Избранные задачи математической физики

Региональная Архангельская общественная организация “Научно-техническое общество судостроителей имени А.Н. Крылова” Северодвинское отделение Ломоносовского фонда

М.Я. Лауфер

Избранные задачи математической физики Сборник статей

Научные редакторы – руководители правления регионального отделения НТО судостроителей имени академика А.Н. Крылова профессор Ф.Н. Шушарин и доцент В.М. Попов

Автор выражает искреннюю благодарность профессору, доктору технических наук А.Я. Альпину, профессору, доктору технических наук Ю.Я. Иосселю, профессору, доктору физико-математических наук А.М. Протасову, профессору, доктору физико-математических наук В.И. Матвееву за ценные рекомендации при рецензировании отдельных статей настоящего сборника, а также В.Н. Леонтьеву, В.Ф. Усынину, В.А. Потехину за подготовку сборника к печати и выход его в свет.

Филиал “Севмашвтуз” Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования “Санкт-Петербургский государственный морской технический университет” в городе Северодвинске

1

УДК 530+51 ББК 22.311 Л 38

Лауфер М.Я. Избранные задачи математической физики. Сборник статей. Северодвинск: НТО судостроителей имени академика А.Н. Крылова; Севмашвтуз; Северодвинское отделение Ломоносовского фонда, 2005. - 142 с.

Рецензенты: доктор физико-математических наук, проф. В.И. Матвеев (Поморский государств. университет им. М.В. Ломоносова, Архангельск); доктор технич. наук, проф. А.Я. Альпин (ФГУП “ПО “Севмаш”); канд. технич. наук, проф. В.Т. Соколов (Севмашвтуз).

Сборник включает статьи, часть из которых опубликована ранее в отдельных и в настоящее время труднодоступных научных изданиях. Статьи характеризует новизна применяемых математических методов в решении фундаментальных проблем физики, теории колебаний и теории прочности. Например, в некоторых статьях представлен новый, по сравнению с методом Фурье, способ разделения переменных при решении линейных дифференциальных уравнений в частных производных, что позволило сделать своеобразный вывод о природе покраснения световых волн при движении во Вселенной. В одной из статей представлена картина распространения поперечной волны в ином, чем принято в настоящее время, более приближенном к реальности, процессе. Представлено также более полное решение уравнений теории упругости и один из подходов к решению уравнения Риккати.

Лицензия на издательскую деятельность ИД № 01734 от 2000 года ISBN 5-7723-0605-9

© 2005, Лауфер М.Я.

2

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ПРИ ИНТЕГРИРОВАНИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Предлагается обобщение метода Фурье разделения переменных для решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных от n независимых переменных. Решение находится в виде суммы произвольного числа произведений n неизвестных функций, каждая из которых зависит от одной переменной. При этом, в отличие от метода Фурье, на слагаемые не налагается условие, чтобы они по отдельности удовлетворяли рассматриваемому уравнению. С помощью предлагаемого метода может быть построено бесчисленное множество полных систем ортогональных функций (в частности система, получаемая обычным методом Фурье), с применением которых могут решаться краевые задачи. Можно полагать, что в ряде случаев применение указанных систем окажется более целесообразным по сравнению с решениями по методу Фурье. В работе приведены решения, полученные указанным методом для гармонического уравнения, теплопроводности и волнового уравнения. Как известно, для решения задач математической физики во многих случаях применим метод разделения переменных Фурье. Он заключается в том, что решение линейного дифференциального уравнения в частных производных (или в дальнейшем для краткости просто уравнения) от n независимых переменных находится как произведения n неизвестных функций или суммы некоторого числа этих произведений. В последнем случае на слагаемые налагается условие, чтобы каждое из них удовлетворяло рассматриваемому уравнению. Функции, входящие в указанные произведения, зависят, соответственно, только от одной из переменных. Например, решение гармонического уравнения в случае трёх независимых переменных x1, x2 и x3 ∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ + 2 + 2 =0 ∂x12 ∂x2 ∂x3

находится как Φ i = Φ1, i ( x1 )Φ 2, i ( x2 )Φ 3, i ( x3 )

или m

Φ = ∑ Φ1, i ( x1 )Φ 2, i ( x2 )Φ 3, i ( x3 ) , i =1

где Φ1,i ( x1 ), Φ 2,i ( x2 ) и Φ 3,i ( x3 ) - функции, зависящие, соответственно, лишь от одной переменной x1 , x2 или x3 и каждое из слагаемых под знаком ∑ должно являться решением рассматриваемого уравнения. Не останавливаясь на подробном рассмотрении метода Фурье, особенности которого достаточно известны, отметим следующее:

3

Существует возможность обобщения этого метода. Это обобщение заключается в том, что на решение уравнения от n независимых переменных, которое находится в виде произвольного числа слагаемых, являющихся, в свою очередь, произведением n неизвестных функций, зависящих только от одной переменной, не налагается условие, чтобы эти слагаемые по отдельности являлись решениями рассматриваемого уравнения. Если такое условие наложить, то полученное решение ничем не будет отличаться от решения по методу Фурье. Решение предлагаемого вида даёт возможность разделить переменные в уравнении. Найденные при этом интегралы уравнения отличаются от интегралов, полученных методом Фурье, и содержат последние в качестве некоторого частного случая. Как примеры приводятся решения указанным методом некоторых известных уравнений. 1. Рассмотрим сначала наиболее простой случай – интегрирование гармонического уравнения в двухмерном пространстве с координатами x1 и x2 ∂ 2Φ ∂ 2Φ + 2 = 0, ∂x12 ∂x2

(1.1)

когда его решение находится в виде суммы двух слагаемых, т.е. (1.2) Φ = Χ1,1 ( x1 ) Χ1, 2 ( x2 ) + Χ 2,1 ( x1 ) Χ 2, 2 ( x2 ) . На слагаемые (1.2) не налагается условие, чтобы каждое из них удовлетворяло уравнению (1.1). Χ1,1 ( x1 ), Χ1, 2 ( x2 ), Χ 2,1 ( x1 ) и Χ 2, 2 ( x2 ) - функции, зависящие соответственно от одной переменной x1 или x2 . Первая цифра, стоящая в индексах Χ , обозначает порядковый номер функции. Вторая цифра указывает переменную, от которой зависит эта функция. Подставим (1.2) в (1.1), после простых преобразований, имеем ⎛ Χ1′′,1 Χ1′′, 2 ⎞ Χ1′′,1 ⎛ Χ′2′,1 Χ′2′, 2 ⎞ Χ′2′, 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ Χ + Χ ⎟ Χ +⎜ Χ + Χ ⎟ Χ = 0. 1, 2 ⎠ 2 ,1 2, 2 ⎠ 1, 2 ⎝ 2,1 ⎝ 1,1 Χ1′′, 2 ⎫ = −n12 ⎪ Χ1, 2 ⎪ Полагаем ⎬, Χ′2′,1 = −n22 ⎪ ⎪ Χ 2,1 ⎭ где n1 и n2 - произвольные постоянные, после чего получаем

(1.3)

⎞ ⎛ Χ′2′, 2 ⎞ ⎛ Χ1′′,1 2 Χ 2, 2 2 Χ1,1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = − + − n n 2 1 ⎟Χ . ⎜Χ ⎟Χ ⎜Χ 2 , 1 2 , 2 1 , 1 ⎠ 1, 2 ⎝ ⎠ ⎝

Левая часть последнего равенства зависит только от x1 и не зависит от x2 , а правая наоборот. Следовательно, каждая из них не зависит ни от x1 , ни x2 т.е. они постоянны. Обозначим эту постоянную через m . Тогда

4

⎫ ⎛ Χ1′′,1 ⎞ 2 Χ1,1 ⎜ ⎟ − n m = ⎪ 1 ⎜Χ ⎟Χ ⎪ ⎝ 1,1 ⎠ 2,1 ⎬. ⎛ Χ′2′, 2 ⎞ ⎪ 2 Χ 2, 2 ⎜ ⎟ ⎜ Χ + n2 ⎟ Χ = − m ⎪ ⎝ 2, 2 ⎠ 1, 2 ⎭

(1.4)

Таким образом, переменные разделились. После подстановки результатов интегрирования (1.3) и (1.4) в (1.2), получаем решение уравнения (1.1) в виде m ⎛m ⎞ Φ = ⎜ C1* x1e nx1 − C 2* x1e − nx1 + C3*e nx1 + C 4*e − nx1 ⎟(C1Cosnx2 + C 2 Sinnx2 ) + 2n ⎝ 2n ⎠ (1.5) m ⎛m ⎞ * nx1 − nx1 + ⎜ C 2 x2 Cosnx2 − C1 x2 Sinnx2 + C3Cosnx2 + C 4 Sinnx2 ⎟(C1 e + C 2 e ), 2n ⎝ 2n ⎠ * * Где C1 ÷ C4 и C1 ÷ C4 - постоянные интегрирования. При интегрировании (1.3) и (1.4) для упрощения записи решения (1.5) было принято n1 = n2 = n . Указанное условие для постоянных n j , j = 1 ÷ 5 , в подобных же случаях будет соблюдаться и в дальнейшем. Кроме этого, любую совокупность постоянных, являющуюся множителем каждой функции-слагаемого, входящей в решение, будем обозначать как ai , где индекс i = 1, 2, 3, .... определяет порядковый номер функции-слагаемого. Например, с учётом принятых обозначений для постоянных, (1.5) запишется как Φ = (a1 x1e nx + a 2 x1e − nx + a3 e nx + a 4 e − nx )(a5 Сosnx 2 + a6 Sinnx 2 ) + 1

1

1

1

+ (a7 x2 Cosnx 2 + a8 x2 Sinnx 2 + a9 Cosnx 2 + a10 Sinnx 2 )(a11e nx + a12 e − nx ) Легко видеть, что решение (1.5) отличается от решения уравнения (1.1), найденного методом Фурье (см. (1.12)). Последнее содержится в решении (1.5) как его некоторая частная составляющая. Рассмотрим далее случай, когда решение уравнения (1.1) находится по предлагаемому методу в виде суммы, например пяти слагаемых, т.е. (1.6) Φ = Χ1,1Χ1, 2 + Χ 2,1Χ 2, 2 + Χ 3,1Χ 3, 2 + Χ 4,1Χ 4, 2 + Χ 5,1Χ 5, 2 . Подставляя (1.6) в (1.1), после преобразований получаем ⎛ Χ1′′,1 Χ1′′, 2 ⎞ Χ1,1 ⎛ Χ ′2′,1 Χ′2′, 2 ⎞ Χ 2,1 Χ 2, 2 ⎛ Χ′3′,1 Χ′3′, 2 ⎞ Χ 3,1 Χ 3, 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Χ + Χ ⎟ Χ +⎜ Χ + Χ ⎟ Χ Χ +⎜ Χ + Χ ⎟ Χ Χ + 5,1 1, 2 1, 2 ⎠ 5,1 2, 2 ⎠ 5,1 1, 2 3, 2 ⎠ ⎝ 1,1 ⎝ 2,1 ⎝ 3,1 1

1

⎛ Χ ′′ ⎛ Χ′′ Χ′′ ⎞ Χ Χ Χ′′ ⎞ Χ + ⎜⎜ 4,1 + 4, 2 ⎟⎟ 4,1 4, 2 + ⎜⎜ 5,1 + 5, 2 ⎟⎟ 5, 2 = 0. ⎝ Χ 4,1 Χ 4, 2 ⎠ Χ 5,1 Χ1, 2 ⎝ Χ 5,1 Χ 5, 2 ⎠ Χ1, 2 Χ1′′, 2 ⎫ = −n12 ⎪ Χ1, 2 ⎪ Полагаем ⎬ Χ′5′,1 = n52 ⎪ ⎪ Χ 5,1 ⎭

(1.7)

5

Прибавим и отнимем во втором, третьем и четвёртом выражениях, стоящих в скобках, соответственно n22 , n32 и n42 . Тогда, с учётом (1.7), имеем ⎛ Χ1′′,1 ⎞ ⎛ Χ′2′,1 ⎞ ⎛ Χ′3′,1 ⎞ Χ ′2′, 2 Χ′3′, 2 2 Χ1,1 2 2 Χ 2 ,1 Χ 2 , 2 2 2 Χ 3,1 Χ 3, 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − n + − n + + n + − n + + n + 1 ⎟ 2 2 ⎟ 3 3 ⎟ ⎜Χ ⎜Χ ⎜Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ 1 , 1 5 , 1 2 , 1 2 , 2 5 , 1 1 , 2 3 , 1 3 , 2 5 , 1 1 , 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ Χ ′′ ⎞Χ Χ ⎛ Χ′′ ⎞Χ Χ′′ + ⎜⎜ 4,1 − n42 + 4, 2 + n42 ⎟⎟ 4,1 4, 2 + ⎜⎜ 5, 2 + n52 ⎟⎟ 5, 2 = 0. Χ 4, 2 ⎝ Χ 4,1 ⎠ Χ 5,1 Χ1, 2 ⎝ Χ 5, 2 ⎠ Χ1, 2 Полагая

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ = − m2 ⎪ ⎭

⎛ Χ′2′,1 ⎞ 2 Χ 2 ,1 ⎜ ⎟ − = m1 n 2 ⎟ ⎜Χ ⎝ 2,1 ⎠ Χ 5,1 ⎛ Χ′4′, 2 ⎞ 2 Χ 4, 2 ⎜ ⎟ ⎜ Χ + n4 ⎟ Χ ⎝ 4, 2 ⎠ 1, 2

(1.8)

m j - произвольная постоянная ( j = 1 ÷ 10 ), приходим к выражению

⎞Χ Χ ⎛ Χ′′ ⎞Χ Χ ⎛ Χ′′ ⎞Χ ⎛ Χ1′′,1 Χ′′ Χ ⎜ − n12 ⎟ 1,1 + m1 2, 2 + ⎜ 2, 2 + n22 ⎟ 2,1 2, 2 + ⎜ 3,1 − n32 + 3, 2 + n32 ⎟ 3,1 3, 2 − ⎟Χ Χ ⎜ ⎟Χ Χ ⎟Χ ⎜Χ Χ 3, 2 Χ1, 2 ⎜⎝ Χ 2, 2 ⎠ 5,1 1, 2 ⎠ 5,1 1, 2 ⎝ Χ 3,1 ⎠ 5,1 ⎝ 1,1 ⎛ Χ′′ ⎞Χ ⎛ Χ′′ ⎞Χ Χ Χ − m2 4,1 + ⎜ 4,1 − n42 ⎟ 4,1 4, 2 + ⎜ 5, 2 + n52 ⎟ 5, 2 = 0. ⎜ ⎟Χ ⎟Χ Χ Χ 5,1 ⎜⎝ Χ 4,1 ⎠ 1, 2 ⎠ 5,1 1, 2 ⎝ Χ5, 2

Прибавим и отнимем в левой части последнего равенства m3

Χ 2,1Χ 3, 2 Χ Χ и m4 3,1 4, 2 Χ 5,1Χ1, 2 Χ 5,1Χ1, 2

И примем ⎫ ⎛ Χ′3′,1 ⎞ Χ 2,1 2 Χ 3,1 ⎜ ⎟ n m m − + = − 3 ⎟ 3 5⎪ ⎜Χ Χ 5,1 ⎪ ⎝ 3,1 ⎠ Χ 5,1 ⎬ ⎛ Χ′3′, 2 ⎞ Χ Χ ⎪ 4, 2 2 ⎜ ⎟ 3, 2 ⎜ Χ + n3 ⎟ Χ − m4 Χ = m6 ⎪ 1, 2 ⎝ 3, 2 ⎠ 1, 2 ⎭

(1.9)

С учётом (1.9) получаем ⎛ Χ1′′,1 ⎛ Χ′′ ⎞Χ ⎞Χ Χ Χ Χ Χ Χ ⎜ − n12 ⎟ 1,1 + m1 2, 2 + ⎜ 2, 2 + n22 ⎟ 2,1 2, 2 − m5 3, 2 − m3 2,1 3, 2 + ⎜Χ ⎟Χ ⎟Χ Χ Χ1, 2 ⎜⎝ Χ 2, 2 Χ1, 2 Χ 5,1Χ1, 2 ⎝ 1,1 ⎠ 5,1 ⎠ 5,1 1, 2 ⎛ Χ′′ ⎛ Χ′′ ⎞Χ Χ ⎞Χ Χ Χ Χ Χ + m6 3,1 + m4 3,1 4, 2 − m2 4,1 + ⎜ 4,1 − n42 ⎟ 4,1 4, 2 + ⎜ 5, 2 + n52 ⎟ 5, 2 = 0. ⎜ ⎟Χ Χ ⎟Χ Χ 5,1 Χ 5,1Χ1, 2 Χ 5,1 ⎜⎝ Χ 4,1 ⎠ 5,1 1, 2 ⎝ Χ 5, 2 ⎠ 1, 2

Прибавим и отнимем в левой части этого равенства m7

Χ 2,1Χ 4, 2 Χ 5,1Χ1, 2

и положим ⎫ ⎛ Χ′2′, 2 ⎞ Χ 3, 2 Χ 4, 2 2 Χ 2, 2 ⎜ ⎟ n m m m + − + = − ⎪ 2 3 7 8 ⎜Χ ⎟Χ Χ1, 2 Χ1, 2 ⎪ ⎝ 2, 2 ⎠ 1, 2 ⎬. ⎛ Χ′4′,1 ⎞ Χ Χ Χ ⎪ 3,1 2 ,1 2 ⎜ ⎟ 4,1 ⎜ Χ − n4 ⎟ Χ + m4 Χ − m7 Χ = m9 ⎪ 5,1 5,1 ⎝ 4,1 ⎠ 5,1 ⎭

6

(1.10)

После чего имеем ⎞ ⎛ Χ′5′, 2 ⎞ ⎛ Χ1′′,1 Χ 4, 2 Χ 3, 2 Χ 2, 2 Χ 2,1 Χ 3,1 Χ 4,1 2 Χ 5, 2 2 Χ1,1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . n m m m n m m m − + − − + − = − + − 9 5 1 8 6 2 5 1 ⎟Χ ⎜Χ ⎟Χ ⎜Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 5 , 1 5 , 1 5 , 1 5 , 1 5 , 2 1 , 1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Левая часть этого равенства не зависит от x2 , а правая – от x1 ,

следовательно ⎫ ⎛ Χ1′′,1 ⎞ Χ 2,1 Χ 3,1 Χ 4,1 2 Χ1,1 ⎜ ⎟ n m m m m − − + − = ⎪ 1 ⎟ 8 6 2 10 ⎜Χ Χ 5,1 Χ 5,1 Χ 5,1 ⎪ ⎝ 1,1 ⎠ Χ 5,1 ⎬. ⎛ Χ′5′, 2 ⎞ Χ Χ Χ Χ ⎪ 4, 2 3, 2 2, 2 2 ⎜ ⎟ 5, 2 ⎜ Χ + n5 ⎟ Χ + m9 Χ − m5 Χ + m1 Χ = − m10 ⎪ 1, 2 1, 2 1, 2 ⎝ 5, 2 ⎠ 1, 2 ⎭

(1.11)

Таким образом, переменные разделены. Подстановка результатов интегрирования (1.7) ÷ (1.11) в (1.6) даёт Φ = (a1 x14enx1 + a2 x14e − nx1 + a3 x13enx1 + a4 x13e − nx1 + a5 x12e nx1 + a6 x12e− nx1 + a7 x1e nx1 + a8 x1e − nx1 + + a9enx1 + a10e − nx1 )(a11Cosnx2 + a12 Sinnx2 ) + (a13 x1enx1 + a14 x1e − nx1 + a15enx1 + a16e − nx1 ) * * (a17 x23Cosnx2 + a18 x23 Sinnx2 + a19 x22Cosnx2 + a20 x22 Sinnx2 + a21 x2Cosnx2 + a22 x2 Sinnx2 + + a23Cosnx2 + a24 Sinnx2 ) + (a25 x12enx1 + a26 x12e − nx1 + a27 x1e nx1 + a28 x1e − nx1 + a29e nx1 + a30e − nx1 ) * * (a31 x22Cosnx2 + a32 x22 Sinnx2 + a33 x2Cosnx2 + a34 x2 Sinnx2 + a35Cosnx2 + a36 Sinnx2 ) + + (a37 x13e nx1 + a38 x13e − nx1 + a39 x12e nx1 + a40 x12e − nx1 + a41 x1e nx1 + a42 x1e − nx1 + a43e nx1 + a44e − nx1 ) * * (a45 x2Cosnx2 + a46 x2 Sinnx2 + a47Cosnx2 + a48 Sinnx2 )(a49e nx1 + a50e − nx1 )(a51 x24Cosnx2 + a52 x24 Sinnx2 + a53 x23Cosnx2 + a54 x23 Sinnx2 + a55 x22Cosnx2 + a56 x22 Sinnx2 + a57 x2Cosnx2 + + a58 x2 Sinnx2 + a59Cosnx2 + a60 Sinnx2 ).

В случае, если решение уравнения (1.1) находится в виде Μ слагаемых, то в символической форме оно может быть представлено как: −1− k −2 −1 Φ = Χ1Μ −1Χ 02 + Χ1Μ − 2 Χ 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Χ1k Χ Μ + ⋅ ⋅ ⋅ + Χ1 Χ Μ + Χ10 Χ Μ = (Χ1 + Χ 2 ) 2 2 2

Μ −1

,

где Χ1K

= a N x1k e nx1 + a N +1 x1k e − nx1 + a N + 2 x1k −1e nx1 + a N + 3 x1k −1e − nx1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a N + 2 k e nx1 + a N + 2 k +1e − nx1 ,

−1− k ΧΜ = a N + 2 k + 2 x2Μ −1− k Cosnx2 + a N + 2 k + 3 x2Μ −1− k Sinnx2 + a N + 2 k + 4 x2Μ − 2 − k Cosnx2 + 2

+ a N + 2 k + 5 x2Μ − 2 − k Sinnx2 + ⋅ ⋅ ⋅ + + a N + 2Μ − 2Cosnx2 + a N + 2Μ −1Sinnx2 ,

N - порядковый номер.

Для сравнения ниже приводится решение уравнения (1.1), найденное по методу Фурье для случая Μ слагаемых. Μ

Φ = ∑ (a1,i e n x + a 2 ,i e − n x )(a3,i Cosni x2 + a 4 ,i Sinni x2 ) , i 1

i 1

i =1

когда n1 ≠ n2 ≠ ⋅ ⋅ ⋅ ≠ nΜ . При n1 = n2 = ⋅ ⋅ ⋅ = nΜ Φ = (a1e nx + a2 e − nx )(a3Cosnx2 + a4 Sinnx2 ) . (1.12) Рассмотрим более сложный случай – интегрирование гармонического уравнения в трёхмерном пространстве с координатами x1, x2 и x3 . 1

1

7

∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ + 2 + 2 =0 ∂x12 ∂x2 ∂x3

(1.13)

Будем искать решение этого уравнения сначала в виде двух слагаемых (1.14) Φ = Χ1,1 ( x1 ) Χ1, 2 ( x2 ) Χ1,3 ( x3 ) + Χ 2,1 ( x1 ) Χ 2, 2 ( x2 ) Χ 2,3 ( x3 ) , где Χ1,1 ( x1 ), Χ 2,1 ( x1 ); Χ1, 2 ( x2 ), Χ 2, 2 ( x2 ) и Χ1,3 ( x3 ), Χ 2,3 ( x3 ) - функции, зависящие соответственно от одной переменной x1, x2 или x3 . Подставляя (1.14) в (1.13), после простых преобразований имеем ⎛ Χ1′′,1 Χ1′′, 2 Χ1′′,3 ⎞ Χ1,1 ⎛ Χ′2′,1 Χ′2′, 2 Χ′2′,3 ⎞ Χ 2, 2 Χ 2,3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜Χ + Χ + Χ ⎟Χ +⎜Χ + Χ + Χ ⎟ Χ Χ =0. 1 , 1 1 , 2 1 , 3 2 , 1 2 , 1 2 , 2 2 , 3 ⎠ 1, 2 1,3 ⎝ ⎠ ⎝ Χ′2′,1 ⎫ = n12 ⎪ Χ 2,1 ⎪ Полагаем ⎬. Χ1′′, 2 Χ1′′,3 2⎪ = −n2 + ⎪ Χ1, 2 Χ1,3 ⎭

(1.15)

(1.16)

Из второго уравнения (1.16) находим

Χ′′ Χ1′′, 2 Χ′′ Χ′′ = − n22 − 1,3 или 1, 2 = − m12 и 1,3 = m12 − n22 . Χ1, 2 Χ1,3 Χ1, 2 Χ1,3

Пусть для определённости m12 > n22 . С учётом (1.16) имеем ⎛ 2 Χ′2′, 2 Χ′2′,3 ⎞ Χ 2, 2 Χ 2,3 ⎞ ⎛ Χ1′′,1 2 Χ1,1 ⎟ ⎜ n1 + ⎟ ⎜ n = 0. + + − 2 ⎟ ⎜ ⎟Χ ⎜Χ Χ Χ 2, 2 2 , 3 ⎠ Χ1, 2 Χ1, 3 ⎠ 2,1 ⎝ ⎝ 1,1 Χ′′ Полагаем далее Χ 2,3 = Χ1,3 , т.е. 2,3 = m12 − n22 (можно положить также, что Χ 2,3 Χ 2, 2 = Χ1, 2 ). Тогда

⎞ ⎛ Χ′2′, 2 ⎞ ⎛ Χ1′′,1 2 2 2 Χ 2, 2 2 Χ1,1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ n n m n = − + + − − 1 1 2 2 ⎟Χ ⎜Χ ⎟Χ ⎜Χ ⎠ 1, 2 ⎝ 2, 2 ⎠ 2,1 ⎝ 1,1

Откуда следует, что ⎫ ⎞ ⎛ Χ1′′,1 2 Χ1,1 ⎟ ⎜ n m = − ⎪ 2 2 ⎟Χ ⎜Χ ⎪ ⎠ 2,1 ⎝ 1,1 ⎬ ⎞ ⎛ Χ′2′, 2 Χ ⎪ 2 2 2 ⎟ 2, 2 ⎜ ⎜ Χ + n1 + m1 − n2 ⎟ Χ = −m2 ⎪ ⎠ 1, 2 ⎝ 2, 2 ⎭

(1.17)

Переменные разделены. Подстановка результатов интегрирования (1.16) и (1.17) в (1.14) с учётом ранее принятого условия n1 = n2 = n даёт Φ1 = ⎛⎜ a1e ⎝

m12 − n 2 x3

+ a2e

− m12 − n 2 x3

(

)

⎞[ a x e nx1 + a x e − nx1 + a e nx1 + a e − nx1 (a Cosm x + ⎟ 3 1 4 1 5 6 7 1 2 ⎠

+ a8 Sinm1 x2 ) + (a9e nx1 + a10e − nx1 )(a11 x2Cosm1 x2 + a12 x2 Sinm1 x2 + a13Cosm1 x2 + a14 Sinm1 x2 )].

Уравнение (1.15) можно преобразовать к виду ⎛ Χ1′′,1 Χ1′′, 2 Χ1′′,3 ⎞ Χ1, 2 ⎛ Χ′2′,1 Χ′2′, 2 Χ′2′,3 ⎞ Χ 2,1Χ 2,3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜Χ + Χ + Χ ⎟Χ +⎜Χ + Χ + Χ ⎟ Χ Χ =0. 1, 2 1, 3 ⎠ 2, 2 2, 2 2,3 ⎠ 1,1 1, 3 ⎝ 2,1 ⎝ 1,1

8

Χ′2′, 2 = −m32 Χ 2, 2

⎫ ⎪ ⎪ ⎬. Χ1′′,1 Χ1′′,3 2⎪ = m4 + ⎪ Χ1,1 Χ1,3 ⎭

Полагаем

(1.18)

Из второго уравнения (1.18) имеем

Χ1′′,1 Χ′′ Χ′′ Χ′′ = m42 − 1,3 или 1,1 = n32 и 1,3 = m42 − n32 . Χ1,1 Χ1,3 Χ1,1 Χ1,3

Для определённости принимаем m42 > n32 . Принимаем также Χ 2,1 = Χ1,1 (можно принять, что Χ 2,3 = Χ1,3 ). Тогда ⎞ ⎛ Χ′2′,3 ⎞ ⎛ Χ1′′, 2 2 2 Χ 2,3 2 Χ1, 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ m m n = − − + + 3 3 4 ⎟Χ , ⎜Χ ⎟Χ ⎜Χ 2 , 2 2 , 3 1 , 2 ⎠ 1,3 ⎝ ⎠ ⎝

что равносильно ⎫ ⎞ ⎛ Χ1′′, 2 2 Χ1, 2 ⎟ ⎜ m m = − + ⎪ 4 5 ⎟Χ ⎜Χ ⎪ ⎠ 2, 2 ⎝ 1, 2 ⎬ ⎞ ⎛ Χ′2′,3 ⎪ 2 2 Χ 2,3 ⎟ ⎜ ⎜ Χ − m3 + n3 ⎟ Χ = m5 ⎪ ⎠ 1,3 ⎝ 2,3 ⎭

(1.19)

Интегрируя (1.18) и (1.19) при m3 = m4 и n3 = n и подставляя полученные результаты в (1.14), находим

(

)

Φ 2 = a15e nx1 + a16e − nx1 [(a17 x2Cosm3 x2 + a18 x2 Sinm3 x2 + a19Cosm3 x2 + a20 Sinm3 x2 ) * * (a21e + a27 e

m32 − n 2 x3 m32 − n 2 x3

+ a22e + a28e

− m32 − n 2 x3

−

m32 − n 2 x3

) + (a23Cosm3 x2 + a24 Sinm3 x2 )(a25 x3e

m32 − n 2 x3

+ a26 x3e

− m32 − n 2 x3

+

)].

Налагая на m1 и m3 условие, аналогичное условию принятому для постоянных n , т.е. m1 = m3 = m и суммируя Φ1 и Φ 2 , имеем следующее решение уравнения (1.13) ⎛ Φ = ⎜ a1e ⎝

m 2 − n 2 x3

+ a2 e −

m 2 − n 2 x3

⎞ − nx − nx nx nx ⎟[(a3 x1e 1 + a4 x1e 1 + a5e 1 + a6e 1 ) * ⎠

* (a7Cosmx2 + a8 Sinmx2 ) + (a9 e nx1 + a10e − nx1 )(a11 x2Cosmx2 + a12 x2 Sinmx2 + + a13Cosmx2 + a14 Sinmx2 )] + (a15e nx1 + a16e − nx1 )[(a17 x2Cosmx2 + a18 x2 Sinmx2 + ⎛ + a19Cosmx2 + a20 Sinmx2 )⎜ a21e ⎝ + a24 Sinmx2 )(a25 x3e

m 2 − n 2 x3

m 2 − n 2 x3

+ a26 x3e −

+ a22e − m 2 − n 2 x3

m 2 − n 2 x3

+ a27 e

(1.20)

⎞ ⎟ + (a23Cosmx2 + ⎠

m 2 − n 2 x3

+ a28e −

m 2 − n 2 x3

)].

Как и в случае двух переменных x1 и x2 , легко видеть, что решение (1.20) отличается от решения уравнения (1.13), найденного методом Фурье (см. (1.25)) и включает последнее как некоторый частный случай. Рассмотрим задачу, когда решение уравнения (1.13) находится в виде трёх слагаемых, т.е. Φ = Χ1,1 ( x1 ) Χ1, 2 ( x2 ) Χ1,3 ( x3 ) + Χ 2,1 ( x1 ) Χ 2, 2 ( x2 ) Χ 2,3 ( x3 ) + Χ 3,1 ( x1 ) Χ 3, 2 ( x2 ) Χ 3,3 ( x3 ) . (1.21) Подставим (1.21) в (1.13) и преобразуем полученный результат к виду 9

⎛ Χ1′′,1 Χ1′′, 2 Χ1′′,3 ⎞ Χ1,1 ⎛ Χ′2′,1 Χ′2′, 2 Χ′2′,3 ⎞ Χ 2, 2 Χ 2,3 ⎛ Χ′3′,1 Χ′3′, 2 Χ′3′,3 ⎞ Χ 3,1Χ 3, 2 Χ 3,3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜Χ + Χ + Χ ⎟Χ +⎜Χ + Χ + Χ ⎟ Χ Χ +⎜Χ + Χ + Χ ⎟ Χ Χ Χ =0 1 , 1 1 , 2 1 , 3 2 , 1 2 , 1 2 , 2 2 , 3 1 , 2 1 , 3 3 , 1 3 , 2 3 , 3 ⎠ 2,1 1, 2 1,3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

. Χ′2′,1 = n12 Χ 2,1

⎫ ⎪ ⎪ ⎬. Χ1′′, 2 Χ1′′,3 2⎪ + = −n2 ⎪ Χ1, 2 Χ1,3 ⎭

Полагаем

(1.22)

Из последнего уравнения (1.22) имеем Χ1′′, 2 Χ′′ = − m12 и 1,3 = m12 − n22 , Χ1, 2 Χ1,3

где для определённости m12 > n22 Принимая Χ1,3 = Χ 2,3 = Χ 3,3 (можно приходим к выражению

принять

также

Χ1, 2 = Χ 2, 2 = Χ 3, 2 ),

⎞ ⎛ Χ′3′,1 ⎞ ⎛ Χ′2′, 2 ⎞ ⎛ Χ1′′,1 Χ′3′, 2 2 Χ 3,1Χ 3, 2 2 2 Χ 2, 2 2 Χ1,1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ Χ − n2 ⎟ Χ + ⎜ Χ + m1 ⎟ Χ + ⎜ Χ − n2 + Χ + m1 ⎟ Χ Χ = 0 . 3, 2 ⎠ 2,1 1, 2 ⎠ 1, 2 ⎝ 3,1 ⎠ 2,1 ⎝ 2, 2 ⎝ 1,1

Полагаем далее ⎫ ⎪ ⎪ ⎬. ⎛ Χ′3′, 2 ⎞ Χ 2 ⎜ ⎟ 3, 2 = −m3 ⎪ + m 1 ⎪ ⎜Χ ⎟Χ ⎝ 3, 2 ⎠ 1, 2 ⎭ ⎞Χ ⎛ Χ′′ ⎞Χ ⎛ Χ′′ Χ Χ Тогда ⎜⎜ 1,1 − n22 ⎟⎟ 1,1 − m3 3,1 = −⎜⎜ 2, 2 + m12 ⎟⎟ 2, 2 − m2 3, 2 . Χ1, 2 Χ 2,1 ⎠ Χ1, 2 ⎝ Χ 2, 2 ⎠ Χ 2,1 ⎝ Χ1,1 ⎛ Χ′3′,1 ⎞ 2 Χ 3,1 ⎜ ⎟ ⎜ Χ − n2 ⎟ Χ = m2 ⎝ 3,1 ⎠ 2,1

(1.23)

Откуда следует ⎫ ⎪ ⎪ ⎬. ⎪ = − m4 ⎪ ⎭

⎛ Χ1′′,1 ⎞ Χ 3,1 2 Χ1,1 ⎜ ⎟ − − = m4 n m 2 3 ⎜Χ ⎟Χ Χ 1 , 1 2 , 1 2 , 1 ⎝ ⎠ ⎛ Χ′2′, 2 ⎞ Χ 3, 2 2 Χ 2, 2 ⎜ ⎟ + + m m 2 1 ⎜Χ ⎟Χ Χ1, 2 ⎝ 2, 2 ⎠ 1, 2

(1.24)

Интегрируя (1.22), (1.23), (1.24) и подставляя в (1.21) находим, что при m1 = m и n1 = n2 = n ⎛ Φ1 = ⎜ a1e ⎝

m 2 − n 2 x3

+ a2 e −

m 2 − n 2 x3

⎞ nx − nx nx − nx 2 nx 2 − nx ⎟[(a3 x1 e 1 + a4 x1 e 1 + a5 x1e 1 + a6 x1e 1 + a7 e 1 + a8e 1 ) * ⎠

* (a9Cosmx2 + a10 Sinmx2 ) + (a11e nx1 + a12e − nx1 )(a13 x22Cosmx2 + a14 x22 Sinmx2 + + a15 x2Cosmx2 + a16 x2 Sinmx2 + a17Cosmx2 + a18 Sinmx2 ) + (a19 x1e nx1 + a20 x1e − nx1 + + a21e nx1 + a22e − nx1 )[(a23 x2Cosmx2 + a24 x2 Sinmx2 + a25Cosmx2 + a26 Sinmx2 )].

Точно также при Χ1,1 = Χ 2,1 = Χ 3,1 можно получить

10

Φ 2 = (a27 e nx1 + a28e − nx1 )[(a29 x22Cosmx2 + a30 x22 Sinmx2 + a31 x2Cosmx2 + a32 x2 Sinmx2 + m 2 − n 2 x3

+ a33Cosmx2 + a34 Sinmx2 )(a35e * (a39 x32e + a44e −

2

2

m − n x3

m 2 − n 2 x3

+ a50 x3e −

2

+ a40 x32e −

2

m − n x3

m 2 − n 2 x3

+ a36e −

+ a41 x3e

2

2

m − n x3

) + (a37Cosmx2 + a38 Sinmx2 ) *

+ a42 x3e −

m 2 − n 2 x3

+ a43e

m 2 − n 2 x3

) + (a45 x2Cosmx2 + a46 x2 Sinmx2 + a47Cosmx2 + a48 Sinmx2 )(a49 x3e

m 2 − n 2 x3

m 2 − n 2 x3

+ a51e

+ a52e −

m 2 − n 2 x3

+

m 2 − n 2 x3

+

)].

И при Χ1, 2 = Χ 2, 2 = Χ 3, 2 , Φ 3 = (a53Cosmx2 + a54 Sinmx2 )[(a55 x32e + a58 x3e −

2

2

m − n x3

2

2

m − n x3

+ a59e

m 2 − n 2 x3

+ a60e −

2

+ a56 x32e −

2

m − n x3

m 2 − n 2 x3

m 2 − n 2 x3

m 2 − n 2 x3

+

)(a61e nx1 + a62e − nx1 ) + (a63 x12e nx1 +

+ a64 x12e − nx1 + a65 x1e nx1 + a66 x1e − nx1 + a67 e nx1 + a68e − nx1 )(a69e + a72 x1e − nx1 + a73e nx1 + a74e − nx1 )(a75 x3e

+ a57 x3e

+ a76 x3e −

m 2 − n 2 x3

m 2 − n 2 x3

+ a70e −

m 2 − n 2 x3

m 2 − n 2 x3

+ a77 e

) + (a71 x1e nx1 +

+ a78e −

m 2 − n 2 x3

)].

Таким образом, решение уравнения (1.13) имеет вид: Φ = Φ1 + Φ 2 + Φ 3 . В случае, когда решение уравнения (1.18) находится в виде Μ слагаемых, оно может быть в символической форме представлено так: −1 0 −2 Φ = Χ1Μ −1Χ 02 Χ 30 + Χ1Μ − 2 Χ 2 Χ10 + ⋅ ⋅ ⋅ + Χ10 Χ Μ Χ 3 + Χ10 Χ Μ Χ3 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 2 −1− k − t t + Χ1k Χ Μ Χ 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + Χ1Χ 02 Χ 3Μ − 2 + Χ10 Χ 02 Χ 3Μ −1 = (Χ1 + Χ 2 + Χ1 ) 2

Μ −1

,

Где Χ = a N x1k e nΧ + a N +1 x1k e − nx + a N + 2 x1k −1e nx + a N +3 x1k −1e − nx + ⋅ ⋅ ⋅ + a N + 2 k e nx + a N + 2 k +1e − nx , k 1

1

1

1

1

1

1

Χ 2M −1−k −t = a N + 2 k + 2 x2M −1− k −t Cosmx 2 + a N + 2 k +3 x2M −1−k −t Sinmx2 + a N + 2 k + 4 x2M − 2−k −t Cosmx 2 + + a N + 2 k +5 x2M − 2− k −t Sinmx 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a N + 2 Μ − 2 t Cosmx 2 + a N + 2 Μ −2 t +1 Sinmx 2 , m 2 − n 2 x3

Χ t3 = a N + 2 M − 2 t + 2 x3t e 2

2

m 2 − n 2 x3

+ a N + 2 M −2 t +3 x3t e − 2

2

+ a N + 2 M − 2 t + 4 x3t −1e 2

2

m 2 − n 2 x3

+

+ a N + 2 M − 2 t +5 x3t −1e − m − n x + ⋅ ⋅ ⋅ + a N + 2 M + 2 e m − n x + a N + 2 M +3 e m − n x , N - порядковый номер, 0 ≤ k , t < M − 1 . Ниже для сравнения приводится решение уравнения (1.13), найденное методом Фурье для случая Μ слагаемых 3

3

Μ

3

Φ = ∑ (a1,i e n x + a 2 ,i e −n x )(a3,i Cosmi x 2 + a 4 ,i Sinmi x2 )(a5,i e i 1

i 1

mi2 − ni2 x3

i =1

+a6 ,i e

− mi2 − ni2 x3

),

когда n1 ≠ n2 ≠ ⋅ ⋅ ⋅ ≠ nΜ и m1 ≠ m2 ≠ ⋅ ⋅ ⋅ ≠ mΜ . При n1 = n2 = ⋅ ⋅ ⋅ = nΜ и m1 = m2 = ⋅ ⋅ ⋅ = mΜ , Φ = ( a1e nx1 + a2e − nx1 )(a3Cosmx 2 + a4 Sinmx2 )( a5e

m 2 − n 2 x3

+ a6 e −

m 2 − n 2 x3

).

(1.25)

2. Рассмотрим уравнения теплопроводности ∂Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ = + + . ∂x1 ∂x22 ∂x32 ∂x42

(2.1)

Пусть его решение имеется, например, в виде двух слагаемых Φ = Χ1,1Χ1, 2 Χ1,3 Χ1, 4 + Χ 2,1Χ 2, 2 Χ 2,3 Χ 2, 4 . Подставляя (2.2) в (2.1) после преобразований имеем:

(2.2)

11

⎛ Χ1′,1 Χ1′′, 2 Χ1′′,3 Χ1′′, 4 ⎞ Χ1,1 ⎛ Χ′2,1 Χ′2′, 2 Χ′2′,3 Χ′2′, 4 ⎞ Χ 2, 2 Χ 2,3 Χ 2, 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ Χ − Χ − Χ − Χ ⎟ Χ +⎜ Χ − Χ − Χ − Χ ⎟ Χ Χ Χ = 0. 1 , 1 1 , 2 1 , 3 1 , 4 2 , 1 2 , 1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 ⎠ 1, 2 1,3 1, 4 ⎝ ⎠ ⎝

Полагаем Χ′2,1 = n12 Χ 2,1

⎫ ⎪ ⎪ ⎬. Χ1′′, 2 Χ1′′,3 Χ1′′, 4 2⎪ = n2 + + ⎪ Χ1, 2 Χ1,3 Χ1, 4 ⎭

(2.3)

Из второго уравнения (2.3) находим

Χ1′′,3 Χ1′′, 4 Χ′′ Χ′′ Χ′′ Χ′′ + = n22 − 1, 2 или 1, 2 = −m12 + n22 и 1,3 + 1, 4 = m12 . Χ1,3 Χ1, 4 Χ1, 2 Χ1, 2 Χ1,3 Χ1, 4

Преобразуем последнее равенство к виду

Χ1′′, 4 Χ′′ Χ′′ Χ′′ = m12 − 1,3 , откуда 1, 4 = −l12 и 1,3 = l12 + m12 , Χ1, 4 Χ1,3 Χ1, 4 Χ1,3

где l j - произвольная постоянная, j = 1, 2, 3, 4. Таким образом с учётом (2.3) получаем ⎛ 2 Χ′2′, 2 Χ′2′,3 Χ′2′, 4 ⎞ Χ 2, 2 Χ 2,3 Χ 2, 4 ⎞ ⎛ Χ1′,1 2 Χ1,1 ⎟ ⎜ − n1 + ⎟ ⎜ n − + + − 2 ⎟ Χ Χ Χ = 0. ⎜ ⎟Χ ⎜Χ Χ Χ Χ 1 , 1 2 , 1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 ⎠ 1, 2 1,3 1, 4 ⎝ ⎠ ⎝ Принимаем Χ 2,3 = Χ1,3 и Χ 2, 4 = Χ1, 4 (можно принять, что Χ 2, 2 = Χ1, 2 и Χ 2,3 = Χ1,3

или Χ 2, 2 = Χ1, 2 и Χ 2, 4 = Χ1, 4 ), после чего имеем ⎞ ⎛ Χ′2′, 2 ⎞ ⎛ Χ1′,1 2 Χ1,1 2 2 Χ 2, 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ n n m = − + − 2 1 1 ⎟Χ . ⎜Χ ⎟Χ ⎜Χ 1 , 1 2 , 1 2 , 2 ⎠ 1, 2 ⎝ ⎠ ⎝

Следовательно, ⎫ ⎞ ⎛ Χ1′,1 2 Χ1,1 ⎟ ⎜ n l = − ⎪ 2 3 ⎟Χ ⎜Χ ⎪ ⎠ 2,1 ⎝ 1,1 ⎬. ⎞ ⎛ Χ′2′, 2 ⎪ 2 2 Χ 2, 2 ⎟ ⎜ ⎜ Χ − n1 + m1 ⎟ Χ = l3 ⎪ ⎠ 1, 2 ⎝ 2, 2 ⎭

(2.4)

Переменные разделены. Подставляя результаты интегрирования (2.3) и (2.4) в (2.2) при m12 > n12 , получаем m 2 + l12 x3

Φ1 = (a1e

+ a1e

− m 2 + l12 x3

)(a3Cosl1x4 + a4 Sinl1 x4 )[(a5 x1 + a6 )e n

* (a7Cos m 2 − n 2 x2 + a8 Sin m 2 − n 2 x2 ) + e n

2

x1

2

x1

*

(a9 x2Cos m 2 − n 2 x2 +

+ a10 x2 Sin m 2 − n 2 x2 + a11Cos m 2 − n 2 x2 + a12 Sin m 2 − n 2 x2 )].

Точно также при Χ 2, 2 = Χ1, 2 и Χ 2,1 = Χ1,1 можно получить 2

x1

m

2

Φ 2 = en + a17 e

(a13Cos m 2 − n 2 x2 + a14 Sin m 2 − n 2 x2 )[(a15 x3e

+ l 22 x3

+ a18e

− m

2

+ l 22 x3

m 2 + l 22 x3

)(a19Cosl2 x4 + a20 Sinl2 x4 ) + (a21e

* (a23 x4Cosl2 x4 + a24 x4 Sinl2 x4 + a25Cosl2 x4 + a26 Sinl2 x4 )].

12

m

2

+ a16 x3e + l 22 x3

− m 2 + l 22 x3

+ a22e

− m

2

+

+ l 22 x3

)*

Полагая l1 = l2 = l и суммируя Φ1 и Φ 2 находим решение уравнения (2.1). Φ = Φ1 + Φ 2

(Решение уравнения (2.1), найденное методом Фурье см. (2.6)) В случае, когда решение уравнения (2.1) находится в виде Μ слагаемых, он может быть в символической форме представлено как: −1 0 0 Φ = Χ1Μ −1Χ 02 Χ 30 Χ 04 + Χ1Μ − 2 Χ 02 Χ 30 Χ 04 + Χ1Μ − 3 Χ 22 Χ 30 Χ 04 + ⋅ ⋅ ⋅ + Χ10 Χ Μ Χ3 Χ 4 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 −1 + Χ1k Χ t2 Χ 3Μ −1− k − t − s Χ 4s + ⋅ ⋅ ⋅ + Χ10 Χ 02 Χ 3Μ −1Χ 04 + ⋅ ⋅ ⋅ + Χ10 Χ 02 Χ 30 Χ Μ = (Χ1 + Χ 2 + Χ 3 + Χ 4 )Μ −1. 4

(2.5)

Где Χ1k

= (a N x1k + a N +1 x1k −1 + a N + 2 x1k − 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a N + k −1 x1 + a N + k )e n

2

x1

,

Χ t2 = a N + k +1x2t Cos m 2 − n 2 x2 + a N + k + 2 x2t Sin m 2 − n 2 x2 + a N + k + 3 x2t −1Cos m 2 − n 2 x2 + + a N + k + 4 x2t −1Sin m 2 − n 2 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a N + k + 2t Cos m 2 − n 2 x2 + a N + k + 2t +1Sin m 2 − n 2 x2 , Χ 3Μ −1− k −t − s = a N + k + 2t + 2 x3Μ −1− k −t − s e + a N + 2Μ − 2 s − k e

2

2

m + l x3

m 2 + l 2 x3

+ a N + 2Μ − 2 s − k +1e −

m 2 + l 2 x3

+ a N + k + 2t + 3 x3Μ −1− k − t − s e − 2

2

m + l x3

+ ⋅⋅⋅ +

,

Χ 4s = a N + 2Μ − 2 s − k + 2 x4s Coslx4 + a N + 2Μ − 2 s + 3 x4s Sinlx4 + ⋅ ⋅ ⋅ + a N + 2Μ − k +1Coslx4 + a N + 2Μ − k + 2 Sinlx4 .

Где 0 ≤ k , t , s < Μ − 1 Сравнивая полученное выше решение с решением по методу Фурье уравнения (2.1) Μ − m +l x m +l x ) *⎫⎪ Φ = ∑ e n x ( a1,i Cos mi2 − ni2 x2 + a 2 ,i Sin mi2 − ni2 x2 )(a3,i e + a 4 ,i e i =1 ⎪ * ( a5,i Cosli x4 + a6 ,i Sinli x4 ) ⎪ ⎪ при n1 ≠ n2 ≠ ⋅ ⋅ ⋅ ≠ nΜ , m1 ≠ m2 ≠ ⋅ ⋅ ⋅ ≠ mΜ и l1 ≠ l 2 ≠ ⋅ ⋅ ⋅ ≠ lΜ и ⎬ (2.6) ⎪ Φ = e n x (a1Cos m 2 − n 2 x2 + a 2 Sin m 2 − n 2 x2 )(a3 e m +l x + a 4 e m +l x ) * ⎪ * ( a5 Coslx 4 + a6 ,i Sinlx 4 ) ⎪ ⎪ при n1 = n2 = ⋅ ⋅ ⋅ = nΜ , m1 = m2 = ⋅ ⋅ ⋅ = mΜ и l1 = l 2 = ⋅ ⋅ ⋅ = lΜ ⎭ Из найденные так же для случая Μ слагаемых, можно видеть, что решение по предлагаемому методу содержит помимо (2.6) ещё ряд отличных от (2.6) независимых решений. 3. Рассмотрим волновое уравнение. 2 i

2 i 1

2

2

1

2

3

2 i 3

2 i

2

2

2 i 3

3

∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ = 2 + 2 + 2 , ∂x12 ∂x2 ∂x3 ∂x4

(3.1)

когда его решение имеется в виде трёх слагаемых (3.2) Φ = Χ1,1Χ1, 2 Χ1,3 Χ1, 4 + Χ 2,1Χ 2, 2 Χ 2,3 Χ 2 , 4 + Χ 3,1Χ 3, 2 Χ 3,3 Χ 3, 4 . Подставляя (3.2) в (3.1), после простых преобразований получаем ⎛ Χ1′′,1 Χ1′′, 2 Χ1′′,3 Χ1′′, 4 ⎞ Χ1,1 ⎛ Χ′2′,1 Χ′2′, 2 Χ′2′,3 Χ′2′, 4 ⎞ Χ 2, 2 Χ 2,3 Χ 2, 4 ⎟ ⎟ ⎜ + − − − + ⎜⎜ − ⎟ Χ Χ Χ ⎟Χ ⎜Χ − Χ − Χ Χ Χ Χ Χ Χ 1 , 1 1 , 2 1 , 3 1 , 4 2 , 1 2 , 1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 1 , 2 1 , 3 1 , 4 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ Χ′′ Χ′′ ⎞ Χ Χ Χ Χ Χ′′ Χ′′ + ⎜⎜ 3,1 − 3, 2 − 3,3 − 3, 4 ⎟⎟ 3,1 3, 2 3,3 3, 4 = 0. ⎝ Χ 3,1 Χ 3, 2 Χ 3,3 Χ 3, 4 ⎠ Χ 2,1Χ1,3Χ1, 2 Χ1, 4

13

Полагаем Χ′2′,1 = n12 Χ 2,1

⎫ ⎪ ⎪ ⎬. Χ1′′, 2 Χ1′′,3 Χ1′′, 4 2⎪ = n2 + + ⎪ Χ1, 2 Χ1,3 Χ1, 4 ⎭

(3.3)

Из последнего уравнения (3.3) находим

Χ1′′,3 Χ1′′, 4 Χ′′ Χ′′ Χ′′ Χ′′ + = n22 − 1, 2 откуда 1, 2 = −m12 + n22 и 1,3 + 1, 4 = m12 . Χ1,3 Χ1, 4 Χ1, 2 Χ1, 2 Χ1,3 Χ1, 4 Χ′′ Χ′′ Χ′′ Χ′′ Далее 1, 4 = m12 − 1,3 , следовательно 1, 4 = −l12 и 1,3 = l12 + m12 , Χ1, 4 Χ1,3 Χ1, 4 Χ1,3

Полагаем Χ1,3 = Χ 2,3 = Χ 3,3 и Χ1, 4 = Χ 2, 4 = Χ 3, 4 . Прибавим и отнимем в третьем слагаемом левой части, стоящей в скобках, n32 , после элементарных преобразований имеем: ⎞ ⎛ Χ′3′,1 ⎞ ⎛ Χ′2′, 2 ⎞ ⎛ Χ1′′,1 Χ′3′, 2 2 2 Χ 3,1Χ 3, 2 2 2 2 Χ 2, 2 2 Χ1,1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ n m n n m n + − − − + − + − − 1 3 3 1 1 2 ⎟ Χ Χ = 0. ⎜Χ ⎟Χ ⎜Χ ⎟Χ ⎜Χ Χ 3 , 2 1 , 2 3 , 1 2 , 1 2 , 2 1 , 1 ⎠ 2,1 1, 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

Полагаем ⎫ ⎞ ⎛ Χ′3′,1 2 Χ 3,1 ⎟ ⎜ n l = − ⎪ 3 2 ⎟Χ ⎜Χ ⎪ ⎠ 2,1 ⎝ 3,1 ⎬ ⎞ ⎛ Χ′3′, 2 ⎪ 2 2 Χ 3, 2 ⎟ ⎜ ⎜ Χ − n3 + m1 ⎟ Χ = l3 ⎪ ⎠ 1, 2 ⎝ 3, 2 ⎭ ⎞Χ ⎛ Χ′′ ⎞Χ ⎛ Χ′′ Χ Χ Тогда ⎜⎜ 1,1 − n22 ⎟⎟ 1,1 + l3 3,1 = ⎜⎜ 2, 2 − n12 + m12 ⎟⎟ 2, 2 − l2 3, 2 , Χ1, 2 Χ 2,1 ⎝ Χ 2, 2 ⎠ Χ1, 2 ⎠ Χ 2,1 ⎝ Χ1,1

(3.4)

Откуда следует ⎫ ⎞ ⎛ Χ1′′,1 Χ 3,1 2 Χ1,1 ⎟ ⎜ n l l = + − ⎪ 2 ⎟ 3 4 ⎜Χ Χ 2,1 ⎪ ⎠ Χ 2,1 ⎝ 1,1 ⎬. ⎞ ⎛ Χ′2′, 2 Χ Χ ⎪ 3, 2 2 2 ⎟ 2, 2 ⎜ ⎜ Χ − n1 + m1 ⎟ Χ − l2 Χ = l4 ⎪ 1, 2 ⎠ 1, 2 ⎝ 2, 2 ⎭

(3.5)

Таким образом, переменные разделились. Интегрируя (3.3), (3.4) и (3.5) и подставляя полученный результат в (3.2) находим Φ1 = (a1e

m 2 + l 2 x3

+ a2e−

m 2 + l 2 x3

)(a3Coslx4 + a4 Sinlx4 )[(a5 x12enx1 + a6 x12e− nx1 + a7 x1enx1 +

+ a8 x1e − nx1 + a9e nx1 + a10e− nx1 )(a11Cos m 2 − n 2 x2 + a12 Sin m 2 − n 2 x2 ) + (a13enx1 + a14e− nx1 ) * * (a15 x22Cos m 2 − n 2 x2 + a16 x22 Sin m 2 − n 2 x2 + a17 x2Cos m 2 − n 2 x2 + a18 x2 Sin m 2 − n 2 x2 + a19Cos m 2 − n 2 x2 + a20 Sin m 2 − n 2 x2 ) + (a21x1e nx1 + a22 x1e − nx1 + a23enx1 + a24e− nx1 ) * * (a25 x2Cos m 2 − n 2 x2 + a26 x2 Sin m 2 − n 2 x2 + a27Cos m 2 − n 2 x2 + a28 Sin m 2 − n 2 x2 )]. Здесь как и ранее принято n1 = n2 = n3 = n, m1 = m и l1 = l . 14

Точно также при Χ1,1 = Χ 2,1 = Χ 3,1 и Χ1, 2 = Χ 2, 2 = Χ 3, 2 можно получить Φ 2 = ( a29e nx1 + a30e − nx1 )(a31Cos m 2 − n 2 x2 + a32 Sin m 2 − n 2 x2 )[(a33 x42Coslx4 + a34 x42 Sinlx4 + a35 x4Coslx4 + a36 x4 Sinlx4 + a37Coslx4 + a38 Sinlx4 )(a39e + ( a41x32e

2

2

m + l x3

+ a42 x32e −

2

2

m + l x3

* ( a47Coslx4 + a48 Sinlx4 ) + (a49 x3e

+ a43 x3e 2

2

m + l x3

2

2

m + l x3

+ a50 x3e −

m 2 + l 2 x3

+ a44 x3e − 2

2

m + l x3

+ a40e − 2

2

m + l x3

+ a51e

2

m 2 + l 2 x3

+ a45e 2

m + l x3

)+

m 2 + l 2 x3

+ a52e −

+ a46e − 2

2

m + l x3

m 2 + l 2 x3

)*

* ( a53 x4Coslx4 + a54 x4 Sinlx4 + a55Coslx4 + a56 Sinlx4 )].

При Χ1,1 = Χ 2,1 = Χ 3,1 и Χ1, 4 = Χ 2, 4 = Χ 3, 4 m 2 + l 2 x3

Φ 3 = (a57 e nx1 + a58e − nx1 )(a59Coslx4 + a60 Sinlx4 )[(a61x32e + a64 x3e −

m 2 + l 2 x3

+ a65e

m 2 + l 2 x3

+ a66e −

m 2 + l 2 x3

+ a62 x32e

m 2 + l 2 x3

+ a63 x3e

m 2 + l 2 x3

)(a67Cos m 2 − n 2 x2 + a68 Sin m 2 − n 2 x2 ) +

+ (a69 x22Cos m 2 − n 2 x2 + a70 x22 Sin m 2 − n 2 x2 + a71 x2Cos m 2 − n 2 x2 + a72 x2 Sin m 2 − n 2 x2 + + a73Cos m 2 − n 2 x2 + a74 Sin m 2 − n 2 x2 )(a75e + a78 x3e −

2

2

m + l x3

+ a79e

2

2

m + l x3

+ a80e −

2

2

m + l x3

m 2 + l 2 x3

+ a76e −

m 2 + l 2 x3

) + (a77 x3e

m 2 + l 2 x3

+

)(a81x2Cos m 2 − n 2 x2 + a82 x2 Sin m 2 − n 2 x2 +

+ a83Cos m 2 − n 2 x2 + a84 Sin m 2 − n 2 x2 )].

При Χ1, 2 = Χ 2, 2 = Χ 3, 2 и Χ1,3 = Χ 2,3 = Χ 3,3 Φ 4 = (a85Cos m 2 − n 2 x2 + a86 Sin m 2 − n 2 x2 )(a87 e

m 2 + l 2 x3

+ a88e −

m 2 + l 2 x3

) * [(a89 x12e nx1 −

− a90 x12e − nx1 + a91x1e nx1 + a92 x1e − nx1 + a93e nx1 + a94e − nx1 )(a95Coslx4 + a96 Sinlx4 ) + ( a97 x42Coslx4 + + a98 x42 Sinlx4 + a99 x4Coslx4 + a100 x4 Sinlx4 + a101Coslx4 + a102 Sinlx4 )(a103e nx1 + a104e − nx1 ) + + ( a105 x1e nx1 + a106 x1e − nx1 + a107e nx1 + a108e − nx1 )(a109 x4Coslx4 + a110 x4 Sinlx4 + + a111Coslx4 + a112 Sinlx4 )].

При Χ1,3 = Χ 2,3 = Χ 3,3 и Χ1,1 = Χ 2,1 = Χ 3,1 Φ 5 = (a113e

m 2 + l 2 x3

+ a114e −

m 2 + l 2 x3

)(a115e nx1 + a116e − nx1 )[(a117 x22Cos m 2 − n 2 x2 +

a118 x22 Sin m 2 − n 2 x2 + a119 x2Cos m 2 − n 2 x2 + a120 x2 Sin m 2 − n 2 x2 + a121Cos m 2 − n 2 x2 + + a122 Sin m 2 − n 2 x2 )(a123Coslx4 + a124 Sinlx4 ) + (a125 x42Coslx4 + a126 x42 Sinlx4 + a127 x4Coslx4 + + a128 x4 Sinlx4 + a129Coslx4 + a130 Sinlx4 )(a131Cos m 2 − n 2 x2 + a132 Sin m 2 − n 2 x2 ) + + (a133 x2Cos m 2 − n 2 x2 + a134 x2 Sin m 2 − n 2 x2 + a135Cos m 2 − n 2 x2 + a136 Sin m 2 − n 2 x2 ) * * ( a137 x4Coslx4 + a138 x4 Sinlx4 + a139Coslx4 + a140 Sinlx4 )].

При Χ1, 2 = Χ 2, 2 = Χ 3, 2 и Χ1, 4 = Χ 2, 4 = Χ 3, 4

15

+

)*

Φ 6 = (a141Cos m 2 − n 2 x2 + a142 Sin m 2 − n 2 x2 )(a143Coslx4 + a144 Sinlx4 )[(a145 x32e + a146 x32e −

m 2 + l 2 x3

+ a147 x3e

m 2 + l 2 x3

+ a148 x3e −

m 2 + l 2 x3

+ a149e

m 2 + l 2 x3

+ a150e

m 2 + l 2 x3

− m 2 + l12 x3

+

)*

* ( a151e nx1 + a152e − nx1 ) + ( a153 x12e nx1 + a154 x12e − nx1 + a155 x1e nx1 + a156 x1e − nx1 + a157 e nx1 + a158e − nx1 ) * m 2 + l 2 x3

* ( a159e + a164e −

m 2 + l 2 x3

+ a160e −

m 2 + l 2 x3

) + (a161x3e

m 2 + l 2 x3

+ a162 x3e −

m 2 + l 2 x3

+ a163e

m 2 + l 2 x3

+

) * (a165 x1e nx1 + a166 x1e − nx1 + a167e nx1 + a168e − nx1 )].

Таким образом, решение уравнения (3.1) имеет вид 6

Φ = ∑ Φi j =1

Решение уравнения (3.1) по методу Фурье, известно как Φ = (a1e nx1 + a2e − nx1 )(a3Cos m 2 − n 2 x2 + a4 Sin m 2 − n 2 x2 )(a5e + a6e −

m 2 + l 2 x3

m 2 + l 2 x3

+

)(a7Coslx4 + a8 Sinlx4 ).

В случае Μ слагаемых решение уравнения (3.1) по предлагаемому методу в символической форме может быть представлено аналогично (2.5), где а Χ1k = a N x1k e nx + a N +1 x1k e − nx + a N + 2 x1k −1e nx + a N + 3 x1k −1e − nx + ⋅ ⋅ ⋅ + a N + 2 k e nx + a N + 2 k +1e − nx , Χ 2 , Χ 3 , и Χ 4 совпадают с принятыми в (2.5) их значениями, за исключением индексов у a . В данном случае к каждому из этих индексов необходимо дополнительно прибавить k . В качестве некоторых возможных направлений практического использования предлагаемого метода разделения переменных укажем следующее: Известно, например, что решение задач теории упругости сводится к отысканию тех или иных форм решений бигармонического уравнения, способных удовлетворить поставленным граничным условиям. Число этих форм решений в настоящее время ограничено, в связи чем ряд задач остаётся не решенным. Предлагаемый метод разделения переменных при интегрировании бигармонического уравнения позволяет получать бесконечное число новых форм решений, некоторые из которых могут оказаться практически полезными в вышеуказанном смысле. Далее рассмотрим движение электромагнитной волны в вакууме, описываемое уравнением вида (3.1). Решение этого уравнения по методу Фурье для случая одномерного пространства определяет при постоянстве энергии излучения пакет плоских монохроматических волн, которые в сумме образуют незатухающую волну с постоянными во времени и пространстве амплитудой и частотой. Решение аналогичного волнового уравнения с помощью предлагаемого метода разделения переменных, определяет уже некоторую совокупность бесконечного числа волновых пакетов, которая образует волну с возрастающей, вследствие наличия в этом решении степенных множителей от x1 , x2 , x3 и x4 во времени и пространстве, амплитудой. Поскольку движение этой волны происходит без изменения энергии, то по закону её сохранения, с возрастанием 1

1

1

1

16

1

1

амплитуды должна убывать частота волны. Иными словами: при движении электромагнитной волны в вакууме должно наблюдаться смещение спектра волны в сторону более низких частот. Это, например, позволяет рассмотреть вопрос о “красном смещении”, наблюдаемой во Вселенной с позиции нерасширяющейся видимой её части.

Обозначения принятые в работе. xi - независимая переменная, i = 1÷ 4 . Φ1, i ( x1 ), Φ 2 ( x2 ), и Φ 3 ( x3 ) - функции, зависящие соответственно от x1 , x2 и x3 ; Χ1, i ; Χ 2, i ; Χ 3, i ; Χ 4, i и Χ 5, i - функции, зависящие от одной из переменных xi ;

постоянные i = 1, 2,...; N = 1, 2,... и j = 1, 2,... - порядковые номера. C1 ÷ C4 ; C1* ÷ C4* ; ai ; aN ; n j ; m j и l j

17

интегрирования,

где

О ПОЛУЧЕНИИ НОВЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ § 1 Новый метод разделения переменных (Предварительное рассмотрение) Как известно, для решения задач математической физики во многих случаях применим, так называемый метод Фурье (или иначе метод разделения переменных). Он заключается в том, что частное решение линейного дифференциального уравнения в частных производных (или в дальнейшем, для краткости, просто уравнения) находится в виде произведения функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной. При этом число указанных функций-сомножителей всегда равно числу независимых переменных. Например, частное решение простейшего уравнения эллиптического типа – уравнения Лапласа, в случае двух независимых переменных ζ и ϕ ∂ 2 Φ 1 ∂Φ 1 ∂ 2 Φ + + =0 ∂r 2 r ∂r r ∂ϕ 2

(1.1)

Находится в виде Φ = R ( r ) ⋅ θ (ϕ ) , где R(r ) и θ (ϕ ) - функции, зависящие соответственно лишь от одной переменной r или ϕ . Для получения более общего или, как говорят, обобщенного решения линейного уравнения, вследствие его линейности все частные решения суммируются. Например, для уравнения (1.1) обобщенным решением будет являться выражение: ∞

Φ = ∑ Ri ( r )θ i (ϕ ) , i =1

где индекс i - определяет фундаментальные числа конкретной физической задачи. Не останавливаясь на подробном рассмотрении метода Фурье и его возможностях, которые можно найти во всех курсах по уравнениям математической физики, отметим лишь следующие два момента, касающихся этого метода, общность которых при внимательном рассмотрении может быть поставлена под сомнение: 18

а) определение методом Фурье частного решения уравнения в виде произведения числа функций (каждая из которых зависит лишь от одной переменной), равного числу независимых переменных, с точки зрения получения наиболее общего вида решения не является строго обоснованным. При построении частного решения методом разделения переменных число функций, зависящих лишь от одной переменной и входящих в это решение, может быть принятым и большим числа независимых переменных. б) решение уравнения, полученное методом Фурье или другим известным методом, содержит число произвольных постоянных равное произведению порядка уравнения на число его независимых переменных. Это положение также не имеет строго обоснования. Тем не менее решение, содержащее указанное число постоянных молчаливо принимается за общее решение. Исключение в этом вопросе составляют обыкновенные дифференциальные уравнения, где теория строго обосновывает число произвольных постоянных в зависимости от порядка уравнения. Таким образом можно, по-видимому предположить, что решение уравнения может содержать большее число произвольных постоянных, нежели обычно. В дальнейшем будет показано, что высказанные здесь оба суждения (а и б) являются не безосновательными и при соответствующей обработке приводят к новым качественным результатам. В настоящем параграфе изложен новый метод разделения переменных линейных дифференциальных уравнений в частных производных, являющийся более общим, чем метод Фурье и включающий его как некоторый частный случай. Рассмотрение и обоснование метода проведено на примере решения уравнения Лапласа, имеющего важное прикладное значение в физике. Новый метод заключается в том, что частное решение уравнения от n независимых переменных находится в виде суммы n слагаемых, каждое из которых, в свою очередь является произведением n произвольных, зависящих только от одной из самостоятельных переменных, функций. При этом на слагаемые не накладывается условие, чтобы они по отдельности являлись решением рассматриваемого уравнения. Если такое условие наложить, то мы придём к решению ничем не отличающемуся от решения, полученного методом Фурье. Итак, следуя изложенному, будем искать частное решение уравнения (1.1) в виде суммы (1.2) Φ = f1( r ) ⋅ θ (ϕ ) + f 2 (ϕ ) ⋅ R( r ) , где R( r ) , f1( r ) и θ (ϕ ) , f 2 (ϕ ) - функции, зависящие от одной переменной ζ или ϕ. Подставляя (1.2) в (1.1) и преобразовывая, имеем f ′′ f ′ f θ ′′ f ⎛ R ′′ R ′ ⎞ f ′′ r2 1 + r 1 + 1 = − 2 ⎜r2 +r ⎟− 2 . (1.3) R R R θ R⎠ θ θ ⎝ R Поскольку функции R и θ оставались произвольными, то для полного разделения переменных достаточно в выражении (1.3) положить 19

θ ′′ = −n 2 ; θ

(1.4)

R′′ R′ r + r = n2 , R R 2

где n - некоторая постоянная (параметр). Условия (1.4) аналогичны требованию, чтобы выражение Rθ = (C1* r n + C2* r − n )(C3*Cosnϕ + C4* Sinnϕ ) (1.5) являлось известным решением (1.1), получаемым методом Фурье. Условия (1.4) назовём первой вариацией параметра n . Таким образом, левая часть (1.3) зависит только от r и не зависит от ϕ , а правая – наоборот, следовательно, каждая из них не зависит ни от r , ни от ϕ , т.е. они постоянны. Обозначим эту постоянную через m , тогда из (1.3) следует, что r 2 f1′′+ rf1′ − n 2 f1 = m 2 R ⎫⎪ ⎬. ⎪⎭ f 2′′ + n 2 f 2 = − m 2θ

(1.6)

Решая последние два уравнения методом вариации постоянных, находим: f1 = C1**r n ln r − C2**r − n ln r + C3*r n + C4 r − n f 2 = C7*Cosnϕ + C8*Sinnϕ + C4**ϕCosnϕ − C3**ϕSinnϕ .

После подстановки найденных значений функций R, θ , f1 и f 2 в (1.2) и некоторых преобразований, частное решение уравнения (1.1) окончательно принимает вид: Φ i = (C1,i r ni + C2,i r − ni )(C3,i Cosniϕ + C4,i Sinniϕ ) + (C5,i r ni ln r + C6,i r − ni ln r ) * * (C7,i Cosniϕ + C8,i Sinniϕ ) + ( −C5,i r ni + C6,i r − ni )(C8,iϕCosniϕ − C7,iϕSinniϕ ),

(1.7)

где C1,i , C2,i , C3,i , C4,i , C5,i , C6,i , C7 ,i , C8,i - постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий. Как видно из (1.7) оно содержит два различных по структуре самостоятельных решений уравнения (1.1). Первое из них, совпадающее с известным решением уравнения Лапласа и представляющее гармоническую в современном понимании функцию, обозначим как (1.8) Φ *i = (C1,i r n + C 2,i r − n )(C3,i Cosniϕ + C 4,i Sinniϕ ) . Второе решение, содержащее два непериодических слагаемых, каждое из которых в отличие от (1.8) не удовлетворяет (1.1), обозначим Φ *i * = (C5,i r n ln ζ + C 6,i r − n ln r )(C 7 ,i Cosniϕ + C8,i Sinniϕ ) + ( −C5,i r n + C 6,i r − n ) * (1.9) * (C8,iϕCosniϕ − C 7 ,iϕSinniϕ ) и назовём квазигармонической функцией. Функцию (1.7), включающую в себя как гармоническую, так и квазигармоническую составляющие будем в дальнейшем называть гармонической в целом функцией. i

i

i

i

i

20

i

Параметр m , введённый нами при разделении переменных, входит в состав коэффициентов С5,i ÷ C8,i в качестве множителя и определяется совместно с ними из граничных условий. В связи с этим он не может определять фундаментальных чисел конкретной задачи как, например, параметр n . В остальном m остаётся произвольным и на него, следовательно, может быть наложено одно из полезных для нас условий. При m = 0 Φ*i * также равно нулю и (1.7) принимает вид (1.8). Формула (1.7) дающая частные решения уравнения (1.1), получает существенно различный вид в зависимости от того, какое значение (или вариацию) имеет параметр n . Второй вариацией параметра назовём условие, когда n = 0 . Решение уравнения (1.1) при этом выглядит так: Φ n = 0 = (C1 ln r + C2 )(C3ϕ + C4 ) + (C5 ln 3 r + C6 ln 2 r )(C7ϕ + C8 ) − (C5 ln r +

C6 )* 3

* (C7ϕ 3 + 3C6ϕ 2 ).

Первое произведение, стоящее в правой части, является обычным решением, получаемым с помощью метода Фурье при n = 0 . Третьей вариацией параметра назовём условия: R′′ R′ θ ′′ + r = γ 22 . = −γ 12 и r 2 R R θ В этом случае частным решением уравнения (1.1) служит выражение: Φγ = (С1r γ + С2 r −γ )(С3Сosγ 2ϕ + С4 Sinγ 2ϕ ) + (С5r γ + С6 r −γ )(С7Сosγ 1ϕ + С8 Sinγ 1ϕ ) . Другие значения параметра n , которые могут иметь место, будут являться производными от рассмотренных выше вариаций. Естественно далее предположить, что в рассматриваемой задаче чисел ni может быть бесконечно много. При этом могут представлять интерес только те из них, которые определяют не тривиальное решение уравнения (1.1). В качестве такого решения можно рассмотреть ряд 2

2

1

∞

Φ = ∑ Φi ,

1

(1.10)

i =1

равномерно сходящийся при некоторых условиях к обобщённому решению Φ уравнения (1.1). Полученное нами решение вида (1.10) пока является чисто формальным, т.к. ещё не ставился вопрос о граничных условиях задачи и не требовалось от этого решения удовлетворения этим граничным условиям. Кроме того необходимо также предварительно определить условия при которых ряд (1.10) сходится. § 2 Общие свойства гармоничных и квазигармоничных функций Теорема 1. Фундаментальные функции вида f 2 , удовлетворяющие при ϕ = ϕ1 и ϕ = ϕ2 граничным условиям αf 2′ + βf 2 = 0 , где α и β постоянные, обладают свойством обобщённой ортогональности, т.е. 21

ϕ2

∫ϕ f

f dϕ = 0 при i ≠ j .

2,i 2, j

1

Действительно по построению своему функции вида f 2 удовлетворяют второму уравнению (1.6), если заменить в нём n 2 на ni2 и n2j , a m2 на mi2 и m2j . Тогда f 2′′,i + ni2 f 2,i + mi2θ i = 0 ⎫⎪ ⎬. f 2′′, j + n 2j f 2, j + m 2jθ j = 0⎪⎭

(2.1)

Умножим первое уравнение на θ j , а второе на θ i и вычтем почленно одно из другого. Интегрируя затем полученное выражение по промежутку (ϕ1 , ϕ2 ) , находим: ϕ2

ϕ2

ϕ2

ϕ2

ϕ1

ϕ1

ϕ1

ϕ1

2 2 2 2 ∫ ( f 2′′,iθ j − θi f 2′′, j )dϕ + ni ∫ f 2,iθ j dϕ − n j ∫ f 2, jθi dϕ + (mi − m j ) ∫ θiθ j dϕ = 0 .

Берём первый интеграл по частям дважды ϕ2

∫

ϕ1

ϕ2

f 2′′, iθ j dϕ = ( f 2′,iθ j − f 2,iθ ′j )ϕϕ12 − n 2j ∫ f 2,iθ j dϕ . ϕ1

Производя точно такие же действия со вторым интегралом и подставляя полученные результаты в исходное равенство, имеем: ϕ2

ϕ2

1

ϕ2

∫ θi f 2, j dϕ + ∫ f 2, jθ j dϕ = − ni2 − n 2j [( f 2′,iθ j − f 2,iθ ′j )ϕ

ϕ1

1

ϕ1

+ ( f 2, jθi′ − f 2′, jθ i )ϕϕ12 +

(2.2)

ϕ2

+ ( mi2 − m 2j ) ∫ θiθ j dϕ ]. ϕ1

Умножим далее первое уравнение (2.1) на f 2′′, j , а второе на f 2′′,i и вычтем почленно одно из другого. Интегрируя полученное выражение, как и ранее по промежутку (ϕ1 , ϕ2 ) , находим: ϕ2

ϕ2

ϕ2

ϕ2

ϕ1

ϕ1

ϕ1

ϕ1

ni2 ∫ f 2, i f 2′′, j dϕ − n 2j ∫ f 2, j f 2′′,i dϕ + mi2 ∫ θ i f 2′′, j dϕ − m 2j ∫ θ j f 2′′, i dϕ = 0 .

Берём третий и четвёртый интегралы по частям дважды. После уже известных преобразований получаем: ϕ2

ϕ2

ϕ1

ϕ1

ϕ2

ϕ2

ϕ1

ϕ1

mi2 ni2 ∫ f 2, jθi dϕ − m 2j n 2j ∫ f 2,iθ j dϕ = ni2 ∫ f 2,i f 2′′, j dϕ − n 2j ∫ f 2, j f 2′′,i dϕ + [mi2 ( f 2′, jθ i − f 2 jθ i′) + + m 2j ( f 2,iθ ′j

− f 2′,iθ j )]ϕϕ12 .

Умножим затем первое уравнение (2.1) на n 2j f 2, j , а второе на ni2 f 2,i . Проведя преобразования аналогичные предыдущим, приходим к следующему выражению:

22

2 i

m n

2 j

ϕ2

∫ θ i f 2, j dϕ − m

ϕ1

2 2 j i

n

ϕ2

ϕ2

∫ θ j f 2,i dϕ = n ∫ 2 i

ϕ1

ϕ1

ϕ2

f 2,i f 2′′, j dϕ − n 2j ∫ f 2, j f 2′′,i dϕ . ϕ1

Исключая из последних двух равенств слагаемое ϕ2 2 i

n

∫f

f ′′ dϕ − n

2,i 2, j

ϕ2 2 j

ϕ1

∫f

2, j

f 2′′,i dϕ ,

ϕ1

получаем ϕ2 2 i

m

∫f ϕ

θ dϕ + m

2, j i

1

ϕ2 2 j

∫f ϕ

θ j dϕ =

2,i

1

[

]

ϕ2 1 mi2 ( f 2′, jθ i − f 2, jθ i ) + m 2j ( f 2,iθ ′j − f 2′,iθ j ) ϕ . (2.3) 2 1 n − nj 2 i

Наконец, умножим первое уравнение (2.1) на f 2, j , а второе на f 2,i и соблюдая вышеприведённую последовательность действий, имеем 2 i

m

ϕ2

ϕ2

∫ θ i f 2, j dϕ − m ∫ f 2,iθ j dϕ = (n 2 j

ϕ1

2 i

ϕ1

ϕ2

− n ) ∫ f 2,i f 2, j dϕ −( f 2′,i f 2, j − f 2′, j f 2,i )ϕϕ12 .(2.4) 2 j

ϕ1

Преобразуем (2.2) ϕ2

ϕ2

mi2 ∫ θ i f 2, j dϕ = − m 2j ∫ f 2,iθ j dϕ − ϕ1

ϕ1

mi2 [( f 2′,iθ j − f 2,iθ ′j )ϕϕ12 + ( f 2, jθ i′ − f 2′, jθ i )ϕϕ12 + 2 2 ni − n j

ϕ2

+ ( mi2 − m 2j ) ∫ θiθ j dϕ ], ϕ1

и подставим сначала в (2.3) ϕ2

(m 2j

− mi2 )

∫

f 2,iθ j dϕ =

ϕ1

[

]

ϕ2 1 mi2 2 2 ′ ′ ′ ′ m ( f θ − f θ ) + m ( f θ − f θ ) + * i j i j i j i j i j 2 , 2 , 2 , 2 , ϕ1 ni2 − n 2j ni2 − n 2j ϕ2

,

*{[( f 2′,iθ j − f 2,iθ ′j )ϕϕ12 + ( f 2, jθ i′ − f 2′, jθ i )]ϕϕ12 + (mi2 − m 2j ) ∫ θ iθ j dϕ}, ϕ1

а затем в (2.4) − ( m 2j

ϕ2

∫

− mi2 )

f 2,iθ j dϕ =

−(ni2

ϕ2

− n 2j )

ϕ1

*[(mi2

ϕ2

− m 2j )

∫

ϕ1

f 2,i f 2, j dϕ − ( f 2′,i f 2, j − f 2′, j f 2,i )ϕϕ12 + ϕ2

∫ θiθ j dϕ + ( f 2′,iθ j − f 2,iθ ′j )ϕ

1

ϕ1

mi2 * ni2 − n 2j

+ ( f 2, jθ i′ − f 2′, jθ i )ϕϕ12 ].

Исключая из последних двух выражений

ϕ2

∫f

θ j dϕ , после преобразования

2,i

ϕ1

находим: (ni4

ϕ2

− n 4j )

∫ f 2,i f 2, j dϕ =

−2mi2 m 2j

ϕ1

ϕ2

∫ θiθ j dϕ − [(ni

2

ϕ1

+ m 2j ( f 2′,iθ j − f 2,iθ ′j ) − mi2 ( f 2, jθ i′ − f 2′, jθ i )]ϕϕ12 .

Согласно определения

23

− n 2j )( f 2′,i f 2, j − f 2′, j f 2,i ) +

(2.5)

αf 2′(ϕ ) + β f 2(ϕ ) = 0 ⎫⎪ ⎬. αf 2′(ϕ ) + β f 2 (ϕ ) = 0⎪⎭ 1

(2.6)

1

2

2

Поскольку условию (2.6) должны удовлетворять все частные решения уравнения (1.1), то αf 2′,i (ϕ ) + βf 2,i (ϕ ) = 0 ⎫⎪ ⎬. αf 2′, j (ϕ ) + βf 2, j (ϕ ) = 0⎪⎭ 1

(2.7)

1

1

1

Умножая первое уравнение (2.7) на f 2, j (ϕ ) , второе на f 2,i (ϕ ) и вычитая почленно одно из другого, получаем 1

f 2′,i (ϕ1 ) f 2, j (ϕ1 ) − f 2′, j (ϕ1 ) f 2,i (ϕ1 ) = 0 ⎫ ⎪ Точно также находим ⎬ f 2′, i (ϕ 2 ) f 2, j (ϕ 2 ) − f 2′, j (ϕ 2 ) f 2,i (ϕ 2 ) = 0⎪⎭

1

(а)

По построению f 2

αθ ′j (ϕ1 ) + βθ j (ϕ1 ) = 0⎫

⎬.

(2.8)

αθi′(ϕ1 ) + βθ i (ϕ1 ) = 0 ⎭

Умножая первое уравнение (2.7) на θ j (ϕ1 ) и первое уравнение (2.8) на f 2, i (ϕ1 ) и преобразовывая уже известным образом, имеем: f 2′, i (ϕ1 )θ j (ϕ1 ) − θ ′j (ϕ1 ) f 2, i (ϕ1 ) = 0 ⎫ ⎪ и аналогично ⎬. f 2′,i (ϕ 2 )θ j (ϕ 2 ) − θ ′j (ϕ 2 ) f 2,i (ϕ 2 ) = 0⎪⎭

(b)

Производя подобные действия со вторыми уравнениями (2.7) и (2.8), легко определить, что f 2, j (ϕ1 )θ i′(ϕ1 ) − θ i (ϕ1 ) f 2′, j (ϕ1 ) = 0 ⎫ (c) ⎬. f 2, j (ϕ 2 )θ i′(ϕ 2 ) − θ i (ϕ 2 ) f 2′, j (ϕ 2 ) = 0⎭ Сравнивая полученные результаты (a), (b) и (c) с правой частью (2.5) и вспоминая, что при i ≠ j

ϕ2

∫ θ θ dϕ = 0 убеждаемся в справедливости теоремы. i

j

ϕ1

Доказательство соотношения

ϕ2

∫ θ θ dϕ = 0 i

j

при i ≠ j было дано впервые

ϕ1

академиком В.А. Стекловым. Следствие

При i ≠ j

ϕ2

∫f ϕ 1

θ j dϕ =

2,i

ϕ2

∫f ϕ

θ dϕ = 0 и

2, j i

1

ϕ2

∫f ϕ

f dϕ = 0 ,

* * 2,i 2, j

1

где f 2*(i , j ) = C(i , j )ϕCosn(i , j )ϕ + d(i , j )ϕSinn(i , j )ϕ , C( i , j ) и d ( i , j ) - произвольные постоянные. Теорема 2

24

Если ni одно из фундаментальных чисел рассматриваемой задачи о фундаментальных функциях, а f 2,i соответствующая ему нормированная фундаментальная функция, то для любой непрерывно дифференцируемой функции ψ (ϕ ) в интервале (ϕ1 ,ϕ2 ) всегда можно подобрать такое значение mi , что ϕ2

G ( f 2,i ,ψ ) = ni2 ∫ θ iψdϕ = ni2 H (θ i ,ψ ) , ϕ1

где G ( f 2,i ,ψ ) и H (θ i ,ψ ) - соответствующие билинейные функционалы. Действительно интегрируя функционал G ( f 2,i ,ψ ) по частям и принимая во внимание первое уравнение (2.1), получаем ϕ2

G ( f 2,i ,ψ ) = ∫ ( − f 2′,iψ ′ + ni2 f 2,iψ )dϕ = − f 2′,iψ ϕ1

= − f 2′,iψ

ϕ2 ϕ1

ϕ2 ϕ1

ϕ2

+ ∫ψ ( f 2′′,i + ni2 f 2,i ) dϕ = ϕ1

ϕ2

− mi2 ∫ θiψdϕ . ϕ1

Поскольку mi2 оставалось произвольным, то полагая его равным −

f 2′, iψ

ϕ2 ϕ1

H (θ i ,ψ )

− ni2 ,

получаем тем самым подтверждение теоремы. Если ψ (ϕ ) на границах интервала обращается в нуль, то на mi2 при доказательстве не требуется накладывать указанного выше условия. Следствие Если фундаментальные функции θ i и f 2,i отнормировать так, чтобы ϕ2

∫θ

i

f 2 , i dϕ = 1

ϕ1

(для чего достаточно умножить эти функции соответственно на величину 1 ϕ2 ϕ1 i

f θ dϕ

) то G ( f 2,i ) = ni2 .

Принимая во внимание следствие теоремы 1, получаем G ( f 2, i , f 2, j ) = 0 при i ≠ j . Теорема 3

Фундаментальные числа ni ограничены снизу ϕ2

ϕ2

ϕ1

ϕ1

В самом деле G ( f 2,i ) = ∫ (− f 2′,2i + ni2 f 22,i )dϕ > − ∫ f 2′,2i dϕ . Т.к. интеграл стоящий в правой части (если произвести его непосредственное вычисление и учесть, забегая несколько вперёд, что C7* = Ai и C4** = Ci выражаются как (2.13), а Ai ni и Ci ni как видно из (2.14) – суть величины ограниченные и представляют собой некоторую постоянную) есть величина ограниченная, то функционал G ( f 2,i ) ограничен снизу. Учитывая, что при 25

H (θ i , f 2, i ) = 1 ,

G ( f 2,i ) = ni2 , получаем, что фундаментальные числа

ni

также

ограничены снизу. Результаты всех приведённых выше доказательств справедливы также в случае граничных условий вида f 2′(ϕ = ϕ1 ) = 0 ⎫ f 2 (ϕ = ϕ1 ) = 0 ⎫ ⎬ или ⎬. f 2′(ϕ = ϕ2 ) = 0⎭ f 2 (ϕ = ϕ2 ) = 0⎭

В последнем легко убедиться, применяя изложенные выше приёмы.

Теорема 4

Произвольная достаточно гладкая в интервале (ϕ1 ,ϕ2 ) функция F (ϕ ) удовлетворяющая граничным условиям F (ϕ1 ) = F (ϕ2 ) = 0 может быть предоставлена в этом интервале равномерно сходящимся рядом вида ∞

∞

i =1

i =1

F (ϕ ) = ∑ f 2, i = ∑ ( Ai Cosniϕ + Bi Sinniϕ + CiϕCosniϕ + d iϕSinniϕ ) ,

(2.9)

где ni всё возрастающая последовательность фундаментальных чисел n1 < n2 < n3 < ⋅ ⋅ ⋅ < ni < ⋅ ⋅ ⋅ , Ai , Bi , Ci , di - постоянные, определяемые выражениями ϕ2

Ai =

ϕ2

ϕ2

2 2 ∫ F (ϕ )(Cosniϕ + ki Sinniϕ )dϕ ∫ ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ ) dϕ − ∫ F (ϕ )ϕ (Cosniϕ +

ϕ1

ϕ1

ϕ1

ϕ2

ϕ2

∫ (Cosn ϕ + k Sinn ϕ ) dϕ ϕ∫ ϕ ϕ 2

i

i

i

1

2

(Cosniϕ + Li Sinniϕ ) 2 dϕ −

1

ϕ2

+ Li Sinniϕ )dϕ ∫ ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )(Cosniϕ + k i Sinniϕ )dϕ ϕ1

⎡ϕ ⎤ − ⎢ ∫ ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )(Cosniϕ + k i Sinniϕ )dϕ ⎥ ⎣ϕ ⎦ 2

2

1

ϕ2

Ci =

ϕ2

ϕ2

∫ F (ϕ )ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )dϕ ∫ (Cosniϕ + ki Sinniϕ ) dϕ − ∫ ϕ (Cosniϕ +

ϕ1

ϕ1

ϕ2

2

ϕ1

ϕ2

2 2 2 ∫ (Cosniϕ + ki Sinniϕ ) dϕ ∫ ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ ) dϕ −

ϕ1

ϕ1

ϕ2

+ Li Sinniϕ )(Cosniϕ + k i Sinniϕ )dϕ ∫ F (ϕ )(Cosniϕ + k i Sinniϕ )dϕ ϕ1

⎡ϕ 2 ⎤ − ⎢ ∫ ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )(Cosniϕ + k i Sinniϕ )dϕ ⎥ ⎣ϕ1 ⎦ Bi = ki Ai ; di = LiCi

где

26

2

(ϕ 2 − ϕ1 )Cosniϕ1Cosniϕ 2 − Liϕ1 Sinniϕ1Cosniϕ 2 + Liϕ 2 Cosniϕ1 Sinniϕ 2 , ϕ 2 Li Sinniϕ1 Sinniϕ 2 + ϕ 2 Sinniϕ1Cosniϕ 2 − ϕ1Cosniϕ1 Sinniϕ 2 а Li является корнем некоторого алгебраического уравнения четвёртой степени. В связи с тем, что каждая из фундаментальных функций f 2,i содержит четыре произвольных постоянных (а не две как, например, в случае разложения F (ϕ ) в ряд Фурье), то представляется возможным, как правило, вне зависимости от принятого числа членов в разложении (2.9) точно удовлетворить значениям функции F (ϕ ) на границах рассматриваемого интервала. ki = −

Указанное обстоятельство не всегда может быть выполнено при разложении F (ϕ ) в ряд Фурье. С целью упрощения доказательства теоремы в определении приняты нулевые граничные условия. Однако эта теорема, как и последующая, может быть доказана для ряда более общих граничных условий. При этом рассуждения в доказательствах не будут иметь никаких принципиальных отличий от приведённых выше. Рассмотрим ряд Μ

F * (ϕ ) = ∑ [ Ai (Cosniϕ + ki Sinniϕ ) + Ciϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )] ,

(2.10)

i =1

в котором Bi = ki Ai , а di = LiCi . Функции, составляющие этот ряд, ограничены и интегрируемы каждая по себе в интервале (ϕ1 , ϕ2 ) . Поэтому F * (ϕ ) , а, следовательно, и F (ϕ ) − F * (ϕ ) (здесь предполагается сначала, что F (ϕ ) непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая сформулированным в определении теоремы граничным условиям) можно рассматривать как функции с интегрируемым квадратом. Составим интеграл ϕ2

δ i = ∫ [ F (ϕ ) − F * (ϕ )]2 dϕ ,

(2.11)

ϕ1

характеризующий среднеквадратичную ошибку приближения F * (ϕ ) к F (ϕ ) в интервале (ϕ1 , ϕ2 ) . Величину δ i можно рассматривать как функцию от коэффициентов Ai и Ci и наилучшее приближение F * (ϕ ) к F (ϕ ) получится тогда, когда эти коэффициенты будут выбираться из условий ∂δ i ∂δ = ⋅⋅⋅ = i = ⋅⋅⋅ = 0 . ∂Ai ∂Ci

Дифференцируем δ i по Ai

27

ϕ2

Μ

ϕ1

i =1

∫{F (ϕ ) − ∑[ Ai (Cosniϕ + ki Sinniϕ ) + Ciϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )]}(Cosniϕ + ki Sinniϕ )dϕ = 0 (2.12)

И затем по Сi ϕ2

Μ

ϕ1

i =1

∫{F (ϕ ) − ∑[ Ai (Cosniϕ + ki Sinniϕ ) + Ciϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )]}(Cosniϕ + Li Sinniϕ )dϕ = 0.

Принимая во внимание следствие теоремы 1 и решая совместно полученные уравнения относительно Ai и Ci , находим

⎫ + + − + F ( ϕ )( Cosn ϕ k Sinn ϕ ) d ϕ ϕ ( Cosn ϕ L Sinn ϕ ) d ϕ F ( ϕ ) ϕ ( Cosn ϕ i i i i i i i ∫ ∫ ∫ ⎪ ϕ ϕ ϕ ⎪ Ai = ϕ ϕ ⎪ 2 2 2 ∫ϕ (Cosniϕ + ki Sinniϕ ) dϕ ϕ∫ ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ ) dϕ − ⎪ ⎪ ϕ ⎪ + Li Sinniϕ )dϕ ∫ ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )(Cosniϕ + k i Sinniϕ )dϕ ⎪ ϕ ⎪ 2 ⎪ ⎤ ⎡ϕ ⎪ − ⎢ ∫ ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )(Cosniϕ + k i Sinniϕ )dϕ ⎥ ⎪ ϕ ⎦ ⎣ ⎬ ϕ ϕ ϕ 2 ⎪ ∫ϕ F (ϕ )ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )dϕ ϕ∫ (Cosniϕ + k i Sinniϕ ) dϕ − ϕ∫ ϕ (Cosniϕ + ⎪ Ci = ⎪ ϕ ϕ 2 2 2 ⎪ ∫ϕ (Cosniϕ + k i Sinniϕ ) dϕ ϕ∫ ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ ) dϕ − ⎪ ⎪ ϕ ⎪ + Li Sinniϕ )(Cosniϕ + k i Sinniϕ )dϕ ∫ F (ϕ )(Cosniϕ + k i Sinniϕ ) dϕ ⎪ ϕ ⎪ 2 ⎪ (2.13) ⎤ ⎡ϕ − ⎢ ∫ ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )(Cosniϕ + k i Sinniϕ )dϕ ⎥ ⎪ ⎦ ⎣ϕ ⎭ Легко видеть, что найденные значения Ai и Ci не только соответствуют минимуму δ i , но и ограничены при ni → ∞ . Действительно в точке минимума должно выполняться неравенство ϕ2

ϕ2

1

2

2

ϕ2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

∂ 2δ i ∂ 2δ i ⎛ ∂ 2δ i ⎞ ⎟ > 0. ∗ −⎜ ∂Ai2 ∂Ci2 ⎜⎝ ∂Ai ∂Ci ⎟⎠

28

Произведя соответствующие дифференцирования и подставляя результаты в это неравенство, после простых преобразований получаем ϕ2

ϕ2

∫ (Cosn ϕ + k Sinn ϕ ) dϕ ϕ∫ (Cosn ϕ + L Sinn ϕ ) ϕ dϕ − ϕ 2

i

i

2

i

1

i

i

2

i

1

2

⎡ϕ ⎤ − ⎢ ∫ ϕ (Cosniϕ + k i Sinniϕ )(Cosniϕ + Li Sinniϕ )dϕ ⎥ > 0 ⎣ϕ ⎦ при всех ni не обращающих левую часть неравенства в нуль. Сравнивая полученное выражение с известным неравенством Буняковского, непосредственно убеждаемся в соответствии (2.13) минимуму δ i , когда ki и Li таковы, что неравенство не обращается в тождество. Обозначим максимумы функций F (ϕ ), ϕ 2 , F (ϕ )ϕ и ϕ соответственно как T1 , T2 , T3 и T4 . Тогда из (2.13) 2

1

ϕ2

ϕ2

ϕ1

ϕ2

ϕ1 ϕ2

ϕ1

ϕ1

T1T2 ∫ (Cosniϕ + k i Sinniϕ )dϕ ∫ (Cosniϕ + Li Sinniϕ ) 2 dϕ −

Ai ≤

T2 ∫ (Cosniϕ + k i Sinniϕ ) 2 dϕ ∫ (Cosniϕ + Li Sinniϕ ) 2 dϕ − ϕ2

ϕ2

ϕ1

ϕ1

− T3T4 ∫ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )dϕ ∫ (Cosniϕ + k i Sinniϕ )(Cosniϕ + Li Sinniϕ )dϕ 2

⎡ϕ ⎤ T ⎢ ∫ (Cosniϕ + k i Sinniϕ )(Cosniϕ + Li Sinniϕ )dϕ ⎥ ⎣ϕ ⎦ Предварительно полагая ki и Li ограниченными (в этом мы убедимся в дальнейшем) и, взяв интегралы, стоящие в правой части неравенства, получаем 2 4

2

1

ϕ

Ai ≤

2 ⎧ ⎤ ⎫⎪ 1 1 ⎡1 + L2i ϕ2 1 ⎪ 2 T1T2 (− Sinniϕ + LiCosniϕ )ϕ1 ⋅ ⎨(1 + Li )ϕ + ⎢ Sin 2niϕ − Li Cos 2niϕ ⎥ ⎬ − 2 ⎪⎩ ni ni ⎣ 2 ⎦ ⎪⎭ϕ1

− T3T4

ϕ

2 1⎧ 1 ⎡1 1 ⎡1 ⎤⎫ ⎧ 2 2 T2 ⎨(1 + ki )ϕ + ⎢ Sin 2niϕ (1 − ki ) − ki Cos 2niϕ ⎥ ⎬ ⎨(1 + L2i )ϕ + ⎢ Sin 2niϕ * 4⎩ ni ⎣ 2 ni ⎣ 2 ⎦ ⎭ϕ1 ⎩

⎧ 1 (− Sinniϕ + LiCosniϕ )ϕϕ12 − 1 ⎨(1 + ki Li )ϕ + 1 [(1 − ki Li )Sin2niϕ − (ki + Li )Cos 2niϕ ]}ϕϕ12 ni 2⎩ 4ni ϕ ⎫ 2 1⎧ 1 2 * (1 − Li ) − ⎨(1 + ki Li )ϕ + [(1 − ki Li ) Sin 2niϕ − (ki + Li )Cos 2niϕ ]⎬ 4⎩ 4ni ⎭ϕ 1

29

(2.14)

Т.к. при ni → ∞ правая часть неравенства стремится к нулю, то lim Ai = 0 . ni → ∞

Точно также можно установить, что lim Ci = 0 . Если построить ряд ni → ∞

отбросив члены второго порядка малости, содержащие множитель

∞

∑A , i =1

i

то,

1 , придём ni2

как следует из (2.14), к рассмотрению ряда ∞

⎡ aSinniϕ

i =1

⎣

∑⎢

ni

+

bCosniϕ ni

⎤ ⎥, ⎦

(2.15)

где a и b некоторые постоянные, не зависящие от ni . Принимая для оценки сходимости этого ряда интегральный признак Коши, находим, что несобственный интеграл ∞

⎡ aSinniϕ

∫⎢ α

ni

⎣

+

bCosniϕ ⎤ ⎥dni ni ⎦

есть величина конечная ( α ≠ 0 , т.к. ni ≠ 0 ). Поэтому ряд (2.15), а, следовательно, и ряд

∞

∑A i =1

i

является сходящимся. Отсюда непосредственно вытекает, что ряд

∞

∑ Ai и по аналогии ряд i =1

∞

∑С i =1

i

- абсолютно сходятся.

Покажем далее, что система функции вида f 2 обладает полнотой и ряд (2.10) сходится к F (ϕ ) “в среднем”, т.е. lim δ i = 0 , что равносильно lim δ i = 0 . Μ →∞

ni → ∞

Введём обозначения Μ

FΜ (ϕ ) = F (ϕ ) − ∑ [ Ai (Cosniϕ + ki Sinniϕ ) + Ci (Cosni + Li Sinni )ϕ ]; i =1

PΜ (ϕ ) = FΜ (ϕ ) / δ i

Поставим задачу о нахождении минимума функционала ϕ2

G ( PΜ ) = ∫ [− PΜ′2(ϕ ) + ni2 PΜ2 (ϕ ) ]dϕ ϕ1

при дополнительном условии ϕ2

H ( PΜ ) = ∫ θ i PΜ (ϕ ) dϕ = 1 . ϕ1

На основании теоремы Эйлера можно утверждать, что функции, дающие решение поставленной задачи, должны быть экстремалями функционала [1.3] ϕ2

G ( PΜ ) + 2m H ( PΜ ) = ∫ [ − PΜ′2(ϕ ) + ni2 PΜ2 (ϕ ) + 2mi2θ i PΜ (ϕ ) ]dϕ , 2 i

ϕ1

30

для которого уравнение Эйлера PΜ′′ (ϕ ) + n[2 PΜ (ϕ ) = −mi2θi

в точности совпадает со вторым уравнением (1.6). Если коэффициенты Ai и Ci выбраны как (2.13), то

ϕ2

∫ϕ P

f dϕ = 0 , где

Μ (ϕ ) 2 , i

1

i = 1, 2, 3,..., Μ . Т.к. кроме того,

граничные условия задачи о собственных значениях и рассматриваемой вариационной задачи также совпадают, то функция PΜ (ϕ ) , дающая минимум G ( PΜ ) при условии H ( PΜ ) = 1 является фундаментальной. Поэтому, учитывая следствие теоремы 2, а также в силу определения настоящей теоремы в отношении числа ni , G ( PΜ ) ≥ nΜ2 +1 . Вычислим G ( PΜ ) . Переходя к ранее принятым обозначениям, ϕ2

G ( PΜ ) = ∫ [ − PΜ′2(ϕ ) + ni2 PΜ2 (ϕ ) ]dϕ = ϕ1

Μ

1

− ∑ f 2,i ) 2 ]dϕ =

δi

i =1

1

ϕ2

Μ

ϕ1

i =1

δi

2 2 ∫ [−( F ′(ϕ ) − ∑ f 2′,i ) + ni ( F (ϕ ) −

ϕ2

Μ Μ

ϕ1

i =1 j =1

(2.16)

2 [G ( Fϕ ) − 2∑ G ( Fϕ , f 2,i ) + ∑∑ G ( f 2,i , f 2, j )] ≥ nΜ +1.

На основании теоремы 2 имеем ϕ2

∫ F (ϕ )θ dϕ ;

G ( Fϕ , f 2 , i ) = n

2 i

i

G ( f 2,i , f 2, j ) = 0 при i ≠ j .

ϕ1

Подставляя эти значения функционалов в (2.16), получаем 1

δi

Μ

{G ( Fϕ ) − ∑ n

2 i

i =1

ϕ2

∫ [θ F (ϕ ) + θ F (ϕ ) − f ϕ i

i

2,i

)]dϕ} ≥ nΜ2 +1 .

(2.17)

1

Принимая во внимание теорему 1, из первого уравнения (2.12) после умножения его на Ai имеем ϕ2

ϕ2

ϕ2

ϕ1

ϕ1

ϕ1

∫ θ ( F (ϕ ) − f 2,i )dϕ = 0, откуда

∫ F (ϕ )θi dϕ = ∫ θi f 2,i dϕ

Подставляя найденные значения интегралов в (2.17), находим δi ≤

Μ

ϕ2

i =1

ϕ1

G ( Fϕ ) − ∑ ni2 ∫ θ i f 2,i dϕ 2 Μ +1

n

Μ

=

G ( Fϕ ) − ∑ G ( f 2,i ) i =1 2 Μ +1

n

.

(2.18)

Учитывая теорему 3, а также то, что при достаточно большом i можно подобрать также достаточно большое ni , допустимо считать с некоторого i G ( Fϕ ) > 0 и G ( f 2 , i ) > 0 . Принимая во внимание, что при любом сколь угодно большом наперёд заданном значении ni , не зависящем от Μ , G ( Fϕ ) остаётся конечным, можно считать также числитель правой части (2.18) ограниченным, ибо в противном случае δ i < 0 , что невозможно по построению δ i .

31

Т.к. при Μ → ∞ nΜ → ∞ , то отсюда следует, что δ i → 0 при Μ → ∞ . Т.о. ряд (2.10) сходится в среднем к F (ϕ ). Умножая обе части ряда (2.9) раздельно на AiCosniϕ + Bi Sinniϕ , а затем на ϕ (C j Cosn jϕ + d j Sinn jϕ ) и интегрируя (по доказанному система рассматриваемых функций обладает полнотой) их по промежутку ( ϕ1 , ϕ2 ) , после преобразований с учётом теоремы 1 и её следствия получаем ϕ2

ϕ2

ϕ1

ϕ1

∫ F (ϕ )(Cosniϕ + ki Sinniϕ )dϕ = Ai ∫ (Cosniϕ + ki Sinniϕ )

2

ϕ2

dϕ + Ci ∫ ϕ (Cosniϕ + ϕ1

+ Li Sinniϕ )(Cosniϕ + k i Sinniϕ )dϕ ; ϕ2

ϕ2

ϕ1

ϕ1

∫ F (ϕ )(Cosniϕ + Li Sinniϕ )dϕ = Ai ∫ ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )(Cosniϕ + ki Sinniϕ )dϕ + ϕ2

+ Ci ∫ ϕ 2 (Cosniϕ + Li Sinniϕ ) 2 dϕ . ϕ1

Решая эти уравнения совместно относительно Ai и Ci , находим их значения, которые в точности совпадают с (2.13). Полученный результат говорит о том, что если в рассматриваемом ряде отбросить бесконечное число членов, следующих за n -ым, то оставшаяся конечная сумма даст приближение F (ϕ ) наилучшее из возможных с помощью рассмотренных рядов с таким же числом членов. Более того коэффициенты (2.13), найденные для, i = Μ , остаются неизменными при увеличении числа членов ряда (2.9). Чтобы освободиться от ранее принятого ограничения неопределённой дифференцируемости функции F (ϕ ) , достаточно вспомнить, что для всякой достаточно гладкой функции F (ϕ ) , существует непрерывно дифференцируемая функция f (ϕ ) , удовлетворяющая нулевым граничным условиям и такая, что ϕ2

∫ [ F (ϕ ) − f (ϕ )] dϕ < ε , ϕ 2

1

где ε - любое заданное положительное число. Покажем далее, что ряд (2.9) сходится к F (ϕ ) равномерно. При этом достаточно показать, что ряд (2.9) вообще равномерно сходится. Действительно, так как этот ряд сходится “в среднем” к F (ϕ ) , то, сходясь равномерно, он не может иметь своим пределом никакую другую функцию. Как было показано ранее, ряды

∞

∑ Ai и i =1

∞

∑(A + C ) i =1

i

i

∞

∑C i =1

i

, а, следовательно, и ряд

являются абсолютно сходящимися. Согласно ранее сделанному

предположению ki и Li - величины суть ограниченные, поэтому функции (Cosniϕ + ki Sinniϕ ) и ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ ) в области G также ограничены. Обозначим их максимальные значения в этой области соответственно через Μ1 и Μ 2 и составим новый ряд 32

∞

∑(AΜ i =1

i

1

+ Ci Μ 2 ) .

(2.19)

Ряд (2.19) по признаку Абеля [4] является сходящимся. Сравнивая члены ряда (2.9) с соответствующими членами мажорантного ряда (2.19) имеем Ai Μ1 ≥ Ai (Cosniϕ + ki Sinniϕ ; Ci Μ 2 ≥ Ciϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ . Т. о., в соответствии с теоремой Вейерштрасса [4] ряд (2.9) сходится в рассматриваемом интервале абсолютно и равномерно. Осталось показать, что коэффициенты ki и Li действительно ограничены. Для их определения воспользуемся граничными условиями нашей задачи. Подставляя в них (2.9) для каждого значка i будем иметь: Ai (Cosniϕ1 + ki Sinniϕ1 ) + Ciϕ1 (Cosniϕ1 + Li Sinniϕ1 ) = 0 ⎫ ⎬. Ai (Cosniϕ2 + ki Sinniϕ 2 ) + Ciϕ 2 (Cosniϕ 2 + Li Sinniϕ2 ) = 0⎭

Для того, чтобы эта система имела решение отличное от нулевого необходимо и достаточно, чтобы её определитель равнялся нулю, т.е. Cosniϕ1 + k i Sinniϕ1 ; ϕ1 (Cosniϕ1 + Li Sinniϕ1 ) =0. Cosniϕ 2 + k i Sinniϕ 2 ; ϕ 2 (Cosniϕ 2 + k i Sinniϕ 2 ) Раскрывая определитель после преобразований получаем: ki =

(ϕ 2 − ϕ1 )Cosniϕ1Cosniϕ 2 − Liϕ1 Sinniϕ1Cosniϕ 2 + Liϕ 2 Cosniϕ1 Sinniϕ 2 . ϕ 2 Li Sinniϕ1 Sinniϕ 2 + ϕ 2 Sinniϕ1Cosniϕ 2 − ϕ1Cosniϕ1 Sinniϕ 2

С другой стороны, подставляя значения Ai и Ci из (2.13) и ki из последнего выражения, например, в первое уравнение системы, приходим к алгебраическому уравнению четвёртой степени относительно Li , из которого этот коэффициент и определяется. Т.к. все коэффициенты названного уравнения четвертой степени относительно Li (последнее не приводится из-за громоздкости) имеют конечную величину при всех ni , а знаменатель выражения для ki не обращается в нуль ни при каком значении ni , то при неограниченном возрастании ni коэффициенты ki и Li должны оставаться ограниченными. Оставшиеся неизвестными коэффициенты ряда (2.9) определяются как Bi = ki Ai ; di = LiCi . Следует отметить, что коэффициенты Bi и di могут быть определены также как Ai и Ci нeпосредственно из условий ∂δ i ∂δ = ⋅⋅⋅ = i = ⋅⋅⋅ = 0, ∂Bi ∂d i

а не из граничных условий, как это было сделано выше. В этом случае, однако, значение разложения (2.9) и значение функции F (ϕ ) на границах, вообще говоря, могут точно и не совпадать. По-видимому, этот фактор особенно будет важен, при рассмотрении вопросов устойчивости решений, представленных асимптотическими выражениями. Т.о. теорема доказана. 33

Следствие: Для определенного разложения функции F (ϕ ) в ряд (2.9) необходимо и достаточно, чтобы на границах интервала были заданы её значения. Если не mpeбовamь от (2.9) точного удовлетворения граничным условиям F (ϕ ) , то ki и Li остаются произвольными. При наличии определенных свойств у функции F (ϕ ) последняя (по аналогии с рядами Фурье) может быть разложена в ряд либо только по синусам, либо только по косинусам. § 3 Обоснование нового метода разделения переменных

Рассмотрим уравнение (1.1). Будем искать дважды непрерывно дифференцнируемое в области G решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям Φ ζ = R1 = F1 (ϕ ); Φ ζ = R2 = F2 (ϕ ) ⎫⎪ ⎬. Φϕ =ϕ1 = 0; Φϕ =ϕ 2 = 0 ⎪⎭

(3.1)

Здесь F1 (ϕ ) и F2 (ϕ ) ; некоторые произвольные, имеющие непрерывные вторые производные функции, обращающиеся в нуль на своих границах. Новый метод, разделения переменных приводит к рассмотрению ряда (1.10), где функции Φi являются фундаментальными функциями уравнения (1.1). Теорема 5 Функция Φ (r ,ϕ ) , определяется рядом (1.10), имеет непрерывные производные второго порядка и удовлетворяет в G уравнению (1.1) и граничным условиям (3.1). При этом ряд (1.10) в G сходится абсолютно и равномерно. Преобразуем (1.10) к виду ∞

Φ = ∑{[(C1,i r ni +C2,i r − ni )C3,i + (C5,i r ni + C6,i r − ni ) ln rCr ,i ][Cosniϕ + i =1

+

(C1,i r ni + C2,i r − ni )C4,i + (C5,i r ni + C6,i r − ni ) ln rC8,i ni

(C1,i r + C2,i r

− ni

ni

)C3,i + (C5,i r + C6,i r

+ C6,i r − ni )ϕ (Cosniϕ −

− ni

) ln rC7,i

Sinniϕ ] + C8,i (−C5,i r ni +

(3.2)

C7 , i Sinniϕ )} C8,i

и подставим его в первое граничное условие (3.1). С учётом следствия теоремы 4 предыдущего параграфа получаем при r = R1

34

(C1,i R1n + C 2 ,i R1− n )C3,i + (C5,i R1n + C6 ,i R1− n ) ln R1C7 ,i = Ai ⎫ ⎪ C8,i ( −C5,i R1n + C6 ,i R1n ) = Ci ⎪ ⎪ (C1,i R1n + C 2 ,i R1− n )C 4,i + (C5,i R1n + C6 ,i R1−n ) ln R1C8,i = ki ⎪ n n −n −n ⎪ (C1,i R1 + C 2 ,i R1 )C3,i + (C5,i R1 + C6,i R1 ) ln R1C7 ,i ⎪ ⎪ C 7 ,i (3.3) − = Li ⎬. C8.i ⎪ n n −n −n ⎪ (C1,i R2 + C 2 ,i R2 )C 4,i + (C5,i R2 + C6 ,i R2 ) ln R2 C8,i * = ki ⎪ (C1,i R2n + C 2 ,i R2− n )C3,i + (C5,i R2n + C6,i R2− n ) ln R2 C7 ,i ⎪ ⎪ C 7 ,i * ⎪ − = Li ⎪⎭ C8.i Здесь Ai , Ci , Ai* и Ci* соответственно коэффициенты рядов разложения функций F1 (ϕ ) и F2 (ϕ ) , определяемые по формулам (2.13), в которых ki , Li и ki* , L*i остаются пока произвольными. Преобразуя далее (1.10) к виду i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

∞

Φ = ∑{[(C3,i Cosniϕ + C4,i Sinniϕ )C1,i −(C8,i Cosniϕ − C7,i Sinniϕ )ϕC5,i ]r n1 + i =1

+ [(C3,i Cosniϕ + C4,i Sinniϕ )C2,i + (C8,i Cosniϕ − C7,i Sinniϕ )ϕC6,i ]r − ni +

(3.4)

⎛ ⎞⎫⎪ C + C5,i (C7,i Cosniϕ + C8,i Sinniϕ ) ln r ⎜ r ni + 6,i r − ni ⎟⎬ ⎜ ⎟⎪ C5,i ⎝ ⎠⎭

и подставляя его во второе граничное условие (3.1) при ϕ = ϕ1 (C3,i Cosniϕ1 + C4,i Sinniϕ1 )C1,i − (C8,iCosniϕ1 − C7,i Sinniϕ1 )ϕ1C5,i = 0 ⎫ ⎪ C5,i (C7,iCosniϕ1 + C8,i Sinniϕ1 ) = 0 ⎪ (C3,i Cosniϕ1 + C4,i Sinniϕ1 )C2,i + (C8,iCosniϕ1 + C7,i Sinniϕ1 )ϕ1C6,i = 0 ⎪ ⎪⎪ при ϕ = ϕ 2 ⎬. (C3,i Cosniϕ 2 + C4,i Sinniϕ 2 )C1,i − (C8,iCosniϕ 2 − C7,i Sinniϕ 2 )ϕ 2C5,i = 0 ⎪ ⎪ ⎪ C5,i (C7,iCosniϕ 2 + C8,i Sinniϕ 2 ) = 0 ⎪ (C3,i Cosniϕ 2 + C4,i Sinniϕ 2 )C2,i + (C8,iCosniϕ 2 − C7,i Sinniϕ 2 )ϕ 2C6,i = 0⎪⎭

(3.5)

Т.о. имеем четырнадцать уравнений (3.3) и (3.5) для определения коэффициентов C1,i ÷ C8,i , параметра ni , а также величин ki , Li , ki* , L*i . Полученное несоответствие между числом неизвестных и числом уравнений, из которых они могут быть определены, как будет видно в дальнейшем, только кажущееся. На самом деле независимых уравнений ровно столько, сколько необходимо для однозначности решения (1.10). Предположим предварительно, что ни один из коэффициентов С1,i ÷ C8,i не равен нулю. Из четвёртого и восьмого соотношений (3.3) следует

35

Li = L*i .

(3.6)

Далее второе и шестое соотношения (3.3) дают ⎫ Ci R2− n − Ci* R1− n C 5,i = ⎪ C8,i ( R1− n R2n − R2− n R1n ⎪ ⎪ Ci R2n − Ci* R1− n ⎪ , C 6,i = −n −n n n ⎬ C8,i ( R1 R2 − R2 R1 ) ⎪ ⎪ C5,i Ci R2− n − Ci* R1− n ⎪ = ⎪⎭ C 6 ,i Ci R2n − Ci* R1n i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

(3.7)

i

i

i

а второе соотношения (3.5) и пятое (3.5) С7 ,i = −tgniϕ1 = −tgniϕ 2 C8,i

(3.8)

Sinni (ϕ2 − ϕ1 ) = 0 ,

(3.9)

и откуда ni =

πρ , где ρ = 1, 2, 3,... ϕ 2 − ϕ1

Решая совместно первое и третье соотношения (3.5), находим C1,i C = − 5, i , а C2 , i C6 , i

ϕ1Cosni (ϕ2 − ϕ1 )C8,i C1,i = ; C5,i Cosniϕ2 (C3,iCosniϕ1 + C4,iCosniϕ1 )

Точно также из четвёртого и шестого соотношения (3.5) C1,i ϕ 2 Cosni (ϕ 2 − ϕ1 )C8,i = ; C5,i Cosniϕ1 (C3,i Cosniϕ 2 + C 4,i Cosniϕ 2 ) Приравнивая правые части двух последних выражений, преобразований имеем С3,i С = −tgniϕ1 = −tgniϕ2 = 7 ,i C4 , i C8,i

после

(3.10)

Решаем далее первое и третье уравнения (3.3). Используя (3.7) и (3.10), после преобразований имеем ki =

1 Li

(3.11)

и C1,iC3, i =

(Ci R2− ni − Ci* R1− ni )[Ci ( R1ni R2− ni + R2ni R1ni ) − 2Ci* ] R1− ni R2ni − R2− ni R1ni Ci ( R1ni R2− ni − R2ni R1− ni )

Ai (Ci R2− ni − Ci* R1− ni ) − Li ln R1

Наконец, решая совместно пятое и седьмое соотношения (3.3), после подстановки в них (3.7) и (3.10) и простых преобразований, находим ki* =

1 L*i

(3.12)

и

36

C1, iC3, i =

(Ci R2− ni − Ci* R1− ni )[2Ci − Ci* ( R2ni R1− ni + R2− ni R1ni )] R1− ni R2ni − R2− ni R1ni . Ci* ( R1ni R2− ni − R2ni R1− ni )

Ai* (Ci R2− ni − Ci* R1− ni ) − L*i ln R2

Приравнивая правые части найденных выражений для C1,iC3,i с учётом (3.6), (3.11) и (3.12), получаем алгебраическое уравнение пятой степени относительно Li . В неразвёрнутом виде оно запишется как ( Ai Ci* − Ai*C i )( R1− n R2n − R2− n R1n ) + Li {ln R2 Ci [ 2Ci − C i* ( R2n R1− n + R2− n R1n )] − i

i

i

i

i

− ln R1Ci* [Ci ( R1n R2− n + R2n R1− n ) − 2Ci* ]} = 0 i

i

i

i

i

i

(3.13)

i

которое всегда имеет, по крайней мере, один действительный корень Li . Подставляя все найденные значения коэффициентов, например, в (3.4), легко видеть, что получившееся выражение не только удовлетворяет уравнению (1.1), но и граничным условиям (3.1). Учитывая, что гармоническая в целом функция (3.4) не может принимать больших (меньших) значений, чем на границе рассматриваемой области, (т.е. она ограничена) можно сделать вывод, что ряд (3.4) сходится в G равномерно. Рассмотренная на примере интегрирования уравнения Лапласа в полярных координатах общая схема нового метода разделения переменных, может быть распространена на случай многих переменных, а также на уравнения более высокого порядка. Кроме того этот метод применим для большого числа уравнений гиперболического и параболического типов, что, повидимому, позволит дать точное решение ряда новых задач.

Выводы

Новый метод разделения переменных при интегрировании линейных дифференциальных уравнений в частных производных позволяет: 1. Получить новые виды интегралов этих уравнений, с помощью которых, по-видимому, можно будет найти решения более широкого круга задач математической физики. 2. Показать, что существовавшее мнение о числе независимых постоянных в частных интегралах уравнений, равном произведению порядка уравнения на количество независимых переменных, является не точным. На самом деле их должно быть удвоенное количество. 3. Показать, что метод Фурье разделения переменных является частным случаем более общего, нового метода и что последний применим, по крайней мере, везде, где может быть применен метод Фурье. 4. Получить ряды нового вида, состоящие из гармоничных и квазигармоничных функций и отличающиеся от всех существующих видов рядов тем, что ими может быть представлена всякая произвольная достаточно гладкая функция одной или нескольких независимых переменных, отвечающая 37

условиям Дирихле. При этом ряды точно удовлетворяют достаточно общим граничным условиям этих функций вне зависимости от числа взятых при разложении членов ряда. Новые ряды позволяют построить аналитическое продолжение функции за пределами области её исследования, в то время как, например, ряды Фурье при таком продолжении дают лишь её периодическое повторение. 5. С помощью рядов, содержащих гармонические и псевдогармонические члены, получить новыe результаты по исследованию устойчивости асимптотических представлений интегралов линейных дифференциальных уравнений, поскольку погрешность указанного асимптотического представления функции на границах интервала отсутствует. Список литературы

1. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: ГИТТЛ, 1953. 2. Абель В.В. Об интегрировании гармонического и бигармонического уpaвнeний в криволинейных координатах.//Инженерный журнал. Т.3, вып. 1, 1963. 3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. - М.: ГИТТЛ, 1957. 4. Фихтенгольц Г.И. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: ГИТТЛ 1948. 5. Лауфер М.Я. Обобщённый метод разделения переменных в приложении к одномерной краевой задаче для волнового уравнения. ДР-3388.//Сборник рефератов ДР – М.: ВИМИ, вып. 11, 1991. ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В ПРИЛОЖЕНИИ К ОДНОМЕРНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

В работе предлагается обобщение метода Фурье разделения переменных для решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных от n независимых переменных. Суть этого обобщения заключается в том, что решение уравнения находится как сумма произвольного числа произведений n неизвестных функций, каждая из которых зависит от одной переменной. При этом, в отличие от метода Фурье, на слагаемые не налагается условие, чтобы они по отдельности удовлетворяли рассматриваемому уравнению или определенности одной из функций в каждом слагаемом. С помощью обобщенного метода может быть построено бесчисленное множество полных систем ортогональных функций (в частности и система, получаемая методом Фурье), с применением которых могут решаться краевые задачи.

38

В качестве примера решена одномерная краевая задача для волнового уравнения. Получено решение, отличающееся от существующих. Из него следует, что имеют место электромагнитные волны, у которых при движении в вакууме амлитудно-частотные характеристики изменяются во времени и пространстве. 1. Описание нового метода разделений переменных Для решения задач математической физики во многих случаях применим метод Фурье разделения переменных. Он заключается в том, что решение дифференциального уравнения в частных производных (или в дальнейшем для краткости - просто уравнения) от n независимых переменных находится в виде произведения п функций, зависящих только от одной из переменных, или суммы некоторого числа этих произведений. В последнем случае на слагаемые налагается условие, чтобы каждое из них удовлетворяло рассматриваемому уравнению. Не останавливаясь на подробном рассмотрении метода Фурье, ввиду его известности, отметим следующее. Существует возможность обобщения этого метода, которое заключается в том, что на решение уравнения от п независимых переменных, которое находится как произвольное число слагаемых, являющихся, в свою очередь, произведением n неизвестных функций, зависящих только от одной переменной, как и в [1], не налагается условие, чтобы по отдельности эти слагаемые являлись решениями рассматриваемого уравнения, но в отличие от [1] не налагается и условие определенности одной из функций в каждом слагаемом, зависящей от какой-либо одной переменной. Предлагаемый метод, так же как и метод Фурье, даёт возможность разделить переменные в уравнении. Найденные при этом интегралы, ввиду отброшенных ограничений, являются более общими, чем интегралы, полученные методом Фурье и содержат последние в качестве некоторого частного случая. В качестве примера решим уравнение ∂2E ∂2E = , (1.1) ∂x12 ∂x22 где x1 = ct ; x2 = x; E - напряженность электрического поля; c - скорость света в вакууме; t - время; x - расстояние. Рассмотрим наиболее простой случай, когда частное решение находится в виде суммы только двух слагаемых, т.е. E = Χ1,1 ( x1 ) Χ1, 2 ( x2 ) + Χ 2,1 ( x1 ) Χ 2, 2 ( x2 ) . (1.2) На слагаемые (1.2) не налагается условие, чтобы каждое из них удовлетворяло уравнению (1.1) (как это имеет место по методу Фурье). Χ1,1 ( x1 ), Χ1, 2 ( x2 ), Χ 2,1 ( x1 ) и Χ 2, 2 ( x2 ) , обозначаемые в дальнейшем, как Χ1,1 , Χ1, 2 , Χ 2,1 , и Χ 2, 2 функции, зависящие соответственно от одной переменной x1 или x2 . 39

Здесь и в дальнейшем первая цифра индексации Χ обозначает порядковый, номер функции. Вторая цифра указывает переменную, от котоpoй зависит эта функция. Подставляя (1.2) в (1.1), после простых преобразований имеем: ⎛ Χ1′′,1 Χ1′′, 2 ⎞ Χ1,1 ⎛ Χ′2′,1 Χ′2′, 2 ⎞ Χ 2, 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (1,3) ⎜ Χ − Χ ⎟* Χ = ⎜− Χ + Χ ⎟* Χ . 1, 2 ⎠ 2 ,1 2 ,1 2, 2 ⎠ 1, 2 ⎝ ⎝ 1,1 Полагаем Χ1′′, 2 Χ′2′,1 = −n12 , = − n22 , (1.4) Χ1, 2 Χ 2,1 где n1 и n2 - некоторые постоянные. Если положить Χ′2′,1 Χ1′′, 2 = ϕ2 , = ϕ1 , Χ 2,1 Χ1, 2 где ϕ1 и ϕ 2 - произвольные функции, зависящие, соответственно, от x1 и x2 , то решение уравнения (1.1) сводится к интегрированию линейного дифференциального уравнения второго порядка в общем виде, которое пока не может быть выполнено [2]. Исследование решений применительно к частным видам функций. ϕ1 и ϕ 2 , для которых упомянутые уравнения могут быть проинтегрированы в конечном виде, или к комбинации этих функций и постоянных, не входит в программу данной статьи. Знак "-" у постоянных n принят в связи с тем, что при противоположном знаке не удовлетворяются краевые условия ниже рассмотренной физической задачи. Левая часть равенства (1.3) при условии (1.4) зависит только от x1 и не зависит от x2 , а правая - наоборот. Следовательно, каждая из них не зависит ни от x1 ни от x2 , т.е. они постоянны. Обозначим эту постоянную через m . Тогда ⎛ Χ1′′,1 ⎞ Χ1,1 ⎛ Χ′2′, 2 ⎞ Χ 2, 2 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + n * = m , + n = m. (1.5) 1 ⎟ 2 ⎟* ⎜Χ ⎜Χ Χ Χ 1 , 1 2 , 1 2 , 2 1 , 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Таким образом переменные разделились. После подстановки результатов, интегрирования (1.4) и (1.5) в (1.2) и возвращения к переменным t и x , получаем решение уравнения (1.1) в виде: ∞

E = ∑ [(a1,i Cosni ct + a 2,i Sinni ct )(b1,i Cosni x + b2,i Sinni x) + i =1

+ (a 4,i Cosni ct − a3,i Sinni ct )ct (b3,i Cosni x + b4,i Sinni x) +

(1.6)

+ (a3,i Cosni ct + a 4,i Sinni ct ) x(b4,i Cosni x − b3,i Sinni x),

a1,i ÷ a4,i ; b1,i ÷ b4,i ; ni где постоянные интегрирования. При интегрировании. (1.4) и (1.5) было принято n1 = n2 = ni . Указанное условие для постоянных n , в подобных же случаях будет соблюдаться и в дальнейшем. Если его не соблюдать то решение уравнения (1.1) будет содержать двойной ряд независимых частотных гармоник по n1 и n2 . Поскольку рассмотрение

40

этого варианта не представляется интересным, он в дальнейшем не детализируется. Рассмотрим далее случай, когда частное решение уравнение (1.1) находится по предлагаемому методу в виде суммы, например, пяти слагаемых, т.е. E = Χ1,1 Χ1, 2 + Χ 2,1 Χ 2, 2 + Χ 3,1 Χ 3, 2 + Χ 4,1 Χ 4, 2 + Χ 5,1 Χ 5, 2 . (1.7) Подставляя (1.7) в (1.1), после преобразований получаем ⎛ Χ1′′,1 Χ1′′, 2 ⎞ Χ1,1 ⎛ Χ ′2′,1 Χ ′2′, 2 ⎞ Χ 2,1 Χ 2, 2 ⎛ Χ ′3′,1 Χ ′3′, 2 ⎞ Χ 3,1 Χ 3, 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜Χ − Χ ⎟ Χ +⎜Χ − Χ ⎟ Χ Χ +⎜Χ − Χ ⎟ Χ Χ + 1 , 1 1 , 2 5 , 1 2 , 1 2 , 2 5 , 1 1 , 2 3 , 1 3 , 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5,1 1, 2 ⎛ Χ ′′ ⎛ Χ ′′ Χ ′′ ⎞ Χ Χ Χ ′′ ⎞ Χ + ⎜⎜ 4,1 − 4, 2 ⎟⎟ 4,1 4, 2 + ⎜⎜ 5,1 − 5, 2 ⎟⎟ 5, 2 = 0. ⎝ Χ 4,1 Χ 4, 2 ⎠ Χ 5,1 Χ1, 2 ⎝ Χ 5,1 Χ 5, 2 ⎠ Χ1, 2

Полагаем Χ1′′, 2 ⎫ = −n 2 ⎪ Χ1, 2 ⎪ (1.8) ⎬. Χ′5′,1 = −n 2 ⎪ ⎪ Χ 5,1 ⎭ Прибавим и отнимем во втором, третьем и четвёртом выражениях, стоящих в скобках, по n 2 . Тогда с учётом (1.8) имеем: ⎛ Χ1′′,1 ⎞ ⎛ Χ ′2′,1 ⎞ ⎛ Χ ′3′,1 ⎞ Χ ′2′, 2 Χ ′3′, 2 2 ⎟ Χ 1,1 2 2 ⎟ Χ 2 ,1 Χ 2 , 2 2 2⎟ ⎜ ⎜ ⎜ + n + + n − − n n n + − − + ⎜Χ ⎟Χ ⎜ ⎟Χ Χ ⎜ ⎟* Χ 2, 2 Χ 3, 2 ⎝ 1,1 ⎠ 5,1 ⎝ Χ 2,1 ⎠ 5,1 1, 2 ⎝ Χ 3,1 ⎠ ⎛ Χ ′′ ⎞Χ Χ ⎛ Χ ′′ ⎞Χ Χ Χ Χ ′′ * 3,1 3, 2 + ⎜⎜ 4,1 + n 2 − 4, 2 − n 2 ⎟⎟ 4,1 4, 2 − ⎜⎜ 5, 2 + n 2 ⎟⎟ 5, 2 = 0. Χ 5,1 Χ1, 2 ⎝ Χ 4,1 Χ 4, 2 ⎠ Χ 5,1 Χ1, 2 ⎝ Χ 5, 2 ⎠ Χ1, 2

Полагая ⎫ ⎛ Χ′2′,1 ⎞ 2 Χ 2 ,1 ⎜ ⎟ n m + = ⎪ ⎜Χ ⎟Χ ⎪ ⎝ 2,1 ⎠ 5,1 ⎬. ⎛ Χ′4′, 2 ⎞ Χ 2 ⎜ ⎟ 4, 2 = m⎪ n + ⎪ ⎜Χ ⎟Χ ⎝ 4, 2 ⎠ 1, 2 ⎭ m - произвольная постоянная, приходим к выражению

(1.9)

⎛ Χ1′′,1 ⎞ ⎞ ⎛ Χ ′3′,1 ⎞ Χ 2, 2 ⎛ Χ ′2′, 2 Χ ′3′, 2 2 ⎟ Χ1,1 2 ⎟ Χ 2 ,1 Χ 2 , 2 2 2⎟ ⎜ ⎜ ⎜ + + − + n m n n n + + − − ⎜Χ ⎟Χ ⎜Χ ⎟Χ Χ ⎜Χ ⎟* Χ Χ 1, 2 3, 2 ⎝ 1,1 ⎠ 5,1 ⎝ 2, 2 ⎠ 5,1 1, 2 ⎝ 3,1 ⎠ ⎛ Χ ′′ ⎞Χ Χ ⎛ Χ ′′ ⎞Χ Χ Χ Χ * 3,1 3, 2 + m 4,1 − ⎜⎜ 4,1 + n 2 ⎟⎟ 4,1 4, 2 − ⎜⎜ 5, 2 + n 2 ⎟⎟ 5, 2 = 0. Χ 5,1 Χ1, 2 Χ 5,1 ⎝ Χ 4,1 ⎠ Χ 5,1 Χ1, 2 ⎝ Χ 5, 2 ⎠ Χ1, 2

Здесь и далее для упрощения записи принято, что m j , где j = 1, 2, 3,... , равно m . Это условие не вносит каких либо ограничений в область дальнейших рассуждений. 41

Прибавим и отнимем в левой части последнего равенства Χ Χ Χ Χ m 2,1 3, 2 и m 3,1 4, 2 Χ 5,1 Χ1, 2 Χ 5,1 Χ1, 2 и примем ⎫ ⎛ Χ′3′,1 ⎞ Χ 3,1 Χ 2 ,1 2 ⎜ ⎟ n m m + + = ⎪ ⎜Χ ⎟Χ Χ 5,1 ⎝ 3,1 ⎠ 5,1 ⎪ ⎬. ⎛ Χ′3′, 2 ⎞ Χ Χ ⎪ 4, 2 2 ⎜ ⎟ 3, 2 ⎜ Χ + n ⎟ Χ + m Χ = m⎪ 1, 2 ⎝ 3, 2 ⎠ 1, 2 ⎭

(1.10)

С учётом (1.10) получаем ⎛ Χ1′′,1 ⎞ ⎞ Χ 2, 2 ⎛ Χ ′2′, 2 Χ 3, 2 Χ 2,1 Χ 3, 2 2 ⎟ Χ 1,1 2 ⎟ Χ 2 ,1 Χ 2 , 2 ⎜ ⎜ n m n m m + − + + + − + ⎜Χ ⎟Χ ⎟Χ Χ Χ1, 2 ⎜⎝ Χ 2, 2 Χ1, 2 Χ 5,1 Χ1, 2 ⎝ 1,1 ⎠ 5,1 ⎠ 5,1 1, 2 ⎛ Χ ′′ ⎞Χ Χ ⎛ Χ ′′ ⎞Χ Χ Χ Χ Χ + m 3,1 + m 3,1 4, 2 + m 4,1 − ⎜⎜ 4,1 + n 2 ⎟⎟ 4,1 4, 2 − ⎜⎜ 5, 2 + n 2 ⎟⎟ 5, 2 = 0. Χ 5,1 ⎝ Χ 4,1 Χ 5,1 Χ 5,1 Χ1, 2 ⎠ Χ 5,1 Χ1, 2 ⎝ Χ 5, 2 ⎠ Χ1, 2

Прибавим и отнимем в левой части этого равенства m

Χ 2 ,1 Χ 4 , 2 и положим Χ 5,1 Χ1, 2

⎫ ⎛ Χ′2′, 2 ⎞ Χ 4, 2 Χ 3, 2 2 Χ 2, 2 ⎜ ⎟ n m m m + + + = ⎪ ⎜Χ ⎟Χ Χ1, 2 Χ1, 2 ⎪ ⎝ 2, 2 ⎠ 1, 2 ⎬. ⎛ Χ′4′,1 ⎞ Χ Χ Χ 2 ⎜ ⎟ 4,1 − m 3,1 − m 2,1 = m ⎪ n + ⎪ ⎜Χ ⎟Χ Χ 5,1 Χ 5,1 ⎝ 4 ,1 ⎠ 5,1 ⎭

(1.11)

После чего имеем ⎛ Χ1′′,1 ⎞ ⎞ Χ 2,1 Χ 3,1 Χ 4,1 ⎛ Χ′5′, 2 Χ 4, 2 2 ⎟ Χ1,1 2 ⎟ Χ 5, 2 ⎜ ⎜ n m m m n m + − − + = + + − ⎜Χ ⎟Χ ⎜Χ ⎟Χ Χ Χ Χ Χ 5,1 5,1 5,1 1, 2 ⎝ 1,1 ⎠ 5,1 ⎝ 5, 2 ⎠ 1, 2 Χ Χ − m 3, 2 − m 2 , 2 . Χ1, 2 Χ1, 2

Левая часть этого равенства не зависит следовательно, ⎛ Χ1′′,1 ⎞ Χ 2,1 Χ 3,1 Χ 4,1 2 Χ 1,1 ⎜ ⎟ n m m m + − − − =m ⎜Χ ⎟Χ Χ Χ Χ 5,1 5,1 5,1 ⎝ 1,1 ⎠ 5,1

⎛ Χ′5′, 2 ⎞ Χ 4, 2 Χ 3, 2 Χ 2, 2 2 Χ 5, 2 ⎜ ⎟ n m m m + + − − ⎜Χ ⎟Χ Χ1, 2 Χ1, 2 Χ1, 2 ⎝ 5, 2 ⎠ 1, 2

42

от x2 , а правая – от x1 ,

⎫ ⎪ ⎪ ⎬. ⎪ = m⎪ ⎭

(1.12)

Таким образом переменные разделены, а уравнения (1.8 ÷ 1.12) могут быть проинтегрированы. После подстановки результатов интегрирования (1.8 ÷ 1.12) в (1.7) и преобразований получаем: E = (a1, n Cosnx1 + a2, n Sinnx1 )(b1, n Cosnx2 + b2, n Sinnx2 ) +

+ (a3, n Cosnx1 + a4, n Sinnx1 ) x1 (b3, n Cosnx2 + b4, n Sinnx2 ) + + (a5, n Cosnx1 + a6, n Sinnx1 ) x2 (b5, n Cosnx2 + b6, n Sinnx2 ) + + (a7 , n Cosnx1 + a8, n Sinnx1 ) x12 (b7 , n Cosnx2 + b8, n Sinnx2 ) + + (a9, n Cosnx1 + a10, n Sinnx1 ) x1 x2 (b9, n Cosnx2 + b10, n Sinnx2 ) + + (a11, n Cosnx1 + a12, n Sinnx1 ) x22 (b11, n Cosnx2 + b12, n Sinnx2 ) + + (a13, n Cosnx1 + a14, n Sinnx1 ) x13 (b13, n Cosnx2 + b14, n Sinnx2 ) + + (a15, n Cosnx1 + a16, n Sinnx1 ) x12 x2 (b15, n Cosnx2 + b16, n Sinnx2 ) + + (a17 , n Cosnx1 + a18, n Sinnx1 ) x1 x22 (b17 , n Cosnx2 + b18, n Sinnx2 ) + + (a19, n Cosnx1 + a20, n Sinnx1 ) x23 (b19, n Cosnx2 + b20, n Sinnx2 ) + + (a21, n Cosnx1 + a22, n Sinnx1 ) x14 (b21, n Cosnx2 + b22, n Sinnx2 ) + + (a23, n Cosnx1 + a24, n Sinnx1 ) x13 x2 (b23, n Cosnx2 + b24, n Sinnx2 ) + + (a25, n Cosnx1 + a26, n Sinnx1 ) x12 x22 (b25, n Cosnx2 + b26, n Sinnx2 ) + + (a27 , n Cosnx1 + a28, n Sinnx1 ) x1 x23 (b27 , n Cosnx2 + b28, n Sinnx2 ) + + (a29, n Cosnx1 + a30, n Sinnx1 ) x24 (b29, n Cosnx2 + b30, n Sinnx2 ) Где a1, n ÷ a30, n и b1, n ÷ b30, n - постоянные интеграции, удовлетворяющие соотношениям:

− na3, n b3, n + a8, n b7 , n = na6, n b6, n + a12, n b11, n ⎫ − 2na7 , n b7 , n + 3a14, n b13, n = na10, n b10, n + a18, n b17 , n ⎫ ⎪ ⎪ na4 , n b3, n + a7 , n b7 , n = na5, n b6 , n + a11, n b11, n ⎪ 2na8, n b7 , n + 3a13, n b13, n = na9 , n b10 , n + a17 , n b17 , n ⎪ ⎬ ⎬ − na3, n b4 , n + a8, n b8, n = −na6, n b5, n + a12, n b12, n ⎪ − 2na7 , n b8, n + 3a14, n b14, n = na10, n b9 , n + a18, n b18, n ⎪ na4 , n b4 , n + a7 , n b8, n = −na5, n b5, n + a11, n b12, n ⎪⎭ 2na8, n b8, n + 3a13, n b14, n = −na9, n b9 , n + a17 , n b18, n ⎪⎭ − na9,nb9,n + a16,nb15,n = 2na12,nb12,n + 3a20,nb19,n ⎫ 3(− na13,nb13,n + 2a22,nb21,n ) = na16,nb16,n + a26,nb25,n ⎫ ⎪ ⎪ na10,nb9,n + a15,nb15,n = 2na11,nb12,n + 3a19,nb19,n ⎪ 3(na14,nb13,n + 2a21,nb21,n ) = na15,nb16,n + a25,nb25,n ⎪ ⎬ ⎬ − na9,nb10,n + a16,nb16,n = −2na12,nb11,n + 3a20,nb20,n ⎪ 3(− na13,nb14,n + 2a22,nb22,n = − na16,nb15,n + a26,nb26,n ⎪ na10,nb10,n + a15,nb16,n = −2na11,nb11,n + 3a19,nb20,n ⎪⎭ 3(na14,nb14,n + 2a21,nb22,n ) = −na15,nb15,n + a25,nb26,n ⎪⎭

43

− na17 , nb17 , n + a26, nb25, n = 3(na20, nb20, n + 2a30, nb29, n ) ⎫ − 2na15, nb15, n + 3a24, nb23, n = 2na18, nb18, n + 3a28, nb27 , n ⎫ ⎪ ⎪ na18, nb17 , n + a25, nb25, n = 3(na19, nb20, n + 2a29, nb29, n ) ⎪ 2na16, nb15, n + 3a23, nb23, n = 2na17 , nb18, n + 3a27 , nb27 , n ⎪ ⎬ ⎬ − na17 , nb18, n + a26, nb26, n = 3(−na20, nb19, n + 2a30, nb30, n )⎪ − 2na15, nb16, n + 3a24, nb24, n = −2na18, nb17 , n + 3a28, nb28, n ⎪ na18, nb18, n + a25, nb26, n = 3(−na19, nb19, n + 2a29, nb30, n ) ⎪⎭ 2na16, nb16, n + 3a23, nb24, n = −2na17 , nb17 , n + 3a27 , nb28, n ⎪⎭

− 4a 21, n b21, n = a24 , n b24, n ⎫ ⎪ 4a 22, n b21, n = a23, n b24, n ⎪ ⎬ 4a 21, n b22, n = a24 , n b23, n ⎪ − 4a22, n b22 , n = a23, n b23, n ⎪⎭

− a27 , n b27 , n = 4a30, n b30, n ⎫ ⎪ a28, n b27 , n = 4a29, n b30, n ⎪ ⎬ a27 , n b28, n = 4a30, n b29, n ⎪ − a28, n b28, n = 4a29, n b29, n ⎪⎭ − 3a23, n b23, n = 2a26, n b26, n ⎫ ⎪ 3a24, n b23, n = 2a25, n b26, n ⎪ ⎬ 3a23, n b24, n = 2a26, n b25, n ⎪ − 3a24, n b24, n = 2a25, n b25, n ⎪⎭ − 2a25, n b25, n = 3a 28, n b28, n ⎫ ⎪ 2a26, n b25, n = 3a27 , n b28, n ⎪ ⎬ 2a25, n b26, n = 3a28, n b27 , n ⎪ − 2a26, n b26, n = 3a27 , n b27 , n ⎪⎭ Если частное решение находится в виде Μ слагаемых, то, применяя метод математической индукции, можно показать, что решение уравнения (1.1) может быть представлено как: −1− k −2 −1 E = Χ1Μ −1 Χ 02 + Χ1Μ − 2 Χ 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Χ1k Χ Μ + ⋅ ⋅ ⋅ + Χ1 Χ Μ + ⋅ ⋅ ⋅ + Χ10 Χ Μ = 2 2 2

=

(1.13)

Μ −1

∑ Χ1Μ −1− k Χ k2 ,

k =0

где Χ1k = ax1k Cosnx1 + a1 x1k Sinnx1 + a 2 x1k −1Cosnx1 + a3 x1k −1 Sinnx1 + ⋅ ⋅ ⋅ + + a 2 k Cosnx1 + a 2 k +1 Sinnx1 , −1− k ΧΜ = a 2 k + 2 x2Μ −1− k Cosnx 2 + a 2 k + 3 x2Μ −1− k Sinnx 2 + a 2 k + 4 x2Μ − 2 − k Cosnx 2 + 2

+ a 2 k + 5 x2Μ − 2 − k Sinnx 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a 2 Μ − 2 Cosnx 2 + a 2Μ −1 Sinnx 2 .

44

В частном случае, при a j ,i = 0 для i > 1 и a1,1 = a2,1 = 0 , (1.6) вырождается x + ct ⎡ x − ct ⎤ Sin(kx − wt + α ) + Sin(kx + wt + β )⎥ , (1.14) в E = a⎢ 2 ⎣ 2 ⎦ w k = ni = ; α = ψ − ϕ + π ; β = ψ + ϕ ; где α , β , ϕ , ψ , a, k , w c произвольные константы. Выражения (1.6), (1.13) и (1.14) удовлетворяют волновому уравнению (1.1). Они отличаются от привычного решения, найденного по методу Фурье тем, что их амплитудные коэффициенты зависят от координаты и времени. В форме (1.6) и (1.14) зависимость линейная. В формуле (1.13) амплитуда есть произвольная степень расстояния и времени. Выражения (1.6) ,(1.13) и (1.14) физически представляют собой волны, движущиеся как в сторону возрастания, так и убывания оси х. Для неподвижного наблюдателя их амплитуды изменяются в пространстве и времени. Для наблюдателя, движущегося с одной из волн, эта волна имеет неизменную во времени амплитуду, убывающую или возрастающую по линейному (квадратичному, кубическому и т.д.) закону по мере удаления от наблюдателя перпендикулярно гребням волн. Такие плоские волны могут излучать, например, два бесконечных плоских поршня, посылающих волны навстречу друг другу, колеблющихся с изменяющейся амплитудой (по линейному, квадратичному, кубическому и т.д. закону во времени). Если амплитуда колебания поршней постоянна во времени, генерируемые волны имеют привычный вид. 2. О свойствах систем функций, полученных новым методом разделения переменных

Рассмотрим некоторые свойства функций, составляющих (1.6), необходимые в дальнейшем для представления отдельных зависимостей в виде ряда, разложенного по этим функциям. Введем обозначение f1,i = ai Cosni x + bi Sinni x + ci xCosni x + d i xSinni x и

θ1,i = ai′Cosni x + bi′Sinni x ai , bi , ci , d i , ai′, bi′ - постоянные.

Используя известные методы доказательства, изложенные, например, в [3], можно показать, что здесь имеют место ранее приведенные теоремы 1, 2, 3, 4. Эти теоремы и следствия справедливы также для функций f 2,i = ai′′Cosni ct + bi′′Sinni ct + ci′ctCosni ct + d i′ctSinni ct ′ ′′′ ′′ ′′ ′ ′ ′′′ ′′′ и θ 2,i = ai′′Cosn i ct + bi Sinni ct , ai , bi , ci , d i , ai , bi - постоянные. Упомянутыми методами можно доказать также аналогичные теоремы и для нелинейных составляющих решения вида (1.13). 45

3. Постановка и решение краевой задачи

Движение электромагнитной волны, генерируемой неподвижным относительно наблюдателя монохроматическим источником, в вакууме при отсутствии гравитационного поля описывается, как известно, уравнениями Максвелла. Эти уравнения, если для упрощения рассмотреть плоскую задачу и считать, что магнитная и диэлектрическая проницаемости равны 1, а удельная проводимость равна 0, сводятся к двум волновым уравнениям вида (1.1) для электрической и магнитной составляющих излучения. Вследствие идентичности формы этих уравнений, в дальнейшем будет рассматриваться только уравнение по электрической составляющей. Поместим начало координат в точку, где расположен источник монохроматического электромагнитного излучения. Будем искать решение уравнения (1.1), удовлетворяющее следующим условиям: ⎫ а) E t =0 = 0 ⎪ б ) E x = 0 = E0 Sinν 0 ct ⎪ ⎪ E0 и ν 0 − соответственно, амплитуда ⎪ ⎪ и частота излучения источника ⎪ в ) Значение энергии, переносимой ⎪ ⎪ электромагнитными волнами в единицу (3.1) ⎬ времени через условное сечение, постоянно ⎪ ⎪ в любой точке пространства по пути дви −⎪ ⎪ жения волн, т. е. ⎪ ⎪ Э x =0 = Э x = x ⎪ ⎪ или P x = 0 = P x = x ⎭ 0

0

cE02 cE 2 и - векторы Умова-Пойтинга, соответственно в P = x =0 x = x0 4π 4π точках x = 0 и x = x0 . Постановка такой задачи корректна, поскольку подстановка новой c (t − b ) (где b - некоторая постоянная) в уравнении (1.1) и переменной y = −1 условия (3.1) сводят эту задачу к задаче Дирихле для прямоугольника (в комплексной области), корректность которой, как известно, доказана. В связи с тем, что решение поставленной задачи с помощью метода Даламбера не приводит к определённому результату, с помощью метода Фурье даёт тривиальное решение, а вычислительные операции с помощью ЭВМ более P

=

46

удобны в области действительных чисел, применим вышеизложенный метод разделения переменных. Ограничиваясь формой решения (1.2) в виде суммы двух слагаемых, имеем: E = E0 Sinν 0 ctCosν 0 x + ∑ [(a1, ni Cosni ct + a 2, ni Sinni ct )(b1, ni Cosni x + i

+ b2, ni Sinni x) + (a 4, ni Cosni ct − a3, ni Sinni ct )ct (b3, ni Cosni x + b4, ni Sinni x) + (3.2) + (a3, ni Cosni ct + a 4, ni Sinni ct ) x(b4, ni Cosni x − b3, ni Sinni x)],

где a1, ni ÷ a4, ni , b1, ni ÷ b4, ni , ni - постоянные интегрирования. Подставляя решение (3.2) в условия (3.1,а), получаем: ∑ [a1, n (b1,n Cosni x + b2, n Sinni x) +a3,n (b4, n Cosni x − b3,n Sinni x) x] = 0 , i

i

i

i

i

i

i

откуда a1, ni = a3, ni = 0 . Далее из условия (3.1б) находим: E0 Sinν 0 ct + ∑ (a 2, ni b1, ni Sinni ct +a4 , ni b3, ni ctCosni ct ) = E0 Sinν 0 ct i

и, следовательно, b1, ni = b3, ni = 0 . Таким образом, решение (3.2), удовлетворяющее условиям (3.1,а) и (3.1,б) принимает вид: E = E0 Sinν 0 ctCosν 0 x + ∑ [(a 2, n b2 , n Sinni x + a4 , n b4, n xCosni x) * i

i

i

i

i

* Sinni ct + a 4 , n b4 , n ( Sinni x)ctCosni ct ] i

i

Подставим это решение в условие (3.1,в). Введём обозначение: ± E0 (1 m Cosν 0 x0 ) = B , a2, ni b2.ni Sinni x0 + a4, ni b4.ni x0 Cosni x0 = Cn*i

a4, ni b4.ni Sinni x0 = An*i После простых преобразований имеем: BSinν 0 ct = ∑ ( An*i ctCosni ct + C n*i Sinni ct ) . i

Рассмотрим интервал времени t (0;

π ) ; левая часть последнего равенства ν 0c

на концах этого интервала обращается в 0. Таким образом, должно быть справедливым соотношение

π π π Cosni + C n*i Sinni = 0, (3.3) ν0 ν0 ν0 где коэффициенты An*i и C n*i , согласно теореме 4 после интегрирования и An*i

простых преобразований, определяются как:

47

⎡ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ n ⎞ n ⎞ n ⎞ n ⎞⎤ ⎢ Sinπ ⎜⎜1 + i ⎟⎟ πCosπ ⎜⎜1 + i ⎟⎟ Sinπ ⎜⎜1 − i ⎟⎟ πCosπ ⎜⎜1 − i ⎟⎟ ⎥ 1 ⎢ ⎝ ν0 ⎠ − ⎝ ν0 ⎠ − ⎝ ν0 ⎠ + ⎝ ν0 ⎠⎥ * 2 2 2 ⎢ 4ν 0 ⎛ ⎛ n ⎞ n ⎞ ⎥ ⎛ ni ⎞ ⎢ ⎛⎜1 + ni ⎞⎟ ⎜⎜1 + i ⎟⎟ ⎜⎜1 − i ⎟⎟ ⎥ ⎜ ⎟ 1 − ⎜ ν ⎟ ⎢⎣ ⎜⎝ ν 0 ⎟⎠ ⎝ ν 0 ⎠ ⎥⎦ ⎝ ν0 ⎠ 0 ⎠ ⎝ An*i = B π 1⎛ π 1 2niπ ⎞ ⎡ π 3 2niπ ⎛ π 2 1 ⎞ 2niπ ⎤ ⎜⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ + + − Sin Cos Sin ⎢ ⎥− ⎜ 2n ν 2 4n 3 ⎟ ν 0 ⎟⎠ ⎣ 3ν 03 2ni2ν 0 ν0 ν0 ⎦ 4 ⎝ ν 0 2ni i ⎠ ⎝ i 0 ⎡ ⎛ ⎛ ni ⎞ ni ⎞ ⎤ ⎢ Sinπ ⎜⎜1 − ⎟⎟ Sinπ ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎥ ⎛π 1 2n π ⎞ ⎝ ν0 ⎠ − ⎝ ν 0 ⎠ ⎥ 1 ⎛⎜ 1 Sin 2niπ − π Cos 2niπ * ⎜⎜ − Sin i ⎟⎟ − ⎢ ν 0 ⎠ ⎢ ⎛ ni ⎞ ν0 ν0 ν0 ⎛ ni ⎞ ⎥ 8niν 0 ⎜⎝ 2ni ⎝ ν 0 2ni ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 + ⎢ ⎜1 − ⎟ ⎥ ⎜ ν ⎟ ⎢⎣ ⎝ ν 0 ⎠ ⎥⎦ 0 ⎠ ⎝ 2 ⎡ 1 ⎛ 1 2niπ π 2niπ ⎞⎤ ⎜⎜ ⎟⎟⎥ Sin −⎢ − Cos 4 2 ν ν ν n n 0 0 0 ⎠⎦ ⎣ i⎝ i ⎡ ⎛ ni ⎞ ⎛ ni ⎞ ⎤ ⎢ Sinπ ⎜⎜1 − ⎟⎟ Sinπ ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎥ 3 2 ⎝ ν0 ⎠ − ⎝ ν 0 ⎠ ⎥ 1 ⎡ π + π Cos 2niπ + ⎛⎜ π − 1 ⎞⎟ Sin 2niπ ⎤ − ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎛ ni ⎞ ν 0 ⎜⎝ 2niν 0 4ni3 ⎟⎠ ν0 ⎦ ⎛ ni ⎞ ⎥ 4ν 0 ⎣ 3ν 03 2ni2ν 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎜1 − ⎟ ⎜1 + ν ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ ν 0 ⎠ ⎥⎦ 0 ⎠ ⎝ * Cn = B π 1⎛ π 1 2n π ⎞ ⎡ π 3 2n π ⎜⎜ − Sin i ⎟⎟ ⎢ 3 + 2 Cos i + ν 0 ⎠ ⎣ 3ν 0 2ni ν 0 ν0 4 ⎝ ν 0 4ni

⎞ ⎟⎟ ⎠

i

⎡ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞⎤ ⎢ Sinπ ⎜⎜1 + i ⎟⎟ πCosπ ⎜⎜1 + i ⎟⎟ Sinπ ⎜⎜1 − i ⎟⎟ πCosπ ⎜⎜1 − i ⎟⎟ ⎥ ⎢ ⎝ ν0 ⎠ − ⎝ ν0 ⎠ + ⎝ ν0 ⎠ − ⎝ ν 0 ⎠ ⎥ 1 ⎛⎜ 1 Sin 2niπ − π Cos 2niπ −⎢ 2 2 ν0 ν0 ν0 ⎛ ni ⎞ ⎛ ni ⎞ ⎥ 8niν 02 ⎜⎝ 2ni ⎛ ni ⎞ ⎢ ⎛⎜1 + ni ⎞⎟ ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⎥ ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎝ ν 0 ⎠ ⎝ ν0 ⎠ ⎝ ν 0 ⎠ ⎥⎦ ⎝ ν0 ⎠ ⎛ π2 1 ⎞ 2niπ ⎤ ⎡ 1 ⎛ 1 2n π π 2n π ⎜⎜ ⎟ Sin Sin i − Cos i + ⎜⎜ − ⎥−⎢ 2 3 ⎟ ν 0 ⎦ ⎣ 4ni ⎝ 2ni ν0 ν0 ν0 ⎝ 2niν 0 4ni ⎠

⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎠⎦

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

После подстановки последних в (3.3) и преобразований получаем выражение, из которого определяются все действительные ni .

48

⎧⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⎢ Sinπ ⎜1 + ni ⎟ πCosπ ⎜1 + ni ⎟ Sinπ ⎜1 − ni ⎟ πCosπ ⎜1 − ni ⎟ ⎥ ⎜ ν ⎟ ⎜ ν ⎟⎥ 1 ⎜ ν ⎟ ⎜ ν ⎟ π π ⎪⎢ 0 ⎠ 0 ⎠ 0 ⎠ 0 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ + − − * Cosni ⎨⎢ 2 2 ν0 ν 0 ⎪⎢ ⎛ n ⎞ ⎛ ni ⎞ ⎥⎥ ν 0 ⎛ ni ⎞ ⎛ ⎞ n i i ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⎜1 − ν ⎟ ⎥ ⎜1 + ν ⎟ ⎪⎢ ⎜⎜1 + ν ⎟⎟ 0 ⎠ 0 ⎠ ⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎝ ν0 ⎠ ⎦ ⎩⎣ ⎝ ⎡ ⎛ ⎛ ni ⎞ ⎤ ni ⎞ ⎢ Sinπ ⎜⎜1 − ⎟⎟ Sinπ ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎥ ⎛π 2n π ⎞ 1 ⎝ ν0 ⎠⎥ 1 ⎝ ν0 ⎠ − * ⎜⎜ − Sin i ⎟⎟ − ⎢ ⎢ ν0 ⎠ ⎛ ⎛ n ⎞ ⎥ 2n n ⎞ ⎝ ν 0 2ni ⎜⎜1 + i ⎟⎟ ⎥ i ⎢ ⎜⎜1 − i ⎟⎟ ⎝ ν 0 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ ν 0 ⎠

2n π ⎛ ⎜ Sin i ν0 2n π π ⎜ − Cos i ⎜ 2ni ν0 ν0 ⎜ ⎝

⎞⎫ ⎟⎪ ⎟⎪ = ⎟⎬ ⎟⎪ ⎠⎪⎭

⎧⎡ ⎛ ⎛ n ⎞ n ⎞⎤ ⎪⎢ Sinπ ⎜⎜1 − i ⎟⎟ Sinπ ⎜⎜1 + i ⎟⎟ ⎥ 3 2 nπ ⎪ ⎝ ν 0 ⎠ ⎥ ⎡ π + π Cos 2niπ + ⎛⎜ π − 1 Sin 2niπ ⎝ ν0 ⎠ − = Sin i ⎨⎢ ⎢ ⎜ 2n ν 2 4n 3 ν 0 ⎪⎢ ⎛ ni ⎞ ν0 ν0 ⎛ n ⎞ ⎥ 3ν 3 2ni2ν 0 i ⎝ i 0 ⎜⎜1 + i ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎢ ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⎪⎢ ⎝ ν 0 ⎠ ⎝ ν 0 ⎠ ⎥⎦ ⎩⎣ ⎡ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ n ⎞ n ⎞ n ⎞ n ⎞⎤ ⎢ Sinπ ⎜1 + i ⎟ πCosπ ⎜1 + i ⎟ Sinπ ⎜1 − i ⎟ πCosπ ⎜1 − i ⎟ ⎥ ⎜ ν ⎟ ⎜ ν ⎟⎥ ⎜ ν ⎟ ⎜ ν ⎟ ⎢ 1 0 ⎠ 0 ⎠ 0 ⎠ 0 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ + − − −⎢ ⎥ − 2n ν 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ n n i 0 ⎛ n ⎞ ⎢ ⎛⎜1 + ni ⎞⎟ ⎜⎜1 − i ⎟⎟ ⎥ ⎜⎜1 + i ⎟⎟ ⎜⎜1 − i ⎟⎟ ⎢ ⎜ ν ⎟ ⎥ ν ν 0 ⎠ 0 ⎠ ⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎝ ν0 ⎠ ⎣ ⎝ ⎦

⎞⎤ ⎟⎥ − ⎟ ⎠⎥⎦

2n π ⎛ ⎜ Sin i ν0 2n π π ⎜ − Cos i ⎜ 2ni ν0 ν0 ⎜ ⎝

⎞⎫ ⎟⎪ ⎟⎪ ⎟⎬ ⎟⎪ ⎠⎪⎭ (3.4)

Выражение (3.4) имеет бесчисленное множество этих корней. Для доказательства объединим правую и левую его части и обозначим их, как z. Введём подстановку ni = ν 0γ . Тогда, при γ - целом, но не равном 0 и 1 , 2π 3 z= 3 < 0; ν 0 (1 − γ 2 ) При γ = 0, z = 0; При γ = 1, − 1, z = 0;

При γ = 1 2δ

3

δ 2

, где δ - простое число и таково, что

⎛2 ⎞ 2π ( 4 − δ 2 ) 2 ⎜ π 2δ 2 + πδ − 2 ⎟ > ν 0 , ⎝3 ⎠

π ⎞ 1 ⎛2 3 π2 4δ z = 3 ⎜⎜ π + − 2 ⎟⎟ − > 0; ν0 ⎝ 3 2γ 2γ ⎠ (1 − γ 2 ) 2 2π 3 При достаточно большом γ z = 3 > 0 . 3ν Из приведённого анализа видно, что z , являясь достаточно гладкой функцией, при переходе от целого значения γ к дробному меняет свой знак и бесконечное число раз проходит через нулевое значение. Окончательное решение уравнения (1.1) удовлетворяющее условиям (3.1) будет:

49

⎧⎪⎡⎛ C n* An*i ⎞ i ⎜ ⎟Sinni x + E = E0 Sinν 0 ctCosν 0 x + ∑ ⎨⎢ − x0 ctgni x0 ⎜ Sinni x0 ⎟⎠ i ⎪ ⎢ Sinni x0 ⎩⎣⎝ ⎫⎪ ⎤ An*i xCosni x ⎥ Sinni ct + Sinni x ⋅ ctCosni ct ⎬. + Sinni x0 Sinni x0 ⎪⎭ ⎥⎦ На рис. 1 схематично показан найденный характер электромагнитной волны. An*i

движения

Е

Список литературы

1. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений.- М.-Л.: изд. АН СССР, 1948. С.65. 2. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ, 1980. 3. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. – М.: ГИТТЛ, 1953. 4. Лауфер М.Я. Обобщенный метод разделения переменных в приложении к одномерной краевой задаче для волнового уравнения. ДР3388//Cборник рефератов ДР.-М.: ВИМИ, вып. 11, 1991.

50

О ФИЗИЧЕСКОЙ СУЩНОСТИ САМОПРОИЗВОЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО ИЗМЕНЕНИЯ ЧАСТОТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

В работе дается физическая трактовка решению волнового уравнения для одномерной краевой задачи, из которого следует самопроизвольное уменьшение частоты электромагнитного излучения в процессе его распространения, как изолированной системы, в вакууме. Доказывается, что уменьшение частоты электромагнитных волн является результатом действия второго закона термодимамики. При этом в качестве источника излучения рассматривается абсолютно черное тело, неподвижное относительно наблюдателя. Явление связывается с космологичеким "красным смещением", величина которого зависит не только от пространственно-временных параметров, но и от частоты излучения в источнике. Известны два космологических механизма изменения частоты электромагнитного излучения - при относительном движении источника излучения и наблюдателя (эффект Доплера) и при воздействии на источник или приемник излучения гравитационного поля. Оба эти механизма не связаны с процессом распространения электромагнитных волн и воздействуют лишь на их условия передачи и приема. Неоднократно делались попытки объяснить наблюдаемое космологическое "красное" смещение спектров электромагнитного излучения (эффект Хаббала), например [1], путём рассмотрения среды, способной поглощать энергию электромагнитных волн по мере их движения. Однако в основе теоретического обоснования этих гипотез заложены гипотетические положения, которые, в свою очередь, сами нуждаются в доказательствах. Показано без привлечения дополнительных физических положений, что существует ещё и механизм пространственно-временного самопроизвольного изменения частоты электромагнитного излучения [2]. В этом плане вызывает интерес эксперимент, проведенный Садехом, Поулзом и Джапли в 1968 году (см. также Science news, 8/I7/68 p.156), в котором зафиксировано падение частоты электромагнитной волны по мере её распространения, с учётом поправки на искажение от потерь энергии в воздушной среде и воздействия гравитационных полей [3]. Суть вытекающего из решения [2] механизма состоит в том, что по мере распространения электромагнитной волны в вакууме от неподвижного по отношению к наблюдателю источника (обмен энергией с окружающей средой отсутствует) происходит самопроизвольное уменьшение частоты излучения, величина которого зависит от частоты в источнике. Этот результат получен чисто математическим путём. В данной работе рассмотрена физическая сущность механизма. Известно, что энергия излучения абсолютно черного тела, взятого в качестве источника, по закону Стефана-Больцмана выражается

51

Э = σ ⋅T 4 ,

(1)

Где σ - постоянная Больцмана; T - абсолютная температура. С другой стороны, по формуле Планка при достаточно низких частотах электромагнитной волны, соответствующих рассматриваемым, πhν 4 Э ≈ 7,28 3 , (2) c

где h - постоянная Планка; ν - частота излучения в произвольной точке пространства; c - скорость света. Сопоставляя (1) и (2), находим ν = ξT ,

(3)

σc 3 . 7,28πh Рассмотрим далее два состояния изолированной системы So и S, характеризующихся согласно второму закону термодинамики соотношениями

где ξ = 4

Q Q0 ; S= , (4) T T0 где S 0 и S - соответственно энтропия излучения в источнике и в S0 =

произвольной точке пространства; Q0 , Q - энергия излучения источника и в произвольной точке пространства в единицах тепла. Поскольку электромагнитная волна рассматривается как изолированная система, то по закону сохранения энергии Q0 = Q

Согласно [2] ν 0 > ν Используя зависимости (3), имеем T0 > T и на основании (4) находим S 0 < S . Из этого соотношения видно, что падение частоты излучения в процессе распространения электромагнитных волн в вакууме от источника, неподвижного относительно наблюдателя, сопровождается ростом энтропии электромагнитной энергии, не связанным с ее рассеиванием. Можно сказать, что общепринятая в настоящее время концепция расширяющейся Вселенной, получила свое теоретическое обоснование лишь в результате решения А.А. Фридманом уравнений тяготения. Это решение было получено, исходя из достаточно грубого предположения - равномерного распределения материи в пространстве. В действительности материя распределена в пространстве далеко не равномерно. Поэтому нет никаких оснований предполагать, что в этом случае решение уравнений тяготения будет описывать модель расширяющейся Вселенной. Это, так сказать,- теоретические аспекты.

52

Единственным, казалось бы весьма веским подтверждением концепции расширяющейся Вселенной, явилось открытое Хабблом красное смещение, для объяснения которого не существовало иного толкования, кроме как, что оно есть следствие эффекта Допплера. Однако из частного решения волнового уравнения, представленного в статье, с неумолимой логикой вытекает возможность существования процесса распространения электромагнитных волн в вакууме, идущего во времени и пространстве с возрастанием амплитуды, а, следовательно, ввиду отсутствия рассеивания энергии, уменьшением частоты. Последнее находится в полном соответствии с пока незыблемым принципом обязательного повышения энтропии при протекании наблюдаемых необратимых физических процессов. Здесь имеется ввиду ухудшение качества э/м энергии (её способности производить работу) вследствие уменьшения частоты и увеличения амплитуды э/м волны, т.е. грубо говоря, стремления к выравниванию, “концентрации” э/м энергии в пространстве, (эффект энтропийного покраснения ранее никак не вытекал из решения волнового уравнения, поскольку при интегрировании последнего на решение накладывалось ничем не обоснованное и не имеющее физического смысла ограничение.) Итак, появилась возможность иного толкования красного смещения, не основанного на эффекте Допплера. В связи с этим, автору представляется, до получения других: независимых данных наблюдений не осталось сколько-нибудь веских оснований считать красное смещение прямым доказательством расширения видимой части Вселенной. Следовательно, модели расширяющейся и нерасширяющейся Вселенной с этой точки зрения становятся равноправными. Решение краевой задачи, отвечающее предположению о нерасширяющейся Вселенной, даётся в статье только в целях обоснования законности обобщающего метода разделения переменных и математических возможностей полученных фундаментальных функций, определивших вышеуказанный процесс энтропийного покраснения света и не должно рассматриваться как обоснование концепции нерасширяющейся Вселенной, т.к. аналогичное решение, вообще говоря, может быть получено и с помощью уже известных функций Фурье. Из полученного решения вытекает возможность существования нелинейных волновых эффектов любого порядка, а также возможность нарушения закона суперпозиции волн.

53

Список литературы

1. Kиппep А. (Тартуская астрофизическая обсерватория им. В. Струве). Старение и конечное время жизни фотона в космологическом пространстве.//Таллин, Валгусс, 1981. 2. Лауфер М.Я. Обобщенный метод разделения переменных в приложении к одномерной краевой задаче для волнового уравнения. ДР-3388// Сборник рефератов ДР – М.: ВИМИ, вып. 11, 1991. 3. Dror Sadeh, Stephen Knowles, Benjamin Au. The Effect of Mass on Frequency.// Science. 9 august 1968, p.567-569. 4. Лауфер М.Я. О физической сущности самопроизвольного пространственно-временного изменения частоты электромагнитного излучения. ДР–3442. // Сборник рефератов ДР. – М.; ВИМИ, вып. 8-9, 1993.

54

К ДИНАМИКЕ РЕАЛЬНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В статье рассмотрен процесс распространения поперечных колебаний в гибкой нерастяжимой нити. Полученное волновое уравнение, описывающее это явление, отличается от классического волнового уравнения Фурье тем, что в нём учитывается движение частиц материи не только в направлении перпендикулярном направлению распространения волны, но и в продольном направлении. В отличие от известных решений этой задачи в работе впервые при выводе волнового уравнения применено условие неразрывности проводящей среды. Решена краевая задача при отсутствии начального натяжения нити. Показано, что в этих условиях Уравнение Фурье полностью вырождается. Полученный результат дает возможность более верно решать практические задачи, связанные с волновыми процессами. 1. Постановка задачи. Классическая механика описывает картину распространения, например, плоских поперечных волн в различных средах (cм. рис. 1) как последовательные во времени состояния возмущенной среды [1]. Каждая частица среды согласно этим представлениям совершает колебательное движение в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны. Поступательное движение частиц в направлении распространения волны отсутствует. Таким образом, сама среда, вне зависимости от своих физических свойств, а также начальных и граничных условий, всегда в целом, остаётся неподвижной в продольном направлении и во всех случаях распространения в ней плоских волн констатируется лишь передача в этом направлении некоторого состояния движения (энергии и импульса), а не поток движущихся частиц среды. Математическое описание этих волн дается известным уравнением ∂U ∂ 2U = a2 2 , ∂t ∂x где a - скорость распространения волны.

(1)

Такое понимание природы распространения волн в средах, как будет показано ниже, является упрощенным, поскольку физические свойства среды оказывают принципиальное влияние на характер колебательного процесса. В доказательство последнего рассмотрим следующий пример. На гладкую горизонтальную плоскость положим гибкую нить. Такой нитью может служить, например, состоящая из отдельных звеньев металлическая цепь Исходное положение нити показано на фиг.2 пунктирной линией. Пусть один конец нити прикреплен к ползуну "А", имеющему свободу движения в направлении оси U . Придадим ползуну "А" колебательное движение, перемещая его вдоль оси U, например, по закону U = ASinνt , где " A " амплитуда колебаний, а ν - частота. По нити, представляющей из себя среду с вышеуказанными физическими свойствами, начнёт распространяться плоская волна. При этом частицы нити станут перемещаться вдоль оси x в направлении обратном направлению распространения этой волны. Поступательное движение 54

Рис. 2

Рис. 1 55

Рис. 3

Рис. 4

56

частиц будет происходить до тех пор, пока инерционные силы, вызывающие натяжение нити, не уравновесятся силами трения. Из этого примера видно, что кроме распространения по нити некоторого состояния движения, имеет место и направленный поток частиц нити. Кроме того, амплитуда и частота волны, вследствие энергетических потерь, вдоль нити, не остаются постоянными даже при монoхромaтических колебаниях ползуна "А". Данный пример наглядно указывает на несостоятельность классической картины распространения плоских волн в реальных средах, описываемой уравнением (1). Попытки исправить эту несостоятельность предпринимались неоднократно (см., например, [2] и [3]). Однако они не имели полного успеха, т.к. при выводе уравнения колебании: не учитывалось свойство неразрывности среды, в которой распространяется волна. Для простоты рассмотрим случай нерастяжимой гибкой нити. Выделим из неё элемент, как показано на рис. З. Действие остальной её части на этот элемент заменим силами натяжения Tн , направленными в противоположные стороны по касательной и приложенными к концам элемента. Будем считать нить однородной и, во избежание нереальной картины с бесконечной массой, конечной по длине. Рассмотрим колебания нити лишь с амплитудой, когда 2

⎛ ∂U ⎞ можно пренебречь ⎜ ⎟ по сравнению с единицей. ⎝ ∂x ⎠ FU и Fx - внешние силы, действующие на элемент ΔS . Проектируя силы на оси U и x и добавляя к ним силы инерции, имеем: ⎫ ∂ 2U − TH Sinα + (TH + ΔTH ) Sinα ′ + FU = ρ 2 ΔS ⎪ ⎪ ∂t (1.1) ⎬, ∂V − TH Cosα + (TH + ΔTH )Cosα ′ − Fx = ρ 2 ΔS ⎪⎪ ∂t ⎭

где ρ - плотность нити; V - скорость частиц нити вдоль оси x . Принимая во внимание, что tgα =

∂U , ∂x

Sinα =

tgα 1 + tg 2α

=

∂U ∂x 2

≅

⎛ ∂U ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ Δx Δx Cosα = = ≅ 1; 2 Δδ ⎛ ∂U ⎞ Δx 1 + ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠

∂U ; ∂x

57

∂U ⎞ ⎛ ∂U ⎞ ∂2U ⎛ Sinα′ − Sinα = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = 2 Δx; ⎝ ∂x ⎠N′ ⎝ ∂x ⎠ N ∂x Cosα′ − Cosα =

∂ ∂x

∂U ∂2U =− Δx. 2 2 ∂ x ∂ x ⎛ ∂U ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ 1

Получаем ⎫ ∂ 2U ∂ 2U ∂TH ⎛ ∂U ⎞ ρ 2 = TH 2 + ⎜ ⎟ + qu ⎪ ∂t ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ⎪ ⎬. ∂V ∂TH ∂U ∂ 2U ⎪ = − q x − TH ρ 2 ⎪⎭ ∂t ∂x ∂x ∂x

(1.2)

Из второго уравнения системы (1.2) имеем: ∂TH ∂U ∂ 2U ∂V − TH =ρ + qx . 2 ∂x ∂x ∂x ∂t

Интегрируя это выражение, получаем: TH = e

−

∂U ∂ 2U

∫ ∂x

∂x

2

∂U ∂ U ⎡⎛ ∂V ⎤ ⎞ ∫ ∂x ∂x dx + q x ⎟e dx + T0 ⎥ . ⎢⎜ ρ ⎠ ⎢⎣⎝ ∂t ⎥⎦ 2

dx

2

Поскольку e

−∫

∂U ∂ 2U dx ∂x ∂x 2

=e

1 ⎛ ∂U ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ∂x ⎠

2

≅ 1.

Окончательно получаем ⎛ ∂V ⎞ + q x ⎟dx + T0 . TH = ∫ ⎜ ρ ⎝ ∂t ⎠

(1.3)

Подставляя (1.3) в первое уравнение (1.2), после простых преобразований, имеем: ∂ 2U ⎡ ⎛ ∂V ⎤ ∂ 2U ⎛ ∂V ⎞ ⎞ ∂U ρ 2 = ⎢∫ ⎜ ρ + q x ⎟dx + T0 ⎥ 2 + ⎜ ρ + qx ⎟ + qu . ∂t ⎠ ⎝ ∂t ⎠ ∂x ⎣ ⎝ ∂t ⎦ ∂x

(1.4)

Следует отметить, что условие ρ

∂V + q x = 0 при q H = 0 и T0 ≠ f (t ) или T0 = Const ∂t

(1.5)

приводит уравнение (1.4) к обычному (классическому) волновому уравнению. Поскольку, при неустановившихся колебаниях нити имеет место поступательное движение ее частиц вдоль направления распространения волны, то к полученным ранее уравнениям следует добавить еще уравнение неразрывности. Вoзмем два произвольных сечения MN и M ′N ′ (рис. 4), отстоящих друг от друга на расстоянии Δx . При движении частиц нити вдоль оси x в область, ограниченную этими двумя сечениями, через сечение M ′N ′ за время Δt поступит масса m′ = ρ1V N ′ Δt . В то же время из указанной области через сечение MN уйдет масса 58

m = ρV N Δ T .

Таким образом, в области, ограниченной сечениями M ′N ′ и MN произойдет изменение массы на величину Δm = m′ − m = ( ρ1VN ′ − ρVN )Δt =

∂ ( ρV )ΔxΔt . ∂x

С другой стороны это изменение массы можно представить как 2 ⎞ ∂ ∂ ⎛⎜ ∂ρ ∂U ∂ 2U ⎛ ∂U ⎞ ⎟ Δm = ( ρ Δ S ) Δ t = ρ 1+ ⎜ ΔxΔt + ρ ΔxΔt . ⎟ Δx ⎟Δt ≅ ∂t ∂t ⎜ ∂x ⎠ ∂t ∂x ∂x∂t ⎝ ⎝ ⎠ Приравнивая оба последних выражения для Δm , получим искомое

уравнение неразрывности ∂ ∂ρ ∂U ∂ 2U +ρ ( ρV ) = . ∂x

∂t

(1.6)

∂x ∂x∂t

Поскольку по условию ρ = Const , то ∂V ∂U ∂ 2U = . ∂x ∂x ∂x∂t

И далее 2

1 ∂ ⎛ ∂U ⎞ V= (1.7) ⎜ ⎟ dx + a 0 , 2 ∂t ∫ ⎝ ∂x ⎠ где a0 - в общем случае может быть некоторой функцией от t . С другой

стороны положим, что q x = qU = 0, V0 = 0 , а

T0

= a 2 = Const .

ρ После подстановки (1.7) в (1.4) и простых преобразований получаем следующее искомое выражение для колебаний нити 2 2 ⎤ ∂ 2U 1 ∂ ⎡ ∂U ∂ 2 ⎛ ∂U ⎞ 2 ∂ U 2 + = a ( dx ) (1.8) ⎜ ⎟ ⎢ ⎥. ∂x 2 2 ∂x ⎢⎣ ∂x ∂t 2 ∫∫ ⎝ ∂x ⎠ ∂t 2 ⎥⎦ Условие T0 = Const означает, что нить в начальный момент времени имеет некоторое натяжение и все её частицы неподвижны в начальный момент времени в направлении оси x . Следует также отметить, что при T0 = 0 классическое волновое уравнение вырождается в то время, как уравнение (1.8) переходит в 2 ⎤ ∂ 2U 1 ∂ ⎡ ∂U ∂ 2 ⎛ ∂U ⎞ 2 = ( dx ) (1.9) ⎜ ⎟ ⎢ ⎥. ∂t 2 2 ∂x ⎢⎣ ∂x ∂t 2 ∫∫ ⎝ ∂x ⎠ ⎥⎦ интеграл которого даёт определённое решение волновой задачи. При этом скорость распространения поперечной волны вдоль оси x не равна нулю и переменна. Уравнения (1.8), а также (1.9) могут быть представлены в дифференциальной форме

59

⎛ ∂2 y ⎞ ⎜ ⎟ ∂ 2 ⎜ ∂t 2 ⎟ 1 ∂ 2 = ∂x 2 ⎜ ∂ 2 y ⎟ 2 ∂t 2 ⎜ 2 ⎟ ⎝ ∂x ⎠ где y = ∫ Udx

2

⎛ ∂2 y ⎞ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ , ⎝ ∂x ⎠

Применяя метод Фурье разделения переменных, будем искать частотное решение уравнения (1.9) в виде U = TX , (1.10) где T и X - функции зависящие соответственно от t и x , удовлетворяющие следующим начальным и граничным условиям: 1. t = 0 U = 0 3. x = 0 U = ASinνt (1.11) ∂U ∂U = V0 4. x = 0 2. t = 0 =0 ∂t ∂x Здесь A и ν - соответственно амплитуда и частота вынужденных

колебаний; V0 - начальная скорость движения. 2. Решение поставленной задачи Подставляя (1.10) в (1.9), после преобразований имеем

[

]

′ Χ′∫∫ Χ′2 (dx) 2 T ′′ = , TT ′2 + T 2T ′′ Χ

откуда

T ′′ ⎫ = n2 2 2 ⎪ TT ′ + T T ′′ ⎪ ⎬, ′ Χ′∫∫ Χ′ 2 (dx) 2 ⎪ = n2 ⎪ ⎭ Χ где n - некоторая постоянная.

[

(2.1)

]

Проинтегрируем первое уравнение (2.1). Введём подстановку ′ T ′ = P * ; T ′′ = P * P * .

Тогда

′ ′ P * P * = n 2T ( P * + TP * P * ) ; ′ P* n 2T . = P * 1 − n 2T 2 2

Переходя к старой переменной, имеем T′ =

C1

1 − n 2T 2

.

И, следовательно, C1t + C 2 =

(

(2.2)

)

1 nT 1 − n 2T 2 + arcSinnT . 2n 60

(2.3)

Или в параметрической форме 1 ⎫ P 2 − C12 ⎪ nP ⎪ ⎬, 2 2 2 2 ⎤ ⎧ ⎫ ⎡ − − C P C P C 1 ⎪1 ⎪⎪ 1 1 1 ⎥ − C2 ⎬ + arcSin t= ⎨ ⎢ C1 ⎪ 2n ⎢ P P2 ⎥⎦ ⎪⎭⎪⎭ ⎩ ⎣ где P - параметр; C1 и C 2 - постоянные интегрирования. Во втором уравнении (2.1) введём новую переменную Χ ′ = q * T=

(2.4)

Тогда

d d dΧ d = ⋅ = q* dx dΧ dx dΧ

dx =

[

]′

1 dΧ . q*

Получаем q * q * ∫∫ (dΧ ) 2 Χ = n 2 Χ , откуда после преобразований 2dΧ q * dq * = . Χ n 2 − q *2

Интегрируем последнее выражение dΧ q = = dx *

n 2 Χ 4 − C32 . Χ2

(2.5)

И затем второй раз x=∫

Χ 2 dΧ n 2 Χ 4 − C32

+ C4 ,

(2.6)

где C3 и C 4 - постоянные интегрирования. В параметрической форме С32 Χ= n2 − q2 4

1 x= 2 C3

dq ∫ (n 2 − q 2 ) 5 / 4

⎫ ⎪ ⎪ ⎬, + C4 ⎪ ⎪ ⎭

(2.7)

где q - параметр. Подставим (1.10) в (1.7) и, используя (2.4), (2.5) и (2.6) получим: C1T 1 ∂ V= T 2 Χ ′ 2 dx = TT ′∫ Χ ′ 2 dx = ∫ 2 ∂t 1 − n 2T 2 *

⎡ n 2 Χ 4 − C32 ∫ ⎢⎢ Χ 2 ⎣

2

⎤ ⎥ * ⎥⎦

Χ 2 dΧ n 2 Χ 4 − C32

Интеграл в правой части последнего равенства берётся следующим образом ⎡ n2Χ4 − C 2 3 ∫ ⎢⎢ Χ 2 ⎣

⎤ ⎥ ⎥⎦

2

Χ 2 dΧ n 2 Χ 4 − C32

=∫

n 2 Χ 4 − C32 Χ2 61

dΧ

Применим способ интегрирования по частям n 2 Χ 4 − C32 = U ,

Тогда

∫

dΧ = dV , Χ2

n 2 Χ 4 − C32 Χ2

2n 2 Χ 3 dΧ n 2 Χ 4 − C32

= dU , −

1 =V . Χ

n 2 Χ 4 − C32 Χ 2 dΧ 2 + 2n ∫ dΧ = − Χ n 2 Χ 4 − C32

Воспользуемся (2.6)

∫

n 2 Χ 4 − C32 Χ2

n 2 Χ 4 − C32 dΧ = − + 2n 2 ( x − C 4 ) . Χ

Окончательно имеем ⎡ 2 n 2 Χ 4 − C32 V= ⎢ 2n ( x − C 4 ) − Χ 1 − n 2T 2 ⎢⎣ C1T

⎤ ⎥ + C5 . ⎥⎦

(2.8)

Для нахождения постоянных интегрирования используем начальное условие 1 из (1.11). Применяя (2.4), имеем T = 0, если P = C1 , тогда C 2 = 0 . Поскольку при t = 0, T = 0 , то следовательно, из (2.8) V = C5 = V0 . Используя далее условие 2 из (1.11) и привлекая (2.2), получаем С1 = V0 . В параметрической форме C32 1 2 2 U = TΧ = P − V0 4 2 . n − q2 nP

Тогда, согласно (2.5) ∂U ∂Χ 1 =T = P 2 − V02 ∂x dx nP

n 2 Χ 4 − C32 . Χ2

Используя далее первое уравнение (2.7), имеем ∂U 1 P 2 − V02 q . = ∂x nP

Из последнего выражения по четвёртому условию (1.11) видно, что, если x = 0 , то

dU = 0 и, следовательно, q = 0 . Далее, используя (2.2) и первое ∂x

уравнение (2.4), получаем ⎡ 2 C32 P ∂U ∂T 2 4 = Χ= P − V0 ⎢2n ( x − C 4 ) − q 2 ∂t n ∂t n − q2 ⎢⎣

⎤ ⎥ + V0 ⎥⎦

∂U = V0 , следовательно, C 4 = 0 . dt Поскольку при x = 0, q = 0 , то

При t = 0 и x = 0,

2 1 2 2 4 C3 U = ASinνt = P − V0 nP n2 πn Если t = , где n = 2m + 1, m = 0, 1, 2, ... , тогда 2ν

62

1 A= nP0

P −V 2 0

2 4 0

C32 . n2

(2.9)

Из этого равенства определяется C3 . Для определения P0 при t =

πn 2ν

применим второе уравнение (2.4), из которого получаем 2 2 P02 − V02 πn 1 ⎛⎜ V0 P0 − V0 = + arcSin 2ν 2nV0 ⎜ P02 P0 ⎝

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

Или P0 − V0 πn 2 V0 P0 − V0 . = + arcSin V0ν P02 P0 Окончательное решение уравнения (1.8) выразится так 2

∞

2

2

2

1 1 ⎛⎜ An 2 P0 P 2 − V02 4 2 n − q 2 ⎜⎝ P 2 − V02 n=0 P ∞

U = ∑UT = ∑ n=0

(2.10)

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

Список литературы 1. Андреев Н.Н., Ржевкин С.Н., Горелик Г.С. Курс физики. Т.1. – М.-Л.: ОГИЗ, 1948. 2. Зак М.А. О некоторых динамических явлениях в гибких нитях //Прикладная математика и механика/ Т. 32, вып. 1, 1968. 3. Ивович В.А. Нелинейные колебания гибкой нити при случайном стационарном воздействии.// Прикладная механика. Т.3, вып. 9.- К.: Наукова думка. 1967. 4. Лауфер М.Я. К динамике реальных волновых процессов//Вопросы технологии, эффективности производства и надёжности. Вып. 18. – Северодвинск: Севмашвтуз; НТО им. акад. Крылова А.Н., 2001. С. 54-64.

63

ОБ ОБЩЕМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 1. Введение. Выбор формы общего решения уравнений упругого равновесия в первую очередь определяется соображениями наибольшей простоты решения краевой задачи. Наиболее часто применяемые в этом смысле формы решения плоской задачи теории упругости при отсутствии массовых сил представляются в декартовых координатах посредством либо функции напряжений Эри, когда граничные условия задаются в напряжениях, либо функций перемещений Б.Г. Галеркина [4] когда граничные условия задаются в перемещениях. Аналог этих решений в полярных координатах известен только для случая выражения решения через функцию напряжений по методу Эри. В настоящей работе предлагается решение в перемещениях уравнений равновесия в полярных координатах, выраженное посредством функций, подобных функциям перемещений Б.Г. Галеркина. Это решение не сводится к решению Б.Г. Галеркина простым преобразованием координат. Полагается, что оно восполнит указанный пробел и позволит сравнительно просто решить некоторые практические задачи. Кроме этого в работе рассматриваются решения уравнений равновесия для общего случая в цилиндрических координатах. А. Лявом предложено универсальное решение уравнений упругого равновесия в цилиндрических координатах при отсутствии массовых сил [2]. Как показано в работе [1] (рассматривался частный случай - осесимметричная задача), решения Б.Г. Галеркина, П.Ф. Папковича, К. Вебера и других авторов по существу ничего нового не добавляют к решению А. Лява и определенными преобразованиями могут быть сведены к последнему. Однако поскольку общее решение уравнений равновесия должно содержать, как известно, не менее трех произвольных гармонических функций, а решение А. Лява содержит только одну бигармоническую функцию вращения, то оно не может считаться общим решением. Таким образом, поиски других независимых решений, которые могли бы послужить основой для построения общего решения уравнений равновесия в самом общем случае трехмерной задачи в цилиндрических координатах нельзя считать завершенными. На основе решений, представленных в настоящей работе для случая полярных координат, дополнительно к решению А. Лява предлагаются два независимых решения уравнений равновесия для общего случая трехмерной задачи теории упругости в цилиндрических координатах. Каждое из этих решений содержит одну бигармоническую функцию вращения. В работе даются новые формы решения плоской и пространственной задачи статической теории упругости.

64

Указанные формы существующими приемами не удается свести к одной из известных форм или друг к другу. На основании этого делается вывод, что полученные выражения в совокупности являются наиболее общими решениями уравнений Ламе в пространстве и на плоскости, с помощью которых может быть расширен круг исследования практических задач прочности. Общее решение пространственной задачи теории упругости при отсутствии объёмных сил выражается через три гармонических функции, а плоской задачи - через две таких функции [1]. Поскольку данные положения пока не имеют строгого математического обоснования, рядом авторов ([2]… [5], [7] и [8]) в разное время предпринимались попытки получить решения уравнений Ламе отличающиеся по форме от найденных предшественниками. В конечном итоге это обстоятельство способствовало расширению круга решенных краевых задач и нет необходимости убеждать специалистов в актуальности нахождения новых форм решения упомянутых уравнений. В данной работе представлены новые формы решений плоской и пространственной задач теории упругости, исходя из того, что общее решение плоской задачи должно содержать две бигармонических функции, а пространственной - три таких функции. 2. Решение плоской задачи теории упругости Уравнения упругого равновесия, например, в полярных координатах r и ϕ без учёта объёмных сил имеют вид U ∂Δ 2 μ ∂V ⎫ − μ 2 + μ∇ 2U − 2 =0 ⎪ (λ + μ ) r r ∂ϕ ∂r ⎪ v 2 μ ∂U ⎪ ⎛ λ + μ ⎞ ∂Δ 2 − μ 2 + μ∇ V + 2 = 0⎬ , (2.1) ⎜ ⎟ r r ∂ϕ ⎝ r ⎠ ∂ϕ ⎪ ⎪ 1 ∂ 1 ∂V (rU ) + ⎪ r ∂r r ∂ϕ ⎭ где: U и V - перемещения, соответственно вдоль осей r и ϕ ; λ и μ - упругие постоянные в обозначениях Ламе. Δ=

Опуская промежуточные операции, в виду их громоздкости, частные решения системы (2.1) будут иметь вид ∂ 2 Φ1 ∂Φ ⎫ U 1 = Br∇ Φ 1 + r − (rB + 1) 1 ⎪ 2 ∂r ∂r ⎪ ⎬, 2 ∂ Φ 1 2( B + 1) ∂Φ 1 ⎪ V1 = + ⎪⎭ r ∂r∂ϕ ∂ϕ λ + 2μ где B = − λ+μ 2

и

65

(2.2)

⎫ ⎪ ⎪ ⎬. 2 ∂ Φ ∂ Φ 1 2 2 ⎪ − 2B V2 = Br∇ 2 Φ 2 + 2 ∂r ⎪⎭ r ∂ϕ U2 =

∂ 2 Φ 2 2 B ∂Φ 2 + ∂r∂ϕ r ∂ϕ

(2.3)

Непосредственной подстановкой выражений (2.2) и (2.3) в систему (2.1) легко убедиться, что последнее тождественно удовлетворяется, если Φ 1 и Φ 2 суть бигармонические функции, т.е. ∇ 2 ∇ 2 Φ1, 2 = 0 . Общее решение системы (2.1) будет U = U1 + U 2 ⎫ ⎬. V = V1 + V2 ⎭

(2.4)

Отождествить (2.4) с известными решениями системы (2.1) не удалось и оно не сводится методом, изложенным в [1], к представлению через две гармонические функции. 3. Решение пространственной задачи теории упругости Уравнения упругого равновесия в цилиндрических координатах и без учёта массовых сил имеет вид U rμ ∂V ∂Δ ⎫ − μ 2 + μ∇ 2U − =0 ⎪ r r ∂ϕ ∂r ⎪ v 2 μ ∂U ⎪ ⎛ λ + μ ⎞ ∂Δ 2 − μ 2 + μ∇ V + = 0⎪ ⎟ ⎜ r r ∂ϕ ⎪ ⎝ r ⎠ ∂ϕ ⎬, ∂Δ 2 ⎪ + μ∇ w = 0 (λ + μ ) ⎪ ∂z ⎪ 1 ∂ 1 ∂V ∂w ⎪ Δ= (rU ) + + ⎪⎭ r ∂r r ∂ϕ ∂z (λ + μ )

(3.1)

где w - перемещение вдоль оси z . Решением (3.1) по А. Ляду является система ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ (3.2) ⎬, ⎪ 2 *⎪ ∂ Φ1 w1 = B∇ 2 Φ1* + ⎪ ∂z 2 ⎭ где Φ1* - бигармоническая функция, удовлетворяющая уравнению ∂ 2 Φ1* U1 = ∂r∂z 1 ∂ 2 Φ1* v1 = r ∂ϕ∂z

∇ 2 ∇ 2 Φ1* = 0 .

Как при решении плоской задачи теории упругости, опуская промежуточные операции, к решению (3.2) находим ешё два дополнительных независимых решения системы (3.1).

66

⎫ ⎪ ⎪ 2 * * ⎪ ∂ Φ ∂ Φ 1 2 2 (3.3) V2 = B∇ 2 Φ *2 + − 2B ⎬, 2 r ∂ϕ ∂r ⎪ ⎪ ∂ 2 Φ *2 w2 = ⎪ ∂ϕ∂z ⎭ * где Φ 2 - бигармоническая функция, удовлетворяющая уравнению ∂ 2 Φ *2 2 B ∂Φ *2 U2 = + ∂r∂ϕ r ∂ϕ

∇ 2 ∇ 2 Φ *2 = 0 ,

и ∂ 2Φ 3 ∂Φ ⎫ U 3 = Br∇ Φ 3 + r − (2 B + 1) 3 ⎪ 2 ∂r ∂r ⎪ 2 ∂ Φ 3 2( B + 1) ∂Φ 3 ⎪ V3 = − ⎬, ∂r∂ϕ r ∂ϕ ⎪ 2 ⎪ ∂ Φ3 ∂Φ w3 = r − 2(2 B + 1) 3 ⎪ ∂r∂z ∂z ⎭ где Φ 3 - функция, удовлетворяющая уравнению 2

(3.4)

∇ 2 Φ 3 = ψ (r , ϕ ) , а ψ (r , ϕ ) - гармоническая функция, удовлетворяющая уравнению ∇ 2ψ = 0 .

Общее решение системы (3.1) будет U = U1 + U 2 + U 3 ⎫ ⎪ V = V1 + V2 + V3 ⎬ . w = w1 + w2 + w3 ⎪⎭

(3.5)

Решения (3.2), (3.3) и (3.4), как и в плоской задаче, не удалось свести одно к другому и, тем самым, уменьшить их количество в (3.5). Поэтому можно с большой долей уверенности утверждать, что (3.5) представляет собой самое общее решение системы (3.1) или, по крайней мере, весьма близкое к нему. Компоненты тензора напряжений через перемещения (2.3) находятся как: σ r = λ ( B + 1)

⎛ ∂ 3Φ * 2 B ∂ 2 Φ *2 2 B ∂Φ *2 ⎞ ∂ 2 * ⎟⎟; ∇ Φ 2 + 2 μ ⎜⎜ 2 2 + − 2 r r ∂ϕ ∂ ∂ ∂ ϕ ϕ r r ∂ ∂ ϕ ⎝ ⎠

⎡ 1 ∂ 3 Φ *2 (2 B − 1) ∂ 2 Φ *2 2 B ∂Φ *2 ⎤ ∂ 2 * σ ϕ = [λ ( B + 1) + 2 μB ] ∇ Φ 2 + 2 μ ⎢ 2 − + ⎥; 3 r ∂ϕ ∂r∂ϕ r 2 ∂ϕ ⎦ ⎣ r ∂ϕ

σ z = λ ( B + 1) ⎡

∂

∂ 3 Φ *2 ∂ 2 * ; ∇ Φ 2 + 2μ ∂ϕ ∂ϕ∂z 2 ∂ 2 Φ *2 2 B ∂Φ *2 ⎤ 2 ∂ 3 Φ *2 2( B − 1) ∂ 2 Φ *2 B − + 2 + ⎥. r ∂r ⎦ r2 ∂ϕ 2 ∂r 2 ∂r∂ϕ 2

τ rϕ = μ ⎢ Br ∇ 2 Φ *2 + r ∂r ⎣

Продолжение формулы на следующей странице

67

⎛ ∂ 3 Φ *2 B ∂ 2 Φ *2 ⎞ ⎜ ⎟⎟; τ rz = 2μ ⎜ + ϕ ϕ r z r z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎛ ∂ 2 Φ *2 ⎞ 2 ∂ 3 Φ *2 ∂ ⎟⎟. τ ϕz = μ ⎜⎜ Br ∇ 2 Φ *2 + 2 − B 2 ∂ z r ∂ r ∂ z ϕ ∂ ∂ z ⎠ ⎝

А через перемещения (2.4), как: ∂ 2Φ 3 ∂ 2 ∇ Φ 3 + 2 μB∇ 2 Φ 3 − 2λ ( B + 1) + ∂r ∂z 2 ⎛ ∂ 3Φ 3 ∂ 2Φ 3 ⎞ ⎟; + 2 μ ⎜⎜ r − 2B 3 ∂r 2 ⎟⎠ ⎝ ∂r 3 ∂ 2Φ ∂ ⎡1 ∂ Φ3 − σ ϕ = λ ( B + 1)r ∇ 2 Φ 3 + 2 μB∇ 2 Φ 3 − 2λ ( B + 1) 2 3 + 2 μ ⎢ 2 ∂r ∂z ⎣ r ∂r∂ϕ

σ r = [λ ( B + 1) + 2 μB ]r

−

2( B + 1) ∂ 2 Φ 3 ∂ 2 Φ 3 2( B + 1) ∂Φ 3 ⎤ ; + − r ∂r ⎥⎦ r2 ∂ϕ 2 ∂r 2 ∂ 2Φ 3 ∂ 3Φ 3 ∂ 2 r 2 ; μ ∇ Φ 3 − [(2 B + 1)(4 μ + 1) + 1] + ∂r ∂z 2 ∂r∂z 2 ⎡ ∂ 2 ∂ 3Φ 3 1 ∂ 2 Φ 3 4( B + 1) ∂Φ 3 ⎤ = μ ⎢B ∇ Φ3 + 2 2 − + ⎥; ∂ϕ ⎦ r2 ∂r ∂ϕ r ∂r∂ϕ ⎣ ∂ϕ

σ z = λ ( B + 1)r τ rϕ

⎡ ∂ 3Φ 3 ∂ 2Φ 3 ⎤ B ( 3 1 ) − + ⎥; 2 r z ∂ ∂ r z ∂ ∂ ⎣ ⎦

τ rz = 2 μ ⎢r

⎡ ∂ 3Φ 3 (3B + 2) ∂ 2 Φ 3 ⎤ − ⎥. r ϕ z r z ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎦ ⎣

τ ϕz = 2 μ ⎢

Список литературы 1. Тер-Мкртичьян Л.Н. Осесимметричная задача теории упругости. Научные труды Ленинград. лесотехнич. академии. Вып. 96, 1961. 2. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ. 1935. 3. Папкович П.Ф. Теория упругости. –М.: Оборонгиз, 1939. 4. Галеркин Б.Г.- Доклады АН СССР. - 1931.- № 10. 5. Вебер С. Zeitschift für anqew Mathematik und Mechanik.,Bd.V, Heft 6. 6. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости.- М.: Гостехиздат, 1947. 7. Блох Б.И. 0 представлении общего решения основных уравнений статической задачи теории упругости изотропного тела при помощи гармонических функций.// Прикладная математика и механика. Т. 22, 1958. 8. Слободянский М.Г. Об общих и полных формах решений уравнений упругости. Прикладная математика и механика. Т. 23, 1959. 9. Лауфер М.Я. Об одном решении уравнений статической теории упругости. ДР-3463. //Сборник рефератов ДР. М.: ВИМИ, вып. 3-5 1993.

68

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ТОЛСТЫХ СЕГМЕНТНЫХ ПЛАСТИНАХ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ ДВУХМЕРНЫМ СТАЦИОНАРНЫМ ТЕМПЕРАТУРНЫМ ПОЛЕМ Плоская температурная задача теории упругости достаточно подробно исследована в работе [3] и др. Тем не менее, приложение её результатов для определения напряженного состояния в телах сегментной формы путём непосредственного перехода от прямоугольных координат к полярным невозможно вследствие неопределенности отдельных компонентов тензора напряжения. В работе показана недостаточность существующего решения термоэластичных уравнений Дюгамеля-Неймана, составленного путём комбинации компонентов термоупругого потенциала напряжения и функции напряжения Эри при определении напряженного состояния в сегментных телах в общем случае плоского стационарного температурного поля. Представленное при этом более общее решение этих уравнений в виде линейной комбинации компонентов термоупругого потенциала перемещения и двух независимых функций перемещения единственным образом определяет плоское деформированное состояние в указанных формах при достаточно общих граничных условиях. При определении термоупругого потенциала перемещения применен обобщенный - способ Фурье, частичное обоснование которого проведено на примере решения уравнения ∇ 2 Φ = 0 . Определившиеся при этом ряды отличаются от обычных рядов Фурье наличием непериодических членов. Показана возможность представления произвольной достаточно гладкой функции этими новыми рядами, а также возможность формального оперирования с ними. §1. Постановка задачи Определим термоупругие напряжения в однородном изотропном элементе толщиной "Н", имеющем сегментную форму (см. рис. 1). Примем, что температурное поле элемента стационарно и зависит лишь от координат r и ϕ и не зависит от z . Поместим начало координат в т. 0 и зададимся следующими условиями: 1. Внутри и на поверхности элемента известен закон распределения температуры T = f (r , ϕ ) . B дальнейшем в отношении произвольной функции f (r , ϕ ) будут установлены некоторые ограничения. 2. Все поверхности элемента своРис. 1 бодны от действия внешних сил.

69

3. Массовые силы пренебрежимо малы. В этом случае поле перемещений внутри и на границе тела описывается дифференциальными уравнениями Дюгамеля-Неймана. U 2 μ ∂V ∂Δ ∂T ⎫ − μ 2 + μ∇ 2U − 2 =β r r ∂ϕ ∂r ∂r ⎪ ⎪ (λ + μ ) ∂Δ V 2 U T μ β ∂ ∂ ⎪ − μ 2 + μ∇ 2V + 2 = ⎬, r r r ∂ϕ r ∂ϕ ⎪ ∂ϕ ⎪ 1 ∂ 1 ∂V (rU ) + Δ= ⎪ r ∂r r ∂ϕ ⎭

(λ + μ )

(1.1)

где U и V - перемещения соответственно вдоль осей r и ϕ . λ и μ коэффициенты Ламе и Пуассона. β - коэффициент температурной деформации в обозначениях А. Лява [1]. Будем искать нетривиальное решение этих уравнений, удовлетворяющее указанным ранее граничным условиям, которые могут быть переписаны так: 1. r = R1 ; σ r = 0; τ rϕ = 0 . 2. r = R2 ; σ r = 0; τ rϕ = 0 . 3. ϕ = ϕ1 ; 4. ϕ = ϕ 2 ;

R2

R2

R2

R1

R1

R1

R2

R2

R2

R1

R1

R1

∫ σ ϕ dr = 0; ∫ σ ϕ rdr = 0; ∫ τ rϕ dr = 0 . ∫ σ ϕ dr = 0; ∫ σ ϕ rdr = 0; ∫ τ rϕ dr = 0 .

При определении граничных значений напряжений на радиальных поверхностях используется принцип Сен-Венана. §2. Обобщённый способ Фурье. Ряды с непериодическими членами и их обоснование В отличие от существующего способа будем искать частное решение вспомогательного уравнения ∂ 2Φ 1 ∂Φ 1 ∂ 2 Φ + + =0. ∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2

(2.1)

В виде суммы Φ = f1 (r )θ (ϕ ) + f 2 (ϕ ) R (r ) , (2.2) где R (r ), f1 (r ) и θ (ϕ ), f 2 (ϕ ) - функции, зависящие соответственно от одной переменной r или ϕ . Подставляя (2.2) в (2.1) и преобразовывая, имеем f ′′ f ′ f θ ′′ f ⎛ R ′′ R ′ ⎞ f ′′ = − 2 ⎜r2 +r ⎟− 2 . (2.3) r2 1 + r 1 + 1 θ ⎝ R R R R θ R⎠ θ Поскольку свойства функций R и θ оставались произвольными, наложим на них следующие два ограничения θ ′′ R′′ R′ = −n 2 ; r 2 + r = n2 , θ R R где n - постоянная, которая аналогична требованию, чтобы 70

Rθ = (C1*, n r n + C2*, n r − n )(C3*, nCosnϕ + C4*, n Sinnϕ )

(2.4) являлось решением (2.1). Т.о. левая часть (2.3) зависит только от r и не зависит от ϕ , а правая – наоборот, следовательно, f1′′ f′ f + r 1 − n2 1 = m R R R f f ′′ n 2 2 + 2 = −m r2

(2.5)

θ θ где m также постоянная. Методом вариации постоянных находим f1 = C1*,*n r n ln r − C2*,*n r − n ln r + C5*, n r n + C6*, n r − n f 2 = C7*, nCosnϕ + C8*, n Sinnϕ + C4*,*nϕCosnϕ − C3*,*nϕSinnϕ

Тогда частное решение уравнения (2.1) окончательно принимает вид Φ i = (C1, ni r ni + C 2, ni r − ni + C3, ni r ni ln r + C 4, ni r − ni ln r )Cosniϕ + (C5, ni r ni + + C6, ni r − ni + C7, ni r ni ln r + C8, ni r − ni ln r ) Sinniϕ + (C7 , ni r ni − C8, ni r − ni )ϕ *

(2.6)

* Cosniϕ + (−C3, ni r ni + C 4, ni r − ni )ϕSinniϕ ,

где C1, n , C 2, n , C3, n , C 4, n , C5, n , C6, n , C7 , n и C8, n - постоянные, определяемые из граничных условий. Естественно предположить, что, как и в случае (2.4), чисел ni может быть бесконечно много. При этом для нас будут представлять интерес только вещественные из них. Поэтому в качестве решения можно рассмотреть ряд i

i

i

i

i

i

i

i

∞

Φ = ∑ Φi , i =1

который при некоторых условиях равномерно сходится к обобщенному решению Φ уравнения (2.1). Особенностью решения (2.6) является восемь постоянных интегрирования вместо обычных четырёх, вследствие наличия в нём непериодических членов вида r ± n ϕCosniϕ и r ± n ϕSinniϕ , а так же членов вида r ± n ln rCosniϕ и r ± n ln rSinniϕ , которые не являются в отдельности решениями (2.1). Функции, обладающие этими свойствами, назовём псевдогармоническими. Не останавливаясь на подробном анализе полученного результата, докажем следующие две теоремы. i

i

i

i

Теорема 1

Фундаментальные функции вида f 2 , удовлетворяющие при ϕ = ϕ1 и ϕ = ϕ 2 граничным условиям αf 2′ + βf 2 = 0 , где α и β - постоянные, обладают свойством обобщенной ортогональности, т.е. ϕ2

∫ f 2i f 2 j dϕ = 0 при i ≠

j.

ϕ1

71

Действительно по построению своему, функции f 2 удовлетворяют уравнению (2.5), если заменить в нём n 2 на ni2 и n 2j , а m на mi и m j . Тогда f 2′′i + ni2 f 2i + miθ i = 0 ⎫⎪ ⎬. f 2′′j + n 2j f 2 j + m jθ j = 0⎪⎭

(2.7)

Умножим первое уравнение на θ j , а второе на θ i и вычтем почленно одно из другого. Интегрируя затем полученное выражение по промежутку (ϕ1 , ϕ 2 ) , находим: ϕ2

∫ ( f ′′θ 2i

j

− θ i f 2′′j )dϕ + n

2 i

ϕ1

ϕ2

ϕ2

∫ f θ dϕ − n ϕ∫ f θ dϕ + (m 2i

2 j

j

ϕ1

2j

i

i

ϕ2

− m j ) ∫ θ iθ j dϕ = 0 .

1

ϕ1

Берём первый интеграл по частям дважды ϕ2

∫

ϕ1

ϕ2

f 2′i′θ j dϕ = ( f 2′iθ j − f 2 iθ ′j )ϕϕ − n 2j ∫ f 2 iθ j dϕ . 2

1

ϕ1

Производя точно такие же действия со вторым интегралом и подставляя полученные результаты в исходное равенство, имеем ϕ2

ϕ2

1

ϕ2

∫ θ i f 2 j dϕ + ∫ f 2iθ j dϕ = − n 2 − n 2 [( f 2′iθ j − f 2iθ ′j )ϕ

ϕ1

ϕ1

i

1

j

+ ( f 2 jθ i′ − f 2′ jθ i )ϕϕ12 +

(2.8)

ϕ2

+ (mi − m j ) ∫ θ iθ j dϕ ]. ϕ1

Умножим далее первое уравнение (2.7) на f 2′′j , а второе на f 2′′i и вычтем почленно одно из другого. Интегрируя полученное выражение, как и ранее по промежутку (ϕ1 , ϕ 2 ) , находим ϕ2

ϕ2

ϕ2

ϕ2

ϕ1

ϕ1

ϕ1

ϕ1

ni2 ∫ f 2i f 2′′j dϕ − n 2j ∫ f 2 j f 2′′i dϕ + mi ∫ θ i f 2′′j dϕ −m j ∫ θ j f 2′′i dϕ = 0 .

Берём третий и четвёртый интегралы по частям дважды. После уже известных преобразований, получаем: 2 i i

mn

ϕ2 ϕ1

=n

2 i

ϕ2

∫ f 2 jθ i dϕ − m j n ∫ f 2iθ j dϕ = 2 j

ϕ2

ϕ1

ϕ2

ϕ2

∫ f 2i f 2′′j dϕ − n ∫ f 2 j f 2′′i dϕ + [mi ( f 2′ jθ i − f 2 jθ i′) + m j ( f 2iθ ′j − f 2′iθ j )]ϕ

ϕ1

2 j

1

ϕ1

.

Умножим затем первое уравнение (2.7) на n 2j f 2 j , а второе на ni2 f 2i . Проведя аналогичные предыдущим преобразования, приходим к следующему выражению ϕ2

ϕ2

ϕ2

ϕ2

ϕ1

ϕ1

ϕ1

ϕ1

mi n 2j ∫ θ i f 2 j dϕ − m j ni2 ∫ θ j f 2i dϕ = ni2 ∫ f 2 i f 2′′j dϕ − n 2j ∫ f 2 j f 2′i′dϕ .

Исключая из последних двух равенств слагаемое

72

n

2 i

ϕ2

∫

ϕ1

ϕ2

f 2i f 2′′j dϕ − n 2j ∫ f 2 j f 2′′i dϕ , ϕ1

получаем ϕ2

ϕ2

ϕ1

ϕ1

1

∫ f 2 jθ i dϕ + m j ∫ f 2iθ j dϕ = n 2 − n 2 [mi ( f 2′ jθ i − f 2 jθ i′) +

mi

i

+ m j ( f 2iθ ′j − f 2′iθ j )]ϕϕ

(2.9)

j

2 1

Наконец умножим первое уравнение (2.7) на f 2 j , а второе на f 2i . Повторяя проделанную выше последовательность действий, имеем ϕ2

ϕ2

ϕ2

mi ∫ θi f 2 j dϕ − mi ∫ f 2 iθ j dϕ = −(ni2 − n 2j ) ∫ f 2i f 2 j dϕ −( f 2′i f 2 j − f 2′j f 2i )ϕϕ . 2

ϕ1

ϕ1

1

ϕ1

(2.10)

Преобразуем (2.8) как ϕ2

mi ∫ θ i f 2 j dϕ = −mi ϕ1

ϕ2

mi

ϕ2

∫ f 2iθ j dϕ − n 2 − n 2 [( f 2′iθ j − f 2iθ ′j )ϕ

ϕ1

i

j

1

+ ( f 2 jθ i′ − f 2′ jθ i )ϕϕ + 2

1

ϕ2

+ (mi − m j ) ∫ θ iθ j dϕ ] ϕ1

и подставим в (2.9) ϕ2

(m j − mi ) ∫ f 2iθ j dϕ = ϕ1

m + 2 i 2 ni − n j

1 [mi ( f 2′ jθ i − f 2 jθ i′) + m j ( f 2iθ ′j − f 2′iθ j )]ϕϕ12 + 2 2 ni − n j

ϕ2 ⎡ ⎤ ϕ2 ϕ2 ⎢( f 2′iθ j − f 2iθ ′j )ϕ1 + ( f 2 jθ i′ − f 2′ jθ i )ϕ1 + (mi − m j ) ∫ θ iθ j dϕ ⎥, ⎢⎣ ⎥⎦ ϕ1

а затем в (2.10) ϕ2

ϕ2

− (m j + mi ) ∫ f 2iθ j dϕ = −(n − n ) ∫ f 2i f 2 j dϕ − ( f 2′i f 2 j − f 2′ j f 2i )ϕϕ12 + 2 i

2 j

ϕ1

ϕ1

mi [(mi − m j ) * ni2 − n 2j

ϕ2

* ∫ θ iθ j dϕ + ( f 2′iθ j − f 2iθ ′j )ϕϕ12 + ( f 2 jθ i′ − f 2′ jθ i )ϕϕ12 ]. ϕ1

Исключая из последних двух выражений

ϕ2

∫ f 2iθ j dϕ

и преобразовывая,

ϕ1

находим (ni4

ϕ2

ϕ2

ϕ1

ϕ1

− n 4j )

∫ f 2i f 2 j dϕ = −2mi m j ∫ θiθ j dϕ − [(ni

2

− n 2j )( f 2′i f 2 j − f 2′ j f 2i ) + m j ( f 2′iθ j − f 2iθ ′j ) −

(2.11)

− mi ( f 2iθi′ − f 2′ jθi )]ϕϕ12 .

Согласно определения αf 2′(ϕ1 ) + β f 2 (ϕ1 ) = 0 ⎫ ⎬. αf 2′(ϕ 2 ) + β f 2 (ϕ 2 ) = 0⎭

(2.12)

73

Поскольку условию (2.12) должны удовлетворять все частные решения уравнения (2.1) то αf 2′i (ϕ1 ) + βf 2i (ϕ1 ) = 0 ⎫ (2.13) ⎬. αf 2′j (ϕ1 ) + βf 2 j (ϕ1 ) = 0⎭

Умножая первое уравнение (2.13) на f 2 j (ϕ1 ) , а второе на f 2i (ϕ1 ) и вычитая почленно одно из другого, получаем f 2′i (ϕ1 ) f 2 j (ϕ1 ) − f 2′j (ϕ1 ) f 2i (ϕ1 ) = 0 . Точно также находим f 2′i (ϕ 2 ) f 2 j (ϕ 2 ) − f 2′j (ϕ 2 ) f 2i (ϕ 2 ) = 0 По построению f 2 αθ ′j (ϕ1 ) + βθ j (ϕ1 ) = 0⎫ (2.14) ⎬. αθ i′(ϕ1 ) + βθ i (ϕ1 ) = 0 ⎭ Умножая первое уравнение (2.13) на θ j (ϕ1 ) и первое уравнение (2.14) на f 2i (ϕ1 ) и преобразовывая уже известным образом, имеем f 2′i (ϕ1 )θ j (ϕ1 ) − θ ′j (ϕ1 ) f 2 i (ϕ1 ) = 0 . и аналогично f 2′i (ϕ 2 )θ j (ϕ 2 ) − θ ′j (ϕ 2 ) f 2 i (ϕ 2 ) = 0 . Производя подобные действия со вторыми уравнениями (2.13) и (2.14), легко определить, что f 2 i (ϕ1 )θ i′(ϕ1 ) − f 2′j (ϕ1 )θ i (ϕ1 ) = 0

и f 2 i (ϕ 2 )θ i′(ϕ 2 ) − f 2′j (ϕ 2 )θ i (ϕ 2 ) = 0 .

Сравнивая полученные результаты с правой частью (2.11) и вспоминая, что, как известно, при рассматриваемых граничных условиях и i ≠ j ϕ2

∫ θ iθ j dϕ = 0 , получаем тем самым утверждение теоремы.

ϕ

Следствие

При i = j * 2(i , j )

где f постоянные.

ϕ2

ϕ2

ϕ2

ϕ1

ϕ1

ϕ1

∫ f 2iθ j dϕ = ∫ f 2 jθ i dϕ = 0 ∫ f 2i f 2 j dϕ = 0 , *

*

= C(i , j )ϕCosn(i , j )ϕ + d (i , j )ϕSinn(i , j )ϕ , а C( i , j ) и d ( i , j ) - произвольные

Теорема 2

Произвольная достаточно гладкая функция F (ϕ ) , удовлетворяющая граничным условиям (2.12), может быть представлена равномерно сходящимся рядом вида ∞

F (ϕ ) = ∑ ( Ai Cosniϕ + Bi Sinniϕ + CiϕCosniϕ + d iϕSinniϕ , i =1

74

(2.15)

где ni - всё возрастающая последовательность фундаментальных чисел n1 < n2 < n3 < ... < ni < ... , а Ai , Bi , Ci , d i - постоянные, определяемые как ϕ2

ϕ2

∫ F ϕ (Cosn ϕ + k Sinn ϕ )dϕ ϕ∫ ϕ ( )

Ai =

i

i

2

i

ϕ1

ϕ2

(Cosniϕ + Li Sinniϕ ) dϕ − ∫ F(ϕ )ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )dϕ * 2

ϕ1

1

ϕ2

∫ϕ (Cosn ϕ + k Sinn ϕ ) i

i

i

2

ϕ2

dϕ ∫ ϕ 2 (Cosniϕ + Li Sinniϕ ) 2 dϕ − ϕ1

1

ϕ2

* ∫ ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )(Cosniϕ + k i Sinniϕ )dϕ ϕ1

⎡ϕ 2 ⎤ − ⎢ ∫ ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )(Cosniϕ + k i Sinniϕ )dϕ ⎥ ⎢⎣ϕ1 ⎥⎦ ϕ2

Ci =

2

; ki =

αni Sinniϕ (1, 2 ) − β Cosniϕ (1, 2 ) ; αni Cosniϕ (1, 2 ) + βSinniϕ (1, 2 )

ϕ2

ϕ2

2 ∫ F(ϕ )ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )dϕ ∫ (Cosniϕ + k i Sinniϕ ) dϕ − ∫ ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ ) *

ϕ1

ϕ1

ϕ1

ϕ2

∫ (Cosn ϕ + k Sinn ϕ ) ϕ i

i

1

i

ϕ2

2

dϕ ∫ ϕ 2 (Cosniϕ + Li Sinniϕ ) 2 dϕ − ϕ1

ϕ2

* (Cosniϕ + k i Sinniϕ )dϕ ∫ F(ϕ ) (Cosniϕ + k i Sinniϕ )dϕ ϕ1

; 2 ⎡ϕ 2 ⎤ − ⎢ ∫ ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )(Cosniϕ + k i Sinniϕ )dϕ ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ϕ1 − αni Sinniϕ (1, 2 ) + ϕ (1, 2 ) (αni Sinniϕ (1, 2 ) − βCosniϕ (1, 2 ) Li = ; Bi = k i Ai ; d i = Li C i αSinniϕ (1, 2 ) + ϕ (1, 2 ) (αni Cosniϕ (1, 2 ) + βSinniϕ (1, 2 )

Рассмотрим ряд Μ

F(*ϕ ) = ∑ [ Ai (Cosniϕ + ki Sinniϕ ) + Ciϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )] ,

(2.16)

i =1

в котором Bi = ki Ai ; di = LiCi Функции, составляющие этот ряд, ограничены и интегрируемы в интервале (ϕ1 ,ϕ 2 ) . Поэтому F * (ϕ ) , а следовательно, и F (ϕ ) − F * (ϕ ) можно рассматривать как функции с интегрируемым квадратом. Составим интеграл ϕ2

δ i = ∫ [ F (ϕ ) − F * (ϕ )]2 dϕ ,

(2.17)

ϕ1

характеризующий среднеквадратичную ошибку приближения F * (ϕ ) к F (ϕ ) в рассматриваемом интервале. Величина δ i представляет функцию от параметров Ai и Ci . Поэтому наилучшее приближение F * (ϕ ) и F (ϕ ) получится тогда, когда эти коэффициенты будут выбираться из условий ∂δ i ∂δ = ⋅⋅⋅ = i = ⋅⋅⋅ = 0 . ∂Ai ∂Ci

Дифференцируем δ i по Ai

75

ϕ2

Μ

ϕ1

i =1

∫ {F (ϕ ) − ∑[ Ai (Cosniϕ + ki Sinniϕ ) + Ciϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )](Cosniϕ + ki Sinniϕ )}dϕ = 0

и затем по Ci ϕ2

Μ

ϕ1

i =1

∫ {F (ϕ ) − ∑[ Ai (Cosniϕ + ki Sinniϕ ) + Ciϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )]ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )}dϕ = 0 .

Принимая во внимание следствие теоремы 1 и решая совместно полученные уравнения относительно Ai и Ci , находим ⎫ ⎪ ϕ ϕ ϕ ⎪ Ai = ϕ ϕ ⎪ 2 2 2 ( Cosn k Sinn ) d ( Cosn L Sinn ) d ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + − ⎪ i i i i i i ∫ ∫ ⎪ ϕ ϕ ⎪ ϕ ⎪ + Li Sinniϕ )dϕ ∫ ϕ (Cosniϕ + ki Sinniϕ )(Cosniϕ + Li Sinniϕ )dϕ ⎪ ϕ ; ⎪ 2 ⎡ϕ ⎤ ⎪ − ⎢ ∫ ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )(Cosniϕ + ki Sinniϕ )dϕ ⎥ ⎪ ⎪ ⎣⎢ϕ ⎦⎥ ⎬ ϕ ϕ ϕ ⎪ 2 ∫ϕ F(ϕ )ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )dϕ ϕ∫ (Cosniϕ + ki Sinniϕ ) dϕ − ϕ∫ ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ ) * ⎪ ⎪ Ci = ϕ ϕ ⎪ 2 2 2 ∫ϕ (Cosniϕ + ki Sinniϕ ) dϕ ϕ∫ ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ ) dϕ − ⎪ ⎪ ϕ ⎪ ⎪ * (Cosniϕ + ki Sinniϕ )dϕ ∫ F(ϕ ) (Cosniϕ + ki Sinniϕ )dϕ ⎪ ϕ 2 ⎪ (2.18) ⎤ ⎡ϕ ⎪ − ⎢ ∫ ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )(Cosniϕ + ki Sinniϕ )dϕ ⎥ ⎪ ⎢⎣ϕ ⎥⎦ ⎭ ϕ2

ϕ2

ϕ2

∫ F(ϕ ) (Cosniϕ + ki Sinniϕ )dϕ ∫ ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ ) dϕ − ∫ F(ϕ )ϕ (Cosniϕ + 2

1

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

Легко видеть, что найденные значения Ai и Ci , не только соответствуют минимуму δ i , но и ограничены. Действительно, в точке минимума должно выполняться неравенство 2

ϕ

ϕ

2 2 ∂ 2δ i ∂ 2δ i ⎛ ∂ 2δ i ⎞ 2 ⎜ ⎟ ⋅ 2 −⎜ = ∫ (Cosniϕ + ki Sinniϕ ) dϕ ∫ ϕ 2 (Cosniϕ + Li Sinniϕ ) 2 dϕ − 2 ⎟ ∂Ai ∂Ci ⎝ ∂Ai ∂Ci ⎠ ϕ1 ϕ1

2

⎤ ⎡ϕ 2 − ⎢ ∫ ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )(Cosniϕ + ki Sinniϕ )dϕ ⎥ > 0. ⎥⎦ ⎢⎣ϕ1

Сравнивая полученное выражение с известным неравенством Буняковского, непосредственно убеждаемся в справедливости сделанного ранее утверждения, за исключением, может быть, одного случая, который не рассматривается. Покажем далее, что система функций вида f 2 обладает полнотой и ряд (2.16) сходится к F(ϕ ) "в среднем", т.е. lim δ = 0 , что равносильно 123i Μ →∞

76

lim δ i = 0 . Предположим, что F(ϕ ) непрерывно дифференцируемая функция, 123 ni →∞

удовлетворяющая граничным условиям (2.12). Введём обозначение Μ

ρ (ϕ ) FΜ (ϕ ) = F(ϕ ) − ∑ [ Ai (Cosniϕ + k i Sinniϕ ) + Ciϕ (Cosni + Li Sinniϕ )] ; PΜ (ϕ ) =

FΜ (ϕ )

δi

i =1

,

где ρ(ϕ ) подбирается так, чтобы ρ (2ϕ ) FΜ (ϕ ) = 2θ i . Поставим задачу о нахождении минимума функционала ϕ2

G( P ) = ∫ [− PΜ′ 2(ϕ ) + ni2 PΜ (ϕ ) ]dϕ > 0 Μ

ϕ1

при определившемся дополнительном условии ϕ2

H ( P ) = 2 ∫ θ i PΜ (ϕ ) dϕ = 1 . Μ

ϕ1

На основании теоремы Эйлера можно утверждать, что функции, дающие решение поставленной задачи, должны быть экстремалями функционала [4] ϕ2

G( P ) + mi H ( P ) = ∫ [− PΜ′2(ϕ ) + ni2 P 2 ϕ + 2miθ i PΜ (ϕ ) ]dϕ , Μ

Μ

Μ( )

ϕ1

для которого уравнение Эйлера PΜ′′(ϕ ) + ni2 PΜ (ϕ ) = miθ i в точности совпадает с уравнением (2.5). Т.к. кроме того,

ϕ2

∫ PΜ (ϕ ) f 2i dϕ = 0 ,

где i = 1, 2, 3, ..., Μ , и граничные условия

ϕ1

задачи о собственных значениях и рассматриваемой вариационной задачи также совпадают, то функция PΜ (ϕ ) , дающая минимум G( P ) при условии H ( P ) = 1 , является фундаментальной. Поэтому всегда G( P ) ≥ mΜ +1 . Вычислим G( P ) , переходя к ранее принятым обозначениям Μ

Μ

Μ

Μ

ϕ2

G( P ) = ∫ [− PΜ′ 2(ϕ ) + ni2 PΜ2 (ϕ ) ]dϕ = Μ

ϕ1

1

δi

{G

[ F( ϕ ) ]

− 2G[ F

* ( ϕ ), F( ϕ )

]

+ G[ F

* (ϕ )

]

}≥ m

Μ +1

.

Откуда получаем G[ F ] − 2G[ F , F ] + G[ F ] . δi ≤ m Μ +1 Т.к. числитель правой части этого неравенства, возрастая с возрастанием Μ , остается все же ограниченным по отношению к возрастанию m , то при любом сколь угодно большом Μ , а следовательно и n , всегда можно подобрать такое m > Μ , что δ i станет меньше любого наперед заданного положительного числа ε . Следовательно, lim δ = 0 . Интересно отметить, что из последнего 142i 4 3 (ϕ )

(ϕ )

* (ϕ )

* (ϕ )

Μ →∞, n →∞

неравенства вытекает зависимость m от n . 77

Умножая обе части ряда (2.15) раздельно на A j Cosn jϕ + B j Sinn jϕ ,a затем на ϕ (Cosn jϕ ⋅ C j + d j Sinn jϕ ) и интегрируя (по доказанному система рассматриваемых функций обладает полнотой) их по промежутку (ϕ1 ,ϕ 2 ) после преобразований, с учетом теоремы 1 и её следствия, получаем ϕ2

ϕ2

ϕ2

∫ F ϕ (Cosn ϕ + k Sinn ϕ )dϕ = A ϕ∫ (Cosn ϕ + k Sinn ϕ )dϕ + C ϕ∫ ϕ (Cosn ϕ + L Sinn ϕ )(Cosn ϕ + k Sinn ϕ )dϕ i

( )

i

i

i

i

ϕ1

1

ϕ2

ϕ2

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

1

i

ϕ2

∫ F ϕ ϕ (Cosn ϕ + L Sinn ϕ )dϕ = A ϕ∫ ϕ (Cosn ϕ + L Sinn ϕ )(Cosn ϕ + k Sinn ϕ )dϕ + C ϕ∫ ϕ ϕ ( )

i

1

i

i

i

i

i

i

i

i

1

2

(Cosniϕ + Li Sinniϕ ) 2 dϕ

1

Решая эти уравнения совместно относительно Ai и Ci , находим их значения, которые в точности совпадают с (2.18). Полученный результат говорит о том, что коэффициенты (2.18), найденные для i = Μ , остаются неизменными при увеличении числа членов ряда (2.15). Чтобы освободиться от ранее принятого ограничения непрерывной дифференцируемости функции F(ϕ ) , достаточно показать, что для всякой достаточно гладкой функции F(ϕ ) существует непрерывно дифференцируемая функция f (ϕ ) , удовлетворяющая граничным условиям (2.12) и такая, что

ϕ2

∫ [ F(ϕ ) − f(ϕ ) ] dϕ < ε , 2

где ε - любое

ϕ1

заданное положительное число. Не приводя доказательства последнего, которое аналогично изложенному в [5], покажем, что ряд (2,15) сходится к F(ϕ ) равномерно. При этом достаточно показать, что ряд (2.15) вообще равномерно сходится. Действительно, т.к. этот ряд сходится "в среднем" к F(ϕ ) , то, сходясь равномерно, он не может иметь своим пределом никакую другую функцию. Как показано ранее для (2.17) всегда можно подобрать такое Μ , не зависящее от ϕ , что, если коэффициенты ряда (2.16) суть (2.18), то при ni > Μ для всех значений ϕ в промежутке (ϕ1 ,ϕ 2 ) имеет место неравенство ϕ2

ϕ2

∫ [F ϕ

( )

−

F(*ϕ ) ]2 dϕ

* * < ε , где 0 < ϕ1 < ϕ 2 и ε > 0 . Полагая ε = ε ∫ F(ϕ ) dϕ , ε > 0 и считая, как и *

ϕ1

ϕ1

ранее, ki и Li ограниченными, после подстановки (2.18) в (2.17) с учётом теоремы 1, получаем 2

ϕ2

Μ ⎧ ⎫ F − [ Ai (Cosniϕ + ki Sinniϕ ) + Ciϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )]⎬ dϕ = ∫ ⎨⎩ (ϕ ) ∑ i =1 ⎭ ϕ1

ϕ2

Μ

ϕ2

i =1

ϕ1

= ∫ F(ϕ ) dϕ −∑ [ Ai (Cosniϕ + ki Sinniϕ )dϕ + Ci ∫ F(ϕ )ϕ (Cosniϕ + Li Sinniϕ )dϕ ] = ϕ1

2

ϕ2

ϕ2

ϕ1

ϕ1

= ∫ F(ϕ ) [ F(ϕ ) − F(*ϕ ) ]dϕ < ε

∫ F(ϕ )dϕ ,

откуда сразу следует F(ϕ ) − F(*ϕ ) < ε .

78

Осталось показать, что коэффициенты ki и Li действительно ограничены. Последние определяются из граничных условий (2.12) как ki = Li =

αni Sinniϕ(1, 2) − βCosniϕ(1, 2) ; αniCosniϕ(1, 2) + β Sinniϕ(1, 2)

− αCosniϕ(1, 2) + ϕ(1, 2) (αni Sinniϕ(1, 2) − β Cosniϕ(1, 2) )

αSinniϕ(1, 2 ) + ϕ(1, 2) (αniCosniϕ(1, 2) + βSinniϕ(1, 2) )

,

где ni ≠ 0 и не совпадает с корнями уравнений αni Cosniϕ (1, 2 ) + βSinniϕ (1, 2 ) = 0 αni Sinniϕ (1, 2 ) + ϕ (1, 2 ) (αni Cosniϕ (1, 2 ) + βSinniϕ (1, 2 ) ) = 0 Из выражений ki и Li видно, что при неограниченном возрастании ni , последние остаются ограниченными. Остававшиеся неизвестными коэффициенты ряда (2.15) определятся как Bi = ki Ai

d i = Li Ci

Т.о. теорема доказана. Не выявляя дальнейших отличий ряда (2.15) и обычного ряда Фурье, представляющих решение уравнения (2.1), ограничимся определившейся возможностью формального оперирования с этим рядом. §3. Термоупругий потенциал перемещения

Решение уравнений (1.1) ищем в виде линейной комбинации трех независимых функций Φ m (r ,ϕ ), m = 0 ÷ 2 . Первая из них Φ 0 , называемая в дальнейшем термоупругим потенциалом перемещения, образует частное решение системы (1.1). Две остальные - суть независимые решения ypaвнений Ламе. Полагая β ∂Φ 0 ⎫ U0 = λ + 2 μ ∂r ⎪⎪ (3.1) ⎬ β 1 ∂Φ 0 ⎪ V0 = ⋅ λ + 2 μ r ∂ϕ ⎪⎭ и подставляя в (1.1), получаем (3.2) ∇ 2Φ 0 = f ( r ,ϕ ) Считая в дальнейшем функцию f (r ,ϕ ) гармонической в целом и беря операцию ∇ 2 от обеих частей равенства (3.2), находим ∇ 2∇ 2 Φ 0 = 0 . Т.о. функция Φ 0 является бигармонической функцией. Вследствие наложенных выше на f (r ,ϕ ) ограничений, а также учитывая результаты § 2, можно полагать, что она представима сходящимся рядом вида ∞

f (r ,ϕ ) = ∑ [(C1, ni r

v ni

i =1

* Cosvni ϕ + (C5, ni r + (C7 , ni r

v ni

v ni

− C8, ni r

+ C 2 , ni r

+ C6, ni r

− v ni

− v ni

− v ni

+ C3, ni r

+ C7 , ni r

v ni

v ni

ln r + C4, ni r

ln r + C8, ni r

)ϕCosν ni ϕ + (−C3, ni r

79

v ni

+ C 4 , ni r

− v ni

− v ni

− v ni

ln r ) *

ln r ) Sinvni ϕ + )ϕSinvni ϕ ].

Введём обозначения r r r r

v ni

ln r = R1 C3, ni Cosvni ϕ + C7 , ni Sinvni ϕ = θ1;

− v ni

v ni − v ni

ln r = R2

C4, ni Cosvni ϕ + C8, ni Sinvni ϕ = θ 2 ;

= R3 ϕ (C7, ni Cosvni ϕ − C3, ni Sinvni ϕ ) = θ3 ; = R4 ϕ (−C8, ni Cosvni ϕ + C4, ni Sinvni ϕ ) = θ 4 ; C1, ni Cosvni ϕ + C5, ni Sinvni ϕ = θ 5 ; C2, ni Cosvni ϕ + C6, ni Sinvni ϕ = θ 6 .

Тогда (3.2) представится как ∇ 2 Φ 0i = R4θ 5 + R3θ 6 + R1θ1 + R2θ 2 + R3θ 3 + R4θ 4 . Решение этого уравнения по обобщенному способу Фурье в виде Φ 0i = f 2 ( r )θ5 + R4 f 7 (ϕ ) + f 4( r )θ 6 + f8(ϕ ) R3 + f1( r )θ1 + f 3( r )θ 2 + + r 2 R3 f 5(ϕ ) + r 2 R4 f 6 (ϕ ) ,

(3.3)

где f1( r ) , f 2 ( r ) , f3( r ) , f 4 ( r ) , f 5( r ) , f 6( r ) , f 7 ( r ) , f8( r ) пока произвольные функции, зависящие соответственно только от r и ϕ . Подставляя (3.3) в последнее уравнение, после преобразований получаем: ⎡

θ5 ⎢ f 2′′( r ) + ⎣⎢

⎤ ⎡ ⎤ vn2 vn2 1 1 f 2′( r ) − 2i f 2( r ) − R4 ⎥ + θ 6 ⎢ f 4′′( r ) + f 4′( r ) − 2i f 4 ( r ) − R3 ⎥ + r r r r ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ vn2 vn2 1 1 + θ1 ⎢ f1′(′r ) + f1′( r ) − 2i f1( r ) − R1 ⎥ + θ 2 ⎢ f3′′( r ) + f3′( r ) − 2i f3( r ) − R2 ⎥ + r r r r ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ 1 1 R [v 2 f + f 7′′(ϕ ) ] + 2 R3[vn2i f8(ϕ ) + f8′′(ϕ ) ] + 2 4 ni 7 (ϕ ) r r 2 + R4 [(vni − 2) f 6(ϕ ) + f 6′′(ϕ ) − θ 4 ] + R3[(vni + 2) 2 f5(ϕ ) + f5′′(ϕ ) − θ3 ] = 0,

+

откуда следует 2

vn 1 f 2′( r ) − 2i f 2( r ) = R4 ; r r vn2i 1 f 4′′( r ) + f 4′( r ) − 2 f 4( r ) = R3 ; r r vn2i 1 f1′(′r ) + f1′( r ) − 2 f1( r ) = R1; r r vn2i 1 f 3′′( r ) + f 3′( r ) − 2 f3( r ) = R2 ; r r 2 f 7′′(ϕ ) + vni f 7 (ϕ ) = 0; f 2′′( r ) +

f8′′(ϕ ) + vn2i f8(ϕ ) = 0;

f 6′′(ϕ ) + (vni − 2) 2 f 6(ϕ ) = θ 4 ; f5′′(ϕ ) + (vni + 2) 2 f5(ϕ ) = θ3.

80

Применяя метод вариации постоянных при интегрировании последних уравнений с правой частью, получаем окончательное выражение для термоупругого потенциала перемещения в виде ∞

Φ 0 = ∑ [(a0,1r

v ni

i =1

+ a0,7 r

v ni + 2

+ a0,12 r

ln r + a0,8r

− v ni + 2

+ a0,13r

v ni

− a0,14 r

v ni + 2

+ a0,8r

+ (a0,13r − a0,7 r

+ a0, 2 r

− v ni

− v ni + 2

v ni

− v ni

+ a0,3r

+ a0, 4 r

− v ni + 2

ln r )Cosvni ϕ + (a0,9 r

ln r + a0,14 r

+ a0,15r

− v ni + 2

v ni + 2

v ni + 2

− v ni

v ni

ln r + a0,15r

− a0,16 r

− v ni + 2

+ a0,5r

+ a0,10 r

v ni + 2

v ni

− v ni

ln r + a0, 6 r + a0,11r

ln r + a0,16 r

− v ni

v ni + 2

ln r +

+

− v ni + 2

ln r ) Sinvni ϕ +

v ni

v ni

)ϕCosvni ϕ + (− a0,5r

+ a0,6 r

(3.4)

−

)ϕSinvni ϕ ],

где a0,8 = − a0,3 = −

C 4 , ni 4(vni − 1)

; a0,7 = −

C3, ni 4(vni + 1)

; a0,15 = −

C7 , ni 4(vni + 1)

; a0,16 = −

C8, ni 4(vni − 1)

;

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ C C 1 ⎜ C1, n − 3, ni ⎟; a0, 4 = − ⎜ C2, n + 4, ni ⎟; i i 4(vni + 1) ⎜⎝ 4(vni − 1) ⎜⎝ vni + 1 ⎟⎠ vni − 1 ⎟⎠ 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ C C 1 ⎜ C5, n − 7, ni ⎟ a0,12 = − ⎜ C6, n + 8, ni ⎟; i i 4(vni + 1) ⎜⎝ 4(vni − 1) ⎜⎝ vni + 1 ⎟⎠ vni − 1 ⎟⎠ а a0,1 , a0, 2 , a0,5 , a0, 6 , a0,9 , a0,10 , a0,13 , a0,14 - пока произвольные постоянные. Следует a0,11 =

1

отметить, что для интегрирования (3.2) условие гармоничности функции f (r , ϕ ) в целом вовсе не обязательно. 0но принято здесь для упрощения выкладок. В случае, если f (r , ϕ ) не может быть приведена к виду суммы произведений функций, зависящих лишь от одной переменной, для интегрирования уравнений (3.2) следует прибегнуть к методам теории потенциала при условии наложения на f (r , ϕ ) некоторых весьма общих ограничений. Не останавливаясь на подробном разборе этих случаев, заметим только, что принятый характер распределения температуры в теле не умаляет общности проделанных ниже выводов. §4. Интегрирование уравнений Ламе

Термоупругий потенциал перемещения (3.4) позволяет перейти от неоднородных уравнений (1.1) к системе однородных уравнений (4.1) 2 μ ∂V ∂Δ U ⎫ − μ 2 + μ∇ 2U − 2 =0⎪ ∂r r r ∂ϕ ⎪ ⎬. (λ + μ ) ∂Δ 2 μ ∂U V 2 − μ 2 + μ∇ V + 2 = 0⎪ ⎪⎭ ∂ϕ r r r ∂ϕ

(λ + μ )

(4.1)

Следуя методу Б.Г. Галеркина, будем искать решение системы (4.1) в виде линейных комбинаций двух независимых функций перемещения [2]. Вследствие невозможности непосредственного преобразования этих 81

комбинаций от декартовых координат к полярным будем искать их в следующем виде: Положим ∂ 2 Φ1 ∂Φ ⎫ 2 − (2 B + 1) 1 ⎪ U 1 = Br∇ Φ1 + r 2 ∂r ∂r ⎪ (4.2) ⎬, 2 ∂ Φ1 2( B + 1) ∂Φ 1 ⎪ − V1 = ⎪⎭ ∂r∂ϕ ∂ϕ r где B = −

λ + 2μ λ+μ

Подставляя (4.2) в систему (4.1), после сокращений имеем ∇ 2 ∇ 2 Φ1 = 0 . Следовательно, Φ 1 - произвольная бигармоническая функция двух переменных r и ϕ , а (4.2) суть решение системы (4.1). Полагаем далее ∂ 2 Φ 2 2 B ∂Φ 2 U2 = + r ∂ϕ ∂r∂ϕ (4.3) 2 ∂ Φ ∂ Φ 1 2 2 V2 = Br∇ 2 Φ 2 + − 2B 2 ∂r r ∂ϕ Произведя подстановку (4.3) в систему (4.1), получаем ∇ 2∇ 2 Φ 2 = 0 . Следовательно, Φ 2 есть также произвольная бигармоническая функция двух переменных r и ϕ , независимая притом от Φ 1 ,а система (4.3) суть решение системы (4.1). Каждую из Φ m , m = 1, 2 будем искать в форме, аналогичной (3.4), но с неопределёнными коэффициентами, т. е. ∞

Φ m = ∑ [(am ,1r i =1

+ am , 7 r

v ni + 2

+ am ,12 r

v ni

+ am , 2 r

ln r + am ,8 r

− v ni + 2

v ni

+ am , 6 r

+ am , 4 r

− v ni + 2

v ni

i

− am ,14 r

− v ni

v ni + 2

ln r )Cosvn ϕ + (am , 9 r

v ni

i

v ni

− v ni + 2

+ am ,3 r

+ am ,13 r ln r + am ,14 r

* Sinvn ϕ + (am ,13 r + (−am ,5 r

− v ni

− v ni

− am , 7 r

− v ni

ln r + am ,15 r

+ am ,15 r

v ni + 2

v ni + 2

+ am ,8 r

v ni

+ am ,10 r

v ni + 2

− am ,16 r

− v ni + 2

+ am , 5 r ln r + a0 , 6 r − v ni

+ am ,11r

ln r + am ,16 r

− v ni + 2

− v ni + 2

− v ni

v ni + 2

ln r +

+

ln r ) *

)ϕCosvn ϕ + i

)ϕSinvn ϕ ] i

§5. Термоупругие напряжения

Вследствие линейности (1.1), составим их обобщенное решение в виде суммы решений (3.1), (4.2) и (4.3)

82

U = ∑U m ⎫ ⎪ m=0 (5.1) ⎬. 2 V = ∑ Vm ⎪ ⎭ m=0 Легко проверить, что уравнения (5.1) помимо (1.1) удовлетворяют также и тождественным соотношениям Сен-Венана. Компоненты тензора напряжения запишутся при этом как: λβ ⎫ ∂ ⎛ ∂ ⎞ σr = ∇ 2 Φ 0 + λ ( B + 1)⎜ r ∇ 2 Φ 1 + ∇ 2 Φ 2 ⎟ + ⎪ λ + 2μ ∂r ⎝ ∂r ⎠ ⎪ 2 3 2 ⎪ ∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ β ∂ ⎛ ⎞ 0 1 1 + 2 μB⎜ ∇ 2 Φ 1 + r ∇ 2 Φ 1 ⎟ + 2 μ ( +r − 2B +⎪ 2 3 2 λ + 2 μ ∂r ∂r ∂r ∂r ⎝ ⎠ ⎪ 2

∂ 3 Φ 2 2 B ∂ 2 Φ 2 2 B ∂Φ 2 + 2 + ) − βT ; − r ∂r∂ϕ r 2 ∂ϕ ∂r ∂ϕ

λβ

⎛ ∂ ∂ 2 ⎞ ∇ 2 Φ 0 + λ ( B + 1)⎜⎜ r ∇ 2 Φ 1 + ∇ Φ 2 ⎟⎟ + λ + 2μ ∂ϕ ⎝ ∂r ⎠ 2 ⎛ ∂ 2 ⎞ β 1 ∂ Φ 0 1 ∂ 3Φ1 2 + 2 μB⎜⎜ ∇ Φ 2 + ∇ Φ 1 ⎟⎟ + 2 μ[ + − λ + 2μ r 2 ∂ϕ 2 r ∂r∂ϕ 2 ⎝ ∂ϕ ⎠

σϕ =

β 1 ∂Φ 0 2( B + 1) ∂ 2 Φ 1 1 ∂ 3 Φ 2 (2 B − 1) ∂ 2 Φ 2 + + − − + 2 3 2 2 r r r ∂ϕ ∂r∂ϕ 1 + 2 μ r ∂r ∂ϕ +

∂ 2 Φ 1 (2 B + 1) ∂Φ 1 2 B ∂Φ 2 ] − βT ; − + 2 r r ∂ϕ ∂r 2 ∂r

τ ср +

λβ

⎛ ∂ ∂ 2 ⎞ ∇ 2 Φ 0 + λ ( B + 1)⎜⎜ r ∇ 2 Φ 1 + ∇ Φ 2 ⎟⎟ − β T ; λ + 2μ ∂ϕ ⎝ ∂r ⎠ ⎡ β 2 ∂ 2Φ 0 β 2 ∂Φ 0 ∂ = μ⎢ − + B(r ∇ 2 Φ 2 + 2 ∂r ⎣ λ + 2 μ r ∂r∂ϕ λ + 2 μ r ∂ϕ

σz =

∂ 3Φ 4( B + 1) ∂ 2 Φ 1 4( B + 1) ∂Φ 1 ∂ 2 ∇ Φ1 ) + 2 2 1 − + + r r2 ∂ϕ ∂r ∂ϕ ∂r∂ϕ ∂ϕ

∂ 3Φ1 ∂ 2 Φ 2 2( B − 1) ∂ 2 Φ 2 2 B ∂Φ 2 ⎤ ; +2 − 2B + + r2 r ∂r ⎥⎦ ∂r∂ϕ 2 ∂r 2 ∂ϕ 2

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(5.2)

Как видно из (5.2), компонент σ z не исчезает, и только благодаря его наличию обеспечивается состояние плоской деформации. Применяя далее граничные условия, приведенные в §1, к уравнениям (5.2), находим, что a1,1 = a2,1 = 0; a1, 6 = a 2, 6 = 0; a1,13 = a 2,13 = 0; a 2,15 = −a1, 7 ; a 2,1 = a2, 2 = 0; a1,5 = a 2,9 = 0; a1,14 = a 2,14 = 0; a1,5 = a 2,5 = 0; a1,10 = a 2,10 = 0; a1,15 = a 2, 7 = 0.

83

Остальные коэффициенты определятся из системы 22-х линейных уравнений относительно этих неизвестных коэффициентов единственным образом. Ввиду громоздкости их выражения, последние здесь не приводятся. Легко видеть, что компоненты тензора напряжения, скомбинированные в виде суммы компонентов термоупругого потенциала напряжения и функции напряжений Эри, которые, как известно, могут быть представлены в форме: ⎛1 ∂ ⎞ 1 ∂ 2 ⎞⎛ 2 μβ ⎟⎜ F − σ r = ⎜⎜ + 2 Φ 0 ⎟⎟; 2 ⎟⎜ λ + 2μ ⎠ ⎝ r ∂r r ∂ϕ ⎠⎝ σϕ =

⎞ 2 μβ ∂2 ⎛ ⎜F − Φ 0 ⎟⎟; 2 ⎜ λ + 2μ ∂r ⎝ ⎠ ⎛

σ z = ∇ 2 ⎜⎜ μF − ⎝

τ rϕ = −

⎞ 2 μβ Φ 0 ⎟⎟; λ + 2μ ⎠

⎞⎤ ∂ ⎡1 ∂ ⎛ 2 μβ ⎜ − Φ F ⎢ 0⎟ ⎟⎥ ∂r ⎣ r ∂ϕ ⎜⎝ λ + 2μ ⎠⎦

не могут удовлетворить поставленным в §1 граничным условиям. Действительно, как следует из самого хода решения задачи в рассматриваемом случае температурного поля и граничных условий, качественный вид функции напряжений Эри должен полностью определяться видом функции, полученной для потенциала напряжения. Только при этом потребуется минимальное количество соотношений, связывающих неизвестные постоянные компонентов тензора напряжения для удовлетворения поставленных граничных условий. Поскольку это количество соотношений, как и ранее, остается равным 22-м и значительно превышает в этом случае число определяемых постоянных, непосредственно убеждаемся в правильности первоначального вывода. Рассмотрим вариант, когда на границах тела приложены внешние силы, определяемые функциями двух независимых переменных r и ϕ . В этом случае решение системы (1.1) должно быть представлено в виде суммы частного решения, удовлетворяющего нулевым граничным условиям, и решения, соответствующего этим внешним поверхностным силам. Последнее следует искать в виде: ∂ 2 Φ1 ∂ Φ1 ∂ 2 Φ 2 2 B ∂ Φ 2 2 U = Br∇ Φ1 + r ; − (2 B + 1) + + r ∂ϕ ∂r 2 ∂r ∂r∂ϕ

∂Φ 2 ∂ 2 Φ1 (2 B + 1) ∂Φ1 1 ∂ 2 Φ2 V = Br∇ Φ 2 + ; − + − 2B r ∂ϕ 2 r ∂ϕ ∂r∂ϕ ∂r Где ∇ 2 ∇ 2 Φ (1, 2 ) = 0 2

Форма Φ1 и Φ 2 , вообще говоря, уже может не совпадать с данной в (4.4) и будет определяться видом заданных внешних сил.

84

Список литературы

1. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935. 2. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.: Гостехиздат, 1947. 3. Мелан Э. и Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями. М.: Физматгиз, 1958. 4. Курант Р. и Гильберт Д. Методы математической физики. Т.2.-М.: ГИТТЛ, 1935. 5. Толстов Г.П. Ряды Фурье. - М.: Физматгиз, 1960.

85

ТЕРМОУПРУГИЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ТОЛСТОСТЕННОМ ЦИЛИНДРЕ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ ТРЕХМЕРНЫМ СТАЦИОНАРНЫМ ТЕМПЕРАТУРНЫМ ПОЛЕМ

Интегрирование термоэластичных уравнений Дюгамеля-Неймана в общем случае трехмерного температурного поля и граничных условий применительно к толстостенному цилиндру, вследствие своего большого прикладного значения, привлекало многих авторов. 0бширный материал по этому вопросу, содержащийся, например, в таких капитальных работах как [4, 5, 6] и др., а также в многочисленных журнальных статьях носит, по существу частный характер. Развитием результатов, полученных в [2], для трехмерного пространства в данной работе определены термоупругие напряжения в толстостенном цилиндре, вызываемые стационарным температурным полем, выраженные линейной комбинацией термоупругого потенциала перемещения и трех независимых бигармонических в целом функций. Каждая из них является обобщенным интегралом уравнения ∇ 2 ∇ 2 Φ = 0 и представлена равномерно сходящимися рядами нового типа, в состав которых входят как гармонические и бигармонические, так и псевдогармонические и псевдобигармонические составляющие. Благодаря такой структуре рядов единственным образом определяются все составляющие тензора напряжения при достаточно общих граничных условиях. §1. Постановка задачи

Определим термоупругие напряжения в однородном изотропном толстостенном цилиндре высотой Н (см. рис. 1), возникающие в нём под действием трехмерного стационарного температурного поля. Поместим начало координат в т. 0 и зададимся следующими условиями: 1. Внутри и на поверхностях цилиндра известен закон распределения температуры T = f (r , ϕ , z ) . В дальнейшем в отношении произвольной функции f (r , ϕ , z ) будут установлены некоторые ограничения. 2. Все поверхности цилиндра свободны от действия внешних сил. 3. Mассoвые силы пренебрежимо малы. 4. Упругие и термические постоянные материала цилиндра не зависят от температуры. В этом случае поле перемещений внутри и Рис. 1 на границе тела описывается дифференциальными уравнениями Дюгамеля-Неймана:

86

∂T ⎫ ∂Δ U 2μ ∂V − μ 2 + μ∇ 2U − 2 = β* ∂r r r ∂ϕ ∂r ⎪ ⎪ * (λ + μ ) ∂Δ V 2 U T μ β ∂ ∂ ⎪ − μ 2 + μ∇ 2V + 2 = r r r ∂ϕ r ∂ϕ ⎪ ∂ϕ ⎪ ∂Δ ⎪ 2 * ∂T (λ + μ ) + μ∇ W = β ⎬, ∂z ∂z ⎪ 1 ∂ 1 ∂V ∂W ⎪ (rU ) + Δ= + ⎪ r ∂r r ∂r ∂z ⎪ 2 2 2 1 1 ∂ ∂ ∂ ∂ ⎪ + 2 + 2 ∇2 = 2 + 2 ⎪ r ∂r r ∂ϕ ∂z ∂r ⎭ (λ + μ )

(1.1)

∂2 1 ∂ 1 ∂2 ∂2 где ∇ = 2 + + + ∂r r ∂r r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2 U , V , W - перемещения соответственно вдоль осей r , ϕ , и z. λ и μ - коэффициенты Ламе и Пуассона. β * - коэффициент температурной деформации в обозначениях А. Лява [1]. Будем искать нетривиальное решение этих уравнений, удовлетворяющее указанным ранее граничным условиям, которые могут быть переписаны так: 1. r = R1 ; σ r = 0; τ rϕ = 0; τ rz = 0; 2

2. r = R2 ; σ r = 0; τ rϕ = 0; τ rz = 0; 3. z = 0; 4. z = H

R2

R2

R2

R2

R2

R1

R1

R1

R1

R1

∫ σ z dr = 0; R2

∫σ

R1

z

dr = 0;

∫ σ z rdr = 0; R2

∫σ

z

rdr = 0;

R1

∫ τ rz dr = 0; R2

∫τ

rz

dr = 0;

R1

∫ τ ϕz dr = 0; R2

∫ τ ϕ rdr = 0; z

R2

∫ τ ϕ dr = 0; ∫ τ ϕ rdr = 0; z

R1

z

R1

При определении граничных значений напряжений на торцевых поверхностях цилиндра используется принцип Сен-Венана. §2. Обобщенный способ Фурье и основная теорема

Рассмотрим вспомогательное уравнение ∂ 2 Φ 1 ∂Φ 1 ∂ 2 Φ ∂ 2 Φ + + + = 0. ∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2 ∂z

(2.1)

Как было показано в [2] в отличие от существующего способа будем искать его частное решение в виде Φ = f1( r )θ (ϕ ) z ( z ) + f 2 (ϕ ) R( r ) z ( z ) + f 3( z ) R( r )θ (ϕ ) , (2.2) где f1( r ) , R( r ) , f 2 (ϕ ) , θ (ϕ ), и f 3( z ) , z ( z ) - функции, зависящие соответственно от одной переменной r , ϕ или z . Подставляя (2.2) в (2.1), после преобразований имеем:

87

f1′′ 1 f1′ 1 f1 ⎛ θ ′′ 2 z ′′ ⎞ 1 ⎡ f 2′′ f 2 ⎛ 2 R ′′ R′ z ′′ ⎞⎤ + r + r 2 ⎟⎥ = + + 2 ⎜ +r ⎟ + 2 ⎢ + ⎜r θ ⎝ R R z ⎠⎦ R r R r R⎝θ z ⎠ r ⎣θ f ′′ f ⎛ R ′′ 1 R ′ 1 θ ′′ ⎞ =− 3 − 3 ⎜ + + ⎟. z z ⎝ R r R r2 θ ⎠

(2.3)

Поскольку функции R, θ и z оставались произвольными, наложим на них следующие три ограничения θ ′′ = −n 2 ; θ z ′′ = m2 ; z R ′′ 1 R ′ 1 θ ′′ + + 2 = −m 2 , R r R r θ

где n и m - постоянные, которые аналогичны требованию, чтобы RθZ = (C1*e mz + C2*e − mz )(C3*Cosnϕ + C4* Sinnϕ )[C5* J n (mr ) + C6*Yn (mr )] (2.4) являлось решением (2.1). Таким образом, правая часть (2.3) зависит только от z , и не зависит от r и ϕ ,a левая - наоборот, следовательно f1′′ 1 f1′ 1 f1 2 2 f ⎞ 1 ⎛ f ′′ + + 2 (m r − n 2 ) + 2 ⎜ 2 + n 2 2 ⎟ = −k ; R r R r R θ ⎠ r ⎝θ f 3′′ f − m 3 = k, Z Z

где k - постоянная. Из последнего уравнения методом вариации постоянных находим f 3 = C1*,*nm e mz + C 2**,nm e − mz + C3*,*nm ze mz + C4**,nm ze − mz . Продолжая далее разделение переменных, получаем f ′′ f′ f f ′′ f r 2 1 + r 1 + (m 2 r 2 − n 2 ) 1 + kr 2 = − 2 − n 2 2 . R R R θ θ И так как правая часть этого равенства зависит только от ϕ и не зависит от r , а левая - наоборот, то f 2′′ 2 f 2 +n = −l θ θ (2.5) ′ ′ ′ f f f r 2 1 + r 1 + (m 2 r 2 − n 2 ) 1 + kr 2 = l R R R где l - также постоянная. Методом вариации постоянных находим

88

f 2 = C 5*, *nm Cosnϕ + C 6*, *nm Sinnϕ + C 7*, nm ϕCosnϕ + C 8*, nm ϕSinnϕ , ⎛ l ⎞ ⎜ 2 − k ⎟[C 11* , nm J n (mr ) + ⎝r ⎠ f 1 = C 9*, nm J n (mr ) + C 10* , nm Y n (mr ) + J n (mr ) ∫ J n (mr )Y n′ (mr ) − ⎛ l ⎞ * * ⎜ 2 − k ⎟[C11, nm J n (mr ) + C12 , nmYn (mr )]J n (mr )dr + C Yn (mr )]Yn (mr )dr r ⎠ ; + Yn (mr ) ∫ ⎝ J n ( mr )Yn′( mr ) − J n′ (mr )Yn (mr ) − J n′ ( mr )Yn (mr ) * 12 , nm

Тогда частное решение уравнения (2.1) окончательно принимает вид ⎛ l ⎞ ⎜ 2 − k ⎟ C3, nm J n (mr ) + r ⎠ Φ = {e mz [C1, nm J n ( mr ) + C 2, nmYn ( mr ) − J n ( mr ) ∫ ⎝ J n ( mr )Yn′( mr ) − ⎛ l ⎞ − k ⎟ C3, nm J n ( mr )+ C4 , nmYn ( mr ) * ⎜ 2 + C4, nmYn (mr ) Yn ( mr ) dr r ⎠ + Yn (mr ) ∫ ⎝ − J n′ ( mr )Yn ( mr ) J n (mr )Yn′( mr ) − J n′ (mr ) * ⎛ l ⎞ ⎜ 2 − k ⎟ C7 , nm J n ( mr ) + * J n ( mr ) dr ⎤ − mz r ⎠ + e [C5, nm J n ( mr ) + C6, nmYn ( mr ) − J n ( mr ) ∫ ⎝ ⎥ * Yn ( mr ) ⎦ J n ( mr )Yn′( mr ) − ⎞ ⎛ l − k ⎟ C7 , nm J n ( mr )+ C8, nmYn (mr ) * ⎜ 2 + C8, nmYn ( mr ) Yn ( mr ) dr r ⎠ + Yn ( mr ) ∫ ⎝ − J n′ (mr )Yn ( mr ) J n ( mr )Yn′( mr ) − J n′ (mr ) * * J n (mr )dr ⎤ k + ze mz [C3,nm J n (mr ) + C4,nmYn (mr )] − ze mz k * ⎥ * Yn (mr ) ⎦ 2m 2m

* [C7 , nm J n (mr ) + C8, nmYn (mr )]}Cosnϕ + {e mz [C9, nm J n (mr ) + C10 , nmYn (mr ) − J n (mr ) * ⎛ l ⎞ ⎛ l ⎞ ⎜ 2 − k ⎟ C11, nm J n (mr )+ C12 , nmYn (mr ) Yn (mr )dr ⎜ 2 − k ⎟ C11, nm J n (mr ) + r r ⎠ ⎠ + Yn (mr ) ∫ ⎝ *∫⎝ J n (mr )Yn′(mr ) − J n′ (mr )Yn (mr ) J n (mr )Yn′(mr ) − + C12 , nmYn (mr ) J n (mr )dr + e − mz [C13, nm J n (mr ) + C14 , nmYn (mr ) − J n (mr ) * − J n′ (mr )Yn (mr ) ⎛ l ⎞ ⎛ l ⎞ ⎜ 2 − k ⎟ C15, nm J n (mr )+ C16 , nmYn (mr ) Yn (mr )dr ⎜ 2 − k ⎟ C15, nm J n (mr ) + r r ⎠ ⎠ + Yn (mr ) ∫ ⎝ *∫⎝ J n (mr )Yn′(mr ) − J n′ (mr )Yn (mr ) J n (mr )Yn′(mr ) − Продолжение формулы (2.6) на следующей странице.

89

+ C16 , nmYn (mr ) J n (mr )dr ⎤ k mz k [ C11, nm J n (mr ) + C12 , nmYn (mr )] − ze − mz * ⎥ + ze 2m 2m − J n′ (mr )Yn (mr ) ⎥⎦ l [C11,nm J n (mr ) + C12,nmYn (mr )] + * [C15, nm J n (mr ) + C16 , nmYn (mr )]}Sinnϕ + {e mz 2n (2.6) l l [C15,nm J n (mr ) + C16,nmYn (mr )]⎫⎬ϕCosnϕ − ⎧⎨e mz [C3,nm J n (mr ) + + e mz 2n ⎭ ⎩ 2n + C 4, nmYn (mr )] + e − mz

l [C7,nm J n (mr ) + C8,nmYn (mr )]⎫⎬ϕSinnϕ 2n ⎭

где C ρ , nm ( ρ = 1, 2, 3, ..., 16) - постоянные, определяемые из граничных условий. Полагая, что, как и в случае (2.4), чисел ni и m j может быть бесчисленное множество (из этого множества будут приниматься во внимание только вещественные значения) в качестве решения можно рассмотреть ряд ∞

∞

Φ = ∑∑ Φ ij , i =1 j =1

который при некоторых условиях равномерно сходится к обобщенному решению уравнения (2.1) Не останавливаясь на подробном анализе отличий (2.6) от обычного решения (2.4) уравнения (2.1) докажем следующие три теоремы. Теорема 1

Фундаментальные функции вида f1 , удовлетворяющие при r = R1 и r = R2 граничным условиям αf1′ + β f1 = 0 , где α и β - постоянные, обладают свойством обобщенной ортогональности, т.е. R2

∫ rf

1i

f1 j dr = 0 при i ≠ j .

R1

Действительно, по построению своему, функции f 1 удовлетворяют ypaвнению (2.5), если заменить в нём m на mi и k на k i . Тогда ⎫ n2 ⎞ 1 ⎛ ⎛ l ⎞ f1′i + ⎜ mi2 − 2 ⎟ f1i = ⎜ 2 − k i ⎟ Ri ⎪ r r ⎠ ⎝r ⎠ ⎝ ⎪ (2.7) ⎬. 2 l 1 ⎛ 2 n ⎞ ⎛ ⎞ f1′′j + f1′j + ⎜ m j − 2 ⎟ f1 j = ⎜ 2 − k j ⎟ R j ⎪ r r ⎠ ⎝r ⎠ ⎪⎭ ⎝ Умножим первое уравнение на rf1 j , а второе на rf1i и вычтем почленно одно из другого. Интегрируя затем полученное выражение по промежутку ( R1 , R2 ) находим f1′i′ +

R2

R2

R2

R1

R1

R1

(m − m ) ∫ rf1i f1 j dr =( k i − k j ) ∫ r ( Ri f1 j − R j f1i ) dr − ∫ r ( f1′i′ f1 j − f1′′j f1i ) dr − 2 i

2 j

R2

− ∫ ( f1′i f1 j − f1′j f1i )dr . R1

90

Берем четвертый интеграл по частям R2

R2

∫ rf ′′ f 1i

1j

dr = rf1 j f1i

R1

−

R2

R2

∫ f′f 1i

1j

R1

dr − ∫ rf1′j f1i dr . R1

R1

Производя точно такие же действия со вторым интегралом и подставляя полученные результаты в исходное равенство, имеем: R2

R2

(m − m ) ∫ rf1i f1 j dr =(k i − k j ) ∫ r ( Ri f1 j − R j f1i )dr − [r ( f1 j f1′i − f1i f1′j )] RR . (2.8) 2 i

2 j

2

R1

1

R1

Умножим далее первое уравнение (2.7) на rR j , а второе уравнение на rR j и вычтем почленно одно из другого. Интегрируя полученное выражение, как и ранее, по промежутку ( R1 , R2 ) получаем (mi2

− m2j )

R2

R2

R2

R1

R1

R1

∫ r ( f1i R j − f1 j Ri )dr = − ∫ r ( R j f1′i′ − Ri f1′′j )dr − ∫ ( f1′i R j − f1′j Ri )dr −

R2

− (ki − k j ) ∫ rRi R j dr. R1

Беря третий и четвертый интегралы по частям и подставляя полученные результаты в исходное уравнение, после уже известных преобразований получаем R2

R2

R1

R1

(mi2 − m 2j ) ∫ r ( f1i R j − f1 j Ri )dr = − [r ( R j f1′i − Ri f1′j )] RR12 − (k i − k j ) ∫ rRi R j dr + R2

+ ∫ r ( R ′j f1′i − Ri′ f1′j )dr. R1

Берем далее по частям в последнем выражении четвертый и пятый интегралы. После простых преобразований имеем R2

∫ r ( f1i R j − f1 j Ri )dr = 2(m 2 − m 2 ) {− [r ( R j f1′i − Ri f1′j )]R 1

R2

i

R1

+ [r ( R ′j f1i − Ri′ f1 j )]

R2 R1

1

j

+

R2

(2.9)

− (k i − k j ) ∫ rRi R j dr}. R1

Подставляя наконец (2.9) в (2.8), находим (mi2

− m 2j )

R2

∫ rf1i f1 j dr =

R1

( ki − k j ) 2(mi2

− m 2j )

{− [r ( R j f1′i − Ri f1′j )]RR

2

1

+

(2.10)

R2

+ [r ( R′j f1i − Ri′ f1 j )]RR12 − (ki − k j ) ∫ rRi R j dr} − [r ( f1 j f1′i − f1i f1′j )]RR12 . R1

Согласно определению αf1′( R ) + βf1( R ) = 0 ⎫ ⎬ αf1′( R ) + βf1( R ) = 0⎭ 1

1

2

2

(2.11)

91

Поскольку условию (2.11) должны удовлетворять все частные решения уравнения (2.1), то αf1′i ( R ) + βf1i ( R ) = 0 ⎫ (2.12) ⎬ αf1′j ( R ) + βf1 j ( R ) = 0⎭ 1

1

1

1

Умножая первое уравнение (2.12) на f1 j ( R ) , а второе на f1i ( R ) и вычитая почленно одно из другого, получаем f1′i ( R ) f1 j ( R ) − f1′j ( R ) f1i ( R ) = 0 . Точно так же находим, что f1′i ( R ) f1 j ( R ) − f1′j ( R ) f1i ( R ) = 0 . 1

1

1

2

1

2

1

1

2

2

По построению f1 αRi′( R ) + βRi ( R ) = 0 ⎫ (2.13) ⎬ αR′j ( R ) + βR j ( R ) = 0⎭ Умножая первое уравнение (2.13) на f1 j ( R ) второе (2.12) на Ri ( R ) и преобразовывая уже известным образом, имеем Ri′( R ) f1 j ( R ) − Ri ( R ) f1′j ( R ) = 0 . Аналогично Ri′( R ) f1 j ( R ) − Ri ( R ) f1′j ( R ) = 0 . Производя подобные действия со вторым уравнением (2.13) и первым (2.12), легко проверить, что R′j ( R ) f1i ( R ) − R j ( R ) f1′i ( R ) = 0 ; 1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1

2

1

1

1

2

1

R ′j ( R ) f 1i ( R ) − R j ( R ) f 1′i ( R ) = 0 . 2

2

2

2

Сравнивая полученные результаты с правой частью (2.10) и вспоминая, что, как известно, при рассматриваемых граничных условиях и i ≠ j R2

∫ rR R dr = 0 получаем тем самым утверждение теоремы. i

j

R

Следствие

При i ≠ j

R2

∫ rf

R

1i

R2

R2

R1

R1

R j dr = ∫ rf1 j Ri dr = ∫ rf1*i f1*j dr =0 ,

где f1*ij

⎛ l ⎞ ⎜ 2 − kij ⎟[Cij J n ( mij r ) + dijYn ( mij r )]Yn ( mij r ) dr r ⎠ + = − J n (mij r ) ∫ ⎝ J n ( mij r )Yn′ ( mij r ) − J n′ ( mij r )Yn ( mij r )

⎛ l ⎞ ⎜ 2 − kij ⎟[Cij J n ( mij r ) + dijYn ( mij r )]Yn (mij r ) dr r ⎠ ; + Yn ( mij r ) ∫ ⎝ J n ( mij r )Yn′ ( mij r ) − J n′ (mij r )Yn (mij r )

Cij , d ij - произвольные постоянные.

92

Теорема 2

Произвольная достаточно гладкая функция R(r ) , удовлетворяющая граничным условиям (2.11), может быть представлена равномерно сходящимся рядом вида ⎛ l ⎞ ⎜ 2 − ki ⎟[Ci J n (mi r ) + diYn (mi r )] * r ⎠ = ∑ {Ai J n (mi r ) + BiYn (mi r ) − J n (mi r ) ∫ ⎝ J n (mi r )Yn′ (mi r ) − J n′ (mi r ) * i =1 ∞

R( r )

⎫ ⎛ l ⎞ ⎜ 2 − ki ⎟[Ci J n (mi r ) + diYn (mi r )]J n (mi r )dr ⎪ * Yn (mi r )dr ⎪ r ⎠ + Yn (mi r ) ∫ ⎝ ⎬, * Yn (mi r ) J n (mi r )Yn′ (mi r ) − J n′ (mi r )Yn (mi r ) ⎪ ⎪⎭

(2.14)

где mi - всё возрастающая последовательность фундаментальных чисел m1 < m2 < m3 < ... < mi < ..., а Ai , Bi , Ci и d i - постоянные, определяемые как R2

∫ rR

R2

(r )

Ai =

R1

R2

xi dr ∫ ry dr − ∫ rR( r ) yi dr ∫ rxi yi dr R1

R1

R1

⎛ ⎞ 2 2 ∫R rx1 dr R∫ ryi dr − ⎜⎜ R∫ rxi yi dr ⎟⎟ ⎝ ⎠

R2

R2

1

Ci =

R2

2 i

1

R2

R2

R1

R1

∫ rR( r ) yi dr ∫ rx R2

R2

R2

2

; Bi = Pi Ai ;

1

2 i

R2

R2

R1

R1

dr − ∫ rR( r ) xi dr ∫ rxi yi dr R2

⎛

⎞

⎝ R1

⎠

2

; d i = H i Ci

∫ rx1 dr ∫ ryi dr − ⎜⎜ ∫ rxi yi dr ⎟⎟ 2

R1

R1

2

где xi = J n ( mi r ) + PiYn ( mi r );

⎛ l ⎞ ⎜ 2 − k i ⎟[ J n (mi r ) + H iYn ( mi r )]Yn (mi r )dr r ⎠ yi = − J n ( mi r ) ∫ ⎝ + J n ( mi r )Yn′ ( mi r ) − J n′ ( mi r )Yn ( mi r )

⎛ l ⎞ ⎜ 2 − k i ⎟[ J n (mi r ) + H iYn (mi r )]J n (mi r )dr αJ ′ (m R ) + βJ n (mi R1, 2 ) r ⎠ ; Pi = − n i 1, 2 + Yn ( mi r ) ∫ ⎝ J n (mi r )Yn′ (mi r ) − J n′ (mi r )Yn (mi r ) αYn′ (mi R1, 2 ) + βYn (mi R1, 2 ) ⎛ l ⎞ ⎜ 2 − k i ⎟[ J n (mi R1, 2 ) + PiYn (mi R1, 2 )]J n (mi R1, 2 )dR1, 2 ⎝r ⎠ ∫ J (m R )Y ′(m R ) − J ′ (m R )Y (m R ) n i 1, 2 n i 1, 2 n i 1, 2 n i 1, 2 Hi = − . ⎛ l ⎞ ⎜ 2 − k i ⎟[ J n (mi R1, 2 ) + PiYn (mi R1, 2 )]Yn (mi R1, 2 )dR1, 2 ⎝r ⎠ ∫ J (m R )Y ′(m R ) − J ′ (m R )Y (m R ) n i 1, 2 n i 1, 2 n i 1, 2 n i 1, 2

Рассмотрим ряд

93

R(*r )

⎛ l ⎞ ⎜ 2 − k i ⎟ J n (mi r ) + H i Yn (mi r ) * r ⎠ = ∑ {Ai [J n (mi r ) + Pi Yn (mi r )] + Ci [− J n (mi r ) ∫ ⎝ J n (mi r )Yn′ (mi r ) − J n′ (mi r ) * i =1 Μ

(2.15)

⎛ l ⎞ ⎜ 2 − k i ⎟ J n (mi r ) + H i Yn ( mi r ) J n ( mi r ) dr * Yn (mi r )dr r ⎠ + Yn ( mi r ) ∫ ⎝ ]}, * Yn (mi r ) J n (mi r )Yn′ (mi r ) − J n′ (mi r )Yn (mi r ) в котором Bi = Pi Ai , а d i = H i Ci функции, составляющие этот ряд, ограничены и

интегрируемы в интервале ( R1 , R2 ) . Поэтому R(*τ ) , a следовательно и R( r ) − R(*r ) , есть функция с интегрируемым квадратом. Составим интеграл R2

δ i = ∫ r[ R( r ) − R(*r ) ]2 dr ,

(2.16)

R1

характеризующий среднюю квадратичную ошибку приближения R(*τ ) к R( r ) в рассматриваемом интервале. Величина δ i представляет функцию от параметров Ai и Ci . Поэтому наилучшее R(*τ ) к R(τ ) приближение получится тогда, когда эти коэффициенты будут выбираться из условий ∂δ i ∂δ = ⋅⋅⋅ = i = ⋅⋅⋅ = 0 . δAi δCi Дифференцируем δ i по Ai R2

⎧

∫ ⎨⎩R

R1

⎛ l ⎞ ⎜ 2 − k i ⎟ J n (mi r ) + H i Yn (mi r ) Yn (mi r )dr r ⎠ − ∑ Ai [ J n (mi r ) + Pi Yn (mi r )] + C i [− J n (mi r ) ∫ ⎝ + J n (mi r )Yn′ (mi r ) − J n′ (mi r )Yn (mi r ) i =1 Μ

(r )

⎤⎫ ⎛ l ⎞ ⎜ 2 − k i ⎟ J n (mi r ) + H i Yn (mi r ) J n (mi r )dr ⎥ ⎪ r ⎠ ⎥ ⎪⎬[ J n (mi r ) + Pi Yn (mi r )]rdr = 0 + Yn (mi r ) ∫ ⎝ J n (mi r )Yn′ (mi r ) − J n′ (mi r )Yn (mi r ) ⎥⎪ ⎥⎪ ⎦⎭

и затем по Ci ⎛ l ⎞ ⎜ 2 − ki ⎟ J n (mi r ) + H iYn (mi r ) Yn (mi r )dr ⎧ r ⎠ + Ai [ J n (mi r ) + PiYn (mi r )] + Ci [− J n (mi r ) ∫ ⎝ ∫ ⎨⎩R( r ) − ∑ ′ ′ − J ( m r ) Y ( m r ) J ( m r ) Y ( m r ) i = 1 n i n i n i n i R1

R2

Μ

⎤⎫ ⎛ l ⎞ ⎛ l ⎞ ⎜ 2 − ki ⎟ J n (mi r ) + H iYn (mi r ) Yn (mi r )dr ⎥ ⎪ ⎜ 2 − ki ⎟ J n (mi r ) + ⎪ r r ⎠ ⎠ ⎥ ⎬[− J n (mi r ) ∫ ⎝ + Yn (mi r ) ∫ ⎝ J n (mi r )Yn′(mi r ) − J n′ (mi r )Yn (mi r ) J ( m r ) ⎥⎪ n i Yn′ ( mi r ) − ⎥⎦ ⎪⎭ ⎛ l ⎞ ⎜ 2 − ki ⎟ J n (mi r ) + H iYn (mi r ) J n (mi r )dr + H iYn (mi r ) Yn (mi r )dr r ⎠ + Yn (mi r ) ∫ ⎝ ]rdr = 0. − J n′ (mi r )Yn (mi r ) J n (mi r )Yn′(mi r ) − J n′ (mi r )Yn (mi r )

Принимая во внимание следствие теоремы 1 и решая совместно полученные уравнения относительно Ai и Ci , находим 94

⎫ − ∫ rR( r ) yi dr ∫ rxi yi dr ⎪ ⎪ R R1 R1 R1 Ai = 1 ⎪ 2 R2 R2 ⎛ R2 ⎞ ⎪ 2 2 ⎪ ∫ rxi dr ∫ ryi dr − ⎜⎜ ∫ rxi yi dr ⎟⎟ ⎪⎪ R1 R1 R ⎝ 1 ⎠ ⎬. R2 R2 R2 R2 ⎪ 2 ∫ rR(r ) yi dr ∫ rxi dr − ∫ rR(r ) xi dr ∫ rxi yi dr ⎪ R R1 R1 R1 ⎪ Ci = 1 2 ⎪ R2 R2 R ⎞ ⎛ 2 ⎪ 2 2 ⎟ ⎜ ∫ rxi dr ∫ ryi dr − ⎜ ∫ rxi yi dr ⎟ ⎪ ⎪⎭ R1 R1 ⎝ R1 ⎠ R2

R2

∫ rR(r ) xi dr ∫

ryi2 dr

R2

R2

(2.17)

Как видно из (2.17), найденные значения Ai и Ci не только соответствуют минимуму δ i , но и ограничены. Действительно в точке минимума должно выполняться неравенство 2

2

R2 R2 ⎛ R2 ⎞ ∂ 2δ i ∂ 2δ i ⎛ ∂ 2δ i ⎞ 2 2 ⎜ rxi yi dr ⎟ > 0 . ⎜ ⎟ ⋅ − = − rx dr ry dr i i 2 2 ∫ ∫ ∫ ⎜ ⎟ ∂Ai ∂Ci ⎜⎝ ∂Ai ∂Ci ⎟⎠ R1 R1 ⎝ R1 ⎠

Сравнивая полученное выражение с известным неравенством Буняковского, а также учитывая ограниченность функций xi и yi при условии, что mi не является корнем уравнения J n (mi r )Yn′(mi r ) − J n′ (mi r )Yn (mi r ) ни при каких значениях r в интервале ( R1 , R2 ) , непосредственно убеждаемся в справедливости сделанного ранее утверждения, за исключением может быть одного случая, который не рассматривается. Обозначим минимальное значение в интервале ( R1 , R2 ) выражения J n (mi r )Yn′( mi r ) − J n′ (mi r )Yn (mi r ) = S min . И построим мажоранту ряда (2.15), как Μ

S ( r ) = ∑ { Ai [ J n (mi r ) + PiYn (mi r )] + i =1

Ci S min

⎡ ⎛ l ⎞ ⎢− J n (mi r ) ∫ ⎜ r 2 − k i ⎟ J n (mi r ) + H i Yn (mi r ) * ⎝ ⎠ ⎣ (2.18)

⎛ l ⎞ * Yn ( mi r )dr + Yn (mi r ) ∫ ⎜ 2 − k i ⎟ J n (mi r ) + H i Yn (mi r ) J n (mi r )dr} ⎝r ⎠ Полагая коэффициенты Pi и H i ограниченными и сравнивая (2,14) с (2.18) замечаем, что, начиная с некоторого достаточно большого i < Μ , все последующие члены ряда (2.18) ≥ соответствующих членов (2.14). Поскольку

при сколь угодно большом Μ ряд (2.18), являющийся степенным, сходится в интервале ( R1 , R2 ) , при 0 < R1 < R2 в чём нетрудно убедится по обычному признаку Даламбера, то, как известно, ряд (2.14) также будет сходящимся в интервале ( R1 , R2 ) и притом равномерно. И т.к. непосредственно следует, что R2

* 2 lim { ∫ r[ R( r ) − R( r ) ] dr = 0 ,

i → ∞ R1

95

то R(*r ) , сходясь равномерно, не может иметь своим пределом ни какую другую функцию, кроме R( r ) . Легко показать также, что коэффициенты (2.17), найденные для i = Μ , при увеличении числа членов ряда (2.15), как и в случае [2], остаются неизменными. Осталось убедиться в том, что коэффициенты Pi и H i действительно ограничены. Из граничных условий (2.11) имеем Pi = −

αJ n′ ( mi R1, 2 ) + βJ n (mi R1, 2 ) ; αYn′ ( mi R1, 2 ) + βYn ( mi R1, 2 )

⎛ l ⎞ ⎜ 2 − ki ⎟[ J n ( mi R1, 2 ) + PiYn (mi R1, 2 )]J n (mi R1, 2 )dR1, 2 ⎝r ⎠ ∫ J n (mi R1,2 )Yn′ (mi R1,2 ) − J n′ (mi R1,2 )Yn (mi R1,2 ) Hi = − , ⎛ l ⎞ ⎜ 2 − ki ⎟[ J n (mi R1, 2 ) + PiYn ( mi R1, 2 )]Yn (mi R1, 2 )dR1, 2 ⎝r ⎠ ∫ J n (mi R1,2 )Yn′ (mi R1,2 ) − J n′ (mi R1,2 )Yn (mi R1,2 )

где mi - не совпадает с корнями уравнений αYn′(mi R1, 2 ) + β Yn (mi R1, 2 ) = 0 J n (mi R1, 2 )[ J n (mi R1, 2 ) + PiYn (mi R1, 2 )] = 0

Из выражений Pi и H i видно, что при неограниченном возрастании mi , последние остаются ограниченными. Оставшиеся неизвестными коэффициенты рада (2.14) определятся, как Bi = Pi Ai d i = H iCi . Т.о. теорема доказана. Не выявляя дальнейших отличий ряда (2.14) от обычного ряда Фурье по бесселевым функциям, представляющих решение уравнения (2.1), докажем третью и основную теорему. Теорема 3

Произвольная достаточно гладкая функция F ( r ,ϕ ) , удовлетворяющая граничным условиям ∂F ( R1, 2 ) ⎫ + βF ( R1, 2 ) = 0 ⎪ ∂R1, 2 ⎪ ⎬ ∂F (ϕ1, 2 ) α1 + β1 F (ϕ1, 2 ) = 0⎪ ⎪ ∂ϕ1, 2 ⎭

α

(2.19)

в области D , ограниченной кривыми r = R1 , r = R2 , ϕ = ϕ1 , ϕ = ϕ2 может быть представлена равномерно сходящимся рядом вида ⎛ l ⎞ ⎜ 2 − k j ⎟ Cij J n (m j r ) + dij Yn (m j r ) * r ⎠ F (r ,ϕ ) = ∑∑{[ Aij J n (m j r ) + BijYn (m j r ) −J n (m j r ) ∫ ⎝ ′ ′ J m ( i =1 j =1 n j r )Yn ( m j r ) − J n ( m j r ) * ∞

∞

i

i

i

i

i

i

⎛ l ⎞ − k j ⎟ Cij J n (m j r ) + d ij Yn (m j r ) J n (m j r ) ⎜ 2 * Yn (m j r ) r ⎠ + Yn (m j r ) ∫ ⎝ ]Cosniϕ + * Yn (m j r ) J n (m j r )Yn′ (m j r ) − J n′ (m j r )Yn (m j r ) i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

Продолжение формулы смотри на следующей странице. 96

i

⎛ l ⎞ * * ⎜ 2 − k j ⎟ Cij J n (m j r ) + d ij Yn (m j r ) Yn (m j r )dr r ⎠ + + [ Aij* J n (m j r ) + Bij*Yn (m j r ) − J n (m j r ) ∫ ⎝ J n (m j r )Yn′ (m j r ) − J n′ (m j r )Yn (m j r ) i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

⎛ l ⎞ * * ⎜ 2 − k j ⎟ Cij J n (m j r ) + dij Yn (m j r ) J n (m j r )dr r ⎠ ]Sinniϕ +[ N ij J n (m j r ) + + Yn (m j r ) ∫ ⎝ J n (m j r )Yn′ (m j r ) − J n′ (m j r )Yn (m j r ) i

i

i

i

i

i

i

i

(2.20)

i

+ M ijYn (m j r )]ϕCosniϕ + [ N J n (m j r ) + M Y (m j r )]ϕSinniϕ} * ij

i

* ij ni

i

Где ni и m j - всё возрастающие последовательности фундаментальных чисел n1 < n2 < n3 < ... < ni < ..., m1 < m2 < m3 < ... < m j < ... , а Aij , Bij , Cij , d ij , N ij , M ij и Aij* , Bij* , Cij* , dij* , Nij* , M ij* - постоянные определяемые как Aij =

R2

R2

R1

R1

ϕ2

ϕ2

ϕ2

ϕ2

R2

2 2 ∫ ryij dr ∫ rxij [ ∫ F (r ,ϕ )ς i dϕ ∫ ξi dϕ − ∫ F (r ,ϕ )ξi dϕ ∫ ς iξi dϕ ]dr − ∫ rxij yij dr *

ϕ1

ϕ1

ϕ1

ϕ1

2

R1

⎛ ⎞ [ ∫ rxij2 dr ∫ ryij2 dr − ⎜ ∫ rxij yij dr ⎟ ] * [ ∫ ς i2 dϕ ∫ ξi2 dϕ − ⎜ ⎟ R1 R1 ϕ1 ϕ1 ⎝ R1 ⎠ R2 ϕ2 ϕ2 ϕ2 ⎡ϕ 2 ⎤ 2 * ∫ ryij ⎢ ∫ F (r ,ϕ )ς i dϕ ∫ ξi dϕ − ∫ F (r ,ϕ )ξi dϕ ∫ ς iξi dϕ ⎥ dr R1 ϕ1 ϕ1 ϕ1 ⎣⎢ϕ1 ⎦⎥ ; 2 ⎛ ϕ2 ⎞ − ⎜ ∫ ς iξi dϕ ⎟ ] ⎜ϕ ⎟ ⎝ 1 ⎠ * * * * Bij = Pij Aij ; Aij = ki Aij ; Bij = ki Pij ; R2

R2

R2

ϕ2

R2

ϕ2

∫ rx dr ∫ ry [ϕ∫ F (r ,ϕ )ς dϕ ϕ∫ ξ 2 ij

Cij =

R2

R1

ij

R1

i

1

1

ϕ2

ϕ2

2 i

ϕ2

ϕ2

R2

ϕ1

R1

dϕ − ∫ F (r ,ϕ )ξi dϕ ∫ ς iξi dϕ ]dr − ∫ rxij yij dr * ϕ1

2

R2 R2 ϕ2 ϕ2 ⎛ R2 ⎞ [ ∫ rxij2 dr ∫ ryij2 dr − ⎜ ∫ rxij yij dr ⎟ ] * [ ∫ ς i2 dϕ ∫ ξi2 dϕ − ⎜R ⎟ R1 R1 ϕ1 ϕ1 ⎝ 1 ⎠ R2 ϕ2 ϕ2 ϕ2 ⎡ϕ 2 ⎤ * ∫ rxij ⎢ ∫ F (r ,ϕ )ς i dϕ ∫ ξ i2 dϕ − ∫ F (r ,ϕ )ξ i dϕ ∫ ς iξi dϕ ⎥ dr ⎢⎣ϕ1 ⎥⎦ R1 ϕ1 ϕ1 ϕ1 ; d ij = H ij Cij ; Cij* = L*i Cij ; dij* = L*i H ij Cij ; 2 ϕ2 ⎛ ⎞ − ⎜ ∫ ς iξ i dϕ ⎟ ] ⎜ϕ ⎟ ⎝ 1 ⎠ R2 ϕ2 ϕ2 ϕ2 ⎡ϕ 2 ⎤ * 2 − rx F ( r , ) d d F ( r , ) d d ϕ ς ϕ ξ ϕ ϕ ξ ϕ ς ξ ϕ ⎢ ⎥ dr ij i i i i i ∫ ⎢ϕ∫ ∫ ∫ ∫ R1 ϕ1 ϕ1 ϕ1 1 ⎣ ⎦⎥ ; d * = L* H C ; N * = L* N N ij = ij i ij ij ij i ij 2 R2 ϕ2 ϕ2 ϕ2 ⎛ ⎞ 2 * 2 2 ∫R rxij dr[ϕ∫ ς i dϕ ϕ∫ ξi dϕ −⎜⎜ ϕ∫ ς iξi dϕ ⎟⎟ ] 1 1 1 ⎝ 1 ⎠ * * * * M ij = Pij N ij ; M ij = Li Pij N ij .

ζ i = Cosniϕ + ki*Sinniϕ ; ξi = ϕ (Cosniϕ + L*i Sinniϕ ); ki* , L*i , Pij , Pij* , H ij Здесь постоянные, xij* соответствует значению xij , если в нём Pij заменить на Pij* .

97

Из теоремы 2 [2] следует, что F ( r ,ϕ ) в интервале (ϕ1 ,ϕ2 ) может быть представлена равномерно сходящимся рядом ∞

F (r ,ϕ ) = ∑ [an (r )Cosniϕ + bn (r ) Sinniϕ + an* (r )ϕCosniϕ + bn* ( r )ϕSinniϕ ] i

i =1

i

i

i

с коэффициентами ⎫ ⎪ ϕ1 ϕ1 ϕ1 ϕ1 * an ( r ) = ; bn ( r ) = ki an ( r ) ⎪ 2 ⎪ ϕ2 ϕ2 ϕ2 ⎞ ⎛ 2 2 ⎪ ∫ϕ ς i dϕ ϕ∫ ξi dϕ −⎜⎜ ϕ∫ ς iξi dϕ ⎟⎟ ⎪⎪ 1 1 ⎠ ⎝ 1 ⎬ ϕ2 ϕ2 ϕ2 ϕ2 ⎪ 2 ∫ϕ F (r ,ϕ )ξi dϕ ϕ∫ ζ i dϕ − ϕ∫ F (r ,ϕ )ζ i dϕ ϕ∫ ς iξi dϕ ⎪ * * * 1 1 1 = a *n ( r ) = 1 ; b L a n (r ) n (r ) ⎪ i 2 ϕ2 ϕ2 ϕ2 ⎪ ⎞ ⎛ 2 2 ⎟ ⎜ − d d d ς ϕ ξ ϕ ς ξ ϕ ⎪ ∫ i ϕ∫ i ⎜ ϕ∫ i i ⎟ ⎪⎭ ϕ1 ⎠ ⎝ 1 1 ϕ2

ϕ2

ϕ2

ϕ2

∫ F (r ,ϕ )ς i dϕ ∫ ξ dϕ − ∫ F (r ,ϕ )ξi dϕ ∫ ς iξi dϕ 2 i

i

i

i

i

i

(2.21)

i

В соответствии с теоремой 2 настоящего параграфа коэффициенты (2.21), в свою очередь могут быть представлены в интервале ( R1 , R2 ) равномерно сходящимися рядами как an i ( r )

[

]

⎛ li ⎞ ⎜ 2 − k j ⎟ Cij J ni (m j r ) + d ijYni (m j r ) * r ⎠ = ∑{ Aij J ni (m j r ) + BijYni (m j r ) − J ni (m j r ) ∫ ⎝ ′ ′ J m ( j =1 ni j r )Yni ( m j r ) − J n i ( m j r ) * ∞

[

]

⎫ ⎛ li ⎞ ⎜ 2 − k j ⎟ Cij J ni (m j r ) + dijYni (m j r ) J ni (m j r )dr ⎪ ⎪ r ⎠ + Yni (m j r ) ∫ ⎝ ⎬; J ni (m j r )Yn′i (m j r ) − J n′i (m j r )Yni (m j r )dr * Yni (m j r ) ⎪ ⎭⎪

* Yni (m j r )dr

a

* ni ( r )

∞

[

]

= ∑ N ij J ni (m j r ) + M ijYni (m j r ) ; j =1

С коэффициентами Aij =

R2

R2

R2

R2

R1

R1

R1

R1

2 ∫ rani ( r ) xij dr ∫ ryij dr − ∫ rani ( r ) yij dr ∫ rxij yij dr

⎛ ϕ2 ⎞ 2 2 ⎜ rx y dϕ ⎟ − ϕ rx dr ry d ij ij ij ij ∫ ∫ ⎜ ϕ∫ ⎟ R1 ϕ1 ⎝ 1 ⎠

R2

R2

Cij =

∫ ra

R1

ϕ2

R2

R2

R2

R1

R1

2

;

y dr ∫ rx dr − ∫ rani ( r ) xij dr ∫ rxij yij dr 2 ij

ni ( r ) ij

R1

; 2 ϕ2 ⎛ ⎞ 2 2 ∫R rxij dr ϕ∫ ryij dϕ −⎜⎜ ϕ∫ rxij yij dϕ ⎟⎟ 1 1 ⎝ 1 ⎠ * * * Bij = Pij Aij ; d ij = H ij Cij ; Aij = ki Aij ; Cij = L*i Cij ; Bij* = ki* Pij Aij ; d ij* = L*i H ij Cij R2

ϕ2

Продолжение формулы (2.22) на следующей странице.

98

(2.22)

R2

∫a

* * ni ( r ) ij

N ij =

x rdr ; N ij* = L*i N ij ; M ij = Pij* N ij ; M ij* = L*i Pij* N ij ;

R1

R2

*2 ij

∫x

(2.22)

rdr

R1

Здесь xij* = xij при замене в xij , Pij на Pij* . Подставляя an , bn ( r ) , an* ( r ) , bn* ( r ) из (2.21), в (2.22), получаем окончательные выражения для коэффициентов ряда (2.20), которые в точности совпадают с данными нами в определении. Составив интеграл, определяющий среднеквадратичную ошибку приближения данного выше ряда с коэффициентами (2.22) к функции F ( r ,ϕ ) в области D и рассматривая его как функцию параметров Aij , Cij и N ij , изложенным ваше приёмом можно проверить, что коэффициенты (2.22) соответствуют минимуму этого интеграла. Кроме того, всегда можно подобрать такие достаточно большие i и j , что этот интеграл станет меньше любого наперед заданного положительного числа ε . Видно также, что представление функции F ( r ,ϕ ) в виде ряда (2.20) является единственным, ибо в противном случае все коэффициенты этого ряда суть нули. Т.о. теорема доказана. На основании изложенного определилась возможность формального оперирования с рассмотренными выше рядами. i

i

i

i

§3. Термоупругий потенциал перемещений

Решение уравнений (1.1) будем искать в виде линейной комбинации четырех независимых функций Φ ρ ( ρ = 0, 1, 2, 3) Первая из них, называемая в дальнейшем термоупругим потенциалом перемещения, образует частное решение системы (1.1). Три остальные суть независимые решения уравнений Ламе. Полагая β*

∂Φ 0 ⎫ λ + 2 μ ∂r ⎪⎪ β * 1 ∂Φ 0 ⎪ V0 = ⋅ ⎬ λ + 2 μ r ∂ϕ ⎪ ∂Φ 0 ⎪ β* W0 = ⋅ ⎪ λ + 2 μ ∂z ⎭ U0 =

⋅

(3.1)

и подставляя в (1.1), получаем (3.2) ∇ 2Φ 0 = f ( r ,ϕ , z ) . Считая в дальнейшем функцию f (r ,ϕ , z ) гармонической в целом и беря операцию ∇ 2 от обеих частей равенства (3.2), находим ∇ 2∇ 2 Φ 0 = 0 . Т.о. функция Φ 0 является бигармонической. Вследствие наложенных выше на f (r ,ϕ , z ) ограничений, а также учитывая, что f (r ,ϕ , z ) по своему физическому смыслу должна быть периодической с периодом 2π на основании

99

теоремы 3 можно полагать, что эта функция представима равномерно сходящимся рядом вида ∞

∞

f (r ,ϕ , z ) = ∑∑ Φ ij .

(3.3)

i =1 j =1

где Φ ij суть (2.6), в котором ni и m j заменены соответственно на ν i и β j . При этом (3.3) не должно содержать непериодических слагаемых, в состав которых входят выражения вида ϕCosν iϕ и ϕSinν iϕ , т.е. li = 0 . Введём обозначения e

β jz

e

−β j z

= z1 , ze

β jz

= z2 , ze

= z3 , Jν i ( β j r ) = R1;

−β j z

= z4 , Yν i ( β j r ) = R2 ;

Jν i ( β j r )Yν i ( β j r ) dr Yν2i ( β j r ) dr = R3 ; Jν i ( β j r ) ∫ = R4 Jν i ( β j r ) ∫ Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r ) Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r ) Yν i ( β j r ) ∫

Jν i ( β j r )Yν i ( β j r ) dr Jν2i ( β j r ) dr = R5 ; Yν i ( β j r ) ∫ = R6 Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r ) Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

C1ij Cosν iϕ + C9ij Sinν iϕ = θ1; C5ij Cosν iϕ + C13ij Sinν iϕ = θ 5 C2ij Cosν iϕ + C10ij Sinν iϕ = θ 2 ; C6ij Cosν iϕ + C14ij Sinν iϕ = θ 6 − C3ij Cosν iϕ − C11ij Sinν iϕ = θ 3 ; − C7 ij Cosν iϕ − C15ij Sinν iϕ = θ 7 − C4ij Cosν iϕ − C12ij Sinν iϕ = θ 4 ; − C8ij Cosν iϕ − C16ij Sinν iϕ = θ8

Тогда (3.2) представится как

∇ 2Φ 0ij = z1 ( R1θ1 + R2θ 2 + R3θ3 + R4θ 4 + R5θ 3 + R6θ 4 ) + z2 ( R1θ5 + R2θ 6 + R3θ 7 + R4θ8 + + R5θ 7 + R6θ8 ) + z3 ( R1θ 3 + R2θ 4 )

1 1 + z4 ( R1θ 7 + R2θ8 ) ; 2β j 2β j

Решение этого уравнения Φ 0 ij ищем по обобщенному способу Фурье в виде

Φ 0 ij = z1[ f1( r )θ1 + f 2 (ϕ ) R1 + f 3( r )θ 2 + f 4 (ϕ ) R2 + f5( r )θ 3 + f 6 (ϕ ) R3 + f 7 ( r )θ 4 + f8 (ϕ ) R4 + + f 9 ( r )θ3 + f10 (ϕ ) R5 + f11( r )θ 4 + f12 (ϕ ) R6 ] + f13( z ) [ R1θ1 + R2θ 2 + R3θ3 + R4θ 4 + R5θ3 + R6θ 4 ] + + z2 [ f14 ( r )θ5 + f15 (ϕ ) R1 + f16 ( r )θ 6 + f17 (ϕ ) R2 + f18 ( r )θ 7 + f19 (ϕ ) R3 + f 20 ( r )θ8 + f 21(ϕ ) R4 + + f 22 ( r )θ 7 + f 23(ϕ ) R5 + f 24 ( r )θ8 + f 25(ϕ ) R6 ] + f 26 ( z ) [ R1θ5 + R2θ 6 + R3θ 7 + R4θ8 + R5θ 7 + R6θ8 ] + 1 1 + z3[ f 27 ( r )θ3 + f 28 (ϕ ) R1 + f 29 ( r )θ 4 + f 30 (ϕ ) R2 ] + f 31( z ) [ R1θ 3 + R2θ 4 ] + z4 [ f32 ( r )θ 7 + 2β j 2β j + f 33( r ) R1 + f 34 ( r )θ8 + f 35( r ) R2 ]

(3.4)

1 1 + f 36 ( z ) [ R1θ 7 + R2θ8 ] 2β j 2β j

где f1( r ) , f 3( r ) , f 5( r ) , f 7 ( r ) , f9 ( r ) , f11( r ) , f14 ( r ) , f16 ( r ) , f18( r ) , f 20 ( r ) , f 22 ( r ) , f 24 ( r ) , f 27 ( r ) , f 29 ( r ) , f 32 ( r ) , f 34 ( r ) , f 2 (ϕ ) , f 4 (ϕ ) , f 6 (ϕ ) , f8(ϕ ) , f10 (ϕ ) , f12 (ϕ ) , f15 (ϕ ) , f17 (ϕ ) , f19 (ϕ ) , f 21(ϕ ) , f 23(ϕ ) , f 25 (ϕ ) , f 28(ϕ ) , f 30 (ϕ ) , f 33(ϕ ) , f35 (ϕ ) , f13( z ) , f 26 ( z ) , f 31( z ) , f 36 ( z )

- пока произвольные функции, зависящие соответственно только от r , ϕ , z . Подставляя (3.4) в последнее уравнение (промежуточные действия – разделение 100

переменных и интегрирование – не приводятся) получаем окончательное выражение для термоупругого потенциала перемещения: ∞ ∞

Φ 0 = ∑ ∑ {e

β jz

i =1 j =1

+ Yν i ( β j r ) ∫

*∫

a0,3 Jν i ( β j r ) + a0, 4Yν i ( β j r ) Jν i ( β j r )dr Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

+

−Jν i ( β j r ) *

a0,5 Jν i ( β j r ) + a0,6Yν i ( β j r ) Yν i ( β j r ) dr

[ − Jν i ( β j r ) ∫

a0,3 Jν i ( β j r ) + a0, 4Yν i ( β j r ) Yν i ( β j r ) dr

[a0,1 Jν i ( β j r ) + a0, 2Yν i ( β j r ) − Jν i ( β j r ) ∫

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

a0,5 Jν i ( β j r ) + a0,6Yν i ( β j r ) Jν i ( β j r ) dr

+ Yν i ( β j r ) ∫

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

]Yν i ( β j r ) dr +

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

+ Yν i ( β j r ) *

*∫

a0,5 Jν i ( β j r ) + a0,6Yν i ( β j r ) Yν i ( β j r )dr

[− Jν i ( β j r ) ∫

+e

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

a0,5 Jν i ( β j r ) + a0,6Yν i ( β j r ) Jν i ( β j r )dr

+ Yν i ( β j r ) ∫

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

]Jν i ( β j r )

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

⎡

−β j z ⎢

⎢ ⎣

a0,7 Jν i ( β j r ) + a0,8Yν i ( β j r ) − Jν i ( β j r )

+ Yν i ( β j r )

∫

a0,9 Jν i ( β j r ) + a0,10Yν i ( β j r ) Yν i ( β j r )dr

∫

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

a0,9 Jν i ( β j r ) + a0,10Yν i ( β j r ) Jν i ( β j r )dr

∫

∫

+

−Jν i ( β j r ) *

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

⎡ ⎢− Jν ( β j r ) i ⎢ ⎣ *

dr ] +

a0,11 Jν i ( β j r ) + a0,12Yν i ( β j r ) Jν i ( β j r )dr ⎤ ⎥Yν ( β j r ) Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r ) Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r ) ⎥ i ⎦ dr + Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

a0,11 Jν i ( β j r ) + a0,12Yν i ( β j r ) Yν i ( β j r )dr

+ Yν i ( β j r )

∫

+ Yν i ( β j r ) *

*

∫

[− Jν i ( β j r )

+ ze

a0,11 Jν i ( β j r ) + a0,12Yν i ( β j r ) Yν i ( β j r )dr Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

+ Yν i ( β j r )

∫

a0,11 Jν i ( β j r ) + a0,12Yν i ( β j r ) Jν i ( β j r )dr Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

]Jν i ( β j r )

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

β jz

[ a0,13 Jν i ( β j r ) + a0,14Yν i ( β j r ) − Jν i ( β j r )

+ Yν i ( β j r ) + ze

∫

⎡

−β j z ⎢

⎢ ⎣

∫

∫ 1

β jr

2β 2j

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

a0,15 Jν i ( β j r ) + a0,16Yν i ( β j r ) Jν i ( β j r ) Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

a0,17 Jν i ( β j r ) + a0,18Yν i ( β j r ) − Jν i ( β j r )

+ Yν i ( β j r ) + z 2e

∫

a0,15 Jν i ( β j r ) + a0,16Yν i ( β j r ) Yν i ( β j r )dr

∫

∫

+ a0,19 Jν i ( β j r ) + a0,20Yν i ( β j r ) Yν i ( β j r )dr Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

+

a0,19 Jν i ( β j r ) + a0, 20Yν i ( β j r ) Jν i ( β j r ) dr ⎤ ⎥+ Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r ) ⎥ ⎦ [a0,5 Jν i ( β j r ) + a0,6Yν i ( β j r )] + z 2 e

−β j z

⎧ ⎡ ⎪ β z + ⎨e j ⎢a0, 21 Jν i ( β j r ) + + a0, 22Yν i ( β j r ) − Jν i ( β j r ) ⎢ ⎪ ⎣ ⎩ + Yν i ( β j r )

+

1 2β 2j

∫

a0, 23 Jν i ( β j r ) + a0, 24Yν i ( β j r ) Jν i ( β j r ) Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

(3.5) ⎫⎪ [ a0,11 Jν i ( β j r ) + a0,12Yν i ( β j r )]⎬Cosν iϕ + ⎪⎭

a0, 23 Jν i ( β j r ) + a0,24Yν i ( β j r ) Yν i ( β j r )dr Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

+

− Jν i ( β j r ) *

Продолжение формулы (3.5) на следующей странице. 101

dr ] +

*

∫

[ − Jν i ( β j r )

∫

a0,25 Jν i ( β j r ) + a0,26Yν i ( β j r ) Yν i ( β j r ) dr Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

+ Yν i ( β j r )

a0, 25 Jν i ( β j r ) + a0, 26Yν i ( β j r ) Jν i ( β j r )

∫

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

]Yν i ( β j r ) dr +

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

+ Yν i ( β j r ) * ⎡ ⎢− J ( β r ) ⎢ νi j ⎢ * ⎣

∫

+e

⎡

−β j z ⎢

⎢ ⎣

∫

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

∫

∫

a0,25 Jν i ( β j r ) + a0,26Yν i ( β j r ) Yν i ( β j r ) ⎤ ⎥ Jν ( β j r ) Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r ) ⎥ i ⎦

∫

a0,29 Jν i ( β j r ) + a0,30Yν i ( β j r ) Yν i ( β j r ) dr

a0,29 Jν i ( β j r ) + a0,30Yν i ( β j r ) Jν i ( β j r ) Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

[ − Jν i ( β j r )

+ Yν i ( β j r )

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) −

a0, 27 Jν i ( β j r ) + a0,28Yν i ( β j r ) − Jν i ( β j r )

+ Yν i ( β j r )

*

∫

a0,25 Jν i ( β j r ) + a0,26Yν i ( β j r ) Jν i ( β j r ) dr

∫

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

dr ] +

+

−Jν i ( β j r ) *

a0,31 Jν i ( β j r ) + a0,32Yν i ( β j r ) Yν i ( β j r )dr Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

+ Yν i ( β j r )

∫

a0,31 Jν i ( β j r ) + a0,32Yν i ( β j r ) Jν i ( β j r )dr Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

]Yν i ( β j r ) dr +

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

+ Yν i ( β j r ) *

*

∫

[ − Jν i ( β j r )

+ ze

∫

a0,31 Jν i ( β j r ) + a0,32Yν i ( β j r ) Yν i ( β j r )dr Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

+ Yν i ( β j r )

∫

a0,31 Jν i ( β j r ) + a0,32Yν i ( β j r ) Jν i ( β j r ) Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

]Jν i ( β j r )dr dr ] +

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

β jz

[ a0,33 Jν i ( β j r ) + a0,34Yν i ( β j r ) − Jν i ( β j r ) ∫

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r ) a0,39 Jν i ( β j r ) + a0, 40Yν i ( β j r ) Yν i ( β j r ) dr

− Jν i ( β j r ) ∫ β jz

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

a0,35 Jν i ( β j r ) + a0,36Yν i ( β j r ) Jν i ( β j r ) dr

+ Yν i ( β j r ) ∫

+ z 2e

a0,35 Jν i ( β j r ) + a0,36Yν i ( β j r ) Yν i ( β j r ) dr

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

] +ze

−β j z

+

[ a0,37 Jν i ( β j r ) + a0,38Yν i ( β j r ) − a0,39 Jν i ( β j r ) + a0, 40Yν i ( β j r ) Jν i ( β j r ) dr

+ Yν i ( β j r ) ∫

Jν i ( β j r )Yν′i ( β j r ) − Jν′ i ( β j r )Yν i ( β j r )

(3.5) ]+

⎫

−β z 1 ⎪ [ a J ( β j r ) + a0, 26Yν ( β j r )] + z 2 e [ a J ( β j r ) + a0,32Yν ( β j r ) ]⎬Sinν iϕ 2 0, 25 ν 2 0,31 ν 8β 8β

1

j

i

j

i

i

j

i

⎪⎭

где ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 1 1 = C10 ; a0,36 + C12 ⎪ a0, 4 + 2β j a0,14 + a = C 2 ; a0, 24 + 2 β j a0,34 + a a0, 26 = 2 0,6 2 0, 26 2β j 2β j ⎪ 4β j 4β j ⎪ 1 1 1 1 ⎪ β ; 2 ; = − + = − = − a0,9 − 2 β j a0,17 + a C a a a C a a C 0,11 5 0, 29 0,31 13 0,39 0,31 15 ⎪ j 0,37 2β j 2β j 4β 2j 4β 2j ⎪ ⎬ 1 1 1 1 ⎪ β ; 2 ; = − + = − = − a0,10 − 2 β j a0,18 + a C a a a C a a C 0 , 12 6 0 , 30 0 , 38 0 , 32 14 0 , 40 0 , 32 16 j ⎪ 2β j 2β j 4 β 2j 4β 2j ⎪ ⎪ 1 1 1 1 a0,15 + a 0, 5 = C3 ; a0,19 − a0,11 = − C7 ⎪ 2β j 2β j 2β j 2β j ⎪ ⎪ 1 1 1 1 ⎪ a0,16 + a 0, 6 = C 4 ; a0, 20 − a0,12 = − C8 2β j 2β j 2β j 2β j ⎪⎭

a0,3 + 2β j a0,13 +

1

4β 2j

a0,5 = C1 ; a0, 23 + 2β j a0,33 +

1

4β 2j

a0, 25 = C9 ; a0,35 +

1 1 a0, 25 = C11 2β j 2β j

(3.6)

Остальные коэффициенты (3.5), свободные от связей, остаются пока совершенно произвольными. Как видно из (3.5) пятое и шестое слагаемые, а также другие подобные им, по отдельности не являются бигармоническими функциями т.е. не являются

102

решениями уравнения ∇ 2∇ 2Φ 0 = 0 , тогда как совместно они удовлетворяют этому уравнению. По аналогии с псевдогармоническими функциями, обладающими указанными выше свойствами в отношении уравнения ∇ 2Φ = 0 , [2] назовем эти слагаемые псевдобигармоническими функциями. Как и в [2] следует отметить, что для интегрирования (3.2) условия гармоничности функции f (r ,ϕ , z ) в целом вовсе не обязательно. Оно принято лишь для упрощения выкладок. В случае, если f (r ,ϕ , z ) не может быть приведена к виду суммы произведений функций, зависящих от одной переменной, для интегрирования уравнения (3.2) необходимо прибегнуть к методам теории потенциала при условии наложения на f (r ,ϕ , z ) некоторых весьма общих ограничений. Не останавливаясь на подробном разборе этих случаев заметим только, что принятый характер распределения температуры в теле не умаляет общности проделанных ниже выводов. §4. Интегрирование уравнений Ламе

Термоупругий потенциал перемещения (3.5) позволяет перейти от системы неоднородных уравнений (1.1) к системе однородных уравнений (4.1) ∂Δ 2 μ ∂V U ⎫ − μ 2 + μ∇ 2U − 2 ⋅ =0⎪ ∂r r r ∂ϕ ⎪ (λ + μ ) ∂Δ 2 μ ∂U V ⎪ 2 ⋅ − μ 2 + μ∇ V + 2 ⋅ = 0⎬ ∂ϕ r r r ∂ϕ ⎪ ⎪ ∂Δ (λ + μ ) ⋅ + μ∇ 2W = 0 ⎪ ∂z ⎭ (λ + μ ) ⋅

(4.1)

Ввиду невозможности непосредственного использования решения уравнений Ламе, данного Б.Г. Галёркиным для случая прямоугольных координат [3], путем преобразования его к цилиндрическим координатам, будем искать решение системы (4.1) в следующем виде: Развивая функцию перемещения Лява, применительно к трехмерному пространству [1], получаем ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ 2 ∂ Φ1 ⎪ ⎪ W1 = B∇ 2 Φ1 + ∂z 2 ⎭ ∂ 2 Φ1 ∂r∂z 1 ∂ 2 Φ1 V1 = r ∂ϕ∂z U1 =

где B = −

(4.2)

λ + 2μ ; λ+μ

Подставляя (4.2) в систему (4.1), после преобразований имеем ∇ 2 ∇ 2 Φ1 = 0 . Следовательно Φ 1 произвольная бигармоническая в целом функция трёх переменных также есть произвольная бигармоническая в целом функция трех переменных r , ϕ и z , а (4.2) суть решение системы (4.1). Полагаем далее

103

⎫ ⎪ ⎪ 2 ∂Φ 2 ⎪⎪ 1 ∂ Φ2 V2 = Br∇ 2 Φ 2 + − B 2 ⎬ ∂r ⎪ r ∂ϕ 2 ⎪ ∂ 2Φ 2 ⎪ W2 = ⎪⎭ ∂ϕ∂z U2 =

∂ 2 Φ 2 2 B ∂Φ 2 + ⋅ ∂r∂ϕ r ∂ϕ

(4.3)

Производя подстановку (4.3) в систему (4.1), получаем ∇ 2∇ 2Φ 2 = 0 . Следовательно Φ 2 также есть бигармоническая в целом функция трёх переменных r , ϕ и z , независимая притом от Φ1 , а система (4.3) суть решение системы (4.1). Третью и последнюю функцию Φ 3 , независимую от двух первых, подберем таким образом, чтобы выраженные через неё напряжения удовлетворяли уравнениям упругого равновесия, представленным через эти напряжения. ⎫ +⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎡ ∂ 3Φ 3 ⎤ ∂ Φ3 B + 2 μ ⎢r + 2 ( + 2 ) ; ⎪ ⎥ 3 ∂r 2 ⎦ ⎪ ⎣⎢ ∂r ⎪ 2 ∂ 2 ∂ Φ3 2 σ ϕ = λ ( B + 1)r ∇ Φ 3 + 2[2λ ( B + 1) − μB]∇ Φ 3 − 2λ ( B + 1) 2 + 2 μ * ⎪ ⎪ ∂r ∂z ⎪ ⎡ 1 ∂ 3Φ 3 2( B + 1) ∂ 2Φ 3 ∂ 2Φ 3 2( B + 3) ∂Φ 3 ⎤ ⎪ *⎢ + + + ⎥; ⎪ 2 2 2 2 r ∂r ⎦ r ∂ϕ ∂r ⎣⎢ r ∂r∂ϕ ⎪⎪ ⎬ 2 3 2 ⎛ ∂ ⎛ ∂ Φ3 ∂ Φ ⎞ ∂ Φ3 ⎞ ⎪ ⎟ σ z = λ ( B + 1)⎜⎜ r ∇ 2Φ 3 + 4∇ 2Φ 3 − 2 2 3 ⎟⎟ + 2 μ ⎜⎜ r + 2 2 2 ⎟ ⎪ r ∂ z r z z ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎡ ∂ 2 ⎪ ∂ 3Φ 3 4( B + 1) ⎛ ∂ 2Φ 3 1 ∂Φ 3 ⎞⎤ ⎜ ⎟ ⎥; τ rϕ = μ ⎢ B ∇ Φ 3 + 2 + − ⎪ 2 ⎜ ∂r∂ϕ r ∂ϕ ⎟ r ∂ϕ∂r ⎢⎣ ∂ϕ ⎝ ⎠⎥⎦ ⎪ ⎪ 3 2 ⎡ ∂ ∂Φ ∂ Φ3 ⎤ ⎪ τ zr = μ ⎢ Br ∇ 2Φ 3 + 2r 2 3 + 2( B + 3) ; ⎥ ⎪ z r z ∂ ∂ ∂ r z ∂ ∂ ⎦ ⎣ ⎪ 3 2 2 ⎪ (4.4) ⎡ ∂ 3Φ 3 ⎤ ∂ Φ3 2 ∂ Φ 3 2( B + 1) ∂ Φ 3 τ ϕz = μ ⎢ + + ⋅ + ⎪ ⎥. 2 2 r ∂ϕ∂z ⎦ ∂r∂ϕ∂z r ∂z ⎪⎭ ⎣ ∂r∂z

σ r = [λ ( B + 1) + 2 μB]r

∂ 2Φ 3 ∂ 2 ∇ Φ 3 + 2[2λ ( B + 1) − μB]∇ 2Φ 3 − 2λ ( B + 1) ∂r ∂z 2

Непосредственной подстановкой системы (4.4) в уравнение упругого равновесия, выраженные через напряжения, легко проверить, что указанная система является решением этих уравнений. При этом должно соблюдаться условие - ∇ 2∇ 2Φ 3 = 0 . Т.о. Φ 3 является третьей бигармонической в целом функцией. Каждую из Φ ρ , ( ρ = 1, 2, 3) будем искать в форме, аналогичной (3.5), но с неопределёнными коэффициентами aρ , s , где ρ = 1, 2, 3 , а s = 1 ÷ 40 .

104

§ 5. Термоупругие напряжения

Вследствие линейности уравнений (1.1) обобщенные компоненты тензора напряжений представляются суммой четырёх составляющих от функций Φ ρ , ( ρ = 1, 2, 3) , т.е. ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 2 3 ⎡ ∂ Φ3 ∂ Φ 3 λ + 2 μ ∂ Φ 0 ∂ Φ1 ⎛ ∂ ⎞ ⎪ B + + + + + + 2 μB⎜ r ∇ 2Φ 3 − ∇ 2Φ 3 ⎟ + 2 μ ⎢r 2 ( 2 ) 2 2 2 * 3 ⎪ r ∂ r r β r r z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎣ ⎪ ⎪ ∂ 3Φ 2 2 B ∂ 2Φ 2 2 B ∂Φ 2 ⎤ − β *T ; − 2 + 2 + ⎪ ⎥ r ∂r∂ϕ r ∂ϕ ⎦ ∂r ∂ϕ ⎪ 2 ⎪ ⎛ ∂ 2 λ (λ + 2 μ ) 2 ∂ 2 ⎞ ∂ Φ3 ∂ 2 2 ⎪ ⎜ ⎟ σϕ = λ B r ∇ Φ ∇ Φ + − ∇ Φ + ∇ Φ − + ∇ Φ + + ( 1 ) 4 2 0 3 3 2 1 ⎜ ∂r ⎟ ∂z ∂ϕ β* ∂z 2 ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎡ 1 ∂ 3Φ 3 2( B + 1) ∂ 2Φ 3 ∂ 2Φ 3 2( B + 3) ∂Φ 3 ⎛ ∂ 2 ⎞ ⎪ 2 + ∇ Φ 2 ⎟⎟ + 2 μ ⎢ + + + − ⎜⎜ 2 μB∇ Φ 3 − 2 2 2 2 ⎪ r ∂r ∂ϕ r ∂ϕ ∂r ⎝ ⎠ ⎣ r ∂r∂ϕ ⎪ ⎪ 1 ∂ 3Φ 3 2( B − 1) ∂ 2Φ 2 2 B ∂Φ 2 λ + 2 μ ⎛ 1 ∂Φ 0 1 ∂Φ 0 ⎞ 1 ∂ 3Φ1 1 ∂ 2Φ1 ⎤ * ⎟ ⎜ ⎪ β T + + − + 2 − + + + ; ⎥ r ∂r∂ϕ r 2 ∂ϕ β * ⎜⎝ r 2 ∂ϕ 2 r ∂r ⎟⎠ r 2 ∂ϕ 2∂z r ∂r∂z ⎦ r ∂ϕ 3 ⎪ ⎪ ⎛ ∂ 2 λ (λ + 2 μ ) 2 ∂ 2 ⎞ ∂ 2Φ 3 ∂ 2 ⎪ 2 σz = ∇ Φ 2 + ∇ Φ1 ⎟⎟ + + ∇ Φ 0 + λ ( B + 1)⎜⎜ r ∇ Φ 3 + 4∇ Φ 3 − 2 2 ⎪ ϕ r z ∂ ∂ ∂ β* z ∂ ⎝ ⎠ ⎪ ⎬ ⎡ ∂ 3Φ 3 ∂ 2 Φ 3 ∂ 3 Φ1 λ + 2 μ ∂ 2 Φ 0 ∂ 3 Φ 2 ⎤ ∂ 2 * ⎪ β T + + + + − + 2 μB ∇ Φ1 + 2 μ ⎢r 2 ; 2⎥ 2 3 * 2 2 ⎪ ∂z β ϕ r z z z z z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦ ⎪ ⎡ ⎛ ∂ 2 ⎪ λ + 2μ ∂ 3Φ 3 4( B + 1) ⎛ ∂ 2Φ 3 1 ∂Φ 3 ⎞ ∂ 2 ⎞ ⎜ ⎟+2 τ rϕ = μ ⎢ B⎜⎜ r ∇ Φ 2 + − ∇ Φ 3 ⎟⎟ + 2 2 + * ⎪ * ⎜ ∂r∂ϕ r ∂ϕ ⎟ r ∂ϕ β ∂r ∂ϕ ⎢⎣ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎛ ∂ 2Φ 2 1 ∂Φ 2 ⎞⎤ ⎪ ⎛ 1 ∂ 2Φ 0 1 ∂Φ 0 ⎞ 2 ∂ 3Φ1 2 ∂ 2 Φ1 2 ∂ 3Φ 2 2( B − 1) ∂ 2 Φ 2 ⎟⎥ ⎟+ + + ⋅ + 2 B⎜⎜ − + − 2 − 2 * ⎜⎜ 2 2 ⎟ r ∂r ⎟⎠⎦⎥ ⎪ ∂ϕ 2 r2 ⎝ ∂r ⎝ r ∂r∂ϕ r ∂ϕ ⎠ r ∂r∂ϕ∂z r ∂ϕ∂z r ∂r∂ϕ ⎪ 3 2 2 ⎪ ⎡ ⎛ ∂ 2 ∂ ∂Φ ∂ Φ3 λ + 2μ ∂ Φ 0 ⎞ ⎪ (5.1) +2 + τ zr = μ ⎢ B⎜ r ∇ Φ 3 + ∇ 2Φ1 ⎟ + 2r 2 3 + 2( B + 3) * ∂r ∂r∂z ∂r∂z ∂r ∂z β ⎠ ⎪ ⎣ ⎝ ∂r ⎪ 3 3 2 ∂ Φ1 ∂ Φ2 2B ∂ Φ 2 ⎤ ⎪ + +2 +2 ⎥; 2 ⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ r ϕ z r ϕ z ∂r∂z ⎦ ⎪ 2 3 3 ⎪ ⎡ ⎛1 ∂ 2 ⎞ ∂ λ + 2 μ 1 ∂ Φ 0 2 ∂ Φ1 2 ∂ Φ 2 ∇ Φ1 + r ∇ 2Φ 2 ⎟⎟ + 2 + + − τ ϕz = μ ⎢ B⎜⎜ ⎪ * 2 2 ∂z r ∂ϕ∂z r ∂ϕ∂z r ∂ϕ ∂z β ⎪ ⎠ ⎣ ⎝ r ∂ϕ ⎪ ∂ 3Φ 3 ∂ 2 Φ 2 ∂ 3Φ 3 2 ∂ 2 Φ 3 2( B + 1) ∂ 2Φ 3 ⎤ ⎪ + + ⋅ + + − 2B ⎥; 2 2 ⎪ ∂ϕ∂z ⎦ ∂r∂ϕ∂z r ∂z ∂r∂z ∂r∂z r ⎭

σr =

⎛ ∂ 2 ⎞ λ (λ + 2 μ ) 2 ∂ 2Φ 3 ∂ 2 ∂ 2 ⎜ λ B r ( 1 ) 4 2 ∇ Φ + + ∇ Φ + ∇ Φ − + ∇ Φ 2 + ∇ 2Φ1 ⎟⎟ + 0 3 3 2 * ⎜ ∂ϕ ∂z β ∂z ⎝ ∂r ⎠

Для определения неизвестных коэффициентов применим к (5.1) граничные условия, приведенные в §1. В самом общем случае с учетом (З.6) получаем систему 108-ми линейных уравнений относительно этих коэффициентов. Решение этой системы может быть проведено, например, с помощью счетно-решающего устройства. При этом решение её единственно, и

105

количество коэффициентов тождественно равных нулю из числа неизвестных не будет превышать 52-х. В случае, если на поверхностях цилиндра приложены внешние силы, решение задач будет определяться суммой термоупругих напряжений (5.1) при граничных условиях данных в §1 и напряжений, отвечающих этим внешним силам.

Список литературы

1. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935. 2. Мелан Э. и Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями. - М.: Физматгиз, 1958. 3. Лебедев Н.Н. Температурные напряжения в теории упругости. - М.: ОНТИ, 1937. 4. Майзель В.М. Температурная задача теории упругости. - К.: изд. АН УССР, 1951.

106

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПО ДВИЖЕНИЮ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Решение задач по движению твердого тела в вязкой несжимаемой жидкости во многих случаях сводится к интегрированию линейного дифференциального уравнения второго порядка, которое не всегда может быть разрешено в квадратурах. В то же время получение такого решения желательно, поскольку оно существенно упрощает качественное и количественное исследование рассматриваемого физического процесса, сокращает материальные затраты и временной фактор по сравнению с разностными методами решения этих задач. Известно, что линейное дифференциальное уравнение второго порядка всегда может быть сведено к нелинейному дифференциальному первого порядка типа Риккати [1]. Рассмотрим приём, позволяющий получить приближенное решение этого уравнения в конечном виде с достаточной для практических расчётов точностью применительно к движению цилиндра в вязкой жидкости. Пусть цилиндр, находясь в набегающем, вдоль продольной его оси, потоке, начинает двигаться от некоторой точки отсчета равной нулю под действием силы тяги. Уравнение движения цилиндра будет иметь вид mx′′ = Tx − Fx , (1) где m - масса цилиндра, Tx — сила тяги, являющаяся функцией от x ; Fx - полная сила сопротивления движению цилиндра. При этом Fx = C f sρ ⋅

( x′ + V0 ) 2 , 2

где C f - коэффициент полного сопротивления цилиндра, s - площадь лобового сопротивления, ρ - плотность жидкости, V0 - скорость набегающего потока. Поскольку

dx = x′ = V , dt

уравнение (1) можно преобразовать к виду dV Tx C f sρ = − V + V02 . dt

m

2m

(2)

Данное уравнение есть уравнение типа Риккати, которое в общем виде не интегрируется. Заменим в правой части (2) квадратичную зависимость Fx от V на ее среднее значение Fср = const по интегральной теореме о среднем, взяв за основу для вычичления Fср работу А этой силы на рассматриваемом участке x0 движения цилиндра, т.е.

107

x0

A = ∫ Fx dx = Fcp x0 . 0

Откуда x

1 0 Fcp = ∫ Fx dx . x0 0

(3)

Преобразуем далее dV dV dx dV = ⋅ =V ⋅ . dt dx dt dx

(4)

Подставляя (4) в (2) и заменяя Fx на Fcp получаем V

dV 1 = Tx − Fcp . dx m

(5)

После преобразований, с учетом (3), имеем x

V=

2 1 0 ( T − Fx dx)dx + C , x m∫ x0 ∫0

(6)

где C - постоянная интегрирования, которая находится из граничного условия, например, при x = 0, V = 0 . Для нахождения Fcp достаточно в (3) вместо Fx подставить его значение, выраженное через V по формуле (6). Таким образом, уравнение (2) проинтегрировано. Указанный приём легко распространяется на случай, когда в правую часть уравнения (1) входит сила, являющаяся функцией V 3 , и т.д. Определим погрешность ΔV , вводимую в расчеты в результате замены Fx на Fcp . Пусть V1 - расчетная скорость движения цилиндра при Fx ; V2 - расчетная скорость при Fcp , тогда из (5): dV1 1 = (Tx − Fx ) dx m dV 1 1 1 V2 2 = (Tx − Fcp ) = (Tx − dx m m x0

V1

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ x ∫0 Fx dx)⎪⎪ ⎭ 0

Исключая из системы Tx , получаем x ⎞ dV1 dV2 1 ⎛ 1 − V2 = ⎜⎜ ∫ Fx dx − Fx ⎟⎟ , V1 dx dx m ⎝ x0 0 ⎠ 0

или после интегрирования ΔV = V1 − V2 =

2 1 ΔFdx ≈ ΔFdx . ∫ m(V1 + V2 ) mV ∫

Анализ этого выражения показывает, что с увеличением массы, скорости движения, а также плавности изменения последней, достигается необходимая точность расчетов. В качестве примера применения метода возьмем дифференциальное уравнение, решаемое в квадратурах. 108

Пусть Tx 1 1 − 2 − 3, m x x C f sρ 2 V = Fx = V 2 . 2m

Тогда (2) примет вид 1 1 dV = −V 2 + 2 − 3 x x dt

или с учетом (4), после простых преобразований dy ⎛1 1⎞ + 2 y = 2⎜ 2 − 3 ⎟ , где y = V 2 . dx x ⎠ ⎝x

Точное решение этого уравнения будет 1 + C1e− 2 x , 2 x где C1 - постоянная интегрирования. y=

Возьмем за точку отсчета движения тела x = 1 . И пусть в этой точке V = 0 . Тогда C1 = −e 2 , а V , в ранее принятом обозначении, V1 =

1 − 2( x −1) e . x2

С другой стороны, согласно (5) V

dV 1 1 = − − Fcp , dx x 2 x3

откуда с учётом принятого обозначения V 2 1 + − 2 Fcp x + C2 . x x2 При x = 1, C2 = 2 Fcp + 1 и, следовательно, V2 = −

2 1 + − 2 Fcp x + 2 Fcp + 1 . x x2 Для определения Fcp воспользуемся (3) V2 = −

x0

Fcp ( x0 − 1) = ∫ V22 dx = −2 ln x0 − 1

Тогда Fcp =

1 + x0 − Fcp ( x02 − 2 x0 + 1) x0

1 + x0 x0 x( x0 − 1)

− 2 ln x0 −

Окончательно имеем V2 = −

2 1 + −2 x x2

1 + x0 x0 ( x − 1) + 1 . x0 ( x0 − 1)

− 2 ln x0 −

Задаваясь значениями x0 , строим графики V1 и V2 . Следует обратить внимание на то, что начальное и конечное значения x0 не могут быть выбраны

109

произвольно. Они зависят от функционального значения Tx , которое определяет диапазон действительных чисел V2 . Пусть x0 = 4 , тогда V2 = −

2 1 + − 0,163( x − 1) + 1 . x x2

Подставляя в выражения V1 и V2 значения x от 1 до 4, строим их графики Средняя погрешность V2 относительно V1 при принятом произвольном значении Tx составляет около 5%. Для получения более точного результата, если будет рассматриваться движение твердого тела в вязкой жидкости, необходимо наличие ранее упомянутых условий. Данная методика нашла практическое применение в совместной работе предприятия и ЛКИ при расчетах изделий 24 с новыми принципами действия.

Список литературы 1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 2 Лауфер М. Я. Об одном методе решения задачи по движению твёрдого тела в вязкой несжимаемой жидкости. //Вопросы технологии, эффективности производства и надёжности. Вып. 15. - Северодвинск.: Севмашвтуз, НТО им. акад. Крылова А.Н., 1997. С.66-70.

110

ЭФФЕКТ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО ИЗМЕНЕНИЯ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ Известны два механизма, приводящие к изменению частоты электромагнитного излучения: эффект Допплера и гравитационное поле. Других твердо установленных механизмов, способных вызвать изменение частоты колебаний электромагнитного излучения пока не известно. Ниже приводится описание ещё одного явления по изменению частоты электромагнитного излучения, связанного, по-видимому, с действием второго закона термодинамики и вытекающего из решения уравнений Максвелла. Описание эффекта 1. Физические условия и сущность эффекта Движение электромагнитной волны генерируемой неподвижным относительно наблюдателя источником в вакууме свободном от гравитационного поля, описывается уравнениями Максвелла. Эти уравнения, если принять, что μ = 1, ε = 1, λ = 0 , где μ - магнитная проницаемость, ε - диэлектрическая проницаемость, λ - удельная проводимость. и для наглядности дальнейшего рассмотрения считать, что источник генерирует плоскую монохроматическую волну, с помощью простых преобразований приводятся к двум волновым уравнениям вида (1). Вследствие идентичности их формы по электрической и магнитной составляющим излучения, будет рассматриваться изменение только электрической составляющей этого излучения. Существующее решение волновых уравнений для принятых выше условий показывает, что электромагнитная монохроматическая волна с удалением от источника её генерации должна сохранять неизменными частоту и амплитуду. Однако, как будет показано ниже в (3), из полученного более общего решения волнового уравнения следует, что это положение является неточным, частота волны с удалением от источника генерации уменьшается, а амплитуда растет. 2. Описание нового метода разделения переменных, примененного для получения более общего решения волнового уравнения и обоснование этого метода Как известно, для решения задач математической физики во многих случаях применим метод Фурье разделения переменных. Он заключается в том, что решение дифференциального уравнения в частных производных (или в дальнейшем для краткости - просто уравнения) от n независимых переменных находится в виде произведения n функций, зависящих только от одной из переменных или суммы некоторого числа этих произведений. В последнем

111

случае на слагаемые налагается условие, чтобы каждое из них удовлетворяло рассматриваемому уравнению. Не останавливаясь на подробном рассмотрении метода Фурье ввиду его известности, отметим следующее: Существует возможность обобщения этого метода, которое заключается в том, что на решение уравнения от n независимых переменных, которое находится в виде произвольного числа слагаемых, являющихся, в свою очередь, произведением n неизвестных функций, зависящих только от одной переменной, не налагается условие, чтобы по отдельности эти слагаемые являлись решениями рассматриваемого уравнения. Решение по предлагаемому методу, также как и метод Фурье, даёт возможность разделить переменные в уравнении. Найденные при этом интегралы, ввиду отброшеного ограничения, являются более общими, чем интегралы, полученные методом Фурье, и содержат последние в качестве некоторого частного случая Решим уравнение ∂2E ∂2E , = ∂x12 ∂x22

(1)

где с - скорость света в вакууме; t - время; x - расстояние; x1 = ct; x2 = x; E - напряженность электрического поля. Вначале рассмотрим наиболее простой случай, когда частное решение находится в виде суммы двух слагаемых, т.е. (2) E = Χ1,1 ( x1 ) Χ1, 2 ( x2 ) + Χ 2 ,1 ( x1 ) Χ 2 , 2 ( x2 ) На слагаемые (2) не налагается условие, чтобы каждое из них удовлетворяло уравнению (1) (как это имеет место по методу Фурье) обозначаемые в дальнейшем, как Χ1,1 ( x1 ) Χ1, 2 ( x2 ), Χ 2,1 ( x1 ) Χ 2, 2 ( x2 ) ,

Χ1,1 , Χ1,1 , Χ1,1 , Χ1,1 , - функции, зависящие соответственно от одной переменной x1 или x2 .

Здесь и в дальнейшем первая цифра индексации X, обозначает порядковый номер функции. Вторая цифра указывает переменную, от которой зависит эта функция. Подставляя (2) в (1) , после простых преобразований, имеем: ⎛ Χ1′′,1 Χ1′′, 2 ⎞ Χ1,1 ⎛ Χ′2′,1 Χ′2′, 2 ⎞ Χ 2, 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ Χ − Χ ⎟ Χ = ⎜− Χ + Χ ⎟ Χ . 1 , 1 1 , 2 2 , 1 2 , 1 2 , 2 ⎠ 1, 2 ⎝ ⎠ ⎝

Полагаем Χ1′′, 2 = − n12 , Χ1, 2

Χ′2′,1 = − n22 , Χ 2,1

(3)

где n1 и n2 - произвольные постоянные, после чего получаем: ⎛ Χ′2′, 2 ⎞ ⎛ Χ1′′,1 ⎞ 2 Χ1,1 2 Χ 2, 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = + + n n 1 2 ⎜Χ ⎟Χ ⎜ ⎟Χ . ⎠ 1, 2 ⎝ 1,1 ⎠ 2,1 ⎝ Χ 2, 2

112

Левая часть последнего равенства зависит только от x1 и не зависит от x2 , а правая наоборот. Следовательно, каждая из них не зависит ни от x1 , ни от x2 , т.е. они постоянны. Обозначим эту постоянную через m . Тогда ⎞ ⎛ Χ1′′,1 2 ⎟ Χ1,1 ⎜ n + 1 ⎟ Χ = m; ⎜Χ 1 , 1 ⎠ 2,1 ⎝ ⎞ ⎛ Χ′2′, 2 2 ⎟ Χ 2, 2 ⎜ n = m. + 2⎟ ⎜Χ ⎠ Χ1, 2 ⎝ 2, 2

(4)

Таким образом, переменные разделились. После подстановки результатов интегрирования (3) и (4) в (2), получаем решение уравнения (1) в виде:

)

m ⎛m E = ⎜ C 2* x1Cosnx1 − C1* x1 Sinnx1 + C3*Cosnx1 + C 4* Sinnx1 * 2n ⎝ 2n m ⎛m * (C1Cosnx 2 + C 2 Sinnx2 ) + ⎜ C 2 x2 Cosnx 2 − C1 x2 Sinnx 2 + 2n ⎝ 2n

(5)

)

+ C3Cosnx 2 + C 4 Sinnx 2 )(C1*Cosnx1 + C 2* Sinnx1 , где C1* ÷ C4* и C1 ÷ C4 - постоянные интегрирования. При интегрировании

(3) и (4) для упрощения записи решения (5) было принято (n1 ) = (n2 ) = n . Указанное условие для постоянных n j , j = 1, 2,... . в подобных же случаях будет соблюдаться и в дальнейшем. Кроме того, любую совокупность постоянных, являющуюся множителем каждой функции - слагаемого, входящую в решение, будем обозначать как ai , где i = 1, 2, 3,... определяет порядковый номер функции - слагаемого. Например, с учетом принятых обозначений для постоянных (5) запишется как E = (a1 x1Cosnx1 + a 2 x1 Sinnx1 + a3Cosnx1 + a 4 Sinnx1 )(a5 Cosnx2 + a6 Sinnx2 ) +

+ (a7 x2 Cosnx2 + a8 x2 Sinnx2 + a9 Cosnx2 + a10 Sinnx2 )(a11Cosnx1 + a12 Sinnx1 )

(6)

Из (6), видно, что оно отличается от решения уравнения (1), найденного методом Фурье. Последнее содержится в решении (6) как его некоторая частная составляющая. Рассмотрим далее случай, когда частное решение уравнения находится по предлагаемому методу в виде суммы, например, пяти слагаемых, т.е. (7) E = Χ 1,1 Χ 1, 2 + Χ 2 ,1 Χ 2 , 2 + Χ 3,1 Χ 3, 2 + Χ 4 ,1 Χ 4 , 2 + Χ 5,1 Χ 5, 2 . Подставляя (7) в (1) после простых преобразований получаем: ⎛ Χ1′′,1 Χ1′′, 2 ⎞ Χ1,1 ⎛ Χ ′2′,1 Χ ′2′, 2 ⎞ Χ 2,1 Χ 2, 2 ⎛ Χ′3′,1 Χ ′3′, 2 ⎞ Χ 3,1 Χ 3, 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜Χ − Χ ⎟ Χ +⎜Χ − Χ ⎟ Χ Χ +⎜Χ − Χ ⎟ Χ Χ + 1, 2 ⎠ 5,1 2, 2 ⎠ 5,1 1, 2 3, 2 ⎠ 5,1 1, 2 ⎝ 3,1 ⎝ 2,1 ⎝ 1,1 ⎛ Χ ′′ ⎛ Χ ′′ Χ′′ ⎞ Χ Χ ′′ ⎞ Χ Χ + ⎜⎜ 4,1 − 4, 2 ⎟⎟ 4,1 4, 2 + ⎜⎜ 5,1 − 5, 2 ⎟⎟ 5, 2 = 0. ⎝ Χ 4,1 Χ 4, 2 ⎠ Χ 5,1 Χ1, 2 ⎝ Χ 5,1 Χ 5, 2 ⎠ Χ1, 2

Полагаем

113

Χ′1′, 2 Χ′5′,1 = −n 2 , = −n 2 . (8) Χ1, 2 Χ 5,1 Прибавим и отнимем во втором, третьем и четвёртом выражениях, стоящих в скобках, по n 2 . Тогда с учётом (8), имеем: ⎛ Χ ′3′,1 ⎞ ⎛ Χ ′2′,1 ⎞ ⎛ Χ1′′,1 ⎞ Χ ′3′, 2 Χ ′2′, 2 2 Χ 1,1 2 2 Χ 2 , 2 Χ 2 ,1 2 2 Χ 3, 2 Χ 3,1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + − − + + − − + n n n n n ⎜Χ ⎟Χ Χ + ⎜Χ ⎟Χ Χ ⎜Χ ⎟Χ Χ Χ 2, 2 3, 2 ⎠ 1, 2 5,1 ⎠ 1, 2 5,1 ⎝ 3,1 ⎝ 1,1 ⎠ 5,1 ⎝ 2,1 ⎛ Χ′′ ⎞Χ ⎛ Χ ′′ ⎞Χ Χ Χ ′′ + ⎜⎜ 4,1 + n 2 − 4, 2 − n 2 ⎟⎟ 4, 2 4,1 − ⎜⎜ 5, 2 + n 2 ⎟⎟ 5, 2 = 0. Χ 4, 2 ⎠ Χ1, 2 ⎝ Χ 4,1 ⎠ Χ1, 2 Χ 5,1 ⎝ Χ 5, 2

Полагая ⎛ Χ′2′,1 ⎞ 2 Χ 2 ,1 ⎜ ⎟ + n ⎜Χ ⎟Χ =m ⎝ 2,1 ⎠ 5,1 ⎛ Χ′4′, 2 ⎞ 2 Χ 4, 2 ⎜ ⎟ + n ⎜Χ ⎟Χ =m ⎝ 4, 2 ⎠ 1, 2 m - произвольная постоянная, приходим к выражению:

(9)

⎛ Χ ′3′,1 ⎞ ⎞ ⎛ Χ1′′,1 ⎞ Χ ′3′, 2 Χ 2, 2 ⎛ Χ ′2′, 2 2 Χ 1,1 2 Χ 2 ,1 Χ 2 , 2 2 2 Χ 3,1 Χ 3, 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + − − + − + + n m n n n ⎜Χ ⎟Χ Χ + ⎜Χ ⎟Χ Χ ⎜Χ ⎟Χ Χ Χ 1, 2 3, 2 ⎠ 1, 2 5,1 ⎝ 2, 2 ⎠ 5,1 1, 2 ⎝ 3,1 ⎝ 1,1 ⎠ 5,1 ⎛ Χ ′′ ⎞Χ ⎛ Χ ′′ ⎞Χ Χ Χ + m 4,1 − ⎜⎜ 4,1 + n 2 ⎟⎟ 4, 2 4,1 − ⎜⎜ 5, 2 + n 2 ⎟⎟ 5, 2 = 0. Χ 5,1 ⎝ Χ 4,1 ⎠ Χ1, 2 ⎠ Χ1, 2 Χ 5,1 ⎝ Χ 5, 2

Прибавим и отнимем в левой части последнего равенства m

Χ Χ Χ 2,1Χ 3, 2 и m 3,1 4, 2 Χ 5,1Χ1, 2 Χ 5,1 Χ 1, 2

и примем ⎛ Χ ′3′,1 ⎞ Χ 3,1 Χ 2,1 2 ⎜ ⎟ + + =m n m ⎜Χ ⎟Χ Χ 5,1 ⎝ 3,1 ⎠ 5,1 ⎛ Χ ′3′, 2 ⎞ Χ 3, 2 Χ 4, 2 2 ⎜ ⎟ + n + m =m ⎜Χ ⎟Χ Χ1, 2 ⎝ 3, 2 ⎠ 1, 2

(10)

С учётом (10) получаем: ⎛ Χ1′′,1 ⎞ ⎞ Χ 2, 2 ⎛ Χ′2′, 2 Χ 3, 2 Χ 3, 2 Χ 2,1 Χ 3,1 2 ⎟ Χ1,1 2 ⎟ Χ 2 , 2 Χ 2 ,1 ⎜ ⎜ + n + m − + n + m − m + m + ⎜Χ ⎟Χ Χ ⎜Χ ⎟Χ Χ Χ Χ Χ Χ 1, 2 1, 3 1, 2 5,1 5,1 ⎝ 1,1 ⎠ 5,1 ⎝ 2, 2 ⎠ 1, 2 5,1 ⎛ Χ′′ ⎞Χ Χ ⎛ Χ′′ ⎞Χ Χ Χ Χ + m 4, 2 3,1 + m 4,1 − ⎜⎜ 4,1 + n 2 ⎟⎟ 4,1 4, 2 − ⎜⎜ 5, 2 + n 2 ⎟⎟ 5, 2 = 0. Χ1, 2 Χ 5,1 Χ 5,1 ⎝ Χ 4,1 ⎠ Χ1, 2 ⎠ Χ1, 2 Χ 5,1 ⎝ Χ5, 2

Прибавим и отнимем в левой части этого равенства m

Χ 2 ,1 Χ 4 , 2 Χ 3,1 Χ 1, 2

и положим 114

⎛ Χ ′2′, 2 ⎞ Χ 3, 2 Χ 4, 2 2 Χ 2, 2 ⎜ ⎟ n m m + + = m; + ⎜Χ ⎟Χ Χ Χ 2 , 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 ⎝ ⎠ ⎛ Χ ′4′,1 ⎞ Χ 3,1 Χ 2,1 2 Χ 4 ,1 ⎜ ⎟ n − m − m = m, + ⎜Χ ⎟Χ Χ Χ 4 , 1 5 , 1 5 , 1 5 , 1 ⎝ ⎠

(11)

после чего имеем: ⎛ Χ1′′,1 ⎞ Χ 2,1 Χ 3,1 Χ 4,1 2 Χ1,1 ⎜ ⎟ − − + = + n m m m ⎜Χ ⎟Χ Χ 5,1 Χ 5,1 Χ 5,1 ⎝ 1,1 ⎠ 5,1 ⎛ Χ ′′ ⎞Χ Χ Χ Χ = ⎜⎜ 5, 2 + n 2 ⎟⎟ 5, 2 + m 4, 2 − m 3, 2 − m 2, 2 . Χ1, 2 Χ1, 2 Χ1, 2 ⎝ Χ 5, 2 ⎠ Χ1, 2

Левая часть этого равенства не зависит от x2 , а правая от x1 , следовательно: ⎛ Χ1′′,1 ⎞ Χ 2,1 Χ 3,1 Χ 4,1 2 Χ1,1 ⎜ ⎟ n m m m − − + = m; + ⎜Χ ⎟Χ Χ 5,1 Χ 5,1 Χ 5,1 ⎝ 1,1 ⎠ 5,1 ⎛ Χ ′5′, 2 ⎞ Χ 4, 2 Χ 3, 2 Χ 2, 2 2 Χ 5, 2 ⎜ ⎟ n + m − m − m = m. + ⎜Χ ⎟Χ Χ1, 2 Χ1, 2 Χ1, 2 ⎝ 5, 2 ⎠ 1, 2

(12)

Таким образом, переменные разделены, а уравнения (8) ÷ (12) интегрируются. В случае, если частное решение находится в виде Μ слагаемых, то в символической, форме это решение может быть представлено как E = Χ1Μ −1 Χ 02 + Χ1Μ − 2 Χ 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Χ1k Χ Μ −1− k + ⋅ ⋅ ⋅ + Χ1 Χ Μ2 − 2 + Χ10 Χ Μ2 −1 = ( Χ1 + Χ) Μ −1 , (13) где Χ1k = a N x1k Cosnx1 + a N +1 x1k Sinnx1 + a N + 2 x1k −1Cosnx1 + a N + 3 x1k −1 Sinnx1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a N + 2 k Cosnx1 + a N + 2 k +1 Sinnx1 ; −1− k ΧΜ = a N + 2 k + 2 x2Μ −1− k Cosnx 2 + a N + 2 k + 3 x 2Μ −1− k Sinnx 2 + a N + 2 k + 4 x2Μ − 2 − k Cosnx 2 + 2

a N + 2 k + 5 x2Μ − 2 − k Sinnx 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a N + 2Μ − 2 Cosnx 2 + a N + 2 Μ −1 Sinnx 2 . N - порядковый номер.

Для сравнения ниже приводится частное решение уравнения (1) , найденное по методу Фурье: (14) E = (a1Cosnx1 + a 2 Sinnx1 )(a3Cosnx 2 + a 4 Sinnx 2 ) . Итак, интегрируя уравнение (1) с помощью обобщающего метода, и, ограничиваясь, с целью упрощения при последующем рассмотрении и обосновании метода, линейными составляющими решения от множителей t и x , получаем:

115

∞

E = ∑ [(a1,i Cosni ct + a 2,i Sinni ct )(b1,i Cosni x + b2,i Sinni x) + i =1

+ (a 4,i Cosni ct − a3,i Sinni ct )ct (b3,i Cosni x + b4,i Sinni x) +

(15)

+ (a3,i Cosni ct + a 4,i Sinni ct ) x(b4,i Cosni x − b3,i Sinni x)],

где a1,i ÷ a4,i ; b1,i ÷ b4,i ; ni - постоянные интегрирования. Из выражения (6) и (15) видно, что по мере возрастания x , а, следовательно, и t , наибольшее значение Е также возрастает. Эта картина никак не следует из решения (14), которое определяет неизменность наибольшего значения Е. Рассмотрим некоторые свойства функций, составляющих (6) необходимые в дальнейшем для представления отдельных зависимостей в виде ряда, разложенного по этим функциям. Введем обозначение: f1 = a ′Cosnx + b′Sinnx + c ′xCosnx + d ′xSinnx и θ1 = a1′Cosnx + b1′Sinnx ; a′, b′, c′, d ′, a1′, b1′ - постоянные. Теорема 1 Фундаментальные функции вида f1 , удовлетворяющие при x = x1 и x = x2 граничным условиям αf1′ + βf1 = 0 , где α И β постоянные, обладают свойством обобщенной ортогональности, т.е. x2

∫f

1, i

f1, j dx = 0 при i ≠ j .

x1

Действительно, по построению своему функции вида f1 удовлетворяют уравнениям f1′,′i + ni2 f1,i + mi2θ1,i = 0 (16) f1′,′j + n 2j f1, j + m 2j θ1, j = 0 Умножим первое уравнение на θ1, j а второе на θ 1, i и вычтем почленно одно из другого. Интегрируя затем полученное выражение по промежутку ( x1 , x 2 ) , находим x2

∫ ( f ′′θ 1, i

1, j

− θ1,i f1′,′j )dx + n

x1

2 i

x2

∫f θ 1, i

1, j

dx − n

x1

2 j

x2

∫f θ 1, j

x1

1, i

x2

dx + (m − m ) ∫ θ1,iθ1, j dx = 0 . 2 i

2 j

x1

Берём первый и второй интегралы по частям дважды и, подставляя полученные результаты в исходное равенство, имеем: x2

x2

x1

x1

∫ θ1,i f1, j dx + ∫ f1,iθ1. j dx =

1 [( f1′,iθ1, j − f1,iθ1, j ) xx12 + ( f1, jθ1′,i − f1, jθ1,i ) xx12 + 2 2 ni − n j

x2

+ (mi2 − m 2j ) ∫ θ1,iθ1, j dx]. x1

116

(17)

Умножим далее первое уравнение (16) на f 1′,′j , а второе на f1′,′i , и вычтем почленно одно из другого. Интегрируя полученное выражение, как и ранее, по промежутку ( x1 , x2 ) находим: x2

n

∫f

2 i

1, i

f 1′,′j dx −n

x2

∫f

2 j

x1

x2

f 1′,′i dx + m

1, j

2 i

x1

∫θ

1, i

f 1′,′j dx −m

x1

x2 2 j

∫θ

1, j

f 1′,′i dx = 0 .

x1

Берём третий и четвёртый интегралы по частям дважды. После уже известных преобразований, получаем: 2 2 i i

m n

x2

∫ f1, jθ1,i dx −m

2 j

n

2 j

x1

[

x2

x2

∫ f1,iθ1, j dx =n ∫ 2 i

x1

x1

x2

f1,i f1′,′j dx − n 2j ∫ f1, j f1′,′i dx +

+ mi2 ( f1′, jθ1,i − f1, jθ1′,i ) + m 2j ( f1,iθ1′, j − f1′,iθ1, j )

]

x1

x2 x1

Умножим затем первое уравнение (16) на n 2j f1, j , а второе на ni2 f1,i . Проведя преобразования аналогичные предыдущим, приходим к следующему выражению: 2 i

m n

2 j

x2

∫ θ1,i f1, j dx − m

2 2 j i

x1

n

x2

x2

x2

∫ θ1, j f1,i dx = n ∫ f1,i f1′,′j dx − n ∫ f1, j f1′,′i dx . 2 i

x1

2 j

x1

x1

Исключая из последних двух равенств слагаемое x2

n

2 i

∫f

1, i

f1′,′j dx − n

x1

x2 2 j

∫f

1, j

f1′,′i dx ,

x1

получаем: 2 i

m

x2

x2

∫ f1, jθ1,i dx + m ∫ f1,iθ1, j dx = n 2 − n 2 [mi ( f1′, jθ1,i − f1, jθ1′,i ) + 2 j

x1

1

i

x1

2

j

(18)

+ m 2j ( f1,iθ1′, j − f1′,iθ1, j )] xx12 .

Наконец, умножим первое уравнение (16) на f 1, j , а второе на f1,i . Соблюдая выше приведённую последовательность действий, имеем: 2 i

m

x2

x2

∫ θ1,i f1, j dx − m ∫ f1,iθ1, j dx = −(n 2 j

x1

2 i

x1

x2

− n ) ∫ f1,i f1, j dx − 2 j

(19)

x1

x − ( f1′,i f1, j − f1′, j f1,i )x2 . 1

Преобразуем (17) как: x2

x2

mi2 m ∫ θ1,i f1, j dx = − m ∫ θ1, j f1,i dx − 2 ni − n 2j x x 2 i

2 i

1

[( f ′ θ 1, i

− f1,iθ1′, j )x + x2

1, j

1

1

x2

+ ( f1, jθ1′,i − f1′, jθ1,i )x + ( m − m ) ∫ θ1,iθ1, j dx ] x2 1

2 i

2 j

x1

и подставим сначала в (18), а затем в (19). Исключая из полученных двух выражений

x2

∫f

θ1, j dx , после преобразований находим:

1, i

x1

117

x1

(n − n ) ∫ f1,i f1, j dx = − 2m m 4 i

[

4 j

2 i

x1

2 j

x1

∫ θ1,iθ1, j dx −

x1

]

(20)

x2

− (ni2 − n 2j )( f1′,i f1, j − f1′, j f1,i ) + m 2j ( f1′,iθ1, j − f1,iθ1′, j ) − mi2 ( f1, jθ1′,i − f1′, jθ1,i ) x .

Согласно определению αf1′,i ( x1 ) + β f1,i ( x1 ) = 0 ⎫ ⎬. αf1′, j ( x1 ) + β f1, j ( x1 ) = 0⎭

1

(21)

Умножая первое уравнение (21) на f1, j ( x1 ) , а второе на f1,i ( x1 ) и вычитая почленно одно из другого, получаем: f1′,i ( x1 ) f1, j ( x1 ) − f1′, j ( x1 ) f1,i ( x1 ) = 0 ⎫ ⎪ точно также находим ⎬. f1′,i ( x2 ) f1, j ( x 2 ) − f1′, j ( x2 ) f1,i ( x2 ) = 0⎪⎭

(22)

Пусть функции θ также удовлетворяют граничным условиям, указанным в определении, т.е. αθ1′, j ( x1 ) + βθ 1, j ( x1 ) = 0⎫ (23) ⎬. αθ1′,i ( x1 ) + βθ 1,i ( x1 ) = 0 ⎭ Умножая первое уравнение (21) на θ1, j ( x1 ) и первое уравнение (23) на f1,i ( x1 ) и преобразовывая уже известным образом, имеем: f1′,i ( x1 )θ1, j ( x1 ) − θ1′, j ( x1 ) f1,i ( x1 ) = 0 ⎫ ⎪ и аналогично ⎬. f1′,i ( x2 )θ1, j ( x2 ) − θ1′, j ( x2 ) f1,i ( x 2 ) = 0⎪⎭

(24)

Произведя подобные действия со вторыми уравнениями (21) и (23), легко определить, что f1, j ( x1 )θ1′,i ( x1 ) − f1′, j ( x1 )θ1,i ( x1 ) = 0 ⎫ (25) ⎬. f1, j ( x2 )θ1′,i ( x2 ) − f1′, j ( x2 )θ1,i ( x2 ) = 0⎭ Сравнивая полученные результаты (22), (24) и (25) с правой частью (20) и вспоминая, что при i ≠ j ,

x2

∫ θ1,iθ1, j dx = 0 ,

убеждаемся в справедливости

x1

теоремы. x2

Доказательство соотношения ∫ θ1,iθ1, j dx = 0 при i ≠ j достаточно известно x1

и поэтому здесь не приводится. Следствие При i ≠ j

x2

x2

x1

x1

∫ f1,iθ1, j dx = ∫ f1, jθ1,i dx = 0 .

118

Теорема 2

Если ni одно из фундаментальных чисел рассматриваемой задачи о фундаментальных функциях, а f1,i соответствующая ему нормированная фундаментальная функция, то для любой непрерывно дифференцируемой функции ψ (x) в интервале ( x1 , x2 ) всегда можно подобрать такое значение mi , что G ( f1,i ,ψ ) = n

x2 2 i

∫θ

ψdx = ni2 H (θ1,i ,ψ ) ,

1, i

x1

где G ( f1,i ,ψ ) и H (θ1,i ,ψ ) - соответствующие билинейные функционалы. Действительно, интегрируя функционал G ( f1,i ,ψ ) по частям и принимая во внимание первое уравнение (16), получаем: x2

G ( f1,i ,ψ ) = ∫ (− f1′,iψ ′ + n f ψ )dx = − f1′,iψ 2 i 1, i

x1

= − f1′,iψ

x2 x1

−m

2 i

x2 x1

x2

+ ∫ψ ( f1′,′i + ni2 f1,i )dx = x1

x2

∫ θ1,iψdx.

x1

Поскольку mi2 оставалась произвольным, то полагая его равным

−

f1′,iψ

x2 x1

− ni2 ,

H (θ1,i ,ψ ) получаем тем самым утверждение теоремы. Если ψ ( x) на границах интервала обращается в нуль, то на mi2 при доказательстве не требуется накладывать указанного выше условия. Следствие Если фундаментальные функции θ1,i и f1.i . отнормировать так, чтобы x2

∫θ

1, i

f1,i dx = 1 ,

x1

для чего достаточно умножить эти функции соответственно на величину x2

∫θ

1, i

f1,i dx , то G ( f1,i ) = ni2 Принимая во внимание следствие теоремы 1,

x1

получаем: G ( f1i , f1, j ) = 0 при i ≠ j . Теорема 3

Фундаментальные числа ni ограничены снизу. В самом деле, x2

x2

x1

x1

G ( f1,i ) = ∫ (− f1′,i2 + ni2 f1,2i )dx > − ∫ f1′,i2 dx .

119

Т.к. интеграл, стоящий в правой части (если произвести его непосредственное вычисление и учесть, что в f1 a ′ = Ai и C ′ = Ci при Ai и C i выражающихся как (27), a Ai ni и Ci ni как видно из (31), суть величины ограниченные и представляют собой некоторые постоянные), есть величина ограниченная, то функционал G ( f1,i ) ограничен снизу. Учитывая, что при H (θ1,i , f1,i ) = 1, G ( f1,i ) = ni2 получаем, что фундаментальные числа ni также ограничены снизу. Разумеется, что результаты всех приведенных выше доказательств справедливы также в случае граничных условий вида f1′( x1 ) = 0 f1′( x2 ) = 0 или f1 ( x1 ) = 0 f1 ( x2 ) = 0 . В последнем легко убедиться, применяя изложенные выше приемы. Теорема 4

Произвольная достаточно гладкая в интервале ( x1 , x2 ) функция F ( x) , удовлетворяющая граничным условиям F ( x1 ) = F ( x2 ) = 0 , может быть представлена в этом интервале равномерно сходящимся рядом вида: ∞

∞

i =1

i =1

F ( x) = ∑ f1,i = ∑ ( Ai Cosni x + Bi Sinni x + Ci xCosni x + d i xSinni x) ,

(26)

где ni всё возрастающая последовательность фундаментальных чисел постоянные, определяемые n1 < n2 < n3 < ... < ni < ..., a Ai , Bi , C i , d i выражениями: x2

x2

∫ F ( x)(Cosn x + k Sinn x)dx ∫ x i

Ai =

i

i

x1

2

(Cosni x + Li Sinni x) 2 dx −

x1

x2

∫ (Cosn x + k Sinn x) i

i

x2

2

i

x1

dx ∫ x 2 (Cosni x + Li Sinni x) 2 dx − x1

x2

x2

x1

x1

− ∫ F ( x) x(Cosni x + Li Sinni x)dx ∫ x(Cosni x + Li Sinni x)(Cosni x + k i Sinni x)dx ⎡x ⎤ − ⎢ ∫ x(Cosni x + Li Sinni x)(Cosni x + k i Sinni x)dx ⎥ ⎣x ⎦ 2

2

1

x2

x2

∫ F ( x) x(Cosn x + L Sinn x)dx ∫ (Cosn x + k Sinn x) i

Ci =

i

i

i

x1

i

i

2

dx −

x1

x2

∫ (Cosn x + k Sinn x) i

i

i

x1

x2

2

dx ∫ x 2 (Cosni x + Li Sinni x) 2 dx − x1

x2

x2

x1

x1

− ∫ x(Cosni x + Li Sinni x)(Cosni x + k i Sinni x)dx ∫ F ( x)(Cosni x + k i Sinni x)dx ⎡x ⎤ − ⎢ ∫ x(Cosni x + Li Sinni x)(Cosni x + k i Sinni x)dx ⎥ ⎣x ⎦ 2

1

где Bi = k i Ai , d i = Li Ci ;

120

2

(27)

ki =

( x 2 − x1 )Cosni x1Cosni x 2 − Li x1 Sinni x1Cosni x2 + Li x 2 Cosni x1 Sinni x 2 , x 2 Li Sinni x1 Sinni x 2 + x 2 Sinni x1Cosni x 2 − x1Cosni x1 Sinni x 2

а Li является корнем некоторого алгебраического уравнения четвёртой степени. В связи с тем, что каждая из функций f1,i содержит четыре произвольных постоянных (а не две, как, например, в случае разложения F ( x) в ряд Фурье), то представляется возможным, как правило, вне зависимости от принятого числа членов в разложении (26), точно удовлетворить значениям функции F ( x) на границах рассматриваемого интервала (хотя при этом сходимость ряда несколько ухудшится). Указанное обстоятельство не всегда может быть выполнено при разложении F ( x) в ряд Фурье. С целью упрощения доказательства теоремы, в определении приняты нулевые граничные условия. Однако, эта теорема может быть доказана для более общих граничных условий. При этом рассуждения в доказательстве не будут иметь никаких принципиальных отличий от приведенных. Рассмотрим ряд Μ

F ( x) = ∑ [ Ai (Cosni x + k i Sinni x) + Ci x(Cosni x + Li Sinni x)] , *

(28)

i =1

в котором Bi = k i Ai , d i = Li Ci . Функции, составляющие этот ряд, ограничены и интегрируемы каждая по себе в интервале ( x1 , x2 ) . Поэтому F * ( x) , а, следовательно, и F ( x) − F * ( x) (здесь предполагается сначала, что F ( x) непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая сформулированным в определении теоремы граничным условиям) можно рассматривать как функции с интегрируемым квадратом. Составим интеграл x2

δ i = ∫ [ F ( x) − F * ( x)]2 dx ,

(29)

x1

характеризующий среднеквадратичную ошибку приближения F*(x) к F ( x) в интервале ( x1 , x2 ) . Величину δ i можно рассматривать как функцию от коэффициентов Ai и Ci и наилучшее приближение F*(x) к F ( x) получится тогда, когда эти коэффициенты будут выбираться из условий ∂δ i ∂δ = ⋅⋅⋅ = i = ⋅⋅⋅ = 0 . ∂Ai ∂Ci Дифференцируем δ i по Ai x2

⎧ F ( x) − Μ [ A (Cosn x + k Sinn x) + C x(Cosn x + L Sinn x)]⎫ * ∑ ⎬ i i i i i i i i ∫⎨ ⎭ i =1 x ⎩

(30)

* (Cosni x + k i Sinni x)dx = 0 и затем по Ci , Принимая во внимание следствие теоремы 1 и решая совместно полученные уравнения относительно Ai И Ci , находим, что их выражения в 121

точности совпадают с указанными в определении теоремы. Легко видеть, что найденные значения Ai И Ci не только соответствуют минимуму δ i , но и ограничены при ni → ∞ . Действительно, в точке минимума должно выполняться неравенство 2 ∂ 2δ i ∂ 2 δ i ⎛ ∂ 2δ i ⎞ ⎟ > 0. ⋅ −⎜ ∂Ai2 ∂Ci2 ⎜⎝ ∂Ai ∂Ci ⎟⎠ Произведя соответствующие дифференцирования и подставляя результаты в это неравенство, после простых преобразований получаем: x2

∫ (Cosn x + k Sinn x) i

i

x1

i

x2

2

dx ∫ x 2 (Cosni x + Li Sinni x) 2 dx − x1

2

⎤ ⎡x − ⎢ ∫ x(Cosni x + Li Sinni x)(Cosni x + k i Sinni x)dx ⎥ > 0 ⎦ ⎣x 2

1

при всех ni не обращающих левую часть неравенства в нуль. Сравнивая полученное выражение с известным неравенством Буняковского, непосредственно убеждаемся в соответствии выражений Ai и Ci минимуму δ i , когда k i и Li таковы, что неравенство не обращается в тождество. Обозначим в выражениях Ai и Ci наибольшие в интервале ( x1 , x2 ) значения функций F ( x), x 2 , xF ( x) и x соответственно как T1 , T2 , T3 и T4 . Предварительно полагая k i и Li ограниченными и вычисляя интегралы в (27), получаем: T1T2 Ai ≤

{

1 (− Sinni x + Li Cosni x )xx12 * 1 (1 + L2i ) x + 2 ni

1 ⎧⎪ 1 T2 ⎨(1 + k i2 ) x + 4 ⎪⎩ ni

x2

⎡1 ⎤⎫ 2 ⎢⎣ 2 Sin 2ni x(1 − k i ) − k i Cos 2ni x ⎥⎦ ⎬ * ⎭ x1 x2

⎤ ⎫⎪ 1 ⎡1 + L2i 1 x + ⎢ Sin 2ni x − Li Cos 2ni x ⎥ ⎬ − T3T4 (− Sinni x + Li Cosni x )x12 * ni ⎣ 2 ni ⎦ ⎪⎭ x1 ⎧ 1 ⎡1 ⎤ 1 * ⎨(1 + L2i ) x + ⎢ Sin 2ni x * (1 − L2i )⎥ − (1 + k i Li ) x + ni ⎣ 2 ⎦ 4 ⎩

(31)

1⎧ 1 [(1 − ki Li ) Sin2ni x − (ki + Li )Cos 2ni x]}xx12 * ⎨(1 + k i Li ) x + 2⎩ 4ni . 1 2 x2 [(1 − ki Li ) Sin2ni x − (ki + Li )Cos 2ni x] } + x1 4ni

Т.к. при ni → ∞ правая часть неравенства стремится к нулю, то lim Ai = 0 . 123 ni → ∞

Точно так же можно установить, что lim Ci = 0 . 123 ni → ∞

122

∞

∑A

Если построить ряд

i

i =1

содержащие множитель

1 , придём, как следует из (31), к рассмотрению ряда ni2

⎤ (32) ⎥, n i =1 i ⎣ ⎦ где a и b некоторые постоянные, не зависящие от ni . Принимая для оценки сходимости этого ряда интегральный признак Коши, находим, что несобственный интеграл ∞ ⎡ aSinni x1, 2 bCosni x1, 2 ⎤ + ⎥dni ∫⎢ n ni α ⎣ i ⎦ есть величина конечная (α ≠ 0, т.к. ni ≠ 0) . Поэтому ряд (32), а, ∞

⎡ aSinni x1, 2

, то, отбросив члены второго порядка малости,

∑⎢

bCosni x1, 2 ni

+

следовательно, и ряд

∞

∑A

i

i =1

являются сходящимися. ОтсюдА; непосредственно

∞

∑ Ai и по аналогии ряд

вытекает, что ряд

i =1

∞

∑C i =1

i

- абсолютно сходящиеся.

Покажем далее, что система функций вида f1 обладает полнотой и ряд (28) сходится к F(х) “в среднем", т.е. lim δ i = 0 , что равносильно lim { δ i = 0 . Введём 123 Μ →∞

ni → ∞

обозначения: Μ

FΜ ( x) = F ( x) − ∑ [ Ai (Cosni x + k i Sinni x) + Ci x(Cosni x + Li Sinni x)] i =1

PΜ ( x) =

FΜ ( x)

.

δi Поставим задачу о нахождении минимума функционала G ( PΜ ) =

x2

∫ [− P′

2 Μ

( x) + ni2 PΜ2 ( x)]dx

x1

при дополнительном условии x2

H ( PΜ ) = ∫ θ1,i PΜ ( x)dx = 1 . x1

На основании теоремы Эйлера можно утверждать, что функции, дающие решение поставленной задачи, должны быть экстремалями функционала G ( PΜ ) + 2mi2 H ( PΜ ) =

x2

∫ [− P′

2 Μ

( x ) + ni2 PΜ ( x ) + 2mi2θ1,i PΜ ( x)]dx ,

x1

для которого уравнение Эйлера PΜ′′ ( x ) + ni2 PΜ ( x ) = − mi2θ1,i

123

в точности совпадает с уравнениями (16). Если коэффициенты Ai

И

Ci выбраны

x

как (27), то

∫P

Μ

( x) f1,i dx = 0 , где i = 1, 2, 3, ..., Μ . Т.к., кроме того, граничные

x1

условия задачи о собственных значениях и рассматриваемой вариационной задачи также совпадают, то функция PΜ (x ) , дающая минимум G ( PΜ ) при условии H ( PΜ ) = 1 является фундаментальной. Поэтому, учитывая следствие теоремы 2, а также в силу определения настоящей теоремы в отношении чисел ni , G ( PΜ ) ≥ nΜ2 +1 . Вычислим G(PM). Переходим к ранее принятым обозначениям: G ( PΜ ) =

∫ [− P′ ( x) + n P

x1

2 Μ

2 2 i Μ

]

( x) dx =

x1

]

Μ

+ ni2 ( F ( x) − ∑ f1,i ) 2 dx = i =1

1

δi

x1

Μ

x1

i =1

2 ∫ [−( F ′( x) − ∑ f1′,i ) +

Μ 1⎧ ⎨G[ F ( x)] − 2∑ G[ F ( x), f1,i ] + δi ⎩ i =1

(33)

Μ Μ

+ ∑∑ G ( f1,i , f1, j )}≥ nΜ2 +1 . i =1 j =1

На основании теоремы 2 инеем: x2

G[ F ( x), f1,i ] = ni2 ∫ F ( x)θ1,i dx; G ( f1,i , f1, j ) = 0 при i ≠ j . x1

Подставляя эти значения функционалов (33), получаем: x2 Μ ⎫ 1⎧ 2 2 (34) ⎨G[ F ( x)] − ∑ ni ∫ [θ1,i F ( x) + θ1,i ( F ( x) − f1,i )]dx ⎬ ≥ nΜ +1 . δi ⎩ i =1 x1 ⎭ Принимая во внимание теорему 1, из первого уравнения (30) после умножения его на Ai имеем: x2

x2

x2

x1

x1

x1

∫ θ1,i [ F ( x) − f1,i ]dx = 0 , откуда ∫ F ( x)θ1,i dx = ∫ θ1,i f1,i dx .

Подставляя найденные значения интегралов в (34), находим: Μ

G[ F ( x)] − ∑ n

δi ≤

i =1

n

x2 2 i

2 Μ +1

∫θ

x

1, i

Μ

f1,i dx =

G[ F ( x)] − ∑ G ( f1,i ) n

i =1 2 Μ +1

.

(35)

Учитывая теорему 3, а также то, что при достаточно большом i можно подобрать также достаточно большое ni , допустимо положить, что с некоторого i G[ F ( x)] > 0 и G ( f1,i ) > 0 . Принимая во внимание, что при любом сколь угодно большом наперед заданном значении ni , не зависящем от " Μ" , G[ F ( x)] остаётся конечным, можно считать числитель правой части (35) ограниченным, ибо в противном случае δ i < 0 , что невозможно по построению δ i . Т.к. при Μ → ∞, ni → ∞ , то

124

отсюда следует, что δ i → 0 при Μ → ∞ . Таким образом, ряд (28) сходится в среднем к F ( x) . Умножая обе части ряда (26) раздельно на Ai Cosni x + Bi Sinni x ,а затем на x(Ci Cosn i x + d i Sinni x ) и интегрируя (по доказанному система рассматриваемых функций обладает полнотой) их по промежутку ( x1 , x2 ) , после преобразований с учётом теоремы 1 и её следствия получаем: x2

x2

x1

x1

∫ F ( x)(Cosni x + ki Sinn1x)dx =Ai ∫ (Cosni x + ki Sinn1x)

2

dx +

x2

+ Ci ∫ x(Cosni x + Li Sinn1 x)(Cosni x + ki Sinn1 x)dx; x1

x2

x2

∫ F ( x) x(Cosni x + Li Sinn1x)dx =Ai ∫ x(Cosni x + Li Sinn1x) *

x1

x1

x2

* (Cosni x + ki Sinn1 x)dx + Ci ∫ x 2 (Cosni x + Li Sinn1 x) 2 dx. x1

Решая эти уравнения совместно относительно Ai И Ci , находим их значения, которые в точности совпадают с (27). Полученный результат говорит о том, что если в рассматриваемом ряде отбросить бесконечное число членов, следующих за n-м, то оставшаяся конечная сумма даст приближение F(x) наилучшее из возможных с помощью рассмотренных рядов с тем же числом членов. Более того, коэффициенты (27), найденные для i = Μ , остаются неизменными при увеличении числа членов ряда (26). Чтобы освободиться от ранее принятого ограничения непрерывной дифференцируемости функции F ( x) , достаточно вспомнить, что для всякой достаточно гладкой функции F ( x) существует непрерывно дифференцируемая функция f ( x) , удовлетворяющая нулевым граничным условиям и такая, что x2

∫ [ F ( x) −

f ( x)]2 dx < ε ,

x1

где ε - любое заданное положительное число. Покажем далее, что ряд (26) сходится к F ( x) равномерно. При этом достаточно показать, что ряд (26) вообще равномерно сходится. Действительно, т.к. этот ряд сходится “в среднем” к F(x), то, сходясь равномерно, он не может иметь своим пределом никакую другую функцию. Как было показано ранее, ряды

∞

∑ Ai и i =1

∞

∑(A i =1

i

∞

∑C i =1

i

, а, следовательно, в ряд

+ Ci ) являются абсолютно сходящимися.

Согласно ранее сделанному предположению, k i И Li - величины суть ограниченные, поэтому (Cosni x + k i Sinni x) и (Cosni x + Li Sinni x) x в интервале

125

( x1 , x 2 ) также ограничены. Обозначим их максимальные значения в этом интервале соответственно через Μ 1 и Μ 2 составим новый ряд ∞

∑ ( Ai Μ1 + Ci Μ 2 ) .

(36)

i =1

Ряд (36) по признаку Абеля является сходящимся. Сравнивая члены ряда (26) с соответствующими членами мажорантного ряда (36); имеем: Ai Μ 1 ≥ Ai (Cosni x + k i Sinni x) ; Ci Μ 2 ≥ Ci x(Cosni x + Li Sinni x) − таким образом, в соответствии с теоремой Вейерштрасса ряд (26) сходится в рассматриваемом интервале абсолютно и равномерно. Осталось показать, что коэффициенты k i и Li действительно ограничены. Для их определения воспользуемся граничными условиями нашей задачи. Подставляя в них (26) для каждого значка i будем иметь: Ai (Cosni x1 + k i Sinni x1 ) + Ci x1 (Cosni x1 + Li Sinni x1 ) = 0 ⎫ ⎬. Ai (Cosni x2 + k i Sinni x2 ) + Ci x2 (Cosni x2 + Li Sinni x2 ) = 0⎭ Для того, чтобы эта система имела решение отличное от нулевого, необходимо и достаточно, чтобы её определитель равнялся нулю, т.е. Cosni x1 + k i Sinni x1 x1 (Cosni x1 + Li Sinni x1 ) = 0. Cosni x 2 + k i Sinni x 2 x 2 (Cosni x 2 + Li Sinni x 2 ) Раскрывая определитель, после преобразований получаем: ( x − x1 )Cosni x1Cosni x 2 − Li x1 Sinni x1Cosni x2 + Li x 2 Cosni x1 Sinni x 2 . ki = − 2 x 2 Li Sinni x1 Sinni x 2 + x 2 Sinni x1Cosni x 2 − x1Cosni x1 Sinni x 2 С другой стороны, подставляя значения Ai , Ci и k i из последнего выражения, например, в первое уравнение системы, приходим к алгебраическому уравнению четвертой степени относительно Li , из которого этот коэффициент и определяется. Т.к. все коэффициенты названного уравнения четвертой степени относительно Li (последнее не приводится из-за громоздкости) имеют конечную величину при всех ni , а знаменатель выражения для k i не обращается в нуль ни при каком значении ni , то при неограниченном возрастании ni коэффициенты k i и Li должны оставаться ограниченными. Оставшиеся неизвестными коэффициенты ряда (26) определяются как Bi = k i Ai ; d i = Li Ci . Следует отметить, что коэффициенты Bi и d i могут быть определены также как Ai И Ci непосредственно из условий ∂δ i ∂δ = ⋅⋅⋅ = i = ⋅⋅⋅ = 0. ∂Bi ∂d i Всё вышеизложенное справедливо также для функций f 2 = a ′′Cosnct + b′′Sinnct + c′′ctCosnct + d ′′ctSinnct θ 2 = a1′′Cosnct + b1′′Sinnct, где a ′′, b′′, c′′, d ′′, a1′′, b1′′ - постоянные. 126

Пользуясь вышеизложенными приёмами можно доказать аналогичные теоремы и для нелинейных составляющих решения вида (13). 3. Решение краевой задачи

Поместим начало координат в точку, где расположен источник электромагнитного излучения. Решение уравнения (1) с помощью описанного метода можно представить в виде: E = E0 Sinν 0 ctCosν 0 x + ∑ [(ai , ni Cosni ct + a2, ni Sinni ct )(b1, ni Cosni x + i

+ b2, ni Sinni x) + (a4, ni Cosni ct − a3, ni Sinni ct )ct (b3, ni Cosni x + b4, ni Sinni x) +

(37)

+ (a3, ni Cosni ct + a4, ni Sinni ct ) x(b4, ni Cosni x − b3, ni Sinni x)],

где a1, n ÷ a4 , n , b1, n ÷ b4 , n , ni - постоянные интегрирования, которые подбираются так, чтобы решение удовлетворяло условиям: i

i

i

i

а ) t = 0; E = 0

б)

x = 0; E = E0 Sinν 0 ct

в ) Значение энергии , переносимое электромагнитными волнами за 1 сек. через условное сечение, постоянно в

(38)

любой точке пространства. Э x = 0 = Э x = x0 или 2 E0 P

где E

x = x0 x t≥ 0 c

x =0

= 2 E x =xx00 P t≥

c

x = x0

,

- амплитуда в точке пространства, где помещен наблюдатель.

P x =0 и P

- векторы Умова-Пойтинга, соответственно в точках x = 0 и

x = x0

x = x0

Подставляя решение (37) в условия (38а) получаем:

∑ [a i

1, ni

(b1, n Cosni x + b2 , n Sinni x) + a3, n (b4 , n Cosni x − b3, n Sinni x) x] = 0 , i

i

i

i

i

откуда a1, n = a3, n = 0 . Далее из условия (38б) находим: E0 Sinν 0 ct + ∑ [a 2, n b1, n Sinni ct + a4 , n b3, n ctCosni ct ] = E0 Sinν 0 ct i

i

i

i

i

i

i

и, следовательно, b1, n = b3, n = 0 . Таким образом, решение (37) удовлетворяющее условиям (38а) и (38б) принимает вид: E = E0 Sinν 0 ctCosν 0 x + ∑ [(a 2, n b2 , n Sinni x + a4 , n b4, n xCosni x) Sinni ct + i (39) + a4, n b4 , n Sinni xctCosni ct ] i

i

i

i

i

i

i

i

Подставим это решение в (38в). Введём обозначение:

127

⎛ E0 ⎞ − E0 ⎜⎜ + Cosν 0 x0 ⎟⎟ = B; ⎝ E max ⎠ a 2, ni b2, ni Sinni x0 + a 4, ni b4, ni x0 Cosni x0 = С n*i ; a 4, ni b4, ni Sinni x0 = An*i ,

E x =xx t≥

0 0

где E max - максимальное значение амплитуды в точке x = x0 , равное . После простых преобразований имеем:

c

BSinν 0 ct = ∑ ( An*i ctCosni ct + C n*i Sinni ct ) . i

Это равенство должно выполняться в интервале времени π . 0≤t ≤ ν 0c Таким образом, должно быть справедливым соотношение An*

i

π π π Cosni + C n* Sinni = 0, ν0 ν0 ν0 i

где коэффициенты соотношениями: π ν 0c

An*

=B

∫

Sinν 0ct ⋅ ctCosni ctdt

0

An*

i

π ν 0c

∫

π ν 0c

∫ Sin nictdt ∫ 2

0

Cn*i

=B

∫

0

Sinν 0ct ⋅ ctSinni ctdt

0

π ν 0c

Sin 2 ni ctdt −

π ν 0c

∫ 0

π ν 0c

Sinν 0ctSinni ctdt ∫ Sinni ct ⋅ ctCosni ctdt 0

⎛π ⎞ ⎜ ν 0c ⎟ c 2t 2Cos 2 ni ctdt − ⎜ ∫ Sinni ct ⋅ ctCosni ctdt ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ π ν 0c

∫ c t Cos ni ctdt − ∫ 2 2

2

0

π ν 0c

согласно теореме 4 определяются

i

0

π ν 0c

π ν 0c

и C n*

0

π ν 0c

π ν 0c

Sinν 0ct ⋅ ctCosni ctdt ∫ Sinni ct ⋅ ctCosni ctdt 0

⎛π ⎜ ν 0c

∫ Sin nictdt ∫ c t Cos ni ctdt − ⎜⎜ 0

2

2 2

2

⎜ ⎝

0

2

⎞ ⎟ ∫ Sinni ct ⋅ ctCosnictdt ⎟⎟ 0 ⎟ ⎠

2

.

После интегрирования получаем выражение, из которого определются все ni

128

⎧⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⎢ Sinπ ⎜1 + ni ⎟ πCosπ ⎜1 + ni ⎟ Sinπ ⎜1 − ni ⎟ ⎜ ν ⎟ ⎜ ν ⎟ ⎜ ν ⎟ π π ⎪⎢ 0⎠ 0⎠ 0⎠ ⎝ ⎝ ⎝ − + − Cosni ⎨⎢ 2 ni ν0 ν 0 ⎪ ⎛ n ⎞2 ⎛ ⎞ n 1+ ⎢ i ⎜⎜1 − i ⎟⎟ ν0 ⎪⎢ ⎜⎜1 + ν ⎟⎟ 0⎠ ⎝ ν0 ⎠ ⎩⎣ ⎝ ⎡ ⎛ ⎛ ni ⎞ ni ⎞ ⎤ ni ⎞ ⎤ ⎟⎟ ⎥ ⎢ Sinπ ⎜⎜1 − ⎟⎟ Sinπ ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎥ ⎝ ν 0 ⎠ ⎥ 1 ⎛⎜ π − 1 Sin 2πni ⎞⎟ − ⎢ ⎝ ν0 ⎠ − ⎝ ν0 ⎠⎥ * ⎜ ⎟ n n ⎥ ν 0 ⎝ ν 0 2ni ⎥ ν 0 ⎠ ⎢ 1 − ni 1− i 1+ i ⎥ ⎢ ⎥ ν0 ν0 ν0 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎛

−

πCosπ ⎜⎜1 −

2πni ⎞⎫ ⎛ ⎟ ⎜ Sin 1 ⎜ 2πni ⎟⎪⎪ π ν0 − Cos * ⎬= 2ni ⎜ 2ni ν0 ν 0 ⎟⎪ ⎟⎪ ⎜ ⎠⎭ ⎝ ⎧⎡ ⎛ ⎛ n ⎞ n ⎞⎤ ⎪⎢ Sinπ ⎜⎜1 − i ⎟⎟ Sinπ ⎜⎜1 + i ⎟⎟ ⎥ 3 nπ ⎪ ⎝ ν0 ⎠ − ⎝ ν 0 ⎠ ⎥ ⎡ π + π Cos 2niπ + = Sin i ⎨⎢ ni ⎥ ⎢⎣ 3ν 03 2ni2ν 0 ν 0 ⎪⎢ 1 − ni ν0 + 1 ⎢ ⎥ ν0 ν0 ⎪⎣⎢ ⎦⎥ ⎩ ⎡ ⎛ ⎛ ⎛ n ⎞ n ⎞ n ⎞ ⎢ Sinπ ⎜⎜1 + i ⎟⎟ πCosπ ⎜⎜1 + i ⎟⎟ Sinπ ⎜⎜1 − i ⎟⎟ 2 ⎛ π 1 ⎞ 2niπ ⎤ ⎢ ⎝ ν0 ⎠ − ⎝ ν0 ⎠ + ⎝ ν0 ⎠ − ⎟ Sin + ⎜⎜ − ⎥−⎢ 2 2 2 3⎟ n ν0 ⎦ ⎛ ⎝ 2niν 0 4ni ⎠ ni ⎞ 1+ i ⎢ ⎛⎜1 + ni ⎞⎟ ⎜⎜1 − ⎟⎟ ν0 ⎢ ⎜⎝ ν 0 ⎟⎠ ⎝ ν0 ⎠ ⎣ ni ⎞ ⎤ 2n π ⎛ ⎟⎟ ⎥ ⎜ Sin i 2n π π ν0 ⎝ ν0 ⎠⎥ 1 ⎜ − Cos i n ⎥ 2ν 0 ni ⎜ 2ni ν0 ν0 1− i ⎜ ⎥ ν0 ⎝ ⎦⎥ ⎛

−

πCosπ ⎜⎜1 −

(40)

⎞⎫ ⎟⎪ ⎟⎪ ⎟⎬ ⎟⎪⎪ ⎠⎭

Окончательное решение уравнения (1) удовлетворяющее условиям (38) будет: ⎧⎪⎡⎛ C * An*i ⎞ ni ⎜ ⎟ Sinn x + − x0ctgni x0 E = E0 Sinν 0ctCosν 0 x + ∑ ⎨⎢ i ⎜ ⎟ Sinn x Sinn x ⎢ i 0 ⎠ i 0 i ⎪ ⎣⎝ ⎩ ⎤ ⎫⎪ An*i + xCosni x ⎥ Sinni ct + Sinni x ⋅ ctCosni ct ⎬. Sinni x0 Sinni x0 ⎪⎭ ⎥⎦ π π π При x = x0 = и t= , E = E max + ν 0c 2ν 0c ν0 An*i

⎛ 3π 3πni 3πni ⎞ ⎟, + Cn*i Sin Emax = E0 + ∑ ⎜⎜ An*i Cos 2ν 0 2ν 0 2ν 0 ⎟⎠ i ⎝

откуда, после простых преобразований

129

⎛ 1 3π 3πni 3πni ⎞ Emax 1 ⎟, = + − ∑ ⎜⎜ Ani + Cni Sin Cos 2 4 i ⎝ 2ν 0 2ν 0 2ν 0 ⎟⎠ E0

где An*i = BAni ; Cn* = BCn . Если принять во внимание, что 2 ν 04 E02 ≅ ν 4 Emax , то i

i

⎛ ν0 1 1 3π 3πni 3πni ⎞ ⎟, Cos = + − ∑ ⎜⎜ Ani + Cni Sin ν 2 4 i ⎝ 2ν 0 2ν 0 2ν 0 ⎟⎠

(41)

Где

Ani =

⎡ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞⎤ ⎛ n ⎞ ⎢ Sinπ ⎜1 + i ⎟ πCosπ ⎜1 + i ⎟ Sinπ ⎜1 − i ⎟ πCosπ ⎜1 − i ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ν ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎢ 0 ⎠⎥ ⎝ ν0 ⎠ + ⎝ ν0 ⎠ − ⎝ ⎝ ν0 ⎠ − * ⎢ 2 ⎥ ⎛ ni ⎞ ⎛ ⎞ n 4ν 02 ⎢ ⎛ n ⎞ 2 ⎛ ⎞ i n i ⎟ ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⎥ ⎜⎜1 − i ⎟⎟ ⎜ ⎢ ⎜1 + ν ⎟ ν 0 ν ⎝ ⎠ ⎝ ν 0 ⎠ ⎦⎥ 0⎠ 0⎠ ⎝ ⎣ ⎝ 1⎛ π 1 2n π ⎜⎜ − Sin i ν0 2 ⎝ ν 0 2ni

⎞ 1 ⎡ π3 π 2n π ⎛ π 2 1 ⎞ 2n π ⎤ ⎟⎟ * ⎢ 3 + 2 Cos i + ⎜ − 3 ⎟ Sin i ⎥ − 2 ⎟ ⎜ ν 0 ⎝ 2niν 0 4ni ⎠ ν0 ⎦ ⎠ 2 ⎣⎢ 3ν 0 2ni ν 0

⎡ ⎛ ni ⎞ ⎛ ni ⎞ ⎤ ⎢ Sinπ ⎜⎜1 − ⎟⎟ Sinπ ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎥ ⎛π 1 2n π ⎞ ⎝ ν0 ⎠ − ⎝ ν 0 ⎠ ⎥ 1 ⎛⎜ 1 Sin 2niπ − π Cos 2niπ * ⎜⎜ − Sin i ⎟⎟ − ⎢ ⎢ ν0 ⎠ ν0 ν0 ν0 ⎛ n ⎞ ⎛ ni ⎞ ⎥ 8niν 0 ⎜⎝ 2ni ⎝ ν 0 2ni ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎥ ⎢ ⎜⎜1 − i ⎟⎟ ⎢⎣ ⎝ ν 0 ⎠ ⎝ ν 0 ⎠ ⎥⎦ 2 ⎡ 1 ⎛ 1 2niπ π 2niπ ⎞⎤ ⎜⎜ ⎟⎥ −⎢ − Cos Sin ν0 ν0 ν 0 ⎟⎠⎦⎥ ⎣⎢ 4ni ⎝ 2ni

⎞ ⎟⎟ ⎠ ;

⎡ ⎛ ni ⎞ ⎛ ni ⎞ ⎤ ⎢ Sinπ ⎜⎜1 − ⎟⎟ Sinπ ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎥ 3 ⎝ ν0 ⎠ − ⎝ ν 0 ⎠ ⎥ * 1 ⎡ π + π Cos 2niπ + ⎢ ⎢ ⎢ ⎛ n ⎞ ν0 ⎛ ni ⎞ ⎥ 4ν 0 ⎢⎣ 3ν 03 2ni2ν 0 ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎥ ⎢ ⎜⎜1 − i ⎟⎟ ⎢ ⎝ ν0 ⎠ ⎝ ν 0 ⎠ ⎥⎦ C ni = ⎣ ⎛ π π 1 2n π ⎞ 1 ⎡ π 3 2n π ⎜⎜ − Sin i ⎟⎟ * ⎢ 3 + 2 Cos i + ν 0 ⎠ 2 ⎢⎣ 3ν 0 2ni ν 0 ν0 ⎝ 2ν 0 4ni ⎡ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎢ Sinπ ⎜1 + i ⎟ πCosπ ⎜1 + i ⎟ Sinπ ⎜1 − i ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ν ⎟ 2 ⎛ π 2niπ ⎤ ⎢ 1 ⎞⎟ 0⎠ ⎝ ν0 ⎠ − ⎝ ν0 ⎠ + ⎝ − − Sin +⎜ − ⎥ ⎢ 2 2 ⎜ 2n ν 2 4n 3 ⎟ ν0 ⎦ ⎢ ⎛ n ⎞ ⎛ ni ⎞ ⎛ ⎞ i ⎠ n ⎝ i 0 i ⎟ ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜1 − i ⎟⎟ ⎢ ⎜1 + ν ⎟ ν0 ⎠ ⎝ 0 ⎝ ⎠ ⎝ ν0 ⎠ ⎣ 2 ⎛ π 1 ⎞ 2n π ⎤ +⎜ − 3 ⎟Sin i ⎥ − 2 ⎜ 4n ν ⎟ ν0 ⎦ ⎝ i 0 4ni ⎠ ni ⎞ ⎤ ⎟⎟ ⎥ ⎝ ν 0 ⎠ ⎥ * 1 ⎛⎜ 1 Sin 2niπ − π Cos 2niπ ν0 ν0 ν0 ⎛ ni ⎞ ⎥ 8niν 02 ⎜⎝ 2ni ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⎥ ⎝ ν 0 ⎠ ⎦⎥ ⎛

−

πCosπ ⎜⎜1 −

⎡ 1 −⎢ ⎢⎣ 4ni

⎛ 1 2n π π 2n π ⎜⎜ Sin i − Cos i 2 ν ν ν0 n 0 0 ⎝ i

⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎠⎥⎦

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

130

(42)

Производя затем последовательные вычисления по формулам (40), (42) и (41), беря каждый раз за исходное ν 0 , полученное его значение из предыдущего ν0 расчёта, можно получить отношение для любого расстояния ν s = x0 + x1 + x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xn от источника до наблюдателя, где x1 =

π ν1

x2 =

π ⋅⋅⋅ ν2

В принципе, для последующего числового расчёта можно взять любую другую точку внутри интервала 0 < x < x0 , для которой E = Emax при t ≤

π . ν 0c

Качественный результат от этого не изменится. ν Большое значение 0 получено ввиду принятого весьма малого значения ν ν0. Картина распространения электромагнитной волны графически может быть изображена как показано на рис. 1. Е

Описанное явление распространения электромагнитных волн в вакууме может быть использовано в астрономических наблюдениях для определения расстояний до объектов звездного мира. Таким образом, электромагнитные волны, генерируемые неподвижным относительно наблюдателя источником, распространяясь в пространстве свободном от гравитационного поля способного вызвать изменение их частоты в соответствии с выводами общей теории относительности претерпевают с удалением от источника генерации изменения, выражающиеся в уменьшении частоты колебаний волн при соответствующем увеличении амплитуды, причем эти изменения зависят от начальной частоты генерируемой источником. 4. Числовой расчёт

В целях возможности расчета с помощью ручных вычислительных средств примем за исходную величину

131

ν0 =1

1 . сек

В формуле (40) перенесем правую часть в левую и обозначим полученное выражение через у. Расчет и значения полученных положительных корней " ni " сведены в табл. 1. Таблица 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

16

1 1 1

0,499 1 0,499

1,595 1 1,595

2,275 1 2,275

ni

2

1,499

2,595

3,275

ni

0

0,501

-0,595

-1,275

4

2,243

6,73

10,72

0

0,251

0,354

1,625

0

90º11 ‫׳‬

-107°6'

-229º30'

2π

269°49'

107°6'

229°30'

0

-1

0,9558

-0,7604

1

-0,0032

- 0,2941

-0,6494

- 0,9558

0,7604

ni

ν0 ni ν0 1+ 1−

ν0

ν0

(1 + (1 −

ni

)2

ni

)2

ν0 ν0

π (1 − π (1 +

ni

)

ni

)

ν0 ν0

Sinπ (1 +

)

ni

)

ni

)

ν0

Cosπ (1 + Sinπ (1 −

ni

ν0

ν0

⎛ n ⎞ Cosπ ⎜⎜1 − i ⎟⎟ ⎝ ν0 ⎠ ⎛ n ⎞ πCosπ ⎜⎜1 + i ⎟⎟ ⎝ ν0 ⎠ ⎛ n ⎞ πCosπ ⎜⎜1 − i ⎟⎟ ⎝ ν0 ⎠ ⎛ n ⎞ Sinπ ⎜⎜1 − i ⎟⎟ ⎝ ν0 ⎠ 2 ⎛ ni ⎞ ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⎝ ν0 ⎠

1

0 1

- 0,0032

- 0,2941

- 06494

π

- 0,01007

- 0,924

- 2,04

π

- 0,01007

- 0,924

- 2,04

_

3,98

-2,7

0,468

132

17

18

19

⎛ n ⎞ Sinπ ⎜⎜1 + i ⎟⎟ ⎝ ν0 ⎠ 2 ⎛ ni ⎞ ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎝ ν0 ⎠ ⎛ n ⎞ πCosπ ⎜⎜1 − i ⎟⎟ ⎝ ν0 ⎠ n 1− i ν0

0

- 0,445

0,142

- 0,071

-

- 0,01655

1,5525

1,6

⎛

π

-0,00671

-0,356

-0,623

π

π

π

π

1 π

1 89°49´

1 287°6'

1 49°30'

0

1

-0,9558

0,7604

-1

0,0032

0,2941

0,6494

2π

179°38(

214°I2'

99°

0

0,0113

- 0,5621

0,9877

1

-1

-0,8971

-0,1564

π

0,01131

-0,1763

0,217

π

-3,141

-2,597

-0,491

0

3,13

3,317

2,924

0

3,152

2,421

0,708

3,555 11,19

-3,755 -12,42

- 0,58 - 1,695

πCosπ ⎜⎜1 + ⎝

1+

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

32 33

ni

ni ⎞ ⎟ ν 0 ⎟⎠

ν0 π ν0 ν0 π ni ν0 π Sinni ν0 π Cosni ν0 π 2ni ν0 π Sin2ni ν0 π Cos 2ni ν0 1 2n π Sin i 2ni ν0 π 2n π Сos i ν0 ν0 π 1 2n π − Sin i ν 0 2ni ν0 1 2n π π 2n π Sin i − Cos i 2ni ν0 ν0 ν0

(17)-(19)+(16)-(18) (32)*(30)

2

-

π

2

2

133

34 35

Sinπ (1 − 1−

36

ni

-12,42

- 1,695

37 38

ni

)

-

1,995

1,606

- 0,597

ni

)

ν0

-

-0,6675

0,3685

- 0,232-

π π2

2,6625 8,4

1,237 0,935

-0,365 -0,0559

2,79 0,02807 10,35

-13,355 -12,35 10,35

-1,639 -3,455 10,35

0,249 6,305

2,542 0,618

5,088 0,3088

ν0

Sinπ (1 + 1+

39 40 41

11,19

-

(33) (21)

ni

ν0

ν0

(35)-(36) (37) * (31) ⋅

1 2ni

−

2

(34)-(38) (39)*(24)*(20)

0 0

π3 3ν 03

π3

ni2

1

π 1 ⋅ ν 0 2ni2

π

44

π 1 2n π * 2 Cos i ν 0 2ni ν0

π

-6,305

-0,517

-0,04825

45

π ν 02

2 π2

9,87

9,87

9,87

46

π2 1 ⋅ ν 02 2ni

π2

9,89

3,095

2,17

0,1242 2,005

4,055 0,0616

11,76 0,02125

7,885

3,033

2,149

0,089

-1,705

2,12

4,134

8,13

12,42

11,0

10,05

-4,53

1,001

0,314

0,22

42 43

3

2

2

47 48

2

n

1

1 4ni3

1 4

3 i

49

π2 1 1 − 3 2 ν 0 2ni 4ni

50

⎛π 1 1 ⎞ 2n π ⎜⎜ 2 − 3 ⎟⎟ Sin i ν0 ⎝ ν 0 2ni 4ni ⎠

51

(41)+(44)+(50)

π2 2

(37)*(51)

π3 π4 3

53

1 1 ⋅ 2ni ν 0

1 4

0

2

3

52

−

+ +

π 2

π2 2

1 2

134

54

(32)*(53)*(31)

55

(52)-(54)

π2

11,22

-2,843

-0,0903

-0,2

12,89

-4,44

-0,2 0,228

-12,315 -0,035

-3,376 -0,079

4

π

4

3

56 57

(55)*(23) y=(40)-(56)

+

π2 4

0 0

− ni = ni .

Вычисление последующих значений ni является нецелесообразным, т. к. полученные их значения обеспечивают требуемую точность дальнейших расчетов. Вычислим отношение

ν . Расчет по формуле (41) сведен в табл. 2. ν0

135

136

Примечание: номера в формулах, расположенных в столбце 2, указаны по табл. 1.

О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ РИККАТИ

С помощью искусственного разобщения членов некоторого вспомогательного дифференциального уравнения на два уравнения, каждое из которых может быть известными способами проинтегрировано в квадратурах, построено путём тождественного сопоставления полученных решений этих двух уравнений исходное дифференциальное уравнение. Определённые условия, наложенные на коэффициенты этого уравнения, сводят последнее, например, к уравнению Риккати. Вспомогательное уравнение, при этом, сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Известно [1], что решение уравнения Риккати относится к проблеме особой важности, т.к. к нему сводится много других дифференциальных уравнений, имеющих широкое применение в технике. Рассмотрим вспомогательное уравнение (1) t ′ 2 = ( dt + β )(γt + δ ) , где α , β , γ , δ - пока произвольные имеющие непрерывную первую производную, функции аргумента x . Представим (1) в виде t′ 1 t′ = . =F и αt + β γt + δ F

Тогда t ′ − αFt − Fβ = 0 и t ′ −

γ F

t−

δ F

= 0.

Интегралами этих уравнений будут выражения: γ γ ∫ F dx δ − ∫ F dx αFdx − ∫ αFdx ∫ dx . t = −e ∫ e ∫ Fβe dx и t = − e

F

Постоянные интегрирования приняты равными нулю. Приравнивая оба значения t , получаем αFdx − αFdx ∫ dx δ − ∫ dx e ∫ ∫ Fβe ∫ dx = e F ∫ e F dx . γ

γ

(2) F Логарифмируя и дифференцируя затем (2) после простых преобразований имеем γ ⎛ ⎞ δ − ∫ F dx − ∫ αFdx ⎜ ⎟ e F e dx β Fβ e γ ⎜ ⎟ F αF − = − 1⎟ . * ⎜ γ − αFdx − αFdx F Fβ e ∫ dx ⎜ δ e − ∫ F dx dx Fβ e ∫ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ F ⎠

∫

− ∫ αFdx

∫

∫

Из (2) следует − ∫ αFdx ∫ Fβe dx

δ

∫Fe

−

γ

∫ F dx

dx

γ

∫ dx e F = αFdx . e∫

Подставив это выражение в (3), получим

137

(3)

− ∫ αFdx δ − βF 2 − ∫ αFdx F e dx e . = β ∫ αF 2 − γ Дифференцируя это равенство, приходим к выражению

2 ⎡ α ′β − αβ ′ ⎤ 3 ⎡ αγβ − α δ ⎤ 2 ⎡ γβ ′ − αδ ′ + γ ′β − α ′δ ⎤ + FF ′ + F 4 ⎢ F ⎢ ⎥+F ⎢ ⎥ ⎥+ 2( βγ − αδ ) ⎣ 2( βγ − αδ ) ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2( βγ − αδ ) ⎦

⎡ αγδ − γ 2 β ⎤ γ ′δ − δ ′γ + F⎢ = 0. ⎥+ ⎣ 2( βγ − αδ ) ⎦ 2( βγ − αδ )

Примем α = β =ε (4) и произведём подстановку 1 = z. F Тогда ⎡ γ ′δ − δ ′γ ⎤ γ 2 ⎡ ε ′ δ′−γ′ ⎤ ε z′ − z 3 ⎢ z + − + ⎢ 2ε 2(γ − δ ) ⎥ z − 2 = 0 . ⎥ 2 ε γ δ 2 ( ) − ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ Далее примем γ = aδ , (5) где a - некоторая постоянная не равная 0 и 1, и произведём подстановку 2U z= . (6) aδ Тогда aδε ⎛ ε′ δ′ ⎞ = 0. (7) U′ +U 2 − ⎜ + ⎟U − 4 ⎝ 2ε 2δ ⎠ Произведём подстановку U = y+μ, где μ - некоторая пока произвольная функция от x , тогда U ′ = y′ + μ ′ , aεδ ⎛ ε′ δ′ ⎞ ⎛ ε′ δ′ ⎞ y′ + μ ′ + y 2 + 2 yμ + μ 2 − ⎜ + + =0. ⎟y −⎜ ⎟μ − 4 ⎝ 2ε 2δ ⎠ ⎝ 2ε 2δ ⎠

Наложим на μ условие ⎛ ε′ δ′ ⎞ 2 yμ − ⎜ + ⎟ y = 0 , при y ≠ 0 ; ⎝ 2ε 2δ ⎠ ⎛ ε′ δ′ ⎞ 2μ − ⎜ + ⎟ = 0; ⎝ 2ε 2δ ⎠ 1 μ = (ln εδ )′ . 4 Уравнение (8) принимает вид

138

(8)

aεδ ⎤ ⎡ ⎛ ε′ δ′ ⎞ = 0. y′ + y 2 + ⎢μ ′ + μ 2 − ⎜ + ⎟μ − 4 ⎥⎦ ⎝ 2ε 2δ ⎠ ⎣ 1 ⎧ ε = , тогда μ = 0 Если ⎪⎪ δ ⎨ ⎪ y′ + y 2 − α = 0 ⎪⎩ 4

Или 2 1⎡ 1 ′ ⎤ y ′ + y + ⎢(ln εδ )′′ − (ln εδ ) − aεδ ⎥ = 0 . 4⎣ 4 ⎦ Рассмотрим далее уравнение Риккати в общем виде y ′ + y 2 + Qx = 0 , где Qx заданная функция от x . Сравнивая (9) и (10), полагаем 1 (ln εδ )′′ − (ln εδ )′ 2 − aεδ = 4Qx . 4 Обозначим εδ = ν , тогда ′ 2 ⎛ν ′ ⎞ 1 ⎛ν ′ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ − aν = 4Qx . ⎝ν ⎠ 4⎝ν ⎠ Выполним подстановку ( pz + q ) dx ν′ = pz* + q ν = e ∫ , ν где p и q - пока произвольные функции x Уравнение (11) принимает вид 1 1 1 ( pz + q ) dx p′z* + pz*′ + q′ − p 2 z*2 − pqz* − q 2 − ae ∫ * = 4Qx . 4 2 4 Наложим условия 1 ⎫ q′ − q 2 = 0 ⎪ 4 ⎬, ( pz + q ) dx − ae ∫ = 4Qx ⎪⎭ из которых получаем Qx′ −q Qx 4 q=− ; p= . x z* Тогда ′ ⎛ Qx′ ⎞ ⎛ Q′ ⎞ ⎜⎜ − q ⎟⎟ z* − ⎜⎜ x − q ⎟⎟ z*′ Q ⎠ ⎝ Qx ⎠ . p′ = ⎝ x 2 z* При выполнении условий (13), уравнение (12) принимает вид 2

(9) (10)

(11)

*

(12)

(13)

*

139

(14)

(15)

1 2 2 ⎛ 1 ⎞ p z* + ⎜ z*′ − qz* ⎟ p = 0 . 4 2 ⎝ ⎠ Подставляя в него (14) и (15), получаем ′ ⎛ Qx′ 4 ⎞ ⎛ Q′ 4 ⎞ ⎛ Qx′ 4 ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ + ⎟⎟ z* − ⎜⎜ x + ⎟⎟ z*′ + ⎟⎟ 2 Q x Q x Q ′ ⎛ ⎞ Q 1 4 2 ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ − ⎜ x + ⎟ + ( z′ + z ) ⎝ x x ⎠ = 0 * * z* x z* 4 ⎜⎝ Qx x ⎟⎠ или 2 ′ ⎛ Qx′ 4 ⎞ 1 ⎛ Qx′ 4 ⎞ 2 ⎛ Qx′ 4 ⎞ ⎜⎜ + ⎟ = 0. + ⎟⎟ + ⎜⎜ + ⎟⎟ − ⎜⎜ x ⎝ Qx x ⎟⎠ ⎝ Qx x ⎠ 4 ⎝ Qx x ⎠ Таким образом, решение уравнения Риккати (8) сведено к решению уравнения (1) с учётом условий (4) и (5). Интегралом уравнения (1), в котором, благодаря этим условиям, переменные разделяются, будет, например для a > 0 , выражение p′z* −

⎛ s4 a2 1⎞ − s 2 a ± s 4 a 2 − 4a 2 ⎜⎜ s 2 a 2 + s 2 − + +a+ ⎟ ε⎠ 2 2 ⎝ t= 2a 2

,

(16)

где s = Ce ∫ = Ce x , а C - произвольно. Проведя последовательно все подстановки в обратном порядке, получим интеграл уравнения Риккати (8) 2Q (t + 1) at ′ aεδ (t + 1) = =− x y= . 2(at + 1) 2t ′ t′ Получение общего интеграла уравнения (8) в дальнейшем уже не представляет трудностей (2). ±

εδ dx

± Q dx

140

Содержание

Об одном методе разделения переменных при интегрировании линейных дифференциальных уравнений в частных производных__________________ 3 О получении новых решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных______________________________________________18 Обобщенный метод разделения переменных в приложении к одномерной краевой задаче для волнового уравнения______________________________38 О физической сущности самопроизвольного пространственно-временного изменения частоты электромагнитного излучения______________________50 К динамике реальных волновых процессов____________________________54 Об общем решении уравнений статической теории упругости____________64 Температурные напряжения в толстых сегментных пластинах, вызываемые двухмерным стационарным температурным полем_____________________69 Термоупругие напряжения в толстостенном цилиндре, вызываемые трехмерным стационарным температурным полем_____________________86 Об одном методе решения задачи по движению твердого тела в вязкой несжимаемой жидкости___________________________________________107 Эффект пространственно-временного изменения частоты колебаний электромагнитного излучения______________________________________111 О решении уравнений Риккати_____________________________________137

141

Лауфер Марк Яковлевич

Избранные задачи математической физики Сборник статей Компьютерный набор и верстка – Потехин В.А. Подготовка к печати – Усынин В.Ф., Потехин В.А.

Сдано в производство – сентябрь 2005 г. Подписано в печать – апрель 2006 г. Уч.-изд. л. 8,4. Усл. печ. л. 4,7. Тираж 50 Изд. № 899. Заказ № 875 Редакционный издательский отдел Севмашвтуза, 164500, г. Северодвинск, ул. Воронина, 6 Типография ФГУП. “ПО “Северное машиностроительное предприятие” 164500, г. Северодвинск, Архангельское шоссе, 58. Заказ № 15109

142