高エネルギー物理学の発展 (朝倉物理学大系)

編集 荒船次郎 東京大学名誉教授

江沢 洋 学習院大学名誉教授

中村 孔一 明治大学教授

米沢富美子 慶應義塾大学名誉教授

は

  素 粒 子 物 理 学 は 今,さ

じ

め

に

ら な る飛 躍 を求 め て模 索 の 段 階 に あ る.本 書 で は,高

エ ネ ル ギー 物 理 学 フ ロ ン テ ィア の最 先 端 の研 究 テー マ の 中 か ら,標 準 理 論 を超 え る新 現 象 探 索 の 試 み を 集 中的 に と りあ げ 解 説 を試 み た.現 在 ま で の と こ ろ, 標 準 理 論 に 矛 盾 す る現 象 は 皆 無 と言 っ て よい.種 々 の 実 験 デ ー タ に新 理 論 の つ け 込 む 余 地 は,た

だ 一 つ の 例 外(ニ ュ ー トリ ノ振 動 現 象)を 除 い て ほ とん ど な

く,そ れ も標 準 理 論 の 訂 正 とい う よ りは わ ず か な 拡 張 を 必要 と して い るの み と い う方 が正 し い で あ ろ う.そ の 意 味 で標 準 理 論 の 実 験 的 裏 付 け は 非 常 に 強 固 で あ る.数 学 的 に も整 合 性 の とれ た体 系 で あ り,こ れ か ら も一 つ の 学 問体 系 と し て 生 き残 りか つ 発 展 す る で あ ろ う こ とは 間違 い な い.し か し,古 典 力 学 や 電磁 気 学 の 限 界 を打 開 す る試 み か ら量 子 力 学 や 相 対 性 理 論 が 生 ま れ た よ うに,新 た な展 開 を 目指 す た め に は,標 準 理 論 を超 え る新 現 象 を見 つ け る必 要 が あ る.   標 準 理 論 に は 適 用 限 界 が あ る.エ ネ ル ギー ス ケ ー ル がTeV ト)を 超 え る現 象,ミ

ク ロの サ イ ズ に して10-17cm以

(1012電 子 ボ ル

下 の 現 象 に対 して は,標

準 理 論 の 予 言 能 力 は大 幅 に 低 下 す る.こ の 領 域 を探 検 して 手 が か りを得 るの は 一 つ の 方 法 で あ る.も う一 つ の方 法 と し て は,電 弱 強 の 大 統 一 理 論,さ らに は 重 力 を も含 む 究極 の統 一 理 論 を 目指 し,そ の試 み の 中 か ら新 物 理 へ の ヒン トを 探 す こ とで あ る.大 統 一 の 階 層 性 とい う理 論 的謎 を解 く解 決 法 の 多 くは,や りTeV領

は

域 に 新 現 象 の 出 現 を予 言 す る.し た が って,新 現 象 を発 見 す る ため

の最 も正 統 的 な 試 み は,TeV領

域 の加 速 器 をつ く り実 験 して み る こ とで あ る.

  一 方,大 統 一 理 論 や 重 力 理 論 の 本 格 的 検 証 に 必 要 な,エ ネ ル ギー が1013 ∼1016TeV領 域 で の 実 験 は,近 い将 来 に は と うて い実 現 不 可 能 で あ る.幸 い な こ とに,素 粒 子 統 一 理 論 が初 期 宇 宙 の発 展解 明 につ な が る こ とが わ か り,イ

ン フ レー シ ョンの ア イ デ ア提 起 な ど宇 宙 論 を大 き く発 展 させ た.逆 に 宇 宙 論 の 発 展 が,ビ

ッ グバ ン遺 跡 の探 索 とい う,現 代 技 術 で は 到 底 実 現 不 可 能 な高 エ ネ

ル ギー 現 象 に 対 す る検 証 の 道 を 開 い た.つ

ま り狭 い な が ら も大 統 一 理 論 検 証 へ

の 窓 は開 い て お り,非 加 速 器 素 粒 子物 理 とい う新 しい 分 野 が 発 展 しつ つ あ る.   本 書 は,ま ず 標 準 理 論 の枠 内 に あ るが,実 験 の結 果 次 第 で は標 準 理 論 を超 え る可 能 性 の あ る テー マ と して,第2章 第3章

でCP非

保 存 現 象 の 小 林-益 川 モ デ ル を,

で ヒ ッ グ ス粒 子 の性 質 と発 見 法 を議 論 す る.ヒ ッ グ ス は標 準 理 論 の 根 幹

をな す 真 空相 転 移 概 念 に お け る要 の粒 子 で あ る.第4章 を,第5章

で はニ ュー ト リノ現 象

で は 大 統 一 と超 対 称 性 を解 説 し,非 加 速 器 実 験 と加 速 器 実 験 の 両 面

か ら標 準 理 論 を拡 張 しあ るい は 超 え る方 法 を模 索す る.第6章

で は,イ

ンス タ

ン トンや カ イ ラル 異 常 な ど標 準 理 論 に 内 在 す る もの の これ ま で とは 異質 の 新 概 念 を紹 介 し,自 然 現 象 との 関 わ りを述 べ る.発 展 如 何 で は 伝 統 的 物 質 観 の修 正 を 迫 られ る可 能 性 を見 て の こ と で あ る.強 い相 互 作 用 のCP保 は 第6章

で紹 介 す るア クシ オ ンの 存 在 が,ま

存 を理 解 す るに

た大 統 一 理 論 を認 め る な らば 第7

章 で 扱 う磁 気 単 極 子(モ ノ ポー ル)の 存 在 は 不 可 欠 の よ うに 思 え る.こ れ らの 未 発 見 素 粒 子 の 存 在 や ニ ュー ト リノ の質 量 問 題 は,初 期 宇 宙 の 発 展 や 暗 黒 物 質 の解 明 と密 接 に絡 ん で い るの で,第8章

で は 素 粒 子 との 関 わ りに重 点 を 置 きつ

つ ビ ッ グバ ン か ら現 在 に 至 る宇 宙 の発 展 を概 観 した.こ の 章 は,素 粒 子 物 理 を 直 接 に 扱 うわ け で は な いの で最 後 に 置 い た が,ニ

ュ ー ト リノや ア クシ オ ン さ ら

に は 暗 黒 物 質 の宇 宙 に お け る役 割 を理 解 す る ため に は,先 に 読 ん で お く方 が理 解 が 深 ま るか も しれ な い.筆

者個 人 の 主観 が 入 る に して も,本 解 説 の 中 で 取 り

上 げ た トピ ッ クの 半 数 が 非 加 速 器 物 理 の テ ー マ で あ り宇 宙 の テー マ で もあ る こ とは,21世

紀 に お け る高 エ ネ ル ギー 物 理 学 の 発 展 方 向 を暗 示 す る.

  本 書 の 対 象 は,実 験 家 も し くは 大 学 院 の理 論 学 生 で あ る.す な わ ち,素 粒 子 物 理 の 基 本 知 識 は もつ が,個

々 の ト ピ ッ クに つ い て は こ れ か ら入 門的 知 識 を得

よ う とす る読 者 を想 定 して い る.そ の た め,本 解 説 は 各 トピ ッ ク ご とに独 立 さ せ,か

つ 読 み 切 り と して 辞 典 に 準 じた構 成 と し た.各 章 と も,非 専 門家 向 け に

ま ず 基 本 概 念 の 説 明 と可 能 な 限 り(つ ま り筆 者 の 能 力 の 範 囲 で)式 の 導 入 を行 い,そ の 後 で実 験 的検 証 の 現 状 に ふ れ た.興 味 に応 じて どの 章 や ど の節 を切 り 取 っ て読 ん で い た だ い て もよ い.本 書 に至 る前 段 階 と して,素 粒 子 物 理 学 へ の

入 門 用 に まず 朝 倉 物 理 学 大 系 の 第3巻 基 礎 を解 説 した.第4巻

「素 粒 子 物 理 学 の 基礎Ⅰ 」で場 の 理 論 の

「素 粒 子 物 理 学 の 基 礎Ⅱ 」で は ク ォー クモ デ ル が 確 立

し標 準 理 論 が 誕 生 す る経 緯 を描 き,そ

して 第5巻

「素 粒 子 標 準 理 論 と実 験 的 基

礎 」で は ほ とん どすべ て の 実 験 事 実 を標 準 理 論 が 見 事 に 説 明 す る有 様 を解 説 し た.本 書 は,上 記 の 解 説 書 の な か で 説 明 し残 し た こ と と未 解 決 の 問題 点 を整 理 し,こ れ か らの発 展 方 向 につ い て 筆 者 な りの 見 地 で ま とめ た もの で あ る.素 粒 子 物 理 学 の 初 歩 か ら取 り組 む場 合 は4巻 全 部 を ま とめ て,素 粒 子 現 象 解 説 の 観 点 か らは 後 の3巻

を ま とめ て は じめ て 整 合 性 の あ る体 系 とな る.た だ し,各 巻

は論 理 的 に は 閉 じた構 成 に して あ り,独 立 本 と して の 体 裁 は保 つ よ う に した の で,興 味 に 応 じて適 当 に 取 捨 選 択 して い た だ い て も よ い.本 書 と合 わせ て ご 利 用 い た だ け れ ば幸 い で あ る.   本 書 の よ うに読 み切 り短 編 集 に近 い ス タ イ ル の解 説 は,通 常,テ ー マ ご とに そ の道 の 専 門家 が担 当 す る.新

しい ア イデ ア と最 新 デ ー タが 日夜 更 新 され る最

先 端 の トピ ッ ク をフ ォ ロー し,間 違 い を起 こ さ ず に 深 く掘 り下 げ るに は そ れ が 最 上 の 方 法 だ か らで あ る.に

もか か わ らず 身 の程 わ き ま えず に筆 者 が あ え て挑

戦 し た の は,対 象 とす る読 者 層 を 限 れ ば,一

人 の筆 者 が 一 つ の ス タ イル で一 つ

の体 系 を整 合 的 に描 写 す る解 説 書 に は そ れ な りの 意 義 が あ る はず と考 え たか ら で あ る.筆 者 は 実 験 家 で あ る.測 定 器 の 作 り方 や デ ー タの 解 析 法 に は 習 熟 して い て も,こ の解 説 で述 べ て あ る理 論 的 な 発 展 に何 一 つ ア イデ ア を提 供 し た こ と は な い.内 容 は す べ て他 人 の 論 文 な い しは 解 説 書 の受 け 売 りか らス ター ト した もの で あ る.実 験 デ ー タ につ い て も 自分 の 専 門以 外 は 同様 で あ る.理 論 的 に見 当違 い の論 理 を展 開 して い るか 心 配 で あ る し,実 験 的 に も その 分 野 で は常 識 の こ と を 間違 っ て 受 け 止 め て い る可 能 性 は 多 々 あ る.現 に 編 者 に よ る査 読 の段 階 で初 歩 的 な 間違 い を い くつ か 指 摘 され た.読 者 も間違 い を見 つ け た ら遠 慮 な く 筆 者 に 指 摘 して い た だ きた い.   終 わ りに,本 書 を執 筆 す る機 会 を 与 え て下 さ っ た 編 者 の 荒 船 次 郎 氏 と江 沢 洋 氏 に 感 謝 す る.特 に 荒 船 氏 に は全 編 を通 して 詳 細 に査 読 して い た だ き,い ろ い ろ コ メ ン トをい た だ い た.ま た,郷 た だ い た.言 あ る.ま

田 直輝 氏 に は第8章

に つ い て ご批 判 を い

う まで も な い こ とな が ら,本 書 の 誤 りにつ い て は 筆 者 に全 責 任 が

た,こ の執 筆 の ため 筆 者 の研 究 室 ス タ ッ フ学 生 諸 氏 に は い ろ い ろ ご協

力 を い た だ い た.こ

の場 を借 りて 感 謝 の 意 を表 させ て い た だ く.最 後 に,4冊

もの大 き な解 説 書 に な っ て し まい,そ

して初 稿 か ら最 終 稿 に 向 け て大 幅 な 書 き

直 しが あ っ た に もか か わ らず,長 期 間 に わ た っ て 快 く面 倒 を見 て い た だ い た朝 倉 書 店 の 方 々 に 感 謝 の意 を表 す る. 1999年5月 大阪にて   長 島 順 清

目

1  序

次

論 

1

  1.1  標 準 理 論 の 考 え 方 

1

  1.2  標 準 理 論 の 構 造 

3

 

1.2.1 

3

 

1.2.2  QCDラ

電 弱 相 互 作 用 の ラ グ ラ ン ジ ア ン  グ ラ ン ジ ア ン 

7

  1.3  標 準 理 論 の 検 証 

9

 

1.3.1  標 準 理 論 の 確 立 

9

 

1.3.2 

標 準 理 論 の 精 密 検 証 

10

  1.4  高 エ ネ ル ギ ー 物 理 学 の 発 展 方 向 

12

2  小 林-益

16

川 行 列 

  2.1  ヒ ッ グ ス 場 に よ る 質 量 生 成 

16

  2.1.1 

弱 固 有 状 態 と 質 量 固 有 状 態 

16

  2.1.2 

3世 代KM行

19

  2.1.3 

KM行

列 

列 の パ ラ メ タ ー 化 

20

  2.2  小 林-益 川 行 列 要 素 の 数 値 評 価 

21

  2.3  ユ ニ タ リー 三 角 形 

26

  2.4  2粒 子 系 の 混 合 

29

 

2.4.1 

質 量 行 列 と 混 合 パ ラ メ タ ー ε 

29

 

2.4.2 

中 性K中

31

 

2.4.3 

B中

 

2.4.4 

混 合 パ ラ メ タ ーxd,

 

2.4.5 

D0中

間 子 のCPパ

ラ メ ター 

間 子 混 合 

間 子 の 混 合 

33 xs 

35 40

  2.5  質 量 行 列 の 理 論 評 価 

40

 

2.5.1 

K中

間 子 質 量 行 列 の 評 価 

41

 

2.5.2 

B中

間 子 質 量 行 列 の 評 価 

46

  2.6  ユ ニ タ リー 三 角 形 の 許 容 範 囲 

49

  2.7  Kの

稀 崩 壊 

50

  2.8  B崩

壊 で のCP非

 

2.8.1 

レ プ トン 非 対 称 

52

 

2.8.2 

CPの

53

 

2.8.3 

崩 壊 モ ー ド とKM行

保 存 の 観 測 法 

直 接 の 破 れ 

  2.9  非 対 称Bフ

列 の 位 相 

ァ ク ト リー 

52

56 59

 

2.9.1 

xsの 測 定 

59

 

2.9.2 

CP非

62

  2.10 

3  ヒ

CPの

ッ

対 称 の 測 定 

諸 問 題 

66

ス 

72

グ

  3.1  ヒ ッ グ ス 粒 子 の 相 互 作 用 

72

 

3.1.1 

ラ グ ラ ン ジ ア ン 

72

 

3.1.2 

崩 壊 モ ー ド 

73

  3.2  ヒ ッ グ ス の 質 量 

75

 

3.2.1 

放 射 補 正 デ ー タ か ら の 推 定 

75

 

3.2.2 

理 論 的 下 限 

77

 

3.2.3  理 論 的 上 限 

80

  3.3 

ヒ ッ グ ス 粒 子 の 生 成 

 

3.3.1 

ee反

応 に よ る 生 成 

 

3.3.2 

ハ ド ロ ン に よ る ヒ ッ グ ス 生 成 

84 84 90

  3.4  超 対 称 ヒ ッ グ ス 

96

 

3.4.1 

ヒ ッ グ ス モ デ ル の 拡 張 

96

 

3.4.2 

MSSMヒ

  3.5   

ッ グ ス 粒 子 の 検 出 

ヒ ッ グ ス は 素 粒 子 か 

3.5.1 

強 結 合 理 論 

100 104 104

3.5.2 

ヒ ッ グス 機 構解 明 の 戦 略

 

4  ニ ュ ー ト リ ノ

109

  113

  4.1  ニ ュ ー ト リ ノ 質 量 の 理 論 的 諸 問 題

  114

 

4.1.1 

質 量の上限値

 

 

4.1.2 

質 量行

 

4.1.3 

左右対称 モデ ル

列

114

 116  122

  4.2  レ プ トン 数 非 保 存 テ ス ト

  123

  4.3  ニ ュ ー ト リ ノ の 電 気 的 性 質

  126

 

4.3.1 

電 荷 分 布

  126

 

4.3.2 

磁 気 能 率

  127

  4.4  ニ ュ ー ト リ ノ 混 合

  129

 

4.4.1 

ニ ュー ト リノ質 量 の 直接 測 定

 129

 

4.4.2 

ニ ュ ー トリ ノ振 動

 131

  4.5  ニ ュ ー ト リ ノ 天 文 学

 135

 

4.5.1 

太 陽 ニ ュー ト リノの 謎

  135

 

4.5.2 

物 質 振 動

 141

 

4.5.3 

太 陽 ニ ュ ー ト リノの 謎 の解 は あ るか

  149

  4.6  大 気 ニ ュ ー ト リ ノ

  152

  4.7  超 新 星 ニ ュ ー ト リ ノ

  156

 

4.7.1 

超新 星の形成過程

  157

 

4.7.2 

超 新 星 ニ ュー ト リノ検 出

 160

 

4.7.3 

素 粒 子物 理 へ の 見 返 り

  4.8  お わ り に

 

163  165

5  大 統 一 と 超 対 称 性

  170

  5.1  な ぜ 大 統 一 か

  170

 

5.1.1 

ワ イ ンバ ー グ角 の 不 定 性

 

5.1.2 

電荷 の 量 子化

 

5.1.3 

三角 異 常 項

  171  172   172

5.2  SU(5) 

175

 

5.2.1 

大統一 のスケール

 

5.2.2 

フ ェ ル ミオ ン の 表 現

 

5.2.3 

ゲ ー ジ粒 子 の 表 現

 

5 .2.4  対 称 性 の 破 れ

  183

 

5.2.5 

  186

SU(5)の

  175   176  179

予 言 と破 綻

5.3  SO(10) 

190

 

5.3.1

左 右 対 称 の世 界

 190

 

5.3.2

新 し い 中 性 ゲ ー ジ ボ ソ ン:Z' 

191

5.4  階 層 問 題

  195

5.5  超 対 称 性

  198

 

5.5.1 

超 対 称 性 とは

  198

 

5.5.2 

超 粒 子 の性 質

  201

 

5.5.3 

超 対 称 大 統 一 理 論(SUSY-GUT) 

204

5.6  超 対 称 モ デ ル

  207

 

5.6.1 

超粒 子の相互作用

  207

 

5.6.2 

最 小SUGRAモ

 

5.6.3 

GMSBモ

 

5.6.4 

質 量 ス ペ ク トル の ま と め

デル

 208

デル

  214   218

5.7  超 粒 子 探 索

  220

 

5.7.1 

チ ャ ー ジ ー ノ,ニ

ュ ー ト ラ リー ノ,ス

 

5.7.2 

ス クォ ー ク とグ ル ー イ ー ノ

レ プ トン

 220  224

5.8  お わ り に

6  ア   6.1 

ク シ

オ

 225

ン

 

ソ リ ト ン

230

  231

 

6.1.1 

1+1次

元 の ソ リ トン

 

6.1.2 

1+2次

元 の ソ リ トン:う

 

6.1.3 

巻 つ

 

6.1.4 

ソ リ トンの 存 在 す る 時 空

き 数

  231 ず糸

  236   239  241

  6.1.5 

イ ン ス タ ン トン

  243

  6.1.6 

θ

  250

真

空

6.2  強 い 相 互 作 用 に お け るCPの   6.2.1 

異

常

  6.2.2 

カ イ ラ ル変 換 と質 量 項

  6.2.3 

U(1)問

破 れ

項

題

  251   251   254   256

6.3  ア ク シ オ ン の モ デ ル

  257

  6.3.1 

PQ対

  257

  6.3.2 

見 え な い ア ク シオ ン

称 性 と標 準 ア クシ オ ン

6.4  宇 宙 に お け る ア ク シ オ ン

 262  

264

  6.4.1 

星 の冷却剤

  264

  6.4.2 

宇 宙の残存 ア クシオン

 266

  6.4.3 

ア ク シ オ ン の探 索

  270

6.5  電 弱 相 互 作 用 の 相 転 移 と バ リ オ ン 数 非 保 存

7  磁 気 単 極 子(モ

ノ ポ ー ル) 

  275

279

  7.1  デ ィ ラ ッ ク モ ノ ポ ー ル

  280

  7.2 

 283

ト ・フ ー フ ト-ポ リヤ コ フ モ ノ ポ ー ル

 

7.2.1 

は り ねず み ポ テ ン シ ャ ル

 

7.2.2 

 

7.2.3 

磁

 

7.2.4 

モノポールの存在条件

モ ノポ ールの質量

  7.3  大 統 一モノ

流 

ポールの性質

 283   286 287   288   289

 

7.3.1 

質 量 とサ イ ズ

  289

 

7.3.2 

触 媒 作 用

  290

 

7.3.3 

ア イ ソ ス ピ ンの ス ピンへ の転 化

  7.4 

  291

モノ ポー ル と天体 物 理 学

  291

 

7.4.1 

モ ノ ポー ル の 速 度

  291

 

7.4.2 

フ ラ ッ クス制 限

  292

  7.5  モ ノ ポ ー ル 探 索

 294

 

7.5.1 

磁 気 誘 導 検 出器

  295

 

7.5.2 

イ オ ン化 損 失 を 使 う 方 法

  296

  7.6  お わ

8  宇

宙

り に

  301

論

 304

  8.1  フ リー ドマ ン 方 程 式

 

304

  8.2 

ビ ッ グバ ン宇 宙論

  308

  8.3  イ ン フ レ ー シ ョ ン

  312

 

8.3.1 

宇 宙の急速膨 張

  312

 

8.3.2 

地平 線問題

 314

 

8.3.3 

平 坦 性 問題

  316

 

8.3.4 

モ

 

8.3.5 

宇 宙 項 問題

ノポ ール問題

 

317

  317

  8.4  残 存 ニ ュ ー ト リ ノ

 

319

  8.5  宇 宙 の 物 質 組 成

 

321

 

8.5.1 

バ リオ ン創 生

  321

 

8.5.2 

元 素 合 成

  323

  8.6  宇 宙 構 造 の 進 化

  328

 

8.6.1 

ジー ン ズ質 量

  328

 

8.6.2 

ゆ ら ぎの 成 長

 331

 

8.6.3 

暗黒物 質の役割

 332

 

8.6.4 

銀 河 分 布 とパ ワ ー ス ペ ク トル

 

334

 

8.6.5 

宇 宙 背 景 輻 射(CMB)の

 

340

付

録

  A  ホ モ トピー

ゆ らぎ

 345  

345

  B  宇 宙 論 補 足

  352

索

 359

引

1 序

論

1.1  標 準 理 論 の 考 え 方

  物 質 の 究 極 構 造 物 で あ る素 粒 子 と素 粒 子 を構 造 体 に組 み 上 げ る力 の 統 一 理 論 が 提 唱 され て30年

に な る.標 準 理 論 は,極 端 な超 高 エ ネ ル ギー 現 象 を扱 わ な

い 限 りは数 学的 に整 合 性 が とれ て お り,実 験的 に は わ れ わ れ の 知 る 限 りで の 素 粒 子 現 象 を ほぼ 完璧 に記 述 す る.し か し,よ

り ミク ロ な,よ

り高 エ ネ ル ギー 現

象 を求 め て 素 粒 子 物 理 学 は現 在 も発 展 しつ つ あ る.高 エ ネ ル ギー 物 理 学 の 発 展 を 見 通 す ため に は,標 準 理 論 の 検 証 状 況 を まず概 観 して お く必 要 が あ ろ う.標 準 理 論 の 根 底 に あ る考 え方 を考 察 し,歴 史 学 に どの よ うに検 証 され て い った か を 眺 め る こ とに よ り,高 エ ネ ル ギー 物 理 学 の 発 展 へ 参 入 す る準備 をす る.   標 準 理 論 が 新 し くも た ら した 物 質 観 の な か で 最 も革 命 学 な要 素 は真 空 に 対 す る概 念 で あ ろ う.標 準 理 論 に よれ ば,真 に お け る媒 質 の よ うに 何 か(ヒ

空 は何 も な い無 の 空 間 で は な く,物 性

ッ グ ス と呼 ぶ)が 詰 まっ て い る力 学的 構 造 体 で

あ る.し たが っ て真 空 自 身 エ ネ ルギー を もつ こ とが 可 能 で あ り,環 境 変 化 に 応 じて真 空 自体 の 性 質 も変 わ り う る.ヒ

ッ グス場 は 自 己相 互 作 用 を も ち,温 度 が

下 が る と特 定 の 配位 を もつ よ う に な る(対 称 性 の 自発的 破 れ).す

な わ ち真 空

は温度 に よ って そ の相 を変 え る.標 準 理 論 の要 諦 は,わ れ わ れ の 住 む 世 界 が極 低 温 状 態 に あ り ヒ ッ グ ス粒 子 の凝 縮 した い わ ば超 伝 導 相 状 態 に あ る と認 識 す る こ とに あ る.相 転 移 に 応 じて個 々 の素 材 と して の 素 粒 子 の性 質 も変 わ り う る. 素 粒 子 の もつ 質 量 は そ の よ うに 後 天 学 に付 加 され た 力 学的 性 質 の 一 つ と見 な さ れ る.す な わ ち,標 準 理 論 は,素 粒 子 の 本 来 の 質 量は ゼ ロ で あ る と い う立場 を とる.物 質 の 根 源 要 素 で あ る フ ェ ル ミオ ン(ク ォー ク と レ プ トン)は カ イ ラ ル

不 変 性 に よ って,力

を媒 介 す るゲ ー ジ ボ ソ ン は ゲ ー ジ不 変 性 に よっ て,質 量 が

ゼ ロで あ る こ との理 論 的根 拠 を もつ.こ

れ ら の対 称 性 が 自発 的 に 破 れ(相 転 移

が 起 こ り)質 量 が 発 生 す る メ カ ニ ズ ム を ヒ ッ グ ス 機 構 とい う.現 実 の 世 界 で は,フ

ェ ル ミオ ン と電 弱相 互 作 用 の ゲー ジ ボ ソン が 質 量 を もち,カ

性 とゲ ー ジ不 変 性 が と もに破 れ て い る よ う に見 え るが,ヒ

イ ラル 不 変

ッグ ス機 構 を採 用 す

る こ とに よ り,有 限質 量 の素 粒 子 群 の相 互 作 用 を,ゲ ー ジ理 論 の範 囲 内 で 扱 う こ とが 可 能 に な る.   標 準 理 論 で 扱 う物 質 構 成 粒 子 に は 次 の3世 代6種

類 の ク ォー ク と レプ トンが

あ る.

(1.1)   こ こに,uL,… 標Rは

の指 標Lは

カ イ ラ ル 固 有 状 態 が 負 の 左 巻 き粒 子 を表 し,指

カ イ ラル 固有 状 態 が 正 の 右 巻 き粒 子 を表 す.d',

s',b'は,弱

い相 互 作 用

をす る と きの 固有 状 態 で,質 量 固 有 状 態 のd, s, bと は小 林-益 川行 列 で 結 び つ い て い る量 で あ る(第2章

参 照).

  こ れ らの 物 質 構 成 粒 子 が,そ

れ ぞ れ の もつ 電 磁 力,弱

い 力,強

い力 に よ って

結 びつ き,物 質 構 造 をつ く りあ げ る.素 粒 子 の 相 互 作 用 を記 述 す る数 学 の 枠 組 み は ゲ ー ジ理 論 で あ る.弱 い相 互 作 用 と電 磁 相 互 作 用(合 用)は,素

わせ て 電 弱 相 互 作

粒 子 の もつ ハ イパ ー チ ャ ー ジ(超 電 荷)と ア イ ソス ピ ン に よ り引 き

起 こ さ れ る.電 弱相 互 作 用 はSU(2)×U(1)対 述 さ れ るが,上

称 性 に 従 うゲ ー ジ理 論 に よ り記

記 の ヒ ッ グ ス機 構 に よ り対 称 性 が 自発 的 に破 れ る.た だ し電磁

相 互 作 用 部 分 は厳 密 なゲ ー ジ対 称 性 が 成 立 して い て,フ ォ トンの 質 量 はゼ ロの ま ま で あ る.一 方,強 ラー に は3種

い相 互 作 用 は ク ォー クの もつ カ ラー 荷 に よ り生 じる.カ

類 あ り,SU(3)対

chromodynamics)で

称 性 に 従 う ゲ ー ジ 理 論(QCD:

quantum

は,電 弱 相 互 作 用 と違 い真 空 の 対 称 性 の 自発 的破 れ は起

きて お らず,厳 密 な ゲ ー ジ対 称 性(ゲ ー ジ粒 子 の 質 量 が0と と見 な され て い る.し か し,低 温  し カ イ ラ ル 対 称 性 が 自発 的 に破 れ る.ヒ

い う意 味)に 従 う

で は ク ォー ク対 が 凝 縮 ッ グス が 存 在 しな い に もか か わ らず 力

学的 な要 因 で ヒ ッ グス的 な力 学 構 造 が構 成 さ れ る有 りさ まは,超 伝 導 に お け る クー パ ー 対 に よ く似 て い る.カ

ラー は 左 巻 き と右 巻 き を 区別 せ ず,QCDで

は

パ リテ ィ保 存 が 成 立 す る.し か し,カ ラー カ の 自 己相 互 作 用機 能 に よ りカ ラー が 現 れ な い 閉 じ込 め 相 が 実 現 して お り,ク ォー クや ゲー ジ粒 子 の グル ー オ ン を 単 独 に は 取 り出せ な い.低 エ ネ ル ギ ー で は,ク ォ ー ク と グル ー オ ンの 多重 相 互 作 用 を扱 う必 要 が あ り,格 子 ゲー ジ理 論 な ど非 摂 動的 取 扱 い が 必 要 で あ る.高 エ ネ ル ギ ー で は クォ ー ク と グル ー オ ン(合 わせ て パ ー トン と呼 ぶ)は,ジ ト と し て観 測 さ れ る の で,QCDの

ェッ

検 証 には パ ー トン と ジ ェ ッ トの 対 応 付 け が

必 要 で あ る.理 論 的 に厳 密 な対 応づ け は ま だ で きて い な い が,QCDを

ガイ ド

ラ イ ン と し たハ ドロ ン化 モ デ ル に よ りジ ェ ッ トデ ー タ を定 量的 に再 現 す る こ と は で きて お り,QCDの

精 密 検 証 が 可 能 で あ る.

1.2  標 準 理 論 の 構 造

  1.2.1  電 弱 相 互 作 用 の ラ グ ラ ン ジ ア ン   電 弱 相 互 作 用 の 従 う電 弱 統 一 理 論 は,上 記 の 物 質 構 成粒 子 群 が カ イ ラル 対 称 性 を 満 た し,SU(2)×U(1)ゲ

ー ジ 理 論 に 従 う と い う と こ ろ か ら 出 発 す る.

フ ェ ル ミオ ン の右 巻 き成 分 と左 巻 き成 分 は,そ れ ぞ れ独 立 なハ イパ ー チ ャー ジ (超 電 荷Y)と

ア イ ソ ス ピ ン(I, I3)を もつ.す

な わ ち,相 互 作 用 が 左 巻 き粒

子 と右 巻 き粒 子 で 異 な る.運 動 方程 式 の も と と な る ラ グ ラ ン ジ ア ンは ゲ ー ジ セ ク ター と ヒ ッ グ スセ クター に 分 け られ,そ に な っ て い る.ゲ ー ジ セ ク ター は,フ

れ ぞれ が ゲ ー ジ対 称 性 を満 た す よ う

ェ ル ミ オ ン(ク ォ ー ク と レ プ トン)と

ゲ ー ジ ボ ソ ン の 自 己エ ネ ル ギー お よ び相 互 作 用 部 分 で あ る.ヒ

ッグ ス セ ク ター

は ヒ ッ グ ス の 自 己エ ネ ル ギー お よ び ヒ ッ グス に結 合 す るす べ て の粒 子 の 相 互 作 用 を含 む.フ

ェ ル ミオ ン お よび ゲ ー ジ ボ ソ ンの 質 量 は,ヒ

用 に よ る真 空 の 自発的 対 称 性 の破 れ の結 果 と して,ヒ

ッグ ス の 自 己相 互 作

ッ グ ス セ ク ター に生 じる

物 理 量 で あ る.フ ェ ル ミオ ン とゲ ー ジ ボ ソ ンの 相 互 作 用 が 引 き起 こす 現 象 を計 算 す る と きは,質 量 項 を含 め る必 要 が あ るが,質

量 項 だけ を ヒ ッ グ スセ ク ター

か ら分 離 す る と,そ こ の部 分 の ゲ ー ジ不 変 性 は破 れ る.ト

リー 近 似 を扱 う場 合

は そ の 差 は重 要 で は な い が,高 次 効 果 を考 慮 す る と き は両 セ ク ター の 寄 与 を す

べ て 取 り入 れ な け れ ば な ら な い .   後 の 議 論 の た め,SU(2)対 SU(2)×U(1)対

称 の2重

項 で あ る 電 子 と ニ ュ ー ト リ ノ に つ い て,

称 性 を 満 た す 全 ラ グ ラ ン ジ ア ン を 書 き 下 ろ す .他

の2重

項 も

同 様 に 扱 う.

(1.2) (1.3a) (1.3b) (1.3c) (1.3d) (1.4a) (1.4b)   太 文 字 で 表 し た 量は ア イ ソ ス ピ ン 空 間 の ベ ク ト ル で あ る.す (Fa, a=1∼3).ラ

グ ラ ン ジ ア ン(1.2)の

目 が ヒ ッ グ ス セ ク タ ー で あ る.こ

第1行

れ にW0とBの

目 が ゲ ー ジ セ ク タ ー,第2行 混 合 を 取 り 入 れZとAで

書 き 直 し た う え で 対 称 性 の 自 発 的 破 れ を 入 れ れ ば,グ -サ ラ ム(Glashow-Weinberg-Salam)理   a.  

BとW0の

BとW0は

な わ ちF=

ラ シ ョ ー-ワ イ ン バ ー グ

論 の ラ グ ラ ン ジ ア ンが 得 られ る

.

混合 同 じ フ ェ ル ミ ン 対 に 結 合 す る の で 混 合 が 生 じ,フ

中 性 の ボ ソ ン 場Zと

な る.混

合 角 をθW(ワ

イ ン バ ー グ 角)と

ォ ト ン 場Aと して

(1.5a) (1.5b) こ の 結 果,Aμ

の 結 合 す る 量 子 数(電

各 粒 子 に つ い てQL=QRが す る.こ

のZμ

とAμ

荷)は,Q=I3+Y/2と

満 た さ れ る の で,電

を代 入 し,Q=I3+Y/2を

書 き表 さ れ る.

磁 相 互 作 用 は パ リテ ィ を保 存 使 っ て 書 き 直 し,Aμ

とフェル

ミオ ン場 の 結 合 定 数 をeと

読 み 替 え る と,ゲ ー ジ セ ク ター の ラ グ ラ ン ジ ア ン

の 相 互 作 用 部 分 は 次 の よ うに変 形 され る.

(1.6a) (1.6b) ワ イ ン バ ー グ 角sin2θWは,標

準 理 論 の範 囲 で は計 算 で き な い 与 え られ た パ ラ

メ タ ー で あ り,0.22∼0.23の   b. 

値 を もつ .

フ ェル ミオ ン質 量 項

 対 称 性 の 自発 的破 れ で,ヒ

ッ グ ス場 が真 空 期待 値υ を も ち

(1.7) と な る も の とす る.フ

ェ ル ミオ ン の 質 量 項 は,(1.2)式

3項 に 対 称 の 自 発 的 破 れ(1.7)を

の ヒ ッ グ ス セ ク ター 第

入 れ て や れ ば,

(1.8a) (1.8b) と な る.ア

イ ソ ス ピ ンI3=-1/2のdク

るだ け で 同 じ方 法 で質 量 をつ くれ る.uク い.エ

ォ ー ク の 質 量 は,結 合 定 数fを

変え

ォ ー ク質 量 発 生 に はφcを 使 え ば よ

ネ ル ギー がΛQCD以 下 の エ ネ ル ギー ス ケ ー ル に な る と,ク ォ ー ク対 が 凝

縮 して 実 効 的 に ヒ ッ グ ス 場 を 構 成 し,カ イ ラ ル 対 称 性 の 破 れ の 結 果 と し て クォ ー ク に は余 分 の 質 量 が付 加 され る.   C. WとZの   W± とZの

質量項 質 量 項 は ヒ ッ グ ス の運 動 エ ネ ル ギー 項((1.2)式

第2行 第1項)で

の 置 き換 え を し てや れ ば 取 り出せ て,

(1.9)

を得 る.弱 い相 互 作 用 の フ ェ ル ミ結 合 定 数 と は次 の 関 係 で 結 びつ い て い る.

(1.10) (1.11)   d. 

ヒッグス相互作用

  (1.2)式

の ヒ ッ グ ス セ ク タ ー に(1.7)を

入 れ て や れ ば,ヒ

ッグスの 相互 作

用 が 得 ら れ る.

(1.12a) (1.12b)   e.

ρ-パ ラ メ タ ー

  荷 電 カ レ ン トの フ ェ ル ミ結 合 定 数GFを,式(1.10)で 性 カ レ ン トの フ ェ ル ミ結 合 定 数GNを

定 義 し た よ う に,中

次 式 で 定 義 す る.

(1.13) ρは 高 次 の効 果 を含 め た 中性 カ レ ン ト結 合 定 数 と荷 電 カ レ ン ト結合 定 数 の 比 と して 定 義 され る.

(1.14a) Δρは 高 次 の 補 正 効 果 で あ る.W,

Zゲ ー ジ ボ ソ ン の 重 い フ ェ ル ミ オ ン や ヒ ッ

グ ス の ル ー プ に よ る効 果 が 大 きい の で,ρ の精 密 デ ー タ と高 次 計 算 値 を合 わせ る こ とに よ り トップ ク ォー ク質 量 が 推 定 で き る.ト

ップ は予 想 通 りの とこ ろ で

発 見 され たの で,現 在 は ヒ ッグ ス粒 子 質 量 の 推 定 に 使 わ れ る.ヒ ッ グ ス質 量 が 決 定 した 後 は新 粒 子(す な わ ち新 物 理)の 発 見 に 有 力 な 手段 と な る.ρ は ま た

(1.14b) に よ っ て も定 義 で き る.標 準 理 論 とは 違 っ て,ヒ

ッ グ ス粒 子 が 複 数 個 あ る場 合

は,W,

Zの

質 量 は,式(1.9)の

代 わ りにυiを

中 性 ヒ ッ グ ス 場 の 真 空 期 待 値,

Iiを ヒ ッ グ ス の ア イ ソ ス ピ ン と し て,

(1.15a) (1.15b) と変 更 され るの で,ト

リー 近 似 の段 階 で は

(1.16) と な る.余 が,2重

分 に 存 在 す る ヒ ッ グ ス 場 が,3重

項 を考 え る 限り ヒ ッ グ ス 場 が 複 数 あ っ て も,ト

ρ=ρtree=ρmass=1で mz2)で

項 を 含 め ば 

あ る.質

量 殻 に よ るsin2θwの

は ρ の 高 次 効 果 をsin2θwの

に よ っ て1と

  1.2.2

な り,高

QCDラ

  QCDは,厳 を 伴 わ な い.ク

とな る

リー 近 似 の 段 階 で は,

定 義(sin2θw≡1-mw2/

中 に 取 り込 ん で し ま う の で,ρmass,は 定 義

次 補 正 効 果 を 受 け な い.

グ ラ ンジ ア ン

密 なSU(3)対

称 性 を も つ ゲ ー ジ 理 論 で あ り対 称 性 の 自 発 的 破 れ

ォ ー ク を ψ=(R,G,B)の

よ う に 表 す と,QCDラ

グ ラン ジア

ン は,

(1.17a) (1.17b) (1.17c) で 与 え られ る.t=(tk;k=1∼8),

tk=λk/2は 生 成 子 の3×3表

現 行 列 で あ る.

量 子 場 の 場 合 は,ゲ ー ジ 固定 項 や 幽 霊 ス カ ラー 項 が 付 加 さ れ る.QCDは 換 ゲ ー ジ理 論 で あ り,Fμν はΑ μの 非 線 形 項 を 含 む.QCD特

非可

有 の種 々の 力学

的 性 質 は この 性 質 に 帰 着 で き るこ とが 多 い.  ⅰ)  漸 近 自 由 と繰 り込 み 群 方程 式

 QCDの

義 さ れ,反 応 の最 低 次(ト

は定 数 で あ るが,高

リー 近 似)で

結 合 定 数 は,αs≡g2/4π で 定 次 効 果 を取 り入 れ

る と 関 与 す る エ ネ ル ギ ー ス ケ ー ルQの coupling

constant).高

償 と し て,繰

関 数 と な る(実

効 結 合 定 数:running

次 効 果 計 算 に 出 現 す る 無 限 大 の 発 散 を 繰 り込 む と,代

り込 み ス ケ ー ル エ ネ ル ギ ー μ を 導 入 せ ざ る を え な く な る.観

量は 繰 り込 み 点 μ2の と り方 に 依 存 し て は い け な い か ら,物

理 量 の μ2に よ る 変

化 は αsの 変 化 と相 殺 し な け れ ば なら な い.物

理 量 をPと

現 れ る エ ネ ル ギ ー ス ケ ー ル をQと

元 解 析 に よ りPは

の 関 数 と な り,繰

す る と,次

測

し て,そ

の物理 量が τ=ln(Q2/μ2)

り込 み 群 方 程 式

(1.18a) が成 立 し な け れ ば な らな い.こ れ は

(1.18b) と い う 形 に 書 き 直 せ る.た

だ し,β

関数は

(1.19) で定 義 され る 関数 で あ る.β 関 数 は 実 際的 に は摂 動 論 に よ っ て の み 計 算 可 能 で あ るの で,次

の よ うに展 開 す る.

(1.20) こ こ で 新 し い 関 数 αs(τ)を

(1.21) で定 義 し境 界 条 件 と して

(1.22) と 設 定 す る と,αs(τ)は

次 の 方 程 式 を 満 た す.

(1.23) こ れ を(1.18b)と

比 較 す れ ば,(1.18b)は

一般 解 と して

(1.24) を もつ こ とが わ か る.す な わ ち繰 り込 み群 方 程 式 は,QCDに μ2依 存 性 が す べ て αs(μ2)の中 に あ る こ と を示 す.た

お け る観 測 量 の

だ し,摂 動 展 開 を し た場

合 は,高

次 の 残 余 項 に μ 依 存 性 が 残 る.asのQ依

を(1.19)に

存 性 を 求 め る の に,(1.20)

入れ ると

(1.25) とな る.摂 動 の 最 低 次 を と る と

(1.26a) あ る い は,

(1.26b) に よ っ て,ス ケ ー ル に よ らな い普 遍 定 数Λ を導 入 す れ ば

(1.27) が 得 られ る.Λ

は ∼200MeV程

で あ り,αs(Q)はQの

度 の 値 を もつ.非

可 換 ゲ ー ジ群 で は,β0>0

減 少 関数 で あ る.す な わ ち漸 近 自由 が 成 立 す る.

 ⅱ)  ク ォー クの 閉 じ込 め

 QCDに

は ヒ ッグ ス場 に よ る真 空 の 自発 的 対 称

性 の 破 れ は な く,厳 密 な 意 味 で ゲー ジ対 称 性 が 成 立 し て い る(mg=0と

して

よ い).し か し,非 可 換 ゲ ー ジ対 称 理 論 に 特 有 の グ ルー オ ンの 自 己 相 互 作 用 の お か げ で,ク

ォー クや グ ルー オ ンに は,通 常 の クー ロ ン型 の ポ テ ン シ ャ ル の ほ

か に 距 離 に 比 例 す る ポ テ ン シ ャ ル が 生 じ,自 己 エ ネ ル ギー を もつ 紐 でつ な が れ た状 態 に な る.こ の 結 果,ク

ォ ー クや グ ルー オ ン を大 き く引 き離 そ う とす る と

真 空 か ら ク ォー ク対 を拾 っ て た くさん の ハ ドロ ンが つ く られ,紐 ち ぎれ る.す な わ ち,ク

はば らば らに

ォー クや グル ー オ ン は単 独 で は 分 離 で きず,ジ

ェット

と して観測 され る こ とに な る.

1.3  標 準 理 論 の 検 証*1)

 1.3.1  標 準 理 論 の 確 定  電 弱 相 互 作 用 の 標 準 理 論 が 提 案 され た の は1967年 *1) 標 準 理論 の実 験 的 検証 の詳 細 に つ い ては

で あ るが,注

目 を浴 び る

,本 シ リー ズ第5巻 の 『 素 粒 子 標 準 理 論 と実 験 的 基礎 』 を参 照 され た い.以 下 本 書 では第3, 4巻 の 『 素 粒 子 物 理 学 の 基礎Ⅰ,Ⅱ 』 を文 献Ⅰ,第5巻 を文 献Ⅱ と して 引用 す る.

よ う に な っ た の は1971年

に ト ・フ ー フ トに よ り繰 り込 み 可 能 で あ る こ とが 証 明

さ れ て か ら で あ る.1973年

に は 欧 州 原 子 核 研 究 機 構CERNの

ガー ガ メル 泡箱

ニ ュ ー ト リ ノ 実 験 で 最 初 の 中 性 カ レ ン ト現 象 が 発 見 さ れ た.そ

の 後,各

種 中性

カ レ ン ト反 応 が す べ て 同 じ ワ イ ン バ ー グ 角 を 与 え る こ と が 証 明 さ れ て,1970 年 代 の 終 わ り ま で に は,グ

ラ シ ョ ー-ワ イ ン バ ー グ-サ ラ ム(GWS)モ

デ ルが

た く さ ん の モ デ ル の 中 か ら 唯 一 正 し い モ デ ル と 認 識 さ れ た.1970年 1980年

代 に か け て は,電

の ペ ッ プ(PEP),日 (1974),タ

子 コ ラ イ ダ ー で は ド イ ツ の ペ トラ(PETRA),米

本 の

ウ(1975),bク

ト リ ス タ ン(TRISTAN)が ォ ー ク(1978)の

称 性 な ど の 精 密 測 定 で,SU(2)×U(1)構 が 行 わ れ た.1983年 ダ ー(Spps)でW,

に は,セ Zを

こ にSU(2)×U(1)ゲ

代 か ら

発 見 し,予

活 躍 し,チ

発 見 と,生

UA2グ

ャーム

成 断 面積 や 角 分 布 非 対

造 の 精 密 検 証 とZ,

ル ン のUA1,

国

W質

量値 の 予言

ルー プ が ハ ドロ ン コ ラ イ

言 通 りの 質 量 値 を もつ こ と を確 認 し て,こ

ー ジ理 論 は モ デ ル か ら電 弱 相 互 作 用 の 標 準理 論 へ と昇 格

し た の で あ る.   一 方,強

い 相 互 作 用 反 応 で は カ ラ ーSU(3)に

く つ か 提 唱 さ れ て い た.1973年

よ る モ デ ル が1964年

に 漸 近 自 由 が 発 見 さ れ,QCDが

物 理 の 理 論 と し て 急 浮 上 す る.1969年

のMIT/SLACに

頃 か らい

強 い相 互 作 用

よ る深 非 弾 性 散 乱 で

の ブ ヨ ル ケ ン ス ケ ー リ ン グ 発 見 に 始 ま る 一 連 の 深 非 弾 性 散 乱 デ ー タ は,QCD 検 証 に 大 い に 貢 献 し た.1975年 発 見 さ れ,さ 験 でQCD力

に はPEPの

実 験 で ク ォ ー ク の ジ ェ ッ ト構 造 が

ら に チ ャ ー ム ス ペ ク トロ ス コ ピ ー や ニ ュ ー ト リ ノ/ミ ュ ー オ ン 実 学 や 漸 近 自 由 の 証 拠 が 蓄 積 さ れ た.1979年

ル ー オ ン が 発 見 さ れ て,QCDも

ま た1970年

代 終 わ り ま で に は,ク

互 作 用 を 記 述 す る 標 準 理 論 と し て の 地 位 を 確 立 し た.こ ン 加 速 器 は ブ ル ッ ク ヘ ブ ン 研 究 所 の30GeV Synchrotron)加 ミ研 究 所 の200GeV

速 器,セ PSで

ル ン の24GeV

に はPETRAで

PS

AGS (Proton

グ

ォー クの 相

の 時 期 活 躍 し た ハ ドロ (Alternating Synchrotron),フ

Gradient ェル

あ る.

 1.3.2  標 準 理 論 の 精 密 検 証  1980年 代 後 半 セ ル ン のLEP 

とフ ェル ミ研 究 所 の テ

ヴ ァ トロ ン(TEVATRON: 

)の 稼 働 開始 に よ っ て,標 準 理 論 の

研 究 は 高 次 効 果 を含 む精 密 検 証 の 時 期 に 入 っ た.電 子-陽 電 子 反 応 に よ るZ生 成 の 大 きな 断 面 積 は,Z生

成 に 伴 う各 種 反 応 の精 密 測 定 を可 能 に し,高 次 効

果 を テ ス トす るの に 十 分 な 精 度 を も た ら し た.Zの

見 え な い チ ャ ネ ルへ の 崩

壊 幅 よ り,軽 い ニ ュー トリ ノの数 が(し た が っ て たぶ ん世 代 数 も)正 確 に3で あ る こ とが 確 認 さ れ た.ワ

イ ン バ ー グ角sin2θwに は,ト

リー レベ ル で は 同 等

な い くつ か の定 義 が あ り,高 次効 果 を入 れ る と差 が で て くる.ス タ ン フ ォー ド 線 形 加 速 器 セ ン ター(SLAC)のSLC ムやLEPデ

(Stanford Linear Collider)の 偏 極 ビー

ー タ は,こ れ らが す べ て理 論 の 予 想 通 りで あ る こ と を示 した.標

準 理 論 の一 つ の 特 徴 と して,高 次効 果 に は も っ ぱ ら質 量 の 大 きい 粒 子 の寄 与 が 優 勢 で あ る こ とが あ げ られ る.こ の 結 果,精

密 デー タ と高 次 計 算 を比 較 す る こ

とに よ り トップ と ヒ ッ グス の 質 量値 が 予 言 で き る.ト トロ ン で発 見 され,予

ップ は1984年

言通 りの 質 量 値 で あ る こ とが確 認 され た.ト

ク の 質 量 が 決 ま っ てか らは,ヒ

に テヴ ァ ップ ク ォー

ッ グ ス の質 量 値 予 想 に 使 わ れ て い る(第3章

参

照).   閉 じ込 め 効 果 に よ り クォー ク を単 独 に取 り出 せ な い の で,ク ォ ー ク反応 を定 量 的 に 扱 うの に は 当初 は か な りの 困難 を伴 っ た.理 論 で の パ ー トン計 算 と実 験 で の ジ ェ ッ ト現 象 との対 応 が つ け に くか った の で あ る.こ の 状 況 に対 応す る た め,パ

ー トン か らハ ドロ ン を発 生 させ る種 々 の 現 象 論 的 な ハ ドロ ン化 モ デ ル が

提 案 さ れ た.電 子 反 応 に お け る ジ ェ ッ ト現 象 デ ー タ に 合 わ せ,QCDを ラ イ ン と して種 々 の 改 良 を施 した 結 果,ジ

ガイ ド

ェ ッ トデ ー タの 再 現 性 は ほ ぼ満 足 で

き る もの とな っ た.こ の結 果 ジ ェ ッ ト構 造 が 明 らか に な る と と も にQCDの

精

密 検 証 が 可 能 と な っ た.現 在 で は グル ー オ ン ジ ェ ッ ト とクォ ー クジ ェ ッ トの 違 い,QCDの

非 ア ー ベ ル構 造(グ ルー オ ン の 自 己相 互 作 用),漸 近 自 由,グ ル ー

オ ン の 紐 構 造 な どが テ ス トされ,す べ て理 論 の 予 言 通 りで あ る こ とが確 認 され て い る.  ハ ドロ ン 同 士 の 反 応 に つ い て は,ク

ォ ー クや グ ル ー オ ン(ま とめ てパ ー ト

ン)反 応 成 分 の う ち 柔 らか い部 分 をハ ドロ ン 内 の パ ー トン分 布 関数 に 繰 り込 み,パ ー トン レベ ル で の 固 い 反 応(運 動 量 遷 移 の 大 き い 反 応)を 分 離 で き る こ

と(factorization)がQCDを

使 って 証 明 さ れ,実 験 デ ー タ と理 論 と の 比 較 検

証 は 大 い に 進 展 し た.ニ ュ ー ト リ ノや 電 子/ミ ュ ー オ ン に よ る深 非 弾 性 散 乱 デ ー タか らパ ー トン 分 布 関 数 を 決 め,発 展 方 程 式 を使 う こ とに よ りQ2の い とこ ろ で の 分 布 関 数 が 正 確 に計 算 で き る.こ の 結 果,高 反 応 か らパ ー トン 反 応 を抽 出 しQCDの で あ る.現 在 のQCDは,ジ

大き

エ ネ ル ギー ハ ドロ ン

高次効果 の精密検 証 が可能 となったの

ェ ッ トの 包 含 反 応 率 が 運 動 変 数 の 関 数 と し て9桁

も変 わ る状 況 を見 事 に 再 現 す る こ とが で き る.こ の こ と は ま た,ハ

ドロ ン反 応

を使 用 して 電 弱 相 互 作 用 反 応 検 証 が行 え る こ とを意 味 す る.例 え ば ハ ドロ ン コ ラ イ ダーLHC

(Large

Hadron

Collider: 

)を 使 って ヒ ッ グス を

発 見 す る こ と を 考 え よ う.ヒ ッ グ ス 生 成 反 応 断 面 積(∼10pb× QCD反

応 断 面積(∼100mb)に

分 岐 比)は

比 べ て非 常 に小 さ く,信 号 対 雑 音 比 は10桁 以

上 に もな る.そ れ で い て ヒ ッ グ ス信 号 抽 出 が 可 能 な の は,圧 倒 的 に数 の 大 きい QCD雑

音 を正 確 に評 価 で き るか らで あ る(第3章

参 照).

1.4  高 エ ネ ル ギ ー 物 理 学 の 発 展 方 向

  以 下,本 書 で 取 り上 げ るテ ー マ を概 観 す る.現 在,標 て残 って い る大 き な テ ー マ はCP非 ろ う.CP非 て い るが,こ

準理 論 の 中 の 課 題 とし

保 存現 象 の解 明 と ヒ ッ グ ス粒 子 の 発 見 で あ

保 存 現 象 に つ い て は,小 林-益 川 モ デ ル が 標 準 理 論 に 組 み 込 まれ れ 以 外 の 可 能 性 に つ い て も種 々 の モ デ ル が 提 唱 さ れ て お り,実 験

に よ る検 証 が 待 た れ る.1999年

に は 日本 の 高 エ ネ ル ギ ー 加 速 器 研 究 機 構 や ス

タ ン フ ォー ド線 形 加 速 器 セ ン ター のB-フ ハ ドロ ン コ ラ イ ダ ー で のB物

理 ,HERA-Bな

ァ ク トリー が 稼 働 予 定 で あ り,ま た ど も計 画 さ れ て い るの で,こ の

方 面 で の 大 きな 進 展 が 近 い 将 来 に 見 込 まれ る.小 林-益 川 モ デ ル は標 準 理 論 の 中 に あ る もの の,実

験 デー タの 出 方 次 第 で はCP非

保 存 効 果 が 標 準 理 論 を超 え

る可 能 性 を提 供 す る とい う意 味 で,高 エ ネ ル ギ ー 物 理 学 の発 展 とい う本 書 の 主 題 を担 う先 鋒 を務 め る に ふ さわ し い(→

第2章).

  統 一 理 論 で は,従 来 は 素 粒 子 に 付 随 す る 固有 の 物 理 量 とみ な され た 質 量 を, 真 空 の 相 転 移 の 結 果 と し て後 天 的 に 素 粒 子 に 付 加 さ れ た 力 学 的 な 性 質 と 見 な す.真

空 を空 虚 な 無 の 空 間 で は な くヒ ッ グ ス の凝 縮 し た 力学 的 構 造 体 とみ な す

とい う点 に お い て,革 命 的 な思 想 を持 ち込 ん だ とい え る.こ の 結 果 と して ゲ ー ジ ボ ソ ンが 有 限 質 量 を もつ 場 合 で もゲー ジ不 変 性 を保 ち繰 り込 み 可 能 な 理 論 が で きて,大

統 一 理 論 や 重 力 を含 む 超 大 統 一 ま で研 究 対 象 と し て 扱 え る よ う に

な っ た.し か し,質 量 問題 に 関 して は質 量 パ ラ メ ター が ヒ ッ グ ス粒 子 との 相 互 作 用 結 合 定 数 と い うパ ラ メ ター に置 き換 わ っ た だけ で,質 量 発 生 メカ ニ ズ ム に 対 して は な ん ら本 質 的 な解 決 法 を与 え て い な い.こ の た め に は ヒ ッ グス 粒 子 を 発 見 し て,そ の 性 質 を調 べ な け れ ば な ら な い.LEPII(欧

州 原 子核 研 究機 構

CERNで

量 値 が〓105GeV

稼 働 中 の100+100GeV

e-e+コ

ラ イ ダ ー)は,質

ま で の ヒ ッ グ ス粒 子 な ら ば 発 見 す る 能 力 が あ る.同 LHC( 

,2004年

ス 粒 子 な らば,1TeVま

稼 働 予 定)で は,標

じ くセ ル ン で 建 設 中 の

準 理 論 で予 想 さ れ る ヒ ッグ

で の 発 見 能 力 が あ る.電 弱 反 応 デー タ の総 合 解 析 や

超 対 称 性 理 論 か らは,mH〓150GeVぐ

らい で あ る 可 能 性 が 強 い と予 想 され て

お り,ヒ ッ グ ス の質 量値 を決 め る こ とは,単 る とい うだ け に と ど ま らず,質

に一 つ の 素 粒 子 パ ラ メ ター を決 め

量値 そ の も の が素 粒 子 の 階 層 性 や 次 世 代 の新 物

理 の 有 り さ ま を具 現 して い る とい う点 で 大 き な 意 味 を もつ.第3章

では ヒッグ

ス発 見 法 と質 量 値 に よ り変 わ る将 来 像 に つ い て議 論 す る.   ニ ュー ト リノ は,素 粒 子 の 中 で い ろ い ろ な 意 味 で特 別 な地 位 を 占め る.強 い 相 互 作 用 を し な い 中性 の 粒 子 とい う性 質 の た め に,1970年

代 に は 中性 カ レ ン

トの 発 見 で 電 弱 統 一 理 論 確 立 の 先 駆 け とな り,つ い で深 非 弾性 散 乱 で クォー ク の 存 在 と漸 近 自由 を 確 立 し,QCD確

立 に も先 駆 的 な 役 割 を 果 た し て い る.

ニ ュー ト リノ の現 時 点 で の役 割 は,ま ず は 自己 の もつ 質 量 値 の 小 さ さ の解 明 を 通 して,ヒ

ッ グ ス解 明 とは別 の観 点 か ら質 量 問 題 に 明 り を灯 す こ とに あ る.標

準 理 論 で は,質 量 値 は ヒ ッ グ ス の 真 空期 待 値(246GeV)と

ヒ ッ グ ス との 相 互

作 用 の 強 さfの 積 と して 与 え られ る.ニ ュー ト リノ は 極 端 に 小 さ いfの 値 を もつ が ゆ え に,標 準 理 論 で は 便 宜 上 質 量 をゼ ロ と し て 扱 わ ざ る を え なか っ た. こ の小 さ さ を 説 明 す る もっ と も ら しい 説 明 は シー ソー メ カ ニ ズ ム で あ るが,こ れ は 非 常 に 大 きい エ ネ ル ギー ス ケー ル した が って 新 物 理 の 潜 在 的 存 在 を暗 示 す る.1998年

の 岐 阜 神 岡 の ス ー パ ー カ ミオ カ ン デ検 出 器 に よ る大 気 ニ ュー ト リ

ノの ニ ュ ー ト リノ振 動 の発 見 は,ニ ュー ト リノの 質 量 の 存 在 を通 して標 準 理 論

を超 え る最 初 の実 験 デ ー タ を提 供 した とい う意 味 で画 期 的 な 意 味 を もつ.大 気 ニ ュー ト リノ振 動 結 果 の もつ 意 味 に つ い て は,現 在 活 発 な研 究 が行 わ れ つ つ あ る の で,こ

こ で こ れ まで の ニ ュー ト リノ物 理 を総 括 を し,発 展 方 向 を探 る こ と

は 重 要 で あ る(→

第4章).

  ニ ュー ト リ ノの もつ 第2の 役 割 は,素 粒 子 と宇 宙/天 体 物 理 学 との橋 渡 し で あ る.ビ

ッ グバ ン以 来 の宇 宙 残 存 ニ ュ ー ト リノ の ゆ え に,ニ

値 を決 め る こ と 自身,そ

ュー トリ ノの 質 量

の ま ま宇 宙 の 暗 黒 物 質 解 明 に 大 き な役 割 を果 た す こ と

に も な る.し か し,宇 宙 論 に も役 立 つ とい う間 接 的 な役 割 を超 え て,ニ ュ ー ト リ ノ 自身 を天 体 物 理 学 の 手 段 と し て 使 う道 が 開 け た こ とは 大 きい.も

と もと

ニ ュ ー トリノ の質 量 値 が 極 端 に小 さ い とい う理 由 の た め,加 速 器 に よ る質 量 測 定 実 験 に は 限 界 が あ り,天 体 ニ ュー ト リ ノ に そ の 活 路 を求 め ざ る を え な か っ た.し か し,こ の結 果,太 陽 ニ ュ ー トリ ノや 超 新 星 ニ ュー ト リノ観 測 を通 じて ニ ュー ト リノ天 文 学 とい う新 分 野 が 切 り開 け た の で あ る.さ

らに,従 来 は もっ

ぱ ら加 速 器 を主 た る道具 と して きた素 粒 子 物 理 解 明 に 非 加 速 器 素 粒 子 物 理 とい う新 しい分 野 を開 き,ビ ッ グバ ン 直 後 の 超 高 エ ネ ル ギー 現 象 の解 明 に 通 じる 窓 を開 い た 意 義 は大 きい.   大 統 一 は い う ま で もな くQCDと

電 弱 理 論 を統 合 す る試 み で あ る.そ の エ ネ

ル ギー ス ケ ー ル〓1016GeVが,近

い 将 来 に 加 速 器 で実 現 で き る可 能 性 は な く

本 格 的 な実 験 は 不 可 能 で あ るが,ビ

ッ グバ ン以 来 の 残 留 化 石 を調 べ た り(例;

モ ノ ポー ル探 索),低 エ ネ ル ギー 現 象 と して 顔 を出 した り(例;量

子 崩 壊),ま

た ニ ュ ー トリ ノ質 量 問題 な どで の検 証 可 能 性 な ど い くつ か の 窓 が 開 い て い る. さ らに,大 統 一 や 超 大 統 一 理 論 をつ く る試 み の 中 か ら生 まれ た 超 対 称 性 の 性 質 な ど,現 在 の標 準 統 一 理 論 の 欠 点 を補 い,新

し い分 野 に 進 展 す る可 能 性 を秘 め

て い る.高 エ ネ ル ギー 物 理 学 の 将 来 の 発 展 方 向 性 を見 きわ め る最 も直 接 的 な テー マ と い え る(→

第5章).

  ア ク シオ ン は,強 い相 互 作 用 に お け るCP問

題 の 解 決 の た め に 創 作 され た粒

子 で あ る.残 念 な が ら標 準 ア クシ オ ンの 存 在 は 否 定 され,宇

宙論 的 な見 え な い

ア ク シ オ ンの 存 在 可 能 性 も 目々 そ の 窓 が 閉 じ られ つ つ あ る.し か し,ア ン存 在 の 理 論 的 動 機 は 非 常 に 強 く,ソ

リ トン,イ

ク シオ

ン ス タ ン トン効 果,θ 真 空,

電 弱 相 互 作 用 相 転 移 時 の バ リオ ン数 保 存 の 破 れ な ど,優 れ て理 論 的 な 課 題 と密

接 に結 び つ い て い る.宇 宙 の 暗 黒物 質 の 候 補 の 一 つ で あ るこ と を含 め,ま

た通

常 の加 速 器 実 験 とは か け 離 れ た発 見 手 法 な ど,分 野 を超 え た テ ー マ が 集 中 して い る が ゆ え に,高

エ ネ ル ギー 物 理 学 発 展 の た め の 学 習 意 義 は 大 きい(→

第6

章).   磁 気 単 極 子(モ

ノポ ー ル)は,本

来 は 電 荷 に対 す る磁 荷 と い う概 念 か ら出 発

し た が,現 代 の ゲ ー ジ理 論 で は電 磁 場 と共 存 す る ソ リ トンの こ と を指 す.有

限

な大 き さ を もつ 構 造 体 で あ るが,十 分 離 れ た と こ ろで は 点 磁 荷 と同 じ磁 場 をつ くる.大 統 一 が 存 在 す るな らば,電

弱 強相 互 作 用 に分 化 す る と きに 必 ず 出 現 す

る こ とが 理 論 的 に い え る.こ の ため 精 力 的 に モ ノポー ル探 索 が 行 わ れ た が,い まだ に見 つ か っ て い な い.理 論 的 な 流 れ と して は,第6章

の ソ リ トン の1セ

シ ョ ン に含 め る方 が 整 合 性 が とれ るが,実

験 的 探 索 自体,一

う る の で 独 立 な 章 と し た(→

お,イ

第7章).な

ク

つ の テー マ とな り

ン フ レー シ ョ ン モ デ ル は,当

初 モ ノ ポー ル の 不 在 を説 明す るた め に提 案 され た もの で あ る.   大 統 一 理 論 は 宇 宙 論 に イ ン フ レー シ ョン と い うア イ デ ア を提 供 し,ビ ッ グバ ン宇 宙 論 に 内在 し たい くつ か の根 源 的 な 問題 を解 決 した.さ

らに 宇 宙 構 造 創 成

の も っ と も ら しい シナ リオ を も提 供 して い る.宇 宙 の 誕 生 後 わ ず か10-40秒 近 く まで 逆 上 っ て議 論 が で き る の も全 く大 統 一 理 論 の お か げ で あ る.逆 に宇 宙論 の 発 展 が 素 粒 子 論 に も 多 くの 好 ま し い影 響 を及 ぼ した.大 統 一 ス ケー ル の エ ネ ル ギー を人 工 的 に 製 造 す る こ とが 不 可 能 で あ るに もか か わ らず,わ れ われ が大 統 一 理 論 や 超 対 称 理 論 の 実 験 的 検 証 を検 討 す る こ とが で きる の は,ま グバ ン宇 宙 論 の お か げ で あ る.こ の 意 味 で,ビ

さにビ ッ

ッ グバ ン宇 宙 論 の 基 本 を理 解

し,素 粒 子 物 理 学 との接 点 に ふ れ て お くこ とは 高 エ ネ ル ギー 物 理 学 の発 展 を 洞 察 す る た め に 不 可 欠 で あ る(→

第8章).

2 小林-益 川行列

2.1  ヒ ッ グ ス 場 に よ る質 量 生 成

  2.1.1  弱 固 有 状 態 と質 量 固 有 状 態   こ の 章 で は,標 準 理 論 に お い てCP非

保 存 が どの よ うに 取 り扱 わ れ る か を見

て み よ う.標 準理 論 に お い て 現 れ る場 は,ク ォ ー ク と レプ トンの デ ィ ラ ッ ク場 ψ,ゲ ー ジ 場WμとBμ,そ し て ヒ ッ グ ス場 φで あ る.こ れ ら はCPに 対 して 一 定 の 変 換 性 を もつ(Ⅱ-付 録E参 照) .自 由 場 の ラ グ ラ ン ジ ア ン は も と も と こ の変 換 で不 変 な よ うに で きて い る.問 題 は相 互 作 用 項 が どの よ うに変 換 す る か で あ る.こ の た め に ま ず クォ ー クの質 量 項 か ら眺 め て み よ う.ク ォー ク場 と ヒ ッ グ ス場 を

(2.1) と し て,ク

ォ ー ク と ヒ ッ グ ス 場 のSU(2)不

一般化 すれば

変 な 相 互 作 用LI(ψ,φ)(1.2)を,

,

(2.2) と 書 け る.上

式 は,φ0が

真 空 期 待 値 を も っ た と き に,そ

質 量 が 生 じ る よ う ア レ ン ジ し て あ る.こ … を表 す

.ク

ォ ー ク 場 に'を

の 場 で あ り,必 弱 固 有 状 態(weak

れ ぞ れ,uj'とdk'に

こ にuj'=u',c',t',…,dj'=d',s',b',

つ け た の は,こ

れ らが 弱 い相 互 作 用 をす る と き

ず し も 物 理 的 な ク ォ ー ク に 対 応 し て い な い か ら で あ る.こ eigenstate)と

呼 ぼ う.Mjk, Mjk'は

れを

クォ ー ク場 と ヒ ッ グ ス

場 との 結 合 定 数 で あ り, 

は 後 の 便 宜 の た め に 導 入 した もの で あ る.自 発

的対 称 性 の 破 れ に よ り ヒ ッ グス 場 が 真 空期 待 値 

を もつ

と,(2.2)は,

(2.3a) (2.3b)

(2.3c)

と な っ て クォ ー ク場 の 質 量 項 が 出現 す る.… は ヒ ッグ ス との 相 互 作 用 項 で 以 下 の議 論 に は 必 要 な い.弱 固 有 状 態 は一 般 的 に は 質 量 の 固 有 状 態(mass state)で は な い.物 理 現 象 を記 述 す るに は(2.3)を

eigen-

対 角 化 して 質 量 固 有 状 態

に 直 さ なけ れ ば な ら な い.   行 列 理 論 に よ れ ば ど ん な(N×N)行

列(エ

ル ミー トで な く と も よ い)で

個 の ユ ニ タ リー 行 列 を 使 っ て 対 角 化 が 可 能 で あ る か ら,AL,

AR†, BL, BR†

も2 を4

個 の ユ ニ タ リー 行 列 と し て,

(2.4a)

(2.4b)

と で き る.こ …

, md, ms,

*1)  miは

こ で ユ ニ タ リ ー 行 列AL, mb,

… は 正 の 実 数*1)に

一 般 に複 素 数 で あ るが

,カ

AR,

BL,

BRを

う ま く選 ぶ とmu, mc,

で き る.

イ ラ ル 変 換 で 実 数 に で き る(§6.2.2参

照).

mt ,

(2.5)

を つ くる と

(2.6a) (2.6b) で あ る の で,AL,

ARは,そ

れ ぞ れ エ ル ミー ト行 列 で あ るMUMU†,

を対 角 化 す る ユ ニ タ リー 行 列 で あ る こ と が わ か る.(2.4)を

MU†MU

使 う と(2.3)は,

(2.7) と な る.こ て,質

れ は ま さ に,望

む フ ェ ル ミオ ン の 質 量 項 の 形 を して い る.し

量 固 有 状 態 の ク ォ ー ク は,弱

たが っ

固有 状 態 か ら

(2.8) の よ うに ユ ニ タ リー 変 換 し た も の で あ る こ とが わ か る.自 由 ラ グ ラ ン ジ ア ン や,中

性 カ レ ン ト相 互 作 用 の よ う に,ク ォ ー クの 香 りqj'に つ い て は じめ か ら

対 角 化 さ れ て あ る もの は,こ

の ユ ニ タ リー 変 換 に よ っ て,qj'→qjと

変 わ るの

み で あ り,弱 固 有 状 態 で表 し た ラ グ ラ ン ジア ン と質 量 固有 状 態 で表 した ラ グ ラ ン ジ ア ン は 同 一 形 を保 つ.こ 述 で あ る.し か し,香 相 互 作 用Lcは

れ は 中性 カ レ ン トに お け るGIM機

構 の一般 的記

りに つ い て の 非 対 角 要 素 を結 び つ け て い る荷 電 カ レ ン ト

事 情 が 異 な る.Lcに

つ い て 弱 固有 状 態 を 質 量 固有 状 態 で 書 き

直す と

(2.9a) とな り,相 互 作 用 が各 二 重 項 の 中 で 閉 じず に世 代 間 の 混 合 が 起 き る.こ の行 列

(2.10) を小 林-益 川(略   こ れ にCP変

してKM)行 換(Ⅰ,Ⅱ-付

列 と呼 ぶ1). 録E参

照)を 施 す と

(2.9b) とな るの で,CP不

変 性 が 成 立 す る ため に は,Vが

実行列 でなけれ ばな らない

こ とが わ か る.

  2.1.2  3世 代KM行   一 般 に(N×N)ユ N2次

列 ニ タ リー 行 列 に はN2個

の 独 立 な実 変 数 が 存 在 す る.こ の

元 の 実 変 数 空 間 に お い て,NC2=N(N-1)/2個

の実 空 間 回 転 が 定 義 で き

る の で,行 列 要 素 の う ち,こ の 個 数 だ け は 回 転 角 θjを使 っ て 書 き表 せ る.残 りは位 相 角 φjと な る.一 方,2N個

の ク ォー ク場 に は 質 量 項 を変 化 させ な い

位 相 変 換 の 自由 度

(2.11a)

(2.11b)

が あ る の で,こ

の 変 換 に よ っ て,

(2.12a) つ ま り

(2.12b) とな る の で,全 体 に 共 通 な1個

の 位 相 を除 い た(2N-1)個

の位 相 は クォ ー ク

場 の 再 定 義 で 吸 収 で き る.結 局

(2.13)

だ け の 位 相 が 残 る.し た が って,N≦2の 数 で 書 き直 せ るの で,CP非 の で,N≧3で

場合 はKM行

保 存 効 果 は現 れ な い.現 実 に はCPが

な け れ ば な ら な い とい う の が,そ

動 機 で あ っ た.LEPで

のZ共

  な お,u,

破 れ てい る 列 を導 入 した

ニ ュー ト リノは3

考 え る の が 自 然 で あ ろ う.こ の と

列 は3個 の 回転 角 と1個 の位 相 角 で表 す こ とが で き る. c, tク ォ ー ク 間,ま

れ ば 必 ず し もCPが とsが

も そ もKM行

鳴 幅 の 測 定 か らmν<mz/2の

個 しか な い と わ か っ て い る か ら,N=3と き,KM行

列 要 素Vijを す べ て実

た はd,

破 れ な く な る.そ

縮 退 し て い る と し よ う.そ

s, bク ォ ー ク の 間 で 質 量 が 縮 退 し て い れ は 次 の よ う に し て い え る.例

う す る とdとsの

え ば,d

代 わ りに任 意 のユ ニ タ

リー 変 換 し た 組 み 合 わ せ を つ く っ て も や は り 質 量 の 固 有 状 態 で あ る か ら, ク ォ ー ク群Dは,対

角 位 相 変 換(2.11b)よ

り大 き な 変 換 の 自 由 度

(2.14) を もつ.こ

の こ と に よ っ て,位

列 に な っ て し ま いCPが

  2.1.3   

KM行

KM行

相 を さ ら に 一 つ 減 らせ る の で,行

列Vは

実行

保 存 す る の で あ る.

列のパ ラメター化

列 の 表 し 方 は い ろ い ろ あ る が,こ

こ で はPDG2)の

基 準 に従 い

(2.15a)

(2.15b) と 書 く こ と に す る.こ

の 表 式 の 特 徴 は θ2=θ3→0の

き て カ ビ ボ 回 転(θc=θI)に

な る こ と,ク

を す べ て 正 に で き る こ と な ど で あ る.つ

と き,第3世

代 が分離 で

ォ ー ク 場 の 適 当 な 再 定 義 に よ りci, si ま り,

(2.16) と し て よ い.c2-1<10-5で

あ る こ とが わ か っ て い る の で(次

節),

(2.17) そ こ で,s1=λ,

s3=Aλ2, s2e-iδ=Aλ3(ρ-iη)と

お く.λ≪1で

あ る の で,O(λ4)

以 上 は省 略 す る と

(2.18) と い う ウ ォル フ ェ ン シ ュ タ イ ン(Wolfenstein)の

表 式3)と な る.こ の 表 し方

は,小 林-益 川 行 列 が ほ ぼ 対 角 行 列 で あ る こ とが 明 瞭 に示 せ,行 列 要 素 間 の 大 小 関 係 が よ く見 通 せ る な ど,デ ー タ解 析 に便 利 で あ る.実 験値 を入 れ る と2,4) (2.19) とな る.

2.2  小 林-益 川 行 列 要 素 の 数 値 評 価

 標 準 理 論 で はCPの ン ジ され て い る.CPの

破 れ は小 林-益 川 行 列 の 中 の 虚 数 部 分 に 入 る よ うに ア レ 破 れ の 原 因が 仮 に標 準 理 論 を超 え る新 しい 理 論 で あ る

と して も,標 準 理 論 は 少 な く も真 の理 論 の低 エ ネ ル ギ ー 近 似 とな っ て い る はず で あ る.そ れ は こ れ ま で の 実 験 デー タ との 比 較 に よ って 裏 づ け ら れ て い る. よ っ て 実 験 か ら標 準 理 論 を使 って 決 め られ る行 列 のCP保 絶対 値)は,標

存 部 分(行 列 要 素 の

準理 論 を超 え る新 し い物 理 理 論 が 出 現 して も それ ほ ど変 わ らな

い と期 待 され る.実 際 に提 唱 され て い る た い て い の モ デ ル で は そ う な っ て い る.そ

こ で,こ

こ で はN=3と

い う仮 定 だ け を して,実

験 値 と比 べ てKM行

列の 値 を決 定 す る2,5).

(1) ￨Vud￨:←

原 子 核 β 崩 壊 か ら決 め ら れ て(Ⅰ-§10.1.1参

照),

(2.20)

(2) ￨Vus￨:← :Ke3の

ス トレ ン ジ 粒 子 の レ プ ト ン 崩 壊 式(Ⅰ-§10.4.3参

照)よ

り

崩壊 式

(2.21a)

(2.21b) よ り,GF2￨Vus￨2f＋2が π+e-νe),

求 め ら れ

0.982±0.008(K+→

る.f+と

し て は 理 論 値7)[0.961±0.008(KL0→

π0e+νe)]を

使 い

(2.22a) と 決 め ら れ る.こ

の ほ か ハ イ ペ ロ ン 崩 壊 か ら 求 め る 方 法 も あ る.

:ハ イ ペ ロ ン 崩 壊 か ら は

(2.22b) ハ イペ ロ ンの レプ トン 崩 壊 はSU(3)の

破 れ に よ る不 定 性 が 大 きい が,二

つの

平 均 を とっ て,

(2.22c)

  (3) ￨Vcd￨:←

ニ ュ ー ト リ ノ に よ る チ ャ ー ム 生 成(Ⅰ-§12.7.2参

  ニ ュ ー ト リ ノ 反 応 の 各 過 程 の 生 成 断 面 積 は,標 在 確 率 とKM行

照)

的 と な る クォー クの 核 子 内 存

列 要 素 の 自 乗 に 比 例 す る こ と を 勘 案 す る と,ア

イ ソ ス カ ラー

標 的の場合

(2.23) と 表 せ る.Kは

共 通 の 係 数 で あ る.チ

ャ ー ム はc(c)→l+(l-)の

ま っ た 符 号 の レ プ トン に 崩 壊 す る か ら,チ

ャ ー ム 生 成 の 信 号 は2個

レ プ ト ン の 存 在 に よ っ て 特 徴 づ け ら れ る.q(x)=u(x)+d(x), s(x)は,

u, d(u,d)ク

ォ ー ク,お

よ びsク

よ うに決 の異符号 の q(x), s(x)=

ォ ー ク の 運 動 量 分 布 関 数 で あ る.

上 式 か ら￨Vcd￨は,

(2.24)

(2.25) に よ っ て 求 め ら れ る.デ

ー タ はCDHSグ

ル ー プ とColumbia-FNALの

グ

ル ー プ の 結 果9)を 平 均 し て,

(2.26)  (4) ￨Vcs￨:←

チ ャー ム粒 子 の レ プ トン崩 壊

  チ ャ ー ム 粒 子Dの GFVus→GFVcs,

か ら,f+D(0)に

レ プ ト ン 崩 壊 の 式 はK0→

K0→D,

π+→K+,

f+→f+Dの

は 理 論 値11)(0.7±0.1)を

π+e-ν(2.21)と

同 じ で あ る.

置 き換 え を す れ ば よ い.

使 い

(2.27a) と決 め られ る.た だ し,こ の 量 は ユ ニ タ リテ ィ(後 述)を 使 え ば 間 接 的 で は あ るが,よ

り精 密 に決 め る こ とが で き る.

(2.27b)

  (5) ￨Vcb￨副:←B粒   B粒 か ら,適

子 の レ プ トン崩 壊

子 の レ プ トン 崩 壊 式 は,ミ

ュ ー オ ン の レ プ ト ン 崩 壊 式(Ⅰ-§10.3参

当 な 置 き 換 え を し て 得 ら れ る.

照)

(2.28) f(y)は,位

相 空 間 積 分 か ら の 寄 与 で(2.21b)で

  実 際 の 数 値 を 入 れ る とf(mu/mb)∼1, 第2項

はQCDに

0.157±0.002で

与 え ら れ て い る.

f(mc/mb)∼0.48で

あ る.{}の

よ る 補 正 で,g(mc/mb)≒2.4, g(mu/mb)≒3.61, あ る.分

よ びARGUSグ

与 え られ

ル ー プ のB→lνxの

の エ ネ ル ギ ー ス ペ ク トル で あ る13).b→ulν, が 見 え て い る.こ

αs(mb2)=

岐 比 はBR(B→lνx)=0.12±0.007±0.005と

て い る12).図2.1は,CLEOお

clν, →c→slν

中 の

レ プ トン

の三 つ の モー ド

れ らか ら

(2.29)14)

  (6) ￨Vub￨:←Bの

レ プ トン 崩 壊

  (5)と 同 じ デ ー タ を 解 析 し て,b→ulν

部 分 を 分 離 抽 出 し て,b→clν

較 す る.

(a) 図2.1 

(b) bの

レプ トン崩 壊 各 モー

ドの ス ペ ク ト ル13)

(a)  CLEO b→clν, b→c→slν (b)  ARGUS

b→clν,

b→ulν

と比

(2.30a) す なわち

(2.30b) こ こ で 第1の 誤 差 は 実 験 か ら,第2の

誤 差 は モ デ ル の 不 定 性 か ら くる.

  Vtj成 分 を求 め る に は トップ クォー クの 生 成 ま た は 崩 壊 過 程 が 必 要 で あ る. 現 時 点 で は実 験 的 に は 求 め られ な い が,N=3を

仮 定 す れ ば ユ ニ タ リテ ィ よ り

求 め る こ とが で き る*2).

(7) ￨Vtb￨:←

ユ ニ タ リテ ィ

(2.31a) を使 え ば

(2.31b) (8) ￨Vts￨:←

ユ ニ タ リテ ィ

Vus*≒0.221,

Vcs*≒1, ￨Vtb￨≒1を

使 え ば

(2.32) (9) ￨Vtd￨:←

ユ ニ タ リテ ィ

を 使 っ て も で き る が,Bd0-Bd0混 ps-1(後

*2)  N=3に

述(2.86))の

合 か ら 決 め ら れ るΔm(Bd)=0.472±0.018

値 と

おけ るユ ニ タ リテ ィが成 立 して い るか どうか は

よ り検定 で き る.上 記 の数 値 を入れ れ ば と な っ て,一

応 満 た し て い る と い っ て よ い.

,

を 使 い,ηB=0.55,

BBfB2=(1.4±0.1)(175±25MeV)2,

(2.110),(2.118))を

入 れ れ ば

mt=175GeV(後

述

(2.33) を得 る.  以 上 を ま とめ る と各 行 列 要 素 は,

(2.34)

(2.35)

で δの 制 限 は な し とい うこ と に な る.VKMが(3×3)行 は,ト

ップ 粒 子 の 崩 壊 を測 定 し てVtjを 決 め,ユ

か,あ

るい はCPの

破 れ がKM行

2.3 

列 で あ る こ と を い うに ニ タ リテ ィ を 直 接 証 明 す る

列 の 予 言通 りで あ るか を示 す 必 要 が あ る.

ユ ニ タ リー三 角 形

 ユ ニ タ リテ ィ条 件 に よ って

(2.36a) が 成 立 す る.Vud≒1, Vcd≒-λ,

Vtb≒1を

入 れ る と

(2.36b) と な る.こ

の 関 係 式 は 複 素 平 面 で は 図2.2(a)の

よ う に 表 す こ と が で き る.

さ らに ウ ォ ル フ ェ ン シュ タ イ ン の パ ラ メ ター 化 で

(2.37) と 表 せ る の で,ユ

ニ タ リー 条 件 は,ρ-η

底 辺 の 長 さ が1,頂

点 の 位 置 が(ρ,η)の

両 端 か ら 頂 点 へ の 距 離 は,そ 行 列 要 素 で書 け ば

平 面 上 に 描 く と 図2.2(b)の

よ う に,

三 角 形 を 形 成 す る こ と に な る.底

れ ぞ れ,￨Vub￨, ￨Vtd￨に

比 例 す る.各

辺 の

頂 角 をKM

(a)

(b) 図2.2 

ユ ニ タ リー 三 角 形

(a)  小 林-益 川 行 列 の ユ ニ タ リー 関係:VudVub*+VcdVcb*+VtdVtb*=0 (b)  ウ ォ ル フ ェ ン シュ タ イン の パ ラ メ ター を使 う と底 辺 の長 さが1,頂

点 の 位 置 が(ρ,η)の 三 角 形 と

な る.頂 角 φ1,φ2,φ3は付 記 し た反 応 測 定 に よ り決 定 で き る(§2.8参

照).

(2.38a) (2.38b) (2.38c) と表 さ れ る.標

準 理 論 で のCP問

題 は こ の ユ ニ タ リー 三 角 形 を 決 め る こ と に 帰

着 す る*3).

  演 習2.1  (2.11)の

こ の 三 角 形 の 面 積 は(1/2)Im(VudVcbVcd*Vub*)で

あ る こ と,面 積 は

位 相 変 換 で 不 変 で あ る こ と を示 せ.

  さ て,物

理 観 測 量 はVKMの

る は ず で あ る.こ

表 し 方(回

転 角 や 位 相 の と り 方)に

無 関係 であ

れ は 一 般 に 次 の よ う に い い 表 す こ とが で き る15).

  (1)  行 列 要 素 の 絶 対 値 は 物 理 量 で あ り,パ 例 え ば￨Vcs￨2, ￨Vcb￨2は,c,b→lνxの

ラ メ タ ー の と り方 に よ ら な い.

崩 壊 率 の 中 に 現 れ,測

定 で き る量 で あ

*3) ユ ニ タ リー 三角 形 は全 部 で6個 存在 す る が ,ウ ォ ル フ ェン シ ュ タ イ ンの パ ラ メター を採 用 す る と実 質3個 とな り,す べ て同 じ面積 を もつ.そ れ ぞれ 異 な る物 理 量 間の 関 係 式 を 表 す が,(2.36a)以 外 の他 の 二 つ は辺 の長 さに大 きな差 が あ り,ほ とん ど線 に 近 い三 角 形 を与 え る.こ の こ とは,崩 壊 の 非 対称 が 小 さい こ とを意 味 す る.大 き な非 対 称 を与 え る物 理 的 過 程 の 考 察 に便 利 な の が(2.36a)な の で,ユ ニ タ リー三 角 形 とい う と きは 通 常 これ をさす.

る.  (2)  CPの

破 れ の 効 果 は,パ

ラ メター の と り方 に よ らず に

(2.39a) に 比 例 す る.￨J￨は i,j=u,c,t…,

ユ ニ タ リー 三 角 形 の 面 積 の2倍

m,n=d,s,b…

はi≠j,

m≠nと

を 与 え る 量 で あ る.た

だ し,

い う 条 件 以 外 は 任 意 で あ る.

上 に 採 用 し た パ ラ メ タ ー で 表 せ ば,

(2.39b) し た が っ て,CPが

破 れ る た め に は,ど

い こ と が わ か る.い MUか

の 混 合 角,位

ま,[A,B]=AB-BAと

相 も0で あ っ て は な ら な

し て,(2.3)の

質 量 行 列MD,

らつ く る次 の 量 に対 して

(2.40) が 証 明 で き る の で,CP非

保 存 が 現 れ る条 件 は一 つ の 式 に ま とめ て

(2.41) と 表 す こ と が で き る15).CPの

破 れ の 目安Jを

実 験 数 値 で 見積 って み る と

(2.42) でJの

と りう る最 大 値 

に 比 べ る と非 常 に小 さ い 量 で あ る.CPの

破れ

の効 果 が 小 さ い の は￨J￨が 本 質 的 に 小 さ い こ とに 起 因 す る と い え る.KM行 の パ ラ メ ター 設 定 の 方 法 を変 え る と位 相 は 変 わ るが,こ 角 形 を複 素 平 面 上 で 回 転 す る の み で,形 で き る量 と し て は,例

列

の効 果 は ユ ニ タ リー三

と面 積 は 不 変 に保 た れ る.実 験 で 測定

えば 非 対 称 の大 き さが あ る. (2.43)

と考 え られ る.Jの

大 き さ は過 程 に あ ま りよ ら な い 量 な の で,こ の 関 係 式 は,

大 きな 非 対 称 を もつ 過 程 は 分 岐 比 が小 さ く,大 きな 分 岐 比 を もつ 過 程 で は非 対 称 度 が 小 さ い とい うこ と を示 して い る.

2.4  2粒 子 系 の 混 合

  2.4.1  質 量 行 列 と混 合 パ ラ メ ター ε   B中

間 子 で のCP非

保 存 の議 論 は,KM行

列 要 素 の 違 い 以 外 はK中

場 合 と同 じ形 式 で 進 め る こ とが で き る.一 つ の 大 き な 特 徴 は,B中 量(∼5GeV)がK中

間 子(∼0.5GeV)に

こ の た め位 相 空 間体 積 がK中 ま りBの

寿 命τBはKの

中 間 子 は,質

間子 の 間 子の質

比 べ て 非 常 に 大 きい こ と で あ る.

間 子 に 比 べ て 非 常 に 大 き く崩 壊 幅 が 大 き い.つ

寿 命τKに 比 べ て 大 幅 に 短 い.ま

た2種 類 の 中 性B

量 が ほ ぼ 同 じ で崩 壊 先 の チ ャ ネ ル が 数 多 く開 け て い るの で,崩 壊

幅 が ほ とん ど等 し くな る と考 えて よ い.す な わ ち

(2.44) と な る.こ

の た め,BLとBsを

あ る の で,現

分 離 し て,直

接 ε,ε'を測 定 す る こ と が 困 難 で

象 と し て の 取 扱 い 方 に は,KとBで

  CP=±1に

対 応 す る状 態 をB±

大 き な 差 が で る.

と書 き,CPT保

存 を 仮 定 す る と,K中

間子

と同 様 に

(2.45a) (2.45b) (2.45c) と 書 け る.た =ds

だ し,Bq0≡bq,

, K0=sdに

Bq0=bq(q=d,s)と

定 義 す る.こ

合 わ せ た も の で あ る が,BとBを

こ の ε, p,qは 本 来 は εB, pB, qBの よ う にBの と 区 別 す べ き 量 で あ る が,混

の 定 義 はK0

逆 に 定 義 す る 人 も あ る.

指 標 を つ け て,K中

間子 の場合

乱 の お そ れ が な い と き は 省 略 す る.ま

た

(2.46) *4) (次頁)KやB中

間 子 は強 い相 互 作 用 で保 存 す る量 子S(ス

トレ ン ジ ネ ス)やB(B

量子 数)を もっ て い る.こ の場 合, とい う位 相 変換 で運 動 方程 式 は変 わ ら ないの で,位 相 変 換 の 自由度 が あ る.

と し,α=0(modulo nπ)と B0-B0系

す る 定 義 を こ の 章 で は 採 用 す る*4).

の状 態 を

(2.47a) と書 く と,系

の満 た す シ ュ レー デ ィ ン ガー 方程 式 を

(2.47b) で定 義 して,質 量 行 列Mijを

導 入 す る.

 質 量行 列 要 素 はMij=Mij-iΓij/2と

表 せ て,

(2.48a) (2.48b) で あ る(Ⅰ,Ⅱ-付

録G参

照).

  以 下 の 議 論 で は,CPT不 CP固

有 状 態 の ど ち ら が 短 寿 命 粒 子(Bsと

と書 く)か,ま CP固

変 性 は 仮 定 す る こ と に す る.Kの

場 合 と違 い,

書 く)で ど ち ら が 長 寿 命 粒 子(BL

た ど ち らが 重 い か の 対 応 は知 られ て い な い.そ

こ で,完 全 な

有 状 態 で な くて も,そ れ に近 い状 態 をB± と書 く こ とに す る.B±

の質

量 固 有値 λ±は,固 有 方 程 式 を解 くこ とに よ っ て

(2.49) と表 せ る.混

合 パ ラ メ タ ー ε は,質

量 行 列 を使 え ば

(2.50a) (2.50b) の よ う に 表 さ れ る.質

量,幅

の 平 均 値 をM, Γ

と書 き,差

をΔm, ΔΓ

とす る と

(2.51a) (2.51b) (2.51c) (2.51d)

(2.52) で あ る の で,

(2.53) が 成 立 す る.

  2.4.2 

中 性K中

間 子 のCPパ

  K(中 間 子 崩 壊 に お け るCP非 照 され た い.こ る.K崩

こ で は,こ

壊 で のCP非

ラ メ ター

保 存 現 象 の 詳 細 に つ い て は,Ⅰ-第11章

を参

の 章 の 議論 に 必 要 な用 語 を 定 義 す る の み に と どめ

保 存 の 効 果 と して 直 接 実 験 で 測 定 さ れ て い る 主 な パ ラ

メ タ ー は 次 の 三 つ で あ る.

(2.54a) (2.54b) (2.54c) ηな どの 値 は世 界 平 均 を と る と2)

(2.55a) な お,し

ば し ば で て く る パ ラ メ ター ΔmKな

ど の デ ー タ を も掲 げ て お く.

(2.55b)   次 に上 式 を理 論 的 に解 析 す る と きの パ ラ メ タ ー で 書 き直 す.K→2π 振 幅 はCPTを

仮 定 す れ ば,

の崩壊

(2.56a) (2.56b) と 書 け る(Ⅰ,Ⅱ-付

録G参

照),CP非

終 状 態 で の ア イ ソ ス ピ ンI(=0,2)状 壊 振 幅 を 使 い,ε,ε'と

保 存 の 場 合 はA1≠AI*で

あ る.δIは

態 の 散 乱 の 位 相 の ず れ で あ る.こ

最

れ ら崩

関 連 パ ラ メ タ ー を 次 式 で 定 義 す る.

(2.57) (2.58) (2.59) (2.60) δIは ππ 散 乱 の 位 相 の ず れ で あ り,  1/2を

の 値 を も つ .ω

破 る 遷 移 の 相 対 振 幅 で あ り,だ

η00,ALを

い た い ∼0.03程

は,ΔI=

度 の 値 を も つ .η+-,

ε0,ε'で表 す と

(2.61) (2.62a) (2.62b)16) 実 験 値(2.55)を

入 れ る こ と に よ り,

(2.63) とな るの で

(2.64a) (2.64b) が 第1近

似 と し て い え る.

  な お,後

で 使 う の で,ImΓ12を

Γ2πで あ る の で,Γ12(式(2.48b))の よ い 近 似 と な る.位 を 使 う と,

崩 壊 振 幅 で 書 き 直 し て お く,Γs≫ ΓL,Γs〓 中 間 状 態 と し て は2π

相 空 間 体 積 を ρ と し て,(2.56)で

を考 慮 す れ ば 十 分

定 義 さ れ た 崩 壊 振 幅AI

の寄与

(2.65a) の寄与

 (2.65b)

を使 えば

上 式 第2行

を 導 く と き に,(2.59),(2.60)を

 

)を 使 え ば,右

辺 第2項

使 っ た.実

験 事 実(ω

∼0.03,

は 無 視 し て よ い こ とが わ か る.

(2.66)

  2.4.3 

  CPの

B中

間 子 混 合

破 れ に つ い て 実 験 検 証 可 能 な具 体 例 を議 論 す る前 に,CPの

非保 存 と

独 立 な 現 象 で は あ る が,密 接 な 関 係 に あ るB0-B0混

合 現象 につ い て述べ よ

う.K中

で 展 開 し て か ら時 間 発

間 子 の 振 動 と 同 じ く, 

展 を させ,再

び も との 

を 

で書 き直 す と

(2.67a)

(2.67b) で 与 え ら れ る.た

だ し

(2.68) (2.69)   こ こ まで は,ど 以 降,B中

ん な2体 混合 に も適 用 で き る一般 的 な 議 論 で あ る.こ れ か ら

間 子 に 特 有 な状 況 を考 慮 して 式 を簡 略 化 す る こ とに す る.

  式(2.51d),(2.48b)か

ら,ΔΓ

に はBとBと

か ら 共 通 に 崩 壊 で き る状 態

の み 寄 与 す る こ と が わ か る.そ

れ はuqqu,

uqqc,

cqqc(q=d,s)で

あ り,

す べ て 小 林-益 川 行 列 に よ り 二 重 に 抑 圧 さ れ る 遷 移(∼￨VbqVbq'*￨;q, た はc)ば

か り で あ る の で,全

通 チ ャ ネ ル の 分 岐 比 が ∼10-3程

体 の 崩 壊 に 占 め る 割 合 は 小 さ い.実 度 で あ る こ と が 知 ら れ て い る17).す

q'=uま 際 に も,共 な わ ち,

(2.70) で あ る の で(こ

れ は す で に 式(2.44)で

述 べ た こ とで も あ る),Δ Γ=0と

お くと

(2.71a) (2.71b) と 書 き 直 せ る.こ

れ よ り,t=0にB0で

あ っ た も の が,t=tで,B0(B0)で

あ

る確 率 は 直 ち に 計 算 で き て,

(2.72a) (2.72b) 同様 に

(2.72c) (2.72d) レプ トン崩 壊 で は

(2.73a) ハ ドロ ン崩 壊 で は

(2.73b)

で あ る か ら,レ B0(bq)ま

プ ト ン の 符 号 ま た はK±

た はB0(bq)状

の ど ち ら を 含 む か を 見 る こ と に よ り,

態 を 区 別 で き る.こ

こ で, 

として

(2.74) と 書 き 直 す と,B0-B0振

動 が τB/xを 周 期 と す る こ と が わ か る.し

粒 子 は 寿 命 が 短 い の で(∼10-12秒),崩

か し,B

壊 時 刻 の 測 定 に は 困 難 を 伴 う.崩

壊 点

(時 間)を 測 定 しな い と きは,時

間 で積 分 してや らな け れ ば な らな い.

(2.75a) (2.75b) (2.75c) (2.75d) こ こで,混 合 状 態 と非 混 合 状 態 の 比

(2.76a) (2.76b) を定 義 して お く.混 合 の全 体 に 占め る割 合 χ

(2.77a) (2.77b) も よ く使 わ れ る 量 で あ る.CP保

  2.4.4 

存 で あ れ ば,r=r,χ=χ

で あ る.

混 合 パ ラ メ タ ーxd,xs

 最 初 に 大 き な 混 合 量 を 観 測 し た の はARGUSグ

ルー プ で,そ

の 後,CLEO

グ ル ー プ に よ っ て も確 認 さ れ た18).混 合 の 存 在 の 確 認 は

(2.78) の 過 程 を 調 べ て 得 ら れ た も の で あ る.Υ(4S)は,JPC=1--,M=10508MeV, Γ=23.8MeV,主 い と き は,二 は,同

崩 壊 モ ー ドがBd0Bd0,B+B-のbb共

鳴 で あ る.混

つ の レ プ ト ン は 異 符 号(l1l2=l+l-)で

符 号(l±l±)の

あ る が,混

レ プ ト ン 対 が 生 成 さ れ る.CP保

合 の な

合 が あ る とき

存 を仮 定 す れ ば

(2.79) (2.78)のΥ(4S)を

通 す 反 応 で は,B0とB0は

本 当 は 相 関 を 考 慮 し な け れ ば な ら な い が,後

特 定 の 量 子 状 態 に あ る の で, に 述 べ る よ う に 式(2.76)を

その

ま ま 適 用 し て 差 し支 え な い(式(2.164)参 さ れ る がBsBs対

は生 成 され な い の で,こ

  ま ずB0→B0の

照).Υ(4S)で

は,BdBd対

こで の 測 定 量r=rdで

混 合 の 存 在 を確 立 す る た め に は,B0B0も

は生 成

あ る. し くはB0B0が

確 か に 生 成 さ れ て い る事 実 を,崩 壊 生 成 物 を すべ て 観 測 して再 構 築 し て見 せ る の が よ い.B崩

壊 は次 の よ う な連 鎖 崩 壊 を観 測 し て 同定 で き る.

(2.80)

  ARGUSが

実 際 に 観 測 し た 例(図2.318))を

た 事 象 で は な い が,そ

示 す.こ

れ ま で は 未 確 認 で あ っ たb→ulν

れ は,最

初 に観 測 され

の 崩 壊 の 存 在(Vub≠

0)の 証 拠 を も 同 時 に 示 し て い る の で こ こ に 掲 げ た.

(2.81)

下 付 き の ρ,Kは   次 に,rを(2.79)に よ びl-l-を B+B-へ

親 を 区 別 す る た め の 指 標 で あ る. よ っ て 定 量 的 に 決 め る た め に は,BBか

観 測 し な け れ ば な ら な い.し も 崩 壊 す る の で,BdBdお

し,b0(b+)をB0(B+)崩

か し,Υ(4S)はB0B0の

よ びB+B-へ

ら のl+l+お ほ か に

の 崩 壊 確 率 をp0とp+で

壊 の レ プ トン モ ー ドへ の 分 岐 比 とす れ ば,

表

図2.3 

B0-B0混

合 お よびb→uμν

反 応 の 完 全 に再 構 築 さ れ た 例(ARGUS)18)

(2.82) こ こ で,

(2.83) な る量 を定 義 す れ ば,混 合 変数rdは

観 測 値Nよ

り

(2.84) と し て 求 め ら れ る.λ (ARGUSグ

は 未 知 量 で あ る が 理 論 的 に は1∼1.3の

ル ー プ は1.2を

採 用),か

つxdの

量 で あ り

値 は λの 値 に よ って そ れ ほ ど変

わ ら な い.

 演 習2.2 

(2.84)を

導 け.

  最 近 の 実 験 値 は2),

(2.85) と な っ て い る.   な お,現 OPALに

在 で は 混 合 の 時 間 変 化 も 観 測 さ れ て お り,例 よ るLEPデ

ー タ を 示 す19).B0(B0)が

と し て 図2.4に

そ の ま ま 崩 壊 す る とl+(l-)が,

図2.4 

e+e-→B0B0+Xに お け るB振 動 の 時 間変 化.同 符 号 の レ プ トン対(l±l±) の相 対 生 成 率 を 固有 時 間 の 関 数 と して プ ロ ッ トし た もの19)

B0→B0(B0→B0)に →B0B0+Xに

混 合 す る とl-(l+)が

放 出 さ れ る こ と を 利 用 し,e+e-

お け る 同 符 号 レ プ ト ン の 崩 壊 に 占 め る 割 合 を プ ロ ッ ト し た もの で

あ る.   r値

の 測 定 や 混 合 の 時 間 変 化 を 見 た デ ー タ か ら 得 ら れ る ΔmBの

値 を総 合 す

ると

(2.86) と な る2).

  も しB0B0対

を 生 成 す る チ ャ ネ ル が た く さ ん 開 け て い れ ば,B0とB0は

干 渉 的 で あ り 独 立 に 崩 壊 す る の で,N(l±l±)とN(l+l-)の (2.76)の

非

比 と し て は,式

代 わ り に,

(2.87) を 使 わ な け れ ば な ら な い.エ

ネ ル ギ ー が 十 分 高 くて,B0B0生

十 分 超 え て い る と き のe+e-反

応 

,LEPで

ハ ド ロ ン コ ラ イ ダ ー で のBB生

成 な ど は こ れ に あ た る.は

成 の し きい値 を のZ0→B0B0, か る 量 は,同

符号

レプ トンの 全 体 に 占め る割 合

(2.88) で あ る.BB対

を 実 験 的 に 抽 出 す る に は,2ジ

ェ ッ ト現 象 の 中 で,大

き なp,pT

を も つ レ プ トン が,そ か し,B0B0に

れ ぞ れ の ジ ェ ッ ト内 に1個 ず つ あ る と い う事 象 を探 す.し

はBd0Bd0とBs0Bs0が

成 も 含 ま れ て い る.こ た が っ て,観

あ り,そ

れ は 混 合 し な い の で,χ

の ほ か にBuBu(=B+B-)生 の 値 を 見 か け 上 小 さ く す る.し

測 さ れ るχ の 値 は

(2.89) こ こ で,fiはbqibqi(qi=u,d,sほ

か)が

0.397,fs=0.10,fother=0.1は

生 成 さ れ る 確 率 で,fu=0.397,fd=

実 験 値 か ら 決 め ら れ る.現

時 点 で の世 界 の平 均 値

は2)

(2.90) で,χdの り,χ

値 を(2.89)に

入 れ る と,こ

と し て 許 さ れ る 上 限 値0.5に

れ か ら 決 ま るχsの 値 は0.497±0.13と 非 常 に 近 い.し

た が っ てχsに

下 限 値 の み デ ー タ か ら 制 限 が つ く と解 釈 す べ き で あ ろ う.混 デ ー タ をBd,Bs両

な

つ い て は,

合 の時 間変化 の

方 の 寄 与 を入 れ て解 析 し た結 果 か らは

(2.91) が 得 ら れ て い る.   理 論 的 に は,4∼20(後 め る の に,xdを

述,式(2.123))と

求 め た の と 同 じ方 法,つ

か ら 定 め る 方 法 は 適 用 が 困 難 で あ る.そ わ か る(図2.5).x〓3-4を

図2.5 

超 え る とr値

x=(Δm/Γ)と x〓4∼5に

推 定 さ れ る.こ

の た め,xsを

求

ま り同 符 号 と 逆 符 号 の レ プ ト ン 数 比 の 理 由 はx-rの

関 数 を書 い て み れ ば

は 飽 和 し て し ま い,r値

混 合 比r=[P(B0→B0)]/[P(B0→B0)]の

な る と混 合 比 か ら決 め る の は 困難 とな る.

関係

のわ ず か

な 誤 差 がxを

大 幅 に 変 え て し ま うの で あ る.し

直 接Bs0-Bs0振

た が って,xsを

決 め る に は,

動 の 時 間依 存 性 を測 定 しな け れ ば な ら な い.測 定 方 法 に 関 し

て は 後 述 す る.

  2.4.5 D0中   CPの

間 子 の 混合

破 れ の 議 論 に 入 る 前 に,混

く.表2.1は,K0,D0,Bd0,Bs0中 Δm/Γ,ε

に つ い て,実

間 子 の 崩 壊 寿 命 τ=1/Γ,質

た,こ

で あ る こ と,ΔmB∼100ΔmKで れ か らD0-D0混

め ら れ て い る.実

あ る こ とが わ か

合 は 小 さ す ぎ て 観 測 が む ず か し く,CP非

の 検 証 に は 適 さ な い こ と が わ か る.xDは 不 定 性 が 大 き い.い

量 差,Δm,x=

験 値 も し くは 理 論 予 想 値 を ま と め た も の で あ る.K中

間 子 以 外 は  る.ま

合 の可 能 な 中性 中間 子 系 の ま とめ を して お

保 存

理 論 的 に は 長 距 離 成 分 が 大 き く20),

ず れ に せ よ 小 さ い 値(0.1以

下)を

予 想 し実 験 的 に も確 か

験 は フ ェ ル ミ 研 究 所 の フ ォ ト ン ビ ー ム を 使 用 し て,  を 測 定 し て,rD<0.00367(90%CL)と

だ した

も の で あ る21). 表2.1 

*1 K

sの 寿 命,*2 

各種 混 合 の 度合 い(括 弧 で く くっ た値 は理 論 予 想値)

文 献21)

2.5  質 量 行 列 の 理 論 評 価

  こ の 節 で は,小 林-益 川 行 列 がCPの え ば,K崩

壊 で のCP非

破 れ の 原 因 で あ る とす る標 準 理 論 を使

保 存 デ ー タ を再 現 で き る こ と,そ の 効 果 の 全 容 がB

粒 子 系 を含 む 現 象 で 明 らか に な る 可 能 性 が あ る こ と を示 そ う.K中 は ε≫ ε',す な わ ちCPの

間子系 で

破 れ の効 果 は も っ ぱ ら混 合*5)を 通 して現 れ た.小 林

-益 川行 列 を 使 え ばB中

間子 系 で は これ が 逆 転 し

,崩 壊 過 程 に お け るCPの

接 の 破 れ が 非 常 に 大 き く現 れ る可 能 性 が あ る.そ の 理 由 は,CPの

破 れの大 き

さは ∼￨J￨で 変 わ ら な い が,実 験 的 に決 め る場 合 は,分 母(崩 壊 率 のCP保 部 分)の 大 き さ に対 す る比 が 問 題 と な る.K中 Vcs)2∼O(λ2)に 比例 す る の に 反 し,B中 り,￨J￨∼O(λ6)と

直

存

間 子 の 場 合 は こ の 量 が(Vcd*

間 子 の場 合 は(Vtd*Vtb)2∼O(λ6)で

比 べ て 同 じ オー ダー で あ る.つ

あ

ま り最 高 度 の 非 対 称 ∼O(1)

が 観 測 され る可 能 性 が あ る.も っ と も非 対 称 が 大 きい こ とは 必 ず し も実 験 的 に 容 易 で あ る こ と を 意 味 し な い.Bの

場 合 は 質 量 が 大 き い た めQ値

が 大 き く,

崩 壊 モー ドが た くさ ん 存 在 して,チ

ャネ ル あ た りの 分 岐 比 が 小 さ い か らで あ

る.

 2.5.1  K中  こ こ で は,こ

間子質量行列 の評価 れ ま で一般 的 な式 と して与 え て き た質 量行 列

(2.92) を,標 準 理 論 を 使 って 評 価 す る.CP非 に 寄 与)とΓ12(直

保 存 の効 果 は,M12(CPの

間 接 の破 れ

接,間 接 の両 方 に寄 与)の 虚 数 部 に 現 れ る.標 準 理 論 で は,  の 遷 移 過 程 は 図2.6,図2.7の

箱 型 図 で 与 え られ る の で,

質 量 行 列 は こ の フ ァ イ ンマ ン 図 を計 算 す る こ とに よ り得 られ る.箱 型 図 を中 間 で二 つ に切 断 した もの が 崩 壊 過 程 を与 え るの で,崩 壊 率 と箱 型 図振 幅 は(他 の 崩 壊 過 程 が 寄 与 しな け れ ば)比 例 関係 に あ る.し か し,崩 壊 振 幅 は質 量 殻 上 に あ る とい う条 件 が つ くの で,図 崩 壊 図 に は 寄 与 しな い.K崩

中 のi,j=tク

ォ ー クは 箱 型 図 に は寄 与 して も

壊 の と き はcク

箱 型 図 を二 つ に 切 っ た 崩壊 図 のみ で は,Vtdも な い.そ の た め,理 2.6 (e),図2.7

ォ ー ク も寄 与 し な い.こ し くはVubを

論 的 に 崩 壊 過 程 の 中 にCP非

の結果

入 れ る こ とが で き

保 存 効 果 を入 れ る に は,図

(e)の よ うなペ ン ギ ン図 を考 慮 に 入 れ な け れ ば な らな い .

  a. Δm   K崩 壊 の 質 量 行 列 は,図2.6

(a)(b)の

箱 型 図 形 を計 算 す れ ば よ い.そ

の

結 果 は23), *5) 混合効果 をCPの 間接 的な破れ ,CPの CPの 直接的な破れ ともい う.

違 う状態 に混合 を通 さず直接 崩壊す る過程 を

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

図2.6

K0-K0系

(a), (b)  箱 型 図.i,j=tの (c), (d)  CPを

でCPの

と きCPの

破 れ を生 む 過 程

破 れ ε を生 じ る.

保 存す る崩 壊 振 幅

(e) ペ ン ギ ン図,tク

ォ ー ク を中 間 状 態 に 含 む 図 がCPの

破 れ ε'を生 じ る.

(2.93) F(x),

G(x)は

ル ー プ 計 算 か ら現 れ る 量 で あ り, (x〓1の

F(x)は,xの

でx≪1,

緩 や か な 関 数 で,F(0)=1,

x≪yの

F(4)∼0.57,

と き)

 (2.94a)

F(∞)=1/4で

あ る.

とき は

(2.94b) と な る. 

はQCD補

正24),fK(=160MeV)は

K→

μνの 崩 壊 定 数 で あ る.

  BKは

次 式 で 定 義 さ れ る.中

間 状 態 を 真 空 で 置 き 換 え た と き,BK=1と

なる

よ う に 定 義 さ れ て い る25,26).

(2.95) BKはQCDの

非 摂 動 効 果 に よ る 因子 で あ り,理 論 的 不 定 性 が 大 きい.

 最 近 の値 は

(2.96) で あ る20).   式(2.93)を

眺 め れ ば わ か る よ うに,各 中 間 状 態 の寄 与 は 中 間 状 態 の 質 量 の

自乗 に比 例 し,ま た 中 間状 態 と外 の 中 間 子 を結 びつ け る小 林-益 川 行 列 要 素λq2 に 比 例 す る.し た が っ て,小 林-益 川 行 列 の寄 与 で 抑 圧 さ れ な け れ ば,本 一 番 重 いtク

ォー クの 寄 与 が き くは ず で あ る.B中

な って い る が,K中

間 子 の 場 合 は,外

来は

間 子の場 合 は確 か にそ う

の クォ ー ク がs, dで

あ る た め にt

ク ォー クの質 量 に よ る 因 子 よ り小 林-益 川行 列 に よ る 因子

が き き,チ

ャ ー ム ク ォ ー ク の 寄 与 が 優 勢 と な る.tの

入 る の み で あ る.Γ12に =(Vcd*Vcs)2が

関 し て も 同 様 で あ り,こ

支 配 す る こ と に な る .し

寄 与 は小 さ な 補 正 と して

の 結 果 質 量 行 列 の 位 相 は,λc2

たが って

(2.97) が 成 立 す る.こ

の こ と は(2.50),(2.51)を

参 照 す れ ば,

(2.98) (2.99) を意 味 す る.   箱 型 図以 外 の寄 与 を も取 り入 れ た と きの 質 量行 列 の実 部 は,K10, K20の 質 量 差ΔmKと

(2.100) の 関 係 に あ る.D(=0∼0.5)は 呼 ば れ る(箱

箱 型 図 形 以 外 の 過 程 の 寄 与 を 表 し長 距 離 効 果 と

型 図 の 寄 与 は 短 距 離 効 果 と 呼 ば れ る).理

い 部 分 で あ り,以

論 的 に評価 のむ ずか し

下 の 議 論 で は 無 視 す る.GF=1.166×10-5GeV-2, mw=81

GeV, ￨ΔmK￨=3.5×10-15GeVな

ど を 使 う と,精

度 よ く決 め ら れ る 部 分 は

(2.101) と い う 形 に 書 け る.具

体 的 にΔmKを

書 き 下 ろ す と,mc2≪mt2,mw2の

近似 で

(2.102) と な る.最 初 に こ の箱 型 図 形 の 寄 与 を検 討 した と きは,ま だ チ ャー ム 粒 子 が発 見 さ れ て お らず,ΔmKの 5GeVと

実 験 値 を再 現 す る とい う条 件 か らmcを

だ い た い1.

推 察 した の で あ っ た26).

  b.  ε0と ε'の評価   CP非

保 存 の効 果 は2世 代 だ け で は 入 ら な い こ とは,す

あ り,tク

で に 述べ た とお りで

ォ ー ク の 中 間 状 態(λtを 含 む 項)を 考 慮 す る必 要 が あ る.tク

ク中 間 状 態 の寄 与 は,Δmの

絶 対 値 に は あ ま り きか な いが,虚

混 合 パ ラ メ ター εへ の寄 与 を 与 え る の で,CPの

数 部 した が っ て

議 論 に は 欠 か せ な い.CP非

保 存 の も う一つ の パ ラ メ ター ε'(2.59)は,崩

壊 振 幅 の 中 のCP非

保存部 分 で

あ る.箱 型 振 幅 を 中 間 で 切 れ ば 崩 壊 振 幅 と な る が(図2.6(c), が 質 量殻 上 に あ る とい う条 件 か ら,c,tク の 崩 壊 振 幅 に 含 ま れ るKM行 み 寄 与 しCP非 は,tク

列 は,VusVud*の

ギ ン 図 を考 慮 す る 必 要 が あ る.こ こ で は,d→t遷

Γ12部分 は,K0お 幅 のCP非

よ びK0の

な わ ち,こ

み で あ り,振 幅 の 実 数 部 に の

保 存 項 は 存 在 しな い.崩 壊 行 列 要 素 にCP非

非 保 存 効 果 がVtdを

(d)),終 状 態

ォー クの 寄 与 は な い.す

ォ ー クの 寄 与 が 含 め られ る よ うに,図2.6(e)の

る の で,CPの

ォー

保 存項 を含 め るに よ う な い わ ゆ るペ ン

移 が 中間 状 態 と して 含 まれ

通 じて 入 る の で あ る.な お,質

量行 列 の

共 通 終 状 態 へ の崩 壊 振 幅 の積 で あ るか ら,崩 壊 振

保 存 成 分 は,ImΓ12と

して εへ も寄 与 す る.

 K崩 壊 の 振 幅パ ラ メ タ ー ε0は,混

で 関 係 づ け ら れ て い て(2.57),近

合 パ ラ メ タ ー ε と,

似 的に

(2.103) と 書 く こ と が で き る((2.66)と  し ば 混 同 し て 使 用 さ れ る.通 が,ε0は

常,差

を 使 え).な

お,ε0と

εは し ば

は 小 さ い の で 不 都 合 が 生 じ る こ とは な い

測 定 で き る 物 理 量 で あ る の に 反 し,ε

は位 相 変 換 で 変 わ る量 で あ る こ

と に 留 意 し て お く 必 要 が あ る*6).以

下 は,K崩

壊 で の εは ε0の こ と を 意 味 す

る も の とす る.   ε'は,

(2.104) (2.105) と表 さ れ る

〔(2.59),(2.60)〕.δIは

は,ΔI=1/2則

ππ 散 乱 の 位 相 の ず れ で あ り,￨ω￨≒0.03

を 破 る 度 合 い で あ る.ε'へ

ペ ン ギ ン 図 はΔI=1/2遷 0の 振 幅A0の

移 過 程 で あ る の でA2へ

虚 数 部 に 寄 与 す る.A0の

表 さ れ る ト リー 図 で あ る.KM行 リー 図 の 振 幅 をAp,Atと

の 寄 与 は ペ ン ギ ン 図 か ら く る が, の 寄 与 は な く,ア

イ ソスピン

実 部 へ の 主 寄 与 は,図2.6(c),(d)で

列 要 素 を取 り 出 し た 後 の ペ ン ギ ン 図 と ト

書 くと

(2.106) と な る.ペ

ン ギ ン 図 はQCD部

分 を 含 み 評 価 が 困 難 で あ る が,￨Ap/At￨〓O(1)

と 見 積 も ら れ て い る.￨ε￨∼2×10-3を さ い と 考 え ら れ る.す (2.104), (2.105)にIm 10-3を

な わ ち,Im A2=0を

考 慮 す る と,ε Γ12≪Im M12が

の 中 のIm

A0の

成 立 す る.実

寄 与 は小 験 的 に は

入 れ て 得 ら れ る 式 に, ￨ε'/ε￨≒2.2×

入れ ると

(2.107) と な り,理 *6)  (2

.46)を

論 的 予 想 と合 っ て い る. 使 っ て, 

で あ る の で,α

と 再 定 義 す る と,

を 微 小 量 と し た と き,

と変 化 す る.ε0や

ε'は こ の 変 換 で 変 わ ら な い.α

は0に

の 自 由 度 を 利 用 し て,Im

で き る,こ

る.こ の と き,ア と 同 一 と な る.こ ε'の 式 の 中 のIm

を適 当 に選 べ ば上 記 変 数 の どれ か一 つ

A0=0と

す る の が,Wu-Yangの

手法 であ

イ ソ ス ピ ン0状 態 へ の 崩 壊 振 幅 パ ラ メ タ ー ε0は,混 合 パ ラ メ タ ー ε の 章 で 現 れ る 計 算 式 は,α=0と い う条 件 で 計 算 さ れ て い る か ら,ε や A0/ReA0≠0で

あ る.

  箱 型 図 お よ び ペ ン ギ ン 図 の 計 算 結 果 を 実 際 に 入 れ,ウ

ォ ル フ ェ ン シュ タ イ ン

の パ ラ メ ター を 使 う と20,27),

(2.108)

(2.109) と表 す こ とが で き る.実 験 デ ー タ は標 準 理 論 の 予 想 範 囲 内 に 入 っ て い る.

  2.5.2

B中

間 子 質 量 行 列 の評 価

  a. Δm   M12=で

あ る か ら,行

列 要 素 はK中

(b)の

箱 型 図 形 か ら 計 算 で き る の で,(2.93)と

し,今

度 はtク

間 子 と 同 じ く 図2.7(a), ま っ た く 同 じ 形 と な る.た

ォ ー ク 中 間 状 態 の 寄 与 が 圧 倒 的 に 大 き い(mt≫mc,mu)の

だ で,

M12は

(2.110) と書 け る.式 の 中 に現 れ る 量 は,K→Bと

す る以 外 は ま っ た く同 様 に 定 義 さ

れ る.

(2.111) fBはBの

崩 壊 定 数 で あ るが,fKと

違 っ て実 験 的 に 未 定 で あ る.QCDや

格子

ゲ ー ジ理 論 計 算 で は5)

(2.112)   b. Δ Γ   Γ12には 終 状 態 が 質 量 殻 上 に あ る とい う条 件 が つ くか ら,図2.7の を破 線 で 切 っ た と こ ろの エ ネ ル ギー 値 がmBに が っ て,t状

態 は寄 与せ ずuお

よ びcの

箱 型図形

等 し くな け れ ば な ら な い.し

み が 寄 与 す る.計 算 に よ れ ば22)

た

(a)

(b)

(d)

(c)

(e) 図2.7  (a),

(b)  箱 型 図

(c),

(d) Γ12に

B中

間 子 系 のCPの

寄 与 す る 図.(a),

らi,j=u,cで

(b)を

破 れ に 寄 与 す る過 程

切 断 し て 得 ら れ る が,質

量 殻 上 とい う条 件 か

あ る.

(e)  ペ ン ギ ン 図

(2.113)

(2.114a) mu2≪mc2≪mb2の

近 似 で,

(2.114b) で あ るの で,こ れ を代 入 す る と

ユ ニ タ リテ ィ条 件

(2.115)

を入 れ る と

(2.116) (2.117) 第1項

は￨Γ12/M12￨を

与 え,第2項

項 で あ る の で,M12と

はIm(Γ12/M12)に

寄 与 す る.第1項≫

Γ12は ほ と ん ど 同 じ位 相 角 を も つ.も

角 を も つ と す れ ば,(2.50)を

見 れ ば わ か る よ う に,q/pは

εBは 純 虚 数 と な る.こ

の 場 合￨B0>の

く で き る か らεB=0と

な り,混

た が っ て,CPの

あ る こ と が わ か る.ImM12,

位 相 角 を 適 当 に 選 べ ば,q/pは1に

合 に よ るCPの

M12と

等 し

破 れ は 存 在 し な い.εBの

破 れ が 小 さ い と き,小 ImΓ12が

し 完 全 に 同 じ位 相 純 粋 な位 相 に な り,

部 は 位 相 の 再 定 義 で 変 化 す る の で 観 測 量 で は な く,Re εBの も つ.し

第2

虚数

みが物理 的意 味を

さ く な る 方 法 と し て は2通

と も に 小 さ く て￨ε￨が 小 さ い か,ま

Γ12が ほ ぼ 同 じ位 相 を も っ て,ε

た は,

が 純 虚 数 に 近 く な る か で あ る.わ

れわ

れ の 採 用 し た 小 林-益 川 行 列 の パ ラ メ タ ー 形 式 に よ る 位 相 の と り 方 で は,前 がKで

実 現 し,後

者 がBで

実 現 す る の で あ る.後

者 の 場 合(2.51)よ

り

者

り,

(2.118)   さ て,ΔΓB≪ΓBと

実 験 デ ー タ(2.85)(xd=ΔmB/ΓB=0.723±0.032)を

使 え

ば,

(2.119) が モ デ ル に よ ら ず に 成 立 し な け れ ば な ら な い が,(2.118),

(2.117)よ

り,

(2.120) で あ り,KMモ

デ ル は 実 験 デ ー タ に 矛 盾 し な い.歴

大 き な 値 を も つ と わ か っ た 時 点 で,ト (mt≫mb)と   c. xd, xsの   xはΔmとΓ

史 的 に はxdが

∼1程 度 の

ップ クォ ー ク の 質 量 が 予 想 外 に 大 き い

い う こ と が 認 識 さ れ た の で あ る. 評価 の 比 で あ るか ら,Δmの

表 式(2.118),

(2.110)を

使 えば

(2.121)

qはdま

た はsの

意 味 で あ る.こ

の 式 はBdとBsに

共 通であ り

(2.122) で あ る と 考 え ら れ る の で,τBd∼τBs=τBと

お く と,

(2.123) と な り,実 験 値(2.91)と

は矛 盾 しな い.

  上 式 か ら わ か る よ う に,xsはCPの リー 三 角 形 の 頂 点 の位 置 をρ=1か

破 れ を 表 す 変 数 で は な い が,ユ

ニタ

らの 半 円 周 上 に 固定 す る こ とが わ か る.ま

た,￨Vub￨は

原 点 に 中 心 を もつ 半 径(ρ2+η2)1/2の 円 を 与 え る.し た が って,xs

とb→ulν

の 崩 壊 率 を精 密 に 測 定 す れ ば,ユ

の で,CPの

ニ タ リー 三 角 形 の 頂 点 が 決 ま る

破 れ が 非 対称 実 験 で 直 接 検 出 さ れ な く も,間 接 的 に決 め られ る.

そ の 意 味 で,xsお

よ びb→ulν

の 精 密 測 定 はCPの

破 れ の 測 定 と同 様 に 重 要

で あ る.

2.6  ユ ニ タ リー 三 角 形 の 許 容 範 囲

  こ れ ま で に 考 察 し た 知 識 を 使 っ て,ユ

ニ タ リー 三 角 形 の 許 容 範 囲 を 評 価 し て

み よ う29,30).ま ず,(2.30a)の￨Vub/Vcb￨=0.08±0.02は,ρ-η

平 面 で一 つ の 円

を 与 え る.

(2.124) 次 に,(2.108)よ

り,BKの

値(2.96)を

入れて

(2.125) な の で,￨ε￨は

ρ-η平 面 上 で 双 曲 線 を与 え る こ と に な る.ま

た,(2.109)

(2.126) に よ っ て,η  Bd-Bd混

に 対 し て あ る 幅 の 値 を 与 え る. 合(2.121)は,

(2.127) と い う 形 に 書 け る の で,ρ=1,η=0を

中 心 とす る 円 を 与 え る.

  し た が っ て,上 図2.8に,こ

記 四 つ の 条 件 か ら,実

れ ま で の 実 験 値 と理 論 最 良 推 定 値 を 使 っ て 許 さ れ る ユ ニ タ リ

テ ィ三 角 形 の 許 容 範 囲(黒

影 部 分)を

限 は あ ま り強 くは な い.あ き く,例

験 誤 差 内 で ρ-η の 許 容 範 囲 が 決 ま る.

え ばBd-Bd混

示 す2).た

だ し,こ

の 解 析 か ら得 られ る 制

く ま で も 目安 と考 え る べ き で あ る.理

合 で は,fB=175±25MeV,￨ε￨で

論 的誤差が大

は,BK=0.75±0.15

程 度 の 不 定 性 が あ る.

図2.8 

小 林-益 川 行 列 とユ ニ タ リテ ィ

図 はCPの 破 れ をKM行 列 で 表 す とき,種 つ け て 囲 ん だ領 域 内 が 許 され る.

2.7 Kの

  CP非

々 の 実 験 か ら制 限 され る ρ,ηの 値.影

稀

を

崩 壊

保 存 パ ラ メ ター を決 め る に 適 す る過 程 は,こ

の ほか に い ろい ろ あ る

が,比 較 的 近 未 来 に 検 証 が 期 待 さ れ る過 程 と して,Kの

稀 崩壊 反 応 をあげて

お こ う.   a.  KL→   CP保

π0ee

存 が 成 立 して い る と き は,CPが

正 のK10は,1フ

通 して π0eeに 崩壊 で きる(γ1崩 壊).CPが

ォ トン 中 間 状 態 を

負 のK20は,2個

の フ ォ トン放 出

を通 して の み π0eeに 崩 壊 で き る の で(γ2崩 壊),振 幅 は相 対 的 に α程 度 小 さ い.CPの

破 れ が あ る と,KLの

崩 壊 で き る の で,CPの

中 に εだ け あ るK10成 分 か ら γ1過 程 を通 して

間 接 的 破 れ に よ る崩 壊 は,CP保

γ2崩 壊 よ り大 き い と期 待 され る.KL→

存 過 程 のK20成

π0γ γの 実 験 値 を取 り入 れ てCP保

分の 存

成 分 を 評 価 し た 結 果 は,分 の 崩 壊 振 幅 は,K+→

岐 比 が10-12よ

π+ee崩

り小 さ い と し て い る31).K10→

壊 と 結 び つ い て お り, 

π0ee

の実験 デー

タ と理 論 値 の 比 較 か ら

(2.128) が い え る.K20成

分 が 直 接 的CPの

破 れ に よ り崩 壊 す る分 岐 比 は

(2.129) と評 価 され て い る32)の で,KL→

π0ee崩 壊 か ら直接 のCPの

破 れ効 果 を検 出

で き る可 能 性 が あ る.現 在 の 実 験 値 は

(2.130) で あ る33).

  b.K+→

π+νν

  この 過 程 に は,い わ ゆ る長 距 離 相 互 作 用 効 果 が な く,図2.9に

表 され る よ う

な 箱 型 の 寄 与 が 主 で あ り,理 論 的 な不 定 性 が 小 さ い と い う特 徴 が あ り,KM 行 列 要 素 に 対 して 独 立 の 実 験 情 報 を 与 え る.計 算 式 は,K+→

π0eνの 式 との

比 を と り理 論 的 不 定 性 を軽 減 し た もの で34),

(2.131a) (2.131b)

(a) 図2.9 

(b) K+→

π+νν過 程 に 寄 与 す る グ ラ フ

XlNLとF(xt)は ∼10-10で

ル ー プ 計 算 に 使 う 量 で あ る.崩

あ る . 

壊 分 岐 比 の理 論 推 定 値 は

モ ー ドの デ ー タ は,ρ-η

平 面 で,ρ0≒1.4を

中心

と す る 円 を 与 え る.   実 験 的 に は 反 応 例 を 一 事 象 見 つ け た と し て い る35).分  を 与 え る の で,理 論 を す る に は も う1桁   c.K0L→   CPが も,こ

岐 比 を計 算 して み る と

論 予 想 値 と 矛 盾 は し な い が,確

定 的 な議

ほ ど感 度 を上 げ る 必 要 が あ る.

π0νν 保 存 し て い れ ば 存 在 し な い 崩 壊 モ ー ドで あ る.し

の 反 応 を 確 認 で き れ ば,CPの

証 拠 と な る.K0L→

破 れ が⊿S=1の

π0νν崩 壊 振 幅 は,K+→

た が っ て,一

例 で

崩 壊 に 存 在 す る こ との

π+νν 崩 壊 振 幅 と ア イ ソ ス ピ ン

に よ っ て 関 係 づ け ら れ て い る.

(2.132) CPの

間 接 の 破 れ す な わ ち 混 合 効 果 に よ る 分 岐 比 は ∼10-15と

り36),直

見積 もられて お

接 の 破 れ 効 果 に よ る 分 岐 比37)

(2.133) の 方 が 圧 倒 的 に 大 きい の で,CPの るが,困

直 接 の破 れ を検 証 す るの に最 適 の 反 応 で あ

難 な 実 験 で あ るの で理 論 との 比 較 が 可 能 に な る に は,ま だ しば ら く時

間 が か か るで あ ろ う.現 在 の 上 限値 は5.9×10-7で

2.8  B崩

  2.8.1    CPの

壊 で のCP非

あ る38).

保存の観測法

レプ トン非 対 称 破 れ は,非

対称

(2.134) を検 出 す る こ と に よ りそ の 存 在 が 検 証 で き る.   fを

レ プ トン と す れ ば,(2.75),(2.76)を

参 照 し て,

(2.135) ま た(2.50)と(2.120)か

ら

(2.136) こ れ よ り(2.117)を

参 照 して

(2.137a)39) で,K中

間 子 の 場 合 の ε よ り1桁 は小 さ い と予 想 さ れ る.B中

短 くか つBLとBsを

分 離 す る こ とは ほ とん ど不 可 能 な の で,K中

と違 っ て εBを 直 接 測 定 す る の は 困 難 で あ る.し か しCPの 行 列 に の み あ る場 合,つ は,CP非

間子 の寿 命が

ま り超 弱(super

weak

間 子 の場 合

破 れの 原因が質 量

interaction)理

論 で あ る場 合

保 存 の検 証 に は こ う し た ε効 果 を 直 接 見 られ る 反 応 は 重 要 で あ る.

実験 値

(2.137b)2) は理 論 予 想 値 と矛 盾 しな い.

  2.8.2  CPの   CPの

直接の破 れ

破 れ がKM行

反 応 に お い てCPが CPTが

列 起 因 で あ る場 合 は,CPの

直 接 の破 れ,す

な わ ち崩 壊

保 存 し な い可 能 性 が あ る の で 実 験 の 選 択 肢 は 大 き く増 す.

保 存 しか つ 終 状 態fを

特 定 した場 合 の 崩 壊 振 幅 は,

(2.138a) (2.138b) と書 け る(Ⅰ,Ⅱ-付

録G19).こ

こ に,iは

異 な る 中 間 状 態 を示 し,φwは

弱い

相 互 作 用 振 幅 の位 相,δsは 終 状 態 粒 子 の 強 い相 互 作 用 に よ る散 乱 の位 相 の ず れ で あ る.CPの 条件

直接 の 破 れ が あ る と き は 

で あ る.実 験 検 証 に 必 要 な

(2.139) を満 た す ため に は,干 渉効 果 の存 在 が 必 要 で あ り,こ の た め に は少 な く も2種 類 の 干 渉 振 幅 が 必 要 で あ る.

(2.140) と す れ ば,

(2.141) で あ る.上 記 の 式 か ら わか る よ うに,CPの の 振 幅 の 弱 い 相 互 作 用 の 位 相,散 い.中 性K粒

直 接 の破 れ を見 る た め に は,2種

乱 の位 相 と もに 異 な っ て い な け れ ば な らな

子 の 崩 壊 の場 合 の ππ 終 状 態 に は,I=0,2の2種

り,こ の条 件 を満 た して い た.一 方,K± か 存 在 せ ず,CP非

→ π±π0で は,終 状 態 にI=2状

保 存 効 果 は 見 る こ とが で きな い.Bの

で も,例 え ば,B-→K-ρ0の

類 の振 幅が あ 態し

場 合は荷電 粒子崩壊

よ うに,Wの

交 換 に よ る ト リー 型 振 幅 とペ ン ギ

ン型 振 幅 を と もに も ち,か つ 終 状 態 が2種

類 以 上 の 振 幅 に分 解 で き る と き は,

CP非

保 存効 果 が 原 理 的 に は観 察 可 能 で あ る.し か し,位 相 差(φw1− φw2)を

知 る ため に,少 な くも2個 の未 知 量￨D1/D2￨と(δs1− δs2)の知 識 が 必 要 で あ り, 一 般 的 に考 え て 分 離 は容 易 で は な い.   こ こ で,中 性B粒

子 の と き は 混 合 効 果 に よ り,A(B→f)とA(B→B→

f)の 干 渉 が 生 じ る こ と に注 目す る.特 に終 状 態 のfとfと

してCPの

固有状

態

(2.142) を選 ぶ と,た だ1種 類 の 振 幅 が寄 与 す る場 合 で も弱 い相 互 作 用 の位 相 が 取 り出 せ る こ とを示 そ う40).  (2.67a,b)か

ら,終

状 態f,お

よ びfへ

の崩 壊 幅 を計 算 す る と

(2.143a)

(2.143b)

た だ し,

(2.144) で あ り,β,β

は 次 の よ う に 定 義 さ れ る*7).

(2.145) こ こ で,た

だ一 種 の 散 乱 振 幅 が 寄 与 しか つ 終 状 態f,fがCPの

る と しよ う.こ の 条 件 を満 た す と き,ρf,ρfは

固有 状 態 で あ

と も に純 粋 な位 相 で あ り,

(2.146) と 書 き 直 せ る.    q/pに

のCP固

つ い て は,(2.136)よ

と が 保 証 さ れ て い る.い で あ る か ら￨q/p￨=1と の で,そ

り,絶

有 値 で あ る. 対 値 が ほ と ん ど1で

純 粋 な位 相 に近 い こ

ま は 非 対 称 が 十 分 大 き い と い う状 況 を 考 察 し て い る の お い て よ い.す

の 位 相 を-2φMと

な わ ち,q/pも

また純粋 な位相 であ る

書 け ば,(2.50)と(2.110)か

ら

Bdの 場 合 Bsの 場 合

 (2.147)

し たが っ て

(2.148) と な り,(2.143)に

入 れれば

(2.149a) (2.149b) し たが っ て 非 対 称 パ ラ メ タ ー は

(2.150) 時 間 変 化 を見 な い 場 合 は,積 分 した 量 の 比 を と り

(2.151) す な わ ち,考 く,最

察 中 の 非 対 称 パ ラ メ タ ー に は,強

大x/(1+x2);(Bdの

場 合 ∼0.47)く

  念 の た め に 繰 り 返 す が,(2.147)のq/pの *7)  ￨p/q￨≠1が

間 接 な破 れ

,￨A/A￨≠1が

崩 壊 の 干 渉 に よ る 破 れ と い わ れ る.

い相 互 作 用 に よ る不 定 性 が な

ら い ま で の 値 が 可 能 で あ る. 位 相 はKM行

列 と し て(2.15)

直 接 の 破 れ と い わ れ る の に 対 し,Imβ

≠0は

混合 と

を採 用 し た こ とか ら生 じた 特 殊 事 情 で あ る.q/pの

位 相 は 

義 で 吸 収 で き る の で,そ れ 自身 は 観 測 量 で は な い が,ρfを 変 換 で 不 変 で((2.103)の

の 位 相 の再 定

掛 け た もの は位 相

脚 注 を参 照),観 測 可 能 な物 理 量 な の で あ る.

  な お,非 対 称 の 時 間 変 化 が 正 弦 関数 で あ る こ と は一 般 的 な議 論 か ら い え る. CP=Tで

あ るか ら,CPの

反 し混合 はCP非

  2.8.3 

あ り,質

量 行 列 に あ る 効 果(q/p)と

ρfの 位 相 で

崩 壊 振 幅 に あ る 効 果 ρfを 組 み 合 わ せ た も

々 の 反 応 を観 測 す る こ と に よ っ て,ユ

立 に 決 め ら れ る.CPの よ う.こ

列の位相

混 合 を 利 用 し て 調 べ ら れ る 物 理 量 φ は,β=(q/p)・

の で あ る.種

れに

保 存 に は 関 係 し な い の で余 弦 関 数 とな るの で あ る.

崩 壊 モ ー ド とKM行

  中 性Bの

破 れ は 時 間 の 奇 関 数 で な け れ ば な らな い.こ

ニ タ リー 三 角 形 の 頂 角 が 独

破 れ を 見 る 反 応 と し て, 

の 反 応 を考 え

の 反 応 に 優 勢 に 効 くフ ァ イ ン マ ン 図 を 図2.10(a)に

示 す.

  こ の 図 か ら 明 ら か な よ う に 崩 壊 過 程 はb→c遷

移 で あ り,振

を 含 む.し

比 例 す る.KM行

た が っ て,ρfは(VcbVcs*/Vcb*Vcs)に

ル フ ェ ン シ ュ タ イ ン 表 示(2.18)のO(λ3)ま 位 相 を 含 ま な い が,q/pがVtd/Vtd*を

幅 はVcbVcs* 列の ウォ

で の 近 似 を と る 限 り,こ 含 む の で,Bd→J/ψ+Ksに

の ρfは お け る非

対 称 の 中 の 位 相 角 φ は,

(2.152) か ら 決 め ら れ る.こ

の 場 合 の 位 相 φ は,混

φ1,φ2,φ3は 図2.2で

定 義 し た ユ ニ タ リー 三 角 形 の 頂 角 で あ る.

  次 に,Bd→

π+π-反 応(図2.10(c))を

遷 移 で, 

合 パ ラ メ タ ー(q/p)の

見 て み よ う.こ

位 相 で あ る.

の 過 程 はb→uの

を含 む の で

(2.153) こ の場 合 の位 相 角 φ は 混合 パ ラ メ ター の 位 相 角 φMと 崩 壊 振 幅 の 位 相 角 φwの 両 方 の 和 で あ る.同 様 に 

反 応 で のCP非

保存の

位 相 は そ れ ぞ れ,

(2.154)

(a)

(b)

(c)

(d)

図2.10 

CPの

破 れ に よ る非 対 称 とKM位

相 を決 め るの に 有 用 な 過 程,右

(e)

側

は左 側 と同 じ崩 壊 モー ドを与 え る ペ ン ギ ン図

(f) (a),(b) 

が 測 れ る. (c),(d)  が 測 れ る. (e),(f) 

(g)

が 測 れ る.

(h) (g),(h) 

が測 れ る.

(2.155) とな る.こ の最 後 の過 程 で はCPの CPの

破 れ をKM行

破 れ に よ る 非 対 称 は存 在 し な いが,そ

性 を立 証 す る に は,こ

列 に 求 め た こ とか ら生 じた こ と で あ り,KM行

れは

列 の正 当

の過 程 で の非 対 称 の 欠 如 は他 の過 程 の非 対 称 の 検 出 に劣

らず 重 要 で あ る.表2.2に

これ ら 四つ の 反 応 を ま とめ る.こ れ らの 反 応 で非 対

称 パ ラ メ ター を 決 定 す る こ とが 可 能 な らば,ユ ニ タ リー 三 角 形 の頂 角 をす べ て 表2.2 

CPの

破 れ を見 る反 応 例

決 め ら れ るの で,単

にCPの

破 れ の み な らずKM行

列 の 全 容 を知 る こ とが 可

能 で あ る.  雑 音過 程  

話 を 混 乱 させ な い た め に,上

の 考 察 で は あ る 特 定 の 振 幅(図

2.10の 左 側 に掲 げ た 崩 壊 の ト リー 図)の み が き く と した.も

ち ろ ん,世

の中

は そ れ ほ ど簡 単 で は な い.上 記 の 崩 壊 過 程 図 に 対 応 して,強 い 相 互 作 用 を含 む 振 幅 が 存 在 す る.そ の うち 最 も簡 単 な も の は ペ ン ギ ン図 で あ り,図2.10の 側 に 掲 げ る.主 過 程 の ト リー 型 崩 壊 振 幅 をAT,ペ

右

ン ギ ン 図 の 振 幅 をAPと

し,そ れ ぞれ の 位 相 を αT,αPとす る と,非 対 称Aは,

(2.156) 程 度 の 変 更 を 受 け る.ペ 場 合 は 運 動 量 遷 移 がmb程

ン ギ ン 図 の 中 間 状 態 に は,u,c,tが 度 で あ り,KM行

き く が,u,cの

列 以外の力学過程 に

(2.157) に 比 例 す る ほ ぼ 同 じ だ け の 寄 与 を 与 え る41).ユ

ニ タ リテ ィ に よ り

(2.158) で あ るか ら,u,c中 な わ ちAPの

間 状 態 の 振 幅 和 はt中 間 状 態 振 幅 と 同 じ位 相 を もつ.す

位 相 はtク

b→scc崩

b→duu崩

で あ り,b→sccの

ォー クで 決 ま る こ とに な る.

壊

  の 場 合 は,

壊

  の 場 合 は,

場 合 は,上

に 示 す よ うに ト リー 崩 壊 図 とペ ン ギ ン 図 の位

相 が 同 じな の で,影 響 は小 さ く非 対 称 の 変 更 量 は小 さ い と期 待 され る.し か し,b→duuの

場 合 は,位 相 が 異 な るの で,ペ ン ギ ン 図 過 程 の ト リー 崩 壊 過

程 に対 す る相 対 的 大 き さ に よ っ て は,非 対 称 が 大 き く変 更 さ れ る 可 能 性 が あ る.   ペ ン ギ ン図 の 大 き さ は,グ ル ー オ ン 交 換 に よ り(2.157)の

抑 圧 因子 がか か

るの で,単 純 に 考 え れ ば ト リー 崩 壊 図 に 比 べ て 小 さ い と考 え ら れ るが,裸

の

ク ォ ー ク 図 と実 際 に 観 測 さ れ る メ ソ ン 過 程 の 関 係 は 正 確 に 評 価 す る こ と が む ず か し い.モ

デ ル に よ っ て は, 

と見 積 も ら れ る 場 合 が あ る.実

計 算 に よ れ ば,  が,Bd→

で は 非 対 称 量 の 変 更 は 小 さ く数%以

π+π-は,最

高20%の

下 で あ る

変 更 を 受 け る と さ れ て い る42).た

場 合 で も ア イ ソ ス ピ ン 解 析 を 行 う こ と に よ り,す

際 の

だ し,こ

の

な わ ち,

 の6種 の 崩 壊 率 を 測 定 比 較 す る こ と に よ り,ペ

ンギ ン

図 を 分 離 す る こ と が で き る43).

2.9 

 2.9.1 xsの  a.  2体

測

非 対 称Bフ

ァ ク ト リー

定

の 相 関

  こ れ ま で は 論 理 の 筋 道 を 明 らか に す る た め,親 る と し て話 を進 め て きた.し 産 さ れ,B0か

ら もB0か

のB0,B0状

態 はわか って い

か し実 際 の 実 験 条 件 で は,B0とB0は

と もに 生

ら も崩 壊 可 能 な モー ドの 非 対 称 を測 定 す る と きは 親

の 状 態 を同 定 す る必 要 が あ る.レ プ トン崩 壊 モ ー ドは崩 壊 状 態 を同 定 す る だ け で親 の 区 別 も同時 に 自動 的 に で き るが,崩 壊 状 態 と してCPの

固有 状 態 を観 測

す る と き は,親 の 同 定 が 欠 か せ な い 。 した が っ て,BBの

対 生 成 の 一 方 をB

ま た はBと

突 型 加 速 器 で実 験

同 定 した 上 で他 方 の 崩 壊 を測 定 す る.e+e-衝

を 行 う と き は,Υ(4S)(ス (ス ピ ン0-と1-の

ピ ン0の

中 間 子B0B0がL=1の

中 間 子BB*がL=1の

光 子 状 態 を 経 由 す る の で,C=P=-,CP=+状 状 態 は,軌 道 角 運 動 量Lが

Υ(5S)

状 態)を 通 す と,軌 道 角 運 動 量 状 態

を確 定 で き るの で ク リー ン な実 験 が 可 能 と な る.e+e-反

子B0B0の

状 態)や

応 で は ほ とん どが1

態 に あ る.し た が っ て2粒 偶 ま た は 奇 に よ って,

(2.159a) そ こ で,粒

子1(2)が

と す る.た

だ し

  い ま,時

刻t1に,粒

時 刻t1(t2)に

量 子 状 態k1(k2)に

あ る 波動 関 数 を

(2.159b)

れ は

 は(2.67)で 子1が

与 え ら れ て い る.

量 子 状 態k1でB0と

し て 崩 壊 し た と す る と(こ

  の よ う な 終 状 態 を 選 ぶ こ と,例

え ばl+が

観

測 さ れ る こ と を 意 味 す る.こ

の と き 終 状 態 がgで

あ れ ば,B0と

し て観 測 さ れ

た こ と に な る).

(2.160) さ らに 第2の 粒 子 が,時 刻t2に 量 子 状 態k2でB0と

して 崩壊 した とす る と

(2.161a) 第2の

粒 子 が,時

刻t2に

量 子 状 態k2でB0と

し て 崩 壊 し た とす る と

(2.161b) 同様 に

(2.161c) (2.161d) B0B0状

態 を 終 状 態 の レ プ ト ン で 同 定 す る こ と に し て,g=l+νh,g=l-νhと

書 けば

(2.162) 時 間 変 化 を見 な い とき は,積 分 をす る必 要 が あ るの で,

(2.163a) (2.163b) を考 慮 す る と,

L=偶

数

L=奇

数

(2.164)

と な り,L=奇

数 の 場 合 の 逆 符 号 レ プ ト ン 数 比 は2体

の 式(2.76)と

一 致 す る.r(4S)はL=1で

あ る か ら,1体

使 っ て よ か っ た 理 由 は こ こ に あ る.こ ボ ー ス 統 計 か ら 導 か れ る.L=奇 らB0B0,

B0B0状

の 相 関 を考 慮 し な い と き

の 一 致 は 偶 然 で は な く,B中

数 で あ れ ば2体

態 は 存 在 し え な い.し

た が っ て,時

し か あ り え な い.し

刻t1に

子2はB0で

壊 す る 確 率 は1粒

子 状 態 のB0→B0の

確 率 と 同 じ で あ る.

  な お こ れ は2粒

子 を 十 分 離 れ た2点

で 独 立 にB0ま

関 が 存 在 す る は ず が な い(cΔt<Δxな

ア イ ン シ ュ タ イ ン-ロ ー ゼ ン-ポ

間 子 の

の波 動 関 数 は 反 対 称 で あ るか

認 定 さ れ る と,粒

に,相

の 式 を その ま ま

粒 子1が,B0と

た が っ て こ の 後 にB0に

た はB0と

崩

同 定 した と き

ら ば 因 果 律 が 効 か な い)と

い う

ドル ス キ ー パ ラ ド ッ ク ス に 対 す る 一 つ の 反 例 と

な っ て い る.   b.  実 験 条 件   さ て 前(§2.4.4)に

述 べ た よ う に 

る 方 法 が 適 用 で き な い.xs∼4∼20と 振 動 の 混 合 定 数xsを

間 差￨t1-t2￨(実

崩 壊 時 刻t1とB0の

応 でB0B0を

決 め

時 間 変 化 を 見 てxsを 生 成 す る 場 合,衝

崩 壊 時 刻t2を

際 に は 二 つ の 崩 壊 点 間 の 距 離)の

が っ て(2.162)をt1+t2に

を 測 っ てxを

予 想 さ れ て い る わ け で あ る か らBs-Bs

決 め る に は 実 際 に(2.162)の

て や ら な け れ ば な ら な い.e+e-反 ら な い の で,B0の

の と き はr値

決 め

突 点 は わか

独 立 に は 決 め ら れ ず,時

み が 測 定 可 能 で あ る.し

た

つ い て は 積 分 す る と,dN(l±l±)は, L=偶

数

L=奇

数

 (2.165a)

 

(2.165b)

の よ うに時 間 変 化 す る.た だ し

(2.166) を 使 っ た.測

定 時 間 の 分 解 能 σtが,σt≪(τ/x)を

満 た し て い れ ば,時

間変 化

に よ る 振 動 が 測 定 で き る.対 →r(4S)か

称e+e-衝

突 型 加 速 器(Ee+=Ee-)に

よ るe+e-

ら の 平 均 崩 壊 長lは

(2.167) と非 常 に 短 い の で,B中 る 前 に 崩 壊 す る.し

間 子 が 発 生 点(e+e-の

た が っ て,崩

壊 点 は,崩

外 で 測 定 し外 挿 し な け れ ば な ら ず,十

衝 突 点)か

壊 生 成 物 の 軌 跡 を ビー ム パ イプ の

分 な 分 解 能 を得 る の が 困 難 で あ る.そ

で 非 対 称e+e-衝

突 型 加 速 器(Ee+≫

を 使 え ば,BBは

相 当 の 速 度 を も っ て 生 成 さ れ る か らロー

き く な り,≒380μmと

な る.崩

す る と,xs=∼8-10く に,xs=10と

ら ビー ム の 外 へ 出

ま た は≪Ee-,例

こ

え ば2.5GeV×12GeV) レ ン ツ 因 子 βγが 大

壊 点 再 現 の 空 間 分 解 能 と し て40μmを

想定

ら い ま で は 測 定 可 能 で あ ろ う と 予 想 さ れ る.図2.11

し た と き,予

想 誤 差 を 含 む 実 験 条 件 を 入 れ,モ

ン テ カル ロシ

ミ ュ レ ー シ ョ ン し た と き ど の よ う に 見 え る か を示 す44).

  2.9.2    CPの

CP非

対称 の測定

破 れ を ハ ドロ ン のCP固

を 考 え よ う.粒

子1が

時 刻t1に

に 崩 壊 し た と す る と,(2.160)を

有 状 態fへ 状 態gに

の 崩 壊 の 非 対 称 か ら測 定 す る場 合

崩 壊 し てB0と

同 定 さ れ,時

刻t2にf

参 照 して

(2.168a) こ こ で,± 粒 子1が

の 符 号 は,軌

時 刻t1にB0と

道 角 運 動 量L=even(+), し て 同 定 さ れ,時

刻t2にfに

odd(-)に

対 応 す る.ま

た

崩 壊 し た と す る と,

(2.168b) こ れ か ら,(2.161)を

参 照 し, 

とお い て

図2.11 xs振

動 モ ン テ カ ル ロ シ

ミュ レー シ ョ

ン44) 非 対 称e+e-衝

r(4S), r(5S)の

r(4S)はL=1状

生 成 断 面 積45)

態,B0B0,

B+B-生

成

が 主 反 応 で あ る.

突 型 加 速 器(2.5GeV×12GeV),

∫Ldt=1040cm-2,衝突 る.混

図2.12 

点分解能40μmを 仮 定 す

合 パ ラ メ タ ーxs=10の

と き の シ ミュ レ ー

シ ョ ン.

(2.169) (2.170) (2.171) こ の 式 を 眺 め る とL=奇

数 の 場 合 は 非 対 称 パ ラ メ ター はΔt=t1-t2の

で あ る こ とが わ か る.し た が っ てt1とt2を

対 称 的 に 取 り扱 う場 合,特

で積 分 して しま う場 合 は 非 対 称 は相 殺 さ れ て0と のB0B0はL=1状

態 に あ るの で,CP非

対 称 と し,B0とB0の

ら

対 称 は,対 称 衝 突 型 加 速 器 を使 う 限 数 の 状 態 を含 む と こ ろ

り上 に エ ネ ル ギー を設 定 す るか(こ の 場 合BB生

小 さ い の で,計 数 率 で 損 をす る.図2.12参

に時 間

な る.す な わ ちr(4S)か

り時 間 積 分 さ れ て し ま うの で 消 え る.こ の た めL=偶 例 え ばr(4S)よ

奇 関数

照45)),e+とe-の

飛 翔 中 に崩 壊 を起 こ させ,崩

成断 面積 が

エ ネ ル ギ ー を非

壊 時 刻 の差Δtを 測 定 す る

こ とに よ り非 対 称 を測 定 す る必 要 性 が で て く る.後 者 の 場 合 は￨Δt￨の み が 測 定 可 能 で あ る の で,(2.169)(下

側 の 符 号)をt1+t2に

つ いて 積 分 す れ ば

(2.172) 図2.13に

非 対 称 衝 突 型 加 速 器 で,B0B0を

測 定 した と き の 反 応 事 象 が ど う見

え るか の 一 例 を示 す.   な お 対 称 衝 突 型 加 速 器 でCPの L=偶

数(あ

る い は い ろ い ろ なLが

非 対 称 が 観 測 で きな い とい うわ け で は な い.

あ る.(2.169)(上

混 在 して い る)の と きは 時 間積 分 が 可 能 で

側 の 符 号)を 積 分 す る と

(2.173) つ ま り,非 対 称 の 大 き さ は(2x/(1+x2)2)分 因 子(dilution

factor)と

だ け 小 さ くな る.こ の 項 を薄 め の

呼 ぶ.対 称 衝 突 型 加 速 器 の と き は,生 成 断 面 積 が小

さ くな り,か つ 薄 め の 因 子 が か か る分 だ け 実 験 が 困 難 に な る とい うこ とで あ っ て,そ れ に 見合 うだ け加 速 器 の 性 能 が 上 回 れ ば 原 理 的 に は 実 験 可 能 で あ る.   CPの

破 れ の 測 定 はBs系

で はBd系

に 比 べ て さ ら に む ず か しい で あ ろ う と

想 定 され る.そ の 理 由 は   (1)  Bsの 生 成 数 はBdに

比べ て1/2∼1/3

  (2)  混 合 効 果 は最 高 度 に起 きて お り,振 動 が 激 し くてΔtの 測 定 が 困難   (3)  非 対 称 が 大 きい と きは 分 岐 比 が 小 さ く,分 岐 比 が 大 き い と き は 非 対 称 が小 さ い.   した が っ て,CP非   こ こ で,CPの

保 存 はBd系

で観 測 す るの が 容 易 で あ ろ う.

非 対 称 を有 意 に 観 測 し う るた め に加 速 器 に 要 求 さ れ る輝 度 を

計 算 し て み よ う.例 と して 採 用 す る反 応 はB→J/ψ+Ksと

し,Bは

レプ ト

ン も し くはK± で 同 定 す る もの とす る.非 対 称 は ポア ソ ン 分 布 をす る の で,非 対 称 度 の 実 効 値 をAと

す る と き,統 計 有 意 度(中 央 値 の 差ΔSの 統 計 誤 差 σ

に 対 す る比ΔS/σ の こ と)をnに

す るた め の 事 象数 は

こ の と き加 速 器 に 必要 な積 分 輝 度 ∫Ldtは

次 式 で 与 え られる46).

(2.174)

図2.13 

非 対 称 衝 突 型 加 速 器 で は(t1-t2)ま が 測 れ る.図

でB0はK-ま

た は ヴ ァー テ ッ ク ス 間 の 距 離

は

た はl-で

同 定 し相 手 のB0崩

壊 を見 る.

ここで n:統

計 有 意 数=こ

こ で は3と

A:実

効 的 非 対 称 の大 き さ

設定

σ:e+e-→r(4S)の

断 面 積=1.15nb=1.15×10-33cm2

f:r(4S)→B0B0の

分 岐 比=0.5

B:上

記 のf以

降 の す べ て の崩 壊 分 岐 比 の 積

∼4×10-4  =BR(B0→

∼0 .14 

ψKs)BR(ψ

→l+l-)BR(Ks→

εr:B1の

再 現 効 率 ∼0.65=ε(ψ)・ ε(Ks)

εt:B2の

識 別 効 率(l±

w:識別 d:非

誤認率

∼0.69 π+π-)

ま た はK±)∼0.48   ∼0.07

対 称 の 薄 め 因 子*8)∼xd/(1+xd2)=0.47

sin2φ:物

理 的 非 対 称 の 大 き さ ∼0.1-0.6

*8) 測 定 時 間分 解 能 の幅 だ け は時 間積 分 しなけ れ ば なら な い こ とに よる .

 こ れ よ り,n=3と

し て,

(2.175) 1年 に107秒(=115日)運 を 実 現 で き れ ば,1年   現 在,日

ア メ リカ の

ァ ク ト リー 加 速 器 建 設 が 進 行 中 で あ り,BELLE (SLAC)の

BELLE測

以 内 の 実 験 で 非 対 称 が 観 測 で き る こ と に な る.

本 の 高 エ ネ ル ギ ー 加 速 器 科 学 研 究 機 構(KEK)と

SLACで,B-フ BABAR

転 で き る も の とす る と輝 度 と し て は,1034/cm2/sec

(KEK)と

実 験 グ ル ー プ が 実 験 準 備 を 進 め て い る.図2.14に

定 器 の 概 要 を 示 す.1999年

に は 稼 働 予 定 で あ る の で,今

世 紀 中に

は 何 ら か の 結 果 が で る も の と期 待 さ れ る*9).

図2.14  8GeVの

電 子 ビー ム と3.5GeVの

KEKのBELLE検

B中 間 子 対 を つ く りそ の 崩壊 生 成 物 を検 出す る.崩 磁 場 の 強 さ は1テ

ス ラ,CDCの

の 性 能 を もつ.SVD:シ

出器(1/2切

断面)

陽 電 子 ビー ムが 衝 突 しe-+e+→r(4S)→B0+B0反 壊 点 分 布 をSVDで

位 置 分 解 能 は100μm, 

リ コ ン ヴ ァー テ ッ ク ス検 出器,CDC:中

(PTの

  この 章 で は,CPの

*9)  BELLE

, BABAR両

グ ル ー プ は,2000年

密 デ ー タ を 提 供 し て い る.特 当 性 を完 全 に 裏 付 け た.

よびCPの

単 位 はGeV/c) エ ロジェ

ウ化 セ シ ウ ム カ ロ リ メ ター,

諸 問 題15)

破 れ を標 準 理 論 の 範 囲 で 議 論 し たが,標

で 理 解 し よ う とす る試 み,お

定 精 度80μm,

央 軌 跡 検 出器,ACC:ア

ル チ ェ レ ン コ フ カ ウ ン ター,TOF:飛 行 時 間 測 定 カ ウ ン ター,CsI:ヨ KLM:KL中 間 子/ミ ュ ー オ ン検 出 器.

2.10  CPの

応 に よ り中 性

測 定 す る.Z測

破 れ を巡 る話 題 を,い

準 理 論 の範 囲 外 くつ か 簡 単 に 紹

夏 に 最 初 の デ ー タ を 発 表 し て 以 来,数

に,sinφ1=0.736±0.04947)の

値 は,小

々 の精

林-益 川 モ デ ル の 正

介 して お こ う.   a.  超 弱相 互 作 用   K崩

壊 で のCP非

保 存 効 果 は,ΔS=2の

論 で あ るの で,第1近

似 で は,ΔS=1の

新 相 互 作 用 が 原 因 で あ る とす る理 崩 壊 は存 在 せ ず,

(2.176) とな る.最 近 の 実 験 で 

が 確 立 した の で16)少 な く もKメ

ソンに関

して は 超 弱 理 論 は否 定 さ れ た とに な る.   B崩

壊 に 関 して も,ΔB=2の

超 弱 相 互 作 用 が 原 因 とす る と,CPの

混 合 パ ラ メ タ ー εBに の み 存 在 す る.こ の 場 合,B0-B0混

破 れは

合 を通 し て のCPの

固有 状 態 へ の 崩 壊 非 対 称 パ ラ メ ター は,

(2.177) とな る.負 の 符 号 は,そ れ ぞ れ の 終 状 態 のCP固

有 値 が 逆 で あ る こ と に よ る.

標 準 理 論 で は,こ の 条 件 は η=(1-ρ)[ρ/(2-ρ)]1/2に よ っ て満 た す こ とが で き る の で,実 験 検 証 の際 の 誤 差 を考 慮 す る と,ρ-η 平 面 で,標

準理 論 と超 弱理 論

と区別 で き な い領 域 が 存 在 す る48).   b.  複 数 の ヒ ッグ ス   標 準 理 論 で の ヒ ッ グ ス場 に は,一 つ の 二 重 項 が 存 在 す るの み で あ る.超 対 称 性 理 論(第5章)や

ア ク シ オ ン の 存 在(第6章)に

は,2個

の ヒ ッグ ス二 重 項

を必 要 とす る.ヒ ッ グ ス場 の 真 空 期 待 値 は複 素 数 で あ るの で,も 重 項 が,2個

存在 す れ ばCP非

し ヒ ッ グ ス二

保 存 効 果 が 生 じ る.た だ し,こ の 理 論 に 基 づ い

た 計 算 で は,中 性 子 の 電 気 双 極 子 の 値 が大 き くな りす ぎ,実 験 値 と矛 盾 す る よ うに 見 え るの で,現 時 点 で は あ ま り真 剣 に は 取 り上 げ られ て い な い が,将

来の

可 能 性 と して 残 る49).   c.  左 右 対 称 モ デ ル   標 準 理 論 で の 電 弱 相 互 作 用 の ゲ ー ジ群 はSU(2)L  SU(2)L 

SU(2)R 

U(1)で

あ る が,こ

U(1)に 拡 張 す る試 み が あ る50).こ の場 合,右

巻 きのWボ

ソ ンが 導 入 さ れ る.自 発 的 対 称 の破 れ に よ り,現 実 の 世 界 で は,SU(2)L対 の み 実 現 され て い る と考 え るの で あ る.そ の た め に は,WRの

れを

称

質 量 は十 分 重

く,既 知 の 粒 子 へ の 結 合 は 小 さ い と しな け れ ば な ら な い.左 右 対 称 モ デ ル で は,右 巻 き ク ォー ク も荷 電 カ レ ン ト反 応 に 関 与 して く る の でKM行

列 へ の制

限 が ゆ る くな り,ク ォ ー ク2世 代 でCPの CPの

破 れへ の 寄 与 は,例

破 れ を 引 き 起 こ す こ とが で き る.

えば 箱 型 図 の 中 のWLの

代 わ りにWRが

入 っ た状 態

を考 え る こ とが で き る.実 験 値 と矛 盾 しな い とい う条 件 をつ け る と,WRの 量 は 数TeV以

質

上 で な け れ ば な らな い.

 d.  強 い相 互作 用 のCPの

破れの問題

  通 常 は 無 視 す る が,QCDラ

グ ラ ン ジ ア ンの 中 に,次 式 で表 され る よ う な グ

ル ー オ ン 自 己相 互 作 用 項 が 存 在 し て は な らな い とい う理 由 は な い.

(2.178) (2.179) こ の 項 は 全 微 分 の 形 を し て い る た め に 摂 動 論 で は 寄 与 し な い が,非 (θ-真 空)に

よ っ て,有

限 な 値 を 生 じ る こ と が 示 さ れ て い る51).θ0はQCDに

お け る 真 空 を 記 述 す る 量 で あ り,MU, ラ ン ジ ア ン がP,

Tお

よ びCPを

性 子 の 電 気 双 極 子 の 値 が0で た め に は, 

MDは

質 量 行 列 で あ る.問

破 る こ と で あ り,こ

た が っ て,理

し て は い け な い と考 え る の が 妥 当 で あ ろ う.こ の 問 題 は,第6章

題 は この ラ グ

の 結 果 と し て,例

な く な る(dn∼10-16θecm).実

で な け れ ば な ら な い.し

題 で あ る.こ

摂動効 果

れ が,強

えば 中

験 値 と矛 盾 し な い 論 的 に こ の項 は 存 在 いCPの

破 れ の52)問

で 詳 し く議 論 す る.

  e.  宇 宙 の バ リ オ ン 数   わ れ わ れ の 住 む 宇 宙 に お け る物 質 量 と 反 物 質 量 は 等 し く な い.ビ

ッ グバ ン状

態 か らバ リ オ ン 数 と 反 バ リ オ ン 数 の 非 平 衡 を 生 み 出 す た め の 必 須 条 件 と し て, (1) CP非 と い う3条

保 存,(2)  バ リ オ ン数 非 保 存,(3)  件 が あ げ ら れ て い る53).つ

在 理 由 解 明 に 関 わ っ て い る が,こ

宇 宙 が 熱 的 非 平衡 状 態 を経 由 す る

ま り,CPの

の 問 題 は 第8章

解 明 は,わ

「宇 宙 論 」 で ふ れ る こ と に す

る.

参 考 文 献

1)  M.Kobayashi

and T.Maskawa:Prog.Theor.Phys.,49(1973)652

2)  Particle Data Group:Phys.Rev.,D50(1994);D54(1996);EPJ,3(1998) 3)  L.Wolfenstein:Phys.Rev.Lett.,51(1984)1945

れ わ れ 自身 の 存

4)  G.Altarelli

and

P.Franzini:Z.Phys.,C37(1988)271

S.Stone:"Semi-Leptonic Stone,World V.Luth:Talk 5) 

Decays;Experiments"in

the

book"B

Decays",ed.S.

Scientific,Singapore,1991 Int.Conf.on

例 え ば,F.Gilman

Lepton

and

and

Photon,Ithaca,NY,USA(1993)

Y.Nir:Ann.Rev.Nucl.Part.Sci.,40(1990)213-238

A.J.Buras,M.Jamin

and

P.Weisz:Nucl.Phys.,B347(1990)491

M.Neubert:Phys.Rev.,D51(1995)5101 6) 

A.Sirlin:Phys.Rev.,D35(1987)3423

7) 

H.Leutwyler

8) 

J.F.Donoghue

9) 

CDHS;H.Abramowicz

and et

C.Foudas

et

et

et

A.O.Bazarko

J.Raab 11) 

et

J.C.Anjos

et et

M.Bauer

al.:Phys.Rev.Lett.,70(1993)134

al.:Z.Phys.,C65(1995)189

al.:Phys.Rev.Lett.,62(1989)1587

al.:Phys.Rev.,D37(1988)391 et

al.:Z.Phys.,C29(1985)637

B.Grinstein 12) 

al.:Z.Phys.,C15(1982)19

al.:Phys.Rev.Lett.,64(1990)1207

S.A.Rabinowitz

10) 

M.Ross:Z.Phys.,C25(1984)91 al.:Phys.Rev.,D35(1987)934

et al.:Phys.Rev.Lett.,56(1986)298;Phys.Rev.,D39(1989)799

CLEO;R.Fulton

et

G.Crawford

et

al.:Phys.Rev.Lett.,64(1990)16

al.:EPS

Conf.,Marseille,France,July,1993,Conf.93-30

ARGUS;H.Albrecht

et al.:Phys.Lett.,B234(1990)409;Z.Phys.,C57(1993)533;

Phys.Lett.,B275(1992)195 13) CLEO;I.P.J.Shipsey:Proc.Les "Results and Perspectives

in

Rencontres Particle Physics"

de

Physique

,La

de

la

Vallee

Thuile,Italy,March

d'Aoste, 3-9,1991,

PU-91-654 ARGUS;Phys.Lett.,B255(1991)297 14) 

H.Albrecht

15) 

C.Jarlskog:"CP

et

al.:Phys.Lett.,B229(1989)175 Violation",Advanced

Physics,Vol.3,ed.by 16) 

T.Yamanaka:Talk -31

Series

C.Jarlskog,World at

54th

Annual

on

Directions

in

High

Energy

Scientific,p.3 Meeting

of

Japan

Physical

Society,March

28

,1999

17) I.I.Bigi

and

V.A.Khoze

in 15),p.75

18) 

ARGUS;H.Albrecht

19) 

OPAL;K,Ackerstaff

20) 

L.Wolfenstein:Ann.Rev.Nucl.Part.Sci.,36(1986)137

CLEO;M.Artuso

et al.:Phys.Lett.,B192(1987)245 et

al.:Phys.Rev.Lett.,63(1989)2233 et

al.:Z.Phys.,C76(1997)401,417

C.Sachradja:Heavy

Flavor

Interactions,July

1997,Hamburg,Germany

21) 

E691;L.Louis:Phys.Rev.Lett.,56(1986)1027

22) 

J.S.Hagelin:Nucl.Phys.,B193(1981)123

S.McHugh:Proc.ⅩⅩⅣ

L.L.Chau:Phys.Rep.,95(1983)1

Physics,ⅩⅧ

Int.Conf.High

Int.Symp.on

Energy

Lepton

Conf.,Heidelberg,1989

and

Photon

23) 

T.Inami

24) 

F.Gilman

and

C.S.Lim:Prog.Theor.Phys.,65(1981)297;65(1982)1772

25) 

P.J.Franzini:Phys.Rep.,173(1989)1

26) 

M.K.Gaillard

27) 

A.Buras

28) 

A.J.Buras

29) 

C.S.Kim

and

M.Wise:Phys.Rev.,D27(1983)1128

and and

B.W.Lee:Phys.Rev.,D10(1974)897

J.-M.Gerard:Phys.Lett.,B203(1988)272

K.R.Schubert:Prog.Part.Nucl.Phys.,21(1988)3 et

al.:Nucl.Phys.,B245(1984)369;B347(1990)491

et

al.:Phys.Rev.,D42(1990)96

P.Langacker:UPR-0468T,Talk Sci.and

at

Symp.on

TeV

Phys.,at

China

Center

of

Ad.

Tech.,May,1990A

30) I.A.Sanda:Task

Force

Report

on

Asymmetric

B-Factory

at KEK,Feb.28,1990,p.

86 31) 

A.Pich:CERN-TH High

32) 

Physics

B.Winstein

and

A.Buras 33) 

7114/93,CP

Energy

et

L.Littenberg

J.Ellis

at

ICTP

Summer

School

in

1993

L.Wolfenstein:Rev.Mod.Phys.,65(1993)1113

and

C.Valencia:Ann.Rev.Nucl.Part.Sci.,43(1993)

et al.:Phys.Rev.Lett.,71(1993)3914 and

J.S.Hagelin:Phys.Lett.,B192(1987)201

J.Rosner:The

Cabbibo-Kobayashi-Maskawa

decays",World 35) 

Violation,Lecture

Cosmology,ICTP,Trieste,Italy,June

al.:Nucl.Phys.,B423(1994)349

D.H.Harris 34) 

and

BNL-E787;M.S.Atiya S.Adler

et

et

L.Littenberg:Phys.Rev.,D39(1989)3322

37) 

A.J.Buras:Phys.Lett.,B333(1994)476

38) 

K.Hanagaki:Ph.D.Thesis,O'saka

39) 

Y.Azimov

et

A.Buras

which

appeared

in"B

et and

al.:Phys.Rev.Lett.,64(1990)21

al.:Phys.Rev.Lett.,79(1997)2204

36) 

40) I.I.Bigi

Matrix

Scientific,Singapore,1991,ed.S.Stone

Univ.,August,1998

al.:Yad.Fiz.,45(1987)1412

al.:Nucl.Phys.,B238(1984)529 A.Sanda:Nucl.Phys.,B193(1981)85;B281(1987)41

41) 

D.London

and

42) 

M.Gronau:Phys.Rev.Lett.,63(1989)1451

R.D.Peccei:Phys.Lett.,B223(1989)257

43) 

M.Gronau

44) 

T.Kamitani:Task

B.Grinstein:Phys.Lett.,B229(1989)280 and

D.London:Phys.Rev.Lett.,65(1990)3381 Force

Report

on

Asymmetric

B-Factory

at

KEK,Feb.28,1990,

p.145 45) 

CLEO;D.Besson CUSB;K.Han

46) 

et al.:Phys.Rev.Lett.,54(1985)381;67(1991)1698 et

H.Ozaki:Task

al.:Phys.Rev.Lett.,55(1985)36

Force

Report

on

Asymmetric

B-Factory

at

KEK,Feb

28,1990,p.

185 47) 

T.Browder:ⅩⅩⅠ High

48) 

Energies,August

International

Symposium

11-16,2003,Fermilab

B.Winstein:Phys.Rev.Lett.,68(1992)1271

on

Lepton

and

Photon

Interactions

at

49) I.I.Bigi

and

in"CP 50) 

A.T.Sanda:On

Violation"文

R.N.Mohapatra:CP

Spontaneou

CP

Violation

Triggered

by

Scalar

Bosons,

献15),p.362 Violation

and

Left-Right

Symmetry,in"CP

Violation"文

献

15),p.384 51) 

G.'t

52) 

R.D.Peccei:"The

Hooft:Phys.Rev.Lett.,37(1976)8;Phys.Rev.,D14(1976)3432

53) 

A.D.Sakharov:Pisma Lett.,5(1967)24

Strong

CP

Problem"in

Zh.Exp.Teor

CP

Violation,文

Fiz.,5(1967)32,English

献15),p.503 Translation

JETP

3 ヒ

  ヒ ッ グ ス は,対 GWS理

ッ

グ

ス

称 の 自発 的 破 れ を 引 き起 こ す 機 構 の 鍵 を握 る粒 子 と し て,

論 の 要 をな す 粒 子 で あ る.し か し,対 称 性 を破 る 力 学 的 原 因 が 不 明 な

の で,GWS理

論 の理 論 と して の 弱 点 が 集 中 して い る と こ ろ で も あ る.ゲ ー ジ

セ ク ター 側 は,ヒ

ッ グ ス の役 割 は質 量 を付 加 す る だ け の こ とで,質

えば 後 は 関 知 しな い とい う態 度 を とっ て い る の で,ヒ は ゲ ー ジセ ク ター か らは得 られ な い.ヒ

量 さえ も ら

ッ グ スに 対 す る手 が か り

ッグ ス粒 子 の質 量 を決 め る 手 が か りは

き わめ て 薄 弱 で あ る.ま た フ ェル ミオ ン の質 量 を決 め るの に,粒 子 の数 だ け パ ラ メ ター(結 合 定 数)が 必 要 とい うの は,統 一 理 論 と し て は は な は だ 不 満 で あ る.逆 に い う と,現 在 す べ て の 実 験 事 実 を 矛 盾 な く説 明 して,欠 点 の な い よ う に 見 え る標 準 理 論 に,綻

び が あ る とす れ ば そ れ は ヒ ッ グス セ クター で見 つ か る

こ とは ほ ぼ 確 実 で あ る と思 わ れ る.そ れ ゆ え に こ そ ヒ ッ グ ス粒 子 を発 見 し ヒ ッ グ ス機 構 の 仕 組 み を解 明す る こ とが 肝 要 で あ る.   こ の 章 で は ヒ ッ グ ス粒 子 の 性 質,質 量 の 許 容 範 囲,発

見 法1),そ して ヒ ッ グ

ス 粒 子 を発 見 で き なか っ た場 合 の 戦 略 を議 論 す る.ま た,超 対 称 ヒ ッ グス の 可 能 性 に つ い て もふ れ る.

3.1  ヒ ッ グ ス 粒 子 の 相 互 作 用

  3.1.1  ラ グ ラ ンジ ア ン   GWS理

論 の ラ グ ラ ン ジ ア ンか ら,ヒ ッ グ ス粒 子 の 関 わ る と こ ろ を抜 き出 し

て 書 き下 ろす.共

変微分 を

(3.1) と し て,

(3.2) (3.3a) (3.3b) (3.3c) (3.3d) と な る.こ の 式 か ら わか る よ うに ヒ ッ グ ス粒 子 の結 合 の 強 さ は 結合 す る相 手 の 質 量 に 比 例 す る.ヒ グ ス の 質 量(の

ッ グ ス 粒 子 の 自己 相 互 作 用 の 強 さ を表 す 量 λ も また ヒ ッ

自乗)に 比 例 す る.λ は 未 知 の パ ラ メ ター で あ り,し たが っ て

ヒ ッ グ ス粒 子 の 質 量 も未 知 で あ る.ヒ ッ グ ス粒 子 の相 互 作 用 に 関 す る フ ァ イ ン マ ン 規 則 を図3.1に

示 す.

  3.1.2 

ー

  a. 

崩 壊

モ

ド

フ ェ ル ミ オ ンヘ の 崩 壊

  ラ グ ラ ン ジ ア ン が 与 え ら れ て い る か ら,2個

の フ ェ ル ミ オ ンヘ 崩 壊 す る 行 列

要 素 が 書 き 下 ろ せ る.

(3.4) これ か ら崩 壊 幅 は容 易 に 計 算 で き て

(a)

(c)

(b)

(e)

(d)

図3.1 

ヒ ッ グ ス相 互 作 用 の フ ァイ ン マ

ン 則.gW=e/sin

θW,gZ=gW/cosθW=e/ sinθWcosθW (a)  は フ ェ ル ミ オ ン,(b), (c)はW,(d),(e)はZと の 相 互 作 用 を 表 し,(e), (f)は

(f)

(e)

自 己 相 互 作 用 で あ

る.

(3.5) レ プ ト ン に 対 し て はNc=1,ク さ が 質 量 に 比 例 す る た め,ヒ

ォ ー ク に 対 し てはNc=3で

あ る.結

合 の大 き

ッグ ス粒 子 の フ ェ ル ミオ ン崩 壊 は エ ネ ル ギー 的 に

許 さ れ る 範 囲 で 最 も 大 き な 質 量 を も つ フ ェ ル ミオ ン 対 へ 崩 壊 す る モ ー ドが 優 勢 で あ る.す

な わ ちmH<2mWで

は,H→bbが

最 も優 勢 と な る.

  b.  ボ ソ ンヘ の 崩 壊   ヒ ッ グ ス の 質 量 が2mW,2mZを へ 崩 壊 す る 行 列 要 素 は,(3.2)の

超 え る と き は,W,Z対 第3行

を参 照 し て

へ 崩 壊 で き る.W

(3.6) こ れ か ら,横 偏 極(λ=±)と

縦 偏 極(λ=3)のW対

へ の 崩壊 幅 は,

(3.7a) (3.7b)

(3.7c) (3.7d) と求 め られ る.こ れ か ら,mH≫mWな れ るW対

は 縦 偏 極 のWが

ら ば,ヒ

ッグスの 崩壊 に よって生 成 さ

優 勢 で あ る こ とが わ か る.Zへ

の 崩 壊 も同様 に し

て,

(3.8) Wへ

の 崩 壊 と2だ け の 因 子 分 異 な る が,こ

因 子 で あ る.mH≫mZに

れ は 同 一 粒 子 に対 す る ボ ー ス統 計

対 して,Γ(H→WW)≒ZΓ(H→ZZ)で

あ る.

  c.  ヒッ グ ス の 崩 壊 分 岐 比   上 記 の 崩 壊 幅 の 計 算 をす べ て の 可 能 な 崩 壊 モー ドにつ い て行 え ば,ヒ 粒 子 の 崩 壊 モ ー ドの 分 岐 比 が計 算 で き る.mH<2mWな はbbで

あ る.mH>2mWな

ソ ン で あ る.図3.2に ∼160GeV付

らば,主 要 崩 壊 モ ー ド

ら ば 主 要 崩 壊 モ ー ドはWWとZZの 崩 壊 幅ΓH,分

近 でH→ZZの

ッグス

岐 比BRをmHの

ベ ク トル ボ

関 数 と して 描 く.mH

分 岐 比 が 減 少 す る の は,WW生

成 の しきい値

効 果 で あ る.

3.2 

  3.2.1 

ヒッ グ スの 質 量

放 射 補 正 デ ー タ か らの 推 定

  ヒ ッ グ ス がLEPII(  き て い な い と い う事 実 か ら,質

のe+e-コ

ラ イ ダ ー)で

量 値 はmH〓114.4GeV(95%CL)と

これ まで発 見 で い う条 件

(a) 図3.2 

(b) ヒ ッ グス 粒 子 の 崩 壊 幅 と分 岐 比 (a)  ヒ ッ グ ス粒 子 の 崩 壊 幅 のmH依

存性

(b)  ヒ ッ グ ス粒 子 の 崩 壊 モー ドの 分 岐 比

が つ い て い る2,3).そ れ 以 外 の 質 量 情 報 は放 射 補 正 に 対 す る効 果 か ら得 ら れ て, ヒ ッ グ ス質 量 の 推 定 値 を 引 き 出 す こ とが で き る.Z崩

壊 幅 な どの 精 密 測 定 を

す る こ と に よ りsin2θWや 中 性 カ レ ン ト/荷 電 カ レ ン ト結 合 定 数 比 ρ を決 め, トップ の 質 量175GeVを は,Ⅱ-§7.3を

入 れ,ヒ

ッ グ ス 質 量 に つ い て 解 くの で あ る(詳 し く

参 照).

(3.9)

(3.10a) (3.10b) どの 実 験 値 を どれ だ け の重 み を入 れ て解 くか で 答 が か な り変 わ る.ヒ ッ グス粒 子 の 寄 与 は対 数 的 に しか 変 化 しな い の で,質 量 変 化 に よ る放 射 補 正 の 変化 が わ ず か で あ り,mHの

推 定 に は数 値 的 に は大 きな 不 定 性 が あ る.逆 に い う と現 時

点 で の デ ー タ か ら決 め られ る質 量値 は,ま だ 流 動 的 で不 定 性 が 大 きい.図3.3 (b)にLEPデ

ー タ を 総 合 的 に 使 用 し て,最 適 化 し た 曲 線 の 質 の よ さ(X2値)

をmt,mHの

関 数 と して 示 す4).ヒ ッ グ ス粒 子 に許 さ れ る範 囲 内 で の質 量 下 限

値 に 近 い と こ ろが 最 適 値 で あ るが,mH〓1TeVは が 決 め た トッ プ の 質 量 値mt=175±20GeV5)を

十 分 許 容 範 囲 で あ る.CDF 初 期 条 件 と し て 入 れ れ ば,

ヒ ッ グ ス の質 量 につ い て は も う少 し制 限 が つ き,1σ で

(3.11) と推 定 で き る(図3.3(a)),95%信

頼 度 上 限 値 は1.1TeVで

(a) 図3.3 

あ る6)*1).

(b)

トッ プ と ヒ ッ グ ス を考 慮 した放 射 補 正 式 を,精 密 デー タ で 最 適 化 して 得 られ るX2曲 (a)  LEPな (b)  mt,mHを

ど電 弱 相 互 作 用 デ ー タ を総 合 し,mt=165GeVに 独 立 パ ラ メ ター とす るX2の2次

線

固 定 した と きのmH-X2曲

線6)

元 平 面 で の 曲 線4)

  3.2.2  理 論 的 下 限   上 に 述 べ た よ う に,ヒ が,ト

ッ グ ス の 質 量 は 数 百GeV以

下 で あ る可能 性 が あ る

ップ 質 量 を推 定 した と きほ どの信 頼 性 は な い の で,以 下 で は,こ れ に 縛

られ ず に 議 論 をす る.   ヒ ッ グ ス粒 子 の 質 量 に 対 す る 下 限 条 件 の 一 つ は,真

空 の 安 定 性 よ り得 られ

る.対 称 性 が 自発 的 に破 れ る ため に は,一 定 の 条 件 が つ い て い た.す

な わ ち,

λ>0で あ る こ とが ヒ ッグ ス ポ テ ン シ ャ ル

(3.12a)

*1)  最 近 で は る3).

,mH=83∼140GeV,95%信

頼 度 上 限 値 は〓360GeVと

一 層 きつ く な っ て い

(3.12b) が 

に お い て最 小 値 を もつ こ と を保 証 して い た.し か し,そ れ は

トリー 近 似 の 範 囲 で あ り,量 子 補 正 を入 れ る と条 件 が変 わ る.ヒ 伝 播 関 数 に ル ー プ 補 正 を入 れ た と き の 結 合 定 数 λの 変 化 は,繰

ッグ ス 粒 子 の り込 み 群 方 程

式 に よ っ て 次 式 で 与 え られ る1).

(3.13)

(3.14) こ こ に,τ=ln(Q2/Q02), ,gBはU(1)結

合 定 数 で あ り,ト

ォ ー ク 以 外 の 軽 い ク ォ ー ク の 寄 与 は 無 視 し た.λ 関 数 で あ る.も

と も との λ はQ=Q0(=υ)で

を 入 れ た 結 果,ポ

い .簡

単 の た め,h,gW,gBのQ2依

の 値 で あ る と見 な せ る.放

初 期 値 λ0=λ(Q0)の

射 補正

の 真 空 期 待 値υ

も また

期 待 値 と定 義 し 直 さ な け れ ば な ら な

存 性 を 無 視 す れ ば,β(λ)はλ

あ り 二 つ の 根 λ± を も つ.4mt4>2mW4+mZ4に

(3.13)の

は も は や 定 数 で は な く,τ の

テ ン シ ャ ル は 変 更 を 受 け る の で,φ

ポ テ ン シ ャ ル の 極 小 値 を 与 え る φ=φcの

ップ ク

の2次

関数で

対 し て は,λ-<0<λ+で

大 小 す な わ ち,λ0>λ+,ま

た は,0<λ0<λ+に

あ る. 応 じ て,

解 は 次 式 で 与 え ら れ る.

(3.15a) (3.15b)   0<λ0<λ+な

らば,β(λ)<0で

あ る の で,Qを

大 き く して い く と あ るQ=

Λ

で λ<0と な る.こ の と き,ポ テ ン シ ャ ル は φの 大 き い と こ ろ で 負 と な り,極 小 値 を もた な い.す 領 域 で,λ>0を

な わ ち 真 空 は 不 安 定 とな る.も っ と もQの

すべ ての変数

要 求 す るの は きび しす ぎ るか も しれ な い.な ぜ な ら,そ

も出 発 点 の ラ グ ラ ン ジ ア ン で す らQの け で は な い か らで あ る.そ

こ で,ラ

もそ

全 領 域 で の 有 効 性 を保 証 さ れ て い るわ

グ ラ ン ジ ア ン の 適 用 有 効 限 界 をQ<Λ

しそ の 範 囲 内 で 真 空 の 安 定 を要 求 す る と,Λ に 依 存 す る λ の 下 限,し

と

たが っ

て ヒ ッ グ ス質 量 の下 限 が 存 在 す る.こ の下 限 の 概 略 値 を簡 単 に 見 る に は λ>λ+

と 設 定 す れ ば よ い.λ0>λ+な

ら ば β(λ)>0で

あ る の で,λ>0は

る.し

た が っ て,

は,真

空 が 安 定 す る た め の 十 分 条 件 で あ る.た だ し,あ

保証 され てい

(3.16) とな って 摂 動 的 取 扱 い は破 綻 す るの で,Q〓Λ

るQ=Λ

で,λ → ∞

で は新 現 象 が起 き る と しな け れ

ば なら な い.以 上 は 定 性 的 な議 論 で あ る.実 際 の 真 空 安 定 条 件 は,Λ 与 え て,gW,gB,hを 図3.4に

の値 を

含 む 繰 り込 み 群 連 立 方 程 式 を数 値 的 に 解 い て 得 られ る.

初 期 の 計 算 例 を示 す7).右 側 の 斜 め に 走 る 直 線 が ヒ ッ グ ス の 質 量 の 下

限 値 を与 え る.

図3.4

 真 空 の 安 定 性 か ら く る条 件(斜 め の 線)と ト リヴ ィア リテ ィ条 件(横 の 線) に よ り,ヒ ッグ ス の 質 量 と トッ プ の 質 量 は 各 線 の 下 側 か つ 左 側 に 限 られ る. 各 線 に あ る値 は切 断Λ の 値 で あ る7).

  以 上 の 議 論 は,摂 動 の 最 低 次 の 閉 ル ー プ の み を入 れ た繰 り込 み群 方 程 式 に 基 づ く.さ らに 高 次 の 閉 ル ー プ を と りい れ て 精 密 化 して も,定 性 的 な 話 の 筋 道 に 変 わ りは な い.た だ し,数 値 的 に は 初 期 の 議 論 か らか な り変 わ っ て き て お り,

例 え ば 真 空 の 安 定 性 の 議 論 か ら は,Λ

∼1015GeVに

対 し,

(3.17) を 得 て い る8).も

っ と も こ の 制 限 は き つ す ぎ る と い う 考 え 方 も あ る.真

安 定 で あ っ て も 崩 壊 寿 命 が 現 在 の 宇 宙 年 齢(≒1010年)よ

空が不

り長 け れ ば よ し と す

れ ば9),

(3.18) と な り,制

  3.2.3 

限 は ず っ と緩 く な る.

理

論

的 上

限

  a.  ユ ニ タ リテ ィ   ヒ ッ グ ス の 質 量 は無 制 限 に は 大 き くな れ な い.最

も簡 単 な議 論 は ト リー レベ

ル の 散 乱 振 幅 の ユ ニ タ リテ ィか ら くる.そ の た め に ゲー ジ ボ ソ ン特 にWの 乱 振 幅 を考 え よ う.WWの

弾 性 散 乱 の フ ァ イ ンマ ン 図 を図3.5に

散

示 す.

  ゲ ー ジ不 変 性 が 成 立 して い る と,種 々 の グ ラ フ が相 殺 し て無 限大 の発 散 をた か だ か 対 数 発 散 に と どめ る.例 え ば,散 乱 振 幅 の部 分 波 でs2に 比 例 す る項 は 図3.5の

ゲー ジ ボ ソン の グ ラ フが 互 い に相 殺 し合 い,sに

ボ ソ ン と ヒ ッ グ ス を 交 換 す る項 が 相 殺 し合 うの で,残 と な る. 

比 例 す る項 は ゲ ー ジ る は た か だ かIn s程 度

で優 勢 と な るの は ヒ ッ グ ス を仲 介 とす る過 程 で あ り,

そ の 振 幅 は近 似 的 に次 式 で 与 え られ る10).

(3.19) 部分 波に分解 すれ ば

(3.20) で あ る の で,mH2≫mW2と

してa0を

求め れば

(3.21) 十 分 高 エ ネ ル ギー で は 第1項

が優 勢 で あ る.ユ

ニ タ リテ ィ か ら￨a0￨≦1が 要 求

さ れ るの で,

(3.22)

(a)(b)(c)

(d)(e)

(f)(g) 図3.5 

を 得 る.WLWL,

ZLZL,

減 少 因 子 が 得 ら れ る.す

W-W+散

HH,

乱 にお け るZ0, γ,H0仲

HZL散

介 グラフ

乱 の 複 合 系 と し て 解 く と,さ

ら に2/3の

なわ ち

(3.23) ボル ン近 似 は 実 数 で あ るの で,￨Rea0￨≦1/2を 良 され て ∼700GeVと

の値 は さらに改

な る.

  ま た別 の議 論 と して は,ヒ くもmH>ΓHが

考 慮 す れ ば,上

ッ グス が素 粒 子 で あ る と解 釈 で き るた め に は少 な

必 要 で あ る と要 求 す る.条 件

(3.24) か ら はmH<1.4TeVと 2λυ2=2λ ×(250GeV)2で

な る.し

か し,こ

の く ら い 質 量 が 大 き く な る とmH2=

あ る の で,λ が 非 常 に 大 き く な る こ と(λ/4π〓O(1))

を 意 味 す る.つ

ま り,ヒ ッグ ス粒 子 の 自己相 互 作 用 は強 い相 互 作 用 と な る の で

摂 動 論 を 適 用 す る こ とに 疑 問 が で る.オ ー ダー と して1TeVく

ら い よ りは小

さ い で あ ろ う とい うに 留 ま る.   b.  トリヴ ィア リテ ィ(triviality)   今 度 は 別 の 観 点,繰

り込 み群 方程 式 か ら どの よ う な上 限 が 得 られ るか を調 べ

て み よ う.λ が 大 きい 極 限 を議 論 す るの で あ る か ら,(3.13)で 結 合 定 数 の 寄 与 を無 視 す れ ば,次

の 解 が 得 られ る.Q0=υ

λ以 外 の 他 の

と して

(3.25a) こ の 式 の も と と な る ヒ ッ グ ス の 方 程 式 が 摂 動 的 処 方 で 意 味 を も つ た め に は, λ(Q)は

有 限 で な け れ ば な ら ず,そ

と な る.す

な わ ち,ヒ

ッ グ ス の 従 う 方 程 式 は,相

な け れ ば な ら な い.こ る.上

の 場 合 はQを

の こ と を さ し て"無

大 き く し て い く と,λ(υ)=0 互 作 用 の な い 自由場 の 理 論 で

意 味 な(=trivial)"と

い うので あ

式 を書 き直 せ ば

(3.25b) で あ る か ら,十

分 大 き いQに

対 し て 分 母 が0と

な り(Landau

pole),λ

は発

散 す る.す

な わ ち,Qの

非 常 に 大 き い と こ ろ で は 摂 動 論 が 成 立 し な い.こ

こ と はQが

あ る 値Λ

を 超 え た と こ ろ で は 新 現 象 が 起 き て い る こ と を 示 す.す

な わ ち,ヒ 効"方

ッ グ ス の 満 た す 方 程 式 は,低

エ ネ ル ギ ー(Q〓Λ)で

の み 有 効 な"実

程 式 と 見 な さ な け れ ば な ら な い こ と を 示 し て い る.Q〓Λ

有 限 で あ る場 合 の λ(υ)最 大 値 は,(3.25a)で

λ(Q)=∞

の

で,λ(Q)が

と し て 得 ら れ る か ら,

(3.26) こ こ で,Λ=Mplanck〓1019GeVと

い う 大 き な エ ネ ル ギ ー ス ケ ー ル ま で λが 有

限 で か つ 小 さ い と 要 求 す る と,mH<150GeVを 定 の 仕 方 に は ほ と ん ど よ ら な い.λ(Q)=∞ 値 的 に は ほ と ん ど 同 一 で あ る.こ こ ろ で 大 統 一 が あ る と し,そ

得 る.こ

の 値 は,λ(Q)の

の 代 わ り に λ(Q)=1を

の こ と は 興 味 深 い.も

使 っ て も数

しエ ネ ル ギー の 高 い と

こ ま で 何 も 新 現 象 が な い と す る と,ヒ

量 は 軽 く な け れ ば な ら な い こ と を 意 味 す る.後

設

ッ グ スの 質

で議 論 す る超 対 称 理 論 は これ に

該 当 す る.逆 に い う と,ヒ ッ グ ス粒 子 の 質 量 が 大 きい と きは 新 現 象 が 比 較 的 低 い エ ネ ル ギー 領 域 に 存 在 す る こ とを 意 味 す る.も

し,比 較 的 低 い エ ネ ル ギー で

新 現 象 が 起 き る と して も,ヒ ッ グ ス粒 子 は 存 在 す る とい う条 件,す <Λ

をつ け る と,mH〓800GeVと

変 え た と き に,ヒ

な る.図3.4の

な わ ちmH

横 に 走 る 曲 線 は,Λ

の値 を

ッ グ ス粒 子 の質 量 上 限 が ど う変 わ るか を示 して い る.真 空 の

安 定 性 と トリヴ ィ ア リテ ィの 議 論 か ら は,mHの の 下 お よ び 左 側 で あ り,Λ

許 さ れ る値 は 図 で示 す 折 れ 線

を ど こ に と るか で 変 わ る.mt=175GeVと

し,新

現 象 は 大 統 一 ス ケ ー ル エ ネ ル ギー ま で 存 在 し な い と い う仮 定 を 入 れ る と150 GeV〓mH〓200GeVと

な り,ヒ ッ グ ス粒 子 の 質 量 に対 す る制 限 は か な り きつ

い こ とが わ か る.こ の値 が 放 射 補 正 か ら導 い た ヒ ッ グ ス質 量 推 定値 とそ れ ほ ど 違 わ な い の は 興 味 深 い.   これ まで は,λ が 大 きい とこ ろ で は新 現 象 が起 き る とい う設 定 で 議 論 を して きた.こ

の仮 定 は正 しい で あ ろ うか? 

λが 大 き くな る と い う こ とは,単

に摂

動 的 取 扱 い が破 綻 す る とい う こ とで あ り,必 ず し も新 現 象 を意 味 しな いか も し れ な い.こ の 場 合,Q>ΛNTでλ ΛNT
が 大 き くな っ て 摂 動 論 が 破 綻 す る とす れ ば,

は,新 現 象 は起 きな い が 非 摂 動 的 取 扱 い が 必 要 と さ れ る領 域 で あ

る.こ の よ うな領 域 が あ る か ど うか は非 摂 動 的 手 法 の格 子 ゲ ー ジ理 論 で 調 べ る こ とが で き る.こ の 場 合 は 格 子 間 隔 が 実 質 的 な切 断Λ の役 割 を演 じ る.格 子 ゲー ジ理 論 の枠 内 で,上

で行 っ た と同 じ論 理 構 成 で計 算 をす る と,ヒ ッ グ ス粒

子 の 質 量 上 限 は,MH<750GeVと <Λと

い う結 果 が で て お り11),ど うや らΛNT
い う非 摂 動 的 取 扱 い の 必 要 な領 域 は 存 在 し な い.す

な わ ち,摂 動 論 で

扱 っ た繰 り込 み群 方 程 式 の 結 論 は そ の ま ま信 用 し て よ さ そ うで あ る.し た が っ て,も

し ヒ ッ グ ス 粒 子 が 質 量〓1TeVで

見 つ か らな か っ た な らば,標

準理 論

を越 え る新 しい新 現 象 が その へ ん の エ ネ ル ギー 領 域 で見 つ か るは ず で あ る.す な わ ち,ヒ

ッ グ ス粒 子 を発 見 す る た め の 作 戦 を練 る と きは,mH〓1TeVと

う条 件 を課 して よ い.た

だ し,mH〓1TeVは

囲 の 最 大 値 で あ り,最 適 予 想 値 で は な い.Z0崩 み群 に よ る 予 想 で は,ヒ

い

ヒ ッ グ ス質 量 の合 理 的 な 許 容 範 壊 の 精 密 デ ー タ解 析,繰

り込

ッ グ ス の質 量値 は 相 当低 い と こ ろ に あ る とい うこ と を

留 意 して お く必 要 が あ る.   以上 の 議 論 か ら,ヒ

ッ グス の 質 量 の 大 小 を 問 う こ とは,新 現 象 の あ り方 に 直

接 関 わ る重 要 な 設 問 で あ る こ とが わ か る.ヒ

ッ グス を発 見 し質 量 の 値 を決 め る

こ との 重 要 な理 由 は こ こ に あ る.他 方 に お い て は,ヒ 方 法 は ヒ ッ グ ス の 質 量 に依 存 す る.ま たeeコ

ッグ ス の 生 成 機 構 や 検 出

ラ イ ダー か ハ ドロ ン コ ラ イ ダー

を使 うか で も多 少 異 な る の で,以 下 は 順 を追 っ て ヒ ッグ ス の検 出法 の 解 説 をす る.

3.3 

  3.3.1

ee反

ヒッ グス粒 子 の 生 成

応 に よ る生 成

  a.  ee→HZ   ヒ ッ グ ス 粒 子 の 質 量 が 小 さ け れ ば(<2mZ), で, 

(Z*は

な ら ば,  が,検

(Zは

出 に 有 利 な モ ー ドで あ る(図3.6).

の 制 動 放 射 と い う.(3.27)の

崩 壊 率 は 小 さ い が,Z0共

図3.6 

e+e-反

で は仮 想Zを

(3.27) (3.28)

反 応 をZに

よ るヒッグス

鳴 で はZ0粒

子 が 多量

分 崩 壊 率 は1,12)

(b)

(a)

(a) 

実 粒 子) 

(3.28)の

に つ く られ る の で 十 分 使 え る チ ャ ネ ル と な る.微

仮 想 粒 子) 

(c)

応 にお け る ヒ ッ グ ス粒 子 生 成 メ カ ニ ズ ム(Z*は

仲 介 す る.反 応e-e+→H0Z*→H0llはmH<60GeVの

仮 想Z) と きに 有 効 な

方 法 で あ る. (b) 

で 使 え るチ ャ ネ ル はe-e+→H0Z0で60<mH〓100GeVの

と きに 有 効 な 方

法 であ る. (c) 

で は,WW融 る.

合 に よ る生 成 が 優 勢 で あ る.mH>100GeVの

と きに 有効 な方 法 で あ

(a) 図3.7 

(a)  e+e-→HZ*→Hll生  

成 断 面積 のm(l+l-)依

で あ る の でZ*は

  μ=mH/mZを0.05∼0.7ま くな る12). (b) 

(b)

で のe+e-→HZ生

存性.

仮 想粒 子 で あ る. で変 え た.ヒ

ッ グ ス質 量 が 大 き くな る と断 面 積 は 急 速 に小 さ

成 断 面 積.Zは

実 粒 子 と して 生 成 さ れ る.

(3.29) x, zの

範 囲 は,2z≦x≦1+z2で

大 き くす る か ら,muは

与 え ら れ る.分

母 の小 さ い と こ ろが 崩 壊 率 を

な る べ く大 き くな ろ う と し,

の とこ ろ が 極 大 に な る(図3.7

(a)).原 理 的 に はmH<mZの

ス粒 子 の 探 求 が 可 能 で あ るが,mH→mZに

範 囲 での ヒッグ

近 づ く と生 成 率 が 急 速 に減 少 し,

多大 の ル ミ ノ シ テ ィが 必要 で あ る こ とが この 図 か らわ か る.LEPI( 

)

の実 験 で は,こ の 方 法 に よ る検 出 で ヒ ッ グ ス粒 子 の 質 量 値mH<60GeVの 能 性 は 完 全 に 除 外 さ れ て い る3).mH>60GeVの ドの 方 がHllモ

ー ドよ り優 勢 とな るが,分

と きはZ0→Hγ

の 崩 壊 モー

岐 比 は10-6と 小 さ い の で,Zに

る制 動 放 射 反 応 を使 う方 が 有 利 で あ る.   b.  Zに

よ る制 動 放 射

  LEP200

(LEP増

強 計 画; 

制 動 放 射 す る 過 程(図3.6

)で は  (b))が

可 能 と な る.事

可

で あ り,ZがHを 象 の 識 別 は,Z→ll,

よ

qq(2-ジ

ェ ッ ト)の 不 変 質 量 がZに

と き は"見

等 し く な る こ と を 要 求 す る か,Z→νν

え な い エ ネ ル ギ ー+H0か

ら の 崩 壊 生 成 物 で あ る ジ ェ ッ トの 一 つ"

を 要 求 す る こ と に よ っ て 得 ら れ る.ヒ り計 算 で き る.こ

の

ッ グス の 質 量 は運 動 量 変 数 の再 構 築 に よ

の 断 面 積 は 次 式 で 与 え ら れ る13).

(3.30a) (3.30b)

￨k￨は 重 心 系 で の ヒ ッ グ ス 粒 子 の 運 動 量 で あ る.こ ると 急 速 に 立 ち 上 が り,  mH(GeV)く 114GeV

で 最 大 と な る.σmax/σpoint(μ μ)∼47/

ら い で あ る(図3.7 (95%CL)が

(b)).結

局,LEPIIで

似

大 き く 超 え, 

も 大 き く な る と,Zの

ク トル ボ ソ ン に よ る 融 合(e+e-→e+e-V*V*→e+e-H, (c)の

過 程)が

制 動 放 射 よ りは ベ V=W,

Z:図3.6

優 勢 と な る(図3.8).

図3.8  e+e-反 低 エ ネ ル ギー で はe+e-→HZ0(一 ZZ(ダ

は 見 つ か ら ずmH>

得 ら れ て い る3,14).

  c.  ボ ソ ン 融 合 と 等 価W近   mH>100GeVを

の 断 面 積 は し き い値 を超 え

応 で の ヒ ッ グ ス生 成 全 断 面 積 の依 存 性15) 点 鎖 線)が 優 勢 で あ るが,高 エ ネ ル ギ ー で はWW(実

ッ シ ュ線)融 合 反 応 が 大 き い.

線),

  ボ ソ ン 融合 生 成 に関 して は,ト

リー 近 似 で解 析 的 に正 確 な式 が 求 め られ て い

るが15),直 観 的 に理 解 しや す い等 価W近

似(effective

方 法 で もか な り精 度 の よ い(誤 差〓20%)式

W approximation)の

を与 え る.等 価W近

似 の方 法 と

は ワ イ ゼ ッ カー-ウ ィ リア ム ス近 似 の 適 用 の こ とで,入 射 粒 子 の エ ネ ル ギー が mWに

比 べ て 十 分 高 け れ ば,電 子(ま た は クォ ー ク)はWの

こ のW同

士 が 反 応 を し て ヒ ッグ ス粒 子 を生 成 す る と い う考 え 方 の こ とで あ

る.こ の 場 合,電

子 も し くは ク ォ ー ク は 反 応 に は 寄 与 し な い で,単

給 源 と して の 役 割 を 果 た す.W放 -mW2)の

出 に 伴 い 現 れ るWの

極 に 一 番 近 い と こ ろ(q2〓mW2)の

とす る近 似 で あ り,同 様 の考 察 はQCDの と きに も行 っ た(Ⅱ-第5章

参 照).す

ル ミオ ンの エ ネ ル ギー がWの Wを

雲 を伴 って い て,

似 で あ る.等 価W近

似 に よ るWWの

グ ス粒 子 生 成 に 限 らず,他

のWW反

供

伝 播 関 数 ∼gμν(q2

運 動 変 数 領 域 の 寄 与 が優 勢 で あ る 発 展 方 程 式 を対 数 第1近 似 で導 い た

な わ ち 等 価W近

似 とは,関 与 す る フ ェ

質 量 に対 して 十 分 大 き い場 合,放

実 の 粒 子 とみ な し,か つW放

にWの

出 され る仮 想

出 は ほ ぼ 前 方 に 限 られ る(θ ≒0)と す る近 ル ミ ノ シ テ ィ は,WW融 応(例 え ばWW→WW散

合 に よ るヒッ 乱)に

も使 え

る な ど応 用 範 囲 が広 い.   そ れ ぞ れ エ ネ ル ギー 運 動 量p1, p2を もつ 入 射 電 子 と陽 電 子 が,x1p1, 運 動 量 を もつ2個 とす れ ば,W融

のWを

x2p2の

供 給 す る とみ な し,そ の フ ラ ッ ク ス をF(x1),

合 に よ る ヒ ッ グ ス生 成 の 断 面 積 σ(e+e-→e+e-H)は,ベ

トル ボ ソ ン融 合 反 応 素 過 程 の 断面 積σ(VV→H;s)を

F(x2) ク

使 って

(3.31a) (3.31b) と 書 け る.mH2≫mW2と

す れ ば,σ(VV→H;s)は,τ=mH2/sと

して

(3.32) で あ る か ら,こ

れ を(3.31)に

入 れれば

(3.33a)

と な る.こ

こに

(3.34) は,e+e-が

提 供 す るWW反

応 の ル ミ ノ シ テ ィ で あ る.(3.7)を

入 れ て 書 き直

す と,

(3.33b) とな る.   運 動 量pを

もつ 粒 子Aが

に な る と き,放

運 動 量xpを

出 さ れ るBの

もつ 粒 子Bと(1-x)pを

もつ 粒 子C

相 対 フ ラ ッ ク ス を求 め る 方 法 はⅡ-付 録C. 6に

与 えて あ る.す な わ ち

(3.35) を 計 算 す れ ば よ い.こ と 異 な る.こ

の 式 は,pT2→pΥ2+(1-x)mW2の

れ は,Wが

質 量 を も つ た め,パ

2xp)を(xp+(pT2+mW2)/2xp)と に(e→e+W)の

分 だ け(Ⅱ-(C.

34))

ー ト ン エ ネ ル ギ ー(xp+pT2/

変 更 し た た め で あ る.(3.35)の

中 に具体 的

ラ グ ラ ン ジ ア ン を代 入 す れ ば

(3.36a) た だ し,gvとgAはW,

W粒

Zの

場 合 で 異 な る.

(3.36b)

子: 

Z粒 子 

(3.36c) (3.36d)

を計 算 す れ ば,横 偏 極(の 平均)お

よ び縦 偏 極 の ボ ソ ン に 対 して16)

(3.37a) (3.37b) を 得 る.た

だ し,s≫mW2と

し た.横

偏 極Wの

ル ミ ノ シ テ ィ は,(gV2+gA2)/

(4π)→

α と 置 き 換 え れ ば,電

ウ ィ リ ア ム ス の 式(Ⅱ-(C. (V=W,

Z)反

子 が 与 え る フ ォ ト ン フ ラ ッ ク ス の ワ イ ゼ ッ カ ー-

38))に

な る.(3.34)を

使 っ て,横,縦

偏 極 のVV

応 の ル ミ ノ シ テ ィ を計 算 す る と

(3.38a) (3.38b)   WWの

ル ミ ノ シ テ ィ を 図3.9に

ル ミ ノ シ テ ィ はWWに

示 す17).e+e-コ

ラ イ ダ ー で は,等

比 べ る とず っ と小 さ く 無 視 し て よ い.こ

子 の 結 合 が 小 さ くほ と ん ど0で

あ る こ と に 起 因 す る.ま

ノ シ テ ィ が 縦 偏 極 に 比 べ て 大 き い が,こ

た,横

れ は[ln(s/mW2)]2の

価ZZの

れ は,Zと 偏 極Wの

電 ル ミ

因 子 に よ る.す

なわち

(3.39) これ はWが

質 量0の

フ ェ ル ミオ ン に供 給 され る過 程 に 特 有 な 状 況 で あ る.な

ぜ な ら,縦 偏 極 ベ ク トル はWの

進 行 方 向 をz軸

に と る座 標系 で は

(3.40)

図3.9 

コ ラ イ ダー に お け るWW反 (a)  1個 の 電 子 の 提 供 す る γ, WT(横 (b)  WW反

応 の ル ミノ シ ティ. 

応 の ル ミ ノシ テ ィ(等 価W近

偏 極),WL(縦 依 存 性.

偏 極)の

似)17)

フ ラ ッ クスx=pw/pe

とな り,第1項

は質 量0の

フ ェ ル ミオ ン カ レ ン トを掛 け る と0と な る.こ の た

め 通 常 は 縦 偏 極 に よ る成 分 は 増 大 因 子(∼ ω/mW)と ル ミオ ン に結 合 す る場 合 は 抑 圧 因 子(∼mW/ω)と 偏 極Wに

よ るH生

成 断 面 積 が,横 偏 極Wに

て あ ま りあ る の で,全 体 と して縦 偏 極Wに ラ ッ クス を(3.33b)に

量0の

フェ

な る の で あ る.し か し,縦

よ る断 面 積 よ り も もっ と大 き く

  ,ル

  縦 偏 極 のWWフ

な るの に,質

ミ ノ シ テ ィが 小 さ い 分 を補 っ

よ る生 成 断 面 積 が優 勢 とな る. 入 れれ ば,ヒ

ッ グ ス生 成 断 面 積

(3.41) を得 る18).   d.  横 運 動 量 分 布   kT分

布 を 求 め る に は,式(3.35)ま

量 をkTと

で さ か の ぼ る.ヒ

ッグス粒 子 の横 運 動

す る と,

(3.42) で あ る か ら,d2pT1d2pT2→d2kTd2pT2と

し て,pΥ2に

つ い て の 分 布 が 得 ら れ る.図3.10に  い て,ヒ

￨pT2￨2≒mW2の

寄 与 が 大 部 分 を 占 め る か ら,ヒ

度 で あ り(≒mW2),図3.10の

等 価W近

似 はO(mW2/s)を

よ く な る. 

  3.3.2 

場合 につ

存 性 を 正 確 な 解 析 式 を 用 い た 場 合 と,

似 の 場 合 に つ い て プ ロ ッ トす る19).Wの

たmW程

  eeコ

, mH=200GeVの

ッ グ ス 粒 子 生 成 断 面 積 のkT依

等 価W近

つ い て 積 分 す れ ばkTに

伝 播 関 数 の 影 響 で,￨PΥ1￨2, ッグ ス粒 子 の横 運 動 量 もま

分 布 は そ の 事 実 を 反 映 し て い る.

無 視 す る 近 似 で あ る の で,sの , mH>300GeVで

は 精 度 は5%く

大 き い ほ ど近 似 が ら い に お さ ま る.

ハ ド ロ ン に よ る ヒッ グ ス 生 成 ラ イ ダ ー に よ る ヒ ッ グ ス 生 成 は バ ッ ク グ ラ ウ ン ドが 小 さ く ク リー ン な

信 号 が 得 ら れ や す い.Z→llは

も ち ろ ん の こ と,Z→qqで

ラ ウ ン ドか ら分 離 す る こ と は 可 能 で あ る.し グ ス を 探 求 す る に は,  し い が,近

のe+e-コ

もほ ぼ バ ッ ク グ

た が っ て,mH>100GeVの

ヒッ

ラ イ ダ ー を建 設 す る の が 望 ま

い 将 来 に 実 現 が 可 能 な の は ハ ドロ ン コ ラ イ ダーLHC*2)で

あ る の で,

(a)

図3.10  実 線:正

e+e-反 応 か ら,WW融 合 に よる ヒッグ ス粒 子 生 成 断 面積 の 横 運 動 量 分 布19) 確 な解 析 式,ダ

ッシ ュ 線:等

価W近

似

  ,mH=200GeV

図3.11 

(b)

ハ ドロ ン 反 応 に お け る ヒ ッ グス 生 成 メ カニズム

(a)  グル ー オ ン融 合 (b)  WW(ZZ)融 合,  ,mHの ろ で は(b)が 優 勢 とな る.

以 下 は ハ ドロ ン コ ラ イ ダ ー で の ヒ ッ グ ス 検 出 法 を 述 べ る.ハ で の ヒ ッ グ ス 生 成 は,mHの sお

ドロ ン コ ラ イ ダ ー

小 さ い と こ ろ で は グ ル ー オ ン 融 合(図3.11(a)),

よ び ヒ ッ グ ス 質 量 の 大 き い と こ ろ で はW融

な る.LHCで

大 きい とこ

はmHが900GeV∼1TeVが

合(図3.11(b))が

主過 程 と

境 目 と な る.

  a.  グ ル ー オ ン 融 合   ハ ド ロ ン 反 応 に よ るH生 数 をg(x)と

成 の 断 面 積 は,ハ

ドロ ン の 中 の グ ル ー オ ン 分 布 関

し て 次 式 で 与 え ら れ る20).

(3.43a) (3.43b) 式(3.33)と

比 較 す る と き,(3.43a)の

よ る ス ピ ン お よ び カ ラ ー 因 子 で あ り,そ 統 計 因 子 で あ る.H→ggの

前 に あ る1/4, の 前 の2は

1/64は

グルー オ ン に

同一 粒 子 で あ る こ とに よ る

過程 は

(3.44) *2) LHC (e-e+コ

(Large

Hadron

ラ イ ダ ー,周

を 使 っ て,8テ

ス ラ, 

稼 働 開 始 は2007年

Collider)はCERN(欧 囲22km)ト

州 原 子 核 研 究 機 構)に

ン ネ ル を 流 用 す るppコ を 実 現 し,ル

と予 定 さ れ て い る.

あ る稼 働 中 のLEP

ラ イ ダ ー 計 画.超

ミ ノ シ テ ィ は1034/cm2/secを

伝 導磁石 め ざ す.

と計 算 で き るが,こ

れ は 実 効 的 に は 現 象 論 的 ラ グ ラ ン ジア ン

(3.45) か ら 導 け る と し て よ い.た

だ し,Iは

フ ェ ル ミオ ン ル ー プ の 計 算 か ら 現 れ る 量

で

(3.46) Ijの 値 をλj=mj/mHの い フ ェ ル ミ オ ン,す

関 数 と し て 図3.12に

値 は実 際 的 に は 一 番 重

な わ ち ト ッ プ ク ォ ー ク の 質 量 に よ り影 響 さ れ る.￨I￨2は

〓0 .4で 最 大 値 ∼3.2に λj)4で あ る.す

示 す.Iの

な り,λj〓1でI≒1と

な わ ち,mH≫mtで

な る.λj≪1で

は σeffはほ ぼλj4∼1/mH4で

λj

は,￨I￨2∝(λjlog 減 衰 す るこ と

が わ か る.

図3.12  mfは

  b. 

WW融

gg→Hに

現 れ る ル ー プ 関 数I(λ),

ル ー プ を つ く る フ ェ ル ミ オ ン の 質 量.図

λ=mf/mH

に は￨I￨zを

描 い て あ る.

合

  ハ ドロ ン か ら のWW融

合 に よ る 生 成 断 面 積 は,σ(ee→eeH)の

式(3.31)

で 電 子 変 数 を ク ォ ー ク変 数 に 置 き 換 え た も の に,ク

ォ ー ク ル ミ ノ シ テ ィ を掛 け

て 得 ら れ る16).ハ

応 の ル ミ ノ シ テ ィ は,ハ

ドロ ン 衝 突 で のWTWT,

ロ ン 中 の パ ー ト ン 分 布 関 数 をfi(x)と

WLWL反 すれば

(3.47a)

ド

で 与 え ら れ る か ら,x1x2=τ'と

お く と[…]の

中は

(3.47b) と な る の で,

(3.48a) を定 義 す れ ば,断

面積 は

(3.48b) で 与 え ら れ る.た

だ し,σ(VV→H),

dL/dξ￨qq/VVは,電

子 衝 突 で の 変数 か ら

し か る べ き ク ォ ー ク衝 突 で の 変 数 に 置 き換 え る も の と す る.W融 成 断 面 積 のmH2に の で,s,

mHの

合 に よ る生

よ る減 少 率 は グ ルー オ ン融 合 に 比 べ て ず っ と緩 や か で あ る

大 き い と こ ろ で はWW融

ト ッ プ ク ォ ー ク の 質 量 が 大 き い ほ どWW融 な る.mt≒175GeVを

合 に よ る 生 成 が 大 き く な る.た 合 が 優 勢 に な るmHの

入 れ る と, 

融 合 が 優 勢 で あ る.図3.13に

だ し,

値 は大 き く

で は ほ ぼ 全 領 域 でgg

グ ル ー オ ン 融 合 お よ びW融

合 に よる ヒッグス

生 成 断 面 積 を 示 す21).

図3.13 

ハ ドロ ン コラ イ ダ ー 

に お け る ヒ ッ グ ス粒 子生 成 断面 積21)

(a)実 線:グ ル ー オ ン 融合,(b)ダ ッ シュ 線:WW(ZZ)融 こ の計 算 はtク ォー ク発 見 以前 に な さ れ た の でmt=150,

合,(c)点 線:tt融 合 200GeVと な っ て い る.

 c.  ヒ ッ グス 粒 子 検 出 の 信 号  ee反

応 に よ る ヒ ッ グス の 生 成 に お い て は 雑 音 信 号 が 少 な く,十 分 な信 号 数

さえ 得 られ れ ば,H→jj(j=ジ

ェ ッ ト),llに よ っ て ヒ ッ グ ス を 同定 す る の は

比 較 的 容 易 で あ る.ZHの2体

生 成 で は,Zを

量 の 決 定 が 可 能 で あ る.一 大 き く,信

方,ハ

同 定 す る だ け で もHの

ドロ ン 生 成 の 場 合 はQCDに

不 変質

よ る雑 音信 号 が

号 検 出 に は ヒ ッ グ ス の 質 量 に よ る崩 壊 分 岐 比 の 変 化 な ど を考 慮 し

最 良 の 信 号 対 雑 音 比 が 得 ら れ る よ う な 工 夫 が 必 要 で あ る.よ

っ て,こ

こ で はハ

ド ロ ン コ ラ イ ダ ー に お け る ヒ ッ グ ス 検 出 の 方 法 を議 論 す る.   LHCの

目 標 ル ミ ノ シ テ ィ(L=1034/cm2/sec)が

際 に 運 転 で き る 時 間 を107secと ノ シ テ ィ が 得 ら れ る.断 る.こ

間(実

仮 定 す る)で, 

面 積1pbに

のル ミ

対 し約105個

の ヒッグス粒 子 が生 成 で き

の 数 が 十 分 か ど う か を 以 下 検 討 し よ う.ヒ

ッ グ ス の 崩 壊 モ ー ドが 質 量 に

よ り 異 な る の で(図3.2(b)),検

出 方 法 も ま た 質 量 に よ り 異 な る.LEP

は 見 つ け ら れ な か っ た の で,mH>110GeVの  ⅰ )  110GeV<mH<130GeV  主 と な る が,QCDバ 3.2(b)を

200で

場 合 を 以 下 に 考 慮 す る. mH<2mW以

下 で は,bb崩

壊 モ ー ドが

ッ ク グ ラ ウ ン ドが 大 き い の で こ の モ ー ドは 使 え な い.図

眺 め れ ば,H→

す な わ ち,下

で,2個

実 現 で き れ ば,1年

γγ モ ー ドの 分 岐 比 が ∼10-3あ

り 使 え そ う で あ る.

記の包含 反応

の γ を 捕 ま え て 不 変 質 量Mγ γを 組 み,ヒ

ッ グス 質 量 に相 当 す る鋭 い 山

を 見 つ け る こ と に よ り ヒ ッ グ ス 粒 子 を 同 定 す る.し とす る の で は,QCDに 音 信 号 が あ り,エ

よ る γγ 生 成,QCDジ

成 反 応 を 使 い,Wま

方,qq→WHX, ttHXな た はttか

磁 カ ロ リ メ タ ー)を ど のWやtt対

の モ ー ド で,ヒ

使用

を伴 う生

ら 出 る 孤 立 レ プ トン を 標 識 と し て 使 う モ ー ド

を 使 え ば 雑 音 の 少 な い き れ い な 信 号 が 得 ら れ る が23),こ ら れ る か が 問 題 で あ る.LHCの

の γの み を 信 号

ェ ッ トの γ誤 認 に よ る 大 き な 雑

ネ ル ギ ー 分 解 能 の よ い γ検 出 器(電

す る 必 要 が あ る22).一

か し,2個

の 場 合 は 十 分 な数 が 得

実 験 グ ル ー プATLASとCMS*3)は,こ

ッ グ ス の 質 量 が80∼130GeVま

れ ら

で の 範 囲 な らば 検 出 可 能 と し

て い る24).  ⅱ)  130GeV<mH<800GeV 

ヒ ッ グ ス 粒 子 の 質 量 がmZの2倍

以上 で あ

れ ば,主

た る 崩 壊 モ ー ドはWWお

よ びZZで

モ ー ドは 大 き な 断 面 積 を も つQCDジ

あ る.W,

Zの

ハ ドロ ン へ の 崩 壊

ェ ッ トか ら 分 離 す る の が む ず か し い が,

最 終 状 態 に4個 の 荷 電 レ プ トン の 存 在 す る 崩 壊 モ ー ド を 使 え ば 最 も き れ い な 信 号 が 得 ら れ る22).こ

の モ ー ドは 通 常 黄 金 事 象(gold

plated

events)と

呼ば れ る.

(3.49) こ の モ ー ドへ の 崩 壊 分 岐 比 は1.1×10-3で

あ る の で,信

2組 の レ プ ト ン 対 の 不 変 質 量m(ll)〓mZを に 落 とせ る の が 強 み で あ る.バ →ZZの

要 求 す る こ と に よ り偽 信 号 を 大 幅

ッ ク グ ラ ウ ン ドの 主 要 成 分 は,qqま

連 続 ス ペ ク ト ル 生 成,Zbb,

3.14(a)に,CMSグ

号 数 は 大 き く な い が,

Ztt生

ル ー プ の 予 想 獲 得 信 号 図 を 示 す24).4lモ

は,mH<800GeVが

検 出 限 界 と さ れ て い る.そ

事 実 に 加 え て,mH>800GeVで

た はgg

成 に よ る も の な ど で あ る.図

れ は,信

ー ドの 検 出 で

号 数 が 少 な い とい う

は,幅ΓHが>250GeVと

非 常 に 大 き く な り,

共 鳴 は 鋭 い 山 で は な く緩 や か な 盛 り上 が り程 度 に しか な ら な い の で,確 た 共 鳴 が 見 つ け に く く な る と い う事 情 に よ る.ま

た,こ

固 とし

の よ う な幅 の 広 い 共 鳴

を素 粒 子 と呼 べ る か と い う理 論 上 の 問 題 も 存 在 す る.   mH<2mZで

あ っ て も,H→ZZ*→4l(Z*は

ト ン 崩 壊 は 可 能 で あ る.た

検 証 も 可 能 と な る.こ

0.8テ

大 き い と こ ろ で は,検

出器 の密 閉性 が

え な い運 動 量 を利 用 して ニ ュ ー トリ ノへ の 崩 壊 モー ド の 場 合,Hの

Troidal

Lhc

ス ラ の 超 大 磁 場(中

信 号 は,横

Apparatus 心 部 は2テ

,内(外 ス ラ)を

運動量 分布 の ジャ コビア ン頂

径)が5(10)m,長 も ち,液

さ26mの

体 サ イ ズ は,14×20m,

調 し た デ ザ イ ン で あ る.

12000t.名

空 芯 で,

体 ア ル ゴ ン カ ロ リ メ ター を 使 う

大 型 の 汎 用 測 定 器.全 体 の サ イ ズ は20φ ×44mで,重 量 は6000t. CMS=Compact Muon Solenoid:コ イ ル は3mφ ×14m, 4テ ス ラ,結 を 使 う.全

り は低

ピ デ ィ テ ィ η の 十 分 大 き な と こ ろ ま で エ ネ ル ギ ー ベ ク トル

が 測 定 可 とい う条 件)見

*3)  ATLAS=A

の レプ

度 が 検 出 可 能 な 質 量 下 限 と な る.

700GeV<mH<1TeV mHの

十 分 で あ れ ば(ラ

よ り,4個

だ し 分 岐 比 が 急 速 に 減 少 す る の で,2mZよ

い と こ ろ ま で い くが,130GeV程  ⅲ) 

仮 想Z)に

晶 カ ロ リ メ ター

前 が 示 す よ う に ミュ ー オ ン 検 出 能 力 を 強

(a) 図3.14 

(b) LHCに

お け る ヒ ッ グ ス 生 成 信 号 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン24)

(a) mH=300GeV,

H0→ZZ→4l±(CMS)

(b) mH=700GeV,

H0→ZZ→l+l-νν(ATLAS)

上*4)と して 現 れ る.図3.14(b)に,2個

の レプ トンの 存 在 を要 求 し適 当 な 切

断 条 件 を つ け た 後 の 見 え な い 横 運 動 量 分 布 のATLASグ す24).mHが1TeVに

ループ の 予想 を示

近 い と ころ で は,幅 が 大 き くな る こ と,不 変 質 量 分 布 を

組 め な い こ とな どの 理 由 で,ヒ

ッ グ スの 存在 は 雑 音 信 号 を上 回 る過 剰 の事 象数

と い う形 で現 れ るの で,雑 音 信 号 の 理解 が重 要 とな る.   ま とめ る と,標 準 モ デ ル に お け る ヒ ッ グ ス 粒 子 は,100GeV〓mH〓1TeV で あ れ ばLHCで

探 索 可 能 とみ な され て い る.

3.4  超 対 称 ヒ ッ グ ス

 3.4.1 

ヒツ グ ス モ デル の 拡 張

  標 準 理 論 の 枠 内 に お け る ヒ ッグ ス粒 子 の 性 質 は,種 々 の 可 能 性 の う ち で最 も 簡 単 な構 造 を与 え る とい う理 由 で選 ば れ た最 小 モ デ ル で あ る.現 在 まで の とこ ろ,こ の 選 択 で 実 験 事 実 との 矛 盾 は起 きて い な い.ま

た最 小 モ デ ル は,対 称 の

自発 的破 れ に 対 す る 原 因や 性 質 を探 り,ヒ ッ グ ス粒 子 を発 見 す るた め の 実 験 を 計 画 す る上 で の 貴 重 な指 針 を与 えて も きた.し か し,大 統 一 理 論 な ど を視 野 に

*4) 運動 変 数(こ の 場合p

T)の 限 界値 で スペ ク トルが 切 断 さ れ る結 果現 れ る山.

お い て,よ

り一 般 的 な モ デ ル の 可 能 性 を 検 討 し て お く こ と は 大 切 で あ る.標

モ デ ル を 拡 張 す る 場 合 に 考 慮 す べ き 制 約 と し て,二 mW2/mZ2cos2θW≒1, が あ る.(1)の

ッ グ ス が2重

に 満 た さ れ る の で(式(1.16)を

考 慮 す る必 要

も簡 単 な 拡 張 は ヒ ッ グ ス2重

た,超

対 称 理 論(後

分 の ヒ ッ グ ス2重

条 件 を 満 た す 処 方 は い くつ か あ る が,通 c,t)とQ=-1/3の

は, の2重

項

項 を 付 加 す る 場 合 に,(2)の

常 は,Q=2/3の

ダ ウ ン ク ォ ー ク(d,s,b)に

項が

述,第5章)で

項 ヒ ッ グ ス の 存 在 が 最 小 必 要 条 件 で あ る こ と か ら も,2個

モ デ ル の 検 討 の 価 値 は あ る.余

ρ=

項 で あ る 限 り は い くつ あ っ て も 自 動 的

参 照),最

二 つ(φ1, φ2)あ る と す る こ と で あ る.ま 2個 の2重

つ の 観 測 事 実[(1)

(2)  香 り を 変 え る 中 性 カ レ ン トの 不 在]を 条 件 は,ヒ

準

ア ッ プ ク ォ ー ク(u,

別 々 の ヒ ッ グ ス を 結 合 させ る

こ と で 実 現 さ せ て い る.   a.  超 対 称 ヒ ッ グ ス ポ テ ン シ ャ ル   標 準 モ デ ル の 拡 張 選 択 肢 は た く さ ん あ る が,以

下 の 議 論 で は 超 対 称 を 取 り入

れ る こ と と し,そ

の 中 で も 最 も簡 単 なMSSMモ

デ ル(minimum

metric

model)に

対 称 を 要 求 す る と,例

standard

限 る こ と に す る.超

supersym えば

ヒ ッ グ ス の 自 己結 合 定 数 が ゲー ジ 結 合 定 数 と関 係 が つ くな ど種 々 の 制 限 が つ き,予

言 能 力 が 増 す.MSSMで

役φSMcと

同 じ量 子 数(超

が 必 要 で あ る.超 は,MSSMで

は,標

準 モ デ ル の ヒ ッ グ ス φSMと そ の 荷 電 共

電 荷Y=1,-1)を

も つ 二 つ の ヒ ッ グ ス2重

項H1,

対 称 性 に つ い て の 議 論 は 後 の 章 に ゆ ず る こ と に し,こ

H2 こで

の ヒ ッ グ ス ポ テ ン シ ャ ル1)は 与 え ら れ た も の と し て 議 論 す る.

(3.50) 二 つ の ヒ ッ グ ス は 混 合 す る の で,後 し て お く と便 利 で あ る.φ1=H1,

の議 論 の た め に 量 子 数 を揃 え た 表示 を導 入 φ2=H2cと

し,φ10,

φ1±,φ20, φ2±を 次 式 で 定

義 す る.

(3.51a) (3.51b)

ポ テ ン シ ャ ル の 最 小 値 は,

(3.52) に あ る*5).φ1がdク

ォー ク と荷 電 レ プ トン に,φ2がuク

ォー クに 結 合 す る

もの とす る.   b.  質

量

  対 称 性 が 自発 的 に破 れ る と質 量 行 列 が 生 じる が,CP保

存 に よ り,中 性 ヒ ッ

グ スの 実 数 部 と虚 数 部 が 混 じる こ とは な く,ま た荷 電 ヒ ッ グ ス も分 離 す る.質 量 行 列 を対 角 化 す る こ とに よ り次 の5種 の ヒ ッグ ス粒 子 が 発 生 す る.

(3.53a) (3.53b) (3.53c) (3.53d) ここに

(3.54) で 定 義 さ れ る.υ2=υ12+υ22は,mW2=gW2υ2に

よ っ て 固 定 さ れ る.α

が 正 の 中 性 ヒ ッ グ ス の 質 量 行 列 を対 角 化 す る 際 の 混 合 角 で あ る.質 方 をH0,小

さ い 方 をh0と

書 く の が 慣 例 で あ る.H±,

ゴ ー ル ドス トー ン ボ ソ ン と し て,W±, が 負,H0,

h0はCPが

Z0の

正 の ボ ソ ン で あ る.ま

A0に

はCP

量 が 大 きい

直 交 す る 成 分 は,

縦 波 成 分 に 吸 収 さ れ る.A0はCP ず,CPが

負 の 中 性 ヒ ッ グ スA0

の質量 は

(3.55) と な る こ と が 示 せ る.し MSSMモ

を ヒ ッ グ ス セ ク タ ー に 限 定 し た 場 合,

デ ル で は 独 立 な 二 つ の パ ラ メ タ ー は 二 つ し か な い の で,以

tanβ とmAを

*5)  通 常 は

か し,話

独 立 変 数 に と る こ と と す る*6).荷

, 

で 定 義 す る.こ

電 ヒ ッ グ スH±

の質 量は

こ で の 定 義 は 以 下 の 計 算 式 を 簡 略 化 す る た め で,

特 別 な 意 味 は な い. *6)  超 対 称 条 件 を 課 さ ず て,mH±2,

下 で は,

,2重 項 を2個 入 れ る 場 合 の 一 般 の モ デ ル で は,tanβ, mA2に mh02, mH02お よ び 混 合 角 α の6個 が 独 立 な パ ラ メ タ ー と な る.(3.53)の

合 の 式,表3.1,

3.2の

結 合 定 数 の 関 係 式 は 一 般 の 場 合 で も成 立 す る.

加 え 混

(3.56) で 与 え ら れ る.H0, で,φ10=υ1,

h0の 質 量 行 列 を 求 め る に は,ヒ

φ20=υ2, φ1±=φ2±=0と

∂2V/∂υi∂υjを求 め れ ば よ い.結

ッ グ ス の ポ テ ン シ ャ ルV

お き,∂V/∂υi=0の

条 件 の も と で,

果 は

(3.57)

で あ り,こ れ を対 角 化 して

(3.58) (3.59) を 得 る.こ

れ ら の 質 量 関 係 式 よ り,

(3.60) が 導 け る.す な わ ち,中 性 ヒ ッ グ ス粒 子 の 少 な く も1個 は,Zよ を もつ の で,mh<mZの

り軽 い 質 量

軽 い ヒ ッグ スh0の 存 在 を検 証 で きれ ば,超 対 称 モ デ

ル(少 な く も最 小 限 拡 張 モ デ ルMSSMに

関 し て は)の 存 在 の 可 能 性 が 大 き く

な る.た だ し,こ れ らの 条 件 は ト リー レベ ル で の み 成 立 す る話 で あ る.放 射 補 正 を入 れ る と,質 量 の 大 きい トッ プ な どの 寄 与 が 無 視 で き な くて,mh2の

値が

変 化 す る25).

(3.61) tはtの

パ ー トナ ー の 超 対 称(SUSY)粒

ず し もmZやmAよ =1TeVに を,mAの

子 で あ る.こ

り軽 い と は 限 ら な く な る.例

と る とmh〓120GeVと 関 数 と し て 種 々 のtanβ

入 れ て もmh〓130∼150GeVに 存 在 は 超 対 称 理 論 の 特 徴 で あ る.

の 結 果mhの

え ば,mt=140GeV,

な る .図3.15(a)に,ヒ の 値 に 対 し て 示 す.こ お さ ま る こ と が い え る.軽

値 は,必 m(t)

ッ グ ス 質 量mh れ か ら,放

射 補正 を

い ヒッグス粒 子の

(a)

(b) 図3.15 

(a)  トリー 近 似 で は,mh<mA,

MSSMで

mh<mZの

許 さ れ るmh-mAの

範囲

み が 許 さ れ る が,放 射 補 正 を 入 れ る と斜 影 部 分 が 許 容 範

囲 と な る25). tanβ=υ2/υ1は,ヒ ッグ ス の 二 つ の真 空期 待 値 の 比. パ ラ メ ターm(t)=1TeV , mt=140GeVは 固定. (b)  LEPに お け るALEPHの 実 験 結 果26). 灰 色 部 分 は理 論 的 に 禁 止 され る.斜 線 でハ ッチ をつ け た と こ ろ がe+e-→h0A, 応 よ り95%信

  3.4.2 

e+e-→h0Z反

頼 度 で デー タ か ら除外 さ れ る領 域.

MSSMヒ

ッ グス粒 子 の 検 出

  a.  相 互 作 用   ヒ ッ グ ス とベ ク トル ボ ソ ン や フ ェ ル ミ オ ン と の 相 互 作 用 は,(3.53)を て 書 き 直 す こ と に よ り一 義 的 に 決 ま る が,全 一 部 を 表3

.1∼3.2に 表3.1 

掲 げ る.φSMは

使 っ

部 書 き下 ろ す の は 煩 雑 で あ る の で

標 準 モ デ ル に お け る ヒ ッ グ ス を さ す.

中性 ヒ ッ グ ス とフ ェ ル ミオ ンの 結 合 定 数 

表3.2 

中 性 ヒ ッグ ス と ベ ク トル 粒 子 の 結 合Oi:

中性 ヒ ッ グ ス とベ ク トル粒 子 の結 合:

ま た,H±

と フ ェ ル ミオ ン と の 結 合 は

(3.62) で 表 さ れ る.こ

の 式 はt,

bで 書 い た が,一

般 の フ ェ ル ミ オ ン2重

項 につ いて

も 同 様 な 式 が 成 立 す る.   許 さ れ る 結 合 と 禁 止 さ れ る結 合 の 一 部 を 下 に 書 き下 ろ す.た リー 結 合 で 成 立 す る 話 で,フ こ の 限 り で は な い.V=γ,

だ し,こ

れは ト

ェ ル ミオ ン ルー プ を入 れ た 高 次 補 正 を考 慮 す れ ば W±, Zと

括 弧[・ ・]内 の 結 合 は,[sinx,

して

cosx]の

よ うに 片 方 が 小 さ い と き は 他 方 が 大

きい とい う相 補 的 な 関 係 に あ る.こ れら の相 補 性 は ユ ニ タ リテ ィ と関 係 が あ る.自 発 的 に対 称 性 の破 れ た 理 論 で は,ヒ く相 殺 す る役 目 を担 う.例 え ば,H0とh0を

ッ グ ス を含 む 過 程 が発 散積 分 を正 し 交 換 す る過 程 の 寄 与 が,WW散

乱 の 発 散 積 分 を相 殺 す る役 目 を担 うの で あ れ ば,両

者 の 結 合 定 数 は標 準 モデ ル

ヒ ッ グ ス の 結 合 定 数 と一 定 の 関 係 に なけ れ ば な ら な い.

(3.63a) 表3.2を

見 れ ば こ の 関 係 式 が 成 立 して い る の が わ か る.ま た

(3.63b) (3.63c) も 成 立 す る.さ

ら に,s∼mZ2付

近 で,h0ZZとh0A0Zの

結 合 が と も に小 さ い

と い う こ と も あ り え な い.   こ れ ら の 事 実 は,次

が,エ

の 反 応(φ0=H0,

h0)

ネ ル ギ ー 的 に 許 さ れ る 遷 移 で あ れ ば,A0, h0,

つ に はφSMに

H0の

少 な く も どれ か 一

対 す る と 同 程 度 の 検 出 効 率 を もつ こ と を 意 味 す る.

  b.  MSSMヒ

ッ グ ス探 索 の 現 状 と将 来

  荷 電 ヒ ッ グ ス に つ い て は,(3.62)を

参 照 す る と,

(3.64) が い え る.H+の

検 出 は,τν モ ー ド で も 純 ハ ド ロ ン モ ー ド で も 可 能 な の で,

tanβ の 値 に よ ら な いmH+の

下 限 値 がLEPで

求 め ら れ て い る3,26).

(3.65a)   (H0,

h0, A0)のeeコ

ラ イ ダ ー で の 発 見 法 は,標

ほ と ん ど 同 じ で あ る が,Aの

存 在 で 自 由 度 が 増 す の で,e-e+→h0Z*の

に,e-e+→h0A→ττbb,4ジ で は,LEP,

SLCのデ

準理論 の ヒッグス発 見法 と ほか

ェ ッ トチ ャ ネ ル も 使 え る よ う に な る.現

時 点

ー タ よ り3,26),

(3.65b) が い え て い る(図3.15(b)).LEP200で GeVな

は,中

性 ヒ ッ グ ス に 対 し,mh〓105

ら ば 発 見 能 力 が あ る こ と は す で に 述 べ た.

  LEP200で

発 見 で き な い と き,次

期e+e-コ

の く ら い に 設 定 す る 必 要 が あ ろ う か.中 射 補 正 を し て も,mhの ら れ て い る.ち

ラ イ ダ ー の エ ネ ル ギ ー 

性 の 軽 い ヒ ッ グ スh0に

値 は そ う 大 き くは な ら ず,150GeV程

な み に,パ

は ど

対 し て は,放 度 が 上 限 と考 え

ラ メ ター 値 を 超 対 称 理 論 の 合 理 的 な 範 囲(例

えば

m(t)=1TeV,

mt=175GeVと

し て,1
動 か す 限 り は,0<mA<∞

パ ラ メ ター を

の 範 囲 で,mh〓115GeVと

な る.し

た が っ て,

 で あ れ ば 発 見 領 域 に 入 る.   ハ ド ロ ン コ ラ イ ダ ー で のh0, 見 法 に 準 じ る が,ヒ

H0, A0の

発 見 法 も また 標 準 理 論 で の ヒ ッ グ ス 発

ッ グ ス 粒 子 種 の 増 え る こ と,超

壊 分 岐 比 が 大 い に 変 わ る こ と な ど に よ り,前 ず し も 当 て は ま ら な い.し

た が っ て,h0が

イ ダ ー で 見 つ か る 保 証 は な い.荷 ttX,

t→H+b,

  LEP200も ば,崩

H+→

軽 い か ら と い っ て,ハ

電 ヒ ッ グ ス は,mH±<mtな

し くはLHCで,h0(ま

た は 他 の ヒ ッ グ ス)の

準 モデ ル の ヒ ッ グ スφSM0で

ら ば,pp→

tanβ)の

パ ラ メ タ ー を決 め あ る と確

る い は 標 準 モデ ル に は な いA0やH±

の生 成

反 応 な ど の 存 在)が

不 可 欠 で あ り,こ

は な くMSSMヒ

存 在 が 確 認 で きれ

ッ グ スh0で

岐 比 の 決 定(あ

は,ヒ

ドロ ン コ ラ

τνを 通 じ て 見 つ け る こ と が で き る.

認 す る た め に は,分

とLHCで

節 で 議 論 した ヒ ッ グ ス探 索 法 は 必

壊 分 岐 比 を 精 度 よ く 測 る こ と に よ り,(mA,

ら れ る.標

対称粒子 の存在 によって崩

れ が 次 の 課 題 と な る.た

だ し,LEP200

ッ グ ス セ ク タ ー の 探 索 の み か ら は,MSSMの

可否 が判 定 で

き る 上 記 パ ラ メ タ ー 平 面 の す べ て を 被 う こ と は む ず か し い か も し れ な い と議 論 さ れ て い る24,27)(図3.16).先

図3.16 

に 標 準 モ デ ル に お け る最 小 ヒ ッ グ ス の 探 索 で

LEP200とLHCで 探 索 可 能 な 超 対 称(MSSM)パ ラ メ ター 領 域 を 各 種 ヒ ッグ ス(H±, H0, h0, A0)の 検 出 可 能 な 崩 壊 モ ー ド と と も に示 す24).パ ラ メ ター を楽 観 的 に とれ ば す べ て の 領 域 を カ バー で き るが,設

定 の 仕 方 で は,探

索 達 成 不 可 能 な 領 域 が 生 じ る.

も 検 出 の 不 確 実 な 質 量 領 域(H0→2γ

モ ー ド と4lモ

超 対 称 モ デ ル の ヒ ッ グ ス で はH0,h0→ な り,検

γγ,4llな

ー ドの 境 目)が

どの分 岐 比 が さ ら に 小 さ く

出 困 難 な 領 域 が 存 在 す る た め で あ る.こ

の 高 輝 度 のe+e-リ

強

結

合

の 場 合 は, 

ニ ア コ ラ イ ダ ー を 必 要 と す る.

3.5 

  3.5.1 

ヒッ グス は素 粒 子 か

理 論

  ユ ニ タ リテ ィ や ト リ ヴ ィ ア リ テ ィ の 議 論 か ら,ヒ そ1TeVを

超 え る こ と は な い と議 論 し た.も

な い と き は ど う な る か.ヒ WW散

あ っ た が,

し,質

ッグ ス粒 子 の質 量 は お お よ 量1TeV以

ッ グ ス の 質 量 が1TeVを

乱 振 幅(3.21)で,mH2≫sと

下 で見つか ら

大 き く 上 回 る と き は,

す る と,

(3.66) と な り,s≒(1.8TeV)2で

ユ ニ タ リー 極 限 に 到 達 す る.こ の場 合,1.8TeVよ

りエ ネ ル ギ ー の 低 い と こ ろ で,新 現 象(共 鳴 現 象 の 発 生 も し くは 新 相 互 作 用 の 介 入)が 発 生 す る こ とが期 待 され る.ヒ

ッ グ ス の 質 量 が,新 現 象 の 介 入 す る エ

ネ ル ギー よ り大 き い と こ ろ に あ る とい う こ と は,ヒ

ッ グ ス の相 互 作 用 が 新 現 象

で の理 論 体 系 の 低 エ ネ ル ギ ー近 似 とい う こ と を 意 味 す る.ヒ

ッグ ス の 実 体 は,

素 粒 子 で は な く新 相 互 作 用 に よ る 力 学 的 現 象(例

に述 べ るテ クニ

え ば,後

クォー ク の 束 縛 状 態)と 見 な さ なけ れ ば な ら な い.   こ の よ うな新 現 象 を探 る有 効 な手 段 は何 で あ ろ うか.仮 らな い と して も,ゲ ー ジ ボ ソ ン の 縦 波 成 分WL,ZLは る か ら,WL,ZLの した が っ て,WLWL散

に ヒ ッグ ス が 見 つ か

ヒ ッ グ ス機 構 の 産 物 で あ

もつ 相 互 作 用 は ヒ ッ グ ス の もつ 相 互 作 用 と 同 起 源 で あ る. 乱(WLZL,ZLZL散

乱 を含 む)を 調 べ る こ と に よ り電 弱

対 称 の 破 れ の 原 因 を 追 求 す る こ とが で き る.mH〓1TeVと き い こ と(λ/4π〓O(1)),す

い う こ とは λが 大

な わ ち ヒ ッ グ ス セ ク ター が 強 結 合 とな る こ と を示

す か ら,摂 動 論 的 扱 い は 予 言能 力 を失 う.わ れ わ れ はWLWL散 し て,新

し い 物 理 現 象 の ヒ ン トを知 りた い わ け で あ る が,そ

散 乱 の 反 応 率 の 信 頼 で き る計 算 法 が あ る だ ろ うか,と

乱 過 程 を観 察 の 場 合,WLWL

い う疑 問 に直 面 す る.幸

い な こ とに答 は イ エ ス で あ る.こ の 道具 とな るの が"等 価 定 理"と"低 ギー 定 理"で   まず,わ

エネル

あ る.

れ わ れ は ヒ ッ グ ス粒 子 は存 在 し な い に して も対 称 性 の 自発 的 破 れ を

引 き起 こす ヒ ッ グ ス機 構 は 働 い て い る と仮 定 す る.こ の 場 合 ヒ ッ グス は超 伝 導 に お け る クー パ ー 対 の よ うに 複 合 粒 子,ま グ ス機 構 を働 かせ る に は,ヒ

た は 類 似 の 力 学 的 現 象 で あ る.ヒ

ッ

ッ グ ス ス カ ラー と同 じ役 割 を果 たす 少 な く も4種

の 等 価 ス カ ラー 場(w±, z, hと 書 く.必 ず し も素 粒 子 で あ る必 要 は な く複 合 体 で も よ い)が 存 在 し,そ の 系 の 自 己 相 互 作 用 は 実 効 的 に 次 のLSB(SB: metry

breakingの

sym

略)で 表 さ れ る とす る28).

(3.67a) こ の 式 は,ヒ

ッ グ ス 自 己相 互 作 用 項 と 同 じ形 を採 用 し た もの で あ る.す

ち,対 称 が 自発 的 に破 れ る前 の(3.2)の

なわ

ラ グ ラ ン ジ ア ン で,

(3.68) と お け ば,(3.67a)が

得 ら れ る.こ

の 新 しい 相 互 作 用 が 活 躍 す る領 域 の エ ネ

し よ う.こ

の相 互 作 用 の 結 果 自発 的 に 対 称 性 が 破 れ

ル ギ ー ス ケ ー ル をMSBと て,hが をhと

真 空 期 待 値,=υ お く.こ

の と き,hが

ス トー ン ボ ソ ンw±,

を も つ と き,h=υ+h'と

し て,あ

質 量 を もつ と と も に,3個

zが 出 現 す る.こ

ら た め てh'

の 質 量 の な い ゴー ル ド

れ ら の 粒 子 間 の 相 互 作 用LSBは

(3.67b) で表 され る.こ の ゴ ー ル ドス トー ン ボ ソ ンが ゲ ー ジ場 と結 合 す れ ば,弱 相 互 作 用 のW±

とZ0が

質 量 を獲 得 す るの は 今 ま で通 りで あ る.こ の と き次 の 等 価 定

理 が 成 立 す る.   a.  等 価 定 理   十 分 高 エ ネ ル ギ ー(s≫mW2 Hの

散 乱 振 幅 は,w±,

等 価 定 理 が 成 立 す れ ば,ベ で 置 き換 え られ るから,相

, mZ2)で は,W±,

Z0の 縦 波 成 分 や ヒ ッ グ ス

z, hの 散 乱 振 幅 と等 し い. ク トル 粒 子 で あ るW,

Zを,ス

カ ラー 粒 子 のw,

z

互 作 用 の 性 質 を調 べ る上 で計 算 が 簡 単 に な る とい う

利 点 が あ る.等 価 定 理 を摂 動 の1次

で検 証 す るの は 容 易 で あ る7).例 え ば

(3.69a) (3.69b) は,LSBを

使 っ て 容 易 に 計 算 で き る が,mH2=2λυ2, 

(3.69)は(3.19)に

等 し い こ と が 直 ち に わ か る.等

ゲ ー ジ 結 合 の 最 低 次,λ る29).こ

を 使 え ば,

の こ と は 大 事 で あ る.な

な い 強 結 合(λ/4π ≒1)の

価 原 理 はRゲ

ー ジ で は,

の す べ て の 高 次 に お い て 正 し い こ とが 証 明 さ れ て い ぜ な ら,わ

れ わ れ は摂 動 展 開 で は 近 似 の よ く

場 合 に 応 用 し た い か ら で あ る.

  b.  低 エ ネ ル ギ ー 定 理   次 に,(3.67a)で,w± σ はJP=0+の

→ π±, z→

メ ソ ン,fπ

MeV, Ⅰ-§10.1.3参

照)と

い る も の に 等 し い30).σ れ に よ っ て,σ

π0, h→

σ, 

(π は π 中 間 子,

は π→ μν崩 壊 の 崩 壊 定 数 でfπ=0.94mπ=132 置 き 換 え た も の は,い

わ ゆ る σ モ デ ル と呼 ば れ て

モ デ ル は カ イ ラ ル 対 称(SU(2)L×SU(2)R)の

が 真 空 期 待 値 

を も つ と き,現

ン ボ ソ ン が π 中 間 子 で あ る と 見 な す 立 場 で あ り,強 や,ア

イ ソ ス ピ ン 対 称(SU(2)L+R)を

再 現 し,低

れ る ゴ ー ル ドス トー

い 相 互 作 用 で のPCAC

エ ネ ル ギー で の πや 核 子 の 関

与 す る 現 象 を よ く記 述 す る こ と が 知 ら れ て い る.σ て 次 の 低 エ ネ ル ギ ー 定 理 が 成 立 す る31).例

自発 的破

モ デ ル か ら ππ 散 乱 に つ い

え ば π+π-→

π0π0過 程 で, 

,4πfπ な ら ば,

(3.70) が 成 立 す る.こ 称;QCDで

の 定 理 は,σ

モ デ ル が も つ 対 称 性 の 性 質(SU(2)L×SU(2)R対

ク ォ ー ク の 質 量mu=md=0な

ら ば 厳 密 に 成 立 す る)と,π

が こ

の 対 称 群 の 自 発 的 破 れ に 伴 う ゴー ル ドス トー ン ボ ソ ン で あ る と い う 議 論 か ら カ レ ン ト代 数 を 使 っ て 導 か れ る も の で,反

応 現 象 の モ デ ル の 如 何,摂

関 わ ら ず 成 立 す る 一 般 的 な 定 理 で あ る.そ  と も と に も ど し て,s≪(4πυ)2で す る 条 件 が 整 い,

こ で,π あ れ ば,低

±→w±,

動の次数 に

π0→z,

σ→h,

エ ネ ル ギー 定 理 が 成 立

(3.71) が い え る.さ ンWL,

ZLに

ら にs≫mW2で

あ れ ば 等 価 定 理 が 成 立 し て,w,

zは

ゲー ジ ボ ソ

置 き 換 え ら れ る か ら,

(3.72) が 成 立 す る.(3.69b)と 動 の0次

比 較 す る と,s≪2λυ2で

あ れ ば,強

結 合 の 場 合 で も摂

計 算 が 正 し い 低 エ ネ ル ギ ー の 振 る 舞 い を 与 え る こ とが わ か る.(3.20)

を 使 っ てJ=0の

部 分 波 振 幅a00(J=I=0)に

変換す る と

(3.73a) が い え る.可 W±W±

ZZの

能 な チ ャ ネ ル と し て はW+W-→ZZの

ほ か に,W+W-,

の 弾 性 散 乱 が あ り,aJI=a00, a11, a02の3個

弾性 散 乱 振 幅 は こ の 近 似 で は0で

W±Z,

の 独 立 な 振 幅 が 存 在 す る.

あ る.そ れ ぞ れ の 振 る舞 い は

(3.73b,c) と な る29).こ

れ ら の振 幅 は低 エ ネ ル

タ リ テ ィ 極 限￨a00￨=1に

ー で はsに

達 す るsは,(3.73a)か

比 例 し て 増 加 す る の で,ユ

ニ

ら

(3.74) し た が っ て,sが(1.8TeV)2に ム が 働 い て,ユ

到 達 す る 以 前 に,s≒MSB2で

何 らか の メ カ ニ ズ

ニ タ リ テ ィ を満 た す よ う に な る は ず で あ る.有

ス が 存 在 す れ ばMSB=mHで

あ り,ま

限質量 の ヒッグ

さ し くそ う し た メ カニ ズ ム の 一 つ を与 え

る.   ヒ ッ グ ス が 比 較 的 軽 い 粒 子(mH≪1TeV)で 4π=mH2/(8πυ2)≪1)の

で,弱

の 議 論 は 弱 い 力 の4-フ

と も に 増 加 す る 振 幅 を 与 え, 

U(1)の

ニ タ リー 極

ェ ル ミ相 互 作 で,ユ

タ リテ ィ が 破 れ る と い う 昔 の 議 論 と 平 行 し て い る.mW≪400GeVで ゆ え に,ユ

は 小 さ い(λ/

相 互 作 用 は 弱 結 合 の ま ま で あ り,ユ

限 を 超 え る 事 態 は 心 配 し な くて よ い.こ 用 がsと

あ る な ら ば,λ/4π

ニ

あったが

ニ タ リ テ ィ極 限 が 実 現 す る 前 に 振 幅 を 減 衰 さ せ る 機 構(SU(2)×

非 ア ー ベ ル ゲ ー ジ 理 論)が

い 値 で あ っ た.mW∼400GeVで

介 入 し,弱

相 互 作 用 の 結 合 定数gWは

あ っ た な ら ばgW∼O(1)と

小 さ

な り弱 相 互 作 用 は

強 結 合 に な っ て い た で あ ろ う.mH∼1TeVの (a)に

示 す32).mHが1TeVく

な っ て,強

振 幅a00の

振 る 舞 い を 図3.17

ら い ま で 見 つ か ら な け れ ば,λ/4π

結 合 の 理 論 と な り,π π が 共 鳴 を つ く る よ う にWLWLも

≒O(1)と 共 鳴 をつ く

る な ど 多 彩 な 現 象 が 現 れ る 可 能 性 が あ る.   c.  テ ク ニ ロ ー   こ う し た 理 論 の 代 表 的 な も の が テ ク ニ カ ラ ー 理 論33)で あ る*7).σ QCDが

対 応 し た よ う に,LSBに

は,テ

ク ニ フ ェ ル ミ オ ン に,テ

の 源 を 付 与 さ せ,そ

は テ ク ニQCDを

対 応 さ せ る.テ

同 様 で あ る と す る も の で あ る.QCDに

π, σが 存 在 し た よ う に テ ク ニ π と テ ク ニ σが 存 在 し て,こ

で あ り,テ

ク ニQCDと

ク ニ カ ラ ー と い う カ ラ ー に 比 べ て 一 回 り強 い 力

の 力 学 はQCDと

トー ン ボ ソ ン と し て,ヒ

モデル に

ッ グ ス 機 構 を 司 る.す

れ が ゴー ル ドス

な わ ち ヒ ッ グス粒 子 は 複 合 粒 子

ク ニ フ ェ ル ミ オ ン 対 が 凝 縮 し た も の と 見 な す 立 場 で あ る.テ

クニカ

ラ ー と い う 強 い 相 互 作 用 が こ れ ら テ ク ニ フ ェ ル ミ オ ン に 作 用 す る の で,QCD に お け る ρや ω メ ソ ン に 対 応 し て,テ ち,テ

ク ニ ρ や テ ク ニ ω を つ く る.す

ク ニ カ ラ ー 理 論 に よ れ ばO(1TeV)の

領 域 に た くさ ん の 共 鳴 が 存 在 す

(a) 図3.17 

なわ

(b) TeV領

域 で のWLWL散

乱 の振 る舞 い

(a) I=J=0の 散 乱 振 幅.点 線 は937GeVの ヒ ッ グ ス が あ る と きの 標 準 理 論 最 低 次 摂 動 計 算.実 線 お よび 一 点 鎖 線 はユ ニ タ リー化 した場 合 の振 る 舞 い.ダ ッ シ ュ線(LET)が 低 エ ネル ギー 定 理 に よ る32). (b)  テ ク ニ ρ メ ソ ン(ρrc)が 存 在 す る場 合,LETに 比 べ どれ だ け 断 面 積 が 大 き く な るか の 例 を, e-e+コ ライ ダ ー の場 合 につ いて 示 す.mρrc=mρ(υ/fπ)≒1.8TeVと した17).

*7) テ クニ カ ラー 理 論 は フ ェル ミオ ンの質 量 発生 機 構 や 香 りを変 え る中 性 カ レ ン ト抑 圧 に 問 題 が あ り,現 実 味の あ る モデ ル構 築 は 困難 で あ るが,こ こに 述 べ る考 え方 は十 分 成 立 す る.

る.テ

ク ニ ロー の 質 量 は,QCDと

の 類 推 が 成 り立 つ も の な ら ば30)

(3.75) くら い と推 察 され る.こ 3.17(b)に

の と き,WLWL散

乱 の 振 る舞 い が ど う変 わ るか を 図

示 す17).

  d.  WW散

乱

  ヒ ッグ ス が 存 在 せ ず と も テ ク ニ ρの よ う な共 鳴 群 をつ く る場 合 は,WLWL の 不 変 質 量MWWの

スペ ク トル に 共 鳴 の 山 が 出 現 し,LHCの

よ うな ハ ドロ ン

コ ラ イ ダー で 調 べ る こ とが で き る.天 地 創 造 主 が 意 地 悪 くて,強 結 合 相 互 作 用 で も共 鳴 をつ く らな い 宇 宙 をつ くった場 合 が 考 え う る最 も悲観 的 な シナ リオ と な るが,こ

の と きで も低 エ ネ ル ギ ー 定理 に よ っ て最 低 限 の振 幅 は保 証 さ れ て い

る.し か し,こ の場 合 のWLWL散 中 か ら意 味 の あ るWLWL散

乱 の 計 数 率 は 非 常 に低 い の で,QCD雑

音の

乱 情 報 が得 ら れ るか を確 認 して お くこ と は,対 称

性 の 破 れ の 原 因 を追 求 す る際 の抜 け 道 をつ く らな い とい う意 味 で非 常 に 重要 な 課 題 で あ る.

  3.5.2  ヒ ッ グ ス機 構 解 明 の 戦 略   こ れ ま で の ヒ ッ グ ス セ ク タ ー で の 議論 に よ れ ば,軽 1TeV)が

い ヒ ッグ ス(mH≪

見 つ か るか,弱 相 互 作 用 が 強 結 合 理 論 に な るか の ど ち らか の シ ナ リ

オ が 確 実 に 実 現 す る.標 準 理 論 を正 し い と して 計 算 した放 射 補 正 と実 験 デ ー タ と の 比 較 か ら,あ 100∼300GeVの

る い は 超 対 称 性 が 存 在 す る な ら ば,ヒ

と こ ろ で見 つ か る可 能 性 が あ る.そ れ ほ ど軽 くは な い に して

も標 準 モ デ ル ヒ ッ グ ス に 対 し て ∼800GeVく ダーLHCに

ッ グ ス は 軽 くて

ら い ま で は,ハ

ドロ ン コ ラ イ

発 見 能 力 が あ る.ヒ ッ グ ス が素 粒 子 と して 発 見 さ れ た 場 合 は,後

に 議 論 す る よ うに 超 対 称 性(後 述 第5章)の

存 在 す る可 能 性 が 大 き く,超 対 称

粒 子 の 存在 が 期 待 され るな ど大 い な る発 展 が望 め る で あ ろ う.ヒ ッ グス が 非 常 に 重 いか 存 在 し な い と き,つ ま り強 結 合 の 場 合 は 多 分1TeV付 ラー な どの 共 鳴群 が あ る と予 想 され,や

近 に テ クニ カ

は り新 しい物 理 の 豊 か な実 りを期 待 で

き る.   強 結 合 で な お か つ 共 鳴群 が 存 在 しな い とい う最 悪 の シナ リオ の場 合,ヒ

ッグ

ス セ ク タ ー の 解 明 の 鍵 と な る の はWLWL散 イ ダ ー と し て は,最

乱 で あ る.次

悪 の シ ナ リ オ の 場 合 で もWLWL散

世 代 の ハ ドロ ン コ ラ

乱 の 調 査 が 可 能 とな る

た め の 最 低 限 の エ ネ ル ギ ー お よ び ル ミ ノ シ テ ィ を も つ こ と が 望 ま し い.将

来計

画 に お け る ハ ドロ ン コ ラ イ ダ ー の 設 定 す べ き エ ネ ル ギ ー と ル ミ ノ シ テ ィ は,電 弱 対 称 性 の 破 れ が い か な る形 態 を とろ う と もあ らゆ る場 合 に 対処 で き るた め の 必 要 最 低 限 の 仕 様 を 満 た さ な け れ ば なら な い と い う 論 理(い theorem)は,Chanowitz34)に  を40TeVよ

よ り 強 調 さ れ た,こ

り相 当 大 き く し,か

わ ゆ る,no

lose

れ を 実 現 す る た め に は,

つ ル ミ ノ シ テ ィ は1034/cm2/secを

実 現す

る ス ー パ ー ハ ドロ ン コ ラ イ ダ ー を 必 要 とす る.   一 方,比 第5章

較 的 軽 い ヒ ッ グ ス が 発 見 さ れ た 場 合 を 想 定 し て み よ う.こ

で 後 述 す る よ う に,超

が っ て,次

の 段 階 と し て,ヒ

対 称 性 が 存 在 す る 確 率 は か な り 高 く な る.し ッ グ ス の 崩 壊 分 岐 比 を 測 る こ と に よ り,標

グ ス か 超 対 称 ヒ ッ グ ス か を 決 め な け れ ば な ら な い が,こ ン コ ラ イ ダ ー よ りeeコ

の 場 合,

の 点 に 関 し て は ハ ドロ

ラ イ ダ ー の 方 が は る か に 強 力 で あ る.ヒ

超 対 称 粒 子 の 生 成 能 力 も ま た,ハ

ッグス以外の

ドロ ン コ ラ イ ダ ー の 場 合 は,強

い相 互 作 用 を

す る グ ル ー イ ノ*8)か ク ォ ー ク の パ ー ト ナ ー で あ る ス ク ォ ー ク(squark)に ぼ 限 ら れ る が,eeコ

ラ イ ダ ー で は,エ

た

準 ヒッ

ほ

ネ ル ギー 的 に可 能 な らば ほ と ん どす べ

て の 新 粒 子 の 生 成 か つ 同 定 が 可 能 で あ る.   一 般 的 にeeコ て い る の で,ヒ

ラ イ ダ ー は,発 ッ グ ス 発 見 後,そ

見 能 力 ば か り で な く,精

の 質 量 に 合 わ せ て 的 を絞 る 戦 略 が あ り う る.

ヒ ッ グ ス の 質 量 が 未 知 の 現 時 点 で は,標 件 は 外 せ な い で あ ろ う.軽

準 ヒ ッ グ ス の 生 成 能 力 を も つ と い う条

い ヒ ッ グ ス の 発 見 機 と し て 期 待 す る な ら ば, 

が 最 低 の 要 求 で あ る が,将 secが

密 実 験 能 力 に も優 れ

来 的 に は 

必 要 で あ ろ う と考 察 さ れ る.LHCの

こ れ だ け の 性 能 が 必 要 で あ り,JLC

次 に く る 次 世 代 の 加 速 器 と し て は,

(Japan

Linear

(CERN

LInear

Collider;日

(Next

Linear

(独)な

ど の 建 設 を め ざ し て 研 究 開 発 が 精 力 的 に 進 め られ て い る.

*8)  詳 細 は 第5章

Collider;米),CLIC

,L〓1034/cm2/

本),NLC

Collider;欧),TESLA

で 議 論 す るが ,超 対 称 性 が あ れ ば す べ て の 既 知 の 素 粒 子 に 対 し,ス ピ ン が 1/2異 な る 超 粒 子 パ ー トナ ー が 存 在 す る.グ ル ー イ ノ は グ ル ー オ ン の パ ー トナ ー で ス ピ ン1/2を も ち,ス ク ォ ー ク は ク ォ ー ク の パ ー トナ ー で ス ピ ン0を も つ.

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and

proposal,technical

ATLAS

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24) 

the

J.Stirring:ETH-TH

design

proposal,technical

design

C.Llewellyn-Smith,The

Large

International

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Conference

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Workshop

H.Baer

et

Interim

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report,CERN/LHCC94-38 report,CERN/LHCC94-43 Hadron

Collider

Project,Talk

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Lepton-Photon

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report,CERN-TH/95-151,CERN

PPE/95-78

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T.Yanagida:Prog.Theor.Phys.Lett.,85(1991)1;

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et

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J.Gunion:Phys.Rev.,D46(1992)2040 J.Gunion H.Baer

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Reports,216(1992)253-340

DELPHI;P.Abreu

OPAL;G.Abbiendi 27) 

F.Zwirner:Phys.Lett.,B257(1991)83;B262(1991)477

Collaboration:Phys.Lett.,B276(1992)247

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L.Orr:Phys.Rev.,D46(1992)2052

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T.Appelquist

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L.F.Li:Gauge

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Cimento Elementary

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16(1960)705,ま

Particle

with

Physics,p.147な

Linear

S.Weinberg:Phys.Rev.,D19(1979)1277 L.Susskind:Phys.Rev.,D20(1979)2619 レ ビ ュ ー と し て は, and

L.Susskind:Phys.Rep.,74(1981)277

最 近 の 発 展 に つ い て は, B.Holdman:Phys.Rev.,D24(1981)1441;Phys.Lett.,B150(1983)301

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T.Appelquist

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4 ニ ュ ー

  これ ま で は,い

ト リ ノ1)

か に 標 準 理 論 が実 験 デ ー タ を矛 盾 な く統 一 的 に 記 述 す る か と

い う観 点 か ら話 を進 め て きた.こ れ か らは,む

しろ 標 準 理 論 の 欠 点 に 焦 点 を あ

て て 議 論 を進 め る こ と にす る.現 在 の と こ ろ標 準 理 論 に 明 らか に 矛 盾 す る事 実 は,実 験 デ ー タ と し て は な い.CPの

非 保 存,ヒ

ッ グ ス粒 子 の 存 在 と相 互 作 用

の性 質 が 実 験 的 に解 明 され れ ば,結 果 次 第 で は標 準 理 論 の 改 訂 に つ なが る可 能 性 が あ る が,標 準 理 論 の 枠 内 に お さ まっ て し ま うこ と も考 え られ る.こ の 章 で は標 準 理 論 の わ ず か な 拡 張 です み,か つ実 験 的 に も最 初 に標 準 理 論 の 限 界 を越 え た ニ ュー ト リノ の現 象 に つ い て述 べ る こ と と し,理 論 的 に発 展 性 の あ る大 統 一 理 論 お よ び そ の 関 連 に つ い て は 第5章 で 述 べ る .標 準 理 論 を越 え よ う とす る こ れ らの 試 み が,検

証 手 段 と し て の 実 験 手 法 に も新 風 を吹 き込 み,高 エ ネ ル

ギー 加 速 器 を使 用 す る伝 統 的 な手 段 の ほ か に,非 加 速 器 素 粒 子 物 理 学 と い う学 際 的 な 要 素 を もつ 新 しい 分 野 を開 拓 した こ とは 興 味 深 い.そ

の手 段 の 一 つ,地

下 に 設 置 した水 チ ェ レ ン コ フ測 定 器 を使 い,陽 子 崩 壊 検 出 とい う素 粒 子物 理 学 上 の研 究 テー マ を追 求 す る段 階 で,副 産 物 と して 超 新 星 ニ ュー トリ ノが観 測 さ れ,続

い て 太 陽 ニ ュー ト リノ検 出の 成 功 に よ って,ニ

ュ ー トリノ天 文 学 と い う

新 しい 学 問 分 野 が 創 始 され た.学 問 の発 展 が新 し い手 法 の 開 拓 を促 し,新 し い 手 段 が 新 し い学 問 を創 始 す る相 互 発 展 の典 型例 で あ る.ニ ュ ー トリ ノ天 文 学 を 含 め 天 体 物 理 学 と素 粒 子 物 理 学 との 境 界 領 域 は,将 来 性 豊 か な新 分 野 で あ る. この 章 で は,ニ

ュ ー トリ ノ天文 学 にふ れ て,こ の 興 味 あ る分 野 を垣 間見 る こ と

に す るが,深 入 りは せ ず素 粒 子 物理 に とっ て の 意 義 づ け に絞 って 話 を進 め る.

4.1  ニ ュ ー ト リ ノ 質 量 の 理 論 的 諸 問 題

4.1.1 

質 量 の 上 限 値

  ニ ュ ー ト リ ノ の 質 量 問 題 は,古

くて 新 し い 問 題 で あ る.そ

ウ リ が ニ ュ ー ト リ ノ の 存 在 を 予 言 し た と き,す ロ に 近 い で あ ろ う と 予 想 し て い た.今

も そ も1930年

で に 質 量 は(当

時 の 基 準 で)ゼ

日 に 到 る ま で β 崩 壊 の ス ペ ク トル か ら

推 察 さ れ る ニ ュ ー ト リ ノ の 質 量 は 実 験 精 度 の 限 界 で 常 に ゼ ロ に 等 し い.こ 実 とパ リテ ィ 非 保 存 発 見 に よ り,ニ 照)と

み る 可 能 性 が 生 じ た.実

い う事 実 は,ワ 示 す.さ

ュ ー ト リ ノ を2成

場 合νR=(νL)c=νRで   一 方,質

照)で

量 が 有 限 で あ れ ばνRが

の 結 果,ニ

準 理 論 で はνRは

準 理 論 で は,νRが

ー ジ 粒 子 に よ るSU(2)相

い 不 毛(sterile)粒

あ っ て 悪 い わ け で は な い.ま い わ け で も な い.例

か し,こ

ま り,検

た 標 準 理 論 の 枠 内 でνRが

出 の方 法 が な

ま っ た く相 互 作 用 し な

の 湯 川 型 相 互 作 用 はSU(2)×U(1)

れ は,uク

ォ ー クに 質 量 を与 え る た め に

量 項 を 与 え る.す

な わ ち,νRが

こ と と質 量 が 有 限 で あ る こ と は 標 準 理 論 内 で は 同 じ こ と を 意 味 す る.こ 荷 電 共 役 状 態 と し て 指 定 す る と き はνcRと

は,νcR=νR,マ

よっ

ォ ー ク とが 結 合 す る 相 互 作 用 が あ る の と 同 じ 理 由 で あ る.こ

の 場 合 φ が 真 空 期 待 値 を も て ば,質

*1) νLの

の根拠

単 の た め な い と し て い る だ け で あ り,

え ば,L∼gνLνRφ

ゲ ー ジ 理 論 の 範 囲 内 で 許 さ れ る.こ

量

存 在 し な い と要 請 して

ら に,Q=I3+Y/2に

互 作 用 も な い.つ

子 で あ る か ら,簡

ぜ な ら,質

あ っ た と し て も1重 項 に 属 す る

互 作 用 は な い.さ

ま た0で あ る の で,U(1)相

ヒ ッ グ ス とuク

の

ュー トリ ノに 先行 す る座 標 系 で 見 れ ば

ュ ー ト リ ノ の 質 量 は ゼ ロ と な っ て い る.し

は 強 固 な も の で は な い.標

てYも

あ る 可 能 性 も 否 定 で き な い.こ

存 在 し な け れ ば な ら な い.な

ヘ リ シ テ ィ が 逆 転 す る か ら で あ る.標

の で,ゲ

子 と反 粒 子 の 区 別

あ る.

が 有 限 な ら ば 光 速 以 下 で し か 走 れ ず,ニ

い る.こ

みが観察 され る と

然 が ψLの み を 選 択 し て い る こ と を

ュ ー ト リ ノ は 電 荷 を も た な い こ とか ら,粒

の つ か な い マ ヨ ラ ナ 粒 子(Ⅰ-§3.8参

の事

分 ワ イ ル 解(Ⅰ-§3.8参

験 的 に は 常 にνLとνcR*1)の

イ ル 解 ψLと ψRの う ち,自

ら に,ニ

パ

ヨ ラナ 粒 子 の と き は,νcR=νRで

書 く.粒 あ る.

存在す る の と き,

子 と反 粒 子 の 区別 が あ る とき

物 質 との相 互 作 用 の 強 さ は,ヒ

ッグ ス を介 す る とい う理 由 で 質 量 に 比例 し,質

量 が 小 さい と き は存 在 検 証 の テ ス トが 困 難 な の で あ る.以 上 がνRを な い と し て も 困 らな い理 由 で あ る.   現 在,ニ

ュ ー ト リ ノ の 質 量 は 実 験 誤 差 内 で い ず れ も0も

し く は 非 常 に0に

近

い こ とが 示 さ れ て い る2).

(4.1) 一 方

,宇

宙 論 を使 え ば,す

べ て の 香 りの ニ ュ ー トリノ に つ い て

(4.2) (4.3a) (4.3b) の 範 囲 に な け れ ば な ら な い こ とが い え る(文 献3,4),後 述 §8.4参 照).す ち,宇 宙 論 に よ れ ば,ニ

ュー ト リ ノの 質 量 が あ っ て は い け な い禁 止 領 域 が あ

り,こ の 条 件 を考 慮 す る と,ν μ, ν τの質 量 も また100eVを 論 で き る.な お,LEPに 質 量 が45GeV以

なわ

お け るZの

超 え な い こ とが 結

見 え な い モー ドへ の 崩 壊 幅 の 測 定 か ら,

下 の ニ ュ ー トリ ノの 存 在 は既 知 の3種 以 外 は 否 定 さ れ る.

  現 在 で は ニ ュー ト リノ振 動 の 存 在 が 確 立 し,ニ ュー トリ ノが 質 量 を もつ こ と は実 験 的 に 証 明 さ れ た とい え る(後 述 §4.6).そ れ が 素 粒 子 論 の 中 で どの よ う な位 置付 け を与 え られ るか は こ れ か らの 話 で あ るが,標 準 理 論 を超 え て発 展 す べ き方 向 の 指 針 とな る こ と は 間違 い な い.   標 準 理 論 で は,仮 も,な

に ニ ュー ト リ ノに 有 限 質 量 を与 え る こ と が で き た と して

ぜ ニ ュ ー ト リ ノ だ け が 他 の レ プ トン や ク ォ ー ク に 比 べ て 極 端 に 質 量 が 小

さ い の か(例

え ばmνe/me〓10-5)を,同

問 題 が あ る.質

時 に説 明 しなけ れば な らな い とい う

量 の 起 源 が ヒ ッ グ ス の 真 空 期 待 値 に あ る な ら ば,ヒ

ッ グ ス との

相 互 作 用 が ニ ュ ー ト リ ノ だ け 違 う 理 由 は 何 も な い か ら で あ る.注

意 深 い読者

は,ト て105も

ッ プ の 質 量(mt∼175GeV)は 大 き く,質

一 番 軽 い 電 子 の 質 量(0.5MeV)に

比べ

量 の ス ケ ー ル 問 題 は ニ ュ ー ト リノ に 限 った 特 殊 な 問題 で は

な い と思 う か も しれ な い.し に 軽 い(mνe≪me, mνμ≪mμ, mν

か し,ニ

ュ ー ト リ ノ の 質 量 は 同 じ世 代 の 中 で 特 別

τ≪mτ)の

に 反 し,ト

ップ の 質 量 が 重 い こ と

は 世 代 の 謎 と密 接 に結 びつ い て い て,別 の 次 元 の 問 題 と と ら え る必 要 が あ る. な お余 談 に な るが,世 代 の謎 に 関 して は,現 時 点 で 説 得 力 の あ る説 明 は存 在 し な い.一 つ の可 能 性 は,ク ォー クや レ プ トン が 複 合 粒 子 で,第2,第3世

代は

第1世 代 の 励 起 状 態 で あ る と考 え る もの で あ る.し か し,こ れ とて も,励 起 状 態 の エ ネ ル ギー が 基 底 状 態 の105倍

もあ る レベ ル 構 造 は考 え に くい とい う難 点

を もっ て い る.   そ こで,以 下 マ ヨラナ の可 能 性 を含 め て,質 量 項 の 一 般 的 な取 扱 いか ら議 論 を始 め よ う.

  4.1.2 

質

量

行

列

  a.  マ ヨ ラ ナ 質 量   任 意 の 二 つ の ス ピ ノ ー ル場,ψ1,

ψ2に 対 し て,

(4.4) は,ロ

ー レ ン ツ 不 変 量 で あ る.ψ1=ψ2の

を デ ィ ラ ッ ク 質 量 項 と い う.し

と き,ラ

か し,ψ1=ψ2cも

己 エ ネ ル ギ ー と して の 解 釈 は 成 立 す る か ら,質

グラ ンジア ンの 中の この項 し く は ψ2=ψ1cで

あって も 自

量 項 と し て の 候 補 に な る.通

常

こ の 形 を 質 量 項 に 加 え な い の は,

(4.5a) (4.5b) で あ るの で,位 相 変 換 に対 して不 変 で は な く,電 荷 ま た は レプ トン数 保 存 則 を 破 るか ら で あ る.こ の こ とか ら直 ち に荷 電 粒 子 は 上 記 の よ う な質 量 項 を もた な い こ と,つ ま りマ ヨラ ナ 粒 子 で は あ りえ な い こ とが わか る.ニ ュー ト リノ は, 荷 電 レプ トン と と もに2重 項 をつ くるの で,荷 電 粒 子 と共 通 の レプ トン数 を も ち,か つ レ プ トン数 保 存 が 成 立 す る と考 え る と,弱 相 互 作 用 の 実 験 事 実 は 矛 盾 な く説 明 で き る.こ の 場 合 ニ ュ ー ト リノ は マ ヨ ラナ で は な い.し か し,よ

く考

え る とニ ュー ト リ ノ は 中 性 で あ り,粒 子 と 反 粒 子 を 区 別 す る 指 標 が な い.実 際,こ えば

れ ま で レプ トン数 保 存 の証 拠 と考 え られ て きた あ る種 の 反 応 の有 無,例

な ど は,弱

相 互 作 用 のV-A型

と い う 性 質 に よ っ て,レ

プ トン と右 巻 き は1対1に い こ と に 気 が つ く*2).真

対 応 す る の で,ヘ

プ ト ン と左 巻 き,反

レ

リ シ テ ィ 保 存 則 の テ ス トで し か な

の レ プ ト ン 数 非 保 存 の テ ス ト は 後 述 す る 二 重 べー タ

崩 壊 を 見 な い と い け な い.す

な わ ち,こ

れ ま で の実 験 事 実 の み で は ニ ュー トリ

ノ が デ ィ ラ ッ ク ニ ュ ー ト リ ノ で あ る と は 断 定 で き な い の で あ る.し レ プ トン 数 保 存 が 破 れ て もか ま わ な い と い う条 件 を 入 れ れ ば,ニ

た が っ て,

ュ ー トリノ の

最 も 一 般 的 な ラ グ ラ ン ジ ア ン は,

(4.6) と書 け る.第1項

が 運 動 エ ネ ル ギー を表 し,第2項

3, 4項 をマ ヨ ラ ナ 質 量 項 と呼 ぶ.第3,

以 下 が 質 量 項 で あ る.第

4項 が な け れ ば,こ

れ は通常 のデ ィ

ラ ッ ク粒 子 の ラ グ ラ ン ジア ンで あ る.こ の ラ グ ラ ン ジ ア ンは 次 式 で定 義 され る 2個 の マ ヨ ラナ 場

(4.7) を導 入 して 書 き直 す と理 解 しや す い.任 意 の フ ェ ル ミオ ン場χ, φに 対 し,

(4.8) が 成 立 す る こ とを 使 えば

(4.9a) (4.9b) (4.9c) (4.9d) が 示 せ るの で,ラ

*2)  ニ

グ ラ ン ジア ン は

ュ ー ト リ ノ が 質 量 を も て ば,ニ

分 が(mν/Eν)2の

割 合 で 混 じ る.ま

テ ィ 成 分 の 寄 与 が あ る.し

ュ ー ト リ ノ生 成(π+→ た,反

た が っ て,こ

応(ν μ+p→

μ+νμ)に お い て 逆 ヘ リ シ テ ィ 成 μ+n)に

も 同 じ割合 だ け逆 ヘ リシ

れ を 越 え る 精 度 で,π+→

+nの 存 在 を 否 定 す れ ば,真 の レ プ トン 数 保 存 の 証 拠 と な る.逆 レ プ トン 数 非 保 存 の 証 拠 と な る.

μ++ν μ, ν μ+p→

μ+

に 一 例 で も見 つ か れ ば

(4.10a) と書 き 直 せ る.こ

こ に,

(4.10b) は ニ ュ ー ト リ ノ 質 量 行 列 と 呼 ば れ る.

 上 の ラ グ ラ ン ジ ア ン か ら,ニ ュー ト リノが 質 量 を もち か つ 実 験 事 実 に 適 合 す る ケー ス は 次 の3通

りに 分 類 で き る こ とが わ か る.

 (1) mD≠0, mL=mR=0:   デ ィ ラ ッ ク ニ ュ ー ト リノ で 荷 電 粒 子 と 同 じ方 程 式 に し た が う.同

つνRとνLの

両 方 が 存 在 し,こ の 事 実 に よっ て 位 相 変 換 不 変 性 が 成 立 し,そ

の 結 果 レ プ トン数 が保 存 す る.こ の 場 合,νRの

不 在 と質 量 が な い こ と は 同 じ

こ とを意 味 す る.こ の事 情 はνRの 存 在 しな い任 意 の モデ ル,例 なSU(5)大

じ質 量 を も

え ば 最 も簡 単

統 一 理 論 で も同 じで あ る.こ の場 合 の 質 量 を与 え る メ カ ニ ズ ム は,

uク ォー ク と同 じで あ り,フ ァ イ ンマ ン 図 と して は 図4.1(a)の 他 の レ プ トン質 量 を導 く と同 じ真 空 期 待 値 で,小

よ うに 表 す.

さ い 質 量 を 出 す た め に は,

ヒ ッ グ ス とニ ュ ー トリノ の結 合 は 他 に 比べ て 大 幅 に小 さ い と仮 定 しな け れ ば な らず,不

自然 で あ る と考 え られ て い る.

 (2)  mL≠0, mR=mD=0:   左 巻 き の マ ヨ ラ ナ ニ ュ ー ト リ ノ の み で 質 量 が 組 め る ケ ー ス で あ る.標 で は,左

巻 き ニ ュ ー ト リ ノ の み が 存 在 す る.し

ノ で あ れ ばνRが

な り,ア

ヨ ラナ ニ ュ ー ト リ

存 在 せ ず と も 質 量 を も つ 可 能 性 は 存 在 す る.し

子 と 組 ん で ア イ ソ ス ピ ン2重 ピ ン1と

た が っ て,マ

項 を 構 成 す る の で,質

イ ソ ス ピ ン1/2の

準理論

か し,νLは

電

量 項∼νLTCνLは

ア イ ソス

ヒ ッ グ ス に は 結 合 し な い か ら,ト

リー レベ

ル の 標 準 理 論 で は や は り質 量 は も て な い.た

だ し,ア

イ ソ ス ピ ン1の

ヒッグス

χ =(χ0 , χ-, χ--)が存 在 し て 真 空 期 待 値 を も て ば 質 量 を も つ こ と が で き る5).こ の 場 合 の ラ グ ラ ン ジ ア ン は 次 の 形 と な る.

(4.11) こ の ラ グ ラ ン ジ ア ン 自 身 は レ プ ト ン 数 を破 る と は 限 ら な い.χ を 担 え ば よ い か ら で あ る.し

か し,そ

に よ っ て 質 量 を 発 生 さ せ た 段 階 で,も 破 る こ と に な る.こ のχ')が

発 生 し,こ

の 結 果 質 量0の

え る.天

の 場 合χ に 真 空 期 待 値 を も た せ る こ と と も と は 保 存 し て い た レ プ ト ン 数Lを ゴ ー ル ドス トー ン ボ ソ ン(χ0=υ+ρ+iχ'

れ を マ ヨ ロ ン と呼 ぶ.し

に 対 す る 考 察 か ら,こ

時 発 生 す る有 限 質 量 の ρ

ρeに よ る 星 の 冷 却 作 用 加 速 が,観

進 化 速 度 と矛 盾 し な い と い う条 件)よ い う 条 件 が つ くの で6),Z→

り,ρ

Γinvに 対 す る 寄 与 は3種

測 され る星 の

の質 量 は 軽 くな け れ ば な ら な い と

ρχ'が運 動 学 的 に 可 能 と な る.こ

え な い チ ャ ネ ル へ の 崩 壊 幅ΓinvにΓ(Z→

の 場 合,Zの

ρχ')=2Γ(Z→νiνi)だ

な わ ち,ア

に よ り 否 定 さ れ る.ま

た,χ0が

の と き は,レ

イ ソ ス ピ ン1の

マ ヨ ロ ン の 存 在 はLEP実

験 験

レ プ トン数 を もた な い と きは マ ヨ ロ ン は 発 生

プ ト ン 数 保 存 を 破 る相 互 作 用 を は じ め か ら 仮 定 す る

つ ヒ ッ グ ス の 真 空 期 待 値 を小 さ く し な け れ ば な ら な い と い う 困

難 を合 わ せ もつ.   標 準 理 論 の ヒ ッ グ スΦ=(φ+,φ0)を

(a)

見

け 寄 与 し,

の 既 知 の ニ ュ ー ト リ ノ で つ き て い る と い うLEP実

デ ー タ に 矛 盾 す る.す

こ と に な り,か

か し,同

の マ ヨ ロ ンの 存 在 は 否定 され る こ とが 次 の よ う に して い

体 物 理 の 考 察(γe→

し な い が,こ

が レ プ ト ン 数2

(b) 図4.1 

使 っ て 質 量 項 を 出 す に は,

(c)

(d)

ニ ュ ー ト リノに 質 量 を与 え る メ カニ ズ ム

(a)  デ ィ ラ ッ ク ニ ュー トリ ノ (b)  マ ヨ ラナ ニ ュー ト リ ノ,(c), (d)は(b)の モデ ル 例 (c)  レ プ トン数 を破 る荷 電 ス カ ラーh-と 荷 電 ヒ ッ グ ス φ-を 通 す ルー プ (d)  シー ソー メ カ ニ ズ ム φ0は ア イ ソス ピ ン1/2の

標 準 ヒ ッ グス で あ る.

(4.12) の 形 の 相 互 作 用 が 必 要 で あ る(図4.1(b)).こ で,何

らか の 新 相 互 作 用(適

れ は,繰

用 エ ネ ル ギ ー ス ケ ー ル ∼Λ)の

ル ギ ー で の 実 効 ラ グ ラ ン ジ ア ン と 見 な せ る.そ こ れ に は,レ

ス が あ れ ば,h-と

ら に荷 電 ヒ ッ グ

も結 合 す る の で ル ー プ が 形 成 で き て,(4.12)の こ で φ が 真 空 期 待 値υ

mν ∼fυ2/Λ と な り,f∼1, υ=246GeVと ∼1014GeVを

を も て ば,ニ

す れ ば,数eV程

必 要 と す る.こ

な る1).す

な わ ち,ニ

実効 ラグラ ュー ト リノ質 量

度 の 質 量 を つ くる

の 相 互 作 用(νLφ

散 乱)に

ケ ー ル で の ユ ニ タ リ テ ィ を 要 求 す る と,f/Λ<2π/mPlanckと mν〓10-5eVと

示 す.

項 の 荷 電 ス カ ラ ーh-

存 在 を 想 定 す る(L∼-glcRνLh-).さ

ン ジ ア ン が つ く れ る.こ

に は,Λ

高 次効 果 の低 エ ネ

の 一 例 を 図4.1(c)に

プ ト ン 数 保 存 を 破 る ア イ ソ ス ピ ン1重

(ヒ ッ グ ス で は な い)の

り込 み 不 可 能 で あ る の

プ ラン クス

な り,こ

の ときは

ュ ー ト リ ノ 質 量 が 小 さ い と い う 事 実 は,

ニ ュ ー ト リ ノ質 量 発 生 の 原 因 と な る 新 相 互 作 用 の エ ネ ル ギ ー ス ケ ー ル が 非 常 に 大 き い と い う こ と を 示 唆 す る こ とが わ か る.大 ∼1015GeV)が

,ニ

統 一 理 論(エ

ネ ル ギー ス ケ ー ル

ュー ト リノ質 量 を 説 明 す る有 力 な候 補 と して 注 目 さ れ るの

は こ の 理 由 に よ る.  (3) mD≠0,

mL≠0,

  左 巻 き と右 巻 き の2種 で あ っ て,上 る.こ

mR≠0:

の マ ヨ ラ ナ ニ ュ ー ト リ ノ が 存 在 し,mL≠mRの

場合

記 の 最 も一 般 的 な ニ ュ ー ト リ ノ質 量 行 列 で 記 述 さ れ る場 合 で あ

の 場 合,余

分 の 右 巻 き マ ヨ ラ ナ 粒 子νRが

と は 両 立 し な い.νRが

存 在 す れ ば,そ

存 在 す る の で や は り標 準 理 論

れ の 交 換 に よ っ て,上

結 合 を 実 効 的 に 実 現 で き る(図4.1(d)).こ

に 述 べ たνLνLφφ

の 場 合Λ=mνRと

な る.こ

れ を

シ ー ソ ー メ カ ニ ズ ム と呼 ぶ.   b. 

シ ー ソ ー メ カ ニ ズ ム7)

  (4.10)の

ニ ュ ー ト リ ノ 質 量 行 列 を 対 角 化 し て 得 ら れ る 二 つ の 場 を,ν', N,

そ の 固 有 質 量 を そ れ ぞ れmν, の 混 合 で あ り,決 外 は,標

mNと

す る.こ

の 質 量 固 有 解 はL成

ま っ た カ イ ラ リ テ ィ 固 有 状 態 に な い.い

準 理 論 の 枠 内 で 考 え る こ と に し よ う.そ

ヒ ッ グ ス が な い か ら,νLは

質 量 を も て ず(mL=0),デ

まνRを

うす る と,ア

分 とR成

分

導 入 す る以

イ ソ ス ピ ン1の

ィ ラ ッ ク 質 量mDは

通

常 の ク ォ ー ク も し く は 荷 電 レ プ トン の 質 量 を 表 す こ と に な る.し

た が っ て,

(4.13) と い う条 件 が 設 定 され る の で,質 量 固有 解はmLを

無 視 す る近 似 で 次 の よ うに

表 され る.

(4.14a)

(4.14b) 質 量 が 負 で あ る こ とは 問 題 で は な い.ν ≡γ5ν'と変 換 す れ ば,質 量 を正 に で き る から で あ る.上 式 か ら

(4.15) と な り,mRを

大 き くす る こ と に よ りmν

シ ー ソ ー 機 構 と い う 名 の 由 来 で あ る.こ

を 小 さ くす る こ と が で き る .こ の と き,ν

れが

は ほ ぼ 左 巻 き で あ り,N

は ほ と ん ど 右 巻 き で あ る.   mD≒mlと mRを

お き,ニ

ュ ー ト リノ質 量 を実 験 に 矛 盾 し な い 範 囲 に 入 る よ うに

設 定 す る と,

(単位eV)

(4.16) と な る.す

な わ ち,ニ

∼O(1015GeV)か

ュ ー ト リ ノ 質 量 だ け か ら は,mRは

ら ∼200GeVく

大 統 一 の スケー ル

らい まで の 可 能 性 が あ る .た

宇 宙 論 に よ る 制 限 を信 じ る な ら ば,mRは

だ し,(4.2)の

相 当 に 大 き く(〓108GeV)と

らな

け れ ば な ら な い.   以 上 に 述 べ た よ う に,マ

ヨ ラ ナ ニ ュ ー ト リ ノ で あ れ ば,ニ

を 小 さ くす る メ カ ニ ズ ム が い くつ か 考 え ら れ る.デ 合 は,小

ィ ラ ッ クニ ュー ト リノの 場

さ い 質 量 を 自 然 に 導 入 す る こ と が む ず か し く,恣

れ ば な ら な い.こ が 有 力 で あ る.

の 理 由 で,ニ

ュー ト リノの 質 量

意的 に 手 で 入 れ な け

ュ ー ト リ ノ は マ ヨ ラ ナ 粒 子 で あ る とす る 考 え 方

  4.1.3 

左右対称 モデル

  a.  質 量 ハ イ ラ ー キ ー   こ う し た メ カ ニ ズ ム を 与 え る 一 つ の 可 能 性 と し て 左 右 対 称 モ デ ル が あ る8). 左 右 対 称 モ デ ル と は,標 る も の で,対

準 理 論 の 中 のSU(2)LをSU(2)R×SU(2)Lに

称 性 の 破 れ が 次 の2段

拡 張 す

階 を 経 て 生 じ る と 仮 定 す る.

(4.17) <φ>R, Lは,そ

れ ぞ れ 右 巻 き,左

巻 きゲ ー ジ粒 子 に質 量 を 与 え る ヒ ッ グ ス

粒 子 が 真 空 期 待 値 を も つ こ と を 示 す.最 を 獲 得 し,次

初 の 段 階 で ゲ ー ジ ボ ソ ンWRが

に 通 常 の 電 弱 相 互 作 用 の 対 称 の 破 れ が 起 き て,WLと

ク ォ ー ク や レ プ ト ン も 質 量 を 獲 得 す る と 考 え る.WRの ば,WRの

右 巻 き フ ェ ル ミオ ン2重

制 さ れ る から,右 る 舞 う.し

質量 と もに

質 量 が 十 分 大 きけ れ

項 に 対 す る 結 合 は 大 幅 に(∼mWL2/mWR2)抑

巻 き フ ェ ル ミ オ ン は,近

似的 にSU(2)Rの1重

項 の よ う に振

た が っ て,

(4.18) は,左

右 対 称 理 論 の 枠 組 み の 中 で は 自 然 な 設 定 で あ る.左

一 理 論 の 枠 組 み の 中 で 自 然 に 現 れ る(例 標 準 理 論 のSU(2)L×U(1)と す る こ と に よ り,ニ

え ばSO(10)モ

右 対 称 モ デ ル は大 統

デ ル)

.以

上 の 議 論 で,

い う 枠 組 み を,SU(2)R×SU(2)L×U(1)に

拡 張

ュ ー ト リ ノ の 質 量 の 有 限 性 と小 さ さ が 自 然 に 説 明 で き る こ

と が わ か る.   b.  右 巻 き ボ ソ ン の 質 量 の 現 象 論 的 制 限   現 象的 には,左

右 対 称 理 論 に 対 す る 制 限 は,次

の よ う に 与 え ら れ る.右

巻 き

粒 子 に 作 用 す る ゲ ー ジ ボ ソ ン と 左 巻 き粒 子 に 作 用 す る ゲ ー ジ ボ ソ ン は 混 合 角 ζ で 混 合 し,物

理的 に 観 測 さ れ る 質 量 固 有 状 態 のW1±, W2±,

常は 混 合 角 ζは 小 さ い と み な し,W1≒WL, て,mR≫mLと   (1)  mZRの   ZRが

す る.数

な る.通

Z2≒ZRと

考 え

値的 に は 次 の よ う な 条 件 がつ く.

制 限

存 在 す る と, ZRを

介 す る 過 程 の 寄 与 が 加 わ る.す

トに よ る 断 面 積 が 変 わ る が,標 mZRに

W2≒WR, Z1≒ZL,

Z1, Z2と

制 限 が で き て9),

な わ ち,中

性 カ レン

準 理 論 で 実 験 デ ー タ を よ く説 明 で き る こ とか ら

(4.19)   (2)  mWRの

制限

  m(νR)≪mμ の 場 合:こ +A相

の 場 合,νRが

μ の 崩 壊 生 成 物 と して 現 れ る が,V

互 作 用 を通 す の で,μ の 崩 壊 のV-A相

うか を見 れ ば,WRの

存 在 が わ か る.最

互 作 用 から の ズ レが あ るか ど

も厳 密 な制 限 は,静 止 した 偏 極 μ の 崩

壊 で 測 定 した ミシ ェル パ ラ メ ター(ξ)の 測 定 か ら得 られ る10).

(4.20)   m(νR)〓mμ の 場 合:WRが

あ る と,WLと

の 質 量 差 に 寄 与 す る(図2.6の

同 様 の 過 程 に よ り中 性K中

箱 型 図 の 中 のWL→WRと

間子

す る).ク ォ ー ク の

混 合 行 列 が 左 右 対 称 とす れ ば,こ の 寄 与 は計 算 で き て

(4.21) SMの

指 標 は標 準 理 論 の 意 味 で あ る.質 量 差 は標 準 理 論 で ほぼ 説 明 で き る こ と

か ら,

(4.22) が い え る10,11).な お,QCD補 な る12).上

正 を 考 慮 す る とmWRの

記 議 論 の 結 論 は,mZR,

mWRの

下 限 は さ ら に2倍

質 量 が 十 分 大 き け れ ば,左

大 き く

右 対 称 モ

デ ル の 存 在 は 現 在 の デ ー タ と矛 盾 し な い と い う こ と で あ る.

4.2 

レ プ トン 数 非 保 存 テ ス ト

  マ ヨ ラ ナ 粒 子 が 存 在 す る と い う こ とは レ プ ト ン数 が 保 存 し な い と い う こ と で あ る.レ

プ トン 数 非 保 存 の テ ス トで 重 要 な のは2重

崩 壊 と は 原 子 核 が 電 子 を2個 応 で,2ν

放 出 し て,原

モ ー ド と0ν モ ー ドの2種

β 崩 壊 で あ る13,14).2重

子 番 号 が2大

β

き い原 子 核 に 変 わ る 反

類 あ る.

2ν モ ー

ド

 (4.23a)

0ν モ ー

ド

 (4.23b)

2ν モ ー ドは 通 常 の β 崩 壊 が 核 内 で2重

に 起 き る も の で(図4.2),弱

い相 互

(a)

(b) 図4.2 

(c)

2重 ベ ー タ崩 壊 の三 つ の 過 程

(a)  2ν モ ー ド,(b) 

0ν,(c) 

マ ヨロ ン放 出 モ ー ド

作 用 の 高 次 の 結 果 と し て 当 然 に 期 待 さ れ る も の で あ る.0ν 後 で レ プ トン 数 が2変

化 し て い て,レ

モ ー ドは 反 応 の 前

プ トン 数 保 存 が 破 れ て は じめ て 起 こ る 反

応,つ

ま り ニ ュ ー ト リ ノ が マ ヨ ラ ナ で な い と 起 こ ら な い 反 応 で あ る.図4.2

(b)の

ヴ ァ ー テ ッ ク ス1の

は,と

も に 電 子 放 出 に 関 わ る の で,一

ニ ュ ー ト リ ノ と ヴ ァー テ ッ ク ス2の

方 が 放 出 な ら ば 他 は 吸 収 の 関 係 に あ る.

つ ま り,一

方 が ヘ リ シ テ ィ プ ラ ス で あ る な ら ば,他

ら な い.ヘ

リ シ テ ィ が 逆 の 成 分 と 結 合 さ せ る に は,ニ

か(こ

の 場 合,逆

参 照),あ る.実

方 は マ イナ ス で なけ れ ば な

の ヘ リ シ テ ィ 成 分 が ∼(mν/me)2程

る い はV+A相

験 的 に は,0ν

ニ ュー ト リ ノ

ュ ー ト リ ノ が 質 量 を もつ 度 存 在 す る.Ⅰ-(3.97)

互 作 用 を もつ か の ど ち らか ま た は 両 方 が 必 要 で あ モ ー ド と2ν モ ー ドは,2個

の 電 子 の エ ネ ルギー 和 が,一

定 の 値 を と る か 連 続 ス ペ ク トル と な る か で 区 別 が で き る(図4.3).2重ベー 崩 壊 は1023年

も し く は そ れ 以 上 の 崩 壊 寿 命 を も ち,自

タ

然 環 境 に よ る背 景 雑 音

(宇 宙 線 も し く は 測 定 器 を 構 成 す る物 質 内 の ア イ ソ トー プ か ら の 乱 雑 信 号)の 影 響 の 除 去 が 困 難 な 実 験 で あ る.2ν

モ ー ドは 観 測 さ れ て い て15),

(4.24) (4.25) を 与 え る が,0ν ウ ム(Ge)か

モ ー ドは 検 出 さ れ て い な い.現

在,最

良の上 限値 はゲ ルマ ニ

ら 得 ら れ て いて16),

(4.26)

こ れ を,ニ ュ ー ト リノ質 量 の 上 限値 に換 算 す る に は 原 子 核 行 列 の知 識 が 必 要 で あ るが,1桁

くら い の不 定 性 を伴 う.

  しか し,0ν モー ドに 現 れ る行 列 要 素 は2ν モー ドに現 れ る行 列 要 素 と同 じ で あ る の で,2ν

モー ドが 測 定 で きて い る場 合 の 両 モー ドの 比 は信 用 で き る と

考 え られ る.種 々 の 計 算 を総 合 してマ ヨ ラナ ニ ュー ト リノの 質 量 の上 限 値 は17)

(4.27) とな る.   左 右 対 称 モ デ ル で は,V+Aに 定 数 のV-A結

結 合 す る相 互 作 用 が 存 在 す る.V+A結

合

合 に 対 す る 比 を λ とす る と,実 験的 に は,

(4.28) を 与 え る.た

だ し,モ

デ ル 計 算 を す る と,軽-重

う 余 分 の パ ラ メ タ ー が 入 る の で,WR-WLの

ニ ュー ト リノ の 混 合 角 θ と い

混 合 角 ζやmWRに

対 す る制 限は

モ デ ル に 依 存 す る13).   マ ヨ ロ ン が 存 在 す れ ば,2個 る(図4.2(c)).こ

の ニ ュ ー ト リノが マ ヨロ ン とな る過 程 が 存 在 す

の と き は2ν モ ー ドの ス ペ ク トル の 形 が 変 わ る の で 検 知 で

き る(図4.3(c)).実

験 的 に は2ν モ ー ドの 電 子 エ ネ ル ギ ー ス ペ ク トル が マ ヨ

ロ ン が な い と し た と き の ス ペ ク トル に よ く合 う の で,マ

図4.3 

2重ベー

ヨロ ンに 制 限 が つ け ら

タ崩 壊 に おけ る電 子 の エ ネ ル ギ ー ス ペ ク トル

(a)  2ν モ ー ド,(b) 

0ν,(c) 

マ ヨ ロ ン放 出

*3) ニ ュ ー トリノに 香 りの 混合 が 存 在 す る と きは ,2重 ベ ー タ崩 壊 よ り求 め られ るマ ヨ ラナ 質 量 は,  と質 量 固有 状 態 の 混合 行 列 の 重 み をつ け た平 均 値 で 置 き 換 えね ば な らな い.こ こ に,ηjは 位相 因子 で,CP固 有 状 態 に よ り符 号 を変 え る量 で あ る.こ の 位 相 因 子 が あ る おか げ で,固 有 の マ ヨ ラ ナ質 量 は 大 き い に もか か わ らず2重 ベー タ崩壊 に寄 与 す る<mν>は 小 さい とい う状 況 も起 こ りう る こ とに 注 意す る.た だ し 大 方 の モ デ ル で は,<mν>≒mνeで

あ る.

れ る.し

か し,マ

ヨ ロ ン はνR2個

す で に 述 べ た よ う に,LEPのZ崩

か ら つ く ら れ る の で ア イ ソ ス ピ ン1を

も ち,

壊 の 実 験 結 果 で 否 定 さ れ て い る.

4.3  ニ ュ ー ト リ ノ の 電 気 的 性 質

  ニ ュー トリ ノの 電磁的 性 質 は,次 の 電 流 の 形状 因子 を調 べ る こ とに よ り得 ら れ る.

(4.29) こ こ に,qμ=pμ-p'μ 率,第4項

で あ る.第1,

2項 は 電 気 分 布 を 与 え,第3項

が 電 気 双 極 子 能 率 を与 え る.電 気 双 極 子 はT保

が磁 気能

存 を破 る の で 以 下

の 議 論 で は 考 え な い こ と にす る.

  4.3.1 

電

荷

分

  νLに 対 し て は,γ5は

布 単 に-1を

をQ(q2)=F1(q2)+G1(q2)と 径 をrと

す る と,形

与 え る の み で あ る の で,νLの

書 く.ニ 状 因 子Q(q2)は

電 気 形 状 因子

ュー ト リノ の 電 荷 の 広 が りの 平 均 自乗 半 ρ(r)を 電 荷 分 布 関 数 と し て

(4.30) と書 け るか ら,ニ

ュ ー ト リ ノ の 全 電 荷(上

互 作 用 が 可 能 と な る.ニ 与 え られ る.計

式 第1項)は0で

あ っ て も,電

磁相

ュ ー ト リ ノ の 電 磁 形 状 因 子 を発 生 す る 過 程は 図4.4で

算 に よ れ ば18),

(4.31) を 与 え る.νe, ντの値 電 気 分 布 効 果 は,現

は20∼30%の

象的 にはZ0の

範 囲 でν μの 値 に ほ ぼ 等 し い.こ

の

ベ ク トル 結 合 定 数 の 値 の 変 化gV→gV+δgV

(ま たは 同 じ こ と で あ る が δsin2θW)と

し て 現 れ る.

(4.32) sin2θWの 値 の 世 界 平 均 値 とνμe散乱 デ ー タか ら導 い た値 との 差 を電 荷 分 布 に

よ る効 果 とす れ ば,

(4.33) が 得 ら れ1),計

算 値 の 精 度 に あ と一 息 と い う と こ ろ で あ る.

(a) 図4.4 

  4.3.2 

磁

気

(b)

ニ ュ ー ト リノ と電 磁 場 との 相 互 作 用 を示 す フ ァ イ ンマ ン 図

能

率

 γ行 列 の 性 質 か ら任 意 の フ ェ ル ミ場X,

φ に 対 し,

(4.34) が 成 立 す る か ら,磁

気 相 互 作 用 は ス ピ ン を 反 転 す る.し

イ ル ニ ュ ー ト リ ノ は 磁 気 能 率 を も て な い.デ で あ る.次

た が っ て,2成

ィ ラ ッ クニ ュ ー ト リノ な らば 可 能

に マ ヨ ラ ナ ニ ュ ー ト リ ノ を 考 察 す る た め に,(4.29)の

を ニ ュ ー ト リ ノ が 複 数 の 香 り を も つ 場 合 に 一 般 化 し て,マ をNi=niL+nicRと

書 く と,磁

分 の ワ

磁 気 能率 項

ヨ ラナ ニ ュ ー ト リノ

気 能 率 に よ る相 互 作 用 ラ グ ラ ン ジ ア ン は 次 の よ

う な 形 に 書 き 表 せ る.

(4.35) 次 に,njcR=CnjLTを

使 え ば,

(4.36) で あ る か ら,

(4.37) と な る.し

た が っ て,対

気 能 率 を も て な い.し

角 項 は な く,マ か し,非

ヨ ラ ナ ニ ュ ー ト リ ノは 自 分 自 身 で は 磁

対 角 項 は 存 在 し う る か ら,2種

ニ ュ ー ト リ ノ が 存 在 す る と き は,

以 上 の マ ヨ ラナ

(4.38) に よ っ て,磁

場 と相 互 作 用 が 可 能 で あ る(遷

移 磁 気 能 率 を も つ).す

な わ ち,

ニ ュ ー ト リノ が 磁 気 能 率 を もつ こ とが わ か れ ば そ れ は デ ィ ラ ッ ク粒 子 で あ る が,磁

場 に よ る 相 互 作 用 が あ る か ら と い っ て,デ

ィ ラ ッ ク 粒 子 と証 明 さ れ た こ

と に は な ら な い.   標 準 理 論 で,図4.4の

ル ー プ 図 を 計 算 す る と19),

(4.39) とな り,非 常 に小 さい.  磁 気 能 率 μνを もて ば,電 子 と散 乱 が 可 能 で あ り,断 面積 が

(4.40) だ け 増 加 す る20).Eν

は 入 射 ニ ュ ー ト リ ノ の エ ネ ル ギ ー,Eeは

散 乱 さ れ た電 子

の エ ネ ル ギ ー で あ る.   原 子 炉,加

速 器 に よ る 実 験 デ ー タ は,ニ

い 標 準 理 論 で よ く 説 明 で き て い る か ら,こ

ュー ト リノの 磁 気 能 率 効 果 を含 まな れ か ら,μν の 上 限 が 求 め ら れ る2).

(4.41a)21) (4.41b)21) (4.41c)22)   地 上 の 実 験 値 制 限 よ りは 多 少 強 い 制 限 が,恒 る.星

の 中 で は,フ

星 の 冷 却 機 構 考 察 よ り得 られ

ォ トンが 質 量 を もつ プ ラ ズ モ ン γ*に な って い て,γ*→

νν反 応 を 引 き起 こす.ニ

ュ ー ト リノ は超 高 密 度 星 で な い 限 り星 の 内部 の 物 質

との相 互 作 用 は 無 視 で き るの で その ま ま外 部 に エ ネ ル ギー を もち さ り,恒 星 の 燃 焼 に よ る進 化 を促 進 す る.ニ ュー トリ ノが磁 気 能 率 を も て ば,そ の 分 冷 却 作 用 が 大 き くな る.こ の効 果 は,恒 星 の 進 化 の 後 期 で特 に 著 しい.恒 星 の 冷 却 速 度 を観 測 結 果 と矛 盾 しな い 範 囲 に お さめ る と,μν に対 す る上 限 が得 られ る. μ(νe)<1.1×10-11 

恒 星 冷 却(γ*→

νν ）

<(2∼3)×10-12 

赤 色 巨星

<0.5×10-10 

宇 宙 元 素 合 成(νLe→νRe) 

 (4.42a)23)  (4.42b)24) (4.42c)23)

(4.42d)25) 宇 宙 元 素 合 成 の 議 論 は,ビ が,宇

ッ グバ ン 直 後 電 弱 相 互 作 用 に よ りつ く ら れ る νR

宙 の エ ネ ル ギー 密 度 を あ ま り大 き く しな い とい う条件(宇 宙 の ヘ リウム,

重 水 素 組 成 な ど を 乱 す)か

ら得 ら れ る.超

新 星SN1987Aに

関 す る考 察

な り定 性的 な 取 扱 い を含 む の で,3種

の ニュー トリノ

は §4.7.3で 後 述 す る.   天 体 物 理 の 議 論 は,か

が もつ 一 番 大 き な磁 気 能率 に対 して の制 限 は,大

ざっぱに言って

(4.43) と して よ い で あ ろ う.い ず れ にせ よ,標 準 理 論 の予 想 値 とは か け 離 れ た大 きさ の 精 度 で しか 抑 え られ て い な い.逆 が,標

に い え ば,上

記 の 実 験 の 上 限 値 を下 回 る

準 理 論 予 想 値 よ りは 大 き い値 が 見 つ か れ ば,そ れ は新 現 象 の 証 拠 とい う

こ とに な る.

4.4 

  4.4.1 

ニ ュ ー トリノ混合

ニ ュ ー トリノ質 量 の 直 接 測 定

  ニ ュ ー ト リ ノ には3種

類 の 香 りの 状 態νf(f=e,μ,τ)が

は 質 量 固 有 状 態νj(j=1∼3)と

一 致 し な い か ら,異

あ る.こ

れは一般 に

種 ニ ュ ー ト リ ノ間 の 混 合 が

起 こ る 可 能 性 が あ る.

(4.44) こ こ に,Ufjは こ の 場 合,香

ク ォ ー ク セ ク タ ー の 小 林-益 川 行 列 に 対 応 す る 混 合 行 列 で あ る. りの 固 有 状 態 の 質 量 は 各 質 量 の 加 重 平 均 で 表 さ れ る.ま

り の 状 態 が 現 れ る と き は,そ と を 意 味 す る の で,次

た あ る香

れ と結 合 し て い る 質 量 固 有 状 態 が す べ て 現 れ る こ

の よ う な 現 象 が 期 待 で き る26).

  (1)  K±(π ±)→ μ±νj,e±νjの 崩 壊 がνjとνμ,νeと に 比 例 す る 確 率 で 起 き る.こ

の と き,μ(e)の

の 混 合 を 通 じ て,￨Ufj￨2

エ ネ ル ギ ー ス ペ ク トル に は,mj

に 対 応 す る と こ ろ に 山 が で き る(図4.5(a)).   (2)  ベー タ 崩 壊 の よ う な3体 ペ ク トル)の

中 で,mjに

崩 壊 では,カ

ー リー プ ロ ッ ト(エ

対 応 す る と こ ろ が 階 段 状(図4

.5(b))に

ネ ルギー な る.

ス

  (3) νjが

μ や 電 子 よ り重 け れ ば,さ

 こ の と き の 検 出 方 法 は,い

ら に μ やeに

わ ゆ る ビ ー ム ダ ン プ の 実 験 に ニ ュ ー ト リ ノ検 出 器

を組 み 合 わ せ て 得 ら れ る(図4.6(c)).1次 K中

崩 壊 で き る(図4.6(a)).

陽 子 ビ ー ム が 標的

間 子 を 生 成 し ニ ュ ー ト リ ノ(ν μ も し く はνe)に

ビー ム と な る と き,混

合 が 存 在 す れ ば,￨Uiμ￨2ま

重 いνiが つ く ら れ る.こ

の 重 いνiは,通

を 叩 い て,π

崩 壊 して ニュー トリノ

た は￨Uie￨2に

比 例 す る確 率 で

常 の ニ ュー ト リノ と同 じ くニ ュ ー ト

リ ノ検 出 器 の と こ ろ ま で 飛 来 し て,そ

こ で 再 び￨Uiμ￨2ま た は￨Uie￨2に

確 率 で μ+(eνe)も

崩 壊 し,異

信 号 を 出 す.し

し く はe+(μνμ)に

た が っ て,μe対

や

比例 す る

種 レ プ ト ン 対(eμ)の

の 生 成 率 よ り￨UfiUif'￨2(f,f'=μ

特徴 的

ま た はe)が

測 定 で き る27).   (4)  香 り の 固 有 状 態 が 時 間的 に 変 化 す る.こ

れは 例 え ば,ν μが 生 成 さ れ て

も 時 間 が た つ とνeに な っ た り す る 現 象 で あ り,ニ

ュー トリノ振動 と呼 ばれ

る28).   (1),

(3)の

過 程 は,Kま

MeV領

域 で,(2)の

1MeV領

域 で,有

た は π の 崩 壊 で 生 成 さ れ る の で,1〓mj〓490

過 程は,原

子 核 β 崩 壊 で 生 成 さ れ る の で,1keV〓mj〓

限 質 量 の ニ ュ ー ト リ ノ を 探 す の に 適 し て い る.現

実 験 で は 検 出 さ れ て お ら ず,￨Ufj￨2<10-3-10-6と

在 までの

い う制 限 が 得 ら れ て い る

(図4.729))*4).

(a) 図4.5 

ニ ュー ト リノ混 合 が存 在 して,質 トル

(a)  2体 崩 壊 で はmνi>0で

(b) 量 固 有 状 態 が 混 在 し て い る と きの エ ネ ル ギー 運 動 量 ス ペ ク

あ る と,そ れ ぞ れ の 対 応 す る と こ ろ に 山 が 生 じ,そ の 大 き さ は￨Uai￨2

(図 は α=μ)に 比例 す る. (b) ベー タ崩 壊 な どの3体 が 階 段 状 と な る.

崩 壊 で は,カ ー リー プ ロ ッ トが 直 線 で な く,Emax-mνiに

対 応 す る とこ ろ

(a)

(b)

(c) 図4.6 ビ

ー ム ダ ンプ に よ る重 い ニ ュー ト リノの 探 求

陽 子 ビー ム を標 的 に あ て て,D,K,π を生 成 させ る.標 的 が 薄 け れ ば,K,π が 崩 壊 す る と き,重 い ニ ュ ー トリ ノが で き,μ-フ ィ ル ター を通 過 し た後,ニ ュー ト リ ノ検 出器 の とこ ろ で 崩壊 し てμ±e〓と い う信 号 を与 え る.標 的 を十 分 厚 くす れ ば,K,π

は 崩 壊 す る 前 に 吸 収 さ れ るが,短

寿 命 のDな

どは

崩壊 で き る. (a) νiの 生 成. (b) νiの 崩 壊 の フ ァ イ ンマ ン図.生 成 ×崩 壊 の 反 応 率 は￨UμiUie￨2,￨Uμi￨4に 比例 す る. (c)  ニ ュ ー トリ ノ ビー ム 生 成,検 出 器 を ビー ム ダ ンプ 実 験 装 置 と して使 用 す る.

  (4)の

ニ ュ ー ト リ ノ 振 動 で は,質

差 

量 そ の も の は 測 定 で き な い が,質

が 観 測 量 と し て 入 っ て く る.シ

じ れ ば, 

で あ る か ら,Δm2を

る こ と と 同 等 で あ る.二 直 接 測 定 で は,到 ノ 振 動 で は,実

ー ソー メ カニ ズ ム を 信

決 め る こ と は質 量 を決 め

リチ ウ ム ベ ー タ 崩 壊 に よ る 質 量 の

達 質 量 下 限 が た か だ か0.1∼1eV程

度 で あ る が,ニ

験 条 件 を 適 当 に 設 定 す る こ と に よ り(後

(keV)2∼10-11(eV)2の ら な か っ た こ と,理 ど か ら,質

重 べー タ 崩 壊 や,ト

量 は1eVよ

に 使 え る 現 象 は,ほ

ュー ト リ

述 表4.1),Δm2≒1

領 域 で 測 定 が 可 能 で あ る.(1),(2),(3)の 論 の 予 想 値(4.16)は

量 の 自乗

方法 で見つ か

非常 に 小 さ い 質 量 値 を与 え る こ と な

り は る か に 小 さ い と 考 え ら れ る.こ

の と き,質

量検 出

ぼ ユ ニ ー ク に ニ ュ ー ト リ ノ 振 動 に 限 定 さ れ る.

 4.4.2  ニ ュ ー ト リ ノ 振 動  異 種 ニ ュ ー ト リ ノ 間 の 振 動 現 象 を 正 確 に 扱 う に は,3種

*4)  ベ ー タ 崩 壊 の ス ペ ク トル の 精 密 測 定 より う実 験 デ ー タ が 一 時 話 題 と な っ た が30),こ

,mν=17keVの

間 の遷 移 を 同 時 に解

ニ ュ ー トリ ノ が 存 在 す る と い

の 存 在 は 否 定 さ れ た31).

図4.7 

2体,3体

崩 壊 で 得 られ た重 いニ ュー ト リノiと

限 値.mν〓1GeVはe+e-→νiνi反 壊,mν〓1MeVは

く必 要 が あ るが,通

ミュー オ ン ま た は 電 子 との 混 合 行 列 要 素 の 上

応,mν〓500MeVはK崩

壊,mν〓100MeVは

π崩

ペ ー タ崩 壊 で 得 られ た もの29).

常 は 実 験 デー タ を2種 間 の遷 移 の み を仮 定 した 公 式 を使 っ

て解 釈 す る.簡 単 の た めνμとνeの 間 の 遷 移 の み を考 え よ う.こ の 場 合 独 立 な 混 合 行 列 要 素 は た だ1個

の み と な るの で,混 合 角 θ を 使 っ て 次 の よ う に 表 す

こ とが で き る.

(4.45a) (4.45b) νjは エ ネ ル ギ ーEν

(4.46) を も つ と き,時

間 と と もに

(4.47) の よ う に 変 化 す る.し

た が っ て,t=0でνeで

変 化 す る 確 率P(νe→ν

μ)は 簡 単 に 計 算 で き て,

あ っ た も の が,時

刻tでνμ

に

(4.48a) と な る.

を使 え ば,

(4.48b) と書 け る.た

だ し,こ

こ でL=Ctは

ニ ュ ー ト リ ノ発 生 点 よ り測 定 点 ま で の 距

離 を メ ー ト ル(m)で,Δm2は(eV)2で,エ た.ま

ネ ル ギ ーEはMeVの

単位 で表 し

た振 動 の 波 長 λは

(4.49) と な る.νeがνeの

ま ま で 残 る 確 率 は,

(4.50) で 与 え られ る.こ の 式 か ら わ か る よ うに ニ ュー ト リ ノ振 動 は,混 合 が あ り(θ ≠0)か つ 質 量 差 が あ っ て(Δm2≠0)は

じめ て起 こ る現 象 で あ る こ とが わ か る.

測 定 に か か る質 量 の 目安 は,

(4.51) で与 え られ るの で,E/Lを が 可 能 とな る.表4.1に

う ま く選 ぶ こ とに よ り,Δm2の

小 さい 領 域 の 探 索

主 な ニ ュ ー ト リ ノ源 と測 定 で き るΔm2の

目安 を与 え

る.   実 験 的 に は,最 初νeビ ー ム をつ くっ て お い た 上 で,下 流 でνμが 現 れ るか を み る"出 現 の 実 験"と,2カ をみ る"消 滅 の 実 験"と

所 以 上 の 地 点 でνeの 数 を測 定 し,νeの 数 の 変 化 の2種 類 の 方 法 が あ る.技 術 的 に は 出現 の実 験 の 方 が

容 易 で あ るが,測 定 数 値 が 混合 行 列 要 素 を含 む の で,仮 に 振 動 が 存 在 して も混 合 が小 さ い と測 定 に か か ら な い とい う難 点 が あ る.一 方,消

滅 実 験 は,技 術 的

に は よ り困難 で あ るが,混 合 行 列 の 大小 や ニ ュー トリノ種 の数,ま

たニ ュー ト

リ ノが 振 動 に よ っ て変 化 す る先 のニュー ト リノ の種 類(例 え ば,こ

こでは考慮

しな か っ たνL→νR,ν →ν の 可 能 性 を含 む)に

も よ らず に,ニ

動 の有 無 を一 般 的 に 決 定 で き る とい う利 点 が あ る.

ュー ト リノ振

表4.1 

ニ ュ ー ト リノ振 動 に よ るΔm2探

索 領 域 の 目安

(%)  地球の直径   ニ ュ ー ト リ ノ 振 動 が 存 在 す れ ば,混 と が 可 能 で あ る が,振 外 さ れ る 領 域 を2次 域)で

合 比sin22θ

とΔm2を

動 が 観 測 さ れ な い と き は 通 常sin22θ 元 プ ロ ッ ト で 表 す.長

波 長 近 似(L≪

同時 に決 め る こ とΔm2の λ;Δm2の

値 の除 小 さ い領

は,(4.48b)は

(4.52a) と な る.ニ

ュ ー ト リ ノ 振 動 が 見 つ か ら な い と き は,実

験 誤 差 を δ と し て,上

限値

(4.52b) が 与 え られ る.逆 の 短 波 長 近 似(L≫

λ;Δm2の 大 きい領 域)で は,Eが

幅 をも

つ こ と,ニ ュー ト リノ源 や 測 定 地 点 が 広 が っ て い る こ とな ど を考 慮 す る と,振 動 は 平均 化 され て,

(4.53) と な り,混 合 比 の 上 限 値 の み 求 め られ る.加 速 器 実 験 で は δ≒O(10-3∼10-4) ま で 可 能 で あ る が,原 子 炉 や 宇 宙 線 を使 う方 法 で は δ〓0.1で あ り,混 合角 に 対 す る感 度 は大 き くな い.   Δm2の 小 さ い領 域 を調 べ るに は,E/Lが

小 さい ほ ど有 利 で あ る.表4.1よ

り太 陽 ニ ュー ト リノ を測 定 す るの が 最 も感 度 が よ い こ とが わ か る.図4.8に

こ

れ まで の 加 速 器 や 原 子 炉 に よ る振 動 実 験 で 除 外 され た領 域 を示 す32).加 速 器 や 原 子 炉 で の 振 動 実 験 の 結 果,探

索 可 能 な領 域 は,わ ず か な 例 外*5)を 除 きほ ぼ

つ き た の で,Δm2の

小 さ な 領 域 に 進 出 し た い 場 合 は,宇

宙 線 も し くは太 陽

ニ ュ ー ト リ ノ に 求 め ざ る を え な い.

(b)

(a) 図4.8 

加 速 器,原

子 炉 に お け るニ ュー ト リノ振 動 実 験 で の許 容 範 囲

除 外 さ れ る 領 域 は 各 線 の 右 上 側. (a) ν μ→νe, ν μ →νe, νe→νx (b) ν μ→ν τ, ν μ→ν μ, (νμ→νx) GOESGEN,

CHOOZが

原 子 炉,IMBが

宇 宙 線 に よ る デ ー タ で,そ

れ 以 外 は す べ て 加 速 器 の デ ー

タ32).

4.5 

  4.5.1 

ニ ュ ー ト リ ノ 天 文 学34)

太 陽 ニ ュー トリノ の 謎

  a.  標 準 太 陽 モ デ ル(SSM:standard    太 陽 ニ ュ ー ト リ ノ は,太

*5)  L〓100∼1000km以

solar model)

陽 の 中心 で の 熱 核 融合 反 応

上 も とる長 基 線振 動 実 験 は これ か らで あ る

.例

え ば,筑

波の高エネ

ル ギ ー 加 速 器 研 究 機 構 の 陽 子 シ ン ク ロ ト ロ ン で ニ ュ ー ト リ ノ ビ ー ム を つ く り,岐 の ス ー パ ー カ ミ オ カ ン デ で 振 動 を 検 出 す る 計 画(K2K)が リ カ の フ ェ ル ミ研 究 所-ス ー ダ ン 鉱 山(MINOS),セ 様 な 計 画 が あ る.

進 行 中 で あ る33).ま

阜神 岡 た,ア

メ

ル ン-グ ラ ン サ ッ ソ の 研 究 所 に も 同

(4.54) の 際 放 出 さ れ る も の で,そ 主 と し てppチ

ェ イ ン と 呼 ば れ る さ ま ざ ま な 原 子 核 反 応(図4.9)の

て 起 こ る も の で あ り,放 4.10に

示 す35).な

で は,同 が,こ

の 正 体 は 電 子 ニ ュ ー ト リ ノ で あ る.熱

お,中

核 融合反応 は 結果 と し

出 さ れ る ニ ュ ー ト リ ノ の エ ネ ル ギ ー ス ペ ク トル を 図 心 温 度 が2×107度

じ ヘ リ ウ ム 生 成 反 応 で もC,

N, Oを

を 超 え る 場 合(太 触 媒 と す るCNOチ

陽 よ り重 い 恒 星) ェインが効 く

れ は ま っ た く違 っ た エ ネ ル ギ ー ス ペ ク トル を も つ の で 区 別 は 容 易 で あ

る.   b.  太 陽 ニ ュ ー ト リ ノ の 検 出  ⅰ) 

ホ ー ム ス テ イ ク実 験

  最 初 に 太 陽 ニ ュー ト リ ノ フ ラ ッ ク ス を測 定 し

た の は ア メ リ カ の ホ ー ム ス テ イ ク に 設 置 し た ニ ュ ー ト リ ノ検 出 器 で あ り,1968 年 に ま で さ か の ぼ る36).方 法 は (4.55) の 反 応(エ

ネ ル ギ ー し き い 値:Eν>0.81MeV)を

号 を 防 ぐ た め,615ト

ン の 液 体2塩

図4.9 

化 炭 素(C2Cl4)を

太 陽 の 熱 核 融 合 反 応:ppチ

用 い る.宇

宙 線 に よ る偽 信

ア メ リカ の サ ウ ス ダ コ タ

ェイン

図4.10  実 線 がp-pチ

太 陽 ニ ュー トリノ の エ ネ ル ギ ー スペ ク トル

ェ イ ン に よ る もの で,破

線 がCNOサ

州 に あ る ホ ー ム ス テ イ ク 金 鉱 の 地 下1620mに

イ クル に よ る もの.

設 置 し た.さ

雑 音 を 防 ぐ た め 装 置 全 体 を水 の プ ー ル の 中 に 沈 め る.ニ 成 さ れ る ア ル ゴ ン 原 子 核 は,軌 も ど る が,装

置 を35日

る 数 と が つ り合 い,液 に な る.こ

ュ ー トリ ノに よ って 生

道 電 子 を捕 獲 し て 半 減 期35日

で も との 塩 素 に

以 上 働 か せ れ ば 間 断 な くつ く ら れ る 数 と,も 体2塩

とに も ど

化 炭 素 の 中 に は一 定 量 の ア ル ゴ ンが 存 在 す る よ う

の ア ル ゴ ン は 気 体 と な っ て 浮 い て い る の で ヘ リ ウ ム ガ ス を送 り込 ん

で 取 り 出 し,活 X線

らに中性子起 因の

性 炭 に 吸 わ せ て 回 収 す る.ア

を 放 射 す る の で,こ

のX線

ル ゴ ン は 塩 素 に も ど る と き,特

の 数 を 比 例 計 数 管 で 測 れ ば ア ル ゴ ン の 数,し

た が っ て ニ ュ ー ト リ ノ の 反 応 率 が 測 定 で き る.こ を貯 め る 方 式 な の で,ニ

性

の 方 法 は,一

定期間 アル ゴン

ュ ー ト リ ノ が ど の く ら い の エ ネ ル ギ ー を も ち,い

ど の 方 向 か ら き た か と い う こ と は わ か ら な い.ホ

つ,

ー ム ス テ イ ク 測 定 器 は,

ニ ュ ー ト リ ノ捕 獲 率 を, (4.56) と測 定 し た37)(図4.11).た capture/sec/1036atomsの

だ し,SNUと

はSolar 

こ とで あ る.一

方,標

Neutrino 

Unitの

略 で,1

準 太 陽 モ デ ル35)は

(4.57) を 与 え る の で,観 差 は,理

測 値 は 理 論 の1/3程

論 的 な3σ(σ:自

算 で は6.4±1.4SNUを

度 し か な い.こ

乗 平 均 誤 差)に 与 え る が38),理

の モ デ ル の1σ

とい う誤

相 当 す る 値 を 採 用 し て い る.別

の計

論 値 が 大 幅 に 大 き い こ とは 変 わ り な

い.こ れ が 太 陽 ニ ュー ト リノ の謎 と呼 ば れ る もの の実 体 で あ る.太 陽 ニ ュー ト リ ノの 謎 は,提 起 さ れ て か ら も う20年 以 上 に もな る.こ の 原 因 を太 陽 モ デ ル に求 め れ ば 天 体 物 理 の 問 題 とな り,ニ ュー トリ ノ 自身 の 性 質(ニ ュ ー ト リノ振 動)に 求 め る な らば素 粒 子 の 問 題 とな るの で あ る.

図4.11 

ホ ー ム ステ イ ク鉱 山 の35Clに

1日 あ た りの ア ル ゴ ン生 成 率 を示 す.長

 ⅱ)  神 岡 実 験  

よ る太 陽 ニ ュ ー ト リノ捕 獲 率

破 線 が 標 準 太 陽 モ デ ル.短 破 線 で デ ー タの 平 均 値 を示 す36,37).

これ に 対 して,神

岡地 下 実 験 グ ルー プ は,水

タ ン クの 壁

に光 電 子 増倍 管 を並 べ た 測 定 器 を使 って 太 陽 ニ ュー ト リノ を測 定 した39).こ の 水 チ ェ レ ン コ フ測 定 器 は も と も とは 大 統 一 理 論 の検 証 を 目的 と した 陽 子 崩 壊 検 出 の た め に建 設 され た もの で あ るが,天 然 に 存 在 す る ウ ラ ンか らの 背 景 雑 音 を 減 ら して,検

出 可 能 な粒 子 の 最 小 エ ネ ル ギ ー を6∼7MeVに

に よ って,太

陽 ニ ュー ト リ ノ検 出器 と し て も機能 で き る よ う に した も の で あ

る.ニ ュ ー トリ ノ 自身 は 中性 で検 出 で きな いが,ニ

まで下 げ るこ と

ュ ー トリノ 反 応 (4.58)

に よっ て 放 出 さ れ る電 子 は,水 の 中 で チ ェ レ ン コ フ光 を発 す る の で,光 倍 管 で 感 知 で き るの で あ る.リ

ン グパ ター ン か ら電 子 の 同定 が で き,光 量 か ら

エ ネ ルギー が 測 定 で き る(図4.12(b),(c)).反

跳 電 子 の 方 向 は,ニ ュ ー ト リ

ノの 入 射 方 向 とか な りよ い精 度 で 一 致 す るの で,ニ 来 方 向,そ

電 子増

ュー ト リノの 到 着 時 間 と飛

れ とエ ネ ル ギー ス ペ ク トル が わ か る.そ の意 味 で,ホ ー ム ス テ イ ク

測 定 器 よ り一 段 進 ん だ ニ ュ ー トリ ノ測 定 器 で あ り,ニ ュー ト リノ望 遠 鏡 として の 資 格 を備 え て い る とい っ て よ い で あ ろ う.現 在 は 改 良 型 で さ らに大 型 の5万

トン 検 出 器(ス

ー パ ー カ ミ オ カ ン デ:図4.12(a))が

  図4.13(a)は,νee反 し て お り,0度

稼 働 し て い る.

応 デ ー タ39)を ニ ュ ー ト リ ノ 飛 来 方 向 の 関 数 と し て 示

す な わ ち 太 陽 方 向 に 明 瞭 な 信 号 が 見 ら れ る.図4.13(b)に

ネ ル ギ ー ス ペ ク トル を 示 す.ス

エ

ー パ ー カ ミ オ カ ン デ の 観 測 値 は,

(4.59a) (4.59b) で あ り,SSM理

論 値(BP9835))の

約1/2と

い う値 を 与 え て い る.デ

イヴ ィス

(b)

(c)

(a) 図4.12 

神 岡水 チ ェ レ ン コ フ 測 定 器(ス ー パ ー カ ミオ カ ン デ) 岐 阜 県神 岡鉱 山地 下1000mに

設 置 して あ る.(東 京 大 学 宇 宙 線 研 究 所 提 供)

(a)  ス ー パ ー カ ミオ カ ン デ検 出器.光 電子 増 倍 管 を取 り付 け た後 注 水 して い る と こ ろ.ス ー パ ー カ ミ オ カ ン デ は 直 径40m,高 さ42mの 水 タ ン クの 内壁 に 径50cmの 光 電 子 増 倍 管 を約1万 本 配 置 して あ る. (b)  荷 電 粒 子 が 水 中 を走 る とチ ェ レ ン コフ光 を出 し,光 電 子 増 倍 管 が 感 知 す る. (c)  チ ェ レ ン コフ 光 受 信 の 実 際 例.前 例 で,図

身 の カ ミオ カ ンデ 検 出器 に よ る超 新 星 ニ ュー ト リノの 観 測 の一

中 『+』 か ら電 子 が 矢 印 の 方 向へ 向 か って 走 っ た.丸

丸 の 大 き さが 光 量 を表 す.リ

ン グパ ター ン が 見 え る.

印 が 光 っ た光 電 子 増 倍 管 を 表 し,

図4.13 

神 岡の 太 陽 ニ ュー

ト リ ノ デ ー タ39,40)

(a)  反 跳 電 子 の 方 向 と太 陽 方 向 との なす 角 の余 弦 と して プ ロ ッ トし た もの.太 え る.実 線 は 最 適 化 曲線 ． (b)  反 跳 電 子 の エ ネ ル ギー スペ ク トル.黒

ら と値 は や や 異 な る も の の,標

丸 が デー タ で,ヒ

陽 方向 に明 瞭 な 山が 見

ス トグ ラム が 太 陽 標 準 モデ ル.

準 太 陽 モ デ ル の 予 想 よ り大 幅 に 小 さ い と い う太

陽ニ ユ ー ト リ ノ の 謎 問 題 の 存 在 は 再 確 認 し た と い え る.  ⅲ) 

ガ リウ ム 実 験

  上 記 二 つ の 実 験 は,い

ず れ も太 陽 ニ ュー ト リノ エ ネ

ル ギ ー ス ペ ク トル の エ ネ ル ギ ー の 高 い 部 分 に の み 感 じ る.有 ギ ー ス ペ ク トル 全 体 か ら 見 れ ば ご く わ ず か で あ り,太 い と こ ろ で も あ る.そ 0.5MeV)を

こ で,pp-Ⅰ

陽 モ デ ル の不 定 性 の大 き

素(Cl)の

代 わ り に ガ リ ウ ム(Ga)

を 使 用 す る と エ ネ ル ギ ー の 低 い ニ ュ ー ト リ ノ(E〓233keV)に ペ ク トル の 低 エ ネ ル ギ ー 側 が 測 定 で き る.Gaを 在 ロ シ ア のSAGE41)と

る.こ

れ ら の 実 験 は,ホ

ネル

チ ェ イ ン の エ ネ ル ギ ー の 低 い と こ ろ(Eν 〓

観 測 す る こ と が 重 要 と な る.塩

は,現

感 領 域 は,エ

感 じ る の で,ス

含 む 太 陽 ニ ュー ト リノ検 出 器

イ タリ ア のGALLEX42)の2カ

所 で 稼 働 して い

ー ム ス テ イ ク の 塩 素 標 的 の 実 験 と 手 法 が 同 一 で あ り,

リ ア ル タ イ ム で は ニ ュ ー ト リ ノ を 捕 ま え ら れ な い.   標 準 モ デ ル で は137±8SNU期 月)で

待 さ れ る の に 対 し て35),現

時 点(1998年10

は,

(4.60) (4.61) と い う デ ー タ が で て い る.太 と い う こ と が で き よ う.

陽 ニ ュ ー ト リ ノ の 謎 は 依 然 と し て,解

けて いない

  4.5.2 

物

質

振

動

  a.  物 質 中 で の シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 方 程 式   塩 素 反 応(4.55)は,ニ

ュ ー ト リ ノ がνeで

し く はν τで あ る な ら ば 検 出 は で き な い.ニ 可 能 で あ る が,断

ュ ー ト リ ノ 電 子 散 乱 はν μ,ντで も

面 積 が 小 さ く感 度 が 悪 い.し

動 が 存 在 し て,νeがν け 上νeが

あ る な ら ば 検 出 で き る が,ν μ も

し ニ ュ ー ト リ ノ振

μ,ντに 遷 移 す る な ち ば 測 定 に は か か ら な い の で,見

消 滅 す る こ と に な る.太

き け れ ば,Δm2の

た が っ て,も

か

陽 ま で の 距 離 が 振 動 波 長 λに 比 べ て十 分 大

値 に 関 係 な く,式(4.53)に

よ っ て,

(4.62) とな るの で,sin22θ ≒1く らい の 大 き な混 合 が 存 在 す れ ば ほ ぼ1/2に 般 にN種 N=3と

の ニ ュー ト リ ノが 存 在 す る と きは,P(νe→νe)は1/Nに す れ ば,太

な る.一 な る の で,

陽 ニ ュー ト リノ の 謎 は う ま く説 明 で き る(後 の 物 質 振 動 解

に 対 し て真 空 振 動 解 と い う).し か し,こ の よ う に 大 きな 混 合 比 は,理 論 的 に は 考 え に くい.ク ォ ー クの 混合 行 列 との 類 推 を考 え る と,混 合 角 は た か だ か カ ビ ボ角 くら い と考 え られ るか ら で あ る.   1986年 に ミケ エ フ とス ミル ノ ブ は43),混 合 比 が10-3く

らいに小 さい場合 で

も,太 陽物 質 の影 響 に よ り共 鳴 振 動 が 起 こ り,実 験 デー タ を説 明 し う る可 能 性 を示 した.現 在,太

陽 ニ ュー ト リノの 謎 を解 決 す る有 力 な候 補 と して 注 目 され

て い る の が この 物 質 振 動 解 で あ るの で,少

し詳 し く述 べ る こ とに す る.

  物 質 の 振 動 解 は 次 の よ う に して 求 め られ る.ま ず 真 空 中 で の 質 量 固 有 状 態 νiが満 た す シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式

(4.63)

を考 慮 す れ ば,￨νe>と￨ν

μ>が(4.45)で

与 え ら れ る と き,質

量 項 を 与 え る行 列

は,νe,ν μ表 示 で,

(4.64)

(4.65a)

(4.65b) (4.65c) と な る.こ

れ ら の 式 は 真 空 中 で 成 立 す る 式 で あ る.

  物 質 中 で はνe,ν μ と も に 物 質 と の 相 互 作 用 が あ る の で 上 式 が 変 更 さ れ る.中 性 カ レ ン ト に よ る 相 互 作 用 は,νeとν を 変 え る が,質

量 差(Δm2)は

一 方 荷 電 カ レ ン トは か な い.物

変 え ず,し

量(M)

た が っ て 振 動 に は 影 響 を 与 え な い.

電 子 と の 間 の 相 互 作 用 は 引 き起 こ す が,ν μに は 効

質 と の 可 干 渉 な 相 互 作 用 の 影 響 は,屈

と が で き る.こ す る の で,も

,νeと

μ に 同 じ 影 響 を 与 え る の で,質

の と き,平

面 波 ∼exp(ipx-iEt)の

折 率nの

形 で と りい れ る こ

空 間 部 分 がp→npと

変化

と の 波 動 と の 差 を エ ネ ル ギ ー 部 分 に 取 り入 れ る た めct→xと

す

る と,

(4.66a) と表 せ る.光 学 で よ く知 られ て い る よ うに,屈 折 率 を散 乱 振 幅 で 表 す 式 を使 う とエ ネ ル ギ ー の 変 化 は

(4.66b) f(0):νeeの 前 方 散 乱 振 幅 GF:フ

ェ ル ミ結 合 定 数

ne:電 子 数 密 度 と な り,質

量 行 列 の 中 のMeeが

(4.67) と変 更 さ れ る.p∼Eで

あ る か ら以 下pの

代 わ りにEと

書 くこ と に す る.ne

を定 数 とみ な せ ば,物 質 解 は 真 空解 と同 様 に して求 め られ る.物 質 内 で の質 量 行 列 の 固有 値 を ρ+mν2/2Eと

お く と,質 量 固 有 値 と混 合 角 θmは,

(4.68a)

(4.68b) (4.68c) と な る.λ(=λ/2π)は

真 空 中 の 振 動 波 長 で あ る.GF=1.436×10-49erg・cm3を

入 れ る と

(4.69) とな る.ρ は密 度 で あ る.太 陽 中 で の 電 子 数 密 度neを

次 の 式 で近 似 す れ ば34)

(4.70a) NAは

ア ボガ ドロ数

 (4.70b)

(4.70c) R〓 は 太 陽 半 径 を 示 す.ρ 的 な 値(例

は,中

え ばR≒0.4R〓)は

  図4.14に

∼2(gr/cm3)で

あ る が,太

陽中の典 型

あ る.

太 陽 の 中 で の ニ ュ ー ト リ ノ の 質 量 が 電 子 密 度 の 関 数 と し て ど う変

化 す る か を 定 性 的 に 描 く.混 空 中(ne=0)で

心 で は ∼100(g/cm3)で

合 が 存 在 し な い と き(破 線:Δm2sin2θ=0),真

は,

(4.71a) で あ るが,十

分 電 子 密 度 が 高 け れ ば,

(4.71b) と な る こ と が わ か る.物

図4.14 

質 内 で の 固 有 解ν1,ν2は,νeとν

太 陽 内 で 質 量 が電 子数 密 度Neの

関 数 と し て変 わ る様 子

νeは電 子 密 度 が 大 き くな る と質 量 が 大 き くな る.ν μは 変 わ らな い.物 νμの 混 合 で あ り,Ne≫Nerの 子 数 密 度,Nerは

と きν2∼νe, Ne≪Nerの

共 鳴 の起 き る密 度 を示 す.Ne=0が

μ と の 混 合 で あ り,

質 中 で の 固 有 解ν1,ν2はνeと

と きはν2∼νμで あ る.Necは

真 空(太

陽 の 外)に

対 応 す る.

太 陽 中心 の 電

図4.14の

二 つ の 実 線 に 対 応 す る.そ

こ と は な い.二 (共 鳴)が

の 質 量 は(4.68a)で

つ の 曲 線 が 一 番 近 く な る の は,cos2θ

与 え ら れ,交 ∼λ/λ で,最

わ る

大 の混合

起 こ る と こ ろ で あ る.

 共 鳴条件

(4.72a) をΔm2で

書 き直す と

(4.72b) で あ る の で, 

を考 慮 す る とΔm2の 有 感 領 域 は

(4.73) と 真 空 振 動 だ け の 場 合 に 比 べ て 大 い に 広 が っ た こ と に な る.   b.  断 熱 近 似   い ま,場 る.こ

所 に よ る 密 度 変 化 が 十 分 緩 や か で あ る と す れ ば,断

の 場 合 の 解 の 時 間 依 存 性 は,密

度 を定 数 と して 解 い た 解 に密 度 の 時 間変

化 を 入 れ る こ と に よ り得 ら れ る の で,図4.14の る.太

陽 の 中 心 で 十 分 密 度 が 高 け れ ば,生

も 大 き く,図4.14の

上 の 曲 線(固

て 進 行 す る に つ れ,密 す る.共

成 さ れ たνeの 質 量 はν μの 質 量 よ り

有 解ν2)上

鳴 混 合 が 起 き れ ば 曲 線 は 交 差 せ ず,外

Wolfensteinは

密 度-質 量 の 関 係 は 有 効 で あ

に あ る.νeが

度 が 徐 々 に 小 さ く な っ て い き,や

νeは 消 滅 し た こ と に な る.こ

れ をMSW

太 陽 の外 に 向 か っ

が て 共 鳴 混 合 地 点 に達

に 出 た と き はν μに な っ て お り,

(Mikheyev-Smirnov-Wolfenstein:

物 質 中 で の 振 動 理 論 を つ く っ た)効

わ か る よ う に,真

熱近似が成 立す

果 と い う43). (4.68b)か

ら

空 中 の 混 合 角 が 非 常 に小 さ く と も共 鳴 混 合 が起 こ り うる可 能

性 の あ る こ と が わ か る.   共 鳴 が 起 こ る た め に は,共

鳴 を 起 こ す 密 度(ner)が,太

り 小 さ く な け れ ば な ら な い.共 に よ り ρc〓100gr/cm3で

鳴 条 件 は(4.72)で

あ る か ら,太

陽 中 心 密 度(nec)よ

与 え ら れ て い る.(4.70)

陽 中 で 共 鳴 の 起 き る条 件 は 次 の よ う に

表 さ れ る.

(4.74) 断 熱 近 似 の 条 件 は,密 度 の 変 化 に よ るエ ネ ル ギ ー 変 化 δEが,二

つ の 固有 解

の エ ネ ルギー 差ΔEに よ っ てΔEの 2E/Δm2に (4.67)よ

比 べ て 小 さ い こ とで あ る.い い 換 え る と,密 度 変 化 に

変 化 を誘 起 す るの に 必 要 な 距 離Lρ が,物 質 中 の 振 動 波 長λm= 比 べ て 十 分 長 い こ とで あ る.密 度 変 化 に よ る エ ネ ル ギ ー 変 化 は

り 

化 がΔEに

で あ るか ら,距 離Lρ を 走 っ た と き の エ ネ ル ギ ー 変

等 しい とお い てLρ が 求 め られ る.

(4.75)

(4.76) した が って,断

熱条件 は

(4.77a) と な る.共

鳴 点 で は,

(4.78) で あ るの で,断 熱 条 件 は

(4.77b) と書 き 換 え ら れ る.(4.70)を

使えば

(4.79) と な る.   c.  三 つ の 可 能 性   太 陽 ニ ュ ー ト リ ノ の エ ネ ル ギ ー ス ペ ク トル が0∼14MeVで し,(4.74),(4.79)の -Δm2平

条 件 を参 照 す る と,物

あ る こ と を考 慮

質 振 動 の 許 さ れ る 領 域 は,sin22θ

面 上 で 三 つ の 境 界 に 囲 ま れ た 三 角 形 内 に 限 ら れ る こ と が わ か る .各

界 に 対 応 す る 解 は,   (c-1) 

解1:断

熱 解:Δm2≒10-4(eV)2,  の 三 角 形 の 上 辺 部 分 に あ た る.

で 表 さ れ る境 界 で,図4.15

境

(a)

(b)

図4.15  太 陽 ニ ュー ト リノ の物 質 振 動 解 二 つ の 線 の 内側 が 各 デ ー タ に よ り許 さ れ る 範 囲 で,ほ ぼ 三 角 形 の 帯 をつ くる44). (a)  神 岡 デ ー タ(実 線)と ホー ム ステ イ クデ ー タ(ダ ッ シ ュ線)か ら許 され る領 域 を斜 線 で 示 し て あ る.一 点鎖 線 は神 岡 デ ー タの 日夜 変 化(地 球 効 果)か ら除 外 され る領 域. (b)  (a)を さ ら にGaデ ー タ を使 っ て領 域 を絞 っ た もの.黒 影 部 分 が3個 の デ ー タ にす べ て合 う領 域 で,左 側 を小 混 合 角(SMA)解,右 側 を大 混 合 角(LMA)解 とい う.灰 色 部 分 は 地 球 効 果 で 除 外 さ れ る部 分.

(c-2)  解2:準

真 空 解=sin22θ

≒1, 10-10〓Δm2〓104で

三 角 形 の 右 辺 に 相 当 す る.真

表 さ れ る 境 界 で,

空振 動解 に近 いの で準 真 空解 と

い う. (c-3)  解3:非

断 熱 解:非

断 熱 近 似 で は,γm〓1で

あ る か ら,

(4.80) を 与 え る 境 界 線 は,図4.15の   一 般 の 振 動 解 は,上 断 熱 解 で は7MeV以 欠 損)が,こ は,νeが

三 角 帯 の 左 下 辺 で あ る.

記 三 つ の 解 で 囲 ま れ た 三 角 形 の 内 部 に 存 在 す る.解1の 上 の νeが ほ と ん ど す べ て νμに 変 わ る(高

エ ネ ル ギー側

れ よ り低 い エ ネ ル ギ ー で は ほ と ん ど 影 響 を 与 え な い.準 全 エ ネ ル ギ ー で 一 様 に 減 少 す る.一

の 小 さ い ニ ュ ー ト リ ノ の 数 を 少 な くす る.し

方,非

断 熱 解 は,エ

た が っ て,条

真空解 で

ネ ル ギ ーE

件 を 適 当 に 選 べ ば,

三 つ の 太 陽 観 測 実 験 デ ー タ を 同 時 に 説 明 す る解 が あ り う る(図4.15(b))44).

  d.  地 球 の 影 響   物 質 に よ る 共 鳴 振 動 は 地 球 で も 起 き る(式(4.72)に よ).地

球 効 果 は,太

→νe)が

あ り,ニ

陽 中 でνe→ν

こ と に よ り 観 測 で き る.日

μ と 振 動 し た も の を も と に も ど す 作 用(ν μ

球 効 果 は,夜

質

間 と 日 中の デ ー タ の 差 を とる

夜 変 化 が 検 出 で き な か っ た こ と か ら,図4.15(a)

でsin22θ〓0.1,Δm2∼10-5.5付

近 の 突 出 部 分 を 除 外 で き る.

生 き残 り確 率

  断 熱 解 で は,ν1とν2は ν2→ν1の

入 れ

ュ ー ト リ ノ 強 度 の 時 間 で 積 分 し た 値 を 見 て い る 限 り,物

振 動 解 で 許 さ れ る 範 囲 が 広 が る.地

  e. νeの

ρ〓5gr/cm3を

独 立 で 混 じ る こ と は な い が,一

遷 移 が 起 き る.こ

生 き残 る確 率 は,次   ま ず,t=0で

の確率Pjumpが

般 に は,共

鳴領 域 で

与 え ら れ た と き の,νeが

最終 的 に

の よ う に し て 求 め ら れ る.

太 陽 中 心 でνeが 生 成 さ れ た と す る.￨νe>を

す る に は,(4.45)で

θ→ θm(t=0)≡

物 質 固有 解 で 展 開

θ とお い て

(4.81) 共 鳴 領 域 に 到 達 す る 時 刻 をtrと

す る と,t≦tr-ε

で は,

(4.82) と い う 時 間 発 展 を す る.E1,2は tr+ε で,ν1,ν2間

物 質 中 で の 固 有 エ ネ ル ギ ー で あ る.tr-ε

の 遷 移 が 起 こ り,t=tr+ε

≦t≦

で は,

(4.83a) (4.83b) に な っ た と す る.こ

の と き,￨νe(t)>は

(4.84) と な る.t>tr+ε は,太

陽 外 に 出 て,

で は 再 び,(4.82)と

同 様 な 時 間 発 展 を す る が,t→

∞ で

(4.85) と な る か ら,再

び(4.45)を

使 っ て も と のνe,ν μで 書 き 直 す と

(4.86) こ れ か ら,

(4.87) と な る か ら,νeが

生 き 残 る確 率P(νe→νe)は,

(4.88a) が 導 け る.干 渉 項 は ニ ュー ト リノの有 限 なエ ネ ル ギー 幅,発 広 が りな どで 平 均 す れ ば 寄 与 しな い.￨A￨2, ￨B￨2は(4.84)か

生 地 点,測 定 点 の ら計 算 で きて

(4.88b) を 得 る.最

後 の 式 は,￨β￨2=Pjump, ￨α￨2=1-Pjumpと

お い て 得 ら れ る.上

断 熱 条 件 充 足 の 有 無 に 関 わ ら ず 成 立 す る 式 で あ る.断

式 は,

熱 近 似 の 式 はPjump=0

と し て 得 ら れ る.   Pjumpは,共

鳴 振 動 を 起 こ す 領 域 で 密 度 が 線 形 的 に 変 化 す る と い う条 件 で は

解 く こ とが で きて

(4.89) と な る45).こ dau-Zener)公

の 式 は,準

位 交 叉 に お け る よ く知 ら れ た ラ ン ダ ウ-ゼ ナ ー(Lan

式46)を 適 用 し て 得 ら れ る.

  θ は 物 質 中 で の 混 合 角 の 太 陽 中 心(よ で の 値 で あ る.太

り正 確 に はνeが 生 成 さ れ る と こ ろ)

陽 中 心 で は 十 分 密 度 が 高 くν2〓νeで

あ る の で,θ

≒ π/2と

お け ば,

(4.90) と な る.

  典 型 的 な パ ラ メ タ ー を 設 定 し た と き のP(νe→νe)の 掲 げ る47).(4.88b)に

数 値 計 算 例 を 図4.16に

よ る近 似 計 算 は この 数 値 計 算 とほ とん ど同 じ答 を 与 え

る.

図4.16 

MSW解 で のνe生 存 確 率 をx=(E/Δm2)の 関数 と し て 描 く(実 線).P(νe→νe)の 小 さい とこ ろ の 左 方 は断 熱 解 に,右 方 は 非 断 熱 解 に 対 応 す る.ダ ッ シ ュ線 は 太 陽 物 質 効 果 に 地 球 物 質 を加 味 した 計 算 で あ る47).

  4.5.3 

太 陽 ニ ュ ー トリノ の謎 の解 は あ る か

  a.  太 陽 モ デ ル 解   ホ ー ム ス テ イ ク と神 岡 デ ー タ は 太 陽 ニ ュ ー ト リ ノ ス ペ ク トル の 高 エ ネ ル ギ ー 部 分(ホ

ー ム ス テ イ ク〓1MeV,神

岡〓7.5MeV)の

み を 見 て い る.ppチ

イ ン で こ の よ う に 高 い エ ネ ル ギ ー の ニ ュ ー ト リ ノ を 出 す の は,8Bの 壊 で あ り,全 4.9).し

体 に 対 す る 寄 与 は わ ず か0.02%を

応 率∝T18),温

わ ず か な 誤 差 で 大 幅 に ニ ュ ー ト リ ノ 強 度 が 変 化 す る の で,8Bか

準 太 陽 モ デ ル に 手 を 入 れ て,ニ

デ ー タ に 合 わ せ よ う と す る 多 く の モ デ ル は,何 か し,ホ

こ ち ら の 方 は,8Bか

度 評価 の らの ニ ュー ト

ず し も太 陽 モ デ ル を全 面 的 に信 用 す る わ け に は

い か な い とす る議 論 が 成 り立 つ.標

う とす る.し

べ 一 タ崩

占 め て い る に す ぎ な い(図

か も こ の 過 程 は 温 度 に 非 常 に 敏 感 で あ り(反

リ ノ フ ラ ッ ク ス に つ い て は,必

ュー トリ ノ

ら か の 要 因 で こ の 温度 を 下 げ よ

ー ム ス テ イ ク デ ー タ は,7Bか

ら の ニ ュ ー ト リ ノ を含 み,

ら の ニ ュ ー ト リ ノ ほ ど 温 度 に 敏 感 で は な い の で,神

デ ー タ の 方 が 減 少 率 が 少 な い と い う観 測 デ ー タ は 説 明 が 困 難 で あ る.   一 方,ppチ

ェ

ェ イ ン に よ る 低 エ ネ ル ギ ー の ニ ュ ー ト リ ノ(<Eν>=0.26MeV)

岡

は,陽 子 が 融合 して 重 水 素 をつ く る と きに 生 成 さ れ る.こ の 反 応 は全 体 の 大 部 分 を 占め る上 に 温 度 依 存 性 も小 さ い(∝T-1.2)の

で,こ の 場 合 の ニ ュー ト リノ

生 成 率 は 太 陽 モデ ル を信 用 して よ い と思 われ る.最 近 の解 析 に よ る と,標 準 太 陽 モデ ル の 範 囲 内 で,三 つ の デ ー タ を同 時 に説 明 す る こ とは 不 可 能 で あ り,ま た どれ か 一 つ を間 違 っ て い る と して捨 て て も説 明 が 困 難 で あ る こ とが 明 らか に され た44).他 方 で 太 陽星 震 の 精 密 観 測 デ ー タが 標 準 モ デ ル に よ り非 常 に 良 い 精 度 で再 現 され る こ とか ら,太 陽 標 準 モ デ ル が 間違 っ て い る可 能 性 は小 さ い と考 え られ る よ うに な っ た48).し た が っ て,Ga検

出 器 に よ る観 測 で も ニ ュ ー ト リ

ノの 強 度 が標 準 モデ ル よ り大 幅 に小 さい とい う事 実 は,太 陽 ニ ュー ト リノ問 題 の 答 が,ニ

ュー トリ ノ 自身 の 性 質 に あ る こ とを 強 く示 唆 して い る もの と考 え る

こ とが で き る.   b.  ニ ュ ー トリ ノ振 動 解44)   物 質 振 動解 が エ ネ ル ギ ー 依 存 性 を もつ こ とか ら,太 陽 ニ ュー ト リノの エ ネ ル ギー ス ペ ク トル(図4.10)と

比 較 す る こ とに よ っ て,物 質 振 動 解 の 三 角 帯 の

どの部 分 が効 いて い るの か が 特 定 で き る.断 熱 解 で は エ ネル ギー の 大 きい と こ ろ で混 合 が 大 き くな るの で 減 少 率 も大 き い.し か し,エ ネ ル ギー の小 さ い と こ ろ で の ス ペ ク トル に は ほ とん ど影 響 を与 え な い.一 方,三 角 形 の下 辺,非

断熱

解 を与 え る境 界 付 近 で は 低 エ ネ ルギー 側 の減 少 が 大 き い.準 真 空解 で は,エ ネ ル ギー ス ペ ク トル をほ ぼ 一 様 に減 少 させ る.   神 岡 デ ー タ の エ ネ ル ギ ー スペ ク トル の絶 対値 は 標 準 太 陽 モ デ ル に 合 わ な い も の の,形

は よ く合 って い る(図4.13(b)).こ

の こ とか ら,直 ち に 断 熱 解 の 大

部 分(物 質 解1)を

否 定 で き る.物 質 振 動 の 立 場 で解 析 をす る と,ホ ー ム ス

テー ク デー タは 

を積 分 し た値 を見 て い るの に 反 し,神 岡 デ ー

タ は, 

に感 度 が あ る の で,多 少 両 者 の 観 測 値 が 違 っ て も 説 明 は

つ け られ る.   地 球 効 果 は,太

陽 中 でνe→νuと 振 動 した もの を,ν μ→νeと も とに も どす

作 用 が あ り,ニ ュー ト リノ 強度 の 時 間 で積 分 し た値 を見 て い る限 り,物 質 振 動 解 で許 され る範 囲 が 広 が る.し か し,も

し地球 効 果 が あ る な らば,日

タ と夜 間 の デー タ で 差 が で な け れ ば な らな い.神 の デー タ を比 較 した が,差

岡測 定 器 で は,日

が認 め ら れ な か っ た の で,sin22θ-Δm2の

中のデー

中 と夜 間 と こ の領 域

が 除 外 さ れ る(図4.15(a)一

点 鎖 線).こ

う し て,ホ

ー ム ス テ イ ク と神 岡 の 両

方 の デ ー タ が 正 し い と し て 共 通 部 分 を 描 く と,図4.15(a)の

斜線部 分 の よ う

に な る.   次 に,ppチ

ェ イ ン の 低 エ ネ ル ギ ー ス ペ ク トル 部 分 の 測 定 に よ り,さ

2θ-Δm2平 Gaの

面 の 特 定 領 域 に 限 ら れ る 可 能 性 が あ る.実

値(4.60)(4.61)を

る.太

受 け 入 れ れ ば,図4.15(b)で

ュ ー ト リ ノ の 質 量 値 は ほ ぼ2カ

れ た と い う こ とが で き る.さ た が,真

えば

黒影 部分 のみ 許 され

陽 ニ ュ ー ト リ ノ 観 測 の デ ー タ が す べ て 正 し い と し て,物

す れ ば,ニ

ら にsin2

際 の 実 験 デ ー タ,例

所(LMA解

質 振 動 解 を適 用

とSMA解)に

限定 さ

ら に い ま まで は 物 質 振 動 解 に 限 って 話 を進 め て き

空 振 動 解 が 除 外 さ れ て い る わ け で は な く,も

う一 つ の 可 能 性 と して

残 っ て い る40,44).デ ー タ は ,Δm2∼10-10(eV)2と

すれ ば再 現 で きる

(Just So解).   こ れ ら三 つ の 解 は,エ

ネ ル ギ ー ス ペ ク トル,日

ぞ れ 異 な っ た 影 響 を 与 え る の で,ス

夜 変 動,季

節 変 動 な どで そ れ

ー パ ー カ ミオ カ ン デ の デ ー タ が 貯 れ ば 選 別

で き る と期 待 さ れ て い る*6).   c.  磁 気 能 率 に よ る 可 能 性   標 準 理 論 を 忘 れ て,ニ

ュ ー ト リ ノ が か な り大 き な 磁 気 能 率 を も つ と し よ う.

太 陽 ニ ュ ー ト リ ノ は 太 陽 磁 場(対 と す る)の

流 圏 に は 磁 場 が 存 在 す る;そ

の 厚 さ をLsun

中 で 相 互 作 用 を し,

(4.91) で あ れ ば,相 な る.νRは

当 数 の ニ ュ ー ト リ ノ が ス ピ ン 反 転 し て 右 巻 き ニ ュ ー ト リ ノνRと 物 質 と相 互 作 用 を し な い か ら,ニ

ュ ー ト リ ノ が 磁 気 能 率 を も て ば,

太 陽 ニ ュ ー ト リ ノ の 謎 を 解 く一 つ の 解 と な り う る51).

と お い て,B∼104gauss,Lsun∼2×1010cmを

入 れ る と,(4.91)が

成 立 す る条

件 は

(4.92) *6  カ ナ ダ のSNO検

出 器(後

述 §4

.8)は,太

陽 ニ ュー トリノの 全 フ ラ ックス が 標 準 モ デ ル

と一 致 す る こ とを 示 し太 陽 ニ ュー トリ ノの 謎 が ニ ュー ト リノ振 動 で あ る こ と を示 し た49).次

い で,カ

子 炉 か ら のνeフ る と と も に,LMA解

ミオ カ ン デ を 改 造 し たKAMLAND液 ラ ッ ク ス を 測 定 し,人

体 シ ン チ レー ター 測 定 器 は,原

工 ニ ュー ト リノに よ る振 動 効 果 を初 め て検 出 す

を 唯 一 の 解 と し て 特 定 し た50).

とな る.地 球 上 の 実 験 室 で の ニ ュ ー ト リノ散 乱 か ら得 られ て い る磁 気 能 率 の上 限 値((4.41)参

照)

(4.93) とは 矛 盾 しな い が,他

の天 体 物 理 よ り決 め た上 限値(4.43)

(4.94) と は 折 り合 い が 悪 い.   太 陽 黒 点 活 動 が 太 陽 磁 場 と 密 接 な 関 係 に あ る こ と は よ く知 ら れ て い る.し が っ て,太

た

陽 ニ ュ ー ト リ ノ の 謎 が ニ ュ ー ト リ ノ の 磁 気 能 率 起 因 で あ る な ら ば,

太 陽 ニ ュ ー ト リ ノ 数 と 太 陽 黒 点 活 動 は 相 関 が あ る は ず で あ る.実 ホ ー ム ス テ イ ク デ ー タ と,太

際 の と こ ろ,

陽 黒 点 活 動 とが 反 相 関 関 係 に あ る の で は な い か と

い う 指 摘52)が,こ

の モ デ ル の 出 発 点 で あ っ た(図4.17(a)の

テ イ ク デ ー タ,ダ

ッ シ ュ 線 は 黒 点 活 動 を 示 す).し

相 関 が 認 め ら れ ず(図4.17(b)),ニ

か し,神

実 線 は ホー ム ス 岡 の デ ー タ39)で は

ュ ー ト リ ノの 磁 気 能 率 に 太 陽 ニ ュ ー ト リ

ノ の 謎 の 原 因 を 求 め る 根 拠 は 薄 い.

(a)

(b) 図4.17 

太 陽 ニ ュ ー トリ ノの 年 変 化

(a)  ホ ー ム ス テ イ ク デ ー タ(図4.11と

同 じ も の)と

太 陽 黒 点 活 動 の 相 関 を示 す52).

(b)  神 岡 デ ー タ39)

4.6 

  最 近,大

大 気 ニ ュ ー トリ ノ

気 ニ ュ ー ト リ ノ のν μ成 分 がνe成 分 に 比 べ て 少 な い と い う デ ー タ53)

が 注 目 を あ び て い る.大 が 大 気 と 反 応 し て,π

気 ニ ュ ー ト リ ノ は1次 宇 宙 線(高

やKを

大 量 生 成 し,そ

エ ネ ル ギ ー の 陽 子)

れ ら が 崩 壊 し てν μやνeに

な る

もの で あ る.地 上 で の ミュー オ ン降 下 量 が わ か って い る の で,そ れ か ら1次 宇 宙 線 量 を逆 算 し,ニ ュー トリ ノ生 成 量 も一 応 は 計 算 で きる54).し か し,現 時 点 で の 計 算 は 必 ず し も精 度 が よ い と は い え ず,各

理 論 計 算 間 の 差 は最 大30%に

達 す る.し たが っ て,個 々 の ニ ュ ー ト リノ 降下 量 を絶 対 的 に測 定 して理 論 と比 較 す るの は 困 難 で あ り,実 験 的 に もむ ず か し い.し か し,(νμ+νμ)/(νe+νe)の 比 につ い て は,大

きな誤 差 は相 殺 さ れ るの でか な り信 頼 で きる もの と思 わ れ る.

 こ の 場 合 各 理 論 計 算 間 の 違 い は10%以 GeVく

ら い ま で な らば,主

下 に お さ ま る.エ ネ ル ギ ー が〓3

な生 産 崩壊 モー ドは

で あ る の で,N(νμ)/N(νe)〓2で

あ る.神

岡 グル ー プ は 電 子 ニ ュー ト リ ノ に つ

い て は ほぼ 理 論 の 予 想 通 りの値 を得 たが ,ミ ュ ー ニ ュー ト リノの観 測 数 は理 論 予 想 値 よ り相 当低 い 値 を得 て,2重

比す なわち

(4.95) と し て デ ー タ を 発 表 し た51).MCは

モ ン テ カ ル ロ 計 算 を 意 味 す る.こ

れが

ニ ュー ト リノ振 動 現 象 に よ る もの で は な いか とい う解 釈 は直 ち に な され た もの の,R〓1と

す る観 測 デー タ も あ り55),理 論 の 信 頼 性 が 確 定 的 で な か っ た こ と

も原 因 して,し ば ら く論 争 が 続 い て い た.こ れ が実 際 に ニ ュ ー トリ ノ振 動 現 象 に よ る結 果 で あ る と確 定 的 に な っ たの は,ス ー パ ー カ ミオ カ ンデ 測 定 器 に よ り 多 量 の デー タが 集 積 さ れ て 天 頂角 分 布 が 明 らか に な っ て か らで あ る.   地 表 に お け るニ ュー トリ ノ生 成 量 は ど こで も一 様 と考 え られ る.た だ し,低 エ ネ ル ギ ー1次 宇 宙 線 は地 球 磁 場 に 捕 ま って磁 極 に 集 中 す る傾 向 が あ る の で, 必 ず し も一 様 とは 言 い切 れ な い が,エ

ネ ル ギー が500MeV以

ノ な ら ば 地 球 磁 場 の 影 響 は 無 視 して よ い か,あ

上 のニュー トリ

る い は 補 正 で き る.天 頂 角 が

90度 よ り大 き い ニ ュー トリ ノ は地 球 の 裏 側 で 生 成 さ れ,天 頂 角 分 布 に 依 存 す る 距 離Lだ

け 地 球 を 通 り抜 け て 測 定 器 に 達 す る(図4.18).ニ

ュー トリノに

と って は 地 球 物 質 は 透 明 で あ る か ら,上 か ら く るニ ュー ト リノ と下 か ら 来 る ニ ュ ー ト リノ は 同 じ数 だ け な け れ ば な らな い.す な わ ち天 頂 角 分 布 は上 下 対 称 で な け れ ば な ら な い.図4.19に

スー パ ー カ ミオ カ ン デ に よ る 天 頂 角 分 布 の

デ ー タ を 示 す56).電

子 ニ ュ ー ト リ ノ は ど の エ ネ ル ギ ー 領 域 で も対 称 分 布 を 示 す

が,高

エ ネ ル ギ ー ミ ュ ー ニ ュ ー ト リ ノ は 明 ら か に 対 称 分 布 か ち 大 き くず れ て い

る.非

対 称 の 原 因 は ニ ュ ー ト リ ノ に よ る 飛 来 距 離 の 差 だ け し か な い か ら,

ニ ュ ー ト リ ノ 振 動 以 外 の 原 因 を 考 え る の は 困 難 で あ る.   ニ ュ ー ト リ ノ 振 動 現 象 で あ る と す る 場 合,ν

μ→νe, νμ→ντ, νμ→νsの3

図4.18 

天 頂 角 分 布 と地球 内 部 通 過 距 離Lと

図4.19  (a)(b)が

の関係

スー パ ー カ ミオ カ ン デ測 定 器 に よ る大 気 ニ ュ ート リノの 天 頂 角 分 布54)

電 子 反 応 で,(c)(d)が

ミュー オ ン 反 応 事 象.(d)のPCはpartially

測 定 器 内 で生 成 され て 外 へ 突 き抜 け た ミュー オ ン事 象 の こ と,〈p〉=15GeVと 線 付 四 角 は ニュ ー ト リノ振 動 を入 れ な い と き の予 想 値 で,実

containedの

こ とで,

見 積 も ら れ て い る.斜

線 が ニ ュー ト リノ振 動 解 を 表 す.

種 類 が 考 え ら れ る.νsのsはsterile(=不

毛 の)の

略 で,右

巻 き ニ ュー ト リ

ノ も し く は 物 質 と は 相 互 作 用 を し な い 新 種 の ニ ュ ー ト リ ノ の こ と を 意 味 す る. νeは 物 質 振 動 を す る の で 地 球 効 果 が 他 と は 多 少 異 な る.ス

ー パ ー カ ミオ カ ン

デ グ ル ー プ は ニ ュ ー ト リ ノ 振 動 効 果 を 入 れ た 解 析 を 行 い,νμ →νs振

→ντも し くはν μ

動 解 と し て,

(4.96) を得 た56).図4.20(a)に,νeとν ト し た.な

μの 数 を振 動 変 数L/Eの

お,ν μ と地 球 物 質 に よ る 反 応 で 生 成 さ れ た ミュ ー オ ン は,下

く る ミ ュ ー オ ン と し て 観 測 さ れ る が,こ 結 果 を 与 え る57).ν μ→νeは,原 (図4.8(a)).図4.20(b)に メ タ ー 領 域 を 示 し た.パ

子 炉 に よ る 独 立 な 実 験 で 完 全 に 否 定 さ れ た58)

は デ ー タ か ら許 容 さ れ る ニ ュ ー ト リ ノ振 動 の パ ラ ラ メ ター 領 域 が 確 定 さ れ た の で,よ

ギ ー 加 速 器 研 究 機 構(KEK)の12GeV陽

り実 験 条 件 を コ ン

在,筑

波 の高 エ ネル

子 シ ン ク ロ トロ ン で ニ ュー ト リ ノ

ビ ー ム を つ く り,KEKと270km離

れ た 神 岡 の2カ

所 で 測 定 す るK2K計

ェ ル ミ研 究 所 の 主 入 射 器 で ニ ュ ー ト リ ノ を つ く り700km離

ネ ソ タ の ス ー ダ ン(Soudan)で る.K2K計

か ら

れ ら に よ る結 果 もす べ て 整 合 性 の あ る

ト ロ ー ル で き る 加 速 器 実 験 に よ る 追 認 が 可 能 と な る.現

画33)と,フ

関 数 と して プ ロ ッ

測 定 す る ミ ノ ス(MINOS)計

画 に つ い て は,∼2000年

れ た ミ

画 が 進 行 して い

頃 に は 結 果 が で る も の と期 待 され て い

る*7).

図4.20  (a) デ ー タ をL/Eの の最適

ニ ュ ー トリ ノ振動 解 析 結 果56)

関 数 と し て プ ロ ッ ト,(b)sin22θ-Δm2平

解 はsin22θ=1,Δm2=2.2×10-3eV2に

あ る.

*7)  ス ー パ ー カ ミオ カ ン で の 結 果 を追 認 し た59) .

面 の 許 容 領 域.ス

ー パ ー カ ミオ カ ンデ

  νμ→ ντと νμ→νsは,中

性 カ レ ン ト反 応 を 調 べ れ ば 区 別 で き る.ντ は 中 性

カ レ ン ト反 応 を 起 こ し て π0を つ くれ る がνsは つ くれ な い の で,π0生 差 が 生 じ る の で あ る.別 →νsに

成 量 に

の 方 法 は,ν μ→ντ に つ い て は 物 質 振 動 が な い が,ν μ

は あ る 事 実 を 使 う.神

岡 グ ル ー プ は,π0生

成 量 や 物 質 効 果 が 顕 著 に現

れ る 天 頂 角 の 大 き い と こ ろ で の 振 る 舞 い を 調 べ,νμ →ντ 振 動 で あ る こ と を ほ ぼ 確 認 し た60).   大 気 ニ ュ ー ト リ ノ に よ る ニ ュ ー ト リ ノ 振 動 効 果 存 在 の 証 明 は,標

準理 論の枠

内 で は 扱 え な い 実 験 デ ー タ を 初 め て 与 え た と い う こ と で 意 義 が 大 き い.m3≫ m2, m1と

仮 定 す れ ば 

で あ る か ち,

(4.97) を意 味 す る.シ ー ソー メ カニ ズ ム を仮 定 す れ ば 右 巻 き の ニ ュ ー トリ ノ質 量mR も し くは 新 しい エ ネ ル ギー ス ケ ー ル が, 

とい

うこ とに な る.一 方,最 近 の 宇 宙 論 の展 開 で は,宇 宙 の物 質 密 度 が 臨 界 密 度 に 等 し く,冷 た い 暗 黒 物 質 が80%,熱

い 暗 黒 物 質 が20%と

さ れ て お り(文 献61お

「宇 宙 論 」 を参 照),∼5eVの

よ び 第8章

い うシ ナ リオ が 提 案 質 量 を もつ

ニ ュー ト リノが 熱 い暗 黒 物 質 と して ぴ た り適 合 す る とい う考 え 方 も あ る.こ れ を重 視 す れ ば,ニ

ュー ト リノが 縮 退 して お り,

(4.98) と い うシ ナ リオ が 描 け る.い ず れ に しろ,こ の 振 動 結 果 の意 味づ け に つ い て は 現 在 活 発 な研 究 が 進 行 中 で あ る.

4.7  超 新 星 ニ ュ ー ト リ ノ

  1987年2月23日,大 ラー 以 来400年

マ ゼ ラ ン 星 雲 に 出 現 し た 超 新 星SN1987Aは,ケ

プ

ぶ りの 肉 眼 観 測 と,同 期 して ニ ュ ー ト リノ が 観 測 さ れ た(図

4.21)62)と い う意 味 で 画 期 的 な 現 象 で あ り,太 陽 ニ ュー ト リ ノ観 測 と合 わせ, ニ ュ ー トリ ノ天 文 学 の 黎 明 を告 げ る も の で あ っ た.SN1987Aか

ら の ニ ュー ト

リ ノ観 測 は,恒 星 の進 化 モ デ ルが 基本 的 に正 しか った こ とを裏 づ け た とい う意 味 で,天 体 物 理 学 上 で の 一 つ の エ ポ ッ ク を画 す る もの で あ るが,同

時に素粒子

物 理 学 の 面 に お い て も,地 上 で は 設 定 不 可 能 な テ ス トベ ンチ を与 え て くれ る と

図4.21 

神 岡 測 定 器 に よ る超 新 星SN1987Aの

観 測 デ ー タ62)

横 軸 が 時 間(秒),縦 軸 が エ ネ ル ギ ー を示 す.中 央0の と こ ろ か ら始 ま る11例 ニ ュー トリノ.前 後 の エ ネ ル ギ ー の 低 い現 象 は背 景 雑 音.

が

い う意 味 で 重 要 で あ る.こ の た め に は 超新 星 か らニ ュ ー トリノが 放 出 され るか ら く りを理 解 して お く必 要 が あ る63).

  4.7.1  超 新 星 の 形 成 過 程   a.  星 の 進 化   超 新 星 は 太 陽 よ りは数 倍(8倍

以 上)重 い 恒 星 の 進 化 の 終 焉 現 象 と見 な さ れ

て い る.  ⅰ)  原 始 星

 星 の起 源 は,銀 河 宇 宙 に漂 う星 間 物 質 が,重

力 に よ り収 縮

し て芯 を形 成 す る と こ ろか ら は じ ま る.こ の芯 は さ ら に周 りの物 質 を吸 収 して 太 っ て い くが(原 始 星),吸 収 さ れ た 物 質 は 落 下 の 際 得 た 運 動 エ ネ ル ギ ー に よ り熱 運 動 を し,そ の 結 果 この 成 長 しつ つ あ る原 始 星 の 内部 に は 圧 力 が 生 じ る. こ の圧 力 が 重 力 と釣 り合 っ て準 安 定 状 態 とな るの で,原 始 星 は つ ぶ れ ず に有 限 の 大 き さ を保 持 す る.付 加 した粒 子 の 運 動 エ ネ ル ギー の半 分 は放 射 エ ネ ル ギ ー と して放 出 さ れ るの で,失

っ た エ ネ ル ギー を補 充 す る ため に は,原 始 星 は収 縮

し て 重 力 エ ネ ル ギ ー を放 出す る 必 要 が あ るが,そ の ため に 中心 付 近 の 圧 力 と温 度 が 間 断 な く上 昇 し,表 面 温度 も ま た 上 昇 す る.表 面 温 度 が2000度

を超 え れ

ば,放 射 ス ペ ク トル は 可視 光 領 域 に 入 り,輝 き 始 め る.こ れ が 星 の 誕 生 で あ る.

 ⅱ)  主 系 列 星

  中 心 温 度 が107度

を超 え た 段 階 で,水 素 に火 が つ き熱 核

融 合 反 応 が 始 ま る.核 融 合 が始 ま る と,表 面 か らの 損 失 エ ネ ル ギー は核 融 合 に よ っ て補 わ れ る の で,水 素 燃 料 の 続 く限 り重 力収 縮 は起 こ らず安 定 な状 態 を維 持 す る.こ れ が 主 系 列 星 と呼 ば れ る 星 の 状 態 で あ り,太 陽 もこ の 仲 間 で あ る. 太 陽 で は 中 心 温 度 が1.5×107度 程 で あ るが,こ

くら い で あ り,融 合 反 応 はppチ

れ よ り温 度 の 高 い 星 で はCNOサ

ェ イ ンが 主 過

イ クル が 優 勢 とな る.重 い星

で は 圧 力 が 高 く温 度 も高 い の で 燃焼 率 が 大 き く,放 出エ ネ ル ギー が 大 き くて早 く燃 えつ き る.こ の よ うな星 で は 表 面 温 度 も高 く青 白 い星 とな る.水 素 燃 焼 反 応 は 弱 い相 互 作 用 を経 由 す る の で これ が 燃 焼 率,し

たが っ て 寿 命 を決 め る.太

陽 の 場 合 は100億

年 くら い の余 命 を もつ が,

太 陽 の10倍

年 程 度 の 寿 命 を もつ の で後50億

重 い 星 は107年

く らい で寿 命 が つ きる と計 算 さ れ て い る.

 ⅲ)  ヘ リウ ム 燃 焼 過 程  

水 素 が 燃 え つ き る と,再 び 重 力 収 縮 が 始 ま るが,

この 結 果 ま た もや 中心 付 近 の 温 度 と圧 力 が 上 昇 し,今 度 は 水 素 の 燃 え か す で あ っ たヘ リウ ム に 火 が つ く.ヘ リウ ム に火 が つ くと圧 力 が 非 常 に 高 くな り,星 全 体 が 膨 張 す る と同 時 に周 縁 部 の 温 度 が 下 が っ て 赤 色 巨 星 とな る.太 陽 程 度 の 質 量 を もつ 星 は,こ の 段 階 で周 縁 部 を吹 き飛 ば して,中 心 部 は 白色矮 星 と して 残 る.吹

き飛 ば さ れ て 膨 張 中 の 周縁 部 と中心 の 星 は 惑 星 型星 雲 と して観 測 さ れ

る.  ⅳ)  炭 素 燃 焼 過 程 階 に 進 み,炭

  太 陽 よ り重 い星 は,ヘ

素 や 酸 素 が,さ

らに は ケ イ素,マ

リウ ム が 燃 え つ き る と次 の 段 グネ シ ウ ム,硫 黄 な どい ろ い ろ

な もの が 形 成 さ れ て は 燃 え,最 終 的 に は鉄 に い きつ く.鉄 は 元 素 の 中 で最 も安 定 な の で,鉄 が 燃 え る こ とは な く鉄 の 芯 が だ ん だ ん と発 達 して い き,こ れ以 上 核 融 合 に よ っ て は エ ネ ル ギー が つ くられ な い死 の 段 階 に近 づ く.超 新 星 と して 爆 発 す る 直 前 の恒 星 は,上

に述 べ た 元 素 の殻 が 重 い 順 に次 々 と層 をつ く る玉 ね

ぎ構 造 を し て い る.水 素 か ら鉄 が つ くら れ る ま で に 開 放 さ れ るエ ネ ル ギー は, 水 素1個

当 た り8.6MeVで

て し ま う の で,水 で あ るが,ヘ

あ る.こ の う ち水 素 燃 焼 だ け で,6.9MeV放

出し

素 燃 焼 終 了後 の余 命 は短 い.水 素 燃 焼 継 続 時 間 は,∼1010年

リウ ム 燃 焼 時 間 は107年 程 度 で あ る.

  中 心 温 度 が108Kよ

り高 い とフ ォ トン放 出 よ りニ ュ ー トリ ノ放 出 に よ る エ ネ

ル ギー もち 出 しが 大 き くな る.炭 素 燃 焼 で大 体 この 段 階 に達 す るが,い

った ん

ニ ュ ー ト リノ冷 却 が 始 ま る と燃 焼 率 は 加 速 度 的 に速 くな る.酸 素 の 燃 焼 時 間 の ス ケ ー ル は105年 程 度 で あ るが,ケ

イ素 の燃 焼 時 間 は数 秒 程 度 で終 わ る.そ れ

以 後 の 燃 焼 過 程 は よ り急 速 で あ る.  ⅴ)  星 の 死

 鉄 の 芯 が 十 分 発 達 す る と,鉄 は エ ネ ル ギ ー を供 給 しな い の

で,重 力 に よ る収 縮 が 起 こ り,温 度 と密 度 が さ らに上 昇 して い く.つ い に は鉄 の 光 分 解 が 始 ま り,ヘ

リウ ム に壊 れ,さ

らに は 陽 子 と中性 子 に 分 解 す る.安 定

な鉄 が 壊 れ るの で これ はエ ネ ル ギ ー を吸 収 す る吸 熱 反 応 で あ り,重 力収 縮 に ま す ます 弾 み が つ き,つ い に は 爆縮 とな る.何 億 年 もか け て築 い た鉄 を一 瞬 に し て 壊 す の で あ る.   b. Ⅱ 型 超 新 星   星 の 終 末 に は縮 退 圧 が 大 きな役 割 を演 じ る.密 度 が あ る程 度 以 上 大 き くな る と,同 一 粒 子 は 同 じ運 動 状 態 を もつ こ とが で き な い とい うパ ウ リの排 他 原理 に よ り,あ る距 離 以 上 に他 の粒 子 が 近 づ くの を妨 げ る よ うに な る.こ の よ うな状 態 を縮 退 して い る と い う.縮 退圧 は 量 子 力学 的効 果 に よ る もの で,温 度 に は ほ とん ど よ らず,エ

ネ ル ギー が供 給 され な く も も ち こ た え る圧 力 で あ る.い っ た

ん 縮 退 す れ ば 圧 力 は 温 度 に は よ ら な いが,ど

の へ ん の密 度 で 縮 退 が起 こ るか は

温 度 に よ る.白 色矮 星 は炭 素 燃 焼 が 起 こ る前 に 電 子 が 縮 退 を起 こ して 重 力 に よ る収 縮 が そ こ で 止 ま っ て し ま っ た状 態 で あ る.陥 没 が 起 き た と き,縮 退 圧 で も ち こ た え られ る圧 力 に は 限 度 が あ り,残 され た芯 が 太 陽 質 量 の1.4倍(チ

ャン

ドラ セ カ ー ル の 限 界)を 超 えて い る と,電 子縮 退 で は も ち こ た え ら れ ず,電 子 は陽 子 に 押 しつ け ら れ て 中 性 子 に な り,中 性 子 の 縮 退 圧 が 作 用 して は じめ て陥 没 が 止 ま る.こ の と き衝撃 波 が 発 生 す る.も し陥 没 を起 こす 中心 部 の 質 量 が 十 分 大 きい と中性 子 の 縮 退 圧 を もっ て して も止 め る こ とは で きず ブ ラ ッ ク ホー ル とな る.陥 没 の結 果 残 され た 周 辺 部 の殻 は,支 下 す る が,先

え を外 され て 中心 に 向 か っ て落

の 衝 撃 波 に 跳 ね 返 され て 爆 発 が 起 こ る.衝 撃 波 の み で は 不 足 で,

大 量 発 生 した ニ ュ ー ト リノに よ る 内圧 上 昇 効 果 が 重 要 と考 え る人 も い る.こ れ がⅡ 型 の 超 新 星 と呼 ば れ る もの で あ り,質 量 が 太 陽 の8倍 以 上 重 い 星 は こ う し て終 焉 を迎 え,後 残 る.

に は パ ル サ ー と呼 ば れ る 中性 子 星 か ま た は ブ ラ ッ ク ホー ル が

  c. 

Ⅰ型 超 新 星

  Ⅰ型 の 超 新 星 と は,炭

素 燃 焼 が 暴 走 し た と き に 発 生 す る.爆

放 射 エ ネ ル ギ ー ス ペ ク ト ル がⅡ 型 と 異 な る.通 ギ ー が 発 生 す る と,圧

力 が 上 昇 し,膨

常 は,核

焼 率 の 均 衡 が と れ る.と

燃 焼 が 始 ま っ た と き に す で に 縮 退 が 起 き て い る と,縮 が な く と も 持 続 す る 圧 力 で あ る の で,エ 度 の み が 上 昇 し,燃

  4.7.2    a.  検

素

退 圧 は エ ネル ギー の供 給

ネ ル ギー が 発 生 して も圧 力 が 下 が ら

の よ う な 状 況 は,あ

の場 合 星

る程 度 発 達 し た 星 に

星 か ら物 質 が 付 加 さ れ る と き に 起 こ る と さ れ て い る.

超 新 星 ニ ュ ー トリノ検 出 出

法

  ニ ュ ー ト リ ノ の 大 量 発 生 は ま ず,衝 応(neutronization;e-+p→n+νe)に 続).こ

焼率が

こ ろ が,炭

焼 率 が 増 大 し て 暴 走 が 起 き る の で あ る.こ

は 粉 々 に 砕 け 後 に は 何 も残 ら な い.こ 伴 星 が あ っ て,伴

燃焼 に よってエ ネル

張 が 起 き て 温 度 が 下 が る の で,燃

下 が る と い う 自然 な 抑 制 効 果 が 働 き,燃

ず,温

発 の時間経過や

撃 波 が 生 じ た 時 点 で,陽

の ニ ュ ー ト リ ノ は 直 ち に 外 に 放 出 さ れ る.芯

け ニ ュ ー ト リ ノ に 対 し て す ら 不 透 明 に な る.し ニ ュ ー ト リ ノ は,多

子 の中性子化反

よ り 引 き 起 こ さ れ る(約10msec持 の 密 度 は こ の 間 増 大 し続

た が っ て,芯

の中 で発 生 した

重 散 乱 に よって 熱 ニュー トリノに な り ,表

(ニ ュ ー ト リ ノ に 対 し て 透 明 に な る 密 度 の と こ ろ,こ 光 球:neutrinosphereと

い う)脱

さ れ る と き は ∼1000kmく

出 可 能 と な る.最

面 か らの み

の領 域 内 を ニ ュ ー ト リ ノ 初 ニ ュ ー ト リノ光 球 が 形 成

ら い の 半 径 を も つ が,

(4.99) な ど の 熱 過 程 に よ っ て エ ネ ル ギ ー を も ち 去 ら れ,最 る と き は 半 径 が ∼10kmく

終 的 に 中性 子 星 と な っ て残

ら い と な っ て い る.図4.22(a)に

陥 没 と跳 ね 返 り

の 様 子 を,図4.22(b)に

そ の 結 果 放 出 さ れ る ニ ュ ー ト リ ノ の 強 度 を 描 く64).

こ れ は 質 量 を 太 陽 の25倍

と し た と き の シ ミュ レ ー シ ョ ン で,Lνe,

そ れ ぞ れ,νe, νe,そ

の 他(ν μ, νμ, ντ, ντ)の 強 度 で あ る.最

子 化 に よ るνeの 放 出 を示 す.ニ

Lν e,Lνμは

初 の 鋭 い 山 は 中性

ュ ー ト リ ノ の 平 均 エ ネ ル ギ ー は,

(a) 図4.22  (a)  超 新 星 内部 各 層 の 時 間 変 化.ケ る様 子 を示 して い る.

(b) 超 新 星 爆 発 の シ ミュ レー シ ョ ン64) イ素(Si)お

よび それ よ り外 に あ る殻 が,外

向 きにバウ ンスされ

(b)  超 新 星 爆 発 の 際放 出 さ れ るニ ユ ー ト リノ の エ ネ ル ギ ー 強 度 の 時 間 変 化.νμ, ντ, ντ,のLはLν μ に 同 じ.星 の質 量 は25M〓

(4.100) で あ る.   地 上 で の ニ ュ ー ト リ ノ 観 測 は 次 の 反 応 に よ る65).

(4.101) ニ ュー ト リノ検 出 に水 を使 う場 合,自 →e+nで

あ る .νep反

応 で は,電

由 中性 子 が ない の で,重 要 な 反 応 はνep 子 が 等 方 的 に 放 出 さ れ る の で,入

射 の

ニ ュ ー ト リ ノ の 飛 来 方 向 の 情 報 は 失 わ れ る.νee反 (N(νep)/N(νee≒20/1),ν

は 少 な い が

の 飛 来 方 向 を 特 定 で き る の で 重 要 で あ る.ニ

ト リ ノ 検 出 測 定 器 は 大 き い に も か か わ ら ず(神 観 測 さ れ た ニ ュ ー ト リ ノ 事 象 数 は,神 ん ど がνep反

応 は,数

岡 で2140t,

岡 で11例,IMBで8例

ュー

IMBで6800t), と 少 な く,ほ

と

応 と 思 わ れ る.

  b.  ニ ュ ー ト リ ノ ル ミ ノ シ テ ィ   ニ ュ ー ト リ ノ の 地 球 上 で の エ ネ ル ギ ー ス ペ ク ト ル は,フ 統 計 に 従 う と し て,測 れ る と,超

定 器 の 効 率,SN

1987

Aま

ェ ル ミ-デ ィ ラ ッ ク

で の 距 離(50kpc)な

新 星 爆 発 時 の ニ ュ ー ト リ ノ 温度Tν, νeの

ど を入

全 エ ネ ル ギ ーL(νe)

は66),

(4.102) と 計 算 で き る.他 の ニ ュ ー ト リ ノ の 寄 与 を考 慮 し て,6倍

す れ ばSN

1987 A

の全 放 出 エ ネ ル ギ ーEは

(4.103) と計 算 され る.一 方,超 新 星 爆 発 の 際 放 出 さ れ るエ ネ ル ギーEは し て 推 定 で き る.星 性 子 星 に はnsと

の 質 量Mや

半 径Rに

爆 発 前 はstar,爆

次 の よ うに

発 後残 され た 中

指 標 をつ け る と

(4.104) と 表 さ れ る.Gは

万 有 引 力 定 数 で あ る.Rstar∼1010cm,

で,Mstar≫Mnsに

も か か わ ら ず 第2項

Rns∼106cmで

あ るの

が 優 勢 と な り,

(4.105) と な る67).M●(=1.989×1030kg)は

太 陽 質 量 で あ る.観 測 値 との 一 致 は 非 常

に よ い.既 知 の 粒 子 に関 す る相 互 作 用 の み で超 新 星 の エ ネ ル ギ ー を うま く説 明 で き る の で,新 粒 子新 相 互 作 用 の 入 る余 地 は少 な い.こ

の事 実 を使 え ば,仮 説

に 基づ く新 粒 子 の 性 質 に 関 し大 き な制 限 が つ け られ るの で あ る.§4.3.2で べ た磁 気 能 率 に対 す る制 限 は こ の議 論 か ら得 ちれ た も の で あ る.

述

  4.7.3 

素 粒 子 物 理 へ の 見返 り

  以 下 にSN

1987 A観

測 に よ り得 ら れ た 情 報 の う ち,素

粒 子物 理 に関す る も

の を い くつ か 抜 き 出 し て み よ う34,68).   a.  ニ ュ ー ト リ ノ 質 量69)   ニ ュ ー ト リ ノ が 質 量 を もつ と,速

度υν は 光 速 よ り小 さ くな り

(4.106) とな るの で,超 新 星 ま で の 距 離 をLと

す る と,mν=0の

場合 に比べ て余 分 に

か か る時間 は

(4.107a) で 与 え ら れ る.E1とE2の

エ ネ ル ギ ー を もつ ニ ュ ー ト リ ノ の 到 着 時 間 差 は

(4.107b) に よ り与 え ら れ る.し ば,ニ

た が っ て,観

測 さ れ た事 象 に つ い て上 記 の 時 間差 を見 れ

ュ ー ト リ ノ 質 量 の 見 当 が つ く.到

て い る の で,m〓20eVと

着 時 間 は,幅〓10sec以

抑 え ち れ る.こ

内 に お さ まっ

れ は 実 験 室 で の 上 限 値 ∼10eVと

同

程 度 で あ る.   b.  ニ ュ ー ト リ ノ の 寿 命

  超 新 星 か ら の ニ ュ ー ト リノ を観 測 した とい う事 実 は,そ

れ が 途 中 で 崩壊 しな

か っ た こ と を意 味 す る.し た が っ て,相 対 論 的効 果 に よ る時 間 の遅 れ を考 慮 し て

(4.108a) す な わ ち,

(4.108b) と な る.こ

れ に よ っ て,太

陽 ニ ュ ー ト リ ノ の 謎 をνeの 崩 壊 に 帰 す る モ デ ル は

大 方 除 外 ざ れ る.   c.  ニ ュ ー ト リ ノ の 電 荷70)   ニ ュ ー ト リ ノ が 電 荷Qνeを よ り 曲 げ ら れ る の で,電 み の 長 さ)に

比 べ,地

も つ と す れ ば,銀

河 磁 場(B∼10-6ガ

荷 を も た な い 場 合 の 直 線 路LB(磁

球 まで の 到 達 時 間 が

ウ ス)に

場 の あ る とこ ろ の

(4.109) だ け 余 分 に か か る の で,2個 べ さ ら に,ΔtQだ

の ニ ュ ー ト リ ノ の 到 着 時 間 差 は,(4

.107b)に

比

け 大 き くな り,

(4.110) と な る.Qν

の 上 限 値 は,ニ

ュ ー ト リ ノ 質 量 の 上 限 値 を使 っ て 書 き 直 せ る の で,

結 果 は,

(4.111) を 与 え る.   d.  ニ ュ ー ト リ ノ の 磁 気 能 率25,71)   ニ ュ ー ト リ ノ が 磁 気 能 率κ μBohrを も て ば,磁 ニ ュ ー ト リ ノ 光 球 の 中 でνRが を も ち,か

生 産 さ れ る .こ

気 相 互 作 用 に よ り超 新 星 の れ は エ ネ ル ギ ー100∼200MeV

な りエ ネ ル ギ ー の 高 い ニ ュ ー ト リ ノ で あ る.い

れ る と,νRは

物 質 と磁 気 相 互 作 用 か,右

巻 き相 互 作 用 し か し な い の で,断

面 積 は小 さ くその ま まニ ュー ト リノ光 球 外 ヘ 輝 度 が 小 さ く な る .観

散 乱 を受 け な い の で,生

ニ ュ ー ト リ ノ光 球 内 で 多 重

産 さ れ た と き の エ ネ ル ギ ー を 保 持 し た ま ま地 球 に 到 達

気 能 率 を も っ て い れ ば 銀 河 磁 場 と の 相 互 作 用 でνLに

き る の で,エ

測 と矛 盾 し

に 対 す る 制 限 が つ く.

  も う一 つ の 議 論 は 次 の よ う な も の で あ る.νRは

す る.磁

変 換 さ

巻 きゲー ジ ボ ソ ン との 結 合 に よ る右

エ ネ ル ギ ー を も ち 出 し て し ま う の で,νLの な い と い う条 件 で,κ

っ た んνRに

も ど る こ とが で

ネ ル ギ ー の 高 い ニ ュ ー ト リ ノ が 観 測 さ れ る は ず で あ る.そ

の よう

な 高 エ ネ ル ギー の ニ ュ ー ト リ ノ は 観 測 され な か っ た とい う事 実 が κに 制 限 を つけ て

(4.112) と な る.こ れ ら の 制 限 が 真 実 な ら ば,ニ ュ ー ト リ ノ の 磁 気 能 率 に よ る 太 陽 ニ ュ ー ト リノの 謎 の解 決 法 は破 綻 す る.し か し,こ れ ら の制 限 に つ い て は,超 新 星 内 の ニ ュ ー ト リノ生 成 機 構 理 解 が か な り定 性 的 で あ る こ と を考 慮 す る と, 早 急 な 結 論 は避 け るべ き で あ ろ う.

4.8 

お

わ

り

に

  超 新 星 から の ニ ュー トリ ノ反 応 を わ ず か 十 数 事 象 観 測 した だ け で,こ の結 論 が 引 き出 せ たの で あ る.も あ れ ば,ど

れだけ

う少 し定 量 的 な議 論 が で き るだ け の事 象 数 が

れ ほ ど役 に立 つ か は 論 を待 た な い で あ ろ う.そ の よ うな 意 味 で ス ー

パ ー カ ミオ カ ンデ に よ る新 た な 超 新 星 観 測 が望 ま れ る.ま た 太 陽 ニ ュー ト リノ 問題 に決 着 をつ け る こ と も必 要 で あ る.Gaを 積 は こ れ か らで あ る.カ ナ ダ のSudburyに

使 う装 置 の本 格 的 な デ ー タ の 集 建 設 中 の 測 定 器72)は1000tの

重水

を使 用 す る もの で,太 陽 ニ ュ ー トリノ(νe)を

(4.113) に よ り観 測 す る.ま

た,次

の 中 性 カ レ ン ト反 応 を 検 出 す る こ と に よ り,

(4.114) νeとνμとντを合 わ せ た も の の 飛 来 率 が 測 定 で き る.こ の 反 応 はν 振 動 が 起 きて 他 のν に変 わっ た と して も,併 せ て 観 測 で き る とい う利 点 を もつ.   スー パ ー カ ミオ カ ン デ と これ らの 装 置 を合 わ せ て低 エ ネ ル ギー 太 陽ニ ュー ト リノデ ー タが得 られ れ ば,謎 の 原 因 が 太 陽 モ デ ル に あ るの か,ニ

ュー トリ ノ振

動 に あ る の か 決 着 をつ け て くれ る で あ ろ う*8).

参 考文 献

1) 

ニ ュ ー

ト リ ノ の 種 々 の 可 能 性 を 包 括 的 に 議 論

M.Fukugita of

and

T.Yanagida:"Physics

Neutrinos,ed.M.Fukugita

of and

し た 解 説 と し て は, Neutrinos"in

Physics

and

Astrophysics

A.Suzuki,Spring-Verlag,Tokyo,1994,p.1を

あ げ て お く. 2) 

Particle

Data

Group:Phys.Rev.,D50(1994)1173;D54(1996);European

Phys.J.,

C3(1998)1 3) 

D.A.Dicus

4) 

B.W.Lee E.W.Kolb

5) 

G.B.Gelmini

et al.:Phys.Rev.,D18(1978)1819 and

S.Weinberg:Phys.Rev.Lett.,39(1977)165

and

M.S.Turner:The and

Early

Universe,

Addison

Wesley,1990

M.Roncadelli:Phys.Lett.,B99(1981)411

*8)  す で に 注*6)で 述 べ た よ う に 正 解 と い う こ と で 決 着 し た.

,太

陽 ニ ュ ー ト リ ノ の 謎 は,ニ

ュ ー ト リ ノ振 動 のLMAが

H.Georgi et al.:Nucl.Phys.,B193(1983)297 M.C.Gonzalez-Garcia and Y.Nir:Phys.Lett.,232(1989)383 P.Langacker and H.A.Weldon:Phys.Rev.Lett.,52(1984)1377 6) 

D.A.Dicus

et

al.:Phys.Rev.,D18(1978)1829

M.Fukugita

et

K.Choi 7) 

and

al.:Phys.Rev.,D26(1983)1840

C.W.Kim:Phys.Rev.,D37(1988)3225

T.Yanagida:Proc.of

Workshop

Unified

theory

and

Baryon

Number

in

Universe(KEK,Tsukuba,Japan),1970;Prog.Theor.Phys.,B135(1978)66 M.Gell-Mann,P.Ramond

and

R.Slansky

in Supergravity

(North

Holland),1979,

p.315 8) 

C.Pati

and

A.Salam:Phys.Rev.,D10(1974)275

R.N.Mohapatra

and

G.Senjanovic 9) 

10) 

and

L.Durkin

and

V.Barger

et

A.Jodido

P.Langacker:Phys.Lett.,B166(1986)436 al.:Phys.Rev.,D42(1990)152

et

al.:Phys.Rev.,D34(1986)1967

G.Barenboim 11) 

et

G.Beall

et

al.:Phys.Rev.,D55(1997)4213

al.:Phys.Rev.Lett.,48(1982)848

W.S.Hon

and

J.Baseq

et

A.Soni:Phys.Rev.,D32(1985)163

al.:Phys.Rev.,D32(1985)175

P.Colaugelo

and

12) 

I.I.Bigi

13) 

M.Doi,T.Kotani

and

G.Ecker

J.C.Pati:Phys.Rev.,D11(1975)2588

R.N.Mohapatra:Phys.Rev.,D12(1975)1502

G.Nardulli:Phys.Lett.,B253(1991)154

J.M.Frere:Phys.Lett.,B129(1983)469

and

W.Grimus:Nucl.Phys.,B258(1985)328 and

E.Takasugi:Prog.Theor.Phys.Supp.,83(1985)1

P.Langacker:Neutrino Study 14) 

H.Ejiri:"Double Fukugita

15) 

Mass,in"Testing

Beta

and

Standard

Decay"in

Physics

and

Astrophysics

A.Suzuki,Springer-Verlag,Tokyo,1994,p.500

M.Alston-Garnjost M.Gunther

et et

16) 

L.Baudis

17) 

PDG:European

18) 

M.A.Beg,W.J.Marciano

et

al.:Phys.Rev.,C55(1997)474

al.:Phys.Rev.,D55(1997)54

al.:Phys.Lett.,B407(1997)219 Phys.J.,C3(1998)1 and

G.Degrassi,A.Sirlin 19) 

the

Model",Proc.Theor.Ad.

Inst.,1990,p.863

B.W.Lee

and

K.Fujikawa

and

R.E.Shrock:Phys.Rev.,D16(1977)1444 and

R.E.Shrock:Phys.Rev.Lett.,45(1980)963

20) 

H.A.Bethe:Proc.Cam.Phil.Soc.,31(1935)108

21) 

Derbin

22) 

Cooper

23) 

M.Fukugita

P.Vogel

and et

J.Engel:Phys.Rev.,D39(1989)3378

al.:PAN,57(1994)222

L.A.Ahrens,et et

M.Ruderman:Phys.Rev.,D17(1978)1395

W.J.Marciano:Phys.Rev.,D39(1989)287

al.:Phys.Rev.,D41(1990)3297 al.:Phys.Lett.,B280(1992)153 and

S.Yazaki:Phys.Rev.,D36(1987)3817

of

Neutrinos,ed.M.

the

M.Fukugita

et

G.G.Raffelt

al.:Phys.Rev.Lett.,60(1988)879

and

S.P.Dearborn:Astrophys.J.,336(1989)6124)G.Raffelt:Phys.

Rev.Lett.,64(1990)2856 25) 

Goyal

26) 

R.E.Shrock:Phys.Lett.,B96(1980)159;Phys.Rev.,D24(1981)1232

et

al.:Phys.Lett.,B346(1995)312

27) 

BNLE734;L.Ahrens,et

28) 

B.Pontecorvo:Sov.Phys.,JETP6(1958)429;ibid.,7(1958)172

al.;Phys.Lett.,B194(1987)586

Z.Maki,M.Nakagawa 29) 

R.Eichler

and

et

S.Sakata:Prog.Theor.Phys.,28(1962)870

al.:Proc.1987 Int.Conf.on

High

Energy

Phys.,Humburg,Nucl.Phys

B(Proc.Suppl.)3,(1988)389 30) 

J.J.Simpson B.Sure

and

A.Hime:Phys.Rev.,D39(1989)1825,1837

et al.:Phys.Rev.Lett.,66(1991)2444

A.Hime

and

31) 

H.Kawakami

32) 

29)お

N.A.Jelly:Phys.Lett.,B257(1991)441 et

al.:Phys.Lett.,B287(1992)45

よ び

BNLE734;L.Ahrens

et

al.:Phys.Rev.,D31(1985)2732

BNLE776;L.Borodovsky,et 33) 

al.:Phys.Rev.Lett.,68(1992)274

K.Nishikawa:"A KEK

PS

Possible and

Super

Long

Baseline

Kamiokande",INS

Neutrino Rep.-924,

Oscillation April

Experiment

Using

1992

D.S.Ayres:Nucl.Phys.,B(Proc.Suppl.)59(1997)297 Proc.4th

KEK

ed.Y.Kuno

Topical and

34) 

J.N.Bahcall:Neutrino

35) 

J.N.Bahcall and

R.Davis,

Physics,KEK,Tsukuba,Oct.29-31,1996,

Univ.Press,1989

R.K.Ulrich:Rev.Mod.Phys.,60(1988)297 M.H.Pinsonneault:Rev.Mod.Phys.,67(1995)781

J.Bahcall,S.Basu 36) 

Flavor

Astrophysics,Cambridge

and

J.Bahcall

Conf.on

M.M.Nojiri

and

D.Harmer

M.Pinsonneault:astro-ph/9805135

and

R.Davis,A.Mann

and

K.Hoffman:Phys.Rev.Lett.,20(1968)1205 L.Wolfenstein:Ann.Rev.Nucl.and

Part.Sci.,39(1989)

467 37) 

38) 

B.T.Cleveland

et

al.:Nucl.Phys(Proc.Suppl.),38(1995)47

B.T.Cleveland

et

al.:Nucl.Phys.,B38(1995)47

S.Turk-Chieze

and

I.Lopes:J.Astrophys.,408(1993)347

S.Turk-Chieze,S.Cahen,M.Casse 39) 

and

KAMIOKANDE;K.S.Hirata,et

C.Doom:J.Astrophys.,335(1988)415

al.:Phys.Rev.Lett.,63(1989)16;ibid.,65(1990)

1297,1301;ibid.,66(1990)97;Phys.Rev.,D44(1991)2241;D45(1992)21705 S.KAMIOKANDE;Y.Fukuda

et

al.:Phys.Rev.Lett.,77(1996)1683;Phys.Rev.

Lett.,81(1998)1158 40) 

Y.Suzuki:Proc.ⅩⅧ kayama,Japan,June

41) 

th

Int.Conf.on

Neutrino

Physics

SAGE;J.N.Abdurashitov

et

al.:Phys.Lett.,B328(1994)234;Nucl.Phys.,B38

(1995)60 42) 

GALLEX;P.Anselmann

and

1998

et

al.:Phys.Lett.,B327(1994)377;B357(1995)237

Astrophysics,

Ta

W.Hampel 43) 

et al.:Phys.Lett.,B388(1996)384

S.P.Mikheyev

and

Y.Yu

Smirnov:Sov.J.Nucl.Phys.,42(1986)913

H.Bethe:Phys.Rev.Lett.,56(1986)1305 H.Bethe

and

J.N.Bahcall:Phys.Rev.Lett.,44(1991)2962

L.Wolfenstein:Phys.Rev.,D17(1978)2369;ibid.,D20(1979)2634 44) 

N.Hata

45) 

W.V.Haxton:Phys.Rev.Lett.,63(1986)

and

P.Langacker:Phys.Rev.,D56(1997)6107

46) 

L.Landau:Phys.Zeits.d.Sowetunion,2(1932)46

47) 

Y.Takeuchi:Measurement

S.J.Parke:Phys.Rev.Lett.,57(1986)1275

C.Zener:Proc.Roy,.Soc.,London,A137(1932)696 of

Solar

Kamiokande-Ⅲ,PhD.Thesis

Neutrinos

submitted

from

to Tokyo

One

Thousand

Institute

of

Days

1995 48) 

J.N.Bahcall

49) 

SNO:Phys.Rev.Lett.,89(2002)011301

50) 

KAMLAND:Phys.Rev.Lett.,90(2003)021802

51) 

A.Cisneros:Astrophys.Space

et al.:Phys.Rev.Lett.,78(1997)171

M.Voloshin

et

C.S.Lim

and

Sc.,10(1971)87

al.:JETP64(1988)446;Sov.J.Nucl.Phys.,44(1986)440

W.J.Marciano:Phys.Rev.,D37(1988)1368

E.Kh.Akhmedov:Phys.Lett.,B213(1988)64 52) 

R.Davis

53) 

KAMIOKANDE;K.S.Hirata,et

et al.:Prog.Nucl.Part.Phys.,32(1994)13 al.:Phys.Lett.,B205(1988)416.ibid;B280(1992)

146 Y.Fukuda

et al.:Phys.Lett.B433(1998)9

I MB;Phys.Rev,.Lett.,66(1991)2561 SOUDAN2;W.W.M.Allison 54) 

et

G.Barr,T.K.Gaisser

and

E.V.Bugaev

and

al:Phys.Lett.,B391(1997)491

T.Stanev:Phys.Rev.,D39(1989)3532

V.A.Naumov:Phys.Lett.,B232(1989)391

M.Honda,K.Kasahara,K.Hidaka

and

S.Midorikawa:Phys.Lett.,B248(1990)

193 H.Lee

and

Y.S.Koh:Nuovo

Cimento,B105(1990)883

55) 

NUSEX;M.Aglietta

et

56) 

Y.Fukuda

et al.:Phys.Lett.,B436(1998)33;Phys.Rev.Lett.,81(1998)1562

57) 

Y.Fukuda

et

58) 

CHOOZ;M.Apollonio

59) 

K.Nishikawa:Talk

60) 

S.Fukuda

61) 

E.Gawiser

62) 

KAMIOKANDE;K.Hirata

FREJUS:K.Daum

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.Rev.Lett.,61(1988)27 and

Technical

Description

of

Mark

,

5 大統 一 と超 対称 性

  第4章

で は,ニ

ュ ー トリノ質 量 とい う昔 か ら な じん で い る 問題 を取 り扱 う に

は,標 準 理 論 を 多 少 は 拡 張 す る必 要 性 が あ る こ と を議 論 した.こ

こで は,さ

ら

に 標 準 理 論 の 欠 点 を積 極 的 に掘 り下 げ,そ の 解 決 法 を探 る こ とに よ って 新 しい 方 向 を模 索 す る よ す が と しよ う.標 準 理 論 は,現 象 論 と して は ほ とん ど難 攻 不 落 の よ うに 見 え る が,理 論 的 に は い くつ か の 不 満 が あ り,新 しい拡 張 モデ ル が た くさ ん提 案 さ れ て い る.し たが っ て,こ れ か らの議 論 は 必 然 的 に 思 索 的 に な ら ざ る をえ な い.し か し,ア イデ ア だ け で デ ー タ の裏 づ け の な い モ デ ル を詳 細 に 議 論 す る こ とは あ ま り意 味 が な いか ら,以 下 は将 来 の 方 向 を大 き く左右 し そ うな もの に つ い て,ま た 実 験 検 証 の可 能 性 の あ る もの に つ い て,大 づ か み の 議 論 を す る こ と に す る.ま ず,標 (grand

準理 論 の最 も 自然 な拡 張 で あ る大統 一 理 論

unified theory: GUT=QCDとGWS理

の 困 難 で あ る階 層 問 題 か ら超 対 称 性(super

論 の 統 合)を 導 入 し,大 統 一 symmetry)へ

入 る.超 対 称 性 は

大 統 一 とは独 立 の独 自の 対 称 性 と考 え て も よ く,超 対 称 粒 子(超 粒 子 も し くは SUSY粒

子 と もい う)の 探 索 は そ れ 自身 興 味 の あ る研 究 対 象 で あ る.超 対 称

性 をゲ ー ジ化 す る と重 力理 論 に 到 達 す るの で,究 極 の統 一 理 論 に は不 可 欠 と考 え られ る.こ

こ で は,低 エ ネ ル ギー 現 象 に 関係 す る と こ ろの み 定 性 的 に ふ れ る

こ とに す る.

5.1 

な ぜ 大 統 一 か1)

標 準 理 論 に 内 在 す る パ ラ メ タ ー の 数 は20近 結 合 定 数:ΛMS(ま

く も あ る.

た は αs),e, sinθw

質 量:ゲ

ー ジ ボ ソ ン;W±

お よ びZ0

フ ェ ル ミ オ ン;mq,

ml(9個)

ス カ ラ ー 粒 子;mH KM行

列:θ1,θ2,θ3,δ

世 代 数:ng QCDのCPパ

ラ メ ター θ

ア イ ン シュ タ イ ンの 重 力 方程 式 が,パ

ラ メ ター と し て万 有 引 力 定 数1個

しか 含

ま な い こ と と対 比 す る と,標 準 理 論 が 真 の統 一理 論 に は ほ ど遠 い こ とは 明 か で あ る.特 に,対 称 性 を破 る機 構 す な わ ち質 量 問題 を解 くに は,ヒ

ッグ ス の 本 質

を 明 らか に し な け れ ば な ら な い が,こ

で 議 論 し た.

の 問 題 に つ い て は 第3章

フ ェ ル ミオ ン の 中 で は ニ ュー ト リノの 質 量 が特 殊 な役 割 を演 じ る.ニ ュ ー ト リ ノ に質 量 を与 え るた め に は標 準 理 論 を拡 張 す る 必要 性 が あ る こ と は 第4章 で す で に議 論 した.   ク ォー ク と レ プ トンの 数 は こ れ で つ き て い る の か,な ぜ 世 代 が 繰 り返 さ れ る の か とい う世 代 の 謎 は,古

くはe-μ の 謎 とい わ れ 歴 史 は 古 い が,未

だに手 が

か りが ま っ た くつ か め な い とこ ろ で あ る.群 を拡 張 して 世 代 を ま る ご と包含 す る よ う な モ デ ル もつ くれ な くは な い が,い た い.一 つ の 見 方 は,ク

ま の と ころ 成 功 して い る とは い い が

ォー ク と レプ トン を,よ

り根 元 的 な粒 子(サ ブ クォー

ク ま た はプ レオ ン)の 複 合 体 と見 な し て,各 世 代 は 第1世 代(基 底 状 態)の 励 起 状 態 とす る こ とで あ るが,質

量 ス ケ ー ル がmt/me∼105も

違 う粒 子 を一 つ の

束縛 状 態 に ま とめ られ るか は 大 い に 疑 問 で あ る.以 下 で は,大 統 一 理 論 へ 進 む こ とに よ っ て,解 決 の 可 能 性 の あ る事 項 を い くつ か あ げ る.

  5.1.1  ワイ ンバ ー グ角 の不 定性   標 準 理 論 は,SU(3)color×SU(2)L×U(1)Y群 さ れ,少

に 基 づ くゲ ー ジ理 論 と して 記 述

な く も電磁 力 と弱 力 部 分 に つ い て は 不 完 全 なが ら も統 一 が で きて い

る.不 完 全 とい う意 味 は,SU(2)群

とU(1)群

が 一 つ の群 に は ま と ま って い

な い の で,電 磁 力 と弱 力 の 二 つ の 結 合 定 数 は独 立 で あ り,ワ イ ンバ ー グ混 合 角 とい う不 定 パ ラ メ ター を導 入せ ざ る を え な い不 満 が あ る こ とで あ る.し

たが っ

て,次 の 目標 は 当 然 の こ とな が ら,ワ イ ンバ ー グ角 を決 め られ る よ うな,よ

り

大 き な群 を見 つ け るこ とで あ る.さ て い る よ う に見 え るQCDも,ゲ ば,三

ら に電 弱 相 互 作 用 とは ま った く切 り離 され

ー ジ理 論 に 立 脚 す る とい う共 通 点 に 着 目す れ

つ の 力 をす べ て 含 む ゲ ー ジ群Gが

も たせ る.こ れ が 可 能 な らば,ワ

存 在 す るの で は な い か とい う希 望 を

イ ンバ ー グ角 を含 め て3個 の 結合 定 数 を1個

に 減 らせ る で あ ろ う.大 統 一 とは,電 弱 強 の三 つ の 相 互 作 用 の 統 一 の こ と を さ す.重

力 を含 む 統 一 は超 大 統 一 とで も い うべ きな の で あ ろ うが,ま だ 定 着 した

慣 用 の 名 称 は な い.超 対 称 ゲ ー ジ理 論 は 超 大 統 一 理 論 の一 つ で あ るが,通 常 は 超 重 力 理 論(super

gravity,略

してSUGRA)と

特 別 の名 前 を与 え られて い

る.

  5.1.2  電 荷 の 量 子 化   群Gの

存 在 す べ き理 由 は ま だ あ る.標 準 理 論 で は,電

磁 相 互 作 用 はU(1)

ゲ ー ジ グ ル ー プ に 属 す るが,ア ー ベ ル群 の ゲ ー ジ場 の 方程 式 は 線 形 で あ り結 合 定 数 の 規 格 は 自由 で あ る.い い か え る と,電 荷 は量 子 化 さ れ る必 然 性 は な く, 各 粒 子 は任 意 の 電 荷 を もち う る.し か し,わ れ わ れ は 陽 子 の 電 荷 と電 子 の 電 荷 は10-21の 精 度 で 等 し く2),ク ォ ー ク の 電 荷 が 電 子 の 電 荷 の 正 確 に1/3で

ある

こ と を知 っ て い る.し た が って,電 荷 の 量 子 化 は理 論 の 中 に本 来 組 み 込 まれ て い な け れ ば な ら な い は ず の も の で あ る.電 荷 が よ り大 き な 単 純 ゲ ー ジ群Gの 生 成 演 算 子(Liと

書 く)の 組 み 合 わ せ で つ く られ る保 存 量 で あ る な らば,多

重 項 ご とに

(5.1) を 満 た す の で 量 子 化 が 達 せ られ る*1).群Gは,標

準 理 論 を含 ま な い と い け な

い か ら,

(5.2) が 条 件 で あ る.

 5.1.3  三 角 異 常 項  わ れ われ は レプ トンが 強 い相 互 作 用 を もた ず,ク

ォ ー ク とは大 い に 性 質 を異

*1)  三 角 異 常 項 を な くす る と い う条 件 で も決 め る こ と が で き る 考 え 方 もあ る.

.こ

の 方 が よ り本 質 的 と い う

図5.1  素粒子 の家族構 成 と世代構造

に し て い る こ とを知 っ て い る.電 弱 相 互 作 用 を共 有 す る と は い え,バ

リオ ン数

お よ び レプ トン数 保 存 に よ って 両 者 が 混 じ ら な い こ とは保 証 さ れ て い る よ うに 見 え る.し か し,統 一 ゲー ジ理 論 の枠 組 み の 中 で は,ゲ ー ジ不 変 性 に保 証 さ れ な い保 存 則 は破 られ て い て も不 都 合 は 生 じな い.い 虚 心 坦 懐 に 眺 め て み れ ば新 し い世 界 が 開 け る.す

っ た ん,こ の垣 根 を越 え て

なわ ち,現 象 論 的 に 分 類 す る

と素 粒 子群 が クォー ク と レプ トン で 家 族 を構 成 す る こ と,少 な くも3世 代 の 家 族 が 存 在 す る こ と,標 準 理 論 は 各 家 族 の 中 で 完 全 に 閉 じ る こ とに 注 目 し よ う (図6.1).そ

こで,も

しバ リオ ン数 や レ プ トン数 保 存 を破 る よ う な共 通 の 相 互

作 用 が 存 在 す れ ば,ク ォ ー ク と レプ トン は混 合 し う る.つ

ま り,ク ォー ク と レ

プ トン が 家 族 を構 成 す るか らに は 同 じ仲 間 で あ ろ う とい う論 理 で あ る.現 象 的 に は ク ォー ク と レプ トン を結 び つ け るべ き理 由 は こ の くらい しか ない が,理 論 的 に は,三 角 異常 項3)の 消 去 とい う強 い理 由 が 存 在 す る.   軸 性 カ レ ン トJ5μ=gψ γμγ5ψは フ ェ ル ミオ ン の 質 量 が0で ベ ル で は保 存 す るが,い よ っ て,カ

わ ゆ る三 角 図(図5.2(a))と

あ れ ば,ト

リー レ

呼 ば れ るル ー プ 効 果 に

レ ン ト保 存 則 が成 立 し な くな る.異 常 項 は フ ェ ル ミオ ン ル ー プ の 三

つ の ヴ ァー テ ッ ク ス の う ち,一つ

ま た は 三 つ に 軸 性 カ レ ン トが 結 合 し,他 の

ヴ ァー テ ッ ク ス は極 性 カ レ ン トに 結 合 す る と き に 生 じ る(§6.2で く説 明 す る).異 常 項 の 寄 与 は,

さ らに詳 し

(b)

(a)

図5.2 

三 角 異 常 項.フ ェ ル ミオ ン(f)のつ くる ルー プ に3種 の カ レ ン トが 結 合 す る.(a)は 一般 に ゲ ー ジ群 生 成 演 算 子行 列Ta, Tb, Tcで 結 合 して い る場 合.(b)はZγ γが 結 合 す る場 合.

(5.3) で 与 え られ る.Gμν は,こ

の フ ェ ル ミオ ン に結 合 す るゲ ー ジ場 で あ る.軸 性 カ

レ ン トに 基づ く対 称 性 に は,こ の 異 常 項 に よ り破 られ る危 険性 が 常 に 内在 す る が,こ

れ が 大 域 対 称 で あ る場 合 に は 害 は な い.し か し,局 所 対 称 す な わ ち ゲー

ジ カ レ ン トが 関 与 す る と きは 問題 とな る.こ の三 角 図 に よ っ て カ レ ン ト保 存則 が 破 れ る の で,繰

り込 み が 不 可 能 とい う重 大 事 態 とな る.標 準 理 論 はSU(2)L

群,つ

ま りカ イ ラ ル ゲー ジ 群 に 基 づ くの で,三 角 異 常 項 の 発 生 は避 け られ な

い.繰

り込 み 可 能 性 が 正 しい理 論 の 条 件 で あ るな らば,三 角 異 常 項 は存 在 して

は な らな い の で あ る.三 角 異常 項 が 消 滅 す る た め の 条 件 は,種 々 の フ ェ ル ミオ ン の つ く る三 角 異 常 項 の 和 が 相 殺 す る こ とで あ る.簡 単 な 例 と して,一 つ の ヴ ァー テ ッ ク ス が 軸 性 ベ ク トル に,他 の 二 つ が極 性 ベ ク トル に 連 が っ て い る場 合,す

な わ ちZ→

γγ(図5.2(b))を

フ ェ ル ミオ ンfのZと

の 結 合 がgzf,γ

考 慮 し て み よ う.Z→ との結 合 がQfで

γγの 場 合 は,

あ る の で,

(5.4) で あ れ ば,異 +Y/2お

常 項 は 消 滅 す る.gzfの

よ び ΣT3,ΣT33は,各

軸 性 部 分 はT3Lで

あ る か ら,Q=T3

多 重 項 の 中 で 和 を と る と0に

な る事 実 を 使

う と,

(5.5) 標 準 理 論 で は,左 とか ら

巻 き粒 子 は すべ て2重 項 の 中 に あ り,(T3L)2が

同一 であ るこ

(5.6) が,異

常 項 の消 滅 条 件 とな る.そ こ で,各 粒 子 の 電 荷 の和 を とっ て み る と,

(5.7) とな り,ま さ に この 条 件 を満 た して い る.こ の こ とは単 な る偶 然 とは考 えに く い.正

しい理 論 で は 異常 項 の 消 滅 が保 証 され て い る とす れ ば,ク

トン とは 常 に 組 に な っ て い なけ れ ば な らな い の で あ る.つ

ォ ー ク とレプ

ま り,ク ォ ー ク とレ

プ トン を 包 含 す る家 族 構 造 は 本 質 的 な 性 質 と考 え ざ る を え な い.し

た が っ て,

クォ ー ク と レプ トン を統 合 す る大 統 一 理 論 は 当 然 な論 理 的 帰 結 とな る.   な お,異 常 項 消 滅 の 一 般 的 条 件 は,各(カ

イ ラ ル)ゲ ー ジ群 の 生 成 演 算 子 を

Taと す る と き,

(5.8) で 与 え ら れ る.標 準 理 論 で は第2項

は0で

あ っ たが,大

し も0に な る必 要 は な い.実 際 の と こ ろ,第2項 トル 型 とい う),例 え ば,SO(10)の

統 一 で は 第2項 が 必 ず

が 第1項

に 等 し い理 論(ベ

ク

よ うに左 右 対称 な 大 統 一 理 論 は,自 動 的 に

異 常 項 を消 す の が 一 つ の 魅 力 と な っ て い る.い ず れ に せ よ,異 常 項 消 滅 は 群 Gを 選 ぶ と き の一 つ の 条 件 とな る.

5.2 

  5.2.1 

大 統一の スケール

  大 統 一 が 可 能 で あ る た め に は,あ 数,αiが

SU(5)

一 致 す る 必 要 が あ る.ス

り込 み 群 方 程 式(1.23)を

る エ ネ ル ギ ー ス ケ ー ル で,3個

の結合 定

ケ ー ル μ に 依 存 す る 結 合 定 数 αi(μ)は,繰

満 た し,最

低次 では

(5.9) と表 さ れ る.こ

こ に,αiはSU(i)の

ゲ ー ジ 群 の 結 合 定 数 で,係

数 βiは ゲ ー ジ ボ

ソ ン の 自 己エ ネ ル ギ ー に寄 与 す る フ ェ ル ミオ ン とボ ソ ン の ル ー プ を計 算 す る こ と に よ り得 られ る.   非 ア ー ベ ル 群 で は,βi>0と 入 れ る と,各

αiの 発 展 は,定

な り漸 近 自 由 が 成 立 す る.αi(mW)に 性 的 に 図5.3の

よ う に 表 さ れ,μ

測定 値 を

∼1015GeVで

3個 の 結 合 定 数 は 大 体 一 致 す る4).し 可 能 性 は 十 分 に あ る.し

か も,こ

(hc5/GNewton)1/2)∼1019GeVよ

た が っ て,単

一 の 大 統 一 群Gが

存在 す る

の エ ネ ル ギ ー は プ ラ ン ク エ ネ ル ギ ーMPl(=

り は ま だ 下 で あ る の で,将

来,重

力 まで含 め る

超 大 統 一 の 可 能 性 が 残 さ れ て い る.

図5.3 

SU(i)群

大 統 一 が 成 立す る ため に は,あ

の 結 合 定 数 の 発 展 と大 統 一 の ス ケー ル

る ス ケ ー ル(大 統 一 ス ケー ル)で 結 合 定 数 が 一 致 しな け れ

ば な ら な い.た だ し,3個 の 結 合 定 数 が 必 ず しも 同時 に一 致 す る 必 要 は な く,あ ル μ1で2個 の結 合 定 数 が一 致 し,別 の スケ ー ル μ2で3個 が一 致 して もよ い.

  群Gの

可 能 性 は い ろ い ろ あ る が,大

る に は,最

も 簡 単 なSU(5)を

論 は 特 に 断 ら な い 限 り,SU(5)に

  5.2.2    SU(5)の 個 のSU(5)の 参 照).こ U(1)の

統 一 理 論 の 基 本 的 構 造 と筋 道 を 理 解 す

考 え る の が よ い5).実

に は 多 少 の 修 正 が 必 要 で あ る が,そ

験 デ ー タ に 整 合 させ る た め

れ は 後 ほ ど 議 論 す る こ と に し て,以

下 の議

限 定 す る.

フ ェ ル ミ オ ンの 表 現 生 成 演 算 子 は52-1=24個 生 成 演 算 子Liの れ をSU(3)カ

あ る.ラ

整 理 し て み よ う.15個

あ る 第1世

あ る の で,24 あ る(Ⅱ-付

イ ソ ス ピ ンI3(SU(2)のI3)お

対 応 さ せ る こ と に す る.次

トン が ど の 表 現 に 属 す る か を 考 察 す る た め に,基 表 現 次 元 数,SU(2)の

ン ク は5-1=4で

う ち 対 角 化 可 能 な も の は4個

ラ ー 群 のλ3,λ8,ア

超 電 荷Y(=2(Q-I3))に

を,SU(3)の

る ス ケー

録F よび

に ク ォー ク とレプ

本 的 な フ ェ ル ミオ ン の 量 子 数

表 現 次 元 数,U(1)の

超 電 荷Yで

代 の 既 知 の フ ェ ル ミ オ ン は,

多重度

表 して

(5.10) の よ う に 表 さ れ る.こ ucL, ecLの

こ で,ア

イ ソ ス ピ ン1重

項 のdR,

よ う に 荷 電 共 役 の 形 で 書 い た 理 由 は,ゲ

ベ ク トル 型 で あ リ カ イ ラ リテ ィ を 変 え な い こ と,し

uR, eRの

ー ジ 理 論 に よ る相 互 作 用 は た が っ て,1重

も 含 め て す べ て の 粒 子 を 同 じ 多 重 項 に あ て は め る た め に は,カ え て お く必 要 が あ るか ら で あ る.な νLc 

は,標

要 に 応 じ て 使 う こ と に す る.こ

は,ま

巻 きの ニ ュ ー ト リノ (5.11)

の 既 知 の フ ェ ル ミ オ ン を,SU(5)の

属 させ て 矛 盾 が 生 じ な い か を 眺 め て み よ う.本

と め て 一 つ の 表 現 の 中 に 入 れ る 方 が す っ き りす る が,別

,u,カ

眺 め れ ば,5*を

ラ ー の 自 由 度 を指 標i(i=1∼3)で

当

々 に して は 不 可

つ く る 可 能 性 が2通

り あ る.q

表 す こ と に し て, (q=uま

この2通

イ ラ リテ ィ を揃

統 一 理 論 に は 現 れ る 可 能 性 が あ る の で,必

れ ら15個

と い う 理 由 は な い.(5.10)を =d

項の粒 子 を

(1,1,0) 

準 理 論 で は 存 在 し な い が,大

最 小 次 元 の 表 現,5と10に

お,右

代 り にdcL,

た はd) 

(5.12)

りの 不 定 性 は,多 重 項 内の 電 荷 を考 慮 す るこ とに よ り一 意 的 に決 め ら

れ る.電 荷Qは,

(5.13) で 与 え られ るの で,SU(5)群 子 の 和 とな り,し た が ってQも

の場 合 は,2個

(し た が っ てQに

の 無 軌 跡(traceless)の

生成 演算

ま た 無 軌 跡 で あ る.こ れ は,標 準 理 論 で はY

も)に 条 件 が つ け られ な か っ た の とは 事 情 を 異 に し て い る.

こ の こ とか ら多 重 項 内 の 粒 子 の 電荷 の 和 は0と

な らな け れ ば な ら な い.す な わ

ち,

(5.14) し た が っ て,5*に

属 す る3個

に 属 す る 場 をψ5a(a=1∼5)と

のqcLiはdcLiで

な け れ ば な ら な い.基

書 く こ と に す る と*2),(5.12)の

本 表 現5

複素 荷 電 共役

を と り,

(5.15a)

(5.15b) の よ う に 表 さ れ る.a=1∼3は

カ ラ ー の 指 標R,

ア イ ソ ス ピ ンI3=+1/2, -1/2に ψ 5aの 量 子 数 が 決 ま っ た.す 量 子 化 さ れ,ク

対 応 す る.こ

G, Bに

れ で,基

対 応 し,a=4 本 表 現5の

,5は,

中の 各 要 素

で に 大 統 一 の 利 点 の 一 つ が 明 らか で あ る.電

ォ ー ク の 電 荷 が レ プ トン の 電 荷 の1/3の

荷 は

整 数 倍 で あ る こ とが 説

明 で き た.   次 元 数 の 大 き い 表 現 内 の 量 子 数 は5次 こ と が で き る.た

の よ う に,a,

で あ る の で(表5.1),表

bの 指 標 に つ い て 反 対 称 で あ る .し

は,カ

ラ ー 積 表 現 

る.同

様 に し て,a,b=4,5に

∼3

元 表 現 の 積 をつ く る こ と に よ り決 め る

と え ば, 

, b=4,5は,カ

の3*に は,ア

ラ ー で3,ア

が こ れ に 該 当 す る.ま

とめ て,表

た が っ て,a,

対 応 す る の で,ucLiに

イ ソ ス ピ ン0のeLcが

イ ソ ス ピ ンI=1/2に 現10の

現10は,

b=1∼3の

部分

当 ては め られ 対 応 す る.a=1

対 応 す る か ら,(uL,

dL)

要 素 ψ10abは

(5.16)

の よ う に 表 す こ と が で き る.  す.こ

れ に よ っ て,15個

*2) (前ペ ー ジ)以 下

は 規 格 因 子 で あ り,Lの

の 既 知 の フ ェ ル ミ オ ン が,正

指 標 は 左 巻 き を表

しい量子数 をもちつつ

,SU(5)群 の指 標 を,便 宜 上 テ ン ソル 形 式 に 書 き,列 ベ ク トル を反 変 ベ ク トル の よ うに,行 ベ ク トル は共 変ベ ク トル の よ うに 見 な して,上 つ きお よび 下つ き の指 標 を 導 入 す る と便 利 で あ る.上 下 同 じ指 標 が 現 れ た と き は 和 を と る こ と と約 束 す る.

過 不 足 な く き っ ち り と5と10に に 入 れ よ う と 思 え ば,1重 現 れ る 基 本 的 なSU(5)表

納 ま っ た.νLcの

入 る 余 地 は な い の で,無

理

項 表 現 に あ て は め る し か 手 は な い.表5.1に,よ 現 と,そ

れ をSU(3)×SU(2)×U(1)に

く

分 解 した と き

の 構 成 を 示 す. 表5.1 SU(5)のSU(3)×SU(2)×U(1)表

  5.2.3 

ゲ ージ粒子の表 現

  a.  随 伴 表 現(adjoint   次 に,SU(5)群 本 表 現5を

示*3)

representation)

の 生 成 演 算 子[Li]ab(i=1∼24,

参 照 す れ ば,a,b=1∼3は

a,b=1∼5)を

カ ラ ー,a,b=4,5は

標 で あ る か ら,i=1∼8をQCD, i=9∼11をSU(2)の

つ く ろ う.基 ア イ ソス ピンの指

生 成 演 算 子 に対 応 させ

て

(5.17)

の よ う に と る こ と に す る.た

だ し,σjはj=1∼3と

す る.こ

れ らLiは

(5.18) と い う 規 格 条 件 を 満 た す.L3, *3)  積 表 現 の つ く り方 に つ い て は

L8, L11=2I3が ,Ⅱ-付

録Fを

対 角 行 列 で あ る か ら,も

参 照 の こ と.

う一 つ

の 対 角 行 列 をL12=cYと

す れ ば,表

現5のY(5.15)を

参 照 し,(5.18)の

規

格 条 件 を 使 え ば,

(5.19)

と 表 さ れ る こ と が わ か る.残

りの12個

の 生 成 演 算 子L13∼L24は,

(5.20a)

(5.20b)

の よ う に し て つ く る こ と が で き る.L15∼L18, ∼L24は

,ク

L21∼L24は

上 記 に な ら う.L13

ォ ー ク と レ プ トン を 入 れ 替 え る 演 算 子 で あ り,標

準理論 に はな く

て 大 統 一 に よ っ て 新 し く出 現 し た 演 算 子 で あ る.   ゲ ー ジ ボ ソ ンVμ

の 属 す る 表 現24は

次 の よ う に 表 す こ とが で き る.

(5.21a)

(5.21b)

(5.21c) gi(i=1∼8)は

グ ル ー オ ン を 表 す.X,

ジ ボ ソ ン で,ク ば,X∼dLceRcま

大 統 一 に よ り出 現 し た 新 し い ゲー

ォ ー ク と レ プ トン を 互 い に 変 換 す る 作 用 を もつ.量 た はuRuL, Y∼dLcνRcま

ラ ー 量 子 数,レ SUB(2)の

Yが

プ ト ン 量 子 数,ア

た はuRdLと

子 数 で表 せ

同 じ で あ る の で,カ

イ ソ ス ピ ン 量 子 数 を 合 わ せ も つ.SU(3),

表現 で書けば

(5.22a) 電 荷,ア

イ ソ ス ピン,超 電荷 で書 け ば

(5.22b) で 表 さ れ る.こ のゲ ー ジ場 を使 う と,共 変微 分 お よび ラ グ ラ ン ジ ア ン の 中 の 運 動 エ ネ ル ギ ー 部 分 が,ゲ ー ジ場Vと

ψ5につ い て は す ぐに 書 き下 ろせ て,

(5.23a) (5.23b) (5.23c) た だ し,g5はSU(5)に

伴 う結 合 定 数 で あ る.ψ10に 対 す る共 変 微 分 とラ グ ラ ン

ジ ア ン は,多 少 の群 論 計 算 を必 要 とす るが,

(5.24) で あ る こ とが 示 せ る.   証 明   基 本 表 現 ベ ク トル を ψa,10次 ψ 空 間 で の 生 成 演 算 子 をLAab, X空 A=1∼24, で,微

a,b=1∼5)と

元 ベ ク トル ψ10の テ ン ソ ル 表 現 をXab,

間 で の 生 成 演 算 子 をLAabcd(以

書 く,Xabは(ψaψb-ψbψa)の

上 す べ て,

よ うに変 換 す るの

小 変 換 を考 え る と

(5.25)

(5.26) が 成 立 す る.こ れ か ら

(5.27) が 導 け る.ラ

グ ラ ン ジア ンの 中 に は双1次

形 式 で現 れ るの で

(5.28) で あ る.ゲ ー ジベ ク トル 場 の行 列 表 現

  を使 え ば,ラ

グラ ンジ

ア ンの 中 の運 動 量 項 は

(5.29) と 書 け る.    b. 

(証 明終)

ワイ ンバ ー グ角

 (5.23)よ

り直 ち に 大 統 一 ス ケ ー ル μ〓MGUTで

は,

(5.30) が 成 立 し て い る こ と が い え る.次 る た め に,ラ ン 場Aμ

に,U(1)ゲ

ー ジ ボ ソ ンBの

グ ラ ン ジ ア ン か ら 中 性 のWμ0とBμ

とZμ0で

結 合 定 数 を求 め

を 含 む 項 を 抜 き 出 し,フ

ォ ト

書 き直 す と

(5.31a) た だ し,sW=sinθW≡sinθWMS, cW=cosθWで

あ る.こ

れ よ り,電

荷 行 列Qは

(5.31b) と表 せ る.電

荷 行 列 は 一 方 でQ=I3+Y/2と

表 せ る か ら,I3=L11/2お

よび  

を 使 え ば,

(5.32) と書 け る の で,(5.31b)と

比 較 し て,

(5.33a) (5.33b) (5.34) が 導 け る.こ

のsinθWの

値 は,大

統 一 ス ケ ー ル(μ ≒1015GeV)で

の値 で あ る

こ と を 注 意 し て お く.

  5.2.4  対 称 性 の 破 れ   X,

Yゲ ー ジ ボ ソ ン は,ク

ォー ク〓 レ プ トン間 の 遷 移 を 引 き起 こ す が,陽

子 は 十 分安 定 で あ る こ とが知 られ て い る.陽 子 崩 壊率 を実 験 デ ー タ と矛 盾 させ な い た め に は,X,

Yの 質 量MX, MYは

十 分 重 くす る必 要 が あ る.そ の た め に

は対 称 性 の 自発 的破 れ が生 じて い て,

(5.35) の よ う に対 称 性 が2段

階 で破 れ る とす る.ま ず 大 統 一 エ ネ ル ギー ス ケー ル(μ

∼MGUT〓1015GeV)で

第1段

階(μ ∼250GeV)で こ り,WとZが

階 の破 れ が 生 じてX

, Yに 質 量 を 与 え,第2段

標 準 理 論 に お け る弱相 互 作 用 と電 磁 相 互 作 用 へ の 分 化 が起 質 量 を獲 得 し た とす る.第1段

Yに 質 量 を与 え る に は,24次

階 で ゲ ー ジ ボ ソ ン で あ るX,

元 表 現 に属 す る ヒ ッグ スΦabが,

(5.36)

の よ う な 真 空 期 待 値 を 獲 得 す る とす れ ば よ い6).   こ れ を み る た め に,ま

ず 共 変 微 分Dμ

を 求 め る. 

で あ る か ら,

Φi(i=1∼24)を

(5.37) と い う5×5行

列 の 形 に 表 せ る((5.21b)の

ψ5,ψ5*はSU(5)の  

微 小変換 で

ゲ ー ジ ボ ソ ン の 表 式 を 参 照 せ よ).

(5.38a) (5.38b) な どの 変 換 を受 け る か ら,Φ

の変 換 は

(5.39) で 与 え られ る こ とに な り,対 応 す る共 変 微 分 は

(5.40) これ に対 応 し て ヒ ッグ ス ラ グ ラ ン ジ ア ンの 運 動 エ ネ ル ギ ー 項 は,

(5.41) の よ うに 書 け る.ゲ ー ジ ボ ソ ン の 質 量 項 は,Φ

を ヒ ッ グ ス の 真 空期 待 値 で 置

き換 え て得 られ る.

(5.42) <Φ>とVμが,

(5.43)

の 形 を も っ て い れ ば,

(5.44)

の 形 に な る の で,(5.42)の

中 のViはXま

な る.p=V, q=-3V/2と

す れ ば,

た はYの

み が 生 残 り,望

む形 と

(5.45)

g5の 値 に つ い て は,後

述 の(5.54)を

参 照 せ よ.真

空 期 待 値Vは

統 一 の エ ネ ル ギ ー ス ケ ー ル 程 度 で あ る か ら,  る ポ テ ン シ ャ ル の 形 は,標

だ い た い大

で あ る.Φ

のつ く

準 理 論 の ヒ ッ グ ス 場 の ポ テ ン シ ャ ル が,

(5.46) と表 せ る こ と に な らっ て つ くる.自 発 的 に 対 称 性 を破 る た め に は￨Φ￨の4乗

ま

で の 項 を含 む 必 要 が あ るか ら一 般 的 な 形 で 表 して

(5.47) と す る.Φ 7b/5な

の3乗

ら ば,ポ

の 項 は あ っ て も よ い が 簡 単 の た め 省 く,b>0, テ ン シ ャ ル の 最 小 値 が 唯 一 に 決 ま る.こ

待 値 は∂P/∂Φ￨Φ=<Φ>=0か

μ2>0,

の と き,Φ

a>

の真空期

ら得 ち れ て,

(5.48) と な る.   こ のΦ

の 真 空 期 待 値 の も た せ 方 を 工 夫 し て,電

を も 同 時 に 起 こ す こ と は 可 能 で あ ろ うか.答 の 中 に はW, 1/2"の

形 を し て い る が,ヘ

形 と な る.フ

表 現 は 表5.1に

は ノ ー で あ る.理

質 量 を も た せ る の に 必 要 な"カ

成 分 が 存 在 し な い(表5.1参

ψRψL+h.c.の +h.c.の

Zの

弱相互作 用の対称 性 の破 れ

照).ま

リ シ テ ィLの

ェ ル ミオ ン は5*,

ラ ー1重

た,フ

由 の 第1は,24

項か つア イソス ピン

ェル ミオ ンの 質 量 項 は

状 態 で 書 き 直 す と,(ψcL)TCψL

10に 属 し て い る か ら,質

量 項 のSU(5)

よ り,

(5.49) の どれ か と な る の で,24と た質 量 を獲 得 で き な い.そ

は 結 合 で きな い.し

た が って,フ

こで,前 述 した よ う に第2段

ェ ル ミオ ン も ま

階 の 対 称 性 の破 れ が 必

要 とな るの で あ る.こ の 第2の 対 称 性 の 破 れ を起 こす ヒ ッ グス 場 の 表 現 は,上 式 を参 照 す れ ば5お 5を 使 う.5次

よ び45が 候 補 に な り うる.最

元 表 現 のH5はI=1/2を

含 む か ら,

も簡 単 なSU(5)モ

デル では

(5.50)

と とれ ば,標 準 理 論 で必 要 な質 量 ス ペ ク トル を獲 得 させ る こ とが で きる.質 量 を与 え る相 互 作 用 は 次 の よ うな 形 と な る.

(5.51) 具 体 的 な 形 は後 で 与 え る 〔(5.59), (5.60)〕.   以上 の 議 論 の 結 論 は,標 準理 論 を部 分 と して含 む 大 統 一 理 論 の 構 成 は 可 能 と い う こ とで あ る.そ の理 論 が 自然 を記 述 す る か ど うか は別 問 題 で あ り,そ れ を 検 証 す る こ とが わ れ わ れ の 次 に 直 面 す る 問題 で あ る.

  5.2.5 

SU(5)の

予 言 と破 綻

  a.  ワ イ ン バ ー グ 角   さ て,(5.30),

(5.33),

(5.34)の

各 相 互 作 用 の 結 合 定 数 間 の 関 係 式 は,大

一 ス ケ ー ル の エ ネ ル ギ ー 領 域(E∼MGUT∼1015GeV)で 低 エ ネ ル ギ ー で は 放 射 補 正(5.9)を

統

成 り 立 つ 関 係 式 で あ り,

受 け る.μ=MGUTから

発 展 させ て 低 エ ネ

ル ギ ー で は ど の よ う な 値 を と る か を 見 る た め に,βiに

各 群 で の値 を入 れ る

と1),

(5.52a) (5.52b)

(5.52c) こ こ で,ngは

ゲ ー ジ ボ ソ ン の 放 射 補 正 ル ー プ に 現 れ るmf<μ

の 世 代 数,NHはmH<μ て,上

式 を書 き換 え る と

の ヒ ッ グ ス2重

項 の 数 で あ る.ng=3,

の フ ェル ミオ ン NH=1と

し

(5.53a) (5.53b) αEM(mW),

α3(mW)は

体1015GeV程

求 め ら れ て い る か ら,(5.53b)か

度 と な る.こ

統 一 理 論 に よ るsin2θW(mW)が

の 値 を(5.53a)に

決 ま り,大

入 れ る こ と に よ り,SU(5)大

計 算 で き る.最

よ り精 密 な 計 算 式 が あ る の で,そ

らMGUTが

近 は,2-ル

ー プ 効 果 を も入 れ た

れ を 使 え ば,

(5.54a)7) (5.54b)8,9) とい う結 果 が 得 られ る.こ れ は,最 近 のLEP精

密 デ ー タに 対 す る最 適 値

(5.54c)10) と は 合 わ な い.   b.  陽 子 崩 壊   も う 一 つ の 実 験 デ ー タ,陽

子 崩 壊 の 考 察 を行 う こ と と し よ う.フ

の ゲ ー ジ 相 互 作 用 項 は,(5.23),(5.24)で (5.16)を

ェル ミオ ン

与 え ら れ て い る の で,(5.15),

使 っ て 具 体 的 に 書 き下 ろ す と,X,

Yの

関 与 す る と こ ろ は,

(5.55) で 与 え ら れ る.た (5.55)に

だ し,ijk=1∼3は,カ

対 応 す るX,

の 起 こ す 相 互 作 用 は,バ

Yの

ラ ー 自 由 度 の 和 を 示 す.図5.4に

相 互 作 用 フ ァ イ ン マ ン 図 を 示 す.こ リ オ ン 数Bと

は 保 存 し て い る こ と が わ か る.陽

レ プ ト ン 数Lを

子 や 中 性 子 は,図5.5に

を 仲 介 に し て レ プ トン な ど へ 崩 壊 を 起 こ す.p→e+π0の

が で き,陽

外 の モ デ ル で も,上

Y

示 す よ う にX,

Y

図 が容 易 に書 け る と

い う こ と は 起 こ りや す い 反 応 で あ る こ と を 意 味 し,SU(5)の る.SU(5)以

れ か らX,

と も に 破 る が,B-L

特 徴 とな って い

記 と同 じ よ う な相 互 作 用 を書 き下 ろす こ と

子 の 種 々 の 崩 壊 モ ー ドが 計 算 で き る.た

いていの モデルが

(5.56) を 予 言 し1),e+π0モ

ー ドへ の 崩 壊 が 優 勢 と い う 事 実 は か な り一 般 的 に 成 立 す

る.

(a)

図5.4

(b)

(c)

X(Q=4/3)とY(Q=1/3)ボ

ソ ン と フ ェ ル ミオ ン の結 合 でB-Lは

(a) X, (a),

Yボ (b)

(e)

保 存 され る

(c)

(b)

図5.5

  ゲ ー ジ ボ ソ ンX,

(d)

ソ ン を介 す る 陽 子 崩壊 の フ ァイ ンマ ン図 ρ→e+π0

(c)

ρ→νeπ+

Yの 質 量 が 大 き い と き,陽 子 崩 壊 は フ ェ ル ミ型 相 互 作 用

とな る か ら,陽 子 が 電 子 と π0に壊 れ る式 は,ミ

ュー オ ン崩 壊 の 式 と ま っ た く

同 じ よ うに書 け て,

(5.57a) Fは,陽

子 内 の クォ ー ク波 動 関 数 に起 因 す る補 正 因 子 で,か

的 不 定 性 を伴 うが,∼1の

オ ー ダー で あ る.計 算 に よ る と1),

年  で あ る が,最

な り大 きな 理 論

(5.57b)

近 の デ ー タ は11), τp(p→e+π0)>1.6×1033年

  (90%信

頼 度) 

(5.58)

で あ るの で,こ れ も実 験 値 に合 わ な い.   c.

質量の スケール依存性

  大 統 一 理 論 で は ク ォー ク と レプ トンが 同一 多重 項 内 に あ るの で,質 量 につ い て の 関 係 式 を導 くこ とが で き る.特 に(5.51)に

よ っ て 質 量 を発 生 させ た 場 合

の 質 量 項 を書 き下 ろす と,

(5.59) と な る.ヒ

ッ グ ス の 真 空 期 待 値 を(5.50)の

よ う に と れ ば 上 式 第2項

は

(5.60) と な っ て,me=mdが

結 論 で き る.す

な わ ち最 も簡 単 なSU(5)大

統一 理 論 で

は

(5.61) が 成 立 す る.し か し,こ の 関 係 式 は大 統 一 の エ ネ ル ギー ス ケー ル で 成 立 す る式 で あ る.ヒ

ッ グ ス機 構 に よ る質 量 は湯 川 結 合 定 数 と真 空 期 待 値 の積 で あ り,結

合 定 数 は ス ケ ー ル に依 存 す る の で,実 験 と比 較 す る に は 繰 り込 み 群 方 程 式 を 使 っ て低 エ ネ ル ギー まで外 挿 し な け れ ば な ら な い.計 算 に よ れ ば12)

(5.62) μ1∼10GeV,

μ2∼MXと

く合 う.ms/mμ, md/meは

し て 計 算 す る と上 記 の 値 は〓2.5と な り,実 験 値 と よ 合 わ な い が,こ

れ は ス ケー ル が 小 さ す ぎ て 非 摂 動

効 果 が 大 きい た め と考 え ちれ る.い ず れ にせ よ こ う した 計 算 は,種 々 の モ デ ル を構 築 す る と きに 役 立 つ 情 報 と な る.   以 上 の 三 つ の 例 の う ち少 な く も二 つ の 実 験 デー タか ら,SU(5)を 小 限 の 大 統 一 理 論 で は実 験 デー タ を再 現 で きず,何 とが わ か る.

使 った最

らか の工 夫 が 必 要 で あ る こ

5.3 

SO(10)

  5.3.1  左 右 対 称 の 世 界   SU(5)の

欠 点 を修 復 す る前 に,SU(5)以

外 の モ デ ル の 可 能 性 に ふ れ て お く.

現 象 論 的 に よ り魅 力 的 に す る試 み で あ るが,SU(5)の

と こ ろ で 議 論 した 基 本

的 な性 質 は 継 承 し て お り,大 統 一 の 大 き な立 場 か ら はSU(5)の

バ リエー シ ョ

ンの 一 部 と見 なす べ き も の で あ る.   標 準 理 論 はSU(2)Lを

含 み,弱 相 互 作 用 が パ リテ ィ を破 る.こ の左 右 非 対 称

性 は 自然 界 の 本 質 的 性 質 なの で あ ろ うか.そ れ と も,自 然 は 本 来左 右 対 称 で, 対 称 性 が破 れ て い る の は見 か け だ け なの だ ろ うか.こ

の 問 い か け は非 常 に興 味

あ る テー マ で あ る.後 者 の 立場 を とる な らば,大 統 一 ス ケ ー ル で は左 右 の 対称 性 が 回復 して い る可 能 性 が あ る.左 右 対 称 性 を回 復 す る最 も簡 単 な方 法 は,第 4章 で議 論 し た よ うに,標 準 理 論 のSU(2)Lを

拡 大 し て,SU(2)L×SU(2)R対

称 性 を要 求 す る こ と で あ る.右 巻 き粒 子 に 結 合 す る ゲ ー ジ ボ ソ ンWRの を左 巻 きゲ ー ジ ボ ソ ンWLの 矛 盾 しな い.こ

質量

数 倍 以 上 重 くす れ ば,現 象 論 的 に は 実 験 デ ー タ と

のSU(2)L×SU(2)Rを

部 分 群 と して 含 む 大 統 一 群 の 中 で,よ

く引 き合 い に 出 さ れ る の がSO(10)とE6群 間 の 長 さ を不 変 に す る 変 換 で あ る.Eは の よ うな 一 定 の 規 則 性 は な い.E6は

で あ る.SO(10)は10次

元 の実空

例 外 群 と呼 ば れ,SU(N)やSO(N)

超 紐 理 論 の低 エ ネ ル ギー 極 限 と し て 実 現

し う る とい うの で人 気 の あ る群 で あ る.こ の 二 つ の群 は

(5.63) な どい ろ い ろ な分 解 の 仕 方,い が あ る.第1の

い換 えれ ば 対 称 性 を破 る方 法 に い ろ い ろ の道 筋

道 筋 で は,SU(5)を

経 過 す る の で,こ

議 論 した こ と は そ の ま ま成 立 す る.第2の は 

れ ま でSU(5)に

つ いて

道 筋 の よ う に,分 解 の 仕 方 に よ って

を通 る の で,左 右 の 対 称 性 つ ま りパ リテ ィの 保 存

が 高 エ ネ ル ギー で 回 復 す る可 能 性 が あ る.

  SO(10)の

利 点 の 第2は,16次

元 の ス ピ ノ ー ル 表 現 を 含 む こ と で あ る.こ

16次 元 表 現 を,SU(5)×U(1)ま

た はSU(2)L×SU(2)R×SU(4)cで

の

分 解 して

み る と,

(5.64a) (5.64b) と2通

り に 分 解 で き る.こ

フ ェ ル ミ オ ン に,未

れ を 表 の 形 で 示 せ ば 表5.2と

知 の 右 巻 きニュートリノνLcを

な り,既

知 の15個

の

加 え て一 つ の 表 現 の 中 に お

さ め る こ と が で き る.

  第3の

利 点 は,こ

のνLcを シー ソー メ カ ニ ズ ム の パ ー ト ナ ー と 考 え て,

ニ ュ ー トリ ノの 質 量 問 題 に解 答 を与 え る可 能 性 が あ る こ とで あ る.   第4の

利 点 はSU(5)と

違 い,ビ

させ たバ リオ ン数 非 対 称 が,電

ッ グバ ン大 統 一 期 にSO(10)に

よって発生

弱相 互 作 用 相 転 移 を経 て も生 き残 る可 能 性 が あ

る こ とで あ る(後 述 §6.5). 表5.2 

SO(10)の16次

  この よ う にSO(10)は,い

元 表 現 のSU(5)分

解 とSU(2)L×SU(2)R分

解

ろ い ろ魅 力 あ る利 点 を もつ の で,大 統 一 理 論 を問

題 にす る と きは 常 に 取 り上 げ られ る モ デ ル で あ る.   SO(10)は,道

筋 に よ っ て は 対 称 性 の破 れ る段 階 がSU(5)に

比 べ て一 つ 増 え

るの で,対 称 性 を破 るエ ネ ル ギー ス ケ ー ル と して,μ1<μ2≒MGUTと2通 上 選 べ るの で調 整 能力 が 増 加 す る.例 え ば,ワインバーグ

り以

角 や 陽 子 崩 壊 率 を実

験 と矛 盾 しな い よ うに合 わ せ る こ とが 可 能 で あ る.

  5.3.2 

新 し い 中 性 ゲ ー ジ ボ ソ ン:Z'13)

  大 統 一 の 群Gが,SU(3)×SU(2)L×U(1)Y以

外 の 部 分 群 を 含 め ば,そ

付 随 す る ゲ ー ジ ボ ソ ン と 相 互 作 用 が 存 在 す る.例

え ば,左

れに

右 対 称 モ デル は

SUR(2)を

含 む の で,ゲ

ー ジ ボ ソ ンWR±,ZRを

る 中 性 カ レ ン トデ ー タ(K0-K0混

もつ.現

合 な ど)か

ら,右

象 的 に は,香

りの変 わ

巻 きゲ ー ジ ボ ソ ンの 質 量

は 左 巻 き ボ ソ ン に 比 べ て 数 倍 以 上 大 き くな け れ ば な ら な い こ と は す で に 議 論 し た.た

い て い のGは,標

(以 下U(1)Eと す る.こ

準 理 論 のU(1)Yの

書 く.E=EXTRA),γ,Zの

ほ か に 余 分 のU(1)を

含 む の で

ほ か に 新 しい 中 性 ボ ソ ン が 存 在

の と き 中 性 カ レ ン ト相 互 作 用 は 次 の よ う に 書 け る.

(5.65) た だ し,Z10,JZ1μ

は,標

準 モ デ ル に お け るZ,中

性 カ レ ン ト を 表 し,

(5.66a) (5.66b) (5.66c) と 書 け る.(5.65)の

第3項

が 新 し い 中 性 ボ ソ ン に 伴 う新 し い 相 互 作 用 を 表 す.

Z20に 結 合 す る 中 性 カ レ ン トは

(5.66d) (5.66e) の よ う に 書 け る.最

後 の 式 を 導 く の に, 

Y(fL),

巻 き フ ェ ル ミ オ ンfL, fLcの

Y(fLc)は,左

を 使 っ た. も つ(群U(1)Eに

付 随 す る)

超 電 荷 で あ る.   Z10, Z20は

同 じ フ ェ ル ミ オ ン 対 に 結 合 す る の で 混 合 が 起 こ り,そ

理 的 な 質 量 固 有 状 態Z1,

Z2は

の 結 果,物

次 の よ う に 表 さ れ る.

(5.67a)

(5.67b) この と き,現 在観 測 され て い るZ0はZ1と

解 釈 す る.Z2は

しば しばZ'と

も書

く.対 応 す る質 量 行 列 は

(5.68) M0, MEは

混 合 が な い と き のZ10, Z20の 質 量 で あ る.Z1,

Z2の

質 量 をM1,

M2と

し,混 合 角,非 対 角行 列 要 素 を質 量 で 表 す と

(5.69a) (5.69b) の よ う に書 け る.こ れ らの 式 か ら,新

しい ボ ソ ンの 顕 著 な影 響 は次 の 三 つ に現

れ る こ とが わ か る.  (1)  既 知 のZボ

ソ ン の 結 合 定 数 が 変 わ る.

 (2)  既 知 のZボ

ソ ン の 質 量 が 小 さ く な る.

 (3)  新 し い ボ ソ ンZ'の   Z1, Z2の

交 換 項 が 加 わ る.

フ ェ ル ミオ ンfLと

の結 合 定 数 は

(5.70a) (5.70b) で与 え られ,fRと

の 結 合 定 数 は 上 式 をL→Rと

して 得 られ る.標 準 理 論 の 実

験 デ ー タ再 現 性 は 非 常 に 良 い の で, 

と考 え られ

るか ら

(5.71) とな り,既 知 のZの

結 合 定 数,質

量 に 対 す る補 正 は わ ず か で あ る.

  結 合 定数gEは,対

象 とす る大 統 一群Gの

種 類 に よ っ て変 わ る量 で あ る.一

般 的 な考 察 をす るに はパラメター が 多す ぎ る の で,通 常 は特 定 の モ デ ル につ い て 考 慮 す る.Gの

例 と して よ く使 わ れ る の は,超 紐 の理 論 の低 エ ネ ル ギー 極

限 と して 出現 す るE6で,対

称 性 の 破 れ 方 に よ っ て は,

(5.72a) の よ う に,種

々 の 中 性 ゲ ー ジ ボ ソ ン,Zψ,

Zx, Zη が 現 れ る.

(5.72b) と 書 け ば,

(5.73) の よ う に ま と め る こ と が で き る.Zβ

の 結 合 す る フ ェ ル ミ オ ン(E6の27次

元

表 現 に 属 す る)は =0

超 電 荷Yβ((5.66)のY)を

も つ.Zx,

, π/2, 

に 対 応 す る.こ

Zψ, Zη は,そ

れぞ れ β

の と き,

(5.74) と 書 き 表 す こ と が で き る.λ

は モ デ ル(対

ル μ に よ り変 わ る 量 で あ る.大 λ=1と

お け ば,gEはgWに

称 性 の 破 り 方)や

エ ネ ルギー ス ケ ー

統 一 ス ケ ー ル で は 

等 し い.表5.3に,E6群

左 巻 き フ ェ ル ミ オ ン の,SO(10),

SU(5)に

で あ る の で, の27次

よ る 分 類 と,お

元 表 現 に属 す る のお のの場 合 の超

電 荷 を 与 え る13). 表5.3 

  Z'(=Z2)交

E6か ら分 解 した各 種 モ デ ル で の フ ェ ル ミオ ンの 超 電 荷

換 項 を考 慮 に 入 れ る と,e-e+→ll,

e-e+→

ハ ド ロ ン で は,標

準 理 論 に 比 べ て,Rllを

減 少 さ せRを

着 目 し,世

ラ イ ダ ー の 精 密 デ ー タ を 使 っ て 間 接 的 にZ'を

界 のe-e+コ

押 し 上 げ る 効 果 が あ る*4).こ

探 す試

み が 行 わ れ,下

限 値(mZ'>779GeV)を

こ で は,ハ

ドロ ン コ ラ イ

ダ ー に よ るZ'の

直 接 生 成 の 試 み に つ い て 簡 単 に ふ れ る15).E6モ

デ ル を使 う場

合 は,Z'生 る(た

成 の 断 面 積 は θEとmZ'を

だ しmHな

得 た14).こ

の事実 に

パ ラ メ タ ー と して 計 算 す る こ とが で き

ど は 適 当 に 仮 定 す る).検

存 在 す れ ば 不 変 質 量m(ll)のmZ'に を 使 う.図5.6(a)に,ハ

しZ'が

時 点 で の 試 み は,テ

を 使 っ て 行 わ れ てい る.CDFグ の デ ー タ 中 に は,m(ll)の

μμ で,Z'が

対 応す る ところに共 鳴の 山が現 れ るこ と

ド ロ ン コ ラ イ ダ ー で,も

う に 見 え る か と い う 想 定 図 を 示 す.現

*4)

出 信 号 は,Z'→ee,

ル ー プ は,全

存 在 す れ ば どの よ ヴ ァ ト ロ ン 

ル ミ ノ シ テ ィ 

山 が 存 在 し な か っ た こ と か ら,σ(pp→

(a)

図5.6 

(b)

(a)  大 型 ハ ド ロ ン コ ラ イ ダ ー で, ,104Pb-1の 成 信 号 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン.理 き,m(μ+μ-)に (b)  テ ヴァ

ル ミ ノ シ テ ィ と し た と き のZ'生

論 はSp(6)×U(1)で,mZ'=0.5, 1.0, 2.0,

トロ ン 

のCDFデ

崩 壊 分 岐 比[Z'→(ee+μμ)]の95%上 デ ル,E6のx,η,ψ

限 値.Z,

モ デ ル の 値16).CDFは

ー タ15).Z'の

LR,

x,η,ψ

得 た.こ

れ か ら,各

得 ら れ る が(図5.6(b))15,16),実

験 グ ル ー プ は,Z'の

生成断

は,λ=1,左

こ れ よ り,mZ'>690GeVと

Z')・BR(Z'→ll)〓0.04pb-1を

じ(gE=gW)と

5.0TeVの

と

山 が 見 え る.

種 のZ'の

面 積 × 右 対 称 モ

し て い る.

質 量上 限値 が

結 合 定 数 を標 準 理 論 と同

お い た と き の 質 量 上 限 値 を 与 え て い る.こ

の と き は,

(5.75a) と な る.W±'→eν,

μνの σ ・BRに

つ い て も同 様 な値

(5.75b) を得 て い る.

5.4  階

 大 統 一 理 論 に は,  ギー ス ケー ル が 存 在 す る.比 は 

層

問

題

の二 つ のエ ネ ル で あ るか ら,非 常 に ス ケー ル

の 違 う現 象 を 同一 理 論 の 枠 内 で 処 理 す る 必 要 が あ る.こ れ が 階 層 問 題 で あ る. なぜ こ の よ う に大 きな 階 層 が 存在 す るか とい う本 質 的 な原 理 につ い て は 答 え ら

れて い な い が,階 problem)が

層 に 付 随 す る 技 術 的 な 問 題 と して 微 調 整 問 題(fine

あ る.ヒ

ッ グ ス の 質 量 を考 えて み よ う.標

tuning

準 理 論 の トリー 近 似 で

は

で 与 え ら れ る が,放

射 補 正(図5.7(a)∼(c)の

ル ー プ 図)の

寄 与 は,

(5.76) の よ う に切 断 パ ラ メ ターΛ の2次

に 比 例 す る.フ ェル ミオ ンや ゲ ー ジ ボ ソ ン

の 質 量 に 対 して は,カ イ ラル 対 称 性 や ゲ ー ジ対 称 性 が あ る おか げ で発 散 をせ い ぜ いlnΛ 程 度 に 抑 え られ るの で,2次 る.大 統 一 理 論 で はHとΦ す るの で,ヒ

発 散 は ス カ ラー 粒 子 に特 有 の 現 象 で あ

との 相 互 作 用(例 え ば,LINT∼Φ2H2)*5)が

ッグ ス の 質 量 補 正 に はΦ の ル ー プ も寄 与 す る が,こ

Λ2∼m2(Φ)∼1030GeV2と

な る.ヒ

ッ グ ス の質 量 はmH2≒

るか ら,こ の 寄 与 を相 殺 す る メ カ ニ ズ ム は26桁

存在

の と き は,

υ2≒(250GeV)2で

あ

の 精 度 の微調 整 を必 要 とす る.

しか も,こ の微 調 整 を摂 動 の 各 次 で行 わ なけ れ ば な ら ない.こ れ は大 変 不 自然 な 論 理 で あ る.こ の 微調 整 問題 は大 統 一 理 論 で あ れ ば 必 ず 直 面 す る 問題 で あ っ て,モ

デ ル の 如 何 に関 わ らな い 本 質 的 な 問 題 で あ る.こ の 微 調 整 問題 を避 け る

に は 大 き くい って2通   第1は,そ

りの方 法 が あ る.

もそ もは じめ か ら素 粒 子 と して の ス カ ラー粒 子 は存 在 しな い とす

る立 場 で あ る.ヒ ッ グ ス機 構 が 範 と した 超伝 導 現 象 で は ヒ ッ グ ス粒 子 は 電 子 の クー パ ー 対 で あ っ た.こ の類 推 で,ヒ

ッ グス 粒 子 は フ ェ ル ミオ ン対 の 束縛 状 態

と見 な す 立 場 が 成 り立 つ.複 合 粒 子 の場 合 は,Λ

が束縛 エ ネル ギー のス ケー

ル を越 え る と,構 成 フ ェ ル ミオ ン を束 縛 状 態 か ら開 放 して 自由 粒 子 に し よ う と す る力 が 強 くな る."形 状 因 子F(Λ2)に

よ る抑 圧 因 子 が 働 い て 発 散 を防 ぐ"と

い うい い方 を す る こ とも で き る.こ の フ ェ ル ミオ ン を既 知 の粒 子 の 中 に求 め る と トップ ク ォー ク縮 退 モ デ ル とな るが17),新 種 の フ ェ ル ミオ ン とす る方 が 新 し い 可 能 性 を引 き出 せ る .こ れ の 典 型 的 例 が §3.5で議 論 した テ クニ カ ラ ー 理 論 で あ る.テ

クニ カ ラー 理 論 は あ ら ゆ る現 象 をQCDと

*5)  こ の 種 の 相 互 作 用 は と 現 れ る.X,YはΦ,H双

,も

の 類 推 で解 決 し よ う と試

と も と の ラ グ ラ ン ジ ア ン に 存 在 し な く て も,放 方 に 結 合 で き る の で,Xも し く はYを2個

に よ り実 効 的 に 存 在 す る.

射 補 正 を入 れ る 交換 す ること

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

図5.7  標 準 モ デ ル に よ る2次 ナ ー(d),(e)な

み る.QCDで

ヒ ッ グ ス質 量 の放 射 補正 項 発 散 の 補 正 項(a)∼(c)は,超

粒 子 パー ト

ど に よ りキ ャ ンセ ル され る.

は,ク ォー ク対 に カ ラー力 が 働 い て で き る 束 縛 状 態 の 凝 縮 に よ

りカ イ ラル 対 称 性 が破れ る.す な わ ち,σ メ ソ ン と呼 ばれ る フ ェ ル ミオ ン 対 が 対 称 性 を破 る ヒ ッ グス メ ソ ンの 役 割 を 果 たす.テ

クニQCDで

は,テ

クニ フ ェ

ル ミオ ン対 が テ クニ カ ラー 相 互 作 用 に よ り"テ ク ニ π"メ ソン をつ く る.こ の テ クニ πが 標 準 理 論 の ヒ ッ グ ス粒 子 の 役 割 を果 た す と考え るの で あ る.ヒ

ッ

グ ス の 真 空 期 待 値 υ(=250GeV)と,σ

の

崩 壊 定 数=132MeV)が

モ デ ル の真 空 期 待 値 

対 応 す る の で,テ

ク ニQCDは

通 常 のQCDを

∼ υ/fπ

≒1000の 因 子 分 だ け エ ネ ル ギ ー を ス ケー ル ア ップ し た もの と考 えれ ば よ い. し た が っ て,QCDの

共 鳴群(ρ,ω …)に 対 応 し て テ クニ 共 鳴 群(テ

クニ ω…)の 存 在 が 予 言 され るな ど,非 常 に 豊 富 な 内容 を もつ.こ 非 常 に 魅 力 的 で あ るが,今

ク ニ ρ,テ の考 え 方 は

ま で の とこ ろす べ て の 現 象 を矛 盾 な く説 明す る モ デ

ル 建 設 に 成 功 して い な い18).し か し,モ デ ル 構 築 は で きて い な くて も,背 後 に あ る基 本 的 な考 え 方 が 有効 で あ る可 能 性 は 十 分 あ る.   第2の 考 え方 は,ル ー プ の発 散 を個 々 に潰 し て し ま う方 法 で あ る.フ ェル ミ オ ン ル ー プ に よ る放 射 補 正 は,フ ェ ル ミ統 計 の お か げ で ボ ソ ンル ー プ と逆 符 号 の 寄 与 を与 え る の で,も

し質 量 と結 合 定 数 が 同 じフ ェ ル ミオ ンが 存 在 す る な ら

ば,ボ

ソ ン に よ る 寄 与 を 相 殺 す る こ と が で き る(図5.7(d)∼(f)).す

なわ ち

フ ェ ル ミ オ ン-ボ ソ ン 入れ 替 え の 対 称 性(超

対 称 性:super

すれ ば よ い.結

を組 む フ ェ ル ミオ ンの 質 量 が 多少 異

合 定 数 が 同 じ で あれ ば,対

symmetry)が

存在

な っ て も,

(5.77) と 抑 え られ る の で(Oは ま っ て いれ ば,観

オー ダー の 意 味),質

量 差 が 大 体〓1TeV程

測 現 象 とは 矛 盾せ ず に微 調 整 問 題 を解 決 で き る.

  こ の 手 法 が 人工 的 に過 ぎ る と懸 念 を抱 く人 に は,こ じめ て で は な い こ とを指 摘 して お こ う.香 抑 圧 す る た め に,チ たGIM機構

度 に納

う した 手 法 が 歴 史 的 に は

り を保 存 しな い 中性 カ レ ン ト効 果 を

ャー ム ク ォー ク を導 入 してuク

ォー クの 寄 与 を相 殺 させ

を思 い 出 して み るが よ い.質 量 が 同 じで あれ ば 相 殺 は 完 全 な は ず

で あ るが,相

殺 が 完 全 で な い 部 分 を現 象 と合 わ せ る た め に 調 整 し た チ ャー ム

クォ ー クの 質 量 は大 体 予 想 通 りの とこ ろ に 存 在 した の で あ る.

5.5  超

  5.5.1 

称

symmetry:

SUSY)は

今 ま で に で て き た どの 対 称 性 と も異

空 対 称 の 演 算 子 と し て われ われ が 知 っ て い る も の は,平

す 運 動 量Pμ,回

転 や ロ ー レ ン ツ ブ ー ス ト を 起 こ すMμν

ツ ベ ク トル な い し は テ ン ソ ル で あ る.ア ロ ー レ ン ツ ス カ ラ ー で あ る.これ

対 称 演 算 子Qαiは

指 標 を示 し,iは 演 算 すれ ば,それ

で,これ

行 移 動 を起 こ らは ロー レ ン

イ ソ ス ピ ン な どの 内 部 対 称 演 算 子 は

ら の 演 算 子 は 場 の 量 で 書 け る が,場

ル 場 と ス ピ ノ ー ル 場 が あ る こ と を 考 えれ ば,ス よ い.超

性

超 対 称 性 と は

  超 対 称 性(super な る.時

対

ピ ノー ル 量 の 演 算 子 が あ って も

正 に そ の よ う な 量 で あ る.こ

内 部 自 由 度(1≦i≦N)を

にテ ンソ

表 す.し

こ で,α

は ス ピ ノー ル

た が っ て ボ ソ ン 状 態￨B>に

は ス ピ ノ ー ル と し て 変 換 す る か ら フ ェ ル ミ オ ン場 と な る.す

な わ ち,

(5.78) し た が っ て,超

対 称 演 算 は ボ ソ ン と フ ェ ル ミ オ ン を 入れ 替 え る 演 算 と な る.

Qαiは,反 交 換 関 係 を満 たす か ら,生 成 演 算 子 の 従 う リー 代 数 を 反 交 換 関 係 を 含む よ うに拡 張 しな けれ ば な ら な い.こ

う した 演 算 に は,通 常 の掛 算 や 積 分 と

違 う規 則 に従 う"超 空 間 内 に お け る超 変 数"の 代 数 を扱 うの で,詳

し くは 専 門

書19)を見 て も ら う こ と と し,こ こ で は,超 対 称 性 理 論 の 結 果 と し て で て くる 一般 的 な規 則 や ,そ の 現 象 論 に 対 す る効 果 を推 定 す る に 止 め る.  簡 単 の た め,超

対 称 演 算 子 と して ス ピ ン1/2の

とに す る.内 部 自 由 度N=1と

し 指 標iは

ス ピ ノー ルQα を考 察 す る こ

省 略 す る と,Qα の 従 う 交 換 関 係

は19),

(5.79a) (5.79b)

(5.79c) (5.79d) で 与 え られ る.た

だ し,σ μν=(1/2i)[γμ,γν], Q=Q†

Qα が ス ピ ノー ル と して 変 換 す る こ と を 示 し,第2行 Qα"が 保 存 量 で あ る こ と を示 す.こ こ と を意 味 す る か ら,Qα

γ0で あ る.第1行 は こ の"ス

の こ とはQα が,m2=PμPμ

の 演 算 は質 量 を変 え な い.す

は,

ピ ノー ル 荷 と も交 換 す る

な わ ち,同

じ超 対 称 多

重 項 に属 す る フ ェ ル ミオ ン と ボ ソ ン の質 量 は 同 じで な け れ ば な らな い.第3行 は,Qを2回

演 算 す る と運 動 量 す な わ ち時 空 で の 座 標 移 動 演 算 子 とな る こ と

を示 す.Qを2回 い うな ら ば,デ

演 算 す る と座 標 移 動 の 演 算 に な る と い う こ とは,比 喩 的 に ィ ラ ッ ク方 程 式 が ク ラ イ ン-ゴ ル ドン方 程 式 の 因数 分 解 と解 釈

で きた よ うに,Qは に,超

運 動 量 演 算 子 の 因数 分 解 で あ る と解 釈 で き る.こ の よ う

対 称 演 算 は 時 空 座 標 の 演 算 を含 む の で,超 対 称 変 換 を局 所 化(ゲ ー ジ

化)すれ

ば 一 般 座 標 変 換 とな る.こ の こ とは超 対称 性 の 中 に は 重 力 が 内在 す る

こ とを 意 味 す る.し

たが っ て,超 対 称 ゲー ジ理 論 は 重 力 を含 む 統 一 理 論 の 候 補

で あ る(super-gravity理

論=SUGRA).重

力 との 結 合 は低 エ ネ ル ギー で は 弱

く無 視 して 差 し支 え な い の で,現 象 論 的 に は,重 力 の み を他 か ら切 り離 して 大 域 的 な対 称 性 と して 扱 う大 域 超 対 称 理 論 と超 重 力 理 論 とは ほ とん ど区 別 で きな いが,モ

デ ル 建 設 に はSUGRAを

指 針 とす る こ とが 多 い.

  超 対 称 性 理 論 は,実 験 的 に は 証 拠 が 皆 無 に もか か わ らず,物 理 学 者 が 魅 力 的

と考 え る最 大 の 理 由 は,場 の 理 論 に 固有 の 無 限 大 の発 散 を著 し く軽 減 で き る こ と,場 合 に よ って は 繰 り込 み をせ ず に 回 避 で き る可 能 性 が あ る こ とに よ る.繰 り込 み 可 能 性 とい う道 標 が わ れ わ れ を統 一 理 論 に導 い て くれ た歴 史 的 教 訓 に 学 ぼ う と して い るわ け で あ る.発 散 が 軽 減 す るか も しれ な い とい う一 つ の ヒ ン ト は,次 の よ うな考 察 よ り く る.繰

り込 み の処 方 で は,場 の理 論 に 特 有 の真 空 の

無 限 大 は,観 測 量 に は 現 れ な い か ら とい う理 由 で 引 き算 を して,無 限 大 は は じ め か ら なか っ た よ うな ふ り をす る.し か し,ボ ソ ン は無 限個 の 調和 振 動 子 の零 点 振 動 に 起 因 して 真 空 に 正 の無 限 大 の エ ネ ル ギー を もた らす が,フ

ェル ミオ ン

は 無 限個 の 負 の エ ネ ル ギー 粒 子 の 詰 ま っ た デ ィ ラ ッ ク の海 に起 因 して 真 空 に負 の無 限 大 の エ ネ ル ギ ー を もた らす こ とに 注 意 し よ う.ボ ソ ン とフ ェ ル ミオ ン の 間 に き ちん と した対 称 性 が あ る と,こ れ らの発 散 は 逆 符 号 で あ る こ とか ら,発 散 が 相 殺 す る こ とが予 想 され るの で あ る.   超 対 称 性 の 存 在 は,ボ

ソ ン とフ ェ ル ミオ ン が別 個 の 粒 子 で は な く,一 つ の 粒

子 の異 な る量 子 状 態 と考 えね ば な らぬ こ とを 意 味 す る.超 対 称 性 が 自然 界 で実 現 して い る な ら ば,   (1)  既 存 の ボ ソ ン に は超 対 称 性 フ ェ ル ミオ ン が,フ

ェ ル ミオ ン に は 超 対 称

性 ボ ソ ンが 対 とな っ て 存 在 して い な け れ ば な らな い.以 下,こ 対 称 性 粒 子 を超 粒 子 も し くはSUSY粒

れ らの 超

子 とい う こ と にす る.

  (2) 超 対 称 性 が 成 立 して い る な ら ば,粒 子 とそ の 超 粒 子 は 同一 多重 項 に 属 し,同 一 の質 量 を も たね ば な ら な い.   (3)  超 粒 子 は,既 存 の 粒 子 と対 と な っ て 一 つ の 表 現 を つ く るか ら,超 粒 子 のSU(3)×SU(2)×U(1)に

関 す る 量 子 数 は,対

とな る既 存 の 粒 子 と

ま っ た く同 じで あ り,か つ 結 合 定 数 もま た 同 じで あ る.   以 上 の 条 件 は,大 統 一 に お け る微 調 整 問題 を解 決 す る要 因 で あ っ た.現 実 に は質 量 の 縮 退 した ボ ソ ン ・フ ェ ル ミオ ン の対 は 存 在 しな い か ら超 対 称 性 は破 れ て い な け れ ば な ら な い.し か し,破 れ の 度 合 い が 小 さ く,超 粒 子 と の 質 量 差 が,O(1TeV)以

下 な らば,微 調 整 問題 解 決 手 段 と して 依 然 有 効 で あ る.局 所

超 対 称 性 が 重 力理 論 に 結 び つ くこ と を考 え る と,超 対 称 性 の 存 在 理 由 は,単 な る微調 整 問 題 を越 え て 自然 の もつ 本 質 的 な 内在 要 素 と して 追 求 す るに 値 す るで あ ろ う.以 下,超 対 称 性 の 結 果 と して 生 じ る規 則 や 現 象 を考 察 して,新 現 象 追

求 へ の 手 が か り と し よ う.

  5.5.2 

超 粒 子 の 性 質

  Qαi2=0で

あ る の で,N=1の

で 表 現 は 閉 じ る.た

場 合 は,ヘ

だ し,ヘ

変 性 に よ り(-h, -h-1/2)の

リ シ テ ィ が1/2違

リ シ テ ィ(h,

h+1/2)の

う粒 子 状 態 の み

ペ ア が あ れ ば,CPT不

ペ ア も 存 在 し な け れ ば な ら な い.N=2な

Qα1Qα2≠0で

あ る の で,ヘ

リ シ テ ィ が1/2お

よ び1違

含 み う る.重

力 の ゲ ー ジ 粒 子 グ ラ ビ ト ン の 存 在 を仮 定 す れ ば,基

ン は,0か

ら 最 高2ま で な け れ ば な ら な い.こ

≦h≦2)を

す べ て 同 一 多 重 項 に お さ め る に はN=8が

論 と し て は,N=1と 合 ス ピ ン1/2の

物 質 場 と そ の 仲 間(カ

本粒 子の ス ピ

リ シ テ ィ 状 態h(-2

必 要 と な る.こ

こでの議

1/2)),ヒ

ピ ン(0, 1/2)),ゲ

の場 ー ジ

ッ グ ス と そ の 仲 間((1/2,

0),

ラ ヴ ィ ト ン と そ の 仲 間 グ ラ ヴ ィ テ ィ ー ノ(2,

3/2)

と して標 準 理 論 に超 対 称 性 を必 要 最 小 限 に取 り入 れ て拡 張 した

小 限 の 超 対 称 標 準 理 論=minimal

略 し てMSSM)の

超 粒 子 種 を 表5.4に

  こ の 表 に 関 し て は,い   (1)  ス ピ ン1/2の て,そ

の と き,ヘ

イ ラ ル 多 重 項,ス

ー ジ 多 重 項,(1,

カ イ ラ ル 多 重 項 の 一 つ),グ

場 合(最

う粒 子 を 同 一 多 重 項 内 に

し超 対 称 性 の 現 象 的 性 質 を 理 解 す る に と ど め る.こ

ボ ソ ン と そ の 仲 間(ゲ

が 存 在 す る.例

ら ば,

super-symmetric

model,

示 す.

くつ か 注 釈 が 必 要 で あ る.

フ ェ ル ミ オ ン の 左 巻 き と右 巻 き の2種

れ ぞ れ 独 立 な ス カ ラ ー 超 粒 子 が 存 在 し(qLとqR,

は 質 量 も 異 な る.N=1の

standard

超 対 称 性 で は ヘ リ シ テ ィ が1異

類 の状 態に対 応 し lLとlR),一

般 に

な る粒 子 は 同 一 多 重

項 に は 入 れ な い こ と に よ る.   (2)  標 準 理 論 で は ヒ ッ グ ス 粒 子 は2重 称 性 を 要 求 す る と最 低2個

の ヒ ッ グ ス2重

湯 川 相 互 作 用 ラ グ ラ ン ジ ア ン は((2.2)参

項 が 一 つ と 仮 定 す る.し 項 が 必 要 と な る.質

か し,超

対

量 項 を発 生 す る

照),

(5.80a) (5.80b) の 形 を して い る.標 準 理 論 で は,H2=H1c(か

つ 

表5.4 

で あ る が,超 は,ヒ

ッ グ スH1に

はH1の

対 称 理 論 で は,H2はH1cで 対 応 す る 超 粒 子h1は

エ ル ミ ー ト共 役 で あ る の で,対

を もつ こ と に よ る.N=1の

る.そ

こ で,uク

グ スH2の2重

し て,超

ェ ル ミ オ ン)が

対 称 理 論 で は2重

Z0に

粒 子(H±,

が,ま

たγ,

A0)存

電 荷Y=-1を

う 一 つ の 理 由 は,2重

あ る と8個

項 が2個

ない とヒッ

りの5個

対 称 ヒ ッ グ ス 粒 子(ヒ

在 す る.SU(2)L×U(1)対 混 合 す る の で,こ

チ ャ ー ジ ー ノ(chargino, X1,2±)お

う

存 在 しな け れ ば な らな は

が物理 的 な ヒッグス

し て 現 れ る こ と は す で に 述 べ た(§3.4参

Z°, H0, h0が

もつ ヒ ッ

の 独 立 成 分 が 存 在 す る.3個

質 量 を 与 え る た め に 吸 収 さ れ る が,残

H0, h0,

X20,…)と

使 うわ け に は いか な いの で あ

項 の ヒ ッ グ ス が 少 な く も2個 項 が2個

H0, h0, A0)と

異 な るヘ リ シ テ ィ

つ く る 三 角 異 常 項 発 生 を 防 げ な い の で あ る.こ

個 の ヒ ッ グ ス 粒 子 に 対 応 し て,超 類(H±,

応 す るh2はh1と

ォ ー ク に 質 量 を 与 え る た め の,超

い こ と が わ か っ た.2重

の理 由

決 ま っ た ヘ リ シ テ ィ を も つ が,H1c

じ ヒ ッ グ スH1を

項 が 必 要 と な る.も

グ シ ー ノ(フ

あ っ て は い け な い.そ

超 対 称 理 論 で はヘ リシ テ ィの 異 な る フ ェ ル ミオ ン

は 別 の 多 重 項 に 属 す る の で,同

W±,

現 存 粒 子 と超 粒 子 の 対 照 表

照).こ

グ シ ー ノ)も

称 性 が 破 れ る と,W±

の5

ま た5種 とH±

れ ら の 混 合 粒 子 に 対 し て,通

常

よ び ニ ュ ー ト ラ リー ノ(neutrarino, X10,

い う 名 称 を 与 え る.

  (3)  超 対 称 性 が 破 れ る こ と に 伴 い,ゴ

ー ル ドス トー ン 粒 子 が 発 生 す る.超

対 称 演 算 子 は ス ピ ン1/2で テ ィ ー ノ(goldstino)と は 質 量0を

あ る の で,こ 呼 ば れ る.超

の 粒 子 は ス ピ ン1/2を

対 称 性 が 大 域 対 称 性 で あ る な ら ば,こ

も つ 物 理 的 な 粒 子 で あ る が,超

重 力 理 論 で は,ス

テ ィ ー ノ に 質 量 を 与 え る た め に 吸 収 さ れ る の で,こ   (4)  超 粒 子 の も つ 量 子 数 は,対

あ る が,グ ×U(1)で

の 量 子 数(カ

の 量 子 数 を 見 れ ば,い

関 し て は,

の こ とか ら既 知 の 粒 子 の仲 間 同

ク ォ ー ク 数 を もつ が,ヒ

え ば,qL, qR,

ラ ー8重

項),W±,

Z,

γのSU(2)

ず れ も 超 粒 子 パ ー トナ ー で は あ り え な い.さ

仲 間 で あ る が,レ

グ シ ー ノ で は あ りえ な い.な

ぜ な ら,こ

プ トン も し くは ク ォ ー ク は ヒ ッ

の と き,ヒ

ッ グ ス は レ プ トン も し くは

ッ グ ス が 真 空 期 待 値 を もつ こ と に よ っ て,こ

が 保 存 し な く な る の で,観

グ ラビ

ー ジ ボ ソ ン の 超 対 称 パ ー トナ ー で あ る 可 能 性 は

ル ー オ ン のQCDで

ッ グ ス はSU(2)の

れ

の 表 に は 載 せ て い な い.

対 称 多 重 項 を 形 成 す る こ と は 不 可 能 な こ と が わ か る.例

lL, lRは ス ピ ン だ け か ら は,ゲ

ら に,ヒ

ピ ン3/2の

称 群SU(3)×SU(2)L×U(1)に

対 を 組 む 粒 子 と ま っ た く 同 じ量 子 数 を もつ.こ 士 で,超

も ち ゴ ー ル ドス

測 現 象 と 矛 盾 を 生 じ て し ま う の で あ る.か

超 粒 子 は 既 存 の 粒 子 以 外 に そ の 候 補 を 見 つ け ね ば なら ず,超

れら の 数 く し て,

対 称 性 を要 求 す る

こ と に よ っ て 素 粒 子 の 数 は 倍 増 す る.   (5)  MSSMを Rパ

含 む た い て い の 超 対 称 性 モ デ ル で,Rパ

リ テ ィ が 保 存 す る.

リテ ィ は

(5.81) で 定 義 さ れ る.た 数 で あ る.既 る.こ

だ し,Sは

ス ピ ン,B, Lは

知 の 粒 子 のRは

の 結 果,超

lightest super

そ れ ぞ れ ク ォ ー ク 数,レ

す べ て 正 で あ り,超

粒 子 のRは

粒 子 は 必 ず 対 生 成 さ れ る こ と,最

particle)は

安 定 で あ る こ とが わ か る.宇

プ トン

す べ て 負 で あ

も 軽 い 超 粒 子(LSP: 宙 論 の 制 限 か ら,電

荷

も し くは カ ラ ー を も つ 未 知 の 安 定 な 粒 子 の 存 在 す る 余 地 は な い の で,LSPは 中 性 粒 子,す る.た

な わ ちν, γ, h0, H0の

だ し,γ,

Z0,

態 ニ ュ ー ト ラ リー ノ(Xi0;i=1∼4)を あ ま り 意 味 が な い.一 あ る.

ど れ か と い う こ と に な る.通

2個 の 中 性 ヒ グ シ ー ノ(H0,

h0)は,混

つ く る の で,γ

とかZ0と

番 軽 い ニ ュ ー ト ラ リー ノ(X10)がLSPの

常 はγ

に と

合 して 質 量 固 有 状 いった区別 は 最 有 力 候補 で

  5.5.3  超 対 称 大 統 ― 理 論(SUSY-GUT)   ゲ ー ジ階 層 の微 調 整 問 題 は す べ て の 大 統 一 理 論 に共 通 の 欠 点 で あ っ た が,超 対 称 性 を組 み 込 む こ とに よ り消 滅 す る こ とは す で に述 べ た とお りで あ る.大 統 一 に 超 対 称 性 を組 み 込 ん だ理 論 は ,観 測 され て い る粒 子 スペ ク トル に 関 す る限 りMSSMと

ほ とん ど同 じで あ る.し か し,大 統 一 理 論 の 階 層 問 題 を解 決 す る

の み な らず,先

に 述 べ たSU(5)の

少 な か れ もつ)を,無

現 象 論 的 な 欠 点(他 の 大 統 一 理 論 も多 か れ

理 な く修 復 して しま う とい う点 で魅 力 的 で あ る.

  a.  ワ イ ンバ ー グ角   超 対 称 性 は破 れ て い るに せ よ,エ ネ ル ギー ス ケ ー ル が,∼1TeVを た りで 回 復 す る とす るの が 自然 な考 え で あ る こ とは,ヒ 論 から 導 か れ た.超 粒 子 の 質 量 が〓1TeVで

寄 与 を考 慮 しな け れ ば な ら な い.し

ッグ ス粒 子 の 質 量 の議

あ る な らば,エ

ル が そ れ よ り大 き な と こ ろ(μ>MSUSY∼1TeV)で

ネ ル ギ ー ス ケー

の 放 射 補 正 に は,超

た が っ て,SU(5)の

種 ゲ ー ジ群 の 放 射 補 正 に対 す る β関 数(5.52)は

超 えるあ

粒子の

と こ ろ で 議 論 した 各

次 の よ うに 補 正 され る20).

(5.82a) (5.82b) (5.82c) 括 弧 内 の 第1項 す.ngは

は,既

述 し たSU(5)の

世 代 の 数(3と

す る)を

示 す.超

α2の 勾 配 を 小 さ くす る の で,αiの ∼2×1016GeVと

す る .ア

慮 し た 式 を 使 い,LEPの

(図5.8).こ

が 超 粒 子 の 寄 与 を示

粒 子 の 寄 与 は,減

ど は2次

れ に と も な っ て,ワ

取 り入 れ たSU(5)で

者 が き れ い に1カ

大 き く し,Mss

の ル ー プ 補 正 を も考

精 密 デ ー タ を 解 析 し た 結 果20),通

で 変 わ り,三

衰 関 数 で あ る α3,

一 致 す る 大 統 一 点(Mss)を

マ ル デ ィ(Amaldi)な

個 の αiが 一 致 す る 点 は な い が,SUSYを 傾 斜 が 

β 関 数 で,第2項

常 のSU(5)で

は3

は発 展 方程 式 の

所 で 合 流 す る こ と を示 し た

イ ン バ ー グ角 の 発 展 の 仕 方 も変 更 さ れ21)

(5.83) と な り,実

験 値 を 再 現 す る こ と が 可 能 と な る.図5.9は,SUSYを

入 れ な い

(a)

(b) 図5.8 

SU(i)群

結 合 定 数 の 繰 り込 み ス ケ ー ル μ に よ る発 展 図

出 発 点 にLEPのDELPHIデ (a)  SU(5)の

(b)  SU(5)+SUSY,

SU(5)理

論 とSUSYを

ー タ16,20)を使 用 した.

み MSUSY=1TeV

入 れ たSU(5)理

論 の αs(mZ2)とsin2θW(mZ2)の

想 値 を 示 し た も の で あ る16,20).ま た,SUSY-GUTに で あ り,超

対 称 性 を 使 わ な い 値 

計 算予

よ れ ば,

と 異 な る.

  b.  陽 子 崩 壊   大 統 一 の エ ネ ル ギ ー ス ケ ー ル が 大 き くな る こ と に と も な い 陽 子 崩 壊 を 媒 介 す るX,

Y粒

子 の 質 量 も 大 き く な る.そ

は(以

下ss:SUSY,

ns:non-SUSYの

一 の陽子寿命 τ pnsに 比 べ て,

の 結 果,SUSYを

入 れ た 陽 子 寿 命 τpss

指 標 を 使 う),SUSYを

入 れ な い大 統

図5.9 

大 統 一理 論 に よ る αs(mZ)-sin2θW(mZ)の

通 常 のSU(5)とSUSY-SU(5)の

理 論 値 を示 す.3本

数 値 は,エ ネ ル ギー ス ケー ル10nGeVのnを 表 す.古 たが,最 近 の デ ー タはSUSY-SU(5)に 合 う16).

(a)

い1981年

の デ ー タで は通 常 のSU(5)と

(b) 図5.10 

合致 し

(c)

SUSY-SU(5)に

(a)  通 常 のSU(5)過

計算予想値

の 線 に よ る帯 は 理 論 の不 定 性 を 表 し,帯 の 中の

よ る 陽 子 崩壊 過 程

程,(b) 

ヒ ッグ ス 媒 介 過 程

(c)  超 粒 子 ル ー プ 中間 状 態 に よ る過 程

(5.84) と長 くな り,実

験 と矛 盾 し な く な る.こ

対 称 モ デ ル で は,X, グ シ ー ノH0を る 過 程 は,結

Yの

れ は 観 測 不 可 能 な 値 で あ る が,実

は超

寄 与 に よ る 崩 壊 の ほ か に ヒ ッ グ ス 粒 子HSU5,ヒ

ッ

仲 介 す る 過 程 が あ る(図5.10).図5.10(b)の

ヒッグス交換 よ

合 の 大 き さ が フ ェ ル ミオ ン の 質 量 に 比 例 し,Hの

す る と い う 理 由 に よ っ て,mHを 可 能 な 値 に な ら な い の で,興 ン で あ る の で,振

幅 はX交

い ま で 小 さ く し な い と検 出

味 あ る の は(c)の

過 程 で あ る.H0は

換 の 場 合(∝MX-2)と

違 いM(H0)-1に

移 確 率 が は る か に 大 き くな る.た 量 に 比 例 す る の で,こ

∼1011GeVくら

だ し,通

質 量 に逆 比 例

フ ェ ル ミオ 比 例 し,遷

常 の ヒ ッ グ ス と 同 じ く結 合 定 数 が 質

れ に よ る 抑 圧 因 子 で 相 殺 す る.し

メ タ ー の 不 定 性 が 大 き く,正 確 な 予 想 は 困 難 で あ る が,パ

た が っ て,こ

れ らパ ラ

ラ メ ター を適 当 に と

れ ば,こ

の過 程 が 超 対 称 大 統 一 で の 優 勢 モー ドとな り,実 験 の 観 測 範 囲 に 入 る

可 能 性 が あ る22).ヒ グ シー ノが 重 い粒 子 に結 合 す るの で,崩 壊 モー ドは (5.85) が優 勢 と な る.超 対 称 性 を入 れ な い大 統 一 理 論 で は,一 般 に,π0e, 勢 で あ るの で,も

し崩 壊 が観 測 され た 場 合,超

π+νが 優

対称 性 モデル か そ うでな いか

は,崩 壊 モー ドに よ っ て 区 別 が つ け られ る.   以上 を ま とめ る と,超 対 称 性 を取 り入 れ た大 統 一 理 論 は い ま の とこ ろ実 験 と 矛 盾せ ず,理 論 的 な利 点 を考 え る と大 い に 魅 力 の あ るモ デ ル で あ り,十 分 追 求 に値 す る とい う結 論 に な る.

5.6  超 対 称 モ デ ル19)

  5.6.1  超 粒 子 の 相 互 作 用   超 対 称 性 の 破 れ が,対 称 性 の 自発 的破 れ に 基づ く もの な らば,通

常 粒 子 と超

粒 子 との質 量 の縮 退 は解 け て も,粒 子 間 の相 互 作 用 の 形 や 結 合 定 数 は 変 わ らな い.例 え ば,フ れ ば,fと

ェ ル ミオ ンfと

ス ピ ン1/2の

ゲ ー ジ ボ ソ ンVと

ゲー ジ ー ノ(V)と

の 結 合 定 数 がgで

ス フ ェ ル ミオ ン(f)と

指 定 され

の結合 は

(5.86) で 与 え ら れ る.こ

こ に,fa(fa)=fL(fL), fLc(fR)で

の ス カ ラー 粒 子 で あ るが,fLも 種 類 が 存 在 す る.fLとfRは

あ る.faは,ス

し くはfRの 超 対 称 伴 侶 と し て のfL,

ピ ン0 fRの2

一 般 に 混合 す るの で質 量 固有 状 態 で は な い.し

か し,混 合 率 は フ ェ ル ミオ ンfの 質 量 に 比 例 す る の で(後 述(5.100)),第3世 代 以 外 の 混 合 は 通 常 無 視 す る.図5.11に

い くつ か の 相 互 作 用 例 を 図 示 す る.

上 記 の 議 論 で 明ら か な よ うに,超 対 称 性 に よ り規 制 され る相 互 作 用 の形 と強 さ は 対称 性 が 破 れ て も変 わ らず,質

量 だ け が 変 わ るの で,質 量 スペ ク トル が わ か

れ ば 生 成 崩 壊 率 が 予 言 で き る こ とに な る.   現象 論 的 な制 限:  質 量 スペ ク トル を得 る た め に は具 体 的 な モ デ ル が 必要 と な る.モ デ ル 構 築 に 当 た って は既 知 の 現 象 と矛 盾 しな い た め い くつ か の制 限 が

(a)

(b)

(d)

(e) 図5.11 

(a)  通 常 粒 子V(ゲ 作 用.点

(c)

超 粒 子 の 相 互 作 用 の例

ー ジ ボ ソ ン)-ff(フ

ェ ル ミオ ン)の 相 互

線 を か ぶ せ て2重 線 と した とこ ろ が 超粒 子

(b)  V-f-f, 

(c)  V-f-f

(d)  H-f-f, 

(e)  H-f-f

つ け られ る.超 粒 子 が 存 在 す れ ば,既 知 の 現 象 に対 して 中 間 状 態 と して寄 与 し う る.例

え ば,香

な ど),KL-KS質

りの 変 わ る 中 性 カ レ ン ト過 程 の 反 応 率(μ →eγ, KL0→ 量 差 やCP非

μμ

保 存 パ ラ メ ター に 影 響 が 及 ぶ23).実 験 に 矛 盾

しな い た め に よ く採 用 され る処 方 箋 は,質

量 ス ペ ク トル が 香 りに 関 して ほ ぼ 縮

退 して い る とい う条 件 で あ る.

(5.87) こ こ にa=Lも

し くはRで

あ る.た だ し,第3世

り条 件 が 緩 い.ま た,uとdに 退 し て い な い と(m(uL)≒m(uR),

代 に 関 して は 第1,

2世 代 よ

つ い て は,左 右 カ イ ラ リテ ィの 質 量 が ほ ぼ 縮 dも

同 じ),原 子 遷 移 で の パ リ テ ィ 非 保 存

成 分 が 大 き くな りす ぎ る.

  5.6.2  最 小SUGRAモ  

デル

a.  隠 れ た 領 域

  超 対 称 性 を破 る方 法 は種 々 あ る.MSSMは し て 決 め た が,MSSMの

現 象 論 的 制 約 と簡 単 さ を指 針 と

み で は ま だ 制 限 が 緩 くパ ラ メ ター が 多 す ぎ る(124

個!→

文 献10参

照).そ の ためSUGRAを

指 針 と して パ ラ メ ター数 を減 らす

と い うの は 魅 力 的 な 考 え 方 で あ る(SUGRA-GUT24)).

SUGRAで

は,重 力 の

分 化 と繰 り込 み 群 方 程 式 に よ る発 展 が 電 弱 相 互 作 用 を も規 制 す る とい う見 方 を す る.す

な わ ち,重 力 を含 む 超 大 統 一 対 称 性(仮

の分 化)が,プ

にGと

す る)の 破 れ(重 力

ラ ン クエ ネ ル ギー よ りや や 低 い と こ ろ(∼MX)で

よ う.こ の 段 階 に お け る各 種 粒 子 の 質 量 と結 合 定 数 は,群Gに る共 通 の値 を もつ が,エ

ネ ル ギ ー ス ケ ー ル μ<MXで

よ り規 制 さ れ

は放 射 補 正 を受 け,粒

ご と に 異 な る発 展 を す る.特 に ヒ ッ グ ス 粒 子 の 質 量mH2は,電 ∼O(GF-1/2)で

発生 した と し

子

弱 ス ケ ー ルQ

は負 とな り,電 弱 相 互 作 用 の 自発 的 破 れ が 繰 り込 み 群 発 展 の 帰

結 と して 自然 に 発 生 し,わ れ わ れ の観 測 す る 相 互 作 用 を再 現 す る.超 対 称 性 Gの 破 れ が 既 存 の(見 え て い る)粒 子 群 とは相 互 作 用 しな い新 領 域(隠 れ た領 域,hidden

sector)に

あ る粒 子 群 の み で起 こ る と し よ う.こ れ ら の 粒 子 と見

え て い る粒 子 とは 重 力 相 互 作 用 で の み つ な が っ て い る とす る と,超 対 称 性G の 破 れ の起 き る エ ネ ル ギ ー ス ケー ル は ∼MXで 分 で は 重 力 結 合 の 小 さ さ に よ って,こ ∼O(MX2/Mplanck)∼O(GF-1/2)と ば よ い.こ

あ っ て も,わ れ わ れ に 見 え る部

の エ ネ ル ギ ー ス ケー ル が 実 効 的 に

な る.こ の た め に は,MX∼1011GeVと

の 結 果 実 現 す る実 効 的 対 称 性 は,GUTに

大 域 超 対 称 性(と そ の 破

れ)を 入 れ た もの に ほ とん ど等 し く,低 エ ネ ル ギー で はMSSMを る.以

下 はSUGRAで

とれ

ほぼ実 現す

も最 も簡 単 な 仮 定 を す るmSUGRA(minimal

super

gravity)に 話 をか ぎ る.実 効 ラ グ ラ ン ジ ア ンは,超 対 称 性 を保 存 す る項 と破 る 項 に 分 け て 次 の よ う に書 け る.

(5.88a) (5.88b) δLの クq,ス

第1項

は,カ

イ ラ ル 多 重 項 の ス カ ラ ー 場(ヒ

レ プ ト ンl)の

の 質 量 項,第3項 シ ャ ルW3で

質 量 項,第2項

は ヒ ッ グ ス 混 合 項,第4項

あ る.A,

Bは

ッ グ スH1, H2と

ス クォー

は 超 対 称 フ ェ ル ミ オ ン(ゲ ー ジ ー ノ) は ス カ ラ ー 場 の3次

多項式 ポテン

質 量 の 次 元 を も つ パ ラ メ タ ー で あ る.な

お,ヒ

グ ス 質 量 項 は 超 対 称 性 保 存 項 の 中 に も 存 在 す る の で そ の 質 量 を μ と 書 く.m0 は カ イ ラ ル ス カ ラ ー の,m1/2は

ゲ ー ジ ー ノ の 共 通 質 量 で,

(5.89a)

ッ

(5.89b) で あ る.δLは,超

対 称 多重 項 の 一 部 に の み 他 の メ ン バ ー とは 異 な る質 量 や 結

合 を 付 加 す る こ と に よ り超 対 称 性 を 破 る.破 TeV)で

な け れ ば な ら な い か ら,m0, m1/2,

δLは,超

対 称 性 は 破 る が2次

る 項(soft

breaking

term)と

れ の ス ケ ー ル は た か だ かO(1

A, Bも

ま た 同 程 度 で あ る.上

の 発 散 は 起 こ さ な い の で,対 呼 ば れ て い る.MSSMで

記の

称 性 を 柔 ら か く破

は 上 記 パ ラ メ ター が 各

粒 子 ご と に 異 な る.   b.  電 弱 対 称 性 の 破 れ   超 対 称 性 を 破 る 項 の 中 の ヒ ッ グ ス に 関 す る パ ラ メ タ ー は,式(3.50)の

超対

称 ヒ ッ グ ス ポ テ ン シ ャ ル の μ12,μ22,μ32と は 次 の よ う に 関 係 づ け ら れ る.

(5.90) 上 式 は,μ12=μ22>0で,自 しか し,こ

れ は,プ

発 的 に 対 称 性 を破 る た め の 条 件 を 満 た し て い な い.

ラ ン ク ス ケ ー ル 付 近(Q〓MX)で

補 正 効 果 を 入 れ る と,m0,

μ, m1/2, A,

し て 粒 子 ご と に 違 う 発 展 を す る.そ

Bは

成 り立 つ 式 で あ る.放

す べ て,τ=ln(Q2/MX2)の

射

関数 と

し て 低 エ ネ ル ギ ー(Q∼O(mZ))で

は,電

弱 対 称 性 の 破 れ を 正 し く再 現 し な け れ ば な ら な い.そ

のための必要条件 は ヒッ

グ ス の 質 量 行 列 式 が 負 に な る こ と(μ12μ22-μ34<0)と

ポ テ ン シ ャル に 下 限 値 が

存 在 す る こ と(μ12+μ22-2￨μ3￨2>0)で (式(3.50))が

あ る.具

体 的 に 超 対 称 性 ポ テ ン シ ャ ルV

極 値 を も つ と い う条 件(∂V/∂υi=0,

i=1,

2)を 書 き下 ろ す と

(5.91a) (5.91b) (5.91c) が 得 ら れ る が,こ ス ケ ー ル で のm02か で あ る.上

れ ら の 式 は 上 記 の 必 要 条 件 を 満 た す.mHd2,mHu2は,GUT ら,繰

式 を 使 え ば,μ2と

わ ち,mSUGRAで

り込 み 群 方 程 式 に よ り発 展 さ せ た ヒ ッ グ ス の 質 量 μ32=-Bμ

はmZ2とtanβ

で 書 き 直 せ る.す

な

は (m0, m1/2, A, tanβ,

の 五 つ の パ ラ メ タ ー を 指 定 す れ ば,す

μ の 符 号) べ て の 超 粒 子 の 質 量mi2を

放射 補正 に

よ る発 展 結 果 と して 導 くこ とが で き る こ と を意 味 す る.

(5.92)   上 に 述 べ た よ う に,SU(2)×U(1)の ヒ ッ グ ス の 質 量 の ど ち ら か,す

自発 的 対 称 性 の 破 れ が 起 き る た め に は, な わ ち μ12も し くは μ22の 値 が 負 に な れ ば よ い.

ト ッ プ の 質 量 が 十 分 大 き け れ ば,ト り込 み 群 方 程 式(5.92)の 関 数 と な り,プ

右 辺 が 正 と な り,値

質 量 μ22の 満 た す 繰

も大 き い の で,μ22は

τの 増 加

ラ ン ク ス ケ ー ル で は 正 で あ っ て も電 弱 ス ケー ル で 負 に で き

る23,24)(図5.12参 け な い.バ

ップ と 結 合 す るH2の

照).た

だ し,ス

フ ェ ル ミ オ ン の 質 量 の 自乗 を 負 に し て は い

リ オ ン 数 や レ プ ト ン数 が 保 存 し な くな る か ら で あ る.こ

の よ うに し

て 標 準 理 論 に お い て は 手 で 入 れ て やら ね ば な ら な か っ た 対 称 性 の 破 れ が,プ

ラ

ン ク ス ケ ー ル で の 超 対 称 性 の 破 れ か ら 放 射 補 正 と し て 導 け る と い う 点 で, SUGRAは GeV)予

進 ん だ 理 論 で あ り,し 言 し た こ と で,大

図5.12 

か も ト ップ の 質 量 を ほ ぼ 正 確 に(100∼200

き な 注 目 を 集 め て い る.

各種 粒 子 の 質 量 がMXか

ら発 展 す る様 子25)

ト ップ の 質 量 が 大 き い た め,μ22が 負 の 勾 配 を もち,電 で は 負 に な る.  c.  質

量

公

弱 スケール

式19)

 ゲ ー ジー ノの 質 量 は,対 応 す る結 合 定 数 と同 じ発 展 をす るか ら,

(5.93a) (5.93b) (5.93c) が 予 言 で き る.こ

こ で,M3=M(g),

が っ て,Q〓mZの

電 弱 ス ケ ー ル で は,

M2=M(W), M1=M(B)で

あ る.し

た

(5.93d) と な り,グ

ル ー イ ー ノ の 質 量 は,ウ

ィ ー ノ(W)や

ビ ー ノ(B)に

比べ 相 当大 き

い こ と を 意 味 す る.   ウ ィ ー ノ は,電

荷 を も つW±

対 称 性 が 破 れ る と,荷 ジ ー ノ(ウ ィ ー ノW0と 混 合 し,チ

と 中 性 のW0に

電 ゲ ー ジ ー ノW± ビ ー ノB)と

分 け ら れ る.SU(2)×U(1)

と荷 電 ヒ ッ グ シ ー ノH±

が,中

中 性 ヒ ッ グ シ ー ノ(h0とH0)が

ャ ー ジ ー ノ(X1±,X2±)と

それぞれ

ニ ュ ー ト ラ リー ノ(xi0,i=1∼4)と

番 号 は 質 量 の 小 さ い 順 に つ け る.質

性ゲー

な る.

量値 は

(5.94) ￨μ￨≫M2,

mWで

は,X1±

∼W±, X2±

∼H±

で あ り

(5.95a) (5.95b) で 与 え ら れ る.ε=sign(μ)で

あ る.

  ニ ュ ー トラ リー ノ に つ い て は,ゲ

ー ジ 固 有 状 態 ψ0=(B,

W,

Hd0, Hu0)で

の

質量行列

(5.96)

を対 角 化 す れ ば,質 で,￨μ￨≫M2, mZの

量 固有 状 態Xi0と

質 量 値 が得 られ るが,複 雑 な 式 とな る の

と き成 り立 つ 近 似 式 の み を あ げ て お く.

(5.97) ￨μ￨≫M2,

mZの

と き,X10∼B, X20∼W0で

あ

り,こ

  の 関 係 式 が 成 立 す る.逆 X1 ,20, X1± は ヒ ッ グ シ ー ノh0,H0,H±

に 近 い.

の 近 似 に￨μ￨≪M1,

で は 質 M2の

量 間 に, と き は,

  ス ク ォ ー クqと

ス レ プ ト ンlの

具 体 的 に 書 き 下 ろ せ ば 得 ら れ る.小

質 量 は,繰

り 込 み 群 発 展 方 程 式(5.92)を

さ い 係 数 を 省 略 す れ ば,第1,2世

い て は 近 似 的 に 次 の よ う に 表 せ る .Q1=(uL,dL), eL),

L2=(ν

代 につ

Q2=(cL,sL), L1=(νeL,

μL,μL)と し て

(5.98a) (5.98b) (5.98c) (5.98d) (5.98e) K1, K2, K3は,U(1),

SU(2),

SU(3)の

ゲ ー ジ ー ノ ル ー プ の 寄 与 で,次

式 で与 え

ら れ る.

(5.99a) Q0は

出 発 点 の ス ケ ー ル で あ る.(5.98)に

チ ャ ー ジ(Y/2)2で

あ る.Δ

お け るK1の

比 例 係 数 はハ イパー

は 電 弱 相 互 作 用 の 破 れ に 伴 う超 微 細 構 造 で あ り,

(5.99b) (5.99c) と 表 せ る の でSU(2)×U(1)の

で あ り,uLとdLが

縮 退 を 解 く効 果 が あ る .例

分 離 す る.mfは

Q0=MX≒2×1012GeVと

第1,2世

あ る.こ

の 質 量 を 決 め る 大 き な 要 因 はm0とm1/2で る と,ま

ず 第1,2世

代 で は無 視 で き る.

して 数 値 計 算 す る と,Q∼1TeV付

す な わ ち,K3≫K2≫K1>0で

え ば,

の こ と か ら,ス

近 で は,

ク ォー ク とス レ プ トン

あ る こ と が わ か る.よ

り詳 細 に み

代 に つ い て は す べ て の ス ク ォ ー ク は ほ ぼ 縮 退 す る こ と,

ス ク ォ ー ク は ス レ プ トン よ り一 般 に 大 き い 質 量 を も つ こ と が い え る.ス ン の 質 量 はm0に

近 い,m0が

非 常 に 小 さ け れ ば,ス

レプ ト

カ ラー 粒 子 全 体 の 質 量 が

小 さ くな る と と も に ス レ プ ト ン の 縮 退 が 解 け る.   上 記 の 質 量 公 式 は 左 右 混 合 の 効 果 を 無 視 し た も の で あ る.ト (ス ト ッ プ と い う)tの

質 量 固 有 状 態(t1,t2)は,(tL,tR)を

ップ ス クォ ー ク 基 底 と した 質 量

行 列,

(5.100) を 対 角 化 し て 得 ら れ る.m2(tL,R)の と し て 得 ら れ る.Atはtク ス ピ ンI3=-1/2の

式 は,(5.98)のm2(uL,R)か

ォ ー ク のAパ

質 量 行 列 は,し

tanβ と し て 得 ら れ る.混

ラ メ タ ー で あ る.b,τ

か し,第3世

な どア イ ソ

か る べ き 質 量 に 置 き 換 え さ ら にcotβ

合 は ヒ ッ グ ス を 仲 介 と す る 湯 川 結 合 で 生 じ,強

ク ォ ー ク も し く は レ プ ト ン の 質 量 に 比 例 す る の で,第1,2世 る.し

らmu→mt

そ の も の を 押 し 下 げ る.特

さが

代 では無視 で き

代 の ク ォ ー ク や レ プ トン は 質 量 が 大 き く,湯

繰 り 込 み 効 果 が 大 き い の で,左

→

川結合 に よる

右 混 合 を起 こ し て 質 量 を 分 離 す る と と も に 質 量

に

そ し て た ぶ ん,m(b1)≪m(b2), m(τ1)≪m(τ2)も ス ク ォ ー ク の 中 で はm(t1)が,荷

成 立 す る.こ

の 結 果 と し て,

電 ス レ プ ト ン の 中 で はm(τ1)が

お そ ら く最

も軽く な る.

  こ れ ら の 質 量 公 式 は,不 要 なFCNC(香 せ な い と い う(5.87)の

り を混 ぜ る中 性 カ レ ン ト)を 発 生 さ

条 件 を満 た して い るが,そ

れ はQ∼MXで

共 通 の質量

を もつ と い う要 請 か らで て き た もの で あ る.

  5.6.3 

GMSBモ

デ ル26,27)

  超 対 称 性 を 柔 ら か に 破 る も う 一 つ の 有 力 な モ デ ル で あ り,mSUGRAと よ う な 効 果 を だ せ る 機 構 で あ る.GMSBと breakingの

略 で あ る.mSUGRAと

見 え る 領 域 と は 重 力 で な く,メ 用 に よ っ て 結 合 す る.

は,gauge

同 じ く,隠

mediated

同 じ symmetry

れ た 領 域 で 超 対 称 性 を 破 る が,

ッセ ン ジャ ー 粒 子 を介 して 既 知 の ゲ ー ジ相 互 作

  a.  メ ッ セ ン ジ ャ ー 粒 子   こ の た め に,メ U(1)Y)を

ッ セ ン ジ ャ ー と し て 標 準 理 論 の 量 子 数(SU(3)c×SU(2)L×

も つ 新 し い カ イ ラ ル 多 重 項Φ ∼(Q,L,Qc,Lc)を

導 入 す る.最

も簡

単 な仮 定 は 量 子 数

を もつ とす る こ と で あ る.(Q,L), な し て も よ い.こ

こ で,見

(Qc,Lc)をSU(5)の5と5*に

属 す る と見

え る領 域 とは 相 互 作 用 を し な い が,隠

れ た領 域 で

メ ッセ ン ジ ャー とは次 の よ うな超 対 称 性 ポ テ ン シ ャ ル を通 じて結 合 す る超 対 称 カ イ ラ ル 多 重 項Tを

導 入 す る.こ の 多 重 項 は一 つ の 粒 子 とい う よ りは,超 対

称 性 を破 る 力 学機構 を象 徴 化 した もの と見 なす べ き量 で あ る.

(5.101) yjは 湯 川 結 合 定 数 で あ る.超 対 称 性 が 破 れ てTの 補 助 場FT*1)が

ス カ ラー 成 分 とTに

真 空 期 待 値 〈T〉,〈FTΥ 〉を もつ と,Q, Lの

と ス カ ラー 成 分Φsが,そ

伴う

フ ェ ル ミオ ン成 分f

れ ぞ れ 質 量 を獲 得 す る.

(5.102a) (5.102b) Mが

メ ッセ ン ジ ャ ー の ス ケー ル を表 し,Λ

はSUSYの

破 れ に伴 い現 れ る質 量

分 岐 を表 す.こ の メ ッ セ ジ ャ ー が 見 え る領 域 の粒 子 と通 常 の ゲ ー ジ相 互 作 用 を す る こ とに よ り,超 粒 子 に質 量 を与 え る の で 見 え る領 域 の超 対 称 性 が 破 れ る.  b.  GMSBの

質量公 式

  ゲ ー ジ ー ノ(λi)は メ ッ セ ン ジ ャ ー の1ル す る(図5.13).ス

カ ラ ー 粒 子(q, l)へ

ー プ 相 互 作 用 を 通 じ て 質 量 を獲 得

の1ル

ー プ 寄 与 は な く,2ル

作 用 を通 じて 質 量 を 獲 得 す る(図5.14).〈FT〉≪yi〈T〉2と 寄 与 に よ り,メ

ープ相 互

す ればルー プか らの

ッセ ン ジ ャ ー ス ケ ー ル 領 域 で ゲ ー ジー ノ は

(5.103a) ス カ ラ ー粒 子 は *1) 超 対 称性 を保 存 す るため に 導 入 され る ,カ イ ラル 多重 項 に付 随 す るス カ ラー 場 で,質 量 の 自乗 の 次元 を もつ.時 空 を伝 播せ ず,運 動 方 程 式 を使 え ば カ イ ラル 多重 項 に 属 す る場 で書 き直 す こ とが で き る.

(5.103b) だ け の 質 量 を 獲 得 す る.Nは はN=1と

す る.Caδab=(Σtiti)abは

現 れ たKaの C2は

メ ッ セ ン ジ ャ ー 多 重 項 の 組 の 数 で 最 小GMSBで 群 の カ シ ミヤ 演 算 子 係 数 で,式(5

係 数 と 同 じ も の で あ る.C3は

電 弱2重

る.SUSYの

項 で は3/4,

カ ラ ー3重

1重 項 は0で,YはU(1)ハ

破 れ の ス ケ ー ル は ∼O(1TeV)な

要 求 さ れ る が,そ ∼O(1/2)な

項 で は4/3,

.99)に

1重 項 は0,

イ パ ー チ ャー ジ で あ

の で,Λ

∼O(10∼100TeV)が

れ 以 外 は メ ッ セ ン ジ ャ ー の 質 量 に 対 す る 制 限 は な い.M

ら ば 超 対 称 性 の 破 れ に よ る 分 岐 ス ケ ー ル
T>が104∼105GeV2

程 度 に 小 さ い 状 況 も あ り う る.

図5.13  ゲ ー ジー ノに 質 量 を与 え る メ ッセ ン ジャ ー の1ル ー プ 寄 与 ル ー プ の 実 線 が フ ェ ル ミオ ン,ダ ッ シ ュ線 が ス カ ラー 部 分,Xは 超 対称 性 の破 れ に伴 う質 量 項 を 示 す.

図5.14  1ル

ス ク ォー ク(q)と

ー プ は 寄 与 し な い.〓

分)が

メ ッ セ ン ジ ャ ー,f(〓)がq, lを,λ(〓)が

  式(5.88)に

質 量 を与 え る2ル ー プ の寄 与 ス カ ラ ー 部 分,―

フ ェ ル ミオ ン部

ゲ ー ジ ー ノ を 表 す.

掲 げ た 超 対 称 性 を ソ フ トに 破 る 五 つ の 項 の う ち,Aパ

に 対 す る 寄 与 は2次

ル ー プ で そ の 上 に αiが か か る の で,メ

ケ ー ル で は 無 視 し て よ い.Bパ う にtanβ

ス レプ トン(l)の

は ゲ ー ジ 粒 子,Ф(〓

ラ メ タ ー は,SUGRAの

で 置 き換 え ら れ る の で,GMSBで

ラ メ ター

ッセ ン ジ ャー ス

ところで議 論 した よ

のパ ラ メ ター は

(tanβ,M,Λ,μ

の 四 つ と な る.N≠1と

  c.  GMSBの

特徴

  mSUGRAと

比 較 し た 場 合,GMSBの

ル がmSUGRAに

(5.104)

の 符 号) 

す れ ば も う 一 つ パ ラ メ タ ー が 増 え る.

第1の

特 徴 は,対 称 性 を破 る ス ケー

比 べ て 非 常 に 小 さ い と い う こ と で あ る.第2の

特 徴 は,

メ ッ セ ン ジ ャー は ゲー ジ相 互 作 用 を通 じて 見 え る領 域 と相 互 作 用 をす る の で, 香 りに よ る差 が で な い とい うこ とで あ る.mSUGRAで

は手 で 入 れ な け れ ば な

ら な か っ た香 りを変 え る相 互 作 用 の 抑 圧 機 構 が,GMSBで

は,モ

デル の 中に

自動 的 に 組 み 込 まれ て い る.   GMSBの ジ ー ノ,ス

第3の

特 徴 は 出 発 点 と な る メ ッ セ ン ジ ャー ス ケー ル で,各

ゲー

クォ ー クや ス レプ トン の各 種 超 粒 子 に す で に質 量 差 が あ る こ と で あ

る.し か し,エ ネ ル ギー ス ケ ー ル の 大 き な と こ ろ(Q∼MX∼MGUT)で さ れ て い て,繰

は統 一

り込 み 群 方 程 式 に よ りこ こ ま で発 展 して き た と考 え る こ と も可

能 で あ る(そ の と き は統 一 を実 現 す る ため に た ぶ んN>1が の 階 層 を表 す 式(5.93)は,GMSBで

も有 効 で あ る.メ

必 要).ゲ ー ジー ノ ッセ ン ジャ ー よ りエ ネ

ル ギ ー の 低 い ス ケ ー ル へ 行 くに は さ ら に繰 り込 み 群 方程 式 で発 展 させ る.そ の 結 果 は,電 る.ス

弱 ス ケ ー ル でHuの

質 量 を 負 に 追 い込 み 電 弱 対 称 性 の 破 れ を実 現 す

カ ラー 粒 子 に 対 す る質 量 公 式(5.98)は,GMSBで

はm0=0と

す るが,

出 発 点 の メ ッセ ン ジ ャー ス ケ ー ル で す で に分 岐 して い るの で,Kaの

大小 は 多

少 変 更 さ れ る も の の,質

量 の 階 層 関 係 に つ い て はmSUGRAと

ほぼ同様 な結

果 を与 え る.  が1010∼1011GeVに き な く な り,そ   GeVを

近 づ け ば,M∼Mplanckと

の 効 果 も 混 入 し て く る が,通

仮 定 し 重 力 効 果 を 無 視 す る .こ

質 量 が 非 常 に 小 さ くな る28).グ

な るの で重 力 が 無 視 で

常 のGMSBで

の 結 果 と し て,グ

は, ラ ヴ ィ テ ィ ー ノGの

ラ ヴ ィ テ ィ ー ノ の 質 量 は 通 常m3/2と

書 く.

(5.105) した が っ て モデ ル の つ く り方 に も よ る が,GMSBで

の最 も軽 い 粒 子(LSP)は

通 常 は グ ラ ヴ ィ テ ィー ノ とな る.こ れ が,GMSBの

第4の

の特 徴 で あ る.一 方mSUGRAで

は, 

そ し て た ぶ ん最 大

で あ るので グ ラヴ ィ

テ ィ ー ノ の 質 量 は 他 の 超 粒 子 と同 程 度(∼O(1TeV))あ

り,かつ

相 互作用 の強

さ は 重 力 程 度 で あ る の で 加 速 器 実 験 で は そ の 存 在 を 無 視 で き る*2).GMSBで は グ ラ ヴ ィ テ ィ ー ノ がLSPと たX10は,第2番

な る た め,mSUGRAで

目 に 軽 い 粒 子(NLSP)と

τRがNLSPに

有 力 なLSP候

な る.た

な る 可 能 性 も あ る.NLSPは

だ し,モ

補 と され

デ ル に よって は

グ ラ ヴ ィテ ィー ノ に 次 の よ う な

反 応 で 壊 れ る.

(5.106) X10がBに

近 け れ ば,こ

の 崩壊 の 寿 命 は,

(5.107a) で与 え られ る.数 値 を評 価 す る と崩壊 距 離 が (ミ ク ロ ン) 

(5.107b)

と計 算 さ れ て い る28,29).グ ラ ヴ ィ テ ィ ー ノ の 質 量 が 小 さ け れ ば 寿 命 は 短 い.放 出 フ ォ ト ン は 測 定 上 は 孤 立 フ ォ ト ン と な る の で,超

粒 子 検 出 の 際 の 有 力 な手 段

と な る.

  5.6.4 

質 量 ス ペ ク トル の ま と め19)

  モ デ ル 構 築 に も よ る の で 例 外 は あ る が,mSUGRA, し た 解 析 を ま と め る と,ほ   (1)  最 GMSBで

(5.93)参

も 軽 い 超 粒 子LSPは,mSUGRAで

照).電

ャ ー ジ ー ノや ニ ュ ー トラ リー ノ よ り は か な り重 い(式

質 量 は,第1,2世

代 で は ほ と ん ど 縮 退 し て い る.

り込 み 群 方 程 式 に よ る 大 き な 付 加 項 は ゲ ー ジ ー ノ ル ー プ か ら な の で

各 項 に 共 通 し て い る か ら で あ る.qLはqRよ (W±)か

は ニ ュ ー ト ラ リ ー ノX10,

あ る.

弱 ス ケ ー ル で は,

  (3)  ス ク ォ ー ク(q)の 理 由 は,繰

ど を指 針 と

ぼ 次 の よ う な こ と が い え る.

は グ ラ ヴ ィ テ ィ ー ノGで

  (2)  グ ル ー イ ノ は,チ

GMSBな

ら の 寄 与(K2項)が

りや や 重 い.理

由 は ウ ィー ノ

ア イ ソ ス ピ ン で 差 が つ く か ら で あ る.同

*2) 宇 宙論 では 暗 黒物 質 の 有 力候 補 とな る .

じ理 由

で 第1,2世

代 の ス レ プ トン(l)も

ほ と ん ど縮 退 を し て お り,lLはlRよ

りや

や 重 い.   (4) qはlよ

り 重 い.式(5.98)に

典 型 的 に 示 さ れ て い る よ う に,繰

り込

み 群 方 程 式 に よ る 発 展 で グ ル ー イ ー ノ の 寄 与 が 大 き い か ら で あ る.   (5)  第1,2世 80%よ

代 の ス ク ォ ー クqは,mSUGRAで

り軽 く は な く,GMSBで

は グ ル ー イー ノ質 量 の

は グ ル ー イ ー ノ の 約60%で

あ る.こ

れ は,ス

ク ォ ー ク の 質 量 に 占 め る グ ル ー イ ー ノ 質 量 の 寄 与 が 大 き い こ と に よ る.   (6)  第3世

代 は,質

量 が 大 き く ヒ ッ グ ス に 強 く結 合 す る の で,ヒ

通 じ た 左 右(qLとqR)の

混 合 が 大 き く,tLとtRは

別 れ る(た ぶ んbとτ

も).質

こ の た め ス ク ォ ー クqの

質 量 固 有 状 態t1とt2に

量 差 が 大 き く,か

中 で はt1が

ッグス を

つ 質 量 を 大 き く押 し 下 げ る.

最 も軽 い と考 え ら れ る.

  (7)  超 対 称 性 が あ る と き の 中 性 ヒ ッ グ ス 粒 子 の う ち 軽 い 方(h0)は,150 GeVよ

り は 軽 く,さ

  図5.15に

ら に120GeVよ

一 つ の モ デ ル を 指 定 し た と き,す

を 入 れ た と きのmSUGRAス

図5.15  (m0=600GeV, 第1列

り軽 い確 率 が 高 い(§3.4.1参

は,第2世

照).

な わ ちパ ラ メ ター に特 定 の 数 値

ペ ク トル 例 を あ げ る25).

mSUGRAに M(g)=160GeV,

よ るSUSY粒

子 の質 量 の予 言例25)

tanβ=1.73,

代 ま で の ス クォ ー ク と ス レ プ トン,第2列

Atop=0.0, は 第3世

μ<0と

した)

代 の ス クォー ク,第3列

は

チ ャ ー ジー ノ とニ ュー トラ リー ノ(軽 い順 に番 号 を振 る)を 示 す.第4列 は ヒ ッ グ ス の 質 量 で あ る.こ の 表 は 各 超 粒 子 質 量 の 相 互 関 係 を知 るた め の ガ イ ドで,数 値 は単 な る 目安 と見 な す べ きで あ る.

5.7  超 粒 子 探 索

  以 下 で こ れ ま で の 超 粒 子 探 索 状 況 を 概 観 し て み よ う.超 判 っ て い る の で 質 量 ス ペ ク トル が わ か れ ば,実 が 観 測 さ れ る か は,モ

デ ル の 範 囲 内 で 予 言 可 能 と な る .通

軽 い ニ ュ ー ト ラ リー ノ(x10)を 見 な す.x0は

が,Rパリ

テ ィ保 存 よ り 中 間 状 態 と し て 質 量 の 大 き いqも

番

super

一 般 に他 の 粒 子 と電磁 相 互 作 用 をす る こ とが で き る

応 断 面 積 は,∼(α2/m(q)4)sに

強 さ は 弱 相 互 作 用 以 下 と な る.つ 相 互 作 用 を ほ と ん どせ ず,検 は グ ラ ヴ ィ テ ィ ー ノ がLSPで

常 の 解 析 で は,一

安 定 で 一 番 軽 い 超 粒 子(LSP: lightest

particle)と

の で,反

粒子 の相 互作 用 は

際 に どの よ うな生 成 崩 壊 モー ド

比 例 す る.m(q)が

ま りLSPは,ニ

し く はlを

通 る

大 き い の で反 応 の

ュ ー ト リ ノ と 同 じ く物 質 と

出 信 号 は 見 え な い エ ネ ル ギ ー と な る.GMSBで あ り,x10がNLSPで

あ る の で,x10→γGが

可 能 で 見 え な い エ ネ ル ギ ー と孤 立 フ ォ トン が 検 出 信 号 と な る.

  5.7.1 

チ ャ ー ジ ー ノ,ニ

ュ ー トラ リ ー ノ,ス

レプ トン

  a.  生 成 機 構   LEPIで

は,Zの

生 成 断 面 積 が 大 き い に も か か わ ら ずZ崩

の 生 成 物 が な か っ た こ と か ら,チ ニ ュ ー ト リ ノ に 対 しm(ν)>43GeVが 値 がmZ/2よ

りや や 小 さ い の は,チ

く位 相 体 積 が 不 足 す る か ら で あ る.ス や や 弱 い.こ い.混

壊 の 中 にこれ ら

ャ ー ジ ー ノ に 関 し てm(x±)>mZ/2,ス い え る10).ス

ニ ュ ー ト リノ の 質 量 下 限

ャ ー ジ ー ノ に 比 べΓZへ

の寄 与が やや 小 さ

レ プ トン へ の 制 限 は ス ニ ュ ー ト リ ノ よ り

れ に 反 し ニ ュ ー ト ラ リー ノ の 質 量 に 対 し て は 制 限 が つ け ら れ な

合 具 合 に よ っ て は(例 え ば 純 粋 な フ ォ チ ー ノγ

の 場 合),Zに

少 な くも

ト リー 近 似 で は 結 合 し な い 場 合 も あ る か ら で あ る.   e-e+反

応 の 重 心 系 エ ネ ル ギー  

sチ ャ ネ ル でγ,Z交 (図5.16(b)(e)).結

換 に よ り,tチ

がmZを

超 え る と,チ

ャ ー ジ ー ノXi±

は

ャ ネ ル で ス レ プ トン 交 換 に よ り生 成 で き る

合 定 数 は わ か っ て い る の で,質

成 断 面 積 や 崩 壊 分 岐 比 が 計 算 で き る.生

量 と混 合 比 を与 え れ ば 生

成 断 面 積 は1∼10pb程

度 で あ る.

ニ ュ ー ト ラ リ ー ノ や チ ャ ー ジ ー ノ が ゲ ー ジ ー ノ に 近 い と き((X10, X20, X1±) ∼(B

, W0,

W±)),tチ

ャ ネ ル 交 換 の 質 量 が 大 き け れ ば 干 渉 効 果 は 小 さ い が,

質 量 が 小 さ い と 干 渉 効 果 が 大 き く,チ ニ ュ ー ト ラ リー ノ 生 成 断 面 積 は,も 優 勢 で あ る の で,断

ャ ー ジ ー ノ 生 成 断 面 積 を 小 さ く す る.

と も と ス レ プ トン 交 換 のtチ

面 積 が 大 き くな る.ヒ

ャネ ル 寄 与 が

ッ グ シ ー ノ 成 分 が 大 き い と き は,断

面 積 は 全 体 的 に 大 き くか つ ス レ プ ト ン 質 量 に ほ と ん ど 依 存 し な い,ス の 質 量 は ほ と ん どm0に プ トン の 質 量(あ こ と,ま   e(電

等 し く,ス

る い はm0)を

ク ォ ー ク の 質 量 は も っ と大 き い の で,ス

大 き く と れ ば,ス

生 成 はSチ

ニ ュ ー ト ラ リー ノ 交 換 で 生 成 さ れ る(図5 タ ウ(τ)に

関 し て はSチ

レ

フ ェ ル ミオ ン が 生 成 さ れ な い

た そ れ らへ 崩 壊 し な い こ と を 意 味 す る の で,解 子 の 超 粒 子 パ ー ト ナ ー)の

レ プ トン

析 は 容 易 に な る.

ャ ネ ル γ,Z交

.16(c),(f)),ス

換 とtチ

ャネル

ミ ュ ー オ ン(μ)や

ャ ネ ル の γ/Z交 換 項 の み 効 く の で,モ

ス

デル に依 存 し

な い 質 量 下 限 が 得 ら れ や す い.   実 験 的 に は,親

粒 子 とLSPと

ル ギ ー が 小 さ く な り,い る.Δmが10GeV以

の 質 量 差Δmが

小 さ く な る と,見

えないエネ

わ ゆ る2γ 過 程 か ら の 雑 音 事 象 と の 分 離 が 困 難 に な

上 あ る と き は 効 率 良 い 選 別 が 可 能 で あ る が,∼5GeVく

ら い 以 下 に な る と む ず か し い.ニ

ュ ー ト ラ リ ー ノ や チ ャ ー ジ ー ノ の 質 量 は,

μ, M2, tanβ の 関 数 で あ る の で,こ

れ ら の パ ラ メ ター 領 域 に 除 外 領 域 が 生 じ

(a)

(b)

(d) 図5.16 (a)∼(c)はSチ

(c)

(e) e-e+→

ャ ネ ル で γ, Zを

ニ ュ ー ト ラ リー ノ,チ 交 換 す るX10X10, X2-X1+,

(f) ャ ー ジ ー ノ,ス e e対

生 成,(d),

レ プ トン 生 成 (e), (f)はtチ

ャ ネ ル 振 幅.

る こ と に な る.以 上 の 考 察 の 意 味 す る と こ ろ は,実 験 で 正 確 に決 め られ るの は,超 粒 子 の 生 成 断 面 積 と崩 壊 分 岐 比 の 上 限 で あ り,そ れ らの 値 を超 粒 子 の 質 量 下 限 に翻 訳 す るに は,一 般 に モ デ ル が 必 要 とな る とい う こ とで あ る.   b.  生 成 信 号 と質 量 下 限   生 成 さ れ た チ ャー ジー ノ,ニ ュー トラ リー ノや ス レ プ トン は,X10がLSP の場 合 は

(5.108a) (5.108b) (5.108c) な ど に よ り レ プ ト ン も し く は ジ ェ ッ ト とX10を

放 出 す る.LSPは

出 さ れ な い の で,超

に 満 た な い(運 動 量 が バ ラ ン ス

し な い)レ はNLSPで

粒 子 信 号 は 開 口 角 が180度

プ ト ン 対 と ジ ェ ッ ト対 で あ る.GMSBで あ る の で,さ

測 定器 に検

はLSPがGで

あ り,X10

らに

(5.109) の 崩 壊 を し て フ ォ トン を 放 出 す る.し

た が っ て,フ

を 見 る こ と に よ り,GMSBとmSUGRAと NLSPで

も,崩

の 区 別 が つ け ら れ る.X10が

壊 寿 命 が 大 き い とLSPと

非 常 に 特 徴 的 な 信 号 を だ す の で,こ あ る.CERNのe-e+衝

ォ トン が 付 随 す る か ど うか

同 じ振 る 舞 い を す る.い

ず れ にせ よ

れ らの超 粒 子 が 生 成 さ れ れ ば検 出 は容 易 で

突 型 加 速 器LEPII 

で は,超

粒 子 は発

見 さ れ な か っ た.   ニ ュ ー ト ラ リー ノ や チ ャ ー ジ ー ノ は ハ ド ロ ン コ ラ イ ダ ー で も,W,

Z交

換

も し く は ス ク ォ ー ク や グ ル ー イ ー ノ の 崩 壊 に よ り 生 成 可 能 で あ る.特

に

X1+X20生 よ り3個 る.し LEPを

成 を 通 す チ ャ ネ ル は(後

の 孤 立 レ プ ト ン を 放 出 す る の で,見

か し,一

般 にQCDバ

つ け や す い チ ャネ ル と され て い

ッ ク グ ラ ウ ン ドが お お き い の で,今

超 え る 上 限 値 を だ し た 例 は 限 ら れ て い る.た

す れ ば(GMSB),γ で,エ

述 §5.7.2),X1+→X10lν, X20→X10llに

γ+見

までの ところ

だ し,X10→

γGを

仮 定

え な い エ ネ ル ギー とい う特 徴 的 な信 号 が 得 ら れ るの

ネ ル ギ ー の 高 い 利 点 を 使 い,大

  種 々 の デ ー タ を ま と め る と,今

き な 質 量 下 限 値 を得 て い る.

まで の と こ ろ以 下 の よ う な値 が 得 ら れ て い

る10,30∼32).無条 件 の 質 量 下 限 値 を 得 る の は 困 難 で,典

型 的 な 条 件 を併 記 し て あ

る.

(5.110a)

(5.110b) (5.110c) (5.110d) (5.110e)

図5.17  チ ャー ジ ー ノ,ニ ュ ー トラ リー ノ生 成 か ら得 ら れ た μ-M2平 面 で の 除外 領 域31) M2はSU(2)ゲ ー ジー ノ質 量,μ は 超 対 称 ヒ ッ グ ス ポ テ ン シ ャル の 混 合 パ ラ メ ター,灰 色 部 分 が LEP1(Z崩

壊)で 得 ら れ,LEP2の

共 通 質 量 で,左 側 がm0=1TeV,右 グ ル ー イ ー ノ質 量 を 目盛 っ た.

実 験 で 除 外 領 域 が 黒 色 部 分 へ と拡 張 さ れ た.m0は 側 がm0条

件 を は ず した 図.テ

ス レプ トン の

ヴ ァ トロ ン と の 比 較 の た め 右 側 に

  モ デ ル に 依 存 す る質 量 値 で 表 す 代 わ りに,ニ の 質 量 はtanβ

とm0を

与 え れ ば,μ

とM2で

ュ ー トラ リー ノ と チ ャ ー ジ ー ノ 書 け る の で,μ

とM2の

除外領域

と し て 表 す こ と も 多 い(図5.17)31,33).   な お,質 GeVで

量 ス ペ ク トル はtanβ

あ る こ と,GUTス

に も 依 存 す る.ト

ケ ー ル で も トッ プ の 湯 川 結 合 が 極 端 に 大 き く な ら な

い と の 条 件 を 要 請 す る とtanβ〓1.2,同 な ら な い と要 請 す る とtanβ〓60が 範 囲 に 設 定 す る こ とが 多 い.典

  5.7.2 

じ くボ トム の 湯 川 結 合 が 極 端 に大 き く 言 え る.し

た が っ てtanβ

型 的 な 値 はtanβ=mt/mb≒35で

の 値 は通 常 この あ る.

ス ク ォ ー ク とグ ル ー イ ー ノ

  強 い 相 互 作 用 を す る の で,エ い れ ば,次

ッ プ ク ォ ー ク の 質 量 が175

ネ ル ギ ー が 十 分 高 く て 生 成 の し き い 値 を超 え て

の よ う な 反 応 に よ りハ ドロ ン コ ラ イ ダ ー で 大 量 に 生 成 可 能 で あ る.

(5.111) qの 質 量 がgの

質 量 よ り大 きけ れ ば(通 常 のmSUGRA)

(5.112a) (5.112b) (5.112c)

(5.112d) (5.112e) gの 質 量 がqの

質 量 よ り大 きけ れ ば

(5.113a) (5.113b) の よ う に 崩 壊 す る の で,特 立 レ プ ト ン+見   現 在,テ

徴 的 な 検 出 信 号 は,"n(≧1)個

え な い エ ネ ル ギ ー"と

な る.

バ トロ ン で は 発 見 さ れ て お ら ず,ス

の 質 量 除 外 領 域 は 図5.18の

の ジ ェ ッ トま た は 孤

ク ォ ー クqと

よ う に な っ て い る34).

グ ル ー イ ー ノg

図5.18  ス クォ ー ク(q)と グル ー イー ノ(g)質 量 除外 領 域34) テバ トロ ンで の ジ ェ ッ ト+見 え な い エ ネ ル ギ ー 信 号 に よ るq, g探 し,X10をLSPと の 領 域 は 最 小SUGRAモ mq<mgは

最 小SUGRAで

mq=50∼150GeV,

は 実 現 困 難 な 領 域.こ

mg〓250GeVの

穴 は,こ

出 効 率 が 下 が る こ と に よ り生 じる.他

お

こ で はMSSMとM(l)=350GeV/c2を

こ で はmqが

の実 験UAI,

5.8 

  第4章

仮 定 .mq>mg

デ ル使 用. 小 さ く,見

MARK Ⅱ,

わ

り

LEPIに

仮定 . え ない 運 動 量 が 小 さ い た め 検 よる 除 外 領 域 も示 す.

に

お よ び こ の 章 で は,標 準 理 論 を越 え る可 能 性 をい ろ い ろ探 っ た.標 準

理 論 が 出 現 して30年

あ ま り,こ の期 間 は ほ とん どす べ て の 実 験 が 標 準 理 論 の

検 証 に 費 や され 標 準 理 論 は それ に ほ ぼ 完璧 に答 え て きた.標 準 理 論 の検 証 で 欠 け て い る と こ ろ は,ヒ

ッ グス の 存 在 とCPの

は,e+e-に

ァ ク ト リー(も

よ るBフ

破 れ の 解 明 で あ る.CPに

し くは テ バ トロ ン,LHCで

関 して

のB実

験)

に待 た ざ る を え な い.し か し,こ れ らの検 証 結 果 が 標 準 理 論 を追 認 す るだ け に 終 わ るか,そ

れ と も越 え るか は や っ て み な い とわ から な い.そ の点 で,ヒ

ッグ

ス粒 子 の 存 否 お よ び そ の性 質 の 解 明 は標 準 理 論 の 限 界 を知 る上 で最 も重 要 な検 証 事 項 で あ る.   標 準 理 論 を越 え る理 論 の 第一 の候 補 は大 統 一 理 論 で あ る.大 統 一 が 正 しけ れ ば どの よ う な兆 候 が あ るか を この 章 で は探 っ た.陽

子 崩壊,天

体 現 象 な ど大 統

一 理 論 の 直 接 検 証 は ,非 加 速 器 素 粒 子 実 験 に頼 る こ とが 多い が,大 統 一 現 象 に

対 して 開 い て い る実 験 工 場 の 窓 は非 常 に小 さい.そ

れ で も,標 準 理 論 を越 え る

最 初 の 実 験 デ ー タが,大 気 ニ ュー トリ ノな ど天体 現 象 か ら得 られ た こ とは 注 目 に値 す る.   標 準 理 論 の 限 界 を探 り将 来 へ の 手 が か り を得 る上 で,最 性 が 大 きい の は,第3章 れ る.高

も述べ た よ うに,ヒ

も直 接 的 で か つ 可 能

ッ グ ス粒 子 の 追 求 で あ る と考 え ら

エ ネ ル ギ ー の 電 子 陽 電 子 コ ラ イ ダー やLHCで

し,そ の性 質 を明 らか に す る こ とは重 要 で あ る.ヒ

ヒ ッ グ ス 粒 子 を発 見

ッグ ス が 比 較 的 軽 い と こ ろ

に あ り,素 粒 子 で あ る こ とが わか れ ば,超 対 称 性 の 存 在 は 必 然 的 で あ ろ う.こ の と き は,ヒ

ッ グ ス の 質 量 の 値 に 対 す る 論 理 的 自 然 さ の 議 論 か ら,

∼O(1TeV)付

近 に 超 粒 子 が 見 つ か る可 能 性 が 高 い.超 対 称 性 の 可 否 そ の もの

は,軽

い 中性 ヒ ッ グ ス の 存 否 を チ ェ ッ クす る こ とに よ り比 較 的 早 期 に検 証 が 可

能 か も しれ な い.も

し,超 対 称 性 の 存在 が 否 定 的 で あ れ ば,複 合 モ デ ル を採 用

せ ざ る を え な い.し か し,超 対 称 性 自身 は,非 常 に魅 力 的 な考 え方 で あ り,ま た い ま の と こ ろ,重 力 統 一 の ため の 唯 一 の 手 段 で あ る こ と を考 え る と十 分 生 き 残 る可 能 性 は あ る.素 粒 子 の 原 形 態 は 点 で な く1次 元 的 に 広 が っ た紐 で あ る と す る超 紐 理 論 な ど,そ の 方 面 の理 論 的 活 動 は か な り活発 で あ る.ヒ くて(実 験 的理 論 的検 出 限 界 は〓1TeV)発 ル(テ

見 で き な い と き も ま た,複 合 モ デ

クニ カ ラー な ど)が 正 しい可 能 性 が 大 い に 増 す.こ

が 強 結 合 に な る の で,テ

ッ グ スが 重

クニ カ ラー 共 鳴群 な どが,や

の と き は,ヒ

は りO(1TeV)付

ッグス 近 で発

見 され る 可 能 性 が 大 い に あ る.   標 準 理 論 の 成 功 が あ ま りに 大 き く,過 去30年

間 で 標 準 理 論 を 越 え る実 験 事

実 は,ニ ュ ー トリ ノ振 動 現 象 以 外 に は い まだ 発 見 さ れ て い な い.こ れ は あ る意 味 で,高 エ ネ ル ギー 物 理 学 の危 機 で あ る.理 論 的 な 可 能 性 は い ろ い ろ検 討 され た もの の,こ れ 以 上 進 め る手 が か りが 少 な いの で あ る.そ の 意 味 で,再

び実 験

が 新 事 実 を 提 供 し,理 論 の 道 標 に な る べ き と き が き て い る と い え よ う. LEPII,フ

ェ ル ミ研 究 所 の テ ヴ ァ トロ ンの 増 強,B-フ

近 で あ るの で,標

準理 論 を越 え る何 らか の ヒ ン トが得 られ る 可能 性 は あ る.し

か し,本 格 的 な 手 が か りは,TeV級 LHC実

ァ ク トリー の 開 始 も 間

の 加 速 器 に 期 待 す る と こ ろ が 大 き い.

験 開 始 は 予 定 に は の っ て い る もの の,TeV級

の 電 子 リニ ア コ ラ イ

ダ ー,ミ

ュ ー オ ン コ ラ イ ダ ー, 

の スー パ ー ハ ドロ ン コ ラ イ ダ ー

の 早 期 建 設 が 望 ま れ る.

参 考 文 献

1)  P.Langacker:Phys.Rep.,72C(1981)185 G.G.Ross:Grand

Unified

Theories,Benjamin

R.N.Mohapatra:Unification 2)  H.F.Dylla

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and

R.Jackiw:Nuovo

4)  H.Georgi,H.Quinn

Cimento,51A(1969)47

5)  H.Georgi

and and

S.Weinberg:Phys.Rev.Lett.,33(1974)451

S.L.Glashow:Phys.Rev.Lett.,32(1974)438

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A.Sirlin:Phys.Rev.,D22(1980)2095;Nucl.Phys.,B189(1981)

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PDG(Particle

11) 

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Group):Phys.Rev.,D45(1992);D54(1996);EPJ

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et al.:Phys.Rev.Lett.,61(1988)2522,Becker

et al.:Phys.Rev.D42

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et al.:Phys.Rev.Lett.,81(1998)3319 et

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J.L.Rosner:Phys.Rev.,D25(1982)3036

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al.:Phys.Rev.,D41(1990)815

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M.Lindner:Phys.Rev.,D41(1990)1647

と し て は,E.Farhi,L.Susskind:Phys.Rep.,74(1981)277

最 近 の 発 展 に つ い て は B.Holdman:Phys.Rev.,D24(1981)1441;Phys.Lett.,B150(1983)301

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K.Yamawaki

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T.Appelquist

et al.:Phys.Rev.,D36(1987)508

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P.Fayet

Strathedee:Fortschr.Phys.,26(1978)57

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H.P.Niles:Phys.Rep.,110(1984)1 H.Haber "Perspectives

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G.Kane:Phys.Rep.,117(1984)76 on Supersymmetry"in

Advanced

Physics,Vol.18,ed.G.L.Kane,World 20) 

U.Amaldi

21) 

L.E.Ebanez

22) 

N.Sakai

and

J.Ellis T.Inami

and

Directions

in High

Energy

も参 照

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T.Yanagida:Nucl.Phys.,B197(1982)533

J.Ellis,D.Nanopoulos 23) 

on

Scientific,1998

et al.:Phys.Lett.,260(1991)447を and

Series

and

S.Rudaz:Nucl.Phys.,B202(1982)43

D.V.Nanopoulos:Phys.Lett.,B110(1982)203 and

C.S.Lin:Nucl.Phys.,B207(1982)533

M.Suzuki:Phys.Lett.,B115(1982)40 J.Donoghue R.Barbieri

and and

H.P.Nilles

and

D.Wyler:Phys.Lett.,B128(1983)55

G.Gatto:Phys.Lett.,B110(1982)211

B.A.Campbell:Phys.Rev.,D28(1983)209 24) 

L.E.Ibanez:Phys.Lett.,B118(1982)73:Nucl.Phys.,B218(1983)514 K.Inoue,A.Kakuto,H.Komatsu

and

S.Takeshita:Prog.Theor.Phys.,68(1982)

927,71(1984)413 A.H.Chamseddinne,R.Arnowitt

and

J.Ellis,D.V.Narroponlos 25) 

and

J.A.Swieca

Summer

and

R.Arnowitt

H.P.Nilles:Phys.Lett.,B125(1983)457

P.Nath:SSCL-Preprint-503,CTP-TAMU-52/93,Lectures School,Campos

G.Kane,C.Kolda,L.Roszkowski 26) 

P.Nath:Phys.Rev.Lett.,49(1983)970

do and

Jordao,Brazil,1993 J.Wells:Phys.Rev.,D49(1994)6173

M.Dine,A.E.Nelson:Phys.Rev.,D48(1993)1277 H.Dine,A.E.Nelson H.Dine,A.E.Nelson,Y.Nir

and

Y.Shirman:Phys.Rev.,D51(1995)1362 and

Y.Shirman:Phys.Rev.,D53(1996)2658

27) 

S.Dimopoulos,S.Thomas,J.D.Walls:Nucl.Phys.,B488(1997)39

28) 

S.Dimopoulos,M.Dine,S.Raby

and S.Thomas:Phys.Rev.Lett.,76(1996)3494

at Ⅶ

29) 

S.Deser

and

E.Cremmer 30) 

B.Zumino:Phys.Rev.Lett.,38(1977)1433 et al.:Phys.Lett.,B79(1978)231

OPAL;K.Acker

Staff

ALEPH:R.Barate L3;Adrian 31) 

et et

et

OPAL;K.Ackerson

et

ALEPH:R.Barate 32) 

D0;B.Abbott J.Ellis

34) 

CDF;F.Abe

et et

et

al.:EPJ

C4(1998)47

al.:Phys.Rev.Lett.,236(1993)1

DELPHI;P.Abreu

33) 

et

al.:Phys.Lett.,B407(1997)377

al.:EPJ al.:EPJ al.:EPJ

C1(1998)1 C2(1998)213 C2(1998)417

al:Phys.Rev.Lett.,80(1998)442

al.:Phys.Lett.,B388(1996)97,B394(1997)354 et

al.:Phys.Rev.Lett.,69(1992)3439,ibid.76(1996)2006,Phys.Rev.,

D56(1997)R1357,DO;S.Abachi

et

al:Phys.Rev.Lett.,75(1995)618

6 ア

  ア ク シ オ ン とは,1977年

ク シ オ ン

に い わ ゆ る強 いCP問

題(strong

CP

problem)の

解 決 策 と し て提 案 さ れ た粒 子 で あ る1).非 常 に 軽 くて(数 十eV∼10-6eV),物 質 とは 非 常 に 弱 く しか 相 互 作 用 せ ず,数

々 の 探 索 実 験 に もか か わ らず 未 だ に発

見 さ れ て い な い 粒 子 で あ る.長 年 の探 索努 力 の 結 果,ア

ク シ オ ン の パ ラ メ ター

(質 量 と結 合 定 数)の 残 さ れ て い る許 容 範 囲 は か な り絞 られ て き た.ア ン の 存在 理 由 の 背 景 に は 軸 性 ベ ク トル異 常,θ 真 空,イ 論 的諸 問 題 が複 雑 に絡 ん で い る.ま た,ア

クシオ

ン ス タ ン トン な どの 理

ク シオ ン 自身 が,ニ

ュ ー ト リ ノ,超

対 称 粒 子 と並 ん で宇 宙 暗 黒 物 質 の 最 有 力候 補 の 一 員 で あ り,宇 宙論 の 中 で も重 要 な地 位 を 占め る な ど,ア ク シ オ ン 問題 は,多 少 の スペ ー ス を さ く価 値 の あ る トピ ッ ク で あ る.   θ真 空,イ

ン ス タ ン トン な どは 非 摂 動 論 的 内容 を含 み,こ

れ ま で に解 説 して

きた摂 動 論 的 取 扱 い とは 異 質 の 概 念 で あ る.し たが っ て,以 下 で は 多少 回 り道 に は な るが,ま め て,ト

ず,ソ

リ トン と は何 か とい う物 理 的 概 念 を把 握 す る こ とか ら始

ポ ロ ジ ー 保 存 量(巻 つ き数)の 導 入,4次

元 ユ ー ク リッ ド空 間 で の ソ

リ トン と し て の イ ン ス タ ン トン お よ び そ の 物 理 的 意 味 と θ真 空 との 関 わ り を 述 べ る.次 に,θ 真 空 とカ イ ラ ル 異 常 項 との 関 連 を述 べ る.こ れ ら は 理 論 的 テ ー マ と して は お も しろ い が,ア

ク シ オ ンの 現 象 論 とは 直 接 関 わ りは な い の

で,現 象 に の み 興 味 あ る 人 は,§6.1,§6.2を も ら って 結 構 で あ る.

飛 ば して 直 接 §6.3か ら始 め て

6.1  ソ

  6.1.1  1+1次

リ

ト

ン2,3)

元 の ソ リ トン

  ソ リ トン(solitary

wave)と

は 簡 単 に い え ば,空

に 安 定 な 波 の こ と を い い,通 常,非

間 的 に 局 在 しか つ 時 間 的

線 形 波 動 方 程 式 の 非 摂 動 解 と して 現 れ る.

通 常 の 線 形 波 動 方 程 式 に 従 う波 が 分 散 を も ち(周 波 数 ω,波 数k,定 して,ω2=k2+m2を

満 たす),時 間 と と もに い ず れ は形 を崩 す の に 対 して 本 質

的 に安 定 で あ る とい う特 徴 を もつ.ソ 手 は じめ に まず1+1次

数mと

リ トンの 物 理 的 描 像 を理 解 す るた め に,

元 の 古 典 的 な ス カ ラー 場 の 方程 式 を考 察 す る.

  a.  ソ リ トンの 存 在 条 件   次 の よ う な ラ グ ラ ン ジ ア ン密 度 を考 え る.

(6.1) こ こ で,xμ=(t;x)で,V(φ)は

非 線 形 な ポ テ ン シ ャ ル を 表 す.V(φ)は,極

小 値 を少 な く も一 つ 以 上 も ち,か つ 最 小 値 はV=0に

な る よ うに適 当 に 定 数 を

調 整 して お く もの とす る.運 動 方 程 式 に 必 ず し も静 的 解 が あ る とは 限 らず,ま た静 的 で な い解 もあ り う るが,簡 単 の た め こ こ で は静 的 な 解 の み を考 え る こ と に し よ う.静 的 解 と し て φ=f(x)が ン ツ変 換 し て得 られ る.す

見 つ か れ ば,時

間 に 依 存 す る解 は ロー レ

な わ ち,

(6.2) が 望 む 解 と な る.γ=(1-υ2)-1/2は

ロ ー レ ン ツ 因 子 で あ る.静

的 な解 の 満 たす

運 動 方 程 式 は ハ ミル トン の 原 理 よ り,

(6.3) エ ネ ル ギー 密 度Hは

(6.4) 全 エ ネ ル ギ ー は,

(6.5)

で 与 え ら れ る.全

エ ネ ル ギ ー 第2式

  ソ リ ト ン 解 が 存 在 す れ ば,そ

の 正 当 化 は 後 述 の(6.7)で

行 う.

の 解 は 有 限 な エ ネ ル ギ ー を も た ね ば な ら ず,し

た が っ て エ ネ ル ギ ー 密 度 は 空 間 的 に 局 在 し て い な け れ ば な ら な い.(6.4), (6.5)を

見 れ ば,x→

± ∞ で φ が,∂ φ/∂x=V(φ)=0を

な っ て い な け れ ば な ら な い こ と が わ か る.次 V(φ)の →x

形 を 考 察 し て み よ う.こ

, V→-Vの

に,ソ

の た め に,運

置 き換 え を 行 え ば,質

リ トン が 存 在 し う る た め の

動 方 程 式(6.3)が,x→t,

量m=1と

転 ポ テ ン シ ャ ル は 図6.1の

± ∞ で φ=φ0に

φ

お い た ニ ュー トン 力 学 の

ポ テ ン シ ャ ル 問 題 に 帰 着 す る こ と に 注 目 す る.Vが け も つ と き は,反

与 え る よ う な φに

φ=φ0で

最 小 値 を一 つ だ

形 を し て い る.境

な る こ と を 要 求 す る が,x=-∞

界 条 件 は,x→

か ら ス タ ー トす る と し て,

φ が 少 し で も φ0の 位 置 か ら 外 れ れ ば φ は 逆 転 ポ テ ン シ ャ ル の 坂 を 転 げ 落 ち て し ま う の で,x→+∞

で φ=∞

ま た は-∞

に な る し か 行 き 場 が な い.し

が っ て,φ=φ0に

留 ま っ て 静 止 し て い る 以 外 の 解 は 存 在 し な い.

  一 方,V=0を

与 え る 最 小 値 が2個

以 上 存 在 す れ ば ど う な る か.例

が 自 発 的 に 対 称 が 破 れ る ヒ ッ グ ス ポ テ ン シ ャ ル と 同 じW字

た

え ば,V

形 を して い た と し

よ う(図6.2(a)).

(6.6) こ の 場 合 の 反 転 ポ テ ン シ ャ ル は,図6.2(b)の →-∞

で φ=-vで

あ っ た と し,xの

形 を し て い る.こ

増 大 に 伴 い φ を 右 方 に 動 か し た と き,

(a) 図6.1 

最 小 値 が1個

の と き,x

あ る と きの ポ テ ン シ ャ ル(a)と

(b) 逆 転 ポ テ ン シ ャ ル(b)

(a) 図6.2 

x→+∞ の 場 合,φ

(b)

自発 的 に対 称 性 が 破 れ た ポ テ ン シ ャ ル(a)と

反 転 ポ テ ン シ ャ ル(b)

で φ=υ に な る解 が 存 在 す る.逆 の 解(φ=υ →-υ)も は漸 近 的 に φ=υ に 到 達 す る の で あ っ て,決

こ とは な い し,φ=υ

存 在 す る.こ

し て φ=-υ

に も どる

を超 え て い くこ と もな い.以 上 の考 察 か ら,ソ

が 存 在 す る た め に は,少

リ トン解

な く も2個 以 上 の縮 退 し た真 空 の 存在 が 必 要 で あ る こ

とが わ か る.こ の こ とは,自 発 的対 称 性 の破 れ と ソ リ トン の 存 在 は 密 接 に結 び つ い て い る こ と を示 唆 す る.   上 記 の よ う な境 界 条 件 が 設 定 され た と きの(6.3)の

一 般 解 は 直 ち に求 め ら

れ る.∂ φ/∂xを両 辺 に掛 け て積 分 す れ ば,

(6.7) x→-∞

で ∂φ/∂x=V(φ)=0で

あ る の で,積

分 定 数 は と も に0で

あ る.こ

れ

か ら,

(6.8) こ の 式 を 使 え ば,ポ

テ ン シ ャ ルVが(6.6)で

ン 解 が 存 在 す る こ と を示 せ る(演

演 習6.1 

V(φ)が(6.6)で

与 え ら れ た と き,2個

の ソ リ ト

習6.1).

与 え ら れ る と き,υ2=m2/λ

と し て,ソ

リ トン解 は

(6.9)

で与 え られ る こ とを示せ.   b.  サ イ ン-ゴ ー ドン方 程 式  縮 退 した 真 空 が 無 限 に あ る例 と して,次

の サ イ ン-ゴ ー ドン 方程 式 を考 察 す

る.

(6.10) この 方 程 式 を与 え る ポテ ン シ ャ ル は,

(6.11) で,図6.3(a),

(b)の

よ う な 形 を し て い て,

(6.12) で 与 え られ る と こ ろ に無 限個 の 縮 退 した真 空 状 態 を もつ.解

は(6.8)を

使え

(b)

(c)

(a)

(d)

図6.3 

(a)  サ イ ン-ゴ ー ドン方 程 式V(φ)をx-φ =+1の ソ リ トン解

面 の 立 体 鳥 瞰 図 と して 表 す.太

(b)  φ-V(φ)面 で の切 り口 (c) x-φ 面 へ の 投 影 図.φ=0か

らbφ=±2π

(d)  ソ リ トンの もつ エ ネ ル ギー 密 度 分 布

へ い くソ リ トン解

線 は 図(c)のQ

ば 直 ち に 求 め ら れ て,

(6.13) 定 数a, bの 物 理 的 意 味 を見 るた め に,V(φ)を

φ=0の

まわ りに展 開 す れ ば

(6.14) と な る の で,m2=ab,

λ=ab3と

数 λ を も つ 場 と 解 釈 で き る.い か ら,x=+∞

お け ば,こ ま,x→-∞

で 他 の ゼ ロ 点(例

 

れ は 質 量m,自

己相 互 作 用 結 合 定

で 一 つ の ゼ ロ 点(例

え ばn=±1)に

向 か い,途

え ばn=0) 中,x=x0で

と な る よ う な 境 界 条 件 を 設 定 し た と き の 解 は,

(6.15) で 与 え ら れ る.こ

れ を 図6.3

(c)に

描 い た.

  ソ リ ト ン の も つ エ ネ ル ギ ー 密 度 分 布(図6.3(d))を リ ト ン の 存 在 位 置,1/mが

と φ-1は い ろ い ろ な 意 味 で,粒 エ ネ ル ギ ー は,(6.5)よ

眺 め れ ば,x=x0は

ソ

ソ リ ト ン の 空 間 的 大 き さ を示 す こ と が わ か る.φ+1 子 と反 粒 子 の 性 質 を もつ.こ

の ソ リ トンの もつ

り容 易 に 計 算 で き て

(6.16) φの 形,φ の もつ エ ネ ル ギ ー は,結 合 定 数 λが0に 示 す.す

な る極 限 で発 散 す る こ と を

な わ ち,結 合 定 数 が どん な に小 さ くと も非 線 形 解 と して の ソ リ トンが

存 在 す る わ け で あ り,摂 動 的 に得 られ る解 で は な い.ソ

リ トン が 安 定 な の は,

二 つ の 異 な る真 空 に ま た が って い るか ら で あ る(図6.3(a)を ギー は,有

参 照).エ

ネル

限 な領 域 に集 中 して い るが,一 つ の解 を連 続 的 に変 形 して 他 の解 に

変 換 す るに は無 限 の エ ネ ル ギ ー を必 要 とす るの で あ る.   こ の こ と を直 観 的 に理 解 す る に は 次 の よ う な単 純 な モ デ ル を考 えれ ば よ い. 非 常 に(無 限 に)長 い す だ れ を高 い とこ ろか ら吊 し,上 端 と下 端 を 固 定 す る. n=±1の

真 空 は,す

だ れ を右 巻 き(n=0→1)も

に ひ とひ ね り した状 態 に 相 当 し,キ ン ク(kink)と

し くは 左 巻 き(n=0→-1) 呼 ば れ る(図6.4).す

だれ

を ゆ さ ぶ れ ば,こ あ り,ひ

の ひ ね り は 蛇 行 す る 波 と な る が,明

ね っ て い な い 状 態(n=0の

トン が 安 定 な の は,ト

図6.4 

ポ ロ ジ ー(空

真 空)に

崩 壊 す る こ と は で き な い.ソ

間 的 構 造)の

リ

もつ 性 質 に よ る の で あ る.

キ ン ク:長 い す だ れ を一 巻 き した状 態 は 別 の 真 空 をつ く る.

  上 の 議 論 は 整 数 の 差 で 表 さ れ る 保 存 量Q(ト ge)の

らか に この 状 態 は安 定 で

存 在 を 示 唆 す る.次

ポ ロ ジ ー 荷:topological

式 で 定 義 さ れ る保 存 カ レ ン トJμ(μ=0,1)を

char 考 え よ

う. εμνは 反 対 称 テ ン ソ ル で ε01=1 

(6.17)

(6.18) こ の カ レ ン ト は,ラ

グ ラ ン ジ ア ン の 対 称 性 か ら 得 ら れ る も の で は な く,ネ

タ ー カ レ ン トで は な い.そ

の 保 存 性 は トポ ロ ジ ー す な わ ち 境 界 条 件 の 相 違 か ら

発 生 し た も の で あ る こ と を 認 識 し て お く必 要 が あ る.(6.15)の =±1の

ー

ソ リ ト ン と 反 ソ リ トン に 対 応 す る こ とが わ か る .ソ

二 つ の 解 はQ リ トン の 安 定 性 は

トポ ロ ジ ー 荷 の 保 存 と い い か え る こ と が で き る.

  6.1.2 

1+2次

元 の ソ リ トン:う

  前 節 の 議 論 を1+2次

ず糸

元 空 間 に お け る 複 素 ス カ ラ ー 場 に 拡 張 し て み よ う.ラ

グ ランジアンは

(6.19)

で あ り,V(φ)と る.V(φ)の

し て は,(6.6)を2次

形 か ら,境

元 に 拡 張 し た もの を採 用 す る もの とす

界 条 件 と して

(6.20) を満 たす 静 的 解 を探 して み よ う.φ が 微分 方 程 式 を満 た す ため に は連 続 で あ る とい う条 件 が 必 要 で あ るか ら,

(6.21a) す な わ ち,

(6.21b) (6.21c) で あ る.r→

∞ で の ハ ミル トニ ア ン は

(6.22a) で あ る の で,全

エ ネルギー

(6.22b) は 対 数 発 散 す る.実 際,超

流 動 ヘ リウ ム 液 体 の うず 糸 は こ の よ うな数 学 の 式 で

表 され る.う ず 糸 の もつ 単 位 長 さ あ た りの エ ネ ル ギー 密 度 は 容 器 の 大 き さL に対 してln Lの 依 存 性 を もつ.ゲ

ー ジ理 論 で はLは

の で,前 節 で得 られ た よ うな ソ リ トン解 は2次 は で き な い こ とが わか る.そ こで,ゲ

常 に 無 限 大 に もっ て い く

元 空 間 に その ま ま拡 張 す る こ と

ー ジ場 を付 加 し,微 分 を共 変 微 分 に変 え

て み よ う.ラ グ ラ ン ジ ア ンは,

(6.23a) (6.23b) と変 わ る.こ

れ は よ く知 ち れ て い る2次

元 空 間 で の 超 伝 導 状 態 を表 す ギ ン ツ ブ

ル グ-ラ ン ダ ウ の 自 由 エ ネ ル ギ ー の 式 と な っ て い る.い ゲ ー ジ 場 をr→

ま,α(θ)=nθ

と し,

∞ で,

(6.24) の 形 に 選 ぼ う.こ れ は全 微 分 の 形 を して お りゲ ー ジ 変 換 で 消 せ る量 で あ る.逆 に い う と真 空 か らゲ ー ジ変 換 で得 られ るゲ ー ジ場 で あ る.こ の よ うな場 を"純

粋 ゲ ー ジ 場"と

い う.純

粋 ゲ ー ジ 場 はFμ ν=0を

満 た す.上

記 の 純 粋 ゲー ジ場

に対 し て

(6.25) が 成 立 す る.静

的 な 解 で は,H=-Lで

→ ∞ で,H→0で

あ り,全

あ る の で,(6.23)を

エ ネ ルギ ー は 有 限 と な り,ソ

参 照 す れ ば,r リ トン 解 が 存 在 し う

る こ とが わ か る.   こ の 問 題 をz方

向 に 一 様 性 の あ る3次

す る と磁 束 が 存 在 し う る.な

元 問 題 と し て 見 直 し て み よ う.そ

ぜ な ら,r=0を

囲 む 十 分 大 き な 円(r=R)の

う 中

の全 磁 束 を計 算 す る と

(6.26) す な わ ち,r〓0の

近傍 で

(6.27) こ の 場 合,Aμ は,r→

はr=0を

含 む 近 傍 で 純 粋 ゲ ー ジ 場 で は あ り得 な い.式(6.24)

∞ で 成 り 立 つ 式 で あ り,こ

続 の 条 件 を 満 た さ な い.ま れ ば な ら な い.し r〓0でO(r2),r→

の ま ま で はr=0が

た(6.25)か

た が っ て,実 ∞ で1に

ら,r→0で

量 子 化 さ れ る こ と が わ か る.3次

真 空 で な い か ら,ソ

か かって

リ トンが 有 限 な エ

の ソ リ ト ン の 磁 束 は,(6.26)に

よ り

元 空 間 で 考 え て 磁 束 の う ず 巻 き が 直 線 上 にz

位 長 さ あ た り有 限 な エ ネ ル ギ ー を も っ て い て,場

方 向 に 一 様 で あ る とす れ ば,上

記 の 解 は2次

カ ラ ー 場 の 存 在 を 別 に す れ ば,こ

称 の 破 れ た ス カ ラ ー 場 を 表 し,φ の 波 動 関 数 に 対 応 す る.第2種

はz

元 問 題 に そ の ま ま 適 用 で き る.ス

れ はⅡ-§2.2で

効 果 に お け る ソ レ ノ イ ド磁 場 と 同 じ で あ る.ポ

フ(Abrikosov)の

ま た成 立 し な け

な る よ う な 連 続 有 限 の 関 数 がAθ(r)に

ネ ル ギ ー 密 度 を も つ 領 域 が 存 在 す る.こ

果 が 完 全 に は 働 か ず,磁

φ →0も

際 に 実 現 さ れ る 物 理 条 件 に 合 わ せ る た め に は,

い る と 考 え な け れ ば な ら な い.φ=0は

方 向 に 伸 び て い て も,単

特 異 点 とな る の で 連

議 論 し た ア ハ ロ ノ フ-ボ ー ム テ ン シ ャ ルV(φ)は

自発 的 に 対

は 物 理 的 に は 超 伝 導 に お け る凝 縮 ク ー パ ー 対

の 超 伝 導 体 で は,磁

束 が 強 い と きマ イ ス ナ ー 効

束 が 超 伝 導 体 を 貫 く現 象 が 知 ら れ て い て,ア

磁 束 線 と 呼 ば れ る.磁

ブ リコ ソ

束 が 実 際 に 量 子 化 され て い る こ と も

実 証 され て い る.   上 記 の ラ グ ラ ン ジア ンか ら導 か れ る運 動 方 程 式 の 正 確 な解 析 解 は発 見 さ れ て い な い が,

(6.28) と い う 条 件 を 満 た し,か

つX(r)≒υ

の と き の 近 似 解 は 知 ら れ て い る4).

(6.29a) (6.29b) (6.29c) K0, K1は

変 形 ベ ッ セ ル 関 数 で あ る.図6.5にBと

導 体 に 侵 入 す る 深 さ δ は,δ

φ の 形 を 描 く.磁

∼1/eυ で 与 え ら れ る.

(a) 図6.5 

  6.1.3 

(b)

2次 元 超 伝 導 体 内 の 磁 束 ソ リ トンBと ス カ ラー 場 φ(ク ー パ ー 対 凝 縮 体)の 空 間 的 分 布.侵 入 の 深 さ δ∼1/evで あ る.

巻 つ き 数(winding

number)

  上 で 議 論 し た 真 空 は,φ=υexp(-iα)の 一 致 させ られ る よ うに 見 え る .そ か.こ

束が超伝

の 理 由 は,キ

形 を し て お り,連

続 変換 で互 い に

れ な らば ソ リ トン は な ぜ 安 定 な の で あ ろ う

ン ク が 安 定 で あ っ た 理 由 と ま っ た く同 じ で あ り,真

空配位

の 違 い が や は り トポ ロ ジ ー に 基 づ くの で あ る.   a.  U(1)   上 の 例 で は,真

空 に お け る 場 φ の 条 件(6.20)は,U(1)群

の表 現 となって

お り,真 空 を表 す 時 空 か ら群 の 表 現 空 間 へ の 射 影 を表 す 式 で あ る.真 空 条件 を 課 す 時 空 の 領 域 は,2次

元 空 間 の 球(半 径r→

∞)の 境 界,す

な わ ち 円(S1)

で あ る.時 空 変 数 と して角 変 数 θ を使 え ば,φ の 連 続 条 件 か ら,θ=0と 2π が 同 一 点 で な け れ ば な ら な い.表 現 群 の 空 間 も ま た 円(S1)を

θ=

構 成す るの

で,こ の 射 影 を

の よ う に 書 く.群

の 変 数 α(θ)は 例 え ば α(θ)=nθ+β(θ)と

の 連 続 関 数 で あ り β(2π)=β(0)を 量 で あ る が,nの き な い.こ

満 た す の で,適

表 さ れ る .β

は θ

当な連 続変換 で消 去 で き る

異 な る α同 士 は θ の 連 続 変 化 で 互 い に一 致 させ る こ とは で

の 様 子 は 模 式 的 に 図6.6の

よ う に 表 す こ と が で き る.

巻 つ き数n 図6.6 

S1(時

空)→S1(U(1))射

  す な わ ち,群 類 され,そ

影 の ホ モ ト ピー ク ラ ス分 け.巻

の 射 影 がnに

つ き数nに

よ っ て 別 々 の グ ル ー プ(homotopy

よ り指 定 さ れ る.

class)に 分

れ ぞ れ の グ ル ー プ の 中 で は θ の 連 続 関 数 とな っ て い るが,nが

異

な る グル ー プ へ は θ の連 続 変 換 で は 移 れ な い.こ の と き,真 空 条 件 を満 た し か つ 連 続 変 換 で は 互 い に一 致 させ る こ との で き な い整 数nで

区 別 さ れ る複 数

の φ,す な わ ち 縮 退 真 空 が 存 在 す る.こ れ を数 学 用 語 で

(6.30) と書 く(付 録A参 い い,群

照).nは

巻 つ き数,数

学 用 語 で は ポ ン ト リャー ギ ン指 数 と

の表 現 要 素 で一 般 的 に 書 く と

(6.31) と 表 さ れ る.UdU-1は の 体 積 で あ る.こ

群 の 変 数 を 取 り 出 す 操 作 で あ り,VUは こ で,時

空 で のS1を

た 直 線 と し 無 限 に 長 く伸 ば し て も,両 な せ ば,す

な わ ち,α

をxの

円 で な く,円 端(x=-∞

変 数 と し て,Uをxで

を1カ

群 の表 現 空間

所 で切 って 伸 ば し

とx=+∞)を

同 一 点 と見

書 き 直 し,U(-∞)=

U(+∞)を

要 求 す れ ば,ト

に あ るU∂xU-1は,群

ポ ロ ジ ー と し て は 同 等 で あ る.(6.31)の

変 数 α のxへ

最 後 の式

の 変 換 の ジ ャ コ ビ ア ン に ほ か な ら な い.

こ の よ うな例 と して

(6.32) を あ げ て お く.λ は 任 意 の 定 数 で あ る.こ n=1を

与 え,U=υ(x)mを

のU=υx)を(6.31)に

入 れ れ ば,n=mを

入 れ れば

与 え る こ と は 容 易 に 示 せ る.

  b.  SU(2)   後 の た め に,こ   SU(2)変

こ でSU(2)群

換 は,一

の 巻 付 き 数 を 導 入 し て お く.

般 に

(6.33) と 表 さ れ る.a2+b2=1で し,3個

あ る か ら,こ

の 角 度 で 表 す こ と が で き る.ト

S3(SU(2))の

射 影 は や は り,巻

れ は,4次

元 空 間 の 超 球 表 面S3を

ポ ロ ジ ー の 議 論 か ら,S3(時

表

空)→

つ き数

(6.34) に よ る ホ モ ト ピ ー ク ラ ス に 分 け ら れ る こ と が 知 ら れ て い る.nμ に 埋 め 込 ま れ た3次   U(1)の

元 超 球 面S3に

の 角 の か わ り にr=(x1,x2,x3)を

元 全 空 間 と 見 立 て て も よ い.た

遠 点 は 同 一 点 と 見 な さ な け れ ば な ら な い.こ (6.32)を

元 空間

お け る 外 向 き 法 線 ベ ク トル で あ る.

と き と 同 じ議 論 に よ っ て,3個

て,S3を3次

は4次

だ し,こ

使 っ

の ときはすべ て の無 限

の と き のUの

表 式 の 例 と し て,

一 般 化 した

(6.35) を あ げ る こ と が で き る.こ

の と き,U=υmは

巻 つ き数mを

与 え る変 換 で あ

る.

  6.1.4 

ソ リ ト ン の 存 在 す る時 空

  デ リ ッ クの 定 理5) 

静 的 ソ リ トン の 存 在 条 件 は,1,2次

い て はす で に 扱 っ た が,D≧2次

元 空間 の場合 につ

元 を含 め て も簡 単 な議論 で次 の 場 合 に 限 られ

る こ とが わ か る.  1次 元: 

ス カ ラー 場 の み 

(キ ン ク や サ イ ン-ゴ ー ドン 方 程 式)

 2次 元: 

ス カ ラ ー 場+ゲ ー ジ場  

 3次 元: 

ス カ ラー 場+ゲ ー ジ場

 4次 元:  純 粋 ゲー ジ場 の み  証 明

  D次

(超 伝 導 体 の磁 束 線)  (磁 気 単 極 子)  (イ ン ス タ ン トン)

元 空 間 の 静 的 解 に 限 る.ヤ

る ゲ ー ジ(temporal

gauge)で

考 え る.こ

ン-ミ ル ズ ゲ ー ジ 場 はAa0=0と

す

の 場 合 ハ ミル トニ ア ン は ラ グ ラ ン ジ

ア ン の 符 号 を 変 え た も の で あ る.

(6.36a) (6.36b) 第1項

は ス カ ラー 場 の 運 動 エ ネ ル ギー(た だ し空 間 の 共 変 微 分 を含 む),第2

項 は ゲ ー ジ場 の 運 動 エ ネ ル ギー,第3項

は ス カ ラー 場 の ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル

ギ ー で あ り,適 当 に定 数 を選 べ ば 各 項 はす べ て正 値 を とる.す な わ ち

(6.37) φ,Aは

運 動 方 程 式 の 解,す

な わ ち ハ ミ ル ト ン の 原 理 に よ り φ やAの

し て,ラ

グ ラ ン ジ ア ン が 極 値 を と る と こ ろ と す る.こ

Ai(x)→

λAi(λx)と

→xと

変 換 し て 微 分 を す ま せ た 後,エ

変 分 に対

の と き φ(x)→

φ(λx),

ネ ル ギ ー 積 分 の 変 数 を λx

置 き換 え る と

(6.38) を 得 る.エ

ネ ル ギ ー は λ=1で

極 小 の は ず で あ る か ら,Hを

λ で 微 分 し λ=1

とお け ば

(6.39) (6.37)の

条 件 を 入 れ る と,ゲ

ー ジ 場 の な い と き(KA=0)は,D=1の

カ ラ ー 場 が な い と き(Ks=V=0)は,D=4が D=2,3の る. 

み,ス

唯 一 の 解 で あ る こ と が わ か る.

と きは ス カ ラー 場 と ゲー ジ場 の 共 存 す る解 が あ りえ る こ と も わ か (証 明 終 わ り)

  トポ ロ ジ ー の 議 論 は 非 常 に一 般 的 で あ り,ラ グ ラ ン ジア ン の 構 造 を調 べ て, ソ リ トン存 在 の 必 要 条 件 を満 たす か 否 か の検 定 に 非 常 に 有 用 な道 具 で あ る.

  6.1.5 

イ ンス タ ン トン

  a.  SU(2)ゲ

ー ジ 場 に お け る縮 退 真 空

  イ ン ス タ ン トン とは 上 の議 論 で示 した4次 元 ユ ー ク リッ ド空 間 で の 純 粋 ゲ ー ジ場 ソ リ トン に付 け られ た名 前 で あ る.し か し,イ ンス タ ン トン の 議 論 を始 め る前 に,SU(2)純

粋 ヤ ン-ミ ル ズ場 が 存 在 す る と きの3次

元 空 間 で の縮 退 真 空

の存 在 を説 明 して お く必 要 が あ る.静 的 な3次 元 空 間 で の 真 空 配位 を考 慮 す る に は,時 間 成 分A0が0で

あ る よ うな ゲ ー ジ(temporal

gauge)を

採用 す るの

が 便 利 で あ る.こ れ を実 現 す るた め の ゲ ー ジ変 換Uは

(6.40) を 解 い て 得 ら れ る が,こ

の 条 件 を 課 し て も,∂0Ω=0で

な い ゲ ー ジ 変 換 の 自 由 度 Ω が ま だ 残 っ て い る.真 ルGμν=0と

な る 配 位 と す れ ば,r→

∞ で,真

あ る よ う な時 間 に よ ら

空 を,r→

∞ で場 の テ ン ソ

空 を ゲ ー ジ 変 換 し て得 られ る

純粋 ゲー ジポテン シャル

(6.41) も又 時 間 に よ らな い.こ

こ で 空 間 の 無 限遠 方 で ゲ ー ジ場 が 消 滅 す る とい う条件

(6.42) を 課 す と,す 空 間 は,ト

べ て の 無 限 遠 点 を 同 一 点 と 見 な す こ と が で き る か ら,こ

ポ ロ ジ ー 的 に はS3と

の 射 影 群 と 見 な し た と き,巻 に 分 類 で き る.数

同 等 とな る.(6.41)をS3(時

つ き数nに

学 用 語 で 書 け ば(付

の3次 元

空)→S3(SU(2))

よ って 区 別 で き る ホ モ トピー ク ラ ス

録A参

照)

(6.43) こ の と き,Ω

はnで

こ れ に 対 応 し て,ゲ

指 定 さ れ る Ωnの 集 合 で あ る.す ー ジ ポ テ ン シ ャ ル も ま たnで

な わ ち,Ω(r)={Ωn(r)}.

指 定 さ れ る.こ

の ときの純

粋 ゲ ー ジ 場Anは,

(6.44a) で 与 え ら れ る.こ

の よ う な 変 換 群 でn=1を

たυ を あ げ る こ とが で き る*1).こ

*1)

与 え る例 と し て,(6.35)に

の と き,Ωn=υnで

 も よ く使 わ れ る.

あ る.ゲ

導入 し

ー ジ変 換 に よ っ

てAnをAn+1に

変 え る こ と は 可 能 で あ り,こ

容 易 に 察 しが つ く.実

の ゲ ー ジ 変 換 がυ で あ る こ と は

際 に計 算 して み る と

(6.44b) で あ る の で,υ は真 空 の巻 つ き数nを1だ

け 変 え る 演 算 子 で あ る.す な わ ち

(6.45) 以 上 の 議 論 に よ っ て,SU(2)ヤ

ン-ミ ル ズ ゲ ー ジ群 が 存 在 す る と き は,巻

つ

き 数nに よ っ て 区 別 で き る縮 退 真 空 が3次 元 空 間 に 存 在 す る こ と が わ か っ た.   b.  4次 元 空 間 で の ソ リ トン の 存 在   デ リ ッ ク の 定 理 は,物

質 場 の 存 在 し な い 純 粋 ヤ ン-ミ ル ズ 場 に お い て は,4

次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お い て ソ リ ト ン が 存 在 し う る こ と,4次 ド空 間 以 外 に は 静 的 ソ リ ト ン は 存 在 し な い こ と を 示 し て い る.ま ル ズ ゲ ー ジ 群 に お け る ソ リ ト ン の 存 在 条 件 は,SU(2)の と が 証 明 さ れ て い る.つ 部 分 群 と し て 含 むSU(2)群 存 し て い れ ば,3次

ま り,任

ン-ミ

議 論 に集約 され るこ

お,ヤ

ン-ミ ル ズ 場 に 物 質 場 が 共

元 空 間 で も ソ リ ト ン解 は 存 在 し う る.ト

コ フ の モ ノ ポ ー ル 解2,3)は そ の 例 で あ る が,モ

・フ ー フ ト-ポ リヤ

ノ ポー ル に つ い て は 改 め て 次 章

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お け る ソ リ ト ン は,

時 間 的 に も局 在 し て い る こ と を 意 味 す る か ら,ト ン ト ン と い う 名 を 与 え ら れ た .ポ

た,ヤ

意 の ヤ ン-ミ ル ズ 場 に お け る ソ リ ト ン 解 は,

の 数 だ け あ る.な

で 詳 細 に 議 論 す る こ と に す る.4次

元 ユ ー ク リッ

・フ ー フ トに よ っ て イ ン ス タ

リヤ コ フ は 疑 似 粒 子(pseudo-particle)と

名

づ け て い る.   ユ ー ク リ ッ ド4次

元 空 間 に ヤ ン-ミ ル ズ ゲ ー ジ 場 が 存 在 す れ ば,自

発 的 に対

称 性 の 破 れ た 場 が な く と も イ ン ス タ ン トン が 存 在 し う る こ と は 注 目 に 値 す る. こ の こ と が,QCD議 い る の で あ る.ユ

論 に お い て イ ン ス タ ン トン を避 け て 通 れ な い対 象 と して ー ク リ ッ ド4次

元 空 間 の ソ リ トン は,ミ

は 虚 数 時 間 で の ソ リ ト ン を 意 味 す る.こ こ と と し,こ

ン コ フス キー 空 間 で

れ に つ いて の物 理 的解 釈 は 後 で述 べ る

こ で は ま ず 数 学 的 な 定 式 化 を 行 お う.

  ユ ー ク リ ッ ド空 間 の 場 の 理 論 は,時 さ れ る 以 外 は,す

空 変 数 がxμ=(x1,x2,x3,x4=ix0)で

表

べ て ミ ン コ フ ス キ ー 空 間 の 表 式 と 同 じ よ う に し て 表 さ れ る.

た と え ば,作 -iA4の

用SEは,ミ

ン コ フ ス キ ー 空 間 の 作 用Sか

置 き換 え に よ り ,か

つx4を

ら,x0→-ix4,A0→

実 数 の よ う に 扱 っ て 得 ら れ る.

(6.46a) (6.46b) (6.46c) taは 群 の 生 成 子 表 現 行 列 で あ る.た -1)で

あ るので

,反

だ し,計

量 はgμ ν=gμν=(-1,-1,-1,

変 テ ン ソ ル と 共 変 テ ン ソ ル は,形

が 実 際 の 区 別 は な い.4次

式 的 に は 区別 して 書 く

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 の 長 さ を

(6.47) と し て,s→

∞ で ゲ ー ジ場 が

(6.48a) で あ れ ば,

(6.48b) で あ り,ユ ー ク リ ッ ド空 間 の 作 用 は有 限 とな る の で,ソ

リ トン存 在 の境 界 条 件

を 満 たす.   こ こ で,次 の 量 を定 義 す る.

(6.49a) (6.49b) こ の被 積 分 関数 は,全 微 分 の 形 に 書 き直 す こ とが で き る.

(6.50a) (6.50b) し た が っ て,ν

は

(6.51) と 書 き 直 せ る.ゲ (6.50b)に 数nに

ー ジ 場 が(6.48)の

お け る 第1項

一 致 す る*2).こ

境 界 条 件 を 満 た せ ば,s→

は 積 分 に 寄 与 せ ず,ν

は(6.34)に

こ で の 巻 つ き 数 ν は,4次

元 ユ

∞ に お い て,

与 え られ た 巻 つ き ーク リ ッ ド空 間 で の 超

球 の 表 面S3か

らS3(SU(2))へ

の射 影 の ホ モ トピー ク ラ ス を 表 し,前 節 で 与 え

た3次 元 空 間 か ら の 射 影 に よ る巻 つ き数n(S3(3次

元 空 間)→S3(SU(2)))と

は別 物 で あ る こ と を注 意 して お く.   上 記 の 境 界 条 件 を満 た す ソ リ トン解(イ

ン ス タ ン トン)は 見 つ け られ て お

り,一 例 が 次 式 で与 え られ る.ま ず,ゲ ー ジ変 換Uを

次 式 で 定 義 す る.

(6.52a) こ こ に,Ω

μνは 反 対 称 テ ン ソ ル で,

(6.52b) で 与 え ら れ る.こ

の と き,

(6.52c) (6.52d) は イ ン ス タ ン ト ン と し て の 条 件 を 満 た す.た は 任 意 の 定 数 で,そ

だ し,yμ=xμ-aμ

で あ る.aμ,λ

れ ぞ れ イ ン ス タ ン トン の 存 在 場 所 と大 き さ を 表 す.こ

ン ス タ ン ト ン 解 が 境 界 条 件(6.48)を

満 た し,次

の 性 質 を も つ こ と は,実

の イ 際 に

計 算 を し て み れ ば 証 明 で き る. ○ 自 己 共 役 で あ る.つ

ま り

(6.53) ○Gμ νは ヤ ン-ミ ル ズ 場 の 運 動 方 程 式 を満 た す.   証 明 に は,DμGμν い)こ

が 恒 等 的 に0で

あ る(ヤ

ン-ミ ル ズ 場 の 源 の な い 式 に 等 し

と を 使 う.

○ 巻 つ き 数 ν は1で ○ ν=1の

あ る.

と きの 作 用 は

(6.54) ○ 巻 つ

き 数-1の

反 イ ン ス タ ン

*2)  ア ー ベ ル ゲ ー ジ 場 に お い て は お く.

,Aν

ト ン は,U→U†,Ω

とAρ

μν→

は 交 換 す る の で,ν=0に

Ω μν(Ω μν=Ω μν,μ,

な る こ とに 注 意 して

  ν=1∼3,Ω4ν=-Ω4ν)と ○ ν=mの

し て 得 ら れ る.

イ ン ス タ ン ト ン は,U→Um=(U)mと

す る こ と に よ り 得 ら れ る.

  証 明:

(6.55a) と極 座 標 を使 って 書 き直せ ば,

(6.55b) と 書 き 直 せ る か ら,U→(U)mは,ω 転 す る よ う に 動 け ば,任

→mω

意 の 回 転 軸nに

に 等 し く,xμ

がS3上

つ い て 巻 つ き 数 はmと

を1回

な る.

  c.  イ ン ス タ ン トン の 物 理 的 解 釈   さ て,イ て,図6.7の 式(6.49a)は Aμ(A4=0)を に 必 ずA4を

図6.7 

ン ス タ ン ト ン の 物 理 的 解 釈 を 行 う た め に,s→ よ う なx4軸

を 中 心 と す る 円 筒 形 の 境 界 面(Sc)を

ゲ ー ジ 不 変 で あ る か ら,こ 採 用 す れ ば,円 含 み0と

∞ の 境 界 を変 形 し

な る.円

こ で,A4=0と

考 え る.ν

の表

な る よ うな ゲー ジ

筒 の 側 面 か ら の 寄 与 は 式(6.50)か 筒 の 上 面 お よ び 下 面 は,x4→

らわ か る よ う ± ∞ で の3次

元

イ ン ス タ ン トンの 巻 つ き数 を決 め る境 界 面(4次 元 空 間 内 の3次 元 超 球 面)を 円 筒 形 に 変 形 す る.x4軸 を 中心 とす る円 筒 の 上 面 をx4→ ∞ に,円 筒 の 下 面 をx4→-∞ に対 応 させ る. イ ン ス タ ン トンの トポ ロ ジー 荷 の定 義 さ れ るS3→S3(SU(2))の さ れ る3次 元 空 間D3→S3(SU(3))の の 関係 に あ る.

巻 つ き数=ν

巻 つ き数m(x4=+∞)とn(x4=-∞)と

と,真 空 の 定 義 は,ν=m-n

体 積 で あ りか つ 周 縁 がr→ そ の ま ま適 用 可 能 で,巻   A4=0と

す るUの

得 ら れ て,次

∞ に 対 応 す る の で,先 つ き数m,nを

解 は,(6.40)の

に行 っ た 縮 退 真 空 の議 論 が

も つ 真 空 配 位 と な っ て い る. 式 に(6.52)のA4の

表 式 を代 入 す れ ば

の 式 で 与 え ら れ る2,3).

(6.56a) (6.56b) (6.56c) こ のUは,x4→+∞ はυnに

で 先 に議

論 し た(6.35)のυn+1に

一 致 し,x4→-∞

で

な る こ と が わ か る.

(6.57) ま た,こ

の と き,x4=±

たAn,iに

∞ で,巻

な る こ と も示 せ る.す

つ き数nに

対 応 す るAn,iが,(6.44)で

与 え

な わ ち,

(6.58a) (6.58b) (6.58c) こ の と き,ν

は

(6.59) 一 般 に 巻 つ き数 νの イ ン ス タ ン ト ン が 存 在 し た 場 合 は 空 間 の 真 空 の 巻 つ き数 をm,nと

,x4=±

∞ で の3次

元

して

(6.60) が 成 立 す る.   こ れ か ら,イ +∞

でmに

ン ス タ ン ト ン は,x4=-∞

変 え る働 き を し,そ

ち イ ン ス タ ン トン の 存 在 は,異

で の 真 空 の 巻 つ き 数nを,x4=

の 差 が ν で 与 え ら れ る こ と が わ か る.す

なわ

な る巻 つ き数 を も つ 真 空 へ の 遷 移 を 意 味 す る.

  d.  虚 数 時 間   古 典 力 学 で は,粒

子 の も つ エ ネ ル ギ ーEよ

突 す る と跳 ね 返 さ れ て,障

り高 い ポ テ ン シ ャ ル 障 壁Vに

壁 を 越 え る こ と は で き な い.量

衝

子 力学 で は トン ネ ル

効 果 に よ り,障

壁 を 越 え る確 率 が 存 在 す る.粒

p=[2m(E-V)]1/2を

も ち,場

子 は 進 行 波 に よ り表 さ れ,波

所 に よ る 依 存 性 はexp(ipx)で

と こ ろ で は 波 数 が 虚 数 と な り,p=i[2m(V-E)]1/2と ン シ ャ ル 障 壁 を 越 え る遷 移 振 幅 は,半

数

あ る.V>Eの

な り減 衰 波 を 表 す.ポ

古 典 的 取 扱 い のWKB手

テ

法 に よ る と,

(6.61) 一 方

,E>Vの

と き に,aか

全 エ ネ ル ギ ーEが0に

らbに

い た る 道 筋 の 作 用Sを

評 価 し て み よ う.

な る よ う に 規 格 化 す る と,

(6.62) と な り,こ

れ は,(6.61)のSEと

はE-Vの

符 号 が 変 わ る の み で あ る.一

方,

運動 方程 式は

(6.63) で 与 え ら れ る が,虚

数 時 間x4=itを

こ と と は 同 等 で あ る.し 作 用 と み な せ る.場

導 入 す る こ と と ポ テ ン シ ャ ル を反 転 す る

た が っ て,(6.61)で

定 義 さ れ たSEは,虚

数時 間での

の 理 論 で は ユ ー ク リ ッ ド空 間 で の 作 用 と な る.す

な わ ち,

ユ ー ク リ ッ ド空 間 で の ラ グ ラ ン ジ ア ン の 経 路 積 分

(6.64) が,そ

の 経 路 の 遷 移 振 幅 を与 え る.WKB法

の 結 果 を使 わ ず 虚 数 時 間 の 作 用 を

使 う の は場 の 理 論 で の一 般 化 が 容 易 だ か らで あ る.量 子 場 の 理 論 で は,遷 移 振 幅 を計 算 す るの に経 路 積 分 の 方 法 を使 う こ とが 多 い.経 路 積 分 は可 能 な す べ て の 経 路 に つ い て 積 分 しな け れ ば な ら な い が,古 典 的 な 経 路(作 用 を 最小 に す る 経 路)を 大 き く離 れ た 経 路 の 寄 与 は通 常 小 さ く,半 古典 的 な計 算 で よ い近 似 で あ る.  イ ン ス タ ン トン の 作 用 積 分 は,す

で に(6.54)で

求 め た.

(6.65) した が っ て,巻 つ き数 の 異 な る真 空へ の 遷 移 確 率 は,

(6.66)

の程 度 で あ る.QCDの

場 合 これ は 決 し て小 さ い 数 で は な い.

  イ ン ス タ ン トン は,空

間 的 に も時 間 的 に も局 在 し て い る状 態 を記 述 す るが,

ミン コ フ ス キ ー 空 間 の ソ リ トンで は な い の で,い わ ゆ る粒 子 で は な い.イ

ンス

タ ン トンが 存在 す る と,そ こに は 巻 つ き数 の 異 な る真 空 へ 通 じ る道 が あ り,遷 移 の 起 き る可 能 性 が 生 じる こ とが わ か る.し か し,ポ テ ン シ ャ ル 障 壁 の ため, 遷 移 確 率 は,ν=1の

イ ン ス タ ン トン1個

当 た りexp(-8π2/g2)程

度であると

い う こ とが 結 論 づ け られ る.   しか し,イ ン ス タ ン トンは 通 常 の 粒 子 に似 た 性 質 を もつ 側 面 もあ る.粒 子 と 同 じ くイ ン ス タ ン トン は 多数 存 在 し うる.非 常 に 多数 存 在 して,な

おかつイ ン

ス タ ン トン 間 の 平 均 距 離 が イ ンス タ ン トン の サ イ ズ に比 べ て 大 き い と き,イ ン ス タ ン トン の希 薄 ガ ス とい う こ と にす る.さ

らに 多数 存 在 して 平 均 距 離 が短 く

な り,イ ン ス タ ン トン の サ イ ズ と同 程 度 に な る と相 関 が で て きて 液 体 の よ うに 振 る舞 うで あ ろ う.こ の よ うな イ ン ス タ ン トン媒 体 が 存 在 す る とき の物 質 の状 態(イ ン ス タ ン トン相)は,カ

イ ラル 対 称 性 の 自発 的 破 れ と密 接 に 関 連 す る と

議 論 され て い る6).

  6.1.6    さ て,イ

θ

真

空

ン ス タ ン トン の 存 在 に よ り,巻

あ り う る こ と が わ か っ た.こ 状 態 で あ る こ と を 示 す.先 を1だ

の こ と は,真

つ き数nの 空 がnの

異 な る真 空 間 の 遷 移 が 異 な る真 空 の 重 ね合 わせ

の 議 論 で,Ω=υ(6.35)は,真

け 変 え る こ と を 見 た((6.45)参

空 に 演 算 す る と,n

照).

(6.67) す な わ ち真 空 は 一 般 に は ゲ ー ジ不 変 で な い.た だ し,ゲ ー ジ不 変 な真 空 は 次 の よ うに して容 易 に つ くれ る.こ れ を θ真 空 とい う.

(6.68) (6.69) 任 意 の θ の 値 に対 し,θ が 異 な れ ば 違 う真 空 を与 え る.つ 空 は ま っ た く別 の 世 界 を構 成 し交 わ る こ とが な い.こ

ま り θの 異 な る真

れ を見 る ため に,ゲ ー ジ

不 変 な 場 の 演 算 子 の伝 播 関 数 の 期 待 値 を計 算 して み る.

(6.70a) Jiは ゲ ー ジ 不 変 で あ る か ら,  ず,こ

の こ と は,上

が 成 立せ ね ば な ら

式 右 辺 がν=m-nに

の み 依 存 す る こ と を 示 す.し

たが っ

て,

(6.70b) す な わ ち,ゲ ー ジ不 変 な 摂 動 で は θは 変 え られ な い こ と を意 味 す る.θ 真 空 は 外 の 世 界 とは 相 互 作 用 し な い の で,θ を決 め る手 段 は な い.θ 真 空 が 存 在 す る場合 の一 般 的 な遷 移 振 幅 は

(6.71) で あ る の で 異 な っ た巻 つ き数 を もつ 真 空 間 の 遷 移 の和 と な る.し か も,各 遷 移 振 幅 に はexp(iν θ)と い う位 相 因子 が か か る こ とが わ か る.こ の 効 果 は,ラ

グ

ラ ン ジ ア ン に 次 のLθ を付 加 す る こ とに よ り 自動 的 に取 り入 れ ら れ る こ とが, 経 路 積 分 の 方 法 を使 え ば 容 易 に証 明 で き る.

(6.72) す な わ ち,θ 真 空 な る複 雑 な 内容 の真 空 が 存在 し,θ な る余 分 の パ ラ メ ター が 理 論 の 中 に 入 っ て きた.   θ真 空 と は,上 記 の(6.68)で

与 え られ る真 空 で あ る が,θ の 値 如 何 に か か

わ らず一般 に 存 在 し う る もの で あ る.Lθ

は θ〓0の と き に,θ=0の

遷 移振幅

を θ真 空 間 の 振 幅 に転 換 す る ため の付 加 項 で あ る.

6.2  強 い 相 互 作 用 に お け るCPの

  6.2.1    QCDに

異 は,本

例 え ば,uク U(2)Rグ

*3)  m

常

破れ

項

来 の カ ラ ーSU(3)対 ォ ー ク とdク

称 の ほ か に さ ま ざ ま の 対 称 性 が 内 在 す る.

ォ ー ク の 質 量 が0と

ロ ー バ ル 対 称 が 成 立 す る*3).こ

見 な せ る 極 限 で は,U(2)L×

の ベ ク トル 部 分U(2)R+L=U(1)R+L×

sを 無 視 す るSU(3)flavor対 称 性 が よ い 近 似 で あ る と き はU(3)×U(3)対 こ で は,U(2)×U(2)に 話 を 限 る.

称 に な る.こ

SU(2)R+Lに

対 応 す る保 存 量 は,バ

リオ ン数 と強 い 力 の ア イ ソ ス ピ ン で あ り,

自 然 界 で は か な りの 精 度 で 実 現 し て い る.し U(1)R-L×SU(2)R-Lは,mu, md≠0な

か し,軸 性 ベ ク トル 部 分 の

る事 実 に よ り破 れ て い る.

  一 般 的 に い って,対 称 性 の破 れ 方 に は 次 の よ う な種 類 が あ る.   (1)  対 称 性 を あ ら わ に 破 る.対 称 性 を破 る項(し ば しば 摂 動)を ジ ア ン に付 加 す る.例 え ば,QCDラ り,uク

ォー ク とdク

ラグ ラン

グ ラ ン ジア ン に 電 磁 相 互 作 用 を付 加 し た

ォー クの 質 量 差 を導 入 す る こ と に よ り,ア イ ソ ス ピ ン

対 称 が破 れ る の は こ の例 で あ る.   (2)  対 称 性 が 隠 さ れ る,あ

る い は 自発 的 に 破 れ る.ラ グ ラ ン ジ ア ンは 対 称

性 を もつ に もか か わ らず基 底 状 態(真 空)が 対 称 性 を破 り,実 現 さ れ る物 理 現 象 に 対 称 性 が 見 え な い.こ れ に は 電 弱 相 互 作 用 の よ うに,ス

カ ラー 粒 子 を導 入

して 真 空 期 待 値 を 自発 的 に もた せ る こ とに よ り対 称 性 を破 る場 合 と,相 互 作 用 の 結 果 力 学 現 象 と して 対 称 性 が 破 れ る場 合 が あ る.QCDに

お い て は,ク ォー

ク対 が 凝 縮 して 実 効 的 に ヒ ッ グ ス粒 子 を形 成 し,SU(2)R-Lの

カ イラル対称 を

破 る.   (3)  異 常 項 に よ り破 れ る.ラ

グ ラ ン ジア ン が 対 称 性 を も ち,古 典 的 な考 察

で は 現 れ な い に もか か わ らず 量 子 効 果 を導 入 す る と対 称 性 が 破 れ る例 で あ る. QCDに

現 れ るU(1)R-L(軸

性 と い う意 味 で 以 下UA(1)と

記 す)対 称 性 の 破 れ

は こ の例 で,以 下 の議 論 の 対 象 で あ る.   下 記 の カ イ ラ ル変 換

(6.73) を 考 え る.カ

イ ラ ル 変 換 と は,γ5qR=qR,γ5qL=-qLを

位 相 変 換 が,右

考 慮 す る と,通

常 の

巻 き と左 巻 き粒 子 の 位 相 を 同 方 向 に 回 転 す る の に 反 し,逆

方向

に 回 転 す る 演 算 で あ る.微

小 カ イ ラ ル 変 換,δq=-iδ

αγ5qを 行 う と き の ラ グ

ラ ン ジ ア ン の 変 化 量 は,

(6.74a) で 与 え られ る.第1項

は オ イ ラ ー の 運 動 方 程 式 で0に

な り,第2項

は

(6.74b) を 与 え る.質

量 項(Lmass∼mqq)が

存 在 し な い と き は,QCDラ

グ ラ ン ジア ン

は こ の 変 換 で 不 変 で あ る の で(後

が 存 在 し,軸

性 電 荷(axial

述 §6.2.2),保

存 す る ネ ー タ ー カ レ ン トJ5μ

charge)

(6.75) と い う 保 存 量 が 定 義 で き る.場 算 子 で あ る.ク

の 量 子 論 で はQ5は

ォ ー ク質 量 が あ る と,す

り立 た な く な る の で,以

軸 性 変 換(6.73)の

生成 演

ぐ後 に 述 べ る よ う に カ イ ラ ル 対 称 は 成

下 の 議 論 は 特 に 必 要 な い 限 り は,ク

ォ ー ク の 質 量 を0

と し て 扱 う.   さ て,以 と,三

上 は ラ グ ラ ン ジ ア ン レ ベ ル で の 話 で あ る.量

角 図(第5章,図5.2参

照)か

ら の 寄 与 が0に

子 補 正 項 を考 慮 す る

な ら な い こ と が 示 せ る.

こ れ は 最 初 に π0→ γγ遷 移 の 研 究 過 程 に お い て 発 見 さ れ,ア -ジ ャ ッ キ ュ ー(Adler-Bell-Jackiew)の ラ ル 異 常 項 は 軸 性 カ レ ン トに,二

ド ラ ー-ベ ル

カ イ ラ ル 異 常 項 と 呼 ば れ た7) .カ

イ

つ の 極 性 ベ ク トル カ レ ン トも し く は 二 つ の 軸

性 カ レ ン トが 結 合 す る と き に 一 般 的 に 現 れ る.グ

ル ー オ ン 場 が 結 合 す る と きの

寄 与 を計 算 す る と

(6.76a) Nf:フ

ェル ミオ ンの数

(6.76b) とな る.こ の 式 の 右 辺 は,三 角 異 常 項 図 を実 現 で きるす べ て の フ ェル ミオ ン の 寄 与 の 和 で あ り,ル ー プ を構 成 す る フ ェ ル ミオ ンが 質 量 を もっ て いて も変 わ ら な い.(6.76a)式

は,θ 真 空 で 導 入 し た ラ グ ラ ン ジ ア ンLθ(6.72)を,最

初

か ら実 効 的 ラ グ ラ ン ジ ア ン と して 入 れ て計 算 して も得 られ る.   異 常 項 が 存 在 す る と,ラ グ ラ ン ジ ア ン か らつ くっ たUA(1)ネ トは,質 量 項 が 存 在 しな い場 合 で も保 存 しな い.こ

ー ター カ レ ン

の結 果 と して,繰

り込 み 可

能 条 件 と して 必 須 条 件 で あ っ た ワ ー ド-高橋 の 恒 等 式 も ま た 成 立 しな い か ら, 軸 性 カ レ ン トが ゲ ー ジ カ レ ン トの 場 合 は深 刻 な 問 題 とな る.た だ し,ル ー プ に 関 与 す るす べ て の フ ェ ル ミオ ン に つ い て 足 し上 げ れ ば 異 常 項 が消 え る よ うな理 論 構 成 に な っ て い れ ば 問 題 は な く,標 準 理 論 は ま さ に そ の よ うに な っ て い る

(§5.2参

照).一

き な い.実

方,カ

際,π0→

イ ラ ル 対 称 が グ ロー バ ル で あ る な ら ば 深 刻 な 問 題 は起 γγの 崩 壊 率 を 説 明 す る に は,こ

の 項 の 存在 が 必 要 な こ と

が わ か っ て い る1).   さ て,微

小 カ イ ラ ル 変 換,δq=-iδ

化 量 は 式(6.74b),(6.76)に

αγ5qを 行 う と き の ラ グ ラ ン ジ ア ン の 変

よ り,

(6.77) で 与 え られ る.右 辺 の 寄 与 はQCD実

効 ラ グ ラ ン ジア ン,

(6.78a) (6.78b) の 中 のLθ の 係 数 θが,カ

イ ラ ル 変 換q→e-iαγ5qで

θ→ θ+2αNfと 変 わ る

こ と を意 味 す る.

 6.2.2  カ イ ラ ル 変 換 と質 量 項   ク ォー クに 質 量 が あ れ ば,異 常 項 を 入 れ な く と も軸 性 カ レ ン トは 保 存 しな い.運 動 方程 式 か ら

(6.79) とい う関 係 式 が 導 け る.ラ グ ラ ン ジア ンの 質 量 項 は,カ

イ ラル 変 換 に よ っ て

(6.80a) と 変 換 さ れ る.こ

こ に,γ0と

γ5は 反 可 換 で あ る こ と を 使 っ た.な

は 一 般 に 異 な る 軸 性 電 荷 を も つ の で,カ

おqLとqR

イ ラ ル変 換 は

(6.80b) の よ う に,書

き 表 す こ と も で き る.

(6.81) に(6.80b)を

適 用 す れ ば,

(6.82) で あ る の で,二

つ の カ イ ラ ル 変 換(6.80a)と(6.80b)は,α=(αR-αL)/2で

結 び つ い て い る.ま が 可 能 で あ り,互

た,Lθ

と位 相 を もっ た 質 量 項 は カ イ ラ ル 変 換 で相 互 転 換

い に 同 等 な こ と が わ か る.す

なわ ち

(6.83)   標 準 理 論 で は,ク

ォー ク の 質 量 は 対 称 性 が 自発 的 に 破 れ る と き に 生 じ,

クォ ー クの 結 合 定 数 と ヒ ッグ ス の真 空 期 待 値υ の 積 で 表 さ れ る.真 空 期 待 値 は,一 般 に は 実 数 で は な い.小 林-益 川 行 列 を導 く と きの議 論 で わか る よ うに, 対角 化 す るた め に はqLとqRで

別 の 変 換 を施 す の で,一 般 に は 質 量行 列Mは

エ ル ミー トで な く,質 量 値 は複 素 数 で あ る.m=￨m￨eiβ

と書 く と,ク ォー ク質

量 項 は,

(6.84a) と表 され る.物 理 的 な質 量 を表 す た め に は,miを

実 数 にす る 必 要 が あ るが,

これ は お の お の の クォ ー クに カ イ ラル 変 換 を施 す こ とに よ り達 成 で き る.し か し,お の お の の クォー クに カ イ ラ ル 変 換 を施 す た び に,Lθ の θが,θ → θ+βi とな るか ら,す べ て の 質 量 の虚 数 部 を消 去 した 後 の θの 変 化 量 は

(6.84b) とな る.す な わ ち,QCDと

電 弱 相 互 作 用 全 体 の ラ グ ラ ン ジ ア ンに 含 まれ るべ

きLθ の 中 の θは,θ 真 空 の θ を θ と書 き直 せ ば,実 は

(6.85) な の で あ る.   以 上 の 議 論 か ら,θ は,QCDの

多 重 真 空 効 果 と電 弱 相 互 作 用 に 起 因 す る

クォー クの 質 量 位 相 との 二 つ の 寄 与 を含 むこと が わ か る.両 者 は,完 全 に独 立 な 二 つ の要 因 と考 え ら れ,互

い に 相 殺 す る理 由 は な く,一 般 的 に はLθ ≠0と

見 な さ なけ れ ば なら な い.   Lθ の 項 は,電 磁 場 で い え ばE・Bの は保 存 す る.し た が っ てCPも

破 る.C

破 る.こ の 項 は,全 微 分 で あ るか ら通 常 の 議

論 で は 寄 与 しな い はず で あ るが,先 る と この 項 は0で

よ う な 項 で あ り,PとTを

に議 論 した よ うに イ ン ス タ ン トンが 存 在 す

な い.

  この 項 が 存 在 す る と電磁 カ レ ン トJEMμ と結 合 させ た

(6.86a) が,中

性 子nの

電 気 双 極 子dnに

寄 与 す る.計

算 に よ れ ば8),

(6.86b)

と な り,実

験 上 限 値0.9×10-25e・cmを

入 れ れ ば,

(6.87) を 得 る.す

な わ ち,Lθ

の θ を 恣 意 的 に0に

常 に 小 さ い 値 を と る.な CP問

題"で

  6.2.3 

す る理 由 が な く し か も 実 際 に は 非

ぜ θ が か く も 小 さ い 値 を と る か と い う の が,"強

い

あ る.

U(1)問

題

  θ の 値 は 不 定 で あ る に し て も,θ

真 空 が 存 在 す る と懸 案 問 題 が少 な く も一 つ

は 解 決 す る.   QCDに

は,u,

dク

ォ ー ク の 質 量 が0の

×U(2)L対

称 が あ る.現

U(2)R-L対

称 が 自 発 的 に 破 れ,そ

と ηが 発 生 す る.こ

実 に は,ク

の う ち,π

ロ ー バ ル な 香 り のU(2)R

の 結 果 の ゴ ー ル ドス トー ン ボ ソ ン と し て π はSUR-L(2)の

ゴ ー ル ド ス トー ン ボ ソ ン で あ る*4).ク を も 考 慮 す る と,π

極 限 で,グ

ォ ー ク 対 の 凝 縮 と い う力 学 的 要 因 に よ り,

η はUR-L(1)=UA(1)対

称 の

ォー クの 質 量 が 有 限 で あ る とい う効 果

と ηの 間 に は 一 定 の 関 係 が 存 在 し, 

の関係 が

成 立 す る こ と が い え る7).実 際 の 質 量 は こ の 関 係 を 大 き く破 っ て い る の で9),η を ゴ ー ル ドス トー ン ボ ソ ン と は 見 な せ な い と い う の がU(1)問 は,UA(1)カ

レ ン トに は,異

題 で あ る.こ

れ

常 項 が 存 在 す る の で イ ン ス タ ン ト ン効 果 に よ り

(6.88) と な り,保

存 カ レ ン トに は な り え ず,し

ン で は な い と い う解 釈 で 解 決 が つ く.し

た が っ て η は ゴ ー ル ド ス トー ン ボ ソ か し,UA(1)カ

レ ン トを次 式 に よ っ て

再 定 義 す れ ば ど う で あ ろ う か?

(6.89) J5μ は カ イ ラ ル カ レ ン ト,Kμ 定 義 し たJ5μ

は(6.50)で

定 義 さ れ た カ レ ン トで あ り,上

式 で

お よび 対 応 す る カ イ ラル 荷

(6.90) *4)  U(3)

flavor対称 の と き は,π,K,η

に 対 応 す る.

がSUA(3)の,η'がUA(1)の

ゴ ー ル ドス トー ン ボ ソ ン

は保 存 量 で あ るの で,問 題 が 再 燃 す る よ うに 見 え る.新 対 称 操 作 は何 を変 え る の で あ ろ うか.こ

のQ5量

よる

子 数 は保 存 量 で は あ るが ゲー

ジ不 変 量 で は な い(∂ μKμは ゲー ジ不 変 で あ るが,Kμ   実 際,(6.44),(6.50b)を

しい保 存 量Q5に

は ゲー ジ不 変 で は な い).

参照 すれば

(6.91a) (6.91b) で あ る の で,(6.69)と(6.91b)を

使 えば

(6.92) こ れ を(6.69)と

比 較 す れ ば,Q5は

θ真 空 の θ値 を変 え る演 算 子 で あ る こ と

が わ か る.

(6.93) こ の よ うに,Q5は

正 当 な 対 称 演 算 子 と して の 資 格 は もつ もの の,ゲ ー ジ不 変

で な い の で,ゲ ー ジ不 変 な物 理 量 な い しは遷 移 振 幅 に は影 響 を及 ぼ さ な い.し た が って,Q5演

算 に 基 づ く対 称 性 が 破 れ て も物 理 的 な ゴー ル ドス トー ン ボ ソ

ン は生 じな い.す な わ ち,η は ゴー ル ドス トー ン ボ ソ ン で は あ りえ な い10).し たが っ て,U(1)問

題 は 存 在 し な い(解 決 す る).

  U(1)問 題 は,θ 真 空 が 実 在 す る こ と の 有 力 な 実 験 的 証 拠 を与 え る もの で あ る.

6.3 

  6.3.1 

PQ対

  も し,ど 在 し,す

ア クシ オ ンの モ デル

称 性 と標 準 ア ク シ オ ン

れ か の ク ォ ー ク が 質 量 を も た な け れ ば,カ

べ て の θ は 同 等 と な る か ら,θ

θ 問 題 は 存 在 し な い,し

か し,一

を0に

イ ラ ル 変 換 の 自由 度 が 存

す る こ と が で き る.す

番 軽 い と 目 さ れ て い るuク

ソ ン や バ リオ ン に お け る低 エ ネ ル ギ ー 現 象 論 か ら,有

な わ ち,

ォ ー ク で も,メ

限 質 量 を も た な い と具 合

の 悪 い こ と が わ か っ て い る11).

(6.94)

  現 在 強 いCP問

題 を解 決 す る方 法 と し て 最 も有 力 視 さ れ て い る の が,ペ

チ ャ イ-ク ィ ン(Peccei-Quinn)に 対 応 す る保 存 量 をQ5(PQ)と

よ る新 し い 対 称 性(PQ対

称 と呼 ば れ る.

書 くこ とに す る)の 導 入 で あ る1,12).その 処 方 は,

自発 的 対 称 性 が 破 れ る 前 の 電 弱 相 互 作 用 に,す に加 え て,さ

ッ

ら に カ イ ラ ル 対 称 性UA(1)の

で に も って い るUY(1)対

称性

存 在 を要 求 す る の で あ る.カ

ル 対称 性 を もて ば,θ の値 は任 意 に 変 え られ るか ら消 去 で き る.PQ対

イラ

称が弱

い相 互 作 用 の 自発 的破 れ に 伴 っ て破 れ る と,ゴ ー ル ドス トー ン ボ ソ ン と して の ア ク シ オ ン が 発 生 す る13).最 初 に提 案 され たPQ対 (標 準 ア ク シ オ ン)は,実 ク シ オ ン(invisible

称 の処 方 に従 うア ク シ オ ン

験 的 に 否 定 さ れ た の で,現 在 は い わ ゆ る 見 え な い ア

axion)が

可 能 性 と して 残 さ れ て い るが,ア

ク シ オ ン の相

互 作 用 を理 解 す る に は,標 準 ア ク シオ ン を学 習 し,見 え な い ア ク シ オ ン は そ の 変 更 モ デ ル と し て理 解 す るの が 便 利 で あ る.以 下 は 簡 単 の た めuとdの 代 表 的 に考 察 し,他 の フ ェ ル ミオ ンは 適 宜,式

みを

の 中 に 加 え て い く もの とす る.

  標 準 モ デ ル の フ ェ ル ミオ ン と ヒ ッ グ ス の湯 川相 互 作 用

(6.95) を カ イ ラル 不 変 に す る た め に は,u,dの

位相 の変化

(6.96a) (6.96b) を,Φ1,2が

吸 収 で き な け れ ば な ら な い.こ

じ く カ イ ラ ル 荷Q5を

も ち,PQカ

の た め に は,Φ1,2も

ま たu,

dと

同

イ ラ ル変 換 に よ り

(6.97a) (6.97b) と変 換 され な け れ ば な らな い.す

な わ ち,カ

イ ラル 位 相 変 換 の 対 象 を フ ェ ル ミ

オ ン の み な ら ず ヒ ッ グ ス ス カ ラー に まで 広 げ た の がPQ対 デ ル で は,Φ2=Φ1c=iτ2Φ1† で あ る が,PQ対

称 で あ る.標 準 モ

称 性 が 成 立 す る た め に は,独 立

の ヒ ッ グ ス2重 項 を最 低2組

必 要 とす る.さ て,Φi中

に,Q5(PQ)を

ク シオ ン)が 混 じ ら な い よ う に し な け れ ば な ら な

担 う部 分(ア

い.な ぜ な ら対 称 性 が 自発 的 に 破 れ る とYを 第3成

分 に 吸 収 さ れ る か ら で あ る.PQ対

で は,こ

の成 分 は 中性 ヒ ッ グ スAと

の 超 電 荷Yを

担 う部 分

担 う部 分 は 中 性 カ レ ン トZμ の

称 の な い 通 常 の2-ヒ ッ グ ス モ デ ル

な る部 分 で あ り,

(6.98a) (6.98b) と い う 形 を し て い る(§3.4.1,式(3.53)を 期 待 値 で あ る.以 利 で あ る.こ

下 の 議 論 で は,ア

の 場 合Φiが

参 照).こ

こ に,υiは

Φiの 真 空

ク シ オ ン を Φkの 位 相 場 と し て 考 え る と 便

真 空 期 待 値 を もつ と き,他

の 成 分 と は 切 り離 せ て,

(6.99) の 形 に 書 く こ とが で き る.こ

の 場 合(6.97)のPQ変

換 は,

(6.100) と い う 形 を と る.   各 フ ェ ル ミ オ ン に ど の よ う なQ5(PQ)を る.元

論 文 で は,す

はΦ1にuRはΦ2に

割 り当 て るか は モ デ ル の 選 択 で あ

べ て の 左 巻 き フ ェ ル ミオ ンfLは,Q5(PQ)=0を の み 結 合 す る と し た.こ

も ち,dR

の とき

(6.101) と し て 矛 盾 な くお さ ま る.Q5(PQ)荷

を 運ぶUA(1)カ

レ ン トは,容

易 に計算 で

きて

(6.102) この カ レ ン トは カ ラー 異 常 項 を もつ か ら

(6.103) ア ク シ オ ン とLθ

と の 関 連 を 調 べ る に は,ラ

グ ラ ン ジ ア ン の 中 で 形 式 的 にΦk

か ら ア ク シ オ ン を 消 去 す る 変 換 を行 え ば よ い.そ

うす る と フ ェ ル ミ オ ン は,

(6.104) の変 換 を受 け る.こ の こ とに よ っ て質 量 項 に 位 相,

(6.105) が 導 入 さ れ る が,(6.84)の

議 論 に よ っ て,こ

れ はLθ

の θを

(6.106)

とす る こ と と同 等 で あ る.Nは

モ デ ル に よ り異 な る係 数 で あ る.ラ グ ラ ン ジ

ア ンの 中 の

(6.107) は,aに

対 す る ポ テ ン シ ャル を提 供 す る か ら,aの

励 起 は0か

らで は な くポ テ

ン シ ャ ル を最 小 に す る停 留 点 か らの 差 とな る.し た が っ て,

(6.108a) (6.108b) aphysが 物 理 的 に 観 測 さ れ るア ク シオ ン を表 す.以 く.こ の こ とは,カ

ラー 異 常 項 が,ヒ

え,そ の 結 果 水 平 で あ っ た 回転W字

下 は,aphysを

改 め てaと

書

ッ グ ス ポ テ ン シャ ル に 余 分 な 寄 与 を与 形 の ポ テ ン シ ャ ル が 傾 き,ア

ク シ オ ン場

が 新 た に生 じ た ポ テ ン シ ャ ル の 最 低 点 に 向 か っ て 動 くこ と を 意 味 す る.θ ≠0 で あ っ て も,ア ク シ オ ン が 存 在 す れ ば,力 学 的 要 因 で も って 真 空 を最 小 に す る よ うに場 の値 が 再 調 整 さ れ θ=0が 保 証 され る とい う こ とで あ る.   (6.104)を

フ ェル ミオ ン カ レ ン トの部 分 で 見 れ ば,そ

ル ミオ ン との相 互 作 用 を 与 え る.結 局,ア

れ は ア ク シオ ン と フ ェ

ク シ オ ン の 関 与 す る ラ グ ラ ン ジア ン

は,運 動 エ ネ ル ギー 項 と カ ラ ー 異 常 項 結 合 部 分(6.107)と

を も合 わ せ て 書 き

下 ろす と

(6.109) (6.110a) (6.110b) とな る.こ こ に は,す べ て の フ ェ ル ミオ ン の寄 与 を取 り入 れ た.す 1行 の 大 括 弧[…]に 書 き,第2行

な わ ち,第

は こ れ ま で の 議 論 をす べ て の クォ ー ク に拡 張 した 結 果 を

の 大 括 弧[…]に

け 加 え て お い た.Ngは

は 同様 の 議 論 か ら導 け る 電 弱 異 常 項 の 寄 与 を付

世 代 数,Bμν はU(1)ゲ

(FEMμν)とZ(FZμν)の 混合 で表 せ,θWは

ー ジ 場 テ ン ソ ル で,電

ワ イ ンバ ー グ角 で あ る,N,

Eは

磁場 モデ

ル に よ り変 わ る量 で あ る.   ア ク シ オ ン と フ ェル ミオ ン との 結 合 定 数 は,  か ら,基 本 的 に 弱 い相 互 作 用 で あ る.ア して 獲 得 す る の で,(6.109)のaの

で 与 え られ る

ク シ オ ン の質 量 は カ イ ラル 異 常 項 を通

係 数 の 期 待 値 が ア ク シ オ ン の 質 量 を与 え

る.質 量 の計 算 は低 エ ネ ル ギ ー の カ レン ト代 数 ま た は低 エ ネ ル ギー 実 効 ラ グ ラ ン ジア ンの 処 方 で 計 算 す る こ とが で き る.結 果 の み を 記 す と14),

(6.111) とな る.Fπ ≒93MeVは

π の 崩 壊 定 数 で あ る.aは,π

や η と量 子 数 が 同 じ

で あ り混 合 が 可 能 で あ る.粒 子 が ア ク シ オ ン を含 む 相 互 作 用 の遷 移 確 率 も同様 に計 算 可 能 で あ る.  標 準 ア ク シ オ ン の 存 在 は,実 験 室 で の 探 求 や 天体 物 理 の議 論 に よ りほ ぼ 否 定 さ れ て い る.最

も堅 固 な テ ス トは 次 の 実 験 か ら くる. 表6.1 

標 準 ア ク シオ ン を否 定 す る実 験

  現 在 ま で の実 験 結 果 は,標 準 ア ク シ オ ンの 存 在 可 能 性 をほ ぼ 完 全 に 否 定 して い る.ま た 後 に 述 べ る天 体 物 理 学 の 考 察,例 こ れ を裏 づ け て い る.PQ対

えば 赤 色 巨 星 の 冷 却 速 度 の議 論 も

称 の 破 れ の ス ケー ル υPQが電 弱相 互 作 用 の ス ケ ー

ル υで表 され る 限 り,ア ク シオ ン の 存 在 す る余 地 は な い.し た が っ て,も Lθ の 消 去 をPQ対

し,

称 性 に求 め る な らば,υPQを 非 常 に大 き くす る必 要 が あ る.

υPQを十 分 大 き く とれ ば,こ れ ま で の 地 上 の 実 験 で は検 出 は まず 不 可 能 とな る の で,見

え な い ア ク シオ ン(invisible axion)と

い う名 を与 え られ て い る.

  6.3.2 

見 えないアクシオ ン

  見 え な い ア ク シ オ ン に も い ろ い ろ モ デ ル が あ る が,共

通 点 と して次 の性 質 を

共 有 す る ス カ ラ ー 場 σ の 存 在 を 仮 定 す る.   (1)  Q5(PQ)を

担 い,非

  (2)  SU(2)×U(1)に UPQ(1)対   第2の

常 に 大 き な 真 空 期 待 値 υPQを もつ.

関 し て は1重

項 で あ る.す

な わ ち,通

常 の 粒 子 と は,

称 性 を通 じ て の み 相 互 作 用 を す る.

性 質 が 必 要 な の は,通

の を 防 ぐ た め で あ る.通

常 の 相 互 作 用 に 大 き な ス ケ ー ル υPQが 入 り込 む

常 の フ ェ ル ミ オ ン に ど の よ う なQ5(PQ)を

か に よ り さ ら に モ デ ル の 相 違 が 生 じ る.代

割 り当 て る

表 的 な モ デ ル と し て 次 の2種

をあ げ

る.   (a)  通 常 の フ ェ ル ミ オ ン はQ5(PQ)を (多 分 重 い)ク

ォ ー クXが

も た な い が,Q5(PQ)を

存 在 す る(KSVZア

もつ 新 種 の

ク シ オ ン17)).

(6.112a) (6.112b) XRの

み がQ5(PQ)を

もつ とす れ ば 前 と同 じ議論 か ら,異 常 項 を通 じて通 常 の

粒 子 と結 合 す る こ とが い え る.

(6.113) QXEMはXの は,υ

電 荷 で あ り,FEMμ νは 電 磁 場 を 表 す テ ン ソ ル で あ る.相

→ υPQに な っ た 以 外 は 前 と ほ と ん ど 同 じ で あ る.こ

リー レ ベ ル で は,電

互 作 用

の ア ク シオ ンは ト

子 に 結 合 しな い こ とか らハ ドロ ン 的 ア ク シ オ ン と呼 ば れ

る.   (b)  通 常 の フ ェ ル ミ オ ン はQ5(PQ)を 同 様 に2個

の ヒ ッ グ ス 場 を 必 要 と す る.た

直 接 は 結 合 で き ず.ヒ (DFSZア

も つ.し

たが って標準 ア クシオ ン と

だ し,通

常 の フ ェ ル ミオ ン は σ に

ッ グ ス ポ テ ン シ ャ ル を 通 じ て の み σ と 結 合 す る.

ク シ オ ン ま た の 名 はGUTア

  σ は 通 常 の ヒ ッ グ ス と4次

ク シ オ ン18))

の 結 合 を 通 じ て 結 合 す る.

(6.114) υPQ≫ υ の 極 限 で は,3個

の ヒ ッ グ ス 場 は 次 の よ う な 形 を と る.

(6.115a) (6.115b) (6.115c) (6.116) 上 の 結 合 形 は,a→a+α と の 結 合 は,υ

υPQのPQ対

→ υPQ, x→X2,

と 同 じ 形 を し て お り,相 い る.こ

称 操 作 で 不 変 な 形 を して い る.他

1/x→X1の

の粒 子

置 き換 え 以 外 は 標 準 ア ク シ オ ン

互 作 用 の 大 き さ の み が(2υ1υ2/υυPQ)だ け 小 さ く な っ て

の ア ク シ オ ン は レ プ トン と ト リー レベ ル の 相 互 作 用 を もつ.

  最 後 に ア ク シ オ ン の 現 象 を 議 論 す る と き に 必 要 な 質 量 と結 合 定 数 の 値 を 与 え て お く.こ

れ ら は カ レ ン ト代 数 な ど を使 い ト リー 近 似 を 精 密 化 し た 現 象 論 的 ラ

グ ラ ン ジ ア ン で あ る19,20).質 量 に つ い て は,(6.111)よ

り

(6.117a) (6.117b) ア ク シ オ ン と フ ォ トン γ,フ ェ ル ミオ ンfと

の 相 互 作 用 を 次 の 形 に ま と め る.

(6.118a) (6.118b) (6.118c) (6.118d) Nお

よ びEは

カ ラ ー 異 常 項 と 電 磁 気 異 常 項 に 現 れ る 係 数 で あ り,モ

存 す る 量 で あ る.Q5(PQ)jは 荷,Ncjは

カ ラ ー 自 由 度(ク

結 合 に カ ラ ー 異 常 項 係 数Nが *5) 微 分 結 合

,Laff=faf∂ つ い て い る.

フ ェ ル ミ オ ン のPQ荷,Qjはeを ォ ー ク で3,レ

プ トン で1)で

現 れ る の は,ア

デ ル に依

単 位 と した 電 あ る.フ

ォ トン との

ク シ オ ン が π0や η と 混 合 す る か

μaψfγμγ5ψfで 定 義 す る と き の 結 合 定 数 と は,gaf=2mffafで

結び

ら で あ る.現 象 解 析 に 使 用 さ れ る数 値 の 例 を 表6.2に

掲 げ る.こ

れ か ら,

KSVZモ

デ ル は 電 子 と は 直 接 は 結 合 し な い こ と,フ ォ ト ン に 対 す る 結 合 が

DFSZモ

デ ル に 比べ ほ ぼ10倍 表6.2 

DFSZ,

強 い こ とが わ か る. KSVZモ

デ ル にお け る ア ク シ オ ン結 合 定 数19)

無 次 元 の 結 合 定 数 を,gγ=gaγγ(πfA/α),gaj=cjmf/fA(j=e,p,n)に す る.E/Nは

フ ェ ル ミオ ン の もつPQ荷

大 統 一理 論 の値E/N=8/3を β=υ2/υ1,定 数1.92や

よって導 入

や 電 荷 に依 存 す る項 で あ る.DFSZは

採 用 した 値.β

は ヒ ッ グ ス真 空 期 待 値 の 比 で,tan

ハ ドロン との 結 合 値 は カ レ ン ト代 数 計 算 か らで て くる値

で あ る.

6.4  宇 宙 に お け る ア ク シ オ ン

  ア ク シ オ ン は,も な らず,暗

し存 在 す れ ば 宇 宙 の歴 史 に お い て 重 要 な役 割 を果 た す の み

黒物 質 の 有 力 な候 補 で も あ る.小

さな 質 量 を も ちか つ 非 常 に 弱 い相

互 作 用 をす る とい う性 質 をニ ュー ト リ ノ と共 有 す る た め,星 ニ ュー トリ ノが 果 た す 役 割 は,ア

の進化 に おい て

ク シ オ ン に もほ とん ど そ の ま ま適 用 で き る.

しか し,ア ク シオ ンが ボー ス凝 縮 体 とい う特 異 な性 質 を もつ た め,暗 黒 物 質 と して の性 質 は正 反 対 で あ る.ニ ュー トリ ノが 熱 い 暗 黒 物 質(相 対 論 的 速 度 で動 く粒 子)と な るの に 反 し,ア ク シ オ ン は冷 た い 暗 黒 物 質(非 相 対 論 的 運 動 の粒 子)を 構 成 す る.

  6.4.1  星 の 冷 却 剤   星 の進 化 の 過 程 で,ア

ク シ オ ン がつ くられ る とエ ネ ル ギー をそ の ま ま星 の外

へ 逃 が して し ま う ため 有 効 な冷 却 剤 と して 作 用 し,星 の進 化 を早 め 寿 命 を短 く す る.冷 却 効 果 に効 くア ク シ オ ン の 反 応 は,  コ ンプ トン散 乱:γ+e→e+a

 ア ク シ オ ン制 動 放 射:e+Z→e+Z+a  プ リマ コ フ効 果:γ+Z→Z+a な ど で あ る.ア ク シ オ ン 反 応 が 既 知 の 星 の 進 化 過 程 を乱 さ な い とい う条 件 か ら ア ク シ オ ンの 結 合 定 数 も し くは 質 量 に 関 して 制 限が つ く.星 の 進 化 過 程 に 寄 与 す る反 応 を選 択 考 慮 す る こ とに よ り,そ れ ぞれ 電 子,核

子,フ

ォ トン に対 す る

結 合 定 数 に制 限 を与 え る.   ア ク シ オ ン の 結 合 定 数 に対 す る天 体 物 理 学 的 制 限 の 議 論 をい くつ か 紹 介 して お こ う20).太 陽程 度 の 比 較 的 軽 い星 が,水 素 の 燃 え て い る主 系 列 星 か ら,ヘ ウ ム が 燃 え る段 階 に な る と赤 色 巨星 とな る.ヘ

リ

リウム フ ラ ッシ ュ を起 こす と絶

対 輝 度 を急 速 に 下 げ て ヘ ル ツ ス プ ル ン グ-ラ ッセ ル 図 で水 平 分 岐 と呼 ば れ る 時 期 を経 て ふ た た び 巨 星 化 す る.こ の 時 期 は芯 でヘ リウム が 燃 え る過 程 とヘ リウ ム 芯 の外 で 水 素 が 燃 え る過 程 が 微 妙 な バ ラ ン ス を保 ち,表 面 温 度 が 変 化 す る の に 全 光 度 は 不 変(名 前 の 由 来)に 保 た れ る.こ の 時 期 は ニ ュー トリ ノ に よ る冷 却 作 用 も効 果 的 に働 い て お り,ア クシ オ ン の 存 在 は そ れ を乱 す(加 速 す る)の で あ る.中 心 の 温 度 は108k(∼10keV)程 オ ンが 冷 却 作 用 に 寄 与 す る.こ よ り生 産 さ れ る.ヘ

度 で あ る の でma〓10keVの

ア クシ

こ で は ア ク シ オ ン は もっ ぱ らプ リマ コフ効 果 に

リウ ム フ ラ ッ シ ュ が起 き る時 期,星

が水 平 分 岐 に と ど ま っ

て い る期 間(す なわ ち そ こ に あ る星 の 数)や 光 度 な どが ア ク シオ ン の 存 在 と結 合 の大 き さ に 応 じて 敏 感 に変 化 す る.特 に球 状 星 団 で は 多 くの 星 が さ ま ざ ま な 進 化 状 態 に分 散 分 布 を して お り,星 の 進 化 率 との 比 較 か らア ク シオ ン とフ ォ ト ン の結 合 定 数 に対 す る制 限 が 得 られ る.

(6.119a) (6.119b) 同 様 な 制 限 が,超 新 星SN

1987 Aで 観 測 され た ニ ュー ト リ ノバ ー ス トが 数 秒

間 あ っ た とい う事 実 か ら得 られ る21).た だ し今 度 は 芯 に あ る 中性 子 星 の ア ク シ オ ン閉 じ込 めや 開 放 過 程 を問 題 にす るの で,制 合 定 数 に か け られ る.ア

限 は ア ク シオ ン とハ ドロ ンの 結

ク シ オ ンが あ れ ば ニ ュ ー ト リ ノ の演 じる役 割 を 増 幅

し,バ ー ス ト時 間 を縮 め て し ま う.こ れ は 結 合 定 数 が小 さい と起 き る現 象 で あ る の で 結 合 定 数 に 対 す る下 限 を与 え る.一 方,結 合 が大 き くな る と,芯 に 捕 獲 さ れ る量 が 多 くな り冷 却 作 用 が 減 少 す る の で,あ

ま り大 き くて もい け な い .制

限は

(6.120a) と な る.し

か し,も

っ と 強 く な る と今 度 は ア ク シ オ ン そ の も の が ニ ュ ー ト リ ノ

と 同 じ く観 測 に か か る は ず で あ る の で 観 測 数 の 制 限 か ら22)

(6.120b) こ れ ら 結 合 定 数 の 制 限 は,(6.118)や る 制 限 に 換 算 で き る.天

図6.8 

表6.2を

使 え ばfAも

体 物 理 学 に よ る 制 限 を 図6.8に

し く はmaに

対す

ま と め る19).

ア ク シ オ ン 質 量 の 実 験 や 天 体 物 理 学 の 考 察 か ら 禁 止 さ れ る 領 域(斜

線)

と許 され る領域19)(後 者 をア ク シオ ンの 窓 と い う).白 抜 きの 箱 は計 画 中 の 実 験 の 検 出可 能 領 域(§6.4.3参 照).

  6.4.2 

宇 宙 の 残 存 ア ク シ オ ン*6)

  質 量 が10-2∼10-3eV以

上 あ る ア ク シ オ ン が 存 在 す れ ば,他

の粒 子 との 熱 的

平 衡 状 態 に お い て 生 成 さ れ て 今 日 ま で 残 っ て い る 可 能 性 は あ り(熱 ン),そ か し,宇

の 場 合 の 残 存 数(100/cm3)は 宙 を 閉 じ る に は ∼100eV程

*6)  こ の §は

的 ア クシオ

背 景 輻 射 の フ ォ トン と 同 程 度 で あ る.し 度 の 質 量 が 必 要 で あ る が,そ

,宇 宙 論 の 知 識 を 必 要 と す る.宇 8.1∼8.4を 先 に 読 む こ と を薦 め る.

の く らい 重

宙 論 に 習 熟 し て い な い 人 は 第8章,特

に §

い と宇 宙 年 齢 よ り速 く崩 壊 して し ま うの で,熱 的 ア ク シ オ ン が 宇 宙 密 度 に相 当 程 度 寄 与 す る とい う可 能 性 は特 別 な ケ ー ス以 外 は 除外 され て い る.よ

り興 味 深

い の は,次 に 説 明 す る非 熱 的過 程 に よ る生 成 の 可 能 性 で あ る23).   この 場 合,ア 階 は,宇

ク シ オ ンが 宇 宙 に 関 与 す る過 程 は2段 階 に分 け られ る.第1段

宙 温 度Tが

∼ υPQの と き に,σ の つ く るポ テ ン シ ャ ル

(6.121) に よ っ て,UPQ(1)対

称 を 担 う ヒ ッ グ ス σ が 真 空 期 待 値 を も つ と き で あ り,第

2段 階 は,T〓ΛQCDで

ア ク シ オ ン が カ ラ ー 異 常 項 を 感 じ始 め る と き で あ る.こ

の と き の実 効 ラ グ ラ ン ジ ア ン は

(6.122) の 形 を と る.θeffは

第1段 階 で 獲 得 し た 真 空 期 待 値 に 電 弱 相 互 作 用 相 転 移 に 伴

い 付 加 さ れ る ク ォ ー ク質 量 の 位 相 を 含 め た も の で あ る .ア

クシオ ンの質 量発

生 はT∼ΛQCDの

量 値 が確 定 す るの

はT≪ΛQCDに る.aは

頃 で あ り,質

量 は 時 間 と と も に 変 化 し,質

なっ て か ら で あ る.第1段

位 相 場 で あ る の で,真

値 を と り う る が,第2段

空 期 待 値/fAは-π

表 され る形 を と ∼+π

テ ン シ ャ ル の 谷 底((6.108b)を

ま り θeff)に 向 か っ て 動 き 始 め る の で あ る(熱

傾 斜 ア ク シ オ ン(misalignment

axion)と

満 た すの

的 ア ク シ オ ンに 対 比 して

い う23)).し

か し,勢

留 点 θ=θeffを 行 き過 ぎ て し ま い 振 動 運 動 を 始 め る.は わ ち 多 量 の ア ク シ オ ン の 集 団 的 運 動 に 対 応 す る.ア 常 項 に よ る ポ テ ン シ ャ ル に は,巻 が あ り,ど =0が

まで の 任 意 の

階 で ア ク シ オ ン に 質 量 が 発 生 す る と同 時 に 異 常 項 に よ

る ポ テ ン シ ャ ル を 感 じ て,ポ 値,つ

階 で σ は(6.112b)で

つ き数nに

テ ン シ ャ ル の 谷 底 の 付 近 で はΘ

古 典 的 な場 す な

クシ オ ンが 感 じ るカ ラー 異

よ り指 定 さ れ る だ け の 数 の 谷 底

こ に 向 か っ て 転 げ 落 ち る か は 不 定 で あ る が,こ

現 在 の 世 界 に 対 応 して い る こ と にす る

い あ ま っ て停

こ で は 簡 単 の た めn

.Θ(x)≡/fAと

お け ば,ポ

の 運 動 を 記 述 す る ラ グ ラ ン ジ ア ン は近 似 的 に

(6.123) と表 され よ う.膨 張 宇 宙 の も と で は 空 間 の ス ケー ルRも

また時 間の関数 であ

るが,そ

と変 え てΘ に対 す る

の 効 果 を 取 り入 れ る に は,作 用 を 

運 動 方 程 式 を導 け ば よい.こ

こ にR(t)は

長 さ の 次 元 を もつ 量 で あ る.Θ

の膨

張 宇 宙 に お け る運 動 方 程 式 は

(6.124a) (6.124b) と書 け る.H(t)は,時 をTと

す れ ば,宇

∼T-1∼t1/2

,背

∼T-1∼t2/3の

刻tの

宙 初 期 の 輻 射 優 勢 の 時 代 は,ρ(エ

ネ ル ギ ー 密 度)∼R-4,

R

景 輻 射 が 切 り離 さ れ て 後 の 物 質 優 勢 の 世 界 で は,ρ∼R-3,

た,時

R

は,maは0で

あ り(6.124)の

解 はΘ=定

数 で

間 的 に 定 数 の み な ら ず 空 間 的 に も座 標 に よ ら な い 完 全 な 定 数 で

あ る こ と が い え る.な

ぜ な ら,場

エ 成 分 の 波 数kは,宇

所 依 存 性 を も っ て い た と し て も,そ

宙 膨 張 に 伴 っ て,T∼

完 全 に 赤 方 偏 移 して し ま う か ら で あ る.こ 0の ボ ソ ン の 集 合 体,す

υPQか らT∼ΛQCDに の 時 点 で,ア

め る.ma(t)≒H(t)でΘ (断 熱 近 似;dma/dt≪ma2),Θ

を 掛 け て,λ

クシ

ら有 限 に 成 長 し始

ゆ っ く り と成 長 す れ ば

は 減 衰 振 動 を す る.断

期 の 平 均<Θ2>=λ(t),

る.(6.124a)にΘ

ク シオ ン場 は運 動 量 が

値 は0か

は 振 動 を 開 始 す る が,maが

の フー リ

到 る まで に

な わ ち ボ ー ス 凝 縮 体 と 見 て よ い.T∼ΛQCDで,ア

オ ン が カ ラ ー 異 常 項 を 感 じ始 め る と と も に,maの

は,Θ2を1周

宙 温度

よ う に 変 化 す る こ と が 宇 宙 論 の 議 論 か ら 知 ら れ て い る(第8章

お よ び 文 献23)).T≫ΛQCDで あ る.ま

ハ ッ ブ ル 定 数 で 宇 宙 の 膨 張 率 を 表 す.宇

熱近 似 が成 立 す る とき

λ=(Θ2+ma2Θ2)/2で

置 き換 え れ ば 解 け

で 書 き直 す と

(6.125a) (6.125b) す な わ ち,ア

ク シ オ ン は 振 幅 が 宇 宙 の 膨 張 に 伴 っ て ∼R-3/2の

減 衰 振 動 を す る.ア

ク シ オ ン場 の もつ エ ネ ル ギ ー 密 度 は,振

よ うに 変 化 す る 動 の は じ ま る時 刻

をtoscと す る と,

(6.126a) CはΘ(0≦Θ<2π)の 0に 設 定 す る が,こ

初 期 値 で 決 ま る オ ー ダ ー1の こ で は こ の 値 が 重 要).t>toscで

数 で あ る(通

常 は便 宜 的に

は,

(6.126b)

で与 え られ,さ

らにT≪ΛQCDでmaの

=nama∼ma/R3の   す な わ ち,ma(t)が ケー ルR3あ

値 がT=0の

値 に 落 ち つ い た 後 は,ρa

よ うに変 化 す る. 変 化 す る 時 期 を通 じ て,宇 宙 と と もに 膨 張 す る体 積 ス

た りの 数 は一 定 に保 た れ て い る こ とに な る.先 に 述 べ た よ う に,

ア ク シオ ン場 は運 動 量〓0の ボー ス 凝 縮 体 と して 振 る舞 い,振 動 は 多体 の 協 同 現 象 と して行 わ れ る*7).こ の 時 代 は ま だ 輻 射 優 勢 の 時 代 で あ り,宇 宙 の エ ネ ル ギー 密 度 は,∼R-4で

減 衰 す る の で,ア

め る相 対 比 が 急 速 に 成 長 し,fAが

ク シ オ ン の宇 宙 エ ネ ル ギー 密 度 に 占

大 き い と きは 現 在 の 宇 宙 エ ネ ル ギー 密 度 へ

の 寄 与 が 無視 で き な い.体 積 当 た りの 数 が 一 定 に保 たれ て い る の で 現 在 時 刻 と 温 度 をt0, T0と す る と,

(6.127) toscは,運

動 方 程 式 を 眺 め れ ば,

(6.128a) で 定 義 して よ いか ら,

(6.128b)*8) と し,ma∼mπFπ/fA((6.117)参

照),Tosc∼ΛQCD∼200MeVを

の ア ク シ オ ン の エ ネ ル ギ ー 密 度 ρaは,大

入 れ る と現 在

ざ っ ぱ に 見積 って

(6.129a) と な る.こ

の 密 度 が 現 在 の 宇 宙 の 臨 界 密 度 ρc=3H2(t0)/8π GNewton=11h2

keV/cm3を

超 え な い と い う条 件 か ら,

(6.130a) と い う制 限 が つ く.も

う 少 し詳 し い 議 論 に よ れ ば19,24),

(6.129) こ こ にΩa=ρa/ρc,Θ る.Θ2F(Θ)〓1と

は(6.124)のΘ と る と,fAへ

*7)  ア ク シ オ ン 反 応 に よ O(eV)で

の 初 期 値 でF(0)=1,

F(π)=∞

で あ

の 制 限 は,

っ て,凝 縮 体 が 崩 れ て 熱 平 衡 状 態 に な ら な い か と の 心 配 は,ma〓 な い 限 り無 用 で あ る.凝 縮 体 か ら ア ク シ オ ン が 吸 収 さ れ て も,凝 縮 体 の 存 在 ゆ

え に 再 放 出 さ れ る25). *8)  §8 .2式(8.25)参 照.

ま た は,

 (6.130b)

で あ る.現 在 ア ク シオ ンの もつ 速 度 υaは,振 動 開 始 時 に もっ て い た ∼ma程 度 の 運 動 量poscが 赤 方 偏 移 し たposc(T0/Tosc)をmaで

割 った 量 で 与 え られ るか ら,

(6.131) で 与 え られ,完 全 に 静 止 状 態 に あ る とい え る.

  6.4.3  ア ク シ オ ンの 探 索   a.  ア ク シ オ ンの 所 在 地   ア ク シ オ ン の質 量 につ い て は,ま ず加 速 器 実 験 でO(keV)以 定 さ れ,そ れ 以 下 で も ∼1eV以

上 あ る と,前 節 で 議 論 した よ うに 種 々 の 天 体

現 象 と矛 盾 す る の で(図6.8),以

下 の 議 論 は,質

シ オ ン探 索 に 限 る.質 量 が0.1eV以 優 勢 で あ るが,そ

上 の質 量が否

量 が ほ ぼ ∼1eV以

下の ア ク

上 で は,熱 的 に 生 産 され る ア ク シ オ ンが

れ 以 下 で は傾 斜 ア ク シオ ンが 優 勢 とな る.ま た,太 陽 中心 で

は ア ク シオ ン が大 量 につ く られ て い る可 能 性 が あ る.質 量 が10-3eV以 れ ば 暗 黒 物 質 と して 存 在 す る可 能 性 が あ り,特 に10-5eV以

下 であ

下 の ときは 優 勢 な

暗 黒 物 質 とな る.質 量 は非 常 に ゼ ロ に近 い に もか か わ らず 非 相 対 論 的 で あ るの で冷 た い 暗 黒 物 質 と して振 る舞 う.輻 射 が 切 り離 され る以 前 で もア ク シオ ンは 輻 射 とほ とん ど相 互 作 用 を しな い か ら,物 質 優 勢 の 時代 に 入 れ ば重 力 作 用 に よ る ゆ ら ぎの 成 長 が 進 行 す る.し た が って,輻 射 が切 れ た と きは す で に ゆ ら ぎが 進 行 し,か な り強 い重 力 場 が 形 成 され て い る の で,バ

リオ ンが 急 速 に この 重 力

場 に捉 え られ て 銀 河 な どの構 造 形 成 が 進 行 す る の で あ る.冷 た い 暗 黒 物 質 で あ る か ら,現 在 の 銀 河 に も捉 え られ て い て ハ ロー と して 存 在 す るは ず で あ る.銀 河 の 回 転 運 動 か らハ ロー の エ ネ ル ギー 密 度 が 計 算 で きて,

(6.132) で あ り26),数   以 下,質

と し て は ∼3×1013/cm3×(ρa/450MeV/cm3)(10-5eV/ma)あ

量 領 域 で 異 な る検 出 法 の い くつ か を 述 べ る.熱

る.

的 ア ク シ オ ン の場 合

は,ア

ク シ オ ン 崩 壊 か ら の 単 色 γ を 見 る 方 法 が 可 能 で あ る.10-5eV以

は,ア

ク シ オ ン が 高 周 波 強 磁 場 の 中 で プ リマ コ フ 効 果 に よ り転 換 さ れ て で き る

フ ォ ト ン の 検 出 法 が 有 力 で あ る が27),そ

れ 以 上 で は,太

下 で

陽 中 心 で大 量 に 生 産 さ

れ る と 目 され る ア ク シ オ ン をや は り磁 場 の 中 でX線

に転 換 して検 出 す る 方 法

が 可 能 で あ る28,29).   b.  望 遠 鏡 に よ る探 索   熱 的 ア ク シ オ ンの 宇 宙 エ ネ ル ギー に 対 す る寄 与 は 小 さ い が(Ω ∼0.01(ma/ eV)),寿

命 が 十 分 短 い の で(τ(a→2γ)∼1025sec(ma/eV)5),そ

れ る単 色 の 光 を探 索 す る.ア

の と き放 出 さ

ク シ オ ン は ビ リア ル 運 動(付 録B.4参

照)を す

る の で 完 全 な単 色 とは な らず 幅 を もつ が,Δ λ/λ∼10-2程 度 で あ る.予 想 され る強 度 は ほ ぼ地 表 で の夜 光 強度 と同程 度 で あ る.夜 光 雑 音 を除 去 す る ため 銀 河 集 団 に 捕 捉 さ れ て い る ア ク シオ ンに 注 目す る.こ の ア ク シ オ ンは 銀 河 集 団 と同 じ赤 方 偏 移 を示 す はず で あ り,銀 河 集 団 外 か らの光 を引 き算 す れ ば 雑 音 は消 え る が ア ク シ オ ンか らの 光 は残 る.キ 8300Aで3組 結 果,ア

ット 山 頂 望 遠 鏡 を 用 い,波

の 密 集 銀 河 団 を観 測 した が 単 色 光 は 見 つ か ら なかっ た30).こ の

ク シ オ ンの 質 量 領 域ma=3∼8eVで

た(図6.9参

長 領 域3100∼

モ デ ル を 否 定 す る結 果 が 得 られ

照).

  c.  太 陽 ア ク シ オ ン探 索   太 陽 の 中 で は ア ク シ オ ンが プ リマ コ フ効 果 に よ り大 量 に 生産 さ れ る.地 球 で の フ ラ ッ クス 強 度 は太 陽 モ デ ル に あ ま り依 存せ ず に ∼1012cm-2s-1(ma/eV)2と 見 積 も られ て い る.こ の ア ク シ オ ン を 強 磁 場 の 中 に 通 す とプ リマ コ フ 逆 過 程 で,2∼20keV,平

均 ∼4keVのX線

を放 出 す る.電 磁 場 とはE・Bの

形で

結 合 す る の で,磁 場 の フ ォ トン の 偏 極 方 向 成 分 が 放 出 に 寄 与 す る.し た が っ て,太

陽 の 方 向 に対 して 垂 直 磁 場 をつ く り,ア ク シ オ ン が そ こ を通 り抜 け る際

転 換 され て放 出 す るX線

を検 出 す れ ば よ い.転 換確 率Pγ は 磁 場 の フー リエ 成

分 に 比 例 す る28).ほ ぼ 一 様 な磁 場 の場 合

(6.133a) Δqは

ア ク シ オ ン か ら フ ォ ト ンへ の 縦 運 動 量 移 行 で あ る.エ

る の で,pγ=ω=Eaと

ネ ル ギー は保 存 す

おいて

(6.134a)

と な る.ΔqL≫1で

は 振 動 が 激 し く な り転 換 率 は 小 さ く な る の で,観

な 長 さ はΔqLeff〓1で

与 え ら れ る.ω=4keVの

測 に有効

場合

(6.135) こ れ か ら,検

出 範 囲 は ほ ぼma〓0.03に

限 ら れ る が,ア

ク シ オ ン の 通 過 路 を誘

電 体 に す れ ば 質 量 の 大 き い 範 囲 ま で 拡 張 可 能 で あ る29).こ りpγ →npγ

と な る か ら,(6.134a)の

の場 合 誘 電 効 果 に よ

代 わ りに

(6.134b) を 使 用 し な け れ ば な ら な い.ωp2=4π で あ る.し (eV)く

た が っ てωp∼maに

ら い ま で は,有

な っ て,転

αne/meは

プ ラ ズ マ 振 動 数,Γ

は吸収率

な る よ う に 気 体 を 適 当 に 選 べ ば,maがO

効 長Leffを

実 用 的 な 長 さ に 保 持 で き る.こ

れ に とも

換率 も

(6.133b) に変 更 さ れ る.1気

圧 の ヘ リ ウ ム(ωp∼0.3eV)を

東 京 大 学 グル ー プ は,L∼2mの

使 っ て 実 験 し た例 が あ る31).

磁 石 を真 空 容 器 に 入 れ,太

き る 回転 台 に 載せ た磁 石 望 遠 鏡 を製 作 して,ア

陽の運動 に追随 で

クシ オ ン を探 索 した が信 号 は検

出 で き な か っ た32).こ の結 果 結 合 定 数 の 上 限 値 と して

(6.136) を 得 た.こ

れ は 球 状 星 団 の 水 平 分 岐(HB:

horizontal

れ て い る フ ラ ッ ク ス 制 限 に は 及 ば な い も の の,実 eV領

域 で 最 良 の 値 を与 え る(図6.9参

  な お こ の ほ か に,ゲ

branch)考

察 よ り得 ら

測 デ ー タ と し て は10-1∼10-6

照).

ル マ ニ ウ ム の 結 晶 を使 い ブ ラ ッ グ 反 射 に よ り検 出 効 果 を

高 め た 検 出 器 を 用 い て 進 行 中 の 実 験 の 暫 定 デ ー タ を も 載 せ て あ る33).   d.  マ イ ク ロ 波 検 出 器   太 陽 ア ク シ オ ン と 同 じ く強 い 磁 場 の 中 で ア ク シ オ ン の 転 換 フ ォ ト ン を 検 出 す る が,10-5eV以 プ(増

幅 器)の

下 の 質 量 領 域 で 有 効 で あ る.こ

の 場 合,信

号 を抽 出す る ア ン

雑 音 レ ベ ル を ど こ ま で 下 げ ら れ る か が 勝 負 と な る.ア

て 高 速 電 子 移 動 トラ ン ジ ス タ ー(HEMT: を 使 用 し た 実 験 が 行 わ れ,限

high

electron

mobility

ら れ た 範 囲(ma=2.77∼3.3×10-6eV)で

ンプ と し transistor) は あ る

がKSVZモ

デ ル を 否 定 す る だ け の 感 度 を 得 た34).こ

子 干 渉 計SQUID

(super

conducting

quantum

の グ ルー プ で は 超 伝 導 量

interference

device)を

た 低 雑 音 の ア ン プ35)を 開 発 し た 改 良 実 験 が 進 行 中 で あ る.ま プ も,転 し,こ

た,京

使 用 し 都 グルー

換 フ ォ トン を励 起 し て リ ドベ リー 原 子 と し た 上 で 検 出 す る 方 法 を 開 発

れ ま た 実 験 が 進 行 中 で あ る36).ど

ち ら もKSVZの

ル 限 界 ま で 到 達 で き る 感 度 を 備 え て お り,近

図6.9 

デ

い うち に ア ク シオ ンが 暗 黒 物 質 の

有 効 成 分 か ど う か を 検 証 で き る で あ ろ う.図6.10に 数 が 大 き い 原 子;n〓40)の

み な ら ずDFSZモ

リ ドベ リー 原 子(主

量 子

遷 移 を 利 用 す る 検 出 器 を 示 す36).

ア クシ オ ン探 索 か ら得 られ た結 合 定数gaγγの 上 限値

 ア ク シ オ ン の 記 述 を 終 え る に あ た り,ア

ク シ オ ン の 主 な性 質 を ま とめ て お

く.  (1)  強 いCP問

題 の 解 決 策 と し て 理 論 的 な 存 在 理 由 が あ る.

 (2)  ス ピ ン パ リ テ ィ0-の  (3)  真 空 期 待 値fAを

擬 ス カ ラ ー 粒 子 で あ る.

決 め れ ば,ア

 (4)  質 量 はma∼Fπmπ/fAで

ク シ オ ン の 基 本 的 性 質 は ほ ぼ 決 ま る.

与 え ら れ る.

 (5)  ク ォ ー ク と の 結 合 の 強 さ は∼mq/fAで

あ る.

(6)  電 磁 場 と はE・Bの

形 で 結 合 し,そ

の 強 さ はgaγγ∼ α/(πfA)で あ る.

(7)  電 子 と の 結 合 は モ デ ル に 依 存 す る が,最 る.ク

低 限(6)を

通す結 合 は存在す

ォ ー クと 同 程 度 に 結 合 が 強 い モ デ ル も 存 在 す る.

(8)  ma=10-5∼10-6eVの

と き は ア ク シ オ ン が 暗 黒 物 質 の優 勢 な成 分 の 可

能 性 が あ る.

図6.10  ア ク シ オ ン は 生 成 用 空 洞(Conv.

ア ク シ オ ン検 出器 の例36) cavity,共 鳴 周 波 数2.5±20%GHzで7Tの

場 中 に あ る)内 で フ ォ トン に 転 換 さ れ,検 出 用 空 洞(det. cavity)に リ ドベ リー 原 子(主 量 子数n)を 励 起 す る.励 起 さ れ た 原 子(n+1)は さ れ,Ceratronで

検 出 され る.リ

ドベリー 原 子 は,ま

磁 移 さ れ て, イ オ ン化

ず イ オ ン源 か らの 原 子 を

加 速 し た後,Neutralizerで 中性 原 子 に も ど し レー ザ ー に より3段 階 で,n≒40 の 準 位 に励 起 され る.励 起 準 位 は電 極 に より シュ タル ク効 果 で 微 調 整 を行 う.全 空 洞 は10mKに 冷 や され,検 cel. coil)を 巻 い て あ る. 8〓ma〓12μeVの

範 囲 のKSVZは

出用 空 洞 に は磁 場 を消 す ため の補 正 コ イ ル(Canも ち ろん の こ とDFSZア

る に 十 分 な 感 度(g2aγγ〓10-30GeV-2)を

有 す る.

ク シ オ ン を も検 出 す

6.5  電 弱 相 互 作 用 の 相 転 移 とバ リ オ ン 数 非 保 存22,37)

  イ ン ス タ ン トン効 果 の 興 味 あ る一 つ の 帰 結 は,電 弱 相 互 作 用 に お け る相 転 移 に お い て,バ

リオ ン数 保 存 が 成 立 しな くな る こ とで あ る.電 弱 相 互 作 用 で は,

バ リオ ン数(ク

ォー ク数)お

よ び レプ トン数 の グ ロー バ ル 対 称 が 存 在 す る.し

か し,電 弱相 互 作 用 が カ イ ラ ル カ レン トに 結 合 す る こ とか ら,カ イ ラル 異 常 項 に よ りバ リオ ン数 お よび レプ トン数 保 存 が 破 れ る.バ

リオ ン お よび レプ トン カ

レ ン トは,

(6.137) で 定 義 さ れ る.カ き る が,ア ジ(Y)を

レ ン トは,∂ μJμ=∂μJLμ+∂μJRμと カ イ ラ ル 成 分 に よ り分 解 で

イ ソ ス ピ ン ゲ ー ジ カ レ ン トはJLμ に の み 結 合 す る.ハ 担 う ゲ ー ジ ボ ソ ンBμ

も ま た,Y=2(Q-I3)と

ア イ ソ ス ピ ン 部 分 がJLμ に 結 合 す る.JLμ

イパ ー チ ャ ー

い う関 係 式 を通 じて

は カ イ ラ ル 異 常 項 を 含 む か ら,

(6.138)

(6.138)の

右 辺 は 全 微 分 の 形 で 書 け る の で((6.50)参

の 寄 与 は な い が,非

照),ア

ア ー ベ ル ゲ ー ジ 場 の 場 合 に つ い て は,イ

ー ベ ル ゲ ー ジ場 ン ス タ ン ト ン効 果

に よ り,

(6.139) た だ し,J4=iJ0,

x4=itを

使っ た.こ

る 空 間 を バ リ オ ン が 運 動 す る と,Ng=3と

の こ と か ら,イ

ン ス タ ン トンが 存 在 す

して

(6.140a) とバ リオ ン 数 が 保 存 さ れ な い.レ

プ トン に つ い て も ま た バ リ オ ン と 同 じ議 論 が

で き る か ら,

(6.140b) た だ し,

(6.141)

は 成 立 し て い る.   イ ン ス タ ン トン に よ る 遷 移 確 率 は,

(6.142) 程 度 で あ る か ら,バ

リオ ン 数 も し くは レ プ トン 数 保 存 が 破 れ る 確 率 は 非 常 に 小

さ く,物 理 的 に あ ま り意 味 は な い.し 状 態 で の 遷 移 確 率 で あ り,エ

か し,イ

ン ス タ ン ト ン は,温

ネ ル ギー が 電 弱 相 互 作 用 ポ テ ン シ ャ ル に 比べ て 大

き い と き は 遷 移 確 率 も 大 き い と考 え ら れ る38).興 ∼1TeVの 際,ポ

頃で

,イ

度T=0の

味 が あ る の は,宇

宙 初 期T

ン ス タ ン ト ン の 励 起 状 態 も た く さ ん あ る と考 え ら れ る.実

テ ン シ ャ ル の 頂 上 に 位 置 す る ス フ ァ レ ロ ン(sphaleron)と

つ け ら れ て い る39).も ΔB≠0の

統 一 期(エ

述 §8.5.1)は

保 存 す る の で,B-Lを

(た と え ばSO(10)大

い う解 が 見

宙 が 熱 平 衡 状 態 に あ る と き に,こ

反 応 が 存 在 す る と,大

バ リ オ ン 非 対 称(後 B-Lは

し,宇

のよ うな激 しい

ネ ル ギ ー ∼1015GeV)に

完 全 に 失 わ れ る.し

生 まれ た

か し,こ

の 場 合 で も

破 る よ うな 過 程 で 生 まれ た バ リオ ン 数 非 対 称

統 一)は

生 き 残 る 可 能 性 が あ る.ま

に バ リ オ ン 数 非 対 称 の 生 成 を 求 め る 動 き も あ り,非

た,こ

の相 転移 時期

常 に 活 発 な研 究 の 対 象 と

な っ て い る.

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7 磁 気 単 極 子(モ

ノ ポ ー ル)1∼3)

  磁 石 の 北 と南 は分 け られ な い もの で あ ろ うか? 

こ の素 朴 な 疑 問 は,電 磁 気

を学 習 す る と き,磁 荷 を導 入 す る と磁 気 の 法 則 と電 気 の法 則 が ほ とん ど1対1 に 対 応 す る こ と を知 る と一 層 強 くな る.単 独 の 磁 荷(磁 気 単 極 子 ま た は モ ノ ポ ー ル と もい う)を 探 そ う とす る試 み は,デ

ィ ラ ッ クが 磁 荷 が あ る と電荷 が 量

子 化 され る こ とを示 して か ら急 速 に 高 ま っ た.宇 宙 線 の 中 か ら探 し た り,物 質 に捕 捉 さ れ て い る可 能 性 を探 っ て古 い鉱 石 や隕 石,月 ろ 試 み ら れ た.1974年 Polyakov)が

に,ト

・フー フ ト(G.

の 石 を採 取 し た りい ろ い

t'Hooft)と

ポ リヤ コ フ(A.M.

大統一 対称性 の破 れに伴 いモ ノポール が必然 的 に出現 す る こ と

を 示 し て4),モ ノ ポー ル に 対 す る認 識 が 大 い に 変 わ っ た.大 統 一 モ ノ ポー ル は,質 量 が ∼1016GeVと

素 粒 子 と して は極 端 に 重 くバ ク テ リア 並 の質 量 を も

つ の で,地 表 付 近 程 度 の重 力 で も原 子 か らの 電 磁 力 に勝 つ.し

た が って,モ

ノ

ポー ル は 物 質 に 捕 獲 さ れ る こ とは な く,地 球 に 降 っ て き た モ ノ ポ ー ル は その ま ま 自由 落 下 す る.物 質 と束 縛 状 態 を つ くれ ば 物 質 は モ ノ ポー ル に 付 着 して 動 く.モ ノ ポー ル をつ な ぎ止 め られ るの は地 球,星,銀

河 な ど の 巨大 天体 の み で

あ る.こ の モ ノポ ー ル は 空 間 的 に 広 が りを もち,デ

ィ ラ ッ ク モ ノ ポー ル す なわ

ちマ クス ウ ェ ル 方程 式 の 中 の 点 電荷 に 対 応 す る点 磁 荷 とは 大 い に異 な る構 造 を もつ.そ

こ で,ト

・フー フ ト-ポ リヤ コ フ の モ ノ ポー ル を学 ぶ 前 に,デ ィ ラ ッ ク

モ ノポール につ い て 学 習 して両 者 の 類 似 点 と差 をみ よ う.つ い で,大 統一 モ ノ ポ ー ル が 存 在 す べ き理 由 を調 べ,モ

ノ ポー ル 探 索 状 況 を概 観 す る.古 典 的

(デ ィ ラ ッ ク)モ ノ ポー ル探 索 結 果 につ い て は 省 略 す る.

7.1 

デ ィ ラ ック モ ノポ ール

 磁 荷 を導 入 す る とマ クス ウ ェ ル 方程 式 の電 場Eと る.デ

ィ ラ ッ ク は,も

し点 磁 荷gが

対 称 性 が よ くな

存 在 す れ ば 点 電 荷eと n=整

な る 関 係 に あ る こ と を 証 明 し た5).こ 原 点 に あ る と し よ う.磁

磁 場Bの

数

 (7.1)

れ を 見 る た め に,い

ま 大 き さgの

磁荷 が

場Bは

(7.2) この 解 は点 電 荷 に よ る 電場 と同 じ く動 径 方 向 を向 き,強 さ は クー ロ ン法 則

(7.3) で 表 され る.r=r/rで

あ る.こ の と き原 点 を通 り半 径rの

球 面 を 貫 く全 磁 束

Φ は,

(7.4) で 表 され る.い ま,こ の 磁 場 中 の 道 筋cを

通 って 運 動 す る電 荷eの

粒 子波動

関 数 を考 え る.電 磁 場 が な い と きの シ ュ レー デ ィ ン ガー 方 程 式 の解 をψ(r)と す れ ば,電 磁 場 が あ る と き の シュ レー デ ィ ン ガ ー 方 程 式 は,p→p-eAと き換 え て得 られ,対

置

応 す る波 動 関数 は

(7.5) と な る こ と は,実 筋cと

し て,原

え よ う.一

際 に シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 方 程 式 に 代 入 し て み れ ば わ か る.道 点 か ら 見 て,半

*1)  ガ ウ ス 単 位 系 で は

曲 線cで

φ≦2π の 閉 曲 線 を考

囲 ま れ る 面 を 貫 く磁 束)≡eΦ(r

,eg=h(n/2)で

と す れ ば よ い.MKS有 cm2ま

角 θ,方 位 角0≦

周 し て 元 に 戻 っ た と き の 位 相 変 化Δ α は,

=e×(閉

表 す)の

径r,極

値 は4.14×10-15ウ た は20.6KeV/G/cmと

あ る.有

(7.6)

理 単位 系 か らガ ウ ス単位 系 に移 るに は

理 単 位 系 で は,n=1の エ ー バ ー で あ り,ま も 書 け る.Gは

,θ) 

磁 荷(以

下 デ ィ ラ ッ ク 磁 荷 と い いgDで

た 適 当 に 単 位 を 選 ぶ とgD=4.14×10-7G ガ ウ ス で あ る.

θ=0の

と き は,面

を 貫 く磁 束 は な い か ら

(7.7a) で あ る.一

方,θ

→

π に も っ て ゆ く と(7.4)か

ら,

(7.7b) とこ ろ で θ→ π の極 限 で 閉 曲 線 は点 に 縮 む か ら,磁 束 が 有 限 値 を もつ 事 実 は ポ テ ン シ ャ ルAが

θ=π で 特 異 点 とな って い る こ とを 意 味 す る.上 の 議 論 は

rの い か な る値 に も成 り立 つ か ら,結 局 特 異 点 は,負 の全z軸

に沿 って存在 し

て い るこ とに な る.こ れ は デ ィ ラ ッ クの 紐 とい わ れ る.空 間 の 回 転 対 称 性 か ら 紐 は どの 方 向 に あ っ て も よ く,ま た連 続 で あ る限 り必 ず し も直 線 で あ る必要 も な い.   波 動 関 数 の 連 続 性 を 要 求 す る とΔαは2π の 整 数 倍 で な い とい け な い か ら, eg=2πnと

な り,デ ィ ラ ッ クの 量 子 化 条 件(7.1)が

ル ゲ ー ジ群U(1)の

導 け た.電 荷eは

ア ーベ

保 存 量 で あ り原理 的 に連 続 値 を と る こ とが 許 さ れ るの に 自

然 界 で は量 子 化 され て い る.点 磁 荷 が 自然 界 に存 在 す れ ば,デ は これ に対 す る説 明 を 与 え る.た だ し,今

ィ ラ ッ クの条 件

日で は む し ろ,電 磁 気 を生 む 対 称 性

が 非 ア ー ベ ル 群 の 一員 で あ る こ とに よ り量 子 化 さ れ る と考 え ら れ て い る(§ 5.1.2参 照).   磁 荷 が つ くる磁 場 を与 え るベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル は次 式 で 与 え られ る.

(7.8) 極座標 表示 では

(7.9a)   こ れ は,期 待 した よ う にr=-zに

沿 っ て正 則 で な い.デ

間 回転 に よっ て 移 動 で き る.特 異 点 を 移 動 して,r=zに

ィ ラ ッ ク の紐 は 空

沿 っ た 線 に も って ゆ

くこ と も可 能 で あ る.そ の 場 合 の ポ テ ン シ ャ ル は

(7.9b) で 与 え ら れ る.し た が っ て,デ

ィ ラ ッ ク の 紐 は 物 理 的 に 意 味 の あ る量 で は な

い.物 理 的 に 意 味 の あ る特 異 点 は 磁 荷 が 存 在 す る と こ ろ,す

な わ ちr=0で

あ

る.デ ィ ラ ッ ク の紐 に よ る特 異 点 を除 くため に 次 の よ う に考 え る6).磁 荷 を囲

む 球 面 を,そ

れ ぞ れ 南 極 と北 極 に 穴 の

空 い た 二 つ の 領 域SaとSbと る(図7.1).空

間Sa(Sb)上

ル ポ テ ン シ ャ ルAa(Ab)は (7.9a) す る.明

(7.9b)で

に分 け のベ ク ト そ れ ぞ れ

定 義 さ れ て い る と

らか に ど ち らの ポ テ ン シ ャル

も そ れ ぞ れ の 領 域 内 で 正 則 で あ る.重 な る領域 で は二つ の 異 な っ た ポ テ ン 図7.1  デ ィ ラ ッ クの 紐 の 特 異 点 を避 け る方 法 SaとSbで 囲 ま れ る二 つ の 領 域 に 分 け,重 な

シ ャ ル が 存 在 す る こ と に な る が,同

る領 域 で は ゲ ー ジ変 換 でつ な ぐ.

物 理 を 記 述 す る な ら ば 両 者 は ゲ ー ジ変

じ

換 で つ な が って い る は ず で あ る.変 換 式 は容 易 に計 算 で きて

(7.10a) (7.10b) Uが

φ→ φ+2πnで1価

で あ る こ とを 要 求 す れ ば,デ

ィラックの量子化 条件

を再 現 す る.   (7.9)が 確 か に 磁 荷 の つ くるベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル とな っ て い る こ と を示 す た め,磁 荷 を 囲 む 球 面 を貫 く全 磁 束Φ が 正 し い値gを み る.領 域SaとSbの

与 え る こ と を確 か め て

重 な りを な くし,赤 道 面 で 接 す る と し よ う.そ の と き

(7.11) す な わ ちポ テ ン シ ャ ル に 特 異 点 は な い が,θ=π/2の

平 面(よ

り一 般 的 に は 磁

荷 を含 む 平 面)で 不 連 続 に な って い る.こ れ を(ゲ ー ジポ テ ン シ ャ ル の)ト ポ ロ ジー の 欠 陥(defect)と

い う.磁 荷 は トポ ロ ジー の 欠 陥 が あ る と こ ろ に 生 じ

る とい う言 い 方 をす る こ と もあ る.   磁 荷(デ

ィ ラ ッ ク モ ノ ポー ル)は 存 在 す る とT保

これ は,電

流 に よ り生 成 さ れ る磁 場 がT変

に よ り生 成 さ れ る磁 場 は 式(7.3)を か らわ か る.P変

存 則 とP保

存 則 を 破 る.

換 で 方 向 を変 え るの に反 し,磁 荷

見 れ ば わ か る よ う に 方 向 を変 え な い こ と

換 に 対 して も同 様 な考 察 が で き る.こ れ は 次 に 述 べ る ト ・

フー フ トーポ リヤ コ フ の モ ノポ ー ル が 有 限 な サ イ ズ を も ちP, T対 す る の と大 い に 異 な る.デ

称 性 を尊 重

ィ ラ ッ クの モ ノポ ー ル は,電 荷 の 量 子 化 条 件 や 存 在

す れ ば マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 が,e〓g,

E〓Bの

双 対 称 性 を もつ な ど の 審 美

的 な理 由 に よ り,昔 か ら探 索 され て き た.し か し,デ ィ ラ ッ ク モ ノ ポー ル に は 存 在 し なけ れ ば な ら な い とい う必 然 性 は な い.一 方,ト

・フー フ ト-ポ リヤ コ フ

モ ノポ ー ル は大 統 一 理 論 が 正 しい な ら ば 存在 し な け れ ば な ら な いの で,実 験 的 に 追 求 す る価 値 が あ る.

7.2 

ト ・ フ ー フ トーポ リ ヤ コ フ モ ノ ポー ル

  7.2.1  は りね ず み ポ テ ン シ ャル   前 章 で2+1次

元 空 間 に ヒ ッグ ス 場 と電 磁 場 が 共 存 して,ゲ ー ジ不 変 性 が 破

れ る と ソ リ トンが 現 れ,そ て3+1次

れ が 量 子 化 さ れ た磁 束 を表 す こ とを見 た.し た が っ

元 空 間 の ソ リ トン と して モ ノ ポー ル が 現 れ る で あ ろ う とい う期 待 を

抱 か せ る.ソ

リ トンが 存 在 す る た め に は,縮 退 真 空 が 存 在 しな い とい け な い.

縮 退 真 空 をつ くるた め に 自発 的 に 対 称 性 を こわ した後 に も,電 磁 場 が 存 在 す る ため に はU(1)対

称 性 が 残 っ て い な い とい け な い か ら,モ ノ ポー ル と電 磁 場 が

共 存 す る た め に は,出 発 点 と して はU(1)よ

り大 きい 対 称 性 を もつ 場 を採 用 し

な け れ ば な らな い.す な わ ち 非アーベルゲージ

場 を考 慮 しな け れ ば な ら な い.

3次 元 空 間 に 物 質 場 とヤン-ミルズ 場 が 共 存 し,対 称 性 の 自発 的破 れ が 発 生 す る と,ソ

リ トン場 と し て の モ ノ ポー ル が 出 現 す る こ と を,SO(3)対

合 に つ いて 示 そ う.ア イ ソ ス ピ ン1を ア イ ソ ス ピ ン1を

称 性 の場

もつ ヒ ッ グ ス場 φa(a=1,2,3)と

やは り

もつゲージ 場Faμν が 共 存 し縮 退 真 空 をつ くる と き の ラ グ ラ

ン ジ ア ン は,

(7.12a) (7.12b) (7.12c) (7.12d)

で 与 え ら れ る*2).こ

れ よ り運 動 方 程 式 を つ く る と,

(7.13a) (7.13b) 静 的 な 解 を 扱 う た め ゲ ー ジ 場 の 時 間 成 分 を ゼ ロ と お く ゲ ー ジ(temporal gauge)を

採 用 す る.ゲ

ー ジ 場 を こ の よ う に 設 定 で き る こ と は §6.1.5で

し た.ソ

リ トン が 存 在 す る た め に は,エ

い.r→

∞ で,V(φ), Faμν,

た さ れ る の で,次

議 論

ネ ル ギー 積 分 が有 限 で な け れ ば な ら な

Dμ φaの 各 項 がO(1/r2)で0に

の よ う な 境 界 条 件 を 設 定 し,関

なれ ば条件 は満

数G(r),

H(r)を

次式 で定義

す る.

(7.14a) (7.14b) r≡r/rは

動 径 方 向 の単 位 ベ ク トル で あ る.H,

Gは 境 界 条 件

(7.15a) (7.15b) を 満 た す も の と す る.こ

の φ やAμ

は 動 径 方 向 を 向 き,ア

イ ソス ピン空間 の

成 分 と時 空 の 成 分 が 混 合 す る と い う き わ め て ユ ニ ー ク な 特 徴 を も つ.rの に と も な っ て ア イ ソ ス ピ ン 空 間 で も あ ら ゆ る 方 向 を 向 く.ポ 針 ね ず み(hedgehog)と FaμνはO(1/r2)で

呼 ん だ.ゲ

あ る.r→

リヤ コ フ は こ れ を

ー ジ ポ テ ン シ ャ ル はO(1/r)で

∞ でDiφa=0と

な る こ と は,実

動 き

あ るか ら

際 に 計 算 して み

ると

(7.16) で あ り,確

か に そ う な っ て い る.これ

の 存 在 の た め の 必 要 条 件(縮 と は,G(r),   こ こ で,Faは

H(r)の

で,r→

∞ で φ→ 定 数 と な り ソ リ トン

退 真 空 とエ ネ ル ギ ー の 有 限 性)が

設 定 で き た.あ

満 た す 運 動 方 程 式 を 解 く問 題 に な る.

ヤ ン-ミ ル ズ 場 で あ り ア イ ソ ス ピ ン 空 間 で3成

分 を も つ が,

対 称 性 が 自 発 的 に 破れ た と き通 常 の 電 磁 場 に な る よ う に 設 定 す る.物 解 しや す い よ う に,以

下 φ(r→

∞)=φU=(0,0,υ)と

*2)  非 ア ー ベ ル 場 ゲ ー ジ 変 換 の 詳 細 に つ い て はⅡ-第2章

理 的 に理

設 定 す る ユ ニ タ リー ゲ ー を参 照 せ よ

.

ジ で 考 察 す る.こ

の と き ア イ ソ ス ピ ン 第3軸

の 周 りの 回 転 は 真 空 を不 変 に 保 つ

か らF3μν が 電 磁 場 と な る.F1,2μν は 電 荷 を も つ ゲ ー ジ 場 で(W± に す る),ヒ

ッ グ ス の 第1,

ジ でF3μν を 拾 い だ し,か

2成 分 を 吸 収 し て 質 量 を 獲 得 す る.ユ

と呼 ぶ こ と ニ タ リー ゲ ー

つ アー ベ ル 電 磁 場 に な る よ う にす るた め に

(7.17) と お く,ユ

ニ タ リー ゲ ー ジ で は

とな る の で,第3項

を除 去 す る た め ユ ニ タ リー ゲ ー ジ でA3μ の み が 拾 い 出せ

る よ うな 組 み 合 わせ

(7.18) を つ く り,Fμν と の 関 係 式 を 求 め る と

(7.19) が 得 られ る.通 常 の 電磁 場 の 関係 式 とは第3項

の付 加 項 だ け 異 な るが,対 称 性

が 自発 的 に破 れ て φ が ア イ ソ ス ピン 空 間 で 固定 され れ ば 消 え るの で,こ

のAμ

とFμνを もっ て 電 磁 場 と同 一 視 して よい で あ ろ う.   こ こ で 設 定 し た φ=φUは,(7.14)で な るが,両

与 え た φ=φc=υ(x/r,y/r,z/r)と

異

者 は φ空 間 の 回 転 す な わ ち ゲ ー ジ変 換

(7.20a) (7.20b) で 結 び つ い て い る.taはSO(3)の で の ポ テ ン シ ャ ル を,(7.9)で い と お い て,AU1,2μ=0,

生 成 演 算 子 行 列 で あ る.ユ

定 義 し た デ ィ ラ ッ ク ポ テ ン シ ャ ルADμ

AU3μ=ADμ, g/4π=1/eを(7.20b)に

ね ず み ポ テ ン シ ャ ル が 得 ら れ る.針

の 電 磁 場 が い くつ あ る の か,ど

に等 し

入 れ れ ば,針

ね ず み ポ テ ン シ ャ ル は,∂iAai=0を

す か ら ク ー ロ ン ゲ ー ジ で の ポ テ ン シ ャ ル で あ る.ク

い が,ユ

ニ タ リー ゲ ー ジ

ー ロ ン ゲ ー ジ で は,質

満 た 量0

の組 み合 わ せ が 電 磁 場 に な る の か な ど明 確 で な

ニ タ リ ー ゲ ー ジ で は 物 理 的 解 釈 が 容 易 で あ る.(7.17)で

Fμνは ゲ ー ジ 不 変 な 形 を し て い る か ら,ユ

定 義 した

ニ タ リー ゲ ー ジ で 物 理 的 描 像 を 理 解

した 後 で計 算 は クー ロ ンゲ ー ジ で行 っ て も物 理 的 結 果 は変 わ らな い.   こ こ で,漸

近 形(7.14)を

入 れ る とAμ=0と

ヒ ッ グ ス場 か らの み とな り,電 磁 場 のr→

な るの で電 磁 場 へ の 寄 与 は

∞ での漸近形 は

(7.21) とな る.す な わ ち,電 場Eが

存 在 せ ず,動 径 方 向 の磁 場

(7.22) が 存 在 す る.磁

荷 の 値 はg=4π/eで

倍 の 値 で あ る が,こ

れ はSO(3)が2重

で(付

照)一

録(A.18)参

ば,SO(3)対 は,ア U(1)変

あ る.デ

連 結 の 群 構 造 を もつ こ とに 由 来 す るの

般 的 に 成 り 立 つ 話 で は な い.物

称 性 が 破 れ て φ=(0,0,υ)に

イ ソ ス ピ ン 空 間 第3軸 換exp

ス ピ ン1/2の

(iαQ)を

与 え る か ら,Q=I3で

理 的 な 言葉 で 言 え

な っ た と き残 って い る対 称 性 演 算

の 周 り の 回 転exp

物 質 場 が も つ 電 荷Q=e/2と

な る の で あ る.一

ィ ラ ッ ク モ ノ ポ ー ル 磁 荷gDの2

(iαI3)で あ る.こ あ る.電

な る の で,磁

れが電磁 場の

荷 の最 小 単 位 は ア イ ソ 荷 の 最 小 単 位 が2gDに

般 に 磁 荷 の 最 小 単 位 は ゲ ー ジ 群 の 構 造 に 依 存 し,可

能な最小

電 荷 の 逆 数 の2π 倍 と な る*3).

  7.2.2 

モ ノポ ー ル の 質 量

  こ の モ ノ ポ ー ル は デ ィ ラ ッ ク の モ ノ ポ ー ル と は 違 う.r→∞

で 磁 荷 と同 じ

磁 場 を つ く る か ら モ ノ ポ ー ル と い う名 前 を 与 え ら れ て い る が,r〓1/eυ 磁 荷 と は 異 な る 磁 場 を つ く る.ま

た,ト

領 域 で 正 則 で あ る こ と を 示 し た.λ →0の る7).す

な わ ち,デ

・フ ー フ トはG(r),

の磁 場 をつ くるポ テ ン

お い て も正 則 で あ る.特

で ヒ ッ グ ス 場 に 吸 収 さ れ た こ と に な る.モ

変数 の全

極 限 で は 解 析 的 な 解 も求 め ら れ て い

ィ ラ ッ ク の モ ノ ポ ー ル と 違 い,こ

シ ャ ル は 特 異 点 を も た ず,r=0に

H(r)が

では点

異点 はゲー ジ変換

ノポ ー ル の 質 量 は数 値 的 に 計 算 す る

こ と が で き て8), (ベ ク トル ボ ソ ン の 質 量) 

*3)  閉 じ 込 め が あ れ ば こ の 限 り で は な い .

(7.23)

で 与 え ら れ る.こ

こ で ベ ク トル ボ ソ ン とは,対

得 し た ゲ ー ジ 粒 子W±

を 指 す.も

に 大 統 一 ス ケ ー ル ∼1015GeVで GeVと

称 性 の 破 れ に と もな い 質 量 を獲

し対 称 性 の 自 発 的 破 れ が,後 起 き る な ら ば,モ

に述べ るよ う

ノ ポ ー ル の 質 量 は ∼1017

な り 非 常 に 大 き い.

 7.2.3  磁

流

  も と も との ラ グ ラ ン ジア ン に は 電荷 しか 存 在 し な い の に,ど ル が 存 在 す る よ うな場 の 配 置 が 構 成 で き た の で あ ろ うか?  を探 る た め に,磁

う して モ ノ ポ ー

モ ノポ ー ル の起 源

流(磁 荷 の 流 れ)を 次 式 で定 義 す る9).

(7.24) これ は,マ

ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 で 電 流Jμ が

を 満 た す の で,E〓Bの 方 程 式 で は,Kμ

置 換 に よ り磁 流 を 定 義 す る の で あ る.マ

は 恒 等 的 に ゼ ロ で あ る.(7.19)か

クスウェル

ら,

(7.25) が 導 け る.こ

こ で,φ=φ/￨φ￨を

さ せ て い る こ と が わ か る.し

定 義 し た.す

な わ ち,磁

流 は ヒ ッ グ ス場 が 発 生

か も 上 の 形 か ら わ か る よ う に,磁

流 は 保 存 す る.

(7.26) こ れ は,前 章(6.18)で

導 い た キ ン ク の トポ ロ ジー 荷 と同 じ く トポ ロ ジー す な

わ ち境 界 条 件 で保 存 す る カ レ ン トで あ り,対 称 性 の 存在 か ら導 け る ネー ター カ レ ン トで は な い.モ

ノポー ル は 二 つ の 真 空 に ま た が る解 な の で トポ ロ ジ ー 的 に

安 定 な 構 造 を もつ の で あ る.保 存 量 をQMと

書 きg=4π/eを

入れ れば

(7.27) こ れ は,(A.13)で QM=ngを  (7.25)を

定 義 し た ホ モ ト ピ ー ク ラ ス を 指 定 す る 巻 つ き 数 で あ り,

与 え る.φ=φUの

と きn=0,φ=φcの

眺 め れ ば 磁 流 は3個

る こ と が わ か る.ユ

と きn=1を

与 え る.

の ヒ ッ グ ス粒 子 の 複 合 体 に よ りつ く ら れ て い

ニ タ リー ゲ ー ジ で 考 え れ ば,モ

ノ ポ ー ル はW±

ヒ ッ グ ス 粒 子 の 複 合 体 で あ る とい う イ メ ー ジ が は っ き りす る.

と中性

  7.2.4  モ ノポ ー ル の 存 在 条件   上 記 の議 論 は,SO(3)対

称 性 が 自発 的 に 破 れ てU(1)対

称 性 が残 る と き,モ

ノ ポー ル が発 生 す る こ と を示 した もの で あ る.し か し,残 念 なが ら 自然 の 尊重 す る ゲ ー ジ対 称 性 はSO(3)で

は な い.そ

こ で,モ

ノ ポ ー ル が 存 在 す る ため に

対 称 性 に 課 せ られ る 条 件 を 調べ て み よ う(付 録Aの

議 論 参 照).モ

ノポー ル が

存在 す る た め の 条 件 は縮退真空 が 存 存 す る こ と,す な わ ち

(7.28) を 満 た すυ の 値 が 複 数 個 存 在 す る こ と で あ る.今,対 場 と ヒ ッ グ ス 場 が あ り,対 る と き,残

称 性Gが

さ れ た 対 称 性 をHと

分 だ け あ る.こ

す る.υ

・φ=υ2を

間 で あ る.し (S2)へ

の 選 び 方 はGか 呼 びG/Hで

取 り除 い た

表 す.G=SO(3)で

は, の 空 間 は,

な わ ちSO(3)/U(1)はS2と

は 時 空 の 球 面 で あ る か ら,そ

た が っ て(7.28)は,SO(3)/U(1)の

の 写 像 を 表 す.異

らHを

満 た す φ の 自 由 度 だ け あ っ た.そ

3次 元 φ 空 間 の 中 の 球 面 で 表 さ れ る.す ロ ジ ー を もつ.r=∞

満 たす ゲー ジ

自発 的 に 破 れ て φ が 上 記 の 真 空 配 位 を と

れ を 剰 余 空 間(coset)と

真 空 配 位 の と り方 は,φ

称 性Gを

同 じ トポ

の 自 由 度 は や は りS2の 場 合,時

空(S2)→

空

群 空 間

な る 写 像 が 連 続 変 換 で 互 い に 一 致 さ せ ら れ る と き,

同 じ ホ モ ト ピ ー ク ラ ス に 属 す る と い う.す

べ て の 写 像 が一 つ の ホ モ トピー ク ラ

ス に 属 す る と き は モ ノ ポ ー ル は 存 在 し え な い.こ

れ を

(7.29a) と書 く.S2→S2の

写 像 は(7.27)で

定 義 さ れ る 巻 つ き 数(整

数)で

指 定 され

る ホ モ ト ピ ー ク ラ ス に 分 け ら れ る の で,

(7.29b) と書 く.こ れ らの 議 論 か ら,モ

ノ ポー ル の 存 在 条 件 は 時 空 のS2か

ら群 へ の 射

影 が 異 な る ホ モ トピー ク ラ ス を もつ こ と,す な わ ちπ2(G/H)≠0で

あ る こ とが

わか る.以 下 の 議 論 で 必 要 に な るの は ホモ トピー 論 に お け る次 の定 理 で あ る.

(7.30a) (7.30b) πn(Sm)は,Sn→Smへ わ ち 円(S1)の

群Hへ

の ホ モ ト ピー 分 け を 表 す.π1は2次

元 空間の球 面す な

の 写 像 の ホ モ ト ピ ー ク ラ ス 分 け で あ る.H=U(1)の

合 に つ い て は す で に §6.1.3で

議 論 し た.整

場

数 で表 され る巻 つ き数 で ク ラ ス分

け で き る.す

なわ ち

(7.31) で あ る.こ れ か ら(準)単

純 で コ ンパ ク トな群Gの

対 称 性 を満 た す 非 ア ーベ

ル ゲ ー ジ場 と ヒ ッ グス 場 が共 存 し,対 称 性 が 自発 的 に 破 れ てU(1)が

残 る とき

は,常 に モ ノ ポー ル が 発 生 す る条 件 が 整 う こ とが わ か る.標 準 理 論 で は モ ノ ポー ル が発 生 しな い が(付 録A参 群Gと

照),大 統 一 が 存在 してSU(5)の

よ うな単 純

し て の 対 称 性 を 満 たす な ら ば,最 初 に(す な わ ち 大統 一 エ ネ ル ギー で)

対 称 性 が 自発 的 に破 れ てU(1)が

残 る と きに モ ノ ポー ル が 発 生 す る の で あ る.

デ ィ ラ ッ クの モ ノポー ル と違 い,大 統 一 が 存 在 す るな らば,モ

ノ ポー ル は 存在

し なけ れ ば な ら な い の で あ る.

7.3  大 統 一 モ ノポ ー ル の 性 質

 7.3.1  質 量 と サ イ ズ  大 統 一 モ ノ ポー ル は対 称 性 の 破 れ た ヒ ッ グ ス場 す な わ ち質 量 を獲 得 し た ゲー ジ 場 の 複 合 体 で あ り,質 量 は 大 統 一 の ベ ク トル ボ ソ ン(X, Y;第5章

参 照)

の もつ 質 量 に磁 荷 の 強 さの 逆 数 を掛 け た程 度 で あ る.

(7.32) こ こに,α5は 大 統 一 の結 合 定 数 の 大 き さ で あ る.素 粒 子 と し て は 異 様 に 大 き な値 で あ り,加 速 器 で つ くる こ とは不 可 能 で あ るが,ビ

ッ グバ ン 時 に 生 成 され

て残 っ て い る可 能 性 は あ る.   モ ノ ポー ル は点 粒 子 で は な く複 合 体 で あ り,そ の 大 き さは ベ ク トル ボ ソ ンの コ ン プ トン波 長 程 度 す な わ ち

(7.33) く ら い に 広 が っ て い る.実 (-eυr)の

際,式(7.13)の

漸 近 形 を もつ こ と が 証 明 で き る.こ

ソ ン が 閉 じ 込 め られ て い て,し

解Gが,r→∞

の 小 さ な 空 間 の 中 に ベ ク トル ボ

か も 自 ら の100倍

で あ る か ら 非 常 な 高 温 状 態 で あ る.中

で1-exp

心(r=0)で

もの 質 量 を生 み 出 して い るの は φ=0で

あ る か ら対 称 性

が 回復 して い る.外 の 真 空 との 間 に は 中 間 温 度 層 が 存 在 す る は ず で あ るか ら, そ こ に はWやZボ

ソ ンが,さ

存 在 す る で あ ろ う(図7.2).モ え られ る.(7.33)の

ら に 外 側 に は ク ォー ク グル ー オ ン プ ラ ズ マ も ノ ポー ル は 非 常 に複 雑 な 構 造 を して い る と考

値 は,大 統 一 ゲー ジ ボ ソ ンX, Y粒

子 で構成 され る芯の

サ イ ズ で あ り,全 体 と して は ハ ドロ ン程 度 の 大 きさ を もつ と考 え ら れ る.外 皮 が クォー クや グ ルー オ ン の 集 合 体 な らば,強

い力 が働 くで あ ろ う.す な わ ち モ

ノ ポー ル は 物 質 と強 い相 互 作 用 をす る 可 能 性 が あ る と考 え られ る.

図7.2  中心 にX,

Yな

用 の 領 域,閉

  7.3.2 

触

媒

  モ ノ ポ ー ル はW,

大 統 一 モ ノポ ー ル の 玉 ね ぎ構 造

どが あ り,外 側 に い くに つ れ 温 度 が 下 が り,電 弱 相 互 作 じ込 め の領 域 が 続 く.

作

用

Z, X,

Yゲ

ー ジ ボ ソ ン を 内 包 し て い る か ら,物

作 用 を す る と 弱 い 相 互 作 用 や 大 統 一 に よ る 相 互 作 用 を 誘 発 す る.特 の は 後 者 で,モ

に興味 ある

ノ ポ ー ル が 物 質 と 反 応 し て 核 子 崩 壊 を 引 き起 こ す(ル

カ ラ ン 効 果)10).モ と こ ろ で11),

質 と相 互

ノ ポ ー ル の 触 媒 作 用 に よ る 陽 子 崩 壊 断 面 積 は,β

バ コフ − の小 さい

陽子 Z>1の β は モ ノ ポ ー ル と 陽 子 の 相 対 速 度,σ0は F(Z,β)は

核 で 小 さ い.た

え ば27Al)で

だ し,モ

定 性 が 大 き い.ゼ

  7.3.3 

原 子核

  (7.34b)

典 型 的 な 強 い 相 互 作 用 断 面 積 で あ り,

反 応 相 手 の 原 子 核 に よ り変 わ る 因 子(10-2-10-6)で

ン を もつ 原 子 核(例

り,不

  (7.34a)

比 較 的 大 き く,酸

あ る.奇

数 スピ

素 の よ う な ス ピ ン0の

原子

ノ ポー ル の触 媒 断 面積 に 関 して は い ろ い ろ な 計 算 が あ ロ 値 を 与 え る モ デ ル も あ る.

ア イ ソ ス ピ ンの ス ピ ンへ の 転 化

  こ の ほ か に も モ ノ ポ ー ル は い ろ い ろ 興 味 あ る性 質 を もつ.例 ポ テ ン シ ャ ル が 示 す よ う に,モ る性 質 を もつ.ア

え ば,針

ねずみ

ノ ポ ー ル は ア イ ソ ス ピ ン 空 間 と 時 空 を 混 合 させ

イ ソ ス ピ ン1/2の

ボ ソ ン を捕 獲 す る と そ の 束 縛 状 態 は,フ

ェ

ル ミオ ン が 存 在 し な い に も か か わ ら ず 半 奇 数 の ス ピ ン を もつ3,12).

7.4  モ ノ ポ ー ル と天 体 物 理 学

  7.4.1  モ ノポ ー ル の 速 度   ビ ッ グバ ンか ら取 り残 され た モ ノ ポー ル が 宇 宙 に 存在 して い る と して,そ

の

速 度 分 布 と数 分 布 に対 す る制 限 を 天 体 物 理 学 を使 っ て考 察 す る.他 か ら力 を受 け な い とす れ ば,温

度 は ∼10-5mK∼10-12eVで

あ る の で,質 量 を1016GeV

とす る と β∼10-18と な る.し た が っ て実 際 の速 度 は 外 部 の 重 力 も し くは磁 力 に よ り加 速 さ れ て 得 られ た もの で あ り,銀 河 も し くは銀 河 団 な ど の 天体 に 束 縛 さ れ て い る可 能 性 が あ る.重 力 に よ る ビ リア ル 速 度(付 録B.4参

照)は

束縛

中 心 の 天 体 質 量 に 依 存 す る.銀 河 や 銀 河 団 の ビ リア ル 速 度 は β∼10-3程 度 で あ る.銀 河 中 心 か ら 太 陽 系 の 距 離 の 周 回 速 度 が ほ ぼ β∼10-3で あ るが,こ は 銀 河 か らの 脱 出速 度 の80%で

れ

あ り,ま た銀 河 団 か らの 脱 出 速 度 よ りほ ん の

少 し小 さい 程 度 で あ る.し た が っ て,モ

ノポー ル は 大 体 こ の程 度 の 速 度 を も っ

て い る と考 え られ る.も ち ろ ん 銀 河 磁 場 の加 速 な どに よ りこ れ よ り大 き くな っ て い る可 能 性 は あ る.も

し,太 陽 に 束 縛 され て い る とす る と β∼10-4,地 球 に

束 縛 さ れ て い る とす る と β∼4×10-5程 た っ て は,速

度 で あ る の で,モ

ノ ポー ル 探 索 に あ

度 範 囲 を 広 げ る の が 望 ま し い.

  7.4.2  フ ラ ッ クス 制 限   a.  銀 河 磁 場13)   銀 河 内 に は2∼5μG(ガ

ウ ス)の 磁 場 が 存 在 す る.こ れ は フ ァ ラ デ ー 回転 や

ダ ス トに よ る光 の偏 極,宇

宙 線 に よ る シ ン ク ロ トロ ン電 波 な どで 見 積 も る.磁

場 構 造 は うず 巻 きに 沿 う傾 向 が み られ る.う ず 巻 きの腕 の 回 転 速 度 の 違 い が磁 場 を 引 き延 ば して さ らに磁 場 を新 し くつ くるの で,磁 場 の再 生 周 期 は銀 河 の周 回 周 期(τG∼1億

年)程 度 で あ る.モ

ノ ポー ル が 存 在 す れ ば銀 河 磁 場 に よ り加

速 さ れ る.逆 に 言 う と銀 河 磁 場 の エ ネ ル ギー が 消 費 さ れ磁 場 が 弱 くな る.銀 河 内 に磁 場 が 存 在 す る事 実 が モ ノ ポー ル フ ラ ッ ク ス に制 限 を与え る.   一 様 な磁 場 が 存 在 す る領 域 の 大 き さLは,大

体1021cm(300pc:パ

ー セ ク)

程 度 と見積 もられ て い る.モ ノ ポー ル が この 領 域 を通 過 す る と加 速 も し くは減 速 され,エ

ネ ル ギー 差ΔE=gBLを

生 む.銀

河(半 径rG)を

横 断 す る 間 にN

個 の 領 域 を通 過 す る とす れ ば,全 体 と して は乱 雑 に加 速 も し くは 減 速 さ れ,平 均 と して は ΔEだ

け の エ ネ ル ギー を 奪 う で あ ろ う.す な わ ち1個

のモノ

ポー ル が 銀 河 を横 断 す る と き銀 河 の失 うエ ネ ル ギー 損失δEは,

(7.35) モ ノ ポ ー ル フ ラ ッ ク ス をFと

す れ ば,銀

は(4πF)(πrG2)で

∼rG/L∼30kpc/300pc∼100程

あ る.Nは

河 を 通 過 す る モ ノポー ル の 数 の 割 合 度 で あ る か ら,

モ ノ ポ ー ル 通 過 に よ る全 エ ネ ル ギ ー 損 失 率 は

(7.36) で 与 え ら れ る.こ

れ が 銀 河 磁 場 エ ネ ル ギ ー 生 成 率(B2/2)(4πrG3/3)/τGを

い と い う 条 件 か ら,次

超 えな

の パ ー カ ー 制 限 を 得 る.

(7.37)   こ の 式 は,磁

場 に よ る 加 速 で 得 た 速 度Δυ=(gBL/(Mυ))が

程 度 に 強 い と き に 成 立 す る.モ

ノ ポ ー ル が1016GeVよ

元 の 速 度υ

と同

り重 い とΔυ≪υ と な

り,エ

ネ ル ギ ー 損 失 は2次

効 果 と な る.こ

の 依 存 性 を も つ の で,M>1016GeVで

の場 合

はF→F×(M/1016GeV)と

な るが,

こ の 領 域 で は 次 に 述 べ る 宇 宙 の エ ネ ル ギ ー 密 度 か ら の 制 限 の 方 が きつ くな る .   銀 河 団 内 に す な わ ち 銀 河 間 に 磁 場 が 存 在 す れ ば,パ だ け で 全 く同 じ議 論 が で き る.実 観 測 デ ー タ は,銀 の 場 合,rc→ し て,制

際,密

河 間 に も0.01∼1μGの

銀 河 団 サ イ ズ,L→

限 は2∼3桁

ラ メ ター を ス ケー ル す る

集 銀 河 団 か ら の 拡 散(diffuse)電

波 の

磁 場 が 存 在 す る こ と を示 唆 す る.こ

銀 河 サ イ ズ,τG→

銀 河 年 齢(∼109年)と

ほ ど き つ く な る14).

  b.  宇 宙 の エ ネ ル ギ ー 密 度   宇 宙 の 相 対 エ ネ ル ギ ー 密 度 をΩ(=ρ/ρc)と

書 く.

(7.38)

G:万

有引力定数

H0は ハ ッブ ル 定 数 で あ り,hは

不 定 性 を表 す .宇 宙 の エ ネ ル ギー 密 度 はΩ 〓1

(よ り正 確 に はh2Ω 〓1が わ か っ て い る),バ と見 積 も られ て い る(第8章

参 照).モ

リ オ ン 密 度 はh2ΩB=0.02±0.004

ノ ポー ル は,ト ポ ロ ジー の 欠 陥 と し て

現 れ るの で生 成 当 時 の 地 平 線 内 に1個 程 度 はつ くられ た で あ ろ う.非 常 に 重 い の で 消 滅 しに く く,標 準 的 な宇 宙 論 で 計 算 す る と少 な く もバ リオ ン と同程 度 に 存在 しな け れ ば な らな い が,上 の 数 字 は宇 宙 論 に よ るモ ノ ポー ル数 密 度 推 定 値 が14桁

以 上 大 きす ぎ る こ と を示 して い る.こ の事 実 は,イ

ン フ レー シ ョン モ

デ ル 提 案 の 動 機 とな っ た.   モ ノ ポー ル が 速υ,数

密 度Nで

ル フ ラ ッ ク スFはNυ/4π

で 与 え られ る.モ

な い条 件(h2ΩM<1)が

乱 雑 に 運 動 して い る とす れ ば,モ

ノ ポー

ノ ポー ル が 現 在 の宇 宙 密 度 を超 え

一 つ の制 限 を与 え る.

(7.39) M>1016GeVで

は パ ー カ ー 制 限 よ り き び しい 制 限 を与 え る.た

だ し,あ ま り

質 量 が 大 き くな る と磁 場 に よ る加 速 が小 さ くな り,宇 宙 年 齢 を もっ て して も β

∼10-3に

ま で 到 達 さ せ る こ と は で き な い の で ,上

記 の 制 限 は,M<1019GeV

で 有 効 で あ る.   c.  中 性 子 星 内 の モ ノ ポ ー ル 触 媒 作 用   時 間 τ の 間 に 中 性 子 星 に 捕 捉 さ れ る モ ノ ポ ー ル の 数NMは,半

径 をRと

し

て

(7.40) で 与 え ら れ る.βesc(∼0.3)は

表 面 か ら の 脱 出 速 度 で あ り,β∞ は 星 か ら 十 分 離

れ た と こ ろ で の 速 度 で あ る.β∞=10-3と

す る と 括 弧 内 の 数 は∼105と

と ん ど の モ ノ ポ ー ル は 芯 に 定 着 す る.モ

ノ ポ ー ル に 触 媒 作 用 が あ る と し,物

と の 反 応 断 面 積 をσcと す る と,触 で 与 え ら れ る.NAは

質

媒 作 用 に よ る 物 質 の 核 子 崩 壊 率 はNAρυ σc

ア ボ ガ ド ロ 数,ρ

∼0 .3, ρ=3×1014g/cm3と

な る.ほ

は 物 質 の 密 度 で あ る.σc=1mb,β

設 定 す る と,中

性 子 星 の 芯 の 中 で の1個

の モ ノ

ポ ー ル 触 媒 作 用 に よ る エ ネ ルギ 一発 生 率 は, (ギ ガ ワ ッ ト) 

(7.41)

モ ノポ ー ル は 大量 の エ ネ ル ギ ー を発 生 す る こ とが わ か る.こ の う ちの 一 部 また は相 当部 分 が 光 も し くはX線

な どの 形 で 放 出 さ れ る は ず で あ る.中 性 子 星 の

X線 輝 度 の 年 齢 依 存性(若 け れ ば 中性 子 の エ ネ ル ギー は も っ ぱ らニ ュ ー ト リノ が持 ち去 る)や 上 限値 か ら,モ ノ ポー ル フ ラ ッ ク スへ の制 限 が 得 られ て,

(7.42) と 見 積 も ら れ て い る15).β ∼0 .1∼0.3,γ(1∼104)は

は 年 と っ た 中 性 子 星 内 の モ ノ ポ ー ル の 速 度 で,β

光 輝 度 の 全 エ ネ ル ギ ー 放 出 に 占 め る 割 合 で あ る.モ

ノ ポ ー ル の 質 量 が 小 さ くな る と重 力 よ り 電 磁 力 が 勝 ち,中

性 子 星 の もつ磁 場 に

より モ ノ ポ ー ル の 軌 道 は 曲 げ ら れ て 捕 獲 さ れ な く な る の で,上 1014GeVで

は 成 立 し な い.

7.5 

  モ ノ ポ ー ル の 検 出 に は,モ 度 β∼10-3を

の 値 は,M<

モ ノ ポ ー ル 探 索2)

ノ ポ ー ル の もつ 特 徴 す な わ ち 磁 荷g=2πn/eと

もつ と い う 事 実 を 利 用 す る.モ

速

ノポー ル が コイ ル の 中 を通 過 す る

と きに 電 流 が 誘 起 され る事 実 を使 う磁 気 誘 導 法 とモ ノ ポー ル と物 質 との 相 互 作 用(イ オ ン化 損 失 な ど)を 検 出す る方 法 とに 大 別 され る.前 者 は モ ノポ ー ル の 質 量,速 度 そ して 電 荷*4)に よ ら ず 磁 荷 の 存 在 の み を検 出 す る とい う利 点 を も つ が,大

き な コ イル はつ く りに くい,後 者 に は β〓10-3の と き の イ オ ン化 損 失

に理 論 的 不 定 性 が あ る もの の 大 立 体 角 の とれ る大 型 検 出器 をつ く りや す い とい う利 点 が あ る.

 7.5.1 磁 気 誘 導 検 出 器   Δtの 間 に モ ノポ ー ル1個

が コ イ ル の 輪 を通 り抜 け る と フ ァ ラ デー の 法 則 に

よ り,

(7.43) で 与 え られ る だ け の 電 流Iが は コ イ ル の 面 積,Vは

発 生 す る.ΔΦ(ΔB)は

誘 起 電圧,Lは

aの 針 金 で つ くっ た 半 径Rの

磁 束(密 度)の 変 化,S

コ イ ル の イ ン ダ ク タ ン ス で あ る.半 径

コ イ ル の イ ン ダ クタ ン ス は

(7.44) で 与 え ら れ る.例 =gD=4

.14×10-15ウ

る16).こ quantum

え ば,a=250μm,

R=1mと

device)を

電 流 が 流 れ

伝 導 量 子 干 渉 計SQUID

(super

使 え ば 検 出 可 能 で あ る*5).し

変 化 は 地 球 磁 場(0.3G)が10-11程 で,厳

な り,Δ Φ

エ ー バ ー に 対 し て,0.4nA(nA=10-9A)の

れ は 小 さ な 値 で あ る が,超 interference

す る とL=10μHと

か し上 記 の 磁 束

度 変 化 し た と き と 同程 度 の 信 号 を与 え る の

重 な磁 場 遮 蔽 が 要 求 さ れ る.1982年

に カ ブ レ ラ(B.

の 方 法 で 信 号 を 検 出 し て 大 き な 話 題 と な り,世 探 索 を始 め る き っ か け と な っ た.そ

conducting

Cabrera)17)が,こ

界 中 で 大 が か りな モ ノ ポー ル

の 後 の 追 試 で は,単

独 コ イル で信 号 を得 る

こ と は あ っ て も二 つ の コ イ ル の 同 時 計 測 で の 信 号 は つ い に 得 ら れ な か っ た.磁

*4)  電 荷 を もつ モ ノ ポ ー ル を ダ イ オ ン(dyon)と

い う . *5)  超 伝 導 は ク ー パ ー 対 に よ り 引 き起 こ さ れ る.超 伝 導 体 ル ー プ の 中 の 磁 束 は 量 子 化 さ れ て い る,ク ー パ ー 対 は 電 荷2eを もつ の で,SQUIDの 中で量 子化 さ れ る磁 束 の最 小 単 位 は φ0=g/2で あ る.し 起 さ れ る.

た が っ て 磁 荷gを

も つ モ ノ ポ ー ル の 通 過 に よ り2φ0の 磁 束 飛 躍 が 誘

気 誘 導 法 に よ り得 ら れ た モ ノ ポ ー ル フ ラ ッ ク ス の 限 界 は,図7.4に

他 の 実験

デ ー タ と と も に 与 え て あ る18).

  7.5.2 

イ オ ン化 損 失 を使 う方 法

  a.  シ ン チ レ ー シ ョ ン カ ウ ン タ ー と 比 例 係 数 管   速 度 β で 動 く モ ノ ポ ー ル は,軌

道 に 垂 直 な 方 向 に 電 場 を つ く り,物

分 子 原 子 を 励 起 な い し は イ オ ン 化 す る.イ

質 中 の

オ ン化 に よ るエ ネ ル ギー 損 失 は

(7.45) で 与 え られ る19).添 字 は磁 荷(m)も を表 す.(g/e)2=4700で

し くは 電 荷(e)に

よ るエ ネ ル ギー 損 失

あ るの で,相 対 論 的 モ ノ ポー ル は 非 常 に大 き な イ オ ン

化 損 失 を 与 え る.通 常 の 荷 電 粒 子 に よ る イ オ ン化 損 失 の 式(べー の 式)は,β

が0.03程

7.3(a)).特

に 以 下 に 述 べ る ドレ ル-ペ ニ ン グ効 果 は,モ

テ-ブ ロ ッ ホ

度 よ り小 さ い と成 立 し な い の で 計 算 が し 直 さ れ た(図

な手 段 を提 供 す る20)(図7.3b).ド

ノ ポー ル 探 索 に 有 力

レ ル 効 果 と は モ ノ ポー ル が 通 り過 ぎ る と,

近 傍 の 電 子 の もつ 角 運 動 量 が 変 化 し,こ の 結 果 と して 生 じる原 子 内 電 子 の レベ ル 混 合 に よ って 励 起 され る こ とを い う.角 運 動 量 が変 化 す る こ とは 次 の よ うに し て い え る.電 荷q,質

量mを

もつ 粒 子 が 原 点 に あ る モ ノ ポー ル の 近 傍 を動

く と き,受 け る力 は

し たが っ て 軌 道 角 運 動 量 変 化 は

最 後 の 式 を導 く と きに デ ィ ラ ッ ク の量 子 化 条 件 を使 っ た.こ れ か ら保 存 量 と し て の 全 角 運 動 量Jと

して は,次 式 を使 わ な けれ ば な ら な い こ とが わ か る.

(7.46) 第2項

は 電磁 場 の 角 運 動 量 が 電 子 に移 され る こ とに よ り生 じる効 果 で あ る.原

子 内 の 電 子 の 静 止 系 で,モ

ノ ポー ル がz=-∞

か ら+∞

角 運 動 量 移 行 が 生 じ,原 子 が 励 起 さ れ る の で あ る.シ

に 動 け ば,ΔJ=1の ン チ レー シ ョン カ ウ ン

ター は原 子 が イオ ン化 さ れ た 場 合 に しか 感 じな い.し か し,あ る種 の 比例 係 数

(a)

(b)

図7.3  (a)  Ahlen, (b)  Drellら G0は

モ ノ ポー ル の エ ネ ル ギ ー 損 失 Lindhard, の 計 算(実

Ritsonの

計 算19)

線)20)とRitsonの

計 算

励 起 状 態 との エ ネ ル ギ ー ギ ャ ップ

管 は 封 入 気 体 と し て ヘ リウ ム と クエ ン チ 用n-ペ

ン テ ン な ど の混 入 気 体 を使 用

す る.こ の 場 合 励 起 ヘ リウム(励 起 エ ネ ル ギー>20eV)とn-ペ に よ り励 起 エ ネ ル ギー がn-ペ

ンテンの衝突

ン テ ン に移 行 す る(ペ ニ ン グ効 果).n-ペ

は浅 い イ オ ン化 ポ テ ン シ ャ ル を も っ て い る の で(∼10eV),結

ン テン

果 的 に イ オ ン化

電 子 が 放 出 さ れ検 出可 能 と な る.し た が っ て ドレル-ペ ニ ン グ効 果 の 使 用 可 能 な比 例 係 数 管 と シ ンチ レー シ ョ ン カ ウ ン ター は分 け て考 察 す る必 要 が あ る.シ ン チ レー シ ョ ン カ ウ ン ター(主 た る素 材 は 炭 素)で は,β〓10-3付

近 が ほ ぼ検

出 限 界 とな る が,比 例 計 数 管 で は ペ ニ ン グ効 果 を使 え ば β〓10-4ま で 到達 可 能 で あ る.   b.  エ ッ チ ン グ軌 跡 検 出器   粒 子 が 固体 物 質 を通 過 す る と放 射 線 損 傷 を残 す こ とを利 用 す る イ オ ン化 損 失 検 出器 の 一 種 で あ るが,電

子 回 路 な どの 能 動 素 子 を使 わ な い の で大 面 積 をつ く

りや す い こ と,過 去 の 記 憶 を蓄 積 す る こ とが 可 能 な どの 利 点 が あ る.損 傷 部 位 が 長 期 間 残 る こ と,し たが っ て大 き な イ オ ン化 作 用 を もつ 粒 子(Zの

大 きな 原

子 核 な ど)に 対 し て検 出効 果 が大 き く,ま た電 気 的 に不 良導 体 も し くは 絶 縁 体 で あ る こ とが 条 件 で あ る.実 際 に 使 わ れ る素 材 と して は,ニ (硝 綿)と か 高 分 子 炭 水 化 物 の レ キ サ ン(lexan), ポー ル の 場 合 は,基 対 象 とな るが,CR39に

本 的 に は β の 大 きい場 合 かZの

CR39な

トロ セ ル ロー ズ ど が あ る.モ

ノ

大 き な原 子 との 束 縛 体 が

対 して は 重 イ オ ン加 速 器 を使 って,β〓10-3ま

で検 出

能 力 が あ る こ とが 実 証 され て い る21).   実 際 の 使 用 に あ た っ て は,大 面 積 のCR39の

板 を地 下 の 宇 宙 線 バ ッ ク グ ラ

ウ ン ドの 小 さ い と こ ろ に長 時 間据 え 置 き し た の ち,化 学 的 処 方 で エ ッ チ ン グ を 行 う と,軌 跡 に 沿 って 円 錐 状 に穴 が あ け られ る.軌 跡 方 向VLと

軌跡 に直角 な

方 向VTで

エ ネ ル ギー 損

エ ッ チ ン グ 速 度 が 違 い,円 錐 の 頂 角tan-1(VT/VL)は

失 量 の 増 加 関 数 で あ る.板 の 両 側 か らの エ ッチ ン グ孔 が 貫 通 す れ ば,孔 の ス キ ャ ン は 容 易 に 行 え る.東 京 グ ル ー プ は2000m2のCR39を 洞 窟 に2年

間 据 え 置 い て,モ

大 谷 石採 石場 の

ノ ポー ル探 索 を行 っ た.結 果 は 否 定 的 で あ っ た

が,パ ー カ ー 極 限 を超 え る フ ラ ッ クス上 限 が 得 ら れ た21)(図7.4).   イ オ ン化 損 失 を 使 う方 法 で現 役 最 大 の検 出器 は,イ 設 置 さ れ たMACROで

あ る.MACROはdE/dxを

タ リア の グ ラ ンサ ッソ に 使 う上 記 三 つ の 方 法 を組

み 合 わ せ た 検 出 器 で,現 在 ほ ぼ パ ー カー 制 限 に 達 す る上 限 を与 え て お り22), デ ー タ が 蓄 積 され れ ば,さ

ら に1桁

くらい は 改 良 さ れ る と見 込 まれ る.

  エ ッ チ ン グ を使 っ た 興 味 あ る使 用 法 と して,雲 母 に 残 され た軌 跡 を調 べ た実 験 が あ る.雲 母 は エ ッチ ン グ法 軌 跡 検 出器 と して は感 度 が 高 い 方 で は な い が, β∼10-3付 近 の モ ノ ポー ル は 大 きな磁 気 能 率 を もつ 原 子 核(27Alな して,十

分 検 出 可 能 な軌 跡 を残 す こ とが で き る.地

記 憶 を 残 す 雲 母 を抽 出 して 調 べ た結 果 で は,モ

ど)を 捕 獲

中 に あ って5∼9億

年近い

ノ ポー ル の 痕 跡 は 見 つ か ら な

図7.4  磁 気 単極 子 の フ ラ ッ クス 上 限 値 大 谷 はCR39使

用,磁

荷gD,

2gD, 3gDに

つ い て 求 め て あ る21).他

は す べ てgDを

仮 定. 磁 気 誘 導18),大

KGF27),

谷21),MACRO22),雲

母23),原

ら24),UCSD225),

SOUDAN226),

BAKSAN28)

雲 母 の 陽 子 束 縛 率 と は モ ノポ ー ル が 地 表 に 到達 した と きに す で に 陽 子 と束縛 状 態 に な っ て い る確 率.

か っ た23).雲 母 測 定 は 特 定 の β範 囲 で 最 も厳 し い 制 限 を 与 え る が(図7.4), 探 索 の 前 提 条 件 に い くつ か の 不 定 性 が あ る.例 えば モ ノポ ー ル が 地 球 に 降 っ て き た と きす で に 陽 子 を捕 獲 して い る と,地 殻 で はAlを ク ス上 限 が 大 き く変 わ る.図

で は 捕 獲 率fを

捕 獲 しな い の で フ ラ ッ

パ ラ メ タ ー と し て い る.ま た モ

ノ ポー ル に よ り生 じる放 射 線 損 傷 の 回復 時 間 の 不 定 性 も解 決 す べ き問 題 と して 残 っ て い る.さ

ら に,モ

ノ ポー ル に触 媒 作 用 が あ れ ば 雲 母 に軌 跡 を残 す ほ ど長

時 間束 縛 状 態 は維 持 で きな いか ら この 方 法 は 無 効 とな る.

  c.  触 媒 効 果 検 出 法   モ ノ ポ ー ル に 触 媒 作 用 が あ れ ば,物 す で に 述 べ た.捕 1(10-3)の

と き,水

獲 断面積

質 と反 応 し て 核 子 崩 壊 を誘 起 す る こ と は

σc=σ0/β と し,σ0=1mb(10-27cm2)で

の 中 を10m動

く間 に 平 均0.6(600)回

の 反 応 を 起 こ す が,

酸 素 原 子 核 と の 断 面 積 が 非 常 に 小 さ け れ ば 反 応 率 は1/9に よ,陽

あ れ ば,β=

な る.い

子 崩 壊 検 出 器 は モ ノ ポ ー ル の 有 力 な 検 出 器 で も あ る.神

の 巨 大 水 チ ェ レ ン コ フ 検 出 器 で 陽 子 崩 壊 が1例 か ら,モ

岡29)やIMB30)

も 見 つ か っ て い な い と い う事 実

ノ ポ ー ル フ ラ ッ ク ス の 上 限 が 直 ち に 求 め ら れ る.図7.5上

を パ ラ メ タ ー と し て1∼100mbに

ず れ にせ

設 定 し た 場 合 と,σc=σ0/β2,

半 部 に σc

σ0=10-4mbと

設 定 し た 場 合 に つ い て 神 岡 の デ ー タ を 図 示 し た.   モ ノ ポ ー ル 触 媒 作 用 の 興 味 あ る 応 用 と し て,太 ク ス を 測 る こ と が 示 唆 さ れ た31).太 を 捕 獲 し,中

に よ り,平

陽 が 誕 生 以 来45億

心 部 に 貯 蔵 し て き た と す れ ば,中

均 エ ネ ル ギ ー35MeVの

をfと

推 定 で き る.太 し,地

年 に わ た りモ ノ ポ ー ル

心 部 の モ ノポー ル 反 応

ニ ュ ー ト リ ノ を 放 出 す る.し

子 ニ ュ ー ト リ ノ(νe)を 検 出 し て や れ ば,太 数NMが

陽 か らの ニ ュ ー ト リ ノ フ ラ ッ

たが って電

陽 の 中 心 に 存 在 す る モ ノ ポー ル の

陽 中 心 で の モ ノ ポー ル に よ る電 子 ニ ュー ト リノ生 成率

球 に 到 達 す る フ ラ ッ ク ス をIν とす る と

(7.47) で 与 え ら れ る.υrel=1.7×10-3c,ρH(=55g/cm3)は ド ロ 数,dは

太 陽 地 球 間 の 距 離,Rπ(=0.57;

π メ ソ ン 生 成 分 岐 比,Aπ(=0.2)は ウ ム と の 反 応 は 無 視 で き る.神

陽 子 密 度,NAは SU(5)モ

デ ル)は

ア ボガ

陽子崩 壊 での

太 陽 中 心 で の π の 吸 収 確 率 で あ る.ヘ

リ

岡 グ ルー プ は ニ ュー トリ ノフ ラ ッ ク ス の 観 測 上

限値 か ら モ ノ ポー ル 数 上 限 と して

(7.48) を 得 た29).NMを

フ ラ ッ ク ス に 換 算 す る 式 は,式(7.40)で ,βesc=2×10-3, τ=4.5×109年,σc=σ0/β2(式(7.34)

与 えら

れ て い る. 

参 照)と 置 き換 え て

(7.49) とな る.た だ し,モ ノ ポー ル の 質 量 が1017GeVよ

り大 き い と,太 陽 に 捕 獲 さ

れ る確 率 が 小 さ くな るの で 値 は 悪 くな る.こ れ は パ ー カー 極 限 を は る か に 超 え,中 性 子 星 内 の触 媒 効 果 か ら推 定 され る値(式(7.42))と 7.5下 半 部).現 在100倍

同 程 度 で あ る(図

近 く大 きい 体 積 を もつ スー パ ー カ ミオ カ ン デ が 稼 働

中 で あ るか ら,こ の 上 限 値 は さ らに 改 良 さ れ る と期 待 さ れ る.

図7.5 

カ ミオ カ ン デ検 出器 に よ る磁 気 単 極 子 探 索 デー タ29)

核 子 崩 壊 触 媒 作 用 か ら求 め た磁 気 単 極 子 フ ラ ッ クス 極 限 値.上

方 曲線 は検 出器 で

核 子 崩 壊 が 見 つ か らな か っ た こ とか ら く る上 限.σc=0.1∼100mbと

設 定 した 場

合(実 線)と,σc=σ0/β2, σ0=10-4mbと 設 定 し た 場 合(ダ ッシ ュ線)に つ い て 与 え て あ る.下 方 の 右 上 り曲 線 は 太 陽 ニ ュ ー ト リ ノフ ラ ッ ク ス 測 定 に よ る もの. 触 媒 反 応 断 面 積 σc=σ0/β2, σ0=1mbと

して,質

量Mを

パ ラ メ ター と し て い る.

中 性 子 星 とは 中性 子 星 の 輝 度 よ り求 め られ る 上 限 の 計 算 値(本 文 式(7.42)15)参 照).

7.6 

お わ

り に

ト ・フ ー フ ト-ポ リヤ コ フ の モ ノ ポ ー ル 予 言 以 来,20年

に わ た る探 索 が 続 け

ら れ て い る に もか か わ らず モ ノ ポ ー ル は い ま だ 見 つ か っ た とい う証 拠 は な い.最 も 信 頼 で き る 磁 気 誘 導 法 に よ る フ ラ ッ ク ス 上 限 は,10-12cm2sr-1s-1程 る.dE/dxを

使 う 方 法 は こ れ よ り 厳 し い 制 限 を 与 え,パ

cm2sr-1s-1を

超 え る フ ラ ッ ク ス 制 限 を 与 え る.触

し い 制 限 が 可 能 で あ る が 不 定 性 が 大 き い.こ は 見 つ か ら な い と い う こ と は,イ

度 で あ

ー カ ー 制 限 ∼10-15

媒 作 用 を仮 定 す れ ば も っ と 厳

の よ うに実 験 的 に は 存在 す る証 拠

ン フ レー シ ョ ン モ デ ル(後

述 第8章)が

い こ と を 強 く示 唆 す る.

参 考 文 献

1)  理 論 的 な レ ビ ュ ー と し て,J.Preskill:Ann.Rev.Nucl.Part.Sci.,34(1984)461-530 2)  実 験 的 な レ ビ ュ ー と し て,D.E.Groom:Phys.Reports,C140(1986)323 3)  L.H.Ryder:Quantum

Field

K.Huang:Quarks,Leptons Chapter

Theory,2nd and

G.t'Hooft:Nucl.Phys.,B79(1974)276

5) 

P.A.M.Dirac:Proc.Roy.Soc.,A133(1931)60

6) 

T.T.Wu

7) 

E.Bogomol'nyi:Sov.J.Nucl.Phys.,24(1976)449

A.M.Polyakov:JETP

Lett.,20(1974)194;Soviet

and

S.Coleman

Press,1996

Scientific,Singapore,

Physics

JETP,41(1976)988

C.N.Yang:Nucl.Phys.,B107(1976)365

et

M.Prasad

al.:Phys.Rev.,D15(1977)544

and

C.Sommerfeld:Phys.Rev.Lett.,35(1975)760

T.W.Kirkman

and

C.K.Zachos:Phys.Rev.,D24(1981)999

9)  J.Arafune,P.G.Freund 10) 

University

Fields,2nd.ed.,World

5

4) 

8) 

ed.Cambridge

Gauge

and

V.Rubakov:JETP

C.J.Goebel:J.Math.Phys.,16(1975)433

Lett.,33(1981)644;Nucl.Phys.,B203(1982)311

C.G.Callan:Phys.Rev.,D25(1982)2141;Phys.Rev.,D26(1982)2058 W.P.Trowers:Acta

Phys.Austr.Suppl.,25(1983)101

11) 

J.Arafune

and

M.Fukugita:Phys.Rev.Lett.,50(1983)1901

12) 

R.Jackiew

13) 

M.S.Turner,E.N.Parker

14) 

Y.Rephaeli

15) 

E.W.Kolb

16) 

H.J/Frisch:Proc.NATO

J.Ellis,D.V.Nanopoulos and

P.Hasenfratz

83)at

and

and and

Ann

and

K.

Olive:Phys.Lett.,B116(1982)127

C.Rebbi:Phys.Rev.Lett.,36(1976)1116 G.t'Hooft:Phys.Rev.Lett.,36(1976)1119 and

T.J.Bogden:Phys.Rev.,D26(1982)114

M.S.Turner:Phys.Lett.,B121(1983)115 M.S.Turner:Ap.J.,286(1984)702 Advanced

Arbor,ed.J.L.Stone,Plenum

17) 

B.Cabrera:Phys.Rev.Lett.,48(1982)1378

18) 

S.Bermob

et

al.:Phys.Rev.Lett.,64(1990)839

Research

Workshop Publishing

on

Menopole(Monopole'

Corp.,NY,1984,p.515

正 し

19) 

S.P.Ahlen

and

K.Kinoshita:Phys.Rev.,D26(1982)2347

D.M.Ritson:SLAC-Pub-2950(1982),文 20) 

S.D.Drell

et

N.M.Kroll

献15に

引 用

al.:Phys.Rev.Lett.,50(1983)644

and

V.Ganapathi:Inst.Phys.conf.ser.No.71,paper

1984,Knoxville,Tenn.,16020

April

presented

at

RIS

1984

V.Patera:Phys.Lett.,A137(1989)259 21) 

S.Orito

22) 

MACRO:S.Ahlen S.Ahlen

et

al.:Phys.Rev.Lett.,66(1991)1951 et

et

al.:Nucl.Instr.Methods,A324(1993)337

al.:Astrop.Phys.,1(1992)11-25;Phys.Rev.Lett.,72(1994)608

M.Ambrosio

et al.:Astrop.Phys.,4(1995)33;ibid.,6(1997)113;Phys.Lett.,B406

(1997)249 23) 

P.B.Price,Shi-lun

Guo,S.P.Ahlen

and

R.L.Fleisher:Phys.Rev.Lett.,52(1984)

1265 P.B.Price D.Ghosh

and and

24) 

T.Hara

25) 

UCSD2:K.N.Buckland

et

26) 

SOUDAN2:J.L.Thron

27) 

KGF:H.Adarkar

28) 

BAKSAN:E.N.Alexeyev

M.H.Salamon:Phys.Rev.Lett.,56(1986)1226 S.Chatterjea:Europhys.Lett.,12(1990)25

al.:21st

ICRC,Adlaide(1990),p.79 et et et

al.:Phys.Rev.,D41(1990)2726 al.:Phys.Rev.,D46(1992)4846

al.:21st

ICRC(1990),p.95 et

al.:Nuovo

Cimento

Lett,35(1982)413,21st

et

al.:J.Phys.Soc.Japan,54(1985)4065

(1990),Adlaide,p.83 29) 

KAMIOKANDE:T.Kajita

30) 

S.Errede

31) 

J.Arafune

et

al.:Phys.Rev.Lett.,51(1983)245

and

M.Fukugita:Phys.Lett.,B133(1983)380

ICRC

8 宇

宙

8.1 

論1,2)

フ リ ー ドマ ン 方 程 式

 a.  宇 宙 原 理   宇 宙 に お け る物 質(星,銀

河)の 分 布 は,空 間 的 に一 様 か つ 等 方 的 で あ る と

い う仮 定*1)を 宇 宙 原 理 と い う.宇 宙 論 の 最 も基 本 的 な仮 定 の 一 つ で あ る.こ の 仮 定 を お くと,宇 宙 の 計 量 は 次 式 で 表 さ れ る(ロ バ ー トソ ン-ウ ォー カ ー の 計 量).

(8.1) (r,θ,φ)は 無 次 元 で 共 動 座 標 と呼 ば れ る.kはR, +1,0,-1の

rを 適 当 に 規 格 化 す れ ば,

値 を と り,そ れ ぞ れ 閉 じた宇 宙,平 坦 な 宇 宙,開

れ る(付 録B.1参

照).R(t)は

宇 宙 の ス ケ ー ル を表 す.共 際 の 距 離 は これ にR(t)を 宇 宙 で はRは

い た宇 宙 と呼 ば

長 さ の 次 元 を も ち 時 間 と と もに 変 化 す る 量 で,

動座 標 系 で 計 算 した 距 離lは 掛 け たR(t)lで

宇 宙 の 半 径 と見 なせ る.閉

時 間 に よ ら な い が,実

表 さ れ,時 間 の 関数 で あ る.閉 じた 宇 宙 で は 曲率 が 正,Rは

じた

現在 は

増 加 しつ つ あ るが,最 高 値 に達 した後 減 衰 しや が て は0に な る.平 坦 な宇 宙 で はRは

増 加 し続 け るが,t→∞

負 で,Rは

でdR/dt=0と

な る.開 い た宇 宙 で は 曲 率 が

際 限 な く増 加 し続 け る.こ の 計 量 を使 っ て ア イ ン シ ュ タ イ ン の 一

般 相 対 論 方程 式 を書 き下 ろ す と フ リー ドマ ン方 程 式 を得 る.

(8.2)

*1)  非 常 に 大 き な ス ケ ー ル(>100Mpc)で

は 観 測的 に も真実 であ る

.

H(t)は す.Gは

ハ ッ ブ ル 定 数 と 呼 ば れ るが,実

際 は 時 間 の 関 数 で 宇 宙 の 膨 張 率 を表

万 有 引 力 定 数 で,ρ は 宇 宙 の エ ネ ル ギー 密 度 で あ る.Λ

呼 ば れ る量 で,イ

は宇 宙 項 と

ン フ レー シ ョン を問 題 にす る と きや 最 新 の 宇 宙 論 で 重 要 な役

割 を果 た す が,簡 単 の た め こ こ で はΛ=0と る密 度 を臨 界 密 度 とい い,現 時 点(t=t0)で

し て 話 を進 め る.Λ=k=0に

す

の 臨 界密 度 ρcは,現 時 点 で の ハ ッ

ブ ル定 数 の値 を入 れ て3,4),

(8.3a)

(8.3b) 1 parsec=3.26光

年

  (8.3c)

(太 陽 質 量)  hは 観 測 量 の 不 定 さ を 表 し,0.6∼0.8で

(8.3d) あ る.な

お,Ω=ρ/ρcな

タ ー が エ ネ ル ギ ー 密 度 と と も に よ く使 わ れ る.Ω=1が い た 宇 宙 で あ る.式(8.2)はΛ=0で 量M(=4π

ρR3/3)に

あ れ ば,半

径Rの

るパ ラ メ

平 坦 宇 宙,Ω<1が

開

球 の 中 に 含 ま れ る質

よ る ニ ュ ー トン の 方 程 式

(8.4) に 形 の 上 で は一 致 す る こ とに 注 意 しよ う.覚 えて お く と便 利 で あ る.  宇 宙 論 で 重 要 な も う一 つ の 式 は,エ

ネ ル ギー 保 存 の 式 で あ る.圧 力 をPと

して

(8.5) で与 え られ る.  b.  光 の 赤 方偏 移

(8.6a) を 定 義 す る.光

の 行 路 はds2=0で

与 え られ るか ら

(8.6b) 共 動 座 標r=r1か

ら 時 刻t1∼t1+δt1に

+δt0に 受 け 取 っ た と す れ ば,(8.6b)の

放 出 さ れ た 光 を,r=0で,時

刻t0∼t0

右 辺 は 時 刻 に よ ら な い か ら,δ η(t0)=

δη(t1)が 成 立 す る.ゆ

え に,

(8.7) 光 の 波 長 と 振 動 数 を λ とν と 書 き,δtと

し て1/ν

を とれ ば,

(8.8) す な わ ち遠 方 に あ る銀 河 か ら放 出 さ れ る光 は 常 に赤 方 に(λ0>λ1)に 偏 移 す る.   c.  粒 子 の 統 計 と分 布   宇 宙 の 時 間 変 化 は,上 記 の2式(8.2),(8.5)に

状 態 方 程 式 が 与 え られ れ ば

ほ ぼ 記 述 可 能 で あ る.そ の ため,熱 力 学 に お け る状 態 変 数 を い くつ か 計 算 して お く.粒 子iが

熱 平 衡 状 態 に あ る と きの,数

密 度niお

よ び エ ネ ル ギー 密 度 ρi

は,粒 子 の もつ 自由 度 をgi(フ ォ トンや 通 常 の フ ェル ミオ ンはg=2)と

して

(8.9) ボ ー ス-ア イ ン シ ュ タ イ ン(BE)統 フ ェ ル ミ-デ ィ ラ ッ ク(FD)統

計 計

マ ク ス ウ ェ ル-ボ ル ツ マ ン(MB)統

計

(8.10a) 非相対論 粒子

  (8.10b)

BE FD

(8.11a)

MB

非相対論非縮 退粒子

(8.11b) 温 度Tは

エ ネ ル ギ ー で 表 す も の とす る.温

を 掛 け て エ ネ ル ギ ー に 換 算 す る.μ 合 は0で

あ る.粒

度 で 表 す と き は ボ ル ツ マ ン 定 数kB

は 化 学 ポ テ ン シ ャ ル で あ り,フ

子 と反 粒 子 の 化 学 ポ テ ン シ ャ ル が 違 う と,粒

ォ トン の 場

子 数 と反粒 子数

に 差 が で る が,初

期 宇 宙 の 粒 子 数 の 非 対 称 度 は 小 さ い の で μ≒0と

して よ い

(後 述 §8.5.2).現

在 の 宇 宙 背 景 輻 射 温 度 は,Tγ0=2.728±0.002°Kと

測 定 され

て い る5).宇 宙 の フ ォ トン数 は 背 景 輻 射 の フ ォ トン の 寄 与 が圧 到 的 に 大 きい か ら,現 在 の 宇 宙 の 全 フ ォ トン数 密 度 は,nγ ≒400/cm3と

計 算 で き る.圧 力P

は,単 位 時 間 あ た り単 位 面積 を通 過 す る運 動 量 の 面 に垂 直 な成 分 で あ るか ら

(8.12a) と な り,

で 与 え ら れ る.エ

相対論的粒子

  (8.12b)

非 相 対 論 非 縮 退粒 子

  (8.12c)

ン ト ロ ピ ー(密

度)S(s)は,

(8.13a) (8.13b) で 与 え られ る.μ は化 学 ポ テ ン シ ャ ル で あ るが,先 μ=0と

に 述 べ た よ うに 宇 宙 論 で は

して よ い近 似 で あ る.た だ し,元 素 合 成 や フ ォ トン再 結 合 時 の 計 算 な

ど特 別 に 問題 とす る と き も あ る.相 対 論 的粒 子 が 熱 平 衡 状 態 に あ る時 の エ ン ト ロ ピー 密 度 とエ ネ ル ギ ー 密 度 は

(8.14a) (8.14b) (8.15a) (8.15b)

g*s, g*は (mi≪T)の

温 度Tに

お け るgの

実 効 値 で,熱

自 由 度 を 考 慮 し た も の で あ る.温

準 理 論(SU(3)×SU(2)×U(1))に g*s=g*で

平衡 に あ る す べ て の 相 対 論 的 粒 子

あ る が,T≪me(す

(後 述 §8.4a)補

お け る 概 略 を 図8.1に な わ ち 現 在)で

正 因 子 が 入 り,g*s>g*と

ニ ュ ー ト リ ノ が あ る と し た と き の 値 で あ る.   共 動 体 積 内 の 全 エ ン トロ ピ ー

度 と と も に 変 わ る 量 で あ り,標 示 す.T≫meで

はTν=(4/11)Tγ な る.(8.15b)の

は,

で あ るの で 値 は3種

の

(8.16) は 不 変 に 保 た れ る.エ

ン ト ロ ピ ー 密 度 は,(8.10a),

的 粒 子 の 数 に 比 例 す る 量 で あ る こ と が わ か る.現

(8.14)を

見 れ ば,相

在 の エ ン ト ロ ピ ー 密 度s0は,

ほ ぼ 背 景 幅 射 の フ ォ ト ン と ニ ュ ー ト リ ノ の 数 で 決 ま り,s0∼7nγ 103/cm3で

対論

∼2.8×

あ る.

図8.1  標 準 理 論SU(3)×SU(2)×U(1)に g*とg*sを

温 度Tの

お け る実 効 的 粒 子 の 自 由 度

関 数 と して 表 し た もの.

8.2  ビ ッ グ バ ン 宇 宙 論

  宇 宙 は過 去 の あ る 時期,高

温 高 密 度 の 状 態 か ら始 ま っ た とす る.そ

こ で は,

非 常 に 高 温 の た め あ らゆ る種 類 の 粒 子 と反 粒 子 が 熱 平 衡 状 態 に あ り,す べ て の 粒 子 数 は 同 程 度 に あ っ た.宇 宙 は フ リー ドマ ン の 運 動 方 程 式(8.2)に こ で,よ

従 い,

H-1で

決 ま る時 定 数 で膨 張 す る.こ

く誤 解 さ れ る の で 注 意 し て お く

が,宇

宙 は誕 生 して か ら何 もな い無 の 空 間 に 向 け て 膨 張 して い くの で は な く,

空 間 そ の もの が 膨 張 す るの で あ る.膨 張 に伴 い 宇 宙 温 度 が 下 が る と と もに 各 種 の 相 転 移 を起 こす.ま

た 粒 子 の もつ 質 量 と相 互 作 用 で決 ま るあ る時 刻 に 熱 平 衡

状 態 か ら切 り離 され て い く(decouple).熱 子 数 密 度),υ(温

平 衡 に 関 与 す る反 応 率Γ はn(粒

度 に よ り決 ま る平 均 速 度),σ(反

応 の 断面 積)に

よ っ て,

(8.17) と表 さ れ る か ら,切

り離 しの 温 度 をTdcと

す る と,

(8.18) が 成 り立 つ.   現 在 想 像 し う る 限 り の 最 高 温 度 は,プ で あ る.温

度Tが

∼1015GeVの

ラ ン ク 温 度=G-1/2∼1.22×1019GeV

頃 大 統 一 に よ る 相 転 移 が 起 こ り,強

用 と電 弱 相 互 作 用 の 分 離 が 起 こ る.T∼GF-1/2=250GeVで 離,T∼ΛQCD∼200MeVで

い相互作

電弱相 互作 用の分

ク ォ ー ク の 閉 じ 込 め 相 が 生 じ る.T∼1MeVで

ニ ュ ー ト リ ノ の 切 り離 し が 起 き,T∼0.1MeVで

重 水 素 の 光 分 解 が 止 ま り水

素 ヘ リ ウ ム な ど の 軽 い 元 素 合 成 が 進 む.T∼0.3eVで,フ

ォ トン は 原 子 を プ

ラ ズ マ 状 態 に 保 持 で き な く な り,陽

子 と電 子 は 結 合 して 原 子 をつ くる

(recombination=再

の 結 果 物 質 は フ ォ ト ン に 対 し透 明 と な

結 合 と も い う).こ

る の で こ れ を 宇 宙 の 晴 れ 上 が り と い う.こ 在 のT=2.7度

の と き切 り 離 さ れ た フ ォ トン が,現

の 背 景 輻 射 と し て 残 っ て い る.標

準 ビ ッ グバ ン宇 宙 論 の 観 測 証

拠 も し く は 成 果 を い くつ か 列 挙 す る1,2).

  (1) 宇 宙 は い ろ い ろ な レベ ル で 構 造 は もつ もの の,大 Mpc)で

き な ス ケ ー ル(>100

見 れ ば 銀 河や 電 波 源 は 一 様 か つ 等 方 的 に分 布 し て い る.

  (2)  遠 方 に あ る銀 河 ほ ど光 スペ ク トル が 大 きな 赤 方 偏 移z=(λ0− λ)/λを示 す.   (3)  宇 宙 の 背 景 輻 射 が 存 在 す る.   (4) 宇 宙 のH/He/D/Liの   宇 宙 原 理(1)と

元素 組 成 比 を正 し く再 現 す る.

膨 張 宇 宙(2)は

フ リー ドマ ン方 程 式 の 根 拠 で あ り,(3),

(4)は ビ ッグバ ン 宇 宙 論 を支 持 す る証 拠 で あ る.   a.  輻 射 優 勢 と物 質優 勢   宇 宙 エ ネ ル ギー 密 度 ρへ の 寄 与 が も っぱ ら相 対 論 的 粒 子 の と き(宇 宙 初 期) 輻 射 優 勢 とい い,非 相 対 論 的粒 子 の場 合(現 在)を 物 質 優 勢 とい う.輻 射 優 勢 の と き はP=ρ/3,物

質 優 勢 の と き はP≪

ρ≒mnで

あ る の で,(8.5),

(8.11)

よ り直 ち に 輻 射 優勢

  (8.19a)

物 質優 勢

  (8.19b)

(8.2)式

右 辺 のk, Λ

き る.そ

の 項 は(8.19)を

の 場 合(8.2),

が 導 け る.H-1をハッ

  b.  地

平

(8.19)か

考 慮 す れ ば 宇 宙 初 期 で は小 さ く無 視 で

ら容 易 に,

輻射優 勢

  (8.20a)

物質優 勢

  (8.20b)

輻射優 勢

  (8.21a)

物質優 勢

  (8.21b)

ブ ル 時 間 と い う.

線

  観 測 者 に影 響 を及 ぼ す こ との で き る(因 果 関 係 に あ る)事 象 位 置 の最 大 半 径 値 を地 平 線(particle

horizon)と

い う.こ れ はr方

向に伝播 す る光 の到達 距

離 と し て 得 られ る.実 際 の 距離 は 共 動 座 標 で の 距 離 に ス ケー ル 因 子Rを て得 られ る か ら,計 量 お よび光 の 径 路(ds2=0)を

掛け

考 慮 す る と,

輻射優 勢 物質優 勢

(8.22) た だ し,teqは 輻 射 優 勢 か ら物 質 優 勢 に変 わ る時 刻 で あ る.   c.  輻 射 優 勢 の 時 代   わ れ わ れ に興 味 あ るの は も っぱ ら輻 射 優 勢 の 時 代 で あ る.後 の 計 算 に 必要 な 諸 量 をい くつ か 計 算 して お く.宇 宙 の エ ネ ル ギー 密 度 ρrは(8.11)を

使 え ば,

(8.23) 第2式

は(8.2)に(8.20)を

入 れ れ ば 導 け る.g*が

定 数 と見 なせ る温 度 領 域

では

(8.24) ま た,(8.2),

(8.23)を

使 え ば,

(8.25a) (8.25b) MPl=G-1/2=1.22×1019GeVは

プ ラ ン ク 質 量 で あ る.

  d.  宇 宙 年 齢 とバ リオ ン密 度   現 在 は Λ=0,

k=0な

らば 物 質 優 勢 の 時 代 で あ る.現 在 の宇 宙 を特 徴 づ け る

数 を い くつ か あ げ て お く.宇 宙年 齢 の 大 部 分 は物 質 優 勢 の 時代 で あ るか ら,現 在 の 宇 宙年 齢 をt0と す れ ば,k=0の

とき(8.2)は

す ぐ解 け て

(8.26) が 導 け る.   典 型 的 な 星 に は 大 体 ∼1057個 あ り,そ

し て 宇 宙 に は ∼1011個

数 は ∼1079で Mpcで

あ る.今

あ る の で,バ

∼400/cm3で

あるか ら

の 核 子 が あ り,1個 の 銀 河 が あ る.し

の 銀 河 に は ∼1011個 た が っ て,バ

の星が

リオ ン数 の 総

日 観 測 可 能 な 宇 宙 の サ イ ズ は ∼1028cm(=ct0)∼3000 リ オ ン 数 密 度nBは ,バ

∼10-6/cm3と

な る.フ

ォ ト ン数nγ

リ オ ン 数 対 フ ォ トン 数 比 は

(8.27a) とな る.標 準 ビ ッ グバ ン 宇 宙 論 を使 え ば よ り詳 しい値 が得 られ る(後 述 §8.5)

(8.27b) (8.27c) ΩBは バ リオ ン の 宇 宙 全 体 に 占め るエ ネ ル ギ ー 密 度 比 で あ る.   e.  輻 射 優 勢 → 物 質 優 勢 転 換 時 期   物 質 エ ネ ル ギー 密 度 と輻 射 エ ネルギー密 度 が ほ ぼ 拮 抗 す る時 間teqを 計 算 し よ う.物 質/輻 射 の エ ネ ル ギー 密 度(ρm/ρr)とRは

そ れ ぞれ

(8.28a) (8.28b) の 関 係 を 満 た す か ら,ρm(teq)=ρr(teq)と

す れ ば,

(8.29a) T0は 現 時 点 の 宇 宙 背 景 輻 射 温 度 で あ り,g*0の 値 は(8.15b)で

与 えられて い

る.輻 射 と物 質 エ ネ ル ギー が 同 等 に な る この 時 期 の 温 度 は,

(8.29b)

に相 当 し,輻 射 が 切 り離 され て宇 宙 が 晴 れ 上 が る と き(付 録B.2)

(8.29c) の 少 し前 で あ る.

8.3 

イ ン フ レー シ ョン

  8.3.1  宇 宙 の 急 速 膨 張   ビ ッ グバ ン宇 宙 論 は 今 日観 測 され る宇 宙 の状 態 を再 現 す る の に 非 常 に成 功 を お さめ た が,概 念 的 な 困 難 を い くつ か 抱 え て い た.主 な もの を 四 つ あ げ る.   (1)  地 平 線 問 題  (2)  平 坦 性 問 題  (3)  モ ノ ポー ル 問 題   (4)  宇 宙 項 問 題 で あ り,(1)∼(3)の

解 決 策 と して考 案 さ れ た の が イ ン フ レー シ ョン 宇 宙 論 で

あ る.イ ン フ レー シ ョン とは,宇 宙 初 期 の あ る時 期 に宇 宙 が 急 速 に膨 張 す る こ と を い う.こ れ は真 空 が エ ネ ル ギー 密 度 ρυ=const.を も っ て い た とす る と可 能 で あ る.(8.2)を

見 れ ば,こ れ は宇 宙 項 に相 当す る.輻 射 優 勢 時 代 の エ ネ ル

ギ ー 密 度 は,

(8.30) い ま,ρυ≫

ρrと

し よ う.そ

う す る と 式(8

.2)は,

(8.31a) で あ り,

(8.31b) tiは イ ン フ レー シ ョ ンの 始 ま る時 刻 で あ る.す な わ ち,宇 宙 は指 数 関 数 的 に膨 張 す る.   ρυは,大 統 一 場 が 自発 的 に対 称 性 を破 る と き に生 じ る.対 称 性 を破 る 相 転 移 温 度 をTcと

す る と,T≫Tcで

ポ テ ン シ ャ ルV(φ)の く(図8.2).φ=0は

は,対 称 性 が破 れ て お ら ず 大 統 一 ヒ ッ グ ス

最 小 値 は φ=0に あ る.T≪Tcで

真 空 は φ=σ に 落 ちつ

偽 の 真 空 と な り,真 の 真 空 に 向 け て 移 動 を 開 始 す るが,

図8.2 

イ ン フ レー シ ョン モ デ ル (slow

rollover

図8.3 

イ ン フ レー シ ョン シナ リ オ で の 温 度Tと 宙 サ イ ズRの

model)

φ=0∼ φ1で は1次 相 転 移 で 偽 真 空 の 中 に 真 の 真 空 の 泡 が 発 生 す る.φ=φ1∼ φ2で は ゆ っ

t〓10-36秒

宇

時間変化

は イ ン フ レ ー シ ョ ン 前 期 でR∼T-1∼t1/2,

く り と滑 り落 ち る(イ ン フ レー シ ョ ン期).φ

10-36〓t〓10-34秒 は イ ン フ レ ー シ ョ ン 期 で,R∼T-1 ∼eHt .こ の 期 間 に 宇 宙 は,e100∼1043倍 と な る.イ

ン

>φ2で は 急 速 に σ に 到 達 し た 後,σ

フ レ ー シ ョ ン 終 了 後 再 加 熱 が あ り,再

な

りの 減 衰 振 動(ヒ

の まわ

ッグ ス の 生 成 と崩 壊)で 再

加 熱 し最 終 的 に は σに 落 ちつ く.

びR∼t1/2と

り,t=teq≒tdc∼1010秒 で 物 質 優 勢 の 世 界 と な り,R ∼T-1∼t2/3で 進 行 す る(ス ケ ー ル は 任 意) .

φ∼0に あ る と き は,真 の 真 空 φ=σ に 比 べ て ρυだ け の エ ネ ル ギ ー を もつ.φ の 宇 宙 膨 張 を取 り入 れ た 運 動 方 程 式 は φの 作 用 

とし

て 得 られ る.

(8.32) Γφは,φ

と他 の粒 子 の 相 互 作 用(φ が粒 子 対 に 転 換 す る)を 取 り入 れ る こ と に

よ り生 じ る減 衰 因 子 で あ る.こ れ は減 衰 振 動 の 方 程 式 で あ るか ら,図8.2の

ポ

テ ン シ ャ ル の 形 を仮 定 す れ ば*2),次 の よ うな定 性 的 な 議 論 が で き る.   (a)  slow rolling(摩 擦 力 が 大 き く,第1項

≒0):宇 宙 の 膨 張 が 実 質 的 な 摩

擦 力 を提 供 し,φ は この ほ ぼ 平 らな ポ テ ン シ ャ ル の坂 を摩 擦 力 に よ りゆ っ く り *2) こ の よ うな特 別 の形 を した ヒ ッグス ポ テ ン シャ ル は ,大 統 一 ゲ ー ジ場 が 自発 的 に対 称 性 を破 る と きに求 め ら れ る(素 粒 子 論 の 立場 か らの)性 質 と必 ず し も整 合 しな い.こ の 場 合,大 統 一群 の一 重 項 に属 し通常 の粒 子 とは弱 くしか相 互 作 用 し な い特 殊 な ヒ ッグ ス場 イ ン フ ラ トンが イ ンフ レー シ ョン を引 き起 こす と考 え る.

と 滑 り 落 ち る.φ

の 粒 子 と の 相 互 作 用 は ま だ 働 い て い な い*3).φ=φ1と

間 で ポ テ ン シ ャ ル の 傾 斜 が 緩 く長 け れ ば,φ で あ ろ う(τ≫H-1: ル 障 壁 は,も 移)が,こ

slow

rolling).な

し存 在 す れ ば,ト

が φ2に 向 け て 滑 る 時 間 τ も長 い

お,φ=0→

φ2を 過 ぎ る と,φ

り 落 ち て い き,φ=σ

初 に 提 案 さ れ た イ ン フ レー シ ョン モ デ ル

は深 い井 戸 ポ テ ン シ ャ ル の 底 に 急 激 に 滑

の ま わ り で 振 動 を 始 め る.こ

て 十 分 速 い(ω2∼ ∂2V/∂ φ2,ω≫H).振

動 開 始 は,質

エ ネ ル ギ ー ヒ ッ グ ス 粒 子 の 出 現 を 意 味 し,急 な わ ち,こ

こ で Γφ≫3Hと

な る.振

膨 張 時 間 に 比 べ る と は る か に 短 い.こ

の 振 動 は 膨 張 率Hに 量m=ω

比べ

∼1015GeVの

高

速 に 粒 子 反 粒 子 対 な どへ 崩 壊 す

動 は減衰 振動 であ るが減衰 時 間 は

れ ら の 粒 子 が 熱 化 す る と,指

よ り冷 や さ れ た 宇 宙 は 再 び 加 熱 さ れT∼1015GeVの の 後 は,バ

相 転

相 転 移 を 主 と し て 想 定 し た.

  (b)  再 加 熱: 

る.す

φ1へ の 小 さ な ポ テ ン シ ャ

ン ネ ル 効 果 に よ る 遷 移 で 潜 熱 を 出 す(1次

こ の 議 論 で は 無 視 す る.最

で は こ の 形 の1次

φ2の

リ オ ン 非 対 称 生 成 な ど を 経 て,標

数的膨 張に

大 統 一 温 度 に も ど り,そ

準 宇 宙 論 の シ ナ リオ に 復 帰 す る

(図8.3).   σ を 大 統 一 エ ネ ル ギ ー1015GeVに

と る と,ρυ ∼ σ4で あ る か ら,

(8.33a) で あ り,ti∼10-36secに

イ ン フ レ ー シ ョ ン が 始 ま る.slow

τ=100H-1lnf∼10-34secと

し よ う.こ

そ の 間(10-36→10-34sec)に,宇

rollingの

時 間 を,

れ は 非 常 に 短 い 時 間 の よ う に 見 え る が,

宙 は

(8.33b) 倍 に 膨 張 す るの で あ る.   次 に 最 初 に 述 べ た 問題 点 と イ ン フ レー シ ョン宇 宙 に よ る解 決 策 を解 説 す る.

  8.3.2  地 平 線 問 題   議 論 を 簡 単 に す る た め に,地 平 線 をdH(t)=ctで の 地 平 線dH(t0)≡R0=ct0∼1028cmで *3)  こ の 時 点 で は 空 間 依 存 性(フ k≒0.し

,V≒const.で ーリエ 成 分k∼

定 義 す れ ば,現

時 点t0で

あ り,観 測 可 能 な宇 宙 の 最 大 値 を 与 え

あ る か ら φ の もつ 質 量(m2=∂2V/∂

φ2)は ≒0.φ

の もつ

λ−1)は宇 宙 膨 張 に よ り薄 め ら れ 赤 方 移 動 し て し ま う の で

た が っ て φ は 質 量 ≒0,運

動 量 ≒0の

ボ ー ズ 粒 子 の 凝 縮 体 と し て 振 る 舞 う.

る.現

在 の 地 平 線 は 時 刻tに

お い て は,dH0(t)と

表 さ れ る も の と す れ ば,

(8.34) ゆ え に,

(8.35) 背 景 輻 射 が 切 り離 さ れ る 時 刻tdcは,物 (teq∼1010)に

質 と輻 射 エ ネ ル ギ ー が 等 し く な る 時 刻

ほ と ん ど 等 し い から,(8.20)よ

り

(8.36) した が って,輻 射 が 切 り離 され た と き の地 平 線dH(td)は,

(8.37) 現 在 の 宇 宙 背 景 輻 射 は,非 常 に よ い 近 似 で,T=2.728±0.002の

温度 のプ ラ ン

ク熱 放 射 の スペ ク トル 分 布 で表 され る.か つ全 天 ど の方 向 で 見 て も温 度 ゆ ら ぎ が ≒10-5と い う非 常 に 小 さ い 範 囲 に お さ ま っ て い る.こ の こ とは,背 景 輻 射 が 十 分 よ くか き混 ぜ られ た 状 態 で あ る こ と,す な わ ち す べ て が 地 平 線 の 中 に あ っ た こ と を意 味 す る.一 方,(8.37)に

よ れ ば,現

在観 測可 能 な宇宙 の大 き

さ は過 去 に さか の ぼ れ ば,そ の 時 刻 に お け る地 平 線 の100倍

もあ っ た こ と,逆

に い う と,切 離 し時 に お け る 背 景 輻 射 の 地 平 線 は 現 時 点 で 観 測 す れ ば,視 ∼1 .8度(=180/100)の

角

範 囲 に しか 及 ば な い こ と を意 味 す る.す な わ ち,全 天

に わ た る背 景 輻 射 の 一 様 性 は 説 明 で きな い.こ れ が 地 平 線 問 題 で あ る.   解 決 策: 

tfを イ ン フ レー シ ョン が 終 了す る時 間 とす る と

(8.38) tを

イ ン フ レ ー シ ョ ン が 始 ま るti=10-36secと

す る とtf=10-34sec=τ

を 入 れ

て,

(8.39)

と な り,背 景 輻 射 切 離 し時 の 地 平 線 は 現 在 観 測 可 能 な 全 天 よ りは る か に 大 き く,地 平 線 問題 は 解 決 す る.

  8.3.3 

平

坦

性

問

題

  宇 宙 の 物 質 密 度 は 観 測 に よ れ ば,Ω0=0.1∼0.3で リー ドマ ン 方 程 式(8.2)の こ と は な い.こ

中 で,曲

の こ と は,相

率 項(kの

あ り非 常 に1に

掛 か る 項)は

近 く,フ

極 度 に優 勢 とい う

当 に 不 自 然 な 状 態 で あ る こ とが 次 の よ う に し て い

え る.ρc=3H2/8πGを(8.2)に

入 れ る と,

(8.40) (8.20)を

使 え ば,

(8.41) で あ る か ら,

(8.42) こ れ よ り,

(8.43)

す な わ ち,時

間 を さ か の ぼ れ ば Ω は 限 り な く1に

ネ ル ギ ー の 時 刻(t∼MPl-1∼10-44sec)に,￨Ω-1￨が い た と す る と,k>0で

あ れ ば,あ

縮 に 転 じ て い た で あ ろ う し,k<0で に ∼10-11秒

に,プ

有 限 な 値 ∼O(1)を

っ と い う 間 も な く(∼10-43秒)宇 あ れ ば,現

ラ ン クエ

在 の 宇 宙 温 度3度

も って 宙 は再収

に達 す るの

も か か ら な か っ た で あ ろ う2).こ の よ う な 微 調 整 は 不 自 然 で あ り,

Ω は 正 確 に1で い.こ

近 づ く.仮

あ っ た か,何

ら か の 理 由 でΩ →1と

な っ た と考 え ざ る を え な

れ が 平 坦 性 問 題 で あ る.

  解 決 策:平

坦 問 題 は,(8.40)を

書 き 換 え る と,

(8.44) と な る.イ

ン フ レー シ ョ ン が あ る と,R-2∼exp(-2Hinfτ)→0で

Ω は 限 り な く1に

近 い値 と な っ て解 決 す る.

あ る の で,

  8.3.4 

モ ノポ ー ル 問題

  宇 宙 が 高 温 でT∼1015GeVの 立 し て い れ ば,温 れ る が,こ

時 期,大

統 一(GUT,た

と え ばSU(5))が

度 が 下 が る と 対 称 性 が 破 れ てSU(3)×SU(2)×U(1)に

の と き に,ト

量 は ∼MGUT/αGUT∼10-8grで

非 常 に 大 き い.何

成 時 刻 で の 地 平 線 内 で1個

と後 は,標

準 的 な 宇 宙 膨 張 と熱 平 衡 の 理 論 か ら,モ

ト ロ ピ ー 比 は,nMP/s>10-10と

の質

す る

ノ ポー ル の数 密 度 の 対 エ ン 方,モ

ノ ポー ル の 宇 宙

界 値 を 超 え な い と い う条 件 から,nMP/s<10-23

と い う条 件 が つ く.モ

ノ ポ ー ル は 非 常 に 重 い の で,消

ム が 考 え つ か な い.す

な わ ち,モ

の で あ る.モ

参 照) .そ

よ り は 多 くつ く ら れ た で あ ろ う.と

な る こ と が い え る7).一

エ ネ ル ギ ー 密 度 へ の 寄 与 が,臨

トポ

個 くらい 生 成 され るか は わ か ら

な い が,生

リ オ ン と 同 じ く ら い)存

わか

・フ ー フ トーポ リヤ コ フ(t'Hooft-Polyakov)の

ロ ジ カ ル な モ ノ ポ ー ル が 発 生 す る こ とが 知 ら れ て い る6)(第7章

成

滅 させ る う ま い メ カ ニ ズ

ノ ポ ー ル は 理 論 上 は 現 在 の 宇 宙 に 豊 富 に(バ

在 し な け れ ば な ら な い に も関 わ らず 見 つ か っ て い な い

ノ ポ ー ル 問 題 は,イ

ンフ レー シ ョン時 に数 密 度 が 十 分 に 薄 め られ

る こ と で 解 決 す る.   イ ン フ レ ー シ ョ ン を 経 過 す る と,宇 な っ て し ま う.指

宙 の 初 期 状 態 の 違 い は,ほ

数 関 数 的 膨 張 に よ っ て,宇

薄 め ら れ て し ま う の で あ る.イ た 宇 宙 サ イ ズ が,イ

とん どな く

宙 の 曲 率 と粒 子 密 度 は ほ ぼ 完璧 に

ン フ レー シ ョ ン 開 始 時 に は ∼10-25cmで

ン フ レー シ ョ ン 終 了 後 に は ∼1018cmに

の 観 測 宇 宙 の サ イ ズct0∼1027cmは,大

な る.一

方,現

あっ 在

統 一 の 時 代 に は,

(8.45a) と 計 算 で き る.t=10-36秒

を入 れ る と

(8.45b) と な る.す

な わ ち,観

さ で あ り,わ

測 宇 宙 は 大 統 一 の 時 代 は た か だ か ∼1cmく

らいの大 き

れ わ れ は イ ン フ レ ー シ ョ ン で 肥 大 し た 真 の 宇 宙 の ご く一 部 し か 見

て い な い こ と に な る.

 8.3.5  宇 宙 項 問 題  現 時 点 で の宇 宙 の エ ネ ル ギ ー 密 度 は,た か だ か 臨 界 値 ρcの程 度 で あ る.

(8.46) 一 方

,イ

ン フ レ ー シ ョ ン モ デ ル に よ れ ば,ρ=ρυ=const.の

時 代 が あ っ た.す

な わ ち宇 宙 項 と して

(8.47) を も って い た こ と に な る.力 学 的 に安 定 な真 空 に 落 ち込 ん で い くに 従 い ρυ → 0に な るに して も,量 子 ゆ ら ぎの オー ダ ー は 大 統 一 エ ネ ルギー ス ケ ー ル で 与 え ら れ るか ら,素 粒 子 論 的 に考 え て 自然 な真 空 エ ネ ルギー の値 と,実 際 に観 測 さ れ て い る 真 空 エ ネ ル ギー の 値 とは10100以 上 の 差 が あ る.こ れ が 宇 宙 項 問 題 で あ り最 も先 鋭 な微調 整 問 題 を提 供 す る.何 え な い が,そ

らか の 相 殺 機 構 が働 くと考 え ざ る を

の よ うな機 構 を与 え る対 称 性 は知 られ て い な い.

  で は,宇 宙 項 は正 確 に0な の で あ ろ うか.歴 み られ た.第1回 が,膨

史 的 に は宇 宙 項 は2回 導 入 が 試

は ア イ ン シ ュ タ イ ンが 定 常 宇 宙論 をつ くろ う と して 導 入 した

張 宇 宙 の 発 見 に よ り放 棄 し た.第2回

目は ビ ッ グバ ン宇 宙 論 に 対 抗 し

て,完 全 宇 宙 原 理(宇 宙 は 空 間 的 の み な らず 時 間 的 に も一 様 と い う原 理)を 成 立 させ る た め に ボ ン デ ィ-ゴ ー ル ド-ホ イル に よ り導 入 され た が,宇 宙 背 景 輻 射 の 発 見 に よ り放 棄 を余 儀 な くさ れ た.こ の よ う な歴 史 的 背 景 に もか か わ らず, 今 日再 び宇 宙 項 を復 活 し よ う と い う議 論 が 盛 ん で あ る.理 由 は,最 近 の ハ ッブ ル 定 数(H0=80±5kms-1Mpc-14))か 109年)が

ら 計 算 さ れ る宇 宙 年 齢(8.2Gyr;

球 状 星 団 の 分 布(16±3Gyr)や

Gyr=

銀 河 内 の 白色矮 星 の 年 齢 か ら推 定 さ

れ る値 と 矛 盾 す る こ と,ハ ッブ ル 法 則 を光 度 距 離 対 赤 方 偏 移 の 関 数((B.17) 参 照)と

して み る とき,Ⅰ 型 超 新 星 の デー タが 宇 宙 項 の 存 在 を示 唆 す る こ と8),

現 在 の 宇 宙 の大 規 模 構 造 形 成(後 述)な

ど冷 た い 暗 黒 物 質 の み で は 説 明 し きれ

な い こ と,ま た密 度 ゆ ら ぎ の ス ケ ー ル(密 度 差 を とる2点 間 の 距 離)依 存 性 な ど い ろ い ろ な こ とが,バ

リオ ン,暗 黒 物 質 の ほ か に宇 宙 項 を加 え て三 者 の エ ネ

ル ギー 密 度 の バ ラ ンス を とる と う ま くゆ くか らで あ り,最 近 の 話 題 とな っ て い るが,こ

こ で は あ くまで も0と

*4)  イ ン フ レ ー シ ョ ン モ デ ル は

,正

して 議 論 を進 め る*4).

確 に はΩ=1で

は な く,

も し くは を 予 言 す る.最 近 の デ ー タ で は,Ω ≒0.3(超 Ω+Ω λ=1(背 景 輻 射)が 定 着 し,k=0, Λ〓0は

銀 河 団 な ど よ り),Ωλ ≒0.7(Ia型 大 前 提 と な りつ つ あ る.

超 新 星),

8.4 

残 存 ニ ュー トリノ

  a.  ニ ュ ー トリ ノ温度   宇 宙 初 期 は,い

ろ い ろ な粒 子 が 熱 平 衡 状 態 に あ る が,宇

い,漸 次 熱 平 衡 か ら切 り離 され て い く(decouple).宇 ∼1sec)で

宙 が 膨 張 す る に従

宙 温 度T≒

数MeV(t

は,熱 平 衡 に あ る主 た る反 応 は ニ ュ ー トリ ノ反 応 と電 子 対 生 成 消 滅

反 応 で あ る.

(8.48a) (8.48b) (8.48c) (8.48d) T≒0.72MeVで,ニ

ュ ー ト リ ノ の 反 応 率Γν ≒Hと

離 さ れ(付

録B.3参

照),T≒me/3≒0.17MeVで

行 す る.対

消 滅 反 応 の 前 後 の エ ン ト ロ ピ ーSは

な りニ ュー ト リ ノ が 切 り 電子対 消 滅が一 方方 向 に進

保 存 す る の で,(8.14)を

参 照

す れ ば,

(8.49) が 成 立 す る.V∼R3,

ρe-+ρe+=2(7/8)ργ

を 考 慮 す る と,エ

ン トロ ピー 保 存 の

条 件 は

あ る い は,

(8.50) と 書 き 直 せ る.こ

の 時 点 で,ニ

ニ ュ ー ト リ ノ 温 度 はTν ∼R-1の Tγ で あ る が,以

ュ ー ト リ ノ は す で に 自 由 粒 子 で あ る の で, よ う に 変 化 し て い る.消

滅 反 応 以 前 はTν=

後 は,

(8.51) と な る.す し,ニ

な わ ち,電

子 対 消 滅 の エ ネ ル ギ ー が,フ

ォ トン 温 度 を 高 め る の に 対

ュ ー ト リ ノ に は 全 然 寄 与 し な い 分 だ け ニ ュ ー ト リ ノ温 度 は フ ォ トン 温 度

よ り低 い.現

在 の ニ ュ ー ト リ ノ 温 度 は,

(8.52) で あ る.

 b.  赤 方 偏 移   ニ ュー ト リ ノは,切

り離 し以 降 は 熱 平 衡 状 態 に な い.運 動 量pが,p∼R-1

に よ っ て赤 方 偏 移 して い くの み で あ る.こ れ は 次 の よ うに して示 せ る.エ ネ ル ギーEを

もつ 粒 子 が 共 動 座 標 の 微 小 距 離 δxを 飛 ぶ 速 度 をυ とす る と,実 際

の 距 離 はR(t)を

掛け て

(8.53a) 一 方

,距

ら,ロ

離 がR(t)δx離

れ て い る と,膨

張 に よ り相 対 速 度 η=Rδxを

もつか

ー レンツ変換す れば

(8.53b) ゆ え に運 動 量 変 化 δp/pは,

(8.53c) と な り,

pR=一

定

 (8.54)

が 成 立 す る.   c.  ニ ュ ー ト リ ノ 質 量(mν≪1MeV)   ニ ュ ー ト リ ノ は 切 離 し の と き(T∼1MeV)は 大 部 分 はp>mν

で あ る.こ

維 持 す る の で(温 ちp≪mν)と

の 部 分(E≒p)は,切

度 は 変 わ る),仮

相 空 間の

り離 し時 の 数 分 布(8.9)を

に ニ ュ ー ト リ ノ が 非 相 対 論 的 粒 子(す

な っ て い て も,式(8.10)を

の 数 密 度 は 自 由 度2の

相 対 論 的 で あ り,位

そ の ま ま 使 っ て よ い.ニ

なわ

ュー トリ ノ

ニ ュ ー ト リ ノ種 あ た り

(8.55) と な る.ニ

ュ ー ト リ ノ の 宇 宙 エ ネ ル ギー 密 度 へ の 寄 与 が 臨 界 密 度 ρcよ り小 さ

い と い う条 件 か ら,ニ

ュ ー ト リ ノ質 量 に は 次 の 制 限 が つ く.

(8.56)

  d.  ニ ュ ー ト リ ノ 質 量(mν≫1MeV)   mν≫1MeVで

あ れ ば,熱

な っ て い る.こ

平 衡 か ら切 り離 さ れ ると き は す で に 非 相 対 論 的 に

の と き の 数 密 度 は(8.10)か

ら

(8.57) と な る.消

滅 反 応(ν+ν→X)の

断 面 積 は,

(8.58) で 与 え ら れ る.こ

こ にAは,開

あ る.H>Γν=nν<συ>に

け て い る チ ャ ネ ル に も よ る が,O(1)の

な る と,消

の ニ ュ ー ト リ ノ 数 が 凍 結 さ れ(freeze 密 度 がR-3で

減 る の み で あ る.凍

と きTfr∼mν/20と MeVのと

大 幅 に 超 え て し ま う.一

方,mν

な り,ρν ∼mνnν は 減 少 す る.ニ な い た め に は,mν

out),そ

れ 以 後 は,宇

結 時 の 温 度 をTfrと

し て よ い.mν

き の 数 に 近 づ く の で,ニ

滅 反 応 が 起 き な く な る の で,こ

が1MeV程

の時点 で

宙 膨 張 に従 っ て 数

す ると,mν〓1GeVの

度 に 小 さ い と,nν

はmν≪1

ュ ー トリ ノの エ ネ ル ギー 密 度 が 臨 界 密 度 を が 非 常 に 大 き い と生 き 残 るnν の 数 が 少 な く ュ ー トリ ノの エ ネ ル ギー 密 度 が 臨 界 値 を超 え

は あ る 一 定 の 値 以 上 で あ る 必 要 が あ り,こ

と 計 算 さ れ て い る.す

定数 で

の 値 は9)

(デ ィ ラ ッ クニ ュ ー ト リ ノ) 

(8.59a)

(マ ヨ ラ ナ ニ ュ ー ト リ ノ) 

(8.59b)

な わ ち,宇

宙 論 を 使 え ば,100eV〓mν〓8GeVは

安定

な ニ ュ ー ト リ ノ に 対 す る 質 量 禁 止 領 域 とな る.

8.5  宇 宙 の 物 質 組 成

  8.5.1  バ リ オ ン 創 生  大統 一理論 発達 以前 の標準 宇宙 論 では初期 仮定 として与 え なけれ ば な らな か っ たバ リオ ン数 非 対 称,す (B)が,反

バ リオ ンの 数(B)よ

な わ ち 宇 宙 初 期,何ら

か の 理 由 で バ リオ ン の 数

りわ ず か に 多か っ たと い う事 実*5)

(8.60) *5)  T≫ ΛQC

D〓200 MeVで は,バ リ オ ン は ク ォ ー ク に 分 解 さ れ て い る の で,本 当 は クォー ク数 を 扱 う の が 正 し い が,歴 史 的 な 理 由 で バ リオ ン数 と い う名 称 を そ の ま ま 使 う.

は大 統 一 理 論 を 使 えば 自然 な 帰 結と して 説 明 で き る.ΔB/BのΔBは 宙 に 存 在 す る物 質 粒 子 の 密 度 よ り推 察 で き る.Bは

今 日宇

宇 宙 が 熱 平 衡 に あ っ た初

期 に お け るバ リオ ン数 密 度 で あ り,そ れ は現 在 残 って い る宇 宙 背 景 輻 射 よ り計 算 可 能 な初 期 フ ォ トン数 密 度nrと リオ は い くつ か あ る.第1は,は 解 答 に は な ら な い.第2は,初

同 程 度 で あ る.こ の 非 対 称 を説 明 す る シ ナ じめ か ら非 対 称 が 存 在 した とす る もの で真 の

期 条 件 はΔB=0と

す るが,同

じだ け あ る物 質

と反物 質 が ビ ッ グバ ン以 後 の いつ か の 時 点 で分 離 したと す る説 明 で あ る.こ の 議 論 の 難 点 は,物 質 と反 物 質 を空 間 的 に 分 離 す る機 構 を 未 だ見 出 し え な い こ と,こ の 宇 宙 の ど こか に 反 物 質 が 大 量 に存 在 す る証 拠 が な い こと で あ る.宇 宙 線 に よ る観 測 デー タは 宇 宙 の あら ゆ る とこ ろ で(少 なく もア ン ドロ メ ダ 星 雲 近 辺 ま で は),反 物 質 の物 質 に対 す る 存 在 比 が1万 分 の1以 上 で は な い こ と を示 し て い る10).第3の 説 明 が 大 統 一 理 論 に よ る も の で,宇 宙 が 大 統 一 温 度(T ∼1015GeV)か ら冷 え る際 に ,バ リオ ン数 非 保 存 過 程 に よ りバ リオ ン数 過 剰 が 発 生 し たと い う もの で あ る.た だ し,バ

リオ ン数 非 保 存 過 程 が 存 在 す る だ け で

は バ リオ ン数 過 剰 は 発 生 しな い.反 バ リオ ン数 過 剰 が 同 じだ け 生 じて,全 体 と して は バ リオ ン数と 反 バ リオ ン数 は 均 衡 して し ま うか らで あ る.バ

リオ ン数 過

剰 が 生 じる た め に は 次 の 三 つ の 条 件(サ ハ ロフ の3条 件11))が 必 要 で あ る.   (1) バ リオ ン数 を破 る基 本 過 程 の 存在   (2) CP非

保 存の存在

  (3) バ リオ ン数 を破 る過 程 が 進 行 中 に,熱 平 衡 が破 れ る 条 件(1)の

必 要 性 は 自明 で あ ろ う.条 件(2)が

め,非 常 に 重 いXボ

ソ ンが バ リオ ン数B1とB2で

岐 比bお

崩 壊 す る と し よ う.

よび1-bで

必 要 な 理 由 を明 ら か に す る た 特 徴 づ け られ る 過 程 に,分

(8.61a) こ の と き,Xは

(8.61b) CPT定

理 より

(8.62)

で あ るか ら,最 初 にXとXの

数 は 等 しか ったと す れ ば

(8.63) B1≠B2は

バ リオ ン数 非 保 存 を必 要と し,b≠bはCP非

件(3)は

次 の よ うに い え る.CPT保

保 存 を意 味 す る.条

存 とユ ニ タ リテ ィ条 件 の み を使 い,

(8.64) 最 後 の 等 式 は和rお

よ びrは

粒 子と 反 粒 子 す べ て に わ た るか ら,同

き換 え て よ い とい う事 実 を使 っ た.上 式 にCPT変

じrで

置

換 を施 せ ば

(8.65) 熱 平 衡 状 態 で は すべ て のr状

態 は 同 じ数 だ け 存 在 す るか ら,仮 に 条 件(1)

(2)

が 成 立 し て も非 対 称 は 生 じな い の で あ る.し たが っ て,宇 宙 の 膨 張 に よ り熱 平 衡 が 破 れ ると い う条 件 が 不 可 欠 なの で あ る.具 体 的 な数 値 は モ デ ル に依 存 す る が,大 統 一 理 論 を使 えば,バ

リオ ン数 非 保 存 の 妥 当 な値と 現 在 のCP非

保存の

実 験 値 を採 用 す る こ とに よ っ て,上 記 のΔB/nγ を再 現 で き る こ とが 指 摘 され た12).   た だ し,せ っ か くつ くられ たバ リオ ン数 非 対 称 が,電 ン トン効 果 に よ り相 転 移 時 に失 わ れ る可 能 性,も

弱相 互 作 用 の イ ン ス タ

し くは そ こ でバ リオ ン 非 対 称

自身 が生 成 され る可 能 性 が あ る こ と は §6.5で ふ れ た.し か し,こ の場 合 で も, B-Lは

保 存 して い る の で,バ

例 え ばSO(10)で

リオ ン 非 対 称 がB-Lを

生 成 され た とす れ ば,ヒ

破 る 大 統 一 モ デ ル,

ッ グ ス凝 縮 に よ る 電 弱 相 互 作 用 相 転

移 を経 て も生 き残 る.   こ の宇 宙 論 の 議 論 は,逆

に素 粒 子論 に対 して 一 つ の 指 針 を与 え る.バ

数 発 生 が 本 当 に上 記 の機 構 に よ るな ら ば,CP非 在 す る とい う こ とで あ り,CP非

リオ ン

保 存 は 大 統 一 ス ケー ル で も存

保 存 を対 称 性 の 自発 的 破 れ に 帰 す る モ デ ル な

どに 対 して相 当 の制 限 を課 す こ とに な る.

  8.5.2  元 素 合 成(nucleo-synthesis)2,13)   宇 宙 初 期,温

度 がT≪

ΛQCD∼200MeVに

下 が る と,前 節 で 議 論 し た わ ず か

な 生 き残 りの ク ォー クの凝 縮 が 起 こ りハ ドロ ン が 形 成 され る.し か し,温 度 が

10MeVを

大 き く上 回 る とき は,陽 子 と中性 子 は 遊 離 し て お り,自 由粒 子 と し

て飛 び 回 っ て い る.温 度 が 原 子核 の 結 合 エ ネ ル ギ ー 程 度 に下 が って くれ ば元 素 合 成 が 行 われ る よ うに な る.陽 子pと

中性 子nか

ら原 子 核Aを

合 成 す る とき

の熱平衡 式 は

で あ る の で,化

学 ポ テ ン シ ャ ル に つ い て は μA=Zμp+(A-Z)μnが

成 立 す る.

し たが っ て

(8.66) こ こ で,バ

リオ ン 数nBを

(8.67) と し,各 粒 子 の バ リオ ン数 に対 す る重 量 比 を

(8.68) で定 義 す る.各 粒 子 の 温 度Tに

お け る数 密 度((8.10b)参

照)

(8.69) を入 れ て,化 学 ポ テ ン シ ャル を消 去 す れ ば,

(8.70a)

を 得 る.[…]A-1の

中 の 指 数 関 数 の 係 数 は,  を 入 れ て 計 算 す る と,

(8.70b) とな っ て,BA/[(A-1)T]因 1∼0.1MeV)に

子 に よ り指 数 関 数 が こ の 数 を相 殺 す る低 温(T=

な る ま で は 元 素 合 成 が 進 ま な い.以 下,も

う少 し系 統 的 に 段

階 を追 っ て み よ う.   第1段

階: 

T≫10MeV,

  この 時 期,m≪10MeVの

t≪1秒 粒 子(ニ ュー トリノ,電 子,陽 電 子)は 相 対 論 的 で

あ りか つ 豊 富 に 存 在 す るが,バ

リオ ン の数 は わ ず か で あ る.こ の 段 階 で は まだ

弱 い相 互 作 用 反 応 が 活 発 で あ り,核 子 は次 の よ うな 反 応 で 熱 平 衡 状 態 に あ る.

(8.71a) (8.71b) (8.71c) (8.72) (8.71)の

反 応 を 考 え る と化 学 ポ テ ン シ ャ ル 間 に は

(8.73) が 成 立 す る.非 相 対 論 的 な粒 子 の 温 度Tに

お け る数 密 度(8.10b)を

使 って

μnと μpを 消 去 す れ ば

(8.74) レプ トン の化 学 ポ テ ン シ ャ ル は無 視 す る.そ の 理 由づ け は,宇 宙 は 電 気 的 に 中 性 で あ る とす ると

ま た,平

衡 式(8.72)か

ら,μ(e+)+μ(e-)=0が

成 立 す る.し

たが っ て

(8.75) か ら,2μe/T∼

ηBと な っ て 無 視 で き る こ と が わ か る.ニ

は 推 測 す る し か な い が,電

ュ ー ト リ ノに つ い て

子と 同 じと 考 え れ ば や は り 無 視 で き る で あ ろ う.

  レプ トン の化 学 ポ テ ン シ ャル を無 視 す れ ば

(8.76) T≫Qで

あ る か ら,

(8.77a) 重 水 素 に つ い て は,(8.70a)でA=2と

お いて

(8.77b) を入 れ る と

(8.78) で あ る の で,陽 子 や 中性 子 に 比 べ 重 水 素 の成 分は 無 視 で き る.   第2段

階: 

  T〓0.72MeVで

秒 弱 い 相 互 作 用 に よ る 熱 平 衡 反 応 が 切 り離 さ れ る(付 録

B.3).そ

の 直 後(T〓me/3)に,e+e-→

と な る(8.51).こ

γγ が 一 方 的 に 進 みTγ=(11/4)1/3Tν

の 時 点 で

(8.79) 重 水 素は 合 成 さ れ て も,光 増 え な い.ト   第3段

分 解 反 応γ+D→p+nの

リ チ ウ ム や ヘ リ ウ ム の 数は さ ら に 少 な い.

階: 

T=0.3→0.1MeV,

  こ の 段 階 で は,重

t=1秒

0.07MeVに

→3分

水 素 や そ れ よ り重 い 核 は 反 応 速 度 は 十 分 あ る も の の 合 成 の

た め の 材 料 の 数 が 小 さ く て((8.70)式 増 え な い.こ

方が圧倒 的 に優勢 で数 が

の ηBA-1因 子),合

の 間 は 中 性 子 は 平 均 寿 命 τ=887±2secで な る と,温

成 され る核 子 の 数 は 崩 壊 し て ゆ く.T=

度 が 十 分 低 く な り軽 い 核 の 中 で は 束 縛 エ ネ ル ギ ー が 大

き く て(B(He)=28.3MeV)安

定 なヘ リウム をつ くる反 応

(8.80) が 一 方 的 に か つ 急 速 に進 む.ヘ 6の 安 定 核 が ない こと,素

リ ウ ム よ り重 く安 定 な核 も存 在 す る が,A=5,

材 とな る軽 い核 の 数 が そ もそ も少 な い こ と,温 度 が

低 くな る と クー ロ ン 障 壁 が 大 き くな る な ど の理 由 で そ れ 以 上 重 い核 が合 成 さ れ

図8.4 

元 素 合 成 の 発 展 す る様 子2,13)

横 軸 は 温 度 で あ るが,矢 印 を つ け た とこ ろ に は 時刻 も示 し て あ り,そ れ ぞ れ1, 3分, 1時 間 で あ る.縦 軸 は水 素 に対 す る 成 分 比.

る こ と は な い.こ

れら の 様 子 を 図8.4に

示 す.

  ヘ リ ウ ム が 合 成 さ れ る 段 階 で の 中 性 子(陽 は ∼1/7で

あ る.こ

子)の

数 をn(p)と

す る と,n/p

れ か らヘ リ ウ ム 成 分 の 重 量 比 は

(8.81) と な る.宇 宙 の 元 素 組 成 の75%が 裏 づ け られ て い る.ビ

水 素 で25%が

ヘ リウ ム で あ る こ と は観 測 に

ッグバ ン元 素 合 成 の 提 唱者 ガ モ フは,当 初 ビ ッ グバ ン 時

に す べ て の 元素 が つ く られ ると 提 案 した が14),今 日で は,ヘ

リウ ム よ り重 い元

素 は 星 の 中 で,ま た 超 新 星と し て 爆 発 す る際 に つ く られ る こ とが 知 られ て い る.ビ

ッグ バ ン 時 に つ くら れ る の は軽 い 元 素 の み で あ る.D,

3He, 7Liは つ く

られ るが 圧 倒 的 に 少 な い.し か し,こ の わ ず か な量 を上 記 の シナ リオ を精 密 化

図8.5 

ビ ッ グバ ン宇 宙論 で 計 算 した 軽 い 元 素 の 組 成 比

バ リ オ ン 密 度 ρB∼3×10-31∼4×10-31grcm-3とと

る とこ こに の せ た 原 子 核 組 成

の 観 測 値 が 再 現 で き る13).横 線 と 矢 印 は 観 測 値 を 示 す. 3He:Y=0 .239±0.015,  D:Y>1.6×10-5, D+He3:Y〓6∼10×10-5,7Li1.1×10-10
し て 計 算 し た と こ ろ 実 に 観 測 値 と よ く合 う こ と が わ か り(図8.5),ビ

ッ グバ

ン 宇 宙 論 を 正 当 化 す る 大 き な 証 拠 と な っ て い る.   さ ら に,こ

れ ら の 計 算 量 は ηB=nB/nγ

わ か る よ う に,ηBの

を パ ラ メ タ ーと し て 含 む が,図

か ら

許 容 範 囲 は 狭 く絞 ら れ て お り13)

(8.82a) (8.82b)

このΩBの 値 が 宇 宙 論 で 最 も正 確 なバ リオ ン数 密 度 を表 す もの とさ れ る.

8.6  宇 宙 構 造 の 進 化

  8.6.1  ジ ー ンズ 質 量   宇 宙 原理 に よ れ ば 宇 宙 構 造 は一 様 で 等 方 的 な は ず で あ る.し か し,銀 河 や 銀 河 団 の 存 在 で 知 ら れ る よ うに,実 際 の 宇 宙 密 度 は一 様 で な く構造 を もつ.図 8.6は 地 球 か ら150Mpcの

半 径 内 に あ る銀 河 分 布 で あ り15),現 在 ま で に観 測 さ

れ て い る 非 一 様 分 布 の な か で最 大 の ス ケ ー ル を もつ.200Mpcよ

り大 きな ス

ケ ー ル で な ら した 密 度 分 布 は一 様 で あ る とみ て よ い.   非 一 様 性 を定 量 的 に 定 義 す る た め に,ま ず 宇 宙 の体 積 で なら した 平均 密 度 (8.83) か らの ず れ を問 題 に す る.宇 宙 空 間 か ら直 径 λの 球 を あ ち こ ち か ら抽 出 し, 球 内 の 平 均 密 度 ρ1の宇 宙 全 体 の 平 均 密 度 ρ0か ら の ず れ の 相 対 値 の 自乗 平 均, す な わ ち, と

す ると き,λ>200Mpcな

で あ る.も

え ば,超

っ と小 さ い ス ケ ー ル,例

ら ば δρ/ρ≪1

銀 河 団 の ス ケ ー ル(λ〓20Mpc)

で は δρ/ρ∼1で あ る.す な わ ち宇 宙 平 均 の2倍 程 度 の 物 質 集 中 が 観 測 さ れ て い る(後 述(8.110)).そ

れ よ り小 さ い ス ケ ー ル で は δρ/ρ>1で 非 線 形 段 階 に

入 って お り,物 質 は互 い に 強 く結 びつ い て い る.ち な み に典 型 的 な 銀 河 サ イ ズ は30kpcで

あ り,典 型 的 な質 量MG∼2×1011M〓

を

と表 し,宇 宙 の 平 均 密 度 で こ れ だ け の 重 量 を包 含 す る ス ケ ー ル λGを 定 義 す る

地 球 か ら150h-1Mpc(∼5億

図8.6  宇 宙 の 大 規模 構 造15) 光 年)内 の6112個 の 銀 河 の 分 布.円

球.9時 ∼16時 ま でつ ら な っ て い る の が 巨 大 な壁(great な ど も見 え る.

wall)で

の 中心 が地 あ り,泡 構 造

と

で あ る.こ の ス ケ ー ル で は密 度 ゆ ら ぎ δρ/ρ≫1で あ るの で,い

っ た ん δρ/ρ>1

に な る と非 線 形 度 が 急 速 に上 が るこ とが わ か る.標 準 宇 宙 論 で は,こ れ ら銀 河 や 銀 河 団 な どの 現 在 観 測 され る宇 宙 構 造 は,最 初 は 一様 で あ っ た質 量 分 布 に ゆ ら ぎが 生 じ,時

と と もに 成 長 して現 在 の よ うに な っ た と考 え る.

  以 下 膨 張 宇 宙 全 体 の ス ケ ー ル 因子R(物 よ うに 変 化 す る)と,あ

質優 勢 な らば 時 間 と と もに ∼t2/3の

る時 刻 で の 共 動 座 標 系 上 で の宇 宙構 造 物 サ イ ズ を 表 す

ス ケ ー ル λ(こ れ は 時 間 に 無 関 係)と2種

類 の ス ケー ル を 使 い 分 け る.以 下,

こ の 節 で は 特 に 断 らな いか ぎ り現 在 の ス ケ ー ルR0=R(t0)=1と 系 を使 用 す る.こ の と きの ス ケ ー ル λは現 時 点(t=t0)に ケ ー ル に 等 しい,例

と る共 動 座 標

焼 き直 した と き の ス

えば,背 景 輻 射 切 り離 し時 の 地 平 線 の 大 き さがdH(tdc)と

い う と き,共 動 座 標 変 数 は宇 宙 の膨 張 に と もな い 不 変 で あ るの で ,現 時 点 で の 実 際 の大 き さ は,R0dH(tdc)=dH(tdc)で

あ る.す

在 な らば こ の大 きさ に な っ た で あ ろ う値 を扱 う.

な わ ち 宇 宙 膨 張 に と もな い現

  質 量 ゆら ぎ が成 長 す る ため に は,ゆ

ら ぎ を分 散 させ よ う とす る圧 力 に 打 ち勝

つ だ け の 引 力 す な わ ち質 量 の 塊(ジ ー ン ズ 質 量MJ)が い.別

存 在 しな け れ ば な らな

の い い 方 を す れ ば,重 力 に よ る 落 下 速 度 が 音 速υsよ り大 き くな る質 量

と もい え る.直 径λJ'の 球 内 で圧 力 に よ る運 動 エ ネ ル ギー が 重 力 に 負 け る とい う条 件 を書 く と

(8.84) (8.2),

(8.21)を

使 え ば,

(8.85) と な る.(8.85)の

最 後 の 式 は 輻 射 優 勢 の 時 代 に 成 立 す る.詳

し くは ニ ュ ー ト

ン力 学 の流 体 方程 式 を解 い て ゆ ら ぎ が 増 加 す る条 件 を決 め る.こ の場 合λJ'の 代 わ りに

(8.86) が 得 られ る の で,以 下 は こ の 定 義 を使 う こと に す る.λJは ジー ン ズ 質 量 を含 む 領 域 の 大 き さ で ジー ン ズ波 長と 呼 ば れ る.(8.85)の

最 後 の 式 か ら,物 理 的

に は ジー ン ズ 波 長 とは ハ ッブ ル 時 間H-1に

音 速 で 走 れ る 距 離と 定 義 で き る.

ま た こ れ か らバ リオ ン の ジー ン ズ質 量MJが

推 定 で き る.

(8.87)   λJを実 際 の 距 離 に 直 す に は ス ケ ー ル 因 子Rを

掛 け な け れ ば い け な い が,質

量 で表 す とス ケ ー ル に依 存 しな い 量 と な る の で便 利 で あ る.   輻 射 優 勢 の 時 代 は,(8.84),  

(8.12)よ

り 

と求 め られ る か ら,λJ∼

で あ る.す な わ ち,密 度 ゆ ら ぎ を成 長 させ る の に 必 要 な ジー

ン ス 波 長 は そ の 時 点 で の 地 平 線 よ り大 きい.こ

の よ う な 長 大 ス ケ ー ル で は,

ニ ュー トン近 似 式は もは や 適 用 で き な い が,い ず れ に し ろ密 度 ゆ ら ぎ を 成 長 さ せ る こ とは で き な い.輻 射 が 切 り離 さ れ て い な い状 態 で は,バ

リオ ン の 密 度 ゆ

ら ぎが 発 生 して もフ ォ トンの 圧 力 に よ り成 長 で きず 音 波 と して伝 播 す るの み で あ る.   一 方,切

り離 し以 降は,圧

力 は バ リオ ン 自身 の 運 動 エ ネ ル ギ ー に よ り提 供 さ

れ る の で,υs2=(5/3)TB/mと 温 度 で あ る.一

な る((8.10b),

使 え).TBは

バ リオ ン

旦 輻 射 と切 り 離 さ れ る とバ リ オ ン 温 度(∼)はR-2∼T2の

よ う に 振 る 舞 う か ら,TB=T2/Tdcで (8.10a)を

(8.12)を

あ る.再

結 合 後 は ρ≒ρBと

し て(8.82)

使 えば

(8.88) と な り,MJの

式(8.87)に

入 れ れ ば,

(8.89) と な る.M〓 (globular

は 太 陽 質 量 で あ る.こ cluster)の

こ の よ う に,質

の ジ ー ン ズ 質 量 の 大 き さ は,ほ

質 量 に 匹 敵 し,銀

河 質 量 ∼1011M〓

量 ゆ ら ぎ が 成 長 す る た め に は,バ

ぼ球 状星 団

よ り は る か に 小 さ い.

リオ ン が 背 景 輻 射 か ら 切 り離

さ れ る こ と が 基 本 的 に 必 要 で あ る こ とが わ か っ た.次

に 質 量 ゆ ら ぎが 十 分 成 長

す る だ け の 時 間 が あ っ た か を チ ェ ッ ク す る.

  8.6.2  ゆ ら ぎ の 成 長   ま ず,質 量 ゆ ら ぎ は,宇 宙 膨 張 と と も に∝Rの う.こ れ は 次 の よ うに 考 え れ ば よ い.あ

よ うに 成 長 す る こ と を 示 そ

る と こ ろ で 平 均 密 度 ρ0よ り濃 い とこ

ろ(ρ1)が 局 所 的 に生 じ,そ こ で は 重 力 が 膨 張 に勝 って 収 縮 に 向 か う と仮 定 し よ う.二 つ の領 域 が と もに 同 じハ ッブ ル 速 度 で 膨 張 して い る とす れ ば,密 度 の ゆ ら ぎ は 曲率 の ゆ ら ぎ と見 な す こ とが で き る.

ゆえに

(8.90) 物 質 優 勢 時 は ρ0∝R-3で あ るか ら,δ ρ/ρ∝Rと な る.密 度 ゆ ら ぎ δρ/ρが1程 度 以 上 に 大 き くな る と,ゆ

ち ぎの 進 行 は 非 線 形 と な り構 造 形 成 は 急 速 に進 む.

  こ の 事 実 と背 景 輻 射 の 一 様 性 は 直 ち に 問 題 を提 起 す る.す で に述 べ た よ う に,背 景 輻 射 が 切 り離 され る以 前 はバ リオ ン の密 度 ゆ ら ぎは成 長 す る こ とが で き な い.バ

リオ ン の密 度 ゆ ら ぎ発 生 は フ ォ トン切 り離 し以 後 で あ る.現 在 の 密

度 ゆ ら ぎ は 少 な く も ∼1で

あ る か ら,tdcの

と き の密 度 ゆ ら ぎは

(8.91) で な け れ ば な ら な い.一 方 観 測 され た 背 景 輻 射 の 温度 ゆ ら ぎ は ≒10-5で あ る の で,背 景 輻 射 の 密 度 ゆ ち ぎは 断 熱 的 とす れ ば

(8.92) で あ る.バ

リ オ ン の 密 度 ゆ ら ぎ はt=tdcの

じ は ず で あ る か ら,こ る.も

し,フ

れ は 矛 盾 で あ る.こ

と きは 背 景 輻 射 の 密 度 ゆ ら ぎ と同 の 解 決 は 暗 黒 物 質 に よ っ て 与 え られ

ォ ト ン と相 互 作 用 し な い 粒 子 が 宇 宙 に 大 量 に 存 在 し て い れ ば,輻

射 の 切 り離 し 以 前 で も,物

質 優 勢 に な っ た 時 点(teq)で

密 度 ゆ ら ぎ を 発 展 させ

る こ と が 可 能 で あ る.R(teq)/R(t0)=(1+zeq)-1∼10-4((8.29))は

ち ょ う ど欲

し い だ け の 密 度 ゆ ら ぎ を 与 え る の に 適 正 な 値 を も つ.輻

射 が 切 り離 さ れ る と,

バ リ オ ン は す で に発 達 して い た 暗 黒 物 質 の 密 度 ゆ ら ぎ に よ る重 力 場 に 捕 捉 さ れ,バ

リオ ン の 密 度 ゆ ら ぎは暗 黒 物 質 の 密 度 ゆ ら ぎに 急 速 に追 いつ い て 等 し く

な る.

  8.6.3 

暗 黒 物 質(dark

matter)の

役 割16,17)

  暗 黒 物 質 の 存 在 証 拠 は た く さ ん あ る.暗 互 作 用 を す る 粒 子(WIMPS=weakly ら れ て い る.電

interacting

気 的 に も カ ラ ー(QCD)的

近 く ま で,一

massive

い相

particles)と

考 え

に も 中 性 で な け れ ば な ら な い.

  (1)  う ず 巻 銀 河 の 周 辺 に あ る 物 体(水 の 大 き さ の10倍

黒 物 質 は バ リ オ ン で は な く,弱

素 分 子 雲 な ど)は,光

定 の 回 転 速 度 を も つ.こ

っ て い る銀 河

れ は物 質 密 度 の 一

定 な 領 域 が 同 程 度 に 広 が っ て い る こ と を 示 す.   (2)  ヴ ィ リ ア ル 定 理(付 団 の 発 す るX線 銀 河 団 の100倍

録B.4)を

使 っ た 超 銀 河 団 の 運 動 計 算 や,超

ス ペ ク トル の 強 度 か ら推 定 さ れ る 発 光 源 の 質 量 が,光

る

近 く大 き な 質 量 を もつ こ と を 示 唆 す る.

  (3)  標 準 宇 宙 論 に よ る 総 バ リ オ ン 密 度ΩBの る が,観

銀 河

測 は Ω0∼0.1∼0.3を

示 す.す

リ オ ン で は な い と の 推 定 が で き る.

予 測 はΩB=0.02±0.00413)で

あ

な わ ち 暗 黒 物 質 の 存在 とそ れ が バ

  ニ ュ ー ト リ ノ の ジー ン ズ 質 量:  る.こ

暗黒 物 質 の 一 つ の候 補 は ニ ュー ト リノで あ

の 場 合 の ジ ー ン ズ 質 量 を 計 算 し て み よ う.ニ

い の で 衝 突 は ほ と ん ど な い(free 度 で 置 き 換 え て よ い.一

streamingと

し,ジ

い う).こ

の場合 音速 は分散 速

旦 物 質 優 勢 に な れ ば ゆ ら ぎ の 成 長 が 始 ま る の で,

ニ ュ ー ト リ ノ の ジ ー ン ズ 波 長λJνは,t≦teqで 距 離 と 見 な し て よ い.ゆ

ュ ー トリノ の相 互 作 用 は 弱

え に,tNRを

ニ ュ ー トリ ノの 飛 べ る最 大 到 達

ニ ュー ト リノ が 非 相 対 論 的 に な る時 刻 と

ー ン ズ 波 長 を共 動 座 標 で 書 く と

(8.93) t>tNRで

はυ=p/mν

∼R-1で

変 化 す る か ら,υ(t)=CRNR/R(t),ま

は 輻 射 優 勢 時 代 で あ る か ら,t=tNR(R(t)/RNR)2を

たt
入 れ て 計 算 す る と,

(8.94) を 得 る.TNR=mν/3と

す れ ばtNRは(8.23)か

ら

(8.95a) (8.95b) Tν/Tγ=0.71は λJνにR(t0)を tNR)≒3と

ニ ュ ー ト リ ノ 温 度 と フ ォ ト ン 温 度 の 差 の 補 正 項 で あ る.上

の

掛 け て や れ ば 現 時 点 で の 長 さ に 換 算 し たλJνが 得 ら れ る.ln(teq/

お き,

(8.96) とΩνh2=(mν/100eV)を

使 え ば,h=0.7と

して

(8.97) を得 る.こ れ は 超 銀 河 集 団 ス ケー ル の 大 き さ で あ る.   上 の 議 論 か ら,暗 黒 物 質 構 成 粒 子 が 相 対 論 的(熱 い 暗 黒 物 質)で

あ れ ば,

ジー ン ズ 質 量 が 大 きい こ とが わ か る.暗 黒 物 質 が ニ ュー ト リノ の場 合,30eV 程 度 の 質 量 を もて ば まず 超 銀 河 団 が 形 成 され,ゆ

ら ぎが 発 達 す るに つ れ 銀 河 集

団 か ら銀 河 へ と分 裂 して い く(上 か ら下 へ の シナ リオ).も 相 対 論 的(冷

し,暗 黒 物 質 が 非

た い 暗 黒 物 質)で あれ ば ジ ー ン ズ波 長 の 大 き さ は 暗 黒 物 質 の 種 類

に よ りさ ま ざ ま で あ るが,球 状 星 団程 度 に 小 さ い領 域 か ら出発 す る こ と も可 能

で あ る.こ の と き は,ま ず 銀 河 が で き銀 河 団 へ と成 長 して い く(下 か ら上 へ の シナ リオ).種 々 の シ ミュ レー シ ョン 結 果 は,冷 た い 暗 黒 物 質 に 有 利 で あ る. ま た,銀 河 や2重

銀 河 な どの ス ケー ル の小 さ い暗 黒 物 質 は ニ ュー トリ ノで は 説

明 で き な い の で,暗 黒 物 質 の す べ て が ニ ュ ー ト リノ とい う可 能 性 はす で に 否 定 され て い る.し か し,100Mpcに 暗 黒 物 質 の み で は 説 明 で きず.冷

も及 ぶ 大 規 模 構 造(図8.6)の

存在 は冷 たい

た い 暗 黒物 質 と熱 い 暗 黒 物 質 を混 ぜ る シ ナ リ

オ が検 討 さ れ て い る.   熱 い 暗 黒 物 質 の 代 表 的候補 が ニ ュー ト リノで あ り,冷 た い 暗 黒 物 質 の候 補 は ニ ュ ー トリ ノ以 外 の ほ とん どす べ て の粒 子 を含 む .代 表 的 な 冷 た い暗 黒 物 質 と して は ア ク シ オ ン と超 対 称 性 粒 子 の 仲 間 ニ ュ ー トラ リー ノ が あ げ られ る.ア シ オ ン は 質 量 が 非 常 に小 さ い が,運 動 量0の い 暗 黒 物 質 の 仲 間 で あ る(第6章

ク

ボ ー ス 凝 縮 体 と して 振 る舞 い冷 た

参 照) .暗 黒 物 質 の 正 体 は 不 明 で あ り,現 在

活 発 な探 索 活 動 が行 われ て い る.

  8.6.4 

銀 河 分 布 とパ ワ ー ス ペ ク トル

  こ こ で は,現 る.密

在 の 観 測 デ ー タ を 照 合 し て,ゆ

度 ゆ ら ぎ を場 所 の 関 数 ρ(r)と 表 し,ゆ

ら ぎ の ス ペ ク トル構 造 を調 べ ら ぎ δ(r)を

(8.98) で定 義 して,波

の重 ね合 わせ と して フー リエ 展 開 す れ ば,

(8.99)*6) 実 際 に定 量 化 す る の は 密 度 の ゆ ら ぎの 自乗 で あ る.

(8.100) こ こ で 等 方 性 よ り δ(k)=δ(￨k￨)≡

δkと し た.

(8.101)

*6) Vは 規 格化 の ため に 導 入す る体 積 で あ り ,便 宜 上V→∞ と再 定義 す る.

連 続 極 限 で δ(k)→V-1δ(k)

で 定 義 さ れ るΔk2は あ る)無

パ ワ ー ス ペ ク トル と 呼 ば れ る 量 で(￨δk￨2自 身 を 指 す こ と も

次 元 の パ ラ メ タ ー で あ る.Δkは

を 表 す.今

実 空 間 の ス ケ ー ル λ=2π/kの

宇 宙 空 間 の 任 意 の 点x=riで,半

そ の 中 に お け る 総 重 量 をMiと

す る.次

径r0=λ/2の

ゆ らぎ

球 を サ ン プ ル し,

式 で 定 義 さ れ る ウ ィ ン ド ウ 関 数W(r)

を 使 う と,

(8.102a) (8.102b) と表 す こ とが で き る.こ の平 均 値Mは,半

径r0の 領 域iを

あ ち こ ちか ら拾 っ

て きて,そ の 平 均 値 とい う意 味 で あ る.ス ケー ル λで の 質 量 ゆ ら ぎδMを 次 式 で定 義 す る と,

(8.103) (8.104) と 表 さ れ る か ら,δMは す こ と が わ か る.こ

ス ケ ー ル λ=2r0で こ で,δ(r)の

平 均 し た 密 度 ゆ ら ぎ 

フ ー リ エ 変 換 式(8.99)と

を表

ウ ィ ン ドウ 関 数

の フ ー リエ 変 換 式

(8.105) を入 れ れ ば,

で あ る か ら,(8.100)式

でδk→

δkWkと

す る だ け で δ2→δM2と

な る.す

な わ

ち

(8.106) (8.102a)で

表 さ れ る ウ ィ ン ド ウ 関 数 の フ ー リ エ 変 換 は,

(8.107a) (8.107b)

と 表 さ れ る.パ

ワ ー ス ペ ク ト ル を 表 現 す る 際 よ く使 わ れ る モ デ ル は,Δk2=

Akn+3(￨δk￨2∼kn)で

あ る が,こ

の と き,

(8.108) し ば し ば, 

の と き,3j1(z)/z=1(0)と

い う近 似 を 使 う.そ

の場合

(8.109) す な わ ち,n>-3な お,k→∞ -1の

ら ば 質 量 ゆ ら ぎ は パ ワ ー ス ペ ク トル に 直 接 比 例 す る .な

でWk2∝k-4で

条 件 が つ くが

,こ

あ る か ら,短

波 長 成 分 が 無 視 で き る た め に は,n<

の 条 件 は ウ ィ ン ド ウ 関 数 を 適 当 に 選 べ ば(例

ス 関 数W(r)=exp(-r2/2r02)を使   観 測 に よ れ ば,r0=8h-1Mpcで

え ば)除 δM=1と

えば ガ ウ

け るの で通 常 は 気 に し な い. な る18).す

なわ ち

(8.110) 銀 河 相 関 関 数:  相 関 関 数 ξ を次 式 で定 義 す る.

(8.111) (8.112) こ こで 銀 河 の 質 量 密 度 が光 を 出 す 銀 河 の 数 密 度n(r)に

比 例 す る とい う も っ と

も ら しい仮 定 をす る と,あ る 銀 河 を 中心 に,半 径r,体

積 δVの 球 殻 の 中 に あ

る銀 河 の 数 は

(8.113) で 与 え ら れ る.等

方 性 の 仮 定 か ら ξ(r)=ξ(r)と

し た.観

測 か ら は(図8

.7)

(8.114a) (8.114b) こ こ に,ξGGは 銀 河 の 個 数 の 相 関 係 数 で あ る.ξCCは 銀 河 団 の個 数 の相 関 関 数 を表 し ξGGよ りは大 きい ス ケ ー ル を み て い るの に もか か わ らず 相 関 係 数 の べ キ が 等 しい とい うの は興 味 あ る こ と で あ る.   ￨δk￨2=AVknと

す ると

(8.115)

図8.7  図 は 須 藤 靖 著:ダ

銀 河分 布 の2体 相 関 関 数19)

ー クマ ター と銀 河宇 宙(パ

リテ ィ物 理 コー ス)図2.3

を修 正 転 載 し た も の.

で あ る の で,

(8.116) を 意 味 す る.相 関 関 数 を￨δk￨2に変 換 す る に は,0
の全 領 域 で の 値 を必

れ は 困 難 で あ るの で次 のJ3(r0)が よ く使 わ れ る.

(8.117) 以 上 の 議 論 か ら,あ る ス ケー ル で の 質 量 ゆ ら ぎや 相 関 関 数 の 観 測 値 を使 っ てパ ワー スペ ク トル が 推 定 で き る.λ〓200Mpcの

ス ケ ー ル で は,観 測 上 宇 宙 に は

目だ つ 構 造 が な く,宇 宙 は大 き な ス ケー ル で は一 様 で あ る とい う標 準 宇 宙 論 の

仮 定 を裏 づ け て い る.   原 始 ゆ ら ぎ:  上 に 述 べ た よ う に観 測 デー タか ら は,現 が,λ〓20Mpcな

時点 での スケール

ら ば ゆ ら ぎ は 発 達 の 線 形 領 域 に あ る の で,過

去 に さか の

ぼ って 原 始 ゆ ら ぎ を推 定 す る こ とが あ る程 度 可 能 で あ る.   R∝tα(α=2/3物 質 優 勢,=1/2輻 射 優 勢)の と き,地 平 線 はdH=t(1 -α)-1(式(8 .22))で 与 え られ る.し たが っ て,現 時 点 で あ る λ とい うス ケ ー ル を指 定 した と き,λ∝t2/3, dH(t)∼tで

あ る か ら,十 分 過 去 に さか の ぼ れ ば,

こ の ス ケー ル λは 地 平 線 よ り大 き くな る.つ

ま り地 平 線 の 外 に 出 る.地 平 線

の外 で は 因果 律 が 効 か な い か ら重 力 に よ るゆ ら ぎの 発 達 は な く原 始 の ゆ ら ぎの ま まで あ る.地 平 線 の 中 に 入 って も輻 射 優 勢 で あ れ ば ゆ ら ぎの 発 達 は ほ とん ど な い.物 質 優 勢 に な れ ば ゆ ら ぎは 成 長 す る が,先

に 述 べ た よ うに バ リオ ン はt

=tdcま で 輻 射 に 結 合 し て い るの でバ リオ ン ゆ ら ぎは 成 長 し な い.し か し,輻 射 と相 互 作 用 しな い暗 黒 物 質 で あ れ ば,輻 射 優 勢 が 物 質 優 勢 に 変 わ るteq以 降 に 地 平 線 に 入 っ て きた ス ケ ー ル で の ゆ ら ぎ は 成 長 す る.こ の 意 味 でt=teq時 点 に お け る地 平 線 の 大 きさdH(teq)が 重 要 な役 割 を演 じ る.   い ま原 始 の ゆ ら ぎ を考 え るた め に,ゆ

ら ぎに伴 う局 所 重 力 の 強 さ を考 察 して

み よ う.一 般 相 対 論 で は 計 量 テ ン ソ ル の ゆ ら ぎ で あ るが,非

相対論的には

ニ ュー トン の 重 力 ポ テ ン シ ャ ル φ を考 え る.厳 密 に い え ば,ス

ケー ル が 地 平

線 程 度 に な る と きは 一 般 相 対 論 を使 わ な い とい け な いが,定 性 的 議 論 は こ れ で 十 分 で あ る.ス

ケー ル λ=2π/kの 球 内 の 物 質 に よ る重 力 ポ テ ン シ ャル は φ

∼(π/6)Gρλ3/λで 与 え られ るか ら,曲 率 ゆ ら ぎは

(8.118) こ こ で,δ λ∝Δk(式(8.109))と 使 っ た.n=1な

ら ば 曲 率(計

フ リ ー ド マ ン 方 程 式H2∼(8π/3)Gρ0を 量)ゆ

ら ぎ は ス ケ ー ル λ に 依 存 し な い.こ

ハ リ ソ ン-ゼ ル ド ヴ ィ ッ チ の 等 曲 率 ス ペ ク ト ル と い う.こ

れ は,イ

れ を

ン フ レー

シ ョ ン モ デ ル の 予 言 す る と こ ろ で も あ る.(8.118)を

み れ ば,δxは

の と き のΔkに

平 線 に入 る と きは ス

等 し い か ら,n=1の

ス ペ ク トル は,地

λ=dH

ケ ー ル に よ ら ず 常 に 一 定 の ゆ ら ぎ の 大 き さ を も つ と い う性 質 を も っ て い る.t >teqに

地 平 線 に 入 っ た ゆ ら ぎ に つ い て は,宇

宙 膨 張 に 伴 い δ∼R,

ρ0∼R-3,

λ2∼R2の

よ う なR依

存 性 を も つ か ら,δxはRす

い 換 え れ ば,λ>dH(teq)の つ.一

方,λ
よ ら ず ほ ぼ 一 定 値 を と る.す を 採 用 す る と,パ

な わ ち 時 間 に よ ら な い.言

ス ケ ー ル に つ い て は,Δk∼

λ-2∼k2と

い う形 を も

で は 成 長 で き な い か ら,ス

な わ ち,ハ

ケー ル に

リ ソ ン-ゼ ル ドヴ ィ ッ チ の ス ペ ク トル

ワ ー ス ペ ク トル￨δk￨2は 大 ざ っ ぱ に い っ て

(8.119a) (8.119b) (8.119c) と い う 形 を も つ.熱

い 暗 黒 物 質(HDM)の

場 合 は,ニ

ュ ー ト リ ノの ジ ー ン

ズ 質 量 の と こ ろ で 述 べ た よ う に,λJ-ν ∼20Mpc(mν/30eV)-1で ワ ー ス ペ ク トル は,λ<λJ-ν こ の よ う な 切 断 は な く,ス

で 切 断 さ れ る.冷

た い 暗 黒 物 質(CDM)の

ペ ク トル は 下 ま で 伸 び て い る.現

は す で に 述 べ た よ う に,λ〓100Mpcで￨δk￨2∼k-1.2で 展 を 追 跡 す る に あ た っ て は,t〓tdcを

図8.8  横 軸 は波数kす

あ る の で,パ

時 刻(t0)で

あ る.実

出 発 点 と し,ΩM=ΩB(バ

場合 は の観 測 で

際 に宇宙構造 発 リオ ン)+ΩCDM

銀 河 分 布 の パ ワー スペ ク トル19)

な わ ち波 長 に 逆 比 例 す る.k=1は

お よ そ7Mpcに

相 当 す る.縦

軸 はゆ ら ぎの 自乗. 実 線 は冷 た い 暗 黒 物 質 モ デ ル で標 準 的 な パ ラ メ タ ー を設 定 して 得 られ る. 一 番 左 の 四角 がCOBEに よ る 背景 輻 射 の ゆ ら ぎ よ り,他 の 四角 も種 々 の 温 度 ゆ ら ぎ よ り得 た デ ー タ の許 容 範 囲,● す.

はCfa,

IRAS,

APMな

ど に よ るデ ー タ を 表

+ΩHDM, Ω=ΩM+Ω

λ(宇 宙 項(B.5)参

ラ メ タ ー を 適 当 に 設 定 し た う え で,ゆ 体 シ ミュ レ ー シ ョ ン 計 算 を 実 行 す る.こ の 試 み は,か

照)や

ハ ッ ブ ル 定数H0な

ど種 々 の パ

ら ぎ の 位 相 は 乱 雑 ガ ウ ス 型 を仮 定 し,N う し た 宇 宙 の 銀 河(団)分

な り の 程 度 成 功 し て い る が,各

布 構造再 現

パ ラ メ タ ー の と り方 で い ろ い ろ な

選 択 が 可 能 で あ る20,21)(図8.8).

  8.6.5  宇 宙 背 景 輻 射(CMB)の   宇 宙 背 景 輻 射(CMB: は,ホ

cosmic

ゆ らぎ microwave

background

radiation)の

ッ トビ ッグバ ン宇 宙 論 の最 大 の 根 拠 で あ る.T0=2.728±0.002Kと

に よ い精 度 で黒 体 輻 射 の スペ ク トル を再 現 して い るが,そ

存在 非常

の ゆ ら ぎ につ い て の

観 測 デ ー タ はつ い最 近 ま で上 限 しか 得 られ な か っ た.こ の ゆ ら ぎの 小 さ さが 暗 黒 物 質 の 理 論 的 ・観 測 的 な 証 拠 を与 え る こ とは す で に 議 論 した.最 近 のCOBE に よ る観 測 で,角 分 解 能σ=10度

の 温 度 ゆ ら ぎ が δT/T∼10-5と

求 め られ,

イ ン フ レー シ ョン モ デ ル と ほ ぼ整 合 す る こ とが確 か め られ た.宇 宙 背 景 輻 射 の 温 度 ゆ ら ぎ は宇 宙 論 に お け る種 々 の 重 要 パ ラ メ ター を決 め る の に最 適 で あ るの で,よ

り精 密 測 定 を 目指 し て次 々 と観 測 衛 星 が 打 ち上 げ られ る予 定 で あ る.こ

こ で は,背 景 輻 射 の ゆ ら ぎの 現 象 論 を述 べ るに と どめ る.   天 空 の あ る方 向 をr(θ,φ)と して,温 度 ゆ ら ぎ δT/T(r)を

次 の よ うに 展 開

す る.

(8.120) T0はTの

平 均 値 で あ る.異 方 性 が 統 計 的 に等 方 的 で あ れ ば,φ に は よ らず

(8.121) が 成 り立 つ.β は 地球 の 宇 宙 背景 輻 射 に対 す る速 度 で あ る.観 測 に よ れ ば,第 1項 が 第2項

以下 に 比 べ て圧 倒 的 に大 き く,

(8.122) を 与 え る22).温 (8.9)を

度 ゆ ら ぎ の 式(8.120)の

右 辺 第1項

ロ ー レ ン ツ 変 換 す れ ば で て く る.し

系 の 量 に 直 す た め,通

常 は こ のl=1成

分(双

は,黒

た が っ て,背 極 子 成 分)を

体 輻 射 を表 す 式

景 輻 射 に 対 す る静 止 差 し 引 い たl≧2の

成 分 を 問 題 に す る.COBEの

観 測 デ ー タ は23,24)

(8.123) を与 え る.cosθ=r1・r2だ

け 離 れ た 方 向 の ゆ ら ぎ の 非 等 方 性 を次 式 で定 義 す

る と,

(8.124)   第2式 は,角 あ る25).ル

分 解 能 σ*7)を も つ 二 つ の ア ン テ ナ で 望 ん だ と き得 ら れ る 式 で

ジ ャ ン ドル 関 数Plが-1
考 え れ ば,cl2=(2l+1)￨al￨2は

の ゼ ロ点 を もつ こ と を

視 角 ス ケ ー ル θ〓180°/lで 見 た ゆ ら ぎ に 相 当 す

(a)

(b) 図8.9  角 度 ス ケー ルθ〓180°/l(lは 係.い

宇 宙 背 景 輻 射 の 温 度 ゆ ら ぎ19,20)

球 面 調 和 関 数Yl(θ,φ)で

ろ い ろ な デ ー タ と モ デ ル の 比 較.図8.9(a)で

展 開 し た と き の 多重 極 度)と

温度 ゆ らぎの関

は ゆ ら ぎの 初 期 条 件 と し て ハリ ソ ンーゼ ル ド

ヴ ィ ッチ ス ペ ク トル を仮 定 し,COBEの 観 測値 に 絶 対 値 を合 わせ て い る.図8.9(b)はn(パ ワー ス ペ ク トル の べ き乗 数),ハ ッブ ル 定 数H0,密 度 パ ラ メ タ ーΩ,バリ オ ンの 密 度ΩBを 変 え た と き ス ペ ク トル が ど う変 化 す るか を示 し て い る.図 l〓200の 山 は,背

*7) 検 出器 の ウ ィ ン ドウ関 数 を ,

と す る.

中 の 数 字 は三 つ の 曲 線 をl=100の

景 輻 射切 り離 し時 の音 波 の 第1の

腹 に相 当 す る.第2,第3の

位 置 で 上 か ら順 に 表 す. 腹 も見 え る.

る.COBEは,σ=10°

で

(8.125) を 与 え た23,26).こ れ に 反 し1° よ り小 さ な ス ケ ー ル で は 非 常 に ば ら つ き が 大 き く今 の と こ ろ は 不 正 確 な値 し か 得 ら れ て い な い.   宇 宙 背 景 輻 射 の 温 度 ゆ ら ぎ(δT/T)2の

観 測 デ ー タ を 図8.9(a)に

実 線 は 冷 た い 暗 黒 物 質 優 勢 な 宇 宙 モ デ ル に 基 づ い た 計 算 をCOBEの 絶 対 値 を 合 わ せ た も の で あ る.輻 い え ば θ〓1°に 相 当 す る.そ 線 の 外 に あ る.こ 移 を 表 し(ザ (δT/T〓

射 切 り 離 し 時 の 地 平 線 の ス ケ ー ル は,視

角 で

れ より 大 き な ス ケ ー ル は 輻 射 切 り離 し時 に は 地 平

ッ ク ス-ウ ォ ル フ ェ(Sacks-Wolfe)効

果),ス

熱 ゆ ら ぎ を仮 定 す れ ば,切

振 動 し て お り,切

ケー ル に よ ら な い

り離 し 前 の ゆ ら ぎ は 音 波 と し て

り離 し 時 の 地 平 線 ス ケ ー ル を 最 大 波 長 と す る 定 在 波 モ ー ドが

観 測 さ れ る こ と に な る.θ〓1° る.第2,第3の

の 最 初 の 山(l∼200)は

第1の

定在 波 に対 応す

定 在 波 に 対 応 す る 山 や 谷 も 見 え る(100
え て よ か っ た が,切

り離 し 時 に は,フ

程 はLf∼1/(σT・nBXe)程 こ る よ う に な る.こ 消 え て し ま う.こ す.切

デー タで

の 場 合 の 温 度 ゆ ら ぎ は 重 力 ポ テ ン シ ャ ル ゆら ぎ に よ る赤 方 偏

定 数).断

  一 方,フ

示 す21).

ォ ト ン の トム ソ ン 散 乱 に よ り平 均 自 由 行

度 と な り,時

間tの

れ に し た が っ て λ
間 にLs∼(ctLf)1/2の

り 離 し 時 の 地 平 線 の 大 き さ が,音 の と こ ろ に あ る.な

拡 散 が起

下 の スケール のゆ らぎは完全 に

れ を シ ル ク 減 衰 と呼 び,l〓2500で

θdcは だ い た い 

合 体 を理 想 気 体 と して考

は 音 波 の 減 衰 を 引 き起 こ

波 の 腹 や 節 に 反 映 さ れ る と す れ ば, ぜ な ら,音

波 の 地 平 線 をDと

す れ

ば,

(8.126a) こ こ で,  b)で

と(8.22),(B.12c)を

使 っ た.こ

れ を 角 径距離dA(B.18

割 れ ば,

(8.126b) た だ し,(B.18b)はΩ は む し ろΩ0+Ω

λ=0を

仮 定 し て い る.よ

λに 敏 感 で あ る.山

り 詳 し い 計 算 に よ れ ば,θdc

の 高 さ は バ リオ ン と 暗 黒 物 質 の 量 に依 存 す

る の でΩBに(H0に

も)敏

感 で あ る.図8.9(b)に

想 値 が パ ラ メ タ ー に よ り,お MAP

(Millimeter

Planck ば,宇

お よ そ ど う変 動 す

Anisotropy

Surveyer

は,温

(ESA:ヨ

Probe;

度 ゆ ら ぎ の 計 算 予

る か を示

NASA,

2000年

ー ロ ッ パ 宇 宙 局:2007年

し た27).観

測 衛 星

打 ち 上 げ 予 定)*8)や

打 ち 上 げ 予 定)が

宙 背 景 輻 射 の 精 密 値 が 得 ら れ る と 期 待 さ れ,ハ

動 け

ッ ブ ル 定 数 も含 め て こ こ

数 年 で 宇 宙 論 の パ ラ メ タ ー 決 定 に は 大 き な 進 展 が 期 待 さ れ る*8).

参 考

1)  佐 藤 文 隆,原

哲 也:朝

佐 藤 文 隆:岩 2)  E.W.Kolb

波 講座 and

文 献

倉 現 代 物 理 学 講 座13,宇

現 代 の 物 理 学11,宇

M.S.Turner:The

Early

宙 物 理 学,朝

宙 物 理,岩

倉 書 店,1983

波 書 店,1995

Universe,Addison-Wesley,1990

3)  PDG:Phys.Rev.,D54(1996),EPJ,C3(1998) 4)  M.Fukugita,C.J.Hogan W.Freedman

and

P.J.E.Peebles:Nature,366(1993)309

et al.:Nature,371(1994)

W.Freedman:Proc.18th

Texas

Symp.on

mology,1997,ed.A.Olinto,D.N.Schramm

Relativistic and

Astrophysics

J.Friedman,World

and

Cos

Scientific ,

Singapore 5)  J.C.Mather

et al.:Astrophys.J.,354(1990)237

6)  G.t'Hooft:Nucl.Phys.,B79(1974)276 A.M.Polyakov:Sov.Phys.JETP 7)  佐 藤 勝 彦:月

8)  B.Schwarzshild:Physics 9)  B.W.Lee

and

E.W.Kolb

Lett.,20(1974)194

刊 フ ィ ジ ッ ク ス,27(8)(1983)493 Today,51(6)(1998)17

S.Weinberg:Phys.Rev.Lett.,39(1977)165

and

K.A.Olive:Phys.Rev.,D33(1986)1202

10)  G.Steigman:Ann.Rev.Astron.Astrophys.,14(1976)339 11)  A.D.Sakharov:Pisma

ZhETF,5(1967)32

V.A.Kuzumin:Pisma L.Okun

and

ZhETF,13(1970)335

Y.Zeldovich:Comm.Nucl.Part.Phys.,6(1976)69

12)  M.Yoshimura:Phys.Rev.Lett.,41(1978)281 A.Y.Ignatiev S.Dimopoulos *8)  MAP(改

et al.:Phys.Lett.,B76(1978)436 and

L.Susskind:Phys.Rev.,D18(1978)4500

称 し てWMAP)は

発 表 し,種々

,2001年6月 に 打 ち 上 げ て2003年2月 に最 初 のデ ー タ を の 宇 宙 パ ラ メ タ ー の 精 密 値 を 与 え た28).Ω0=0.27±0.04, ΩB=0.04±0.004,

ΩA=0.73±0.04, ΩTOT=Ω0+Ωλ=1.02±0.02, zdc=1089±1, t0=137±2億 年,h=0.71 ±0.04,θdc=0.598±0.002… 等.他 の 種 々 の 観 測デ ー タ と 総 合 す る と,ΩTOT=1(平 坦宇 宙),Ω

λ≒0.7, Ω0≒0.3が

確 定 し,宇

宙 論 は 新 た な 転 回 点 を 迎 え た と い え る.

S.Weinberg:Phys.Rev.Lett.,42(1979)850 13) 

D.N.Schramm

14) 

G.Gamow:Phys.Rev.,70(1946)572;74(1948)505;Nature,162(1948)680;Phys.

and

M.S.Turner:Rev.Mod.Phys.,70(1998)303

Rev.,75(1949)1093 R.A.Alpfer,H.Bethe 15) 

M.Geller

16) 

H.Davis

and

and

G.Gamow:Phys.Rev.,73(1948)803

J.Huchra:Science,246(1989)897

and

P.J.E.Peebles:Astrophys.J.,267(1985)465

R.Sancisi

and

T.S.van

Albada:Proc.IAU

Universe,"eds.J.Kormendy 17) 

P.J.E.Peebles:Nature,371(1986)27

18) 

M.Davis

19) 

V.de

20) 

E.Gawiser

21) 

杉 山

22) 

S.P.Boughn,E.S.Cheng

23) 

G.F.Smoot

24) 

C.L.Bennett

25) 

2),p.386参

26) 

R.D.Davies A.Kogut

and

and

P.J.E.Peebles:Astrophys.J.,267(1983)465

Lapparent,M.J.Geller and 直:別

Symp.117"Dark

G.Knapp(Reidel,Dordrecht,1987),p.69

冊

and

J.P.Huchra:Astrophys.J.,332(1988)44

J.Silk:Science,280(1998)1405 日 経 サ イ エ ン ス109,宇 and

宙 の 誕 生 と 進 化,p.38-45

D.T.Wilkinson:Astrophys.J.Lett.,243(1981)113

et al.:Astrophys.J.,396(1992)L1 et

al.:Astrophys.J.,396(1992)L7

照 et

al.:Nature,326(1987)462

et al.:Astrophys.J.,401(1992)1

27) 

C.L.Burner,M.S.Turner

28) 

http://lambda.gsfc.nasa.govl

and

M.White:Physics

Today,50(11)(1997)32

Matter

in

the

付

録

A  ホ

  ホ モ ト ピー: 

自 由 度nの

式 の 解 φa(xμ)は,4次 で あ れ ば,xμ

ト ピ ー

内 部 対 称 性Gを

元 時 空 か らn次

が 時 空 の 点Pか

らQへ

ま で 連 続 的 に 動 く.P→Qの う(図A.1).通

モ

もつ 場 φa(a=1,2,…,n)の

連 続 的 に 動 く と き,φ は φ空 間 で 点Aか

経 路 が 変 化 す れ ば,A→Bの

い い,経

こ の と きΦ

の と き,二

路変 換 す る連 続

関 数 を ホ モ ト ピー と い う.φ 空 間 が 特 殊 な 構 造 を し て い る場 合,例えば

い が,ホ

らB

経 路 も変化 す るで あろ

常 二 つ の 経 路 は 連 続 変 形 で 一 致 させ る こ とが で き る.こ

つ の 経 路 は 同 じ ホ モ トピー ク ラ ス に 属 す る(homotopic)と

の よ うな トー ラ ス の 場 合 は 経 路Φ

運動方程

元 φ空 間 へ の 写 像 と見 なせ る .φ が 連 続 関 数

図A.1(b)

とψ は 連 続 変 換 で は 一 致 させ る こ とは で き な い .

と ψ は 異 な る ホ モ ト ピー ク ラ ス に 属 す る と い う.物 理 的 に は 区 別 で き な

モ トピー ク ラ ス の 異 な る 真 空 が 存 在 す れ ば,ソ

リ トン が 存 在 し う る.実 際

に ソ リ トン が 存 在 す る こ と を示 す に は し ば し ば 運 動 方 程 式 を解 か な け れ ば な ら な い が,存

在 の た め の 必 要 条 件 を 一 般 的 に 議 論 し,ク

ラ ス 分 け す る の に ホ モ ト ピー の 議

論 が 役 に 立 つ.

(a) 図A.1 

(b)

(a)  二つ の径 路 φABとφ'ABは 連 続 に 曲げ て 互 い に一 致 させ られ る. (b) Φ と ψ は 連 続 変 形 で 互 いに 一 致 させ る こ とは で きな い の で 異 な る ホ モ トピー クラ ス に 属 す る.

  S1とR1: 

リー群Gの

表 現 行 列 は変 数{ωa}で パ ラ メ タ ー 化 で き る.変

る空 間 を群 の 多 様 体 と い い,こ

数 ωの 張

の 多 様 体 の体 積 が 有 限 で あ る と き群 は コ ン パ ク トで

あ る と い う.   例1. 

実数xの

集 合R1は

加 減 算 に よ る群 をつ く る.変 数 領 域 は-∞<x<∞

無 限 で あ り コ ンパ ク トで な い.   例2. 

1次 元 複 素 数 空 間 の 位 相 変 換U(1)も

し く は2次

元 実 空 間 の 回 転(SO(2))

は

は,位

相 も し くは 回転 角 を θ と して,0≦

体 の 体 積 は2π と な る.こ

れ は 円(1次

点 とA点

を 同 一 視 す れ ば,A≦x
の で,同

じ ト ポ ロ ジー を もつ.A(B)を

に な るか ら,こ

θ<2π で あ る か ら コ ンパ ク トで あ り,多 様

元 空 間 の 球S1)と 連 続 関数f(x)に

限 遠 点 を 同 一 視 し たR1

な る.同 様 に 無 限 遠 点 を 同一 視 し た2次

平 面R2(3次

元 空 間R3)は,2(3)次

S2(S3)と,ト

ポ ロ ジ ー と して は 同 一 で あ る.

元 の 球(3(4)次

例3:SU(2)とSO(3): 

よって θに変換 可能 で あ る

±∞ と とれ ば,無

の 条 件 つ き のR1はS1と

 多 重 連 結: 

同 じ トポ ロ ジー を もつ.B

SU(2)変

元

元 空 間 に 埋 め 込 ま れ た 球 面)

換 は 次 の よ うに 表 され る.

(A.1) こ れ は,4次

元 空 間 に 埋 め 込 ま れ た 超 球 面(S3)を

ル ー プ は 一 点 に収 縮 させ る こ とが で き る.こ connected)と

表 す.明

れ をSU(2)群

らか に球 面 上 の任 意 の閉 は単 連 結 で あ る(simply

いい

(A.2) と書 く.π1と はS1のSU(2)多 様 体 へ の 射 影 の ホ モ ト ピー ク ラ ス分 け で あ る.  一 方 ,SO(3)は3次 元 実 空 間 の 回 転 を 表 し,オ イ ラ ー 角 を使 えば

(A.3) と 表 せ る.R(θ+π)=R(θ-π)=-R(θ), U(θ)=-U(θ+2π)で

あ る.ス

R(θ)=R(θ+2π)で

あ る が,SU(2)で

は

ピ ノー ル は2π 回 転 で 符 号 を変 え るの に 反 し,ベ

ク

トル は 符 号 を変 え な い 事 実 は これ が 原 因 で あ る.   3次 元 空 間 の 回転 は,回 方 向 を 向 き,大 な る.こ

転 軸 と 回 転 角 を決 め て パ ラ メ タ ー 化 で き る の で,回

き さが 回 転 角 に 等 し い ベ ク トル の 張 る 空 間 が,SO(3)群

れ は,半

径 π の 球(R3)で

あ る.た

だ し,π 回 転 と-π

転軸の

の 多様 体 と

回転 とは 等 し いか

ら,半 径 π の 球 面 の 各 点 と原 点 の 向 こ う側 の 対 向 点 は 同 一 視 し な け れ ば な ら な い. こ の 多 様 体 は2重

連 結 で あ る.な ぜ な ら,一

られ る(図A.2).経 属 す る.一

方,経

連 の 回 転 を表 す 線 と し て2種

類 が考 え

路g1は 一 点 に 収 縮 させ ら れ る の で 点 と 同 じホ モ ト ピー ク ラ ス に 路g2は

瞬 間 向 か い 側 のA'に

回 転 角 θ が π を 超 す 場 合 で,A点

飛 び 出 す.g2の

モ ト ピー ク ラ ス に属 す る.回

に 到 達 し て π を超 え た

線 は 一 点 に 収 縮 す る こ と は で きず,線

と同 一 ホ

転 角 が2π を超 え る と再 び 向 か い側 に 跳 躍 して 元 に 戻 る

の で ホ モ トピー ク ラ ス と して は 再 び 点 と 同 一 に な る.g1を0に,g2を1に

対 応 させ

る と,0+0=0, 成 す る.こ

0+1=1+0=1,

1+1=0の

代 数 を 満 た す 整 数2個

よ り な る群Z2を

構

れ を

(A.4) と 書 く.SO(3)群

とSU(2)群

は 同 じ リー 代 数 を 満 た し と も に コ ン パ ク トで あ る が,

SU(2)が

単 連 結 で あ る の に 反 しSO(3)は2重

SO(3)の

被 覆(covering)と

て は,1とexp(iπ))を =SU(2)/Z2の

い う.SO(3)群

1, …, N-1)を

図A.2 

は,SU(2)の

の と き,SU(2)は

中 のZ2群(群

恒 等 変 換 と 同 一 視 す る こ と に よ り得 ら れ る.こ

よ うに書 く .一 般 にSU(N)群

(i2πn/N)(n=0,

連 結 で あ る.こ

は,す

の要 素 と し れ を,SO(3)

べ て の 群 の 要 素 と交 換 す るexp

部 分 群 と して 含 む.

3次 元 空 間 の 回転SO(3)は

回 転 軸 と 回 転 角 で パ ラ メ ター 化 で き る.回

転 角 の長 さ を も ち任 意 の 方 向 を向 くベ ク トル の 張 る空 間 は 半 径 πの3 次 元球(R3)の

内部 で あ る.+π

回 転 と-π

回転 は等 しい の で 半径 π の

球 面 上 の各 点 と球 面 の 対 向 点 は 同 一 点 で あ る.連

続 回 転 は 一 つ の径 路

をつ くる.径 路g1は 無 回 転(原 点O)に 縮 小 で き る が,回 転 角 が π を 超 す径 路g2は 連 続 変 換 でg1と 一 致 させ る こ とは で きな い.

  縮 退 真 空 と巻 つ き 数: 

静 的 運 動 方 程 式 の 解 と して の ソ リ トン の 存 在 条 件 は,

ホ モ ト ピー ク ラ ス の 異 な る 縮 退 真 空 が 存 在 し,か つ 有 限 エ ネ ル ギ ー を も つ こ と で あ る.縮 退 真 空 は ポ テ ン シ ャ ル をV(φ)と

するとき

(A.5) を満 た す φ の 値υ が 二 つ 以 上 存 在 す る と き に 出 現 す る.す

な わ ち φが 内 部 対 称 性G

を もつ と き,

(A.6) が 多 価 関 数 で あ る条 件 を探 す こ とが 課 題 とな る.時 次 元 空 間 でS1,3次

元 空 間 でS2の

空 に お い て γ→∞

トポ ロ ジ ー を もつ の で,時

写 像 が ど う対 応 す る か を知 る必 要 が あ る.

の 空 間 は,2

空 か ら群 の 多様 体 へ の

  a. 

2次

元 空間

  2次 元 空 間 でU(1)対

称 性 を 満 た す ヒ ッ グ ス 場 φ(x)=(φ1±iφ2)を 考 え る.真

位 が φ(γ→∞)=υexp[-ig(θ)], g(2π)=g(0)+2πnを =(x2+y2)1/2→∞ る.上

は 円S1と

満 た す と し よ う.空 間 内 の γ

同 じ トポ ロ ジ ー を も ち θ(θ=0と2π

の 議 論 か ら φ は 実 空 間 で のS1か

て 次 の 関 数 を考 え よ う(図A.3参

空配

ら φ空 間 のS1へ

は 同 一 視)で

の 射 影 を 表 す.群

表せ

変数 とし

照).

(A.7a) (A.7b) (A.8a) (A.8b)

(a)

(b)

(c)

(d)

図A.3  時 空 の 点 をS1(0〓

S1→S1へ

の写 影 の ホ モ トピー ク ラス 分 け

θ<2π)で 表 し,写 影gi(θ)が や は り1次 元 の 閉 曲 線 も し くは

端 点 を 同 一視 した 直 線 と な る場 合.(a)∼(d)は

g1は 恒 等 変 換 を 表 す.g2は トピー ク ラ ス に 属 す る.し でg1に

そ れ ぞ れ のgiを 表 す.

明 ら か に連 続 変 形 でg1に か し,g3は

変 え る こ と は で き な い.同

モ ト ピー ク ラ ス に属 す る.ト

円S1の

様 にg4は2回

も って ゆ け る か らg1と 同 じホ モ

周 りに1回

巻 きつ い て お り,連 続 変 形

巻 き つ い て お り,g1, g3と は 違 う ホ

ポ ロ ジー 指 数 も し くは 巻 つ き数nを

(A.9) で 定 義 す る.VGは

群 の 多 様 体 の 体 積 で い ま の 場 合 は2π で あ る.被

積 分 関 数 はUか

ら群 の 変 数 を 抽 出 す る 演 算 で あ り,θ が0→2π る.n(g1)=n(g2)=0, n(g3)=1,

n(g4)=2を

真 空 が 存 在 す る こ と に な る.S1→S1の

の と き,群

変数gは0→2nπ

与 え る の で,整

であ

数nで

区 別 さ れ る縮 退

射 影 が ホ モ ト ピー 指 数nに

よ り区別 され る

ホ モ ト ピー ク ラ ス に 分 け られ る と き,数 学 用 語 で は,

(A.10a) と 表 し,第1種 る.扱

の ホ モ トピー 群 と呼 ぶ.Zは

う群Gを

加 減 算 に よ る 整 数 の 群 の 集 合 を構 成 す

表示 す る ときは

(A.10b) と も 書 く.一

般 にSn→Sm, Sn→Gの

πn(Sm), πn(G)と

射 影 の 場 合 の ホ モ

ト ピ ー ク ラ ス 分 け を,

書 く.

  b.  3次 元 空 間   SO(3)対

称 性 を 満 た す ア イ ソ ス ピ ン1の

φ(φa:a=1,

2, 3)が,γ

→∞

で真 空配位

(A.11) を満 た す もの とす る.φ

は長 さυ の 任 意 の 方 向 を 向 くベ ク トル と な る.φ ベ ク トル

を 中 心 軸 と す る 回 転(SO(2)も SO(3)対

し くはU(1))に

称 性 が 自発 的 に 破 れ てU(1)対

よ っ て 真 空 の 値 は 変 わ ら な い か ら,

称 性 が 残 る問 題 を 扱 って い る.φ の 配 位 は ア

イ ソ ス ピ ン 空 間 の 球 面 と し て 表 さ れ る か ら,φa(γ →∞)は

時 空 のS2か

ピ ン 空 間 のS2へ

ロ ジ ー の数 学 か ら

の 射 影 を 表 す.こ

れ をπ2(S2)と 書 き,トポ

らア イ ソス

(A.12)

図A.4  3次

元 空 間(x,

y, z)の

球 面(S2)か

(φ1, φ2, φ3), φ2=φ12+φ22+φ32=1と

S2→S2の

ホ モ トピ ー

ら ア イ ソ ス ピ ン 空 間 へ の 写 影 φ(x, y, z),

φ=

す る 単 位 ベ ク トル を と る.

(a)  φ=(0, 0, 1), (b) φ=(ξ, η, ζ) ξ=ξ/r, …,  ア イ ソ ス ピ ンベ ク トル を球 面 上 すべ て の 点 で連 続 的 に(a)へ とは で き な い. (c)  南 極 に穴 を あ け,そ

こ を除 け ば 連 続 移 行 可 能 で あ る.

移 行 させ る こ

で あ る こ と が 知 ら れ て い る1).こ の 直 観 的 な 説 明 を 図A.4に φ=(0,0,1),図A.4(b)は 方 向(失 印)か

φ=(x/r,y/r,z/r)に

配 位 を もつ φ の

ら,球 面 上 の す べ て で 連 続 的 な 変 換 関 数 を使 って,(a)の

て ゆ く こ と は で き な い.し A.4(c)の

示 す.図A.4(a)は,

対 応 す る.(b)の

配位 に もっ

か し,南 極 点 で だ け は 連 続 で な く て よ い と す れ ば,図

よ う に 連 続 変 換 で(a)の

配 位 に も っ て ゆ け る.す

な わ ち,(a)の

配位 と

(b)の 配 位 は 異 な る ホ モ トピ ー ク ラ ス に属 す るの で あ る.   ホ モ トピー ク ラ ス を指 定 す る指 数(巻 つ き数)は 次 式 で 定 義 され る.

(A.13a) こ れ が,整

数nを

与 え る こ と を見 る た め に,εijkの 反 対 称 性 か ら

で あ る こ と を 使 っ て 表 面 積 分 に 直 し,

次 に,角 変 数 θ,αで書 き換 え る.jk平

面 の 面 積 要 素(変 数 変 換 の ジ ャ コ ビア ン)

(A.14) を使 う と

(A.13b) Qの

こ の 定 義 は,U(1)に

お け る 巻 つ き数(A.5)と

同 じ く,群 の 変 数 を取 り出 す 演

算 に な っ て い る.被 積 分 関 数 の う ちdθdα 以 降 は φ→(θ,α)の ジ ャ コ ビ ア ン で あ る か ら,上 式 は φ空 間 で の 積 分 に 直せ る.

(A.13c) φ 空 間 のS2は Qは

半 径 が1の

表 面 積 で あ る か ら,xiが

φ 空 間 の 表 面 積 を 被 う 回 数nを

位 はn=1に

全 表 面 を 動 く と き,

配 位 はn=0,

(b)の

配

対 応 す る.

  剰 余 群: 

SO(3)演

算 は,回

した 真 空 配 位 φ・φ=1は はU(1)対

時 空 のS2の

与 え る.図A.4(a)の

転 軸 を 選 び 回 転 角 を 与 え る こ と で 決 ま る.上

で考 察

回 転 軸 を 決 め る と き の 制 限 で あ る.回 転 軸 の ま わ りの 回 転

称 性 を もつ か ら,真 空 はU(1)演

は,SO(3)か

らU(1)を

た と き,Hに

属 さ な い 要 素 をMiと

算 で 不 変 で あ り,真 空 の 決 め 方 の 自 由 度

除 い た 演 算 の 自由 度 だ け あ る.群Gか 書 く と,群Gは

ら,群Hを

取 り出 し

形式 的 に

(A.15) と書 け る.Miの

張 る 空 間 を 剰 余 空 間 と い い(商 空 間 と もい う)G/Hと

書 く.上 の 考

察 か ら,SO(3)/U(1)は,ト

ポロ ジ ー と して はS2に

  モ ノ ポ ー ル の 存 在 条 件:  が 自 発 的 に 破 れ てU(1)を 元 空 間 の 無 限 遠 点)か

同 形 な こ とが わ か る.

モ ノ ポー ル を電 磁 場 と共 存 す る ソ リ トン とす る.群G

含 むHが

らG/Hへ

残 っ た と き の ソ リ ト ン の 存 在 条 件 は,S2(3次

の 射 影 が,複

数 の ホ モ トピ ー ク ラ ス を もつ こ と,す

なわ ち

(A.16) で あ る.こ

こ で,再

○ 群Gが

単 連 結 の 場 合(例:SU(n)),

び 数 学 の 助 け を借 り る と1)

(A.17a) SU(N)の

対 称 性 が 破 れ てU(1)が

残 る と き は,

(A.17b) で あ り,モ

ノ ポ ー ル 存 在 の 必 要 条 件 を満 た す.

○ 群Gが2重

連 結 の 場 合(例:G=SO(n))

(A.18a) 単 連 結 の 場 合 と 同 じ く必 要 条 件 を満 た す が,親 位 へ の 射 影 は2:1と

の 群 が2重

連 結 で あ る の で,真

空配

な り,

(A.18b) こ の 場 合 モ ノ ポー ル の 磁 荷 は,デ ○ そ の 他,い

ィ ラ ッ ク磁 荷 の2倍

とな る.

くつ か の 式 をあ げ て お く.

(A.19)

特 別 な 場 合 と して,π3(SU(2))=Zは   ワ イ ン バ ー グ-サ ラ ム 理 論: 

イ ン ス タ ン トン 存 在 条 件 で あ る. ワ イ ン バ ー グ-サ ラ ム モ デ ル は,上

と モ ノ ポ ー ル を も っ て も よ さ そ う で あ る が,電 の 埋 め 込 み 方 が,正

則 的 で な くU(1)EMが

  理 由:SU(2)×U(1)Yの る.電 磁 気 のU(1)は

U(1)群

磁 気U(1)EMのSU(2)×U(1)の

中へ

コ ンパ ク トで な い た め もて な い.

中 に は 二 つ のU(1)部

分 群 が あ り,生 成 子 はI3とYで

あ

そ の 直 積 演 算 で あ る.

の パ ラ メ ター 領 域 は,円

も し くは 両 端 点 を 同 一 視 し た 直 線 で あ る.し

て 直 積 群 の パ ラ メ タ ー 領 域 は,図A.5で とDC,辺ADとBCを

の 定 理 か らす る

たが っ

表 さ れ る よ う に 長 方 形ABCDで,辺AB

同 一 視 して 得 ら れ る.電 磁 気 の ゲ ー ジ 変 換 の 位 相 α は,

図A.5 

標 準 理 論 の群 変 数 α の 多様 体 の体 積 は無 限 に 大 き い

I3回 転 の 変 数  U(1)回

で,ABとDCは

転 

でADとBCは

θWβ+cosβWγ,θWは

同 一 β を 表 す.ハ 同 一 γ を表 す.電

ワ イ ンバ ー グ角.Aか

向 辺 に飛 ぶ の でAaa'bbcc'…

イ パ ー チ ャー ジ の

磁 気 の ゲ ー ジ変数 α=sin

ら出 発 した α は 辺 に 到 達 す る と対

の 道 を描 く.tanθWは

有 理 数 で な い の で,α

のた ど

る道 は関 じな い で 永遠 に 続 く.

(A.20) で 与 え ら れ る の で,図A.4に

お け る よ う な 経 路 上 を 動 く.勾 配 が γ/β=(I3/Y)tan

θWが 有 理 数 で な い た め,Aか の 長 さ を もつ.す

な わ ち,ワ

ら 出発 す る線 が 閉 じ る こ と が な く α の た ど る線 は 無 限 イ ン バ ー グ-サ ラ ム 理 論 に お け るU(1)群

限 大 の 体 積 を も ち コ ンパ ク トで な い.し は 存 在 し え な い.し

の よ う な 単 純 群 が,最 U(1)が

初 に(す

示 す よ う に,大

ノ ポー ル

残 る な ら ば モ ノ ポー ル が 発 生 す る.

N.Steenrod:The (邦 訳)大

2) 

な り,モ

統 一 理 論 が 正 し く,SU(5)

な わ ち 大 統 一 エ ネ ル ギ ー で)自 発 的 に 破 れ る と き に

参

1) 

た が っ て π1(G/H)=0と

か し,式(A.17)が

の 多様 体 は 無

Chan

Topology 口 邦 夫:フ

Hong-Mo

World

of

and

Tsou

Sheung

  ロ バ ー

文

献

Bundles,Princeton

ト ポ ロ ジ ー,吉

University

Press,1951

岡 書 店,1976

Tsun:Some

Elementary

Gauge

Theory

Concepts,

Scientific,Singapore,1993.

B 

  B.1 

Fibre

ァ イ バ ー 束 の

考

宇

宙

の

幾

ト ソ ン-ウ

何

宇

宙

論

補

足

学

ォ ー カ ー の 計 量

の 幾 何 学 を考 察 す る.   k=0の

場 合:

  ロバ ー トソ ン-ウ ォー カー 計 量 が 平 坦 な ユ ー ク リ ッ ド空 間 を 表 す こ と は 明 ら か で あ

る.   k=+1の

場 合:

で あ る の で,

 と す る と, 

(B.1) とお け ば,

(B.2) こ れ か ら,点r(x,y,z,u)は,4次 こ と,し

た が っ て,こ

元 空 間 に 埋 め 込 ま れ た 半 径Rの

の3次

元 空 間 は 閉 じて お り,Rが

超 球 表 面 を表 す

空 間 の サ イ ズ を 表 す こ とが

わ か る.   k=-1の

場 合:  とお け ば, 

で あ る の で,

(B.3) とお け ば,

(B.4) こ れ か ら,点r(x,y,z,u)は,4次 か る.す

元 空 間 に 埋 め 込 ま れ た 回 転 双 曲 面 を 表 す こ とが わ

な わ ち空 間 は 開 い て い る.

  フ リ ー ドマ ン方 程 式: 

パ ラ メ ター を い くつ か 定 義 す る.

ハ ッブ ルパ ラ メター 臨界 密度 密 度 パ ラ メター 曲率 パ ラ メター 減 速 パ ラ メター

(B.5)

宇 宙 項 パ ラ メ ター  これ らの パ ラ メ タ ー を使 え ば,フ

リー ドマ ン方 程 式(8.2)は,

(B.6) フ リー ドマ ン 方 程 式 を微 分 し て,エ

ネ ル ギー 方 程 式(8.5)を

使 え ば,

(B.7) を得 る.現 在t=t0で

は,物 質 優 勢(P=0)で

あ るか ら,

(B.8) を 意 味 す る.Ω0とq0は kとΛ

観 測 量 で あ る か ら,K0と

Ωλ0が決 め ら れ,R0を

決 め れ ば,

が 決 め られ る.

  長 さ:共 動 座 標 で,r=一 で 積 分 し て,そ

定 の 円 周 の 長 さ と球 面 積 は,dr=0と

れ ぞ れ2πr, 4πr2と な るが,半

して φ も し くは θ

径 の 長 さlは,

(B.9) で 与 え ら れ る.例 半 径rの

と して 閉 じ た 空 間(k=+1)の

円 を描 く と き 円 周 は2πrで

場 合,北

あ る が,円

極 を通 る 中 心 軸 の まわ りに

の 中 心 か ら 円 周 ま で の 距離lは

lの 円 弧 で あ り,極 付 近 で はl〓rが

成 立 す る が,一

  rは よ く で て く る 量 で あ る が,観

測 量 に 結 び つ け る と きは,光

う.こ の と き,(8.8)を

般 に はl>sinl=rで

極角

あ る.

の 行 路ds2=0を

使

使 えば

(B.10) で あ る.H(t)は

次 の よ う に し て 求 め ら れ る.

  物 質 優 勢 の と き,ρR3=ρ0R03で

あ る の で,フ

リ ー ドマ ン 方 程 式(8.2)よ

り

(B.11a) (B.11b) こ れ に,R0/R=1+zを

入 れ,(B

.5)を

使 えば

(B.12a) で あ る.こ

れ よ り,Ω

λ0=0の

と き

(B.12b) 1+z≫Ω0-1の

とき

(B.12c) が 成 立 す る.(B.12a)を(B.10)に

入 れ,(B

.9)と

比 較 す る と,Ω

λ0=0の

と き,

(B.13a) Ω0z≪1の

と こ ろ で は,

(B.13b) (B.13a)式

はΩ λ=0と

し て 導 い た が,(B.13b)式

は 一 般 のq0=Ω0/2-Ω

λの と き に

も成 立 す る.  距 離 の 定 義:  る.こ

t=一 定 の 超 平 面 で は,共 動 座 標0∼rの

れ が 距 離 の 定 義 と して 使 え そ うで あ る が,膨

距 離 はR(t)lで

与 え られ

張 宇 宙 で は あ ま り役 に 立 つ 量 で

は な い.実

際 に 観 測 に 結 び つ く距 離 の 定 義 と して 次 の 三 つ を あ げ て お く.

  光 度 距 離(luminosity か っ た と して,そ た とす る.ユ

distance): 

遠 くの 距 離dに

れ を わ れ わ れ が 単 位 面 積,単

あ る 銀 河 の 絶 対 光 度Lが

位 時 間 あ た りの 光 量Fと

わ

して観 測 し

ー ク リッ ド幾 何 学 で は,

(B.14) が 成 立 す る の で,こ で,共

動 座 標rで

れ で 光 度 距 離dLを

時 刻t∼t+δtに

定 義 す る.実 際 に は 宇 宙 は 膨 張 し て い る の

光 が 放 出 さ れ,地 球(r=0)で

観 測 し た とす る.r=一

定 の 球 の 表 面 積 は,t=t0で4π(R0r)2で

フ ォ トン の 数 密 度nrは

∼T3∼R-3で

時 刻t0∼t0+δt0に 与 え ら れ る.一 方,

あ り,共 動 体 積 の 中 の 全 フ ォ ト ン 数Nγ ∼Eγ/

(hν)が 保 存 さ れ る の で,

(B.15) ν/ν0=δt0/δt=1+zを

入 れ,(B.14)の

定 義 式 を使 え ば

(B.16) Ω0z≪1な

らば

(B.17) が 成 立 す る.   角 径 距 離(angular 知 と し て,そ

diameter

distance): 

視 線 方 向 に 直 角 な 天 体 の 大 き さDが

れ を 見 込 む 角 を δθ と す る と き,dA=D/δ

とい う.ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 が 成 立 す れ ば,dA=dLで Dを

共 動 座 標rが

れ る時 刻t1で

与 え られ た と きの 円 弧 の 長 さsと

の 長 さ で あ る か ら,D=R(t1)s,し

既

θで定 義 す る距離 を角径 距離 あ る が 膨 張 宇 宙 で は 異 な る. す る とs=rδ θ,Dは

光 の発 せ ら

たが って

(B.18a) 1+z≫Ω0-1の

と き,

(B.18b)   銀 河 数 密 度 距 離: 

銀 河 の 数 密 度ngが

積 中 の 銀 河 の 数 は,(B.10),

(B.12b)よ

共 動 座 標 系 で は 一 定 とす る と,微 小 共 動 体 り

(B.19) し た が っ て,銀

河 の 数 密 度 を 赤 方 偏 移zの

関 数 と し て 表 し,zΩ0≪1の

とき

(B.20)

  B.2  再 結 合 温 度   晴 上 が り時(再 子,陽

結 合:recombination)の

温 度 は 次 の よ う に し て 計 算 で き る.電

子 と水 素 は フ ォ トン と次 の よ う な 平 衡 状 態 に あ る とす る.

(B.21) フ ォ トン の 化 学 ポ テ ン シ ャル は ゼ ロ で あ る の で,平

衡 状 態 に あ れ ば,化

学 ポテン

シ ャ ル につ い て 次 の 式 が 成 立 す る.

(B.22) 宇 宙 は電気 的 に中性 で あ るとす れ ば,

(B.23) 非相対 論 的粒子 の数 密度

(B.24) を使 っ て(B.22)か

ら化 学 ポ テ ン シ ャ ル を消 去 す る と,

(B.25a) (B.25b) こ こ で,

(B.26a) (B.26b) を 導 入 し,gH=4,

gp=ge=2を

入れ れば

(B.27) と な る.こ 2.73(1+zrec)と

れ を 熱 平 衡 状 態 に お け る イ オ ン 結 合 の サ ハ の 式 と い う.T=T0(1+zrec)= し て,Xe=0.1に

な る 温 度 を 再 結 合 温 度Trecと

す る と,

(B.28) を 得 る.T=0.308eVを

超 え る とXeは

で,X∞〓10-4∼10-5く

ら い に 落 ち つ く.

  こ れ を 切 り離 し 時 刻tdcと

急 速 に 減 少 し,T〓0.26eV=3030Kあ

た り

す る と,

(B.29)   B.3  ニ ュ ー ト リ ノ切 り離 し温 度  ニ ュ ー ト リノ 切 り離 し の 温 度 を 計 算 す る た め に,ま

ず ニ ュー ト リ ノ と核 子 の 散 乱

断面積 を計算 す る.

(B.30) 反 応 の 散 乱 振 幅 をTfiと

書 くと

(B.31) 中 性 子 と陽 子 は 動 か な い も の とす る と μ=0成

分 の み 効 く.

(B.32a) (B.32b) 行 列 要 素 を 自乗 し て 中 性 子 の ス ピ ン平 均 を と る と(ニ ュ ー ト リ ノの ス ピ ン 平 均 は と ら な い)

(B.33) θ は 電 子 とニ ュ ー ト リ ノが 張 る角 度 で あ る.断

面 積 は,散

乱 振 幅 の 自 乗 を始 状 態 フ

ラ ッ クス で 割 り,終 状 態 位 相 体 積 を掛 け て 得 ら れ る.

(B.34) 次 に,弱 eze)温

い相 互 作 用 に よ る熱 反 応 が 切 離 さ れ,中 度 をTFと

す る.TFの

値 は,反

等 し い とお い て得 ら れ る.Γ=nσυ

性 子 や 陽 子 の 数 が 凍 結 さ れ る(fre

応 率Γ(νen→e-p)が,宇

宙 膨 張 速 度H-1に

で あ る か ら,

(B.35) 最 後 の 式 は,(8.10),

(8.11)か

ら 得 ら れ る〈E〉〓

ρ/n〓3.2Tを

使 っ た.

(B.36) を 使 い,  1.1MeVを

を 入 れ て 計 算 す る と,TF〓 得 る. 

な ど を も取 り入 れ た よ り詳 し い計 算 に

よ れ ば, 

で あ る1).

参考 文 献

1)  D.N.Schramm E.W.Kolb

and and

M.S.Turner:Rev.Mod.Phys.,70(1998)303

M.S.Turner:The

Early

Universe,§4.1,Addison-Wesley,1990

  B.4  ヴ ィ リ ア ル 定 理   ヴ ィ リア ル 定 理 は,空

間 的 に 孤 立 し た 系 で そ の 構 成 要 素 間 に 働 く力 が 座 標 の 同 次

関 数 で あ る保 存 力 の と き,全 系 の 運 動 エ ネ ル ギ ーKと

ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ーU

の 時 間 的 平 均 量 に 関 す る 関 係 式 を与 え る.簡 単 の た めN個

の 質 量mの

質 点 から な る

系 を考 え る.各 粒 子 の 位 置 をriと す る と

(B.37) Uがriのn次

の 同 次 関 数 で あ る な ら ば,U(ar1,…)=anU(r1,…)で

あ る の で,

(B.38) が 成 立 す る.Kを

変 形 す れ ば,

(B.39) こ こ で 長 時 間 平 均 を とれ ば,孤

立 系 で あ る の で,左

辺 第2項

は0と

な り,

(B.40) エ ネ ル ギー 保 存 則 よ り

(B.41) で あ る の で,上

の2式

よ り

(B.42)  Nが

大 き く十 分 に 時 間 が 経 過 し て い る と き は,系

え られ る.温

度 をTと

は 熱 力 学 的 平 衡 状 態 に あ る と考

す ると

(B.43) (B.43)で

定 義 さ れ る 温 度 を ヴ ィ リア ル 温 度 と い い,完 全 な 熱 力 学 的 平 衡 状 態 と い え

な い 系 に も適 用 す る.   ポ テ ン シ ャ ル が 重 力 に よ る場 合 はn=-1で

あ り,

(B.44) 系 の 全質 量 がMで

半 径Rの

球 状 に一 様 に広 が った銀 河 団 を考 え る.熱 力学 的 平 衡

が 成 立す る とい う条 件 で,

(B.45) した が っ て,銀

河 団 内 の 平 均 速 度 分 散<υ2>,平

全 体 の質 量 を計 算 で き る.

均 距 離Rを

測 る こ とに よ り,銀 河 団

索

引

LHC  ア Rパ

行

LSP 

リ テ ィ   203

ア イ ソ ス ピン  2 ア ク シ オ ン   230, ―

257, 263, 264, 334

の 検 出   270

91, 93, 94, 103 217,

97, 98, 100, 203, 208

MSSMヒ

ッ グ ス 粒 子   100

mSUGRA 

214, 216, 217, 219

MSW効

果   144 218

熱 い 暗 黒 物 質   156, 333,

334, 339

NLSP 

ア ブ リ コ ソ フ の磁 束 線

238

SN1987A 

暗 黒 物 質

 264, 270,

332∼334

218, 220, 222

MSSM 

156

SO(10) 

190, 194

SU(2)×U(1)  E6 

190

SU(3)

イ オ ン 化 損 失   295, 296 異 常 項

SU(5) 

251

―

2, 4

2 175,

194

の 予 言   186

エ ッ チ ン グ 軌 跡 検 出 器   298

Ⅰ 型 超 新 星   160, 318 1次 宇 宙 線   152 イ ン ス タ ン ト ン   242∼244, イ ン ス タ ン ト ン 効 果   275, イ ン フ レ ー シ ョ ン  305,

246, 247 323

音 速   330 温 度 ゆ ら ぎ  340, 342

312 カ

イ ン フ レ ー シ ョ ン モ デ ル   293, 332, 338

行

階 層 問 題   195 ウ ィ ー ノ  212

カ イ ラ ル 異 常 項   253

ヴ ィ リ ア ル 温 度   332, 358

カ イ ラ ル 固 有 状 態   2

ヴ ィ リ ア ル 速 度   291

カ イ ラ ル 対 称 性   1, 106, 252, 258

ヴ ィ リ ア ル 定 理   358

カ イ ラ ル 変 換   252, 254

ウ ィ ン ド ウ 関 数   335

香 り の 固 有 状 態  129

ウ ォ ル フ ェ ン シ ュ タ イ ン の 表 式   21, 26, 56

化 学 ポ テ ン シ ャ ル   306, 324, 325, 356

薄 め 因 子   64, 65

角 径 距 離   342,

宇 宙 原 理

隠 れ た 領 域   208

304

宇 宙 項   305, 312,

317, 318, 353

355

神 岡 実 験   138

宇 宙 構 造   328

カ ラー   2

宇 宙 年 齢

カ ラ ー 異 常 項   260,

310

宇 宙 の バ リ オ ン 数   68

ガ リ ウ ム 実 験   140

宇 宙 背 景 輻 射 → 背 景 輻 射

カ レ ン ト代 数  263

LEP200 

QCD 

90, 102, 222

2

263, 268

QCDラ グラ ンジ ア ン  7 球 状 星 団  265

サ

行

強 結 合 理 論   104

CMB→

共 動 座 標  304, 310, 329, 333, 354, 355

再 加 熱  314

共 鳴 振動   141

再 結 合  309, 331, 356

曲 率 項(パ ラ メ タ ー)  316, 353

サ イ ン-ゴ ー ドン方 程 式  234

虚 数 時 間  248

ザ ック ス-ウ ォル フ ェ効 果  342

切 り離 し 309, 329, 356 切 り離 し(ニ ュ ー トリ ノ)  319, 357

サ ハ の 式  356

銀河磁場

  292

銀 河 数密 度距 離  355

背景 輻 射

サ ハ ロ フ の3条 件   322 サ ブ ク ォー ク  171

銀 河 相 関 関数  336

左 右 対 称 モ デ ル  67, 122, 190 三 角異 常 項  172, 174

銀 河 分 布   334

残 存 ニ ュ ー ト リノ  319

キ ン ク  235, 239 CNOチ

ェ イ ン  136, 158

ク ォ ー ク の 閉 じ込 め  9

CPパ

グ ラ ヴ ィテ ィー ノ  201, 217, 218

CP非 保 存   322

繰 り込 み 群 方 程 式  7, 78, 82, 175, 209, 210, 213, 217

CPT保

グル ー イ ー ノ  218, 224 ― の 質 量   212 グル ー オ ン融 合  91

ラ メ ター  31 存  323

CR39  298 GIM機 構   18 GMSB 

214∼218

σモ デ ル   106 θ真 空  250, 253, 255

Kの 稀 崩 壊   50 KSVZア ク シ オ ン 262, 264 傾 斜 ア ク シオ ン  270 ゲ ー ジセ ク ター  3

磁 気 単 極 子   242 磁 気 能 率(ニ ュ ー トリ ノ)  127, 151, 164 磁 気 誘 導 法   295 軸 性 電 荷   253

ゲ ー ジー ノ  207, 209, 212, 215

シー ソー メ カニ ズ ム  120, 156

ゲ ー ジ 不 変性  2

実効結合定数 8

ゲ ー ジ ボ ソ ン  188

質 量 下 限  222

原 始 星   157

質 量 行 列(ク ォー ク)  29, 40, 46, 116

原 始 ゆ ら ぎ 338

質 量行 列(ニ ュー トリ ノ)  214

減 速 パ ラ メ ター  353

質 量公 式  211, 215

元 素 合 成  323, 326, 327

質量 固 有状 態  16, 129, 212, 214 質量 ス ペ ク トル  218

格 子 ゲ ー ジ理 論  83

質量 の ス ケ ー ル 依存 性   189

光 度 距 離  355 COBE  340∼342

質量 ハ イ ラ ー キ ー  122 自発 的対 称 性 の破 れ  3, 233

小 林-益 川 行 列  2, 16 孤 立 フ ォ トン  218 ゴ ー ル ドス テ ィ ー ノ  203

弱 固 有状 態   16

ゴ ー ル ドス トー ン ボ ソ ン  106, 119, 256

縮 退 真 空   243, 347

ゴ ー ル ドス トー ン粒 子   202

主 系 列 星  158, 265 出 現 の実 験  133

混 合   33 ―

の 効 果   214

混 合 パ ラ メ タ ー  29, 35 コ ンパ ク ト(群)  345, 347, 352

重 水 素(宇 宙 の)  325 縮 退 圧   159

準 真 空 解   146 純 粋 ゲ ー ジ場   237 純 粋 ゲ ー ジ場 ソ リ トン  243 純 粋 ヤ ン-ミ ル ズ場   243, 244 消 滅 の 実 験  133

剰 余 空 間  288, 350

多 様 体(群 の)  345, 346 単 純 群   352

剰 余 群  350 触 媒 効 果検 出 法   300 磁 流  287

炭 素 燃 焼 過 程   158

シ ル ク減 衰  342

断 熱 近 似   144, 145

真 空 振 動   141

単 連 結   346, 347

真 空 の 安 定  77 ジ ー ンズ 質 量   328, 330, 333

地 平線  310, 312, 317, 329, 330, 338

ジ ー ンズ 波 長   330, 333

地 平 線 問 題   314

断 熱 解   145

チ ャー ジー ノ  202, 212, 218, 220 slow rolling 304, 313

中性 子 星   294

SQUID 

超 弱 相 互 作 用   53, 67

SUGRA 

272, 295 172, 199, 216, 218

SUGRA-GUT  SUSY 

209

超 重 力 理 論   172 超 新 星   157

198

超 新 星SN1987A 

SUSY-GUT  204 SUSY粒 子   99, 200

265

超 新 星 ニ ュー トリ ノ  156, 160

随 伴 表 現   179

超 対 称 性   170, 198, 207 超 対 称 大 統 一 理 論   204

水 平 分 岐   265 ス カ ラー 粒 子   215

超 対 称 ヒ ッ グ ス  96 超 対 称 粒 子   99

ス ク ォー ク  224

超 伝 導 量 子 干 渉 計   273

ス ニ ュ ー トリ ノ  220 ス ー パ ー カ ミ オ カ ンデ   139

超 粒 子 探 索   220

ス フ ァ レロ ン  276

超 粒 子 の 相 互 作 用   207

ス フ ェル ミオ ン  207

直 接 の 破 れ   53

超 粒 子 の 性 質   201

ス レプ トン 220 冷 た い 暗 黒 物 質   333, 334, 339 Z'  191

強 いCP問

制 動 放 射   85

題   256, 258, 273

強 い 相 互 作 用 のCPの

破 れ   68, 251

赤 色 巨 星  265 赤 方 偏 移   305, 309, 318, 320

D0中 間 子 の 混 合   40 DFSZア

漸 近 自由  7, 175

クシ オ ン 262, 264

低 エ ネル ギ ーSUGRA  ソ リ トン  231 タ

行

tanβ  214, 224 WとZの 質量項 5 WW融 合  92 ダ イオ ン  295

デ ィ ラ ッ クの 紐  281 デ ィ ラ ックの 量 子 化 条 件  281 デ ィ ラ ックモ ノ ポ ー ル  280 テ ク ニ カ ラー 理 論   108, 196 デ リ ッ クの 定 理   241

大 気 ニ ュ ー トリ ノ  152

電弱相互作用 2 天 頂 角   153

対 称 性 の 自発 的 破 れ   1 大 統 一   170

等 価W近

―

208

低 エ ネル ギ ー 定 理   105, 106

の ス ケー ル   175

似   86

等 価 定 理   105

大 統 一 温 度  322

閉 じ た宇 宙(空 間)  304, 353

太 陽 ア ク シオ ン  271

トッ プ ク ォー ク縮 退 モ デ ル  196

太 陽 ニ ュ ー トリ ノ  135, 138, 140 太 陽 モ デ ル 解   149

ト ・フ ー フ トーポ リヤ コ フモ ノ ポー ル  283, 317 トポ ロ ジ ー  236, 239, 241

多 重 連 結  346

トリ ヴ ィア リテ ィ  82

ヒ ッ グ ス   1, 72

ト リ ー 図   58 ド レ ル-ペ

ニ ン グ 効 果   296 ナ

行

― ―

の 質 量   75 の 崩 壊 分 岐 比   75

―

の ポ テ ン シ ャ ル   99

Ⅱ型 超 新 星   159

ヒ ッ グ ス機 構  2

2重連結

ヒ ッ グ スセ ク ター  3

2体

 346, 347

の 相 関   59

ヒ ッ グス 相 互 作 用   6

ニ ュ ー トラ リ ー ノ  202, 212, ニ ュ ー ト リ ノ 温 度   319,

218, 220, 334

333

ニ ュ ー ト リ ノ切 離 し  309,

ヒッ グ ス 場   16 ヒ ッ グ ス ポ テ ン シ ャ ル   97, 210, 312

320, 356

ビ ッ グ バ ン  318,

327

ニ ュ ー ト リ ノ 混 合   129

ビ ッ グ バ ン 宇 宙 論   308, 312,

ニ ュ ー ト リ ノ 質 量   114 , 320

ビー ノ  212

ニ ュ ー ト リ ノ振 動   131 , 134, 150, 154

標 準 ア ク シ オ ン   257, 261

ニ ュ ー ト リ ノ 天 文 学   135

標 準 太 陽 モ デ ル   135

ニ ュ ー ト リ ノ の 電 磁 形 状 因 子   126

開 い た 宇 宙(空

340

間)  304, 353

ニ ュ ー ト リ ノ ル ミ ノ シ テ ィ   162 フ ェ ル ミオ ン質 量 項   5 熱 的 ア ク シ オ ン   267,

270

ハ BABAR 

輻射優

物 質 振 動   141 66

物質優

背 景 輻 射   307∼309,

勢   309, 310, 338

不 自 然 な 論 理   196 行

311, 315, 318,

332, 340

勢

 309, 311, 331, 338, 353

不 毛 の(ニ

ュ ー ト リ ノ)  155

ハ イパ ー チ ャー ジ  2

プ ラ ズ モ ン   128

パ ー カ ー 制 限   292,

プ ラ ン ク エ ネ ル ギ ー   176

298

白 色矮 星   158

プ ラ ン ク ス ケー ル   120, 210

箱 型 図   41

フ リ ー ドマ ン 方 程 式   304, 308, 316, 353, 354

ハ ッ ブ ル 時 間   330

プ リ マ コ フ 効 果   265, 270, 271

ハ ッ ブ ル 定 数   293

, 313, 353 ハ ド ロ ン 的 ア ク シ オ ン   262 パ ー トン  3

BELLE 

66

β 関 数  8

ハ ミ ル ト ン の 原 理   242

平 坦 性 問 題   315

バ リ オ ン数 非 対 称

平 坦 な 宇 宙   304, 353

 321

バ リ オ ン 数 非 保 存   275 バ リ オ ン 数 密 度   310, 328,

ヘ リ ウ ム 合 成  326, 327 332

ヘ リ ウ ム 燃 焼 過 程   158

バ リ オ ン 創 生   321

ヘ リ ウ ム フ ラ ッ シ ュ   265

ハ リ ソ ン-ゼ

ペ ン ギ ン 図   44, 58

ル ド ヴ ィ ッ チ の 等 曲 率 ス ペ ク トル

 338, 341 針 ね ず み   284

放 射 補 正   75, 196

晴上が

星 の 死   159

り  312, 356

パ ワ ー ス ペ ク ト ル   334 , 339

補助 場

  215

ボ ー ス 凝 縮 体   268 Bフ ppチ PQ対

ァ ク ト リ ー  66 ェ イ ン   136, 158 称 性   257

非 対 称 パ ラ メ タ ー   55 非 対 称Bフ

ァ ク ト リ ー   59, 65

ボ ソ ン 融 合   86 ホ ー ム ス テ イ ク 実 験   136 ホ モ ト ピ ー   345 ホ モ ト ピ ー ク ラ ス   240, 241, 348, 350

非 断 熱 解   146

ホ モ ト ピ ー 群   349

微 調 整 問 題   196

ポ ン ト リ ャ ー ギ ン 指 数  240

ヒ ッ グ シ ー ノ   202, 203, 212

246, 287, 288,

345,

マ MACRO 

誘 電 効 果   272 行 湯 川 結 合   214 ユ ー クリ ッ ド空 間   352

298

マ イ ク ロ 波 検 出 器  272 巻 つ き 数   239, ∼350

240, 244,

245,

267, 287,

288, 347

ユ ニ タリー

ゲ ー ジ   284

ユ ニ タリー

三 角 形  26, 49

ユ ニ タリ テ ィ   25, 80, 120

マ ヨ ラ ナ 質 量   116

ユ ニ タリ テ ィ 極 限   107

マ ヨ ラ ナ 粒 子   114

ゆ ら ぎ の 成 長   329∼332

マ ヨ ロ ン   119, 125 陽 子 崩 壊   187, 205 見 え な い ア ク シ オ ン  258,

262 ラ

見 え な い エ ネ ル ギ ー   224 右 巻 き ボ ソ ン  122

行

リ ド ベ リ ー 原 子   273

密 度 パ ラ メ タ ー   305,

353

臨 界 密 度   269, 305, 321,

353

密 度 ゆ ら ぎ   329, 331∼335 ル バ コ フ-カ

ラ ン 効 果   290

メ ッ セ ン ジ ャ ー  215 レ プ ト ン数 非 保 存   123 モ ノ ポ ー ル   244, 351

―

― の 質量  286 の 質量 とサ イズ  289

― の触 媒 作 用   290, 294 ― の速 度  291 モ ノ ポ ー ル 問題  316

ρ-パ ラ メ タ ー   6 ロ バ ー ト ソ ン-ウ ォ ー カ ー の 計 量   304, ワ ワ イ ル 解  114 ワ イ ン バ ー グ 角   4, 171,

ヤ U(1)問 題  256

行

行

ワ イ ン バー グ-サ 惑 星 型 星 雲   158

182, 186, 204

ラ ム 理 論   351

352

著 者 略歴 長

島 順

清

1938年  東京都 に生 まれる 1965年  東京 大学大 学院数物 系研究 科 博士 課程修 了 現 在  大阪 大学名 誉教授 理学 博士

朝倉物理 学大系6  定価 はカ バー に表 示

高 エ ネル ギ ー物 理 学 の発 展 1999年6月20日 2008年4月20日

  初 版 第1刷  

第3刷

著

者  長

島

順

清

発 行 者  朝

倉

邦

造

発 行 所 株式会社  朝

〈 検 印省 略 〉 C1999〈 ISBN

無 断 複 写 ・転 載 を 禁 ず 〉 978-4-254-13676-0 

倉

書

店

東京都 新宿 区新 小川 町6-29 郵 便 番 号   162-8707 電 話 03(3260)0141 FAX 03(3260)0180 http://www.asakura.co.jp

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