Пределы функций, последовательностей: Учебное пособие

М И Н И СТ Е РСТ В О О Б РА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н ЫЙ У Н И В Е РСИ Т Е Т

ПРЕ Д Е ЛЫ Ф У Н К Ц И Й , ПО СЛ Е Д О В А Т Е ЛЬН О СТ Е Й Пособи е поспеци альности математи ка 010101

В оронеж 2003

2

У т верж д ен о н а у чн о м ет од ическим ф а ку льт ет а , п рот окол № 1 от 29.08.2003 г.

совет ом

ма т ем а т ического

С ост а вит ель д оц. Зу бова С.П.

Пособие п од гот овлен о н а ка ф ед ре м а т ем а т ического а н а лиза м а т ем а т ического ф а ку льт ет а Ворон еж ского госу д а рст вен н ого у н иверсит ет а . Реком ен д у ет ся ст у д ен т а м п ервого ку рса д н евн ого от д елен ия в п ом ощ ь п ри изу чен ии м а т ем а т ического а н а лиза .

3

1. Элементы лог и ки Пу ст ь P и Q - н екот оры е у т верж д ен ия, вы ска зы ва н ия, п ред п олож ен ия. Бу д ем чит а т ь, чт о P ⇒ Q , если P и Q п о су т и од н о и т о ж е в ы ска зы ва н ие. Бу д ем п иса т ь P ⇒ Q , если из н а личия P след у ет су щ ест вова н ия Q .Чит а ет ся: из P след у ет Q , или: если вы п олн яет ся P , т о сп ра вед ливо Q , или: в ы п олн ен ие P влечет за собойсу щ ест вова н ие Q . На п рим ер, если P - у т верж д ен ие: д а н н а я ф игу ра п а ра ллелогра м м , а Q - вы ска зы ва н ие: су м м а у глов в за д а н н ом м н огоу гольн ике ра вн а 360o , т о P ⇒Q. За п ись P ⇔ Q озн а ча ет , чт о у т верж д ен ие P и Q эквива лен т н ы , ра вн осильн ы . Чит а ет ся : P сп ра вед ливо т огд а и т олько т огд а ( в т ом и т олько т ом слу ча е), когд а им еет м ест о Q ; или: д ля т ого, чт обы вы п олн ялось свойст во P , н еобход им о и д ост а т очн о н а личия у словия Q . С лова «н еобход имо и д ост а т очн о»озн а ча ют след у ющ ее: Необход имост ь. Если вы п олн яет ся P , т о н еобход имо (обяза т ельн о) вы п олн яет ся Q : P ⇒ Q . Дост а т очн ост ь. Для осу щ ест влен ия P д ост а точн о вы п олн ен ия у словия Q : Q ⇒ P . На п рим ер, если п ри ра ссм от рен ии вы п у клы х м н огоу гольн иков P п ред лож ен ие: д а н н а я ф игу ра – ш ест иу гольн ик, а Q - су м м а у глов м н огоу гольн ика ра вн а 720 o , т о P ⇔ Q . О т рица н ие у т верж д ен ия P за п исы ва ет ся P , чит а ет ся: « н е P » , и ли не вы п олн яет ся». У т верж д ен ия P и P н а зы ва ют ся «P п рот ивоп олож н ы м и. На п рим ер, если P - вы ска зы ва н ие : число x п олож ит ельн ое, т о P озн а ча ет , чт о x ≤ 0 . И м еют м ест о след у ющ ие свойст ва . 1. За кон исключен н ого т рет ьего. И з у т верж д ен ий P и P т олько од н о ист ин н о. 2. С войст во от рица н ияот рица н ия. ( P ) = P , т о ест ь «н е «н е P »» ест ь са м о P . При д ока за т ельст ве т еорем ча ст о п ользу ют ся м ет од ом д ока за т ельст ва «от п рот ивн ого» и вм ест о д ока за т ельст ва у т верж д ен ия P ⇒ Q п ровод ят д ока за т ельст ва Q ⇒ P . Дока за т ельст во P ⇒ Q н а чин а ют слова м и «п ред п олож им п рот ивн ое (т о ест ь обра т н ое)», кот оры е за п исы ва ют ся«

».

. Пред п олож им п рот ивн ое, чт о P ⇒ Q . Тогд а исп ользу я н екот ору ю т еорем у , или оп ред елен ие, или ка кие – либо соот н ош ен ия, п риход им к н а личию свойст ва P , т о ест ь Q ⇒ P . З д есь ст а вит ься зн а к

4

«кра йн его у д ивлен ия» (?!), т а к ка к п о у словию им еем P , а P и P п о за кон у исключен н ого т рет ьего н е могу т вы п олн ят ься од н оврем ен н о. Зн а чит , п ред п олож ен ие P ⇒ Q н еверн о, и из P след у ет Q . Чт о и т ребова лось д ока за т ь. Привед ем д ока за т ельст во т ого, чт о 2 - ирра цион а льн ое число. def a

th a

О бозн а чен ие ⇒ бу д ет озн а ча т ь «п о оп ред елен ию a след у ет … », ⇒ (a )

«изт еорем ы a след у ет , чт о… », ⇒ - «изсоот н ош ен ия (a) вы т ека ет … ». Дока за т ельст во.

def

( 2 - ра цион а льн ое число) ⇒ ( 2 =

p , гд е q

p - н есокра т им а я д робь) ⇒ (2q 2 = p 2 ) ⇒ ( p − чет н ое (1) ) ⇒ q (1),( 2) p - сокра т им а я д робь) (?!) ⇒ ( 2 - ирра цион а льн ое ( q - чет н ое (2)) ⇒ ( q число). Ч. т . д .. М ы бу д ем исп ользова т ь сим волы д изъюн кции ∨ и кон ъюн кции ∧ . З а п ись P ∨ Q чит а ет ся: либо верн о P , либо Q , либо P и Q од н оврем ен н о. Вы ра ж ен ие P ∧ Q озн а ча ет , чт о P и Q сп ра вед ливы од н оврем ен н о. К п рим еру , если P - вы ска зы ва н ие: число a п олож ит ельн ое, а Q число a м ен ьш е 5, т о P ∨ Q сп ра вед ливо д лявсех д ейст вит ельн ы х чисел, а P ∧ Q - д ляп олож ит ельн ы х чисел, кот оры е м ен ьш е 5. Введ ем в у п от реблен ие ква н т оры всеобщ н ост и ∀ и су щ ест вова н ия ∃ . ∀ - п ереверн у т а я п ерва я бу ква а н глийского слова «All», чит а ет ся: «любой», «д ля всех», «д ля ка ж д ого». ∃ - п ереверн у т а я п ерва я бу ква а н глийского слова «Existens», чит а ет ся: «су щ ест ву ет », «н а йд ет ся». На п рим ер, п у ст ь x и y - д ейст вит ельн ы е числа и y > 0 . Тогд а

p, q ∈ Z и

∀( y )∃( x )[ y = 2 x ] , т о ест ь д лялюбого y су щ ест ву ет x т а кое, чт о y = 2 x . С п ра вед лива Теорема 1. Пу ст ь у т верж д ен ие P за п исы ва ет ся с п ом ощ ью кон крет н ого числа ква н т оров су щ ест вова н ия и всеобщ н ост и и у т верж д ен ий. Тогд а P за п исы ва ет ся с п ом ощ ью за м ен ы ква н т оров су щ ест вова н ия (всеобщ н ост и) н а ква н т оры всеобщ н ост и (су щ ест вова н ия) и п ослед н его из у п ом ин а ем ы х в P у т верж д ен ийн а п рот ивоп олож н ое. К п рим еру , п у ст ь P ест ь свойст во д елим ост и числа x н а 3: x P : ∃(b − цело е)[ = b], 3 т огд а x P : ∀(b − цело е)[ ≠ b]. 3

5

2.

Н екоторы е ч и словы е множества

М н ож ест во н а т у ра льн ы х (целы х п олож ит ельн ы х) чисел п рин ят о обозн а ча т ь через Ν : Ν = {1,2,3,...}. О бъед ин ен ие Ν U {0} обозн а ча ет ся Ν0 : Ν = {0,1,2,3,...} . Через Ν − обозн а ча ет ся м н ож ест во чисел, п рот ивоп олож н ы х н а т у ра льн ы м : Ν − = {−1,−2, −3,...} . 2. О бъед ин ен ие м н ож ест в Ν и Ν − ест ь м н ож ест во целы х чисел Ζ : Ζ = Ν0 U Ν− m 3. М н ож ест во Q = { x | x = , m ∈ Z , n ∈ Ν} эт о м н ож ест во n ра цион а льн ы х чисел. (З а п ись A = {x | P} чит а ет ся: A ест ь совоку п н ост ь элем ен т ов x , обла д а ющ их свойст вом P ). 4. О бъед ин ен ие м н ож ест ва Q с м н ож ест вом ирра цион а льн ы х чисел являет ся м н ож ест вом вещ ест вен н ы х или д ейст в ит ельн ы х чисел. О н о обозн а ча ет сячерез R . М н ож ест во {x ∈ R | x > 0} бу д ем обозн а ча т ь R+ . Э лем ен т ы м н ож ест ва R изобра ж а ют сят очка м и н а оси (числова яось или вещ ест вен н а яп рям а я). Числов ы м от резком (сегм ен т ом ) [ a, x ] н а зы ва ет ся совоку п н ост ь чисел x ∈ R т а ких, чт о a ≤ x ≤ b : [ a, b] = { x ∈ R | a ≤ x ≤ b} . Числовойин т ерва л (a, x) оп ред еляет сяслед у ющ им обра зом : (a, b) = {x ∈ R | a < x < b} . С оот н ош ен ия [a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b} , ( a, b] = { x ∈ R | a < x ≤ b} . оп ред еляют п олу ин т ерва лы . На вещ ест вен н ой п рям ой эт и объект ы вы гляд ят соот вет ст вен н о: 1.

6

Введ ем в ра ссм от рен ие д ва элем ен т а + ∞ и − ∞ (п люс и м ин у с бескон ечн ост ь), обла д а ющ их след у ющ им свойст вом : ∀( x ∈ R)[ −∞ < x < +∞ ] . М н ож ест во {−∞} U R U {+∞} н а зы ва ет ся ра сш ирен н ой п рям ой и обозн а ча ет сят а кж е R . Теп ерь в R м ож н о ра ссм а т рива т ь бескон ечн ы е п олу ин т ерва лы : (−∞, a] = {x ∈ R) | −∞ < x ≤ a}, [b,+∞) = {x ∈ R ) | b ≤ x < +∞} и бескон ечн ы е ин т ерва лы : ( −∞ , a) = {x ∈ R ) | −∞ < x < a}, (b,+∞ ) = {x ∈ R ) | b < x < +∞}, (−∞ ,+∞ ) = { x ∈ R) | −∞ < x < +∞} = R. Если речь ид ет обобеих бескон ечн ост ях + ∞ и − ∞ , или о любойиз н их, т о п иш ет ся: ∞ . И н т ерва л ( a − b; a + b) с любы м и кон ечн ы м и a и b из R н а зы ва ет ся b окрест н ост ью т очки a или п рост о окрест н ост ью т очки a и обозн а ча ет ся U b (a) или U (a) . И н т ерва л (−∞; b) н а зы ва ет ся b - окрест н ост ью U b (−∞) т очки − ∞ . И н т ерва л (b;+∞) н а зы ва ет ся b - окрест н ост ью т очки + ∞ . М н ож ест во ( −∞; b) U (b + ∞ ) н а зы ва ет ся b - окрест н ост ью т очки ∞ . То ест ь : U b (a ) = {x ∈ R | x − a < b}, U b (−∞) = {x ∈ R | x < b} ,

U b (+∞) = {x ∈ R | x > b},

U b (∞) = {x ∈ R | x > b} . •

Проколот ой окрест н ост ью U ( x0 ) т очки x0 ∈ R, x0 < ∞ , н а зы ва ют окрест н ост ь т очки x0 , из кот орой исключен а са м а т очка x0 , т о ест ь •

U ( x0 ) = U ( x0 ) \ {x0 } . Если ж е x0 = +∞ или x0 = −∞ , или x0 = ∞ , т о бу д ем счит а т ь •

U ( x0 ) = U ( x0 ) . М н ож ест во

R 2 = {( x; y ) | x ∈ R, y ∈ R}

н а зы ва ет ся

2

д в у м ерн ы м

п рост ра н ст вом . Э лем ен т ы R изобра ж а ют ся т очка м и н а коорд ин а т н ой п лоскост и XOY . На рис. 1 изобра ж ен о м н ож ест во A = {( x; y ) ∈ R 2 | y ≥ x }

a = (−1;2) ∈ A b = ( 2;1) ∉ A

рис. 1

7

3.

Ф ункци и , последовательности

Пусть X и Y два множества. Говорят, ч то и меется ф ункци я, определенная на X со знач ени ями в Y , если указан закон, по которому каждому элементу x ∈ X стави ться в соответстви е еди нственны й элемент y ∈ Y . О бознач ается y = f (x) и ли f : X → Y , f

и ли X → Y . Прим еры ф у н кций. 1. sin : R → [−1;1] . 2. Px : R 2 → R, Px ( x; y) = x . К а ж д ой т очки п лоскост и R 2 эт о от обра ж ен ие (эт а ф у н кция) ст а вит в соот вет ст вие а бсциссу x эт ойт очки. Та кое от обра ж ен ие н а зы ва ет ся п роект ирова н ием н а ось а бсцисс, а x п роекцией т очки ( x; y ) на ось OX . С оот вет ст вен н о, Py : R 2 → R, Py ( x; y ) = y - п роект ирова н ие н а ось OY . Гра ф иком ф у н кции f : X →Y н а зы ва ет ся м н ож ест во {( x, f ( x)) | x ∈ X } . О бра зом м н ож ест ва A ⊆ X п ри от обра ж ен ии f : X → Y н а зы ва ет ся м н ож ест во f ( A) = { f ( x) | x ∈ A} . Пусть Y - некоторое множество. О тображени е f : N → Y назы вается последовательностью элементов множества Y. О бознач аю т ее {an } г де an = f ( n), n ∈ N . 1 На п рим ер, {[ ;1 + n]} ест ь п ослед ова т ельн ост ь от резков n 1 1 [1;2], [ ;3], [ ;4],...(n = 1,2,3,...со о т в ет ст в енно ) . 2 3 Если Y ⊆ R , т о п ослед ова т ельн ост ь н а зы ва ет ся числовой. На п рим ер, 3 4 5 n +1 - числова я п ослед ова т ельн ост ь 2, , , ,... . Гра ф ик ее - {(n; ) | n ∈ N} 2 3 4 n изобра ж ен н а рис. 2. На рис. 3 изобра ж ен гра ф ик п ослед ова т ельн ост и {( −1) n } .

рис.2

рис.3

8

За д а н ие 1. И зобра зит ь гра ф ик п ослед ова т ельн ост и: 1) an = (−1) n ⋅ n , n 3 2) an = ( −1) ⋅ . n Пределы ф ункци и . О пределени я и при меры

4.

Пу ст ь числова я ф у н кция f оп ред елен а в п роколот ой окрест н ост и н екот оройт очки x0 ∈ R . Говорят, ч то f (x) стреми тся к ч и слу a ∈ R , если для лю бой окрестности V (a ) точ ки a можно указать проколотую окрестность •

•

U (a) такую , ч то ее образ f (U ( x0 )) содержи тся в V (a ) . В эт ом слу ча е п иш у т : f ( x ) → a или lim f ( x ) = a (от ла т ин ского x→x0

x → x0

слова limes – п ред ел). Говорят т а кж е, чт о ф у н кция f (x ) им еет п ред ел в т очке x0 , ра вн ы й a , а число a н а зы ва ют п ред елом ф у н кции в т очке x0 , или п ред ельн ы м зн а чен ием . И т а к, • •   def (1)  lim f ( x ) = a  ⇔(∀(V (a ))∃(U ( x0 ))[ f (U ( x0 )) ⊆ V ( a )]) .  x → x0  Пока ж ем , чт о Прим ер 1. lim x = 2 . x→ 4

Возьм ем U (2) = (2 − ε ;2 + ε ) ∀ε ∈ (0;2). Тогд а •

∃U ( 4) = (( 2 − ε ) 2 ;4) U ( 4; ( 2 + ε ) 2 )

и

•

f (U ( 4)) ⊆ U ( 2) (рис. 4). Прим ер2. Ра ссм от рим ф у н кцию ln x, x ∈ (0; e ) U ( e;+∞ ) f ( x) =  . 3, x = e Пока ж ем ,

чт о

рис. 4

lim f ( x ) = 1

x→e

(за м ет им , чт о 1 ≠ f (e) ). Пу ст ь V (1) = (1 − ε ;1 + ε ), ∀ε ∈ (0;1) . •

Тогд а ∃U ( e) = (e1−ε ; e) U (e; e1+ ε ) , •

т а ка я, чт о f (U (e)) ⊂ V (1) (рис. 5).

рис. 5

9

О п ред елен ие (1) м ож н о за п иса т ь и в т а койф орм е: • •   def  lim f ( x ) = a  ⇔ (∀(V (a ))∃(U ( x0 ))∀( x ∈ U ( x0 ) )[ f ( x ) ∈ V (a )])  x → x0 

(2)

•

(н а осн ова н ии оп ред елен иям н ож ест ва f (U ( x0 )) . В силу т еорем ы 1 сп ра вед ливо

у т верж д ен ие:

• •   th 1,(2) (3)  lim f ( x ) ≠ a  ⇔ (∃(V ( a ))∀(U ( x0 ))∃( x ∈U ( x0 ))[ f ( x) ∉V ( a )]) .  x → x0  − 1, x ∈ ( −∞;0)  Прим ер 3. Пока ж ем, чт о д ля ф у н кции f ( x ) = sgn x =  0, x = 0  1, x ∈ ( 0;+∞ )  зн а чен ие a = 0 н е являет ся п ред елом п ри x → 0. Дейст в ит ельн о, су щ ест ву ет V (0) , 1 1 н а п рим ер, V (0) = (− ; ) , и в любой 2 2 окрест н ост и •

U ( 0) = (c;0) U (0; d ), ∀c < 0 , ∀d > 0 рис. 6 c d су щ ест ву ют т очки x (н а п рим ер, x = , или x = ), т а кие, чт о 2 2 c d f ( ) = −1 ∉V (0) и f ( ) = +1∉ V (0) (рис. 6). 2 2 Вообщ е:    ∃ lim f ( x)  ⇔ (∃( a ∈ R )[ lim f ( x ) = a]) . x → x0  x → x0  За д а н ие 2. Сф орму лирова т ь у т верж д ен ие: ф у н кция н е им еет п ред ела в т очке x0 . За д а н ие 3. Дока за т ь, чт о f ( x) = sgn x н е им еет п ред ела в т очке x0 = 0 , н о им еет п ред ел в любой т очке x0 ≠ 0 . К а ковы п ред елы эт ой ф у н кции п ри x → x0 , если x0 ≠ 0 ? В оп ред елен ии п ред ела ф у н кции a и x0 могу т бы т ь кон ечн ы м и или бескон ечн ы м и, п ричем , бескон ечн ост ь м ож ет бы т ь ра зн а я: + ∞,−∞ , ∞ . •

Если x0 < ∞ , т о в ка чест ве U ( x0 ) беру т п роколот у ю δ -окрест н ост ь: •

U δ ( x0 ) = ( x0 − δ ; x0 ) U ( x0 ; x0 + δ ) . Тогд а

10

  def  lim f ( x ) = a  ⇔ (∀(V ( a)) ∃(δ ∈ R+ )∀( x | 0 <| x − x0 |< δ )[ f ( x ) ∈ V (a )]). (5)  x → x0  Если a < ∞ , т о в ка чест ве V (a ) беру т ε − окрест н ост ь т очки a : V (a) = (a − ε ; a + ε ), ε > 0 . За д а н ие 4. За п иса т ь оп ред елен ие lim f ( x ) = a в слу ча е кон ечн ого x → x0

зн а чен ия a и п роизвольн ого x0 . Если a < ∞ и x0 < ∞ т о п ользу ют ся оп ред елен ием п ред ела ф у н кции «н а язы ке ε − δ »:   def  lim f ( x ) = a < ∞  ⇔ (∀(ε ∈ R+ )∃(δ ∈ R+ )∀( x | 0 <| x − x0 |< δ )[| f ( x ) − a |< ε ]). (6)  x → x0 < ∞  1 Прим ер4. lim x sin = 0 , т а к ка к x→0 x 1 ∀(ε ∈ R+ )∃(δ = ε )∀( x | 0 <| x |< δ )[| x sin |≤| x |< ε ]. x В слу ча е бескон ечн ы х зн а чен ий x0 и a п ользу ют ся оп ред елен иям и •

•

•

V (−∞) , V (+∞) , V (∞) , U (−∞ ) ,U (+∞ ) , U (∞) (см . ст р6). На п рим ер,   def  lim f ( x ) = +∞  ⇔ (∀(ε ∈ R+ )∃(δ ∈ R+ )∀( x | 0 <| x − x0 |< δ )[ f ( x ) > ε ]),  x → x0 <∞ 

(7)

def

 lim f ( x ) = a < ∞  ⇔ (∀(ε ∈ R )∃(δ ∈ R )∀( x | x < −δ )[| f ( x ) − a |< ε ]), + +  x → −∞ 

(8)

def

 lim f ( x ) = −∞  ⇔ (∀ε ∈ R )∃(δ ∈ R )∀( x | x > δ )[ f ( x ) < −ε ]). + +  x → +∞ 

(9)

Прим ер5. lim 2− x = 0 , т а к ка к ∀(ε ∈ R+ )

x →+∞

∃(δ ∈ R+ )∀( x | x > δ )[| 2 − x − 0 |< ε ]) .

∀(ε ∈ R+ ) н ера вен ст во Дейст вит ельн о, −x вы п олн яет ся од н оврем ен н о с | 2 |< ε 1 н ера вен ст вом Возьм ем x > log 2 . ε δ = log 2

1 . Тогд а ε

∀(ε ∈ R+ ) ∃(δ = log 2

рис. 7 1 −x ) ∀( x | x > δ )[0 < 2 − x < ε ] ⇒ lim 2 = 0 (рис. 7). x → +∞ ε

За д а н ие 5. С ф орм у лирова т ь н а «язы ке ε − δ »оп ред елен ия: lim f ( x ) = −∞ , lim f ( x) = ∞ , x→x0 <∞

lim f ( x) = +∞ ,

x →+∞

x→x0 <∞

lim f ( x ) = ∞ ,

x →+∞

lim f ( x) = +∞ ,

x →−∞

11

lim f ( x) = −∞ ,

x → −∞

lim f ( x ) = ∞ ,

x → −∞

lim f ( x) = +∞ ,

x →∞

lim f ( x) = −∞ .

x →∞

Прим ер6. lim ( x − 1) 3 = ∞ , т а к ка к x→0

рис. 8 ∀(ε ∈ R+ )∃(δ ∈ R+ )∀( x || x |> δ )[| ( x − 1) |> ε ]. М ож н о в зят ь δ = 1 + 3 ε (рис. 8). Тогд а 3

(| x |> δ ) ⇒ ( x ∈ (−∞;−1 − 3 ε ) U (1 + 3 ε ;+∞)) ⇒ ( x ∈ ( −∞;1 − 3 ε ) U (1 + 3 ε ;+∞)) ⇒ ( x − 1 ∈ (−∞;−3 ε ) U (3 ε ;+∞)) ⇒ (( x − 1)3 ∈ (−∞; −ε ) U (ε ;+∞ )) ⇒ (| x − 1 |3 > ε ).

За д а н ие 6. Пока за т ь, чт о ф у н кции sin : R → [−1;+1] и cos : R → [−1;+1] н е им еют п ред елов п ри x → −∞ и п ри x → +∞ . Предел по множеству. О пределени я и при меры

5.

Пу ст ь X - н екот орое м н ож ест во в R. Точка x0 н а зы ва ет ся п ред ельн ой т очкой эт ого м н ож ест ва ( x0 п ред .т . X ), если люба я окрест н ост ь W т очки x0 сод ерж ит п о кра йн ейм ере од н у т очку м н ож ест ва X , от личн у ю от x0 : def

( x0 − пред.т . X) ⇔ (∀(U ( x0 ))∃( x ≠ x0 )[ x ∈W ( x0 ) I X ] . Пусть x0 - предельная точ ка множества X . Говорят, ч то •

f : X I W ( x0 ) → R и меет предел a ∈ R при x → x0 по множеству X , •

если для лю бой окрестности V (a ) сущ ествует U ( x0 ) такая, ч то образ •

множества U ( x0 ) I X содержи тся в V (a ) . О бознач аю т это: a = lim f ( x ) . x → x0 x∈X И т а к:   def • •   (10)  lim f ( x ) = a  ⇔ (∀(V ( a)) ∃(U ( x0 ))[ f (U ( x0 ) I X ) ⊆ V ( a )]),  x → x0   x∈ X  или

12

  • •    lim f ( x )  ⇔ (∀(V (a ))∃(U ( x0 ))∀( x ∈ U ( x0 ) I X )[ f ( x ) ∈ V ( a)]) . (11)  x → x0   x∈ X  1, x ∈ Q Прим ер 7. Ф у н кция Дирихле f ( x ) =  0, x ∈ R \ Q lim f ( x) = 1 и lim f ( x) = 0 , ∀x0 ∈ R . x→ x0 x→ x0 x∈Q x∈R \ Q Прим ер8. Ф у н кция sin : R → [−1;+1] им еет :

имеет п ред елы

π 2 п ри x → +∞ , x ∈ X = { + 2πn, n ∈ N } п ред ел , 4 2 п ри x → −∞ , x ∈ X = {πk , k ∈ N − } п ред ел 0. Если в оп ред елен иях (10), (11) X = ( x1 , x0 ) с н екот оры м x1 < x0 , т о число a н а зы ва ет сяп ред елом ф у н кции f в т очке x0 слева и п иш у т : a = lim f ( x ) или a = lim f ( x ) . x → x0 −

x → x0 − 0

Если ж е в (10), (11) X = ( x0 , x2 ) , x2 > x0 , т о a н а зы ва ют п ред елом ф у н кции f в т очке x0 сп ра ва , т огд а п иш у т : a = lim f ( x) или a=

x → x0 +

lim

x → x0 + 0

f ( x) .

Прим ер 9. Ф у н кция f ( x) = sgn x (см. п рим ер 3) им еет п ред елы : lim sgn x = −1 и lim sgn x = +1 .

x →0 −

x →0 +

За д а н ие 7. На йд ит е след у ющ ие п ред елы : 1 lim tg x , lim tg x , lim lg x , lim , π π x →0− x x → 0+ x→ − x→ + 2

1 . x →0+ x lim

2

О босн у йт е резу льт а т ы . Дляка ж д ого ε у ка ж ит е δ . 6.

Предел последовательности . О пределени я и при меры

Пу ст ь f : N → R, f (n) = an . М ож н о ра ссм а т рива т ь п ред ел числовой п ослед ова т ельн ост и {an } лиш ь п ри n → +∞ , т а к ка к д ост а т очн о м а лы е п роколот ы е окрест н ост и всех т очек n ∈ N являют ся п у ст ы м и м н ож ест ва м и. О п ред елен ия (1), (2) за п исы ва ют ся т огд а след у ющ им обра зом : def

(lim an = a) ⇔(∀(V (a ))∃(n0 ∈ N )∀(n > n0 )[an ∈ V (a )] . М ож н о ра ссм а т рива т ь оп ред елен ие (12) д ля a < ∞, a = +∞ , a = −∞ , a = ∞ . На п рим ер:

(12) слу ча ев:

13 def

(lim an = a < ∞) ⇔(∀(ε ∈ R+ ) ∃( n0 ∈ N )∀( n > n0 )[| an − a |< ε ]),

(13)

(lim an = +∞) ⇔(∀(ε ∈ R+ )∃(n0 ∈ N )∀(n > n0 )[an > ε ]).

(14)

( −1) n Прим ер10. lim(1 + ) = 1 , т о ест ь n +1 ( −1) n ∀(ε ∈ R+ ) ∃(n0 ∈ N )∀(n > n0 )[(1 + − 1) < ε ] . n +1

1 − 1 . В ка чест ве n0 ε 1 1 м ож н о взят ь н а ибольш ее изчисел 1 и [ − 1] (цела яча ст ь числа − 1 ). ε ε 1 5 В ча ст н ост и, если ε = , т о [ − 1] = 3 и 21 ε 1 n0 = 3 . Если ε = , т о n0 = 99 (рис. 9). 100 За д а н ие 8. За п иса т ь оп ред елен ия п ред елов: lim an = −∞ , lim an = ∞ . Привест и п рим еры . О босн ова т ь резу льт а т ы . Если п ослед ова т ельн ост ь им еет кон ечн ы й п ред ел, т о он а н а зы ва ет сясход ящ ейся: рис. 9 Послед н ее н ера вен ст во вы п олн яет ся п ри

n>

def

({ a n } − схо дящ яяся ) ⇔ ( ∃ ( a < ∞ )[lim a n = a ]) . Если п ослед ова т ельн ост ь н е им еет п ред ела , т о он а н а зы ва ет ся ра сход ящ ейся: def

({an } − расхо дящ аяся) ⇔(∀(a ∈ R)[lim an ≠ a]) , или def

({an } − расхо дящ аяся) ⇔(∀(a ∈ R)∃(V (a))∀(n0 ∈ N )∃(n > n0 )[an ∉V (a )]). Прим ер 11. Послед ова т ельн ост ь {( −1) n } - ра сход ящ а яся, т а к ка к ∀( a ∈ R+ )∃(V ( a ) = ( 2a;0)) и п ослед н ее н ера вен ст во в (15) вы п олн яет ся д ля всех н ечет н ы х n ; ∀( a ∈ R− ) ∃(V ( a ) = ( 0;2a )) и п ослед н ее н ера вен ст во в (15) 1 1 вы п олн яет ся д ля всех чет н ы х n ; если ж е a = 0 , т о ∃V (0) = (− ; ) и 2 2 п ослед н ее н ера вен ст во в (15) вы п олн яет сяд ля всех n . Пусть L - некоторое подмножество множества N (ч и сла в L берутся в порядке возрастани я). Сужени е {an } на L назы вается подпоследовательностью {a n k } последовательности {an } ( nk < nk +1 , k ∈ N ). На п рим ер, п ослед ова т ельн ост ь an : 1;2;3;1;3;4;1;4;5;1;5;6;... им еет п од п ослед ова т ельн ост и:

14

1;1;1;1;1;1;1;1;1;… 1;2;3;4;5;6;7;… 1;3;5;7;… Послед ова т ельн ост ь 3;2;4;3;5;4;… не являет ся п од п ослед ова т ельн ост ью п ослед ова т ельн ост и an , т а к ка к эт о a3 ; a2 ; a6 ... и n1 = 3 > 2 = n2 . Предел подпоследовательности назы вается ч асти ч ны м пределом последовательности . Ч асти ч ны й предел an - это предел f (n ) = an по множеству L при n → +∞ , то есть lim an . n∈L

Прим ер11. Послед ова т ельн ост ь (−1) n им еет д ва ча ст ичн ы х п ред ела :

lim (−1) n = −1 и lim (−1)n = +1, гд е L1 = {2n − 1, n ∈ N} и L2 = {2n, n ∈ N } .

n∈L1

n∈L2

За д а н ие 9. У ка за т ь все ча ст ичн ы е п ред елы п ослед ова т ельн ост и: 1;1;2;1;2;3;1;2;3;4;… ;1;2;3;4;… k;… k ∈ N .

Л И ТЕРА ТУ РА 1. К у д рявцев Л .Д. М а т ем а т ический а н а лиз/ Л .Д. К у д рявцев – М .: Вы сш . Ш к., 1979. – Т.1. – 614 с. 2. К олм огоров А .Н. Э лем ен т ы т еории ф у н кций и ф у н кцион а льн ого а н а лиза / А .Н. К олмогоров, С .В. Ф ом ин – М .: На у ка , 1976. – 496 с. 3. Зу бова С .П. Троф им ов В.П. Введ ен ие в а н а лиз: М ет од ические у ка за н ия д ля ст у д ен т ов 1 ку рса вечерн его и д н евн ого от д елен ия. – Ворон еж , 1979. – 16 с.

С О ДЕРЖ А НИ Е Ст р.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Э лем ен т ы логики… … … … … … … … … … … … … … … … … … Некот оры е числовы е м н ож ест ва … … … … … … … … … … … ... Ф у н кции, п ослед ова т ельн ост и… … … … … … … … … … … … ... Пред елы ф у н кций. О п ред елен ияи п рим еры … … … … … … … Пред елы п о м н ож ест ву . О п ред елен ияи п рим еры … … … … … Пред елы п ослед ова т ельн ост ей. О п ред елен ияи п рим еры … … Л ит ера т у ра … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . С од ерж а н ие… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

3 5 7 8 11 12 14 14

15

С ост а вит ель д оц. Зу бова Свет ла н а Пет ровн а Ред а кт орТихом ирова О .А .