Линейные коды и полилинейные рекурренты

á.á.îÅÞÁÅ×, ÷.ì.ëÕÒÁËÉÎ ìÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ É ÐÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ íÏÓË×Á, 1997 óÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÷×ÅÄÅÎÉÅ 4 1 ïÂÝÉÅ ÐÏÎÑÔÉ...

Author: Нечаев А.А. | Куракин В.Л.

14 downloads 296 Views 2MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

á.á.îÅÞÁÅ×, ÷.ì.ëÕÒÁËÉÎ

ìÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ É ÐÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ

íÏÓË×Á, 1997

óÏÄÅÒÖÁÎÉÅ

÷×ÅÄÅÎÉÅ

4

1 ïÂÝÉÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ËÏÄÏ×, ÉÓÐÒÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÏÛÉÂËÉ

6

1.1 ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ËÏÄÏ× . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 ïÂÝÉÅ ÏÃÅÎËÉ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× ËÏÄÏ× . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 çÒÕÐÐÁ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ËÏÄÙ. çÒÕÐÐÁ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ËÏÄÁ . . . . . . . . . .

2 ìÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÐÏÌÑÍÉ

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

ðÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ. çÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÊ ÒÁÎÇ É ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ËÏÄÁ ðÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÏÄ . . . ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÎÏ×ÙÈ ËÏÄÏ× ÉÚ ÚÁÄÁÎÎÙÈ . . . . . . . . . . . . . . . . ÷ÅÓÏ×ÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï íÁË-÷ÉÌØÑÍÓ . . . . . . . . . . . òÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ É ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÅ ËÏÄÙ . . . . . . . . . .

3 ìÉÎÅÊÎÙÅ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ÐÏÌÑÍÉ

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

ìÉÎÅÊÎÙÅ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ËÏÄÙ × ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÆÏÒÍÅ . . ìÉÎÅÊÎÙÅ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ËÏÄÙ × ÐÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ëÏÄ èÅÍÍÉÎÇÁ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÐÏÌÅÍ . . . . . . . . . . . ëÏÄÙ âþè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ëÏÄÙ òÉÄÁ|íÁÌÌÅÒÁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ëÏÄÙ çÏÐÐÙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

4 ìÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ËÏÌØÃÁÍÉ É ÍÏÄÕÌÑÍÉ

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÏÄ, ÚÁÍÙËÁÎÉÅ É ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ . . . . . . . ðÁÒÁÍÅÔÒÙ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ. . . . . . . . . . . . . . . . . òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ èÅÍÍÉÎÇÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ËÏÌØÃÁÍÉ É ÍÏÄÕÌÑÍÉ ìÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ÌÏËÁÌØÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ . . . . . . . . . . . . . . . ÷ÅÓÏ×ÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï íÁË-÷ÉÌØÑÍÓ . . . . . . . . . . . .

5 ðÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÑÍÉ

. . . . .

6 9

22 26

26 31 33 42 45

54

54 57 61 64 72 82

86

88 101 113 121 127 132

5.1 ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÐÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ. ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×Á 132 5.2 óÉÓÔÅÍÙ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ× . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.3 óÉÓÔÅÍÙ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÁ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×Á . . . . . . . . . . 150 2

3

óïäåòöáîéå

5.4 5.5 5.6 5.7

óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×ÁÍÉ É ÉÈ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÁÍÉ ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ . . . . . ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÉÄÅÁÌÙ É ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ . . . . . . . . . . . . . ëÏÄÙ É ÐÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ. ðÏÌÉÃÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ËÏÄÙ

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

153 158 163 170

6 ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ × ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÉ

180

7 äÏÐÏÌÎÅÎÉÅ: ËÏÌØÃÁ, ÍÏÄÕÌÉ, ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ

211

ìÉÔÅÒÁÔÕÒÁ

226

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ . . . . 181 ëÏÎ×ÏÌÀÃÉÑ É Ó×ÅÒÔËÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ . . . . . . . . . . . . . . 188 õÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÅÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ 193 õÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ . . . . . . . . . . . . . 199 ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ ÄÒÕÇÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.6 óÉÓÔÅÍÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ËÏÄÏ× . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

7.1 ëÏÌØÃÁ É ÍÏÄÕÌÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 7.2 ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Ù ÍÏÄÕÌÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 7.3 ìÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÐÏÌÑÍÉ . . . . . . . . . . . . . 217

÷×ÅÄÅÎÉÅ ãÅÌØ Á×ÔÏÒÏ× ÓÏÓÔÏÑÌÁ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÄÏÐÏÌÎÉÔØ ÉÍÅÀÝÕÀÓÑ ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÕ ÐÏ ÔÅÏÒÉÉ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ [5, 17, 53, 10] É ÔÅÏÒÉÉ ËÏÄÏ×, ÉÓÐÒÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÏÛÉÂËÉ (ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÐÏÌÑÍÉ) [2, 7, 17, 18, 26, 47, 64, 65, 66, 46, 67] ÒÁÂÏÔÏÊ, × ËÏÔÏÒÏÊ ËÏÍÐÁËÔÎÏ ÉÚÌÁÇÁÀÔÓÑ ÏÓÎÏ×Ù ÜÔÉÈ ÔÅÏÒÉÊ, Á ÚÁÔÅÍ ÏÎÉ ÒÁÓÐÒÏÓÔÒÁÎÑÀÔÓÑ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÙÅ ËÏÌØÃÁ É ÍÏÄÕÌÉ. òÁÂÏÔÁ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÁ ÎÁ ÞÉÔÁÔÅÌÑ, ÉÍÅÀÝÅÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÙÓÏËÕÀ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÕÀ ÐÏÄÇÏÔÏ×ËÕ × ÏÂßÅÍÅ ËÕÒÓÁ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÐÒÅÐÏÄÁ×ÁÅÍÏÇÏ ÎÁ ÆÁËÕÌØÔÅÔÁÈ ÐÒÉËÌÁÄÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ É × ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÁÈ (ÓÍ., ÎÁÐÒÉÍÅÒ, [9]). ó ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÅÅ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÐÏÓÏÂÉÅ ÄÌÑ ÓÐÅÃÉÁÌÉÓÔÏ× É ÍÁÔÅÒÉÁÌ ÄÌÑ ÓÐÅÃËÕÒÓÏ×, ÒÁÓÓÞÉÔÁÎÎÙÈ ÎÁ ÓÔÕÄÅÎÔÏ× É ÁÓÐÉÒÁÎÔÏ×, ÏÂÕÞÁÀÝÉÈÓÑ ÐÏ ÎÁÚ×ÁÎÎÏÍÕ ÐÒÏÆÉÌÀ. ÷ ÐÅÒ×ÙÈ ÔÒÅÈ ÇÌÁ×ÁÈ ÓÖÁÔÏ ÉÚÌÁÇÁÀÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÏÐÏÌÁÇÁÀÝÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ Ï ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÁÈ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÐÏÌÑÍÉ, É ÐÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÉ ËÏÄÏ×. ðÒÉ ÜÔÏÍ, × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÕÐÏÍÑÎÕÔÙÈ ×ÙÛÅ ÍÏÎÏÇÒÁÆÉÊ, ÛÉÒÏËÏ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÔÅÏÒÉÉ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ ÐÏÌÑÍÉ, ËÏÔÏÒÏÊ, ÎÁ ÎÁÛ ×ÚÇÌÑÄ, ÄÏ ÓÉÈ ÐÏÒ ÕÄÅÌÑÌÏÓØ ÍÁÌÏ ×ÎÉÍÁÎÉÑ. íÙ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÚÎÁËÏÍ Ó ÏÓÎÏ×ÁÍÉ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÉÉ É ÏÇÒÁÎÉÞÉÌÉÓØ ÌÉÛØ ÅÅ ËÒÁÔËÉÍ ÏÞÅÒËÏÍ × ÄÏÐÏÌÎÅÎÉÉ 7.3. úÁÔÅÍ × ÇÌÁ×ÁÈ 4, 5, ÞÉÔÁÔÅÌØ ÚÎÁËÏÍÉÔÓÑ Ó ÍÅÔÏÄÁÍÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× É ÐÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍÉ ËÏÌØÃÁÍÉ É ÍÏÄÕÌÑÍÉ. üÔÁ ÔÅÍÁÔÉËÁ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÎÏ×ÏÅ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÐÒÉËÌÁÄÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ, É ÚÄÅÓØ ÉÚÌÏÖÅÎÙ ÌÉÛØ ÐÅÒ×ÙÅ, ÎÅ ÓÁÍÙÅ ÓÌÏÖÎÙÅ, ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ. äÌÑ ÏÂÌÅÇÞÅÎÉÑ ÞÔÅÎÉÑ ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ × ÄÏÐÏÌÎÅÎÉÑÈ 7.1, 7.2 ÐÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ Ó×ÅÄÅÎÉÑ Ï Ó×ÏÊÓÔ×ÁÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ ËÏÌÅÃ É ÍÏÄÕÌÅÊ ÎÁÄ ÎÉÍÉ. ë ÓÏÖÁÌÅÎÉÀ, ××ÉÄÕ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁ ÏÂßÅÍ ÒÕËÏÐÉÓÉ É ÓÒÏËÉ ÅÅ ÎÁÐÉÓÁÎÉÑ ÎÁÍ ÐÒÉÛÌÏÓØ ÉÚÌÏÖÉÔØ ÌÉÛØ Ó×ÏÄËÕ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÂÅÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×. ÷ ÇÌÁ×Å 6, ÎÁÐÉÓÁÎÎÏÊ ÐÏ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁÍ ÐÕÂÌÉËÁÃÉÊ × ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÈ ÉÚÄÁÎÉÑÈ, ÉÚÌÁÇÁÀÔÓÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ É ËÏÄÏ× × ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÉ. úÄÅÓØ ÍÙ ÔÁËÖÅ ÂÙÌÉ ×ÙÎÕÖÄÅÎÙ ÔÝÁÔÅÌØÎÏ ÏÔÂÉÒÁÔØ ÍÁÔÅÒÉÁÌ, É ÔÏ, ÞÔÏ ÐÏÌÕÞÉÌÏÓØ, × ÉÔÏÇÅ ÍÏÖÎÏ ÕÓÌÏ×ÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÔÒÉ ÇÒÕÐÐÙ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×: | ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÏÂ ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÉ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ Ó ÃÅÌØÀ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÐÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ; | ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ, ÏÔÒÁÖÁÀÝÉÅ ×ËÕÓÙ Á×ÔÏÒÏ×; | ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ Ï ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÉ ÓÉÓÔÅÍ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ËÏÄÏ×, ÉÓÐÒÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÏÛÉÂËÉ. 4

÷÷åäåîéå

5

âÅÚÕÓÌÏ×ÎÏ, × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÜÔÁ ÇÌÁ×Á ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ ÒÁÓÛÉÒÅÎÁ. ïÄÎÁËÏ, ÅÅ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÀ ÄÏÌÖÎÏ ÎÅÉÚÂÅÖÎÏ ÓÏÐÕÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÐÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÇÌÁ× ÜÔÏÊ ÒÁÂÏÔÙ.

çÌÁ×Á 1 ïÂÝÉÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ËÏÄÏ×, ÉÓÐÒÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÏÛÉÂËÉ

1.1

ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ËÏÄÏ×

A. ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ É ÐÒÉÍÅÒÙ ËÏÄÏ×. ëÏÄÏÍ ÄÌÉÎÙ n × ËÏÎÅÞÎÏÍ

ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï K n . ðÒÉ ÜÔÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔÙ K ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ËÏÄÏ×ÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ. òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ èÅÍÍÉÎÇÁ ÍÅÖÄÕ ÓÌÏ×ÁÍÉ a = (a1 ; :::; an ) 2 n É b = (b1 ; :::; bn ) 2 n ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÞÉÓÌÏ d(a; b) ÔÁËÉÈ i 2 1; n, ÞÔÏ ai 6= bi . îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÆÕÎËÃÉÑ d: n n ! R ÅÓÔØ ÍÅÔÒÉËÁ ÎÁ n , Ô.Å. ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï 1.1.1. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. äÌÑ ÌÀÂÙÈ a; b; c 2 n ×ÅÒÎÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ

,

d(a; b) = 0

a = b;

d(a; b) = d(b; a); d(a; c) d(a; b) + d(b; c): ëÏÄÏ×ÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ ÉÌÉ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ èÅÍÍÉÎÇÁ ËÏÄÁ K ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒ

d(K) = minfd(a; b) : a; b 2 K; a 6= bg: ëÏÄ K ÄÌÉÎÙ n × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ , ÉÍÅÀÝÉÊ ÍÏÝÎÏÓÔØ C É ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ d, ÎÁÚÏ×ÅÍ (n; C; d) -ËÏÄÏÍ. þÁÓÔÏ ÍÏÝÎÏÓÔØ ËÏÄÁ ÕÄÏÂÎÅÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÔØ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ k = logj j jKj (ÚÄÅÓØ k ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ). ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ K ÅÓÔØ [n; k; d] -ËÏÄ ÉÌÉ [n; k; d]q -ËÏÄ, ÇÄÅ q = j j. éÎÏÇÄÁ, ÅÓÌÉ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ËÏÄÁ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÕÐÏÔÒÅÂÌÑÅÔÓÑ ÔÅÒÍÉÎÙ (n; C ) -ËÏÄ É [n; k] -ËÏÄ. 1.1.2. ðÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ = Z2 É K = f(0; 0; 0); (1; 1; 1)g. ôÏÇÄÁ K ÅÓÔØ [3; 1; 3]Z2-

ËÏÄ.

6

ïâýéå ðïîñôéñ ôåïòéé ëïäï÷

7

1.1.3. ðÒÉÍÅÒ (ËÏÄ Ó ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÅÍ, ÉÌÉ ËÏÄ ËÏÎÓÔÁÎÔ). ðÕÓÔØ |

ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. ëÏÄ K = f(a; :::; a) : a 2 g ÅÓÔØ [n; 1; n] -ËÏÄ.

1.1.4. ðÒÉÍÅÒ (ËÏÄ ÐÒÏ×ÅÒËÉ ÎÁ ÞÅÔÎÏÓÔØ). ðÕÓÔØ ( ; ) | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÇÒÕÐÐÁ Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ e. ëÏÄ K = f(a1 ; :::; an ) 2 n : a1 :::an = eg ÅÓÔØ [n; n 1; 2] -ËÏÄ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ a; b 2 n É d(a; b) = 1, ÔÏ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÅ ×ÈÏÖÄÅÎÉÅ a; b × K ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, Ô.Å. d(K) 2. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ËÏÄ K ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÌÏ×Á a = (a; a 1 ; e; :::; e) É b = (a; e; a 1 ; e; :::; e), ÇÄÅ a 2 n e, É d(K) d(a; b) = 2.

õËÁÚÁÎÎÏÅ × ÚÁÇÌÁ×ÉÉ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ËÏÄÁ ÓÏÈÒÁÎÅÎÏ ÏÔ ÐÅÒ×ÏÇÏ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÂÒÁÚÃÁ ÔÁËÏÇÏ ËÏÄÁ, ËÏÇÄÁ = Z2. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ K ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÓÌÏ× Ó ÞÅÔÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÅÄÉÎÉÃ. 1.1.5. ðÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ = Z2, K = f(0; 0; 0); (0; 1; 1); (1; 0; 1); (1; 1; 0)g Z32. ôÏÇÄÁ K ÅÓÔØ [3; 2; 2]Z -ËÏÄ. 2

1.1.6. ðÒÉÍÅÒ (ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ËÏÄ ). ðÕÓÔØ = R | ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØÃÏ Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ, F (x) 2 R[x] | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ m ÎÁÄ R É LR (F ) | ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ F (x). ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n m ËÏÄ K = L0R;n 1 (F ) = fu(0; n 1) : u 2 LR (F )g; ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ× u(0; n 1) = (u(0); :::; u(n 1)) ÄÌÉÎÙ n ×ÓÅÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ u 2 LR (F ), ÅÓÔØ [n; m]R -ËÏÄ. ëÏÄ K ÉÚ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÐÒÉÍÅÒÁ ÅÓÔØ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÔÁËÏÇÏ ËÏÄÁ ÐÒÉ R = Z2, F (x) = x2 + x + 1, n = 3. íÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) × ÕËÁÚÁÎÎÏÍ ×ÙÛÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ËÏÄÁ K ÎÁÚÏ×ÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÜÔÏÇÏ ËÏÄÁ.

ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ËÏÄ K n ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎ ÐÏ ÍÅÔÏÄÕ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ÐÒÁ×ÄÏÐÏÄÏÂÉÑ, ÚÁËÌÀÞÁÀÝÅÍÕÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÐÒÉÎÑÔÙÊ ×ÅËÔÏÒ b 2 n ÄÅËÏÄÉÒÕÅÔÓÑ × ÂÌÉÖÁÊÛÅÅ Ë ÎÅÍÕ ËÏÄÏ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï a 2 K, Ô.Å. × ×ÅËÔÏÒ a 2 K, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ d(a; b) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ. åÓÌÉ ÔÁËÉÈ ÓÌÏ× a ÎÅÓËÏÌØËÏ, ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÉÚ ÎÉÈ. îÅÄÏÓÔÁÔÏË ÜÔÏÇÏ ÍÅÔÏÄÁ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÅÒÅÂÏÒÁ ×ÓÅÈ ËÏÄÏ×ÙÈ ÓÌÏ× a 2 K. B. óÐÏÓÏÂÎÏÓÔØ ËÏÄÁ ÚÁÍÅÞÁÔØ É ÉÓÐÒÁ×ÌÑÔØ ÏÛÉÂËÉ. ðÁÒÁÍÅÔÒ k [n; k] -ËÏÄÁ K ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÅÔ ÄÏÌÀ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ, ÐÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÕÀ ËÏÄÏ×ÙÍ ÓÌÏ×ÏÍ ÄÌÉÎÙ n, ÐÏÜÔÏÍÕ ÐÁÒÁÍÅÔÒ k=n ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓËÏÒÏÓÔØÀ ÐÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ ËÏÄÏÍ K ÉÌÉ ÐÒÏÓÔÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ ËÏÄÁ K. åÓÌÉ k=n 1 ÉÌÉ k=n 1, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ K | ËÏÄ Ó ×ÙÓÏËÏÊ ÉÌÉ ÎÉÚËÏÊ ÓËÏÒÏÓÔØÀ ÐÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ. òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ èÅÍÍÉÎÇÁ d(K) ËÏÄÁ K ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ËÏÄÁ K ÚÁÍÅÞÁÔØ É ÉÓÐÒÁ×ÌÑÔØ ÏÛÉÂËÉ. åÓÌÉ d(K) > r, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ËÏÄ K ÚÁÍÅÞÁÅÔ r ÏÛÉÂÏË. åÓÌÉ d(K) > 2r, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ K ÉÓÐÒÁ×ÌÑÅÔ r ÏÛÉÂÏË. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÜÔÏÊ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÉ ÈÏÒÏÛÏ ÏÂßÑÓÎÑÅÔÓÑ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÐÏÎÑÔÉÑ.

8

ïâýéå ðïîñôéñ ôåïòéé ëïäï÷

ûÁÒÏÍ ÒÁÄÉÕÓÁ r ×ÏËÒÕÇ ÓÌÏ×Á a 2 n ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï

Or (a) = fb 2 n : d(a; b) rg: 1.1.7. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. äÌÑ ËÏÄÁ K n ×ÅÒÎÙ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ d(K) > r , 8a 2 K Or (a) \ K = fag; (1.1.1) d(K) 2r + 1 , 8a; b 2 K (a = 6 b) ) (Or (a) \ Or (b) = ?): (1.1.2) äÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ËÏÄ K ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÐÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ ÐÏ ËÁÎÁÌÕ Ó×ÑÚÉ Ó ÐÏÍÅÈÁÍÉ, É ÐÒÉ ÐÅÒÅÄÁÞÅ ÓÌÏ×Á a 2 K ÂÙÌÏ ÐÏÌÕÞÅÎÏ ÉÓËÁÖÅÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï a0 , ÐÒÉÞÅÍ ÓÌÏ×Ï a ÐÒÅÔÅÒÐÅÌÏ r ÉÓËÁÖÅÎÉÊ, Ô.Å. d(a; a0 ) = r. ôÏÇÄÁ, ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ r < d(K), ××ÉÄÕ (1.1.1), a0 2= K, É, ÕÂÅÄÉ×ÛÉÓØ × ÜÔÏÍ (ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÏÌÎÙÍ ÐÅÒÅÂÏÒÏÍ ÓÌÏ× ËÏÄÁ K), ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÐÅÒÅÄÁÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï ÂÙÌÏ ÉÓËÁÖÅÎÏ. åÓÌÉ ÖÅ r < d(K)=2, ÔÏ, ××ÉÄÕ (1.1.2), ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï b 2 K ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ 8c 2 K n b d(a0; b) < d(a0 ; c); É ÜÔÏ ÓÌÏ×Ï ÅÓÔØ b = a. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÉÓÔÉÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï a ÐÏ ÉÓËÁÖÅÎÎÏÍÕ ÓÌÏ×Õ a0 . ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ ËÏÄÏ× ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÄÌÉÎÙ ËÏÄÙ Ó ×ÙÓÏËÏÊ ÓËÏÒÏÓÔØÀ ÐÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ ÉÍÅÀÔ ÍÁÌÅÎØËÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, Á ËÏÄÙ Ó ÂÏÌØÛÉÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ ÍÅÄÌÅÎÎÏ ÐÅÒÅÄÁÀÔ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÀ. ðÏÜÔÏÍÕ ËÏÎËÒÅÔÎÙÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ËÏÄÁ ÐÏÄÂÉÒÁÀÔ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÃÅÎÎÏÓÔÉ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ É ËÁÞÅÓÔ×Á ËÁÎÁÌÁ Ó×ÑÚÉ. ôÁË, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, × ü÷í ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ×ÙÓÏËÏÓËÏÒÏÓÔÎÏÊ ËÏÄ ÐÒÏ×ÅÒËÉ ÎÁ ÞÅÔÎÏÓÔØ, Á ÄÌÑ ÐÅÒÅÄÁÞÉ ÆÏÔÏÇÒÁÆÉÊ íÁÒÓÁ ÓÏ ÓÐÕÔÎÉËÁ íÁÒÉÎÅÒ-9 ÂÙÌ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎ [32; 6; 16]Z ËÏÄ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ 6=32. ðÏÄÒÏÂÎÅÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ [n; k; d]-ËÏÄÁ ÏÂÓÕÖÄÁÀÔÓÑ × x 1.2. 2

C. ëÏÄ K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ËÏÄÏÍ ÒÁÎÇÁ k 2 N , ÅÓÌÉ ÍÏÖÎÏ ÕËÁÚÁÔØ ÎÏÍÅÒÁ 1 i1 < i2 < ::: < ik n ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ !1 ; :::; !k 2 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï a 2 K, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ ai = !1 , ..., aik = !k . ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ i1 , ..., ik | ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÅ ÐÏÚÉÃÉÉ ËÏÄÁ K, Á 1; n n fi1 ; :::; ik g = fik+1; :::; in g | ÅÇÏ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÅ ÐÏÚÉÃÉÉ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÁÚÏ×ÅÍ ai , ..., aik ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ ÉÌÉ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÍÉ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ ÓÌÏ×Á a 2 K, Á aik , ..., ain | ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÍÉ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ ÜÔÏÇÏ ÓÌÏ×Á. îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ 1

1

+1

1.1.8. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ K 2 n | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ k Ó ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ i1 , ..., ik , ÔÏ K ÅÓÔØ [n; k] -ËÏÄ, É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÉÓÔÅÍÁ ÆÕÎËÃÉÊ 'k+1 ; :::; 'n: k ! ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ

8a 2 n

(a 2 K) , (ais = 's (ai ; :::; aik ); s 2 k + 1; n): 1

2

(1.1.3)

9

ïâýéå ðïîñôéñ ôåïòéé ëïäï÷

óÉÓÔÅÍÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ× (1.1.3) ÐÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ËÏÄÁ K. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÕÓÌÏ×ÉÅ (1.1.3) ÄÁÅÔ ÓÐÏÓÏÂ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ËÏÄÏ×ÏÇÏ ÓÌÏ×Á a ÄÌÑ ÐÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÏÇÏ ÓÌÏ×Á (ai ; :::; aik ) É ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ b 2 K ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÏÌÅÅ ÐÒÏÓÔÏ, ÞÅÍ ÐÒÑÍÙÍ ÐÅÒÅÂÏÒÏÍ. îÅÔÒÕÄÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ËÏÄÙ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÏ× 1.1.2{1.1.6 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍÉ [n; k]-ËÏÄÁÍÉ Ó ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ 1; k. 1

D. ïÄÎÉÍ ÉÚ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× ËÏÄÏ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ.

ðÕÓÔØ = R M | ËÏÎÅÞÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ e. ìÀÂÏÊ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ K R-ÍÏÄÕÌÑ M n ×ÓÅÈ ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ËÏÄÏÍ ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M , ÉÌÉ ÌÉÎÅÊÎÙÍ [n; k]M -ËÏÄÏÍ, ÇÄÅ k = logjM j jKj. ïÄÎÏ ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÐÒÅÉÍÕÝÅÓÔ× ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. ÷ÅÓÏÍ èÅÍÍÉÎÇÁ ÓÌÏ×Á a 2 M n ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ kak = d(a; 0) ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × ÓÌÏ×Å a. ìÅÇËÏ ÄÏËÁÚÁÔØ 1.1.9. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ ×ÅÎÓÔ×Ï d(K) = minfkak : a 2 K n 0g:

K < M n ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ(1.1.4)

÷ÁÖÎÙÍ É ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÉÚÕÞÅÎÎÙÍ ÐÏÄËÌÁÓÓÏÍ ËÌÁÓÓÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ÐÏÌÑÍÉ. ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ, ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k]P -ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÅÓÔØ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï K < P n ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ k. îÅÔÒÕÄÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ËÏÄÙ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÏ× 1.1.2, 1.1.4{1.1.6 ÌÉÎÅÊÎÙ ÎÁÄ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÐÏÌÅÍ. 1.2

ïÂÝÉÅ ÏÃÅÎËÉ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× ËÏÄÏ×

A. çÒÁÎÉÃÁ óÉÎÇÌÔÏÎÁ, íäò-ËÏÄÙ. 1.2.1. ôÅÏÒÅÍÁ (ÇÒÁÎÉÃÁ óÉÎÇÌÔÏÎÁ). åÓÌÉ

K ÅÓÔØ [n; k; d] -ËÏÄ, ÔÏ

d n k + 1:

(1.2.1)

2 ðÅÒÅÎÕÍÅÒÕÅÍ ÓÌÏ×Á ËÏÄÁ K: ai = (ai1 ; :::; ain);

i 2 1; C; C = j jk ;

É ÓÏÓÔÁ×ÉÍ ÉÚ ÎÉÈ ÍÁÔÒÉÃÕ 0 B @

a11 : : : a1n .. .. . . aC 1 : : : aCn

1

0

C A

=B @

a11 : : : a1;d 1 a1d : : : a1n .. .. .. .. . . . . aC 1 : : : aC;d 1 aCd : : : aCn

1 C A:

ïâýéå ðïîñôéñ ôåïòéé ëïäï÷

10

ðÏÓËÏÌØËÕ d(K) = d, ÔÏ × ×ÙÄÅÌÅÎÎÏÊ ÇÒÕÐÐÅ ÐÏÓÌÅÄÎÉÈ n d + 1 ÓÔÏÌÂÃÏ× ÜÔÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÓÔÒÏËÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÏÄÏ×ÙÈ ÓÌÏ× ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ n d + 1 × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ , Ô.Å.

k = jC j j jn d+1 : 2 îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1.2.1) É ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÅ ÅÍÕ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï jKj j jn d+1

(1.2.2)

ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÇÒÁÎÉÃÁÍÉ óÉÎÇÌÔÏÎÁ [18, 7] ÄÌÑ ËÏÄÁ K. ëÏÄ K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÄÏÍ Ó ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ÄÏÓÔÉÖÉÍÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ, ÉÌÉ íäò-ËÏÄÏÍ ÅÓÌÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (1.2.1), (1.2.2) ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, Ô.Å. ÅÓÌÉ K ÅÓÔØ [n; k; n k + 1]-ËÏÄ. ôÒÉ×ÉÁÌØÎÙÍÉ ÐÒÉÍÅÒÁÍÉ íäò-ËÏÄÏ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ [n; n; 1] -ËÏÄ K = n , [n; 1; n] ËÏÄ Ó ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÅÍ (ÐÒÉÍÅÒ 1.1.3) É [n; n 1; 2] -ËÏÄ \ÞÅÔÎÙÈ" ÓÌÏ× ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.1.4. ðÒÉ q = 2 ÜÔÉÍÉ ÐÒÉÍÅÒÁÍÉ ÉÓÞÅÒÐÙ×ÁÀÔÓÑ ×ÓÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ íäò-ËÏÄÙ [18, Ó. 310]. íÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ (ÓÍ. [47, Ó. 192], [18, Ó. 312, ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ 7]), ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ íäò-ËÏÄ Ó n k q ÜË×É×ÁÌÅÎÔÅÎ [n; 1; n] -ËÏÄÕ Ó ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÅÍ. 1.2.2. ðÒÉÍÅÒ (ÏÂÏÂÝÅÎÎÙÊ ËÏÄ òÉÄÁ|óÏÌÏÍÏÎÁ). ðÕÓÔØ P | ÐÏÌÅ ÉÚ q ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, k 2 N É P [xjk] | ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÄ P ÓÔÅÐÅÎÉ ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÅÊ k. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË !1 ; :::; !n 2 P É ×ÙÂÅÒÅÍ n (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ) ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× u1 ; :::; un 2 P . ðÏÓÔÁ×ÉÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ a(x) 2 P [xjk] ÓÔÒÏËÕ

v (a(x)) = (u1 a(!1 ); :::; una(!n )) 2 P n: ôÏÇÄÁ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ k n ËÏÄ

K = fv(a(x)) : a(x) 2 P [xjk]g ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ [n; k; n k +1]P -ËÏÄ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÌÀÂÙÅ k ÐÏÚÉÃÉÊ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ.

äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ K | ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × P n, É ÔÁË ËÁË ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P [xjk] ÅÓÔØ e; x; :::; xk 1 , ÔÏ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á K ÅÓÔØ

v (e) = (u1; u2 ; :::; un); v (x) = (u1!1 ; u2!2 ; :::; un !n); ::: ::: v (xk 1 ) = (u1!1k 1 ; u2!2k 1; :::; un !nk 1): ìÉÎÅÊÎÁÑ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ×ÙÐÉÓÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÔÒÏË ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ k n ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ, ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÎÙÊ × ÌÀÂÙÈ k ÓÔÏÌÂÃÁÈ ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÅÓÔØ, Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÏÂÒÁÔÉÍÏÇÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ, ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÁÎÄÅÒÍÏÎÄÁ. åÓÌÉ a(x) 2 P [xjk] n 0, ÔÏ ÞÉÓÌÏ ÎÕÌÅ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × ÓÔÒÏËÅ v (a(x)) ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÞÉÓÌÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ a(x) × P , Ô.Å. ÎÅ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ k 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

11

ïâýéå ðïîñôéñ ôåïòéé ëïäï÷

kv(a(x))k n

(k 1) É d(K) n k + 1. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÅÓÌÉ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, a(x) = (x !1 ):::(x !k 1), ÔÏ kv (a(x))k = n (k 1). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, d(K) = n k +1 É K ÅÓÔØ íäò-ËÏÄ. üÔÏÔ ËÏÄ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÄÁÌÅÅ GRSP (n; k) É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÏÂÝÅÎÎÙÍ [n; k]-ËÏÄÏÍ òÉÄÁ|óÏÌÏÍÏÎÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ðÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÙÊ ËÏÄ òÉÄÁ|óÏÌÏÍÏÎÁ ÅÓÔØ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÏÐÉÓÁÎÎÏÇÏ ËÏÄÁ ÐÒÉ n = q , u1 = ::: = un = e. üÔÏ ÅÓÔØ [q; k; q k + 1]P -ËÏÄ. ïÎ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ RSP (k). B. çÒÁÎÉÃÁ èÅÍÍÉÎÇÁ (ÇÒÁÎÉÃÁ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ ÕÐÁËÏ×ËÉ). óÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÅ ËÏÄÙ. 1.2.3. ôÅÏÒÅÍÁ (ÇÒÁÎÉÃÁ èÅÍÍÉÎÇÁ). åÓÌÉ

ÍÏÝÎÏÓÔÉ q É d(K) > 2r, ÔÏ

K ÅÓÔØ [n; k]-ËÏÄ × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ

q k q n =sq (n; r); ÇÄÅ

sq (n; r) = 1 + (q

1)n + (q

(1.2.3)

n 1)2 + ::: + (q 2

1)r

n : r

(1.2.4)

2 îÅÔÒÕÄÎÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ sq (n; r) ÅÓÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÛÁÒÁ Or (a) ÒÁÄÉÕÓÁ r ×ÏËÒÕÇ ÓÌÏ×Á a 2 n . ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÔÁËÉÅ ÛÁÒÙ Ó ÃÅÎÔÒÁÍÉ × ÔÏÞËÁÈ a 2 K ÐÏÐÁÒÎÏ ÎÅ ÐÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÈ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÍÏÝÎÏÓÔØ jKj jOr (a)j = q k sq (n; r), É ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ×ÅÌÉÞÉÎÙ j jn = q n . 2 ðÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (1.2.3) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÒÁÎÉÃÅÊ èÅÍÍÉÎÇÁ, ÉÌÉ ÇÒÁÎÉÃÅÊ ÓÆÅÒÉÞÅÓËÏÊ ÕÐÁËÏ×ËÉ ÄÌÑ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ËÏÄÁ. ëÏÄ K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÍ, ÅÓÌÉ

ÄÌÑ ÎÅÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1.2.3) ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ d(K) = 2r + 1). ëÁË ÎÉ ÓÔÒÁÎÎÏ, ÐÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ËÏÄ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.1.2, Ó×ÏÄÑÝÉÊÓÑ, ÐÏ ÓÕÔÉ, Ë ÔÒÏÅËÒÁÔÎÏÍÕ ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÀ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ, ÅÓÔØ ÎÅ ÔÏÌØËÏ íäò-ËÏÄ, ÎÏ É ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÊ ËÏÄ ÄÌÉÎÙ 3. óÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÐÏÎÑÔÉÑ \ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÊ ËÏÄ" ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÐÒÉÍÅÒ. 1.2.4. ðÒÉÍÅÒ (Ä×ÏÉÞÎÙÊ ËÏÄ èÅÍÍÉÎÇÁ). ðÕÓÔØ l 2 N , l > 1, n = 2l 1 É Hln | ÍÁÔÒÉÃÁ ÎÁÄ Z2, ÓÔÏÌÂÃÙ ËÏÔÏÒÏÊ ÅÓÔØ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ×ÓÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ

ÓÔÏÌÂÃÙ ÄÌÉÎÙ l ÎÁÄ Z2, ÎÁÐÒÉÍÅÒ 0

Hln =

B B B B @

1 0 1 0 ::: 1 0 1 1 0 ::: 1 0 0 0 1 ::: 1 .................. 0 0 0 0 ::: 1

1 C C C C A l(2l

: 1)

12

ïâýéå ðïîñôéñ ôåïòéé ëïäï÷

ðÕÓÔØ K ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ a# 2 Zn2 ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ H x# = 0: (1.2.5) ëÏÄ K ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ [n; n l; 3]Z ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÊ ËÏÄ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÌÉÎÅÊÎÏÓÔØ ËÏÄÁ K ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. ôÁË ËÁË rank H = l, ÔÏ dim K = n l. ëÏÄ K ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÌÏ×Ï (1; 1; 1; 0; :::; 0) ×ÅÓÁ 3 É ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÌÏ× ×ÅÓÁ 2, ÔÁË ËÁË ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÓÔÏÌÂÃÁ ÍÁÔÒÉÃÙ H ÒÁÚÌÉÞÎÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, d(K) = 3. óÉÓÔÅÍÏÊ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÈ ÐÏÚÉÃÉÊ ËÏÄÁ K Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ÎÏÍÅÒÏ× ÌÀÂÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (1.2.5). îÁËÏÎÅÃ, ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (1.2.3) × ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ÒÁ×ÎÁ 2n l , É ÐÒÁ×ÁÑ ÅÇÏ ÞÁÓÔØ ÅÓÔØ 2n 2n = = 2n l : l s2 (n; 1) 1 + (2 1) ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, K | ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÊ ËÏÄ. ïÎ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ H2 (l). îÅÔÒÕÄÎÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ËÏÄ H2 (l) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ íäò-ËÏÄÏÍ ÌÉÛØ ÐÒÉ l = 2, É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÎ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ËÏÄÏÍ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.1.2. 2

äÁÎÎÙÊ ÐÒÉÍÅÒ ÌÅÇËÏ ÏÂÏÂÝÁÅÔÓÑ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÐÏÌÑ P = GF (q ), ÓÍ. x 3.3. åÝÅ Ä×ÕÍÑ ÐÒÉÍÅÒÁÍÉ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÈ ËÏÄÏ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Ä×ÏÉÞÎÙÊ É ÔÒÏÉÞÎÙÊ [23; 12; 7]2 É [11; 6; 5]3-ËÏÄÙ çÏÌÅÑ (ÓÍ. [47, çÌÁ×Ù 9, 12]). óÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ×ÁÎ ìÉÎÔÁ|ôÉÅÔÁ×ÁÊÎÅÎÁ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÊ ËÏÄ × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ, ÍÏÝÎÏÓÔØ q mËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÅÐÅÎØÀ ÐÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ, ÉÍÅÅÔ ÔÅ ÖÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ, ÞÔÏ É m [ qq 11 ; qq 11 m; 3]q -ËÏÄ èÅÍÍÉÎÇÁ Hq (l) ÉÌÉ ÏÄÉÎ ÉÚ ËÏÄÏ× çÏÌÅÑ [18]. äÒÕÇÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ Ï ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÈ ËÏÄÁÈ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × [2, x 13.2], [18, çÌÁ×Á 20], [47, çÌÁ×Á 9]. C. çÒÁÎÉÃÁ ðÌÏÔËÉÎÁ. üË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÎÙÅ ËÏÄÙ. 1.2.5. ôÅÏÒÅÍÁ (ÇÒÁÎÉÃÁ ðÌÏÔËÉÎÁ). äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ [n; k]-ËÏÄÁ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÍÏÝÎÏÓÔÉ q ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÏÃÅÎËÁ

K

×

nq k 1 (q 1) q 1 jKj = n: (1.2.6) qk 1 q jKj 1 2 ðÕÓÔØ K n ÅÓÔØ [n; k; d] -ËÏÄ ÍÏÝÎÏÓÔÉ M = qk . íÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ d ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔØ ÓÒÅÄÎÅÇÏ ÄÌÑ ÐÏÐÁÒÎÙÈ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÍÅÖÄÕ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ ËÏÄÁ K: X 1 d d(a; b): M (M 1) a;b2K ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ mij ÞÉÓÌÏ ÓÌÏ× ËÏÄÁ K, i-Ñ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÕ P j 2 . ôÏÇÄÁ j 2 mij = M ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ i 2 1; n. ðÕÓÔØ Æjl | ÓÉÍ×ÏÌ ëÒÏÎÅËÅÒÁ. éÍÅÅÍ: n X X X M (M 1)d d(a; b) = (1 Æai ;bi ) a;b2K a;b2K i=1 d

13

ïâýéå ðïîñôéñ ôåïòéé ëïäï÷

=

n X X

(1 i=1 j;l2

Æjl )mij mil = =

n X i=1

"

M2

n X i=1

2 4

X j 2

X

mij

j 2

#

!2

X j 2

3

m2ij 5

m2ij :

éÓÐÏÌØÚÕÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ëÏÛÉ|âÕÎÑËÏ×ÓËÏÇÏ|û×ÁÒÃÁ, ÐÏÌÕÞÉÍ 2 !2 3 n X X 1 q 1 2 4M 2 M (M 1)d mij 5 = M n; q j 2

q i=1 ÏÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÁÑ ÏÃÅÎËÁ. 2 äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ËÏÄ ÄÏÓÔÉÇÁÌ ÇÒÁÎÉÃÙ (1.2.6), ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ ÅÇÏ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÒÁ×ÎÑÌÏÓØ ÓÒÅÄÎÅÍÕ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÀ: X 1 d= d(a; b): M (M 1) a;b2K ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÌÀÂÙÍÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ËÏÄÏ×ÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï. ôÁËÉÅ ËÏÄÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÎÙÍÉ. ôÒÉ×ÉÁÌØÎÙÍ ÐÒÉÍÅÒÏÍ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÎÏÇÏ ËÏÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ [n; 1; n] -ËÏÄ Ó ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.1.3. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÐÒÉÍÅÒ. 1.2.6. ðÒÉÍÅÒ (ÓÉÍÐÌÅËÓÎÙÊ ËÏÄ ). ðÕÓÔØ P = GF (q ) | ÐÏÌÅ ÉÚ q ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, V | ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ k ÎÁÄ P Ó ÎÕÌÅÍ 0 É V n 0 = fv1 ; :::; vn g, n = q k 1. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ V ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ g : V ! P (ÓÏ-

ÐÒÑÖÅÎÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ë V ) É ÐÏÓÔÁ×ÉÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ g 2 V ÓÔÒÏËÕ g = (g (v1); :::; g (vn)) 2 P n: ôÏÇÄÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï SP (k) = fg 2 P n : g 2 V g ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÎÙÊ [n; k; q q 1 (n + 1)]-ËÏÄ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ SP (k) | ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × P n É jSP (k)j = jV j = qk . ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÌÉ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, v1 ; :::; vk ÅÓÔØ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V , ÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÓÌÏ×Ï g 2 SP (k) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ g (v1 ); :::; g (vk ), Ô.Å. SP (k) | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ Ó ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ 1; k. îÁËÏÎÅÃ, ÅÓÌÉ g 2 SP (k)n0, ÔÏ g : V ! P ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ V ÎÁ P (ÐÏÓËÏÌØËÕ g (V ) ÅÓÔØ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ker g ÅÓÔØ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ dimP V dimP P = k 1, É × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å V n 0 ÅÓÔØ ÒÏ×ÎÏ q k 1 1 ÔÏÞÅË vi ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ g (vi) = 0. ïÔÓÀÄÁ kgk = n (qk 1 1) = q q 1 (n + 1) É d(SP (k)) = q q 1 (n + 1). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÓÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÓÌÏ×Á ËÏÄÁ SP (k) ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ ×ÅÓ, ÒÁ×ÎÙÊ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÀ ËÏÄÁ. üÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï É ÏÐÒÅÄÅÌÉÌÏ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ËÏÄÁ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÜÔÏÔ ËÏÄ ÔÁËÖÅ Sq (k).

14

ïâýéå ðïîñôéñ ôåïòéé ëïäï÷

åÝÅ ÏÄÎÉÍ ÐÒÉÍÅÒÏÍ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÎÏÇÏ ËÏÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÇÉÓÔÒÏ×ÙÊ ËÏÎÓÔÁÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÊ × x 2.5B. ìÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ×Ï ×ÓÅÈ ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÐÒÉÍÅÒÁÈ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÎÙÅ ËÏÄÙ ÄÏÓÔÉÇÁÀÔ ÇÒÁÎÉÃÙ ðÌÏÔËÉÎÁ. ïÄÎÁËÏ, ÇÒÁÎÉÃÁ (1.2.6) ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÎÅ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÎÏÇÏ ËÏÄÁ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÄÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ËÏÄ K ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÇÒÁÎÉÃÙ (1.2.6). ÷ÙÞÅÒËÎÕ× ÉÚ K ÏÄÎÏ ÓÌÏ×Ï, ÐÏÌÕÞÉÍ ÔÁËÖÅ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÎÙÊ ËÏÄ K Ó ÔÅÍ ÖÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ d, ÏÄÎÁËÏ jKjjKj 1 > jKjjKj 1 , ÐÏÜÔÏÍÕ ÚÁÍÅÎÁ K ÎÁ K × ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Å (1.2.6) ÄÅÌÁÅÔ ÅÇÏ ÓÔÒÏÇÉÍ. D. çÒÁÎÉÃÁ ÷ÁÒÛÁÍÏ×Á|çÉÌÂÅÒÔÁ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Aq (n; d) ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ C , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ (n; C; d)q -ËÏÄ × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÍÏÝÎÏÓÔÉ j j = q. ôÏÇÄÁ ÇÒÁÎÉÃÕ èÅÍÍÉÎÇÁ (1.2.3) ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ×ÉÄÅ: d ] [X n n (q 1)i : (1.2.7) Aq (n; d) q = i i=0 2

1

1.2.7. ôÅÏÒÅÍÁ (ÇÒÁÎÉÃÁ çÉÌÂÅÒÔÁ).

Aq (n; d)

qn=

d 1 X n

(q 1)i : (1.2.8) i i=0 2 ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ K | ÔÁËÏÊ (n; C; d)q -ËÏÄ, ÞÔÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÅËÔÏÒÏ×, ÎÅ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ K, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÏ ËÁÖÄÏÇÏ ËÏÄÏ×ÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÉÚ K ÂÏÌØÛÅ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏ d. ôÏÇÄÁ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, jKjsq (n; d 1) q n , ÇÄÅ sq (n; d 1) | ÏÂßÅÍ ÛÁÒÁ ÒÁÄÉÕÓÁ d 1 × n , ÓÍ. (1.2.4). üÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï. 2 ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÏËÁÚÁÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÉÍÅÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ: ÅÓÌÉ d 1 X n n C
15

ïâýéå ðïîñôéñ ôåïòéé ëïäï÷

äÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ l 2 0; k É [n; l; d]q -ËÏÄ Kl ÕÖÅ ÐÏÓÔÒÏÅÎ. ôÏÇÄÁ q l q k < P q n = di=01 ni (q 1)i , É, ××ÉÄÕ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ 1.2.7, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÅËÔÏÒ a 2= Kl , ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÄÏ ËÁÖÄÏÇÏ ËÏÄÏ×ÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÉÚ Kl ÂÏÌØÛÅ ÉÌÉ ÒÁ×ÎÏ d. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ 2 P , b 2 Kl ka + bk = ka + 1bk = d(a; 1b) d: óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Kl+1 = (Kl ; a), ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÏÅ ËÏÄÏÍ ÒÏÍ a, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ [n; l + 1; d]q -ËÏÄÏÍ, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. ïÄÎÁËÏ, ÄÌÑ Bq (n; d) ÍÏÖÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ É ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÕÀ ÏÃÅÎËÕ.

Kl É ×ÅËÔÏ-

1.2.8. ôÅÏÒÅÍÁ. åÓÌÉ

qk

<

q n=

d 2 X n i=0

i

1

(q

1)i ;

ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k; d]q -ËÏÄ.

2 äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÐÏÓÔÒÏÉÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÁÔÒÉÃ Hs, s 2 1; n, ÒÁÚÍÅÒÏ× (n k) s, ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ d 2 ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃÙ Hs ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×É-

ÓÉÍÙ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å H1 ×ÏÚØÍÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊP ÓÔÏÌÂÅÃ ÄÌÉÎÙ n k. ðÕÓÔØ d 2 s 1 n k s 2 2; n É ÍÁÔÒÉÃÁ Hs 1 ÕÖÅ ÐÏÓÔÒÏÅÎÁ. ôÏÇÄÁ q > i=0 i (q 1)i , É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÔÏÌÂÅÃ ÄÌÉÎÙ n k, ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÉÊÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÅÊ d 2 ÉÌÉ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÞÉÓÌÁ ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃÙ Hs 1 . ðÒÉÐÉÓÁ× ÅÇÏ Ë ÍÁÔÒÉÃÅ Hs 1 , ÐÏÌÕÞÉÍ ÍÁÔÒÉÃÕ Hs . ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÐÏÌÕÞÉÍ ÍÁÔÒÉÃÕ Hn ÒÁÚÍÅÒÏ× (n k) n ÌÀÂÙÅ d 1 ÓÔÏÌÂÃÏ× ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ. ðÏÜÔÏÍÕ Hn Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ [n; k]q -ËÏÄÁ Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ ÎÅ ÍÅÎØÛÉÍ, ÞÅÍ d (ÓÍ. ÎÉÖÅ ÔÅÏÒÅÍÕ 2.1.2), ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. 2 1.2.9. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ (ÇÒÁÎÉÃÁ ÷ÁÒÛÁÍÏ×Á|çÉÌÂÅÒÔÁ). óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÏÃÅÎËÉ: d 2 X n 1 1 Bq (n; d) = (q 1)i ; i i=0 d 2 X n n Bq (n; d) q = (q 1)i : i i=0

qn

2 éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 1.2.8 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ qk

<

qn

d 2 1= X n 1 (q i i=0

1)i ;

16

ïâýéå ðïîñôéñ ôåïòéé ëïäï÷

ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k + 1; d]q -ËÏÄ. ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÐÅÒ×ÁÑ ÏÃÅÎËÁ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ r = n k. ôÏÇÄÁ, ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 1.2.8, ÅÓÌÉ d 2 X n 1 r q > (q 1)i ; (1.2.10) i i=0 ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; n r; d]q -ËÏÄ. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ r É ×ÙÂÅÒÅÍ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ n, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1.2.10). ðÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; n r; d]q -ËÏÄ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ

qr

d 2 X n

i i=0

(q

1)i ;

Ô. Å.

qk

qn=

d 2 X n

i i=0

(q

1)i :

ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÔÏÒÁÑ ÏÃÅÎËÁ. 2 ëÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ q | ÓÔÅÐÅÎØ ÐÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ, ÔÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ Aq (n; d) ÉÍÅÅÔ ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÕÀ ÏÃÅÎËÕ, ÞÅÍ × ÔÅÏÒÅÍÅ 1.2.7. ëÁËÁÑ ÉÚ Ä×ÕÈ ÏÃÅÎÏË × ÓÌÅÄÓÔ×ÉÉ 1.2.9 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÏÊ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× n, q , d. åÓÌÉ d ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÏ, q 2 + n2 ! 1, ÔÏ ÜÔÉ ÏÃÅÎËÉ ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÏÍ ×ÉÄÅ qn 1 qn Bq (n; d) > ; B ( n; d ) > : q nd 21 (q 1)d 2 d n 2 (q 1)d 2 ðÅÒ×ÁÑ ÉÚ ÜÔÉÈ ÏÃÅÎÏË ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉ ÓÉÌØÎÅÅ ×ÔÏÒÏÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ q (1 d n 2 ) < 1. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏÂÅ ÏÃÅÎËÉ, Á ÔÁËÖÅ ÏÃÅÎËÁ (1.2.9), ÐÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÁÎÉÃÅ ÷ÁÒÛÁÍÏ×Á|çÉÌÂÅÒÔÁ. E. áÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÇÒÁÎÉÃÙ. äÌÑ [n; k; d]q -ËÏÄÁ

K × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÍÏÝ-

ÎÏÓÔÉ j j = q ÎÁÒÑÄÕ Ó ÅÇÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ R = k=n ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒ Æ = d=n, ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÝÉÊ ÄÏÌÀ ÏÛÉÂÏË × ÐÒÉÎÑÔÏÍ ÓÌÏ×Å, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÁÎÎÙÊ ËÏÄ ÓÐÏÓÏÂÅÎ ÏÂÎÁÒÕÖÉÔØ. èÏÒÏÛÉÊ ËÏÄ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÅÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ d=n É k=n, ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ ÅÄÉÎÉÞÎÏÍÕ ÏÔÒÅÚËÕ [0; 1], ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÎÁÓÔÏÌØËÏ ÂÏÌØÛÉÍÉ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ÜÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÄÌÑ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ n. ðÕÓÔØ Vq = f(Æ; R) 2 [0; 1]2 : ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ [n; k; d]q -ËÏÄ Ó d=n = Æ É k=n = Rg É Uq | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÒÅÄÅÌØÎÙÈ ÔÏÞÅË ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Vq . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ

q (Æ ) = supfR : (Æ; R) 2 Uq g; Æ 2 [0; 1]: åÓÌÉ q | ÓÔÅÐÅÎØ ÐÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ, ÔÏ, ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÑÓØ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅÍ ÌÉÛØ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ×, ÍÏÖÎÏ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Vqlin , Uqlin É ÆÕÎËÃÉÀ qlin (Æ ). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, qlin (Æ ) q (Æ ). éÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÊ q (Æ ) É qlin (Æ ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ

17

ïâýéå ðïîñôéñ ôåïòéé ëïäï÷

ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÚÁÄÁÞ ÔÅÏÒÉÉ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ôÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÐÒÏ ÜÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÏ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ íÁÎÉÎÁ [64, ÔÅÏÒÅÍÁ 1.3.1], [32, çÌÁ×Á 2], ÆÕÎËÃÉÉ q (Æ ) É qlin (Æ ) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ É ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ ÕÂÙ×ÁÀÔ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; (q 1)=q ], É q (Æ ) = qlin (Æ ) = 0 ÐÒÉ Æ 2 [(q 1)=q; 1]. óÌÅÄÕÀÝÉÅ ×ÏÐÒÏÓÙ ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÏÔËÒÙÔÙÍÉ [64]: Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉ ÆÕÎËÃÉÉ q (Æ ) É qlin (Æ ) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙÍÉ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (0; (q 1)=q ); Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉ ÜÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ ×ÙÐÕËÌÙÍÉ; ×ÅÒÎÏ ÌÉ, ÞÔÏ q (Æ ) = qlin (Æ )? ïÓÎÏ×ÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÀ Ï ÆÕÎËÃÉÑÈ q (Æ ) É qlin (Æ ) ÄÁÀÔ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÃÅÎËÉ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× ËÏÄÏ×, ËÏÔÏÒÙÍ É ÐÏÓ×ÑÝÅÎ ÄÁÎÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ. âÏÌÅÅ ÐÏÌÎÙÊ ÏÂÚÏÒ ÏÃÅÎÏË ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × ðÒÉÌÏÖÅÎÉÉ á ÍÏÎÏÇÒÁÆÉÉ [64]. óÌÅÄÕÅÔ ÏÔÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Uq É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÆÕÎËÃÉÑ q (Æ ) ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÔ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÎÅ ÏÔÄÅÌØÎÏ ×ÚÑÔÙÈ ËÏÄÏ×, Á ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ËÏÄÏ× ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÅÊ ÄÌÉÎÙ. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ [n; k; d]q -ËÏÄÁ ÅÝÅ ÎÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ (d=n; k=n) 2 Uq . ôÏÞËÁ (Æ; R) ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ Uq ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ [ni ; ki ; di]q -ËÏÄÏ× ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ni ! 1, di =ni ! Æ É ki =ni ! R ÐÒÉ i ! 1. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÕÎËÃÉÑ q (Æ ) ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÅÔ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉ ÎÁÉÌÕÞÛÉÅ ËÏÄÙ, Ô.Å. ËÏÄÙ, ÄÌÉÎÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÐÒÉÍÅÒ. 1.2.10. ðÒÉÍÅÒ. äÌÑ [n; 1; n]q -ËÏÄÁ Ó ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÅÍ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.1.3 ÉÍÅÅÍ Æ = 1, R = 1=n. ôÁË ËÁË q (1) = 0, ÔÏ (Æ; R) 2= Uq . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ÜÔÏÇÏ ËÏÄÁ ÌÅÖÁÔ ×ÙÛÅ ËÒÉ×ÏÊ q (Æ ). ôÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï É ÄÌÑ ÒÅÇÉÓÔÒÏ×ÙÈ ËÏÎÓÔÁÃÉËÌÉÞÅÓËÉÈ ËÏÄÏ× ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ ÄÌÉÎÙ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ × ÐÒÉÍÅÒÅ ÉÚ x 2.5B. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ÔÁËÏÇÏ ËÏÄÁ ÒÁ×ÎÙ: q m 1 (q 1) q 1 m(q 1) Æ= > ; R= m > 0; m q 1 q q 1

ÏÔËÕÄÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ (Æ; R) ÌÅÖÉÔ ×ÙÛÅ ËÒÉ×ÏÊ q (Æ ). îÁÞÎÅÍ Ó ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÐÒÏÓÔÏÊ ÏÃÅÎËÉ, ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ËÏÔÏÒÏÊ ÐÒÏ×ÅÄÅÍ ÂÏÌÅÅ ÐÏÄÒÏÂÎÏ ÐÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÐÏÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ. 1.2.11. ôÅÏÒÅÍÁ (ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÁÎÉÃÁ óÉÎÇÌÔÏÎÁ).

q (Æ ) 1 Æ:

2 ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ [ni ; ki; di]q -ËÏÄÏ× ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ni ! 1 É di =ni ! Æ ÐÒÉ i ! 1. óÏÇÌÁÓÎÏ ÇÒÁÎÉÃÅ óÉÎÇÌÔÏÎÁ (1.2.1) Ri 1 Æi + n1i . ðÒÉ i ! 1 ÐÏÌÕÞÉÍ ilim 1 Æ. üÔÏ É ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ q (Æ) 1 Æ. 2 !1 ïÐÒÅÄÅÌÉÍ q -ÉÞÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ ÜÎÔÒÏÐÉÉ Hq ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; q q 1 ] ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ Hq (0) = 0; Hq (x) = x logq (q

1) x logq x

(1 x) logq (1

x); 0 < x

q

q

1:

18

ïâýéå ðïîñôéñ ôåïòéé ëïäï÷

1.2.12. ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ n É t | ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, t < q q 1 n, É ÐÕÓÔØ n; t ! 1 ÔÁË, ÞÔÏ t=n ! Æ. ôÏÇÄÁ

1 lim logq sq (n; t) = Hq (Æ ); n!1 n

ÇÄÅ ×ÅÌÉÞÉÎÁ sq (n; t) ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ (1.2.4).

2 äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ z 2 (0; 1) ÉÍÅÅÍ: sq (n; t) =

t X n

i

i=0 t X n

(q

1)i

t X n

i

i=0

(q

1)i z i t =

(q 1)i z i z t [1 + (q 1)z ]n : (1.2.11) i i=0 ÷ ÔÏÞËÅ z , ÐÒÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÁ, ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ, ÏÔËÕÄÁ tz t 1 [1 + (q 1)z ] + z t (q 1)n = 0, ÉÌÉ z = t=((q 1)(n t)). ôÁË ËÁË t < q q 1 n, ÔÏ z 2 (0; 1). ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÎÁÊÄÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ z × (1.2.11), ÐÏÌÕÞÉÍ

z

sq (n; t)

t

(q

1)t (n tt

ïÔÓÀÄÁ 1 t logq sq (n; t) logq (q n n

t)t

n

n t

n

=

(q 1)t : (t=n)t (1 t=n)n t

t t t t 1) logq 1 logq 1 : n n n n åÓÌÉ n; t ! 1 ÔÁË, ÞÔÏ t=n ! Æ , ÔÏ ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÍ: 1 lim logq sq (n; t) Hq (Æ ): n!1 n äÏËÁÖÅÍ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï. óÏÇÌÁÓÎÏ ÆÏÒÍÕÌÅ óÔÉÒÌÉÎÇÁ r n nn n e(n) (t) (n t) ; = 2t(n t) tt (n t)n t t ÇÄÅ j(k)j < 121k , k 2 N . ïÔÓÀÄÁ 1 1 n t t t logq sq (n; t) logq (q 1)t = logq (q 1) logq n n t n n n

t t 1 n 1 1 logq 1 + logq + ((n) (t) (n t)): n n n 2t(n t) n åÓÌÉ n; t ! 1, t=n ! Æ , ÔÏ ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÍ: 1 lim logq sq (n; t) Hq (Æ ): 2 n!1 n

19

ïâýéå ðïîñôéñ ôåïòéé ëïäï÷

1.2.13. ôÅÏÒÅÍÁ (ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÁÎÉÃÁ èÅÍÍÉÎÇÁ).

q (Æ ) 1 Hq (Æ=2); Æ 2 [0; 1]:

2 óÏÇÌÁÓÎÏ ÇÒÁÎÉÃÅ èÅÍÍÉÎÇÁ (1.2.3) k n logq sq (n; [ d 2 1 ]): òÁÚÄÅÌÉ× ÎÁ n É ÕÓÔÒÅÍÉ× n ! 1, ÐÏÌÕÞÉÍ, ××ÉÄÕ ÌÅÍÍÙ 1.2.12, ÔÒÅÂÕÅÍÕÀ ÏÃÅÎËÕ. 2 1.2.14. ôÅÏÒÅÍÁ (ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÁÎÉÃÁ ðÌÏÔËÉÎÁ). óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:

q

q (Æ ) 1

q

q (Æ ) = 0;

1

Æ; 0 Æ <

q

q

1

q

q

1

;

Æ 1:

2 òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÎÁÞÁÌÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ [n; k; d]q -ËÏÄ K, Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ Æ = nd q q 1 . ÷ ÓÉÌÕ ÔÅÏÒÅÍÙ 1.2.5, qÆq1 q q 1 , ÏÔËÕÄÁ k

k

qk

1

q

Æq

1

1

:

(1.2.12)

ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÒÉ n ! 1 ×ÅÌÉÞÉÎÁ k ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, k=n ! 0, Ô.Å. q (Æ ) = 0. ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ Æ < q q 1 . ôÏÇÄÁ n0 = [ (dq 1)1 q ] < n. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÏÓÌÅÄÎÉÅ n n0 ÓÉÍ×ÏÌÏ× ËÏÄÁ K. îÁÊÄÅÔÓÑ ÐÏÄËÏÄ K0 K, ÐÏÓÌÅÄÎÉÅ n n0 ÓÉÍ×ÏÌÏ× ×ÓÅÈ ËÏÄÏ×ÙÈ ÓÌÏ× ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù, ÇÄÅ

jK0j qn n0 jKj = qk : äÌÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ d0 ËÏÄÁ K0 ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ d0 Æ0 = 0 n

nd0 d (dq

1)q q 1 > : 1 q

ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ËÏÄ K0 ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1.2.12): q 1 1 0 jK j 1 Æ0q : ïÔÓÀÄÁ, ××ÉÄÕ (1.2.13) É (1.2.14),

qn

n0 k

jK0j 1 1 q Æ0q 1 1 d d 1 = d1 :

(1.2.13)

(1.2.14)

20

ïâýéå ðïîñôéñ ôåïòéé ëïäï÷

ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,

kn

n0 + logq d = n

(d 1)q + 1 + logq d: q 1

(d 1)q + logq d n q 1

òÁÚÄÅÌÉ× ÎÁ n É ÐÅÒÅÈÏÄÑ Ë ÐÒÅÄÅÌÕ ÐÒÉ n ! 1, ÐÏÌÕÞÉÍ

q

q (Æ ) 1

q

1

Æ: 2

íÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÐÒÉ q = 2 ÇÒÁÎÉÃÁ ðÌÏÔËÉÎÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÔÏÞÎÏÊ ÐÒÉ ÍÁÌÙÈ ÓËÏÒÏÓÔÑÈ R, Á ÇÒÁÎÉÃÁ èÅÍÍÉÎÇÁ | ÐÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ (ÓÍ. ÒÉÓ. 1.1). ëÏÍÂÉÎÉÒÕÑ ÉÄÅÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÜÔÉÈ ÇÒÁÎÉÃ, ÍÏÖÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ ×ÅÒÈÎÉÅ ÏÃÅÎËÉ, ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÓËÏÒÏÓÔÅÊ ÐÅÒÅÄÁÞÉ. íÙ ÐÒÉ×ÅÄÅÍ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÕ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÏÃÅÎÏË (ÄÒÕÇÉÅ ÏÃÅÎËÉ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, × [2, x 13.6], [18, Ó. 98{101], [64], [32, çÌÁ×Á I.2]). 1.2.15. ôÅÏÒÅÍÁ (ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÁÎÉÃÁ âÁÓÓÁÌÙÇÏ|üÌÁÊÅÓÁ).

q (Æ ) 1 Hq

q

q

1

q

q

1

s

1

q

qÆ

!

1

:

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÎÉÖÎÉÅ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÇÒÁÎÉÃÙ. 1.2.16. ôÅÏÒÅÍÁ (ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÁÎÉÃÁ çÉÌÂÅÒÔÁ).

q (Æ ) 1 Hq (Æ ); Æ 2 0;

q

q

1

:

2 óÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 1.2.7 k n logq sq (n; d 1). òÁÚÄÅÌÉ× ÎÁ n É ÐÅÒÅÈÏÄÑ Ë ÐÒÅÄÅÌÕ ÐÒÉ n ! 1, Ó ÕÞÅÔÏÍ ÌÅÍÍÙ 1.2.12, ÐÏÌÕÞÉÍ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ. 2 áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ 1.2.17. ôÅÏÒÅÍÁ (ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÁÎÉÃÁ ÷ÁÒÛÁÍÏ×Á|çÉÌÂÅÒÔÁ).

lin (Æ ) q

q

1 Hq (Æ); Æ 2 0; q

1

:

ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ × ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÏÃÅÎËÉ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ËÏÄÏ× (q = 2) ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 1.1. áÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÁÎÉÃÁ ÷ÁÒÛÁÍÏ×Á|çÉÌÂÅÒÔÁ ÂÙÌÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ × 1952{1957 ÇÇ. É ÎÅ ÕÌÕÞÛÅÎÁ (ÐÒÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ q ) ÄÏ ÎÁÓÔÏÑÝÅÇÏ ×ÒÅÍÅÎÉ. îÁÊÄÅÎÎÏÅ × 1982 Ç. ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÁÌÇÅÂÒÏ-ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ËÏÄÏ×, ËÏÔÏÒÏÅ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ËÒÉ×ÙÈ Ó ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÍ ÒÏÄÏÍ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÉÍ ÞÉÓÌÏÍ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÔÏÞÅË ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ GF (q ), ÐÏÚ×ÏÌÉÌÏ ÕÌÕÞÛÉÔØ ÇÒÁÎÉÃÕ ÷ÁÒÛÁÍÏ×Á|çÉÌÂÅÒÔÁ ÄÌÑ ÒÑÄÁ ÚÎÁÞÅÎÉÊ q .

21

ïâýéå ðïîñôéñ ôåïòéé ëïäï÷

6R 1:0 A@

0

A@ 1 A@ A @ AA @@ A @2 AA @@ A 3 @ A @ AA @@ A 4 @ @@ AA A 5 @ A @@ AA @ AA @@ AA @@ 0:312

0:5

1:0

-Æ

òÉÓ. 1.1: áÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÇÒÁÎÉÃÙ ÄÌÑ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ËÏÄÏ× (q = 2). 1 | ×ÅÒÈÎÑÑ ÇÒÁÎÉÃÁ óÉÎÇÌÔÏÎÁ, 2 | ×ÅÒÈÎÑÑ ÇÒÁÎÉÃÁ ðÌÏÔËÉÎÁ, 3 | ×ÅÒÈÎÑÑ ÇÒÁÎÉÃÁ èÅÍÍÉÎÇÁ, 4 | ×ÅÒÈÎÑÑ ÇÒÁÎÉÃÁ âÁÓÓÁÌÙÇÏ|üÌÁÊÅÓÁ, 5 | ÎÉÖÎÑÑ ÇÒÁÎÉÃÁ ÷ÁÒÛÁÍÏ×Á|çÉÌØÂÅÒÔÁ.

22

ïâýéå ðïîñôéñ ôåïòéé ëïäï÷

6R (Á) q < 49 1:0 e 2 ee e 5 @ ee @@ e @ ee @@ ee @ eq 1 -Æ 0 q

1:0

6R (Â) q 49 1:0 e 2 ee @ ee 5 @@ e @ ee @@ e @ ee @ eq 1 -Æ 0 Æ1

Æ2

q

1:0

òÉÓ. 1.2: îÉÖÎÑÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÁÎÉÃÁ ÁÌÇÅÂÒÏ-ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ GF (q ) (q | Ë×ÁÄÒÁÔ ÎÅÞÅÔÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ). 1.2.18. ôÅÏÒÅÍÁ (ÇÒÁÎÉÃÁ ÁÌÇÅÂÒÏ-ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ËÏÄÏ×). ðÕÓÔØ q | ÞÅÔÎÁÑ ÓÔÅÐÅÎØ ÐÒÏÓÔÏÇÏ ÎÅÞÅÔÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ. ôÏÇÄÁ

p qlin (Æ ) 1 Æ ( q 1) 1 : äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÜÔÏÊ ÏÃÅÎËÉ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÐÏÓ×ÑÝÅÎÁ ËÎÉÇÁ [66]. åÇÏ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÖÅ × ÍÏÎÏÇÒÁÆÉÑÈ [64], [32]. íÏÖÎÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ [66, x 6], [64, Ó. 352], ÞÔÏ ÐÒÉ q < 49 ÇÒÁÎÉÃÁ ÁÌÇÅÂÒÏ-ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ËÏÄÏ× ÌÅÖÉÔ ÎÉÖÅ ÇÒÁÎÉÃÙ ÷ÁÒÛÁÍÏ×Á|çÉÌÂÅÒÔÁ (É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÅ ÕÌÕÞÛÁÅÔ ÅÅ), Á ÐÒÉ q 49 ÐÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÇÒÁÎÉÃÕ ÷ÁÒÛÁÍÏ×Á|çÉÌÂÅÒÔÁ × Ä×ÕÈ ÔÏÞËÁÈ Æ1 É Æ2 , Ñ×ÌÑÀÝÉÈÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ p 1 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Hq (Æ ) = Æ + ( q 1) (ÓÍ. ÒÉÓ. 1.2). 1.3

çÒÕÐÐÁ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ËÏÄÙ.

çÒÕÐÐÁ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚ-

ÍÏ× ËÏÄÁ

A. éÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. îÁÚÏ×ÅÍ ÂÉÅËÃÉÀ : n ! n ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ (ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÍÅÔÒÉËÉ èÅÍÍÉÎÇÁ) ÉÌÉ ÉÚÏÍÅÔÒÉÅÊ,

ÅÓÌÉ

8a; b 2 n d((a); (b)) = d(a; b): (1.3.1) 1.3.1. ôÅÏÒÅÍÁ (íÁÒËÏ× á.á.). âÉÅËÃÉÑ : n ! n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÅÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ 1 , ..., n 2 S ( ), ' 2 Sn ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ

8a = (a(1); :::; a(n)) 2 n (a) = (1 (a('(1))); :::; n(a('(n)))):

(1.3.2)

23

ïâýéå ðïîñôéñ ôåïòéé ëïäï÷

2 ðÕÓÔØ S( n) ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÉÅËÃÉÊ ×ÉÄÁ (1.3.2). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ S( n)

| ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÐÐÙ S ( n ) ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÕÔØ ÉÚÏÍÅÔÒÉÉ. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÑ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ S( n ). äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ 1 2 2 S( n ) ÐÒÉ ÐÏÄÈÏÄÑÝÉÈ 1 ; 2 2 S( n ). ðÏÜÔÏÍÕ ÄÁÌÅÅ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ \ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ...", ÉÍÅÑ × ×ÉÄÕ, ÞÔÏ 1 2 ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÜÔÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÐÒÉ ÐÏÄÈÏÄÑÝÉÈ 1 ; 2 2 S( n ). îÅ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ = Zq = f0; 1; :::; q 1g É

(0) = 0:

(1.3.3)

äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a 2 Znq ÂÕÄÅÍ, ËÁË É ÒÁÎØÛÅ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ kak ÞÉÓÌÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × a. ôÏÇÄÁ, ××ÉÄÕ (1.3.3), ÉÍÅÅÍ

8a 2 Znq k(a)k = d((a); 0) = d(a; 0) = kak: ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÄÌÑ ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× es = (0; :::; 0; 1; 0; :::; 0), s ÐÏÌÕÞÁÅÍ k (es )k = 1, Ô.Å.

(1.3.4)

2 1; n, ÉÚ (1.3.4)

(es ) = use'(s) ; ÇÄÅ us 2 Zq n 0; s 2 1; n; ': 1; n ! 1; n:

(1.3.5)

ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ' | ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ ÎÁ 1; n. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ s; t 2 1; n É s 6= t, ÔÏ d(es ; et ) = 2. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, d( (es ); (et )) = 2 É, ××ÉÄÕ (1.3.5), '(s) 6= '(t). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ

(es ) = e'(s) ; s 2 1; n; ÇÄÅ ' 2 Sn :

(1.3.6)

÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ s 2 1; n É ÌÀÂÏÇÏ u 2 Zq n f0; 1g ÉÍÅÅÍ k (ues)k = kuesk = 1, d((ues); e'(s) ) = d(ues; es) = 1. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ u 2 Zq (ues ) = s (u)e'(s) ; ÇÄÅ s : ! ; (0) = 0; (1) = 1: ðÒÉ ÜÔÏÍ s 2 S ( ), ÔÁË ËÁË ÉÎÁÞÅ s (u) = s (v ) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ u; v 2

, É ÔÏÇÄÁ d(ues; v es) = 1; d( (ues); (v es )) = 0; Ô.Å. | ÎÅ ÂÉÅËÃÉÑ, É ÐÏÔÏÍÕ ÎÅ ÉÚÏÍÅÔÒÉÑ. ôÅÐÅÒØ, ËÁË ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ (1.3.7) 8n 2 Zq 8s 2 1; n (ues) = ues; É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ × ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ = " | ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ n . ðÕÓÔØ 6= ". ôÏÇÄÁ (a) = b 6= a ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ a 2 Znq n 0. ðÒÉ ÜÔÏÍ, ××ÉÄÕ (1.3.4), kbk = kak. ðÏ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÀ a(i) 6= b(i) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ i 2 1; n. éÍÅÅÍ Ä×Á ÓÌÕÞÁÑ. (a) åÓÌÉ a(i) = 0, ÔÏ b(i) 6= 0 É

d(a; b(i)ei ) = kak + 1 = kbk + 1;

ïâýéå ðïîñôéñ ôåïòéé ëïäï÷

24

d( (a); (b(i)ei )) = d(b; b(i)ei ) = kbk 1: ðÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÁÔ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ | ÉÚÏÍÅÔÒÉÑ. (b) åÓÌÉ a(i) 6= 0, ÔÏ d(a; a(i)ei ) = kak 1 = kbk 1; d( (a); (a(i)ei )) = d(b; a(i)ei ) kbk; É ÍÙ ÏÐÑÔØ ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ | ÎÅ ÉÚÏÍÅÔÒÉÑ. 2 ÷ ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÉ ÔÅÏÒÅÍÕ 1.3.1 ÉÎÏÇÄÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ \ÔÅÏÒÅÍÏÊ Ï ÛÉÆÒÁÈ, ÎÅ ÒÁÓÐÒÏÓÔÒÁÎÑÀÝÉÈ ÉÓËÁÖÅÎÉÊ", × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÓÍÙÓÌÅ. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÛÉÆÒÏÍ ÂÉÅËÃÉÀ : n ! n , ËÏÔÏÒÁÑ ËÁÖÄÏÍÕ \ÏÔËÒÙÔÏÍÕ" ÓÏÏÂÝÅÎÉÀ a 2 n ÓÔÁ×ÉÔ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ \ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÅ" ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ (a) 2 n . äÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÐÅÒÅÄÁÞÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ (a) ÐÏ ËÁÎÁÌÕ Ó×ÑÚÉ × ÎÅÍ ÉÓËÁÚÉÌÉÓØ r ÚÎÁËÏ×. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÎÁ ÐÒÉÅÍÎÏÍ ËÏÎÃÅ ×ÍÅÓÔÏ (a) ÂÕÄÅÔ ÐÏÌÕÞÅÎÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ (a)0 ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ d( (a); (a)0 ) = r. ðÒÉ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ (a)0 ×ÍÅÓÔÏ a ÂÕÄÅÔ ÐÏÌÕÞÅÎÏ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ a0 = 1 ( (a)0 ). åÓÌÉ | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÂÉÅËÃÉÑ, ÔÏ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ a0 ÍÏÖÅÔ ÏÔÌÉÞÁÔØÓÑ ÏÔ a ÕÖÅ ÎÅ × r, Á ×Ï ×ÓÅÈ n ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ, É a ÎÅ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÉÚÂÙÔÏÞÎÏÓÔØ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÔÅËÓÔÁ. ÷ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÐÒÏÓ: ÐÒÉ ËÁËÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ d(a; a0 ) = d( (a); (a)0 )? ïÔ×ÅÔ ÎÁ ÎÅÇÏ É ÄÁÅÔ ÔÅÏÒÅÍÁ 1.3.1. ðÏÄÇÒÕÐÐÕ S( n ) < S ( n ) ÎÁÚÏ×ÅÍ ÇÒÕÐÐÏÊ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÌÏ× n . B. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ËÏÄÙ. çÒÕÐÐÁ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ËÏÄÁ. ëÏÄÙ K n É K0 n ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ É ÐÉÛÕÔ K K0 , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÚÏÍÅÔÒÉÑ 2 S( n ) ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ K0 = (K). åÓÌÉ ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÉÚÏÍÅÔÒÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ

×ÙÂÒÁÎÁ ÔÁË, ÞÔÏ × ÅÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ (1.3.2) ×ÓÅ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ 1 , ..., n Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ËÏÄÙ K É K0 ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. ðÏÄÇÒÕÐÐÁ ÇÒÕÐÐÙ S( n ) Aut(K) = f 2 S( n ) : (K) = Kg ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÒÕÐÐÏÊ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ËÏÄÁ K. ëÏÄ K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ, ÅÓÌÉ ÇÒÕÐÐÁ Aut(K) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ ÔÁËÕÀ, ÞÔÏ 8a = (a(1); :::; a(n)) 2 n (a) = (a(2); :::; a(n); a(1)): (1.3.8) 1.3.2. ðÒÉÍÅÒ (ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ). ðÕÓÔØ × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.1.6 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) 2 R[x] ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ F (0) 2 R (ÚÄÅÓØ É ÄÁÌÅÅ R | ÍÕÌØÔÉÐÌÉËÁÔÉ×ÎÁÑ ÇÒÕÐÐÁ ËÏÌØÃÁ R). ôÏÇÄÁ, ËÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ [22], ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÁËÉÅ t 2 N , ÞÔÏ F (x) j xt e. îÁÉÍÅÎØÛÅÅ t Ó ÔÁËÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÅÒÉÏÄÏÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x) É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ T (F ). ÷ÙÂÅÒÅÍ n 2 N ÔÁË, ÞÔÏ T (F ) j n. ôÏÇÄÁ ÌÀÂÁÑ ìòð u 2 LR (F ) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ xn u = u, É ÐÏÔÏÍÕ ËÏÄ K = L0R;n 1(F ) ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ ËÏÄÏÍ.

25

ïâýéå ðïîñôéñ ôåïòéé ëïäï÷

óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ 1.3.3. ôÅÏÒÅÍÁ. þÉÓÌÏ ËÏÄÏ× K0 n , ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ËÏÄÕ K n , ÒÁ×ÎÏ ÉÎÄÅËÓÕ [S( n ) : Aut(K)] ÐÏÄÇÒÕÐÐÙ Aut(K) × ÇÒÕÐÐÅ S( n ). åÓÌÉ K0 = (K), 2 S( n ), ÔÏ Aut(K0 ) = 1 Aut(K) É d(K0 ) = d(K). C. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ×. åÓÌÉ = R M | ËÏÎÅÞÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ

ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ e, ÔÏ M n | ÔÁËÖÅ R-ÍÏÄÕÌØ. ÷ ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ÄÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÂÕÄÅÍ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÔÁËÉÅ ÉÚÏÍÅÔÒÉÉ 2 S( n ), ËÏÔÏÒÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ (Á ÚÎÁÞÉÔ É ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ) ÍÏÄÕÌÑ M n . ðÕÓÔØ Aut(M ) | ÇÒÕÐÐÁ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÍÏÄÕÌÑ M . ôÏÇÄÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S( n ) \ Aut(M n ) ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÂÉÅËÃÉÊ ×ÉÄÁ (1.3.2), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ÏË s 2 S (M n ) ÅÓÔØ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ s 2 Aut(M ). âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÇÒÕÐÐÕ

LS(M n) = S( n) \ Aut(M n ) ÇÒÕÐÐÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÉÚÏÍÅÔÒÉÊ ÍÏÄÕÌÑ M n . ìÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÚÏ×ÅÍ (ÌÉÎÅÊÎÏ ) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ

K < M n É K0 < M n

9 2 LS(M n) (K) = K0 : çÒÕÐÐÏÊ (ÌÉÎÅÊÎÙÈ) Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ K ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÏÄÇÒÕÐÐÕ L Aut(K) = f 2 LS( n) : (K) = Kg = Aut(K) \ LS(M n) ÇÒÕÐÐÙ Aut(K). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ K | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ, ÔÏ ÉÚÏÍÅÔÒÉÑ (1.3.8) ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ L Aut(K). ÷ÙÄÅÌÉÍ ×ÁÖÎÙÊ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ M = R, Ô.Å. K < Rn ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R. ÷ ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ËÁÖÄÙÊ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍ 2 End(R R) ÏÄÎÏ-

ÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÏÍ (e) ÅÄÉÎÉÃÙ e ËÏÌØÃÁ R, ÐÏÓËÏÌØËÕ (r) = r (e), r 2 R. üÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍ , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ (e) = u 2 R, ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ub. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ 2 Aut(R R) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ u 2 R . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÇÒÕÐÐÁ LS(Rn) ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÉÚÏÍÅÔÒÉÊ ÍÏÄÕÌÑ Rn ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÂÉÅËÃÉÊ : Rn ! Rn ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ' 2 Sn É u1 ; :::; un 2 R ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ

8a 2 Rn (a) = (u1a('(1)); :::; una('(n))):

(1.3.9)

÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÍÙ ÉÍÅÅÍ 1.3.4. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ìÉÎÅÊÎÙÅ n-ËÏÄÙ K É K0 ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ ÌÉÎÅÊÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ K0 = (K), ÇÄÅ | ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ (1.3.9).

çÌÁ×Á 2 ìÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÐÏÌÑÍÉ üÔÏ, ÐÏÖÁÌÕÊ, ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÇÌÕÂÏËÏ ÉÚÕÞÅÎÎÙÊ ËÌÁÓÓ ËÏÄÏ×, ÐÏÄÒÏÂÎÏ ÏÐÉÓÁÎÎÙÊ × ÍÏÎÏÇÒÁÆÉÑÈ [2, 7, 18, 26, 35, 64, 65]. 2.1

ðÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ. çÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÊ ÒÁÎÇ É ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ËÏÄÁ

A. ïÂÝÉÅ ÐÏÎÑÔÉÑ. ðÕÓÔØ P = GF (q ) | ÐÏÌÅ ÉÚ q ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ìÉÎÅÊÎÙÍ ËÏÄÏÍ

ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÀÂÏÅ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï K < P n. åÓÌÉ dimP K = k, ÔÏ K ÅÓÔØ [n; k; d]P -ËÏÄ, ÉÌÉ [n; k; d]q -ËÏÄ, ÇÄÅ

d = d(K) = minfkak : a 2 K n 0g

(ÓÍ. ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 1.1.9). óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÅÓÔØ ÐÒÏÓÔÏÊ ÆÁËÔ ÉÚ ÔÅÏÒÉÉ ÓÉÓÔÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁÄ ÐÏÌÑÍÉ. 2.1.1. ôÅÏÒÅÍÁ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ [n; k]P -ËÏÄÁ K ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÁÔÒÉÃÁ Hln ÎÁÄ P ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ K = fa 2 P n : H a# = 0#g (2.1.1) ðÒÉ ÜÔÏÍ rank H = n k.

íÁÔÒÉÃÁ H ÉÚ (2.1.1) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ËÏÄÁ K. ðÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ËÏÄÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÌÅÚÎÙÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒ { (H ), ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÍ ÒÁÎÇÏÍ ÍÁÔÒÉÃÙ H É ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ËÁË ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ r 2 N 0 ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÐÏÄÓÉÓÔÅÍÁ ÉÚ r ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃÙ H ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÁ ÎÁÄ P . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, {P (H ) rank H .

2.1.2. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ K | ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k; d]P -ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ

H . ôÏÇÄÁ

d = {P (H ) + 1: 26

(2.1.2)

çìá÷á 2.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

27

K Ñ×ÌÑÅÔÓÑ íäò-ËÏÄÏÍ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ {P (H ) = rank H . 2 äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ a 2 P n ÕÓÌÏ×ÉÅ H a# = 0# ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ ÌÉÎÅÊ-

ëÏÄ

ÎÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ

H1# a(1) + H2# a(2) + ::: + Hn# a(n) = 0# ÍÅÖÄÕ ÓÔÏÌÂÃÁÍÉ ÍÁÔÒÉÃÙ H = (H1# :::Hn# ). ôÅÐÅÒØ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÎÁÌÉÞÉÅ × ËÏÄÅ K ×ÅËÔÏÒÁ a 6= 0 ×ÅÓÁ kak r ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÐÏÄÓÉÓÔÅÍÙ ÉÚ r ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃÙ H . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÕÓÌÏ×ÉÅ d(K) r + 1 ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ { (H ) r. 2 îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ × ÐÒÉÍÅÒÅ 1.2.3 ÍÁÔÒÉÃÁ H ÅÓÔØ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ËÏÄÁ èÅÍÍÉÎÇÁ, É ÅÅ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÊ ÒÁÎÇ ÒÁ×ÅÎ 2. 2.1.3. ðÒÉÍÅÒ. ÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.1.6 ÐÕÓÔØ f (x) = xm + fm 1 xm 1 + ::: +

f1 x + f0 2 P [x]. ôÏÇÄÁ ËÏÄ K = L0P;n 1 (f ) ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ 0 B

H(n m)n = B B @

f0 f1 : : : fm 1 e 0 f0 f1 : : : fm 1 .. ... . 0 ...... 0 f0

0 ::: 0 e ::: 0 ... e . . . . . . . fm 1

0 0 0 e

1

C C C; A

(2.1.3)

ÒÁÎÇ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁ×ÅÎ n m. çÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÊ ÒÁÎÇ ÜÔÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x). ÷ ÒÑÄÅ ÓÌÕÞÁÅ× ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ËÏÄÁ K < P n ÕÄÏÂÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÎÅ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , Á ÎÁÄ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÅÇÏ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅÍ Q = GF (q t ). íÁÔÒÉÃÕ Bsn ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÄÌÑ ËÏÄÁ K, ÅÓÌÉ

K = fa 2 P n : B a# = 0# g: (2.1.4) ðÒÉ ÔÁËÏÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ K ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ

ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÍÅÎØÛÅ ÓÔÒÏË, ÞÅÍ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÜÔÏÇÏ ËÏÄÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÐÅÒÉÒÏ×ÁÔØ Ó ÔÁËÉÍÉ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÍÉ ÍÁÔÒÉÃÁÍÉ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÉÎÏÇÄÁ Õ×ÉÄÅÔØ ÎÏ×ÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ËÏÄÁ. ðÒÅÖÄÅ, ÞÅÍ ÐÒÉ×ÅÓÔÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÐÒÉÍÅÒ, ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÚ ÍÁÔÒÉÃÙ B ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ (2.1.4) ÌÅÇËÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÙ H ËÏÄÁ K ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ðÕÓÔØ e = (e1 ; :::; et ) | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P Q. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ 2 Q ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ # ÓÔÏÌÂÅÃ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ×ÅËÔÏÒÁ × ÂÁÚÉÓÅ e. ôÏÇÄÁ # 2 P t É = e # . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÍÁÔÒÉÃÁ B = ( ij )sn ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ (2.1.4) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÍÁÔÒÉÃÁ 1 0 # 11 : : : 1#n .. C . H=B @ .. . A # # s1 : : : sn

çìá÷á 2.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

28

ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ (2.1.1). íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ H ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ (ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ) ÍÁÔÒÉÃÙ B (× ÂÁÚÉÓÅ e) É ÐÉÓÁÔØ H = B + = Be+ . äÌÑ ÍÁÔÒÉÃÙ B ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÅÅ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÊ ÒÁÎÇ {P (B ) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÔÁË, ÞÔÏ ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ {P (B ) = {P (Be+ ) É ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ (2.1.4) d(K) = {P (B ) + 1. 2.1.4. ðÒÉÍÅÒ. (ä×ÏÉÞÎÙÊ ËÏÄ èÅÍÍÉÎÇÁ × ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ.)

ðÕÓÔØ Q = GF (2l ) | ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ÐÏÌÑ P = Z2 É ! | ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÐÏÌÑ Q: ord ! = 2l 1 = n. ôÏÇÄÁ Ä×ÏÉÞÎÙÊ ËÏÄ K < P n Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ B = (e; !; :::; ! n 1) (2.1.5) ÅÓÔØ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ [n; n l; 3]2 -ËÏÄ, ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÊ ËÏÄÕ èÅÍÍÉÎÇÁ H2 (l) ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.2.3. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÐÕÓÔØ e = (e1 ; :::; el ) | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ Q ÎÁÄ P . ôÏÇÄÁ ÍÁÔÒÉÃÁ B + ÒÁÚÍÅÒÏ× l n ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÉÚ ×ÓÅÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÔÏÌÂe

ÃÏ× ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P l , Ô.Å. ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ H ËÏÄÁ H2 (l) ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.2.3 ÌÉÛØ ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÓÔÏÌÂÃÏ×. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÄ K ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ËÏÄÁ H2 (l) ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ËÏÄÏ×ÙÈ ÓÌÏ×, Ô.Å. K H2 (l). ãÉËÌÉÞÎÏÓÔØ ËÏÄÁ K ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÕÓÔØ a 2 K. ôÏÇÄÁ a(1)! 0 + a(2)! 1 + ::: + a(n)! n 1 = 0, É ÔÁË ËÁË ! n = e, ÔÏ n

X a(2)! 0 + a(3)! 1 + ::: + a(n)! n 2 + a(1)! n 2 = ! 1 a(i)! i 1 = 0: i=1 óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (a(2); :::; a(n); a(1)) 2 K. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÙÂÒÁ× ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ËÏÄÁ èÅÍÍÉÎÇÁ ÎÁÄ ÂÏÌØÛÉÍ ÐÏÌÅÍ, ÍÙ ÓÕÍÅÌÉ ÐÒÏÓÔÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÅÇÏ ÃÉËÌÉÞÎÏÓÔØ.

éÚ ÔÅÏÒÉÉ ÓÉÓÔÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ É ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 1.3.4 ÌÅÇËÏ ×Ù×ÏÄÉÔÓÑ 2.1.5. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. íÁÔÒÉÃÙ Hln É Hs0 n ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÍÉ ÍÁÔÒÉÃÁÍÉ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÉÓÔÅÍÙ ÉÈ ÓÔÒÏË ÌÉÎÅÊÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. üÔÉ ÍÁÔÒÉÃÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÍÉ ÍÁÔÒÉÃÁÍÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ËÏÄÏ× ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÔÒÏË H 0 ÌÉÎÅÊÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉÃÙ, ÐÏÌÕÞÁÀÝÅÊÓÑ ÉÚ H ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÓÔÏÌÂÃÏ× É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÉÈ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ. 2.1.6. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ìÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k]-ËÏÄ K ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ. óÉÓÔÅÍÁ ÐÏÚÉÃÉÊ i1 ; :::; ik ËÏÄÁ K Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÅÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ × ÅÇÏ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅ H ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÔÏÌÂÃÏ× Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á 1; n n fi1 ; :::; ik g ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÂÁÚÉÓ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃÙ H . ëÏÄ K Ñ×ÌÑÅÔÓÑ íäò-ËÏÄÏÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÌÀÂÙÅ k ÅÇÏ ÐÏÚÉÃÉÊ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ.

çìá÷á 2.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

29

éÔÁË, ÌÀÂÕÀ l n-ÍÁÔÒÉÃÕ ÒÁÎÇÁ l ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÍÏÖÎÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÓÔÒÏË É ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÓÔÏÌÂÃÏ× ÐÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ×ÉÄÕ 0 B

Hln = B @

r11 : : : r1k e 0 : : : 0 r21 : : : r2k 0 e ::: 0 ............................... rl1 : : : rlk 0 0 : : : e

1 C C A

= (H; Ell ):

(2.1.6)

ln

ëÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ (2.1.6) ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k]q -ËÏÄ Ó ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ 1; k. îÁÏÂÏÒÏÔ, ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ Ó ÜÔÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÉÍÅÅÔ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ×ÉÄÁ (2.1.6). íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÅÅ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÅ.

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ×ÉÄÁ (2.1.6) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ Ó ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÈ ÐÏÚÉÃÉÊ 1; k.

2.1.7. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k]q -ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÅÎ ËÏÄÕ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÅ. ëÏÄ K Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ (2.1.6) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ íäò-ËÏÄÏÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ × ÍÁÔÒÉÃÅ H ×ÓÅ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÅ ÐÏÄÍÁÔÒÉÃÙ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÙ.

2 ðÅÒ×ÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ. äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ×ÔÏÒÏÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 2.1.2 K ÅÓÔØ íäò-ËÏÄ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÌÀÂÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÚ l ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃÙ H ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÁ. ÷ÙÂÅÒÅÍ × H ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÎÕÀ ÐÏÄÍÁÔÒÉÃÕ H

0

i1 :::is =B @ j1 :::js

ri j : : : ri1 js .. .. . . ris j : : : ris js 1 1

1 C A

(2.1.7)

1

É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃÙ H

Hj# ; :::; Hj#s ; Ei#s ; ::: Ei#l ; 1

+1

(2.1.8)

ÇÄÅ fis+1 ; :::; il g = 1; l n fis ; :::; isg. îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÍÁÔÒÉÃÙ, i :::i s ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÓÔÏÌÂÃÏ×, ÒÁ×ÅÎ det H j :::js . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÒÉÔÅÒÉÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÓÉÓÔÅÍÙ (2.1.8) | ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÓÔØ ÍÁÔÒÉÃÙ (2.1.7). 2 1

1

2.1.8. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ ËÏÄÙ K É K0 ÉÍÅÀÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÅ ÍÁÔÒÉÃÙ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÅ H É H 0 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÔÏ

K = K0 , H = H 0 : 2 äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅÍ 2.1.5 É ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÓÔÒÏÞÎÁÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÍÁÔÒÉÃ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÉÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï. 2

çìá÷á 2.

30

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

2.1.9. ðÒÉÍÅÒ. òÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ËÏÄ

K = L0P;n 1(f ) ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 2.1.3 ÉÍÅÅÔ, ÎÁ-

ÒÑÄÕ Ó ÍÁÔÒÉÃÅÊ (2.1.3), ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ×ÉÄÁ 0

HÓÔ

B =B B @

f0(0) : : : fm(0) 1 e 0 : : : 0 f0(1) : : : fm(1) 1 0 e ::: 0 .................................... f0(l 1) : : : fm(l 1)1 0 0 : : : e

ÇÄÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ i-Ê ÓÔÒÏËÉ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á f0(i) + f1(i) x + ::: + fm(i) 1 xm 1 = Res(xi =f (x)); i 2 0; l

1 C C C A

;

(2.1.9)

ln

1;

(2.1.10)

ÇÄÅ Res(h(x)=f (x)) | ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ h(x) ÎÁ f (x). B. äÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÓÉÎÄÒÏÍÏ×. ïÐÉÛÅÍ ÏÂÝÉÊ ÍÅÔÏÄ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÐÏ ÓÉÎÄÒÏÍÕ. ðÕÓÔØ K < P n | ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k]q -ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H ÒÁÚÍÅÒÏ× (n k) n. óÉÎÄÒÏÍÏÍ ×ÅËÔÏÒÁ a 2 P n ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒ aH T 2 P n k . ðÏÓËÏÌØËÕ ÓÉÎÄÒÏÍ ×ÅËÔÏÒÁ a ÒÁ×ÅÎ 0 ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ a 2 K, ÔÏ ×ÓÅ ×ÅËÔÏÒÙ a + e, a 2 K, ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÓÍÅÖÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ËÏÄÁ K ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÓÉÎÄÒÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÓÉÎÄÒÏÍÏÍ ÓÍÅÖÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ, É ÉÍÅÅÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÓÍÅÖÎÙÍÉ ËÌÁÓÓÁÍÉ É ÉÈ ÓÉÎÄÒÏÍÁÍÉ | ×ÅËÔÏÒÁÍÉ ÉÚ P n k. äÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÓÉÎÄÒÏÍÕ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. úÁÒÁÎÅÅ, ÐÅÒÅÂÉÒÁÑ ×ÅËÔÏÒÙ ÉÚ P n , ÎÁÊÄÅÍ × ËÁÖÄÏÍ ÓÍÅÖÎÏÍ ËÌÁÓÓÅ ËÏÄÁ K ×ÅËÔÏÒ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ×ÅÓÁ, ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÌÉÄÅÒ ÓÍÅÖÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ. îÁÐÒÉÍÅÒ, × ÓÍÅÖÎÏÍ ËÌÁÓÓÅ K ÌÉÄÅÒÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÕÌÅ×ÏÊ ×ÅËÔÏÒ. åÓÌÉ × ÓÍÅÖÎÏÍ ËÌÁÓÓÅ ÅÓÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÌÏ× ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ×ÅÓÁ, ÔÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÌÉÄÅÒÁ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÌÀÂÏÅ ÉÚ ÎÉÈ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁÂÌÉÃÁ ÌÉÄÅÒÏ× ÓÍÅÖÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ×. ïÎÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔ q n k ÓÉÎÄÒÏÍÏ× | ×ÅËÔÏÒÏ× ÉÚ P n k , ÎÁÐÒÏÔÉ× ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÐÉÓÁÎ ÌÉÄÅÒ ÓÍÅÖÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ Ó ÜÔÉÍ ÓÉÎÄÒÏÍÏÍ. ôÅÐÅÒØ, ÐÒÉ ÐÏÌÕÞÅÎÉÉ ×ÅËÔÏÒÁ b 2 P n , ÍÙ ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÅÇÏ ÓÉÎÄÒÏÍ bH T , ÉÝÅÍ ÐÏ ÔÁÂÌÉÃÅ ÌÉÄÅÒ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÓÍÅÖÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ e 2 P n , É × ËÁÞÅÓÔ×Å ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÓÌÏ×Á ÂÅÒÅÍ ×ÅËÔÏÒ a = b e. ìÅÇËÏ ÐÏÎÑÔØ, ÞÔÏ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ×ÅËÔÏÒ b ÄÅËÏÄÉÒÕÅÔÓÑ × ÂÌÉÖÁÊÛÅÅ Ë ÎÅÍÕ ËÏÄÏ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï, Ô.Å. ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÍÁËÓÉÍÕÍÕ ÐÒÁ×ÄÏÐÏÄÏÂÉÑ. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÓÉÎÄÒÏÍÕ ÅÓÔØ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÍÁËÓÉÍÕÍÕ ÐÒÁ×ÄÏÐÏÄÏÂÉÑ, ÉÓÐÏÌØÚÕÀÝÅÅ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔØ ËÏÄÁ K. îÁ ÐÒÁËÔÉËÅ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÓÉÎÄÒÏÍÕ ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÏÂÙÞÎÏ ÄÌÑ ×ÙÓÏËÏÓËÏÒÏÓÔÎÙÈ ËÏÄÏ×. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÒÉ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ [63; 51]2 -ËÏÄÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ ÂÏÌÅÅ 1017 ÓÌÏ×, ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÐÏ ÓÉÎÄÒÏÍÕ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÔÁÂÌÉÃÅ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ×ÓÅÇÏ 2n k = 4096 ÓÉÎÄÒÏÍÏ×.

çìá÷á 2.

2.2

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

31

ðÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÏÄ

A. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ É Ó×ÏÊÓÔ×Á ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÙ. íÁÔÒÉÃÁ Gmn ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ K, ÅÓÌÉ ÓÉÓÔÅÍÁ ÅÅ

ÓÔÒÏË ÐÏÒÏÖÄÁÅÔ K ËÁË ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × P n. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ m rank G = dim K = k, É ÍÁÔÒÉÃÕ G ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏ m = k. åÓÌÉ ÐÒÉ ÜÔÏÍ Hln | ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ K, ÔÏ

HGT = 0; rank H + rank G = n:

(2.2.1)

íÅÔÏÄÁÍÉ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÌÅÇËÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ 2.2.1. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ K | ÌÉÎÅÊÎÙÊ n-ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P É Gmn , Hln | ÍÁÔÒÉÃÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ôÏÇÄÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ: (a) G | ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ, Á H | ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÙ ËÏÄÁ K; (b) G | ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ K É ×ÅÒÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (2.2.1); (c) H | ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÙ ËÏÄÁ K É ×ÅÒÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (2.2.1).

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ËÏÄ ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ H × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÅ (2.1.6), ÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ (2.2.1) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÍÁÔÒÉÃÁ

G = (Ekk ; H T )kn ;

(2.2.2)

ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ËÏÄÁ K × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÅ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÅÎ ËÏÄÕ Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ×ÉÄÁ (2.2.2). ðÏ ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó 2.1.8 ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ 2.2.2. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ ËÏÄÙ K É K0 ÉÍÅÀÔ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÅ ÍÁÔÒÉÃÙ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÅ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, G É G0 , ÔÏ K = K0 , G = G0 . 2.2.3. ðÒÉÍÅÒ. ïÂÏÂÝÅÎÎÙÊ ËÏÄ òÉÄÁ|óÏÌÏÍÏÎÁ GRSP (n; k) ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ

1.2.2 ÉÍÅÅÔ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ 0 B

G=B @

u1 u2 : : : un u1 !1 u2 !2 : : : un !n ............................. u1 !1k 1 u2 !2k 1 : : : un !nk 1

1 C C: A

(2.2.3)

B. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÏÄ. ïÐÒÅÄÅÌÉÍ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ× a = (a1 ; :::; an ) É b = (b1 ; :::; bn ) ÉÚ P n ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ ab = a1 b1 + ::: + an bn 2 P:

çìá÷á 2.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

32

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ a; b; c 2 P n É 2 P ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ab = ba;

a(b + c) = ab + ac;

(a)b = a(b) = (ab);

, a = 0: ëÏÄÏÍ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍ Ë ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ËÏÄÕ K < P n ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÄ KÆ = fb 2 P n : bK = 0g: aP n = 0

(2.2.4)

íÅÔÏÄÁÍÉ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÌÅÇËÏ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ 2.2.4. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ K ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k]-ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ G É ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H . ôÏÇÄÁ (a) KÆ ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; n k]-ËÏÄ ÎÁÄ P Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H É ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ G; (b) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï KÆÆ = K; (c) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ K1 < P n ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

(K1 + K)Æ = K1Æ \ KÆ ; (K1 \ K)Æ = K1Æ + KÆ : úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ (a) ÔÅÏÒÅÍÙ 2.2.4 ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÄÒÕÇÉÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ËÏÄÁ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ËÏÄÁ ÎÅ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÄÌÉÎÙ, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ËÏÄÁ. ïÄÎÁËÏ, ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï 2.2.5. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ K ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k; n Æ K ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; n k; k + 1] íäò ËÏÄ.

k + 1] íäò ËÏÄ, ÔÏ

2 íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ËÏÄ K ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ (2.1.6). ôÏÇÄÁ ÐÏ

ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 2.1.7 × ÍÁÔÒÉÃÅ H ×ÓÅ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÅ ÐÏÄÍÁÔÒÉÃÙ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÙ. ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 2.2.4(a) ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ËÏÄÁ KÆ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉÃÁ (2.2.2), É ÔÁË T ËÁË × ÍÁÔÒÉÃÅ H ×ÓÅ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÅ ÐÏÄÍÁÔÒÉÃÙ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÙ, ÔÏ ÐÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 2.1.7 KÆ ÔÁËÖÅ ÅÓÔØ íäò-ËÏÄ. 2

2.2.6. ðÒÉÍÅÒ (ËÏÄ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ËÏÄÕ òÉÄÁ|óÏÌÏÍÏÎÁ). ðÕÓÔØ

K = GRSq (n; k) | ËÏÄ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÏ× 1.2.2, 2.2.3. ôÏÇÄÁ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 2.2.4(a) KÆ ÅÓÔØ ËÏÄ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÁÔÒÉÃÁ (2.2.3) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ËÏÄ KÆ , Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ËÏÄÕ GRSq (n; k), ÅÓÔØ ËÏÄ GRSq (n; n k). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÙ

Æi =

Y j 21;nnfig

(!i

!j ) 1 ; i 2 1; n;

(2.2.5)

çìá÷á 2.

33

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

É ÐÏÓÔÒÏÉÍ ÍÁÔÒÉÃÕ 0 B

H=B @

v1 v2 : : : vn v1 !1 v2 !2 : : : vn !n ........................... v1 !1l 1 v2 !2l 1 : : : vn !nl 1

1 C C A

;

(2.2.6)

ln

ÇÄÅ vi = Æi ui 1 2 P , i 2 1; n, l = n k. îÁÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ H | ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ K (ÔÏÇÄÁ ÏÎÁ | ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ ÄÌÑ ËÏÄÁ KÆ ). ôÁË ËÁË, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, rank H = l, ÔÏ ÐÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 2.2.1 ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

HGT = 0:

(2.2.7)

ðÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÌÀÂÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉÃÙ H ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÓÔÏÌÂÅÃ ÍÁÔÒÉÃÙ GT ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ n X i=1

Æi !it ; t 2 0; n 2;

(2.2.8)

É ÎÁÍ ÎÕÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ (2.2.8) ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÁÔÒÉÃÕ 0 1 e e ::: e B !1 !2 : : : !n C C W =B @ ...................... A: !1n 1 !2n 1 : : : !nn 1 ðÕÓÔØ Wi | ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ ÄÏÐÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÜÌÅÍÅÎÔÕ !in 1 ÐÏÓÌÅÄÎÅÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉÃÙ W . ôÏÇÄÁ

jW j =

Y

(!s

1s
!t ); Wi = ( 1)n+i

Y

(!s

1s
!t );

É ÉÚ (2.2.5) ÎÅÔÒÕÄÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ Æi = jW j 1 Wi . ôÅÐÅÒØ ÓÕÍÍÕ (2.2.8) ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ n X i=1

Æi !it

n

X = jW j 1 Æi Wi = jW j i=1

1

e e : : : e !1 !2 : : : !n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0: !1n 2 !2n 2 : : : !nn 2 !1t !2t : : : !nt

òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (2.2.7) ÄÏËÁÚÁÎÏ. 2.3

ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÎÏ×ÙÈ ËÏÄÏ× ÉÚ ÚÁÄÁÎÎÙÈ

úÄÅÓØ ÍÙ ÐÒÉÄÅÒÖÉ×ÁÅÍÓÑ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÒÁÚÄÅÌÏ× × [18, 64].

çìá÷á 2.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

34

A. äÏÂÁ×ÌÅÎÉÅ ËÏÎÓÔÁÎÔ. çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ËÏÄ K P n ÓÏÄÅÒÖÉÔ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ,

ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÅ ÓÌÏ×Á ×ÉÄÁ (c; :::; c), ÇÄÅ c 2 P . äÌÑ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ K ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÀ e 2 K, ÇÄÅ e = (e; :::; e). äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ a 2 P n É 2 P ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ s (a) ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × ÓÌÏ×Å a, ÒÁ×ÎÙÈ .

2.3.1. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ K ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k; d]-ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ËÏÎÓÔÁÎÔ. ôÏÇÄÁ ËÏÄ Kc = K + eP ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k + 1; d0]-ËÏÄ, Ó ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ d0 = n s d; ÇÄÅ s = maxfs (a) : a 2 K n 0; 2 P g: max

åÓÌÉ q = 2, ÔÏ d0 = minfn

d; dg.

max

2 ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÓÌÏ×Ï b 2 Kc ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ b = a e; ÇÄÅ a 2 K; 2 P: ïÞÅ×ÉÄÎÏ, kbk = n s (a) n smax . ÷ÙÂÉÒÁÑ a 2 K n 0 É 2 P ÔÁË, ÞÔÏ s (a) = smax , ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ kbk = n smax . ïÔÓÀÄÁ d0 = n smax . îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï d0 d ÏÞÅ×ÉÄÎÏ. åÓÌÉ q = 2, ÔÏ ËÏÄ Kc ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ×ÅËÔÏÒÏ× a É a e, ÇÄÅ a 2 K. ôÅÐÅÒØ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ. 2 ÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 2.3.1 ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ËÏÄ Kc ÐÏÌÕÞÅÎ ÉÚ ËÏÄÁ K ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ ËÏÎÓÔÁÎÔ.

2.3.2. ðÒÉÍÅÒ. ëÏÄ, ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ ËÏÎÓÔÁÎÔ Ë ÓÉÍÐÌÅ-

ËÓÎÏÍÕ ËÏÄÕ

SP (k) Ó ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ [n; k; q q 1 (n + 1)] (ÓÍ. 1.2.6) ÅÓÔØ ËÏÄ ScP (k) Ó

ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ [n; k + 1; q q 1 (n + 1) 1] (ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÐÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ). ðÏÌÅÚÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅ ËÏÎÓÔÁÎÔ Ë ËÏÄÕ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÐÒÉÐÉÓÙ×ÁÎÉÀ ÓÔÒÏËÉ (e; :::; e) Ë ÅÇÏ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅ. B. äÏÂÁ×ÌÅÎÉÅ ÐÒÏ×ÅÒËÉ ÎÁ ÞÅÔÎÏÓÔØ. âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ËÏÄ K ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÐÒÏ×ÅÒËÕ ÎÁ ÞÅÔÎÏÓÔØ, ÅÓÌÉ ÅÇÏ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÏÄ KÆ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÌÏ×Ï e. 2.3.3. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ K | ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k; d]q -ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁb < P n+1 Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ÔÒÉÃÅÊ Hln . ôÏÇÄÁ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ K 0

Hb

=

B B B @

e ::: e H

e 0

1

C C .. C . A

0

ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n + 1; k; db ]q -ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒËÏÊ ÎÁ ÞÅÔÎÏÓÔØ É ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ db 2 fd; d + 1g. åÓÌÉ q = 2 É d ÎÅÞÅÔÎÏ, ÔÏ db = d + 1. åÓÌÉ ËÏÄ K ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÐÒÏ×ÅÒËÕ ÎÁ ÞÅÔÎÏÓÔØ, ÔÏ db = d.

çìá÷á 2.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

35

2 ïÞÅ×ÉÄÎÏ rank Hb = rank H + 1, É ÐÏÔÏÍÕ dim Kb = (n + 1) rank Hb = k. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÚ {P (H ) ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃÙ Hb ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÁ, Ô.Å. {P (Hb ) {P (H ), É ÞÔÏ × ÍÁÔÒÉÃÅ Hb ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÕÀ ÐÏÄÓÉÓÔÅÍÕ ÉÚ {P (H ) + 2 ÓÔÏÌÂÃÏ×, Ô.Å. {P (Hb ) {P (H ) + 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, db 2 fd; d + 1g ××ÉÄÕ ÔÅÏÒÅÍÙ 2.1.2. åÓÌÉ q = 2, ÔÏ ×ÓÅ ÓÌÏ×Á ËÏÄÁ Kb ÉÍÅÀÔ ÞÅÔÎÙÊ ×ÅÓ, ÐÏÜÔÏÍÕ db = 6 d, ÅÓÌÉ d ÎÅÞÅÔÎÏ. 2 ÷ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 2.3.3 ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ËÏÄ Kb ÐÏÌÕÞÅÎ ÉÚ K ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÐÒÏ×ÅÒËÉ ÎÁ ÞÅÔÎÏÓÔØ.

äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ K < P n ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ Kext ËÏÄ, ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÉÚ K ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ ËÏÎÓÔÁÎÔ É ÐÒÏ×ÅÒËÉ ÎÁ ÞÅÔÎÏÓÔØ. ÷×ÉÄÕ 2.3.1 É 2.3.3 ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ K ÅÓÔØ [n; k; d]-ËÏÄ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ËÏÎÓÔÁÎÔ, ÔÏ Kext ÅÓÔØ [n + 1; k + 1; dext]-ËÏÄ, ÇÄÅ

dext = n smax + Æ; éÎÏÇÄÁ ÄÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÅÓÔØ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÙÊ ËÏÄ K.

Æ 2 f0; 1g:

Kext ÅÓÔØ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ËÏÄÁ K, ÉÌÉ ÞÔÏ Kext

2.3.4. ðÒÉÍÅÒ. òÁÓÛÉÒÅÎÎÙÊ ÓÉÍÐÌÅËÓÎÙÊ ËÏÄ h i

ÒÁÍÅÔÒÁÍÉ q k ; k + 1; q q 1 q k (ÓÍ. 1.2.6, 2.3.2).

Sext q (k ) ÅÓÔØ ËÏÄ Ó ÐÁ-

2.3.5. ðÒÉÍÅÒ. òÁÓÛÉÒÅÎÎÙÊ (Ä×ÏÉÞÎÙÊ) ËÏÄ èÅÍÍÉÎÇÁ

[2l ; 2l

l

1; 4]2 -ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ÎÁÄ GF (2l ) ×ÉÄÁ

H ext

=

e e e ::: e 0 e ! : : : ! 2l 2

H2ext(l) ÅÓÔØ

(ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 2.1.4). óÌÅÄÕÅÔ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ËÏÄ H2 (l) ÕÖÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ, ÐÏÜÔÏÍÕ H2ext (l) = Hb2 (l) É dim H2ext (l) = dim H2 (l). üÔÏÔ ËÏÄ ÕÖÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÍ. C. äÅËÁÒÔÏ×Ï ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ËÏÄÏ×. ðÕÓÔØ Ki ÅÓÔØ [ni ; ki ; di ]-ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ

P , i 2 1; r. ôÏÇÄÁ ËÏÄ

K = K1 K2 ::: Kr P n +:::+n ; ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ×ÓÅÈ ÓÌÏ× ×ÉÄÁ (a1 ; :::; ar ), ÇÄÅ ai 2 Ki , ÅÓÔØ, ËÁË ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, [n1 + ::: + nr ; k1 + ::: + kr ; d]-ËÏÄ, ÇÄÅ d = minfd1 ; :::; dr g. ðÏÎÑÔÎÏ, ÞÔÏ K | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ÅÇÏ ËÏÍÐÏÎÅÎÔÙ Ki ÌÉÎÅÊÎÙ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÅÓÌÉ Hi | ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ Ki , ÔÏ K ÅÓÔØ ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ r

1

0 B

H =B @

H1 0 0 : : : 0 0 H2 0 : : : 0 ................... 0 0 0 : : : Hr

1

C C: A

çìá÷á 2.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

36

D. ôÅÎÚÏÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ËÏÄÏ×. îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÔÅÎÚÏÒÎÙÍ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅ-

ÎÉÅÍ ÍÁÔÒÉÃ A 2 Pm;n É B 2 Pk;l ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉÃÁ 0

1

a11 B : : : a1n B B .. C A B = @ ... . A 2 Pmk;nl : am1 B : : : amn B ðÅÒÅÞÉÓÌÉÍ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÐÅÒÁÃÉÉ , ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÓÌÏÖÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÍÅÔÏÄÁÍÉ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ (ÓÍ., ÎÁÐÒÉÍÅÒ, [4]). 2.3.6. ôÅÏÒÅÍÁ. äÌÑ ÌÀÂÙÈ ÍÁÔÒÉÃ A; B; C; D (ÐÏÄÈÏÄÑÝÉÈ ÒÁÚÍÅÒÏ×) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P É ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a 2 P ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ A (B + C ) = A B + A C; (A B )(C D) = AC BD; (A + B ) C = A C + B C;

rank(A B ) = rank A rank B;

a(A B ) = (aA) B = A (aB ):

ðÕÓÔØ Ki < P ni ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [ni ; ki; di ]-ËÏÄ Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ G(kii)ni É ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ Hl(ii) ni , li = ni ki , i 2 1; 2. ôÅÎÚÏÒÎÙÍ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ËÏÄÏ× K1 É K2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ K = K1 K2 < P n n , ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ×ÓÅÍÉ ÔÅÎÚÏÒÁÍÉ ×ÉÄÁ a b; a 2 K1 ; b 2 K2 : (2.3.1) 2.3.7. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÒÉ ÓÄÅÌÁÎÎÙÈ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÑÈ K = K1 K2 ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n1 n2 ; k1 k2 ; d1 d2 ]-ËÏÄ Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ G = G(1) G(2) É ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ 1 2

ÍÁÔÒÉÃÅÊ

0

H =@ 0

(i) ! G 1

1

Hl(1)n 1

1

En

1 2

En1 Hl(2) 2 n2

A:

(2.3.2)

C 2 ðÕÓÔØ G(i) = B @ : : : A, ÔÏÇÄÁ rank G(i) = ki . ðÏÌØÚÕÑÓØ ÔÅÏÒÅÍÏÊ 2.3.6 É (i) ! Gk ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ËÏÄÁ K ÌÅÇËÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÔÅÎÚÏÒ (2.3.1), Á ÚÎÁÞÉÔ É ÌÀÂÏÅ ÓÌÏ×Ï ËÏÄÁ K, ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÓÉÓÔÅÍÕ ÔÅÎÚÏÒÏ× (1) (2) ! (2.3.3) Gs ! G t ; s 2 1; k1 ; t 2 1; k2 ; i

ËÏÔÏÒÁÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÄÓÉÓÔÅÍÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ (2.3.1). îÏ ÓÉÓÔÅÍÁ (2.3.3) ÅÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉÃÙ 1 0 (1) ! G 1 G(2) C ::: G = G(1) G(2) = B A @ (1) ! (2) G G k1

k1 k2 n1 n2

çìá÷á 2.

37

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 2.3.6 rank G = k1 k2 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÉÓÔÅÍÁ (2.3.3) ÅÓÔØ ÂÁÚÉÓ ËÏÄÁ K É G | ÅÇÏ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, dim K = k1 k2 . äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ d(K) ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÄÒÕÇÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ËÏÄÁ K. ðÕÓÔØ a = (a1 ; :::; an ) 2 K1 , b = (b1 ; :::; bn ) 2 K2 . ôÏÇÄÁ ÔÅÎÚÏÒ (2.3.1) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 1

2

a b = (a1 b1 ; :::; a1 bn2 ; a2 b1 ; :::; a2 bn2 ; :::; an1 b1 ; :::; an1 bn2 );

É, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÚÁÐÉÓÁÎÎÕÀ ÐÏ ÓÔÒÏËÁÍ ÍÁÔÒÉÃÕ 0

a1

0

1

B ! @ .. C a# b = B . A (b1 ::: bn2 ) = B @

an

1

a1 b1 a1 b2 : : : a1 bn a2 b1 a2 b2 : : : a2 bn ........................ an b1 an b2 : : : an bn 2 2

1

1

1

1 C C; A

2

a 2 K1 ; b 2 K2 :

(2.3.4)

ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÓÌÏ×Ï c ËÏÄÁ K ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

c = (c11 ; :::; c1n2 ; c21 ; :::; c2n2 ; :::; cn1 1 ; :::; cn1 n2 )

(2.3.5)

É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÅÊ ÓÌÏ× (2.3.1). úÁÐÉÓÙ×ÁÑ ÓÌÏ×Á c 2 K × ×ÉÄÅ (n1 n2 )-ÍÁÔÒÉÃ 0 1 c11 : : : c1n . .. C M (c) = B @ .. . A 2 Pn n ; cn 1 : : : cn n ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÍ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï M (K) < P Pn n , ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÏÅ ÍÁÔÒÉÃÁÍÉ (2.3.4). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ËÁÖÄÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ C 2 M (K) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ H (1) C = 0; H (2) C T = 0; (2.3.6) 2

1 2

1

1 2

1 2

Ô.Å. ×ÓÅ ÅÅ ÓÔÏÌÂÃÙ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ËÏÄÕ K1 , Á ×ÓÅ ÓÔÒÏËÉ | ËÏÄÕ K2 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ C 6= 0, ÔÏ C ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅ ÍÅÎÅÅ d1 ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÓÔÒÏË (ÅÓÔØ ÓÔÏÌÂÅÃ Ó ×ÅÓÏÍ èÅÍÍÉÎÇÁ ÎÅ ÍÅÎÅÅ d1 ), É ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÜÔÉÈ ÓÔÒÏË ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅ ÍÅÎÅÅ d2 ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÌÏ×Ï c ×ÉÄÁ (2.3.5) ÉÍÅÅÔ ×ÅÓ kck d1 d2 . ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ×ÙÂÉÒÁÑ a 2 K1 , b 2 K2 ÔÁË, ÞÔÏ kak = d1 , kbk = d2 , ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÏ×Ï c = a b ÉÚ K ×ÅÓÁ d1 d2 . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, d(K) = d1 d2 . ðÏËÁÖÅÍ ÔÅÐÅÒØ, ÞÔÏ ËÏÄ M (K) ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÉÚ ×ÓÅÈ ÍÁÔÒÉÃ Cn n ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ (2.3.6). éÚ (2.3.6) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉÃÙ C (ÓÔÏÌÂÃÙ C T ) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÑÍÉ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉÃÙ G(2) , Ô.Å. C = Un k G(2) k n (1) (2) (1) ÄÌÑ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÙ U . ôÏÇÄÁ H C = (Hl n Un k )Gk n = 0, É ÔÁË ËÁË ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉÃÙ G(2) ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÁ, ÔÏ H (1) U = 0. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÔÏÌÂÃÙ ÍÁÔÒÉÃÙ U Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÌÏ×ÁÍÉ ËÏÄÁ K1 É ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÓÔÏÌÂÃÙ ÍÁÔÒÉÃÙ G(1) . ôÅÐÅÒØ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á 1

1

1

1

2

! # ! (2) + ::: + U # G! (2) UG(2) = U1# G(2) + U G 1 2 2 k k 2

2

2

2

2

1

2

2

2

çìá÷á 2.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

38

ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉÃÁ C Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÅÊ ÍÁÔÒÉÃ

! (G(1)T )#i G(2) j ; i 2 1; k1 ; j 2 1; k2 ;

Ô.Å. ÓÔÒÏËÁ c ×ÉÄÁ (2.3.5), ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÅ C , ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÓÉÓÔÅÍÕ (2.3.3). üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ c 2 K É C 2 M (K). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÓÔÒÏËÁ c ×ÉÄÁ (2.3.5) ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ K ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÅÊ ÍÁÔÒÉÃÁ C = M (c) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ (2.3.6). üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ c ÅÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Hx# = 0, ÇÄÅ H | ÍÁÔÒÉÃÁ ×ÉÄÁ (2.3.2), Ô.Å. H | ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ K, É, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, rank H = n1 n2 k2 k2 = n1 l2 + n2 l1 l1 l2 . 2 E. çÉÂÒÉÄÎÙÊ ËÏÄ (ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÑ (aja + b)). ðÕÓÔØ Ki , i 2 1; 2, ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; ki ; di ]-ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÏÄ K ÄÌÉÎÙ 2n, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ×ÓÅÈ ÓÌÏ× ×ÉÄÁ (a; a + b); a 2 K1 ; b 2 K2 : îÅÔÒÕÄÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ K ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [2n; k1 + k2 ; d]-ËÏÄ, ÇÄÅ d = minf2d1 ; d2 g. íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÅÇÏ ÇÉÂÒÉÄÏÍ ËÏÄÏ× K1 É K2 É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ K = K1 a K2 (ËÏÄ, ÐÏÌÕÞÁÀÝÉÊÓÑ \ÐÒÉ×É×ËÏÊ" ËÏÄÁ K2 Ë ËÏÄÕ K1 ). F. õ×ÅÌÉÞÅÎÉÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ Ó ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÅÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ. ðÕÓÔØ K | ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k; d]-ËÏÄ É b 2 P n n K | ÓÌÏ×Ï, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÄÏ ÌÀÂÏÇÏ ÓÌÏ×Á ÉÚ ËÏÄÁ K ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ d 1. ôÏÇÄÁ ËÏÄ K0 , ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ×ÓÅÈ ÓÌÏ× ×ÉÄÁ

(a + bc; c); a 2 K; c 2 P; ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n + 1; k + 1; d]-ËÏÄ.

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÉÓÈÏÄÎÙÊ ËÏÄ K ÉÍÅÅÔ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ Gkn, ÔÏ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ÄÌÑ ËÏÄÁ K0 ÂÕÄÅÔ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÍÁÔÒÉÃÁ 0

G0

(k+1)(n+1) =

q

2.3.8. ðÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ

B B B @

G b

0 .. . 0 e

1

C C C: A

K = RSq (q; k) ÅÓÔØ [q; k; d]q -ËÏÄ òÉÄÁ|óÏÌÏÍÏÎÁ, d =

k + 1. åÇÏ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÅÓÔØ 0 B

G=B @

e e ::: e 0 1 : : : q 1 .................. 0 1k 1 : : : qk 11

1 C C: A

ðÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ k < q 2 ÓÌÏ×Ï b` = (0; 1k ; :::; qk 1 ) ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ ÎÅ G ÍÅÎØÛÅÍ, ÞÅÍ d 1, ÏÔ ÌÀÂÏÇÏ ÓÌÏ×Á ÉÚ K, ÐÏÓËÏÌØËÕ b | ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ

çìá÷á 2.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

39

ËÏÄÁ RSq (q; k + 1) Ó ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ d 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÄ K0 Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ 0 1 e e ::: e 0 B 0 1 : : : q 1 0 C B C 0 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G =B B C @ 0 k 1 : : : k 1 0 A 1 q 1 0 1k : : : qk 1 e ÅÓÔØ [q + 1; k + 1; d]q -ËÏÄ, ÇÄÅ d = q k + 1 = (q + 1) (k + 1) + 1. üÔÏ | íäòËÏÄ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÙÍ ËÏÄÏÍ òÉÄÁ|óÏÌÏÍÏÎÁ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÅÇÏ RSq (q + 1; k + 1) (ÚÄÅÓØ k < q 2). G. õÍÅÎØÛÅÎÉÅ ÄÌÉÎÙ ËÏÄÁ. ðÕÓÔØ K ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k; d]-ËÏÄ É c 2 K | ÓÌÏ×Ï ×ÅÓÁ d Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ ÎÁ ÍÅÓÔÁÈ i1 , ..., id . ðÕÓÔØ K | ËÏÄ, ÐÏÌÕÞÁÀÝÉÊÓÑ ÉÚ K ÕÄÁÌÅÎÉÅÍ ×ÓÅÈ ÓÌÏ×, ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ c, É ×ÙÞÅÒËÉ×ÁÎÉÅÍ × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÌÏ×ÁÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ i1 , ..., id . 2.3.9. ôÅÏÒÅÍÁ. K ÅÓÔØ [n d; k 1; d1]-ËÏÄ, ÇÄÅ d1 ]d=q [. åÓÌÉ [n; n k]-ËÏÄ Æ K , Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë K, ÉÍÅÅÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ dÆ É d n k (Ô.Å. K | ÎÅ íäò-ËÏÄ), Æ Æ Æ ÔÏ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ËÏÄÕ K ËÏÄ K ÅÓÔØ [n d; n d (k 1); d ]-ËÏÄ, ÇÄÅ d dÆ .

2 úÁÍÅÎÑÑ ËÏÄ K ÐÏÄÈÏÄÑÝÉÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍ ËÏÄÏÍ (ÓÍ. 1.3.4), ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ (i1 ; :::; id ) = (1; :::; d) É c = (e; :::; e; 0; :::; 0). ÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ËÏÄ K ÉÍÅÅÔ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ×ÉÄÁ 0 B

G=B @

e ::: e 0 ::: 0

G1

1 C C A

;

(2.3.7)

k n

ÇÄÅ rank G = k É G1 2 P(k 1)(n d) . íÁÔÒÉÃÁ G1 ÉÍÅÅÔ ÒÁÎÇ k 1. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, × ÐÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÅÅ ÐÅÒ×ÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÎÕÌÅ×ÁÑ. îÏ ÔÏÇÄÁ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÑ ÐÅÒ×ÙÈ Ä×ÕÈ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉÃÙ G ÄÁÅÔ ÓÌÏ×Ï, ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÅÅ ËÏÄÕ K, É ÉÍÅÀÝÅÅ ×ÅÓ ÍÅÎØÛÉÊ, ÞÅÍ d, ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. ðÒÉ ÓÄÅÌÁÎÎÙÈ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÑÈ K ÅÓÔØ ËÏÄ Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ G1 , É ÜÔÏ [n d; k 1]-ËÏÄ. ðÕÓÔØ d(K) = d1 É b 2 K | ÓÌÏ×Ï ×ÅÓÁ d1 . ôÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÌÏ×Ï a 2 P d ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ (a; b) 2 K. ðÒÉ ÜÔÏÍ kak + kbk d, Ô.Å.

kak + d1 d:

(2.3.8)

äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ 2 P ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ s() ÞÁÓÔÏÔÕ ÐÏÑ×ÌÅÎÉÑ ÂÕË×Ù × ÓÌÏ×Å a, É ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ s( ) = smax = maxfs() : 2 P g. ôÏÇÄÁ

kak =

X

2P

s() (q

1)s( ) = (q

1)smax :

çìá÷á 2.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

ïÔÓÀÄÁ ÉÍÅÅÍ

smax = s( )

40

kak :

(2.3.9) q 1 éÚ ÓÔÒÏÅÎÉÑ (2.3.7) ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÙ ËÏÄÁ K ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ, ÎÁÒÑÄÕ ÓÏ ÓÌÏ×ÏÍ (a; b) ÏÎ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÌÏ×Ï (a e; b), ÇÄÅ e = (e; :::; e) 2 P d . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ka ek + kbk d. ôÁË ËÁË ka ek = d smax , ÔÏ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ d smax + d1 d, É, ××ÉÄÕ (2.3.9),

d1 smax

kak ; (q q 1

1)d1 kak:

ïÔÓÀÄÁ É ÉÚ (2.3.8) ÐÏÌÕÞÁÅÍ qd1 kak + d1 d, Ô.Å. d1 ]d=q [. ôÅÐÅÒØ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÓÄÅÌÁÎÎÙÈ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÑÈ ÍÁÔÒÉÃÁ G1 ÅÓÔØ ÐÒÏÆ ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ K , É ÜÔÏ | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÄÌÉÎÙ n d É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ (n d) rank G1 = (n d) (k 1) 1 (ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ d n k). éÚ 2.1.2 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÊ ÒÁÎÇ ÍÁÔÒÉÃÙ G (ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÄÌÑ ËÏÄÁ KÆ ) ÅÓÔØ {P (G) = dÆ 1, ÐÒÉÞÅÍ {P (G) < k = rank G, ÐÏÓËÏÌØËÕ KÆ | ÎÅ íäò-ËÏÄ (ÓÍ. 2.2.5, 2.1.2). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÉÓÌÏ {P (G) ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÞÉÓÌÁ k 1 ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃÙ G1 , É ÉÚ ÓÔÒÏÅÎÉÑ (2.3.7) ÍÁÔÒÉÃÙ G ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÚ {P (G) ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃÙ G1 ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÁ ÎÁÄ P . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Æ Æ Æ {P (G1 ) {P (G) d 1, É, ÓÏÇÌÁÓÎÏ 2.1.2, d(K ) d . 2 ÷ÁÖÎÏÅ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÜÔÏÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ | ÏÃÅÎËÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÊ ÄÌÉÎÙ nq (k; d) ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ k ÎÁÄ GF (q ) Ó ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ d. 2.3.10. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ (ÇÒÁÎÉÃÁ çÒÉÓÍÅÒÁ).

d d nq (k; d) d + + ::: + k 1 : q q

(2.3.10)

2 éÚ 2.3.9 ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï nq (k; d) d + nq (k 1; ]d=q [); ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÍ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ (2.3.10). 2 éÚ ÜÔÏÊ ÇÒÁÎÉÃÙ ÌÅÇËÏ ×Ù×ÅÓÔÉ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÕÀ ÇÒÁÎÉÃÕ çÒÉÓÍÅÒÁ; ÏÎÁ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÁÎÉÃÅÊ ðÌÏÔËÉÎÁ 1.2.14. 2.3.11. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. åÓÌÉ K ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ íäò-ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ k 2, ÔÏ d(K) q É n q + k 1.

2 ôÁË ËÁË K | íäò-ËÏÄ, ÔÏ d = n (k 1). ðÏÜÔÏÍÕ, × ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÉÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ 2.3.9, ÐÏÄÍÁÔÒÉÃÁ G1 ÍÁÔÒÉÃÙ (2.3.7) ÅÓÔØ (k 1) (k 1)ÍÁÔÒÉÃÁ ÒÁÎÇÁ k 1 (ÓÍ. ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï 2.3.9). üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ K = P k 1 É d1 = 1, Ô. Å. ]d=q [ 1. 2

çìá÷á 2.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

41

2.3.12. ðÒÉÍÅÒ. ëÏÄ RSq (q + 1; 2) ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 2.3.7 ÅÓÔØ íäò ËÏÄ Ó ÒÁÓÓÔÏ-

ÑÎÉÅÍ d = q + 1 2 + 1 = q .

H. ëÁÓËÁÄÎÏÅ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅ ËÏÄÏ×. ìÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k]q -ËÏÄ K < P n, ËÁË

ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ P , ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ P k . üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏÅ ÎÁÄ P ×ÌÏÖÅÎÉÅ

': P k ! P n; Ker ' = 0; '(P k ) = K;

(2.3.11)

É ÍÙ ÍÏÖÅÍ \ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÔØ" ËÏÄ K Ó ×ÌÏÖÅÎÉÅÍ '. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ×ÌÏÖÅÎÉÅ ' ÉÍÅÅÔ ×ÁÖÎÙÊ ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ: ÏÎÏ ÏÐÉÓÙ×ÁÅÔ ÏÄÉÎ ÉÚ ÓÐÏÓÏÂÏ× ÐÒÅ×ÒÁÝÅÎÉÑ (ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ) ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÏÇÏ ÓÌÏ×Á ÄÌÉÎÙ k ÉÚ P k × ËÏÄÏ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï ÄÌÉÎÙ n ÉÚ P n. äÏÐÕÓÔÉÍ ÔÅÐÅÒØ, ÞÔÏ P | ÎÅ ÐÒÏÓÔÏÅ ÐÏÌÅ, É F | ÅÇÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÐÏÄÐÏÌÅ:

F < P; F = GF ( ); [P : F ] = r; Ô.Å. q = r .

(2.3.12)

ôÏÇÄÁ, ×ÙÂÒÁ× ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á F P , ÐÏÌÅ P ÍÏÖÎÏ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÔØ Ó ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ F F r , ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×Á× ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ : F F r ! F P . äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ m r ×ÌÏÖÅÎÉÅ : F P ! F F m; (2.3.13) ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ×ÌÏÖÅÎÉÅ

: F F r ! F F m; =

Æ ;

(2.3.14)

ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [m; r] -ËÏÄ L = (P ) = ( Æ )(F r ) < F F m . ôÅÐÅÒØ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÐÒÅ×ÒÁÔÉÔØ n-ËÏÄ K < P n × mn-ËÏÄ ÎÁÄ F , ÅÓÌÉ × ËÁÖÄÏÍ ÓÌÏ×Å a = (a1 ; :::; an ) 2 K ÚÁËÏÄÉÒÕÅÍ ËÁÖÄÕÀ ÂÕË×Õ ai 2 P ÓÌÏ×ÏÍ (ai ) 2 F m . ðÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ËÏÄ M < F mn , ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ×ÓÅÈ ÓÌÏ× ×ÉÄÁ n (a)

= ( (a1 ); :::; (an )) 2 F mn ; ÇÄÅ (a1 ; :::; an ) 2 K < P n ;

(2.3.15)

ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ËÁÓËÁÄÎÙÍ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅÍ, ÉÌÉ ËÏÎËÁÔÅÎÁÃÉÅÊ ËÏÄÏ× K < P n É L < F m . ðÒÉ ÜÔÏÍ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ K ÅÓÔØ ×ÎÅÛÎÉÊ, Á L | ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÊ ËÏÄÙ ËÏÄÁ M. íÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÌÑ ÔÁËÏÇÏ ËÏÄÁ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ M = K L. 2.3.13. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÉ ××ÅÄÅÎÎÙÈ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÑÈ ÅÓÌÉ K ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k; d]q -ËÏÄ, Á L ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [m; r; Æ ] -ËÏÄ, ÔÏ M = K L ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [nm; kr; D] -ËÏÄ, ÇÄÅ D dÆ .

2 ïÞÅ×ÉÄÎÏ, M = ( n Æ ')(F P k ) ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ nm-ËÏÄ ÎÁÄ F , ÐÒÉÞÅÍ ÔÁË ËÁË ' É | ×ÌÏÖÅÎÉÑ, ÔÏ dimF M = k dimF P = kr. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï (2.3.15) ËÏÄÁ M ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÍÅÎÅÅ d = d(K) ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÂÌÏËÏ× (ai ) 2 L < F m , É ËÁÖÄÙÊ ÔÁËÏÊ ÂÌÏË ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÍÅÎÅÅ Æ = d(L) ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÂÕË× ÉÚ F . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, D = d(M) dÆ . 2

çìá÷á 2.

2.4

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

42

÷ÅÓÏ×ÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï íÁË-÷ÉÌØÑÍÓ

K | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ n-ËÏÄ × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ

= f!0 ; :::; !q 1 g. úÁÄÁÄÉÍ n ÆÕÎËÃÉÊ si : n ! N 0 , i 2 0; q 1, ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ: si (a) | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × ÓÌÏ×Å a, ÒÁ×ÎÙÈ !i . úÁÍÅÔÉÍ ÓÒÁÚÕ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÙ ÎÁ ÓÌÏ×ÁÈ ÌÀÂÏÊ ÄÌÉÎÙ É, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, si (!j ) = Æij | ÓÉÍ×ÏÌ ëÒÏÎÅËÅÒÁ. îÁÚÏ×ÅÍ ÓÔÒÏËÕ s(a) = (s0 (a); :::; sq 1 (a)) 2 N q0 ÐÏÌÎÏÊ ×ÅÓÏ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÏÊ (ÉÌÉ ÓÐÅÃÉÆÉËÁÃÉÅÊ) (Ð.×.È.) ÓÌÏ×Á a 2 n . ðÏÌÎÏÊ ×ÅÓÏ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ (Ð.×.Æ.) ËÏÄÁ K ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ q ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x0 , ..., xq 1 ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ Z ×ÉÄÁ X s (a) WK (x0 ; :::; xq 1 ) = x0 :::xsqq 1 (a) : (2.4.1) A. ðÏÌÎÁÑ ×ÅÓÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ. ðÕÓÔØ

0

1

a2K

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÜÔÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ n. íÙ ÂÕÄÅÍ ÐÒÉÍÅÎÑÔØ ÓÏËÒÁÝÅÎÎÕÀ \×ÅËÔÏÒÎÕÀ" ÆÏÒÍÕ ÚÁÐÉÓÉ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ q ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ xs = xs0 :::xsqq 1 ÄÌÑ x = (x0 ; :::; xq 1 ), s = (s0 ; :::; sq 1 ). ôÏÇÄÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ P (2.4.1) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ WK (x) = a2K xs(a) . çÒÕÐÐÉÒÕÑ × ÜÔÏÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÓÌÏ×ÁÍ Ó ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ Ð.×.È., ÐÏÌÕÞÁÅÍ 0

1

WK (x) =

X s2Nq0

A(s)xs ;

(2.4.2)

ÇÄÅ A(s) = AK (s) | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÌÏ× × ËÏÄÅ K, ÉÍÅÀÝÉÈ Ð.×.È. s. äÏÐÕÓÔÉÍ ÔÅÐÅÒØ, ÞÔÏ K | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = f!0 = 0; !1; :::; !q 1 g. ôÏÇÄÁ ÐÏÌÎÙÅ ×ÅÓÏ×ÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ WK (x) É WKÆ (x) ËÏÄÁ K É Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ Ë ÎÅÍÕ ËÏÄÁ KÆ Ó×ÑÚÁÎÙ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÍ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÏÍ íÁË-÷ÉÌØÑÍÓ. îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÇÒÕÐÐÙ G ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ : G ! (C ; ) ÜÔÏÊ ÇÒÕÐÐÙ × ÍÕÌØÔÉÐÌÉËÁÔÉ×ÎÕÀ ÇÒÕÐÐÕ ÐÏÌÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÏÍ ÇÒÕÐÐÙ G. èÁÒÁËÔÅÒ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÍ, ÅÓÌÉ (G) = 1, É ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÍ × ÐÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ G | ËÏÎÅÞÎÁÑ ÇÒÕÐÐÁ, ÔÏ (G) | ÃÉËÌÉÞÅÓËÁÑ ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ ÇÒÕÐÐÙ C , Ô.Å. ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ËÏÒÎÅÊ ÓÔÅÐÅÎÉ m = j(G)j ÉÚ ÅÄÉÎÉÃÙ × ÐÏÌÅ C . ïÔÓÀÄÁ ÌÅÇËÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÈÁÒÁËÔÅÒÏ×. 2.4.1. ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ | ÈÁÒÁËÔÅÒ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÇÒÕÐÐÙ G. ôÏÇÄÁ X g2G

(g ) =

jGj; 0;

ÅÓÌÉ (G) = 1; ÅÓÌÉ (G) 6= 1:

2.4.2. ôÅÏÒÅÍÁ (ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï íÁË-÷ÉÌØÑÍÓ [18]). ðÕÓÔØ : (P; +) ! (C ; ) | ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÐÐÙ ÐÏÌÑ P . ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ K < P n ÐÏÌÎÙÅ ×ÅÓÏ×ÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ËÏÄÏ× K É KÆ Ó×ÑÚÁÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ

WKÆ (x) =

1

jKj WK(0 (x); :::; q

1 (x));

(2.4.3)

çìá÷á 2.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

ÇÄÅ

l (x) =

q 1 X t=0

2 ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ

(!l !t )xt ÄÌÑ l 2 0; q

WKÆ (x) =

X b2KÆ

1.

43

(2.4.4)

xs(b) :

(2.4.5)

ðÏÓÔÁ×ÉÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ËÁÖÄÏÍÕ a 2 P n ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

f (a) = äÏËÁÖÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

X

b 2P n

WKÆ (x) =

(ba)xs(b) : 1

(2.4.6)

X

jKj a2K f (a):

(2.4.7)

äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÐÏÌØÚÕÑÓØ (2.4.6), ÐÏÌÕÞÁÅÍ X a2K

f (a) =

X b2P n

(b)xs(b) ; ÇÄÅ (b) =

X a2K

(ba):

(2.4.8)

åÓÌÉ b 2 KÆ , ÔÏ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, (b) = jKj. ðÕÓÔØ b 2= KÆ . ôÏÇÄÁ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ': K ! P ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ '(a) = ba ÅÓÔØ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, É '(K) | ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P P . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, '(K) = P . ÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ X (b) = j Ker 'j (! ); !2P

É ÐÏ ÌÅÍÍÅ 2.4.1 (b) = 0. ôÅÐÅÒØ ÉÚ (2.4.8) ÐÏÌÕÞÁÅÍ X a2K

f (a) = jKj

X b2KÆ

xs(b) ;

ÞÔÏ É ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (2.4.7). äÁÌÅÅ, ÐÏÌØÚÕÑÓØ ÔÅÍ, ÞÔÏ | ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ, ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ (2.4.6) ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (a) ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ:

f (a) =

X

n Y

b1 ;:::;bn 2P u=1

(bu au )xs0 (bu ) :::xsqq 1 (bu ) : 0

1

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ bu = !t 2 P , ÔÏ xs0 (bu ) :::xsqq 1 (bu ) = xt , ÔÁË ËÁË si (bl ) = si (!t ) = Æit . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, q 1 n n X X Y Y f (a) = ((!tl al )xtl ) = (!t al )xt = t =0 l=1 t ;:::;tn 20;q 1 l=1 0

1

1

çìá÷á 2.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

q 1 Y

q 1 X

k=0

t=0

(!k !t )xt

!sk (a)

44

:

ïÔÓÀÄÁ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ (2.4.4), ÐÏÌÕÞÁÅÍ

f (a) =

q 1 Y l=0

l (x)sl(a) :

ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ f (a) × (2.4.7) ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÍÏÎÏÍÁ xs(a) × (2.4.2) ÚÁÍÅÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ xk ! k (x), k 2 0; q 1, ÞÔÏ É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔÓÑ ÔÅÏÒÅÍÏÊ. 2 ðÒÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÐÏÌÑÍÉ ÞÁÓÔÏ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ ÇÒÕÐÐÙ (P; +). ðÕÓÔØ trqp(x) = x + xp + ::: + xpr | ÆÕÎËÃÉÑ ÓÌÅÄ ÉÚ ÐÏÌÑ P = GF (q ), ÇÄÅ q = pr , × ÐÒÏÓÔÏÅ ÐÏÄÐÏÌÅ GF (p) = Zp, É ÐÕÓÔØ | ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ËÏÒÅÎØ ÓÔÅÐÅÎÉ p ÉÚ ÅÄÉÎÉÃÙ × ÐÏÌÅ C . îÁÐÒÉÍÅÒ, = cos 2p + i sin 2p . ôÏÇÄÁ 1

(! ) = trp (!) q

| ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ ÇÒÕÐÐÙ (P; +), É ÍÙ ÉÍÅÅÍ 2.4.3. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÔÅÏÒÅÍÙ 2.4.2 ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï (2.4.3) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï, ÅÓÌÉ

l (x) =

q 1 X t=0

trp (!l !t) xt ÄÌÑ k 2 0; q q

1:

B. üÎÕÍÅÒÁÔÏÒ ×ÅÓÏ× (×ÅÓÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ èÅÍÍÉÎÇÁ). ÷ÅÓÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ èÅÍÍÉÎÇÁ ËÏÄÁ K P n ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ Z ÏÔ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ

×ÉÄÁ

WKHam (x; y ) =

X a2K

xn kak y kak:

(2.4.9)

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÜÔÁ ÆÕÎËÃÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÏÌÕÞÅÎÁ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÉÅÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ × Ð.×.Æ.: WKHam (x; y ) = WK (x; y; :::; y ): (2.4.10) çÒÕÐÐÉÒÕÑ × (2.4.9) ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ

W Ham (x; y ) K

=

n X i=0

AK (i)xn i y i;

(2.4.11)

ÇÄÅ AK (i) | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÌÏ× ×ÅÓÁ i × ËÏÄÅ K. îÁÂÏÒ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× (AK (0), AK (1), ..., AK (n)) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ (2.4.11) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÅÓÏ×ÙÍ ÓÐÅËÔÒÏÍ ËÏÄÁ K.

çìá÷á 2.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

45

2.4.4. ôÅÏÒÅÍÁ (ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï íÁË-÷ÉÌØÑÍÓ ÄÌÑ ÜÎÕÍÅÒÁÔÏÒÏ× ×ÅÓÏ×). üÎÕÍÅÒÁÔÏÒÙ ×ÅÓÏ× ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ [n; k]-ËÏÄÁ K < P n É Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ Ë ÎÅÍÕ ËÏÄÁ KÆ Ó×ÑÚÁÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ

WKHam Æ (x; y ) =

1 Ham W (x + (q qk K

1)y; x y ):

(2.4.12)

2 éÓÐÏÌØÚÕÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï (2.4.3), ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (2.4.10) É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï WKHam Æ (x; y ) = WKÆ (x; y; :::; y ); ÐÏÌÕÞÁÅÍ

WKHam Æ (x; y ) =

(2.4.13)

1

jKj WK (0(x; y; :::; y); :::; q 1(x; y; :::; y)):

éÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ (2.4.4) ÆÕÎËÃÉÊ l É ÕÓÌÏ×ÉÑ !0 = 0 ÎÁÈÏÄÉÍ ! q 1 X l (x; y; :::; y ) = (0)x + (!l !t ) y: t=1 åÓÌÉ l = 0, ÔÏ !l = 0 É 0 (x; y; :::; y ) = x + (q 1)y . åÓÌÉ ÖÅ l > 0, Ô.Å. !l 6= 0, ÔÏ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÌÅÍÍÕ 2.4.1, ÐÏÌÕÞÁÅÍ q 1 X X (!l !t ) = (! ) = 0 (0) = 1: t=1 !2P n0 óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (x; y; :::; y ) = x y . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, 1 WKHam Æ (x; y ) = k WK (x + (q 1)y; x y; :::; x y ) = q 1 Ham W (x + (q 1)y; x y ): 2 qk K 2.5

òÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ É ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÅ ËÏÄÙ

A. òÅËÕÒÓÉ×ÎÁÑ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÏÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ×. úÄÅÓØ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔÓÑ

Ó×ÏÊÓÔ×Á ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ (ìòð) ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÐÏÌÑÍÉ, ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÅ × ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÉ 7.3. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ u: N 0 ! P , ËÏÔÏÒÕÀ ÞÁÓÔÏ ÂÕÄÅÍ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÔØ ÓÏ ÓÔÒÏËÏÊ ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ u = (u(0); u(1); :::). þÅÒÅÚ P h1i ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÁÄ P . îÁ ÜÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÏÐÅÒÁÃÉÉ ÐÏËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ ÉÚ P , ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÔÏÒÙÈ P h1i ÅÓÔØ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï F N 0 ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÏÌÉÜÄÒÏÍ. âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ F | ÐÏÌÉÜÄÒ ÉÚ n ÔÏÞÅË:

F = fi1 ; :::; ing;

(2.5.1)

çìá÷á 2.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

46

ÐÒÉÞÅÍ ÞÉÓÌÁ i1 ; :::; in ÐÅÒÅÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÙ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ × ÐÏÒÑÄËÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ. ðÕÓÔØ P F | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÆÕÎËÃÉÊ Æ : F ! P . ìÀÂÁÑ ÔÁËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÏÊ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Æ [F ] = (Æ (i1 ); :::; Æ (in )). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÐÅÒÁÃÉÉ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÊ ÉÚ P F É ÉÈ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ ÉÚ P ÐÒÅ×ÒÁÝÁÀÔ P F × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÉÚÏÍÏÒÆÎÏÅ P n. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÌÀÂÏÅ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P F ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ n-ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u 2 P h1i ÍÙ ÔÁËÖÅ ÍÏÖÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÎÁ ÐÏÌÉÜÄÒÅ (2.5.1)

u[F ] = (u(i1 ); :::; u(in)): äÁÌÅÅ ÂÅÚ ÏÇÏ×ÏÒÏË ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ É ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÉÚ ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÑ 7.3. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) 2 P [x] ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÌÏ×

K = LFP (f ) = fu[F ] : u 2 LP (f )g

(2.5.2)

ÅÓÔØ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÌÉÎÅÊÎÙÊ n-ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ K < P n ×ÉÄÁ (2.5.2) ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÍ, Á ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (2.5.2) | ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ ËÏÄÁ K. ÷ÁÖÎÙÊ ÞÁÓÔÎÙÊ ËÌÁÓÓ ÔÁËÉÈ ËÏÄÏ× | ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ ËÏÄÙ (ÐÒÉÍÅÒ 1.1.6). üÔÏ ËÏÄÙ ×ÉÄÁ (2.5.2) ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ F = 0; n 1. 2.5.1. ôÅÏÒÅÍÁ. ìÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÐÏÌÅÍ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÕÌÅ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ.

2 äÏÐÕÓÔÉÍ ÓÎÁÞÁÌÁ, ÞÔÏ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ÓÌÏ× ËÏÄÁ K ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ, ÎÏ É ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. ðÕÓÔØ dim K = m. ðÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÑ, ÅÓÌÉ ÎÁÄÏ, ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÓÌÏ× (ÞÔÏ ÎÅ ×ÌÉÑÅÔ ÎÁ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÏÓÔÉ), ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ K | ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ×ÉÄÁ 0 B

H=B @

r11 : : : r1m e 0 : : : 0 r21 : : : r2m 0 e ::: 0 ............................... rl1 : : : rlm 0 0 : : : e

1 C C A

; l = n m:

(2.5.3)

ln

÷ÙÂÅÒÅÍ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (x) 2 P [x] ÓÔÅÐÅÎÉ m ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÅÇÏ ËÏÒÅÎØ × ÐÏÌÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Q = GF (q m ) ÎÁÄ P ÂÙÌ ÂÙ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÐÏÌÑ Q. éÚ×ÅÓÔÎÏ [17], ÞÔÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÙÞÅÔÏ× Res(xi =f (x)) = f0(i) + f1(i) x + ::: + fm(i) 1 xm 1 ; i 2 0; q m 2; (2.5.4) ÓÔÅÐÅÎÅÊ xi ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ f (x) ÅÓÔØ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÄ P ÓÔÅÐÅÎÉ ÍÅÎØÛÅÊ, ÞÅÍ m. ôÁË ËÁË ËÏÄ K ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÕÌÅ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ t 2 1; l ÓÔÒÏËÁ (rt1 ; :::; rtm ) × (2.5.3) ÏÔÌÉÞÎÁ ÏÔ ÎÕÌÑ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ it 2 1; q m 2 ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Res(xit =f (x)) = rt1 + ::: + rtm xm 1 : (2.5.5)

çìá÷á 2.

47

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

ôÁË ËÁË ËÏÄ K ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÁ i1 , ..., il ÐÏÐÁÒÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙ É ÎÅ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÏÔÒÅÚËÕ 0; m 1. ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ F = f0; 1; :::; m 1; i1 ; :::; il g. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (2.5.2). ÷×ÉÄÕ (2.5.4), ËÁÖÄÁÑ ìòð u 2 LP (f ) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ u(i) = f0(i) u(0) + ::: + fm(i) 1 u(m 1); i 2 N 0 : óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ (2.5.5), u(it ) = rt1 u(0) + ::: + rtm u(m 1); i 2 1; l; É ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÚÎÁÞÅÎÉÊ u[F ] ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ K, Ô.Å. K LFP (f ). ôÅÐÅÒØ (2.5.2) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ× dim LFP (f ) = m = dimP K. äÏÐÕÓÔÉÍ ÔÅÐÅÒØ, ÞÔÏ ËÏÄ K0 ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ËÏÄÙ K ÐÕÔÅÍ ÕÄÌÉÎÅÎÉÑ ËÏÄÏ×ÙÈ ÓÌÏ× É ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÑ ÎÁ ÏÂÒÁÚÏ×Á×ÛÉÈÓÑ ÍÅÓÔÁÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÓÌÏ×. ðÕÓÔØ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, K0 = f(a1 ; :::; an ; a1 ) : (a1 ; :::; an ) 2 Kg. ôÏÇÄÁ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ K0 = LFP 0 (f ); ÇÄÅ F 0 = f0; :::; m 1; i1 ; :::; il ; g, ÇÄÅ = q m 1 | ÐÅÒÉÏÄ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÏÄ K0 ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÍ. 2 B. òÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ ËÏÄÙ. ÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÏÓÔÉ,

Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÓÔÉ ËÏÄÁ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÉÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ. ðÕÓÔØ f (x) = xm fm 1 xm 1 ::: f0 | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , É (2.5.6) K = L0P;n 1 (f (x)) | ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ n-ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x) (ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ m < n). îÁÐÏÍÎÉÍ (ÓÍ. x 7.3), ÞÔÏ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LP (f ) ÉÍÅÅÔ ÂÁÚÉÓ ef0 , ..., efm 1 2 LP (f ), ÇÄÅ eft | ìòð Ó ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ eft (0; m 1) = (0| ; {z :::; 0}; e; 0; :::; 0), t 2 0; m 1. ðÕÓÔØ t

0

1

0 0 : : : 0 f0 B e 0 ::: 0 f1 C B C C 0 e : : : 0 f S = S (f ) = B 2 B C @ .................. A 0 0 : : : e fm 1 | ÓÏÐÒÏ×ÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x). óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï 2.5.2. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ëÏÄ (2.5.6) ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ [n; m]ËÏÄ Ó ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ 0; m 1, É ÅÇÏ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 0

f

1

0

e 0 ::: 0 0 e ::: 0

f0 f1

::: :::

1

e0 (0; n 1) B C C @ Gmn = . . . . . . . . . . . . . A = B @ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . efm 1 (0; n 1) 0 0 : : : e fm 1 : : :

=

çìá÷á 2.

48

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

(Emm ; f # ; Sf #; :::; S n

m

1 f # ) = (E # ; SE # ; :::; S n 1 E # ); 1 1 1

ÇÄÅ f # = (f0 ; :::; fm 1 )T :

2 íÁÔÒÉÃÁ G, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÐÅÒ×ÏÍÕ ÉÚ ×ÙÛÅÐÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ×, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÄÌÑ ËÏÄÁ K, ÐÏÔÏÍÕ ÞÔÏ ef0 , ..., efm 1 | ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP (f ). ÷ÔÏÒÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ eft É ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ G | ÍÁÔÒÉÃÁ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÅ. ïÓÔÁÌØÎÙÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á | ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ÉÚ ÔÅÏÒÉÉ ìòð (É ÎÅÓÌÏÖÎÏ ÐÒÏ×ÅÒÑÅÍÏÇÏ) ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ 0

1

0

ef0 (i + 1) ef0 (i) @ ........... A = S @ ....... efm 1 (i + 1) efm 1 (i) ôÅÐÅÒØ, ××ÉÄÕ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 2.2.3, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ

1 A:

2

2.5.3. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ìÉÎÅÊÎÙÊ [n; m]-ËÏÄ K < P n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÅÇÏ ÐÅÒ×ÙÅ m ÐÏÚÉÃÉÊ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ, É ÅÇÏ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ Gmn = (Emm ; G#m+1 ; SG#m+1 ; :::; S n m 1 G#m+1 ); ÇÄÅ

0 B

1

0 ::: 0 e ::: 0

G#m+1

S=B @ ........ 0 ::: e

C C: A

2.5.4. ðÒÉÍÅÒ (ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ËÏÄ òÉÄÁ|óÏÌÏÍÏÎÁ). ÷ÙÂÅÒÅÍ × ÏÂÏÚÎÁ-

ÞÅÎÉÑÈ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.2.2 ! | ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÐÏÌÑ P , É ÐÏÌÏÖÉÍ !1 = e, !2 = ! , ..., !n 1 = ! n 2 , u1 = ::: = un = e. ôÏÇÄÁ K ÅÓÔØ ËÏÄ RSq (n; k) Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ 0

G

B B =B B @

e e e ::: e 2 n e ! ! ::: ! 2 2 2 2 e ! (! ) : : : (! 2 )n 2 ................................ e ! k 1 (! k 1 )2 : : : (! k 1 )n 2

1

0

C C C C A

B B B B @

=

e e e ::: e e !1 !12 : : : !1n 2 e !2 !22 : : : !2n 2 ......................... e !k 1 !k2 1 : : : !kn 12

1

C C C: C A

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ

K = L0P;n 1 (f (x));

ÇÄÅ f (x) = (x

e)(x ! ):::(x ! k 1):

ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÐÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ f (x) 2 P [x] | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ m 1 ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ T (f ) = T = q m 1 É u 2 LP (f ) | ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ T (u) = T Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x)

çìá÷á 2.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

49

(ÓÍ. x 7.3G). îÁÐÏÍÎÉÍ (ÓÍ. x 7.3H) ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ = T=(q 1) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÅÄÐÅÒÉÏÄÏÍ ìòð u, Ô.Å. u(i + ) = u(i); i 2 N 0 ; ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ 2 P . îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ (ÓÍ. (7.3.34)) = ( 1)m f (0), ÐÒÉÞÅÍ | ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÐÏÌÑ P . ëÁÖÄÙÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÐÏÌÑ P ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ u(0; T 1) × ÔÏÞÎÏÓÔÉ q m 1 ÒÁÚ, Á ÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ | (q m 1 1) ÒÁÚ. 2.5.5. ðÒÉÍÅÒ (ÒÅÇÉÓÔÒÏ×ÙÊ (ÉÌÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ) ËÏÎÓÔÁÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ).

ðÕÓÔØ f (x) 2 P [x] | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÓÔÅÐÅÎÉ m ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ). ðÕÓÔØ = (q m 1)=(q 1) É n = t, ÇÄÅ t 2 1; q 1. ðÒÉ ÔÁËÏÍ ×ÙÂÏÒÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ËÏÄ K = L0P;n 1 (f ) ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.1.6 ÏËÁÚÙ×Ám ÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÎÙÍ [ qq 11 t; m; q m 1 t]q -ËÏÄÏÍ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ××ÉÄÕ ÓÄÅÌÁÎÎÙÈ ÐÅÒÅÄ ÜÔÉÍ ÐÒÉÍÅÒÏÍ ÚÁÍÅÞÁÎÉÊ, ËÁÖÄÏÅ ËÏÄÏ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï u(0; n 1) 2 K ÓÏÄÅÒÖÉÔ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ q m 1 t ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÐÏÌÑ P . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÅÓÁ ×ÓÅÈ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ËÏÄÏ×ÙÈ ÓÌÏ× ÏÄÉÎÁËÏ×Ù É ÒÁ×ÎÙ q m 1 t. ôÅÐÅÒØ ÜË×ÉÄÉÓÔÁÎÔÎÏÓÔØ ËÏÄÁ K ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÅÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ. ëÏÄ K Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÓÔÁÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ 2 P ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÄÏ×ÏÇÏ ÓÌÏ×Á a = (a1 ; :::; an ) 2 K ÓÌÏ×Ï (an , a1 , ..., an 1 ) ÔÁËÖÅ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ K. ôÁË ËÁË u(i + ) = u(i), ÔÏ ÄÌÑ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ ËÏÄÁ K ÎÕÖÎÏ ÐÏÌÏÖÉÔØ = t = (( 1)m f (0))t . ëÏÄ K ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÒÅÇÉÓÔÒÏ×ÙÍ (ÉÌÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍ) ËÏÎÓÔÁÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ ËÏÄÏÍ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ ÄÌÉÎÙ. ïÎ m 1 q ÉÍÅÅÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ [ q 1 t; m; q m 1 t]q . ëÏÄ K Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ t = q 1, Ô.Å. ËÏÇÄÁ n = T (f ) = q m 1 (× ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ÔÁËÉÅ ËÏÄÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ × ÐÒÉÍÅÒÅ 1.3.2). ôÁËÏÊ [q m 1; m; q m 1 (q 1)]q -ËÏÄ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ ÄÌÉÎÙ K ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÒÅÇÉÓÔÒÏ×ÙÍ (ÉÌÉ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍ) ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ ËÏÄÏÍ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ ÄÌÉÎÙ. äÁÎÎÙÊ ËÏÄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÍÐÌÅËÓÎÙÍ ËÏÄÏÍ SP (m) ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.2.6 × ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÆÏÒÍÅ. C. ëÏÄ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÍÕ. óÎÁÞÁÌÁ ÏÐÉÛÅÍ ËÏÄ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎ-

ÎÙÊ Ë ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÏÍÕ ËÏÄÕ. ÷×ÅÄÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÐÏÎÑÔÉÑ. ÐÏÌÉÜÄÒ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ a(x) = P aixi 2 P [x] ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï

F (a(x)) = fi 2 N 0 : ai 6= 0g;

ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ a(x) ÎÁ ÐÏÌÉÜÄÒÅ

ÅÓÔØ ÓÔÒÏËÁ

aF = (ai ; :::; ain ) 2 P n;

F N 0 ×ÉÄÁ (2.5.1)

1

F ÅÓÔØ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï a(x) 2 I; F (a(x)) Fg

ÓÌÅÄ ÉÄÅÁÌÁ I / P [x] ÎÅ ÐÏÌÉÜÄÒÅ

IF = faF :

ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P n ;

çìá÷á 2.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

ÓÌÅÄ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á M < P h1i ÎÁ ÐÏÌÉÜÄÒÅ

ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P F = P n;

50

F ÅÓÔØ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï M[F ] = fu[F ] : u 2 Mg

ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á

ËÏÌØÃÁ

M < P h1i

× ËÏÌØÃÅ P [x] ÅÓÔØ ÉÄÅÁÌ ÜÔÏÇÏ

An(M) = fa(x) 2 P [x] : a(x)M = 0g:

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÉÄÅÁÌ I /P [x] ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ I = P [x]f (x), ÇÄÅ f (x) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, É ÅÇÏ ÓÌÅÄ ÎÁ ÐÏÌÉÜÄÒÅ F ÅÓÔØ

IF = faF :

F (a(x)) F ; f (x) j a(x)g: äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) 2 P [x] ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï M = LP (f )

ÅÓÔØ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÅ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P h1i , ×ÙÄÅÒÖÉ×ÁÀÝÅÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ x, Ô.Å. ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÊ (ÎÁÄ P ) P [x]-ÐÏÄÍÏÄÕÌØ ÍÏÄÕÌÑ P h1i (ÓÍ. x 7.3B). ðÒÉ ÜÔÏÍ ÓÌÅÄ M ÎÁ F ÅÓÔØ M[F ] = LFP (f ): îÁÏÂÏÒÏÔ, ÌÀÂÏÊ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÊ ÎÁÄ P ÐÏÄÍÏÄÕÌØ M ÍÏÄÕÌÑ P [x]P h1i ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ M = LP (f ) ÄÌÑ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) 2 P [x], É ÅÇÏ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ ÅÓÔØ An(M) = P [x]f (x). 2.5.6. ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ M ÅÓÔØ P [x]-ÐÏÄÍÏÄÕÌØP ÍÏÄÕÌÑ P h1i É F N 0 ÅÓÔØ ÐÏÌÉÜÄÒ. ôÏÇÄÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ a(x) 2 P [x] ×ÉÄÁ a(x) = i2F ai xi ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔ ÍÏÄÕÌØ

M × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ 8u 2 M aF u[F ] = 0; (2.5.7) Ô.Å. ÓÌÅÄ ÉÄÅÁÌÁ I = An(M) ÎÁ ÐÏÌÉÜÄÒÅ F ÅÓÔØ IF = M[F ]Æ | ËÏÄ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ËÏÄÕ K = M[F ] < P n. 2 éÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ v = a(x)u ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u 2 M ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ a(x) ÕËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÉÄÁ (ÓÍ. x 7.3A) ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï v (0) = aF u[F ]: ðÏÜÔÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÅ (2.5.7) ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÄÌÑ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á a(x)M = 0. äÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ w 2 M ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ a(x)w = v 6= 0. ðÕÓÔØ v (i) 6= 0. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ u = xi w. ôÏÇÄÁ u 2 M, ÔÁË ËÁË xM M, É ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ v 0 = a(x)u ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ v 0 = xi v . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, aF u[F ] = v 0 (0) = v (i) 6= 0, ÞÔÏ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ (2.5.7). 2

çìá÷á 2.

51

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

K ×ÉÄÁ (2.5.2), ÅÓÔØ a(x) 2 P [x]; F (a) F ; f (x) j a(x)g;

2.5.7. ôÅÏÒÅÍÁ. ëÏÄ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ËÏÄÕ

KÆ = IF = faF :

(2.5.8)

ÇÄÅ I = P [x]f (x).

2 ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÓÌÏ×Ï b = (b1 ; :::; bn) 2 P n ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔ ËÏÄ K ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ

ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ

8u 2 LP (f )

b u[F ] = 0:

P

üÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ (2.5.7) ÄÌÑ M = LP (f ) É a(x) = ns=1 bs xis (× ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ b = aF ). ðÏ ÌÅÍÍÅ 2.5.6 a(x) 2 I , Ô.Å. b 2 IF . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, b 2 KÆ

,

b 2 IF :

2

éÓÐÏÌØÚÕÑ ÜÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ËÏÄ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍÕ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÍÕ ËÏÄÕ (2.5.6), Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍ. ïÄÎÁËÏ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÕËÁÚÁÔØ Ä×Á ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÈ ÏÐÉÓÁÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ËÏÄÁ. 2.5.8. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ðÕÓÔØ K < P n | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ËÏÄ ×ÉÄÁ (2.5.6). ôÏÇÄÁ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ÎÅÍÕ ËÏÄ KÆ ÅÓÔØ ËÏÄ Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ 0

f0 0

f1 : : : : : : f0 f1 : : :

fm 1 :::

1

e 0 fm 1 e

.......... 0 B 0 ...... 0 C C G=B ; @ ........................................................ A 0 ......... 0 0 f0 : : : : : : fm 1 e kn ÇÄÅ k = n

(2.5.9)

m.

2 äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ (2.5.8), ËÏÄ KÆ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ KÆ = f(a0; :::; an 1 2 P n : a0 + a1 x + ::: + an 1xn 1 = f (x)(h0 + h1 x + ::: + hk 1 xk 1 ); h0 ; :::; hk 1 2 P g: 2

ðÕÓÔØ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) ÉÚ (2.5.6) ÎÁÄ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÅÇÏ ÐÏÌÅÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Q ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

f (x) = (x a1 )m :::(x ar )mr :

(2.5.10)

1

ðÕÓÔØ a[k] 2 P h1i | ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÐÏÒÑÄËÁ k + 1 Ó ËÏÒÎÅÍ a 2 P , ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÁÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ (7.3.19):

i i a[k](0; k) = (0; :::; 0; e); a[k](i) = a k

k

ÄÌÑ i > k:

çìá÷á 2.

52

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

2.5.9. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ (2.5.6), (2.5.10) ËÏÄ KÆ < P n, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ËÏÄÕ K, ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ×ÉÄÁ 0

a[0] 1 (0; n 1) ::: [ m 1] a1 (0; n 1)

B B B 1 B B Hmn = B B ............... B B a[0] r (0; n 1) B @ ::: [ mr 1] ar (0; n 1)

1

C C C C C C: C C C C A

(2.5.11)

[m 2 ëÁË ÏÔÍÅÞÅÎÏ × x 7.3E, ÓÉÓÔÅÍÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ a[0] 1 , ..., a1

1

1] , ..., a[0] , r

..., a[rmr 1] ÅÓÔØ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LQ (f ) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÁÔÒÉÃÁ H ÅÓÔØ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ L0Q;n 1 (f ) ÒÁÎÇÁ m = m1 + ::: + mr . ôÁË ËÁË ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ P , ÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ef0 , ..., efm 1 (ÓÍ. x 7.3B) ÉÚ LQ (f ) ÅÓÔØ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP (f ) É ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LQ (f ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÁÔÒÉÃÁ 0

Hmf n = @

ef0 (0; n 1) ............. efm 1 (0; n 1)

1 A

ÉÍÅÅÔ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ × ÐÏÌÅ P É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ÒÁÎÇÁ m ËÏÄÁ K = L0P;n 1 (f ) (ÎÁÄ P ) É ËÏÄÁ L0Q;n 1 (f ) (ÎÁÄ Q). óÏÇÌÁÓÎÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 2.1.5, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÂÒÁÔÉÍÁÑ m m-ÍÁÔÒÉÃÁ U ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ H f = UH . ðÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ KÆ ÎÁÄ P ÅÓÔØ l n ÍÁÔÒÉÃÁ G ÒÁÎÇÁ l = n m ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ H f GT = 0. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ HGT = 0. ôÁË ËÁË rank G = n rank H , ÔÏ ÜÔÏ É ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ H | ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ KÆ , Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ Ë K ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . 2 2.5.10. ðÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ p | ÐÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ, P | ÐÏÌÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ p, n p É K = L0P;n 1 ((x e)2 ). ôÏÇÄÁ K ÅÓÔØ [n; 2; n 1]P íäò ËÏÄ É KÆ ÅÓÔØ [n; n 2; 3]P íäò ËÏÄ. ÷×ÉÄÕ 2.2.5, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ËÏÄÅ KÆ . óÏÇÌÁÓÎÏ 2.5.9, ËÏÄ KÆ ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ 0

H=@

e[0] (0; n 1) ............ e[1] (0; n 1)

1 A

=

e e e ::: e 0 e 2e : : : (n 1)e

:

ïÎÁ ÓÔÒÏÞÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÍÁÔÒÉÃÅ

e 0 e 2e : : : (n 2)e 0 e 2e 3e : : : (n 1)e

=

e 0 0 e

A

:

çìá÷á 2.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïîåþîùíé ðïìñíé

53

÷ ÍÁÔÒÉÃÅ A ×ÓÅ ÍÉÎÏÒÙ ÐÏÒÑÄËÁ 1 ÏÔÌÉÞÎÙ ÏÔ ÎÕÌÑ, É ÌÀÂÏÊ ÍÉÎÏÒ ÐÏÒÑÄËÁ 2 ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ ei ej = e(j i) 6= 0: e(i + 1) e(j + 1) óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ 2.1.7, {P (A) = 2 É d(KÆ ) = 3, Ô.Å. KÆ ÅÓÔØ [n; n 2; 3]-ËÏÄ, É ÜÔÏ íäò-ËÏÄ.

çÌÁ×Á 3 ìÉÎÅÊÎÙÅ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ÐÏÌÑÍÉ ðÒÉ ÉÚÕÞÅÎÉÉ Ó×ÏÊÓÔ× ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÈ ËÏÄÏ× ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÐÏÌÅÚÎÙÍÉ Ä×Á ÓÐÏÓÏÂÁ ÉÈ ÏÐÉÓÁÎÉÑ: × ×ÉÄÅ ÉÄÅÁÌÏ× ÓÐÅÃÉÁÌØÎÙÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ ËÏÌÅÃ É × ×ÉÄÅ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ËÏÄÏ×. 3.1

ìÉÎÅÊÎÙÅ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ËÏÄÙ × ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÆÏÒÍÅ

ïÂÝÅÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÇÏ ËÏÄÁ ÄÁÎÏ × x 1.3B. îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ É ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÊ 2.1.5, 2.2.1 ÓÌÅÄÕÅÔ 3.1.1. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ K < P n | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ Hln = (H1# ; :::; Hn# ) 2 Pl;n É ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ Gmn = (G#1 ; :::; G#n) 2 Pm;n . ôÏÇÄÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ: (a) K | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ: (b) ÍÁÔÒÉÃÁ (H2# ; :::; Hn# ; H1# ) ÓÔÒÏÞÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÍÁÔÒÉÃÅ H ; (c) ÍÁÔÒÉÃÁ (G#2 ; :::; G#n; G#1 ) ÓÔÒÏÞÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÍÁÔÒÉÃÅ G; (d) ËÏÄ KÆ , Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ËÏÄÕ K, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ.

äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) 2 P [x] ÓÔÅÐÅÎÉ k ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ËÏÄ K = L0P;n 1 (f ); k < n (3.1.1) (ÓÍ. 1.1.6). 3.1.2. ôÅÏÒÅÍÁ. ëÏÄ (3.1.1) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ f (x) | ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÊ (ÞÉÓÔÏ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, É ÅÇÏ ÐÅÒÉÏÄ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ T (f ) j n: (3.1.2)

54

çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

55

äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÇÏ [n; k]-ËÏÄÁ K < P n ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (x) 2 P [x] ÓÔÅÐÅÎÉ k ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (3.1.1).

2 ãÉËÌÉÞÎÏÓÔØ ËÏÄÁ (3.1.1) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ u 2 LP (f ) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÁ v 2 LP (f ) ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ v (0; n 1) = (u(1); :::; u(n 1); u(0)):

(3.1.3)

ôÁË ËÁË k < n, ÔÏ ÉÚ (3.1.3) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ v (0; k 1) = u(1; k), É ÐÏÔÏÍÕ v = xu. ôÅÐÅÒØ ËÒÉÔÅÒÉÊ ÃÉËÌÉÞÎÏÓÔÉ ËÏÄÁ (3.1.1) ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ

8u 2 LP (f ) u(n) = u(0):

(3.1.4)

õÓÌÏ×ÉÅ (3.1.4) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ

8u 2 LP (f ) xn u = u:

(3.1.5)

äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÐÕÓÔØ (3.1.5) ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ìòð w 2 LP (f ), Ô.Å. w(i + n) 6= w(i) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ i 2 N 0 . ôÏÇÄÁ (3.1.4) ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ u = xi w. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ (3.1.5) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ f (x) j xn e. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ f (x) | ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ É ×ÅÒÎÏ (3.1.2). ðÕÓÔØ K | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ [n; k]-ËÏÄ ÎÁÄ P . ðÏÓÔÁ×ÉÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÓÌÏ×Õ (u(0); :::; u(n 1)) 2 K ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ

u = (u(0); :::; u(n 1); u(0); :::; u(n 1); :::)

(3.1.6)

É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï L ×ÓÅÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ×ÉÄÁ (3.1.6), ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÓÌÏ×ÁÍ ÉÚ K. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, L | ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×Á LP (xn e). îÁÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÄÅÌÉÔÅÌÑ f (x) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ xn e ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï L = LP (f ): (3.1.7) ñÓÎÏ, ÞÔÏ L | ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP (xn e) É dimP L = dimP K = k. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, L ÚÁÍËÎÕÔÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ x:

8u 2 L xnu 2 L:

(3.1.8)

äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ u 2 L | ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÉÄÁ (3.1.6), ÔÏ

xu = (u(1); :::; u(n 1); u(0); u(1); :::; u(n 1); u(0); :::); É ÔÁË ËÁË ((u(1); :::; u(n 1); u(0)) 2 K (ÐÏÓËÏÌØËÕ K | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ), ÔÏ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ×ËÌÀÞÅÎÉÅ (3.1.8). ðÕÓÔØ u1 , ..., uk | ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á L. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÊ k k-ÍÁÔÒÉÃÙ A ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

x(u1 ; :::; uk ) = (u1 ; :::; uk )A;

çìá÷á 3.

56

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) 2 P [x] ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

f (x)(u1 ; :::; uk ) = (u1 ; :::; uk )f (A): åÓÌÉ ×ÙÂÒÁÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å f (x) ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÁÔÒÉÃÙ A, ÔÏ f (A) = 0, É ÐÏÔÏÍÕ f (x)us = 0, s 2 1; k. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÍÅÅÍ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ L LP (f ), É ÔÁË ËÁË dim LP (f ) = deg f (x) = k = dimP L, ÔÏ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (3.1.7). õÓÌÏ×ÉÅ f (x) j xn e ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ LP (f ) LP (xn e).

2

3.1.3. ðÒÉÍÅÒ (ÓÉÍÐÌÅËÓÎÙÊ ËÏÄ × ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ). ðÕÓÔØ P = GF (q ), f (x) 2 P [x] | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÓÔÅÐÅÎÉ k ÎÁÄ P : T (f ) = q k 1 = n. ôÏÇÄÁ Q = GF (q k ) | ÐÏÌÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ f (x) ÎÁÄ P , É ËÏÒÅÎØ # 2 Q ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) × ÐÏÌÅ Q ÅÓÔØ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÜÔÏÇÏ ÐÏÌÑ: ord # = q k 1 = n. ëÏÄ K = L0P;n 1 (f ) ÅÓÔØ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k; q q 1 (n + 1)]-ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÊ ÓÉÍÐÌÅËÓÎÏÍÕ ËÏÄÕ SP (k) ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.2.6. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÔÁË ËÁË deg f (x) = dim LP (f ) = k É T (f ) = n, ÔÏ, ××ÉÄÕ ÔÅÏÒÅÍÙ 2.3.2, K ÅÓÔØ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; k]-ËÏÄ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ K ÅÓÔØ ÓÉÍÐÌÅËÓÎÙÊ ËÏÄ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.2.6. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ h(x) 2 P [x] ÞÅÒÅÚ Res(h=f ) ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ h(x) ÎÁ f (x). ðÕÓÔØ ci (x) = Res(xi =f (x)) = ci0 + ci1 x + ::: + ci;k 1 xk 1 ; i 2 0; n 1: (3.1.9)

ôÏÇÄÁ #i = ci (#) ÄÌÑ i 2 0; n 1, É ÔÁË ËÁË fe; #; :::; #n 1 g = Q , ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× (3.1.9) ÅÓÔØ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ P [xjk] n 0 ×ÓÅÈ n = q k 1 ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÄ P ÓÔÅÐÅÎÉ ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÅÊ, ÞÅÍ k. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, P k n 0 = f(ci0 ; :::; ci;k 1) : i 2 0; n 1g. ôÅÐÅÒØ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ìòð u 2 LP (f ) ÅÅ i-Ê ÚÎÁË u(i) ÅÓÔØ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÚÎÁË v (0) ìòð v = xi u, É ÔÁË ËÁË xi u = ci (x)u, ÔÏ

u(i) = ci0 u(0) + ::: + ci;k 1 u(k

1); i 2 0; n 1:

(3.1.10)

ðÏÓÔÁ×ÉÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÓÌÏ×Õ u(0; n 1) 2 K ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ gu : P k ! P , ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÎÁ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÅ c = (c0 ; :::; ck 1 ) 2 P k ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ gu(c) = c0 u(0) + ::: + ck 1 u(k 1). ôÏÇÄÁ fgu : u 2 Kg = (pk ) ÅÓÔØ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÏÅ Ë ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ V = P k , É, ××ÉÄÕ (3.1.9), ËÏÄÏ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï u(0; n 1) 2 K ÅÓÔØ ÎÁÂÏÒ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ gu ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å vi = (ci0 ; :::; ci;k 1 : i 2 0; n 1g = P k n 0 ×ÓÅÈ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V , Ô.Å.

u(0; n 1) = (gu (v0 ); :::; gu (vn 1 )): ôÅÐÅÒØ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ K ÅÓÔØ ËÏÄ SP (k) ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.2.6, ÐÏÌÕÞÁÀÝÉÊÓÑ ÐÒÉ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÉÉ ×ÅËÔÏÒÏ× ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V = P k ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ (3.1.9). íÙ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ K ÅÓÔØ ÓÉÍÐÌÅËÓÎÙÊ ËÏÄ SP (k) (ÉÌÉ Sq (k)) × ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ.

çìá÷á 3.

3.2

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

57

ìÉÎÅÊÎÙÅ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ËÏÄÙ × ÐÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ

A. îÁÞÎÅÍ Ó ÎÅËÏÔÏÒÏÊ Ó×ÏÄËÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÉÚ ÔÅÏÒÉÉ ËÏÌÅÃ. ðÕÓÔØ, ÐÏ-ÐÒÅÖÎÅÍÕ,

P = GF (q ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÏÌØÃÏ Rn = P [x]=(xn e)P [x]. ïÂÒÁÚ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ h(x) 2 P [x] ÐÒÉ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÍ ÜÐÉÍÏÒÆÉÚÍÅ P [x] ! Rn ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ h(x), É ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÍ, ÄÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ, ÜÌÅÍÅÎÔ a 2 P Ó ÅÇÏ ÏÂÒÁÚÏÍ a 2 Rn , Ô.Å. ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ P | ÐÏÄÐÏÌÅ × ËÏÌØÃÅ Rn . ôÏÇÄÁ Rn | ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ n ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P Ó ÂÁÚÉÓÏÍ e, x, ..., xn 1 , É ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ 2 Rn ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÚÁÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ = a(x) = a(x), ÇÄÅ a(x) = a0 + a1 x + ::: + an 1 xn 1 2 P [x]. 3.2.1. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. (a) ëÏÌØÃÏ Rn ÅÓÔØ ËÏÌØÃÏ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×. (b) äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I /Rn ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ g (x) 2 P [x] ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ

I = (g (x)) = g (x)Rn ; deg g (x) = l < n; g (x) j xn

e:

(3.2.1)

ðÒÉ ÜÔÏÍ I ÅÓÔØ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ k = l n ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P Ó ÂÁÚÉÓÏÍ g (x), g (x)x, ..., g (x)xk 1 , É ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ 2 I ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ = g (x)c(x); c(x) 2 P [x]; deg c(x) < k: (3.2.2) (c) ðÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ (3.2.1) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ a(x) ÐÌÉËÁÃÉÉ

a(x) 2 I I = (a(x)) ,

2 P [x] ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÉÍ-

, g(x) j a(x); (a(x); xn

e) = g (x):

2 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÐÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÔÁÔÅÌÀ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÎÅÓÌÏÖÎÏÇÏ ÕÐÒÁÖÎÅÎÉÑ. 2

óÌÅÄÕÅÔ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 3.2.1 ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ËÏÌØÃÁ Rn , ÎÏ É ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÆÁËÔÏÒËÏÌØÃÁ R ËÏÌØÃÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× P [x]. ÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 3.2.1 ÎÁÚÏ×ÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ g (x) ÇÌÁ×ÎÙÍ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍ ÉÄÅÁÌÁ I , Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ h(x) = (xn e)=g (x) | ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÜÔÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ. ôÅÐÅÒØ ÐÏÓÔÁ×ÉÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÓÌÏ×Õ a = (a0 ; :::; an 1 ) 2 P n ÜÌÅÍÅÎÔ a(x) = a0 + a1 x + ::: + an 1 xn 1 2 Rn , Á ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ (ËÏÄÕ) K P n | ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï K(x) = fa(x) : a 2 Kg:

3.2.2. ôÅÏÒÅÍÁ. (a) ëÏÄ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ

K P n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ K(x) | ÉÄÅÁÌ × ËÏÌØÃÅ Rn.

ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ ËÏÄÏÍ

çìá÷á 3.

58

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

(b) åÓÌÉ K(x) | ÉÄÅÁÌ Ó ÇÌÁ×ÎÙÍ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ g (x) = g0 + g1 x + ::: + gl xl (gl = e) É ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ h(x) = h0 + h1 x + ::: + hk xk (hk = e, k = n l), ÔÏ

K(x) = fa(x) 2 Rn : a(x)h(x) = 0g = Rn ? h(x)

(3.2.3)

| ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÏÌØÃÁ Rn , ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ h(x). (c) ÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ (b) dimP K = k = n l, É ÍÁÔÒÉÃÙ 0 B

g0 : : : : : : gl 0 : : : : : : 0 0 g0 : : : : : : gl 0 : : : 0

G=B @ ............................... 0 0 : : : 0 g0 : : : : : : gl É

0 B

hk : : : : : : h0 0 : : : : : : 0 0 hk : : : : : : h0 0 : : : 0

H=B @ ................................. 0 0 : : : 0 hk : : : : : : h0

1 C C A

kn

1 C C A ln

Ñ×ÌÑÀÔÓÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ É ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÁÍÉ ËÏÄÁ

K.

2 (a) ïÔÍÅÔÉÍ ÐÒÏÓÔÏÅ ÐÒÁ×ÉÌÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ x × ËÏÌØÃÅ Rn:

x(a0 + a1 x + ::: + an 1 xn 1 ) = an 1 + a0 x + ::: + an 2 xn 1 : úÁÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ x 2 Rn , ÐÏÓËÏÌØËÕ x xn 1 = e, É x 1 (a0 + a1 x + ::: + an 1 xn 1 ) = a1 + a2 x + ::: + an 1 xn 2 + a0 xn 1 :

(3.2.4) (3.2.5)

ôÅÐÅÒØ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ K P n ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ K(x) | ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P n É xK(x) K(x). óÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ÜÔÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ K(x) | ÉÄÅÁÌ ËÏÌØÃÁ Rn . (b) ôÁË ËÁË K(x) = (g (x)) É g (x)h(x) = 0, ÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ K(x) Rn ? h(x). îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ a(x) 2 Rn ? h(x), Ô.Å. a(x)h(x) = 0, ÔÏ xn e j a(x)h(x), Ô.Å. g (x) j a(x). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, a(x) 2 K(x). (c) ðÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 3.2.1(b), ÓÉÓÔÅÍÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× g (x), g (x)x, g (x)xk 1 ÅÓÔØ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á K(x). üÔÏ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉÃÙ G ÅÓÔØ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P K, Ô.Å. G | ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ K É dimP K = k. úÁÐÉÛÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ h(x) (ÓÔÅÐÅÎÉ k) ÆÏÒÍÁÌØÎÏ × ×ÉÄÅ h(x) = h0 + h1 x + ::: + hn 1 xn 1 . ôÏÇÄÁ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ (b), ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ a(x) = a0 + a1 x + ::: + an 1 xn 1 2 P [x] ÕÓÌÏ×ÉÅ a(x) 2 K(x) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ

a(x)h(x) = 0: ðÏÌØÚÕÑÓØ (3.2.4), ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ ! n 1 n 1 X X ht i ai xt = 0; t=0 i=0

(3.2.6)

(3.2.7)

çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

59

ÇÄÅ ÓÉÍ×ÏÌ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÏÐÅÒÁÃÉÀ ×ÙÞÉÔÁÎÉÑ × ËÏÌØÃÅ Zn ×ÙÞÅÔÏ× ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ n. ôÁË ËÁË ÓÉÓÔÅÍÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× e, x, ..., xn 1 ÅÓÔØ ÂÁÚÉÓ Rn ÎÁÄ P , ÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ (3.2.7) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ 0 1 a0 C @ : : : A = 0; an 1 ÇÄÅ 0 1 h0 hn 1 hn 2 : : : h1 B h1 h0 hn 1 : : : h2 C B C B ............................ C C= C=B B hk hk 1 hk 2 : : : hk+1 C B C @ ............................ A hn 1 hn 2 hn 3 : : : h0 0 1 h0 0 . . . . . . 0 hk hk 1 : : : h1 B h1 h0 0 ...... 0 hk : : : h2 C B C B ........................................... C B C =B h h (3.2.8) C : : : h h 0 . . . . . . . . . 0 k k 1 1 0 B C @ ........................................... A 0 0 : : : 0 hk hk 1 : : : h1 h0 (ÎÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÜÔÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ h0 ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, C | ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ K. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ rank C = n k = l, É ÍÁÔÒÉÃÁ H ÉÚ Ð. (c) ÅÓÔØ ÐÏÄÍÁÔÒÉÃÁ ÍÁÔÒÉÃÙ C ÔÏÇÏ ÖÅ ÒÁÎÇÁ l (ÔÁË ËÁË hk = e). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 2.1.5, H | ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ K. 2 ÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÔÅÏÒÅÍÙ 3.2.2 ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÇÌÁ×ÎÙÊ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÊ (ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÊ) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ g (x) (h(x)) ÉÄÅÁÌÁ K(x) ÔÁËÖÅ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÍ (ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÍ) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÇÏ ËÏÄÁ

K.

3.2.3. ðÒÉÍÅÒ (ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ËÏÄÁ èÅÍÍÉÎÇÁ).

÷ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÐÒÉÍÅÒÁ 2.1.4 ËÏÄ èÅÍÍÉÎÇÁ K ÚÁÄÁÎ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ (2.1.5). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ËÏÄÕ K ÉÄÅÁÌ K(x) × ËÏÌØÃÅ Rn = Z2[x]=xn e ÅÓÔØ K(x) = fa(x) 2 Rn : a(!) = 0g: ôÁË ËÁË ! ÅÓÔØ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÐÏÌÑ Q = GF (2l ), ÔÏ ÏÎ ÅÓÔØ ËÏÒÅÎØ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ g (x) 2 Z2[x] ÓÔÅÐÅÎÉ l, É ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a(x) 2 Z2[x] ÕÓÌÏ×ÉÅ a(x) = 0 ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ g (x) j a(x). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, K(x) = g (x)Rn , É g (x) | ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ËÏÄÁ èÅÍÍÉÎÇÁ. B. óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ É ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÇÏ ËÏÄÁ É Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ Ë ÎÅÍÕ ËÏÄÁ. èÏÒÏÛÏ

ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ËÒÉÔÅÒÉÊ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÏÓÔÉ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) = xk + fk 1 xk 1 + ::: + f0 2 P [x]

çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

60

ÓÏÓÔÏÉÔ × ÕÓÌÏ×ÉÉ f0 2 P (f0 6= 0). ÷ ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (x) = xk f (1=x)f0 1 = xk + f1 f0 1 xk 1 + ::: + fk 1 f0 1 x + f0 1 ÓÏÐÒÑÖÅÎÎÙÍ Ë f (x). íÙ ÂÕÄÅÍ ÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÐÒÏÓÔÙÍÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍÉ 3.2.4. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ '(x), (x) | ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÉÚ P [x]. ôÏÇÄÁ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ. (a) (' ) = ' , (' ) = '. (b) T ('(x)) = T (' (x)). (c) åÓÌÉ Q | ÐÏÌÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ '(x), É ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ '(x) ÎÁÄ Q ÅÓÔØ

'(x) = (x 1 )k :::(x t )kt ; ÔÏ Q | ÐÏÌÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ' (x), É ' (x) = (x 1 1 )k :::(x t 1 )kt : (d) ðÕÓÔØ T ('(x)) = t. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 1

1

u = (u(0); u(1); :::; u(t 1); u(0); u(1); :::; u(t 1); :::) ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÐÏÌÑ P ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ LP ('(x)) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ u = (u(t 1); u(t 2); :::; u(0); u(t 1); u(t 2); :::; u(0); :::) ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ LP (' (x)).

3.2.5. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ K ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ, ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÍ É ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ f (x), g (x), h(x). ôÏÇÄÁ (a) óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ

xn e xn e f (x) = = h (x); g (x) = ; g (x) f (x) (b) ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ KÆ , Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë K, ÉÍÅÅÔ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ, ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÊ É ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ

xn e xn e f Æ (x) = = g (x); g Æ (x) = h (x) = f (x); hÆ (x) = g (x) = : f (x) f (x) (c) åÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ g (x) ÉÍÅÅÔ ÎÁÄ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÐÏÌÅÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Q ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ

g (x) = (x 1 )m :::(x r )mr ; 1

ÔÏ

K ÅÓÔØ ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ (2.5.11).

çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

61

2 (a) ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ K = L0P;n 1 (f (x)) É dimP K = deg f (x) = k. ëÁË ÐÏËÁÚÁÎÏ

ÐÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÍÙ 3.2.2(c), ÍÁÔÒÉÃÁ (3.2.8) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÄÌÑ ËÏÄÁ K. üÔÏ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÌÏ×Ï (u(0); :::; u(n 1)) 2 P n ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ K ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (3.1.6) ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ hk + hk 1 x + ::: + h0 xk . ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÁÓÓÏÃÉÉÒÏ×ÁÎ Ó ÕÎÉÔÁÒÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ h (x). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,

K = L0P;n 1(f (x)) L0P;n 1(h (x)); É ÔÁË ËÁË deg f (x) = deg h (x), ÔÏ f = h . ôÁË ËÁË g (x)h(x) = xn e, ÔÏ ÐÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 3.2.4(a) g (x)h (x) = (xn e) = xn e. ïÔÓÀÄÁ g (x)f (x) = xn e É g (x)f (x) = xn e. (b) ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÍÁÔÒÉÃÁ H ÉÚ 3.2.2(c) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÄÌÑ ËÏÄÁ KÆ , Á ÍÁÔÒÉÃÁ G | ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 3.2.2(c), ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÊ É ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ËÏÄÁ KÆ ÉÍÅÀÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÉÄ g Æ (x) = h (x), hÆ (x) = g (x). ôÅÐÅÒØ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÐÏÌÕÞÁÀÔÓÑ Ó ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× Ð. (a). (c) ÷×ÉÄÕ (b), K ÅÓÔØ ËÏÄ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë L0P;n 1 (g (x)). ôÅÐÅÒØ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÐÒÉÍÅÎÉÔØ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 2.5.9. 2 ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ËÒÁÓÉ×ÏÇÏ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ 3.2.6. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ëÏÄ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë Ä×ÏÉÞÎÏÍÕ ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÍÕ ËÏÄÕ èÅÍÍÉÎÇÁ H2 (l), ÅÓÔØ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ÓÉÍÐÌÅËÓÎÙÊ ËÏÄ S2 (l).

2 óÏÇÌÁÓÎÏ 3.2.3, 2.1.4, ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ËÏÄÁ H2 (l) × ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ ÅÓÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ g (x) 2 Z2[x] ÓÔÅÐÅÎÉ l. ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 3.2.5(b), ËÏÄ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë H2 (l), ÅÓÔØ L0Z;n 1 (g (x)), ÇÄÅ n = 2l 1. îÏ ÜÔÏ É ÅÓÔØ ÓÉÍÐÌÅËÓÎÙÊ ËÏÄ S2 (l) × ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 3.1.3. 2 2

3.3

ëÏÄ èÅÍÍÉÎÇÁ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÐÏÌÅÍ

ðÕÓÔØ P = GF (q ) | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÐÏÌÅ, É Q = GF (q m ) | ÅÇÏ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ÓÔÅÐÅÎÉ m. ôÏÇÄÁ ÉÎÄÅËÓ ÍÕÌØÔÉÐÌÉËÁÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÐÐÙ P ÐÏÌÑ P × ÇÒÕÐÐÅ Q ÅÓÔØ n = jQ : P j = (q m 1)=(q 1). ÷ÙÂÅÒÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ

!1 ; :::; !n

(3.3.1)

ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÍÅÖÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× ÇÒÕÐÐÙ Q ÐÏ ÐÏÄÇÒÕÐÐÅ P . 3.3.1. ôÅÏÒÅÍÁ. (a) ìÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ Hq (m) < P n (ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ) Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ B = (!1 ; :::; !n ) (3.3.2) (ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q) ÅÓÔØ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÊ [n; k; 3]q -ËÏÄ, ÇÄÅ k = n

m.

çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

62

(b) üÌÅÍÅÎÔÙ (3.3.1) ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ×ÙÂÒÁÎÙ ÔÁË, ÞÔÏ

Hq (m) = L0P;n 1(f (x))Æ

(3.3.3)

| ËÏÄ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÏÍÕ ËÏÄÕ Ó ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x) 2 P [x] ÓÔÅÐÅÎÉ m. (c) åÓÌÉ (m; q 1) = 1, ÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ (3.3.1) ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏ Hq (m) | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ, ÇÌÁ×ÎÙÊ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ËÏÔÏÒÏÇÏ g (x) ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍ ÎÁÄ P (Ô.Å. ÅÓÔØ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ m ÐÅÒÉÏÄÁ n).

2 (a) óÉÓÔÅÍÁ !i, !j ÉÚ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× (3.3.1) ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÁ ÎÁÄ P , ÔÁË ËÁË ÐÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ !i P \ !j P = ;. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÊ ÒÁÎÇ ÍÁÔÒÉÃÙ (3.3.2) ÎÁÄ P ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ {P (B ) 2. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÜÌÅÍÅÎÔ !1 + !2 ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌÅÎ ÎÁÄ P ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ !k ÉÚ (3.3.1), ÔÁË ËÁË !1 + !2 6= 0 É ÐÏÔÏÍÕ !1 + !2 2 Q . ðÒÉ ÜÔÏÍ k > 2, ÔÁË ËÁË ÉÎÁÞÅ !1 P \ !2 P 6= ;. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÁÔÒÉÃÁ B ÉÍÅÅÔ ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÉÚ ÔÒÅÈ ÓÔÏÌÂÃÏ× !1 , !2 , !k . ðÏÜÔÏÍÕ {P (B ) = 2 É d(Hq (m)) = 3. ôÁË ËÁË ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃÙ B , ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÐÏÒÏÖÄÁÅÔ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï P Q, ÔÏ ÒÁÎÇ ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÒÁ×ÅÎ m, É ÐÏÔÏÍÕ k = dim Hq (m) = n m. îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÐÒÏ×ÅÒËÏÊ ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÇÒÁÎÉÃÁ èÅÍÍÉÎÇÁ ÄÌÑ ËÏÄÁ Ó ÕËÁÚÁÎÎÙÍÉ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ qn qn = = qn m = qk: sq (n; 1) 1 + (q 1)n óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Hq (m) | ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÊ ËÏÄ. (b) ðÕÓÔØ ! | ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÐÏÌÑ P . ÷ÙÂÅÒÅÍ !i = ! i 1; i 2 1; n: (3.3.4) ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ 1 i < j n ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅ ! j i 2= P , ÐÏÓËÏÌØËÕ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ ! s 2 P ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ n j s. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ (3.3.4) ÅÓÔØ ÐÏÌÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÍÅÖÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× Q ÐÏ P , É ÍÁÔÒÉÃÁ B × Ð. (a) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÂÒÁÎÁ × ×ÉÄÅ B = (e; !; :::; ! n 1): (3.3.5) ðÕÓÔØ f (x) | ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ! ÎÁÄ P . ôÏÇÄÁ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ËÏÄ Hq (m) Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ (3.3.5) ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÉÚ ×ÓÅÈ ÓÌÏ× a = (a0 ; :::; an 1 ) 2 P n ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ a(x) = a0 + a1 x + ::: + an 1 xn 1 2 P [x] ÉÍÅÅÔ Ó×ÏÉÍ ËÏÒÎÅÍ ! , Ô.Å. ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ f (x). ÷×ÉÄÕ ÔÅÏÒÅÍÙ 2.5.6 ÜÔÏ É ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÅÒÎÏ (3.3.3). (c) ðÏÌØÚÕÑÓØ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ q 1 (mod q 1), ÐÏÌÕÞÁÅÍ: n 1+q +:::+q m 1 m (mod q 1), É ÐÏÔÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÅ (m; q 1) = 1 ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ (n; q 1) = 1. ðÕÓÔØ ! | ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÐÏÌÑ Q É = ! q 1 . ôÏÇÄÁ ord = n, É ÅÓÌÉ (m; q 1) = 1, ÔÏ Q = h i P (3.3.6)

çìá÷á 3.

63

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

| ÐÒÑÍÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÐÏÄÇÒÕÐÐ. ÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ e, , ..., n 1 | ÐÏÌÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÍÅÖÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× Q ÐÏ P , É ÍÁÔÒÉÃÁ B × Ð. (a) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÂÒÁÎÁ × ×ÉÄÅ B = (e; ; :::; n 1): (3.3.7) ðÕÓÔØ (x) | ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ôÏÇÄÁ T ( ) = ord = n, deg (x) = m, É, ÓÏÇÌÁÓÎÏ (b), ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

Hq (m) = L0P;n

1 ( (x))Æ :

(3.3.8)

ðÒÉ ÜÔÏÍ Hq (m) | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ, É ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 3.2.5(b) ÅÇÏ ÇÌÁ×ÎÙÊ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÅÓÔØ g (x) = (x) | ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ m.

2

îÁ ÐÒÁËÔÉËÅ ÄÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ËÏÄÁ Hq (m) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) ÎÅ ÎÕÖÎÏ ÓÔÒÏÉÔØ ÅÇÏ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ B1n ×ÉÄÁ (3.3.2) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q = GF (q m ). äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ×ÙÂÒÁ× ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÂÁÚÉÓ e ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P Q, ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÍÁÔÒÉÃÕ Hmn = Be+ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P (ÓÍ. x 2.1A) É ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÅÅ ËÁË ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÄÌÑ ËÏÄÁ Hq (m). îÅÔÒÕÄÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ, ÐÅÒÅÂÉÒÁÑ ×ÓÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ (3.3.1) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÓÍÅÖÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× Q ÐÏ P É ×ÓÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÂÁÚÉÓÙ e, ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÍ ×ÓÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÍÁÔÒÉÃÙ Hmn ÎÁÄ P , Õ ËÏÔÏÒÙÈ ËÁÖÄÙÅ Ä×Á ÓÔÏÌÂÃÁ ÎÅ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÙ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÓÒÁÚÕ ×ÙÂÒÁÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å H , ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÍÁÔÒÉÃÕ, ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ ×ÓÅÈ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÓÔÏÌÂÃÏ× ÄÌÉÎÙ m, × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÐÅÒ×ÙÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÅÓÔØ e. äÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ËÏÄÁ Hq (m) × ×ÉÄÅ (3.3.3) ÎÕÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ H × ×ÉÄÅ H = (H1# ; S (f )H1#; :::; S (f )n 1 H1#); ÇÄÅ H1# 2 P m n 0 É S (f ) | ÓÏÐÒÏ×ÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x). äÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ËÏÄÁ Hq (m) × ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ (ÓÍ. Ð. (c) ÔÅÏÒÅÍÙ 3.3.1), ÎÕÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ H = (H1# ; S ( )H1#; :::; S ( )n 1 H1# ): úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ (3.3.3) ËÏÄÁ èÅÍÍÉÎÇÁ ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ Hq (m) | ËÏÄ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ËÏÎÓÔÁÃÉËÌÉÞÅÓËÏÍÕ ËÏÄÕ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÏÍÕ × ÐÒÉÍÅÒÅ ÉÚ x 2.5B, É ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ, ÐÏÌØÚÕÑÓØ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÏÍ íÁË-÷ÉÌØÑÍÓ, ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÅÇÏ ÜÎÕÍÅÒÁÔÏÒ ×ÅÓÏ× (ÓÍ. x 2.4B). 3.3.2. ôÅÏÒÅÍÁ. üÎÕÍÅÒÁÔÏÒ ×ÅÓÏ× ËÏÄÁ

1 WHHam (x; y ) = m q (m) q

(x + (q

1)y )n + (q m

Hq (m) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

1)(x + (q

m 1)y )n q

1

(x

m y )q

1

:

(3.3.9)

2 ðÏÄÓÞÉÔÁÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÜÎÕÍÅÒÁÔÏÒ ×ÅÓÏ× ËÏÄÁ K = L0P;n 1 (f ) ÉÚ (3.3.3). ðÏ-

ÌÏÖÉÍ = n(q

1) = q m

1, É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÏÄ L0P; 1 (f ). ôÁË ËÁË f (x) |

çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

64

ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ P , ÔÏ ÜÔÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ 3.1.3, ÅÓÔØ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ÓÉÍÐÌÅËÓÎÙÊ [; m; q m q m 1 ]q -ËÏÄ SP (m), × ËÏÔÏÒÏÍ ËÁÖÄÏÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï ÉÍÅÅÔ ×ÅÓ q m q m 1 . ëÁË ÏÔÍÅÞÅÎÏ × x 7.3H, ÜÌÅÍÅÎÔ a = ( 1)m f (0) ÅÓÔØ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÐÏÌÑ P , É ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï ËÏÄÁ L0P; 1 (f ) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ u(0; 1) = (u(0; n 1); au(0; n 1); :::; aq 2 u(0; n 1)); ÇÄÅ u 2 LP (f ) n 0. ïÔÓÀÄÁ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ku(0; 1)k = (q 1)ku(0; n 1)k, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÌÀÂÏÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï u(0; n 1) ËÏÄÁ K ÉÍÅÅÔ ×ÅÓ ku(0; n 1)k = q m 1 , Ô.Å. K ÅÓÔØ ÓÉÍÐÌÅËÓÎÙÊ [n; m; q m 1 ]q -ËÏÄ, É ÅÇÏ ÜÎÕÍÅÒÁÔÏÒ ×ÅÓÏ× ÅÓÔØ

WKHam (x; y ) = xn + (q m

1)xn

qm

1

yq

m 1

:

ôÅÐÅÒØ, ÐÏÌØÚÕÑÓØ ÔÅÏÒÅÍÏÊ 2.4.4, ÐÏÌÕÞÁÅÍ

WHHam (x; y ) = q (m) ÏÔËÕÄÁ É ÓÌÅÄÕÅÔ (3.3.9). 3.4

1 Ham W (x + (q qm K

1)y; x y );

2

ëÏÄÙ âþè

úÄÅÓØ ÏÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÑ, ËÏÔÏÒÁÑ ×ÐÅÒ×ÙÅ ÂÙÌÁ ÐÏÌÕÞÅÎÁ (ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ) âÏÕÚÏÍ, þÏÕÄÈÕÒÉ × [38] É èÏË×ÉÎÇÅÍÏÍ × [48]. çÌÁ×ÎÏÅ ÅÅ ÏÔÌÉÞÉÅ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ | ÐÅÒ×ÙÊ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÓÐÏÓÏÂ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÚÁÄÁÎÎÙÍ ÐÏÌÅÍ, ÉÍÅÀÝÉÈ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÎÉÖÎÀÀ ÇÒÁÎÉÃÕ ÄÌÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÕÀ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ. A. çÒÁÎÉÃÁ âþè. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÏÄÁ âþè. ôÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÕÀ ÏÓÎÏ×Õ ÉÚÌÁÇÁÅÍÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÄÁÅÔ 3.4.1. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ K | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) Ó ÇÌÁ×ÎÙÍ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ g (x). åÓÌÉ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÉ Q ÐÏÌÑ P ÍÏÖÎÏ ÕËÁÚÁÔØ r ËÏÒÎÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ g (x) ×ÉÄÁ 1 ; 2 = 1 ; :::; r = 1 r 1 ; ÇÄÅ ord = n; (3.4.1) ÔÏ

d(K) r + 1:

(3.4.2)

2 ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 3.2.5(c) ×ÓÅ ÓÌÏ×Á ËÏÄÁ K ÁÎÎÕÌÉÒÕÀÔÓÑ ÍÁÔÒÉÃÅÊ 0

H =@

e 1 : : : 1n 1 ................ e r : : : rn 1

1 A

(3.4.3)

çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

65

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ H | ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ K, ÎÏ Õ ÜÔÏÇÏ ËÏÄÁ ÅÓÔØ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ Ó ÐÏÄÍÁÔÒÉÃÅÊ H . ðÏÜÔÏÍÕ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 2.1.2, ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (3.4.2) ÂÕÄÅÔ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÅÓÌÉ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÊ ÒÁÎÇ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÍÁÔÒÉÃÙ H ÅÓÔØ {P (H ) = r. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÍÉÎÏÒ ÍÁÔÒÉÃÙ H ÐÏÒÑÄËÁ r:

=

1i : : : 1ir . . . . . . . . . . . . ; ri : : : rir 1

0 i1 < i2 < ::: < ir n 1;

1

(3.4.4)

ÏÔÌÉÞÅÎ ÏÔ ÎÕÌÑ. éÚ (3.4.1) ÉÍÅÅÍ = i +i +:::+ir 1 , ÇÄÅ 1

2

e e : : : e 1 = . . 1. . . . . . .2. . . .: .: .: . . . . .k. ; 1r 1 2r 1 : : : kr 1

s = is ; s 2 1; r:

ôÁË ËÁË ord = n, ÔÏ, ××ÉÄÕ ÕÓÌÏ×ÉÑ (3.4.1), ÜÌÅÍÅÎÔÙ 1 , ..., r ÐÏÐÁÒÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙ, É 1 | ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÁÎÄÅÒÍÏÎÄÁ. 2 âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÓÉÓÔÅÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× (3.4.1) ÃÅÐÏÞËÏÊ âþè ÄÌÉÎÙ r. ðÕÓÔØ Q = GF (q l ) | ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ÐÏÌÑ P . äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ 2 Q ÞÅÒÅÚ M ;P (x) ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ P . ÷ÙÂÅÒÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔ 2 Q ÐÏÒÑÄËÁ ord = n É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× 1 = s; 2 = s+1; :::; r = s+r 1; ÇÄÅ s 2 0; n 1; r 2 2; n 1: (3.4.5) ðÕÓÔØ g (x) | ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× (3.4.5), Ô.Å. ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ P ÎÁÉÍÅÎØÛÅÊ ÓÔÅÐÅÎÉ Ó ËÏÒÎÑÍÉ (3.4.5). ôÏÇÄÁ g (x) = [M ;P (x); :::; Mr ;P (x)]: (3.4.6) îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ g (x) | ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ 1

T (g ) = [ord 1 ; :::; ord r ] = n; n j q l

1; ; (n; q ) = 1:

(3.4.7)

ãÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ K < P n Ó ÇÌÁ×ÎÙÍ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ g (x) ×ÉÄÁ (3.4.6) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÄÏÍ âþè Ó ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ r+1. íÙ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ K | ËÏÄ âþè, ÐÏÓÔÒÏÅÎÎÙÊ ÐÏ (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ) ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÒÎÅÊ (3.4.5). åÓÌÉ × (3.4.5) s = 1, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ K | ËÏÄ âþè × ÕÚËÏÍ ÓÍÙÓÌÅ. åÓÌÉ × (3.4.5) n = ord = q l 1, Ô.Å. | ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÐÏÌÑ Q, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ K | ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ËÏÄ âþè. 3.4.2. ôÅÏÒÅÍÁ. åÓÌÉ K | ËÏÄ âþè ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÄÌÉÎÙ n Ó ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ r + 1, ÐÏÓÔÒÏÅÎÎÙÊ ÐÏ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÒÎÅÊ (3.4.5), ÔÏ d(K) r + 1 É dim K n mr; (3.4.8)

çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

66

ÇÄÅ m | ÐÏÒÑÄÏË ÞÉÓÌÁ q ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ n:

m = ordn q = minft 2 N : q t 1 (mod n)g:

íÁÔÒÉÃÁ (3.4.3) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÄÌÑ ËÏÄÁ

K.

(3.4.9)

2 îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï d(K) r + 1 ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÚ 3.4.1. ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ (3.2.2)(c) dim K = n deg g (x). ñÓÎÏ, ÞÔÏ deg g (x) ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÓÕÍÍÙ ÓÔÅÐÅÎÅÊ

ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× × ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (3.4.6), É, ××ÉÄÕ (3.4.5), ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÉÍÅÅÔ ÓÔÅÐÅÎØ, ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÕÀ ÞÉÓÌÁ m = [P () : P ], ËÏÔÏÒÏÅ, ËÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ (3.4.9). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, deg g (x) rm, É ÍÙ ÉÍÅÅÍ (3.4.8). éÚ ÔÅÏÒÉÉ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÐÏÌÅÊ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ËÏÒÎÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ g (x) × ÐÏÌÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Q ÅÓÔØ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ ÓÉÓÔÅÍÙ

1 ; 1q ; :::; 1q

m 1

Ô.Å.

; 2 ; 2q ; :::; rq

m 1

;

(3.4.10)

g (x) = [x 1 ; x 1q ; :::; x rq ]: (3.4.11) ÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 3.2.5(c), ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ÄÌÑ ËÏÄÁ K ÂÕÄÅÔ ÍÁÔÒÉÃÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÉÚ ×ÓÅÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÔÒÏË ×ÉÄÁ t t t (e; iq ; (i2 )q ; :::; (in 1)q ); i 2 1; r; t 2 0; m 1: (3.4.12) ïÄÎÁËÏ, ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ËÁËÏÅ-ÌÉÂÏ ÓÌÏ×Ï ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉÃÅÊ (3.4.3), Ô.Å. ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ×ÓÅÍÉ ÓÔÒÏËÁÍÉ (e; i ; i2 ; :::; in 1 ); i 2 1; r; ÔÏ ÏÎÏ ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ É ×ÓÅÍÉ ÓÔÒÏËÁÍÉ (3.4.12). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (3.4.3) ÅÓÔØ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ K. 2 óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ Ó ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÐÒÉÍÅÒÁ 2.5.4, ÐÏÌÕÞÁÅÍ m 1

3.4.3. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ìÀÂÏÊ ËÏÄ òÉÄÁ|óÏÌÏÍÏÎÁ × ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ÅÓÔØ ËÏÄ âþè × ÞÁÓÔÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ËÏÒÎÉ (3.4.5) ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÎÅ ÉÚ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÑ Q ÐÏÌÑ P , Á ÉÚ ÓÁÍÏÇÏ ÐÏÌÑ P . B. éÓÔÉÎÎÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ËÏÄÁ âþè. ÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÔÅÏÒÅÍÙ

3.4.2 ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ d(K) É dim K ÍÏÇÕÔ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔØ ÏÃÅÎËÉ (3.4.2) É (3.4.8). õ×ÅÌÉÞÅÎÉÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ d(K) ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÚÁ ÓÞÅÔ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ × ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÒÎÅÊ (3.4.10) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ g (x) ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÉÎÏÇÄÁ ÃÅÐÏÞËÕ âþè s ; s +1 ; :::; s +r 1 ÄÌÉÎÙ r1 > r, É ÔÏÇÄÁ ÇÒÁÎÉÃÁ âþè, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÁÑ ÔÅÏÒÅÍÏÊ 3.4.1, ÄÁÓÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï d(K) r1 +1, ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÏÅ, ÞÅÍ (3.4.1). õ×ÅÌÉÞÅÎÉÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ dim K ËÏÄÁ K ÐÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ n mr ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÚÁ ÓÞÅÔ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× (3.4.10) ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ, É ÔÏÇÄÁ ÓÔÅÐÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ g (x), ÓÏÇÌÁÓÎÏ (3.4.11), ÂÕÄÅÔ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ mr. 1

1

1

1

çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

67

3.4.4. ðÒÉÍÅÒ (Ä×ÏÉÞÎÙÊ ËÏÄ âþè Ó ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ 3). ðÕÓÔØ q = 2,

| ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÐÏÌÑ Q = GF (2l ) É n = 2l 1. ëÏÄ âþè K < P n , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÃÅÐÏÞËÅ ËÏÒÎÅÊ , 2 ÅÓÔØ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ g (x) = [M;P (x); M ;P (x)] = M;P (x); deg g (x) = l: 2

ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, dim K = n l, Á ÏÃÅÎËÁ (3.4.8) ÄÁÅÔ ÌÉÛØ dim K n 2l. ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 3.3.2 K ÅÓÔØ ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H = (e; ; :::; n 1), Ô.Å. ÜÔÏ | Ä×ÏÉÞÎÙÊ [n; n l; 3]-ËÏÄ èÅÍÍÉÎÇÁ (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 2.1.4), É ÅÇÏ ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÉÓÔÉÎÎÙÍ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁÍÉ ÄÏËÁÚÁÎÏ 3.4.5. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ä×ÏÉÞÎÙÅ ËÏÄÙ èÅÍÍÉÎÇÁ ÅÓÔØ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÅ ËÏÄÙ âþè Ó ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ 3.

äÌÑ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ËÏÄÏ× âþè ÓÄÅÌÁÎÎÙÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ Ï ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÉ É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÆÏÒÍÁÌÉÚÕÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. 3.4.6. ôÅÏÒÅÍÁ. ÷ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÔÅÏÒÅÍÙ 3.4.2 ÐÕÓÔØ P = GF (2) É K | ËÏÄ âþè × ÕÚËÏÍ ÓÍÙÓÌÅ Ó ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ r + 1 = 2t. ôÏÇÄÁ (a) ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ËÏÄÁ K ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

g (x) = [M;P (x); M ;P (x); :::; M t 3

2

1

;P (x)];

(3.4.13)

É ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

dim K n

mt = n m

r+1 : 2

(3.4.14)

(b) ëÏÄ K Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ ËÏÄÏÍ âþè Ó ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ 2t+1, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, d(K) 2t + 1 = r + 2: (3.4.15) (c) íÁÔÒÉÃÁ 0 B

e e

3

2 6

::: :::

n 1 3(n 1)

H =B @ ................................. e 2t 1 (2t 1)2 : : : (2t 1)(n 1) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÄÌÑ ËÏÄÁ

1 C C A

K.

2 ëÏÄ K ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÓÅÍÅÊÓÔ×Õ ËÏÒÎÅÊ ; 2 ; :::; 2t 1 2 GF (2l );

(3.4.16)

çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

68

ÇÄÅ | ÜÌÅÍÅÎÔ ÐÏÒÑÄËÁ n. óÏÇÌÁÓÎÏ (3.4.6), ÅÇÏ ÇÌÁ×ÎÙÊ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÅÓÔØ g (x) = [M;P (x); M ;P (x); :::; M t ;P (x)]: (3.4.17) ïÄÎÁËÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ 2 GF (2l ) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 2

2

1

M ;P (x) = M ;P (x):

(3.4.18)

2

ðÏÜÔÏÍÕ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ g (x) ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ (3.4.13). ïÔÓÀÄÁ deg g (x) mt, ÇÄÅ m = [P () : P ] = ordn 2, Ô.Å. ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ (a). ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ××ÉÄÕ (3.4.18), ÉÍÅÅÍ

Mt ;P (x) = M t ;P (x): 2

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 2t | ÔÁËÖÅ ËÏÒÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ g (x), É ËÏÄ K ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ËÏÄ âþè Ó ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ 2t + 1, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÓÅÍÅÊÓÔ×Õ ËÏÒÎÅÊ ; 2 ; :::; 2t 1 ; 2t : ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ (b). õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ (c) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ (3.4.13) É ÔÅÏÒÅÍÙ 3.4.2. 2

2 Q ÅÓÔØ ËÏÒÅÎØ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÏÇÏ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) ÓÔÅÐÅÎÉ m, ÐÒÉÞÅÍ ord = n > 2m. ôÏÇÄÁ Ä×ÏÉÞÎÙÊ ËÏÄ K < P n Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ 2 : : : n 1 e H = e 3 6 : : : 3(n 1) 3.4.7. ðÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ P = GF (2), P < Q = GF (2m ) É

ÅÓÔØ ËÏÄ âþè × ÕÚËÏÍ ÓÍÙÓÌÅ Ó ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ 5, Ô.Å. K ÅÓÔØ [n; n 2m; d]2 -ËÏÄ, ÇÄÅ d 5. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ (3.4.18), ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ,

ÞÔÏ K | ËÏÄ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ âþè-ÃÅÐÏÞËÅ ; 2 ; 3; 4

Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ g (x) = [M;P (x); M ;P (x)]. 3

ïÄÎÁËÏ, ÄÁÖÅ ÔÅÏÒÅÍÁ 3.4.6 ÎÅ ÕÞÉÔÙ×ÁÅÔ ÐÏÌÎÏÓÔØÀ ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÅÊ ËÏÄÁ âþè. 3.4.8. ðÒÉÍÅÒ. ðÏÓÔÒÏÉÍ, ÐÏÌØÚÕÑÓØ 3.4.6, ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ âþè ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏ-

ÌÅÍ GF (2) ÄÌÉÎÙ n = 31 Ó ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ 9. ÷ÙÂÅÒÅÍ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ 2 Q = GF (25 ) É ÐÏÓÔÒÏÉÍ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ K Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ g (x) = [M;P (x); M ;P (x); M ;P (x); M ;P (x)]: 3

5

7

çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

÷ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÔÅÏÒÅÍÙ 3.4.6 ÉÍÅÅÍ t = 4, 2t + 1 = 9, É ÐÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ (b) ÅÓÔØ ËÏÄ Ó ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ 9, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ âþè-ÃÅÐÏÞËÅ ; 2; 3 ; 4 ; 5; 6 = (3 )2 ; 7 ; 8 :

69

K

ïÄÎÁËÏ, ËÁË ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ËÏÒÎÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ M ;P (x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÜÌÅÍÅÎÔ 9 = (5 )8 , Ô.Å. M ;P (x) = M ;P (x), É × ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ 5

5

9

g (x) = [M;P (x); M ;P (x); M ;P (x); M ;P (x); M ;P (x)]: 3

5

7

9

üÔÏ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÄÏÐÏÌÎÉÔØ ×ÙÐÉÓÁÎÎÕÀ âþè-ÃÅÐÏÞËÕ ÅÝÅ Ä×ÕÍÑ ÞÌÅÎÁÍÉ: 9 = (5 )8 É 10 = (5 )2 . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, K ÅÓÔØ ËÏÄ Ó ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ 11, Ô.Å. [31; 11; d]2-ËÏÄ, ÇÄÅ d 11. éÚÌÏÖÅÎÎÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÔÅÓÎÏ Ó×ÑÚÁÎÙ Ó ÐÏÎÑÔÉÅÍ ÃÉËÌÏÔÏÍÉÞÅÓËÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÎÏ ××ÅÓÔÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n 2 N , ×ÚÁÉÍÎÏ ÐÒÏÓÔÏÇÏ Ó q , ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ q -ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ q ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å 1; n ÕÓÌÏ×ÉÅÍ

8a; b 2 1; n a q b , 9s 2 N 0 aqs b

(mod n)

(ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ). ëÌÁÓÓÙ, ÎÅ ËÏÔÏÒÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï 1; n ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ q ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ q -ÃÉËÌÏÔÏÍÉÞÅÓËÉÍÉ ËÌÁÓÓÁÍÉ ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ n. îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ C1 , ..., Ck | ×ÓÅ ÔÁËÉÅ ËÌÁÓÓÙ, ÔÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ xn e ÎÁ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ GF (q ) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

xn

e=

k Y i=1

gi (x); gi (x) =

Y s2Ci

(x s );

ÇÄÅ | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÐÏÒÑÄËÁ n ÉÚ GF (q ). ôÅÐÅÒØ ÚÁÄÁÞÕ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÈÏÒÏÛÅÇÏ ËÏÄÁ âþè ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ GF (q ) ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ËÁË ÚÁÄÁÞÕ ÐÏËÒÙÔÉÑ ËÁË ÍÏÖÎÏ ÂÏÌÅÅ ÄÌÉÎÎÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ËÁË ÍÏÖÎÏ ÍÅÎØÛÉÍ ÞÉÓÌÏÍ ÃÉËÌÏÔÏÍÉÞÅÓËÉÈ ËÌÁÓÓÏ× ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ n. ôÁË, × ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÐÒÉÍÅÒÅ ÏÔÒÅÚÏË ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ 1; 10 ÂÙÌ ÐÏËÒÙÔ ÞÅÔÙÒØÍÑ 2-ÃÉËÌÏÔÏÍÉÞÅÓËÉÍÉ ËÌÁÓÓÁÍÉ ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ 31: C1 = f1; 2; 4; 8; 16g; C2 = f3; 6; 12; 24; 17g C3 = f5; 10; 20; 9; 18g C4 = f7; 14; 28; 25; 19g úÄÅÓØ ËÌÁÓÓÙ ÐÒÏÉÎÄÅËÓÉÒÏ×ÁÎÙ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÎÉ ÓÏÄÅÒÖÁÔ. C. çÒÁÎÉÃÙ ÄÌÑ ÉÓÔÉÎÎÏÇÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ËÏÄÁ âþè. ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ

ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÉÚ [18].

çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

70

3.4.9. ôÅÏÒÅÍÁ (æÁÒÒ). íÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ËÏÄÁ âþè ÄÌÉÎÙ n = 2m 1 Ó ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ r + 1 = 2t + 1 ÒÁ×ÎÏ 2t + 1, ÅÓÌÉ (a) ÉÌÉ (b)

t+1 m X 2 i=0

i

1

> 2mt

m > 1 + log2 (t + 1)!.

3.4.10. ôÅÏÒÅÍÁ (ðÉÔÅÒÓÏÎ). åÓÌÉ n = ab, ÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ËÏÄÁ âþè × ÕÚËÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÄÌÉÎÙ n Ó ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ a ÒÁ×ÎÏ ÔÏÞÎÏ a.

2 ðÕÓÔØ | ÜÌÅÍÅÎÔ ÐÏÒÑÄËÁ n, É K | ËÏÄ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ âþè-ÃÅÐÏÞËÅ

, 2 , ..., r , ÇÄÅ r = a 1. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ xn

e = (xb

e)(e + xb + x2b + ::: + x(a 1)b );

É ÔÁË ËÁË ib 6= 1 ÄÌÑ i 2 1; r, ÔÏ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ âþè-ÃÅÐÏÞËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÒÎÑÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ h(x) = e + xb + x2b + ::: + x(a 1)b , ËÏÔÏÒÙÊ É ÚÁÄÁÅÔ ÓÌÏ×Ï ×ÅÓÁ a × ËÏÄÅ K. 2 3.4.11. ôÅÏÒÅÍÁ. íÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏÇÏ ËÏÄÁ âþè ÄÌÉÎÙ n = q m 1 Ó ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ Æ = q h 1 ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) ÒÁ×ÎÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ Æ . 3.4.12. ôÅÏÒÅÍÁ. éÓÔÉÎÎÏÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ d ËÏÄÁ âþè ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) Ó ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ Æ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ d qÆ 1. D. äÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ ËÏÄÏ× âþè. ëÏÄÙ âþè ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÁÓÉÍÐÔÏÔÉÞÅÓËÉ ÈÏÒÏÛÉÍÉ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÈ [ni ; ki; di ]q ËÏÄÏ× âþè ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ ni = q mi 1 ! 1 É Æi = di =ni Æ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ Æ > 0, ÔÏ ÍÙ ÏÂÎÁÒÕÖÉÍ, ÞÔÏ Ri = ki =ni ! 0 (ÓÒÁ×Î. Ó ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍÉ x 1.2). ôÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ËÏÎËÒÅÔÎÙÅ ËÏÄÙ âþè ÉÍÅÀÔ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÈÏÒÏÛÉÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ É ÛÉÒÏËÏ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÎÁ ÐÒÁËÔÉËÅ ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÎÁÌÉÞÉÀ ÐÒÏÓÔÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÏÄ âþè × ÕÚËÏÍ ÓÍÙÓÌÅ K < P n ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) Ó ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ 2t +1, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ âþè-ÃÅÐÏÞËÅ , 2 , ..., 2t , ÇÄÅ ord = n. òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ËÏÄÁ d 2t + 1, ÐÏÜÔÏÍÕ ËÏÄ ÍÏÖÅÔ ÉÓÐÒÁ×ÌÑÔØ ÄÏ t ÏÛÉÂÏË. ðÕÓÔØ ÐÅÒÅÄÁÎÏ ËÏÄÏ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï C (z ) = c0 + c1 z + ::: + cn 1 z n 1 2 K(z ) É ÐÏÌÕÞÅÎÏ ÓÌÏ×Ï R(z ) = r0 + r1 z + ::: + rn 1 z n 1 . îÁÚÏ×ÅÍ E (z ) = R(z ) C (z ) = e0 + e1 z + ::: + en 1 z n 1 ×ÅËÔÏÒÏÍ ÏÛÉÂÏË. íÎÏÖÅÓÔ×Ï M = fi 2 0; n 1 : ei 6= 0g ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÏÚÉÃÉÊ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÐÒÏÉÚÏÛÌÉ ÏÛÉÂËÉ. íÙ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ jM j t. ôÒÅÂÕÅÔÓÑ ÐÏ ÐÒÉÎÑÔÏÍÕ ÓÌÏ×Õ R(z ) ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ËÏÄÏ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï C (z ).

çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

71

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

(z ) =

Y i2M

(1 i z );

! (z ) =

X i2M

ei i

Y

(1

j 2M nfig

j z );

(3.4.19)

ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÌÏËÁÔÏÒÏ× ÏÛÉÂÏË É ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÛÉÂÏË. ôÁË ËÁË jM j t, ÔÏ deg (z ) t; deg ! (z ) < t: (3.4.20) äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÌÏËÁÔÏÒ ÏÛÉÂÏË ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÔÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÞÔÏ ( i ) = 0 ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ × ÐÏÚÉÃÉÉ i ÐÒÏÉÚÏÛÌÁ ÏÛÉÂËÁ. úÎÁÑ (z ) ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÁÊÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M ÐÏÚÉÃÉÊ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÐÒÏÉÚÏÛÌÉ ÏÛÉÂËÉ, ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÑ (z ) ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÉÌÉ ÐÒÏÓÔÏ ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ z = i ÄÌÑ i 2 0; n 1. íÎÏÇÏÞÌÅÎ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÛÉÂÏË ÐÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ei ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ ei = ! ( i)= 0 ( i ), i 2 M , ÇÄÅ ÛÔÒÉÈ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ×ÚÑÔÉÅ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÐÏ z . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ (z ) É ! (z ). äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ËÏÌØÃÅ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× P [[z ]] ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ 1 1 X X X ! (z ) X ei i 1 i z )l = = = e z ( z l 1 E (l ): (z ) i2M 1 i z i2M i l=1 l=1 Pt l 1 ïÂÏÚÎÁÞÁÑ S (z ) = 2l=1 z E (l ), ÐÏÌÕÞÉÍ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ ! (z ) (z )S (z ) (mod z 2t ):

(3.4.21)

ôÁË ËÁË, ÐÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ËÏÄÁ âþè, EP (l ) = R(l ) C (l ) = R(l ) ÄÌÑ l 2 1; 2t, ÔÏ t l 1 S (z ) | ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ: S (z ) = 2l=1 z R(l ), É ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ (3.4.21) ËÁË ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ó Ä×ÕÍÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ! É . ÷ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÅÇÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÂÅÓÐÅÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ (3.4.20). äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ (3.4.21) ÍÏÖÎÏ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ å×ËÌÉÄÁ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ îïä ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× z 2t É S (z ). îÁÞÉÎÁÑ Ó ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á 0 z 2t + 1 S (z ) = S (z ), ÂÕÄÅÍ ÐÏÌÕÞÁÔØ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ× um (z )z 2t + vm (z )S (z ) = rm (z ), ÇÄÅ ÓÔÅÐÅÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× rm (z ) ÕÂÙ×ÁÀÔ ÄÏ ÔÅÈ ÐÏÒ, ÐÏËÁ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÎÁÊÄÅÎ îïä. ëÁÖÄÁÑ ÐÁÒÁ (rm (z ); vm (z )) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ (3.4.21). ëÁË ÔÏÌØËÏ ÓÔÅÐÅÎØ ÏÓÔÁÔËÁ rm (z ) ÓÔÁÎÅÔ ÍÅÎØÛÅ t, ÂÕÄÅÔ ÎÁÊÄÅÎÁ ÉÓËÏÍÁÑ ÐÁÒÁ (! (z ); (z )) Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ (0) = 1. óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÒÅÛÅÎÉÊ (! (z ); (z )) ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ (3.4.21), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ (3.4.20), ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÔÓÑ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÅÍ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ jM j t, Ô.Å. ÞÔÏ ÐÒÉÎÑÔÏÅ ÓÌÏ×Ï ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ t ÏÛÉÂÏË. äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ (3.4.21) ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÂÏÌÅÅ ÂÙÓÔÒÙÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ âÅÒÌÅËÜÍÐÁ|íÅÓÓÉ [2, 55]. úÁÐÉÓÁ× ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ (3.4.21) × ×ÉÄÅ !0 + !1 z + ::: + !t 1 z t 1 s0 + s1 z + ::: + s2t 1 z2t 1 (mod z2t ): 1 + 1 z + ::: + t z t

çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

72

ÍÙ ÏÂÎÁÒÕÖÉÍ (ÓÍ. x 7.3D), ÞÔÏ (s0 ; s1 ; :::; s2t 1 ) ÅÓÔØ ÏÔÒÅÚÏË ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (ìòð) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ (x) = xt + 1 xt 1 + ::: + t (É ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏÍ ! (x) = !0 xt 1 + !1 xt 2 + ::: + !t 1 ). ðÏÜÔÏÍÕ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÍÅÔØ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ (ÉÌÉ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ÐÏ ÅÅ ÏÔÒÅÚËÕ (s0 ; s1 ; :::; s2t 1 ), ÞÔÏ É ÄÅÌÁÅÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ âÅÒÌÅËÜÍÐÁ|íÅÓÓÉ. ïÐÉÓÁÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, × [17, 53, 14] (ÓÍ. ÔÁËÖÅ ÓÐÉÓÏË ÌÉÔÅÒÁÔÕÒÙ × [14]). 3.5

ëÏÄÙ òÉÄÁ|íÁÌÌÅÒÁ

üÔÉ ËÏÄÙ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ É ËÁË ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ËÏÄÏ× òÉÄÁ|óÏÌÏÍÏÎÁ, É ËÁË ×ÁÖÎÙÊ ËÌÁÓÓ ÐÏÄËÏÄÏ× ËÏÄÏ× âþè. íÙ ÎÁÞÎÅÍ Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÐÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÙÈ ÐÏÎÑÔÉÊ. A. æÕÎËÃÉÉ É ÐÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ. ðÕÓÔØ, ÐÏ-ÐÒÅÖÎÅÍÕ, P =

GF (q ). éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ': P m ÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ a(x) 2 P [x] = P [x1 ; :::; xm ] ×ÉÄÁ a(x) =

X

0i1 ;:::;imq 1

!P

ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎ-

ai :::im xi1 :::ximm ; 1

(3.5.1)

1

ÚÁÄÁÀÝÉÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ', Ô.Å. ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ

8u 2 P m '(u) = a(u): üÔÏÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÌÅÇËÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ, ÐÏÌØÚÕÑÓØ ÉÎÔÅÒÐÏÌÑÃÉÏÎÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ìÁÇÒÁÎÖÁ ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÐÏÌÅÊ:

a(x) =

X u2P m

'(u)(e (x1

u1 )q 1 ):::(e (xm

um )q 1 ):

åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÔÁËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ×ÉÄÁ (3.5.1) ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÞÉÓÌÏÍ q qm ×ÓÅÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ': P m ! P . îÁÚÏ×ÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ×ÉÄÁ (3.5.1) ÐÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÍÉ (ÉÌÉ ÒÅÄÕÃÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ ) ÎÁÄ P , É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÉÈ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ Pred [x]. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, Pred [x] | ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ q m ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P Ó ÂÁÚÉÓÏÍ xi = xi1 :::ximm ; 0 i1 ; :::; im q 1: (3.5.2) óÔÅÐÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ a(x) 2 Pred [x] ÂÕÄÅÍ ÏÐÒÅÄÅÌÑÔØ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏ, ËÁË ÍÁËÓÉÍÕÍ deg a(x) ÓÔÅÐÅÎÅÊ i1 + ::: + im ÍÏÎÏÍÏ× (3.5.2), ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ (3.5.1) Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a(x) 2 Pred [x] ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï deg a(x) (q 1)m. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒ r 2 0; (q 1)m, É ÐÏÌÏÖÉÍ 1

Pred [xjr] = fa(x) 2 Pred [x] : deg a(x) rg:

çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

73

÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, Pred [xj0] | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÚ q ËÏÎÓÔÁÎÔ; Pred [xj1] | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÁÆÆÉÎÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×

a(x) = a0 + a1 x1 + ::: + am xm ;

(3.5.3)

Pred [xj2] ÐÒÉ q > 2 ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ×ÉÄÁ a(x) = a0 +

m X

ai xi +

i=1

m X i=1

aii x2i +

X

1i<j m

aij xi xj ;

Á ÐÒÉ q = 2 ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×

a(x) = a0 +

m X i=1

ai xi +

X

1i<j m

aij xi xj :

ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ m = 1 É r q 1, ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Pred [xjr] ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó P [xjr] ÉÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ 1.2.2 ËÏÄÁ òÉÄÁ|óÏÌÏÍÏÎÁ. ðÕÓÔØ ÄÌÑ s 2 0; (q 1)m

Iq (m; s) = f(i1 ; :::; im ) : i1 ; :::; im 2 0; q

1; i1 + ::: + im = sg:

ôÏÇÄÁ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ Pred [xjr] ÅÓÔØ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ P Ó ÂÁÚÉÓÏÍ xi ;

i 2 Iq (m; s);

s 2 1; r:

(3.5.4)

÷×ÅÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ms q = jIq (m; s)j. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ÍÏÖÎÏ ÏÐÉÓÁÔØ ËÁË ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ s ÛÁÒÏ× ÐÏ m ÑÝÉËÁÍ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ × ËÁÖÄÙÊ ÑÝÉË ÐÏÐÁÄÁÅÔ ÍÅÎÅÅ q ÛÁÒÏ×. óÏÇÌÁÓÎÏ [27, Ó. 215], nmo

s

q

=

X

(

1)j

j 0 ÔÏ ms 2

m j

m + s qj s qj

1

:

(3.5.5)

÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ q = 2, = ms . ôÅÐÅÒØ ÉÚ ÏÐÉÓÁÎÉÑ (3.5.4) ÂÁÚÉÓÁ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Pred [xjr] ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï dim Pred [xjr] = Mq (m; r); ÇÄÅ Mq (m; r) =

r n o X m s=0

s

q

:

äÁÌÅÅ ÎÁÍ ÐÏÎÁÄÏÂÑÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ä×Á ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ. 3.5.1. ìÅÍÍÁ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ s 2 0; (q nmo

s

q

=

(q

1)m ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

m 1)m s

q

(3.5.6)

çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

74

2 îÁÍ ÎÕÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ jIq (m; s)j = jIq (m; (q 1)m s)j. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ m ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ : 0; q 1 ! 0; q 1m , ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÏÅ ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ 8(i1 ; :::; im ) 2 0; q 1m ((i1 ; :::; im)) = (q 1 i1; :::; q 1 im ): îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ | ÂÉÅËÃÉÑ, É (Iq (m; s)) = (Iq (m; (q 1)m s)). 2 3.5.2. ìÅÍÍÁ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ r 2 0; (q

Mq (m; r) + Mq (m; (q

2 ôÁË ËÁË (qX 1)m n s=0

1)m

(q 1)m [ = Iq (m; s) q s=0

mo s

1)m ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

r

= j0; q

1) = q m :

1m j = q m ;

ÔÏ ÉÚ (3.5.6) É ÌÅÍÍÙ 3.5.1 ÉÍÅÅÍ

qm

(qX 1)m n

(qX 1)m mo m Mq (m; r) = = = s q s=r+1 (q 1)m s q s=r+1 (q 1)X m r 1n o m = Mq (m; (q 1)m r 1): 2 t q t=0

B. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ËÏÄÁ òÉÄÁ|íÁÌÌÅÒÁ. úÁÎÕÍÅÒÕÅÍ ×ÓÅ

n = q m ×ÅËÔÏÒÏ× ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P m ÞÉÓÌÁÍÉ 0, ..., n ÔÁË, ÞÔÏ un 1 = 0:

1 × ËÁËÏÍ-ÌÉÂÏ ÐÏÒÑÄËÅ ÎÏ

P m = fu0 ; u1 ; :::; un 2 ; un 1 = 0g; n = q m ;

(3.5.7)

É ÐÏÓÔÁ×ÉÍ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ a(x) 2 Pred [x] Ä×Á ÓÌÏ×Á m v (a(x)) = (a(u0 ); :::; a(un 2 )) 2 P n 1 = P q 1 (3.5.8) É

v e (a(x)) = (a(u0 ); :::; a(un 2 ); a(0)) 2 P n = P q : ëÏÄ ÄÌÉÎÙ n 1 = q m 1 ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ×ÉÄÁ RMq (m; r) = fv (a(x)) : a(x) 2 Pred [xjr]g < P n 1 m

(3.5.9)

ÎÁÚÏ×ÅÍ ËÏÄÏÍ òÉÄÁ|íÁÌÌÅÒÁ (òí-ËÏÄÏÍ ) ÐÏÒÑÄËÁ r ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , Á ËÏÄ ÄÌÉÎÙ n RMqe (m; r) = fv e(a(x)) : a(x) 2 Pred [xjr]g < P n

çìá÷á 3.

75

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

ÎÁÚÏ×ÅÍ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÙÍ ËÏÄÏÍ òÉÄÁ|íÁÌÌÅÒÁ. îÉÖÅ (ÓÍ. 3.5.3) ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÔÅÒÍÉÎ \ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÙÊ" ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÉÚ Ð. 2.3B. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÑ × ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ËÏÄÏ× òÉÄÁ|íÁÌÌÅÒÁ ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÁ. îÅËÏÔÏÒÙÅ Á×ÔÏÒÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ òí-ËÏÄÏÍ ËÏÄ RMqe (m; r), Á ËÏÄ RMq (m; r) ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÙËÏÌÏÔÙÍ ËÏÄÏÍ òÉÄÁ|íÁÌÌÅÒÁ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÉÍÅÅÍ Ä×Å ÃÅÐÏÞËÉ ËÏÄÏ× RMq (m; 0) < RMq (m; 1) < ::: < RMq (m; r) < ::: < RMq (m; (q 1)m) = P qmm 1 ; RMqe (m; 0) < RMqe (m; 1) < ::: < RMqe (m; r) < ::: < RMqe (m; (q 1)m) = P q ; (3.5.10) ðÏÓÌÅÄÎÉÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á × ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÃÅÐÏÞËÁÈ ÓÌÅÄÕÀÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÓÌÏ×Ï ÉÚ m q P ÅÓÔØ ÎÁÂÏÒ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ': P m ! P É ÐÏÔÏÍÕ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (3.5.9) ÐÒÉ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÍ a(x) 2 Pred [x] = Pred [xj(q 1)m]. 3.5.3. ôÅÏÒÅÍÁ. òÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ òí-ËÏÄÏ× ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ

dim RMqe (m; r) = Mq (m; r); r 2 0; (q dim RMq (m; (q

1)m) = q m

1)m;

1; dim RMq (m; r) = Mq (m; r); r 2 0; (q

1)m

1;

(3.5.11)

ÇÄÅ Mq (m; r) | ÐÁÒÁÍÅÔÒ ÉÚ (3.5.6). ëÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÄÏ× RMq (m; r), RMqe (m; r) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ, É ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ r < (q 1)m ÏÎÉ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ

RMqe (m; r) = RMq (m; r)ext :

(3.5.12)

2 éÚ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ × Ð. A ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÓÌÏ×Ï ËÏÄÁ RMqe (m; r) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ

ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÓÉÓÔÅÍÕ ÉÚ Mq (m; r) ÓÌÏ×

v e(xi1 :::ximm ); i1 ; :::; im 2 Iq (m; s); s 2 0; r:

(3.5.13)

1

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÜÔÁ ÓÉÓÔÅÍÁ É ÅÓÔØ ÂÁÚÉÓ RMqe (m; r). ðÅÒ×ÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × (3.5.11) ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ××ÉÄÕ (3.5.10). äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ× × (3.5.11), ××ÉÄÕ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 2.3.3, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ (3.5.12). óÐÏÓÏÂ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ËÏÄÁ RMqe (m; r) ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÐÒÏÓÔÏ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÏÎ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÐÒÏ×ÅÒËÕ ÎÁ ÞÅÔÎÏÓÔØ, ÅÓÌÉ r < (q 1)m. ïÐÉÓÁÎÉÅ (3.5.13) ÂÁÚÉÓÁ ËÏÄÁ Ó×ÏÄÉÔ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ. 3.5.4. ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ i1 ; :::; im 2 0; q

=

1É=

P

!1 ;:::;!m 2P

( e)m ; ÅÓÌÉ i1 = ::: = im = q 0; × ÐÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ.

!1i :::!mim . ôÏÇÄÁ 1

1;

2 ïÞÅ×ÉÄÎÏ, = 1 :::m , ÇÄÅ t = P!2P !i . åÓÌÉ it = q 1, ÔÏ t = (q t

1)e = e. åÓÌÉ it = 0, ÔÏ t = qe = 0 (ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÉÍÅÅÔÓÑ × ×ÉÄÕ, ÞÔÏ 00 = e). ðÕÓÔØP0 < it < q P 1 É | ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÐÏÌÑ P . ôÏÇÄÁ = it 6= e É P t = !2P ! it = qs=02 sit = qs=02 s = 0. 2

çìá÷á 3.

76

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

ôÅÏÒÅÍÁ 3.5.3 ÄÏËÁÚÁÎÁ.

2

C. ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ òí-ËÏÄÏ×. îÁÚÏ×ÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ (ËÏÎßÀÎËÃÉÅÊ ) ÓÌÏ× a = (a1 ; :::; an ) É b = (b1 ; :::; bn ) ÉÚ P n ÓÌÏ×Ï a ^ b = (a1 b1 ; :::; an bn ) 2 P n . äÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× K < P n É L < P n ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ËÁË ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ KL < P n, ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ×ÓÅÍÉ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÍÉ a ^ b, ÇÄÅ a 2 K, b 2 L:

KL = P (a ^ b : a 2 K; b 2 L): ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÏÐÅÒÁÃÉÑ ^ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÌÏÖÅÎÉÑ × P n . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÄ KL ÐÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÍÉ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ËÏÄÁ K ÎÁ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ËÏÄÁ L, É, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, dim KL dim K dim L. 3.5.5. ôÅÏÒÅÍÁ. åÓÌÉ r + s (q

1)m, ÔÏ

Rq (m; r) Rq (m; s) = Rq (m; r + s); Rqe (m; r) Rqe (m; s) = Rqe (m; r + s):

2 òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Á ÂÁÚÉÓÎÙÈ ÓÌÏ×Á v (xi) 2 Rq (m; r); i1 + ::: + im r; v (xj) 2 Rq (m; s); j1 + ::: + jm s:

(3.5.14)

îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

v (xi) ^ v (xj ) = v (xk );

(3.5.15)

ÇÄÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ×ÅËÔÏÒÁ k = (k1 ; :::; km ) ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ

kt =

it + jt ; ÅÓÌÉ it + jt < q; it + jt q + 1; ÅÓÌÉ it + jt q;

(3.5.16)

É ÐÏÔÏÍÕ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ k1 + ::: + kt s + r. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÌÏ×Ï (3.5.15) ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ Rq (m; r + s). îÅÔÒÕÄÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÂÁÚÉÓÎÏÅ ÓÌÏ×Ï v (xk ) 2 Rq (m; r+s) ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ (3.5.15) ÐÏÄÈÏÄÑÝÉÈ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ÓÌÏ× (3.5.14). áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÇÏÄÑÔÓÑ É ÄÌÑ ËÏÄÏ× RMqe . 2 âÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ r-ËÒÁÔÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ËÏÄÁ K < P n ÎÁ ÓÅÂÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ K^r : ^ r K = K K ::: K. 3.5.6. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ r (q

1)m ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

Rq (m; r) = Rq (m; 1)^r ; Rqe (m; r) = Rqe (m; 1)^r : D. òí-ËÏÄ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ × ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ. úÄÅÓØ ÍÙ ÄÁÄÉÍ ÏÐÉÓÁÎÉÅ ËÏÄÏ× RMq (m; 1) É RMqe (m; 1), ËÏÔÏÒÏÅ, × ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔÉ ÓÏ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ 3.5.6, ÄÁÅÔ, ÐÏ ÓÕÔÉ, ÄÒÕÇÏÅ, ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÏÄÏ× òÉÄÁ|íÁÌÌÅÒÁ.

çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

77

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ Q = GF (q m ) ÐÏÌÑ P , ÚÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÂÁÚÉÓ e1 , ..., em ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P Q É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÅÍÕ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×

: P Q ! P P m ;

(3.5.17)

ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÝÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ = u1 e1 + ::: + um em 2 Q, u1 ; :::; um 2 P , × ÓÔÒÏËÕ ( ) = u = (u1 ; :::; um ) 2 P m . úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ, ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ # ÐÏÌÑ Q É ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ #1 = 0, É ÎÕÍÅÒÁÃÉÑ (3.5.7) ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P m ×ÙÂÒÁÎÁ ÔÁË, ÞÔÏ ui = (#i );

i 2 0; n 2; un 1 = (#1 ) = 0:

ôÏÇÄÁ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÓÌÏ×Ï ×ÉÄÁ (3.5.8) ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÓÌÏ×ÏÍ v ( ) = ( (#0 ); :::; (#n 2 ));

(3.5.18) (3.5.19)

ÇÄÅ : Q ! P | ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ËÁÖÄÏÅ ÓÌÏ×Ï (3.5.9) ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÓÌÏ×ÏÍ v e ( ) = ( (#0 ); :::; (#n 2 ); (#1 )): äÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÄÏ× òÉÄÁ|íÁÌÌÅÒÁ × ÜÔÉÈ ÎÏ×ÙÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÎÕÖÎÏ ÎÁÕÞÉÔØÓÑ ÏÐÉÓÙ×ÁÔØ ÔÁËÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ , ËÏÔÏÒÙÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍ a(x) ÉÚ (3.5.8) ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ s. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 3.5.6 ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÕÞÉÔØÓÑ ÄÅÌÁÔØ ÜÔÏ ÄÌÑ s = 1, Á ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÓÌÕÞÁÑ ÐÒÏÂÌÅÍÕ ÒÅÛÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ. 3.5.7. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ

: PQ ! PP

(3.5.20)

ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ 2 Q ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ

(x) = trQP (x); q q ÇÄÅ trQ P (x) = x + x + ::: + x

m 1

(3.5.21)

| ÓÌÅÄ ÉÚ Q × P .

2 þÉÓÌÏ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ (3.5.20) ÒÁ×ÎÏ jQj, Ô.Å. ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÎÓÔÁÎÔ 2 Q. ÷ÓÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ (3.5.21) ÌÉÎÅÊÎÙ, É ÒÁÚÎÙÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÒÁÚÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ. 2 ôÅÐÅÒØ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÎÕÍÅÒÁÃÉÉ (3.5.18) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï RMq (m; 1) ÓÌÏ× (3.5.8), ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÁÆÆÉÎÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍ a(x) ×ÉÄÁ (3.5.3), ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÓÌÏ× (3.5.19), ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÆÕÎËÃÉÑÍ : Q ! P ×ÉÄÁ (x) = trQP(x) + a0 ; ÇÄÅ 2 Q; a0 2 P:

(3.5.22)

çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

78

âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ (3.5.22), ÓÌÏ×Ï (3.5.19) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ v ( ) = (tr(#0 ) + a0 ; tr(#) + a0 ; :::; tr(#i ) + a0 ; :::; tr(#n 2 ) + a0 ) 2 RMq (m; 1) É ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÔÒÅÚÏË ÄÌÉÎÙ n 1 ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x)(x e), ÇÄÅ f (x) = M#;P (x) | ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ m ÎÁÄ P (ÓÍ. x 7.3E). ðÒÉ ÜÔÏÍ (#1 ) = (0) = a0 ÅÓÔØ ×ÅÌÉÞÉÎÁ, ÏÂÒÁÔÎÁÑ (ÐÏ ÓÌÏÖÅÎÉÀ) Ë ÓÕÍÍÅ ×ÓÅÈ n 1 = q m 1 ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÓÌÏ×Á v ( ). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÌÏ×Ï v e( ) ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ v ( ) ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÐÒÏ×ÅÒËÉ ÎÁ ÞÅÔÎÏÓÔØ. ôÅÐÅÒØ, ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÐÒÉÍÅÒÏ× 1.2.6, 2.3.2, 2.3.4, 3.1.3, ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. 3.5.8. ôÅÏÒÅÍÁ. ëÏÄ RMq (m; 1) ÅÓÔØ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ [q m 1; m + 1; q m q m 1 1]q -ËÏÄ, ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ ËÏÎÓÔÁÎÔ Ë ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÍÕ ÓÉÍÐÌÅËÓÎÏÍÕ ËÏÄÕ SP (m) (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 2.3.2): RM (m; 1) = Sc (m) = L0;n 2 (f (x))c = L0;n 2 (f (x)(x e)); n = q m : q

ëÏÄ

P

P

P

1; m + 1; q m q m 1 ]q -ËÏÄ: RMqe (m; 1) = SP (m)ext = L0P;n 2 (f (x))ext = L0P;n 2 (f (x)(x e))ext :

RMqe (m; 1)

ÅÓÔØ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÙÊ ÓÉÍÐÌÅËÓÎÙÊ [q m

E. òí-ËÏÄÙ × ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ. òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ òí-ËÏÄÁ. ôÅÏÒÅÍÁ

3.5.8 É ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ 3.5.6 ÄÁÀÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï RMq (m; r) = L0P;n 2 (f (x)(x e))^r = L0P;n 2 (f (x)(x

e)) ::: L0P;n 2 (f (x)(x e)): (3.5.23) éÚ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á É ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ËÏÄÏ× ÕÖÅ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÍÙ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÌÉ ËÏÄ RMq (m; r) × ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ. ïÐÉÛÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÜÔÏÇÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÍÙ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ \× ÄÏÌÇ" ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ Ï ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ× ÉÚ x 6.1. þÉÔÁÔÅÌÀ ÐÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÌÉÂÏ ÐÒÏÞÉÔÁÔØ x 6.1, ÌÉÂÏ ÐÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑÍ 6.1.2 É 6.1.8 ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (3.5.23) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ L0P;n 2 (f (x)(x e))^r = L0P;n 2 (h(x)); (3.5.24) m ÇÄÅ h(x) ÅÓÔØ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÓÅÐÁÒÁÂÅÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÐÅÒÉÏÄÁ n = q 1, ËÏÒÎÑÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ×ÓÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ r-ËÒÁÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ËÏÒÎÅÊ m e; #; #q ; :::; #q ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x)(x e). ïÐÒÅÄÅÌÉÍ ×ÅÓ (q -×ÅÓ ) ÞÉÓÌÁ i 2 N 0 Ó q -ÉÞÎÙÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ i = i0 + i1 q + ::: + im 1 q m 1 , i0 ; :::; im 1 2 0; q 1 ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ wq (i) = i0 + i1 + :::im 1 : ôÏÇÄÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ h(x) ÉÚ (3.5.24) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 1

h(x) = f (x) =

Y

f(x #i) : i 2 0; qm

1; wq (i) 2 0; rg:

îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ deg f (x) = Mq (m; r) (ÓÍ. (3.5.6)).

(3.5.25)

çìá÷á 3.

79

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

3.5.9. ôÅÏÒÅÍÁ. ëÏÄ RMq (m; r) ÅÓÔØ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ [n 1; Mq (m; r); dq (m; r)]q ËÏÄ RMq (m; r) = L0P;n 2 (f (x)) (3.5.26) ÄÌÉÎÙ n 1 = q m 1 Ó ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ

dq (m; r) = ( + 1)q

1;

(3.5.27)

ÇÄÅ É ÅÓÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÅÐÏÌÎÏÅ ÞÁÓÔÎÏÅ É ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ m(q 1) r ÎÁ q 1:

m(q

1)

r = (q

1) + ; 0 < q

1:

(3.5.28)

2 òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (3.5.26) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ (3.5.23){(3.5.25). îÉÖÎÑÑ ÏÃÅÎËÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ

ËÏÄÁ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ Ó ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÇÒÁÎÉÃÙ âþè (ÔÅÏÒÅÍÁ 3.4.1). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 3.2.5(a) ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ËÏÄÁ RMq (m; r) ÅÓÔØ xqm 1 e gr (x) = : (3.5.29) f (x) ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ

gr (x) =

Y

f(x #k ) : k 2 1; qm

2; 1 wq (k) < (q

1)m rg:

(3.5.30)

äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÐÕÓÔØ = # 1 . ôÏÇÄÁ ÐÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 3.2.4(c) ÉÚ (3.5.25) ÉÍÅÅÍ Y

f (x) = f(x i ) : i 2 0; q m 2; 0 wq (i) rg; Q É ÔÁË ËÁË xqm 1 e = f(x i) : i 2 0; q m 2g (ÐÏÓËÏÌØËÕ | ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÐÏÌÑ Q), ÔÏ ÉÚ (3.5.28) ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï gr (x) =

Y

f(x i) : i 2 0; qm

2; r < wq (i) (q

1)m

1g:

(3.5.31)

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ i ÚÁÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ i = # i = #k , ÇÄÅ k = q m 1 i, ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÅÓÌÉ i ÉÍÅÅÔ q -ÉÞÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ i = i0 + i1 + ::: + im 1 q m 1 , ÔÏ q -ÉÞÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÞÉÓÌÁ k ÅÓÔØ k = k0 + k1 q + ::: + km 1 q m 1 , ÇÄÅ kt = q 1 it , t 2 0; m 1. ðÏÜÔÏÍÕ wq (k) = (q 1)m wq (i), É ÕÓÌÏ×ÉÅ r < wq (i) (q 1)m 1 ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ 1 wq (k) (q 1)m r. ôÅÐÅÒØ (3.5.30) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ (3.5.31). ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ (3.5.28) ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï d(RMq (m; r)) dq (m; r). ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 3.4.1 ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ âþè-ÃÅÐÏÞËÕ ÄÌÉÎÙ dq (m; r) 1 ÉÚ ËÏÒÎÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ gr (x). üÔÁ ÃÅÐÏÞËÁ ÅÓÔØ

#k ; 1 k ( + 1)q {

2:

(3.5.32)

ïÎÁ ÉÍÅÅÔ ÎÕÖÎÕÀ ÄÌÉÎÕ, É ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ | ËÏÒÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ gr (x). éÚ (3.5.32) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ q -ÉÞÎÁÑ ÚÁÐÉÓØ ÞÉÓÌÁ k ÅÓÔØ k = k0 + k1 q + ::: + k{ q { , ÇÄÅ k0 ; :::; k{ 1 2 0; q 1; k{ 2 0; ; (k0 ; :::; k{ ) 6= (q 1; :::; q 1; ):

çìá÷á 3.

80

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

ðÏÜÔÏÍÕ wq (k) = k0 + ::: + k{ < (q 1){ + = m(q 1)+ r, É #k | ËÏÒÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ (3.5.30). ïÓÔÁÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï d(RMq (m; r)) dq (m; r). äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕËÁÚÁÔØ ÓÌÏ×Ï ÉÚ RMq (m; r) ×ÅÓÁ dq (m; r). ðÕÓÔØ Æ = (q 1) É c0 , ..., cÆ |- ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÚ P . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

a(x1 ; :::; xm ) = (x1 1

e):::(xqm 1{

q

1

e)

Æ 1 Y i=0

(xm

{

ci ):

ôÁË ËÁË deg a(x) = (m { 1)(q 1)+ Æ = (q 1)(m { ) = r, ÔÏ a(x) 2 Pred[xjr] É v (a(x)) 2 RMq (m; r). éÚ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ a(x) ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÎÁÂÏÒÁ u = (n1 ; :::; nm ) 2 P m ÕÓÌÏ×ÉÅ a(u) 6= 0 ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ

u1 = ::: = um

{

1 = 0; um

{

2 P n fc0; :::; cÆ 1 g; (um { ; :::; um) 6= 0:

þÉÓÌÏ ÔÁËÉÈ u, Ô.Å. ×ÅÓ ÓÌÏ×Á v (a(x)), ÅÓÔØ (q dq (m; r). 2

1 Æ )q { + q {

1 = q { + q {

1=

F. ëÏÄÙ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ Ë ËÏÄÁÍ òÉÄÁ|íÁÌÌÅÒÁ. 3.5.10. ôÅÏÒÅÍÁ. ëÏÄ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ËÏÄÕ òÉÄÁ|íÁÌÌÅÒÁ RMq (m; r) × ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ (3.5.26) ÅÓÔØ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ

RMq (m; r)Æ = L0P;n 2 (gr (x));

(3.5.33)

ÇÄÅ gr (x) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ×ÉÄÁ (3.5.30). òÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ËÏÄÁ ËÏÎÓÔÁÎÔÁÍÉ ÅÓÔØ ËÏÄ òÉÄÁ|íÁÌÌÅÒÁ RMq (m; (q 1)m r 1):

(RMq (m; r)Æ )c = L0P;n 2 (f <(q 1)m

r

1> (x)):

(3.5.34)

ëÏÄ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÏÍÕ òí-ËÏÄÕ RMqe (m; r) ÅÓÔØ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÙÊ òíËÏÄ: RMqe (m; r)Æ = RMqe (m; (q 1)m r 1): (3.5.35)

2 òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (3.5.33) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (3.5.26), ÔÅÏÒÅÍÙ 3.2.5(b) É ÒÁ×ÅÎ-

ÓÔ×Á (3.5.29). åÓÌÉ × ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ (3.5.25) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) ÚÁÍÅÎÉÔØ r ÎÁ (q 1)m r 1, ÔÏ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ gr (x) ÉÚ (3.5.30) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ gr (x)(x e) = f <(q 1)m r 1> (x). éÚ (3.5.33) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÔÁË ËÁË gr (e) 6= 0, ÔÏ (RMq (m; r)Æ )c = L0P;n 2 (gr (x)(x e)). ôÅÐÅÒØ (3.5.34) ÏÞÅ×ÉÄÎÏ. äÏËÁÖÅÍ (3.5.35). ôÁË ËÁË dim RMqe (m; r)Æ = q m dim RMqe (m; r), ÔÏ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 3.5.3 É ÌÅÍÍÅ 3.5.2 dim RMqe (m; r)Æ = dim RMqe (m; (q 1)m r 1), É ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ

RMqe (m; (q

1)m r

1) RMqe (m; r)Æ :

(3.5.36)

çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

81

éÚ ÏÐÉÓÁÎÉÑ (3.5.13) ÂÁÚÉÓÁ ËÏÄÁ RMqe (m; r) ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÕÌÀ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÓÌÏ×Á v e(xi ) ÉÚ (3.5.13) É ÓÌÏ×Á

v e(xj ) = v e(xj1 :::xjmm ) 2 Rq (m; (q 1

(j1 ; :::; jm ) 2 Iq (m; l); l (q ðÏÌØÚÕÑÓØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ

v e(xi )v e (xj ) =

X !1 ;:::;!m 2P

!1i +j :::!mim +jm = 1

1

1)m

r

1)m r X !1 ;:::;!m 2P

1); 1:

!1k :::!mkm ; 1

(3.5.37)

ÇÄÅ kt ÄÌÑ t 2 1; m ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÉÚ (3.5.16). ôÁË ËÁË k1 + ::: + km i1 + ::: + im + j1 + ::: + jm s + t < (q 1)m, ÔÏ ÐÏ ÌÅÍÍÅ 3.5.4 ÐÏÓÌÅÄÎÑÑ ÓÕÍÍÁ × (3.5.37) ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ. ÷ËÌÀÞÅÎÉÅ (3.5.36) ÄÏËÁÚÁÎÏ. 2

çìá÷á 3.

3.6

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

82

ëÏÄÙ çÏÐÐÙ

ðÕÓÔØ P = GF (q ) | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÐÏÌÅ, Q = GF (q m ) | ÅÇÏ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ÓÔÅÐÅÎÉ m 1, É g (z ) = gt xt + gt 1 xt 1 + ::: + g0 2 Q[z ], gt = e, | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ t ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q. äÌÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁ 2 Q ÔÁËÏÇÏ, ÞÔÏ g ( ) 6= 0 ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ z 1 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (z ) 2 Q[z ] ÓÔÅÐÅÎÉ ÍÅÎØÛÅÊ t ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ (z )f (z ) 1 (mod g (z )). íÎÏÇÏÞÌÅÎ f (z ) ÍÏÖÎÏ ×ÙÐÉÓÁÔØ × Ñ×ÎÏÍ ×ÉÄÅ: f (z ) = g(1 ) g(zz) g ( ) . ðÕÓÔØ L = f 0; :::; n 1 g Q | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÚ n 1 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÐÏÌÑ Q ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ g ( i) 6= 0, i 2 0; n 1. ëÏÄ çÏÐÐÙ (L; g ) Ó ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ çÏÐÐÙ g (z ) ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ× c = (c0 ; :::; cn 1 ) 2 P n ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ n 1 X ci 0 (mod g(z)): (3.6.1) z i i=0 3.6.1. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ hi = 1=g ( i), i 2 0; n 0 B

H=B @

h0 h0 0

h1 h1 1

: : : hn 1 : : : hn 1 n 1 ............................. h0 0t 1 h1 1t 1 : : : hn 1 nt 11

1. ôÏÇÄÁ ÍÁÔÒÉÃÁ

1 C C A

(3.6.2)

ÒÁÚÍÅÒÏ× t n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ËÏÄÁ (L; g ). ëÏÄ (L; g ) ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ k n mt É ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ d t + 1. åÓÌÉ q = 2 É ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ g (z ) ÎÅ ÉÍÅÅÔ ËÒÁÔÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ, ÔÏ d 2t + 1.

2 ôÁË ËÁË

t g (z ) g ( ) X zi i = gi = z z

i=0 t i 1 X X X gi z k i k 1 = gk+j +1z k j ; i=0 k=0 0k+j
çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

83

ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÁÔÒÉÃÁ 0 B B @

h0 gt h1 gt ::: hn 1 gt h0 (gt 1 + gt 0 ) h1 (gt 1 + gt 1 ) : : : hn 1 (gt 1 + gt n 1) ................................................................................ h0 (g1 + g2 0 + ::: + gt 0t 1 ) ::: : : : hn 1 (g1 + g2 n 1 + ::: + gt nt 11 )

1 C C A

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ËÏÄÁ (L; g ). éÓÐÏÌØÚÕÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÒÏË É ÕÓÌÏ×ÉÅ gt = e, ÐÏÌÕÞÉÍ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ËÏÄÁ (L; g ) × ÂÏÌÅÅ ÐÒÏÓÔÏÊ ÆÏÒÍÅ (3.6.2). ðÕÓÔØ ×ÅÓ ËÏÄÏ×ÏÇÏ ÓÌÏ×Á c 2 (L; g ) ÒÁ×ÅÎ w. ôÏÇÄÁ, ÐÏÓÌÅ ÐÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ (3.6.1) Ë ÏÂÝÅÍÕ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÀ, ÓÔÅÐÅÎØ ÞÉÓÌÉÔÅÌÑ ÏËÁÖÅÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌØÛÅÊ, ÞÅÍ w 1. ðÏÓËÏÌØËÕ deg g (z ) = t. ÔÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ (3.6.1) ÍÏÖÅÔ ×ÙÐÏÌÎÑÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ ÐÒÉ w 1 t. ïÔÓÀÄÁ w t + 1 É ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ d t + 1 ××ÉÄÕ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ËÏÄÁ çÏÐÐÙ. Q ðÒÉ q = 2 ËÏÄÏ×ÏÍÕ ÓÌÏ×Õ c ÓÏÐÏÓÔÁ×ÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (z ) = ni=01 (z i )ci . ôÏÇÄÁ n 1 X ci f 0 (z ) = ; z

f ( z ) i i=0 É ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ (3.6.1) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ g (z ) j f 0 (z ). ôÁË ËÁË, ÐÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ g (z ) ÎÅ ÉÍÅÅÔ ËÒÁÔÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ, É f 0 (z ) × ÓÌÕÞÁÅ q = 2 ÅÓÔØ ÐÏÌÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ, ÔÏ g (z )2 j f 0 (z ). ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, 2t = deg g (z )2 deg f 0 (z ) kck 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, d 2t + 1. 2 3.6.2. ðÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ

2 Q, ord = n É r n.

ðÒÏ×ÅÒÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ L = 1 fe; : i 2 0; n 1g É g(z) = ËÏÄ çÏÐÐÙ (L; g) ÓÏ×ÐÁÄÅÔ Ó ËÏÄÏÍ âþè × ÕÚËÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P Ó ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ r, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÃÅÐÏÞËÅ âþè , 2 , ..., r 1 . îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÏÐÉÓÁÎÎÙÊ ËÏÄ âþè ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÌÏ× (c0 ; :::; cn 1 ) 2 P n ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ i

zr

c0 + c1 (i ) + ::: + cn 1 (i)(n 1) = 0 ÄÌÑ i 2 1; r

1:

(3.6.3)

ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ËÏÄ (L; g ) ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÌÏ× (c0 ; :::; cn 1) 2 P n, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ (3.6.1): n 1 X

ci z i=0

i

0

(mod z d 1 ):

ôÁË ËÁË d n, ÔÏ ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: n 1 n 1 X X ci (z n ( i )n ) n c (z e) = = i z i i=0 z i i=0

çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

n 1 X i=0

ci

n 1 X k=0

z k ( i )n

1

k

=

n 1 X k=0

zk

n 1 X i=0

84

ci (k+1)i 0 (mod z d 1 );

ÞÔÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ (3.6.3). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÅ ×ÓÅ ËÏÄÙ âþè Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÄÁÍÉ çÏÐÐÙ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ËÌÁÓÓ ËÏÄÏ× çÏÐÐÙ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÛÉÒÅ ËÌÁÓÓÁ ËÏÄÏ× âþè × ÕÚËÏÍ ÓÍÙÓÌÅ. îÉÖÅ ÂÕÄÅÔ ÐÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ, × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ËÏÄÏ× âþè, ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ËÏÄÏ× çÏÐÐÙ ÂÏÌØÛÏÊ ÄÌÉÎÙ ÄÏÓÔÉÇÁÀÔ ÇÒÁÎÉÃÙ ÷ÁÒÛÁÍÏ×Á|çÉÌÂÅÒÔÁ. åÓÌÉ Q | ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ÐÏÌÑ P É K < Qn | ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q, ÔÏ ËÏÄ K \ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅÍ ËÏÄÁ K ÎÁ ÐÏÄÐÏÌÅ P . åÓÌÉ ËÏÄ K ÌÉÎÅÅÎ, ÔÏ É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÅÇÏ ÎÁ ÐÏÄÐÏÌÅ ÂÕÄÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ËÏÄÏÍ.

Pn

3.6.3. ðÒÉÍÅÒ. ëÏÄ çÏÐÐÙ (L; g ) ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ), ÇÄÅ g (z ) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q = GF (q m ) ÓÔÅÐÅÎÉ deg g (z ) = t, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅÍ ÎÁ ÐÏÄÐÏÌÅ P ÏÂÏÂÝÅÎÎÏÇÏ ËÏÄÁ òÉÄÁ|óÏÌÏÍÏÎÁ GRSQ (n; n t) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q ÄÌÉÎÙ n É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ n t. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, × ÐÒÉÍÅÒÅ 1.2.2 ÐÏÌÏÖÉÍ

(!1 ; :::; !n) = ( 0 ; :::; n 1 ); (u1 ; :::; un) = (h0 ; :::; hn 1 ); k = t: ôÏÇÄÁ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉÃÙ (3.6.2) ÅÓÔØ ÔÏÔ ÖÅ ÓÁÍÙÊ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Q[xjt], ËÏÔÏÒÙÊ ÕËÁÚÁÎ × ÐÒÉÍÅÒÅ 1.2.2. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÍÁÔÒÉÃÁ (3.6.2) ÅÓÔØ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ GRSQ (n; t) ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 1.2.2. ðÏÓËÏÌØËÕ ËÏÄ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ËÏÄÕ GRSQ (n; t), ÅÓÔØ ËÏÄ GRSQ (n; n t) (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 2.2.6), ÔÏ ÍÁÔÒÉÃÁ (3.6.2) ÅÓÔØ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ GRSQ (n; n t). ïÓÔÁÌÏÓØ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ (L; g ) | ËÏÄ Ó ÔÏÊ ÖÅ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ (3.6.2), ÎÏ ÎÁÄ ÐÏÄÐÏÌÅÍ P . 3.6.4. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ËÏÄÏ× çÏÐÐÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ), ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÁÑ ÓËÏÒÏÓÔØ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë 1 Hq (Æ ), Ô.Å. Ë ÇÒÁÎÉÃÅ ÷ÁÒÛÁÍÏ×Á|çÉÌÂÅÒÔÁ.

2 úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ Æ 2 [0; q q 1 ]. ÷ÏÚØÍÅÍ n = qm, L = Q = GF (qm), É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÏÄ çÏÐÐÙ (L; g ) Ó ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ çÏÐÐÙ g (z ) 2 Q[z ] ÓÔÅÐÅÎÉ t. íÙ

ÈÏÔÉÍ ×ÙÂÒÁÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å g (z ) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÍÅÎØÛÅÊ ÓÔÅÐÅÎÉ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ËÏÄÁ ÂÙÌÏ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ d = [Æn]. ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ c = (c0 ; :::; cn 1) 2 P n | ×ÅËÔÏÒ ×ÅÓÁ i < d, Ô.Å. ×ÅËÔÏÒ, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÅ ÄÏÌÖÅÎ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔØ ËÏÄÕ. ðÏÓÌÅ ÐÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÓÕÍÍÙ × (3.6.1) Ë ÏÂÝÅÍÕ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÀ, ÓÔÅÐÅÎØ ÂÕÄÅÔ ÎÅ ×ÙÛÅ i 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÜÔÏÔ i ÞÉÓÌÉÔÅÌÑ 1 ÞÉÓÌÉÔÅÌØ ÄÅÌÑÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ t ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÐÅÎÉ t. éÓËÌÀÞÁÑ, ÓÁÍÏÅ ÂÏÌØÛÅÅ, d 1 X n i=1

i

(q

1)i

i 1 t

d 1 dX n (q t i=1 i

d 1)i sq (n; d) t

çìá÷á 3.

ìéîåêîùå ãéëìéþåóëéå ëïäù îáä ðïìñíé

85

ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q ÓÔÅÐÅÎÉ t, ÎÁÊÄÅÍ ËÏÄ (L; g ) Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ d. ðÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÏ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÐÅÎÉ t ÒÁ×ÎÏ, ËÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, 1t q mt (1 + o(1)) ÐÒÉ m ! 1, ÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ (ÎÁ ÐÁÒÁÍÅÔÒ t) ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÔÁËÏÇÏ ËÏÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï q mt (1 + o(1)) > dsq (n; d). ìÏÇÁÒÉÆÍÉÒÕÑ É ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÌÅÍÍÕ 1.2.12, ÐÏÌÕÞÉÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ mt + o(1) > Hq (Æ ) + o(1); m ! 1: n óÏÇÌÁÓÎÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 3.6.1, ÓËÏÒÏÓÔØ ÔÁËÏÇÏ ËÏÄÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÏÃÅÎËÅ k mt R= 1 1 Hq (Æ) + o(1); m ! 1; n n ÐÒÉÞÅÍ ÚÁ ÓÞÅÔ ×ÙÂÏÒÁ ÂÏÌØÛÏÇÏ m ×ÅÌÉÞÉÎÁ o(1) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÓÄÅÌÁÎÁ ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÂÌÉÚËÏÊ Ë ÎÕÌÀ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÐÏÓÔÒÏÉÌÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ [ni ; ki ; di]q ËÏÄÏ× çÏÐÐÙ, ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ k di [Æn]; lim Ri = lim i = 1 Hq (Æ ): 2 i!1 i!1 ni äÌÑ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ËÏÄÏ× çÏÐÐÙ ÍÏÖÎÏ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÍÅÔÏÄ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÊ ÏÐÉÓÁÎÎÏÍÕ × x 3.4 ÍÅÔÏÄÕ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ËÏÄÏ× âþè Ó ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ å×ËÌÉÄÁ. ëÁË É × x 3.4D, ÐÕÓÔØ R(z ) = C (z ) + E (z ) | ÐÒÉÎÑÔÙÊ ×ÅËÔÏÒ, ÐÏ ËÏÔÏÒÏÍÕ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÐÅÒÅÄÁÎÎÏÅ ËÏÄÏ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï C (z ). ðÕÓÔØ n 1 X ei S (z ) = : z i i=0 ÷×ÉÄÕ ÕÓÌÏ×ÉÑ (3.6.1) ÎÁ ËÏÄÏ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï C (z ), ÉÍÅÅÍ n 1 X ri S (z ) (mod g (z )); z i i=0 Ô.Å. ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ S (z ) (mod g (z )) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎ ÐÏ ÐÒÉÎÑÔÏÍÕ ×ÅËÔÏÒÕ R(z ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÌÏËÁÔÏÒÏ× É ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÛÉÂÏË

(z ) =

Y

i2M

(z

i );

! (z ) =

X

i2M

ei

Y

j 2M nfig

(z

i );

ÇÄÅ M = fi 2 0; n

1 : ei 6= 0g. ôÏÇÄÁ ! (z ) (z )S (z ) (mod z 2t ); deg (z ) t; deg ! (z ) < t;

É ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÐÒÉÍÅÎÉÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ å×ËÌÉÄÁ ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ! (z ) É (z ). úÎÁÑ ÜÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÍÙ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M ÐÏÚÉÃÉÊ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÐÒÏÉÚÏÛÌÉ ÏÛÉÂËÉ, Á ÚÁÔÅÍ É ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÛÉÂÏË ei . ôÁË ÖÅ, ËÁË É ÄÌÑ ËÏÄÏ× âþè, ÄÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ! (z ) É (z ) ÍÏÖÎÏ ÐÒÉÍÅÎÉÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ âÅÒÌÅËÜÍÐÁ| íÅÓÓÉ.

çÌÁ×Á 4 ìÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ËÏÌØÃÁÍÉ É ÍÏÄÕÌÑÍÉ ÷ÓÀÄÕ ÄÁÌÅÅ R | ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØÃÏ Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ e, R M | ËÏÎÅÞÎÏ ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ (Ô. Å. ËÏÎÅÞÎÙÊ) R-ÍÏÄÕÌØ. âÕÄÅÍ ÐÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× 2 M ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÙ a 2 R ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ ÓÌÅ×Á É ÓÐÒÁ×Á ÔÁË, ÞÔÏ a = a. ëÁË É × 1.1D, ÄÌÑ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ n ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ K ÍÏÄÕÌÑ R M n ×ÓÅÈ ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ R ÎÁÚÏ×ÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ËÏÄÏÍ ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ R M . éÚ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÇÌÁ× 1{3 ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ÐÏÌÑÍÉ ÉÚÕÞÅÎÙ ÕÖÅ ×ÅÓØÍÁ ÇÌÕÂÏËÏ. ðÅÒ×ÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ Ï ÄÒÕÇÉÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÁÈ ÂÙÌÉ Ó×ÑÚÁÎÙ ÐÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ Ó ÉÚÕÞÅÎÉÅÍ ÇÒÕÐÐÏ×ÙÈ ËÏÄÏ×, ËÏÄÏ× èÅÍÍÉÎÇÁ É âþè ÎÁÄ ËÏÌØÃÁÍÉ ×ÙÞÅÔÏ× [36, 37, 61, 62, 63]. äÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍ ÓÔÉÍÕÌÏÍ Ë ÉÚÕÞÅÎÉÀ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ËÏÌØÃÁÍÉ ÐÏÓÌÕÖÉÌÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÒÁÂÏÔ [19, 20] É ÐÏÚÖÅ [44, 11, 54, 53], ÇÄÅ ÂÙÌÏ ÐÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÈÏÒÏÛÉÅ ÎÅÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÐÏÌÑÍÉ (ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ËÏÄÙ ëÅÒÄÏËÁ, ðÒÅÐÁÒÁÔÙ, äÅÌØÓÁÒÔÁ { çÅÔÁÌÓÁ) ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÐÏÓÔÒÏÅÎÙ ËÁË ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ËÏÌØÃÁÍÉ ×ÙÞÅÔÏ× É ËÏÌØÃÁÍÉ çÁÌÕÁ. üÔÁ ÇÌÁ×Á ÐÏÓÔÒÏÅÎÁ ÎÁ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÈ ÒÁÂÏÔÙ [25], ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÊ ÓÏÂÏÊ ÐÅÒ×ÙÊ ÐÒÉÍÅÒ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ËÏÌØÃÁÍÉ ÐÏ ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ËÏÄÁÍÉ ÎÁÄ ÐÏÌÑÍÉ çÁÌÕÁ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ, ÐÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ \ÐÒÁ×ÉÌØÎÏ" ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÐÏÎÑÔÉÑ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ËÏÄÁ É ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÏÄ ÖÅÌÁÔÅÌØÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ÎÅÍÕ ËÏÄ ÓÏ×ÐÁÄÁÌ Ó ÉÓÈÏÄÎÙÍ (ÔÅÏÒÅÍÁ 2.2.4) É ÞÔÏÂÙ ÏÂÝÉÅ ×ÅÓÏ×ÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ×ÚÁÉÍÎÏ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÈ ËÏÄÏ× ÂÙÌÉ Ó×ÑÚÁÎÙ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÏÍ íÁË-÷ÉÌØÑÍÓ (ÔÅÏÒÅÍÁ 2.4.4). îÉÖÅ ÐÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÐÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÑÍÉ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÏÌÎÏÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× Ï ËÏÄÁÈ ÎÁÄ ÐÏÌÑÍÉ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ËÏÄ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ÄÁÎÎÏÍÕ ËÏÄÕ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ, ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÎÁÄ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×ÙÍ ÍÏÄÕÌÅÍ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÄÁÎÎÏÍÕ ËÏÌØÃÕ (ÓÍ. x 7.2). äÌÑ ÂÏÌÅÅ ÐÏÄÒÏÂÎÏÇÏ ÏÐÉÓÁÎÉÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ××ÅÄÅÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÊ. ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÓÔÒÏË u = (u1 ; : : : ; un ) 2 Rn É a = (1 ; : : : ; n ) 2 M n , ÐÏ86

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

87

ÐÒÅÖÎÅÍÕ, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ ua = u1 1 + : : : + unn . åÓÌÉ ÍÙ ××ÅÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ a# = aT , ÔÏ ua = ua# ÅÓÔØ ÏÂÙÞÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÓÔÒÏËÉ ÎÁ ÓÔÏÌÂÅÃ. ðÏÄÍÏÄÕÌØ Rn ? K = fu 2 Rn : uK = 0g ÍÏÄÕÌÑ R Rn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÄÏÍ ÎÁÄ R, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍ Ë ËÏÄÕ K < R M n . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ M n ? L ÎÁÄ R M , Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ËÏÄÕ L < R Rn : M n ? L = fa 2 M n : La = 0g: ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ ÔÏÌØËÏ, ÞÔÏ ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ: M n ? (Rn ? K) K; Rn ? (M n ? L) L; (4.0.1) n n R ? (M ? L) L: (4.0.2) îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÍÏÄÕÌØ R M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×ÙÍ ÉÌÉ QF -ÍÏÄÕÌÅÍ , ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÄÍÏÄÕÌÑ K < R M É ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I / R ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á M ? (R ? K ) = K É R ? (M ? I ) = I [34, 68]. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÇÏ ËÏÌØÃÁ R Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ, Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ, QF -ÍÏÄÕÌØ R Q [33]. ëÏÌØÃÏ R ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×ÙÍ ËÏÌØÃÏÍ, ÅÓÌÉ R R ÅÓÔØ QF -ÍÏÄÕÌØ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ËÏÌØÃÁ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× É, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ×ÓÅ ÃÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ËÏÌØÃÁ ×ÙÞÅÔÏ× Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Ù. ðÏÄÒÏÂÎÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á ËÏÎÅÞÎÙÈ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×ÙÈ ÍÏÄÕÌÅÊ ÉÚÌÏÖÅÎÙ × x 7.2. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ (4.0.1) ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÄÌÑ ×ÓÅÈ K < R M n É L < R Rn ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ R M ÅÓÔØ QF -ÍÏÄÕÌØ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ×ËÌÀÞÅÎÉÑ (4.0.2) ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÄÌÑ ×ÓÅÈ L < R Rn , ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ R ÅÓÔØ QF -ËÏÌØÃÏ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÔÅÏÒÉÀ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R ÍÏÖÎÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÒÁÚ×É×ÁÔØ ÂÅÚ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ Ë ËÏÄÁÍ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÑÍÉ, ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ R | Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Ï ËÏÌØÃÏ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÖÅ ÓÌÕÞÁÅ ÜÔÕ ÔÅÏÒÉÀ ÎÕÖÎÏ ÓÔÒÏÉÔØ ËÁË ÔÅÏÒÉÀ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× \ÎÁÄ ÐÁÒÏÊ" (R; R Q), ÇÄÅ R Q ÅÓÔØ QF -ÍÏÄÕÌØ. îÉÖÅ ÜÔÏÔ ÔÅÚÉÓ ÐÏÄÔ×ÅÒÖÄÁÅÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍÉ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÏÂÝÉÅ ×ÅÓÏ×ÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ×ÚÁÉÍÎÏ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R É QF -ÍÏÄÕÌÅÍ R Q Ó×ÑÚÁÎÙ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÏÍ íÁË-÷ÉÌØÑÍÓ (ÓÍ. 4.5). îÅÏÂÈÏÄÉÍÁÑ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÑ Ï ËÏÎÅÞÎÙÈ ËÏÌØÃÁÈ, ÍÏÄÕÌÑÈ É QF -ÍÏÄÕÌÑÈ ÉÚÌÏÖÅÎÁ × xx 7.1-7.2. ÷ x 4.2, 4.3 ÉÚÕÞÁÀÔÓÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ èÅÍÍÉÎÇÁ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÑÍÉ. äÁÖÅ ÐÅÒ×ÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÐÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÑÍÉ Ó ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ ÌÕÞÛÉÍÉ, ÞÅÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ÎÁÉÌÕÞÛÉÈ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÐÏÌÑÍÉ. ðÕÓÔØ BM (n; d) | ÍÁËÓÉÍÕÍ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R M , ÉÍÅÀÝÉÈ ÄÌÉÎÕ n É ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ èÅÍÍÉÎÇÁ d, É ÐÕÓÔØ Bq (n; d) | ÔÏÔ ÖÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒ ÄÌÑ M = GF (q ). ÷ 4.2D ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÔÕÁÃÉÑ, ËÏÇÄÁ M = L ÅÓÔØ t-ÍÅÒÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ). ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÁÌÆÁ×ÉÔ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ = q t ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. éÚ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÒÁÂÏÔ [43, 49, 50] ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ n 2 N ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï BL (n; 3) = q t 1 B (n; 3):

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

88

îÁÐÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ L ÅÓÔØ 2-ÍÅÒÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ GF (2), ÔÏ

BL (n; 3) = 2B4 (n; 3) ÄÌÑ n 2 6; 9; ÅÓÌÉ L ÅÓÔØ 3-ÍÅÒÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ GF (2), ÔÏ

BL (n; 3) = 4B8 (n; 3) ÄÌÑ n 2 10; 17: ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÑÍÉ ÎÁÓÌÅÄÕÀÔ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÐÏÌÑÍÉ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÕÓÔØ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ, Ô. Å. ËÏÌØÃÏ Ó ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÍ ÉÄÅÁÌÏÍ N, R = R=N = GF (q ) | ÅÇÏ ÐÏÌÅ ×ÙÞÅÔÏ× É M | ÎÅËÏÔÏÒÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ. åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ [n; k; d]q -ËÏÄ ÎÁÄ R , ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ [n; k; d]M -ËÏÄ, Ô. Å. ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ K < R M n , ÉÍÅÀÝÉÊ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ d É ÍÏÝÎÏÓÔØ jM jk (ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ 4.3.8). ÷ ÔÅÏÒÉÉ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÐÏÌÑÍÉ ÅÓÔØ Ä×Á ×ÁÖÎÙÈ ÐÏÎÑÔÉÑ: ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ËÏÄÙ É ÇÒÕÐÐÏ×ÙÅ ËÏÄÙ. üÔÉ ÐÏÎÑÔÉÑ ÏÂÏÂÝÁÀÔÓÑ ÎÁ ËÏÄÙ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÑÍÉ × 5.7, ÇÄÅ Ó ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ Ó×ÏÊÓÔ× ÐÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÑÍÉ ××ÏÄÉÔÓÑ ÐÏÎÑÔÉÅ ÐÏÌÉÃÉËÌÉÞÅÓËÏÇÏ ËÏÄÁ. ÷ ÜÔÉÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÍÏÖÎÏ ÏÐÉÓÁÔØ ×ÓÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÁÂÅÌÅ×Ù ÇÒÕÐÐÏ×ÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ QF -ÍÏÄÕÌÑÍÉ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, × 5.7 ÏÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÐÏÓÏÂ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÑ ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÇÏ ËÏÄÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ çÁÌÕÁ GF (q ) ÄÏ ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÇÏ ËÏÄÁ Ó ÔÅÍÉ ÖÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R M , ÇÄÅ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ Ó ÐÏÌÅÍ ×ÙÞÅÔÏ× R = GF (q ). üÔÁ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÑ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÐÉÓÁÔØ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ èÅÍÍÉÎÇÁ É âþè ËÏÄÙ ÎÁÄ R M . òÁÎÅÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÂÏÌÅÅ ÇÒÏÍÏÚÄËÉÅ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÉ ÔÁËÉÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÐÒÉÍÁÒÎÙÍÉ ËÏÌØÃÁÍÉ ×ÙÞÅÔÏ× ÐÒÅÄÌÁÇÁÌÉÓØ × [36, 37, 61, 62, 63]. 4.1

ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÏÄ, ÚÁÍÙËÁÎÉÅ É ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ

A. úÁÍËÎÕÔÙÅ ËÏÄÙ. ëÒÉÔÅÒÉÊ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ.

úÄÅÓØ ÍÙ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÕÖÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R M , Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ Ë ÎÅÍÕ ËÏÄÁ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R É Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Á ÍÏÄÕÌÑ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ K < R M n ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÅÇÏ ËÏÄ M n ? (Rn ? K) ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ. íÙ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÅÇÏ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ (RÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ) ËÏÄÁ K É ÎÁÚÏ×ÅÍ ËÏÄ K ÚÁÍËÎÕÔÙÍ (R-ÚÁÍËÎÕÔÙÍ), ÅÓÌÉ

K = M n ? (Rn ? K): (4.1.1) áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ L < R Rn ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÅÇÏ M -ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Rn ? (M n ? L), É ËÏÄ L ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ M -ÚÁÍËÎÕÔÙÍ, ÅÓÌÉ L = Rn ? (M n ? L): (4.1.2) ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ËÏÄ L < R Rn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÍ, ÅÓÌÉ L = Rn ? (Rn ? L): (4.1.3)

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

89

éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 2.2.4 ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ R | ÐÏÌÅ, ÔÏ ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ R Ñ×ÌÑÅÔÓÑ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÍ. åÓÌÉ ÖÅ R ÎÅ ÐÏÌÅ, ÔÏ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ×ÅÒÎÏ. ôÅÍ ÂÏÌÅÅ ÎÅÌØÚÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R M Ñ×ÌÑÅÔÓÑ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÍ. äÁÖÅ × ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ R | ÐÏÌÅ, ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ×ÅÒÎÏ ÌÉÛØ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ dim R M = 1. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ËÒÉÔÅÒÉÊ ÚÁÍËÎÕÔÏÓÔÉ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ ÄÁÅÔ 4.1.1. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ìÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ K < R M n (L < R Rn ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÍ (M -ÚÁÍËÎÕÔÙÍ) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ

K = M n ? L (L = Rn ? K) (4.1.4) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ L < R Rn (K < R M n ). 2 åÓÌÉ K | R-ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ, Ô. Å. ×ÅÒÎÏ (4.1.1), ÔÏ (4.1.4) ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ L = Rn ? K. åÓÌÉ ÄÌÑ K ×ÅÒÎÏ (4.1.4), ÔÏ L Rn ? K É M n ? (Rn ? K) M n ? L = K. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ (4.1.1). 2 ðÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R ÄÌÑ ËÏÄÁ K < R M n ÎÁÚÏ×ÅÍ ÍÁÔÒÉÃÕ Hln = (hij )ln ÔÁËÕÀ, ÞÔÏ K ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ a = (1 ; : : : ; n) 2 M n ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

hi1 y1 + : : : + hin yn = 0; i 2 1; l

(4.1.5)

ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R M ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ L < R Rn ÎÁÚÏ×ÅÍ ÍÁÔÒÉÃÕ Hln ÎÁÄ M ÔÁËÕÀ, ÞÔÏ L ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ a = (1 ; : : : ; n ) 2 Rn ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

x1 hi1 + : : : + xn hin = 0; i 2 1; l:

(4.1.6)

ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÒÏË ÎÅ ÍÅÎÑÀÔ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÍÁÔÒÉÃÙ \ÂÙÔØ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÄÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ËÏÄÁ". 4.1.2. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ìÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ K < R M n (L < R Rn ) ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R (ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R M ) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎ R-ÚÁÍËÎÕÔ (M -ÚÁÍËÎÕÔ).

2 åÓÌÉ K ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ H ÎÁÄ R, ÔÏ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ L < RRn, ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÓÔÒÏË H , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ (4.1.4). åÓÌÉ ÄÌÑ K ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ (4.1.4), ÔÏ ÌÀÂÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ H ÎÁÄ R, ÓÔÒÏËÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÐÏÒÏÖÄÁÀÔ L, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÄÌÑ K. 2 òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÏÄÒÏÂÎÅÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÁÖÎÙÊ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ. ðÕÓÔØ Rl;n | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ l n-ÍÁÔÒÉÃ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R.

4.1.3. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ L < R Rn ÅÓÔØ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H 2 Rl;n , É ÐÕÓÔØ M = R1 + : : : + Rt ÅÓÔØ ÔÏÞÎÙÊ

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

90

R-ÍÏÄÕÌØ, Ô. Å. R ? M = 0. ôÏÇÄÁ L ÅÓÔØ M -ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ, É ÅÇÏ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ H 0 ÎÁÄ M ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÏÓÔÒÏÅÎÁ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ 0

1

~ 1 1 H B ::: C B C B~ C H B 1 t 0 H = B~ C C: BH2 1 C B C @ ::: A ~ l t H

2 ðÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 4.1.1 L = Rn ? L0, ÇÄÅ L0 < R Rn. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ L = Rn ? K, ÇÄÅ K < R M n ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ×ÉÄÁ K = L01 + : : : + L0t: (4.1.7) ïÞÅ×ÉÄÎÏ, L Rn ? K. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÅÓÌÉ u 2 Rn ? K, v 2 L0 , ÔÏ u(vs ) = 0 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ s 2 1; t, Ô. Å. (uv)s = 0, s 2 1; t É (uv)M = 0. ôÁË ËÁË M | ÔÏÞÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ, ÔÏ uv = 0. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, u 2 Rn ? L0 = L. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, L = Rn ? K É ÐÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 4.1.1 L ÅÓÔØ M -ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉÃÙ H ÐÏÒÏÖÄÁÅÔ ËÏÄ L0 É ÐÏÔÏÍÕ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉÃÙ H 0 ÐÏÒÏÖÄÁÅÔ ËÏÄ K0 , Á ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ H 0 | ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ L ÎÁÄ R M . 2 ðÕÓÔØ K0 | ÌÉÎÅÊÎÙÊ n-ËÏÄ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R M , ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÊ ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ËÏÄÕ K < Rn × ÓÍÙÓÌÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ x 1.3C. ôÏÇÄÁ K0 = (K), ÇÄÅ : M n ! M n | ÂÉÅËÃÉÑ ×ÉÄÁ

((1 ; :::; n )) = (1 (u'(1) ); :::; n (u'(n) )); 1 ; :::; n 2 Aut(R M ); ' 2 Sn : åÓÌÉ 1 ; :::; n | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÎÅ ÒÁ×ÎÙÅ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÙ, ÔÏ ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ËÏÄ K0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÍ, ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÚÁÍËÎÕÔÏÓÔÉ ËÏÄÁ K. åÓÌÉ ÖÅ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÙ 1 ; :::; n ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ × ×ÉÄÅ 1 (x) = (u1(x)), ..., n (x) = (un(x)), ÇÄÅ 2 Aut(R M ), u1 ; :::; un 2 R , ÔÏ ËÏÄ K0 ÏÓÔÁÅÔÓÑ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÍ, ÐÏÓËÏÌØËÕ, ËÁË ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï K0 = M n ? L0 , ÇÄÅ L = Rn ? K,

L0 = f(u1a'(1) ; :::; una'(n) ) : (a1; :::; an) 2 Lg: íÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÉÍ ÓÐÏÓÏÂÏÍ ÏÐÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ×ÓÅ ÚÁÍËÎÕÔÙÅ ËÏÄÙ K0 , ÌÉÎÅÊÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ÚÁÍËÎÕÔÏÍÕ ËÏÄÕ K, ÏÄÎÁËÏ ××ÅÄÅÍ ÓÐÅÃÉÁÌØÎÙÊ ÔÅÒÍÉÎ. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ K < R M n É K0 < R M n ÓÔÁÂÉÌØÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÏÄÕÌÑ R M , ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ u1 ; : : : ; un 2 R É ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ i1 ; : : : ; in ÞÉÓÅÌ 1; n ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ

K0 = f((u1i ); : : : ; (uni 1

n

)): (1 ; : : : ; n ) 2 Kg:

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

91

îÅÔÒÕÄÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ H = (H1# ; : : : ; Hn# ) ÅÓÔØ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ K, ÔÏ ËÏÄ K0 ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ H 0 = (u1 1 Hi# ; : : : ; un 1Hi#n ). ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÔÁÂÉÌØÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ËÏÄÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÍÉ ÉÌÉ ÎÅ ÚÁÍËÎÕÔÙÍÉ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ, É Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ Ë ÎÉÍ ËÏÄÙ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. 1

B. ìÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ QF-ÍÏÄÕÌÑÍÉ. óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÁÃÉÅÊ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×ÙÈ ÍÏÄÕÌÅÊ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ×, ÏÐÉÓÙ×ÁÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ (Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ) R-ÍÏÄÕÌØ, ×ÓÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ËÏÔÏÒÙÍ R-ÚÁÍËÎÕÔÙ. 4.1.4. ôÅÏÒÅÍÁ. äÌÑ ÍÏÄÕÌÑ R M ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ: (a) R M ÅÓÔØ QF-ÍÏÄÕÌØ; (b) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n 2 N É ÌÀÂÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× L < R Rn É K < R M n ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (4.1.1), (4.1.2); (c) R M | ÔÏÞÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ, É ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÄÁ K < R M n ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (4.1.1). ðÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ (a) × ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÐÕÎËÔÁ (b) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:

jKj jRn ? Kj = jRjn; (Rn ? K; +) = (M n =K; +); (4.1.8) jLj jM n ? Lj = jRjn; (M n ? L; +) = (Rn=L; +): (4.1.9) 2 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÍ. × [24]. 2 úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ R M ÅÓÔØ QF -ÍÏÄÕÌØ, ÔÏ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÇÒÕÐÐ (M; +) = (R; +) (ÓÍ. [24]) É ÐÏÜÔÏÍÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (4.1.8), (4.1.9) ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÚÁÐÉÓÁÎÙ

ÔÁËÖÅ × ×ÉÄÅ

jKj jRn ? Kj = jLj jM n ? Lj = jM jn:

4.1.5. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R ÉÍÅÌ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ÎÁÄ R, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ËÏÌØÃÏ R ÂÙÌÏ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×ÙÍ. åÓÌÉ R ÅÓÔØ QF -ËÏÌØÃÏ, ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ L < R Rn ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ

(Rn ? L; +) = (Rn =L; +):

÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ R | ËÏÌØÃÏ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×, ÔÏ ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ R ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÐÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÍÉ ×ÙÛÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ.

ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (4.1.8), (4.1.9) ÓÕÔØ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ ÔÅÏÒÅÍÙ 2.2.4(a). ó. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÅ ËÏÄÙ. ïÐÉÛÅÍ ×ÁÖÎÙÊ ËÌÁÓÓ ÌÉÎÅÊÎÙÈ

ËÏÄÏ×, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ. îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ x 1.1C ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ K < R M n ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ËÏÄÏÍ ÒÁÎÇÁ k (ÎÁÄ M ), ÅÓÌÉ ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÎÏÍÅÒÁ 1 i1 < i2 < : : : < ik n ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

ËÁÖÄÏÅ ËÏÄÏ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï a = (1 ; : : : ; n) (i ; : : : ; ik ) É ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

92

2 K ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÐÏÄÓÌÏ×ÏÍ

1

f(i ; : : : ; i ): a 2 Kg = M k : ôÁËÏÊ ËÏÄ ÉÍÅÅÔ ÍÏÝÎÏÓÔØ jKj = jM jk . îÁÂÏÒ ÎÏÍÅÒÏ× i1 ; : : : ; ik ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÉ1

k

ÓÔÅÍÏÊ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÈ (ÉÌÉ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÈ ) ÐÏÚÉÃÉÊ ÜÔÏÇÏ ËÏÄÁ, ÎÁÂÏÒ ÓÉÍ×ÏÌÏ× i1 ; : : : ; ik | ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÓÌÏ×Á a 2 K, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÅÇÏ ÓÉÍ×ÏÌÙ | ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÍÉ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ a. ïÐÉÓÁÎÎÙÊ ËÏÄ K ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏ

ÜË×É×ÁÌÅÎÔÅÎ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÍÕ ËÏÄÕ Ó ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÈ ÐÏÚÉÃÉÊ 1; k. ðÕÓÔØ K | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ k ÎÁÄ R M Ó ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ 1; k. åÓÌÉ ÍÏÄÕÌØ M ÉÍÅÅÔ ÓÉÓÔÅÍÕ ÉÚ t ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ

M = R 1 + : : : + R t ; ÔÏ ÍÏÄÕÌØ R K ÉÍÅÅÔ ÓÉÓÔÅÍÕ ÉÚ kt ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ

!

(i;j ) 2 K; i 2 1; k; j 2 1; t; ËÏÔÏÒÙÅ ÚÁÄÁÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÎÁÂÏÒÁÍÉ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ×: (1(i;j ) ; : : : ; k(i;j ) ) = E~ i j ; ÇÄÅ E~ i | i-Ñ ÓÔÒÏËÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ k k-ÍÁÔÒÉÃÙ ÎÁÄ R. ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ËÏÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÆÕÎËÃÉÉ

'i : M k ! M; i 2 1; n k; ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÄÏ×ÏÇÏ ÓÌÏ×Á a 2 K ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

i+k = 'i (1 ; : : : ; k ); i 2 1; n k;

(4.1.10)

ËÏÔÏÒÙÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÍÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ ËÏÄÁ K. ôÁË ËÁË K | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ É ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÇÏ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÈ ÐÏÄÓÌÏ× (1 ; : : : ; k ) ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó M k , ÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÆÕÎËÃÉÊ 'i , i 2 1; n k, ÅÓÔØ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ R-ÍÏÄÕÌÅÊ É ÅÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ

'i (x1 ; : : : ; xk ) = 'i1 (x1 ) + : : : + 'ik (xk );

(4.1.11)

ÇÄÅ 'ij (ÄÌÑ i 2 1; n k, j 2 1; k) | ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÌØÃÁ E (R M ) = End(R M ) ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÍÏÄÕÌÑ R M . äÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÙ 'ij Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÇÏÍÏÔÅÔÉÑÍÉ, Ô. Å. ÐÒÉ ÐÏÄÈÏÄÑÝÉÈ rij 2 R ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ

8 2 M ('ij () = rij ; i 2 1; n k; j 2 1; k)

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

93

(× ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÍ ÐÉÓÁÔØ 'ij = r^ij ). ôÏÇÄÁ ËÏÄ K, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ×ÉÄÁ 0 1 r11 : : : r1k e 0 : : : 0 Br e ::: 0 C 21 : : : r2k 0 C H =B ; (4.1.12) B .. C . . . . . . . . . . @ . . .A . . . rl1 : : : rlk 0 0 : : : e ln ÇÄÅ l = n k. óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÔÁËÖÅ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. 4.1.6. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ R M | ÔÏÞÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ. óÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ K < RM n Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÍÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ (4.1.10), (4.1.11) ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ÎÁÄ R ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÙ 'ij ÉÚ (4.1.11) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÇÏÍÏÔÅÔÉÑÍÉ. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÌÀÂÏÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÎÁÄ M ÉÍÅÌ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ÎÁÄ R, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÍÏÄÕÌØ R M ÂÙÌ E -ÍÏÄÕÌÅÍ, Ô. Å. ÞÔÏÂÙ ×ÓÅ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÙ ÉÚ E (R M ) ÂÙÌÉ ÇÏÍÏÔÅÔÉÑÍÉ [24].

2 äÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ K ÉÍÅÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁ# ÔÒÉÃÕ Htn = (H1 ; : : : ; Hn# ) ÎÁÄ R. ôÏÇÄÁ K ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ a = (1 ; : : : ; n) 2 M n ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ H1# y1 + : : : + Hn# yn = 0#

ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

Hk#+1yk+1 + : : : + Hn# yn = 0# :

(4.1.13)

åÓÌÉ ÏÎÁ ÉÍÅÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ (k+1 ; : : : ; n ) ÎÁÄ M , ÔÏ ËÏÄÕ K ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï (0; : : : ; 0; k+1; : : : ; n ) Ó ÎÕÌÅ×ÙÍÉ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÍÉ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ. ÷×ÉÄÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ (4.1.10) ÜÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÉÓÔÅÍÁ (4.1.13) ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ (ÎÕÌÅ×ÏÅ) ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÁÄ M . ôÁË ËÁË ÐÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ M | ÔÏÞÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ, ÔÏ ÉÚ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

Hk#+1 xk+1 + : : : + Hn# xn = 0# ÎÁÄ R ÔÁËÖÅ ÉÍÅÅÔ ÌÉÛØ ÎÕÌÅ×ÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÎÁÄ R. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉÃÁ (Hk#+1 ; : : : ; Hn#) ÓÔÒÏÞÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÍÁÔÒÉÃÅ 0

1

Ell @0 : : : 0A ; 0:::0 ÇÄÅ Ell | ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÎÁÄ R. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÁÔÒÉÃÁ H ÓÔÒÏÞÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÍÁÔÒÉÃÅ ×ÉÄÁ

Atn = CBlk 0 Ell : (t l)k (t l)l

(4.1.14)

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

94

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÍÁÔÒÉÃÁ A ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÄÌÑ ËÏÄÁ K. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉÃÁ C ÉÚ (4.1.14) ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ. åÓÌÉ ÜÔÏ ÎÅ ÔÁË É, ÄÏÐÕÓÔÉÍ, ÐÅÒ×ÙÊ ÓÔÏÌÂÅÃ C1# ÍÁÔÒÉÃÙ C ÏÔÌÉÞÅÎ ÏÔ ÎÕÌÑ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔ 2 M ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ C1# 6= 0# (ÔÁË ËÁË M | ÔÏÞÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ). ôÁË ËÁË K | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ, ÔÏ ÅÍÕ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ËÏÄÏ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï a = (1 ; : : : ; n ) Ó ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÍÉ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ (1 ; : : : ; k ) = (; 0; : : : ; 0). îÏ ÔÏÇÄÁ ÜÔÏ ÓÌÏ×Ï ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉÃÅÊ A É, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï C1# 1 + : : : + Ck# k = 0# , Ô. Å. C1# = 0# , ÞÔÏ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ×ÙÂÏÒÕ . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, C = 0. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, K | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ

Aeln = (Blk

Ell ):

ðÕÓÔØ Blk = (bij )lk . ôÏÇÄÁ ÉÚ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ (4.1.10), (4.1.11) É ÉÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ËÏÄÁ É ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ 1 ; : : : ; k 2 M ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÙ 'ij ÉÚ (4.1.10) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ

'i1 (1 ) + : : : + 'ik (k ) = bi1 1 + : : : + bik k ; ÐÏÜÔÏÍÕ ×ÓÅ ÏÎÉ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ: 'ij = ^bij , i 2 1; n k, j 2 1; k), ÞÔÏ É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÌÏÓØ. ÷ÔÏÒÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ 4.1.6, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÐÅÒ×ÏÇÏ. 2 4.1.7. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ìÀÂÏÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ L < R Rn ÒÁÎÇÁ k Ó ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ 1; k ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ×ÉÄÁ (4.1.10) ÎÁÄ R, Ô. Å. Ñ×ÌÑÅÔÓÑ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÍ.

2 äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ R ÅÓÔØ E -ÍÏÄÕÌØ. 2

ïÄÎÁËÏ, ËÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ 4.1.5, ÄÁÖÅ × ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ R M ÅÓÔØ E -ÍÏÄÕÌØ, ÎÅÌØÚÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ M ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R. îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÍÏÄÕÌÅÍ ÒÁÎÇÁ k ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÏÄÕÌØ, ÉÍÅÀÝÉÊ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÉÚ k ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ (ÓÍ. x 7.1B). 4.1.8. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ L < R Rn | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ k ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R. ôÏÇÄÁ R L | Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ ÒÁÎÇÁ k É ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ R M ËÏÄ K = M n ? L ÅÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ n k ÎÁÄ M .

2 âÕÄÅÍ ÚÁÐÉÓÙ×ÁÔØ ÓÌÏ×Ï a 2 Rn × ×ÉÄÅ a = (a(1); : : : ; a(n)). ðÕÓÔØ L | ÓÉ-

ÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ Ó ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÈ ÐÏÚÉÃÉÊ 1; k. ôÏÇÄÁ ÐÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ËÏÄÕ L ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÓÌÏ×Á a1 ; : : : ; ak Ó ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÍÉ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ

as (1; k) = E~ s ; s 2 1; k; ÇÄÅ E~ s | s-Ñ ÓÔÒÏËÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ k k-ÍÁÔÒÉÃÙ ÎÁÄ R, É ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

L = Ra1 + : : : + Rak :

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

95

ôÁË ËÁË ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÔÒÏË a1 ; : : : ; ak ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÁ ÎÁÄ R, ÔÏ

L = Ra1 +_ : : : +_ Rak | Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ ÒÁÎÇÁ k. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, K = M n ? L ÅÓÔØ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ 0

a1

1

A = @: : :A : ak

ôÁË ËÁË A ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

A = (Ekk B );

B = (bij )k(n k) ;

ÔÏ K | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ n k ÎÁÄ M Ó ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÈ ÐÏÚÉÃÉÊ k + 1; n É ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ

(i) =

n k X j

1

( bij )(k + j );

i 2 1; k: 2

îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ËÏÌØÃÏ R (ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ É ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÅÄÉÎÉÃÕ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÏËÁÌØÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï N(R) ÅÇÏ ÎÉÌØÐÏÔÅÎÔÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× (ÎÉÌØÒÁÄÉËÁÌ ËÏÌØÃÁ R) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÇÏ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÍ ÉÄÅÁÌÏÍ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ N(R) ÅÓÔØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÉÄÅÁÌ R, ÏÎ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉ ÎÕÌÑ ËÏÌØÃÁ R É ÆÁËÔÏÒËÏÌØÃÏ R = R=N(R) ÅÓÔØ ÐÏÌÅ (ÓÍ. x 7.1A). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÝÅÎÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÉÚ 4.1.8 × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅ×ÅÒÎÏ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ R = Z6, ÔÏ L = R (2; 3) < R2 | Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ ÒÁÎÇÁ 1, ÎÏ L ÎÅ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ. ïÄÎÁËÏ, ÕËÁÚÁÎÎÏÅ ÏÂÒÁÝÅÎÉÅ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï, ÅÓÌÉ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ. 4.1.9. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ, ÔÏ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ L < n R R Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ËÏÄÏÍ ÒÁÎÇÁ k ÎÁÄ R × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ R L | Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ ÒÁÎÇÁ k.

2 ðÕÓÔØ L | Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ Ó ÂÁÚÉÓÏÍ a1 ; : : : ; ak . ôÏÇÄÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÔÒÏË

ÍÁÔÒÉÃÙ

0

a1

1

A = @: : :A ak

ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÁ ÎÁÄ R. ðÕÓÔØ A | ÏÂÒÁÚ ÍÁÔÒÉÃÙ A ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ ×ÙÞÅÔÏ× R = R=N, ÇÄÅ N = N(R) | ÒÁÄÉËÁÌ R. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉÃÙ A ÔÁËÖÅ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÁ ÎÁÄ R . äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, × ÐÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ u1 ; : : : ; uk 2 R ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ÓÔÒÏËÁ (u1; : : : ; uk ) ÎÅ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ É

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

96

(u1 ; : : : ; uk )A = 0. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× u1 ; : : : ; uk ÅÓÔØ ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ, ÎÏ (u1 ; : : : ; uk )A = (b1 ; : : : ; bn ), ÇÄÅ b1 ; : : : ; bn 2 N. ðÕÓÔØ ÉÎÄÅËÓ ÎÉÌØÐÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ ÉÄÅÁÌÁ N ÒÁ×ÅÎ É c 2 N 1 n 0. ôÏÇÄÁ c(b1 ; : : : ; bn ) = 0, ÎÏ c(u1 ; : : : ; uk ) 6= 0. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÅÖÄÕ ÓÔÒÏËÁÍÉ ÍÁÔÒÉÃÙ A ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (cu1 ; : : : ; cuk )A = 0, ÞÔÏ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × ÍÁÔÒÉÃÅ A ÅÓÔØ ÏÂÒÁÔÉÍÁÑ ÐÏÄÍÁÔÒÉÃÁ ÒÁÚÍÅÒÁ k k. ôÁË ËÁË R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ, ÔÏ ÐÏÄÍÁÔÒÉÃÁ ÍÁÔÒÉÃÙ A, ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÎÁÑ ÎÁ ÔÅÈ ÖÅ ÍÅÓÔÁÈ, ÔÁËÖÅ ÏÂÒÁÔÉÍÁ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÍÁÔÒÉÃÅ A ÅÓÔØ ÏÂÒÁÔÉÍÁÑ k k-ÐÏÄÍÁÔÒÉÃÁ. íÙ ÍÏÖÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÁ × ÐÅÒ×ÙÈ k ÓÔÏÌÂÃÁÈ ÍÁÔÒÉÃÙ A. ôÏÇÄÁ ÍÁÔÒÉÃÁ A ÓÔÒÏÞÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÍÁÔÒÉÃÅ Bkn ×ÉÄÁ B = (Ekk ; C ). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉÃÙ B ÅÓÔØ ÔÁËÖÅ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ËÏÄÁ L, É ÉÚ ×ÉÄÁ ÍÁÔÒÉÃÙ B ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ L | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ k Ó ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÈ ÐÏÚÉÃÉÊ 1; k. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ × ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ ÄÏËÁÚÁÎÏ × 4.1.7. 2 ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÏÐÉÓÁÎÉÅ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ËÏÄÁ ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÏÂÏÂÝÅÎÉÑ ÐÏÎÑÔÉÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ. îÁÚÏ×ÅÍ ÍÁÔÒÉÃÕ = ('ij )ln ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× E (R M ) ÍÏÄÕÌÑ R M E -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ËÏÄÁ K < R M n , ÅÓÌÉ K ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÓÔÒÏË a = (1 ; : : : ; n ) 2 M n , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ

'i1 (1 ) + : : : + 'in (n ) = 0; i 2 1; l: ëÏÄ K < R M n ÎÁÚÏ×ÅÍ E (R M )-ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÉÌÉ ÐÒÏÓÔÏ E -ÚÁÍËÎÕÔÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÉÍÅÅÔ E -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÙÛÅ ÐÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ K < M n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ E -ÚÁÍËÎÕÔÙÍ: ÅÓÌÉ ÏÎ ÉÍÅÅÔ ÓÉÓÔÅÍÕ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ (4.1.10), (4.1.11), ÔÏ ÅÇÏ E -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 0 1 '11 : : : '1k e^ 0 : : : 0 B' e^ : : : 0 C 21 : : : '2k 0 C =B : (4.1.15) B .. C . . . . . . . . . . @ . . .A . . . 'l1 : : : 'lk 0 0 : : : e^ ln

úÄÅÓØ l = n k, e^ | ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ R M (ÇÏÍÏÔÅÔÉÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ ÎÁ ÅÄÉÎÉÃÕ e ËÏÌØÃÁ). ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅ ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ R M Ñ×ÌÑÅÔÓÑ E -ÚÁÍËÎÕÔÙÍ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ R | ÎÅ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Ï ËÏÌØÃÏ, ÔÏ ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÉÄÅÁÌ K / R ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ R ? (R ? K ) 6= K . ôÏÇÄÁ K < R R1 | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÄÌÉÎÙ 1, ÎÅ ÉÍÅÀÝÉÊ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ E (R R) = R. ÷ÙÑÓÎÅÎÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÊ, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÌÀÂÏÊ ËÏÄ K < R M n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ E -ÚÁÍËÎÕÔÙÍ | ÐÒÅÄÍÅÔ ÄÁÌØÎÅÊÛÉÈ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÙÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÊ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ÐÏÎÑÔÉÅÍ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Á ÍÏÄÕÌÑ ÎÁÄ ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ. íÙ ÚÄÅÓØ ÏÇÒÁÎÉÞÉÍÓÑ ÌÉÛØ ÐÏÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÐÒÏÂÌÅÍÙ × ÏÂÝÅÍ ×ÉÄÅ, ÎÏ ÅÝÅ ×ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÎÅÊ, ÉÚÕÞÁÑ ËÏÄÙ ÎÁÄ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ (ÓÍ. ÎÉÖÅ Ð. E).

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

97

D. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ËÏÄÁ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÉÄÅÍÐÏÔÅÎÔÏ×. ëÁË

×ÉÄÎÏ ÉÚ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ, ÐÒÉ ÉÚÕÞÅÎÉÉ Ó×ÏÊÓÔ× ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÑÍÉ ×ÅÓØÍÁ ÐÏÌÅÚÎÏÊ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÒÅÄÕËÃÉÑ Ë ÓÌÕÞÁÀ, ËÏÇÄÁ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ËÏÌØÃÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÏËÁÌØÎÙÍ. éÚ×ÅÓÔÎÏ (ÓÍ., ÎÁÐÒÉÍÅÒ, [1, 24]), ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØÃÏ R Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÐÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ ÌÏËÁÌØÎÙÈ ËÏÌÅÃ (ÐÒÉÞÅÍ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ, Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ). äÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÕËÁÚÁÎÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ R = R1 +_ : : : +_ Rt : (4.1.16) ðÕÓÔØ es | ÅÄÉÎÉÃÁ ËÏÌØÃÁ Rs , s 2 1; t. ôÏÇÄÁ ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (4.1.17) e = e1 + : : : + et ; Rs = es R = Res ; s 2 1; t; É ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ ei ej = 0 ÄÌÑ i; j 2 1; t; i 6= j (4.1.18) (ÔÅÏÒÅÍÁ 7.1.3). ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÏÄÕÌØ R M ÅÓÔØ ÐÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÊ M = M1 +_ : : : +_ Mt (4.1.19) ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ Ms = es M , s 2 1; t. íÏÄÕÌØ R Ms Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÔÁËÖÅ Rs -ÍÏÄÕÌÅÍ É ÌÀÂÏÊ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ ÍÏÄÕÌÑ Rs Ms ÅÓÔØ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ ÍÏÄÕÌÑ R Ms (ÓÍ. x 7.1B). ÷ ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ K < R M n ÅÓÔØ ÐÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÊ K = K1 +_ : : : +_ Kt (4.1.20) ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ Ks = es K, s 2 1; t. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, Ks ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ Rs Ms . íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÍÏÄÕÌØ Ms É ËÏÄ Ks s-Ê ËÏÍÐÏÎÅÎÔÏÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÍÏÄÕÌÑ M É ËÏÄÁ K, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÀ (4.1.16). ìÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ L < R Rn ÔÁËÖÅ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÐÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ Ó×ÏÉÈ ËÏÍÐÏÎÅÎÔ Ls = esL: L = L1 +_ : : : +_ Lt: (4.1.21) 4.1.10. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ (4.1.16){(4.1.21) ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï L = Rn ? K (K = M n ? L) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÓÉÓÔÅÍÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×

Ls = Rsn ? Ks (Ks = Msn ? Ls); s 2 1; t:

ëÏÄ K (ËÏÄ L) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÍ (M -ÚÁÍËÎÕÔÙÍ) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ËÁÖÄÁÑ ÅÇÏ ËÏÍÐÏÎÅÎÔÁ Ks (ËÏÍÐÏÎÅÎÔÁ Ls ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Rs -ÚÁÍËÎÕÔÏÊ (Ms ÚÁÍËÎÕÔÏÊ). íÁÔÒÉÃÁ H ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R (ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÄÌÑ ËÏÄÁ K (ÄÌÑ ËÏÄÁ L) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ s 2 1; t ÍÁÔÒÉÃÁ es H ÅÓÔØ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ Ks (ËÏÄÁ Ls). ëÏÄ K ÅÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ k ÎÁÄ R M ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÄÏ× Ks , s 2 1; t, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ËÏÄÏÍ ÒÁÎÇÁ k ÎÁÄ Ms Ó ÔÅÍÉ ÖÅ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ, ÞÔÏ É ËÏÄ K.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

98

2 ÷ ÏÓÎÏ×Å ×ÓÅÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ× ÌÅÖÉÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ u 2 Rn É a 2 M n , ÔÏ ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ u = u(1) + : : : + u(t) ; ÇÄÅ u(s) = es u 2 Rsn ; a = a(1) + : : : + a(t) ; ÇÄÅ a(s) = es a 2 Msn É ××ÉÄÕ (4.1.18) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ua = u(1) a(1) + u(2) a(2) + : : : + u(t) a(t) ; ÐÒÉÞÅÍ u(s) a(s) = es ua ÄÌÑ s 2 1; t. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ua = 0 ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÓÉÓÔÅÍÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ× u(s) a(s) = 0, s 2 1; t. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ËÏÄÏ× ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. äÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ s 2 1; t ËÏÄ Ks ÅÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÎÁÄ Ms ÒÁÎÇÁ k Ó ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ 1; k É ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÍÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ i(+s)k = '(i1s) (1(s) ) + : : : + '(iks) (k(s) ); i 2 1; n k; (4.1.22) ÇÄÅ '(ijs) 2 End(R M (s) ). ôÏÇÄÁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ 'ij : M ! M , ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÎÁ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔÅ 2 M ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ (t) 'ij () = '(1) ij (e1 ) + : : : + 'ij (et ) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ ÍÏÄÕÌÑ R M É ËÏÄ K = K1 + : : : + Kt ÅÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ k ÎÁÄ M Ó ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ 1; k É ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÍÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ (4.1.10), (4.1.11). îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ ËÏÄ K ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÐÏÓÌÅÄÎÅÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ, ÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ '(ijs) (x) = es 'ij (x) ÎÁ Ms | ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÙ ÍÏÄÕÌÑ Rs Ms É ËÏÄ Ks ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÍÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ (4.1.22). 2 E. ëÏÄÙ ÎÁÄ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ. åÝÅ ÏÄÉÎ ×ÁÖÎÙÊ ËÌÁÓÓ ËÏÄÏ×, ËÏÔÏÒÙÊ

ÉÇÒÁÅÔ ÏÓÏÂÕÀ ÒÏÌØ × ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÑÍÉ | ËÏÄÙ ÎÁÄ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ P L, ÇÄÅ P | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÐÏÌÅ. âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ dim P L = t. ôÏÇÄÁ dim P Ln = nt É ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ K < P Ln ÅÓÔØ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ m nt. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï P Ln ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ P nt ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ nt ÎÁÄ P , É ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ

': P Ln ! P P nt

(4.1.23)

'(K) ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ P ÄÌÉÎÙ nt É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ m. ëÏÄ K ÍÏÖÅÔ ÎÅ ÉÍÅÔØ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ ÎÁÄ P , ÎÏ ËÏÄ '(K) ÅÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÉÍÅÅÔ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÌÀÂÕÀ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ËÏÄÁ '(K) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P '-ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ËÏÄÁ K. éÍÅÑ ËÁËÕÀ-ÌÉÂÏ '-ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ H ËÏÄÁ K É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ', ËÏÄ K ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. ïÄÎÁËÏ ÐÏ ÏÄÎÏÊ ÌÉÛØ ÍÁÔÒÉÃÅ H × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ËÏÄ K P -ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÉÌÉ

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

99

ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ, ÔÁË ËÁË ÐÏÄÈÏÄÑÝÉÍ ×ÙÂÏÒÏÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ' ËÏÄ '(K) ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÌÀÂÙÍ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P nt ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ m. îÁÚÏ×ÅÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ' ÐÏÚÉÃÉÏÎÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ

: P L ! P P t

(4.1.24)

ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ' = n | ÄÅËÁÒÔÏ×Á ÓÔÅÐÅÎØ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ , Ô. Å. ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a = (1 ; : : : ; n ) 2 Ln ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

'(a) = ( (1 ); : : : ; (n )): ÷ ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÁÚÉÓ a1 ; : : : ; at ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P L ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÅ i ÓÌÏ×Á a ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ

(i ) = (u1i ; u2i; : : : ; uti ); ÇÄÅ i = u1i a1 + : : : + uti at :

(4.1.25)

äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a 2 Ln

'(a) = n (a) = (u11 ; u21 ; : : : ; ut1 ; u12 ; : : : ; ut2 ; : : : ; u1n; : : : ; utn ):

(4.1.26)

íÙ ÚÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÎÁ ×ÒÅÍÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÉÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÊ ÂÁÚÉÓ a1 ; : : : ; at ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P L É ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ , ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÐÏ ÚÁËÏÎÕ (4.1.26), É ÏÐÉÛÅÍ ÓÔÒÏÅÎÉÅ n -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ ËÏÄÁ K × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÉÔÕÁÃÉÑÈ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÚ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ n -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÄÁ K < P Ln ×ÙÔÅËÁÅÔ 4.1.11. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ìÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ K < P Ln Ñ×ÌÑÅÔÓÑ E -ÚÁÍËÎÕÔÙÍ, Ô. Å. ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ E (P L).

2 ðÕÓÔØ Arnt ÅÓÔØ n-ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ K. íÙ ÍÏÖÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ

ÞÉÓÌÏ ÅÅ ÓÔÒÏË ËÒÁÔÎÏ t: r = lt (× ÐÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÏÐÏÌÎÉÍ A ÎÕÖÎÙÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÎÕÌÅ×ÙÈ ÓÔÒÏË). ÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÁÔÒÉÃÕ A ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÐÏÄÍÁÔÒÉÃÙ ÒÁÚÍÅÒÁ t t É ÚÁÐÉÓÁÔØ ÅÅ × ×ÉÄÅ 0

1

A11 : : : A1n A = @ .............A; Al1 : : : Aln

Aij 2 Pt;t :

ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ËÏÄ K ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÉÚ ×ÓÅÈ ÓÌÏ× a 2 Ln ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ ÓÔÏÌÂÅÃ n (a)T , ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÙÊ ÉÚ (4.1.25), (4.1.26), ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉÃÅÊ A. õÓÌÏ×ÉÅ n (a)T = 0 ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÓÉÓÔÅÍÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×

Ai1 (1 )T + : : : + Ain (n)T = 0; i 2 1; l:

(4.1.27)

ðÕÓÔØ 'ij 2 E (P L) | ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍ, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÎÁ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔÅ 2 L ÐÏ ÚÁËÏÎÕ 'ij () = 1 ((Aij ()T )T ):

100

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

ôÏÇÄÁ ÕÓÌÏ×ÉÑ (4.1.27) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ

'i1 (1 ) + : : : + 'in (n ) = 0; i 2 1; l: ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÁÔÒÉÃÁ = ('ij )ln ÎÁÄ E (P L) ÅÓÔØ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ K.

2

äÏÐÕÓÔÉÍ ÔÅÐÅÒØ, ÞÔÏ K < Ln | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ k ÎÁÄ L Ó ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ 1; k. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÁË ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ, ÏÎ ÉÍÅÅÔ E ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ×ÉÄÁ (4.1.15). ïÔÓÀÄÁ ÌÅÇËÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ËÏÄ K ÉÍÅÅÔ n -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ A ×ÉÄÁ 0

A11 : : : A1k A = @ ............. Al1 : : : Alk

1

Eltlt

A;

(4.1.28)

ÇÄÅ t = n k, E | ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ n (K) | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ Ó ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ 1; kt. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ K < P Ln | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ dim P K = kt, ÔÏ n (K) | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ kt É ÏÎ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÅÎ ËÏÄÕ Ó ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ 1; kt. ïÄÎÁËÏ ÏÔÓÀÄÁ ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ K | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï 4.1.12. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ìÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ K < Ln Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ËÏÄÏÍ ÒÁÎÇÁ k ÎÁÄ L ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ËÏÄ n (K) ÉÍÅÅÔ ÓÉÓÔÅÍÕ ÉÚ kt ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÈ ÐÏÚÉÃÉÊ, ËÏÔÏÒÁÑ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ k ÏÔÒÅÚËÏ× ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ×ÉÄÁ it + 1; (i + 1)t. 2

îÅÔÒÕÄÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÓÁÍ ËÏÄ K ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ H = (hij )ln ÎÁÄ P , ÔÏ ÅÇÏ n -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ A ÍÏÖÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ ËÁË ÔÅÎÚÏÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ H É ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ t t-ÍÁÔÒÉÃÙ E = Ett : 0

1

h11 E : : : h1n E A = H E = @................A: hl1 E : : : hln E

(4.1.29)

åÓÌÉ, Ë ÔÏÍÕ ÖÅ, K Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ ËÏÄÏÍ ÒÁÎÇÁ k ÎÁÄ L Ó ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ 1; k É ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H ×ÉÄÁ (4.1.12), ÔÏ ÉÚ (4.1.29) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ËÏÄ n (K) ÅÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ 0

r11 E : : : r1k E @ A = ................ rl1 E : : : rlk E

1

Eltlt

:

A

(4.1.30)

ltnt

4.1.13. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ìÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ K < Ln , ÉÍÅÀÝÉÊ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ÎÁÄ P , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

101

2 ðÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ K ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÓÔÒÏË É ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÓÔÏÌÂÃÏ× ÐÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÉÄÕ (4.1.12). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÄ K ÜË×É-

×ÁÌÅÎÔÅÎ ËÏÄÕ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ×ÉÄÁ (4.1.12), É ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÏÎ ÓÁÍ ÉÍÅÅÔ ÔÁËÕÀ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ. ÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ K | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ Ó ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ 1; k É n -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ (4.1.28), × ËÏÔÏÒÏÊ Aij = rij Ett | ÓËÁÌÑÒÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ. 2 ïÂÒÁÝÅÎÉÅ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 4.1.13 ÎÅ×ÅÒÎÏ. åÓÌÉ K | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ, ÔÏ ÏÎ ÉÍÅÅÔ n -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ A ×ÉÄÁ (4.1.28) É ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÐÏ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÀ 4.1.3 ÏÎ ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ÎÁÄ P ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÍÁÔÒÉÃÁ A ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (4.1.30), ÞÔÏ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ. 4.2

ðÁÒÁÍÅÔÒÙ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ.

A. ëÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ É ÍÏÝÎÏÓÔÉ. ëÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÐÒÅÄÙÄÕ-

ÝÉÈ ÇÌÁ×, × ÔÅÏÒÉÉ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÐÏÌÑÍÉ ×ÁÖÎÏÅ ÍÅÓÔÏ ÚÁÎÉÍÁÅÔ ÉÚÕÞÅÎÉÅ ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ËÏÄÁ Bq (n; d), ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÏÊ ËÁË ÍÁËÓÉÍÕÍ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× K < GF (q )n, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ d(K) d (ÓÍ. x 1.2D). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, Bq (n; d) = qmq (n;d) , ÇÄÅ mq (n; d) | ÍÁËÓÉÍÕÍ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ ÔÅÈ ÖÅ ËÏÄÏ×. ëÒÉÔÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ËÏÄÁ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÍÁËÓÉÍÕÍ dq (n; m) ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÄÌÉÎÙ n É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ m ÎÁÄ GF (q ). çÒÁÎÉÃÁ óÉÎÇÌÔÏÎÁ (ÔÅÏÒÅÍÁ 1.2.1) ÄÁÅÔ ÎÁÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Bq (n; d) q n d+1 ; mq (n; d) n d + 1; dq (n; m) n m + 1: ðÏ ÁÎÁÌÏÇÉÉ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ BM (n; d) ÍÁËÓÉÍÕÍ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ×

K < R M n Ó ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ d(K) d. îÁÓ ÂÕÄÕÔ ÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÔØ ÔÁËÖÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ cl (n; d); B syst (n; d); B cs (n; d); BM M M

ËÏÔÏÒÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÔÁËÉÍ ÖÅ ÓÐÏÓÏÂÏÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ × ËÌÁÓÓÁÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ RÚÁÍËÎÕÔÙÈ, ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ É ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ R M . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ M = R = GF (q ) ×ÓÅ ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ ËÏÄÏ× (Á ÚÎÁÞÉÔ É ××ÅÄÅÎÎÙÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ) ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ (ÔÅÏÒÅÍÙ 2.1.1, 2.1.6). ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÁÒÁÍÅÔÒ dq (n; m) ÏÂÏÂÝÁÅÔÓÑ ÎÁ ÓÌÕÞÁÊ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ, ÔÁË ËÁË ÄÌÑ ÔÁËÉÈ ËÏÄÏ× × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÔ ÈÏÒÏÛÅÇÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÉÚÕÞÁÔØ ÍÁËÓÉÍÕÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× K < R M n ÍÏÖÎÏ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ jKj = const, Á ÍÏÖÎÏ | ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ (R K) = const, ÇÄÅ (R K) | ÍÉÎÉÍÕÍ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ ÓÉÓÔÅÍ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ-ÍÏÄÕÌÑ R K. ðÅÒ×ÙÊ ÐÏÄÈÏÄ, ×ÉÄÉÍÏ, ÉÎÔÅÒÅÓÎÅÅ Ó ÐÒÉËÌÁÄÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ, Á ×ÔÏÒÏÊ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÂÏÌÅÅ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍ É ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÎÁÄÅÑÔØÓÑ ÎÁ ÂÏÌÅÅ ÇÌÕÂÏËÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ dM [n; k] ÍÁËÓÉÍÕÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ èÅÍÍÉÎÇÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× K < R M n , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ jKj jM jk . úÄÅÓØ k | ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÃÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ. íÙ ××ÅÄÅÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÄÒÕÇÉÅ ÍÏÄÉÆÉËÁÃÉÉ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ dq (n; m) ÄÌÑ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÑÍÉ ÐÏÚÖÅ.

102

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

óÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 1.2.1 ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÊ ÏÃÅÎËÁ óÉÎÇÌÔÏÎÁ BM (n; d) jM jn d+1 ; dM (n; k) n k + 1: (4.2.1) ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ [n; k; d]M -ËÏÄ K, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ k = n d + 1 (Ô. Å. jKj = jM jn d+1 ), ÂÕÄÅÍ ÐÏ-ÐÒÅÖÎÅÍÕ ÎÁÚÙ×ÁÔØ íäò-ËÏÄÏÍ. äÁÌÅÅ ÉÚÕÞÁÀÔÓÑ, × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ, ËÏÄÙ, ÉÍÅÀÝÉÅ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÅ ÍÁÔÒÉÃÙ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ H ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R M (ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R) ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÅÅ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÊ ÒÁÎÇ {R (H ) ÎÁÄ R (ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÊ ÒÁÎÇ {M (H ) ÎÁÄ R M ) ËÁË ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ k 2 N ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÚ k ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃÙ H ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÁ ÎÁÄ R (ÎÁÄ M ). ðÏ ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó ÔÅÏÒÅÍÏÊ 2.1.2 ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ 4.2.1. ôÅÏÒÅÍÁ. åÓÌÉ K | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R M (ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R), ÉÍÅÀÝÉÊ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ H ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R (ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M ), ÔÏ d(K) = {M (H ) + 1 (d(K) = {R (H ) + 1). 2 ðÒÁ×ÉÌØÎÅÅ ÂÙÌÏ ÂÙ ÎÁÚ×ÁÔØ ××ÅÄÅÎÎÙÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒ {M (H ) ({R (H )) ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÍ ÒÁÎÇÏÍ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃÙ H . íÙ, ÏÄÎÁËÏ, ÂÕÄÅÍ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÓÏËÒÁÝÅÎÎÙÊ ÔÅÒÍÉÎ, ÔÁË ËÁË ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÊ ÒÁÎÇ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉÃÙ H ÚÄÅÓØ ÎÅ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÍÁÔÒÉÃÙ H ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÓÒÁÚÕ Ä×Á ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ: {R (H ) É {M (H ). óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ É Ó×ÏÊÓÔ×Á ÆÕÎËÃÉÉ { (H ) ÂÕÄÕÔ ÕËÁÚÁÎÙ ÎÉÖÅ. B. ðÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ É ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ËÏÄÁ ÎÁÄ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ. òÁÓ-

ÓÍÏÔÒÉÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ P L ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ t ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ). ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÔÁËÉÅ ËÏÄÙ ÍÏÇÕÔ ÎÁÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÈÏÒÏÛÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ. 4.2.2. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÊ [n; m; d]q ËÏÄ, ÔÏ ÎÁÄ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ P L ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ P -ÚÁÍËÎÕÔÙÊ [n; m; d]L -ËÏÄ. 2 ðÕÓÔØ L | [n; m; d]q -ËÏÄ ÎÁÄ P . ôÏÇÄÁ L | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ É ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÏÎ ÉÍÅÅÔ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÅ ÐÏÚÉÃÉÉ 1; m, Ô. Å. ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ H ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ×ÉÄÁ (4.1.12) ÐÒÉ k = m, ÐÒÉÞÅÍ ÐÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ É ××ÉÄÕ 4.2.1 ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï {P (H ) = d 1. ðÕÓÔØ K | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ L Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H . ôÏÇÄÁ ÓÏÇÌÁÓÎÏ 4.2.1 d(K) = {P (H ) + 1 = d, ÐÒÉÞÅÍ ÉÚ ÓÔÒÏÅÎÉÑ (4.1.12) ÍÁÔÒÉÃÙ H ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ K | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ m ÎÁÄ L, Ô. Å. K | ÉÓËÏÍÙÊ [n; m; d]L -ËÏÄ. 2 äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ ÎÁÄ L ××ÅÄÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÏÇÏ ÒÁÎÇÁ ÍÁÔÒÉÃÙ. äÌÑ ÍÁÔÒÉÃÙ (4.2.2) Hlnt = (H1 ; :::; Hn ); Hi 2 Pl;t ; i 2 1; n; ÒÁÚÂÉÔÏÊ ÎÁ ÂÌÏËÉ Hi ÒÁÚÍÅÒÁ l t ÎÁÚÏ×ÅÍ t-ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÍ ÒÁÎÇÏÍ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÐÁÒÁÍÅÔÒ {P(t) (H ), ÒÁ×ÎÙÊ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÍÕ k 2 N 0 ÔÁËÏÍÕ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÅÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÉÎÄÅËÓÏ× i1 ; : : : ; ik 2 1; n ÐÏÄÍÁÔÒÉÃÁ (Hi ; : : : ; Hik ) ÍÁÔÒÉÃÙ H ÉÍÅÅÔ ÒÁÎÇ kt. 1

103

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

4.2.3. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ K < Ln | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ P L É H | ÅÇÏ n -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ. ôÏÇÄÁ

d(K) = {P(t) (H ) + 1:

(4.2.3)

2 ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ H ÅÓÔØ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ n(K), ÇÄÅ n: Ln !

P (tn) | ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÙÊ ÉÚ (4.1.24){(4.1.26). úÁÐÉÛÅÍ H × ×ÉÄÅ (4.2.2). ôÏÇÄÁ, ËÁË ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ a = (1 ; : : : ; n) 2 Ln ÕÓÌÏ×ÉÅ a 2 K, ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ n (a) 2 n (K), ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ H1 (1 )T + : : : + Hn (n )T = 0:

(4.2.4)

åÓÌÉ {P(t) (H ) = r É a 6= 0, ÔÏ ÉÚ (4.2.4) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ × ÓÌÏ×Å a ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅ ÍÅÎÅÅ r + 1 ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, É ÐÏÔÏÍÕ d(K) r + 1. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ i1 ; : : : ; ir+1 2 1; n ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉÃÁ (Hi : : : Hir ) ÉÍÅÅÔ ÒÁÎÇ ÍÅÎØÛÉÊ, ÞÅÍ (r + 1)t. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÎÁÂÏÒ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× i ; : : : ; ir 2 L ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ 1

+1

1

+1

Hi (i )T + : : : + Hir (ir )T = 0: 1

1

+1

+1

ôÏÇÄÁ ËÏÄÕ K ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÓÌÏ×Ï a = (0; : : : ; 0; i ; 0; : : : ; 0; ir ; 0; : : : ; 0) ×ÅÓÁ r +1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, d(K) = r + 1. 2 òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ {P (H ) É {P(t) (H ) Ó×ÑÚÁÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ, ÏÄÎÁËÏ ÜÔÁ Ó×ÑÚØ ×ÅÓØÍÁ ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÁ. 1

+1

4.2.4. ìÅÍÍÁ. äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ Hlnt ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á { P (H ) ( t) {P (H ) {P (H ) : (4.2.5)

t

2 ðÅÒ×ÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÞÅ×ÉÄÎÏ. ÷ÔÏÒÏÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ( t) ÏÂÒÁÚÏÍ. åÓÌÉ l > {P (H ), ÔÏ × (4.2.2) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÐÏÄÍÁÔÒÉÃÙ Hi ; : : : ; Hi ÔÁËÉÅ, 1

l

ÞÔÏ rank(Hi ; : : : ; Hil ) < lt. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × H ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÚ lt ÓÔÏÌÂÃÏ×, É ÐÏÔÏÍÕ lt {P (H ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ l 2 N É lt > t{P(t) (H ), ÔÏ lt > {P (H ). ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÔÏÒÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × (4.2.5). 2 ëÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× (4.2.5)ÍÏÖÅÔ ÏÂÒÁÝÁÔØÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ P = GF (2) É H = 10 01 01 11 , ÔÏ {P (H ) = {P(2) (H ) = 1. åÓÌÉ P = GF (3) É 1

H = 10 01 11 12 , ÔÏ {P (H ) = 2 > {P(2) (H ) = 1 = {P (H )=2. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ËÌÁÓÓ ÍÁÔÒÉÃ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÐÅÒ×ÏÅ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× (4.2.5) ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï, ÏÐÉÓÙ×ÁÅÔ

104

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

4.2.5. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ U = Utt | ÏÂÒÁÔÉÍÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ Hln ÎÁÄ P ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

{P(t) (H U ) = {P (H U ) = {P (H ): åÓÌÉ ÔÏ

(4.2.6)

K < P Ln | ÌÉÎÅÊÎÙÊ P -ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H ÎÁÄ P , d(K) = d( n (K)) = {P (H ) + 1;

jKj = jLjn

rank H :

(4.2.7)

2 åÓÌÉ ÐÏÄÍÁÔÒÉÃÁ A = (Hi# ; : : : ; Hi# ) ÍÁÔÒÉÃÙ H ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÍÁÔÒÉÃÅ 1

r

E 0 = ss 0 0

ÒÁÎÇÁ s, ÔÏ ÐÏÄÍÁÔÒÉÃÁ (Hi# U; : : : ; Hi#r U ) = A U ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÍÁÔÒÉÃÅ E ÒÁÎÇÁ st. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 1

rank A = r () rank A U = rt: ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï {P(t) (H U ) = {P (H ): ðÕÓÔØ {P (H ) = r. ôÏÇÄÁ ÌÀÂÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÚ r ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃÙ H U ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÁ, ÔÁË ËÁË ÏÎÁ ÅÓÔØ ÐÏÄÓÉÓÔÅÍÁ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÔÏÌÂÃÏ× ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ A U , ÇÄÅ A = (Hi# : : : Hi#r ) | ÍÁÔÒÉÃÁ ÒÁÎÇÁ r. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, {P (H U ) r. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, × ÍÁÔÒÉÃÅ H ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÚ r + 1 ÓÔÏÌÂÃÏ× Hi# ; : : : ; Hi#r . ôÏÇÄÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÚ ÐÅÒ×ÙÈ ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃ Hi#

U; : : : ; Hi#r U ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÁÑ ÐÏÄÓÉÓÔÅÍÁ ÉÚ r + 1 ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃÙ H U . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, {P (H U ) < r +1. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, {P (H U ) = r = {P (H ). òÁ×ÅÎÓÔ×Á (4.2.7) ÓÌÅÄÕÀÔ ÉÚ ÏÐÉÓÁÎÉÑ (4.1.29) n -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ ËÏÄÁ K, ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (4.2.6), ÔÅÏÒÅÍÙ 4.2.1 É ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 4.2.2. 2 1

1

+1

1

+1

4.2.6. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ H ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P É ÌÀÂÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P L ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

{P (H ) = {L (H ): 2 äÌÑ ËÏÄÁ K < Ln Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 4.2.1 ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï d(K) = {L (H ) + 1. ôÅÐÅÒØ ÎÕÖÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ (4.2.7). 2 òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÅÎÅÅ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ.

4.2.7. ðÒÉÍÅÒ (ËÏÄ èÅÍÍÉÎÇÁ ÎÁÄ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ). éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ × ËÏÌØÃÅ ÍÁÔÒÉÃ Ptt ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ ÐÏÄËÏÌØÃÏ F = f0; A1 ; : : : ; A 1 g, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ

ÉÚ = q t ÜÌÅÍÅÎÔÏ× É Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ ÐÏÌÅÍ. ôÏÇÄÁ ×ÓÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÍÁÔÒÉÃÙ ÉÚ F ÏÂÒÁÔÉÍÙ. ðÏÌÏÖÉÍ n = + 1 É ÐÏÓÔÒÏÉÍ ÍÁÔÒÉÃÕ H2tnt ×ÉÄÁ

H = E0 E0 AE :: :: :: AE 1 1

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

105

(ÚÄÅÓØ 0, E | ÍÁÔÒÉÃÙ ÒÁÚÍÅÒÁ t t. îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ {P (H ) = {P(t) (H ) = 2, rank H = 2t = t{P(t) (H ). ëÏÄ K < P Ln Ó n -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H ÅÓÔØ ËÏÄ èÅÍÍÉÎÇÁ ÎÁÄ L ÄÌÉÎÙ n Ó ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ d = 3. üÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ: ÅÇÏ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÅÓÔØ jKj = q nt 2t = jLjn d+1 (ÓÍ. x 3.3). s 1 áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÍÏÖÎÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÎÁÄ L ËÏÄ èÅÍÍÉÎÇÁ ÌÀÂÏÊ ÄÌÉÎÙ n = , 1 s 2. üÔÏ ËÏÄ K < Ln Ó n -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ Hstnt ×ÉÄÁ 0 1 H11 : : : H1n H = @ ............. A; Hs1 : : : Hsn Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÂÌÏËÉ Hij ×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á F ÔÁË, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÏÌÂÃÏ× 9 80 1 > > H 1 i < = B .. C ; i 2 1 ; n @ . A > > : ; Hsi ÓÕÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÓÔÏÌÂÃÏ× ÄÌÉÎÙ s ÎÁÄ F , × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÐÅÒ×ÙÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÂÌÏË ÒÁ×ÅÎ E (ÓÒ. Ó x 3.3). äÌÑ ÔÁËÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ {P (H ) = {P(t) (H ) = 2, rank H = st, d(K) = 3. üÔÏÔ ËÏÄ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ íäò-ËÏÄÏÍ ÐÒÉ s > 2, ÎÏ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ d 1 ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÍ : ÓÆÅÒÙ ÒÁÄÉÕÓÁ ×ÏËÒÕÇ ÓÌÏ× ËÏÄÁ K ÂÅÚ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ ÐÏËÒÙ2 n ×ÁÀÔ ×ÓÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï L .

K < P Ln ÚÁÍÅÞÁÔØ ÏÛÉÂËÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÅÔ ÓÐÏÓÏÂÎÏÓÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ËÏÄÁ n (K) < P P nt ÚÁÍÅÞÁÔØ ÐÁËÅÔÙ ÏÛÉÂÏË. ðÁC. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÐÏÓÏÂÎÏÓÔØ ËÏÄÁ

ËÅÔÏÍ ÄÌÉÎÙ b × P nt ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÏ×Ï, ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ËÏÍÐÏÎÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁÓÐÏÌÏ-

ÖÅÎÙ ÔÏÌØËÏ ÓÒÅÄÉ b ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ËÏÍÐÏÎÅÎÔ, ÐÅÒ×ÁÑ É ÐÏÓÌÅÄÎÑÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÌÉÞÎÙ ÏÔ ÎÕÌÑ [18, 26, 7]. ìÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÚÁÍÅÞÁÅÔ ÐÁËÅÔÙ ÏÛÉÂÏË ÄÌÉÎÙ b ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÐÁËÅÔÏ× ÄÌÉÎÙ b. îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ËÏÄ K < P Ln ÉÍÅÅÔ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ d (É ÐÏÔÏÍÕ ÚÁÍÅÞÁÅÔ d 1 ÏÛÉÂÏË), ÔÏ ËÏÄ n (K) ÚÁÍÅÞÁÅÔ ÐÁËÅÔÙ ÏÛÉÂÏË ÌÀÂÏÊ ÄÌÉÎÙ b (d 1)t (ÚÄÅÓØ É ÄÁÌÅÅ t = dim P L). îÁÒÑÄÕ Ó ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ dL [n; k], ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÎÏ ÔÒÁËÔÏ×ÁÔØ ÔÁËÖÅ ËÁË ÍÁËÓÉÍÕÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ èÅÍÍÉÎÇÁ ËÏÄÏ× K < P Ln ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ dimP K kt, ÎÁÓ ÂÕÄÕÔ ÉÎÔÅÒÅÓÏ×ÁÔØ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ dLsyst [n; k] É dLcs [n; k]; ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÙÅ ËÁË ÍÁËÓÉÍÕÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ èÅÍÍÉÎÇÁ × ËÌÁÓÓÁÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ É P -ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× K < P Ln ÍÏÝÎÏÓÔÉ jKj jLjk . îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ P -ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ L Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ (ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 4.1.13) É ÍÏÝÎÏÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ËÏÄÁ ÅÓÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÁÑ ÓÔÅÐÅÎØ ÞÉÓÌÁ jLj. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÀÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á h i h i syst syst cs cs d [n; k] = d n; ]k[ ; d [n; k] = d n; ]k[ L

L

L

L

106

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

(ÚÄÅÓØ ]k[ | ÂÌÉÖÁÊÛÅÅ Ë ÞÉÓÌÕ k ÓÐÒÁ×Á ÃÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ) É ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ dL [n; k] d syst [n; k] d cs [n; k]: L

L

óÒÁ×ÎÅÎÉÅ ××ÅÄÅÎÎÙÈ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅÓØÍÁ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏ-ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ. ôÅÏÒÅÍÁ 4.2.1 Ó×ÏÄÉÔ ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ Ë ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÍÁÔÒÉÃ ÎÁÄ P Ó ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÍ t-ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÍ ÒÁÎÇÏÍ × ËÌÁÓÓÁÈ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÓÅÈ r nt-ÍÁÔÒÉÃ, ÍÁÔÒÉÃ ×ÉÄÁ (4.1.28) É ÍÁÔÒÉÃ ×ÉÄÁ (4.1.30). éÎÔÅÒÅÓÎÏ ÔÁËÖÅ ÓÒÁ×ÎÉÔØ ÜÔÉ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ Ó ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ dq (nt; rt) É dq (n; k). áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ×ÏÐÒÏÓÙ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙ ÄÌÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× BL (n; d), BLsyst (n; d), BLcl (n; d), B (n; d), Bq (n; d). ðÏËÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÌÉÛØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ. 4.2.8. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ P L | ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ t ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) É = q t . ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ n; m 2 N É k 2 R >0 ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:

d (nt; m) 1 dq (nt; m) dL [n; m] q ; t dq (nt; kt) dL[n; k] dLsyst [n; k] d (n; k) dLcs [n; k] = dq (n; k):

(4.2.8) (4.2.9) h

i

2 ðÕÓÔØ K < P Ln | ÔÁËÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ, ÞÔÏ dim P K = m É d(K) = dL n; mt , n É ÐÕÓÔØ ôÏÇÄÁ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 4.2.3 {P(t) (H ) = h m iHlnt | ÅÇÏ -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ h mÍÁÔÒÉÃÁ. i dL n; 1 É ÐÏ ÌÅÍÍÅ 4.2.4 dL n; 1 {P (H ). ôÁË ËÁË n (K) | ÌÉÎÅÊÎÙÊ t t ËÏÄ ÎÁÄ P ÄÌÉÎÙ nt É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ m, ÔÏ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 4.2.1 {P (H ) = d(K) 1

dq (nt; m) 1. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÐÅÒ×ÏÅ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× (4.2.8). ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ L | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ P ÄÌÉÎÙ nt É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ m ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ d(L) = dq (nt; m), É ÐÕÓÔØ H | ÅÇÏ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ. ôÏÇÄÁ { (H ) = dq (nt; m) 1 É ÐÏ ÌÅÍÍÅ 4.2.4

{(t) (H ) dq (nt; m) P

t

1

:

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÏÄ K < P Ln ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ n (K) = L. ôÏÇÄÁ H ÅÓÔØ n -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÄÌÑ K É ÐÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 4.2.4 {P(t) (H ) = d(K) 1, Á ÔÁË ËÁË dim P K = m, ÔÏ {P(t) (H ) dL (n; m) 1. ïÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ×ÔÏÒÏÅ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× (4.2.8). ðÅÒ×ÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × (4.2.9) ÅÓÔØ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á × (4.2.8). ÷ÔÏÒÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × (4.2.9) ÏÞÅ×ÉÄÎÏ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ F = GF ( ) ÐÏÌÑ P . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ P F | ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ t. ìÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ k ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ F Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÍ, Ô. Å. ÜÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ k ÎÁÄ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ P F , É ÐÏÔÏÍÕ ÅÇÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ èÅÍÍÉÎÇÁ ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ dFsyst [n; k]. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÔÒÅÔØÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × (4.2.9).

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

107

þÅÔ×ÅÒÔÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ P -ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ K ÎÁÄ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ P F ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ dimP K = kt ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ F Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . òÁ×ÅÎÓÔ×Ï × (4.2.9) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 4.2.5. 2 îÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÐÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÍÏÖÎÏ ×ÙÄ×ÉÎÕÔØ ÇÉÐÏÔÅÚÕ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× × (4.2.8), (4.2.9) ÐÒÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÒÏÇÉÍ. ÷ÙÄÅÌÅÎÉÅ ÜÔÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ, Á ÔÁËÖÅ ÕÓÌÏ×ÉÊ, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÐÒÉÍÅÒÁ ÐÒÉ×ÅÄÅÍ 4.2.9. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. åÓÌÉ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÊ íäò-ËÏÄ ÄÌÉÎÙ n É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ k, ÔÏ × (4.2.9) ×ÓÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ËÒÏÍÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ, ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á:

dL[n; k] = dLsyst [n; k] = d (n; k) = dLcl [n; k] = dq (n; k) = n k + 1:

(4.2.10)

åÓÌÉ ÔÁËÏÊ ËÏÄ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ F = GF ( ), ÔÏ ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

dL [n; k] = dLsyst [n; k] = d (n; k) = n k + 1:

(4.2.11)

åÓÌÉ t > 1 É ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÊ íäò-ËÏÄ ÄÌÉÎÙ nt É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ m, ÔÏ ÐÅÒ×ÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × (4.2.8) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÒÏÇÉÍ:

dq (nt; m) = nt m + 1 > n

h mi m + 1 dL n; : t t

(4.2.12)

2 ðÅÒ×ÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ dq (n; k) = n k + t. óÏÇÌÁÓÎÏ (4.2.1) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï dL [n; k] n k + t. ôÅÐÅÒØ (4.2.10) ÓÌÅ-

ÄÕÅÔ ÉÚ (4.2.9). òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (4.2.11) ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× (4.2.9) É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á d (n; k) = n k + 1. óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (4.2.12) ÐÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á dq (nt; m) = nt m + 1, ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ× (4.2.8) É (4.2.1). 2 éÚ ÜÔÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ×ÙÔÅËÁÅÔ ÔÁËÏÊ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÊ ×ÏÐÒÏÓ: ÅÓÌÉ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ F = GF ( ) ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ íäò-ËÏÄÁ ÄÌÉÎÙ n É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ k (Ô. Å. ÅÓÌÉ d (n; k) < n k +1), ÔÏ ÎÅÌØÚÑ ÌÉ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÎÁÄ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ L ÌÉÎÅÊÎÙÊ íäò-ËÏÄ ÄÌÉÎÙ n É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ kt ÎÁÄ P ? äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÌÉ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ

dL [n; k] = n k + 1 > d (n; k) ? åÝÅ ÂÏÌÅÅ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏ | ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÌÉ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ d syst [n; k] = n k + 1 > d (n; k) ? L

ïÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ.

108

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

4.2.10. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ L | ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ t ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) É = q t . ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ n 2 N É d 2 1; n ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:

n d+1 BL (n; d) BLsyst (n; d) B (n; d) BLcl (n; d) = Bq (n; d)t :

(4.2.13)

åÓÌÉ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ [n; n d + 1; d]-ËÏÄ, ÔÏ ×ÓÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á × (4.2.13) ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á. åÓÌÉ ÔÁËÏÊ ËÏÄ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ GF ( ), ÔÏ ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

BL (n; d) = BLsyst (n; d) = B (n; d) = n d+1 :

(4.2.14)

2 ðÅÒ×ÙÅ Ä×Á ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á × (4.2.13) ÏÞÅ×ÉÄÎÙ. ôÒÅÔØÅ É ÞÅÔ×ÅÒÔÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÌÅÄÕÀÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ F = GF ( ) ÅÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÎÁÄ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ P F = P L, Á ×ÓÑËÉÊ P -ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ K ÎÁÄ L ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ F Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H ÎÁÄ P . ÷ ÐÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÏÇÌÁÓÎÏ (4.2.7) jKj = (q n rank H )t . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, BLcl (n; d) = q mq (n;d)t , Ô. Å. ×ÅÒÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (4.2.13). ïÓÔÁÌØÎÙÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 4.2.10 ÏÞÅ×ÉÄÎÙ. 2 4.2.11. ðÒÉÍÅÒ. ÷ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 4.2.10 ÍÏÖÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÉÎÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ P L Ó ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ, ÌÕÞÛÉÍÉ, ÞÅÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ F = GF ( ). îÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÕÓÔØ P = GF (2), t = dim P L = 2, q t = = 4. éÚ×ÅÓÔÎÏ (ÓÍ., ÎÁÐÒÉÍÅÒ, [43]), ÞÔÏ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ F = GF (4) ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ íäò-ËÏÄÁ ÄÌÉÎÙ 6 Ó ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ 3, Ô. Å. ÎÅÔ [6; 4; 3]4-ËÏÄÁ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÁÄ GF (4) ÎÅÌØÚÑ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ 2 6-ÍÁÔÒÉÃÕ, Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÊ ÒÁÎÇ ÒÁ×ÅÎ Ä×ÕÍ. ïÄÎÁËÏ ÎÁÄ GF (4) ÍÏÖÎÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ 3 6-ÍÁÔÒÉÃÕ ÒÁÎÇÁ 3 Ó ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÍ ÒÁÎÇÏÍ 2, É ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, B4 (6; 3) = 46 3 = 26 < 46 3+1 = 28 . éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 4.2.3 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ íäò-ËÏÄÁ ÎÁÄ L ÄÌÉÎÙ 6 Ó ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ 3 ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÀ 4 12-ÍÁÔÒÉÃÙ ÎÁÄ GF (2) Ó 2ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÍ ÒÁÎÇÏÍ 2. îÅÓÌÏÖÎÙÊ \ÒÁÚÕÍÎÙÊ" ÐÅÒÅÂÏÒ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÁËÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, Ô. Å. ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÔÁËÖÅ É ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï BL (6; 3) < 28 . ïÄÎÁËÏ ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ B4 (6; 3) < BL (6; 3) = 27 :

äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÌÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ 5 12-ÍÁÔÒÉÃÁ H ÎÁÄ GF (2) ×ÉÄÁ 0

1 B0 B H=B B0 @0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

1 0 1 0 0

0 1 0 1 0

1 0 0 1 0

0 1 1 1 0

1 0 1 1 0

0 1 1 0 1

1 0 0 1 1

1

0 1C C 1C C 0A 0

ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ {2 (H ) = 2, rank H = 5. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ K < L6 Ó 6-ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H ÉÍÅÅÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ jKj = 212 5 = 27, d(K) = {2 (H ) + 1 = 3, Ô. Å. K ÅÓÔØ [6; 7=2; 3]L-ËÏÄ.

109

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ËÏÄ K < L7 Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ 0

1 B 0 B B H1 = BH 1 @ 0 1

1

0

1 0 B0 1C C B B 1C C = B0 1A @0 1 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

1 0 1 0 0

0 1 0 1 0

1 0 0 1 0

0 1 1 1 0

1 0 1 1 0

0 1 1 0 1

1 0 0 1 1

0 1 1 0 0

1 0 1 0 1

1

0 1C C 1C C 1A 1

ÉÍÅÅÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ jKj = 214 5 = 29 , d(K) = 3, ÔÁË ËÁË {P(2) (H ) = 2. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 1 BL (7; 3) = 29 = jLj7 3+1 , ÎÏ × ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ B4 (7; 3) = 44 = 28 (ÓÍ. [43]). 2 D. ëÏÄÙ ÎÁÄ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ, ÉÓÐÒÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÏÄÎÕ ÏÛÉÂËÕ. ðÁÒÁÍÅÔÒÙ

ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× Ó ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ 3 ÎÁÄ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ P L Ó×ÑÚÁÎÙ ÓÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏÍ. ðÕÓÔØ l; t 2 N , l 2t É P K ÅÓÔØ l-ÍÅÒÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ q (l; t) ÍÁËÓÉÍÕÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Ki < P K , i 2 1; l ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ dim Ki = t; i 2 1; ; Ki \ Kj = 0 ÄÌÑ i; j 2 1; ; i 6= j:

(4.2.15)

îÁÚÏ×ÅÍ ËÁÖÄÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï (4.2.15) t-ÕÐÁËÏ×ËÏÊ ÍÏÝÎÏÓÔÉ × K . ôÏÇÄÁ q (l; t) | ÍÁËÓÉÍÕÍ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ t-ÕÐÁËÏ×ÏË × P K . 4.2.12. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ PL | h m i t-ÍÅÒÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. äÌÑ ÄÁÎÎÙÈ n; m 2 N (m < nt) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ n; ; 3 -ËÏÄ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ

t L n q (nt m; t):

(4.2.16)

i

h

2 ðÕÓÔØ K < P Ln ÅÓÔØ n; mt ; d L-ËÏÄ É Hlnt | ÅÇÏ n-ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ. íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ rank H = l. ôÏÇÄÁ l = nt m. ðÕÓÔØ H1 ; : : : ; Hn ÓÕÔØ l tÂÌÏËÉ ÍÁÔÒÉÃÙ H ÉÚ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ (4.2.2). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Ki , i 2 1; n, ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P P l , ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÏÅ ÓÔÏÌÂÃÁÍÉ ÍÁÔÒÉÃÙ Hi . õÓÌÏ×ÉÅ d(K) = d ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ {P(t) (H ) = d 1. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ dim P (Ki + : : : + Kid ) = (d 1)t ÄÌÑ ×ÓÅÈ1 i1 < : : : < id n: 1

1

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÐÒÉ d = 3 ÜÔÏ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ (4.2.15) (ÐÒÉ n = ), Ô. Å. ÔÏÍÕ, ÞÔÏ × P l ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ t-ÕÐÁËÏ×ËÁ ÍÏÝÎÏÓÔÉ n. ôÁËÏÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ (4.2.16). 2 ðÅÒ×ÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÐÏ ÏÐÉÓÁÎÉÀ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ q (l; t) ÂÙÌÉ ÐÏÌÕÞÅÎÙ × [49] ÐÒÉ q = 2. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÂ ÜÔÏÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÅ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÏÃÅÎËÉ:

110

q t[ t ] 1 ql 1 ( l; t ) : (4.2.17) q qt 1 qt 1 ðÅÒ×ÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 4.2.7 ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ s = [l=t], ×ÅÒÈÎÑÑ ÏÃÅÎËÁ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. åÓÌÉ t j l, ÔÏ ÌÅ×ÁÑ É ÐÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔÉ (4.2.17) ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ É ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï q ts 1 q (ts; t) = t ; s 2 N: (4.2.18) q 1 ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 4.2.12 = q t É ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ m (n; 3), mL (n; 3) ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ× B (n; 3) = m (n;3) ; BL (n; 3) = mL (n;3) = jLjmL (n;3) : (4.2.19) ôÏÇÄÁ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï m (n; 3) mL (n; 3); (4.2.20) ÐÒÉÞÅÍ ÜÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÓÔÒÏÇÉÍ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÏÐÉÓÁÎÉÅ ËÏÄÏ× èÅÍÍÉÎÇÁ × ÐÒÉÍÅÒÅ 4.2.7 ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ m (n; 3) = n s; ÇÄÅ s =] log (( 1)n + 1)[; (4.2.21) Ô. Å. s ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ s 1 1 s 1 2t; 0 < Æ < t; (4.2.25) ÔÏ ××ÉÄÕ (4.2.17) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ l s 1 1 q 1 s 1 1 s 1 < n q (l; t) = qÆ < ; 1 1 1 1 É ××ÉÄÕ (4.2.21), (4.2.23) ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï t Æ : m (n; 3) = n s < mL (n; 3) = n s + t óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï l

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

111

4.2.13. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ P L ÅÓÔØ t-ÍÅÒÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) É jLj = q t = . åÓÌÉ n; l 2 N ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ (4.2.24), (4.2.25), ÔÏ

BL (n; 3) = q t Æ B (n; 3): 2

÷ Ó×ÑÚÉ Ó ÜÔÉÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ q (l; t) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅÓØÍÁ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅÊ. äÌÑ ÕÔÏÞÎÅÎÉÑ ÏÃÅÎÏË (4.2.17) ÍÏÖÎÏ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒ. ðÕÓÔØ l; t 2 N É l t. îÁÚÏ×ÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÍÁÔÒÉÃ U1 ; : : : ; U 2 Pl;t (4.2.26) ÓÉÓÔÅÍÏÊ Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÍÉ ÒÁÚÎÏÓÔÑÍÉ, ÅÓÌÉ

Uj = t ÄÌÑ ×ÓÅÈ i; j 2 1; ; i 6= j: íÁËÓÉÍÕÍ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ ÔÁËÉÈ ÓÉÓÔÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ q (l; t). rank Ui

(4.2.27)

4.2.14. ìÅÍÍÁ. éÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

q (l; t) = q l : (4.2.28) 2 îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï q (l; t) ql ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÍÁÔÒÉÃÙ ÉÚ ÓÉÓÔÅÍÙ (4.2.26) Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÍÉ ÒÁÚÎÏÓÔÑÍÉ ÉÍÅÀÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÐÅÒ×ÙÅ ÓÔÏÌÂÃÙ. äÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ (4.2.26) Ó = q l ÍÙ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ (ÓÍ. x 7.3). ðÕÓÔØ F (x) 2 P [x] | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ l ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ÅÇÏ ËÏÒÅÎØ × ÐÏÌÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ GF (q l ) ÅÓÔØ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ. ôÏÇÄÁ ÌÀÂÁÑ ÎÅÎÕÌÅ×ÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÁ u = (u(0); u(1); : : :) Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ F (x) ÉÍÅÅÔ ÐÅÒÉÏÄ q l 1. ôÁË ËÁË t l, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ u1 ; : : : ; ut ÉÚ t ÔÁËÉÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ = q l É ÍÁÔÒÉÃÙ (4.2.26) ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ: U = 0, 0 1 u1 (i) u2 (i) ::: ut (i) B u1 (i + 1) u2 (i + 1) : : : ut (i + 1) C C Ui+1 = B @ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A ÄÌÑ i 2 0; 2: u1 (i + l 1) u2 (i + l 1) : : : ut (i + l 1) ôÏÇÄÁ (4.2.26) ÅÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁ Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÍÉ ÒÁÚÎÏÓÔÑÍÉ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ j 2 1; 1 ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ rank U Uj = rank Uj = t. äÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ V = Uk+1 U1 , 1 k < 1, É ÓÔÏÌÂÃÙ V1# ; : : : ; Vt# ÍÁÔÒÉÃÙ V ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÍÕ ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ c1 V1# + : : : + ct Vt# = 0: îÅÔÒÕÄÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ × ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ v = c1 u1 + : : : + ct ut ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ v (i + k) v (i) = 0 ÄÌÑ i 2 N 0 . üÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÔÁË ËÁË v | ÎÅÎÕÌÅ×ÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÁ Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ F (x) É ÅÅ ÐÅÒÉÏÄ ÅÓÔØ q l 1 > k. 2

112

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

4.2.15. ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ l1 ; l2 2 N , l1 2t. ôÏÇÄÁ ×ÅÒÎÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:

q (l1 + l2 ; t) q (l1 ; t)q l + q (l2 ; t); ÅÓÌÉ l2 2t;

(4.2.29)

q (l1 + l2 ; t) q (l1 ; t)q l + 1; ÅÓÌÉ l2 t:

(4.2.30)

2

2

2 ðÕÓÔØ l2 2t É i = q (li; t); i 2 1; 2, = ql . ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ 2

ÍÁÔÒÉÃÙ

H1(i) ; : : : ; H(ii) 2 Pli ;t ; i 2 1; 2

ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ

rank(Hs(i) ; Hr(i) ) = 2t ÄÌÑ s; r 2 1; i ; r 6= s: ðÏ ÌÅÍÍÅ 4.2.14 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÍÁÔÒÉÃÙ (4.2.26) (ÄÌÑ l = l2 ) ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ (4.2.27). ôÏÇÄÁ ÍÁÔÒÉÃÁ ! (1) (1) (1) (1) t : : : 0l1 t H = H1 : : : H1 H1 : : : H1 0l1(2) U1 : : : U1 U2 : : : U H1 : : : H(2)2

Ó l1 + l2 ÓÔÒÏËÁÍÉ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ {P(t) (H ) = 2 É ÞÉÓÌÏ ÅÅ t-ÂÌÏËÏ× ÒÁ×ÎÏ 1 + 2 . ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ (4.2.29). îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (4.2.30) ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ ×ÍÅÓÔÏ ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÍÁÔÒÉÃÙ H ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ (1) (1) 0 H : : : H l t ; 1 H= U1 : : : U U 1

1

ÇÄÅ U 2 Pl ;t , rank U = t. 2 ôÅÐÅÒØ ÎÉÖÎÀÀ ÏÃÅÎËÕ × (4.2.17) ÍÏÖÎÏ ÕÔÏÞÎÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. 2

4.2.16. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ l > 2t ×ÅÒÎÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ l q

qt

1 1

(q Æ

1) q (l; t)

l q

qt

1 ; 1

(4.2.31)

ÇÄÅ Æ ÅÓÔØ ×ÙÞÅÔ l ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ t.

2 ðÕÓÔØ l = rt + Æ, 0 Æ < t. åÓÌÉ Æ = 0, ÔÏ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ (4.2.31) ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó

ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔØÀ É ÒÁ×ÎÁ ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ (4.2.17). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ Æ > 0. îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ l q

qt

ql qÆ 1 = t : 1 q 1

ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ ÓÎÁÞÁÌÁ, ÞÔÏ l > 3t, Ô. Å. r 3. ôÏÇÄÁ q (r 1)t 1 q ((r 1)t; t) = t q 1

113

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

É, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÏÃÅÎËÕ (4.2.30) ÐÒÉ l1 = (r 1)t, l2 = t + Æ , ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ q (r 1)t 1 t+Æ q l q t+Æ + q t 1 q l q Æ + (q Æ 1)(q t q (l; t) = t q +1= = q 1 qt 1 qt 1

1)

:

ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ (4.2.31). ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ 2t < l < 3t, Ô. Å. r = 2. ðÏÌÏÖÉÍ = q t+Æ . ðÏ ÌÅÍÍÅ 4.2.14 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÉÓÔÅÍÁ ÍÁÔÒÉÃ ×ÉÄÁ 0; U1 ; : : : ; U 1 2 Pt+Æ;t Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÍÉ ÒÁÚÎÏÓÔÑÍÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÁÔÒÉÃÁ 0

1

0tt E : : : E @ A H= ; 0(t+Æ)t 0EÆt U1 : : : U 1 l(+1)t ÇÄÅ E = Ett , ÉÍÅÅÔ t-ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÊ ÒÁÎÇ 2. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

q (l; t) + 1 =

q t+Æ

E

+1=

q t+Æ

+ qÆ

(q Æ

1) =

l q

qt

1 1

(q Æ

1): 2

äÁÌØÎÅÊÛÅÅ ÕÔÏÞÎÅÎÉÅ ÎÉÖÎÅÊ ÏÃÅÎËÉ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ q (l; t) | ÏÔËÒÙÔÙÊ ×ÏÐÒÏÓ. úÁÍÅÔÉÍ ÌÉÛØ, ÞÔÏ × [49] ÄÏËÁÚÁÎÁ ÄÏÓÔÉÖÉÍÏÓÔØ ÎÉÖÎÅÊ ÏÃÅÎËÉ ÉÚ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 4.2.12 × ÓÌÕÞÁÅ q = 2, l = rt + 1, Ô. Å. ÄÏËÁÚÁÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï rt+1 2rt 1 2 1 1=2 t 1: 2 (rt + 1; t) = 2t 1 2 1 ïÄÎÁËÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÎÏÅ ÔÁÍ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÎÅ ÇÏÄÉÔÓÑ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ q > 2. ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÏÐÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÊ 4.2.13 É 4.2.16 ÄÁÅÔ 4.2.17. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. åÓÌÉ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ n ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ

r 1 r 1 qÆ 1 < n qÆ 1 1 ÐÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ r 2 É Æ 2 1; t 1, ÔÏ

(q Æ

1)

BL (n; 3) = q t Æ B (n; 3): 4.3

òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ èÅÍÍÉÎÇÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ËÏÌØÃÁÍÉ É ÍÏÄÕÌÑÍÉ

A. òÅÄÕËÃÉÑ Ë ÌÏËÁÌØÎÏÍÕ ËÏÌØÃÕ. ãÏËÏÌØ ËÏÄÁ. éÚÕÞÅÎÉÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ×

ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÍÏÄÕÌÅÍ R M ÏÓÎÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ, ÐÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÎÁ ÒÅÄÕËÃÉÉ Ë ÓÌÕÞÁÀ, ËÏÇÄÁ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ (ÓÍ. x 7.1).

114

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

4.3.1. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ ËÏÌØÃÏ R ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ (4.1.14) × ÐÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ ÌÏËÁÌØÎÙÈ ËÏÌÅÃ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÍÏÄÕÌÑ R M É ËÏÄÁ K < R M ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ (4.1.17), (4.1.18). ôÏÇÄÁ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

d(K) = minfd(K1 ); : : : ; d(Kt )g:

2 äÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ K 6= 0 É minfd(K1); : : : ; d(Kt)g = d. ôÁË ËÁË Ks K, ÔÏ d(Ks ) d(K), s 2 1; t, ÔÏ ÅÓÔØ d d(K). ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, d(K) = kak ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ a 2 K n 0, É es a 6= 0 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ s 2 1; t. ôÏÇÄÁ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, kak kesak d(Ks). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, d(K) d(Ks) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ s 2 1; t É ÐÏÔÏÍÕ d(K) d. 2 úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ (4.1.14) ÌÀÂÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ Hln ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R M (É, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ × ×ÉÄÅ H = H1 + + Ht ; ÇÄÅ Hs = es H; s 2 1; t:

(4.3.1)

4.3.2. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ðÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 4.3.1, ÅÓÌÉ ÍÁÔÒÉÃÁ Hln ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R (ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R M ) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (4.3.1), ÔÏ

{M (H ) = minf{M (H1); : : : ; {M (Ht)g {R (H ) = minf{R (H1); : : : ; {R (Ht )g: 2 ðÕÓÔØ K < R M n ÅÓÔØ ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H . ôÏÇÄÁ esK = Ks < Msn ÅÓÔØ ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ Hs , s 2 1; t. ôÅÐÅÒØ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÐÒÉÍÅÎÉÔØ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 4.3.1 É ÔÅÏÒÅÍÕ 4.2.1. 2 1

t

1

t

ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÓÀÄÕ ÄÁÌÅÅ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ. âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÅÇÏ ÎÉÌØÒÁÄÉËÁÌ N = N(R) ÉÍÅÅÔ ÉÎÄÅËÓ ÎÉÌØÐÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ = ind N (ÔÏ ÅÓÔØ N = 0, N 1 6= 0) É ÞÔÏ ÅÇÏ ÐÏÌÅ ×ÙÞÅÔÏ× R = R=N) ÉÍÅÅÔ ÍÏÝÎÏÓÔØ q = jR j = pr , p | ÐÒÏÓÔÏÅ. ÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ d(K) ËÏÄÁ K < RM ÐÏÌÎÏÓÔØÀ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÃÏËÏÌÅÍ S(K) ÍÏÄÕÌÑ R K, ËÏÔÏÒÙÊ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ S(K) = K ? N = fa 2 K: Na = 0g É ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÎ ÔÁËÖÅ ËÁË ÓÕÍÍÁ ×ÓÅÈ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÈ (ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ) ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÊ ÍÏÄÕÌÑ R K (ÓÍ. x 7.1). 4.3.3. ìÅÍÍÁ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a 2 K n 0 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ a 2 R, ÞÔÏ aa 2 S(K) n 0. óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

S(K) = K \ S(M )n:

(4.3.2)

2 ôÁË ËÁË a 6= 0, ÔÏ Ra ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ ÍÏÄÕÌÑ R K. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ra

ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ, ÅÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ aa É ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ S(K). äÌÑ a 2 K ÕÓÌÏ×ÉÅ a 2 S(K) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ Na = 0. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ×ÓÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ a ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ M ? N = S(M ). ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ (4.3.2). 2

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

115

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÃÏËÏÌØ ÍÏÄÕÌÑ R M ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÐÒÅ×ÒÁÝÅÎ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ R = R=N, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ 2 S(M ) É a = a+N 2 R ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ a ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ

a = a (ÓÍ. x 7.1). ôÏÇÄÁ ÌÅÍÍÁ 4.3.3 ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÃÏËÏÌØ S(K) ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ K ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R M ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ R S(M ) ÄÌÉÎÙ n. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ËÏÄÁ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ËÏÄÁ ÎÁÄ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ. 4.3.4. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ É

d(K) = d(S(K))

K < RM n . ôÏÇÄÁ (4.3.3)

2 éÚ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ S(K) K ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ d(S(K)) d(K). ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÔÁË ËÁË K | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ, ÔÏ d(K) = kak ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ a 2 K. ðÏ ÌÅÍÍÅ 4.3.3 aa 2 S(K) n 0 ÄÌÑ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ a 2 R. ôÅÐÅÒØ (4.3.3) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ d(K) = kak kaak d(S(K)). 2 4.3.5. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ H ÎÁÄ ÌÏËÁÌØÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R É ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ R M ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

{M (H ) = {R (H ) = {R (H ): 2 ðÕÓÔØ K < R M n | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ Hln. ôÏÇÄÁ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÁÍ 4.3.4 É 4.2.1 ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï {M (H ) = {S(M ) (H ). ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ h 2 R É 2 S(M ) ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï h = h # # ÍÁÔÒÉÃÙ H = (H1 ; : : : ; Hn) É ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ 1 ; : : : ; n 2 S(M ) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï n X s=1

n

X Hs# s = H s# s: s=1

ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï {S(M ) (H ) = {S(M ) (H ). ðÏ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÀ 4.2.6, {S(M ) (H ) = {R (H ). ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÐÒÉ M = R ÍÙ ÉÍÅÅÍ {R (H ) = {R (H ). 2 ôÅÐÅÒØ ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÐÏÄÈÏÄ Ë ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× Ó ÚÁÄÁÎÎÙÍÉ ÄÌÉÎÏÊ n É ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ d × ËÁËÏÍ-ÌÉÂÏ ËÌÁÓÓÅ ËÏÄÏ× ÎÁÄ R M : 1) ÐÅÒÅÂÏÒ ×ÓÅÈ ËÏÄÏ× L < S(M )n Ó ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ d; 2) ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ËÏÄÏ× K × ÚÁÄÁÎÎÏÍ ËÌÁÓÓÅ Ó ÃÏËÏÌÅÍ S(K) = L. úÁÔÅÍ ÍÏÖÎÏ ÉÓËÁÔØ ÓÒÅÄÉ ÐÏÓÔÒÏÅÎÎÙÈ ËÏÄÏ× ËÏÄÙ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÁËÏÇÏ-ÌÉÂÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á (ÍÏÝÎÏÓÔØ, ÞÉÓÌÏ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ É Ô. Ð.). òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÜÔÏÔ ÐÏÄÈÏÄ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎ ÐÏÌÎÏÓÔØÀ × ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ, ÔÁË ËÁË ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ÛÁÇÏ× Ó×ÑÚÁÎ Ó ÏÔËÒÙÔÙÍÉ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏ-ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍÉ ÐÒÏÂÌÅÍÁÍÉ.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

116

÷ ÄÏÐÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÐÁÒÁÍÅÔÒÕ dM [n; k], ××ÅÄÅÎÎÏÍÕ × ÒÁÚÄÅÌÅ 4.2A, ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÐÁÒÁÍÅÔÒ dM (n; m) | ÍÁËÓÉÍÕÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ èÅÍÍÉÎÇÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× K < R M n , ÃÏËÏÌÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÍÅÀÔ ÎÁÄ R ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ m: dim R S(K) = m. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ M = R = P | ÐÏÌÅ ÉÚ q ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÔÏ dM (n; m) = dM [n; m] = dq (n; m), ÔÁË ËÁË K = S(K), R = P . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, dM (n; m) | ÏÄÎÏ ÉÚ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÂÏÂÝÅÎÉÊ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ dq (n; m). ïÄÎÁËÏ ÜÔÏÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒ ÎÅ ÄÁÅÔ ÂÏÌØÛÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÜËÓÔÒÅÍÁÌØÎÙÈ Ó×ÏÊÓÔ× ËÏÄÏ× × ËÌÁÓÓÅ ×ÓÅÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ M , ÔÁË ËÁË ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÃÏËÏÌÑ ËÏÄÁ K ÎÅ ÄÁÅÔ ÈÏÒÏÛÉÈ ÏÃÅÎÏË ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ËÏÄÁ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÜÔÏÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒ ÓÌÁÂÏ Ó×ÑÚÁÎ ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÍÏÄÕÌÑ R M . äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ××ÉÄÕ ÌÅÍÍÙ 4.3.3, ÔÅÏÒÅÍÙ 4.3.4 É ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (4.2.1) ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ m dM (n; m) = dS(M ) (n; m) n + 1; (4.3.4) t ÔÏ ÅÓÔØ dM (n; m) = dL (n; m), ÇÄÅ L | ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ R ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ t = dimR S(M ). ôÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÁÎÁÌÏÇÉ dMsyst (n; m) É dMcl (n; m) ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ dM (n; m) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ × ËÌÁÓÓÁÈ ×ÓÅÈ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ É ×ÓÅÈ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÏÄÏ× ÂÏÌÅÅ ÉÎÆÏÒÍÁÔÉ×ÎÙ. ÷ÓÀÄÕ ÄÁÌÅÅ ÍÙ ÐÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ dimR S(M ) = t 1. ðÕÓÔØ K < M n ÅÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ k ÎÁÄ M . ôÏÇÄÁ ÅÇÏ ÃÏËÏÌØ S(K) ÅÓÔØ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ k ÎÁÄ S(M ), ÉÍÅÀÝÉÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ m = dimR S(K) ×ÉÄÁ m = kt. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÍÏÝÎÏÓÔØ ËÏÄÁ K ÐÏ ÐÁÒÁÍÅÔÒÕ m: jKj = jM jk = jM j mt : åÓÌÉ ÞÅÒÅÚ dMsyst [n; k] ÏÂÏÚÎÁÞÉÔØ ÍÁËÓÉÍÕÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ èÅÍÍÉÎÇÁ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× K < R M n , ÉÍÅÀÝÉÈ ÍÏÝÎÏÓÔØ jKj jM jk , ÔÏ ÅÓÔØ ÉÍÅÀÝÉÈ ÒÁÎÇ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ k, ÔÏ dMsyst [n; k] = dMsyst (n; kt). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÍÅÓÔÏ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á × (4.3.4) ÄÌÑ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÈ ËÏÄÏ× ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÌÉÛØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï dMsyst [n; k] dSsyst (M ) [n; k]: üÔÏ ÏÂßÑÓÎÑÅÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ ÌÀÂÏÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÎÁÄ S(M ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÃÏËÏÌÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÇÏ ËÏÄÁ ÎÁÄ M , ÐÏÓËÏÌØËÕ ÎÅ ÌÀÂÏÊ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á R S(M ) ÐÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ ÄÏ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÍÏÄÕÌÑ R M (ÓÍ. ÒÁÚÄÅÌ 1B). îÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÕÓÔØ M = R É S(R) = L | ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ t ÎÁÄ R . ìÀÂÏÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ L ÎÁÄ R ÒÁÎÇÁ k Ñ×ÌÑÅÔÓÑ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÍ (ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ 4.1.7), É ÐÏÔÏÍÕ ÅÇÏ ÃÏËÏÌØ S(L) ÅÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ R -ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ k ÎÁÄ L. ïÔÓÀÄÁ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ (4.2.9), ÍÙ ÉÍÅÅÍ dRsyst [n; k] = dLcl [n; k] = dq (n; k) dLsyst [n; k] = dSsyst (M ) [n; k]: âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÐÕÓÔØ t > 1 É ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ GF (q t ) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÊ íäò-ËÏÄ ÄÌÉÎÙ n É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ k, Á ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ GF (q ) ÔÁËÏÇÏ ËÏÄÁ ÎÅÔ. ôÏÇÄÁ ÐÏ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÀ 4.2.9 dRsyst [n; k] = dq (n; k) < dLsyst [n; k] = n k + 1:

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

117

B. úÁÍËÎÕÔÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÑÍÉ Ó ÌÏËÁÌØÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×. ïÐÉÛÅÍ ÔÅÐÅÒØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á R-ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ R M . úÁÍÅÔÉÍ,

ÞÔÏ ÜÔÏ ×ÅÓØÍÁ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÊ ËÌÁÓÓ ËÏÄÏ×, ÐÏÓËÏÌØËÕ ÏÎ ÓÏÄÅÒÖÉÔ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ×ÓÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ QF -ÍÏÄÕÌÑÍÉ É QF -ËÏÌØÃÁÍÉ É, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ×ÓÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ËÏÌØÃÁÍÉ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× (ÓÍ. 4.1.4, 4.1.5). ëÁË É ×ÙÛÅ, ÍÙ ÐÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ Ó ÐÏÌÅÍ ×ÙÞÅÔÏ× R = R=N = GF (q ). 4.3.6. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ M | R-ÍÏÄÕÌØ Ó ÃÏËÏÌÅÍ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ dimR S(M ) = t. ðÕÓÔØ K < R M n ÅÓÔØ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H 2 Rl;n É n rank H = k. ôÏÇÄÁ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ: (a) ãÏËÏÌØ S(K) ËÏÄÁ K ÅÓÔØ R -ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ k ÎÁÄ S(M ) É ÒÁÚÍÅÒ . éÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÏÓÔÉ m = kt ÎÁÄ R Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H

d(K) = {R (H ) + 1 dq (n; k);

(4.3.5)

jKj jM jk :

(4.3.6)

S(K1) = S(K); d(K1) = d(K) = {R (H ) + 1;

(4.3.7)

îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (4.3.6) ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï, × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÅÓÌÉ K | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ k ÎÁÄ M . (b) óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ K1 < R M n , ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ËÏÄ K É ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ

jK1j = jM jk : (4.3.8) äÌÑ ÌÀÂÙÈ k; n 2 N ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ 1 k n ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ RÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ K < R M n ÒÁÎÇÁ k ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ d(K ) = dq (n; k): (4.3.9) 2 ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÐÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÍÁÔÒÉÃÕ H . ðÕÓÔØ rank H = n k = r. ôÏÇÄÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÓÔÒÏË É ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃÕ H ÍÏÖÎÏ ÐÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ×ÉÄÕ 0 (1) 1 H rk Err B 0C B 0 ::: C @...........A: 0 : : : 0 óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÁÔÒÉÃÁ H ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÓÔÒÏË É ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÓÔÏÌÂÃÏ× ÐÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ × ÍÁÔÒÉÃÕ 0 @

H (1)

rk

Err

H((2) l r)k 0(l r)k

1 A;

(4.3.10)

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

118

ÇÄÅ H (2) ÍÁÔÒÉÃÁ Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÉÚ N. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ËÏÄ Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ (4.3.10) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÅÎ K É ÍÙ ÍÏÖÅÍ, ÎÅ ÎÁÒÕÛÁÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ, ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉÃÁ H ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (4.3.10). (a) äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÓÔÒÏËÉ a 2 M n ÐÏÌÏÖÉÍ a# = aT . ôÏÇÄÁ ËÏÄ K ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÐÉÓÁÎ × ×ÉÄÅ K = fa 2 M n : H a# = 0#g: ðÒÉ ÜÔÏÍ ××ÉÄÕ (4.3.2) ÕÓÌÏ×ÉÅ a 2 S(K) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÐÁÒÅ ÕÓÌÏ×ÉÊ a 2 S(M )n ;

H a# = 0# :

(4.3.11)

òÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÑ S(M ) ËÁË ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ R (ÓÍ. 3A), ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÔÏÒÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ × (4.3.11) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ H a# = 0# . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,

S(K) = fa 2 S(M )n : H a# = 0# g; ÔÏ ÅÓÔØ S(K) ÅÓÔØ R -ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ S(M ) Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, S(K) ÅÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ k ÎÁÄ S(M ) É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ m = kt ÎÁÄ R . ÷×ÉÄÕ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 4.2.5 d(S(K)) = {R (H ) + 1. ôÅÐÅÒØ (4.3.5) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ (4.3.3) É (4.2.9). îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (4.3.6) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ H ËÏÄÁ K ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (4.3.10) É ÐÏÔÏÍÕ ÍÏÖÅÔ ÁÎÎÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ jM jk ÓÔÒÏË ÉÚ M n. (b) òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÏÄ K1 < M n Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H1 = (Hr(1) (4.3.12) k ; Ekk ): îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÚ (4.3.12) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ K1 | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ k ÎÁÄ M , É ÐÏÔÏÍÕ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï (4.3.8). ðÏÓËÏÌØËÕ H1 ÅÓÔØ ÐÏÄÍÁÔÒÉÃÁ ÍÁÔÒÉÃÙ H , ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ K K1 . îÁËÏÎÅÃ, ÔÁË ËÁË H ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ H 1 ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÎÕÌÅ×ÙÈ ÓÔÒÏË, ÔÏ ××ÉÄÕ (a) S(K1 ) ÅÓÔØ ËÏÄ ÎÁÄ S(M ) Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H É ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (4.3.7). äÏËÁÖÅÍ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ. ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ dq (n; k) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ L < R R n ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ k Ó ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ èÅÍÍÉÎÇÁ d(L) = dq (n; k). ôÁË ËÁË L | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÐÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ ÅÇÏ ÐÅÒ×ÙÅ k ÐÏÚÉÃÉÊ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ. ôÏÇÄÁ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÙÂÒÁÔØ ÍÁÔÒÉÃÕ H1 ×ÉÄÁ (4.3.12) ÔÁË, ÞÔÏ H 1 ÅÓÔØ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ L. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ {(H 1 ) = d(L) 1 = dq (n; m) 1 É ××ÉÄÕ (a) ËÏÄ K < RM n Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H1 ÅÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ k ÎÁÄ M , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÕÓÌÏ×ÉÀ (4.3.9). 2 òÅÚÕÌØÔÁÔ ÔÅÏÒÅÍÙ 4.3.6(a) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÉÒÏ×ÁÎ ÔÁËÖÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. 4.3.7. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ðÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÔÅÏÒÅÍÙ 4.3.6 ÐÕÓÔØ

1 +_ +_ R! t; S(M ) = R!

(4.3.13)

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

119

H = Rn ? K | ËÏÄ ÎÁÄ R, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ËÏÄÕ K; H | ÏÂÒÁÚ H ÐÒÉ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÜÐÉÍÏÒÆÉÚÍÅ R ! R ; L = R ? H | ËÏÄ ÎÁÄ R , Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ËÏÄÕ H . ôÏÇÄÁ S(K) = L!1 +_ +_ L!t (4.3.14) É

d(K) = d(L): (4.3.15) 2 úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ËÏÄ H ÐÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÎÁÄ R ÓÔÒÏËÁÍÉ ÍÁÔÒÉÃÙ H , Á ËÏÄ H ÐÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÎÁÄ R ÓÔÒÏËÁÍÉ H . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, L | ËÏÄ ÎÁÄ R Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H É (4.3.15) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ (4.3.5). ÷×ÉÄÕ (4.3.13) ÌÀÂÕÀ ÓÔÒÏËÕ a 2 S(M )n ÍÏÖÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ a = u1 !1 + + ut !t ; ÇÄÅ u1 ; : : : ; ut 2 R n : ðÏÜÔÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÅ a 2 S(K), ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ H a# = 0# , ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ H u#1 = : : : = H u#t = 0# . ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ (4.3.14). 2 éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 4.3.6 ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÒÁÂÏÔ [36, 37, 61, 62, 63]. ïÎÉ ÏÓÎÏ×ÁÎÙ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÉ. 4.3.8. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ðÕÓÔØ Hln | ÔÁËÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÎÁÄ ÌÏËÁÌØÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R, ÞÔÏ

rank H = l; n l = k; {R (H ) = d 1: ôÏÇÄÁ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ K < R M n Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H ÅÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ [n; k; d]M -ËÏÄ. åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ [n; k; d]R -ËÏÄ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÊ [n; k; d]M -ËÏÄ. 2 ÷×ÉÄÕ ÕÓÌÏ×ÉÑ rank H = l ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ l n-ÍÁÔÒÉÃÁ H ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (4.3.12) (H ÐÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÉÄÕ (4.3.12) ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÓÔÒÏË É ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÓÔÏÌÂÃÏ×). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÉÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ 4.3.6(b) K = K1 É ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ (4.3.7) 2 4.3.9. ðÒÉÍÅÒ (ËÏÄ èÅÍÍÉÎÇÁ ÎÁÄ R M ). ðÕÓÔØ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ, l 2 N , n = (q l 1)=(q 1). ðÕÓÔØ Hln | ÔÁËÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÎÁÄ R, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÅ

ÓÔÏÌÂÃÏ× ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ N = N(R) ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÓÔÏÌÂÃÏ× ÉÚ R l , Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÐÅÒ×ÁÑ ÎÅÎÕÌÅ×ÁÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁ ÅÓÔØ e. ôÏÇÄÁ H ÅÓÔØ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ [n; n l; 3]q -ËÏÄÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ R (ÓÍ. x 3.3). ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ n R M ËÏÄ K < R M Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H ÅÓÔØ [n; n l; 3]M -ËÏÄ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ M = R = Zpn ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÁÂÏÔÙ [37, p. 3]. ôÁËÉÍ ÖÅ ÓÐÏÓÏÂÏÍ ÍÏÖÎÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÁÎÁÌÏÇ ËÏÄÁ òÉÄÁ|óÏÌÏÍÏÎÁ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R M . ëÏÎÓÔÒÕËÃÉÑ ËÏÄÁ âþè ÂÕÄÅÔ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÁ × ÒÁÚÄÅÌÅ 5.7. ôÅÐÅÒØ, ÎÁÒÑÄÕ Ó ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ dM (n; m), dMsyst [n; k], ÍÏÖÎÏ ÔÁËÖÅ ××ÅÓÔÉ ÐÁÒÁÍÅÔÒ dMcs [n; k] | ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ d, ÔÁËÏÅ ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÊ [n; k; d]M -ËÏÄ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ××ÉÄÕ ÔÅÏÒÅÍÙ 4.3.6 ÄÌÑ ÌÏËÁÌØÎÏÇÏ ËÏÌØÃÁ dMcs [n; k] = dMcl [n; k] | ÍÁËÓÉÍÕÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ×ÓÅÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ RÚÁÍËÎÕÔÙÈ [n; k]M -ËÏÄÏ×.

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

120

4.3.10. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ðÕÓÔØ R M | ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ÌÏËÁÌØÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R É R = GF (q ). ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÔÁËÉÈ n; k; d 2 N , ÞÔÏ kt n; d n, ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ

jM jn

n k + 1 dM [n; k] dMsyst [n; k] dMcs [n; k] = dq (n; k); d+1 B (n; d) B syst (n; d) B cs (n; d) = B cl (n; d) = jM jmq (n;d) : M M

M

M

(4.3.16) (4.3.17)

åÓÌÉ ÎÁÄ GF (q ) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÊ íäò-ËÏÄ ÄÌÉÎÙ n É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ k (ÄÌÉÎÙ n É Ó ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ d), ÔÏ ×ÓÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á × (4.3.16) (× (4.3.17)) ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á.

2 ðÅÒ×ÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × (4.3.16) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ (4.2.1). ÷ÔÏÒÏÅ É ÔÒÅÔØÅ ÎÅÒÁ×ÅÎ-

ÓÔ×Á ÏÞÅ×ÉÄÎÙ. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × (4.3.16) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ (4.3.5) É (4.3.9). ðÅÒ×ÙÅ ÔÒÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á × (4.3.17) ÏÞÅ×ÉÄÎÙ (ÓÍ. (4.2.1)). ïÞÅ×ÉÄÎÏ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ cs cl (n; d). ðÕÓÔØ K < R M n ÅÓÔØ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÍÏÝÎÙÊ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ BM (n; d) BM Ó ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅÍ d(K) d. ôÏÇÄÁ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÔÅÏÒÅÍÏÊ 4.3.6(b) K = K1 ÅÓÔØ cs (n; d) = B cl (n; d). âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÉÚ (4.3.8) ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, BM M É (4.3.5) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ jKj = jM jk , ÇÄÅ k ÅÓÔØ ÍÁËÓÉÍÕÍ ÄÅÆÅËÔÏ× n rank H ÍÁÔÒÉÃ H 2 R ln ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ {R (H ) d 1, Ô.Å. k = mq (n; d). ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ íäòËÏÄÁ Ó ÚÁÄÁÎÎÙÍÉ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ dq (n; k) = n k + 1 (ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ mq (n; d) = n d + 1). 2 ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï dq (n; k) < n k +1 (ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï mq (n; d) < n d +1) ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ. ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÍ ×ÏÐÒÏÓ: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ × ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ÔÁËÏÊ ÍÏÄÕÌØ R M , ÞÔÏ dMsyst [n; k] = n k +1 syst (n; d) = jM jn d+1 ÉÌÉ B (n; d) = ÉÌÉ dM (n; kt) = n k + 1 (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ BM M jM jn d+1 )? óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÒÅÄÉ QF -ÍÏÄÕÌÅÊ ÐÒÉÍÅÒÏ× ÜÔÏÇÏ ÎÅÔ. ðÕÓÔØ R Q ÅÓÔØ QF -ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ÌÏËÁÌØÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R. ôÏÇÄÁ ÅÇÏ ÃÏËÏÌØ S(Q) ÅÓÔØ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ R (ÓÍ. x 7.2), Ô.Å. × ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ 4.3.10 t = 1. ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÔÅÏÒÅÍÏÊ 4.1.4(b) ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ R Q Ñ×ÌÑÅÔÓÑ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÍ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ m; d 2 1; n ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á dQ(n; m) = dQcl [n; m], BQ(n; d) = BQcl (n; d). ðÏÜÔÏÍÕ ××ÉÄÕ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ 4.3.10 ÉÍÅÅÍ 4.3.11. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ðÕÓÔØ R Q ÅÓÔØ QF -ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ÌÏËÁÌØÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R. ôÏÇÄÁ ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

dQ(n; m) = dQsyst [n; m] = dq (n; m); BQ (n; d) = BQsyst (n; d) = jQjmq (n;d) = jRjmq (n;d) : ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÜÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ, ÅÓÌÉ Q = R ÅÓÔØ QF -ËÏÌØÃÏ (ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ËÏÌØÃÏ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× ).

121

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÎÅÓÌÏÖÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ × ËÌÁÓÓÅ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÑÍÉ ÎÅÔ ËÏÄÏ× ÌÕÞÛÉÈ, ÞÅÍ × ËÌÁÓÓÅ ×ÓÅÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ. ðÕÓÔØ R M ÅÓÔØ p-ÍÏÄÕÌØ (ÔÏ ÅÓÔØ (M; +) ÅÓÔØ p-ÇÒÕÐÐÁ) É L | ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁÑ ÁÂÅÌÅ×Á p-ÇÒÕÐÐÁ (ÔÏ ÅÓÔØ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ GF (p)) ÔÏÊ ÖÅ ÍÏÝÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ É M . îÁÚÏ×ÅÍ ËÏÄ K < M n ÐÓÅ×ÄÏÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÉÌÉ ðð-ËÏÄÏÍ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÊ ËÏÄ L < Ln , ÞÔÏ jLj jKj, d(L) d(K). 4.3.12. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ìÀÂÏÊ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ M Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÓÅ×ÄÏÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ. R

K < RM n

ÎÁÄ p-ÍÏÄÕÌÅÍ

2 ÷×ÉÄÕ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÊ 4.1.12, 4.3.1 ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ. ðÕÓÔØ R = GF (q ). ôÏÇÄÁ jM j = qt ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ t 2 N . ðÏ # # ÕÓÌÏ×ÉÀ ËÏÄ K ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ Hln = H1 ; : : : ; Hn ÎÁÄ R. âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÔÅÏÒÅÍÙ 4.3.6. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ K ×ÅÒÎÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (4.3.5), (4.3.6). ðÕÓÔØ L | ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ t ÎÁÄ R . ôÏÇÄÁ jLj = jM j É L | ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁÑ p-ÇÒÕÐÐÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÏÄ L < Ln, ËÏÔÏÒÙÊ (ÐÒÉ ËÁËÏÍ-ÌÉÂÏ ×ÙÂÏÒÅ ÂÁÚÉÓÁ R L) ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ 0

H 1# 0# : : : B # # 0 H1 : : : Htltn = B B @ ........... : : : : : : H 1#

H 2# 0# : : : 0# H 2# : : : ............ : : : : : : H 2#

1

H n# 0# : : : n# : : : C 0# H C C ........... A : : : : : : H n#

îÅÔÒÕÄÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ rank H = nt kt É {R(t) (H) = {R (H ). ðÏÜÔÏÍÕ jLj = q kt = jM jk = jKj É d(L) = {R(t) (H) + 1 = d(K), Ô.Å. L | ËÏÄ ÎÁÄ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ Ó ÔÅÍÉ ÖÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁÍÉ, ÞÔÏ É K. 2 ÷ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ× ÏÂÝÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ. 4.3.13. ôÅÏÒÅÍÁ ([58]). ìÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ p-ÍÏÄÕÌÅÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÓÅ×ÄÏÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ.

ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï \ÎÅÎÕÖÎÏÓÔÉ" ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÑÍÉ. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÉÓÈÏÄÎÙÊ ËÏÄ K ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ \ÈÏÒÏÛÕÀ" ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ÉÌÉ ÄÁÖÅ ÂÙÔØ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ, Á ÅÇÏ \ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÒÅÁÌÉÚÁÃÉÑ" L ÍÏÖÅÔ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÂÙÔØ R -ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ËÏÄÏÍ. 4.4

ìÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ÌÏËÁÌØÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ

A. ïÐÉÓÁÎÉÅ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ ÎÁÄ QF-ÍÏÄÕÌÅÍ. ëÁË ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÐÒÅÄ-

ÌÏÖÅÎÉÑ 4.1.2 É ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ 4.1.10, ÅÓÌÉ R | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ, ÔÏ, ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ L < R Rn ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ ÎÁÄ R. îÏ

122

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÔÅÏÒÅÍÏÊ 4.1.9, ÏÎ ÉÍÅÅÔ ÔÁËÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ÎÁÄ QF -ÍÏÄÕÌÅÍ R Q. éÚÕÞÉÍ ×ÏÐÒÏÓ: ËÁË ÏÐÉÓÁÔØ ÃÏËÏÌØ M = S(L) É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ d(L) ËÏÄÁ L, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÅÇÏ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R Q. ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÃÏËÏÌØ S(R) ËÏÌØÃÁ R ÅÓÔØ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ t ÎÁÄ R = GF (q ) Ó ÂÁÚÉÓÏÍ a1 ; : : : ; at : 1 +_ : : : +_ Ra t: S(R) = Ra

(4.4.1)

ëÁË ÐÏËÁÚÁÎÏ × x 7.2, ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÍÉÎÉÍÕÍ ÍÏÝÎÏÓÔÅÊ ÓÉÓÔÅÍ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÍÏÄÕÌÑ R Q ÅÓÔØ (R Q) = t; ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÉÓÔÅÍÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× !; 1; : : : ; t 2 R Q ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ S(R Q) = R!; ai j = Æij ! ÄÌÑ i; j 2 1; t; (4.4.2) É ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (4.4.2) ×ÌÅËÕÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

Q = R1 + : : : + Rt :

(4.4.3)

éÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÔÅÐÅÒØ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÒÁÚÄÅÌÁ 4.1E. ðÕÓÔØ : R S(R) ! R R t ÅÓÔØ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÈ u = u1 a1 + : : : + ut at 2 S(R), ÇÄÅ u1 ; : : : ; ut 2 R , ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ (u) = (u1 ; : : : ; ut). ïÎ ÉÎÄÕÃÉÒÕÅÔ ÐÏÚÉÃÉÏÎÎÙÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ n : S(R)n ! R nt , ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÎÁ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÓÌÏ×Å u = u(1) ; : : : ; u(n) 2 S(R)n (4.4.4) Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ u(i) = u(1i) a1 + : : : + u(ti) at , u(1i) ; : : : ; u(ti) 2 R , ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ

(1) ; u(2) ; : : : ; u(2) ; : : : ; u(n) ; : : : ; u(n) : (u)= (u(1) ); : : : ; (u(n) ) = u(1) ; : : : ; u t t t 1 1 1

äÌÑ ÏÐÉÓÁÎÉÑ ÃÏËÏÌÑ M = S(L) ËÏÄÁ L ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÅÇÏ n ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ A ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ R . ôÏÇÄÁ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÁÍ 4.3.4 É 4.2.3 d(L) = {R(t) (A) + 1: (4.4.5) ðÏÓÔÒÏÉÍ ÓÎÁÞÁÌÁ -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ËÏÄÁ M, ÇÄÅ : R S(R)n ! R R nt | ÔÁËÏÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ, ÞÔÏ (n) (1) (n) (1) (n) (u) = (u(1) 1 ; : : : ; u1 ; u2 ; : : : ; u2 ; : : : ; ut ; : : : ; ut ): ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ËÏÄ (M) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÅÎ n (M). âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÌÉ B ÅÓÔØ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ M ÎÁÄ R , ÚÁÐÉÓÁÎÎÁÑ ÐÏ ÓÔÏÌÂÃÁÍ × ×ÉÄÅ B = (B1(1) ; : : : ; B1(n) ; B2(1) ; : : : ; B2(n) ; : : : ; Bt(1) ; : : : ; Bt(n) ); ÔÏ ÍÁÔÒÉÃÁ

A = (B1(1) ; : : : ; Bt(1) ; B1(2) ; : : : ; Bt(2) ; : : : ; B1(n) ; : : : ; Bt(n) )

(4.4.6)

123

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

M.

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ n -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ËÏÄÁ ÔÒÉÃÙ A É B Ó×ÑÚÁÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ 0

A = BT;

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÍÁ-

1

11 : : : 1n @ T = ............. A ; t1 : : : tn ntnt

(4.4.7)

ÇÄÅ ij ÅÓÔØ n t-ÍÁÔÒÉÃÁ, ÉÍÅÀÝÁÑ ÜÌÅÍÅÎÔ e × j -Ê ÓÔÒÏËÅ É i-Í ÓÔÏÌÂÃÅ É ÉÍÅÀÝÁÑ ÎÕÌÉ ÎÁ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÍÅÓÔÁÈ. íÁÔÒÉÃÁ B ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÏÌÕÞÅÎÁ ÉÚ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ ËÏÄÁ L ÎÁÄ Q. 4.4.1. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ Hln 2 Ql;n ÅÓÔØ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÎÁÄ QF ÍÏÄÕÌÅÍ R Q ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ L < R Rn . ôÏÇÄÁ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ (4.4.1){(4.4.4) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÍÁÔÒÉÃÙ H1 ; : : : ; Ht 2 Rl;n ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ

H = H1 1 + : : : + Ht t :

(4.4.8)

ôÏÇÄÁ

B = (H 1 ; H 2 ; : : : ; H t ) (4.4.9) ÅÓÔØ -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÎÁÄ R ÃÏËÏÌÑ M = S(L). íÁÔÒÉÃÁ A = BT ×ÉÄÁ (4.4.6) ÅÓÔØ n -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ M É d(L) = {R(t) (A) + 1: (4.4.10) 2 óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ (4.4.8) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ (4.4.3). ÷×ÉÄÕ ×ÓÅÇÏ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉÃÁ B ×ÉÄÁ (4.4.9) ÅÓÔØ -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ M. ìÀÂÏÅ ÓÌÏ×Ï (4.4.4) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÏ × ×ÉÄÅ (n) 2 R n : u = u1 a1 + : : : + ut at ; ÇÄÅ ui = u(1) ; : : : ; u (4.4.11) i i ôÏÇÄÁ ÕÓÌÏ×ÉÅ u 2 M = S(M) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ

H u# = 0

(4.4.12)

(ÚÄÅÓØ ÍÙ ÕÍÎÏÖÁÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÙ 2 Q ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÙ a 2 R ÓÐÒÁ×Á Ó ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á a = a). éÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ× (4.4.8), (4.4.11) É ÉÚ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ (4.4.2) ÓÌÅÄÕÀÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á 0 #1 u1 B # # # H u = H1 u1 + : : : + Ht ut ! = (H 1 ; : : : ; H t ) @ ... C A !: u#t

ðÏÜÔÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÅ (4.4.12) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ 0 #1 u1 B .. C (H1 ; : : : ; Ht ) @ . A

u# t

= 0:

(4.4.13)

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

124

îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ (u) = (u1 ; : : : ; ut ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ËÌÀÞÅÎÉÅ (u) 2 (M) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ B (u# ) = 0, ÇÄÅ B ÅÓÔØ ÍÁÔÒÉÃÁ (4.4.9). üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ B ÅÓÔØ -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ M. 2 ôÅÏÒÅÍÁ 4.4.1 ÐÒÅÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÐÏÓÏÂ ÐÅÒÅÞÉÓÌÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× L < n Ó ÄÁÎÎÙÍ ÃÏËÏÌÅÍ M < S(R)n . äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÐÅÒÅÂÒÁÔØ ×ÓÅ R R ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÙÅ ÍÁÔÒÉÃÙ B 2 R l;nt ËÏÄÁ M, ÚÁÔÅÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ B ÐÅÒÅÂÒÁÔØ ×ÓÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÍÁÔÒÉÃ H1 ; : : : ; Ht 2 Rl;n , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ (4.4.9), É, ÎÁËÏÎÅÃ, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÔÁËÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ËÏÄ L < R Rn Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ×ÉÄÁ (4.4.8). òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÂÙÌÏ ÂÙ ÉÎÔÅÒÅÓÎÙÍ ÎÁÊÔÉ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÍÏÝÎÙÊ ËÏÄ L, Ô. Å. ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÍÁÔÒÉÃ H , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ (4.4.9), ÎÁÊÔÉ ÔÁËÕÀ, ÞÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (4.4.12) ÉÍÅÅÔ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÅÛÅÎÉÊ. B. ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÏÐÉÓÁÎÎÙÊ ÍÅÔÏÄ ÐÅÒÅÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÌÏËÁÌØÎÙÍ

ËÏÌØÃÏÍ ÎÁ ÐÒÉÍÅÒÅ ÐÒÏÓÔÅÊÛÅÇÏ ÎÅË×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Á ÌÏËÁÌØÎÏÇÏ ËÏÌØÃÁ R. ðÕÓÔØ ÒÁÄÉËÁÌ N = N(R) ËÏÌØÃÁ R ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ N2 = 0. ôÏÇÄÁ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, N = S(R) | ÃÏËÏÌØ R É N ÅÓÔØ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ ×ÙÞÅÔÏ× R . íÙ ÐÏ-ÐÒÅÖÎÅÍÕ 1 +_ : : : +_ Ra t . ðÒÉ ÂÕÄÅÍ ÐÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ dim R N = t É a1 ; : : : ; at | ÂÁÚÉÓ R N: N = Ra ÕÓÌÏ×ÉÉ t > 1, ËÏÔÏÒÏÅ ×ÓÀÄÕ ÄÁÌÅÅ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ×ÙÐÏÌÎÅÎÎÙÍ, R ÎÅ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Ï ËÏÌØÃÏ (ÓÍ. x 7.2). ðÕÓÔØ P ÅÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÂÏÒ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÍÅÖÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× R ÐÏ N, Ô. Å. P ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÚ q = jR j ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ R = P . ôÏÇÄÁ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ r 2 R ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ

r = r0 e + r1 a1 + : : : + rt at ; ÇÄÅ rs = s (r) 2 P; s 2 0; t:

(4.4.14)

Ô. Å. R ÅÓÔØ ÐÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×:

R = P e +_ P a1 +_ : : : +_ P at : úÁÄÁÄÉÍ ÎÁ P ÏÐÅÒÁÃÉÉ É ÕÓÌÏ×ÉÅÍ

8 a; b 2 P a b = 0(a b); ÇÄÅ 2 f+; g: +; ), É ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÐÏÌÅÊ P ! R ÚÁÄÁÅÔÓÑ ôÏÇÄÁ (P; ; ) | ÐÏÌÅ, ÉÚÏÍÏÒÆÎÏÅ (R; ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ a ! a. (ïÄÎÁËÏ, ÐÒÉ ÜÔÏÍ P , ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ ÐÏÄÐÏÌÅ ËÏÌØÃÁ R). ðÒÉ ÔÁËÏÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ ÏÐÅÒÁÃÉÊ ÎÁ P ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× g; h 2 R ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

É ÄÌÑ s 2 1; t

0 (h g ) = 0 (h) 0(g);

(4.4.15)

s (h + g ) = s (h) s (g ) s (0 (h) + 0 (g )) s (hg ) = s (h) 0 (g ) s (g ) 0 (h)

(4.4.16)

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

125

ðÒÉ ÜÔÏÍ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ g 2 S(R) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á = 0 (h)g hg = hg É ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÃÏËÏÌØ ËÏÌØÃÁ R É ÃÏËÏÌØ S(L) ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ L < R Rn ËÁË ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , Á ÎÅ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ R . óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÚÁÄÁ×ÁÔØ -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ ËÏÄÁ S(L) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , Á ÎÅ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ R . äÏÐÕÓÔÉÍ ÔÅÐÅÒØ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÎ ËÏÄ M < P S(R)n = P Nn Ó -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ Blnt 2 Pl;nt . îÁÛÁ ÃÅÌØ | ÎÁÊÔÉ ËÏÄ L < R Rn ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ ÍÏÝÎÏÓÔÉ Ó ÃÏËÏÌÅÍ S(L) = M. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÏÐÉÓÁÔØ ×ÓÅ ÍÁÔÒÉÃÙ H 2 Ql;n ×ÉÄÁ (4.4.8), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ H 1 ; : : : ; H t = B;

(4.4.17)

Ô. Å. ÕÓÌÏ×ÉÀ (4.4.9) (ÚÄÅÓØ B ÅÓÔØ -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ M ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ R = P ), Á ÚÁÔÅÍ ÎÁÊÔÉ ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ ÔÁËÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ, ÞÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

H x# = 0#

(4.4.18)

ÉÍÅÅÔ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÅÛÅÎÉÊ × Rn . ëÁÖÄÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ Hi ÉÚ (4.4.4) ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ Rl;n É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

Hi = Hi(0) + Hi(1) a1 + : : : + Hi(t) at ; Hi(s) 2 Pl;n; s 2 0; t: ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ H i = H i(0) É ÅÓÌÉ

B = (B1 ; : : : ; Bt )lnt ; Bi 2 Pl;n ; i 2 1; t: ÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ (4.4.17) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÓÉÓÔÅÍÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ× H (0) = B ; i 2 1; t; i

i

ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÉÚ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ (4.4.2) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ Hi i = Hi(0) i + Hi(i) ! = Bi i + Hi(i) !: óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÙÈ ÍÁÔÒÉÃ ÅÓÔØ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ÍÁÔÒÉÃ ×ÉÄÁ H = B1 1 + : : : + Bt t + C!; ÇÄÅ C = H1(1) : : : Ht(t) 2 Pl;n: (4.4.19) ëÏÄ L Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ H ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ x = (x(1) ; :::; x(n) ) 2 Rn ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (4.4.18). ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÑ x × ×ÉÄÅ (n) n x = x0 + x1 a1 + : : : + xt at ; xi = (x(1) (4.4.20) i ; : : : ; xi ) 2 P

126

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

É ÉÓÐÏÌØÚÕÑ (4.4.2), ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ

H x# = B1 x#0 1 + : : : + Bt x#0 t + (C x#0 + B1 x#1 + : : : + Bt x#t )!;

Bs x#0 s = 0 (Bs x#0 )s + s (Bs x#0 )!; s 2 1; t: ïÔÓÀÄÁ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ (4.4.15), ÉÍÅÅÍ

(Bs x#0 )s = (Bs x#0 )s + s (Bsx#0 )!; s 2 1; t; H x# = (B1 x#0 )1 + : : : + (Bt x#0 )t + + C x#0 B1 x#1 : : : Bt x#t (x#0 ) !; ÇÄÅ

(4.4.21)

(x#0 ) = 1 (B1 x#0 ) : : : t (Bt x#0 ): ôÁË ËÁË ÍÏÄÕÌØ R Q ÅÓÔØ ÐÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×

Q = P 1 +_ +_ P t +_ P !; ÔÏ ÉÚ (4.4.21) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (4.4.18) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅÌÉÎÅÊÎÏÊ, ÓÉÓÔÅÍÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . 0

10

1

0

1

x#0 O B1 O : : : O B . . . . . . . . . . . . . . . . C B x# C B C : :: B C B 1C = B C @ Bt O : : : O A @: : :A @ A O # # # O B1 : : : Bt C x0 (x0 ) xt

(4.4.22)

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÄ L ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÓÔÒÏË x ×ÉÄÁ (4.4.19) ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ×ÅËÔÏÒ (x0 x1 : : : xt ) 2 P n(t+1) ÅÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ (4.4.22). ÷×ÅÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ 0

1

B1 @ rank : : :A = r0 ; rank(B1 ; : : : ; Bt ) = r1 : Bt ôÏÇÄÁ, ËÁË ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÉÓÌÏ ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ (4.4.22), Ô. Å. ÍÏÝÎÏÓÔØ ËÏÄÁ L ÉÍÅÅÔ ÏÃÅÎËÕ jLj qn r +nt r = qn(t+1) (r +r ): (4.4.23) 0

1

0

1

îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ r0 ; r1 Ó×ÑÚÁÎÙ Ó t-ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÍ ÒÁÎÇÏÍ ÍÁÔÒÉÃÙ A, ÐÏÌÕÞÁÀÝÅÊÓÑ ÉÚ B ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (4.4.5), ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ

r0 {t (A); r1 t{t (A): ïÔÓÀÄÁ É ÉÚ (4.4.23) ÉÍÅÅÍ jLj qn(t+1) (t+1){t (A) = jRjn

{t (A)

= jRjn d(L)+1 :

(4.4.24)

127

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÏÓÌÅÄÎÑÑ ÏÃÅÎËÁ ÄÌÑ jLj ÅÓÔØ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÇÒÁÎÉÃÁ óÉÎÇÌÔÏÎÁ, É ÏÎÁ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ (Ô. Å. ËÏÄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ íäò-ËÏÄÏÍ) × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á × (4.4.23), (4.4.24) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ. îÁÛÉ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÐÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÐÒÏÓÔÏ ÐÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÏ×ÁÔØ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÔÅÏÒÅÍÙ 4.3.13 ÅÝÅ ÄÌÑ ÏÄÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ËÏÌØÃÁÍÉ. îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÎÉÌØÒÁÄÉËÁÌÏÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÇÏ ËÏÌØÃÁ R ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ N(R) ×ÓÅÈ ÅÇÏ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×. åÓÌÉ R ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ R = R1 +_ : : : +_ Rt × ÐÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ ÌÏËÁÌØÎÙÈ ËÏÌÅÃ, ÔÏ N(R) = N(R1 ) +_ : : : +_ N(Rt ). 4.4.2. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ R | ÔÁËÏÅ p-ËÏÌØÃÏ, ÞÔÏ N(R)2 = 0. ôÏÇÄÁ ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ R Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÓÅ×ÄÏÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ.

2 äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ. óÏÈÒÁÎÑÑ ×ÓÅ ××ÅÄÅÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ËÏÄ L < R Rn ÏÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ (4.4.20) ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (4.4.22). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï L ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ t + 1 ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P É ÐÏÓÔÒÏÉÍ ËÏÄ K < Ln Ó -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ 0

1

B1 0C B: : : B C: B = @B A t O B1 : : : Bt íÏÝÎÏÓÔØ ËÏÄÁ K ÅÓÔØ jKj = q n(t+1) rank B = q n(t+1) r r , É ÓÏÇÌÁÓÎÏ (4.4.23), jKj jLj. ôÁË ËÁË K | ËÏÄ × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ ÍÏÝÎÏÓÔÉ jLj = jRj, ÔÏ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ d(K) = d(L). äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ n -ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ K, ÐÏÌÕÞÁÀÝÁÑÓÑ ÉÚ B, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ 0 1 (2) (n) B1(1) B B 1 0 : 1: : 0 0C B ::: ::: B C A=B C; (1) (2) ( n) Bt : : : Bt @Bt A (2) (2) ( n) ( n) (1) (1) # # # 0 B1 : : : Bt 0 B1 : : : Bt 0 B1 : : : Bt ÇÄÅ Bt(s) ÅÓÔØ s-Ê ÓÔÏÌÂÅÃ ÍÁÔÒÉÃÙ Bt . ðÏÌØÚÕÑÓØ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉÃÁ (4.4.6) ÉÍÅÅÔ t-ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÍÙÊ ÒÁÎÇ {P(t) (A) = d(L) 1, ÎÅÔÒÕÄÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ {P(t+1) (A) = {P(t) (A) = d(L) 1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, d(K) = {P(t+1) (A) + 1 = d(L). 2 0

4.5

1

÷ÅÓÏ×ÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ É ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï íÁË-÷ÉÌØÑÍÓ

ëÏÒÒÅËÔÉÒÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ ÐÏÌÎÏÓÔØÀ ÏÐÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ÅÇÏ ÐÏÌÎÏÊ ×ÅÓÏ×ÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÁË ÖÅ, ËÁË É ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

128

ÐÏÌÅÍ (ÓÍ. x 2.4) ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ðÕÓÔØ jRj = r É R = f1 ; : : : ; r g. ôÏÇÄÁ ÐÏÌÎÁÑ ×ÅÓÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ (Ð.×.Æ.) ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ L < R Rn ÅÓÔØ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ Z X s (u) WL (x1 ; : : : ; xr ) = x1 : : : xsrr (u) ; (4.5.1) 1

u2L

ÇÄÅ st (u) | ÞÉÓÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÓÌÏ×Á u, ÒÁ×ÎÙÈ t . ðÏÌÎÁÑ ×ÅÓÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ËÏÄÁ K < R M n ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ: ÅÓÌÉ jM j = m É M = f1; : : : ; mg, ÔÏ ÜÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ Z ×ÉÄÁ X (a) WK (y1; : : : ; ym ) = y1 : : : ymm (a) ; (4.5.2) 1

a2K

ÇÄÅ t (a) | ÞÉÓÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÓÌÏ×Á a, ÒÁ×ÎÙÈ t . óËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×ÅÓÏ×ÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ËÏÄÏ× L < R Rn É K = M n ? L Ó×ÑÚÁÎÙ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÏÍ íÁË-÷ÉÌØÑÍÓ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÈÁÒÁËÔÅÒ : (M; +) ! (C ; ) (ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÐÐÙ (M; +) ÍÏÄÕÌÑ R M × ÍÕÌØÔÉÐÌÉËÁÔÉ×ÎÕÀ ÇÒÕÐÐÕ (C ; ) ÐÏÌÑ C ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ) ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ 1 WK (y1; : : : ; ym ) = WL M (y); : : : ; M (y) ; (4.5.3) 1 r jLj ÇÄÅ

M (y) =

m X Æ=1

( Æ )yÆ ; 2 1; r:

(4.5.4)

÷ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ M = R = GF (q ), ÜÔÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ÄÏËÁÚÁÎÏ ÔÅÏÒÅÍÏÊ 2.4.2. ÷ ÓÌÕÞÁÅ M = R = Z4 ÏÎÏ ×Ù×ÅÄÅÎÏ × [40, 51, 52]. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ËÏÌØÃÁ ×ÙÞÅÔÏ× ËÏÌØÃÁ ÃÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ÏÎÏ ×Ù×ÅÄÅÎÏ ÔÁËÖÅ × [42]. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒ ÍÏÄÕÌÑ R M ÒÁÚÌÉÞÁÀÝÉÍ, ÅÓÌÉ (K ) 6= 1 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÐÏÄÍÏÄÕÌÑ K < R M . 4.5.1. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ôÏÞÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ R M ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÌÉÞÁÀÝÉÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎ ÅÓÔØ QF -ÍÏÄÕÌØ.

2 óÍ. x 7.2. 2 4.5.2. ôÅÏÒÅÍÁ. åÓÌÉ R M | QF -ÍÏÄÕÌØ É | ÅÇÏ ÒÁÚÌÉÞÁÀÝÉÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ, ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ L < Rn É Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ Ë ÎÅÍÕ ËÏÄÁ K = Rn ? L ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï íÁË-÷ÉÌØÑÍÓ (4.5.3). åÓÌÉ R M ÔÏÞÎÙÊ, ÎÏ ÎÅ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ× ÍÏÄÕÌØ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ L < R Rn ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (4.5.3) ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÉ ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÁ ÇÒÕÐÐÙ (M; +).

2 óÍ. [24, ÔÅÏÒÅÍÁ 7.6]. 2

÷ Ó×ÑÚÉ Ó ÔÏÖÄÅÓÔ×ÏÍ (4.5.3) ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ R M | QF -ÍÏÄÕÌØ, ÔÏ jM j =

jRj = r (ÓÍ. x 7.2), Ô. Å. × (4.5.3) ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï m = r.

éÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÔÁËÖÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ Ë ÐÅÒ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÔÅÏÒÅÍÙ 4.5.2.

129

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

4.5.3. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ R Q ÅÓÔØ QF -ÍÏÄÕÌØ Ó ÒÁÚÌÉÞÁÀÝÉÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÏÍ . ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ K < R Qn É Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ Ë ÎÅÍÕ ËÏÄÁ L = Rn ? K ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï íÁË-÷ÉÌØÑÍÓ

1

WL (x1 ; : : : ; xr ) = ÇÄÅ

RÆ (x)

=

jKj

r X =1

WK R1 (x); : : : ; Rr (x) ;

( Æ )x ; Æ 2 1; r:

(4.5.5)

(4.5.6)

2 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï, × ÃÅÌÏÍ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÔÅÏÒÅÍÙ 4.5.2 É ÓÏ-

ÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ.

4.5.4. P ìÅÍÍÁ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÐÏÄÍÏÄÕÌÑ K < R Q ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï () = 0 [24, ÌÅÍÍÁ 4.3]. 2K

2 òÅÚÕÌØÔÁÔ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÌÅÍÍÙ 2.4.2 É ÕÓÌÏ×ÉÑ (K ) 6= 1. 2 ÷ÅÓÏ×ÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ ËÏÄÁ L = Rn ? K ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ WL (x1 ; : : : ; xr ) =

X u2L

f (u); ÇÄÅ f (u) = xs1 (u) : : : xsrr (u) 1

É ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ a 2 Qn ÐÏÌÏÖÉÍ

fb(a) =

X u 2R

(ua)f (u):

(4.5.7)

(4.5.8)

n

4.5.5. ìÅÍÍÁ. óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

WL (x1 ; : : : ; xr ) =

1

X

jKj a2K f (a): b

(4.5.9)

2 éÚ (4.5.8) ÉÍÅÅÍ X a2K

fb(a)

=

X X u2Rn a2K

(ua) f (u):

(4.5.10)

åÓÌÉ u 2 L, ÔÏ (ua) = (0) = 1 ÄÌÑ ×ÓÅÈ a 2 K É ×ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÓÕÍÍÁ × ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ (4.5.10) ÅÓÔØ jKj. åÓÌÉ u 2 Rn n L, ÔÏ K = fua: a 2 Kg ÅÓÔØ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ ÍÏÄÕÌÑ R Q É ××ÉÄÕ ÌÅÍÍÙ 4.5.4 X a2K

(ua) =

jKj X () = 0: jK j 2K

130

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

ôÅÐÅÒØ ÉÚ (4.5.10) ÉÍÅÅÍ

P a2K

fb(a) =

jKj P f (u) É u2L

ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÌÅÍÍÙ ÓÌÅÄÕÅÔ

ÉÚ (4.5.7). 2 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 4.5.3 ÚÁ×ÅÒÛÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. éÚ (4.5.8), ÉÓÐÏÌØÚÕÑ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÈÁÒÁËÔÅÒÏ× É ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ t (u), ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

fb(a) =

X

n Y

u1 ;:::;un 2R l=1

(ul l )xs1 (ul ) : : : xsrr (ul ) 1

(ÚÄÅÓØ st (ul )P= 1,QÅÓÌÉ ul = t , É st (ul ) = 0, ÅÓÌÉ ul 6= t ). ïÔÓÀÄÁ, ÍÅÎÑÑ ÍÅÓÔÁÍÉ ÏÐÅÒÁÔÏÒÙ É , ÉÍÅÅÍ

fb(a)

=

n X Y

s1 (ul )

(ul l )x1

l=1 ul 2R

:::

xsrr (ul )

=

n X r Y l=1 =1

( l )x :

ôÅÐÅÒØ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ t (a), ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

fb(a) =

r X r Y Æ=1 =1

Æ (a)

( Æ )()

;

Ô. Å. × ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ (4.5.6)

fb(a) = R1 (x) (a) : : : Rr (x)r (a) : 1

ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ fb(a) ÓÕÍÍÙ (4.5.9) ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÍÏÎÏÍÁ y1 (a) : : : yrr (a) ÓÕÍÍÙ (4.5.2) (ÐÒÉ m = r) ÚÁÍÅÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ yÆ = RÆ (x), Æ 2 1; r. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÅÒÎÏ (4.5.5). 2 âÏÌÅÅ ÐÒÏÓÔÏÊ (ÎÏ ÏÞÅÎØ ×ÁÖÎÏÊ) ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÏÊ ËÏÄÁ K < M n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÇÏ ×ÅÓÏ×ÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ èÅÍÍÉÎÇÁ ÉÌÉ ÜÎÕÍÅÒÁÔÏÒ ×ÅÓÏ×. üÔÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ WKH (x; y ) ÏÔ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÎÁÄ Z, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÙÊ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ 1

WKH (x; y ) =

X a2K

xn kak y kak:

(4.5.11)

ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ M = f1 ; 2; : : : ; m g É 1 = 0, ÔÏ ÉÚ (4.5.2) É (4.5.11) ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï WKH (x; y ) = WK (x; y; : : : ; y ): (4.5.12) ôÁËÉÍ ÖÅ ÓÐÏÓÏÂÏÍ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÐÉÓÁÎ ÜÎÕÍÅÒÁÔÏÒ ×ÅÓÏ× ËÏÄÁ L < R Rn : ÅÓÌÉ R = f1 ; : : : ; r g É 1 = 0, ÔÏ

WLH (x; y ) = WL (x; y; : : : ; y ): éÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ 2.4.4.

(4.5.13)

131

ìéîåêîùå ëïäù îáä ëïìøãáíé é íïäõìñíé

4.5.6. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ R Q ÅÓÔØ QF -ÍÏÄÕÌØ É L < R Rn , K < R Qn | ×ÚÁÉÍÎÏ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ ËÏÄÙ. ôÏÇÄÁ ÉÈ ÜÎÕÍÅÒÁÔÏÒÙ ×ÅÓÏ× Ó×ÑÚÁÎÙ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÏÍ íÁË÷ÉÌØÑÍÓ: 1 WKH (x; y ) = WLH (x + (r 1)y; x y ); jLj (4.5.14) 1 WLH (x; y ) = WKH (x + (r 1)y; x y ); jKj

ÇÄÅ r = jRj = jQj.

ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 4.5.2 ÐÏÌÎÙÅ ×ÅÓÏ×ÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ËÏÄÏ× Ó×ÑÚÁÎÙ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÏÍ (4.5.3), ÇÄÅ M = Q, m = r. ÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÚ (4.5.12), (4.5.13) ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

WKH (x; y ) =

1

Q

Q

jLj WL(1 (x; y; : : : ; y); : : : ; r (x; y; : : : ; y)):

éÓÐÏÌØÚÕÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ (4.5.4), ÐÏÌÕÞÁÅÍ

Q (x; y; : : : ; y ) = (0)x +

r X Æ=2

( Æ ) y:

(4.5.15)

åÓÌÉ = 1, ÔÏ = 0 É

Q1 (x; y; : : : ; y ) = x + (r

1)y:

åÓÌÉ > 1, ÔÏ 6= 0 É K = Q ÅÓÔØ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ ÍÏÄÕÌÑ R Q. ôÏÇÄÁ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍÍÅ 4.5.4 ÓÕÍÍÁ × (4.5.15) ÒÁ×ÎÁ 1 É

Q (x; y; : : : ; y ) = x y: óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

WKH (x; y ) =

1

jLj WL(x + (r

1)y; x y; : : : ; x

y)

É ××ÉÄÕ (4.5.13) ÏÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÐÅÒ×ÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × (4.5.14). ÷ÔÏÒÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÉÚ (4.5.5) É (4.5.6). 2

çÌÁ×Á 5 ðÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÑÍÉ üÔÁ ÇÌÁ×Á ÎÁÐÉÓÁÎÁ ÐÏ ÍÁÔÅÒÉÁÌÁÍ ÒÁÂÏÔ [53, 10]. 5.1

ïÓÎÏ×ÎÙÅ ÐÏÎÑÔÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ÐÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ. ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×Á

÷ÓÀÄÕ ÎÉÖÅ R | ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØÃÏ Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ e, M =R M ÅÓÔØ ÌÅ×ÙÊ RÍÏÄÕÌØ. ðÏÌÁÇÁÑ a = a ÄÌÑ 2 M , a 2 R, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÎÁ M ÓÔÒÕËÔÕÒÕ (R; R)ÂÉÍÏÄÕÌÑ. ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÑËÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÌØÃÏ (×ÓÑËÉÊ ËÏÎÅÞÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÒÔÉÎÏ×ÙÍ É ÎÅÔÅÒÏ×ÙÍ, ÔÏ ÞÉÔÁÔÅÌÀ, ÎÅ ÚÎÁËÏÍÏÍÕ Ó ÐÏÎÑÔÉÑÍÉ ÁÒÔÉÎÏ×Á É ÎÅÔÅÒÏ×Á ÍÏÄÕÌÑ ÐÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ R É M ËÏÎÅÞÎÙ. ÷ÎÁÞÁÌÅ ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÏÂÙÞÎÕÀ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÕÀ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÄ M , ÉÌÉ 1-ìòð. æÕÎËÃÉÀ : N 0 ! R ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M . íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ M h1i . ïÐÒÅP s ÄÅÌÉÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ G(x) = s0 gs x 2 R[x] ÎÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M h1i : X G(x) = ; 2 M h1i ; (i) = gs(i + s) ÄÌÑ i 2 N 0 : (5.1.1) s0 ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁ M h1i ÚÁÄÁÎÁ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÍÏÄÕÌÑ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× P = R[x] (ÓÍ. x 7.1, 7.3). 5.1.1. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. óËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M h1i ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (ìòð) ÐÏÒÑÄËÁ m ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) 2 R[x] ÓÔÅÐÅÎÉ m ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ F (x) = 0. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ , Á ÓÔÒÏËÕ (0; m 1) = ((0); : : : ; (m 1)) | ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ F (x)). èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ 132

çìá÷á 5.

133

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

ìòð ÎÁÉÍÅÎØÛÅÊ ×ÏÚÍÏÖÎÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÅÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ, Á ÅÇÏ ÓÔÅÐÅÎØ | ÒÁÎÇÏÍ (ÉÌÉ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔØÀ) ìòð , ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ: rank . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎ ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. äÌÑ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á M M h1i ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ M × P ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÉÄÅÁÌ AnP (M) = fF (x) 2 P : F (x)M = 0g: ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M h1i ÅÓÔØ ìòð × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ AnP () ÅÓÔØ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ, Ô.Å. AnP () ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ. 5.1.2. ðÒÉÍÅÒ (ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÑ). äÌÑ 2 M , q 2 R, ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ = (; q; : : : ; q i ; : : :) ÅÓÔØ ìòð ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÎÁÄ M Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ F (x) = x q É ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ (0) = (). óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï AnP () = P (x q ) + P AnR (). 5.1.3. ðÒÉÍÅÒ (ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÁÑ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÑ). äÌÑ , Æ 2 M , ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M h1i ÜÌÅÍÅÎÔÏ× (i) = + Æi ÅÓÔØ ìòð ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ Ó ÈÁ-

ÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ F (x) = (x e)2 É ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ (; + Æ ). åÓÌÉ AnR (Æ ) = 0, ÔÏ F (x) | ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ . åÓÌÉ a 2 AnR (Æ ), ÔÏ F (x) + a(x e) | ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÄÌÑ . 5.1.4. ðÒÉÍÅÒ (ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ). ìÉÎÅÊÎÁÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÁ 2 M h1i , ËÏÔÏÒÁÑ ÐÒÉ ÚÁÄÁÎÎÙÈ , Æ 2 M , q 2 R ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ

(0) = ; (i + 1) = q (i) + Æ; i 2 N 0 ; ÅÓÔØ ìòð Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ F (x) = (x e)(x q ) É ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ (0; 1) = (; q + Æ ). áÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÁÑ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÉ ÅÓÔØ ÞÁÓÔÎÙÅ ÓÌÕÞÁÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÐÒÉ Æ = 0 É q = e. íÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÌÉÂÏ Æ 62 R, ÌÉÂÏ Æ = c ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ c 2 R É F (c + q ) 6= 0. ôÁËÉÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÁÄ ËÏÌØÃÁÍÉ ×ÙÞÅÔÏ× Z2n , Z10n ÞÁÓÔÏ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÐÒÉ ÍÏÄÅÌÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÐÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÞÉÓÅÌ × ü÷í [8]. 5.1.5. ðÒÉÍÅÒ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ æÉÂÏÎÁÞÞÉ ÅÓÔØ ìòð u

2 Zh1i

Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ F (x) = x2 x 1 É ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ u(0; 1) = (0; 1). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, u(i + 2) = u(i + 1) + u(i), i 2 N 0 . üÔÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÐÏÓÔÒÏÅÎÁ ìÅÏÎÁÒÄÏ ðÉÚÁÎÓËÉÍ (æÉÂÏÎÁÞÞÉ) ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÒÁÚÍÎÏÖÅÎÉÉ ËÒÏÌÉËÏ× (ëÎÉÇÁ ÏÂ ÁÂÁËÅ, 1202 Ç.).

çìá÷á 5.

134

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

5.1.6. ðÒÉÍÅÒ (ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ). ðÕÓÔØ R M =R (1 , ...,

m ) | ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ, 2 M , ' 2 EndR (M ). ôÏÇÄÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ' = (; '(); : : : ; 'i (); : : :) ÅÓÔØ ìòð ÐÏÒÑÄËÁ m Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ F (x) = ' (x) = A (x) = jxE Aj, ÇÄÅ A | ÍÁÔÒÉÃÁ ÎÁÄ R, ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ('(1 ); : : : ; '(m )) = (1 ; : : : ; m )A, Ô.Å. A | ÏÄÎÁ ÉÚ ÍÁÔÒÉÃ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ' × ÓÉÓÔÅÍÅ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ (1 ; : : : ; m ). âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, rank ' @ (R M ), ÇÄÅ @ (R M ) | ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÍÏÄÕÌÑ R M . 5.1.7. ðÒÉÍÅÒ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (2; 3; 5; 7; : : :) ×ÓÅÈ ÐÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÅ Ñ×ÌÑ-

ÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÏÊ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ Z.

5.1.8. ðÒÉÍÅÒ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M h1i ×ÉÄÁ

= (0 ; 0; 1 ; 0; 0; 2; 0; 0; 0; 3; : : :); ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ÓÅÒÉÉ ÎÕÌÅÊ ÌÀÂÏÊ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÄÌÉÎÙ É ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÏÊ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M . 5.1.9. ðÒÉÍÅÒ. ìÉÎÅÊÎÙÊ ÒÅÇÉÓÔÒ ÓÄ×ÉÇÁ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R M Ó ÈÁÒÁËÔÅ-

ÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ F (x) = xm fm 1 xm 1 : : : f0 | ÜÔÏ ËÏÎÅÞÎÙÊ Á×ÔÏÍÁÔ ×ÉÄÁ ìòó F (x) ÎÁÄ R M :::

- 6 f0

f1

6

- 6 fm 1

6

(i)

(i + 1)

(i + m)

6

:::

(i + m 1)

úÄÅÓØ (s) | ÑÞÅÊËÁ ÐÁÍÑÔÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ÜÌÅÍÅÎÔ (s) 2 M ; fs | ÕÚÅÌ, ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÀÝÉÊ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ fs ; | ÕÚÅÌ, ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÀÝÉÊ ÓÌÏÖÅÎÉÅ × M . ÷ ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ÔÁËÔ ÒÁÂÏÔÙ × ÑÞÅÊËÁÈ ÐÁÍÑÔÉ ÒÅÇÉÓÔÒÁ ÚÁÐÉÓÁÎ ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ (0; m 1) = ((0); :::; (m 1)) ìòð 2 LP (F ). ôÁËÏÊ ÒÅÇÉÓÔÒ ÉÚÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ ÓÈÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ:

(i)

:::

(i + m 1)

ìòó F (x) ÎÁÄ R M

úÁÐÏÌÎÅÎÉÅ (i; i + m 1) ÒÅÇÉÓÔÒÁ × i-Ê ÔÁËÔ ÒÁÂÏÔÙ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÅÇÏ ÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÚÁÐÏÌÎÅÎÉÅ (0; m 1) ÆÏÒÍÕÌÏÊ

(i; i + m 1) = (0; m 1)S (F )i;

(5.1.2)

çìá÷á 5.

ÇÄÅ

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

0

135

1

0 0 : : : 0 f0 B e 0 : : : 0 f1 C B C C 0 e : : : 0 f S (F ) = B 2 B C @ ::: ::: ::: ::: ::: A 0 0 : : : e fm 1 | ÓÏÐÒÏ×ÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x). ðÒÏÓÔÁÑ ÔÅÈÎÉÞÅÓËÁÑ É ÐÒÏÇÒÁÍÍÎÁÑ ÒÅÁÌÉÚÁÃÉÑ ÔÁËÏÊ ÓÈÅÍÙ ÏÂÕÓÌÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÛÉÒÏËÏÅ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÂÌÁÓÔÑÈ ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÊ (ÓÍ., ÎÁÐÒÉÍÅÒ, [2, 3, 5]). 5.1.10. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï LM h1i ×ÓÅÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M ÅÓÔØ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ ÍÏÄÕÌÑ P M h1i . äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á I P ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï LM (I ) = f 2 M h1i : I = 0g

ÅÓÔØ P -ÐÏÄÍÏÄÕÌØ × P M h1i . ðÒÉ ÜÔÏÍ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ LM (I ) LM h1i ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÉÄÅÁÌ (I ) ÕÎÉÔÁÒÅÎ. 2

5.1.11. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I ËÏÌØÃÁ P ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅËÕÒÒÅÎÔ LM (I ) ÎÁÚÏ×ÅÍ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×ÏÍ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M . 5.1.12. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÉ 5.1.1 ÕÓÌÏ×ÉÅ ÕÎÉÔÁÒÎÏÓÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x) ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÏÂÒÁÔÉÍÏÓÔÉ ÓÔÁÒÛÅÇÏ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x) ÎÏ, × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÎÅÌØÚÑ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÓÔÉ ÓÔÁÒÛÅÇÏ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x). îÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÕÓÔØ R = S=J , ÇÄÅ S = Z[y0; y1 ; : : :] | ËÏÌØÃÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÄ Z ÏÔ ÓÞÅÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, J = (y0 2y1 ; y1 2y2 ; : : :). ôÏÇÄÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 Rh1i ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ×ÉÄÁ (i) = yi + J ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ F (x) = 2x 1, ÎÏ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÏÊ.

ïÄÎÁËÏ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ ÃÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ Z ÓÉÔÕÁÃÉÑ ÉÎÁÑ. 5.1.13. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ I = (F1 (x); : : : ; Ft (x)) | ÉÄÅÁÌ × ËÏÌØÃÅ Z[x]. ôÏÇÄÁ ÕÓÌÏ×ÉÅ LZ(I ) 6= 0 ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ F1 (x); : : : ; Ft (x) ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÉÊ ÃÅÌÙÊ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÊ ËÏÒÅÎØ × ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÍ ÚÁÍÙËÁÎÉÉ Q~ ÐÏÌÑ Q . ðÕÓÔØ 1; : : : ; r | ×ÓÅ ÏÂÝÉÅ ÃÅÌÙÅ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ËÏÒÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× F1 (x), ..., Ft (x) × ÐÏÌÅ Q~ , É k1 ; : : : ; kr | ÍÉÎÉÍÕÍÙ ËÒÁÔÎÏÓÔÅÊ ÜÔÉÈ ËÏÒÎÅÊ × ÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÈ. ôÏÇÄÁ

LZ(I ) = LZ(F (x)); ÇÄÅ F (x) = (x 1 )k : : : (x r )kr : 1

2 íÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) ÅÓÔØ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ ÓÔÅÐÅÎÉ ÉÚ Z[x], ÄÅÌÑÝÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ F1 (x); : : : ; Ft (x). ðÏÜÔÏÍÕ LZ(F (x)) LZ(I ). åÓÌÉ LZ(I ) = 6 0,

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

136

ÔÏ LZ(I ) | Ó×ÏÂÏÄÎÁÑ ÁÂÅÌÅ×Á ÇÒÕÐÐÁ, ÒÁÎÇ k ËÏÔÏÒÏÊ ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ÓÔÅÐÅÎÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× F1 (x); : : : ; Ft (x). ðÕÓÔØ u1 ; : : : ; uk | Ó×ÏÂÏÄÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÇÒÕÐÐÙ LZ(I ). ôÏÇÄÁ (xu1 ; : : : ; xuk ) = (u1 ; : : : ; uk )A ÄÌÑ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÊ ÃÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ A, É ×ÓÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u1 ; : : : ; uk ÁÎÎÕÌÉÒÕÀÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ A (x) ÍÁÔÒÉÃÙ A. ðÏÜÔÏÍÕ LZ(I ) LZ(A (x)) É F (x) j A (x). îÁÏÂÏÒÏÔ, ÔÁË ËÁË ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LZ(I ) ÎÅ ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÎÉËÁËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÓÔÅÐÅÎÉ ÍÅÎØÛÅÊ, ÞÅÍ k, ÔÏ A (x) j Fs (x), s 2 1; t, É, ÐÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ ËÏÒÎÉ A (x) × Q~ ÅÓÔØ ÃÅÌÙÅ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÞÉÓÌÁ, ÔÏ A (x) j F (x). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, LZ(F ) = LZ(I ) = LZ(A ). 2 ÷ÁÖÎÙÍ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ××ÅÄÅÎÎÙÈ ÐÏÎÑÔÉÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÎÑÔÉÅ k-ìòð. îÁÚÏ×ÅÍ ÌÀÂÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ : N k0 ! M k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R M . âÕÄÅÍ ÐÉÓÁÔØ = (z), ÇÄÅ z = (z1 ; : : : ; zk ) | ×ÅËÔÏÒ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÎÁÄ N 0 . íÎÏÖÅÓÔ×Ï M hki ×ÓÅÈ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÁÄ M ÅÓÔØ R-ÍÏÄÕÌØ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÂÙÞÎÙÈ ÏÐÅÒÁÃÉÊ ÎÁÄ ÆÕÎËÃÉÑÍÉ. ðÕÓÔØ Pk = R[x1 ; : : : ; xk ] = R[x] | ËÏÌØÃÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ k ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ s = (s1 ; : : : ; sk ) 2 N k0 ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÍÏÎÏÍ xs1 : : :P xskk ÞÅÒÅÚ xs . ôÏÇÄÁ ÌÀÂÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) 2 Pk ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ F (x) = s fs xs . úÁÄÁÄÉÍ ÎÁ M hki ÓÔÒÕËÔÕÒÕ Pk -ÍÏÄÕÌÑ, ÏÐÒÅÄÅÌÉ× ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M hki ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) 2 Pk ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ 1

F (x) = ;

2 M hk i ;

(z) =

X s

fs (z + s):

(5.1.3)

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á M M hki × ËÏÌØÃÅ Pk : An(M) = AnPk (M) = fF (x) 2 Pk : F (x)M = 0g: ïÞÅ×ÉÄÎÏ, An(M) | ÉÄÅÁÌ × Pk . 5.1.14. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. éÄÅÁÌ I ËÏÌØÃÁ Pk = R[x1 ; : : : ; xk ] ÎÁÚÏ×ÅÍ ÕÎÉÔÁÒÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ F1 (x); : : : ; Fk (x) 2 R[x] (ÏÔ ÏÄÎÏÇÏ

ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ) ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ

F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk ) 2 I: (5.1.4) óÉÓÔÅÍÕ ÔÁËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÚÏ×ÅÍ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I , Á ÉÄÅÁÌ (F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )) | ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍ ÉÄÅÁÌÏÍ. îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ I | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ, ÔÏ ÆÁËÔÏÒ-ËÏÌØÃÏ Pk =I | ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ. åÓÌÉ R ÎÅÔÅÒÏ×Ï, ÔÏ ×ÅÒÎÏ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ. 5.1.15. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M hki Ñ×ÌÑÅÔÓÑ k-ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ (k-ìòð) ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ

M ÅÓÌÉ I = An() | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ (5.1.4) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ k-ìòð .

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

137

5.1.16. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï LM hki ×ÓÅÈ k-ìòð 2 M hki ÅÓÔØ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ Pk -ÍÏÄÕÌÑ M hki . äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á I Pk ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï

LM (I ) = f 2 M hki : I = 0g ÔÁËÖÅ ÅÓÔØ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ ÜÔÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ, ÐÒÉÞÅÍ ÕÓÌÏ×ÉÅ LM (I ) ÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ (I ) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ ËÏÌØÃÁ Pk .

LM hki

ÒÁ×ÎÏ-

5.1.17. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. åÓÌÉ I | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ ËÏÌØÃÁ Pk , ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï LM (I ) ÎÁÚÏ×ÅÍ k-ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×ÏÍ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R M .

ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ k-ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LM (I ) ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÉÄÅÁÌÏÍ I , É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Pk -ÍÏÄÕÌØ LM (I ) ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ S = Pk =I . 5.1.18. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ëÏÌØÃÏ S = Pk =I = R[#1 ; : : : ; #k ], ÇÄÅ #s = xs + I , ÎÁÚÏ×ÅÍ ËÏÌØÃÏÍ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× ÉÄÅÁÌÁ I (ÓÅÍÅÊÓÔ×Á LM (I )). ÷ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ I = An() ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M hki , ÂÕÄÅÍ ÔÁËÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ S | ËÏÌØÃÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ .

òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÒÉÍÅÒÙ. 5.1.19. ðÒÉÍÅÒ (k-ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÑ). ðÕÓÔØ 2 M , q = (q1 ; : : : ; qk ) 2 Rk É qz = q1z1 :::qkzk ÄÌÑ z 2 N k0 . ôÏÇÄÁ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M hki ×ÉÄÁ (z) = qz ÅÓÔØ k-ìòð, É ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÐÒÉ ÒÁÚÎÙÈ É ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ q ÅÓÔØ LM (x1 q1 ; : : : ; xk qk ). ðÒÉ k = 2 ÐÏÓÌÅÄÏ×Á-

ÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÎÁÇÌÑÄÎÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ: (z2 ; z1 ) 0 1 2 0 q1 q12 1 q2 q1 q2 q12 q2 2 q22 q1 q22 q12 q22 ::: ::: ::: :::

::: ::: ::: ::: :::

5.1.20. ðÒÉÍÅÒ (k-ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÁÑ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÑ). ðÕÓÔØ 0 ; 1 ; : : : ; k 2 M É (z) = 0 + 1 z1 + : : : + k zk . ôÏÇÄÁ 2 LM ((x1 e)2 ; : : : ; (xk e)2 ), É ÐÏÓÌÅÄ-

ÎÅÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÉÓÞÅÒÐÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÓÅÍÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ ÕËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÉÄÁ. ðÒÉ k = 2 ÉÍÅÅÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 0 1 2 (z2 ; z1 ) 0 0 0 + 1 0 + 21 1 0 + 2 0 + 1 + 2 0 + 21 + 2 2 0 + 22 0 + 1 + 22 0 + 21 + 22 ::: ::: ::: :::

::: ::: ::: ::: :::

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

138

5.1.21. ðÒÉÍÅÒ (k-ËÏÎÇÒÕÜÎÔÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ). ðÕÓÔØ 0 , 1 ,

..., k 2 M , q1 ; : : : ; qk 2 R, É ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (qs

e)t = (qt

ÄÌÑ s; t 2 1; k:

e)s

(5.1.5)

ðÕÓÔØ es | s-Ñ ÓÔÒÏËÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ k k-ÍÁÔÒÉÃÙ E ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ Z. úÁÄÁÄÉÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M hki ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ

(0) = 0 ;

s 2 1; k:

(z + es ) = qs (z) + s ;

÷×ÉÄÕ (5.1.5), ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ËÏÒÒÅËÔÎÏ, É 2 LM ((x1 e)(x1 q1 ); : : : ; (xk e)(xk qk )). 5.1.22. ðÒÉÍÅÒ (k-ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ). ðÕÓÔØ R M | ËÏ-

ÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ, 2 M , '1 ; : : : ; 'k 2 EndR (M ), ÐÒÉÞÅÍ 's 't = 't 's ÄÌÑ s, t 2 1; k. ôÏÇÄÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M hki ×ÉÄÁ (z) = 'z1 : : : 'zkk () ÅÓÔØ k-ìòð ÎÁÄ M , É ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ' (x1 ); : : : ; 'k (xk ) ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× '1 ; : : : ; 'k ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 5.1.6) ÓÕÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ k-ìòð . 1

1

5.1.23. ðÒÉÍÅÒ (ÓÕÍÍÁ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ 1-ìòð). ðÕÓÔØ F1 (x); : : : ; Fk (x) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R É s 2 LM (Fs ), s 2 1; k. ïÐÒÅÄÅÌÉÍ k ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ = 1 + : : : + k 2 M hki ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ (z) = 1 (z1 ) + : : : + k (zk ). ôÏÇÄÁ 2 LM (G1 (x1 ); : : : ; Gk (xk )), ÇÄÅ Gs(x) = Fs (x), ÅÓÌÉ Fs (e) = 0, É Gs (x) = Fs (x)(x e) × ÐÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. 5.1.24. ðÒÉÍÅÒ (ÐÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ 1-ìòð). ðÕÓÔØ F1 (x); : : : ; Fk (x) | ÔÅ ÖÅ, ÞÔÏ É × ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÐÒÉÍÅÒÅ, M1 ; : : : ; Mk | R-ÍÏÄÕÌÉ, É s 2 LM (Fs (x)), s 2 1; k. ïÐÒÅÄÅÌÉÍ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M = M1 : : : Mk ÕÓÌÏ×ÉÅÍ (z) = (1 (z1 ); : : : ; k (zk )). ôÏÇÄÁ 2 LM (G1 (x1 ); : : : ; Gk (xk )), ÇÄÅ G1 ; : : : ; Gk | ÔÅ ÖÅ, ÞÔÏ É × ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÐÒÉÍÅÒÅ. 5.1.25. ðÒÉÍÅÒ (ÔÅÎÚÏÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ 1-ìòð ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ). ðÕÓÔØ F1 (x); : : : ; Fk (x) | ÔÅ ÖÅ, ÞÔÏ É × ÐÒÉÍÅÒÅ 5.1.23, É us 2 LR (Fs ), s 2 1; k. úÁÄÁÄÉÍ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ u 2 Rhki ÐÒÁ×ÉÌÏÍ u(z) = u1 (z1 ) : : : uk (zk ). ôÏÇÄÁ u 2 LR (F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )). âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, R-ÍÏÄÕÌØ LR (F1 ; : : : ; Fk ) ÐÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u (ÇÄÅ us ÐÒÏÂÅÇÁÅÔ LR (Fs ) ÄÌÑ s 2 1; k). äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ R-ÍÏÄÕÌÑ N , ËÁÖÄÏÅ R-ÐÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ': LR (F1 ) : : : LR (Fk ) ! N ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ËÌÀÞÅÎÏ × ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÕÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ

LR (F1 ) : : : LR (Fk )

'0

! LR (F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )); PPP # P '

PPq

N

çìá÷á 5.

139

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

ÇÄÅ '0 ((u1 ; : : : ; uk )) = u. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

LR (F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )) = LR (F1 ) : : : LR (Fk ) R

R

ÅÓÔØ ÔÅÎÚÏÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ R-ÍÏÄÕÌÅÊ (ÓÍ. [33]), É u = u1 : : : uk . 5.1.26. ðÒÉÍÅÒ (ÔÅÎÚÏÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ 1-ìòð ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÑÍÉ). ðÕÓÔØ

Fs (x), Ms , É s | ÔÅ ÖÅ, ÞÔÏ É × ÐÒÉÍÅÒÅ 5.1.23, É ÐÕÓÔØ M = M1 : : : Mk . R R ïÐÒÅÄÅÌÉÍ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ (z) = 1 (z1 )

: : : k (zk ). ôÏÇÄÁ 2 LM (F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )), ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ k-ìòð (ÐÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ Fs (x), Ms ) ÐÏÒÏÖÄÁÅÔ R-ÍÏÄÕÌØ LM (F1 ; : : : ; Fk ), É LM (F1 ; : : : ; Fk ) = LM ::: Mk (F1 ; : : : ; Fk ) = LM (F1 ) : : : LMk (Fk ): R R 1

1

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, = 1 : : : k .

ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ k-ìòð, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÚÁÄÁÎÁ ËÁËÁÑ-ÌÉÂÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÅÇËÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎÁ ÐÒÏÇÒÁÍÍÎÏ × ×ÉÄÅ k-ÍÅÒÎÏÇÏ ÍÁÓÓÉ×Á Ó ÐÏÍÏÝØÀ k-ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÅÇÉÓÔÒÁ ÓÄ×ÉÇÁ. ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÜÔÏ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ k = 2. 5.1.27. ðÒÉÍÅÒ (2-ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÒÅÇÉÓÔÒ ÓÄ×ÉÇÁ ÎÁÄ R M ). ðÕÓÔØ F1 (x), F2 (x) 2

R[x] | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÐÅÎÅÊ m1 É m2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ôÏÇÄÁ ÌÀÂÁÑ 2-ìòð 2 LM (F1 (x); F2 (x)) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ Á×ÔÏÍÁÔÏÍ. ìòó F1 (x) ÎÁÄ M (m ) 2

6

6

(j )

(i + 1; j )

:::

(j + 1)

(i + 1; j + 1)

:::

:::

:::

:::

(i + m2

1)

(i + 1; j + m2

ìòó F2 (x) ÎÁÄ M m

6

1)

:::

(i + m1 (i + m1

1; j ) 1; j + 1)

::: (i + m1

6

1; j + m2

1)

1

úÄÅÓØ M m | ÍÏÄÕÌØ ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ m1 ÎÁÄ M É M (m ) | ÍÏÄÕÌØ ÓÔÏÌÂÃÏ× ÄÌÉÎÙ m2 ÎÁÄ M . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÐÏÌÕÞÉ×ÛÕÀÓÑ m1 m2 -ÍÁÔÒÉÃÕ ÚÁÐÏÌÎÅÎÉÊ ÑÞÅÅË ÐÁÍÑÔÉ ÓÈÅÍÙ × (i; j )-Ê ÔÁËÔ ÒÁÂÏÔÙ ÞÅÒÅÚ ^(i; j ). ôÏÇÄÁ 1

2

^(i; j ) = (S (F2 )T )j ^(0; 0) S (F1 )i ;

(5.1.6)

çìá÷á 5.

140

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

ÇÄÅ S (F ) | ÓÏÐÒÏ×ÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x). úÁÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÁÔÒÉÃÙ ^(i; j ) ÚÁÐÉÓÁÔØ × ÓÔÒÏËÕ, ÐÏÓÔÁ×É× ÅÊ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ×ÅËÔÏÒ ÄÌÉÎÙ m1 m2

~(i; j ) = ((i; j ); :::; (i + m1

1; j ); (i; j + 1); :::; (i + m1

1; j + m2

1));

ÔÏ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ (5.1.6) ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ ×ÉÄ

~(i; j ) = ~(0; 0)(S (F2 )j S (F1 )i ); ÇÄÅ | ÔÅÎÚÏÒÎÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉÃ (ÓÍ. x 2.3D). 5.2

óÉÓÔÅÍÙ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×

A. 1-ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×Á. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) = xm fm 1 xm 1

: : : f0 2 R[x] É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LM (F ). éÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (5.1.2) ÌÅÇËÏ ÓÌÅÄÕÅÔ

5.2.1. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ëÁÖÄÁÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÁ 2 LM (F ) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ó×ÏÉÍ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ (0; m 1). óÉÓÔÅÍÁ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ f1 ; : : : ; n g LM (F ) ÐÏÒÏÖÄÁÅÔ R-ÍÏÄÕÌØ LM (F ) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÉÈ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÐÏÒÏÖÄÁÅÔ R-ÍÏÄÕÌØ M m ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ m ÎÁÄ M . 2

ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ eF0 ; : : : ; eFm 1 ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ÉÚ LR (F ) ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ 0 B B @

eF0 (0; m 1) ::: eFm 1 (0; m 1)

1 C C A

=E

(5.2.1)

(ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÎÁÄ R). ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ eF = eFm 1 ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÉÍÐÕÌØÓÎÏÊ. éÚ (5.2.1) É (5.1.2) ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 0 B

S (F )i = B @

eF0 (i; i + m 1) ::: F em 1 (i; i + m 1)

1 C C: A

(5.2.2)

ðÕÓÔØ M [x] ÅÓÔØ P -ÍÏÄÕÌØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÄ M Ó ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ H (x) 2 P ÎÁ (x) 2 M [x]. åÓÌÉ M = R1 +: : :+Rr , ÔÏ M [x] = P 1 +: : :+P r . òÁÓÓÍÁÔÒÉP ×ÁÑ M ËÁË (R; R)-ÂÉÍÏÄÕÌØ, ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ (x) = 'i xi 2 M [x] ÎÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ u 2 Rh1i ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ (x)u = ;

2 M h1i ;

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ M [x]LR (F ) LM (F ).

(z ) =

X

'i u(z + i):

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

141

5.2.2. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ M = R1 + : : : + Rr . ôÏÇÄÁ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

LM (F ) =

m r X1 X t=0 s=1

ReFt s =

r X s=1

LR (F )s = eF0 M + : : : + eFm 1 M;

(5.2.3)

LM (F ) = P eF 1 + : : : + P eF r = M [x]eF = M [x]LR (F ): (5.2.4) åÓÌÉ M | Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ ÒÁÎÇÁ r, ÔÏ LM (F ) | Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ ÒÁÎÇÁ mr. åÓÌÉ R | ÁÒÔÉÎÏ×Ï ËÏÌØÃÏ, ÔÏ @P (LM (F )) = @R (M ), @R (LM (F )) = m@R (M ) (ÓÍ. 5.1.6).

2 òÁ×ÅÎÓÔ×Á (5.2.3) ÓÌÅÄÕÀÔ ÉÚ (5.2.1) É ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 5.2.1. éÚ ÜÔÏÇÏ ÖÅ ÐÒÅÄ-

ÌÏÖÅÎÉÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ eF ; xeF ; : : : ; xm 1 eF | ÂÁÚÉÓ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ R-ÍÏÄÕÌÑ LR (F ) É LR (F ) = P eF . ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ (5.2.4). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÐÏÓÌÅÄÎÉÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ× ÒÅÄÕÃÉÒÕÅÔÓÑ Ë ÌÏËÁÌØÎÏÍÕ ÁÒÔÉÎÏ×Õ ËÏÌØÃÕ É ÅÇÏ ÐÏÌÀ ×ÙÞÅÔÏ× (ÓÍ. x 7.1). 2 ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÌÀÂÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ (x) 2 M [x] ÍÏÖÎÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ ÎÁ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) 2 P . ðÏÌÕÞÁÀÝÉÊÓÑ ÏÓÔÁÔÏË ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Res((x)=F (x)). 5.2.3. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. (a) ìÀÂÁÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÁ ÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ

2 LM (F ) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÐÒÅÄ-

= (x)eF ; (x) 2 M [x]; deg (x) < m: (5.2.5) íÎÏÇÏÞÌÅÎ (x) = (x) × ÜÔÏÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏÍ ìòð (ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x)) É ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ m X1 m 1 (x) = (0)x + ((s) fm 1 (s 1) : : : fm s (0))xm 1 s : (5.2.6) s=1 (b) çÅÎÅÒÁÔÏÒ ÌÀÂÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 LM (F ) ×ÉÄÁ = H (x), H (x) 2

P , ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

(x) = Res(H (x) (x)=F (x)): (5.2.7) ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, (i) ÅÓÔØ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÐÒÉ xm 1 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Res(xi (x)=F (x)). (c) ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ u 2 LR (F ) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ LM (F ) = M [x]u ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ F (x)M [x] + u (x)M [x] = M [x], Ô.Å. ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ F (x) É u (x) M [x]-ËÏÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙ.

2 (a) ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ (5.2.5) ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ (5.2.4) É ÏÓÎÏ×ÎÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÉÍÐÕÌØÓÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ: AnP (eF ) = P F (x). äÌÑ ×Ù×ÏÄÁ (5.2.6) ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ = (0)eF0 + : : : + (m 1)eFm 1 . ðÏÜÔÏÍÕ (x) = (0)0 (x) + : : : + (m 1)m 1 (x), ÇÄÅ s (x) = eFs (x) = xm s 1 fm 1 xm s 2 : : : fs+2 x fs+1 :

äÒÕÇÉÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á É ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ (b), (c) ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × [21]. 2

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

142

5.2.4. ðÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ tr(A) = a11 + : : : + amm | ÓÌÅÄ ÍÁÔÒÉÃÙ A = (aij )mm ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R. äÌÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ F 2 Rh1i ÜÌÅÍÅÎÔÏ× F (i) = tr(S (F )i ), i 2 N 0 , ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ: F 2 LR (F ), F (x) = F 0 (x) (ÆÏÒÍÁÌØÎÁÑ

ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÏ x).

ôÅÐÅÒØ ÏÐÉÛÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á LM (I ), ÇÄÅ I | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÉÄÅÁÌ ×ÉÄÁ I = (F (x); G1 (x); : : : ; Gn(x)). ôÁË ËÁË LM (I ) LM (F ), ÔÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 5.2.1, ÄÌÑ ÏÐÉÓÁÎÉÑ LM (I ), ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÁ ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ (0; m 1) ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ 2 LM (F ), ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÀ 2 LM (I ). ðÕÓÔØ Res(Gj (x)=F (x)) = g0(j ) + : : : + gm(j ) 1 xm 1 ; j 2 1; n; Res(xt =F (x)) = c(0t) + : : : + c(mt) 1 xm 1 ; t 2 0; 2m 2: òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÆÏÒÍÙ ÎÁ M m : lt (y0 ; : : : ; ym 1 ) = c(0t) y0 + : : : + c(mt) 1 ym 1 ; t 2 0; 2m 2:

5.2.5. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 LM (F ) ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ LM (I ) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÔÒÏËÁ (0; m 1) ÅÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ 8 m 1 > < X

> : s=1

gs(j ) li+s (y0 ; : : : ; ym 1 ) = 0;

j 2 1; n; i 2 0; m 1:

(5.2.8)

üÔÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÔÁËÖÅ ÚÁÐÉÓÁÎÁ × ×ÉÄÅ

(y0; : : : ; ym 1 )(G1 (S (F )); : : : ; Gn(S (F ))) = (0; : : : ; 0):

(5.2.9)

2 2 LM (I ) , s = 0, s 2 1; n, ÇÄÅ s = Gs(x) , s(0; m 1) = (0; : : : ; 0), s 2 1; n , (5.2.8). 2

ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ R-ÍÏÄÕÌÑ LM (I ) Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÓÉÓÔÅÍÙ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ R-ÍÏÄÕÌÑ ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ (5.2.8). ï ÓÐÏÓÏÂÁÈ ÒÅÛÅÎÉÑ ÔÁËÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÓÍ. [6]. B. óÉÓÔÅÍÙ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ k-ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ

ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ Fs (xs ) 2 Pk , s 2 1; k. ðÏÌÏÖÉÍ ms = deg Fs (xs ) É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LM (F1 ; : : : ; Fk ). ÷ÓÀÄÕ ÄÁÌÅÅ ÏÂÙÞÎÏÅ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á N 0 É ÉÎÄÕÃÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÉÍ ÞÁÓÔÉÞÎÏÅ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÉÅ ÎÁ N k0 ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ . äÌÑ m = (m1 ; : : : ; mk ), 1 = (1; : : : ; 1) ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÏÌÉÜÄÒ = (m) = fi 2 N k0 : i m 1g:

ëÁÖÄÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M hki ÓÏÐÏÓÔÁ×ÉÍ ÐÏÌÉÜÄÒ ÚÎÁÞÅÎÉÊ

() = f(i) : i 2 g:

çìá÷á 5.

143

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

ðÕÓÔØ M | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÐÏÌÉÜÄÒÏ×. ôÏÇÄÁ M ÅÓÔØ R-ÍÏÄÕÌØ, ÉÚÏÍÏÒÆÎÙÊ ÍÏÄÕÌÀ R M m ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ m = m1 : : : mk . ÷×ÅÄÅÍ ÎÁ N k0 ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÅ ÐÏÌÎÏÅ ÕÐÏÒÑÄÏÞÅÎÉÅ , ÐÏÌÁÇÁÑ i j ÄÌÑ i, j 2 N k0 , ÅÓÌÉ × ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÞÉÓÅÌ (j1 + : : : + jk ) (i1 + : : : + ik ); j1 i1 ; : : : ; jk ik ÐÅÒ×ÏÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÞÉÓÌÏ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ. ôÏÇÄÁ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÐÏÌÉÜÄÒÁ ÓÏÓÔÁ×ÑÔ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÃÅÐÏÞËÕ 0 = i0 i1 : : : im 1 ; (5.2.10) É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÕÐÏÒÑÄÏÞÁÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÁÖÄÏÇÏ ÐÏÌÉÜÄÒÁ (). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÜÔÏÔ ÐÏÌÉÜÄÒ ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ×ÅËÔÏÒÏÍ ((0); (i1); : : : ; (im 1)) 2 M m ÄÌÉÎÙ m. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ j 2 N k0 ÐÏÌÏÖÉÍ

H j (x)

=

m Y s=1

Res(xjss =Fs (xs )) =

X i2

hji xi :

(5.2.11)

5.2.6. ìÅÍÍÁ. äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ 2 LM (F1 ; : : : ; Fk ) É ÌÀÂÏÇÏ j 2 N k0 ÚÎÁÞÅÎÉÅ (j) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÉÜÄÒÏÍ () ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ X (j) = hji (i): (5.2.12) i2

2 (j) = (0), ÇÄÅ = xj = H j(x). 2 F ;:::;F äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ j 2 ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ej = eFj ÔÁËÕÀ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÕ u 2 1

k

LR (F1 ; : : : ; Fk ) ËÏÔÏÒÁÑ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ u(j) = e × u(). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, eFj (z) = eFj (z1 ) : : : eFjkk (zk ), Ô.Å., × ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÐÒÉÍÅÒÁ 5.1.25, 1 1

eFj = eFj

1 1

: : : eFj :

(5.2.13)

k k

òÅËÕÒÒÅÎÔÕ eF = eFm 1, ËÁË É ÄÌÑ 1-ìòð, ÎÁÚÏ×ÅÍ ÉÍÐÕÌØÓÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÏÊ ÉÚ LR (F1 ; : : : ; Fk ). þÅÒÅÚ M [x] = M [x1 ; : : : ; xk ] ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ Pk -ÍÏÄÕÌØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M ÏÔ k ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ Ó ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÉÚ Pk ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÉÚ M [x]. 5.2.7. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ M = R1 + : : : + Rr , ÔÏ ×ÅÒÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

LM (F1 ; : : : ; Fk ) =

r XX j2 s=1

ReFj s

=

r X s=1

LR (F1 ; : : : ; Fk )s =

X j2

eFj M;

(5.2.14)

LM (F1 ; : : : ; Fk ) = Pk eF 1 + : : : + Pk eF r = M [x]eF = M [x]LR (F1 ; : : : ; Fk ): (5.2.15) åÓÌÉ M | Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ ÒÁÎÇÁ r, ÔÏ LM (F1 ; : : : ; Fk ) | Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ RÍÏÄÕÌØ ÒÁÎÇÁ mr. åÓÌÉ R | ÁÒÔÉÎÏ×Ï ËÏÌØÃÏ, ÔÏ @P (LM (F1 ; : : : ; Fk )) = @R (M ), @R (LM (F1 ; : : : ; Fk )) = m@R (M ).

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

144

2 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÔÅÍÉ ÖÅ ÍÅÔÏÄÁÍÉ, ÞÔÏ É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÐÒÅÄ-

ÌÏÖÅÎÉÑ 5.2.2, Ó ÕÞÅÔÏÍ ÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ, ÞÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ fxjeF : j 2 g = feF; xj eF; : : : ; xjm eFg ÅÓÔØ ÂÁÚÉÓ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ R-ÍÏÄÕÌÑ LR (F1 ; : : : ; Fk ) (ÓÍ. [23]). 2 ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Res(H (x)=F) ×ÙÞÅÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ H (x) 2 M [x] ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ ÉÄÅÁÌÁ (F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )) (Ô.Å. ÒÅÚÕÌØÔÁÔ k ÄÅÌÅÎÉÊ Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ H (x) ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )). 1

1

5.2.8. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. (a) ìÀÂÁÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÁ 2 LM (F1 ; : : : ; Fk ) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ

= (x)eF ; ÇÄÅ (x) 2 M [x]; degxs (x) < ms ; s 2 1; k: (5.2.16) íÎÏÇÏÞÌÅÎ (x) = (x) × ÜÔÏÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏÍ ìòð

É ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

(x) =

X i2

X tm i

1

(k) i (t)a(1) t1 +i1 +1 : : : atk +ik +1 x ;

(5.2.17)

ÇÄÅ Fs (xs ) = t0 a(ts) xts ÄÌÑ s 2 1; k. (b) åÓÌÉ = H (x), ÇÄÅ H (x) 2 Pk , ÔÏ (x) = Res(H (x) (x)=F). (c) äÌÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ u 2 LR (F1 ; : : : ; Fk ) ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï LM (F1 ; : : : ; Fk ) = M [x]u ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ P

F1 (x1 )M [x] + : : : + Fk (xk )M [x] + u (x)M [x] = M [x]; ÔÏ ÅÓÔØ ÕÓÌÏ×ÉÀ M [x]-ËÏÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÓÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× F1 , . . . , Fk , u . 2 æÏÒÍÕÌÁP(5.2.16) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ (5.2.15) É ÕÓÌÏ×ÉÑ An(eF ) = (F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )). P ôÁË ËÁË = i2 (i)eFi, ÔÏ (x) = i2 (i)i(x), ÇÄÅ i (x) = eFi (x). ôÅÐÅÒØ (5.2.17) ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ (5.2.6) É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á i (x) = i (x1 ) : : : ik (xk ), ÇÄÅ is (xs ) | ÇÅÎÅÒÁÔÏÒ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ eFiss , s 2 1; k. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ Ó ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÐÒÉÍÅÒÁ 5.1.24 ÉÚ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ eFi = eFi : : : eFikk = i (x1 ) : : : ik (xk ) (eF : : : eFk ) 1

1 1

1

1

= i (x1 ) : : : ik (xk ) eF : 2 ôÅÐÅÒØ ÏÐÉÛÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ R-ÍÏÄÕÌÑ LM (I ) ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ËÏÎÅÞÎÏ ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I / Pk , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ (5.1.4). íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ I ÉÍÅÅÔ ÓÉÓÔÅÍÕ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ×ÉÄÁ F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk ); G1 (x); : : : ; Gn(x); (5.2.18) ÇÄÅ X Gr (x) = gr;i xi ; r 2 1; n: (5.2.19) i2 òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Res(I=F) = fRes(H (x)=F(x) : H (x) 2 I g. 1

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

145

5.2.9. ìÅÍÍÁ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï Res(I=F) ÅÓÔØ R-ÍÏÄÕÌØ Ó ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ u 2 ;

Gur (x) = Res(xu Gr (x)=F);

r 2 1; n:

(5.2.20)

ðÒÉ ÜÔÏÍ × ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ (5.2.11), (5.2.19) ×ÅÒÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

Gur (x) =

X i2

X

gr;ui xi ; ÇÄÅ gr;ui =

j2

gr;j hui +j : 2

5.2.10. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ

H1 (x); : : : ; Hw (x)

(5.2.21)

| ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ R-ÍÏÄÕÌÑ Res(I=F), É

Hv (x) =

X i2

hv;i xi ;

v 2 1; w:

ôÏÇÄÁ k-ìòð 2 LM (F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )) ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ LM (I ) × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÅÅ ÐÏÌÉÜÄÒ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ () ÅÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ nX hv;i x(i) = 0; v 2 1; w; (5.2.22) i2 ÇÄÅ fx(i) : i 2 g | ÓÉÓÔÅÍÁ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÎÁ M .

2 óÉÓÔÅÍÁ (5.2.22) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÓÉÓÔÅÍÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ nX i2

gr;ui x(i) = 0;

u 2 ;

r 2 1; n:

(5.2.23)

ðÕÓÔØ Ær = Gr (x). ôÏÇÄÁ ÕÓÌÏ×ÉÅ 2 LM (I ) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ Æ1 = : : : = ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ () | Æn = 0, Ô.Å. ÕÓÌÏ×ÉÀ Ær () = 0, r 2 1; n. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ P ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ (5.2.23), ÔÁË ËÁË Ær (u) = i2 gr;ui (i). 2 5.2.11. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ðÕÓÔØ 01 ; : : : ; 0l 2 M | ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ R-ÍÏÄÕÌÑ ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (5.2.22). ôÏÇÄÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï f1 ; : : : ; l g LM (F1 ; : : : ; Fk ) ÒÅËÕÒÒÅÎÔ Ó ÎÁÞÁÌØÎÙÍÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ t () = 0t , t 2 1; l, ÐÏÒÏÖÄÁÅÔ R-ÍÏÄÕÌØ LM (I ). 5.2.12. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ M | ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ÎÅÔÅÒÏ×ÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I / Pk ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LM (I ) ÅÓÔØ ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÎÁÄ R Pk -ÐÏÄÍÏÄÕÌØ ÍÏÄÕÌÑ LM hki . äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÄÍÏÄÕÌÑ M Pk -ÍÏÄÕÌÑ M hki ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ: (a) M | ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ; (b) M | ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ Pk -ÍÏÄÕÌÑ LM hki ; (c) An(M) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ.

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

146

2 (a) ) (b) ëÁÖÄÁÑ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M ÅÓÔØ ìòð. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ s 2 1; k R-ÐÏÄÍÏÄÕÌØ (; xs; x2s ; : : :)R ÍÏÄÕÌÑ M ËÏÎÅÞÎÏ ÐÏÒÏÖÄÅÎ. m 1 ) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ m 2 N , Ô.Å. ÁÎÎÕÌÉóÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, xm s s 2 (; xs ; : : : ; xs ÒÕÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ Fs (xs ) 2 Pk ÓÔÅÐÅÎÉ ms . (b) ) (c) ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ M = Pk 1 + : : : + Pk l É An(t ) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ ÄÌÑ t 2 1; l. ôÏÇÄÁ An(M) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ An(1 ) : : : An(l ). (c) ) (a) ðÕÓÔØ An(M) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ (F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )). ôÏÇÄÁ M LM (An(M)) LM (F1 ; : : : ; Fk ). ðÏÓÌÅÄÎÉÊ R-ÍÏÄÕÌØ ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎ × ÓÉÌÕ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 5.2.7. 2 s

s

C. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ k-ìòð. 5.2.13. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÅÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M hki

ÎÁÚÏ×ÅÍ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ

S (x) =

X i2Nk0

(i)xi

ÉÚ Pk -ÍÏÄÕÌÑ M [[x]] ×ÓÅÈ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× ÎÁÄ M . ïÐÉÓÁÎÉÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÔÅÓÎÏ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÐÏÎÑÔÉÅÍ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÁ É ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ. 5.2.14. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ k-ìòð 2 LM hki Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk ) ÅÓÔØ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÄÒÏÂØ (x) S(x) = F (x ) :: : F (x ) ; 1 k

1

k

m 1 (1=x ; : : : ; 1=x ). s ÇÄÅ Fs (xs ) = xm 1 k s Fs (1=xs ), ms = deg Fs (x), s 2 1; k , É (x) = x h k i îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ P i i2(m) i x S (x) = Qk : (s) (s) s=1 (e + b1

xs + : : : + bms xms s )

ÔÏ ÅÓÔØ k-ìòð Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÉÄÅÁÌÏÍ

(1) m 1 + : : : + b(1) ; : : : ; xmk + b(k) xmk 1 + : : : + b(k) ) (xm 1 + b 1 x1 1 k m mk k 1

1

1

É ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏÍ

(x) =

X i2(m)

m

i

1xi :

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

147

2 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï × ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ ÒÑÄÁ S(x) ÎÁ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÄÒÏÂÉ ÉÚ ÐÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ. 2 D. âÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ É ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÉÔÕÁÃÉÀ, ËÏÇÄÁ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÕ 2 LM (F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )) ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ Ñ×ÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÔ i. âÏÌØÛÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÂÏÔ ÎÁ ÜÔÕ

ÔÅÍÕ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ æÉÂÏÎÁÞÞÉ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÐÏ ÓÕÝÅÓÔ×Õ, ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ Ó×ÏÊÓÔ× ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÊ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÊ (ÐÒÉÍÅÒÙ 5.1.2, 5.1.3, 5.1.18, 5.1.19). 5.2.15. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. äÌÑ ÌÀÂÙÈ a 2 R, l 2 N 0 ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ a[l] 2 h 1 R i , ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÕÀ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ

i i a[l](i) = a

a[l](0; l) = (0; : : : ; 0; e);

l

l

ÐÒÉ i > l;

ÎÁÚÏ×ÅÍ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÐÏÒÑÄËÁ l Ó ËÏÒÎÅÍ a. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, 0[l] = (0; : : : ; 0; e; 0; 0; : : :);

l+2 e[l] = (0; : : : ; 0; e; l+1 l e; l e; : : :): i = i ÄÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (x a)a[l] = a[l 1] , âÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï i+1 l l l 1 l 1, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÌÅÇËÏ ÓÌÅÄÕÅÔ 5.2.16. ìÅÍÍÁ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ a[l] ÅÓÔØ ÉÍÐÕÌØÓÎÁÑ ìòð Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ G(x) = (x a)l+1 , Ô.Å. a[l] = eG . óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á: An(a[l]) = P (x a)l+1 ; LR ((x a)l+1 ) = P a[l] = Ra[0] +_ : : : +_ Ra[l]:

5.2.17. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. óËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) 2 P ÉÍÅÅÔ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R, ÅÓÌÉ ÏÎ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ

F (x) = (x a1 )l +1 : : : (x at )lt +1 ; (5.2.24) ÇÄÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ (x a1 )l +1 , . . . , (x at )lt +1 2 P ÐÏÐÁÒÎÏ ËÏÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙ. 1

1

5.2.18. ôÅÏÒÅÍÁ. åÓÌÉ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) 2 P ÉÍÅÅÔ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ (5.2.24), ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ

[l ] [0] [lt] a[0] 1 ; : : : ; a1 ; a2 ; : : : ; at ÅÓÔØ ÂÁÚÉÓ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ R-ÍÏÄÕÌÑ LR (F ), É ÚÎÁËÉ ËÁÖÄÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ u 2 LR (F ) 1

ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ

u(i) =

t X ls X s=1 l=0

csl

i i l a ; l s

i 0:

(5.2.25)

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

148

ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ csl 2 R × ÜÔÏÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÅÓÔØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ t X ls X s=1 l=0

csl a[sl](0; m 1) = u(0; m 1);

ÇÄÅ m = l1 + : : : + lt + t = deg F (x).

2 éÚ ×ÚÁÉÍÎÏÊ ÐÒÏÓÔÏÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× (x ai)l , (x aj )l ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï LR (F ) = LR ((x a1 )l +1 ) +_ : : : +_ LR ((x at )l +1 ) (ÓÍ. ÎÉÖÅ x 5.4). äÁÌÅÅ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ i

j

t

1

ÌÅÍÍÁ 5.2.16, É ìòð u ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ

u=

t X s=1

us =

t X ls X s=1 l=0

csl a[sl] ;

csl 2 R: 2

(5.2.26)

÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÐÒÉÍÅÒÁ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ (5.2.25) ÕËÁÖÅÍ, ËÁË ÏÎÏ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÄÌÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ æÉÂÏÎÁÞÞÉ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ Z (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 5.1.5):

p

1 1+ 5 u(i) = p 2 5

!i

p

p1 1 2 5 5

!i

:

÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÔÅÏÒÅÍÙ 5.2.18 ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ (5.2.25) (ÉÌÉ (5.2.26)) ÎÁÚÏ×ÅÍ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ u. 5.2.19. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÔÅÏÒÅÍÙ 5.2.18 ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ u ÉÍÅÅÔ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ (5.2.26), É cs 2 Rh1i | ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ×ÉÄÁ

cs = (cs0 ; cs1 ; : : : ; cs;ls ; 0; 0; : : :); s 2 1; t:

ôÏÇÄÁ

An(us) = fH (x) 2 P : H (x + as ) 2 An(cs )g; (5.2.27) An(u) = An(u1 ) : : : An(ut ): ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ Gs (x) | ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ìòð cs , deg Gs(x) = ms , s 2 1; t, ÔÏ G1 (x a1 ) : : : Gt (x at ) ÅÓÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ u, É rank u = m1 + : : : + mt . 2 äÌÑ G(x) 2 P ÉÚ (5.2.26) ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ G(x as)us = Plls=0 vs(l)a[sl], ÇÄÅ vs = G(x)cs . úÎÁÞÉÔ G(x as )us = 0 ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ vs(0) = : : : = vs (ls ) = 0, ÉÌÉ, ÞÔÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ, vs = G(x)cs = 0. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (5.2.27). 2 ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ

çìá÷á 5.

149

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

5.2.20. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk ) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÁÄ R ÉÍÅÀÝÉÅ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ

Fr (x) = (x ar1 )lr +1 : : : (x ar;tr )lr;tr +1 ; 1

r 2 1; k:

ðÕÓÔØ M = R1 + : : : + Rn . ôÏÇÄÁ R-ÍÏÄÕÌØ LM (F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )) ÐÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ

a[lsl ] : : : a[kslkk] j ; 1

1

1 s t;

0 l ls = (l1s1 ; : : : ; lksk );

j 2 1; n:

2 éÚ (5.2.14) É ÐÒÉÍÅÒÁ 5.1.24 ÉÍÅÅÍ LM (F1 ; : : : ; Fk ) =

n X j =1

LR (F1 ) : : : LR (Fk )j :

ôÅÐÅÒØ ÔÅÏÒÅÍÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÅÏÒÅÍÙ 5.2.18. 2 ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ 2 LM (F1 ; : : : ; Fk ) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÁÂÏÒ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× cls;j 2 R (Ó ÔÅÍÉ ÖÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑÍÉ ÎÁ ÉÎÄÅËÓÙ, ÞÔÏ É × ÔÅÏÒÅÍÅ 5.2.20) ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ

(i) =

X j;s;l

cls;j

i1 i : : : k ai1s l : : : aiksk k lk j : l1 lk 1

1

1

(5.2.28)

5.2.21. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ (5.2.28) ÎÁÚÏ×ÅÍ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ k-ìòð ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M . 5.2.22. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ÏÚÍÏÖÎÁ ÓÉÔÕÁÃÉÑ, ËÏÇÄÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ F1 (x), ..., Fk (x)

ÎÅ ÉÍÅÀÔ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R, ÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ S ËÏÌØÃÁ R É ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ G1 (x); : : : ; Gk (x) 2 S [x], ÉÍÅÀÝÉÅ ÎÕÖÎÙÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁÄ S É ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ Fr (x) j Gr (x) ÄÌÑ r 2 1; k. ÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÌÀÂÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ u 2 LR (F1 ; : : : ; Fk ) ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ LS (G1 ; : : : ; Gk ) É ÉÍÅÅÔ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ S . ÷ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ÄÌÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 LM (F1 ; : : : ; Fk ) ÎÁÄ RÍÏÄÕÌÅÍ M ÔÁËÖÅ ÉÎÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÄÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ R-ÍÏÄÕÌÅÊ ': M ! S M , ÇÄÅ '() = e , R ÉÎßÅËÔÉ×ÅÎ (ÜÔÏ ÔÁË, ÅÓÌÉ M | ÐÌÏÓËÉÊ (ÐÒÏÅËÔÉ×ÎÙÊ, Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ) R-ÍÏÄÕÌØ [33] ÉÌÉ ÅÓÌÉ ÍÏÄÕÌØ R R ×ÙÄÅÌÑÅÔÓÑ ÐÒÑÍÙÍ ÓÌÁÇÁÅÍÙÍ × ÍÏÄÕÌÅ R S ). ôÏÇÄÁ ÌÀÂÕÀ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M hki ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÄ S -ÍÏÄÕÌÅÍ S M , ÅÓÌÉ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÔØ M É '(M ). ðÒÉ ÜÔÏÍ ÉÍÅÅÔ ÂÉÎÏÍÉÁÌØR ÎÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÎÁÄ S -ÍÏÄÕÌÅÍ S M . R

çìá÷á 5.

5.3

150

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

óÉÓÔÅÍÙ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÁ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×Á

÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÐÉÓÁÎÉÅ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÁ An() k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M hki | ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÓÌÏÖÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ (ÄÁÖÅ ÐÒÉ k = 1 É M = R). îÁÐÒÉÍÅÒ, ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÄÌÑ ÐÒÏ×ÅÒËÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á An() = 0, ÅÓÌÉ ÎÅÔ ÎÉËÁËÏÊ ÄÏÐÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÊ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ Ï ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ . ïÄÎÁËÏ, ÅÓÌÉ ÚÁÒÁÎÅÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÔØ ìòð Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ ÓÔÅÐÅÎÅÊ m1 ; : : : ; mk , ÔÏ ÏÐÉÓÁÎÉÅ An() Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M . A. ïÐÉÓÁÎÉÅ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÁ 1-ìòð. 5.3.1. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. íÁÔÒÉÃÕ 0 B

Gm () = B @

(0) (1) : : : (m 1) (1) (2) : : : (m) ................................ (m 1) (m) : : : (2m 2)

1

0

C C A

=B @

B

(0; m 1) (1; m) ::: (m 1; 2m 2)

1 C C A

ÎÁÚÏ×ÅÍ ÇÁÎËÅÌÅ×ÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ÐÏÒÑÄËÁ m ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M h1i . P 1 j 5.3.2. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. íÎÏÇÏÞÌÅÎ A(x) = m j =0 aj x 2 P ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M h1i ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ (a0 ; : : : ; am 1 )Gm (xt ) = (0; : : : ; 0) ÄÌÑ ×ÓÅÈ t 2 N 0 : åÓÌÉ ÅÓÔØ ìòð ÐÏÒÑÄËÁ m, ÔÏ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ (a0 ; : : : ; am 1 ) | ÒÅÛÅÎÉÅ × Rm ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

(y0 ; : : : ; ym 1 )Gm () = (0; : : : ; 0): (5.3.1) ðÒÉ ÜÔÏÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) = xm fm 1 xm 1 : : : f0 2 P ÅÓÔØ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÔÒÏËÁ (f0 ; : : : ; fm 1 ) ÅÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ

(f0 ; : : : ; fm 1 )Gm () = (m; 2m 1):

(5.3.2)

åÓÌÉ R-ÍÏÄÕÌØ K(Gm ()) ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ (5.3.1) × Rm ÐÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÓÔÒÏË P As1 = (aj s0 ; : : : ; as;m 1 ), s 2 , ÔÏ An() = P (F (x); As (x) : s 2 ), ÇÄÅ As (x) = m j =0 asj x .

ðÒÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÅ F (x) 2 P ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 LM h1i , ÉÄÅÁÌ An() ÍÏÖÎÏ ÏÐÉÓÁÔØ ÔÁËÖÅ Ó ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÁ (x) ìòð .

çìá÷á 5.

151

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

5.3.3. ìÅÍÍÁ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x) 2 P ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ AnM [x](eF ) ÉÍÐÕÌØÓÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ eF × ÍÏÄÕÌÅ M [x] ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ AnM [x](eF ) = F (x)M [x].

2 äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ AnM [x](eF ) F (x)M [x] É ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ eF

ÎÅ ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÎÉËÁËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÉÚ M [x] ÓÔÅÐÅÎÉ ÍÅÎØÛÅÊ, ÞÅÍ deg F (x).

2

5.3.4. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. áÎÎÕÌÑÔÏÒ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ

2 LM (F ) × ËÏÌØÃÅ P

ÕÄÏ-

An() = (F (x)M [x] : (x)) = fH (x) 2 P : H (x) (x) 2 F (x)M [x]g: ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ F (x) É (x) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ M [x]-ËÏÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÍÉ:

F (x)M [x] + P (x) = M [x];

(5.3.3)

ÔÏ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

An() = P F (x): (5.3.4) äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M h1i ÕÓÌÏ×ÉÅ (5.3.4) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ: (a) | ìòð Ó ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ F (x); (b) óÉÓÔÅÍÁ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉÃÙ Gm () Ó×ÏÂÏÄÎÁ ÎÁÄ R, É ÓÔÒÏËÁ (f0 ; : : : ; fm 1 ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÓÉÓÔÅÍÙ (5.3.2).

5.3.5. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. åÓÌÉ R | ÐÏÌÅ, ÔÏ ÌÀÂÁÑ ìòð u 2 LR (F ) ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Mu (x) 2 P , ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ

Mu (x) =

F (x) : (F (x); u (x))

(5.3.5)

B. áÎÎÕÌÑÔÏÒ k-ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×Á. ïÐÉÛÅÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÁ An(M) ÓÅÍÅÊÓÔ×Á M = Pk 1 + : : : + Pk l (5.3.6) ÄÌÑ ÚÁÄÁÎÎÙÈ 1 ; : : : ; l 2 LM hki . äÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÓÔÅÐÅÎÉ m1 ; : : : ; mk ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk ) ÓÅÍÅÊÓÔ×Á M. ôÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÓÁÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÓÔÒÏËÁ (f0(1) , ..., fm(1) 1 ) ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F1 (x1 ) = xm1 fm(1) 1 xm 1 : : : f0(1) 2 R[x1 ] ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎÁ ËÁË ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÉÓÔÅÍÙ lm1 : : : mk ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁÄ M : 1

1

1

(

(y0 ; : : : ; ym 1 )Gm (t (z1 ; i2 ; : : : ; ik )) = t (m1 ; 2m1 t 2 1; l; (i2 ; : : : ; ik ) 2 (m2 ; : : : ; mk ); 1

1

1; i2 ; : : : ; ik );

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

152

ÇÄÅ ÄÌÑ ÚÁÄÁÎÎÙÈ t 2 1; l É (i2 ; : : : ; ik ) 2 (m2 ; : : : ; mk ) ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ t (z1 , i2 , ..., ik ) ÅÓÔØ 1-ìòð, ÐÏÌÕÞÁÀÝÁÑÓÑ ÉÚ k-ìòð t (z) ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ z2 , . . . , zk . äÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ÕÖÅ ÎÁÊÄÅÎÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk ) 2 An(M):

(5.3.7)

ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ R ÎÅÔÅÒÏ×Ï. ôÏÇÄÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÉÄÅÁÌÁ An(M) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÁ ËÁË ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×

F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk );

H1 (x); : : : ; Hw (x);

(5.3.8)

ÇÄÅ H1 (x); : : : ; Hw (x) | ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ R-ÍÏÄÕÌÑ Res(An(M)=F) (ÓÍ. x 5.2B). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ, ××ÉÄÕ (5.3.6), (5.3.7), M ÅÓÔØ ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ Ó ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ u 2 = (m1 ; : : : ; mk );

su = xu s ;

s 2 1; l;

(5.3.9)

É, ××ÉÄÕ (5.3.7), (5.2.11), ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

su (j) =

X i2

s (i)hui +j ;

j 2 N k0 ;

u 2 ;

s 2 1; l:

(5.3.10)

5.3.6. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ 1 ; : : : ; lP | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ Pk -ÍÏÄÕÌÑ M. ôÏÇÄÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ H (x) = i2 hixi 2 Pk ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ An(M) ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ÐÏÌÉÜÄÒ H = fhi : i 2 g ÅÇÏ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ÅÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁÄ M : nX i2

yis(i) = 0;

s 2 1; l;

(5.3.11)

ÇÄÅ fyi : i 2 g | ÓÉÓÔÅÍÁ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÎÁ R. åÓÌÉ H1 ; : : : ; Hw | ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÍÏÄÕÌÑ ÒÅÛÅÎÉÊ × R ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (5.3.11), ÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× (5.3.8) ÐÏÒÏÖÄÁÅÔ An(M).

2 ðÕÓÔØ Æs = H (x)s, s 2 1; l. ôÏÇÄÁ ÕÓÌÏ×ÉÅ H (xP) 2 An(M) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ Æs (u) = 0 ÄÌÑ u 2 , s 2 1; l. ôÁË ËÁË Æs (u) = i2 hi su (i), ÔÏ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ H | ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ nX i2

yisu (i) = 0;

u 2 ;

s 2 1; l:

ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÓÉÓÔÅÍÅ (5.3.11). 2 ðÏ ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅÍ 5.3.4, ÍÏÖÎÏ ÏÐÉÓÁÔØ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ k-ìòð , ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÅÅ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒ (x).

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

153

5.3.7. ìÅÍÍÁ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× F1 (x1 ), ..., Fk (xk ) 2 Pk ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ ÉÍÐÕÌØÓÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ eF × ÍÏÄÕÌÅ M [x] ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

AnM [x](eF ) = F1 (x1 )M [x] + : : : + Fk (xk )M [x]:

2 éÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ eF ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÎÅ ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ P ÎÉËÁËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ (x) 2 M [x] ×ÉÄÁ (x) = i2 i xi . 2 5.3.8. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. áÎÎÕÌÑÔÏÒ ìòð

Pk ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

2 LM (F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )) × ËÏÌØÃÅ

An() = (F1 (x1 )M [x] + : : : + Fk (xk )M [x] : (x)): åÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ F1 (x1 ), . . . , Fk (xk ), (x) M [x]-ËÏÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙ, ÔÏ

An() = (F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )): C. k-ìòð Ó ÚÁÄÁÎÎÙÍ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÏÍ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ R | ÐÏÌÅ, ÔÏ ÌÀ-

ÂÏÊ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ I / P ÅÓÔØ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ìòð ÎÁÄ R: ÅÓÌÉ I = P F (x), ÔÏ I = An(eF ). åÓÌÉ R ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÅÍ, ÔÏ ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÎÅ×ÅÒÎÏ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u 2 Zh1i ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ An(u) = (x; 2). ÷ÏÚÎÉËÁÅÔ ÚÁÄÁÞÁ: ÐÏ ÄÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I / Pk ÐÏÓÔÒÏÉÔØ kÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ u 2 LRhki ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ An(u) = I , ÉÌÉ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. üÔÁ ÚÁÄÁÞÁ ÒÅÛÅÎÁ × ÓÌÕÞÁÅ ÁÒÔÉÎÏ×ÙÈ ËÏÌÅÃ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× × [21]. áÎÁÌÏÇÉÞÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R M . îÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ × ÜÔÏÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÓÍ. × x 5.5. úÄÅÓØ ÍÙ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ 5.3.9. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ I / Pk | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ, S = Pk =I , #s = xs + I 2 S ÄÌÑ s 2 1; k. ôÏÇÄÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R S ×ÉÄÁ (z) = z = #z11 : : : #zkk ÅÓÔØ k-ìòð, É An() = I .

2 ðÕÓÔØ H (x) 2 Pk É = H (x). ôÏÇÄÁ (z) = H ()z. ðÏÜÔÏÍÕ = 0 , H () = 0 , H (x) 2 I . 2 5.4

óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×ÁÍÉ É ÉÈ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÁÍÉ

A. óÌÕÞÁÊ 1-ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ. óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÚÕÞÁÀÔÓÑ × ÜÔÏÍ

ÐÁÒÁÇÒÁÆÅ, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÍÅÖÄÕ 1-ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×ÁÍÉ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ (ÓÍ., ÎÁÐÒÉÍÅÒ, [17, 21]).

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

154

5.4.1. ôÅÏÒÅÍÁ. äÌÑ ÌÀÂÙÈ ÕÎÉÔÁÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× F (x), G(x) 2 P = P [x] ×ÅÒÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á LP (F ) + LP (G) = LP ([F; G]); (5.4.1) LP (F ) \ LP (G) = LP ((F; G)): (5.4.2) ìÀÂÏÅ 1-ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï M ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ M = LP (F ) ÄÌÑ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x) 2 P , É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ P -ÍÏÄÕÌÅÍ: M = P eF . äÌÑ ÌÀÂÙÈ u, v 2 LP h1i ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ

v 2 Pu

, Mv (x) j Mu(x): (5.4.3) ìÀÂÏÊ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ (Ô.Å. ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ) ÉÄÅÁÌ I ËÏÌØÃÁ P ÅÓÔØ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ÎÁÄ P .

B. óÌÕÞÁÊ k-ìòð ÎÁÄ ÎÅÔÅÒÏ×ÙÍ ËÏÌØÃÏÍ. äÁÌÅÅ R | ÎÅÔÅÒÏ×Ï ËÏÌØÃÏ,

É R M | ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ. ðÕÓÔØ Ak = Ak (R) | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÕÎÉÔÁÒÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× ËÏÌØÃÁ Pk = R[x1 ; : : : ; xk ], É Mk = Mk (M ) | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ Pk -ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÊ ÍÏÄÕÌÑ M hki , ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÈ ÎÁÄ R. óÏÇÌÁÓÎÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 5.2.12, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ M 2 Mk ÅÓÔØ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ × LM hki , É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ An É LM ÚÁÄÁÀÔ ÐÁÒÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÊ çÁÌÕÁ An: Mk ! Ak ;

LM : Ak ! Mk :

(5.4.4)

üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ M 2 Mk , I 2 Ak ×ÅÒÎÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ

M LM (An(M));

I An(LM (I )):

(5.4.5)

éÎÏÇÄÁ ÜÔÉ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÓÔÒÏÇÉÅ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÕÓÔØ R = P [y1 ; y2 ]=J , ÇÄÅ P | ÐÏÌÅ, J = (y12; y22; y1 ; y2 ) (ÓÍ. [68]). ôÏÇÄÁ R = P [1 ; 2 ], s = ys + J , R ÅÓÔØ ÁÌÇÅÂÒÁ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ 3 ÎÁÄ P Ó ÂÁÚÉÓÏÍ e, 1 , 2 , É N(R) = P 1 + P 2 | ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÉÄÅÁÌ ËÏÌØÃÁ R, N(R)2 = 0. äÌÑ ÉÄÅÁÌÁ I = (x; 1 ) ËÏÌØÃÁ R[x] ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LR (I ) ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u = (u(0); 0; 0; : : :), ÇÄÅ u(0) 2 N(R). îÏ ÔÏÇÄÁ An(LR (I )) = (x; 1 ; 2 ) 6= I . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÓÔÒÏÉÔÓÑ ÐÒÉÍÅÒ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á M 2 M1 ÔÁËÏÇÏ, ÞÔÏ M 6= LM (An(M)). 5.4.2. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. äÌÑ ÌÀÂÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× I1 , I2 Mk ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ

2 Ak É ÍÏÄÕÌÅÊ M1, M2 2

An(M1 + M2 ) = An(M1 ) \ An(M2 );

(5.4.6)

LM (I1 + I2 ) = LM (I1 ) \ LM (I2 ); (5.4.7) An(M1 \ M2 ) An(M1 ) + An(M2 ); (5.4.8) LM (I1 \ I2 ) LM (I1 ) + LM (I2 ): (5.4.9) åÓÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ An É LM Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÂÉÅËÃÉÑÍÉ, ÔÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ (5.4.5), (5.4.8), (5.4.9) ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á.

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

155

÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ (5.4.8), (5.4.9) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÔÒÏÇÉÍÉ. ðÒÉÍÅÒÙ ÓÔÒÏÑÔÓÑ ÄÌÑ ÔÏÇÏ ÖÅ ËÏÌØÃÁ R = P [1 ; 2 ] ËÏÔÏÒÏÅ ××ÅÄÅÎÏ ×ÙÛÅ. ïÄÎÁËÏ, ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÙÄÅÌÉÔØ ×ÁÖÎÙÊ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ. 5.4.3. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ I1 , I2 | ËÏÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÅ ÉÄÅÁÌÙ ËÏÌØÃÁ Pk , ÔÏ LM (I1 \ I2 ) LM (I1 ) + LM (I2 ) (5.4.10) | ÐÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ LM (I1 \ I2 ) | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ÍÏÄÕÌØ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÔÁËÏ×Ù ÍÏÄÕÌÉ LM (Is ), s = 1; 2.

Pk -

C. ëÒÉÔÅÒÉÉ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÊ çÁÌÕÁ ÍÅÖÄÕ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×ÁÍÉ É ÕÎÉÔÁÒÎÙÍÉ ÉÄÅÁÌÁÍÉ. åÓÌÉ M = R | ÐÏÌÅ, É k = 1, ÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔ-

ÓÔ×ÉÑ (5.4.4) ÂÉÅËÔÉ×ÎÙ, É ×ËÌÀÞÅÎÉÑ (5.4.5), (5.4.8), (5.4.9) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÅÎ ×ÏÐÒÏÓ: ÄÌÑ ËÁËÉÈ ÍÏÄÕÌÅÊ R M ÜÔÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÏÓÔÁÀÔÓÑ ×ÅÒÎÙÍÉ, Ô.Å. ÄÌÑ ËÁËÉÈ ÍÏÄÕÌÅÊ ÔÅÏÒÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÁ ÔÅÏÒÉÉ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ? úÁÄÁÞÁ ÓÒÁÚÕ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÁÒÔÉÎÏ×ÙÍ ËÏÌØÃÁÍ É ÍÏÄÕÌÑÍ. 5.4.4. ìÅÍÍÁ. åÓÌÉ R M | ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ÎÅÔÅÒÏ×ÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ LM : A ! Mk ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏ, ÔÏ ËÏÌØÃÏ R ÁÒÔÉÎÏ×Ï.

2 R-ÍÏÄÕÌØ M = LM (x1 ; : : : ; xk ) ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ R M . åÓÌÉ × R ÅÓÔØ ÓÔÒÏÇÏ ÕÂÙ×ÁÀÝÁÑ ÃÅÐÏÞËÁ ÉÄÅÁÌÏ× R J1 J2 : : :, ÔÏ × M ÅÓÔØ ÓÔÒÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÁÑ ÃÅÐÏÞËÁ ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÊ 0 M1 M2 : : :, ÇÄÅ Ms = LM (x1 ; : : : ; xk ; Js). îÏ ÐÏÓÌÅÄÎÑÑ ÃÅÐÏÞËÁ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ. 2 äÌÑ ÌÀÂÙÈ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× J R, N M ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÙ AnM (J ) = f 2 M : J = 0g;

AnR (N ) = fr 2 R : rN = 0g:

5.4.5. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. óËÁÖÅÍ, ÞÔÏ R M | Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ× ÍÏÄÕÌØ (QFÍÏÄÕÌØ), ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× J R É ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÊ N R M ×ÅÒÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

AnR (AnM (J )) = J;

AnM (AnR (N )) = N:

ëÏÌØÃÏ R ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×ÙÍ, ÅÓÌÉ R R ÅÓÔØ QF-ÍÏÄÕÌØ. ðÒÉÍÅÒÁÍÉ QF-ËÏÌÅÃ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÐÏÌÑ, ËÏÌØÃÁ çÁÌÕÁ, ÁÒÔÉÎÏ×Ù (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ ËÏÎÅÞÎÙÅ) ËÏÌØÃÁ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×. üÔÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÏÇÌÁÓÕÀÔÓÑ Ó ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑÍÉ ÉÚ [34, 68]. éÚ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÜÔÉÈ ÒÁÂÏÔ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÁÒÔÉÎÏ×Á ËÏÌØÃÁ R ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ QF-ÍÏÄÕÌØ R Q. üÔÏÔ ÍÏÄÕÌØ Q Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙÍ ËÏÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍ × ËÁÔÅÇÏÒÉÉ R-ÍÏÄÕÌÅÊ, Á ÔÁËÖÅ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÔ

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

156

Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ íÏÒÉÔÙ × ÜÔÏÊ ËÁÔÅÇÏÒÉÉ. åÓÌÉ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ Ó ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÍ N(R), ÔÏ ÔÏÞÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ R M Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ× ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ ÌÀÂÏÅ ÉÚ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ: (a) AnM (N(R)) | ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ × R M ; (b) AnM (N(R)) | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ R-ÍÏÄÕÌØ; (c) AnM (N(R)) | ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÊ R M . 5.4.6. ôÅÏÒÅÍÁ. äÌÑ ËÏÎÅÞÎÏÐÏÒÏÖÄÅÎÎÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ R M ÎÁÄ ÁÒÔÉÎÏ×ÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ: (a) R M | Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ× ÍÏÄÕÌØ; (b) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÑ çÁÌÕÁ (5.4.4) ÂÉÅËÔÉ×ÎÙ; (c) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I ËÏÌØÃÁ Pk ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LM (I ) ÅÓÔØ QFÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× S = Pk =I , É ÌÀÂÏÊ ÍÏÄÕÌØ M 2 Mk ÅÓÔØ QFÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× S = Pk = An(M); (d) ×ËÌÀÞÅÎÉÑ (5.4.8) É (5.4.9) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ; (e) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ , 2 LM hki ×ÅÒÎÙ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ

2 Pk

,

An() An( ):

2 (a) ) (b) äÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÙÐÏÌÎÅÎÙ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 5.2.10 É ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ 5.2.11. ôÏÇÄÁ R-ÍÏÄÕÌØ M = LR (I ) ÐÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÓÅÍÅÊÓÔ×ÏÍ k-ìòð 1 ; : : : ; l ÔÁ-

ËÉÈ, ÞÔÏ 1 (); : : : ; l () | ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R-ÍÏÄÕÌÑ ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ (5.2.22) × ÍÏÄÕÌÅ M . ôÁË ËÁË M | Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ× ÍÏÄÕÌØ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ [24], ÞÔÏ R-ÍÏÄÕÌØ ÒÅÛÅÎÉÊ R Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ (5.3.11) ÐÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÓÔÒÏË (ÐÏÌÉÜÄÒÏ×) H1 ; : : : ; Hw ÍÁÔÒÉÃÙ ÓÉÓÔÅÍÙ (5.2.22). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 5.3.6, ÓÉÓÔÅÍÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× (5.3.8) ÐÏÒÏÖÄÁÅÔ ÉÄÅÁÌ An(M) = An(LM (I )), É ÐÏÔÏÍÕ An(LM (I )) = I . òÁ×ÅÎÓÔ×Ï LM (An(M)) = M ÄÌÑ M 2 Mk ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ. (b) ) (c) ðÕÓÔØ M = LM (I ). ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÄÍÏÄÕÌÑ K M ×ÅÒÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á: AnS (K) = J~ = J=I , ÇÄÅ J = An(K) I , É (b) AnM (AnS (K)) = AnM (J~) = LM (J ) = LM (An(K)) = K: òÁ×ÅÎÓÔ×Ï AnS (AnM (J~)) = J~ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ J~ ËÏÌØÃÁ S ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÚ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÈ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÊ. (c) ) (d) äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ × (5.4.9) ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÐÏÌÏÖÉÍ M = M1 + M2, I = An(M). ôÏÇÄÁ M ÅÓÔØ QF-ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ S = Pk =I . ôÁË ËÁË AnS (M1 \ M2 ) = An(M1 \ M2 )=I É AnS (Mt ) = An(Mt )=I ÄÌÑ t = 1; 2, ÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï AnS (M1 \ M2 ) = AnS (M1 ) + AnS (M2 ): ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á AnM (AnS (M1 ) + AnS (M2 )) = AnM (AnS (M1 )) \ AnM (AnS (M2 ))

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

157

É ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ QF-ÍÏÄÕÌÑ S M. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (5.4.8) ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍÉ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÍÉ. (d) ) (a) äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ÁÒÔÉÎÏ×Ï ËÏÌØÃÏ. ðÕÓÔØ R M ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ QF-ÍÏÄÕÌÅÍ. ôÏÇÄÁ AnM (N(R)) ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ R-ÍÏÄÕÌÅÍ, É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÜÌÅÍÅÎÔÙ 1 ; 2 2 M n 0 ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ N(R)1 = N(R)2 = 0, R1 \ R2 = 0. ðÕÓÔØ Ms, s = 1; 2, ÅÓÔØ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ×ÓÅÈ k-ìòð 2 LM hki ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ (0) 2 Rs É (i) = 0 ÄÌÑ ×ÓÅÈ i 6= 0. ôÏÇÄÁ M1 \ M2 = 0 É An(M1 \ M2 ) = Pk , ÎÏ An(M1 ) = An(M2 ) = (x1 ; : : : ; xk ; N(R)). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × (5.4.8) ÉÍÅÅÍ ÓÔÒÏÇÏÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ, É ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ (d) ÎÅ×ÅÒÎÏ. (a) ) (e) éÍÐÌÉËÁÃÉÑ 2 Pk ) An() An( ) ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. ðÕÓÔØ An() An( ). ôÏÇÄÁ LM (An()) LM (An( )), É ÔÁË ËÁË ×ÅÒÎÏ (b), ÔÏ LM (An()) = Pk , LM (An( )) = Pk . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 2 Pk . (e) ) (a) íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ. ðÕÓÔØ R M ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ QF-ÍÏÄÕÌÅÍ, É 1 , 2 | ÔÅ ÖÅ, ÞÔÏ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ (d) ) (a). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 1 , 2 2 LM hki ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ s (0) = s , (i) = 0 ÄÌÑ i 6= 0, s = 1; 2. ôÏÇÄÁ An(1 ) = An(2 ), ÎÏ Pk 1 6= Pk 2 ÔÁË ËÁË R1 6= R2 . üÔÏ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ (e). 2 ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Ó×ÏÊÓÔ×Á ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÐÏÌÎÏ ÏÂÏÂÝÁÀÔ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÍÏÄÕÌØ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×. óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÕÓÉÌÉ×ÁÅÔ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 5.3.9 É ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÉÎÔÅÒÅÓÎÕÀ Ó×ÑÚØ ÍÅÖÄÕ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍÉ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×ÁÍÉ É Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×ÙÍÉ ËÏÌØÃÁÍÉ. 5.4.7. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ R Q | Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ× ÍÏÄÕÌØ. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I ËÏÌØÃÁ Pk ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ: (a) I = An() ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ 2 LQhki ; (b) M = LQ (I ) | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ Pk -ÍÏÄÕÌØ; (c) S = Pk =I | Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Ï ËÏÌØÃÏ.

2 (a) ) (b) LQ(I ) = LQ(An()) = Pk . (b) ) (c) ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5.4.6(c) M ÅÓÔØ QF-ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ S , É ÔÁË ËÁË S M | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ (ÔÏÞÎÙÊ) ÍÏÄÕÌØ, ÔÏ S M = S S. (c) ) (a) íÏÄÕÌÉ S S É S M Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Ù. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, S S = SM É M | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ Pk -ÍÏÄÕÌØ. åÓÌÉ M = Pk , ÔÏ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5.4.6(c) I = An(). 2 5.4.8. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ðÕÓÔØ F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk ) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÉÚ Pk , É S = Pk =(F1 (x1 ); : : : ; Fk (xk )). ôÏÇÄÁ S ÅÓÔØ QF-ËÏÌØÃÏ ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ R ÅÓÔØ QF-ËÏÌØÃÏ.

2 S -ÍÏÄÕÌØ M = LM (F1(x1 ); : : : ; Fk (xk )) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ: M = Pk eF = SeF . åÓÌÉ R ÅÓÔØ QF-ËÏÌØÃÏ, ÔÏ, ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5.4.6(c), S M ÅÓÔØ QF-ÍÏÄÕÌØ É, ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5.4.7, S ÅÓÔØ QF-ËÏÌØÃÏ.

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

158

ðÕÓÔØ S | QF-ËÏÌØÃÏ, Á R ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ QF-ËÏÌØÃÏÍ. íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ. ôÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ a1 , a2 2 AnR (N(R)) ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ Ra1 \ Ra2 = 0 (ÓÍ. x 7.2). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÏÄÍÏÄÕÌÉ Mt = Pk at eF = Sat eF (t = 1; 2) S -ÍÏÄÕÌÑ M. ôÏÇÄÁ M1 6= M2, ÎÏ AnS (M1) = AnS (M2) = N(R)S . ôÁË ËÁË S M | QFÍÏÄÕÌØ (ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ QF-ËÏÌØÃÏÍ), ÔÏ M1 = AnM (AnS (M1 )) = M2 . ðÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ. 2 ÷ ÚÁËÌÀÞÅÎÉÅ ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï (c) ÔÅÏÒÅÍÙ 5.4.6 ÄÁÅÔ ÓÐÏÓÏÂ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ QF-ÍÏÄÕÌÑ ÎÁÄ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ÁÒÔÉÎÏ×ÙÍ ËÏÌØÃÏÍ S × ×ÉÄÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á k-ìòð ÎÁÄ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ËÏÌØÃÏÍ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ËÏÌØÃÏ S ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ S = R[1 ; : : : ; k ], ÇÄÅ R | ÐÏÄËÏÌØÃÏ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× × S . ôÏÇÄÁ S = Pk =I ÄÌÑ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I ËÏÌØÃÁ Pk = R[x1 ; : : : ; xk ]. ôÁË ËÁË R ÅÓÔØ QF-ËÏÌØÃÏ, ÔÏ, ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5.4.6(c), LR (I ) ÅÓÔØ ÉÓËÏÍÙÊ QF-ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ S . 5.5

ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ

A. ðÅÒÉÏÄ É ÄÅÆÅËÔ 1-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. éÚÌÁÇÁÅÍÙÅ ÎÉÖÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ

| ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×, ÏÔÎÏÓÑÝÉÈÓÑ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ Ë ÒÅËÕÒÒÅÎÔÁÍ ÎÁÄ ÐÏÌÑÍÉ É ËÏÌØÃÁÍÉ. íÏÄÕÌØ M É ËÏÌØÃÏ R ÄÁÌÅÅ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÀÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M h1i ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ, ÅÓÌÉ

xd (xt

e) = 0:

(5.5.1)

ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ d 2 N 0 É t 2 N . äÌÑ ÔÁËÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ D() 2 N 0 (ÄÅÆÅËÔ ) É T () 2 N (ÐÅÒÉÏÄ ) ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ d 2 N 0 , t 2 N ÕÓÌÏ×ÉÅ (5.5.1) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ

d D();

T () j t: 2

5.5.1. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÚ M h1i ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ LM h1i ×ÓÅÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ (ËÏÎÅÞÎÙÍ) ÍÏÄÕÌÅÍ R M . âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÌÉ ìòð 2 M h1i ÉÍÅÅÔ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) 2 R[x] ÓÔÅÐÅÎÉ m, ÔÏ

D() + T () jM jm :

2 ÷ÓÑËÁÑ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M h1i ÅÓÔØ ìòð, ÔÁË ËÁË xD() (xT () e) 2 An(). îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ 2 M h1i | ìòð Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ F (x) 2 R[x] ÓÔÅÐÅÎÉ m, É n = jM jm , ÔÏ × ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ , x, ..., xn ÅÓÔØ ÐÏ×ÔÏÒÅÎÉÑ, É ÅÓÌÉ xd = xl , 0 d < l n, ÔÏ (xl xd ) = 0, Ô.Å. D() d, T () l d. 2

çìá÷á 5.

159

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

5.5.2. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ ; 2 LM h1i É = + . ôÏÇÄÁ

D() maxfD(); D( )g; T () j [T (); T ( )]: ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÌÉ D() 6= D( ), ÔÏ

D() = maxfD(); D( )g;

(5.5.2)

ÅÓÌÉ (T (); T ( )) = 1, ÔÏ

T () = [T (); T ( )]; (5.5.3) ÅÓÌÉ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÙ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ É ËÏÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙ, ÔÏ ×ÅÒÎÙ ÒÁ×ÅÎ-

2 îÁÚÏ×ÅÍ ìòð 2 LM h1i ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÏÊ (ÞÉÓÔÏ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ), ÅÓÌÉ D() = 0, É ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÅÊÓÑ, ÅÓÌÉ (i) = 0 ÄÌÑ ×ÓÅÈ i D(). íÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÓÅÈ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÈ ÓÔ×Á (5.5.2), (5.5.3).

É ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÉÈÓÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÁÄ M ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÅÒÅÚ RM h1i É DM h1i . P1 -ÍÏÄÕÌØ LM h1i ÅÓÔØ ÐÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÊ: LM h1i = DM h1i +_ RM h1i :

äÌÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 LM h1i × ÓÕÍÍÕ = (d) + (r) , ÇÄÅ (d) 2 DM h1i , (r) 2 RM h1i , ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ k 2 N ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ kT () = l D(). ôÏÇÄÁ (r) = xl . B. ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ðÕÓÔØ l

îÁÚÏ×ÅÍ 1-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ

[l;d](z ) = (l + dz )

2 N k0 ,

d

2 N k0 n 0. (5.5.4)

ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ (l; d)-×ÙÂÏÒËÏÊ (×ÙÂÏÒËÏÊ ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÀ d) ÉÚ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ . óËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (l; d)-ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÁ (ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÁ ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÀ d), ÅÓÌÉ [l;d] | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ l 2 N k0 ). âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ (ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁÑ ) ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÅÓÌÉ ÌÀÂÁÑ ÒÅÇÕÌÑÒÎÁÑ ×ÙÂÏÒËÁ ÉÚ ÅÓÔØ ÐÅÒÉÏÄÉ-

ÞÅÓËÁÑ (ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁÑ) ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï O() ×ÓÅÈ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ 2 M hki ×ÉÄÁ = xi , i 2 N k0 , ÎÁÚÏ×ÅÍ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÅÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ .

5.5.3. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. äÌÑ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M hki ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ: (a) | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ; (b) ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÁ ÐÏ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÊ e1 , ..., ek ; (c) ÉÄÅÁÌ An() ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÉÓÔÅÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× xl11 (xt11 e), ..., xlkk (xtkk e) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ls 2 N 0 , ts 2 N , s 2 1; k; (d) ÅÓÔØ k-ìòð; (e) ÔÒÁÅËÔÏÒÉÑ O() k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ËÏÎÅÞÎÁ.

çìá÷á 5.

160

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

2 éÍÐÌÉËÁÃÉÉ (a) ) (b) ) (c) ) (d) ÏÞÅ×ÉÄÎÙ. (d) ) (e). ðÕÓÔØ ÅÓÔØ k-ìòð, É F1 (x1 ), ..., Fk (xk ) | ÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÈÁÒÁË-

ÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÓÔÅÐÅÎÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÙ m1 , ..., mk ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ôÏÇÄÁ ËÁÖÄÁÑ ìòð xi ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÓÅÍÅÊÓÔ×Õ LM (F) = LM (F1 ; :::; FK ) É ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÏÊ Ó×ÏÉÈ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÐÁÒÁÌÌÅÌÅÐÉÐÅÄÅ = (m1 ; :::; mk ) ÏÂßÅÍÁ m = m1 :::mk . ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ jO()j jM jm . (e) ) (a). ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ (e) ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÒÅÇÕÌÑÒÎÁÑ (l; d)×ÙÂÏÒËÁ (5.5.4) ÉÚ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÁ. ðÕÓÔØ jO()j = n. ôÏÇÄÁ ÓÒÅÄÉ n + 1 k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ xl; xl+d ; :::; xl+dn 2 O() ÅÓÔØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ: xl+d = xl+d(+t) ;

2 N 0 ; t 2 N ; + t n:

õÍÎÏÖÁÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÎÁ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÍÏÎÏÍ xds , s ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ z ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï xl+dz = xl+d(z+t) ;

2 N0,

É, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ,

[l;d](z ) = (l + dz ) = (l + d(z + t)) = [l;d](z + t): üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ

x (xt

e)[l;d] = 0: 2

5.5.4. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M hki ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ: (a) | ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ; (b) ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁ ÐÏ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÊ e1 , ..., ek ; (c) ÉÄÅÁÌ An() ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÉÓÔÅÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× xt11 e, ..., xtkk e ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ t1 ; :::; tk 2 N ; (d) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ d 2 N k0 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ t 2 N ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ xdt = ;

O() ËÏÎÅÞÎÁ, É 8i 2 N k0 8j 2 N k0 xj(xi) = ; (f) ËÏÌØÃÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× S = Pk = An() k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ #s = xs + An(), s 2 1; k, ÏÂÒÁÔÉÍÙ × S ;

(5.5.5)

(e) ÔÒÁÅËÔÏÒÉÑ

(5.5.6) ËÏÎÅÞÎÏ, É

(g) ÉÄÅÁÌ An() ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ F1 (x1 ), ..., Fk (xk ) ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ Fs (0) 2 R , s 2 1; k.

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

161

2 éÍÐÌÉËÁÃÉÉ (a) ) (b) ) (c) ÏÞÅ×ÉÄÎÙ. (c) ) (d). éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ (c) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ c1 ; :::; ck 2 N 0 ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ

ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

x(t1 c1 ;:::;tk ck ) = :

(5.5.7) äÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ d 2 N k0 ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ c1 ; :::; ck 2 N 0 , t 2 N ÔÁË, ÞÔÏ (t1 c1 ; :::; tk ck ) = dt (ÎÁÐÒÉÍÅÒ, t = [t1 ; :::; tk ], cs = dst=ts ). ôÏÇÄÁ, ××ÉÄÕ (5.5.7), ×ÅÒÎÏ (5.5.5). (d) ) (e). ÷ÙÂÅÒÅÍ t1 ; :::; tk 2 N 0 ÔÁË, ÞÔÏ xes ts = , Ô.Å. xtss = , s 2 1; k. ôÏÇÄÁ 2 LM (xt1 e; :::; xtkk e) É jO()j jM jt :::tk . ðÕÓÔØ i 2 N k0 . ôÏÇÄÁ, ××ÉÄÕ (5.5.5), xit = ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ t 2 N , É (5.5.6) ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ j = i(t 1). (e) ) (f). ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ËÏÌØÃÁ S ÄÌÑ ×ÓÅÈ i 2 N k0 ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á i = xi , É ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ A(x) 2 Pk ×ÅÒÎÙ ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ A() = 0 , A() = 0 ðÏÜÔÏÍÕ ÉÚ (e) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ i 2 S ÏÂÒÁÔÉÍ × S , Ô.Å. #1 , ..., #k 2 S , É, ÂÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, #1 , ..., #k | ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÐÏÒÑÄËÏ×, ÔÁË ËÁË jO()j < 1. åÓÌÉ ord #s = ts , s 2 1; k, ÔÏ jS j jRjt :::tk . (f) ) (g). íÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ Fx (xs ) = xtss e, ÇÄÅ ts = ord #s , s 2 1; k. (g) ) (f). ëÏÎÅÞÎÏÓÔØ ËÏÌØÃÁ S ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. ôÁË ËÁË Fs (#s ) = 0, s 2 1; k, É Fs (xs ) = xs Gs (xs ) + Fs (0), ÔÏ #s Gs (#s ) = Fs (0) 2 S , É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, #s 2 S . (f) ) (a). äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ [l; d]-×ÙÂÏÒËÉ [l;d] ÉÚ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï [l;d](z ) = (l+dz )(0): ðÕÓÔØ ord d = t. ôÏÇÄÁ [l;d](z + t) = [l;d](z ), Ô.Å. [l;d](z ) | ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. 2 äÌÑ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï T () ×ÓÅÈ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÅÅ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ O() ÎÁÚÏ×ÅÍ ÃÉËÌÏÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ , Á ÅÇÏ ÍÏÝÎÏÓÔØ T () = jT ()j ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÅÒÉÏÄÏÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ . íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÄÅÆÅËÔÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ O() ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ D(), É ÅÇÏ ÍÏÝÎÏÓÔØ D() = jD()j ÎÁÚÏ×ÅÍ ÄÅÆÅËÔÏÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ . îÁÚÏ×ÅÍ ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÅÊÓÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ, ÅÓÌÉ ÅÅ ÃÉËÌ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, Ô.Å. T () = f0g. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, D() + T () = jO()j, É ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ D() = 0, Ô.Å. T () = O(). ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ×ÙÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ xi 2 An() ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ i 2 N k0 . ïÄÎÁËÏ, ËÏÎÓÔÁÎÔÙ D() É T () ÎÅ ÐÏÌÎÏÓÔØÀ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÔ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 LM hki × ÓÌÕÞÁÅ k > 1. îÅÎÕÌÅ×ÏÊ ×ÅËÔÏÒ t 2 N k0 ÎÁÚÏ×ÅÍ ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄÏÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M hki , ÅÓÌÉ xl (xt e) = 0 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ l 2 N k0 . ðÏÄÇÒÕÐÐÕ P() ÇÒÕÐÐÙ (Zk ; +), ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÕÀ ×ÓÅÍÉ ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄÁÍÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ , ÎÁÚÏ×ÅÍ ÅÅ ÇÒÕÐÐÏÊ ÐÅÒÉÏÄÏ×. åÓÌÉ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄÏ×, ÔÏ ÐÏÌÏÖÉÍ P() = 0. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÅÓÌÉ 2 LM h1i , ÔÏ P() = Z T (). ïÐÉÛÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÐÏÄÇÒÕÐÐÙ P() < (Zk; +). 1

1

1

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

162

5.5.5. ìÅÍÍÁ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ 2 M hki ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï P+ () ×ÓÅÈ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÎÅÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÉÚ P() ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄÏ× ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, P() = hP+ ()i.

2 ðÕÓÔØ t 2 P+ (). ôÏÇÄÁ ÐÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ t = t1 a1 + ::: + tr ar

tr+1ar+1

::: tr+sar+s 0;

ÇÄÅ t1 ; :::; tr+s | ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄÙ É a1 ; :::; ar+s 2 N . ÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ l 2 N k0 ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ xti (xl ) = xl ÄÌÑ i 2 1; r + s; P P É ÄÌÑ a = ri=1 ti ai , b = sj=1 tr+j ar+j ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ: a

ïÔÓÀÄÁ ÉÍÅÅÍ

b = t 0;

xa(xl ) = xl = xb (xl ):

xa b (xb+l ) = xb+l :

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, t = a b | ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄ . 2 úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ, ××ÉÄÕ 5.5.3(a,b), ÇÒÕÐÐÅ ÐÅÒÉÏÄÏ× P() ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ×ÉÄÁ t1 e1 , ..., tk ek , ÇÄÅ t1 ; :::; tk 2 N . ðÏÜÔÏÍÕ P() | ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ ÒÁÎÇÁ k ÇÒÕÐÐÙ (Zk; +). ïÄÎÁËÏ, ÅÓÌÉ 2 M hki É P() | ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ ÒÁÎÇÁ k ÇÒÕÐÐÙ (Zk; +), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÕÓÌÏ×ÉÀ P() = hP+ ()i, ÔÏ | ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M h2i ×ÉÄÁ

0 0 0 0 0 0 ::: 0 0 0 ::: 0 0 0 ::: ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÏÊ, ÏÄÎÁËÏ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ P() = Z2. ôÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï 5.5.6. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÐÏÄÇÒÕÐÐÙ G < Zk ÒÁÎÇÁ k ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ G = hG +i, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁÑ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M hki ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ P() = G .

2 ÷ÙÂÅÒÅÍ 2 M n 0, É ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ: ÄÌÑ i 2 N k0 + (i) = ; ÅÓÌÉ i 2 G [ f0g;

0; × ÐÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ. ôÏÇÄÁ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ×ÓÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÉÚ G + Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄÁÍÉ . îÁÏÂÏÒÏÔ, ÐÕÓÔØ t | ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄ . ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ l 2 N k0 xt (xl ) = xl:

çìá÷á 5.

163

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

ôÁË ËÁË rank G = k, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÅËÔÏÒ a 2 G + ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ a l. ôÏÇÄÁ xt (xa ) = xa;

É ÔÁË ËÁË xa = , ÔÏ xt = . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, (t) = (0) = É t 2 G + . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, P() = G . ôÁË ËÁË P() | ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ ÒÁÎÇÁ k × Zk, ÔÏ ÄÌÑ ÐÏÄÈÏÄÑÝÉÈ t1 ; :::; tk 2 N ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ t1 e1 ; :::; tk ek 2 P+ () = G + . ôÅÐÅÒØ ÉÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ xt1 e, ..., xtkk e 2 An(), É, ××ÉÄÕ 5.5.4, | ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. 1

2

îÉÖÅ (ÓÍ. ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 5.6.22, 5.6.23) ÂÕÄÅÔ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ìòð 2 LM hki ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

T () = [Zk : P()];

(5.5.8)

| ÉÎÄÅËÓ ÐÏÄÇÒÕÐÐÙ P() × ÇÒÕÐÐÅ Zk. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ RM hki É DM hki Pk -ÍÏÄÕÌÉ ×ÓÅÈ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÈ É ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÉÈÓÑ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. 5.5.7. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

LM hki = RM hki +_ DM hki : (5.5.9) 2 äÌÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 LM hki × ÓÕÍÍÕ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÏÊ (r) É ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÅÊÓÑ (d) ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄ t 2 P() ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ xt | ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. ôÏÇÄÁ (r) = xt. 2 ðÒÉ ÏÐÉÓÁÎÉÉ ÃÉËÌÏ× ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÈ ìòð ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÌÅÚÎÙÍ

5.5.8. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ 2 RM hki É ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ: (a) M = M1 +_ M2 | ÐÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ R-ÍÏÄÕÌÅÊ, É = 1 + 2 , ÇÄÅ s 2 RMshki , s = 1; 2; (b) An() = I1 I2 , ÇÄÅ I1 + I2 = Pk , É = 1 + 2 , s 2 LM (Is ), s = 1; 2. ôÏÇÄÁ P() = P(1 ) \ P(2 ). ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ k = 1, ÔÏ T () = [T (1); T (2 )].

2 ÷ ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÕÓÌÏ×ÉÅ xt = ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ xts = s ÄÌÑ s = 1; 2. 2 5.6

ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÉÄÅÁÌÙ É ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ

úÁÄÁÞÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÅÒÉÏÄÁ É ÄÅÆÅËÔÁ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÛÅÎÁ ËÁË ÚÁÄÁÞÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÈ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× ÉÄÅÁÌÁ An(). A. ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÉÄÅÁÌÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ ÏÄÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ

çìá÷á 5.

164

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

5.6.1. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. éÄÅÁÌ I ËÏÌØÃÁ P = P1 (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) 2 P ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÍ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÞÉÓÌÁ d 2 N 0 , t 2 N

ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ

xd (xt e) 2 I (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ F (x) j xd (xt e)): (5.6.1) îÁÉÍÅÎØÛÉÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ d É t ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ (5.6.1), × ÓÌÕÞÁÅ ÉÈ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÄÅÆÅËÔÏÍ É ÐÅÒÉÏÄÏÍ ÉÄÅÁÌÁ I (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x)) É ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ D(I ) É T (I ) (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ D(F ) É T (F )). 5.6.2. ìÅÍÍÁ. åÓÌÉ I | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ, ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ d 2 N 0 , t ÕÓÌÏ×ÉÅ (5.6.1) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ: d D(I ), T (I ) j t.

2N

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÌÀÂÏÊ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÎÉÔÁÒÎÙÍ, ÎÏ ÏÂÒÁÔÎÏÅ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ×ÅÒÎÏ. 5.6.3. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M h1i ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ An() | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ, É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ

D() = D(An());

T () = T (An()):

5.6.4. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ I | ÉÄÅÁÌ × P , S = P =I , É # = x + I 2 S . ôÏÇÄÁ I | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ u = (e; #; : : : ; #i ; : : :) ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ S ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÁ. åÓÌÉ u | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÔÏ

D(I ) = D(u);

T (I ) = T (u):

5.6.5. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. õÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) 2 P Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÁ eF 2 LR (F ) ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÁ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ

D(F ) = D(eF );

T (F ) = T (eF ):

5.6.6. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ R | ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÌØÃÏ. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÉÄÅÁÌÁ I ËÏÌØÃÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ: (a) S = P =I | ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÌØÃÏ; (b) I | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ; (c) I | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ. ðÒÉ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÉ ÜÔÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ×ÅÒÎÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ É ÅÓÌÉ jS j > 2, ÔÏ åÓÌÉ jS j > 2, ÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

P

D(I ) + T (I ) jS j;

(5.6.2)

D(I ) + T (I ) jS j 1:

(5.6.3)

D(I ) + T (I ) = jS j 1

(5.6.4)

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

165

×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÌÉÂÏ S = GF (2)[x]=(x2 ) É D(I ) + T (I ) = 3, ÌÉÂÏ S | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÐÏÌÅ, É ÉÄÅÁÌ I ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ I = (F (x); J ), ÇÄÅ J | ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÉÄÅÁÌ ËÏÌØÃÁ R (Ô.Å. R = R=J = GF (q )) É F (x) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ m ÎÁÄ R ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ÅÇÏ ÏÂÒÁÚ F (x) ÐÒÉ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÍ ÜÐÉÍÏÒÆÉÚÍÅ R[x] ! R [x] ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ T (F ) = q m 1. ÷ ÐÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÌÕÞÁÅ D(I ) = 0, T (I ) = q m 1.

2 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÕÓÌÏ×ÉÊ (a){(c) ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏ. ðÕÓÔØ D(I ) + T (I ) = N . ôÏÇÄÁ, × ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 5.6.4, N | ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u, É ÜÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÕÔØ e; #; : : : ; #N 1 . ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ (5.6.2). åÓÌÉ N jS j 1, ÔÏ N = jS j É S = fe; #; : : : ; #N 1 g, ÞÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÌÉÛØ ÐÒÉ N = 2, # = 0 É S = GF (2). ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ (5.6.3). ðÕÓÔØ ×ÅÒÎÏ (5.6.4), Ô.Å. N = jS j 1. åÓÌÉ # 62 S , ÔÏ N j#S j + 1 (jS j=2) + 1, É ÔÁË ËÁË N = jS j 1, ÔÏ jS j = 4, N = 3 É S = GF (2)[x]=(x2 ). åÓÌÉ # 2 S , ÔÏ S = fe; #; : : : ; #N 1 g É S | ÐÏÌÅ. ðÕÓÔØ ': P ! S = P =I | ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÜÐÉÍÏÒÆÉÚÍ. ôÏÇÄÁ '(R) = GF (q ) | ÐÏÄÐÏÌÅ × S É '(R) = R = R=J , ÇÄÅ J = I \ R | ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÉÄÅÁÌ × R. ðÕÓÔØ : R[x] ! R [x] | ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÜÐÉÍÏÒÆÉÚÍ, ÉÎÄÕÃÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÍ ÜÐÉÍÏÒÆÉÚÍÏÍ R ! R , É ÐÕÓÔØ I = (I ). ôÏÇÄÁ S = R [x]=I, É I | ÉÄÅÁÌ, ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÉÚ R[x]. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × I ÅÓÔØ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ I = (F (x)) É I = (F (x); J ). ðÕÓÔØ deg F (x) = m. ôÏÇÄÁ jS j = jR jm = q m , É ËÏÒÅÎØ # 2 S ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x) ÅÓÔØ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÐÏÌÑ S , Ô.Å. T (F ) = q m 1. 2 5.6.7. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ëÁÖÄÙÊ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÎ. åÓÌÉ deg F (x) = m, jRjm 2, ÔÏ D(F ) + T (F ) jRjm 1. 5.6.8. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. äÌÑ ÕÎÉÔÁÒÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× I1 , I2 ËÏÌØÃÁ P , ÉÄÅÁÌ I = I1 \ I2 ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÎ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÎ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÉÄÅÁÌÏ× I1 , I2 . ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ D(I ) = maxfD(I1 ); D(I2 )g, T (I ) = [T (I1 ); T (I2 )].

÷ ÜÔÏÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÉ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÉÄÅÁÌÏ× ÎÅÌØÚÑ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÉÄÅÁÌ I1 = (x 1) Z[x] ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÎ, ÎÏ I12 = ((x 1)2 ) | ÎÅ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÎ. 5.6.9. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. åÓÌÉ ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ F1 (x), F2 (x) 2 R[x] ×ÚÁÉÍÎÏ ÐÒÏÓÔÙ, ÔÏ F (x) = F1 (x)F2 (x) | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ F1 (x), F2 (x) | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ D(F ) = maxfD(F1 ); D(F2 )g, T (F ) = [T (F1 ); T (F2 )].

2 (F ) = (F1 ) (F2) = (F1) \ (F2). 2 5.6.10. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. îÁÚÏ×ÅÍ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ I (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x)) ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÍ, ÅÓÌÉ D(I ) = 0 (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ D(F ) = 0), É ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÉÍÓÑ, ÅÓÌÉ xD(I ) 2 I (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ F (x) j

xD(F ) ).

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

166

5.6.11. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ìÀÂÏÊ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ I / P ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ I = I (r) \ I (d) ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I (r) É ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÅÇÏÓÑ ÉÄÅÁÌÁ I (d) .

2 åÓÌÉ T (I ) = t, D(I ) = l, ÔÏ I (r) = I + (xt e)P , I (d) = I + xl P . 2

5.6.12. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

F (x) ÎÅÌØÚÑ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÏÇÏ É ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÅÇÏÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÔÁËÏÇÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÎÅÔ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x) = x2 4x 3 ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ Z6. ôÁËÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÄ ÌÏËÁÌØÎÙÍ ÁÒÔÉÎÏ×ÙÍ ËÏÌØÃÏÍ (ÓÍ. [53, x 16]). 5.6.13. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. õÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÅÎ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÅÇÏ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÞÌÅÎ ÏÂÒÁÔÉÍ × R. ôÅÐÅÒØ ÍÏÖÎÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÕÔÏÞÎÉÔØ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 5.5.5. 5.6.14. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ I | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ, ÔÏ LM (I ) = LM (I (r) ) +_ LM (I (d) ); ÇÄÅ LM (I (d) ) = LM (I ) \ DM h1i | ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÉÈÓÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÉÚ LM (I ) É LM (I (r) ) = LM (I ) \ RM h1i | ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÉÚ LM (I ). ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÅÒÉÏÄÁ É ÄÅÆÅËÔÁ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I / P ÐÏ ÅÇÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ | ×ÅÓØÍÁ ÓÌÏÖÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ. åÓÌÉ ÉÍÅÅÔÓÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R (ÓÍ. [6]), ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÏÂÝÉÊ ÓÐÏÓÏÂ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ× D(I ) É T (I ). ðÕÓÔØ I = (F (x); G1 (x); : : : ; Gn(x)), ÇÄÅ F (x) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ. 5.6.15. ìÅÍÍÁ. íÎÏÇÏÞÌÅÎ H (x) 2 P ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÉÄÅÁÌÕ I ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÒÁÚÒÅÛÉÍÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

(G1 (S (F )); : : : ; Gn(S (F )))z = H (S (F ))#1; ÇÄÅ S (F ) | ÓÏÐÒÏ×ÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x) É H (S (F ))#1 | ÐÅÒ×ÙÊ ÓÔÏÌÂÅÃ ÍÁÔÒÉÃÙ H (S (F )). 2 åÓÌÉ z = (z0(1) ; : : : ; zm(1) 1 ; z0(2) ; : : : ; zm(n) 1) | ÒÅÛÅÎÉÅ ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ, ÔÏ H (x) = Z1 (x)G1 (x) + : : : + Zn (x)Gn (x) + Z (x)F (x), ÇÄÅ Z (x) 2 P , Zs (x) = z0(s) + z1(s) x + : : : + zm(s) 1 xm 1 . 2 ôÅÐÅÒØ, ÅÓÌÉ jP =I j = N , ÔÏ T (I ) ÅÓÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ t 2 N ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ Res(xt e=F ) Res(xN =F ) 2 I; É D(I ) | ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ l 2 N 0 ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ Res(xl =F ) Res(xT (I ) e=F ) 2 I: B. ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÉÄÅÁÌÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ k ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

167

5.6.16. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. éÄÅÁÌ I / Pk ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÍ (ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÍ ),

ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÞÉÓÌÁ l1 ; : : : ; lk 2 N 0 , t1 ; : : : ; tk 2 N ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ

e) 2 I ÄÌÑ s 2 1; k

xlss (xtss

(5.6.5)

(ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ

(xtss e) 2 I ÄÌÑ s 2 1; k): (5.6.6) ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ ÎÁÚÏ×ÅÍ ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÉÍÓÑ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ l 2 N k0 n 0 ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÅ xl 2 I: (5.6.7) ðÕÓÔØ S = Pk =I = R[#1 ; : : : ; #k ], ÇÄÅ #s = xs + I 2 S , ÅÓÔØ ËÏÌØÃÏ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× ÉÄÅÁÌÁ I (ÓÍ. 5.1.18). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ O(I ) ÐÏÄÐÏÌÕÇÒÕÐÐÕ [e; #1 ; : : : ; #k i ÐÏÌÕÇÒÕÐÐÙ (S; ), ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÕÀ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ e; #1 ; : : : ; #k , É ÎÁÚÏ×ÅÍ ÅÅ ÏÒÂÉÔÁÌØÎÏÊ ÐÏÌÕÇÒÕÐÐÏÊ ÉÄÅÁÌÁ I . 5.6.17. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ I | ÉÄÅÁÌ ËÏÌØÃÁ Pk . ôÏÇÄÁ (a) (I | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ) , (jO(I )j < 1); (b) (I | ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÊ ÉÄÅÁÌ) , (jO(I )j < 1, O(I ) < S ); (c) (I | ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÉÊÓÑ ÉÄÅÁÌ) , (jO(I )j < 1, 0 2 O(I )).

2 õÓÌÏ×ÉÑ (5.6.5){(5.6.7) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÕÓÌÏ×ÉÑÍ [e; #s i = fe; #s ; : : : ; #ls +t 1 g; s 2 1; k; #ts = e; s 2 1; k; l = #l1 : : : #lk = 0: 2 s

s

s

1

k

îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ æÒÏÂÅÎÉÕÓÁ [17] ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÐÏÌÕÇÒÕÐÐÙ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ ÅÓÔØ ÉÄÅÍÐÏÔÅÎÔ. äÌÑ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I , ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ "s = "s (I ), s 2 1; k, ÉÄÅÍÐÏÔÅÎÔ ÐÏÌÕÇÒÕÐÐÙ [#s i, Á ÞÅÒÅÚ " = "(I ) | ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÉÄÅÍÐÏÔÅÎÔÏ× ÐÏÌÕÇÒÕÐÐÙ O(I ). 5.6.18. ìÅÍÍÁ. åÓÌÉ I | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ ËÏÌØÃÁ Pk , ÔÏ " = "1 : : : "k , É "O(I ) = T (I ) | ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ ÐÏÌÕÇÒÕÐÐÙ O(I ) Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ ".

2 ðÕÓÔØ " = #a1 : : : #ak É #bs = "s, s 2 1; k. ôÏÇÄÁ " = "b :::b = "1 : : : "k . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ " | ÅÄÉÎÉÃÁ ÐÏÌÕÇÒÕÐÐÙ T (I ), É ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ T (I ) × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ ÒÁ×ÅÎ ". 2 1

k

s

1

k

5.6.19. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. çÒÕÐÐÕ T (I ) ÎÁÚÏ×ÅÍ ÃÉËÌÏ×ÏÊ ÇÒÕÐÐÏÊ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I , Á ÅÅ ÐÏÒÑÄÏË T (I ) = jT (I )j | ÐÅÒÉÏÄÏÍ ÉÄÅÁÌÁ I . ðÁÒÁÍÅÔÒ D(I ) = jO(I )j jT (I )j ÎÁÚÏ×ÅÍ ÄÅÆÅËÔÏÍ ÉÄÅÁÌÁ I . ÷ ÓÌÕÞÁÅ D(I ) > 0 ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ I | ÄÅÆÅËÔÎÙÊ ÉÄÅÁÌ.

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

168

5.6.20. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ I Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ T (I ) = O(I ) (Ô.Å. D(I ) = 0), É ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÉÍÓÑ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ T (I ) = 0. 2 5.6.21. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ÷ÅËÔÏÒ t 2 N k0 n 0 ÎÁÚÏ×ÅÍ ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄÏÍ ÉÄÅÁÌÁ I , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ l 2 N k0 n 0 ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ l+t = l (Ô.Å. xl (xt e) 2 I ). ðÏÄÇÒÕÐÐÕ

P(I ) ÇÒÕÐÐÙ (Zk; +), ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÕÀ ×ÓÅÍÉ ×ÅËÔÏÒ-ÐÅÒÉÏÄÁÍÉ ÉÄÅÁÌÁ I , ÎÁÚÏ×ÅÍ ÅÇÏ ÇÒÕÐÐÏÊ ÐÅÒÉÏÄÏ×.

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ I | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ, ÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ "#s ÇÒÕÐÐÙ T (I ) ÉÍÅÅÔ ËÏÎÅÞÎÙÊ ÐÏÒÑÄÏË, É ÐÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ t 2 Zk ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ "t = ("#1 )t : : : ("#k )tk : 1

5.6.22. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ I / Pk | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ, ÔÏ P(I ) | ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ ÒÁÎÇÁ k ÇÒÕÐÐÙ (Zk; +), É ×ÅÒÎÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:

P(I ) = ft 2 Zk : "t = "g;

T (I ) = Zk=P(I );

T (I ) = [Zk : P(I )]:

(5.6.8) (5.6.9)

2 úÁÄÁÄÉÍ ÜÐÉÍÏÒÆÉÚÍ ÇÒÕÐÐ ': Zk ! T (I ), ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ '(r) = "r. åÓÌÉ t 2 P(I ), ÔÏ "l = "l+t ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ l 2 N k0 n 0. ôÁË ËÁË " = #a1 : : : #ak ÄÌÑ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ a 2 N , ÔÏ " = "al = "al+t = "t, Ô.Å. t 2 Ker '. åÓÌÉ t 2 Ker ', ÔÏ "t = ", É ÔÁË ËÁË " = #a1 : : : #ak , ÔÏ t 2 P(I ). 2

îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LM (I ) ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË S -ÍÏÄÕÌØ, ÐÏÌÁÇÁÑ F () = F (x) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ F (x) 2 Pk , 2 LM (I ). 5.6.23. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ 2 M hki | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ (ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁÑ) ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÔÏ I = An() | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ (ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÊ) ÉÄÅÁÌ. åÓÌÉ I | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÊ ÉÄÅÁÌ ËÏÌØÃÁ Pk , ÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 LM (I ) ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÁ, ÐÒÉÞÅÍ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ = ". åÓÌÉ 2 LM (I ), ÔÏ O() = O(I ); (5.6.10)

T () = T (I );

(5.6.11)

P(I ) < P();

D() D(I ); åÓÌÉ, Ë ÔÏÍÕ ÖÅ, I = An(), ÔÏ

P() = P(I );

T () j T (I ):

D() = D(I );

T () = T (I ):

(5.6.12) (5.6.13) (5.6.14)

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

169

2 ðÅÒ×ÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÊ 5.5.3, 5.5.4 É ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ 5.6.16. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (5.6.10) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÉ O() ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ

, ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ 5.6.16 É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á xi = i . ìÀÂÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ = Æ, ÇÄÅ Æ 2 T (I ), ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁ, ÔÁË ËÁË ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ i 2 N k0 ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ×ËÌÀÞÅÎÉÅ i Æ 2 T (I ), É ÐÏÔÏÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ j 2 N k0 ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ j (i Æ ) = Æ . üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ xj (xi ) = , É ÐÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 5.5.3(e) 2 T (), Ô.Å. T (I ) T (). îÁÏÂÏÒÏÔ, ÐÕÓÔØ 2 T (). ôÏÇÄÁ = t ÄÌÑ ×ÓÅÈ t 2 P(), É ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ t 2 P() ÔÁË, ÞÔÏ t = ". óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, = " É 2 T (I ), ÐÏÓËÏÌØËÕ = l ÄÌÑ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ l 2 N k0 . üÔÉÍ ÄÏËÁÚÁÎÏ (5.6.11). åÓÌÉ t 2 P(I ), ÔÏ "t = ", "t = ", É ÔÁË ËÁË " = l , ÔÏ t 2 P(), Ô.Å. ×ÅÒÎÏ (5.6.12). åÓÌÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ xl ÎÅ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁ, Ô.Å. xl 2 O() n T (), ÔÏ "l 6= ". óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, l 62 T (I ), É D() D(I ). úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ K() = fÆ 2 T (I ) : Æ = g | ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ × T (I ), É, ××ÉÄÕ (5.6.11), jT ()j = jT (I )=K()j. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, T (I ) = T ()jK()j, É ×ÅÒÎÏ (5.6.13). ðÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ I = An() ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ i, j 2 N k0 ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï xi = xj ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ i = j , ÐÏÜÔÏÍÕ ×ÅÒÎÏ (5.6.14). 2 ðÕÓÔØ R | ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÌØÃÏ, É I | ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÊ ÉÄÅÁÌ ÉÚ Pk Ó ËÏÌØÃÏÍ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× S . ôÏÇÄÁ S | ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÌØÃÏ, É, ÓÏÇÌÁÓÎÏ 5.6.17(b),

T (I ) = h#1; : : : ; #k i < S ;

T (I ) j jS j:

5.6.24. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. òÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÊ ÉÄÅÁÌ I/Pk ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÏÌÎÏÃÉËÌÏ×ÙÍ, ÅÓÌÉ I \ R = 0, LR (I ) | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ S -ÍÏÄÕÌØ É T (I ) = S . òÅ×ÅÒÓÉ×ÎÕÀ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÕ u 2 LR (I ) Ó ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÏÍ I = An(u) ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÏÌÎÏÃÉËÌÏ×ÏÊ, ÅÓÌÉ LR (I ) = Su É I | ÐÏÌÎÏÃÉËÌÏ×ÙÊ ÉÄÅÁÌ. 5.6.25. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ R | Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Ï ËÏÌØÃÏ, I / Pk | ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÊ ÉÄÅÁÌ ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ

I \ R = 0; ôÏÇÄÁ

LR (I ) = Su:

P(u) = P(I );

(5.6.15) (5.6.16)

É I | ÐÏÌÎÏÃÉËÌÏ×ÙÊ ÉÄÅÁÌ ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ

8v 2 LR (I )

(P(v ) = P(I )

) v 2 T (u)):

(5.6.17)

2 òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (5.6.16) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ (5.6.15). ðÕÓÔØ I | ÐÏÌÎÏÃÉËÌÏ×ÙÊ ÉÄÅÁÌ.

ôÏÇÄÁ

T (I ) = h#1; : : : ; #k i = S ; T (u) = S u: (5.6.18) äÏËÁÖÅÍ (5.6.17). ðÕÓÔØ v 62 T (u). ôÏÇÄÁ, ××ÉÄÕ (5.6.18), v = u, ÇÄÅ 2 S n S . íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ S = 6 GF (2). ôÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ Æ 2 S n e ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ Æ = .

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

170

÷×ÉÄÕ (5.6.18), Æ = t , ÐÒÉÞÅÍ t 2 N k0 n P(u). ïÄÎÁËÏ, t 2 P(v ), ÔÁË ËÁË Æv = Æu = u = v . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, P(v ) 6= P(u), É ×ÅÒÎÏ (5.6.17). îÁÏÂÏÒÏÔ, ÐÕÓÔØ ×ÅÒÎÏ (5.6.17). åÓÌÉ T (I ) 6= S , ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ Æ 2 S n T (I ). ðÏÌÏÖÉÍ v = Æu. ôÏÇÄÁ v 62 T (u), ÎÏ P(v ) = P(u), ÐÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ t 2 N k0 ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÉÍÐÌÉËÁÃÉÉ t 2 P(v )

, tv = v , tÆu = Æu , tu = u , t 2 P(u): 2

5.6.26. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ R, Q | ËÏÎÅÞÎÙÅ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Ù ËÏÌØÃÁ, É R < Q. ôÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÏÌÎÏÃÉËÌÏ×ÁÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÁ u ÎÁÄ R Ó ËÏÌØÃÏÍ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏ× S , ÉÚÏÍÏÒÆÎÙÍ Q.

2 ðÕÓÔØ Q = h1 ; : : : ; k i. ôÏÇÄÁ Q = R[1 ; : : : ; k ], É ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I / Pk ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ : Q ! Pk =I = S = R[#1 ; : : : ; #k ]; (s) = #s ; s 2 1; k: ôÁË ËÁË R R | QF-ÍÏÄÕÌØ, ÔÏ, ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5.4.7 (ÐÒÉ Q = R), LR (I ) = Su | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ S -ÍÏÄÕÌØ, É, ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5.4.6, An(u) = I . ïÓÔÁÅÔÓÑ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ I | ÐÏÌÎÏÃÉËÌÏ×ÙÊ ÉÄÅÁÌ ÐÏ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ. 2 ÷ÁÖÎÙÅ ÞÁÓÔÎÙÅ ÓÌÕÞÁÉ ÐÏÌÎÏÃÉËÌÏ×ÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ: k-ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ÎÁÄ ÐÏÌÑÍÉ É ËÏÌØÃÁÍÉ çÁÌÕÁ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ × [17, 20], [53, x 12, 19]. 5.7

ëÏÄÙ É ÐÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ. ðÏÌÉÃÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ËÏÄÙ

á. òÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÅ É k-ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÍÏÄÕÌÅÍ. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÍÏÄÕÌÅÍ R M (É

×ÓÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ ÎÁÄ QF -ÍÏÄÕÌÅÍ R Q) ÍÏÖÎÏ ÏÐÉÓÁÔØ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÐÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ R M . ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï

F = fi1; : : : ; ing N k0 (5.7.1) ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÐÏÌÉÜÄÒÏÍ. ðÕÓÔØ F | ÐÏÌÉÜÄÒ É M F ÅÓÔØ R-ÍÏÄÕÌØ ×ÓÅÈ ÆÕÎËÃÉÊ Æ : F ! M . ìÀÂÁÑ ÔÁËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÏÊ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Æ [F ] = (Æ (i1); : : : ; Æ (in)) 2 M n . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÍÏÄÕÌØ R M F ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ R M n . äÌÑ ÌÀÂÏÊ k-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 2 M hki ÍÙ ÔÁËÖÅ ÍÏÖÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÊ [F ] = ((i1); : : : ; (in)). ðÕÓÔØ

K = LFM (I ) = f[F ]: 2 LM (I )g:

(5.7.2) ïÞÅ×ÉÄÎÏ, K | ÐÏÄÍÏÄÕÌØ R-ÍÏÄÕÌÑ R M F , É ÐÒÉ ÎÕÍÅÒÁÃÉÉ (5.7.1) ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÐÏÌÉÜÄÒÁ F ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ K ËÁË ÐÏÄÍÏÄÕÌØ ÍÏÄÕÌÑ R M n . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, K | ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ R M .

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

171

ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÜÔÁ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÑ ÏÂÏÂÝÁÅÔ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÀ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÏÇÏ ËÏÄÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ ÉÚ x 2.5. íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ K < M n k-ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ × ×ÉÄÅ (5.7.2) ÐÒÉ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÍ ×ÙÂÏÒÅ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I ËÏÌØÃÁ Pk , ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ F N k0 É ÎÕÍÅÒÁÃÉÉ (5.7.1) ÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ÷ ÜÔÏÊ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÔÅÏÒÅÍÙ 2.5.1 ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÐÏÌÅÍ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÕÌÅ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, 1-ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅ ËÁÖÄÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÄ ÎÁÄ R M ÉÍÅÅÔ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ×ÉÄÁ (5.7.2). ïÄÎÁËÏ, ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ 2.5.1.

5.7.1. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ R-ÚÁÍËÎÕÔÏÇÏ ËÏÄÁ K < R M n ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒ k 2 1; n, ÐÏÌÉÜÄÒ F N k0 ÍÏÝÎÏÓÔÉ n É ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ I / Pk ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ K = LFM (I ): (5.7.3)

2 ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ËÏÄ K ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ H = (hij )ln ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R (ÓÍ. ÔÅÏÒÅÍÕ 4.1.9). üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ K ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ × M n

ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ht1 y1 + : : : + htn yn = 0; t 2 1; l: (5.7.4) áÓÓÏÃÉÉÒÕÅÍ Ó t-Ê ÓÔÒÏËÏÊ ÍÁÔÒÉÃÙ H ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Ht (x) = ht1 x1 + : : : + htn xn 2 Pn É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÄÅÁÌ I / Pn Ó ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ fxixj ; Ht(x) : i; j 2 1; n; t 2 1; lg: ôÁË ËÁË x2i 2 I , i 2 1; n, ÔÏ I | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ. ðÏÌÏÖÉÍ k = n É F = fe1 ; : : : ; eng N n0 , ÇÄÅ ei | i-Ñ ÓÔÒÏËÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ n n-ÍÁÔÒÉÃÙ ÎÁÄ Z. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ (5.7.3). ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M hni ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ LM (I ) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ xi xj = 0 ÄÌÑ i; j 2 1; n; (5.7.5) Ht (x) = 0 ÄÌÑ t 2 1; l: (5.7.6) õÓÌÏ×ÉÅ (5.7.5) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ (i) = 0 ÅÓÌÉ i = (i1 ; : : : ; in ) 2 N n0 É i1 + : : : + in 2: (5.7.7) ðÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ (5.7.7) ÕÓÌÏ×ÉÅ (5.7.6) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ [F ] = ((e1 ); : : : ; (en )) ÅÓÔØ ÒÅÛÅÎÉÅ × M n ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (5.7.4), Ô. Å. [F ] 2 K. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, LFM (I ) K. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÐÕÓÔØ a = (1 ; : : : ; n) 2 K. ïÐÒÅÄÅÌÉÍ n-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M hni ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ (e1 ) = 1 , . . . , (en) = n É ÕÓÌÏ×ÉÅÍ (5.7.7). úÎÁÞÅÎÉÅ (0) ×ÙÂÅÒÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ. ôÏÇÄÁ ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (5.7.5), (5.7.6), Ô. Å. 2 LM (I ). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, [F ] = a 2 LFM (I ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, K LFM (I ). 2 òÅÚÕÌØÔÁÔ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÌÀÂÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ K < R M n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ n-ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÍ. ïÄÎÁËÏ, ÎÅ ÌÀÂÏÊ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÊ ËÏÄ ÚÁÍËÎÕÔ.

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

172

5.7.2. ðÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ÎÅ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Ï ËÏÌØÃÏ, |

ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÅÇÏ ÃÏËÏÌÑ É F (x) = x 2 R[x]. ôÏÇÄÁ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LR (F (x)) ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u = (u(0); u(0); 0; 0; : : :) 2 Rh1i É ËÏÄ K = LfR1g (F ) ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ, ÔÁË ËÁË K = R É R ? (R ? K) = R ? N(R) = S(R) 6= R. B. òÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ÒÁÎÇ ËÏÄÁ. òÅÚÕÌØÔÁÔ ÔÅÏÒÅÍÙ 2.5.1 ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÊ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅÓØÍÁ ÇÒÕÂÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÏÊ ËÏÄÁ É ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÅÔ ÂÏÌØÛÅ ÍÏÄÕÌØ, ÎÁÄ ËÏÔÏÒÙÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ËÏÄ, ÞÅÍ ÓÁÍ ËÏÄ. üÔÏ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÂÏÌØÛÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÌÏÍ × ×ÙÂÏÒÅ ÐÏÌÉÜÄÒÁ F × ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ (5.7.3). ÷ Ó×ÑÚÉ Ó ÜÔÉÍ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Ó ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏ ÎÅ ÐÒÏÓÔÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ËÏÄ K × ×ÉÄÅ (5.7.3) ÐÒÉ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÍÅÎØÛÅÍ k, ÎÏ É ÉÍÅÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÂÙÓÔÒÏ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ÅÇÏ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÔÁËÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÖÅÌÁÔÅÌØÎÏ ÐÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÔÏÞËÉ ÐÏÌÉÜÄÒÁ F × (5.7.3) ÂÙÌÉ \ÐÌÏÔÎÏ ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÙ" ×ÏËÒÕÇ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ 0 2 N . îÁÐÒÉÍÅÒ, × ÓÌÕÞÁÅ k = 1 (Ô. Å. ÐÒÉ I / P1 ), ÎÁÉÌÕÞÛÉÊ ÐÏÌÉÜÄÒ F | ÜÔÏ ÎÁÞÁÌØÎÙÊ ÏÔÒÅÚÏË F = 0; n 1 ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ k > 1 ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ÐÏÎÑÔÉÑ ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ æÅÒÒÅ. ôÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÌÉÜÄÒ F N k0 ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ i 2 F ÌÀÂÏÊ ×ÅËÔÏÒ j 2 N k0 ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ j i (ÐÏËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏ) ÔÁËÖÅ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ F . îÁÚÏ×ÅÍ ËÏÄ K < R M n k-ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÉÍÅÅÔ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ (5.7.3) ÐÒÉ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÍ ×ÙÂÏÒÅ ÉÄÅÁÌÁ I/Pk , ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ æÅÒÒÅ F N k0 É ÎÕÍÅÒÁÃÉÉ (5.7.1) ÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. îÁÉÍÅÎØÛÅÅ k Ó ÜÔÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍ ÒÁÎÇÏÍ ËÏÄÁ K. îÁÐÒÉÍÅÒ, ËÏÄÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P Ó ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍ ÒÁÎÇÏÍ 1 | ÜÔÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ËÏÄÙ, ÏÐÉÓÁÎÎÙÅ × ÐÒÉÍÅÒÅ 1.1.6. ðÅÒ×ÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ÏÐÉÓÙ×ÁÀÝÉÊ ×ÁÖÎÙÊ ËÌÁÓÓ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ËÏÄÏ×, ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. 5.7.3. ôÅÏÒÅÍÁ (áÓÔÕÒÉÊÓËÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ). ðÕÓÔØ K < R M n ÅÓÔØ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ ÒÁÎÇÁ m ÎÁÄ M Ó ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ 0

1 f0(1) : : : fm(1) 1 e 0 : : : 0 0 B (2) C (2) Bf0 C : : : f 0 e : : : 0 0 m 1 H=B ; l = n m: C @ ............... .................... A f0(l) : : : fm(l) 1 0 0 : : : 0 e ln ôÏÇÄÁ K ÅÓÔØ l-ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ËÏÄ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ K = LFP (I ); × ËÏÔÏÒÏÍ I / Pl | ÉÄÅÁÌ, ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× F1 (x1 ) = xm1 fm(1) 1 xm1 1 : : : f1(1) x1 f0(1) ; F2 (x1 ; x2 ) = x2 fm(2) 1 xm1 1 : : : f1(2) x1 f0(2) ; Fl (x1 ; xl ) = xl fm(l) 1 xm1 1 : : : f1(l) x1 f0(l) ;

(5.7.8)

(5.7.9)

(5.7.10)

çìá÷á 5.

173

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

F N l0 | ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ æÅÒÒÅ ×ÉÄÁ F = f0; e1; 2e1; : : : ; me1 ; e2; : : : ; el g: (5.7.11) 2 ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅÇÏ ÏÐÉÛÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÉÄÅÁÌÁ I . 5.7.4. ìÅÍÍÁ. æÁËÔÏÒËÏÌØÃÏ S = Pl =I ÅÓÔØ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ ÒÁÎÇÁ m. éÄÅÁÌ I Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÎÉÔÁÒÎÙÍ, É ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ A(x) 2 Pl ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ (A(x)) 2 R[x1 ] ÓÔÅÐÅÎÉ ÍÅÎØÛÅÊ, ÞÅÍ m, ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ É

I

A(x) (A(x))

(5.7.12)

I

(ÚÄÅÓØ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÒÁ×ÎÉÍÏÓÔØ ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ ÉÄÅÁÌÁ I ).

2 ðÏÌÏÖÉÍ

Hs(x1 ) = f0(s) + f1(s) x1 + : : : + fm(s) 1 xm1 1 ; s 2 1; l:

ôÏÇÄÁ

F1 (x1 ) = xm1 É

H1 (x1 ); Fs (x1 ; xs ) = xs

Hs (x1 ); s 2 2; l

(5.7.13)

I

xs Hs(x1 ); s 2 2; l: (5.7.14) òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÜÐÉÍÏÒÆÉÚÍ ': Pl ! R[x1 ], ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÙ A(x) 2 Pl ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ '(A(x)) = A(x1 ; H2 (x1 ); : : : ; Hl (x1 )): (5.7.15) óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Ker ' = J , ÇÄÅ J = (F2 (x1 ; x2 ); : : : ; Fl (x1 ; xl )). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÉÚ (5.7.13) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ J

A(x) '(A(x)):

(5.7.16)

ðÏÜÔÏÍÕ Ker ' J . ïÂÒÁÔÎÏÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ÔÁËÖÅ ××ÉÄÕ (5.7.13). ôÁË ËÁË Ker ' = J I , ÔÏ '(I ) = R[x1 ]F1 (x1 ) É ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ

S = Pl =I = '(Pl )='(I ) = R[x1 ]=R[x1 ]F1 (x1 ):

ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, S | Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ ÒÁÎÇÁ m. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, S | ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÌØÃÏ, Ô. Å. I | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ. éÚ (5.7.16) É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á I = J + Pl F1 (x1 ) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

(A(x)) = Res('(A(x))=F1 (x1 ))

(5.7.17)

| ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ '(A(x)) ÎÁ F1 (x1 ), | ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ (5.7.12) É ÉÍÅÅÔ ÓÔÅÐÅÎØ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ m. ôÁË ËÁË S | Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ R-ÍÏÄÕÌØ ÒÁÎÇÁ m, ÔÏ ÄÒÕÇÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Ó ÜÔÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ × R[x1 ] ÎÅÔ. 2

çìá÷á 5.

174

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ 5.7.3 ÚÁÍÅÔÉÍ ÓÎÁÞÁÌÁ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ k-ìòð LM (I ) ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ (5.7.9) É ÐÏÜÔÏÍÕ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÊ

2

[F ] = ((0); (e1 ); : : : ; (me1 ); (e2); : : : ; (el )) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ

(me1 ) = (es ) =

m X1

ft(1) (te1 );

t=0 m X1 (1) ft (te1 ); t=0

s 2 2; l:

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÓÔÏÌÂÅÃ [F ]T ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ×ÉÄÁ (5.7.8) É [F ] 2 K, Ô. Å. LFM (I ) K. ôÁË ËÁË K | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ Ó ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ 1; m, ÔÏ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÔÅÐÅÒØ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× 0 ; : : : ; m 1 2 M m ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LM (I ) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÕ , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÕÀ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ

(0) = 0 ; (e1 ) = 1 ; : : : ; (me1 ) = m 1 :

(5.7.18)

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ 1-ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LM (F1 (x1 )) ÓÏÄÅÒÖÉÔ 1-ìòð u ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ

u(0; m 1) = (0 ; : : : ; m 1 ): úÁÄÁÄÉÍ l-ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ 2 M hli ÕÓÌÏ×ÉÅÍ

(z) = uz (0); ÇÄÅ uz = (xz )u;

(5.7.19)

(xz ) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÉÚ R[x1 ], ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÙÊ ÉÚ (5.7.17). ôÁË ËÁË (xte ) = (xt1 ) = Res(xt1 =F1 (x1 )); 1

ÔÏ ute = xt1 u É ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ (5.7.18). ïÓÔÁÅÔÓÑ ÐÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ F1 (x1 ) = 0 É Fs (x1 ; xs ) = 0 ÄÌÑ s 2 2; l: (5.7.20) éÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ (xz ) ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ c 2 N l0 ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (xz+c ) = Res((xz )(xc )=F1 (x1 )); É ÔÁË ËÁË F1 (x1 )u = 0, ÔÏ (xz+c )u = (xz )(xc )u; 1

Ô. Å.

uz+c = (xc )uz:

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

175

ïÔÓÀÄÁ É ÉÚ (5.7.19) ÐÏÌÕÞÁÅÍ:

(z + c) = (xc )(z): ÷ ÔÁËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ A(x) =

A(x)(z) =

X

ac (z + c) =

X

P

ac xc 2 Pl ÉÍÅÅÍ

ac (xc )(z) = (A(x))(z):

ôÅÐÅÒØ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (5.7.20) ÓÌÅÄÕÀÔ ÉÚ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÈ ××ÉÄÕ ÌÅÍÍÙ 5.7.4 ÒÁ×ÅÎÓÔ× (Fs ) = 0, s 2 1; l. 2 C. ëÏÄ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÏÍÕ ËÏÄÕ. ÷×ÅÄÅÍ ÓÌÅ-

ÄÕÀÝÉÅ ÔÅÒÍÉÎÙ É ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÏÂÏÂÝÁÀÝÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÐÏÎÑÔÉÑ É ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÉÚ x 2.5C: P | ÐÏÌÉÜÄÒ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ A(x) = i2Nk ai xi 2 Pk ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï 0

F (A) = fi 2 N k0 : ai 6= 0g N k0 ; | ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ A(x) 2 Pk ÎÁ ÐÏÌÉÜÄÒÅ F N k0 ×ÉÄÁ

(5.7.1) ÅÓÔØ ÓÔÒÏËÁ

| ÓÌÅÄ ÉÄÅÁÌÁ I / Pk

AF = (ai ; : : : ; ain ) 2 Rn ; ÎÁ ÐÏÌÉÜÄÒÅ F N k0 ÅÓÔØ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ 1

IF = fAF : A(x) 2 I; F (A) Fg

ÍÏÄÕÌÑ R RF ; | ÓÌÅÄ ÐÏÄÍÏÄÕÌÑ M < R M hki ÎÁ ÐÏÌÉÜÄÒÅ F

N k0 ÅÓÔØ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ M[F ] = f[F ] : 2 Mg

ÍÏÄÕÌÑ R M F ; | ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ ÐÏÄÍÏÄÕÌÑ M < R M hki × Pk ÅÓÔØ ÉÄÅÁÌ

An(M) = fA(x) 2 Pk : A(x)M = 0g / Pk :

ðÏ ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó ÌÅÍÍÏÊ 2.5.6 ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ 5.7.5. ìÅÍÍÁ (ÓÍ. [24]). ðÕÓÔØ M ÅÓÔØ Pk -ÐÏÄÍÏÄÕÌØ ÍÏÄÕÌÑ M hki É N 0 ÅÓÔØ ÐÏÌÉÜÄÒ. ôÏÇÄÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ A(x) 2 Pk ×ÉÄÁ k

A(x) =

X i2F

ai xi

M × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ 8 2 M AF [F ] = 0: óÌÅÄ ÉÄÅÁÌÁ I = An(M) / Pk ÎÁ ÐÏÌÉÜÄÒÅ F ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ IF = RF ? M[F ]: 2

ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔ ÍÏÄÕÌØ

F

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

176

óÐÒÁ×ÅÄÌÉ× ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÁÎÁÌÏÇ ÔÅÏÒÅÍÙ 2.5.7. 5.7.6. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ R M ÅÓÔØ QF -ÍÏÄÕÌØ. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ K < R M n ×ÉÄÁ (5.7.3) Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ÎÅÍÕ ËÏÄ ÎÁÄ R ÅÓÔØ ÓÌÅÄ ÉÄÅÁÌÁ I ÎÁ

F:

Rn ? K = IF : (5.7.21) 2 ðÕÓÔØ M = LM (I ). ôÏÇÄÁ K = M[F ]. ôÁË ËÁË R M ÅÓÔØ QF -ÍÏÄÕÌØ, ÔÏ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï An(M) = I (ÓÍ. [53, 24]). ôÅÐÅÒØ (5.7.21) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÌÅÍÍÙ 5.7.5. 2 D. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÇÒÕÐÐÏ×ÙÅ ËÏÄÙ. ëÁË ÞÉÔÁÔÅÌØ ÕÖÅ ×ÉÄÅÌ ÐÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍ ÇÌÁ×Ù 3, ×ÁÖÎÙÍ ËÌÁÓÓÏÍ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ËÏÄÏ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ËÏÄÙ. íÙ ××ÅÄÅÍ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÅ ÐÏÎÑÔÉÅ: ÇÒÕÐÐÏ×ÏÊ ËÏÄ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ. ðÕÓÔØ G | ËÏÎÅÞÎÁÑ ÇÒÕÐÐÁ, RG | ÇÒÕÐÐÏ×ÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ É MG | RG-ÍÏÄÕÌØ ×ÓÅÈ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÕÍÍ P g g , ÇÄÅ g 2 M , Ó ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× g 2 MG ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÙ g2G

rg 0 2 RG ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ (rg 0 )g = (r)g 0g . ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ J < RG MG ÎÁÚÏ×ÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÍ G-ËÏÄÏÍ ÉÌÉ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÇÒÕÐÐÏ×ÙÍ ËÏÄÏÍ ÄÌÉÎÙ n = jGj. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÎÕÍÅÒÁÃÉÀ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÇÒÕÐÐÙ G: G = fg1 ; : : : ; gng. ôÏÇÄÁ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ 2 MG ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ =

n X i=1

igi ; 2 M;

É ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ×ÍÅÓÔÏ ÓÔÒÏËÕ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× a = (1 ; : : : ; n) 2 M n . äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ G-ËÏÄÁ J < RG MG ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ J~ = fa: 2 J g < R M n ÔÁËÖÅ ÌÉÎÅÊÎÙÍ G-ËÏÄÏÍ. åÓÌÉ G = hg i | ÃÉËÌÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÕÐÐÁ É g1 = g 0, g2 = g 1 ,. . . , gn = g n 1, ÔÏ J~ | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ × ÏÂÝÅÐÒÉÎÑÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ (ÓÍ. x 1.3B). ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ G | ËÏÎÅÞÎÁÑ ÁÂÅÌÅ×Á ÇÒÕÐÐÁ. ôÏÇÄÁ G ÅÓÔØ ÐÒÑÍÏÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ k ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÈ ÇÒÕÐÐ: _ gk i; ord gs = ts ; t1 : : : tk = jGj = n: G = hg1 i_ : : : h (5.7.22) ðÕÓÔØ N k0 | ÐÏÌÉÜÄÒ ×ÉÄÁ = (t) = 0; t1 1 : : : 0; tk 1 = fi 2 N k0 : 0 is ts 1; s 2 1; kg: (5.7.23) íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ t1 : : : tk -ÐÁÒÁÌÌÅÌÅÐÉÐÅÄÏÍ. ôÏÇÄÁ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ 2 MG ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ X = igi ; i2 i i ÇÄÅ i 2 M , gi = g1 : : : gkk . úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÎÕÍÅÒÁÃÉÀ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× : = fj1 ; : : : ; jn g (5.7.24) É ÐÏÌÏÖÉÍ a = (j ; : : : ; jn ). 1

1

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

5.7.7. ìÅÍÍÁ. ðÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ (5.7.22){(5.7.24) ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÉÎÅÊÎÙÊ G-ËÏÄ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ Pk -ÐÏÄÍÏÄÕÌÑ

177

J MG ÅÓÔØ

J~ = M[]

M k-ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×Á

L = LM (xt1 e; : : : ; xtk e): k

1

2 ìÀÂÁÑ k-ìòð 2 LM (xt1 e; : : : ; xtk e) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÏÊ [] É ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÔÁËÏÊ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ 2 MG ÔÁËÏÊ, k

1

ÞÔÏ [] = a. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ

': L ! MG;

ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÏÅ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ

'() = ; ÇÄÅ a = []; ÅÓÔØ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ R-ÍÏÄÕÌÅÊ. îÅÔÒÕÄÎÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ '(xs ) = gs 1'() ÄÌÑ ×ÓÅÈ 2 L; s 2 1; k: ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, R-ÐÏÄÍÏÄÕÌØ M < L Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Pk -ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÍ, ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ R-ÐÏÄÍÏÄÕÌØ J = '(M) < MG Ñ×ÌÑÅÔÓÑ RG-ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÍ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ' ÚÁÄÁÅÔ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ M ! J = '(M) ÍÅÖÄÕ ÒÅÛÅÔËÁÍÉ ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÊ ÍÏÄÕÌÅÊ Pk L É RG MG. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ J~ = fa: 2 J g = M[]. 2 ðÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ (5.7.22){(5.7.24) ÌÀÂÏÊ ËÏÄ K < R M , ËÏÔÏÒÙÊ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

K = M[]

ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ Pk -ÐÏÄÍÏÄÕÌÑ M < LM (xt1 e; : : : ; xtkk e) (Ô. Å. ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ G-ËÏÄ ÎÁÄ M ), ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÁËÖÅ ÐÏÌÉÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ , ÉÌÉ k-ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ , ÉÌÉ (t1 : : : tk )-ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ ËÏÄÏÍ ÎÁÄ M . ÷ ÓÌÕÞÁÅ k = 1 ÜÔÏ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ. óÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ 3.1.2 Ï ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏÓÔÉ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ. 1

5.7.8. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ R Q ÅÓÔØ QF -ÍÏÄÕÌØ É ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (5.7.22){(5.7.24). ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ (t1 : : : tk )-ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÇÏ ËÏÄÁ K < R Q ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÉÄÅÁÌ I / Pk ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ

xt1

1

É

e; : : : ; xtkk

e2I

K = LQ(I ): Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ËÏÄÕ K ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R

ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ËÏÄ, ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ×ÉÄÁ

Rn ? K = I :

(5.7.25) (5.7.26) ÅÓÔØ (t1 : : : tk )(5.7.27)

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

178

2 ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ËÏÄ K ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ K = M[]; (5.7.28) ÇÄÅ M ÅÓÔØ Pk -ÐÏÄÍÏÄÕÌØ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á LQ (xt1 e; : : : ; xtk e). ôÏÇÄÁ ÉÄÅÁÌ I = An(M) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ (5.7.25). ôÁË ËÁË R Q ÅÓÔØ QF -ÍÏÄÕÌØ, ÔÏ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5.4.6 ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï M = LQ (I ). ôÅÐÅÒØ (5.7.26) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ (5.7.28). k

1

òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (5.7.27) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ (5.7.26) É ÔÅÏÒÅÍÙ 5.7.6. ïÓÔÁÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ I ÅÓÔØ (t1 : : : tk )-ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ. ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ I ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÐÏÌÉÜÄÒÏ× ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× A ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× A(x) 2 I , ÉÍÅÀÝÉÈ ×ÉÄ X A(x) = aixi : i2 äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÔÁËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÐÕÓÔØ 2 QG | ÜÌÅÍÅÎÔ ×ÉÄÁ

=g=

X i2

ai gi;

É ÐÕÓÔØ J RG ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ I = J~ . âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ××ÉÄÕ ÕÓÌÏ×ÉÑ (5.7.25), J ÅÓÔØ RG-ÐÏÄÍÏÄÕÌØ RG, Ô. Å. J ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ G-ËÏÄ ÎÁÄ R. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, I ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ G-ËÏÄ. 2 ôÅÐÅÒØ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÄÏÐÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÔÅÏÒÅÍÅ 5.7.3 ÄÌÑ ÐÏÌÉÃÉËÌÉÞÅÓËÉÈ ËÏÄÏ×. 5.7.9. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ìÀÂÏÊ k-ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ ÎÁÄ QF -ÍÏÄÕÌÅÍ ÉÍÅÅÔ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÊ ÒÁÎÇ ÎÅ ÂÏÌØÛÉÊ, ÞÅÍ k.

äÌÑ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÈ ËÏÄÏ× ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, ÄÏÐÏÌÎÑÀÝÉÊ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ 4.3.8. 5.7.10. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ R M | ËÏÎÅÞÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ÌÏËÁÌØÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R, ÉÍÅÀÝÉÍ ÐÏÌÅ ×ÙÞÅÔÏ× R ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ p, É ÐÕÓÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ n ×ÚÁÉÍÎÏÐÒÏÓÔÏ Ó p. åÓÌÉ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ R ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ [n; m; d]-ËÏÄ, ÔÏ É ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ M ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ [n; m; d]-ËÏÄ.

2 ðÕÓÔØ L < R R n | ÕËÁÚÁÎÎÙÊ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ. ôÏÇÄÁ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 5.7.3, L ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ L = L0R;n 1 (f (x)); (5.7.29) ÇÄÅ f (x) 2 R [x] | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ m = dimR L ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ f (x) j xn e É L | ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÄ Ó ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÍÉ ÐÏÚÉÃÉÑÍÉ 0; m 1.

÷×ÉÄÕ ÕÓÌÏ×ÉÑ (n; p) = 1 ÄÌÑ f (x) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) 2 R[x] ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ

F (x) = f (x); F (x) j xn

e:

(5.7.30)

çìá÷á 5.

ðïìéìéîåêîùå òåëõòòåîôù îáä íïäõìñíé

179

ïÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ f (x) (ÓÍ. [53, 20, 22]). ôÏÇÄÁ K = L0M;n 1(F ) (5.7.31) ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÉÊ R-ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÄ ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ M , É ÅÇÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÅÓÔØ d(K) = d(L): (5.7.32) äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÅÓÌÉ F (x) = xm fm 1 xm 1 : : : f0 , ÔÏ K ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ H ×ÉÄÁ 0

1

f0 f1 : : : : : : fm 1 e 0 ::: ::: 0 B 0 f0 f1 : : : : : : fm 1 e ::: ::: 0 C C H =B ; (5.7.33) @.................................................A 0 ::: ::: 0 f0 : : : fm 1 e (n m)n É ÍÁÔÒÉÃÁ H Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÏÊ ÄÌÑ ËÏÄÁ L. ôÅÐÅÒØ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÐÒÉÍÅÎÉÔØ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ 4.3.8. 2 ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ ËÏÄ (5.7.29) ÅÓÔØ ËÏÄ èÅÍÍÉÎÇÁ × ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ, ÔÏ ËÏÄ (5.7.31) ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ ËÏÄÏÍ èÅÍÍÉÎÇÁ × ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ ÎÁÄ ÍÏÄÕÌÅÍ R M . åÓÌÉ (5.7.29) ÅÓÔØ ËÏÄ âþè, ÔÏ (5.7.31) ÅÓÔØ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ (!) ËÏÄ âþè ÎÁÄ R M . ðÅÒ×ÙÅ, ÎÅÓËÏÌØËÏ ÂÏÌÅÅ ÇÒÏÍÏÚÄËÉÅ ËÏÎÓÔÒÕËÃÉÉ ÔÁËÉÈ ËÏÄÏ× ÎÁÄ ËÏÌØÃÁÍÉ ×ÙÞÅÔÏ× É ËÏÌØÃÁÍÉ çÁÌÕÁ ÂÙÌÉ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÙ × [36, 37, 61, 62, 63].

çÌÁ×Á 6 ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ × ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÉ ïÄÎÏ ÉÚ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ×, ÉÚÌÏÖÅÎÎÙÈ × ÐÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÇÌÁ×ÁÈ, | ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÅ \ÈÏÒÏÛÉÈ" ÐÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÄÌÑ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÉÈ × ÃÅÌÑÈ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. éÓÐÏÌØÚÕÅÍÙÅ × ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÉ ÐÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÏÌÖÎÙ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ, ÐÏ ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ, ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑÍ:

ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÏÌÖÎÁ ÉÍÅÔØ ÂÏÌØÛÏÊ ÐÅÒÉÏÄ;

ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÏÌÖÎÁ ÈÏÒÏÛÏ ÉÚÍÅÎÑÔØÓÑ ÐÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ ËÌÀÞÁ (ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ÚÁÐÏÌÎÅÎÉÑ), Ô.Å. ÓÈÅÍÁ ×ÙÒÁÂÏÔËÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÏÌÖÎÁ ÎÅ ÉÍÅÔØ ÉÌÉ ÉÍÅÔØ ÍÁÌÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ËÌÀÞÅÊ;

ÎÅ ÄÏÌÖÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÔØ ÐÒÏÓÔÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÐÏÌÕÞÅÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ Ï ËÌÀÞÁÈ ÐÏ ÏÔÒÅÚËÕ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÄÏÌÖÎÁ ÉÍÅÔØ ÂÏÌØÛÏÊ ÒÁÎÇ (ÓÔÅÐÅÎØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ, ÓÍ. x 7.3), ÅÓÌÉ ÅÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÕÀ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (ìòð) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ ÉÌÉ ËÏÌØÃÏÍ, ÞÔÏ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÔ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÐÒÏÓÔÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ËÌÀÞÁ;

ÚÎÁËÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÏÌÖÎÙ ×ÙÒÁÂÁÔÙ×ÁÔØÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÙÓÔÒÏ.

ÏÎÁ ÄÏÌÖÎÁ ÈÏÒÏÛÏ ÉÍÉÔÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÕÞÁÊÎÕÀ ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÕÀ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÐÏ ÍÅÎØÛÅÊ ÍÅÒÅ Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÞÁÓÔÏÔ ×ÓÔÒÅÞÁÅÍÏÓÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× É ×ÅËÔÏÒÏ×;

ðÅÒ×ÙÍ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÉÅÍ Ë ÜÔÉÍ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑÍ ÍÏÖÅÔ ÓÌÕÖÉÔØ ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÐÏÌÅÍ (ÓÍ. x 7.3G). üÔÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔ ÂÏÌØÛÏÊ ÐÅÒÉÏÄ, ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏÅ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× É ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÁ ÃÉËÌÅ, ÐÏÐÁÒÎÏ ÎÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ ËÌÀÞÉ (ÎÁÞÁÌØÎÙÅ ÚÁÐÏÌÎÅÎÉÑ), ×ÙÓÏËÕÀ ÓËÏÒÏÓÔØ ×ÙÒÁÂÏÔËÉ, ÎÏ | ÎÉÚËÉÊ ÒÁÎÇ. òÁÚÌÉÞÎÙÅ ÓÐÏÓÏÂÙ ÅÅ ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÑ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÙ ÎÁ Õ×ÅÌÉÞÅÎÉÅ ÒÁÎÇÁ ÐÒÉ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÉ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ Ó×ÏÊÓÔ×. ÷ ÄÁÎÎÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÐÏÓÏÂÏ× ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÑ ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÐÏÌÅÍ. íÎÏÇÉÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ÓÐÏÓÏÂÏ× ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÑ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÙÈ 180

çìá÷á 6.

181

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, ÞÅÍÕ É ÐÏÓ×ÑÝÅÎ ÐÅÒ×ÙÊ ÐÁÒÁÇÒÁÆ ÄÁÎÎÏÊ ÇÌÁ×Ù. 6.1

ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ

ðÕÓÔØ P h1i | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . îÁÐÏÍÎÉÍ (ÓÍ. x 7.3), ÞÔÏ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u; v 2 P h1i ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ uv 2 P h1i ÓÏ ÚÎÁËÁÍÉ (uv )(i) = u(i)v (i), i 0. ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U; V < P h1i ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÏÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ ×ÉÄÁ uv , u 2 U , v 2 V :

UV = P (uv : u 2 U; v 2 V ): äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f (x); g (x) 2 P [x] ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ LP (f )LP (g ) ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÍ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ, ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÄ×ÉÇÁ, É, ××ÉÄÕ x 7.3B, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×ÏÍ. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ h(x) 2 P [x] ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ LP (f )LP (g ) = LP (h). ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÐÕÎËÔÅ ÍÙ ÏÐÉÛÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ h(x) (ÓÍ. [69]). ðÕÓÔØ p | ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁ ÐÏÌÑ P . ÷×ÅÄÅÍ ÏÐÅÒÁÃÉÀ ÄÉÚßÀÎËÃÉÉ k _ l ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ k, l. åÓÌÉ p = 0, ÐÏÌÏÖÉÍ k _ l = k + l 1. åÓÌÉ ÖÅ p > 0 É ÞÉÓÌÁ k 1, l 1 ÉÍÅÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ p-ÉÞÎÙÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ:

k ÔÏ

k _ l = p +

1=

X s0

ksps ; l

1=

X s0

ls ps; 0 ks ; ls < p;

X s

(ks + ls )ps; ÇÄÅ = minft 0 : ks + ls < p ÐÒÉ s tg:

(6.1.1)

ìÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ maxfk; lg k _ l k + l 1. ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ f (x) É g (x) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍÉ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍÉ ÞÌÅÎÁÍÉ É ÎÅ ÒÁ×ÎÙÅ e, É

f (x) = (x a1 )k :::(x am )km ; g (x) = (x b1 )l :::(x bn )ln 1

1

(6.1.2)

| ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÄ ÉÈ ÏÂÝÉÍ ÐÏÌÅÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ, ÇÄÅ ai ; bj 2 P n 0. ôÏÇÄÁ ÄÉÚßÀÎËÃÉÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f É g ÎÁÚÏ×ÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

f _ g = îïë (x ai bj )ki _lj : i 2 1; m; j 2 1; n : äÉÚßÀÎËÃÉÀ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× xk f (x) 6= e É xl g (x) 6= e, ÇÄÅ k; l 2 N 0 , f (0)g (0) 6= 0, ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ËÁË xk f (x) _ xl g (x) = xmaxfk;lg f _ g . îÁËÏÎÅÃ, ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) 2 P [x] ÐÏÌÏÖÉÍ e _ f = f _ e = e.

çìá÷á 6.

182

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

6.1.1. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ f (x); g (x) 2 P [x] | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÔÏ f _ g | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P .

2 äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ f (0)g(0) 6= 0, f (x) 6= e, g(x) 6= e.

(1) åÓÌÉ P = GF (q ) | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÐÏÌÅ, ÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÏÒÎÅÍ ai bj ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f _ g ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ (ai bj )q , ÐÒÉÞÅÍ ÔÏÊ ÖÅ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ. ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÔÅÐÅÒØ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÐÏÌÑ P . (2) ðÕÓÔØ ×ÎÁÞÁÌÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ f (x) É g (x) ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙ É ÓÅÐÁÒÁÂÅÌØÎÙ (Ô.Å. ÎÅ ÉÍÅÀÔ ËÒÁÔÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ × ÐÏÌÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Q). ôÏÇÄÁ × (6.1.2) k1 = ::: = km = j1 = ::: = jn = 1, É

f _ g = îïë[x ai bj : i 2 1; m; j 2 1; n ]: ïÂÝÅÅ ÐÏÌÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Q ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f (x) É g (x) ÅÓÔØ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ çÁÌÕÁ ÐÏÌÑ P , Ô.Å. ËÏÎÅÞÎÏÅ, ÎÏÒÍÁÌØÎÏÅ É ÓÅÐÁÒÁÂÅÌØÎÏÅ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ. åÓÌÉ | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ ÐÏÌÑ Q ÎÁÄ P , ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ i 2 1; m, j 2 1; n ÜÌÅÍÅÎÔÙ (ai ) É (bj ) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÒÎÑÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f (x) É g (x) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ðÏÜÔÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔ (ai bj ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f _ g . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f _ g ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÐÏÌÑ Q ÎÁÄ P . ðÏ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ ÔÅÏÒÉÉ çÁÌÕÁ [16, Ó. 219] ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f _ g ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÐÏÌÀ P . (3) ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØQ f (x); g (x) 2 P [x] | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, É f (x) = Q ks lt s fs (x) , g (x) = t gt (x) | ÉÈ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , ÇÄÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ fs (x); gt (x) 2 P [x] ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÔÏ ÎÅÓÅÐÁÒÁÂÅÌØÎÏÅ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ Q ÐÏÌÑ P , ÎÁÄ ËÏÔÏÒÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ fs(x) É gt (x) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ fs (x) = s (x)us , gt (x) = t (x)vt , ÄÌÑ ×ÓÅÈ s, t, ÇÄÅ s (x); t (x) 2 Q[x] | ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ É ÓÅÐÁÒÁÂÅÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, Á ÞÉÓÌÁ us É vt Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÃÅÌÙÍÉ ÎÅÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÍÉ ÓÔÅÐÅÎÑÍÉ ÞÉÓÌÁ p, ÅÓÌÉ p > 0, ÌÉÂÏ ÒÁ×ÎÙ 1, ÅÓÌÉ p = 0. ðÕÓÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ s (x) É t (x) ÉÍÅÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁÄ ÉÈ ÏÂÝÉÍ ÐÏÌÅÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ: s (x) = ôÏÇÄÁ É

f (x) =

Y

YY

i

s

i

(x

(x

asi ); t (x) = asi )ks us ; g (x) =

Y j

(x

YY t

j

btj ): (x

btj )lt vt

f _ g = îïë (x asi btj )(ks us )_(lt vt ) : i; j; s; t = îïë îïë[x asi btj : i; j ](ks us )_(lt vt ) : s; t = îïë (s _ t )(ks us )_(lt vt ) : s; t : îÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÐÏÄÐÏÌÅ Q1 ÐÏÌÑ Q, ËÏÔÏÒÏÍÕ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× s (x) É t (x) ÐÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ s, t, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÓÔÏ ÎÅÓÅÐÁÒÁÂÅÌØÎÙÍ

çìá÷á 6.

183

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅÍ ÐÏÌÑ P ÓÔÅÐÅÎÉ [Q1 : P ] = w, ÇÄÅ w = maxfus; vt g. üÌÅÍÅÎÔÙ c 2 Q1 ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ cw 2 P . ðÏ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÍÕ × (1) s _ t ÅÓÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q1 . éÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÄÉÚßÀÎËÃÉÉ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ (ks us) _ (lt vt ) ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ w (ÎÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ us É vt | ÓÔÅÐÅÎÉ ÞÉÓÌÁ p ÐÒÉ p > 0). ðÏÜÔÏÍÕ (s _ t )(ks us )_(lt vt ) ÅÓÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, É f _ g ÅÓÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÐÏÌÅ P Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÍ (Ô.Å. ËÁÖÄÙÊ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÅÐÁÒÁÂÅÌÅÎ), ÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÕÐÒÏÝÁÅÔÓÑ: × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ us = vt = 1, fs(x) = s (x), gt (x) = t (x), Q = Q1 = P . îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÐÏÌÑ É ÐÏÌÑ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÙÍÉ. 2 ïÓÎÏ×ÎÏÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÄÁÎÎÏÇÏ ÐÕÎËÔÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. 6.1.2. ôÅÏÒÅÍÁ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÕÎÉÔÁÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f (x); g (x) 2 P [x] ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï LP (f )LP (g ) = LP (f _ g ).

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÜÔÁÐÏ×. ëÌÀÞÅ×ÙÍ ÍÏÍÅÎÔÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f (x) = (x e)k , g (x) = (x e)l . ðÒÉ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÊ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ^ äÌÑ ÞÉÓÅÌ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÍ. ðÒÉ p > 0 ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å N 0 ÏÐÅÒÁÃÉÀ +. m; n 2 0; p 1 ÐÏÌÏÖÉÍ ^n = m+

m + n; ÅÓÌÉ m + n < p; m + n + 1 p; ÅÓÌÉ m + n p:

åÓÌÉPm; n 2 N 0 | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ Ó p-ÉÞÎÙÍÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑÍÉ m = n = s0 ns ps, ms ; ns 2 0; p 1, ÔÏ ÐÏÌÏÖÉÍ

m +^ n =

P

s,

s0 ms p

X s0

^ ns )ps: (ms +

^ ÐÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÏÐÅÒÁÃÉÉ ÓÌÏÖÅÎÉÑ × p-ÉÞÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÞÉÓÌÅÎÉÑ, ÅÓÌÉ ïÐÅÒÁÃÉÑ + ÅÄÉÎÉÃÙ ÐÅÒÅÎÏÓÁ ÐÒÉÂÁ×ÌÑÔØ Ë ÔÏÍÕ ÖÅ ÒÁÚÒÑÄÕ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÎÁ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ (Á ÎÅ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÒÁÚÒÑÄÕ, ËÁË ÏÂÙÞÎÏ). 6.1.3. ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ k, l | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. ôÏÇÄÁ ÍÎÏ^ n : m 2 0; k 1; n 2 0; l 1g ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÏÔÒÅÚËÏÍ 0; (k _ l) 1. ÖÅÓÔ×Ï fm +

2 ðÕÓÔØ P m=

l 1= ms = ks É

P

2

s 0; k 1, n s0 ms p s ms ; ns; ks ; ls < p, s0 ls p , 0 ns = ls ÐÒÉ ×ÓÅÈ s , ÔÏ

P

P

= s0 ns ps 2 0; l 1, k 1 = s0 ks ps , É ÐÕÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÉÚ (6.1.1). åÓÌÉ

X ^ n (p 1) + (p 1)p + ::: + (p 1)p 1 + (ks + ls)ps = k _ l m+ s

1:

çìá÷á 6.

184

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

÷ ÐÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ mt < kt ÉÌÉ nt < lt ÐÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ t . âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ t | ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Ó ÔÁËÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. ôÏÇÄÁ X m +^ n (p 1) + (p 1)p + ::: + (p 1)pt 1 + (mt + nt )pt + (ms + ns )ps s>t

pt

1 + (kt + lt

1)pt +

X

X

s>t

st

(ks + ls )ps =

(ks + ls )ps

1 < k _ l:

äÏËÁÖÅÍ ÔÅÐÅÒØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ r 2 0; k _Pl 1 ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÞÉÓÌÁ m 2 ^ n = r. ðÕÓÔØ r = s0 rsps , 0 rs < p. åÓÌÉ 0; k 1, n 2 0; l 1 ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ m + rs = ks + ls ÐÒÉ ×ÓÅÈ s 0, ÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÚÑÔØ m = k 1, n = l 1. ÷ ÐÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ rt < kt + lt ÐÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ t 0. ðÕÓÔØ t | ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ Ó ÜÔÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. ôÏÇÄÁ kt > 0 ÉÌÉ lt > 0. âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ kt > 0. ôÏÇÄÁ ÞÉÓÌÁ X X m = r0 + r1 p + ::: + rt 1 pt 1 + ksps ; n = lt pt + ls ps s>t

s>t

| ÉÓËÏÍÙÅ. 2 óÏÇÌÁÓÎÏ x 7.3E, k ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ a[m] (i) = mi ai m , m 2 0; k 1, ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP ((x a)k ) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . äÌÑ ÐÏÌÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ p > 0 ÍÙ ÕËÁÖÅÍ ÅÝÅ ÏÄÉÎ ÂÁÚÉÓ LP ((x e)k ). äÌÑ P ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á s ÞÉÓÌÁ m 2 N 0 Ó p-ÉÞÎÙÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ m = s0 ms p , 0 ms < p, ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ efmg 2 P h1i ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ ms

Y i efmg = ps s0

=

Y s0

(e[p ])ms : s

6.1.4. ìÅÍÍÁ. åÓÌÉ p = char P > 0, ÔÏ ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ k 2 N ÓÉÓÔÅÍÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ efmg , m 2 0; k 1, ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP ((x e)k ) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P .

2 íÎÏÇÏÞÌÅÎ A(x) 2 Q [x] ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁÚÏ×ÅÍ ÃÅÌÏÚÎÁÞ x ÎÙÍ, ÅÓÌÉ A(i) 2 Z ÐÒÉ ×ÓÅÈ i 2 N 0 . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Al (x) = l | ÃÅÌÏÚÎÁÞÎÙÊ

ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ l ÓÏ ÓÔÁÒÛÉÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏÍ 1=l!, É ÅÓÌÉ ÞÉÓÌÏ l ÉÍÅÅÔ pP Q ÉÞÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ l = s0 ls ps, 0 ls < p, ÔÏ Bl (x) = s0 pxs ls | ÃÅÌÏÚÎÁÞÎÙÊ Q ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ l ÓÏ ÓÔÁÒÛÉÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏÍ 1=Dl , ÇÄÅ Dl = s0 (ps !)ls . ÷ÓÑËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ A(x) 2 Q [x] ÓÔÅÐÅÎÉ l ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÉ A(x) = c0 A0 (x) + c1 A1 (x) + ::: + cl Al (x), c0 ; :::; cl 2 Q , É ÅÓÌÉ A(x) | ÃÅÌÏÚÎÁÞÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, ÔÏ, ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ x = 0; 1; :::; l, ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ c0 ; :::; cl 2 Z. âÁÚÉÓÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP ((x e)k ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ËÁË ÕÖÅ ÏÔÍÅÞÁÌÏÓØ, ÓÉÓÔÅÍÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ e[0], e[1] , ..., e[k 1], ÇÄÅ e[l](i) = Al (i)e. ðÏÜÔÏÍÕ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï LP ((x e)k ) ÍÏÖÎÏ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÔØ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ v ×ÉÄÁ v = A(x)e, ÇÄÅ A(x) | ÃÅÌÏÚÎÁÞÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ deg A(x) < k.

çìá÷á 6.

185

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÌÅÍÍÙ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÏËÁÚÁÔØ ÉÎÄÕËÃÉÅÊ ÐÏ k, ÞÔÏ ÜÔÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÓÉÓÔÅÍÕ ef0g , ef1g , ..., efk 1g , ÇÄÅ eflg (i) = Bl (i)e. ðÒÉ k = 1 ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ, ÔÁË ËÁË e[0] = ef0g . ðÕÓÔØ m > 1 É ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ k = m 1. äÏËÁÖÅÍ ÅÇÏ ÄÌÑ k = m. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ e[k 1] ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÓÉÓÔÅÍÕ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ e[0] , ..., e[k 2] , efk 1g . ðÏÓÌÅÄÎÅÅ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÂÕÄÅÔ ÄÏËÁÚÁÎÏ, ÅÓÌÉ ÄÏËÁÚÁÔØ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÞÉÓÅÌ Nl ; Ml 2 Z ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ (Nl ; p) = 1 É Nl Al (x) Ml Bl (x) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ ÍÅÎØÛÅÊ l. ðÕÓÔØ pa É pb | ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÅ ÓÔÅÐÅÎÉ ÞÉÓÌÁ p, ÄÅÌÑÝÉÅ ÞÉÓÌÁ l! É Dl ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ôÏÇÄÁ a = b, ÐÏÓËÏÌØËÕ X

s XX X X X X ps l s t s t= a= = l p = l p ls s s t t = b: p p t1 t1 st s1 t=1 s1 t1

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, l! = pa Ml É Dl = pa Nl , ÇÄÅ Ml , Nl | ÃÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ, ×ÚÁÉÍÎÏ ÐÒÏÓÔÙÅ Ó p. ðÏÜÔÏÍÕ ÓÔÁÒÛÉÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Nl Al (x) É Ml Bl (x) ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ (É ÒÁ×ÎÙ 1=pa ), É ÒÁÚÎÏÓÔØ Nl Al (x) Ml Bl (x) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ ÍÅÎØÛÅÊ l, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. 2 6.1.5. ìÅÍÍÁ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ k, l ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï L ((x e)k )L ((x e)l ) = L ((x e)k_l ): P

P

P

2 ðÕÓÔØ p > 0. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ a 2 Zp ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

am an

= am+^ n , ÏÔËÕÄÁ

ms ns

Y i (efmg efng )(i) = ps s0

i ps

e

Y i ms +^ ns = e = efm+^ ng (i): s p s0

ôÅÐÅÒØ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÌÅÍÍ 6.1.4 É 6.1.3. ðÕÓÔØ p = 0. ôÁË ËÁË ÓÉÓÔÅÍÁ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ e[m] (i) = i k m e, m 2 0; k 1, ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP ((x e) ), ÔÏ ÂÁÚÉÓÏÍ ÜÔÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÂÕÄÅÔ ÔÁËÖÅ ÓÉÓÔÅÍÁ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ e<m> (i) = im e, m 2 0; k 1, ÐÏÓËÏÌØËÕ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ 0 ÕËÁÚÁÎÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ É ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÞÅÒÅÚ ÄÒÕÇÁ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

LP ((x e)k )LP ((x e)l ) = P (e<m> e : m 2 0; k 1; n 2 0; l 1) = : r 2 0; k + l 2) = L ((x e)k+l 1 ) = L ((x e)k_l ): 2 P (e P P

äÁÌØÎÅÊÛÅÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÒÁÓÐÒÏÓÔÒÁÎÅÎÉÉ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÌÅÍÍÙ 6.1.5 ÎÁ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ f (x); g (x) 2 P [x]. ðÏÓËÏÌØËÕ ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÍÙ ÐÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÀ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÐÏÌÑ P , ÎÁÍ ÐÏÔÒÅÂÕÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á.

çìá÷á 6.

186

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

6.1.6. ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ f (x); g (x) 2 P [x] | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, É Q | ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ÐÏÌÑ P . ôÏÇÄÁ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ. (a) LP (f ) = P h1i \ LQ (f ). (b) åÓÌÉ LP (f )LP (g ) = LP (h), ÇÄÅ h(x) 2 P [x], ÔÏ LQ (f )LQ(g ) = LQ (h). (c) LP (f )LP (g ) = P h1i \ LQ (f )LQ(g ).

2 (a) ëÁÖÄÏÅ ÉÚ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ É ÏÞÅ×ÉÄÎÏ.

(b) ðÕÓÔØ efs | ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ LP (f ) Ó ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ (0; :::; 0; e, 0; :::; 0), ÇÄÅ e ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÎÁ s-ÏÍ ÍÅÓÔÅ. ôÏÇÄÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ efs , 0 s < deg f (x) ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP (f ) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , Á ÔÁËÖÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LQ (f ) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q (ÓÍ. x 7.3B). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ deg f (x) = m, deg g (x) = n, deg h(x) = k. ôÏÇÄÁ ÉÚ ×ËÌÀÞÅÎÉÊ efs egt 2 LP (h) LQ (h), s 2 0; m 1, t 2 0; n 1, ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ LQ (f )LQ(g ) LQ (h). ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÔÁË ËÁË LP (f )LP (g ) = LP (h), ÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ehr , r 2 0; k 1, ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ efs egt , s 2 0; m 1, t 2 0; n 1, ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ðÏÜÔÏÍÕ LQ (h) LQ (f )LQ(g ). (c) ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ (a) É (b). 2 6.1.7. ìÅÍÍÁ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ a 2 P n 0, k 2 N ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

LP ((x a)k ) = LP (x a)LP ((x e)k ): k 2 ðÒÉ i a 6= 0 ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP ((x a) ) ÏÂÒÁÚÕÀÔ k ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏi ÓÔÅÊ l a , l 2 0; k 1 (ÏÔÌÉÞÁÀÝÉÈÓÑ ÏÔ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ a[l]

ÍÎÏÖÉÔÅÌÑÍÉ al ). ÷ ÔÏ ÖÅ ×ÒÅÍÑ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ LP (x a)LP ((x e)k ) ÅÓÔØ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÐÏÒÏÖÄÁÅÍÏÅ ÜÔÉÍÉ ÖÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ. 2 2 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 6.1.2. ðÕÓÔØ f (x) É g(x) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ÷ÎÁÞÁÌÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ f (0)g (0) 6= 0, f (x) 6= e, g (x) 6= e. ðÕÓÔØ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f (x) É g (x) ÎÁÄ ÏÂÝÉÍ ÐÏÌÅÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Q ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ (6.1.2). éÓÐÏÌØÚÕÑ (7.3.16) É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï U (V + W ) = UV + UW , U; V; W < P h1i , ÐÏÌÕÞÁÅÍ:

LQ (f )LQ (g ) = X i;j

m X i=1

LQ (x ai

)ki

n X j =1

LQ (x bj )lj =

LQ (x ai )ki LQ (x bj )lj :

ïÔÓÀÄÁ, ××ÉÄÕ ÌÅÍÍÙ 6.1.7,

LQ (f )LQ (g ) =

X i;j

LQ (x ai )LQ (x e)ki LQ (x bj )LQ (x e)lj :

çìá÷á 6.

187

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

ðÏÌØÚÕÑÓØ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔØÀ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ, ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ LQ (x LQ (x ai bj ) É ÌÅÍÍÁÍÉ 6.1.5, 6.1.7, ÐÏÌÕÞÁÅÍ

LQ (f )LQ(g ) =

X i;j

LQ (x ai bj )LQ ((x e)ki _lj ) =

X i;j

ai )LQ (x

bj ) =

LQ (x ai bj )ki _lj =

LQ îïë (x ai bj )ki _lj : i; j = LQ (f _ g ): ôÅÐÅÒØ ÉÚ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 6.1.1 É ÌÅÍÍÙ 6.1.6(a,c) ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï LP (f )LP (g ) = LP (f _ g ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ LP (xk f )LP (xl g ), ÇÄÅ f (x) É g (x) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , f (0)g (0) 6= 0, k; l 2 N 0 É xk f (x) 6= e, xl g (x) 6= e. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÃÅÐÏÞËÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ× LP (xk f )LP (xl g ) = (LP (xk ) + LP (f ))(LP (xl ) + LP (g )) = LP (xk )LP (xl ) + LP (xk )LP (g ) + LP (f )LP (xl ) + LP (f )LP (g ) = LP (xminfk;lg) + LP (xk ) + LP (xl ) + LP (f _ g ) = LP (xmaxfk;lg) + LP (f _ g ) = LP (xmaxfk;lgf _ g ) = LP (xk f _ xl g ): îÁËÏÎÅÃ, ÅÓÌÉ f (x) 2 P [x] | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, ÔÏ LP (e)LP (f ) = 0 LP (f ) = 0 = LP (e) = LP (e _ f );

É ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ LP (f )LP (e) = LP (f _ e). 2 ïÐÅÒÁÃÉÑ ÄÉÚßÀÎËÃÉÉ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å N ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁ É ÁÓÓÏÃÉÁÔÉ×ÎÁ. P ìÅÇËÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ k1 , ..., kn 2 N É kt 1 = s0 kts ps , 0 kts < p, ÔÏ n _ t=1

ÇÄÅ

kt = p +

X s

(k1s + ::: + kns)ps ;

= minf t 0 : k1s + ::: + kns < p ÐÒÉ s t g: ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÐÅÒÁÃÉÑ ÄÉÚßÀÎËÃÉÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÕÎÉÔÁÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁ É ÁÓÓÏÃÉÁÔÉ×ÎÁ. åÓÌÉ xrt ft (x), ft (0) 6= 0, t 2 1; n | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , ÎÅ ÒÁ×ÎÙÅ e, Ó ËÁÎÏQ t k ÎÉÞÅÓËÉÍÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑÍÉ ft (x) = m ( x a ti ) ti ÎÁÄ ÏÂÝÉÍ ÐÏÌÅÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ, i=1 ÔÏ n _

t=1

xrt ft (x) = xmaxfr ;:::;rng îïë (x a1i :::anin )k i _:::_knin : i1 2 1; m1 ; :::; in 2 1; mn : 1

1

1 1

6.1.8. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. åÓÌÉ f1 (x), ..., fn (x) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , ÔÏ LP (f1 ):::LP (fn ) = LP (f1 _ ::: _ fn ), ÐÒÉÞÅÍ deg(f1 _ ::: _ fn ) deg f1 ::: deg fn .

÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÑ n-ËÒÁÔÎÕÀ ÄÉÚßÀÎËÃÉÀ f _ f _ ::: _ f ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) ÞÅÒÅÚ f _n, ÐÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ LP (f )n = LP (f _n ).

çìá÷á 6.

6.2

188

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

ëÏÎ×ÏÌÀÃÉÑ É Ó×ÅÒÔËÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ

A. ëÏÎ×ÏÌÀÃÉÅÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u; v u v 2 P h1i ÓÏ ÚÎÁËÁÍÉ

(u v )(i) =

2 P h1i

ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ

i X i

j j =0

u(j )v (i j ); i 0:

P h1i ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÏÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ ×ÉÄÁ u v , u 2 U , v 2 V : U V = P (u v : u 2 U; v 2 V ): (6.2.1)

ëÏÎ×ÏÌÀÃÉÅÊ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U; V

ëÏÎ×ÏÌÀÃÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ, ÁÓÓÏÃÉÁÔÉ×ÎÏÊ É ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÏÐÅÒÁÃÉÅÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å P h1i ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . óÄ×ÉÇ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÁÌÇÅÂÒÙ (P h1i ; +; ), Ô.Å. ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÏÐÅÒÁÔÏÒÏÍ ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ

x(u v ) = xu v + u xv;

(6.2.2)

ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÐÒÏ×ÅÒËÏÊ. éÚ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (6.2.2) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ËÏÎ×ÏÌÀÃÉÑ LP (f ) LP (g ) Ä×ÕÈ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ× ÚÁÍËÎÕÔÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÄ×ÉÇÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×ÏÍ. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ h(x) 2 P [x] ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ LP (f ) LP (g ) = LP (h). ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÐÕÎËÔÅ ÍÙ ÏÐÉÛÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ h(x) (ÓÍ. [12]). ðÕÓÔØ f (x) É g (x) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , ÎÅ ÒÁ×ÎÙÅ e, ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁÄ ÏÂÝÉÍ ÐÏÌÅÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ

f (x) = (x a1 )k :::(x am )km ; g (x) = (x b1 )l :::(x bn )ln ; 1

1

(6.2.3)

ÇÄÅ ai ; bj 2 P . ëÏÎ×ÏÌÀÃÉÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f É g ÎÁÚÏ×ÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

f g = îïë (x ai

bj )ki _lj : i 2 1; m; j 2 1; n ;

ÇÄÅ ki _ lj | ÄÉÚßÀÎËÃÉÑ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ × x 6.1. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) 2 P [x] ÐÏÌÏÖÉÍ e f = f e = e. ôÁË ÖÅ, ËÁË É × ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÉ 6.1.1, ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ f g | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, ÍÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ËÏÎ×ÏÌÀÃÉÀ ÍÏÖÎÏ ÎÁÚ×ÁÔØ \ÁÄÄÉÔÉ×ÎÙÍ ÁÎÁÌÏÇÏÍ" ÄÉÚßÀÎËÃÉÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. îÁÛ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ: 6.2.1. ôÅÏÒÅÍÁ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÕÎÉÔÁÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f (x); g (x) 2 P [x] ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï LP (f ) LP (g ) = LP (f g ).

ðÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔÓÑ Ä×Á ×ÓÐÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ.

çìá÷á 6.

189

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

6.2.2. ìÅÍÍÁ. (ÔÅÏÒÅÍÁ ìÀËÁ, ÓÍ. [2, ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ 4.72]) ðÕÓÔØ p | ÐÒÏÓÔÏÅP ÞÉÓÌÏ É m, n | PÃÅÌÙÅ ÎÅÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ Ó p-ÉÞÎÙÍÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑÍÉ m = s0 ms ps, n = s0 ns ps , ms ; ns 2 0; p 1. ôÏÇÄÁ

m n

ms ns s0 Y

(mod p):

÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ mn ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ns ms ÐÒÉ ×ÓÅÈ s 0.

2 ðÕÓÔØ m = Mp + m0 , n = Np + n0, m0 ; n0 2 0; p 1. ôÏÇÄÁ (1 + x)m = (1 + x)Mp+m (1 + xp )M (1 + x)m (mod p); 0

ÉÌÉ

m X M n=0

n

xn

óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ

0

M X m0

i=0 ÐÒÉ xn

m n

i

xpi

m0 X m j =0

j

xj (mod p):

= xNp+n , ÐÏÌÕÞÉÍ 0

M N

É ÏÓÔÁÅÔÓÑ ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÉÎÄÕËÃÉÅÊ.

m0 n0

(mod p);

2

6.2.3. ìÅÍÍÁ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ a; b 2 P , k; l 2 N ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï LP ((x a)k ) LP ((x b)l ) = LP ((x a b)k_l ): (6.2.4)

2 îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÐÒÏ×ÅÒËÏÊ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ a[k](i) = ki ai k ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ

k+l a[k] b[l] = (a + b)[k_l]; a; b 2 P; k; l 2 N : k

(6.2.5)

ëÁË ÏÔÍÅÞÅÎÏ × x 7.3E, ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ a[0] , ..., a[k 1] ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP ((x a)k ) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ÷ ÓÌÕÞÁÅ p = char P = 0 ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (6.2.4) ÓÌÅÄÕÅÔ ÔÅÐÅÒØ ÉÚ (6.2.5) É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á k _ l = k + l 1 (ÐÒÉ p = 0). ðÕÓÔØ p > 0. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ U É V ÌÅ×ÕÀ É ÐÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (6.2.4). äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ×ËÌÀÞÅÎÉÑ U V ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ m 2 0; k 1, n 2 0; l 1 ËÏÎ×ÏÌÀÃÉÑ a[m] b[n] = mm+n (a + b)[m_n] ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ V . åÓÌÉ mm+n 0 (mod p), ÔÏ ÜÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ. ðÕÓÔØ mm+n 6 ^ n, 0 (mod p). ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ìÀËÁ ms + ns < p ÐÒÉ ×ÓÅÈ s 0. ôÏÇÄÁ m + n = m + [ m ] [ n ] ^ É ÐÏ ÌÅÍÍÅ 6.1.3 m + n < k _ l, ÏÔËÕÄÁ É ÓÌÅÄÕÅÔ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ a b 2 V . äÏËÁÖÅÍ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ V U . ÷×ÉÄÕ ÌÅÍÍÙ 6.1.3, ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ r 2 ^ n = r. ðÒÉ 0; k _ l 1 ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÞÉÓÌÁ m 2 0; k 1, n 2 0; l 1 ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ m +

çìá÷á 6.

190

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

ÜÔÏÍ ÉÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÌÅÍÍÙ 6.1.3 ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÁ m É n ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÔÁË, ^ n = r, É, ××ÉÄÕ (6.2.5), ÞÔÏ ms + ns < p ÐÒÉ ×ÓÅÈ s 0. ôÏÇÄÁ m + n = m + m + n m [ m ] [ n ] [ r ] a b = m (a + b) , ÐÒÉÞÅÍ ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ìÀËÁ m+n ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p. ðÏÜÔÏÍÕ (a + b)[r] 2 U É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, V U . 2 2 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 6.2.1. ÷ ÐÅÒ×ÕÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÚÁÍÅÎÅ ÄÉÚßÀÎËÃÉÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁ ËÏÎ×ÏÌÀÃÉÀ ÏÓÔÁÅÔÓÑ × ÓÉÌÅ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ (É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï) ÌÅÍÍÙ 6.1.6(b,c). ðÕÓÔØ f (x) É g (x) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÎÅ ÒÁ×ÎÙÅ e ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P (ÓÌÕÞÁÊ, ËÏÇÄÁ f (x) = e ÉÌÉ g (x) = e, ÏÞÅ×ÉÄÅÎ) Ó ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÍÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑÍÉ (6.2.3) ÎÁÄ ÏÂÝÉÍ ÐÏÌÅÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Q. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÌÅÍÍÏÊ 6.2.3 É ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÌÅÍÍÙ 6.1.6, ÐÏÌÕÞÉÍ:

LQ (f ) LQ (g ) = X

i;j

X i;j

LQ (x ai )ki

LQ (x ai

LQ (x bj )l

j

=

bj )ki _lj =

LQ îïë (x ai bj )ki _lj : i 2 1; m; j 2 1; n = LQ (f g ): ôÁË ËÁË f g | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , ÔÏ ÏÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ LP (f ) LP (g ) = LP (f g ). 2 6.2.4. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÕÓÔØ P = GF (q ) | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÐÏÌÅ, É f (x), g (x) | ÕÎÉ-

ÔÁÒÎÙÅ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , ÓÔÅÐÅÎÉ m É n ËÏÔÏÒÙÈ ×ÚÁÉÍÎÏ ÐÒÏÓÔÙ. ôÏÇÄÁ, ËÁË ÌÅÇËÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, f _ g É f g | ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÐÅÎÉ mn. üÔÏ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ ÄÁÅÔ ÓÐÏÓÏÂ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÂÏÌØÛÉÈ ÓÔÅÐÅÎÅÊ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÐÏÌÅÍ: ÅÓÌÉ ×ÙÂÒÁÔØ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u 2 LP (f ), v 2 LP (g ), ÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ f _ g É f g ÂÕÄÕÔ ÒÁ×ÎÙ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ uv É u v ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, É ÜÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎÙ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ âÅÒÌÅËÜÍÐÁ|íÅÓÓÉ. ôÒÕÄÏÅÍËÏÓÔØ ÔÁËÏÇÏ ÓÐÏÓÏÂÁ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÓÔÅÐÅÎÉ mn ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ O((mn)2 ) ÏÐÅÒÁÃÉÊ ÐÏÌÑ GF (q ). ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f _ g ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÍ, ÔÏÇÄÁ ËÁË ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f g ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÍ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ P = GF (2), f (x) = x2 + x + 1, g (x) = x3 + x + 1, ÔÏ f g ÅÓÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÜÌÅÍÅÎÔÁ a + b ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ GF (2), ÇÄÅ a É b | ËÏÒÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f (x) É g (x) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÐÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ, ÞÔÏ f g = x6 + x5 + x3 + x2 +1, É ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÅÎ. äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ k-ÇÏ ÚÎÁËÁ ËÏÎ×ÏÌÀÃÉÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u É v Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ (6.2.1) ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÚÎÁÔØ ÚÎÁËÉ u(i), v (i) ÐÒÉ ×ÓÅÈ i 2 0; k. îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ËÁË ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ, ÚÎÁËÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u v ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏ, ÈÒÁÎÑ × ÐÁÍÑÔÉ ÍÁÔÒÉÃÕ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÒÁÚÍÅÒÁ m n. ÷ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÉ 6.2.5 ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÎÕÍÅÒÁÃÉÑ ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌÂÃÏ× ÍÁÔÒÉÃ ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÎÕÌÑ. åÓÌÉ M | ÍÁÔÒÉÃÁ ÒÁÚÍÅÒÁ m n, ÔÏ ÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ Mij , i 2 0; m 1, j 2 0; n 1.

çìá÷á 6.

191

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

6.2.5. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ f (x); g (x) 2 P [x] | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÐÅÎÅÊ m É n ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. äÌÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u 2 LP (f ), v 2 LP (g ) ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÁÔÒÉÃ M (k) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÒÁÚÍÅÒÏ× m n, ÐÏÌÁÇÁÑ

Mij(0) = u(i)v (j ); i 2 0; m 1; j 2 0; n 1;

M (k+1) = S (f )T M (k) + M (k) S (g ); k 0;

ÇÄÅ

0

S (f )T

=

0 e 0 0

0 ::: e :::

0 0

B B B .................... B @ 0 0 0 ::: e

C C C C A

0

1

f0 f1 f2 : : : fm 1

É

1

0 0 0 ::: 0

g0

mm

B e 0 0 : : : 0 g1 C B C C S (g ) = B 0 e 0 : : : 0 g 2 B C @ .................... A 0 0 0 : : : e gn 1 nn Pm 1 s | ÓÏÐÒÏ×ÏÖÄÁÀÝÉÅ ÍÁÔÒÉÃÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f (x) = xm s=0 fs x É Pn 1 (k) t 0. t=0 gt x . ôÏÇÄÁ (u v )(k ) = M0;0 ÐÒÉ ×ÓÅÈ k

g (x) = xn 1

2 äÏËÁÖÅÍ ÉÎÄÕËÃÉÅÊ ÐÏ k, ÞÔÏ Mij(k) = ((xiu) (xj v))(k), i 2 0; m 1, j 2

0; n

1. ðÒÉ k = 0 ÉÍÅÅÍ: M (0) = u(i)v (j ) = ((xi u)(0))((xj v )(0)) = ((xi u) (xj v ))(0): ij

ðÕÓÔØ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÄÏËÁÚÁÎÏ ÐÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ k 2 N 0 . ïÂÏk) ÚÎÁÞÉÍ X = S (f )T M (k) , Y = M (k) S (g ). åÓÌÉ i 2 0; m 2, ÔÏ Xij = Mi(+1 ;j = i +1 j (x u x v )(k). åÓÌÉ ÖÅ i = m 1, ÔÏ m m X1 X1 ( k) Xij = fs Msj = fs (xs u xj v )(k) = s=0 s=0 m k k m X1 X X X1 t t fs u(t + s)v (k t + j ) = v (k t + j ) fs u(t + s) = s s s=0 t=0 t=0 s=0 k X t v (k t + j )u(t + m) = (xm u xj v )(k): s t=0 ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ i 2 0; m 1 ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Xij = (xi+1 u xj v )(k). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ Yij = (xi u xj +1 v )(k). ôÅÐÅÒØ, ××ÉÄÕ (6.2.1), Mij(k+1) = Xij + Yij = (xi+1 u xj v + xi u xj +1 v )(k) =

çìá÷á 6.

192

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

(x(xi u xj v ))(k) = (xi u xj v )(k + 1); ÞÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÛÁÇ ÉÎÄÕËÃÉÉ. 2 B. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÝÅ ÏÄÎÕ ÏÐÅÒÁÃÉÀ ÎÁÄ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ [45]. ó×ÅÒÔËÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u; v 2 P h1i ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ uOv 2 P h1i ÓÏ

ÚÎÁËÁÍÉ

(uOv )(i) =

i X j =0

u(j )v (i j ); i 0:

P h1i ÎÁÚÏ×ÅÍ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U OV = P (uOv : u 2 U; v 2 V ):

ó×ÅÒÔËÏÊ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U; V

ó×ÅÒÔËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ, ÁÓÓÏÃÉÁÔÉ×ÎÏÊ É ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÏÐÅÒÁÃÉÅÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å P h1i . áÌÇÅÂÒÁ (P h1i ; +; O) ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÁÌÇÅÂÒÅ (P [[x]]; +; ) ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . éÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ÁÌÇÅÂÒÁÍÉ ÓÏÐÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u 2 P h1i ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ P Gu (x) = i0 u(i)xi 2 P [[x]]. 6.2.6. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ f (x); g (x) 2 P [x] | ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÎÅ ÒÁ×ÎÙÅ e ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÐÅÎÅÊ m É n ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ôÏÇÄÁ LP (f )OLP (g ) ÅÓÔØ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ m + n 1 × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å LP (fg ) (ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ m + n).

2 óÏÇÌÁÓÎÏ [17, ÔÅÏÒÅÍÁ 8.40], ÓÅÍÅÊÓÔ×Á LP (f ) É LP (g) ÓÕÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÐÏÓÌÅ-

ÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u É v , ÐÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ

Gu (x) = fA((xx)) ; óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

deg A(x) < m;

Gv (x) = gB((xx)) ;

deg B (x) < n:

(x)B (x) GuOv (x) = Gu(x)Gv (x) = A(fg : )(x)

ðÏÜÔÏÍÕ LP (f )OLP (g ) ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ w Ó ÐÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÉÍÉ ÆÕÎËÃÉÑÍÉ ×ÉÄÁ

Gw (x) = (fgC)(x()x) ;

deg C (x) < m + n 1;

Ô.Å. ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × LP (fg ) ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ m + n 1. 2 ìÅÇËÏ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï LP (f )OLP (g ) ÐÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ xi efg , i 2 1; m + n 1, ÔÏÇÄÁ ËÁË ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LP (fg ) | ÐÏÓÌÅÄÏ×Áfg ÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ xi efg i , i 2 0; m + n 1. úÄÅÓØ ÞÅÒÅÚ e ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÉÍÐÕÌØÓÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x)g (x) (ÓÍ. x 7.3B).

çìá÷á 6.

193

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

L

1 HH HH H

...

m

HH HHH - v(i)

òÉÓ. 6.1: õÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ìòð ÎÅÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ 6.3

õÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÅÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ

A. ðÕÓÔØ u

2 LP (f ) |

ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x) 2 P [x] ÓÔÅÐÅÎÉ m 1, É : P m ! P | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ. ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÆÕÎËÃÉÑ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ×ÉÄÁ (x1 ; :::; xm ) =

X

0k1 ;:::;kmq 1

bk :::km xk1 :::xkmm : 1

1

ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ v 2 P h1i ÓÏ ÚÎÁËÁÍÉ

v (i) = (u(i); :::; u(i + m 1)); i 0;

(6.3.1)

ÎÁÚÏ×ÅÍ ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÅÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u ÆÕÎËÃÉÅÊ . ôÁËÏÊ ÓÐÏÓÏÂ ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÓÈÅÍÏÊ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÊ ÎÁ ÒÉÓ. 6.1. ïÎ ÞÁÓÔÏ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÐÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ. 6.3.1. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ u 2 LP (f ), deg f (x) = m, É ÆÕÎËÃÉÑ : P m ! P ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) ÓÔÅÐÅÎÉ r 2 1; m(q 1). ôÏÇÄÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ v , ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÁÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (6.3.1), ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ LP (f ), ÇÄÅ

f (x) = îïë x e; f; f _2 ; :::; f _r :

2 úÎÁËÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ v ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ v (i) =

X

0k1 ;:::;kmq 1

bk :::km u(i)k :::u(i + m 1)km : 1

1

(6.3.2)

çìá÷á 6.

194

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

åÓÌÉ k1 + ::: + km = s, ÔÏ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ w Ó ÏÂÝÉÍ ÞÌÅÎÏÍ w(i) = u(i)k :::u(i + m 1)km , × ÓÉÌÕ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ 6.1.8, ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ LP (f _s ) ÐÒÉ s > 0 ÉÌÉ LP (x e) ÐÒÉ s = 0. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 1

v 2 LP (x e) +

r X s=1

LP (f _s) = LP (f ): 2

6.3.2. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ u | ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x) ÓÔÅÐÅÎÉ m, r 2 1; m(q 1), É V | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ×ÉÄÁ (6.3.1), ÐÏÌÕÞÁÀÝÉÈÓÑ ÐÒÉ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÑÈ (x1 ; :::; xm ) ÓÔÅÐÅÎÅÊ deg r. ôÏÇÄÁ V = LP (f ).

2 ÷ËÌÀÞÅÎÉÅ V LP (f ) ÄÏËÁÚÁÎÏ × ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÉ 6.3.1. äÏËÁÖÅÍ ÏÂÒÁÔ-

ÎÏÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ. ôÁË ËÁË f (x) | ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ìòð u, ÔÏ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u, xu, ..., xm 1 u ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP (f ). ðÏÜÔÏÍÕ ËÁÖÄÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ LP (f ) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÏÌÕÞÅÎÁ ËÁË ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ l(x1 ; :::; xm ). ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 6.1.2 ×ÓÑËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ LP (f _s ) ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ËÏÍÂÉÎÁÃÉÑ s-ËÒÁÔÎÙÈ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÉÚ LP (f ), É ÐÏÜÔÏÍÕ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÏÌÕÞÅÎÁ ËÁË ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ '(x1 ; :::; xm ) ÓÔÅÐÅÎÉ s. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÚ LP (x e) ÐÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÐÒÉ ' = const, Ô.Å. P s = 0. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÓÑËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÚ LP (f ) = LP (x e) + rs=1 LP (f _s ) ÅÓÔØ ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ (x1 ; :::; xm ) ÓÔÅÐÅÎÉ ÎÅ ×ÙÛÅ r. 2 äÁÄÉÍ ÔÅÐÅÒØ ×ÅÒÈÎÀÀ ÏÃÅÎËÕ ÒÁÎÇÁ (ÓÔÅÐÅÎÉ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ) ×Ù ÈÏÄÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÓÈÅÍÙ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÊ ÎÁ ÒÉÓ. 6.1. ðÕÓÔØ ms q É Mq (m; r) | ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÙÅ ÉÚ (3.5.5), (3.5.6). îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ms q ÒÁ×ÎÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÒÁÚÍÅÝÅÎÉÊ s ÐÒÅÄÍÅÔÏ× ÐÏ m ÑÝÉËÁÍ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, m ÞÔÏ × ËÁÖÄÙÊ ÑÝÉË ÐÏÐÁÄÁÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ q 1 ÐÒÅÄÍÅÔÏ×. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, s q ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ ÒÅÛÅÎÉÊ (x1 ; :::; xm ) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x1 + ::: + mx m = sm× ÃÅÌÙÈ m ÞÉÓÌÁÈ xi 2 0; q 1. ÷ ÞÁÓÔÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ q = 2 ×ÅÒÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï s 2 = s É 0 q = 1 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ q 2. 6.3.3. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ f (x) | ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ m ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) É r 2 1; m(q 1), ÔÏ

deg f (x)

Mq (m; r) =

r n o X m s=0

s

q

:

åÓÌÉ f (x) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ, ÔÏ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

deg f (x) = Mq (m; r):

çìá÷á 6.

195

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

2 ðÕÓÔØ a | ËÏÒÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) × ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÉ GF (qm) ÐÏÌÑ P . ôÏÇÄÁ ×ÓÅ m ËÏÒÎÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) ÒÁÚÌÉÞÎÙ É ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ aq , i 2 0; m 1. ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ i

ÄÉÚßÀÎËÃÉÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ f (x) | ÓÅÐÁÒÁÂÅÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, É i i s ÅÇÏ ËÏÒÎÉ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ aq :::aq , i1 ; :::; is 2 0; m 1, s 2 0; r. õÞÉÔÙ×ÁÑ, ÞÔÏ aqm = a, ÐÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÏÒÎÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ×ÉÄÁ ak +k q+:::+km qm , ÇÄÅ k0 ; :::; km 1 2 0; q 1, 0 k0 + ::: + km 1 r. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÞÉÓÌÏ ËÏÒÎÅÊ ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÞÉÓÌÁ ÎÁÂÏÒÏ× (k0 ; :::; km 1 ) Ó ÕËÁÚÁÎÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, Ô.Å. deg f (x) Mq (m; r). åÓÌÉ f (x) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ, ÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ak +k q+:::+km qm ÒÁÚÌÉÞÎÙ ÄÌÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× (k0 ; :::; km 1 ), É deg f (x) = Mq (m; r). 2 1

0

1

1

1

0

1

1

1

6.3.4. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ u | ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÒÁÎÇÁ m ÎÁÄ ÐÏ-

ÌÅÍ GF (q ), ÔÏ ÏÔÒÅÚÏË ÄÌÉÎÙ n = q m 1 ÕÓÌÏÖÎÅÎÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ v ×ÉÄÁ (6.3.1) ÅÓÔØ ËÏÄÏ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï ËÏÄÁ òÉÄÁ|íÁÌÌÅÒÁ ÄÌÉÎÙ n ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ GF (q ) ÐÏÒÑÄËÁ r = deg (ÓÍ. x 3.5). ðÒÏÃÅÄÕÒÁ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ òí-ËÏÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÎÁ ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÍ ÑÚÙËÅ, ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ËÌÀÞÁ × ÓÈÅÍÅ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÊ ÎÁ ÒÉÓ. 6.1, ÐÏ ×ÙÈÏÄÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ v . ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÉ, ÏÄÎÁËÏ, ÔÁËÏÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÎÅÐÒÉÇÏÄÅÎ ÄÌÑ ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ. äÅÌÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÉ òí-ËÏÄÁ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ×ÓÅ ËÏÄÏ×ÏÅ ÓÌÏ×Ï v (0; n 1), Ô.Å. ×ÅÓØ ÐÅÒÉÏÄ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ v . é ÅÓÌÉ ÄÌÉÎÁ òí-ËÏÄÁ n ÎÁ ÐÒÁËÔÉËÅ, ËÁË ÐÒÁ×ÉÌÏ, ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ 4096, ÔÏ × ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÈ ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÑÈ n ÉÍÅÅÔ ÐÏÒÑÄÏË 1020 É ×ÙÛÅ. îÁ ÜÔÏÍ ÐÒÉÍÅÒÅ ÈÏÒÏÛÏ ÐÒÏÓÌÅÖÉ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÌÉÞÉÅ ÔÅÏÒÉÉ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÉ. ÷ ÔÅÏÒÉÉ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÍÙ ÓÔÒÅÍÉÍÓÑ ÐÏÓÔÒÏÉÔØ ËÏÄÙ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÅ, ÐÏÍÉÍÏ ÄÒÕÇÉÈ ×ÁÖÎÙÈ ËÁÞÅÓÔ×, ÐÒÏÓÔÏÊ ÐÒÏÃÅÄÕÒÏÊ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ, Ô.Å. ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÐÏ ËÏÄÏ×ÏÍÕ ÓÌÏ×Õ. ëÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÑ, ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÁ ÎÁ ÔÁËÏÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÅÅ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÅ ÂÙÌÏ ÂÙ ËÁË ÍÏÖÎÏ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÍ (ÐÒÉ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ËÌÀÞÅ). óÈÏÄÓÔ×Ï ÔÅÏÒÉÉ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÉ ÏÂÕÓÌÏ×ÌÅÎÏ ÓËÏÒÅÅ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÏÂÝÅÇÏ ÁÐÐÁÒÁÔÁ (ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ, ÐÏÌÑ, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÁ), ÈÏÔÑ ÉÍÅÀÔÓÑ É ÐÒÉÍÅÒÙ ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÔÅÏÒÉÉ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ É ÏÃÅÎËÉ ËÒÉÐÔÏÓÉÓÔÅÍ (ÓÍ. x 6.6). îÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÏÌØÚÕÑÓØ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁÍÉ ÔÅÏÒÅÍÙ 3.5.9, ÍÏÖÎÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ×ÙÈÏÄÎÙÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÄÌÉÎÙ q m 1 Á×ÔÏÍÁÔÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉÓ. 6.1, ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ deg (x) = r < (q 1)m ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÞÅÍ × dq (m; r) (ÓÍ. (3.5.27)) ÔÁËÔÁÈ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ q = 2, ÔÏ d2 (m; r) = 2m r . B. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 6.3.1 É 6.3.3 ÐÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÏÃÅÎÉÔØ ÒÁÎÇ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ v ×ÉÄÁ (6.3.1) Ó×ÅÒÈÕ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ u | ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) É ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ, ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÔÏÞÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÁÎÇÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ v . ðÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏ ××ÅÄÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ.

çìá÷á 6.

196

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

ðÕÓÔØ q = pr , ÇÄÅ p = char P , É ÐÕÓÔØ

k=

X s0

ksps =

X t0

kt0 q t ; 0 ks < p; 0 kt0 < q; s; t 0;

| p-ÉÞÎÏÅ É q -ÉÞÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ k ÄÌÑ ×ÓÅÈ t 0. ÷ÅÌÉÞÉÎÙ

wp (k) =

X s0

2 N0.

(6.3.3)

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ kt0 =

ks ; wq (k) =

X t0

Pr 1 j j =0 krt+j p

kt0

(6.3.4)

ÎÁÚÏ×ÅÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ p-ÉÞÎÙÍ É q -ÉÞÎÙÍ ×ÅÓÏÍ ÞÉÓÌÁ k. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÉÓÅÌ k 2 N 0 , p-ÉÞÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ks ËÏÔÏÒÙÈ P ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ t0 krt+j < p ÐÒÉ j 2 0; r 1. üÌÅÍÅÎÔÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á

ÍÏÖÎÏ ÔÁËÖÅ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÔØ ËÁË ÞÉÓÌÁ k 2 N 0 , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÐÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ P 0 ÓÕÍÍÙ wq (k) = t0 kt × p-ÉÞÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÅ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÐÅÒÅÎÏÓÏ×. äÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ f (x) 2 P [x] ÓÔÅÐÅÎÉ m > 1 Ó ËÏÒÎÅÍ a 2 GF (q m ) ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ f (0) (x) = x e;

f (l) (x) =

Q

f x ak : k 2 ; 0 k < qm

1; wq (k) = l g; l 2 1; q

1:

ôÁË ËÁË ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÏÒÎÅÍ ak ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (l) (x) ÉÍÅÅÔ ÔÁËÖÅ ËÏÒÅÎØ akq , ÔÏ f (l) (x) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ ÉÓÈÏÄÎÙÍ ÐÏÌÅÍ P . 6.3.5. ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ u 2 LP (f ) | ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ), q = pr , Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x) ÓÔÅÐÅÎÉ m > 1. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ l 2 0; q 1 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (l) (x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ìòð ul , É r 1 Y m + ls 1 ( l ) = deg f (x) = : l 1 s s=0 l ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ q = p, ÔÏ rank u = deg f (l) (x) = ml+l1 1 .

rank ul

(6.3.5)

2 åÓÌÉ l = 0, ÔÏ u0 = (e; e; e; :::) É ÌÅÍÍÁ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. ðÕÓÔØ l 2 1; q 1. óÏÇÌÁÓÎÏ x 7.3E, ÚÎÁËÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ u(i) = trqq (cai), i 0, ÇÄÅ a 2 GF (q m ) | ËÏÒÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x), É c 2 GF (q m ) | ËÏÎÓÔÁÎÔÁ, ÎÅ ÒÁ×ÎÁÑ m

ÎÕÌÀ. ôÏÇÄÁ

u(i)l =

m X1 j =0

(cai )q

!l j

=

X

jt l

0

j0 +:::+jm 1 =l

l! m (cai )j +qj +:::+q j0 !:::jm 1 ! 0

1

1

jm

1

=

çìá÷á 6.

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

l!

X

kqm

0

1

k0 !:::k0 0

m

1!

197

(cai )k ;

wq (k)=l

ÇÄÅ k00 , ..., km0 1 | ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ q -ÉÞÎÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ k. óÏÇÌÁÓÎÏ x 7.3E, ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ìòð ul ÅÓÔØ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÔÁËÉÈ x ak , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ (ak )i ×ÈÏÄÉÔ × ÐÏÓÌÅÄÎÀÀ ÓÕÍÍÕ Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏÍ. ÷×ÉÄÕ ÔÅÏÒÅÍÙ ìÀËÁ (ÌÅÍÍÁ 6.2.2), ÐÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÉÚ ÐÏÓÌÅÄÎÅÊ ÓÕÍÍÙ ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ k 2 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Y Mul (x) = f x ak : k 2 ; 0 k q m 1; wq (k) = l g = f (l) (x) (ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÅÒÎÏ, ÐÏÓËÏÌØËÕ ÅÓÌÉ 0 k q m 1 É wq (k) = l 2 1; q 1, ÔÏ k < q m 1 ××ÉÄÕ ÕÓÌÏ×ÉÑ m > 1). äÏËÁÖÅÍ ÔÅÐÅÒØ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (6.3.5), Ô.Å. ÎÁÊÄÅÍ ÓÔÅÐÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (l) (x). äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ k 2 N 0 ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ k 2 , 0 k < q m 1, wq (k) = l ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÅÇÏ p-ÉÞÎÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

k0 + kr + ::: + k(m 1)r = l0 ; k1 + kr+1 + ::: + k(m 1)r+1 = l1 ; ::: kr 1 + k2r 1 + ::: + k(m 1)r+r 1 = lr 1 ; 0 kt < p; t 2 0; mr

1:

Q þÉÓÌÏ ÒÅÛÅÎÉÊ (k0 ; :::; kmr 1 ) ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÒÁ×ÎÏ rs=01 ml+s ls1 1 . 2 6.3.6. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ u 2 LP (f ) | ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ), q = pr , Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x) ÓÔÅÐÅÎÉ m > 1, É ÐÕÓÔØ Pq 1 :l P ! P | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ (x) = l=0 bl x , bl 2 P . ôÏÇÄÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ É ÒÁÎÇ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ v = (u) ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ r 1 Y X Y m + ls 1 ( l ) Mv (x) = f (x); rank v = ; ls l 2L l2L s=0 ÇÄÅ L = fl 2 0; q 1 : bl 6= 0g.

2 ôÁË ËÁË ËÏÒÅÎØ a ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÐÏÌÑ P , ÔÏ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ak , 0 k < q m 1, ÒÁÚÌÉÞÎÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ f (l) (x), l 2 0; q 1, ÐÏÐÁÒÎÏ ×ÚÁÉÍÎÏ ÐÒÏÓÔÙ. ôÏÇÄÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ v = (u) = P l l l2L bl u ÅÓÔØ ÓÕÍÍÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ bl u , l 2 L, Ó ÐÏÐÁÒÎÏ ×ÚÁÉÍÎÏ ÐÒÏÓÔÙÍÉ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ f (l) (x). ðÏÜÔÏÍÕ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ìòð v ÒÁ×ÅÎ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f (l) (x), l 2 L. æÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÒÁÎÇÁ ìòð v ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ (6.3.5). 2

çìá÷á 6.

198

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

6.3.7. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 6.3.6 ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

rank v

m+p 1 r ; p 1

É ÜÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ L = 0; q 1, Ô.Å. ËÏÇÄÁ ×ÓÅ q ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ (x) ÏÔÌÉÞÎÙ ÏÔ ÎÕÌÑ.

2 óÏÇÌÁÓÎÏ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 6.3.6, rank v Qr , ÇÄÅ Qr =

r 1 r 1 pX Y m + ls

l=0 s=0 a + pr 1 b,

ls

1

:

ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÞÉÓÌÏ l × ×ÉÄÅ l = 0 a < pr 1 , 0 b < p. ôÏÇÄÁ ! prX 1 X p 1 Y r 2 m + as 1 m+b 1 Qr = = a b s a=0 b=0 s=0 p 1 X m+b 1 m+p 1 Qr 1 = Qr 1 b p 1 b=0 (ÓÍ. [27, Ó. 45]). ïÔÓÀÄÁ Qr = mp+p1 1 r , É ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÔÒÅÂÕÅÍÕÀ ÏÃÅÎËÕ. 2 6.3.8. ðÒÉÍÅÒ. ÷ÙÑÓÎÉÍ, ËÁËÏÊ ÂÕÄÅÔ ÒÁÎÇ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ v1 , v2 , v3 , v4 , ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÉÚ ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ u ÒÁÎÇÁ m ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) = GF (pr ) ÚÁÍÅÎÏÊ ×ÓÅÈ ÅÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ (ÎÕÌÅ×ÙÈ) ÚÎÁËÏ× ÎÁ ÎÕÌØ (ÅÄÉÎÉÃÕ) ÐÏÌÑ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ : P ! P , ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÙÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ 0 ; x = 0 ; 0; 1 (x) = 1; x 6= 0; 2 (x) = 10;; xx = 6= 0; 0; x = 1; 1; x = 1; 3 (x) = 1; x 6= 1; 4 (x) = 0; x 6= 1: íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÝÉÅ ÜÔÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ 1 (x) = xq 1 ; 2 (x) = 1 xq 1 ; 3 (x) = 1 + x + ::: + xq 1 ; 4 (x) = x ::: xq 1 : ÷ÙÞÉÓÌÑÑ ÒÁÎÇÉ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ vi = i (u), i 2 1; 4, ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 6.3.6, ÐÏÌÕÞÉÍ: m+p 2 r m+p 2 r rank v1 = ; rank v2 = 1; p 1 p 1 m+p 1 r m+p 1 r rank v3 = ; rank v4 = 1: p 1 p 1 äÌÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ v3 ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ×ÅÒÈÎÑÑ ÏÃÅÎËÁ ÒÁÎÇÁ ÉÚ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ 6.3.7. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ vi , i 2 1; 4, ÍÏÖÎÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, É ÇÏ×ÏÒÉÔØ ÏÂ ÉÈ ÒÁÎÇÅ ÎÁÄ GF (2). íÙ ×ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ × x 6.5 (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 6.5.9). 1

çìá÷á 6.

199

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

L

1 ( )

v i

@@ @

n1

... q

q

q

L

@ @

@@ 1

nm

...

òÉÓ. 6.2: õÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ìòð ÎÅÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ 6.4

õÓÌÏÖÎÅÎÉÅ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ

ðÕÓÔØ u1 , ..., um | ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ f1 (x), ..., fm (x) ÓÔÅÐÅÎÅÊ n1 , ..., nm ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, É : P m ! P | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ v 2 P h1i ÓÏ ÚÎÁËÁÍÉ

v (i) = (u1 (i); :::; um (i)); i 0;

(6.4.1)

Ñ×ÌÑÀÝÕÀÓÑ ÕÓÌÏÖÎÅÎÉÅÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u1 , ..., um ÆÕÎËÃÉÅÊ , ÓÍ. ÒÉÓ. 6.2. õËÁÖÅÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ, ÐÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÏÖÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÔÏÞÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÁÎÇÁ ×ÙÈÏÄÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. æÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍÙÊ ÎÉÖÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ×ÐÅÒ×ÙÅ ÐÏÌÕÞÅÎ î. î. óÉÔÎÉËÏ×ÙÍ × 1984 Ç., É ÚÁÔÅÍ ÂÙÌ ÏÐÕÂÌÉËÏ×ÁÎ ÔÁËÖÅ × [60]. 6.4.1. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ: (1) f1 (x), ..., fm (x) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÓÔÅÐÅÎÅÊ n1 , ..., nm ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ni > 1, i 2 1; m; (2) (ni ; nj ) = 1 ÐÒÉ 1 i < j m; (3) (0; :::; 0) = 0; (4) ÆÕÎËÃÉÑ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ), Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÏÔ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×, Ô.Å.

(x1 ; :::; xm ) =

m X

X

s=1 1i1 <:::
ci :::is xi :::xis ; ci :::is 2 P: 1

1

1

b n1 ; :::; nm ), ÇÄÅ ôÏÇÄÁ ÒÁÎÇ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (6.4.1) ÒÁ×ÅÎ rank v = ( b n1 ; :::; nm ) = (

m X

X

s=1

1i1 <:::
b ci1 :::is ni1 :::nis ;

çìá÷á 6.

200

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

b ci1 :::is

=

1; ÅÓÌÉ ci :::is 6= 0; 0; ÅÓÌÉ ci :::is = 0: 1 1

6.4.2. ìÅÍÍÁ. åÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f1 (x), ..., fm (x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ GF (q ), É ÉÈ ÓÔÅÐÅÎÉ n1 , ..., nm ÐÏÐÁÒÎÏ ×ÚÁÉÍÎÏ ÐÒÏÓÔÙ, ÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f1 _ ::: _ fm Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÓÔÅÐÅÎÉ n1 :::nm .

2 ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ai , i 2 1; m, ËÏÒÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ fi(x) × ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÉ GF (qn ) ÐÏÌÑ P . ëÏÒÎÑÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f1 _ ::: _ fm Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ×ÉÄÁ aq1 :::aqm ; ri 2 0; ni 1; i 2 1; m; (6.4.2) i

r1

rm

É ÔÏÌØËÏ ÏÎÉ. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ (6.4.2) ÒÁÚÌÉÞÎÙ. ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ

aq1 :::aqmm = aq1 :::aqmm r1

s1

r

s

ÄÌÑ Ä×ÕÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÞÉÓÅÌ ri ; si 2 0; ni ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ r1 > s1 . ôÏÇÄÁ

aq1

r1

q s1

= aq2

s2

qr2

:::aqmm

qrm

s

1, i

2 1; m.

âÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ

2 GF (qn ) \ GF (qn :::n ): 1

2

m

÷ ÓÉÌÕ ÐÏÐÁÒÎÏÊ ×ÚÁÉÍÎÏÊ ÐÒÏÓÔÏÔÙ ÞÉÓÅÌ n1 , ..., nm ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ aq1 GF (q ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

r1

aq1

r1

n1 qs1 q

s1

= aq1

r1 s1

q s1

2

1 2 GF (q ):

ðÏÜÔÏÍÕ × ÓÉÌÕ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁ a1 ÄÏÌÖÎÏ ×ÙÐÏÌÎÑÔØÓÑ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ (q r

1

s1

1)(q

1) 0 (mod q n

1);

1

ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÔÁË ËÁË 0 < (q r

1

s1

1)(q

1) (q n 1 1

1)(q

1) = q n

qn 1 1

1

q + 1 < qn

1:

1

ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ (6.4.2) ÒÁÚÌÉÞÎÙ, ÏÔËÕÄÁ deg f1 _ ::: _ fm = n1 :::nm . éÚ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÇÏ ÔÁËÖÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÐÅÒÉÏÄ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ (a1 :::am )qi , i = 0; 1; :::, ÒÁ×ÅÎ n1 :::nm , Ô.Å. ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f1 _ ::: _ fm ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍ. 2 ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÓÌÕÞÁÅ ÐÏÌÑ P = GF (2) × ÌÅÍÍÅ 6.4.2 ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÔØ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÏÓÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f1 (x), ..., fm (x) ×ÍÅÓÔÏ ÉÈ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ. äÏËÁÚÁr s 1 2 GF (2) × ÄÁÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÅÌØÓÔ×Ï ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ, Á ×ËÌÀÞÅÎÉÅ aq1 t ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÔÁË ËÁË ÉÎÁÞÅ aq1 = a1 ÐÒÉ 1 t = r1 s1 < n1 , ÞÔÏ ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÏÓÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f1 (x). 2 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 6.4.1. óÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍÍÅ 6.4.2, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ fi _ ::: _ 6 fis Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ ÓÔÅÐÅÎÅÊ ni :::nis . ôÁË ËÁË ni :::nis = 1

1

1

1

1

çìá÷á 6.

201

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

nj :::njt , ÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ fi _ ::: _ fis É fj _ ::: _ fjt ×ÚÁÉÍÎÏ ÐÒÏÓÔÙ ÄÌÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× (i1 ; :::; is) É (j1 ; :::; jt ). ðÏÜÔÏÍÕ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ v ÅÓÔØ ÓÕÍÍÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ui :::uis Ó ÐÏÐÁÒÎÏ ×ÚÁÉÍÎÏ ÐÒÏÓÔÙÍÉ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ fi _ ::: _ fis . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ìòð v ÒÁ×ÅÎ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÍÕ ÏÂÝÅÍÕ ËÒÁÔÎÏÍÕ ÜÔÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×: 1

1

1

1

1

Mv (x) = îïë[fi

1

_ ::: _ fi

s

: 1 s m; 1 i1 < ::: < is m; ci :::is 6= 0 ]; 1

b n1 ; :::; nm ). Á ÒÁÎÇ ÒÁ×ÅÎ ÓÕÍÍÅ ÓÔÅÐÅÎÅÊ ÜÔÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, Ô.Å. (

2

6.4.3. úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÉ q = 2 ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÍÅÓÔÏ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÐÏÔÒÅÂÏ-

×ÁÔØ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÏÓÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f1 (x), ..., fm (x). ðÒÉ ÜÔÏÍ ÕÓÌÏ×ÉÅ (4) ÎÅ ÎÕÖÎÏ, ÔÁË ËÁË ÏÎÏ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁÄ GF (2). 6.5

ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ ÄÒÕÇÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ

ðÕÓÔØ u 2 LP (f ) | ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x) ÓÔÅÐÅÎÉ m. ðÕÓÔØ Q | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÐÏÌÅ, É : P ! Q | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ v = (u) ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q ÓÏ ÚÎÁËÁÍÉ v (i) = (u(i)), i 0. îÁÛÁ ÃÅÌØ | ÎÁÊÔÉ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ É ÒÁÎÇ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ v ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q. åÓÌÉ ÐÏÌÑ P É Q ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÕÀ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÕ, ÔÏ ÏÎÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÐÏÄÐÏÌÑÍÉ ÏÄÎÏÇÏ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÐÏÌÑ, É ÔÏÇÄÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ É ÒÁÎÇ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ v ÐÏÌÎÏÓÔØÀ ÏÐÉÓÁÎÙ × ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÉ 6.3.6. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÁÌÅÅ × ÜÔÏÍ ÐÁÒÁÇÒÁÆÅ ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ P É Q | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÐÏÌÑ ÒÁÚÎÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ. ðÕÓÔØ T = q m 1 | ÐÅÒÉÏÄ ìòð u, É = (q m 1)=(q 1) | ÅÅ ÐÒÅÄÐÅÒÉÏÄ. óÏÇÌÁÓÎÏ x 7.3H, ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á u(i + ) = u(i), i 0, ÇÄÅ = ( 1)m f (0) | ÍÕÌØÔÉÐÌÉËÁÔÏÒ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u. üÌÅÍÅÎÔ 2 P Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÐÏÌÑ P , É ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ u~(i) = i , i 0, ÅÓÔØ ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ T (~u) = q 1 ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ x ÓÔÅÐÅÎÉ 1. ôÏÇÄÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ v~ = (~u) ÅÓÔØ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ Q, ÐÅÒÉÏÄ ËÏÔÏÒÏÊ ÄÅÌÉÔ q 1, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÅÅ ÒÁÎÇ ÚÁËÌÀÞÅÎ × ÐÒÅÄÅÌÁÈ 0 rank v~ q 1. 6.5.1. ôÅÏÒÅÍÁ (ÓÍ. [39, 13]). ðÕÓÔØ u 2 LP (f ) | ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÎÁÄ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x) ÓÔÅÐÅÎÉ m. ðÕÓÔØ Q | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÐÏÌÅ, ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅ ÒÁ×ÎÁ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÅ ÐÏÌÑ P , É : P ! Q | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ (0) = 0. ðÕÓÔØ = ( 1)m f (0), u~(i) = i É v~ = (~u) ÐÒÉ i 0. ôÏÇÄÁ

Mv (x) = Mv~(x ); rank v = rank v~; =

qm 1 ; q 1

çìá÷á 6.

202

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

ÐÒÉÞÅÍ Mv~(x) j xq 1

1 É 0 rank v~ q

1.

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÍ ÔÁËÖÅ × ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ Q | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØÃÏ Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ eQ , × ËÏÔÏÒÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔ qeQ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ÎÕÌÑ (ÎÁÐÒÉÍÅÒ, Q = Z ÉÌÉ Q | ÐÏÌÅ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ, ÓÍ. [13]). ïÔÍÅÔÉÍ ÓÒÁÚÕ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÊ ÜÔÏÇÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ. 6.5.2. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. åÓÌÉ 6= 0, ÔÏ

rank v T = qm

1.

6.5.3. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. åÓÌÉ q = 2 É = 6 0, ÔÏ Mv (x) = x2m 1 T (v ) = 2m 1.

1 É rank v =

6.5.4. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ðÕÓÔØ 1 : P ! Q | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ É v1 = 1 (u). ðÏÌÏÖÉÍ = 1 1 (0) (ÔÏÇÄÁ (0) = 0) É v = (u). ôÏÇÄÁ

Mv (x) M (x); Mv (x) j îïë[Mv (x); x e]; (Mv (x); x e) v 1

rank v

1

1 rank v1 rank v + 1:

ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÁÎÇ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ v1 = 1 (u), ÇÄÅ 1 (0) = 6 0, ÍÏÖÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ 1. ðÅÒÅÊÄÅÍ Ë ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÔÅÏÒÅÍÙ. 6.5.5. ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ u | ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÒÁÎÇÁ m ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ). ôÏÇÄÁ (a) ÎÁ ÐÅÒÉÏÄÅ ìòð u ËÁÖÄÙÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ q m 1 ÒÁÚ, Á ÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ q m 1 1 ÒÁÚ; (b) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ k ÔÁËÏÇÏ, ÞÔÏ 0 k < (q m 1)=(q 1), ÓÒÅÄÉ ÐÁÒ (u(i); u(i + k)), 0 i q m 2, ËÁÖÄÁÑ ÎÅÎÕÌÅ×ÁÑ ÐÁÒÁ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ q m 2 ÒÁÚ, Á ÐÁÒÁ (0; 0) ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ q m 2 1 ÒÁÚ.

2 (a) óÍ. x 7.3G, ÆÏÒÍÕÌÁ (7.3.31) ÐÒÉ r = 1, ÉÌÉ [17]. (b) óÍ. x 7.3G, ÆÏÒÍÕÌÁ (7.3.31) ÐÒÉ r = 2. äÌÑ ÐÏÌÎÏÔÙ ÐÒÉ×ÅÄÅÍ ÐÏÌÎÏÅ

ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÐÕÎËÔÁ (b). ðÕÓÔØ (b1 ; b2 ) | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÁÒÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ P . i m óÏÇÌÁÓÎÏ x 7.3E, u(i) = trm 1 (ca ), ÇÄÅ a 2 GF (q ) | ËÏÒÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) É c 2 GF (q m ) | ÎÅÎÕÌÅ×ÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ. ôÏÇÄÁ ÕÓÌÏ×ÉÅ (u(i); u(i + k)) = (b1 ; b2 ) ÚÁÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ i m k i m trm 1 (ca ) = b1 ; tr1 (ca a ) = b2 ; 0 i q

2:

ôÁË ËÁË a | ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÐÏÌÑ GF (q m ), ÔÏ ÞÉÓÌÏ ÒÅÛÅÎÉÊ i ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÞÉÓÌÏÍ ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ m k m trm 1 (x) = b1 ; tr1 (a x) = b2 ; x 2 GF (q ) n 0:

çìá÷á 6.

203

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

m k ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ l1 (x) = trm 1 (x) É l2 (mx) = trm1 (a x) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ (ÎÁÄ P ) ÏÐÅÒÁÔÏÒÁÍÉ ÉÚ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á GF (q ) = P ÎÁ P . ÷×ÉÄÕ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÁ k ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ak 2= P . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÐÅÒÁÔÏÒÙ l1 É l2 ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ ÎÁÄ P . ðÏÜÔÏÍÕ ÓÉÓÔÅÍÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ l1 (x) = b1 , l2 (x) = b2 , x 2 GF (q m ), ÉÍÅÅÔ q m 2 ÒÅÛÅÎÉÊ ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ b1 ; b2 2 P . õÞÉÔÙ×ÁÑ ÕÓÌÏ×ÉÅ x 6= 0, ÐÏÌÕÞÉÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ (b). 2 îÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å f0; 1; 2; :::; 1g ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÐÅÒÁÃÉÉ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ×ÙÞÉÔÁÎÉÑ: a 6= 1; b 6= 1; a b = a1; b (mod q 1); ÅÓÌÉ × ÐÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ.

ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÐÏÌÏÖÉÍ 0 = e, 1 = 0, x1 v = 0 É g (x)x1 = x1 , ÇÄÅ = ( 1)m f (0), Á v É g (x) | ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ É ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ P . äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ i 0 ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ e(i) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á f0; 1; :::; q 2; 1g ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ u(i) = e(i) . 6.5.6. ìÅÍÍÁ. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ g (x) ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á

2 Q[x] É ÞÉÓÅÌ i; j 2 N 0

(g (x )v )(i + j ) = (g (x)xe(i) v~)(j ): ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ g (x)~v = 0, ÔÏ g (x )v = 0. P k k0 gk x . ôÏÇÄÁ X (g (x )v )(i + j ) = gk v (i + j k0

2 ðÕÓÔØ g(x) =

X k0

X k0

gk (u(i + j + k)) = gk xe(i) (~u(j + k)) =

X k0

X k0

+ k) =

gk (e(i)j k ) =

gk xe(i) v~(j + k) = (g (x)xe(i) v~)(j ): 2

6.5.7. ìÅÍÍÁ. ðÕÓÔØ h(x) 2 Q[x] É h(x)v = 0. íÎÏÇÏÞÌÅÎ h(x) ÍÏÖÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ

h(x) = h0 (x ) + xh1 (x ) + ::: + x 1 h 1 (x ); ÔÏÇÄÁ

h0 (x)~v = h1 (x)~v = ::: = h 1 (x)~v = 0:

2 äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ h0 (x)~v = 0. ÷×ÉÄÕ ÌÅÍÍÙ 6.5.6, ÐÒÉ i; j 0 (h(x)v )(i + j ) =

1 X k=0

!

hk (x)xe(i+k) v~ (j ) = 0:

çìá÷á 6.

204

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

óÕÍÍÉÒÕÑ ÜÔÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÐÏ ÞÉÓÌÁÍ i 2 f0; 1; :::; q m 2g ÔÁËÉÍ, ÞÔÏ e(i) = 0 (Ô.Å. u(i) = e) É ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÌÅÍÍÕ 6.5.5, ÐÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ

qm

1 1 h0 (x)~v + q m 2 X hk (x)(e + x + ::: + xq 2 )~v = 0: k=1

ðÒÉ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÐÏ i ÐÏÌÕÞÉÍ:

2 f0; 1; :::; qm

2g ÔÁËÉÍ, ÞÔÏ e(i) =

1 (Ô.Å. u(i) = 0)

1 2 X hk (x)(e + x + ::: + xq 2 )~v = 0: k=1 m 1 óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, q h0 (x)~v = 0, Á ÐÏÓËÏÌØËÕ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁ ÐÏÌÑ Q ÎÅ ÒÁ×ÎÁ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÅ ÐÏÌÑ P , ÔÏ h0 (x)~v = 0. ÷ ÓÉÌÕ ÌÅÍÍÙ 6.5.6, h0 (x )v = 0, ÏÔËÕÄÁ (xh1 (x ) + ::: + x 1 h 1 (x ))v = (h(x) h0 (x ))v = 0:

qm

ôÁË ËÁË ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ v ÞÉÓÔÏ ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÁ (ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÐÏÄÈÏÄÁ), ÔÏ (h1 (x ) + ::: + x 2 h 1 (x ))v = 0: ðÏ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÍÕ ÏÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ h1 (x)~v = 0. òÁÓÓÕÖÄÁÑ ÄÁÌÅÅ ÐÏ ÉÎÄÕËÃÉÉ, ÐÏÌÕÞÉÍ ÔÒÅÂÕÅÍÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ. 2 2 äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒÅÍÙ 6.5.1. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Mv (x) = Mv~ (x ). óÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍÍÅ 6.5.6, Mv~(x )v = 0. ðÕÓÔØ h(x) 2 Q[x] | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, É h(x)v = 0. ÷ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÌÅÍÍÙ 6.5.7 hi (x)~v = 0 ÐÒÉ ×ÓÅÈ i 2 0; 1, ÐÒÉÞÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ hj (x) ÕÎÉÔÁÒÅÎ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ j 2 0; 1. ôÏÇÄÁ Mv~ (x) j hj (x) É deg h(x) deg hj (x ) deg Mv~(x ). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Mv~(x ) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÊ ÓÔÅÐÅÎÉ, ÁÎÎÕÌÉÒÕÀÝÉÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ v , ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÄÏËÁÚÁÔØ. 2 6.5.8. ðÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ u | ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÒÁÎÇÁ m ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ

P = GF (p), p 3. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ a 2 P ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÇÏ Ä×ÏÉÞÎÏÅ ÒÁÚÌÏP ÖÅÎÉÅ (ËÁË ÃÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÉÚ ÏÔÒÅÚËÁ 0; p 1): a = s0 as 2s, as 2 f0; 1g, É ÎÁÚÏ×ÅÍ a0 , a1 , ... Ä×ÏÉÞÎÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁ a. ôÏÇÄÁ Ä×ÏÉÞÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u0 , u1 , ... ìòð u, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ ËÁË ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ GF (2) × ÕËÁÚÁÎÎÏÍ ×ÙÛÅ ÓÍÙÓÌÅ: us = s (u), ÇÄÅ s : GF (p) ! GF (2) | ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÅÅ s-À Ä×ÏÉÞÎÕÀ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÕ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÀ 6.5.3 rank us = k(q m

1)=(q

1) ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ 2s < p;

ÇÄÅ k = rank v~ | ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÞÉÓÌÏ ÉÚ ÏÔÒÅÚËÁ 1; q

1.

çìá÷á 6.

205

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

6.5.9. ðÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ q ÎÅÞÅÔÎÏ É i : GF (q )

! GF (2), i 2 1; 4,

| ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÙÅ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 6.3.8. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ vi = i (u), v~(i) = i (~u), i 2 1; 4. ôÁË ËÁË u~(0; q 2) = (e; ; :::; q 2 ); ÔÏ

v~1 (0; q 2) = (e; e; :::; e); Mv~ (x) = x e; v~3 (0; q 2) = (0; e; :::; e); Mv~ (x) = xq 1 e; 1

1

É ÐÏ ÔÅÏÒÅÍÅ 6.5.1

Mv (x) = x 1

e; rank v1 = = (q m

1)=(q

1);

Mv (x) = xT e; rank v3 = T = q m 1: òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ v2 = 1 v1 , v4 = 1 v3 . ôÁË ËÁË q ÎÅÞÅÔÎÏ, ÔÏ e | ÎÅ ÍÅÎÅÅ ÞÅÍ Ä×ÕËÒÁÔÎÙÊ ËÏÒÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Mv (x) = xT e. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Mv (x) = xT e; rank v4 = T = q m 1: ôÁË ËÁË e | ËÏÒÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ x e, ÔÏ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ v2 ÒÁ×ÅÎ x e ÉÌÉ (x e)=(x e) = e + x + ::: + x 1 . ïÄÎÁËÏ, ((e + x + ::: + x 1 )v )(0) = v (0) + v (1) + ::: + v ( 1) = N; 3

3

4

ÇÄÅ N = q m 1 | ÞÉÓÌÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ u(0; 1). ôÁË ËÁË N ÎÅÞÅÔÎÏ, ÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ e + x + ::: + x 1 ÎÅ ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ v2 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,

Mv (x) = x 2

6.6

e; rank v2 = = (q m

1)=(q

1):

óÉÓÔÅÍÙ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ËÏÄÏ×

÷ ÜÔÏÍ ÐÁÒÁÇÒÁÆÅ ÍÙ ÏÐÉÛÅÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ËÒÉÐÔÏÓÉÓÔÅÍ Ó ÏÔËÒÙÔÙÍ ËÌÀÞÏÍ, ÏÓÎÏ×ÁÎÎÙÈ ÎÁ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÄÏ×. A. ëÒÉÐÔÏÓÉÓÔÅÍÙ íÁËüÌÉÓÁ É îÉÄÅÒÒÁÊÔÅÒÁ. ÷ÎÁÞÁÌÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÒÉÐÔÏÓÉÓÔÅÍÕ íÁËüÌÉÓÁ, ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÎÕÀ × [56]. ðÕÓÔØ Gkn | ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ [n; k]q -ËÏÄÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ), ÉÓÐÒÁ×ÌÑÀÝÅÇÏ t ÏÛÉÂÏË. äÌÑ ÏÒÇÁÎÉÚÁÃÉÉ Ó×ÑÚÉ Ó ÏÔËÒÙÔÙÍ ËÌÀÞÏÍ ÁÂÏÎÅÎÔ A ×ÙÂÉÒÁÅÔ (ÓÅËÒÅÔÎÙÅ) ÍÁÔÒÉÃÙ: Skk | ÏÂÒÁÔÉÍÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ É Tnn | ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ, É ÏÐÕÂÌÉËÏ×Ù×ÁÅÔ Ó×ÏÊ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ | ÍÁÔÒÉÃÕ M = SGT ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ GF (q ). áÂÏÎÅÎÔ B ÄÌÑ ÐÅÒÅÄÁÞÉ ÁÂÏÎÅÎÔÕ A ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ a = (a1 ; :::; ak ) ÕÍÎÏÖÁÅÔ ×ÅËÔÏÒ a ÎÁ ÍÁÔÒÉÃÕ M . úÁÔÅÍ Ë ×ÅËÔÏÒÕ aM ÐÒÉÂÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÕÞÁÊÎÏ ×ÙÂÒÁÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ

çìá÷á 6.

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

206

e ÄÌÉÎÙ n, ×ÅÓ èÅÍÍÉÎÇÁ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ t. ðÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ b = aM + e ÏÔÐÒÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ËÁÎÁÌÕ Ó×ÑÚÉ ÁÂÏÎÅÎÔÕ A. áÂÏÎÅÎÔ A, ÐÒÉÎÑ× ×ÅËÔÏÒ b, ÕÍÎÏÖÁÅÔ ÅÇÏ ÎÁ ÍÁÔÒÉÃÕ T 1 , ÐÏÌÕÞÁÑ ÐÒÉ ÜÔÏÍ ×ÅËÔÏÒ bT 1 = aSG + eT 1 . ôÁË ËÁË T | ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ, ÔÏ ×ÅÓ èÅÍÍÉÎÇÁ ×ÅËÔÏÒÁ eT 1 ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ t. ó ÐÏÍÏÝØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ËÏÄÁ ÐÏ ×ÅËÔÏÒÕ aSG + eT 1 ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒ aS . õÍÎÏÖÁÑ ÜÔÏÔ ×ÅËÔÏÒ ÎÁ ÍÁÔÒÉÃÕ S 1 , ÁÂÏÎÅÎÔ A ÐÏÌÕÞÁÅÔ ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ a.

óÔÏÊËÏÓÔØ ÄÁÎÎÏÊ ËÒÉÐÔÏÓÉÓÔÅÍÙ Ó ÏÔËÒÙÔÙÍ ËÌÀÞÏÍ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÔÏÇÏ, ËÁËÏÊ ËÏÄ (Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ G) ×ÙÂÒÁÎ ÄÌÑ ÅÅ ÒÅÁÌÉÚÁÃÉÉ. îÁÐÒÉÍÅÒ, ËÁË ÐÏËÁÚÁÎÏ × ÒÁÂÏÔÅ [31], ËÒÉÐÔÏÓÉÓÔÅÍÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÓÔÏÊËÏÊ ÐÒÉ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ËÏÄÁ òÉÄÁ|óÏÌÏÍÏÎÁ. ïÐÉÛÅÍ ÔÅÐÅÒØ ËÒÉÐÔÏÓÉÓÔÅÍÕ îÉÄÅÒÒÁÊÔÅÒÁ [59]. ôÁË ÖÅ, ËÁË É × ÓÉÓÔÅÍÅ íÁËüÌÉÓÁ, ÁÂÏÎÅÎÔ A ÏÐÕÂÌÉËÏ×Ù×ÁÅÔ Ó×ÏÊ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÌÀÞ | ÍÁÔÒÉÃÕ M = SGT ÒÁÚÍÅÒÏ× k n ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ðÒÉ ÜÔÏÍ rank M = rank G = k, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÍÁÔÒÉÃÁ M Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ [n; k]q -ËÏÄÁ K(M ). ðÏ ÍÁÔÒÉÃÅ M ÌÅÇËÏ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ N ÜÔÏÇÏ ËÏÄÁ ÒÁÚÍÅÒÏ× (n k) n, Ó×ÑÚÁÎÎÁÑ Ó ÍÁÔÒÉÃÅÊ M ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ NM T = 0. ûÉÆÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÑ × ÓÉÓÔÅÍÅ îÉÄÅÒÒÁÊÔÅÒÁ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ×ÅËÔÏÒ c 2 P n k ×ÉÄÁ c = eN T , ÇÄÅ e 2 P n | ×ÅËÔÏÒ ×ÅÓÁ ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÅÇÏ t, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÅÓÅÔ ËÏÎÆÉÄÅÎÃÉÁÌØÎÕÀ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÀ ÁÂÏÎÅÎÔÁ B. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÔÁËÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÉÍÅÔØ ÓÐÏÓÏÂ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ×ÓÅÈ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÄÌÉÎÙ t × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ× ÄÌÉÎÙ n ×ÅÓÁ ÎÅ ÂÏÌÅÅ t (ÓÍ. ÐÏ ÜÔÏÍÕ ÐÏ×ÏÄÕ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, [29, x 5]). éÎÔÅÒÅÓÎÏ ÔÁËÖÅ ÏÔÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ c ÅÓÔØ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ ËÁË ÓÉÎÄÒÏÍ ×ÅËÔÏÒÁ e. áÂÏÎÅÎÔ A, ÐÏÌÕÞÉ× ÓÏÏÂÝÅÎÉÅ c, ÎÁÈÏÄÉÔ ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ×ÅËÔÏÒ b, Ñ×ÌÑÀÝÉÊÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ xN T = c. ôÁËÏÊ ×ÅËÔÏÒ b, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒÏÍ ×ÉÄÁ aM + e ÐÒÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ a. úÁÔÅÍ ÁÂÏÎÅÎÔ A ÔÁË ÖÅ, ËÁË × ÓÉÓÔÅÍÅ íÁËüÌÉÓÁ, ÎÁÈÏÄÉÔ ×ÅËÔÏÒ a, Á ÚÁÔÅÍ É ×ÅËÔÏÒ e. ûÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÓÏÏÂÝÅÎÉÑ × ÓÉÓÔÅÍÅ îÉÄÅÒÒÁÊÔÅÒÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÓÉÎÄÒÏÍÁ, É ÐÏÔÏÍÕ ÅÇÏ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÒÁ×ÎÁ O(n(n k)) ÏÐÅÒÁÃÉÊ. óÌÏÖÎÏÓÔØ ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ (ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÁ e) ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ, × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ, ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔØÀ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ËÏÄÁ Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ G. îÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÒÉ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ËÏÄÁ òÉÄÁ|íÁÌÌÅÒÁ RMq (m; r) ÐÏÒÑÄËÁ r É ÐÒÉ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÁÂÏÔÙ [30] ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔØ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ O(n2 (log n)r 1 ) ÏÐÅÒÁÃÉÊ, ÇÄÅ n = 2m . ëÁË ÏÔÍÅÞÅÎÏ ç.á.ëÁÂÁÔÑÎÓËÉÍ, ÓÉÓÔÅÍÙ íÁËüÌÉÓÁ É îÉÄÅÒÒÁÊÔÅÒÁ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÓÔÏÊËÏÓÔØÀ Ë ÎÁÐÁÄÅÎÉÀ, ÉÂÏ ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÁÔÁËÁ ÎÁ ÏÄÎÕ ÉÚ ÓÉÓÔÅÍ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÅÇËÏ ÔÒÁÎÓÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÁ × ÁÔÁËÕ ÎÁ ÄÒÕÇÕÀ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÐÒÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍ ÓÉÎÄÒÏÍÅ c = eN T ÎÅÔÒÕÄÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ×ÅËÔÏÒ b = aM + e Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ a 2 P n ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ c = bN T . ÷ÅËÔÏÒ b ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ËÒÉÐÔÏÇÒÁÍÍÕ × ÓÉÓÔÅÍÅ íÁËüÌÉÓÁ. åÓÌÉ ÄÌÑ ÓÉÓÔÅÍÙ íÁËüÌÉÓÁ ÎÁÊÄÅÎÁ ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÁÔÁËÁ, Ô.Å. ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÁ a (ËÏÎÆÉÄÅÎÃÉÁÌØÎÁÑ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÑ × ÓÉÓÔÅÍÅ íÁËüÌÉÓÁ), ÔÏ ×ÅËÔÏÒ

çìá÷á 6.

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

207

e (ËÏÎÆÉÄÅÎÃÉÁÌØÎÁÑ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÑ × ÓÉÓÔÅÍÅ îÉÄÅÒÒÁÊÔÅÒÁ), ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ e = aM + e, Ô.Å. ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ e ÐÏ ÓÕÝÅÓÔ×Õ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ ÓÏ ÓÌÏÖÎÏÓÔØÀ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ a.

îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÓÉÓÔÅÍÙ îÉÄÅÒÒÁÊÔÅÒÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÁ ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÁÑ ÁÔÁËÁ, ÔÏ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÒÉÐÔÏÇÒÁÍÍÙ ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ×ÅËÔÏÒ (aM + e)N T = eN T , ÍÙ ×ÙÞÉÓÌÉÍ ×ÅËÔÏÒ ÏÛÉÂÏË e, Á ÚÁÔÅÍ É ×ÅËÔÏÒ a. B. îÅËÏÔÏÒÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÁÎÁÌÉÚÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ. ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÐÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ËÒÉÐÔÏÓÉÓÔÅÍ É ÏÃÅÎÉ×ÁÅÔÓÑ Ó×ÅÒÈÕ ÉÈ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ [29]. ðÏÄ ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÐÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ (ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ), ËÏÔÏÒÙÊ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÐÒÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÍÁÔÒÉÃÁÈ G É M , ×ÅËÔÏÒÅ b É ÞÉÓÌÅ ÏÛÉÂÏË t ÎÁÊÔÉ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ×ÅËÔÏÒ a É ×ÅËÔÏÒ e ×ÅÓÁ w(e) t ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ b = aM + e. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ Ä×Á ÔÉÐÁ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ. ôÉÐ 1. ðÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍÕ ×ÅËÔÏÒÕ b = aM + e, ÉÚ×ÅÓÔÎÏÍÕ ÞÉÓÌÕ t É ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÍÁÔÒÉÃÅ M ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÎÁÈÏÄÉÔ ×ÅËÔÏÒ e ×ÅÓÁ w(e) t ÂÅÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉÃ G É M. ôÉÐ 2. ðÏ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÍÁÔÒÉÃÁÍ G É M ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÎÁÈÏÄÉÔ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ S 0 ÒÁÚÍÅÒÏ× k k É ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉÃÕ T ÒÁÚÍÅÒÏ× n n, ËÏÔÏÒÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ M = SGT , Ô.Å. ÒÅÛÁÅÔ ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÍÁÔÒÉÃ S É T . úÁÔÅÍ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ËÁËÏÇÏ-ÌÉÂÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ËÏÄÁ K (Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ G) ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ×ÅËÔÏÒ e ×ÅÓÁ w(e) t. ðÏÓÌÅ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉÃ S É T ÍÏÖÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÔØ ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÍÎÏÇÉÈ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ b Ó ÍÁÌÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔØÀ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÔÉÐÁ 2 ÐÒÅÄÐÏÞÔÉÔÅÌØÎÅÊ. ôÁËÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÏÂÓÕÖÄÁÀÔÓÑ × ÒÁÂÏÔÅ [29] ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ, ËÏÇÄÁ × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÏÄÁ K ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ËÏÄ òÉÄÁ|íÁÌÌÅÒÁ GR2(m; r) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (2). úÄÅÓØ ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ ÌÉÛØ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÔÉÐÁ 1. ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÎÁÂÌÀÄÁÔÅÌÑ ÍÁÔÒÉÃÁ M ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÍÁÔÒÉÃÕ ÂÅÚ ×ÉÄÉÍÙÈ ÚÁËÏÎÏÍÅÒÎÏÓÔÅÊ, ÉÌÉ, ËÁË ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÍÁÔÒÉÃÕ ÏÂÝÅÇÏ ÐÏÌÏÖÅÎÉÑ. ëÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ [41], ÚÁÄÁÞÁ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ä×ÏÉÞÎÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ ÏÂÝÅÇÏ ÐÏÌÏÖÅÎÉÑ ÐÒÉ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÐÅÒÅÄÁÞÉ, ÏÔÌÉÞÎÏÊ ÏÔ 0 É 1, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ NP-ÐÏÌÎÏÊ, Ô.Å. Ó ÜÔÉÈ ÐÏÚÉÃÉÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÔÉÐÁ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÓÌÏÖÎÙÍÉ. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ Ñ×ÎÙÅ ÏÃÅÎËÉ ÓÌÏÖÎÏÓÔÉ ÜÔÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÐÒÉ ËÏÎËÒÅÔÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n, k É t. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÅÒÅÂÏÒÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ ËÒÉÔÅÒÉÀ ÍÉÎÉÍÕÍÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÐÒÉÍÅÎÉÍ Ë ÌÀÂÏÍÕ ËÏÄÕ É ÉÍÅÅÔ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÓÌÏÖÎÏÓÔØ nq k . ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÉÚ×ÅÓÔÎÙ É ÄÒÕÇÉÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÙ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ËÏÄÁ ÓÏ ÓÌÏÖÎÏÓÔØÀ ÍÅÎØÛÅÊ, ÞÅÍ nq k . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÎÉÈ ÄÌÑ ÓÌÕÞÁÑ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ËÏÄÏ× (q = 2). äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ËÏÄÁ K Ó ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ G ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ. ÷ ÌÉÎÅÊÎÏÍ ËÏÄÅ ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÓÌÕÞÁÊÎÙÈ ÂÒÏÓÁÎÉÊ, ÎÁÂÏÒ ÉÚ k ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÈ ÐÏÚÉÃÉÊ ËÏÄÁ. éÚ ÚÎÁËÏ× ×ÅËÔÏÒÁ b, ÎÁÈÏÄÑÝÉÈÓÑ × ÜÔÉÈ ÐÏÚÉÃÉÑÈ, ÆÏÒÍÉÒÕÅÔÓÑ ËÏÄÏ×ÙÊ ×ÅËÔÏÒ bb 2 K, ËÏÔÏÒÙÊ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÅÔÓÑ Ó b. åÓÌÉ ×ÅËÔÏÒÙ b É bb ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÂÏÌÅÅ

çìá÷á 6.

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

208

ÞÅÍ × t ÐÏÚÉÃÉÑÈ, ÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÅÒÅÈÏÄÉÔ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÎÁÂÏÒÕ ÉÚ k ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÈ ÐÏÚÉÃÉÊ, ÉÂÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÙÂÒÁÎÎÙÅ k ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÈ ÐÏÚÉÃÉÊ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÏÛÉÂËÉ. äÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÚÁËÏÎÞÅÎÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÞÅÒÅÄÎÏÊ ËÏÄÏ×ÙÊ ×ÅËÔÏÒ bb ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÉÓËÁÖÅÎÎÏÇÏ ËÏÄÏ×ÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ b ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ × t ÐÏÚÉÃÉÑÈ. òÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÒÁÂÏÔÙ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÓÌÅÄÎÉÊ ËÏÄÏ×ÙÊ ×ÅËÔÏÒ bb É ×ÅËÔÏÒ ÏÛÉÂÏË e = b bb . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔ ÒÁÂÏÔÕ, ÅÓÌÉ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÏÛÉÂËÉ × ÏÞÅÒÅÄÎÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÉÚ k ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÈ ÐÏÚÉÃÉÊ. åÓÌÉ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÉÔØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÏÛÉÂËÉ ÒÁ×ÎÏ×ÅÒÏÑÔÎÙ, ÔÏ ×ÅÒÏÑÔÎÏÓÔØ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ÉÚ k ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÈ ÐÏÚÉÃÉÊ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÛÉÂÏË, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÒÁ×ÎÁ n k n 1 pt (n; k) = : t t óÒÅÄÎÅÅ ÞÉÓÌÏ ÏÐÅÒÁÃÉÊ U (n; k; t), ÔÒÅÂÕÅÍÙÈ ÄÌÑ ÒÅÁÌÉÚÁÃÉÉ ÜÔÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ, ÐÒÉÂÌÉÚÉÔÅÌØÎÏ ÒÁ×ÎÏ U (n; k; t) = pt (n; k) 1 S (n; k); ÇÄÅ pt (n; k) 1 | ÓÒÅÄÎÅÅ ÞÉÓÌÏ ÁËÔÏ× ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÏ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÎÁÂÏÒÁ ÉÚ k ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÈ ÐÏÚÉÃÉÊ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÏÛÉÂËÉ, É S (n; k) | ÞÉÓÌÏ ÏÐÅÒÁÃÉÊ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÈ ÄÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ËÏÄÏ×ÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ b. ÷ÅÌÉÞÉÎÁ S (n; k) ÐÒÉÍÅÒÎÏ ÒÁ×ÎÁ nk + k3 . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, n k 1 n U (n; k; t) = (nk + k3 ): t t ïÐÉÓÁÎÎÙÊ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÄÏÐÕÓËÁÅÔ ÍÏÄÅÒÎÉÚÁÃÉÀ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÅÓÌÉ ×ÅËÔÏÒ bb ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ×ÅËÔÏÒÁ b ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ × t ÒÁÚÒÑÄÁÈ, ÔÏ ÐÒÅÖÄÅ, ÞÅÍ ÐÅÒÅÊÔÉ Ë ×ÙÂÏÒËÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ k ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÈ ÐÏÚÉÃÉÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÐÅÒ×ÏÇÏ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÏÇÏ ÒÁÚÒÑÄÁ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒ bb 1 , ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÏÓÔÒÏÅÎ ÉÚ ×ÅËÔÏÒÁ bb ÓÏ ÓÌÏÖÎÏÓÔØÀ ÐÒÉÍÅÒÎÏ ÒÁ×ÎÏÊ nk É ÍÅÎØÛÅÊ ÞÅÍ S (n; k). ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÉÚÍÅÎÑÑ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ×, ÐÏÌÕÞÉÍ ×ÅËÔÏÒÙ bb1 , ..., bbk , ËÏÔÏÒÙÅ ÔÁËÖÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÀÔÓÑ Ó b. äÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÏÞÅÒÅÄÎÏÊ ËÏÄÏ×ÙÊ ×ÅËÔÏÒ bb i ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÉÓËÁÖÅÎÎÏÇÏ ËÏÄÏ×ÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ b ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÞÅÍ × t ÐÏÚÉÃÉÑÈ. åÓÌÉ ÔÁËÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÎÅ ÎÁÛÌÏÓØ, ÔÏ ÐÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÐÅÒÅÈÏÄ Ë ÎÏ×ÏÊ ×ÙÂÏÒËÅ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÈ ÐÏÚÉÃÉÊ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÏ× bb 1 , ..., bb k ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ ÚÁÔÒÁÔÉÔØ ÐÒÉÂÌÉÚÉÔÅÌØÎÏ nk2 + k3 ÏÐÅÒÁÃÉÊ. äÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÄÁÎÎÏÊ ×ÙÂÏÒËÅ ÉÚ k ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÈ ÐÏÚÉÃÉÊ, ÅÓÌÉ × ÎÅÊ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÊ ÉÓËÁÖÅÎÎÏÊ ÉÓËÁÖÅÎÎÏÊ ÐÏÚÉÃÉÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÉÍÅÅÔ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ, ÐÒÉÍÅÒÎÏ ÒÁ×ÎÕÀ 1 n k n k k n U1 (n; k; t) = + (nk2 + k3 ): t t 1 1 t ðÒÉ ÜÔÏÍ U1 (n; k; t)=U (n; k; t) = t(n + k)=((n k t)n + k2 ).

çìá÷á 6.

209

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

áÌÇÏÒÉÔÍÙ ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÔÉÐÁ 2 × ÓÌÕÞÁÅ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÏÄÁ K Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ G ËÏÄÁ òÉÄÁ|íÁÌÌÅÒÁ GR2 (m; r) ÐÏÒÑÄËÁ r É ÄÌÉÎÙ n = 2m ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (2) ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ × ÒÁÂÏÔÅ [29]. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔØ ÔÁËÉÈ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏ× ÏÃÅÎÉ×ÁÅÔÓÑ Ó×ÅÒÈÕ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ, ÉÍÅÀÝÅÊ ÐÏÒÑÄÏË

m r+1

n m r m+1 2 ; ÇÄÅ s = 2r+1 s

r 1:

ðÒÉ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÉ ÍÅÔÏÄÁ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ ÐÁÍÑÔÉ, ÏÂßÅÍ ËÏÔÏÒÏÊ ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ n m 1= 2 r m +1 M C2 s ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ C , ÔÒÕÄÏÅÍËÏÓÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÏÃÅÎÉ×ÁÅÔÓÑ Ó×ÅÒÈÕ ×ÅÌÉÞÉÎÏÊ m T (m; r) log2 T (m; r); r+1 ÇÄÅ n m 1=2 r m +1 T (m; r) = C 2 (2k + ms): s C. ëÒÉÐÔÏÓÉÓÔÅÍÁ ÷. í. óÉÄÅÌØÎÉËÏ×Á. ðÅÒÅÈÏÄ ÏÔ ÓÉÓÔÅÍÙ íÁËüÌÉÓÁ

Ë ÓÉÓÔÅÍÅ îÉÄÅÒÒÁÊÔÅÒÁ ÐÏÌÅÚÅÎ ÎÅ ÔÏÌØËÏ Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÐÏ×ÙÛÅÎÉÑ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÐÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÉ, ÎÏ, ÞÔÏ ÂÏÌÅÅ ×ÁÖÎÏ, ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÍÏÄÅÒÎÉÚÁÃÉÉ [29] ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÕÓÉÌÉÔØ ÅÅ ÓÔÏÊËÏÓÔØ Ë ËÒÉÐÔÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉÍ ÁÔÁËÁÍ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÏ×ÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ M ÒÁÚÍÅÒÏ× k ln ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÁ ÉÚ l ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÍÁÔÒÉÃ M1 , ..., Ml ÒÁÚÍÅÒÏ× k n ËÁÖÄÁÑ. íÁÔÒÉÃÙ Mi , i 2 1; l, ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ Mi = Si G, ÇÄÅ G | ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ËÏÄÁ K ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (q ) É Si , i 2 1; l, | ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÅ ÍÁÔÒÉÃÙ ÒÁÚÍÅÒÏ× k k. ïÂÝÅÄÏÓÔÕÐÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ M ÁÂÏÎÅÎÔÁ A ÒÁÚÍÅÒÏ× k ln ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ

M = (M1 ; :::; Ml )T; ÇÄÅ T | ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ÒÁÚÍÅÒÏ× ln ln. íÁÔÒÉÃÁ M ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÔÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÏÐÉÓÁÎÏ ×ÙÛÅ ÄÌÑ ÓÉÓÔÅÍÙ îÉÄÅÒÒÁÊÔÅÒÁ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÑ, ÐÅÒÅÄÁ×ÁÅÍÁÑ × ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ×ÅËÔÏÒ ÄÌÉÎÙ ln É ×ÅÓÁ ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÅÇÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ tl , Á ËÒÉÐÔÏÇÒÁÍÍÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ c = eN T , ÇÄÅ N | ÐÒÏ×ÅÒÏÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉÃÁ ËÏÄÁ K(M ). ÷ÅÌÉÞÉÎÕ tl ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÚÑÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÂÏÌØÛÅÊ, ÔÁË ËÁË ÏÎÁ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÓËÏÒÏÓÔØ ÐÅÒÅÄÁÞÉ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ, Á ÔÁËÖÅ ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÍÅÔÏÄÏ× ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ [29]. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÚÁÄÁÞÕ ×ÙÂÏÒÁ ÄÏÐÕÓÔÉÍÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ tl . áÂÏÎÅÎÔ A, ÐÏÌÕÞÉ× ×ÅËÔÏÒ c = eN T , w(e) tl , ÓÔÒÏÉÔ ×ÅËÔÏÒÙ b = aM + e É d = bT 1 . ÷ÅËÔÏÒ d, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (d01 ; :::; d0l )

çìá÷á 6.

ðòéìïöåîéñ ÷ ëòéðôïçòáæéé

210

ÉÚ l ÉÓËÁÖÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ËÏÄÁ K ÄÌÉÎÙ n, ÔÁË ÞÔÏ d0i = di + ei , di = aSi G, i 2 1; l, w(e1 ) + ::: + w(el ) = w(e) tl É (e1 ; :::; el ) = eT 1 . ðÕÓÔØ tl = tl + l 1, ÇÄÅ t | ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÛÉÂÏË, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÅÔ ÉÓÐÒÁ×ÉÔØ ËÏÄ K Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ G. ôÏÇÄÁ w(ei ) t ÐÏ ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÄÌÑ ÏÄÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ i 2 1; l. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÄÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ, ÐÒÉÍÅÎÅÎÎÙÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ Ë ËÁÖÄÏÍÕ d0i , ÐÒÁ×ÉÌØÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔ ÐÏ ÍÅÎØÛÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ÉÚ ×ÅËÔÏÒÏ× ei , Á ÉÍÅÎÎÏ, ÔÏÔ, ËÏÔÏÒÙÊ ÉÍÅÅÔ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ×ÅÓ. úÎÁÑ ×ÅËÔÏÒ ei = d0i aSi G, ÍÏÖÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ É ÉÎÆÏÒÍÁÃÉÏÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ a. ÷ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ e1 , ..., el ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÚÁÔÅÍ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÙ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ej = d0j aSj G, j 2 1; l. ÷ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÏÊ ÍÏÄÅÒÎÉÚÁÃÉÉ ÓËÏÒÏÓÔØ ÐÅÒÅÄÁÞÉ ÎÅ ÎÁÍÎÏÇÏ ÎÉÖÅ ÓËÏÒÏÓÔÉ ÐÅÒÅÄÁÞÉ × ÓÉÓÔÅÍÅ îÉÄÅÒÒÁÊÔÅÒÁ. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÔÅÍ, ÓÔÏÊËÏÓÔØ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÓÉÓÔÅÍÏÊ îÉÄÅÒÒÁÊÔÅÒÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÐÏ×ÙÛÁÅÔÓÑ. ëÁË ÐÏËÁÚÁÎÏ × [29], ÅÓÌÉ × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÏÄÁ K Ó ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÅÊ G ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ËÏÄ òÉÄÁ| íÁÌÌÅÒÁ GR2 (m; r) ÐÏÒÑÄËÁ r É ÄÌÉÎÙ n = 2m ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P = GF (2), ÓÌÏÖÎÏÓÔØ ÄÅÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ×ÏÚÒÁÓÔÁÅÔ × lv ÒÁÚ, Á ÏÂßÅÍ ÔÒÅÂÕÅÍÏÊ ÐÁÍÑÔÉ ÐÏ ÍÅÎØÛÅÊ ÍÅÒÅ × ls=2 ÒÁÚ, ÇÄÅ v = 2r+1 , s = 2r+1 r 1. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÓËÏÒÏÓÔØ ÚÁÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ É ÒÁÓÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÉ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÐÏ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÓÉÓÔÅÍÏÊ îÉÄÅÒÒÁÊÔÅÒÁ.

çÌÁ×Á 7 äÏÐÏÌÎÅÎÉÅ: ËÏÌØÃÁ, ÍÏÄÕÌÉ, ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ÷ ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÉÚÌÁÇÁÀÔÓÑ Ó×ÏÊÓÔ×Á ËÏÎÅÞÎÙÈ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ ËÏÌÅÃ É ÍÏÄÕÌÅÊ ÎÁÄ ÎÉÍÉ, Á ÔÁËÖÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÐÏÌÑÍÉ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÐÒÉ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÞÔÅÎÉÉ ÇÌÁ×. éÚÌÁÇÁÅÍÙÅ ÎÉÖÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, × [1, 15, 17]. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÐÏÄ ËÏÌØÃÏÍ ÐÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØÃÏ Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ. 7.1

ëÏÌØÃÁ É ÍÏÄÕÌÉ

A. éÄÅÁÌ I (ÜÌÅÍÅÎÔ a) ËÏÌØÃÁ R ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÉÌØÐÏÔÅÎÔÎÙÍ, ÅÓÌÉ I n = 0 (an = 0) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ n 2 N . îÁÉÂÏÌØÛÅÅ n Ó ÜÔÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÄÅËÓÏÍ ÎÉÌØÐÏÔÅÎÔÎÏÓÔÉ ÉÄÅÁÌÁ I (ÜÌÅÍÅÎÔÁ a) É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ind I . åÓÌÉ R | ËÏ-

ÎÅÞÎÏÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØÃÏ, ÔÏ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï N(R) ×ÓÅÈ ÎÉÌØÐÏÔÅÎÔÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÉÄÅÁÌ ËÏÌØÃÁ R. üÔÏÔ ÉÄÅÁÌ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÉÌØÐÏÔÅÎÔÎÙÍ ÉÄÅÁÌÏÍ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍ ×ÓÅ ÎÉÌØÐÏÔÅÎÔÎÙÅ ÉÄÅÁÌÙ ËÏÌØÃÁ R. éÄÅÁÌ N(R) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÉÌØÒÁÄÉËÁÌÏÍ ËÏÌØÃÁ R. ëÏÌØÃÏ R Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÏËÁÌØÎÙÍ, ÅÓÌÉ N(R) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÍ ÉÄÅÁÌÏÍ ËÏÌØÃÁ R. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÆÁËÔÏÒËÏÌØÃÏ R = R=N(R) ÅÓÔØ ÐÏÌÅ. 7.1.1. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ R | ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØÃÏ Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ. ôÏÇÄÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. (a) ËÏÌØÃÏ R ÌÏËÁÌØÎÏ; (b) ËÏÌØÃÏ R ÎÅÒÁÚÌÏÖÉÍÏ (Ô.Å. ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×); (c) R ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÉÄÅÁÌ; (d) ÍÕÌØÔÉÐÌÉËÁÔÉ×ÎÁÑ ÇÒÕÐÐÁ R ËÏÌØÃÁ R ÅÓÔØ R = RN(R); (e) ËÏÌØÃÏ R ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÉÄÅÍÐÏÔÅÎÔÏ× (Ô.Å. ÉÄÅÍÐÏÔÅÎÔÏ×, ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ 0 É e);

211

çìá÷á 7.

äïðïìîåîéå: ëïìøãá, íïäõìé, òåëõòòåîôù

212

(f) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R n R ×ÓÅÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÎÕÌÑ ËÏÌØÃÁ R Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÄÇÒÕÐÐÏÊ × ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÐÐÅ (R; +).

ìÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÅÔÓÑ ÒÑÄÏÍ ÞÉÓÌÏ×ÙÈ ÐÁÒÁÍÅÔÒÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ R = R=N(R).

r;

7.1.2. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ. ôÏÇÄÁ (a) R = GF (q ), q = pr ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÐÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ p É ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ

(b) ÅÓÌÉ ind N(R) = n, ÔÏ ËÏÌØÃÏ R ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÔÒÏÇÏ ÕÂÙ×ÁÀÝÕÀ ÃÅÐÏÞËÕ ÉÄÅÁÌÏ× R N(R) N(R)n 1 N(R)n = 0; (7.1.1) É ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁ ËÏÌØÃÁ R ÒÁ×ÎÁ char R = pd ; d n; (c) ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ

jRj = ql ; l n; jN(R)sj = ql s; s 2 1; n 1; jR j = (q

(7.1.2)

1)q l 1 :

(7.1.3)

7.1.3. ôÅÏÒÅÍÁ. ëÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØÃÏ R Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ e ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÐÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÙ ÌÏËÁÌØÎÙÈ ËÏÌÅÃ

R = R1 +_ : : : +_ Rt ; t 1:

(7.1.4)

ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ËÏÌØÃÁ R × ×ÉÄÅ ÔÁËÏÊ ÐÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÙ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ. åÓÌÉ e = e1 + ::: + et , ÇÄÅ es 2 Rs , s 2 1; t, ÔÏ es | ÅÄÉÎÉÃÁ ËÏÌØÃÁ Rs , É ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ

Rs = es R; s 2 1; t;

(7.1.5)

ei ej = 0; i; j 2 1; t;

(7.1.6)

B. óÉÓÔÅÍÁ 1 , ..., m ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÏÄÕÌÑ R M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÇÏ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ, ÅÓÌÉ M = R1 +_ : : : +_ Rm . ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÙ ÔÁËÖÅ ÐÉÛÅÍ M = R (1 ; :::; m ).

ðÕÓÔØ (R M ) | ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÓÉÓÔÅÍÅ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÍÏÄÕÌÑ R M . íÏÄÕÌØ M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ, ÅÓÌÉ (M ) = 1. íÏÄÕÌØ M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ R-ÍÏÄÕÌÅÍ ÒÁÎÇÁ m, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÁÑ ÎÁÄ R ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÍÏÄÕÌÑ M ÍÏÝÎÏÓÔÉ m. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÍÏÄÕÌØ M ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ ÍÏÄÕÌÀ Rm ×ÓÅÈ ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ m ÎÁÄ R.

7.1.4. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ Ó m ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍÉ ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ ÆÁËÔÏÒÍÏÄÕÌÀ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ ÒÁÎÇÁ m. íÏÄÕÌØ M Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ RÍÏÄÕÌÅÍ ÒÁÎÇÁ m ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ (M ) = m É jM j = jRjm .

çìá÷á 7.

äïðïìîåîéå: ëïìøãá, íïäõìé, òåëõòòåîôù

213

÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ (M ) É ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÍÏÄÕÌÑ M Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÓÌÕÞÁÀ ÍÏÄÕÌÅÊ ÎÁÄ ÌÏËÁÌØÎÙÍÉ ËÏÌØÃÁÍÉ. ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ËÏÌØÃÏ R ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÐÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÙ (7.1.4) ÌÏËÁÌØÎÙÈ ËÏÌÅÃ. ôÏÇÄÁ M ÅÓÔØ ÐÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ M = M1 +_ : : : +_ Mt (7.1.7)

ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÊ Ms = es M , s 2 1; t. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, R-ÍÏÄÕÌØ Ms , ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Rs -ÍÏÄÕÌÅÍ, É, ××ÉÄÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ (7.1.5), (7.1.6), ËÁÖÄÙÊ Rs -ÐÏÄÍÏÄÕÌØ ÍÏÄÕÌÑ Ms Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÇÏ R-ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÍ. 7.1.5. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ (7.1.4){(7.1.6) ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

(R M ) = maxf(R M1 ); :::; (Rt Mt )g: 1

ðÏÓÔÒÏÅÎÉÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÍÏÄÕÌÑ ÎÁÄ ÌÏËÁÌØÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÂÁÚÉÓÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ. ðÕÓÔØ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ Ó ÒÁÄÉËÁÌÏÍ N = N(R). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÁËÔÏÒÍÏÄÕÌØ M~ = M=NM , É ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ 2 M ÐÏÌÏÖÉÍ ~ = + NM 2 M~ . íÏÄÕÌØ R M~ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÓÐÏÓÏÂÏÍ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ R : ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ a = a + N 2 R É ~ 2 M~ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ a~ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ a~ = af. ôÏÇÄÁ ÐÏÄÍÏÄÕÌÉ × R M~ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ × R M~ É ÎÁÏÂÏÒÏÔ. ~ , É ÄÌÑ 7.1.6. ôÅÏÒÅÍÁ. åÓÌÉ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ, ÔÏ (R M ) = dim R M ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ 1 ; :::; m 2 M ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï M = R (1 ; :::; m ) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ M~ = R (~1 ; :::; ~m ). äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÏÓÎÏ×Ù×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑÈ, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÙÊ ÉÎÔÅÒÅÓ. 7.1.7. ìÅÍÍÁ (îÁËÁÑÍÁ). åÓÌÉ R | ÌÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ, É K < R M | ÐÏÄÍÏÄÕÌØ ÍÏÄÕÌÑ R M ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ M = K + NM , ÔÏ M = K . 7.1.8. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. åÓÌÉ R M = 6 0, ÔÏ M =6 NM .

îÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÍÏÄÕÌØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÍ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÊ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ËÏÌØÃÏ R ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ (7.1.4) × ÐÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ ÌÏËÁÌØÎÙÈ ËÏÌÅÃ, É R M | ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÍÏÄÕÌØ, ÔÏ ÍÏÄÕÌØ M ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÏÄÎÏÊ ÉÚ Ó×ÏÉÈ ËÏÍÐÏÎÅÎÔ Ms × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ (7.1.7), Ô.Å. Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÍ ÍÏÄÕÌÅÍ ÎÁÄ ÌÏËÁÌØÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ Rs . 7.1.9. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. äÌÑ ÍÏÄÕÌÑ R M ÎÁÄ ÌÏËÁÌØÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. (a) ÍÏÄÕÌØ R M ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍ; ~ = 1; (b) NM = 0 É dim R M (c) R M = R R ; (d) jM j = q .

çìá÷á 7.

äïðïìîåîéå: ëïìøãá, íïäõìé, òåëõòòåîôù

214

C. ðÕÓÔØ (M; +) | ËÏÎÅÞÎÁÑ ÁÂÅÌÅ×Á ÇÒÕÐÐÁ, É M = Hom(M; Q =Z) | ÁÂÅÌÅ×Á

ÇÒÕÐÐÁ ×ÓÅÈ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÇÒÕÐÐÙ (M; +) × ÇÒÕÐÐÕ (Q =Z; +) ×ÓÅÈ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ 1. çÒÕÐÐÁ M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÒÕÐÐÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÏ× ÇÒÕÐÐÙ M , ÉÌÉ ÇÒÕÐÐÏÊ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÏ× ÇÒÕÐÐÙ M . 7.1.10. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. éÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÇÒÕÐÐ M = M . äÌÑ ÌÀ ÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ 2 M n 0 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÈÁÒÁËÔÅÒ ! 2 M ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ! ( ) 6= 0.

ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ R M ÅÓÔØ R-ÍÏÄÕÌØ. ôÏÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ r! ÈÁÒÁËÔÅÒÁ ! 2 M É ÜÌÅÍÅÎÔÁ r 2 R ËÁË ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ r! : M ! Q =Z ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ

8 2 M r!() = !(r): ðÒÉ ÜÔÏÍ r! 2 M , É ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÐÒÅ×ÒÁÝÁÅÔ M × RÍÏÄÕÌØ. ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÌØÚÑ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÔØ × ÄÏÐÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ 7.1.10, ÞÔÏ ÍÏÄÕÌÉ R M É R M ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ. ïÄÎÁËÏ, ×ÅÒÎÏ 7.1.11. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ R-ÍÏÄÕÌÅÊ ': R M M ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ 2 M ÈÁÒÁËÔÅÒ '(): M ! Q =Z ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ 8! 2 M '()(!) = !(): 7.1.12. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ M = M1 M2 | ÐÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ R-ÍÏÄÕÌÅÊ, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ R-ÍÏÄÕÌÅÊ M = M1 M2 . üÔÏÔ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÓÏÐÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÐÁÒÅ ~! = (!1 ; !2 ) 2 M1 M2 ÈÁÒÁËÔÅÒ ~!: M ! Q =Z, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÅ ~ = (1 ; 2 ) 2 M1 M2 ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ ~!(~ ) = !1 (1 )+ !2 (2 ). 7.2

ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Ù ÍÏÄÕÌÉ

äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÜÔÏÇÏ ÐÁÒÁÇÒÁÆÁ ÍÏÖÎÏ ÎÁÊÔÉ × [34, 33, 57, 24, 68]. A. áÎÎÕÌÑÔÏÒ ÉÄÅÁÌÁ I / R × ÍÏÄÕÌÅ R M É ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ ÐÏÄÍÏÄÕÌÑ K < R M × ËÏÌØÃÅ R ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ:

M

? I = f 2 M : I = 0g; R ? K = fa 2 R : aK = 0g: ÞÔÏ M ? I | ÐÏÄÍÏÄÕÌØ ÍÏÄÕÌÑ R M , É R ? K | ÉÄÅÁÌ ËÏÌØÃÁ

ðÏÎÑÔÎÏ, R. îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× I; J / R É ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÊ K; L < R M ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ

R ? (M

? I ) I; M ? (R ? K ) K; R ? (K + L) = (R ? K ) \ (R ? L); M ? (I + J ) = (M ? I ) \ (M ? J ); R ? (K \ L) (R ? K ) + (R ? L); M ? (I \ J ) (M ? I ) + (M ? J ):

(7.2.1) (7.2.2) (7.2.3)

!

çìá÷á 7.

äïðïìîåîéå: ëïìøãá, íïäõìé, òåëõòòåîôù

215

íÏÄÕÌØ R M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×ÙÍ, ÉÌÉ QF-ÍÏÄÕÌÅÍ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× I / R É ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÊ K < R M ×ËÌÀÞÅÎÉÑ (7.2.1) ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á. óÒÁÚÕ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ QF-ÍÏÄÕÌØ R M ÔÏÞÅÎ, Ô.Å. ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ R ? M = 0. ôÅÏÒÅÍÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÄÌÑ QF-ÍÏÄÕÌÅÊ ÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. 7.2.1. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ R | ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØÃÏ Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ. ôÏÇÄÁ ÍÏÄÕÌØ R R ×ÓÅÈ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÏ× ÇÒÕÐÐÙ (R; +) (ÓÍ. x 7.1C) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ QF-ÍÏÄÕÌÅÍ. ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ QF-ÍÏÄÕÌØ R Q ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ R R .

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ K < R M ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ÆÁËÔÏÒËÏÌØÃÏÍ Rb = R=R ? K . õÍÎÏÖÅÎÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÔÁËÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔ ba = a + (R ? R) 2 Rb ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ ba = a. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I / R ÐÏÄÍÏÄÕÌØ M ? I < R M ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ÆÁËÔÏÒËÏÌØÃÏÍ R=I . ðÅÒÅÞÉÓÌÉÍ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÅ ÎÁÍ Ó×ÏÊÓÔ×Á QF-ÍÏÄÕÌÅÊ. 7.2.2. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ R Q | QF-ÍÏÄÕÌØ, I; J / R É K; L < R Q. ôÏÇÄÁ ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ. (a) çÒÕÐÐÙ (Q; +) É (R; +) ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, jQj = jRj. (b) åÓÌÉ M = Q, ÔÏ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ (7.2.3) ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á. b = R=R ? K , É (c) íÏÄÕÌØ K Ñ×ÌÑÅÔÓÑ QF-ÍÏÄÕÌÅÍ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R

jK j jR ? K j = jRj: (d) íÏÄÕÌØ Q ? I Ñ×ÌÑÅÔÓÑ QF-ÍÏÄÕÌÅÍ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ R=I , É

jI j jQ ? I j = jQj: îÁÒÑÄÕ Ó ÏÐÉÓÁÎÉÅÍ QF-ÍÏÄÕÌÅÊ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÈÁÒÁËÔÅÒÏ× (ÔÅÏÒÅÍÁ 7.2.1), ÐÒÉ×ÅÄÅÍ ÅÝÅ ÏÄÎÕ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÁÃÉÀ QF-ÍÏÄÕÌÅÊ. îÁÚÏ×ÅÍ ÍÏÄÕÌØ R M ÒÁÚÌÉÞÁÀÝÉÍ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÈÁÒÁËÔÅÒ : M ! Q =Z ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ (K ) 6= 0 ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÐÏÄÍÏÄÕÌÑ K ÍÏÄÕÌÑ R M . ôÁËÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÒÁÚÌÉÞÁÀÝÉÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÏÍ ÄÌÑ ÍÏÄÕÌÑ R M . äÁÎÎÁÑ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÑ ÏÂßÑÓÎÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. 7.2.3. ìÅÍÍÁ. èÁÒÁËÔÅÒ : M M ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ R

8; 2 M

( ( 6= )

! Q =Z )

Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁÚÌÉÞÁÀÝÉÍ ÄÌÑ ÍÏÄÕÌÑ

(9r 2 R ( (r) 6= (r )) ):

7.2.4. ôÅÏÒÅÍÁ. ôÏÞÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ R M Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁÚÌÉÞÁÀÝÉÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ QF-ÍÏÄÕÌÅÍ.

çìá÷á 7.

äïðïìîåîéå: ëïìøãá, íïäõìé, òåëõòòåîôù

216

âÏÌÅÅ ÄÅÔÁÌØÎÏÅ ÏÐÉÓÁÎÉÅ QF-ÍÏÄÕÌÅÊ É Ó×ÏÊÓÔ× ÉÈ ÓÉÓÔÅÍ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÒÅÄÕËÃÉÉ Ë ÌÏËÁÌØÎÙÍ ËÏÌØÃÁÍ. 7.2.5. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ ËÏÌØÃÏ R ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ (7.1.4) × ÐÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ ÌÏËÁÌØÎÙÈ ËÏÌÅÃ, É ÐÕÓÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÍÏÄÕÌÑ R M ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (7.1.7). ôÏÇÄÁ ÍÏÄÕÌØ R M Ñ×ÌÑÅÔÓÑ QF-ÍÏÄÕÌÅÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÍÏÄÕÌÉ R1 M1 ; :::; Rt Mt Ñ×ÌÑÀÔÓÑ QF-ÍÏÄÕÌÑÍÉ. B. äÌÑ ÔÏÞÎÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ R M ÎÁÄ ÌÏËÁÌØÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R Ó×ÏÊÓÔ×Ï \ÂÙÔØ QF-

ÍÏÄÕÌÅÍ" ÐÏÌÎÏÓÔØÀ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÍ S(M ) = M ? N(R). ÷×ÉÄÕ ÐÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ 7.1.9 ÐÏÄÍÏÄÕÌØ S(M ) ÅÓÔØ ÓÕÍÍÁ ×ÓÅÈ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÈ (Ô.Å. ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ) ÐÏÄÍÏÄÕÌÅÊ ÍÏÄÕÌÑ M . ïÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÃÏËÏÌÅÍ ÍÏÄÕÌÑ R M . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ NS(M ) = 0, É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, S(M ) ÅÓÔØ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ ×ÙÞÅÔÏ× R = R=N (ÓÍ. 7.1A).

7.2.6. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ R M | ÔÏÞÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ÌÏËÁÌØÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R. ôÏÇÄÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ (a) M ÅÓÔØ QF-ÍÏÄÕÌØ; (b) S(M ) | ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ ÍÏÄÕÌÑ M ; (c) dim R S(M ) = 1; (d) S(M ) | ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ (ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ) ÐÏÄÍÏÄÕÌØ ÍÏÄÕÌÑ M; (e) M ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ. 7.2.7. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ìÏËÁÌØÎÏÅ ËÏÌØÃÏ R Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Ï ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ R ? N Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÙÍ ÉÄÅÁÌÏÍ. ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØÃÏ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Ï.

íÙ ÍÏÖÅÍ ÐÒÅÄÌÏÖÉÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ËÏÎÓÔÒÕËÔÉ×ÎÏÅ ÏÐÉÓÁÎÉÅ ×ÓÅÈ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ QF-ÍÏÄÕÌÑ ÎÁÄ ÌÏËÁÌØÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R. ïÎÉ ÓÔÒÏÑÔÓÑ ËÁË ÓÉÓÔÅÍÙ, × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ Ë ÂÁÚÉÓÁÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á S(R) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ R . 7.2.8. ôÅÏÒÅÍÁ. ðÕÓÔØ R Q ÅÓÔØ QF-ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ÌÏËÁÌØÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ R, S(Q) =

É dim R S(R) = t. ôÏÇÄÁ R!

(R Q) = t: åÓÌÉ a1 ; :::; at | ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á R S(R), ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÉÓÔÅÍÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× 1 ; :::; t 2 Q ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ ai j = Æij !; i; j 2 1; t (7.2.4) (ÇÄÅ Æij | ÓÉÍ×ÏÌ ëÒÏÎÅËËÅÒÁ), É ÌÀÂÁÑ ÔÁËÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ Q = R1 + ::: + Rt :

(7.2.5)

îÁÏÂÏÒÏÔ, ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (7.2.5) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÁÚÉÓ a1 ; :::; at ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á S(R), ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÊ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ (7.2.4).

çìá÷á 7.

äïðïìîåîéå: ëïìøãá, íïäõìé, òåëõòòåîôù

217

éÈ ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÍÙ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÁÃÉÀ QF-ËÏÌÅÃ. 7.2.9. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ. ðÕÓÔØ R | ËÏÎÅÞÎÏÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØÃÏ Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ, É R Q | QF-ÍÏÄÕÌØ. ôÏÇÄÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ. (a) ÍÏÄÕÌØ R Q Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ; (b) R Q = R R; (c) ËÏÌØÃÏ R Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Ï. C. ðÕÓÔØ End(R M ) | ËÏÌØÃÏ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÍÏÄÕÌÑ R M (Ó ÏÂÙÞÎÙÍÉ ÏÐÅ-

ÒÁÃÉÑÍÉ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×). äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ r 2 R ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ rb ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÏÄÕÌÑ R M , ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÈ 2 M ÐÏ ÐÒÁ×ÉÌÕ rb() = r. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ rb ÇÏÍÏÔÅÔÉÅÊ ËÏÌØÃÁ R M . ðÕÓÔØ Rb = Rb(M ) | ÐÏÄËÏÌØÃÏ ×ÓÅÈ ÇÏÍÏÔÅÔÉÊ × ËÏÌØÃÅ End(R M ). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ × ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÍÏÄÕÌØ R M ÔÏÞÅÎ (É ÔÏÌØËÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ), ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ËÏÌÅÃ R = Rb(M ). âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÍÏÄÕÌØ R M Ñ×ÌÑÅÔÓÑ E-ÍÏÄÕÌÅÍ, ÅÓÌÉ End(R M ) = Rb(M ). ðÏÎÑÔÎÏ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ÍÏÄÕÌØ, É, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÍÏÄÕÌØ R R, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ E-ÍÏÄÕÌÑÍÉ. 7.2.10. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. (a) ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ QF-ÍÏÄÕÌØ R Q Ñ×ÌÑÅÔÓÑ E-ÍÏÄÕÌÅÍ. (b) äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÄÍÏÄÕÌÑ K < Q É ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ': R K ! R Q ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔ r 2 R ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ' = rb jK ÅÓÔØ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ rb ÎÁ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ K . (c) åÓÌÉ × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ Ð. (b) ' | ÍÏÎÏÍÏÒÆÉÚÍ, ÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔ r ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÂÒÁÎ ÏÂÒÁÔÉÍÙÍ, Ô.Å. ' ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÒÏÄÏÌÖÅÎ ÄÏ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÍÏÄÕÌÑ R Q.

íÏÄÕÌØ R M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙÍ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ R L É ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÐÏÄÍÏÄÕÌÑ K < L ËÁÖÄÙÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ': K ! M ÍÏÖÎÏ ÐÒÏÄÏÌÖÉÔØ ÄÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ : L ! M . 7.2.11. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ. íÏÄÕÌØ ÈÁÒÁËÔÅÒÏ× R M Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ R M ÉÎßÅËÔÉ×ÅÎ. ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ× ÍÏÄÕÌØ ÉÎßÅËÔÉ×ÅÎ. 7.3

ìÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÐÏÌÑÍÉ

A. íÏÄÕÌØ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ. ðÕÓÔØ P = GF (q ) | ÐÏÌÅ Ó ÅÄÉÎÉÃÅÊ e. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÑ u: N 0 ! P , ËÏÔÏÒÕÀ

ÎÁÇÌÑÄÎÏ ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÓÔÒÏËÏÊ u = (u(0); u(1); :::). íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ P h1i . îÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å P h1i ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÚÁÄÁÀÔÓÑ ÏÐÅÒÁÃÉÉ ÐÏËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ

çìá÷á 7.

äïðïìîåîéå: ëïìøãá, íïäõìé, òåëõòòåîôù

218

É ÉÈ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ ÉÚ P , ÐÒÅ×ÒÁÝÁÀÝÉÅ P h1i × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u 2 P h1i ÎÁ P P . ïÐÅÒÁÃÉÑ s ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ a(x) = s0 as x 2 P [x] ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ a(x)u = w 2 P h1i , ÇÄÅ

w(i) =

X s0

as u(i + s); i 2 N 0 :

ôÁËÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ: (a(x) + b(x))u = a(x)u + b(x)u; a(x)(u + v ) = a(x)u + a(x)v; (a(x)b(x))u = a(x)(b(x)u); eu = u; Ô.Å. ÚÁÄÁÅÔ ÎÁ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å P h1i ÓÔÒÕËÔÕÒÕ P [x]-ÍÏÄÕÌÑ.

(7.3.1)

B. óÅÍÅÊÓÔ×Á ìòð É ÉÈ Ó×ÏÊÓÔ×Á. çÅÎÅÒÁÔÏÒ ìòð. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ u 2 P h1i ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ (ìòð) ÐÏÒÑÄËÁ m ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (x) 2 P [x] ÓÔÅÐÅÎÉ m ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ f (x)u = 0. ôÁËÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ìòð u. åÓÌÉ f (x) = xm fm 1 xm 1 ::: f1 x f0 , ÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ

f (x)u = 0 ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ

u(i + m) = fm 1 u(i + m 1) + ::: + f1 u(i + 1) + f0 u(i); i 0:

(7.3.2)

óÔÒÏËÁ u(0; m 1) = (u(0); :::; u(m 1)) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ ìòð u ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x). óÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ LP (f ) = fu 2 P h1i : f (x)u = 0g (7.3.3) ×ÓÅÈ ìòð Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x) ÅÓÔØ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ P [x]-ÍÏÄÕÌÑ P h1i ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ m ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×ÏÍ (Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x)). ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÌÀÂÏÊ P [x]-ÐÏÄÍÏÄÕÌØ M ÍÏÄÕÌÑ P h1i , ÉÍÅÀÝÉÊ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ËÏÎÅÞÎÕÀ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ m, ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ

M = LP (f )

(7.3.4)

ÄÌÑ ÐÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) 2 P [x] ÓÔÅÐÅÎÉ m. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M P h1i ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ (7.3.4) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ M | ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÅ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P P h1i É xM M (Ô.Å. M ÚÁÍËÎÕÔÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÄ×ÉÇÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ). ðÕÓÔØ, ÄÌÑ s 2 0; m 1, efs ÅÓÔØ ìòð ÉÚ LP (f ) Ó ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ

efs (0; m 1) = (0| ; {z :::; 0}; e; 0; :::; 0):

(7.3.5)

s

ôÏÇÄÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ef0 , ..., efm 1 ÅÓÔØ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP (f ) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ef = efm 1 ÉÇÒÁÅÔ ÏÓÏÂÕÀ ÒÏÌØ É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ

çìá÷á 7.

äïðïìîåîéå: ëïìøãá, íïäõìé, òåëõòòåîôù

219

ÉÍÐÕÌØÓÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x). óÉ-

ÓÔÅÍÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ

ef ; xef ; :::; xm 1 ef (7.3.6) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÁÚÉÓÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP (f ) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LP (f ) ËÁË ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ËÏÌØÃÏÍ P [x] Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÍ É ÐÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÉÍÐÕÌØÓÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ: LP (f ) = P [x]ef : äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u u (x) 2 P [x] ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ

(7.3.7)

2 LP (f ) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ

u = u (x)ef ; deg u (x) < m:

(7.3.8)

üÔÏÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏÍ ìòð u É ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ m

1 + X(u(k) fm 1 u(k 1) ::: fm 1 u(0))xm 1 k : u (x) = (7.3.9) k=1 ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÁ u (x) = 'm 1 xm 1 + ::: + '1 x + '0 ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÔÁËÖÅ ÎÁÊÄÅÎÙ ËÁË ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

u(0)xm

u(0; m 1) = ('0 ; :::'m 1 )U; ÇÄÅ

0

1

ef (0; m 1) B xef (0; m 1) C C U =B @ A ::: m 1 f x e (0; m 1) | ÍÁÔÒÉÃÁ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÂÁÚÉÓÁ (7.3.6) ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á LP (f ). óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 0 1 f1 f2 : : : fm 1 e B f2 f3 : : : e 0C B C 1 C: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U =B (7.3.10) B C @ fm 1 e : : : 0 0A e 0 ::: 0 0 ïÔÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÙ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ efs 2 LP (f ) ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ f (x) = xm s 1 fm 1 xm s 2 ::: fs+2 x fs+1 ; s 2 0; m 1: (7.3.11) es

C. ðÏÒÏÖÄÁÀÝÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ìòð. ìÀÂÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u

ÍÏÖÎÏ ÓÏÐÏÓÔÁ×ÉÔØ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ

Gu (x) =

X i0

u(i)xi

2 P h1i

çìá÷á 7.

äïðïìîåîéå: ëïìøãá, íïäõìé, òåëõòòåîôù

220

ÉÚ ËÏÌØÃÁ P [[x]] ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×. òÑÄ Gu (x) ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u. åÓÌÉ u ÅÓÔØ ìòð Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x) É ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏÍ u (x), ÔÏ Gu (x) ÅÓÔØ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ:

Gu(x) = f u((xx)) ;

(7.3.12)

ÇÄÅ u (x) = xm 1 u (1=x), f (x) = xm f (1=x). îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ ÎÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ×ÉÄÁ m 1 Gu(x) = 'm e1++a'm x2x++::::::++a'x0mx ; m 1 0

Gu (x) ÅÓÔØ ÒÁÃÉÏ-

ÔÏ u ÅÓÔØ ìòð Ó ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x) = xm + am 1 xm 1 + ::: + a1 x + a0 É ÇÅÎÅÒÁÔÏÒÏÍ u (x) = 'm 1 xm 1 + ::: + '1 x + '0 . D. íÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ É ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ ìòð. áÎÎÕÌÑÔÏÒÏÍ × ËÏÌØÃÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÐÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á S P h1i ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÉÄÅÁÌ

An(S ) = fa(x) 2 P [x] : a(x)S = 0g: õÓÌÏ×ÉÅ An(S ) 6= 0 ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÚ S | ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ. ðÒÉ ÜÔÏÍ, ÅÓÌÉ An(S ) = P [x]f (x), ÇÄÅ f (x) | ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, ÔÏ S 2 LP (f ), É, ÂÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï S ÐÏÒÏÖÄÁÅÔ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï LP (f ). ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ u 2 P <1 > ÅÓÔØ ìòð ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ An(u) 6= 0. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ g (x) 2 An(u), ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÙÊ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á An(u) = P [x]g (x), ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ìòð u, É ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎ ÔÁËÖÅ ËÁË ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ìòð u ÎÁÉÍÅÎØÛÅÊ ÓÔÅÐÅÎÉ. ïÎ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ g (x) = Mu (x). åÓÌÉ u 2 LP (f ), ÔÏ

Mu (x) =

f (x) : (u (x); f (x))

(7.3.13)

óÔÅÐÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Mu (x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÎÇÏÍ (ÉÌÉ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÓÌÏÖÎÏÓÔØÀ ) ìòð u: rank u = deg Mu (x). óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ:

LP (f ) = P [x]u

, Mu (x) = f (x) ,

(u (x); f (x)) = e:

äÏÐÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ f (x) = g1 (x)k :::gr (x)kr ; ÇÄÅ deg gi (x) = mi , i 2 1; r. ôÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ u 2 LP (f ) Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f (x) ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ P (f ) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× (x) 2 P [x] ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ deg (x) < m = deg f (x); ((x); f (x)) = e; 1

çìá÷á 7.

äïðïìîåîéå: ëïìøãá, íïäõìé, òåëõòòåîôù

221

É ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ P (f ) = q (f ) =

qm

m1

1 q

1

::: 1

mr

1 q

:

(7.3.14)

æÕÎËÃÉÀ P (f ) ÉÎÏÇÄÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÆÕÎËÃÉÅÊ üÊÌÅÒÁ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÐÏÌÅÍ. åÅ ÍÏÖÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÔÁËÖÅ ËÁË ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÕÌØÔÉÐÌÉËÁÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÐÐÙ ËÏÌØÃÁ ×ÙÞÅÔÏ× P [x]=P [x]f (x). äÌÑ ÌÀÂÙÈ ÕÎÉÔÁÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f (x); g (x) 2 P [x] ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ An(LP (f (x))) = P [x]f (x); (7.3.15) LP (f (x)) + LP (g (x)) = LP ([f (x); g (x)]); (7.3.16) ÇÄÅ [f (x); g (x)] | îïë ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f É g ,

LP (f (x)) \ LP (g (x)) = LP ((f (x); g (x)));

(7.3.17)

ÇÄÅ (f (x); g (x)) | îïä ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f É g . åÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ f (x) É g (x)) ×ÚÁÉÍÎÏ ÐÒÏÓÔÙ, ÔÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LP (fg ) ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÐÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ:

LP (fg ) = LP (f ) +_ LP (g ):

(7.3.18)

íÎÏÖÅÓÔ×Ï LP ×ÓÅÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÅÓÔØ ÐÏÄÍÏÄÕÌØ P [x]-ÍÏÄÕÌÑ P h 1i . E. âÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ìòð-ÓÅÍÅÊÓÔ×Á. ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ìòð Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÆÕÎËÃÉÉ ÓÌÅÄ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ a 2 P É ÌÀÂÏÇÏ l 2 N 0 ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ a[l] 2 P h1i , ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÍÁÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ

i i a[l] (0; l) = (0; :::; 0; e); a[l](i) = a l

l

ÄÌÑ i > l;

(7.3.19)

ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØÀ ÐÏÒÑÄËÁ l + 1 Ó ËÏÒÎÅÍ a. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, 0[l] = (0; :::; 0; e; 0; 0; :::); l+2 e[l] = (0; :::; 0; e; l+1 l e; l e; :::): ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ a[l] ÅÓÔØ ìòð Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ (x a)l+1 . åÓÌÉ P | ÐÏÌÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) 2 P [x], É ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ f (x) = (x a1 )l +1 :::(x at )lt +1 ; 1

ÔÏ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï LP (f ) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÂÁÚÉÓ [l ] [0] [lt] a[0] 1 ; :::; a1 ; a2 ; :::; at : 1

(7.3.20)

çìá÷á 7.

äïðïìîåîéå: ëïìøãá, íïäõìé, òåëõòòåîôù

222

ðÕÓÔØ f (x) 2 P [x] | ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ m, Q = GF (q m ) | ÅÇÏ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÐÏÌÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁÄ P É 2 Q | ËÏÒÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x). ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ìòð u 2 LP (f ) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ c 2 Q ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ

u(i) = trqq (ci ); i 0; m

(7.3.21)

ÇÄÅ trqqm = x + xq + ::: + xqm | ÓÌÅÄ ÉÚ ÐÏÌÑ Q × ÐÏÌÅ P . óÅÍÅÊÓÔ×Ï LP (f ) ÅÓÔØ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ×ÉÄÁ (7.3.21). ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï LP (f ) ÅÓÔØ ÐÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ×ÉÄÁ LP (g (x)l+1 ), ÇÄÅ g (x) | ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÉÚ P [x]. åÓÌÉ ÐÒÉ ÜÔÏÍ deg g (x) = m É 2 Q | ËÏÒÅÎØ g (x) × ÐÏÌÅ Q = GF (q m ), ÔÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï LP (g (x)l+1 ) ÅÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ u ×ÉÄÁ 1

u(i)

m = trqq (c0 i ) +

i qm i qm i trq (c1 i ) + ::: + tr (c ); i 0; 1 l q l

(7.3.22)

ÇÄÅ c0 ; :::; cl 2 Q. åÓÌÉ × (7.3.22) cr 6= 0 É cj = 0 ÄÌÑ ×ÓÅÈ j > r, ÔÏ Mu (x) = g (x)r+1 . F. ðÅÒÉÏÄ É ÄÅÆÅËÔ. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ u 2 P h1i ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ 2 N 0 , t 2 N ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ

x (xt

e)u = 0:

(7.3.23)

äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÐÁÒÁÍÅÔÒÙ (u) 2 N 0 (ÄÅÆÅËÔ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u) É T (u) 2 N (ÐÅÒÉÏÄ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u) ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (7.3.23) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ

(u); T (u) j t:

(7.3.24)

ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ u ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÏÊ, ÉÌÉ ÞÉÓÔÏ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ, ÅÓÌÉ (u) = 0, É ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÅÊÓÑ, ÅÓÌÉ x(u) u = 0. ìÀÂÁÑ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ u 2 P h1i ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ

u = u0 + u1

(7.3.25)

×ÙÒÏÖÄÁÀÝÅÊÓÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u0 É ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u1 . ðÒÉ ÜÔÏÍ ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ

(u0 ) = (u); T (u1 ) = T (u); u1 = xÆ u; ÇÄÅ Æ > É T (u) j Æ . óÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔØ LP ×ÓÅÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÐÏÌÅÍ P ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÓÅÈ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÎÁÄ P . åÓÌÉ u; v 2 P h1i | ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÔÏ w = u + v | ÔÁËÖÅ ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÐÒÉÞÅÍ

(w) maxf(u); (v )g; T (w) j [T (u); T (v )];

çìá÷á 7.

223

äïðïìîåîéå: ëïìøãá, íïäõìé, òåëõòòåîôù

ÅÓÌÉ (u) 6= (v ); ÔÏ (w) = maxf(u); (v )g; (7.3.26) ÅÓÌÉ (T (u); T (v )) = 1; ÔÏ T (w) = T (u)T (v ); (7.3.27) ÅÓÌÉ (Mu (x); Mv (x)) = e, ÔÏ ÔÁËÖÅ ×ÅÒÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (7.3.26), (7.3.27). ðÅÒÉÏÄ É ÄÅÆÅËÔ ìòð u ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ Ó ÐÅÒÉÏÄÏÍ É ÄÅÆÅËÔÏÍ ÅÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Mu (x) = g (x). ðÏÓÌÅÄÎÉÅ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ËÁË ÎÁÉÍÅÎØÛÉÅ 2 N 0 , t 2 N ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ

g (x) j x (xt

e)

É ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ (g ) É T (g ) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. äÅÆÅËÔ (g ) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ g (x) ÒÁ×ÅÎ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ x × ÅÇÏ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ. íÎÏÇÏÞÌÅÎ g (x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÙÍ, ÉÌÉ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÍ, ÅÓÌÉ (g ) = 0. åÓÌÉ g (x) 2 P [x] | ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ m É | ÅÇÏ ËÏÒÅÎØ × ÐÏÌÅ Q = GF (q m ), ÔÏ

T (g ) = ord ; T (g ) j q m

1 É T (g ) 6 j q k

1 ÄÌÑ k 2 1; m

1:

÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ g (x) ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ g (x) = xl g1 (x)k :::gr (x)kr ; ÔÏ (g ) = l É T (g ) = [T (g1 ; :::; T (gr )] pc ; (7.3.28) ÇÄÅ ÐÁÒÁÍÅÔÒ c 0 ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ pc 1 < maxfk1 ; :::; kr g pc : 1

G. ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ. åÓÌÉ u | ìòð ÒÁÎÇÁ m É q m > 2, ÔÏ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (u) + T (u) q m 1. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ u 2 P h1i ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÏÊ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ÉÌÉ ìòð íð ÎÁÄ P , ÅÓÌÉ rank u = m É T (u) = q m 1. äÌÑ ìòð u 2 P h1i ÒÁÎÇÁ m Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ g (x) ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒ-

ÖÄÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ: (1) u | ìòð ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P ; (2) ÌÀÂÁÑ ÎÅÎÕÌÅ×ÁÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ v 2 LP (g ) ÅÓÔØ ÓÄ×ÉÇ ìòð u, Ô.Å. v = xk u ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ k 2 N ; (3) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ g (x) ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P É ÅÇÏ ËÏÒÅÎØ × ÐÏÌÅ Q = GF (q m ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÜÔÏÇÏ ÐÏÌÑ; (4) T (g ) = q m 1. íÎÏÇÏÞÌÅÎ g (x) 2 P [x], ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÊ ÐÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ, ÉÌÉ ÐÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P (ËÏÒÏÔËÏ: íð-ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ).

çìá÷á 7.

224

äïðïìîåîéå: ëïìøãá, íïäõìé, òåëõòòåîôù

ðÕÓÔØ u | ìòð íð ÒÁÎÇÁ m ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P É = q m 1. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÞÉÓÌÁ r 0 i1 < i2 < ::: < ir 1 É ÜÌÅÍÅÎÔÙ a1 ; :::; ar 2 P , É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Nu ai :::i :::ar ÞÉÓÌÏ ÒÅÛÅÎÉÊ i 2 0; 1 ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ 1

1

u(i + i1 ) = a1 ; :::; u(i + ir ) = ar :

(7.3.29)

ðÕÓÔØ g (x) | ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ìòð u. äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ h(x) 2 P [x] ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Res(h(x)=g (x)) ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ h(x) ÎÁ g (x). åÓÌÉ ÓÉÓÔÅÍÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Res(xi =g (x)); :::; Res(xir =g (x))

(7.3.30)

1

ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÁ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P , ÔÏ r m É

qm r ; ÅÓÌÉ (a ; :::; a ) 6= 0; r Nu ai1 :::i = q m r 1; ÅÓÌÉ (a1 ; :::; ar ) = 0: (7.3.31) 1 r 1 :::ar ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (7.3.31) ×ÅÒÎÙ, ÅÓÌÉ 0 m i1 < ::: < ir m 1, ÉÌÉ ÅÓÌÉ r = 2 É ÒÁÚÎÏÓÔØ i2 i1 ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÞÉÓÌÏ = qq 11 . üÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÒÏË

fu(i; i + m 1) : i 2 0; 1g ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ P m n 0 ×ÓÅÈ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ m ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ðÒÉ

ÜÔÏÍ × ÓÔÒÏËÅ u(0; 1) ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ (q 1)q m 1 ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÐÏÌÑ P , ÐÒÉÞÅÍ ËÁÖÄÙÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ q m 1 ÒÁÚ, Á ÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ q m 1 1 ÒÁÚ. :::ir óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÁËÖÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÏÂ ÏÃÅÎËÅ ÞÉÓÌÁ NuN ai :::a ÒÅÛÅÎÉÊ i ÓÉr ÓÔÅÍÙ (7.3.29), ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ ÏÔÒÅÚËÕ 0; N 1, ÇÄÅ N < . ÐÒÉ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÍ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ g (x) ìòð u ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍ ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P .ïÄÉÎ ÉÚ ÐÏÓÌÅÄÎÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ [28]. ðÒÉ ÔÅÈ ÖÅ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÎÁ ÓÉÓÔÅÍÕ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× (7.3.30) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 1

1

N i1 :::ir u a1 :::ar

N

N q r 1 qr (3(Nq qr

N 2 ))1=3 :

H. íÕÌØÔÉÐÌÉËÁÔÏÒÙ É ÒÅÄÕÃÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÐÅÒÉÏÄ. ëÏÎÓÔÁÎÔÁ a 2 P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÕÌØÔÉÐÌÉËÁÔÏÒÏÍ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u 2 P h1i , ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ

t 2 N ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

au = xt u (7.3.32) (ÐÏÄÞÅÒËÎÅÍ, ÞÔÏ ÚÄÅÓØ t > 0). íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÍÕÌØÔÉÐÌÉËÁÔÏÒÏ× ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Mult(u). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ Mult(u) 6= ;, ÔÏ u ÅÓÔØ ìòð ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ïÂÒÁÔÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÎÅ×ÅÒÎÏ: ÅÓÌÉ u ÅÓÔØ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÁÑÓÑ ìòð Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ ÄÅÆÅËÔÏÍ, ÔÏ Mult(u) = ;.

çìá÷á 7.

äïðïìîåîéå: ëïìøãá, íïäõìé, òåëõòòåîôù

225

õÓÌÏ×ÉÅ 0 2 Mult(u) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ Mult(u) = 0 É ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ u | ×ÙÒÏÖÄÁÀÝÁÑÓÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ. óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ: (1) u | ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÁÑ ìòð; (2) ; 6= Mult(u) P n 0; (3) e 2 Mult(u); (4) Mult(u) < (P ; ). ðÒÉ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÉ ÜÔÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ Mult(u) | ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ ÇÒÕÐÐÙ P ÐÏÒÑÄËÁ d, ÄÅÌÑÝÅÇÏ T (u) = , É ÅÓÌÉ = d, ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÃÉËÌÉÞÅÓËÉÊ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÊ a ÇÒÕÐÐÙ Mult(u) ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï u(0; 1) = (u(0; 1); au(0; 1); :::; ad 1 u(0; 1)): (7.3.33) íÎÏÖÅÓÔ×Ï Mult(u) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÇÒÕÐÐÏÊ ÍÕÌØÔÉÐÌÉËÁÔÏÒÏ× (ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÏÊ) ìòð u, Á ÜÌÅÍÅÎÔ a ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ (7.3.33) | ÅÅ ÇÌÁ×ÎÙÍ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍ. ðÁÒÁÍÅÔÒ = T (u)=j Mult(u)j ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÄÕÃÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÐÅÒÉÏÄÏÍ, ÉÌÉ ÐÒÅÄÐÅÒÉÏÄÏÍ ÒÅ×ÅÒÓÉ×ÎÏÊ ìòð u É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ = Tred (u). åÓÌÉ u | ìòð íð ÒÁÎÇÁ m ÎÁÄ P Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ g (x), ÔÏ qm 1 Tred (u) = ; Mult(u) = P ; q 1 É ÇÌÁ×ÎÙÊ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÊ ÇÒÕÐÐÙ Mult(u) ÅÓÔØ

a = ( 1)m g (0):

(7.3.34)

ðÕÓÔØ | ËÏÒÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ g (x) × ÐÏÌÅ Q = GF (q m ). ôÏÇÄÁ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÔÁËÖÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï qm 1 : a = ; = q 1 üÌÅÍÅÎÔ = q 1 ÉÍÅÅÔ ÐÏÒÑÄÏË É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÎÅÐÒÉ×ÏÄÉÍÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ h(x) 2 P [x] ÓÔÅÐÅÎÉ m É ÐÅÒÉÏÄÁ T (h) = . ðÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ (m; q

1) = 1

ÌÀÂÁÑ ìòð v 2 LP (h) n 0 ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ Mult(v ) = (e); T (v ) = Tred (v ) = : I. òÅÇÕÌÑÒÎÙÅ ×ÙÂÏÒËÉ. äÌÑ l 2 N 0 , d 2 N ÎÁÚÏ×ÅÍ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ (l; d)×ÙÂÏÒËÏÊ ÉÚ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ u 2 P h1i ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ v = u[l;d] 2 P h1i

×ÉÄÁ

v (i) = u(l + di); i 0: åÓÌÉ u 2 LP (f ), deg f (x) = m É B = S (f )d | ÓÔÅÐÅÎØ ÓÏÐÒÏ×ÏÖÄÁÀÝÅÊ ÍÁÔÒÉÃÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x), ÔÏ v 2 LP (B (x)). éÄÅÁÌ An(v ) ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× h(x) 2 P [x], ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ u(0; m 1)h(B )Sl;d = 0;

(7.3.35)

çìá÷á 7.

äïðïìîåîéå: ëïìøãá, íïäõìé, òåëõòòåîôù

226

ÇÄÅ Sl;d = (Sbl ; B Sbl ; :::; B m 1 Sbl ) = (Sbl ; Sbl+d; :::; Sbl+d(m 1) ), É ÞÅÒÅÚ Sbi ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÐÅÒ×ÙÊ ÓÔÏÌÂÅÃ ÍÁÔÒÉÃÙ S (f )i . úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (7.3.35) ÎÅÌØÚÑ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ u(0; m 1)h(B ) = 0. ðÕÓÔØ g (x) | ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÁÔÒÉÃÙ B . ôÏÇÄÁ v 2 LP (g ). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ L(Pd) (f ) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ (l; d)-×ÙÂÏÒÏË (ÐÒÉ l = 0; 1; :::) ÉÚ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ìòð u 2 LP (f ). ôÏÇÄÁ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï L(d) (f ) = L (g ): (7.3.36) P

P

÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÐÕÓÔØ f (x) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ = q m 1 ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P Ó ËÏÒÎÅÍ 2 Q = GF (q m ), É ÐÕÓÔØ fd (x) | ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÜÌÅÍÅÎÔÁ d ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ P . ôÏÇÄÁ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï L(d) (f ) = L (f (x)): (7.3.37) P

P

d

úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÔÅÐÅÎØ md ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ fd (x) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: m q 1 md = deg fd (x) = min k 2 1; m : d k q 1 É ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ md j m, Á ÐÅÒÉÏÄ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ fd (x) ÒÁ×ÅÎ

T (fd (x)) = ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ (d; q m

qm 1 : (d; q m 1)

1) = 1, ÔÏ fd (x) | ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ.

ìÉÔÅÒÁÔÕÒÁ [1] áÔØÑ í., íÁËÄÏÎÁÌØÄ é. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÕÀ ÁÌÇÅÂÒÕ. M.: íÉÒ, 1972. 160 c. [2] âÅÒÌÅËÜÍÐ ü. áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ. í.: íÉÒ, 1971. 480 c. [3] âÉÒËÇÏÆÆ ç., âÁÒÔÉ ô. óÏ×ÒÅÍÅÎÎÁÑ ÐÒÉËÌÁÄÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ. í.: íÉÒ, 1976. 400 Ó. [4] çÁÎÔÍÁÈÅÒ æ. ò. ôÅÏÒÉÑ ÍÁÔÒÉÃ. í., îÁÕËÁ, 1988. 552 Ó. [5] çÉÌÌ á. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÎÙÅ ÍÁÛÉÎÙ. áÎÁÌÉÚ, ÓÉÎÔÅÚ É ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÅ. í.: îÁÕËÁ, 1974. 287 Ó. [6] åÌÉÚÁÒÏ× ÷. ð. óÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁÄ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØÃÏÍ. õÓÐÅÈÉ ÍÁÔ. ÎÁÕË, 48 (1993), 2, 181{182. [7] ëÁÓÁÍÉ ô., ôÏËÕÒÁ î., é×ÁÄÁÒÉ å., éÎÁÇÁËÉ ñ. ôÅÏÒÉÑ ËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÑ. í.: íÉÒ, 1978. 576 Ó. [8] ëÎÕÔ ä. å. éÓËÕÓÓÔ×Ï ÐÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÌÑ ü÷í. ô. 2. í.: íÉÒ, 1977. 724 Ó. [9] ëÏÓÔÒÉËÉÎ á. é. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ÁÌÇÅÂÒÕ. í.: îÁÕËÁ, 1977. [10] ëÕÚØÍÉÎ á. ó., ëÕÒÁËÉÎ ÷. ì., îÅÞÁÅ× á. á. ðÓÅ×ÄÏÓÌÕÞÁÊÎÙÅ É ÐÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ. ôÒÕÄÙ ÐÏ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ, ÔÏÍ 1. í.: ô÷ð, 1997. ó. 139{202. [11] ëÕÚØÍÉÎ á. ó., îÅÞÁÅ× á. á. ìÉÎÅÊÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÅ ËÏÄÙ É ËÏÄ ëÅÒÄÏËÁ ÎÁÄ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÐÏÌÅÍ çÁÌÕÁ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ 2. õÓÐÅÈÉ ÍÁÔ. ÎÁÕË, 49 (1994), 5, 165{166. [12] ëÕÒÁËÉÎ ÷. ì. ëÏÎ×ÏÌÀÃÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ. õÓÐÅÈÉ ÍÁÔ. ÎÁÕË, 48 (1993), 4, 235{236. [13] ëÕÒÁËÉÎ ÷. ì. ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÉÏÄÁ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÐÏÌÅÍ. äÉÓËÒÅÔ. ÍÁÔ., 7 (1995), 2, 34{39. 227

ìéôåòáôõòá

228

[14] ëÕÒÁËÉÎ ÷. ì. áÌÇÏÒÉÔÍ âÅÒÌÅËÜÍÐÁ|íÅÓÓÉ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ËÏÌØÃÁÍÉ, ÍÏÄÕÌÑÍÉ É ÂÉÍÏÄÕÌÑÍÉ. äÉÓËÒÅÔ. ÍÁÔ., 10 (1998), 4, 3{34. [15] ìÁÍÂÅË é. ëÏÌØÃÁ É ÍÏÄÕÌÉ. í.: íÉÒ, 1971. 280 Ó. [16] ìÅÎÇ ó. áÌÇÅÂÒÁ. í.: íÉÒ, 1968. 564 Ó. [17] ìÉÄÌ ò., îÉÄÅÒÒÁÊÔÅÒ ç. ëÏÎÅÞÎÙÅ ÐÏÌÑ. ô. 1, 2. í.: íÉÒ, 1988. 824 Ó. [18] íÁË-÷ÉÌØÑÍÓ æ. ä., óÌÏÜÎ î. ä. á. ôÅÏÒÉÑ ËÏÄÏ×, ÉÓÐÒÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÏÛÉÂËÉ. í.: ó×ÑÚØ, 1979. 744 c. [19] îÅÞÁÅ× á. á. æÕÎËÃÉÑ \ÓÌÅÄ" × ËÏÌØÃÅ çÁÌÕÁ É ÐÏÍÅÈÏÕÓÔÏÊÞÉ×ÙÅ ËÏÄÙ. V ÷ÓÅÓÏÀÚÎ. ÓÉÍÐ. ÐÏ ÔÅÏÒÉÉ ËÏÌÅÃ, ÁÌÇÅÂÒ É ÍÏÄÕÌÅÊ. ôÅÚÉÓÙ ÓÏÏÂÝÅÎÉÊ. îÏ×ÏÓÉÂÉÒÓË, 1982, Ó. 97. [20] îÅÞÁÅ× á. á. ëÏÄ ëÅÒÄÏËÁ × ÃÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ. äÉÓËÒÅÔ. ÍÁÔ., 1 (1989), 4, 123{139. [21] îÅÞÁÅ× á. á. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÁÄ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍÉ ËÏÌØÃÁÍÉ. äÉÓËÒÅÔ. ÍÁÔ., 3 (1991), 4, 107{121. [22] îÅÞÁÅ× á. á. ãÉËÌÏ×ÙÅ ÔÉÐÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ÏË ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍÉ ËÏÌØÃÁÍÉ. íÁÔ. ÓÂÏÒÎÉË, 184 (1993), 3, 21{56. [23] îÅÞÁÅ× á. á. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÁÄ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×ÙÍÉ ÍÏÄÕÌÑÍÉ. õÓÐÅÈÉ ÍÁÔ. ÎÁÕË, 48 (1993), 3, 197{198. [24] îÅÞÁÅ× á. á. ëÏÎÅÞÎÙÅ Ë×ÁÚÉÆÒÏÂÅÎÉÕÓÏ×Ù ÍÏÄÕÌÉ, ÐÒÉÌÏÖÅÎÉÑ Ë ËÏÄÁÍ É ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÁÍ. æÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÁÑ É ÐÒÉËÌÁÄÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. ãîéô íçõ, 1 (1995), 1, 229{254. [25] îÅÞÁÅ× á. á., ëÕÚØÍÉÎ á. ó., íÁÒËÏ× ÷. ô. ìÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÄÙ É ÐÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÙ. æÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÁÑ É ÐÒÉËÌÁÄÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ. 2 (1996), 3, 195{254. [26] ðÉÔÅÒÓÏÎ õ., õÜÌÄÏÎ ü. ëÏÄÙ, ÉÓÐÒÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÏÛÉÂËÉ. í.: íÉÒ, 1976. [27] óÁÞËÏ× ÷. î. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÄÉÓËÒÅÔÎÏÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ. í.: îÁÕËÁ, 1982. 384 c. [28] óÉÄÅÌØÎÉËÏ× ÷. í. ïÃÅÎËÉ ÄÌÑ ÞÉÓÌÁ ÚÎÁËÏ× ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÐÏÌÅÍ. äÉÓËÒÅÔ. ÍÁÔ., 3 (1991), 2, 87{95. [29] óÉÄÅÌØÎÉËÏ× ÷. í. ïÔËÒÙÔÏÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÅ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ËÏÄÏ× òÉÄÁ|íÁÌÌÅÒÁ. äÉÓËÒÅÔ. ÍÁÔ., 6 (1994), 2, 3{20. [30] óÉÄÅÌØÎÉËÏ× ÷. í., ðÅÒÛÁËÏ× á. ó. äÅËÏÄÉÒÏ×ÁÎÉÅ ËÏÄÏ× òÉÄÁ|íÁÌÌÅÒÁ ÐÒÉ ÂÏÌØÛÏÍ ÞÉÓÌÅ ÏÛÉÂÏË. ðÒÏÂÌÅÍÙ ÐÅÒÅÄÁÞÉ ÉÎÆ., 28 (1992), 3, 80{94.

ìéôåòáôõòá

229

[31] óÉÄÅÌØÎÉËÏ× ÷. í., ûÅÓÔÁËÏ× ó. ï. ï ÓÉÓÔÅÍÅ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ, ÐÏÓÔÒÏÅÎÎÏÊ ÎÁ ÏÓÎÏ×Å ÏÂÏÂÝÅÎÎÙÈ ËÏÄÏ× òÉÄÁ|óÏÌÏÍÏÎÁ. äÉÓËÒÅÔ. ÍÁÔ., 4 (1992), 3, 57{63. [32] óÔÅÐÁÎÏ× ó. á. ëÏÄÙ ÎÁ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ËÒÉ×ÙÈ. í.: æÁÚÉÓ, 2001. [33] æÅÊÓ ë. áÌÇÅÂÒÁ: ËÏÌØÃÁ, ÍÏÄÕÌÉ, ËÁÔÅÇÏÒÉÉ. ô. 2. í.: íÉÒ, 1979. 464 c. [34] Azumaya G. A duality theory for injective modules (Theory of quasi-Frobenius modules). Amer. J. Math., 81 (1959), 1, 249-278. [35] Blahut R. E. Theory and practice of error control codes. Addison Wesley, 1984. 500 p. [36] Blake J. F. Codes over certain rings. Inform. and Control, 20 (1972), 396{404. [37] Blake J. F. Codes over integer residue rings. Inform. and Control, 29 (1972), 4, 295{300. [38] Bose R. C., Ray-Chaudhuri D. K. On a class of error correcting codes. Inform. and Control, 3 (1960), 68{79. òÕÓÓËÉÊ ÐÅÒÅ×ÏÄ: âÏÕÚ ò. ë., òÏÊ-þÏÕÄÈÕÒÉ ä. ë. ïÂ ÏÄÎÏÍ ËÌÁÓÓÅ Ä×ÏÉÞÎÙÈ ÇÒÕÐÐÏ×ÙÈ ËÏÄÏ× Ó ÉÓÐÒÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÏÛÉÂÏË. ëÉÂ. ÓÂ., ×ÙÐ. 2. 83{94. í.: éì, 1961. [39] Chan A. H., Games H. A. On the linear span of binary sequences obtained from nite geometries. Lect. Notes in Comput. Sci., 263, 405-417. Berlin, Springer, 1987. [40] Conway J. H., Sloane N. J. A. Self-dual codes over the integer modulo 4. J. Comb. Theory, Ser. A, 62 (1993). [41] Cryptology and Computational Number Theory. In: Proc. Symp. Appl. Math., 42 (1989). [42] Ericson Th., Zinoviev W. Spherical codes. To appear. [43] Greenough P. P., Hill R. Optimal linear codes over GF (4). Discrete Math., 125 (1994), 187{199. [44] Hammons A. R., Kumar P. V., Calderbank A. R., Sloane N. J. A., Sole P. The Z4-linearity of Kerdock, Preparata, Goethals and related codes. IEEE Trans. of Inf. Theory, 40 (1994), 2, 301{319. [45] Haukkanen P. On a convolution of linear recurring sequences over nite elds. J. of Algebra, 149 (1992), 1, 179{182. [46] Heise W., Quattrocci P. Informations- und Codierungstheorie. Springer, Berlin{ Heidelberg, 1995.

ìéôåòáôõòá

230

[47] Hill R. A rst course in coding theory. Clarendon Press, Oxford. xii + 251 pp. [48] Hocquenghem A. Codes correcteurs d'erreures. Chipfres, 2 (1959), 147{156. [49] Hong S. J., Patel A. M. A general class of maximal codes for computer application. IEEE Trans. on computers, C-21 (1972), 12, dec., 1322{1331. [50] Hong S. J., Patel A. M. Optimal rectangular code for high density magnetic types. IBM Res. Develop (1974), 579{588. [51] Klemm M. Uber die Identitat von MacWilliams fur die Gewichtsfunktion von Codes. Arch. Math., 49 (1987), 400{406. [52] Klemm M. Selbstdual codes uber dem Ring der ganzen Zahlen modulo 4. Arch. Math., 53 (1989), 201{207. [53] Kurakin V. L., Kuzmin A. S., Mikhalev A. V., Nechaev A. A. Linear recurring sequences over rings and modules. (Contemporary Math. and its Appl. Thematic survays. Vol. 10. Algebra 2. Moscow, 1994.) J. of Math. Sciences, 76 (1995), 6, 2793{2915. [54] Kuzmin A. S., Nechaev A. A. Error correcting codes on the base of linear recurring sequences over Galois rings. Proceedings of the IV-th Int. Workshop on Algebraic and Combinatorial Coding Theory. Novgorod, Sept. 1994, 132{135. So a, Zakrila, 1994. [55] Massey J. L. Shift-register synthesis and BCH decoding. IEEE Trans. Inf. Theory, 15 (1969), 1, Part 1, 122{127. [56] McEliece R. J. A public-key cryptosustem based on algebraic coding theory. DSN Progress Report 42{44, Jet Propulsion Lab., Pasadena, CA, January{February, 1978, 114{116. [57] Morita K. Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition. Sci. Rpts Tokyo Kyoiku Daigaku, A6 (1958), 15, May, 83{142. [58] Nechaev A. A. Linear codes over modules and over spaces. Mac-Williams identity. Proceedings of the 1996 IEEE Int. Symp. Inf. Theory and Appl., Victoria B. C., Canada, 1996, 35{38. [59] Niederreiter H. Knapsack-type cryptosystems and algebraic coding theory. Probl. Control and Inform. Theory, 15 (1986), 19{34. [60] Rueppel R. A. Staelbach O. J. Products of linear recurring sequences with maximum complexity. IEEE Trans. Inf. Theory, 33 (1987), 1, 126-131.

ìéôåòáôõòá

231

[61] Shankar P. On BCH codes over arbitrary integer rings. IEEE Trans. Inf. Theory, IT-25 (1979), 4, 480{483. [62] Spiegel E. Codes over Zm. Inform. and Control, 35 (1977), 1, 48{51. [63] Spiegel E. Codes over Zm. Revisited. Inform. and Control, 37 (1978), 1, 100{ 104. [64] Tsfasman M. A., Vladut S. G. Algebraic-Geometric codes. Math. and its Appl. (Soviet Series), Vol. 58. Kluwer Academic Publishers, 1991. 667 p. [65] Van Lint J. H. Introduction to coding theory. Springer Verlag, 1982. 175 p. [66] Van Lint J. H., van der Geer G. Introduction to coding theory and algebraic geometry. Birkhauseer Verlag, Basel, 1988. 84 p. [67] Welsh D. Codes and cryptography. Clarendon Press, Oxford. xii+257 p. [68] Wisbauer R. Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Munchen, Verl. Reinhard Fischer, 1988. vi+596 ss. [69] Zierler N., Mills W. H. Products of linear recurring sequences. J. of Algebra, 27 (1973), 1, 147{157.

Линейные коды и полилинейные рекурренты

Recommend Documents