Материалы для практических занятий по общей физике. Электричество и магнетизм: Методическое пособие для студентов физико-математического факультета педвуза и учителей физики

Елабужский государственный педагогический университет

А.В.Акулинина, Р.А.Насыбуллин, Ф.М.Сабирова

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО ОБЩЕЙ ФИЗИКЕ

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

Елабуга - 2004

2

55

Печатается по решению Ученого совета Елабужского государственного педагогического университета и рекомендациям УМО учителей физики г.Елабуги. Допущено Учебно-методическим объединением по направлениям педагогического образования Министерства образования Российской Федерации в качестве учебно-методического пособия для студентов, обучающихся по направлению 540200 Физико-математическое образование Составители: старший преподаватель кафедры общей физики ЕГПУ Акулинина А.В.; зав.кафедрой общей физики, канд. физ.-мат. наук, доцент ЕГПУ Насыбуллин Р.А., доцент кафедры общей физики, канд. физ.-мат. наук Сабирова Ф.М. Рецензенты: зав. каф. теорет. физики ЕГПУ, доцент, канд. физ.-мат. наук Богданов Е.И. доцент кафедры экспериментальной физики Омского государственного университета, канд. физ.-мат. наук Лобова Г.Н. учитель-методист, зав. УМО учителей физики г.Елабуги Окулина Н.И.

Акулинина А.В., Насыбуллин Р.А. Сабирова Ф.М. Материалы для практических занятий по общей физике. Электричество и магнетизм. /Методическое пособие для студентов физико-математического факультета педвуза и учителей физики. Елабуга: Изд-во ЕГПУ, 2004. – 54 с.

Елабужский государственный педагогический университет, 2004 ©

Акулинина Александра Васильевна, Насыбуллин Рамиль Асхатович, Сабирова Файруза Мусовна. Материалы для практических занятий по общей физике. Электричество и магнетизм.

(Методическое пособие для студентов физико-математического факультета педвуза)

*

*

*

Технический редактор Сабирова Ф.М.

Договор № ____. Сдано в печать 23.04.04 г. Формат 84х108/82. Объем 3,5 п.л. Тираж 300 экз. Отпечатано 5.05.04 г. Типография ЕГПУ. Издательство ЕГПУ.

423630, г.Елабуга, ул.Казанская, 89.

54

3 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ

Ввведение

3

Предлагаемое пособие предназначено для организации самостоятельной и аудиторной работы на практических занятиях по курсу общей

ЭЛЕКТРОСТАТИКА 1. Закон Кулона. Взаимодействие заряженных тел.

4

физики со студентами физико-математического факультета педагогиче-

2. Напряженность электрического поля.

7

ского института. Здесь собраны задачи по разделу “Электричество и

3. Потенциал электрического поля. Работа по перемеще- 11

профессионального образования по курсу физики для специальности

нию электрического заряда в поле. 4. Электроемкость. Конденсаторы.

магнетизм” в соответствии с Государственным стандартом высшего

15

«Физика с дополнительной специальностью». По каждой теме задачникпрактикум содержит основные уравнения, примеры решения задач, ка-

ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 5. Основные законы постоянного тока

20

чественные и количественные задачи, рекомендованные для обсуждения

6. Правила Кирхгофа (для разветвленных цепей).

25

и решения как на занятиях, так и самостоятельно. Пособие содержит

7. Работа и мощность тока.

28

задачи, в основном, средней трудности, однако имеются и задачи повы-

8. Электролиз. Законы Фарадея.

33

шенной сложности, которые предназначены для самостоятельного ре-

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ 9. Магнитное поле постоянного тока. Действие магнит-

шения наиболее сильными студентами. В конце приведены ответы и 35

ного поля на движущиеся токи.

некоторые табличные данные, которые могут оказаться необходимыми при решении задач.

10. Действие магнитного поля на движущиеся заряды.

39

Пособие может быть рекомендовано и школьным учителям физики,

11. Работа перемещения проводника с током в магнит-

43

работающим с выпускниками, готовящимися к поступлению в вуз, так

ном поле. Электромагнитная индукция. Индуктив-

как названный раздел курса общей физики содержится в программах

ность.

вступительных экзаменов по физике. Задачник будет полезен также учи-

Приложения.

50

телям на занятиях факультативов по решению задач повышенной труд-

Ответы

50

ности и т.д.

Литература

53

4

53 ЭЛЕКТРОСТАТИКА Литература.

Электростатика изучает свойства и взаимодействия покоящихся (относительно данной инерциальной системы отсчета), заряженных частиц и тел. 1. Закон Кулона. Взаимодействие заряженных тел. 1.

Закон Кулона

r F=

r q1 q 2 r , 4πε o εr 2 r 1

где F - сила взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2 ; r - расстояние между зарядами; ε - диэлектрическая проницаемость среды; εоэлектрическая постоянная; εо=

1 4 π ⋅ 9 ⋅ 109

1 =9.109Н.м2/Кл2. 4πε o

Ф/м =8,85.10-12 Ф/м;

Заряд любого тела q=Ne, где е=1,6.10-19Кл – величина элементарного заряда. 2. Закон сохранения зарядов: алгебраическая сумма зарядов электрически изолированной системы есть величина постоянная n

q1+q2+...+qn=

∑q i =1

i

=const.

Примеры решения задач. Задача 1. Три одинаковых положительных заряда по 1 нКл расположены по вершинам равностороннего треугольника (см. рис.) Какой отрицательный заряд нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?

+ q2

⎯F3 ⎯F

q1

r1

q4

q3

r ⎯F2

Дано: q1=q2=q3=1.10-9Кл Найти: q4 -? Решение. Все три заряда, расположенных по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому для решения задачи достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы один из трех зарядов, например q1, находился в равновесии.

1. Балаш В.А.. Сборник задач по курсу общей физики. М.:Просвещение, 1978. 2. Волькенштейн В.С. Сборник задач по физике. - М.: Наука, 1985. 3. Мясников С.П., Осанова Т.Н. Пособие по физике.- М.: Высшая школа, 1981. 4. Новодворская Е.М., Дмитриев Э.М. Методика проведения упражнений по физике во втузе. - М.:Высшая школа, 1981. 5. Парфентьва Н., Фомина М. Решение задач по физике (ч.2) -М.:Мир, 1993. 6. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. М.:Наука, 1982. 7. Сахаров Д.И. Сборник задач по физике. - М.: Учпедгиз. 1960. 8. Тульчинсий М.Е. Сборник качественных задач по физике. М.:Просвещение, 1965. 9. Цедрик М.С.(ред.) Сборник задач по курсу общей физики.М.:Просвещение, 1989. 10. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. - М.: Высшая школа, 1981.

52 8.1. 15,5 мкм. 8.2. m=μIt/2F=0,045 г, где μ- молекулярный вес воды. 8.3.1,6.10-19 Кл. 8.4. 7,5.10-7м/с. 8.5. 53%. 8.6. mNi=34 г, mAg=9,2 г. 8.7. t=m(R+r)/(kε)≈9ч 32 мин.

9.1. Н1=120 А/м, Н2=159 А/м, Н3=135 А/м. 9.2. Н1=199 А/м, Н2=0, Н3=183 А/м. 9.3. Между токами I1 и I2 на расстоянии 3,3 см от точки А. 9.4. Правее точки А на расстояниях 1,8 см и 6,96 см от нее. 9.5. Н=54 А/м. 9.6. I=2πRB/(π+1)μ0. 9.7. Н1=8 А/м, Н2=55,8 А/м. 9.8. U=πρl2/SH=0,12 В. 9.9. а) Н=62,2 А/м, б) Н=38,2 А/м. 9.10. Н=6,67 кА/м. μ I I a2 9.11. Из 4 слоев. 9.12. а) 120 Н, б) нет. 9.13. F= 0 1 2 =5,3 мкН. 9.14. 2 π l (l + a ) B=μmg/(I l)=0,2 Тл. 9.15. Сделать большое число витков из тонкой проволоки. 9.16. На северном географическом полюсе. 9.17. Намагничивание железных вертикальных предметов в магнитном поле Земли доказывает, что напряженность этого поля имеет вертикальную составляющую. 9.19. В обоих случаях притягиваются. 10.1. 3,7.107м/с, 3900 эВ. 10.2. R1/R2=m1/m2=1840. 10.3. F=5.10-15 Н, eB R=3,2 см, Т=1,3 мкс. 10.4. v= h 2 + 4 π 2 R 2 =7,6.106 м/с. 10.5. Ско2 πm рость электрона должна быть направлена перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы Е и В, равна v=E/B=3.106 м/с. 10.6. R=mv sin α/lB=2,4 мм, h=2πmv cos α/ lB=2,6 cм. 10.7. 4,2.10-3 Тл. 10.8. R=(2mE)1/2/ lB=65 см. 10.9. 1,8.10-14Н. 10.10. 433 эВ. 10.11. 3,94 см. 11.1. А=0,2 Дж, Р=20 мВт. 11.2. A=πR2I B cos α=0,31 Дж. 11.3. A=μ0Ннπd2I/2=1,57.10-4 Дж. 11.4. 4,7.10-3 В. 11.5. 4,7.10-3 В. 11.6. B=2U/(ωl2)=0,2Тл. 11.7. 2,65.10-5 с. 11.8. Величина тока в кольце: I μπ dwS Δl ⋅ =-7,4.10-4А, где μ - магнитная проницаемость воздуха. = Δt ρl 11.9. L=πR2NB/I= 1,6 мГн. 11.10. а) 1,5 мГн, б) 5 мГн. 11.11. L=μ0μl12/4πl2=40 мГн. 11.12. L=4lμ ln [(2a-d)/d]=2,2 мГн. 11.13. а) 0,07 Дж, б) бесконечность. 11.14. 4нКл. 11.15. 24 В. 11.16. В катушке возникает большая ЭДС, так как ЭДС индукции пропорциональна длине проводника, движущегося в магнитном поле, т.е. пропорциональна числу витков катушки. 11.17. В телефонных проводах будет индуцироваться переменная ЭДС, создающая помехи разговору. 11.18. Ток самоиндукции, возникающий при размыкании, заряжает конденсатор и не проходит поэтому в виде искры через рубильник.

5 В соответствии с принципом суперпозиции на заряд действует каждый заряд независимо от остальных. Поэтому заряд q1 будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю:

r

r

r

r

⎯ F1 + F2 + F3 + F4 = 0 ,

(1)

r r r r где F1 , F2 , F3 ,⎯ F4 – силы, с которыми соответственно действуют на r r r заряд q1 заряды q2 , q3 и q4, ⎯ F – равнодействующая сил ⎯ F2 и F3 . r r Так как силы ⎯ F и⎯ F4 направлены по одной прямой, то векторное равенство (1) можно заменить скалярной суммой: F – F4=0 , или F = F 4. Выразив в последнем равенстве F через F2 и F3 и учитывая, что F2 = F3, получим: F 4= F 2 2(1 + cos α ) . Применяя закон Кулона и имея в виду, что q2=q3= q1, найдем 1 q1q2 1 q12 2(1 + cos α ) , = 4 πε 0 εr12 4 πε 0 εr 2

q4=

откуда

q1r12 r2

(2)

2(1 + cos α ) .

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что r1=

r

2 = r ; cos 300 3

примет вид:

cos α= cos 60o=0,5. С учетом этого формула (2)

q4= q1 / 3 ;

q4=0,58.10-9 Кл = 0,58 нКл

Задача 2. Два одинаково заряженных шарика, имеющие массу 0,5 г каждый и подвешенные на нитях длиной 1 м, разошлись на 4 см друг от друга. Найти заряд каждого шарика. Дано: m1=m2=m=0,5г=5.10-4 кг, l=1м; r=4 cм=4.10-2м. Найти: q1=q2=q-? Решение. Так как шарики заряжены, то на каждый из них действует сила электростатиче-

r

ского отталкивания ⎯ F э. Кроме того на шарики r действует сила тяжести mg и сила натяжения

r нити⎯ F н. Направления сил указаны на рисун-

ке. По условию равновесия равнодействующая всех сил равна нулю:

α ⎯Fн х ⎯Fэ y

r r

mg

6

где Fэ=

r r r F э+ mg + F н=0

(1),

2

1 q . Выбираем систему координат х0у и запишем уравне4 πε o r 2

ние (1) в проекциях на оси 0х и 0у: (2) 0х: Fэ–Fн sinα= 0 (3). 0у: mg –Fн сosα = 0 Fэ/mg= tg α Уравнение (2) делим на уравнение (3): По условию r << l , поэтому tg α ≈ sinα = r/2l . Тогда из (4): q2/4πεo=mgr/(2l), отсюда q =

(4).

4πε 0 mgr 3 ; q= 1,3.10-9 (Кл). 2l

Задачи для самостоятельного решения. 1.1. Два точечных заряда, находясь в воздухе (ε=1) на расстоянии 20 см друг от друга, взаимодействуют с некоторой силой. На каком расстоянии нужно поместить заряды в масле, чтобы получить ту же силу взаимодействия? 1.2. Два положительных точечных заряда q и 4q закреплены на расстоянии 60 см друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд q1 так, чтобы он находился в равновесии. 1.3. Два точечных заряда q=1,1 нКл каждый находятся на расстоянии 17 см. С какой силой и в каком направлении они действуют на единичный положительный заряд, находящийся на таком же расстоянии от каждого из них?. 1.4. В центр квадрата, в каждой вершине которого находится заряд q=2,33 нКл, помещен отрицательно заряд qо. Найти этот заряд, если на каждый заряд q действует результирующая сила F=0. 1.5. В вершинах шестиугольника помещены одинаковые положительные заряды 10 нКл каждый. Какой отрицательный заряд надо поместить в центре шестиугольника, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю? 1.6. Два шарика одинаковых радиуса и массы подвешены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам заряда qo=0,4 мкКл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол 2α=60о. Найти массу каждого шарика, если расстояние от центра шарика до точки подвеса 20 см. 1.7. Два шарика одинаковых радиуса и массы подвешены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются. Какой заряд нужно сообщить шарикам, чтобы сила натяжения нитей стала равной 98

51 5.1. q=0,5Iτ=50 Кл. 5.2. 200. 5.3. l=500 м, d=1мм. 5.4. 5/6 Ом. 5.5. 5,4 В. 5.6. 2294,5оС. 5.7. Соединенные параллельно R2 и R3соединить последовательно с R1. 5.8. r=2R, Rобщ =4R. 5.9. а) 0,5 Ом, б) ≈0,3 Ом. 5.10. 77 мА. 5.11. 4 А, 10А, 6,25 А, 2,5 А, 1,25 А. 5.12. 6,4 В. 5.13. В первом. 5.14. 99 Ом 5.15. 0,01 Ом. 5.16. На границах электролита образуются действительные заряды, изменяющие поле. 5.17. Силовые линии следуют всем изгибам трубки или провода. Это вызывается наличием действительных зарядов на стенках трубки (или на изоляции провода). 5.18. Для улучшения электрической проводимости стыков. 5.19.Уменьшится. 5.20. а) Нуль. б) Влево. в) Показания А2 все время меньше показания А2. г) Увеличится. 5.21. При движении ползунка влево разность потенциалов на клеммах вольтметра уменьшается, но при переходе в точку С показания вольтметра, строго говоря, будут меньше в два раза. 6.1. 11=1/3 А , 12=2/3 А, 13=1 А. 6.2. а) U1=0,27В, U2 =1,27В, U3 =2,23В. б)0,73 В. 6.3. 0,5 Ом, 0,33 Ом, 0,5 Ом. 6.4. 11=1,5 А, 12=2,5 А, 13=4 А 6.5. Без вычислений видно, что 14=0, так как R4 закорочено. Приняв это во внимание, находим 11=0,4 мА, 12=0,7 мА, 13=1,1А. 6.6. E=I4 [R1(R2R5+R5R3+R4R5+R2R4)+R3(R2R4+ R2R5+R5R1)]/(R5R3). 6.7. I1=0,87 А, I2=−1,31 А. 6.8. 11=0,6 А, 12=−2,9 А, 13=−2,3 А. 6.9. 11=12=0,44 А, 13=0,88 А, 14=2,75 А, 15=2,18 А, 16=1,45 А, 17=3,63 А. 6.10. 13=0, U3=0 7.1. n=U(U0-U)S/(lρP)=23 7.2. 16 т. 7.3. Из вычислений и графика зависимости мощности от R нагрузки следует, что из спиралей нужно составить нагреватель сопротивлением, как можно более близким к 20 Ом, т.е. к r. Использовать лишь спираль сопротивлением 20 Ом нельзя, так как при этом потребляемая мощность будет R R 1

2

равна Р=(ε/(R+r))2R=5Вт, что противоречит усR4 R3 ловию задачи, так как каждая из спиралей рассчитана на мощность не более 2 Вт. Из всех возможных схем соединения спиралей наилучшая имеет вид, представленный на рис. 7.4. 3,4.10-6м2. 7.5. 25 А, 333 кДж. 7.6. τ=Rmc(t2-t1)/(U2η), где с и t2= 100оС - удельная теплоемкость и температура кипения воды. 7.7. а) 30 мин, б) 6 мин 40 с. 7.8. Р=605 Вт, I =2,75 А, t=17,3 мин. 7.9. I1=20A, η1=0,17; I2=4A, η2=0,83. 7.10. 4,5кВт, 540 Вт, 3,96 кВт, 88%. 7.11. 42%, 6,45 Вт, 50%. 7.12. 12 В; 2 Ом. 7.13. 100кДж. 7.14. 1 кДж. 7.15. 1 А/с. 7.17. От охлаждения проволоки ее сопротивление уменьшается и ток увеличивается. 7.20. Лампа Л5

50 Приложения Диэлектрическая проницаемость диэлектриков. ____________________________________________________________ Воск Вода Керосин Масло

7,8 81 2 5

Парафин Слюда Стекло Фарфор

6 6 6 6

Эбонит Парафинированная бумага

2,6 2

Удельное сопротивление проводников (при 0оС), мкОм.м. __________________________________________________ Алюминий Графит Железо

0,025 0,039 0,087

Медь Нихром Ртуть

0,017 100 0,94

Свинец Сталь

0,22 0,10

7 мН? Расстояние от центра шарика до точки подвеса 10 см, масса каждого шарика 5 г. 1.8. Два заряженных шарика одинаковых радиуса и массы подвешены на нитях одинаковой длины и опущены в жидкий диэлектрик, плотность которого равна ρ и диэлектрическая проницаемость равна ε. Какова должна быть плотность ρо материала шариков, чтобы углы расхождения нитей в воздухе и в диэлектрике были одинаковыми. 1.9. В элементарной теории атома водорода принимают, что электрон обращается вокруг ядра по круговой орбите. Определить скорость электрона, если радиус орбиты 53 пм, а также частоту вращения электрона. 1.10. Почему заряженный проводник, покрытый пылью, быстро теряет свой заряд?

2. Напряженность электрического поля. Ответы. 1.1. 8,94 см. 1.2. На расстоянии 40 см от заряда 4q. 1.3. 0,59 нН. 1.4. - 2,23 нКл. 1.5. 18,27 нКл. 1.6. 15,6 г. 1.7. 1,1 мкКл. 1.8. ρо= ερ/(ε-1). 1.9. 219 м/с, 6,59.1014с-1. 1.10 На пыльной шероховатой поверхности заряды распределяются с большой плотностью на выступах пылинок, с которых они быстро стекают. 2.1. а) Е=0, б)60 кВ/м, в)30 кВ/м. 2.2. 112 кВ/м. 2.3. За отрицательным зарядом на расстоянии d( 2 + 1 ). 2.4. а) 20 мкН, б) 126 мкН, в) 62,8 мкН. 2.5. 36ГВ/м. 2.6. Fl =3,4 Н/м. 2.7. 3,12 МВ/м. 2.8. 5,1 кН/м2. 2.9. 17 мкПа. 2.10. а) При постоянстве напряжения между пластинами. б) При постоянстве зарядов. 3.1. 1,2 мкДж. 3.2. а) 11,3 В, б) 30 В. 3.3. 113 мкДж. 3.4. 4,8 мм. 3.5. 22 мкм. 3.6. 9,6.10-14 Н; 1,05.1017м/с2; 3,24 м/с; 5,3 мкКл/м2. 3.7. 480 нс, 22 см. 3.8. 1,33.107м/с, 41о21’. 3.9. В 2,24 раза. 4.1. 710 мкФ, Δϕ=1400 В. 4.2. 3,6 кВ. 4.3. 3 см. 4.4. В данном случае q1=q2. С1=17,7 пФ, С2=46 пФ, σ1=σ2=q/S=531 нКл/м2. 4.5. В данном случае U1=U2. Тогда С1=17,7 пФ, С2=46 пФ, σ1=531 нКл/м2, σ2=1,38 нКл/м2. 4.6. Е=U/ (x ln (R/r)=136 кВ/м. 4.7. а) 300 В, б) 75 В. 4.8. 1,17 нФ, 2,1 м. 4.9. 0,33 мкФ. 4.10 q1=q2=8 мкКл, U1=4 В, U2=2В. 4.11. 0,05 Дж. 4.12. 7 мм, 7 нКл, 1,46 пФ, 15,8 мкДж. 4.13. Е= 60кВ/м, W1=20 нДж, W2=8 мкДж. 4.14. Е1 =Е2= 150 кВ/м, W1=20 мкДж, W2=50 мкДж. 4.15. Да, т.к. потенциал не зависит от массы. 4.16. Одинаково.

1. Напряженность электрического поля в данной точке

r r E = F / q0

где ⎯F - сила, действующая на точечный положительный (пробный) заряд q0, помещенный в эту точку. 2. Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r от заряда,

E=

1

q . 4πε o εr 2

3. Теорема Остроградского-Гаусса. Поток вектора напряженности

r E через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды: 1 n ∫ En dS = ∑ qi ,

ε 0ε

S

i =1

n

где

∑q i =1

i

- алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкну-

той поверхности, n - число зарядов. 4. Напряженность электрического поля бесконечно большой равномерно заряженной плоскости:

E=

σ , 2ε 0ε

где σ - поверхностная плотность заряда. Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенному по поверхности, к площади этой поверхности:

σ=Δq/ΔS.

8 5. Напряженность электрического поля, созданного несколькими заряженными телами (принцип суперпозиции полей):

r n r E = ∑ Ei , i =1

r где Ei – напряженность поля отдельного заряда. r Если в любой точке поля E =const, поле называется однородным. Примеры решения задач. Задача 1. Стальной шар радиусом 0,5 см, погруженный в керосин, находится в однородном электрическом поле напряженностью 35 кВ/см, направленной вертикально вверх. Определите заряд шара, если он находится во взвешенном состоянии. Дано: R=0,5 cм=5.10-3 м, Е=35 кВ/см=35.105В/м; ρ=7,8.103кг/м3плотность стали, ρк=8.102 кг/м3 -плотность керосина. Найти: q-? Решение. На шар действуют: а) сила Fэ со стороны электрического поля Fэ=qE, У б) сила тяжести: mg=ρVg=ρ(4/3)πR3g ; E ⎯FA в) выталкивающая сила (сила Архимеда) ⎯Fэ FA=ρкVg=ρк(4/3)πR3g, где V=(4/3)πR3 - объем шара. q Под действием этих сил шар находится в равновесии, т.е. r r mg r r FЭ + mg + FA = 0 . В проекции на ось ОУ: Fэ–mg +FA=0, или qE= mg – FA, тогда qE= (4/3)πR3g(ρ–ρк). 3 Отсюда q= (4/3E)πR g(ρ-ρк) q=10,5.10-9 Кл. Задача 2. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами 30 нКл и -10 нКл. Расстояние между зарядами равно 20 см. Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии 15 см от первого и на расстоянии 10 см от второго зарядов. Дано: q1=3.10-8Кл, q2=10-8Кл, d=0,2 м, r1=0,15 м; r2=0,10 м. Найти: E-?

r

r

r

Решение. Согласно принципу суперпозиции E = E1 + E 2

E1 =

| q1 | , 4πε o r12 1

E2 =

| q2 | . 4πε o r22 1

49 тивность системы катушек, если, не меняя расположение катушек, переменить направление тока в одной из них на обратное? 11.11. Найти индуктивность соленоида, полученного при намотке провода длиной l1=10 м на цилиндрический железный стержень длиной l2= 10 см. Магнитная проницаемость железа μ=400. 11.12. Определить индуктивность петли из двух проводов. Длина петли 1500 м, диаметр проводов 1 мм, расстояние между осями проводов 2 см. Магнитным полем внутри проводов можно пренебречь. 11.13. а) определить энергию магнитного поля, если по петле из двух проводов (см. предыд. задачу) идет ток силой 8 А. б) решить ту же задачу, считая провод бесконечно тонким. 11.14. Проволочный виток, имеющий площадь 100 см2, разрезан в некоторой точке и в разрез включен конденсатор емкостью 40 мкФ. Виток помещен в однородное магнитное поле, линии индукции которого перпендикулярны плоскости витка. Индукция магнитного поля изменяется со скоростью 10-2 Тл/с. Определить заряд конденсатора. 11.15. При изменении тока от 1 А до 10 А в соленоиде, содержащем 400 витков, его магнитный поток увеличился на 6.10-3 Вб. Чему равна средняя ЭДС самоиндукции, возникающая в соленоиде, если изменение тока произошло за 0,1 с. 11.16. Почему для обнаружения индукционного тока замкнутый проводник лучше брать в виде катушки? 11.17.Почему телефонные провода не следует подвешивать на столбах с проводами переменного тока. 11.18. В какой момент искрит рубильник: при замыкании или размыкании? Если параллельно рубильнику включить конденсатор, искрение прекращается. Объясните явление.

48 лить работу, которую нужно совершить против магнитных сил, чтобы удалить виток из поля. 11.3. Ось катушки, имеющей w=1000 витков диаметром d=10 см, расположена горизонтально по земному магнитному меридиану. По катушке идет ток I=0,5А. Горизонтальная составляющая земного магнетизма HH = 200 А/м. Какую работу надо произвести, чтобы повернуть катушку на 180оС? 11.4. В центре плоской круглой рамки, состоящей из 50 витков радиусом 20 см каждый, расположена маленькая рамка, состоящая из 100 витков площадью 1 см2 каждый. Эта рамка вращается вокруг одного из диаметров первой рамки с постоянной угловой скоростью ω=300 с-1. Найти максимальное значение E инд, если в обмотке первой рамки идет ток 10 А.. 11.5. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым током 20 А на расстоянии 1 см находятся две шины, параллельные току. По шинам поступательно перемещается проводник длиной 0,5 м. Скорость его 3 м/с, постоянна и направлена вдоль шин. Найти разность потенциалов, возникающую на концах проводника. 11.6. Чему равна индукция однородного магнитного поля, если при вращении в нем прямолинейного проводника длиной l=0,2 м вокруг одного из его концов с угловой скоростью ω=50 рад/с на концах проводника возникает разность потенциалов U=0,2 В? 11.7. Проволочный контур, имеющий форму равностороннего треугольника со стороной 10 см, помещен в однородное магнитное поле с индукцией 0,5 Тл так, что плоскость контура составляет угол 30о с направлением поля. В некоторый момент времени поле начинает равномерно уменьшаться и через некоторый промежуток времени спадает до нуля. Определить этот промежуток времени, если ЭДС индукции в контуре равна 40 В. 11.8. В катушке без железного сердечника , имеющей 100 витков, диаметр сечения 10 см и длину 50 см, величина тока равномерно увеличивается на ΔI = 0,1 А за Δt=1 с (посредством реостата). На катушку надето кольцо из медной проволоки с площадью сечения 2 мм2. Считая, что магнитные потоки, пронизывающие катушку и кольцо, в любой момент равны между собой, найти ток в кольце. 11.9. В длинной катушке радиусом R=2 см, содержащей N=500 витков, сила тока I=5 А. Определить индуктивность катушки, если индукция магнитного поля внутри катушки B=12,5 мТл. 11.10. а) две катушки с индуктивностями 5 мГн и 3 мГн включены последовательно и расположены так, что их магнитные поля взаимно усиливают друг друга. Индуктивность этой системы оказалась равной 11 мГн. Чему равна взаимная индукция катушек? б) Какова будет индук-

9 ⎯Е1 r1 q1

π-α r

α ⎯E ⎯ E2 r2

q2

Вектор ⎯Е1 направлен по силовой линии от заряда q1, так как q1>0, вектор⎯Е2 направлен также по силовой линии, но к заряду q2, так как q2 < 0. Абсолютное значение вектора Е найдем по теореме косинусов:

Е= E12 + E22 + 2 E1E2 cos α ,

где угол α может быть найден из треугольника со сторонами d, r1 и r2:

cos α=( d2 - r12 - r22)/( 2r1 r2)=0,25.

E=

1 4πε 0

q12 q 22 |q ||q | + 4 + 2 12 22 cos α 4 r1 r2 r1 r2

Произведя вычисления, найдем Е=16,7 кВ/м. Задача 3. Электрическое поле создано бесконечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью σ=400 нКл/м2, и бесконечной прямой нитью, заряженной с линейной плотностью τ=100 нКл/м. На расстоянии 10 см от нити находится точечный заряд 10нКл. Определить силу, действующую на заряд, ее направление, если заряд и нить лежат в одной плоскости, параллельной заряженной плоскости. Дано: σ =4.10-7Кл /м2, τ=10-7Кл/м, q =10-8Кл, r=0,10 м. Найти: F - ? Решение. Сила, действующая на заряд, помещенный в поле F= qE, ⎯E ⎯E1 где Е - напряженность поля в точке, в которой находится заряд q. τ r q ⎯E2 Поле, создаваемое бесконечно заряженной плоскостью, однородно, и его напряженность в любой точке σ Е1=σ/(2ε0). Поле, создаваемое бесконечно заряженной нитью, неоднородно. Его напряженность зависит от расстояния и определяется по формуле Е2=τ /(2πε0r).

r

r

r

Согласно принципу суперпозиции E = E1 + E 2 .

r r E1 и⎯ E 2

взаимно перпендикулярны, то E =

выражение Е1 и Е2 в это равенство, получим:

Так как векторы

E12 + E22 . Подставляя

10 2

2

⎛ σ ⎞ ⎛ τ ⎞ 1 τ2 2 ⎟ +⎜ ⎟ = . E = ⎜⎜ σ + ⎟ ⎜ ⎟ 2ε 0 π 2r 2 ⎝ 2ε 0 ⎠ ⎝ 2πε 0 r ⎠ Тогда сила, действующая на заряд: F = qE =

τ q σ2 + 2 2 2ε 0 π r

47 Решение. По закону Джоуля-Ленца количество теплоты, выделившееся в обмотке соленоида при протекании по ней постоянного тока за время t:

Q =I2 R t,

2

F = 289 мкН. Направление силы, действующей на положительный заряд, совпадает с направлением вектора напряженности ⎯Е поля. Направление же вектора ⎯Е задается углом α к заряженной плоскости. Из рисунка следует, что tg α= E1/E2=πrσ/τ, откуда α=π arctg (πrσ/τ)=51o34’. Задачи для самостоятельного решения. 2.1 В вершинах правильного шестиугольника расположены три положительных и три отрицательных заряда. Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника при различных комбинациях в расположении этих зарядов. Каждый заряд 1,5 нКл; сторона шестиугольника 3 см. 2.2. Два точечных заряда 7,5 нКл и -14,7 нКл расположены на расстоянии 5 см. Найти напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстояниях 3 см от положительного и 4 см от отрицательного заряда. 2.3. Два точечных заряда 2q и –q находятся на расстоянии d друг от друга. Найти положение точки на прямой, проходящей через эти заряды, напряженность поля в которой равна нулю. 2.4. Найти силу, действующую на заряд 11,1 мкКл, если заряд помещен : а) на расстоянии 2 см от заряженной нити с линейной плотностью заряда τ=0,2 мкКл/м; б) в поле заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ=20 мкКл/м2; в) на расстоянии r=2 см от поверхности заряженного шара с радиусом R=2 см и поверхностной плотностью заряда σ=20 мкКл/м2. Диэлектрическая проницаемость среды ε=6. 2.5. Найти напряженность электрического поля на расстоянии 0,2 нм от одновалентного иона. Заряд иона считать точечным. 2.6. С какой силой Fl электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на единицу длины заряженной бесконечно длинной нити, помещенной в это поле? Линейная плотность заряда на нити τ=3 мкКл/м и поверхностная плотность заряда на плоскости σ=20 мкКл/м2.

где R - сопротивление медного провода обмотки соленоида, R= ρ

l , S

l=π d N - длина провода, S=π dпр2/4 - площадь поперечного сечения провода. Так как витки соленоида намотаны вплотную друг к другу, то

4 ρdN 3 . Следовательно: l2 4 I 2 ρ dN 3 t

dпр= l/N. Тогда S=π l2/4N, а R= Q=

l2

.

(1).

По условию Q=W, где W - энергия магнитного поля соленоида.

W=

LI 2 , L = μμ0n2lS, 2

где n=N/l – число витков на единицу длины катушки. L =

Q=

μ 0π d 2 N 2 I 2 8l

.

μ 0 πd 2 N 2 . 4l

(2)

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) :

4 I 2 ρ dN 3 t μ 0 π d 2 N 2 I 2 = . 8l l2 Отсюда: t =

μ 0 πld ; t=1,47.10-6c. 32 ρN Задачи для самостоятельного решения.

11.1. В однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл движется равномерно проводник длиной 10 см. По проводнику течет ток 2 А. Скорость движения проводника 20 см/с и направлена перпендикулярно к направлению магнитного поля. Найти работу перемещения проводника за время 10 с и мощность, затраченную на это перемещение. 11.2. Виток радиусом R=10 см, по которому течет постоянный ток I=20 А, помещен в магнитное поле с индукцией B=1 Тл, так что его нормаль образует с вектором магнитной индукции угол α=60о. Опреде-

46 ρπdN l где R= ρ = - сопротивление обмотки. S1 S1

qi =

S 1 dB ; 2ρ

qi = 0,14 Кл.

Задача 4. В однородном магнитном поле, индукция которого 0,25 Тл, находится плоская катушка радиусом 25 см, содержащая 75 витков. Плоскость катушки составляет 60о с направлением вектора индукции. β ⎯В Определить вращающий момент , действующий α на катушку в магнитном поле, если по виткам течет ток 3 А. Какую работу надо совершить, чтобы удалить катушку из магнитного поля? Дано: В=0,25 Тл, R=0,25 м, N=75, β=60o, I=3 A. Найти: М - ? Авн - ? Решение. На катушку, содержащую N витков, со стороны магнитного поля действует вращающий момент: М=NpmB sin α, 2 где pm=I S, S=πR , α=(π/2) –β. Следовательно: М= NIπR2 sin (π/2 - β).

М= NIπR2 cos β;

М=22 Н.м.

Работа магнитного поля при удалении из него катушки А=I (Ф2 Ф1). Следовательно, чтобы удалить катушку из поля, к ней надо приложить внешнюю силу, которая совершит при этом работу:

Авн=-А= I (Ф1 -Ф 2). Ф1= NВS cos α= NВS cos (π/2 - β)= NВπR2 sin β, Ф2=0, т.к. В2=0. Авн= I N Вπ R2 sin β Авн=9,5 Дж. Задача 5. Соленоид длиной 50 см и диаметром 0,8 см имеет 20000 витков медного провода и находится под постоянным напряжением. Определить время, в течение которого в обмотке соленоида выделится количество теплоты, равное энергии магнитного поля в соленоиде. Дано: ρ=1,7.10-8Ом.м, N=2.104, d=0,8.10-2м, l=0,5 м. Найти: t - ?

11 2.7. Две длинные одноименно заряженные нити расположены на расстоянии 10 см друг от друга. Линейная плотность заряда на нитях τ1=τ2=10мкКл/м. Найти модуль и направление напряженности результирующего электрического поля в точке, находящейся на расстоянии 10 см от каждой нити. 2.8. С какой силой Fs на единицу площади отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости? Поверхностная плотность заряда на плоскостях 0,3 мКл/м2. 2.9. Две бесконечные параллельные пластины равномерно заряжены с поверхностной плотностью σ1=10 нКл/м2 и σ2=–30 нКл/м2. Определить силу взаимодействия между платинами, приходящуюся на площадь, равную 1 м2. 2.10. В каком случае сила заряженных двух пластинок: а) прямо пропорциональна электрической проницаемости среды? б) обратно пропорциональна ей?

2.11. Может ли существовать электростатическое поле, силовые линии которого - параллельные прямые, а напряженность возрастает в направлении, перпендикулярном силовым линиям поля? параллельно силовым линиям поля? 2.12. Заряженный металлический лист свернули в цилиндр. Как изменится поверхностная плотность зарядов? 2.13. Тело во время скольжения по наклонной плоскости наэлектризовалось. Повлияет ли это на время скольжения и скорость движения в конце плоскости? 3. Потенциал электрического поля. Работа по перемещению электрического заряда в поле. 1. Потенциал электрического поля в данной точке ϕ = W / q0, где W- потенциальная энергия, которой обладает пробный заряд q0 вследствие его взаимодействия с полем в данной точке пространства. Предполагается, что потенциальная энергия и потенциал в точках, бесконечно удаленных от источника поля, равны нулю. 2. Потенциал электрического поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r от него: ϕ>0 при q>0 [ϕ] = В. q , ϕ= ϕ<0 при q<0

4πε 0εr

3. Потенциал поля, созданного несколькими заряженными телами:

12

ϕ = ϕ1 + ϕ2+ ...+ ϕn =

n

∑ϕ i =1

i

n

где

∑ϕ i =1

i

- алгебраическая сумма потенциалов полей, созданных отдель-

ными зарядами. 4. Работа при перемещении заряда q0 из точки с потенциалом ϕ1 в точку с потенциалом ϕ2: А = q0 (ϕ1 - ϕ2) = q0U, где U - разность потенциалов (напряжение). Поверхность, все точки которой имеют равные потенциалы, называются эквипотенциальной. 5. Связь напряженности и потенциала:

Е=

ϕ1 − ϕ 2 d

=

U , d

где d - расстояние между эквипотенциальными поверхностями с потенциалами ϕ1 и ϕ2. [E]=В/м. Примеры решения задач. Задача 1. Шарик массой 1 г перемещается между точками, потенциал первой 600 В, второй - равен нулю. Определить скорость шарика в первой точке, если во второй точке его скорость 30 см/с. Заряд шарика 10 нКл. Дано: m=10-3 кг, ϕ1=600 В, ϕ2=0, v2=0,3 м/с, q=10-8 Кл Найти: υ 1=? Решение. Шарик перемещается в электрическом поле под действием силы со стороны поля. Работа этой силы А = q (ϕ1 - ϕ2). По теории

mυ 22 mυ12 об изменении кинетической энергии А=ΔЕК, где ΔЕК = − 2 2 mυ 22 mυ12 изменение кинетической энергии шарика. q(ϕ1–ϕ2)= . − 2 2 2 qϕ 1 Отсюда υ 1= υ 22 − ; v1=0,28 (м/с). m

Задача 2. Два шарика, радиусы которых 5 и 8 см, а потенциалы 120 и 50В, соединяют проводом. Найти потенциалы шаров после их соединения и заряд, прошедший с одного шара на другой. Дано: R1=5.10-2 м, R2=8.10-2м, ϕ1=120 В, ϕ2=50 В. Найти: ϕ - ? Δq -?

45 А= FΔх=FvΔt=IBlvΔt. 2 способ. Работа по перемещению проводника в магнитном поле А=I ΔФ, где ΔФ= Ф2 - Ф1 - изменение магнитного потока. В данном случае ΔФ= В ΔS, где ΔS - площадка, которую пересекает проводник при своем движении за промежуток времени Δt. Из рисунка видно, что ΔS=lvΔt. Тогда

А =IBlvΔt А=0,3 Дж. Задача 3. В однородном магнитном поле с индукцией 6.10-2 Тл находится соленоид диаметром 8 см, имеющий 80 витков медной проволоки сечением 1 мм2. Соленоид поворачивают на180о за время 0,2 с так, что ось остается направленной вдоль линий индукции поля. Определите среднее значение ⎯В электродвижущей силы, возниd ⎯n кающей в соленоиде, и индукционный заряд, прошедший по соленоиду. Дано: В= 6.10-2Тл, d=8.10-2м, N=80, S1=10-6м2, α=180о, Δt=0,2с, . ρ=1,7.10-8Ом.м Найти: εi - ? qi - ? Решение. По закону Фарадея ЭДС индукции, возникающая в соле-

ноиде εi = – N (ΔФ /Δt), где ΔФ - изменение магнитного потока, пронизывающего контур. ∧

r r r Ф=В S cos ( В n ) – магнитный поток, n – вектор нормали к

плоскости контура. В данном случае магнитный поток изменяется при

r

r

повороте соленоида, так как изменяется угол между векторами В и n : α1=0, α2=180о. ΔФ = Ф2 – Ф1=В S (cos α2 - cos α1) = – 2BS, где S=πd2/4 – площадь сечения контура. Тогда εi =

εi =0,24 В.

N 2 Bππ 2 4 Δt

Заряд, индуцированный в катушке:

qi =I Δt =| Ei | Δt/R=N ΔФ/R,

44 где L - индуктивность контура, [L] = Гн (генри). 6. Индуктивность длинного соленоида:

13 Решение. Потенциал уединенного заряженного шара ϕ:

L = μ μ0 n2 l S,

ϕ1

R1

где n=N/l - число витков на единицу длины катушки. 7. Энергия магнитного поля соленоида

q1

LI . 2

Задача 1. В магнитном поле с индукцией 10-2 Тл вращается стержень длиной 0,2 м с постоянной угловой скоростью 100 с-1. Найдите ЭДС индукции, возникающую в стержне, если ось вращения проходит через конец стержня параллельно линиям индукции магнитного поля. Дано: В=10-2 Тл, l =0,2 м, ω=100 с-1. Найти:E i -? Решение. При вращении стержня в маг× × × × нитном поле на заряды в стержне действует Δϕ сила Лоренца. За счет этого электроны сме× × × × щаются к одному концу стержня, а на другом скапливается положительный заряд. Это × × × × приводит к возникновению разности потенω циалов U= : = –(ΔФ /Δt), ii i × × × × где ΔФ - магнитный поток, проходящий через поверхность, описываемую стержнем за время Δt.

ε

ε

ΔФ = В ΔS ,

где ΔS - площадь сектора, описываемого стержнем.

ΔS=Δϕ l2/2=ω l2Δt /2, ΔФ =Вω l2Δt /2;

т.к. Δϕ =ω Δt.

εi = Вω l2 /2

εi =2.10-2 В.

Задача 2. В однородном магнитном поле, индукция которого 1 Тл, движется равномерно прямой проводник длиной 20 см, по которому течет ток 2 А. Скорость проводника равна 15 см/с и направлена перпендикулярно вектору индукции. Найти работу перемещения проводника за 5 с. Дано: В=1Тл, l=20 см, I=2 A, v=0,15 м/с, Δt=5 c. Найти: A - ? Решение. 1 способ. Работа по перемещению проводника в учетом закона Ампера:

×

×

×

×

l ×

⎯v × ×

×

vΔt

магнитном поле с

q2

ϕ=

q

4πε 0 R

.

Тогда, зная ϕ1 и ϕ2 , можно определить заряды (1) шаров q1 и q2: q1=4πε0R1ϕ1 q 1’ q 2’ и q2=4πε0R2ϕ2 (2). После соединения шаров произойдет перераспределение зарядов между шарами и потенциалы шаров станут равными ϕ. Заряды шаров после соединения q1’=4πε0R1ϕ (3) и q2’=4πε0R2ϕ (4). По закону сохранения электрических зарядов q1+q2= q1’+q2’. Учитывая соотношения (1)-(4): R1ϕ1+ R2ϕ2=ϕ(R1+R2). Отсюда: ϕ = (R1ϕ1+ R2ϕ2)/(R1+R2) (5) Заряд, перешедший с одного шара на другой: Δq=q1-q1’=4πε0R1(ϕ1 - ϕ) (6). После вычислений по формулам (5) и (6) получим ϕ

2

W=

R2

ϕ2

ϕ

ϕ=77 В, Δq=2,4.10-10Кл.

Задача 3. Электрон влетает в плоский воздушный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью 106 м/с. Длина конденсатора 1 см, напряженность электрического поля в нем 5.103 В/м. Найти скорость электрона при вылете из конденсатора и его смещение Δy. Дано: v0=106 м/с; l=10-2м, Е=5.103 В/м; me=9?1/10-31 кг; qe=1,6.10-19 Кл. Найти: v - ? Δy -? Решение. Сила тяжести, действующая на электрон Fт=mg=9.10-30 Н. Со стороны электрического поля на электрон действует сила Fэ =qe E=1,6.10-19.5000 =8.10-16Н. Следовательно, Fт << Fэ. Можно считать, что движение электрона происходит только под действием силы l Fэ. Так как вектор начальной скорости − − − − − − x электрона ⎯υ0 параллелен пластинам, ⎯v0 то траектория электрона - парабола. vx Движение электрона можно рассматриvy ⎯v вать как сумму двух движений - вдоль + + + + + + осей 0х и 0y. Вдоль оси 0х - движение y равномерное со скоростью υ0. Поэтому l =υ0 t, где t - время движения в поле конденсатора, откуда:

14

t=l /υ0

(1). Вдоль 0У - движение равноускоренное под действием силы Fэ =qe E. По второму закону Ньютона Fэ = me a. Отсюда ускорение электрона: а= (qe E)/ me . (2) Начальная скорость вдоль оси 0у: υ0y=0. Тогда перемещение вдоль оси 0у: Δy= аt2/2. Учитывая (1) и (2), получим: Δy=qe E l2 / (2meυ0) Δy=4,4 .10-2 м. Скорость электрона в момент вылета из конденсатора направлена по касательной к траектории его движения. Она равна: υ = υ x2 + υ y2 , где υx=υ0,

υy=at=(qe E l)/(me υ0) =8,8.106 (м/с).

Тогда υ=

1012 + 8,8 2 .1012 =8,85.106 (м/с)

43 Индукция магнитного поля 0,1 Тл. Найти кинетическую энергию протона. 10.11. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 3 кВ, влетает в магнитное поле соленоида под углом 30о к его оси. Число ампервитков соленоида IN=5000 А.в. Длина соленоида 25 см. Найти шаг винтовой траектории электрона в магнитном поле. 10.12. В некоторой области пространства заряженная частица движется по прямой. Можно ли утверждать, что в этой области отсутствует магнитное поле? 10.13. Пучок электронов движется параллельно прямому проводу, по которому в том же направлении течет ток. Как будет отклоняться пучок электронов? 11. Работа перемещения проводника с током в магнитном поле. Электромагнитная индукция. Индуктивность. 1. Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток)

Задачи для самостоятельного решения. 3.1. Два шарика с зарядами q1=6,66 нКл и q2=13,33 нКл находятся на расстоянии r1= 40 см. Какую работу надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния r2= 25 см? 3.2. Найти потенциал ϕ точки поля, находящейся на расстоянии r =10 см от центра заряженного шара радиусом R =1 см. Задачу решить, если: а) задана поверхностная плотность заряда на шаре σ=0,1 мкКл/м2; б) задан потенциал шара 300 В. 3.3. Какая работа совершается при перенесении точечного заряда q=20 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии r =1 см от поверхности шара радиусом R=1 см с поверхностной плотностью заряда σ=10 мкКл/м2. 3.4. Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора U=90 В. Площадь каждой пластины S=60 см2, ее заряд q=1 нКл. На каком расстоянии d друг от друга находятся пластины? 3.5. Расстояние между пластинами плоского конденсатора 4 см. Электрон начинает двигаться от отрицательной пластины в тот момент, когда от положительной пластины начинает двигаться протон. На каком расстоянии от положительной пластины встретятся электрон и протон? 3.6. Электрон летит от одной пластины конденсатора до другой. Разность потенциалов между пластинами U=3кВ; расстояние между пластинами d=5 мм. Найти силу, действующую на электрон, ускорение электрона, скорость, с которой электрон приходит ко второй пластине, и поверхностную плотность заряда на пластинах.

Ф = В S cos α,

^ где α = (⎯n ⎯В ) - угол между вектором нормали к поверхности. [Ф] = Вб (вебер). 2. Работа перемещения проводника с током в магнитном поле: А=I ΔФ, где ΔФ = Ф2 -Ф1 - изменение магнитного потока. 3. Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея) - ЭДС индукции численно равна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего контур:

ε=

−

ΔФ . Δt

По закону Ленца индукционный ток имеет такое же направление, при котором создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшему индукционный ток. Математически это учтено знаком «минус». 4. При равномерном движении проводника длиной l в однородном магнитном поле (В=const) на концах проводника возникает ЭДС:

ε = B l υ sin α.

5. ЭДС самоиндукции возникает в контуре при изменении силы тока в этом же контуре: ΔI Ф=L I, =–L , Δt

ε

42 Задачи для самостоятельного решения. 10.1. Траектория пучка электронов, движущихся в вакууме в магнитном поле с индукцией В=7.10-3 Тл, - дуга окружности с радиусом R=3 см. Определить скорость и энергию электронов. 10.2. Протон и электрон, двигаясь с одинаковой скоростью, влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус кривизны траектории протона больше радиуса кривизны траектории электрона. 10.3. α-частица, кинетическая энергия которой 500 эВ, влетает в однородное магнитное поле, перпендикулярное к направлению ее движения. Индукция магнитного поля 0,1 Тл. Найти силу, действующую на α-частицу, радиус окружности, по которой движется α-частица, и период обращения α-частицы. 10.4. Электрон движется в магнитном поле, индукция которого B=2 мТл, по винтовой линии с радиусом R=2 см и шагом h=5 см. Определить скорость электрона. 10.5. Однородное электрическое (Е=3В/см) и магнитное (В=0,1мТл) поля направлены взаимно перпендикулярно. Каковы должны быть направление и величина скорости электрона, чтобы его траектория была прямолинейна? 10.6. Электрон, движущийся в вакууме со скоростью υ=106 м/с, попадает в однородное магнитное поле с индукцией B=1,2 мТл под углом α=30о к силовым линиям поля. Определить радиус винтовой линии, по которой будет двигаться электрон, и ее шаг. 10.7. Электрон, обладающий энергией 103 эВ, влетает в однородное электрическое поле Е=800 В/см перпендикулярно силовым линиям поля. Каковы должны быть направление и величина индукции магнитного поля, чтобы электрон не испытывал отклонений? 10.8. Найти скорость α-частицы, которая при движении в пространстве, где имеются взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля, не испытывают никакого отклонения. Магнитная индукция поля B=6 мТл, напряженность электрического поля E=6 кВ/м. Направление скорости α-частицы перпендикулярно В и Е. 10.9. Определить силу, действующую на электрон в момент, когда он пересекает под прямым углом ось соленоида в непосредственной близости от его конца. Сила тока в соленоиде 2 А, число витков на единицу длины 3000 м-1. Скорость электрона 3.10- м/с. Магнитную проницаемость среды принять равной единице. 10.10. Протон влетает в однородное магнитное поле под углом 30о к направлению поля и движется по винтовой линии радиусом 1,5 см.

15 3.7. Электрон с некоторой скоростью влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них. Напряженность поля в конденсаторе E=100 В/м; расстояние между пластинами d=4 см. Через какое время t после того, как электрон влетел в конденсатор, он попадет на одну из пластин? На каком расстоянии s от начала конденсатора электрон попадет на пластину, если он ускорен разностью потенциалов U=60В? 3.8. Электрон влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью 107 м/с. Напряженность поля в конденсаторе 10 кВ/м; длина конденсатора 5 см. Найти модуль и направление скорости электрона при вылете его из конденсатора. 3.9. Протон влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью 1,2.105 м/с. Напряженность поля внутри конденсатора 3 кВ/м; длина конденсатора 10 см. Во сколько раз скорость протона при вылете из конденсатора будет больше его начальной скорости? 4. Электроемкость. Конденсаторы. 1. Электроемкость уединенного проводника, имеющего заряд q и потенциал ϕ: С= |q| / ϕ; [C] = Ф (фарада). 2. Электроемкость уединенного металлического шара радиусом r:

С=4πε0ε r.

3. Электроемкость конденсатора - двух проводников, на которых находятся равные по модулю, но противоположные по знаки заряды q: C=|q| / U, где U - разность потенциалов между обкладками конденсатора. 4. Электроемкость плоского конденсатора:

C=

εε 0 S d

,

где S - площадь пластины, d - расстояние между пластинами. 5. При последовательном соединении конденсаторов:

q1= q 2= ...= q n= q 0;

n

U 0 = U 1 + U 2 + ... + U n = ∑ U i ; i =1

n 1 1 1 1 1 = + + ... + =∑ C0 C1 C 2 C n i =1 Ci

6. При параллельном соединении конденсаторов:

41

16

U1=U2=...=Un=U0;

q0 = q1+ q2+ ...+qn= ∑ q i ; i =1

n

C0=C1+C2+...+Cn= ∑ Ci . i =1

7. Энергия поля заряженного конденсатора:

qU CU 2 q2 = = ; 2 2 2C для плоского конденсатора: W=εε0E2Sd/2. W=

Примеры решения задач. Задача 1. Три заряженные водяные капли радиусом 1 мм каждая сливаются в одну большую каплю. Найти потенциал большой капли, если заряд малой 10-10 Кл. Дано: r=1.10-3 м, n=3, q=10-10 Кл. Найти: ϕ - ? Решение. Потенциал большой капли ϕ=Q/C, где Q - заряд большой капли. Радиус R большой капли найдем из закона сохранения массы: M=nm, где М =ρ(4/3)πR3, а m=ρ(4/3)πr3. Тогда R3=n r3. R = r n1/3. Отсюда:

ϕ=

nq ; 4πε 0 r 3 n

h= υ || T= υT cos α,

n

ϕ = 1,87.103 В.

Задача 2. Расстояние между пластинами плоского воздушного конденсатора, присоединенного к источнику напряжения с ЭДС 180 В равно 5 мм. Площадь пластин конденсатора 175 см2. Найти работу по раздвижению пластин до расстояния 12 мм, если конденсатор перед раздвижением пластин отключен от источника.

Дано: ε =180 В, d1 =5.10-3 м, d2 =12.10-3 м, S = 1,75.10-2 м2. Найти: А - ? Решение. При раздвижении пластин меняется емкость конденсатора, а заряд на пластинах остается постоянным, так как конденсатор отключен от источника. Следовательно, меняется энергия заряженного конденсатора. Работа по раздвижению пластин равна изменению энергии конденсатора, т.е. А=ΔW=W2 − W1 , (1) где W1=q2/(2C1), W2=q2/(2C2). Емкость конденсатора до раздвижения пластин C1 = ε 0 S / d 1 , а после раздвижения пластин емкость: C 2 = ε 0 S / d 2 .

где Т – период обращения протона.

2πR 2πmυ ⊥ 2πm = = . υ⊥ qBυ ⊥ qB 2πmυ cos α h= qB -3 -2 R=9.10 м =9 мм; h=3,2.10 м=3,2 см.

Т=

Задача 3. Заряженные частицы, заряд которых 3,2.10-19 Кл, ускоряются в циклотроне в однородном магнитном поле с индукцией В=101 Тл и частотой ускоряющегося напряжения 6 МГц. Найти кинетическую энергию частиц в момент, когда они движутся по радиусу 2 м. Дано: В=10-1Тл, q=3,2.10-19 Кл, ν=6 МГц, R=2 м. Найти: Ек - ? Решение. Циклотрон состоит из двух половинок полого цилиндра (дуантов), между которыми создается переменное электрическое поле. Частота изменения разности потенциалов между дуантами подобрана так, что частица каждый раз попадает в ускоряющее поле. Частица движется по окружности под действием силы Лоренца Fл =qvB. При этом

∼U

Fл =ma=mυ2/R,

2

где a=v /R - центростремительное ускорение. Отсюда:

R=mυ/(qB).

Период обращения частицы на такой орбите Т=

2πR 2πm . Для попа= υ qB

дания частицы в ускоряющее электрическое поле необходимо условие. T =

1

ν

2πm 1 = . Отсюда qB ν qBR аυ= = R ⋅ 2πν . m

Следовательно

m=

qB ; 2πν

Тогда

EК = Ек =2,4.10-12 Дж.

mυ 2 = qBR 2 πν 2

40 При этом ⎯Fл ⊥⎯υo. Эта сила изменяет направление скорости. Протон в магнитном будет двигаться по дуге окружности радиуса R и вылетит из поля под углом α к первоначальному направлению. Из рисунка следует, что sin α = l / R. Радиус окружности R найдем из условия

Fл = mpа,

m p υ0 qpB

. Следовательно

α = arcsin

sin α = qpВ l / mpυo.

lq p B m p υ0 h

Задача 2. Протон влетает со скоростью 10 м/с в однородное магнитное поле под углом 60о к линиям индукции. Определите радиус и шаг спиральной линии, по которой будет двигаться протон, если модуль вектора индукции магнитного поля равен В=10-3 Тл. 3

⎯B

⎯υ ⊥ ⎯υ ⎯Fл

υ||

R

r

r

Направлена эта сила перпендикулярно υ ⊥ и В (на нас – по «правилу левой руки»). За счет этой силы протон будет двигаться по окружности радиуса R с центростремительным ускорением а=υ⊥2/R. По второму закону Ньютона тогда q υ⊥ B= mυ⊥ /R. Отсюда:

R=

U1=ε. Таким образом, А =ε0Sε A=7.10-7 Дж=700 нДж.

2

(d2 − d1)/(2 d12) d

E

Дано: ε= 2 B, d=10-2 м, S=5.10-3м2, ε=2. Найти: ΔС- ? ΔW -? Решение. Такой конденсатор, наполовину заполненный диэлектриком можно представить как два параллельно соединенных конденсатора с площадью пластин S’ = S/2, один из которых заполнен диэлектриком. Тогда С1=ε0S’/d=ε0S/2d - емкость первого, воздушного, конденсатора, а С2=εε0S/2d -емкость второго, заполненного диэлектриком. Общая емкость

С=С1+С2=(ε+1)ε0S/2d.

Дано: υ=103 , α =60о, В=10-3Тл, m=1,67.10-27кг, q = 1,6.10-19Кл Найти: R - ? h - ? Решение. r Разложим вектор скорости υ по двум направлениям – вдоль поля и перпендикулярно ему. Тогда υ⊥=υ sin α приведет к действию силы Лоренца: Fл = qυB sin α= q υ⊥ B.

2

Заряд на пластинах найдем из условия q=C1U1 = ε0Sε / d1, так как

Задача 3. Пластины плоского конденсатора подключены к источнику с E = 2 B. Определите изменение емкости и энергии электрического поля конденсатора, если конденсатор наполовину заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε=2. Расстояние между пластинами d=1 см, площадь пластин S=50 см2.

где Fл=qpυo В. Здесь а=vo /R - центростремительное ускорение. qpυoВ= mpυo2/R. 2

Отсюда R =

17

Fл =ma,

mυ ⊥ mυ sin α = qB qB

За счет второй составляющей скорости υ || протон равномерно движется равномерно вдоль линии магнитной индукции. Тогда

Первоначальная емкость С0=ε0S/d. Отсюда изменение емкости

ΔС = С − С0 = (ε+1)ε0S/2d − ε0S/d = (ε − 1) ε0S/2d, ΔС =(ε − 1)ε0S/2d

Изменение энергии конденсатора ΔW = C ε2/2 − C0ε2/2 = ΔС ε2/2, После вычислений получим: ΔС =2,21.10-12 Ф. ΔW =4,42.10-12Дж. Задача 4. В плоский воздушный конденсатор вставляется металлическая пластина толщиной d0. Заряд на обкладках конденсатора q. Конденсатор отключен от источника. Расстояние между пластинами d, площадь пластин S. Определить изменение емкости конденсатора и энергии электрического поля. Дано: q, d0, d, S. Найти: ΔС-? ΔW - ? Решение. На металлической пластине индуцируется заряд, причем внутри пластины поле равно нулю. Конденсатор с

а)

б)

+ l1

−+ −+ −+ −+ −d0 l2

− l1

l2

18 вставленной пластиной можно представить как два последовательно соединенных конденсатора с емкостями: С1=ε0S/l1 и С2=ε0S/l2, где l1 и l2 - расстояния от обкладок до металлической пластины (рис. б). Сум-

l l l +l 1 1 1 = + = 1 + 2 = 1 2. C C1 C 2 ε 0 S ε 0 S ε0S Так как l1 + l2= d –d0, то С= ε0S/(d -d0).

марная емкость равна:

Изменение электроемкости равно:

ΔС = С − С 0 =

ε0 S ε S ε 0 Sd 0 − 0 = >0, d − d0 d (d − d 0 )d

то есть емкость конденсатора увеличивается, причем не зависит от локализации пластины. Изменение энергии электрического поля ΔW= W1 - W2: ΔW=

q2 q2 q2 − = 2C 2C 0 2

⎛ d − d0 q2d0 d ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = − − <0. ε0 S ⎠ 2ε 0 S ⎝ ε0 S

Энергия электрического поля уменьшилась, так как уменьшается объем, в котором создается поле, напряженность же поля в пространстве между пластинами остается прежней. Задачи для самостоятельного решения. 4.1. Найти емкость земного шара. Считать радиус земного шара 6400 км. На сколько изменится потенциал земного шара, если ему сообщить заряд 1 Кл? 4.2. Восемь заряженных водяных капель радиусом 1 мм и зарядом 0,1 нКл каждая сливаются в одну общую водяную каплю. Найти потенциал большой капли. 4.3. Требуется изготовить конденсатор емкостью С=250 пФ. Для этого на парафинированную бумагу толщиной d=0,05 мм наклеивают с обеих сторон кружки станиоля. Каким должен быть диаметр D кружков станиоля? 4.4. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 0,01м2, расстояние между ними 5 мм. К пластинам приложена разность потенциалов U1=300 В. После отключения конденсатора от источника напряжения пространство между пластинами заполняется эбонитом. Какова будет разность потенциалов между пластинами после заполнения? Найти емкость конденсатора С1 и С2 и поверхностные плотности заряда σ1 и σ2 на пластинах до и после заполнения. 4.5. Решить предыдущую задачу для случая, когда заполнение пространства между пластинами изолятором производится при включенном источнике напряжения.

39 ла тока I=10 А. При создании магнитного поля, вектор индукции которого перпендикулярен плоскости шин, проводник приходит в движение. Определить индукцию поля, если коэффициент трения проводника о шины μ=0,2. 9.15. Как построить сильный электромагнит, если поставлено условие, чтобы ток в электромагните был сравнительно слабым? 9.16. В каком месте Земли магнитная стрелка обоими концами показывает на юг? 9.17. Почему стальные оконные решетки с течением времени намагничиваются? 9.18. Почему два параллельных проводника, по которым проходят токи в одном направлении, притягиваются, а два параллельных катодных пучка отталкиваются? 9.19. Как взаимодействуют соседние витки соленоида, когда по ним течет постоянный ток? Переменный ток? 10. Действие магнитного поля на движущиеся заряды. Сила Лоренца – сила, действующая на заряд, движущийся со скоростью υ в магнитном поле с индукцией В:

r∧r где α = ( υ B ).

r rr F = q[υ B] ; F = q υB sin α;

Примеры решения задач. Задача 1. Протон влетает в область однородного магнитного поля шириной l , индукция маг-

r

⎯B ⎯v0

нитного поля В . Скорость протона υo перпендику-

r лярна индукции поля В и границе области. Под

каким углом α к первоначальному направлению движения протон вылетит из области поля?

r

R ⎯v0

α

α l

Дано: В , l , qp, mp, υo. Найти: α - ? Решение. На протон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца, направление которой определяется «правилом левой руки».

38 9.6. Прямой бесконечный проводник имеет круговую петлю радиусом R=80 см (см. рис.9.6). Определить силу тока в проводнике, если I М2 I1 М1 известно, что в точке А магнитная индукция B=12,5 мкТл. R A 9.7. Два прямолинейных бескоI2 С В нечно длинных проводника расположены перпендикулярно друг к другу Рис.9.6. Рис.9.7 и находятся в одной плоскости (рис.9.7). Найти напряженности магнитного поля в точках М1 и М2 , если токи I1 =2 А, I2=3А. Расстояния АМ1=АМ2=1 см и ВМ1=СМ2=2 см. 9.8. Ток 20 А, протекая по кольцу из медной проволоки сечением 1 мм2, создает в центре кольца напряженность магнитного поля 178 А/м. Какая разность потенциалов приложена к концам проволоки, образующей кольцо? 9.9. Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга. По виткам текут токи I1 =I2=4 А. Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков. Задачу решить, когда: а) токи в витках текут в одном направлении; б) токи в витках текут в противоположных направлениях. 9.10 Катушка длиной 30 см имеет 1000 витков. Найти напряженность магнитного поля внутри катушки, если по катушке проходит ток 2 А. Диаметр катушки считать малым по сравнению с ее длиной. 9.11. Из проволоки диаметром 1 мм надо намотать соленоид, внутри которого должна быть напряженность магнитного поля 24 кА/м. По проволоке можно пропускать предельный ток 6А. Из какого числа слоев будет состоять обмотка соленоида, если витки наматывать плотно друг к другу? Диаметр катушки считать малым по сравнению с ее длиной. 9.12. Шины электростанции представляют собой параллельные медные полосы длиной 3 м, находящиеся на расстоянии 50 см. При коротком замыкании по ним может пойти ток 10 000 А. а) С какой силой взаимодействуют при этом шины? б) Изменится ли ответ, если шины сделать не медными, а железными? 9.13. В поле бесконечно длинного прямолинейного проводника, в котором сила тока I1= 20 А, находится квадратная рамка со стороной a=10 см, в которой сила тока I2=1 А. Проводник и рамка расположены в одной плоскости так, что две стороны рамки перпендикулярны к проводнику. Расстояние от проводника до ближайшей стороны рамки l=5 см. Определить силу, действующую на рамку. 9.14. На двух параллельных шинах, расположенных горизонтально на расстоянии l=10 см, лежит толстый проводник массой m=100 г. Шины подключены к источнику напряжения, и в проводнике возникает си-

19 4.6. Радиус центральной жилы коаксиального кабеля r=1,5 см, радиус оболочки R=3,5 см. Между центральной жилой и оболочкой приложена разность потенциалов U=2,3 кВ. Найти напряженность электрического поля на расстоянии x=2 см от оси кабеля. 4.7. Каким будет потенциал шара радиусом 3 см, если: а) сообщить ему заряд 1 нКл, б) окружить его концентрическим шаром радиусом 4 см, соединенным с землей? 4.8. Найти емкость сферического конденсатора, состоящего из двух концентрических сфер с радиусами 10 см и 10,5 см. Пространство между сферами заполнено маслом. Какой радиус должен иметь шар, помещенный в масло, чтобы иметь такую же емкость? 4.9. Найти емкость системы конденсаторов, С1 С3 изображенной на рисунке 4.9. Емкость каждого конденсатора 0,5 мкФ. С2 4.10 Разность потенциалов между точками А и Рис 4.9 В 6 В (см.рис.4.10). ЕмА С1 С2 В кость первого конденсатоРис.4.10. ра 2 мкФ и емкость второго конденсатора 4 мкФ. Найти заряды q1 и q2 и разности потенциалов U1 и U2 на обкладках каждого конденсатора. 4.11. Шар радиусом 1 м заряжен до потенциала 30кВ. Найти энергию заряженного шара. 4.12 Шар, погруженный в керосин, имеет потенциал 4,5 кВ и поверхностную плотность заряда 11,3 мкКл/м2. Найти радиус, заряд, емкость и энергию шара. 4.13. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 0,01м2, расстояние между ними 2 см. К пластинам приложена разность потенциалов U1=3 кВ. Какова будет напряженность поля конденсатора, если, не отключая его от источника напряжения, пластины раздвинуть до расстояния 5 см? Найти энергии конденсатора до и после раздвижения пластин? 4.14 Решить предыдущую задачу при условии, что сначала конденсатор отключается от источника напряжения, а затем раздвигаются пластины конденсатора. 4.15 Два проводника имеют одинаковую форму и размеры, причем один из них полый, а другой сплошной. Если сообщить каждому из них одинаковый заряд, то будут ли потенциалы равны? 4.16 Заряженный медный и стальной шары одинакового радиуса приводят в соприкосновение. Как распределятся на них заряды?

37

20 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 5. Основные законы постоянного тока. 1. Сила постоянного тока I = q/t, q - заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t. [ I ] = A (ампер). 2. Плотность тока

j =I / S S -площадь поперечного сечения. При равномерном движении заряженных частиц j = nqυ, где n - концентрация частиц, q - заряд одной частицы.

I=

R

=

4. Сопротивление однородного проводника длиной l и площадью

l , S

где ρ - удельное сопротивление вещества проводника.

[R] = Ом; [ρ] = Ом.м.

Зависимость сопротивления от температуры:

ρ=ρ0 (1+ αt),

где ρ0 - удельное сопротивление при 0оС, ρ - удельное сопротивление при toC, α - термический коэффициент сопротивления. 5. Сопротивление соединения проводников: n

а) последовательное

R= ∑ Ri ;

б) параллельное

i =1

n 1 1 =∑ . R i =1 Ri

Здесь Ri - сопротивление i-го проводника, n - число проводников. 6. Закон Ома для замкнутой цепи:

I = ε / (R+r),

μ 0 I1 μ 0 I 2 μ ⎛I ⎞ – = 0 ⎜ 1 − I 2' ⎟ 4πr 2r 2r ⎝ 2π ⎠

μ0 I2 . 2r

Задачи для самостоятельного решения.

U , R

R= ρ

В0=

В 2=

⎞ ⎛ I1 − I 2' ⎟ = 0 , т.е. I2’= I1/2π; π 2 ⎠ ⎝ ΔI2 = I2 -I2’= I2 - I1/2π

где ϕ1 −ϕ2=U - разность потенциалов (напряжение на концах участка), R - сопротивление участка.

поперечного сечения S:

ка». Тогда в проекции на ось OY: μ I В0= В 1 – В 2, где В 1 = 0 1 ; 4πr

Если В0=0, то ⎜

3. Закон Ома для участка цепи, не содержащем ЭДС

ϕ1 − ϕ 2

r r r В0 = В1 + В2 . r r Направления векторов ⎯ В1 и В2 определим по «правилу буравчи-

где ε – ЭДС источника тока, r - внутреннее сопротивление источника, R - сопротивление внешней цепи.

9.1. На рис. 9.1 изображены сечения двух прямолинейных бесконечно длинных проводников с токами. Расстояние между токами АВ=10см, токи I1 =20 А, I2=30 А. I2 I1 Найти напряженности магнитного поля, вызванного токами I1 и I2 в М1 М2 М3 точках М1, М2 и М3. Расстояния А В М1А=2 см, АМ2=4 см и ВМ3=3 см. Рис.9.1. 9.2. Решить предыдущую задачу при условии, что токи текут в одном направлении. 9.3. На рис.9.3 изображены сечения трех прямолинейных бесконечно длинных проводников с токами. РасI1 I2 I3 стояние АВ=ВС=5 см, токи I1 =I2=I, I3=2I. Найти точку на прямой АС, в которой напряженность магнитного поля, А В С Рис.9.3. вызванного токами I1 , I2 и I3, равна нулю. 9.4. Решить предыдущую задачу при условии, что токи текут в одном направлении. 9.5. По двум длинным проводам, расположенным параллельно друг другу на расстоянии 5 см, идут в одном направлении токи 5 А и 10 А. Определить напряженность поля в точке, отстоящей на 2 см от первого и 5 см от второго.

36 где r - радиус витка. в) в центре соленоида : В = μ μ0 I n, где n - число витков на единицу длины соленоида.

21 Примеры решения задач.

6. Если поле создается несколькими источниками, то вектор магнитной индукции в данной точке определяется по принципу суперпозиции :

r r r r В = В 1 + В 2 + В n,

r т.е. результирующее В – это векторная сумма векторов магнитной индукции, создаваемых каждым источником в отдельности. 7. Сила Ампера - сила, действующая на проводник длиной l с током I в магнитном поле с индукцией В: ∧

r rr F = I [B l ] ;

F = B I l sin α,

rr

М=рmВ sin α, между направлениями вектора индукции и нормали к плоскости рамки.

Y ⎯B1 r

C R2

B R3

ε

R1

R3 C R2

R4

ления R’ и R2 соединены последовательно. Их общее сопротивление R” :

R1R3 + R2 . R1 + R3

Участок с сопротивлением R” и R4 соединены параллельно, поэтому их общее сопротивление R’’’:

1 1 1 1 1 = + = + . R' ' ' R ' ' R4 R1 R3 /( R1 + R3 ) + R2 R4 R4 ( R1 R3 + R1 R2 + R2 R3 ) Отсюда: R ' ' ' = . R1 R4 + R3 R4 + R1 R3 + R1 R2 + R2 R3 Общее сопротивление цепи: R= R ' ' ' + r = 4 Ом.

Примеры решения задач.

I1

ε

R1

R1 R3 1 1 1 . Отсюда R ' = . Сопротив= + R1 + R3 R' R1 R3

R” =R’ + R2 =

рm=I S - магнитный момент рамки с током, S - площадь рамки, α - угол

А

Дано: r= 1 Ом, R1=4 Ом, R2=3 Ом , R3=12 Ом, D R4 R4=6 Ом. Найти: R -? Решение. Начертим эквивалентную схему, учитывая, что R1 и R3 соединены параллельно. A,B Сопротивление участка АС R’:

где α = ( B l )

8. Вращающийся момент, действующий на рамку стоком в магнитном поле

Задача 1. Круговой виток радиуса r, по которому течет ток I2 находится вблизи бесконечного прямого провода, по которому течет ток I1. Проводник и виток лежат в одной плоскости. Расстояние от центра витка до проводника равно 2r. Определите индукцию магнитного поля в центре витка. Как должна измениться сила тока I2, чтобы индукция магнитного поля в центре витка стала равна нулю?

Задача 1. Найти полное сопротивление электрической цепи (см. рис.), если внутреннее сопротивление источника 1 Ом, а сопротивление других участков цепи соответственно равны 4, 3, 12, 6 Ом.

O

2r

I2 ⎯B2

Дано: I1, I2, r, 2r . Найти: В0 - ? ΔI2 - ? Решение. Магнитное поле создается прямым проводником с током I1 и круговым витком с током I2. Поэтому индукция в точке О определится по принципу суперпозиции:

Задача 2. Вольтметр с внутренним сопротивлением 2500 Ом, включенный в сеть, показал напряжение 125 В. Определить дополнительное сопротивление, при подключении которого вольтметр показывает 100 В. Дано: R=2500 Ом, U1=125 B, U2=100 B. Найти: Rд - ? Решение. Вольтметр включается параллельно. Дополнительно сопротивление включается последовательно с вольтметром, что позволяет расши-

Rд V

V

U1

U1

35

22 рить пределы измерения прибора. Тогда по законам последовательного соединения: U1=U2+Uд и R/Rд=U2/Uд, откуда: Rд=R(U1-U2)/U2. Rд=625 Ом.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ 9. Магнитное поле постоянного тока. Действие магнитного поля на движущиеся токи

Задача 3. Миллиамперметр предназначен для измерения силы тока не более 10 мА. Что нужно сделать для того, чтобы миллиамперметр можно было применить для измерения силы тока mA до 1 А, если его внутреннее сопротивление 0,9 Ом? I

Rш Iш Дано: I0=10-2A, R0=0,9 Ом, I=1A. Найти: Rш - ? Решение. Миллиамперметр включается в цепь последовательно. Если в цепи сила тока I больше максимальной I0, на которую рассчитан миллиамперметр, то параллельно ему следует включить сопротивление Rш, называемого шунтом. Оно выбирается таким, чтобы сила тока в приборе не превышала I0. По законам параллельного соединения:

I= I0 +Iш и I0 /Iш = Rш/R0.

Откуда : Rш= I0 R0/(I- I0)

Rш=0,1 Ом

r11

r2 r8 r9

r4 r10

r6 r7

1 1 1 3 2 = + = ; R234 = r. 3 R234 r 2r 2r Данное сопротивление соединено последовательно с r1 и r5. Поэтому общее сопротивление этой ветви R’=R234

+ 2 r = 2r/3+2r=8r/3. Аналогично определяется R11,7=R”=8r/3.

сопротивление

r

нижней

ветви:

r

нитного поля: В – вектор индукции, Н – вектор напряженности. 2. B =

Fmax , где Fmax – максимальная сила, действующая на проIl

водник длиной l с током I в магнитном поле.

В=

M max , где Mmax – максимальный момент пары сил, действуюIS

щих на рамку площадью S с током I в магнитном поле. [B] = Тл (тесла). 3. Н0 =

Н=

r3 Задача 4. Определить Rэкв соединения проводников в виде шестиугольника. Сопротивление r5 r1 r2 r4 каждой проволочки r. r6 r12 0 Решение. r10 r8 В силу симметрии очевидно, что токи, теr11 r7 кущие по сопротивлениям r2, r4, r6, r8, r10, r12 одиr9 наковы. Следовательно, ток через узел О отсутствует. Нарисуем эквивалентную схему. Сопротивления r2 и r4, соединены r1 r3 r5 последовательно и оба параллельно r3. Тогда R234 найдем из условия: r12

1. При движении электрических зарядов в пространстве, окружающем эти заряды, возникает магнитное поле. Характеристики маг-

B

μμ 0

B

μ0

– напряженность магнитного поля в вакууме.

– напряженность магнитного поля в среде,

где μ0 - магнитная постоянная, μ0 = 4π10-7Гн/м, μ - относительная магнитная проницаемость среды.

r

r

Связь между В и Н :

r r В = μ μ0 Н .

4. Закон Био-Савара-Лапласа. Индукция магнитного поля, создаваемого элементом проводника длиной , по которому течет ток :

r

r μ μ r r I dВ = 0 [ dl , r ] 3 , 4π r

где r – радиус-вектор, проведенный от элемента проводника в точку, в

r

r

которой определяется индукция dB , r - модуль этого вектора, dl - вектор, численно равный длине dl элемента проводника. 5. Индукция магнитного поля: а) создаваемая прямым бесконечным проводником с током на расстоянии d от него:

B=

μμ 0 I ; 2πd

б) в центре кругового витка с током:

B=

μμ 0 I 2r

,

34

m= k I t, I t = m/k,

откуда

где m - масса кислорода, выделившегося рпри электролизе. По уравне-

m RT , откуда m=pVM/(RT) . M UpVM Тогда Еп= UpVM/(RTk), следовательно Езат= kRTη нию Менделеева-Клапейрона pV =

Езат=6,2.105 Дж= 0,62 МДж. Задачи для самостоятельного решения. 8.1. Никелирование металлического изделия с поверхностью 120 см2 продолжалось 5 часов током 0,3 А. Валентность никеля равна 2, его плотность 8,8.103 кг/м3. Определить толщину слоя никеля. 8.2. Какое количество воды разложится при электролизе раствора серной кислоты в течение 10 мин, если ток равен 0,8 А? 8.3. Определить величину элементарного электрического заряда, если известно, что постоянная Фарадея F=9,65 .104 Кл/моль и число Авогадро NA=6,02.1023 моль-1. 8.4. При серебрении пластинки через раствор электролита проходит ток плотностью 0,6 А/см2. С какой скоростью растет толщина серебряного слоя, если плотность серебра 10,5.103 кг/м3, а его электрохимический эквивалент 1,18.10-6 кг/Кл? 8.5. При силе тока 2,2 А за 1 час 12 мин в электролите, содержащем медь, на катоде выделилась медь массой 1,65 г. Определить КПД установки. 8.6. Три ванны с растворам CuSO4, AgNO3, NiSO4 соединены последовательно. За время прохождения тока в первой ванне выделилась медь массой 10 г. Сколько никеля и серебра выделилось во второй и третьей ваннах соответственно? 8.7. Элемент с ЭДС 1,5 В и внутренним сопротивлением 0,5 Ом замкнут на нагрузку сопротивлением 3 Ом. Найти время работы элемента, в течение которого в нем израсходовано цинка массой 5 г. (Молярная масса цинка 0,0654 кг/моль.

23 Сопротивление R12,6=2r, так как эти сопротивления соединены последовательно. Общее сопротивление 3 3 1 10 Rэкв= + + = ; Rэкв=0,8r 8r 8r 2r 8r Задачи для самостоятельного решения. 5.1. В течение τ=20 с сила тока равномерно возрастала от 0 до 5 А. Какой заряд был перенесен? 5.2. Сколько витков нихромовой проволоки диаметром 1 мм надо навить на фарфоровый цилиндр радиусом 2,5 см, чтобы получить печь сопротивлением 40 Ом? 5.3. Катушка из медной проволоки имеет сопротивление 10,8 Ом. Масса медной проволоки 3,41 кг. Какой длины и какого диаметра проволока намотана на катушке? 5.4. На одном конце цилиндрического медного проводника сопротивлением R0=10 Ом (при 0оС) поддерживается температура 20оС, на другом 400оС. Найти сопротивление проводника, считая градиент температуры вдоль его оси постоянным. 5.5. Найти падение потенциала на медном проводе длиной 500 м и диаметром 2 мм, если ток в нем 2 А. 5.6. Найти температуру нити вольфрамовой лампы накаливания в рабочем состоянии, если известно, что сопротивление нити в момент включения при температуре 20оС в 12,6 раза меньше, чем в рабочем состоянии? 5.7. Как нужно соединить сопротивления R1=2 Ом, R2=3 Ом и R3, чтобы получить систему с R=4 Ом? 5.8. На рисунке 5.8. изображеА R A R R 2R r 2R 2R r ны две электрические цепи, состоящие из резисторов с известными B B сопротивлениями R и 2R и резистор а) Рис.5.8. б) неизвестного сопротивления r. При каком значении r сопротивления обеих цепей, измеренные между точками А и В, окажутся одинаковыми и каково при этом будет общее сопротивление цепей? a) A R1 B R2 C R3 D 5.9. Найти общее сопротивление участка цепи между точками А R5 R6 R4 и D, изображенного на рис.5.9., если R1=0,5 Ом, R2=1,5 Ом, R3=R4=R6=1,0 Ом, R5=0,7 Ом. Соб) A R1 В R2 С R3 D противлением соединительных проводов пренебречь. Рис.5.9.

24

33

5.10. Батарея из 50 последовательно соединенных элементов дает ток во внешнюю цепь, состоящую из железного провода длиной 20 км и с площадью сечения 3 мм2 и аппарата с сопротивлением 90 Ом. ЭДС и внутреннее сопротивление каждого из элементов равны 1,4 В и 0,4 Ом. Определить ток. 5.11. Найти силу тока в отдельных проводниках, если R1=3 Ом, R2=2 Ом, R3= 7,55 Ом, R4= 2 Ом, R5=5 R1 R4 Ом, R6=10 Ом, UAB=100 B. R3 5.12. Какое напряжение можно A B R5 дать на катушку, имеющую 1000 витR2 ков медного провода, со средним Рис.5.11. R6 диаметром витков 6 см, если допус2 тима плотность тока 20 А/мм . 5.13. Два одинаковых сопротивления подключаются к источнику тока последовательно и параллельно. В каком из случаев кпд цепи будет больше? (в первом) 5.14. Вольтметр, подключенный к аккумулятору с внутренним сопротивлением 1 Ом, показывает 1,2 В. Если последовательно с ним включено сопротивление 20 Ом, вольтметр показывает 1 В. Определить сопротивление вольтметра. (99 Ом) 5.15. Амперметр для измерения тока до 2 А с внутренним сопротивлением 0,1 Ом необходимо использовать для измерения токов до 22 А. Какое сопротивление должен иметь шунт? (0,01 Ом). 5.16. Силовые линии электрического тока в проводниках совпадают с линиями тока. Как это согласовать с тем фактом, что в тонком слое электролита (например, в плоской кюветке) линии тока от двух электродов в виде маленьких шариков расположены в этом слое, тогда как силовые линии двух разноименных зарядов располагаются по всем направлениям? 5.17. Каким образом расположены силовые линии внутри изогнутой стеклянной трубки с электролитом, по которому идет ток? Как идут силовые линии в проводе, завязанном узлом? 5.18. Для чего на электрифицированных дорогах на стыках рельсов устраиваются соединители в виде жгутов толстой медной проволоки, приваренных к концам обоих рельсов? 5.19. Как изменится напряжение на зажимах лампы при перемещении ползунка реостата (см. рис.5.19) вправо? Рис.5.19

V

8. Электролиз. Законы Фарадея. Электролиз - явление выделения составных частей растворенных в жидкости веществ при прохождении через нее электрического тока. Законы электролиза:

m = k q = k I t, где m - масса вещества, выделившегося на электроде; k - электрохимический эквивалент, [k] = кг/Кл.

k=

M , nF

где М - молярная масса вещества, n - валентность вещества, F - постоянная Фарадея: F = e NA , где е - заряд электрона, NA - число Авогадро. Примеры решения задач. Задача 1. Определить толщину покрытия медью металлической поверхности электрода в электролитической ванне, если через электролит проходит ток плотностью 300 А/м2 в течение одного часа. Дано: j = 300 А/м2; k = 0,33.10-6 кг/Кл; t=3600 с; ρ = 8,9.103 кг/м3. Найти: h - ? Решение. Масса меди, выделившейся на электроде площадью S равна: m = ρ V = ρ S h, где h - толщина слоя. По закону Фарадея эта же масса m = k q = k It, где k - электрохимический эквивалент. ρ S h = k It. Так как j = I / S, то: h = k I t / ρS = k j t/ ρ. h = 4,6.10-6 м. Задача 2. Сколько электроэнергии надо затратить для получения 3 л кислорода при температуре 27оС и давлении 100 кПа, если электролиз ведется при напряжении 10 В и КПД 75%? Дано: V=3.10-3 м3, Т=300 К, р=105 Па, U=10B, η=0,75, М=32.10-3кг/моль, k = 0,083.10-6 кг/Кл. Найти: Езат - ? Решение. Из определения коэффициента полезного действия

η= Еп/Езат,

где Еп - полезная энергия, Езат=затраченная энергия. Езат=Еп/η. Полезная энергия при электролизе Еп = IUt. Из закона Фарадея для электролиза

32 нератором; мощность потерь внутри источника; мощность потребителя; КПД источника, если его внутреннее сопротивление 0,6 Ом. 7.11. С каким КПД работает свинцовый аккумулятор, ЭДС которого 2,15 В, если во внешней цепи сопротивлением 0,25 Ом сила тока 5 А? На какую максимальную полезную мощность рассчитан аккумулятор? Как изменится при этом его КПД? 7.12. При силе тока 3 А во внешней цепи батареи аккумуляторов выделяется мощность 18 Вт, при силе тока 1 А – соответственно 10 Вт. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление батареи. 7.13. Сила тока в проводнике сопротивлением 100 Ом равномерно возрастает от 0 до 10 А в течение 30 секунд. Определить количество теплоты, выделившееся за это время в проводнике. 7.14. Сила тока в проводнике сопротивлением 12 Ом равномерно убывает от 5 до 0 А в течение 10 секунд. Какое количество теплоты выделяется в этом проводнике за указанный промежуток времени. 7.15. Сила тока в проводнике равномерно увеличивается от 0 до некоторого максимального значения в течение 10 секунд. За это время в проводнике выделилось количество теплоты 1 кДж. Определить скорость возрастания тока в проводнике, если его сопротивление 3 Ом. 7.16. В сеть включаются два амперметра, показывающие одну и ту же величину тока. В каком амперметре поглощается большая мощность, если сопротивление одного амперметра больше другого? 7.17. Ток проходит по стальной проволоке, которая при этом слегка накаляется. Если одну часть проволоки охлаждать, погрузив ее в воду, то другая часть накаляется сильнее. Почему? (Разность потенциалов на концах проволоки поддерживается постоянной.) 7.18. Два проводника одинаковой длины из одного и того же материала сечением один в два раза больше другого включены последовательно в цепь. В каком из этих проводников выделится большее количество теплоты за одно и то же время? Почему? 7.19. В цепь включены параллельно медная и стальная проволоки равной длины и сечения. В какой из проволок будет выделяться большее количество теплоты? 7.20. Пять одинаковых ламп, каждая из 1 2 3 которых рассчитана на напряжение 110 В, 5 включены в цепь под напряжением на участке А 4 B АВ 220 В (см. рис.) Не вычисляя, скажите, какая из ламп будет гореть ярче?

25 5.20. а) Какое напряжение будет на зажимах лампы (см. рис.5.20), если ползунок реостата передвинуть в крайнее правое положение? б) Если ползунок реостата установлен посередине, то в какую сторону нужно передвинуть его, чтобы показания амперметров увеличились? в) Одинаковые ли будут А1 показания амперметров в цепи при различных М К положениях ползунка реостата? г) Как изменится В С А2 напряжение на зажимах лампы при крайнем левом положении ползунка, если последовательно Рис.5.20 V с реостатом включить еще один реостат? 5.21. Что произойдет с показаниями вольтметра при движении ползунка реостата влево (см. рис.5.21)? Будут ли отличаться в два раза показаА В ния, если ползунок передвинуть из точки В в С V С (при АС=СВ)? Рис.5.21.

6. Правила Кирхгофа (для разветвленных цепей). 1. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю: n

∑I = 0 ;

i =1

(или иначе: сумма токов, подходящих к узлу, равна сумме токов, выходящих из узла). 2. В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжений равна алгебраической сумме всех ЭДС, действующих в этом контуре n

n

i =1

i =1

∑ IR = ∑

εi.

Примеры решения задач.

I1 A

I2 I

ε1 ε2

Задача . Рассчитать токи во всех участках цепи, изображенной на рисунке.

r1 r2 R

B

Дано: E 1=2 В, E 2 = 4 В, r1=r2=2 Ом, R=9 Ом. Найти: 11=? 12=? 13=? Решение. Выберем направление токов на отдельных участках цепи. По первому правилу Кирхгофа для узла А: I1 + I2 – I = 0 . (1)

26

31

Выберем замкнутые контура ε1АВε 1 и ε2АВε2 (направление обхода против часовой стрелки). По второму правилу Кирхогофа:

I1R + IR = ε 1

(2);

I2R + IR = ε 2 (3). Решая систему уравнений (1) - (3), найдем токи:

I1=(ε1 - IR)/r ; I2=(ε2 - IR)/r.

I(1+2R/r)=( ε1+ε2)/r; I=(ε1+ε 2)/(2R + r) I=0,3 A, I1= − 0,35 A, I2=0,65 A.

Знак “−” означает, что ток течет в направлении, обратном выбранному. Задачи для самостоятельного решения. 6.1. Три гальванических элемента с ЭДС 1,3 В, 1,4 В и 1,5 В и с внутренними сопротивлениями по 0,3 Ом каждый включены параллельно друг другу на внешнее сопротивление 0,6 Ом. Определить ток в каждом из элементов. 6.2. Три гальванических элемента и три вольт1 метра соединены по схеме, показанной на рисунке V 6.2. Электродвижущие силы гальванических элемен2

тов равны ε1=1 В, ε2 = 2 В, ε3 =1,5 В. Сопротивления вольтметров равны R1= 2000 Ом, R2=3000 Ом, V R3=4000 Ом. Сопротивления элементов ничтожно Рис.6.2. малы. а) Каковы показания вольтметров? б) Каково напряжение между узлами схемы? 6.3.Каковы внутренние сопротивления гальванических элементов с электродвижущими силами 1,6 В, 1,4 В и 1,1 В, если, будучи соединены параллельно при внешнем сопротивлении 1 Ом, они дают токи 0,8 А, 0,6 А, и –0,2 А? V

3

6.4. Три гальванических элемента (ε1=1,3 В, ε2 = 1,5 В, ε3 =2 В; r1=r2=r3=0,2 Ом) включены, как показано на рис.6.4. Сопротивление R1= 0,55 Ом. Определить токи 11, 12, 13 в элементах. 6.5. На схеме, показанной на рис. 6.5, сопротивления R1=R2=R3=R4=1000 Ом, E1=1,5В, E2=1,8 В. Определить токи в сопротивлениях.

7.1. Сколько ламп мощностью по Р=300 Вт и предназначенных для напряжения U=110 В можно установить в здании, если проводка от магистрали сделана медным проводом общей длиной l=100 м и сечением S=9мм2 и если напряжение в магистрали поддерживается равным U0=122В. 7.2. Определить количество меди, необходимое для устройства проводки общей длиной 5 км. Напряжение на шинах станции 240 В. Передаваемая потребителю мощность 60 кВт. Допускаемая потеря напряжения 8%. 7.3. Как из четырех тонких проволочных спиралей сопротивлениями 10, 20, 30 и 40 Ом, рассчитанных на мощности не более 2 Вт на каждой, составить нагреватель наибольшей возможной мощности, если имеется источник тока с ЭДС 20 В и внутренним сопротивлением 20 Ом? 7.4. Расстояние от трансформаторной будки до потребителя 40 м. Напряжение на выходе трансформатора 220 В. Рассчитать сечение медных проводов, подводящих ток к потребителю, если необходимо подать напряжение 200 В, а мощность потребителя 10 кВт. 7.5. Лифт массой 1000 кг поднимается на высоту 30 м за одну минуту. Напряжение на зажимах мотора 220 В, его КПД 90%. Определить величину тока в моторе и расход энергии при подъеме. (25 А, 333 кДж) 7.6. Сопротивление обмотки электрочайника R=16 Ом. Определить промежуток времени τ, в течение которого закипит в нем m=600 г воды, имеющей начальную температуру t1= 10оС, если КПД η=60% и если напряжение в сети U=120 В. 7.7. Электрический чайник имеет две секции нагревательной проволоки. При включении одной он вскипает через 10 мин; при включении другой он вскипает через 20 мин. Через сколько времени он вскипит, если включить обе секции: а) последовательно? б) параллельно? Напряжение, КПД чайника, количество воды и начальную температуру считать во всех случаях одинаковыми. 7.8. Электрический чайник вместимостью 1,5 дм3 имеет сопротивление нагревательного элемента 80 Ом, КПД 80% и работает при напряжении 220 В. Начальная температура воды 20оС. Определить мощность тока, потребляемую чайником; силу тока в нагревательном элементе; время, в течение которого вода в чайнике закипит. 7.9. К зажимам батареи аккумуляторов присоединен нагреватель. ЭДС батареи равна 24 В, внутреннее сопротивление 1 Ом. Нагреватель, включенный в цепь, потребляет мощность 80 Вт. Вычислить силу тока в цепи и кпд нагревателя. 7.10. Генератор постоянного тока развивает ЭДС 150 В и дает во внешнюю цепь силу тока 30 А. Определить мощность, развиваемую ге-

30

l ρ 2r C другой стороны, для R справедливо: R= ρ = . Т.е.: S S Pρ 2r 0,09U 2 ρ 2r 4 ρr 2 Pρ“ = . Отсюда S= . Тогда m = 2 P S 0,09U 0,09U 2 m=1,73.105 кг=173 т. Задача 4. Сила тока в проводнике сопротивлением 20 Ом нарастает в течение двух секунд по линейному закону от 0 до 6 А. Определить количество теплоты Q1, выделившееся в этом проводнике за первую секунду, Q2 – за вторую, а также найти отношение этих количеств теплоты. Дано: R=20 Ом; Δt=2 c; I0=0; Imax=6 А Найти: Q1-? Q2-? Q2/ Q1-? Решение. Закон Джоуля-Ленца Q= I2Rt применим в случае постоянного тока. Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и запиdQ = I2Rdt. сывается в виде:

Здесь сила тока является некоторой функцией времени. В нашем случае: I=k t, где k–коэффициент пропорциональности, равный отношению прираще-

R4 1

2

dQ =k Rt dt. Для определения количества теплоты, выделившегося за конечный промежуток времени Δt, полученное выражение проинтегрируем в пределах от t1 до t2. t2

1 Q = k R ∫ t dt = k 2 R(t 23 − t13 ) 3 t 2

2

1

При определении количества теплоты , выделившегося за первую секунду, пределы интегрирования t1=0 и t2=1 с, и, следовательно,

Q1=60 Дж,

а за вторую секунду – пределы интегрирования t1=1 с и t2=2 с и тогда

Q2=420 Дж. Следовательно, Q2/ Q1=7, т.е. за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз больше, чем за первую секунду. Задачи для самостоятельного решения.

ε1

3

R1

R2

ε1

ε2

R3 R4

2

R5

R3

R Рис.6.4.

Рис. 6.6.

Рис. 6.5.

6.6* В схеме (рис. 6.6) известны сила тока I4 и сопротивления всех резисторов . Найти ЭДС батареи, пренебрегая ее внутренним сопротивлением. 6.7.В схеме, изображенной на рис. 6.7. E=5,0 В, R1=1,0 Ом, R2=2,0 Ом, R3=3,0 Ом. Сопротивление источника тока r=01 Ом. Найти силы токов I1 и I2. 6.8. В схеме, изображенной на рис. 6.8, E1=10 В, E 2 =20 В, E 3 =30 В, R1=1,0 Ом, R2=2,0 Ом, R3=3,0 Ом, R4=4,0 Ом, R5=5,0 Ом, R6=3,0 Ом, R7=7,0 Ом. Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало. Найти силы токов 11, 12 и 13.0

ния силы тока к интервалу времени, за который произошло это приращение: k= ΔI /Δt Тогда: 2

27 R2

R1

R1

ε

R2 I 1 I 2 R 3

R2

R7

R1 r

R3

I1 Рис.6.7.

I2

ε1 ε2 R6

I3

ε3

R5 Рис.6.8.

R4

ε1 R1ε1

R1

ε2

R3

R2 R2 R4 R5 ε2 R6

R3 R7 Рис.6.10. Рис.6.9.

6.9. Определить силы тока во всех участках цепи (рис. 6.9), если E1=27 В, E 2 =30 В, r1=30 Ом, r2=50 Ом, R1= R2=R5 =8 Ом, R3=1,097 Ом, R4=2,95 Ом, R6=12 Ом, R7=1,2 Ом. 6.10. Определить силу тока в резисторе R3 (рис. 6.10) и напряжение на концах резистора, если ε1=4 В, ε1=3 В, R1=2 Ом, R2=6 Ом, R3=1 Ом. Внутренним сопротивление источников тока пренебречь.

28 7. Работа и мощность тока. 1. Работа электрического тока за время t

A=qU=IUt=I2Rt=(U2/R)t.

2. Мощность электрического тока P=A/t: 2

2

P=IU= I R=U /R; [P] = Вт (ватт). Q= I2Rt 3. Закон Джоуля-Ленца: –количество теплоты, выделяющееся на участке цепи с сопротивлением R при прохождении тока I за время t. Примеры решения задач. Задача 1. Определить ток короткого замыкания для источника, который при токе в цепи I1=10 А имеет полезную мощность Р1=500 Вт, а при токе I2=5А – мощность Р2=375 Вт. Дано: I1=10A, Р1=500 Вт, I2=5A, Р2=375 Вт. Найти: Iк.з. - ? Решение. При коротком замыкании сопротивление внешней цепи

R=0. Поэтому Iк.з. = ε /r. Полезная мощность Р=I U, где U - напряжение на зажимах источника или падение напряжения на зажимах источника или падение напряжения на внешнем сопротивлении. Тогда

U1=P1 / I1, а из закона Ома: U1 =ε – I1r . Аналогично:

U2 = P2 / I2 = ε – I2 r. Следовательно: P1 / I1= ε – I1r ;

(1)

P2 / I2 = ε – I2 r.

(2) Вычтем почленно из выражения (1) выражение (2): P1 / I1 – P2 / I2= (I2–I1)r. Отсюда

ε= U

1

+ I1r =

r= P1 + I1r ; I1

P1 I 2 − P2 I 1 ; (I 2 − I 1 )I 1 I 2

r= 5 Ом

ε=100 В

Тогда ток короткого замыкания: Iк.з. = ε / r = 100/5 = 20 (А ). Задача 2. Намотка в электрической кастрюле состоит из двух одинаковых секций. Сопротивление каждой секции 20 Ом. Через сколько

29 времени закипит 2,2 л воды, если: 1) включена одна секция; 2) обе секции включены последовательно; 3) обе секции включены параллельно? Начальная температура воды 16оС, напряжение в сети 110 В, КПД нагревателя 85 % ? Дано: R1=R2=R=20 Ом, V=2,2.10-3м3, ρ=103 кг/м3, Т1=289К, Т2=373К, U=110В, η=85 %, с=4,2.103 Дж/(кг.К) Найти: t1 -? t2 -? t3 -? Решение. По определению КПД нагревателя η=Апол/Азат, где Апол – полезная работа, Азат – затраченная энергия. А=Q=cmΔT – количество теплоты, необходимое для нагревания воды до кипения; с - удельная теплоемкость воды; масса воды: m=ρV.

U2 t . При включении одной секции R R1=R и η = сρΔТR/(U2t1). Отсюда: t1= сρΔТ R/(ηU2) При последовательном соединении секций: R’=R1+R2=2R. Тогда: t 2=2 t1.

Тогда: Апол = сρVΔT , Азат =

При параллельном соединении секций: R”=R1R2/( R1R2)=R/2. Отсюда: t 3= t 1/2. t1= 1509 c=25 мин; t2= 50 мин, t3=12,5 мин.

Задача 3. Сколько меди нужно для устройства линии электропередачи длиной 10 км, если напряжение на электростанции 440 В, а потребителю необходимо передать мощность 50 кВт при допустимой потере напряжения в проводе 10% ? Дано: r=104 м, U=440B, P=5.104 Вт, ΔU=0,1U=44B, плотность меди: ρм=8,9.103кг/м3, удельное сопротивление меди: ρ=1,7.10-8 Ом.м. Найти: m - ? Решение. Масса медных проводов для линии электропередачи : m=ρмV, где V - объем: V=Sl=S2r, здесь l - длина проводов. Тогда m=ρм S2r. Чтобы найти S – площадь поперечного сечения провода, используем закон Ома для участка цепи: R=ΔU/I=0,1U/I, где I - сила тока в цепи. Так как Р - мощность, передаваемая потребителю: Р= U2 I, где U 2 - напряжение на потребителе. U 2= U – ΔU = 0,9U. I=P/0,9 U;

R=0,1U.0,9U/P=0,09U2/P