Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной: Учебное пособие

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

МАТ Е МАТ И ЧЕ С К И Й АН АЛ И З. Д И Ф Ф Е РЕ Н ЦИ АЛ Ь Н О Е И С ЧИ С Л Е Н И Е Ф У Н КЦИ Й О Д Н О Й П Е РЕ МЕ Н Н О Й

У ЧЕ БН О Е П О С О БИ Е

для ст удент ов1 ку рсад/o ив/о, обу чаю щ их ся по специаль ност ям : 010501 «П рикладная м ат ем ат икаиинф орм ат ика» 010901 «Мех аника» 010503 «Мат ем ат ическое обеспечение иадм инист рирование инф орм ационны х сист ем »

В О РО Н Е Ж 2005

2 У т верж дено нау чно-м етодической ком иссией ф аку ль т ет априкладной м ат ем ат ики, инф орм ат икиим ех аники23 декабря 2004 г., протокол № 4.

авт ор Л арин А. А.

У чебное пособие подготовлено на каф едре диф ф еренциаль ны х у равнений ф аку ль т ет а прикладной м ат ем ат ики, инф орм ат икиим ех аники В оронеж ского госу дарст венного у ниверсит ет а. Реком енду ет ся для ст у дент ов 1 ку рса д/о и в/о, обу чаю щ их ся по специаль ност ям : 010501 «П рикладная м ат ем ат икаиинф орм ат ика» 010901 «Мех аника» 010503 «Мат ем ат ическое обеспечение иадм инист рирование инф орм ационны х сист ем »

3 § 1. П роиз в од ная ид иф ф е ре нциал. Г е ом е триче ск ий иф из иче ск ий см ы сл произ в од ной ид иф ф е ре нциала. С в ой ств а произ в од ной , св я з анны е с ариф м е тиче ск им и опе рация м инад ф унк ция м и П у сть ф у нкция y = f ( x ) определенав некот орой окрест ност иU ( x0 ; δ ) т очки x0 , x0 ∈ R . П ридадим аргу м ент у ф у нкции приращ ение∆ x , 0 < | ∆ x | < δ , и обоз начим через ∆ y соот вет ст ву ю щ ее приращ ение ф у нкции, ∆ y = f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ). С ост авим , далее, раз ност ное от нош ение

f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆y = , ∆x ∆x

(1.1)

0 < |∆ x | < δ . Раз ност ное от нош ение (1.1) как ф у нкция перем енной ∆ x определено в 0

проколот ой окрест ност иU ( 0; δ ) т очки∆ x = 0. О пре д е ле ние . П редел при ∆ x → 0 раз ност ного от нош ения (1.1), если он су щ ест ву ет , наз ы вает ся производной ф у нкции y = f ( x ) в т очке x0 и обоз начает ся f ′ ( x0 ) илипрост о y ′ . Т аким образ ом , de f

f ′ ( x0 ) = lim

∆ x →0

∆y f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) = lim . ∆ x →0 ∆ x ∆x

П олагая x0 + ∆ x = x , м ож но з аписат ь , чт о

f ′( x0 ) = lim

x → x0

f ( x ) − f ( x0 ) . x − x0

Зам ечание. П редел в определении производной предполагает ся либо конечны м , либо определё нного з накабесконечны м . Е сли f ′( x0 ) = + ∞ или f ′( x0 ) = − ∞ , т о говорят о бесконечной производной. В даль нейш ем под производной, если не оговорено прот ивное, бу дем поним ат ь конечну ю производну ю . О перацию вы числения производной наз ы ваю т диф ф еренцированием .

4 П риведё нны е вы ш е обоз начения для производной принадлеж ат Л агранж у . Д ля обоз начения производной исполь з у ю т т акж е следу ю щ ие сим волы :

dy df ( x0 ) или - обоз начения Л ейбница; dx dx Dy или Df ( x0 ) − обоз начения К ош и. И ногдапроизводну ю обоз начаю т ит ак: y′x , f x′ ,

df | x = x0 . dx

О д носторонние произ в од ны е О пре д е ле ние . П редел

lim

∆ x→+0

f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 ) = lim , x → x0 + 0 ∆x x − x0

если он су щ еству ет , наз ы вает ся производной ф у нкции f ( x ) в точке x0 справа(илиправой производной) иобоз начает ся f +′ ( x0 ). П редел

lim

∆ x → −0

f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 ) = lim , x → x0 − 0 x − x0 ∆x

если он су щ еству ет , наз ы вает ся производной ф у нкции f ( x ) в точке x0 слева(илилевой производной) иобоз начает ся f −′ ( x0 ). П роизводны е слева и справа наз ы ваю т ся односторонним и производны м и. С деланное ранее з ам ечание от носится ик одност оронним производны м . И з свойств пределов ф у нкций следу ет , чт о производная ф у нкции f ( x ) в т очке x0 су щ ест ву ет т огда и т оль ко т огда, когда в этой точке су щ ест ву ю т обе одност оронние производны е f −′ ( x0 ), f +′ ( x0 ), и они совпадаю т м еж ду собой. П риэтом

f ′ ( x0 ) = f +′ ( x0 ) = f −′ ( x0 ). О тм ет им , чт о под производной ф у нкциив граничной точке пром еж у т ка поним аю т соот вет ст ву ю щ ую одност оронню ю производну ю . Т ак, если ф у нкция f ( x ) рассм ат ривает ся на отрезке [ a ; b ], т о под производной в

5 т очке a поним ает ся правая производная, а под производной в т очке b − левая производная. П риведё м прим ер вы числения производной.

y = sin x , D ( y ) = R . Ф иксиру ем П рим ер. Рассм от рим ф у нкцию произволь ну ю т очку x ∈ R ипридадим аргу м ент у ф у нкции произволь ное приращ ение ∆ x ≠ 0. Запиш ем соответ ству ю щ ее приращ ение ф у нкции в т очке x ввиде ∆x ∆x ∆ y = sin ( x + ∆ x ) − sin x = 2sin ⋅ cos ( x + ). 2 2 И споль з у я данное предст авление для ∆ y и первы й з ам ечат ель ны й предел, полу чаем , чт о ∆x   sin   x ∆y ∆ 2 ⋅ cos ( x + lim = lim  )  = 1 ⋅ cos x = cos x . ∆ x →0 ∆ x ∆ x→0 ∆x 2    2  Т аким образ ом , ( sin x )′ = cos x для лю бого x ∈ R . у ст анавливает ся, что ( cos x )′ = − sin x для лю бого x ∈ R .

Аналогично

Диф ф е ре нцируем ость ф унк циив точк е . Диф ф е ре нциал ф унк ции О пре д е ле ние . Ф у нкция y = f ( x ), з аданная в некот орой окрест ност и U ( x0 ) т очки x0 ∈ R , наз ы вает ся диф ф еренциру ем ой в эт ой точке, еслиеё приращ ение ∆ y = f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ), ∆ x = x − x0 , ∆ x ≠ 0, предст авим о вэтой окрест ност иввиде ∆ y = A ∆ x + α (∆ x ) ∆ x ,

(1.2)

где A − пост оянная, а α ( ∆ x ) − ф у нкция аргу м ент а ∆ x , бесконечно м алая вт очке ∆ x = 0. Зам ечание 1. Ф у нкция α ( ∆ x ) в т очке ∆ x = 0, вообщ е говоря, не определена и её м ож но доопределит ь произволь ны м образ ом . Д ля даль нейш его у добно полож ит ь α (0) = 0 т ак, чтобы α ( ∆ x ) бы ла непреры вной в ну ле. П осле доопределения ф у нкции α ( ∆ x ) в точке ∆ x = 0 равенство (1.2) бу дет справедливо идля ∆ x = 0.

6 Зам ечание 2. П осколь ку α ( ∆ x) ∆ x ест ь величина o( ∆ x ) при ∆ x → 0, т о у словие (1.2) м ож но з аписат ь ввиде

∆ y = A ∆ x + o( ∆ x ) , ∆ x → 0.

(1.3)

О пре д е ле ние . Л инейная ф у нкция A ∆ x аргу м ент а ∆ x наз ы вает ся диф ф еренциалом ф у нкции y = f ( x ) в т очке x0 иобоз начается df ( x0 ) или просто dy . Т аким образ ом , ∆ y = dy + o( ∆ x ) , ∆ x → 0, (1.4) где dy = A ∆ x . м ест о соот нош ение Зам ет им , чт о если A ≠ 0, т о им еет o( ∆ x ) = o( A ∆ x ), посколь ку o( ∆ x ) lim = 0, ∆ x→0 A∆ x иу словие (1.4) м ож но з аписат ь ввиде

∆ y = dy + o( A ∆ x ) = dy + o( dy ), ∆ x → 0.

(1.5)

Э т о оз начает , что величины ∆ y и dy эквивалент ны при ∆ x → 0. П ри эт ом dy ест ь главная, причё м линейная от носит ель но ∆ x часть приращ ения ∆ y . Д ля сим м ет рииз аписив слу чае, когда x есть нез ависим ая перем енная, полагаю т de f

dx = ∆ x , т ак чт о dy = Adx . Те оре м а. Д ля т ого чтобы ф у нкция y = f ( x) бы ла диф ф еренциру ем ой в т очке x0 , необх одим о и дост ат очно, чтобы она им ела в эт ой точке конечну ю производну ю f ′( x0 ). П риэтом dy = f ′( x0 ) dx . Д оказ ат ель ст во Н еобх одим ост ь . П у ст ь ф у нкция f ( x ) диф ф еренциру ем а в т очке x0 . Т огда су щ ест ву ет δ > 0 т акое, чт о для ∀ ∆ x , | ∆ x | < δ для соответ ст вую щ его приращ ения ∆ y этой ф у нкциив т очке x0 справедливо

7 предст авление (1.2). С чит ая, что ∆ x ≠ 0, раз делим равенст во (1.2) на ∆ x . В рез у ль т ат е полу чим соот нош ение ∆y = A + α ( ∆ x ), (1.6) ∆x где α ( ∆ x ) → 0 при ∆ x → 0. П ри ∆ x → 0 су щ ест ву ет конечны й предел правой част иравенст ва(1.6), равны й A . П оэтом у при∆ x → 0 су щ ест ву ет конечны й предел и левой част и равенст ва (1.6), т акж е равны й A . П о определению этот предел равен f ′( x0 ). Т аким образом , у ф у нкции f ( x ) су щ ест ву ет конечная производная вт очке x0 , причё м f ′( x0 ) = A . Д ост аточност ь . П у ст ь су щ еству ет конечная производная f ′( x0 ). В ы берем δ > 0 дост ат очно м алы м , т аким , чт обы в проколотой 0

окрест ност и U (0; δ ) т очки ∆ x = 0 бы ла определена ф у нкция аргу м ент а ∆y ∆ x вида . В ведё м врассм отрение ф у нкцию ∆x def

α (∆ x) =

∆y − f ′( x0 ) , 0 < | ∆ x | < δ . ∆x

(1.7)

∆y  lim α ( ∆ x ) = lim  − f ′( x0 )  = f ′( x0 ) − f ′( x0 ) = 0. ∆ x →0 ∆ x→0  ∆x  У м нож ив равенст во (1.7) на ∆ x иперенеся слагаем ое f ′( x0 ) ∆ x в левую часть полу чивш егося равенст ва, полу чим соот нош ение∆ y = f ′( x0 ) ∆ x + + α ( ∆ x ) ∆ x , справедливое для ∀ ∆ x , 0 < | ∆ x | < δ . Е сли в данном соот нош ении полож ить A = f ′( x0 ), т о оно совпадё т с равенст вом (1.2). П оэт ом у ф у нкция y = f ( x ) диф ф еренциру ем авт очке x0 и A = f ′( x0 ). Т еорем адоказ ана. Зам ет им ,

что

Те оре м а. Е слиф у нкция диф ф еренциру ем а в некот орой т очке, т о она и непреры внавэт ой т очке. Д оказ ат ель ст во. П у ст ь ф у нкция y = f ( x ) диф ф еренциру ем а в точке x0 . Т огда су щ еству ет δ > 0 т акое, чт о для ∀ ∆ x , | ∆ x | < δ , справедливо соот нош ение∆ y = f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) = f ′( x0 ) ∆ x + α ( ∆ x ) ∆ x , α ( ∆ x ) → 0 при∆ x → 0. П оэт ом у

lim ∆ y = lim ( f ′( x0 ) ∆ x + α ( ∆ x ) ∆ x ) = 0,

∆ x →0

∆ x →0

8 аэто иоз начает , чт о ф у нкция y = f ( x ) непреры внавточке x0 . Т еорем адоказ ана. Г е ом е триче ск ий см ы сл произ в од ной ид иф ф е ре нциала П у сть ф у нкция y = f ( x ) определена в некоторой окрест ност и U ( x0 ) т очки x0 , непреры вна в точке x0 , ипу ст ь y0 = f ( x0 ) , M 0 = M 0 ( x0 ; y0 ). Заф иксиру ем произволь ное приращ ение аргу м ент а ∆ x ≠ 0 т аким , чт обы вы полнялось у словие x0 + ∆ x ∈ U ( x0 ) , ипу ст ь ∆ y = f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ), M 1 = M 1 ( x0 + ∆ x ; y0 + ∆ y ). П рям ая, прох одящ ая через точки M 0 и M 1 , наз ы вает ся секу щ ей к граф ику ф у нкции y = f ( x ) (см . рис. 1.1).

y

M1

∆y M0

x x0 + ∆ x

x0

Рис. 1.1 У равнение секу щ ей им еет вид

y=

∆y ( x − x0 ) + f ( x0 ). ∆x

(1.8)

О пре д е ле ние . П у ст ь з адано сем ейст во прям ы х уравнениям и a ( t ) x + b(t ) y + c (t ) = 0, где t − парам етр, ипу ст ь су щ ест ву ю т конечны е пределы

(1.9)

9

lim a (t ) = a , lim b(t ) = b , lim c (t ) = c . t → t0

t → t0

t → t0

Т огда говорят, что прям ы е сем ейства (1.9) при t → t0 ст рем ят ся к предель ном у полож ению – прям ой, у равнение которой им еет вид a x + b y + c = 0. В оз ь м ё м в у равнении для секу щ их в качест ве парам етра t величину ∆ x. О пре д е ле ние . П редель ное полож ение при ∆ x → 0 секу щ их (1.8) наз ы вает ся касат ель ной к граф ику ф у нкции y = f ( x ) в точке M 0 ( x0 ; f ( x0 )). Чт обы прям ы е сем ейст ва (1.8) ст рем ились к предель ном у полож ению (касат ель ной), от личном у от верт икаль ной прям ой, необх одим о и дост аточно, чт обы су щ ест вовал конечны й предел

lim

∆ x →0

∆y , ∆x

т . е. чтобы су щ ест вовала конечная производная f ′ ( x0 ). П ри этом у равнение касат ель ной им еет вид y = f ′ ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ).

(1.10)

Зам ет им , чт о в силу непреры вност и ф у нкции f ( x ) в т очке x0 вы полнено у словие lim ∆ y = 0, и пот ом у lim | M 0 M 1 | = ∆ x→0

= lim

∆ x→0

∆ x →0

( ∆ x )2 + ( ∆ y )2 = 0, т . е. точка M 1 «ст рем ит ся» к т очке M 0 ,

ост аваясь награф ике ф у нкции y = f ( x). И з у равнения (1.10) следу ет , чт о f ′ ( x0 ) = tg α , где α − у гол м еж ду касат ель ной иполож ит ель ны м направлением осиO x . О боз начим в у равнении(1.10) ординат у касат ель ной через y кас , x − x0 через ∆ x . Т огдаэто у равнение прим ет вид y кас − y0 = f ′ ( x0 ) ∆ x = df ( x0 ). Т аким образ ом , df ( x0 ) ест ь приращ ение ординат ы касат ель ной при данном ∆ x (см . рис. 1.2).

10

y

y = f ( x)

∆y dy

M0

x x0

x0 + ∆ x Рис. 1.2

Рассм от рим т еперь слу чай бесконечной производной. П у ст ь , наприм ер, f ′ ( x0 ) = + ∞ . П риэтом м ы бу дем предполагат ь , чт о ф у нкция y = f ( x ) непреры внавточке x0 . Запиш ем у равнение (1.8) ввиде

y y = x − x0 + 0 . ∆y ∆y ∆x ∆x П ерех одя в эт ом у равнениик пределу при ∆ x → 0, полу чим уравнение касат ель ной ввиде 0 = x − x0 , т . е. x = x0 , т . е. в рассм ат риваем ом слу чае в т очке M 0 ( x0 ; f ( x0 ) ) у граф ика ф у нкции y = f ( x ) су щ еству ет верт икаль ная касат ель ная. П у сть т еперь в т очке x0 у ф у нкции y = f ( x ) су щ ест ву ю т конечны е одност оронние производны е, не равны е м еж ду собой. В этом слу чае говорят об одност оронних касат ель ны х к граф ику ф у нкции y = f ( x ) в т очке M 0 ( x0 ; f ( x0 )). У равнение касат ель ной слева к граф ику ф у нкции y = f ( x ) в т очке M 0 ( x0 ; f ( x0 )) получаем , з ам еняя в уравнении (1.10) f ′ ( x0 ) на f −′ ( x0 ), а у равнение касат ель ной справа – з ам еняя f ′ ( x0 ) на f +′ ( x0 ).

11 Физ иче ск ий см ы сл произ в од ной ид иф ф е ре нциала П у сть перем енны е x и y = f ( x ) являю т ся некот оры м и ф изическим и величинам и и пу ст ь перем енная x изм еняет ся на от рез ке [a ; b]. Ф иксиру ем произволь ное з начение перем енной x = x0 ∈ [ a ; b ] и придадим величине x0 приращ ение ∆ x ≠ 0 т акое, чт обы вы полнялось f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) у словие x0 + ∆ x ∈ [ a ; b ]. В еличину наз ы ваю т ∆x средней скорост ь ю изм енения величины y от носит ель но перем енной x на от рез ке сконцам иx0 иx0 + ∆ x . К онечны й предел

lim

∆ x →0

f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) , ∆x

если он су щ еству ет , наз ы вает ся скорость ю изм енения перем енной y от носит ель но перем енной x в т очке x0 . В этом слу чае ∆ y = f ′( x0 ) dx + o( dx ), т . е. приращ ение ∆ y з ависит линейны м образом от dx с т очност ь ю до бесконечно м алой более вы сокого порядка, чем dx. П ри эт ом диф ф еренциал dy = f ′ ( x0 ) dx ест ь величина, на кот орую изм енит ся з начение перем енной y на от рез ке с концам и x0 и x0 + ∆ x , еслиэт а перем енная бу дет изм енят ь ся на у каз анном от рез ке с постоянной скорост ь ю f ′ ( x0 ). С в ой ств а произ в од ной , св я з анны е с ариф м е тиче ск им иопе рация м и над ф унк ция м и С праведливо следу ю щ ее у т верж дение. Те оре м а. Е сли ф у нкции y1 ( x ) и y 2 ( x ) окрест ност и U ( x0 ) т очки x0 ∈ R и им ею т производны е, то ф у нкцииλ1 y1 ( x ) + λ 2 y2 ( x ) , постоянны е, y 1 ( x ) ⋅ y 2 ( x ) т акж е им ею т в т очке

определены в некот орой в эт ой т очке конечны е гдеλ1 , λ 2 − произволь ны е x0 конечны е производны е,

причё м справедливы равенст ва

(λ 1 y 1 + λ 2 y 2 )′( x0 ) = λ1 y ′1 ( x0 ) + λ 2 y ′2 ( x0 ),

(1.11)

( y 1 ⋅ y 2 )′( x0 ) = y ′1 ( x0 ) y 2 ( x0 ) + y 1 ( x0 ) y ′2 ( x0 ).

(1.12)

12 Е сливы полнено у словие y 2 ( x0 ) ≠ 0, т о иф у нкция y 1 ( x ) / y 2 ( x ) им еет в т очке x0 конечну ю производну ю , причё м верно равенст во

 y 1 ′ y ′1 ( x0 ) y 2 ( x0 ) − y ′2 ( x0 ) y 1 ( x0 ) .   ( x0 ) = 2 y ( y ( x )) 2 2 0   Д оказ ат ель ст во. П у ст ь произволь ны е

y2 = y 2 ( x0 ).

(1.13)

y ( x ) = λ 1 y 1 ( x ) + λ 2 y 2 ( x ) , где λ 1

ф иксированны е

пост оянны е,

и пу ст ь

и λ2 −

y 1 = y 1 ( x0 ),

П ридадим аргу м ент у ф у нкций в т очке x0 приращ ение

∆ x ≠ 0 т акое, чт обы вы полнялось у словие x0 + ∆ x ∈ U ( x0 ), и пу ст ь ∆ y 1 , ∆ y 2 и ∆ y - приращ ения в точке x0 соответ ст венно ф у нкций

y 1 ( x ) , y 2 ( x ) и y ( x ). В эт их обоз начениях им еем ∆ y = λ1 ( y 1 + ∆ y 1 ) + λ 2 ( y 2 + ∆ y 2 ) − ( λ1 y 1 + λ 2 y 2 ) = λ1 ∆ y 1 + λ 2 ∆ y 2 . П оэт ом у

∆ y1 ∆ y2 ∆y = λ1 + λ2 . ∆x ∆x ∆x

(1.14)

П ерех одя вравенст ве (1.14) к пределу при∆ x → 0, полу чим , чт о

lim

∆ x →0

∆ y1 ∆ y2 ∆ y1 ∆ y2 ∆y ) = λ1 lim = lim (λ1 + λ2 + λ 2 lim = ∆ x →0 ∆ x→0 ∆ x ∆ x →0 ∆ x ∆x ∆x ∆x = λ1 y 1′ ( x0 ) + λ 2 y ′2 ( x0 ),

т .е. ф у нкция y ( x ) им еет в т очке x0 конечну ю производну ю исправедливо равенст во (1.11). П у сть т еперь y ( x ) = y 1 ( x ) ⋅ y 2 ( x ). В преж них обоз начениях им еем

∆y = ( y 1 + ∆ y 1 ) ( y 2 + ∆ y 2 ) − y 1 y 2 = y 2 ∆ y 1 + y 1 ∆ y 2 + ∆ y 1 ∆ y 2 . П оэт ом у

∆ y1 ∆ y2 ∆ y1 ∆y = y2 + y1 + ∆ y2 . ∆x ∆x ∆x ∆x

(1.15)

13 П осколь ку ф у нкция y 2 ( x ) диф ф еренциру ем а в т очке x0 , т о она непреры вна в этой т очке, и пот ом у lim ∆y 2 = 0. П ерех одя в равенст ве ∆x → 0

(1.15) к пределу при∆ x → 0, полу чим , что

lim

∆ x →0

∆ y1 ∆ y 2 ∆ y1   ∆y = lim  y 2 + y1 + ∆ y 2  = y 2 ( x0 ) y ′1 ( x0 ) + ∆ x ∆ x→0  ∆x ∆x ∆x  + y1 ( x0 ) y ′2 ( x0 ),

т .е. что ф у нкция y ( x ) им еет в т очке x0 конечну ю производну ю и справедливаф орм у ла(1.12). y1 ( x) Н аконец, пу ст ь y ( x) = . Бу дем исполь з овать преж ние y 2 ( x) обоз начения. О тм ет им , что в силу непреры вност и ф у нкции y 2 ( x ) в т очке x0 при дост аточно м алы х ∆ x величина ∆ y 2 бу дет м ала и бу дет вы полнять ся у словие y 2 + ∆ y 2 ≠ 0. И м еем

∆y =

y1 + ∆ y1 y2 + ∆ y2

П оэт ом у

−

y1

=

y 2 ( y1 + ∆ y 1 ) − y1 ( y 2 + ∆ y 2 )

y2 y2 ( y2 + ∆ y2 ) ∆ y1 ⋅ y 2 − ∆ y 2 ⋅ y1 = . y2 ( y2 + ∆ y2 ) ∆ y1

⋅ y2 −

∆ y2

∆y ∆x ∆x = ∆x y2 ( y2 + ∆ y2 )

=

⋅ y1 .

(1.16)

П ерех одя в равенст ве (1.16) к пределу при ∆ x → 0 , с у чё том у словия lim ∆ y 2 = 0 полу чим , что ∆ x→0

lim

∆ x →0

y ′1 ( x0 ) y 2 ( x0 ) − y 1 ( x0 ) y ′2 ( x0 ) ∆y = , ∆x ( y 2 ( x0 ))2

т .е. что ф у нкция y( x ) им еет в точке x0 конечну ю производну ю и справедливаф орм у ла(1.13). Т еорем адоказ ана.

14 С ле д ств ие . У м нож ая ф орм у лы следу ю щ ие соот нош ения:

(1.11) –

(1.13) на d x , полу чим

1) d (λ 1 y 1 + λ 2 y 2 ) = λ1 dy 1 + λ 2 dy 2 ; 2) d ( y 1 y 2 ) = y 2 dy 1 + y 1 dy 2 ;

 y1  y 2 dy 1 − y 1 dy 2 . 3) d   = 2  y2  y 2   В ф орм у лах 1) – 3) все диф ф еренциалы беру т ся в точке x0 . В ф орм у ле 3) предполагает ся, чт о y 2 = y 2 ( x0 ) ≠ 0. § 2. Диф ф е ре нциров ание об ратной ф унк цииислож ной ф унк ции. Инв ариантность ф орм ы пе рв ого д иф ф е ре нциала относите льно в ы б ора пе ре м е нной . П роиз в од ны е не к оторы хэле м е нтарны хф унк ций . Логариф м иче ск ая произ в од ная . Диф ф е ре нциров ание пок аз ате льносте пе нны хв ы раж е ний С ф орм у лиру ем идокаж ем следу ю щ ее у т верж дение. Те оре м а. Е сли ф у нкция y = f ( x ) непреры вна и строго м онот онна в некоторой окрест ност и точки x0 и им еет в т очке x0 производну ю f ′ ( x0 ) ≠ 0, т о обрат ная ф у нкция x = f −1 ( y ) им еет конечну ю производну ю вт очке y0 = f ( x0 ) исправедливаф орм у ла

df

−1

( y0 ) 1 = . df ( x0 ) dy dx

Д оказ ат ель ст во. П у ст ь f ( x ) определена, непреры вна и строго м онот онна в окрест ност иU ( x0 ) т очки x0 . Т огда по т еорем е об обрат ной ф у нкцииобрат ная ф у нкция x = f −1 ( y ) определена, непреры вна истрого м онот оннанаинтервале V = f (U ( x0 )), y0 = f ( x0 ) ∈ V . П ридадим аргу м ент у ф у нкции f −1 ( y ) в т очке y = y0 приращ ение ∆ y ≠ 0 т акое, чтобы вы полнялось у словие y0 + ∆ y ∈ V . Т огда ф у нкция −1

( y ) полу чит некоторое приращ ение ∆ x , ∆ x = f −1 ( y0 + ∆ y ) − f −1 ( y0 ) , причё м ∆ x ≠ 0 всилу строгой м онот онност иобрат ной ф у нкции. Зам ет им , чт о посколь ку f

15

x0 = f

−1

x0 + ∆ x = f

−1

( y0 ),

то

( y0 + ∆ y ),

т . е.

y0 + ∆ y = f ( x0 + ∆ x ) и ∆ y = f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ). Запиш ем т еперь раз ност ное от нош ение для производной ф у нкции −1 f ( y ) вт очке y0 ввиде

f

−1

( y0 + ∆ y ) − f ∆y

−1

( y0 )

=

∆x 1 1 = = = ϕ ( ∆ x ), ∆y f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆y ∆x ∆x

счит ая ∆ x ф у нкцией от ∆ y . О т м ет им , что в силу непреры вност и обрат ной ф у нкции lim ∆ x = 0, причё м ∆ x ≠ 0 при∆ y ≠ 0. П о т еорем е о ∆ y →0

пределе ком поз ицииполу чаем , чт о

lim ϕ ( ∆ x ) = lim ϕ ( ∆ x ) =

∆ y →0

∆ x →0

1 . df ( x0 ) dx

П оэтом у при ∆ y → 0 су щ ест ву ет конечны й предел раз ност ного от нош ения

∆x df −1 ( y0 ) , он равен, по определению , , и справедливо ∆y dy

равенст во

df

Т еорем адоказ ана.

−1

( y0 ) 1 = . df ( x0 ) dy dx

Зам ечание. И з доказ ат ель ст ва т еорем ы следу ет , чт о если −1

( y0 ) = 0. Т ак, наприм ер, если y = 3 x , т о y ′ (0) = + ∞ , ипот ом у у dy обрат ной ф у нкцииx = y 3 производная вточке y = 0 равнану лю .

то

df

df ( x0 ) = ± ∞, dx

Рассм отрим т еперь вопросо диф ф еренциру ем ост ислож ной ф у нкции. П у сть ф у нкция x = ϕ ( t ) з адана в некот орой окрест ност и U = U (t0 ) т очки t0 , а ф у нкция y = f ( x ) в некоторой окрест ност иV = V ( x0 ) т очки

16

x0 = ϕ (t0 ) , и пу ст ь h (t ) = f (ϕ ( t )), t ∈ U .

ϕ (U ) ⊂ V . Т огда им еет

см ы сл

ком поз иция

П рисделанны х предполож ениях справедливаследу ю щ ая Те оре м а. П у ст ь ф у нкция x = ϕ ( t ) диф ф еренциру ем а в точке t9 , а ф у нкция y = f ( x ) диф ф еренциру ем а в точке x0 = ϕ ( t0 ). Т огда слож ная ф у нкция h ( t ) = f (ϕ (t )) диф ф еренциру ем ав точке t0 идля её производной справедливаф орм у ла h′( t0 ) = f ′ (ϕ ( t0 )) ϕ ′ (t0 ) = f ′( x0 ) ϕ ′ ( t0 ). Д оказ ат ель ст во. П ридадим аргу м ент у ф у нкции x = ϕ ( t ) в т очке t0 произволь ное дост ат очно м алое приращ ение ∆ t ≠ 0. Т огда ф у нкция x = ϕ ( t ) полу чит некот орое приращ ение ∆ x = ϕ ( t0 + ∆ t ) − ϕ ( t0 ) (причё м , воз м ож но, ∆ x = 0 ). С оот вет ст венно, ф у нкция y = f ( x ) полу чит в т очке x0 некоторое приращ ение ∆ y , от вечаю щ ее данном у приращ ению ∆x , ∆ y = f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ). В силу диф ф еренциру ем ост и f ( x ) в т очке x0 данное приращ ение м ож но з аписат ь ввиде ∆ y = f ′( x0 ) ∆ x + α ( ∆ x ) ∆ x , (2.1) где α ( ∆ x ) → 0 при ∆ x → 0, α (0) = 0. В силу непреры вност и ф у нкции x = ϕ ( t ) в т очке t0 вы полнено у словие lim ∆ x = 0. У чит ы вая ∆t →0

непреры вност ь ф у нкции α ( ∆ x ) в т очке ∆ x = 0, полу чаем , что lim α ( ∆ x ) = 0. Раз деливравенст во (2.1) на ∆ t , полу чим соот нош ение ∆ t →0

∆y ∆x ∆x = f ′( x0 ) + α (∆ x) . ∆t ∆t ∆t П ерех одя вэтом равенст ве к пределу при∆ t → 0, получим , чт о

∆y ∆x ∆x = f ′( x0 ) lim + lim (α (∆ x ) ) = f ′( x0 )ϕ ′ (t0 ) + ∆ t →0 ∆ t ∆ t →0 ∆ t ∆t →0 ∆t ∆x + lim α ( ∆ x ) ⋅ lim = f ′( x0 )ϕ ′(t0 ) + 0 ⋅ϕ ′(t0 ) = f ′( x0 )ϕ ′(t0 ). ∆t →0 ∆ t →0 ∆ t lim

17 Т еорем адоказ ана. П рим ер 1. П у ст ь x = ϕ (t ) = t 2 , y = f ( x ) = sin x , h (t ) = f (ϕ (t )) = sin t 2 . Т огда ( sin t 2 )′ = cos t 2 ⋅ 2 t = 2 t cos t 2 . Инв ариантность ф орм ы пе рв ого д иф ф е ре нциала относите льно в ы б ора пе ре м е нной П у сть x - нез ависим ая перем енная. Е сли ф у нкция y = f ( x) диф ф еренциру ем а в точке x0 , т о её диф ф еренциал (которы й т акж е наз ы ваю т её первы м диф ф еренциалом ) в этой т очке з аписы вает ся в виде dy = f ′( x0 ) dx , т ак чт о производная f ′( x0 ) предст авляет собой част ное диф ф еренциалов dy иdx : f ′( x0 ) = dy / dx . П у ст ь т еперь x ест ь ф у нкция от перем енной t , x = ϕ ( t ). П редполож им , что ϕ ( t ) диф ф еренциру ем а в т очке t0 , и пу ст ь x0 = ϕ (t0 ). Т огда слож ная ф у нкция y = f (ϕ (t )) диф ф еренциру ем а в точке t0 . В ы числим её диф ф еренциал в эт ой точке. И споль з у я ф орм у лу для производной слож ной ф у нкции, полу чаем

dy =

df (ϕ ( t )) |t = t0 dt = f ′(ϕ (t0 )) ϕ ′(t0 ) dt = f ′(ϕ (t0 )) dϕ (t0 ) = f ′( x0 ) dx . dt

Т аким образом , и в эт ом слу чае диф ф еренциал м ож ет бы ть з аписан в ф орм е dy = f ′( x0 ) dx . Д анное свойст во диф ф еренциала наз ы ваю т свойст вом инвариант ност иего ф орм ы от носит ель но вы бора перем енной. Т аким образом , м ы всегда м ож ем записат ь диф ф еренциал ф у нкции y = f ( x ) в виде dy = f ′( x0 ) dx , бу дет ли x нез ависим ой перем енной или нет . С леду ет лиш ь им ет ь в виду , чт о если з а нез ависим у ю перем енну ю вы брано t , т о dx оз начает не произволь ное приращ ение ∆ x , а диф ф еренциал x как ф у нкции от t , dx = ϕ ′( t0 ) dt . Ф орм у ла для производной при этом сох раняет ся: f ′( x0 ) = dy / dx (если, конечно, ϕ ′(t0 ) ≠ 0 ). П ерейдё м т еперь к вы числению производны х некоторы х элем ент арны х ф у нкций. 1. П у ст ь y = c = const . Т огда ∆ y = 0 для ∀ ∆ x , ипотом у y ′ = 0. 2. П у сть y = x µ , µ ∈ R , µ ≠ 0, x > 0. Записав раз ност ное от нош ение для производной ввиде

18 µ µ ∆ y ( x + ∆ x )µ − x µ µ (1 + ∆ x / x ) − 1 1 µ −1 (1 + ∆ x / x ) − 1 = =x =x , ∆x ∆x ∆ x/ x x ∆ x/ x

∆y = µ x µ −1 . ∆ x→0 ∆ x Част ны е случаиф орм у лы : 1 1 1 − 12 1  1 ′ −1 2 ′ ′ ′ = ( x ) = − , ( x ) = ( x ) = x = .   2 2 x 2 x x

полу чим , чт о y′ = lim

3. П у ст ь y = a x , a > 0, x ∈ R . П осколь ку ∆x ∆ y a x +∆ x − a x −1 x a = = a , ∆x ∆x ∆x

∆y = a x ln a . Част ны й слу чай ф орм у лы : ( e x )′ = e x . ∆ x →0 ∆ x 4. П у ст ь y = log a x , x > 0. Т огда, исполь з у я т еорем у о производной обрат ной ф у нкции, полу чаем 1 1 1 y′x = = y = . x ′y a ln a x ln a 1 Част ны й слу чай ф орм у лы : (ln x )′ = . x 5. П у ст ь y = sin x , x ∈ R . Ранее бы ло показ ано, что y ′ = cos x . π 6. П у ст ь y = cos x , x ∈ R . П осколь ку cos x = sin ( x + ) , т о, исполь з у я 2 т еорем у о производной слож ной ф у нкции, получаем т о y′ = lim

y′ = (sin ( x +

π π π ))′ = = cos ( x + ) ( x + )′ = − sin x ⋅ 1 = − sin x . 2 2 2

π + π n , n ∈ Z . Т огда 2  sin x ′ cos x ⋅ cos x − ( − sin x ) sin x 1 (tg x )′ =  = .  = 2 2 cos x cos x cos x  

7. П у ст ь y = tg x , x ≠

8. П у ст ь y = ctg x , x ≠ π n , n ∈ Z . Т огда

 cos x ′ − sin x ⋅ sin x − cos x ⋅ cos x 1 (ctg x )′ =  =− .  = 2 sin x sin 2 x  sin x 

19 9. П у ст ь y = arcsin x , − 1 < x < 1. Т огда x = sin y , y ∈ ( −

y′x =

1 1 = = x′y cos y

1 1 − sin y 2

=

1 1 − x2

π π ; ), и 2 2

.

10. П у ст ь y = arccos x , − 1 < x < 1. Т огда x = cos y , y ∈ (0; π ) , и

y′x =

1 1 =− =− sin y x′y

1 1 − cos 2 y

11. П у ст ь y = arctg x , x ∈ R . Т огда y ∈ ( −

y′x =

= −

1 1 − x2

.

π π ; ) иx = tg y . П оэтом у 2 2

1 1 1 1 = = = . −2 2 x′y cos y 1 + tg y 1 + x 2

12. П у ст ь y = arcctg x , x ∈ R . Т огда y ∈ (0; π ) , x = ctg y и

y′x = Рассм отрим производны е. Ф у нкция

1 1 1 1 =− =− =− . −2 2 x′y sin y 1 + ctg y 1 + x2

т еперь

гиперболические ф у нкции и вы числим

e x − e− x sh x = , x ∈ R, 2 наз ы вает ся гиперболическим сину сом , ф у нкция def

def

ch x =

e x + e− x , x ∈ R, 2

- гиперболическим косину сом , ф у нкция de f

th x =

sh x , x ∈ R, ch x

- гиперболическим т ангенсом , ф у нкция de f

cth x =

ch x , x ∈ R \{0}, sh x

их

20 - гиперболическим кот ангенсом . Л егко видет ь , чт о гиперболические сину с и косину с связ аны соот нош ением ch 2 x − sh 2 x = 1.

 e x − e− x ′ e x + e− x 13. (sh x )′ =  = ch x , x ∈ R .  = 2 2    e x + e − x ′ ex − e− x = = sh x , x ∈ R . 14. (ch x )′ =   2 2   15. (th x )′ =

ch x ⋅ ch x − sh x ⋅ sh x 1 = , x ∈ R. 2 ch x ch 2 x

16. (cth x )′ =

sh x ⋅ sh x − ch x ⋅ ch x 1 , x ∈ R \{0}. = − sh 2 x sh 2 x

С ведё м полученны е ф орм у лы вт аблицу . Таб лица произ в од ны хид иф ф е ре нциалов не к оторы хэле м е нтарны х ф унк ций 1. y = c , y ′ = 0, dy = 0. 2. y = x µ , µ ∈ R , µ ≠ 0, 1 1 y = , y′ = − 2 , dy = x x 1 y = x , y′ = , dy 2 x

y ′ = µ x µ −1 , dy = µ x µ −1 dx . 1 dx − 2 dx = − 2 . x x dx = . 2 x

3. y = a x , y ′ = a x ln a , dy = a x ln a dx . y = e x , y′ = e x , dy = e x dx . 1 dx 4. y = loga x , y ′ = , dy = . x ln a x ln a 1 dx y = ln x , y ′ = , dy = . x x 5. y = sin x , y ′ = cos x , dy = cos x dx . 6. y = cos x , y ′ = − sin x , dy = − sin x dx . 1 dx , dy = . 7. y = tg x , y ′ = cos 2 x cos 2 x 1 dx , dy = − 2 . 8. y = ctg x , y ′ = − 2 sin x sin x

21 9. y = arcsin x , y′ = 10. y 11. y 12. y 13. y

1

, dy =

dx

.

1− x 1− x dx 1 = arccos x , y ′ = − , dy = − . 2 2 1− x 1− x 1 dx = arctg x , y′ = , dy = . 1 + x2 1 + x2 1 dx = arcctg x , y′ = − , dy = − . 1 + x2 1 + x2 = sh x , y′ = ch x , dy = ch x dx . 2

2

14. y = ch x , y ′ = sh x , dy = sh x dx. 1 dx 15. y = th x , y′ = , dy = . ch 2 x ch 2 x 1 dx 16. y = cth x , y ′ = − 2 , dy = − 2 . sh x sh x Логариф м иче ск ая произ в од ная П у сть ф у нкция u( x ) диф ф еренциру ем а в т очке x0 , u ( x0 ) > 0. В силу непреры вност и ф у нкции u ( x ) в точке x0 в некот орой окрест ност и U ( x0 ) вы полнено у словие u ( x ) > 0, и пот ом у в эт ой окрест ност и определена ф у нкция y = ln u ( x ). Э т а ф у нкция диф ф еренциру ем а в точке x0 ; найдё м её производну ю в этой т очке. П о ф орм у ле для производной слож ной ф у нкцииполу чаем 1 u′ y′ = (ln u )′ = u′ = . u u u′( x0 ) В еличина наз ы вает ся логариф м ической производной ф у нкции u( x0 ) u ( x ) вт очке x0 . Диф ф е ре нциров ание пок аз ате льно-сте пе нны хв ы раж е ний П у сть ф у нкции u( x ) и v( x ) диф ф еренциру ем ы в т очке x0 , u ( x0 ) > 0. Т огдав некоторой окрест ност иU ( x0 ) точкиx0 определенаф у нкция

y = u( x ) v ( x ) = ev ( x ) ln u ( x ) .

22 Д анная ф у нкция (наз ы ваем ая показ ат ель но-ст епенной) диф ф еренциру ем а в т очке x0 ; найдё м её производну ю в эт ой т очке. П о правилу диф ф еренцирования слож ной ф у нкцииполу чаем u′ y′ = ( ev ln u )′ = e v ln u ( v ln u )′ = u v (v′ ln u + v ). u sin x ). П рим ер 2. П у ст ь y = x sin x , x > 0. Т огда y′ = x sin x (cos x ⋅ ln x + x § 3. П роиз в од ны е ид иф ф е ре нциалы в ы сш ихпоря д к ов . Форм ула Ле й б ница. В ы числе ние произ в од ны хв ы сш ихпоря д к ов об ратны х ф унк ций иф унк ций , з ад анны хпарам е триче ск и П у сть ф у нкция y = f ( x ) им еет конечну ю производну ю вкаж дой точке некоторой окрест ност иU ( x0 ) т очки x0 . Т огда эт а производная f ′( x ) ест ь обы чная ф у нкция перем енной x , x ∈ U ( x0 ). Е слив т очке x0 у ф у нкции f ′( x ) су щ ест ву ет производная ( f ′( x ))′ |x = x0 , т о эт а производная наз ы вает ся вт орой производной или производной второго порядка ф у нкцииf ( x ) вт очке x0 иобоз начает ся f ′′( x0 ) илипрост о y ′′ . О пу ская обоз начения аргу м ент а, м ож но з аписать de f

y ′′ = ( y ′)′. Д ру гие обоз начения для второй производной:

f

(2)

d 2 f ( x0 ) d 2y 2 (2) ( x0 ), , D f ( x9 ) , y ′′x 2 , y x 2 , . dx 2 dx 2

Аналогично определяю тся производны е более вы сокого порядка: 3-го, 4- го ит .д. П у сть у ж е определена производная n − 1 − го порядка, n ≥ 2, кот орую м ы обоз начим через f ( n −1) ( x ) , ипу ст ь эт а производная конечна в каж дой т очке некот орой окрест ност иU ( x0 ) точки x0 . Е слив точке x0 у ф у нкции f ( n −1) ( x ) су щ ест ву ет производная ( f ( n −1) ( x ))′ |x = x0 , т о она наз ы вает ся

n − ой производной илипроизводной n − го порядкаф у нкции f ( x ) вт очке x0 иобоз начает ся f ( n ) ( x0 ) илипросто y ( n ) . Т аким образ ом , de f

y ( n ) = ( y ( n −1) )′ .

23 Д ру гие обоз начения для n − ой производной: d n f ( x0 ) d ny (n ) , y xn , , D n f ( x0 ). n n dx dx Д ля у добст ваполагаю т y (0) = y . Зам ечание. П од производны м ивы сш их порядков в граничны х т очках пром еж у т ка поним аю т ся односторонние производны е, которы е т акж е определяю т ся инду кт ивно. О пре д е ле ние . Ф у нкция, им ею щ ая в каж дой т очке пром еж у тка X (в т очке x0 ) конечну ю производну ю n − го порядка, наз ы вает ся n раз диф ф еренциру ем ой напром еж у тке X (вт очке x0 ). П риведё м прим еры нах ож дения производны х некоторы х элем ент арны х ф у нкций.

вы сш их

порядков

1. П у ст ь y = xα , ипу ст ь сначалаα ≠ 0, 1, 2, ... , x > 0. П оследоват ель но диф ф еренциру я, получаем

y′ = α xα −1 , y ′′ = α (α − 1) xα − 2 , y ′′′ = α (α − 1) (α − 2) xα − 3 , ит .д. Методом м ат ем ат ической инду кциилегко доказ ы вает ся, что

y ( n ) = α (α − 1) (α − 2)...(α − n + 1) xα − n , n ∈ N . П у сть

т еперь

α = m, m ∈ N .

Т огда для

n≤m

(3.1)

ф орм у ла (3.1)

сох раняет ся, приэт ом y ( m ) = m !. Е слиж е n > m , т о y ( n ) = 0. 2. П у ст ь y = a x , x ∈ R . Т огда

y′ = a x ln a , y ′′ = a x (ln a )2 , y ′′′ = a x (ln a )3 , ит .д. П о индукцииполу чаем , чт о

( a x ) ( n ) = a x (ln a )n , n ∈ N .

(3.2)

В част ност и,

( e x )( n ) = e x , n ∈ N . 3. П у ст ь y = sin x , x ∈ R . П оследоват ель но диф ф еренциру я, полу чаем

24

π π π π ), y ′′ = (sin ( x + ))′ = cos ( x + ) ( x + )′ = 2 2 2 2 π π π = cos ( x + ) ⋅1 = sin ( x + + ), ит . д. 2 2 2

y′ = cos x = sin ( x +

И нду кцией легко доказ ы вает ся, чт о

πn ), n ∈ N . 2

(sin x )( n ) = sin ( x +

(3.3)

4. П у ст ь y = cos x , x ∈ R . Аналогично доказ ы вает ся, чт о

(cos x )( n ) = cos ( x +

πn ), n ∈ N . 2

(3.4)

5. П у ст ь т еперь y = ln (1 + x ) , x > − 1. В ы полняя последоват ель но диф ф еренцирования, получаем

y′ =

1 1 2 2⋅3 , y ′′ = − , y ′′′ = , y (4) = − , ит .д. 2 3 1+ x (1 + x ) (1 + x ) (1 + x ) 4

И нду кцией легко доказ ы вает ся, чт о

y ( n ) = ( − 1) n −1

( n − 1)! , n∈N. (1 + x ) n

(3.5)

С праведливо следу ю щ ее у т верж дение. Те оре м а. П у ст ь ф у нкции y1 = y1 ( x ) и y2 = y2 ( x ) им ею т в т очке x0 конечны е производны е m − го порядка, m ∈ N . Т огдав т очке x0 лю бая их линейная ком бинация λ1 y1 + λ 2 y2 , λ1 , λ 2 ∈ R , а т акж е их произведение y1 y 2 т акж е им ею т конечны е производны е порядка m, причё м

(λ 1 y1 + λ 2 y2 )( m ) = λ 1 y1( m ) + λ 2 y2( m ) , ( y1 y2 )( m ) =

m

∑C k =0

k m

y1( m − k ) y2( k ) ,

(3.6) (3.7)

где y1(0) = y1 , y2(0) = y2 . Д оказ ат ель ст во. Д окаж ем т еорем у инду кцией по m . Рассм отрим сначаласлучай линейной ком бинацииф у нкций.

25 П у сть λ 1 и λ 2 − произволь ны е ф иксированны е числа. Ранее бы ло доказ ано, чт о еслиф у нкции y1 и y2 диф ф еренциру ем ы в т очке x0 , т о и ф у нкция λ 1 y1 + λ 2 y2 диф ф еренциру ем а в эт ой т очке и справедлива ф орм у ла

(λ 1 y1 + λ 2 y2 )′ = λ 1 y1′ + λ 2 y2′ , т ак чт о в слу чае m = 1 соот вет ст ву ю щ ее у т верж дение т еорем ы верно. П редполож им , что у т верж дение т еорем ы верно для m = n ∈ N , т . е. еслиф у нкции y1 и y2 им ею т конечны е производны е порядка n в точке x0 , т о ф у нкция λ 1 y1 + λ 2 y2 т акж е им еет в т очке x0 конечную производну ю порядка n исправедливаф орм у ла

(λ 1 y1 + λ 2 y2 ) ( n ) = λ1 y1( n ) + λ 2 y2( n ) .

(3.8)

П у сть т еперь ф у нкции y1 и y2 n + 1 раз диф ф еренциру ем ы в точке x0 . Т огда ф у нкции y1 и y2 n раз диф ф еренциру ем ы в некот орой окрест ност и т очки x0 и, по предполож ению , в каж дой точке этой окрест ност и справедливо равенст во (3.8). П равая част ь ф орм у лы (3.8) представляет собой ф у нкцию , диф ф еренциру ем у ю в т очке x0 , поэт ом у ф у нкция

(λ 1 y1 + λ 2 y2 )( n ) ( x) т акж е диф ф еренциру ем а в эт ой т очке, т .е. ф у нкция λ1 y1 + λ 2 y2 n + 1 раз диф ф еренциру ем авточке x0 . П риэт ом (λ 1 y1 + λ 2 y2 ) ( n +1) = ((λ1 y1 + λ 2 y2 ) ( n ) )′ = (λ 1 y1( n ) + λ 2 y2( n ) )′ = λ 1 y1( n +1) + + λ 2 y2( n +1) , ипервая част ь т еорем ы доказ ана. Рассм отрим т еперь произведение ф у нкций y1 y2 . Ранее бы ло доказ ано, чт о еслиф у нкции y1 и y2 диф ф еренциру ем ы вт очке x0 , то ф у нкция y1 y2 т акж е диф ф еренциру ем авт очке x0 исправедливаф орм у ла

( y 1 y 2 )′ = y ′1 y 2 + y 1 y′2 . П риm = 1 по ф орм у ле (3.7) полу чаем

( y1 y2 )′ =

1

∑C k =0

k 1

y1(1− k ) y2( k ) = C10 y1(1) y2(0) + C11 y1(0) y2(1) = y1′ y2 + y1 y2′ ,

26 т ак чт о в слу чае m = 1 соот вет ст ву ю щ ее у т верж дение т еорем ы верно. П у сть у тверж дение т еорем ы верно для m = n ∈ N , т .е. еслиф у нкции y1 и y2 n раз диф ф еренциру ем ы в т очке x0 , т о ф у нкция y1 y 2 т акж е n раз диф ф еренциру ем авточке x0 исправедливаф орм у ла

( y1 y2 )( n ) =

n

∑C k =0

k n

y1( n − k ) y2 ( k ) .

(3.9)

П у сть т еперь ф у нкции y1 и y2 n + 1 раз диф ф еренциру ем ы в точке x0 . Т огда ф у нкции y1 и y2 n раз диф ф еренциру ем ы в некоторой окрест ност и т очки x0 и в каж дой точке этой окрест ност и, по предполож ению , справедлива ф орм у ла (3.9). П равая част ь ф орм у лы (3.9) предст авляет собой ф у нкцию , диф ф еренциру ем у ю в т очке x0 , поэт ом у ф у нкция ( y1 y2 )( n ) ( x ) т акж е диф ф еренциру ем а в точке x0 , т .е. ф у нкция y1 y2 n + 1 раз диф ф еренциру ем авт очке x0 . П риэт ом

( y1 y2 )

( n +1)

⋅ y2( k +1) ) =

 n k ( n − k ) ( k ) ′ y2  = = ( ( y1 y2 ) )′ =  ∑ Cn y1  k =0  (n)

n

∑ Cnk y1(n +1−k ) y2(k ) + k =0

k =0

k n

( y1( n −k +1) y2( k ) + y1( n − k ) ⋅

∑ Cnk y1(n +1− (k +1)) y2( k +1) = k =0

+ ∑ Cnm −1 y1( n +1− m ) y2( m ) = Cn0 y1( n +1) y2 + m =1

=

∑C

n

n +1

+ Cnn y1 y2( n +1) = Cn0+1 y1( n +1) y2 +

n

n

∑ Cnm y1(n +1−m ) y2( m) + m =1

n

∑ (C m =1

n +1

∑C

m =0

m n +1

m n

n

∑C k =0 n

k n

∑C

m =1

y1( n +1− k ) y2( k ) +

m −1 n

y1( n +1−m ) y2( m ) +

+ Cnm −1 ) y1( n +1− m ) y2( m ) + Cnn++11 y1 y2( n +1) =

y1( n +1− m ) y2( m ) .

Т еорем адоказ ана. Ф орм у лу (3.7) наз ы ваю т ф орм у лой Л ейбница. П рим ер 1. П у сть y = x 2 e x , x ∈ R . В ы числим , наприм ер, y (100) . И м еем

( x 2 e x ) (100) =

100

∑C k =0

k 100

0 1 2 ( x 2 ) ( k ) ( e x ) (100 − k ) = C100 x 2 e x + C100 ⋅ 2 x ⋅ e x + C100 ⋅2⋅ex =

= x 2 e x + 100 ⋅ 2 ⋅ x ⋅ e x + 4950 ⋅ 2 ⋅ e x = e x ( x 2 + 200 x + 9900).

27 П роиз в од ны е в ы сш ихпоря д к ов об ратны хф унк ций иф унк ций , з ад анны хпарам е триче ск и П у сть ф у нкция y = y ( x ) ст рого м онот онна и непреры вна в некот орой окрест ност и т очкиx0 , дваж ды диф ф еренциру ем а в т очке x0 , и пу ст ь y ′( x0 ) ≠ 0. В силу непреры вност и ф у нкции y ′( x ) в т очке x0 у словие y ′( x ) ≠ 0 вы полняет ся ив некоторой окрест ност и U т очки x0 . Т огда из т еорем ы о производной обрат ной ф у нкции следу ет , чт о в каж дой точке y ∈ V = y (U ) вы полняет ся равенст во 1 x′( y ) = , (3.10) y ′( x ) где y ∈ V , x ∈ U , y = y ( x ). П раву ю част ь ф орм у лы рассм атриват ь как слож ну ю ф у нкцию аргу м ент а y, т .е.

(3.10) м ож но

1 = ϕ ( x ) = ϕ ( x ( y )), y ∈ V . y ′( x ) П осколь ку ф у нкция ϕ ( x ) диф ф еренциру ем а в т очке x0 , а ф у нкция x = x ( y ) диф ф еренциру ем а в т очке y0 = y ( x0 ), то слож ная ф у нкция ϕ ( x ( y )) , т .е. x ′( y ), бу дет диф ф еренциру ем ой вт очке y0 . П риэтом

x′′ =

d d 1 d  1  dx 1 1 y ′′ ′′ ( x ′) = y , = ⋅ = − ⋅ ⋅ = −     dy dy  y′  dx  y ′  dy ( y ′) 2 y′ ( y ′) 3

т .е.

x′′( y0 ) = −

y′′( x0 ) . ( y ′( x0 )) 3

Аналогично рассм ат ривает ся слу чай производны х более вы сокого порядка. П у сть нанекот ором пром еж у т ке T з аданы две ф у нкции x = x ( t ), y = y (t ) , ипу ст ь одна из них , наприм ер, x = x (t ), ст рого м онот онна на T . Т огда су щ ест ву ет обрат ная ф у нкция t = t ( x ), з аданная на X = x (T ). С лож ная ф у нкция

28 y = y (t ( x )) , x ∈ X , наз ы вает ся парам етрическиз аданной ф ункцией. П рим ер 2. П у ст ь T = R , x = t 3 , y = t 6 + 1. Д анны е у равнения определяю т ф у нкцию , кот орая м ож ет бы т ь явно з адана с пом ощ ь ю ф орм у лы y = x 2 + 1. П у сть т еперь ф у нкции x(t ) и y (t ) диф ф еренциру ем ы в т очке t0 , x′(t0 ) ≠ 0, и пу ст ь ф у нкция x(t ) непреры вна и ст рого м онот онна в некоторой окрест ност и точки t0 . Т огда слож ная ф у нкция y = y (t ( x )) диф ф еренциру ем а в точке x0 = x (t0 ) как ком поз иция диф ф еренциру ем ы х ф у нкций y( t ) иt ( x ). П риэтом справедливаф орм у ла

y′x = yt′ ⋅ t ′x = yt′ ⋅

1 y′ = t . xt′ xt′

П редполож им , чт о ф у нкции x( t ) и y( t ) дваж ды диф ф еренциру ем ы в т очке t0 , и пу ст ь x ′(t0 ) ≠ 0. Рассу ж дая т ак ж е, как и при рассм отрении вт орой производной обрат ной ф у нкции, полу чаем , чт о ф у нкция y = y (t ( x )) дваж ды диф ф еренциру ем апо x вт очке x0 = x(t0 ), причё м

y ′′2 ⋅ xt′ − xt′′2 ⋅ yt′  yt′ ′  yt′ ′ y′′x2 = ( y′x )′x =   =   ⋅ t x′ = t . 3 ′ ′ ′ x x x ( ) t  tx  t t Аналогично рассм ат риваю т ся производны е иболее вы сокого порядка. Диф ф е ре нциалы в ы сш ихпоря д к ов П у сть ф у нкция y = f ( x ) дваж ды диф ф еренциру ем ав точке x. Запиш ем её диф ф еренциал вэтой точке dy = f ′( x ) dx. Зам ет им , чт о приф иксированной ф у нкции f ( x ) величина dy з ависит как от точкиx , т ак иот диф ф еренциала dx . Д иф ф еренциал от диф ф еренциалапервого порядка dy = f ′( x ) dx ф у нкции y = f ( x ), рассм ат риваем ого толь ко как ф у нкция перем енной x (т .е. приращ ение dx аргу м ент а x предполагает ся пост оянны м ), при

29 у словии, что повт орное приращ ение нез ависим ой перем енной x совпадает с первоначаль ны м , наз ы вает ся вт оры м диф ф еренциалом или диф ф еренциалом вт орого порядка ф у нкции y = f ( x ) в данной точке x и обоз начает ся d 2 f ( x ) илипрост о d 2 y . Т аким образ ом ,

d 2 f ( x ) = d ( df ( x )) = d ( f ′( x ) dx ) = d ( f ′( x )) dx = f ′′( x ) dx ⋅ dx = f ′′( x ) dx 2 , или

d 2 y = y ′′( x ) dx 2 , de f

где dx 2 = ( dx ) 2 . И з вы писанной ф орм у лы следу ет , чт о y ′′( x ) = Д иф ф еренциал порядка n ≥ 3 вводит ся аналогично.

d 2y . dx 2

П риведё м определение диф ф еренциалапроизволь ного порядка n ≥ 2. П у сть ф у нкция y = f ( x ) n раз диф ф еренциру ем а в точке x ипу ст ь у ж е определё н диф ф еренциал порядка n − 1 вэт ой т очке. Д иф ф еренциалом n − го порядка наз ы вает ся диф ф еренциал от диф ф еренциала порядка n − 1 при у словии, чт о в диф ф еренциалах всё врем я берут ся одниит е ж е приращ ения dx нез ависим ой перем енной x . Д иф ф еренциал n − го порядкаобоз начаю т через d n f ( x ) илиd n y . И т ак, de f

d n y = d ( d n −1 y )). П риэт ом справедливаф орм у ла

d n y = y ( n ) dx n , de f

(3.11)

где dx n = ( dx ) n . Д окаж ем ф орм у лу (3.11) инду кцией по n. Д ля n = 2 эт а ф орм у ла верна. П редполож им , что она верна для диф ф еренциала порядка n = m ∈ N , m ≥ 2, и пу ст ь ф у нкция y = f ( x) m + 1 раз диф ф еренциру ем авт очке x . Т огда

d m +1 y = d ( d m y )) = d ( y ( m ) dx m ) = d ( y ( m ) ) dx m = y ( m +1) dx m +1 ,

30 иф орм у ладоказ ана. О т м ет им , чт о из соот нош ения (3.11) следу ет , чт о dny y(n) = . dx n У м нож ая ф орм у лу (3.7) на dx m , полу чим следу ю щ ее вы раж ение для диф ф еренциала порядка m произведения дву х m раз диф ф еренциру ем ы х ф у нкций

d m ( y1 y2 ) =

m

∑C

k =0

k m

d m − k y1 ⋅ d k y2 ,

(3.12)

где d y1 = y1 , d y2 = y2 . 0

0

П окаж ем , чт о диф ф еренциалы порядков n ≥ 2 свойством инвариант ност иф орм ы от носит ель но вы бораперем енной не обладаю т . П у сть x − нез ависим ая перем енная ипу ст ь ф у нкция y = f ( x ) дваж ды диф ф еренциру ем а. Т огда её диф ф еренциал вт орого порядка им еет вид d 2 y = f ′′( x ) dx 2 . П у сть т еперь x ест ь ф у нкция от t , x = ϕ ( t ) , ипу ст ь ϕ ( t ) т акж е дваж ды диф ф еренциру ем ая ф у нкция. Т огда слож ная ф у нкция y = f (ϕ (t )) бу дет дваж ды диф ф еренциру ем ой, посколь ку ф у нкция dy / dt = f ′(ϕ (t )) ϕ ′(t ) являет ся диф ф еренциру ем ой. В ы числим вт орой диф ф еренциал от y по перем енной t. В силу инвариант ност и ф орм ы первого диф ф еренциала м ы м ож ем з аписат ь dy в виде dy = f ′( x ) dx . О т м ет им , что в рассм ат риваем ом слу чае и f ′( x ), иdx ест ь ф у нкцииот t . С нова исполь з у я инвариант ност ь ф орм ы первого диф ф еренциала, полу чаем

d 2 y = d ( dy ) = d ( f ′( x) dx ) = d ( f ′( x )) dx + f ′( x ) d 2 x = f ′′( x ) dx 2 + f ′( x ) d 2 x . Т аким образ ом , если x перест аё т бы т ь нез ависим ой перем енной, то вт орой диф ф еренциал y по новой перем енной вы раж ает ся у ж е дву членной ф орм у лой d 2 y = f ′′( x ) dx 2 + f ′( x ) d 2 x , (3.13) т ак чт о ф орм а второго диф ф еренциала не сох раняется. Л егко видет ь , что свойст вом инвариант ност и ф орм ы не обладаю т и диф ф еренциалы более вы сокого порядка. О тм ет им ещ ё , что еслиф орм у лу (3.13) раз делит ь на dt 2 , т о получим соот нош ение 2

d 2y d 2x  dx  ′′ ′ = f ( x ) + f ( x ) .   dt 2 dt 2  dt 

31 § 4. Диф ф е ре нциальны е те оре м ы о сре д не м О пре д е ле ние . Е слиф у нкция им еет в некот орой точке конечну ю или определё нного з нака бесконечну ю производну ю , то говорят , что ф у нкция им еет вэт ой т очке производну ю вш ироком см ы сле. С праведливо следу ю щ ее у т верж дение. Те оре м а (Ф ерм а). Е слиф у нкция определенав некоторой окрест ност и x0 , приним ает в эт ой т очке наиболь ш ее (наим ень ш ее) в т очки рассм атриваем ой окрест ност из начение иим еет в т очке x0 производну ю в ш ироком см ы сле, т о эт апроизводная равнану лю . Д оказ ат ель ст во. П у ст ь f : U ( x0 ) → R ипу ст ь ф ункция f приним ает в т очке x0 наиболь ш ее в окрест ност и U ( x0 ) з начение, т ак что для ∀ x ∈ U ( x0 ) f ( x ) ≤ f ( x0 ). Т огдавы полняю т ся у словия:

f ( x ) − f ( x0 ) ≥ 0 , если x < x0 , x − x0

(4.1)

и

f ( x ) − f ( x0 ) ≤ 0 , если x > x0 . x − x0

(4.2)

f ( x ) − f ( x0 ) ≥ 0, а x → x0 − 0 x − x0 f ( x ) − f ( x0 ) ≤ 0. из неравенст ва (4.2) следу ет , чт о f +′ ( x0 ) = lim x → x0 + 0 x − x0 П осколь ку f ′ ( x0 ) = f −′ ( x0 ) = f +′ ( x0 ), т о вы полняет ся неравенст во 0 ≤ f ′ ( x0 ) ≤ 0, т . е. f ′ ( x0 ) = 0. С лу чай наим ень ш его вт очке x0 з начения рассм ат ривает ся аналогично. Т еорем адоказ ана. И з неравенст ва (4.1) следу ет , чт о f −′ ( x0 ) =

lim

Те оре м а (Ролль ). Е слиф у нкция f ( x ) непреры внанаот рез ке [ a ; b ] , им еет в каж дой т очке инт ервала ( a ; b ) производну ю в ш ироком см ы сле иприним ает равны е з начения на концах отрез ка [ a ; b ], т .е. f ( a ) = = f (b) , т о су щ ест ву ет по крайней м ере одна т очка ξ ∈ ( a ; b ) т акая, что f ′ ( ξ ) = 0.

32 Д оказ ат ель ст во. И з вт орой т еорем ы В ейерш трасса следу ет , чт о на от рез ке [a ; b] су щ ест ву ю т точки, в которы х ф у нкция f ( x ) приним ает своё наиболь ш ее и своё наим ень ш ее з начения. П у ст ь m = min f , M = max f . О чевидно, чт о для ∀ x ∈ [a ; b] вы полняет ся [a ; b]

[a ; b]

неравенст во m ≤ f ( x ) ≤ M . В оз м ож ны дваслу чая. Е сли m = M , т о ф у нкция f ( x ) пост оянна на от рез ке [a ; b], f ( x ) = m = M для ∀ x ∈ [a ; b]. В этом слу чае f ′(ξ ) = 0 для ∀ ξ ∈ ( a ; b) , ит еорем адоказ ана. П у сть т еперь m < M . П осколь ку f ( a ) = f ( b), т о х от я бы одно из з начений m или M ф у нкция приним ает во вну т ренней т очке ξ пром еж у т ка [a ; b]. И з т еорем ы Ф ерм а следу ет , что f ′(ξ ) = 0, ит еорем а доказ анаивэт ом слу чае. Г еом етрическая иллю страция т еорем ы Ролля приведенана рис. 4.1 – касат ель ная вточке (ξ ; f (ξ )) параллель наосиO x . y f ′(ξ ) = 0

y = f ( x) x a

ξ

b Рис. 4.1

Те оре м а (Л агранж ). Е слиф у нкция f ( x ) непреры внанаотрез ке [a ; b] ив каж дой точке инт ервала ( a ; b ) им еет производну ю вш ироком см ы сле, т о м еж ду т очкам и a и b найдё т ся т очка ξ т акая, что бу дет вы полнят ь ся равенст во f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ). (4.3 )

33 Д оказ ат ель ство. Зам ет им сначала, что если ф у нкции y1 ( x ) и y2 ( x ) определены в некот орой окрест ност и т очки x0 и y1′ ( x0 ) = ± ∞ , y2′ ( x0 ) = c , c ∈ R , т о ( y1 ± y2 )′ ( x0 ) = ± ∞ . В ведё м т еперь в рассм отрение наотрез ке [a ; b] ф у нкцию f (b) − f (a ) F ( x) = f ( x) − f (a) − ( x − a) b−a и покаж ем , что она у довлет воряет всем у словиям т еорем ы Ролля. Д ейст вит ель но, ф у нкция F ( x ) непреры вна на отрез ке [ a ; b ], им еет в каж дой т очке инт ервала ( a ; b ) производну ю в ш ироком см ы сле, причё м F ( a ) = 0, F ( b ) = 0, т .е. F ( a ) = F ( b ). П оэтом у су щ ест ву ет точка ξ ∈ ( a ; b ) т акая, что F ′ ( ξ ) = 0. Н о т огда

f ′ (ξ ) = ( F ( x ) + f ( a ) +

=

f (b ) − f ( a ) f ( b) − f ( a ) ( x − a ))′ |x = ξ = 0 + = b − a b − a

f (b ) − f ( a ) f (b ) − f ( a ) , т .е. f ′(ξ ) = . b−a b−a

П оэтом у им еет м ест о равенст во f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ) , и т еорем адоказ ана. Г еом ет рическая иллю ст рация т еорем ы приведена на рис. 4.2, на кот ором показ ано, чт о касат ель ная к граф ику ф у нкции y = f ( x ) в т очке (ξ ; f (ξ )) параллель на х орде, прох одящ ей через т очки ( a ; f ( a )) и (b ; f (b )) Ф орм у ла(4.3) наз ы вает ся ф орм у лой конечны х приращ ений Л агранж а. Зам ечание. О т м ет им , чт о ф орм у ла (4.3) верна и в т ом слу чае, когда a > b . Д ействит ель но, в эт ом случае, по у ж е доказ анном у , найдё т ся точка ξ ∈ (b ; a ) т акая, чт о бу дет верно равенст во f ( a) − f (b) = f ′ ( ξ ) ( a − b ) . У м нож ая равенст во (4.4) на - 1, полу чим , что f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ), где т очка ξ нах одится м еж ду точкам иa и b .

(4.4)

34

y

f ′(ξ ) = tg α =

f ( b) − f ( a ) b−a

f (b )

α

f (a )

x a

ξ

b Рис.4.2

ξ −a . b−a Т огда θ ∈ ( 0 ; 1) и ξ = a + θ ( b − a ). П оэтом у ф орм у лу Л агранж а м ож но з аписат ь ввиде f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( a + θ ( b − a ) ) ( b − a ), (4.5) где 0 < θ < 1. Д ля лю бой т очки ξ ∈ ( a ; b ) полож им по определению θ =

Зам ет им , чт о ф орм у ла(4.5) вернаивслу чае, когда a > b . О тм ет им ещ ё , что еслив ф орм у ле (4.5) полож ит ь b − a = ∆ x , a = x , т о полу чим ф орм у лу

f ( x + ∆ x ) − f ( x ) = f ′( x + θ ∆ x ) ∆ x ,

(4.6)

где 0 < θ < 1. Л егко видет ь , чт о данная ф орм у лавернаидля ∆ x < 0. С ле д ств ие 1. Е слиф у нкция f ( x ) непреры вна на отрез ке иво всех его вну т ренних т очках им еет производну ю , равну ю 0, то f ( x ) пост оянна на эт ом от рез ке.

35 Д оказ ат ель ст во. П у ст ь f ( x ) непреры вна на от резке [a ; b] и пу ст ь f ′(ξ ) = 0 для лю бой точки ξ ∈ ( a ; b). Ф иксиру ем произволь ну ю точку x0 ∈ ( a ; b ] и прим еним к су ж ению ф у нкции f ( x ) на от рез ок [a ; x0 ] т еорем у Л агранж а. В силу эт ой т еорем ы найдё т ся точка ξ ∈ ( a ; x0 ) т акая, чт о бу дет верно равенст во f ( x0 ) − f ( a ) = f ′(ξ ) ( x0 − a ).

(4.7)

П осколь ку f ′(ξ ) = 0, т о из (4.7) следу ет , чт о f ( x0 ) = f ( a ). Т аким образ ом , f ( x ) = f ( a ) для ∀ x ∈ [a ; b]. С ле д ств ие 2. П у ст ь ф у нкция f ( x) непреры вна на пром еж у тке X и им еет производну ю в каж дой его вну т ренней т очке. П у ст ь , далее, су щ ест ву ет пост оянная M > 0 т акая, чт о для лю бой вну тренней точки x пром еж у т ка X ` вы полняет ся неравенст во | f ′ ( x )| ≤ M . Т огда ф у нкция f ( x ) равном ерно непреры внанапром еж у т ке X . Д оказ ат ель ст во. Ф иксиру ем произволь ное ε > 0 иполож им δ = ε / M . П у сть x1 и x2 - произволь ны е точки из пром еж у т ка X , x1 ≠ x2 . Т огда, прим енив к су ж ению ф у нкции f ( x ) наотрезок сконцам и x1 и x2 т еорем у Л агранж а, полу чим , чт о м еж ду т очкам и x1 и x2 найдё т ся т очка ξ т акая, чт о будет верно равенст во f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ′(ξ ) ( x2 − x1 ). П оэтом у, если т очки x2 и x1 т аковы , чт о | x2 − x1 | < δ , т о бу дет вы полнят ь ся неравенст во | f ( x2 ) − f ( x1 )| < ε , посколь ку (еслиx1 ≠ x2 )

| f ( x2 ) − f ( x1 )| = | f ′(ξ ) || x2 − x1 | < M ⋅

ε = ε. M

С ле д ств ие 3. П у ст ь ф у нкция f ( x ) непреры внанаот рез ке [ x0 ; x0 + H ], H > 0, и им еет конечну ю производну ю на м нож ест ве ( x0 , x0 + H ]. П у сть , далее, су щ ест ву ет конечны й илиопределё нного з накабесконечны й предел lim f ′ ( x ) = K . Т огдавт очке x0 су щ ест ву ет производная справа x → x0 + 0

и f +′ ( x0 ) = K . Д оказ ат ель ст во. В оз ь м ё м произволь ное ∆ x , 0 < ∆ x < H . И споль з у я ф орм у лу конечны х приращ ений Л агранж а, з апиш ем раз ност ное от нош ение для f +′ ( x0 ) ввиде f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) = f ′( x0 + θ ∆ x ) , где 0 < θ < 1. ∆x

36 Зам ет им , чт о если ∆ x → 0, т о x0 + θ ∆ x → x0 , и, т . к. ∆ x > 0, то x0 + θ ∆ x ≠ x0 . П оэтом у , прим еняя т еорем у о пределе ком поз иции ф у нкций, полу чаем , чт о

lim

∆ x →0

f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) = lim f ′( x0 + θ ∆ x ) = lim f ′(ξ ) = K . ∆ x →0 ξ → x0 ∆x

Т аким образ ом , производная справа ф у нкции f ( x ) в т очке x0 су щ ест ву ет иверно равенст во f +′ ( x0 ) = K . Аналогичное у тверж дение верно и для левой производной f −′ ( x0 ) ф у нкции f ( x ), рассм ат риваем ой наотрезке [ x0 − H , x0 ], H > 0. 1 П рим ер. П у ст ь y = 3 x . Т огда, если x ≠ 0, т о y′( x) = , и, т .к. 3 3 x2 1 1 то y−′ (0) = y+′ ( 0) = + ∞ . П оэт ом у lim = lim = +∞, x →+ 0 x →− 0 3 3 x2 3 3 x2 y ′ (0) = + ∞ . Те оре м а (К ош и) Е слиф у нкции f ( x ) и g ( x ) 1 ) непреры вны наот резке [ a ; b ] ; 2 ) диф ф еренциру ем ы вкаж дой т очке инт ервала ( a ; b ) ивы полняет ся у словие 3 ) g ′ ( x ) ≠ 0 во всех точках x ∈ ( a ; b ), т о су щ ест ву ет т акая т очка ξ ∈ ( a ; b ) , что верноравенст во

f (b) − f (a ) f ′ (ξ ) = . g (b) − g ( a) g ′(ξ ) Д оказ ат ель ст во. Зам ет им сначала, что g (b ) ≠ g ( a ), посколь ку в прот ивном слу чае по т еорем е Ролля наш лась бы т очка η ∈ ( a ; b ) т акая, чт о g ′ (η ) = 0. В ведё м врассм отрение наотрез ке [ a ; b ] ф у нкцию

F ( x ) = f (x ) − f ( a ) −

f (b) − f (a ) ( g ( x ) − g ( a )) g (b) − g (a )

и покаж ем , что она у довлет воряет всем у словиям т еорем ы Ролля. Д ейст вит ель но, ф у нкция F ( x ) непреры вна на от рез ке [ a ; b ], диф ф еренциру ем анаинт ервале ( a ; b ) , причё м

37

F ′( x ) = f ′( x ) −

f (b) − f (a ) g′( x ) , x ∈ ( a ; b ) . g (b) − g (a )

П риэт ом F ( a ) = 0, F ( b ) = 0, т . е. F ( a ) = F ( b ). В силу т еорем ы Ролля су щ ест ву ет точка ξ ∈ ( a ; b ) т акая, чт о вы полняет ся у словие F ′ ( ξ ) = 0, т . е. у словие f (b ) − f ( a ) f ′ (ξ ) − g ′ ( ξ ) = 0, g (b ) − g ( a ) от ку даполу чаем , чт о

f (b) − f ( a) f ′ (ξ ) = . g (b) − g (a ) g ′ (ξ ) Т еорем адоказ ана. § 5 . Раск ры тие не опре д е лё нносте й по прав илуЛопиталя Раск ры тие не опре д е лё нностив ид а

Бу дем говорить , чт о част ное двух ф у нкций

0 0

f ( x) , определё нное в g ( x)

0

некоторой проколот ой окрест ност и U ( a ) точки a , предст авляет собой 0 неопределё нност ь вида , если 0 lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0. x →a

x→a

Раскры т ь эт у неопределё нност ь это з начит вы числит ь предел f ( x) lim (еслион, конечно, су щ ест ву ет ). x →a g ( x) 0 Аналогично вводит ся понят ие неопределё нност и вида при 0 x → a + 0 ( x → a − 0) , при x → + ∞ ( x → − ∞) , ат акж е приx → ∞ . С праведливо следу ю щ ее у т верж дение. Те оре м а 1. П у сть 1) ф у нкции f ( x ) иg ( x ) определены в пром еж у т ке ( a ; b], a ∈ R , b ∈ R ;

38 2) вы полняю т ся у словия lim f ( x ) = 0, lim g ( x ) = 0; x →a

x →a

3) в пром еж у тке ( a ; b] су щ ест ву ю т конечны е производны е f ′( x ) и g ′( x ) , причё м g ′( x ) ≠ 0 для лю бого x ∈ ( a ; b]; f ′( x ) 4) су щ ест ву ет (конечны й илинет ) предел lim = K. x → a g ′( x ) f ( x) Т огдавт очке a су щ еству ет предел иу част ного , причё м g ( x) f ( x) lim = K. x →a g ( x) Д оказ ат ель ст во. Д оопределим ф у нкции f ( x ) и g ( x ) в т очке a , полагая f ( a ) = 0, g ( a ) = 0. Т огда ф у нкции f ( x ) и g ( x ), определё нны е у ж е на от рез ке [a ; b], бу ду т непреры вны на этом отрезке. Зам ет им , что для ∀ x ∈ ( a ; b] вы полнено у словие g ( x ) ≠ 0, посколь ку , еслипредполож ит ь , чт о g ( x0 ) = 0 в некот орой т очке x0 ∈ ( a ; b], т о по т еорем е Ролля полу чим , что найдё тся точка η ∈ ( a ; x0 ) т акая, что g ′(η ) = 0, чего бы т ь не м ож ет. И т ак, g ( x ) = 0 т оль ко при x = a . Ф иксиру ем произволь ну ю f ( x) т очку x ∈ ( a ; b] из апиш ем част ное ввиде g ( x)

f ( x) f ( x ) − f (a ) = . g ( x) g ( x ) − g (a ) К ф у нкциям f ( x ) и g ( x ) , рассм ат риваем ы м на отрез ке [a ; x ], прим еним т еорем у К ош и. В силу этой т еорем ы на инт ервале ( a ; x ) найдё т ся точкаξ = ξ ( x ) т акая, чт о бу дет верноравенст во

f ( x ) − f (a ) f ′(ξ ) = , g ( x ) − g (a ) g ′(ξ ) т .е. равенст во

f ( x) f ′(ξ ) = . g ( x) g ′(ξ )

(5.1)

Зам ет им , что если x → a , т о и ξ → a , причё м ξ ≠ a для ∀ x ∈ ( a ; b ]. П оэт ом у по т еорем е о пределе ком поз ицииполу чаем , что

lim x →a

f ′(ξ ) f ′(ξ ) = lim = K. ξ → a g ′(ξ ) g ′(ξ )

39 И з соот нош ения (5.1) теперь следу ет , чт о част ное

x → a , причё м lim x →a

f ( x) им еет предел при g ( x)

f ( x) = K. g ( x)

Т еорем адоказ ана. Аналогичная т еорем а справедлива и в т ом слу чае, когда част ное ф у нкций f ( x ) / g ( x ) рассм ат ривает ся напром еж у тке [α ; a ), α , a ∈ R , или 0

в проколотой окрест ност иU ( a ) т очкиa . Т еорем а легко распрост раняет ся и на тот случай, когда a = ± ∞ , или a = ∞ . Рассм от рим , наприм ер, слу чай, когда a = + ∞ . С праведливо следу ю щ ее у т верж дение. Те оре м а 2. П у ст ь 1) ф у нкции f ( x ) иg ( x ) определены напром еж у т ке [c ; + ∞); 2) вы полняю т ся у словия lim f ( x ) = 0, lim g ( x ) = 0; x→+∞

x→+∞

3) в пром еж у т ке [c ; + ∞ ) су щ ест ву ю т конечны е производны е f ′( x ) и g ′( x ) , причё м g ′( x ) ≠ 0 для лю бого x ∈ [ c ; + ∞ ); f ′( x ) = K. 4) су щ ест ву ет (конечны й илинет ) предел lim x →+ ∞ g ′( x ) f ( x) , Т огда при x → + ∞ су щ ест ву ет предел и у част ного g ( x) причё м f ( x) lim = K. x →+ ∞ g ( x ) Д оказ ат ель ст во. Н е ограничивая общ ност и, бу дем счит ат ь , что c > 0. 1 1 1 ирассм от рим ф у нкции f 1 (t ) = f ( ) , g 1 (t ) = g ( ), П олож им x = t t t 1 t ∈ (0 ; ]. П о т еорем е о пределе ком поз ицииполучаем , чт о c 1 f ′( ) t = lim f ′( x) = K . lim t →+ 0 x → + ∞ g ′( x ) 1 g ′( ) t П рим еним к ф у нкциям f 1 (t ) и g 1 (t ) т еорем у 1. П осколь ку

40

1 1 1 f ′( ′ f ( ) ( ) ⋅ − f 1′(t ) t) t t 2 = lim lim = lim = K, t →+ 0 g ′ ( t ) t →+ 0 t →+ 0 1 1 1 1 ′ ′ g ( ) ⋅(− 2 ) g( ) t t t т ои

lim

t →+ 0

f 1 (t ) g 1 (t )

= K.

Зам ет им , чт о

1 f( ) f ( x) t = f 1 (t ) , = 1 g ( x) g 1 (t ) g( ) t

(5.2)

1 . П ри x → + ∞ t → + 0, причё м t ≠ 0 для ∀ x ∈ [c ; + ∞ ). П о x т еорем е о пределе ком поз ицииполу чаем , что где t =

lim

f 1 (t )

x →+ ∞

g 1 (t )

= lim

t → +0

f 1 (t ) g 1 (t )

= K.

И з соот нош ения (5.2) т еперь следу ет , чт о lim

x →+ ∞

f ( x) = K. g ( x)

Т еорем адоказ ана. П риведё м прим ер исполь з ования т еорем ы 1.

tg x − x . И м еем x − sin x

П рим ер 1. В ы числим предел lim x →0

tg x − x cos − 2 x − 1 1 − cos 2 x 1 + cos x lim = lim = lim = lim = 2 x → 0 x − sin x x→0 x 0 x 0 → → 1 − cos x cos x (1 − cos x ) cos 2 x =

lim (1 + cos x ) x →0

2

lim cos x x →0

=

2 = 2. 1

41 Раск ры тие не опре д е лё нностив ид а

Бу дем говорить , чт о част ное двух ф у нкций

∞ ∞

f ( x) , определё нное в g ( x)

0

некоторой проколот ой окрест ност и U ( a ) точки a , предст авляет собой ∞ неопределё нност ь вида , если ∞ lim f ( x ) = ∞ , lim g ( x ) = ∞ . x →a

x →a

∞ при ∞ x → a + 0 ( x → a − 0) , при x → + ∞ ( x → − ∞) , ат акж е приx → ∞ . Аналогично вводится

понят ие неопределё нност и вида

С праведливо следу ю щ ее у т верж дение. Те оре м а 3. П у сть 1) ф у нкции f ( x ) иg ( x ) определены в пром еж у т ке ( a ; b], a ∈ R , b ∈ R ; 2) вы полняю т ся у словия lim f ( x ) = ∞ , lim g ( x ) = ∞ ; x →a

x →a

3) в пром еж у тке ( a ; b] су щ ест ву ю т конечны е производны е f ′( x ) и g ′( x ) , причё м g ′( x ) ≠ 0 для лю бого x ∈ ( a ; b]; f ′( x ) 4) су щ ест ву ет (конечны й илинет ) предел lim = K. x → a g ′( x ) f ( x) , причё м Т огдавт очке a су щ еству ет предел иу част ного g ( x) f ( x) lim = K. x →a g ( x) Д анное у тверж дение прим ем без доказ ат ель ст ва. Зам ет им лиш ь , что аналогичная т еорем а справедлива ив том слу чае, когда част ное ф у нкций f ( x ) / g ( x ) рассм атривает ся на пром еж у т ке вида [α ; a ), α , a ∈ R , или в 0

проколот ой окрест ност иU ( a ) т очкиa . Т еорем араспространяет ся инат от слу чай, когда a = ± ∞ , илиa = ∞ . Зам ечание. Мож но показ ат ь , чт о в т еорем ах 1 – 3 из у словий 1,2,3 следу ет , что если K − бесконечность , то K = ± ∞ , т.е. эт абесконечност ь з накоопределё нна.

42 П риведё м прим ер раскры т ия неопределё нност ивида П рим ер 2. В ы числить предел lim

x →+ ∞

∞ . ∞

ln x , где µ > 0. И м еем xµ

1 ln x 1 x lim = lim = lim = 0. µ µ − 1 x →+ ∞ x x→+∞ µ x x →+ ∞ µ x µ 0 ∞ и часто встречаю т ся 0 ∞ неопределё нност ивидов 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 1 ∞ , 0 0 , ∞ 0 . Н еопределё нност и0⋅ ∞ и ∞ − ∞ всегда сводят ся к у ж е изу ченны м с пом ощ ь ю алгебраических преобразований. Рассм от рим , наприм ер, неопределё нность вида 0 ⋅ ∞ . П у сть при x → a f ( x ) → 0, g ( x ) → ∞ . Запиш ем произведение ф у нкций f ( x ) g ( x ) ввиде К ром е рассм от ренны х неопределё нност ей

f ( x) g ( x) =

f ( x) . 1 g ( x)

(5.3)

П равая часть равенст ва (5.3) предст авляет собой у ж е неопределё нност ь 0 вида . 0 П ри рассм отрении неопределё нны х вы раж ений видов 1 ∞ , 0 0 , ∞ 0 реком енду ет ся предваритель но прологариф м ироват ь их .

§ 6. Форм ула Те й лора Форм ула Те й лора д ля м ногочле на Рассм отрим м ногочлен ст епени n вида

p ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x3 + ... + an x n . П олу чим некоторы е вы раж ения для его коэф ф ициент ов. Д ля этого вы числим производны е м ногочлена p ( x ). И м еем

p′ ( x ) = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x 2 + ... + n an x n −1 ,

43

p′′ ( x) = 1⋅ 2 ⋅ a2 + 2 ⋅3⋅ a3 x + ... + ( n −1) n an x n − 2 , p′′′ ( x ) = 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ a3 + ... + ( n − 2) (n −1) n an x n − 3 , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ p ( n ) ( x ) = 1⋅ 2 ⋅3⋅ ...⋅ n an . П олагая вэт их ф орм у лах x = 0 , полу чим , чт о

a0 = p (0), a1 =

p′ (0) p′′ (0) p′′′ (0) p ( n ) (0) , a2 = , a3 = , ... , an = , 1! 2! 3! n!

p ( k ) (0) , k = 0, 1, 2, 3, ... , n . т . е. ak = k! Раз лож им т еперь м ногочлен p ( x ) по степеням x − x0 , x0 − произволь ное ф иксированное число, т. е. предст авим его ввиде

где

p ( x) = b0 + b1 ( x − x0 ) + b2 ( x − x0 ) 2 + b3 ( x − x0 )3 + ... + bn ( x − x0 ) n . О дноврем енно докаж ем воз м ож ност ь т акого раз лож ения. В ведё м нову ю перем енну ю ξ = x − x0 , т ак что x = ξ + x0 , ипотом у p ( x ) = p (ξ + x0 ) = P (ξ ). П у ст ь P (ξ ) им еет вид

P (ξ ) = A0 + A1 ξ + A2 ξ 2 + A3 ξ 3 + ... + An ξ n . Т огда, по у ж е доказ анном у

Ak =

P( k ) (0) , k = 0, 1, 2, 3, ... , n . k!

В ы полняя диф ф еренцирования, получаем

P′ (ξ ) = ( p (ξ + x0 ))′ = p′ (ξ + x0 ) , P′′ (ξ ) = ( p′ (ξ + x0 ))′ = p′′ (ξ + x0 ) , P′′′ (ξ ) = ( p′′ (ξ + x0 ))′ = p′′′ (ξ + x0 ) , ... , P ( n ) (ξ ) = ( p ( n −1) (ξ + x0 ))′ = = p( n ) (ξ + x0 ).

44 П оэтом у P ( k ) (0) = p ( k ) ( x0 ) , k = 0,1, 2, 3,..., n . Т аким образ ом , Ak =

p ( k ) ( x0 ) , k = 0, 1, 2, 3, ... , n и, следоват ель но, справедливоравенст во = k! p′( x0 ) p′′ ( x0 ) p′′′ ( x0 ) p ( x ) = p ( x0 ) + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 + ( x − x0 )3 + ... + 1! 2! 3! p ( n ) ( x0 ) + ( x − x0 )n . n! Я сно, чт о раз лож ение м ногочлена p ( x ) по ст епеням x − x0 единст венно (полу чены явны е вы раж ения для коэф ф ициент ов). П оследняя ф орм у ланаз ы вает ся ф орм у лой Т ейлорадля м ногочленов. Част ны й слу чай ф орм у лы , когда x0 = 0, наз ы вает ся ф орм у лой Маклорена. И з доказ анного следу ет , чт о еслим ногочлен p ( x ) им еет вид

p ( x) = c0 +

c1 c c c ( x − x0 ) + 2 ( x − x0 ) 2 + 3 ( x − x0 )3 + ... + n ( x − x0 ) n , n! 1! 2! 3!

то снеобх одим ость ю

ck = p ( k ) ( x0 ) , k = 0, 1, 2, 3, ..., n .

Форм ула Те й лора д ля произ в ольной ф унк ции П у сть ф у нкция f ( x ) определена на пром еж у т ке X , т очка x0 ∈ X , и пу ст ь ф у нкция f ( x ) n раз диф ф еренциру ем а в точке x0 . С ост авим м ногочлен вида

Pn ( x) = f ( x0 ) +

f ′( x0 ) f ′′( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 + ... + ( x − x0 ) n . 1! 2! n!

В силу у ж е доказ анного справедливы равенст ва

Pn( k ) ( x0 ) = f ( k ) ( x0 ), k = 0,1, ... , n .

(6.1)

В ведё м т еперь врассм отрение ф у нкцию

rn ( x ) = f ( x ) − Pn ( x )

(6.2)

45 т ак, что

f ( x ) = Pn ( x ) + rn ( x ).

И з соот нош ений (6.1) следу ет , чт о rn( k ) ( x0 ) = 0, k = 0,1,... , n , но, вообщ е говоря, rn ( x ) ≠ 0. Д ля полу чения оценки для rn ( x ) налож им на ф у нкцию f ( x ) более ж ё ст кие ограничения. И м енно, будем предполагать , чт о ф у нкция f ( x ) n +1 раз диф ф еренциру ем авкаж дой т очке пром еж у тка X . Ф иксиру ем произволь ну ю точку x ∈ X , x ≠ x0 , и пу ст ь , для определё нност и, x > x0 . Зам ет им , чт о ф у нкция rn ( x ) им еет вид

rn ( x ) = f ( x ) − f ( x0 ) −

f ′( x0 ) f ′′( x0 ) ( x − x0 ) − ( x − x0 ) 2 − ... − 1! 2!

f ( n ) ( x0 ) − ( x − x0 ) n . n! Рассм отрим наотрезке [ x0 ; x ] ф у нкцию ϕ ( z ) вида

f ′( z ) f ′′( z ) f (n) ( z) 2 ϕ ( z) = f ( x) − f ( z) − ( x − z) − ( x − z ) − ... − ( x − z )n . 1! 2! n! Д анная ф у нкция им еет конечну ю производну ю в каж дой т очке отрез ка [ x0 ; x ] и потом у непреры вна на эт ом от рез ке, причё м ϕ ( x ) = 0, ϕ ( x0 ) = rn ( x ). Н айдё м производну ю ф у нкцииϕ ( z ):

 f ′′( z )  f ′( z )   f ′′′( z ) f ′′( z ) 2 ϕ ′( z ) = − f ′( z ) −  ( x − z) − − ( x − z ) − ( x − z)  −   1!   2! 1!  1!   f ( n +1) ( z )  f (n) ( z) f ( n +1) ( z ) − ... −  ( x − z )n − ( x − z ) n −1  = − ( x − z )n . n! ( n − 1)! n!   Рассм отрим произволь ну ю ф у нкцию φ ( z ) , непреры вну ю на отрез ке [ x0 ; x ], диф ф еренциру ем у ю на инт ервале ( x0 ; x ) и т аку ю , что φ ′( z ) ≠ 0 для ∀ z ∈ ( x0 ; x ). П рим енив к ф у нкциям ϕ ( z ) иφ ( z ) , рассм атриваем ы м на от рез ке [ x0 ; x ], теорем у Кош и, полу чим , что

46

ϕ ( x0 ) − ϕ ( x ) ϕ ′(ξ ) = , φ ( x0 ) − φ ( x ) φ ′(ξ )

(6.3)

где ξ = x0 + θ ( x − x0 ) , θ ∈ (0; 1). П одст авляя в ф орм у лу (6.3) вы раж ение для ϕ ′(ξ ), полу чим соот нош ение

rn ( x ) 1 f ( n +1) (ξ ) = − ( x − ξ )n , n! φ ( x0 ) − φ ( x ) φ ′(ξ ) из кот орого следу ет , чт о

rn ( x ) = −

φ ( x0 ) − φ ( x ) f ( n +1) (ξ ) ( x − ξ )n . φ ′(ξ ) n!

(6.4)

В ы бирая т еперь раз личны е ф у нкцииφ ( z ) , полу чим для ф у нкции rn ( x ) раз личны е вы раж ения. 1) П у ст ь сначала φ ( z ) = ( x − z ) n +1 . Т огда φ ( x0 ) = ( x − x0 ) n +1 , φ ( x ) = 0, φ′( z ) = − ( n + 1) ( x − z ) n . В эт ом слу чае из равенст ва(6.4) полу чаем , чт о

rn ( x ) =

( x − x0 ) n +1 f ( n +1) (ξ ) f ( n +1) (ξ ) n ( x − ξ ) = ( x − x0 ) n +1 , n ( n + 1) ( x − ξ ) n! ( n + 1)!

т .е.

f ( n +1) (ξ ) rn ( x ) = ( x − x0 ) n +1 , ( n + 1)! где ξ = x0 + θ ( x − x0 ), θ ∈ (0; 1). Т аким образ ом , справедливаф орм у ла

f ( x ) = Pn ( x ) + rn ( x ) = f ( x0 ) +

f ′( x0 ) f ′′( x0 ) ( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 + ... + 1! 2!

f ( n ) ( x0 ) f ( n +1) (ξ ) n + ( x − x0 ) + ( x − x 0 ) n +1 , ( n + 1)! n!

(6.5)

где ξ = x0 + θ ( x − x0 ), θ ∈ (0; 1). Л егко видет ь , чт о полу ченная ф орм у ла справедливаивслу чае x < x0 .

47 Ф орм у ла (6.5) наз ы вает ся ф орм у лой Т ейлора для ф у нкции f ( x ) с дополнит ель ны м членом в ф орм е Л агранж а. В част ном слу чае, когда x0 = 0, ф орм у лу (6.5) наз ы ваю т ф орм у лой Маклорена. Многочлен Pn ( x ) наз ы вает ся м ногочленом Т ейлорапорядка n ф у нкции f ( x ). Е сливвест иобоз начение ∆ x = x − x0 , т о полу ченну ю ф орм у лу м ож но з аписат ь ввиде f ′′( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) = f ′( x0 ) ∆ x + ∆ x 2 + ... + ∆ xn + n! 2! ( n + 1) f (ξ ) (6.6) + ∆ x n +1 . (n + 1)! П олож ив в соот нош ении (6.6) n = 0, полу чим ф орм у лу конечны х приращ ений Л агранж а f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) = f ′(ξ ) ( x − x0 ), ξ = x0 + θ ( x − x0 ), θ ∈ (0; 1). 2) П у ст ь т еперь φ ( z ) = x − z . Т огда φ ( x0 ) = x − x0 , φ ( x ) = 0, φ′( z ) = − 1. И з ф орм у лы (6.4) т еперь полу чаем , чт о

f ( n +1) (ξ ) rn ( x ) = ( x − x0 ) ( x − ξ )n , n! где ξ = x0 + θ ( x − x0 ), 0 < θ < 1. В ы полним преобраз ование

( x − ξ ) n = ( x − x0 − θ ( x − x0 ))n = (( x − x0 ) (1 − θ ))n = (1 − θ ) n ( x − x0 ) n . Т огда rn ( x ) з апиш ет ся в виде

f ( n +1) ( x0 + θ ( x − x0 )) rn ( x ) = ( x − x0 ) (1 − θ ) n ( x − x0 ) n = n! =

f ( n +1) ( x0 + θ ( x − x0 )) (1 − θ ) n ( x − x0 ) n +1 , 0 < θ < 1. n!

Ф у нкция rn ( x ) , з аписанная в т аком виде, наз ы вает ся дополнит ель ны м членом ф орм у лы Т ейлоравф орм е К ош и.

48 П олу чим ещ ё одно вы раж ение для ф у нкцииrn ( x ). П редполож им , чт о ф у нкция f ( x ) n раз диф ф еренциру ем а в некот орой окрест ност иU ( x0 ) т очкиx0 ичт о f ( n ) ( x ) непреры внавт очке x0 . Зам еняя вф орм у ле (6.5) n на n − 1, полу чим соот нош ение

f ′( x0 ) f ′′( x0 ) f ( n −1) ( x0 ) 2 f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) + ... + ( x − x0 ) n −1 + 1! 2! ( n − 1)! f ( n ) (ξ ) + ( x − x0 ) n , n!

(6.7)

где ξ = x0 + θ ( x − x0 ), 0 < θ < 1. Зам ет им , чт о если x → x0 , т о иξ → x0 . В силу непреры вност и f ( n ) ( x ) вт очке x0 полу чаем , чт о

lim f ( n ) (ξ ) = f ( n ) ( x0 ).

x → x0

П у ст ь 0 f ( n ) (ξ ) f ( n ) ( x0 ) α ( x) = − , x ∈ U ( x0 ). n! n!

П осколь ку

f ( n ) ( x0 ) f ( n ) (ξ ) = + α ( x) n! n! и α ( x ) ( x − x0 ) n = o( ( x − x0 ) n ) в силу т ого, что α ( x ) → 0 при x → x0 , т о, подст авляя в ф орм у лу соот нош ение

f ( x ) = f ( x0 ) +

(6.7) вы раж ение для

f ( n ) (ξ ) / n !,

полу чим

f ′( x0 ) f ′′( x0 ) f ( n −1) ( x0 ) ( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 + ... + ( x − x0 ) n −1 + 1! 2! ( n − 1)! f ( n ) ( x0 ) + ( x − x0 ) n + o( ( x − x0 ) n ), x → x0 . n!

(6.8)

Т аким образ ом , в рассм ат риваем ом слу чае rn ( x ) = o( ( x − x0 )n ). Д анная ф орм а дополнит ель ного члена наз ы вает ся ф орм ой П еано, а сам а ф орм у ла (6.8) наз ы вает ся ф орм у лой Т ейлора с дополнит ель ны м членом в ф орм е П еано.

49 Зам ечание. Ф орм у ла (6.8) справедлива для лю бой n раз диф ф еренциру ем ой в т очке x0 ф у нкции f ( x ). Более ж ё ст кие ограничения на f ( x ) бы линалож ены , чтобы у прост ит ь вы вод ф орм у лы . П олагая ∆ x = x − x0 , ф орм у лу (6.8) м ож но з аписат ь ввиде

∆f ( x0 ) = f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) = f ′( x0 ) ∆ x +

f ′′( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ∆ x 2 + ... + ∆ xn + 2! n!

+ o( ∆ x n ), ∆ x → 0. Е сливэтом вы раж енииполож ит ь n = 1, то полу чим ф орм у лу ∆ f ( x0 ) = f ′( x0 ) ∆ x + o( ∆ x ), ∆ x → 0, справедливу ю для лю бой диф ф еренцируем ой вт очке x0 ф у нкции. Ед инств е нность м ногочле на Те й лора С праведливо следу ю щ ее у т верж дение. Те оре м а. Е сли ф у нкция f ( x ) определена в окрест ност и т очки x0 и справедливо предст авление

f ( x) =

n

∑a k =0

k

( x − x0 )k + o ( ( x − x0 ) n ) , x → x0 ,

(6.9)

т о т акое предст авление единст венно. Д оказ ат ель ст во. предст авление

f ( x) =

П редполож им

прот ивное,

n

∑b (x − x ) k

k =0

0

k

т .е.

что су щ ест ву ет

+ o ( ( x − x0 ) n ), x → x0 ,

(6.10)

причё м bk ≠ ak х от я бы для одного з начения индекса k . В водя обоз начеия ck = ak − bk , k = 0, 1,..., n и вы чит ая из равенст ва (6.9) равенст во (6.10), полу чим соот нош ение

0 =

n

∑c k =0

k

( x − x0 ) k + o ( ( x − x0 ) n ) , x → x0 .

(6.11)

П ерех одя вравенст ве (6.11) к пределу приx → x0 , полу чим соот нош ение

50

0 = c0 + 0, из которого следу ет, чт о c0 = 0. П оэтом у равенст во (6.11) м ож но з аписат ь ввиде 0 =

n

∑c k =1

k

( x − x0 ) k + o ( ( x − x0 ) n ) , x → x0 .

(6.12)

o( ( x − x0 ) n ) , x ≠ x0 , n ≥ 0. ( x − x0 ) n О чевидно, чт о lim α ( x ) = 0 ичт о o( ( x − x0 ) n ) = α ( x ) ( x − x0 ) n . П оэтом у ,

В ведё м

в рассм отрение ф у нкцию

α ( x) =

x → x0

еслиn ≥ 1, т о

α ( x ) ( x − x0 ) n o( ( x − x0 ) n ) = = α ( x ) ( x − x0 ) n −1 = o( ( x − x0 ) n −1 ). x − x0 x − x0 С чит ая, что n ≥ 1, раз делим равенство (6.12) на x − x0 . В рез у ль т ат е полу чим соот нош ение

0 =

n

∑c k =1

k

( x − x0 ) k −1 + o ( ( x − x0 )n −1 ) , x → x0 .

П ерех одя в эт ом равенст ве к пределу при x → x0 , полу чим , чт о c1 = 0. П родолж ая эт от процесс, полу чим , чт о c2 = ... = cn = 0, т . е. все коэф ф ициент ы ck равны 0. Т аким образ ом , bk = ak , k = 0, 1, ... , n . П олу ченное прот иворечие показ ы вает , что сделанное предполож ение неверно, ипотом у предст авление вида(6.9) единст венно. Т еорем адоказ ана. И з доказ анной т еорем ы следу ет , что еслидля n раз диф ф еренциру ем ой в т очке x0 ф у нкции f ( x ) полу чено предст авление вида (6.9), то это предст авление являет ся её раз лож ением по ф орм у ле Т ейлора. Раз лож е ние по ф орм уле Те й лора не к оторы хэле м е нтарны хф унк ций П олагая вф орм у ле Т ейлора x0 = 0, з апиш ем её ввиде

f ′(0) f ′′(0) 2 f ( n ) (0) n f ( x ) = f (0) + x + x + ... + x + o( x n ), x → 0. 1! 2! n! 1) П у сть f ( x ) = e x . Т огда f (0) = 1, f ( k ) ( x ) = e x , f ( k ) (0) = 1, k = 1,2, ... . Ф иксиру я произволь ное n ∈ N , полу чаем раз лож ение

51

x2 xn e =1 + x + + ... + + o( x n ), x → 0, n! 2! x

кот орое м ож но з аписат ь ввиде

xk e = ∑ + o( x n ) , x → 0. k =0 k ! n

x

2) П у сть f ( x ) = sin x . Т огда f (0) = 0, f ( l ) ( x ) = sin ( x +

π l ) , f ( l ) (0) = 2

π l , l = 1,2,.... . П оэт ом у , еслиl = 2 k , k ≥ 1, т о f (2 k ) (0) = sin π k = 0; 2 еслиж е l = 2 k − 1, k ≥ 1, т о π f (2 k − 1) (0) = sin (π k − ) = − cos π k = ( − 1) ( − 1)k = ( − 1)k +1 = (− 1)k −1 . 2 Т аким образ ом , в раз лож ении по ф орм у ле Т ейлора ф у нкции sin x бу ду т прису т ствоват ь толь ко слагаем ы е, в кот оры х ф игуриру ю т производны е нечё т ного порядка, иэт ислагаем ы е им ею т вид = sin

( − 1)

k −1

x 2 k −1 . (2 k − 1)!

П олагая т еперь n = 2m , m ∈ N , полу чаем соот нош ение

x3 x5 x7 x 2 m −1 m −1 + − + ... + ( − 1) + o( x 2 m ) , x → 0, sin x = x − 3! 5! 7! (2 m − 1)! кот орое м ож но з аписат ь ввиде

sin x =

m

∑ (− 1) k =1

k −1

x 2 k −1 + o( x 2 m ) , x → 0. (2 k − 1)!

3) П у сть f ( x ) = cos x . Т огда f (0) = 1, f ( l ) ( x ) = cos ( x +

π l ), f ( l ) (0) = 2

π l , l = 1,2,... . П оэт ом у , еслиl = 2 k , k ≥ 1, т о f (2 k ) (0) = cos π k = 2 π = ( − 1) k ; еслиж е l = 2 k − 1, k ≥ 1, т о f (2 k −1) (0) = cos (π k − ) = 0. Т аким 2 образ ом , в раз лож ениипо ф орм у ле Т ейлора ф у нкции cos x прису т ст ву ю т = cos

52 т оль ко слагаем ы е, в которы х ф игурирую т производны е чё т ного порядка, кот оры е им ею т вид x 2k ( − 1) k . (2 k )! П олагая n = 2 m + 1, m ∈ N ∪ {0}, полу чаем соот нош ение

x2 x4 x6 x2m m + − + ... + ( − 1) + o( x 2 m +1 ) , x → 0, cos x = 1 − 2! 4! 6! (2 m )! кот орое м ож но з аписат ь ввиде

x2k cos x = ∑ ( − 1) + o( x 2 m +1 ) , x → 0. (2 k )! k =0 m

k

f ( x ) = (1 + x ) m , m ≠ 0, m ∉ N . Т огда f (0) = 1, f ( k ) ( x ) = = m ( m − 1)...( m − k + 1) (1 + x ) m − k , f ( k ) (0) = m ( m − 1)...( m − k + 1) , k ∈ N . П оэт ом у , ф иксиру я произволь ное n ∈ N , полу чаем раз лож ение 4) П у сть

(1 + x ) m = 1 + m x +

m ( m − 1) 2 m ( m − 1)...( m − n + 1) n x + ... + x + o( x n ) , 2! n! x → 0.

( k − 1)! , (1 + x ) k f ( k ) (0) = ( − 1) k −1 ( k − 1)! , k ∈ N . Ф иксиру я произволь ное n ∈ N , полу чаем раз лож ение 5) П у сть f ( x ) = ln (1 + x ). Т огда f (0) = 0, f ( k ) ( x ) = ( − 1) k −1

ln (1 + x ) = x −

x2 x3 x4 xn + − + ... + ( −1) n −1 + o( x n ) , 2 3 4 n

x → 0. П риведё м прим ер исполь з ования полу ченны х раз лож ений.

sin x − x x3 . П осколь ку sin x = x − + П рим ер. В ы числить предел lim x →0 x3 3!

53

+ o ( x 4 ), т о x3 x3 x− + o( x 4 ) − x − + o( x 4 ) sin x − x 1 3! lim = lim = lim 6 3 = lim (− + 3 3 x →0 x →0 x →0 x x x 6 x→0 +

o( x 4 ) 1 )=− . 3 x 6 П риб лиж ё нны е ф орм улы П олож им , для прост от ы , вф орм у ле (6.5) x0 = 0, из апиш ем её ввиде

f ′(0) f ′′(0) 2 f ( n ) (0) n f ( n +1) (θ x ) n +1 f ( x ) = f (0) + x+ x + ... + x + x , (6.13) 1! 2! n! ( n + 1)! где 0 < θ < 1. Е слив ф орм у ле (6.13) от бросить дополнит ель ны й член, то полу чим приближ ё нное равенст во

f ( x ) ≈ f (0) +

f ′(0) f ′′(0) 2 f ( n ) (0) n x + x + ... + x , т .е. f ( x ) ≈ Pn ( x ). n! 1! 2!

В некоторы х случаях , ф иксиру я пром еж у ток X , з а счё т вы бора дост аточно боль ш ого n у даё т ся сделат ь раз ност ь f ( x ) − Pn ( x ) сколь у годно м алой по абсолю т ной величине сраз у для всех т очек этого пром еж у т ка. П ерейдё м к конкрет ны м прим ерам . 1) П у сть f ( x ) = e x . Т огдаим еет м ест оравенст во

x2 xn e =1 + x + + ... + + rn ( x ) , n ∈ N , 2! n! eθ x где rn ( x ) = x n +1 , 0 < θ < 1. Д ля дополнит ель ного члена rn ( x ) ( n + 1)! справедливаоценка x

e|θ x | e|x| n +1 | rn ( x )| ≤ |x| ≤ | x |n +1 . ( n + 1)! ( n + 1)! Ф иксиру ем произволь ное число H > 0. Т огда для лю бого x ∈ [ − H ; H ] бу дет верно неравенст во

54

| rn ( x ) | ≤ e

H

H n +1 . ( n + 1)!

П равая част ь данного неравенства ст рем ит ся к ну лю приn → ∞ . П оэтом у для лю бого ε > 0 найдё т ся n ∈ N т акое, чт о бу дет вы полнят ь ся неравенст во H n +1 H e < ε. ( n + 1)! Т огдаприданном n сраз у для всех x из пром еж у тка [ − H ; H ] бу дет верно неравенст во | rn ( x ) | < ε . 2) П у сть f ( x ) = sin x . Т огдаим еет м ест оравенст во

x3 x5 x7 x 2 m −1 m −1 sin x = x − + − + ... + ( − 1) + r2 m ( x ) , m ∈ N , 3! 5! 7! (2 m − 1)! где π sin (θ x + (2m + 1)) ( 2 m + 1) f (θ x ) 2 m +1 2 r2 m ( x ) = x x 2 m +1 , 0 < θ < 1. = (2m + 1)! (2m + 1)! П оэт ом у для ост атка r2 m ( x ) справедливаоценка

| r2 m ( x ) | ≤

| x |2 m +1 . (2m + 1)!

Ф иксиру ем произволь ное H > 0. Т огда для лю бого x ∈ [ − H ; H ] бу дет верно неравенство H 2 m +1 | r2 m ( x ) | ≤ . (2m + 1)!

H 2 m +1 П осколь ку → 0 при m → ∞ , т о для лю бого ε > 0 найдё т ся (2m + 1)! H 2 m +1 m ∈ N т акое, чт о бу дет вы полнят ь ся у словие < ε . Т огда при (2m + 1)! данном m сраз у для всех x из пром еж у т ка [ − H ; H ] бу дет верно неравенст во | r2 m ( x ) | < ε .

55 3) П у сть f ( x ) = cos x . Т огдаим еет м ест о равенст во

x2 x4 x6 x 2m m + − + ... + ( − 1) + r2 m +1 ( x) , m ∈ N , cos x = 1 − 2! 4! 6! (2 m)! где

r2 m +1 ( x ) =

( 2 m + 2)

f (θ x ) 2 m +2 x = (2m + 2)!

π (2m + 2)) 2 x 2 m + 2 , 0 < θ < 1. (2m + 2)!

cos (θ x +

О чевидно, что

| x |2 m + 2 | r2 m+1 ( x ) | ≤ . (2m + 2)! П оэт ом у для лю бого x вы полнять ся неравенст во

из от рез ка вида [ − H ; H ], H > 0,

бу дет

H 2m + 2 | r2 m+1 ( x ) | ≤ . (2m + 2)! Рассу ж дая т ак ж е, как иприрассм от ренииф у нкции f ( x ) = sin x , полу чим , чт о для лю бого ε > 0 найдё т ся m ∈ N т акое, что сраз у для всех x из пром еж у т ка [ − H ; H ] бу дет верно неравенство

| r2 m +1 ( x ) | < ε . § 7. Иссле д ов ание ф унк ций . К рите рий м онотонностиф унк ции. Лок альны е эк стре м ум ы ф унк ции. Н ахож д е ние наим е ньш е го и наиб ольш е го з наче ний ф унк ции С праведливо следую щ ее диф ф еренциру ем ой ф у нкции).

ут верж дение

(крит ерий

м онот онност и

Те оре м а. П у ст ь ф у нкция f ( x ) определенаинепреры внанапром еж у т ке X и вну т ри него (т .е. в каж дой его внут ренней точке) им еет конечну ю производну ю f ′( x ). Д ля того чт обы ф у нкция f ( x ) бы ла воз раст аю щ ей (у бы ваю щ ей) на пром еж у т ке X , необх одим о идост ат очно, чтобы вну т ри X вы полнялось у словие f ′( x ) ≥ 0 ( f ′( x ) ≤ 0). Д оказ ат ель ст во

56 Н еобх одим ост ь . П у ст ь ф у нкция f ( x ) воз раст ает на пром еж у тке X . П окаж ем , чт о вну т ри X вы полняет ся у словие f ′( x ) ≥ 0. Ф иксиру ем произволь ну ю вну т ренню ю точку x0 пром еж у т ка X и придадим аргу м ент у ф у нкции в этой т очке произволь ное дост ат очно м алое приращ ение ∆ x > 0. Т огда бу дет вы полнят ь ся неравенст во ∆ y = f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ≥ ≥ 0, апот ом у инеравенст во ∆y ≥ 0. ∆x П ерех одя в последнем неравенстве к пределу при ∆ x → + 0, полу чим , чт о ∆y lim ≥ 0, ∆ x → +0 ∆ x т .е. чт о f +′( x0 ) ≥ 0, и, следоват ель но, f ′( x0 ) = f +′( x0 ) ≥ 0. Т аким образом , в лю бой вну т ренней т очке пром еж у т ка X вы полняет ся у словие f ′( x ) ≥ 0 . С лу чай у бы ваю щ ей ф у нкциирассм атривает ся аналогично. Д ост аточност ь . П у ст ь в каж дой вну т ренней точке пром еж у т ка X вы полняет ся у словие f ′( x ) ≥ 0. П окаж ем , чт о ф у нкция f ( x ) воз растает на пром еж у тке X . П у сть x1 и x2 − произволь ны е т очкипром еж у т ка X , т акие, что x1 < x2 . П рим енив к ф у нкции f ( x ), рассм атриваем ой на от рез ке [ x1 ; x2 ], т еорем у Л агранж а, полу чим , что на инт ервале ( x1 ; x2 ) найдё т ся точкаξ т акая, что бу дет вы полнят ь ся равенст во f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ′(ξ ) ( x2 − x1 ).

(7.1)

П осколь ку f ′(ξ ) ≥ 0, x2 − x1 > 0, то из равенст ва (7.1) следу ет , что f ( x2 ) − f ( x1 ) ≥ 0, т .е. что f ( x2 ) ≥ f ( x1 ). Аналогично доказ ы вает ся, что есливну т рипром еж у т ка X вы полняет ся неравенст во f ′( x ) ≤ 0, т о ф у нкция f ( x ) у бы вает наэт ом пром еж у тке. Т еорем адоказ ана. Зам ечание. О т м ет им , чт о если вну т ри X вы полняет ся неравенст во f ′( x ) > 0, то ф у нкция f ( x ) бу дет ст рого воз раст аю щ ей на пром еж у т ке X . Д ейст вит ель но, в эт ом случае правая част ь равенст ва (7.1) полож ит ель на ипот ом у им еет м ест о неравенст во f ( x2 ) − f ( x1 ) > 0, т ак чт о f ( x2 ) > f ( x1 ). О чевидно, что есливну т ри X вы полняет ся у словие f ′( x ) < 0, т о ф у нкция f ( x ) бу дет строго у бы ваю щ ей на пром еж у т ке X .

57 Зам ет им , что вы полнение всю ду вну т ри X неравенст ва f ′( x ) > 0 ( f ′( x ) < 0) являет ся лиш ь дост аточны м у словием ст рогого воз раст ания (у бы вания) ф у нкции f ( x ) на пром еж у тке X . Д ейст вит ель но, ф у нкция y = x 3 ст рого возраст ает на всей числовой прям ой, однако y′(0) = 0. Лок альны е эк стре м ум ы ф унк ций О пре д е ле ние . П у ст ь ф у нкция f ( x ) определена в некот орой окрест ност и точки x0 ∈ R . Т очка x0 наз ы вает ся т очкой локаль ного м аксим у м а(м иним у м а) ф у нкции f ( x ), еслису щ ест ву ет т акая окрест ност ь U ( x0 ) этой т очки, что для всех x ∈ U ( x0 ) вы полняет ся неравенст во f ( x ) ≤ f ( x0 ) ( f ( x ) ≥ f ( x0 )). Е сли ж е су щ ест ву ет окрест ност ь U ( x0 ) точки x0 т акая, что для всех 0

x ∈ U ( x0 ) вы полняет ся неравенство f ( x ) < f ( x0 ) ( f ( x ) > f ( x0 )), то точка x0 наз ы вает ся т очкой ст рогого локаль ного м аксим у м а (м иним у м а) ф у нкции f ( x ). Т очки локаль ного м аксим у м а и м иним у м а ф у нкции наз ы ваю т ся её т очкам илокаль ного экст рем у м а, ат очкист рогого локаль ного м аксим у м аи м иним у м а– точкам истрогого локаль ного экст рем у м а. В даль нейш ем для крат кост ислово “локаль ны й” бу дем опу скат ь . Те оре м а. П у ст ь ф у нкция f ( x ) з адана в некоторой окрест ност ит очки x0 . Е сли т очка x0 являет ся т очкой экстрем у м а ф у нкции f ( x ), т о её производная вэт ой точке либо равнанулю , либо не су щ ест ву ет. Д оказ ат ель ст во. П роизводная ф у нкции f ( x ) в т очке x0 либо су щ ест ву ет , либо нет. Е сли производная в т очке x0 су щ ест ву ет, то из т еорем ы Ф ерм аследу ет, что онаравнану лю . Т еорем адоказ ана. Зам ечание 1. О ба слу чая, указ анны е в т еорем е, реализу ю т ся. Д ейст вит ель но, точка x0 = 0 являет ся т очкой м иним у м а ф у нкции f ( x ) = | x | ив эт ой точке у ф у нкциипроизводной не су щ ест ву ет . Т а ж е т очка являет ся точкой м иним у м а иф у нкции f ( x ) = x 2 . Д анная ф у нкция им еет вточке x0 = 0 производну ю иэт апроизводная равнану лю . Зам ечание 2. Т еорем а даё т лиш ь необх одим ое у словие экстрем у м а. Н априм ер, ф у нкция f ( x ) = x 3 им еет в точке x0 = 0 производну ю , равну ю

58 ну лю , однако данная точка не являет ся точкой экст рем у м а рассм атриваем ой ф у нкции. Н епреры вная ф у нкция, з адаваем ая у словиям и

 2 x , x ≤ 0, f ( x) =   3 x , x > 0, производной в т очке x0 = 0 не им еет , и эта т очка не являет ся точкой экст рем у м аданной ф у нкции. О пре д е ле ние . Е сли ф у нкция определена в некот орой окрест ност и т очки x0 ив эт ой т очке производная ф у нкциилибо су щ еству ет иравна ну лю , либо не су щ ест ву ет , то точка x0 наз ы вает ся крит ической точкой эт ой ф у нкции. И з доказ анной т еорем ы следу ет , чт о все точки экстрем у м а ф у нкции содерж ат ся во м нож ест ве её крит ических точек. С праведливо следу ю щ ее предлож ение. Те оре м а. П у ст ь ф у нкция f ( x ) непреры вна в некот орой окрест ност и 0

U ( x0 ) т очки x0 , диф ф еренциру ем а в проколот ой окрест ност и U ( x0 ) ис каж дой ст ороны от т очки x0 в эт ой окрестност иеё производная сох раняет 0

постоянны й з нак. Т огда, еслиприx ∈ U ( x0 ) : 1) f ′( x ) > 0, т о f ( x ) строго воз раст ает нам нож ест ве U ( x0 ) ; 2) f ′( x ) < 0, то f ( x ) ст рого у бы вает нам нож ест ве U ( x0 ) ; 3) f ′( x ) > 0 при x < x0 и f ′( x ) < 0 при x > x0 (производная м еняет з нак с “ + ” на “− ” при перех оде через точку x0 ), т о т очка x0 являет ся т очкой строгого м аксим у м а; 4) f ′( x ) < 0 при x < x0 и f ′( x ) > 0 при x > x0 (производная м еняет з нак с “− ” на “ + ” приперех оде через т очку x0 ), то т очка x0 являет ся т очкой строгого м иним у м а. Д оказ ат ель ст во 1) П у сть U ( x0 ) = ( x0 − ε ; x0 + ε ) , ε > 0. И з з ам ечания к крит ерию м онот онност и диф ф еренциру ем ой ф у нкции следу ет , чт о ф у нкция f ( x )

59 ст рого возраст ает напром еж у т ках ( x0 − ε ; x0 ] и[ x0 ; x0 + ε ). П оэт ом у, если x0 − ε < x1 < x2 ≤ x0 , то f ( x1 ) < f ( x2 ). Аналогично, если x0 ≤ x1 < x2 < < x0 + ε , т о f ( x1 ) < f ( x2 ). П у сть т еперь x0 − ε < x1 < x0 < x2 < x0 + ε . Т огда f ( x1 ) < f ( x0 ) < f ( x2 ), ипотом у f ( x1 ) < f ( x2 ). 2) Э т от слу чай рассм ат ривает ся аналогично слу чаю 1). 3) Ф иксиру ем произволь ну ю точку x1 ∈ U ( x0 ) , x1 ≠ x0 , и к ф у нкции f ( x ), рассм атриваем ой на от рез ке с концам и x0 и x1 , прим еним т еорем у Л агранж а. В силу эт ой т еорем ы на инт ервале с граничны м иточкам и x0 и x1 найдё т ся т очкаξ т акая, чт о бу дет верноравенст во

f ( x1 ) − f ( x0 ) = f ′(ξ ) ( x1 − x0 ). В оз м ож ны дваслу чая. 1) Е сли x1 > x0 , т о ξ ∈ ( x0 ; x1 ) , f ′(ξ ) < 0, x1 − x0 > 0 f ( x1 ) − f ( x0 ) < 0, т . е. f ( x1 ) < f ( x0 ).

и пот ом у

2) Е сли x1 < x0 , т о ξ ∈ ( x1 ; x0 ) , f ′(ξ ) > 0, x1 − x0 < 0 f ( x1 ) − f ( x0 ) < 0, т . е. f ( x1 ) < f ( x0 ).

и пот ом у

Т аким образ ом , x0 − точкаст рогого м аксим у м аф у нкции f ( x ). 4) Э т от слу чай рассм ат ривает ся аналогично слу чаю 3). Т еорем адоказ ана. О пре д е ле ние . Т очка x0 наз ы вает ся т очкой воз раст ания ф у нкции f ( x ), если су щ ест ву ет т акая окрест ност ь U ( x0 ) точки x0 , что для всех x ∈ U ( x0 ) при x < x0 вы полняет ся неравенст во f ( x ) < f ( x0 ), а при x > x0 − неравенст во f ( x ) > f ( x0 ). Е сли ж е при x < x0 вы полняет ся неравенст во f ( x ) > f ( x0 ) , а при x > x0 − неравенство f ( x ) < f ( x0 ), т о т очка x0 наз ы вает ся т очкой у бы вания ф у нкции f ( x ). П ре д лож е ние . Е сли вы полнено условие f ′( x0 ) > 0, т о т очка x0 являет ся точкой возраст ания ф у нкции f ( x ) . Е слиж е вы полнено у словие f ′( x0 ) < 0, т о т очка x0 являет ся точкой у бы вания ф у нкции f ( x ).

60 Д оказ ат ель ст во.

Д окаж ем

лиш ь

первое ут верж дение – второе f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) доказ ы вает ся аналогично. П у ст ь f ′( x0 ) = lim > 0. В ∆ x →0 ∆x силу свойст в пределов ф у нкций найдё т ся число δ > 0 т акое, что для лю бого ∆ x, 0 < |∆ x | < δ , бу дет вы полнять ся неравенст во f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) > 0. И з данного неравенст ва следу ет , чт о если ∆x ∆ x > 0, т о f ( x0 + ∆ x ) > f ( x0 ); если ж е ∆ x < 0, т о f ( x0 + ∆ x ) < f ( x0 ). Т аким образ ом , точка x0 ест ь точкавоз раст ания ф у нкции f ( x ). П редлож ение доказ ано. Зам ечание. Зам ет им , чт о у словие f ′( x0 ) > 0 ( f ′( x0 ) < 0) являет ся лиш ь дост аточны м у словием для того, чтобы т очка x0 являлась точкой воз раст ания (у бы вания) ф у нкции f ( x ). Д ейст вит ель но, т очка x0 = 0 являет ся т очкой воз раст ания ф у нкции f ( x ) = x 3 , но приэт ом f ′( x0 ) = 0. С праведливо следу ю щ ее у т верж дение. Те оре м а. П у сть ф у нкция y = f ( x ) n раз диф ф еренциру ем а в точке x0 , n ≥ 2 , ипу ст ь вы полняю т ся у словия f ( k ) ( x0 ) = 0, k = 1, ... , n − 1,

f ( n ) ( x0 ) ≠ 0. Т огда, еслиn = 2m , m ∈ N , т .е. n − чё т ное число, то ф у нкция f ( x ) им еет в точке x0 ст рогий экст рем у м , причё м ст рогий м аксим у м , если f (2 m ) ( x0 ) < 0, и ст рогий м иним у м , если f (2 m ) ( x0 ) > 0. n = 2m + 1, m ∈ N , т .е. n − нечё т ное число, т о ф у нкция f ( x ) экст рем у м а не им еет . Е сли при этом f ( 2 m +1) ( x0 ) > 0, т о x0 воз раст ания ф у нкции f ( x ), если ж е f ( 2 m +1) ( x0 ) < 0, т о x0 у бы вания ф у нкции f ( x ).

Е сли ж е в т очке x0 ест ь т очка ест ь точка

Д оказ ат ель ст во. И з у словий т еорем ы следу ет , чт о су щ ест ву ет число η > 0 т акое, что для лю бого x , 0 < | x − x0 | < η , приращ ение ф у нкции в т очке x0 м ож ет бы т ь з аписано ввиде

f ( n ) ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) n n f ( x ) − f ( x0 ) = ( x − x0 ) + o( ( x − x0 ) ) = ( x − x0 ) n + n! n!  f ( n ) ( x0 )  + α ( x ) ( x − x0 ) = ( x − x0 )  + α ( x)  ,  n!  n

n

(7.2)

61

o( ( x − x0 ) n ) где α ( x ) = , т ак что вы полняет ся у словие ( x − x0 ) n lim α ( x ) = 0. x → x0

(7.3)

Ф иксиру ем т акое число η . И з соот нош ения (7.3) следу ет , что найдё т ся 0

число δ , 0 < δ ≤ η т акое, чт о для лю бого x ∈ U ( x0 ; δ ) , т .е. для лю бого x , 0 < | x − x0 | < δ , бу дет вы полнят ь ся неравенство

1 | f ( n ) ( x0 ) | | α ( x) | ≤ . 2 n! 0

П оэт ом у для всех x ∈ U ( x0 ; δ ) з нак вы раж ения в ф игу рны х скобках в ф орм у ле (7.2) бу дет совпадат ь со з наком n − ой производной f ( n ) ( x0 ). Ф иксиру ем т акое δ . П у сть n = 2m , m ∈ N . Т огда для лю бого x , 0 < | x − x0 | < η , справедливо равенст во

 f (2 m ) ( x0 )  f ( x ) − f ( x0 ) = ( x − x0 ) 2 m  + α ( x) .  (2m )! 

(7.4)

0

Е сли f (2 m ) ( x0 ) < 0, т о для лю бого x ∈ U ( x0 ; δ ) вы раж ение в ф игу рны х скобках в ф орм у ле (7.4) отрицат ель но, ( x − x0 )2 m > 0, и пот ом у для 0

лю бого x ∈ U ( x0 ; δ ) вы полняет ся неравенство f ( x ) − f ( x0 ) < 0, т .е. неравенст во f ( x ) < f ( x0 ). П оэтом у т очка x0 ест ь т очка строгого м аксим у м аф у нкции f ( x ). 0

Е сли ж е f (2 m ) ( x0 ) > 0, т о для лю бого x ∈ U ( x0 ; δ ) вы раж ение в ф игу рны х скобках в ф орм у ле (7.4) полож ит ель но, ( x − x0 )2 m > 0, ипотом у 0

для лю бого x ∈ U ( x0 ; δ ) вы полняет ся неравенст во f ( x ) − f ( x0 ) > 0, т .е. неравенст во f ( x ) > f ( x0 ). П оэтом у т очка x0 ест ь т очка строгого м иним у м аф у нкции f ( x ). П у сть т еперь n = 2m + 1, m ∈ N . Т огда для лю бого x , 0 < | x − x0 | < η , им еет м ест о равенство

f ( x ) − f ( x0 ) = ( x − x0 )

2 m +1

 f ( 2 m +1) ( x0 )  + α ( x) .   (2m + 1)! 

(7.5)

62 0

Е сли f ( 2 m +1) ( x0 ) > 0, т о для всех x ∈ U ( x0 ; δ ) вы раж ение в ф игу рны х скобках в ф орм у ле (7.5) полож ит ель но. П оэтом у , если x0 − δ < x < x0 , то

( x − x0 ) 2 m +1 < 0, и из ф орм у лы (7.5) следу ет , что f ( x ) − f ( x0 ) < 0, т .е. f ( x ) < f ( x0 ). Е сли ж е x0 < x < x0 + δ , т о ( x − x0 ) 2 m +1 > 0, и из соот нош ения (7.5) следу ет, что f ( x ) − f ( x0 ) > 0, т .е. f ( x ) > f ( x0 ). П оэт ом у точка x0 являет ся т очкой возрастания ф у нкции f ( x ). П у сть т еперь f ( 2 m +1) ( x0 ) < 0. Т огда вы раж ение в ф игу рны х скобках в 0

ф орм у ле (7.5) от рицат ель но для лю бого x ∈ U ( x0 ; δ ) . П оэтом у , если x0 − δ < x < x0 , т о ( x − x0 ) 2 m +1 < 0, правая част ь равенст ва (7.5) полож ит ель на и потом у f ( x ) − f ( x0 ) > 0, т .е. f ( x ) > f ( x0 ). Е сли ж е x0 < x < x0 + δ , т о ( x − x0 ) 2 m +1 > 0, правая част ь равенст ва (7.5) от рицат ель на, и пот ом у f ( x ) − f ( x0 ) < 0, т .е. f ( x ) < f ( x0 ). П оэтом у т очка x0 являет ся т очкой убы вания ф у нкции f ( x ). Т еорем адоказ ана. Зам ечание. П олагая в данной т еорем е n = 2, полу чаем следу ю щ ее у т верж дение. Е сли вы полняю т ся у словия f ′( x0 ) = 0, f ′′( x0 ) < 0, то x0 ест ь т очка строгого м аксим у м а ф у нкции f ( x ). Е сли ж е вы полняю т ся у словия f ′( x0 ) = 0, f ′′( x0 ) > 0, т о x0 ест ь точка строгого м иним у м а ф у нкции f ( x ). О ты ск ание наиб ольш ихинаим е ньш ихз наче ний ф унк ций П у сть на отрез ке [a ; b] з адана непреры вная ф у нкция f ( x ), которая диф ф еренциру ем а на инт ервале ( a ; b). Бу дем , кром е т ого, предполагат ь , чт о на эт ом инт ервале содерж ит ся лиш ь конечное число реш ений у равнения f ′( x ) = 0. П осколь ку ф у нкция f ( x ) непреры вна на отрез ке [a ; b], то на эт ом отрезке найдут ся т очки, в кот оры х ф у нкция приним ает своё наиболь ш ее и своё наим ень ш ее з начения. Т ребу ет ся найт и эт и з начения. Рассм отрим з адачу от ы скания наиболь ш его з начения. Е слинаиболь ш ее з начение дост игает ся в некоторой точке ξ ∈ ( a ; b), т о т очка ξ являет ся, очевидно, точкой локаль ного м аксим у м а ф у нкции f ( x ) ипот ом у м ож ет бы т ь найдена среди реш ений у равнения f ′( x ) = 0. Н о наиболь ш ее з начение м ож ет дост игат ь ся ивграничной т очке пром еж у т ка. П оэтом у

max f ( x ) = max ( f ( a ), f (b) , f (ξ1 ) , ... , f (ξl ) ) ,

x∈[ a ; b ]

63 где ξ1 , ... , ξ l − т очкилокаль ного м аксим у м аф у нкции f ( x ). С пом ощ ь ю аналогичного рассу ж дения полу чаем , что

min f ( x ) = min ( f (a ), f (b) , f (η1 ), ... , f (ηm ) ) ,

x∈[ a ; b ]

где η1 , ... , ηm − т очкилокаль ного м иним у м аф у нкции f ( x ). Е слиж е х от ят избеж ат ь исследования крит ических т очек, т о пост у паю т иначе. П у ст ь x1 , ... , xn − всевоз м ож ны е реш ения у равнения f ′( x ) = 0, принадлеж ащ ие инт ервалу ( a ; b). Т огда, очевидно,

max f ( x ) = max ( f ( a ), f ( b) , f ( x1 ) , ... , f ( xn ) ) ,

x∈[ a ; b ]

min f ( x ) = min ( f ( a ) , f ( b) , f ( x1 ) , ... , f ( xn ) ) .

x ∈[ a ; b ]

§ 8. Иссле д ов ание ф унк ций . В ы пук лы е ив огнуты е ф унк ции. Н е об ход им ы е ид остаточны е услов ия в ы пук лостиф унк ции. Точк и пе ре гиб а иихнахож д е ние . А сим птоты граф ик а ф унк ции. П острое ние граф ик ов ф унк ций

О пре д е ле ние . Ф у нкция f ( x ), определё нная и непреры вная в пром еж у т ке X , наз ы вает ся вы пуклой (вы пу клой вниз), если для лю бы х т очек x1 и x2 из X , x1 ≠ x2 вы полняет ся неравенст во f (λ1 x1 + λ2 x2 ) ≤ λ1 f ( x1 ) + λ2 f ( x2 ) ,

(8.1)

каковы бы ни бы ли полож ит ель ны е числа λ1 и λ2 , даю щ ие в су м м е единицу (λ1 + λ2 = 1). Ф у нкция наз ы вает ся вогну той (вы пу клой вверх ), есливм ест о неравенст ва(8.1) вы полняет ся неравенст во

f (λ1 x1 + λ2 x2 ) ≥ λ1 f ( x1 ) + λ2 f ( x2 ).

(8.2)

О чевидно, что если ф у нкция f ( x ) вы пу кла (вогну та), т о ф у нкция − f ( x ) − вогнут а (вы пу кла). П оэтом у дост ат очно изу чит ь свойст ва толь ко вы пу клы х ф у нкций.

64 Г е ом е триче ск ий см ы сл услов ия в ы пук лости Зам ет им , чт о для лю бы х дву х т очек x1 и x2 из пром еж у т ка X , x1 < x2 , при лю бы х полож ит ель ны х λ1 и λ2 т аких , чт о λ1 + λ2 = 1, т очка λ1 x1 + λ2 x2 леж ит м еж ду т очкам иx1 и x2 . Д ействитель но, λ1 x1 + λ2 x2 < λ1 x2 + λ2 x2 = ( λ1 + λ2 ) x2 = x2 , λ1 x1 + λ2 x2 > λ1 x1 + λ2 x1 = (λ1 + λ2 ) x1 = x1 . О брат но, лю бая точка x из инт ервала ( x1 ; x2 ) м ож ет бы т ь единст венны м образ ом предст авлена в виде где x = λ1 x1 + λ2 x2 , λ1 > 0, λ2 > 0, λ1 + λ2 = 1. В сам ом деле, допу ст им , чт о такое предст авление воз м ож но. Т огдаоно единст венно, посколь ку

x2 x2 x x = (1 − λ2 ) x1 + λ2 x2 = λ2 ( x2 − x1 ) + x1 , λ2 = x2

x = λ1 x1 + (1 − λ1 ) x2 = λ1 ( x1 − x2 ) + x2 , λ1 =

− − − −

x , x1 x1 . x1

С у щ ест вование требу ем ого предст авления вы т екает т еперь из равенства

x2 − x x − x1 x ( x2 − x1 ) x1 + x2 = = x. x2 − x1 x2 − x1 x2 − x1 П оэтом у у словие вы пуклост и(8.1) м ож но з аписать ввиде

f ( x) ≤

x2 − x x − x1 f ( x1 ) + f ( x2 ) , x2 − x1 x2 − x1

(8.3)

∀ x , x1 < x < x2 , где x1 иx2 − произволь ны е точкипром еж у тка X , x1 < x2 . П у сть

ϕ ( x) =

x2 − x x − x1 f ( x1 ) + f ( x2 ) , x ∈ R . x2 − x1 x2 − x1

О чевидно, что ϕ ( x ) − линейная ф у нкция, причё м ϕ ( x1 ) = f ( x1 ), ϕ ( x2 ) = = f ( x2 ). У словие вы пу клост и (8.3) м ож но т еперь з аписат ь в виде

65

f ( x ) ≤ ϕ ( x ) для ∀ x ∈ ( x1 ; x2 ), где x1 и x2 − произволь ны е т очки пром еж у т ка X , x1 < x2 . Т аким образ ом , лю бая ду га граф ика вы пу клой ф у нкции леж ит под соответ ст вую щ ей х ордой или на х орде, а у вогну той ф у нкции – над соответ ст вую щ ей х ордой илинах орде (см . рис. 8.1).

y

y = f ( x)

N ( x2 ; f ( x2 ))

y = ϕ ( x)

M ( x1 ; f ( x1 )) x x1

x2 Рис. 8.1

Л ю бая линейная ф у нкция являет ся одноврем енно и вы пу клой, и вогнут ой. Г раф ик вы пуклой или вогну той ф ункции наз ы вает ся, соот вет ственно, вы пу клой иливогну т ой кривой. Зам ет им ещ ё , что если для лю бого от рез ка [ x1 ; x2 ], x1 < x2 , содерж ащ егося в X , соот нош ение (8.1) вы полняет ся со з наком неравенст ва, то ф у нкцию f ( x ) наз ы ваю т ст рого вы пу клой. Аналогично у ст анавливает ся понят ие строго вогнут ой ф у нкции. Н е об ход им ы е ид остаточны е услов ия в ы пук лостиф унк ции У словие вы пу клост и(8.1), как бы ло показ ано, м ож ет бы т ь з аписано в эквивалент ной ф орм е

66

x2 − x x − x1 f ( x1 ) + f ( x2 ) , x2 − x1 x2 − x1 x1 < x < x2 , где x1 и x2 − произволь ны е т очки пром еж у т ка X , x1 < x2 , кот орой м ож но придат ь вид f ( x) ≤

( x2 − x ) f ( x1 ) + ( x1 − x2 ) f ( x ) + ( x − x1 ) f ( x2 ) ≥ 0.

(8.4)

В слу чае строгой вы пу клост из нак ≥ впоследней ф орм у ле долж ен бы т ь з ам енё н наз нак > . С праведливо следу ю щ ее у т верж дение. Те оре м а. П у ст ь ф у нкция f ( x ) определена инепреры вна в пром еж у т ке X и им еет в каж дой его точке конечну ю производну ю f ′( x ). Д ля того чт обы f ( x ) бы ла вы пу клой в X , необх одим о и дост аточно, чтобы её производная f ′( x ) воз раст алавэтом пром еж ут ке. Д оказ ат ель ст во Н еобх одим ост ь . П у ст ь f ( x ) вы пу кла в пром еж у тке X . Ф иксиру ем произволь ны е точки x1 и x2 из пром еж у т ка X , x1 < x2 , и пу ст ь x ∈ ( x1 ; x2 ). Т огда вы полняет ся соот нош ение (8.4), которое м ож но з аписат ь ввиде ( x2 − x ) f ( x1 ) + ( x1 − x ) f ( x ) + ( x − x2 ) f ( x ) + ( x − x1 ) f ( x2 ) ≥ 0, илив виде ( x2 − x ) ( f ( x1 ) − f ( x )) ≥ ( x − x1 ) ( f ( x ) − f ( x2 )). Раз делив почленно последнее неравенст во на ( x2 − x ) ( x − x1 ), полу чим неравенст во f ( x1 ) − f ( x ) f ( x ) − f ( x2 ) ≥ , x − x1 x2 − x из кот орого следу ет , чт о

f ( x ) − f ( x1 ) f ( x2 ) − f ( x ) ≤ , x − x1 x2 − x ∀ x , x ∈ ( x1 ; x2 ).

(8.5)

67 Зам ет им , чт о у словие (8.5) эквивалент но у словию (8.3), а потом у и у словию (8.1). П ерех одя в неравенстве (8.5) к пределу при x → x1 , полу чим , чт о f ( x2 ) − f ( x1 ) f ′( x1 ) ≤ . (8.6) x2 − x1 П ерех одя в т ом соот нош ение

ж е неравенст ве к пределу при x → x2 , получим

f ( x2 ) − f ( x1 ) ≤ f ′( x2 ). x2 − x1

И з неравенст в (8.6) и (8.7) следу ет, чт о f ′( x1 ) ≤ f ′( x2 ) , т .е. воз раст ает напром еж у т ке X .

(8.7)

f ′( x )

Д ост аточност ь . П у ст ь f ′( x ) возраст ает на пром еж у тке X . Ф иксиру ем произволь ны е точки x1 и x2 из X , x1 < x2 , и возь м ё м произволь ну ю т очку x ∈ ( x1 ; x2 ). В силу т еорем ы Л агранж а на инт ервалах ( x1 ; x ) и ( x ; x2 ) найду т ся, соот вет ст венно, т очки ξ и η т акие, чт о бу ду т вы полнять ся равенства

f ( x ) − f ( x1 ) = f ′(ξ ), x − x1

f ( x2 ) − f ( x ) = f ′(η ). x2 − x

Т ак как f ′( x ) возраст ает и ξ < η , т о f ′(ξ ) ≤ f ′(η ) , и потом у вы полняет ся у словие f ( x ) − f ( x1 ) f ( x2 ) − f ( x ) ≤ , x − x1 x2 − x ∀ x , x ∈ ( x1 ; x2 ), кот орое эквивалент но у словию вы пу клост и. Т еорем адоказ ана. Зам ечание. Зам ет им , что из доказ ат ель ст ва т еорем ы следу ет , чт о если f ′( x ) строго возраст ает на пром еж у т ке X , т о ф у нкция f ( x ) строго вы пу кланаэт ом пром еж у тке. Те оре м а. П у ст ь ф у нкция f ( x ) определена и непреры вна вм ест е со своей производной f ′( x ) в пром еж у т ке X иим еет вну т ринего конечну ю производну ю f ′′( x ). Д ля вы пу клост и ф у нкции f ( x ) в пром еж у т ке X

68 необх одим о и дост аточно, чт обы вну т ри X вы полнялось неравенст во f ′′( x) ≥ 0. Д оказ ат ель ст во Н еобх одим ост ь . П у ст ь f ( x ) вы пу кла в пром еж у т ке X . Т огда f ′( x ) воз раст ает в X и в силу крит ерия м онотонност и диф ф еренциру ем ой ф у нкциидля производной ф у нкции f ′( x ) , т .е. для ф у нкции f ′′( x ) , всю ду вну т риX вы полняет ся неравенст во f ′′( x ) ≥ 0. Д ост аточност ь . П у ст ь в каж дой вну т ренней т очке x пром еж у тка X вы полняет ся неравенст во f ′′( x ) ≥ 0. Т огда в силу крит ерия м онот онност и диф ф еренциру ем ой ф у нкцииф у нкция f ′( x ) воз раст ает в пром еж у т ке X и пот ом у ф у нкция f ( x ) вы пу клав X . Т еорем адоказ ана. Д ля вогну т ост и ф у нкции аналогично у ст анавливает ся f ′′( x ) ≤ 0.

у словие

В ы полнение ж е у словия f ′′( x) > 0 ( f ′′( x ) < 0) всю ду вну т ри X з аведом о обеспечивает строгу ю вы пу клость (вогну т ост ь ) ф у нкции. П рим ер 1. П у ст ь f ( x ) = a x . Т огда f ′′( x ) = a x (ln a )2 > 0 для лю бого x ∈ R . П оэт ом у ф у нкция f ( x ) = a x строго вы пу кла на всей числовой прям ой. 1 П рим ер 2. П у ст ь f ( x ) = ln x . Т огда f ′′( x ) = − 2 < 0 для лю бого x > 0, x ипот ом у ф у нкция f ( x ) = ln x ст рого вогну т анам нож естве x > 0. С праведливо следу ю щ ее у т верж дение. Те оре м а. П у ст ь ф у нкция f ( x ) определена инепреры вна в пром еж у т ке X и им еет в каж дой его точке конечну ю производну ю f ′( x ). Д ля вы пу клост и ф у нкции f ( x ) необх одим о и дост ат очно, чт обы её граф ик всем ит очкам илеж ал над лю бой своей касат ель ной илинаней. Д анное ут верж дение прим ем без доказ ат ель ст ва. Точк ипе ре гиб а иихнахож д е ние О пре д е ле ние . Т очку M ( x0 ; f ( x0 )) кривой y = f ( x ) наз ы ваю т её т очкой перегиба, если она от деляет у част ок кривой, где ф у нкция f ( x ) вы пу кла, от у частка, где этаф у нкция вогну т а(см . рис. 8.2).

69

y y = f ( x)

M ( x0 ; f ( x0 ))

x x0 Рис. 8.2 П редполож им , чт о в некоторой окрест ност иU ( x0 ) т очки x0 ф у нкция f ( x ) им еет конечну ю производну ю , и пу ст ь x0 − абсцисса т очки перегиба. Т огда найдё т ся такое δ > 0, чт о на пром еж у тке [ x0 − δ ; x0 ] f ′( x ) бу дет воз раст ат ь , а напром еж у т ке [ x0 ; x0 + δ ] f ′( x ) бу дет у бы ват ь , либо наоборот , на пром еж у т ке [ x0 − δ ; x0 ] f ′( x ) бу дет у бы вать , а на пром еж у т ке [ x0 ; x0 + δ ] − воз раст ат ь . В первом слу чае x0 − т очка м аксим у м а для f ′( x ), во втором слу чае x0 − точка м иним у м а для f ′( x ). П оэтом у , еслипредполож ит ь , что вт орая производная ф у нкции f ( x ) су щ ест ву ет х от я бы в одной т очке x0 , т о с необх одим ост ь ю вы полняет ся у словие f ′′( x0 ) = 0. О тм ет им , что данное у словие являет ся лиш ь необх одим ы м у словием су щ ест вования т очкиперегиба. П рим ер 3. П у ст ь f ( x ) = x 4 . Т огда f ′′( x) = 12 x 2 ≥ 0 для ∀ x ∈ R , т ак чт о ф у нкция f ( x ) вы пу кла на R . В ы полняет ся у словие f ′′(0) = 0, но т очка x0 = 0 абсциссой т очкиперегибане являет ся. Т аким образ ом , если вторая производная су щ ест ву ет вез де вну три рассм атриваем ого пром еж у т ка X , т о абсциссы т очек перегиба следу ет

70 искат ь среди корней уравнения f ′′( x ) = 0, и каж ды й найденны й корень подвергат ь проверке. П редполож им , что су щ ест ву ет δ > 0 т акое, что на каж дом из пром еж у т ков [ x0 − δ ; x0 ), ( x0 ; x0 + δ ] вторая производная сох раняет постоянны й з нак, ав сам ой т очке x0 обращ ает ся в ноль . Т огда, если f ′′( x ) м еняет з нак при перех оде через т очку x0 , т о x0 − абсцисса т очки перегиба, если ж е f ′′( x ) не м еняет з нака, то перегиба в т очке с данной абсциссой нет . Т очкиперегибам ож но нах одить испом ощ ь ю вы сш их производны х . С праведливо следу ю щ ее П ре д лож е ние . П у ст ь f ′′( x0 ) = 0. Е слипервая из производны х вы ш е вт орого порядка, от личны х от ну ля, им еет нечё т ны й порядок, то x0 − абсциссаточкиперегиба, еслиж е онаим еет чё т ны й порядок, то перегибав т очке сданной абсциссой нет . Д оказ ат ель ст во. П у ст ь f ′′( x0 ) = ... = f (2 m ) ( x0 ) = 0, f (2 m +1) ( x0 ) ≠ 0, m ∈ ∈ N . Раз лагая ф у нкцию f ′′( x ) в окрест ност и т очки x0 по ф орм у ле Т ейлораиу чит ы вая, чт о f ′′( x0 ) = 0 , полу чим соотнош ение

f ( 2 m +1) ( x0 ) ( x − x0 )2 m −1 + o( ( x − x0 ) 2 m −1 ) = f ′′( x ) = (2 m − 1)! = ( x − x0 )

2 m −1

 f (2 m +1) ( x0 )  + α ( x)  ,   (2 m − 1)! 

(8.8)

o( ( x − x 0 ) 2 m −1 ) → 0 при x → x0 . Д ля всех x , дост ат очно ( x − x0 ) 2 m −1 близких к x0 , x ≠ x0 , вы раж ение в ф игу рны х скобках в ф орм у ле (8.8) сох раняет постоянны й з нак (см . рассу ж дение на с. 61). П оэт ом у при перех оде через точку x0 вт орая производная м еняет з нак, т ак чт о x0 − абсциссаточкиперегиба. П у сть т еперь вы полняю т ся у словия f ′′( x0 ) = ... = f (2 m +1) ( x0 ) = 0, где α ( x ) =

f (2 m + 2) ( x0 ) ≠ 0, m ∈ N . П овт оряя преды ду щ ее рассу ж дение, полу чаем соот нош ение f (2 m + 2) ( x0 ) f ′′( x ) = ( x − x0 )2 m + o( ( x − x0 ) 2 m ) = (2 m )!

71

= ( x − x0 )

2m

 f (2 m + 2) ( x0 )  + α ( x)  ,   (2 m )! 

(8.9)

o( ( x − x0 ) 2 m ) где α ( x ) = → 0 при x → x0 . П осколь ку в дост ат очно м алой ( x − x0 ) 2 m проколот ой окрест ност и т очки x0 вы раж ение в ф игу рны х скобках в ф орм у ле (8.9) сох раняет з нак, т о вторая производная не м еняет з нака при перех оде через т очку x0 ипот ом у вточке M ( x0 ; f ( x0 )) перегибанет. У тверж дение доказ ано. О тм ет им ещ ё , чт о в т очке перегиба граф ик ф у нкцииперех одит с одной ст ороны от касатель ной надру гу ю (предполагает ся, что касат ель ная вэтой т очке су щ ест ву ет ). Д анное ут верж дение прим ем без доказ ат ель ст ва. А сим птоты граф ик а ф унк ции. П острое ние граф ик ов ф унк ций О пре д е ле ние . Г оворят , чт о прям ая x = a являет ся верт икаль ной асим пт от ой граф икаф у нкции y = f ( x ), еслих от я бы один из пределов

lim

x →a + 0

f ( x ) или lim

x →a − 0

f ( x)

равен + ∞ или− ∞ .

1 , D( f ) = R \{0}. П осколь ку f ( − 0) = − ∞ , т о x прям ая x = 0 являет ся верт икаль ной асим пт от ой граф икарассм ат риваем ой ф у нкции. П рим ер 4. П у ст ь f ( x ) =

О пре д е ле ние . Г оворят , что прям ая y = k x + b являет ся наклонной асим пт от ой граф ика ф у нкции y = f ( x ) при x → + ∞ , если f ( x ) предст авим аввиде f ( x ) = k x + b + α ( x ), (8.10) где α ( x ) ест ь бесконечно м алая приx → + ∞ ф у нкция. Аналогично определяет ся наклонная асим пт от аиприx → − ∞ .

72 С праведливо следу ю щ ее у т верж дение. Те оре м а. Д ля того чтобы граф ик ф ункции y = f ( x ) им ел при x → + ∞ наклонну ю асим пт от у y = k x + b , необх одим о и дост аточно, чтобы су щ ест вовалидваконечны х предела

lim

x →+ ∞

f ( x) = k и lim ( f ( x ) − k x ) = b . x →+ ∞ x

(8.11)

Д оказ атель ство. Н еобх одим ост ь . П у сть граф ик ф у нкции y = f ( x ) им еет наклонну ю асим пт от у y = k x + b при x → + ∞ . Т огда ф у нкция f ( x ) предст авим а в виде f ( x ) = k x + b + α ( x ), где α ( x ) → 0 приx → + ∞ . П оэт ом у

lim

x →+ ∞

= b.

f ( x) b α ( x) = lim (k + + ) = k , lim ( f ( x ) − k x ) = lim (b + α ( x )) = x→+∞ x→+∞ x→+∞ x x x

f ( x) = k , lim ( f ( x ) − x →+ ∞ x→+∞ x − k x ) = b , k ∈ R , b ∈ R . В ведё м врассм от рение ф у нкцию Д ост аточност ь . П у ст ь вы полняю т ся условия lim

de f

α ( x) = f ( x ) − k x − b . О чевидно, что lim α ( x ) = 0. П оэтом у ф у нкция f ( x ) предст авим аввиде x →+ ∞

f ( x ) = k x + b + α ( x ), где α ( x ) есть бесконечно м алая при x → + ∞ ф у нкция. А это иоз начает, чт о граф ик ф у нкции y = f ( x ) им еет наклонну ю асим пт от у y = k x + b при x → + ∞. Т еорем адоказ ана. Аналогичная т еорем а справедлива и для наклонной асим пт от ы при x → − ∞.

73

2 x2 + 3 x + 5 П рим ер 5. Н айдё м асим пт от ы граф икаф у нкции f ( x ) = , x +1 D ( f ) = R \{− 1}. П осколь ку lim f ( x ) = + ∞ , т о граф ик данной ф у нкции x →− 1 + 0

им еет верт икаль ну ю асим птот у x = − 1. В каж дой точке своего м нож ест ва определения ф у нкция f ( x ) являет ся непреры вной и потом у дру гих верт икаль ны х асим птот граф ик ф у нкциине им еет . П осколь ку

 2 x2 + 3 x + 5  f ( x) 2 x2 + 3 x + 5 lim = lim = 2, lim  − 2x = 2 x →+ ∞ x →+ ∞ x →+ ∞ x x +x x +1   = lim

x→+∞

x+5 = 1, x +1

т о граф ик рассм ат риваем ой ф у нкции при x → + ∞ им еет наклонну ю асим пт от у y = 2 x + 1. О чевидно, прям ая y = 2 x + 1 являет ся наклонной асим пт от ой для граф икаф у нкцииипри x → − ∞ . П острое ние граф ик ов ф унк ций П риведё м прим ерну ю сх ем у построения граф иковф у нкций. Реком енду ет ся 1. Н айт и м нож ество определения ф у нкции, област ь непреры вност и и т очкираз ры ва. 2. Н айт иасим птот ы граф икаф у нкции. 3. Н айт и т очки пересечения граф ика с осям и координат и приблизит ель но вы черт ит ь граф ик ф у нкции. 4. В ы числит ь первую , а если ну ж но, т о и вт ору ю производну ю ф у нкции. Н айт ит очки, в которы х первая ивт орая производны е либо не су щ ест ву ю т, либо равны ну лю . 5. С ост авить т аблицу изм енения з нака первой ивт орой производны х . О пределит ь пром еж у т ки воз раст ания и у бы вания, вы пу клост и и вогнут ост и ф у нкции, найт и т очки экст рем у м а и т очки перегиба, вы числит ь з начения ф у нкциивэт их т очках . 6. О кончатель но вы черт ит ь граф ик ф у нкции. П ри пост роении граф иков следу ет исполь з оват ь ф у нкций, как чё т ност ь , нечё т ност ь , периодичност ь .

т акие свойст ва

74 Лите ратура 1. Ф их т енголь ц Г . М. К урс диф ф еренциаль ного и инт еграль ного исчисления / Г . М. Ф их т енголь ц. – С П б., 1997. – Т . 1 – 3. 2. К у дрявцев Л . Д . К раткий ку рс м ат ем ат ического анализа / Л . Д . К у дрявцев. – В исагинас, 1998. – Т . 1 – 2. 3. И ль ин В . А. Мат ем ат ический анализ / В . А. И ль ин, В . А. С адовничий, Бл. Х . С ендов. – М., 2004. – Ч. 1 – 2.

75

Автор Л арин Александр Александрович Редакт ор Т их ом ироваО .А.