Численные методы

Методичні вказівки до розділів “Розв’язання нелінійних алгебраїчних рівнянь”, “Чисельне інтегрування та диференціювання” курсу “Чисельні методи в інформатиці” / Укл. С.О.Лук’яненко.-К.: НТУУ “КПІ”, 2005 – 58с.

Навчальне видання

Укладач:

Лук’яненко Святослав Олексійович

Відповідальний редактор Рецензенты:

В.Г.Сліпченко В.М.Медведєва О.К.Молодід

Лабораторная работа №1 РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ (НАТУ) 1.1. Теоретические сведения Постановка задачи Пусть дано уравнение (1.1) f(x) = 0 , где функция f(x) определена и непрерывна на некотором интервале (a,b) . Всякое значение x * , обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, при котором f(x* ) = 0 , называется

корнем уравнения, а процесс нахождения x* – решением уравнения (1.1). Если функция f(x) представляет собой многочлен относительно x , то уравнение (1.1) называется нелинейным алгебраическим (например, x 4 − 3 x − 1 = 0 ); если же в функцию f(x) входят элементарные (тригонометрические, логарифмические, показательные и др.) функции – трансцендентным ( например, e x -x 2 − 5 = 0 ). С точки зрения вычислительной математики они эквивалентны. Геометрически решение уравнения (1.1) состоит в нахождении точек пересечения графика функции y = f ( x) с осью ОХ (рис.1.1). Характеристика методов Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Первые позволяют найти решение непосредственно с помощью формул и всегда обеспечивают получение точного решения (например, формула для решения квадратного уравнения). Однако они имеются лишь 3

для ограниченного круга уравнений, поэтому на практике более широко используются методы второго типа итерационные. В них задается процедура решения в виде многократного применения некоторого алгоритма. Полученное решение всегда является приближенным, хотя может быть сколь угодно близким к точному. Кроме того, часто уравнения содержат коэффициенты, известные лишь приближенно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней теряет смысл. Можно выделить два типа итерационных методов:

Рис.1.1 1. Методы сужения интервала, содержащего корень (например, методы половинного деления, золотого сечения). Здесь используется только знак функции y = f ( x) , а не ее значения. Они являются относительно простыми, но имеют низкую скорость сходимости. 2. Методы аппроксимации, в которых функция y = f ( x) заменяется некоторой более простой функцией y = ϕ (x ) , для которой и отыскивается корень (например, методы хорд, Ньютона). Используют значения функции y = f ( x) . Скорость сходимости у них выше. В общем случае задача решается в два этапа: 4

1) отделение корня, т.е. установление достаточно малого интервала (a,b) , в котором содержится изолированный корень уравнения (1.1); 2) уточнение корня до заданной степени точности с помощью одного из итерационных методов. При решении серии систем НАТУ, к которым сводится решение какой-то более сложной задачи, необходимость в первом этапе зачастую отпадает, т.к. решение предыдущей системы является хорошим начальным приближением к решению последующей. Для отделения корней при решении одного НАТУ применяют различные соображения и методы: 1. Физические явления, которые описываются уравнением (1.1). 2. Замена уравнения (1.1) более простым, имеющим корни, близкие к корням уранения (1.1). y = f (x) и 3. Построение графика функции приближенное определение точек, где кривая пересекает ось ОХ. 4. Запись уравнения (1.1) в виде f1 ( x) = f 2 ( x) и построение графиков двух функций y = f1 ( x) и y = f 2 ( x) . Точка их пересечения есть корень исходного уравнения. Для отделения корней может быть использована теорема: Если функция y = f ( x) непрерывна на интервале (a,b) и если f (a ) и f (b) имеют противоположные знаки, т.е. f ( a ) ⋅ f (b) < 0 , то f ( x) имеет по крайней мере один действительный корень на интервале (a,b) . Если при этом f ( x) имеет первую производную, не меняющую знак, то корень единственный. В соответствии с ней для отделения корней можно вычислить значения функции в точках, расположенных через 5

равные промежутки, и определить те из них, на концах которых функция имеет противоположные знаки. На втором этапе происходит уточнение корня с помощью одного из итерационных методов, т.е. строится последовательность {xk}k=0,1,… приближений к решению, причем можно использовать один из двух критериев окончания итерационного процесса: 1. f ( xk ) < ε ,

xk − xk −1 < ε . Возможно их одновременное использование. Важной характеристикой итерационных методов является их порядок, характеризующий скорость сходимости, т.е. число итераций, за которое достигается заданная точность. 2.

Обозначим через ek = xk − x* расстояние между очередным приближением и точным решением. Очевидно, для сходимости метода величина ek +1 должна быть меньше, чем e ek , т.е. отношение k +1 должно быть меньше единицы. Чем ek меньше это отношение, тем выше скорость сходимости. Если предположить, что расстояния ek < 1 , то можно для каждого ek +1 =C , метода подобрать такую константу p , что lim p k → ∞ ( ek ) где C -константа, отличная от нуля и бесконечности. Величина p и называется порядком метода. Рассмотрим некоторые итерационные методы.

Метод половинного деления ( бисекции ) 6

Метод применяется, если f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и f(a) ⋅ f(b) < 0 . Суть метода заключается в следующем (рис.1.2). Делим отрезок [a,b] , на котором имеется корень a+b уравнения (1.1), пополам, и если f( ) > е , то выбираем 2 a+b a+b ту из половин [a, ] или [ ,b] , на концах которой 2 2 f(x) имеет противоположные знаки; новый суженый отрезок [a,b] снова делим пополам и так до тех пор, пока не получим корень уравнения с заданной точностью.

Рис. 1.2. Метод половинного деления Метод половинного деления надежен и его практически удобно применять для грубого нахождения корня уравнения, так как с увеличением точности возрастает объем выполняемой работы из-за медленной сходимости итерационного процесса (порядок метода равен 1). Вычислительная схема метода состоит в следующем. До начала вычислений задаем: ε – точность, с которой нужно 7

получить корень уравнения; a,b- отрезок, содержащий корень. Затем для каждого шага процесса: 1. Вычисляем координату середины отрезка и значение функции в ней: a+b xс = , y с=f(xс ) ; 2 2. Проверяем неравенство yс < е . Если оно выполняется, то xc считаем корнем уравнения и выходим из цикла. Если неравенство не выполняется, определяем, какую из двух половин взять для следующей итерации (в п.3). 3. Если f(a) ⋅ yc > 0 , полагаем a = xc , иначе полагаем b = xc . Переход на п.1. Ниже приведен соответствующий фрагмент программы. ... yc:=1; while abs(yc)>eps do begin xc:=(a+b)/2; yc:=f(xc); writeln(xc,yc) if f(a)* yc >0 then a:=xc else b:= xc; end; Метод хорд В основе метода лежит линейная интерполяция функции по двум значениям, имеющим противоположные знаки. Метод хорд дает решение задачи для достаточно малых ε за меньшее число арифметических операций, чем метод половинного деления. Порядок его сходимости равен p ≈ 1,618 . Пусть нужно найти корень уравнения f ( x ) = 0 на отрезке [a,b], причем известно, что f(x) непрерывна на [a,b] и 8

f(a) ⋅ f(b) < 0 . Кроме того, пусть f / (x) и f // (x) на отрезке [a,b] сохраняют свой знак. Заменим функцию f(x) на отрезке [a,b] линейной функцией (рис.1.3), составив уравнение прямой, которая проходит через точки (a,f(a)) и (b,f(b)): y − f(a) x−a = ; f(b) − f(a) b − a x−a y = f(a) + [f(b) − f(a)] . b−a

Рис. 1.3. Метод хорд x−a [f(b) − f(a)] на концах b−a отрезка [a,b] принимает те же самые значения, что и функция f(x). В качестве приближенного корня уравнения f ( x ) = 0 возьмем точный корень уравнения P(x)=0. Это значение x1 (первое приближение) определяется из соотношения x −a f(a) + 1 [f(b) − f(a)]=0 , b−a

Линейная функция P(x) = f(a) +

9

откуда следует, что b-a . f(b)-f(a) Далее рассмотрим отрезки [a,x1 ] , [x1,b] и выберем из них тот, на концах которого функция f(x) имеет значения противоположных знаков. Те же вычисления выполним на выбранном отрезке и получим второе приближение к корню x2 и так до тех пор, пока не получим корень уравнения (1.1) с заданной степенью точности. Алгоритм метода следующий. До начала итерационного процесса задаем точность ε, с которой нужно получить решение, и отрезок [a,b], содержащий корень. Затем: 1. Вычисляем приближение к корню: b−a x = a − f(a) . f(b) − f(a) 2. Проверяем выполнение неравенства f(x) < е и, x1 = a − f(a)

если оно выполняется, то x считаем решением, если же не выполняется, продолжаем вычисления. 3. Проверяем условие f(x) ⋅ f(a) < 0 , и, если оно выполняется, полагаем b = x , в противном случае a = x и повторяем вычисления с п.1. Метод секущих Метод реализуется алгоритмом метода хорд, только a и b взяты с одной стороны от корня и не фиксируются. Геометрическая интерпретация метода состоит в следующем (рис. 1.4). Через точки a0 , b0 проводим прямую (секущую) до пересечения с осью Ох. Получаем точку x2 и из нее восстанавливаем перпендикуляр к оси Ох до пересечения с графиком функции y = f(x) . Получим точку b1 . Через точки 10

a1 = b0 и b1 проводим секущую – получим точку (пересечение секущей с осью Ох) и т. д.

x3

Рис. 1.4. Метод секущих Метод Ньютона (касательных) Метод основан на замене f(x) в точке начального приближения x0 касательной, пересечение которой с осью Оx дает первое приближение x1 , и т.д. Популярность метода связана с тем, что здесь не требуется находить отрезок, на концах которого функция принимает значения противоположных знаков. Вместо интерполяции по двум значениям метод Ньютона использует экстраполяцию с помощью касательной в данной точке. Геометрическая интерпретация метода приведена на рис. 1.5. Приняв в качестве начального приближения к корню x* некоторое значение x0, восстанавливают перпендикуляр из точки x0 к оси Ох. В точке его пересечения с графиком функции y=f(x), для которой отыскивается нуль, проводят касательную к кривой. Точка пересечения касательной с осью Ох дает новое 11

приближение x1 к корню. После этого процесс повторяют для точки x1 и т. д.

Рис.1.5. Метод Ньютона Получим формулу метода Ньютона. Уравнение касательной в точке x0 - это уравнение прямой, проходящей через заданную точку ( x0 , f ( x0 )) и имеющую угловой коэффициент f ′( x0 ) : y − f ( x0 ) = f ′( x0 )( x − x0 ) . В точке x1 пересечения этой касательной с осью ОХ величина y равняется нулю : − f ( x0 ) = f ′( x0 )( x1 − x0 ) . Отсюда получим значение x1 :

f(x0 ) x1 = x0 − . ′ 0) f (x В общем случае очередное приближение x k +1 выражается через предыдущее приближение x k по формуле Ньютона:

12

f(xk ) (1.2) ′ k) f (x К этому же результату можно прийти, используя разложение функции f(x) в ряд Тэйлора в окрестности точки x k : xk +1 = xk −

h2 f ′′( xk ) + ... (1.3) 2 Отбросим члены, содержащие h во второй и более высоких степенях, и выберем h таким, чтобы функция f(x) в точке x k +1 = x k + h равнялась нулю. Тогда (1.3) принимает вид: 0 = f ( x k ) + ( x k +1 − x k ) ⋅ f ′( x k ) или f ( xk ) x k +1 − x k = − , f ′( x k ) откуда следует формула Ньютона (1.2). Т.к. в ряде Тэйлора были отброшены члены высших порядков, то в полученной точке x k +1 функция f(x) не будет в точности раняться нулю и нужно повторить вычисления, взяв вместо x k полученное приближение x k +1 . Порядок сходимости метода Ньютона равен 2. Выигрыш во времени вычислений за счет быстрой (квадратичной) сходимости несколько уменьшается из-за необходимости вычисления помимо f(x k ) производной f ′(xk ) . Достоинством этого метода является также то, что он может быть распространен на решение систем НАТУ. f ( xk + h) = f ( x k ) + h ⋅ f ′( xk ) +

Модификации метода Ньютона Первая модификация заключается в том, что вместо вычисления точного значения производной f / (x k ) каждой итерации находится ее приближенное значение 13

на

df(xk ) f(xk + Дx) − f(xk ) Дf(xk ) ≈ = f / (xk ) = , dx Дx Дx где Дx – достаточно малая величина, например, 0.01. Следовательно, итерационная формула имеет вид Дx f(xk ) xk +1 = xk − . f(xk + Дx) − f(xk ) Вторая модификация заключается в том, что пересчет производной происходит через 3–4 итерации, а не на каждой. В начале каждой серии из 3–4 итераций вычисляется значение производной f / (x0 ) в точке имеющегося последнего приближения к корню. На следующих итерациях данной серии вычисления ведутся по формуле f(xk ) x k +1 = x k − . f / (x0 ) Заменим уравнением

Метод простой итерации равносильным уравнение f(x) = 0

ему

(1.4) x = ϕ(x) . Выбрав начальное приближение x0 ∈ [a,b] и подставив его в

правую часть уравнения (1.4), получим x1 = ϕ(x0 ) . Затем это значение x1 снова подставим в правую часть уравнения (1.4) и найдем x2 = ϕ(x1 ) . Повторяя этот процесс, получаем числовую последовательность x k = ϕ(xk-1 ) . При этом возможны два случая: 1) последовательность x0 , x1 , ... , xk сходится, т.е. имеет предел и тогда этот предел будет корнем уравнения f(x) = 0 ; 2) последовательность x0 , x1 , ... , xk расходится, т.е. не имеет предела или стремится к бесконечности. 14

Геометрическая интерпретация метода показана на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Метод простой итерации Метод сходится, если выполняется условие ϕ′(x) < 1 . Чем меньше ϕ′(x) , тем быстрее сходимость итерационного процесса. Практически метод простых итераций осуществляется так. 1. Преобразовать уравнение f(x) = 0 к виду (1.4) таким образом, чтобы ϕ′(x) < 1 . 2. Принять за начальное приближение любое число из отрезка [a,b]. 3. Вычислять последовательность приближений по формуле x k = ϕ(x k-1 ) , k=1,2 ,... до тех пор, пока для двух последовательных приближений не будет выполнено неравенство xk − xk −1 ≤ е . Пример. Найти методом простой итерации на отрезке [0,1] корень уравнения 5 x 3 − 20 x + 3 = 0 . Решение. К виду x = ϕ(x) это уравнение преобразовать несколькими способами, например: 1. x = x + (5 x 3 − 20 x + 3) , т.е. ϕ1 ( x) = 5 x 3 − 19 x + 3 . 15

можно

5x3 + 3 5x 3 + 3 , т.е. ϕ 2 ( x) = . 20 20 20 x − 3 20 x − 3 3. x = 3 , т.е. ϕ3 ( x) = 3 . 5 5 Проверим выполнение условия сходимости для [0,1]: 2. x =

1) max ϕ1′ ( x) = max 15 x 2 − 19 > 1 - условие не выполняется. 2)

15 x 2 3x 2 3 max ϕ′2 ( x) = max = max = <1 20 4 4

- условие

выполняется, поэтому именно этот вариант следует использовать для организации итерационного процесса. Метод Эйткена – Стеффенсона Уравнение (1.1) сначала нужно преобразовать к виду (1.4). Метод обеспечивает решение по такому алгоритму: 1. Задаем начальное приближение x k = x0 . 2.Находим первое приближения.

x1 = ϕ(x0 )

и

второе

x2 = ϕ(x1 )

3. Вычисляем x k+1 = (x0 x 2 -x12 )/(x0 − 2 x1 + x 2 ) . 4. Проверяем условия xk +1 − xk > е , x0 − 2 x1 + x 2 ≠ 0 . Если эти условия соблюдаются, переходим к п.1, т.е. задаем x k и x0 новое значение x k+1 , в противном случае останавливаем счет и принимаем x=x k+1 . Метод Эйткена-Стеффенсона при сложных f(x) имеет ускоренную сходимость (по сравнению с методом простых итераций). Однако при простых функциях f(x) время счета практически не уменьшается, так как число дополнительных операций в этом методе существенно больше, чем в методе простых итераций. 16

Метод обратной квадратичной интерполяцииэкстраполяции Заключается в замене f(x) полиномом Лагранжа второй степени (число узлов m=3). При этом можно получить аналитическое выражение для приближенного значения корня. Действительно, заменив x на y и y на x, полином Лагранжа второй степени можно представить в виде x(y) = b0 + b1(y − y 0 ) + b2(y-y0 )(y − y1 ) . Для y=0 находим x = b0 − b1 y0 + b2 y 0 y1 . (1.5) В соответствии с методом Эйткена и с учетом взаимной x − x0 , замены переменных x и y имеем b0 = x0 , b1 = 1 y1 − y 0 x −x q −b q 2= 2 1 , b2= 2 1 . Подставив b0 , b1 , b2 в (1.5), y 2 − y0 y 2 − y1 получим x − x0 x = x 0 − y 0( 1 + y1 − y 0 (x − x0 )/(y1 − y 0 ) − (x 2 − x0 )/(y 2 − y 0 ) + 1 ⋅ y1 ) . y 2 − y1

На следующей итерации, если выполняется x − x1 > ε, задаем x1 = x , если не выполняется, считаем x корнем. Геометрическая интерпретация метода показана на рис. 1.7.

Метод поразрядного приближения Алгоритм для поиска всех корней отрезка [a,b] этим методом имеет вид: 1. Задаем шаг С=h, x=a, k=0 и находим W=sign f(x) – знак функции. 2. Задаем значение x=x+С и проверяем условие (x-С) ≥ b. 17

3. Если оно выполняется, заканчиваем счет, иначе - на п.4. 4. Вычисляем f(x) и проверяем условие f ( x ) ⋅W/C > 0 . Если оно выполняется, идем на п.2, иначе на п.5. 5. Задаем C = −C/R , где R – показатель разрядности (уменьшения шага C), и проверяем выполнение условия C > е/R , где ε – заданная погрешность вычисления корня. Если это условие выполняется, идем на п.2, иначе на п.6. 6. Задаем k=k+1 и выводим на печать значение k-го корня x k = x . Затем полагаем C=h, W= -W и идем на п.2.

Рис. 1.7. Метод обратной квадратичной интерполяцииэкстраполяции 18

1.2. Индивидуальные задания Цель работы – найти все корни уравнения f(x) = 0 на отрезке [-10, 10]. Варианты уравнений приведены в табл. 1.1. На первом этапе следует отделить корни. Для этого нужно вычислить значения функции y = f(x) на отрезке [-10,10] с шагом H = 0,5 и зафиксировать отрезки [a j ,b j ] , на концах которых функция меняет свой знак. Для каждого варианта нужно построить график функции и таблицу ее значений на отрезке [-10,10] с шагом 0,5. После отделения корней следует уточнить корни одним из следующих методов с точностью ε = 0,001; 1) половинного деления, 2) секущих, 3) хорд, 4) Ньютона, 5) простой итерации, 6) модифицированный метод Ньютона, 7) Эйткена - Стеффенсона, 8) квадратичной интерполяции-экстраполяции, 9) поразрядного уточнения. На каждой итерации в одну строку печатать k , xk , f(x k ) . Критерием окончания итерационного процесса может быть: f ( xk ) < ε ; 1)

xk − xk −1 < ε при xk < 1 ; x k − xk −1 < ε при xk ≥ 1 . xk В зависимости от варианта выполнить одно из дополнительных заданий. 2)

19

1. Построить столбчатую диаграмму для первого корня ε N = N (ε) , где N – число выполненных итераций; ε k +1 = k ; 10 ε 0 = 0.1 ; k=0,1,2,3,4. 2. Построить столбчатую диаграмму N = N(x0 ) , где x0 – b−a , i = 0,1,2 ,3 , т.е. x0 начальное приближение, x0 = a + i 3 принимает на отрезке [a,b] четыре значения. 3. Для первого корня построить график зависимости f(k) , k =1,2 ,...,N . 4. Для первого корня построить график зависимости D(k) = xk − xk −1 , k=1,2,...,N . 5. Построить на одном поле график функций N = N (ε) для своего метода и метода половинного деления. 7. Среди всех корней на отрезке [-10,10] найти второй по величине. Варианты индивидуальных заданий приведены в табл. 1.2. Таблица 1.1 Вариант 1

Уравнение 2 x − 8x + 8x − 1 = 0

2

x 4 − 4 x 3 − 8x 2 + 1 = 0

3

(x − 1 )2 lg (x + 11 ) = 1

4 5

x 2 − sin 5 x = 0 1 arctgx − x 3 = 0 3

6

e − x = 0 ,5 +

7

2 x 3 − 9 x 2 − 60 x + 1 = 0

4

3

2

x

20

8

3 sin x + 0,35 x − 3,8 = 0

9

1 x − + 2 sin 3,6 x = 0 3 1 1 1 tgx − tg 3 x + tg 5 x − = 0 3 5 3

10 11 12 13

x 4 − 3 sin 3 x = 0 x − 4 sin x = 1

e x + ln x − 10 x = 0

14

x2 cos x − e 2 + x − 1 = 0

15

1 − x + sin x − ln 1 + x = 0

16

3 x 4 + 8 x 3 + 6 x 2 − 10 = 0

17

3 x 4 + 4 x 3 − 12 x 2 − 5 = 0 x log3 x + 1 = 1

18

−

19 20

arctg(x − 1 ) + 2 x = 0 p 2 sin (x + ) = 0 ,5 x 2 − 1 3

21

3 x 4 + 4 x 3 − 12 x 2 + 1 = 0

22

x 4 − x 3 − 2 x 2 + 3x − 3 = 0

23

1 − x − tgx = 0

24

x+ cos (x 0 ,52 + 2 ) = 0

25

x 4+x 3 − 10 x 2 − 34 x = 25

21

Таблица 1.2 Вариант Метод Критерий Дополнитель ное задание

1 1 1 1

2 2 2 2

Вариант 15 Метод 6 Критерий 1 Дополнительное 3 задание

3 3 1 3

16 7 2 4

4 4 2 4

5 5 1 5

17 8 1 5

6 6 2 6

7 7 1 1

18 9 2 6

22

8 8 2 2

19 1 1 2

9 10 9 1 1 2 3 4

20 2 2 3

11 2 1 5

21 3 1 4

22 4 2 5

12 3 2 6

23 5 1 6

13 4 1 1

24 6 2 1

14 5 2 2

25 7 1 2

Лабораторная работа №2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ (НАТУ) 2.1. Теоретические сведения Постановка задачи Решением системы НАТУ ⎧ f1(x1,x2 , ... ,xn ) = 0 ⎪ f (x ,x , ... ,x ) = 0 ⎪ 2 1 2 n (2.1) ⎨ ... ⎪ ⎪⎩ f n(x1,x2 , ... ,xn ) = 0 , где xi – неизвестные; f i – заданные функции n переменных,

называется совокупность чисел x1* ,x*2 , ... ,x*n , которые, будучи подставлены на место неизвестных x1 , x2 , ... ,xn , обращают каждое уравнение в тождество. Удобно записать эту систему в векторных обозначениях: F(x) = 0 , где x – вектор с координатами x1 , x2 , ... ,xn , а F – вектор-функция с координатами f1 , f 2 , ... ,f n . Случай n=1 соответствует одному НАТУ и рассмотрен в предыдущем разделе. Если F ( x) ≡ Ax − B , то получим систему линейных алгебраических уравнений. Приведем геометрическую интерпретацию системы (2.1) для n=2, когда эта система имеет вид: ⎧ f1(x1,x 2 ) = 0 (2.2) ⎨ ⎩ f 2(x1,x 2 ) = 0 Нанесем на плоскости X1OX2 множество точек, для которых f1(x1,x2 ) = 0 , т.е. построим соответствующую этому уравнению кривую. Аналогично построим кривую, 23

соответствующую

второму

уравнению.

Координаты

( x1* ,x*2 ) точки пересечения этих двух кривых удовлетворяют как первому, так и второму уравнениям системы (2.2), т.е. являются ее решением. На рис.2.1 это построение выполнено для системы ⎧⎪ x 2 − x = 0 1 2 , ⎨ x1 ⎪⎩e − x2 = 0 которую, обозначив x1 через x и x2 через y, можно записать в более привычном виде: ⎧⎪ y = x 2 ⎪⎧x 2 − y = 0 или ⎨ x ⎨ ⎪⎩e − y = 0 ⎪⎩ y = e x

а) б) Рис.2.1.Система имеет одно решение (а), не имеет решений (б) В некоторых редких случаях систему НАТУ методом подстановки можно свести к одному уравнению, которое затем решить одним из рассмотренных методов, однако обычно такой подход неприемлем. Напомним, что для одного нелинейного уравнения задача решалась в два этапа: отделение корней и их уточнение. Для 24

систем НАТУ не существует каких-либо приемов грубого отделения корня. В некоторых случаях в результате составления таблиц данных функций или построения графиков с последующим определением координат точек пересечения можно получить приближенное значение корня. В большинстве практических случаев, когда решается серия систем, эта трудность отделения корней легко преодолима, так как решение предыдущей системы из этой серии является хорошим начальным приближением к решению очередной системы. Для уточнения корней системы НАТУ в отличие от СЛАУ применяются только итерационные, а не прямые методы. Чаще всего для решения систем НАТУ применяют метод Ньютона и его модификации. Метод Ньютона Представим все n уравнений системы в виде рядов Тейлора в окрестности точки M ( x1,...,xn ) : f i ( x1 + Δx1 ,..., x n + Δx n ) = f i ( x1 ,..., xn ) +

⎛ слагаемые ⎞ ⎟ ⎜ n ∂f (2.3) ⎟ ⎜ более i +∑ Δx j + ⎜ ⎟ высокого j =1∂x j ⎟ ⎜ ⎜ порядка ⎟ ⎠ ⎝ Нужно отыскать такую совокупность приращений Δx j , чтобы по известной точке M определить точку N ( x1 + Δx1 ,..., xn + Δxn ) , совпадающую с корнем. В этой точке, очевидно, левые части соотношения (2.3) должны обращаться в нуль. Учитывая это, а также отбросив члены более высоких порядков, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно Δxi , 25

⎧ n ∂f1 Δxi = − f1 ( x1 ,..., x n ) ⎪∑ ⎪⎪ i =1 ∂xi ... ⎨ ⎪ n ∂f n Δxi = − f n ( x1 ,..., xn ) ⎪∑ ⎪⎩i =1 ∂xi которую можно записать в виде ∂f1 ⎤ ⎡ ∂f1 ∂f1 ... ⎢ ∂x ∂x2 ∂xn ⎥ ⎡ Δx1 ⎤ ⎡ − f1 ⎤ ⎥ ⎢ 1 ⎢ ∂f 2 ∂f 2 ... ∂f 2 ⎥ ⎢Δx2 ⎥ ⎢− f 2 ⎥ ⎥ ⎥=⎢ ⎢ ∂x1 ∂x2 ∂xn ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ... ⎥ ⎥ ... ⎢ ... ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ Δx ⎢ − fn ⎦ f f f ∂ ∂ ∂ n ⎣ ⎣ ⎦ n n n ⎥ ⎢ ... ⎢⎣ ∂x1 ∂x2 ∂xn ⎥⎦

(2.4)

или ( F ′) ( k ) ⋅ Δx ( k +1) = − F ( k ) . (2.5) ∂f Значения производных i и функций f i здесь вычисляются ∂x j в известной точке M. Матрица в левой части (2.4) называется матрицей Якоби, или якобианом. Решив последнюю систему, мы, однако, не получим точных значений приращений Δxi , которые привели бы к точному значению корня исходной системы, так как отброшены члены более высоких порядков. Выбрав некоторое начальное приближение к корню –

(

)

точку M 0 x1(0 ),...,xn ( 0 ) , на первой итерации формируем СЛАУ (2.4). Решив ее относительно Δxi , получим первое

(1) ( 0) приближение xi = xi + Δxi . Если все Δxi достаточно малы,

26

итерационный процесс прекращается, а иначе на основании значений xi(1) выполняется вторая итерация и т.д.

Пример. Решить методом Ньютона систему уравнений ⎧⎪e − 3 x1 − 2 x = 0 2 ⎨ 3 ⎪⎩2 x1 − x2 − 5 = 0 Решение. Очевидно,

f1(x1,x2 ) = e −3 x1 − 2 x 2 ,

f 2(x1,x2 ) = 2 x13 − x2 − 5. Для формирования матрицы Якоби получим частные производные: ∂f ∂f1 = −3e − 3 x1 , 1 = −2 , ∂x 2 ∂x1 ∂f 2 ∂f 2 = 6 x12 , = −1 . ∂x1 ∂x1 Таким образом, СЛАУ, которую нужно решать на каждой итерации метода Ньютона, имеет структуру: ⎡− 3e − 3 x1 − 2⎤ ⎡ Δx1 ⎤ ⎡ − e − 3 x1 + 2 x2 ⎤ (2.6) ⎥. ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ 3 2 − 1⎥⎦ ⎣Δx 2 ⎦ ⎢⎣− 2 x1 + x2 + 5⎥⎦ ⎢⎣ 6 x1 Перед первой итерацией следует выбрать некоторое

начальное приближение ( x1(0) , x2(0) ) к решению и подставить его в систему (2.6) вместо x1 и x2 . Решив ее, получим

поправки Δx1(1) и Δx2(1) , а затем- новое приближение к решению по формулам: x1(1) = x1(0) + Δx1(1) , x2(1) = x2(0) + Δx2(1) . 27

Полученные

числа

( x1(1) , x2(1) ) ,

которые

являются

результатом первой итерации, используются на второй итерации для получения очередного приближения к решению- ( x1(2 ) , x 2(2 ) ) и т.д. Систему (2.5) можно записать в другом виде, учитывая,

( k +1) − xi( k ) : что Δxi = xi

( F ′) ( k ) ⋅ ( xi(k +1) − xi(k ) ) = − F (k ) или

( F ′) ( k ) ⋅ xi(k +1) = − F (k ) + ( F ′) ( k ) ⋅ xi( k ) .

(2.7)

В этом случае СЛАУ решается не относительно приращений ( k +1) к Δxi , а сразу относительно новых приближений xi решению. Если вычисление Якобиана является очень трудоемким с точки зрения машинного времени, то можно применить модифицированный метод Ньютона. Он заключается в том, что якобиан пересчитывается не на каждой итерации, а через K итераций ( K = 2,…,5 ). На первой из K итераций вычисляется Якобиан F ′ x (0 ) , где x (0 ) – последнее имеющееся приближение к решению. На последующих K итерациях матрица системы не обновляется: F ′( x (0) ⋅ Δx ( k +1) = − F ( x ( k ) ) . Преимуществом этой модификации является также то, что, решая серию СЛАУ с постоянной матрицей LU-методом, можно один раз разложить ее на треугольные сомножители и на каждой итерации выполняется только прямой и обратный ход с треугольными матрицами. Эта модификация метода Ньютона, естественно, увеличивает общее число итераций, но каждая из них менее трудоемка.

( )

28

Метод простой итерации

Для применения этого метода систему НАТУ с помощью эквивалентных преобразований необходимо привести вначале к виду: ⎧ x1 = ϕ1 ( x1 ,..., xn ) ⎪ ... ⎨ ⎪ x = ϕ ( x ,..., x ) n 1 n ⎩ n

Затем следует задать начальное приближение x1(0 ),...,xn(0) и выполнить итерацию по формулам ⎧ x (1) = ϕ ( x (0) ,..., x (0) ) 1 1 n ⎪⎪ 1 ... ⎨ ⎪ x (1) = ϕ ( x (0) ,..., x (0) ) n 1 n ⎪⎩ n (1) ( 0) Если max xi − xi < ε , то процесс заканчивается, иначе i

полученный вектор x (1) используется как исходный на второй итерации и т.д. В общем случае итерации выполняются по формулам:

xi( k +1) = ϕi ( x1(k ),...,xn(k ) ),

i = 1,..., n .

Преимуществом этого метода по сравнению с методом Ньютона является то, что здесь не требуется вычислять частные производные и решать СЛАУ. Однако низкая скорость сходимости (линейная) метода простой итерации является его серьезным недостатком и предпочтение обычно отдается методу Ньютона.

29

Метод Зейделя

Метод Зейделя отличается от метода простой итерации

тем, что вычисленное новое значение компоненты xi(k +1) тут же используется для вычисления нового значения очередной

(k +1) . В этом методе итерации выполняются по компоненты xi+ 1 формулам: x1( k +1) = ϕ1 ( x1(k ),x2(k ) , ...,xn(k ) );

x2( k +1) = ϕ2 ( x1(k +1),x2(k ), ...,xn(k ) ); ... xi( k +1) = ϕ i ( x1(k +1) ,..., xi(−k 1+1) , xi(k ) , xi(+k 1) , ...,x n(k ) ); ...

xn(k +1) = ϕ n ( x1(k +1),..., xn(k−+11) , x n(k ) );

Как и в методе Ньютона, успех во многом зависит от выбора начальных значений неизвестных: они должны быть достаточно близки к точному решению. В противном случае итерационный процесс может расходиться. Множество точек n–мерного пространства, для которых итерационный процесс, использующий их в качестве начальных, сходится, называется областью сходимости метода. С увеличением числа уравнений системы область сходимости обычно уменьшается, поэтому при решении больших систем важным является опыт инженера при выборе начальной точки. Решение проблемы выбора начального приближения с помощью метода трансформации системы

Метод позволяет довольно часто решить проблему выбора начального приближения. Наряду с системой F ( x ) = 0 рассмотрим систему G (x ) = 0 , решение которой известно. 30

Деформируя ее с помощью конечного числа N шагов, превратим в F ( x ) = 0 : K , К=1,...,N G (k ) = G (k-1 ) + F − G (k −1) N

[

Решение

системы

]

G (0 ) ≡ G ( x) = 0

берем

в

качестве

начального приближения при решении системы G (1) = 0 . Решение системы G (1) = 0 , в свою очередь- в качестве

начального приближения при решении системы G (2 ) = 0 и

т.д. Предпоследний раз, имея решение системы G ( N −1) = 0 , берем его в качестве начального приближения при решении

системы G ( N ) ≡ F ( x) = 0 .

2.1. Индивидуальные задания

Цель работы – решить систему уравнений ⎧ y = f1 (x,y ) ⎧ F1 (x,y ) = 0 или ⎨ ⎨ ⎩ y = f 2 (x,y ) ⎩ F2 (x,y ) = 0 одним из методов: 1) простой итерации, 2) Зейделя, 3) Ньютона, 4) модифицированный Ньютона без пересчета Якобиана, 5) модифицированный Ньютона с пересчетом Якобиана через две итерации. Варианты систем уравнений приведены в табл.2.1. В разрабатываемой программе предусмотреть печать графиков функций y = f1 ( x ) и y = f 2 ( x ) на одном поле и таблицу их значений. На каждой итерации печатать ее номер k и промежуточные результаты: x k , y k , F1 ( x k ,y k ) , F2 ( xk ,y k ) . 31

Кроме того, следует выполнить одно из дополнительных заданий: 1. Построить столбчатую диаграмму величины N = N (ε) , где ε ε i +1 = i , ε 0 = 0.1 ; i=0,1,2,…,8; N – требуемое число 5 итераций. 2. Построить столбчатую диаграмму величины N = N ( x0 ) при фиксированном ε=0.001. Величина x 0 принимает пять значений. 3. Построить график функций F1 (k ) и F2 (k ) при k=1,2,...,N. 4. Построить график функций x = x(k ) и y = y (k ) при k=1,2,...,N. D1 (k ) = xk − x k −1 5. Построить график функции и

D2 (k ) = y k − y k −1 на одном поле при k=1,2,...,N.

Таблица 2.1 Вариант 1 2

3

Система уравнений

⎧⎪ y=e x ⎨ ⎪⎩ y=x 2 ⎧⎪ y-10 ⋅ e x=0 ⎨ 3 ⎪⎩ y-x =0 ⎧⎪ y 2 -y+x=0 ⎨ 2 ⎪⎩ x -y =0

Вариант 14

Система уравнений ⎧ y-2 x =0 ⎨ ⎩arctgx+y=0

15

⎧ x+ sin x-y=0 ⎨ ⎩ x -10 y=0

16

⎧⎪arctgx-y=0 ⎨ -x ⎪⎩e -y=0

32

4

5

⎧⎪ x 2+y+5=0 ⎨ 2 ⎪⎩- x +y =0 ⎧ x+ sin y=0 ⎨ ⎩ x+100 y=0

17

⎧⎪ln x -y=0 ⎨ 3 ⎪⎩ x +y=0

18

⎧⎪lg x -y=0 ⎨ 3 ⎪⎩ x +10 y=0 ⎧⎪ x 2+x+4-2 y=0 ⎨ ⎪⎩ xy=1 ⎧⎪2 x + sin x-y=0 ⎨ ⎪⎩ x - 2 y=0

6

⎧ y- sin x=0 ⎨ ⎩ y-50 x=0

19

7

⎧⎪ y-2e 4 x+3=0 ⎨ ⎪⎩ y=2 x 3 ⎧cos x-y=0 ⎨ ⎩ x -y=0

20

8

21

9

⎧⎪(x-1)2 -4-y=0 ⎨ ⎪⎩ y=-3 x 2

22

10

⎧⎪e x+10 x-y=0 ⎨ -x ⎪⎩e +2 y=0 ⎧⎪ x +4-y=0 ⎨ ⎪⎩-x 2+8-y=0 ⎧⎪3 x-2-y=0 ⎨ 4 2 ⎪⎩ x +x -8-y=0 ⎧⎪arctgx-y=0 ⎨ 2 ⎪⎩ x-y =0

23

11

12

13

24

25

⎧ x ⋅ sin x-y=0 ⎨ ⎩ y-10 x=0 ⎧⎪ x 2 e -2 y=0 ⎨ ⎪⎩- x -y+3=0 ⎧tgx-y=0 ⎨ ⎩2 x -3 y=0 ⎧⎪ x 3 -2 y=0 ⎨ ⎪⎩ x- y =0 ⎧⎪ lg x -y=0 ⎨ 2 ⎪⎩ x -y+1=0

Варианты индивидуальных заданий приведены в табл. 2.2. 33

Таблица 2.2 Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Метод 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 4 5 Дополни- 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 1 2 3 тельное задание

Вариант 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Метод 3 4 5 3 4 5 1 2 3 4 5 3 Дополни- 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 1 2 тельное задание

34

Лабораторная работа № 3 ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 3.1.

Теоретическое сведения

Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f ( x ) . Разобьем отрезок [a,b] с помощью точек xi (i = 0,..., n) на n элементарных отрезков Δxi = [xi −1,xi ] , i = 1,...,n . На каждом из этих отрезков возьмем произвольную точку ξ i ( xi −1 ≤ ξ i ≤ xi ) . Предел интегральной суммы при увеличении числа точек разбиения называется определенным интегралом от функции f ( x ) на отрезке [a,b] : b

∫ f ( x)dx =

a

n

lim

max Δxi → 0

∑ f(оi )Δxi

i =1

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что он численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f ( x ) , осью Ox и прямыми x = a, x = b . Подынтегральная функция f (x ) может быть задана одним из трех следующих способов: 1. Задается явная формула для f (x ) . 2. f (x ) явно не задается, но может быть вычислено ее x ∈ [a,b] значение для любого по некоторой подпрограмме. 3. Задана таблица значений f (x ) на отрезке [a,b] для некоторого фиксированного набора точек xi . В первом случае интеграл вычисляется с использованием b

формулы

Ньютона – Лейбница

∫ f (x )dx = F (b ) − F (a ) ,

a

где

F(x)-первообразная. При задании функции f (x ) вторым и 35

третьим способом применяются методы численного интегрирования. Они основаны на аппроксимации f ( x ) некоторой другой функцией p( x ) (чаще всего полиномом), интеграл от которой вычисляется сравнительно просто: b

∫

f ( x )dx ≈

a

∫

p ( x )dx =

Разность

n

∑ c i f (x i ) .

i =1

a

Это приближенное формулой.

b

равенство называется квадратурной b

n

a

i=1

E= ∫ f ( x )dx- ∑ ci f ( xi )

называется

погрешностью квадратурной формулы. Обычно отрезок [a,b] разбивают на L частичных отрезков с помощью точек xi и представляют интеграл в виде суммы интегралов по этим отрезкам: b

L

xi

L

∫ f (x )dx = ∑ ∫ f (x )dx = ∑ I i

a

i =1 xi −1

i =1

Такие формулы называются составными. Формулы прямоугольников и трапеций Формула прямоугольников - простейшая квадратурная формула. Она использует непосредственную замену интеграла интегральной суммой. Разобьем отрезок [a,b] на L частичных отрезка с помощью точек xi (i = 0 ,...,L) . Аппроксимируем функцию f (x ) на каждом частичном отрезке полиномом нулевой степени (константой). В качестве этой константы можно взять значение функции в левой или правой или средней точке отрезка (рис.3.1).

36

а) б) в) Рис.3.1. Метод прямоугольников с узлом в левой (а), правой (б), средней (в) точках частичного отрезка 1 Обозначим hi = xi − xi −1 ; x 1 = xi − hi . Три варианта i− 2 2

формулы прямоугольников для частичных отрезков имеют вид: • I i = f ( xi −1 )hi - формула прямоугольников с узлом в левой точке; • I i = f ( xi )hi - формула прямоугольников с узлом в правой точке; • I i = f ( x 1 )hi - формула прямоугольников с узлом в i−

2

средней точке. Суммируя эти значения интегралов на частичных отрезках, получим соответствующие составные формулы прямоугольников: ⎞ L L L ⎛ I = ∑ f ( xi −1 )hi ; I = ∑ f (xi )hi ; I = ∑ f ⎜ x 1 ⎟hi , ⎜ ⎟ i =1 i =1 i =1 ⎝ i − 2 ⎠ Следующим простейшим полиномом является линейная функция. Если выбрать ее совпадающей с f ( x ) на концах 37

частичного отрезка [xi −1,xi ], то получим трапецию. Площадь ее принимается в качестве приближения к значению определенного интеграла и вычисляется по формуле трапеций (рис.3.2): f ( xi −1 ) + f ( xi ) Ii = hi . 2

Рис.3.2. Метод трапеций Составная формула трапеций имеет вид 1 n I = ∑ [ f ( xi −1 ) + f ( xi )]hi . 2 i =1 Для случая равномерного шага h = hi

I=

⎡ f (x ) + f (xn ) n ⎤ h n + ∑ f ( xi )⎥ . ∑ [ f (xi −1 ) + f (xi )] = h ⎢ 0 2 i =1 2 i =1 ⎣ ⎦

Погрешность формул прямоугольников и трапеций Рассмотрим формулу прямоугольников на частичном отрезке с узлом в левой (правой) точке. Обозначим M 1,i = max f ′( x ) . Оценка погрешности этой формулы xi −1 ≤ x ≤ xi

имеет вид: 38

x

Ei ≤ M 1,i ∫ ( x − xi −1 )dx = xi −1

M 1,i hi 2 2

.

Величина Ei будет мала, если мало M 1, i (функция близка к константе) или длина hi отрезка достаточно мала. Погрешность составной формулы получаем, суммируя погрешности по всем частичным отрезкам: M n E ≤ 1 ∑ hi2 , где M 1 = max f ′(x ) . 2 i =1 a ≤ x ≤b Если длины всех частичных отрезков равны, т.е. b−a M , то E ≤ 1 (b − a )h . Таким образом, составная hi = h = 2 n формула прямоугольников с узлом в левой или правой точке является методом первого порядка. Погрешность составной формулы прямоугольников с узлом в средней точке имеет вид:

h 2 (b − a ) M 2 , где M 2 = max f ′′( x ) . 24 x∈[a,b ] Отсюда следует, что формула средней точки имеет более высокий (второй) порядок точности, ее погрешность на всем E≤

( )

отрезке есть величина O h2 . Погрешность формулы трапеций на частичном отрезке: M 2, i 3 E≤ hi , где M 2 ,i = max f ′′( x ) . 12 x∈[xi −1,xi ] Погрешность составной формулы трапеций: n M h3 M E ≤ ∑ 2 = 2 (b − a )h 2 = O h 2 . 12 i =1 12

( )

39

Формула Симпсона В качестве аппроксимирующего полинома можно использовать полином второй степени. По трем точкам xi −1,xi ,xi +1 построим интерполяционный полином Лагранжа

L2 (x ) :

(x − xi )(x − xi +1 ) (x − xi −1 )(x − xi +1 ) yi −1 + y + (xi −1 − xi )(xi −1 − xi +1 ) (xi − xi −1 )(xi − xi +1 ) i (x − xi −1 )(x − xi ) y + (xi +1 − xi −1 )(xi +1 − xi ) i +1 L2 ( x ) =

Площадь криволинейной трапеции заменим площадью, ограниченной графиком L2 ( x ) . В этом случае xi +1

xi +1

xi −1

xi −1

∫ f (x )dx ≈ ∫ L2 (x )dx =

h ( yi −1 + 4 yi + yi +1 ) . 3

Полученная формула называется формулой Симпсона, или формулой парабол. Составная формула Симпсона b

h 3

∫ f (x )dx ≈ [ y 0 + 4( y1 + y 3 + ... + y n −1 ) + 2( y 2 + y 4 + ... + y n −2 ) + y n ] .

a

Погрешность составной формулы Симпсона: M4 (b − a )h 4 , E≤ 2880 т.е этот метод имеет четвертый порядок точности. Формулы Ньютона - Котеса Рассмотренные ранее формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона являются частными случаями более общих формул Ньютона-Котеса. Они получаются в f (x ) результате замены подынтегральной функции 40

интерполяционным многочленом Лагранжа Ln (x ) степени n, причем отрезок интегрирования разбивается на n равных b

b

a

a

частей: ∫ f ( x )dx ≈ ∫ Ln (x )dx . На практике часто используют формулы, когда отрезок [a,b] разбивается на L подынтервалов [xi −1,xi ], i = 1,L b−a длиной H = и на каждом из них применяют формулу L Ньютона-Котеса: xi

n +1

x i −1

m =1

I i = ∫ f ( x )dx = rh ∑ Pm y m , H –расстояние между узлами интерполяции на n частичном отрезке; r –множитель при h; y m = f ( xi −1 + h(m − 1)) – значение подынтегральной функции в узле с номером m. Для получения интеграла на всем отрезке [a,b]

где h =

L

полученные результаты суммируются: I np = ∑ I i . В табл. 3.1 i =1

даны коэффициенты формул при n=1,...,8. Таблица 3.1 n

r

1

1 2

Pk ,

k = 1,2,3,...,n + 1

P1 = 1, P2 = 1 (формула трапеций)

41

Eогр. h3 ( 2 ) f (x) 12 x k ≤ x ≤ x k + mh

−

2

1 3

P1 = 1, P2 = 4 , P3 = 1 (формула Симпсона)

h5 ( 4 ) f (x) 90

3

3 8

P1 = 1, P2 = 3, P3 = 3, P4 = 1 (формула трех восьмых)

3h 6 ( 4 ) f (x) 80

4

2 45

P1 = 7 ,P2 = 32 ,P3 = 12, P4 = 32 ,P5 = 7

8h 7 ( 6 ) f (x) 945

5

5 288

P1 = 19 ,P2 = 75,P3 = 50 , P4 = 50,P5 = 75,P6 = 19

275h 7 ( 6 ) f (x) 12096

6

1 140

P1 = 41,P2 = 216 ,P3 = 27 , P4 = 272 ,P5 = 27 ,P6 = 216 , P7 = 41

9h 9 ( 8 ) f (x) 1400

7

P1 = 751,P2 = 3577 ,P3 = 1323, 7 8183h 9 ( 8 ) 17280 P4 = 2989 ,P5 = 2989 , P6 = 1323, 518400 f (x) P7 = 3577 ,P8 = 751

8

8 P1 = 989 ,P2 = 5888,P3 = −928, 28350 P4 = 10496 ,P5 = −4540 ,

2368h11 (10 ) f (x) 467775

P6 = 10496 ,P7 = −928, P8 = 5888,P9 = 989 Оценка погрешности методом Рунге Для обеспечения заданной точности расчета нужно уметь апостериорно, т.е. после проведения расчета, оценивать погрешность. Такую оценку можно получить с помощью метода Рунге. Рассмотрим его вначале для метода трапеций: xi f + fi I= ∫ f ( x )dx ≈ i −1 h = Ih 2 x i −1

Согласно полученным ранее результатам: 42

E h=I − I h ≈ ch 3 , где с – неизвестная не зависящая от h константа. 3

h ch 3 ⎛h⎞ Для шага : E h =I − I h ≈ 2c⎜ ⎟ = . 2 4 ⎝2⎠ 2

2

Вычитая два последних равенства, получим 3 I h − I h = ch 3 , 4 2

3

I h − Ih

ch = 2 4 3

= Eh , 2

что позволяет контролировать погрешность. Метод Рунге применим и для оценки погрешности других квадратурных формул. Пусть некоторая квадратурная формула имеет на частичном отрезке порядок точности m, т.е.

⎛h⎞ E h=I − I h ≈ ch . Тогда E h =I − I h ≈ 2c⎜ ⎟ ⎝2⎠ m

2

m

и имеет место

2

соотношение:

I h − Ih E h =I − I h ≈ 2

2

2

2 m −1

−1

,

Таким образом, сравнивая I h и I h можно получить оценку 2

точности полученной величины I h . Комбинируя величины 2

I h и I h можно получить более точное значение интеграла: 2

(

)

I = I + O hm+k , *

где 43

2 m −1 I h − I h I* =

2

2 m −1

−1

.

(3.1)

Автоматический выбор шага интегрирования Автоматический выбор шага интегрирования заключается в том, что интегрирование ведется с крупным шагом на участках плавного изменения функции f (x ) и с мелким шагом на участках быстрого изменения f (x ) . Рассмотрим составную квадратурную формулу L

I = ∑ Ik , k =1

где I k – значение интеграла на частичном отрезке, причем на каждом из них используется одна и та же формула. Если ε– суммарная ошибка на отрезке [a,b] , то допустимая ε погрешность на каждом частичном отрезке равна . L Если на данном частичном отрезке выполняется неравенство I h − Ih 2

2 m −1

−1

<

е , L

(3.2)

то уточняем полученное значение по формуле (3.1) и переходим к очередному отрезку. Если неравенство (3.2) не выполняется, то шаг нужно уменьшить в два раза и повторять вычисления до тех пор, пока не выполнится неравенство (3.2). Такие алгоритмы называются адаптивными, так как они адаптируются (приспосабливаются) к характеру изменения функции. 44

3.2. Индивидуальные задания Цель работы – изучить приемы вычисления определенных интегралов

b

∫ f(x)dx . Варианты подынтегральных функций

a

y = f(x) и отрезок интегрирования [a,b] приведены в табл.3.2. Хотя на практике первообразная функция y = f ( x ) чаще всего неизвестна, в данной работе она указана в той же таблице для проверки правильности работы программы. С ее помощью в начале программы вычисляется точное значение интеграла по формуле Ньютона- Лейбница: b

I точ = ∫ f(x)dx = F(b) − F(a) . a

Приближенное значение составной формуле

интеграла

вычисляется

по

L

I пр = ∑ I i . i =1

Варианты методов интегрирования: 1. Прямоугольников с узлом слева. 2. Прямоугольников с узлом справа. 3. Прямоугольников с узлом в средней точке. 4. Ньютона - Котесса с n=1. 5. ’’ n=2. 6. ’’ n=3. 7. ’’ n=4. 8. ’’ n=5. 9. ’’ n=6. 10. ’’ n=7. 11. ’’ n=8. Значение интеграла Iпр следует найти с точностью ε=0.001 посредством двойного пересчета, взяв начальное значение L=2. Критерий окончания процесса: 45

I пр, L1 − I пр, L2 < ε ,

L2 = 2L1 Таблица 3.2

В а р. 1 2

Подынтегральная функция

[2;3] [1;2]

− 0.0625⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ /x + x/ x 2 + 4 ⎝ ⎠

(4.25x + 1)/ ⎛⎜⎝ x

[2;5]

x 2 − 1/ 2 x 2 + 0.5 arccos (1/x )

2

3

2

2

x2 + 9 + 9/ x2 + 9

⎠

x 2 − 1 ⎞⎟ ⎠

3

[(

)

4 1/ 2 x 2 + 2 x + 3 ∗

∗ 2 x + 2 x + 3 ⎤⎥ ⎦

[-1;1]

2

(x 2 + 4)3

5

x3

6

x/ 3 x 2 + x + 1 ∗

[(

∗ 3x + x + 1⎤⎥ ⎦

8

1/ ⎡⎢ x 5 x 2 + x ⎤⎥ ⎣ ⎦ 2x − x2

9 1/ 3 7 x + 2 10

x / 125 − x 3

x ⋅ sin (0.8 x )

11 12 1/ sin 3 2 x

2(4 x + 2)/ ⎛⎜ 20 2 x 2 + 2 x + 3 ⎞⎟ ⎝ ⎠

(x 2 + 4)5 / 7(x 2 + 85 )

[3;5]

)

2

7

Первообразная

(x 2 + 9)3 ⎛ ⎞ 1 / ⎜⎜ x (x + 4 ) ⎟⎟ x3 / ⎝

3

Отрезок

[0;2]

− (2 x + 4 )/ 11 3 x 2 + x + 1

[1;3]

− 2 5 x 2 + x /x

[0;2]

(x − 1)

[0;1]

3(7 x + 2 )/ 143 7 x + 2

[1;4]

2 x − x 2 + 0.5 arcsin (x − 1)

2 arcsin

[-2;2]

(x/ 5)3 / 3

sin (0.8 x )/ 0.64 − x cos (0.8 x )/ 0.8

(

)

⎡ р 2р ⎤ − cos (2 x )/ 4 sin 2 2 x + 0 .25 ln (tgx ) ⎢ ⎥ ⎣ 10 5 ⎦

,

46

13 14 15

1/ (1 + sin (0.4 x ))

⎡ р⎤ ⎢0 , 2 ⎥ ⎣ ⎦

arctg ( x/ 3)

[-2;5]

(ln x )3

17

cos (2.5 x )/ [1 + cos (2.5 x )]2 ⎡ р р ⎤ ⎢ ⎥ ⎣10 4 ⎦

19 20 21

22 23 24 25

[0.5;2]

,

[

]

)

[

]

[

]

1/ sin (0.1x )cos 2 ( 0.1x)

1/ sin 2 (2.5 x ) cos 2 (2.5 x )

1/ 4 cos 2 (0.3 x ) + 9 ∗

x(ln x )3 − 3 x(ln x )2 + 6 x ln x − 6 x 0.2tg (1.25 x ) − 0.0667 tg 31.25 x

(

⎡ р р ⎤ 1.7888544 ⋅ arctg tg (0.25 x )/ 5 ⎢− 2 , 2 ⎥ ⎣ ⎦

1/ 1 + 4 cos 2 (0.25 x )

[

(

x ⋅ arctg (x/ 3) + 1.5 ln 9 + x 2

⎡ р р ⎤ sin (2 x )/ 4 cos 2 2 x + 0.25 ln∗ ⎢− 5 , 5 ⎥ ⎣ ⎦ ∗ tg ( x + 0.25р )

1/ cos 3 2 x

16

18

− 2 .5tg (0 .25 p − 0 .2 x )

,

⎡р р ⎤ ⎢ ⎥ ⎣4 2⎦ ⎡ р р⎤ ⎢ 16 , 8 ⎥ ⎣ ⎦

)

10 [ln (tg (0 .05 x )) + 1/ cos (0 .1x )] − 0 .8ctg (5 x )

[1;2]

0 .5555 arctg [1.5tg (0 .3 x )]

[0;2]

0.5 x − ln[sin (0.5 x ) + cos(0.5 x )]

e x cos 2 x

[0;π]

e x (5 + 10 cos 2 x + 2 sin 2 x )/ 10

(x ln x )2

[1;e]

x 3 9 ln 2 x − 6 ln x + 2 / 27

e 0 .5 x sin 5 x

[0;1]

e 0.5 x (0.5 sin 5 x − 5 cos 5 x )/ 25.25

]

∗ sin 2 (0.3 x ) tg (0.5 x )/ [tg (0.5 x ) + 1]

(

47

)

Во всех вариантах построить график и таблицу значений функции y = f(x) на отрезке [a,b] . В зависимости от варианта требуется также выполнить одно из таких дополнительных заданий: ε ε i +1 = i , 1. Построить график L* (ε) для 5 i = 0,1,...,8; ε 0 = 0.1 , L* – последнее число подынтервалов. I − I пр 2. Построить график E(L) = точ для ε = 10 −5 . I пр 3. Построить график I пр (L) для ε = 10 −5 . D(Li +1 ) , Li +1 = 2 Li ; D = I пр − I точ . 4. Построить график D(Li ) Сравнить с теоретически ожидаемым уменьшением погрешности. Варианты индивидуальных заданий указаны в таблице 3.3. Таблица 3.3 Вариант Метод Дополнитель ное задание Вариант Метод Дополни тельное задание

14 7 2

1 2 3 4 5 6 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 1 2

15 8 3

16 9 4

17 10 1

18 11 2

48

19 4 1

7 11 3

20 5 2

8 9 10 1 2 3 4 1 2

21 6 3

22 7 4

11 4 3

12 5 4

13 6 1

23 8 1

24 9 2

25 10 3

Лабораторная работа № 4 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 4.1. Теоретические сведения Аппроксимация производных с помощью отношения конечных разностей Производной функции y = f(x) в точке x называется предел Δy y ′ = lim , где Δy = f ( x + Δx) − f ( x ) . Δx → 0 Δx Приближенное значение производной можно взять равным отношению конечных разностей Δy . (4.1) y′ ≈ Δx Пусть функция y = f(x) задана таблично на множестве значений аргумента (сетке) x0 ,x1,...,xn c постоянным шагом b−a h : xi = x0 + i ⋅ h ; i=0,1,...,n; h = . Обозначим yi = f ( xi ) , n yi′ = f ′( xi ) , yi′′ = f ′′( xi ) . Очевидно, что для вычисления производной в точке, например x1 , можно использовать одну из формул y − y0 y1′ = 1 (4.2) h y − y1 y1′ = 2 (4.3) h

y − y0 y1′ = 2 2h 49

(4.4)

где применены соответственно левые, правые и центральные разности. Формулу для вычисления вторых производных можно получить, используя разность первых производных y 2 − y1 y1 − y 0 − ′ ′ y − 2 y1 + y1 y 2 − y1 h h ′ ′ = . (4.5) y1 = = 0 h h h2 Погрешность формул (4.2) и (4.3) равна O(h ) , т.е. они имеют первый порядок точности относительно h, а

( )

погрешность формул (4.4) и (4.5) равна O h 2 , т.е. они имеют второй порядок точности. Для нахождения производных любого порядка существуют формулы численного дифференцирования любого порядка точности. Один из универсальных способов построения формул численного дифференцирования состоит в том, что по значениям функции в некоторых узлах x0 ,x1,...,xn строят интерполяционный многочлен Лагранжа и Ln(x) приближенно полагают (4.6) f (m ) ( x ) ≈ L(nm ) ( x ) , 0 ≤ m ≤ n . В ряде случаев наряду с приближенным равенством (4.6) удается получить точное равенство, содержащее остаточный

член, выражающийся через производную f (n +1) . Приведем несколько распространенных формул для первой (m = 1 ) и второй (m = 2 ) производных в узлах, расположенных с постоянным шагом h > 0 : m = 1, n=2 (три узла) 2 1 (− 3 f 0 + 4 f1 − f 2 ) + h f ′′′(x ) , 2h 3 2 1 ( f 2 − f 0 ) − h f ′′′(x ) , f1′ = 2h 6

f 0′ =

50

(4.7)

f 2′ =

2 1 ( f 0 − 4 f1 + 3 f 2 ) + h f ′′′(x ) ; 2h 3

m=2, n=2 (три узла) 1 ( f 0 − 2 f1 + f 2 ) − hf ′′′(x ) , f 0′′ = h2

h 2 (4 ) ( f 0 − 2 f1 + f 2 ) − f (x ) , f1′′ = 12 h2 1 ( f 0 − 2 f1 + f 2 ) − hf ′′(x ) ; f 2′′ = h2 m=1, n=3 (четыре узла) 1

3 1 (− 11 f 0 + 18 f1 − 9 f 2 + 2 f 3 ) − h f (4) (x ) , 6h 4 3 1 (− 2 f 0 − 3 f1 + 6 f 2 − f 3 ) + h f (4) (x ) , f1′ = 6h 12

(4.8)

f 0′ =

f 2′ =

3 1 ( f 0 − 6 f1 + 3 f 2 + 2 f 3 ) − h f ( 4 ) ( x ) , 6h 12

f 3′ =

1 h 3 (4 ) (− 2 f 0 + 9 f1 − 18 f 2 + 11 f 3 ) + f (x ) . 6h 4

(4.9)

Частные производные Рассмотрим функцию двух переменных u = f ( x,y ) , заданную в табличном виде: ui,j = f xi ,y j , где xi = x0 + ih1 (i = 0,1,...,N x ) , y j = y0 + jh2 j = 0,1,...,N y . В табл. 4.1

(

(

)

)

представлены данные, которые используются для вычисления производных в точке xi ,y j .

(

)

51

Таблица 4.1 x y

xi −2

x i −1

y j −2

u i −2,j −2

u i −1,j −2

y j −1

u i −2 ,j −1

u i −1,j −1

u i−2, j

u i −1,j

y j +1

u i −2,j +1

u i −1,j +1

y j +2

u i −2,j + 2

u i −1,j + 2

yj

xi

x i +1

xi + 2

u i,j −2

u i +1,j −2

u i + 2,j −2

u i,j −1

u i +1,j −1

u i + 2 ,j −1

u i +1,j

u i + 2,j

u i,j +1

u i +1,j +1

u i + 2,j +1

u i,j + 2

u i +1,j + 2

u i + 2,j + 2

u i,j

∂u f ( x + h1,y ) − f ( x,y ) ≈ , ∂x h1

Так как

∂u f ( x,y + h2 ) − f ( x,y ) ≈ , ∂y h2 то можно получить следующие простейшие соотношения для частных производных в узле xi ,y j с помощью отношений

(

)

конечных разностей: ui, j +1 − uij u i +1, j − u ij ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ , ⎜⎜ ⎟⎟ ≈ ⎜ ⎟ ≈ h2 h1 ⎝ ∂x ⎠ ij ⎝ ∂y ⎠ ij

(4.10)

Приведем окончательные формулы для некоторых аппроксимаций частных производных. Слева указывается комбинация используемых узлов (шаблон), которые помечены кружками. Значения производных вычисляются в узле xi ,y j , отмеченном крестиком (напомним, что на

(

)

52

шаблонах и в таблице по горизонтали изменяются переменная x и индекс i, по вертикали – y и j):

Ο×Ο Ο × Ο

ui +1,j − ui −1,j ⎛ ∂u ⎞ ⎜ ⎟ = 2h1 ⎝ ∂x ⎠ ij

(4.11)

ui,j +1 − ui,j −1 ⎛ ∂u ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ≈ 2h2 ⎝ ∂y ⎠ ij

(4.12)

Ο⊗Ο

⎛ ∂ 2u ⎞ u − 2u ij + u i −1,j ⎜ ⎟ ≈ i +1,j ⎜ ∂x 2 ⎟ h12 ⎝ ⎠ ij

(4.13)

Ο ⊗ Ο

⎛ ∂ 2u ⎞ u − 2u i,j + u i,j −1 ⎜ ⎟ = i,j +1 ⎜ ∂y 2 ⎟ h22 ⎝ ⎠ ij

(4.14)

O O

× O O O O

× O O

⎛ ∂ 2u ⎞ u −u ⋅u −u ⎜ ⎟ ≈ i+1,j+1 i+1,j−1 i−1,j+1 i−1,j−1 (4.15) ⎜ ∂x∂y ⎟ 4h1h2 ⎝ ⎠ij

u i +1,j +1 − ui −1,j +1 + u i +1,j −1 − u i −1,j −1 ⎛ ∂u ⎞ (4.16) ⎜ ⎟ ≈ 4h1 ⎝ ∂x ⎠ ij

53

O O

× O O

ui +1,j +1 − ui +1,j −1 + ui −1,j +1 − ui −1,j −1 ⎛ ∂u ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ≈ (4.17) 4h2 ⎝ ∂y ⎠ ij

ПП ⊗ ПП

⎛ ∂2u ⎞ −u + 16ui +1,j − 30uij + 16ui −1,j − ui −2,j ⎜ ⎟ ≈ i +2,j ⎜ ∂x2 ⎟ 12h12 ⎝ ⎠ij

(4.18)

Ο Ο

⎛ ∂ 2u ⎞ − u i,j + 2 + 16ui,j +1 − 30u i,j + 16ui,j −1 − ui,j − 2 ⎟ ≈ ⊗ ⎜ (4.19) 2 ⎜ ∂y 2 ⎟ 12 h . ⎠ ij 2 Ο ⎝

Ο

Ο Ο Ο Ο ⊗ Ο Ο Ο Ο

⎛ ∂ 2u ⎞ ⎜ ⎟ ≈ 1 ui +1,j +1 − 2ui,j +1 + ui −1,j +1 + ui +1,j − 2 ⎜ ∂x 2 ⎟ ⎝ ⎠ ij 3h1

(

− 2ui,j + ui −1,j + ui +1,j-1 − 2ui,j −1 + ui −1,j −1 Ο Ο Ο Ο ⊗ Ο Ο Ο Ο

)

(4.20)

⎛ ∂ 2u ⎞ ⎜ ⎟ ≈ 1 ui +1,j +1 − 2ui +1,j + ui +1,j −1 + ui,j +1 − 2 ⎜ ∂y 2 ⎟ ⎝ ⎠ ij 3h2

(

− 2ui,j + ui,j −1 + ui −1,j +1 − 2ui −1,j + ui −1,j −1

)

(4.21)

4.2. Индивидуальные задания Необходимо вычислить значение производной тремя способами: • по упрощенной формуле (4.10); • по одной из формул (4.2)–(4.21); • по формуле, полученной аналитически.

54

Обозначим через D∗ , Dпр , Dан значения производной, вычисленные соответственно по формулам (4.10), (4.2) − (4.21) и аналитически. Для функции одной переменной построить таблицу для n=10. x f (x )

D*

Dпр Dан

Dан − D* ⋅ 100 Dан

Dан − Dпр ⋅ 100 Dан

Построить график функции y = f ( x ) . Построить также графики D∗ , Dпр , Dан на одном поле. Для функций двух переменных напечатать таблицы в виде y x

при Nx=10, Ny=5 для таких данных: Dан − Dпр D − D* ⋅ 100 ; U = f ( x,y ) ; D∗ , D пр , D ан , ан ⋅ 100 Dан Dан а также построить соответствующие поверхности. Выполнить одно из следующих дополнительных заданий: D − D* ⋅ 100 . 1. Построить график функции ан Dан Dан − Dпр 2. Построить график функции ⋅ 100 . Dан

55

3. Построить график функции

D* − Dпр Dпр

⋅ 100 .

4. В тех же узлах найти Dпр с уменьшенным в четыре раза шагом. 5. То же, но для D* . Dан − Dпр 6. То же, но для ⋅ 100 . Dан D − D* ⋅ 100 . 7. То же, но для ан Dан Функции и варианты приведены в табл. 4.2, 4.3. Вариант 1

Функция x 2 + cos(2x )

Таблица 4.2 a b 1 6

2

e x + cosx

0

5

3

x 2 + sinx

-2

3

4 5 6 7 8

x + sinx x + cosx sinx + cos(2x) cosx + sin(2x) sinx + 0.1cos(2x ) + y 3

0 -5 1 2 0

2.5 0 3.5 4.5 2.5

9

cosx + 0.1sin(2x ) + y 3

0

2

10

e x − sin(5x ) + cos(10y )

0

0.5

11

x + sin(4x ) + y 4

1

2

12

x − cos(3x ) + 3y 2

2

4

13

(1 + x )e −2x + sin3y

-1

1.5

56

14 15 16 17

cos(2x ) + siny x cos + cosy 10 sin(1 − x ) + cos(1 − y )

(3x2 − 1)e−x

2

1 0

3.5 10

1 -2

5 3

18

y + e − xsinx

-1

4

19

x 4 + 3x + 1

-1

1

20

5x 3 + 7x 2

-1

1

21

x 4 + 5x 3 − 100 + sin4y

0

5

22

0

5

23

x 2 − x − cos(5x ) + cos2y x x3 − + y 4

-2

3

24

x 7 + 3x 2 − 2x + 1

1

3.5

25

x 8 − x 6 + 3x 5 x 2 + x

-1

1 Таблица 4.3

Вариант Формула Доп. задание

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.8 4.7 4.9 4.17 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 2 3 1 4 5 6 7 4 5 6

Вариант Формула Доп. задание

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4.13 4.14 4.15 4.16 4.19 4.20 4.7 4.8 4.9 4.10 7 4 5 6 7 4 1 2 3 4

Вариант Формула Доп. задание

21 22 23 24 25 4.11 4.12 4.7 4.8 4.9 5 6 1 2 3

Литература 1. Турчак Л.И. Основы численных методов. –М.: Наука, 1987. 57

2. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. –М.: Наука, 1986. 3. Волков Е.А. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. – М.: Наука, 1987. 4. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. –М.: Мир, 1982. Содержание

Лабораторная работа №1. Решение нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений……………....3 Лабораторная работа №2. Решение систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений..…………....23 Лабораторная работа №3. Численное интегрирование.….....35 Лабораторная работа №4. Численное дифференцирование..49 Список литературы................…………..................................57

58