Линейная алгебра и аналитическая геометрия

...

Author: Магазинникова Л.И.

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(−3, 1) : $ E=0@F $ ) % x = −3 y = 1 α = 60◦ % √ √ 3 3−3 3 = , x = −3 · cos 60◦ + 1 · sin 60◦ = − + 2 √2 2√ 3 3+1 3 3 1 y = −(−3) · sin 60◦ + 1 · cos 60◦ = + = . 2 2 2 % $√ √ 3−3 3 3+1 , 2 2

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+ + + +

2x2 3x2 4x2 5x2

+ + + +

3x3 x3 4x3 3x3

+ + + +

2x4 x4 3x4 x4

= 4, = −1, = 3, = −3

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*$ $ $B

1 2 3 2 1 2 3 2 2 3 1 1 0 −1 −5 −3 = = D= 2 1 1 1 4 4 3 0 2 5 3 1 0 2 2 0 −1 −5 −3 −1 −5 −3 1 1 = 0 −9 −5 = −14. = 2 2 0 1 −1 2 0 D = 0 ,

& $- , + 62 . " &7

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2 3 4 4 1 −1 0 −1 −5 −9 = = 2 1 −1 3 0 2 2 −2 −3 0 −9 −1 −5 −9 −1 = 0 −9 −19 = −28. 0 1 −1 −2 3 1 4 3

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2 3 2 4 −1 −5 −3 −9 0 −8 −6 −20 0 −1 1 1

⎤ 2 3 2 4 −1 −5 −3 −9 ⎥ → 2 2 0 −2 ⎦ 2 1 1 −1 ⎤ ⎡ ⎤ 1 2 3 2 4 ⎥ ⎢ 0 −1 −5 −3 −9 ⎥ . ⎦→⎣ 0 0 −8 −6 −20 ⎦ 0 0 0 −14 −28

# ) , $ ⎧ x ⎪ ⎨ 1 ⎪ ⎩

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+ − − −

2x4 3x4 6x4 14x4

= 4, = −9, = −20, = −28,

$ % x4 = 2" 8x3 = 20 − 12 x3 = 1" x2 = 9 − 5− −6 = −2" x1 = 4 + 4 − 3 − 4 = 1 :$* (1, −2, 1, 2) x1 + 2x2 + 3x3 + 3x4 + 7x5 = 30, x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7, 5x1 + 3x2 + x3 + x4 − 7x5 = −11.

,

> * , C ! * $ x3 = x4 = 1 x5 = 3 : , H P I C ) $B $ B

& +2 6 8 ! 97

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1 2 3 1 1 1 5 3 1 1 2 → 0 −1 0 0

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→

3 3 7 30 −2 −2 −6 −23 0 0 0 0

1 2 3 3 7 30 0 −1 −2 −2 −6 −23 0 −2 −4 −4 −12 −46

→

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+ −

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+ −

3x4 2x4

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= 30, = −23.

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+ ! :$ )

x3 = x4 = 1 x5 = 3 % x1 = −16 + 1 + 1 + 15 = 1 x2 = 23 − 2 − −2 − 18 = 1

8 $*$ * (1, 1, 1, 1, 3) , ⎧ $ % % x ⎪ ⎨ 1 2x1 ⎪ ⎩7x1 x1

− + + +

x2 x2 5x2 2x2

+ + + +

x3 2x3 7x3 x3

+ − − −

x4 x4 5x4 2x4

+ + + −

2x5 x5 2x5 x5

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0, 0, 0, 0.

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> ) * % x1 = −x3 − x5 , ! x2 = x4 + x5 . D $B ) > 5 − 2 = 3 ) E B > *$ % F :$* * % $ % ) ) * *) E0 . .F E. 0 .F E. . 0F (−1, 0, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1, 0), (−1, 1, 0, 0, 1).

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x2 3x2 3x2 5x2

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x3 3x3 2x3 x3

+ + + +

2x4 4x4 2x4 5x4

+ + + +

+ − − −

x3 5x3 2x3 3x3

− + − −

2x4 3x4 3x4 x4

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1, 2, 2, 1.

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−4, −14, −1, −7.

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x2 2x2 4x2 3x2

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002

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x3 2x3 2x3 x3

− + − −

x4 x4 x4 x4

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0, 0, 0, 0.

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$

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|[a, b]| = |[2p + 3r, 3p − r]| = |6[p, p] + 9[r, p] − 2[p, r] − 3[r, r]| = = |0 + 9[r, p] + 2[r, p] + 0| = 11 |[r, p]| = 11|r||p| sin 135◦ = √ √ 2 = 88. = 11 · 4 · 2 2 · 2 E'$B $ [p, p] = [r, r] = 0 [p, r] = −[r, p].F

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2

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$B ABC A(1, −2, 1) B(0, −3, 2) C(2, 0, 1) ; $! B $B ABC $ AH ' * $* |[a, b]| $! $ $$ % a b :, $! B $B ABC 12 |[AB, AC]| # AB = (−1, −1, 1)

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& +2 6 8 ! 97

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& " # 62 7

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# 6$ 7

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A $ - : $B Ac = [c, c] = 0 Ac = (0, 0, 0) = ; % Bc , $* x1 = −1 x2 = 3 x3 = 2 :, Bc = (−4, −3, −1) ? 8 BA > ) F B A % " F BAi BAj BAk B % $ ; A B '

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0 0 −2 0 −2 3 6 2 0 0 2 0 1 = −2 0 −1 . BA = 0 −1 1 0 0 −3 −1 0 0 −2 3 8 $ BA ; C , (BA)i = B(Ai) = B(2j − 3k) = (6, −2, 0)" B(Aj) = = B(−2i − k) = (2, 0, −2)" B(Ak) = B(3i + j) = (0, −1, 3) 8 $

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4 −4 − 3 6 −4 − λ

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*$ )$)I ) 0 - = ; % * I! , *$ λ = 1 * I! , *$ I $BI

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x1 y1 z1

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x y z

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) +2 6 8 ! 97

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8x + 6y − 7 = 0

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x1

+

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x3 x3 3x3 6x3

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x4 3x4 5x4 8x4

+ + + +

2x5 x5 4x5 2x5

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0, 0, 0, 0.

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− − − −

2x2 2x2 13x2 6x2

+ 3x3 + 3x3 + 15x3 + 9x3

+ 3x4 + 4x4 + 18x4 + 21x4

= 5, = 4, = 17, = 21 E-#
$ E//:F H 1 $ % ⎧ x ⎪ ⎨ 1 x1 ⎪ ⎩ x1 x1

− − − −

x2 x2 x2 x2

+ + + +

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− − − −

x4 x4 x4 x4

= = = =

1, 0, 4, 5.

> * ; C ! E@0@1F ; * $ x2 = x3 = 1 < $ % % ⎧ ⎪ ⎨

2x1 4x1 ⎪ ⎩ 2x1 10x1

− + − +

x2 x2 4x2 3x2

+ 3x3 − 6x3 + 3x3 + 15x3

− − − −

5x4 x4 14x4 7x4

+ x5 + 2x5 + x5

= = = =

0, 0, 0, 0.

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x1 2x1 ⎪ ⎩ 5x1 4x1

− − − +

2x2 6x2 7x2

6x3 3x3 4x3 7x3

− − − +

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3, 3, 10, 11

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x1 2x1 x1

− x3 − 2x3 − x3

+ x2 + 3x2 − 5x2

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2x4 5x4 4x4

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x1 2x1 6x1

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+ + +

2x2 x2 2x2 3x2

+ + + +

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+ + − +

x2 x2 x2 x2

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−

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2x1 3x1 x1

+ − +

3x2 2x2 3x2

− + +

x3 3x3 2x3

−

x4

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= 0, = 0, = 0.

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− + + +

x3 3x3 2x3 3x3

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2x2 5x2 3x2 3x2

x1 x1 x1

x2 x2 x2

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+ + + +

3x3 5x3 2x3 2x3

+ + + +

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x3 3x3 5x3

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0, 0, 0.

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+ +

2x2 2x2

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−

4x2

x2 x2 4x2

+ + +

2x3 3x3 3x3

+ + +

− − − +

x2 3x2 5x2 3x2

+ +

2x3 x3

+

4x3

− x4 + 2x4 + 4x4 + 3x4

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10, 12, −2, −12

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2x1 3x1 3x1

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2x4 x4 5x4

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= = = =

0, 0, 0, 0.

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x1 −3x1 ⎪ ⎩ 3x1 5x1

− + + +

x2 x2 5x2 5x2

+ − − −

x3 2x3 3x3 3x3

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= 4, = −5, = 2, = 4

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x2 2x2 2x2

+ − −

x3 x3 x3

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3x2 2x2 7x2 10x2

− 2x4 + x4 − x4

+ − +

3x5 x5 2x5

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1, −2, −1.

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+ x3 + x3 + 3x3 + 4x3

− 2x4 − x4 − 3x4 − 4x4

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0, 0, 0, 0.

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1 1 2 3

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1 1 3

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x1 x1 ⎪ ⎩ 2x1 3x1

+ + + +

3x2 2x2 5x2 7x2

+ − −

2x3 x3 2x3

− + − −

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x2 x2 2x2 4x2

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x3 x3 2x3 4x3

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− + +

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0, 0, 0.

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$ E=<21F H 1 ⎧ $ % ⎪ ⎨

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0, 0, 0.

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022

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