kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet
r n gUMEROW .
.
|lementy ob}ej topologii u^EBNO METODI^ESKOE POSOBIE -
kazanx
...
173 downloads
307 Views
556KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet
r n gUMEROW .
.
|lementy ob}ej topologii u^EBNO METODI^ESKOE POSOBIE -
kazanx
- 2007
pE^ATAETSQ PO REENI@ u^EBNO-METODI^ESKOJ KOMISSII MEHANIKO-MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA kgu
gUMEROW r n |LEMENTY OB]EJ TOPOLOGII u^EBNO-METODI^ESKOE POSOBIE. | kA.
.
.
ZANX: kAZANSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET, 2007. | 90 S.
w OSNOWU KNIGI POLOVENY LEKCII SPECIALXNOGO KURSA PO OB]EJ TOPOLOGII, NEODNOKRATNO ^ITAWEGOSQ AWTOROM STUDENTAM MEHANIKO-MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA kAZANSKOGO UNIWERSITETA, SPECIALIZIRU@]IMSQ PO FUNKCIONALXNOMU ANALIZU. kNIGA MOVET BYTX REKOMENDOWANA STUDENTAM I ASPIRANTAM FIZIKO-MATEMATI^ESKIH SPECIALXNOSTEJ UNIWERSITETOW.
pREDISLOWIE w KNIGE IZLOVEN MATERIAL SEMESTROWOGO SPECKURSA, NEODNOKRATNO ^ITAWEGOSQ AWTOROM DLQ STUDENTOW MEHANIKO-MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA kAZANSKOGO GOSUDARSTWENNOGO UNIWERSITETA, SPECIALIZIROWAWIHSQ PO FUNKCIONALXNOMU ANALIZU. pREDPOLAGAETSQ, ^TO ^ITATELX ZNAKOM S NA^ALXNYMI PONQTIQMI, FAKTAMI I OBOZNA^ENIQMI KANTOROWSKOJ TEORII MNOVESTW. tERMINY "NABOR", "SOWOKUPNOSTX", "MNOVESTWO" I "KLASS" DLQ NAS RAWNOZNA^NY. nABOR MNOVESTW ^ASTO NAZYWAETSQ SEMEJSTWOM MNOVESTW. kNIGA DELITSQ NA RAZDELY, W KOTORYH DWOJNOJ NUMERACIEJ, NAPRIMER, 10.16, WYDELENY PUNKTY, KOTORYE PREDSTAWLQ@T SOBOJ OPREDELENIQ, TEOREMY, UTWERVDENIQ, SLEDSTWIQ, UPRAVNENIQ, PRIMERY I ZAME^ANIQ. sSYLAQSX, SKAVEM, NA TEOREMU 10.16 (SOOTWETSTWENNO NA PRIMER 2.2.3), MY IMEEM W WIDU PUNKT 10.16 W 10-M RAZDELE (SOOTWETSTWENNO PRIMER 3 PUNKTA 2.2). w PREDMETNOM UKAZATELE ISPOLXZU@TSQ SSYLKI NA PUNKTY I RAZDELY. zNAK := OZNA^AET RAWENSTWO PO OPREDELENI@. aWTOR BLAGODAREN w.e. fOMINU I a.n. {ERSTNEWU, SDELAWIM RQD CENNYH PREDLOVENIJ PO USOWERENSTWOWANI@ KNIGI. aWTOR TAKVE BLAGODAREN d.h. mUTARI, KOTORYJ PRO^ITAL RUKOPISX I SDELAL CENNYE ZAME^ANIQ.
3
0. CWEDENIQ
IZ TEORII MNOVESTW
w DANNOM RAZDELE MY PRIWODIM NEKOTORYE NEOBHODIMYE PONQTIQ I FAKTY, KOTORYE IROKO ISPOLXZU@TSQ W MATEMATI^ESKIH RASSUVDENIQH. nA^NEM S AKSIOMY, KOTORAQ, W ^ASTNOSTI, DOSTAWLQET METOD POSTROENIQ MNOVESTW IZ UVE IME@]IHSQ. 0.1. aKSIOMA WYBORA. dLQ L@BOGO SEMEJSTWA POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ NEPUSTYH MNOVESTW SU]ESTWUET MNOVESTWO, SODERVA]EE ROWNO PO ODNOMU \LEMENTU IZ KAVDOGO MNOVESTWA \TOGO SEMEJSTWA. dOKAZATELXSTWA CELOGO RQDA MATEMATI^ESKIH FAKTOW ISPOLXZU@T \TU AKSIOMU. sREDI NIH, W ^ASTNOSTI, STANDARTNOE DOKAZATELXSTWO \KWIWALENTNOSTI DWUH OPREDELENIJ (PO kOI I PO gEJNE) NEPRERYWNOSTI ^ISLOWOJ FUNKCII W TO^KE 1, c.74]. iNTERESNOE OBSUVDENIE AKSIOMY WYBORA SODERVITSQ, NAPRIMER, W 7]. |TA AKSIOMA DOPUSKAET RAZLI^NYE \KWIWALENTNYE FORMULIROWKI. w DALXNEJEM MY UKAVEM NEKOTORYE IZ NIH. 0.2. oPREDELENIQ. pUSTX | PROIZWOLXNOE NEPUSTOE MNOVESTWO. iNDEKSIROWANNYM SEMEJSTWOM fA : 2 g MNOVESTW A NAZYWAETSQ FUNKCIQ, STAWQ]AQ W SOOTWETSTWIE KAVDOMU \LEMENTU 2 MNOVESTWO A . ~ASTO ISPOLXZUETSQ OBOZNA^ENIE fAg2: pRI \TOM NAZYWAETSQ MNOVESTWOM INDEKSOW. pROIZWOLXNOE NEPUSTOE SEMEJSTWO MNOVESTW MOVNO RASSMATRIWATX KAK INDEKSIROWANNOE. dEJSTWITELXNO, DLQ \TOGO DOSTATO^NO WZQTX KAVDYJ \LEMENT SEMEJSTWA W KA^ESTWE EGO SOBSTWENNOGO INDEKSA. nESKOLXKO SLOW OB OBOZNA^ENIQH. CEMEJSTWA MNOVESTW BUDUT OBOZNA^ATXSQ BUKWAMI A B C : : : sEMEJSTWO WSEH PODMNOVESTW DANNOGO MNOVESTWA X BUDET OBOZNA^ATXSQ ^EREZ P (X ): zAMETIM, ^TO MNOVESTWO P (?) WSEH PODMNOVESTW PUSTOGO MNOVESTWA ? SAMO QWLQETSQ NEPUSTYM MNOVESTWOM, A IMENNO, ONO SOSTOIT IZ EDINSTWENNOGO \LEMENTA | MNOVESTWA ?. fUNKCIQ f IZ MNOVESTWA X W MNOVESTWO Y , STAWQ]AQ W SOOTWETSTWIE PROIZWOLXNOMU \LEMENTU x 2 X NEKOTORYJ \LEMENT y 2 Y OBOZNA^AETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: f : X ;! Y : x 7;! y: oB_EDINENIE I PERESE^ENIE SEMEJSTWA MNOVESTW A = fA : 2 g OBOZNA^A@TSQ A = fASOOTWETSTWENNO A I \ A = \fA : 2 g = \ A: : 2 g = 2
2
uKAVEM FORMULIROWKU AKSIOMY WYBORA, KOTORAQ UDOBNA W TEHNI^ESKOM OTNOENII. 4
0.3.
aKSIOMA WYBORA DLQ INDEKSIROWANNYH SEMEJSTW
.
dLQ KAVDOGO SEMEJSTWA fA : 2 g NEPUSTYH MNOVESTW SU]ESTWUET TAKAQ FUNKCIQ
f : ;! fA : 2 g
^TO f () 2 A DLQ L@BOGO 2 . uPOMQNUTAQ W AKSIOME FUNKCIQ NAZYWAETSQ FUNKCIEJ WYBORA DLQ SEMEJSTWA fAg2: w SLEDU@]EJ FORMULIROWKE AKSIOMY WYBORA BUDET ISPOLXZOWATXSQ PONQTIE DEKARTOWA PROIZWEDENIQ. Q A SEMEJSTWA 0.4. oPREDELENIE. dEKARTOWYM PROIZWEDENIEM 2 MNOVESTW SfA : 2 g NAZYWAETSQ MNOVESTWO WSEH TAKIH FUNKCIJ f : ;! A ^TO f () 2 A DLQ KAVDOGO 2 .
dLQ f 2 Q A \LEMENT f () 2 A NAZYWAETSQ {J KOORDINATOJ f: 2 |LEMENT PROIZWEDENIQ Q A, {Q KOORDINATA KOTOROGO ESTX \LEMENT 2 a 2 A, OBOZNA^AETSQ SIMWOLAMI fag2 ILI (a)2: tAKIM OBRAZOM, MY MOVEM NAPISATX Y A = f(a)2 j 8 2 : a 2 Ag: 2
2
Q
dLQ INDEKSA 2 FUNKCIQ p : A ;! A : (a)2 7;! a NAZY2 Q A NA {E KOORDINATNOE WAETSQ PROEKCIEJ DEKARTOWA PROIZWEDENIQ 2 MNOVESTWO A : Q oTMETIM, ^TO MEVDU MNOVESTWOM A, GDE = f1 2 : : : ng | KO2 NE^NOE MNOVESTWO INDEKSOW, I PROIZWEDENIEM A1 A2 : : : An KOTOROE OPREDELQETSQ KAK NABOR WSEH UPORQDO^ENNYH STROK (a1 a2 : : : an) GDE a1 2 A1 a2 2 A2 : : : an 2 An O^EWIDNYM OBRAZOM STROITSQ BIEKCIQ. pO\TOMU MY OTOVDESTWLQEM \TI MNOVESTWA, TO ESTX RASSMATRIWAEM IH KAK ODNO I TO VE MNOVESTWO. pREDPOLOVIM, ^TO DLQ NEKOTOROGO MNOVESTWA A I DLQ KAVDOGO INDEKSA 2 IMEEM RAWENSTWO A = A. tOGDA DEKARTOWO PROIZWEDENIE Q A PREDSTAWLQET SOBOJ MNOVESTWO WSEH FUNKCIJ IZ W A I OBOZNA2 ^AETSQ A . kAK OBY^NO, DLQ PROIZWOLXNOGO n IZ MNOVESTWA NATURALXNYH 5
^ISEL N ^EREZ R n OBOZNA^AETSQ DEKARTOWO PROIZWEDENIE n \KZEMPLQROW MNOVESTWA DEJSTWITELXNYH ^ISEL R . tEPERX SFORMULIRUEM AKSIOMU WYBORA W TERMINAH DEKARTOWYH PROIZWEDENIJ MNOVESTW. 0.5.
aKSIOMA WYBORA DLQ DEKARTOWYH PROIZWEDENIJ
.
pUSTX fA : 2 gQ| SEMEJSTWO NEPUSTYH MNOVESTW. tOGDA DEKARTOWO PROIZWEDENIE A NE QWLQETSQ PUSTYM MNOVESTWOM. 2
dLQ TOGO, ^TOBY SFORMULIROWATX DRUGIE UTWERVDENIQ, \KWIWALENTNYE AKSIOME WYBORA, NAM PONADOBITSQ PONQTIE PORQDKA NA MNOVESTWE, KOTOROE WAVNO SAMO PO SEBE. sNA^ALA NAPOMNIM, ^TO BINARNOE OTNOENIE NA MNOVESTWE A | \TO NEKOTOROE PODMNOVESTWO R DEKARTOWA PROIZWEDENIQ A A. wMESTO (a b) 2 R ^ASTO PIUT aRb. mY BUDEM ISPOLXZOWATX SIMWOLY < 6, A NE BUKWU R KAK ZNAK OTNOENIQ. nAPRIMER, MY PIEM a b (I b a) WMESTO aRb. pRI \TOM OTNOENIE a b OBY^NO WYRAVA@T SLOWAMI "a PREDESTWUET b". 0.6. oPREDELENIQ. bINARNOE OTNOENIE NA MNOVESTWE A NAZYWAETSQ OTNOENIEM PORQDKA (ILI PROSTO PORQDKOM), ESLI \TO OTNOENIE OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: 1) (REFLEKSIWNOSTX) a a DLQ WSEH a 2 A 2) (ANTISIMMETRI^NOSTX) a b I b a ) a = b DLQ WSEH a b 2 A 3) (TRANZITIWNOSTX) a b I b c ) a c DLQ WSEH a b c 2 A: mNOVESTWO A S ZADANNYM NA N<M PORQDKOM NAZYWA@T UPORQDO^ENNYM (ILI ^ASTI^NO UPORQDO^ENNYM ). gOWORQT TAKVE, ^TO OTNOENIE UPORQDO^IWAET MNOVESTWO A. dWA \LEMENTA a b UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA SRAWNIMY, ESLI a b ILI b a. oTMETIM, ^TO W OPREDELENII PORQDKA NE TREBUETSQ, ^TOBY L@BYE DWA \LEMENTA MNOVESTWA BYLI SRAWNIMY. dOBAWLQQ \TO TREBOWANIE, MY POLU^AEM OPREDELENIE LINEJNOGO (ILI SOWERENNOGO) PORQDKA. mNOVESTWO S LINEJNYM PORQDKOM NAZYWAETSQ LINEJNO UPORQDO^ENNYM (ILI SOWERENNO UPORQDO^ENNYM). zADANNYJ NA MNOVESTWE PORQDOK ESTESTWENNYM OBRAZOM POROVDAET PORQDOK NA KAVDOM EGO PODMNOVESTWE. pRI \TOM PORQDOK PODMNOVESTWA MOVET OKAZATXSQ LINEJNYM W \TOM SLU^AE PODMNOVESTWO NAZYWAETSQ CEPX@. o^EWIDNO, ^TO WSQKOE PODMNOVESTWO LINEJNO UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA QWLQETSQ CEPX@. nAPOMNIM TAKVE, ^TO BINARNOE OTNOENIE NA MNOVESTWE A NAZYWAETSQ SIMMETRI^NYM, ESLI a b ) b a DLQ WSEH a b 2 A. eSLI TAKOE OTNOENIE, WDOBAWOK, REFLEKSIWNO I TRANZITIWNO, TO ONO NAZY6
WAETSQ OTNOENIEM \KWIWALENTNOSTI NA MNOVESTWE A. kAK IZWESTNO, WSQKOE OTNOENIE \KWIWALENTNOSTI NA MNOVESTWE A OPREDELQET RAZBIENIE A NA NEPERESEKA@]IESQ PODMNOVESTWA | KLASSY \KWIWALENTNOSTI \TOGO OTNOENIQ. i OBRATNO, ESLI MNOVESTWO A RAZBITO W OB_EDINENIE NEPERESEKA@]IHSQ PODMNOVESTW, TO BINARNOE OTNOENIE "LEVATX W ODNOM PODMNOVESTWE" QWLQETSQ OTNOENIEM \KWIWALENTNOSTI NA MNOVESTWE A. 0.7. pRIMERY PORQDKOW. 1) ~ISLOWYE MNOVESTWA (T.E. PODMNOVESTWA MNOVESTWA DEJSTWITELXNYH ^ISEL R ) S ESTESTWENNYM PORQDKOM. o^EWIDNO, ONI LINEJNO UPORQDO^ENY. 2) l@BOE MNOVESTWO MOVNO SDELATX UPORQDO^ENNYM, OB_QWIW, ^TO L@BOJ EGO \LEMENT PREDESTWUET TOLXKO SAMOMU SEBE. tAKOJ PORQDOK NAZYWAETSQ DISKRETNYM. 3) mNOVESTWO WSEH PODMNOVESTW P (X ) ZADANNOGO MNOVESTWA X UPORQDO^IWAETSQ OTNOENIQMI WKL@^ENIQ, LIBO OBRATNOGO WKL@^ENIQ, TO ESTX: (Y Z ) := (Y Z ) LIBO (Y Z ) := (Z Y ): 4) nA MNOVESTWE BUKW RUSSKOGO ALFAWITA PO TRADICII OPREDELEN ALFAWITNYJ PORQDOK: A B : : : Q. 5) nA MNOVESTWE SLOW RUSSKOGO QZYKA OPREDELEN TAK NAZYWAEMYJ LEKSIKOGRAFI^ESKIJ PORQDOK, PRINQTYJ W SLOWARQH. eGO MOVNO ZADATX TAK: v w, ESLI LIBO SLOWO v QWLQETSQ NA^ALOM SLOWA w (NAPRIMER, TAKT TAKTIKA), LIBO NI ODNO IZ \TIH SLOW NE QWLQETSQ NA^ALOM DRUGOGO, I PERWAQ PO PORQDKU BUKWA SLOWA v, W KOTOROJ v I w OTLI^A@TQ, PREDESTWUET W ALFAWITNOM PORQDKE SOOTWETSTWU@]EJ BUKWE SLOWA w: kONE^NO VE, ALFAWITNYJ I LEKSIKOGRAFI^ESKIJ PORQDKI LINEJNY. 6) mNOVESTWO KOMPLEKSNYH ^ISEL C UPORQDO^ENO OTNOENIEM (z = x + iy w = u + iv) := (x 6 u I y 6 v) GDE 6 | ESTESTWENNYJ PORQDOK NA MNOVESTWE R. |TOT PORQDOK NE LINEEN. pODMNOVESTWO fz 2 C : z = x + ix x 2 R g QWLQETSQ CEPX@. 0.8. oPREDELENIQ. pUSTX (A ) | UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO I B | NEPUSTOE PODMNOVESTWO A. |LEMENT a 2 A NAZYWAETSQ MAVORANTOJ MNOVESTWA B , ESLI b a DLQ L@BOGO b 2 B . |LEMENT MNOVESTWA A NAZYWAETSQ MAKSIMALXNYM, ESLI ON NE PREDESTWUET NIKAKOMU DRUGOMU \LEMENTU W A. |LEMENT MNOVESTWA A NAZYWAETSQ NAIBOLXIM, ESLI KAVDYJ \LEMENT MNOVESTWA A PREDESTWUET EMU. |LEMENT NEKOTOROGO MNOVESTWA NAZYWAETSQ NAIMENXIM, ESLI ON PREDESTWUET WSEM \LEMENTAM \TOGO MNOVESTWA. mNOVESTWO A NAZYWAETSQ WPOLNE UPORQDO^ENNYM, A PORQDOK | WPOLNE UPORQDO^ENIEM, ESLI KAVDOE NEPUSTOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA A OBLADAET NAIMENXIM \LEMENTOM. qSNO, ^TO WO MNOVESTWE S DISKRETNYM PORQDKOM KAVDYJ \LEMENT QW7
LQETSQ MAKSIMALXNYM. mNOVESTWO NATURALXNYH ^ISEL S ESTESTWENNYM PORQDKOM WPOLNE UPORQDO^ENO, A MNOVESTWO DEJSTWITELXNYH ^ISEL S ESTESTWENNYM PORQDKOM | NET. 0.9. uPRAVNENIQ. 1) nAIBOLXIJ \LEMENT WSEGDA MAKSIMALEN, NO OBRATNOE UTWERVDENIE, WOOB]E GOWORQ, NEWERNO. 2) wPOLNE UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO LINEJNO UPORQDO^ENO. 3) wPOLNE UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO IMEET NAIMENXIJ \LEMENT. 4) wPOLNE UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO MOVET KAK IMETX, TAK I NE IMETX NAIBOLXIJ \LEMENT. 0.10. lEMMA cORNA. pUSTX A | NEPUSTOE UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO, TAKOE, ^TO WSQKAQ EGO CEPX OBLADAET MAVORANTOJ W A. tOGDA W A SU]ESTWUET (HOTQ BY ODIN) MAKSIMALXNYJ \LEMENT. 0.11. tEOREMA cERMELO. wSQKOE MNOVESTWO MOVET BYTX WPOLNE UPORQDO^ENO. oTMETIM, ^TO W POSLEDNEM UTWERVDENII RE^X IDET LIX O SU]ESTWOWANII UKAZANNOGO PORQDKA I NI^EGO NE GOWORITSQ O EGO QWNOM POSTROENII. uVE NA MNOVESTWE R TAKOGO KONKRETNOGO PORQDKA UKAZATX NE UDA
tEOREMA PRINCIP DOKAZATELXSTWA PO TRANSFINITNOJ INDUKCII pUSTX (X ) WPOLNE UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO 0 0.12.
(
).
|
,
|
NAIMENXIJ \LEMENT \TOGO MNOVESTWA, I PUSTX KAVDOMU \LEMENTU x 2 X SOOTWETSTWUET NEKOTOROE UTWERVDENIE P (x). pUSTX PRI \TOM 8
WYPOLNQ@TSQ SLEDU@]IE DWA USLOWIQ: 1) UTWERVDENIE P (0) WERNO 2) ESLI z 2 X I P (y ) WERNO DLQ WSEH y 2 X TAKIH, ^TO y 6= z I y z , TO P (z) TOVE WERNO. tOGDA UTWERVDENIE P (x) WERNO DLQ L@BOGO x 2 X . dOKAZATELXSTWO. oBOZNA^IM ^EREZ F MNOVESTWO WSEH x 2 X , DLQ KOTORYH P (x) NEWERNO. mY DOLVNY POKAZATX, ^TO F = ?. pREDPOLOVIM PROTIWNOE, TO ESTX F 6= ?. tAK KAK F | NEPUSTOE PODMNOVESTWO WPOLNE UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA, TO W F SU]ESTWUET NAIMENXIJ \LEMENT, KOTORYJ OBOZNA^IM ^EREZ x0. zAMETIM, ^TO 0 x0 I 0 6= x0 (PO USLOWI@ 1)). dLQ KAVDOGO \LEMENTA y 2 X TAKOGO, ^TO y 6= x0 I y x0 , UTWERVDENIE P (y) WERNO. pO\TOMU, W SILU USLOWIQ 2), P (x0) TAKVE WERNO. zNA^IT, x0 2= F . pROTIWORE^IE.
9
1.
mETRI^ESKIE PROSTRANSTWA
w RAZLI^NYH OBLASTQH MATEMATIKI I FIZIKI WAVNU@ ROLX IGRAET PONQTIE RASSTOQNIQ MEVDU TO^KAMI. aKSIOMATIZACIQ SWOJSTW, KOTORYMI OBLADAET RASSTOQNIE NA PRQMOJ, PLOSKOSTI I W TR
w \TOM SLU^AE d NAZYWAETSQ DISKRETNOJ METRIKOJ, A (X d) | DISKRETNYM METRI^ESKIM PROSTRANSTWOM . 3) nA PLOSKOSTI R 2 RASSMOTRIM TRI METRIKI d1, d2 I d1, OPREDELQEMYE SLEDU@]IM OBRAZOM: p d1(P1 P2) = jx2 ; x1j + jy2 ; y1j d2(P1 P2) = (x2 ; x1 )2 + (y2 ; y1)2 d1(P1 P2) = maxfjx2 ; x1 j jy2 ; y1jg GDE P1 = (x1 y1) I P2 = (x2 y2) | TO^KI PLOSKOSTI R 2 : mETRIKA d2 NAZYWAETSQ EWKLIDOWOJ. oTKRYTYE ARY S CENTROM W TO^KE (0 0) RADIUSA 1 DLQ SOOTWETSTWU@]IH PROSTRANSTW IZOBRAVENY NA RISUNKE 1
y
(R 2 d1) 1
1
y
(R2 d2) 1
x
x
1
y
(R 2 d1) 1
x
Puc:1 aNALOGI^NO WWODQTSQ METRIKI NA MNOVESTWE R n . 4) pUSTX (N kk) | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO NAD POLEM DEJSTWITELXNYH ILI KOMPLEKSNYH ^ISEL. gOWORQT, ^TO NORMA POROVDAET METRIKU NA WEKTORNOM PROSTRANSTWE N , KOTORAQ ZADAETSQ TAK: d(x y) := kx ; yk x y 2 N: 5) rASSMOTRIM WEKTORNOE PROSTRANSTWO C 0 1] NEPRERYWNYH DEJSTWITELXNOZNA^NYH FUNKCIJ, ZADANNYH NA OTREZKE 0 1]. oPERACIQ UMNOVENIQ FUNKCII NA ^ISLO I OPERACIQ SUMMY DWUH FUNKCIJ ZADA@TSQ POTO^E^NO: (f )(t) := f (t) (f + g)(t) := f (t) + g(t) 2 R f g 2 C 0 1] t 2 0 1]: zADADIM NORMU NA C 0 1] FORMULOJ kf k1 := maxfjf (t)j : t 2 0 1]g: |TO OPREDELENIE KORREKTNO, POSKOLXKU NEPRERYWNAQ FUNKCIQ jf ()j, ZADANNAQ NA OTREZKE 0 1], DOSTIGAET SWOEGO MAKSIMUMA W NEKOTOROJ TO^KE \TOGO OTREZKA. nORMA k k1 NAZYWAETSQ RAWNOMERNOJ, A POROVDAEMAQ E@ METRIKA d1 NAZYWAETSQ METRIKOJ RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI. o^EWIDNO, ^TO DLQ f I g IZ C 0 1] WELI^INA d1(f g) PREDSTAWLQET SOBOJ RASSTOQNIE MEVDU NAIBOLEE UDAL
1.3.
oPREDELENIQ pUSTX f : (X d) ;! (Y ) | OTOBRAVENIE MEVDU .
METRI^ESKIMI PROSTRANSTWAMI. |TO OTOBRAVENIE NAZYWAETSQ IZOMETRI^ESKIM, ESLI (f (x) f (y)) = d(x y) DLQ WSEH x y 2 X IZOMETRIEJ, ESLI ONO QWLQETSQ IZOMETRI^ESKIM I BIEKTIWNYM NEPRERYWNYM W TO^KE x0 2 X , ESLI DLQ L@BOGO " > 0 SU]ESTWUET TAKOE > 0 ^TO DLQ L@BYH x 2 X UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ d(x0 x) < WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO (f (x0 ) f (x)) < " NEPRERYWNYM, ESLI ONO QWLQETSQ NEPRERYWNYM W KAVDOJ TO^KE PROSTRANSTWA X RAWNOMERNO NEPRERYWNYM, ESLI DLQ L@BOGO " > 0 SU]ESTWUET TAKOE > 0 ^TO DLQ L@BYH x y 2 X UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ d(x y) < WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO (f (x) f (y)) < ": 1.4.
oPREDELENIE eSLI MEVDU DWUMQ METRI^ESKIMI PROSTRANSTWA.
MI SU]ESTWUET IZOMETRIQ, TO \TI PROSTRANSTWA NAZYWA@TSQ IZOMETRI^NYMI. 1.5. zAME^ANIE. s TO^KI ZRENIQ TEORII METRI^ESKIH PROSTRANSTW IZOMETRI^NYE PROSTRANSTWA NE RAZLI^A@TSQ. sOWOKUPNOSTX WSEH METRI^ESKIH PROSTRANSTW RASPADAETSQ NA KLASSY \KWIWALENTNOSTI, OBRAZOWANNYE POPARNO IZOMETRI^NYMI PROSTRANSTWAMI. sWOJSTWO METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA, KOTORYM TAKVE OBLADAET KAVDOE IZOMETRI^NOE EMU METRI^ESKOE PROSTRANSTWO, NAZYWAETSQ METRI^ESKIM INWARIANTOM. 1.6. oPREDELENIQ. pUSTX (X d) | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO . pODMNOVESTWO O X NAZYWAETSQ OTKRYTYM W X , ESLI DLQ WSQKOJ TO^KI x 2 O NAJDETSQ " > 0, DLQ KOTOROGO B"(x) O. mY OBOZNA^AEM ^EREZ d SEMEJSTWO WSEH OTKRYTYH MNOVESTW PROSTRANSTWA (X d). pODMNOVESTWO PROSTRANSTWA X NAZYWAETSQ ZAMKNUTYM, ESLI DOPOLNENIE \TOGO PODMNOVESTWA W X QWLQETSQ OTKRYTYM MNOVESTWOM. 1.7. uPRAVNENIE. l@BOJ OTKRYTYJ (ZAMKNUTYJ) AR PROIZWOLXNOGO METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA QWLQETSQ OTKRYTYM (ZAMKNUTYM) MNOVESTWOM W \TOM PROSTRANSTWE. nEPOSREDSTWENNO PROWERQETSQ, ^TO IMEET MESTO 1.8. tEOREMA (O SWOJSTWE OTKRYTYH MNOVESTW). sEMEJSTWO OTKRYTYH MNOVESTW PROIZWOLXNOGO METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: 12
O1)
O2)
O3)
pUSTOE MNOVESTWO I SAMO PROSTRANSTWO QWLQ@TSQ OTKRYTYMI MNOVESTWAMI pERESE^ENIE L@BOGO KONE^NOGO SEMEJSTWA OTKRYTYH MNOVESTW QWLQETSQ OTKRYTYM MNOVESTWOM oB_EDINENIE L@BOGO SEMEJSTWA OTKRYTYH MNOVESTW QWLQETSQ OTKRYTYM MNOVESTWOM.
mNOGIE SWOJSTWA METRI^ESKIH PROSTRANSTW I OTOBRAVENIJ MEVDU NIMI FORMULIRU@TSQ W TERMINAH OTKRYTYH MNOVESTW. nAPRIMER, OTOBRAVENIE f : (X d) ;! (Y ) QWLQETSQ NEPRERYWNYM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA PROOBRAZ KAVDOGO OTKRYTOGO MNOVESTWA IZ PRINADLEVIT SEMEJSTWU d . 1.9. oPREDELENIE. dWE METRIKI d1 I d2 NA MNOVESTWE X NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI, ESLI d1 = d2 : 2 1.10. uPRAVNENIE. nA MNOVESTWE R METRIKI d1 , d2 I d1 (SM. PRIMER 1.2.3) \KWIWALENTNY, T.E. SEMEJSTWA OTKRYTYH MNOVESTW d1 , d2 I d1 SOWPADA@T. sLEDU@]EE UTWERVDENIE QWLQETSQ UDOBNYM KRITERIEM PROWERKI \KWIWALENTNOSTI METRIK. 1.11. tEOREMA. dWE METRIKI d1 I d2 NA MNOVESTWE X QWLQ@TSQ \KWIWALENTNYMI TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONI INDUCIRU@T ODNU I TU VE SHODIMOSTX, T. E. DLQ L@BOJ TO^KI x 2 X I L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI x1 x2 : : : TO^EK MNOVESTWA X USLOWIQ n;lim !1 d1(xn x) = 0 I lim n; !1 d2(xn x) = 0 RAWNOSILXNY. w SWQZI S \TIM NAPOMNIM 1.12. oPREDELENIQ. pOSLEDOWATELXNOSTX TO^EK x1 x2 : : : METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA (X d) NAZYWAETSQ SHODQ]EJSQ K TO^KE x 2 X , ESLI POSLEDOWATELXNOSTX DEJSTWITELXNYH ^ISEL d(x x1 ) d(x x2) : : : SHODITSQ K NUL@. w \TOM SLU^AE TO^KA x NAZYWAETSQ PREDELOM UKAZANNOJ POSLEDOWATELXNOSTI TO^EK. 1.13. zAME^ANIE. iZ USLOWIJ (M1) I (M3) OPREDELENIQ 1.1 WYTEKAET, ^TO WSQKAQ POSLEDOWATELXNOSTX TO^EK W METRI^ESKOM PROSTRANSTWE MOVET IMETX NE BOLEE ODNOGO PREDELA. 13
1.14.
oPREDELENIQ pOSLEDOWATELXNOSTX TO^EK x1 x2 : : : METRI^ES.
KOGO PROSTRANSTWA (X d) NAZYWAETSQ FUNDAMENTALXNOJ, ESLI DLQ L@BOGO " > 0 SU]ESTWUET TAKOE NATURALXNOE ^ISLO N , ^TO DLQ L@BYH ^ISEL n m > N WYPOLNENO NERAWENSTWO d(xn xm) < ": mETRI^ESKOE PROSTRANSTWO, W KOTOROM WSQKAQ FUNDAMENTALXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX SHODITSQ, NAZYWAETSQ POLNYM. 1.15. zAME^ANIE. sHODQ]AQSQ POSLEDOWATELXNOSTX FUNDAMENTALXNA. 1.16. zAME^ANIE. w KURSE FUNKCIONALXNOGO ANALIZA POKAZYWAETSQ, ^TO, PODOBNO TOMU KAK IZ RACIONALXNYH ^ISEL MOVNO POSTROITX DEJSTWITELXNYE ^ISLA, IZ KAVDOGO NE POLNOGO METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA MOVNO POSTROITX SOOTWETSTWU@]EE EMU POLNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO. pOLNYE PROSTRANSTWA OBLADA@T WAVNYMI SWOJSTWAMI, KOTORYE POZWOLQ@T DOKAZYWATX MNOGO^ISLENNYE TEOREMY SU]ESTWOWANIQ W ANALIZE. nIVE MY OGRANI^IMSQ FORMULIROWKOJ LIX DWUH IZ \TIH SWOJSTW. oBOB]ENIEM PRINCIPA WLOVENNYH OTREZKOW, IZWESTNOGO IZ KURSA MATEMATI^ESKOGO ANALIZA, QWLQETSQ SLEDU@]IJ PRINCIP WLOVENNYH AROW. 1.17. tEOREMA. w POLNOM METRI^ESKOM PROSTRANSTWE L@BAQ POSLEDOWATELXNOSTX ZAMKNUTYH, WLOVENNYH DRUG W DRUGA AROW, RADIUSY KOTORYH STREMQTSQ K NUL@, IMEET ODNU OB]U@ TO^KU. 1.18. zAME^ANIE. sPRAWEDLIWOSTX \TOGO UTWERVDENIE QWLQETSQ HARAKTERISTI^ESKIM SWOJSTWOM POLNYH METRI^ESKIH PROSTRANSTW. oDNA IZ \KWIWALENTNYH FORMULIROWOK FUNDAMENTALXNOJ TEOREMY b\RA WYGLQDIT SLEDU@]IM OBRAZOM. 1.19. tEOREMA. pUSTX POLNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO PREDSTAWLENO W WIDE OB_EDINENIQ POSLEDOWATELXNOSTI SWOIH ZAMKNUTYH PODMNOVESTW. tOGDA HOTQ BY ODNO IZ \TIH PODMNOVESTW SODERVIT OTKRYTYJ AR. nESMOTRQ NA TO, ^TO PONQTIE METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA QWLQETSQ OBOB]ENIEM PONQTIQ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA, W PROIZWOLXNYH METRI^ESKIH PROSTRANSTWAH SITUACIQ MOVET OKAZATXSQ NEOBY^NOJ DLQ NAEJ INTUICII. mY ZAWERAEM RAZDEL ODNIM IZ STANDARTNYH PRIMEROW, ILL@STRIRU@]IH \TO WYSKAZYWANIE. 1.20. pRIMER. w METRI^ESKOM PROSTRANSTWE AR MOVET SODERVATX AR BOLXEGO RADIUSA. w KA^ESTWE METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA (X d) 14
WOZXM<M PODPROSTRANSTWO X := f(x y) 2 R 2 : x2 + y2 < 9g PROSTRANSTWA R 2 S EWKLIDOWOJ METRIKOJ. w PROSTRANSTWE (X d) RASSMOTRIM ARY B3((0 0)) I B4 ((2 0)). o^EWIDNO, ^TO B4 ((2 0)) = X \ f(x y) 2 R 2 : (x ; 2)2 + y2 < 16g B3 ((0 0)) = X: tAKIM OBRAZOM, AR B4((2 0)) RADIUSA 4 STROGO SODERVITSQ W ARE B3 ((0 0)) RADIUSA 3 (SM. rIS. 2). y
;3 ;2
0
Puc:2
15
2 3
6
x
2.
pONQTIE TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA
pONQTIE TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA QWLQETSQ ESTESTWENNYM OBOB]ENIEM PONQTIQ METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA. aNALIZ CELOGO RQDA WAVNEJIH PONQTIJ TEORII METRI^ESKIH PROSTRANSTW POKAZYWAET, ^TO ONI MOGUT BYTX OPISANY W TERMINAH OTKRYTYH MNOVESTW BEZ PRIWLE^ENIQ PONQTIQ METRIKI. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO OPREDELQETSQ KAK MNOVESTWO, W KOTOROM WYDELENY NEKOTORYE PODMNOVESTWA, UDOWLETWORQ@]IE OPREDEL
sEMEJSTWO OBRAZUET TOPOLOGI@, KOTORAQ NAZYWAETSQ TOPOLOGIEJ zARISSKOGO. 2.3. zAME^ANIE. ~ASTO WOZNIKAET SITUACIQ, KOGDA METRI^ESKOE PROSTRANSTWO MOVNO IZNA^ALXNO RASSMATRIWATX KAK TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO S TOPOLOGIEJ, POROVDENNOJ METRIKOJ. |TOT FAKT PODWODIT K PONQTI@ METRIZUEMOGO PROSTRANSTWA. 2.4. oPREDELENIQ. pROSTRANSTWO (X ) NAZYWAETSQ METRIZUEMYM, ESLI NA MNOVESTWE X MOVNO WWESTI TAKU@ METRIKU, ^TO POROVDAEMAQ E@ TOPOLOGIQ W X SOWPADAET S . mETRIKI NA X , INDUCIRU@]IE ODNU I TU VE TOPOLOGI@, NAZYWA@TSQ TOPOLOGI^ESKI \KWIWALENTNYMI. iZ PRIMEROW WIDNO, ^TO NA ODNOM I TOM VE MNOVESTWE MOVNO ZADAWATX RAZLI^NYE TOPOLOGII. 2.5. oPREDELENIQ. eSLI 1 I 2 | DWE TOPOLOGII NA MNOVESTWE X I 1 2 TO GOWORQT, ^TO TOPOLOGIQ 2 SILXNEE(TONXE) TOPOLOGII 1 ILI ^TO TOPOLOGIQ 1 SLABEE(GRUBEE) TOPOLOGII 2 . dWE TOPOLOGII NA X NAZYWA@TSQ NESRAWNIMYMI, ESLI NI ODNA IZ NIH NE SODERVIT DRUGOJ. dLQ TOPOLOGIJ PRIMERA 2.2.3 IMEEM WKL@^ENIQ min 1 max I min 2 max PRI \TOM TOPOLOGII 1 I 2 NESRAWNIMY. tOPOLOGIQ zARISSKOGO SLABEE ESTESTWENNOJ TOPOLOGII NA MNOVESTWE WE]ESTWENNYH ^ISEL. o^EWIDNO, ^TO SEMEJSTWO WSEH TOPOLOGIJ NA PROIZWOLXNOM MNOVESTWE ^ASTI^NO UPORQDO^ENO OTNOENIEM WKL@^ENIQ. w \TOM UPORQDO^ENNOM MNOVESTWE WSEGDA IMEETSQ NAIMENXIJ \LEMENT | ANTIDISKRETNAQ TOPOLOGIQ I NAIBOLXIJ \LEMENT | DISKRETNAQ TOPOLOGIQ . 2.6. oPREDELENIE. oKRESTNOSTX@ TO^KI TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA NAZYWAETSQ L@BOE OTKRYTOE MNOVESTWO, SODERVA]EE \TU TO^KU. oTMETIM, ^TO INOGDA OKRESTNOSTX TO^KI x 2 X OPREDELQ@T KAK L@BOE MNOVESTWO A X , DLQ KOTOROGO SU]ESTWUET OTKRYTOE MNOVESTWO O, TAKOE, ^TO x 2 O A. 2.7. uTWERVDENIE. nEPUSTOE PODMNOVESTWO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA OTKRYTO W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA WMESTE S KAVDOJ TO^KOJ ONO SODERVIT I NEKOTORU@ EE OKRESTNOSTX. 2.8. oPREDELENIE. pODMNOVESTWO F TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA NAZYWAETSQ ZAMKNUTYM, ESLI EGO DOPOLNENIE CF := X n F OTKRYTO. tAK KAK C ? = X I CX = ? TO WSE PROSTRANSTWO I PUSTOE MNOVES17
TWO QWLQ@TSQ NE TOLXKO OTKRYTYMI, NO I ZAMKNUTYMI MNOVESTWAMI W PROIZWOLXNOM TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE. 2.9. oPREDELENIE. mNOVESTWA, KOTORYE ODNOWREMENNO I OTKRYTY, I ZAMKNUTY, NAZYWA@TSQ OTKRYTO-ZAMKNUTYMI. 2.10. pRIMERY. 1) w ANTIDISKRETNOM TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE LIX PUSTOE MNOVESTWO I WSE PROSTRANSTWO QWLQ@TSQ ZAMKNUTYMI MNOVESTWAMI. 2) w DISKRETNOM TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE WSE PODMNOVESTWA QWLQ@TSQ OTKRYTO-ZAMKNUTYMI. 3) w PROSTRANSTWE R 1 OTKRYTOZAMKNUTYMI QWLQ@TSQ LIX PUSTOE MNOVESTWO I WSE PROSTRANSTWO. oTREZOK a b] ZAMKNUT W R 1 : 4) pUSTX (X 1) | PROSTRANSTWO IZ 2.2.3. zAMKNUTYMI MNOVESTWAMI \TOGO PROSTRANSTWA QWLQ@TSQ ? X fbg. mNOVESTWO fag ZAMKNUTYM NE QWLQETSQ. |TOT PRIMER POKAZYWAET, ^TO MNOVESTWO, SOSTOQ]EE IZ KONE^NOGO ^ISLA TO^EK, MOVET BYTX NE ZAMKNUTYM. sEMEJSTWO ZAMKNUTYH MNOVESTW TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA OBLADAET SWOJSTWAMI, DWOJSTWENNYMI K SWOJSTWAM O1) { O3) OTKRYTYH MNOVESTW. a IMENNO: C1) pUSTOE MNOVESTWO I SAMO PROSTRANSTWO ZAMKNUTY C2) oB_EDINENIE L@BOGO KONE^NOGO SEMEJSTWA ZAMKNUTYH MNOVESTW ZAMKNUTO C3) pERESE^ENIE L@BOGO SEMEJSTWA ZAMKNUTYH MNOVESTW ZAMKNUTO. sWOJSTWA ZAMKNUTYH MNOVESTW MOGUT BYTX WZQTY W KA^ESTWE AKSIOM, OPREDELQ@]IH ZAMKNUTYE MNOVESTWA. pOSLE \TOGO MOVNO OPREDELITX OTKRYTYE MNOVESTWA W KA^ESTWE IH DOPOLNENIJ. dRUGIMI SLOWAMI, NA PROIZWOLXNOM MNOVESTWE MOVNO WWESTI TOPOLOGI@, ZADAW SPERWA ZAMKNUTYE MNOVESTWA. sFORMULIRUEM \TI NABL@DENIQ W WIDE UTWERVDENIQ. 2.11. tEOREMA. pUSTX X | PROIZWOLXNOE MNOVESTWO I | SEMEJSTWO PODMNOVESTW \TOGO MNOVESTWA, KOTOROE UDOWLETWORQET SWOJSTWAM s1) { s3). pUSTX | SEMEJSTWO, SOSTOQ]EE IZ DOPOLNENIJ K MNOVESTWAM IZ . tOGDA | TOPOLOGIQ NA X , A QWLQETSQ SEMEJSTWOM ZAMKNUTYH MNOVESTW TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA (X ). 2.12. oPREDELENIQ. tO^KA x 2 X NAZYWAETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ MNOVESTWA A X , ESLI WSQKAQ OKRESTNOSTX TO^KI x SODERVIT HOTQ BY ODNU TO^KU MNOVESTWA A, OTLI^NU@ OT x. mNOVESTWO WSEH PREDELXNYH TO^EK MNOVESTWA A NAZYWAETSQ PROIZWODNYM MNOVESTWOM MNOVESTWA A I OBOZNA^AETSQ A0 . 18
2.13.
pRIMER w1 PROSTRANSTWE R1 RASSMOTRIM MNOVESTWA: NATURALX.
NYH ^ISEL N , B := f n : n 2 N g, C := (0 1) I D := 0 1]. iMEEM RAWENSTWA: N 0 = ?, B 0 = f0g, C 0 = D0 = D. oTMETIM, ^TO TO^KA 0 NE LEVIT W MNOVESTWE B . 2.14. tEOREMA. dLQ TOGO ^TOBY PODMNOVESTWO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA BYLO ZAMKNUTYM, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY ONO SODERVALO WSE SWOI PREDELXNYE TO^KI. dO KONCA \TOGO RAZDELA A I B | NEKOTORYE PODMNOVESTWA TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA (X ). 0 2.15. tEOREMA. mNOVESTWO A A ZAMKNUTO. dOKAZATELXSTWO. pROWERIM, ^TO DOPOLNENIE \TOGO MNOVESTWA OTKRYTO. pUSTX x 2 C (A A0 ). tOGDA x 2= A I x 2= A0: zNA^IT, SU]ESTWUET TAKAQ OKRESTNOSTX O TO^KI x, ^TO O \ A = ?: pRI \TOM TAKVE SPRAWEDLIWO RAWENSTWO O \ A0 = ?: iNA^E NALASX BY TO^KA y 2 O \ A0, DLQ KOTOROJ MNOVESTWO O SLUVILO BY OKRESTNOSTX@, SODERVA]EJ PO KRAJNEJ MERE ODNU TO^KU IZ A. nO \TO PROTIWORE^ILO BY RAWENSTWU O \ A = ?: tAKIM OBRAZOM, O C (A A0). dALXNEJEE RASSUVDENIE O^EWIDNO. 0 NAZYWA@TSQ IZOLI2.16. oPREDELENIQ. tO^KI MNOVESTWA A n A ROWANNYMI TO^KAMI MNOVESTWA A. tO^KA x 2 X NAZYWAETSQ TO^KOJ PRIKOSNOWENIQ MNOVESTWA A, ESLI L@BAQ OKRESTNOSTX x SODERVIT HOTQ BY ODNU TO^KU MNOVESTWA A. 2.17. uTWERVDENIE. wSQKAQ TO^KA PRIKOSNOWENIQ MNOVESTWA QWLQETSQ LIBO EGO IZOLIROWANNOJ TO^KOJ, LIBO EGO PREDELXNOJ TO^KOJ. 2.18. pRIMER. kAVDAQ TO^KA MNOVESTWA B IZ 2.13 QWLQETSQ IZOLIROWANNOJ TO^KOJ \TOGO MNOVESTWA. mNOVESTWO B f0g PREDSTAWLQET SOBOJ MNOVESTWO WSEH TO^EK PRIKOSNOWENIQ DLQ B . rASSMOTRIM SEMEJSTWO CA WSEH ZAMKNUTYH PODMNOVESTW PROSTRANSTWA X , SODERVA]IH MNOVESTWO A. pOSKOLXKU X 2 CA, TO SEMEJSTWO CA NEPUSTO. 2.19. oPREDELENIE. zAMYKANIEM (ILI {ZAMYKANIEM ) MNOVESTWA A NAZYWAETSQ MNOVESTWO T CA. oNO OBOZNA^AETSQ A. sWOJSTWO C3) ZAMKNUTYH MNOVESTW GARANTIRUET ZAMKNUTOSTX MNOVESTWA A. tAK KAK A QWLQETSQ PODMNOVESTWOM WSQKOGO ZAMKNUTOGO MNOVESTWA, SODERVA]EGO A, TO A | NAIMENXEE ZAMKNUTOE MNOVESTWO, SODERVA]EE A. iZ \TOGO NEMEDLENNO WYTEKAET 19
2.20.
uTWERVDENIE mNOVESTWO ZAMKNUTO TOGDA I TOLXKO TOGDA
,
.
KOGDA ONO SOWPADAET SO SWOIM ZAMYKANIEM. 2.21. uTWERVDENIE. eSLI A B , TO A B . 0 2.22. tEOREMA. A = A A : dOKAZATELXSTWO. tAK KAK A AA0 TO, W SILU PREDYDU]EGO UTWERVDENIQ, A A A0. nO MNOVESTWO A A0 ZAMKNUTO (SM.2.15). pO\TOMU ONO SOWPADAET SO SWOIM ZAMYKANIEM. sLEDOWATELXNO, A A A0. dLQ DOKAZATELXSTWA OBRATNOGO WKL@^ENIQ SPERWA ZAMETIM, ^TO A A, I POKAVEM, ^TO A0 A. dEJSTWITELXNO, ESLI TO^KA x PRINADLEVIT PROIZWODNOMU MNOVESTWU A0 , TO ONA QWLQETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ WSQKOGO MNOVESTWA, KOTOROE SODERVIT A. pO\TOMU (SM. 2.14) TO^KA x PRINADLEVIT KAVDOMU ZAMKNUTOMU MNOVESTWU, SODERVA]EMU A, A POTOMU ONA PRINADLEVIT I MNOVESTWU A. 2.23. sLEDSTWIE. tO^KA x PRINADLEVIT A TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ L@BOJ OKRESTNOSTI O TO^KI x MNOVESTWO O \ A NEPUSTO, TO ESTX A SOWPADAET S MNOVESTWOM WSEH TO^EK PRIKOSNOWENIQ MNOVESTWA A. 2.24. tEOREMA. sPRAWEDLIWY SLEDU@]IE SWOJSTWA: 1) A = A
2) A B = A B
3) A \ B A \ B:
dOKAZATELXSTWO. pERWOE SWOJSTWO WYTEKAET IZ TOGO, ^TO ZAMYKANIE WSQKOGO MNOVESTWA ZAMKNUTO. dALEE, TAK KAK A B A B , TO A B A B . pO\TOMU A B A B: tEPERX W OBRATNU@ STORONU. pOSKOLXKU A A I B B , TO A B
A B: nO POSLEDNEE MNOVESTWO ZAMKNUTO KAK OB_EDINENIE DWUH ZAMKNUTYH MNOVESTW. oTS@DA, PO OPREDELENI@ ZAMYKANIQ, POLU^AEM OBRATNOE WKL@^ENIE A B A B: iZ POLU^ENNYH WKL@^ENIJ SLEDUET SWOJSTWO 2). nAKONEC, DLQ DOKAZATELXSTWA TRETXEGO SWOJSTWA ZAMETIM, ^TO MNOVESTWO A \ B SODERVITSQ I W A I W B . oTS@DA ZAKL@^AEM, ^TO A \ B QWLQETSQ PODMNOVESTWOM I A I B . iNYMI SLOWAMI, IMEET MESTO WKL@^ENIE A \ B A \ B: 20
pRIMERY
1) pUSTX DLQ KAVDOGO n 2 N MNOVESTWO An = (1=n 1 ; 1=n) RASSMATRIWAETSQ KAK PODMNOVESTWO PROSTRANSTWA R 1 . o^EWIDNO, DLQ OB_EDINENIJ PO WSEM NATURALXNYM ^ISLAM n IMEEM RAWENSTWA: 2.25.
.
An = (0 1) An = 0 1]:
2) pUSTX X | PROIZWOLXNOE NES^
oPREDELENIE sOWOKUPNOSTX WSEH WNUTRENNIH TO^EK MNOVESTWA .
A NAZYWAETSQ WNUTRENNOSTX@ MNOVESTWA A I OBOZNA^AETSQ IntA. oSNOWNYE SWOJSTWA OPERATORA WZQTIQ WNUTRENNOSTI PRIWODQTSQ W SLEDU@]EJ TEOREME. 2.29. tEOREMA. sPRAWEDLIWY SLEDU@]IE SWOJSTWA: 1) IntA 2 2) IntA | NAIBOLXEE OTKRYTOE MNOVESTWO, SODERVA]EESQ W A, ILI, ^TO \KWIWALENTNO, OB_EDINENIE WSEH OTKRYTYH MNOVESTW, SODERVA]IHSQ W A 3) Int(IntA) = IntA 4) A B ) IntA IntB 5) Int(A \ B ) = IntA \ IntB 6) IntA IntB Int(A B ): 21
2.30.
pRIMERY
STROGOE WKL@^ENIE
.
1) dLQ MNOVESTW A I B IZ PRIMERA 2.26 IMEEM
? = IntA IntB Int(A B ) = R : dANNYJ PRIMER TAKVE POKAZYWAET, ^TO IZ RAWENSTW A = B I IntA = IntB NE SLEDUET RAWENSTWO A = B . 2) pUSTX X | ANTIDISKRETNOE TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO I A X: tOGDA IntA = X , ESLI A = X , I IntA = ?, ESLI A NE SOWPADAET S X . 3) pOSKOLXKU W DISKRETNOM TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE WSE MNOVESTWA OTKRYTO-ZAMKNUTY, TO KAVDOE PODMNOVESTWO QWLQETSQ I OTKRYTYM I ZAMKNUTYM. 4) w PROSTRANSTWE R 1 , NAPRIMER, IntN = ?, Inta b] = (a b) GDE a b 2 R . iSPOLXZUQ PODMNOVESTWO RACIONALXNYH ^ISEL Q , LEGKO WIDETX, ^TO OPERACII WZQTIQ WNUTRENNOSTI I WZQTIQ ZAMYKANIQ NE KOMMUTIRU@T. dEJSTWITELXNO, SPRAWEDLIWY RAWENSTWA: IntQ = ? IntQ = R : 2.31.
oPREDELENIE gRANICEJ A NAZYWAETSQ MNOVESTWO .
A \ CA = A n IntA KOTOROE OBOZNA^AETSQ @A ILI FrA. 2.32. zAME^ANIQ. 1) gRANICA MNOVESTWA ZAMKNUTA. 2) qSNO, ^TO TO^KA x PRINADLEVIT GRANICE MNOVESTWA A TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ WSQKOJ OKRESTNOSTI O \TOJ TO^KI MNOVESTWA O \ A I O \ CA NE QWLQ@TSQ PUSTYMI. 3) gRANICA PROIZWOLXNOGO MNOVESTWA I GRANICA EGO DOPOLNENIQ SOWPADA@T. lEGKO PROWERQ@TSQ KRITERII IZ SLEDU@]EGO UTWERVDENIQ. 2.33.
uTWERVDENIE
.
1) mNOVESTWO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA ZAMKNUTO TOGDA I
TOLXKO TOGDA, KOGDA ONO SODERVIT SWO@ GRANICU 2) mNOVESTWO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA OTKRYTO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONO NE PERESEKAETSQ SO SWOEJ GRANICEJ.
pRIMERY
1) w PROSTRANSTWE R 1 IMEEM RAWENSTWA: @ N = N @ Q = R @ (R n Q ) = R @ R = ? @ a b] = fa bg @ a +1) = fag, GDE a b 2 R: |TI PRIMERY POKAZYWA@T, ^TO OPERACIQ WZQTIQ GRANICY NE OBLADAET SWOJSTWAMI MONOTONNOSTI I IDEMPOTENTNOSTI. 2) w PROSTRANSTWE R 2 MNOVESTWO f(x 0) : x 2 a b] a b 2 R g SOWPADAET SO SWOEJ GRANICEJ. 2.34.
.
22
3) w ANTIDISKRETNOM PROSTRANSTWE GRANICA NE OTKRYTOGO MNOVESTWA SOWPADAET SO WSEM PROSTRANSTWOM. 4) w DISKRETNOM PROSTRANSTWE GRANICA WSQKOGO MNOVESTWA PUSTA. 2.35. oPREDELENIQ. mNOVESTWO A (X ) NAZYWAETSQ WS@DU PLOTNYM W X , ESLI A = X . mNOVESTWO A (X ) NAZYWAETSQ NIGDE NE PLOTNYM W X , ESLI MNOVESTWO X n A WS@DU PLOTNO W X .
sLEDU@]IE NEPOSREDSTWENNO PROWERQEMYE HARAKTERISTIKI WWEDENNYH PONQTIJ ^ASTO ISPOLXZU@TSQ W RABO^EM PORQDKE. 2.36. uTWERVDENIE. mNOVESTWO A WS@DU PLOTNO W X TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA L@BOE NEPUSTOE OTKRYTOE PODMNOVESTWO X SODERVIT TO^KI MNOVESTWA A. mNOVESTWO A NIGDE NE PLOTNO W X TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA L@BOE NEPUSTOE OTKRYTOE MNOVESTWO X SODERVIT NEPUSTOE OTKRYTOE PODMNOVESTWO, NE PERESEKA@]EESQ S MNOVESTWOM A. 2.37. oPREDELENIE. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ SEPARABELXNYM, ESLI ONO SODERVIT KONE^NOE ILI S^
pUSTX A | PODMNOVESTWO l1, SOSTOQ]EE IZ WSEH POSLEDOWATELXNOSTEJ, KOTORYE PRINIMA@T LIX ZNA^ENIQ 0 ILI 1. hOROO IZWESTNO, ^TO A QWLQETSQ NES^
24
3.
bAZY TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA.
dLQ ZADANIQ TOPOLOGII NA MNOVESTWE NET NEOBHODIMOSTI UKAZYWATX WSE OTKRYTYE MNOVESTWA. ~ASTO BYWAET UDOBNO UKAZATX LIX NEKOTOROE SEMEJSTWO OTKRYTYH MNOVESTW, A WS@ TOPOLOGI@ POSTROITX, ISPOLXZUQ MNOVESTWA \TOGO SEMEJSTWA. 3.1. oPREDELENIE. pUSTX (X ) | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO. sEMEJSTWO NAZYWAETSQ BAZOJ TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA (X ) ILI BAZOJ TOPOLOGII , ESLI KAVDOE OTKRYTOE PODMNOVESTWO PROSTRANSTWA X MOVNO PREDSTAWITX W WIDE OB_EDINENIQ NEKOTOROGO SEMEJSTWA MNOVESTW IZ . 3.2. zAME^ANIQ. 1) pOSKOLXKU BAZA QWLQETSQ PODSEMEJSTWOM TOPOLOGII, TO OB_EDINENIE L@BOGO PODSEMEJSTWA BAZY PRINADLEVIT TOPOLOGII. 2) eSLI NA MNOVESTWE ZADANY DWE TOPOLOGII, U KOTORYH SU]ESTWUET ODNA I TA VE BAZA, TO \TI DWE TOPOLOGII SOWPADA@T. 3) tOPOLOGIQ MOVET IMETX MNOGO BAZ. 3.3. pRIMERY. 1) wSQ TOPOLOGIQ QWLQETSQ SWOEJ BAZOJ. 2) w PROSTRANSTWE R 1 SEMEJSTWO f(a b) : a 6 b a b 2 R 1 g QWLQETSQ BAZOJ. pODSEMEJSTWO \TOGO SEMEJSTWA, OPREDELQEMOE USLOWIEM a b 2 Q , TOVE BAZA R 1 . 3) w METRI^ESKOM PROSTRANSTWE SEMEJSTWO WSEH OTKRYTYH AROW | BAZA TOPOLOGII. bAZOJ QWLQETSQ I SEMEJSTWO WSEH OTKRYTYH AROW S RACIONALXNYMI RADIUSAMI. 4) w DISKRETNOM PROSTRANSTWE BAZOJ QWLQETSQ SEMEJSTWO WSEH ODNOTO^E^NYH PODMNOVESTW NOSITELQ TOPOLOGII. sWOJSTWO, FORMULIRUEMOE W SLEDU@]EJ TEOREME, ^ASTO BER
B1) dLQ L@BYH U V 2 I L@BOJ TO^KI x 2 U \ V SU]ESTWUET TAKOJ \LEMENT W 2 , ^TO x 2 W U \ V B2) X = :
S
pUSTX | SEMEJSTWO WSEH PODMNOVESTW MNOVESTWA X , QWLQ@]IHSQ OB_EDINENIQMI PODSEMEJSTW SEMEJSTWA . tOGDA | TOPOLOGIQ NA X , I QWLQETSQ EE BAZOJ. dOKAZATELXSTWO. mY DOLVNY PROWERITX, ^TO UDOWLETWORQET AKSIOMAM O1) { O3). S aKSIOMA O1) WYPOLNENA W SILU SWOJSTWA B2) I RAWENSTWA ? = 0 GDE 0 = ?. S pUSTX On 2 I PUSTX On = n, GDE n n = 1 2: dLQ DOKAZATELXSTWA WYPOLNENIQ O2) DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO DLQ L@BYH Un 2 n n = 1 2 MNOVESTWO U1 \ U2 QWLQETSQ OB_EDINENIEM NEKOTOROGO PODSEMEJSTWA 0 SEMEJSTWA . w SILU w1) DLQ L@BOJ TO^KI x 2 U1 \ U2 SU]ESTWUET TAKOJ \LEMENT W (x) 2 , ^TO x 2 W (x) U1 \ U2 : qSNO, ^TO W KA^ESTWE 0 MOVNO WZQTX SEMEJSTWO WSEH W (x) GDE x PROBEGAET WSE U1 \ U2: oSTALXNOE QSNO. 3.7. zAME^ANIE. lEGKO WIDETX, ^TO BAZA TOPOLOGII WSEGDA UDOWLETWORQET USLOWIQM B1) I B2). tAKIM OBRAZOM, MY IMEEM KRITERIJ BAZY. kOGDA DWE TOPOLOGII NA ODNOM I TOM VE MNOVESTWE ZADANY S POMO]X@ BAZ, TO POLEZNO IMETX PRAWILO W TERMINAH BAZ, POZWOLQ@]EE SRAWNIWATX \TI TOPOLOGII. uDOBNYM W \TOM PLANE QWLQETSQ SLEDU@]IJ KRITERIJ. 3.8. tEOREMA. pUSTX 1 I 2 | BAZY SOOTWETSTWENNO TOPOLOGIJ 1 I 2 NA NEKOTOROM MNOVESTWE X . tOPOLOGIQ 2 SILXNEE TOPOLOGII 1 TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ L@BOGO x 2 X I L@BOGO \LEMENTA U 2 1 SODERVA]EGO x, NAJDETSQ TAKOJ \LEMENT V 2 2 ^TO x 2 V U . dOKAZATELXSTWO. pUSTX TOPOLOGIQ 2 SILXNEE TOPOLOGII 1 I PUSTX x 2 U 2 1: tAK KAK U 2 1 I 1 2 TO U 2 2 . pOSKOLXKU 2 | BAZA TOPOLOGII 2, TO SU]ESTWUET \LEMENT V 2 2 UDOWLETWORQ@]IJ USLOWI@ x 2 V U. w OBRATNU@ STORONU. pUSTX O 2 1. pO OPREDELENI@ BAZY O PREDSTAWLQETSQ W WIDE OB_EDINENIQ NEKOTOROGO PODSEMEJSTWA 1. pO PREDPOLOVENI@ DLQ L@BOGO \LEMENTA U 2 I L@BOGO x 2 U SU]ESTWUET TAKOJ V (x) 2 2 ^TO x 2 V (x) U . qSNO, ^TO U SOWPADAET S OB_EDINENIEM WSEH TAKIH V (x) PRI USLOWII, ^TO x PROBEGAET WS< MNOVESTWO U . sLEDOWATELXNO, U 2 2 , O 2 2 I 1 2 : 26
3.9.
pRIMER sEMEJSTWO fa q) : a 2 R q 2 Q a < qg UDOWLETWORQET .
USLOWIQM B1) I B2) I, SLEDOWATELXNO, QWLQETSQ BAZOJ NEKOTOROJ TOPOLOGII NA R . |TA TOPOLOGIQ SILXNEE ESTESTWENNOJ TOPOLOGII WE]ESTWENNOJ PRQMOJ. pROSTRANSTWO (R ) NAZYWAETSQ PRQMOJ zORGENFREQ: 3.10. oPREDELENIE. pUSTX 1 I 2 QWLQ@TSQ SOOTWETSTWENNO BAZAMI TOPOLOGIJ 1 I 2 NA MNOVESTWE X . gOWORQT, ^TO \TI BAZY \KWIWALENTNY, ESLI ONI POROVDA@T ODNU I TU VE TOPOLOGI@, TO ESTX 1 = 2 : 3.11. zAME^ANIE. iSPOLXZUQ 3.8, LEGKO NAGLQDNO POKAZATX SOWPADENIE TOPOLOGIJ d1 d2 I d1 NA DWUMERNOJ WE]ESTWENNOJ PLOSKOSTI (SM. 1.2.3 I 1.10): 3.12. oPREDELENIE. nEPUSTOE SEMEJSTWO NAZYWAETSQ PREDBAZOJ TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA (X ), ESLI SEMEJSTWO WSEH KONE^NYH PERESE^ENIJ U1 \ U2 \ : : : \ Un, GDE Ui 2 DLQ i = 1 2 : : : n n 2 N QWLQETSQ BAZOJ TOPOLOGII . 3.13. zAME^ANIQ. 1) bAZA QWLQETSQ PREDBAZOJ TOPOLOGII. oBRATNOE, WOOB]E GOWORQ, NEWERNO. 2) eSLI ZADANO PROIZWOLXNOE NEPUSTOE SEMEJSTWO MNOVESTW , TO SEMEJSTWO WSEWOZMOVNYH KONE^NYH PERESE^ENIJ \LEMENS TOW IZ OBRAZUET BAZU NEKOTOROJ TOPOLOGII NA MNOVESTWE . |TA TOPOLOGIQ NAZYWAETSQ TOPOLOGIEJ, POROVDENNOJ PREDBAZOJ . oNA QWLQETSQ SLABEJEJ SREDI WSEH TOPOLOGIJ, SODERVA]IH SEMEJSTWO . 3.14. pRIMERY. 1) pUSTX (X 6) | PROIZWOLXNOE LINEJNO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO. dLQ \LEMENTOW a b 2 X MY PIEM a < b, ESLI a 6 b I a 6= b: pUSTX | SEMEJSTWO WSEH MNOVESTW WIDA (; a) := fx 2 X : x < ag (b ;!) := fx 2 X : b < xg GDE a b 2 X: pORQDKOWAQ TOPOLOGIQ NA X IMEET SWOEJ PREDBAZOJ SEMEJSTWO : tOPOLOGIQ PROSTRANSTWA R 1 QWLQETSQ PORQDKOWOJ TOPOLOGIEJ, POROVDENNOJ ESTESTWENNYM OTNOENIEM "MENXE ILI RAWNO." 2) sEMEJSTWO f(;1 q) (r +1) j q r 2 Q g | PREDBAZA TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA R 1 . 3) sEMEJSTWO WSEH PRQMYH LINIJ NA WE]ESTWENNOJ PLOSKOSTI QWLQETSQ PREDBAZOJ DISKRETNOJ TOPOLOGII. 4) sEMEJSTWO, SOSTOQ]EE IZ WSEH WERTIKALXNYH I GORIZONTALXNYH POLOS WIDA f(x y) j a < x < b y 2 R g f(x y) j c < y < d x 2 Rg GDE a b c d 2 R a < b c < d QWLQETSQ PREDBAZOJ ESTESTWENNOJ TOPOLOGII NA PLOSKOSTI. 27
3.15.
oPREDELENIE tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO UDOWLETWORQET .
WTOROJ AKSIOME S^ETNOSTI, ESLI ONO OBLADAET NE BOLEE ^EM S^
n
3
3
3
sLEDOWATELXNO, Bq (an) B"(x) O. 3.20. oPREDELENIE. sEMEJSTWO OKRESTNOSTEJ (x) TO^KI x 2 X NAZYWAETSQ BAZOJ TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA (X ) W TO^KE x ILI LOKALXNOJ BAZOJ W TO^KE x, ESLI DLQ L@BOJ OKRESTNOSTI U TO^KI x NAJDETSQ TAKOJ \LEMENT V 2 (x), ^TO V U: 28
gOWORQ NEFORMALXNO, LOKALXNAQ BAZA W TO^KE TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA | \TO NEKOTOROE SEMEJSTWO OKRESTNOSTEJ \TOJ TO^KI, KOTOROE SODERVIT "SKOLX UGODNO MALYE" OKRESTNOSTI. 3.21. pRIMERY. 1) sEMEJSTWO WSEH OKRESTNOSTEJ ZADANNOJ TO^KI TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA QWLQETSQ LOKALXNOJ BAZOJ W \TOJ TO^KE. 2) eSLI | BAZA TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA, TO SEMEJSTWO (x) SOSTOQ]EE IZ WSEH \LEMENTOW , SODERVA]IH TO^KU x, BUDET LOKALXNOJ BAZOJ W TO^KE x. 3) eSLI (X d) | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO I x 2 X , TO SEMEJSTWO OTKRYTYH AROW fB1=k (x) : k 2 N g | BAZA TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA (X d) W TO^KE x. 3.22. oPREDELENIE. sEMEJSTWO OKRESTNOSTEJ (x) TO^KI x 2 X NAZYWAETSQ PREDBAZOJ W TO^KE x, ESLI SEMEJSTWO, SOSTOQ]EE IZ WSEWOZMOVNYH KONE^NYH PERESE^ENIJ MNOVESTW IZ (x), OBRAZUET LOKALXNU@ BAZU W x. 3.23. oPREDELENIE. pUSTX DLQ KAVDOJ TO^KI x 2 X ZADANA LOKALXNAQ BAZA (x). sEMEJSTWO f (x) : x 2 X g NAZYWAETSQ SISTEMOJ OKRESTNOSTEJ TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA (X ): 3.24. zAME^ANIE. eSLI DLQ KAVDOJ TO^KI x 2 X ZADANA BAZA (x) S PROSTRANSTWA (X ) W TO^KE x, TO SEMEJSTWO = f (x) : x 2 X g ESTX BAZA PROSTRANSTWA (X ): 3.25. uTWERVDENIE. pUSTX f (x) : x 2 X g | SISTEMA OKRESTNOSTEJ TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA (X ): tOGDA ONA OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: (BP1) dLQ L@BOJ TO^KI x 2 X SEMEJSTWO (x) NEPUSTO I DLQ WSQKOGO U 2 (x) IMEEM x 2 U (BP2) dLQ L@BYH y 2 X , U 2 (y) I x 2 U NAJDETSQ TAKOJ \LEMENT V 2 (x), ^TO V U (BP3) dLQ L@BYH x 2 X I U V 2 (x) SU]ESTWUET TAKOJ \LEMENT W 2 (x) ^TO W U \ V . dOKAZATELXSTWO \TOGO UTWERVDENIQ OPIRAETSQ NEPOSREDSTWENNO NA OPREDELENIE BAZY PROSTRANSTWA W TO^KE. w SLEDU@]EJ NESLOVNO PROWERQEMOJ TEOREME OPREDELQETSQ TOPOLOGIQ, POROVDENNAQ SISTEMOJ OKRESTNOSTEJ. 3.26. tEOREMA. pUSTX X | PROIZWOLXNOE MNOVESTWO I KAVDOMU EGO \LEMENTU x 2 X POSTAWLENO W SOOTWETSTWIE NEKOTOROE SEMEJSTWO f (x) : x 2 X g PODMNOVESTW X . pUSTX PRI \TOM WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ (BP1) { (BP3) IZ 3.25 I PUSTX | SEMEJSTWO WSEH PODMNOVESTW X , 29
S
QWLQ@]IHSQ OB_EDINENIQMI PODSEMEJSTW SEMEJSTWA f (x) : x 2 X g. tOGDA | TOPOLOGIQ NA X , A SOWOKUPNOSTX f (x) : x 2 X g | SISTEMA OKRESTNOSTEJ TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA (X ): 3.27. pRIMERY. 1) pUSTX X | PODMNOVESTWO WE]ESTWENNOJ PLOSKOSTI, SOSTOQ]EE IZ WSEH TO^EK (x y) TAKIH, ^TO y > 0. zADADIM TOPOLOGI@ NA X POSREDSTWOM SISTEMY OKRESTNOSTEJ. dLQ TO^KI (x 0) PUSTX ((x 0)) SOSTOIT IZ WSEWOZMOVNYH OTKRYTYH KRUGOW, CELIKOM LEVA]IH W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI I KASA@]IHSQ OSI ABSCISS W TO^KE (x 0), K KOTORYM PRISOEDINENA SAMA \TA TO^KA. dLQ TO^KI (x y) S POLOVITELXNOJ ORDINATOJ PUSTX ((x y)) SOSTOIT IZ WSEWOZMOVNYH OTKRYTYH KRUGOW S CENTROM W (x y) I CELIKOM LEVA]IH W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI (SM. rIS. 3). y
(x 0)
0
x
Puc:3 lEGKO PROWERITX, ^TO NABOR f ((x y)) j (x y) 2 X g UDOWLETWORQET SWOJSTWAM (BP1){(BP3), A, ZNA^IT, OPREDELQET TOPOLOGI@ NA X . pROSTRANSTWO X S \TOJ TOPOLOGIEJ NAZYWAETSQ PLOSKOSTX@ nEMYCKOGO. 2) pUSTX N | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO, N | PROSTRANSTWO LINEJNYH OGRANI^ENNYH FUNKCIONALOW NA N I x | PROIZWOLXNYJ \LEMENT IZ N . dLQ L@BOGO KONE^NOGO NABORA FUNKCIONALOW f1 f2 : : : fn 2 N I L@BOGO DEJSTWITELXNOGO ^ISLA " > 0 RASSMOTRIM PODMNOVESTWO W PROSTRANSTWE N : V (x f1 f2 : : : fn ") := fy 2 N : jfk (y) ; fk (x)j < " k = 1 2 : : : ng: pUSTX (x) | SEMEJSTWO WSEWOZMOVNYH TAKIH MNOVESTW. lEGKO PROWERITX, S^TO SEMEJSTWA (x) UDOWLETWORQ@T SWOJSTWAM (BP1){(BP3). pO\TOMU f (x) : x 2 N g | BAZA NEKOTOROJ TOPOLOGII, KOTORU@ NAZYWA@T SLABOJ TOPOLOGIEJ W N . 3.28. zAME^ANIE. oSOBENNO UDOBNO ZADAWATX TOPOLOGII S POMO]X@ SISTEM OKRESTNOSTEJ W TEH STRUKTURAH, W KOTORYH DLQ WWEDENIQ TOPOLOGII DOSTATO^NO UKAZATX LOKALXNU@ BAZU WSEGO LIX W ODNOJ TO^KE. nAPRIMER, W GRUPPAH I WEKTORNYH PROSTRANSTWAH ^ASTO UKAZYWAETSQ LIX LOKALXNAQ BAZA NEJTRALXNOGO \LEMENTA. 3.29. oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO UDOW30
LETWORQET PERWOJ AKSIOME S^ETNOSTI, ESLI W KAVDOJ EGO TO^KE SU]ESTWUET NE BOLEE ^EM S^
31
4.
iNDUCIROWANNAQ TOPOLOGIQ I PODPROSTRANSTWA
nA PROTQVENII WSEGO RAZDELA Y | PODMNOVESTWO MNOVESTWA X | KAK OBY^NO, TOPOLOGIQ NA X . oBOZNA^IM ^EREZ Y SEMEJSTWO MNOVESTW fY \ O : O 2 g: lEGKO WIDETX, ^TO Y | TOPOLOGIQ NA MNOVESTWE Y . 4.1. oPREDELENIQ. tOPOLOGIQ Y NAZYWAETSQ INDUCIROWANNOJ TOPOLOGIEJ ILI TOPOLOGIEJ PODPROSTRANSTWA. mNOVESTWO Y S \TOJ TOPOLOGIEJ NAZYWAETSQ PODPROSTRANSTWOM PROSTRANSTWA (X ). 1 4.2. pRIMERY. 1) w PODPROSTRANSTWE I := 0 1] PROSTRANSTWA R SEMEJSTWO WSEH INTERWALOW WIDA 0 q) (q 1] I (q r), GDE q r 2 Q \ I , QWLQETSQ BAZOJ. 2) nA MNOVESTWE CELYH ^ISEL Z TOPOLOGIQ PROSTRANSTWA R 1 INDUCIRUET DISKRETNU@ TOPOLOGI@. 3) pUSTX Y = ;1 2) f3 4g | PODPROSTRANSTWO R 1 . mNOVESTWA ;1 0) I ;1 1) f3g OTKRYTY W Y . kOGDA GOWORQT, ^TO INDUCIROWANIE TOPOLOGIJ TRANZITIWNO, TO POD \TIM PODRAZUMEWA@T SLEDU@]EE 4.3. uTWERVDENIE. pUSTX A | PODMNOVESTWO MNOVESTWA Y . tOGDA DWE OPREDELENNYE NA A TOPOLOGII | TOPOLOGIQ PODPROSTRANSTWA PROSTRANSTWA (Y Y ) I TOPOLOGIQ PODPROSTRANSTWA PROSTRANSTWA (X ) | SOWPADA@T. dOKAZATELXSTWO. pUSTX U A: tOGDA IMEEM CEPO^KU \KWIWALENTNOSTEJ: U | \LEMENT TOPOLOGII PODPROSTRANSTWA PROSTRANSTWA (Y Y ) () U = A \ V DLQ NEKOTOROGO \LEMENTA V 2 Y () U = A \ (O \ Y ) DLQ NEKOTOROGO \LEMENTA O 2 () U = A \ O () U 2 A . ~TO KASAETSQ SISTEM OKRESTNOSTEJ I BAZ PODPROSTRANSTW, TO IMEET MESTO LEGKO PROWERQEMOE 4.4. uTWERVDENIE. pUSTX f (x) : x 2 X g | SISTEMA OKRESTNOSTEJ TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA (X ) , A | BAZA (PREDBAZA) TOPOLOGII . tOGDA SOWOKUPNOSTX WSEH SEMEJSTW fY \ O : O 2 (y)g, GDE y PROBEGAET MNOVESTWO Y , QWLQETSQ SISTEMOJ OKRESTNOSTEJ TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA (Y Y ), A SEMEJSTWO fY \ V : V 2 g | BAZOJ (PREDBAZOJ) TOPOLOGII Y . 4.5. sLEDSTWIE. eSLI PROSTRANSTWO UDOWLETWORQET PERWOJ (WTOROJ) AKSIOME S^ETNOSTI, TO I L@BOE EGO PODPROSTRANSTWO TOVE UDOWLETWORQET \TOJ AKSIOME. 4.6. oPREDELENIE. sWOJSTWO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA NAZYWAETSQ NASLEDSTWENNYM, ESLI ONO SOHRANQETSQ PRI PEREHODE OT L@BOGO 32
TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA, OBLADA@]EGO \TIM SWOJSTWOM, KO WSQKOMU EGO PODPROSTRANSTWU. nAPRIMER, NETRUDNO WIDETX, ^TO SWOJSTWO BYTX METRIZUEMYM PROSTRANSTWOM QWLQETSQ NASLEDSTWENNYM. oBY^NO WSQKOE PODMNOVESTWO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA BEZ WSQKOJ SPECIALXNOJ OGOWORKI RASSMATRIWAETSQ W KA^ESTWE TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA S INDUCIROWANNOJ TOPOLOGIEJ. pRI \TOM SLEDUET ^
QWLQETSQ SLEDOM DRUGOJ. nAPRIMER, POLOVIM X = R 1 Y = Q I A = Q \ (0 1). qSNO, ^TO WNUTRENNOSTX MNOVESTWA A W R 1 PUSTA, A W Q (S INDUCIROWANNOJ TOPOLOGIEJ) MNOVESTWO A OTKRYTO. y
Z
D
A B
E C
0
x
Y Puc:4 4.10.
pRIMER rASSMOTRIM W KA^ESTWE X PROSTRANSTWO R2 ( c TO2 .
POLOGIEJ, POROVDENNOJ EWKLIDOWOJ METRIKOJ). pUSTX Y = f(x y) 2 R j ;4 6 x 6 ;1 ;1 6 y 6 4g I Z = f(x y) 2 R 2 j x > 1 y > 1g | PODPROSTRANSTWA. rASSMOTRIM MNOVESTWA (SM. rIS. 4): A = Y \ f(x y) 2 R2 j (x + 2 5)2 + (y ; 4)2 < 1g B = f(x y) 2 R 2 j (x + 2)2 + (y ; 2)2 < 0 25g C = f(x y) 2 R 2 j (x + 3)2 + y2 6 1g D = Z \ f(x y) 2 R 2 j (x ; 1)2 + (y ; 3)2 6 1g E = f(x y) 2 R 2 j (x ; 4)2 + (y ; 2)2 < 1g: mNOVESTWO Y ZAMKNUTO, A MNOVESTWO Z OTKRYTO W R 2 . mNOVESTWA A I B OTKRYTY, A C ZAMKNUTO W Y . mNOVESTWO D ZAMKNUTO, A E OTKRYTO W Z . pRI \TOM W PROSTRANSTWE R 2 MNOVESTWA A I D NE QWLQ@TSQ NI OTKRYTYMI NI ZAMKNUTYMI, B I E OTKRYTY, A C ZAMKNUTO. 4.11. uTWERVDENIE. wSQKOE OTKRYTOE (ZAMKNUTOE) MNOVESTWO PODPROSTRANSTWA (Y Y ) QWLQETSQ OTKRYTYM (ZAMKNUTYM) MNOVESTWOM W (X ) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA Y OTKRYTO (ZAMKNUTO) W X. 34
pUSTX MNOVESTWO X QWLQETSQ OB_EDINENIEM DWUH SWOIH PODMNOVESTW Y I Z . lEGKO STROITSQ PRIMER, POKAZYWA@]IJ, ^TO DLQ PODMNOVESTWA A PROSTRANSTWA X IZ TOGO, ^TO MNOVESTWA A \ Y I A \ Z OTKRYTY SOOTWETSTWENNO W PODPROSTRANSTWAH Y I Z , WOOB]E GOWORQ, NE SLEDUET, ^TO A OTKRYTO W X . i WSE-TAKI W TAKOJ SITUACII INOGDA MOVNO GARANTIROWATX OTKRYTOSTX MNOVESTWA A. dLQ TO^NOJ FORMULIROWKI UTWERVDENIQ (SM. 4.16) NAM PONADOBITSQ SLEDU@]EE OPREDELENIE. 4.12. oPREDELENIE. pODMNOVESTWA A I B TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA NAZYWA@TSQ OTDELENNYMI W \TOM PROSTRANSTWE, ESLI OBA MNOVESTWA A \ B I A \ B PUSTY. 1 4.13. pRIMERY. 1) w PROSTRANSTWE R MNOVESTWA A = 0 1) I B = (1 2] OTDELENY, A MNOVESTWA C = (0 1] I D = (1 2) NE QWLQ@TSQ OTDELENNYMI. 2) l@BYE NEPERESEKA@]IESQ OTKRYTYE (ZAMKNUTYE) MNOVESTWA QWLQ@TSQ OTDELENNYMI. nETRUDNO WIDETX, ^TO OPREDELENIE 4.12 MOVET BYTX PEREFORMULIROWANO W TERMINAH INDUCIROWANNOJ TOPOLOGII. a IMENNO: 4.14. tEOREMA. dWA PODMNOVESTWA A I B PROSTRANSTWA (X ) QWLQ@TSQ OTDELENNYMI TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA A I B NE PERESEKA@TSQ I OBA ZAMKNUTY W PODPROSTRANSTWE A B: dOKAZATELXSTWO. " tOGDA." o^EWIDNO, A \ B A \ B = ?: sLEDOWATELXNO, A \ B = ?: pOKAVEM, ^TO A ZAMKNUTO W PODPROSTRANSTWE A B: mNOVESTWO A ZAMKNUTO W X I IME@T MESTO RAWENSTWA: A \ (A B ) = (A \ A) (A \ B ) = A \ A = A: oSTALOSX WOSPOLXZOWATXSQ 4.7. " tOLXKO TOGDA." dOKAVEM, NAPRIMER, ^TO A \ B = ?: dLQ \TOGO ZAMETIM, ^TO A \ B B: dALEE, W SILU ZAMKNUTOSTI A W PODPROSTRANSTWE A B , IMEEM WKL@^ENIE A \ B A \ (A B ) = AAB = A: tAKIM OBRAZOM, A \ B A \ B = ?: sLEDOWATELXNO, A \ B = ?: ~TO I TREBOWALOSX DOKAZATX. 4.15. sLEDSTWIE. dWA PODMNOVESTWA A I B PROSTRANSTWA (X ) QWLQ@TSQ OTDELENNYMI TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA A I B NE PERESEKA@TSQ I OBA QWLQ@TSQ OTKRYTO-ZAMKNUTYMI W PODPROSTRANSTWE A B: iMEET MESTO SLEDU@]EE UTWERVDENIE (SM. 5, S.81]). 35
4.16.
tEOREMA pUSTX MNOVESTWO X QWLQETSQ OB_EDINENIEM MNO
-
.
VESTW Y I Z , TAKIH, ^TO MNOVESTWA Y n Z I Z n Y OTDELENY W PROSTRANSTWE X . tOGDA PODMNOVESTWO A PROSTRANSTWA X OTKRYTO (ZAMKNUTO) W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA OTKRYTO (ZAMKNUTO) MNOVESTWO A\Y W PODPROSTRANSTWE Y I OTKRYTO (ZAMKNUTO) MNOVESTWO A \ Z W PODPROSTRANSTWE Z .
36
5.
sWQZNYE PROSTRANSTWA
pONQTIE SWQZNOGO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA PREDSTAWLQET SOBOJ MATEMATI^ESKU@ FORMALIZACI@ NAEGO INTUITIWNOGO PREDSTAWLENIQ O NERAZDELENNOSTI GEOMETRI^ESKOJ FIGURY. |TO PONQTIE IGRAET O^ENX WAVNU@ ROLX KAK W SAMYH RAZNOOBRAZNYH WOPROSAH TOPOLOGII, TAK I W E< MNOGO^ISLENNYH PRILOVENIQH. nAPRIMER, IZ KURSA MATEMATI^ESKOGO ANALIZA NAM IZWESTNA TEOREMA O PROMEVUTO^NYH ZNA^ENIQH NEPRERYWNOJ NA OTREZKE FUNKCII. |TOT REZULXTAT MOVNO RASSMATRIWATX NE TOLXKO KAK SWOJSTWO NEPRERYWNOJ FUNKCII, NO I KAK SWOJSTWO TOPOLOGII OTREZKA. a IMENNO, SWQZNOSTX OTREZKA QWLQETSQ SU]ESTWENNYM TOPOLOGI^ESKIM SWOJSTWOM W DOKAZATELXSTWE UKAZANNOJ TEOREMY. 5.1. oPREDELENIQ. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ SWQZNYM, ESLI EGO NELXZQ PREDSTAWITX W WIDE OB_EDINENIQ DWUH NEPUSTYH OTDELENNYH PODMNOVESTW. pROSTRANSTWO, NE QWLQ@]EESQ SWQZNYM, NAZYWAETSQ NESWQZNYM. 5.2. pRIMERY. 1) oDNOTO^E^NOE PROSTRANSTWO SWQZNO. 2) aNTIDISKRETNOE TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO SWQZNO. 3) dISKRETNOE TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO, SODERVA]EE PO KRAJNEJ MERE DWE RAZLI^NYE TO^KI, NESWQZNO. 5.3. tEOREMA. dLQ PROIZWOLXNOGO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA (X ) SLEDU@]IE USLOWIQ RAWNOSILXNY: 1) PROSTRANSTWO X SWQZNO 2) X NELXZQ PREDSTAWITX W WIDE OB_EDINENIQ DWUH NEPUSTYH NEPERESEKA@]IHSQ OTKRYTYH (ZAMKNUTYH) PODMNOVESTW 3) PUSTOE MNOVESTWO I WSE PROSTRANSTWO | EDINSTWENNYE OTKRYTO{ ZAMKNUTYE MNOVESTWA W PROSTRANSTWE X . dOKAZATELXSTWO. dOKAVEM, ^TO SWQZNOSTX PROSTRANSTWA \KWIWALENTNA TOMU, ^TO EGO NELXZQ PREDSTAWITX W WIDE OB_EDINENIQ DWUH NEPUSTYH NEPERESEKA@]IHSQ OTKRYTYH MNOVESTW. oSTALXNOE NEMEDLENNO WYTEKAET IZ \TOGO FAKTA. 1) =) 2): pREDPOLAGAQ PROTIWNOE, TO ESTX, ^TO X = O1 O2 GDE O1 \ O2 = ?, Oi 2 , Oi 6= ?, i = 1 2 POLU^AEM PROTIWORE^IE, TAK KAK NEPERESEKA@]IESQ NEPUSTYE OTKRYTYE MNOVESTWA OTDELENY. 2) =) 1): pREDPOLOVIM, ^TO X = A B , GDE A B 6= ? A \ B = ? = A \ B: tOGDA, S ODNOJ STORONY, CB A = CB , A, S DRUGOJ STORONY, RAWENSTWO A \ B = ? WLE^ET WKL@^ENIE A CB: sLEDOWATELXNO, A = CB: 37
aNALOGI^NO USTANAWLIWAETSQ RAWENSTWO B = CA: tAKIM OBRAZOM, A I B OTKRYTYE DIZ_@NKTNYE MNOVESTWA. pOLU^ENNOE PROTIWORE^IE DOKAZYWAET UKAZANNU@ IMPLIKACI@. 5.4. uPRAVNENIE. iSPOLXZUQ POSLEDNEE UTWERVDENIE TEOREMY 5.3, DOKAVITE SWQZNOSTX PROSTRANSTWA R 1 : 5.5. oPREDELENIE. pODMNOVESTWO Y PROSTRANSTWA (X ) NAZYWAETSQ SWQZNYM, ESLI PROSTRANSTWO (Y Y ) QWLQETSQ SWQZNYM. 5.6. pRIMERY. 1) wO WSQKOM PROSTRANSTWE PUSTOE MNOVESTWO I ODNOTO^E^NOE PODMNOVESTWO SWQZNY. 2) pODMNOVESTWO SWQZNOGO PROSTRANSTWA MOVET I NE BYTX SWQZNYM. tAKOWYM, NAPRIMER, QWLQETSQ PODMNOVESTWO Y = (0 1) (2 3) W SWQZNOM PROSTRANSTWE R 1 . 3) pROMEVUTKOM W R 1 NAZOWEM L@BOE IZ SLEDU@]IH MNOVESTW: SAMU PRQMU@, OTREZOK a b], INTERWAL (a b), POLUINTERWALY a b) I (a b], W TOM ^ISLE I BESKONE^NYE (T.E. LU^I). l@BOJ PROMEVUTOK SWQZEN, I WSQKOE SWQZNOE MNOVESTWO W R 1 QWLQETSQ PROMEVUTKOM. 5.7. tEOREMA. pODMNOVESTWO Y TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA (X ) SWQZNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA IZ TOGO, ^TO Y = X1 X2, GDE X1 X2 | OTDELENNYE PODMNOVESTWA PROSTRANSTWA X , SLEDUET, ^TO SREDI MNOVESTW X1 X2 ESTX PUSTOE MNOVESTWO. dOKAZATELXSTWO. pREDPOLOVIM, ^TO Y SWQZNO I Y = X1 X2, GDE X1 X2 OTDELENY W X . tOGDA MNOVESTWA X1 I X2 QWLQ@TSQ OTDELENNYMI I Y X W (Y Y ): dEJSTWITELXNO, PO TEOREME 4.7, IMEEM RAWENSTWA Xi = Y \ Xi GDE i = 1 2 PO\TOMU, NAPRIMER, X1Y \ X2 = (X1X \ Y ) \ X2 = (X1X \ X2) \ Y = ?: zNA^IT, PO OPREDELENI@ SWQZNOGO PODMNOVESTWA, LIBO X1, LIBO X2 PUSTO. w OBRATNU@ STORONU. pREDPOLOVIM, ^TO PROSTRANSTWO (Y Y ) NESWQZNO. w SILU TEOREMY 5.3, SU]ESTWUET TAKAQ PARA X1 X2 NEPERESEKA@]IHSQ NEPUSTYH ZAMKNUTYH PODMNOVESTW PROSTRANSTWA Y , ^TO Y = X1 X2 . pO TEOREME 4.14 MNOVESTWA X1 I X2 OTDELENY W PROSTRANSTWE X . pOLU^AEM, ^TO USLOWIE TEOREMY NE WYPOLNQETSQ. zNA^IT, NAE PREDPOLOVENIE NEWERNO, I Y SWQZNO. 5.8. sLEDSTWIE. eSLI Y | SWQZNOE PODMNOVESTWO PROSTRANSTWA X , SODERVA]EESQ W OB_EDINENII DWUH OTDELENNYH PODMNOVESTW X1 I X2 PROSTRANSTWA X , TO LIBO Y X1 , LIBO Y X2 . dOKAZATELXSTWO. qSNO, ^TO MNOVESTWA Y \ X1 I Y \ X2 OTDELENY W X I IH OB_EDINENIE SOWPADAET S Y . pO TEOREME 5.7 ODNO IZ \TIH MNOVESTW PUSTO, A, SLEDOWATELXNO, Y CELIKOM LEVIT W DRUGOM IZ NIH. 38
tEOREMA pUSTX fY : 2 g
SEMEJSTWO SWQZNYH PODMNOVESTW TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA X . tOGDA ESLI SREDI NIH SU]ESTWUET MNOVESTWO Y, KOTOROE NE OTDELENO NI OT ODNOGO IZ MNOS VESTW Y, TO OB_EDINENIE Y := fY : 2 g SWQZNO. dOKAZATELXSTWO. pREDPOLOVIM, ^TO Y = X1 X2 , GDE X1 I X2 | OTDELENNYE PODMNOVESTWA PROSTRANSTWA X . tOGDA SLEDSTWIE 5.8 GARANTIRUET, ^TO Y LEVIT CELIKOM W ODNOM IZ \TIH PODMNOVESTW, NAPRIMER, Y X1. iZ \TOGO LEGKO ZAKL@^AEM, ^TO WSE MNOVESTWA Y LEVAT W X1. pO\TOMU I Y LEVIT W X1 , A X2 PUSTO. oSTALOSX PRIMENITX TEOREMU 5.7. 5.10. sLEDSTWIE. eSLI SEMEJSTWO SWQZNYH PODMNOVESTW TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA IMEET NEPUSTOE PERESE^ENIE, TO OB_EDINENIE MNOVESTW \TOGO SEMEJSTWA SWQZNO. 5.11. pRIMER. tREHMERNOE WE]ESTWENNOE EWKLIDOWO PROSTRANSTWO SWQZNO, POSKOLXKU EGO MOVNO RASSMATRIWATX KAK OB_EDINENIE WSEH PRQMYH LINIJ, PROHODQ]IH ^EREZ NA^ALO KOORDINAT. 5.12. sLEDSTWIE. eSLI PODMNOVESTWO Y TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA X SWQZNO, TO I KAVDOE PODMNOVESTWO A PROSTRANSTWA X , DLQ KOTOROGO Y A Y , TOVE SWQZNO. w ^ASTNOSTI, ZAMYKANIE SWQZNOGO MNOVESTWA SWQZNO. dOKAZATELXSTWO. rASSMOTRIM SEMEJSTWO fY g ffxg : x 2 Ag I PRIMENIM TEOREMU 5.9. 5.13. sLEDSTWIE. eSLI TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO SODERVIT WS@DU PLOTNOE SWQZNOE PODPROSTRANSTWO, TO I SAMO PROSTRANSTWO SWQZNO. 5.14. oPREDELENIE. dWE TO^KI x I y TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA X SOEDINQ@TSQ PODPROSTRANSTWOM Y X , ESLI x y 2 Y . 5.15. sLEDSTWIE. eSLI KAVDYE DWE TO^KI TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA MOVNO SOEDINITX SWQZNYM PODPROSTRANSTWOM \TOGO PROSTRANSTWA, TO PROSTRANSTWO SWQZNO. dOKAZATELXSTWO. zAFIKSIRUEM PROIZWOLXNU@ TO^KU x0 PROSTRANSTWA X . dLQ KAVDOJ TO^KI x 2 X RASSMOTRIM SWQZNOE PODPROSTRANSTWO Yx, SOEDINQ@]EE TO^KI x0 IS x. sEMEJSTWO fYx : x 2 X g UDOWLETWORQET POSYLKAM SLEDSTWIQ 5.10 I fYx : x 2 X g = X: 5.16. oPREDELENIQ. kOMPONENTOJ TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA NAZYWAETSQ L@BOE EGO MAKSIMALXNOE SWQZNOE PODMNOVESTWO, T.E. TAKOE SWQZNOE PODMNOVESTWO, KOTOROE NE QWLQETSQ SOBSTWENNOJ ^ASTX@ NIKAKOGO 5.9.
.
39
|
DRUGOGO SWQZNOGO PODMNOVESTWA. kOMPONENTOJ PODMNOVESTWA TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA NAZYWAETSQ L@BAQ KOMPONENTA \TOGO MNOVESTWA, NADELENNOGO INDUCIROWANNOJ TOPOLOGIEJ. 5.17. zAME^ANIQ. 1) pROSTRANSTWO SWQZNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONO QWLQETSQ EDINSTWENNOJ SWOEJ KOMPONENTOJ. 2) pOSKOLXKU ODNOTO^E^NOE MNOVESTWO SWQZNO, TO WSQKOE TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO SOWPADAET S OB_EDINENIEM SWOIH KOMPONENT. nIVE MY UWIDIM, ^TO KOMPONENTY OBRAZU@T DIZ_@NKTNOE RAZBIENIE PROSTRANSTWA. 5.18.
pRIMERY 1) kOMPONENTAMI PODMNOVESTWA kS=1ak bk ] PROSTRANn
.
STWA R 1 GDE ai bi ] \ aj bj ] = ? PRI i 6= j , QWLQ@TSQ OTREZKI ak bk ]: 2) w DISKRETNOM TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE LIX ODNOTO^E^NYE MNOVESTWA SWQZNY, I IMENNO ONI QWLQ@TSQ KOMPONENTAMI PROSTRANSTWA. 3) pROSTRANSTWO RACIONALXNYH ^ISEL S TOPOLOGIEJ, INDUCIROWANNOJ IZ R 1 , NE QWLQETSQ DISKRETNYM. oDNAKO EGO KOMPONENTAMI SLUVAT ODNOTO^E^NYE MNOVESTWA. 5.19. tEOREMA. 1) wSQKOE SWQZNOE PODMNOVESTWO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA SODERVITSQ W NEKOTOROJ KOMPONENTE \TOGO PROSTRANSTWA. 2) kAVDAQ KOMPONENTA ZAMKNUTA. 3) rAZLI^NYE KOMPONENTY PROSTRANSTWA OTDELENY. dOKAZATELXSTWO. 1) nE OGRANI^IWAQ OB]NOSTI, PREDPOLOVIM, ^TO Y | NEPUSTOE SWQZNOE PODMNOVESTWO PROSTRANSTWA X . oBOZNA^IM ^EREZ C OB_EDINENIE WSEH SWQZNYH MNOVESTW W X , SODERVA]IH Y . pO SLEDSTWI@ 5.10 MNOVESTWO C SWQZNO. eSLI MNOVESTWO A SWQZNO I C A, TO Y A. pO\TOMU A C I A = C . tAKIM OBRAZOM, MNOVESTWO C | KOMPONENTA. 2) pUSTX C | KOMPONENTA TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA X . tOGDA MNOVESTWO C SWQZNO I, W SILU 5.12, ZAMYKANIE C TOVE SWQZNO. wKL@^ENIE C C I MAKSIMALXNOSTX KOMPONENTY GARANTIRU@T RAWENSTWO C = C: sLEDOWATELXNO, MNOVESTWO C ZAMKNUTO. 3) pUSTX C1 I C2 | DWE RAZLI^NYE KOMPONENTY PROSTRANSTWA X . pREDPOLOVIM, ^TO ONI IME@T OB]U@ TO^KU. tOGDA, U^ITYWAQ 5.10, MY ZAKL@^AEM, ^TO MNOVESTWO C1 C2 SWQZNO. pRINIMAQ WO WNIMANIE STROGOSTX WKL@^ENIJ Ci C1 C2 i = 1 2 POLU^AEM PROTIWORE^IE SO SWOJSTWOM MAKSIMALXNOSTI KOMPONENTY. 5.20. zAME^ANIQ. 1) sEMEJSTWO WSEH KOMPONENT TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA OBRAZUET RAZLOVENIE \TOGO PROSTRANSTWA NA SWQZNYE NEPERESEKA@]IESQ ZAMKNUTYE PODMNOVESTWA. 2) kOMPONENTA MOVET OKAZATXSQ OTKRYTOJ, NO \TOGO MOVET I NE BYTX. 40
5.21.
pRIMER w KA^ESTWE TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA X RASSMOT+1 .
RIM PODPROSTRANSTWO
S In TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA R2 , GDE
n=0
I0 := f(0 y) 2 R 2 j 0 6 y 6 1g In := f( n1 y) 2 R 2 j 0 6 y 6 1g n 2 N :
kOMPONENTAMI PROSTRANSTWA X QWLQ@TSQ OTREZKI In, n > 0. pRI n 6= 0 ONI WSE OTKRYTY, ODNAKO KOMPONENTA I0 OTKRYTOJ NE QWLQETSQ. dEJSTWITELXNO, DLQ WSQKOJ TO^KI IZ MNOVESTWA I0 KAVDAQ EE OKRESTNOSTX SODERVIT TO^KI BESKONE^NO MNOGIH MNOVESTW In (SM. rIS. 5). y 1 I0 : : :
I3 I2
I1 1
Puc:5
41
x
6.
aKSIOMY OTDELIMOSTI
w \TOM RAZDELE RASSMATRIWA@TSQ AKSIOMY, W KOTORYH S POMO]X@ OKRESTNOSTEJ RAZDELQ@T TO^KI I ZAMKNUTYE MNOVESTWA TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW. 6.1. oPREDELENIE. oKRESTNOSTX@ PODMNOVESTWA A TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA X BUDEM NAZYWATX L@BOE OTKRYTOE MNOVESTWO O, SODERVA]EE A. w \TOM SLU^AE MY ^ASTO BUDEM PISATX O(A). dLQ ODNOTO^E^NOGO MNOVESTWA fxg | PROSTO O(x) GDE x 2 X . 6.2. oPREDELENIQ. pUSTX n = 0 1 2 3 4: tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO (X ) BUDET NAZYWATXSQ Tn{PROSTRANSTWOM, ESLI ONO UDOWLETWORQET FORMULIRUEMOJ NIVE AKSIOME OTDELIMOSTI Tn:
aKSIOMA
T0 (aKSIOMA kOLMOGOROWA). dLQ L@BYH DWUH RAZLI^NYH TO^EK PROSTRANSTWA X SU]ESTWUET OTKRYTOE MNOVESTWO, SODERVA]EE ROWNO ODNU IZ \TIH TO^EK. aKSIOMA T1. dLQ KAVDOJ IZ L@BYH DWUH RAZLI^NYH TO^EK PROSTRANSTWA X SU]ESTWUET OKRESTNOSTX, NE SODERVA]AQ DRUGOJ TO^KI. aKSIOMA T2 (aKSIOMA hAUSDORFA). u L@BYH DWUH RAZLI^NYH TO^EK PROSTRANSTWA X SU]ESTWU@T NEPERESEKA@]IESQ OKRESTNOSTI. aKSIOMA T3: dLQ L@BOJ TO^KI x 2 X I L@BOGO ZAMKNUTOGO MNOVESTWA F X , TAKOGO, ^TO x 2= F SU]ESTWU@T TAKIE OKRESTNOSTI U (x) I V (F ), ^TO U (x) \ V (F ) = ?. aKSIOMA T4: dLQ KAVDOJ PARY NEPERESEKA@]IHSQ ZAMKNUTYH MNOVESTW A B X SU]ESTWU@T TAKIE OKRESTNOSTI U (A) I V (B ), ^TO U (A) \ V (B ) = ?.
6.3.
zAME^ANIE dLQ PERE^ISLENNYH WYE AKSIOM IME@T MESTO O^E.
WIDNYE IMPLIKACII T2 =) T1 =) T0 . 1 QWLQETSQ T {PROSTRANSTWOM. 6.4. pRIMERY. 1) pROSTRANSTWO R 2 2) sLIPEESQ DWOETO^IE (SM. 2.2.3) NE QWLQETSQ T0{PROSTRANSTWOM. 3) sWQZNOE DWOETO^IE (SM. 2.2.3) | T0 {PROSTRANSTWO, NE QWLQ@]EESQ T1{ PROSTRANSTWOM. 4) bESKONE^NOE MNOVESTWO, NADELENNOE TOPOLOGIEJ zARISSKOGO, QWLQETSQ T1{PROSTRANSTWOM, NO NE UDOWLETWORQET AKSIOME T2 . 42
6.5.
tEOREMA tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO X QWLQETSQ T1 PROST {
.
-
RANSTWOM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ KAVDOJ TO^KI x 2 X MNOVESTWO fxg ZAMKNUTO W X . dOKAZATELXSTWO. pUSTX X | T1{PROSTRANSTWO I x 2 X . wOZXMEM PROIZWOLXNU@ TO^KU y 2 X , OTLI^NU@ OT x. pOSKOLXKU TO^KA y OBLADAET OKRESTNOSTX@, NE SODERVA]EJ x, TO y NE QWLQETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ MNOVESTWA fxg. pO\TOMU fxg ZAMKNUTO W X . oBRATNOE UTWERVDENIE SLEDUET IZ TOGO, ^TO MNOVESTWA X n fxg I X n fyg QWLQ@TSQ OKRESTNOSTQMI SOOTWETSTWENNO TO^EK y I x. 6.6. uPRAVNENIQ O T1 {PROSTRANSTWAH. 1) tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO X QWLQETSQ T1{PROSTRANSTWOM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ KAVDOJ TO^KI x 2 X PERESE^ENIE WSEH E< OKRESTNOSTEJ SOWPADAET S MNOVESTWOM fxg. 2) w KAVDOJ OKRESTNOSTI L@BOJ PREDELXNOJ TO^KI PODMNOVESTWA T1 {PROSTRANSTWA SODERVITSQ BESKONE^NOE ^ISLO TO^EK \TOGO PODMNOVESTWA. 3) kONE^NOE MNOVESTWO TO^EK ZAMKNUTO. 4) tO^KA x NEKOTOROGO PODMNOVESTWA PROSTRANSTWA QWLQETSQ IZOLIROWANNOJ TO^KOJ \TOGO PODMNOVESTWA W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, ESLI MNOVESTWO fxg OTKRYTO W \TOM PODMNOVESTWE. 5) pROIZWODNOE MNOVESTWO L@BOGO PODMNOVESTWA ZAMKNUTO. 6.7. oPREDELENIQ. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ OTDELIMYM ILI HAUSDORFOWYM, ESLI ONO UDOWLETWORQET AKSIOME T2 . sOOTWETSTWENNO TOPOLOGI@ TAKOGO PROSTRANSTWA NAZYWA@T OTDELIMOJ ILI HAUSDORFOWOJ. 6.8. tEOREMA. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO (X ) HAUSDORFOWO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ WSQKOJ TO^KI x 2 X PERESE^ENIE ZAMYKANIJ WSEH EE OKRESTNOSTEJ SOWPADAET S MNOVESTWOM fxg. dOKAZATELXSTWO. pUSTX x | PROIZWOLXNAQ TO^KA HAUSDORFOWA PROSTRANSTWA X I fO : 2 g | SEMEJSTWO WSEH OKRESTNOSTEJ \TOJ TO^KI. T tAK KAK x 2 O O DLQ KAVDOGO 2 , TO x 2 fO : 2 g. pOKAVEM, ^TO NI ODNA TO^KA PROSTRANSTWA X , OTLI^NAQ OT SAMOJ TO^KI x, NE PRINADLEVIT \TOMU PERESE^ENI@. dEJSTWITELXNO , PREDPOLOVIM PROT TIWNOE. pUSTX SU]ESTWUET TO^KA y 2 fO : 2 g I y 6= x. w SILU OTDELIMOSTI TOPOLOGII MOVNO WYBRATX OKRESTNOSTX U TO^KI y I INDEKS 2 TAKIE, ^TO U \ O = ?: pO\TOMU y 2= O . pROTIWORE^IE. zNA^IT, fxg = TfO : 2 g. tEPERX PUSTX x I y | DWE RAZLI^NYE TO^KI PROSTRANSTWA X I PUSTX T fxg = fO : 2 g, GDE fO : 2 g | SEMEJSTWO WSEH OKRESTNOSTEJ TO^KI x. qSNO, ^TO SU]ESTWUET TAKOJ INDEKS 2 ^TO y 2= O. iZ \TOGO SLEDUET, ^TO y 2= O. o^EWIDNO, ^TO MNOVESTWO X n O QWLQETSQ 43
OKRESTNOSTX@ TO^KI y I (X n O) \ O = ?: 6.9. uPRAVNENIE. mETRI^ESKOE PROSTRANSTWO HAUSDORFOWO. dLQ PROWERKI OTDELIMOSTI TOPOLOGII, POROVDENNOJ LOKALXNYMI BAZAMI, UDOBNO ISPOLXZOWATX SLEDU@]EE LEGKO PROWERQEMOE UTWERVDENIE. 6.10. tEOREMA. pUSTX DANY MNOVESTWO X I NABOR f (x) : x 2 X g SEMEJSTW EGO PODMNOVESTW, OBLADA@]IJ SWOJSTWAMI (BP1) { (BP3). pUSTX, WDOBAWOK, NABOR f (x) : x 2 X g OBLADAET SWOJSTWOM (BP4) dLQ KAVDOJ PARY RAZLI^NYH TO^EK x y 2 X SU]ESTWU@T NEPERESEKA@]IESQ OKRESTNOSTI U 2 (x) I V 2 (y). tOGDA PROSTRANSTWO X , NADELENNOE TOPOLOGIEJ, POROVDENNOJ SISTEMOJ OKRESTNOSTEJ f (x) : x 2 X g, HAUSDORFOWO. 6.11. oPREDELENIE. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ REGULQRNYM, ESLI ONO UDOWLETWORQET AKSIOMAM T1 I T3 . 6.12. zAME^ANIQ. 1) iZ AKSIOMY T3 NE SLEDUET AKSIOMA T1 . ~TOBY UBEDITXSQ W \TOM, DOSTATO^NO RASSMOTRETX ANTIDISKRETNOE TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO, SODERVA]EE PO KRAJNEJ MERE DWE TO^KI. 2) l@BOE REGULQRNOE PROSTRANSTWO HAUSDORFOWO. oBRATNOE, WOOB]E GOWORQ, NEWERNO. 6.13. pRIMER. 1) dISKRETNOE TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO REGULQRNO. 2) zADADIM W R TOPOLOGI@ S POMO]X@ SISTEMY OKRESTNOSTEJ, KOTORAQ OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX A := f1=n : n 2 N g I PUSTX On(x) := (x ; 1=n x + 1=n) R DLQ L@BYH x 2 R I n 2 N : dLQ TO^KI x 2 R OTLI^NOJ OT NULQ, POLOVIM (x) := fOn(x) : n 2 N g, A (0) := fOn(x) n A : n 2 N g: nETRUDNO PROWERITX, ^TO NABOR f (x) : x 2 R g OBLADAET SWOJSTWAMI (BP1){(BP4) (SM. 3.25 I 6.10). sLEDOWATELXNO, MNOVESTWO R, NADELENNOE TOPOLOGIEJ, POROVDENNOJ SISTEMOJ OKRESTNOSTEJ f (x) : x 2 R g QWLQETSQ HAUSDORFOWYM TOPOLOGI^ESKIM PROSTRANSTWOM. mNOVESTWO A ZAMKNUTO W \TOM PROSTRANSTWE I NE SODERVIT TO^KU 0. l@BYE OKRESTNOSTI MNOVESTWA A I TO^KI 0 PERESEKA@TSQ. zNA^IT, RASSMATRIWAEMOE PROSTRANSTWO NE QWLQETSQ REGULQRNYM. pRIWODIMYJ NIVE KRITERIJ ^ASTO OKAZYWAETSQ POLEZNYM DLQ USTANOWLENIQ REGULQRNOSTI IZU^AEMOGO PROSTRANSTWA. 6.14. tEOREMA. T1 {PROSTRANSTWO (X ) REGULQRNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ WSQKOJ TO^KI x \TOGO PROSTRANSTWA I L@BOJ EE 44
OKRESTNOSTI U SU]ESTWUET TAKAQ OKRESTNOSTX V TO^KI x, ^TO V U. dOKAZATELXSTWO. pREDPOLOVIM, ^TO X REGULQRNO I TO^KA x S OKRESTNOSTX@ U ZADANY. mNOVESTWO A := X n U ZAMKNUTO I x 2= A. pO\TOMU NAJDUTSQ TAKIE OTKRYTYE MNOVESTWA V (x) I W (A), ^TO V (x)\W (A) = ?. o^EWIDNO, ^TO V (x) X n W (A) I V (x) X n W (A) = X n W (A):
tOGDA V (x) \ W (A) = ? =) V (x) \ A = ? =) V (x) U . dLQ DOKAZATELXSTWA OBRATNOGO UTWERVDENIQ PREDPOLOVIM, ^TO x 2 X , MNOVESTWO A ZAMKNUTO, x 2= A I U := X n A. o^EWIDNO, ^TO U { OKRESTNOSTX TO^KI x. pO USLOWI@ NAJDETSQ TAKOJ \LEMENT V (x) 2 ^TO V (x) U . qSNO, ^TO V (x) I X n V (x) ISKOMYE OKRESTNOSTI TO^KI x I MNOVESTWA A SOOTWETSTWENNO. 6.15. oPREDELENIE. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ NORMALXNYM, ESLI ONO UDOWLETWORQET AKSIOMAM T1 I T4 . 6.16. zAME^ANIQ. 1) iZ AKSIOMY T4 NE SLEDUET AKSIOMA T1 . pRIMEROM SLUVIT SLIPEESQ DWOETO^IE. tAKIM OBRAZOM, ONO NE QWLQETSQ NORMALXNYM. 2) iZ AKSIOMY T4 NE SLEDUET AKSIOMA T3 . dEJSTWITELXNO, PUSTX X := f1 2 3g A := f? X f1gg. dLQ \TOGO PROSTRANSTWA IMEEM WSEGO DWE PARY NEPERESEKA@]IHSQ ZAMKNUTYH MNOVESTW: f? X g I f? f2 3gg: oTS@DA LEGKO WIDETX, ^TO (X ) | T4 {PROSTRANSTWO. nO DLQ TO^KI 1 I ZAMKNUTOGO MNOVESTWA f2 3g NEPERESEKA@]IHSQ OKRESTNOSTEJ NET, TO ESTX (X ) NE QWLQETSQ T3{PROSTRANSTWOM. 3) l@BOE NORMALXNOE PROSTRANSTWO REGULQRNO. oBRATNOE UTWERVDENIE, WOOB]E GOWORQ, NEWERNO. nAPRIMER, PLOSKOSTX nEMYCKOGO (SM. 3.27.1) { REGULQRNOE PROSTRANSTWO, NE QWLQ@]EESQ NORMALXNYM. 6.17. pRIMER. dISKRETNOE PROSTRANSTWO NORMALXNO. 6.18. tEOREMA. kAVDOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO NORMALXNO. dOKAZATELXSTWO. wO-PERWYH, WSQKOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO (X d) HAUSDORFOWO, A, ZNA^IT, ONO QWLQETSQ T1{ PROSTRANSTWOM. wO-WTORYH, POKAVEM, ^TO W (X d) WYPOLNQETSQ AKSIOMA T4 . dLQ \TOGO W PROSTRANSTWE X RASSMOTRIM DIZ_@NKTNYE ZAMKNUTYE PODMNOVESTWA A I B . dALEE, DLQ KAVDOJ TO^KI a 2 A I KAVDOJ TO^KI b 2 B WYBEREM SOOTWETSTWENNO TAKIE POLOVITELXNYE ^ISLA r(a) I r(b) ^TO Br(a) (a) \ B = ? I Br(b) (b) \ A = ?: 45
pUSTX (x) := r(x)=2 GDE x 2 A B . rASSMOTRIM OKRESTNOSTI U (A) I V (A), OPREDELQEMYE FORMULAMI U (A) :=
B(a)(a)
a2A
I V (B ) :=
B(b)(b):
b2B
pOKAVEM, ^TO U (A) \ V (B ) = ?: dOPUSTIM PROTIWNOE. pUSTX z 2 U (A) \ V (B ): tOGDA NAJDUTSQ TAKIE TO^KI a 2 A I b 2 B ^TO z 2 B(a) (a) \ B(b) (b): iSPOLXZUQ NERAWENSTWO TREUGOLXNIKA I PREDPOLAGAQ, NAPRIMER, ^TO (a) NE PREWOSHODIT ^ISLA r(b), MY POLU^AEM NERAWENSTWO d(a b) < (b): iZ \TOGO SLEDUET, ^TO Br(b) (b) \ A 6= ?: pROTIWORE^IE. sLEDU@]EE UTWERVDENIE, ^ASTO NAZYWAEMOE MALOJ LEMMOJ uRYSONA, DAET \KWIWALENTNOE OPREDELENIE NORMALXNOGO PROSTRANSTWA. 6.19. tEOREMA. T1 { PROSTRANSTWO (X ) NORMALXNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ L@BOGO ZAMKNUTOGO MNOVESTWA F X I L@BOJ EGO OKRESTNOSTI U (F ) SU]ESTWUET TAKAQ OKRESTNOSTX V (F ), ^TO F V (F ) V (F ) U (F ). dOKAZATELXSTWO TEOREMY 6.19 ANALOGI^NO DOKAZATELXSTWU TEOREMY 6.14. 6.20. sLEDSTWIE. w NORMALXNOM TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE ZAMKNUTYE DIZ_@NKTNYE MNOVESTWA F1 I F2 OBLADA@T TAKIMI OKRESTNOSTQMI U (F1 ) I U (F2 ), ^TO U (F1 ) \ U (F2 ) = ?:
46
7.
sHODIMOSTX W TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTWAH
kAK IZWESTNO, FUNDAMENTALXNYE PONQTIQ I KONSTRUKCII MATEMATI^ESKOGO ANALIZA OSNOWANY NA PONQTII SHODIMOSTI. |TOT RAZDEL POSWQ]EN TEORII SHODIMOSTI W PROIZWOLXNYH TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTWAH W TERMINAH NAPRAWLENNOSTEJ. pONQTIE SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI SOSTAWLQET OSNOWU, NA KOTOROJ STROITSQ \TA TEORIQ. dLQ TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW, ANALOGI^NO TOMU, KAK \TO DELAETSQ DLQ METRI^ESKIH PROSTRANSTW, MOVNO WWESTI PONQTIE SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI. pRI \TOM OKAZYWAETSQ, ^TO SWOJSTWA POSLEDOWATELXNOSTEJ W OB]IH TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTWAH MOGUT SU]ESTWENNO OTLI^ATXSQ OT SWOJSTW POSLEDOWATELXNOSTEJ W METRI^ESKIH PROSTRANSTWAH. |TO PRIWODIT K NEOBHODIMOSTI OBOB]ENIQ PONQTIQ POSLEDOWATELXNOSTI, A IMENNO, K RASSMOTRENI@ NAPRAWLENNOSTEJ | FUNKCIJ, ZADANNYH NA PROIZWOLXNYH NAPRAWLENNYH MNOVESTWAH ( A NE TOLXKO NA MNOVESTWE NATURALXNYH ^ISEL). 7.1. oPREDELENIE. fUNKCIQ f , ZADANNAQ NA MNOVESTWE NATURALXNYH ^ISEL N I PRINIMA@]AQ ZNA^ENIQ W TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE (X ), NAZYWAETSQ POSLEDOWATELXNOSTX@ W X . mY BUDEM ^ASTO PISATX xn WMESTO f (n) I OBOZNA^ATX \TU POSLEDOWATELXNOSTX SIMWOLOM (xn)n2N ILI PROSTO (xn). 7.2. oPREDELENIQ. pOSLEDOWATELXNOSTX (xn ) TO^EK X SHODITSQ K TO^KE x0 2 X , ESLI WSQKAQ OKRESTNOSTX TO^KI x0 SODERVIT, NA^INAQ S NEKOTOROGO NOMERA, WSE TO^KI POSLEDOWATELXNOSTI (xn ). pRI \TOM TO^KA x0 NAZYWAETSQ PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI (xn). 7.3. zAME^ANIE. w PROIZWOLXNOM TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE POSLEDOWATELXNOSTX MOVET SHODITXSQ KO MNOGIM TO^KAM. 7.4. pRIMERY. 1) w ANTIDISKRETNOM TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE L@BAQ POSLEDOWATELXNOSTX EGO TO^EK SHODITSQ K L@BOJ TO^KE \TOGO PROSTRANSTWA. 2) rASSMOTRIM MNOVESTWO R S TOPOLOGIEJ zARISSKOGO (SM. 2.2.4). pOLOVIM xn = n DLQ KAVDOGO ^ISLA n 2 N . lEGKO WIDETX, ^TO (xn) SHODITSQ K L@BOJ TO^KE PROSTRANSTWA. 7.5. zAME^ANIE. pUSTX A | PODMNOVESTWO PROSTRANSTWA (X ) I PUSTX SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX (xn ) W X , SHODQ]AQSQ K x0 2 X , I TAKAQ, ^TO xn 2 A DLQ KAVDOGO n 2 N . o^EWIDNO, ^TO W \TOM SLU^AE x0 QWLQETSQ TO^KOJ PRIKOSNOWENIQ MNOVESTWA A, TO ESTX PRINADLEVIT ZAMYKANI@ \TOGO MNOVESTWA. eSLI X | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO, TO SPRAWEDLIWO I OBRATNOE UTWERVDENIE. a IMENNO, ESLI x0 2 A TO SU47
]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX (xn), KOTORAQ SHODITSQ W PROSTRANSTWE X K TO^KE x0 I PRINIMAET ZNA^ENIQ W A. tO ESTX W METRI^ESKIH PROSTRANSTWAH MY IMEEM KRITERIJ. dLQ OB]IH TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW \TO NE TAK. 7.6. pRIMER. w KA^ESTWE X WOZXMEM MNOVESTWO R . nEPOSREDSTWENNO PROWERQETSQ, ^TO SEMEJSTWO := f?g fO 2 P (R ) j MNOVESTWO R n O S^
fUng+n=11 QWLQETSQ LOKALXNOJ BAZOJ W TO^KE x0 , TO NAJDETSQ TAKOJ INDEKS k 2 N ^TO Uk O: u^ITYWAQ WKL@^ENIQ Un Uk DLQ WSEH n > k POLU^AEM, ^TO
xn 2 A \ Un Uk O DLQ WSEH n > k: w SILU PROIZWOLXNOSTI WYBORA OKRESTNOSTI O, ZAKL@^AEM, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX (xn), SOSTAWLENNAQ IZ TO^EK MNOVESTWA A, SHODITSQ K TO^KE x0 ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX. sOGLASNO \TOJ TEOREME, W TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTWAH, UDOWLETWORQ@]IH PERWOJ AKSIOME S^
RIM NAPRAWLENNOE MNOVESTWO (Ox ) IZ 7.9.4. wYBIRAQ IZ KAVDOJ OKRESTNOSTI U 2 Ox PO ODNOJ TO^KE xU , MY POLU^AEM NAPRAWLENNOSTX (Ox ) ;! X : U 7! xU . 3) s NAPRAWLENNOSTQMI ^ITATELX WSTRE^ALSQ I W KURSE INTEGRALXNOGO IS^ISLENIQ. dEJSTWITELXNO, PUSTX a b] | KONE^NYJ OTREZOK WE]ESTWENNOJ PRQMOJ. rAZBIENIEM OTREZKA a b] NAZYWAETSQ KONE^NOE MNOVESTWO TO^EK fx0 x1 : : : xng \TOGO OTREZKA, UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM a = x0 < x1 < x2 < : : : < xn = b: oBOZNA^IM ^EREZ P ab] SEMEJSTWO WSEH RAZBIENIJ OTREZKA a b] I WWEDEM OTNOENIE PORQDKA NA P ab] SLEDU@]IM OBRAZOM: (P Q) := (P = fx0 x1 : : : xng Q = fy0 y1 : : : ymg) P Q 2 P ab]: lEGKO WIDETX, ^TO PARA (P ab] ) | NAPRAWLENNOE MNOVESTWO. pUSTX f : a b] ;! R | OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ, A NAPRAWLENNOSTI S : (P ab] ) ;! R I S : (P ab] ) ;! R ZADANY FORMULAMI: S (P ) :=
Xn sup f (xi;1 xi])(xi ; xi;1) i=1
n X S(P ) := inf f (xi;1 xi ])(xi ; xi;1 ) i=1
GDE P = fx0 x1 : : : xng 2 P ab]: hOROO IZWESTNO, ^TO S (P ) I S(P ) NAZYWA@TSQ SOOTWETSTWENNO WERHNEJ I NIVNEJ SUMMAMI dARBU FUNKCII f DLQ RAZBIENIQ P OTREZKA a b]: nAPRAWLENNOSTI ^ASTO OKAZYWA@TSQ UDOBNYM INSTRUMENTOM DLQ IZU^ENIQ SWOJSTW TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW. pRI \TOM ONI OBLADA@T MNOGIMI SWOJSTWAMI, KOTORYE ANALOGI^NY SWOJSTWAM POSLEDOWATELXNOSTEJ. w LITERATURE NAPRAWLENNOSTI TAKVE NAZYWA@TSQ OBOB]ENNYMI POSLEDOWATELXNOSTQMI ILI POSLEDOWATELXNOSTQMI PO NAPRAWLENNYM MNOVESTWAM, ILI SETQMI. 7.12. oPREDELENIQ. gOWORQT, ^TO NAPRAWLENNOSTX (x )2 W X NAHODITSQ W MNOVESTWE A X S NEKOTOROGO MOMENTA, ESLI SU]ESTWUET TAKOE 2 , ^TO x 2 A DLQ L@BOGO . tO^KA x 2 X NAZYWAETSQ PREDELOM NAPRAWLENNOSTI (x)2 W X , ESLI \TA NAPRAWLENNOSTX NAHODITSQ W L@BOJ OKRESTNOSTI TO^KI x S NEKOTOROGO MOMENTA. pRI \TOM GOWORQT, ^TO NAPRAWLENNOSTX (x )2 SHODITSQ K x W PROSTRANSTWE X , I PIUT (x )2 ;! x. 50
pRIMERY
1) wSQKAQ SHODQ]AQSQ POSLEDOWATELXNOSTX QWLQETSQ SHODQ]EJSQ (K TOMU VE SAMOMU PREDELU) NAPRAWLENNOSTX@. 2) nAPRAWLENNOSTX IZ PRIMERA 7.11.2 SHODITSQ K TO^KE x. 3) l@BAQ NAPRAWLENNOSTX W 7.13.
.
ANTIDISKRETNOM TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE SHODITSQ K KAVDOJ TO^KE \TOGO PROSTRANSTWA. 4) nAPRAWLENNOSTI S I S IZ PRIMERA 7.11.3 SHOR b 1 DQTSQ W R SOOTWETSTWENNORK WERHNEMU INTEGRALU dARBU a f (x)dx I K NIVNEMU INTEGRALU dARBU ab f (x)dx, KOTORYE OPREDELQ@TSQ TAK:
Zb f (x)dx := inf fS (P ) : P 2 Z ab a
P a
b]g
f (x)dx := supfS (P ) : P 2 P ab]g:
o^EWIDNO, TEPERX MY MOVEM SFORMULIROWATX KRITERIJ INTEGRIRUEMOSTI PO rIMANU FUNKCII f W TERMINAH NAPRAWLENNOSTEJ. a IMENNO, f INTEGRIRUEMA NA a b] TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA NAPRAWLENNOSTI S I S SHODQTSQ K ODNOMU I TOMU VE PREDELU. 7.14. oPREDELENIQ. mNOVESTWO WSEH PREDELOW NAPRAWLENNOSTI f = fx : 2 g W PROSTRANSTWE X OBOZNA^AETSQ lim f ILI lim x . kOGDA NAPRAWLENNOSTX IMEET EDINSTWENNYJ PREDEL x, BUDEM PISATX x = lim f = lim x . 7.15. oPREDELENIE. nAPRAWLENNOSTX g : (; ) ; ! X NAZYWAETSQ PODNAPRAWLENNOSTX@ NAPRAWLENNOSTI f : ( ) ;! X , ESLI SU]ESTWUET FUNKCIQ : ; ;! , OBLADA@]AQ SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: 1) g = f , ^TO OZNA^AET KOMMUTATIWNOSTX DIAGRAMMY - ;
@ g@@
; ; f @@R ;;;
X 2) DLQ L@BOGO 0 2 SU]ESTWUET 0 2 ;, TAKOE, ^TO ( ) 0 PRI L@BOM 0: 7.16. uPRAVNENIQ. 1) pODPOSLEDOWATELXNOSTX POSLEDOWATELXNOSTI QWLQETSQ NAPRAWLENNOSTX@. 2) nE WSQKAQ PODNAPRAWLENNOSTX POSLEDOWATELXNOSTI QWLQETSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@. 3) eSLI TO^KA QWLQETSQ PREDELOM NEKOTOROJ NAPRAWLENNOSTI, TO ONA | PREDEL L@BOJ EE PODNAPRAWLENNOSTI. 51
7.17.
oPREDELENIE pODMNOVESTWO ; NAPRAWLENNOGO MNOVESTWA ( ) .
NAZYWAETSQ KONFINALXNYM, ESLI DLQ L@BOGO 2 NAJDETSQ 2 ; TAKOE, ^TO . 7.18. pRIMER. mNOVESTWO N QWLQETSQ KONFINALXNYM PODMNOVESTWOM W R S ESTESTWENNYM UPORQDO^ENIEM. 7.19. uPRAVNENIQ. 1) eSLI OTNOENIE NAPRAWLQET MNOVESTWO, TO ONO NAPRAWLQET I KONFINALXNOE PODMNOVESTWO. 2) oGRANI^ENIE NAPRAWLENNOSTI NA KONFINALXNOE PODMNOVESTWO EE OBLASTI OPREDELENIQ QWLQETSQ PODNAPRAWLENNOSTX@ ZADANNOJ NAPRAWLENNOSTI. 7.20. oPREDELENIE. fUNKCIQ ' IZ NAPRAWLENNOGO MNOVESTWA (; <) W NAPRAWLENNOE MNOVESTWO ( ) NAZYWAETSQ NEUBYWA@]EJ, ESLI '( ) '( ) DLQ L@BYH \LEMENTOW 2 ;, UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ < . sLEDU@]AQ KONSTRUKCIQ POZWOLQET STROITX KLASS PODNAPRAWLENNOSTEJ, KOTORYE NAHODQT IROKOE PRIMENENIE. 7.21. uTWERVDENIE. pUSTX ' : (; <) ; ! ( ) | NEUBYWA@]AQ FUNKCIQ MEVDU DWUMQ NAPRAWLENNYMI MNOVESTWAMI, TAKAQ, ^TO OBRAZ '(;) QWLQETSQ KONFINALXNYM PODMNOVESTWOM W . tOGDA DLQ L@BOJ NAPRAWLENNOSTI f : ;! X FUNKCIQ f ' : ; ;! X QWLQETSQ PODNAPRAWLENNOSTX@ NAPRAWLENNOSTI f . 7.22. oPREDELENIQ. gOWORQT, ^TO NAPRAWLENNOSTX (x )2 W X ^ASTO WSTRE^AETSQ S MNOVESTWOM A X ESLI DLQ L@BOGO 2 SU]ESTWUET TAKOE 2 , ^TO I x 2 A. tO^KA x 2 X NAZYWAETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ NAPRAWLENNOSTI (x )2 W X , ESLI \TA NAPRAWLENNOSTX ^ASTO WSTRE^AETSQ S KAVDOJ OKRESTNOSTX@ TO^KI x. 7.23. uPRAVNENIQ. 1) pREDEL NAPRAWLENNOSTI QWLQETSQ EE PREDELXNOJ TO^KOJ. 2) pREDELXNAQ TO^KA NAPRAWLENNOSTI, WOOB]E GOWORQ, NE QWLQETSQ EE PREDELOM. 3) pREDELXNAQ TO^KA PODNAPRAWLENNOSTI QWLQETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ I SAMOJ NAPRAWLENNOSTI. 7.24. tEOREMA. tO^KA x TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA QWLQETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ NAPRAWLENNOSTI S = fx : 2 g TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA NEKOTORAQ PODNAPRAWLENNOSTX NAPRAWLENNOSTI S SHODITSQ K x. dOKAZATELXSTWO. pUSTX x | PREDELXNAQ TO^KA S . rASSMOTRIM MNOVESTWO ;, SOSTOQ]EE IZ WSEH UPORQDO^ENNYH PAR ( U ), GDE 2 , U | OKRESTNOSTX TO^KI x, TAKAQ, ^TO x 2 U . wWEDEM OTNOENIE < NA \TOM MNOVESTWE: ((1 U1 ) < (2 U2)) := (1 2 I U2 U1 ). oNO NAPRAWLQ52
ET MNOVESTWO ;. s@R_EKTIWNAQ FUNKCIQ ' : ; ;! : ( U ) 7! QWLQETSQ NEUBYWA@]EJ. pO\TOMU (SM. 7.21) NAPRAWLENNOSTX T = fx(U ) : ( U ) 2 ;g QWLQETSQ PODNAPRAWLENNOSTX@ S . lEGKO WIDETX, ^TO T SHODITSQ K x. oBRATNO, PUSTX x | PREDEL NEKOTOROJ PODNAPRAWLENNOSTI. eSLI x NE QWLQETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ NAPRAWLENNOSTI S , TO SU]ESTWU@T OKRESTNOSTX U TO^KI x I 2 , TAKIE, ^TO x 2= U PRI . qSNO, ^TO, W \TOM SLU^AE, NIKAKAQ PODNAPRAWLENNOSTX NE SHODITSQ K x. 7.25. uPRAVNENIQ. 1) pREDELXNAQ TO^KA POSLEDOWATELXNOSTI, WOOB]E GOWORQ, NE QWLQETSQ PREDELOM NEKOTOROJ EE PODPOSLEDOWATELXNOSTI. 2) pUSTX TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO UDOWLETWORQET PERWOJ AKSIOME S^ETNOSTI. tO^KA QWLQETSQ PREDELXNOJ DLQ POSLEDOWATELXNOSTI TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONA QWLQETSQ PREDELOM NEKOTOROJ PODPOSLEDOWATELXNOSTI. 7.26. tEOREMA. pUSTX A | PODMNOVESTWO X I x 2 X . tO^KA x PRINADLEVIT A TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SU]ESTWUET NAPRAWLENNOSTX, SOSTOQ]AQ IZ \LEMENTOW A I SHODQ]AQSQ K x. dOKAZATELXSTWO. pUSTX x 2 A. nAPRAWLENNOSTX fxU : U 2 Oxg IZ 7.11.2, GDE xU 2 A \ U , SHODITSQ K x. oBRATNOE UTWERVDENIE NEPOSREDSTWENNO SLEDUET IZ OPREDELENIJ PREDELA NAPRAWLENNOSTI I ZAMYKANIQ MNOVESTWA. 7.27. tEOREMA. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO X HAUSDORFOWO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA WSQKAQ NAPRAWLENNOSTX W X IMEET NE BOLEE ODNOGO PREDELA. dOKAZATELXSTWO. pUSTX X | HAUSDORFOWO PROSTRANSTWO. pREDPOLOVIM, ^TO W X SU]ESTWUET NAPRAWLENNOSTX S = fx : 2 g, IME@]AQ DWA RAZLI^NYH PREDELA x1 I x2 . pUSTX U1 I U2 | NEPERESEKA@]IESQ OKRESTNOSTI TO^EK x1 I x2, SOOTWETSTWENNO. dLQ i = 1 2 SU]ESTWU@T TAKIE i 2 , ^TO x 2 Ui DLQ L@BOGO i. tAK KAK MNOVESTWO NAPRAWLENO, TO SU]ESTWUET 2 , UDOWLETWORQ@]IJ USLOWIQM i, i = 1 2. tOGDA x 2 U1 \ U2 = . pROTIWORE^IE. oBRATNO, PREDPOLOVIM, ^TO X NE QWLQETSQ HAUSDORFOWYM. |TO OZNA^AET, ^TO W X NAJDUTSQ DWE RAZLI^NYE TO^KI x1 I x2 , TAKIE, ^TO L@BYE DWE OKRESTNOSTI \TIH TO^EK PERESEKA@TSQ. pUSTX ; | DEKARTOWO PROIZWEDENIE DWUH NAPRAWLENNYH MNOVESTW Ox1 I Ox2 (SM. 7.9.4). ; NAPRAWLENO ESTESTWENNYM OTNOENIEM (SM. 7.9.5). dLQ KAVDOGO \LEMENTA = (U V ) 2 ; WYBEREM TO^KU x 2 U \ V . lEGKO POKAZATX, ^TO x1 I x2 QWLQ@TSQ PREDELAMI NAPRAWLENNOSTI fx : 2 ;g. pROTIWORE^IE. 7.28. oPREDELENIE. nAPRAWLENNOSTX fx : 2 g W X NAZYWAET53
SQ UNIWERSALXNOJ, ESLI, KAKOWO BY NI BYLO PODMNOVESTWO A X , ONA LIBO NAHODITSQ S NEKOTOROGO MOMENTA W A, LIBO NAHODITSQ S NEKOTOROGO MOMENTA W X r A. 7.29. pRIMER. uNIWERSALXNOJ NAPRAWLENNOSTX@ QWLQETSQ NAPRAWLENNOSTX, KOTORAQ NAHODITSQ S NEKOTOROGO MOMENTA W ODNOTO^E^NOM MNOVESTWE. 7.30. lEMMA. pUSTX fx : 2 g | NAPRAWLENNOSTX W X I A | SEMEJSTWO PODMNOVESTW MNOVESTWA X , S KAVDYM IZ KOTORYH DANNAQ NAPRAWLENNOSTX ^ASTO WSTRE^AETSQ, I TAKOE, ^TO PERESE^ENIE L@BYH DWUH \LEMENTOW SEMEJSTWA A SODERVIT NEKOTORYJ \LEMENT A. tOGDA SU]ESTWUET PODNAPRAWLENNOSTX NAPRAWLENNOSTI fx : 2 g, KOTORAQ NAHODITSQ W KAVDOM \LEMENTE SEMEJSTWA A S NEKOTOROGO MOMENTA. dOKAZATELXSTWO. pODNAPRAWLENNOSTX, UDOWLETWORQ@]AQ UKAZANNOMU USLOWI@, STROITSQ ANALOGI^NO TOMU, KAK BYLA POSTROENA PODNAPRAWLENNOSTX W DOKAZATELXSTWE TEOREMY 7.24. 7.31. oPREDELENIE. fILXTROM DLQ NAPRAWLENNOSTI W X BUDEM NAZYWATX SEMEJSTWO F NEPUSTYH PODMNOVESTW MNOVESTWA X , KOTOROE UDOWLETWORQET SLEDU@]IM USLOWIQM: 1) DLQ L@BYH DWUH \LEMENTOW IZ F IH PERESE^ENIE QWLQETSQ \LEMENTOM SEMEJSTWA F 2) WMESTE S KAVDYM \LEMENTOM F SEMEJSTWO F SODERVIT WSQKOE MNOVESTWO G, TAKOE, ^TO F G X 3) DANNAQ NAPRAWLENNOSTX ^ASTO WSTRE^AETSQ S KAVDYM \LEMENTOM SEMEJSTWA F . 7.32. zAME^ANIQ. 1) dLQ PROIZWOLXNOJ NAPRAWLENNOSTI W X ODNO\LEMENTNOE SEMEJSTWO fX g QWLQETSQ FILXTROM DLQ \TOJ NAPRAWLENNOSTI. 2) sOWOKUPNOSTX WSEH FILXTROW DLQ DANNOJ NAPRAWLENNOSTI ^ASTI^NO UPORQDO^ENA PO WKL@^ENI@ I UDOWLETWORQET USLOWI@ LEMMY cORNA. sLEDOWATELXNO, NAJDETSQ MAKSIMALXNYJ FILXTR DLQ NAPRAWLENNOSTI. pRIMENQQ LEMMU 7.30 K PROIZWOLXNOJ NAPRAWLENNOSTI, GDE W KA^ESTWE SEMEJSTWA A BERETSQ MAKSIMALXNYJ FILXTR DLQ \TOJ NAPRAWLENNOSTI, POLU^AEM DOKAZATELXSTWO SLEDU@]EJ TEOREMY. 7.33. tEOREMA. wSQKAQ NAPRAWLENNOSTX OBLADAET UNIWERSALXNOJ PODNAPRAWLENNOSTX@. 7.34. uPRAVNENIQ. 1) pODNAPRAWLENNOSTX UNIWERSALXNOJ NAPRAWLENNOSTI SAMA UNIWERSALXNA. 2) eSLI TO^KA PROSTRANSTWA QWLQETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ UNIWERSALXNOJ NAPRAWLENNOSTI, TO ONA QWLQETSQ PREDELOM \TOJ NAPRAWLENNOSTI. 54
8.
nEPRERYWNYE OTOBRAVENIQ. gOMEOMORFIZMY
wAVNEJIM PONQTIEM TOPOLOGII QWLQETSQ PONQTIE NEPRERYWNOGO OTOBRAVENIQ, KOTOROE IGRAET W TOPOLOGII TAKU@ VE ROLX, KAK, NAPRIMER, W ALGEBRE PONQTIE GOMOMORFIZMA MEVDU OB_EKTAMI, NADEL
NIE. eSLI TOPOLOGI@ NA MNOVESTWE X ZAMENITX BOLEE SILXNOJ TOPOLOGIEJ 0 , A NA MNOVESTWE Y TOPOLOGI@ ZAMENITX BOLEE SLABOJ TOPOLOGIEJ 0 , TO OTOBRAVENIE f : (X 0 ) ;! (Y 0) OSTAETSQ NEPRERYWNYM. gOWORQ NEFORMALXNO, ^EM SILXNEE TOPOLOGIQ W X I ^EM SLABEE TOPOLOGIQ W Y , TEM BOLXE NEPRERYWNYH OTOBRAVENIJ IZ X W Y . pOSKOLXKU NA PRAKTIKE NEPRERYWNOSTX OTOBRAVENIJ ^ASTO PRIHODITSQ DOKAZYWATX, TO DLQ \TOGO UDOBNO IMETX KRITERII, SFORMULIROWANNYE W RAZLI^NYH TERMINAH. 8.5. tEOREMA. pUSTX f : (X ) ; ! (Y ) | OTOBRAVENIE MEVDU TOPOLOGI^ESKIMI PROSTRANSTWAMI. sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY: 1) OTOBRAVENIE f NEPRERYWNO 2) PROOBRAZ L@BOGO \LEMENTA NEKOTOROJ PREDBAZY W Y OTKRYT W PROSTRANSTWE X 3) PROOBRAZ L@BOGO \LEMENTA NEKOTOROJ BAZY W Y OTKRYT W PROSTRANSTWE X 4) SU]ESTWU@T SISTEMY OKRESTNOSTEJ fA(x) j x 2 X g W X I fB(y) j y 2 Y g W Y , TAKIE, ^TO DLQ L@BOJ TO^KI x 2 X I L@BOJ OKRESTNOSTI V 2 B(f (x)) NAJDETSQ OKRESTNOSTX U 2 A(x), OBRAZ KOTOROJ SODERVITSQ W V , T.E. f (U ) V 5) PROOBRAZ L@BOGO ZAMKNUTOGO PODMNOVESTWA Y ZAMKNUT W X 6) DLQ L@BOGO PODMNOVESTWA A X IMEEM f (A) f (A). dOKAZATELXSTWO. 1) ) 2) iZ TEOREMY 8.3, POTOMU ^TO WSQKAQ PREDBAZA SOSTOIT IZ OTKRYTYH MNOVESTW. 2) ) 3) kAVDYJ \LEMENT V PROIZWOLXNOJ BAZY W Y SOSTOIT IZ OB_EDINENIQ KONE^NYH PERESE^ENIJ \LEMENTOW . pO\TOMU PROOBRAZ f ;1(V ) PREDSTAWLQET SOBOJ OB_EDINENIE KONE^NYH PERESE^ENIJ OKRESTNOSTEJ IZ PROSTRANSTWA X . 3) ) 4) w KA^ESTWE fB(y) j y 2 Y g WYBEREM PROIZWOLXNU@ SISTEMU OKRESTNOSTEJ W Y . pUSTX x 2 X I V 2 B(f (x)). sU]ESTWUET TAKAQ OKRESTNOSTX W 2 , ^TO f (x) 2 W V . zNA^IT, f ;1(W ) QWLQETSQ OKRESTNOSTX@ TO^KI x. pUSTX A(x) | PROIZWOLXNAQ BAZA PROSTRANSTWA X W TO^KE x I U | \LEMENT \TOJ BAZY, UDOWLETWORQ@]IJ USLOWI@ U f ;1(W ). tOGDA f (U ) V . 56
4) ) 5) pUSTX B | PROIZWOLXNOE ZAMKNUTOE MNOVESTWO W Y . tOGDA O := Y r B 2 , PRI \TOM f ;1(B ) = f ;1(Y r O) = X r f ;1(O). pOKAVEM, ^TO f ;1(O) 2 . eSLI f ;1(O) = ?, TO f ;1(O) 2 . pUSTX MNOVESTWO f ;1(O) NEPUSTO I x 2 f ;1(O). tOGDA f (x) 2 O, I NAJDUTSQ TAKIE OKRESTNOSTI V 2 B(f (x)) I U 2 A(x), ^TO V O I f (U ) V . qSNO, ^TO SPRAWEDLIWA CEPO^KA WKL@^ENIJ:
U f ;1(f (U )) f ;1(V ) f ;1(O) TO ESTX MNOVESTWO f ;1(O) SODERVIT OKRESTNOSTX U TO^KI x. zNA^IT, x | WNUTRENNQQ TO^KA MNOVESTWA f ;1(O). w SILU PROIZWOLXNOSTI WYBORA TO^KI x, MNOVESTWO f ;1(O) QWLQETSQ OTKRYTYM. 5) ) 6) mNOVESTWO f ;1(f (A)) ZAMKNUTO I SODERVIT A. sLEDOWATELXNO, A f ;1(f (A)), I, PRIMENQQ f K OBEIM ^ASTQM \TOGO WKL@^ENIQ, POLU^AEM TREBUEMOE. 6) ) 5) pUSTX F | ZAMKNUTOE PODMNOVESTWO W Y . dOSTATO^NO POKAZATX, ^TO f ;1(F ) f ;1(F ). a \TO SLEDUET IZ TOGO, ^TO f (f ;1(F )) f (f ;1(F )) F = F: 5) ) 1) pUSTX O 2 . tOGDA O = Y r F , GDE F ZAMKNUTO W Y . tOGDA ; 1 f (O) = f ;1(Y r F ) = X r f ;1(F ) 2 .
sLEDU@]AQ TEOREMA DA
g : X ;! (B B ) : x 7! f (x) NEPRERYWNO. eSLI Z | PROSTRANSTWO, IME@]EE Y W KA^ESTWE PODPROSTRANSTWA, TO OTOBRAVENIE h : X ;! Z : x 7! f (x) NEPRERYWNO. 5) pUSTX IMEETSQ NEKOTOROE OTOBRAVENIE f : X ;! Y . eSLI PROSTRANSTWO X MOVNO PREDSTAWITX W WIDE OB_EDINENIQ SEMEJSTWA fO : 2 g SWOIH OTKRYTYH MNOVESTW TAK, ^TO DLQ KAVDOGO 2 FUNKCIQ f jO : O ;! Y NEPRERYWNA, TO I FUNKCIQ f NEPRERYWNA. 6) pUSTX IMEETSQ NEKOTOROE OTOBRAVENIE f : X ;! Y . eSLI PROSTRANSTWO X MOVNO PREDSTAWITX W WIDE OB_EDINENIQ KONE^NOGO SEMEJSTWA fFk : k = 1 2 : : : n n 2 N g SWOIH ZAMKNUTYH MNOVESTW TAK, ^TO DLQ KAVDOGO k FUNKCIQ f jFk : Fk ;! Y NEPRERYWNA, TO I FUNKCIQ f NEPRERYWNA.
mY SFORMULIRUEM I DOKAVEM LIX ^ASTNYJ SLU^AJ POSLEDNEGO UTWERVDENIQ \TOJ TEOREMY. 8.7. tEOREMA (lEMMA O SKLEJKE). pUSTX (X ) (Y ) | TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA I X = A B , A I B | ZAMKNUTYE PODMNOVESTWA PROSTRANSTWA X . pUSTX f : (A A) ;! Y I g : (B B ) ;! Y | NEPRERYWNYE OTOBRAVENIQ. eSLI f (x) = g(x) DLQ L@BOGO x 2 A \ B , TO FORMULA ( f (x) ESLI x 2 A h(x) := g(x) ESLI x 2 B OPREDELQET NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE h : X ;! Y: dOKAZATELXSTWO. zAMETIM, ^TO W SILU SOWPADENIQ FUNKCIJ f I g NA PERESE^ENII MNOVESTW A I B OTOBRAVENIE h OPREDELENO KORREKTNO. pUSTX C | PROIZWOLXNOE ZAMKNUTOE PODMNOVESTWO PROSTRANSTWA Y . dLQ POLNYH PROOBRAZOW SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE RAWENSTWA: h;1(C ) = h;1 (C ) \ X = h;1 (C ) \ (A B ) = = (h;1(C ) \ A) (h;1 (C ) \ B ) = f ;1 (C ) \ g;1(C ): tAK KAK FUNKCII f I g NEPRERYWNY, TO MNOVESTWA f ;1(C ) I g;1(C ) ZAMKNUTY SOOTWETSTWENNO W A I B . tAK KAK MNOVESTWA A I B ZAMKNUTY W PROSTRANSTWE X , TO MNOVESTWA (SM. 4.11) f ;1(C ) I g;1(C ) ZAMKNUTY I W X: sLEDOWATELXNO, MNOVESTWO h;1(C ), QWLQ@]EESQ OB_EDINENIEM DWUH 58
ZAMKNUTYH MNOVESTW, ZAMKNUTO W PROSTRANSTWE X . w SILU PROIZWOLXNOSTI WYBORA ZAMKNUTOGO MNOVESTWA C I PUNKTA 5) TEOREMY 8.5, POLU^AEM NEPRERYWNOSTX OTOBRAVENIQ h. tEPERX DOKAVEM KRITERIJ NEPRERYWNOSTI OTOBRAVENIQ W TERMINAH NAPRAWLENNOSTEJ. 8.8. tEOREMA. dLQ NEPRERYWNOSTI OTOBRAVENIQ f : (X ) ; ! (Y ) W TO^KE x0 2 X NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY DLQ WSQKOJ NAPRAWLENNOSTI S W X , SHODQ]EJSQ K TO^KE x0 , NAPRAWLENNOSTX f S SHODILASX W Y K TO^KE f (x0 ). dOKAZATELXSTWO. nEOBHODIMOSTX. pUSTX (x)2 ! x0 I V | PROIZWOLXNAQ OKRESTNOSTX TO^KI f (x0 ) W Y . w SILU NEPRERYWNOSTI f W TO^KE x0 SU]ESTWUET TAKAQ OKRESTNOSTX U \TOJ TO^KI, ^TO f (U ) V . tAK KAK (x )2 ! x0 , TO SU]ESTWUET \LEMENT 2 , TAKOJ, ^TO DLQ KAVDOGO IMEEM x 2 U , A, ZNA^IT, I f (x) 2 V . dOSTATO^NOSTX. pREDPOLOVIM, ^TO f NE QWLQETSQ NEPRERYWNYM W TO^KE x0 . tOGDA SU]ESTWUET TAKAQ OKRESTNOSTX V TO^KI f (x0 ), ^TO W KAVDOJ OKRESTNOSTI U TO^KI x0 MOVNO WYBRATX TO^KU xU , DLQ KOTOROJ f (xU ) 2= V . nAPRAWLENNOSTX S = fxU : U 2 Ox0 g SHODITSQ K TO^KE x0 , W TO WREMQ KAK NAPRAWLENNOSTX f S NE SHODITSQ K f (x0 ). pROTIWORE^IE. w SLEDU@]EJ TEOREME UTWERVDAETSQ, ^TO SWQZNOSTX SOHRANQETSQ PRI NEPRERYWNYH OTOBRAVENIQH. sLEDSTWIEM \TOJ TEOREMY QWLQETSQ OBOB]ENIE TEOREMY O PROMEVUTO^NOM ZNA^ENII IZ KURSA MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. 8.9. tEOREMA. pUSTX f : (X ) ; ! (Y ) NEPRERYWNO I A | SWQZNOE PODMNOVESTWO W X . tOGDA f (A) SWQZNO W Y . dOKAZATELXSTWO. bEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI MY MOVEM S^ITATX, ^TO X = A I Y = f (A). pREDPOLOVIM, ^TO Y NESWQZNO. tOGDA Y = V1 V2, GDE V1 I V2 | NEPUSTYE NEPERESEKA@]IESQ OKRESTNOSTI. oTS@DA SLEDUET, ^TO NEPUSTYE OKRESTNOSTI f ;1(V1) I f ;1(V2) OBRAZU@T RAZBIENIE SWQZNOGO PROSTRANSTWA X . pROTIWORE^IE. 8.10. sLEDSTWIE. pUSTX f : X ; ! Y | NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE IZ SWQZNOGO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA X W LINEJNO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO Y , NADELENNOE PORQDKOWOJ TOPOLOGIEJ. eSLI a I b | TO^KI PROSTRANSTWA X , A y0 | TO^KA IZ Y , LEVA]AQ MEVDU f (a) I f (b), TO SU]ESTWUET TO^KA x0 2 X , DLQ KOTOROJ f (x0 ) = y0. dOKAZATELXSTWO. pUSTX A := f (X ) \ fy 2 Y j y y0 y 6= y0g I B := f (X ) \ fy 2 Y j y0 y y 6= y0g. qSNO, ^TO A I B | NEPUSTYE NEPERESEKA@]IESQ OKRESTNOSTI W f (X ). eSLI BY TO^KI x0 , UKAZANNOJ W 59
UTWERVDENII TEOREMY, NE BYLO, TO f (X ) = A B . nO \TO PROTIWORE^ILO BY SWQZNOSTI f (X ). 8.11. sLEDSTWIE. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO (X ) NE QWLQETSQ SWQZNYM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SU]ESTWUET S@R_EKTIWNOE NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE f : X ;! Y NA DISKRETNOE TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO, SOSTOQ]EE, PO KRAJNEJ MERE, IZ DWUH RAZLI^NYH TO^EK. dOKAZATELXSTWO. nEOBHODIMOSTX. pUSTX X = U1 U2 GDE U1 U2 2 n f?g I U1 \ U2 = ?. pUSTX Y = fy1 y2g | DISKRETNOE TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO, SOSTOQ]EE IZ DWUH RAZLI^NYH TO^EK. rASSMOTRIM S@R_EKTIWNOE OTOBRAVENIE f : X ;! Y OPREDELQEMOE FORMULOJ ( y ESLI x 2 U 1 f (x) := 1 y2 ESLI x 2 U2 : pOSKOLXKU DLQ PROOBRAZOW IME@T MESTO RAWENSTWA f ;1(?) = ? f ;1(Y ) = X f ;1(fyig) = Ui i = 1 2 TO OTOBRAVENIE f NEPRERYWNO. dOSTATO^NOSTX. pUSTX SU]ESTWUET UKAZANNOE OTOBRAVENIE f : X ;! Y . pREDPOLOVIM PROTIWNOE, TO ESTX, ^TO X QWLQETSQ SWQZNYM. tOGDA, PO TEOREME 8.9, Y = f (X ) SWQZNO, ^TO NEWERNO. 8.12. oPREDELENIQ. oTOBRAVENIE f : X ; ! Y MEVDU DWUMQ TOPOLOGI^ESKIMI PROSTRANSTWAMI NAZYWAETSQ OTKRYTYM (ZAMKNUTYM ), ESLI DLQ L@BOGO OTKRYTOGO (ZAMKNUTOGO) MNOVESTWA A X OBRAZ f (A) OTKRYT (ZAMKNUT) W Y . oTOBRAVENIE IZ PROIZWOLXNOGO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA W DISKRETNOE PROSTRANSTWO QWLQETSQ ODNOWREMENNO I OTKRYTYM I ZAMKNUTYM. wAVNYMI PRIMERAMI OTKRYTYH OTOBRAVENIJ QWLQ@TSQ: i) S@R_EKTIWNYE LINEJNYE OGRANI^ENNYE OPERATORY MEVDU BANAHOWYMI PROSTRANSTWAMI (TEOREMA bANAHA) ii) S@R_EKTIWNYE NEPRERYWNYE GOMOMORFIZMY MEVDU KOMPAKTNYMI TOPOLOGI^ESKIMI GRUPPAMI iii) NAKRYWA@]IE OTOBRAVENIQ TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW. w LITERATURE ^ASTO W OPREDELENII OTKRYTOGO (ZAMKNUTOGO) OTOBRAVENIQ TREBUETSQ EGO NEPRERYWNOSTX. 8.13. uPRAVNENIQ. 1) kOMPOZICIQ DWUH OTKRYTYH (ZAMKNUTYH) OTOBRAVENIJ OTKRYTA (ZAMKNUTA). 2) oTKRYTOE (ZAMKNUTOE) OTOBRAVENIE NE OBQZATELXNO NEPRERYWNO. 3) nEPRERYWNOE OTOBRAVENIE MOVET BYTX: i) ODNOWREMENNO NE OTKRYTYM I NE ZAMKNUTYM ii) OTKRYTYM, NO NE ZAMKNUTYM iii) ZAMKNUTYM, NO NE OTKRYTYM iv) ODNOWREMENNO I OTKRYTYM I ZAMKNUTYM. 60
8.14.
oPREDELENIQ oTOBRAVENIE f : X ;! Y MEVDU DWUMQ TOPO.
LOGI^ESKIMI PROSTRANSTWAMI NAZYWAETSQ GOMEOMORFNYM ILI GOMEOMORFIZMOM, ESLI WYPOLNQ@TSQ SLEDU@]IE USLOWIQ: 1) f | BIEKCIQ 2) f NEPRERYWNO 3) OBRATNOE K f OTOBRAVENIE f ;1 : Y ;! X NEPRERYWNO. dWA TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTWA NAZYWA@TSQ GOMEOMORFNYMI ILI TOPOLOGI^ESKI \KWIWALENTNYMI, ESLI MEVDU NIMI SU]ESTWUET GOMEOMORFIZM. 8.15. tEOREMA. pUSTX f : (X ) ; ! (Y ) | BIEKTIWNOE NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE MEVDU DWUMQ TOPOLOGI^ESKIMI PROSTRANSTWAMI. sLEDU@]IE USLOWIQ RAWNOSILXNY: 1) f | GOMEOMORFIZM 2) f | ZAMKNUTOE OTOBRAVENIE 3) f | OTKRYTOE OTOBRAVENIE 4) f SOHRANQET OPERACI@ ZAMYKANIQ, TO ESTX DLQ L@BOGO MNOVESTWA A X OBRAZ EGO ZAMYKANIQ SOWPADAET S ZAMYKANIEM OBRAZA: f (A) = f (A).
zAME^ANIQ
1) gOMEOMORFIZM QWLQETSQ ODNOWREMENNO I ZAMKNUTYM I OTKRYTYM OTOBRAVENIEM. 2) tOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE PROIZWOLXNOGO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA NA SEBQ QWLQETSQ GOMEOMORFIZMOM. 3) eSLI f : X ;! Y | GOMEOMORFIZM, TO I f ;1 : Y ;! X | GOMEOMORFIZM. 4) kOMPOZICIQ DWUH GOMEOMORFIZMOW QWLQETSQ GOMEOMORFIZMOM. tAKIM OBRAZOM, OTNOENIE "X I Y GOMEOMORFNY" ESTX OTNOENIE \KWIWALENTNOSTI W KLASSE WSEH TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW. sLEDOWATELXNO, KAVDOE PROSTRANSTWO POPADAET W EDINSTWENNYJ KLASS \KWIWALENTNOSTI, SOSTOQ]IJ IZ WSEH GOMEOMORFNYH EMU PROSTRANSTW. 8.17. pRIMERY. 1) rASSMOTRIM DWA KONE^NYH OTREZKA a b] I c d] DEJSTWITELXNOJ PRQMOJ R 1 a < b c < d: fUNKCIQ ad f : a b] ;! c d] : x 7! y := x bd ;; ac + bcb ; ;a QWLQETSQ GOMEOMORFNYM OTOBRAVENIEM IZ a b] W c d]. s POMO]X@ \TOJ FUNKCII STROITSQ I GOMEOMORFIZM MEVDU OTKRYTYMI INTERWALAMI (a b) I (c d): 2) pROSTRANSTWO R 1 I EGO PODPROSTRANSTWO (;1 1) GOMEMORFNY. nAPRIMER, OTOBRAVENIE f : R 1 ;! (;1 1) : x 7! 2 arctgx 8.16.
.
61
QWLQETSQ GOMEOMORFIZMOM. 3) pODPROSTRANSTWA (1 2) (2 3) I (3 4) PROSTRANSTWA R 1 NE QWLQ@TSQ GOMEOMORFNYMI. dEJSTWITELXNO, ESLI NEKOTOROE OTOBRAVENIE f : (3 4) ;! (1 2) (2 3) | GOMEOMORFIZM (DOSTATO^NO PREDPOLOVITX, ^TO f | NEPRERYWNAQ BIEKCIQ), TO W SWQZNOM PROSTRANSTWE (3 4), NAPRIMER, MNOVESTWO f ;1((1 2)) OTKRYTO-ZAMKNUTO. pO\TOMU ONO LIBO PUSTO, LIBO SOWPADAET S INTERWALOM (3 4): tAKIM OBRAZOM, POLU^AEM PROTIWORE^IE S BIEKTIWNOSTX@ OTOBRAVENIQ f . 4) tOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE IZ MNOVESTWA R S DISKRETNOJ TOPOLOGIEJ W R S ANTIDISKRETNOJ TOPOLOGIEJ QWLQETSQ NEPRERYWNOJ BIEKCIEJ. oDNAKO OBRATNOE K NEMU OTOBRAVENIE NEPRERYWNYM NE QWLQETSQ. 8.18. oPREDELENIE. sWOJSTWO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA, KOTORYM OBLADA@T WSE TOPOLOGI^ESKI \KWIWALENTNYE EMU PROSTRANSTWA, NAZYWAETSQ TOPOLOGI^ESKIM SWOJSTWOM ILI TOPOLOGI^ESKIM INWARIANTOM. tAK KAK GOMEOMORFIZM USTANAWLIWAET BIEKTIWNOE SOOTWETSTWIE MEVDU TO^KAMI I TOPOLOGIQMI DWUH TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW, TO WSQKOE SWOJSTWO, FORMULIRUEMOE W TERMINAH OTKRYTYH MNOVESTW, QWLQETSQ TOPOLOGI^ESKIM SWOJSTWOM. nAPRIMER, SWOJSTWA PROSTRANSTWA BYTX HAUSDORFOWYM ILI SEPARABELXNYM, UDOWLETWORQTX PERWOJ ILI WTOROJ AKSIOMAM S^
W \TOM PROSTRANSTWE (ILI, KAK GOWORQT, L@BYE DWE TO^KI PROSTRANSTWA MOGUT BYTX SOEDINENY PUTEM). 8.20. zAME^ANIQ. 1) w 8.19 WMESTO EDINI^NOGO OTREZKA DEJSTWITELXNOJ OSI MOVNO WZQTX L@BOJ KONE^NYJ OTREZOK a b]. 2) nEPRERYWNYJ OBRAZ LINEJNO SWQZNOGO PROSTRANSTWA LINEJNO SWQZEN. 3) lINEJNO SWQZNOE PROSTRANSTWO SWQZNO. oBRATNOE UTWERVDENIE, WOOB]E GOWORQ, NEWERNO. 8.21. pRIMER. pUSTX X = A B | PODPROSTRANSTWO EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI R 2 (SM. rIS. 6), GDE A := fa = (0 1)g | ODNOTO^E^NOE MNOVESTWO, A B := f(x 0) j 0 6 x 6 1g f( n1 y) j 0 6 y 6 1 n 2 N g: a ::: Puc:6 pROSTRANSTWO X SWQZNO. dEJSTWITELXNO, B PREDSTAWLQET SOBOJ OB_EDINENIE SWQZNYH MNOVESTW, SREDI KOTORYH ESTX OTREZOK 0 1] f0g PERESEKA@]IJSQ SO WSEMI OSTALXNYMI. tO^KA a QWLQETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ MNOVESTWA B . tAK KAK B X B TO PROSTRANSTWO X SWQZNO. w TO VE WREMQ MOVNO DOKAZATX, ^TO X NE QWLQETSQ LINEJNO SWQZNYM (DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO NE SU]ESTWUET PUTI W X , KOTORYJ SOEDINQL BY TO^KU a c KAKOJ-LIBO TO^KOJ MNOVESTWA B ).
63
9.
lEMMA uRYSONA. tEOREMA tITCE-uRYSONA.
sLEDU@]AQ TEOREMA OBY^NO NAZYWAETSQ LEMMOJ uRYSONA. 9.1. tEOREMA. dLQ L@BYH DWUH NEPUSTYH ZAMKNUTYH NEPERESEKA@]IHSQ PODMNOVESTW F0 I F1 NORMALXNOGO PROSTRANSTWA X SU]ESTWUET NEPRERYWNAQ FUNKCIQ f : X ;! 0 1], RAWNAQ NUL@ NA F0 I EDINICE NA F1. dOKAZATELXSTWO. sNA^ALA W PROSTRANSTWE X S POMO]X@ INDUKCII POSTROIM NEKOTOROE SEMEJSTWO OKRESTNOSTEJ, KOTOROE INDEKSIRUETSQ MNOVESTWOM RACIONALXNYH ^ISEL. zATEM \TO SEMEJSTWO ISPOLXZUEM DLQ OPREDELENIQ ISKOMOJ FUNKCII. pUSTX S | MNOVESTWO WSEH RACIONALXNYH ^ISEL OTREZKA 0 1]. mY POSTROIM SEMEJSTWO OKRESTNOSTEJ fOs : s 2 S g PROSTRANSTWA X , TAKOE, ^TO F0 O0 F1 X r O1 I Op Oq PRI p < q: () zAINDEKSIRUEM \LEMENTY MNOVESTWA S S POMO]X@ MNOVESTWA NATURALXNYH ^ISEL TAK, ^TOBY ^ISLA 0 I 1 BYLI PERWYMI DWUMQ ^LENAMI POLU^A@]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI. tAKIM OBRAZOM, MY MOVEM NAPISATX, ^TO S = fsn : n 2 N g GDE s1 = 0 s2 = 1. pUSTX O1 := X r F1 . w SILU NORMALXNOSTI X SU]ESTWUET OKRESTNOSTX O0, UDOWLETWORQ@]AQ USLOWIQM F0 O0 O0 O1. pREDPOLOVIM, ^TO OKRESTNOSTI Osj OPREDELENY DLQ WSEH j 6 n, GDE n > 2, I IMEET MESTO SWOJSTWO (n) : Osi Osj PRI si < sj I i j 6 n: tEPERX OPREDELIM OKRESTNOSTX Osn+1 . rASSMOTRIM MNOVESTWO fsj : j = 1 2 : : : n + 1g. oBOZNA^IM ^EREZ l NAIBOLXEE IZ TEH ^ISEL \TOGO MNOVESTWA, KOTORYE STROGO MENXE ^ISLA sn+1, A ^EREZ r | NAIMENXEE IZ TEH ^ISEL \TOGO MNOVESTWA, KOTORYE STROGO BOLXE ^ISLA sn+1 (TAK KAK sn+1 6= 0 1, TO TAKIE l I r NAJDUTSQ). pO PREDPOLOVENI@ INDUKCII, OKRESTNOSTI Ol I Or UVE OPREDELENY I Ol Or . pOSKOLXKU PROSTRANSTWO X NORMALXNO, SU]ESTWUET OKRESTNOSTX Osn+1 , TAKAQ, ^TO Ol Osn+1 I Osn+1 Or . lEGKO WIDETX, ^TO SEMEJSTWO Os1 Os2 : : : Osn+1 UDOWLETWORQET SWOJSTWU (n+1). w SILU PRINCIPA INDUKCII, OKRESTNOSTX Os OPREDELENA DLQ KAVDOGO RACIONALXNOGO ^ISLA s IZ OTREZKA 0 1]. pRI \TOM WYPOLNQETSQ (): pOLAGAQ Oq = ? PRI q 2 Q \ (;1 0) I Oq = X PRI q 2 Q \ (1 +1) MY IMEEM SEMEJSTWO OKRESTNOSTEJ PROSTRANSTWA X , KOTOROE ZAINDEKSIROWANO MNOVESTWOM WSEH RACIONALXNYH ^ISEL I UDOWLETWORQET (): 64
nETRUDNO WIDETX, ^TO FORMULOJ f (x) = inf fq : x 2 Oq g GDE x 2 X KORREKTNO OPREDELENA FUNKCIQ f : X ;! 0 1]. tAK KAK F0 O0, TO f (F0 ) = f0g. eSLI x 2 F1, TO, POSKOLXKU F1 X r O1, IMEEM RAWENSTWO fq : x 2 Oq g = Q \ (1 +1), I, SLEDOWATELXNO, f (x) = 1. oSTALOSX DOKAZATX NEPRERYWNOSTX POSTROENNOJ FUNKCII f . pUSTX x0 2 X I f (x0 ) = y0. zAFIKSIRUEM " > 0. w SILU () x0 2 Oq PRI L@BOM q > y0 I x0 2= Oq PRI L@BOM q < y0. wYBEREM RACIONALXNYE ^ISLA p I r, UDOWLETWORQ@]IE NERAWENSTWU y0 ; " < p < y0 < r < y0 + ": tOGDA x0 LEVIT W OTKRYTOM MNOVESTWE U := Or n Op. eSLI x 2 U , TO x 2 Or . zNA^IT, r 2 fq : x 2 Oq g I f (x) 6 r. iZ TOGO, ^TO x 2= Op, SLEDUET, ^TO p 2= fq : x 2 Oq g. pO\TOMU p 6 f (x). tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ f NEPRERYWNA W TO^KE x0 . wWIDU PROIZWOLXNOSTI WYBORA \TOJ TO^KI POLU^AEM NEPRERYWNOSTX POSTROENNOJ FUNKCII NA WSEM PROSTRANSTWE X . 9.2. zAME^ANIE. oTMETIM, ^TO W LEMME uRYSONA NE UTWERVDAETSQ, ^TO f ;1(f0g) = F0 A f ;1(f1g) = F1 : 9.3. zAME^ANIE. w SLU^AE METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA (M d) UTWERVDENIE TEOREMY 9.1 DOKAZYWAETSQ NEPOSREDSTWENNYM UKAZANIEM FUNKCII f (x) := d(x Fd()x+Fd0()x F ) 0 1 GDE d(x Fi) := inf fd(x y) : y 2 Fig | RASSTOQNIE OT TO^KI x DO MNOVESTWA Fi i = 0 1. 9.4. sLEDSTWIE. dLQ L@BYH DWUH ZAMKNUTYH NEPERESEKA@]IHSQ PODMNOVESTW F0 I F1 NORMALXNOGO PROSTRANSTWA X I L@BYH DWUH DEJSTWITELXNYH ^ISEL a I b, GDE a 6 b, SU]ESTWUET NEPRERYWNAQ FUNKCIQ f : X ;! a b], RAWNAQ a NA F0 I b NA F1. dOKAZATELXSTWO. pUSTX f | FUNKCIQ, UDOWLETWORQ@]AQ TREBOWANIQM TEOREMY 9.1. tOGDA FORMULA g(x) = (b ; a)f (x) + a ZADAET ISKOMU@ FUNKCI@. 9.5. oPREDELENIQ. pUSTX DLQ NEPRERYWNOGO OTOBRAVENIQ f : Z ; ! Y , OPREDELENNOGO NA PODPROSTRANSTWE Z PROSTRANSTWA X , SU]ESTWUET NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE F : X ;! Y , TAKOE, ^TO F jZ = f , T.E. OGRANI^ENIE F NA Z SOWPADAET S f . tOGDA GOWORQT, ^TO f NEPRERYWNO PRODOLVAETSQ 65
NA X , A OTOBRAVENIE F NAZYWAETSQ NEPRERYWNYM PRODOLVENIEM OTOBRAVENIQ f NA X . 9.6. zAME^ANIE. tEOREMA 9.1 MOVET BYTX SFORMULIROWANA W TERMINAH NEPRERYWNYH PRODOLVENIJ FUNKCIJ SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX F0 I F1 | DWA ZAMKNUTYH NEPERESEKA@]IHSQ PODMNOVESTWA NORMALXNOGO PROSTRANSTWA X . pUSTX g : Y ;! 0 1] | FUNKCIQ, ZADANNAQ NA PODPROSTRANSTWE Y = F0 F1 FORMULAMI g(F0) = 0 I g(F1) = 1. tOGDA SU]ESTWUET FUNKCIQ f : X ;! 0 1], QWLQ@]AQSQ NEPRERYWNYM PRODOLVENIEM g NA WSE PROSTRANSTWO X . wOPROS O PRODOLVIMOSTI NEPRERYWNOGO OTOBRAVENIQ, KOTOROE ZADANO NA PODPROSTRANSTWE TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA, QWLQETSQ ODNIM IZ FUNDAMENTALXNYH WOPROSOW WO MNOGIH RAZDELAH MATEMATIKI. sU]ESTWOWANIE NEPRERYWNOGO PRODOLVENIQ SKOREE ISKL@^ENIE, ^EM PRAWILO. dOKAZATELXSTWA TEOREM, KASA@]IHSQ PRODOLVIMOSTI FUNKCIJ, BYWA@T OBY^NO DOSTATO^NO TRUDNYMI. w SLU^AE WE]ESTWENNOZNA^NYH FUNKCIJ, ZADANNYH NA PODMNOVESTWAH NORMALXNYH PROSTRANSTW, OTWET NA \TOT WOPROS DAETSQ TEOREMOJ tITCE-uRYSONA, PRI DOKAZATELXSTWE KOTOROJ ISPOLXZUETSQ LEMMA uRYSONA (SM., NAPRIMER, 9, S.116]). 9.7. tEOREMA tITCE-uRYSONA. kAVDAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ, ZADANNAQ NA ZAMKNUTOM PODMNOVESTWE NEKOTOROGO NORMALXNOGO PROSTRANSTWA I PRINIMA@]AQ ZNA^ENIQ W 0 1] ILI W R 1 , OBLADAET NEPRERYWNYM PRODOLVENIEM NA WSE PROSTRANSTWO. 9.8. zAME^ANIE. sWOJSTWO, SFORMULIROWANNOE W TEOREME tITCE-uRYSONA, HARAKTERIZUET NORMALXNYE PROSTRANSTWA W KLASSE T1 -PROSTRANSTW. 9.9. zAME^ANIE. pREDPOLOVENIE O ZAMKNUTOSTI PODMNOVESTW W LEMME uRYSONA I W TEOREME tITCE-uRYSONA SU]ESTWENNO. 9.10. pRIMERY. 1) mNOVESTWA A = (0 1) I B = (1 2) | NEPERESEKA@]IESQ PODMNOVESTWA NORMALXNOGO PROSTRANSTWA R 1 . pRI \TOM TAKOJ NEPRERYWNOJ FUNKCII f : R 1 ;! 0 1], ^TO f (A) = f0g I f (B ) = f1g, NE SU]ESTWUET. 2) w KA^ESTWE X I F WOZXMEM SOOTWETSTWENNO PODPROSTRANSTWA ;1 1] I (0 1] PROSTRANSTWA R 1 . fUNKCIQ f : F ;! R 1 : x 7! sin x1
NEPRERYWNA. oDNAKO NE NAJDETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCII g : X ;! R 1 TAKOJ, ^TOBY E< OGRANI^ENIE NA F SOWPALO BY S f . 66
zAWERIM RAZDEL UTWERVDENIEM O PRODOLVENII NEPRERYWNYH OTOBRAVENIJ S PLOTNYH PODPROSTRANSTW. 9.11. tEOREMA. eSLI NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE WS@DU PLOTNOGO PODMNOVESTWA Z NEKOTOROGO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA X W HAUSDORFOWO PROSTRANSTWO Y NEPRERYWNO PRODOLVAETSQ NA WSE X , TO NEPRERYWNOE PRODOLVENIE EDINSTWENNO. dOKAZATELXSTWO. dLQ DWUH PRODOLVENIJ f1 : X ;! Y I f2 : X ;! Y MNOVESTWO fx 2 X : f1 (x) = f2(x)g SODERVIT Z I ZAMKNUTO. zNA^IT, ONO SOWPADAET S X .
67
10.
kOMPAKTNYE PROSTRANSTWA
w KURSE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA DOKAZYWAETSQ, ^TO IZ L@BOGO SEMEJSTWA OTKRYTYH INTERWALOW, POKRYWA@]IH ZAMKNUTYJ OTREZOK DEJSTWITELXNOJ OSI, MOVNO WYBRATX KONE^NOE PODSEMEJSTWO, TOVE POKRYWA@]EE \TOT OTREZOK (LEMMA gEJNE-bORELQ-lEBEGA). |TO SWOJSTWO, NAZYWAEMOE KOMPAKTNOSTX@ SEGMENTA, IGRAET O^ENX WAVNU@ ROLX W ANALIZE. w ^ASTNOSTI, ONO ISPOLXZUETSQ PRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY wEJERTRASSA O DOSTIVENII NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ NA ZAMKNUTOM OTREZKE SWOIH TO^NYH WERHNEJ I NIVNEJ GRANEJ. dOKAZATELXSTWO TEOREMY kANTORA O RAWNOMERNOJ NEPRERYWNOSTI FUNKCII, NEPRERYWNOJ NA SEGMENTE, TOVE ISPOLXZUET \TO SWOJSTWO OTREZKA. w SWO@ O^EREDX, SREDI PRO^EGO, TEOREMA kANTORA MOVET BYTX ZADEJSTWOWANA W DOKAZATELXSTWE INTEGRIRUEMOSTI NEPRERYWNOJ NA ZAMKNUTOM OTREZKE FUNKCII. kOMPAKTNYE PROSTRANSTWA I IH NEPRERYWNYE OTOBRAVENIQ, IZU^ENIE KOTORYH QWLQETSQ CELX@ \TOGO RAZDELA, SOSTAWLQ@T ODNU IZ NAIBOLEE WAVNYH KATEGORIJ TOPOLOGII. k KLASSU KOMPAKTNYH PROSTRANSTW PRINADLEVAT WSE OGRANI^ENNYE ZAMKNUTYE PODMNOVESTWA EWKLIDOWYH PROSTRANSTW, MNOGIMI SWOJSTWAMI KOTORYH OBLADA@T PROIZWOLXNYE KOMPAKTNYE PROSTRANSTWA. 10.1. oPREDELENIQ. sEMEJSTWO C PODMNOVESTW MNOVESTWA A NAZYWAETSQ POKRYTIEM MNOVESTWA B A, ESLI B SODERVITSQ W OB_EDINENII \LEMENTOW SEMEJSTWA C . pOKRYTIE NAZYWAETSQ KONE^NYM, ESLI ONO SODERVIT KONE^NOE ^ISLO \LEMENTOW. pOKRYTIE D MNOVESTWA B NAZYWAETSQ PODPOKRYTIEM POKRYTIQ C MNOVESTWA B , ESLI D C : w SLU^AE, KOGDA X | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO, POKRYTIE C MNOVESTWA Y X NAZYWAETSQ OTKRYTYM, ESLI WSE \LEMENTY C OTKRYTY. 10.2. oPREDELENIE. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO (X ) NAZYWAETSQ KOMPAKTNYM, ESLI KAVDOE EGO OTKRYTOE POKRYTIE SODERVIT KONE^NOE PODPOKRYTIE, T.E. ESLI DLQ KAVDOGO SEMEJSTWA fO : 2 g UDOWLETWORQ@]EGO RAWENSTWU X = fO : 2 g SU]ESTWUET TAKOE KONE^NOE MNOVESTWO ; , ^TO X = fO : 2 ;g. 10.3. pRIMERY. 1) pROIZWOLXNOE PROSTRANSTWO, SOSTOQ]EE IZ KONE^NOGO ^ISLA TO^EK, KOMPAKTNO. 2) aNTIDISKRETNOE PROSTRANSTWO KOMPAKTNO. 3) bESKONE^NOE MNOVESTWO S TOPOLOGIEJ zARISSKOGO KOMPAKTNO. 4) eWKLIDOWO PROSTRANSTWO R n NE KOMPAKTNO. 5) bESKONE^NOE MNOVESTWO, NADELENNOE DISKRETNOJ TOPOLOGIEJ, NE KOMPAKTNO. 10.4. oPREDELENIE. pODMNOVESTWO Y (X ) NAZYWAETSQ KOMPAKT68
NYM MNOVESTWOM, ESLI PODPROSTRANSTWO Y c INDUCIROWANNOJ IZ X TOPOLOGIEJ Y PREDSTAWLQET SOBOJ KOMPAKTNOE TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO. 10.5. tEOREMA. pODMNOVESTWO Y (X ) KOMPAKTNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA L@BOE POKRYTIE MNOVESTWA Y OTKRYTYMI PODMNOVESTWAMI PROSTRANSTWA X SODERVIT KONE^NOE PODPOKRYTIE. 10.6. sLEDSTWIE. eSLI MNOVESTWO KOMPAKTNO W PODPROSTRANSTWE, TO ONO KOMPAKTNO I W SAMOM PROSTRANSTWE. tAKIM OBRAZOM, SWOJSTWO KOMPAKTNOSTI NE ZAWISIT OT TOGO, PODPROSTRANSTWOM KAKOGO OB_EML@]EGO PROSTRANSTWA RASSMATRIWAETSQ DANNOE MNOVESTWO. 10.7. pRIMER. oTREZOK a b] DEJSTWITELXNOJ OSI KOMPAKTEN. nIVE SFORMULIRUEM NEKOTORYE SWOJSTWA KOMPAKTNYH PROSTRANSTW. 10.8. uTWERVDENIE. kAVDOE ZAMKNUTOE PODMNOVESTWO KOMPAKTNOGO PROSTRANSTWA KOMPAKTNO. 10.9. lEMMA. eSLI Y | KOMPAKTNOE PODMNOVESTWO HAUSDORFOWA TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA (X ) I TO^KA x 2 X n Y , TO NAJDUTSQ NEPERESEKA@]IESQ OKRESTNOSTI TO^KI x I MNOVESTWA Y . iSPOLXZUQ \TU LEMMU, DOKAZYWAETSQ 10.10. tEOREMA. kAVDOE KOMPAKTNOE PODMNOVESTWO HAUSDORFOWA PROSTRANSTWA ZAMKNUTO. 10.11. zAME^ANIE. tREBOWANIE OTDELIMOSTI TOPOLOGII W 10.10 SU]ESTWENNO. rASSMOTRIM MNOVESTWO DEJSTWITELXNYH ^ISEL, NADELENNOE TOPOLOGIEJ zARISSKOGO. lEGKO WIDETX, ^TO KAVDOE PODMNOVESTWO \TOGO PROSTRANSTWA KOMPAKTNO, A ZAMKNUTYMI QWLQ@TSQ LIX KONE^NYE PODMNOVESTWA. 10.12. oPREDELENIE. nEPUSTOE SEMEJSTWO MNOVESTW NAZYWAETSQ CENTRIROWANNYM, ESLI PERESE^ENIE L@BOGO EGO NEPUSTOGO KONE^NOGO PODSEMEJSTWA NE QWLQETSQ PUSTYM MNOVESTWOM. 10.13. tEOREMA. sLEDU@]IE USLOWIQ DLQ TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA (X ) \KWIWALENTNY: 1) X KOMPAKTNO. 2) kAVDOE CENTRIROWANNOE SEMEJSTWO ZAMKNUTYH MNOVESTW W X
IMEET NEPUSTOE PERESE^ENIE.
69
3) kAVDAQ NAPRAWLENNOSTX W X IMEET PREDELXNU@ TO^KU. 4) kAVDAQ NAPRAWLENNOSTX W X OBLADAET SHODQ]EJSQ PODNAPRAWLEN-
NOSTX@. 5) kAVDAQ UNIWERSALXNAQ NAPRAWLENNOSTX W X SHODITSQ.
dOKAZATELXSTWO. dOKAVEM TOLXKO \KWIWALENTNOSTX 2) () 3). 2) =) 3). pUSTX S = fx : 2 g | PROIZWOLXNAQ NAPRAWLENNOSTX W PROSTRANSTWE X . sEMEJSTWO
F := fF : 2 g GDE F := fx : g SOSTOIT IZ ZAMKNUTYH MNOVESTW I CENTRIROWANO, TAK KAK F 6= ? DLQ L@BOGO INDEKSA 2 I F F PRIT : zNA^IT, SU]ESTWUET TAKAQ TO^KA x W PROSTRANSTWE X , ^TO x 2 F : uTWERVDAETSQ, ^TO x QWLQETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ DLQ NAPRAWLENNOSTI S . dEJSTWITELXNO, W PROTIWNOM SLU^AE NALISX BY OKRESTNOSTX U (x) I INDEKS 2 , DLQ KOTORYH U (x) \ fx : g = ?: pOLU^ILOSX BY, ^TO x 2= F ^TO NEWERNO. 3) =) 2). tEPERX PREDPOLOVIM, ^TO W PROSTRANSTWE X WSQKAQ NAPRAWLENNOSTX IMEET PREDELXNU@ TO^KU, I F | PROIZWOLXNOE CENTRIROWANNOE SEMEJSTWO ZAMKNUTYH PODMNOVESTW W X . oBOZNA^IM ^EREZ MNOVESTWO, SOSTOQ]EE IZ WSEH KONE^NYH PODSEMEJSTW SEMEJSTWA F . wWEDEM NA NEM OTNOENIE . dLQ := fF1 F2 : : : Fmg 2 I := fG1 G2 : : : Gng 2 POLOVIM n m \ \ ESLI Gj Fi: j =1
i=1
mNOVESTWO NAPRAWLENO \TIM OTNOENIEM. dALEE STROIM NAPRAWLENNOSTX W X . dLQ \TOGO, WZQW PROIZWOLXNYJ \LEMENT := fF1 F2 : : : Fm g 2 F WYBIRAEM KAKU@-NIBUDX TO^KU x 2 Tm Fi: pOLU^AEM NAPRAWLENNOSTX S := fx : 2 g. i=1 T pUSTX x| PREDELXNAQ TO^KA DLQ S . pOKAVEM, ^TO x 2 F : zAFIKSIRUEM PROIZWOLXNYJ \LEMENT F0 SEMEJSTWA F : pUSTX U | PROIZWOLXNAQ OKRESTNOSTX TO^KI x. wYBEREM TAKOE := fF1 F2 : : : Fmg m T := fF0g, ^TO x 2 U . tAK KAK x 2 Fi F0 TO F0 \ U 6= ?: sLEDOWAi=1 TELXNO, x 2 F0 = F0 ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX. 70
10.14.
sLEDSTWIE tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO KOMPAKTNO TOG
-
.
DA I TOLXKO TOGDA, KOGDA L@BOE CENTRIROWANNOE SEMEJSTWO EGO PODMNOVESTW IMEET PO KRAJNEJ MERE ODNU OB]U@ TO^KU PRIKOSNOWENIQ. 10.15. tEOREMA. l@BOE KOMPAKTNOE HAUSDORFOWO PROSTRANSTWO NORMALXNO. dOKAZATELXSTWO. pUSTX M I N | NEPUSTYE NEPERESEKA@]IESQ ZAMKNUTYE PODMNOVESTWA KOMPAKTNOGO HAUSDORFOWA PROSTRANSTWA X . wOPERWYH, PO 10.8, ONI KOMPAKTNY. wO-WTORYH, PO LEMME 10.9, DLQ KAVDOJ TO^KI x 2 N NAJDUTSQ NEPERESEKA@]IESQ OKRESTNOSTI Ux(M ) I V (x) MNOVESTWA M I TO^KI x SOOTWETSTWENNO. sEMEJSTWO fV (x) : x 2 N g TAKIH OKRESTNOSTEJ OBRAZUET OTKRYTOE POKRYTIE MNOVESTWA N I, SLEDOWATELXNO, SODERVIT KONE^NOE PODPOKRYTIE, SKAVEM, V (x1 ) V (x2 ) : : : V (xn) n 2 N : pUSTX n \ U (M ) := Ux (M ) i=1
n V (N ) := V (xi ):
i
i=1
qSNO, ^TO U (M ) I V (N ) QWLQ@TSQ NEPERESEKA@]IMISQ OKRESTNOSTQMI SOOTWETSTWENNO M I N . pEREJDEM K RASSMOTRENI@ NEKOTORYH SWOJSTW NEPRERYWNYH OTOBRAVENIJ MEVDU KOMPAKTNYMI PROSTRANSTWAMI. 10.16. tEOREMA. pUSTX f : (X ) ; ! (Y ) | NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE MEVDU TOPOLOGI^ESKIMI PROSTRANSTWAMI. eSLI PROSTRANSTWO X KOMPAKTNO, TO I OBRAZ f (X ) KOMPAKTEN. iNYMI SLOWAMI, NEPRERYWNYJ OBRAZ KOMPAKTNOGO PROSTRANSTWA KOMPAKTEN. dOKAZATELXSTWO. pUSTX fO : 2 g| OTKRYTOE POKRYTIE f (X ). sEMEJSTWO ff ;1(O) : 2 g QWLQETSQ OTKRYTYM POKRYTIEM KOMPAKTNOGO PROSTRANSTWA X . pUSTX n X = f ;1(O ) i
i=1
n 2 N:
sPRAWEDLIWY SLEDU@]IE FORMULY:
n n ; 1 f (X ) = f (f (O )) O : i
i=1
i=1
i
tEM SAMYM POKAZANO, ^TO f (X ) KOMPAKTNO. 10.17.
sLEDSTWIE oBOB]ENNAQ TEOREMA wEJERTRASSA nE (
).
-
PRERYWNAQ WE]ESTWENNAQ FUNKCIQ NA KOMPAKTNOM PROSTRANSTWE OGRANI^ENA I DOSTIGAET SWOIH NAIBOLXEGO I NAIMENXEGO ZNA^ENIJ. 71
sLEDSTWIE pUSTX f : X ;! Y
NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE IZ KOMPAKTNOGO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA X W LINEJNO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO (Y 6), NADELENNOE PORQDKOWOJ TOPOLOGIEJ. tOGDA SU]ESTWU@T TAKIE TO^KI a I b W PROSTRANSTWE X , ^TO 10.18.
.
|
f (a) 6 f (x) 6 f (b)
DLQ KAVDOJ TO^KI x 2 X . iSPOLXZUQ TEOREMU 10.16, POLU^AEM 10.19. tEOREMA. nEPRERYWNOE OTOBRAVENIE KOMPAKTNOGO PROSTRANSTWA W HAUSDORFOWO PROSTRANSTWO ZAMKNUTO. iZ TEOREMY 10.19 SLEDUET 10.20. tEOREMA. nEPRERYWNOE BIEKTIWNOE OTOBRAVENIE KOMPAKTNOGO PROSTRANSTWA NA HAUSDORFOWO PROSTRANSTWO QWLQETSQ GOMEOMORFIZMOM. 10.21. sLEDSTWIE. pUSTX 1 I 2 | DWE TOPOLOGII NA MNOVESTWE X , I PUSTX 1 SILXNEE, ^EM 2 . tOGDA ESLI PROSTRANSTWO (X 1 ) KOMPAKTNO, A PROSTRANSTWO (X 2 ) QWLQETSQ HAUSDORFOWYM PROSTRANSTWOM, TO TOPOLOGII 1 I 2 SOWPADA@T. w ZAKL@^ENII RAZDELA RASSMOTRIM KOMPAKTNYE METRI^ESKIE PROSTRANSTWA, KOTORYE OBY^NO IZU^A@TSQ W KURSE FUNKCIONALXNOGO ANALIZA. nA^NEM S KRITERIQ KOMPAKTNOSTI METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA. 10.22. tEOREMA. dLQ METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA X SLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:
X KOMPAKTNO. iZ L@BOGO S^ETNOGO OTKRYTOGO POKRYTIQ PROSTRANSTWA X MOVNO WYDELITX KONE^NOE PODPOKRYTIE. u L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI TO^EK PROSTRANSTWA X SU]ESTWUET SHODQ]AQSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX.
zAME^ANIQ
1) sWOJSTWO KOMPAKTNOSTI METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA QWLQETSQ BOLEE SILXNYM SWOJSTWOM, ^EM POLNOTA: WSQKOE KOMPAKTNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO POLNO. 2) pROSTRANSTWO DEJSTWITELXNYH ^ISEL S EWKLIDOWOJ METRIKOJ POLNO, NO NE KOMPAKTNO. 10.23.
.
72
10.24.
oPREDELENIE mETRI^ESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ PRED
-
.
KOMPAKTNYM, ESLI U L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI TO^EK \TOGO PROSTRANSTWA SU]ESTWUET FUNDAMENTALXNAQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX. 10.25. tEOREMA. mETRI^ESKOE PROSTRANSTWO KOMPAKTNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONO PREDKOMPAKTNO I POLNO. 10.26. zAME^ANIQ. 1) pREDKOMPAKTNOE MNOVESTWO OGRANI^ENO, TO ESTX QWLQETSQ PODMNOVESTWOM NEKOTOROGO ARA. 2) oGRANI^ENNOE MNOVESTWO MOVET NE BYTX PREDKOMPAKTNYM. 10.27. oPREDELENIQ. pUSTX ZADANO DEJSTWITELXNOE ^ISLO " > 0. pODMNOVESTWO A METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA (X d) NAZYWAETSQ "{SETX@ DLQ PODMNOVESTWA B X , ESLI DLQ L@BOJ TO^KI b 2 B NAJDETSQ TAKAQ TO^KA a 2 A, ^TO d(a b) < ": pODMNOVESTWO B METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA X NAZYWAETSQ WPOLNE OGRANI^ENNYM, ESLI DLQ L@BOGO " > 0 W PROSTRANSTWE X SU]ESTWUET KONE^NAQ "{SETX DLQ B . uDOBNYJ METOD PROWERKI PREDKOMPAKTNOSTI MNOVESTWA DAET SLEDU@]AQ TEOREMA hAUSDORFA. 10.28. tEOREMA. mETRI^ESKOE PROSTRANSTWO PREDKOMPAKTNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONO WPOLNE OGRANI^ENO. kOMBINIRUQ PRIWEDENNYE WYE TEOREMY, POLU^AEM UTWERVDENIE: 10.29. tEOREMA. mETRIZUEMOE PROSTRANSTWO X QWLQETSQ KOMPAKTNYM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA NA NEM SU]ESTWUET TAKAQ METRIKA d, ^TO PROSTRANSTWO (X d) POLNO I WPOLNE OGRANI^ENO. sLEDU@]IJ REZULXTAT IMEET MNOGO^ISLENNYE PRILOVENIQ W ANALIZE, GEOMETRII I TOPOLOGII. 10.30. lEMMA lEBEGA. dLQ L@BOGO OTKRYTOGO POKRYTIQ O KOMPAKTNOGO METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA X SU]ESTWUET TAKOE " > 0, NAZYWAEMOE ^ISLOM lEBEGA POKRYTIQ O, ^TO DLQ L@BOJ TO^KI x 2 X AR B"(x) CELIKOM SODERVITSQ W NEKOTOROM \LEMENTE POKRYTIQ O. dOKAZATELXSTWO. pUSTX DLQ KAVDOJ TO^KI x 2 X WYBRANO TAKOE ^ISLO "(x) > 0, ^TO OTKRYTYJ AR RADIUSA 2"(x) S CENTROM W TO^KE x CELIKOM SODERVITSQ W NEKOTOROM \LEMENTE POKRYTIQ O. w SILU KOMPAKTNOSTI PROSTRANSTWA X , IZ OTKRYTOGO POKRYTIQ fB"(x)(x) : x 2 X g PROSTRANSTWA X MOVNO WYDELITX KONE^NOE PODPOKRYTIE: X = B"(x1 )(x1 ) B"(x2) (x2 ) : : : B"(xn)(xn ) x1 : : : xn 2 X n 2 N : nETRUDNO WIDETX, ^TO NAIMENXEE IZ ^ISEL "(x1 ) "(x2) : : : "(xn) QW73
LQETSQ ISKOMYM ^ISLOM lEBEGA. dLQ OTOBRAVENIJ METRI^ESKIH PROSTRANSTW IZ LEMMY lEBEGA WYTEKAET OBOB]ENIE TEOREMY kANTORA O RAWNOMERNOJ NEPRERYWNOSTI FUNKCII, KOTORAQ NEPRERYWNA NA OTREZKE. 10.31. tEOREMA. pUSTX X | KOMPAKTNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO, A Y | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO I f : X ;! Y | NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE. tOGDA f RAWNOMERNO NEPRERYWNO.
74
11.
iNICIALXNAQ I FINALXNAQ TOPOLOGII
zDESX MY OPIEM E]E DWA METODA WWEDENIQ TOPOLOGIJ NA MNOVESTWAH. pUSTX f : X ;! (Y ) | OTOBRAVENIE IZ MNOVESTWA X W TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO (Y ). nA MNOVESTWE X TREBUETSQ WWESTI SLABEJU@ TOPOLOGI@ TAKU@, ^TOBY OTOBRAVENIE f : (X ) ;! (Y ) BYLO NEPRERYWNYM. nEPOSREDSTWENNO PROWERQETSQ, ^TO TAKOJ TOPOLOGIEJ BUDET SEMEJSTWO = ff ;1(V ) j V 2 g: tOPOLOGIQ NAZYWAETSQ PROOBRAZOM TOPOLOGII OTNOSITELXNO OTOBRAVENIQ f I OBOZNA^AETSQ f ;1(). pRIMEROM PROOBRAZA TOPOLOGII QWLQETSQ INDUCIROWANNAQ TOPOLOGIQ. dEJSTWITELXNO, TOPOLOGIQ PODPROSTRANSTWA NA A | \TO PROOBRAZ TOPOLOGII OTNOSITELXNO WLOVENIQ PODPROSTRANSTWA A W PROSTRANSTWO X (SM. 8.6). pONQTIE PROOBRAZA TOPOLOGII OBOB]AETSQ NA SLU^AJ PROIZWOLXNOGO SEMEJSTWA OTOBRAVENIJ ffj : X ;! (Yj j ) j j 2 J g GDE X I J | NEKOTORYE MNOVESTWA, A Yj | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO S TOPOLOGIEJ j . 11.1. tEOREMA. tOPOLOGIQ , POROVDENNAQ BAZOJ, KOTORAQ SOSTOT IT IZ WSEH MNOVESTW WIDA ns=1 fj;s 1(Os) GDE Os 2 js j1 j2 : : : jn 2 J n 2 N , QWLQETSQ SLABEJEJ SREDI WSEH TOPOLOGIJ W X , OTNOSITELXNO KOTORYH WSE FUNKCII fj NEPRERYWNY. tAKAQ TOPOLOGIQ NAZYWAETSQ (INICIALXNOJ) TOPOLOGIEJ, POROVDENNOJ SEMEJSTWOM OTOBRAVENIJ ffj gj2J . tAKIM OBRAZOM, SEMEJSTWO WSEH MNOVESTW WIDA fj;1(O), GDE j 2 J , O 2 j , QWLQETSQ PREDBAZOJ INICIALXNOJ TOPOLOGII . w SLEDU@]IH DWUH TEOREMAH (X ) | PROSTRANSTWO IZ 11.1. 11.2. tEOREMA. oTOBRAVENIE f PROIZWOLXNOGO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA (Z ) W (X ) NEPRERYWNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA KOMPOZICIQ OTOBRAVENIJ fj f NEPRERYWNA DLQ KAVDOGO j 2 J . dLQ PROWERKI SHODIMOSTI NAPRAWLENNOSTEJ W PROSTRANSTWAH S INICIALXNOJ TOPOLOGIEJ ^ASTO ISPOLXZUETSQ DOKAZYWAEMYJ NIVE KRITERIJ. 11.3. tEOREMA. nAPRAWLENNOSTX fx j 2 g W TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE (X ) SHODITSQ K TO^KE x 2 X TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ KAVDOGO INDEKSA j 2 J NAPRAWLENNOSTX ffj (x ) j 2 g SHODITSQ K TO^KE fj (x) W PROSTRANSTWE Yj . 75
dOKAZATELXSTWO. nEOBHODIMOSTX. wYTEKAET IZ NEPRERYWNOSTI OTOBRAVENIJ fj I TEOREMY 8.8. dOSTATO^NOSTX. rASSMOTRIM \LEMENT O(x) BAZY TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA X , KOTORYJ QWLQETSQ OKRESTNOSTX@ TO^KI x. eGO MOVNO PREDSTAWITX W WIDE: O(x) = fj;1 1(Oj1 ) \ fj;2 1(Oj2 ) \ : : : \ fj;n1(Ojn )
GDE Ojk 2 jk k = 1 2 : : : n n 2 N : dLQ KAVDOGO IZ UKAZANNYH INDEKSOW jk PROOBRAZ fj;k1(Ojk ) SODERVIT TO^KU x. pO\TOMU MNOVESTWO Ojk QWLQETSQ OKRESTNOSTX@ TO^KI fjk (x). tAK KAK PO USLOWI@ NAPRAWLENNOSTX ffjk (x) j 2 g SHODITSQ K TO^KE fjk (x) W PROSTRANSTWE Yjk TO NAJDETSQ TAKOJ INDEKS k 2 ^TO DLQ WSQKOGO k TO^KA fjk (x) LEVIT W OKRESTNOSTI Ojk . pOSKOLXKU | NAPRAWLENNOE MNOVESTWO, TO SU]ESTWUET INDEKS 0 KOTOROMU PREDESTWU@T WSE INDEKSY 1 2 : : : n: tOGDA DLQ L@BOGO 0 I KAVDOGO k = 1 2 : : : n TO^KA fjk (x ) SODERVITSQ W OKRESTNOSTI Ojk . zNA^IT, DLQ WSQKOGO 0 IMEEM WKL@^ENIE x 2 fj;1 1(Oj1 ) \ fj;2 1(Oj2 ) \ : : : \ fj;n1(Ojn ): dALXNEJIE RASSUVDENIQ O^EWIDNY. dWOJSTWENNOJ PO OTNOENI@ K INICIALXNOJ TOPOLOGII SLUVIT TAK NAZYWAEMAQ FINALXNAQ TOPOLOGIQ. sNA^ALA MY OPREDELIM EE WAVNYJ ^ASTNYJ SLU^AJ | FAKTOR-TOPOLOGI@. pUSTX (X ) | PROIZWOLXNOE TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO, R | NEKOTOROE OTNOENIE \KWIWALENTNOSTI NA MNOVESTWE X , X=R | MNOVESTWO WSEH KLASSOW \KWIWALENTNOSTI OTNOENIQ R, A q : X ;! X=R | ESTESTWENNOE (FAKTORNOE) OTOBRAVENIE, STAWQ]EE W SOOTWETSTWIE KAVDOJ TO^KE x 2 X EE KLASS \KWIWALENTNOSTI x] 2 X=R. nA FAKTOR-MNOVESTWE X=R SU]ESTWUET SILXNEJAQ TOPOLOGIQ SREDI WSEH TOPOLOGIJ, OTNOSITELXNO KOTORYH OTOBRAVENIE q NEPRERYWNO. a IMENNO, TAKOJ TOPOLOGIEJ QWLQETSQ SEMEJSTWO WSEH PODMNOVESTW MNOVESTWA X=R, PROOBRAZY KOTORYH PRI ESTESTWENNOM OTOBRAVENII OTKRYTY W X . |TA TOPOLOGIQ NAZYWAETSQ FAKTOR-TOPOLOGIEJ I OBOZNA^AETSQ =R (ILI q ), A MNOVESTWO X=R, SNABVENNOE =R, NAZYWAETSQ FAKTOR-PROSTRANSTWOM. 11.4. tEOREMA. mNOVESTWO F W FAKTOR-PROSTRANSTWE X=R ZAMKNUTO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA MNOVESTWO q;1(F ) ZAMKNUTO W X . dOKAZATELXSTWO. uTWERVDENIE NEMEDLENNO WYTEKAET IZ RAWENSTWA ; 1 q (X=R r F ) = X r q;1(F ): 76
tEOREMA oTOBRAVENIE f
: (X=R =R) ;! (Y ) FAKTORPROSTRANSTWA X=R W NEKOTOROE TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO Y NEPRERYWNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA NEPRERYWNA KOMPOZICIQ f q. dOKAZATELXSTWO. eSLI f NEPRERYWNO, TO f q NEPRERYWNO KAK KOMPOZICIQ DWUH NEPRERYWNYH OTOBRAVENIJ. oBRATNOE UTWERVDENIE SLEDUET IZ RAWENSTWA (f q);1(O) = q;1 (f ;1(O)), RASSMOTRENNOGO DLQ O 2 . 11.5.
.
tEPERX PUSTX IMEETSQ SEMEJSTWO OTOBRAVENIJ ffj : (Yj j ) ;! X j j 2 J g GDE X I J | NEKOTORYE MNOVESTWA, A Yj | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO S TOPOLOGIEJ j . w X RASSMOTRIM SEMEJSTWO WSEH TAKIH MNOVESTW O X ^TO PRI KAVDOM j 2 J PROOBRAZ fj;1(O) OTKRYT W PROSTRANSTWE Yj . lEGKO PROWERITX, ^TO SEMEJSTWO QWLQETSQ TOPOLOGIEJ, KOTORAQ NAZYWAETSQ FINALXNOJ TOPOLOGIEJ, POROVDENNOJ SEMEJSTWOM OTOBRAVENIJ ffj g. 11.6. zAME^ANIQ. 1) fINALXNAQ TOPOLOGIQ | SILXNEJAQ IZ WSEH TOPOLOGIJ, PRI KOTORYH KAVDOE IZ OTOBRAVENIJ POROVDA@]EGO SEMEJSTWA, NEPRERYWNO. 2) oTOBRAVENIE f : X ;! Z IZ PROSTRANSTWA X S FINALXNOJ TOPOLOGIEJ, POROVDENNOJ SEMEJSTWOM ffj g, W PROIZWOLXNOE PROSTRANSTWO Z QWLQETSQ NEPRERYWNYM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA PRI KAVDOM j NEPRERYWNA KOMPOZICIQ f fj . 3) fAKTOR-TOPOLOGIQ PREDSTAWLQET SOBOJ FINALXNU@ TOPOLOGI@ OTNOSITELXNO FAKTORNOGO OTOBRAVENIQ.
77
12.
pROIZWEDENIE PROSTRANSTW. tEOREMA tIHONOWA.
|TOT RAZDEL POSWQ]EN TOPOLOGII NA DEKARTOWYH PROIZWEDENIQH TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW. sNA^ALA RASSMOTRIM PROIZWEDENIE KONE^NOGO ^ISLA TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW. pUSTX (X ) I (Y ) | TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA. oBOZNA^IM ^EREZ SEMEJSTWO WSEH PODMNOVESTW DEKARTOWA PROIZWEDENIQ X Y , IME@]IH WID U V , GDE U 2 V 2 : nETRUDNO WIDETX, ^TO SPRAWEDLIWO RAWENSTWO (U1 V1) \ (U2 V2 ) = (U1 \ U2 ) (V1 \ V2) GDE U1 V1 I U2 V2 | \LEMENTY SEMEJSTWA , I ^TO QWLQETSQ BAZOJ NEKOTOROJ TOPOLOGII, KOTORAQ NAZYWAETSQ TOPOLOGIEJ PROIZWEDENIQ NA X Y: 12.1. oPREDELENIE. mNOVESTWO X Y , NADELENNOE TOPOLOGIEJ PROIZWEDENIQ, NAZYWAETSQ TOPOLOGI^ESKIM PROIZWEDENIEM PROSTRANSTW (X ) I (Y ). 1 1 12.2. pRIMERY. 1) tOPOLOGI^ESKOE PROIZWEDENIE R R | \TO W TO^NOSTI PROSTRANSTWO R 2 : |TOT PRIMER POKAZYWAET, ^TO SEMEJSTWO , WOOB]E GOWORQ, NE QWLQETSQ TOPOLOGIEJ NA X Y: tAK, NAPRIMER, OB_EDINENIE DWUH OTKRYTYH PRQMOUGOLXNIKOW NA rIS. 7 NE PRINADLEVIT SEMEJSTWU :
R1
R1 Puc:7 2) tOPOLOGI^ESKOE PROIZWEDENIE PROSTRANSTWA (X ) NA EDINI^NYJ OTREZOK I = 0 1] DEJSTWITELXNOJ OSI R 1 NAZYWAETSQ CILINDROM NAD X . 12.3. zAME^ANIQ. 1) eSLI i | BAZA TOPOLOGII PROSTRANSTWA Xi , i = 1 2 TO SEMEJSTWO WSEH MNOVESTW U1 U2 , GDE Ui 2 i, QWLQETSQ BAZOJ TOPOLOGII PROSTRANSTWA X1 X2 : 2) sOWOKUPNOSTX WSEH PODMNOVESTW 78
MNOVESTWA X Y WIDA U Y I X V , GDE U 2 V 2 OBRAZUET PREDBAZU TOPOLOGII PROIZWEDENIQ NA X Y , POSKOLXKU KAVDYJ \LEMENT U V BAZY \TOJ TOPOLOGII PREDSTAWLQETSQ W WIDE U V = (U Y ) \ (X V ): tOPOLOGI^ESKOE PROIZWEDENIE L@BOGO KONE^NOGO ^ISLA TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW OPREDELQETSQ ANALOGI^NO SLU^A@ PROIZWEDENIQ DWUH PROSTRANSTW. n 12.4. pRIMERY. 1) eWKLIDOWO PROSTRANSTWO R PREDSTAWLQET SOBOJ TOPOLOGI^ESKOE PROIZWEDENIE n \KZEMPLQROW PRQMOJ R 1 : 2) dWUMERNYJ TOR, RASSMATRIWAEMYJ KAK PODPROSTRANSTWO PROSTRANSTWA R 3 , GOMEOMORFEN TOPOLOGI^ESKOMU PROIZWEDENI@ DWUH \KZEMPLQROW EDINI^NOJ OKRUVNOSTI IZ R 2 : tEPERX PEREJDEM K OPISANI@ TOPOLOGII PROIZWEDENIQ PROIZWOLXNOGO SEMEJSTWA TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW. |TA TOPOLOGIQ BYLA OPREDELENA a. n. tIHONOWYM W 1929 GODU. rEZULXTATY, SWQZANNYE S TOPOLOGIEJ PROIZWEDENIQ, QWLQ@TSQ WAVNEJIMI INSTRUMENTAMI ISSLEDOWANIJ W RAZLI^NYH OBLASTQH MATEMATIKI. pUSTX IMEETSQ INDEKSIROWANNOE SEMEJSTWO fX j 2 g TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW. nAPOMNIM, ^TO DLQ PROIZWOLXNOGO INDEKSA 2 Q ^EREZ p OBOZNA^AETSQ PROEKCIQ MNOVESTWA X NA -E KOORDINATNOE 2 MNOVESTWO X . Q X S INICIALXNOJ TOPOLOGIEJ, 12.5. oPREDELENIQ. mNOVESTWO 2 POROVDENNOJ SEMEJSTWOM PROEKCIJ fp j 2 g, NAZYWAETSQ (DEKARTOWYM) PROIZWEDENIEM PROSTRANSTW, A SAMA TOPOLOGIQ NAZYWAETSQ TOPOLOGIEJ PROIZWEDENIQ, ILI TIHONOWSKOJ TOPOLOGIEJ. iZ OPREDELENIQ INICIALXNOJ TOPOLOGII SLEDUET PERWOE UTWERVDENIE SLEDU@]EJ TEOREMY. Q O GDE O | 12.6. tEOREMA. sEMEJSTWO WSEH MNOVESTW WIDA 2 OTKRYTOE PODMNOVESTWO PROSTRANSTWA X I O = X DLQ WSEH, KROME KONE^NOGO ^ISLA INDEKSOW , OBRAZUET BAZU TOPOLOGII PROIZWEDENIQ Q NA X. bOLEE TOGO, ESLI DLQ KAVDOGO INDEKSA 2 FIKSIROWANA 2 NEKOTORAQ BAZA PROSTRANSTWA X , TO PODSEMEJSTWO SEMEJSTWA , Q SOSTOQ]EE IZ TEH O DLQ KOTORYH O 2 PRI O 6= X , TAKVE 2 OBRAZUET BAZU TOPOLOGII PROIZWEDENIQ. 79
wTOROE UTWERVDENIE \TOJ TEOREMY NEPOSREDSTWENNO WYTEKAET IZ PERWOGO I OPREDELENIQ BAZY. 12.7. uPRAVNENIQ. 1) pROEKCIQ p QWLQETSQ NEPRERYWNYM I OTKRYTYM OTOBRAVENIEM. oNA, WOOB]E GOWORQ, NE ZAMKNUTA. 2) tOPOLOGIQ PROIZWEDENIQ NA DEKARTOWOM PROIZWEDENII KONE^NOGO ^ISLA PROSTRANSTW, WWEDENNAQ W NA^ALE \TOGO RAZDELA, QWLQETSQ TIHONOWSKOJ TOPOLOGIEJ. 12.8. uTWERVDENIE. eSLI fX j 2 g | SEMEJSTWO TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW I A | PODPROSTRANSTWO PROSTRANSTWA X 2 , Q TO DWE TOPOLOGII, OPREDELENNYE NA MNOVESTWE A A IMENNO, TOPO2 LOGIQ PROIZWEDENIQ SEMEJSTWA PROSTRANSTW fA jQ 2 g I TOPOLOGIQ PODPROSTRANSTWA TOPOLOGI^ESKOGO PROIZWEDENIQ X SOWPADA@T. 12.9.
uPRAVNENIQ
2
.
1) pROIZWEDENIE OTKRYTYH MNOVESTW W TOPO-
LOGI^ESKOM PROIZWEDENII L@BOGO SEMEJSTWA PROSTRANSTW MOVET BYTX NE OTKRYTYM MNOVESTWOM. 2) pROIZWEDENIE ZAMKNUTYH MNOVESTW ZAMKNUTO W TOPOLOGI^ESKOM PROIZWEDENII L@BOGO SEMEJSTWA PROSTRANSTW. sLEDSTWIEM 11.2 QWLQETSQ 12.10. tEOREMA. oTOBRAVENIE f : (X ) ; ! Q X IZ NEKOTOROGO 2 TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA (X ) W TOPOLOGI^ESKOE PROIZWEDENIE NEPRERYWNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA KOMPOZICIQ p f NEPRERYWNA DLQ KAVDOGO INDEKSA 2 : iZ 11.3 WYTEKAET 12.11. tEOREMA. nAPRAWLENNOSTX fx j 2 g W TOPOLOGI^ESKOM Q Q PROIZWEDENII X SHODITSQ K TO^KE x 2 X TOGDA I TOLXKO TOG2 2 DA, KOGDA DLQ KAVDOGO INDEKSA 2 NAPRAWLENNOSTX fp(x ) j 2 g SHODITSQ K TO^KE p (x). oDNOJ IZ OSNOWNYH TEOREM OB]EJ TOPOLOGII QWLQETSQ SLEDU@]AQ Q X PRO12.12. tEOREMA tIHONOWA. tOPOLOGI^ESKOE PROIZWEDENIE 2 IZWOLXNOGO SEMEJSTWA TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW KOMPAKTNO W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA KOMPAKTNY WSE Q PROSTRANSTWA X. dOKAZATELXSTWO. pUSTX PROIZWEDENIE X KOMPAKTNO. tAK KAK DLQ 2 KAVDOGO INDEKSA 2 PROEKCIQ p QWLQETSQ NEPRERYWNYM OTOBRAVENIEM IZ TOPOLOGI^ESKOGO PROIZWEDENIQ NA WSE PROSTRANSTWO X , TO KOMPAKT80
NOSTX X SLEDUET IZ TOGO FAKTA, ^TO NEPRERYWNYJ OBRAZ KOMPAKTNOGO PROSTRANSTWA KOMPAKTEN (SM. 10.16). tEPERX PREDPOLOVIM, ^TO WSE PROSTRANSTWA X KOMPAKTNY. dOKAVEM KOMPAKTNOSTX IH TOPOLOGI^ESKOGO PROIZWEDENIQ. dLQ \TOGO RASSMOTRIM PROIZWOLXNU@ UNIWERSALXNU@ NAPRAWLENNOSTX (x)2 W PROSTRANSTWE Q X. zAFIKSIROWAW PROIZWOLXNYJ INDEKS 2 , O^EWIDNO, MY IME2 EM UNIWERSALXNU@ NAPRAWLENNOSTX (p(x ))2 W PROSTRANSTWE X. pOSKOLXKU PROSTRANSTWO X KOMPAKTNO, TO PO TEOREME 10.13 NAPRAWLENNOSTX (p (x ))2 SHODITSQ K NEKOTOROJ TO^KE xQ W PROSTRANSTWE X . oBOZNA^IM ^EREZ x TAKU@ TO^KU PROSTRANSTWA X, ^TO p (x) = x DLQ WSEH 2 2 . tAK KAK DLQ KAVDOGO INDEKSA 2 NAPRAWLENNOSTX (p(x ))2 SHODITSQ K p (x), TO PO TEOREME 12.11 ZAKL@^AEM Q , ^TO NAPRAWLENNOSTX (x )2 SHODITSQ K TO^KE x W PROSTRANSTWE X . tAKIM OBRAZOM, WSQKAQ 2 UNIWERSALXNAQ NAPRAWLENNOSTX W TOPOLOGI^ESKOM PROIZWEDENII SHODITSQ. wOSPOLXZOWAWISX Q E]E RAZ TEOREMOJ 10.13, POLU^AEM KOMPAKTNOSTX PROSTRANSTWA X. 2
12.13. zAME^ANIE. ~ITATELX, PO-WIDIMOMU, ZADALSQ SLEDU@]IM WOPROSOM. pO^EMU NA DEKARTOWOM PROIZWEDENII PROIZWOLXNOGO SEMEJSTWA PROSTRANSTW NE WWESTI TOPOLOGI@ ANALOGI^NO SLU^A@ PROIZWEDENIQ KONE^NOGO SEMEJSTWA Q TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW? tO ESTX W DEKARTOWOM PROIZWEDENII X W KA^ESTWE BAZY TOPOLOGII WZQTX SEMEJSTWO WSEWOZ2 Q MOVNYH MNOVESTW WIDA O, GDE O QWLQETSQ PROIZWOLXNYM OTKRYTYM 2 PODMNOVESTWOM PROSTRANSTWA X DLQ KAVDOGO INDEKSA 2 . |TO SEMEJSTWO DEJSTWITELXNO QWLQETSQ BAZOJ TOPOLOGII. pOROVDAEMAQ E@ TOPOLOGIQ NAZYWAETSQ Q]I^NOJ TOPOLOGIEJ. iZ OPISANIQ BAZ Q]I^NOJ I TIHONOWSKOJ TOPOLOGIJ NEMEDLENNO SLEDUET, ^TO Q]I^NAQ TOPOLOGIQ, WOOB]E GOWORQ, SILXNEE TOPOLOGII PROIZWEDENIQ. hOTQ NEKOTORYE FAKTY IME@T MESTO KAK DLQ TIHONOWSKOJ, TAK I DLQ Q]I^NOJ TOPOLOGIJ (NAPRIMER, ESLI KAVDYJ IZ SOMNOVITELEJ QWLQETSQ HAUSDORFOWYM PROSTRANSTWOM, TO I DEKARTOWO PROIZWEDENIE HAUSDORFOWO), WSE-TAKI \TI TOPOLOGII SU]ESTWENNO RAZLI^A@TSQ. pREVDE WSEGO SLEDUET OTMETITX, ^TO DLQ Q]I^NOJ TOPOLOGII NE IMEET MESTA ANALOG TEOREMY tIHONOWA. N | DEKARTOWO PROIZWEDE12.14. pRIMER. rASSMOTRIM MNOVESTWO R NIE S^ETNOGO ^ISLA \KZEMPLQROW DEJSTWITELXNOJ OSI R . zADADIM OTOBRAVENIE f FORMULOJ: f : R ;! R N : x 7! (x x : : : ):
81
pUSTX, KAK OBY^NO, pn | PROEKCIQ MNOVESTWA R N NA n-E KOORDINATNOE PROSTRANSTWO, n 2 N . zAMETIM, ^TO FUNKCIQ pn f : R 1 ;! R 1 NEPRERYWNA DLQ KAVDOGO n. sLEDOWATELXNO, PO TEOREME 12.10, FUNKCIQ f NEPRERYWNO OTOBRAVAET PROSTRANSTWO R 1 W R N S TOPOLOGIEJ PROIZWEDENIQ. pRI \TOM f NE QWLQETSQ NEPRERYWNYM OTOBRAVENIEM IZ R 1 W PROSTRANSTWO R N S Q]I^NOJ TOPOLOGIEJ. dEJSTWITELXNO, RASSMOTRIM \LEMENT O :=
Y(; 1 1 )
n2N
n n
BAZY Q]I^NOJ TOPOLOGII. nETRUDNO WIDETX, ^TO POLNYJ PROOBRAZ f ;1(O) = f0g NE QWLQETSQ OTKRYTYM MNOVESTWOM W PROSTRANSTWE R 1 .
82
13.
oDNOTO^E^NAQ KOMPAKTIFIKACIQ.
iZU^AEMYE W ANALIZE PROSTRANSTWA DEJSTWITELXNYH I KOMPLEKSNYH ^ISEL NE QWLQ@TSQ KOMPAKTNYMI. w SWQZI S \TIM ESTESTWENNO WWESTI W RASSMOTRENIE NOWYJ KLASS TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW, KOTORYJ SODERVAL BY, W ^ASTNOSTI, WSE KONE^NOMERNYE EWKLIDOWY PROSTRANSTWA. 13.1. oPREDELENIE. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO X NAZYWAETSQ LOKALXNO KOMPAKTNYM, ESLI U KAVDOJ TO^KI x 2 X SU]ESTWUET TAKAQ OKRESTNOSTX U , ^TO U QWLQETSQ KOMPAKTNYM PODPROSTRANSTWOM PROSTRANSTWA X . 13.2. pRIMERY. 1) kAVDOE KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO LOKALXNO KOMPAKTNO. 2) pROSTRANSTWA R n NE KOMPAKTNYE LOKALXNO KOMPAKTNYE PROSTRANSTWA. 3) dISKRETNOE TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO LOKALXNO KOMPAKTNO. 4) pODPROSTRANSTWO RACIONALXNYH ^ISEL PROSTRANSTWA DEJSTWITELXNYH ^ISEL NE LOKALXNO KOMPAKTNO. tAKIM OBRAZOM, SWOJSTWO LOKALXNOJ KOMPAKTNOSTI NE QWLQETSQ NASLEDSTWENNYM. 5) bESKONE^NOMERNOE BANAHOWO (W ^ASTNOSTI, GILXBERTOWO) PROSTRANSTWO NE LOKALXNO KOMPAKTNO. 6) pROSTRANSTWO MAKSIMALXNYH IDEALOW (NADELENNOE SLABOJ TOPOLOGIEJ) KOMMUTATIWNOJ BANAHOWOJ ALGEBRY | LOKALXNO KOMPAKTNOE, A W SLU^AE UNITALXNOJ ALGEBRY | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO. p.s. aLEKSANDROWYM BYLA PREDLOVENA KONSTRUKCIQ, KOTORAQ POZWOLQET RASSMATRIWATX LOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO KAK PODPROSTRANSTWO KOMPAKTNOGO PROSTRANSTWA. tAKOE KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO POLU^AETSQ IZ DANNOGO LOKALXNO KOMPAKTNOGO PROSTRANSTWA PRISOEDINENIEM ODNOJ TO^KI. nIVE MY OPIEM \TU KONSTRUKCI@. pUSTX (X ) | LOKALXNO KOMPAKTNOE HAUSDORFOWO TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO. wWEDEM W RASSMOTRENIE MNOVESTWO X1 := X f1g POLU^AEMOE IZ X PRISOEDINENIEM NEKOTOROGO \LEMENTA 1, KOTORYJ NE PRINADLEVIT MNOVESTWU X . |LEMENT 1 OBY^NO NAZYWAETSQ BESKONE^NO UDALENNOJ TO^KOJ. oBOZNA^IM ^EREZ 1 SEMEJSTWO PODMNOVESTW MNOVESTWA X1, WKL@^A@]EE W SEBQ WSE MNOVESTWA IZ TOPOLOGII I WSEWOZMOVNYE MNOVESTWA WIDA X1 nK GDE K | KOMPAKTNOE PODPROSTRANSTWO PROSTRANSTWA X . 13.3. uTWERVDENIE. pARA (X1 1) QWLQETSQ KOMPAKTNYM HAUSDORFOWYM TOPOLOGI^ESKIM PROSTRANSTWOM. dOKAZATELXSTWO. {AG 1. sEMEJSTWO 1 QWLQETSQ TOPOLOGIEJ. O1) tAK KAK ? 2 1 I X1 = X n ?: 83
O2) pROWERKA TOGO FAKTA, ^TO PERESE^ENIE DWUH MNOVESTW IZ 1 PRINADLEVIT 1, SOSTOIT IZ TREH SLU^AEW:
U1 U2 2 =) U1 \ U2 2 1 (X1 n K1 ) \ (X1 n K2 ) = X1 n (K1 K2) 2 1 U \ (X1 n K ) = U \ (X n K ) 2 1 TAK KAK KOMPAKTNOE MNOVESTWO K ZAMKNUTO W HAUSDORFOWOM TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE X , A, ZNA^IT, MNOVESTWO (X n K ) OTKRYTO W X . O3) aNALOGI^NO, NA TRI SLU^AQ RAZBIWAETSQ PROWERKA TOGO, ^TO OB_EDINENIE PROIZWOLXNOGO SEMEJSTWA PODMNOVESTW IZ 1 QWLQETSQ \LEMENTOM SEMEJSTWA 1. {AG 2. pROSTRANSTWO (X1 1) KOMPAKTNO. pUSTX O := fO : 2 O 2 1g | PROIZWOLXNOE OTKRYTOE POKRYTIE PROSTRANSTWA X1. sU]ESTWUET TAKOJ INDEKS 2 , ^TO 1 2 O: iZ OPREDELENIQ TOPOLOGII 1 SLEDUET, ^TO MNOVESTWO K := X1 n O X KOMPAKTNO W PROSTRANSTWE X . nETRUDNO WIDETX, ^TO NAJDETSQ KONE^NOE PODSEMEJSTWO fO1 O2 : : : On g SEMEJSTWA O, QWLQ@]EESQ POKRYTIEM K . tOGDA PRISOEDINQQ K \TOMU SEMEJSTWU MNOVESTWO O, POLU^AEM KONE^NOE POKRYTIE PROSTRANSTWA (X1 1). zNA^IT, (X1 1) KOMPAKTNO. {AG 3. pROSTRANSTWO (X1 1) HAUSDORFOWO. pUSTX x I y | DWE RAZLI^NYE TO^KI PROSTRANSTWA X1: w SILU OTDELIMOSTI PROSTRANSTWA X DOSTATO^NO RASSMOTRETX SLU^AJ x 2 X I y = 1. pOSKOLXKU X LOKALXNO KOMPAKTNO, TO SU]ESTWUET TAKAQ OKRESTNOSTX O TO^KI x W PROSTRANSTWE X , ^TO MNOVESTWO O KOMPAKTNO. tOGDA O I (X n O) f1g NEPERESEKA@]IESQ OKRESTNOSTI TO^EK x I y SOOTWETSTWENNO. uTWERVDENIE DOKAZANO. 13.4. oPREDELENIE. pROSTRANSTWO (X1 1 ) NAZYWAETSQ ODNOTO^E^NOJ, ILI ALEKSANDROWSKOJ, KOMPAKTIFIKACIEJ PROSTRANSTWA X . 13.5. oPREDELENIQ. oTOBRAVENIE f : X ; ! Y NAZYWAETSQ GOMEOMORFNYM, ILI TOPOLOGI^ESKIM, WLOVENIEM, ESLI ONO QWLQETSQ KOMPOZICIEJ GOMEOMORFIZMA I WLOVENIQ, TO ESTX ESLI SU]ESTWU@T PODPROSTRANSTWO B PROSTRANSTWA Y I GOMEOMORFIZM g : X ;! B , TAKIE, ^TO f = inB g, GDE inB | WLOVENIE B W Y (SM. 8.6). eSLI DLQ PROSTRANSTWA X SU]ESTWUET GOMEOMORFNOE WLOVENIE f : X ;! Y W PROSTRANSTWO Y , TO GOWORQT, ^TO X WLOVIMO W Y . 13.6. uPRAVNENIQ. 1) nEPRERYWNOE IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE IZ
KOMPAKTNOGO PROSTRANSTWA W HAUSDORFOWO TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO 84
QWLQETSQ GOMEOMORFNYM WLOVENIEM. 2) kOMPOZICIQ GOMEOMORFNYH WLOVENIJ QWLQETSQ GOMEOMORFNYM WLOVENIEM. 3) eSLI PROSTRANSTWO X WLOVIMO W PROSTRANSTWO Y I, NAOBOROT, Y WLOVIMO W X , TO IZ \TOGO NE SLEDUET, ^TO PROSTRANSTWA X I Y GOMEOMORFNY. 13.7. oPREDELENIE. pARA (Y c) GDE Y | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO, A c : X ;! Y | GOMEOMORFNOE WLOVENIE PROSTRANSTWA X W Y , TAKOE, ^TO c(X ) = Y , NAZYWAETSQ KOMPAKTIFIKACIEJ PROSTRANSTWA X. tEPERX SFORMULIRUEM TEOREMU O SWOJSTWAH ALEKSANDROWSKOJ KOMPAKTIFIKACII. 13.8. tEOREMA. kAVDOE LOKALXNO KOMPAKTNOE HAUSDORFOWO PROSTRANSTWO (X ) MOVNO GOMEOMORFNO WLOVITX W NEKOTOROE KOMPAKTNOE HAUSDORFOWO TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO (X1 1), PRI^EM TAK, ^TOBY DOPOLNENIE OBRAZA X W X1 BYLO ODNOTO^E^NYM. pRI \TOM, ESLI f1 : X ;! Y1 I f2 : X ;! Y2 | DWA TAKIH WLOVENIQ, TO SU]ESTWUET EDINSTWENNYJ GOMEOMORFIZM g : Y1 ;! Y2, TAKOJ, ^TO DIAGRAMMA X
; @@ @f2 @@R - Y2 g
f1;;
Y1
;;
KOMMUTATIWNA, T.E. g f1 = f2. 13.9. pRIMER. oKRUVNOSTX QWLQETSQ ODNOTO^E^NOJ KOMPAKTIFIKACIEJ WE]ESTWENNOJ PRQMOJ. 13.10. sLEDSTWIE. hAUSDORFOWO PROSTRANSTWO LOKALXNO KOMPAKTNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONO GOMEOMORFNO OTKRYTOMU PODMNOVESTWU KOMPAKTNOGO HAUSDORFOWA PROSTRANSTWA.
85
lITERATURA 1. aLEKSANDROW p.s. wWEDENIE W TEORI@ MNOVESTW I OB]U@ TOPOLOGI@ | m.: nAUKA, 1977. 2. aRHANGELXSKIJ a.w. kANTOROWSKAQ TEORIQ MNOVESTW. | m.: iZD-WO mgu, 1988. 3. aRHANGELXSKIJ a.w., pONOMAREW w.i. oSNOWY OB]EJ TOPOLOGII W ZADA^AH I UPRAVNENIQH. | m.: nAUKA, 1974. 4. gELBAUM b., oLMSTED dV. kONTRPRIMERY W ANALIZE. | m.: mIR, 1967. 5. kELLI dV.l. oB]AQ TOPOLOGIQ. | m.: nAUKA, 1981. 6. kURATOWSKIJ k., mOSTOWSKIJ a. tEORIQ MNOVESTW. | m.: mIR, 1970. 7. fRENKELX a., bAR-hILLEL i. oSNOWANIQ TEORII MNOVESTW. | m.: mIR, 1966. 8. {ERSTNEW a.n. kONSPEKT LEKCIJ PO MATEMATI^ESKOMU ANALIZU. | kAZANX: iZD-WO kgu, 2005. 9. |NGELXKING r. oB]AQ TOPOLOGIQ. | m.: mIR, 1986.
86
pREDMETNYJ UKAZATELX lEMMA O SKLEJKE 8.7 - lEBEGA 10.30 - uRYSONA 9.1 - cORNA 0.11 mAVORANTA 0.8 mETRIKA DISKRETNAQ 1.2 - INDUCIROWANNAQ 1.1 mNOVESTWO WPOLNE OGRANI^ENNOE
aKSIOMA WYBORA 0.1, 0.3, 05 - kOLMOGOROWA 6.2 - OTDELIMOSTI Tn 6.2 - S^
10.27
- WPOLNE UPORQDO^ENNOE 0.8 - WS@DU PLOTNOE 2.35 - ZAMKNUTOE 2.8 - KOMPAKTNOE 10.4 - KONFINALXNOE 7.17 - NAPRAWLENNOE 7.8 - NIGDE NE PLOTNOE 2.35 - OTKRYTOE 1.6, 2.1 - OTKRYTO-ZAMKNUTOE 2.9 - PROIZWODNOE 2.12 - SWQZNOE 5.5 - UPORQDO^ENNOE 0.6 - - LINEJNO (SOWERENNO) 0.6 nAPRAWLENNOSTX 7.10 - UNIWERSALXNAQ 7.28 nASLEDSTWENNOE SWOJSTWO 4.6 oKRESTNOSTX 2.6 - PODMNOVESTWA 6.1 oTDELENNYE MNOVESTWA 4.12 oTNOENIE PORQDKA 0.6 - \KWIWALENTNOSTI 0.6 oTOBRAVENIE ZAMKNUTOE 8.12
8.6
- GOMEOMORFNOE (TOPOLOGI^ESKOE) 13.5 wNUTRENNOSTX MNOVESTWA 2.28 gOMEOMORFIZM 8.14 gOMEOMORFNYE PROSTRANSTWA 8.14 gRANICA MNOVESTWA 2.31 dWOETO^IE 2.2 dEKARTOWO PROIZWEDENIE 0.4 dISKRETNAQ TOPOLOGIQ 2.2 zAMYKANIE 2.19 iZOMETRIQ 1.3 iZOMETRI^NYE PROSTRANSTWA 1.4 iNWARIANT METRI^ESKIJ 1.5 - TOPOLOGI^ESKIJ 8.18 kOMPAKTIFIKACIQ 13.7 - ODNOTO^E^NAQ 13.4 kOMPONENTA PODMNOVESTWA 5.16 - PROSTRANSTWA 5.16 87
- OTDELIMAQ 6.7 - POROVDENNAQ BAZOJ 3.6 - - METRIKOJ 2.2 - - PREDBAZOJ 3.13 - - SISTEMOJ OKRESTNOSTEJ 3.26 - PORQDKOWAQ 3.14 - PROIZWEDENIQ 12.5 - SLABAQ 3.27 - TIHONOWSKAQ 12.5 - FINALXNAQ 11 - HAUSDORFOWA 6.7 - Q]I^NAQ 12.13 tO^KA WNUTRENNQQ 2.27 - IZOLIROWANNAQ 2.16 - PREDELXNAQ 2.12 - - NAPRAWLENNOSTI 7.22 - PRIKOSNOWENIQ 2.16 tRANSFINITNAQ INDUKCIQ 0.12 fILXTR 7.31 cENTRIROWANNOE SEMEJSTWO 10.12 ~ISLO lEBEGA 10.30 |KWIWALENTNYE BAZY 3.10 - METRIKI 1.9 |LEMENT MAKSIMALXNYJ 0.8 - NAIBOLXIJ 0.8 - NAIMENXIJ 0.8
- OTKRYTOE 8.12 - NEPRERYWNOE 8.1
pLOSKOSTX nEMYCKOGO 3.27 pODNAPRAWLENNOSTX 7.15 pODPROSTRANSTWO 4.1 pOKRYTIE 10.1 pORQDOK 0.6 pREDBAZA W TO^KE 3.22 - PROSTRANSTWA 3.12 pREDEL NAPRAWLENNOSTI 7.12 pROSTRANSTWO KOMPAKTNOE 10.2 - LOKALXNO KOMPAKTNOE 13.1 - METRIZUEMOE 2.4 - METRI^ESKOE 1.1 - - DISKRETNOE 1.2 - NESWQZNOE 5.1 - NORMALXNOE 6.15 - OTDELIMOE 6.7 - PREDKOMPAKTNOE 10.24 - REGULQRNOE 6.11 - SWQZNOE 5.1 - SEPARABELXNOE 2.37 - Tn 6.2 - HAUSDORFOWO 6.7 pRQMAQ zORGENFREQ 3.9 pUTX 8.19 sISTEMA OKRESTNOSTEJ 3.23 tEOREMA b\RA 1.19, 2.40 - wEJERTRASSA 10.17 - tITCE-uRYSONA 9.7 - tIHONOWA 12.12 - cERMELO 0.11 tOPOLOGI^ESKOE PROIZWEDENIE 12.5 - PROSTRANSTWO 2.1 - SWOJSTWO 8.18 tOPOLOGIQ 2.1 - zARISSKOGO 2.2 - INICIALXNAQ 11 - INDUCIROWANNAQ 4.1 88
sODERVANIE
0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.
pREDISLOWIE sWEDENIQ IZ TEORII MNOVESTW mETRI^ESKIE PROSTRANSTWA pONQTIE TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA bAZY TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA iNDUCIROWANNAQ TOPOLOGIQ I PODPROSTRANSTWA sWQZNYE PROSTRANSTWA aKSIOMY OTDELIMOSTI sHODIMOSTX W TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTWAH nEPRERYWNYE OTOBRAVENIQ. gOMEOMORFIZMY lEMMA uRYSONA. tEOREMA tITCE - uRYSONA kOMPAKTNYE PROSTRANSTWA iNICIALXNAQ I FINALXNAQ TOPOLOGII pROIZWEDENIE PROSTRANSTW. tEOREMA tIHONOWA oDNOTO^E^NAQ KOMPAKTIFIKACIQ lITERATURA pREDMETNYJ UKAZATELX
89
3 4 10 16 25 32 37 42 47 55 64 68 75 78 83 86 87
.
gUMEROW rENAT nELXSONOWI^ u^EBNO - METODI^ESKOE POSOBIE
