, 129, 245 — невычет 68 — характер 82 Китайская теорема об остатках 50 Класс вычетов 45 Классы идеалов 217 Кольцо гауссовых целых чисел 24 — целое над R 227 — целых алгебраических чисел 88, 213 Комплексный изоморфизм 377 Конечно порожденный идеал 19 Конечные точки проективного пространства 171 Корень из единицы 79 — — — первообразный 79 — — — примитивный 79 — примитивный по модулю p 57 Кратность пересечения 365 Кривая 365 Критерий неприводимости Эйзенштейна 101 Круговое поле 237 Круговой многочлен 237

Кубический закон взаимности 143 — характер 119 Лемма Гаусса 71, 100 Локальная дзета-функция кривой 370 Малая теорема Ферма 49 Многочлен минимальный 90 — неприводимый 15 — однородный 172 — приведенный 16 — примитивный 100 — редуцированный 177 Многочлены Бернулли 282 Мультипликативная функция 41 Мультипликативный характер 113, 114 Наибольший общий делитель 13, 17, 20 Наименьшее общее кратное 27 Начало координат 170 Независимое множество 368 Неособая кривая 365 — точка 365 Неприводимый многочлен 15 — элемент 19 Нетривиальное решение 331 Норма идеала 249 — элемента 195, 210 Нормальное расширение 223 Область главных идеалов (ОГИ) 19 Обобщенные числа Бернулли 326 Однозначное разложение на множители 12, 16, 23, 221 Однородный многочлен 172 Одночлен 172 Основная теорема арифметики 12 Первообразный корень из единицы 79 Пифагоровы тройки 333 Плотность Дирихле 307 Поле алгебраических чисел 88, 213 — вполне вещественное 377 — — комплексное 377 — определения кривой 365 СМ-поле 377

Полная система вычетов 45 Полностью разлагающееся число 232 Порядок числа по модулю n 60 — — n в p 11 Последняя теорема Ферма 271, 280, 284, 286, 299, 349, 357 Приведенная система вычетов 53 Приведенный многочлен 16 Примерное число 142, 151, 167, 253, 268 Примитивный корень из единицы 79 — — по модулю p 57 — — — — n 58 — многочлен 100 Принцип Хассе 338 Проективное алгебраическое множество 173 — замыкание 173 — пространство 170 Произведение Дирихле 32 Простой дивизор 193 — элемент 19 Простое число 9, 11 Разветвляющееся число 232 Ранг эллиптической кривой 368 Расширенная гипотеза Римана 66 Рациональная точка 366 Рациональное решение 331 Рациональный биквадратичный закон взаимности 158, 159 Регулярное число 280, 285 Редукция кривой 369 Редуцированный многочлен 177 Решение сравнения 47 Символ биквадратичного вычета 151, 152 — вычета степени 4 151, 152 — Кронекера 247 — Лежандра 69 — Якоби 76 — m-степенного вычета 251 След 179, 195, 210 Совершенное число 32 Соотношение ортогональности 312

— Штикельбергера 256 Сопряженные корни 91 — элементы 211 Сопряженный характер 310 Сравнение 44 — Вронского 290 — Куммера 292 Степенной вычет 63 Степень алгебраического числа 91 — точки 193 Сумма Гаусса 93, 117, 181 — Якоби 119, 125, 181 Теорема Вильсона 56 — Дирихле о единицах 235 — — — простых числах 40, 308 — К.лауссена — фон Штаудта . 285 — Лагранжа 345 — Морделла—Вейля 368 — о примитивном элементе 228 — обращения Мёбиуса 33 — Ферма малая 49, 65, 140 — — последняя 271, 280, 284, 286, 299, 349, 357 — Хербранда 298 — Шевалле 176 — Штикельбергера 227 — Эйлера 49 Тождество Эйлера 42 Точка перегиба 366 Уравнение кривой 365 — Пелля 234, 340 Форма 172 Формальный ряд Дирихле 344 Фундаментальная единица 235 Фундаментальное решение 342 Функция Мёбиуса 32 — Эйлера 33 L-функция Дирихле 313 — кривой 371 Характер биквадратичного вычета 152, 169 — вычета степени 4 151, 152 — Гекке алгебраический 377 — Дирихле по модулю т 310

— квадратичный 82 — кубический 119 — кубического вычета 141 — мультипликативный 113, 114 —. сопряженный 310 — тривиальный 113 Целое алгебраическое число 87 — замыкание 228 p-целое число 285 Целочисленное решение 331 Целый базис 215 Числа Бернулли 281 — — обобщенные 326 — Мерсенна 27, 32 — сравнимые по модулю от 44 — Ферма 27, 40 Число алгебраическое 87 — аномальное 388 — инертное 232 — иррегулярное 285 — классов поля 217 — которое может быть построено 162 — мультипликативно совершенное 32 — остающееся простым 232 — полностью разлагающееся 232 — примарное 142, 151, 167, 253, 268 — простое 9, 11 — разветвляющееся 232 — регулярное 280, 285 — решений сравнения 47 — свободное от квадратов 30 — — — кубов 352 — совершенное 32 — целое алгебраическое 87 — p-целое 285 Эквивалентные идеалы 217 — многочлены 177 — решения сравнения 47 — точки 170 Элемент, целый над R 227 — Штикельбергера 296 Эллиптическая кривая 366