Моделирование, алгоритмизация и оптимизация элементов и систем в теплоэнергетике: Рабочая программа, методические указания, задания на контрольные работы, методические указания по выполнению контрольных работ, практические работы и указания по их выполнен

Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Северо-Западный государственный заочный технический университет Кафедра теплотехники и теплоэнергетики

МОДЕЛИРОВАНИЕ, АЛГОРИТМИМЗАЦИЯ И ОПТИМИЗАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ И СИСТЕМ В ТЕПЛОЭНЕРГЕТИКЕ Рабочая программа Методические указания Задания на контрольные работы Методические указания к выполнению контрольных работ Практические работы и методические указания к их выполнению

Факультет энергетический Направление и специальности подготовки дипломированных специалистов: 650800 – теплоэнергетика 100500 – тепловые электростанции 100700 – промышленная теплоэнергетика

Санкт – Петербург 2003

Утверждено редакционно-издательским советом университета УДК 621.311.016 Моделирование, алгоритмизация и оптимизация элементов и систем в теплоэнергетике: Рабочая программа, методические указания, задания на контрольные работы, методические указания по выполнению контрольных работ, практические работы и указания по их выполнению. –СПб.: СЗТУ, 2003.50 с. Методический комплекс соответствует государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования по направлению подготовки дипломированного специалиста 650800 (специальности 100500 – тепловые электростанции, 100700 – промышленная теплоэнергетика). Рассматриваются методологические основы математического моделирования. Особое внимание уделено задачам математического программирования: задаче линейного программирования, транспортной задаче линейного программирования и задаче динамического программирования. Представлены основы графического моделирования. Излагаются элементы теории вероятностей, на ее основе рассматриваются элементы имитационного моделирования, математической статистики, теории надежности. Исследуются подходы по анализу систем и их оптимизации. Раскрываются методы построения алгоритмов для реализации различных математических моделей на ЭВМ. Предназначено для студентов энергетического факультета, изучающих дисциплину «Моделирование, алгоритмизация и оптимизация элементов и систем в теплоэнергетике». Рассмотрено на заседании кафедры теплотехники и теплоэнергетики 13 ноября 2003 г.; одобрено методической комиссией энергетического факультета 14 ноября 2003 г. Рецензенты: кафедра теплотехники и теплоэнергетики Северо-Западного государственного заочного технического университета (зав. кафедрой З.Ф.Каримов, д-р техн. наук, проф.); А.П.Бельский, д-р техн. наук, проф. кафедры промышленной теплоэнергетики СПбГТУРП Составители: Е.А.Блинов, канд. техн. наук, доц.; Н.П.Ленец, канд. воен. наук, доц.

© Северо-Западный государственный заочный технический университет, 2003 2

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Цель изучения дисциплины – приобретение студентами знаний и навыков в области математического моделирования, овладения методиками создания математических моделей и их исследования с использованием самых современных методов, включая исследования с использованием ЭВМ. Задачи изучения дисциплины – знание основ математического моделирования, основных методов моделирования; владение методикой построения простейших математических моделей и способами их эффективного исследования; получение практических навыков моделирования элементов теплоэнергетических систем с использованием ЭВМ. Место дисциплины в учебном процессе. Дисциплина базируется на знаниях, полученных при изучении курсов высшей математики, вычислительной математики, тепломассообменного оборудования, котельных установок и парогенераторов, турбин ТЭС и АЭС, основ централизованного теплоснабжения и других дисциплин специальностей. Знания, полученные при изучении данного курса, используются при изучении дисциплин специализации: «Основы инженерного проектирования теплоэнергетических систем», «Проектирование и эксплуатация котельных установок», «Проектирование и эксплуатация турбинных установок» и при дипломном проектировании. При изучении материала курса студенту необходимо выполнить практические работы и две контрольные работы.

3

2. СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ

4

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 3.1. СТРУКТУРА ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Моделирование, алгоритмизация и оптимизация элементов и систем в теплоэнергетике

Аудиторные занятия

Самостоятельные занятия

Изучение материалов лекций и дополнительных рекомендованных источников

Лекции

Практические работы, проводимые на ЭВМ

Решение практических заданий по темам лекций Формулирование выводов по практическим работам, проводимым на ЭВМ, их оформление Контрольная работа № 1

Контрольная работа № 2

Отчетность по дисциплине

Контрольная работа № 1

Контрольная работа № 2

Экзамен

5

3.1.1. СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ Основы математического Основные определения

Критерии эффективности

Задача математического программирования

Имитационное моделирование

Математическая статистики

Задача линейного программирования

Элементы имитационного моделирования

Элементы математической статистики

Транспортная задача линейного программирования Задача динамического программирования

(с использованием ЭВМ)

Графическое моделирование

Система сетевого планирования и управления Определение кратчайшего пути на графе

Элементы теории вероятностей Контрольная работа № 2

Структура математической модели

Элементы теории надежности

Контрольная работа №1

Анализ систем

Однофакторный анализ Многофакторный анализ

Определение минимального остова

При проведении экзамена в состав каждого билета включается практический вопрос, связанный с решением конкретного примера по одной из изучаемых тем. Итоговая оценка по экзамену не может быть выше оценки за практический вопрос. 6

3.2. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА (150 часов) 3.2.1. Введение (2 часа) Моделирование как основа исследования процессов теплотехники и теплоэнергетики. Вклад российских и зарубежных ученых в развитие фундаментальных основ математического моделирования. Перспективы применения математического моделирования в теплоэнергетике. 3.2.2. Методологические основы математического моделирования (4 часа) Исходные положения для моделирования. Определение понятий: система, системный подход, оптимизация. Сущность математического моделирования. Определение понятий: модель, моделирование, классификация моделей; эффективность и критерии эффективности; оптимальное и рациональное решение. Структура математической модели. Методология математического моделирования. Этапы математического моделирования, определение целей и формулировка задач; построение модели; проверка модели на адекватность, пример построения простейшей математической модели. 3.2.3. Моделирование задач с использованием математического программирования (36 часов) Задача математического программирования. Предмет и область применения. Классификация оптимизационных задач. Задача линейного программирования. Каноническая форма задачи линейного программирования и методика ее получения. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования, области допустимых планов. Методика определения оптимального плана. Транспортная задача линейного программирования. Постановка задачи. Математическая модель транспортной задачи. Методика решения транспортной задачи линейного программирования. Динамическое программирование. Предмет и область применения динамического программирования. Теорема Беллмана. Методика получения решения задачи: метод «Киевского веника».

7

3.2.4. Графическое моделирование (48 часов) Элементы теории графов: основные понятия и определения. Система сетевого планирования и управления. Элементы сетевой графической модели: работы, события, правила построения сетевых графиков, критический путь, резервы событий и работ. Построение сетевого графа. Методика решения сетевого графа. Построение масштабного сетевого графика, построение графика распределения ресурсов. Оптимизация графика распределения ресурсов по различным критериям. Методика определения кратчайшего пути на графе. Задача о минимальном остове (покрытии). Постановка задачи, варианты математической модели в зависимости от выбора критерия эффективности. 3.2.5. Элементы теории вероятностей. Имитационное моделирование (18 часов) Элементы теории вероятностей. Предмет и область применения теории вероятностей. Случайные события. Вероятность, свойства вероятностей. Случайные величины. Математическое ожидание случайной величины и ее дисперсия. Законы распределения случайных величин: равномерный, нормальный, произвольный. Область применения имитационного моделирования, основные параметры имитационной модели. Методика получения случайных величин, псевдослучайные величины. Методика получения равномерно распределенной случайной величины на интервале [0; 1]. Методика получения случайных величин на интервале [a; b]. Методика получения случайных величин, подчиняющихся произвольному закону распределения: равномерному, нормальному, основанному на любых статистических данных наблюдения. 3.2.6. Элементы теории надежности (12 часов) Надежность, основные показатели надежности. восстанавливаемого и невосстанавливаемого элементов. невосстанавливаемой системы. Надежность последовательного и параллельного элементов. Надежность системы типа «мост».

8

Надежность Надежность соединения

3.2.7. Элементы математической статистики (14 часов) Предмет и основные понятия математической статистики. Обработка данных, представление результатов. Понятие о корреляционном, дисперсионном, регрессионном анализах. Планирование эксперимента. Исследование теплоэнергетических процессов методами математической статистики. 3.2. 8. Исследование математических моделей (16 часов) Однофакторный анализ. Многофакторный анализ. Формирование обобщенного критерия эффективности при многофакторном анализе. Общая постановка задачи исследования системы. 3. 3. Тематический план лекций (для студентов очно - заочной формы обучения) (36 часов) 1. 2. 3. 4.

Введение Методологические основы математического моделирования Основы математического программирования Моделирование задач с использованием математического программирования 5. Графическое моделирование 6. Построение графичесих моделей элементов и систем 7. Элементы теории вероятностей. Имитационное моделирование 8. Элементы теории надежности 9. Элементы математической статистики 10. Исследование математических моделей

2 часа 2часа 4 часа 4 часа 4 часа 4 часа 4 часа 4 часа 4 часа 4 часа

3. 4. Тематический план практических занятий (12 часов) 1. Постановка простейших математических моделей и методика их реализации на ЭВМ. Табличный процессор Excel 4 часа 2. Исследование функциональных зависимостей на ЭВМ с использованием табличного процессора Excel. Получение результатов в табличной и графической формах. Исследование «функции разгона» 4 часа 3. Разработка вероятностной модели зависимости времени вывоза запасов материальных средств со складов от наличия исправных автомобилей на автопредприятии 4 часа 9

4. Литература 1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8. 9.

Основная: Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. - М.: Наука, 1965. -458с. Вентцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М.: Наука, 1988. -480с. Оре О. Теория графов. – М.: Мир, 1976. –216с. Таха Х. Введение в исследование операций, Т.1,2. - М.: Мир, 1985. 479, 496с. Дополнительная: Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. - М.: Финансы и статистика, 1983. -271с. Ермаков С.М., Жиглявский А.А. Математическая теория оптимального эксперимента. - М.: Наука, 1987. -320с. Справочник по общим моделям анализа и синтеза надежности систем энергетики. Т.1. – М.: Энергоатомиздат, 1994. –473с. Форстер Э., Ренц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа. - М.: Финансы и статистика, 1983. -302с. Шеффе Г. Дисперсионный анализ. - М.: Наука, 1980. -512с. 5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ

В результате изучения дисциплины студент должен овладеть простейшими математическими методами исследования теплоэнергетических процессов, уметь строить математические модели и исследовать их как вручную, так и с использованием ЭВМ. Кроме того, студент должен иметь представления и определенные навыки об основах анализа теплоэнергетических систем и их синтезе. Необходимо учитывать, что дисциплина Моделирование, алгоритмизация и оптимизация элементов и систем в теплоэнергетике в полной мере опирается на математический аппарат, изучаемый в дисциплине «Высшая математика», поэтому для успешного овладения дисциплиной студенту необходимо повторить основные разделы высшей математики. На аудиторных занятиях (лекции и практические работы) преподаватель дает примерно половину материала дисциплины, остальной материал студент изучает самостоятельно, используя рекомендованную литературу и консультации (очные и заочные) преподавателя. При самостоятельном изучении дисциплины рекомендуется прочитать программу и методические указания, изучить материал дисциплины по предлагаемому списку литературы, составить краткий конспект. Это 10

позволяет глубже усваивать изучаемые материалы и прививает необходимые навыки для исследования реальных теплоэнергетических систем по своей специальности. Для закрепления материала необходимо ответить на вопросы для самопроверки, приведенные в данных методических указаниях. После изучения конкретных тем дисциплины студент выполняет практические работы, две контрольные работы и сдает экзамен. При возникновении вопросов или неясностей в ходе изучения материала рекомендуется обратиться за консультацией на кафедру. 1. Введение [4] c. 5-18 Моделирование как основа исследования процессов теплотехники и теплоэнергетики. Вклад российских и зарубежных ученых в развитие фундаментальных основ математического моделирования. Перспективы применения математического моделирования для исследования систем теплоснабжения. При изучении темы студенту необходимо уяснить современные требования к исследованию любых технических систем и процессов, в том числе и теплоэнергетических. Одним из возможных способов, а для технических систем – главным, является исследование их с применением методов математического моделирования. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Для чего необходимо применять при исследовании сложных систем моделирование. 2. Какой вид моделирования предпочтительнее: физическое моделирование или абстрактное и почему. 2. Методологические основы математического моделирования [4], c. 5-18 Исходные положения для моделирования. Определяются понятия система, организационная система и системный подход, алгоритм и алгоритмизация. Анализируются понятия модель, моделирование, проводится классификация моделей по назначению и по средствам создания. Рассматриваются понятия математическая модель и математическое моделирование, детально анализируются виды математического моделирования. 11

Определяются понятия эффективности и критериев эффективности, связываются понятия эффективность, оптимальность и рациональность, рассматриваются на примерах соотношения оптимального и рационального решений. Для детального исследования моделей вводится понятие структуры математической модели и структурных связей в ней, определяются целевая функция, область допустимых значений, множество ограничений, накладываемых на независимые параметры и параметры модели. Рассматривается общая методология математического моделирования и анализируются этапы математического моделирования. Определяется важность этапов моделирования и роль инженера-специалиста на каждом этапе моделирования. Анализируется роль специалиста в конкретной технической области по определению целей, формулировке задач исследования, построению модели или совокупности моделей, проверка их на адекватность реальным процессам. Рассматривается конкретный пример построения простейшей математической модели. Студент должен знать основные определения и понятия математического моделирования, представлять и уметь формулировать обобщенные критерии эффективности исследуемой технической системы; четко представлять понятия модели и моделирования, знать структуру и основные этапы создания математических моделей. Кроме того, студент должен чувствовать разницу между понятиями оптимальное и рациональное решение. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Определить понятия: система, организационная система, системный подход для исследования технических систем и процессов. 2. Определить понятия моделирование и модель. Какова основная цель моделирования? 3. Привести классификацию моделей по назначению и средствам создания. 4. Дать определения математического моделирования и математической модели. 5. Классификация математического моделирования, суть каждого вида моделирования. 6. Выбор критерия, понятия оптимальное и рациональное решение модели. 7. Назвать этапы математического моделирования. Дать их краткую характеристику. 8. Роль инженера-специалиста в процессе создания и исследования математических моделей.

12

3. Моделирование задач с использованием математического программирования [1]; [4] Т. 1, c. 25-132 В процессе принятия решения важную роль играет задача, связанная с выбором наилучшего из всех возможных способов действий, т.е. оптимального. Таковой является задача математического программирования. Определяется предмет и область применения данной задачи, указывается, что не для всех этих задач разработаны методики решения. Одной из наиболее решаемых задач является задача линейного программирования. Определяется общий вид задачи линейного программирования, указываются, варианты для которых разработаны точные и однозначные методики ее решения. Приводится каноническая форма задачи линейного программирования и дается методика ее получения. Для отдельного класса задач – при наличии только двух неизвестных – разработана методика определения оптимального решения на геометрической плоскости. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования, области допустимых планов. Теорема об оптимальности в области допустимых планов. Методика построения произвольного допустимого плана и определения оптимального плана. Достаточно часто используется на практике один из частных классов задачи линейного программирования – транспортная задача линейного программирования. Постановка транспортной задачи линейного программирования и разработка математической модели транспортной задачи. Методика решения транспортной задачи: приведение транспортной задачи к канонической форме, определение начального допустимого плана и методика его улучшения. Оптимальность полученного решения транспортной задачи линейного программирования. Возможная неоднозначность полученного решения. Зачастую исследуются технические процессы, которые развиваются во времени, и, при этом допускают огромное множество возможных решений. Для решения задач такого типа используется метод динамического программирования. Определяется предмет и область применения динамического программирования. Формулируется теорема Беллмана, позволяющая определить общую методологию получения оптимального решения. Методика получения оптимального по произвольному критерию решения задачи: метод «Киевского веника». После изучения темы студент должен иметь представление об основных методах линейного программирования; знать формулировку основных теорем задач математического программирования; уметь формулировать и ставить задачи линейного программирования, транспортную задачу линейного программирования и сводить эти задачи к канонической форме; иметь понятие о постановке задачи динамического программирования; уметь решать задачу линейного программирования на плоскости для двух неизвестных. 13

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Пояснить разницу между понятиями оптимальное и рациональное решение. 2. Общая постановка задачи математического программирования, возможность ее однозначного решения. 3. Постановка задачи линейного программирования: целевая функция и ограничения. 4. Методика приведения задачи линейного программирования к каноническому виду. 5. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования. 6. Область допустимых планов, методика ее получения. 7. Теорема об оптимальности решения задачи линейного программирования. 8. Постановка транспортной задачи линейного программирования. 9. Математическая модель транспортной задачи линейного программирования. 10. Сведение транспортной задачи линейного программирования к канонической форме. 11. Постановка задачи динамического программирования. Класс задач, решаемых с использованием метода динамического программирования. 12. Теорема Беллмана и ее применение для решения задач данного класса. 4. Графическое моделирование [3]; [4], Т. 2, c. 49-88 При решении огромного класса задач, связанных с планированием и управлением сложными процессами и системами, используется графическое моделирование, в частности методы критического пути (для более простых комплексов работ) и оценки и пересмотра планов (для более сложных и объемных процессов). Определяются основные понятия и определения теории графов, используемые для метода критического пути. Для системы сетевого планирования и управления рассматриваются элементы сетевой графической модели: работы и события. Определяются правила построения сетевых графиков, понятия критический путь и резервы событий и работ. Для рассмотрения методики построения сетевого графика работы и нахождения его решения берется пример сетевого графика. На примере реализуется методика решения сетевого графа и построения масштабного сетевого графика. Исходя из используемых для выполнения работ ресурсов и, учитывая масштабный сетевой график, строится общий график распределения ресурсов, который оптимизируется по различным критериям.

14

В качестве другой постановки задачи рассматривается задача определения кратчайшего пути на графе. На примере рассматривается методика нахождения кратчайшего пути на графе. Важным этапом при планировании комплекса работ является определение минимального покрытия множества объектов одной сетью. Таковыми являются задачи при создании каналов связи, в ходе строительства и реконструкции сети автомобильных дорог, прокладке трубопроводов и т.д. Постановка задачи о минимальном остове (покрытии). Исследование различных вариантов математической модели в зависимости от выбора критерия эффективности. Рассматривается методика определения минимального остова в зависимости от конкретной постановки задачи на примерах. Студент после изучения данной темы должен представлять методику сетевого планирования применительно к тем техническим процессам, которые реально происходят на производстве; знать основные элементы теории графов (применительно к методу критического пути); уметь строить сетевые графики процессов, находить критические пути, формировать масштабные (временные) сетевые графики, строить графики распределения ресурсов и, самое главное, уметь их оптимизировать. Кроме того, по изучению темы студент должен уметь находить кратчайший путь на графе, создавать сети и находить на них минимальное покрытие. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Определить основные понятия графического моделирования. Какие работы и события рассматриваются в методе СПУ? Определить основные параметры событий и работ. Дать методику расчета ранних сроков наступления событий. Дать методику определения поздних сроков наступления событий. Методика построения масштабного сетевого графика. Методика построения графика распределения ресурсов по различным критериям. 8. Методика оптимизации графика распределения ресурсов по различным критериям. 9. Методика определения кратчайшего пути на графе. 10. Дать постановку задачи о минимальном остове в зависимости от критерия оценки. 11. Методика определения минимального остова при различных постановках задач.

15

5. Элементы теории вероятностей. Имитационное моделирование [2]; [4], Т. 1, c. 433-473; Т. 2, с. 321-363; [6] Многообразие систем, которые требуют исследования, приводит к убеждению, что далеко не все системы можно исследовать с использованием аналитического моделирования. Некоторые системы не могут быть описаны ни дифференциальными ни конечноразностными уравнениями и, в конечном итоге, не могут быть исследованы традиционными методами. Для исследования таких систем используется имитационное моделирование. Здесь важнейшим моментом является умение достаточно точно описать исследуемую систему в заданных пределах и с учетом стохастичности процессов. Для рассмотрения такого вида моделирования необходимо знание теории вероятностей и особенно законов распределения случайных величин на заданных интервалах. Поэтому первоначально рассматриваются некоторые элементы теории вероятностей. Таковыми являются: случайные события, вероятности случайных событий и их свойства. Затем напоминается понятие случайной величины и ее характеристик: математическое ожидание и дисперсия. Важно знать не только эти характеристики, но и законы распределения этих случайных величин: равномерный, нормальный (Гаусса), произвольный. Определяется область применения имитационного моделирования и основные параметры имитационной модели, важнейшим из которых есть равномерно распределенная на интервале [0; 1] случайная величина. Рассматривается методика получения случайных величин. Учитывая, что эта методика трудоемка и характеризуется очень малым быстродействием получения этих величин, рассматриваются псевдослучайные величины. Дается методика получения равномерно распределенной псевдослучайной величины на интервале [0; 1]. Учитывая, что на практике необходимо иметь равномерный закон распределения на различных исследуемых интервалах, рассматривается методика получения случайных величин на произвольном интервале [a; b]. Практика показывает, что, поскольку большинство случайных величин не подчиняются равномерному закону распределения, то рассматривается методика получения случайных величин, подчиняющихся произвольному закону распределения, или нормальному (Гаусса), основанному на любых статистических данных наблюдения. В результате изучения темы студент должен иметь представление о возможностях имитационного моделирования и общих подходах к построению имитационных моделей. Уметь формировать датчик равномерно распределенных случайных чисел на интервале [0; 1], формировать датчик равномерно распределенных случайных чисел на произвольном интервале [a; b], а также знать методику и уметь формировать датчик случайных чисел на произвольном интервале [a; b], подчиненный произвольному закону распределения. 16

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Определить понятия: случайное событие, вероятность, случайная величина, вероятность случайного события и основные законы распределения случайной величины. 2. Исходные данные, необходимые для разработки имитационной модели. 3. Методика формирования датчика равномерно распределенных случайных чисел на интервале [0; 1]. 4. Методика формирования датчика равномерно распределенных случайных чисел на произвольном интервале [a; b]. 5. Методика формирования датчика произвольно распределенных случайных чисел на произвольном интервале [a; b]. 6. Элементы теории надежности [7], с. 16…56 В современном мире вопросы надежности элементов и систем встают на первое место при оценке работоспособности любых технических систем, в том числе и энергетических. Рассматривается произвольная система с известной структурой соединения элементов и заданным функциональным назначением. Также имеется информация о надежности каждого элемента системы. Требуется определить (или оценить) основные характеристики надежности всей системы в целом. Определяется понятие надежность, задаются основные показатели надежности. Более детально анализируется надежность восстанавливаемого и невосстанавливаемого элементов, а также надежность невосстанавливаемой системы в целом. Рассматриваются основные типы соединений элементов и определяется их надежность: последовательное и параллельное соединения элементов. Затем, в результате анализа системы, рассматривается надежность системы типа «мост». Учитывая, что надежность произвольной системы основывается на знании теории вероятностей, студенты перед изучением данной темы должны повторить материалы дисциплины «Высшая математика» в рамках теории вероятностей: события, вероятность события, зависимые и независимые события, вероятность наступления зависимой и независимой группы событий. В результате изучения студент должен иметь понятие о системах элементов и их вариантах соединения. Уметь по заданным надежностям отдельных элементов определить надежность системы в целом.

17

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Определить надежность системы, состоящей из элементов, соединенных последовательно. 2. Определить надежность системы, состоящей из элементов, соединенных параллельно. 3. Дать методику определения надежности систем, состоящих из последовательно и параллельно соединенных элементов. 4. Охарактеризовать соединение элементов типа «мост». 5. Методика определения надежности системы, состоящей из элементов, образующих соединение типа «мост». 6. Методика определения надежности системы произвольной конфигурации. 7. Элементы математической статистики [5], с. 6…18; [6], с. 12…24; [8], с. 8…16, 96…112; [9], с. 63…103 Практика показывает, что при исследовании различных процессов зачастую, в силу малости исходной информации, невозможно создать ни аналитическую ни имитационную модель. Однако исследовать такие процессы все равно надо. Здесь на помощь приходит математическая статистика. Определяются предмет и основные понятия математической статистики: генеральная совокупность и выборка. Дается математический аппарат обработки данных выборки и представления результатов (гистограмма, поле), определяется понятия доверительного интервала и доверительной вероятности. Кратко формулируется понятия о корреляционном, дисперсионном и регрессионном анализах. Определяется предмет каждого вида анализа и область получаемых результатов. Важнейшим этапом исследования дорогостоящих и очень трудоемких процессов является планирование эксперимента. Определяется предмет и область применения планирования эксперимента. В конце формулируются подходы математической статистики для исследования теплоэнергетических процессов. После краткого ознакомления с темой студент должен иметь представление о возможности исследовать теплоэнергетические процессы на основе сбора и обобщения наблюдений за ними и построения на основе обработанных данных статистической модели.

18

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Определить предмет математической статистики. 2. Пояснить понятия генеральная совокупность и выборка. Что такое репрезентативность выборки? 3. Методы обработки данных и представления результатов. 4. Предмет и область применения дисперсионного, корреляционного и регрессионного анализов. 5. Планирование эксперимента. Цель и область применения. 8. Исследование математических моделей [4] Т. 1, c. 20-24 Рассматриваются общие подходы по анализу и синтезу теплоэнергетических систем. В первую очередь рассматривается однофакторный анализ. Более перспективным для практического исследования систем и процессов является многофакторный анализ. Важнейшая задача многофакторного анализа - формирование обобщенного критерия эффективности. Проводится полный анализ рассматриваемой системы при различных критериях эффективности. В результате формулируется задача математического моделирования, но при этом ее целевая функция представляет собой уравнение четвертого порядка. По изучению темы студент должен иметь представление об однофакторном и многофакторном анализах. Он должен уметь формулировать критерии и создавать математические модели в соответствии с каждым критерием. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Определить цель и задачи однофакторного анализа системы. 2. Основные подходы в многофакторном анализе. Определение критерия эффективности системы. 3. Уточнение (развитие) критерия эффективности системы при многофакторном анализе. 4. Сформировать несколько различных критериев для конкретного примера.

19

6. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ По дисциплине студенты выполняют две контрольные работы, вторая из работ – с использованием ЭВМ. Решение контрольных работ необходимо сопровождать кратким поясняющим текстом, схемами и графиками, выполненными на миллиметровой бумаге. Контрольные работы оформлять в соответствии с принятыми правилами оформления курсовых (контрольных) работ. 6.1. ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ № 1 Целью выполнения контрольной работы № 1 является закрепление теоретических знаний студентов, полученных при изучении темы «Графическое моделирование»; приобретение практических навыков по разработке и оптимизации сетевых моделей, оптимизация распределения выделенных ресурсов по различным критериям. В современном производстве, где для достижения реальных целей производства согласовываются действия больших групп и коллективов людей, важнейшим инструментарием по планированию и управлению является графическое моделирование. Оно позволяет согласовывать сроки начала и окончания работ, осуществлять контроль за каждым мероприятием в рамках комплекса работ, оптимально распределять ресурсы, выделяемые для осуществления работ. Задача. Для выполнения комплекса работ на предприятии разработан сетевой график реализации данного комплекса с указанием номеров работы (рисунок 1); определены длительности каждой работы и требуемые для реализации каждой работы людские ресурсы – таблица 1. Необходимо произвести расчет сетевого графика и оптимизировать распределение ресурсов, выделенных на выполнение каждой работы в рамках всего комплекса работ. В задаче предполагается, что ресурсы каждой работы пропорциональны ее длительности, то есть, если длительность работы составляет 10 единиц времени, то и используемый для выполнения этой работы людской ресурс также составляет 10 работников. Исходные данные для контрольной работы выбираются по двум последним цифрам шифра студента: по последней цифре – номер варианта сетевого графика (рисунок 1), по предпоследней цифре – номер варианта длительности работ сетевого графика – таблица 1.

20

Методические указания к выполнению контрольной работы № 1. При выполнении контрольной работы рекомендуется следующий порядок ее выполнения: 1. Исходя из индивидуального шифра студента, выбрать номер схемы и вариант длительности работ для данной схемы. 2. Произвести расчет сетевого графика, определить критический путь на графе. 3. Построить масштабный сетевой график по одному из принципов: если последняя цифра шифра студента четная - раннего начала работ, если нечетная – принципу «финансиста». 4. Согласно построенному масштабному сетевому графу разработать график распределения ресурсов. 5. Провести оптимизацию полученного графика распределения ресурсов, используя принцип «управленца»: освободить начало и окончание комплекса работ, не допускать резких скачков в использовании ресурса. 6. Оформить работу в соответствии с требованиями по оформлению контрольных работ, включая следующие моменты: • а) кратко теоретически описать исследуемый процесс (цель моделирования, методика определения критического пути, принципы построения масштабного сетевого графика); • б) начертить исходную сетевую модель, указав на ней все параметры событий и работ, а также критический путь; • в) построить масштабный сетевой график и график распределения ресурсов по принципу либо раннего начала работ либо «финансиста»; • г) произвести оптимизацию масштабного графика и графика распределения ресурсов (при необходимости начертить несколько масштабных графиков и графиков распределения ресурсов). Исходные данные для выполнения работы. Таблица 1 Номер работы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 7 4 6 3 12 3 0 5 3 10 7 12

2 3 8 4 1 11 17 14 3 4 7 23 22

Варианты длительности работ 3 4 5 6 7 8 5 7 9 6 4 2 5 7 5 7 9 6 9 3 6 12 7 3 2 5 4 5 6 7 13 14 9 6 7 7 4 5 6 13 8 5 5 6 7 14 5 0 4 5 6 7 8 12 2 6 7 8 8 6 8 11 2 34 5 14 6 17 14 13 12 13 23 24 4 12 21 23 21

9 3 15 6 8 8 9 9 4 0 6 12 20

0 4 7 14 9 9 11 0 6 18 7 15 23

13 14 15 16 17 18 19 20

3 4 6 8 5 6 3 7

4 0 16 3 9 2 8 7

5 9 7 4 8 12 7 5

6 8 0 15 7 23 6 4

8 7 9 6 6 32 15 7

22

8 6 0 17 5 12 4 8

9 15 9 8 4 14 6 9

11 6 0 9 14 15 7 9

9 7 8 0 3 16 8 6

6 8 7 8 14 12 19 5

Вариант №1

13

8 14

1

2 3 4 5 9 10 15 16 19

6

7 12 18

11 17 20

Вариант №2 1 2 3

7

8

4 9

12 Вариант №3 1 2 9 13

10 14 15 19

14 3

4

5

6 11

7 12 17

16 20

15 16 19 8 18

1

5 10

6 11

13 17

18

20 2

Вариант №4 4 7 8

3 5

6

9

Вариант № 5 1 2 7 12

3 8 13 14 15 19

4 9 16 20

Вариант №7 1 2 3 4 7 8 9 12 13 14 15 18 19

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5 6 1 Вариант №6 10 11 2 17 18 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5 6 19 20 10 11 16 17 Вариант №8 20

1 3

4

7

8

Вариант №9

11 1

2

15 3

2 5

9 12

19

10 13 14 17 18

16 20

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Вариант №0 1 2

4

3 10 14

4

5

15 17 19

Рис. 1 23

6

6 7 8 9 11 12 13 16 18 20

Более подробно рассмотрим эти методические указания на примере. Выбирается в соответствии с индивидуальным шифром студента вариант схемы и вариант длительности работ сетевого графика. 1

2 3

4

5

6

7

8 9

10 13

11 14

12 16

15

17

18 19

20

Длительности работ: 1 – 5; 2 – 4; 3 – 6; 4 – 9; 5 – 7; 6 – 11; 7 – 8; 8 – 4; 9 – 12; 10 – 6;11 – 5;12 – 7; 13 – 9;14 – 9;15 - 5; 16 – 7;17 – 4;18 – 9; 19 – 6; 20 – 8;

Рис. 2 Для производства расчетов сетевой модели необходимо правильно построить сетевой график, с этой целью необходимо выполнить следующее. А). События сетевого графика обозначаются кружечками: начальное и конечное события делятся пополам, а промежуточные - на четыре части. • Пронумеровать события: они нумеруются от начального события, с номером 1, до конечного события 11 произвольно, соблюдая правило: каждая работа должна начинаться в событии с меньшим номером и заканчиваться в событии с большим номером. В дальнейшем, для определенности, считаем, что i < j. • В верхнем секторе проставляется номер события; в левой части (для начального и конечного событий – внизу) размещается ранний срок наступления события tpi; в правой части – поздний срок наступления события tпi; в нижнем секторе промежуточных событий – резерв события – Ri. 1 0

Начальное (конечное) событие

tij

i tpi

Ri

tпi

Rс(i,j) Промежуточные события и работа Рис. 3

j tpj

Rj Rп(i,j)

tпj

Более подробно рассмотрим эти методические указания на примере. Выбирается в соответствии с индивидуальным шифром студента вариант схемы и вариант длительности работ сетевого графика. Вариант пронумерованного сетевого графика с указанием длительностей работ представлен на рис. 4. Б). Рассчитать ранние сроки наступления событий по зависимостям: для начального события принимаем tp1 = 0; для промежуточных и конечного tpj = 24

max { tpi + tij }, где tij – длительность работы, начинающейся в событии с номером i и заканчивающейся в событии с номером j. При этом расчет производится строго по номерам событий, начиная с первого по возрастанию номеров. Ранний срок конечного события является длительностью критического пути и одновременно поздним сроком наступления конечного события tр кон = tп кон. 2

5

4

4

6

6

9

9

7

11

8

4 12

6

1

9

5

9

5

5

7

8

9

11

7

4 10

3

6

7

8

Рис. 4 В). Рассчитываются поздние сроки промежуточных событий. Расчет производится начиная с конечного события к начальному, строго в обратной последовательности возрастанию номеров по зависимости: tпi = min { tпj - tij }. В качестве контроля правильности расчета должно получиться tп1 = 0. Г). Определяются резервы событий по зависимости: Ri = tпi - tpi. Справедливо правило: через события с нулевым резервом проходит критический путь. Д). Для определения, по каким работам проходит критический путь, необходимо определить полный и свободный резервы каждой работы по зависимостям: Rп(i,j) = tпj – tpi – tij; Rс(i,j) = tрj – tрi -tij. Справедливо правило: через работы с нулевыми полным и свободным резервами проходит критический путь. Данные по выполненным расчетам (пункты Б – Д) представлены в таблице 2. Критический путь длительностью 42 единицы проходит через события: 1 – 2 – 4 – 6 – 8 – 9 – 11, по работам, отмеченным жирным шрифтом в таблице, и показан двойной линией на рисунке 4. При построении масштабного сетевого графика предположим, что в рассматриваемом примере его необходимо строить по принципу раннего начала работ, т.е. каждая работа начинается в самый ранний срок (начало каждой работы определяется по раннему сроку наступления события). Следующий этап – построение графика распределения ресурсов. Исходя из предположения, что ресурсы каждой работы пропорциональны ее 25

длительности, строим, с учетом масштабного сетевого графика, график распределения ресурсов. Принцип построения графика распределения ресурсов заключается в выполнении ряда последовательных шагов. А). В первую очередь строятся ресурсы, касающиеся только критических работ. Если критических путей два и более, то в первую очередь строятся более длительные по времени работы. Ресурсы, касающиеся работ критического пути, выделены жирной линией (рис. 5). Б). Последовательно строятся ресурсы работ не лежащих на критическом пути. При этом учитывается тот же принцип: в первую очередь берем работы имеющие большую длительность, а значит и больший ресурс, затем все остальные. Таблица 2 Длительность Работа tpi tпi tpj tпj Rп(i,j) Rc(i,j) работы, tij 9 1–2 0 0 9 9 0 0 1–3 9 0 0 9 11 2 0 1–5 6 0 0 18 21 15 12 5 2–4 9 9 14 14 0 0 2–5 7 9 9 18 21 5 2 3–5 9 9 11 18 21 3 0 3–7 6 9 11 15 17 2 0 3–8 5 9 11 26 26 12 12 4 4–6 14 14 18 18 0 0 4–8 11 14 14 26 26 1 1 5–8 5 18 21 26 26 3 3 8 6–8 18 18 26 26 0 0 6–9 6 18 18 38 38 14 14 7–8 9 15 17 26 26 2 2 7 –10 8 15 17 33 38 15 10 12 8 –9 26 26 38 38 0 0 8 – 10 7 26 26 33 38 5 0 8 – 11 7 26 26 42 42 9 9 4 9 – 11 38 38 42 42 0 0 10 – 11 4 33 38 42 42 5 5 Масштабный сетевой представлены на рисунке 5.

график

и

26

график

распределения

ресурсов

48

R 8

5

5-8

6

6-9

9 7-10 6

3-7

2-5 7-8

7 6

9

1-5

7

8-11

7

8-10

3-5

4-8

9

1-3

4

11

8-9

12 9

5

1-2

0

3-8 8

5

10-11

2-4

4

6-8

4-6

4

9

14

18

26

38

2

4

6

8

9

1

42

11

5

3

9-11

7

10

Рис. 5. Масштабный сетевой график и график распределения ресурсов

27

t

Получив исходный график распределения ресурсов, необходимо его оптимизировать. Под оптимизацией понимается планирование использования ресурсов, удовлетворяющих следующим положениям: А). Максимально освобождаются начало и окончание комплекса работ, что соответствует требованиям практики: наиболее сложные моменты, связанные с управлением комплексом работ, возникают в его начале (необходимость организации работ и взаимодействия различных бригад, групп исполнителей) и при завершении (возможные трудности, связанные с завершением комплекса работ в заданные сроки). Б). Как видно из графика (рис. 5), используемый ресурс находится в пределах от 4 и 8 до 48 единиц. Это крайне неравномерно, поэтому необходимо оптимизировать распределение таким образом, чтобы не допускались значительные скачки в использовании выделенных ресурсов. Необходимо помнить, что оптимизация распределения ресурсов – это творческий процесс, зависящий, в первую очередь, от навыков, опыта и, в немалой степени, интуиции исследователя. Поэтому оптимальность достигается только при постоянной работе с масштабным сетевым графиком: сдвиги работ и событий в допустимых временных пределах. Вариант оптимизированного графика распределения ресурсов представлен на рис. 6. Необходимо учесть, что возможны несколько вариантов решения данной задачи. Например, при сдвиге начала работы 5-8 с 18 до 21 (соответственно окончание вместо 23 в 26) не произойдет изменения суммарного ресурса.

28

33

48

R

9 5

5

3-8

5-8

6 7-8

6 6

6-9

2-5

3-7

1-5

8

7-10

7

8-10 7

3-5 7

9

4-8

1-3

9

3-5

12

1-2

8 5

0

8-11

11

9

2-4

4

8-9

6-8

4-6

4

10-11

4

9-11

9

14

18

26

38

2

4

6

8

9

1

t

11

5

3

42

7

10

Рис. 6. Оптимизированные масштабный сетевой график и график распределения ресурсо

29

6.2. ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ № 2 Целями выполнения данной контрольной работы являются: закрепление теоретических знаний студентов по математическому программированию для двух вариантов постановок задач: транспортной задачи линейного программирования и задачи динамического программирования; самостоятельной постановке вероятностной модели времени вывоза запасов материальных средств со складов потребителям и получение реальных результатов по построенной модели. В своей практической деятельности специалисты сталкиваются с необходимостью вероятностной оценкой событий, зависящих от ряда случайных факторов, которые наперед невозможно учесть. Поэтому важным моментом контрольной работы является выработка навыков разработки таких моделей для практического управления производством. Задача. Имеются два склада с запасами однородных материальных средств в количествах а1 и а2; имеются шесть потребителей этих материальных средств с потребностями, соответственно, b1, b2, b3, b4, b5, b6; известны расстояния между складами и потребителями, в километрах (таблица 4); запасы на складах, потребность потребителей, количество автомобилей по списку в автопредприятии и КТГ автомобилей – таблица 5. Однако не известно точное время начала вывоза запасов. Требуется спланировать вывоз материальных средств (МС) со складов так, чтобы их время вывоза было минимальным – т.е. определить минимальное время вывоза запасов МС со складов. Учитывая, что количество исправных автомобилей в произвольный момент времени является величиной случайной, требуется определить вероятностную характеристику времени вывоза запасов в зависимости от количества исправных автомобилей. Другими словами, требуется определить функцию распределения вероятности времени вывоза запасов МС со складов потребителям в зависимости от наличия исправных автомобилей в автомобильном предприятии. Коэффициенты условий движения для всех маршрутов принять: если длина маршрута не превосходит 20 км – 1,1; не более 30 – 1,2; не более 40 – 1,4; более 40 – 1,6. Время погрузки на складах: если запасы на складах больше потребности потребителей – 1,5, если равны – 1,4, если меньше – 1,3 часа. Время разгрузки на складах потребителей: если количество разгружаемых материальных средств менее 100 тонн – 1,1; менее 200 – 1,2; менее 300 – 1,3 часа, далее увеличивается с увеличением на каждые 100 тонн на 0,1 часа. Среднюю грузоподъемность автомобилей принять для всех вариантов равной 5,5 тонны, а скорость движения – 35 км/ч.

30

Таблица 4 Варианты Склады 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 №№ вариантов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

А1 А2 А1 А2 А1 А2 А1 А2 А1 А2 А1 А2 А1 А2 А1 А2 А1 А2 А1 А2 Запасы на складах, т а1 а2 700 800 720 870 800 570 720 760 750 780 820 880 670 830 730 760 580 880 980 360

В1 15 24 25 34 28 32 15 26 24 25 24 25 34 28 35 24 19 54 21 22

Потребители В3 В4 21 33 27 18 28 45 23 28 28 25 33 38 18 15 13 18 27 18 28 45 27 19 28 54 23 21 28 22 18 25 29 33 28 25 33 38 18 15 13 18

В2 35 25 33 52 19 54 21 22 25 33 25 33 52 19 34 32 19 54 21 22

Потребности потребителей, т b1 330 250 280 210 100 290 190 220 400 250

b2 350 250 50 170 280 410 210 220 320 220

b3 320 340 320 300 450 420 200 320 250 180

b4 230 190 220 400 230 250 300 220 200 380

b5 220 330 340 220 220 170 380 340 300 130

b6 240 250 180 80 210 160 130 180 400 210

В5 В6 27 28 26 23 23 27 16 22 28 27 36 29 13 27 16 12 26 23 23 27 28 23 33 27 18 22 13 27 27 37 28 22 28 27 36 32 13 17 16 22 Таблица № 5 К-во а/м, N

КТГ

50 55 40 68 77 58 67 64 53 45

0,70 0,65 0,75 0,70 0,70 0,65 0,75 0,70 0,70 0,65

Исходные данные для контрольной работы выбираются по двум последним цифрам шифра студента: по последней цифре – расстояния между складами и потребителями (таблица 4), по предпоследней цифре – запасы материальных средств на складах, потребность потребителей, количество автомобилей в автомобильном предприятии по списку, коэффициент 31

технической готовности автомобилей на автомобильном предприятии (таблица 5). Контрольная работа № 2 решается с использованием ЭВМ. Для этого используются программы: transp.exe - для решения транспортной задачи линейного программирования, dptr-4.exe – для решения задачи динамического программирования и используется стандартный табличный процессор Excel – для определения и отображения в графическом режиме плотности распределения и функции распределения времени вывоза запасов со складов в зависимости от количества автомобилей в автопредприятии и их технической готовности. Методические указания к выполнению контрольной работы № 2. При выполнении контрольной работы рекомендуется следующий порядок ее выполнения: 1. Исходя из индивидуального шифра, студент выбирает вариант своего задания из таблиц 4 и 5. 2. Осуществляется постановка транспортной задачи линейного программирования, формируется массив исходных данных для ее решения на ЭВМ и производится решение. 3. Осуществляется постановка задачи динамического программирования и формируется массив исходных данных для решения задачи. При этом указываются какие данные решения транспортной задачи линейного программирования, являются исходными для решения задачи динамического программирования. Задача решается на ЭВМ. 4. В результате решения строится график зависимости времени вывоза запасов потребителям от наличия исправных автомобилей в автопредприятии – с использованием табличного процессора Excel. 5. Студент осуществляет построение вероятностной модели, разрабатывается алгоритм ее реализации, в рамках табличного процессора Excel получаются результаты моделирования. 6. Оформить работу в соответствии с требованиями по оформлению контрольных работ, включая следующие моменты: • а) дать краткое теоретическое описание постановки транспортной задачи линейного программирования; подготовить массив исходных данных для ее решения; на схеме показать результаты решения задачи; • б) дать краткое теоретическое описание задачи динамического программирования (сформулировать теорему Беллмана); подготовить массив исходных данных, указав какие данные являются результатами решения транспортной задачи линейного программирования; результаты решения оформить в виде графика зависимости времени вывоза запасов от количества исправных автомобилей в автопредприятии; • в) построить вероятностную модель, теоретически показав изменение плотности распределения и функции распределения в зависимости от решения предыдущих задач; построить функцию распределения времени вывоза запасов со складов потребителям от количества исправных автомобилей в автопредприятии. 32

Рассмотрим формирование основных моментов контрольной работы на реальном примере. На первом этапе осуществляем выбор варианта исходных данных. В качестве исходных данных принимаем: Таблица 6 Склады А1 А2

В1 25 34

В2 35 25

В3 24 27

Потребители В4 В5 33 27 38 28

В6 28 33

Таблица № 7 Запасы на складах, т а1 а2 800 850

Колво а/м, N b6 240 66

Потребности потребителей, т b1 310

b2 380

b3 320

b4 330

b5 220

КТГ 0,75

На втором этапе осуществляем постановку транспортной задачи линейного программирования.

33

Постановка транспортной задачи. Имеется n складов A1, A2, ..., An с однородными материальными средствами в количествах а1, а2, . . ., an; имеется m потребителей B1, B2, ..., Bm данных материальных средств, потребности которых равны соответственно b1, b2,..., bm; известны транспортные издержки cij, связанные с доставкой единицы (например, тонны) материальных средств со склада Ai потребителю Bj (i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., m). Графическая постановка – рис. 7.

A2

B1 A1

B2 Bm

Рис. 7

Аn

Требуется определить такой план доставки МС со складов потребителям, при котором суммарные транспортные издержки были бы минимальными. Математическая модель транспортной задачи. Неизвестными (управляемыми факторами) в задаче являются величины xij - объем подвоза однородных материальных средств со склада Ai потребителю Bj (i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., m). Условия, которым должны подчиняться неизвестные: потребности каждого потребителя должны быть удовлетворены, т.е. запланированный суммарный объем подвоза от всех поставщиков данному потребителю должен быть не меньше его потребности; запланированный суммарный объем выдаваемых со склада материальных средств не может превосходить наличия их на складе; объем подвоза по любому маршруту должен быть неотрицательным. С учетом сказанного получаем математическую модель: целевая функция: n m Σ Σ cij xij → min, i=1 j=1

ограничения:

n

Σ xij ≥ bj, j = 1, 2, ..., m, i=1

m

Σ xij ≤ ai, i = 1, 2, ..., n;

j=1

условия, накладываемые на неизвестные: хij ≥ 0 ∀ i, j. Реальная математическая модель транспортной задачи имеет вид: целевая функция:

25x11+35x12+24x13+33x14+27x15+28x16+34x21+25x22+27x23+38x24+28x25+33x26→min

ограничения: x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 ≤ 800; x21 + x22 + x23 + x24 + x25 + x26 ≤ 850; x11 + x21 ≥ 310;

34

x12 + x22 ≥ 380; x13 + x23 ≥ 320; x14 + x24 ≥ 330; x15 + x25 ≥ 220; x16 + x26 ≥ 240; условия, накладываемые на неизвестные: x11 ≥ 0; x12 ≥ 0; x13 ≥ 0; x14 ≥ 0; x15 ≥ 0; x16 ≥ 0; x21 ≥ 0; x22 ≥ 0; x23 ≥ 0; x24 ≥ 0; x25 ≥ 0; x26 ≥ 0. Формируем массив исходных данных для решения в виде таблицы 8. Таблица 8 Потребители Склады Запасы, т В1 В2 В3 В4 В5 В6 А1 25 35 24 33 27 28 800 А2 34 25 27 38 28 33 850 Потреб310 380 320 330 220 240 ность, т Результаты решения задачи отображаем на схеме (рис. 8). На третьем этапе осуществляется постановка задачи динамического программирования, формулируется теорема Беллмана и готовится массив исходных данных.

В1

В2

В3

310

70

250 А2

А1

90 В6

380

330

220 В4

В5

Рис. 8 Постановка задачи динамического программирования. Рассматривается развивающийся во времени управляемый процесс и задачу об оптимальном управлении данным процессом. Областью применения динамического программирования является решение оптимизационных многоэтапных задач управления с одним критерием эффективности. Этап характеризуется тем, что на нем принимается только одно управленческое решение. Развитие исследуемого процесса происходит, детерминировано, т.е. если известно его состояние, в котором он находился на каком-то этапе, и принятое на данном этапе решение, то оно однозначно определяет состояние процесса на следующем этапе. 35

Достоинством динамического программирования является то, что оно позволяет вместо решения исходной задачи (часто большой размерности) решать несколько задач меньшей размерности, что зачастую бывает достаточно выгодно. Динамическое программирование базируется на принципе оптимальности Беллмана (теореме Беллмана), который заключается в следующем: для того, чтобы процесс в целом развивался оптимально, необходимо и достаточно, чтобы его развитие из любого достигнутого промежуточного состояния протекало оптимально. Динамическое программирование представляет собой поэтапное планирование многошагового управляемого процесса, при котором на каждом этапе оптимизируется только один его шаг, но при этом учитывается и будущее развитие процесса. В любом многоэтапном процессе имеется последний этап. Принимая решение на последнем этапе, нет нужды заботиться о будущем процесса. Рассмотрим последний этап. На начало этого этапа процесс может находиться в различных состояниях, что зависит от решений, принимавшихся на предыдущих этапах. Поэтому для каждого возможного состояния процесса на начало последнего этапа находим оптимальное для этого этапа решение. Рассмотрим предпоследний этап. Пусть на начало этого этапа процесс находится в некотором состоянии. Тогда каждому принимаемому на этом этапе решению соответствует оптимальное решение на последний этап. Рассматривая предпоследний этап, для каждого из возможных на его начало состояний находим такое решение (на этот этап), которое вместе с соответствующим оптимальным решением на последний этап образует оптимальную последовательность решений для двух последних этапов. Сдвигаемся еще на один этап к началу процесса. Для каждого возможного состояния на его начало находим решение, которое вместе с соответствующей оптимальной последовательностью решений для двух последних этапов дает оптимальную последовательность решений для трех последних этапов и т.д. В конце концов, приходим к первому этапу. На его начало состояние процесса однозначно определено, значит, остается выбрать на первом этапе такое решение, которое вместе с соответствующей оптимальной последовательностью решений на остальных этапах обеспечило бы оптимальное развитие процесса в целом. Математическая постановка задачи динамического программирования. Имеется несколько маршрутов подвоза МС, реальные объемы подвоза на этих маршрутах, протяженности маршрутов (исходные данные и результаты решения транспортной задачи линейного программирования). Определяются коэффициенты условий движения на маршрутах, времена погрузки на складах и выгрузки МС на складах потребителей; списочное количество автомобилей в автомобильном предприятии, средняя грузоподъемность одного автомобиля и коэффициент технической готовности автомобилей в автомобильном предприятии. 36

Требуется спланировать распределение автомобилей по маршрутам вывоза запасов МС со складов потребителям так, чтобы время вывоза было минимальным. Условием успешного окончания всего комплекса работ по доставке МС потребителям является выделение на каждый маршрут не менее одного автомобиля. Время доставки запасов (tдост) одним автомобилем составляет: tдост = tпогр + tвыгр + 2 l Куд / Vср, где tпогр – время погрузки МС на складах, ч; tвыгр – время выгрузки МС на складе потребителя, ч; l – длительность маршрута, км; Куд – коэффициент условий движения на маршруте; Vср – средняя скорость движения на маршруте, км/ч. Тогда полное время доставки запасов МС одному потребителю составляет: Tдост = tдост m, где m = Q / (q Nвыд) – необходимое количество рейсов для вывоза запасов МС со склада одному потребителю; округляется в большую сторону; Q – количество МС, вывозимых для данного потребителя со склада, т; q – средняя грузоподъемность одного автомобиля, т; Nвыд – выделенное количество автомобилей на данный маршрут. Целевая функция задачи динамического программирования будет иметь вид: max {Tдост i } → min. Реальная математическая постановка задачи динамического программирования. Рассматривается семь маршрутов вывоза запасов с реальными объемами МС – результат решения транспортной задачи линейного программирования – рис. 8. С этой целью введем обозначения используемых маршрутов: маршрут А1 – В1 определим как маршрут № 1 для задачи динамического программирования, А1 – В3 - № 2, А2 – В3 - № 3, А2 – В2 - № 4, А1 – В6 - № 5, А1 – В4 - № 6, А2 – В5 - № 7. В качестве неизвестных величин будет распределение исправных автомобилей по маршрутам вывоза запасов: {N1; N2; N3; N4; N5; N6; N7}, где Ni – выделенное количество автомобилей на i-й маршрут, i = 1 ÷ 7. При этом должно выполняться естественное условие: 7

∑ Ni = N*,

i=1

где N* - количество распределяемых автомобилей. Время вывоза МС со складов для каждого маршрута, в соответствии с исходными данными, определяется: T1 = [1,4 + 1,3 + 2 * 25 * 1,2 / 35] * [310 / (5,5 * N1)]; T2 = [1,1 + 1,3 + 2 * 24 * 1,2 / 35] * [70 / (5,5 * N2)]; 37

T3 = [1,3 + 1,3 + 2 * 27 * 1,2 / 35] * [250 / (5,5 * N3)]; T4 = [1,4 + 1,3 + 2 * 25 * 1,2 / 35] * [380 / (5,5 * N4)]; T5 = [1,1 + 1,3 + 2 * 28 * 1,2 / 35] * [90 / (5,5 * N5)]; T6 = [1,4 + 1,3 + 2 * 33 * 1,4 / 35] * [330 / (5,5 * N6)]; T7 = [1,3 + 1,3 + 2 * 28 * 1,2 / 35] * [220 / (5,5 * N7)]. Тогда целевая функция примет вид max {T1, Т2, Т3, Т4, Т5, Т6, Т7} → min, а ограничениями будут T1 + Т2 + Т3 + Т4 + Т5 + Т6 + Т7 = N*; T1 ≥ 1; Т2 ≥ 1; Т3 ≥ 1; Т4 ≥ 1; Т5 ≥ 1; Т6 ≥ 1; Т7 ≥1; Данные для решения задачи динамического программирования сведем в таблицу 9. Таблица 9 Время разгрузки Количество МС, Марш- ПротяженКу.д. МС на складе перевозимых по данному руты ность, км потребителя, ч маршруту, т 1 25 1,2 1,4 310 2 24 1,2 1,1 70 3 27 1,2 1,3 250 4 25 1,2 1,4 380 5 28 1,2 1,1 90 6 33 1,4 1,4 330 7 28 1,2 1,3 220 Количество автомобилей в автомобильном предприятии – 66; средняя грузоподъемность автомобиля – 5,5 т; время загрузки на складах – 1,3 часа; средняя скорость движения – 35 км/ч. Постановка вероятностной модели. Решение задачи динамического программирования ведется для нескольких различных значений параметра Nt – количества исправных автомобилей в автомобильном предприятии на момент времени t. Ясно, что вывоз материальных средств со складов потребителям смогут осуществлять только исправные автомобили. Их количество заблаговременно не известно. Причина в том, что процессы выхода из строя, ремонта автомобилей и введение их в строй являются стохастическими. Поэтому в произвольный момент времени, когда будет осуществляться вывоз МС со складов, нам не известно точное количество исправных автомобилей, участвующих в этом процессе, т.е. возможна только некоторая вероятностная оценка количества исправных автомобилей. Исходя из КТГ автомобильного предприятия, ожидаемое количество исправных автомобилей выражается как Ncp = N * КТГ. Однако среднее (ожидаемое) значение тоже не дает исчерпывающей информации о конкретном количестве исправных автомобилей в автомобильном предприятии в произвольный момент времени. Поэтому вместе с количеством исправных 38

автомобилей необходимо знать вероятность того, что в произвольный момент времени будет точно Nt автомобилей. Данное значение можно получить опираясь на теорему теории вероятностей: при воздействии на любую систему большого количества случайных величин (процессов), подчиненных различным законам распределения, итоговое случайное событие будет распределено по закону асимптотически близкому к нормальному, а отклонения его значений от среднего (ожидаемого) значения подчиняются правилу трех сигм. Исходя из этого предположения, количество исправных автомобилей в автомобильном предприятии также будет иметь распределение близкое к нормальному распределению. Допустим, что в нашем случае распределение случайных величин асимптотически близко к нормальному распределению, а ее функция плотности имеет вид: f(N) = 1/((2 π)½ σ) exp {-(N - Nср)2/(2 σ2) }, где σ - средне квадратическое отклонение, определяемое из предположения нормальности распределения количества автомобилей. Его значение в нашем случае равно σ = N (1 – KTГ) / 3. Тогда количество исправных автомобилей с вероятностью 0,997 будет находиться в интервале [(2*КТГ – 1)*N; N] - рис. 8, а их вероятное количество определяются из рисунка 9. Для нашего случая N = 66; Ncp = 49,5; интервал значений - [33; 66]. Проводим моделирование на ЭВМ для автомобилей, осуществляющих вывоз МС со складов потребителям и их конкретное распределение по маршрутам вывоза запасов МС, начиная с 33 до 66 единиц. Плотность распределения количества исправных автомобилей в автомобильном предприятии

0,0800 0,0600 0,0400 0,0200

Количество автомобилей

Рис. 8 39

63

60

57

54

51

48

45

42

39

36

33

0,0000

63 66

57 60

51 54

45 48

39 42

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

33 36

Вероятность

Функция распределения количества исправных автомобилей в автомобильном предприятии

Количество автомобилей Рис. 9

Полученные результаты приведены в виде таблицы значений – табл. 10, в графической форме – рисунок 10.

Зависимость времени вывоза от количества автомобилей

50,0

30,0 20,0 10,0

Количество автомобилей в автопредприятии

Рис. 10

40

63

60

57

54

51

48

45

42

39

36

0,0 33

Время

40,0

N T 1 2 3 4 5 6 7 N T 1 2 3 4 5 6 7

Таблица 10 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 45,2 45,2 44,5 44,1 44,1 42,7 39,7 39,7 38,9 37,4 36,2 35,6 35,3 35,3 32,0 32,0 31,6 6 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 10 10 11 12 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 31,2 30,9 30,9 30,9 28,3 27,1 26,7 26,7 26,7 26,7 26,7 26,5 26,5 26,5 26,5 25,9 22,6 9 9 9 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 12 12 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 7 8 8 8 8 8 8 8 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 14 14 14 14 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 4 3 4 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 15 15 15 15 15 15 7 7 8 7 7 7 8 8 8 8 10 8 8 8 8 8 8

Здесь под цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 подразумеваются номера маршрутов, а им соответствующие цифры – количество автомобилей выделенных на данный конкретный маршрут при выделении Nt автомобилей для вывоза запасов. Однако последняя зависимость (рис. 10) не дает ответа на вопрос: с какой вероятностью для каждого значения Nt будет осуществлен вывоз запасов МС. Ясно, что вероятность распределения наличия исправных автомобилей на интервале [33; 66], представленная на рисунках 8 и 9, будет каким то образом представляться на оси времени в интервале [22,6; 45,2] -рис. 10. Форма этого представления следующая: определяются интервалы на оси ординат - времени, соответствующие каждому единичному интервалу оси абсцисс – размером в один автомобиль. Вероятность, присущая данному значению количества автомобилей, соответствует, полученной в результате моделирования, длительности вывоза запасов. Учитывая, что нескольким интервалам на оси абсцисс соответствует одно и то же значение длительности вывоза на оси ординат (например, для значений 56, 57, 58, 59, 60 автомобилей получено одно значение времени – 26,7 часа), то необходимо производить нормирование полученной плотности распределения – рис. 11.

41

Плотность распределения времени вывоза запасов МС со складов

0,4 0,3 0,2 0,1 66

63

60

57

54

51

48

45

42

39

36

33

0 Количество исправных автомобилей

Рис. 11 На основании плотности распределения строится функция распределения времени вывоза запасов МС со складов, представленная на рисунке 12.

Функция распределения времени вывоза запасов МС со складов

Вероятность

1,5 1 0,5

63 66

57 60

51 54

45 48

39 42

33 36

0 Количество исправных автомобилей

Рис. 12. Результаты моделирования можно представить на одном-двух листах, где представлены все результаты моделирования – рис. 13-14. К этим графикам студент дает детальное описание методики получения каждого результата 42

Плотность распределения количества исправных автомобилей в автопредприятии 0,1000 0,0500

65

63

61

59

57

55

53

51

49

47

45

43

41

39

37

35

33

0,0000 Количество автомобилей

66

63

60

57

54

51

48

45

42

39

36

1,5 1 0,5 0 33

Вероятность

Функция распределения количества исправных автомобилей в автопредприятии

Количество автомобилей

Количество автомобилей

рис. 13

43

63

60

57

54

51

48

45

42

39

36

50,0 40,0 30,0 20,0 10,0 0,0 33

Время

Зависимость времени вывоза от количества автомобилей

Плотность распределения времени вывоза запасов МС со складов

33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66

0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 Количество исправных автомобилей

Функция распределения времени вывоза запасов МС со складов 1,2

0,8 0,6 0,4 0,2

рис.14

44

66

63

Количество исправных автомобилей

60

57

54

51

48

45

42

39

36

0 33

Вероятность

1

7. ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ В соответствии с государственным образовательным стандартом специалисты, выпускники теплоэнергетических специальностей вузов, должны не только понимать физику процессов, происходящих при работе тепловых агрегатов и оборудования, но и уметь исследовать эти процессы используя простейшие программные средства на ЭВМ, например, табличный процессор Excel, при решении производственных задач как при конструировании и наладке оборудования, так и при его эксплуатации. Практические занятия по дисциплине, проводимые с использованием ЭВМ, позволяют привить студентам простейшие подходы и навыки в исследовании произвольных процессов на ЭВМ. Эти занятия позволяют на конкретных примерах оценить и получить количественные характеристики различных факторов, влияющих на теплоэнергетические процессы, например, экономичность исследуемых процессов, их эффективность. В качестве рабочего инструмента предлагается рассмотреть табличный процессор Excel, входящий в состав стандартного программного обеспечения Microsoft Office. 7.1. Занятие на тему: Постановка простейших математических моделей и методика их реализации на ЭВМ. Табличный процессор Excel (4 часа) На занятии рассматривается несколько вариантов заданий, которые по сути являются подготовкой к моделированию более сложных задач. Все задачи рассматриваются с использованием табличного процессора Excel, в дальнейшем просто Excel. С целью ознакомления студентов с Excel в качестве теоретических вопросов рассматриваются следующие вопросы. Основные понятия и функции Excel: • Книга, Лист, Таблица и их размерности. • Ячейка, Адресация ячеек: абсолютная и относительная. Ссылки. Студенты записывают в любые ячейки текстовые и цифровые данные, формируют небольшие массивы данных. • Форматы и типы данных, вкладка Число; форматирование ячеек, столбцов и строк. Производится форматирование ячеек, созданных ранее. • Вкладка Шрифт, подчеркивание, нижний индекс, верхний индекс. • Вкладка Рамка, вкладка Вид. • Функции Меню, меню Файл: команды Создать, Открыть, Закрыть, Сохранить, Сохранить как …, Параметры страницы.

45

Студенты создают на диске D папку со своей фамилией, сохраняют в ней книгу под своей фамилией. • Меню Правка: команды Вырезать, Копировать, Вставить, Очистить, Удалить. • Меню Вставка: команды Ячейка, Строки, Столбцы, Лист, Диаграмма, Функция. • Меню Формат: команды Ячейки, Строка, Столбец, Лист, Автоформат, Размещение. • Меню Сервис: команды Зависимости, Панель зависимостей, Подбор параметра. • Мастер функций, ∑ - суммирование. • Правила записи формул в ячейку. Студенты записывают в ячейки простейшие формулы, копируют их в строке и в массив. При этом пользуются командой Зависимости, отмечая влияющие и зависимые ячейки. • Мастер диаграмм – Стандартные – График – Диапазон – Легенда – Лист. Задания для ознакомления с азами Excel. 1. Построение простейших зависимостей: • Построение простейшего ряда чисел: 1 2 3 …, т.е. арифметической прогрессии с разностью прогрессии равной единице. С этой целью необходимо в ячейку А1 занести значение 1, в ячейку В1 – значение 2. Выделить ячейки А1-В1, поставить маркер в правый нижний угол ячейки В1, он превратится в тонкий крестик. Нажать левую кнопку мыши и не отпуская ее двигать маркер вправо. При этом появится индикатор, на котором будет высвечиваться текущее значение в данной ячейке. При достижении значения 10 отпустить кнопку мыши. В ячейках с А1 до J1 высветятся цифровой ряд с 1 до 10. • Построение арифметической прогрессии с произвольной разностью прогрессии. Пояснение: выполняется аналогично предыдущему пункту, но в ячейку А1 заносится число (например, -3,5), в ячейку В1 – число (например, -2,7). В этом случае разность прогрессии будет равна 0,8. Поэтому в последней ячейке J1 получим значение 3,7. • Копирование ячеек и массивов. Копирование ячейки осуществляется следующим образом: выделяется ячейка, значения которой необходимо скопировать, маркер ставится в правый нижний угол, он превращается в тонкий крест, маркер двигается в сторону куда необходимо произвести копирование. При отпускании кнопки мыши копирование прекращается.

46

2. Задача на абсолютную и относительную адресацию ячеек: • Теория. $A$1 – абсолютный адрес, при копировании формулы этот адрес останется без изменений; A$1 – при копировании формулы в адресации ячеек будет меняться номер столбца обозначаемый буквой, а номер строки будет неизменен; $A1 - при копировании формулы в адресации ячеек будет меняться номер строки обозначаемый цифрой, а номер столбца будет неизменен; A1 при копировании формулы в адресации ячеек будут изменяться и номер столбца и номер строки. • Построить таблицу суммы (произведения) чисел от 1 до 10. Указания. Необходимо построить таблицу размерностью (11х11). В первой строке, начиная с ячейки В1, произвести нумерацию ячеек от 1 до 10. В первом столбце, начиная с ячейки А2, произвести нумерацию ячеек от 1 до 10. В ячейке В2 записать формулу «=B$1+$A2», копировать ее на всю таблицу (в пределах от 1 до 10). Получим таблицу суммы чисел от 1 до 10. При постановке задачи нахождения произведения чисел в формуле вместо знака «+» необходимо поставить знак «*»: «=B$1*$A2». • Построить таблицу квадратов чисел от 1 до 100. Указания. Построить таблицу размерностью (11х11), провести нумерацию строк и столбцов. Принимаем значения от 1 до 10 столбцов в качестве десятков, а значения от 1 до 10 строк как единицы. Тогда произвольное число от 1 до 100 можно представить в виде n x 10 + m, где n число десятков (изменяется от 0 до 9), m – число единиц (изменяется от 1 до 10). Для формирования таблицы в ячейке В2 записать формулу «=((В$1-1)*10+$A2)^2», затем ее копировать на всю таблицу. • Построить функцию y = x3 - 12 x2 + 10 x + 122, найти корни уравнения. Указания. Построить значения функции в виде таблицы при изменении х в пределах от –3 до 11 с шагом 0,5. С этой целью, начиная с ячейки А1, построить цифровой ряд, начиная со значения –3 с шагом 0,5 (т.е. второе значение будет –2,5) до 11. В строке формул в ячейке А2 записать «=А1^3-12*A1^2+10*A1+122» и копировать эту формулу до значения 11 в первой строке. Выделить строку формул и войти в меню Вставка, команда Мастер диаграмм. Выбрать в Тип диаграммы команду График, в Вид первую иконку, нажать Далее, в Параметрах диаграмм указывается название диаграммы, название осей Х и У, нажать Готово. На отдельном поле отображается график функции. Для нахождения корней уравнения, которые определяются из уравнения 3 x - 12 x2 + 10 x + 122 = 0, необходимо войти в меню Сервис, команда Подбор параметра…, Установить в ячейке указать наиболее близкое значение к нулю (там, где осуществляется переход от отрицательных значений к положительным, например, в ячейке В2), Значение проставить нуль, Изменяя значение ячейки показать ячейку А1, ОК. При этом появится панель Результат подбора параметра в которой указано Решение найдено и дается 47

приблизительное значение решения: при требуемом х=0, текущее значение у=0,00064495. При этом произойдут изменения и в таблице: вместо значения х=-2,5 появится значение х=-2,57072, а значение у изменится с у=6,375 на у=0,000645. Осуществить данное построение для двух других корней уравнения. Результаты оформить в виде таблицы. 7.2. Занятие на тему: Исследование функциональных зависимостей на ЭВМ с использованием табличного процессора Excel. Получение результатов в табличной и графической формах. Исследование «функции разгона» (4 часа) Студенты выполняют ряд заданий, способствующих повышению уровня знаний по Excel . 1. Произвести расчет и построить график функции Z = Y2 – X2, пределы изменения Х ⊂ [-5; 5], Y ⊂ [-7,5; 7,5]. Шаг изменения для Х и Y - 0,5. Указания. Построить таблицу: в первой строке значения Y от –7,5 до 7,5, начиная с ячейки В1; в первой графе – значения Х от –5 до 5, начиная с ячейки А2. Занести в ячейку В2 выражение «=В$1^2 – $A2^2», дублировать ее на всю таблицу. Выделить ячейки с зависимостью и войти в режим Диаграмма. В Тип диаграммы выбрать команду Поверхность. Дальнейшее построение – как и построение линейного графика. Для нахождения лучшего ракурса рассмотрения данной поверхности необходимо щелкнуть кнопкой мыши при подведенном маркере в один из углов координат. При этом маркер превратится в тоненький крестик, двигая который можно двигать всю поверхность, добиваясь наилучшего ракурса. 2. Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными. Рассмотрим некоторую систему трех уравнений с тремя неизвестными: х1 + 2 х2 – 3 х3 = 8; 2 х1 – 4 х2 + 6 х3 = 2; 5 х1 + 2 х3 = 4. Необходимо решить данную систему с использованием Excel. Указания. Сформируем три дополнительные матрицы коэффициентов. Начиная с ячейки А1 заносим значения 1, 2, -3, 8; А2 – 2, -4, 6, 2; А3 – 5, 0, 2, 4. Методом копирования массивов с ячейки Е1 заносим 1, 2, 8; Е2 – 2, -4, 2; Е3 5, 0, 4; Е4 – 1, 8, -3; Е5 – 2, 2, 6; Е6 – 5, 4, 2; Е7 – 8, 2, -3; Е8 – 2, -4, 6; Е9 – 4, 0, 2. В меню Вставка выбираем Функция… В Категориях выбираем значение Математические и в правом окне выбираем МОПРЕД - возвращает определитель матрицы. Тогда по правилу Крамера значения неизвестных определяется как: х1 = ∆1 /∆; х2 = ∆2 / ∆; х3 = ∆3 / ∆; где ∆1; ∆2; ∆3 – определители, в которых на месте коэффициентов при соответствующих неизвестных х1, х2, х3 стоят свободные члены; 48

∆ - определитель системы. Тогда значения неизвестных определяются: в ячейку А4 запишем «=МОПРЕД(Е1:G3)/МОПРЕД(A1:C3)», в ячейку А5 «=МОПРЕД(Е4:G6)/ МОПРЕД(A1:C3)», в ячейку А6 «=МОПРЕД(Е7:G9)/МОПРЕД(A1:C3)». В результате получим значения неизвестных х1 = -33,5; х2 = -48,5; х3 = 4,5. 3. Провести исследование «функции разгона» определяемую зависимостью h(t) = a (1 – exp{ -b t}). Сделать письменные выводы о каждой исследуемой зависимости. Исследование проводить отдельно для каждого параметра: а, b. Шаг моделирования для переменной t – 0,25, для параметров а и b – 1. Диапазон изменения значений параметров а и b задаются каждому студенту индивидуально. Для примера возьмем а изменяется от 1 до 5 через 1, b от 1 до 9 через 2. Указания. С ячейки А1 запишем изменение параметра а в пределах от 1 до 5 с шагом 1, с ячейки А2 - параметра b в пределах от 1 до 9 с шагом 2. Начиная с ячейки А3 зададим изменение переменной t от 0 с шагом 0,25 до 3. В ячейке А4 сформируем зависимость «=$А$1*(1-ехр(-$с$2*A3))», копируем ее до значения 3 в третьей строке (ячейка М4). В результате получаем «функцию разгона» для параметров а = 1 и b = 5 (среднее значение по b). Аналогично проделываем для ячеек А5, А6, А7 и А8, изменяя значение а, т.е. в основной зависимости меняя с $А$1 на $В$1 для ячейки А5, на $С$1 – для А6, $D$1 в A7, $E$1 в A8. Копируем значения функции для этих ячеек, выделяем строки с 4 по 8 и в режиме Мастер диаграмм получаем динамику изменения «функции разгона» при изменении параметра а и среднем значении параметра b. Выполняя аналогичные действия для среднего значения параметра а=3 и изменяя b в пределах от 1 до 9 получаем динамику изменения «функции разгона» при изменении параметра b и среднем значении параметра а. При этом основная зависимость претерпит следующие изменения: «=$С$1*(1-ехр(-$А$2*A3))» для ячейки А9, далее для ячеек А10, А11, А12, А13 будет изменяться только значение ячейки $А$2 в экспоненте на соответственно значения $В$2, $C$2, $D$2, $E$2. Построение диаграммы – аналогично. Результаты исследования для заданных значений параметров a и b представлены на рисунках 15 и 16 соответственно.

49

Изменение параметра а 6,000 5,000 4,000 3,000 2,000 1,000 0,000 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13

Рис. 15

Изменение параметра в

3,500 3,000 2,500 2,000 1,500 1,000 0,500 0,000 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13

Рис. 16 7.3. Занятие на тему: Разработка вероятностной модели зависимости времени вывоза запасов материальных средств со складов от наличия исправных автомобилей на автопредприятии (4 часа) Занятие проводится в рамках практических занятий с использованием ЭВМ, но при этом его направленность – помощь студентам в формировании результатов исследования, положенного в контрольную работу № 2. 50

Практические рекомендации по построению графиков и зависимостей в режиме табличного процессора Excel (для рисунков 8 – 12). 1. При формировании зависимости времени вывоза МС со складов от количества автомобилей (рис. 10). • Занести в ячейки табличного процессора количество исправных автомобилей в автомобильном предприятии (с N=33 до N=66), начиная с ячейки А1. • Занести во вторую строку, начиная с ячейки А2, для каждого количества автомобилей значения времени доставки МС потребителям при данном количестве автомобилей. Эти данные берутся из результатов решения задачи динамического программирования (табл. 10). • Выделить заполненные ячейки во второй строке, перейти в режим «Диаграмма». В результате получаем зависимость. 2. При формировании графика плотности распределения исправных автомобилей (рис. 8). • В ячейке А3 формируем значение среднего квадратического отклонения по формуле N (1-КТГ) / 3 в виде формулы «= 66 * (1-0,75) / 3». Здесь и далее изменяемые величины (в зависимости от конкретных исходных данных) показаны наклонным шрифтом. • В ячейке В3 формируем значение ожидаемого (среднее) количества автомобилей N КТГ в виде «= 66 * 0,75». Необходимо помнить, что среднее значение не обязательно целое число, оно может быть дробным. • В ячейке А4 вводим формулу «= 1/(КОРЕНЬ(2*ПИ))/$A$3*exp((-(A1-$B$3)^2)/(2*($A$3^2)))», затем копируем эту ячейку до ячейки АН1, где находится значение 66. • Выделяем ячейки со значениями функции плотности, входим в режим “Диаграмма” и формируем график функции плотности. 3. При формировании графика функции распределения исправных автомобилей (рис. 9). Необходимо помнить, что количество исправных автомобилей с вероятностью 0,997 не может быть менее N * (2 * KTГ – 1), в нашем случае это 33 автомобиля. Поэтому количество исправных автомобилей с вероятностью близкой к единице будет 33, и с уменьшением вероятности от единицы до нуля будет стремиться к 66. Построение графика функции распределения представлено ниже: • В ячейке А5 записываем значение «= 1-А4». • В ячейке В5 формируем значение «= А5-В4», данную ячейку дублируем до значения 66 в первой строке (до ячейки АН5). • Выделяем ячейки со значениями функции распределения, входим в режим “Диаграмма” и формируем график. 4. При формировании графика функции плотности распределения времени вывоза запасов МС со складов потребителям от количества исправных автомобилей (рис. 11). 51

• В ячейке А6 формируем значение «= А4*(В2-А2)», а затем ее дублируем до значения 66 в первой строке, в ячейке АI6 записываем иконку значок «∑» и нажимаем «Enter». В этой ячейке будет результат суммирования значений функции плотности, начиная с ячейки A6 до АН6. • Формируем нормированную функцию плотности. С этой целью в ячейке А7 формируем значение «=А6/$АI$6» и копируем полученную ячейку до ячейки АН7 (значения 66 в первой строке). • Выделяем ячейки с нормированными значениями функции плотности, входим в режим “Диаграмма” и формируем график. 5. При формировании графика функции распределения времени вывоза запасов МС со складов потребителям (рис. 12) • В ячейке А8 записываем « = А7», в ячейке В8 – «=А8+В7», затем эту ячейку дублируем до значения 66 в первой строке. • Выделяем ячейки со значениями функции распределения, входим в режим “Диаграмма” и формируем график.

52

СОДЕРЖАНИЕ 1. Цель и задачи изучения дисциплины……………………………………….3 2. Структура дисциплины………………………………………………………4 3. Содержание дисциплины…………………………………………………….5 3.1. Структура изучения дисциплины …………………………………………5 3.2. Рабочая программа ………………………………………………………...6 4. Литература ……………………………………………………………………9 5. Методические указания………………………………………………………9 6. Задания на контрольные работы и методические указания к их выполнению ……………………………………………………..………..18 7. Практические работы и методические указания к их выполнению……………………………………………………….………42

Редактор

Сводный темплан 2003 г. Лицензия ЛР 020308 от 14.02.97 _________________________________________________________ Подписано в печать Формат 60х84 1/16. Б.кн.-журн. П.л. Б.л. РТП РИО СЗТУ Тираж 150 Заказ Северо-Западный государственный заочный технический

университет РИО СЗТУ, член Издательско-полиграфической ассоциации вузов СанктПетербурга 191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5 53