Стратегические игры: Методические указания к лабораторной и самостоятельной работе студентов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Оренбургский государственный университет" Кафедра математических методов и моделей в экономике

М.Ю. НЕСТЕРЕНКО, О.Н. ЯРКОВА, Л.Н. ИВАНОВА

СТРАТЕГИЧЕСКИЕ ИГРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ И САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения "Оренбургский государственный университет"

Оренбург 2004

ББК 22.18+65я73 Н 55 УДК 519.83:33(075.8)

Рецензент кандидат технических наук, доцент А.Г. Реннер

Нестеренко М.Ю., Яркова О.Н., Иванова Л.Н. Н 55 Стратегические игры: Методические указания к лабораторной и самостоятельной работе студентов. Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004. 21с.

Методические указания предназначены для выполнения лабораторной работы по курсу теория игр и могут быть использованы в самостоятельной работе студентов при изучении курсов теория принятия решений и управления риском, теория риска и моделирование рисковых ситуаций, математические методы и модели в экономике.

ББК

22.18+65я73

Нестеренко М.Ю.,2004 Яркова О.Н.,2004 Иванова Л.Н., 2004 ГОУ ОГУ, 2004 2

Введение В настоящее время процессы принятия решений в условиях рыночной (конкурентной) экономики осуществляются с предварительным моделированием. Особое место занимает игровое моделирование при решении вопросов о выборе стратегии поведения в условиях конкуренции, риска, многошаговости принимаемых решений, конфликта и т.д. Стратегическими играми моделируются конфликтные ситуации с участием двух лиц, когда выигрыш одного игрока равен проигрышу другого, и каждый заинтересован в увеличении своего выигрыша. На основе решения стратегической игры можно построить оптимальные стратегии поведения участников экономической ситуации и оценить их ожидаемый выигрыш. Ставится задача построить модель экономической ситуации в виде стратегической игры, решить ее и дать экономическую интерпретацию решения. Целью настоящей лабораторной работы является освоение методов принятия решений на основе стратегических игр.

3

1 Описание лабораторной работы №1 Лабораторная работа включает следующие этапы: - постановку задачи; - ознакомление с порядком выполнения работы в программном комплексе (ПК) "Методы принятия решений"; - построение игровой модели и проведение расчетов для индивидуальных задач; - подготовку письменного отчета; - защиту лабораторной работы.

2 Постановка задачи Для экономической ситуации построить игровую модель и найти оптимальные стратегии, для этого: - определить множество стратегий каждого игрока; - построить матрицу выигрышей или матрицу игры; - найти оптимальные стратегии игроков (чистые или смешанные); - дать экономическую интерпретацию полученного решения. Замечания 1 Данная лабораторная работа выполняется с помощью ПК "Методы принятия решений".

3 Порядок выполнения работы в ПК «Методы принятия решений» Рассмотрим задачу: Фирма изготавливает железобетонные панели, используя в качестве основного сырья цемент. В связи с неопределенным спросом на изделия потребность в сырье в течение месяца так же не определена. Цемент поставляется в мешках, причем известно, что потребность может составлять D1, D2, … Dn мешков. Резервы сырья на складе могут составлять R1, R2, …Rm мешков в месяц. Учитывая, что удельные затраты на хранение сырья равны c1, а удельные издержки дефицитности сырья (потери, связанные с отсутствием необходимого количества цемента на складе) равны c2, определить оптимальную стратегию управления запасами цемента на складе. Рассмотрим частный случай n=3, m=3. D={1, 2, 3} тыс. мешков; R={1, 2, 3} тыс. мешков; с1=5 тыс. рублей/тыс. мешков, с2=3 тыс. рублей/тыс. мешков. Построим для рассмотренной ситуации математическую модель в виде стратегической игры с нулевой суммой. 1) Множество игроков – {I, II} , где I игрок – фирма, 4

II игрок – рынок. 2) Множество стратегий первого игрока (фирмы) – {R1, R2,R3}, где Ri – резервы мешков в месяц, i=1..3; Множество стратегий второго игрока (рынка) - {D1, D2, D3} где Dj потребность мешков в месяц, j=1..3. 3) Стратегическая игра с нулевой суммой может быть представлена матрицей выигрышей, элементы которой определяются функцией выигрыша для первого игрока:

( D j − Ri ) * c2 , M (i, j ) = (−1) *  ( Ri − D j ) * c1 ,

D j ≥ Ri ; D j < Ri ,

где множитель (-1) указывает на отрицательный выигрыш 1-го игрока (фирмы), т.е. его потери. Вычислим элементы матрицы выигрышей первого игрока: D 1 тыс.

2 тыс.

3 тыс.

R 1 тыс. -(1-1)*3=0 -(2-1)*3=-3 -(3-1)*3=-6 2 тыс. -(2-1)*5=-5 -(2-2)*3=0 -(3-2)*3=-3 3 тыс. -(3-1)*5=-10 -(3-2)*5=-5 -(3-3)*3=0 Найдем оптимальные стратегии, используя ПК "Методы принятия решений". Запуск программы производится командным файлом GAME_PROJ.EXE.

В ПК предусмотрены следующие режимы работы: «Обучение», «Контроль», «Счет». Для освоения методов решения игры целесообразно использовать режим «Обучение». Для начала обучения необходимо, либо в меню «Режим» выбрать команду «Обучение», либо щелкнуть левой кнопкой мыши на функциональной кнопке «Обучение». Откроется окно «Выбор вида игры», после чего выберите пункт «Стратегические игры». 5

Затем появится новое окно «Теория игр – [Стратегические игры]».

Во время обучения пользователь может воспользоваться подсказкой о дальнейшем действии в виде строки текста появляющейся около указателя мыши. Далее вам необходимо ввести матрицу выигрышей, для этого нажмите кнопку «Ввод матрицы», при этом откроется окно для ввода матрицы. Здесь необходимо указать какой вид матрицы вы желаете ввести (следует выбрать матрицу выигрышей), число стратегий каждого из игроков и элементы матрицы. Не нарушая общности рассуждений, преобразуем исходную матрицу к матрице с положительными элементами. Для этого прибавим к каждому элементу матрицы максимальное (по модулю) значение выигрыша, увеличенное на единицу, тогда получим положительную матрицу с элементами:

M ij* = M ij + max(| M ij |) + 1 i, j

11 8 5    M * =  6 11 8   1 6 11   6

Данные сведения вы можете сохранить в файле или извлечь из ранее сохраненного файла, для этого следует нажать соответствующие кнопки в верхней строке окна. Затем нажмите кнопку «Далее». В окне «Теория игр – [Стратегические игры]» вычислены минимальные значения для каждой строки – αi, и максимальные для каждого столбца – βj.

Выберите пункт меню «Начать обучение», появится окно, в котором требуется выбрать, в каких стратегиях следует искать решение. Для этого определим нижнюю цену игры -

α = max α i = max {5, 6,1} = 6

и

верхнюю

цену

игры

i

β = min β j = min {11,11,11} = 11. Так как

α ≠ β , следовательно,

j

седловой точки в чистых стратегиях не существует, и решение следует искать в смешанных стратегиях. 7

Выбрав нужный пункт, нажмите кнопку «Далее». Появится окно «Построение задачи линейного программирования», в котором необходимо построить задачу линейного программирования для второго игрока. В режиме обучения можно воспользоваться подсказками, подводя указатель мыши к ячейкам.

После ввода необходимых данных, нажмите кнопку «Далее». В следующем окне вам нужно вычислить цену игры и элементы вектора смешанных стратегий для второго игрока. В режиме обучения выводится подсказка с вычисленными значениями, и вы можете проверить свои расчеты.

8

Затем необходимо построить задачу линейного программирования для нахождения стратегий первого игрока. Для этого достаточно сформулировать задачу, двойственную задаче линейного программирования для нахождения стратегий второго игрока и заполнить аналогичным образом все необходимые данные.

Далее вычислите цену игры и элементы вектора смешанных стратегий 1го игрока.

9

Если вы строго следовали рекомендациям подсказок и верно ввели все данные, то в результате вы увидите окна:

На этом обучение закончено и в окне «Комментарий» выведен список ваших ошибок. Для начала контроля необходимо, либо в меню «Режим» выбрать команду «Контроль», либо щелкнуть левой кнопкой мыши на функциональной кнопке «Контроль». В режиме контроля подсказки не выводятся, а по окончании работы в журнал заносится оценка. Для запуска программы в режиме «Счет» необходимо, либо в меню «Режим» выбрать команду «Счет», либо щелкнуть левой кнопкой мыши на функциональной кнопке «Счет». Затем введите матрицу игры, выбрав пункт меню–«Ввод матрицы», и выберите пункты меню – «Мажорирование», если вы желаете, что бы программа удалила все мажорируемые стратегии и/или «Выполнить расчет». Результат расчета выводится в нижней части окна.

10

Для нашей задачи результаты расчета будут следующие: Вектор смешанных стратегий I-го игрока: 0.623 0.00 0.377 Вектор смешанных стратегий II-го игрока: 0.377 0.00 0.623 Так как матрица выигрышей перед началом решения задачи была преобразована, то вычислим цену игры по формуле υ = υ * − max(| M ij |) − 1 = 7.246-11=-3.754 Анализ результатов: Полученные результаты можно трактовать следующим образом: 1- в 62,3 % случаев следует выбрать стратегию R1, т.е. хранить 1 тыс. мешков, и в 37,7 % случаев – стратегию R3, т.е. хранить 3 тыс. мешков, при многократном повторении ситуации. 2- следует хранить 0,623*1тыс.+0,373*3тыс.= 1,742 тыс. мешков. Независимо от трактовки смешанной стратегии потери фирмы в среднем составят 3,754 тыс. рублей.

4 Содержание письменного отчета 1 Постановка задачи. 2 Краткое изложение теоретического материала по теме "Игровое моделирование и стратегические игры". 3 Результаты моделирования в виде стратегической игры. 4 Решение игры с помощью ПК "Методы принятия решений". 5 Анализ полученных результатов и выводы.

5 Вопросы к защите лабораторной работы 1 В каких случаях применяется игровое моделирование? 2 Какие существуют виды игр? 3 Что называется стратегией игрока? 11

4 5 6 7 8 9

12

Что означают элементы матрицы игры? Как найти нижнюю, верхнюю цены в матричной игре? Сформулируйте условие существования седловой точки. Что такое смешанная стратегия? Какие стратегии называются доминирующими и доминируемыми? Каким образом матричная игра может быть сведена к задаче линейного программирования?

Список использованных источников 1 Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе : Учеб. пособие для вузов / А.М. Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталев, Т.П. Барановская; Под ред. Б.А. Лагоши.-2-е изд., перераб. и доп. М.: Финансы и статистика, 2003 - 224 с. 2 Протасов И.Д. Теория игр и исследование операций : Учеб. пособие / И.Д. Протасов. - М.: Гелиос АРВ, 2003 - 368с. 3 Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 1986 – 320 4 Иванова Л.Н., Реннер А.Г., Сафиуллин Ф.И. Методические указания к решению типовых задач по курсу "Теория игр". Оренбург : ОГУ, 1999. - 34с 5 Математическое программирование: Задачи. Алгоритмы. Программная реализация: Учеб. пособие / А.Г.Реннер, Ю.Н.Пивоваров, В.Н.Тарасов. - Оренбург : ОГУ, 1999. - 146с. 6 Реннер А.Г., Нестеренко М.Ю. Методы принятия решения: Автоматизированное пособие, Оренбург, 2003г.

13

Приложение А (обязательное) Задачи для самостоятельного решения Задача 1 Пусть на рынке располагаются 2 фирмы: лизинговая компания «Оренбурглизинг» и предприятие ОАО «Орскток», которое нуждается в новом оборудовании. Компания «Оренбурглизинг» может предоставить оборудование в лизинг-а1, предоставить денежные средства в кредит-а2, сдать оборудование на прокат-а3 или продать данное оборудование-а4. А предприятие ОАО «Орскток» может купить необходимое оборудование за счет собственных средств-b1, взять оборудование в лизинг-b2, взять кредит у компании «Оренбурглизинг» для покупки оборудования-b3 или взять оборудование на прокат-b4. Выигрыши компании «Оренбурглизинг» заданы в таблице. Определить оптимальные стратегии участников рынка и дать экономическую интерпретацию результата. Таблица А.1 Вар1 a1 a2 a3 a4 Вар3 a1 a2 a3 a4 Вар5 a1 a2 a3 a4 Вар7 a1 a2 a3 a4

14

b1 7 -3 4 -8 b1 17 24 4 15 b1 27 33 14 31 b1 21 11 18 -10

b2 8 5 1 8 b2 11 23 1 22 b2 28 58 -11 -22 b2 8 -40 10 5

b3 10 -4 6 1 b3 7 8 6 -8 b3 40 44 68 1 b3 3 10 33 8

b4 15 4 8 4 b4 5 14 8 11 b4 31 48 83 40 b4 -13 18 38 44

Вар2 a1 a2 a3 a4 Вар4 a1 a2 a3 a4 Вар6 a1 a2 a3 a4 Вар8 a1 a2 a3 a4

b1 12 6 8 -1 b1 77 -33 44 -81 b1 21 16 8 -1 b1 200 65 88 41

b2 8 4 1 5 b2 80 56 14 88 b2 -8 40 1 5 b2 1 44 1 50

b3 30 -10 3 12 b3 100 -43 67 15 b3 3 10 -3 6 b3 30 10 -3 60

b4 11 8 -3 4 b4 131 33 83 41 b4 -13 18 -3 40 b4 -13 18 -3 40

Продолжение таблицы А.1 Вар9 b1 b2 b3 a1 1 -8 -3 a2 6 4 1 a3 8 1 -3 a4 -1 5 -6 Вар11 b1 b2 b3 a1 -1 -1 2 a2 3 1 2 a3 1 0 -1 a4 1 -1 1 Вар13 b1 b2 b3 a1 0 0 3 a2 6 4 -10 a3 -8 1 -3 a4 10 5 6 Вар15 b1 b2 b3 a1 1 -8 3 a2 1 4 11 a3 -1 1 -3 a4 -1 5 6

b4

Вар10

3 1 3 4

a1 a2 a3 a4 b4

2 3 -2 3 b4 -13 1 -3 48 b4 0 8 0 0

Вар12 a1 a2 a3 a4 Вар14 a1 a2 a3 a4

b1 21 60 83 1 b1 210 160 80 -10 b1 21 10 80 20

b2 80 40 100 5 b2 -80 400 10 50 b2 -8 4 0 50

b3 -3 10 13 -6 b3 30 100 -30 60 b3 0 0 -3 6

b4 -130 18 30 40 b4 -130 180 -30 400 b4 -3 18 -3 10

Задача 2 Выбрать оптимальный набор компьютеров для новой системы ЭВМ, которая может состоять из четырех типов ЭВМ - А1, А2, А3 и А4. При использовании ЭВМ типов А1, А2, А3 и А4 в зависимости от характера решаемых задач В1, В2, В3 и В4 будет разный эффект. Выигрыши от внедрения каждого типа ЭВМ, с учетом затрат на внедрение каждого типа, заданы в таблице. Найти оптимальный состав новой системы. Таблица А.2 Вар1 А1 А2 А3 А4 Вар3 А1 А2 А3 А4

В1

В2

В3

В4

15 10 46 28 В1 26 1 4 8

2 19 3 9 В2 5 15 4 25

1 24 39 39 В3 32 1 7 9

6 4 10 15 В4 24 6 3 14

Вар2 А1 А2 А3 А4 Вар4 А1 А2 А3 А4

В1

В2

В3

В4

2 4 8 10 В1 11 4 6 15

4 26 1 15 В2 3 2 16 8

11 15 3 6 В3 5 6 14 17

6 10 1 9 В4 29 3 6 5 15

Продолжение таблицы А.2 В1 Вар5 В2 А1 2 4 А2 15 8 А3 30 15 40 10 А4 Вар7 В1 В2 А1 1 5 А2 3 6 А3 4 14 8 2 А4 Вар9 В1 В2 А1 21 13 А2 34 14 А3 46 30 15 20 А4 Вар11 В1 В2 А1 2 15 А2 4 16 А3 6 22 8 44 А4 Вар13 В1 В2 А1 44 23 А2 37 2 А3 28 4 34 15 А4 Вар15 В1 В2 А1 45 21 А2 30 4 А3 27 5 35 10 А4

В3 6 14 23 11 В3 46 2 15 11 В3 1 8 37 42 В3 41 3 28 15 В3 28 16 17 31 В3 2 3 2 6

В4 41 4 17 8 В4 9 8 14 19 В4 17 15 26 41 В4 47 3 2 6 В4 44 47 59 4 В4 4 10 15 2

Вар6 А1 А2 А3 А4 Вар8 А1 А2 А3 А4 Вар10 А1 А2 А3 А4 Вар12 А1 А2 А3 А4 Вар14 А1 А2 А3 А4

В1 21 15 1 9 В1 26 34 2 16 В1 24 3 7 12 В1 1 13 22 34 В1 44 37 28 34

В2 7 1 2 3 В2 19 28 46 31 В2 8 22 15 16 В2 28 3 15 40 В2 23 2 4 15

В3 41 34 25 2 В3 4 6 15 10 В3 2 27 36 14 В3 14 46 38 2 В3 1 3 2 6

В4 6 18 3 4 В4 9 8 1 42 В4 25 17 10 40 В4 4 6 8 10 В4 4 5 8 10

Задача 3 Фирма изготовляет железобетонные панели, используя в качестве основного сырья цемент. В связи с неопределенным спросом на изделия потребность в сырье в течение месяца также не определена. Цемент поставляется в мешках, причем известно, что потребность может составлять D1, D2,…, Dn мешков. Резервы сырья на складе могут составлять R1, R2,…,Rn мешков в месяц. Учитывая, что удельные затраты на хранение сырья равны c1, а удельные издержки дефицитности сырья (потери, связанные с отсутствием необходимого количества цемента на складе) равны c2, определить оптимальную стратегию управления запасами цемента на складе. 16

Таблица А.3 Вар. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

5 5 5 5 4 4 5 5 5 5 4 4 5 5 5

c1

c2

D

R

5 2 4 1 2 3 2 6 3 1 4 1 6 2 1

3 1 3 2 1 4 5 5 8 4 5 2 3 3 6

D=(1, 2, 3, 4, 5) D=(1, 3, 4, 5, 7) D=(1, 3, 5, 6, 9) D=(1, 2, 3, 4, 5) D=(1, 4, 5, 9) D=(3, 4, 6, 7) D=(1, 2, 3, 4, 7) D=(3, 4, 5, 9, 11) D=(1, 2, 3, 4, 5) D=(1, 2, 3, 4, 5) D=(6, 9, 11, 13) D=(5, 6, 7, 8) D=(3, 4, 5, 2, 7) D=(5, 7, 8, 9,10 ) D=(2, 3, 6, 9, 12)

R=(1, 2, 3, 4, 5) R=(1, 2, 3, 4, 5) R=(1, 4, 3, 7, 8) R=(2, 3, 4, 5, 6) R=(1, 3, 5, 10) R=(2, 5, 7, 8) R=(1, 4, 3, 6, 8) R=(2, 5, 6, 7, 8) R=(2, 3, 6, 7, 8) R=(1, 2, 3, 4, 5) R=(2, 3, 4, 5) R=(1, 2, 3, 4) R=(2, 3, 5, 6, 10) R=(1, 2, 3, 4, 6) R=(1, 4, 7, 8, 14)

Задача 4. Транспортному предприятию «Х» необходимо определить уровень своих провозных возможностей так, чтобы удовлетворить спрос клиентов на транспортные услуги. Спрос не известен, но ожидается, что он примет одно из четырёх значений. Для каждого уровня спроса существует наилучший уровень провозных возможностей предприятия (с точки зрения затрат). Отклонение от этих уровней приводит к дополнительным затратам. Необходимо определить оптимальную стратегию предприятия, если возможные прогнозируемые затраты на развитие провозных возможностей заданы в таблице А.4. Таблица А.4 Вариант 1 Возможности, тыс. тонн 10 15 20 25

10 6 9 23 27

Варианты спроса, тыс. тонн 15 20 12 20 17 9 15 15 12 21

25 24 28 19 15

17

Продолжение таблицы А.4 Вариант 2 Возможности, тыс. тонн 5 5 7 12 10 19 12 26 17 Вариант 3 Возможности, тыс. тонн 10 10 21 20 27 30 19 40 25 Вариант 4 Возможности, тыс. тонн 12 12 21 17 23 22 10 27 12 Вариант 5 Возможности, тыс. тонн 6 6 20 12 23 18 21 24 19 Вариант 6 Возможности, тыс. тонн 10 10 9 20 21 30 32 40 13 Вариант 7 Возможности, тыс. тонн 10 10 10 12 7 14 21 16 8 18

Варианты спроса, тыс. тонн 12 19 6 9 13 15 8 5 16 14

26 13 19 14 20

Варианты спроса, тыс. тонн 20 30 19 14 17 21 13 18 15 23

40 16 26 15 24

Варианты спроса, тыс. тонн 17 22 27 23 17 14 23 19 25 16

27 21 11 22 18

Варианты спроса, тыс. тонн 12 18 16 13 19 16 15 14 17 18

24 18 21 19 12

Варианты спроса, тыс. тонн 20 30 13 18 19 11 9 14 15 20

40 7 10 12 18

Варианты спроса, тыс. тонн 12 14 12 15 9 17 13 9 5 16

16 19 21 18 11

Продолжение таблицы А.4 Вариант 8 Возможности, тыс. тонн 10 10 31 17 23 24 10 31 28 Вариант 9 Возможности, тыс. тонн 10 10 12 15 14 20 9 25 7 Вариант 10 Возможности, тыс. тонн 10 10 10 20 7 30 12 40 19 Вариант 11 Возможности, тыс. тонн 5 5 8 10 11 15 5 20 16 Вариант 12 Возможности, тыс. тонн 10 10 27 15 13 20 11 25 13 Вариант 13 Возможности, тыс. тонн 6 6 12 10 13 14 11 18 10

Варианты спроса, тыс. тонн 17 24 18 16 13 11 12 15 22 30

31 21 17 14 19

Варианты спроса, тыс. тонн 15 20 11 7 17 12 10 16 13 18

25 9 15 19 17

Варианты спроса, тыс. тонн 20 30 18 13 21 14 11 16 9 22

40 15 17 20 8

Варианты спроса, тыс. тонн 10 15 13 15 14 9 12 10 18 13

20 19 7 17 6

Варианты спроса, тыс. тонн 15 20 18 12 15 19 7 25 9 23

25 21 26 14 17

Варианты спроса, тыс. тонн 10 14 13 16 17 19 12 15 14 17

18 10 11 12 13 19

Продолжение таблицы А.4 Вариант 14 Возможности, тыс. тонн 6 6 17 12 13 18 19 24 27 Вариант 15 Возможности, тыс. тонн 15 15 18 25 12 35 19 45 8

Варианты спроса, тыс. тонн 12 18 7 10 18 21 12 9 21 11

24 14 15 16 17

Варианты спроса, тыс. тонн 25 35 20 14 11 10 13 18 14 7

45 17 9 15 20

Задача 5. Рассмотрим две конкурирующие финансовые компании А и В. Компания В ведет переговоры с организаторами каждого из четырех проектов В1, В2, В3, В4, на предмет инвестирования. Задача компании В – положительный результат переговоров. Компания А ставит своей задачей свести переговоры компании В к отрицательному результату с тем, чтобы занять место компании В в инвестировании. Компания А для достижения своей цели – срыва переговоров компании В, может применить одну из следующих стратегий: А1 – предложить организаторам проектов более выгодные для них условия инвестирования по сравнению с компанией В; А2 – убедить компанию В в нерентабельности проектов В1, В2, В3, В4; А3 – найти и предоставить компромат на компанию В. Стратегии А1, А2, А3 компании А приводят к отрицательному результату переговоров с вероятностями, заданными в таблице А.5. Определить оптимальную стратегию для фирмы А. Таблица А.5 Вар1 А1 А2 А3 Вар3 А1 А2 А3 20

В1 0.7 0.6 0.8 В1 0.3 0.6 0.5

В2 0.5 0.9 0.6 В2 0.5 0.6 0.4

В3 0.3 0.4 0.2 В2 0.8 0.8 0.6

В4 0.1 0.5 0.1 В3 0.3 0.1 0.3

Вар2 А1 А2 А3 Вар4 А1 А2 А3

В1 0.3 0.3 0.3 В1 0.4 0.4 0.5

В2 0.4 0.6 0.6 В2 0.3 0.8 0.5

В3 0.6 0.1 0.4 В2 0.4 0.4 0.3

В4 0.4 0.5 0.5 В3 0.6 0.8 0.8

Продолжение таблицы А.5 Вар5 В1 В2 В3 А1 0.1 0.2 0.4 А2 0.4 0.3 0.3 А3 0.1 0.2 0.4 Вар7 В1 В2 В3 А1 0.5 0.6 0.4 А2 0.5 0.7 0.6 А3 0.4 0.7 0.7 Вар9 В1 В2 В3 А1 0.12 0.57 0.43 А2 0.56 0.32 0.48 А3 0.62 0.67 0.15 Вар11 В1 В2 В3 А1 0.34 0.82 0.12 А2 0.56 0.83 0.43 А3 0.83 0.75 0.12 Вар13 В1 В2 В3 А1 0.43 0.29 0.47 А2 0.23 0.83 0.49 А3 0.83 0.28 0.29 Вар15 В1 В2 В3 А1 0.4 0.1 0.7 А2 0.4 0.2 0.6 А3 0.9 0.4 0.3

В4 0.6 0.7 0.6 В4 0.8 0.4 0.2 В4 0.46 0.48 0.38 В4 0.46 0.37 0.46 В4 0.29 0.47 0.93 В4 0.9 0.8 0.9

Вар6 А1 А2 А3 Вар8 А1 А2 А3 Вар10 А1 А2 А3 Вар12 А1 А2 А3 Вар14 А1 А2 А3

В1 0.75 0.86 0.36 В1 0.35 0.54 0.57 В1 0.1 0.5 0.6 В1 0.3 0.5 0.8 В1 0.4 0.2 0.8

В2 0.31 0.62 0.15 В2 0.83 0.63 0.64 В2 0.2 0.6 0.2 В2 0.4 0.6 0.3 В2 0.3 0.3 0.3

В3 0.69 0.34 0.66 В3 0.66 0.56 0.47 В3 0.5 0.3 0.6 В3 0.8 0.8 0.7 В3 0.2 0.8 0.2

В4 0.45 0.64 0.45 В4 0.81 0.48 0.72 В4 0.7 0.2 0.7 В4 0.2 0.3 0.5 В4 0.9 0.3 0.8

Задача 6 В конфликтной ситуации участвуют две стороны: А – государственная налоговая инспекция; В – налогоплательщик с определенным годовым доходом, налог с которого составляет Т условных денежных единиц. У стороны А два возможных способа поведения. Один из них А1 состоит в контролировании дохода налогоплательщика В и взимании с него: - налога в размере Т, если доход заявлен и соответствует действительности, - налога в размере Т и штрафа в размере К, если заявленный в декларации доход меньше действительного, или в случае сокрытия всего дохода. Второй способ поведения А2 – не контролировать доход налогоплательщика В. У стороны В три стратегии поведения: В1 – заявить о действительном доходе; В2 – заявить доход, меньший действительного, и ,следовательно, 21

налог С с заявленного дохода будет меньше Т; В3 – скрыть доход и не платить налог. Составить матрицу игры и сформулировать задачу линейного программирования для каждого игрока в общем виде. Определить оптимальные стратегии поведения для налоговой инспекции и налогоплательщика для своего варианта. Таблица А.6 Вариант 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

Т

13 14 15 11 12 13 14 15 16 17 11 12 16 17 18

К

20 21 20 21 19 19 20 20 21 21 22 22 22 23 25

С

10 11 10 9

22

9

9

9

10 10 10 9

9

10 10 9