Курс физики

Í. Ì. ÐÎÃÀ×ÅÂ

ÊÓÐÑ ÔÈÇÈÊÈ Èçäàíèå âòîðîå, ñòåðåîòèïíîå

Äîïóùåíî Ìèíèñòåðñòâîì îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé, îáó÷àþùèõñÿ â îáëàñòè òåõíèêè è òåõíîëîãèé

•САНКТПЕТЕРБУРГ•МОСКВА• КРАСНОДАР 2010

ББК 22.3я73 Р 59 Р 59

Рогачев Н. М. Курс физики: Учебное пособие. 2е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2010. — 448 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 9785811408566 Учебное пособие содержит теоретический материал курса общей фи зики, а также примеры решения типовых физических задач. Особенно стью пособия является лаконичное изложение материала, что позволило подчеркнуть физические закономерности, лежащие в основе изучаемых объектов и явлений. Предназначается для студентов высших учебных заведений, обучаю щихся по техническим и технологическим направлениям.

ББК 22.3я73

Рецензенты: кафедра общей физики и методики обучения физике Самарского госу дарственного педагогического университета (заведующий кафедрой, др пед. наук, проф. В. А. БЕТЕВ); канд. физ.мат. наук, проф., заведующий кафедрой общей и теоретической физики Самарского государственного университета А. А. БИРЮКОВ

Охраняется законом РФ об автор ском праве. Воспроизведение всей книги или любой ее части запреща ется без письменного разрешения издателя. Любые попытки наруше ния закона будут преследоваться в судебном порядке.

Обложка А. Ю. ЛАПШИН

© Издательство «Лань», 2010 © Н. М. Рогачев, 2010 © Издательство «Лань», художественное оформление, 2010

ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие соответствует теоретическим разделам примерных программ дисциплины «Физика» и требованиям к минимуму содержания и уровню подготовки бакалавров и дипломированных специалистов, обу чающихся по техническим и технологическим направлениям. Изложение курса физики как единой науки опирается на фундамен тальные законы и обобщает множество опытных данных. Приоритет от дается рассмотрению внутреннего единства физической картины мира, обсуждению строгости и точности определений физических понятий, ти пичных условий проявления основных физических закономерностей. Ма териал в пособии излагается кратко, что позволило подчеркнуть основ ные физические закономерности изучаемых объектов и явлений. Каждая глава заканчивается примерами решения задач, тексты которых взяты из стандартных задачников: А. Г. Чертов, А. А. Воробьев. Задачник по физи ке. М.: Высшая школа, 1981; B. C. Волькенштейн. Сборник задач по об щему курсу физики. М.: Наука, 1980. Пособие написано с учетом изменений школьных программ по физике и математике. Считаем, что учащиеся освоили простейшие физические по нятия и владеют элементами высшей математики. Однако, учитывая спе цифику обучения, мы повторили некоторые наиболее важные понятия и определения курса элементарной физики. Автор выражает глубокую признательность профессорам В. А. Бетеву и А. А. Бирюкову за рецензирование пособия, а также докто ру физикоматематических наук, профессору СПбГПУ Н. М. Кожевни кову и доктору физикоматематических наук, профессору СПбГПУ В. В. Козловскому за полезные советы и замечания.

3

ВВЕДЕНИЕ Физика наряду с другими естественными науками изучает объектив ные свойства окружающего нас мира. Весь мир, все существующее вокруг нас представляет собой материю. Материя имеет множество форм со своими характерными свойствами и является объективной реальностью, существующей вне и независимо от нашего сознания. Неотъемлемым свойством материи и формой ее суще ствования является движение. Материя и движение неотделимы друг от друга. Не может быть ни материи без движения, ни движения без материи. Известны два вида материи: вещество (атомы, молекулы, тела) и поле (электромагнитное, гравитационное и др.). Различные виды материи могут превращаться друг в друга (электрон и позитрон, например, могут превра щаться в фотон). Материя существует и движется в пространстве и во времени. Пространство — это форма сосуществования материальных объек тов и процессов, характеризующая структурность и протяженность мате риальных систем. Время — это форма последовательной смены явлений и состояний ма терии, которая характеризует длительность их бытия. Пространство и вре мя не существуют в отрыве от материи. В классической физике пространству и времени приписывается абсо лютный характер: линейные размеры и промежутки времени сохраняются неизменными при переходе от одной системы отсчета к другой. Физика — наука точная, изучающая количественные закономерности явлений и процессов. Теория и опыт являются основными методами иссле дования в физике. Законы физики устанавливают связь между физически ми величинами, которые необходимо измерять. Для этого разработаны еди ницы физических величин, объединенные в системы единиц. В настоящее время обязательна к применению в нашей стране Система Единиц Интер национальная (СИ). Система СИ состоит из основных, дополнительных и производных единиц. 4

Основными называются единицы нескольких разнородных физических величин, произвольно выбранных при построении системы. В СИ основны ми единицами являются: единица длины — метр (м); массы — килограмм (кг); времени — секунда (с); силы электрического тока — ампер (А), термодина мической температуры — кельвин (К), количества вещества — моль (моль), силы света — кандела (кд). Метр — единица длины, равная расстоянию, проходимому в вакууме плоской электромагнитной волной за 1/299792458 доли секунды. Килограмм — единица массы, равная массе международного прототипа килограмма. Секунда — единица времени, равная 9192631770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия133. Ампер — сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум парал лельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно ма лой площади кругового поперечного сечения, расположенным на расстоя нии 1 м друг от друга в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную 2.10–7 Н на каждый метр длины. Кельвин — единица термодинамической температуры, равная 1/273,16 термодинамической температуры тройной точки воды. Моль — единица количества вещества, равная количеству вещества си стемы, в которой содержится столько же структурных элементов (атомов, молекул, ионов, электронов и других частиц), сколько содержится атомов в углероде12 массой 0,012 кг. Кандела — единица силы света, равная силе света в данном направ лении от источника, испускающего монохроматическое излучение часто той 540. 10 12 Гц, сила излучения которого в этом направлении состав ляет 1/683 Вт/ср. В СИ кроме основных введены две дополнительные единицы — ради ан (рад) и стерадиан (ср). Радиан — угол между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу. Стерадиан — телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, по длине равной радиусу этой сферы. Производными называются единицы, устанавливаемые через другие единицы данной системы на основании физических законов, выражающих взаимосвязь между соответствующими физическими величинами. На примере единицы скорости рассмотрим схему введения опреде ления производной единицы измерения. При определении производной 5

единицы договариваются о выборе определенной формулы и названии еди ницы. Для равномерного прямолинейного движения значение скорости мо жет быть определено как отношение пути S ко времени t: v = S / t. Положив в данном уравнении S = 1 м, t = 1 с, получим единицу скоро сти [v] = 1 м / 1 с = 1 м/с. Запишем это в виде выражения: S=1м > v = 1 м/с. t=1с Читая его справа налево и заменив слово равно словом это, можно сформулировать словесное определение единицы скорости: один метр в се кунду — это скорость равномерного прямолинейного движения, в котором материальная точка за 1с проходит путь в 1м. В табл. 1 даются приставки для образования десятичных и дольных единиц СИ. Таблица 1

6

ЧАСТЬ 1 ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ Механика изучает закономерности механического движения. Классическая механика подразделяется на ньютоновскую, в основе ко торой лежат законы Ньютона1 , и релятивистскую. В классической механи& ке Ньютона изучается движение макроскопических тел, имеющих скорос ти гораздо меньшие, чем скорость света в вакууме. Тела, состоящие из боль шого числа атомов, называются макроскопическими телами. Релятивистская механика основана на теории относительнос& ти, справедлива и при скоростях, сравнимых со скоростью света в вакуу ме. В квантовой механике изучаются специфические особенности дви жения микроскопических тел (атомов и элементарных частиц). Механика подразделяется на кинематику, статику и динамику.

Глава 1 КИНЕМАТИКА Кинематика – раздел механики, в котором исследуется движение тел без выяснения причин, его вызвавших. Движение – это любое изменение состояния системы и ее параметров (координат точки, температуры, напряженности электрического поля и т. д.). Из всех видов движения материи самым простым является механи ческое движение. § 1. Механическое движение. Кинематическое уравнение движения Механическое движение – это изменение положения тела или отдель ных его частей относительно других тел с течением времени. Поступательным называется движение, при котором отрезок прямой, соединяющей любые две точки тела, остается при его движении параллель ным самому себе. При поступательном движении все точки тела имеют оди наковые скорости и ускорения и движутся по одинаковым траекториям, сдвинутым параллельно относительно друг друга. Материальной точкой (частицей) называется тело, размерами ко торого при решении данной задачи можно пренебречь. Одно и то же тело 1 Исаак Ньютон (1643–1727) — выдающийся английский ученый, основатель классичес кой физики.

7

в одних случаях может рассматриваться как материальная точка, а в дру гих — как тело, имеющее размеры и форму. Абсолютно твердым называется тело, состоящее из материальных точек, расстояние между которыми всегда остается неизменным. Все тела существуют и движутся в пространстве и во времени. Простран ство однородно, т. е. в нем нет точек, обладающих особыми свойствами; пространство изотропно, т. е. все направления движения равноценны. Время также является однородным, т. е. любые явления, происходя щие в одних и тех же условиях, но в разные моменты времени, протекают одинаково. Так как пространство однородно и изотропно, то нельзя определить по ложение какоголибо тела относительно пространства. Однако положение одного тела можно определить относительно другого тела. Тело, относительно которого рассматривается изменение положения движущегося тела, называется телом отсчета. Тело отсчета, связанная с ним система координат и прибор для измерения времени (часы), образу ют систему отсчета. Положение материальной точки А в пространстве в данный момент вре мени t (рис. 1) можно определить тремя координатами x, y, z или ради&

1

усом&вектором r , проведенным из начала координат в данную точку. Радиусвектор точки А мож 1 1 1 но разложить по базису 3 1 2 1 1 следующим образом: 1 1 1 1 7 = 6 5 + 4 3 + 2 1 , (1.1) 1 1 1 где 3 1 2 1 1 — единичные век торорты системы координат. Модуль вектора 1 4 = 3 1 + 21 + 11 . При движении материаль ной точки ее координаты и ра диус вектор изменяются с те 1 чением времени. Вектор D r , соединяющий начальное поло жение 1 движущейся материальной точки с последующим ее положением 2, называется перемещением точки. 8

1

Линия, описываемая в пространстве концом радиусавектора r при дви жении материальной точки относительно выбранной системы отсчета, на зывается траекторией. По форме траектории движение делится на пря молинейное и криволинейное. Путь — это расстояние, отсчитываемое вдоль траектории движения. Длина участка траектории S называется длиной пути. В случае прямоли нейного движения в одном направлении длина пути S равна модулю переме 1 щения Δ1 . При движении по замкнутой траектории, когда точка возвращается в исходное положение, путь равен длине траектории, а перемещение — нулю. Путь и перемещение в системе СИ измеряются в метрах (м). Функции, описывающие изменения координат или радиусавектора материальной точки с течением времени, называются кинематическими уравнениями движения: x = x(t), y = y(t), z = z(t) или 1 1 (1.2) r = r (t ) . § 2. Скорость движения Равномерным прямолинейным движением называется такое движе ние, при котором материальная точка, двигаясь по прямой линии, за любые равные сколь угодно малые промежутки времени Dt совершает одинако

1

вые перемещения Δr . Скоростью равномерного прямолинейного движения называется век торная физическая величина, равная отношению перемещения к проме жутку времени, в течение которого было совершено это перемещение: 1 1 v = Δ r /Δ t . При малых приращениях функции и аргумента

1 1 dr v= . dt

(1.3)

Скорость при равномерном прямолинейном движении является вели чиной постоянной: 1 v = const. По модулю скорость

1 1 v = Δr / Δt = S / Δt ,

(1.4) 9

1

так как S = Δr . Используя уравнения (1.1) и (1.3), получим

1 1 1 1 dx 1 dy 1 dz 1 +j +k = i v x + jv y + kv z , v=i dt dt dt

(1.5)

откуда

1 v = v 2x + v 2y + v 2z , 1

где vx, vy и vz — проекции вектора скорости v на координатные оси x, y и z. Из формулы (1.4) устанавливается единица скорости в системе СИ — метр на секунду (м/с) и формула пути равномерного прямолинейного дви жения: S = v . Dt. Используя данное уравнение, можно записать кинематическое уравне ние для равномерного прямолинейного движения, т. е. найти выражение для координаты материальной точки, движущейся равномерно вдоль оси x: x = x0 + vxDt. (1.6) Если материальная точка начинает движение из начала координат, то x0 = 0 и координата x = vxDt. Если за равные промежутки времени материальная точка, двигаясь по прямой, проходит разные пути, то такое движение называется перемен& ным. Пусть материальная точка, двигаясь неравномерно, за время Dt переме стилась из положения 1 в положение 2 (см. рис.1). Средней скоростью дви жения материальной точки называется векторная физическая величина, рав

1

ная отношению перемещения Δr ко времени Δt , за которое оно произо шло:

1 1 v = Δr / Δt .

(1.7)

Средней путевой скоростью движения материальной точки называ ется скалярная величина, равная отношению пути S к промежутку време ни Dt, за которое этот путь пройден:

v

S

= S / Δt .

(1.8)

Переменное движение характеризуется также мгновенной скоростью (скоростью в данный момент времени). Мгновенную скорость можно опре

1

делить как предел отношения Δr / Δt при Dt → 0: 10

1 1 1 v = lim (Δr / Δt ) = dr / dt . Δt → 0

(1.9)

Таким образом, мгновенная скорость движения материальной точки есть векторная физическая величина, равная первой производной радиуса 1 вектора движущейся точки по времени. Скорость v направлена по каса тельной к траектории в направлении движения. § 3. Ускорение Быстрота изменения скорости по времени при переменном движении характеризуется ускорением:

1 1 1 1 d v d 2r a = lim Δv / Δt = = 2 . dt Δt →0 dt

(1.10)

Ускорение — это векторная физическая величина, равная первой про изводной скорости по времени или второй производной радиусавектора движущейся точки по времени. В системе СИ ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате (м/с2). Используя уравнения (1.1) и (1.10), запишем ускорение через его со ставляющие по осям прямоугольной декартовой системы координат:

1 1 1 1 d 2x 1 d 2 y 1 d 2z 1 a = i 2 + j 2 + k 2 = i ax + ja y + kaz , dt dt dt

(1.11)

где ax, ay и az — проекции вектора ускорения на координатные оси x, y и z. Модуль вектора ускорения

1 | a |= a x2 + a 2y + a z2 .

(1.12)

1 Вектор ускорения a принято раскладывать на две составляющие (рис. 2): 1 1 1 a = a τ + an , (1.13)

1

где aτ =

dv — тангенциальное ускорение, направленное по касательной dt 1

v2

к траектории движения, an = — нормальное (центростремительное) R 11

aτ

A

v

ϕ

a

an Ðèñ. 2

ускорение, направленное перпендикулярно ско 1 рости v , R — радиус кривизны траектории (радиус окружности, сливающийся с траектори ей на бесконечно малом ее участке). Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости, а нормаль ное — изменение скорости по направлению. Квадрат модуля ускорения:

a 2 = aτ2 + an2 , отсюда ускорение 2

2 ⎛ d v ⎞ ⎛⎜ v 2 ⎞⎟ a= ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ . ⎝ dt ⎠ ⎝ R ⎠

(1.14)

При равнопеременном прямолинейном движении aτ = const ≠ 0 , а

an = 0 , т. е. ускорение a = aτ = d v / dt . Отсюда d v = a d t . Интегрируя данное выражение, получим формулу скорости равнопеременного прямо линейного движения: t

v

∫

∫

d v = a d t , v = v 0 + at ,

v0

(1.15)

0

если v0 = 0, то v = a t. (1.16) Здесь v0, v — скорости в моменты времени t = 0 и t соответственно. Так как скорость v = dS/dt, то dS = vdt. Подставляя в данное выраже ние уравнение (1.15), после интегрирования получим формулу пути равно переменного прямолинейного движения: S

∫ 0

t

∫

t

∫

dS = v 0 dt + a tdt , 0

0

S = v 0t + at 2 / 2 .

(1.17)

S = at 2 / 2 .

(1.18)

Если v0 = 0, то 12

При равноускоренном движении в формулах (1.15)–(1.18) ускорение а берется со знаком плюс, при равнозамедленном — со знаком минус. § 4. Движение тела, брошенного под углом к горизонту Рассмотрим движение тела, брошенного под углом a к горизонту с на

1

чальной скоростью v 0 . При отсутствии сопротивления воздуха движение бу дет происходить по параболе, изображенной на рис. 3. Движение данного тела можно представить как результат наложения двух одновременных прямолинейных движений по осям ох и оy, направлен ных вдоль поверхности Земли и по нормали к ней. По оси оx движение равномерное с постоянной скоростью vx = v0x = v0cos a. Воспользовавшись формулой (1.5) для равномерного прямолинейного движения, запишем уравнение движения тела вдоль оси оx: (1.19) x = v0xt = v0t cosa, где t — время движения. По оси оy движение равнопеременное с ускорением ay = –g и с на чальной скоростью v0y = v0sina.

Для равнопеременного движения согласно уравнениям (1.15) и (1.17) запишем:

v y = v 0 y − gt = v 0 sin α − gt ,

y = v 0 y t − gt 2 / 2 = v 0t sin α − gt 2 / 2 .

(1.20) (1.21) 13

Исключив время t из уравнений движения (1.19) и (1.21), найдем урав нение траектории:

y = x ⋅ tg α − gx 2 / (2v 02 cos2 α ) .

(1.22)

Это уравнение параболы. В момент падения тела на Землю координата y = 0. Приравняв y нулю, из уравнения (1.21) найдем время полета:

t (v 0 sin α − gt / 2) = 0 ,

t1 = 0, t 2 = ( 2 v 0 / g ) sin α . Значение времени t1 = 0 соответствует точке бросания тела. Таким об разом, время полета тела t ï = 2 v 0 sin α / g. (1.23) При подъеме тела значение скорости vy уменьшается и при ymax пре вращается в ноль. Из уравнения (1.20), приняв vy = 0, находится время подъема тела на максимальную высоту:

0 = v 0 sin α − gtпод , откуда

tпод = v0 sin α / g .

(1.24)

Сопоставляя выражения (1.23) и (1.24), видим, что время подъема тела на высоту ymax равно времени спуска его с этой высоты. Подставив время подъема tпод в формулу (1.21), найдем максималь& ную высоту подъема тела:

ymax = v02 sin 2 α /(2 g ) . Дальность полета xmax определяется, если в уравнение (1.19) вмес то t подставить время полета:

xmax = v 0tп cos α = v 02 sin 2α / g . Дальность полета максимальна, когда значение sin 2a максимально: sin 2a0 = 1, 2a0 = 90°, a0 = 45°. Из подобия треугольников MCD и MEB (см. рис. 3) запишем:

v 0 x an EB DC = , = или v g MB MC откуда 14

an = v 0 x ⋅ g / v ;

(1.25)

v y aτ ME MD = = или , g v MB MC откуда

aτ = v y ⋅ g / v .

(1.26)

Радиус кривизны траектории R в произвольной точке М определя ется с использованием формулы

an = v 2 / R . § 5. Вращение тела вокруг неподвижной оси Вращательным называется движение, при котором все точки тела опи сывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Пусть тело за промежуток времени Δt = t2 − t1 повернулось на угол

1 Δϕ , перейдя из положения 1 в положение 2 (рис. 4). Вектор Δϕ , направ ленный вдоль оси вращения перпендикулярно плоскости, в которой проис ходит вращение, называется вектором углового перемещения. Модуль

1

вектора Δϕ равен углу поворота Δϕ , выраженному в радианах, а ориен тация вектора определяется по правилу правого винта (если смотреть из

1

конца вектора Δϕ , то вращение тела происходит против часовой стрелки).

1 Δϕ 1 = ω называется средней угловой скоростью, а пре Отношение Δt

дел отношения

1 1 Δϕ d ϕ 1 lim = =ω dt Δt = 0 Δt

(1.27)

называется угловой скоростью. Угловая скорость — это векторная физи ческая величина, равная первой производной углового перемещения по времени. 15

Угловая скорость измеряется в радианах в секунду (рад/с). Вектор уг ловой скорости направлен по оси вращения, и ориентация его определяется правилом правого винта.

1

Если угловая скорость ω за промежуток времени Δt изменяется на

1 Δω , то для характеристики такого вращательного движения вводится по нятие углового ускорения. Угловым ускорением называется векторная фи зическая величина, равная первой производной угловой скорости по време ни или второй производной углового перемещения по времени:

1

1 1 1 d ω d 2ϕ ε= = 2 . dt dt

(1.28)

1

1

Если ω изменяется только по модулю, то векторы ω и ε коллинеарны и направлены в одну и ту же сторону, когда вращение ускоренное, и в проти воположные стороны, когда вращение замедленное. Угловое ускорение измеряется в радианах на секунду в квадрате (рад/с2). Время одного полного оборота тела Т называется периодом обраще& ния, величина, обратная периоду

1 = ν , называется частотой. Период T

измеряется в секундах (с), а частота — в герцах 1 (Гц). За один период обращения радиусвектор r описывает угол, равный 2p рад, поэтому 2p = wT, откуда w = 2p/T = 2pn. 1 Вращательное движение, при котором угловая скорость ω = const ≠ 0 , называется равномерным вращением.

1 dϕ 1 По модулю ω = , откуда d ϕ = ωdt . Интегрируя данное выражение: dt ϕ

t

ϕ0

0

∫ dϕ = ω∫ dt ,

получим формулу для определения модуля углового перемещения:

ϕ − ϕ 0 = ωt , или

ϕ = ϕ0 + ωt .

(1.29)

1 Bращательное движение, при котором угловое ускорение ε = const ≠ 0 , называется равнопеременным вращением. Так как 16

1 1 dω ε= , dt ω

t

ω0

0

то dω = εd t и

∫ dω = ε ∫ dt .

Откуда

ω = ω0 + εt .

(1.30).

Получили формулу для определения угловой скорости при равнопере менном вращении. Угловая скорость

ω=

dϕ , dt

откуда

d ϕ = ωdt . После интегрирования данного выражения с учетом формулы (1.30) ϕ

∫ 0

t

∫

t

∫

dϕ = ω0 dt + ε tdt 0

0

получим формулу для определения модуля углово го перемещения при равнопеременном вращении:

ϕ = ω 0 t + εt 2 / 2 .

(1.31)

При равноускоренном вращении в уравнениях (1.30) и (1.31) угловое ускорение e берется со зна ком плюс, при равнозамедленном — со знаком ми нус. Найдем связь между линейными и угловыми величинами. Пусть тело из положения 1 (рис. 5) пе реходит в положение 2 за малый промежуток вре мени dt, совершая бесконечно малое угловое пере

1

мещение dϕ . Из рис. 5 видно, что

1 d r = Rdϕ , 1

а R = r sin α , 17

где R — радиус окружности. Откуда

dr = rdϕ sin α . Полученное выражение запишем в виде векторного произведения:

11 1 d r = [d ϕ r ] .

(1.32)

Поделим правую и левую части уравнения (1.32) на dt:

1 1 dr ⎡ dϕ 1 ⎤ 1 1 = r = [ω r ] , dt ⎢⎣ dt ⎥⎦ откуда

1 11 v = [ω r ] ,

(1.33)

так как

1 1 dr 1 dϕ 1 =v, а =ω. dt dt Следовательно, модули векторов связаны соотношением 1 v = ω r sin α = ω R . Дифференцируя по времени уравнение (1.33), получим

1 1 1 dv ⎡ dω 1 ⎤ ⎡ 1 dr ⎤ = ⎢ r ⎥ + ⎢ω ⎥ dt ⎣ dt ⎦ ⎣ dt ⎦ или с учетом выражения (1.28) запишем:

11 11 1 11 1 11 à = [ε r ] + [ω v ] = [ε r ] + [ω[ω r ]] . Если заменить вектор ускорения

1 1 1 à = à τ + àn ,

то

11 1 àτ = [ε r ] = εr sinα = εR , 1

а àn = ωωr sin α = ω2 R . Тогда модуль полного ускорения

1 a = aτ2 + an2 = R ε 2 + ω 4 . 18

(1.34) (1.35)

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1. Скорость прямолинейно движущегося тела изменяется по закону

v = v0 + α t + β t 2 , где

м м м α = 2 2 , β = 3 3 , v0 =1 . с с c

Найти среднюю путевую скорость за промежуток времени от до t 2 = 10 c . Дано:

v = v0 +αt + βt

2

α = 2м с2

t1 =1 с

Решение. Среднюю путевую скорость найдем, используя формулу (1.8):

v

β = 3 м с3 v0 =1м с t1 =1c t2 =10c

S

= ΔS Δt , где Δ t = t2 − t1 .

Путь определяем следующим образом:

t2

∫

t2

∫

S = v(t )dt = ( v 0 + α t + β t 2 )d t = t1

t1

t α t 2 βt 3 2 = (v0t + + ) = v0 (t2 − t1) + 2 3 t 1

v S =?

+

α 2 2 β 3 3 (t − t ) + (t2 − t1 ) . 2 2 1 3

Вычислим среднюю скорость:

v0 (t2 − t1 ) + v +

S

=

α 2 2 β 3 3 (t2 − t1 ) + (t2 − t1 ) α 2 3 = v 0 + (t2 + t1) + 2 t2 − t1

β 2 (t + t t + t 2 ) . 3 2 12 1

Подставив числовые значения, получаем

v Ответ: v

S

S

= 123 м/с.

= 123 м/с. 19

Задача 2. Материальная точка движется по закону

1 1 1 r (t ) = α sin(5t )i + β cos 2 (5t ) j , где a = 2 м, b = 3 м.

Определить вектор скорости, вектор ускорения и траекторию движения материальной точки. Дано:

1 1 r (t ) = α sin(5t )i + 1 + β cos 2 (5t ) j

Решение. Запишем закон движения в координатной форме, используя уравнения (1.1) и (1.2) :

⎧ x(t ) = α sin(5t ), ⎨ 2 ⎩ y (t ) = β cos (5t ).

α = 2 , β= 3 .

Определим проекции вектора скорости:

1 1 v(t ) = ?, a (t ) = ?, y ( x) = ?

(1)

vx =

dx = 5α cos(5t ); dt

vó =

dy = −β 2 cos(5t ) sin(5t )5 = −5β sin(10t ). dt

Тогда выражение для вектора скорости согласно формуле (1.5) будет иметь вид

1 1 1 v = 5α cos(5t )i + (−5β) sin(10 t ) j .

(2)

Аналогично определим проекции вектора ускорения:

ax = aó =

d vx dt dv ó dt

= −25α sin(5t ); = − 50 β cos( 10 t ).

Выражение для вектора ускорения согласно формуле (1.11) примет вид

1 1 1 a = −25α sin(5t )i + ( −50β) cos(10t ) j .

(3)

Для определения траектории движения исключим из системы уравнений (1) время t . Представим для этого систему уравнений в виде

20

x ⎧ sin( 5 t ) = , ⎪⎪ α ⎨ y ⎪ cos 2 ( 5 t ) = . ⎪⎩ β

(4)

Возведя левую и правую части первого уравнения в системе уравнений (4) в квадрат и сложив их, получим

sin 2 (5t ) + cos 2 (5t ) =

x2 y + . 2 β α

(5)

Левая часть уравнения (5) равна 1, тогда

x2 y + =1. 2 β α

(6)

Уравнение (6) является уравнением параболы:

y=

α 2β − β x 2 . α2

(7)

Подставив данные из условия задачи в уравнение (7), найдем траекторию движения:

y = 3−

3 2 x . 4

При y і 0 траектория имеет вид параболы, расположенной выше оси x. Точка совершает колебательное движение по ней. Ответ:

1 1 1 v (t ) = 10 cos (5t )i − 15 sin (10 t ) j , 1 1 1 a (t ) = −50 sin (5t )i − 150 cos (10 t ) j , y=3−

3 2 x . 4

Задача 3. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением

ε = α t, где α = 2 ⋅10 −2 рад / с 3 . 21

Через сколько времени после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол ϕ = 60 1 с ее вектором скорости? Решение. Разложим вектор полного ускорения

Дано: ε=αt

α = 2 ⋅10 рад / с −2

ϕ

1 a

3

1

(см. рисунок) на составляющие: a n и

1 a τ . Тогда

= 60 1

a tg ϕ = n . aτ

t =?

(1)

Используя уравнение (1.34), найдем

aτ = ε ⋅ R = α t R .

ϕ

(2)

С другой стороны по определению:

aτ =

dv dt .

(3)

Из уравнений (2), (3) запишем:

αtR =

dv . dt

(4)

Разделим переменные в уравнении (4) и проинтегрируем его:

t

v t2 αt R dt = d v, ∫ αt R d t = ∫ d v, v = α R . 2 0 0

(5)

Нормальное ускорение

an =

v 2 α 2 Rt 4 = . 4 R

(6)

Подставим в формулу (1) уравнения (2) и (6):

tg ϕ = 22

α t3 . 4

(7)

Из уравнения (7) найдем время вращения тела:

t =3

4 tg ϕ . α

Подставив числовые значения, получим

t=7 c. Ответ: t = 7 c . Задача 4. Камень, брошенный с высоты h = 2,1 м под углом a = 45o к горизонту, падает на расстоянии S = 42 м (по горизонтали) от места бросания. Найти начальную скорость v0 камня, время полета t, мак симальную высоту H полета над уровнем Земли, радиусы кривизны траек тории в верхней точке RA и в точке падения камня на Землю RB. Сопротив ление воздуха не учитывать.

Дано:

h = 2,1м

α = 451 S = 42 м v0 = ? H = ? τ = ? RA = ? RB = ?

Решение. Камень можно рассматривать как материаль ную точку, движение которой происходит по пара боле. Это сложное движение представим как сум му двух независимых движений. Для этого выберем систему координат XOУ так, как показано на ри сунке, а начало отсчета поместим в точку броса ния 0. В горизонтальном направлении сумма сил, действующих на камень, равна нулю. Поэтому движение камня вдоль оси ОХ — равномерное со скоростью v x , равной горизонтальной составля ющей начальной скорости v 0 :

v x = v 0 cos α . По вертикали на камень действует сила тяжести, поэтому движение кам ня вдоль оси ОУ будет равнопеременным (является равнозамедленным до 1 точки А и равноускоренным после точки А) с постоянным ускорением g , направленным вертикально вниз. Скорость voy равна вертикальной со ставляющей начальной скорости v 0 :

v oy = v 0 sin α . Законы движения вдоль осей ОХ и OУ имеют вид 23

x = v 0t cos α , (1) y = v 0t sin α − g

t2 . (2) 2

В конечной точке B траекто рии движения

t = τ , x = S , ó = −h . Поэтому:

S = v0 τ cos α , − h = v 0 τ sin α − g

(3)

τ2 . (4) 2

Решение системы уравнений (3)–(4) дает время полета и начальную скорость:

2(h + Stgα) , g

(5)

S . τ cos α

(6)

dy = v 0 sin α − gt . dt

(7)

τ=

v0 = Используя уравнение (2), найдем

vy =

В точке А траектории v y = 0, тогда время полета камня до этой точки

t1 = (v0 sin⋅ α ) g. Подставляя время t1 в формулу (1), найдем максимальную высоту тра ектории над осью ОХ:

ymax = 24

v02 sin 2 α 2g

,

(8)

а над Землей:

H =h+

v 02 sin 2 α . 2g

(9)

Радиус кривизны траектории определяется из соотношения

R=

v2 . an

В точке А

v = vA = vX , an = g,

поэтому

RÀ =

v 02 cos2 α g

.

(10)

В точке В

RB =

Из рисунка видно, что a n

v 2B an .

= g sin β , sin β = RB =

vX , тогда vB

v3B . gv0 cos α

(11)

Здесь:

v B = v 2x + v 2y = v 02 cos 2 α + ( v 0 sin α − gτ) 2 . Ответ:

τ = 3 с, v 0 = 20 м с, Н = 12 м, v В = 20,8 м с, RA = 20 м, RB = 67 м.

25

Глава 2 ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Динамика изучает движение тел под действием приложенных к ним сил. § 6. Законы И. Ньютона Первый закон Ньютона (закон инерции) Существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущееся тело сохраняет свою скорость посто& янной, если на него не действуют другие тела или действия их ском& пенсированы. Такие системы отсчета называются инерциальными. Явление сохранения скорости тел постоянной называется инерцией. Действие одних тел на другие характеризуется силой. Сила — это мера взаимодействия двух тел, в результате которого тела приобретают ускорение или деформируются. Сила — векторная величина. Свойство тел сохранять при отсутствии внешнего воздействия состоя ние покоя или равномерного и прямолинейного движения называют инер& тностью. Инертность тел характеризуется скалярной величиной, посто янной для данного тела (в классической механике Ньютона), называемой массой тела. Второй закон Ньютона

1

В инерциальной системе отсчета ускорение a , с которым дви&

1

жется тело, прямо пропорционально силе F , действующей на тело, и обратно пропорционально массе тела m:

1 1 a = F /m.

(1.36)

Направление ускорения совпадает с направлением силы. Если на тело действует несколько сил (n, например), то второй закон Ньютона можно записать в виде n

1

1

∑ Fi = ma . i =1

В системе СИ сила измеряется в ньютонах (Н), 1 Н = 1 кг . м/с2. Уравнение (1.36), записанное в дифференциальном виде:

m 26

1 dv 1 = F, dt

называют основным уравнением динамики материальной точки. В зависи мости от постановки задачи решение основного уравнения динамики про водится в векторной форме или в проекциях на координатные оси. Различают основную и обратную задачи динамики. В основной задаче по заданным силам и начальным условиям определяется состояние механичес кой системы. Содержанием обратной задачи является определение закона движения по заданному параметру движения и начальным условиям. Третий закон Ньютона При взаимодействии двух тел возникают две силы, которые рав& ны по модулю, направлены в противоположные стороны вдоль пря& мой, соединяющей тела: 1 1 F12 = − F21 , (1.37) 1 где 1F12 — сила, с которой первое тело действует на второе; F21 — сила, с которой второе тело действует на первое. Эти силы не уравновешиваются, так как приложены к разным телам. Принцип независимости действия сил: если на материальную точку массой mi одновременно действует несколько сил, 1 то каждая 1 из них сообщает материальной точке ускорение ai = Fi / mi так, как будто другие силы не действуют. По современным представлениям все явления, протекающие во Все ленной, обусловлены четырьмя видами фундаментальных взаимодей& ствий: сильными, электромагнитными, слабыми и гравитационными. Силь& ные взаимодействия обеспечивают существование атомных ядер и про являются в действии ядерных сил. Электромагнитные взаимодействия обусловливают существование атомов, молекул и макротел. Слабые вза& имодействия характерны для элементарных частиц. Гравитационные взаимодействия проявляются в виде сил всемирного тяготения. Силы, рассматриваемые в классической механике, имеют электромаг нитную (силы упругости, силы трения) и гравитационную природу (силы тяготения, силы тяжести). В механике Ньютона состояние материальной точки в момент времени t определяется из решения основного уравнения динамики по известным в начальный момент времени координатам и проекциям скорости. Это поло жение называется механическим детерминизмом. 27

§ 7. Силы в механике В динамике при изучении движения тел необходимо знать силы, дей ствующие на тело, и их зависимость от различных величин. Силы тяготения (гравитационные силы) возникают в результате вза имного притяжения тел и подчиняются закону всемирного тяготения:

F = Gm1m2 / r 2 .

(1.38)

Сила взаимного притяжения F двух материальных точек прямо пропорциональна произведению их масс, обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними и направлена вдоль прямой, со& единяющей материальные точки. В уравнении (1.38) G = 6,67 ⋅10 −11 м 3 / ( кг ⋅ с ) — гравитационная по стоянная. 2

1

Силой тяжести материальной точки называется сила mg , равная век

1

торной сумме силы F тяготения этой материальной точки к Земле и цент

1

робежной силы инерции Fö , обусловливающей участие материальной точ ки в суточном вращении Земли. Под действием силы тяжести все тела пада

1

ют с постоянным для данной местности ускорением свободного падения g. Ускорение свободного падения не зависит от массы падающего тела и изме няется с широтой местности в пределах от 9,78 м/с 2 на экваторе до 9,83 м/с2 на полюсах.

1

Весом тела P называется сила, с которой тело, вследствие его при тяжения к Земле, действует на опору или подвес. Вес тела приложен к опо ре или подвесу. Невесомость — это состояние системы, при котором отсутствует дав ление частей системы друг на друга. В состоянии невесомости тела не ока зывают давления на окружающие их тела. Например, при свободном паде нии тело находится в состоянии невесомости. Состояние невесомости тела может наступить при движении в лифте, если кабина лифта опускается с ускорением, равным g. Силы упругости возникают при деформации тел. Деформация — это изменение формы или объема тела под действием силы. Упругими называются деформации, которые полностью исчезают пос ле прекращения действия деформирующих сил. 28

Для небольших упругих деформаций справедлив закон Р. Гука1: сила упругости F прямо пропорциональна величине деформации x: F = –kx, (1.39) где k — коэффициент упругости (жесткость), [k] = Н/м. Сила трения скольжения возникает при относительном перемеще нии двух соприкасающихся тел. Она не зависит от площади поверхностей соприкосновения трущихся тел и пропорциональна силе нормального дав ления N, прижимающей поверхности друг к другу: Fтр = mN,

(1.40)

где m — коэффициент трения скольжения, зависящий от состояния со прикасающихся поверхностей. Сила трения направлена по касательной к трущимся поверхностям в сторону, противоположную движению тела. Сила трения возникает не только при скольжении одной поверхности по другой, но и при попытках вызвать такое скольжение. В этом случае она называется силой трения покоя. Сила трения покоя Fтр. п равна по модулю внешней силе, которую при кладывают к телу, пытаясь сдвинуть его с места. Она может принимать любые значения от нуля до силы трения скольжения Fтр:

0 ≤ Fтр. п ≤ Fтр . § 8. Импульс тела. Закон сохранения импульса Рассмотрим движение тела массой m под действием внешних сил. По

1

1

1

второму закону Ньютона F = ma , где F — геометрическая сумма внешних

1

1

1

сил, a — ускорение, сообщаемое телу. Так как ускорение a = dv / dt , то 1 1 1 dv d 1 dp F =m = ( mv ) = . (1.41) dt dt dt

1

В уравнении (1.41) произведение массы тела на его скорость ( m v ) на 1 зывается импульсом тела p . Согласно уравнению (1.41) второй закон Нью тона сформулируется следующим образом: скорость изменения импульса 1 Роберт

Гук (1635–1703) — английский физик. 29

тела равна силе, действующей на тело. Это наиболее общая формули ровка основного закона динамики поступательного движения. Импульс тела — величина векторная. Вектор импульса совпадает по направлению с вектором скорости. Единица измерения импульса в системе СИ килограммметр в секунду (кгм/с). Рассмотрим механическую систему, состоящую из n поступательно дви жущихся тел. Используя второй закон Ньютона (1.41), запишем систему уравнений:

1 1 1 1 d (m1v1 ) 1 = F12 + F13 + ... + F1n + F1 , dt 1 1 1 1 d (m2 v 2 ) 1 = F21 + F2 3 + ... + F2 n + F2 , dt ........ ...................................

1 1 1 1 d (mn v n ) 1 = Fn1 + Fn 2 + ... + Fn( n −1) + Fk . dt 1 1 1 1 1 Силы F1 2 , F13 , F1 n , F21 ,..., Fn ( n −1) , возникающие в результате взаи модействия между телами данной системы, называются внутренними.

1

1

1

Силы F1 , F2 ,...Fk , с которыми на тела данной системы действуют тела дру гих систем, называются внешними. Сложив левые и правые части уравнений, получим 1 1 1 d ( m i vi ) ∑ d t = ∑ Fвн утр + ∑ Fвн еш 1 1 1 dp = ∑ Fв н у т р + ∑ Fв н е ш , или dt

1 dp где — изменение импульса системы, dt

1

∑F 1 ∑F

внутр

внеш

30

— сумма внутренних сил, — сумма внешних сил.

На основании третьего закона Ньютона

1

∑F

внутр

= 0 , поэтому дан

1 1 ное уравнение запишем в виде dp / dt = ∑ Fвнеш .

Изменение импульса системы тел определяется суммой внешних сил, действующих на систему. Это закон изменения импульса системы тел. Если система замкнута, то

1 1 dp / dt = 0 или dp = 0 . А это значит, что

1 F ∑ внеш = 0 и уравнение примет вид 1 p = const .

(1.42) Получен закон сохранения импульса системы тел: полный (сум& марный) импульс замкнутой системы тел остается постоянным по величине и направлению. Закон сохранения импульса справедлив лишь в замкнутой системе, ког да на тела не действуют внешние силы. Однако его можно применять: 1) если сумма внешних сил, действующих на систему тел, не равна нулю, т. е

∑

1 Fi ≠ 0 , но равна нулю сумма проекций всех внешних сил на какую

либо ось (например, ось х), тогда проекция импульса системы на эту ось рх = const; 2) если

1

∑ Fi ≠ 0 , а взаимодействие тел кратковременно и им

пульс внешних сил существенно не изменяет импульса тела. Закон сохранения импульса связан с однородностью пространства и является фундаментальным законом природы. § 9. Центр масс. Закон движения центра масс Точка С (рис. 6), положение которой можно определить радиусомвек тором

1 1 1 1 m r + m2 r2 + ... + mn rn 1 n 1 = mi ri , rc = 1 1 m1 + m2 + ... + mn m i =1

∑

(1.43)

называется центром масс системы. Масса iй частицы системы обозначе

1

на mi, ri — радиусвектор, определяющий положение iй частицы, m — масса системы. Дифференцируя по времени уравнение (1.43), найдем скорость движе ния центра масс: 31

mi ri 0

rÑ

C

1 n n 1 1 1 p 1 1 mv = p = vc = (1.44) m i =1 i i m i =1 i m , 1 1 где vi — скорость; pi — импульс iй части 1 цы; p — импульс системы.

∑

∑

Из уравнения (1.44) следует, что импульс системы равен произведению ее массы на ско рость движения центра масс: Рис. 6

1 1 p = mv c .

(1.45)

Подставив выражение (1.45) в уравнение (1.41), получим уравнение движения центра масс:

1

2 1 dv c d 2 (mvc ) = m = ma2c = F , dt dt

(1.46)

где ac — ускорение центра масс. Из уравнения (1.46) можно сделать вывод, что центр масс системы движется так же, как материальная точка, масса которой равна массе данной системы, и на которую действует сила, равная резуль& тирующей всех внешних сил, приложенных к системе. Для замкнутой

1

1

системы результирующая сила F = 0 , значит, ac = 0 , т. е. центр масс зам кнутой системы движется прямолинейно и равномерно или покоится. § 10. Энергия, работа, мощность Универсальной количественной мерой движения и взаимодействия всех видов материи является энергия. Различают виды энергии: механическая, внутренняя, электромагнит ная, ядерная и др. В процессе взаимодействия тел энергия может перехо дить из одного вида в другой. Например, при трении тела нагреваются, при этом механическая энергия переходит во внутреннюю. Изменение вида энергии связано с совершением работы. Механическая работа — это физическая величина, равная скаляр

1

1

ному произведению двух векторов, силы F и перемещения S . Для эле ментарной работы можно записать выражение 32

1 1 dA = F ⋅ dS = F ⋅ dS cos α = FS dS ,

(1.47)

где FS — проекция силы на направление перемещения, a — угол между векторами силы и перемещения. Если a = 0, то dA = FdS — максимальная величина; если a = 90°, то А = 0; если a = 180°, то dA = –FdS — работа отрицательная (работа сил сопротивления). Работа, совершаемая внешними силами над системой, считается поло жительной; работа, совершаемая самой системой, считается отрицательной. Для расчета работы при перемещении частицы от S1 до S2 надо проин тегрировать уравнение (1.47): S2

A=

1

1

∫ F ⋅ dS .

(1.48)

S1

Работа на отрезке пути от точки 1 до точки 2 численно равна площади фигуры 012С (рис. 7). В системе СИ работа и энергия изме ряются в джоулях (Дж), 1 Дж = 1 Н.м. Консервативной называют силу, работа которой определяется начальным и конечным положением тела и не зави сит от пути, по которому оно двигалось. Консервативными являются силы тя готения, силы упругости. Системы, в ко торых действуют только консервативные силы, называются консервативными или потенциальными системами. Силы, приводящие к рассеиванию энергии, называюся диссипатив& ными (силы трения, силы сопротивления и т. д.), а системы, в которых дей ствуют диссипативные силы, называются диссипативными системами. Вычислим работу упругой силы, действующей, например, при растя жении пружины. Сила упругости F и удлинение пружины x связаны зависи мостью, определяемой законом Гука (1.39): F = –kx. Элементарная работа dA при бесконечно малом удлинении пружины dx будет равна

1 1 1 1 1 1 dA = Fdx = F dx cos1802 = − F dx = −kx dx .

(1.49) 33

Интегрируя уравнение (1.49), найдем работу, совершаемую упругой си лой при растяжении пружины: x2

⎛ kx 2 kx 2 ⎞ À = − kxdx = −⎜⎜ 2 − 1 ⎟⎟ . 2 ⎠ ⎝ 2 x

∫

(1.50)

1

Из выражения (1.50) следует, что работа сил упругости зависит только от начального х1 и конечного х2 положений пружины, а значит, силы упру гости являются консервативными. Согласно уравнению (1.50) работа, совершаемая внешней силой при растяжении пружины на величину х, равна

A=

kx2 , 2

(1.51)

если принять х = 0 у недеформированного тела. Мощностью N называется физическая величина, равная работе, со вершаемой в единицу времени:

1 1 1 dA FdS 1 dS 1 1 N= = =F = F v. dt dt dt

(1.52)

1

Мощность равна скалярному1произведению двух векторов: силы F и скорости перемещения частицы v . В системе СИ мощность измеряется в ваттах (Вт), 1Вт = 1 Дж/с. § 11. Кинетическая и потенциальная энергия Кинетическая энергия Ек — это физическая скалярная величина, яв ляющаяся мерой механического движения тел.

1

Пусть тело массой m движется под действием внешней силы F с уско

1

1

рением a = d v / dt .

1 1 1 dv Сила F = ma = m , а элементарная работа данной силы на переме dt 1 щение dS равна 1 1 1 1 1 dS 1 1 dv 1 dA = FdS = m dS = mdv = mv dv . dt dt 34

1 ⎛ mv 2 ⎞

1 1

1

1 1

⎛ mv 2 ⎞

⎟⎟ . ⎟⎟ = m ⋅ 2 vd v = mvd v , то dA = d ⎜⎜ Так как d ⎜⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 Интегрируем полученное выражение: v2

⎛ mv2 ⎞ mv 22 mv12 = dA d ⎜ ⎟ ∫1 v∫ ⎝ 2 ⎠ , A12 = 2 − 2 1 2

.

Здесь

mv 2 = Eк (1.53) 2 — кинетическая энергия тела. 1 Таким образом, работа внешней силы F идет на увеличение кинети ческой энергии тела. Отметим, что приращение кинетической энергии (в отличие от импуль са) определяется работой не только внешних, но и внутренних сил. Механическая энергия, зависящая от взаимного расположения тел или отдельных его частей и их положения во внешнем силовом поле, называется потенциальной энергией. Мерой потенциальной энергии является работа потенциальных сил, осу ществляющих взаимодействие между телами или частями тел. Рассмотрим перемещение частицы массой m в поле силы тяжести из точки 1 в точку 2 (рис. 8). Работа А12, согласно (1.47), равна

1

1

1 1 11 A12 = Fò S12 = mgS12 ,

где Fò = mg — сила тяжести.

1

Проекция вектора перемещения S12 на направление силы тяжести рав на разности высот (h1 – h2): А12 = mg (h1 – h2) = –mgh.

(1.54)

Величина mgh = Ep называется потенци альной энергией силы тяжести. Таким образом, тело, поднятое на высоту h, обладает потенциальной энергией Еp, которая определяется начальным и конечным положени ями тела. Высота h отсчитывается от нулевого уровня, выбираемого произвольно. Из соотно 35

шения (1.54) следует, что работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии системы, т. е. dA = –dEp. Потенциальной энергией обладают упругодеформированные тела (рас тянутый или сжатый стержень, сжатая или растянутая пружина). В этом случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположе ния частей тела. Чтобы растянуть пружину на величину x согласно формуле (1.51), нуж но совершить работу

A=

kx 2 . 2

Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии пружины Ep = kx2/2.

(1.55)

Установим связь между потенциальной энергией и силой. Пусть имеется консервативная система, в которой материальная точка движется в направлении оси х. При перемещении точки на величину dx силы поля совершают работу: dA = Fxdx, которая равна убыли потенциальной энергии, т. е. dA = –dEp. Таким образом, Fxdx = –dEp, откуда Fx = −

∂ Ep ∂x

. Для компонент силы

по осям y и z можно аналогично записать

Fy = −

1

1

∂ Ep ∂y

,

1

Fz = −

1

∂Ep ∂z

.

Так как вектор силы F = iFx + jFy + kFz , получим

1 ⎛ 1 ∂E p 1 ∂Ep 1 ∂Ep F = −⎜ i + j +k ∂y ∂z ⎝ ∂x

⎞ ⎟ = −∇ Ep = − grad Ep , ⎠

где ∇ — оператор У. Гамильтона1 (оператор набла). 1 Уильям

36

Роуан Гамильтон — ирландский математик.

(1.56)

Вектор с компонентами ∂E / ∂x , ∂E / ∂y , ∂E / ∂z , где Ер — ска p p p лярная функция координат x, y, z, называется градиентом потенциальной энергии и обозначается grad Ep. Направление вектора градиента совпадает с направлением оси, вдоль которой скалярная функция (в данном случае Ер) возрастает с наибольшей скоростью. Следовательно, консервативная сила равна градиенту потенци& альной энергии, взятому со знаком минус. § 12. Закон сохранения энергии Полная механическая энергия системы Е равна сумме кинетической и потенциальной энергий: Е = Е к + Ер .

(1.57)

Рассмотрим случай, когда в замкнутой системе действуют только кон сервативные силы. Элементарная работа этих сил dA сопровождается из менением кинетической dЕк и одновременно равным по значению, но про тивоположным по знаку изменением потенциальной энергии dЕр системы: dA = dEк = –dEp. Отсюда dEк + dEp = d(Eк + Ep) = dE = 0, так как для замкнутых систем dA = 0. Cледовательно, d(Eк + Ep) = 0, или E = Eк + Ep = const. (1.58) В замкнутой системе, в которой действуют только консерва& тивные силы, полная механическая энергия со временем не изменя& ется. Это закон сохранения энергии в механике. При наличии в системе диссипативных сил полная механическая энергия системы уменьшается, переходя во внутреннюю энергию тел системы. Закон сохранения механической энергии можно применять и для не зам кнутых систем, когда: а) суммарная работа внешних сил, действующих на тела системы, равняется нулю; б) уменьшение энергии системы, связан ное с преодолением диссипативных сил, компенсируется увеличением энер гии за счет работы внешних сил. Отметим, что при свободном падении тело также нельзя считать замкнутой системой, так как на него действует вне шняя сила — сила тяжести. В этом случае удобно рассматривать движение 37

в системе отсчета «тело–Земля», которую можно считать замкнутой. Прак тически это не приводит к ошибкам, так как потенциальная энергия тела в гравитационном поле Земли является энергией взаимодействия тела и Зем ли, то есть характеризует энергию всей системы. Изменением же кинети ческой энергии Земли при ее взаимодействии с падающим телом можно пре небречь. Все процессы преобразования энергии подчиняются закону сохранения и превращения энергии: энергия системы может переходить из одного вида в другой, перераспределяться между телами системы, но полная энергия замкнутой консервативной системы всегда остается постоянной. Закон сохранения механической энергии связан с однородностью вре& мени и является фундаментальным законом природы. § 13. Соударение тел Ударом называется совокупность явлений, возникающих за очень ко роткий промежуток времени при столкновении тел. Удар называется абсо& лютно упругим, если после соударения тела сами восстанавливают свою форму и размеры. Если после удара тела не восстанавливают свою перво начальную форму, то такой удар называется абсолютно неупругим. Удар называется прямым и центральным, если тела при соударении двигались вдоль прямой, проходящей через их центры. Рассмотрим соударение двух однородных шаров, двигающихся поступа тельно при отсутствии действия внешних сил. Абсолютно неупругий прямой центральный удар двух шаров

1

1

Пусть шары массами m1и m2 имели до удара скорости v1 и v 2 . Запи шем закон сохранения импульса:

1 1 1 m1v1 + m2 v 2 = (m1 + m2 )u ,

(1.59)

1 где u — скорость шаров после удара. При абсолютно неупругом ударе закон сохранения механической энергии не выполняется, т. к. часть механической энергии во время удара переходит во внутреннюю энергию или другие формы энергии. Закон сохранения энергии для этого случая можно записать в виде

m1v12 m2 v 22 ⎛ m1 + m2 ⎞ 2 + =⎜ ⎟ u + Eдеф , 2 2 ⎝ 2 ⎠ где Едеф — потеря механической энергии тел при деформации. 38

(1.60)

Из уравнений (1.59) и (1.60) найдем скорость шаров после соударения:

1 1 1 u = (m1v1 + m2 v 2 ) / (m1 + m2 )

(1.61)

и энергию, затраченную на деформацию шаров:

E деф =

m1m2 2 ( v1 − v 2 ) . 2 ( m1 + m2 )

(1.62)

Если скорость v2 = 0, то u = m1v1/(m1 + m2), а Eдеф = m1m2 v12 /2(m1 + m2), и если при этом m2 >> m1, то энергия деформации Едеф приблизительно равна кинетической энергии ударяющего тела:

E деф

m 1 v 12 . 2

Таким образом, для получения наибольшей деформации, например при ковке детали, масса наковальни (неподвижного тела) должна быть гораздо больше массы молота. Абсолютно упругий прямой центральный удар двух шаров При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или час тично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела восста навливают первоначальную форму, отталкивая друг друга. В итоге потенци альная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энер гию и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяется законом сохранения энергии и законом сохранения импульса:

m1v12 / 2 + m2 v 22 / 2 = m1u12 / 2 + m2u 22 / 2 ,

1 1 1 1 m1v1 + m2 v 2 = m1u1 + m2u 2 ,

(1.63) (1.64)

где m1 и m2 — массы шаров; v1 и v2 — скорости шаров до удара; u1 и u2 — скорости шаров после удара. Уравнения (1.63) и (1.64) приведем к виду

1 1 1 1 m1 (v1 − u1 ) = m2 (u 2 − v 2 ),

(

)

(

(1.65)

)

m1 v12 − u12 = m2 u 22 − v 22 ,

39

(

)

(

)

или m1 v1 + u1 (v1 − u1 ) = m2 (u 2 + v 2 ) u 2 − v 2 . Так как все векторы, входящие в уравнение (1.65) коллинеарны, пос

1

1

1

1

1

1

1

1

ле преобразований запишем v 2 + u 2 = v1 + u1 , откуда u 2 = v1 + u1 − v 2 . Решая совместно полученное уравнение и уравнение (1.65), находим

1 1 1 u1 = [2m2 v 2 + (m1 − m2 )v1 ] (m1 + m2 ) ,

1 1 1 u 2 = [2m1v1 + (m2 − m1 )v 2 ] (m1 + m2 ) .

(1.66) (1.67)

Рассмотрим частные случаи. 1. Массы соударяющихся 1 1 1шаров 1 равны: m1 = m2, из уравнений (1.66) и (1.67) следует, что u1 = v 2 и u 2 = v1 , т. е. шары при соударении обменива ются скоростями, и если один (например, второй) до соударения покоился, то после удара он будет двигаться с той же скоростью, с которой двигался первый шар, а первый шар после удара останавливается. 2. Шар массой m1 налетает на неподвижную стенку. Массу стенки мож но считать бесконечно большой, тогда шар меняет свою скорость на проти воположную.

40

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 5. Невесомый блок закреплен на вершине наклон ной плоскости, составляющей с горизонтом угол a. Через блок переброшена нерастяжимая нить, к концам которой при креплены тела 1 и 2 массами m1 и m 2 . Коэффициент трения между телом 1 и наклонной плоскостью равен m. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения в блоке нет. Счи тая, что в начальный момент тела 1 и 2 неподвижны, найти отношение масс m2 / m1, при котором тело 2 начнет опускаться. Дано:

1, 2

m1,m2

m2 m1

=?

Решение. Рассмотрим силы, действующие на тела 1 и 2. Спроек тируем их на выбранные координатные оси и запишем вто рой закон Ньютона в виде системы скалярных уравнений. Для тела 1 0X: T − Fтр − m1 g sin α = m1a1x ,

(1)

0У: N − m1g cosα = 0 .

(2)

Для тела 2 0У:

m2g −T = m2a2у .

(3)

При этом необходимо учесть, что

a1x = a2у = a , так как нить нерастяжима.

Fтр = μ N = μ m1 g cos α .

(4)

Решая систему (1)–(4), находим:

a=g

(m2 − μ m1 cosα − m1 sinα) . m1 + m2

(5)

41

Разделим в формуле (5) числитель и знаменатель на m1. Тогда

⎤ ⎡ m2 ⎢ − μ ⋅ cosα − sinα ⎥ m ⎦. a=g⎣ 1 m2 1+ m1

(6)

Очевидно, чтобы тело 2 опускалось, ускорение должно быть положи тельным. Это будет выполняться, когда в формуле (6)

m2 > (sinα + μ cosα ) . m1 Ответ:

m2 m1

> (sin α + μ cos α) .

Задача 6. Частица движется вдоль оси Х по закону: x = α t 2 − β t 3 , где a и b — положительные постоянные. В момент t = 0 сила, действующая на частицу, равна F0. Найти значения силы Fx в точках поворота и в момент, когда частица окажется в точке x = 0.

Д ан о:

x = αt2 − F0

Решение. Запишем второй закон Ньютона:

Fx = m a x .

(1)

Для нахождения силы необходимо определить уско

F1 = ?, F 2 рение a x : vx =

dx = 2α t − 3β t 2 , dt

ax =

d vx = 2α − 6β t. dt

(2)

Перепишем уравнение (1) с учетом уравнения (2):

Fx = m(2α − 6β t ) .

(3)

Используя начальные условия, когда t = 0 и Fx = F0, найдем массу частицы: 42

F0 = m 2α ⇒ m =

F0

.

2α

(4)

а) В точке поворота скорость частицы равна

vx =

dx = 0, dt

2α t − 3β t 2 = 0 .

т. е.

Это соответствует времени:

t1 =

2α . 3β

(5)

Подставим вместо t выражение для t1 в формулу (3):

F1 = m(2α − 6β t1 ) =

F0 ⎛ 2α ⎞ ⎜⎜ 2α − 6β ⎟ = − F0 . 3β ⎟⎠ 2α ⎝

б) В точке x = 0 частица будет находиться в момент времени t2, которое определим из закона движения:

x = α t22 − β t23 = 0 ,

t22 (α − βt2 ) = 0 . Отсюда

t2 =

α . β

(6)

Подставив время t2 в формулу (3), получим

F2 = m( 2α − 6β t2 ) =

F0 ⎛ α⎞ ⎜⎜ 2α − 6β ⎟⎟ = −2 F0 . 2α ⎝ β⎠

Ответ: F1 = − F 0; F 2= −2 F0 . Задача 7. Небольшое тело A начинает скользить с вершины гладкой сферы радиусом R. Найти угол a между вертикалью и радиусомвектором, характеризующим положение тела A относительно центра сферы в момент отрыва от нее, а также скорость тела в момент отрыва. 43

1

Дано:

R

Решение. На тело в точке С действует сила тяжести mg

1

и сила реакции опоры N. По второму закону Ньютона

1 1 1 mg + N = ma ,

v=?

a=?

1

где a =

v2 R

(1)

— центростремительное ускорение. Проекти

1

руя уравнение (1) на нормаль n к траектории в данной точке, за пишем:

mg cos α − N = m

v2 . R

(2)

1

Направление орты n выби раем к центру кривизны траек тории в данной точке. В момент отрыва N = 0, тогда уравнение (2) будет иметь вид

mg cos α = m ⋅

v2 , R

g cosα =

v2 . R

(3)

Значения скорости v в точке C определим из закона сохранения энергии:

mgh =

mv 2 , 2

v 2 = 2 gh.

(4)

Из треугольника ОВС найдем h :

OB = cos α , R где OB = R – h,

R−h = cos α , R откуда

h = R(1 − cos α) . 44

(5)

Подставив уравнение (5) в (4), получим

v 2 = 2 gR ⋅ (1 − cos α) .

(6)

Из уравнений (3) и (6) найдем угол a:

v2 = 2 g (1 − cos α ) , R ⎛2⎞ 3 cos α = 2 , α = arccos ⎜ ⎟ . ⎝3⎠

g cos α =

(7)

Скорость в момент отрыва определим из уравнений (6) и (7):

v = 2 gR (1 − cos α ) = Ответ: v =

2 gR . 3

2 gR ⎛2⎞ , α = arccos ⎜ ⎟ . 3 ⎝3⎠

Задача 8. Брусок массой m = 1,5 кг тянут за нить так, что он движется с постоянной скоростью по горизонтальной плоскости с коэффициентом тре ния m = 0,2. Найти угол a, при котором натяжение нити F будет наимень шим. Чему оно равно?

Дано:

m = 1,5 кг

μ = 0,2

α=? Fmin = ?

Решение. Поскольку тело движется с постоянной скоростью, то согласно первому закону Ньютона:

1 1 1 1 N + F + mg + Fтр = 0,

(1)

1 1 где mg — сила тяжести, N — сила реакции плоско сти,

1 Fтр

—

сила

трения

скольжения

и

1 F — сила, с которой тянут брусок. Спроектируем

уравнение (1) на оси Х и У. OX:

F cos α − Fтр = 0,

(2)

ОУ:

N + F sin α − mg = 0 ,

(3)

где Fтр = μ ⋅ N . Решая уравнения (2) и (3), получим 45

F=

μ mg . cos α + μ sin α

(4)

Чтобы определить угол a, при котором натяжение нити будет наи

dF dα

меньшим, найдем производную и приравняем ее нулю:

μ mg dF ⎛ = ⎜⎜ dα ⎝ cos α + μ sin α

′ ⎞ μ mg (sin α − μ cos α ) ⎟⎟ = =0, (cos α + μ sin α )2 ⎠

sinα − μ cosα = 0 ,

μ = tg α ,

α = arctg μ , α = 111 20′. Подставив a и данные задачи в уравнение (4), найдем

Fmin = 2,9 H. Ответ: α = 111 20′, Fmin = 2,9 H. Задача 9. Частица 1 массой m, летящая со скоростью v, сталкивается с неподвижной частицей 2 массой 4m. После соударения частица 1 движется в противоположном направлении, а 1/4 часть ее первоначальной энергии уходит на нагревание и деформацию. Найти скорости частиц v1 и v2 после соударения. Решение Запишем законы сохранения импульса (1.42) и энергии (1.58) для удара частицы:

где 46

mv = −mv1 + 4mv 2 ,

(1)

mv 2 mv12 4mv 22 1 mv 2 = + + , 2 2 2 4 2

(2)

1 m ⋅ v2 — потенциальная энергия деформации. 4 2

Система уравнений (1) и (2) содержит два неизвестных. Выразим v1 из уравнения (1) и подставим в уравнение (2):

v1 = 4 v 2 − v ,

(3)

1 v 2 = (4v 2 − v) 2 + 4v 22 + v 2 , 4 1 v 2 = 16v 22 − 8v 2 v + v 2 + 4v 22 + v 2 , 4 20 v 22 − 8vv 2 + 0,25v 2 = 0 .

(4)

Решая квадратное уравнение (4), находим:

v 2 = 0,36v . Подставляя v2 в формулу (3), определим:

v1 = 0,44v . Ответ: v 2 = 0,36v ; v1 = 0,44v . Задача 10. В стальной кубик массой M = 1 кг, находившийся в покое на горизонтальной поверхности, попадает стальной шарик массой m=10 г, летевший горизонтально со скоростью v1 = 103 м/с, и упруго отражается обратно. Определить, какой путь L после удара пройдет кубик до остановки, если коэффициент трения между кубиком и горизонтальной поверхностью μ = 0,2. Дано:

M =1кг m =10−2 кг v1 =103 м с μ= μ = 00,2 L =?

Решение. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось ОХ:

mv1 = −mv 2 + Mv .

(1)

Так как удар абсолютно упругий, применим закон сохранения энергии:

mv12 2

=

mv 22 2

+M

v2 . 2

(2)

Учитывая, что m << M , и решая систему уравнений (1) и (2), находим:

v 2 = v1 ; 47

v=

2mv1 2mv1 ≈ . (3) M M +m

Кубик массой M движется с начальной скоростью v по горизонтальной поверхности и вследствие действия сил трения останавливается. Применяя второй закон Ньютона, найдем ускорение a и путь L, который проходит кубик: Ma = μ ⋅ Mg , откуда ускорение a = μ g , а путь L =

4m 2 v 2 v2 = 2 1 . 2a M 2μ ⋅ g

Подставив числовые значения, найдем L = 100 м. Ответ: L = 100 м. Задача 11. Два шара массами m1 = 10 кг и m2 = 15 кг подвешены на нитях длиной L = 2 м так, что они соприкасаются между собой. Шар массой m1 был отклонен на угол α = 601 и выпущен. Определить высоту, на кото рую поднимутся шары после удара. Удар считать неупругим. Дано: m1 = 10 кг

m2 = 15 кг L =2м

α = 60 h2 = ?

o

Решение. При отклонении шара 1 на угол α ему была сообще на потенциальная энергия:

E p1 = m1gh1 ,

(1)

где h1 = L (1 − cos α) . Перед столкновением с шаром 2 он будет обладать кинетической энергией

Ek 1 =

m1v12 . 2

(2)

По закону сохранения энергии

E p1 = Ek1. Согласно уравнениям (1), (2) получим

m1gL(1 − cos α) = 48

m1v12 . 2

(3)

Отсюда определим скорость пер вого шара до удара:

v1 = 2 gL(1 − cos α) .

(4)

После неупругого соударения оба шара получают одинаковую скорость

v 2 , которую определим из закона со хранения импульса:

m1v1 = (m1 + m2 ) v 2 , v2 =

m1 2 gL(1 − cos α) . m1 + m2

(5)

Кинетическая энергия шаров в нижнем положении перейдет в потенци альную энергию при их поднятии (по закону сохранения энергии):

Ek 2 = E p 2 ,

( m1 + m2 ) v 22 = ( m1 + m2 ) gh2 . 2 Отсюда

h2 =

v 22 Lm12 (1 − cos α ) . = 2g (m1 + m2 ) 2

После соответствующих вычислений получаем

h2 = 0,16 м . Ответ: h2 = 0,16 м .

49

Глава 3 ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА § 14. Момент силы. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

1

Сила F , приложенная к телу в точке А (рис. 9), положение которой зада

1

1

ется радиусомвектором r , создает момент силы M относительно точки о:

1 11 (1.68) M = rF . 1 Направление вектора M определяется правилом правого винта. Рас

[ ]

крыв векторное произведение (1.68), получим M = Fr .sin α = F l , (1.69) где l = r.sin α — плечо силы (кратчайшее рас стояние от точки о до линии действия силы). Моментом силы относительно непод вижной оси z называется скалярная величи на Mz, равная проекции на эту ось момента

F

M

A

силы Ì относительно какойлибо точки о, лежащей на данной оси z:

Ì

z

1 1 = r F

[ ]z .

l

(1.70)

Аналогично выражению (1.68) определя

α

r

1

Рис. Ðèñ.99

1

ется момент импульса материальной точки Li относительно точки 0:

1 1 1 1 1 (1.71) Li = [r , mi vi ] = [r pi ] , 1 1 1 где pi = mi vi — импульс материальной точки, r — радиусвектор. 1 Проекция момента импульса Li на ось z, проходящую через точку o, называется моментом импульса относительно оси z:

1 1 Li z = [r pi ] z .

Модуль момента импульса можно определить, раскрыв векторное про изведение (1.71):

Li = pi r sin α = lpi , 50

(1.72)

1

де li = r sin α — плечо вектора импульса pi . В системе СИ единицей измерения момента силы является ньютон на метр (Нм), а единицей момента импульса — килограммметр в квадрате на секунду (кг.м2/с). Момент импульса системы, состоящей из n материальных точек:

1 L=

n

∑ i =1

1 Li =

n

11

∑ [r pi ] . i =1

(1.73)

Дифференцируя по времени уравнение (1.73), получим

1 1 1 n 1 1 11 dL n ⎛ ⎡ dr 1 ⎤ ⎡ 1 dpi ⎤ ⎞ n 1 1 ⎟ = ⎜⎜ ⎢ pi ⎥ + ⎢r = [ v p ] + r F = Ì i = Ì , (1.74) i i ⎥ ⎟ dt i =1 ⎝ ⎣ dt ⎦ ⎣ dt ⎦ ⎠ i =1 i =1 1 1 d pi 1 1 dr 1 = Fi , Ì — результирующий момент внешних сил. где =v,а dt dt n

Сумма

[ ]) ∑

∑(

∑

11

1

1

∑ [v pi ] = 0 , так как векторы v и p направлены по одной пря i

i =1

мой в одну сторону.

1 dL 1 Выражение (1.74) = Ì называется уравнением моментов: произ dt

водная по времени от момента импульса системы относительно какойлибо точ ки равна моменту результирующей внешних сил относительно той же точки.

1 dL = 0 , т. е. Если система замкнута, то момент внешних сил Ì = 0 и dt 1 (1.75) L = const. 1

Момент импульса замкнутой системы со временем не изменяется. Будет оставаться постоянным со временем и момент импульса системы от носительно произвольной оси z, проходящей через точку о. Уравнение (1.75) выражает закон сохранения момента импульса си стемы. Этот закон можно вывести, опираясь на второй закон Ньютона и свойство симметрии пространства: его изотропность. Закон сохранения момента импульса является фундаментальным зако ном природы. Его можно применять к любой системе, если результирую щий момент всех внешних сил, приложенных к системе, равен нулю. 51

§ 15. Момент инерции. Кинетическая энергия вращающегося тела Рассмотрим тело массой m, вращающееся вокруг неподвижной оси z (рис. 10). Мысленно разобьем его на систему материальных точек. Пусть материальная точка А массой mi отстоит от оси вращения на рас стоянии ri. Скалярная физическая величина Ji, равная произведению массы материальной точки на квадрат расстояния от нее до оси вращения, называ ется моментом инерции материальной точки:

J i = mi ri2 .

Момент инерции тела равен сумме моментов инерций всех материальных точек, из которых состо ит тело:

J=

∑

mi ri2 .

При непрерывном распределении массы в теле данная сумма сводится к интегралу:

J=

∫ r 2 dm = ∫ ρr 2 dV ,

(m)

z

(1.76)

(1.77)

(V )

mi A vi

0 C pi

Ðèñ. 10 Рис. 10

где ρ — плотность тела; dV — объем малого элемен та тела массой dm, отстоящего от оси вращения на расстоянии r. В СИ момент инерции измеряется в килограммах на метр в квадрате (кгм2). Кинетическая энергия материальной точки определяется по формуле

Eki =

mi vi2 2

,

где vi — линейная скорость движения точки. Если просуммировать кинетические энергии всех n материальных то чек, из которых состоит тело, то найдем кинетическую энергию тела:

Eê =

n

mi v i2

i =1

2

∑

.

Заменив в данном выражении линейную скорость через угловую:

vi = ωri , получим формулу для определения кинетической энергии враща

ющегося тела: 52

Eê =

n

mi ri2ω2

i =1

2

∑

=

n

∑ Ji i =1

ω2 ω2 = 2 2

n

∑ Ji = J i =1

ω2 2 ,

(1.78)

где J i — момент инерции материальной точки, J — момент инерции тела, ω — угловая скорость вращения. В случае, когда тело совершает одновременно поступательное и вра щательное движение (например, шар катится по плоскости), его кинети ческая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вра щательного движений:

Ek = Ekпост + Ekвращ =

m v 2 Jω 2 + . 2 2

§ 16. Моменты инерции некоторых тел 1. Обруч. Ось вращения обруча 00 проходит через центр масс — точку С (рис.11). Выделим на обруче материальную точку массой mi, отсто ящую на расстоянии R, равном радиусу обруча, от точки С. Момент инерции материальной точки согласно уравне нию (1.76) равен

0 mi

R Ñ

0 Рис. Ðèñ.1111

J i = mi R 2 .

Момент инерции обруча равен сумме моментов инерции материальных точек, из которых состоит обруч: n

J=

∑ i =1

где m =

n

Ji = R2

∑ mi = mR 2 , i =1

0

(1.79)

n

∑ mi

— масса обруча.

i =1

2. Диск. Рассмотрим однородный диск (плотность r = const), имеющий радиус R, массу m и толщину а, ось вращения 00 ко торого проходит через центр масс — точ ку С (рис. 12).

C

r

dr

R

0 Рис. Ðèñ.1212 53

Разобьем мысленно диск на малые концентрические цилиндры бес конечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним радиу сом (r + dr). По формуле (1.77) найдем момент инерции диска как сум му моментов инерции малых цилиндров:

∫

J = ρ r 2 dV = ρ (V )

∫

R

∫

r 2 2πrdr ⋅ a = 2πaρ r 3dr ,

(r )

0

где 2πrdr ⋅ a — объем малого полого цилиндра. Интегрируя данное выражение, получим

J = 2πaρ

1 r4 R 1 = πaρR 4 = mR 2 . 2 4 0 2

(1.80)

Далее без вывода запишем формулы для вычисления моментов инер ции некоторых однородных тел, имеющих массу m, когда ось вращения про ходит через центр масс. 3. Шар. где R — радиус шара.

J = 0,4mR2,

(1.81)

4. Прямой тонкий стержень. J = m l 2/12,

(1.82)

где l — длина стержня. Если ось вращения проходит через конец стержня, то J = ml 2/3.

(1.83)

Момент инерции тела относительно оси, не проходящей через его центр масс, определяется по теореме Я. Штейнера1: Момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями: J = Jc + ma2. 1 Якоб

54

Штейнер (1763–1863) — швейцарский математик.

(1.84)

§ 17. Основной закон динамики вращательного движения. Работа и мощность при вращательном движении Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси (см. рис. 10). Мысленно разобьем тело на материальные точки массой mi, находящиеся

1

от оси вращения на расстоянии ri . Траекториями движения материальных

1

точек являются окружности с радиусом ri . Определим модуль момента им пульса материальной точки А относительно оси вращения:

Li z = ri pi sin

π = ri p i = mi v i ri . 2

Так как скорость vi = wri, то

Liz = mi ωri2 = J iz ω , где Ji z — момент инерции материальной точки относительно оси z, ω — óгловая скорость вращения тела. Момент импульса тела относительно оси z запишется в виде

Lz =

n

n

i =1

i =1

∑ J i z ω = ω∑ J i z = J z ω ,

(1.85)

где Jz — момент инерции тела относительно оси z, n — число материаль ных точек. Вектор момента импульса совпадает по направлению с вектором угло вой скорости. Согласно (1.85) закон сохранения момента импульса запишется в виде Jω = const или J1ω1 = J2ω2. (1.86) Если у тела, совершающего вращательное движение, под действием внутренних сил увеличивается момент инерции, то это приводит к умень шению его угловой скорости вращения, и наоборот. Законы сохранения момента импульса можно иллюстрировать с помо щью скамьи Жуковского1 (см. рис. 13). На платформу, которая может вра щаться вокруг вертикальной оси, встает человек и вытягивает в стороны руки. Платформа приводится во вращательное движение. При опускании 1 Жуковский Николай Егорович (1847–1921) — русский ученый, основоположник аэродинамики.

55

рук вниз уменьшается момент инерции человека (J2 < J1), а следовательно, увеличивается угловая скорость вращения (ω2 > ω1), так как произведение Jw = const. Продифференцируем по времени уравнение (1.85):

dLz dω = Jz . dt dt

Согласно (1.83)

dLz = M , а по формуле (1.28) dt

dω = ε , откуда угловое ускорение dt ε = M / Jz .

(1.87)

Уравнение (1.87) называется основным законом динамики вращатель ного движения: угловое ускорение при вращательном движении твер дого тела прямо пропорционально моменту внешних сил, действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции тела. Найдем формулы для вычисления работы и мощности при вращении тела. При неподвижной оси вращения потенциальная энергия вращающего ся твердого тела не изменяется и работа внешних сил идет на приращение кинетической энергии тела. Используя уравнение (1.78), для элементар ной работы, запишем:

⎛ Jω 2 ⎞ 1 ⎟ = J ⋅ 2 ⋅ ωdω = Jωdω. dA = d ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 Согласно (1.85) J dω = dL , то dA = ω dL, но dL = M dt (уравнение (1.74), следовательно, dA = M ω dt = Mdϕ, т. к. ωdt = dϕ. Отсюда нахо дится работа при вращательном движении:

∫

A = M dϕ . Мощность

56

N=

dϕ dA =M = Mω . dt dt

(1.88) (1.89)

Следовательно, мощность при вращательном движении равна произ ведению момента внешних сил на угловую скорость вращения. § 18. Гироскопы Оси вращения твердых тел, не изменяющие своей ориентации в про странстве без воздействия внешних сил, называются свободными осями. Свободными осями могут служить три взаимно перпендикулярных оси, про ходящие через центр инерции твердого тела. Их также называют главными осями инерции тела.

1

При вращении вокруг любой из главных осей момент импульса L тела

1 ω тела и определяется

имеет одинаковое направление с угловой скоростью →

1

→

формулой (1.85): L = J ω . Причем вектор L не зависит от выбора точки на оси вращения. Гироскопом (волчком) называют массивное симметричное тело, вра щающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии. Рассмотрим дви жение волчка, один конец оси вращения которого шарнирно закреплен (точка O на рис.14). Опыт показывает, что при некоторой угловой скорости вра щения w волчок совершает прецессионное движение: ось волчка описыва ет конус вокруг вертикали

oo′ с угловой скоростью ω′ << ω . В результа →

те этого возникает добавочный момент импульса L ′ , обусловленный пре →

цессией. Поскольку ω′ << ω , моментом импульса L ′ в ряде случаев мож но пренебречь. Тогда характер движения волчка определяется поведением →

→

→

вектора L = J ω . Согласно уравнению моментов (1.74) вектор L относи →

тельно точки O за время dt получает приращение d L (рис.14):

1 1 dL = Mdt ,

→

→

где M — момент силы тяжести m g относительно той →

же точки. Вектор d L совпадает по направлению с век 1 → тором Ì и перпендикулярен вектору L. В результате

Рис. 14 57

→

вектор L , а значит, и ось волчка будут поворачиваться вокруг вертикали oo′ , совершая прецессию. Рассмотрим случай, когда на вращающий →

ся гироскоп действует пара внешних сил F (рис.15), создающая относительно центра

1

масс гироскопа c момент M . Момент сил на правлен вдоль прямой O2O2 и за время dt мо →

мент импульса гироскопа L получит прира

1

1

→

→

щение dL = Mdt (заметим, что d L и M со →

→

→

направлены) и станет равным L ′ = L + d L . Новое положение оси гироскопа будет совпа →

дать с направлением вектора L ′ , т. е. ось вращения гироскопа повернется вокруг пря Рис. 15 мой O3O3 (а не O2O2, как кажется). Данное явление получило название гироскопический эффект. Чтобы ось гироскопа могла свободно поворачиваться в пространстве, её закрепляют в карданном подвесе. При этом гироскоп приобретает три степени свободы. Свойство гироскопа сохранять направление своей оси в пространстве используется в устройствах автоматического управления дви жением самолетов (автопилот), ракет, торпед и т. д. Свойство гироскопа прецессировать под действием приложенных сил используется в навигаци онных приборах: гирокомпасах, гировертикалях и т. д. Навигационные гироскопические системы и приборы обладают высо кой надежностью и помехоустойчивостью.

58

ÏÐÈÌÅÐÛ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ× Задача 12. К концам невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через блок, прикреплены грузы m1 = 300 г и m2 = 200 г. Блок, укреплен ный на горизонтальной оси, считать однородным диском массой m0 = 300 г. Найти линейное ускорение грузов. Дано:

m1 = 300 г = 0,3 кг m = 200 г = 0,2 кг 2 m = 300 г = 0,3 кг 0 а =?

Решение. Заданная система состоит из трех тел, каждое из которых следует рассматривать отдельно. На рисунке к задаче показаны силы, действующие на грузы m1 и m2. Тогда второй закон Ньютона для каждого из грузов может быть записан следующим образом:

1 1 1 m1a = T1 + m1 g , 1 1 1 m2 a = T2 + m2 g .

(1) (2)

Ускорения грузов считаем равными, но направленными в противоположные стороны. В проекциях на координатную ось ОУ урав нения (1) и (2) примут вид

m1a = m1g − T1 ,

(3)

− m2 a = m2 g − T2 .

(4)

Так как масса блока соизмерима с массой грузов, нельзя предположить, что силы, с которыми нить действует на грузы m1 и m2, равны между собой. Вращение блока вызы вается действием сил натяжения нити:

T1′ = T1, T2′ = T2 . Запишем основное уравнение динамики вращательного движения (1.87) в применении к блоку, считая направление вращения блока против часовой стрелки за положительное:

Jε = T1′ r − T2′ r .

(5)

В силу того, что нить нерастяжима и, следовательно, линейное ускорение грузов и 59

всех точек нити одинаково равно (при отсутствии проскальзывания нити) касательному ускорению крайних точек обода, справедливо равенство

ε=

a . r

(6)

Перепишем уравнение (5):

Ja = T1r − T2 r , r где момент инерции диска J =

m0r 2 2

(7)

.

Решая совместно уравнения (3), (4) и (7), находим

a=

g (m1 − m2 ) m m1 + m2 + 0 . 2

2 Ответ: а = 1,5 м / с .

Задача 13. Однородный шар массой m скатывается по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Определить ускорение ac центра масс. Дано: Äàí î:

m

α

ac − ?

Решение. Скатывающееся тело обладает симметрией вращения относительно точки С. Будем предполагать, что при движении не возникает скольжения. Это означает, что скорость тела в точке A равна нулю. На скатывающееся тело действуют сила

1

1

нормального давления N , касательная сила трения Fτ

1

и сила тяжести шара mg . При отсутствии скольжения

1

(чистое качение) сила Fτ есть сила трения покоя или сила трения сцепления.

1

Она может принимать любые значения от 0 до mN. Если Fτ > μ N , то чистое качение невозможно — оно будет сопровождаться скольжением. Решим задачу двумя способами. Способ 1. Применим основное уравнение динамики вращательного движения относительно мгновенной оси вращения. При отсутствии скольжения мгновенная ось проходит через точку касания A. Так как 60

мгновенная ось и ось, проходящая через центр масс С, движутся параллельно друг другу, то основное уравнение динамики имеет форму

J A dω = MA, dt

(1)

или, в соответствии с рисунком:

J A dω = mgr sin α . dt

(2)

Сила N выпадает из уравнения, так как она проходит через ось A, и ее момент относительно этой оси равен нулю. Линейная скорость точки С связана со скоростью точки A соотношением

vC = v A + ω r . При отсутствии скольжения v A = 0 , а поэтому

vC = ω r . Ускорение центра масс

d vC rdω = dt dt .

(3)

mgr 2 sin α . JA

(4)

J A = J C + mr 2 ,

(5)

aC = Из уравнений (2), (3) получаем

aC = По теореме Штейнера

где J c — момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр. Окончательно получаем

aC =

5 g sin α , 7

(6)

2

2 т. к. J C = m r . 5 61

Способ 2. Применим закон сохранения энергии:

1 J ω2 = mgh , 2 A

(7)

где h — высота, с которой опустился шар при скатывании из состояния покоя;

1 J ω2 — кинетическая энергия шара. 2 A

Пусть x — путь шара вдоль наклонной плоскости, тогда h = x ⋅ sin α и, следовательно,

J A ω2 J A v 2 = = mgx sin α . 2 2r 2

(8)

Найдем из уравнения (8) v:

v= Учитывая, что v =

2r 2 mgx sin α . JA

(9)

dx , и разделив переменные, интегрируем соот dt

ношение (9): x

∫ 0

dx 2r 2 mg sin α = x JA 2 x =t

t

∫ d t, 0

2r 2 mg sin α . JA

(10)

Возведем обе части уравнения (10) в квадрат и найдем x:

x=

r 2mg t 2 sin α . 2J A

(11)

Сравнивая формулу (11) с уравнением равноускоренного движения

x= 62

at 2 , получаем 2

aC =

Ответ: aC =

r 2 mg sin α g sin α 5 g sin α = = . JC JA 7 1+ 2 mr

5 g sin α . 7

Задача 14. На однородный сплошной цилиндр массой M и радиусом R плотно намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m. В момент времени t = 0 система пришла в движение. Пренебрегая трением, найти зависимость от времени модуля угловой скорости цилиндра; кинетической энергии всей системы. Дано:

M , R, m

Решение. Запишем систему уравнений для падающего груза m и вращающегося сплошного цилиндра M:

1 1 ⎧ T R = J ε, ⎨ 1 1 1 ⎩mg + T = ma.

ω= ? Ek = ?

Спроектируем уравнения (1) на ось ОУ:

⎧T R = J ε, ⎨ ⎩mg − T = ma,

где J =

(1)

(2)

a MR 2 , a ε= . R 2

Из решения системы уравнений (2) на ходится угловое ускорение:

ε= где ε =

2mg , R ( 2m + M )

(3)

dω . dt

Перепишем уравнение (3):

dω 2mg = . d t R(2m + M )

(4) 63

Проинтегрировав уравнение (4), находим модуль угловой скорости: ω

∫ dω = 0

ω=

t

2mg ⋅ dt, R(2m + M ) 0

∫

2mgt . R(2m + M )

(5)

Кинетическая энергия системы представляет собой сумму кинетической энергии вращающегося цилиндра и кинетической энергии поступательного движения падающего груза:

Ek =

Jω 2 m v 2 + . 2 2

(6)

Произведем в уравнении (6) замену: w по формуле (5) и v = ω R . Окончательное выражение для кинетической энергии всей системы будет:

Ek =

4m 2 g 2 t 2 4m 2 g 2 t 2 m2 g 2 t 2 MR 2 mR 2 ⋅ 2 + ⋅ 2 = . 2 2 2 R (2m + M ) 2 R (2m + M ) 2m + M

Задача 15. На скамье Жуковского (см. рис.13) стоит человек и держит на вытянутых руках гири по 10 êã каждая. Расстояние от каждой гири до оси вращения скамьи l1 = 75 см. Скамья вращается, делая n1 = 1 об/с. Определить скорость вращения скамьи и работу, которую произведет человек, если он сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до l2 = 20 см . Момент инерции скамьи с человеком относительно оси вращения

J0 = 2,5 кг ⋅ м2 . Дано: m = 10 кг l1 = 0,75 м l2 = 0,2 м n1 = 1 с–1 J0 = 2,5 кг.м2 n2 = ? A=? 64

Решение. При перемещении гирь относи тельно оси вращения на систему «человек– скамья–гири» будут действовать внешние силы — силы реакции опоры, линия действия которых проходит через ось вращения. Момент этих сил равен нулю. Следовательно, для данной системы тел будет выполняться закон сохранения моментов импульса. Момент силы тяжести относительно оси скамьи равен нулю. Работу сила тяжести не совершает (гири не смещаются по высоте).

Поскольку момент инерции гирь, а следовательно, всей системы, будет уменьшаться, скорость вращения скамьи будет возрастать, возрастает и кинетическая энергия системы. Увеличение кинетической энергии происходит за счет работы человека. До перемещения гирь момент импульса системы

(

)

(

)

L1 = J 0 + 2ml12 ω1 , после перемещения

L2 = J 0 + 2ml22 ω2 , ω = 2πn . По закону сохранения момента импульса L 1= L 2 , следовательно,

(J 0 + 2ml12 )2πn1 = (J 0 + 2ml22 )2π n2 .

(1)

Из уравнения (1) находим

n2 =

(

n1 J 0 + 2ml12

)

J 0 + 2ml22

.

Работа человека равна приращению кинетической энергии системы

A = Ek 2 − Ek 1 .

(2)

Так как начальная кинетическая энергия системы

Ek 1 =

(

)

1 J + 2ml12 ω12 , 2 0

конечная кинетическая энергия системы

Ek 2 = то

[(

)

(

(

)

1 J + 2ml22 ω22 , 2 0

) ]

A = 2π 2 J 0 + 2ml22 n22 − J 0 + 2ml12 n12 . . Ответ:

A = 870 Дж ;

n2 = 4,2 c −1 .

65

Глава 4 ГРАВИТАЦИЯ Взаимное притяжение тел называется гравитационным взаимодействи ем или гравитацией. Гравитация — это универсальное взаимодействие между любыми видами материи. § 19. Законы Кеплера. Гравитационное поле И. Кеплер1, основываясь на астрономических наблюдениях, установил три закона: 1. Все планеты двигаются вокруг Солнца по замкнутым кривым, представляющим собой эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. 1

M 2. Радиусвектор r , проведенный от M Солнца С к планете М (рис. 16), за равные r промежутки времени описывает равные C площади. На рис. 16 эти площади заштрихованы. Рис. 16 Ðèñ. 16 3. Квадраты периодов Т обращения двух планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит:

T12 / T22 = r13 / r23 .

(1.90)

Всякое тело изменяет свойства окружающего пространства — создает вок руг себя гравитационное поле. Под гравитационным полем понимают мате риальный объект природы, который осуществляет взаи m0 модействие тел по закону всемирного тяготения (1.38). 1 r Если в гравитационное поле, образованное телом 1 F массой m (рис. 17), внести материальную точку мас 1 e сой m0, то на нее будет действовать сила притяжения

m 1 mm0 1 Рис. 17 F = −G 2 ⋅ e , r1 1 где e — орт радиусавектора r . Знак минус показы 1 1 вает, что F и e направлены в разные стороны. 1 1 Физическая величина g , равная отношению силы притяжения F к мас

се материальной точки m0, называется напряженностью гравитацион ного поля: 1 Иоганн

66

Кеплер (1571–1630) — немецкий астроном.

1 1 F m 1 g= = −G 2 ⋅ e . m0 r

(1.91)

Напряженность — векторная величина, являющаяся силовой характе

1

ристикой гравитационного поля. Вектор g совпадает по направлению с си лой, действующей на материальную точку массой m0. Напряженность изме ряется в метрах на секунду в квадрате (м/с2). Поле однородно, если напряженность во всех точках поля одинакова. Найдем работу, совершаемую силами гравитационного поля, по пере

1

мещению материальной точки m0 из положения 1, определяемого r1 , в по

1

ложение 2 с радиусомвектором r2 (рис. 18). Элементарная работа 2

dr dS

m0 r 1

m Рис. 18

1 1 1 1 mm dA = − FdS = − Fdr = −G 2 0 dr . r Знак минус указывает, что сила и перемещение про тивоположны по направлению. Тогда r2

A1−2 = −Gmm0

∫

r1

mm0 mm0 dr G G = − r2 r1 . (1.92) r2

Из формулы (1.92) видно, что работа сил гравитационного поля не за висит от того, каким путем осуществляется процесс перехода из положе ния 1 в положение 2, а определяется координатами начального и конечного положений точки. Следовательно, гравитационное поле потенциально и ра бота А1–2 равна убыли потенциальной энергии системы:

⎛ mm0 mm0 ⎞ ⎟. E p1 − E p 2 = −⎜⎜ G −G r1 r2 ⎟⎠ ⎝ Если r2 → ∞ , то E p 2 = 0 . Таким образом, потенциальная энергия

E p = −Gmm0 / r .

(1.93)

Скалярная физическая величина j, равная отношению потенциальной энергии Ep к массе материальной точки m0, называется потенциалом гра витационного поля:

ϕ = E p / m0 = −Gm / r .

(1.94) 67

Потенциал — энергетическая характеристика поля. В системе СИ потенциал гравитационного поля измеряется в джоулях на килограмм (Дж/кг). Установим связь между напряженностью и потенциалом гравитацион

1

1

ного поля. Из выражений (1.91) и (1.94) следует, что F = m0 g , а E p = m0ϕ .

1

1

1

Так как F = −∇E p (1.56), то m0 g = − m0∇ϕ ,

откуда g = −∇ϕ . Таким образом,

1 ⎛ 1 ∂ϕ 1 ∂ϕ 1 ∂ϕ ⎞ g = −⎜ i +j +k = −grad ϕ. (1.95) ∂y ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂x Напряженность гравитационного поля равна градиенту потенциала поля, взятому с противоположным знаком. Знак минус в уравнении (1.95) показывает, что вектор напряженности

1

гравитационного поля g направлен в сторону убывания потенциала j. § 20. Космические скорости Для того чтобы тело стало спутником Земли, оно должно иметь вполне определенную скорость, называемую первой космической скоростью v1. При движении спутника на него действует сила притяжения к Земле: F = GmM / R2, где — масса спутника; М, R — масса и радиус Земли соответственно. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение

aö = v12 / R . Применяя второй закон Ньютона, запишем:

GmM / R 2 = maö и GM / R 2 = v12 / R . Отсюда

v1 = GM / R .

(1.96)

Подставив в уравнение (1.96) выражение для G, найденное из (1.38), и учитывая, что F = mg, получим значение первой космической скорости:

v1 = gR ≈ 8 ⋅103 м/ с . Вторая космическая скорость v2 — это наименьшая скорость, кото рую надо сообщить телу, чтобы оно преодолело земное притяжение и стало 68

спутником Солнца. Для этого необходимо, чтобы кинетическая энергия тела была равна работе, совершаемой против сил притяжения Земли: ∞

mv22 mM = G 2 dr = GmM/ R, 2 R r

∫

откуда (1.97) v 2 = 2GM / R = 2 Rg ≈ 11 км / с . Третья космическая скорость v3 — это скорость, которую необходи мо сообщить телу, чтобы оно вышло за пределы Солнечной системы. Она определяется из соотношения

mv 23 mMс =G , 2 R0 где Mс — масса Солнца, R0 — радиус орбиты Земли. vЗ =

2GMC / R0 ≈ 42 км / с .

(1.98)

С учетом того, что Земля вращается вокруг своей оси со скоростью 30 км/с, значения третьей космической скорости зависят от направления запуска ракет и изменяются в пределах от 17 до 73 км/с. § 21. Неинерциальные системы отсчета Неинерциальными называются системы отсчета (НИСО), движущи еся с ускорением относительно инерциальных систем отсчета (ИСО). Пусть имеются две системы отсчета (СО) (рис. 19): K — инерциальная СО, а K ′ — неинерциальная СО. Рассмотрим движение материаль ной точки массой m0 в системах K и K ′ . Из рис. 19 видно, что

1 1 1 r = R + r′.

(1.99) Дифференцируя дважды по време ни уравнение (1.99), получим

1 1 1 d 2r d 2 R d 2r ′ = 2 + 2 , dt 2 dt dt

Рис. 19 Ðèñ.19 69

или

1 1 1 a =a 0 + a ′ ,

(1.100)

1 1 где a — ускорение материальной точки в ИСО, a 0 — ускорение точки 0' 1 (начала координат системы K' ) относительно ИСО, a ′ — ускорение мате риальной точки в НИСО. Умножим на массу m0 правую и левую части уравнения (1.100):

1 1 1 m0 a = m0 a 0 + m0 a ′ ,

или

1 1 1 F = m0 a 0 + m0 a ′ ,

откуда

1 1 1 m0 a ′ = F − m0 a 0 ,

(1.101)

1 1 где F = m0 a — сила, с которой действуют на материальную точку тела дру гих систем. Таким образом, относительно НИСО материальная точка ведет себя так,

1

как если бы кроме внешней силы F на нее действовала бы еще одна сила:

1 1 Fi = − m0 a 0 , названная силой инерции. Сила инерции обусловлена неинер

циальностью СО. В итоге получим

1 1 1 m0 a ′ = F + Fi .

(1.102) Уравнение (1.102), аналогичное по форме второму закону Ньютона, справедливо в НИСО. Пример 1. Шар массой m подвешен на нити к потолку вагона. Если вагон покоит ся или движется равномерно и прямоли нейно, то нить занимает вертикальное по

1

ложение, так как сила тяжести шара mg

1

уравновешивается силой реакции нити F (рис. 20, а). Как только вагон начнет дви

1

Рис. 20 70

гаться поступательно с ускорением a 0 (рис. 20, б), нить с шаром отклонится от

вертикали в противоположную направле нию движения на угол α. При 1 1сторону 1 этом сила R = F + mg , действующая на шар, силой инерции 1 уравновешивается 1 Fi = −ma 0 , и относительно вагона шар покоится. Пример 2. Маятник, представляю щий собой шарик массой m, подвешен на нити к штанге, установленной на враща ющемся диске (рис. 21, а). При враще Рис. 21 нии диска шарик отклоняется от вертика ли на некоторый угол α (рис. 21, б). В ИСО (относительно пола, на котором закреплен диск) на шарик действует центростремительная сила

Fц.с. = mω2r = mv 2 / r , перпендикулярная оси вращения, являющаяся равнодействующей силы тя

1

1

1

1

1

жести mg и реакции нити F , т. е. R = mg + F .

1

В НИСО (относительно диска) шарик покоится. Сила R уравновешена

1

центробежной силой Fц .б. , которая является силой инерции. При решении задач часто принимается Земля за ИСО. Однако наша планета не является ИСО, т. к. вращается вокруг своей оси. Поэтому при проведении точных расчетов в таких случаях необходимо учитывать цент робежную силу инерции.

71

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 16. Метеорит падает на Солнце с очень большого расстояния, которое можно считать бесконечно большим. Начальная скорость метеорита пренебрежимо мала. Какую скорость будет иметь метеорит в момент, когда его расстояние от Солнца равно среднему расстоянию Земли от Солнца? Решение. Обозначим начальное рас стояние от метеорита до Солнца через l0. По закону всемирного тяготения (1.38) найдем силу F, с которой метеорит притягивается к Солнцу, находясь на расстоянии x от него

Дано:

l =∞ 0 11 l = R = 1,49 ⋅10 м M = 1,98 ⋅1030 кг

F =G

mM , x2

(1)

где m — масса метеорита, а M — масса Солнца. При движении метеорита расстояние x уменьшается, следовательно, сила F тоже уменьшается. Найдем работу силы притяжения dA на элементарном перемещении dx:

v =?

dA = G

mM dx . x2

Работа dA равна убыли потенциальной энергии Ер: dA = –dEp. Тогда R

R

∞

∞

mM dx mM =G dx = −GmM Ep = − G 2 2 R . x x

∫

(2)

(3)

∫

(4)

mv 2 . 2

(5)

По закону сохранения энергии

Ep = Ek =

Из уравнений (4) и (5) определяется скорость движения метеорита: 2GM mv 2 mM , v = 42,1 км/с. =G , v= R 2 R

Ответ: v = 42,1 км/с. 72

Задача 17. Частица массой m в некоторый момент времени находится в точке А на оси длинного тонкого стержня массой М и длиной l на расстоянии а от одного из его концов (см. рисунок к зад. 17). Определите напряженность g и потенциал j гравитационного поля стержня в точке А, а также силу, действующую на частицу в рассматриваемый момент времени.

Дано: m M l a g=?j=? F=?

Решение. Выберем инерциальную систему от счета, связанную с точкой А. Стержень нельзя считать за материальную точку. Разобьем стержень на бес конечно малые элементы длиной dx, каждый из которых можно принимать за материальную точку. Выделенный элемент dx имеет массу dM = Mdx/ l. Найдем напряженность dg и потенциал dϕ в точке А от выделенного элемента стержня, используя выражение (1.91) и (1.94):

M dx dM =G , 2 l x2 x

(1)

M dx dM = −G . l x x

(2)

dg = G

dϕ = −G

Для определения g и ϕ воспользуемся принципом суперпозиции. Так

1

как все элементарные векторы dg направлены в одну сторону (вдоль оси x), а dϕ еличина скалярная, то, интегрируя уравнения (1) и (2), получим

M g =G l M ϕ = −G l

a +l

∫ a

a +l

∫ a

dx = GM [a(a + l )] , x2 M ⎛ l⎞ dx = G ln⎜1 + ⎟ . l ⎝ a⎠ x 73

1

Сила F = mg = GMm [a ( a + l ) ] и направлена по g , т. е. совпадает с направлением оси x. Ответ: g = GM [a ( a + l )] ,

ϕ=G

M ⎛ l⎞ ln⎜1 + ⎟ , l ⎝ a⎠

F = GMm [a ( a + l )] . Задача 18. Тело массой m находится на вершине наклонной плоскости и удерживается силой трения. За какое время t тело спустится с наклонной плоскости, если плоскость станет двигаться в горизонтальном направлении с ускорением a0 = 1 м/с2? Длина плоскости l = 1 м, угол наклона к горизонту α = 30o, коэффициент трения между телом и плоскостью μ = 0,3.

Дано: a = 1м / с 0 l = 1м α = 301

μ = 0,3 t =?

2

Решение. Задачу решаем в системе отсчета XOY, связанной с наклонной плоскостью. На тело действуют

1

три силы: сила тяжести mg , сила реакции наклонной 1 1 плоскости N и сила трения покоя Fтр , которые уравновешивают друг друга, и тело покоится. Как только наклонная плоскость начнет двигаться

1

с ускорением a0 , указанная система отсчета будет

1

1

тело начнет двигаться вниз с ускорением a . 74

1

неинерциальной, появится сила инерции Fi = − ma0 и

Время движения

t = 2l / a . (1) Для нахождения ускорения а запишем второй закон Ньютона (1.102):

1 1 1 1 1 mg + N + Fтр + Fi = ma .

(2)

Проектируя все векторы уравнения (2) на оси x и y, получим OX:

mg sinα − Fтр + ma0 cosα = ma ,

(3)

OY:

− mg cos α + N + ma0 sin α = 0 .

(4)

Решая систему уравнений (3), (4) с учетом выражения Fтр = mN, определим ускорение:

a = g (sin α − μ cos α) + a0 (cos α + μ sin α) .

(5)

Из уравнений (1) и (5) найдем время движения тела

t = 2l / [ g(sinα − μ cosα) + a0 (cosα + μ sinα)], t = 0,77 c. Ответ: t = 0,77 с.

75

Глава 5 ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ § 22. Преобразования Галилея. Сложение скоростей в классической механике Принцип относительности Г. Галилея1, справедливый в классической механике, гласит: все механические процессы протекают одинаково во всех ИСО, или ни какими механическими опытами, проведенными внутри ИСО, невозможно установить, движется система равномерно и прямолинейно или покоится. Законы динамики не изменяют своего вида при преобразованиях Гали лея, т. е. они инвариантны к преобразованиям Галилея. Для доказательства этого рассмотрим две ИСО, из которых одна (система K) покоится, а другая (система K' ) движется относительно первой равномер

1

но и прямолинейно с постоянной скоростью (v). В момент времени t = 0 на чала координат обеих систем совмещены (точки 0 и 0' совпадают). Найдем связь между координа тами произвольно взятой матери альной точки M в рассматриваемых СО (рис. 22):

1 1 1 1 1 r = r ′ + r0 = r ′ + vt.

(1.103)

Запишем уравнение (1.103) в проекциях на оси координат: x = x ′ + vx t, y = y′ + vy t, z = z′ + vz t Рис. 22

и t = t′

или x′ = x − v xt, y′ = y − v yt, z′ = z − v zt t′ = t. 1 Галилео

76

Галилей (1564–1642) — итальянский физик и астроном.

(1.104)

Систему уравнений (1.104) называют преобразованиями координат Га лилея. Если система K' движется вдоль положительного направления оси х, то уравнения (1.104) примут вид

x = x′ + vt , y = y ′, z = z′ или

x′ = x − vt , y′ = y, z ′ = z.

(1.105)

Принято добавлять к уравнениям (1.105) еще одно уравнение: t = t′ , так как в классической механике считается, что время не зависит от движения СО. Дифференцируя по времени уравнение (1.103), найдем правило сло жения скоростей в классической механике:

1 1 1 u = u ′ + v. Взяв вторую производную по времени от уравнения (1.103), получим, что ускорение материальной точки М в системах K и Kў одинаково:

1 1 a = a′ . Таким образом, если на материальную точку не действуют внешние силы

1 1 ( a = 0 ), то и a ′ = 0 , т. е. материальная точка движется равномерно и пря

молинейно или покоится. А это означает, что система Kў также является ИСО. Тем самым подтверждается механический принцип относительности: при переходе от одной ИСО к другой законы динамики не изменяют своего вида. § 23. Относительность одновременности По классическим представлениям взаимодействие тел осуществляется мгновенно, т. е. соблюдается принцип дальнодействия. Если в различ ных точках на поверхности Земли происходят два события одновременно, то они должны протекать одновременно в любых точках Вселенной. Из астрономических наблюдений известно, что свет, улавливаемый те лескопами от различных звезд, излучался ими десятки, а то и миллионы лет 77

тому назад. Следовательно, событие, происходящее на Звезде и восприни маемое нами, не является одновременным, так как любой сигнал распрост раняется с конечной скоростью. Мы не знаем, что происходит в момент при ема сигнала на Звезде (может, она давно потухла). Чтобы определить, в ка кое время произошло событие, надо сверить часы на Звезде с земными ча сами, т. е. провести синхронизацию часов. В повседневной жизни мы пе риодически проводим синхронизацию часов, сверяя их с сигналами точного времени, передаваемыми по радио из Москвы. И хотя до Самары сигналы точного времени приходят с запаздыванием на 0,003 с, такие погрешности для нас несущественны. Когда же расстояния имеют космические масшта бы, эти поправки приобретают большое значение. Если синхронизировать часы в данной системе координат, то такая синхронизация будет справедли ва только для данной системы. Однако оказывается невозможным установ ление времени, одинакового для всех систем координат. Согласно теории Эйн штейна для каждой ИСО, находящейся в относительном движении, существует лишь собственное время. Это время показывают часы, покоя щиеся в данной системе. Абсолютной одновременности не существует. § 24. Постулаты специальной теории относительности (СТО). Преобразования Лоренца При рассмотрении движения частиц со скоростью, сравнимой со ско ростью света в вакууме (с ≈ 3.108 м/с), классическая механика Ньютона оказывается неприменимой. В 1881 г. американские ученые А. Майкельсон и Э. Морли опытным путем установили, что скорость света остается одинаковой, если свет рас пространяется в направлении движения Земли или в направлении, ему про тивоположном или перпендикулярном. Из опыта следовал вывод, что свет распространяется во всех направлениях с одинаковой скоростью незави симо от движения источника света и наблюдателя. Это оказалось в проти воречии с классическим законом сложения скоростей и преобразованиями Галилея, лежащими в основе механики Ньютона. В СТО классические пре образования координат (преобразования Галилея), позволяющие перехо дить от одной инерциальной системы отсчета к другой, были заменены пре образованиями Лоренца1. В основе СТО лежат два постулата: 1) все физические процессы протекают одинаково во всех инер циальных системах отсчета; этот постулат называется принципом от носительности А. Эйнштейна; 1 Хендрик

78

Антон Лоренц (1853–1928) — нидерландский физик.

2) скорость света в вакууме одинакова для всех инерциальных сис тем отсчета и не зависит от движения источника и приемника света. Кроме того, в СТО перешли многие постулаты классической физики: однородность пространства и времени, изотропность пространства, обра тимость времени и др. Из постулатов теории относительности вытекают преобразования Ло ренца. При выводе их накладывается еще одно условие: преобразования дол жны быть линейными. Это условие следует из однородности пространства– времени: все точки пространства и все моменты времени равноценны. Пусть система координат x′, y ′, z ′, t ′ движется относительно системы 1 x, y, z, t (см. рис. 23) со скоростью v , направленной вдоль общей для систем оси OX. Определим координаты x′, y ′, z ′ и время t ′ некоторого события относительно системы Ê ′ , если известны координаты x, y, z и время t этого события в системе К. Допустим, что при t = 0 точки O и O′ совпадают. Поскольку движение вдоль осей y и z не происходит, то y ′ = y , z ′ = z . Из рис. 23 следует, что точка O′ c координатой x ′ = 0 в системе K ′ 1 движется вдоль оси х системы К со скоростью v , то есть координата точки в системе К изменяется по закону x = vt. Условие эквивалентно x – vt = 0. Учитывая этот факт и линейность преобразований координат, связь между x′ и x должна иметь вид

x′ = γ ( x − vt ) ,

(1.106)

где γ — коэффициент, зависящий от скорости. С другой стороны, координата х = 0 системы К в системе K ′ изменя ется по закону x ′ = − vt ′ Выражение x′ + vt должно обращаться в нуль од новременно с координатой x. Для этого преобразование запишется в виде

x = γ ( x′ + vt ′) .

(1.107)

Так как системы К и K ′ равноправны, то коэффициент γ один и тот же. Для определения γ воспользуемся вторым постулатом теории относи тельности. Предположим, что в момент t = t ′ = 0 , когда начала координат O и Oўсовпадают, посылается вдоль осей х и x′ световой сигнал, который вызыва ет вспышку света на экране. В системе К вспышка характеризуется координа той x и временем t, а в системе K ′ — координатой x′ и временем t ′ . 79

Так как скорость света с одинакова в обеих системах, то получим уравне ния: x = ct , x′ = ct ′ . Подставим эти уравнения в формулы (1.106), (1.107):

ct = γ (ct ′ + vt ′) = γt ′(c + v), ct ′ = γ (ct + vt ) = γt (c + v). Перемножив правые и левые части уравнений и поделив их на tt ′ , по лучим

(

)

c2 = γ 2 c2 − v2 . Отсюда γ = 1

1 − v2 c2 .

Подставив значение ординат:

x=

γ

в (1.106–1.107), получим преобразование ко

x′ + vt ′ 1− v c 2

2

x − vt

x′ =

,

1 − v2 c2

.

Для нахождения формул преобразования времени исключим из урав нений преобразования координат x ′ , подставив во второе уравнение зна чение x′ , следующее из первого. Получим уравнение, определяющее за висимость t ′ от t и x: t ′ =

t − vx / c 2 1 − v2 c2

.

Аналогично, подставляя значение x из второго уравнения в первое, на ходим выражение t через t ′ и x′ :

t=

t ′ + vx′ / c 2 1 − v2 c2

.

Выпишем полученные формулы, которые называются преобразова ниями Лоренца:

x = ( x′ + vt ′) / 1 − v 2 / c 2 , y = y′, z = z′, t = t ′ + x′v / c 2 / 1 − v 2 / c 2 ,

(

80

)

x′ = ( x − v t ) / 1 − v 2 / c 2 , y ′ = y, (1.108) z ′ = z, t′ = t − x v / c2 / 1 − v2 / c2 .

(

)

Из (1.l05) и (1.l08) видно, что при скорости движения, которая намно го меньше скорости света, отношение v 2 / c 2 << 1 и преобразования Ло ренца переходят в классические преобразования Галилея. Таким образом, законы механики Ньютона не отвергаются, они рассматриваются как час тный случай движения тел с малыми скоростями. Из преобразований Лоренца (1.108) вытекает ряд следствий. 1. Сокращение длины движущегося тела Допустим, что вдоль оси x′ в движу щейся системе K ′ покоится стержень. Наблюдатель, находящийся в системе K ′ , определяет длину этого стержня l o′ (собственная длина) как разность коор динат его концов:

lo′ = x′2 − x1′ . Определим длину этого стержня l в системе отсчета К, относительно которой 1 стержень движется со скоростью v. Используя преобразвания Лоренца (1.108), запишем:

⎛ x − vt 1 x1′ = ⎜ ⎜ 1 − v2 c2 ⎝ откуда lo′ = x2′ − x1′ =

⎞ ⎟ ⎟, ⎠

( x2 − x1 ) 1 − v2 c2

Рис. 23

⎛ x − vt 2 x2′ = ⎜ ⎜ 1 − v2 c2 ⎝ =

l 1 − v2 c2

⎞ ⎟ ⎟, ⎠

,

так как l = x2 − x1 . l или l = lo′ 1 − v 2 c 2 . (1.109) 1 − v2 / c2 Стержень, движущийся относительно наблюдателя, кажется ему бо лее коротким, чем в случае, когда стержень относительно него покоится. Релятивистское сокращение длины, происходящее только в направ лении относительного движения, становится заметным при очень больших скоростях. Если, например, тело движется со скоростью v, равной 0,8 ско рости света, то согласно формуле (1.109) оно укорачивается до 60% от длины в состоянии покоя. lo′ =

81

Cокращение длины движущегося тела носит относительный характер. Если стержень покоится в системе К, то его длина в системе К' выражается формулой (1.109). Поэтому, когда в системах К и К' покоятся одинаковые стержни, то нельзя ставить вопрос: какой из них на самом деле короче? Все зависит от системы отсчета. 2. Замедление хода часов Пусть часы и наблюдатель находятся в точках x′ в движущейся систе ме отсчета K ′ . Наблюдатель посылает световой сигнал. Начало светового сигнала t1′ и конец сигнала t 2′ он фиксирует по своим часам. Длительность сигнала Δt ′ = t 2′ − t1′ . Наблюдатель, находящийся в системе К, принимает этот сигнал в те чение промежутка времени Δt = t 2 − t1 , фиксируя начало и конец сигнала по своим часам. Так как система K ′ движется, наблюдатель системы K фиксирует начало и конец светового сигнала в различных точках простран ства, т. е. t1 ≠ t 2 , т. к. x1 ≠ x2 . Воспользовавшись преобразованиями Ло ренца (1.108), сравним интервалы времени Δt ′ и Δt :

t1 =

t ′ + vx2′ c 2 t1′ + vx1′ c 2 , , t2 = 2 1 − v2 c2 1 − v2 c2

Δt = t 2 − t1 =

(t2′ − t1′ ) + ( x2′ − x1′ )v

c2

1 − v2 c2

.

Так как x2′ = x1′ = x′ (сигнал посылается из одной точки), то

Δt =

t 2′ − t1′ 1 − v2 c2

или Δt =

Δt ′ 1 − v2 c2

.

(1.110)

Итак, покоящиеся часы дают более длинный интервал времени между событиями, происходящими в движущейся системе отсчета, чем часы, дви жущиеся вместе с этой системой. Как и изменение длины, это сокращение носит относительный характер. 3. Релятивистский закон сложения скоростей Предположим, что в системе K ′ вдоль оси ная точка со скоростью u ′ = 82

dx ′ . dt ′

x′ движется материаль

Найдем скорость этой точки u =

dx в системе K. Используя преоб dt

разование Лоренца (1.108), запишем:

dx =

dx′ + vdt ′ 1− v c 2

dx

2

, dt =

dt ′ + (v 2 / c 2 ) dx′ 1 − v2 / c2

.

dx′ + vdt ′

Тогда u = dt = dt ′ + (v / c 2 )dx′ . Поделив числитель и знаменатель правой части уравнения на dtў, по лучим релятивистский закон сложения скоростей:

u=

dx′ / dt ′ + v u′ + v . = 2 ′ ′ 1 + (v / c )(dx / dt ) 1 + vu ′ / c 2

(1.111)

Из формулы (1.111) видно, что в случае, когда v << c, релятивистский закон сложения скоростей переходит в классический: u = u' + v. Если u′ = c , то u = (c + v ) (1 + v / c ) = c . § 25. Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии В СТО вводится релятивистская масса частицы m, зависящая от ско рости ее движения v:

m = m0

1 − v2 / c2 ,

(1.112)

где m0 — масса частицы, находящейся в покое. С возрастанием скорости движения частицы, как следует из формулы (1.112), масса тоже увеличивается. Если скорость частицы v стремится к скорости света с, то масса частицы стремится к бесконечности. При малых скоростях, когда v << c , массы движущейся и покоящейся частиц прибли зительно одинаковы. Основное уравнение релятивистской динамики имеет такой же вид, как и в классической механике Ньютона:

1 1 1 F = dp / dt = d (mv ) / dt ,

(1.113) 83

1

только в этом уравнении масса — переменная величина. Здесь F — сила,

1

действующая на частицу, p — импульс частицы. Выведем соотношение между массой и энергией (знаменитую форму

1

лу А. Эйнштейна). Как известно из классической физики, работа силы F 1 на элементарном перемещении dr равна приращению кинетическй энер 1 1 11 1 гии тела: dEκ = F dr = F v dt , где v — скорость. Подставив в данное выражение основное уравнение релятивистской

1 1

динамики (1.113) и преобразовав его с учетом того, что vdv = vdv , и формулы (1.112), получим dEκ =

1 m0 v d⎛ ⎜ dt ⎜⎝ 1 − v 2 / c2

1 ⎞1 m0 v 1 ⎛ ⎟ vdt = v d ⎜ ⎟ ⎜ 1 − v 2 / c2 ⎠ ⎝

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

Интегрируем полученное выражение, считая, что кинетическая энер гия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна mo : v

Eκ =

mo v 2 vdv − mo ∫ = 2 2 2 2 1− v / c 0 1− v / c

v mo v 2 + mo c 2 1 − v 2 / c 2 = 0 1 − v2 / c2 mo v 2 = − mo c 2 = mc 2 − mo c 2 . 2 2 − 1 v /c

=

(1.114)

Выражение E = mc2 назвали полной энергией тела, а Eo = moc2 — энергией покоя. Если тело покоится и его Eк = 0, оно тем не менее облада ет энергией покоя. Запишем уравнение (1.114) с учетом введенных обозначений Eк = E – Eo, где E = mc2,

(1.115)

c2 .

(1.116)

E o = mo 84

Таким образом, кинетическая энергия релятивистской частицы Eк рав на разности полной энергии E и энергии покоя частицы Eo. При скорости движения v << c уравнение (1.114) переходит в классическое Eк ≈ mv2/2. Энергия покоя Eo = moc2 представляет собой внутреннюю энергию тела и включает в себя энергию покоя частиц, из которых состоит тело, . кинетическую энергию частиц, обусловленную их движением относитель но центра масс и энергию их взаимодействия друг с другом. Согласно Эйнштейну полная энергия тела, из каких бы видов она не состояла (кинетической, химической, электрической и т. д.), связана с мас сой этого тела соотношением E = mc2. Связь между полной энергией и релятивистской массой является фун даментальным законом природы. Изменение энергии тела сопровождается эквивалентным изменением его массы: Δm = ΔE c 2 и наоборот, измене ние массы сопровождается изменением его энергии: ΔE = c Δm . Это за кон взаимосвязи релятивистской массы и энергии. Если в классической механике масса тела является мерой инертности или гравитационного действия, то релятивистская масса выступает как мера энергосодержания тела. Закон взаимосвязи массы и энергии подтвержден экспериментами в ядерной физике. Например, при образовании атомного ядра из составля ющих его нуклонов наблюдается уменьшение массы, которое связано с выделением энергии. Выделившейся энергии связи Есв соответствует масса Δm = Eсв/c2, называемая дефектом масс. Релятивистская теория тяготения, удовлетворяющая принципу отно сительности А. Эйнштейна, развита в общей теории относительности. 2

85

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 19. Космический корабль движется с постоянной скоростью

v=

24 c по направлению к центру Земли. Какое расстояние в системе 25

отсчета, связанной с Землей, пройдет корабль за промежуток времени Δt' = = 7 c, отсчитанный по корабельным часам? Вращение Земли и ее орбитальное движение не учитывать. Дано: Äàí î:

24 c 25 Δt = 7 c Δt'0 = 7 c v=

Решение. Если на корабле отсчитан промежуток собственного времени Δt', то по земным часам согласно уравнению (1.110) будет отсчитан промежуток Δt =

S = ?

Δt ′ 2

⎛v⎞ 1− ⎜ ⎟ . ⎝c⎠

Поэтому S = vΔt ,

S=

24 25

cΔt ⎛v⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝c⎠

2

=

24 25

cΔt ′ 2

⎛ 24 ⎞ 1− ⎜ ⎟ . ⎝ 25 ⎠

здесь c = 3 ⋅108

м . с

Ответ: S = 72 м. Задача 20. В ускорителе протоны ускоряются до скоростей, отличающихся на 0,01% от скорости света. Во сколько раз релятивистская масса таких протонов превышает их массу покоя?

86

Дано: Äàí î: ⎛ ñc − v ⎞ 100 % = 0,01 % ⎜ ⎟ ⎝ c ⎠

Решение. При скоростях движения v, соизмеримых со скоростью света, масса зависит от скорости движения по формуле (1.112):

m m −? =? m m00 где β =

m=

m0 1− β 2

,

(1)

v ; m0 — масса покоя. c

⎛с−v ⎞ Так как ⎜ ⎟100 % = 0,01 % (по условию), то ⎝ c ⎠

v = 10− 4 , c 1 − β = 10− 4 , 1−

β = 1 − 10 −4 ≈ 1 , т. е. мало отличается от единицы. Подкоренное выражение в формуле (1) можно представить в виде

1 − β 2 = (1 − β)(1 + β) ≈ 2(1 − β) . Тогда

m 1 ≈ ≈ 70 . m0 2(1 − β ) Ответ:

m 1 ≈ ≈ 70 . m0 2(1 − β)

Задача 21. Из астрономических наблюдений установлено, что ко личество энергии, которое приносит на Землю солнечное излучение за 1 с на площадку 1 м2, перпендикулярную солнечным лучам, составляет около 1,4 ⋅10 3

Дж

(с ⋅ м ) 2

. Какую массу ежесекундно теряет Солнце?

87

Дано: Äàí î:

Решение. Суммарная энергия, излучаемая Солнцем за 1 с:

ΔE Âò = 1,4 ⋅103 Вт2 S м ì

ΔE = 1,4 ⋅ 103 ⋅ 4π ⋅ R 2 , где R = 1,49 ⋅ 1011 ì — расстояние от Земли до Солнца. Согласно формуле (1.115) Солнце ежесекундно теряет массу

Δm =? m

Δm =

ΔE

c2

= 1,4 ⋅ 103

4πR 2 . c2

Вычисления дают

кг . с Величина грандиозная с точки зрения земных масштабов, однако по сравнению с массой Солнца эта потеря ничтожно мала и составляет Δ m = 4,4 ⋅109

Δm

m

= 2 ⋅10− 21 — за одну секунду.

Здесь m — масса Солнца. Ответ:

Δm

m

= 2 ⋅10− 21 .

Задача 22. Какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой покоя m0 от 0,6 до 0,8 с? Сравнить полученный результат со значением, вычисленным по классической формуле.

Äàí î: Дано:

v1 = 0,6 c

Решение. Искомая работа равна изменению кинетической энергии:

A = Ek 2 − Ek1 ,

v 2 = 0,8 c A=?

88

⎛

⎞ − 1⎟ , ⎟ 2 ⎝ 1 − β1 ⎠

⎜ где Ek1 = m0 c 2 ⎜

1

⎛ ⎞ 1 − 1⎟ , Ek 2 = m0c 2 ⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 1− β 2 ⎠

а

β1 =

v1 v ; β2 = 2 . c c

Подставляя данные из условия задачи, получим

⎛ 1 1 A = m0c 2 ⎜ − ⎜ 2 1 − β12 ⎝ 1 − β2

⎞ ⎟ = 0,42m c 2 0 . ⎟ ⎠

(1)

Соответствующая же работа по классической формуле

A=

m0 v 22 m0 v12 − = 0,14m0c 2 . 2 2

(2)

Из уравнений (1) и (2) видно, что значение работы, рассчитанное по формулам релятивистской механики, оказывается в 3 раза больше значения работы, которое мы получили бы при расчете по формулам классической механики.

89

Глава 6 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ § 26. Гармонические колебания Колебаниями называются движения или процессы, точно или прибли зительно повторяющиеся во времени. По способу воздействия на колеб лющуюся систему колебания делятся на свободные (собственные), вынуж денные, автоколебания и параметрические. Свободными называются колебания системы, предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения равновесия, и не подверженной действию переменных внешних сил. Вынужденными называются колебания, при которых система подвер гается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Если при этом система сама управляет внешним воздействием, то такие вынужден ные колебания называются автоколебаниями. Колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со вре менем по закону синуса или косинуса, называются гармоническими. Любую колебательную систему принято называть осциллятором. Рассмотрим свободные колебания тела на пружине (пружинный маят ник). Тело массой m, подвешенное на абсолютно упругой пружине длиной l (рис. 24), и жесткостью k способно совершать колебания в вертикальной плоскости. Допустим, что силы сопротивления при колебаниях пренебре жимо малы.

Рис. 24 90

1

В положении равновесия сила тяжести тела mg уравновешивается силой упругости пружины Fo = kΔl , т. е. mg = k Δl , (1.117) где Δl — удлинение пружины после подвески тела. Если внешней силой растянуть пружину на х, то ее удлинение станет равным (х + Δl ). Тогда проекция результирующей силы F на направление х с учетом выражения (1.117) будет равна

F = mg − k ( x + Δl ) = Fo − k ( Δl + x ) = kΔl − k (Δl + x) = −kx .

(1.118)

Знак минус в уравнении (1.118) показывает, что смещение х и сила F, действующая на тело, противоположны но направлению. По второму закону Ньютона сила F = ma. Приравняв правую часть уравнения (1.118) к ma, получим ma = –kx или

m

d2x + kx = 0 . dt2

(1.119)

Введем обозначение: отношение k/m= ω02 . С учетом обозначения уравнение (1.119) примет вид

d 2x + ω02 õ = 0 , 2 dt где

ω0

(1.120)

— циклическая частота.

Это соотношение представляет собой однородное линейное дифферен циальное уравнение второго порядка, решением которого являются урав нения вида

õ= А À ⋅ cos(ω0t + ϕ0 )

(1.121)

А ⋅ sin(ω0t + ϕ0 ) , õ= À

(1.122)

или где А – амплитуда колебаний (максимальное смещение колеблющегося тела от положения равновесия),

(ω0t + ϕ0 ) — фаза колебаний, ϕ0 — на

чальная фаза в момент времени t = 0 . 91

Фаза колебаний — это физическая величина, определяющая поло жение колеблющейся системы в данный момент времени. Фаза колебаний измеряется в радианах (рад). Таким образом, колебания пружинного маят ника осуществляются по закону синуса или косинуса, т. е. являются гармо ническими. Различные состояния системы, совершающей гармонические колеба ния, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом ко лебаний, за который фаза колебаний получает приращение 2π , т. е.

[(ω0 (t + T ) + ϕ0 ) − (ω0t + ϕ0 )] = 2π .

Отсюда

ω0 = 2π / T . (1.123) Циклическая частота ω0 — есть физическая величина, определяющая число колебаний, происходящих за 2π секунд. Здесь Т — период колебаний. Величина, обратная периоду: v = 1/T, называется частотой колеба ний (число колебаний, совершаемых в единицу времени). Период колебаний измеряется в секундах (с), а частота — в герцах (1 Гц = 1/с = 1с–1). В дальнейшем при исследовании гармонических колебаний будем пользоваться уравнением (1.121). Скорость колеблющегося тела находится как первая производная сме щения х (1.121) по времени t:

v=

dx π = − Aω0 ⋅ sin(ω0t + ϕ0 ) = Aω0 cos ⎛⎜ ω0t + ϕ0 + ⎞⎟ , dt 2⎠ ⎝

(1.124)

а ускорение — как вторая производная смещения по времени: a=

d 2x dt

2

=

dv = − Aω o2 ⋅ cos(ω o t + ϕ o ) = dt

= Aω o2 cos(ω o t + ϕ o + π ) = −ω o2 x.

.

(1.125)

Зависимости х, v и а от времени t графически представлены на рис. 25. Из уравнений (1.121), (1.124) и (1.125) следует, что скорость и уско рение изменяются также по гармоническому закону и с той же цикличес кой частотой на 92

ω0 , фаза скорости колебаний отличается от фазы смещения

π / 2 , а фаза ускорения — на π .

Рис. 25

Для определения энергии колеблющейся системы воспользуемся вы ражениями для потенциальной энергии деформированной пружины (1.55) и кинетической энергии движущегося груза (1.53):

E p = kx 2 / 2 = k ⋅ A2 cos 2 (ω0t + ϕ0 ) / 2 , (1.126)

E k = mv 2 2 = mω02 ⋅ A 2 sin 2 (ωo t + ϕ 0 ) 2 .

(1.127)

Суммируя уравнения (1.126) и (1.127) и учитывая выражение

ω02 = k / m , найдем полную энергию системы: E = E p + Ek = A2 mω02 / 2 .

(1.128)

Из формулы (1.128) следует, что полная механическая энергия не из меняется при гармонических колебаниях. § 27. Физический и математический маятники Физическим маятником называется твердое тело, имеющее ось вра щения, не проходящую через центр масс. На рис. 26 изображен физичес кий маятник, отклоненный на угол a от положения равновесия. Разложим силу тяжести маятника m g на составляющие F 1 и F 2 . Сила

F 1 = mg sin α создает вращательный момент

M = F1l = −mgl sin α ≈ −mglα ,

(1.129)

стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. 93

Знак минус в выражении (1.129) пока зывает, что смещение и сила противопо ложны по направлению. При малых углах отклонений sin α ≈ α . Согласно уравнениям (1.28) и (1.87) для углового ускорения ε запишем:

d 2α ε = 2 и ε =M /J , dt или Рис. 26

d 2α M = , dt 2 J

(1.130)

где J — момент инерции маятника относительно оси вращения. Из выражений (1.129) и (1.130) получим дифференциальное уравне ние колебаний физического маятника при малых отклонениях его от поло жения равновесия:

d 2α mgl + α =0 dt 2 J или

d 2α + ω02α = 0 , dt 2 где

ω02 =

mgl — циклическая частота колебаний маятника. J

Так как согласно (1.123)

ω0 = 2π / T , то период колебаний физичес

кого маятника

T = 2π J (mgl ) .

(1.131)

Таким образом, при малых углах отклонений физический маятник со вершает гармонические колебания с периодом, определяемым форму лой (1.131). Математическим маятником называется материальная точка, под вешенная на невесомой и нерастяжимой нити. Пусть масса точки m, а длина 94

нити l. Используя уравнение (1.131), найдем период колебаний TM мате матического маятника:

TÌ = 2π ml 2 (mgl ) = 2π l g . Приведенной длиной

(1.132)

lnp физического маятника называется длина та

кого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника. Из сопоставления формул (1.131) и (1.132) для приведенной длины можно получить выражение: lï ð = J (ml ) . Точку O′ (рис. 26), отстоящую от оси вращения на расстоянии приведенной длины, называют центром качания физического маятника. При переносе оси вращения в центр качания период колебаний физического маятника не изменяется. § 28. Сложение гармонических колебаний одного направления Сложение колебаний выполним с помощью векторной диаграммы.

1

Пусть вектор A равномерно вращается с угловой скоростью ω0 отно сительно точки о (рис. 27), при этом угол непрерывно изменяется со временем:

ϕ

между осью ох и вектором

ϕ = ω0 t + ϕ 0 , где

ϕ0

— начальный угол при t = 0 .

При вращении проекция конца вектора À на ось ох совершает гармо нические колебания:

x = A cos(ω0t + ϕ0 ) , при которых модуль вектора

A является

амплитудой, угловая скорость вращения

ω0 — циклической частотой, а угол ϕ0 — начальной фазой колебаний. Рассмотрим несколько случаев сло жения двух гармонических колебаний. Рис. 27 95

1. Складываемые колебания имеют амплитуды A1 и A2, циклические частоты одинаковы

ω01 = ω02 = ω0 , а начальные фазы равны ϕ1 и ϕ2

со

ответственно:

x1 = A1 cos(ω0t + ϕ1 ) , x2 = A2 cos(ω0t + ϕ 2 ) . Используя векторную диаграмму, в результате сложения получим гар монические колебания, описываемые уравнением

x = x1 + x2 = A cos(ω0t + ϕ ) ,

(1.133)

где

A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) ,

tgϕ =

AC A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2 = OC A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2

определяются из векторной диаграммы (рис.28). а) Пусть

(ϕ2 − ϕ1 ) = 2kπ , где k

= 0, 1, 2, 3, … т. е. разность началь

ных фаз складываемых колебаний равна нулю или кратна 2π . Тогда A = A1 + A2 ,

tgϕ = tgϕ1 = tgϕ 2 . Результирующие колебания будут про исходить с амплитудой, равной сумме амп литуд складываемых колебаний, и началь ной фазой, равной начальной фазе любого из складываемых колебаний. б) Пусть (ϕ 2 − ϕ1 ) = (2k + 1) π ,

где k = 0,1, 2, 3,..., а A2 > A1 . Тогда

A = A2 − A1 , tgϕ = tgϕ 2 . Рис. 28 96

Амплитуда результирующих колебаний

будет равна разности амплитуд складываемых колебаний и направлена в сторону большей амплитуды, а начальная фаза равна начальной фазе того из колебаний, амплитуда которого больше. 2. Складываются два колебания, циклические частоты которых

ω01 ≠ ω02 , но разность частот Δω0 = ω02 − ω01 очень мала по сравнению с ω01 è ω02 :

x1 = A cos ω01t , x2 = A cos ω02t . В результате сложения получим колебания, называемые биениями:

x = x1 + x2 = A cos ω01t + A cos ω02t = 2 A cos

ω02 − ω01 ω + ω01 t cos 02 t 2 2

или x = Aрез cos ωрез t,

(1.134)

где

Aðåç рез = 2 A cos

ω02 − ω01 ω02 + ω01 t , ω ðåç . рез = 2 2

Результирующие колебания можно рассматривать как приблизитель но гармонические с средней частотой ωрез и амплитудой Aрез, медленно ме няющейся по гармоническому закону (рис. 29). Сплошной линией на рис. 29 изображены результирующие колебания, а пунктирной линией — мед ленно изменяющиеся со временем амплитуды колебаний.

Рис. 29 97

Частота биений тем меньше, чем меньше разность

Δω0 , поэтому на

блюдение биений позволяет с большой точностью определять равенство частот двух колебаний в момент, когда частота биений падает до нуля. В таком виде метод биений используется для настройки музыкальных инст рументов с помощью камертона. § 29. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний, имеющих оди наковую циклическую частоту

ω0 , происходящих во взаимно перпендику

лярных направлениях:

xy = A1 cos(ω0t + ϕ1 ) , ó = A2 cos(ω0t + ϕ2 ) . В результате сложения получаются колебания, траектории которых опи сываются уравнением эллипса (вывод уравнения опускается):

x2 xy y2 −2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) + 2 = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) . 2 A1 A1 A2 A2

(1.135)

Ориентация осей эллипса относительно координат х и у зависит от амплитуд А1 и А2 и разности фаз (ϕ 2 − ϕ1 ) . Рассмотрим несколько частных случаев. 1. Разность начальных фаз складываемых колебаний равна нулю или кратна четному числу π :

(ϕ 2 − ϕ1 ) = 2kπ , где k = 0, 1, 2, 3, ... … После подставки в (1.135) получим

x y x y = , − = 0 или A1 A2 A1 A2 A2 A = A12 + A22 , tgϕ = A . 1 98

(1.136)

Точка будет совершать гармонические колебания, направленные вдоль прямой, лежащей в первой и третьей четвертях (рис. 30а), амплитуда и на чальная фаза которых определяются выражениями (1.136).

Рис. 30

2. Разность начальных фаз складываемых колебаний кратна нечетному числу π : (ϕ 2 − ϕ1 ) = (2k + 1)π , где k = 0, 1, 2, 3, ... … Из уравнения (1.135) получим

x y x y =− , + = 0 или A1 A2 A1 A2 A=

A2 A12 + A22 , tgϕ = A . 1

Колебания точки будут совершаться вдоль прямой, лежащей во второй и четвертой четвертях (рис. 30б). Изображенные на рис. 30 колебания называются линейно поляризо ванными. Если разность фаз складываемых колебаний

(ϕ 2 − ϕ1 ) = (2k + 1)π / 2 , где k = 0, 1, 2, 3, ... …, а амплитуды одинаковы: A1 = A2 = A, то уравнением движения точки будет окружность с радиусом, равным амплитуде А скла дываемых колебаний: x2 + y2 = A2. 99

Такие колебания называются циркулярно поляризованными. В результате сложения взаимно перпендикулярных колебаний с раз ными циклическими частотами

x = A1 cos( ðp ω0t + ϕ1 ) , yó

= A2 cos( gω0t + ϕ 2 )

траекториями точек являются сложные замкнутые кривые, получившие на звание кривых Лиссажу.

Рис.31

На рис. 31 показаны фигуры Лиссажу для некоторых частных случаев. § 30. Затухающие колебания В реальных условиях на колеблющуюся систему действуют силы со противления (трение, например) и колебания со временем затухают. При небольших скоростях движения сила сопротивления Fc прямо пропорциональна скорости v и направлена в сторону, противоположную движению:

Fc = −rv = −r 100

dx . dt

С учетом силы сопротивления дифференциальное уравнение колеба ний пружинного маятника примет вид

d 2 x r dx k + ⋅ + x=0 dt 2 m dt m или

d 2x dx + 2β ⋅ + ω02 x = 0 , 2 dt dt

(1.137)

где r – коэффициент сопротивления, β = r (2m ) — коэффициент затухания. Уравнение (1.137) имеет решение при

β 2 << ω02 :

x = Ae − βt cos(ωt + ϕ ) = At cos(ωt + ϕ ) , где

ω = ω02 − β 2

— циклическая частота,

(1.138)

At = A ⋅ e − βt — амплитуда

затухающих колебаний, А — начальная амплитуда. На рис. 32 показана зависимость (1.138). Период затухающих колебаний

T = 2π / ω = 2π / ω02 − β 2 . Натуральный логарифм отношения амплитуд двух последовательных ко лебаний, отличающихся по времени на один период, называется логариф мическим декрементом затухания:

δ = ln

At A(t +T )

= ln

Ae −βt = ln e βT = β T . Ae −β(t +T )

Пусть τ — время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз (время релаксации). Тогда

ln e = βτ или

βτ = 1 , а β = 1 / τ

. Таким образом, коэффициент зату

хания β — это физическая величина, об ратная промежутку времени, в течение ко торого амплитуда колебаний уменьшается в e раз. Здесь e — основание натурально го логарифма.

Рис. 32 101

Логарифмический декремент затухания δ — это физическая ве личина, обратная числу колебания N, совершаемых системой за время уменьшения амплитуды в e раз:

δ = β T = T /τ = 1/ N . § 31. Вынужденные колебания Колебания пружинного маятника будут незатухающими, если на него воздействовать внешней вынуждающей силой F, изменяющейся, например, по гармоническому закону:

F = F0 cos ωt , где ω — частота вынуждающей силы, F0 — максимальное значение вы нуждающей силы. Применяя второй закон Ньютона, запишем:

ma + rv + kx = F0 cos ωt , откуда получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

d 2x dx F + 2β + ω02 x = 0 cos ωt , 2 dt dt m где b=r/(2m) — коэффициент затухания,

ω0 = k / m

(1.139) собственная цик

лическая частота. Выражение (1.139) является линейным неоднородным дифференциаль ным уравнением второго порядка. Решение данного уравнения состоит из двух слагаемых: общего решения (1.138) однородного уравнения (1.137), играющего существенную роль только в начальной стадии при установле нии колебаний, и частного решения данного неоднородного уравнения:

x = A cos(ωt − ϕ),

(1.140)

где амплитуда колебаний A и сдвиг фаз j равны:

(

)

2 A = F0 / ⎜⎛ m ω02 − ω 2 + 4 β 2ω 2 ⎞⎟ , ⎝ ⎠

(

(1.141)

)

tgϕ = 2βω / ω02 − ω 2 . Вынужденные колебания отстают по фазе на угол j от вынуждающей силы. 102

Найдем условие, при котором амплитуда колебаний А имеет максималь ное значение, т. е. определим максимум функции (1.141) (минимум ее под коренного выражения):

[(

]

)

2 d ω02 − ω 2 + 4 β 2ω 2 = 0 . dω

После дифференцирования данного уравнения получим

ω 2 −ω 20 +2β 2 = 0 , откуда

ω = ± ω02 − 2 β 2

.

Частота колебаний w не имеет отрицательных значений, тогда для ре зонансной частоты, при которой амплитуда колебаний достигает максиму ма, имеем выражение

ω ðåç = ω02 − 2 β 2

.

(1.142)

Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при прибли жении частоты вынуждающей силы w к резонансной частоте ωрез называ ется механическим резонансом. Подставляя выражение (1.142) в уравнение (1.141), найдем резонанс ную амплитуду:

(

)

Aðåç = F0 / 2mβ ω02 − β 2 . На рис. 33 показаны резонансные кривые при 1) если

β1 < β 2 < β 3 :

ω = 0 , то A = F0 /(mω02 ) ;

2) если β = 0 и ω = ω0 , то амплитуда бесконечно возрас тает; 3) при ω → ∞ амплитуда колебаний стремится к нулю; 4) с увеличением коэффи циента затухания β мплитуда колебаний уменьшается. Ðèñ. 33 103

§ 32. Механические волны в упругой среде Механические колебания могут распространяться в упругих средах: в твердых телах, в жидкостях и газах. Волной называется распространение колебаний вещества или поля, происходящее периодически в пространстве и во времени. При волновом процессе передается состояние колебаний, перенос энер гии осуществляется без переноса вещества. Сплошной называется среда, в которой вещество распределено непре рывно. В упругой среде распространяются упругие колебания, образуя уп ругие волны: поперечные или продольные. Гармонической называется волна, в которой изменение состояния ко леблющейся системы происходит по закону синуса или косинуса. Если в упругой сплошной среде возбудить колебания ее частиц, то вслед ствие взаимодействия между частицами колебания будут передаваться от одной частицы к другой с некоторой скоростью v. Такая волна называется бегущей. При этом частицы среды не вовлекаются волной в поступатель ное движение, а совершают колебания около своих положений равнове сия. В поперечной волне частицы колеблются в направлении, перпендику лярном к направлению распространения волны. Скорость распростране ния поперечной волны определяется по формуле

vn = G ρ , где G — модуль сдвига, ρ — плотность среды. В продольной волне частицы вещества колеблются вдоль направления распространения волны. Скорость распространения продольной волны рас считывается по формуле

v np = E ρ , где Е — модуль Юнга. На рис. 34, а показана кривая смещения s из положения равновесия то чек с различными значениями координаты x в некоторый момент времени t. S

S

Рис. 34 104

Физическая величина, равная расстоянию между двумя ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной вол ны. Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется волна за время, равное периоду Т, т. е.

λ = vT = v v , где ν – частота колебаний. Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, ко леблющихся в одинаковой фазе. По форме волновой поверхности волны подразделяются на плоские, сферические и цилиндрические. Волновой фронт – это геометрическое место точек, до которых дохо дят колебания в данный момент времени. §33. Уравнение плоской бегущей волны. Волновое уравнение Рассмотрим бегущую волну, у которой колебания точек в плоскости х = 0 имеют вид

s0 = A cos(ωt + ϕ ) . Пусть τ — время, за которое колебания дойдут до плоскости, где рас положена точка В (рис. 34, а):τ = x/v. Колебания частиц в точке В будут отставать по времени на величину t от колебаний в плоскости х = 0 и, сле довательно, имеют вид

s x = A cos[ω (t − τ ) + ϕ ] .

(1.143)

Если волна распространяется в сторону, противоположную х, то урав нение запишется в виде

s x = A cos[ω (t + τ ) + ϕ ] . Заменив в уравнениях (1.143) и (1.144) плоской бегущей волны: .

τ

(1.144)

на х/v, получим уравнение

x ⎡ ⎤ s x = A cos ⎢ω ⎛⎜ t 1 ⎞⎟ + ϕ ⎥ . ⎣ ⎝ v⎠ ⎦

(1.145)

Уравнение бегущей волны принято также записывать с использованием волнового числа k = 2π/λ. Так как λ = vT, то k = 2π/(vT) = ω/v. Тогда уравнение (1.145) примет вид

s x = A cos(ωt 1 kx + ϕ ) .

(1.146) 105

Допустим, что фаза волны постоянна, т. е.

⎡ ⎛ x⎞ ⎤ ⎢⎣ω ⎜⎝ t − v ⎟⎠ + ϕ ⎥⎦

−v

= const.

(1.147)

Дифференцируя по времени выражение (1.147), получим

dt −

dx = 0, v

откуда

dt =

dx dx , v= . v dt

Таким образом, скорость распространения волны v есть скорость пере мещения фазы волны. Поэтому ее называют фазовой скоростью. Скорость волны определяется физическими свойствами среды, в которой она распро страняется. Если имеется зависимость скорости волны от частоты (явление называется дисперсией волн), то фазовые скорости волн неодинаковы. Дифференцируя дважды — по времени t и по координате x уравнение (1.146) — имеем:

∂2s = −ω 2 s, 2 ∂t

(1.148)

∂2s = − k 2 s. 2 ∂x

(1.149)

Выразив s из уравнения (1.148) и подставив его в (1.149) с учетом вы ражения k = ω/v, получим волновое уравнение:

∂ 2s 1 ∂2s = . (1.150) ∂x 2 v 2 ∂t2 В уравнении (1.150) s — физическая величина, которая характеризу ет возмущение, распространяющееся со скоростью v. В общем случае, когда смещение s является функцией х, у, z и t, вол новое уравнение (1.150) имеет вид 106

Δs =

1 ∂2s , v 2 ∂t 2

(1.151)

2 2 2 где Δ = ∂ + ∂ + ∂ — оператор П. Лапласа.1 2 2 2

∂x

∂y

∂z

§ 34. Стоячие волны Стоячие волны образуются при наложении двух бегущих навстречу друг другу волн, имеющих одинаковые частоты и амплитуды:

s1 = A cos(ωt − kx ) ,

s2 = A cos(ωt + kx ) .

(1.152)

Сложив уравнения (1.152) и учитывая, что k = 2π/λ, получим уравне ние стоячей волны:

s = s1 + s2 = 2 A cos kx cos ωt = 2 A cos(2π x / λ )cos ωt.

(1.153) Из уравнения (1.153) видно, что колебания в стоячей волне имеют ту же частоту ω, а амплитуда Аст изменяется по гармоническому закону и яв ляется функцией координаты x: Aст = 2 A cos(2π x / λ). Амплитуда Аст достигает максимальных значений в точках, имеющих координаты:

2π x = ±π m, (m = 0,1, 2, ...), λ

(1.154)

которые называются пучностями стоячей волны (рис. 34б). В точках пространства, имеющих координаты

2πx 1⎞ ⎛ = ±⎜ m + ⎟π , λ 2⎠ ⎝

(1.155)

амплитуда минимальна. Эти точки называются узлами стоячей волны. Из сопоставления выражений (1.154) и (1.155) следует, что расстояние меж ду соседними узлами и соседними пучностями одинаковы и равны λ / 2 .

1

Пьер Симон Лаплас (1749–1827) — французский ученый. 107

§ 35. Энергия и интенсивность волны Предположим, что плоская волна распространяется в упругой среде в направлении оси х. Согласно формуле (1.146) запишем уравнение волны:

s = A cos(ωt − kx + ϕ ). Выделим в среде элементарный объем dV и найдем кинетическую энер гию, которой он обладает:

dEk = dm где

v=

v2 dm 2 2 2 = A ω sin (ωt − kz + ϕ ), 2 2

(1.156)

ds = − Aω sin(ωt − kx + ϕ ). dt

Так как элементарная масса объема dm =ρ dV, то из уравнения (1.156) получим

dEk =

1 2 2 ρA ω dV sin 2 (ωt − kx + ϕ ) , 2

где ρ — плотность вещества среды. Если в выделенном объеме действуют только напряжения растяжения– сжатия, то величина потенциальной энергии dEp будет равна кинетической энергии dEk, т. е. dEp = dEk. Тогда для потенциальной энергии запишем:

1 dE p = ρA 2 ω2 dV sin 2 (ωt − kx + ϕ) . 2 Полная энергия

dE = dEk + dE p = ρA2ω 2 dV sin 2 (ωt − kx + ϕ ) . Отношение dE/dV называется плотностью энергии:

u=

dE = ρA 2 ω2 sin 2 (ωt − kx + ϕ) . dV

(1.157)

В СИ плотность энергии измеряется в джоулях на метр в кубе (Дж/м3). Из формулы (1.157) видно, что плотность энергии в разных точках сре ды в каждый момент времени различна. Среднее по времени значение плот ности энергии равно

u = 108

1 2 2 ρA ω , 2

(1.158)

так как среднее значение

sin 2 (ωt − kx + ϕ ) =

1 . 2

Потоком энергии Ф называется скалярная величина, равная количе ству энергии, переносимому волной через выделенную поверхность в еди ницу времени: Ф = dE / dt. В системе СИ поток энергии измеряется в ваттах (Вт).

(1.159)

1

Плотностью потока энергии волны j называется векторная вели чина, равная потоку энергии, переносимому через единичную площадку, пер пендикулярно направлению распространения волны:

Вектор

1 j

1 dФ dE j = = . dS dSdt

(1.160)

направлен в сторону переноса энергии. В системе CИ плот

ность потока энергии измеряется в ваттах на квадратный метр (Вт/м2). Среднее по времени значение плотности потока энергии называется интенсивностью волны в данной точке среды. Пусть плоская волна распространяется со скоростью v. Выделим на пути распространения волны элементарную площадку dS, перпендикуляр ную направлению распространения волны и отстоящую от фронта волны на расстоянии, равном длине волны λ . Найдем среднее значение плотнос ти потока энергии через выделенную площадку:

1 u ⋅ dV u ⋅ dS ⋅ λ dE j = = u v, = = dS ⋅ dt dS ⋅ dt dS ⋅ T

(1.161)

где Т — период колебаний. Выражение (1.161), записанное в векторной форме:

1 1 j = u v,

(1.162)

называют уравнением Н. Умова.1 Формула (1.162) справедлива для плоской, сферической и цилиндри ческой волн.

1

Николай Алексеевич Умов (1846–1915) — русский физик. 109

§ 36. Звуковые волны Звуковыми волнами (звуком) называют упругие волны, распростра няющиеся в средах и имеющие частоту в пределах от 20 до 20000 Гц. Если частота упругих волн меньше 20 Гц, то такие волны называют инфразву ком, если больше 20 кГц, то — ультразвуком. Инфра и ультразвуки че ловеческое ухо не слышит. Звуковая волна, распространяясь в среде, пе реносит энергию. Интенсивностью звука I называется физическая ве личина, равная средней энергии, переносимой звуковой волной за единицу времени сквозь единицу площади поверхности, расположенной нормально к направлению распространения волны: I=E/(St), (1.163) где Е — средняя по времени величина энергии волны; S — площадь поверх ности, t — время. Единица измерения интенсивности звука – ватт на квадратный метр (Вт/м2). Человеческое ухо имеет различную чувствительность к звукам разных частот. Для каждой частоты существуют наименьшая и наибольшая интен сивности звука, которые воспринимаются человеческим ухом. Минималь ную интенсивность называют порогом слышимости, а максимальную — порогом болевого ощущения. Графики зависимости этих интенсивностей приведены на рис. 35.

Рис. 35 110

Громкость звука возрастает с увеличением амплитуды колебаний. Уро вень громкости звука L, имеющего интенсивность I, оценивается форму лой

L = 10 lg(I / I 0 ) ,

(1.164)

= 10–12 Вт/м2 — интенсивность звука на пороге слышимости. Уро

где I0 вень громкости измеряют в децибелах (дБ). Тихий разговор составляет по уровню громкости 40 дБ, крик — 80 дБ, шум реактивного двигателя (120–130) дБ. Реальные звуки возникают в результате наложения большого числа ко лебаний разных частот, т. е. обладают акустическим спектром. Различа ют сплошной и линейчатый акустические спектры. При сплошном спект ре волны частоты простых синусоидальных волн, входящие в ее состав, об разуют непрерывную последовательность. Если волна представляет собой набор простых синусоидальных волн с дискретными частотами, то спектр такой волны является линейчатым. Колебания с линейчатым спектром называются тональными. Их ха рактеризуют высотой. Высота звука определяется наименьшей частотой в спектре. При этом относительная интенсивность других частот (обертонов) определяет тембр звука. Скорость звука в различных средах различна. Так, в воздухе при нор мальных условиях она чуть меньше средней скорости теплового движе ния молекул и составляет 340 м/с, в воде (при 20° С) —1480 м/с, в желе зе – 5850 м/с.

111

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 23. Частица совершает прямолинейные гармонические коле бания по закону синуса. При смещении частицы от положения равновесия на x1 = 2,6 см ее скорость v1 = 2,9 cм/c, а при смещении на x2 = 3,4 см скорость частицы v2 = 1,9 cм/c. Найдите амплитуду и циклическую частоту колебаний частицы. Дано: x1 = 2,6 см v1 = 2,9 см/c x2 = 3,4 см v2 = 1,9 см/c A = ? w0 = ?

Решение. По условию задачи запишем два урав нения, используя формулу (1.122) и принимая ϕ0= 0:

x1= Asin w0t1, x2= Asin w0t2.

(1)

Найдем скорости колебаний

v1 = dx1 dt1 = Aω0 cos ω0 t1 , ⎫ ⎬ v 2 = dx2 dt 2 = Aω0 cos ω0 t 2 .⎭

(2)

Представим систему уравнений (1), (2) в виде:

x1 A = sin ω0 t1 ,

(3)

x2 A = sin ω0 t 2 ,

(4)

v1 Aω0 = cos ω0 t1 ,

(5)

v 2 Aω0 = cos ω0t 2 .

(6)

Уравнения (3) и (5) возведем в квадрат и сложим, аналогичную опера цию проделаем с уравнениями (4) и (6): 2 2 ⎫ ⎛ x1 ⎞ ⎛⎜ v1 ⎞⎟ 2 2 ⎪ t t = ω + ω = + sin cos 1 ( ) ( ) ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0 1 ⎟ ⎝ A ⎠ ⎝ Aω0 ⎠ ⎪ ⎬ 2 2 ⎪ ⎛ x2 ⎞ ⎛⎜ v 2 ⎞⎟ = 1. ⎜ ⎟ +⎜ ⎪ ⎟ ⎝ A ⎠ ⎝ Aω 0 ⎠ ⎭

Решая систему уравнений (7), находим амплитуду

A= 112

v12 x22 − v 22 x22 v12 − v 22

(7)

и циклическую частоту

v12 − v 22 . x22 − x12

ω0 =

Ответ: А = 3,9 см, ω0 ≈ 1с1. Задача 24. Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = = 2см, полная энергия колебаний Е = 3Ч10–7Дж. При каком смещении от по ложения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 2,25·105Н? Дано: Решение. Полная энергия гармонических коле Е = 3Ч10–7Дж баний определяется формулой (1.128): А = 2Ч10–2м

E=

F = 2,25·10–5Н x=?

1 mA2ω02 , 2

(1)

а ускорение формулой (1.125):

a = −ω02 x . Применив второй закон Ньютона, найдем силу, действующую на точку:

(

)

)

2E . A2

F = ma = m − ω02 x . Произведение

(2)

(mω ) найдем из уравнения (1) и подставим в уравне 2 0

ние (2):

(

F = − x mω02 = − x

Знак «–» указывает на то, что квазиупругая сила F направлена проти воположно смещению x. По модулю

x=

FA2 . 2E

Ответ: x = 1,5 Ч 102м. Задача 25. Амплитуда затухающих колебаний математического маят ника за 1 минуту уменьшилась вдвое. Во сколько раз она уменьшится за 3 минуты? 113

Дано:

An =2 Am t1 = 60с t2 = 180с x=?

Решение. Амплитуда затухающих колебаний из меняется по закону (1.138): A =

A0e − βt . Таким об

разом, можно записать систему уравнений

⎫ An = A0 e −βt , −β (t + τ1 ) ⎬ Am = A0 e ,⎭

(1)

где τ1 – время, в течение которого амплитуда коле баний уменьшилась вдвое. Разделив в этой системе первое уравнение на второе, получим

An A0 e −βt = = eβτ1 , −β (t + τ1 ) Am A0 e 2 = e βτ 1 .

(2) Прологарифмировав уравнение (2), можно определить коэффициент затухания:

ln 2 = βτ 1 , β =

ln 2 . τ1

(3)

Аналогично запишем вторую систему уравнений:

⎫ An = A0 e −βt , −β (t + τ 2 ) ⎬ Ak = A0 e ,⎭

(4)

где τ2 – время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в x раз. Раз делив в системе (4) первое уравнение на второе:

An A0e − βt = = e βτ 2 , − β (t +τ 2 ) Ak A0e можно определить:

x = e βτ 2 .

(5)

Из формул (3) и (5) окончательно получим

Ответ: х = 8. 114

x=e

τ 2 ln 2 τ1

.

Задача 26. В U — образной трубке находится столбик жидкости длиной l, отсчитываемой по оси трубки. При кратковременном изменении давления жидкости в одном из колен уровни жидкости сместились и столбик начал колебаться. Определить частоту колебаний. Трением о стенки пренебречь. Дано: l

Решение. Колебания жидкости начнутся под дей ствием силы давления столба жидкости высотой 2х (см. рисунок). wо = ? F = pS = 2ρgxS (1) где S — площадь поперечного сечения трубки, р — дав ление, ρ — плотность жидкости. По второму закону Ньютона (2) ma = −2 ρgSx . Знак минус в уравнении (2) берется потому, что сила давления направ лена в сторону, противоположную смещению. Масса жидкости (3) m = ρlS . Тогда из уровня (2) и (3) получим

⎛ 2⋅ g ⎞ a = −⎜ ⎟x , ⎝ l ⎠

(4)

где à — ускорение (вторая производная смещения х по времени t). Урав нение можно записать:

d 2 x 2g + x = 0. dt 2 l Получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний, в ко тором

⎛ 2g ⎞ 2 ⎟ = ω0 , ⎜ ⎝ l ⎠

x

откуда

ω0 = Ответ:

ω0 =

2g . l

2g . l

Рис. к задаче 26. 115

ЧАСТЬ 2 ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ

Глава 7 ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОКИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА § 37. Понятия и определения В молекулярной физике и термодинамике изучаются процессы, происходящие в макроскопических телах. Макроскопическими называются тела, состоящие из большого числа частиц: молекул и атомов. Существуют два метода исследования макроскопических тел: статистический и термодинамический. Статистический метод изучает макроскопические тела, исследуя свойства частиц, из которых они состоят, и их взаимодействия. В этом методе для описания тел используются усредненные значения динамических характеристик частиц. Термодинамический метод базируется на трех опытных законах (началах). При этом методе исследования не используются представления о строении тела и характере движения частиц, входящих в него. Термодинамической системой называется совокупность макроско пических тел, обменивающихся энергией как между собой, так и с внешними телами или системами. Физические величины, характеризующие термодинамическую систему, называются параметрами состояния. Давление, температура, объем, плотность и т. д. являются параметрами состояния системы. Температура — это физическая величина, характеризующая состояние равновесия системы. Понятие температуры имеет смысл только для равновесных состояний. Равновесным называется состояние термодинамической системы, имеющей постоянные во времени параметры при неизменных внешних условиях. Температура в любой части системы, находящейся в равновесном состоянии, одинакова. 116

В молекулярной физике и термодинамике для измерения температуры пользуются абсолютной шкалой (шкалой Кельвина)1. Между абсолютной температурой Т и температурой t, измеряемой по шкале Цельсия, существует линейная связь: T = t +273 К. Температура, равная –273°С (точнее –273,16°С), называется абсолютным нулем. Абсолютный нуль — самая низкая температура. В термодинамике доказывается, что охладить тело до абсолютного нуля невозможно. Термодинамическая система называется изолированной, если она не обменивается с внешней средой ни энергией, ни веществом. Термодинамическая изолированная система находится в равновесном состоянии, если параметры системы при постоянных внешних условиях с течением времени не изменяются. Реальные процессы не являются равновесными, но могут приближаться к ним, если они достаточно медленные. Переход термодинамической системы из одного состояния в другое называется термодинамическим процессом. Термодинамический процесс сопровождается изменением параметров состояния. § 38. Основные положения молекулярнокинетической теории 1. Любое вещество состоит из мельчайших частиц — молекул и атомов. Одним из доказательств этого положения является то, что некоторые молекулы можно увидеть в электронный микроскоп. 2. Молекулы и атомы в веществе находятся в состоянии непрерывного теплового движения, причем скорость их движения пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры: v~ T . 3. Между молекулами вещества существуют силы взаимодействия (притяжения Fп и отталкивания Fo ), называемые молекулярными силами. Радиус действия молекулярных сил порядка 10–9 м. 1

Уильям Томсон (лорд Кельвин) (1824–1907) — английский физик. 117

F

Силы притяжения с уменьше нием расстояния r между молеку лами увеличиваются пропорцио нально 1/r7, а силы отталкива ния — пропорционально 1/r13. На расстоянии r0, примерно F равном сумме радиусов двух мо лекул, F = 0, т. к. сила притяжения r0 равна помодулюсилеотталкивания. r На расстояниях, превыша ющих r0, между молекулами действуют силы притяжения, а на расстояниях меньше r0 — F Рис. 36 силы отталкивания (рис. 36). Явлениями, подтвержда ющими основные положения и выводы молекулярнокинетической теории, являются, например, броуновское движение и диффузия. F

§ 39. Количество вещества. Масса и размеры молекул Количеством вещества n называется физическая величина, равная отношению числа молекул N, содержащихся в веществе, к постоянной Авогадро NА: ν = N / NA . (2.1) Моль — единица количества вещества, в котором содержится столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в 0,012 кг изотопа углерода 12С. В одном моле любого вещества содержится одно и то же число атомов или молекул. Это число называется постоянной или числом А. Авогадро1: NA = 6,02 . 1023 моль–1. Молярной массой называется масса вещества, взятого в коли честве одного моля. Молярная масса равна произведению постоянной Авогадро на массу молекулы m0: μ = m0 . NA . (2.2) 1

118

Амедео Авогадро (1776–1856) — итальянский физик.

Единица измерения молярной массы — килограмм на моль (кг/моль). Число молекул N любого вещества массой m согласно формулам (2.1) и (2.2) равно N = ν NA = mNA/m. (2.3) Закон Авогадро: моли любых газов при одинаковых температуре и давлении занимают одинаковые объемы. При нормальных условиях (р0 = 1,01325 . 105 Па, Т0 = 273 К) объем моля равен Vμ = 22,41 . 10–3 м3/моль. Размеры молекул и атомов очень малы. Оценим размер молекул воды. Допустим, что молекулы плотно прилегают друг к другу и образуют кубическую ячейку. Тогда объем, занимаемый молекулой V0 = d 3, а линейный размер молекулы d = 3 V0 . Один моль воды имеет массу 18 . 10–3 кг и занимает объем Vμ = 18 . 10–6 м3/моль. Разделив объем моля Vμ на число Авогадро NA, получим объем, занимаемый молекулой: V0 = Vμ /NA ≈ 30 . 10–30 м3. Отсюда линейный размер молекулы

d = 3 V0 ≈ 0,3 нм. Молекулы других веществ имеют такой же порядок величины. § 40. Основное уравнение молекулярнокинетической теории идеального газа Газ,состоящийизмолекул,размерамиивзаимодействиемкоторыхможно пренебречь(заисключениеммоментовстолкновений),называетсяидеальным. Мысленно выделим в идеальном газе цилиндрический объем с площадью оснований ΔS (рис. 37). Вычислим давление, оказываемое молекулами газа на площадку ΔS. Будем считать, что соударения молекул абсолютно упругие. В идеальном газе любые z направления движения моле кул равновероятны. Хаоти ΔS ческое движение молекул в m0 x vi выделенном объеме будем рассматривать как движение y вдоль координатных осей х, у, z. Вдоль каждой оси движется 1/3 молекул, половина Рис. Ðèñ. 35 37 которых, т. е. 1/6 часть, 119

движется в положительном направлении оси координат, а вторая половина — в противоположном. Молекула массой m0, двигаясь в положительном направлении оси х со скоростью vi, ударяется о площадку ΔS и передает ей импульс Δpi = m0vi – (–m0vi) = 2m0vi.

(2.4)

За промежуток времени Δt о площадку ΔS ударяется 1/6 часть молекул, которые заключены в объеме цилиндра с площадью оснований ΔS и образующей, равной vi Δt. исло таких молекул Ni = ΔS vi Δt n / 6,

(2.5)

где n = N / V — число молекул в единице объема. Из уравнений (2.4) и (2.5) найдем величину импульса, переда ваемого площадке: (2.6) Δp = Δpi N i = 2m0 v i ΔS v i Δt n / 6 = m0 n v i2 ΔS Δt / 3 . По второму закону Ньютона изменение импульса тела равно импульсу силы FΔt, т. е. Δp = FΔt. (2.7) Так как давление р = F / ΔS, учитывая уравнения (2.6) и (2.7), найдем искомую величину давления газа:

p = Δp /( ΔS Δt ) = m0 n v i2 / 3 .

(2.8)

Из уравнения (2.8) видно, что давление газа на стенку сосуда определяется величиной импульса, приходящегося в единицу времени на единицу площади, и зависит от числа ударов молекул о стенку. Молекулы газа в рассматриваемом объеме движутся с разными скоростями: v1, v2, ..., vN, поэтому в уравнении (2.8) вместо скорости vi следует записывать среднюю квадратичную скорость: ⎛ N 2⎞ 2 + v 2 + ... + v 2 ) / N = = (v ⎜ ∑ vi ⎟ / N , N 1 2 êâ ⎝ i =1 ⎠ которая определяет коллективное действие молекул. Из уравнений (2.8) и (2.9) получим v

p = n m0 v

2 кв /3 .

(2.9)

(2.10)

Уравнение (2.10) можно представить в виде

pV = 120

2 E , 3

(2.11)

где E = m v

2

кв /2

— кинетическая энергия поступательного

движения всех молекул, m — масса газа. Выражение (2.11) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа: Произведение давления идеального газа на его объем равно 2/3 кинетической энергии поступательного движения молекул газа. § 41. Уравнение состояния идеального газа Уравнение, определяющее связь между параметрами состояния p, V, T, называется уравнением состояния. Опытным путем была установлена зависимость p V / T = const. (2.12) Уравнение (2.12) называют законом Клапейрона1. Используя данное уравнение для одного моля газа Vμ, взятого при нормальных условиях (р0 = = 101,325 кПа, Т0 = 273 К, V0m = 22,41 . 10–3 м3/моль), можно записать: const = р0V0μ / Т0. Обозначив постоянную величину за R и подставив в уравнение (2.12) параметры газа при нормальных условиях, найдем ее значение: R = p V / Т = 8,31 Дж/(моль.К). 0 0μ

0

Величина R называется универсальной газовой постоянной. Такимобразом,дляодногомолягазаможнозаписать:pVμ =RT.Умножив данное уравнение на число молей ν = m / μ, получим уравнение состояния для произвольной массы газа — уравнение Клапейрона-Менделеева2. pV = mRT/μ

(2.13)

или pV = νR T . (2.14) Уравнение (2.14) применимо и для смеси газов, то есть является более общим, чем уравнение (2.13). Поскольку отношение m/V есть плотность газа ρ, то уравнение (2.13) можно записать: p = ρRT/μ. (2.15) 1

Б. П. Клапейрон (1799–1864) — французский физик.

2 Дмитрий

Иванович Менделеев (1834–1907) — русский химик. 121

Если умножить и поделить правую часть уравнения (2.13) на число Авогадро и учесть, что R / NA = k = 1,38 . 10–23 Дж/К — постоянная Больцмана, а выражение mNA / Vμ = n — число молекул в единице объема, то получим уравнение состояния идеального газа в виде p = nkT. (2.16) Запишем уравнение состояния (2.13) для одного моля газа: Подставив

вместо

р

pVμ = R T . его значение

из

уравнения

(2.11)

р= 2n E / 3 и расписав n = NA /Vμ , получим выражение для средней кинетической энергии поступательного движения одной молекулы идеального газа:

Eê

î

= 3kT 2 .

(2.17)

Как видно из уравнения (2.17), средняя кинетическая энергия движения молекулы прямо пропорциональна абсолютной температуре. Закон Д. Дальтона.1 Пусть имеется смесь газов: n = n1 + n2 + n3 + . . . + nN, (2.18) где n число молекул в единице объема смеси, n1, n2, . . . nN — число молекул в единице объема первого, второго, ... Nго газов, составляющих смесь. Используя уравнение (2.16) и (2.18), запишем: p = nkT = kT(n1 + n2 + n3 + . . . + nN) = = kTn1 + kTn2 +kTn3 + . . . + kTnN = p1 + p2 + p3 + ... pN, где p1, p2, p3, ..., pN — парциальные давления газов в смеси. Парциальным называется давление, которое производил бы газ, входящий в смесь, если бы он один занимал объем, в котором находится смесь, при той же температуре. Таким образом, давление смеси газов равно сумме парциальных давлений, составляющих данную смесь (закон Дальтона). § 42. Закон распределения молекул по скоростям (закон Д. Максвелла)2 Молекулы газа, испытывая взаимные столкновения, имеют различные скоростидвижения.Однаконайтичисломолекул,обладающихопределенной

122

1

Дж. Дальтон (1766–1844) — английский ученый.

2

Джеймс Клерк Максвелл (1831–1879) — великий английский физик.

скоростью, невозможно, так как число различных значений скоростей бесконечно велико, а число молекул конечно. Поэтому в статистической физике задача ставится поиному: определяется число молекул, скорости которых находятся в заданном интервале значений скоростей. Выберем прямоугольную систему координат, вдоль осей которой отложим проекции скоростей молекул vx,vy,vz,. Получим трехмерное пространство скоростей (рис. 38). Всякой молекуле в этом простран стве скоростей соответствует точка, которая изображает ее скорость

v = (v x , v y , v z ) .

Интервалу

(v y , v y + dv y ) ,

(v x , v x + dv x ) ,

(v z , v z + dv z ) соответствует элементарный объем dV = dv x d

v yd vz

пространства скоростей, имеющий форму куба. Число точек dN в объе ме dV пространства скоростей равно этому объему, умноженному на

(

)

плотность точек внутри него. Обозначим через Nf v x , v y , v z число то чек, приходящихся на единицу объема пространства скоростей (сред нюю плотность точек). Здесь N — общее число молекул газа. Тогда

(

)

dN = Nf v x , v y , v z dv x dv y dv z .

(2.19)

Другими словами, dN — это число молекул, проекции скорос тей которых лежат в интервале значений от vx до vx + dvx, от vy до vy+dvy, от vz vz+dvz. Из математики известно, что вероятность какоголибо события dP равна отношению числа событий с ожидаемым исходом к общему числу возможных событий, если общее число событий сколь угодно велико. Вероятность того, что проекции скоростей находятся в выбран ном интервале скоростей, равна отношению числа молекул с задан ным значением скорости к общему числу молекул, т. е. dP =

(

)

(

)

dN = f v x , v y , v z dv x dv y dv z , N

где f v x , v y , v z — функция распределения молекул по скоростям, представляющая собой плотность вероятности. Под плотностью вероятности понимается отношение вероятности к единичному объему пространства скоростей.

(

)

Согласно Максвеллу функция распределения f v x , v y , v z оп ределяется отношением кинетической энергии молекулы

Eo =

(

mo v 2 m0 2 v x + v 2y + v 2z = 2 2

) 123

к средней энергии его теплового движения 〈E〉 = кT, и имеет вид

f (v x , v y , v z ) == A ⋅ e

−

mo v 2 2 êT

,

где mо — масса молекулы, Т — температура газа, к — постоянная Больцмана, е — основание натурального логарифма. Постоянная величина А, не зависящая от скорости, находится из условия нормировки ∞

∫ f (v x , v y , v z )dv = 1 . 0

⎛ mo ⎞ По расчетам A = ⎜ ⎟ ⎝ 2πêÒ ⎠

3/ 2

.

Вычислив постоянную А, запишем уравнение для среднего чис ла частиц, находящихся в заданном интервале: ⎛ m dN = N ⎜⎜ o ⎝ 2πêT

⎞ ⎟⎟ ⎠

3/ 2

mo v 2 e 2êÒ

dv x dv y dv z .

(2.20)

На рис. 38 штриховыми линиями выделен шаровой слой ра диуса v и толщиной dv. Найдем число vz молекул, находящихся в шаровом dV dvz dv слое и обладающих скоростями, моду dvy v dvx ли которых лежат в интервале от v до vx v + dv. Для этого в выражении (2.19) объем vy dV = dv x dv y dv z аменим на объем ша Рис. 38

рового слоя 4πv 2 dv , получим 3/2

2

mv − o ⎛ mo ⎞ dN = Nf (v)4πv2dv = N ⎜ e 2кT 4πv2dv. ⎟ ⎝ 2πкT ⎠ Отсюда находится функция распределения молекул по скорос тям — распределение Максвелла:

124

3/2

f (v) =

⎛ mo ⎞ dN = 4π ⎜ ⎟ Ndv ⎝ 2πкT ⎠

e

−

mo v2 2кT v 2 .

(2.21)

Полученное распределение молекул по скоростям является статис тическим законом, который реализуется в определенных условиях. Из уравнения (2.21) видно, что вид функции зависит от температуры и рода газа. Отношение

dN находится из формул (2.20) и (2.21): N 3/2

⎛ m ⎞ dN = 4π⎜ 0 ⎟ N ⎝ 2πkT ⎠

−

⋅e

m0v2 2кT

⋅ v2dv.

(2.22)

Графики функций f(v) для различ ных температур показаны на рис. 39. При повышении температуры Т3 > T2 >T1 вся кривая смещается вправо и становится положе, т. е. увеличивает ся число молекул с большими скорос тями. Функция обращается в ноль при v = 0 и при v → ∞ : в газе отсутствуют Рис. 39 неподвижные молекулы и нет моле кул с бесконечно большими скоростями. Функция f(v) имеет макси мум при скорости, равной vв, которая называется наиболее вероятной скоростью. Наиболее вероятная скорость определяется из усло вия экстремума функции f (v):

d⎛ 2 − ⎜v e dv ⎜⎝

m0v2 2kT

v2 ⎞ ⎛ m0v2 ⎞ − m20kT =0 . ⎟⎟ = 2v⎜1− ⎟⋅ e 2 kT ⎝ ⎠ ⎠

Значения v = 0 и v = ∞ соответствуют минимуму функции. Для наиболее вероятной скорости получим

vв = 2kT /m0 = 2RT /μ .

(2.23)

Следует заметить, что количество молекул в рассматриваемом объеме не остается постоянным, а испытывает колебания около некоторого среднего значения. Такие случайные, хаотические изменения числа молекул и других физическихвеличинназываются флуктуациями.Флуктуациями плотности воздуха в атмосфере Земли объясняется, например, голубой цвет неба. Используя распределение Максвелла (2.22), можно найти среднюю арифметическую скорость движения молекул: 125

v = 8kT /(πm0 ) = 8RT /(πμ) ,

(2.24)

среднюю квадратичную скорость:

v

êâ

= 3kT / m0 = 3RT / μ .

Введем обозначение: u = v/vв, тогда

du =

(2.25)

dv , vв

v2 = u2vв =

= 2 RTu 2 / m0 . Подставляя данные выражения в формулу (2.22), получим закон распределения Максвелла в приведенном виде:

4 −u 2 2 dN = e u du . N π

(2.26)

Опыт О. Штерна. Опытная проверка распреде ления Максвелла и определение скоростей движения молекул были выполнены физиком Штерном в 1920 году. На рис. 40 показана схема экспериментальной установки. Платиновая проволока 1, натянутая вдоль оси цилиндра 2, покрывалась тонким слоем серебра. По проволоке пропускался электрический ток. При этом проволока нагревалась, атомы серебра испаря Рис. 40 лись и, вылетая через щель в цилиндре 2, попадали на внутреннюю поверхность цилиндра 3, давая на ней изображение щели А. Воздух из цилиндров заранее откачивался. При вра щении цилиндров 2 и 3 вокруг общей оси атомы серебра осаждались на не котором расстоянии х от точки А, давая размытое изображение щели. По толщине слоя серебра, осажденного на цилиндре 2, прово дилась оценка распределения молекул по скорости. Зная радиусы цилиндров 2 и 3, угловую скорость их вращения, измеряя температуру проволоки и расстояние х, рассчитывались скорости движения атомов серебра. Опыт Штерна подтвердил достоверность распределения Максвелла. § 43. Барометрическая формула. Распределение Л. Больцмана Мысленно выделим в атмосфере Земли вертикальный столб (рис. 41). Молекулы воздуха в выделенном объеме, двигаясь хаотически, испытывают воздействие гравитационного поля Земли. В результате чего давление газа с высотой уменьшается. Предположим, что плотность воздуха 126

ρ = const , температура газа постоянная, а гравитационное поле однородно. Пусть на высоте h = 0 давление р0, на высоте h давление р, на высоте h + dh давление равно р – dp (так как давление с высотой убывает). По закону Б. Паскаля1 давление dp в тонком слое воздуха равно

p+dp

Рис. 41

dp = −ρ g dh .

(2.27) Из уравнения состояния (2.15) найдем плотность газа:

ρ = pμ (RT ) и, подставив в формулу (2.27), получим dp = −

pμ g dh , RT

откуда после разделения переменных запишем

−

dp μ g dh . = p RT

Возьмем интеграл от полученного выражения: p

−

∫

p0

h

dp μ g dh , = p RT

∫

ln

0

или

p = p0 e

−

μ gh RT

p μg h =− p0 RT .

(2.28)

Уравнение (2.28) называется барометрической формулой. С помощью барометрической формулы можно определить давление атмосферы на известной высоте h, зная температуру и давление у поверхности Земли. В авиации эта формула используется для определения высоты полета

h=

RTln p0 / p . μg

Воспользовавшись уравнением (2.16), барометрическую формулу приведем к виду

n = n0 e −μgh /( RT ) , 1

(2.29)

Блез Паскаль (1623–1662) — французский ученый. 127

где n и nо концентрации молекул на высоте h и у поверхности Земли соответственно. R = kNA, По формуле (2.2) μ = m0NA,

n = n0e − m0 gh /( kT ) .

(2.30)

Так как m0gh = Ep — потенциальная энергия в гравитационном поле, то формулу (2.30) запишем в виде

n = n0 e

− Ep /( kT )

.

Получили распределение молекул (частиц) во внешнем потенциальном поле, называемое распределением Больцмана1: в состоянии теплового равновесия плотность газа (концентрация молекул), подверженного действию внешнего поля, больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул. n Больцмановское распределение моле no 1 кул по энергиям изображено графически на рис. 42. Распределение Больцмана является универсальным законом. Оно справедливо 0 Ep для любых частиц, находящихся в потен Рис. 42 циальном силовом поле.

1

128

Людвиг Больцман (1844–1906) — австрийский физик.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 27. Посередине откачанной и запаянной с обеих сторон горизонтальной трубки длиной 1 м находится столбик ртути длиной 20 см. Если трубку поставить вертикально, то столбик ртути переместится вниз на расстояние 10 см. До какого давления откачана трубка? Дано

Решение.Нарисункепоказаныдваположениятрубки:

L=1м L0 = 0,2 м ΔL = 0,1 м p1 = ?

а) горизонтальное, б) вертикальное. Температура воздуха не меняется, т. е. имеем дело с изотермическим процессом (T = const):

( р1V1) и ( р2V2 ) — начальные состояния газа (рис. а); ( р3V3 ) и ( р4V4 ) — соответственно конечные состояния газа (рис. б). По закону Бойля–Мариотта запишем:

( р1V1 ) = ( р3V3 ) ,

(1)

( р2V2 ) = ( р4 V4 ) .

(2)

В положении (а) ртуть находится в равновесии, расположена симметрично относительно трубки, поэтому можно записать еще одно уравнение:

( р1V1 ) = ( р2V2 ) .

(3)

Тогда

( р3 V3 ) = ( р4 V4 ) ,

(4)

129

⎛ L − L0 ⎞ + Δ L ⎟ S = 0,5S ; V3 = ⎜ ⎝ 2 ⎠

где

⎛ L − L0 ⎞ − Δ L ⎟ S = 0,3S , V4 = ⎜ ⎝ 2 ⎠ где V — объем трубки, S — площадь ее сечения. Давление р4 равно сумме давлений: р3 , создаваемого верхним столбиком воздуха (рис. б), и давления столбика ртути высотой L0 :

р4 = р3 + ρ gL0 , где ρ — плотность ртути. Подставим V3 ,V4 и р4 в уравнение (4):

р3 0,5S = ( р3 + ρ gL0 ) 0,3S . Откуда получим

3 р3 = ρ gL0 . 2

(5)

По формуле (1) определим:

p1 = V1 =

где

L − L0 2

p3V3 V1

,

(6)

S = 0,4 S .

Подставляя р3, V3, V1 в уравнение (6), вычислим первоначальное давление:

15 р1 = ⎛⎜ ⎞⎟ ρ gL0 , ⎝8⎠ 15 р1 = ⎛⎜ ⎞⎟⋅13,6⋅103 ⋅10⋅ 0,2 = 0,05⋅106 , ⎝8⎠

[ р] = ⎡⎢ мкг3 ⋅ см2 ⋅ м⎤⎥ = ⎡⎢ мН2 ⎤⎥ = Па. ⎣

Ответ: р1 = 0,05 МПа . 130

⎦ ⎣

⎦

Задача 28. В баллоне емкостью 110 л помещено m1 = 0,8 г водорода и m 2 = 1,6 г кислорода. Определить давление смеси на стенки сосуда, если температура окружающей среды t = 271 С . Дано: V = 110 ⋅ 10–3 м3 m1 = 0,8 ⋅ 10–3 кг m2 = 1,6 ⋅ 10–3 кг T = 273 + 27 = 300 К pсм = ?

Решение. Согласно закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений:

рсм = р1 + р2 . Из уравнения (2.13) Менделеева–Кла пейрона найдем р1 — парциальное давление водорода:

р1 =

m1 RT Vμ1

(1)

и р2 — парциальное давление кислорода:

р2 =

m2 RT . Vμ2

Молярные массы водорода μ1 = 2⋅10−3

μ2 = 32⋅10−3

(2)

кг , кислорода моль

кг . Используя уравнения (1) и (2), получим: моль

рсм =

RT ⎛ m1 m2 ⎞ + , V ⎜⎝ μ1 μ2 ⎟⎠

⎡

⎤ Дж 1 H ⋅ К ⋅ 3 ⋅ моль ⎥ = ⎡⎢ 2 ⎤⎥ = Па . м м моль К ⋅ ⎣ ⎦ ( ) ⎣ ⎦

[ p] = ⎢

Произведем вычисления:

рсм =

8,31⋅ 300 ⎛ 0,8 ⋅10−3 1,6 ⋅10−3 ⎞ + = 1,02⋅104 . 110 ⋅10−3 ⎜⎝ 2⋅10−3 32⋅10−3 ⎟⎠

Ответ: 1,02⋅104 Па . 131

Задача 29. Азот находится под давлением р = 1 атм при температуре Т = = 300 К. Найти относительное число молекул азота, модули скоростей которых лежат в интервале скоростей от v до

v + dv , где d v=1 Дано: p = 105 Па T = 300 К dv = 1 м/с dN/N = ?

м . Внешние силы отсутствуют. с

Решение. При давлении р = 1 атм и температуре Т = = 300 К азот можно считать идеальным газом. В отсутствии внешних сил молекулы идеального газа подчиняются закону распределения Максвелла (2.21): 3 m0 v 2 m0 ⎞ 2 2 − 2 ⋅ kT . dN ⎛ f ( v) = = 4π ⎜ ⎟ v ⋅e Ndv ⎝ 2πkT ⎠

Таким образом, относительное число молекул азота, модули скоростей которых лежат в интервале скоростей v до v + dv , можно определить по формуле (2.22)

m0 ⋅ v 2 ⎛ m0 dN ⎟⎟ v 2 ⋅ e 2 kT ⋅ dv. = 4π ⎜⎜ π N 2 kT ⎝ ⎠ 3 ⎞2

−

(1)

Выражение (1) справедливо, если интервал скоростей dv столь мал, что изменением функции распределения f ( v) на этом интервале скоростей можно пренебречь, считая ее приближенно постоянной. В нашем случае интервал d v =1 м с мал по сравнению со значением средней арифметической скорости (2.24):

v=

8kT м ≈475 . с π m0

Подставив в (1) значение средней арифметической скорости (2.24), получаем решение задачи в общем виде: 1 4 dN 8 2 ⎛ m0 ⎞ 2 − π = ⋅ e ⋅ dv . N π ⎜⎝ πkT ⎟⎠

Массу молекулы азота определим по формуле 132

(2)

m0 = где μ= 28⋅10−3

μ , NA

кг ; N = 6,02⋅1023 моль−1 . моль A

Произведя вычисления по формуле (2), получим

Ответ: 0,19 %.

dN = 1,9 ⋅10–3. N

Задача 30. Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковоедавление p = 80 кПа ,благодарячемулетчиксчитаетвысотуполета h неизменной. Однако температура воздуха изменилась на ΔT = 1 K . Какую ошибку Δh в определении высоты допустил летчик? Считать, что температура не зависит от высоты и что у поверхности Земли давление p0 =100 кПа. Дано:

р0 =105 Па р = 8⋅104 Па Δ T =1 K μ= 29⋅10−3 кг моль Δ h =?

Решение. Воспользуемся баромет рической формулой (2.28):

μgh p = p0 ⋅ e RT . −

Барометр в самолете может показывать неизменное давление p при различных температурах T1 и T2 за бортом только в том случае,еслисамолетнаходитсянаразличных высотах h1 и h2. Запишем барометрическую формулу для этих двух случаев:

μgh1 р = р0 ⋅ e RT1 , μgh2 − р = р ⋅ e RT2 . −

(1)

0

р0 Найдем отношение давлений р в уравнениях (1), и обе части полученных равенств прологарифмируем: 133

ln

p0 μgh1 = , p RT1

ln

p0 μgh2 . = p RT2

Из соотношений (2) выразим высоты

(2)

h1 и h2 и найдем их

разность:

⎛p ⎞ R ln⎜ 0 ⎟ ⎝ p ⎠ (Δ T ). Δh = h2 − h1 = μg Произведем вычисления:

⎛ 105 ⎞ ⎟ 8,3 ⋅ ln⎜⎜ 8 ⋅ 10 4 ⎟⎠ ⎝ ⋅ 1 = 6,5 . Δh = 29 ⋅ 10 −3 ⋅ 10 Сделаем проверку размерности:

Дж

⋅К

[R] ⋅ [T] ( моль ⋅ К) [Δ h] = μ ⋅ g = кг м [ ][ ] ⋅

моль с2

Ответ: Δh = 6,5 м.

134

=

Дж ⋅ К ⋅ моль ⋅ с2 Дж = = м. моль ⋅ К ⋅ кг ⋅ м Н

Глава 8 Явления переноса в газах § 44. Средняя длина свободного пробега молекул Молекулыгаза,находясьвтепловомхаотическомдвижении,непрерывно сталкиваются друг с другом. Под столкновением молекул понимается процесс, при котором скорости движения молекул изменяются по модулю и по направлению. Кратчайшее расстояние между центрами молекул при их столкновении называется эффективным диаметром молекул s. Отодногостолкновениядодругогомолекулыпроходятнекотороерасстояние, называемое длиной свободного пробега молекулы l. Так как эти расстояния различны,топринятоговоритьосреднейдлинесвободногопробегамолекулы λ . Пусть молекулы представляют собой шарики с диаметром, равным s. Мысленно выделим в газе цилиндрический σ объем с радиусом r = σ и длиной образующей, равной средней арифметической скорости движения молекул v (рис. 43). Допустим, Рис. 43

Ðèñ. 40

что все молекулы в выделенном объеме неподвижны и только одна молекула движется по оси цилиндра со скоростью v .

За 1 секунду эта молекула пройдет путь, равный v . Тогда объем выделенного цилиндра V = πσ 2 v . Движущаяся молекула ударит те молекулы, центры которых лежат в выделенном объеме, т. е.

z = πσ2 v n , где n — число молекул в единице объема, а z — среднее число столкновений молекулы в единицу времени. Поскольку реально все молекулы движутся, то вместо

v в

полученное выражение следует подставить v отн = 2 v , т. е.

z = 2πσ2 v n .

(2.31)

Разделив средний путь, проходимый молекулой за 1 секунду, на число столкновений z , получим среднюю длину свободного пробега 135

λ =

v 1 = z 2πσ2 n .

(2.32)

Найдем n из уравнения состояния (2.16) и подставим его значение в формулу (2.32):

n = p /(kT) , λ = kT

(

)

2πσ 2 p .

(2.33)

Как видно из выражения (2.33), с увеличением температуры газа λ тоже возрастает, так как увеличивается число молекул с большими скоростями. С ростом давления λ уменьшается, поскольку возрастает число соударений молекул. § 45. Опытные законы явлений переноса Особые необратимые процессы, возникающие в термодинамически неравновесных системах, называются явлениями переноса. К ним относятся: диффузия (перенос массы), теплопроводность (перенос энергии) и вязкость или внутреннее трение (перенос импульса). 1. Диффузией называется явление проникновения соприкасающихся веществ друг в друга. Процесс диффузии возникает в веществе — газе, жидкости или твердом теле. Для однородного газа в одномерном процессе явление диффузии описывается законом А. Фика1:

dm = − D

dρ dSdt , dx

(2.34)

где dm — масса газа, переносимого за время dt через площадку dS в направлении нормали х к площадке, dρ/dx — градиент плотности, D — коэффициент диффузии. Знак минус в уравнении (2.34) показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности, т. е. направление переноса массы и направление градиента плотности противоположны. Молекулярнокинетическая теория газов для коэффициента диффузии дает следующее выражение:

D= 1

136

1 λ v . 3

Адольф Фик (1829–1901) — немецкий ученый.

Так как λ = kT

(

)

2πσ 2 p , а v = 8 RT /( πμ ) , получаем, что

коэффициент диффузии D

(

)

~ T 3 / 2 p μ . Таким образом, с

увеличением температуры диффузия в газах ускоряется, с ростом давления — замедляется. Диффузия в газах с тяжелыми молекулами протекает медленнее. 2. Теплопроводностью называется явление переноса внутренней энергии из одного слоя газа в другой. Процесс теплопроводности возникает при наличии разности температур в различных слоях газа. Для одномерного процесса справедлив закон Ж. Фурье1:

dQ = − γ

dT dS dt , dx

(2.35)

где dQ — количество энергии, переносимое за время dt через площадку dS в направлении нормали х к этой площадке в сторону уменьшения температуры; g — коэффициент теплопроводности, dT/dx — градиент температуры. Знак минус показывает, что направление переноса энергии противоположно направлению градиента температуры (

dT направлен в dx

сторону увеличения Т). Из молекулярнокинетической теории для коэффициента теплопроводности можно получить следующее выражение:

γ=

1 λ v cv ρ , 3

где ρ — плотность газа, cv — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме. Анализ данного выражения показывает, что с увеличением температуры теплопроводность газа возрастает и не зависит от давления. 3. Внутреннее трение (вязкость) возникает между двумя слоями газа или жидкости, перемещающимися параллельно друг другу с разными по модулю скоростями. Причиной внутреннего трения в газах является перенос импульса из одного слоя в другой. В случае одномерного процесса явление вязкости описывается законом И. Ньютона: 1

Жан Батист Жозеф Фурье (1768–1830) — французский ученый. 137

dF = η

du dS , dx

(2.36)

где dF — сила внутреннего трения, действующая на площадку dS, du/dx — градиент скорости движения слоев в направлении х, перпендикулярном площадке dS, h — коэффициент динамической вязкости. Согласно молекулярнокинетической теории

η=

1 λ v ρ, 3

где v — средняя скорость теплового движения молекул, λ — средняя длина свободного пробега молекул, r — плотность газа. Коэффициент динамической вязкости не зависит от давления газа. Вязкость газов растет с повышением температуры пропорционально

T.

Примечание. Вязкость жидкости с увеличением температуры уменьшается. В жидкости вязкость определяется силами взаимодействия молекул. Коэффициенты D, g и h cвязаны соотношениями h = rD, g = hcv. По численным значениям коэффициентов переноса можно приблизительно оценить среднюю длину свободного пробега молекул газа при различных условиях.

138

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 31. При температуре 0о С и некотором давлении средняя длина свободного пробега молекул кислорода равна 9,5⋅10−8 м. Чему равно среднее число столкновений в 1 секунду молекул кислорода, если сосуд откачать до 0,01 первоначального давления? Температура остается неизменной. Дано: T = 273 К 〈λ1〉 = 9,5 ⋅ 10–8 м p2 = 0,01p2

Решение. Среднее число столкновений в секунду молекул кислорода находится по формуле

z =

〈z〉 = ? где

v =

v λ ,

(1)

8RT ; πμ λ =

1 2π σ 2n

.

(2)

Запишем среднюю длину свободного пробега λ для двух состояний. Для этого из формулы (2.16) найдем число молекул в единице объема n и подставим в уравнение (2):

λ1 =

kT1 , 2π σ2 р1

(3)

λ2 =

kT1 . 2π σ2 р2

(4)

Разделив уравнение (3) на уравнение (4), получим

⎛р ⎞ λ2 = λ1 ⋅ ⎜ 1 ⎟ . ⎝ р2 ⎠ Тогда по формуле (1) найдем 139

8RT v πμ z = = p . λ2 λ1 1 p2

(5)

p1 кг =100; μ= 32⋅10−3 моль . p2

По условию:

Подставляя данные в (5), получим

8 ⋅ 8,3 ⋅ 273 3,14 ⋅ 32 ⋅10 −3 = 4,5 ⋅10 7 . z = −8 9,5 ⋅10 ⋅100 Проверим размерность: 1 2

1 2

1 − 2

[R] ⋅ [T] ⋅ [μ] [z] = [λ]

⎡ кг ⎤ ⎡ Дж ⋅ К ⎤ ⎢⎣ моль ⎥⎦ =⎢ ⎥ ⋅ м ⎣ ( моль ⋅ К) ⎦ 1 2

−

1 2

=

Дж кг = 1 = с−1 . м c

Ответ: 4,5 ⋅107 c −1 . Задача 32. Углекислый газ и азот находятся при одинаковых давлениях и температурах. Найдите для этих газов отношения: а) коэффициентов диффузии; б) вязкостей; в) теплопроводностей. Диаметры молекул газов считатьодинаковыми. Дано:

μ1 = 44 ⋅10−3 μ2 = 28 ⋅10−3 i1 = 6, i2 = 5 D1 / D2 = ? η1 /η2 = ? γ1 / γ2 = ? 140

Решение. а) Коэффициент диффузии

кг моль кг моль

D=

1 8 RT kT 1 v λ = ⋅ . 3 πμ 3 2 πσ 2 p

Так как диаметры молекул σ1 = σ2, то

D1 μ2 = = 0,8 . D2 μ1

б) Коэффициент динамической вязкости

η=

1 v λ ρ, 3

где ρ = pμ / (RT ) .

η= D⋅

Тогда

pμ , RT

η1 μ 2 μ1 μ1 = ⋅ = = 1,25 . η2 μ1 μ 2 μ2 в) Коэффициент теплопроводности

γ= где cv =

1 v λ ρcv = ηcv , 3

i R — удельная теплоемкость газа, i — число степеней свободы 2μ

молекул (см. § 49). Таким образом,

γ = ηcv =

μ1 i1 μ 2 i1 ⋅ ⋅ = μ 2 i2 μ1 i2

μ2 = 0,96 . μ1

Ответ: 0,8; 1,25; 0,96.

141

Глава9 ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ § 46. Внутренняя энергия идеального газа Под числом степеней свободы i понимается число независимых параметров, определяющих положение тела в пространстве. Так, положение материальнойточкивпространствеопределяется координатамиx,y,z,следовательно,материальная точкаимееттристепенисвободы.Всетристепени свободы—поступательные.Положениетвердого тела в пространстве определяется координатами его центра масс x, y, z и углами ϕ, θ, ψ (рис. 44). Следовательно, твердое тело имеет шесть Рис. 44 степеней свободы: три поступательные (x, y, z) и три вращательные (ϕ, θ, ψ). Система, состоящая из n материальных точек, не связанных друг с другом, имеет 3 n степеней свободы. Две жестко связанные между собой материальные точки имеют пять степеней свободы: три поступательные x, y, z, определяющие положение центра масс (точка с, рис. 45) и две вращательные (вокруг осей y и z). Вращение материальных точек вокруг оси хлишеносмысла.Следовательно,каждаяжесткаясвязьуменьшаетчисло степеней свободы на единицу: без жесткой связи система двух материальных точек имеет шесть степеней свободы: 3n = 3 . 2 = 6, с одной жесткой связью — пять степеней свободы. При определении числа степеней свободы молекул атомы, из которых они состоят, рассматриваются как материальные точки. Каждая молекула независимо от общего числа ее степеней свободы имеет три поступательные степени свободы. Согласно формуле (2.17) на все три поступательные степени свободы приходится энергия 〈E〉 = 3kT/2. Следовательно, на одну степень свободы прихо дится энергия в три раза меньше, т. е. 1/2 kT. Таким образом, на каждую степень свободы, будь то поступательная, вращательная или колебательная, в среднем приходится одинаковая кинетическая энергия, равная 1/2 kT. Данное утверждение называется законом равнораспределения энергии по степеням Рис. 45 свободы. 142

Тогда средняя энергия молекул

E =

i kT , 2

(2.37)

где i = iпост + iвращ + 2iкол — суммарное число степеней свободы молекулы, состоящее из поступательных, вращательных и колебательных степеней. Заметим, что число колебательных степеней в этой сумме удваивается, так как колебательное движение связано с наличием как кинетической, так и потенциальной энергии, т. е. обладает удвоенной энергоемкостью. Внутренняя энергия тела — это физическая величина, равная сумме кинетических энергий беспорядочного движения всех частиц тела (молекул, атомов и т. д.) и потенциальных энергий частиц, обусловленных силами их межмолекулярноговзаимодействия. Во внутреннюю энергию не входят энергия движения тела как целого (егокинетическаяэнергия)ипотенциальнаяэнергия,которойможетобладать тело в какомлибо силовом поле (гравитационном, магнитном и т. д.). Для идеального газа внутренняя энергия представляет собой кине тическую энергию хаотического теплового движения его молекул. Используя выражение (2.37), для внутренней энергии одного моля идеального газа запишем:

Uμ = E ⋅ NA =

i i kT ⋅ N A = RT , 2 2

где NA — число Авогадро, R — универсальная газовая постоянная. Внутренняя энергия U произвольно взятой массы идеального газа m определяется формулой

U=

m i RT , μ 2

а изменение внутренней энергии

dU =

m i R dT . μ 2

(2.38)

Внутренняя энергия является однозначной функцией состояния системы, т. е. зависит только от параметров состояния p, V, T и т. д. и не зависит от способа, каким это состояние достигнуто. Внутренняя энергия возрастает при увеличении температуры тела, так как при этом возрастает кинетическая энергия частиц. Если холодное тело 143

соприкасается с горячим, то внутренняя энергия холодного тела увели чивается, а горячего — уменьшается. Этот процесс происходит до тех пор, пока температуры тел не сравняются. Количеством теплоты называется физическая величина, равная внутренней энергии, перешедшей от одного тела к другому при их контакте илиизлучении. Количество теплоты измеряется в джоулях (Дж). Внутреннююэнергиютеламожноувеличить,еслителупередатькакоелибо количествотеплотыилинадтеломсовершитьработу.Принагреваниителамассой mоттемпературыt1 доt2 емунеобходимопередатьколичествотеплоты

Q = cm(t2 − t1 ) ,

(2.39)

где с — удельная теплоемкость. Удельной теплоемкостью называется физическая величина, равная количеству теплоты, которое нужно сообщить 1 кг вещества для изменения его температуры на 1К. Удельная теплоемкость измеряется в джоулях на килограммкельвин (Дж / (кг.К)). Теплоемкостью тела называется физическая величина С, равная отношению количества теплоты, сообщаемой телу, к изменению температуры тела: C = Q / ΔT.

(2.40)

Теплоемкость тела измеряется в джоулях на кельвин (Дж/К). Энергия, переданная термодинамической системе внешними телами при их силовом взаимодействии, называется работой. В процессе совершения работы от одного тела к другому передается энергия упорядоченного движения. При передаче теплоты энергия хаотического движения одной системы переходит к другой системе. § 47. Работа в термодинамике При расширении газа совершается работа. Допустим, что газ заключен в сосуд, отделен от окружающего пространства невесомым поршнем и занимает объем Vl (рис. 46). Давление газа в сосуде уравновешено давлением атмосферы р (процесс изобарный). Повысим температуру газа под поршнем. Тогда газ, расширяясь, поднимет поршень на величину Δh, совершая работу A = FΔh, где F = pS — сила давления атмосферы, S — площадь поршня. Следовательно, работа 144

A = pSΔh = pΔV, где ΔV = V2 – Vl — изменение объема газа при нагревании. Если поршень передвигается на бесконечно малое расстояние dh, то при этом производится работа dA = pdV. Полная работа, совершаемая газом при изменении его объема от Vl до V2, определяется интегрированием:

Рис. 46

V2

A=

∫ p dV .

(2.41)

V1

Давление р — величина всегда положительная. При расширении газа dV > 0, газ совершает положительную работу. Если газ сжимается, то dV < 0 и работа A < 0. В этом случае положительную работу над газом совершают внешние силы. § 48. Первое начало термодинамики Первый закон (начало) термодинамики является законом сохранения и превращения энергии в тепловых процессах. При переходе системы из одного состояния в другое внутренняя энергия системы изменяется. Это изменение (в общем случае) происходит за счет теплообмена с другими системами или при совершении работы. Первый закон термодинамики гласит: изменение внутренней энергии системы ΔU при ее переходе из одного состояния в другое равно сумме работы А' внешних сил и количества теплоты Q, переданного системе: ΔU = А' + Q. Если вместо работы А' внешних сил рассматривать работу системы над внешними телами А = –А', то первый закон термодинамики примет вид Q = ΔU + A. (2.42) Количество теплоты, переданное системе, расходуется на увеличение внутренней энергии системы и на совершение системой работы над внешними телами. В дифференциальной форме выражение (2.42) будет иметь вид d'Q = dU + d'A, (2.43) где dU — бесконечно малое изменение внутренней энергии, d'A — элементарная работа, d'Q — бесконечно малое изменение количества теплоты. Если dU является полным дифференциалом, 145

то d'A и d'Q не являются полными дифференциалами (поэтому символы dQ и dA снабжены штрихами). 2

Интеграл

∫ dU = U 2 − U1

равен разности значений функции U

1

в состояниях 2 и 1 и не зависит от пути совершения процесса. 2

∫

2

∫

Интегралы d ′A = A1− 2 и d ′Q = Q1− 2 зависят от того, по какому пути 1

1

протекает процесс, т. е. A1–2 не равно А2 – А1 и Q1–2 не равно Q2 – Q1. Если термодинамическая система возвращается в перво начальное состояние, то dU = 0 и согласно первому началу термодинамики (2.43) d ′Q = d ′A , т. е. невозможно создать вечный двигатель первого рода, который совершал бы большую работу, чем количество энергии, подведенное извне к системе. § 49. Кинетическая теория теплоемкостей В § 46 дано понятие теплоемкости тела и удельной теплоемкости. Однако при расчете процессов в газах чаще пользуются понятием молярной теплоемкости. Молярной теплоемкостью называется физическая величина cμ, равная отношению количества теплоты, полученного веществом, к числу молей этого вещества и изменению его температуры:

⎛m ⎞ cμ = dQ ⎜ ⋅ dT ⎟ . μ ⎝ ⎠

(2.44)

Молярные и удельные теплоемкости связаны соотношением: сμ = cμ, где μ — молярная масса. Различают молярную теплоемкость при постоянном объеме сV и молярную теплоемкость при постоянном давлении сp. Пусть имеется один моль газа при постоянном объеме, т. е. V = const. Запишем первое начало термодинамики:

d ′Q = dU + d ′A . Так как d ′A = pdV , а dV = 0, то d ′Q = dU . Согласно (2.38)

d ′Q = 146

i R dT , по формуле (2.44) определим молярную теплоемкость 2

при постоянном объеме:

cV =

d ′Q i = R. dT 2

(2.45)

Пусть имеется один моль газа при постоянном давлении, т. е. p = const. Тогда

d ′Q = dU + d ′A =

cp =

i i R dT + p dV = R dT + R dT , 2 2

d ′Q i = R + R = cV + R dT 2 .

(2.46) Сопоставляя выражения (2.45) и (2.46), получим уравнение Ю. Р. Майера1: cp = cV + R. (2.47) Молярная теплоемкость измеряется в джоулях на молькельвин (Дж / (моль.К)). Из выражений (2.45) и (2.46) следует, что молярные теплоемкости зависят только от числа степеней свободы молекул и не зависят от температуры. Данное утверждение справедливо в широком диапазоне температур только для одноатомного идеального газа. § 50. Изопроцессы в газах Изопроцессами называются равновесные процессы, при протекании которых один из основных параметров состояния остается постоянным. Изотермический процесс подчиняется закону Бойля–Мариотта: в изотермическом процессе, протека-ющем при постоянной температуре (Т = сonst), произведение давления р данной массы газа на его объем V есть величина постоянная: p1V1 = p2V2 = . . . = p0V0 или pV = const. Графиком процесса в p, V коорди натах является гипербола (рис. 47), которую в физике называют изотермой. С повышением температуры газа изотерма удаляется от начала координат.

Рис. 47

1 Юлиус Роберт Майер (1814–1878) — немецкий врач.

147

Применим первое начало термодинамики к изотермическому процессу:

d ′Q = dU + d ′A , но dU =

m c dT . μ V

При Т = const dU = 0, следовательно, d'Q = d'A. Все тепло, подведенное к термодинамической системе в изотермическом процессе, идет на совершение системой работы против внешних сил. Найдем работу изотермического расширения газа, используя уравнение (2.13), (2.43): 2

∫

A1− 2 = p dV = 1

2

∫ 1

V p m dV m m RT = RT ln 2 = RT ln 2 . (2.48) V μ μ V1 μ p1

На графике (см. рис. 47) работа изображается площадью заштри хованной фигуры abcd. Все медленно протекающие процессы приближенно можно считать изотермическими. Изохорический процесс подчиняется закону Шарля: в изохорическом процессе, протекающем при постоянном объеме (V = const), отношение давления данной массы газа к его абсолютной температуре есть величина постоянная: р1 / Т1 = р2 / Т2 = . . . = р0 / Т0 или р / Т = const. На рис. 48 представлены графики изохорического процесса в различных координатах. Применим к изохорическому процессу первое начало термодинамики:

d ′Q = dU + d ′A .

t°C Рис. 48 148

TÊ

Так как V = const,

d ′A = p dV = 0 . В изохорическом процессе газ работу над внешними телами не совершает. Сообщаемая газу теплота идет на увеличение внутренней энергии:

d ′Q = dU . Но dU =

m c dT , интегрируя данное выражение, получим μ V U 2 − U1 =

m c (T − T ) . μ V 2 1

(2.49)

Используя уравнение Майера (2.47), представим cV в виде

cV R c R R = V = R c p − cV γ − 1 , где γ = c p / cV — показатель адиабаты. Тогда из уравнения (2.49) для изменения внутренней энергии запишем:

U 2 − U1 =

m R (T2 − T1 ) = p2V − p1V = V ( p2 − p1 ) . γ −1 γ −1 μ γ −1

Изобарический процесс подчиняется закону ГейЛюссака: в изобарическом процессе, протекающем при постоянном давлении (р = const), отношение объема данной массы газа к его абсолютной температуре есть величина постоянная: V1 /T1 = V2 /T2 = . . . V0 /T0 или V /T = const. Графики изобарического процесса изображены на рис. 49. Применим к изобарическому процессу первое начало термодинамики:

d ′Q = dU + d ′A = dU + pdV = d (U + pV )* * Функцию состояния H = U + pV называют энтальпией (тепловой функцией). 149

Рис. 49

или

d ′Q =

m c dT + p dV . μ V

Количество подведенной теплоты

m m m c (T − T ) + p (V2 − V1 ) = cV (T2 − T1 ) + R (T2 − T1 ) = μ V 2 1 μ μ m m = (T2 − T1 ) ( cV + R ) = c p (T2 − T1 ) . μ μ

Q1− 2 =

Работа газа в изобарическом процессе d ′A = p dV

или

A1− 2 = pV2 − pV1 и определяется площадью заштрихованного прямоугольника (рис. 49, а). Применив уравнение состояния (2.13), получим

A1− 2 =

m R (T2 − T1 ) . μ

(2.50)

Если разность температур (Т2 – Т1) = 1 К, то для одного моля

⎛m ⎞ = 1⎟ работа А1–2 = R. ⎝μ ⎠

газа ⎜

Отсюда вытекает физический смысл R: универсальная газовая постоянная численно равна работе изобарического расширения одного моля идеального газа при его нагревании на один кельвин.

150

Адиабатический процесс подчиняется уравнению Пуассона. Процесс, протекающийбезтеплообменасвнешнейсредой,называетсяадиабатическим. Все быстро протекающие процессы приближенно можно считать адиа батическими. В отсутствие теплообмена с внешней средой d'Q = 0. Запишем первое начало термодинамики: d ′Q = dU + d ′A . Подставим в него выражения для внутренней энергии

dU =

m c dT и работы d ′A = p dV : μ V d ′Q =

m c dT + p dV , т. к. d ′Q = 0 , то μ V m p dV = − cV dT . μ

(2.51)

Возьмем дифференциал от обеих частей уравнения состояния идеального газа

pV =

m RT , μ

получим

p dV + V dp =

m R dT . μ

(2.52)

Просуммируем уравнения (2.51) и (2.52), предварительно умножив (2.51) наR/cV,получим

p dV + V dp +

p dV R =0 cV

или

⎛ R p dV ⎜⎜1 + ⎝ cV

⎞ ⎟ + V dp = 0 . ⎟ ⎠

(2.53)

Используя уравнение Майера (2.47), преобразуем выражение

1+

c p − cV c p R = 1+ = =γ. cV cV cV 151

С учетом этого выражение (2.53) запишется в виде

γ p dV + V dp = 0 . Поделим полученное уравнение на произведение рV:

γ

dV dp + = 0. V p

Интегрируя данное уравнение в пределах от V1 до V2 и от р1 до р2, а затем потенцируя его, получим уравнение Пуассона:

p1V1γ = p2V2γ или

pV γ = const .

(2.54)

Применив уравнение состояния, выражение (2.54) можно привести к виду

T V γ −1

= const

1− γ , Tp γ

= const .

(2.55)

На рис. 50 представлены две кривые: 1 — адиабата, 2 — изотерма. Как видно из рисунка, адиабата идет круче, чем изотерма. Согласно первому началу термодинамики работа в адиабатическом процессе d ′A = −dU , так как d ′Q = 0 . Тогда

A1−2 = − =

pV − p V m m R (T1 − T2 ) = 1 1 2 2 = cV (T2 − T1 ) = γ −1 μ μ γ −1

p1V1 ⎛ p V ⎞ pV ⎡ p Vγ ⎜⎜1 − 2 2 ⎟⎟ = 1 1 ⎢1 − 2 2 γ −1 ⎝ p1V1 ⎠ γ − 1 ⎢ p1V1γ ⎣

⎛ V1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ V2 ⎠

γ −1 ⎤

γ −1 pV ⎡ ⎛V ⎞ ⎤ ⎥ = 1 1 ⎢1 − ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎥ . ⎥⎦ γ − 1 ⎢⎣ ⎝ V2 ⎠ ⎥⎦

m

По уравнению состояния p1V1 = RT1 , следовательно, работа μ

A1− 2

152

γ −1 m RT1 ⎡⎢ ⎛ V1 ⎞ ⎤⎥ ⎟ ⎜ 1− = μ γ − 1 ⎢ ⎜⎝ V2 ⎟⎠ ⎥ . ⎦ ⎣

(2.56)

Работа в адиабатическом процессе совершается за счет уменьшения внутренней энергии газа. Если над газом производят работу внешние силы, сжимая его, то внутренняя энергия и температура газа возрастают. Работа в р–V координатах определяется площадью фигуры abcd, заштрихованной на рис. 50.

p

1 b 2 c

0

a

d

V

Ðèñ. Рис.47 50

153

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 33. Найти среднюю кинетическую энергию EB

вра

щательного движения одной молекулы кислорода при температуре

T = 350 K , а также кинетическую энергию ЕК вращательного дви жения всех молекул кислорода, масса которого m = 4 г. Дано: μ = 32 ⋅ 10–3 кг/моль T = 350 К m = 4 ⋅ 10–3 кг 〈EB〉 = ? EK = ?

Решение. На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая

1 2

средняя энергия Е1 = kТ . Так как враща тельному движению двухатомной молеку лы (молекула кислорода — двухатомная) соответствуют две степени свободы, то сред няя энергия вращательного движения мо лекулы кислорода

1 ЕВ = 2 kТ = kТ . 2

(1)

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул заданного количества газа

E К = EВ N , где N — число молекул газа, которое можно определить по формуле

N = NA Тогда

E К= NA

m μ.

m E μ В .

Произведем вычисления:

EВ = kT = 1,38 ⋅10−23 ⋅ 350 Дж = 4,83⋅10−21 Дж,

EK =6,02⋅1023 ⋅

4⋅10−3 ⋅ 4,83⋅10−21 Дж=364 Дж. 32⋅10−3

Ответ: ЕВ = 4,83⋅10−21 Дж , EK =364 Дж. 154

(2)

Задача 34. 12 г идеального газа занимают объем 4⋅10−3 м3 при температуре 7o С. После нагревания газа при постоянном давлении его плотность стала равна 6⋅10−4 г см3 . До какой температуры на грели газ? Дано: m = 12 ⋅ 10–3 кг V1 = 4 ⋅ 10–3 м3 T1 = 273 + 7 = 280 К ρ2 = 0,6 кг/м3

Решение. Запишем уравнение Менделе ева–Клапейрона для двух состояний газа:

⎧ р V = m RT , ⎪⎪ 1 1 μ 1 ⎨ ⎪ р2V2 = m RT2 . μ ⎪⎩

T2 = ?

(1)

Процесс изобарный (p1 = p2 = p = const), а плотность газа после нагревания

ρ2 =

m V2 .

(2)

С учетом уравнения (2) приведем систему уравнений (1) к виду

⎧ рV = m RT , ⎪⎪ 1 μ 1 ⎨ ⎪ р = m RT2 , V2 μ ⎪⎩

⎧ рV = m RT , ⎪⎪ 1 μ 1 ⎨ ⎪ р = ρ2R T2 . μ ⎪⎩

или

(3)

Из уравнений (3) найдем

T2 =

mT1

V1ρ 2 .

Произведем вычисления и проверку размерности:

T2 =

12 ⋅ 10 − 3 ⋅ 280 = 1400 , 4 ⋅ 10 − 3 ⋅ 0 ,6 3

[T] = ⎡⎢мкг3 ⋅ К⋅ мкг ⎤⎥ = К. ⎣

⎦

Ответ: 1400 К. 155

Задача 35. Кислород массой m = 2 кг занимает объем V1 = 1 м3 и находится под давлением p1 = 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2 = 3 м3, а затем при постоянном объеме до давления p3 = 0,5 МПа. Найти изменение ΔU внутренней энергии газа, совершенную им работу A и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса. Дано: m = 2 кг V1 = 1 м3 p1 = 0,2 ⋅ 106 Па V2 = 3 м3 p3 = 0,5 ⋅ 106 Па μ = 32 ⋅ 10–3 кг/моль i = 5 (двухатомный газ) ΔU = ? A = ? Q = ?

Решение. График процесса приве ден на рисунке к задаче. Изменение внутренней энергии газа, согласно формуле (2.38), можно определить:

ΔU =

im RΔ T , 2μ

(1)

где Δ T = T3 − T1 — разность темпера тур газа в конечном и начальном со стояниях. Эти температуры найдем из урав нения Менделеева–Клапейрона:

⎧ ⎪T1 = ⎨ ⎪T3 = ⎩

р1V1μ , mR р3 V2μ . mR

(2)

Из уравнений (2) найдем ΔТ и подставим в уравнение (1):

ΔU =

μ im R ( р3V2 − р1V1 ) 2μ mR

или ΔU =

i (р V − р V ) . 2 3 2 1 1

Произведем вычисления:

5 ΔU = ⋅ (0,5⋅106 ⋅3−0,2⋅106 ⋅1) Дж= 3,24⋅106 Дж = 3,24 МДж. 2 Полная работа газа, совершаемая на участке 1–2–3: 156

A = A1− 2 + A2 −3 . Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т. е.

A2−3 = 0 . Следовательно, полная работа, совершаемая газом:

A = A1−2 = р1 ( V2 − V1 ). .

(3)

После вычислений получим

A = 0,2⋅106 (3 −1) Дж = 0,4 ⋅106 Дж = 0,4 МДж. Согласно первому началу термодинамики (2.42) теплота Q, переданная газу, равна

Q = ΔU + A . Таким образом: Q = (3,24 + 0,4 ) МДж = 3,64 МДж.

Ответ: ΔU = 3,24 МДж, А = 0,4 МДж, Q = 3,64 МДж.

157

Глава 10 ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ § 51. Круговые обратимые и необратимые процессы. Цикл Карно Круговыми называются процессы (циклы), при которых термодинамическая система после ряда изменений возвращается в исходное состояние. В координатах р–V круговые процессы изображаются в виде замкнутыхкривых. Круговой процесс называется обратимым, если система, выведенная из какоголибо состояния, вновь возвращается в это состояние и при этом не происходит никаких изменений в окружающей среде. Процесс, не удовлетворяющий этим условиям, называется необратимым. Любой равновесный процесс является обратимым. Работа газа за цикл в координатах р–V определяется площадью, охватываемой замкнутой кривой. Цикл называется прямым, если эта работа положительна.Прямойцикл используетсявтепловыхмашинах. Если работа за цикл отрицательна, то цикл называется обратным. Обратный цикл используется в холодильных машинах. Тепловым двигателем называют устройство, преобразующее теплоту в работу. К тепловым двигателям относятся паровые турбины, двигатели внутреннего сгорания, реактивные и ракетные двигатели. Тепловой двигатель состоит из нагревателя, рабочего тела и холодильника (рис. 51). К рабочему телу подводится теплота Q1 от нагревателя, имеющего температуру Тн. Газ, нагреваясь, расширяется. При этом совершается положительная работа А. Однако далеко не вся теплота Q 1 превращается в работу. Значительная ее часть Q 2

Рис. 51 158

выбрасывается в холодильник, который имеет температуру Тх. Роль нагревателя в двигателях внутреннего сгорания выполняет цилиндр, в котором происходит сгорание топлива, а роль холодильника — окружающая атмосфера, куда выбрасываются выхлопные газы. Согласно закону сохранения энергии работа, совершаемая тепловым двигателем, равна А = Q1 – Q2. Коэффициентом полезного действия η теплового двигателя называется физическая величина, равная отношению работы А, совершаемой двигателем, к количеству теплоты Q1, полученному от нагревателя:

η=

Q A Q1 − Q2 = = 1− 2 . Q1 Q1 Q1

(2.57)

Французский физик С. Карно1 по казал, что наиболее экономным явля ð ется идеальный обратимый цикл, со стоящий из двух изотерм и двух ади абат, получивший название цикла Карно. Рассмотрим прямой цикл Кар но, в котором в качестве рабочего тела используется идеальный газ (рис. 52). На кривых стрелками показано на правление процесса. Кривая 1–2 — изотермическое Рис. 52 расширение газа (Т1 = соnst). Чтобы поддерживать в процессе расширения температуру Т1 по стоянной, к газу подводится теплота Q1 . Кривая 2–3 — адиабатическое расширение газа. Согласно уравнению Пуассона (2.55) запишем: (2.58) T1V2γ −1 = T2V3γ −1 . Кривая 3–4 — изотермическое сжатие, протекающее при температуре T 2 = const. Чтобы поддерживать температуру T2 постоянной, от газа отбирается теплота Q2. Кривая4–1—адиабатическоесжатиегаза,определяетсяуравнением(2.55):

T1V1γ −1 = T2V4γ −1 .

(2.59)

1 Никола Леонар Сади Карно (1796–1833) — французский физик.

159

Используя формулы (2.48) и (2.56), найдем работу А, совер шаемую газом в цикле Карно:

A = A1−2 + A2−3 + A3−4 + A4−1 = +

V m m RT1 ln 2 + cV (T1 − T2 ) + V1 μ μ

V V V m m m m RT2 ln 4 − cV (T1 − T2 ) = RT1 ln 2 + RT2 ln 4 . μ V3 μ μ V1 μ V3

(2.60)

Поделив уравнения (2.58) на (2.59), получим

V2 V3 = V1 V4 . Тогда выражение (2.60) примет вид

A=

V V V m m m RT1 ln 2 − RT2 ln 2 = R(T1 − T2 ) ln 2 . (2.61) V1 V1 μ μ V1 μ

Таким образом, работа газа в цикле Карно определяется разностью температур нагревателя и холодильника и зависит от расширения газа. Согласно первому началу термодинамики количество теплоты Q1, подведенное от нагревателя, равно работе расширения газа в изотермическом процессе 1–2 :

Q1 = A1− 2 =

V m RT1 ln 2 . V1 μ

(2.62)

Подставив выражения (2.61) и (2.62) в формулу (2.57), найдем КПД цикла Карно:

η =

A A = Q1 A1 − 2

V m R (T1 − T 2 )ln 2 μ V1 T − T2 T = = 1 =1− 2 V m T1 T1 . RT 1 ln 2 μ V1

(2.63) Таким образом, КПД цикла Карно определяется только температурами нагревателя и холодильника: с увеличением температуры нагревателя или с уменьшением температуры холодильника коэффициент полезного действия тепловой машины возрастает. 160

§ 52. Неравенство Клаузиуса. Энтропия Напомним, что внутренняя энергия dU в отличие от работы газа d'A является функцией состояния. При рассмотрении цикла Карно отмечалось, что не вся теплота Q1, подведенная к системе, превращается в работу. Значительная ее часть Q2 передаетсяхолодильнику. Прямой и обратный переходы в цикле Карно сопровождаются неодинаковыми количествами поглощенного и выделенного тепла, т. е. количество теплоты зависит от способа осуществления перехода. Таким образом, количество теплоты, так же как и работа, не является функцией состояния системы. Количество теплоты Q1 не равно Q2, но отношения этих теплот к температурам, при которых они были подведены или отведены, численно равны друг другу, только имеют противоположные знаки:

Q1 Q2 Q1 Q2 = или T + T = 0 . T1 T2 1 2 Отношение

Q называют приведенной теплотой. T

Для обратимого цикла Карно алгебраическая сумма приведенных теплот равна нулю. Это положение справедливо для любого обратимого кругового процесса. В общем случае сумму приведенных теплот можно записать в виде

∫

î áð

d ′Q ≡ 0. T

Еслиинтеграл,взятыйпозамкнутомуконтуру,равеннулю,товыражение d′Q/Т , стоящее под знаком интеграла, представляет собой полный дифференциал некоторой функции S, не зависящей от пути протекания процесса, т. е.

⎛ d′Q ⎞ = dS . ⎜ ⎟ ⎝ T ⎠обр

(2.64)

Функцию S впервые ввел Р. Клаузиус1 и назвал ее энтропией. 1 Рудольф Юлиус Эмануэль Клаузиус (1822–1888) — немецкий физик.

161

В системе СИ энтропия измеряется в джоулях на кельвин (Дж/К). Если в термодинамической системе выполняется необратимый круговой процесс, то

d′Q <0 , T необр

1∫

(2.65)

т. е. энтропия системы возрастает. Выражение (2.65) называют неравенством Клаузиуса. Свойства энтропии: 1) энтропия является функцией состояния, так как зависит только от начальных и конечных параметров состояния системы и не зависит от пути протекания процесса; 2) энтропия определяется с точностью до произвольной постоянной; 3) энтропия S системы, состоящей из n частей, равна алгебраической сумме энтропий Si каждой части, т. е. n

S=

∑ Si ; i =1

4) в теплоизолированной системе при протекании обратимого процесса энтропия не меняется. Поэтому равновесные адиабатические процессы называют изоэнтропийными процессами; 5) при постоянном объеме энтропия является непрерывно возрастающей функцией внутренней энергии системы. Из первого начала термодинамики при dV = 0 следует: d ′Q = dU . Тогда

dS =

dU , но температура всегда положительна. Значения приращений dS T

и dU имеют одинаковые знаки; 6) энтропия замкнутой теплоизолированной системы, в которой протекают реально осуществляемые необратимые тепловые процессы, всегда возрастает. Рассмотрим для примера изменение энтропии при изотермическом (Т = const) расширении идеального газа. Из первого начала термодинамики следует:

d ′Q = dU + d ′A = pdV , т. к. dU = 0. Выразим давление газа р из уравнения Менделеева–Клапейрона:

p = mRT (μV ) и подставим в уравнение первого начала термодинамики: 162

d ′Q = Тогда dS =

m dV RT . V μ

d ′Q m dV = R . T μ V

После интегрирования найдем изменение энтропии:

S 2 − S1 =

V m R ln 2 , μ V1

где индекс 1 относится к первоначальному состоянию газа, а 2 — к состоянию после расширения. Так как при расширении газа V2 > V1, то и S2 >S1, т. е. при протекании изотермического расширения газа (необратимого процесса) энтропия возрастает. Возрастание энтропиии приводит к росту внутреннего беспорядка в системе. До расширения газ занимал малую часть пространства и скорости движения молекул были до некоторой степени упорядочены. После расширения скорости молекул распределяются хаотически. Таким образом, беспорядок возникает самопроизвольно и ему соответствует большая энтропия. § 53. Энтропия и вероятность Под термодинамической вероятностью состояния ωi понимается число микросостояний, соответствующих данному iму состоянию макросистемы. Отношение ωi к полному числу возможных микросостояний макросистемы называют вероятностью (математической) iго состояния:

Рi =

ωi ∑ωi .

Пусть в замкнутом объеме, имеющем проницаемую перегородку, делящую объем на две равные части, находятся четыре молекулы. Обозначим их цифрами: 1, 2, 3 и 4 молекула. Составим таблицу 2 возможных состояний системы четырех молекул с указанием путей реализации этих состояний. Наиболеевероятнымявляетсясостояние,когдаврассматриваемомобъеме справа и слева будет находиться по две молекулы, т. е. состояние с наибольшей термодинамической вероятностью (в рассматриваемом примере ω = 6). В статистической физике доказывается, что S = k lnω, (2.66) где k — постоянная Больцмана. 163

Таблица 2

Состояние Ñî ñòî ÿí èå системы ñèñòåì û

Пути Ï óòè реализации ðåàëèçàöèè состояний ñî ñòî ÿí èé

Число × èñëî ìмолекул î ëåêóë слева ñëåâà

Число × èñëî ìмолекул î ëåêóë справа ñï ðàâà

Номера Í î ì åðà молекул ì î ëåêóë слева ñëåâà

Номера Í î ì åðà ìмолекул î ëåêóë справа ñï ðàâà

Òåðì î äèí àТермодина ì è÷åñêàÿ мическая âåðî ÿòí î ñòü вероятность ω

0

4

-

1, 2, 3, 4

1

3

1 2 3 4

2

1, 2 1, 3 1, 4 2, 3 2, 4 3, 4

1

2

3

1

4

0

2, 1, 1, 1,

3, 3, 2, 2,

2, 1, 1, 1,

4 4 4 3

1, 2, 3, 4

3, 3, 2, 2,

4 4 4 3

4

3, 4 2, 4 2, 3 1, 4 1, 3 1, 2

6

1 2 3 4

4

-

1

Таким образом, энтропия характеризует вероятность состояния системы. Состояние системы, осуществляемое небольшим числом способов, называется упорядоченным, а многими способами — беспорядочным. Поскольку в реальных необратимых процессах энтропия возрастает, то ее называют мерой беспорядка в системе. При абсолютном нуле температуры должна наблюдаться максимальная степень упорядоченности в системе, т. е. термодинамическая вероятность ω= 1, значит, согласно (2.66) энтропия S = 0. При стремлении к нулю температуры тела энтропия его также стремится к нулю. Данное утверждение является теоремой В. Нернста1 (третьим началом термодинамики). 1 Вальтер Нернст (1864–1941) — немецкий ученый.

164

§ 54. Второе начало термодинамики Все реальные процессы, протекающие в природе, сопровождаются теплообменом и трением, а поэтому являются необратимыми. Второй закон термодинамики определяет направление процессов, выражая тем самым их необратимость. Существует несколько формулировок второго закона термодинамики. Приведем некоторые из них: «Невозможен процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от холодного тела к горячему» (Р. Клаузиус). Не следует думать, что второе начало термодинамики совсем запрещает переход теплоты от холодного тела к горячему. Конечно, нет. Примером являются холодильные установки, в которых наблюдается такой процесс. Только данный переход не является единственным результатом процесса, так как при этом компрессор холодильника совершает работу над рабочей жидкостью — фреоном. У. Томсон дал следующую формулировку второго начала термоди намики: «Невозможен процесс, единственным результатом которого является совершение работы за счет охлаждения одного тела». Формулировка Л. Больцмана: «В макроскопической замкнутой системе процессы протекают таким образом, что вероятность конечного состояния не может быть меньше вероятности начального состояния». Может показаться, что эта формулировка противоречит процессу изотермического расширения газа, при котором вся теплота, полученная от нагревателя, превращается в работу. Однако это превращение не является единственным результатом процесса, так как газ изменяет объем. Закон возрастания энтропии — энтропия изолированной термодинамической системы возрастает — также является одной из формулировок второго начала термодинамики. Второй закон термодинамики имеет статистический смысл: он выполняется только для систем, имеющих большое число частиц. При малом числе частиц наблюдаются существенные отклонения от этого закона. § 55. Реальные газы. Уравнение ВандерВаальса Уравнение состояния Менделеева–Клапейрона (2.13) выводи лось без учета объемов молекулы (молекулы идеального газа при нимались за материальные точки) и их взаимодействия друг с дру гом и малопригодно для реальных газов. Голландский физик Я. ВандерВаальс1 предложил уравнение состо яния реального газа, введя в уравнение (2.13) поправки, учитывающие собственный объем молекул и силы межмолекулярного взаимодействия: 1 Ян Дидерик ВандерВаальс (1837–1923) — нидерландский физик.

165

⎛ ⎞ ⎜ p + a ⎟ V − b = RT , ⎜ Vμ2 ⎠⎟ μ ⎝

(

)

(2.67)

где Vμ — объем моля газа, a и b — поправки ВандерВаальса, определяемые экспериментально для каждого реального газа, р — давление газа, Т — абсолютная температура. Поправка b учитывает наличие сил отталкивания молекул (их собственный объем), поправка а — действие сил притяжения между молекулами, что приводит к появлению добавочного внутреннего давления. Для произвольной массы газа уравнение (2.67) преобразуется к виду

⎛ ν 2 a ⎞⎛ V ⎞ ⎜⎜ p + ⎟ − b ⎟ = RT или p + ν 2 a / V 2 (V − νb ) = νRT , (2.68) 2 ⎟⎜⎝ ν V ⎠ ⎝ ⎠

(

)

где ν = m / μ — количество вещества, V — объем газа. Заметим, что уравнение ВандерВаальса также является приближенным. Это уравнение пригодно лишь для грубой оценки состояния реального газа. § 56. Изотермы реальных газов. Фазовые переходы Раскрыв скобки в уравнении (2.67) и умножив его на V μ2 , получим кубическое уравнение относительно молярного объема:

pV μ3 − ( pb + RT )V μ2 + aVμ − ab = 0 .

(2.69)

Коэффициенты уравнения (2.69) зависят от давления, температуры и природы газа. В зависимости от их значений уравнение имеет один или три действительных корня. На рис. 53 представлены изотермы ВандерВаальса (T1 < T2 < Tк < T3). При температуре T < T к каждому значению давления р соответствуют три различных изотермических состояния. С увеличением температуры точки 1, 2 и 3 на изотермах сближаются и при температуре Тк, называемой критической, сливаются в одну точку К. Касательная к изотерме в точке К параллельна оси абсцисс. Из уравнения ВандерВаальса можно получить значения параметров состояния в критической точке: 166

Vμ,к = 3b, pк = a / (27b2), Tк = 8a / (27bR). Впервыеопытнымпутемизотермы реального газа (углекислоты) были получены английским физиком 2' Т. Эндрюсом. Эти кривые имеют существенные различия с теоретиче 3' 1' скими изотермами ВандерВаальса только в области 1–2–3 (рис. 53). На опытных изотермах волнообразные теоретические кривые сменились Рис. 53 прямолинейными участками, парал лельнымиосиабсцисс,соединяющими точки 1, 2 и 3. Участок кривой 3'–3 соответствует состоянию ненасыщен ного пара, 3–2' — пересыщенного пара. Эти участки, а также участок 1–1' при известных условиях можно получить опытным путем. И только участок кривой 1'–2', на котором с увеличением давления объем растет, в действительности не наблюдается. Колоколообразная кривая (рис. 53, 54), проведенная через точки 1, 3 и К, ограничивает области двухфазных состояний вещества. Фазой в термодинамике называется совокупность частей системы, имеющих одинаковые свойства. На рис. 54 показаны области равновесных состояний вещества «ж–п» — область двухфазных состояний: жидкость–пар. Буквой «ж» обозначена область однородных жидких состояний, «п» — область пара, «г» — газообразное состояние. Состояние пара отличается от газообразного тем, что при изотер мическом сжатии вещество данного состояния претерпевает г процесс ожижения. ж При температурах, равных критической и выше, вещество становится вновь однородным п ж–п при любых давлениях. Если температура выше критической, то вещество нельзя перевести в 0 жидкое состояние. Рис. 54 167

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 36. Тепловая машина с идеальным газом в качестве рабочего вещества совершает обратимый цикл, состоящий из изобары 1–2, адиабаты 2–3 и изотермы 3–1 (см. рисунок к задаче). Найти КПД машины как функ цию максимальной T1 и минимальной T2 температуры рабочего вещества, используемого в этом цикле. Дано:

T1 T2 η= ?

Решение. Так как участок 3–1 — изотерма, то температура T3 = T1 . Коэффициент полезного действия (КПД) цикла (2.57)

η=

Q1 − Q2 Q1

.

(1)

На участке 3–1 рабочее вещество получает количество теплоты

Q1 =

⎛V ⎞ m RT1 ln ⎜⎜ 1 ⎟⎟ . μ ⎝ V3 ⎠

(2)

На участке 1–2 происходит изобарное сжатие, рабочее вещество отдает количество теплоты холодильнику:

Q2 =

168

m m с (T − T ) = − сP (T1 − T2 ) . μ P 2 1 μ

(3)

На этом участке объем газа уменьшается от V1 до V2 . Согласно закону ГейЛюссака для изобарного процесса температура тоже уменьшается, т. е.

T2 < T1 . ДляопределенияКПДциклаподставимвыражения(2)и(3)вформулу(1):

⎛V ⎞ m m RT1 ln⎜ 1 ⎟ − сP (T1 −T2 ) μ ⎝ V3 ⎠ μ . η= ⎛ V1 ⎞ m RT ln μ 1 ⎜⎝ V3 ⎟⎠

(4)

Температуры и объемы газа, совершающего изобарный процесс, связаны между собой соотношением

V1 V2

=

T1

T2 ,

(5)

а при адиабатном процессе соотношением (2.55): 1

1

V2 ⎛ T3 ⎞ γ −1 ⎛ T1 ⎞ γ −1 =⎜ ⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ . V3 ⎜⎝ T2 ⎟⎠ ⎝ T2 ⎠

(6)

Перемножим левые и правые части уравнений (5) и (6):

γ V1 ⎛ T1 ⎞ γ −1 . =⎜ ⎟ V3 ⎜⎝ T2 ⎟⎠

(7)

Подставим выражение (7) в формулу (4):

γ ⎛ T1 ⎞ γ−1 RT1 ln⎜ ⎟ − сP (T1 − T2 ) ⎝ T2 ⎠ η= γ ⎛ T1 ⎞ γ−1 RT1 ln⎜ ⎟ ⎝ T2 ⎠ 169

η= 1−

или

сP (T1 −T2 )

.

⎛ γ ⎞ ⎛ T1 ⎞ RT1 ⎜ ⎟ ln⎜ ⎟ ⎝ γ − 1 ⎠ ⎝ T2 ⎠

Формулу (8) можно упростить, заменив γ = (2.47) Майера:

η=1−

(8)

сP и используя уравнение сV

T1 −T2 , ⎛T ⎞ T1 ln⎜ 1 ⎟ ⎝ T2 ⎠

⎛T ⎞ T1 ln⎜ 1 ⎟ − (T1 −T2 ) ⎝ T2 ⎠ . Ответ: η= ⎛ T1 ⎞ T1 ln⎜ ⎟ ⎝ T2 ⎠ Задача 37. Найти изменение энтропии ΔS, если 30 г льда превращают в пар. Начальная температура льда –40o С, а температура пара 100o С. Теплоемкости воды и льда считать постоянными, а все процессы — происходящими при атмосферном давлении. Дано:

m = 3⋅10−2 кг T0 = 233 K, Tn = 373 K сл = 2,1⋅103

Дж (кг⋅ K)

cв = 4,2⋅103

Дж (кг ⋅ K)

Дж кг Дж r = 22,6⋅105 кг λ= 3,35⋅105

ΔS = ? 170

Решение. Найдем отдельно изменение энтропии — при нагревании льда от –40o С до 0oС, плавлении льда, при нагревании образовавшейся изо льда воды до 100o С, превращении воды в пар при 100o С. Полное изменение энтропии выразится суммой изменений энтропии Δ Si для каждого из перечисленных процессов. Изменение энтропии определяется формулой (2.65): 2

Δ S = S 2 − S1 =

∫ 1

d′Q T .

(1)

При бесконечно малом изменении dT температуры нагреваемого тела затрачивается количество теплоты

dQ1 = cmd T ,

(2)

где с — удельная теплоемкость; m — масса тела. Найдем формулу для вычисления изменения энтропии при нагревании льда, подставив уравнение (2) в (1): T1

cлmdT ⎛T ⎞ = cлmln⎜ 1 ⎟ , T ⎝T0 ⎠ T

Δ S1 = ∫

0

где T1 = 273 К. После вычислений получим

Дж Дж 273 ⎞ Дж Δ S1 = 2,1⋅103 ⋅ 3⋅10−2 ⋅ ln⎛⎜ = 0,998⋅10 = 9,98 ⎟ К К . (3) ⎝ 233 ⎠ К При вычислении по формуле (1) изменения энтропии во время таяния льда температура T выносится за знак интеграла как постоянная величина:

dQ2 = λ m , где λ — удельная теплота плавления льда. 2

Δ S2 =

∫ 1

dQ2 T1

=

Q2 T1

=

mλ . T1

Произведем вычисления:

Δ S2 =

Дж 3⋅10−2 ⋅3,35⋅105 Дж = 36,8 . 273 К К

(4)

Найдем следующую формулу для вычисления изменения энтропии при нагревании воды, полученной из льда, до 100o С. Tn

Tn

T1

1

cвmdT ⎛T ⎞ =cвmln⎜ n ⎟ , T ⎝ T1 ⎠ T

Δ S3 = ∫ d Q3 = ∫ где Тп = 373 К.

171

Проведем вычисления:

Дж 373 ⎞ Дж . Δ S3 = 4,2⋅103 ⋅ 3⋅10−2 ⋅ ln⎛⎜ = 39,3 ⎟ К ⎝ 273 ⎠ К

(5)

Превращение воды в пар происходит при постоянной температуре, поэтому при вычислении изменения энтропии в формуле (1) выносим T за знак интеграла:

Q4 = rm , где r — удельная теплота испарения воды. 2

Δ S4 =

∫

dQ4

1

Tn

=

Q4 Tn

=

rm Tn .

Вычислим Δ S 4 :

Δ S4 =

Дж 22,6⋅105 ⋅3⋅10−2 Дж =180 . 373 К К

Полное изменение энтропии :

Δ S =Δ S1 +Δ S2 +Δ S3 +Δ S4, Дж ΔS = 266 . К Ответ: 266

172

Дж . К

(6)

Глава 11 ЖИДКОЕ И ТВЕРДОЕ СОСТОЯНИЯ § 57. Поверхностное натяжение жидкости Согласно молекулярнокинетической теории каждая молекула жидкости испытывает притяжение со стороны других молекул. При удалении молекул друг от друга силы притяжения быстро уменьшаются. На расстоянии порядка ~10 –9 м, называемом радиусом молекулярного действия r, силами молекулярного притяжения можно пренебречь ввиду их малости. Рассмотрим отдельную молекулу А (рис. 55), находящуюся внутри жидкости. Если провести вокруг этой молекулы сферу радиусом r, то силы притяжения со стороны молекул, заключенных в данной сфере, будут направлены в разные стороны и их равнодействующая будет равна нулю. Выделим молекулу В, находящуюся на расстоянии меньше r от поверхности жидкости. Снова проведем сферу радиусом r вокруг молекулы. Как видно из рис. 55, часть этой сферы выйдет за пределы жидкости. В связи с тем, что концентрация молекул газа над жидкостью мала,

1

равнодействующая сил молекулярного притяжения F , действующих на молекулу В, не будет равна нулю. Эта равнодействующая направлена внутрь жидкости. Таким образом, молекулы поверхностного слоя жидкости оказывают на жидкость давление, которое называют молекулярным давлением. Жидкость оказывается сжатой. Поэтому жидкости мало сжимаемы при внешнем воздействии. Молекулы жидкости в поверхностном слое за счет сил межмолекулярного взаимодействия обладают большей потенциальной энергией по сравнению с другими молекулами. Чтобы молекула из глубины жидкости переместилась к ее поверхности, необходимо совершить работу против сил, действующих в поверхностном слое. Эта работа совершается за счет уменьшения кинетической энергии теплового движения молекулы и расходуется на увеличение ее потенциальной энергии. Итак, молекулы в поверхностном слое жидкости обладают дополнительной поверхностной энергией ΔE. Величина энергии ΔE тем больше, чем больше поверхность жидкости. Рис. 55 173

Для увеличения поверхности жидкости необходимо совершить работу ΔA против сил поверхностного натяжения: ΔA = σΔS , откуда

σ=

ΔA , ΔS

(2.70)

где ΔS — приращение площади поверхностного слоя жидкости. Поверхностное натяжение σ равно отношению работы, которую необходимо совершить, чтобы увеличить поверхность жидкости площадью ΔS, к площади этой поверхности. Если поверхность жидкости ограничена какимлибо замкнутым контуром, то на нее будут действовать силы, стремящиеся сократить эту поверхность. Эти силы называются силами поверхностного натяжения. Поверхностным натяжением σ называется физическая величина, равная отношению силы F, действующей на участок контура поверхности, к длине l этого участка: σ = F / l.

(2.71)

Поверхностное натяжение измеряется в джоулях на квадратный метр (Дж/м2) или в ньютонах на метр (Н/м). § 58. Смачивание. Капиллярные явления Можно наблюдать, как легко капля воды растекается по поверхности стола, прилипая к нему, а капля ртути свободно перекатывается с одного места на другое, образуя шарик. При этом молекулы ртути преодолевают не только силу тяжести, но и силу притяжения к молекулам стола. Следовательно, силы притяжения молекул ртути друг к другу сильнее, чем к молекулам стола. В первом случае жидкость смачивает поверхность твердого тела, а во втором — не смачивает. Без какихлибо внешних воздействий капелька ртути принимает сферическую форму. Стремление поверхности жидкости к сокращению приводит к тому, что давление под выпуклой поверхностью больше, а под вогнутой меньше, чем под плоской. Силы поверхностного натяжения создают добавочное давление р (в случае выпуклой поверхности — положительное, а при вогнутой — отри цательное). Вычислим давление р для сферической поверхности. Пусть радиус сферы r увеличивается на малую величину Δr. При этом поверхность сферы увеличивается на величину ΔS = 8πrΔr, а объем — на величину ΔV = 4πr2Δr. Найдем работу ΔA по увеличению объема: 174

ΔA = pΔV = 4πr2pΔr. Для образования новой поверхности ΔS требуется совершить работу ΔA1 = ΔS . σ = 8π r σ Δr. Приравнивая ΔA и ΔA1, найдем величину добавочного давления: p = 2σ / r. (2.72) Для поверхности любой формы добавочное давление можно рассчитать по формуле П. Лапласа:

⎛ 1 1 ⎞ ⎟, + p = σ ⎜⎜ ⎟ ⎝ R1 R 2 ⎠ где R1 и R2 — радиусы кривизны поверхности. Жидкость может смачивать поверхность одного тела и не смачивать поверхность другого. Например, вода смачивает стекло, дерево, но не смачивает парафин. Ртуть смачивает поверхности металлов, но не смачивает стекло, дерево и т. д. Если опустить в воду тонкие стеклянные трубки разного диаметра (капилляры), то жидкость в капиллярах поднимется на разную высоту. Чем тоньше капилляр, тем на большую высоту поднимется жидкость. Если взять жидкость, не смачивающую трубку, например ртуть, то уровень жидкости в капилляре будет ниже уровня жидкости в сосуде (рис. 56, а). Наблюдаемые явления изменения высоты уровней жидкости в капиллярах получили название капиллярных явлений. Если жидкость смачивает трубку (рис. 56, б), то поверхность жидкости в трубке (мениск) имеет вогнутую форму, если не смачивает — выпуклую (рис. 56, а). Под вогнутой поверхностью образуется отрицательное добавочное давление, и жидкость поднимается вверх по капилляру до тех пор, пока это давление не уравновесится высотой столба жидкости в капилляре (гидро статическим давлением). Найдем высоту подъема жидкости h в капилляре. Пусть жидкость смачивает капилляр радиусом r (рис. 56), образуя вверху вогнутый мениск. Наименьший радиус кривизны мениска ≈ r. Как следует из Рис. 56 175

уравнения (2.72), добавочное давление р ≈ 2σ / r. Тогда величина направленной вверх силы F = 2σS / r, где S — площадь поперечного сечения трубки. Эта сила уравновешивается силой тяжести столбика жидкости m g = h ρ g S , т. е. F = mg или 2σS / r = hρgS, (2.73) где ρ — плотность жидкости. Из уравнения (2.73) находим h = 2σ / (ρ r g ). (2.74) Для несмачивающей жидкости мениск выпуклый и добавочное давление дает силу, направленную вниз. Уровень жидкости в капиллярной трубке при этом будет ниже уровня жидкости в сосуде на величину h, определяемую формулой (2.74). § 59. Элементы динамики жидкостей и газов. Уравнение неразрывности Жидкости и газы являются текучими средами: если на частицы жидкости или газа действуют сдвигающиеся внешние силы, то частицы будут перемещаться до тех пор, пока не исчезнут или не уравновесятся эти силы. Внутренние силы не могут остановить это движение, но могут его замедлять. Тормозящие силы, возникающие между слоями движущейся жидкости или газа, называются силами вязкого трения. Жидкость, в отличие от газа, считается средой несжимаемой, иногда и газ до определенных границ можно рассматривать как несжимаемый. Рассмотрим течение жидкости по трубе с переменным сечением. Уравнение неразрывности выводится на основании закона сохранения массы и невозможности разрыва жидкости и образования в ней пустот (отсюда происходит название закона). Рассмотрим жидкость в объеме V между сечениями S1 и S2 (рис. 57). Так как жидкость несжимаемая и в ней не могут образовываться пустоты, то масса жидкости между сечениями S1 и S2 не может измениться. За время Δt жидкость пройдет через сечение S1 и переместится на расстояние l1 = v1Δt . В объем V втечет жидкость, имеющая объем V1 = l1S1 = S1v1Δt, масса которой

m1 = ρV1 = ρS1v1Δt . 176

(2.75) (2.76)

Рис. 57

Здесь ρ — плотность жидкости, v1 — ее cкорость в сечении S1. Аналогично для сечения S2 получим V2 = l2S2 = S2v2Δt,

m2 = ρV2 = ρS 2 v 2 Δt .

(2.77) (2.78)

Так как масса жидкости в объеме V не может измениться, то

m1 = m2 .

(2.79)

Подставив в (2.79) уравнения (2.75)–(2.78), получим

S1l1 = S 2l2 , т. е.

(2.80)

V1 = V2 ,

(2.81)

S1v1 = S 2 v 2 = const .

(2.82)

Соотношение (2.82) называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости: произведение скорости течения несжимаемой жидкости на ее поперечное сечение есть величина постоянная. § 60. Уравнение Бернулли Уравнение Д. Бернулли1 выводится из закона сохранения энергии для идеальной (без вязкости) жидкости для стационарных течений. Стационарным называется течение, при котором скорость жидкости в каждой точке течения не меняется со временем. Для реальных жидкостей уравнением Бернулли можно пользоваться, если у них малая вязкость. 1 Даниил Бернулли (1700–1782) — швейцарский ученый.

177

Рассмотрим жидкость, движущуюся по трубе между сечениями S1 и S2 (рис. 57). Так как течение стационарное, то кинетическая энергия жидкости в объеме V между сечениями S1 и S2 не изменится. А так как труба неподвижная, то не изменится и потенциальная энергия жидкости в этом объеме. Таким образом, полная механическая энергия рассматриваемого объема жидкости в момент времени t будет равна Е1 = ЕV + m1g h1 + m1 v12 /2,

(2.83)

а в конце промежутка времени Δt Е2 = ЕV + m2g h2 + m2 v 22 /2,

(2.84)

где ЕV — энергия жидкости в объеме V. В сечении S1 жидкость, которая находится слева от этого сечения, совершит работу (2.85) A1 = p1S1l1 = p1V1, которая пойдет на увеличение энергии жидкости между сечениями S1 и S2. В свою очередь, эта жидкость совершит работу в сечении S2 A2 = p2S2l2 = p2V2, (2.86) что уменьшит ее энергию на эту величину. Здесь р1 и p2 — давления жидкости в объемах V1 и V2 соответственно. В результате получим (2.87) Е2 – Е1 = А1 – A2 или Е2 + A2 = Е1 + А1 . Подставив в уравнение (2.87) соотношения (2.83)–(2.86), получим

EV + m2 gh2 + m2 v 22 / 2 + p2V2 = EV + m1gh1 + m1v12 / 2 + p1V1 . (2.88) Учитывая, что m1 = m2, и поделив уравнение (2.88) на V1 = V2, получим уравнение Бернулли:

ρv 22 / 2 + ρgh2 + p2 = ρv12 / 2 + ρgh1 + p1 .

(2.89)

Оно выполняется для любых точек стационарного течения идеальной жидкости. В технике величина ρgh называется гидростатическим напором (давлением); ρv2/2 — гидродинамическим (скоростным) напором; р—статическимдавлением,аихсуммаρv2/2+ρgh+р—полнымдавлением. Частные случаи. 1. Пусть жидкость покоится, т. е. v1 = v2 = 0. Тогда из уравнения (2.89) получим p2 = p1 + ρ g (h 1  h 2); p2 – p1 = Δp, отсюда 178

Δp = ρ g (h 1 – h 2) = ρ g h . (2.90) В покоящейся жидкости изменение статического давления равно гидростатическому напору. Так как в неподвижной жидкости силы вязкости отсутствуют, то уравнение (2.90) верно и для реальных жидкостей. 2. Пусть труба, по которой течет жидкость, горизонтальная, т. е. h1 = h2. Тогда из уравнения (2.89) имеем

ρv 22 / 2 + p2 = ρv12 / 2 + p1 .

(2.91)

Пусть v2 > v1, тогда р2 < р1. В горизонтальной трубе давление меньше там, где скорость потока больше (сужение трубы). Уравнение Бернулли используется для объяснения явлений в различных технических устройствах. § 61. Применение уравнения Бернулли 1. Подъемная сила крыла самолета Происхождение подъемной силы крыла самолета было объ яснено выдающимся русским ученым Н. Е. Жуковским. В дета лях теория довольно сложна. Приведем ее в упрощенном виде. Профилькрыласамолета(рис.58) имеет такую форму, что скорость обтекающего потока воздуха отно Рис. 58 сительно крыла внизу меньше, а вверхубольше:v2>v1.Поэтомудавлениеподкрыломбольше,чемнадкрылом: 1 p1 > р2. Это приводит к избыточной силе F , которую можно разложить на две

1

1

составляющие: подъемную силу Fï и силу сопротивления R . Таким же образом объясняется происхождение подъемной силы у кораблей на подводных крыльях. 2. Измерение скорости течения жидкости и газа Рассмотрим схему, изображенную на рис. 59. Применив уравнение Бернулли для впаянных в трубу 1 тонких вертикальных трубок 2 и 3, получим для каждой из них: 179

H1

2 1

3

p1 = ρgH1 , p2 = ρgH 2 .

v1

v2

Рис.56 59 Ðèñ.

(2.92)

В широкой части давление больше, поэтому и высота поднятия жидкости больше. Используя уравнение Бернулли для горизонтальной трубы (2.91) и уравнение (2.92), получим

v 22 − v12 = 2( p1 − p2 ) / ρ = 2 g (H1 − H 2 ) .

(2.93)

Таким образом, если известна скорость течения в одной точке (пусть v1), то, измерив манометром разность давлений или разность высот жидкости в трубках, которые и являются в этом случае манометрами, по формуле (2.93) можно определить скорость течения v2. Подобным методом можно измерять скорость самолета относительно воздуха (рис. 60). За борт самолета выводится тонкая трубка, называемая трубкой А. Пито1. Трубка Пито присоединяется к дифференциальному манометру, измеряющему разность давлений: полного — с помощью внутреннего канала 1 и статического — с помощью канала 2. Разность этих давлений есть динамический напор ρv2/2. Если манометр проградуировать в величинах скорости, учитывая изменение плотности воздуха, то получим прибор для измерения скорости полета самолета. § 62. Твердые тела. Кристаллические и аморфные тела Твердые тела, в которых молекулы, атомы и ионы расположены упо рядоченно, образуя периодически повторяющуюся структуру, называются кристаллами. Кристаллические тела анизотропны, т. е. их физические свойства — сжимаемость (упругость), теплопроводность, электропровод ность и т. д. — зависят oт направления в кристалле. Анизотропия свойств кристаллических тел обусловлена упорядоченным расположением час тиц, из которых они состоят. При таком расположении частиц межатом ные расстояния и силы взаимодействия между частицами разные. 1 Анри Пито (1695–1771) — французский геометр и инженер.

180

К манометру Рис. 60

Кристаллические тела чаще всего встречаются в виде поликристаллов, представляющих собой множество беспорядочно ориентированных, сросшихся воедино кристалликов. В целом твердом поликристалле анизотропия, присущая отдельному кристаллику, не обнаруживается. Принекоторыхспециальныхусловияхкристаллизацииможнополучить большие однородные кристаллы — монокристаллы. Монокристалл имеет периодически повторяющуюся внутреннюю структуру во всем объеме. Мельчайшие частицы вещества — атомы, ионы, молекулы — в кристалле размещаются в узлах пространственной решетки, состоящей из большого числа элементарных кристаллических ячеек. В этом смысле говорят о дальнем порядке в твердых телах. Размещение частиц в элементарной ячейке зависит от действующих на них межатомных сил. Кристаллическая решетка, образованная положительными и отри цательными ионами (ионная решетка), показана на рис. 61. Связь между частицами в решетке в основном обусловлена силами кулоновского взаимодействия. Кристаллическая решетка обладает раз личными видами симметрии. Симметрией решетки называют ее свойство совмещать ся с собой при некоторых пространственных перемещениях. Существует 14 типов реше ток, различающихся по виду симметрии. Твердые тела, физические свойства которых одинаковы по всем направлениям, называются аморфными телами (стекло, янтарь, смола и т. д.). Аморфные тела изотропны, что объясняется беспорядоч ностью расположения частиц, составляющих тела. Рис. 61 Ðèñ. 58

181

§ 63. Механические свойства твердых тел Деформацией называется изменение объема или формы твердых тел при нагревании или при воздействии внешних сил. При деформации в телах возникают внутренние силы, препятствующие смещению частиц тела и стремящиеся возвратить его в перво начальное состояние. Деформации называются упругими, если они исчезают после прекращения действий внешних сил. Деформации, в результате которых происходит необратимая перестройка кристаллической решетки, называются пластическими. Пусть l — первоначальная величина, характеризующая размер тела (например, его длину), а Δl — абсолютное изменение этой величины. Отношение Δl/l = ε является мерой деформации и называется отно-сительной деформацией тела. На рис. 62 показан график зависимости нормального напря жения σ = = F/S от относительного удлинения ε = Δl / l при растяжении тела. Здесь F — растягивающая сила, S — площадь поперечного сечения. В области 0–1 упругие деформации подчиняются закону Р. Гука: напряжение σ, возникающее под действием внешних сил, прямо пропорционально относительной деформации ε: σ =Ε ε =Ε Δl / l , где Е — модуль Юнга. Максимальное напряжение σ max , после снятия которого тело еще способно восстановить первоначальную форму и объем, называется пределом упругости. Пределу упругости на графике соответствует точка 2. При дальнейшем увели чении напряжения возникают остаточные деформации (учас Рис. 62 ток 2–3), затем удлинение деформированного тела проис ходит без увеличения внешней нагрузки (участок 3–4). Точка 3 на графике соответствует пределу текучести. 182

Наибольшее напряжение, которое выдерживает тело, не разру шаясь, называется пределом прочности (точка 5). На практике, чтобы избежать разрушения какойлибо детали, ее проектируют с запасом прочности. Отношение σпроч /σдоп = n

(2.94)

называется запасом прочности. Здесь σпроч — предел прочности материала, σдоп — допустимое напряжение. При растяжении и сжатии тел происходит изменение их поперечных размеров. Диаграмма напряжений (рис. 62) для реальных твердых тел зависит от многих факторов. Например, при кратковременном действии сил твердое тело может проявлять себя как хрупкое, а при длительном воздействии сла бых сил является текучим.

183

 3      

 12          § 64.  !. "#$ %#$    —       ,      

              .      —     ,       !    " #      $#   %. &      $  ! #    "   #  %. ' !(     "     e 0 = 1,6 ⋅10 −19 ) . &    #      . & #             *   

 —      . &   # *#     :    . + #  #   ,   # —  "  . &      :   *   #      ,        #. &      /      ()). 1 ) —   

  ,         

 1     1 . ;        "   :                       : n

¦q

i

= const ,

i =1

" n —     ; q i —   i-   %#.   ! . = 1785 ". ) 1  !      ,  #       #   . "      #    $   ,      "  $ *!         "   "  $# . )           $# (    !#  . 1

184

@ ! +"  )  (1736–1806) —  %   $.

;   )  "  :           ,  #    ,    $               : G qq | F |= k 1 2 2 , r " k =

1 4πε 0

= 9 ⋅10 9

'⋅2 ) 2

, G  | F |=

1

q1 q 2

4πε 0 r 2

,

(3.1)

G G " F —  ,      ,     *    r ,  #   "    "    (. 63); r —    $ ) 2 —       .    q1  q 2 ; ε 0 = 8,85·10 -12 '⋅2  )     !  ,    #,               . G G G /     ,   r F1 F2     "        + +

 

 #,        . q1 q2 A      ε ,    D. 63

 (   #       #    F0    # 

      F ,  #        $ #  : |F | ε= 0 . |F| B *  #,    (  ε = 1 ),    )    G qq | F |= k 1 22 . (3.2) εr

§ 65. ## &#. &'$$#( )##*# &# C    

, "      ,   "   ,  " * 

!  )  .  ! , $              

       . 185

      —     ,   

    $   $#  $#  . 

           "        G  $   E . %  $       #      ,     ( #,     , #      ( *#  ),    "   : G G F E= . q C%  $     /    !     ' = ) 

!    ( ). ( )  )

)

+

G E

–

G E

D. 64

'      $           #,     *#   $ !#  , #     . &         * $ ! "     !  # . &  (  $  )     "    #   ,  $         $       . E  $      "   —  #,       $ !       *   ! (. 64, )     *          % !    (. 64,*). G F   #   ,    E    

 G     ( E = const ).  #     "   —    #   !# #. ' ,  ,         !# * #     (. 65, ),      #. F   "       , . .  #          (. 65,*). '   $  !  

G       r  "   q . G#      *#   q  . '    * 

!      186

F =k

qq  r2

.

F   $  ! EA = )

+

G E

1 |q| F = . | q  | 4πε 0 r 2

−

(3.3) G EA

)

G r



q 

+ q

D. 65

C              #   ,  $  !    $  !   : G $#     E    -   ,    G     ,        E i ,            q i :

G G G G E = E1 + E2 + ... + En =

n

G

¦E

i

.

(3.4)

i =1

§ 66. ## ,# $&'$$#. #- /% '     dS       dS  #      dΦ,            α G $       "   E n    !        " G α $   !     n  G   E (. 66). G D. 66 =# $      E  $   !    "   : G G dΦ = EdS = EdS cos α = E n dS ,

G E

(3.5) 187

G G " E n = E cos α —  %   E    ! n     dS ; G dS —  ,  !   "   dS ,          G  ! n . F     $   Φ —     . ;      #*       . =   /    $    

! -   ( = ⋅  ). G G / ,      $   E E 

!  

!    ! S   G G G dS Φ = EdS . (3.6)

³ S

dΩ + qi

α

F        $ G   E     "  "   qi,   "     

!         S (. 67).

r

G

S

=#       dS ,        r   . D. 67 F !   q i   $ !#. G G ; (     E 

!  dS : G G q 1 qi dS cos α = i dΩ , dΦ = EdS = EdS cos α = 4πε 0 r 2 4πε 0 " dΩ — # " . / "    # $     ",   qi 4πε 0

Φ=

4π

qi

³ dΩ = ε

0

.

(3.7)

0

C             #   q1 , q 2  . .,            ,      $    $   !  *  : G G G G G G G G G v³ EdS = v³ ( E1 + E2 + ...) dS = v³ E1dS + v³ E2 dS + ... = Φ1 + Φ 2 + ... G G q G G q  "  (3.7), E1dS = 1 , E 2 dS = 2  . .  ! ,

³

ε0

³

ε0

G G q q 1 ³ EdS = 1 + 2 + ! =

ε0

ε0

" n —  #   .

188

ε0

n

¦q i =1

i

,

(3.8)

J  (3.8)          #   1: '            $ qi ,  $   S         

¦

 #     ,   ε 0 . C    #  #     ( dq ,        $   ρ = dV

G G 1 E ³ dS = ³ ρ dV .

ε0

S

) "   q            ,    G  E     . § 67. #$0 )##*# &#. 1%0 ,# $&'$$# B  ,              $#   $ !# #    q . = *    "    #  *#   q  (. 68)            )  . '   * ,  (     ,     q    1  2. )       ,  *   #    "   G G   "    # F      dl : 2 G G 2 A12 = Fdl = Fdl cos α . (3.9)

³

³

1

1

qq 

1 , dl cos α = dr (. . 68), 4πε 0 r 2 " # $ (3.9)  $   !  qq  2 dr qq  § 1 1 · ¨ − ¸. = (3.10) A12 = 4πε 0 r 2 4πε 0 ¨© r1 r2 ¸¹ 1

F    )   F =

³

1

)  J   (1777–1855) — %     . 189

K  (3.10)   #  ,   *      "       #   ,     ! "    "   $   q  . #,  

   * ,  #     (   ). /      ,   *    #    *#  % !  "  #: A12 = W1 − W2 = −ΔW p . (3.11)   *  ,  *      "     *#  % !  "         .       (3.10)  (3.11),    #

,   % !  "   q          Wp =

1 qq . 4πε 0 r

(3.12)

C   (3.12)   !  q  ,    ,        !       #  * "   . J   Wp ϕ= q  #              "          . &    . K  (3.10)  $  !  (3.13) A12 = q  (ϕ1 − ϕ 2 ) . &          * # *#      ,  !    "   . F   %     "   1 qq  1 1 q = . (3.14) ϕ= 4πε 0 r q  4πε 0 r C          #   ,  %  % !   %              ,   #       $#   

!  : ϕ = ϕi .

¦

=   (3.13) *  : ϕ1 − ϕ 2 = Δϕ —    !  %  $      : 190

Δϕ =

A12 . q 

+  $   $        #      ,     (  * #    * "   $        * "   . =   /    !  %   

!  (=). 1 = —     !  %  $        "  ,   $  #   1 ) #    (   *  1 B$.  "    (3.3)  F = Eq  .  "  * ,  (            q   $ "       ,  

³

A = q  E l dl , l

G " E l = E cos α —  %   E       " G  dl . /   (3.10)  ,   *  % !# (   #)          ,  

³q

 El dl

= 0.

(3.15)

l

F  ! q  ≠ 0 ,  

 ( (3.15)  :

³ E dl = 0 . l

(3.16)

l

/ " 

³ E dl l

 #       .

l

G /  E  $         $. &  $  #       G  E . =# $ (3.16)          % !    .

191

§ 68. ,( -'!% $&'$$#(2 )##*# &#  &#$0#/     (3.12)  (3.14)   ,   % !  "   (3.17) W p = q ϕ .  ,       q       ,   G G F = Eq . (3.18) /       ! $     % !  " (1.56): G G F = − grad W p  − grad q ϕ = Eq  .

(

)

F  !   q    

   ,

(

)

grad qϕ = q grad ϕ .  " G E = − grad ϕ .

G F %   E   

  (   ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ Ex = − , Ey = − , Ez = − . ∂x ∂y ∂z G F    E     # E x , E y , E z :

(3.19)

G G G G § ∂ϕ G ∂ϕ G ∂ϕ G · E = E x i + E y j + E z k = −¨¨ i + j+ k ¸ = − grad ϕ . (3.20) ∂z ¸¹ ∂y © ∂x  "    (3.20)  $  !     "     "    %  ,       . ;    G   ,    E       *#   %  ϕ . F   "    !  

! "    r  ! $  $  !   %     ∂ϕ E=− , ∂r

    !  %  $       2

³

ϕ1 − ϕ 2 = − Edr .

(3.21)

1

F   !, #     ϕ ( x, y, z ) = const,

       %  ϕ    $  ,  #G

     $. G $    !,    E 192

    % !             !(  %  ϕ . § 69. -$$ #-3 /%  % )#: &# B   $  $     %         !     . =   

"   $ %  %  . E*       $ *# !  *  *  * !(    #   dq ,  $#   #            $  ! G G dq r dE = 4πε 0 r 3   %   dq . dϕ = 4πε 0 r D!     $     %       %  %: G G G 1 1 dq r . (3.22) dq , ϕ = ³ dϕ = E = dE = ³ 3 4πε 0 r 4πε o r =    "   $     ,    !     $   !  $  !   %      $# ,  "   *          . D    !  . 1. '           . D         *     ! dq .   $   σ = dS σ+ F        !   dS dS dS         #  

³

³

( )  2 ). G G r E E r B  ,  σ > 0 . /      ,   #  P G

  E   !# " "  #  $    D. 69   P (. 69). G# # *     %    dS  * ,   !#  #    (. 69). 193

G F    E 

! *      !  " %   .  "       #  

³

G G EdS =

¦q

i

=

ε0

σdS . ε0

K # ,  %        ! dS  $ ,   σdS . EdS + EdS =

ε0

+ 

σ . 2ε 0

E=

(3.23)

G /  # (3.23)  ,  E           . &    ,         *             . G / !  ! $ E  ϕ ,      !  %  Δϕ $  , $      r1  r2  $     : 2

³

2

dϕ = − Edr = − 1

ϕ1 − ϕ 2 =

σ

³ 2ε 1

σ 2ε 0

dr ,  0

(r2 − r1 ) .

(3.24)

      E r  σ > 0      . 70. / "

 ,         !    $       

      

 E  $ . σ 2. '        2ε 0        $   +σ  −σ . r ' . 71  #      $σ − !  $         # 2ε 0  (# #, % !  $  —  #. D. 70 /      ,   #    !# " "  #    . ) 

  . 71, *   1  3         194

G G $  ,      #  $   E +  E −   #    #  

  $#   #. G$     ( *  ! 2) G G G E+ +σ E+ −σ E+ G G G E E E r

2 d

1

3

D. 71

*      #   ,     !   G  $  ! E     : σ E = E+ + E− = . (3.25) ε0 

      !  %  $    : σ (r2 − r1 ), . Δϕ = ϕ1 − ϕ 2 = ε0  U =

σ d, ε0

(3.26)

" d = r2 − r1 ; U = ϕ1 − ϕ 2 —  $ $    . )

)

Δϕ

E

ϕ1

σ ε0

ϕ2 0

d

r

0

d

r

D. 72

      E  Δϕ    #  . 72. F     "  72,  %    $ !  $         ϕ1 . 3. '         

  R (). 195

τ >0

D     % *     !    $  dq  τ = . E     !   dl ) · S         §¨ ¸ .      ©  ¹ l    , "  #  #     %  r   #   !  % ,  τ > 0 (. 73).  *#     $  !   E   

!     r

 % ,    # %

  " !  %    2R  ! S ,   !    $# %       l . G D. 73 F    E 

!       S   ,      $     !#   % . G F           E  *    " ! " %   r : G G 1 EdS = 4 dl ,    S = 2π r l , G E

³

ε0

³

E ⋅ 2π r l =

1

τ l ,  ε0 τ . E= 2πε 0 r

(3.27)

τ

C r = R , E =

—  $  !         2πε 0 R $ " % . F r < R E = 0 ,   !   %   R    . / !     (3.21) $  %     $  !,      !  %  $    , $    $ " %     r1  r2 " : 2

³ 1

2

³

dϕ = − Edr = − 1

2

τdr

1

0

³ 2πε r , 

r τ ln 2 . 2πε 0 r1       E r    . 74.

ϕ1 − ϕ 2 =

196

(3.28)

4. '     6   R    $   σ > 0 (. 75).  #     $  #   #   ! . =#    E   *  : I *  ! —   #,  " r < R . qi = 0 ,  ! , =  #

¦

2

³

E I = 0 .     dϕ = − E I dr = 0 ,   

R

0

1

D. 74

ϕ1 = const. F %  #  r = R :

ϕ = " σ =

r

q σ4πR 2 σR = , ϕ = , 4πε0 R ε0 &

q ,  —   ! # 4πR 2

(3.29)

G E

II *  ! —  # (. 75),  " r > R .+   $    " !          ! S       :

r

+σ

R S

σ 4πR 2 ³ E2 dS = ε 0 .

q

I II

 " E2 4π r 2 =

σ 4π R 2 σ R2 , E2 = . (3.30) ε0 ε0r 2

C  !,  σ =

q  4πR 2

D. 75

, E2 =

q

. (3.31) 4πε 0 r 2   r > R   ,   "   ,     #   . F r = R E  =

σ , ε0

(3.32)

   !  %  : 197

2

σ R2 dr , 2 1 ε0r

2

2

³ dϕ = − ³ E2 dr = − ³ 1

1

§1 1· r −r q ¨¨ − ¸¸ = ⋅ 2 1 . © r1 r2 ¹ 4πε 0 r1r2       E  Δϕ    #  . 76. Δϕ = ϕ1 − ϕ 2 =

)

2

σR ε0

)

E

σ ε0

0

(3.33)

Δϕ

σR ε0 R

r

0

R

r

D. 76

/   #   $  !  #

#: 1)      $    !  $  !   "      

*  ; 2)  %       #   % 

 #.

198

 13

        ;  § 70.  !&#( G # * !(    

   

    *#  .      #       #     

  $#      + q  −q ,    l $  #              #    (. 15). '    #   ,   #     % ! "      $ !     #    $ . G F     $ ! "     + q   l  #       ( !#   ): G G p = ql . (3.34) &                  G G l      !     , [ p ] = ) ⋅  . F %  %    $  !  

!         G G G E = E+ + E− , G G " E + , E − —  $    , *  #   $ !# 

% !#    

   . G A l G G G −q +q p E− E+ l 2 l 2 r D. 77

D     #  . 1.       $     (. 77). G   $       $ ! " E +  % ! " E −   : 1 q , E+ = 4πε 0 (r − l 2 )2 199

q

1

E− =

. 4πε 0 (r + l 2)2 F %  %     $  !    7: · 1 §¨ q q ¸. − EA = E+ − E− = 2 2 ¨ 4πε 0 © (r − l 2 ) (r + l 2) ¸¹ F   *     # , 

l2 << r 2 (  4

 ),   EA =

2ql 4πε 0 r

3

=

2p 4πε 0 r 3

.

(3.35)

G G =  E A               p ,

    *#    %  ! 1 r 3 . 2. '  # $   $        =,    $   ,

         " # (. 78). =     $  ! G G l 2 E − = E +    G G p −q +q q q 0 = . E+ = G 2 2 α O2 p O1 4πε 0 r + l 2 4 4πε 0 (O1B) G " ! N+1+ 2 =  NC − =C + r E−   *#,      =+ 2 G G G α    E +  =+1    E − , E= G = E =      

  $ G      p : G E+ E = = E + cos α + E − cos α , "

(

cos α = (l 2 )

D. 78

F   E  =

)

4πε 0 r 2 + l 2 4 ⋅ 2 ⋅ §¨ r 2 + l 2 4 ·¸ © ¹

   " , 

200

(

2ql

.

l2 << r 2 ,   !    4

r2 + l2 4 .

)

E =

ql p = . 3 4πεo r 4πεo r 3

(3.36)

G = *  ,  "       $     r G

#      -   r *   !    

!# "  θ ,  $  !   p 3 cos 3 θ + 1 . (3.37) E= 3 4πε 0 r C θ = 0 ,   # (3.37)     (3.35), 

θ=

π

2

,   (3.36). § 71.  ,#, !)#,

F   *   

 !        ,   . 8 –   ,  #  *##    

   . & *P  ,                 #. G #       !#,      $ !#  #        *           ,  #   #       "  !   *P   . =          #         #   . =     #   (H2, N2, +2, +2  .)   #    $#  

"  . &     #    ("   "     . F    #     #   . C          !

(     ,     * #    ,  !  %  $  % !#   .   *  ,     ("     %      G G p = ε 0 βE , (3.38) G " E —  $  ! ("     "  . ;! β = 4π r 2 —  $ !,   %  !# *P  ,   #    $  .

201

=    "   (H2+, N'3, 'Cl, '3Cl  .)   #    $#     !  . =     % # $    $ !#  % !#      G   , . .  # *        p . G #       *#   $,       l    " ,      (          . G #    "   #   . )      (3.38). C $   !    !

(        G G     (. 79),  " * 

!   : F1 = qE  G G F2 = −qE ,          M = qEl sin ϕ = pE sin ϕ . G =    M         G G G M = p, E . (3.39) G   #       !  ! ,  *#    G G

  p  E    . C $   !                ,     "     ! * 

!  G G G G F ,         F1  F2 F    # F  !

     * " ! *  !     "  , " *ó!(  $  !.

[ ]

§ 72. #0 !). &'$$#( &# , !) '    #  

    "  ! "   "     *     *P     "

(     . G D       %: p 6         #   ,   + q FG  

    % 1

 "  ! "      l  %   # * ; ϕ       G    #   ,     E

 %   !#  G −q   . F2 D. 79 202

= !    %         " *P       #    #,  # #     . +*    q′. &  #,   

      , *   q. )        %   $     % (    ): n G G P= p i ΔV , (3.40)

¦ i =1

 #   !#    ,  $  % G

*P   . ;! pi —  !#   i -  #, n —    *P ΔV . = /     %         #   ()/2). F   

(         G $  ! E 0     %   " *     G   #    $  ! E ′ . F %  %  $  !     G G G E = E0 + E ′ . +#   #  ,      %     # G     %    $     E : G G P = χε 0 E , (3.41) " χ — *      ,  #         $. K    ! $         !   #   σ ′  +σ G −σ ′ +σ ′ −σ G E0

     % P . F !        "     G            E G    $  ! E 0 (. 80). = !    %        :  d

  "  *   *#    $ !#         D. 80    !   #   +σ ′ ,  "  — *#  % !#            ! −σ ′ .   *  ,           #   , G

   $     " E ′      ,  

  $G  E 0 . F %  %  $  !     203

G G G E = E0 + E ′

    E = E0 − E ′ .

 "    (3.25) E′ =

σ′ , ε0

" E = E0 −

σ′ . ε0

(3.42)

'   #  !#     #    (3.40): pi = PV = PSd , (3.43)

¦

" S –   ! "    #; d –   .  "    #,  "  (3.34),  #  !#           "   q ′ = σ ′S     # d, . .

¦p

i

= σ ′Sd .

(3.44)

/ # $ (3.43)  (3.44)  ,  P =σ′. (3.45) F   (3.42) # $ (3.45)  (3.41),   E = E 0 − χE ,

 E E (3.46) E= 0 = 0 . 1+ χ ε A      ε = 1 + χ  #          $         $ #  . / (3.46)  ,  ε = E0 E , . .     %   !   #  ,

 !    $  !     !(,   $  !   . § 73. # )#*# -@$. #- /% ! !)#, B            $  

      # G G D = εε 0 E . (3.47) =   / %   "             ()/2). =    "     204



 # 

      " !#  ,        .   "  $  ,         $  * $ !     #. )    . 80,  G  E 0  " %         # . +  "   !     !      ,      #   . G E   D           !       . =   , "       #  #,      "   #  . G B     "     D  %  %  : n G G D= Di .

¦ i =1

G =#     D , *  # #      q , 

!     !   r : G G q Φ D = DdS = ⋅ 4πr 2 = q . 4πr 2 C        *       

q= qi ,

³

¦

G G Φ D = DdS =

³ S

n

¦q . i

(3.48)

i =1

K  (3.48)            :      #  $  $            ,  $      . § 74. #, $ *$0 ! !,%: !)#, D    ,  #  

  #  $   G G   "   E    "  D  " %       #    #   . F ! " %   ,     %   ! 

"   ε1 !(     %     "  G G  ε 2 . +*   E1 —  $  !  , D1 —     G G "  

  , E 2  D2 — 

  

   . =#  " %     * !(  205

 " !#    abcd (. 81, ),      # ab  cd *$  #     l . F   %% G  E (3.16),     %%      ab  cd *$  #: − E1τ l + E2τ l = 0  E1τ = E 2τ , (3.49) G G " E1τ  E 2τ —  %   E     *     τ ,      . 81,   .

/   (3.49)  ,  "% !#    G G  E1  E 2   #  * " %#     ,   !      E1n ≠ E 2n . =#  " %        %    !     #  Δh    !   ΔS G (. 81,*)          D (3.48),  ,      # #  *P    : − D1n ΔS + D2n ΔS = 0  D1n = D2n , (3.50) G G " D1n  D2 n —  %   D  (   ! n . F   G

  D  *      ! %

     *" . /   (3.50)  ,    !#     

G G D1  D2   #.  ! , "% !      D1τ ≠ D2τ . 206

  *  ,    " %#     Eτ  D n   #  , E n  Dτ     , . .     # . G G D  $  # E1  E 2    !  "% !  G G  . F  ! D = εε 0 E ,  (3.49)  (3.50)  (: G G E1τ = E2τ , ε 1 E1n = ε 2 E2 n . F    E  D  " %          #  . 81, ,    "   

 ( E E tg α1 tg α1 ε1 = 1τ 1n ,     #   . = tg α 2 E2τ E2n tg α 2 ε 2 G G F        E  D . )    . 81,",     $     " G   E  " %        !   ,     # (-     #   ),    G   "  D !   .        %    "  $   !  " %   G G       E  D $

   . § 75. *$#) & —      ( NaKC 4 H 4 O 6 ⋅ 4H 2 O — "  !, BaTiO 3 —   *   .),

*     (   

! )     !       . "    

 !# 

 . 1. B    %   ! "   ε    $   !  ! # ,       #   ε    ! % (    %). 2. B    %   ! "      $     E , . .          . P 3. = "     P0 *          ("  —

".   # !). )    . 82,   0 − EK EK E   $   E

("     "   

     D. 82 207

  % P        "   #. C       $  ! E !( !  ,     % !( ,   "   P0 (      ). E(!    $ − E K   %      !. = E K  #     . A !(   ε * #  *    %   % "   . G    "    *      

!   # *   — .       %    !   %  !#                 . +      ("   *         %    "   ,      #  #     " "     %    * !( "       . F    "  

(             %      

    #     #.      %  !#   ,    *     ,           , $   # #    !$ —   $. B "

   T  = 297 ) , T$ = 255 ) . "    !  "     * !(         #   ,   %   #    " #  *   . . +      ,  *     . F $    ( #     "   #   ( %,  , "  !  .)        #   *#   % #. &            66 ,  #,   #   *  ,  #    . F  !           *        %   —    66. F!   (    . § 76. #,#!$ , )##- &# F  

                      ,   !    $  !     

       : G G G E = E 0 + Ei = 0 ,   $    

 — # "  208

+

  . ;!

G E0

—  $  ! G

("  , Ei —  $  !   % #   .   *  ,   !# 

,

#       ,  + – #    !  #   ,    E=0 – +

       % !# – ϕ = const + % #    

   ! – +        $ !#. =   + –

      ,  %      

 *   #   #  %  "     (. 83): G E0 ϕ = ϕ = const. F   ! 

        $.  #      * #      % !#    ,     * D. 83      !   G   

   .  ! ,  #  $   E   #        % !#    . =# * !(  % *P   G  !   ΔS,  #    !     E ΔS 

 ,    $ !#   (. 84). G E    $     E #    . F  # " *P     . F     $    *      !      %  # . G D. 84 F    E   $    % ,  

 "    ,  : σΔS , EΔS = –

ε0

" σ —         !    

. F           ΔS ,    !  $     "                    !   

 : E =

σ . ε0

209

G ) "         !   σ < 0 , | E |< 0 ,    G $   E         

 .  $    #    

 ,     (   

  "  % : q C= . (3.51)

ϕ

&    ! 

       ,   %  ,   "     #, $   !      %    #,        

. =   /     !       (J). 1 J —      !  "  " 

 ,  

*      1 ) "  %       1 =. '    9  . F %      (   $

 !     %     "   ,     (   #             "   ,  *#   *#    $ %  (  . F   1 q , (3.52) ϕ( = 4πε 0 r " r —   (  . F     (3.52) (3.51),   r C ( = 4πε 0 q = 4πε 0 r . q &    ! (    "   . C (     

    !      %   ! ε , C( = 4πεε 0 r . &     ! ;      700 J. § 77. #$!$#3 !   #     

,       

 , *     # *P,  #   . +*     

  #     . =      # *     # *#   ,   %. &    !     #      ,     (      *         %  $ *  . F         !  % 

   $ ( U ) $ *  :

210

q q = . Δϕ U '            ,  #   . C  #    "   * !(    $ ,      "     $  !   #. F    !    q (3.53) &= . U ;  q  *     #          !      σ : q = σS , (3.54) " S —   ! *     . ; (  !  $       !  %  : Δϕ U E= = , (3.55) d d " d —    $ *  . ' $  !                  !   

 ( (3.25), #  ε : C=

E=

σ , εε 0

(3.56)

" ε —     %   !   ,   "  $ *  . F     (3.54–3.56) # $ (3.53),            "    : εε S (3.57) C= 0 . d &    !   "       %  !    * ,   !      %   ,  *    %  !    $ *  . /       R1  *     !# % (. 85),  * !  ,    

l $  #      . R2 C  l >> R2 ,    "     $    !      $ " *   " % ,    "  "  (3.27) D. 85 211

E=

τ q , = 2πεε 0 r 2πεε 0 rl

" ε —     %   !   ,   "   . F   (3.28)      !  %  $ % : R q ϕ1 − ϕ 2 = ln 2 . 2πεε 0 l R1  "   ! % "    2πεε 0 l q = . (3.58) C= ϕ1 − ϕ 2 ln (R2 R1 ) &6        *     %  #     R1  R2 ,  #          %   ! ε . ' $  !   $ *    "         (3.31): 1 q , E= 4πεε 0 r 2    !  %     (3.33): q R2 − R1 ϕ1 − ϕ 2 = . 4πεε 0 R1 R2 C  !  "    RR q C= = 4πεε 0 1 2 . ϕ1 − ϕ 2 R2 − R1 B   * !(          #    *    ! (. 86, ). )

)

ϕ1 C1

C2

C1 C 2

Cn

1

2

ϕ1

ϕ2

ϕ2 D. 86

'  $     *         #   n

q=

¦ i =1

212

n

qi =

¦ C (ϕ i

i =1

1

Cn

− ϕ2 ) .

       !    ϕ1 − ϕ2 = const  *  

    , n

¦C

q = (ϕ1 − ϕ 2 )

i

.

i =1

C  !  # C=

q , ϕ1 − ϕ 2

 ! , n

C=

(ϕ1 − ϕ 2 )¦ Ci i =1

(ϕ1 − ϕ 2 )

n

=

¦C

i

.

(3.59)

i =1

&    ! *     !      

       #    . F   !    (. 86,*)   q       $ "      #.     !  %  $   1  2 n

ϕ1 − ϕ 2 =

¦

n

Δϕ i =

i =1

¦ i =1

n

¦

q 1 =q . Ci Ci i =1

 "    #,

ϕ1 − ϕ 2 =

q , C

" C —   ! * .  "   ! *    !  #   

1 = C

n

¦C i =1

1

.

(3.60)

i

F              ! *  !(  !(       Ci ,     *     . § 78. $* )##*# &#         . D         $# #   q1  q 2 ,        r " " . ) $#        " "  

*    % !  " W1 = q1ϕ12  W2 = q 2ϕ 21 , 213

" ϕ12  ϕ 21 — 

    % #,   #    q 2

   $   q1 ,     q1    $   q 2 . F   %  ,    " #    ( ): 1 q2 1 q1  ϕ 21 = , ϕ12 = 4πε 0 r 4πε 0 r    W1 = W2 = W , . .  !  $ "  

      . +  !  $   !: q ϕ + q 2ϕ 21 W12 + W21 W = q1ϕ12 = q 2ϕ 21 = 1 12 = . (3.61) 2 2 '    "       #,      #   : W = W12 + W13 + W23 . F   $   "         "   (3.61): W + W21 W13 + W31 W23 + W32 . W = 12 + + 2 2 2 " #    #  #  : (W + W13 ) + (W21 + W23 ) + (W31 + W32 ) W = 12 . 2 ) $   "#  *  —  " Wi     i -"     !#   . F     # $  $  !  W =

W1 + W2 + W3 1 = 2 2

3

¦W . i

(3.62)

i =1

+* * # $ (3.62)      

! "    n ,   "      # #   : W=

1 2

n

¦W . i

i =1

F  ! Wi = qiϕ i , " qi — i-    #; ϕ i —  % ,   #     $ i-"     !#     #,     !  # $  "      # #   : 214

W =

1 2

n

¦q ϕ

i i

.

(3.63)

i =1

       . F ! 

    q   %  ϕ . F  !   ϕ

  , "    ,  

, ϕ  $ #  -    #

  (3.63).  "  ( # $  !    ,     q  

,  qϕ Cϕ 2 q2 = = . (3.64) 2 2 2C F   (3.64)   "  $ " 

 . '  # $  "  $ "    . F ! q  ϕ —     %    $ !  $  *     .  " # $ (3.64)  $  * !       —    $ !  % !  $# *  : q ϕ + q −ϕ − W = + + . 2     q− = −q+ , 1 1 W = q + (ϕ + − ϕ − ) = qU , 2 2 " q = q + —      , U —  $  " *  . F

 ,  q C= , U   # $  "    : qU CU 2 q 2 W= = = . (3.65) 2 2 2C       . '      "      # $  "     "  .  "    (3.65) "   "    W =

W =

" C =

εε 0 S d

CU 2 , 2

(. 3.57), U = Ed .

215

 " W =

εε 0 S

E 2d 2 =

εε 0 E 2

V, (3.66) 2d 2 . . S ⋅ d = V — *P    . J  (3.66)       "  . =       "   εε 0 E 2 ED (3.67) W = dV = dV , 2 2 V V G " D —     " . J  (3.67)   #  ,     ". /  # (3.66)   *P    !    ": W εε 0 E 2 ED D2 . (3.68) = = = ω= V 2 2 2εε 0 +*P     ! "     "    

$   *   (B$/3). ;     ! "    $  ,  $  ! ",    

!  *P   V :

³

³

W = ωdV = V

216

³

³

V

εε 0 E 2 2

dV .

(3.69)

   A B "  "! 38.   ! #  $!     $       !   τ = 10 )/. '     $,

      % " ,     #   q = 10 ). D      %  $ a = 0,2 . '    F

     $ "  $   "   .

$#: τ = 10 −5 )/ q = 10 −8 ) a = 0,2  F=?

   

C$. B  ,   $!    q   $ !  $#. =#   $  #  # dl,  "     dq = τdl  $  ! # (.      ). F    )          

dq  q: 1 qτdl . (1) dF = y 4πε 0 r 2 G G dF dFy

a , (2) cos α a AC = rdα = dl cos α , rdα adα dl = = . (3) cos α cos 2 α F   # $ (2)  (3)

(1),  

α

r=

dα

q

α r

αA

G dFx

a

C

x dl qτdα . (4) D.     38 4πε 0 a cos α 4πε 0 a G D  $   dF    #    x  y: dFx = dF sin α , dFy = dF cos α . (5) dF =

qτa cos αdα 2

2

2

=

1

F     (5) # $ (4): 1 qτ sin α d α dFx = , a 4πε 0

(6)

qτ cos α d α . a 4πε 0

(7)

dFy =

1

/ " # $ (6)  (7)    0  π 2 ,  

217

Fx =

1 qτ 4πε0 a

π2

π2 1 qτ 1 qτ cos α 0 = , a 4πε0 a

³ sin α d α = − 4πε0 0

Fy =

qτ 4πε 0 a 1

π 2

1 qτ . 0 a

³ cos α dα = 4πε 0

(8)

(9)

F   F "      :

( q 2 τ 2 + q 2 τ2 ) 1 1 = 2 2 4πε0 a ( 4πε0 )

F = Fx2 + Fy2 =

2qτ . a

,: F = 6,36 ' . "! 39. D   d $   #  

  ,    $#   ! " ",   16 . F

      $#   #          ! τ = 150 )/. )   $  ! E   ,     r = 10    

,     

 ?

C$. ) $   $  

    

$#:

           $ d = 16   ! ) τ = 150 τ  . (1) E+ = E− = r = 0,1  2πε 0 r E=?  "  %  %    , !      $  ! G G G E = E+ + E− . G E+ F    

ϕ ψ r

+

G E−

d D.     39

218

G E

r

-

E = E +2 + E −2 + 2 E + E − cos ϕ ,

(2) G G " ϕ – "  $    E +  E − . K"  ϕ = 180° − ψ . K"  ψ        : d 2 = r 2 + r 2 − 2rr cosψ , cosψ =

2r 2 − d 2 2r 2

, "

cos ϕ = cos(180° − ψ ) = − cosψ =

d 2 − 2r 2 2r 2

.

(3)

F   # $ (1)  (3)   (2),   2

2

2

§ τ · § τ · § τ · d 2 − 2r 2 E= ¨ +¨ + 2¨ = ¸ ¸ ¸ 2r 2 © 2πε 0 r ¹ © 2πε0 r ¹ © 2πε 0 r ¹ τ τd d 2 − 2r 2 = = 1+1+ 2 . 2 2πε 0 r 2r 2πε 0 r 2 ,: E = 43,2 "! 40.

G= . 

@ 

  

R1 = 6 

 $



 % 

ϕ1 = 300 =, (     R2 = 4  —   %  ϕ 2 = 500 =. '    %  (    " ,        

 . C  !   ! " 

 *!.

$#: R1 = 6  ϕ1 = 300 = R2 = 4  ϕ 2 = 500 = ϕ=?

C$. +   (         

 . &     ! (  ,      #, C = 4πεε 0 R , (1)  "    #,   ! q C= . (2)

ϕ

/   (1), (2): q = 4πεε 0 Rϕ . (3) ; # (      

       (3): ­q1 = 4πεε 0 R1ϕ1 , (4) ® ¯q 2 = 4πεε 0 R2ϕ 2 .

F    

   % # (      #   # ϕ ,   # q1′  q 2′      (3): ­q1′ = 4πεε 0 R1ϕ , ® ¯q ′2 = 4πεε 0 R2ϕ .

(5)

F         219

q1 + q 2 = q1′ + q 2′ . F     (4)  (5) (6),   4πεε 0 (R1ϕ1 + R2ϕ 2 ) = 4πεε 0 (R1 + R2 )ϕ ,

ϕ=

(6)

R1ϕ1 + R2 ϕ2 ; ϕ = 380 =. R1 + R2

,: ϕ = 380 = . "! 41. F   

$       "       *  ,    " d = 5 . +   * ,  *           ,    ) ,   !        !    "     σ = 1,8 2  # S = 0,01  2 .

$#: d = 5 ⋅ 10 −3  ) σ = 1,8 2  S = 0,01  2 A=? C2 =

ε 0S d

C$.  "        ",  * A = W2 − W1 , " W2  W1 — "        !        . εε S q2 q2     W1 = , W2 = , C1 = 0 , 2C1 2C 2 d

, q = σS , # $  "      

 W1 =

1 σ 2 S 2 d 1 σ 2 Sd , = 2 εε 0 S 2 εε 0

W2 =

1 σ 2 Sd , 2 ε0

" C1  C 2 —   !            , q —     #. 1 σ 2 Sd § 1 ·  " A = ¨1 − ¸ ; A = 6 B$. 2 ε0 © ε ¹ ,: A = 6 B$. "! 42.  (     # (     R = 10   $ )     *P  *P     !   ω = 10 3 . + 220

  " W1   "  ,       ( ,  " W2  " . C$. +*P     !   q q 3q ω= = = , V ( 4 3) π R 3 4π R 3

$#: R = 0,1  ) ω = 10 3  ε1 = 2 ε2 =1

" V — *P (  ; q —   (  . &    ,      $# (  ,       #, . . "   (    ,  

)   W1 = ? W2 = ?    . +     $ " (  *      ,    *P     ! "  

  ,     #    %  (  . =#   (      *P  dV1 = 4πr12 dr , (1)    r1   dr . 4 ;      q1 = πr13ω . F  3 ε2     (: q 4 πr13ω ε1 4πr12 E1 = 1 = , (2) ε 1ε 0 3 ε 1ε 0 r1 dr R 0

  $  !   E1 ,        q1    ,   1 r1ω . (3) 3 ε 1ε 0 =#  "        *P  dV1 ,  !   (1)–(3):

r2

dr

E1 =

D.     42

1 2πω 2 4 (4) ε 1ε 0 E12 dV1 = r1 dr . 2 9ε 1ε 0 F   ",       

 ( , #    "  

dW1 = ωdV1 =

W1 = ³ ωdV1 =

R

2πω2 4 2πω2 R 5 r dr = ; W1 = 7,88 B$. 9ε1ε0 ³0 1 45ε1ε0

=#  (         r2,   221

dr  *P  dV2 = 4πr22 dr ,     "       4   q 2 = πR 3ω (  (  ). 3 F    "#  %,   1 dW2 = ε 2 ε 0 E 22 dV2 , 2 3 q2 1 1 4 πR ω R 3ω " E 2 = = = —  $  !  , 4πε 2 ε 0 r22 4πε 2 ε 0 3 r22 3ε 2 ε 0 r22

       q 2    "      r2 .

W2 = 2πε 2 ε0

∞

R 6 ω2 dr 2 πR 5ω2 = ; W2 = 78,8 B$. 9ε 22 ε02 ³R r22 9 ε 2 ε0

,: W1 = 7,88 B$; W2 = 78,8 B$.

222

 14 BE     E 

§ 79. #, ,#$$#,$ )#*# #.  #. #$#( #      #       (   )  $  $#   %.  , *  #   ,  $  

,  #    . =      #     

    

  !    (   ),   (    ),    -  ( "  ),    -#  (  

 ). ;            $   $ !  $#   %. B

   

  

      *  ,  *#  !          ,

##    $        $.  *#  

 *#   #,  *   "  %   $ !      $, 

      . B  "    %!  $ *# !    &B. )  #         "       I     !  j. &   #    ,    (   dq ,   "      

    

 dt ,    "    : dq I= . (3.70) dt ; % #  /   (). &  ,    "      ,  #    . D   

,      . ;  $   dt     1 2  S 

 (. 87)    S G v  $#   % N ,    *P, q0

"    1  2: N = nS v  dt , v  dt " n —  %  %  $#   %, . 87 v  —    !     "  $ ( ).

223

+*       % dq = q0 nS v  dt ,

" q0 —     %#.  "   dq = q 0 nS v  . (3.71) dt / ,       ,   "  $    %,  %  %   %,         "  $       "  

 . '   —        ,           ,     ( #        "  

 ,  "     : G I G j= e, S G " e — #  ,          . = /  %           #   ( / 2 ). F

    (3.71),      !  j = q0 n v  . =                    $   $ !  $#   %: G G j = q0 n v  . (3.72) B       !  G G+ G− G G j = j + j = q0 ( n + v+ + n − v − ) , G G " j + , j − —        $ !#  % !#   ; G n + , n − —  %  %   $ !#  % !#   ; v + , G v − —        "  $   $ !#  % !#   . ;         ,  $      ,   "  

: G G I = j dS , (3.73) I=

³ S

G " dS —   *         

 , G     j .

224

§ 80. #!,'%@   $&'$ =       %             "  , ##      * !(  %       !(  %   (   $ !#   ). F      #    % 

      %     .  *#  *#   #, %         $# 

! #     "   $,  # #   . F       $ *# !   . =   &B    #      "   "   $  :   "  —   ,   —  ,  *  — 

,    —  

  . . ;               #   , !    "            #  

  $#                !  %  . F    "    &B         #    (   *      q

( %. ;  # "     "  

( %

      * #            .   *  ,     *    %  (     "    ,       . J   ,     (  * # A ,  (            q    %,     "   ,  #   #  (8&)   : A × =  . q &   $  # $ 

!  (=). D *         q     %   G G G G A = F dl = q E dl , (3.74) G G G " F —     , dl —    , E  —  $  !      . D    (3.74)     "   q ,   &B,   %: G G A × =  = v³ E dl . q

³

³

225

  *  , &B,       %,   %%    $        . K   1–2    % (. 88)  $  &B,  #    × ϕ1 ϕ2 R   . '   q        % 1–2        # F ,   # 1 r 2     "   Fe : G G G G G F = F + Fe = q E  + E . G D * !  # F     1–2   2 G 2 G G G A12 = q ³ E dl + q ³ Edl = q× + q ( ϕ1 − ϕ2 ) . D. 88

(

1

)

(3.75)

1

%  (   $) U 12     % 1–2  #      ,      * ,  (              "   $ ! "   : U12 = ϕ1 – ϕ2 + × . (3.76) ;  #         %,           #. ' $ U 12         %         !  %    %     : U12 = ϕ1 – ϕ2 . § 81. "#$ - ! #!$##!$#*# % 0& ;   ! #  

  $ (. 89)  #      U (3.77) I= , R    # $     + 1  " !        "    %: 

I ϕ1 ϕ2      

A   $ U    R   $ 

V R.         (+). D. 89     1 +    

,      $ 1 =     1 . 1

226

 "   + (1787–1854) — % .

      " 

   "       ,    "  " : l (3.78) R=ρ , S " l —  

 ; S —   !   " ; ρ — !     . /   (3.78)  S ρ=R . l <  —     ,        

 , "  "    "    , "       !   " . C% ! "     /    -  (+⋅). F

, *    %!,  " *# !  # $  *   #   * . F     (. 90, ) 

    %! R1 R2 R3 

 "  " . C   - )

!   n 

 ,     % R          

 : ) R1 R2 R3 n R= Ri .

¦ i =1

F     n 

 (. 90,*)     %   #      1 = R

n

¦R i =1

1

D. 90

,

i

" Ri —     !  " 

 . F   # $ (3.78)    + (3.77),   I U = . (3.79) S ρl 1  #       J   γ =

ρ

 $         (/).      $  !   "   

,

U =E — l

I = j —    ! S 227

 ,   (3.79) (   G G j = γ E  j = γ E. (3.80) F    ;       66  6. § 82. F#  -#@$#( #. "#$ '#%–$0 F      $  $#   % 

 #   "  ,     #,  (   * . &   *   #     . F !   $   dt         " 

      dq . &     $   

   $ U  (   *  dA = Udq . dq ,       I = dt dA = IUdt . (3.81) D *      %      #  ,  $  ,    "  (  !  * . C%  * #   "  — $ ! (B$).    !    +     %   # (3.81)  $   !          * #  : dA = IUdt = I 2 Rdt . (3.82) D * ,  (     , &B   " ×,   dA = ×Idt. (3.83) =#  P    —     ,   

 (  * #,  (       dt ,      

: dA . (3.84) P= dt F     (3.81) (3.84),   P = IU . (3.85) G   !  # $    (= ). / !   (3.82),       : U2 P = I 2R = . (3.86) R '       * #  "   "     !   % —  -  (= ⋅); 1 = ⋅  = 3,6 ⋅ 10 6 B$ . 228

F   $   "  

  "  . ;  ,

  

 #, # ( 

, *#  !    " # B$ 1   # E%2. ;   B$ –E%     *  :    ,   ,   $      ,      

 : dQ = I 2 Rdt . (3.87) ) 

 #, #  

,  $ *# !     *  # $   (3.82). =# 

  # *P dV = dS ⋅ dl ,       "  "  # $ (3.78) dl . R=ρ dS F   (3.87)    B$ –E%    

 # dQ ,    #  *P dV   $   dt : dl dl dt = ρj 2 dVdt . (3.88) dt = ( jdS )2 ρ dQ = I 2 Rdt = I 2 ρ dS dS / !    + % !    j = γ E  # $1  γ = ,  

ρ

dQ = γ E 2 dVdt. (3.89) ) 

 #, #  % *P 

  % ,  #     # $  : dQ ω= = γ E2. (3.90) dVdt K  (3.90)  #     8–>  66  6.

1 2

B$ F B$ ! (1818–1889) — " . & ^    E% (1804–1865) —      . 229

§ 83. "#$ - ! $#!$##!$#*# % 0& '   #    %      . 88. D *   (     ),  (           1–2,      dA12 = q× + q ( ϕ1 − ϕ2 ). (3.91) F           "     * dA12       # dQ , #       : dQ = I 2 Rdt = IR(Idt ) = IRq ,

(3.92)

. . dA12 = dQ  IRq = q× + q ( ϕ1 − ϕ2 ) ,        +      "    %:

× + ( ϕ1 − ϕ2 ) , (3.93) R1 + r " R = R1 + r —      %, " r —         , R1 —     ( %. C    %   !, ϕ1 = ϕ 2    (3.93)  ( 

 × I= . (3.94) R1 + r      ( &B, ×1 ×2 ×3 )      %,         %. r1 r2 r3 K  (3.94)  #     ;   . D     !     !      * . × 1 ) '     n    (. 91, ) &B *  r1 ×*    &B !#  ×2  : I=

n

r2

×3 r3

× * = ×1 + × 2 + × 3 = ¦ × i .

(3.95)

i=1

=      *           !#   : n

D. 91

R* = r1 + r2 + r3 =

¦r . i

i =1

230

(3.96)

'        (. 91,*),   #  #    # &B, &B *    × * = ×1 = × 2 = × 3 . C  #   # &B,   %!  $   # !     )"  (. § 84).     * 

     1 1 1 1 = + + . (3.97) R* r1 r2 r3 =      *  R*  n  , 

  #       r , n   !(,      ! "  : r R* = . n ;   +  n   #   &B,    ×,    ×n     r  : I   = —    !   R + rn ×   I    = —    !      . r R+ n § 84. , :*#G.  ,,$$# )# 0& <      #    ,         *  

 . = %,  * $   . 92,       =. F

   )"  1:       , #   ,   $: k

I

×1



r1 R1



r2

I1 R2 I2 D. 92

1

¦I

×2

* 

i

= 0.

(3.98)

i =1

 ,     ,     $ !#,    — % !#. F   )"   $   ! (k − 1)  , " k —   %. F 

!

#*    *             

     % (   —    ! % $    ).

 D * )"  (1824–1887) — % . 231

B   

   )"   (   I1 + I 2 − I = 0 . (3.99) =     )"  :  $                   $#           8&,  $#    : m

n

i =1

i =1

¦ Ii Ri = ¦ ×i ,

(3.100)

" m —     , n —  

    .   ,  # #  

       )"  ,  $ *# !     ,       %. F   "   )"   *  #  ! : 1)  

! #* !  *   !      *     ; 2) # !   #   #  *  ,  *#  $#  #        "    %,   " $   #   #; 3)     *              Ii,    IiRi   (3.100)  (      ,   *  ;        (    %   $ ! "    % ! )         *     , 

    &B   (3.100) *      ,   *  . = %,  * $   . 30,    #    . F          )"  ( *     #*      

  ): Ir1 + I1 R1 = − ×1 , (3.101) Ir1 + I 2 ( R2 + r2 ) = − ×1 − × 2 . (3.102) B  ,          #         r1  r2,      " R1  R2  # &B ×1  ×2, , (    (3.99), (3.101)  (3.102),  $  !       %: I, I1, I2. C  (     !     ,         

  $ #*  . § 85. #$$ &#,#!-#( -#, =    ^^  *#          

     .  "                  # 

  , . .   #,  *   #        (    . &    # $  *      232

 ,  

  $         ( , . .   # 

    *   *  !     " . =    ("   "     # 

    (     

  $          !,    #   . ) "     $ (     ,      $      #         $,   # #  6 ,      !,   %  !     $    "  . =  %    #            ( , *     #     

    .       

    #. F  #(  #

      !   " 

"  $    ,        #  *    $ !#        ( . & 

  *    #        (     !(         .  !(    !  ,  !(           

 ,  !(   

.   ,  "     +     %,   !  *       

 . F !  0°C     

 R0,    t — R. +#     ,    !          %  !   #: R = R0 (1 + α t ) , (3.103) " α —  #  %    ,        !       #    #   !       

   "   1 ). /  #  ,     ! [α ] = ) −1 . 1 −1 B   #   α ≈ ) .    #,  273  #  #  %       !  ,              #. &   #  !       #    , (   *

#       !# *  . / !   (3.78)  (3.103),    , # $     ! ! "      #: ρ = ρ 0 (1 + α t ). B  #     (     (  #     α        #        ! ! "         . 233

K  #    

   , *  *    ,        *    ! (. 93). = #   ,      $, ρ *# * $ 1911 ". "     ) "-+ 1    . F  $   

    *  ! ". B  $ "  

   

       T,       

 

   . B    T = 4 ). T D. 93 =       " #   !#    #      

  . ' *       #  ,   #      

    T  #(    $$  (T = 77 )). § 86.  # , *:. -##($3  $-##($3 !3 = *##   " #      (    , . . #   #,   #     ,     !#,  %  %       .  *# "    

, $  * ! *      $#  $#   %, . .   " . )   % "   "    "  " ,

  : !   

" ,  "  " ,      " . F   %   !  "          $ !  $#  #    #. F   "   " *  !  % !#  #       !#   

*  "    . F   " "      

. F

  ! "      -  #    . '    %    % "      %   —

      !# #   #. C

(     * 

!, 

  ! "  !(   "    *# ! 

 . F          $  %    %   * %           ,       ! *     $#   %         ,      * %.

1

234

^ ) "-+ (1853–1926) —   .

&   "    #   I    . &  

  ! "  ,

       ("   - I   ,  #         . F  $,  

(#  U U U $  $ *      D. 94

  !   

 . =   "  #  . C     !  $    ,   *   !    "   I,  #  "    # (. 94). =    #  *P  ,      $

    

      ,  $  *  . F  $ U,      *  (     #   "  *      ,                % (  #). K   $ (   U3)  #     . C     %   

!,     "     . + #  % —     !# "  #  . C     $   #   $ !   !  $ ( #( U3),   

   .       $   $ ! * ("    . F    #    #,  * #   $    

   "  ,         .   #  ,  #   $        

("    ,  #       . ' $ U3,    

      !#  ,  #              . F   "      

     $#   %     %   "           ,   " #      * !(    . F      "     #        " ,  *#   "  ( !  *   #       !#    , . .    . F     %   #   , !    

          . ' *   !

(      $      ! "  

   . +  !   %   #      $ * !  !#     !#  . ' *  ,  *# "      %

      . C "  #   "  $       ,     #        * *   "   $ !#   ,  $          "        . 235

§ 87. #$ # &- F       !   # " ,     %  %     % !#      %  %   $ !#   . F  %         !#     . /  % "   *    #  " *# ! # #  "  "  , $  #   * *    

"  *# #  $#   % . =        !   %  #  $ *# !   .  #(   "  ,  * !(        ,  !(       !#  . =         % "            !     . F            #  , . .    !# 

 . F  *     (  

  !. F  !   #   #  #  "  !       "  ,        

     *$      . =    

  !  #        #. F #          #        #.  

   # (   !       "   , "   #     "  . =#      #  

  ! !   ,        .        !   #      (  ). § 88.  # , ,%%-. #$$ )- F          !  $ "   ,      # "       !        " ,    ! "  " .  *#    *  ,      —     ,      ,  *     $#   %. B   "      

    !   #. _ ,   

         

*  ",  *        * # #  ,  #      . /      " # #    #      . F  #(  #          "       !      

 $  ! #   #   . F  !    #  $  "   * ,       , " #   #   . &   #   6   . 236

'  %,      mA       #,  "       *# # R + A –  $#   %# (  #, A V  #  .). &    K    . A = #  (  D. 95  !       "  . =   #      (           ),   (       )  . .  !         . C    ! %! (. 95),          ) *     A           $ ! " (   !   )  $ *  A  

    . /     R %,  $   !    !   "  I   "  $ U —  $      # (. 96). )    . 96,    !   I $      . = *    #   $ !#    $   I   ! #       E"1  : I = BU 3 / 2 . (3.104) ;! B –  % ,    #, 0 U U          "    $D. 96 . F U = U       #, #     ,   "    ,       #. F   !   # j      D   2–B(  : −

A

j  = cT 2 e kT , (3.105) " A —  * #        ; T —       ; c —    ,        ; k —     A !%  . _        (   !     - # *        —   #   ,    - #   "  * ,   #      . .

1 2

/ " E" (1881–1957) —   . + K  D   (1879–1959) — " . 237

   A B "  )

)

I1

× r1

R

A

I2

× r1

× r2

D.     43

$#: × = 1,5 = R = 0,1 + I 1 = 0,5  I 2 = 0,4  r1 = ? r2 = ?

R

A

"! 43. )    &B × = 1,5 =    (      R = = 0,1 +.           I1 = 0,5 . ) "        !        $ &B,   I2

 $  (    !    0,4 . +        r1  r2 

" 

 "   .

C$. ; (   #      %    +     %: × I1 = , (1) R + r1 × +× 2× = . I2 = (2) R + r1 + r2 R + r1 + r2

F        # r1  r2 . /   (1)    × R + r1 = . (3) I1 F   # $ (3) (2),   × 2× 2× ,  I2 = , r2 + = × I1 I2 r2 + I1 2× × × r2 = − = ( 2 I1 − I 2 ) ; r2 = 4,5 +. I 2 I1 I1 I 2 = × /   (1): r1 = − R; r1 = 2,9 +. [r ] = − + = + . I1  ,: r1 = 2,9 +; r2 = 4,5 +.

"! 44. B # 12   &B × = 1,5 =        r = 0,4 +. )  $   !    #,  *#   !  *     *   * !( 

( %,      R = 0,3 +? + ! I max . 238

C$. F  $,   #  * #

* ,      !   !  # ",  $   n   !  #  .   !  # "

$#: × = 1,5 = R = 0,3 + N = 12 r = 0, 4 + I max = ?

r

×

R

 D.     44 N k = , &B   *    ×0 = n×. n =        *  k 1 1 n n2 = = Ÿ r0 = r = r. r0 nr nr k N k

¦

 "     +     % ×0 n× N× n = = ⋅ I= . r0 + R r n2 2 + NR n R+ r r N D   % I ( x) = A

x x +a 2

2

, " A =

N× , a= r

NR  r

    :

( a − x )( a + x ) dI ( x ) x2 + a2 − 2x2 a2 − x2 . =A =A =A 2 2 2 dx ( x2 + a2 ) ( x2 + a2 ) ( x2 + a2 )

;   

       # $ ( a − x )( a + x ) ,  -

–

−a

–

+ a

#  $  !       :      NR 12 ⋅ 0,3 = = 3  

      «+»  «–»,   r 0,4 x      % I ( x) = A 2 . x + a2  ! ,  * !(      "     ,     #  # * ,       !  # ",  $   n = x max = 3   !  #  . +*    " x=a=

239

N 12 = = 4. n 3 G  !    

     a A N× r N 1,5 12 × I max = A 2 = = ⋅ = ⋅ = ⋅ ;I = 7,5A. NR 2 rR 2r 3 0 ,3 ⋅ 0 ,4 max a + a 2 2a ,:   *      4   !  # "  3   !  #   $  "; I max = 7,5 A. k=

"! 45.   

     R = 12 +    *#  I 0 = 5 A  I = 0   t = 10 . )    

 # Q #    

    #  $  ? C$.  "     B$ –E% 

 #   

 # dQ = I 2 Rdt . (1)     %  !  I = Kt , (2) " K —  %   %  !  . F      I − I0 K= . (3) t F   # $ (2) (1),   dQ = K 2 Rt 2 dt . / "         # $ (3):

$#: R = 12 + I0 = 5 A I =0  t = 10  Q=?

t

2 1 1 Q = ³ K 2 Rt 2 dt = K 2 Rt 2 = ( I − I 0 ) Rt ; Q = 1000 B$ , 3 3 0

[Q] =  2 ⋅ + ⋅  =  ⋅  ⋅ + ⋅  =  ⋅ = ⋅  = = ⋅  = B$ .

,: Q = 1000 B$ .

"! 46. &B *    × = 12 =,      "  #    I  = 5 . )   * !(    ! Pmax  $   !

( %,      * ?

240

C$.  "     + (3.94)  

% × I= . +r R Pmax = ? G   !, # 

( %,       B$ –E% (3.86): R P ( R) = I 2 R = × 2 ⋅ . ( R + r )2

$#: × = 12 = I  = 5 

/   %   : dP ( R ) (r + R ) − 2(r + R ) R r + R − 2R = ×2 ⋅ = ×2 ⋅ =0 4 dR r R + ( r + R )3 ( ) 2

Ÿ r−R =0.

  R = r        % P ( R ) ,   !         

 

dP ( R ) dR

     

,    r ×2 = . 2 4r 4r K # ,   * !(  % 

        # ,         (  "   ,  "     +   × I max × × I max = , " Pmax = = ; Pmax=15 = . r 4r 4 ,: Pmax = 15 = . Pmax = P ( r ) = × 2 ⋅

"! 47. B    &B        ×1 = 8 =, r1 = 2 +, ×2 = 6 =, r2 = 1,5 +        ×1 – + = C  R = 10 +  #,    I 1     . =# !  ×2  I "    . A

+

–

D

I2 I F

R

E

D.     47 241

C$. F 

! #*     .  "  

   )"      (: I1 − I 2 − I = 0 . (1)  "      )"      ABCDA: I1r1 + I 2 r2 = ×1 + × 2 , (2)     AFEDA: I 2 r2 − IR = × 2 . (3) F       (1-3)     #: ­ I1 − I 2 − I = 0, ° ® I1r1 + I 2 r2 = ×1 + × 2 , ° I r − IR = × . 2 ¯ 22

$#: ×1 = 8 = ×2 = 6 = r1 = 2 + r2 = 1,5 + R = 10 + I =?

F    ,  *   (: ­ I1 − I 2 − I = 0, ­ I1 − I 2 − I = 0, ° ° ®2 ⋅ I 1 +1,5 ⋅ I 2 = 14, Ÿ ®4 ⋅ I1 + 3 ⋅ I 2 = 28, °1,5 ⋅ I − 10 ⋅ I = 6, °3 ⋅ I − 20 ⋅ I = 12. 2 ¯ ¯ 2 D(       )  : 1 −1 −1 1 0 0 0 = 4 7 4 = 1 ⋅ (−140 − 12) = −152 . Δ= 4 3 0 3 −20 0 3 −20 1 −1

0

0

ΔI = 4

3

14 = 4 7 14 = 1 ⋅ (42 − 42) = 0 .

0

3

6 I=

,: I = 0 .

242

1 0 0 3

6

ΔI 0 = =0. Δ −152

 15 /     § 89. *$$# &# #. $!%0 -*$$#*# &# = 1820 ". & 1 * $,   "     ,    $     

 , I

  ,  "  

  N   (. 97). G "     ,   S    ,     "    .  ! ,

" 

    *    "    .   # *#    D. 97  ! $  

   "  . =   —     ,         $     . 

        "  "         G  B . G /%  "  "   B               (. 98). ;      %  "  "   G          n ,            . )    $ *# !     #   ,  *#   "    $ *#  !   #. G '  $ n     #   ,  #  "     , G BG  *#   !   $    *  G pm          , "    !  n  $ *   $      $ !    . >    (

  I  "  "  )  #   ,   !       $  G         

  % B . D. 98 C      !   $   ,  " * 

!      M, . .  "     * 

  !   . =       ,  "   !            %.   * !(     "      ! %  "  "  : G M M (3.106) B = max = Gmax . IS pm

1

^  )   &  (1777–1851) —   . 243

F   #  I        S  #    G     pm . C%  ! "  "  "      -  #   (·2). / ,     —        ,      (   ! "   "   ,  "         "    ,   !   "         . C%  "   %     . 1  —   "   %    "  "  "  ,               !#  " #    1 ·2     !#      ,  # 1 '·. § 90. "#$ H#–,–& ;   A 1–  2–E    

 G dB  ! %  "  "  ,    " 

    . F !  

  

!   #   I (. 99). I =# *   #  

  G G G r dl   dl ,         -   G r  7.  "     A –  –E   % G  "  "   dB , *      G D. 99   dl     7,   G G G μ0 I ª¬ dl , r º¼ dB = , (3.107) 4π r 3 G " μ0 = 4π ⋅10−7 / —  "      . dB G I b F  % B  7  $    A  %  % —  # dα        : α G G B = ³ dB . (3.108) G r F   (3.107)  # rdα  ,    " *  #  G # 

     I (. 100). F ! dl α           b 

D. 100

1 2

244

f  A  A (1774–1862) —  % . J   (1791–1841) —  % .

G  . =#  # 

 dl ,        G r  7. / . 100  ,  b r dα b dα ; dl = = . r= sin α sin α sin 2 α G !    "   %  "    (3.107)   μ Idl sin α dB = 0 . (3.109) 4π r 2 F   # $  r  dl (3.109),   μ I dB = 0 sin α dα . 4π b G F  !   dB     7   #

   ,  $          : μ Iπ μ 2I . (3.110) B = ³ dB = 0 ³ sin α d α = 0 4π b 0 4π b / "   

  0  π,    "  α   G  dl ,   #  *   *  # 

,   0  π. G E  "   %     " B 

       *   %  I

$   (. 101),    !#   #  G     B . '    " #  #          (   ). =     " 

    # #  "  # $ (3.110) * D. 101 α1  α2 (. 102)   "   % μI (3.111)  = 0 ( cos α1 − cos α 2 ) . α1 4π b =# %  "  "  ,    " "#      R,     G   I (. . 103). =#  # dl  α2      ,    $#     r  I α2 7,       "   %.   7             x " %  . G D. 102 &   dl    I     7  ,  !  "   %   "  "     A –  – E     μ dl dB = 0 I 2 . (3.112) 4π r 245

G G G D  $   dB    ! dB&    ! dB⊥  G  . F       dl #    #      , . . G ¦ dB⊥ = 0 . G dl G G dB r dB⊥ R I

β 0

β

x

A

G dB&

D. 103

G F     %  "  "   B *     !

   , "     R R ,  = ³ dB cos β = ³ dB = ³ dB 2 r R + x2

   r = R 2 + x 2 . F      # $   (3.112)    " "     : 2π R μ μ0 I R R2 = . (3.113) B= 0 I dl 4π R 2 + x 2 3 2 ³0 2 R2 + x2 32

(

)

(

)

; (          : G G μ pm B= 0 ⋅ , (3.114) 2π R 2 + x 2 3 2 ( ) G G G B pm " pm —  !#  " #       . I F x = 0    (3.113)  (3.114)    "   % %    : G μ 0 I G μ 0 pm B= , B= ⋅ . (3.115) D. 104 2π R 2π R 3 / * $  #  %  "  "             . 104.

246

§ 91. "#$ -&. -#!, &#,#!$#,  ##' 

   ,  #  "    ,    ,

       1: G G G dF = I ª¬ dl , B º¼ , (3.116) G " I —   

, B —  "   %    G   $  

 dl . G ! #    dF = BIdl sin α , (3.117) G G " α — "  $    dl  B . '   #         (  

"  ): E       " ! ,  *#  #   "  "       !,  # #  #  !%   #      

, " " #  90° * !(   %   $    #  . G "      #   ,    %   G G B    

 ( B = const). B    "  "  "         F = BIl sin α , " l —  

 ,      , α — "  $  G   B      . / !     ,    I1 I2

        !#, * G B1  #,  # 

  G G F12 F21   I1  I 2 ,    $#   

   b " " (. 105). F ! 

 I     "     G  % B1  ,       

 II    I 2 . '   G % B1      * -

b I

II

D. 105

G  . ' 

 II     F21 ,      

     

 . / . 105  ,  

 II  "   

  I.   "  $ ,  $    !,  

 I  "   

  II.   *  ,      I1  I 2     , 1

 G   (1775–1836) —  % . 247



  "   "  ",       

  $#, 

    " " . F   # $ (3.115) (3.117)   # ,  "  α = 90°,   ,      I2: μII dF = I 2 B1dl = 0 1 2 dl . 2π b ' % #  I2    dF μ0 I1 I 2 = . (3.118) 2π b dl    $     % #  I1. '   

 ( (3.118)      % #    / —  (). 1  —   "   ,  #,        #   !# 

  *   #   $   " "

" ,    $#     1   " " , #  *# $ 

  ,   2 ⋅10−7 '   $#   # 

 . § 92. -  ##- , -*$$#- &# D    " !        a  b,       I. D           "    ,   G G  "   %    B    "  α    ! n       . D   $  O G  !   !   !  F2

 ;; (. 106). #  ,    "   !#   G I F3 G #  ,  #  ,  G B

  $#       F1  (  : α G G G n F2 = F4 = IBb . a b G pm #,     G F4  !#   #  , $  O    # " " G G D. 106 F1 = F3 = IB ,  

  $   #  *    . )       ,            = = IaBb sin α = ISB sin α = pm B sin α , (3.119) " S = ab —   !  , pm = IS —  " #    . J  (3.119)  $   !     : 248

G G G M = ª¬ pm , B º¼ . (3.120) G F      M    $ 

  !   !  ;;. C  "         , #,     ,   # " "      "  

  !    ,   *  

* !     !   $. D  * " ! *  !  "  "    * !(       %.

§ 93. 1%0 ,# -*$$# $!%0. #- # 0%0   " # $ (3.16)  "          G  "       "   % B      G G G dl , . . v³ Bdl ,  #       . l

G =# %%   B      " 

   . F !  I   

,    $  R G      . 107,   #    I dl  $      R $     dα G G $ . =  B       !   $B   . =#  $       G dl .       D. 107 G G Bdl = BdlB , G G " dl —  % dl       B . =      " dα dlB = Rdα , " G G ³ Bdl =³ RBdα . l l  "    (3.110) G G 2π μ IR μI B= 0  ³ Bdl = ³ 0 dα = μ0 I . (3.121) 2π R 0 2πR l C      #  

, G G ³ Bdl = 0 , l 249

     #  n 

    I1 , I 2 , …, I n , G G n Bdl = μ0 ¦ I i . (3.122)

³

i =1

l

K  (3.122)  

  

  

!   #,  # # *#    . ;  %%   (3.122)      *     . C    *         #    

"  ,  I i ¦ I i *    ,       —   . J  (3.122)    "*  # $  # G %% B : /         ,   $#     ,  

         ,   μ0 . '  ,  %%    $       "   G G ³ Edl = 0. l

&           . h%    "   % G G ³ Bdl ≠ 0 l

   . G "        . § 94. *$$# &# #$#!  ##! &  #    ( ,       * !(  

  

 . G "          *      ,   #  $#   ,      $ *# ! ! * !(. C  G B    l   " * !( "    d ( . . 3 2 l >> d ),     #  # (  — *  #). F   G l %%   B     "   4 1 %   *   "    D. 108 (. 108). / #    ,   "    G           B        !# " . =      "   

!  " ! 1–2–3–4,  #    %    . F   (3.122)  (: 250

v³

G G 2G G 3G G 4G G 1G G Bdl = ³ Bdl + ³ Bdl + ³ Bdl + ³ Bdl = μ 0 NI , 1

l

2

3

4

" I —   , N —    ,  # #    . 2 4 G G G G / " # ³ Bdl  ³ Bdl *$  #,       1

3

G

  B      1–2  3–4. / "  

1

G G

³ Bdl

$

4

 $ *!,   ! %  "  "      

!   .   *  , G G 3G G ³ Bdl = ³ Bdl = Bl = μ 0 NI . 2

C *   ! N l    ,    % #, %  "  "        B = μ0 nI . (3.123) / ,  "       *   "       ,          . "    *    ,   #  !% (. 109). F ! R —      , r —    

! "   "    ,  # "     . =     "G   "     B       !   $     r . F   (3.122)  (: 2 πr G G ³ Bdl = B ³ dl = μ0 ¦ I . r1 R l 0 G r2   ¦ I = 2π RnI , " r B G G ³ Bdl = 2πrB = 2πRnIμ0 n=

l

     %  "  "  

    :

B = μ0 nI

R . r

D. 109

(3.124)

F    r   r1  r2 .  "    (3.124)  "            

  #. =    "        . 251

§ 95.  #$0.

,'$ '$$3: 0 , -*$$#- &# '   %       q,  $  "    G      ! v ,      

!# *     (  G

   "   % B ,    E % F.  E %  $         (3.117). B  "      !    ,     $#   

 (. 110): FA = NF , " N — *    

. l = v Δt G v q0

S

I

D. 110

 " F=

FA IBl sin α = . N N

(3.125)

  q , (3.126) Δt " q —  ,         

   Δt: q = q0 n v S Δt . 3.127) ;! q0 —   

*     %#, v —    !     "  $, n —  %  %   %.   $#   % N = nSl . (3.128) F   # $ (3.126) – (3.128) (3.125),   G G G F = q0 B v sin α ,  F = q0 ª¬ v, B º¼ . (3.129) I=

252

 E %    %  !                $    %  "  "  . '   # E %      

 ,      %#   $ !#,  

,  % !#. G G ) " "  α $    v  B     π ,  E % F = 0, . .  "       $#   %#    . C "  α =

π

, F = q v B  

*    % %   2 !   . =          "      $    % *  " !  $  ,      R  $     

 ( m v2 mv , (3.130) = qvB , R = R qB " m —   , q —     %#. F  *    %# 2π R 2π m v 2π m T= = = . (3.131) qB v v qB )     # (3.131),   *         %#          $.

π

> α > 0 ,  $    2 h %      "     *  " !    (. 111)     m v sin α R= R qB  ( "  +q 2π m v cos α h= . (3.132) qB

C " 

G B

D. 111

§ 96. GG I#1 F       (  

 )      G  ,         " j (. . 112). D   !  %  $   1  2,    $#    $ "    #,   . F        G     "    , %   " B . G$   1  2        !  %  Δϕ. 1

&  * ^  (1855–1938) —   . 253

_ 

       %      

 (  

 ),        ,    "  "    ,          ,  #   66 @ . G 1 E b G 2 j G B D. 112

& ^ 

  !  " ,    $   q    E % F = q v B,   " (       )    $ "    #. F       #

G         $  ! E . F  %     % q v B = qE .     !  $   v  $ #  !    (3.72): j v= . qn  " jBb Δϕ = Eb = . nq =  *   1 =R, nq   Δϕ = jRBb , (3.133) " R —     ^  ,         ,    " "     . /   " # $  ,     !  %  Δϕ   %  !        "   %. ;  Δϕ ,  $

 ! %  "  "   B . F   (  )     ^  R    

    

  (     #  ).

254

§ 97. *$$3 &##. #- /% ! -*$$#*# &# =       G   dS  #      dΦ,  B α         %  "  G n "      !    (. 113): G G dS dG = BdS  dG = BdS cos α . (3.134) G " #   Φ —      , D. 113       #*       G  n     dS. =   /  " #     *  (=*). 1 =* —   " #          % 1      1 2,    %  . '   " #     

!       ! S (. 114). F  ! G    B   #,  !  " # S G B  #       ! S,  !  

#   , . .   Φ1 —     α2   !  Φ2 —  #    —  #.     G G "  $ (   ! n  

  n2  "  "         !   α1 (cosα1    ),  #  —  # (cosα2    ),  #  " # nG 1          !   : G G D. 114 (3.135) ³ BdS = 0. l

K  (3.135)    "*  # $  #   :        $  $     $. /   (3.7)  (3.135)  ,      " #        . /               #,  " #       . § 98. F#, #,C- & &-@$ &#,#!$  #$%  ##- , -*$$#- &# F

 ab   l  $  ! !  (  1  2, #   !   %! (. . 115). B $ 

        #  : FA = IBl , 255

" B —  !   %    "  "  "  ,  "  

; I —  

. F !       #  G

        dx. FA l F    (    * G B dA = FA dx = IBldx = IBdS = IdG , (3.136) I 2 b " dS = ldx —   !    , #   

 ; d Φ = BdS —  "D. 115  #   

!    ! dS . +  * ,  (    $  " ! "    1–2–3–4    I       "     (. 116). F   

         ,    G G G G 

,   #       ( F12 , F23 , F34  F41 ). G G F !  F34 > F12      $    

. D *  dx

1

a

  7 = 712 + 723 + 734 + 741 . D *   G F23 

 2–3  1–4   2 3 3′ ,       2′ G G G G F34 F12  # F23  F41 G Φ Φ2 Φ′ 1 B # .  "  * ,  (    1 I 4 1′ 4′ G     F41 7 = 712 + 734 . D. 116 =  ! (!    (3.136),   *    

 1–2  3–4: A12 = − I (G1 + G ') , A34 = I (G2 + G ') ,

" Φ1, Φ′, Φ2 —  " #  ,  #       ! ,  $         $. ;     #  ,   ,     

 1–2,       $.  "  *      A = − IG1 − IG′ + IG2 + IG ' = I (G2 − G1 ) = I ΔG . + # !     # $,      * #  $   ! dA = IdG . (3.137) D *          "        256

  #  I       "  "   dΦ , % "     . =# $ (3.137)  

     

!   #. /  $  ! !   ,       $,   G

   "   % B . =    ,   *   

             "   ,  $ "    .

257

   A B "  "! 48. F   # 

    I1 = 50 A  I 2 = 100 A  

  $#   . D   $ 

    d = 20 . + !  "  % B ,     r1 = 25  

"   r2 = 40   " 

 . C$.  #   "  "     " 

       * 

$  , % #  # $   

 . G G =  B1  B2   !#  $  ,  #  %  

     r1  r2 . ' G G   B1  B2 #    *  .  "  %  % %  "  "       G G G  = B1 + B2 , G G " B1 —  "   %  ,  B2 G      I1 ; B2 —  "   %,

$#: I1 = 50 A I 2 = 100 A d = 0, 2  r1 = 0, 25  r2 = 0, 4  B=?

G B

β G B1

A

r1 α C

r2 B

d I1

I2

B = B12 + B22 + 2 ⋅ B1 B2 cos β , G G " β — "  $    B1  B2 . /

D.     48



 ,

        I 2 . G    % 

    # G μμ0 ⋅ I1 ½ , 1 = 2 ⋅ π ⋅ r1 °° ¾ G μμ ⋅ I 2 = 0 2 .° 2 ⋅ π ⋅ r2 °¿ G G !   B       :



= cos (180° − α ) = − cos α .

" 

β = 180° − α .

F  

cos β =

)  " α       , (  " ! B: r 2 + r22 − d 2 cos α = 1 = 0,9125 , 2 ⋅ r1 ⋅ r2 258

 ! 2

B=

2

§ I1 ·§ I 2 · μμ0 § I1 · § I 2 · ¨ ¸ + ¨ ¸ − 2 ¨ ¸¨ ¸ cos α = 2π © r1 ¹ © r2 ¹ © r1 ¹© r2 ¹ 2

2

§ I1 · § 2 ⋅ I1 · μμ0 § I1 · § 2 I1 · = ¨ ¸ +¨ ¸ − 2¨ ¸¨ ¸ cos α = 2π © r1 ¹ © r2 ¹ © r1 ¹ © r2 ¹ 2

=

2

§ 1 ·§ 2 · μμ0 I1 § 1 · § 2 · ¨ ¸ + ¨ ¸ − 4 ¨ ¸ ¨ ¸ cos α ; B = 21, 2 . 2π r r © 1¹ © 2¹ © r1 ¹ © r2 ¹

,: B = 21, 2 .

"! 49. ) (   l = 20   $ N = 100   . F

*   (   I = 5  . B    (   d = 20  . +   "  % B , $     (     a = 10    % . C$.  "    (3.113) %  "  "     "

"  μ0 R 2 I , B= 3 2( R 2 + x 2 ) 2 " R —   "

"  ; x —    ,      %,           . F !         $   !: μ R2 dI dB = 0 ⋅ , 2 2 (R + x2 ) 32

$#: l = 0, 2  N = 100 I =5 d = 0, 2  a = 0,1  B=?

IN dx —  # "

 ,    # l dx    (. B   $ %     (     *    " ! dB  x x = a  x = a + l :

" dI =

( a +l )

B=

³ a

μ0 R 2 IN 2

dx

l (R + x ) 2

2

3

= 2

;  : x = R tg z, dx =

μ0 INR 2 2l

(a+l )

³ a

dx ( R + x2 ) 2

3

.

(1)

2

R dz, " cos 2 z 259

R3 . cos3 z D(   "  (1)        (2),   a +l a +l R arctg arctg dz 2 R R 2 INR μ0 INR 2 μ 1 cos z = 0 B= cos zdz = ³ a R3 2l 2l R 2 ³ a arctg arctg R R cos3 z μ IN § § a +l · a· = 0 ¨ sin ¨ arctg ¸ − sin ¸ . 2l © © R ¹ R¹ (x2 + R2 )

    sin α =

tg α 1 + tg 2α

3

2

3

= (1 + tg 2 z ) 2 ⋅ R 3 =

,

§ a +l a ¨ μ0 IN ¨ R R − B= 2 2 2l ¨¨ l § a+l · §a· 1 1 + + ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ © R ¹ ©R¹ © x · μ IN § a+l a d ¸. = 0 ¨ − 2 2 2 2 D.     49 2l ¨ R + (a + l ) R + a ¸¹ © K ,     (         , " § · ¨ ¸ μ0 IN ¨ a+l a ¸ ; B = 380 . B= − 2 ¸ 2l ¨ d 2 d ¨¨ + (a + l ) 2 + a 2 ¸¸ 4 © 4 ¹     ⋅  =* = = 2 =  . [ B] =    2  ,: B = 380 .

a

(2)

· ¸ ¸ ¸= ¸ ¸ ¹

"! 50. F         "       " 

α = 30°         $   

    

R = 1,5  . /%  "  "   B = 0,1 . '     "   Ek .

260

C$. '  ,  $  "    ,    E % (3.129): F = qvB sin α , m = 1, 67 ⋅10−27 " " v —    !, q —     . =  # α = 30° E % 

      , R = 1,5 ⋅10−2   ! ,       '!  

*B = 0,1        !    an: Ek = ? mv 2 F = man = , R " m —     . mv 2 ,  =  " qvB sin α = R qBR sin α (1) v= ; v = 72 /. m        !   "   !(       ,   "       mv 2 Ek =     (1) 2 m (qBR sin α ) 2 ( qBR sin α ) 2 Ek = ; Ek = 4,3 ⋅10 −18 B$. = 2 2m m2 ,: Ek = 4,3 ⋅10−18 B$ .

$#: q = 1, 6 ⋅10−19 )

"! 51. )  !#  *!    *        *   R = 10 ,  !        $  

. #  I *  

  #   

  $   #. +   "  %   1  2 (.      ),  #   *     r1 = 5   r2 = 15 ,    I = 0,5 . C$. G "       ! "  *

*   %   , . .  " #  #     $  , % #  # $    *,     r1 = 5 ⋅10−3  # . &   , 

   −3  "   

   !   B  r1 = 15 ⋅10   . B   "   %  B1 = ? B2 = ?   %%   B (  (3.122)): G G G G (1) ³ B1 dl = ³ B1 dl cos B1 ^ dl = B1 ³ dl = 2πr1 B1 = μμ0 I .

$#: R = 10−2  I = 0,5 

(

)

261

2

=        "   !  ! $  !,       1.     G B1       !   

 , G G cos( B ^ dl ) = 1 . / # $ (1)    "  %     r1   *:

I

1

I

D.     51

B1 =

μμ0 I ; B1 . 2π r1

  "   B2 ,  !        "  $  !,      2: 2πr2 G G (2) ³ B2 dl cos B2 ^ dl = B2 ³ dl = 2πr2 B2 = μμ0 (I − I ) = 0.

(

)

0

+  B2 = 0 .         "   #    #   

  $   #  , "*       (2)   . ,: B1 = 20 , B2 = 0 . "! 52. F     

     I1 = 10 . =        

     $          I = 5        a = 3      x0 = 5  *$ (   #    

 . +   * ,            "  "  . C$. = "  "  " 

    *    "    , %   "      x ( 

    ): μμ0 I1 B= . (1) 2π x   *  ,             "    . B   * #      dx

 !    (3.137): dA = Id Φ , (2) " d Φ = Badx .    # $ (1)      * #  ( μμ0 II1 dA = adx . (3) 2π x

$#: I1 = 10  I =5  a = 0, 03  x0 = 0, 05  A=?

262

D *   "  "  : x0 + a μμ0 dx = A= II1a ³ 2π x x0 =

μμ0 x +a ; A = 14 B$. II1a ln 0 2π x0

+ + + +

G F3 O

G B

+ + + +

I

G F1

G B

G F2

a

+  ,         G F4 O x0         $  

"   :   ( 

I1 G G    

"  OO # F1  F2 D.     52            G G     "  π . F  "     F1  F2     

  $        " !  

   . ,: A = 14 B$.

263

 16

/    ;  § 99. *$$3 -#-$3 )#$#,  #-#,. #- , -*$$#- &#

 "    A  –; !   #    $   

* #   . B  ,  *       $     r (. 117). B $ G  *     *      ! pm Li = mvr, e m  #            r     . G v I B $  *         "

  ev , I = ev = G 2π r Li " e —      ; v —    ; v — D. 117    !    . '         $     

  $#, . .      % !#. G " #   "

"  evπ r 2 e v r = , pmi = IS = 2π r 2          . ;! S —   ! * #. G G G  # pmi  Li #     * #    #     ,      % ,  #   #. +  (  "  "       "        #     9: pmi e =− . (3.138) Li 2m =   * ! "  "  "    "   G G  pm  L     # # 

      "    : z G z G G G pm = ¦ pmi , L = ¦ Li , i =1

i =1

" z —   #         

G 1. 1

264

B  /   G (1834–1907) —  .

F     " #    * !#         *"   " #        

     . D      :       "     ,        !# 

*$#          " #  ,     "   . .   #  ,    * !#          * # ( #)     " #   #. &  —  "  P  



,        . B  ,           G G B  "      % B . '   # G

* #,  #    *  «  pm  » ( ) (. 118),       , #   G G G G M = [ pm , B ] ,  α M M = pm B sin α , (3.139) " pm — * !#  " #   G G O   ; α — "  $    pm  B . α = !      "   − e G G

 # pm  L  (  %. ' G   #           G dL G G L (        pm  L )

" G G dβ pm′   $   (   B ),      

#       !  ( 

D. 118  O  "   

 2α. ; *   G #  $   dt * !#     L  G   dL ,  !   "  "    (1.74)   G dL = Mdt . (3.140) G G G = # dL  M #    ,     B G  L . /   (3.139)  (3.140) #   !   dL = pm Bdt sin α . (3.141)  "    #,     . 118, dL = Ld β sin α . (3.142) dβ = ωL  #    $   dt  . '  ωL  # $ (3.141)  (3.142):

+  (

265

pm B eB = . (3.143) L 2m   E   1 "  :                     $ ωL . = !  %   #       !   $G ,  

  *    "  "    pm′ ,   G  "  "     E%   ,  

  $   B .

ωL =

§ 100. -*$,$ ,@,

=  

    ,      "

(  "        "  . G G F ! B0 — %  "  "   , B ′ — %    ! "  "  "  ,    " 

. F %  % !   "      "  *   % G G G B = B0 + B ′ . (3.144)      "  :   " ,    "     " .  !   "    "       !  " #    %# *P  "  : G G ¦ pm j= , ΔV G " pm —  " #    #; ΔV — *P  "  . G =      j  #       $   . D      (. . 108)   , " #    " -*    . F     I  * 

G   

   "      % B,   #G  $ (3.144), " B0 —  "   %,       I, G B ′ — %, *      . D ( B0    (3.123): μ NI , B0 = μ0 nI = 0 l " N —    * ; l —     .  "  "  1

266

B$  E   (1857–1942) — " .

 *    %  # ,   

" *  " #  . &   *    " #    G pm . D!   ,   #  #  ,          "  I ′, "    G    % "     " % B ′ . G G =  B ′     

  $ B0   I′ G  "            B0     "  . C    !      (. 119),   "  #  (     #   )      D. 119 #    " "      . '   # (!  #   * 

    ,  # *   I′. G  "   " # $  B0  $   ! G μ N ′I ′ B′ = 0 , (3.145) l "

N′ —         #   % l

#; I′ —    "  . =# $ N ′I ′S N ′I ′S N ′I ′ = = = j ( Sl ) V l    *    "  !  "  j, " S —   !   "   , V = Sl — " *P. G G   *  , B′ = μ0 j    (3.144)  (   G G G B = B0 + μ0 j . F   %%    "   % (3.122): G G G G G ' ³ Bdl = ³ B0 + μ 0 j dl = μ 0 I + I , l

(

l

( )

)

" I —             I ′ —    " ,  #      " . G G /   " # $  

 ( ³ B0 dl = μ0 I ,  l

G G § B − μ0 j · G ¸¸dl = I . ¨ ³¨ l

©

μ0

¹

(3.146)

267

G G B − μ0 j G +*   H = ,  

(

)

μ0

G G G B = μ0 H + j ,

(

)

(3.147) G " H —  $  !  "  "  . C%   "     $    "  "          (/). B  "  ,     (  !#  " #  ,   "  ! G G j = æH , " æ –  "  



 ! (*      ).  "   # (3.147)  ( 

 ( $ % G G  "  "   B   $  ! H : G G G G G B = μ0 H + æH = μ0 H (1 + æ ) = μμ0 H . (3.148)

(

)

A      μ = 1 + æ  #       $ #  . G C  ! !   H ,  

(3.122)   G G (3.149) ³ Hdl = ¦ I . l

=# $ (3.149)  #         "  :          $            ,     . G G =  H *#  % !     ,   j —  G    ( #  ),    "   % B    "  . § 101. -  &-*$-

8   —   

   " ,  

(  "    ,   "  ,       ,  

  $  . =    ("  "  "    * !#   #  " #   #       "      (#, . .        . F

   " 

(  "     !  %   # * %     !#  " #   G G pm′ ,   %  !#  "   % ("   B    #  

  $   . F    " #



    "  æ ≠ 0  % !#  . 268

 $!    "  ,  # $        "  " , #      "  "  . / ,  ,   #  "  



 ! æ 

!  # % !#  ,  #       (  , %,  ,   !, "   . .). G "  



 !   "         #. '    —   

   " ,  

(  "    ,   "  ,       . =    ("  "  "     %#    "    * #  " #   #, # . '   

"   "  $  #  " #         . F     " 

(  "      " #   # %  "

    ! ωL , $      %  . = ! 

   "  



 ! æ > 0 , . .   "  !    "       . &    ,     " ,    "  ,      ,  "  .  $!     "  , #  "    ,       !  " #  #   .   #(  #       %  " #      "  . B       )1: C æ= , T " C —     ); T —       . / ,  ,  "  



 !  #  !  #,    $ !#  ,  #        (  , ,  ,  ,    . .). § 102. #, $ *$0 ! !,%: -*$#,

D    ,  #  

  #  "   G G % B   $    "  "   H  " %    

  #  "  . B  ,  " %   ,  "    %   ! 

"  "  μ1 !(  "    %    G G

 "  "  μ 2 . +*  : B1 — %  H1 —  $G G   !  "  "   

  " ; B2  H 2 — 

  

   " . =#  " %    "     % 1

F! ) (1859–1906) —  % . 269

   !     #  Δh    !   ΔS (. 120, ) G          B (3.135): B2 n ΔS − B1n ΔS = 0  B1n = B2 n , (3.150) G G " B1n  B2 n —  %   B  (   ! n . G F     B  *      ! % *" 

 "    . /   (3.150)  ,    !#     

G G B1  B2   #, . .   ! "% !#   . G ) ) n ΔS c G b Δh

μ2 μ1

μ2 μ1

G n G B2 n

)

μ2 μ1 BG

1n

G B1

α1

τ

a G H

)

l

d G B

α2 G

B2 G B2τ

μ2 μ1

G B1τ

D. 120

=#  " %    "  * !(   " !#    abcd (. 120,*),      # ab  cd *$  G #     l . F   %%   H (3.149), *"     %%         ab  cd : H 2τ − H1τ = 0  H1τ = H 2τ , (3.151) G G G " H1τ  H 2τ —  %   H1  H 2     τ . F      (3.151)  ,   " %    "   

      . /   (3.151)  ,  "% !#    G G  H1  H 2   #  *   # " %#    "  .   *  ,    " %#    "  Bn  Hτ   #  , Bτ  H n —   ,     # . 270

G G F  ! B = μμ0 H ,    (3.150)  (3.151)  (:

B1n = B2 n ,

B1τ

μ1

=

B2τ

μ2

.

G G F    B  H  " %      "     #  . 120, . /    

 ( tgα1 B1τ B1n = , tgα 2 B2τ B2 n     #   tgα1 μ1 = . tgα 2 μ2 G G F        B  H . )    . 120,", G     $   H  "  "    " %      "   !   ,     # (-    #    " ),     "   % G B !   .     "    %    "  G $   !  " %    "      B  G H $

   .

§ 103. L#-*$-

G  —   "            *P  (  "  ),     " #   #    !#   

  #. J  " 

*       (   

! )   "  !  $    ("   " "  . J  " ,   *  " #  -     "  ,    !  " #  . G "    ,     ,  $    #   

  ! (  . K   "  μ >> 1   $   " !      #. J  "   *    $ ,  * ! ,      " # 

. J  "  *    *# 

  * "           . 8 — 

*  !      (1–10) ,

    #  " #   # !#    

   . '    " #     #    #,      ("    #  " #   "   "    . F    "   "        "   " . '  "     ,

- #,  " %            ,  #  " #  

271

 # *       "   % ("   "G  "   B0 ,

- #, 

   " #   %#       ("  "  "  . )

B B1

1

2

3

)

μ

− B 0

+ B

B0 H D. 121

=    !   "       "       #,  " ! * %   "    (. 121, ,    1–2). ' . 121,  * $     " ,   (        . '  "      

 0–1. C   !( ! B0,      1–3, . .        "  "     (B)   (   "      (B0);      #   #     . F     "       "#,  " B0 = 0.  *#   "  !   " , $  !      " "  . /% B  #     ( %    %). +       *  !   "     !   "    . A !(   %      ((     "  ) *     6 ,  !#  "    #  " . G   %    (   "  )    6 ,  !#       ,  " # %  . . G "    %   ! μ   "       %  $     H (. 121,*). F   H  "    %   !       ,   "  μ max ,   *#  ,   *$ !  %. +     "  !   "   (    " !      " . B  $ "   "        ,      #  (      "          " . &    #     !$. 272

   A B "  "! 53.     $#     l = 0,3    $ N = 300   

 . B      d   " !( " # l. +   "   %   ! μ $    I = 0,4 . C$. G "    %   !   "     %  $   H  "  "  ,      

 ! "       %  "  "   B

H (.      ). / 

 ( (3.148) #   "   %   !: B μ= . (1) μ0 H

$#: l = 0,3  N = 300 I = 0, 4  d << l μ =?

B,  1,50 f 1, 25

 !

1, 00

0, 75

"

0,50

0, 25

500

1000

1500

2000

2500

H , /

D.     53. ;   ! % B

  "    $    "  "   H

273

' $  !  "  "   *   "    ( d << l )  "     (3.123)  (3.148)   # $ N H = nI = I , (2) l N —    ,    % #    . " n = l F     (2) #       

#,   H = 400 /. F "      B H  $ (.  ) ,   $   H = 400 / 

    "   % B = 1, 06  . F    #   B  H   (1), #  "   %   !: B 1, 06  μ= = = 2110 . μ0 H 4π ⋅10−7  ⋅ 400    ,: μ = 2110 . "! 54.     $#        R = 15,92  

(#    l2 = 2 . F *    ,  $  N = 1000   ,   I, !  "  "   %        B2 = 1,0 . +    I.

$#: R = 0,1592  l2 = 2 ⋅ 10 −3  N = 1000 B2 = 1, 0  I =?

+ +

+

++

-

+

--

R 0

B1 H1 l2 B2 H 2 D.     54 274

C$. B    "  "      !   %%    "   % (3.122): G G (1) ³ Bdl = μμ 0 ¦ I .

=      "    #* $  !   R. F  !

(#    l2  ! ,  $  !,    "   % *    !

    $,    (  , . .  *        (     

(    )      #  " #  : B1 = B2 = 1,0 . +   " #  %    $ 

  #,      $    "  "   $ H1     H 2  -

#. K # ,  B = μμ0 H ,   %%   H (     "  (3.149))  (   H1l1 + H 2 l2 = NI , (2) " l1 = 2π R − l2 ; l1 = 15,9 . B

 μ = 1  H 2 =

2

μ0

=

1, 0  ; H 2 = 8 ⋅105 . −7 4π ⋅10 

;  H1    

   "  $ ,  ! .     53: H1 = 200

 . 

/   (2)    : I =

H1l1 + H 2 l2 ; I = 1, 63 . N

,: I = 1, 63  .

275

 17   /B   1B § 104. "#$3 L!  $0 +# &     ,         "    .    $   "       !   ? F   "    * # J  1 S

   

    $ ! . D      " # #

N J  ,  

   !   N    "   %. ) %#    

 ,      (,   !  " !    G G (. 122). = !  (

   # I S  " . F  $  "   " !      !. &   , 

    (

*$  ! &B 

D. 122     ,   # J   . C  " #

 !   (,   " !      !  

  $   . F     "  

    ! 

   $.  $   $  * !,   " $ !   $ ,  (  " !. F  $  "   (    " #  ,  #    

 . _ 

    "     

       "  "   ,  #  "      ,  #      . J   #       "   %: dJ ×i = − . (3.152) dt 8&   ,  $#     # ,          ,  $# . _     "   %  *      $ 

      "        $  

    "  "  . E%      ,  

  !    %  "  . ;   E% "  :       1

276

G  J   (1791–1867) — " .

 ,          $    ,  9  . F     %  "  

  *  ! !     :   #   "  "       !, " # * !(   %   #      $ 

 ,  !#  # #  #  $      !%   #     %  "  . § 105. B,$ -#$!%0. $!%,$#( &   #  

  &B %  (           "  . & &B  #   #  . F  (3.134)  " #   Φ    ,      ,   %    "   % B. F    A –  –E   (3.107) %  "  "     %  !   I,   "    .  ! ,  " #   Φ = LI. (3.153) ) %   %  !   L  #    $  ( (, 

 ). X    "    —        ,     (  "  "   , % "     ,      . /    !      "   ,  #   "    %    #,

       . F   # $ (3.152) (3.153),   ( L = const ) dI × s = − L. (3.154) dt #    ×S   

      . = /     !   " (). 1  —      !    ( (   ),            1   1 

  &B   % 1 =. =          !  "    . C       I,  "    (3.153)  #  " #   

!    (  ψ )   ψ = LI , (3.155) " L —     !    .  "    #, ψ = N Φ = NBS , (3.156) " N —       ; Φ —  " #  ,  #   $#  ; S —   !   "     .

277

 "    (3.123)  "   %  "    B = μμ0 nI , (3.157) N —     % " #; μ —  "    l %   !  ,    " "      . /   (3.155)–(3.157)   L = μμ 0 NnS = μμ 0 n 2V , (3.158) " V = Sl — *P    .   *  ,     !      " # l,     S,    N   "    %     μ .     %

     %,  $      R      ! L . F    E% % #   

      ,   "

    *# . ;     I %      &B,    ×,    #    #    × I = I o e−t / τ + , (3.159) R (1 − e−t τ )

" n =

" I 0 —     !#     t = 0 ; τ =

L —  R

  ,  #      . ' . 123    #  #     #  %    #  I (  1  I = 0 ,    "   ×  # (3.159))  *#    R  #  % (  2  × = 0, 1 2

t D. 123



  "    # (3.159)). _ 

  &B %          "    ,    $ 

* " ,  #      . &    ! ,  ,     .

§ 106. $* -*$$#*# &# ' . 124  * $    %!,  $   *  A,      E,  (      L   ). C    !  )   $ 1,   (      I . F

   !   $ 2   *   278

(. +*     #    %,    (    . &         #  ,      #  %      (. 123,   2),

  &B   %: L dI ) 2 × = −L . dt 1 E '   *    "     : dI A dA = ×Idt = − L Idt = − LIdI . dt D. 124 F  !  !(   I  ,  * 0 LI 2 A = − ³ LIdI = . 2 I D *   "       (     "  "  "    (.  ! , "  "  "   LI 2 W= . (3.160) 2 =#  "  "  "   W  #,      . D        "     *   "    . F     (3.160)     !    (3.158)       (3.157),   1 μμ0 n 2VB 2 1 B 2V W= = . 2 μ 2 μ02 n 2 2 μμ0 +*P     ! " W B2 ω= = . V 2μμ0  ! , "  "  "   W = ωV , " V — *P,   #  . F  ! B = μμ0 H ,  *P      "  $   !  # $: μμ0 H 2 BH B2 = = . (3.161) ω= 2 μμ0 2 2 C  "         ,   " $

# !  " : 1 W = ³ BHdV , 2 " dV —  # *P  "  "  ,     "    $  !   #. 279

   A B "  G v

ω O

x

dx

D.     55

"! 55.  $!   l = 1           "          "

    ! ω = 30 c–1. +!    $   !  " #  #         "  %. +  &B %,

(   %   $,  %  "  "   B = 2 ⋅ 10–2 .

C$.  $!  $    " #  #   *  " *        dx (. .)

   ω = 30 -1   &B: B = 2 ⋅10−2  dΦ BdS d× = − =− = − B v dx. ×=? dt dt     v = ωx, d× = –Bωxdx. (1) / " # $ (1)    $,   l 1 x2 l = − Bωl 2 , × = −0,3=. × = − ³ Bωxdx = − Bω 2 2 0 0

$#: l =1

;       &B %. +  : × = –0,3 =. "! 56. =     "   !   "       "   % B    !    $# ! ,   #    !  #       R     &B ×, 

*   ! *  (    

 7&   l     m (.      ). '         $ 

 .

$#: B R × l m v=?

280

C$. C 

    $,  "    $  mg    (1) FA1 = I1lB, × " I1 = . R F   

   FA1   

. =  $#   : G G 1) mg < FA1 ; G G 2) mg > FA1 ; G G 3) mg = FA1 .

         ,    

 *    !

  . G G   1. C mg < FA1 , 

     " !

   . =       AMDC 

  &B %.  "     J   (3.152) dΦ BdS × =− (2) =− = −B v l, dt dt " S —   !    . =   

  % #  × × B vl R (3) I2 = = , M D R R   # &  A,  *#  FA2, BG ⊕ x

   I2,  "    EI1 G % *#    .    FA1      $ 



    ×,  

     I2  FA2. F A C G mg   (  $  $ # G  !  : FA2 G G G FA1 + FA 2 + mg = 0 ,   %  ! x: D.     56 FA1 − FA 2 − mg = 0 . (4) G ! # FA2        : FA 2 = I 2 Bl . C     (3) l 2 B2 v FA 2 = . (5) R   *  ,  ! # $ (1), (2), (3)  (5),   (4)   ×lB l 2 B 2 v − − mg = 0,  R R ×lB − mgR v= . (6). l 2 B2 G G   2. C mg > FA1 , 

 A& *     -

" ! . F   E%  %  "  Ii *    ,  *#   FA2 ( .       1)  

  $ 

 , . .    "    '!      ("   $  (   281

G G G FA1 + FA 2 + mg = 0 ,   %  ! x: mg − FA2 − FA1 = 0 .

+  ×lB l 2 B 2 v − =0  R R mgR − ×lB v= . l 2 B2 ×lB − mgR +*P # $ (6)  (7),   v = ± . l 2 B2 ×lB − mgR . ,: v = ± l 2 B2 mg −

(7)

"! 57.      l = 50     !   "  S = 2 2      ! L = 0,2 . F     I *PB$      ! "  "  "        ω = 1 3 ?  C$. +*P     ! "  "  "    "    (3.161)   2 S = 2 ⋅10−4  2 ω= . (1) 2 μμ −7 0 L = 2 ⋅10  /%  "  "   B  "  B$        (3.157): ω = 10−3 3  μμ0 IN . (2) B= I =? l    N  $     # $       μμ N 2 S , . .  "    (3.158): L = 0 l

$#: l = 0,5 

N=

Ll

μμ0 S

.

(3)

F     (3) (2),   B=I

μμ0 L

. lS K  (1)    # $ (4)   2lSω I 2L ; I = 1 A. ω= ,  I = L 2lS ,: I = 1 . 282

(4)

 18       

B   // B +* *  !#  #        " #  , G           "  "  . =     G   $    $: 1)    "       $         ( # ,    J   1831 ".); 2)          $  

  "     ( # ,    G   ). § 107. :,# )# &#. ,# %,$$ , C   $# 

       !    "    ,  "     J    

  &B % dΦ × =− . (3.162) dt F   " #   d Φ = BdS cos α = Bn dS , (3.163) G " Bn = B cos α —  %   B    !    ; B — %  "  "  ,  # "       ! dS; G α — "  $   !         B . =#     (3.163)  " #  : Φ = ³ Bn dS S

    "      J   (3.162): · ∂B d§ × = − ¨ ³ Bn dS ¸ = − ³ §¨ ·¸ dS . (3.164) ¸ ∂t ¹n dt ¨ © S ©S ¹ =   (3.164)       "          

G    ,     "   % B    ! ,   

     .  "    #,     ! § 80, &B   %%    $         : × = v³ EBl dl , (3.165) l

" EBl —  %    $     "  ,   $ " #  " #  ,     dl. G     $,       "  "  "   &B % 

  *         " ,      

      . 283

=    *              $    !     $#    .  "  %  %  #    $     "   G G G E = E B + Eq , G " Eq —  $  !   "     $ "   . G h%    $   E          (3.166) v³ El dl = v³ EBl dl + v³ Eql dl = v³ EBl dl . l

/ " 

v³ E

ql

l

l

l

dl = 0 ,        $ "   "  -

l

  % ! .  "    (3.165)  (3.166) × = v³ El dl.

(3.167)

l

K  (3.167)   #  ,  %%    $     "   "             .         , . .         ,   # *#   !     !   $    . F   # $ (3.167) (3.164),   

   G    " !   : § ∂B · (3.168) v³l El dl = −³S ¨© ∂t ¸¹n dS . / ,  

   "  "  "   *       

  

     . /                   #   

  ,   $   . § 108. # -@$. ## %,$$ ,

−σ

∂D ∂t

+σ

I D. 125

284

D     %!  "  ,  $     (. 125). +              

  ,    !   " i dq d § q · dσ = ¨ ¸= , (3.169) j= = S dt ⋅ S dt © S ¹ dt " i —   

; S —   !; q —     #; σ —         !   "          .

G     $,          

G    j , "  

, $        G        j , . . G G j = j . (3.170)      $  !   "      E=

σ , εε 0

 !   "  D = εε0E, D = σ,   "    (3.169)  (3.170)  $   ! ∂σ ∂D . (3.171) j = = ∂t ∂t K  (3.171)   #  ,                   " . F #  % I,  #   

     ,  $   !  G G G § G ∂D · I = ³ ( j ) dS + ³ ( j ) dS = ³ ¨ j + (3.172) ¸ dS . n n ∂t ¹ n S S S© F      "  (3.151)  ( G § G ∂D · = + H dl j v³l l ³S ¨© ∂t ¸¹ dS , n

(3.173)

" H —  $  !  "  "  . K  (3.173)    #   G    " !   .  "  (3.173)          $   "    . /                        #. § 109. #$ - %,$$ , K  (3.168)          "   % G B *        G   : § ∂B · v³l El dl = −³S ¨© ∂t ¸¹n dS ,

v³ B dS = 0 . n

(3.174)

S

F

      # $       "   %,      #       " #   . 285

K  (3.173)           " G  D *       G   : G § G ∂D · v³l H l dl = ³S ¨© j + ∂t ¸¹ dS , n

v³ D dS = ³ ρ dV , n

S

(3.175)

V

dq — *P     !        . dV F

        ! $  #      $ #   " #  ,       #  ,    G   #    ! ρ         D . F      #   G       

 (,     

 #. B   #,   " #  "          # $G G G G G G ,      ! $    D  E , B  H , j  E : G G G G G G D = εε 0 E , B = μμo H , j = γ E , " ε, μ  γ —   #,       

 #: ε —     %   !, μ —  "    %   !, γ — !  

  !.    !        ,   #    "   ,  " !#   G    $   ! % !   : G G G ∂B rot E = − , div B = 0 ; ∂t G G G ∂D G rot H = j + , div D = ρ ; (3.176) ∂t G G § ∂E ∂E y · G § ∂Ex ∂Ez · G § ∂E y ∂Ex · " rot E = i ¨ z − − +k¨ − ¸+ j¨ ¸, ∂z ¹ ∂x ¹¸ ∂y ¹ © ∂z © ∂y © ∂x G ∂B ∂By ∂Bz + div B = x + . ∂x ∂y ∂z /   G    ,      " #            .   G      : *      " #

      $     ;    " #

#                !   . K  G   # $   #   #    "  . + $   !#,     # '!   .

" ρ =

286

 19   /  HB   § 110. ,#F#!$3 )#-*$$3 #F$ , #$%     —   

    ,    $, "   $     "   "  "  . F  (   ( * !#   ),     "    ! 

* #    " # R L C  * ,            ! C   (      L ,     " *   (. 126). D. 126 D    !#  * !#   ,   #     R   " * *" !. F !    *# 

*     q0 ,  " *        $ U 0 . F   q0 = CU 0 , (3.177) " q0  U 0 —  # (  !#)       $. F   "  # W   "   "      : CU 02 q02 = . (3.178) W = W = 2 2C     *       #   (,        $ !, "      — !(  ,   

    . =      %            ,    (   "   ! "   I 0    !   T . F           # , "  # *   "  "  "    ( LI 2 W = W " = 0 . (3.179) 2 )      "         !  %   "

*          ,  %   . + 

      $     % *  $ ! *#  ,          . F    % !(     ,  *  ,   $   t = T 2 "  #  $        287

, . . "  "  "    (      "   "      . ;      !     $ !, !    (   *     .   $   t ,  #   T ,         ,     % *   !. F       $  *      , #   ( *  * " (    #       . =  %   *         * " $       (      . F   " W    *        "  "  "    "      : Li 2 q 2 + , (3.180) W= 2 2C " i  q — " #         . & "      ,          R      . § 111. #F,$$ # #F$ , #$%. L#-% #-#$ ' $  *      *          $    %: q di d 2q = −L = −L 2 . (3.181) C dt dt / # $ (3.181)        

* #    " #  *    : d 2q q =− . (3.182) LC dt 2 K  (3.182)  $   !  d 2q + ω02 q = 0 , (3.183) dt 2 " ω0 = 1 LC —      

* #    " #  * . '    #   !#  $   T ,   # !  %      , . .    

    (      * . F  !    *      %        (1.123) 288

T=

2π

ω0

,

   

* #    " #  * ,  ! # $ ω0 = 1 LC ,        1: T = 2π LC . (3.184) / (   (3.183)  $   ! # $, #     q ,  $ U   I     : q = q0 cos(ω0 t + ϕ0 ) , (3.185) U= i=

" I 0 = q0ω0 , U 0 =

q0 = U 0 cos(ω0 t + ϕ0 ) , C

dq = − q0ω0 sin(ω0 t + ϕ0 ) = − I 0 sin(ω0 t + ϕ0 ) , dt

(3.186) (3.187)

q0 —  #   #    $ C



   . / # $ (3.185)–(3.186)  ,   *      $   #     π 2     *   .      !      ,  "     $  *       # . § 112. "%:2@ )#-*$$3 #F$ D !#  * !#             R,    $    ! ",       ,     

    *     . =       (3.181) 

 q di + iR + L = 0 (3.188) C dt  d 2 q R dq 1 q=0. + + (3.189) dt 2 L dt LC C

  *   1 R = ω02 , = 2β , LC L

1

B$  B$     (1856–1940) — " . 289

  % !          " #  * : d 2q dq + 2β + ω02 q = 0 , (3.190) 2 dt dt " β —  %   . D(   (3.190)       q = q0 e − β t cos(ωt + ϕ ) . (3.191) K  (3.191)  

  ,  " ω02 > β 2 . / (  ,     *  ω = ω02 − β 2 ,    *  At = q0 e − β t !(       % !    . ;    *       !    2π 2π 2π T= = = , (3.192) 2 2 ω 1 R2 ω0 − β − LC 4 L2  "       A q e− β t δ = ln t = ln 0− β (t +T ) = β T (3.193) A( t +T ) q0 e

  $    Q=

π π ω = = . δ β T 2β

(3.194)

§ 113. 3$%'!$$3 )#-*$$3 #F$   #    *  %,        (    $ L C #,    . D    * !#   ,          ! C ,  (      L ,    "  D. 127    R ,   &B (. 127),     : × = × 0 cos ωt , (3.195) " ω —    &B   . K  #$#    " #  *   ( 

 d 2q dq 1 L 2 +R + q = × 0 cos ωt , (3.196) dt C dt ,

 *   R

S

290

R = 2β , L

1 = ω02 , LC

  × d 2q dq + 2β + ω02 q = 0 cos ωt. (3.197) 2 dt L dt K  (3.197)   "   #$#    *  (1.139).     (   "     " % ! "     q = q cos(ωt + ϕ ) , (3.198) "         ×0 qm = , (3.199) 2 L (ω02 − ω 2 ) + 4 β 2ω 2

tg ϕ =

   !  

−2 βω . ω02 − ω 2

F     (3.199)   ω02  β ,   q =

×0 1 · § ω R + ¨ωL − ¸ C¹ ω © R tgϕ = , 1 ωL − ωC 2

2

=

×0 , ωZ

(3.200)

2

1 · § " Z = R 2 + ¨ ω L − —         * ! "  ωC ¸¹ ©  ,     R —    "    , ω L —    " 1 —    "    .    , ωC '     (3.198)  (3.200)  *    "   × q = 0 cos(ωt + ϕ ) (3.201) ωZ   $     × q U C = = 0 cos(ωt + ϕ ). C ωCZ 291

B%     (3.201),   #    : × × dq π i= = − 0 sin(ωt + ϕ ) = 0 cos(ω t + ϕ + ). (3.202) dt Z Z 2 /       (3.201)  (3.202)  ,  $    i   $ UC

   "  ,  # π 2 . § 114. #$$ , 0& &-$$#*# # =  * !    ,     %!  "  ,

 #$#  * ,    #      #$     &B ω .    *  #     !        , . . R , L , C ,     # #$  &B ω . C    "     % Z   !(  ,    *  #  I 0   ! . F            R     ,  " Lω −

1

ωC

= 0 . + 

 ,  %     *  #   #$  1 &B ω = , . .      %      * #  LC    *    . _   "    # #$#  *  #      *$ %    # ( &B ω  %      * #     *  ω0  #      %  "  . C   (   &B     * !       !  "  (            (. 65),    

       "   $  *  ( &B       .  #  *   $   (            #: ω LI 0 = I 0 (ωC ). F      $   ( U L     U C , "  

  $#   ,  #    # " ", . . U L + U C = 0 . = (  $            ,     * !(   %,  "      : Z = R , I = U R , ϕC = 0 . D  #   U L  U C  "   !  #( !  $   $ U. &           292

 . C            R   ,     "  * !(  .       I 0 ω      R1 < R2 . 128. )    "  ,  !( R , I 0          

. F   !       R2 "     "    ,  %    #$  &B *$          ,

     ω0 ω  , 

    !( # D. 128 

( %. _    "     !                    %. F

        %  $      *     ,  ( 

  . . !    * !( 

  $. § 115. #-*$$3 ,#$3 C $      

* !       ,

   !  !  #      "   "  "  ,     #         " . &    %    *     " 

.     —     $#          . 

    " #

 #      G   . F !       !  ( ρ = 0 ),   

  ( j = 0 )     #  %    ( ε = const, μ = const ). ; (     G   % !  : G G G G ∂D ∂B rot E = − , rot H = , ∂t ∂t G G div D = 0, div B = 0, . G G G G D = εε 0 E , B = μμ0 H . D(   #  ,  $   ! % !       "  

#: G G G G ∂2 E ∂2 H ∇E = εε 0 μμ0 2 , ∇H = εε 0 μμ0 2 , (3.203) ∂t ∂t ∂2 ∂2 ∂2 " ∇ = 2 + 2 + 2 —   E   . ∂x ∂y ∂z 293

/      (. § 33),     1 ∂2 s ∇s = 2 2 v ∂t  #     . /     (3.203) 

 #   (1.151)  ,  1 εε 0 μμ0 = 2 , v " v —       !

#. F      !         "  

#  (ε = 1, μ = 1): 1 1 1  v= = = = 3 ⋅108 = ,  J  εμ ε 0 μ0 ε 0 μ0 8.85 ⋅10 −12 ⋅ 4π ⋅10 −7   " c —    !   .    !         "  

#               . + # !  #        "  

#, G     $  # :  —      . / ,       !    "  

# v = c εμ .  ! ,    " #    " 

!     " #

,          ! v. *  #    !     c n = = εμ . (3.204) v J  (3.204)  #    

   "   

 . D(      (3.203),  $   !         "  

#: E = E0 cos(ωt − kx), (3.205) H = H 0 cos(ωt − kx), G G 2π " E0  H0 —  #   E  H ; k = —



  ;

λ

x —   

     . G G G" #   E  H   # 

 ( E εε 0 = H μμ0 .

(3.206)

F         " #

  $                 "   "  "  ,  #  $   !   * 294

G G    E  H . &      #  $

   ,          

#, . . G        v         (. 129). &    ,     " #

#     G G   . = # E  H *"

  *   

  :    *    !      "    ! "  . 8    λ  !    $   *$ (  ,  (   * 

  #   ,       v λ = vT = , v " T —    * , v —    . G   $    "  

# v  #      !          #  * ,  ,    ! G     $     "   E . = #    " 

  *  #     . %1. = #     ,          $ 1 (. 130),   #  

 !    $ #     #   2. =   *   # 

  $  * 

     " #  *  

$     

 !    " #

#.   "#  $ (   3) *#  ! #  

. & ! %    ,     " #

#,   *   ,  $              " %       . G v

x 2

y

1

3

1

3

G E G H z D. 129

1

D. 130

 D ! % (1857–1894) — % . 295

F   $    " #

    " #  

 *      %,    $    #

    —    %.    !   "   %    

,   

   !    !    " #

. +    !          . D        " #

        "    "  "  ,   

   !    !. § 116. $* )#-*$$3: ,#$ &"    "  

#       

          "    . +*P     ! "    " #

   εε [ 2 μμ % 2 ω = ω  + ω = 0 + 0 , 2 2 " ω , ω — *P     ! "   "   "  "   

   . F  ! ω = ω ,

ω = 2ω = εε 0 [ 2 .

(3.207)

 "  # $ (3.206) [ εε 0 = H μμ0    (3.207)   1 EH , v

 EH = ω v . ;! v —       !     

#. +*      ω v = S ,   S = EH , (3.208) " S —  !         ". G G      # E  H   #,   (3.208)  $   !    "   : G GG S = ª¬ EH º¼ . (3.209)

ω = εε 0 μμ0 [% =

F   # $ (3.209)  #     K – G G F  " 1,   S —    K –F  " . =  S   G           ! v     

#   ! "   ",   

      , G    v , % . C%        "          ( = / 2 ). 1

296

B$   F  " (1852–1914) — " .

§ 117. A )#-*$$3: ,#$ =     #

# λ (   # v )    " #

#      !  :  

#,    ,  "     γ — . &   " #

#,  

#  !     10−3   ,          .     !

      !,     %   . X6       

#  0,1   800  $     $  

   #   . +!     ( #   

#  800   400      ,

  *  !   "   

" . < 6    

#  400  1 . C *     #

     , $       1  0,001 . &   "   ,    #   

  !       #   %,  #  γ - . +  

#

λ ≤ 10−13  .

297

   A B "  "! 58. ) * !#               ! C = 405 J ,  (      ! L = 10       R = 2 +. =  !   !(   $  *       ,          * ?

$#: C = 405 ⋅10−9 J

C$. ) %    β =

R . 2L

L = 10−2  R = 2 + t = 2T I =?

F    #  ,   2 + β = = 100. 2 ⋅10 −2  F      *       T0 = 2π LC ; T0 = 0, 004 c.             *    ,       *  * !         * .  "        *  !(  k  : U (t ) = e β 2T ; k = 2, 2   . k= + U (t T ) ,: k = 2, 2. "! 59. ) * !#             ! & = 7 J   (      ! L = 0, 23       R = 40 + . '    "     .

$#: & = 7 ⋅10−6 J L = 0, 23  R = 40 + δ =?

C$. E "      δ = βT . (1) ) %    R β = . (2) 2L F   *  2π , (3) T=

ω

"

ω = ω02 − β 2 ,

298

(4)

ω0 =

1 LC

.

(5)

F     (5)  (2) (4):

ω=

1 R2 − 2 . L& 4 L

(6) 2π

F   # $ (2)–(6) (1),  : δ =

4L CR 2 − 1

,: δ = 0, 7 .

.

"! 60. =           ε = 2 , μ = 1             "  

 . '         !

#        $    "  "  

#,     $     "  

# E0 = 24 =  .

$#: ε =2 μ =1 E0 = 24 =  v = ? H0 = ?

C$. J      !     

# c v= . (1)

εμ

 ! $ " #   E  H

*"

      

 ( (3.206): ε 0 ε E = μ0 μ H . (2)

/ !   (2),   #   E0  H 0  (:

ε 0ε E0 = μ0 μ H 0 ,  H 0 =

ε 0ε μ0 μ

E0 .

(3)

=#     (1)  (3),   3 ⋅108 v= / = 2,12 ⋅108 / ; 2 ⋅1 H0 =

8,85 ⋅10 −12 ⋅ 2

⋅ 24 / = 90 ⋅10 −3 / .

4π ⋅10 ⋅1 ,: v = 2,12 ⋅108 / , H 0 = 90 / . −7

"! 61.     ( "  "  "    * ! "     " "   "      t = T 8 . 299

C$. &"  "  "    "         LI 2 W = , (1) 2 &U 2 W = . (2) 2 ' $          U = U 0 cos ωt , (3)   dq dU . (4) I= =C dt dt F     (3)   (4)   %: I = −CU 0ω sin ωt . (5) F     (3)  (5) 

    # " (1)  (2),   LC 2U 02ω 2 sin 2 ωt CU 02 cos 2 ωt ; W = . W = 2 2 T 2 2 T2 1 C t = , sin ωt =  cos ωt = , LC = = 2, 2 8 4π 2 2 ω W sin 2 ω t = =1. W cos 2 ωt

$#: T t= 8 W =? W

,:

300

W sin 2 ωt = =1. W cos 2 ωt

 4  

 20    /     E   § 118. "#$3 *#-# #& E, #

 #    ,  !  #         ,  #     . F   $           #    . =   "        $ % J 1:           ,        . ;     "        :              . &  

   ,     



#             (,  ),   #      .    !       !     !       -* 

     #  "     . F  #  #,    !    = (299792456, 2 ± 1,1)  , ≈ 3 ⋅108  . =  #   #                  !. +  (             c 

 v  #    $     : c n= . (4.1) v ;  #  $:            $#    ,             ;    i ′      i : i′ = i . (4.2) ;  #  :    $# ,    ,           ,       ; 9                    :

1

F! J (1601–1665) —  %     . 301

n sin i = n12 = 2 , n1 sin r

(4.3)

" n12 —            ; n1  n2 — *  #       

    # 

   . C *  !  III (. 131),    "  I II  !  " %     "  r ,  #  

  *      !   "  i , . .   *       ! i i′ n1  I. =       



     . n2 C          #  * !( r       n1 (   *  III   )   !(      D. 131  n2 (       n1 > n2 ),     

,  #         "    r * !(,  "    i (. 132).    "        "       ,       "   ( i = γ ) "      $   # 90° . K"  γ  #    . F "  i > γ !      !

 $  . &    #     . F!# "    "  $      n sin γ = 2 = n21 . (4.4) n1

n2 r

B

A



&

γ

i n1

S D. 132

302

π /2

C

§ 119. $3. L#-%3 #$# $3 >    *    #  , " #       (       ,   —      ),     # . F   

  #     $#    $#. E  #    ,    (   $

"      )   ! !(      , "   . F ,      % #  #     #,  #         $. ;    #  #    , $    "     

  *     



,      

!  *  . =   ,        %  #   "   "      ,  #      $. C      !      ! "      ,      $     ,    $   "       #. &   #     6  . D   "  "      " %  #  #   6    #. F   !,        #,     "      ,  #   6    $. ;    #

 D  #    , *        : 1 D= . (4.5) F +        . ;     

      #,               : 1   = 1/  . +    * M  #   L A  ,    — B   . +   S1 S F F O′  D  #   ,  - O′ O d f  #  ,   "*F        * : N D. 133 D = D1 + D2 . = ,   *             #,

## #       ,

" #  * . D    * $     S,    $   "        *  # (. 133). B  "  !  SO,       ! "           $        $ #,   

!# 303

 SA,  #        !  *       +=           !    ! MN

 =  "    !  S1.   S1     * $     S. =  *  : d —        S    " %  + #; f —     * $ S1    " %  +; F —       #. SS1 AS1 = , ' . 133 " ! SAS1  OBS1   *#,    OS1 BS1 

d + f AS1 . /   * " ! OAS1  FBS1  = BS1 f

AS1 OS1 AS1 f = = . =     %  #     #, ,  f − F BS1 FS1 BS1 d+ f f . = f f −F +  

  

fF + Fd = fd .

D      fdF ,       #: 1 1 1 1 1 = + ,  D = + . (4.6) F d f d f F  !   # (4.6)  *  $ ! "     . D    #   !   $ !# (d > 0),        #,  % !# (d < 0),      $  #. J       *  # —   $ !  (F > 0),    — % !  (F < 0). C      !       (4.6)       $ !      * $ # (f > 0),  * $   !      $   

  $    # #. C $     $  % !#,  * $       $   $    #,    . J    #  $   !   #  # R1  R2     , *  : ·§ 1 1 § n 1 · = ¨ − 1¸ ¨ + ¸ , (4.7) F © nc ¹ © R1 R2 ¹ " n —    !   #; n —    !   #,         . D=

304

§ 120. ##$ #F'$ , $: )

1′

3′

1 2 O′

O′

F

F

1

2′

3

1′ 1′ 1 )

1′

3

1

O′

F

O′

F

3

2 2 D. 134

B      * $               !    -*   #                 . / * $        

  !  * $ !# " . F      * $     !   ,    #      . 134 ( —  *  ;  —   ): 1 — ,    ! "      ,      *       " #      *  #,               ,  "   $      " #   #; 2 — ,  #      " #    *  #,              ! "      ;   2         ,  305

"   $     " #     #,                  ! "      ; )

M A

O′

O″ S1

S O

F

F

O′

O″ N )

M O″ O′

S1

S

O

F

O′

A O″ N D. 135

3 — ,      %  #,     $ 

!    

"   . G $     !  * $        * ,          !  * #   . F

   *      ! +′′+′′ * "    (. 135).      

  ,   !#  *    +′′+′′ . F #   "   $      7  *       +′′+′′    !     ! # MN. =    

   "      ,     *  .         (    $)  !  * $ S1. 306

D   #        * $       *  #. F *      AB, "  * $ A1B1. d =∞

)

F

F O′

O′

O

d > 2F

)

A

2F

O′

F

F

B

B1

O′

O A1 d = 2F

)

A

O′

2F B

F

F O

2F O′ B1

A1 D. 136

1 —  *    # (. 136, ). +         ,   !# "       #. F          #. 307

2 —     $  

#    ( d > 2 F ). F    * $ (. 136,) –   ! , *    !( . )

)

A

A

F

B1

F

B

F

F

O

B

O

A1 D. 137

3 —     $     

        ( d = 2 F ). / * $ (. . 136,) —   ! , *  ,

  ! . )

)

A1

A

A A1

F B1

O

F

F

B

B

O

F

B1

D. 138

4 —      $ 

#        #. / * $ —   ! , *  ,    (. 137, ). 5 —     "     !      #. E  # #    !# (. 137,) " ". / * $  * . 308

6 —  $      . / * $ —  ,      ,       $   # #,    (.138, ). F     * $        . 138,. D     "    , !(      * $  ,    $  $     " #      $   #,    . +  ( #    * $  h1   #     h  #   #   #: h f \= 1= . h d  *          * $ ! " ,  "    #   * $ * !(    #   . D       ! !(   * $  . K        $ !#,  " h  h1           "       # ( * $  ,  ),  % !#,  " h  h1       #   # "       # ( * $   ,   ! ).

309

   A B "  "! 62.           S      !        d = 3  ,          . '      $   S    * $ S′. C$. = "        ,  # *  $  *   # "# i. F  $        S′,        * $     S. D     ,  # #    S      "    SD  SB. E SD          ! ,  SB,  $#   (!, #       !  SO. F    OA   !  SD. /    "  SS′CO SS ′ = OC = d − h . (1) +   h = AC #   # d  n. ;  ,   *#

 O        , i "  * $   ! *#  C. D 7  / " ! OAB  CAB  h tg r & r = . (2) d tg i i d =      " i  r  ( tg r sin r S′ ≈ . (3) tg i sin i r =  !      0  (4.3): i sin r 1 = , (4) sin i n S       !  

D.     62    # 1.  "    (2)–(4)   h 1 d =  h= . (5) n d n F   # $ (5) (1),     : ( n − 1) d . SS ′ = n ,: SS ′ = 10 −2  .

$#: d = 3 ⋅10−2  n = 1,5 SS ′ = ?

310

"! 63.    " !       !   n = 1, 6    "  ϕ = 45° . )   $ *# !  * !( "      *   " ! #,  *#  #  "  #  *  !     $? C$. F    $    " ,  "  *   !  " ! AC (.      )   " ,  #    * !( ! " "   "  $. F!# "    "  $         (4.3): sin i0 1 7 = ,  sin (π / 2 ) n

$#: n = 1, 6 ϕ = 45° i=?

ϕ

i0 = 38°40′ . / ΔMNO ,   "  i0 ,   "  r : r + i0 = ϕ = 45°, r = 6°20′ . sin i = n , sin i =     sin r = n sin r  "  i = arcsin ( n sin r ) , i = 10° . ,: i = 10° .

i

M

i0

r

ϕ

N

π 2

O &

 D.     63

"! 64. J      #

 F1 = 0,5  . '         # F2 ,  "$ 

,     !     ,    "    , n = 1, 6 .

$#: F1 = 0,5  n = 1, 6 n = 1,33 F2 = ?

C$. / !     # (4.7)    n = 1 ,   # $    "    #

: R1 R2 F1 = . (1) ( n − 1)( R2 + R1 )

F  n = n ,   # $    "    #,  "$ 

: R1 R2 F2 = . (2) § n · ¨ − 1¸ ( R2 + R1 ) © n

¹ 311

D    (2)  (1),   ( n − 1) F2 ,  = F1 § n · ¨ − 1¸ © n

¹ F2 =

,: F2 = 1,5  .

312

( n − 1)

§n · ¨ − 1¸ n ©

¹

F1 , F2 = 1,5  .

 21

 L 1B   § 121. ,$$ ,#,# ,#$3. #, $G$0#$$#*# --%-  -$-%-   —     "  

 ,     $    

10   1 . /   G            

# *#  #   G G E = E0 cos(ωt − kx), (4.8) G G H = H 0 cos(ωt − kx), G G " E —    $     "  ; H —    G G $    "  "  ; E0 , H 0 —   !# (  #)  G G 2π 2π    E  H ; ω = — %   ; k = —



 λ "  ; (ωt − kx) —  

#; T —    * ; λ — 

#. G =  E  #    ,     "      (  ",  ,     ") ##    *    "   . X6 —        $  " #

, !    "      *           * ". F  %   *    $  *    #  #   #   !% . /  !  " !

#,    #   #,   #

          #  %  G G       E  H .  

#  #   . =  ,       ,      !         #  "   " ,  #       . F !     S1  S2 (. 139) M    " #

#: t x E1 = E01 cos 2𠨧 − 1 ¸· = E01 cos ϕ1 , x2 = l2 n2 λ¹ T © x1 = l1n1 t x E2 = E02 cos 2𠧨 − 2 ·¸ = E02 cos ϕ2 . ©T λ ¹ S2 =  G      $  

   *      %. S1 F %  %,   D. 139   !   * : 313

E02 = E012 + E022 + 2 E01 E02 cos Δϕ =

(4.9) l n −l n · § = E012 + E022 + 2 E01 E02 cos ¨ 2π ⋅ 1 1 2 2 ¸ , λ © ¹ " Δϕ = ϕ2 − ϕ1 —    !    " #

; l1  l2 —        S1  S2   =; n1  n2 —       ,  #      

#; nl —      .   ! "   E0   ! ,  cos Δϕ = 1 , . .  "    !   Δϕ = ±2π

l1n1 − l2 n2

λ

= ±2kπ ,

(4.10)

" k = 0, 1, 2, 3, ... —     %  "   . / # $ (4.10) 

δ = ± ( l1n1 − l2 n2 ) = ± k λ = ±2k

λ 2

,

" δ —       !  

. [                       ,     =  $       (      6).   ! "   E0  ! ,  cos Δϕ = −1 , . .  "    !     (4.9) Δϕ = ±2π

l1n1 − l2 n2

λ

= ± (2k + 1)π ,



δ = ± ( l1n1 − l2 n2 ) = ± (2k + 1)

λ

, 2 " k = 0, 1, 2, 3, ... —     %  "  . [                  ,     =  $        (    6). /    !   I ~ E02 ,    (4.9)   I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos Δϕ .

B  ,        

   #: I1 = I 2 . C cos Δϕ = 1 , I = I1 + I1 + 2 I12 = 4 I1 ,

. .  % #        !  

  

 #   . C cos Δϕ = −1 , I = 0 ,       " (     . 314

§ 122.  $G$0#$$# $3 # !,%: #*$$3: #$#, /       "   S1  S2      

         n = 1     d " " (. 140)      l   &. F !    l >> d . =#     

!  G,   $      

  x . '    

 #,  +,     S1  S2 ,  G       S1     l1 , S2 —     l2 . '   ,      G  *              I . / " ! AS1M  BS2M  (: 2 d· § l12 = l 2 + ¨ x − ¸ , 2¹ © 2

d· § l22 = l 2 + ¨ x + ¸ . 2¹ © x

M l1 S1

l2 l

d

S2

A x d 2

O d 2 B &

Δx

I

O

&

D. 140

=#  

     " ,   2 2 d· § d· § l22 − l12 = ¨ x + ¸ − ¨ x − ¸ = 2 xd  2¹ © 2¹ © (l2 − l1 )(l1 + l2 ) = 2 xd .

315

F d << l  l1 + l2 ≈ 2l , " (l2 − l1 )2l = 2 xd ,        !  

 d δ = l2 − l1 = x . l C   G δ = ± k λ ,     *           . '  

  xk ,  

    : d λl ± k λ = k , xk = ± k , d l " k = 0, 1, 2, 3, ... @  %     # l Δx = xk − x( k +1) = λ . (4.11) d '   *       #  #  % #   , (  # Δx      !(    d . =  + "  *         , . .    !  

    ( S1O = S2 O ). F  * *       # %  #,    +, "    "   *     . § 123. #!3 $F2!$ $G$0 , / %    *   !    $  " #

.   , #,  ,       ,         ,      "   

,  #  "        . =     10−8      *     !# %"

#  $  !   3 . h"  "  ,   # ! "  " , *    

. F   $   # 

 ( $  *   "      # *  ,       #     " #. D  *   !      " #   #

 *##     . =     !    $ %:   

,      ,       ,   *  (

#   #  "  " . D    #     . 1. ] _ . _   ,    ! S (. 141),    % *    

,         S1  S2. &    $    !   #     . 316

= !   %   S1  S2 *      " #

#,  #,   & S1 # !,        % #   #. / !   (4.11),     S d  d , l       



# λ ,  $   ! (  %     #. S2 2.   G    *   l         ,    $D. 141 #   " , *  180° "  " (. 142). /  S     #

#,  #  $     +  +=         &, *  *  !   $

 GN. ) $ )       "     . = #,  $#  ,       ,   *     #     S1  S2 .

D. 142

K"  $  $#     +G  +N   2α . +*     OS1 = OS2 = r ,      $ #    S1  S2 d = 2OS1 sin α = 2r sin α ≈ 2rα ,

   "  α !  . F  ! a = r cos α ≈ r , l = a + b = r + b . F   d  l   (4.11),  $   ! (  %     #: (r + b) λ Δ = . 2rα 317

3. ` G          #   "  ϕ (. 143),  $#  . F   *# #      S *      " #

#,    #   S1  S2 . & 

#       &  $  * !  % #   #, (  #

     ( + b) λ Δ = , 2 ( n − 1) ϕ " n —    !     *#; λ —   



#. &

α

S1 d

M

ϕ

S S2

N

α a

b D. 143

§ 124. $G$0 , #$: &$: F    



#   "  i     d (. 144)      $   $     . = !  *    

# 1  2,  #,    L ,    G. +      !    δ   ,  "    !    n2 * !(       # n1 , . . n2 > n1 . +     1  2     D   G   #,  #          ! ADn1 ,   

( AB + BC ) n2 .   *  ,    !    λ· λ· § § δ = ( AB + BC ) n2 − ¨ ADn1 − ¸ = 2ABn2 − ¨ ADn1 − ¸ . 2 2 ©

318

¹

©

¹

(4.12)

=    $       *     #,     

#    π , . .  $#    

# (    ! ADn1 !(    λ / 2 ). d AB = , cos r AD = AC sin i = 2d tg r sin i . (4.13) F       (: sin i n2 ,  = sin r n1 n1 sin i = n2 sin r .

M

L 1 i′

i

n1 n2

D i N C

A r

r

2

d

B D. 144

(4.14)

F   # $ (4.13)  (4.14) (4.12),   2dn2 λ λ 1 − sin 2 r ) + = 2dn2 cos r + . δ= ( cos r 2 2

(4.15)

    cos r = 1 − sin 2 r ,   (4.14)   n2 sin r = 12 sin 2 r , n2 " cos r = 1 −

n12 sin 2 i . n22

(4.16)

F   # $ (4.16) (4.15),   !  

δ = 2d n22 − n12 sin 2 i +

λ

. (4.17) 2 C              ( ,  #)     #         %: δ = ± k λ ,  $      *  ! $ %  ( . .  #). C $ #      δ = ±(2k + 1)

λ

, 2  *  . F   *#      (  

%  , 

   

# λ ,     #       .

319

§ 125. $G$0#$$3 &##3 ,$#*# $#$  ,$# #@$3 / %      ,      # (4.17),     λ , d , n  i . F       !             (. 145)  $  * !      

&  %. B  "    E F

 $ 

#    1

 !  * !  E    &. 2 E 1  2,             $ "  i,

  (!   $ i i       ,     *     F #. C       ! D. 145      δ = ± k λ ,     *    # & A′     , *       "    %. A E ) $     *    #  ,     

   $ "  i,    M #   . &    #  #        1 N  . F  !  2     !#,   &    "    !      #,           * $ * d d′ α )   #  . D    $   D. 146 ! "  

"  ,   "        "   ( α . +  $#   $         1  2 (. 146)  *   !#.            !      ,      $  )  # E          #  #  % #   #,   !# *  . ) $     *   !   $       

   d ,      #       #. 320

            !# " ",       *      , . .    #      MN. § 126. #(0 (2#$ / % #   #    #  $  * !,       !      $ !   #   !       (. 147, ). )

* #  

 ( "  #) $        "   !   , 

"     #      *     #  #  !% ( !% '!  , . 147,*). ' *  %  $ 

 !  

 $ ,        . F  * *      !%  *   $  ) . F !       ! + #

   !             

# λ . F   !   # n1 * !(      

R  n2 .  "    (4.17)

δ = 2d n22 − n12 sin 2 i +

λ

. 2   #               ,  sin i = 0 ,

δ = 2dn2 +

λ

.

n1 n2

B

r

n1

(4.18)

2 / " ! +=    R2 = (R − d )2 + r2 = R2 − 2Rd + d 2 + r2 . F  ! 

( " r2 .  d << R , d 2 ≈ 0  d = 2R F     d   (4.18),   r 2 n2 λ + . δ= 2 R C δ = k λ (        ), *        !% :

A

d C

)

D. 147

321

r 2 n2 λ + = kλ , 2 R

    !% rk = (2k − 1)

R λ , n2 2

(4.19)

" k = 1, 2,3,... . F k = 0     #       *        , * #   #  



#  π   $    . F   (4.19)  $  !  #   #  %   *  $       # #  %   *

     . C δ = (2k + 1)

λ 2

,  *      !% : r 2 n2 λ λ + = (2k + 1) ,  2 2 R rk = kR

λ n2

, k = 0,1, 2,3,...

(4.20)

J  (4.20)  

  !  # #  %  $       #   #  %      .    !      *  % '!   $    

#      "   ,    # 

    %,     # R #. § 127. -$$ $G$0 , F* #,  #  !     %   ,  #   6 . ' . 148        G !  1. F*        M1  M2          !    P1. E       "   S         P1, "       ,    #,

  (!  * "     ,       M1 . F   $   M1   !       P1 ( . 148 *   1′ ). E 2     M 2 ,   (! " ,

         P1 ,   (!   ,    ! 1

322

!* *   G !  (1852–1931) —   .

 1′ ( . 148 *   2′ ). F #        P1  $#.  *#   !

(    !   $   1  2,     2       P2 ,    P1 ! ,    * "  # . E 1′  2′  " #. /       !   δ = 2n1 (l1 − l2 ) , " n1 —    !   #; l1  l2 —         M1  M 2 

   . ) "    l1  l2  #,  *      %. F    M1   λ / 4       !    *   λ / 2 ,  *     %.   *  ,    G2 %     #  $  !   !#    . /    G !   !    " ( ~ 10−7  )  #  . D # #        M1 P2 2 (!      , % $  

     #. A 1′ F      "

*1   :      " 2′      ,  " ,    *#      P1 % ,    # "   S       *  

   !#    . . D. 148 _   % $  !     . /    !  

"   ,   "  $    ,      *  ,    ,   ! !(  . )  " ,     *,  #

! $ !#   !   #   * 

(  , *   . .). &   #             :               #    λ / 4 ( λ — 

#   "   ). F     $# ,     !   λ / 2 ,   . F   #      , !  "  $   *  (      !  * $.

323

   A B "  "! 65. ' #!         n2 = 1,33      "  i = 30°          

# λ = 0,6 . +  $#    !   %   * !(   !. )   !( 

 $   ? C$. F    



#   (.      )      $

  $     . = ! 

*    

# 1  2,  #,    E,    P. +      !    1  2:

$#: n1 = 1 n2 = 1,33 i = 30° λ = 6 ⋅10−7  hmin = ?

λ δ = ( AB + BC ) n2 − (ADn1 − ) = 2

= 2ABn2 − ADn1 +

E 1 D n1 n2

i

2

i

A

C r

λ

.

(1)

2 =  A  $   P    *     #,     

#    π ,      « »  

#. =#   *   # $ (1) (. § 124,  # (4.12)–(4.17)),  

λ δ = 2h n22 − n12 sin 2 i + .

(2) 2 ; (       %:

h

B

2h n22 − n12 sin 2 i +

λ

= ±2 k

λ

. (3) 2 2 B  hmin  * -

D.     65

   (3)  ! k = 1 , . . 2hmin n22 − n12 sin 2 i = hmin =

λ 2

, 

λ 4 n − n12 sin 2 i 2 2

.

F   #     (4):

324

(4)

hmin =

6 ⋅10−7  4 1,33 − sin 30 2

2

0

= 1, 2 ⋅10−7 .

−7

,: hmin = 1, 2 ⋅10  . "! 66. '  #    ! " "              

# λ = 0, 66  . + !   "   ,   1  # *   10  % #   .

$#: λ = 6, 6 ⋅10−7  n = 1,5 N = 10 l = 10−2  α =?

C$. F  !#     # ,

 $#   $ "   , *   %     *       . E 1  2     "   $  !   !#. '       !    1  2:

δ = 2d k n cos r +

λ

, (1) 2 " dk —     , "  *    %      , 

        #; r — "    ; λ — 

#. 1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

dk + N dk

α k

k +1

k+2

(k + N )

.........

l D.     66

F  $  "    

#    π ,      (1)    !    !   ,       #

#. ; (    %  "  :

δ = 2d k n cos r +

λ

λ

= (2k + 1) . 2 2

(2) 325

K # ,  "       , cos r = 1 (  # "  α),   (2)   2d k = k λ ,  kλ . (3) 2n F !          ( k + N ) 

     dk =

d k + N (.      ). '    l        #   N #   . )     : ( d − dk ) tg α = k + N . (4) l =      " α  $  !,  tg α ≈ α 

( dk + N − dk ) ( k + N ) λ − k λ

Nλ . 2nl 2nl l F     (5) #  ,   5 ⋅ 0, 66 ⋅10−9  α= = 2 ⋅10 −4   . 1,5 ⋅10 −2      1  = 2, 06′′ ⋅105 , α = 41, 2′′ . ,: α = 41, 2′′ .

α=

326

=

=

(5)

 22

L  1B   § 128. $0& /2*$–L$ 86    #    , *  

 # 

      *    "        

# $#       (  , , " %#   #   . .). B % 

  "* 

             *  ! "    , . .       "     . B %    " ,               # $       !. B" 

 , *  #   !.    !     $    !  % " ,  "   # "      . C   



# λ         ,  %  *  . =        *       %:  %

  !#   ( % J "  1)   %   !#   ( % J2). F  \$  3  $   #,         

#,    %   #

, "*    #     $ 

"  

#. F% "  

 #     #  $   

,    

 $     # !      !. J!    % "   "      % #

. &   \$  –G $            . = 



 *        $    !   !  %

,  #   . § 129. #! #$ L$ B   $  #  



#  D (. . 149)  % " –J   

#   S  *     !% #  # ( # J). F ! PM = r0 —     D   

#. D  

 D

1

/  J "  (1787–1826) — % . +"  f  J! (1788–1827) —  % . 3 ^   " (1629–1695) —   #. 2

327

 

  # r1 = r0 +     # r2 = r1 +

λ 2

  !  # r3 = r2 +

λ 2

 . . rk = r0 + k

λ 2

,

= r0 + 2

λ

= r0 + 3

λ 2

2

λ 2

, ,

,

(4.21)

" k —    #. D     

     J,    D,

    λ / 2 , . .  #  *   

  $#. F   $   *  *  * ! " " .   A !    #  *   D   A = A1 − A2 + A3 − A4 + ... ± Ak , (4.22) " A1 , A2 , …, Ak —  #  * ,

*$# 1, 2, …, k -     D.    * ,

*$     ,       #,

   r  #   D  " α (. 149) $ (   !    

#             #   D. F  $,         . / " ! SAC  PAC  (: AC 2 = R 2 − ( R − CM) 2 = rk2 − ( r0 + CM) 2 , " R —    

#; CM = hk — #  " " . A

α

rk

R S

r0 + 3λ / 2 r0 + 2λ / 2 r0 + λ / 2 r0

1- 

2- 

3- 

k- 

D. 149

328

P

M C

 " R 2 − ( R − hk ) 2 = rk2 − (r0 + hk ) 2 .

F   # $ (4.21) rk = r0 + k

(4.23)

λ

(4.23),   2 (r 2 − r02 ) . hk = k 2( R + r0 ) F  !  " " S k = 2π Rhk .

(4.24)

(4.25)

  λ << r0 ,    (4.21), (4.24), (4.25)  Sk =

π Rr0 k λ R + r0

, . . k 2 λ 2 ≈ 0 .

F  !  # S = S k − S k −1 =

π Rr0 λ R + r0

.

F ,    !  # S       # k ,   ,         #.  "  #  * ,  

 D,   ! rk  α .        # rk  α

   ,  ! ,   A1 > A2 > A3 > ... > Ak . '    !   *   D,  !

# $ (4.22): A A A A A A A = 1 + ( 1 − A2 + 3 ) + ( 3 − A4 + 5 ) + ... ± k , 2 2 2 2 2 2

 A A (4.26) A= 1 ± k , 2 2 . .  " #,    * ,  # . C    k   ,   (4.26) *    ,     — . K 

*  



        JA  k → ∞  Ak → 0 , " A = 1 .   !   2 *        # %  !   # J.       !  # J !   ,        ,  

    , . .  .   *  ,    !  %  $ *P !    !        .    !,  !     $    $    "  "  $  .

329

D !#   $     J        G. '             %   !% ,    $#  %       J. F !    !% #  !  #  # J (1, 3, 5  . .).  " !     A = A1 + A3 + A5 + ...   *D. 150  D * * !(,      ! #    

#. D

        !    *   . ;          *  *  .   "  $ "  !   , " # # !  #  # J. ' . 150           ,     # #  #  #. C * !(    6        ,    

#

#  



              #   . F                ,        !    #   .    !        $  !   



#. C  ! $       "     . § 130. G0 $ #!$#$#- #,  )$

A R

ρk

S

 

  "     S    

    "#    ρk (. 151). D!      *   D *   !    k ,  ((   . / " ! D  (: ρk2 = rk2 − (r0 + hk ) 2 =

& rk

M r0

C

P

hk

D. 151

= rk2 − r02 − 2r0 hk − hk2 .

    hk << r0 , hk2 ≈ 0 

ρk2 = rk2 − r02 − 2r0 hk .

(4.27)

=               (4.21):

λ

λ

λ2

rk2 = (r0 + k ) 2 = r02 + 2r0 k + k 2 . 2 2 4 330

(4.28)

F  ! k 2 λ 2 4 ≈ 0 ,  (4.28)   rk2 − r02 = r0 k λ . (4.29) /   (4.24)  (4.29)  #   " " : r kλ . (4.30) hk = 0 2( R + r0 ) F   # $ (4.29)  (4.30) (4.27),     ,  #          "#: ρ 2 ( R + r0 ) . (4.31) k= k r0 Rλ C     $   #,  "    (4.26)

 D  *        .     * !(     ! * ,  "   " #  !      J. C   #       ,  D  *       .     !     !  D *   ,  "     "# #  (!    #  # J. = "  D    *      #  #  !% . /    !   #  % *#     %  . F     "# *#     !%   $

 . a)

r

r +λ/2

&

)

r + 2λ / 2 S

P

D. 152

D    ,  " $      S      &    $ "#   # ,  #    !



"   (. 152, ). F !  #  k  #   J.   ! "  *   D   7 7 · 7 §7 7 = 7k +1 − 7k +2 + 7k +3 − ... = k +1 + ¨ k +1 − 7k +2 + k +3 ¸ + ... = k +1 , 2 © 2 2 ¹ 2 331

   # $,  #  *,    .   *  ,  D

 «

 #» (          $    " ! !) "  *         (. . 152,*). C"  #   '  . = "  D    "     %  $      

    . F  * *       $     $  . § 131. G0 $ #!$#$# @ '   ! (  b (. 153)     B A                 

 . ϕ AB —     

#. C ; !    $  *L     L. E,        ! ,  ϕ *   ,     &  *      %. AC —  #   & P F

#  ,  #  "  ϕ ("   %). D. 153 E,    ! "       #,  *     # F  *      ,          #       F    

  . E,  # !  "  ϕ ,     #            !   δ = BC = b sin ϕ . &      P. F     J   *!

     ! AB   #. B  "    BC   

,  # λ / 2 ,       #,   !# AC. +    J k ,  #   : BC b sin ϕ k= = . λ 2 λ 2 C 



     =  #        ,

 D  *        : b sin ϕ = ±2 k , λ 2 b

" k = 1, 2,3,... —     % #  . 332

+       : b sin ϕ = ± k λ . C b sin ϕ = ± ( 2k + 1) , λ 2  P  *         , . . b sin ϕ = ±(2k + 1)

λ 2

(4.32)

,

     .   *  ,             %  (  F)

*   

       , " 

 

   #  # 

" ,  " ,  !"  . .   . F  * *      # *  !   % #   , * #  

      % ,   

" ,  #    *#. § 132. G0#$$ C 86   9 a b d    *  

  ! * !( "    #  (    !# " " , δ = d sin ϕ ϕ  #   #  $   (. 154). = d=a+b L  #    (  ) 6  9. ;! ϕ b — ( , a — (    "  $  .     %   & P F (   $  !  ( D. 154  N0 = 5000 ( * )  1 ,   d = 10–3 /5000 = 0,2 . F !   %  (    !      !#        "   . B  *  %     #  (       L,   !            "     &. '       # .             #    " " ,                  "    ϕ   #     %   ( : δ = (a + b)sin ϕ = d sin ϕ . 333

F$ #      *  * !   , #   (4.32): b sin ϕ = ± k λ , " k = 1, 2, 3, ... &       %   ( . +   !         " ,  d sin ϕ = ±2k

λ 2

= ±k λ ,

(4.33)

" k = 0, 1, 2, 3, ... &       . C  %   (   N , $   " #       "   (N – 1)    !#  ,  #  *#       #   . K   : mλ d sin ϕ = ± , N " m = 1, 2,3,..., ( N − 1) , ( N + 1) ,..., ( 2 N − 1) , ( 2 N + 1)  . . F  * *      # 

" ,  "  . .   ,   

" ,    % #   , * #  

  !  % . B %   (       !# *          9 $#   $      .  "  $ +     !#    

 λ1  λ2  (   ( . .  *     !# ),  " #     #

#      *$ (    . /  "      9 $#     R  %   ( : R=

λ1 = kN . λ1 − λ2

B   R    !  (  N, *     %  "   k. <     D   (    : dϕ . D= dλ B%   " #   (4.33)  ϕ,  "

    k D= . d cos ϕ  #(      k,  * !( "  .

334

§ 133. G0 $ &#$,$$# C B  *  %  "   E 1  !   #,  # #   #    "      , *      $ 9. F      (    10–10 ,      

# λ ≈ ≈ (10–10 – 10–12)  "  " . B %  "  

    $

     !#    ,  #    "   #    ( . +  $# #

#  " #    $  * . F !          !#  "           "   !$ θ (. 155). = #

#,  $ !

  1  2    ( , θ A  *       !   : 1 1 δ = BD + DC = 2d sin θ . θ θ B C C  $#

#     d

 

  ,    $  2 2  *    #      D 2d sin θ = k λ , (4.34) D. 155 " k = 1, 2, 3, ... K  (4.34)  #   6 6 2–`3,     !    "        :    #   θ , k  λ       ($        d ). § 134. L &$0&3 *##*G \ 6 —      

     #

. '

*#   "   #      #

,  "  "  —  #   #. '    ("  —         "  " # 

     * $  ,  $      &. E   z. K  .

1 2 3

G    E  (1879–1960) — % .  " =   =! (1863–1925) —     " . K!  A"" (1862–1942) — " . K! E  A"" (1890–1971) — " , # K. . A"" . 335

     S (. 156),    $      a  -   J,      

. ' S        $      

 ,  * $   . 156   !a + kλ #  . C

#  " #,  a    *      % #   . B     ,  rk J   #  %  ,   # 

 (   

   #,     % #   #      D. 156 *  !   %  $   (. 157, ). = %     !  

   ,   

!  " k-"  !% — k λ ,      k -"  !%   rk2 = (a + k λ )2 − a 2 = 2ak λ + k 2 λ 2 , " k — %   . B    * !( k    " # $  $       $    !%  Δrk ,   Δrk << rk : 1 ( k + )λ 2 2 . Δrk = aλ + rk

D. 157

(4.35)   *  , "  "   S    *     %   %    , #   (4.35).       #    9 G (. 157, ). D           %     #   !  (. 157,*). D  

    * $. K*     S,  "  "       , "     !,     "  "          



 ,     !  !

   . ) $#  #       (  J  $    !    %  (     !#       . F  %   *     :   

"   (  $   " );   

"   ,        " ,  

   336

sin ϕ = ±

λ Δrk

.

D      ,     "  "      rk   (. 158). E 

"       "# ±ϕk . &   (    $)  ! "  " #     ± x

    . / . 158  ,  x = rk ctgϕ k = rk

1 − sin 2 ϕ k . sin ϕ k

S

rk

x

ϕk

Ik

S′ D. 158

K # ,  sin ϕ k =

λ Δrk

≈

rk ,   a + kλ

x = a 2 + 2ak λ + k 2 λ 2 − r 2 k .

F      # $   Δrk2   # (4.35),     : x = a .   *  ,   ,       

"   

"     ! "  " #,  

 ,  " #      "  " #. / ,    $   

#  "  "   *     

# (. . 159),    #  ##, "  —

" #   . h  # 

#    

 S,    $      "  " #, . .   , "    !   "  "  . = " 

   

 S′ ,     $         "  " #. )  337



# 

"   , *       !   * $ ,  "  " # #     

 , 

    

  .

D. 159

F  !  #     * !( "  , ! #,  #  ,  $      !  *#  #. =     "  "      !     $  # ( ,

*  #  $     . D    %   

    * $  "  .    !  2  4 (. 160)  (          1. +   !  $       "  6 (   ), " ,  $ !

  " ! "   "   5,       

#      7 (   ).

D. 160

; "          $   %               %  $  

*P ,        . C   "  "     !   !#     ,       $ " ,              

    "   (. . 161), * !(    !     *        

"   , 338

  !           

"   . '$  #         %

#,       *P 6    .  ,    $#          "



"   ,    "  "      * $ *P . +   *P      $ , "   

*P . =      * $  .

A1

A2

A3

G   * $

θ

B  !   * $

θ θ

D. 161

=  #   * 

,   *   ,   #    

  $#  . &

 *    !   * $,        !#  * $ *P .   "     " 

  ,     "   " . =  "   $   *P 

     "  . = "  "   $   *P "     "  " . E*     "  " #    % *  *P ,  $       –  #

#, . .    "    "   . F  !

    * $    ! "   %,    !

     #,  $,      !  % #   ,   #  %   (      #  (    *  ! ( ,      "#  . D (     *  !  %   (  R = kN , " k —      (  (   k = 1 ); N —   (  (  (     "#  ).  * !(   "  " #,   , *  $, *    * $ *P . G $   !     D. 162 !(   * $ *P    #   

# 

         !( "  " #. 339

= 1969 ". z. '. B1  $   *P " "  "    #  "   . +     *P  "  " #      . 162. +  

   E,           F,     *P  +           !    G.   

  $    #       

 ,

 $    "   ;. = !     *    

#     $   ,       #

#. F        (  "  α     )    $    d         

 ( d =

λ

. / * $ 2sin α   $ *# !

          " $   "    ,       *#   #     E (. 163). B  ! ,   *  !    %  $#   #     ! " ,  " #      % #   .      $ #  ! !    $ #

#,   *#  #    "  " # , . .  #

#   . + !# ,  #       ,   #      #  , *   D. 163  " (#. F     "  " #     "  (. 163)        * $  +    , "        "  "  . +   * $ *  %  #     "   .  *#   ! %     * $  ,  *    ! "  "   %      ,      #   *#   . =      "  "  *        . 

 (          $ 

 

!  !  

 ( %  . =  $#  "  " #  

* #:  !      % (        $   ! " *P  #  *    %), &=G  "  "     !, "  "      , "  "    #   , "  "           % #     . .

1

340

z '    B (. 1927 ".) —   .

   A B "  "! 67. D     S      "     

# λ = 0,50     &   3 . )        !    P,  $           !   " D  "#     r = 1, 0      r0 = 2, 0    (.      )?

C$.  "      J      "#   ! "  *  A  P     

  # J, . . 7 A= 1 . r = 10−3  2 I /    !   I 0   %  !  =? I0    #, . .  (   72 I0 ~ 1 . (1) 4 F       "#  P *         

       J,  #      



"   , "  "     "#.       

       ,    —    . / !   (4.31),      k ,      ,   "  r = ρk :

$#: λ = 0,5 ⋅10−6  R + r0 = 3  r0 = 2, 0 

r 2 ( R + r0 ) 10−6  2 ⋅ 3  ; k= = 3. Rr0 λ 1  ⋅ 2  ⋅ 0,5 ⋅10 −6    *  ,        "# D          



# (.  )  D P *       . ρk     r << R  r << r0 ,  $ & S P  !,   * ,  

 P  $      J, r0 R *  !   #  #. ) *         

 

   "  " " .   ! "  *  A

D.     67      *    

   # J,   

, . . A = 71 . /    !      k=

341

I ~ 712 . /   (1)  (2)    (     : 72 I = 712 1 = 4 . 4 I0 ,:    "      !      4   .

(2)

"! 68. )    (     1   %   ( ,      ( λ = 0, 7  )    !"    *     "  ϕ = 57°12′ ?       (    ! .

$#: λ = 0, 7 ⋅10−6  k =3 ϕ = 57°12′ N=?

,: N = 400 .

342

C$. ; (     " #   (4.34): d sin ϕ = k λ , (k = 0,1, 2,3,...) , 1 ,   N 1 sin ϕ sin ϕ = k λ , N = . N kλ sin 57°12′ ⋅10 − 3  N= = 400 . 3 ⋅ 0, 7 ⋅10−6 

   d =

 23 B "1B   § 135. ,$$3  &##,$$3 ,  "    G        *   #

# (. 164, ). ' . 164,*,      !  *   

"   , G . .    $     "   E . =    G  . 164,*   E   #   ,  ! G #       c . & *P  ,       "   S    *  

  ! "  "   #   (    ),       " "   #          %  

G G E  H. )

G E 0

)

P Q

G c

G E S

)

G E S

G H D. 164

' #  #  "  * !       !  * G G    E   " -*!   . C  *    E  (           ,      (. 164, , ),      #     ,     . '   —      ! G G %    $     " E   "  " H    



#    ,    

 . G F   ! D,     *   

   E      

,  #     $   . F  G  D    ! Q,     *    H ,  #     $  . G =  $   %, !      

   E 

   

"  ,  %   #       . =        #       . C G  %   E #       $  !,    #      ,    . F  343

%  "      %      #        %   . D    $      #    * ,     %    ω        !  ,   

  #   : E X = EOX cos (ω t + ϕ1 ) , (4.36) EY = EOY cos (ωt + ϕ2 ) . /   #   (4.36) ωt ,    * , # #   EX2 EY2 E E + − 2 X Y cos(ϕ2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ2 − ϕ1 ) . (4.37) 2 2 EOX EOY EOX EOY §π · C    !   Δϕ = ϕ2 − ϕ1 = ¨ + kπ ¸ , " k = 0, ±1, ±2,... , 2 © ¹ cos (ϕ 2 − ϕ1 ) = 0 , sin (ϕ 2 − ϕ1 ) = ±1    (4.37)   EX2 EY2 + = 1. 2 2 EOX EOY

(4.38)

= *  ,  " EOX ≠ EOY , # $ (4.38)        %      

 (. 165). F    G  k   E         

   (    k —  )    

           Z. &           . ) " k    —          . y

G E

G EY

EOY

G 0 EX

EOX

z D. 165

344

x

G       

 E O    "   ,  " EOX = EOY ,  $ G G G E2   !  *  :  %   E E1  $   

 ,    $    $       " % ,  # G    "    . F     E   % ,  !      O      

 . D. 166 F  $  

  

   #   #,  *   

  

 " #   %, *       

 ,    !    G G G E = E1 + E2          !   O–O (. 166).

§ 136. "#$ 2 K   ,  

   !   #   ,  #     . B * $    "    

  .      " $ !  $    ,  #       . F !     1 (. 167)  - F   !       #   , -   %    A0      ! I 0 . I            A0  *      A = A0 cos ϕ , " A ϕ — "  $    !  *  ϕ  

"     

#     !    (   !, 

*       * ).  " 1 I0 A2 = A02 cos 2 ϕ ,  A2 = I1 , A02 = I 0 ,    !  (: D. 167 I = I 0 cos 2 ϕ . F    = $ 1       "   . C   !   #       ! I       ,      #    $#   "   "  ",  

"    #     #    1    c ! I 0 = I  ,   " I = I 0 cos 2 ϕ , . .     ! 2 1

& ! E G  (1775–1812) —  % . 345

   "   ,  (("      ,   1 (4.39) I = I e cos 2 ϕ . 2 /   (4.39)  ,    !      !  1   "     I max = I  ,  " "  ϕ = 0 (  #   2 !#),   !      ! I min = 0 ,  " ϕ = 90° (  # #). J   I −I P = max min (4.40) I max + I min  #   $  . B    "   I max = I min  P = 0 ,       "   I min = 0  P = 1 . § 137. #0 , & #'$  &#-$. L#-%3 L$ F  %       " %     . = *    $#       ,   "   iA ,  

  

tg iA =

n2 , n1

(4.41)

 $#         !   #. K  (4.41)  #     `$  1, "     iA ,      -

iA n1

π 2

n2

D. 168

1

346

$#     !   ,  #    `$  . ) * G    E  $                ( . 168  * $#  ). F #   #        #. ) *  G

  E      (       !       ( . 168  * $#   ).

B  A  (1781–1868) — (   .

C           !      #    ,    $# "  "  ,    $           "  A  ,  #   $   !       !   #   .      ,  *     #    ,  #     . F      "  A   $#   #    #. F !  " %,    G G G E&n

  #   ,       E&0 E⊥0    "  

 . '     Gn   

     $  

i i E ⊥          ,  

 . /    "X      G    " # G  G G r E&      E  H (. § 74, 102)  ,   " %       G E⊥        n1 = ε1 Z n2 = ε 2  $# #  !  D. 169 G G G G 

 (: E1τ = E2τ  H1τ = H 2τ (#   ! "% !# G G       $     " E   "  " H G G G G  ); ε1 E1n = ε 2 E2 n  H1n = H 2 n (#   !   !#    G G

  E  H ), " ε1  ε 2 —    %    

    #. = 

  !     $     "        $      

 $ 

,

  —     

#. B   $ 

 ( $       

 G    # !   E     # G  ,    # ( E& )  *       , "  G ( E⊥ ) —        (. 169): G G G G G G G G G E  = E& + E⊥ , E = E& + E⊥ , E  = E& + E⊥ , " #: , ,  —       ,  $     

  

   . / . 169  ,  Ex = E& cos i , Ex = − E& cos i , E y = E⊥ ,

E y = E⊥ ,

(4.42)

E = − E sin i , E = − E sin i .  z

 &

z

&

347

)   #, #      $ ,  . 169   *  # $ . F  $ !#    & -      #  , ⊥ -     #  *    $. +   ,     # E⊥n , E⊥0  E⊥ , $ E&  E& ,       ,       #,   

  $-

#   ,  "   #  . )   # E&  E&       ,  "     #,   

  $#   ,  "      #. ; ( " #    E y + E y = E y , H x + H x = H x , H y + H y = H y .  "   ( E& − E& ) cos i = E& cos r , E⊥ + E⊥ = E⊥ ,

ε1 ( E⊥ − E⊥ ) cos i = ε 2 E⊥ cos r ,

(4.43)

ε1 ( E& + E& ) = ε 2 E& . D(      (4.43)   ! E& , E⊥ , E&  E⊥ ,    # J: tg(i − r ) ; E& = E& tg(i + r ) E⊥ = − E⊥

E& = E&

sin(i − r ) ; sin(i + r )

C  " ( i + r ) =

2sin r cos i ; sin(i + r ) cos(i − r )

E⊥ = E⊥

2sin r cos i . sin(i + r )

(4.44)

π

,    J  ,  2 G tg ( i + r ) = ∞  E& = 0 . &   ,   $ 

   E  *  !   ,        . +  $ 

  #       , "    i    "  A  . )      J,   E&  E⊥ , E&  E&     . &   ,      

#   .       $ 

#,  n1 < n2  E⊥  *     #  π ;     # E&     #    !  "   , * !( iA . C n1 > n2 ,   #  $ 

     .

348

F  !     !     %  ! E 2 ,    J  $   !       . +  (       $  I     I 

  #   66   ρ .  ,   %  $     "      # I tg 2 (i − r ) I sin 2 (i − r ) ρ ⊥ = ⊥ = 2 , ρ& = & = 2 . (4.45) I & tg (i + r ) I ⊥ sin (i + r ) B !(  %  $     #          ,  # §127. )      "     G    

 *P !     %     $   . F     



#     #     (  #$#  * ,  #   #    " #

#. = #

#,   # ! "  " , *   $

    ,  # !    

 , —  

     . C  *  ! "      $ !     —   !        ,  $        

          

 . F          "  

#     

     ,       * ,

*          . /    !  

#     !  * ,        ,   "  #(      !  *  " "   . F    $#   #        #. F "  ,    " A  ,     !  

# 

  "    !(       $#     !   . § 138. ,#$# %&#-$. #0#$$3 &-3 7  #    , 

  #  #

 #   .   #  # (  ( ,  %  .) *   

#  . C    e   " ( ,   o S     * ,    !     "   ,          ,        #   D. 170  . &           . 349

E  (. 170)      

      

 

    !,    #    !   n          ,      #     . B"   e          ,    ! "    #        !   n             . &   #   . =       ,  !  #          *#  "   *#  "    #, . . 

      *  .       #           . F   !,  $     !   # ,  #          . ) #, *   

#  ,        . K   #   ( , "), 



#, *   *# #. G# *    ! !



#  #. =  ,     *   

   ,     % ε⊥   ! ε    %  

"  G O′ O′  E . ;  ε        ε& ε &    , #     ε ⊥  

#    #. D  ε ⊥  ε & *      (. 171). D. 171

       !   n = ε ,    !  



# G c v =         *    E . n B

     $ *P !,  ! % " . F !      "        "  i  " !



 "   (. . 172). B  ,   #        

#      $ ,   "    . F  # "    i ,  #  ,           .    ! *#  

#            ,  "     

#   "  B,  

 

# *     %    A. )  !  B=             *#  

#. J     *#  

#        !  PB           *#  

#. 350

F # *# #       M,  *# #  N.   M  N $   #  ,  *  ,

         "  1   : *# # (-)   *# # (-). 1

C

O′ i

1

B A M N

B

O′

α P o − 

e − 

D. 172

+*# #   *# #     !   #

  #    . '    *   

"   -   "      ,

G -   *    E $     "  " . /   #   "      . B  "  "  !       # , "     . F   " $ ! # ' ,   –J , =    . F ' 1 ( !)    *     S 22° 68° (. 173), # #      " ( ,   #  e  "          # 48°    * !  . 90° 68° B   " ( n = 1,6584 , n = 1,4864 ,    o  " * !  n = 1,550 ( # D. 173

1

K! ' ! (1768–1851) — (   #. 351

 #  $     λ = 589,3  ). F   "      *       $ -  " %     * !  . +  $#   "       * 

 " ! #  #

     . ' #   #        # -. F   –J 1        " !#  (. 174, ), " #    " (   #

(#  $  . +    " !#    !#. F         *# #   *# # . +*# #         $  #

    #,  *# #      * #. o )

)

B

A

e

D

o

α

e C D. 174

F =    2       , " #    " ( ,    #    (. 174,*). F# #  "   . =  =                 "  . +    =  D   #,    - 

 #     - 

 ,   *  . / # #       ,  #  "  !   #. K"    $  α ≈ (10° − 20° ) . ' #   #  # (  , "    . .)    

#   *    —   *  !  "  !      ! !,  " .    #    "     . )  "   ,  # %  ,  !         , #       (    )   .

1 2

352

f  A  J (1819–1868) —  %  K. =    (1766–1828) — " .

§ 139. %,$$ #& $##& =   #   O  $  * ! 

      P A 1  (

 : S       %        "  . F     1, "    "  ,     $ O #  , D. 175

   #        D, "  B      (. 175). C    

*  P A C   %,    S        . F $  (   $ )      -   ++        !

   . F   D. 176

*  

 

 "   ,    !   "           %. F           *#  "   *#  "   $  !      $      : n − n = kσ , " k —  %   %  !  . C $   #      !       *   =       (. 176),       "      #            ($  !  *  

 

 "       !,      !  ). &        66 ! 1,    $  !       #      ! . D   !       *#  "   *#  "    n − n = kE 2 , " [ —  $  !   "  ; k —     ) .

1

B$  ) (1824–1907) — (   . 353

_ )       *#% #   # 

  (   * #  τ = (10 −13 − 10 −10 )  )   !    -   P  *#      % ,         . . § 140. @$ &## &#0 ' #  # ( %,  !  . .), $ $   ( ,    .) 

#  

# "   (  ,  #  .)   *#   !    !   %   "        "   .     #      . =    "  

       %: ϕ = αl , " α —      ; l —  !    . ' * !( "  

 ϕ  *    ,  "      !       . =  

  "  ϕ   %    %  %  C:

ϕ = α 0Cl , (4.46) " α 0 — !       ; l —  !    

. +    #                 %     -   # $#. +       !  *         .  "  J  -  #                 

  "     

#, G  # %   #

   E O

  $#    (. 177)    G G      ω . F       

# G G G E′ E ′′ E = E ′ + E ′′ ,       # 

 (G G G  E ′ = E ′′ = E 2 . C   !      G G

 ,   E ′       , E ′′ —   

    *      O #   !      *     D. 177

# O–O.      

 v′  v′′          #,       $  

$ 

        !   δ      "   Δϕ : 354

§1 1· − ¸, © v′ v′′ ¹ 2πδ §1 1· Δϕ = = ωl ¨ − ¸ , λ © v′ v′′ ¹ " l —     ; c —    !   , n′  n′′ —         #

. ) "    ! v′ < v′′,  #    O O′ G G E1     "    E ′′ $  G G      E ′  Δϕ > 0  !  G E′ G E ′′

  E  *      O′–O′,    ϕ

 #        

    Δϕ ϕ + Δϕ (. 178).          "  Δϕ 2



     # $#. C 2 v′ > v′′ , Δϕ < 0  

*  # $#. ) "    ! v′ = v′′, 66  O′ O  $  , #       

. D. 178 ' #  ,        #,  *  



  !    !   %      "    . &        66 G  . F   "  

       % ϕ = VHl , " H —  $  !  "  "  ; l —  !    ; V —     = (!   "    ). =        % *    " #  . F   

(  "    

  %   # * ,  

    !    

 . =      *P   

  G G    

 % -  #

 E ′  E ′′ ,          "         % #

 , " "      . K  (4.46) $       %  %  

#  (  ),  # (   !  %, *      #(  .

δ = l (n′ − n′′) = lc ¨

355

   A B "  "! 69. K"     $   r = 35° . + !    !   $  ,   $#     !   . C$. F       $#      !   . &    " ,  "        $  !   "  A  (4.41): n n2 = ? tg iA = 2 . (1) n1 ; (      (4.3): sin iA n2 = . (2) n1 sin r F   #      (1)  (2): sin iA sin iA = ,  sin r = cos iA . cos iA sin r

$#: r = 35° n1 = 1, 0

    ,   " iA + r = 90° , " iA = 90 − r = 55° .

/   (2)    n2 : n2 =

sin iA sin r

,

n2 =

sin 55° = 1, 43 . sin 35°

,: n2 = 1, 43 . "! 70. =  !   !(       !    "   ,  (("      ,  "  $  " #     *#   30°   $     !     10%        "  "   ?

$#: ϕ = 30° k = 0,1

I0 =? I2

C$. C  #    $   !     $    " #

,  #   #

  #         #     , . . I 0 = 0,5 I ⊥ + 0,5 I & ,

" I 0 —     !    "   , I ⊥  I & —            "   ,   # G  *     $     "   E #    !#      . 356

F       * ,   !# " "      ,     !  # I & ,     !  $   * , #      ,     !  # I ⊥ . ' #   

"            #   ,     !   " I1     "    $         I1 = 0,5 I 0 (1 − k ) . (1) F    $  "        !    !(     "    $                   %    "      !   %.       G  I 2 = I1 (1 − k ) cos 2 ϕ . (2) F     (1) (2),   I 2 = 0,5I 0 (1 − k ) cos 2 ϕ . 2

(3)

/ !   (3),   !(        : I0 2 = . I 2 (1 − k ) 2 cos 2 ϕ F   #  ,   I0 = 3,3 . I2 ,:     !   !(  3,3   .

357

 24

 B   § 141. #$$ # !& ;   !       n    # ω  #

# λ  #       . &    !    ,  ,    $ * "      . '       *    $     ,  #     dn  . D     ! ,  " >0,  dω dn   !  < 0. dω F   G        *     " #

#. F      

 ##  #$#  *        . =# #    $      #     * !,  "   #

. B   #    #$#  *   "    .   "   (1.139)  #$#  *      (: F eE d2x eE (4.47) + ω0 2 x = 0 cos ωt = 0 cos ωt = , 2 m m m dt " F0 —      #,      #; e, m —         ; E0, E —     "      $     "  

#; ω — %     *   



; ω0 —  *      *     . K  (4.47)    *      , *    "  "  



#. B   "      # E % $ *"

     . D(   (4.47)       eE x= . (4.48) m (ω02 − ω 2 ) +    # #      . F      "     

#       %. F   !     "     G   (3.204) n = εμ , . .    μ ≈ 1 , n = ε . B    %   !    "   P ε = n2 = 1 + χ = 1 + , (4.49) ε0E 358

" χ —   



 !; P —  !     %. G !  ! "      ,  ( " #$#  *  p = ex, " x — "       . G !     % P = Np = Nex , (4.50) " N —   % *P   . F   # $ (4.49)  (4.50) (4.48),   P Ne 2 1 = 1+ . n2 = 1 + (4.51) 2 ε0 E ε 0 m ω0 − ω 2 C   !    ,   (4.51) ( 

 Ne 2 1 . n2 = 1 + (4.52) ¦ 2 m ε 0 i ω0 i − ω 2 " ω0i —  *   %       . ' (. 179)      %, n 2 b

#     (4.52). C  *        ω0         ω , % a    # ( *     ). '   # ! #   - 1, 0 d     *     , "  % *  ! ,    #  (. 179)  (  c . 0 ω0 ω K   

 ab  cd 

  D. 179

 *       , . .       # ω    !   n    . K   

 bc     *  

    , . .    ω    !   n !(  .   !    *      , 

        "    . F   !   n ≤ 1 , . .   



#   * !( #

#         ! v * !(       . &   

 % !      !  , . .                 !, + —  !     !   "     "     !. /   ,     ,         .  

 "        " ! ,  #  $  359

 !    % (  $) "  

  #   , . .     . = 

            #. C       !      "  

     # ( #

#),  *      . F    

#         

  

    ! 



     

  #. = "    #     "  

  #   



"       .    !     #



"   ,  "      ! ( , 

   ,  #     $. D     ! $ "

 v"   

 v    : v" = v − λ

dv . dλ

(4.53)

dv dv > 0 (  !  ), v " < v ;  < 0 , dλ dλ dv v " > v (   !  ). F     =0  dλ "     !       

. =     !     #  ,  "     !   

   $ *# ! * !(       . +*     !    

  !   #  * #  *                  ! *    . +*     !    !       ! "   .

C

§ 142. #*#@$ , ,@,#K!( "  



#    $  

!  

  #   #  .    # 

  "    

  -  .  ,    *#   ,   *  "  !  # 

. + !# $   $       . F  "      ! "  



#  

  "  , ##  "  " ,  "  "  (6$ ). D    "          d,         

 (. . 180). =#       dx,

   "      . B *     #        

"   ,  ((" 

!  ,   %  !    dx         Ix     : 360

dI x = −α I x dx , (4.54) " α —  %  " ,   

  "  "

 . ;   # $ (4.54)  #   *#         . D  #   (4.54)   " " ,     ` 1. I d dI x −α d (4.55) ³I I x = −α ³0 dx , I = I 0 e . 0

" I 0 —     !        ; I —     !    #     #. /    A"  ,      ! d   ,   " 

!   , !(      . ) %  "  {           "   . B  $ "       !  %- I Ix I 0  α #

#,  #    #.  #  * !(    "      !#       x dx #     !#  ( " ). D. 180  # $    #  *  (    #  " .

1

F! A" (1698–1758) —  % #. 361

 25

B     " B § 143. &#,# %$. "#$ :*#G "  #      "   , *    "   . 

       "      

   *#    #( *   " . C  "      !  !  $    %    *  ,    !  * " $          :  

",      "      % ,  

  #.       "     #        ,      (  .     !     $ #    "   .    #           . ) 

" dW,       % ,  #     : dW . Φ= dt     $  R  #    (            S  "  : Φ R = . S &"       !       #   (= /2). ' "        " #

#    #

#. ) $  

# *     ".   !#            $      rλ, T ( !    *  !): dR rλ ,T =  , dλ " dR — "       !       (  d λ . +# #   #  ,    !     ! "          #

# λ   #  T . ;  rλ ,T ,  $    "      ! ∞ R = ³ rλ ,T d λ . (4.56) 0

362

F "      "        #    $ ( %  " ): Φ′ α λ ,T = λ ,T , (4.57) Φ λ ,T " Φ λ ,T —     "       "    

; Φ ′λ ,T —  ,  " #  . ) %  "     #, #

#   #  . / # $ (4.57)  ,  α   0  1.  ,  %  "    "   

 (   )   %,  #   .  $ , # *  ,    !  .   % #  " , *  %. G !  "   $ $ !  # (   D. 181 * !(          (. 181). E      "   "  $      "   "      ! ,      ! #(("       .  ,    "  %  "  !( %#,  #   . )     ! $  "            !6 :       "   

 (   !      "           !   "  !    *    

        !      "         "  rλ ,T : r1λ ,T

α1λ ,T

=

r2 λ ,T

α 2 λ ,T

= rλ ,T = f ( λ , T ) .

(4.58)

&  (         !  % )"  f(λ, T) #

# λ   # T. /    )"   ,   $    "   

    

,        . § 144. "#$3 %$ $#*#  ;   !   !      "        rλ, T  "  #

# λ        T *#     ! (. . 182). )     ,   

"   ( ,      # ( T3 > T2 > T1 )  !    *  !     .   # #   # 

"   "  . 363

  &6  1–`  :       R         $  : R = σ T 4 , (4.59) " σ = 5, 67 ⋅10−8 rλ ,T

= —        –A !%  . 2)4 / . 182 $  ,       #    rλ ,T   T3 > T2 > T1

λm 3 λm 2 λm1

λ

D. 182

    *     

.   #  2:   λm,  $#       $          rλ, T   ,       $  :

b′ (4.60) , T " b′ = 2,9 ⋅10−3 ) —     = .     :                rλ ,T     

λm =

    $  : rλ ,T = b′′T 5 ,

(4.61)

= —      "    = . 3 ) 5 =       ,     "  "      #  . & !    !   !      "        #

#   #          *P !    !.

" b′′ = 1,30 ⋅10 −5

1 2

364

†     (1835–1893) —   . =!"! = (1864–1928) — % .

§ 145. L#-% $ 1

= 1900 ". G. F  #  " ,  "           "   " #  % —   . &"   c E = hv = h , (4.62)

λ

" h = 6, 625 ⋅10−34 B$ ⋅  —     F  ; v —    * ; λ — 

#; c —    !   .  "  "  F  ",      "    

,  $  ! (!  #  ,  # %   hv . B   !  % )"  F  #    2π hc 2 1 rλ = , ,T 5 λ exp [ hc /(λ kT ) ] − 1  rλ ,T =

2π hv3 1 , 2 exp [ hv /(kT )] − 1 c

(4.63)

   *   "    # #  #    "     " 

     

 (  )   . ;! k —     A !%  . ;  #    –A !%   = , $   #     

σ , b′ , b′′  $ # !     F  (4.62), (4.63),     !#   # h , k  c . ;  # 

"   !           #   # . § 146. L##) )GG 9 666  #     #*                  . =(   *# # 1887 ". . %. J  !#     # # 1888–1890 "". .   #2.   !          . 183.  

  ,         ), ##   "   #,  #     ("   "    " !    . ' $ $        "  !  %    D   !

!    V.  ,      #  , "    " !     , "   " !     G. 1 2

G  F  (1858–1947) — % .   " !    (1839–1896) —  . 365

' . 184      !    $ %.     $ U   I $    ,   "  G   # I. ;    #

       n, ## # V       % : P I = en, " e —      . − + F U = 0 %   # ,    !      !      D. 183     ,     . C  !    !    ,   # *   !       U = U (  $#  )      .  "        "  $   !: mv 2m = eU  , 2 " v m —   !     !    ; m —      . +#    #    # ("   : -   !     !          ,   "   ; -   $ "     !    v,         * !   ;             666 ; -     #   %  !       . =(      *#I % :  

   10−9 c          . I / ! "  G. F     (  )    "  " , . &( 1   *    ("   . J #,      ,   

 0 U U ",          *  #        A #   D. 184  "    : hv = A # + Emax , (4.64) K

A

" hv — "  "  "   ; Emax —   !     "     . 1

366

!* &(  (1879–1955) — -   .

)   " %        A v = # . (4.65) h =(    !    ,  # (    :              ,     * $  " ,  ,  

   . .  666     ,          

  !    

   #      . =   

  ,  "  "  "       

         #   

  .  666 (    !  "   )  *          -#  "  

 . F       

 

    #  #,  #        p-n-   $ # #    #  

  *       $   . J 

    "      #    

 . '    !#     * #  # *     * 

   #        *. ' #  !#    #    !#      . /  !      " . § 147. L##$. ,$ , F  #       ,         "     #  % (  ),  #      6. &"   c E = hv = h .

λ

J  —       %  

   ,    *    $      !   . /!   E hv h = . p= = (4.66) c c λ J  *   "  !  (  # 

   %#)          (

       ). F     - *    !,     

 !           ,  #     

  . 367

F ! %   %           n   .   !    $      !,   !  "   . +*    ρ  %  $   , " ρn-  $ #   , (1 – ρ)n-  "  #   . ) $#  $ #         !: hv § hv · 2hv −¨− ¸ = , c © c ¹ c      $   !     

  $#. hv ) $#  "  #         ! . B c    P     !   !,  #        %   n   : 2hv hv ρ n + (1 − ρ ) n P= c c  E nhv P= (4.67) (1 + ρ ) = 0 (1 + ρ ) = ω (1 + ρ ) , c c " E0 = nhv — "    ,     %    

% ; ω — *P     ! ". 

     *#    G             "       #  F. E* #1

1901 ". C  #    #      ! !     ,  5 ⋅10−6 F ,    !   !(   ! "   "  . § 148. GG #-&#$ 66 ! 2 —   #

# (   #)   "  

    " 

. /    "      , )   * $     "      

#   "  λ     #, * !(  , 

 λ ′ . 



        $  * ! ! 

#   "  

. & )    $ *P !,           

* # ( *   #)      . F  1 2

368

F  '    E* (1866–1912) —  .   ^  )   (1892–1962) —   .

         ! 

 "   .     "   c E = hv = h ,

λ

    $ !( !   v "  * , . .   ! 

# λ . G / #

#  mv    

 −e, m  $  !,  !  hv c  #    "  - 6 θ ! . F       hv′ c ": 2 2 D. 185 hv + m0 c = hv′ + mc , (4.68) " hv — "   "  

  ; m0c2 — "   "     ; hv′ — "   "   ; mc2 —    "    (     ). F       ! ,             ": G G G p = p ′ + pe , (4.69) ′ hv hv , p′ = —   !   "    "  " p = c c  

   ; pe = mv —  ! !    . / ! . 185,  (       ! (4.69)    : 2 2 h 2 vv′ § hv · § hv′ · (4.70) m2 v2 = ¨ ¸ + ¨ ¸ − 2 2 cos θ , c © c ¹ © c ¹ " θ — "   . D(       (4.68)  (4.70)   # ,  m0 m= , 1 − v2 c 2  $  !  #

# Δλ        : 2h θ θ sin 2 = 2k sin 2 , Δλ = λ ′ − λ = (4.71) m0 c 2 2 h = 2, 43 ⋅10 −12  —    ! (     m0 c 

#).

" k =

369

'#    

# λ     *              ,     #   . § 149. #&%%$#-,#$#,# !%- , &   "     

   

   :      #,  *  

 # 

 , *     ,    %,  %,   %,  "    #,      #   %  ,    #          , 

 ,   )    . . B     $ *P !  



,    

  .               

 ,     



     % . )      %     "      .  "   

     — 

 ,    #            !      . B    —    #   *" 

  ,  

  "   .

370

   A B "  "! 71. G  "     "      

# λmax = 0,80 . '   "      !      . C$. F       –A !%  (4.59)  $  ! "      !  : R = ? R = σ T 4 . (1) *     T,     (1),        = (4.60): b′ (2) λmax = . T /   (1), (2)  

$#: λmax = 0,8 ⋅10−6 

4

§ b′ · R = σ ¨ ¸ . © λmax ¹

(3)

F     !: = ⋅  4 ⋅ ) 4 = = . 2 ⋅ ) 4 ⋅ 4 2 F     (3) #  :

[ R ] =

4

§ 2,9 ⋅10− 3 · G= R = 5, 67 ⋅10− 8 ¨ = 9,8 2 . −6 ¸ 0,8 10  ⋅ © ¹ G= ,: R = 9,8 2 . 

"! 72. '      F  ,     #, ## #               v1 = 1,2 ⋅ 1015 %,  $    $ U1 = 3,1 =, ## #      

# λ2 = 125  —  $ U2 = 8,1 =.

 $#: v1 = 1, 2 ⋅1015 %

λ2 = 125 ⋅10−9  U1 = 3,1 = U 2 = 8,1 =

h=?

C$ . C      !    ! * ,    !(        $,  #    $ ,       . &   ,         ## #   #        .  "       "  *   "         "    : 371

mv 2 , (1) 2 " e, m, v —  ,       !    . ;   $#   &(     (4.64)   !  

(1),   mv 2 hv1 = A + = A + eU1 , (2) 2 c mv 2 = A + eU 2 . (3) hv2 = h = A + 2 λ2 '     (2)  *  #     A     

  (3). F   *  ,   e (U 2 − U1 ) . (4) h= § c · ¨ − v1 ¸ © λ2 ¹ F     (4) #  #,   h = 6, 66 ⋅10− 34 B$ ⋅  . ,: h = 6, 66 ⋅10− 34 B$ ⋅  . eU =

"! 73. + !   !    !    , # #     

!  γ-    

# λ = 0,001 . C$.    !    , ## # 

$#: −12    

 ,   "   λ = 1 ⋅10     "  " ,   "   −19 A = 7, 2 ⋅10 B$   !. C "    " !( " v=?       ,    ! #  "   

 #    " !(       . =      (       "   (4.64)  #         mv 2 E(max) = . 2 mv 2       F   &(  (4.64) hv = A + 2 c  

# λ     !   c, . . v = ,        -

λ

   # $ v= 372

2 § hc · ¨ − A¸ . m© λ ¹

(1)

F        : v ≈ 6, 6 ⋅108 / . F      !       ! * !(       ,   

 % !      !  . =  (   "        "       ,     (  *   !          " (1.116): § · § · 1 1 E = E0 ¨ − 1¸ = m0 c 2 ¨ − 1¸ . (2) 2 2 2 2 ¨ 1− v c ¸ ¨ 1− v c ¸ © ¹ © ¹ B  ! ,   "       : E0 = m0 c 2 = 9,11 ⋅10− 31 " ⋅ ( 3 ⋅108 )  2  2 = 0,82 ⋅10−13 B$ 2

 "   γ -: E = hv =

ch

λ

; E = 1,99 ⋅10− 13 B$,

*$ ,    #  # "  " . B   "     (4.64)   § · 1 hc = A + m0 c 2 ¨ − 1¸ . (3) ¨ 1 − v2 c2 ¸ λ © ¹ D *  #     A   (3)  $ *!   hc

!        "   .  "    (3)

λ

hc · hc § 2c ¨ m0 c 2 + ¸ § · 2λ ¹ 2λ hc 1 © = m0 c 2 ¨ − 1¸ ,  v =   . hc ¨ 1 − v2 c2 ¸ λ m0 c 2 + © ¹

λ

,: v = 1,9 ⋅108   . "! 74. F      

# λ = 490  ,      !     !,  

    ,    P = 9,81 ⋅10− 7 F .  !        $  %         ,   %  $   ρ = 0,5 ?

 $#: λ = 490 ⋅10−9  ρ = 0,5 P = 9,81 ⋅10 − 7 F N=?

C$ . B ,  

    ,

     (4.67): E (1 + ρ ) Pc P= 0 ,  E0 = . c 1+ ρ

373

C "   "   E = hv =

hc

λ

,  

  ,  -

  $  %    : E Pcλ Pλ N= 0 = = . E hc (1 + ρ ) h (1 + ρ ) ,: N = 2,5 ⋅10 21   % ( 2 ⋅ ) .

374

 5    L"    / B 

 26     § 150. #!( #- #-#$  G#!   B  #  ,        ! ( #   %  .     

 !  " . =      XIX              #     !  

      . B$. B$.    1903 ".  $ $  !  .  "          *  ( ,     $#   $ !#  

,     "   ! " %   *  % !  $#   #. = %       . +     !     ! (*  ,     

 !  # &. D  1.   !     & D       . 186. D  P J D    

D,   αΘ   %# (  "),    !

   . F    " D,    α-  %       D. 186 (~1 )    !" J,          # "# Θ. ;  α-  %#  ! *   &,  # #  # % . K # α-  % ##     #( (% %),  * #   . +# #    ,   # α-  %# (   20 000),      !",  !    ! * !( (    180°) "#. F !  # D     #

#: -   α-  %    !# "#    !        * !(   $ !#     ; -   ! α-  %, # #    !#  ,  " , *P  * !(   $ !#       !     !  . 1

& D  (1871–1937) — " . 375

&  #

#  

       . '   

 # D    *  $ (  $)   .  "               $ !#    Ze ( Z —   #    *% G ; e —  #  )       10−15 − 10−14  ,       (~99,4 %)      . = "   * , *  " #,       #.       . +     !    " *P !  #          "      !  

            . =   D    #,   !

"  "   

# * ,  $#  " !   .  "         *#    $    #  $#  !    " #

#. F  !    "  # «  +    "  

 »    , "     $ !( !,  *#   ! . = !   " !(     * # ,  " !   ,     $   !   . F  *$    

*        "        "  "   $#

  !.   *  ,   ,  #  ,  $  !  (   . =   !   #      #   ,   $# "    #  . D  *   D      !     !    

 . =          

 ! #  ,    !   *P !    !. § 151. & #- ,#!##!  #    "   $# "      #,    #     ! # 

. =      *    #  ,    *  

  !   !# ,    # . =       *    ( ,      ,

"   "        . F  

     #     . ' . 187        !# 

    A ! 1, " 

  Hα (λ = 0,6563 ), H β (λ = 0,481 ),

1

376

/ "  _ * A ! (1825–1898) — ( %  .

Hγ ( λ = 0,4340  ), Hδ ( λ = 0,4102  ) *  # # -

 !# . F   "   ,  

     ,    $Hα H β H γ Hδ #     *   ( F ( , A , F )  !   

 ( E   ). D. 187 D   $   !# 

     * *    A ! : 1 1 · § 1 = R¨ 2 − 2 ¸ , (5.1) λ ©m n ¹ " R = 1, 097 ⋅107  –1 —     D*" 1; λ — 

#; m  n — %#  ,        $      !   (. *. 4).   4

'   

;  m

;  n

 E    A !  F (  A  F

1 2 3 4 5

2,3,4,… 3,4,5,… 4,5,6,… 5,6,7,… 6,7,8,…

J  (5.1)  $   !    # : 1 · § 1 v = R′ ¨ 2 − 2 ¸ , (5.2) n ¹ ©m " R ′ = R ⋅ c = 3, 29 ⋅1015  –1 —     D*" ; c —    !  

. § 152. # H#   !#       

   *P   A  2,   *   1913 ".      #     

  . =     A    $#     . 1. &  #   "    ! ! #   #   ,  #     ". &          . '  %  # *    !    me vrn     h ( 2π ) , . .

1 2

z  D * D*" (1854–1919) — (  . '! ^ B  A  (1885–1962) —   . 377

h = n= , (5.3) 2π " me —      ; v —      !    ; rn —  

* #; n = 1, 2, 3, ... — %   ,          ; = —     F  . 2.       "        "  "        "  %   "    " : hv = En − Em , (5.4) " En, Em — "  %  #            " . C En > Em,      (      * , *  *    ). F   # A   

   !   

     !    D*" . =            "  $  , 

*      !  (%    ! )  .  

*     "

,  (   "  $: m v 2 1 Ze 2 = . (5.5) 2 4πε 0 rn2 /   (5.3)  (5.5)     # $    * : h 2ε 0 rn = n 2 . (5.6) π me e 2 Z F           Z = 1  n = 1 (  * 

   ),    (5.6)    

" *   "   : rA = 0,528 ⋅10−10  . / ! # $ (5.5), #   "   

,     "              "   "       % !  "          : m v2 e2 Z e2 Z e2 Z e2 Z . E = Ek + E p = e − = − =− (5.7) 2 4πε 0 rn 8πε 0 rn 4πε 0 rn 8πε 0 rn  "  (5.7)    "     #   % !       *      "    ". ;  

   ,          . / 

 ( (5.7)  ,  *      "       #  . F n = 1  *    !( " (   ).      n > 1  #   . / 

 ( (5.6)  (5.7)    "    

   : me vrn = n

378

me e 4 Z 2 , n = 1, 2,3,... (5.8) 8h 2ε 02 n 2 F   # $ (5.8)   (5.4),   * *   A ! : m e4 § 1 m e4 § 1 1 · 1 1 · v = e3 2 ¨ 2 − 2 ¸  = 3e 2 ¨ 2 − 2 ¸ , (5.9) 8h ε 0 © m n ¹ λ 8h ε 0 © m n ¹ En = −

me e 4 —     D*" . 8h3ε 02       "   ! "       D*" ,       # A ! *$ 

 !     A  .   A   

   !  # 

       ( # '+, Li2+),    " *P !     !   !# .

" R =

§ 153. &3 L$  /0 & ,  # 1913 ". J  1  %2,   #  

   # "   ,   #   A  . = #    !        ,  #    ,        . )    *,  $    ),       ,    !  $,        . 188, . G$         #  !  $ U,    "  !  %    P. G$           !     $   0,5 =. *    !  ##           ~100 F . =     #  I ( 

   , ((   , % )      $ U $       . F  

! -             . 188,. &  #, #          "   ,  !      $  $        ,     $   ,   "    .  # 

  . +      

$        $#  ,  "    %     * !  4,9 =. & *P  ,    #,  #   ,   $ 4,9 = # #  "         ,      "    ! "  $   !  . F  $-

1 2

B$ J  (1882–1964) — % .  E " % (1887–1975) — % . 379

 U0 = 4,9 =   #   # # ! "         ,   "   ! !(  !,     "    !  $        "    .  #     . )

)

) C

V

A

I

G P

0

4,9

9,8 14,7 U, B

D. 188

C    %    !   4,9 =,   #  "  # # ! "      ! 

   ". &  *P       ,  * # # .     

      ,  # #   "     . . ) $#     " "   ,      

*$    ,  

         ,       

# λ ≈ 250  . =       "   "       E0 = −10, 42 =. &" 

"

*$ "    E1 = −5,54 =. B      "    



*$  *  " ΔE = E1 − E0 = −5,54 − ( −10, 42 ) = 4,88 = ≈ 4,9 =. =

*$      *#  !      ( ≈ 10−8  ),          .       

$       " 4,9 =   

# hc λ= = 250  ,    *  ! # . ΔE   *  ,

*$        (!   ,  "     ",        "    

*$    . +# # J   %     

  # "       . 380

   A B "  "! 75. '     " *      

 *    *  

   . C$.  "    A  (5.3) mvr = n= , (1) −34 " m —      , = = 1, 055 ⋅10 B$ ⋅  —     F  ; r —       * #, v —    !    ; n —   * #.      $           

*       !  (%    ! )  . '    "    '!   (: mv 2 1 e2 = , (2) r 4πε 0 r 2 "  —      . / # $ (1)  (2)     ! v    r n-     * #: 4πε 0 = 2 n 2 n= e2 r= , v= = . (3) 2 me mr 4πε 0 =n ;  r  v,     * : 2π r 32π 3ε 02 =3 n3 = T= ; T = 1,5 ⋅10−16 c. v me 4 ,: T = 1,5 ⋅10−16 c.

$#: H n =1 T =?

"! 76. '   

# λ   , 

  "         *    * #            ". C$ .     

     *#             *    * #     $  !    A ! (5.9): 1 · § 1 v = RcZ 2 ¨ 2 − 2 ¸ , (1) ©m n ¹ " Z —   #    *% G ; R = 1,1 ⋅107  -1 —     D*" . F       m = 1  n = 2  # $ (1)  

 $#: m =1 n=2 Z =2 λ=?

381

3RcZ 2 . 4     v = c λ ,   # (2) 

v=

λ=

(2)

4 . 3RZ 2

B       " " Z = 2, . . λ =

1 ; λ = 30,4 . 3R

,: λ = 30,4 . "! 77. '  %  (    !       

   *,      #

   . F    (  d = 5  . )        

     !  ,  *         (     "     "  ϕ = 41° ?

$#: d = 5 ⋅10−6  k =5 ϕ = 41°   = ?

C$. /            %     %   (     !     (4.33) d sin ϕ = k λ   

#

d sin ϕ . (1) k  ! #

#       *   * 

           A ! (5.9): 1 1 · § 1 = R¨ 2 − 2 ¸ , (2) λ m n © ¹ " R —     D*" ; m —   * #,        ; n —   * #,         . / 

 ( (1)  (2)   1 1 k − = = 0,139 . m 2 n 2 Rd sin ϕ F *    m  n   ,     

 $  n = 3  m = 2  A ! .

λ=

382

 27    E  I  § 154. /&# ! H#. G0 )#$#, = 1923 ". E  A !1 #   "  ,    *       !#   %#     # *  

 # 

 .  "   A , *    !    %, *   !  p,  $     !



  %   

# h h λ= = , (5.10) p mv " m, v —       !   %#; h —     F  . = λ  #       . C   ! *   

#      m = 10 " ,       ! v = 500 / ,   $   #     (~1,3⋅10-34 ),  *#   $ *# * $ !   !. B*    

#    ,   "    !  % 

U = 10 = ,    h h = ≈ 0, 012 . mv 2eUm   

#  $ * $ !  ! . = 1927 "  B  2  B$3,      

     , * $    $#    "# . &   *#    #     %     #. +   !,  

#         *     

#,        (5.10). =  $ "  B$.   4    5, *     !"    *# #    ,    %    . = *      *#     ,   "   %# ( #,   #  . .) *  

 # 

 . / ,  #    ,     %# 

   .     ,  ,   *  ,    %     #, 

 # 

 . = $  *   !  !    %, 

 ,      !    .

λ=

1

E  A ! (1892–1987) —  % . )  B$  B   (1881–1958) —   . 3 E  ^ * B$ (1896–1971) —   . 4 B$ $ F $    (1892–1975) — " . 5 F. .    (1895–1939) —    . 2

383

§ 155. ##$#C$ $#&!$$# /$F*    A   #     $

 # 

   %     #     % ! 

  ,

#    .             ,

 #    *#   $# *" 1  @" 2 20- "    % "   . )      #      ! "  

      %. =     ,      *P ,      (  "  . F     

  !   " *# !      #. /   -



"    ,    " %#        . =  

    $   % 

  

 ,  

   !     !   $   %#    

 #   . '  

 # 

   % *"    9   ,  "       $ (

 )  ! (    !)  $   %#  " *# !   #   (!  "    !   : Δx ⋅ Δp X ≥ =, Δy ⋅ ΔpY ≥ =,

(5.11)

Δz ⋅ ΔpZ ≥ =, " Δx , Δy , Δz —     

 ,  #    

  % ; Δpx , Δp y , Δpz —        ,  #  #  % !   %#   x, y  z; = = h ( 2π ) —     F  . F       

 #   %#     !  % !           $ *# ! !(     F  .    !,        

 ,   *  . B"  

 (          ! $ "  : (5.12) Δ[ ⋅ Δt ≥ = , " ΔE —    ! "   "     #; Δt —   "   "   . / 

 ( (5.12)  ,   * !(   !  1 2

384

= )  *" (1901–1976) — % . &  @" (1887–1961) —   .

, . .  !( Δt ,  !(   !  ",   *  . / ! 

 (     (5.11),   $,      * !( "     ,       # * 

"   $ !  $ "  ,  #      !#. D       10−10  ,   ,    ! 

 # Δx ≈ 10−10  ,    !         (5.11): Δp = Δv = x = ≈ 1, 2 ⋅106 /, m Δx ⋅ m " m = 9,1 ⋅10−31 " —      . F       ,   !  * ,     ! v   (106÷107) /.        !     Δv " $   ,        ! v,      

 $    !       $. B"   ,   *    $    ,  ,   =!  .           10-4 , . . Δx ≈ 10−4  , 6.26 ⋅ 10−34 B$ ⋅  Δv = ≈ 1 /c . 2π 10−4  ⋅ 9.1⋅10−31 " F          =!    1000 /    ! Δv    0,1%,       $  ! !        $. § 156. #$#, G%$0. ,$$ A!$* B    "      % ,        , *#   *       . ) 

      

        $   %#,  "   !  $ (! # !     !,       %  $ *# ! * $  #       . F  !   $    %#     



  %,      $  !



 % Ψ ( x, y, z, t ) ,   

  . =



 % (-%)

       %#. /  % Ψ -%   A 1:     ! dP " ,    %     *P dV    %  !      Ψ -%    *P , . . 1

G  A  (1882–1970) — % . 385

2

2

dP = Ψ dV = ΨΨ * dV = Ψ dxdydz ,

(5.13)

" Ψ — %,    $   Ψ . +   ,   #     



 % dP 2 , Ψ = dV  #     !        $   %#       

  x, y, z. K     Ψ -%    # $ *

∞

³ Ψ ΨdV = 1 , *

−∞

. . *#    %#          !      *#   "     !   %. F 

 #

  %  $ *# !   , ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ , , ,  $#      ,  

# ∂x ∂y ∂z ∂t *# ! # #. F# *            . &. @"    ,  

   

 # %   %,  $  #  #  : =2 ∂Ψ (5.14) =− ΔΨ + U ( x, y, z , t ) Ψ , i= ∂t 2m " m —     %#; = —     F  ; i —   % ; U ( x, y, z , t ) —  % !  "   %# 

  , "   $ ; Ψ = Ψ ( x, y, z , t ) —

  %   %#; N —  

∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ + 2 + 2 ). ∂x 2 ∂y ∂z F ( * !( "     ( ,         )  !   %      @" ,        ! Ψ -%  ( Ψ = Ψ ( x, y, z ) , U = U ( x, y, z ) ):

E   (  

   

 ΔΨ =

−

=2 § ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ · + 2 + 2 ¸ + U Ψ = EΨ , ¨ 2m © ∂x 2 ∂y ∂z ¹

" [ —    "    %#.

386

(5.15)

§ 157. 0 , #!$#-$# F#$$# *%F## &-#%*#($# &#$0($# - )      

    U

 # 

   % *P !    ! "     . B " U = ∞ U = 0 U = ∞  *#   !      ",            $   %#,    *  "* 0 l x    % !   (. 189). D. 189 B  ,    %  $  " ! !  !  x,    $ "   % #    %#   !#   : x = 0  x = l . F % !  " U

        : ­∞, x < 0, ° U ( x ) = ®0, 0 ≤ x ≤ l , ° ∞, x > l . ¯ K  @" (5.15)       *  ,   

  %  ,   d 2 Ψ 2m (5.16) + 2 EΨ = 0 . dx 2 = =  *   2m ω2 = 2 E , =  (: d 2Ψ (5.17) + ω2Ψ = 0 . 2 dx F      % !     "   , (   "    % Ψ ( x) = A sin (ω x + ϕ ) . (5.18) =#*  Ψ -%  $  

 ! " #  . ; #  % !  #   %    !   $ ,        ! * $      ( ! ,  Ψ = 0 ). /   #     ,   " %   % !  #,  x = 0  x = l Ψ -%  $ *# ! $   : Ψ (0) = Ψ ( l ) = 0 . (5.19) /   (5.18)  x = 0

Ψ (0) = A sin (ϕ ) = 0 ,   ,

 ϕ = 0 ;  x = l 387

Ψ (l ) = A sin ωl = 0 ,



 $ (!  

ωn l = ± nπ , (5.20) " n = 1, 2,3,... ;  n = 0    ,       Ψ = 0 , . .   % "     ,   

     . 2mE / # $ ωn2 = 2  ωn l = ± nπ ,  ωn ,   =  " E   %#  π 2 =2 2 (5.21) En = n , n = 1, 2,3,... 2ml 2 )      (5.21),   "   %#   #  *    . h   n,  "   %#,  #        . '     ! "      : = 2π 2 = 2π 2 (5.22) ΔEn = En +1 − En = 2 n + 1 ≈ n, ( ) 2ml 2 ml 2 . . ( n + 1) − n 2 = 2n + 1 . 2

/   (5.22)  ,   !(     %#   #  % !  #,  * !(    $   ". B  ,      %# m = 10−26 " (    #), l = 10  (     "  ), ΔEn = 16 ⋅ 10−40 ⋅ n, B$ . =     "       "      , 

      (    ". B    ,  $"   ( l ≈ 10−10  , m = 9,1 ⋅10 −31 " ), ΔEn = 10−17 ⋅ n, B$     ! "    !    . /   (5.21)  (5.22)  ,  ΔEn 2 ≈ . En n &  (  * !(   #   ( n >> 1 ) "   !( %#, . .      *$,  * !( n. F * !( n "   

      (   , . . #   % 

   A  :        9                . '     * # % Ψ ,    # $ (5.20) (5.18): 388

Ψ n ( x ) = A sin

πx

n. (5.23) l B      7  !      : l π xn A2 ³ sin 2 dx = 1 . l 0 = !   "    2 . A= l  "   (5.23)  (   2 πx (5.24) sin Ψn ( x) = n, l l " n = 1, 2,3,... Ψ*Ψ

Ψ n4

n4 E4

E4

n3

n3 E3

n2

E3 n2

E2

n1 E 1 l x

0

n1 E 1 l x

0

)

E2

) D. 190

' . 190  * $# " 



 %     



 %, $   " [   !  !(    

"  n. / . 190,  ,         * $   %#       

#. =    ! * $   %#      % !  #   :  n = 1  *        $   %#   % !  #;  n = 2   %   $ *# ! * $   % !  # (. 190,*),   

  *#     #. F            $   %#  % !       #. 389

§ 158. #- ,#!##!. ,$#,3   

    #    !     $    !    ,       $ "      +e   $" 

" "        –e. =   /  % !  " U    # % !    e2 U =− , (5.25) 4πε 0 r " r —        ; ε0 —       . B   "     @"   e2 · ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ 2me § E + + + + (5.26) ¨ ¸Ψ = 0 , 4πε 0 r ¹ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 =2 © " me —      . K  (5.26)   ,     (  *#   $ !#   " E > 0    #

% !#   ",  # 2

§ 1 · me e 4 En = − ¨ , ¸ 2 2 © 4πε 0 ¹ 2= n

(5.27)

" n = 1, 2,3,...     $ !# " 

    %               ,     . . F % !#   "          

   . h    $ !   n  #             *      ". =   %    

        #  : n , l , m , " l = 0, 1, 2, ..., (n − 1) —      ; m = −l , ..., − 1, 0, 1, ..., l —      . F     $ "   " En ,   E1,     !

 # % Ψ n ,l ,m ,  #      #   l  m, . .   $  !   $   ",   !  !   .        #  ,   

 #     $ .       #    N (   ! # $),

    *#     # ,     "    

     

        n −1

N = ¦ ( 2l + 1) = n 2 . l =0

390

(5.28)

=  

       ,  * !   

  l

   !    L: L = = l ( l + 1) , l = 0,1, 2,..., ( n − 1) ,

(5.29)

. .   !        —   $  ! (!  #  . G F %   L * ! "   !         z ("  "  "   $    : Lz = m= , (5.30) " m = 0, ±1, ±2,..., ±l —  "    

  .    

  

  s,      1 !   : s = ± . & !    2  !# 

       ,   $         ( * !("  ) *   !# . &             . &    $    !    #   ,     . &  

 $#   

"  

" 1 1  ( +  − )  

 $#    

" 2 2   ! M = ± s= . =      ! !  

#      *  . ' ,        l = 0  #  s-  ; l = 1 — p-    . . (s, p, d, f, g, h, ...…  

   * ! "   l). F   

    "    

  (    . ' , 

 4d    ,               #   n = 4 , l = 2 . J          %, *   %#   ( s = 1 ). F      #    #      : (5.31) Δl = ±1 . / #  ,  #  . 191,  ,   E   

    # np → 1s ,  A ! —  # np → 2s , ns → 2 p , nd → 2 p .    1s     . '  !     ,  *    !  "     . F "     "   "   *#      %,  "     

     . /       "     "

         E   ,  !     : 1s → np , n = 2, 3, ... (5.32) 391

D. 191

+* * ! ,  #  

   ,             . ' , 

     * "  (   "  " " , *  $ "   ,   

"   $     ) "          # (5.27)    #      Ze, " Z —   #    "  : me Z 2 e 4 , n = 1, 2,3,... En = − (5.33) 2 ( 4πε 0 ) 2=2 n 2 392

B  #    %#    "    $   %# 

   . +        

(" (   " )    .          * 

   .      "    $   " #  * !#   #   (n, l). D # #  

     * ! "   L = 0,1, 2,3, 4,...  *     *  S , P , D , F , G , … D*"    ,   #     

 *     !# ,   # ω        

 

 ( ω = " ( n2 ) − T ( n1 ) , " n1  n2 —  # %#  . J% "(n)  #      . § 159. *$#-:$ ,$. &$ )#$ D   # #,  #  #  ! *# * $  ! $ * !#  " #            "  "    (. ;  9    @

 1.  $! 1    "  ,   (#  "    2,      !    3 (. 192),  #   #  #    . '  "   $ 

  "  ,     " # * !#   #              "  "      ,   * !#   #       . F    #        , 

  !  #  (   *     %  #   ),      .  $!  *    !   (   !#  * 

" 

 . B    * #   #  !#  *    "   "   * ! ,  *#     . F   

"  5,  $ "  !% 4,   "   %

  ,  ! 1

=.  ^  (1878–1960) — "   . 393

   * . +# #  

     (  "  " * ! "       "    * !     ("  "    (),       !  # −e m , . .    * !(  ,  "    (3.140). ; `  1. A     #   "  "  "  (, 

 $#  $! *#      

 

   "  !. F #  A    "  "  "

 (    !    * !(    " ,    "    (3.140). _ ,  * # #  &(    ^   A  ,           . = 1925 ". B. z. K*2  . .   3  *P !   # # #  "  ,    ,   * !#   "   "  "   , *    * #      Ls  #      (spin —  ). &  —    $ " 



,     m    .     

    * #  " #   e ps = − Ls . m A#    ,  3 (5.34) LS = = s ( s + 1) = =, 2 e= 3 (5.35) = − 3μ A , ps = − 2m e= " s = 1 2 — 

  

     , μ A = = 2m B$ = 0,927 ⋅10−23 —   ` (%  "  "   ).  +  (  *  "  "  " ps    " Ls      ("  "    ()   ps e =− , Ls m      

    # #  #. 1

 B$  A  (1873–1956) —   . B$ $ z$ K* (1900–1974) —   . 3   *     (1902–1979) —   . 2

394

/   

       ,   $    !          *  * . &             . F     "       !    #            #       #,   $

    . &    #   66   . '        

 *P !    " # 

   "  ,    *       . § 160. &3 A$  /: & ,  # @      1 1921 ".              

"      .  #      . 193. F   , J  # *  G,   " # ,   

          " D  S N  !       "    ,      x     J. '     !  "  "   D   "  !   %  #   

   " . B   "  "     M D. 193           ,      (   . = 

             $  

 !       "           $ *  # !  (         .  "   

   

*$# #    "  "   , *  "  $   

"  ,      #  "        

  $#  " !   "     %    . +  #      * *#   #    # $# ,    $#     ! %  .      ,          "        e= dB , Fx = −ms m dx " e  m —         ; B — %  "  "  ; ms —  "   

  

  .  #,   # ms = –1/2,      $ !      x,      Fx > 0. B   ms = +1/2  Fx < 0, 

     

  $   . +# @  –  *#     

   , ,   ,  ,   

    *  !  

  . 1

= !    (1889–1979) — % . 395

&  # #    ,      

  " #   ,  #  $  !      #  %

  ! ("  , . .  %      "  "  "       ("  "  "           . § 161. $0& %. #! - )-$#, $!, = 1925 ". F 1 #  %,  # " :           , $#          . D    !,      Z                G . F            # % : 1)             !  ", 2) % F . &  %# $         "        $        G .              #!   #  : "    

  n,     1, 2, 3,…;

* !   

  l    0, 1, 2,…, (n – 1);  "    

  m,     0, ±1, ±2,…, ±l,  

  

  s = ±1/2. &  #         

"  n *   ,  #        *  ,     * ! "  

"  l. +*   *     *. 5. ;   n

1

2

3

4

5

  5 6 …

+*   *  

K

L

M

N

O

P

…

+* !   

  l

0 s

1 p

2

3

5

…

d

f

4 g

h

…

+*     *  

 

   H      (Z = 1). F %  !  " " "    

  n = 1, * !   

  l = n – 1 = 0,  "    

  m = 0, s = ±1/2. +  ,   *    ! K- *  ,       *     1s,    "  $  !  

!  %. 1

396

= !" " F  (1900–1958) — ( %  .

  6.

K L M N N &&K L M 1s  1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p  4d 4f 1p 1H 2He 3Li 4Be 5B 6C 7N 8O 9P 10Ne 11Na 12Mg 13Al 14Si 15P 16S 17Cl 18Ar 19K 20Ca 21Sc 22Ti 23V 24Cr 25Mn 26Fe 27Co 28Ni 29Cu 30Zn 31Ga 32Ge 33As 34Se 35Br 36Kr

1 - 2 - -

-

-

-

-

-

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2

1 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6

1 2 8 5 5 6 7 8 10 10 10 10 10 10 10 10

1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6

1 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

O

P

5s 5p 5d 6s

37Rb 38Sr 39Y 40Zr 41Nb 42Mo 43Tc 44Ru 45Rh 46Pd

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

18 18 18 18 18 18 18 18 18 18

8 8 8 1 8 2 8 4 8 5 8 5 8 7 8 8 8 10

-

1 2 2 2 1 1 2 1 1 -

-

-

-

47Ag 48Cd 49In 50Sn 51Sb 52Te 53I 54Xe

2 2 2 2 2 2 2 2

8 8 8 8 8 8 8 8

18 18 18 18 18 18 18 18

18 18 18 18 18 18 18 18

1 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6

-

-

55Cs 56Ba 57La 58Ce 59Pr 60Nd 61Pm 62Sm 63Eu

2 2 2 2 2 2 2 2 2

8 8 8 8 8 8 8 8 8

18 18 18 18 18 18 18 18 18

18 18 18 18 18 18 18 18 18

2 3 4 5 6 7

8 8 8 8 8 8 8 8 8

1 -

1 2 2 2 2 2 2 2 2

64Gd 65Tb 66Dy 67Ho 68Er 69Tu 70Yb 71Lu

2 2 2 2 2 2 2 2

8 8 8 8 8 8 8 8

18 18 18 18 18 18 18 18

18 18 18 18 18 18 18 18

8 8 8 8 8 8 8 8

1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

7 8 10 11 12 13 14 14

  " He    #   Z = 2 (    ). +*        K- *      1s 2 ,   % F    #   #   #: + 1 2  −1 2 397

(    !   %  ).   "        K- *  .     N           "  "  

"  n = 1  "  (5.28) N = n 2 = 1 ,               N1 = 2 . &    

*    *%#  ,     ". B         L- *  ,     $    ! N 2 = 8    . ;           Li, "     ,    #        1s ,       % F    $    !           L- *      2s . ;   L- *            Ne (. *. 6). ;       M- *  ,       (5.28)  $  $ ! N 3 = 18    ,  

       *   3s , 3 p  3d . )   #  ,        K-  L- *  ,   M- *            *   3s ,   3 p . F    M- *           Na           Kr. )    *. 6  # " #: Ne —  , Ar — " , Kr —  , Xe —      # ( *    8    ;

  *    #   (Li —  , Na —  , K —  , Rb — *, Cs — %, Fr —  %)   (!  s-  ;

( *     -!#  

(Be — *, Mg —  ", Ca —  !%, Sr —   %, Ba — * , Ra —  )    s-   . F   ! 

   , #  B. /. G #,        !    *      *      ,      , #   #     ( # %  F . § 162. $*$#,# %$ = 1895 ". D "1 * $ , *   * !(       *  !,      #    . D "    $   !    !  "   * (. . 194),       1,  " % 2,   3      *# 4. )  1 #   

! 

  . ;              #,  #    %  2      3. 1

398

=!"! )   D " (1845–1923) — % .

G$         #   #    $ —   

! . B  "  * 4 !  ,   10–5   .  . I

1

2

3

D. 194

Kα Kβ

4

0

λ0

0,1

0,2 λ , 

D. 195

&  #, ## #      # (    , * *   ,    *    "  . D "      *     " #

#   

# λ ≈ (0,1 − 1)  .    "  "   $      # (. 133):  (   , * #  $   

(  ),  !#   !#          ( # Kα  K β  . 195).       *     $ U   "   * ~ ( 30 ÷ 50 ) = ,            " * *     . )         I,     . 195, *#    

# λ0 ,       $ "  *  $: hc λ0 = , (5.36) eU " h —     F  ;  —      ; —    !  

. F  #(  $  *  *         , *  

*$     #

*      . ^             ,    " "   .

399

. G 1           #   !#       " : § 1 1 · − v = R( Z − σ )2 ¨ (5.37) ¸¸ , ¨ 2 n2 ¹ ©m " v —   , 

       ; R —     D*" ; Z — #    "  (    ); σ —       ,     #     $     ; m = 1, 2, 3, ... (     ); n   % #  ,     m + 1 (  !  

   ).    !    G     

#   !    "  "  !    #    "  . A "   #        *    "      (    % ( "       *  ),    ,        #    . . § 163. $!%0#,$$# %$. 3 F     #   " "  "   

"   

$    "     

 ".    #  "    !      ( , %%),       ("    "  "  . C        "     ("    "  "  ,     #    . +  !    %  "     ,          ,       %  (,     

,   " 

 *P. ) "      ,          "  

 ,           ,    ! $ "     # * !(,  ,  * !(     %   $    ,   *  . ^              !   

*       #. C         

*$    ,    !  "      ! * !(     $  ,        ("  * !(     %       $. &  %  

$   % # .

1

400

   B$ G  (1887–1915) — " .

1

2

3

   

4    8& D. 196

    #,      

*$     * !(,    ,  #           $. B   $  "     !         .   *  , 

*$     ,  $   !    "  * " . F* #, " %   ,  #       . =    50- "      '. . A  1  . G. F   2, $       . ^.  3     #   # " # —  #,  *          #

. = 1960 ". . . G 4     #     # "  —  ,  *    *     . D *    

   (. 196) $ % 1       1     5 , " #   

" * ,  #    *  !  Al2O3  ! 0,05% Cr2O3. F  %# % *#  !   #    !#  * !(   !   . '     ! *   #   *  ,  % % 4    !  $    , % 3   *   !   10%  (  "  

 ". D* # %     !  !  !   # 2,     . ;  "  "    

*$     ,  #    " %   " 1

'      A  (1922–2001) —    .   G   F   (1916–2002) —    .  ! ^    ( . 1915 ".) —   . 4      ! G  ( . 1927 ".) —   . 2 3

401

. )    "    1 (. 197)       

*$#    2  3. K ! 2          ,     $ "   !   * !(,   *##   ,      10–3 . F     1     2  3    

  (    "   2

#. )  !  !      ,    #$   "  ,         " %. B 

  #   *!    1   !        . '   #D. 197        – #( ,        

# λ = 550 . .    "  #       #    

  #      "    1

*$     3. F       *# ! "          *!#  ! 2,    $    !  " . K ! 2      ##.   «    » ". ;     #$#       2    1. '    !

#

   . =  ,    ! % ,  "    $   " % ,      %  !#, "     #. &

 

* $  ",       *!#  ,  *#    .     # %  * #    # !   " %  . E #      , *   #    "   !, * !(      !  

!  # (   10–5  ) "    $. E #  !  :   , ,     ; %   !;           , "  "         . .

402

   A B "  "! 78. '   

#  A  : )    ,  $"      ! v = 106 / ; *) 

   ,  $"          !    T = 300 ) ; ) (     m = 1 " ,  $"      ! v = 1 / .

$#: a) m0 = 9,1 ⋅10−31 " v = 106 / *) T = 300 ) "  !

) m = 10−3 "

μ = 10−3

v = 10 –2 /c λ=?

C$. B

#  A       (5.10): h λ= , (1) mv  "       , . .    !  $ v "   !(       c. G         %# m0 m= 1 − v2 c 2    (1)  

λ=

h 1 − v2 c 2

(2) , m0 v " m0 —        %#; h —     F  . )        !    v       !   ,   λ

 !   (2):

λ=

h 1 − v2 c2

; λ = 727 . m0 v *)       ! 

        (2.25): 3RT v = ; v = 2733 /,

μ

B$ —   !  "      ; μ —   ! ⋅ )     

   .     v << c , 

#      (1):

" R = 8,31

λ=

hN 7 h = ; λ = 146 , mv μ v

" N A = 6,02 ⋅1023  ! –1 —     

"  .

)        ! (  v << c ,    (1)   403

λ = 6, 62 ⋅10−29  . =      λ

 # 

 (  * $ ! 

 $ . ,: ) 727 , *) 146 , ) 6, 62 ⋅10−29  . "! 79. +%     ! 

 (      !   "    ,  $"    #    R = 0,05 ,     ! v << c. C$. 

 (      

 #  !   (5.11): Δx ⋅ Δp ≥ =, (1) " Δx —    ! 

 #   %#; Δp —    !  ! ; = = 1, 05 ⋅10−34 B$ ⋅  —     F  . &    $    #    R. G $  !,     *    !   *       ! Δx = R . (2) J    ! ! Δp   $  #( !     " ! p , . . Δp ≤ p . (3)

$#: R = 0,5 ⋅10−10  E min = ?

B        %#    " E = ! p = mv ,   (: p = 2mE .

mv 2 , 2

(4)

F   # $ (2)–(4)   (1),   Rp ≥ =  R 2mE ≥ = .

(5) =#     ,  ! Δp     p = 2mE ,

         (    . / # $ (5)    =2 (6) E ≥ . 2R2m F    (6)    ,   !   "    : =2 E min = ; E min = 2, 42 ⋅10−18 B$ = 15 =. 2R2 m ,: E min = 15 = . 404

 28    L"   I   § 164. $* #$3 -#,, !)#,  &#%&#,#!$#, = !  ,   *#      ,   #  "   !   # ( (#) "   , *   #  .  #  "   ! 

  

     , *  #    —

*$#   . =  $   $ "      "      #.          E   #   n, l, m  s. /   * $ !  #   (. 198). '  $  "    ,  "  % F ,  "    !  *       ,   

  $   # #. ;         

      !  :         #  "  D. 198  !,     . . F  "   !,   #  T = 0 ) ,  #    . =    (# "      , *  (  . =(   #  #     ,          ,     ,  #     . G$  (#       $#  # ,    E    ",  #      # *  !   " . ' . 199        #  

   . K    #  #    

  #    ,   

       ,  #  

(     # ΔE   !  (   !   

   -

! ),  " 

"  $   

    *    D. 199 405

    #   

   (. 200). =  

       $    !       ,  (     #   !   ( ΔE ~ 1 = )     !#     $# 109               ,            #.   

E

ΔE ΔE

ΔE    





 

D. 200

=            

      $#  * ,   "    # !.   ! * !(  " ΔE ~ (10−23 − 10−22 ) =   *     # (

* #)   #  *  #  "   . F     # "          #      ( 

    "  . 

* #   #    *    ,         *     ! " "  .  "   

   

     #        $ G1–8  2: 1 ni = . (5.38) § E − EF · exp ¨ i 1 + ¸ kT © ¹ " —      ,       " Ei, EF — " ( !) J; k —     A !%  ; " —   . 1 2

406

& J (1901–1954) —  ! . F !  G  B  (1902–1984) — " .

< G EF —    !  ",    "  !   #  *      #. &" J  *    #: ª π 2 § kT · 2 º 0 EF = EF «1 − (5.39) ¨ 0 ¸ », «¬ 12 © EF ¹ »¼ " E = 0 F

= 2 ( 3π 2 n )

2/3

— " J  *      2m #; | —     F  ; m —      ; n —  %  %     . +  ( E TF = F k

 #     G. C T << TF ,   # "   #   ,  T >> TF ,   # "   #   . &  # "      $       ( ~ 103 ) )    # $#. F     # "     #      !   . § 165. #%&#,#!$. #F,$$  &-$ &#,#!-#( &#%&#,#!$#, F   *   

 !         

,  

    #. G #      ( 

 , * !(

"  ( ,   . .) —   #. = ,  $    $  ,   *  *   " ,  #    . A !(

 

 —  #    . _ # $#  

       " . &  

  !  # ( . . * )  



 #     . D        

       

 ,   "   . G$ #   *#   ,     

 #,       !  #    ,   

(     *    .         #  #  , . . 

( *        #    . F *     #   ! *$  ,   (   # *   407

#  " " . =      # *   

  ,   #   #        *. & 

*   #   #  $  *  #   " ,

*         (. 201). Ge F   , *  *    ,   #   # Ge Ge

 

    #  

*   $#   % ( . .     Ge Ge Ge

  )     . C    !         , Ge Ge    

 . F

!      #  Ge 

      . F  "   *  D. 201 "  

    "

 #          #      #    (  . = !   "  

     

* #   #. C  #        

* #, ,      !(  $ ,        $ !#      ,  #  *           . =   #  ,     #     

* $    ,  #    .        

 #        *   

* #    ,  #      

* #    . +*   #     !       

" "  "       #   

  . =    ("   "   #  

* #   #  $     

  . F   $   

 ("   "   

* #   #  #      " !    :   #      ("   "  , # —      "  ,        . / ,  *     

  ! γ *  % !  $#        $ !# # : γ = qe n (U n + U p ) , (5.40) " n —  %  % 

* #    ,     %  % # ; U n  U p —  *     $  !     # ; qe —  #  . F  #(  # (  *)     #    

 (  ! ,  

* #     408

# )    . & 

  !( ! "      

 . K!       

  $  !( ! 

 "   ! "   . F    

  ,     *   

  !,

     !  —     . /  %  % ,  $   !  !       "   "   . F  " $ !    !#         #  

 . ' , (   

   " ,   #

 #    ,     ,  #   !  #    (#(!, ! ).  #  #     "  *  

!

*       #        " ,  #     $  (. &    !  *     

  , "  $ "   !   ! 

* #    . )   

      *  

* #   #     . F,     #,  #   . =  

      !  #          #. F      "       #  

     $   



        

  !. F 

    

  !  #     #   

  n-  (n —   !  *  negative, . . % !#). C      !   #   (, * , ),   #   

      $    ! (!   #       . =       "     *        #   (   #   " " . '   

    ! * # .   $    #   

 "   "  . F     #    % !#   ,   "  ,   ("   ,

   $ !  # ,   , 

 !,  $ *# !        "  "  ( ,  . .   *  ,     !    (    #,    #. F      "   #         ,   



  #     

  !. F,  # 

  #     

  ,  #   . F     %       * !(  %  % # ,  #      # 409

    . F 

   *   #   

    #   

  p-  ( —   !  *  positive, . .   $ !#). = " #  

         !# "     $   . =  

 n-  (. 202, )   # "       $# $   # 

  . &  #      "  *     ! "      

  . =  

  -  % #      $#  " #(       #    #     #  " "   !  . = !  *     $ !  $# # (  # $  . 202,*). ;        #   .   

 

EF  #  

EF

 

   

)

) D. 202

/ ,   

  !  

  n-  *   $    ,  

  -  — # .     # "   $  !     #  !(  ,   

  ! γ " #  

         %  %      : γ = γ 0 e−b " , (5.41) " γ0 — !  

  !  0°C; b —    ,       ;  —     !#  "  . § 166. #%&#,#!$#,3 !#!  $# + #   * !(  

 # *        -# # (n-p)  ,  # *    



    " % $ *         #   

  !. &  $ *# !   " ,    " 410

     $    !,  !  

  n-  , "  — % ,    *   

 -  . A "   

  $ *) )     !     n p  #          

 . = !   " %    -#  "  

*     $#     . &       "       !(  D. 203      #   " %    

 (. 203, ). =(              "   "  . C n- 

   !  % !      &B,      !  - 

 ,        *  !  #      $   *    " %    

 . ' $  !   "     "   !( .     *    !   .     n-p-   #    ( #). C n- 

   !    $ !#      , - 

 —  % !#,  #           "     *  ! " %#     

  $#   #. ' $  !   n-p     ,          *     !

   . F      ("       n-p-         .     n-p   #     (  ).   *  ,       

   #   

   *   



   ( 

 !        !    

  $ . F    

   n-p-    #   

 #      !

#   "  . '  $   #   ,  "  %  p- 

   $ ,  

*      n-p- . =          .     * $       . 203,*. F 

 #  # *         #    #    (   ",    !  . .),   

 (   ! !   #   411

 ,   -, -     ,    - # !#  (   . . F 



   

      -# #     #     (  ).    ! 

   ` !      "p n p          !

*  : $   *   R  

  ! -         

  ! n-  . &      `  #    (A) (. 204, ). ) ) +   # *   *D. 204     #      (&),   —     ()).   *  , $     *  , $      *        p-n-  ,  #     #  

  $#. ' . 204,*        *      . +* p-n   #       &B (. 204, ). F     « –*  »    (  ),   «  –*  » *   (  )   . F     $ $    &  *   A  #      (#)    " * ,       %.      * # !   ,   (  #  *P       * #        ). =    #           #  %!.  

   * !      . F     #  %      !    "  $  

 ! $       %    . &   *  !       !      %    . B  " %!        R  * !(    .  " 9               

 . &      $.  ! ,   #  $  ! !    $     , . .   *    # "  * !(.

412

§ 167. -#) ,$ )         ;* 1, F! !2    3

 . }  :       %,          # 

 =  DB (. 205),    #   =       # - A    (  ,  T1 > T2 ),

     I.  ! ,    %     #   ,   %  !          : × T = α (T1 − T2 ) ,

C T1

I

T2

B

D D. 205

(5.42)

" α — !   -&B,              #     

 . =     -&B *     !   J

 #      ( # ). B    #   , 

#    ,  "  !  #     J,       

           E − EF 2 , Δϕ = F 1 (5.43) e " EF 1  EF 2 —   J 

"   "   ;  —      . )      (5.39),     J, 

 

              %  , *P    

  %  %      . F  #          $

   *  *# #          , *  #   " . & *P  ,   %  %     " E > EF   " "   * !(,      " ,  %  %     E < EF ,  *  ,   " "   * !(. +*   "   %  % ##      , !         "    $  * !(    ,   " " .

1

   / "  ;* (1770–1831) — % . f  @ ! F! ! (1785–1845) —  % . 3 K!    ()! ) (1824–1907) — " . 2

413

_  ;*  !     #   #. "  "   1 1 2        #   

  1  2,  %#  #     =  # (. 206). +      ,      A B  *   !, "   $    D. 206       (     0°C ). = (       !#    . F  ! 

  "     #.   #   

  !      !   #   "  . } ' *    ;* :       "   %,          #     

 ,     "  , "  —  $  .  #    #    #. ) 

 #, # ( (  "  )  : Q = FIt , (5.44) " F —  % F! !; I —   ; t — . _  F! !  !      

 #   ! . C  

,  "   ,   !   , 

       !  # (  " )  #,   "    F! !. &  "  . mA

414

 29 L"  / B      I 1 § 168. %% ! #-  "   #          :    . F     $ !#  ,  #        . G    m p = 1,6726 ⋅10–27 "  1840   * !(  #    . '       "   ,      * !       mn = 1,6750 ⋅10 –27 ". ) 

         M ( "       #  "  ),    N p = Z —    ,  #  

         B. /. G .       N n = M − Z .  #  "  " $  "  ,   " "        ,  #       "  .   ,  ,   *!#      . F #  # 

 *     MZ X   #   %: 11 p —  , 01n —   , 0 −1

e —     . . / #    ,  , *    : 16 8

O , 178 O , 188 O . F*$  #   # *# # D  

#     α -  %. +   !,       ,   

        

"  G   $ *# !     *$   : r ≈ 1, 2 ⋅10 −15 ⋅ M 1/ 3 ,  . G #    ! # %   # ( ..). G    ! "  "  126 C   12 ... G # $ # $  %  "   -

!  (=).  "    &(  E = mc 2    "     #. 1 ... = G= . K $ ,      %# 2 =   1 G=,     ,      106 2 = 1, 78 ⋅10−30 " .  G #     #   %  # *. 7. = 1, 6606 ⋅10−27 " = 931,5016

415

  7.   %

G     ... 0,00054858 1,007276

&   F 

" 9,1095⋅10-31 1,67256⋅10-27

G= 0,51100 938,28

  11 H

1,67356⋅10-27

1,007825

938,79

'  

1,67500⋅10-27

1,008665

939,57

§ 169. B!$3 3. $* , #-$3: ! _         $#    !#   %. '  # ",    $    !  !#   %#. +   "     . _    #,   ,  $    -  . } ,      # !,

    "   # . +        " #  ,      !   !#   %#. '    "  % # #,   ! # # ! . &  #  # #,  #  *    . /  

103   * !(     "    ,          %    #     . _# #,   $       $      ,  $        ,    

. =   #           " "   "  !          %# —   . /  #   $#  ,           10−15  . =    , # #     %  !#. G      m = m − Zme (5.45)

" !( #   *       Δm ,  #  6    # $ Δm = Zm p + ( M − Z ) mn − m , (5.46) " m —        ! "  ; m p , mn —  #    

*  "       

   ; me —      . &",  *      "      #,  #      . &"   E   #     E = Δm ⋅ c 2 , (5.47) " c —    !   ; Δm —   . 416

&"     !  .  ,  ,   "     28,4 G=. =           "   7,1 G=. &"    #        10 =, . .     !(. Ec M , G= 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

40

80

120

160

200

M

D. 207

<    #      "  ,    E    , . .  . ' ,  "     M 28,3 G= = 7,1 G= . ' . 207        ! !  " 4      . F   *!#      ,    ! "   " .      

"  G      !  "  ,  M ≈ 50   #    #,       G  $  . &    ,  *  $#   #     #. § 170. !#,$#( +    —         #   "  "   " " ,  

$       #   %. _         *# #  %    % "  A1. ' #  (  ,  ,    .)    1

    A! (1852–1908) —  % . 417



!  #      %#,  # *   #        *  !.          . D       !   " #,  # 

   *  " *P #,       #  #. F

    "   "  "          "        : α-  %#, β-  %#, γ-. α-  β-  %#         "      #   #.  ! ,    #  

  $#   , γ-    . /     ,  β-  %# —      ,  $  "      !, *         ; α-  %# —   ",  #  $      !   107 /; γ- —    " #

#  !      

# ( λ ≤ 10−10  ).   *  ,      #  %    : α-  , β-  , γ-   . D            % ,   

    . _     #       "  . F       #    . 76 -        M M −4 4 (5.48) Z X → Z − 2 Y + 2 He . F α-      "  ( *   " (5.48) *

 ^)

*      Y. F   #  α-  % —   ". ' ,  α-            : 226 222 4 (5.49) 88 Ra → 86 Rn + 2 He . ! -   *  ,   $#  !   

   ,    $     ,   $  

  !      "     . &"        "  (    ,  *#  *#  *!#. ` -        M M 0  (5.50) Z X → Z+1Y + -1 e + v . B    #    % * !(,    . F β-                v . %      

          . ' , β-    146 C     *  : C → 147 N + -10 e + v . (5.51) = β-   (   ! "      . β-    

$     γ-. \  -     *   #, *   #   ". F  ! γ-     "   ,  γ-           "  "  " . 14 6

418

F          #       #   . &", !,   !               $,       . F   "          :       M    #  *          . § 171. "#$ !#,$#*# &! F %      "        #  % ,       !,  "      , 

 $ . +   $ *$  !  ,       #  $  . F !     dN,     !     $ 

 dt,   %  ! dt          #  N: (5.52) dN = −λ Ndt . ) %   %  !   λ  #        . ;    #   ,   N !(  . / "   (5.52): N t dN = − λ ³ N ³0 dt , N0   N = N 0 e− λt , (5.53) " N0 —  

  (    !#    t = 0; N —    (     t. K  (5.53) # $          ,  "        (  *#      % !    .    !             T1/2. F      —   $  ,   #           "   . C  ! N = N0/2  t = T1/2,    (5.53)   N0 ln 2 0, 693 = Ne − λT1/ 2  T1/ 2 = = . (5.54) 2 λ λ F        #     #   

    10−22  10 28 , . .  10 21  .     ,             %

,  #    $ #  . F !   $   dt      dN . / ! # $ (5.52),   dN = λ Ndt . (5.55) 419

    !      "                

  (   . C%      /    *! (A),  #      . § 172. B!$3 0. B!$3 # }    #           "  "    #   % . &   % 

  #    M 4 M+4 Z X + 2 α → Z+2 Y  M Z

X + 11 p →

M +1 Z +2

Y + −10 e .

= #  % #     #      "       ,  : 14 4 17 1 (5.56) 7 N + 2 He → 8 O + 1 p , 27 13

Al + 01n →

24 11

Na + 24 He ,

(5.57)

Li + p → He + He . (5.58) C "       #   %    % * !(,    %,  %      "  ",  !(, " #  !   %. ' ,  * *     α-  %  ( % (5.56))   ! "  

  "  ! *  ("       . /  #     , &. J    ,    #  *    #  %  #  %. '  #     !#,          $ !  $#        !  %   "   #(,      α-  %. F          # $#  ( ,    .)    *#        #, *  2–3    .       $ "   #      . +*  ( !   %  -      #      " #    ,       ,  

$   γ-. F     *    #  #: * ,   %,    ". D %   #   1 235 236 (5.59) 0 n + 92 U → 92 U → N1 + N 2 +   # . 7 3

420

1 1

4 2

4 2

" N1  N 2 —  , *  ( !   %,  # #    . F %     ! *#  ,  $    236 92 U     10−12  .    %     1 235 141 92 1 (5.60) 0 n + 92 U → 56 Ba + 36 Kr + 3 0 n . =  %  #

* $   "   ", . .    235 92 U   * !(     #   . '  #, *  ( !   %,     "  ,  " # ! $  $ . F %   %  $   ! "    

". h   %      * *. C     235 239 92 U    94 Pu * !(    ,   # *#    $  ,  !  %   %    # . K # %#  %   #    .  "  " "  

"      #          . 208. =             $#  #   #  # 1  "  #   ! 2,           !(  .  $ 3  !    *  !  "     #  $  "       %           . F    $ 3

   !(    

   ,     —    .       

   $  

 " !    !    . 5 4

3

3 6

4 2

1

1

2

1

1

2 4 6

4 5 D. 208

"$#  ( #)    *   $   "  ,  # *  ,  *  "     #. +  $ !    4 $           $  !(   . ) 

           !   5.  , #     ,       ,  #               6.    !   "   " 

 *     "  421

(           ),  #      !(  *        ". =         

 ,

   ,

,  #  #, ", "# " . _#   #  !   # *   #     ,     , #    %,      "  $   ,      . . "      #    %  "    (#  ).  #  %    

#       (107 − 108 ) )  # "  "   ". /         #    ".  ,  ,         2 3 4 1 1 ' + 1 ' → 2 ' + 0 n

#  " 17,6 G= ( 3,5 G=   $#  ). F    "  "          ("   " 

*   " " "  ) #  "   5 =. =  (       #  "  3,5     * !(,   "     " ". F    #  " 0,85 G=   , . . 4   !(. +    !      % !  . B  "  *    !   ! ! #   #  $ ! *  (       *P. D * #     "      !   . +    #        

 «   »,

 #   $    " #  . D  * #   $      !   # !#   . § 173. #!3 *0 #$%2@: %$ D       *   !#    . & 



  !    \  –=$

 "  % “-  %  ”-  .   " –G    *    *,  !        ,     *

!   

  . *      $# "  . G$ 

  -     *   $   #    $,  1 =. β-  %  γ-  ,   "   ,   " ,    

* #   #,  #       "        . D #  %#   * "     #  #  . 422

=      !  % !#  #,  # "  #   %  γ-   

"   #   . =#(   ,

   ,    % !#    #  $   "     #  . =         $   %       $ *# !  "   . )       ##    $   (

 ,   . .).  % !   

     #   %#. F    ,   %#  

       #. F ##  ,  !    ,

*   ! $  , !  "  *    — #  $   %. B "  %   %  !  $ 6  . /      !    , *  #   * $. F            %#. § 174. #-. #3 #F%$ F  $ α-  β-  %, $ γ-  R- ( "  " )    $ #   #  !    $   . )    %     "   

 $ # " #     . '#    B  #      ,     ( "  "  ΔW ,      * "  ,    Δm  "  : ΔW B= . (5.61) Δm C%  "    #    " (). 1  —    ,          1 "    "  "  1 B$: B$ [ B ] = 1 = 1  . " F "       % !  ,   

          " * B 0 , %         

. C%  % ) —      "    # *    [ B 0 ] = 1 " ,              "   ,    "    , 

* $# * 

    1 "      !      *      ,   1 ). 423

D   %      !  "  (D),  "        ( ): ) 1 D = 258 , 1   = 0, 01  . " B  #   $

 "     !    *,          %. !   %#,  #,   #, *# #  #  

 * !(   "  ( " ,  β-  %#, γ-  R-. + *

 #      . B % *  " "

  

         B * ,         %      B 0  

 (: B * = B 0 ⋅ +A& . (5.62) " +A& — # #  % ,  # #      66 $. +A&   #  ,

 !       "   $   !  #(    γ-  R-,     " 

#   

  

". = *. 8 

  *$#   +A&   #  . F

   "   #  , !       *  "  .   8

=  R-, ”-  “-  G#   # A# #   # F # •-  %# +  

+A& 1 5 10 10 20 20

+* "     9  . _#

# #, #   #,  "    , " #   #,     # *#

#,    —    (" *. =  * *   " $    226   #      "   $ ( 146 C , 40 19 K , 88 Ra ),

        (  ! "   #   %. [   6   %     25 )/" " . F!       !      $  #( ! 1,3 )/" " . +    $        424

( 75 ÷ 150 ) )/" ,

       * " -

"  . + (" α-  $    !     (   

 ),      %# -   "  *" "  "   .          α-  %  ! "  . B   # γ-, R-    #      #  "    #   % , $ , *  ,  . F        " #  *    !   β-   #   % 90 38 Sr ,         " T1/2 = 28  . F    "  

,       #,     #   %      "           ! " *    "  " .   ,   $  #  #   #(      !   #  *    "  ,     # *

"       . § 175. -$$3 03. L%$!-$($3 ,-#!,    #   ! (   %#     #     #   * !( %#. G# $ #   #  #   %#: 6 —   #    "  " ,    ,  

    , , *     *    . =         #( 500  #   %. G "  

               . & #   %# "            # ,       %. A !(

 #   %  !      $:  #   #  $     ("

 . &    %    : 6, ,    . '   , #,  ,  " #  , $    10–8 c,    "    "  . A #  $  ! !   ,      *      "   % . =  #   %#      " " . F         %  *   $     "   %#,  #       #,  $    

   .      #     %      !# 



. K   #   %    ,  # *    

  $#        " #  425

. F      %#     %     :   %#      γ-  *  "   %# "  . ' ,             $      : e + + e − → 2γ .1

F %, * # "%,  #         : γ + X → X + e+ + e− . =    %     *              $  " γ −       .   ,         *#:   %     "   "   %. F   #,

  $     % ,    !   *  $     %,     #       . F     #   % #     #    ",  #, ! ,   "    . & #   %#   % !    (   #   6      . D    #    !#    : ! ,    "  ,  *   "  %  . &   

*  

 #         # .      *   

  ,      . &            #   %,     . \             " " . C  !  1     ! ! "    ,     !    "  "        ~ 10−3 ,  * " ~ 10−14 , "  %  " ~ 10−40 . & #   %#     "#. 1. '     . =   "    # —   #    "  "  ,  2 —   # "  %  "  ,    —    *#      $ —   !#    . 2. 7 —  #  " #    #   %,  #,       " #   *#,    !     . )         ( ,   , " ),  (π- , K- )     .  "  "  1 2

426

+*     %    *% 9. & ! "  #   "  #.

   G. -G   B. h "   # ( #  *  #)      ,  #   ( !   (   ): u- , d- , s- , c-   #  , b-   t- . ) $#      $  !  %  #      ($ #,    #). 3. > —  #   %#,     ! 

   . '  #   ( !   (  ,       ,  ,      , -   -  )  ( !    . F " (    $   #   

 $ ( !,      #  #   %       # (#)   % . 2 )  *    *#     ,  # + e 3 1  − e . ;!  —      . )  " ,      3 2 1    − e  + e . ' ,        "     3 3 "    , *   —     ,  *   —      . & !   * $ !    !.   ,     #     ,     #  *  . F  #         

* #,    #     $  !  #.       $    ! *# 

    #     . F      #     . 

 $(  #   %  # *. 9.    %#  " *  # ! # . = 1969 ".  (          *#    -3,     "            "     , *   —        . F "%     



*   ”-  #, *   * !(  ".

427

  9

'     %#

F 

   

J       F $ # *  # '      '    

E #

G  

 # '   

 #

  

 # A  

 #

    

 #

'     &   G   -  F- # ( #)

G  , G=

&.  

0 0 0 —80000 —90000

0

= $,   *  *

0 ? ?

ve

ve

0

0

 *!

v˜

vμ

0

0

 *!

v™

vτ

0

0

 *!

–

+

0,511 105,66 1782 134,96 139,57 493,67

–1 –1 0 0 1 1

 * 2,2⋅10–6 3,4⋅10–13 8⋅10–17 2,6⋅10–8 1.24⋅10–8

0

497,7

0

e – 4– €0 €+ !+

e + 4+ €0 €– !–1

) - # ( #)

!0

!

& -!- 

š0

š0

548,8

0

10–18

F 

p

p

938,28

1

 *

'  

n

n

939,57

0

918

E* -" 

›0

Λ

1115,6

0

2,6⋅10–10

Σ+

Σ

+

1189,37

1

8⋅10–11

Σ0

Σ

0

1192,48

0

5,8⋅10–20

Σ−

Σ

−

1197,35

–1

1,48⋅10–10

Ξ0

Ξ

0

1314,9

0

2,90⋅10–10

Ξ−

Ξ

−

1321,3

–1

1,64⋅10–10

Ω−

Ω

−

1672,2

–1

8,2⋅10–11

" -" 

)-" # +" -   %

428



     % % ” ” G gi W+ – Z0

0

! S0 − 8.9 ⋅10−11 K L0 − 5.18 ⋅10−8

   A B "  "! 80. '         λ    ,     ,       !(     t = 1    18,2%.

$#: t = 86400  k = 18, 2% = 0,182 λ=?

C$. '  λ ,

 ! (!          "    : N = N 0 e− λt , (1)  N = N 0 (1 − k ) . (2)

F     (2) (1), #  λ : (1 − k ) = e− λt .

(3)

E "    (3): ln (1 − k ) = −λ t ,



λ=−

ln(1 − κ ) ; λ = 2,3 ⋅10−6 c−1 . t

,: λ = 2,3 ⋅10−6 c −1 . "! 81. )    

 # Q #             ! A = 3, 7 ⋅1010 A : )   $ t = 1  ; *)  

 $ τ ? )   " #      α-  %# E = 5,5 G= .

$#: A = 3, 7 ⋅1010 A t = 3600 

C$. ) 

α-  %, #  ( 

 t : N = At .  , 

    " E α — −13 E = 8,8 ⋅10 B$   %       : Q1 = ? Q2 = ? Q1 = E N = E At ; Q1 = 117 B$. F         : T1/ 2 = 3,82  ≈ 3,3 ⋅105  .   $      "  ™  $   !         : T τ = 1/ 2 . ln 2  "   τ #   

 #: 429

T1/ 2 ; Q2 = 15,5 B$. ln 2 ,: Q1 = 117 B$; Q2 = 15,5 B$. Q2 = E Aτ = E A

"! 82. '   "     " 42 He . C$. &"         E = Δm ⋅ c 2 , (1) E = ? " Nm —   #; —    !   . B  # Δm  "   !    ! $     

* #           *  ("     : Δm = ( Zm p + Nmn ) − m ,

$#: 4 2 He

" Z —  

  (   ); m p  mn —            

   ; m —    . C  !,  m = ma − Zme , m p + me = m1 H , 1

N = M −Z ,     #  $   ! *   *   # : Δm = Zm1 H + ( M − Z ) mn − ma . (2) 1

;! = —  

  (   ); N —     ; m1 H —   

   ; ma —     1

(      " 42 He ). =#   # # 

 # %  ( ...). B  4 2 He → Z = 2, M = 4 . )   " : m1 H = 1, 00783 ... , mn = 1, 00867 ... 1

G    ! "  42 He   m = 4, 00260 ... F       (2): Δm = 2 ⋅1, 00783 + ( 4 − 2 ) ⋅1, 00867 − 4, 00260 = 0, 0304 ... 430

F   (1) #  ,   E = 0, 0304 ⋅ 931, 4 = 28, 6 G=. ,: E = 28, 6 G=. "! 83. )     m   235 92 U       t = 1        %    ! P = 5000 = ? )FB  !  # 17%.  !,    $       #  " Q = 200 G= .

$#: t = 86400 c P = 5 ⋅106 = η = 17% = 0,17 Q = 3, 2 ⋅10−11 B$ m= ?

C$. &", #      N    : QN = NQ . K #  )FB,   ",    * : Pn = NQη .

=#  Pn     !    %: NQη = Pt . (1)    (  m N = NA . (2)

μ

" μ —        ; N A —  

"  . F   # $ (2) (1),   m N AQη = Pt .

μ

+  m=

Pt μ ; m = 31 ⋅10−3 ". N AQη

,: m = 31 " .

431

;)EzC'/C «/  —    #  %  $   " 

 $ 

" .» G. "$ 

+$       .    " *#      !  ,   ! "   ,   !   # " 

     . '     ( #  !    "   %       * *  #   

       #  (J)G). G       —   !  #,   !  !  " #(              . =    $       *  —     ,

,  $,   ,      . &       ,  #  "  ,    #  # $#  #  . = 1687 ".     /. '!  «G        !    »,    *#   #  #   #   —       $        !# . ;  # '!  "         

(G)G). A !(       G)G  #    : B  , &,  , ),  .  "  G)G       *   #   %,  #     #    $ 

         . =    $         ! "  % # . &         *  * !(     !, . . "  (   ). G       %  "  %. '!       

   $. F   

—  "     *    $  !  . = —  "        

 =       !  !. G)G "  

          . = 1873 ". G     *       "  "  . '  G)G (         (&)G). C       B. ). G  , . G. , G. J  , ^. . E %  .  "    &)G   —   !     ,        

.   G    $  ,          

    " #          !,           (  ). &)G    !    " #   *P   ,  

     ,   #         . 432

 "      !   . &(     

    #  #  , *     #     

–

. F   "       

  ,       #. +     !        *P !   

$ "     !. '  &)G (  -  6       .     

      %   *  # 20-"  : G. F , &. D , '. A , . &( , E  A !, =. *", &. @", F. B , G. A , =. F , &. J, E. B. E  , D. J   . )      

   !        #,        *P !      B. /. G . +  !               #        !      !    . F %   –



"        #  , . .  $ *  ! *  #, *

 # 

 . = $(    $      ",         . ;  #    * # 

     #. F   

    #,    

—    . +    !     

        ! ,     !  —        ",     !     —          ! . &    #  *        

 . =      # 

  " #    #  «   #»   %. F  #      %   " *# !  . ^  

  

     $#  " #  !#      ,        . & #   %#        " " . &     

    #    !#    : "  %  ,    "  ,  *   ! . J  !#

       *#,     %       %# *      

    . =         #      ,    *P *#  , #  "  %  ,    "  ,  *   !      ( *P). '    #         (.  *$       *    % ,    ! *$            !  . ' , %    « *  »     ,  433

  

  :    *P  #   

     "  !(   .  !         *P   !#      

      !,  

   —  



 %. ) $             !  !,       #     !   "     . =   " *         " %#   . ;   " %   "  % 

   « *  » "   ,  %   #,         #  . / ,       

 ,       #         *      # . /         . F  !  

(   "*     ,   %    "    * #.

434

!-$#--$$# %( *  # !   117  * 151  # 426     ! 420 ! -   418  . G. 247  5, 223, 247   91    345    349 "% 426    418   117, 375 -

    

   390 - -   A  377 H  412 A  # 428 A -   418 A  # 428 A !%  E " 128 A  '! 377 A ! E  383   236 = 34 = --= ! 165 =* 255 =  %  "   243 -  $      "  " 267 =   $         " 187 -      224 -   % 202 -  

 313 -     9, 10 - K –F  " 296 -   11 - -   ! " 11 - - "% ! " 11 -   "  204 =  28 =

4 -       352 =    "  %   27 - $   117 - !  27, 426 -  *  27, 426 -    "   27, 426 =  *"  104 -  A  383 -    110

=   "   313 -       313 -    338 -    104 -    338 -    104, 295 -   !  104 -    107 -   328 -    "   293 = ! 191 = 4 -     8 -   % 101, 278 =#   111 =  ! 144 /  # $# 407 -  !# 119 -  !# 165 -   # 223, 406     76   - 418     # 401  277 %  295 *" = 384    266 -  A  383 - F  366    57   207, 271  # 426   "  335   % 66   # 426   68, 192  423    !   111 " ^   327

 120 - "    178 -  *

  174 -    166 -    173 -  % !  122 -   366 B  % 28, 181 B " ! # 146 - 

 158 B $ 4, 7

435

B $ *    118 -   !  15 - 

  13 -  * !  94 -    7 -   10 -    !  7 -    9 -     9 - 

 117 B

    349 B    102, 290 B z. '. 340 B       27 B  #  417 B$ ! B. F. 191, 229 B  "  268 B    #   # 135 B  26 B  # 237 -  

 # 410 B !   199 B

 106, 359 -   358 - "  334 B %  (  335 - - -       335 - -  336 -   330 - J "  327 - J 332 B   306 B 136 B  352 B  201 -  !#  # 201 -  !#  # 201 B    %   ! 185, 204 -



 ! 203 B

# 105, 295 - - *    383 - -      369 - 

*  "  *"   135 B *   !    290 B   423 B # 208, 271 B 233 B   

-



 370 B# 408 %#   5 - - -  # 4 - - -  

# 5 N  !, 

 179 436

f  '. C. 55 "   

"  119 -  247 - A –  –E   244 - A –G  147 - A !%  128 - A  346 - A" 361 -      #  " 83 - = 364 -  " "  28 - -E  149 -  29, 182 -  $ %    31 - B !  122 - B$ –E% 229 - % 26 - ) 66 - )"  362 - )   121 - )  185 - ) 269 - E" 237 - E% 276 - G   122 - G  345 - G  400 - '!   #,   26 - -   27 - -   " 137 - +  %    230 - - % !    226 - -     % 226 -  $ 301 - F   127 -   "  264 -   "        301 -    "   "    

* #   142 -         " 419 -     "  $     82 -      184 - - ! 31 - -   ! 55 - - " 37 -   302 -       " 85 -    –A !%  364 -   364 -   " 138 - J   276 - J 136

;   J! 137 - @  148 ;   *# 187 -    203 - # 184 -   184 -  # 184 -   415 ; # % # 209 -   # 203 ;     405 -    405 - 

   405 -  (  405 ; # J 327  %   399 -       418 -  "   398 - -      399 - 

 362 / *  149 /  %# 147 /  147 - = --= ! 166 /    !     51 /   148 /!  29 -   367 /    ! 276 -    277 /%    277 -  "   243 -    "   276 /    !   110 /   # 322 /   234 /  %  234 /  &B 225

 5 )   ! 175 )    159 )  365 )!  5 ) / "  66 )  241 ) "  5 )  7 )  D ! 161 ) "   ! 315 ) *    #$# 101 - "   90, 288 -    101, 289

) *     287 - 

* # 90, 288 -    " # 287 - - #$# 290 ) 

 118 -  # 144 )   412 ) !% '!  321 )     ^  368 )  # 210 )    * !# 288 )      68 ) %  136 -    102 -  $ 349 - F! ! 414 -  "  361 - F   152 -  

   137 -   " 137 - -  !$ 29 - "   28 )FB  159 - % )  159 ) # # 181 -  # 181 )  D 334 )  184  # 400 E #    401 -   # 237 E* F. '. 368 E% &. ^. 229, 276 E # 427 E# 303 E    $       " 186 - - %  "   243 - -    " 204 E % ^. . 252 E  *# # 350 - *# # 350 -  

 301 E ! -, * -, "  418  "  266 G "  A  394 G "    %   ! 268 G   B. ). 122, 250 G   % # 334 -  % # 315 G  26 -    118 -    83 437

G       83 G  4 G      93 -  94 G # 426 G 175 G    J 327 -      116 -    116 G  5 G  7 -    7, 383 -    7 -      7 G  % # 333 -  % # 315 G   375 G !  ! " "  119 G ! z" 182 G  118 G ! 5, 118 G    " # 265 -     199 - ! 50 - -  * #() 394 - % 52 - -  $, % , (  54 - -    " * 53 -     "  " 243 -   50 - # 50 -    264 G   # 181 G   ! 34 -  228 - !    229 G # 428   "  ! 266 ' $  ! 67 -     200 - - "  %  " 67 - -  "  " 268 - -   " 185 ' $ 226 -     411 -  *  235 ' $      173 '      

 145 - -   158 - -  ! 164 '    ! 28 '  418 '   415

438

' ! 351 ' 

)  161 '! )!  117 '  415 '!  /  26 *     # 396 +*   !  302 +*P   167 + 226 +   !  36 - E   107 +  301 - "    301 -      323 +# E* 366 - @  126 - @     395 +# # B    B$ 383 - J   % 379 +     G) 121 +%  90 - "   90 +!    306, 350 +  ( "  "   264    "  268 F   #   165 F     -# # 410 F   *  92, 288 - *  16 -     419 F  "  207, 271 F  236 F  G  365 F      330 F # 50 -   199 F   !   % 344 -   !  303 F   !     196 - - *P  189 - -      193 -   " 109, 296 -  223 - -  288 -   !       "   362 - "    "  " 278 - - -     " 215 F      $ 174 F   !

  104 -   % !  192, 209 F "    360 F    426

F   !  * # 150 -   301, 304 F  "  %   66 - 

 250 -  "   242 -     66, 186 -  % !  66, 190, 249 -  "

" 242 - -  " 244 - %  !  186 -    

 250 -      186 -    "   286 F   181 F  #   "    322 -    # 322 F 

 407 F  %   343 -   202 F    ! 202 -     207 F   352 F    %  "   315 - -  315 F    

"  118 - A !%  128 - = 364 - "  %   28 - )   368 -  "   244 -    "   121 - F  366 -         " 419 - (   %   333 - D*" 379 -    –A !%  364 - ^  254 -    185 F   # A  377 - &(  78 F %    "  %  " 67 - -     " 190 F     $   187 - %  "   255 - " 109 F  % 277 F  )"  231 -  

" 245 -  

 247 - - 

 277 F *     76 - E % 78

F =    352 -   –J 352 - '  351 F% 57, 265 F% " 327 - " –J 327 -  !   77, 432 -        26 -   !     76 - - &(  78 - F  396 - 

   A  388 -  %   187 - J 301 F    316 F

  !  

   409 - - #   409 - -  *   407 - -     409 - p-n-  410 - !  224 F   

4 -     8 -     8 F      324 F  415 F %  * # 150 -  * # 150 -   # 148 -   147 -    # 162 - "

 (%) 158 -    116 - -  * # 158 - - * # 158 F-% 385 F ! 9 F  !

#   107 F!   208 * 32 -  "     255 -    152 - #        237 -   % 235 -    32 -   # 32 - # 33 -    " 228 -    34 D   

 116 -     362 D   5 439

D      ! 417 D -   8 -     " 173 -  # 15 D   !  %  191 - -      412 -  

 314 - - -    314 D  "  # 235 -     !# 235 -     !# 235 D  A !%  127 - G   123 - J–B  406 D   # 421 D %    422 - %  421 -   420 D  & 375 D   103, 292 D * % 234 D(   %   333 -    J 336 -    181 -   (     ) 335   % 277  

  ! 234   # 316 -   # 343 -   #   343 - -    343     ! "   362  !  $     %  192 "   207  5  A ! 377 - E   377 - F ( , F 377    "   350  26 - "  %   28 - % 71 -      33, 190 -  %    208, 272 - E % 252 -    # 303 -     "  $ 174 -     $  413 -  223 -   !$ 29 - $  28 - "   28 - %  *$  71

440

    $  225 - - % 276 #   "     117 -    225 - # 416       33 - % / 5 - % !  26 -      33 - 

 8 - % !  70 -  8 -     117    !

 "  360 - "   10 -      126 -    294, 304 -  10 -      120, 126 - "  15 -    106, 295  $  *    # 98 - -  "    95    174    250 

 (     *" 384     226 -     292 -     292 -     292 - * 228 -    292 - !  226   

   376 -  # 358     265, 391  !   % 346 - 

* #  $ 143     5      347     181 -     181 -    180 -      116 -  8 -  *  158 -   363 -   8, 181 -   363 *   111   116

     234 -     117 - J 407         "  " 255 - - - -     "  187 - - - -   204 - E   266 - ' 164 - %% 191, 249 - @  54      357 - G      "   283 -   -   123 -   !   % !  77 -      365 -     146    !  144 -    146 - !  144  

  ! 137    142    413  243   % # 277 -  # 235, 366 -   # 223 - 

   223 -  284 -   223    250   %    177   ) 209, 272 -   !  8 -    166    9    136   # 237 -  

 # 410 * F 180 "  A  346 - !# 304 -  !$ 335 K  " 38 - " 39 K

#   107 - (     181 - %    231 K  !  "       121 K   * # 151 - A 178 - = --= ! 165 -

# *" 105 -

#   107

K   $    9 -     ! "  $ 56 -  * # 150 -  # 147 -   # 148 - )   121 - )   –G 121 - G  147 -   51 -  #    177 - F   151 - K 109 - @" 385 - &(     (" 366 K  G       "  "   283 K ! J 407 K  11 -   !  11 - "% !  11 - "

 16 L   *  92 J   210 J   G  276 J  "  271 J"# E $ 100 J   375 -    116 J  % 125 J  *     126 - A ! * *  379 - =! –A"" 335 - E   175 - '!  137 - F  365 - D   –B(  238 -    288 -   # 303 J # J 346 J  367 J 

  ! 367 J   !# 367 - ( 365 -   367 J 



 105 J%

  385 -          124 1    31 -   # 305 h )  159 - * # 158 -   158 441

h% 191, 268   %#   !# 415 -  *!# 425 -  # 425   16 -  *  92 - -     103 - -  *   92, 288 - - %  92, 288  

"  119, 144 -



 105, 294 -  

 "   387, 390 - -  "   390 - - * !  390 - - 

 391 -   

* #   142 A 

    " # 297 -        116 (  !* 78, 366 &    ! 210 - ; 210 -      " 211 - -  " 211 - - % " 211 - 

 210 - (  210 &   415 -  # 409 - 

* # 410 &  -

! 415 &    184 & 236 &  412 &" 32 -   144

442

&"

# 109, 296 -   365 -    32 -    212 -    82 -    37 -    "  " 243 - -   " 213 - 

 212 - -    "  52 -  % !  35 -    416 - - - !  417 -  # #   213 & ! 149 &   163 &  ^  )   243 &  !# 367 - "   57 - ;  395 - ) 353 - )   368 - !   208 - J   355 - ^  253 B  ;* 413 - F! ! 414 -   "  $ 304 -    414 -    "   % 275 _   # 174 -   136 _  415 _  % !  387 _ ) 133

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Часть 1. Физические основы механики Глава 1. Кинематика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 § 1. Механическое движение. Кинематическое уравнение движения . . . . . . . . . . . . . . . 7 § 2. Скорость движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 § 3. Ускорение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 § 4. Движение тела, брошенного под углом к горизонту . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 § 5. Вращение тела вокруг оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Глава 2. Динамика поступательного движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 § 6. Законы И. Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 § 7. Силы в механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 § 8. Импульс тела. Закон сохранения импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 § 9. Центр масс. Закон движения центра масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 § 10. Энергия, работа, мощность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 § 11. Кинетическая и потенциальная энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 § 12. Закон сохранения энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 § 13. Соударение тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Глава 3. Динамика вращательного движения твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 § 14. Момент силы. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса . . . . . . . . 50 § 15. Момент инерции. Кинетическая энергия вращающегося тела . . . . . . . . . . . . . . . . 52 § 16. Момент инерции некоторых тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 § 17. Основной закон динамики вращательного движения. Работа и мощность при вращательном движении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 § 18. Гироскопы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Глава 4. Гравитация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 § 19. Законы Кеплера. Гравитационное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 § 20. Космические скорости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 § 21. Неинерциальные системы отсчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Глава 5. Элементы специальной теории относительности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 § 22. Преобразования Галилея. Сложение скоростей в классической механике . . . . . . 76 § 23. Относительность одновременности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 § 24. Постулаты специальной теории относительности (СТО). Преобразования Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 § 25. Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии . . . . . . . . 83 Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Глава 6. Механические колебания и волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 § 26. Гармонические колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 § 27. Физический и математический маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 § 28. Сложение гармонических колебаний одного направления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 § 29. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 § 30. Затухающие колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 § 31. Вынужденные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 § 32. Механические волны в упругой среде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 § 33. Уравнение плоской бегущей волны. Волновое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 § 34. Стоячие волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 § 35. Энергия и интенсивность волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 § 36. Звуковые волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 443

Часть 2. Основы молекулярной физики и термодинамики Глава 7. Основы молекулярнокинетической теории идеального газа . . . . . . . . . . . . . . . § 37. Понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 38. Основные положения молекулярнокинетической теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 39. Количество вещества. Масса и размеры молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 40. Основное уравнение молекулярнокинетической теории идеального газа . . . . . § 41. Уравнение состояния идеального газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 42. Закон распределения молекул по скоростям (закон Д. Максвелла) . . . . . . . . . . . § 43. Барометрическая формула. Распределение Л. Больцмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 8. Явления переноса в газах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 44. Средняя длина свободного пробега молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 45. Опытные законы явлений переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 9. Первое начало термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 46. Внутренняя энергия идеального газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 47. Работа в термодинамике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 48. Первое начало термодинимики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 49. Кинетическая теория теплоемкостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 50. Изопроцессы в газах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 10. Второе начало термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 51. Круговые обратимые и необратимые процессы. Цикл Карно . . . . . . . . . . . . . . . . § 52. Неравенство Клаузиуса. Энтропия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 53. Энтропия и вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 54. Второе начало термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 55. Реальные газы. Уравнение ВандерВаальса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 56. Изотермы реальных газов. Фазовые переходы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 11. Жидкое и твердое состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 57. Поверхностное натяжение жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 58. Смачивание. Капиллярные явления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 59. Элементы динамики жидкостей и газов. Уравнение неразрывности . . . . . . . . . . § 60. Уравнение Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 61. Применение уравнения Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 62. Твердые тела. Кристаллические и аморфные тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 63. Механические свойства твердых тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Часть 3. Основы электродинамики Глава 12. Электростатическое поле в вакууме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 64. Электрический заряд. Закон Кулона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 65. Электростатическое поле. Напряженность электростатического поля . . . . . . . . § 66. Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 67. Потенциал электростатического поля. Циркуляция вектора напряженности . . § 68. Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом . . . . . § 69. Применение теоремы Гаусса к расчету электростатических полей . . . . . . . . . . . Глава 13. Электростатическое поле в веществе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 70. Электрический диполь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 71. Электрические свойства диэлектриков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 72. Поляризация диэлектрика. Напряженность поля в диэлектрике . . . . . . . . . . . . § 73. Вектор электрического смещения. Теорема Гаусса для диэлектриков . . . . . . . . . § 74. Условия на границе раздела двух диэлектриков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 75. Сегнетоэлектрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 76. Проводники в электростатическом поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 77. Конденсаторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 78. Энергия электростатического поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

116 116 117 118 119 121 122 126 129 135 135 136 139 142 142 144 145 146 147 154 158 158 161 163 165 165 166 168 173 173 174 176 177 179 180 182 184 184 185 187 189 192 193 199 199 201 202 204 205 207 208 210 213 217

Глава 14. Постоянные электрический ток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 79. Условия возникновения электрического тока. Сила тока. Плотность тока . . . . . § 80. Электродвижущая сила и напряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 81. Закон Ома для однородного участка цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 82. Работа и мощность тока. Закон Джоуля–Ленца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 83. Закон Ома для неоднородного участка цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 84. Правила Кирхгофа. Расчет разветвленной электрической цепи . . . . . . . . . . . . . . § 85. Электронная проводимость металлов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 86. Электрический ток в газах. Самостоятельный и несамостоятельный разряды . . § 87. Понятие о плазме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 88. Электрический ток в вакууме. Электронная эмиссия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 15. Магнитное поле в вакууме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 89. Магнитное поле тока. Индукция магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 90. Закон Био–Савара–Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 91. Закон Ампера. Взаимодействие проводников с током . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 92. Рамка с током в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 93. Циркуляция вектора магнитной индукции. Теорема о циркуляции . . . . . . . . . . § 94. Магнитное поле соленоида и тороида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 95. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле . . . . . . . . . . . . § 96. Эффект Холла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 97. Магнитный поток. Теорема Гаусса для магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 98. Работа, совершаемая при перемещении проводника и контура с током в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 16. Магнитное поле в веществе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 99. Магнитные моменты электронов и атомов. Атом а магнитном поле . . . . . . . . . . § 100. Намагничивание вещества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 101. Диа и парамагнетизм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 102. Условия на границе раздела двух магнетиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 103. Ферромагнетизм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 17. Электромагнитная индукция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 104. Законы Фарадея и Ленца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 105. Явление самоиндукции. Индуктивность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 106. Энергия магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 18. Основы теории Максвелла для электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . § 107. Вихревое электрическое поле. Первое уравнение Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . § 108. Токи смещения. Второе уравнение Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 109. Полная система уравнений Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 19. Электромагнитные колебания и волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 110. Свободные электромагнитные колебания в контуре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 111. Собственная частота колебаний в контуре. Формула Томсона . . . . . . . . . . . . . . § 112. Затухающие электромагнитные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 113. Вынужденные электромагнитные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 114. Резонанс в цепи переменного тока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 115. Электромагнитные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 116. Энергия электромагнитных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 117. Шкала электромагнитных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

255 258 264 264 266 268 269 271 273 276 276 277 278 280 283 283 284 285 287 287 288 289 290 292 293 296 297 298

Часть 4. Оптика Глава 20. Элементы геометрической оптики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 118. Законы геометрической оптики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 119. Линзы. Формулы тонкой линзы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 120. Построение изображений в линзах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

301 301 303 305 310

223 223 225 226 228 230 231 232 234 236 236 238 243 243 244 247 248 249 250 252 253 255

445

Глава 21. Интерференция света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 121. Уравнение световой волны. Условия интерференционного максимума и минимума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 122. Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников . . . . . . § 123. Методы наблюдения интерференции света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 124. Интерференция в тонких пленках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 125. Интерференционные полосы равного наклона и равной толщины . . . . . . . . . . . § 126. Кольца Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 127. Применение интерференции света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 22. Дифракция света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 128. Принцип Гюйгенса–Френеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 129. Метод зон Френеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 130. Дифракция на одиночном отверстии и экране . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 131. Дифракция на одиночной щели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 132. Дифракционная решетка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 133. Дифракция на пространственной решетке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 134. Физические принципы голографии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 23. Поляризация света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 135. Естественный и поляризованный свет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 136. Закон Малюса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 137. Поляризация света при отражении и преломлении. Формулы Френеля . . . . . . § 138. Двойное лучепреломление. Поляризационные призмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 139. Искусственная оптическая анизотропия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 140. Вращение плоскости поляризации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 24. Дисперсия света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 141. Электронная теория дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 142. Поглощение света веществом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 25. Квантовая природа излучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 143. Тепловое излучение. Закон Кирхгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 144. Законы излучения черного тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 145. Формула Планка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 146. Фотоэлектрический эффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 147. Фотон. Давление света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 148. Эффект Комптона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 149. Корпускулярноволновой дуализм света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Часть 5. Элементы физики атома и атомного ядра Глава 26. Строение атома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 150. Модели атома Томсона и Резерфорда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 151. Спектр атома водорода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 152. Теория Бора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 153. Опыт Франка и Герца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 27. Элементы квантовой механики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 154. Гипотеза де Бройля. Дифракция электронов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 155. Соотношение неопределенностей Гейзенберга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 156. Волновая функция. Уравнение Шредингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 157. Частица в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 158. Атом водорода. Квантовые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 159. Магнитомеханические явления. Спин электрона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 160. Опыт Штерна и Герлаха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 161. Принцип Паули. Периодическая система элементов Менделеева . . . . . . . . . . . § 162. Рентгеновское излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

313 313 315 316 318 320 321 322 324 327 327 327 330 332 333 335 335 341 343 343 345 346 349 353 354 356 358 358 360 362 362 363 365 365 367 368 370 371 375 375 376 377 379 381 383 383 384 385 387 390 393 395 396 398

§ 163. Индуцированное излучение. Лазеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 28. Элементы физики твердых тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 164. Энергетические зоны металлов, диэлектриков и полупроводников . . . . . . . . . . § 165. Полупроводники. Собственная и примесная проводимость полупроводников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 166. Полупроводниковый диод и транзистор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 167. Термоэлектрические явления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 29. Физика атомного ядра и элементарных частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 168. Структура ядра атома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 169. Ядерные силы. Энергия связи атомных ядер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 170. Радиоактивность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 171. Закон радиоактивного распада . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 172. Ядерные реакции. Ядерный реактор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 173. Методы регистрации ионизирующих излучений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 174. Дозиметрия. Дозы облучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 175. Элементарные частицы. Фундаментальные взаимодействия . . . . . . . . . . . . . . . Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Предметноименной указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

400 403 405 405 407 410 413 415 415 416 417 419 420 422 423 425 429 432 435

447

Николай Михайлович РОГАЧЕВ

КУРС ФИЗИКИ Учебное пособие Издание второе, стереотипное

ЛР № 065466 от 21.10.97 Гигиенический сертификат 78.01.07.953.П.007216.04.10 от 21.04.2010 г., выдан ЦГСЭН в СПб Издательство «ЛАНЬ» [email protected]; www.lanbook.com 192029, СанктПетербург, Общественный пер., 5. Тел./факс: (812)4122935, 4120597, 4129272. Бесплатный звонок по России: 88007004071 ГДЕ КУПИТЬ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИЙ: Для того, чтобы заказать необходимые Вам книги, достаточно обратиться в любую из торговых компаний Издательского Дома «ЛАНЬ»: по России и зарубежью «ЛАНЬТРЕЙД». 192029, СанктПетербург, ул. Крупской, 13 тел.: (812) 4128578, 4121445, 4128582; тел./факс: (812) 4125493 email: [email protected]; ICQ: 446869967 www.lanpbl.spb.ru/price.htm в Москве и в Московской области «ЛАНЬПРЕСС». 109263, Москва, 7я ул. Текстильщиков, д. 6/19 тел.: (499) 1786585; email: [email protected] в Краснодаре и в Краснодарском крае «ЛАНЬЮГ». 350072, Краснодар, ул. Жлобы, д. 1/1 тел.: (861) 2741035; email: [email protected] ДЛЯ РОЗНИЧНЫХ ПОКУПАТЕЛЕЙ: интернет*магазины: Издательство «Лань»: http://www.lanbook.com «Сова»: http://www.symplex.ru; «Ozon.ru»: http://www.ozon.ru «Библион»: http://www.biblion.ru Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 30.06.10. Áóìàãà îôñåòíàÿ. Ãàðíèòóðà Òàéìñ. Ôîðìàò 60×84 1/16. Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Óñë. ï. ë. 26,04. Òèðàæ 1500 ýêç. Çàêàç ¹

.

Îòïå÷àòàíî â ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè ñ êà÷åñòâîì ïðåäîñòàâëåííûõ ìàòåðèàëîâ â ÎÀÎ «Äîì ïå÷àòè — ÂßÒÊÀ» 610033, ã. Êèðîâ, óë. Ìîñêîâñêàÿ, 122