Моделювання економічних процесів ринкової економіки. Навчальний посібник

Best books Ageofbook.com

WWW.AGEOFBOOK.COM Только лучшие книги для Вас! Книга была найдена в архивах открытого доступа сети Internet или прислана пользователями сайта. Все права на материалы принадлежат их авторам. Какое либо распространение материалов с коммерческими или другими целями без разрешения их авторов запрещено. Нарушение авторских прав влечёт за собой ответственность согласно действующего законодательства. Администрация не несёт никакой ответственности за материалы, добавленные пользователями сайта. Все материалы представлены коммерческого использования.

для

ознакомления,

без

целей

После скачивания материала Вы должны коротко ознакомиться с ним и немедленно полностью удалить со своего носителя информации, и, при желании, купить лицензионную бумажную версию в соответствующих точках продажи. Желаем приятного чтения! С уважением, Администрация сайта.

Best books Ageofbook.com

̲ÆÐÅòÎÍÀËÜÍÀ ÀÊÀÄÅÌ²ß ÓÏÐÀÂ˲ÍÍß ÏÅÐÑÎÍÀËÎÌ

Í. À. Ìàëèø ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß ÅÊÎÍÎ̲×ÍÈÕ ÏÐÎÖÅѲ ÐÈÍÊÎÂί ÅÊÎÍÎ̲ÊÈ Ðåêîìåíäîâàíî ̳í³ñòåðñòâîì îñâ³òè ³ íàóêè Óêðà¿íè ÿê íàâ÷àëüíèé ïîñ³áíèê äëÿ ñòóäåíò³â âèùèõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàä³â

Êè¿â 2004 1

Best books Ageofbook.com ÁÁÊ 65.011.3ÿ73 Ì20

Ðåöåíçåíòè: ². Ì. Ëÿøåíêî, ä-ð ô³ç.-ìàò. íàóê, ïðîô. ². Ì. Êîõàíîâñüêèé, êàíä. ô³ç.-ìàò. íàóê, äîö.

Ñõâàëåíî Â÷åíîþ ðàäîþ ̳æðåã³îíàëüíî¿ Àêàäå쳿 óïðàâë³ííÿ ïåðñîíàëîì (ïðîòîêîë ¹ 8 â³ä 28.11.02) Ðåêîìåíäîâàíî ̳í³ñòåðñòâîì îñâ³òè ³ íàóêè Óêðà¿íè (ëèñò ¹ 1/11-2099 â³ä 26.05.03)

Ì20

Ìàëèø Í. À. Ìîäåëþâàííÿ åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â ðèíêîâî¿ åêîíîì³êè: Íàâ÷. ïîñ³á. — Ê.: ÌÀÓÏ, 2004. — 120 ñ.: ³ë. — Á³áë³îãð. ó ê³íö³ ðîçä. ISBN 966-608-358-2 Ó ïðîïîíîâàíîìó ïîñ³áíèêó âèêëàäåíî îñíîâí³ ìîäåë³ ðèíêîâî¿ åêîíîì³êè. Äî êîæíîãî ðîçä³ëó ïîäàþòüñÿ òåñòè òà çàäà÷³, ðåêîìåíäîâàíà ë³òåðàòóðà. Ïîñ³áíèê ì³ñòèòü ³íñòðóìåíòàð³é åêîíîì³÷íîãî àíàë³çó, ïðèêëàäè éîãî çàñòîñóâàííÿ òà âäàëî ïîºäíóº âèâ÷åííÿ ìàòåìàòè÷íèõ ³íñòðóìåíò³â ç åêîíîì³êîþ. Äëÿ ñòóäåíò³â âèùèõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàä³â, àñï³ðàíò³â ³ äîêòîðàíò³â. ÁÁÊ 65.011.3ÿ73

ISBN 966-608-358-2 2

© Í. À. Ìàëèø, 2004 © ̳æðåã³îíàëüíà Àêàäåì³ÿ óïðàâë³ííÿ ïåðñîíàëîì (ÌÀÓÏ), 2004

Best books Ageofbook.com

ÏÅÐÅÄÌÎÂÀ Íàâ÷àëüíèé ïîñ³áíèê ì³ñòèòü òåîðåòè÷íèé ìàòåð³àë ³ ïðàêòè÷í³ çàâäàííÿ ç äèñöèïë³íè “Ìîäåëþâàííÿ åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â ðèíêîâî¿ åêîíîì³êè” ó âèãëÿä³ òåñò³â, ïðèêëàä³â ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ ³ çàâäàíü äëÿ ñàìîñò³éíî¿ ðîáîòè. Íàâ÷àëüíèé ïîñ³áíèê º ñèñòåìàòèçîâàíèì êóðñîì íà äîïîìîãó ñòóäåíòàì åêîíîì³÷íèõ ñïåö³àëüíîñòåé âèùèõ çàêëàä³â îñâ³òè ³ ïîòðåáóº ïîïåðåäíüîãî çàñâîºííÿ äèñöèïë³í: “̳êðîåêîíîì³êà”, “Ìàêðîåêîíîì³êà”, “Ñòàòèñòèêà”, “Åêîíîìåòðèêà”, “Ìàòåìàòè÷íå ïðîãðàìóâàííÿ”. Ïîñ³áíèê ì³ñòèòü íå ò³ëüêè îïèñ åêîíîì³÷íèõ ìîäåëåé, à é çàãàëüíó ìåòîäèêó âèêîðèñòàííÿ îñíîâíèõ ìàòåìàòè÷íèõ ìåòîä³â â åêîíîì³ö³.

3

Best books Ageofbook.com

Ðîçä³ë 1 ÂÑÒÓÏ ÄÎ ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß Ïðåäìåò ìîäåëþâàííÿ Îñíîâí³ êëàñèô³êàö³¿ ìîäåëåé Åòàïè ïðîöåñó ìîäåëþâàííÿ ²ñòîðè÷íèé ðîçâèòîê ïðåäìåòà ìîäåëþâàííÿ

1.1. ÏÐÅÄÌÅÒ ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß Áóäü-ÿêà íàóêà âèêîðèñòîâóº çàãàëüíîíàóêîâ³ òà ñïåöèô³÷í³ ìåòîäè äîñë³äæåííÿ. Çàãàëüíîíàóêîâ³: 1) ìåòîä íàóêîâî¿ àáñòðàêö³¿; 2) ìåòîä àíàë³çó òà ñèíòåçó; 3) ìåòîä ºäíîñò³ ³ñòîðè÷íîãî òà ëîã³÷íîãî; 4) ïîçèòèâíèé ³ íîðìàòèâíèé ìåòîäè. Ìîäåëþâàííÿ º ñïåöèô³÷íèì ìåòîäîì äîñë³äæåííÿ åêîíîì³÷íèõ íàóê, òàêèõ ÿê ìàêðî-, ì³êðîåêîíîì³êà, åêîíîìåòðèêà, åêîíîì³÷íèé àíàë³ç. Ìîäåëü — ñïðîùåíå â³äîáðàæåííÿ åêîíîì³÷íîãî ÿâèùà ÷è îᒺêòà àáî ñïðîùåíèé îïèñ ðåàëüíîñò³. Ó ñâî¿é ä³ÿëüíîñò³ åêîíîì³ñòè âèêîðèñòîâóþòü ð³çíîìàí³òí³ ìîäåë³. Ìîäåëü ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿä³ ð³âíÿííÿ, ñõåìè, ãðàô³êà, ä³àãðàìè. Ìîäåë³ â³äîáðàæàþòü ïðîáëåìè â³äïîâ³äíèõ äèñöèïë³í — ìàêðîåêîíîì³êè: âàëîâèé âíóòð³øí³é ïðîäóêò (ÂÂÏ), åêîíîì³÷íèé öèêë, çàéíÿò³ñòü (áåçðîá³òòÿ), ³íôëÿö³þ, ìàêðîåêîíîì³÷íó ïîë³òèêó äåðæàâè, åêîíîì³÷íå çðîñòàííÿ, ìàêðîåêîíîì³÷í³ ïðîöåñè â³äêðèòî¿ åêîíîì³êè; ì³êðîåêîíîì³êè: ìîäåë³ ïîâåä³íêè ñïîæèâà÷à, ô³ðìè, ¿õ âçàºìîä³þ íà ðèíêó. Óñ³ ìîäåë³ áóäóþòüñÿ çà ïåâíèìè ïðèïóùåííÿìè ³ ïîëåãøóþòü ðîçóì³ííÿ ðåàëüíîãî ñâ³òó.  åêîíîì³÷íîìó àíàë³ç³ âèêîðèñòîâóºòüñÿ ïðèïóùåííÿ: ïðèïóñò³ìî, àáî “ceteris paribus”, ùî îçíà÷ຠ“çà ³íøèõ ð³âíèõ óìî┠³ ñâ³ä÷èòü ïðî çì³íí³ñòü îäíîãî ïàðàìåòðà òà íåçì³íí³ñòü óñ³õ ³íøèõ. Ìàêðîåêîíîì³÷í³ ìîäåë³ ì³ñòÿòü ó ñîá³ åêçîãåíí³ (çîâí³øí³) òà åíäîãåíí³ (âíóòð³øí³) çì³íí³. Îäåðæàòè åíäîãåíí³ çì³íí³ ìîæíà ï³ñëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ çà ïîáóäîâàíîþ ìîäåëëþ. Çì³íà åêçîãåííèõ ïàðàìåòð³â ó ìîäåë³ ïðèâåäå äî çì³íè åíäîãåííèõ ïàðàìåòð³â (ðèñ. 1.1). Åêçîãåíí³ çì³íí³

Ìîäåëü

Åíäîãåíí³ çì³íí³

Ðèñ. 1.1. Çâ’ÿçîê çì³ííèõ ó ìîäåëÿõ

4

Best books Ageofbook.com Åêçîãåíí³ çì³íí³ çàäàþòüñÿ äî ïîáóäîâè ìîäåë³ ÿê ïåðâ³ñíà ³íôîðìàö³ÿ äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ïîñòàâëåíîãî çàâäàííÿ. Åíäîãåíí³ çì³íí³ º ðîçâ’ÿçêîì ïîáóäîâàíî¿ ìîäåë³. Äëÿ ìîäåëþâàííÿ åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â âèêîðèñòîâóþòü òàêîæ àãðåãîâàí³ âåëè÷èíè (ïàðàìåòðè) — ñóêóïí³ñòü ñïåöèô³÷íèõ åêîíîì³÷íèõ îäèíèöü ÿê îäíîãî ö³ëîãî.

1.2. ÎÑÍÎÂͲ ÊËÀÑÈÔ²ÊÀÖ²¯ ÌÎÄÅËÅÉ Óñ³ ìîäåë³ êëàñèô³êóþòü çàëåæíî â³ä îáðàíîãî êðèòåð³þ. 1. Çà çàãàëüíèì ö³ëüîâèì ïðèçíà÷åííÿì ìîäåë³ ïîä³ëÿþòü íà òåîðåòè÷í³ òà ïðèêëàäí³. Òåîðåòè÷í³ ìîäåë³ äîñë³äæóþòü çàãàëüí³ âëàñòèâîñò³ åêîíîì³êè, çàñòîñîâóþ÷è äåäóêòèâí³ ìåòîäè ³ ôîðìàëüí³ ïðèïóùåííÿ, íàïðèêëàä, ìîäåëü åêîíîì³÷íîãî êðóãîîá³ãó. Ïðèêëàäí³ ìîäåë³ àíàë³çóþòü ôóíêö³îíóâàííÿ êîíêðåòíîãî åêîíîì³÷íîãî îᒺêòà òà âèêîðèñòîâóþòü ðåçóëüòàòè äîñë³äæåííÿ íà ïðàêòèö³. Äî ïðèêëàäíèõ íàëåæàòü åêîíîìåòðè÷í³ òà åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ ïëàíóâàííÿ âèðîáíèöòâà. 2. Çà ñòóïåíåì àãðåãóâàííÿ ìîäåë³ ïîä³ëÿþòü íà ìàêðîåêîíîì³÷í³ òà ì³êðîåêîíîì³÷í³. Ìàêðîåêîíîì³÷í³ ìîäåë³ îïèñóþòü åêîíîì³êó ÿê ºäèíå ö³ëå, âèêîðèñòîâóþ÷è àãðåãîâàí³ âåëè÷èíè: âàëîâèé âíóòð³øí³é ïðîäóêò, ñóêóïíèé ïîïèò, ïðîïîçèö³þ ãðîøåé òîùî. Ìàêðîåêîíîì³÷í³ ìîäåë³ ïîä³ëÿþòü íà â³äêðèò³ òà çàêðèò³. ̳êðîåêîíîì³÷íå ìîäåëþâàííÿ — îñíîâíà ñêëàäîâà åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ. Íàéá³ëüø³ óñï³õè îñòàíí³õ ðîê³â ñòîñóþòüñÿ äîñë³äæåíü ñòðàòåã³÷íî¿ ïîâåä³íêè ô³ðì â óìîâàõ îë³ãîïî볿 ç âèêîðèñòàííÿì ìåòîä³â òåî𳿠³ãîð. Òàê, ó 1994 ð. Íîáåë³âñüêó ïðåì³þ îäåðæàëè Äæîí Íåø (ÑØÀ), Äæîí Õàðñàíü¿ (ÑØÀ) ³ Ðåéíõàðä Çåëüòåí (ͳìå÷÷èíà) çà òåîðåòè÷íèé àíàë³ç êîíêóðåíòíî¿ ïîâåä³íêè ³ óìîâè ñòðàòå㳿. 3. Çà êîíêðåòíèì ö³ëüîâèì ïðèçíà÷åííÿì ìîäåë³ ïîä³ëÿþòü íà ï’ÿòü òèï³â. Áàëàíñîâ³ ìîäåë³ â³äîáðàæàþòü â³äïîâ³äí³ñòü íàÿâíîñò³ ðåñóðñ³â ¿õ âèêîðèñòàííþ.  ìîäåëþâàíí³ åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â äîñèòü ïîïóëÿðíèìè º ð³âíîâàæí³ ìîäåë³ (“âèòðàòè–âèïóñê”). Ó òðåíäîâèõ ìîäåëÿõ ðîçâèòîê åêîíîì³÷íî¿ ñèñòåìè, ùî ìîäåëþºòüñÿ, â³äîáðàæàºòüñÿ ÷åðåç òðåíä (òðèâàëó òåíäåíö³þ) ¿¿ îñíîâíèõ ïîêàçíèê³â. Îïòèì³çàö³éí³ ìîäåë³ ïðèçíà÷åí³ äëÿ âèáîðó íàéêðàùîãî âàð³àíòà ç ¿õ ïåâíî¿ ê³ëüêîñò³. ²ì³òàö³éí³ ìîäåë³ ïðèçíà÷åí³ äëÿ âèêîðèñòàííÿ ó ïðîöåñ³ ìàøèííî¿ ³ì³òàö³¿ ïðîöåñ³â, ùî âèâ÷àþòüñÿ. 5

Best books Ageofbook.com 4. Çà ðîçì³ðí³ñòþ ðîçð³çíÿþòü ìàëîðîçì³ðí³, áàãàòîðîçì³ðí³. 5. ³äíîñíî äî ÷èííèêà ÷àñó: ñòàòè÷í³, äèíàì³÷í³. Ñòàòè÷í³ ìîäåë³ â³äîáðàæàþòü åêîíîì³÷íèé ïðîöåñ íà ïî÷àòêó òà íàïðèê³íö³ ïåâíîãî ïåð³îäó ³ íå ðîçãëÿäàþòü ñàìîãî ïðîöåñó ïåðåõîäó. Äèíàì³÷í³ ìîäåë³ çîáðàæàþòü åêîíîì³÷í³ ïðîöåñè ç óðàõóâàííÿì ÷èííèêà ÷àñó. 6. Ç óðàõóâàííÿì ÷èííèêà íåâèçíà÷åíîñò³: äåòåðì³íîâàí³, ñòîõàñòè÷í³.  äåòåðì³íîâàíèõ ìîäåëÿõ âèêîðèñòîâóþòü æîðñòê³ ôóíêö³îíàëüí³ çâ’ÿçêè ì³æ çì³ííèìè.  ñòîõàñòè÷íèõ ìîäåëÿõ ³ñíóº ÷èííèê âèïàäêîâîñò³. Ïðè äîñë³äæåíí³ öèõ ìîäåëåé âèêîðèñòîâóþòü çíàðÿääÿ òåî𳿠éìîâ³ðíîñòåé òà ìàòåìàòè÷íî¿ ñòàòèñòèêè. 7. Çà õàðàêòåðèñòèêîþ ìàòåìàòè÷íèõ îᒺêò³â: ìàòðè÷í³, ë³í³éí³, íåë³í³éí³, êîðåëÿö³éíî-ðåãðåñ³éí³, ìîäåë³ òåî𳿠³ãîð ³ ñ³òêîâîãî ïëàíóâàííÿ (íàïðèêëàä, ìîäåëü ì³æãàëóçåâîãî áàëàíñó — ìàòðè÷íà, êåéíñ³àíñüêà ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ — ë³í³éíà Ñ = Ñ(Y), äå Ñ — ñïîæèâàííÿ, Y — äîõ³ä; âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ Êîááà–Äóãëàñà — íåë³í³éíà Y = F(K,L), äå Y — îáñÿã âèðîáíèöòâà, Ê — êàï³òàë, L — ïðàöÿ. Äî êîìá³íîâàíî¿ ìîäåë³ ìîæíà çàðàõóâàòè, íàïðèêëàä, åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü ì³æãàëóçåâîãî áàëàíñó, ÿêà º ïðèêëàäíîþ, ìàêðîåêîíîì³÷íîþ, äåòåðì³íîâàíîþ, áàëàíñîâîþ òà ìàòðè÷íîþ, ïðè öüîìó âîíà ìîæå áóòè ñòàòè÷íîþ òà äèíàì³÷íîþ.

1.3. ÅÒÀÏÈ ÏÐÎÖÅÑÓ ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß Ìîäåëþâàííÿ óìîâíî ìîæíà ïîä³ëèòè íà ø³ñòü åòàï³â (ðèñ. 1.2). 1. Ïîñòàíîâêà åêîíîì³÷íî¿ ïðîáëåìè òà ¿¿ ÿê³ñíèé àíàë³ç. Íà ïåðøîìó åòàï³ ôîðìóëþþòü ñóòü ïðîáëåìè, ïðèéìàþòü ïåâí³ ïðèïóùåííÿ, âèð³çíÿþòü âàæëèâ³ ðèñè ³ âëàñòèâîñò³ òà àáñòðàãóþòü îᒺêò ìîäåëþâàííÿ. Îêðåñëþþòü ïåðâ³ñíó ã³ïîòåçó, ÿêà ïîÿñíþº ïîâåä³íêó ³ ðîçâèòîê îᒺêòà. 2. Ïîáóäîâà àíàë³òè÷íî¿ ìîäåë³. Âèçíà÷àþòü òèï, äî ÿêîãî ìîæíà çàðàõóâàòè ìîäåëü. Àíàë³çóþòü, ÷è ìîæíà âèçíà÷íå çàâäàííÿ çàðàõóâàòè äî â³äîìî¿ ìîäåë³. ßêùî í³, ïðîïîíóºòüñÿ ñâîÿ ìîäåëü. 3. Åêîíîì³÷íèé àíàë³ç ìîäåë³. Äîñë³äæóþòü çàãàëüí³ âëàñòèâîñò³ ìîäåë³, ¿õ ðîçâ’ÿçóâàííÿ. ßêùî äîâåäåíî, ùî ðîçâ’ÿçóâàííÿ íå ìàº, òî íàñòóïí³ åòàïè ìîäåëþâàííÿ íå ïðîâîäÿòüñÿ. Ïîáóäîâàíó ìîäåëü êîðåêòóþòü ³ äîñë³äæåííÿ ïî÷èíàþòü ñïî÷àòêó. 4. ϳäãîòîâêà ïî÷àòêîâî¿ ³íôîðìàö³¿. Îáìàëü ³íôîðìàö³¿ óñêëàäíþº ïðîöåñ ìîäåëþâàííÿ, à â³äñóòí³ñòü ¿¿ ïåðåâîäèòü ìîäåëü ç êëàñó ïðèêëàäíèõ äî êëàñó òåîðåòè÷íèõ. Öåé åòàï ñâ³ä÷èòü ïðî ñèñòåìí³ñòü 6

Best books Ageofbook.com ïðîöåñó ìîäåëþâàííÿ, îñê³ëüêè âèõ³äíà ³íôîðìàö³ÿ îäíèõ ìîäåëåé ìîæå ñòàòè âõ³äíîþ äëÿ ³íøèõ. 5. ×èñåëüíå ð³øåííÿ. Íà öüîìó åòàï³ ðîçðîáëÿþòü àëãîðèòì, ñêëàäàþòü ïðîãðàìè äëÿ ÏÅÎÌ ³ ïðîâîäÿòü ðîçðàõóíêè. 6. Àíàë³ç ÷èñåëüíèõ ðåçóëüòàò³â òà ¿õ çàñòîñóâàííÿ. Íà îñòàííüîìó åòàï³ äîñë³äæóþòü êîðåêòí³ñòü ÷è íåêîðåêòí³ñòü ïîáóäîâàíî¿ ìîäåë³. ϳäòâåðäæóþòü àáî ñïðîñòîâóþòü âèñóíóòó ã³ïîòåçó ùîäî åêîíîì³÷íîãî ïðîöåñó. Íà îñíîâ³ îäåðæàíèõ ðåçóëüòàò³â âèçíà÷àþòü íàïðÿìè âäîñêîíàëåííÿ ïîáóäîâàíî¿ ìîäåë³, ³íôîðìàö³éíî¿ áàçè òà ïðîãðàìíîãî çàáåçïå÷åííÿ.

1. Ïîñòàíîâêà åêîíîì³÷íî¿ ïðîáëåìè

2. Ïîáóäîâà àíàë³òè÷íî¿ ìîäåë³

Êîðåêòóâàííÿ ìîäåë³

3. Åêîíîì³÷íèé àíàë³ç ìîäåë³

×è ³ñíóº ðîçâ’ÿçóâàííÿ?

ͳ

Òàê 4. ϳäãîòîâêà ïî÷àòêîâî¿ ³íôîðìàö³¿

5. ×èñåëüíå ð³øåííÿ

6. Àíàë³ç ÷èñåëüíèõ ðåçóëüòàò³â Ðèñ. 1.2. Áëîê-ñõåìà ïðîöåñó ìîäåëþâàííÿ

7

Best books Ageofbook.com

1.4. ²ÑÒÎÐÈ×ÍÈÉ ÐÎÇÂÈÒÎÊ ÏÐÅÄÌÅÒÀ ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß Ïåðø³ ìîäåë³ ñëóãóâàëè ³ëþñòðàö³ºþ ïðè äîñë³äæåíí³. 1576 ðîêó ôðàíöóç Æàí Áîäåí íàìàãàºòüñÿ îá´ðóíòóâàòè çì³íó ð³âíÿ ö³í (³íôëÿö³þ) ÿê ðåçóëüòàò çì³íè ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ê³ëüê³ñòþ ãðîøåé ³ òîâàð³â. Öÿ òåîð³ÿ ñòຠîñíîâîþ ìîíåòàðíî¿ òåî𳿠³ ïåðøîþ ³íôëÿö³éíîþ ìîäåëëþ. Ó 1758 ð. ôðàíöóçüêèé ô³ç³îêðàò Ôðàíñóà Êåíå (1694–1774) ðîçðîáëÿº ïåðøó ìàêðîåêîíîì³÷íó ìîäåëü ãîñïîäàðñüêîãî êðóãîîá³ãó — “Åêîíîì³÷íó òàáëèöþ” — çà àíàëî㳺þ êðóãîîá³ãó ëþäèíè. Îñê³ëüêè õâîðîáà º â³äõèëåííÿì â³ä íîðìàëüíîãî ñòàíó ëþäèíè, òî é åêîíîì³÷íà êðèçà º òèì÷àñîâèì â³äõèëåííÿì â³ä ð³âíîâàãè â åêîíîì³ö³. À. Ñì³ò (1723–1790) ñòâîðþº êëàñè÷íó ìàêðîåêîíîì³÷íó ìîäåëü, ÿêà ïîÿñíþº ïðîöåñè ñàìîðåãóëþâàííÿ ðèíêó ÷åðåç ìåõàí³çì ö³íîóòâîðåííÿ. Ä. гêàðäî (1772–1823) ïðîïîíóº ìîäåëü ì³æíàðîäíî¿ òîðã³âë³. Ê. Ìàðêñ (1818–1883) âèêîðèñòîâóº ñõåìàòè÷í³ ìîäåë³ äëÿ â³äîáðàæåííÿ ïðîöåñó ðîçøèðåíîãî â³äòâîðåííÿ. Ó Õ²Õ ñò. ñâ³é âíåñîê ó ìîäåëþâàííÿ åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â çðîáèëè ìàòåìàòèêè — ïðåäñòàâíèêè íåîêëàñèöèçìó àíã볺öü Àðòóð ϳãó (1877–1959) — “åôåêò ϳãó”; øâåéöàðåöü Ëåîí Âàëüðàñ (1834– 1910) — çàêîí çàãàëüíî¿ åêîíîì³÷íî¿ ð³âíîâàãè, òåîð³ÿ åêîíîì³÷íîãî äîáðîáóòó; ³òà볺öü ³ëüôðåäî Ïàðåòî (1848–1923) — “îïòèìóì çà Ïàðåòî”; àâñòð³ºöü Êàðë Ìåíãåð (1840–1921) — òåîð³ÿ ãðàíè÷íî¿ êîðèñíîñò³; àíã볺öü Ôðåíñ³ñ Åäæâîðò (1845–1926) — “ñêðèíüêà Åäæâîðòà” — ìîäåëü, ÿêà ³ëþñòðóº åôåêòèâí³ñòü îáì³íó. Íèìè ñòâîðåíî ³íñòðóìåíòàð³é ìàêðî- òà ì³êðîåêîíîì³÷íîãî àíàë³çó: åëàñòè÷í³ñòü ïîïèòó, ãðàíè÷íèé àíàë³ç, êîðîòêî- òà äîâãîñòðîêîâèé ïåð³îäè, âçàºìîçàëåæí³ñòü ðèíê³â. Ó ¿õí³õ ïðàöÿõ ñôîðìóëüîâàí³ îñíîâí³ ïðèíöèïè ìàðæèíàë³çìó (marginal — ãðàíè÷íèé). Íàïðèê³íö³ Õ²Õ — íà ïî÷àòêó ÕÕ ñò. â åêîíîì³÷í³é íàóö³ íàáóâຠðîçâèòêó ñòàòèñòè÷íèé íàïðÿì, ÿêèé äîñë³äæóº òà ïðîãíîçóº öèêë³÷íèé ðîçâèòîê åêîíîì³êè íà îñíîâ³ ìîäåëåé ³ ìåòîä³â ìàòåìàòè÷íî¿ ñòàòèñòèêè. Óïåðøå ìàòåìàòè÷íà ñòàòèñòèêà áóëà âèêîðèñòàíà â á³îëî㳿 àíãë³éñüêèì ó÷åíèì Ê. ϳðñîíîì äëÿ âèâ÷åííÿ êðèâèõ ðîçïîä³ëó ÷èñåëüíèõ õàðàêòåðèñòèê ëþäñüêîãî îðãàí³çìó. Â. Ïàðåòî ïðîïîíóº ñòàòèñòè÷í³ ìîäåë³ ïî äîñë³äæåííþ äîõîä³â íàñåëåííÿ â ð³çíèõ êðà¿íàõ. Àíãë³éñüêèé ñòàòèñòèê Ãóêåð ðîçãëÿäຠìîäåëü âçàºìîçâ’ÿçêó åêîíîì³÷íèõ ïîêàçíèê³â. ³í ïðîïîíóº ìîäåëü âïëèâó ê³ëüêîñò³ 8

Best books Ageofbook.com áàíêðóòñòâ íà òîâàðí³é á³ðæ³ íà ö³íó çåðíà. Íà ïî÷àòêó ÕÕ ñò. ç’ÿâëÿºòüñÿ âåëè÷åçíà ê³ëüê³ñòü ïðàöü ç òåî𳿠ìàòåìàòè÷íî¿ ñòàòèñòèêè. Ð. Ô³øåð ïðîïîíóº ìîäåë³ äèñïåðñ³éíîãî àíàë³çó, Êîáá ³ Äóãëàñ àíàë³çóþòü âèðîáíè÷³ ôóíêö³¿. Ñâ³òîâà åêîíîì³÷íà êðèçà 1929–1933 ðð. ñòຠïîøòîâõîì ñòâîðåííÿ íîâî¿ ìàêðîåêîíîì³÷íî¿ òåîð³¿. Àíãë³éñüêèé åêîíîì³ñò Äæîí Ìåéíàðä Êåéíñ ãîñòðî êðèòèêóº êëàñè÷íó òåîð³þ ³ âèñóâຠñâî¿ ïîñòóëàòè: 1. Ó ðèíêîâ³é åêîíîì³ö³ ìîæå ³ñíóâàòè ð³âíîâàãà çà íåïîâíî¿ çàéíÿòîñò³. 2. Äëÿ óñóíåííÿ íåïîâíî¿ çàéíÿòîñò³ íåîáõ³äíå âòðó÷àííÿ äåðæàâè. 3. Äåðæàâà âòðó÷àºòüñÿ â åêîíîì³÷í³ â³äíîñèíè ÷åðåç ãðîøîâó ³ áþäæåòíî-ïîäàòêîâó ïîë³òèêó. 4. Äåðæàâà âïëèâຠíà ñóêóïíèé ïîïèò. Ôóíäàìåíòàëüíà ïðàöÿ Ä. Êåéíñà “Çàãàëüíà òåîð³ÿ çàéíÿòîñò³, ïðîöåíòà ³ ãðîøåé” (1936) ñòຠï³ä´ðóíòÿì äëÿ ð³âíîâàæíèõ ìîäåëåé ³ áàçîâîþ òåîð³ºþ äåðæàâíîãî ðåãóëþâàííÿ åêîíîì³êè. Åêîíîì³÷í³ äîñë³äæåííÿ â ÑÐÑÐ ó 20-ò³ ðîêè ïðîâîäèëèñü ï³ä âïëèâîì íåïó (íîâî¿ åêîíîì³÷íî¿ ïîë³òèêè). Ðîñ³éñüêèé ó÷åíèé Ì. Êîíäðàòüºâ (1892–1938) âèñóâຠòåîð³þ âåëèêèõ öèêë³â êîí’þíêòóðè (“äîâãèõ õâèëü”) ïåð³îäè÷í³ñòþ 40–60 ðîê³â. Âèçíà÷íèì äîñÿãíåííÿì ðàäÿíñüêèõ ó÷åíèõ ñòàëà ðîçðîáêà ïåðøîãî ó ñâ³ò³ áàëàíñó íàðîäíîãî ãîñïîäàðñòâà ÑÐÑÐ çà 1923/24 ð³ê. Ìîäåëü åêîíîì³÷íîãî çðîñòàííÿ ðàäÿíñüêîãî ó÷åíîãî Ã. Ôåëüäìàíà (1884–1958), ñòâîðåíà ó 1928 ð., ðîçêðèëà âçàºìîçâ’ÿçîê òåìï³â çðîñòàííÿ íàö³îíàëüíîãî äîõîäó, çì³íè ôîíäîâ³ääà÷³ ³ ïðîäóêòèâíîñò³ ïðàö³. Ïðàö³ Ã. Ôåëüäìàíà áóëè îö³íåí³ íà Çàõîä³ ëèøå ï³ñëÿ Äðóãî¿ ñâ³òîâî¿ â³éíè ³ îïóáë³êîâàí³ ó ÑØÀ 1964 ð. Ó 30–50 ðîêè â³äðîäæóºòüñÿ åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷íèé íàïðÿì ìîäåëþâàííÿ. Ó 1938–1939 ðð. ëåí³íãðàäñüêèé ìàòåìàòèê Ë. Êàíòîðîâè÷ (1912–1986) ñôîðìóëþâàâ çàäà÷³ ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ ³ çàïðîïîíóâàâ ìåòîäè ¿õ ðîçâ’ÿçàííÿ. Ìîäåë³ ðàäÿíñüêî¿ åêîíîì³êè ñòâîðþâàëèñü íà îñíîâ³ åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷íèõ äîñë³äæåíü. Âîíè îõîïëþâàëè áàãàòîð³âíåâ³ ñèñòåìè, áóëè äîñèòü ñêëàäíèìè ³ ïåðåâàæíî ôîðìàëüíèìè. Ñó÷àñí³ ìîäåë³ âèð³çíÿþòüñÿ ð³çíîìàí³òí³ñòþ òà ïîòóæíèì âèêîðèñòàííÿì ìàòåìàòè÷íîãî àïàðàòó. ÎÑÍÎÂͲ ÒÅÐ̲ÍÈ • Ìîäåëü • Åêîíîì³÷íà òàáëèöÿ Ô. Êåíå • Êëàñè÷íà ìîäåëü À. Ñì³òà • Ìîäåëü ì³æíàðîäíî¿ òîðã³âë³

• Åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ • Çàãàëüíîíàóêîâ³ òà ñïåöèô³÷í³ ìåòîäè • Ïåðøà ³íôëÿö³éíà ìîäåëü • “Çà ³íøèõ ð³âíèõ óìîâ”

9

Best books Ageofbook.com • Íåîêëàñè÷í³ ìîäåë³ • Ñòàòèñòè÷í³ ìîäåë³ • Êåéíñ³àíñüê³ ìîäåë³

• Àãðåãîâàí³ ïàðàìåòðè • Åêçîãåíí³ òà åíäîãåíí³ çì³íí³ • Åòàïè ïðîöåñó ìîäåëþâàííÿ

ÊÎÍÒÐÎËÜͲ ÇÀÏÈÒÀÍÍß 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Ó ÷îìó ïîëÿãຠñóòü êàòåãî𳿠“ìîäåëü”? ßê³ òèïè ìîäåëåé âè çíàºòå?  ÿêèõ ìîäåëÿõ ³ñíóº ÷èííèê âèïàäêîâîñò³? Ùî òàêå êîìá³íîâàíà ìîäåëü? Íà ÿê³ åòàïè ïîä³ëÿþòü ïðîöåñ ìîäåëþâàííÿ? Ùî îçíà÷ຠïåðøà ³íôëÿö³éíà ìîäåëü? ßêà ³ñíóº ð³çíèöÿ ì³æ êëàñè÷íèìè òà êåéíñ³àíñüêèìè ìîäåëÿìè?  ÿêèõ ìîäåëÿõ óïåðøå áóëà âèêîðèñòàíà ìàòåìàòè÷íà ñòàòèñòèêà? 9. Ñõàðàêòåðèçóéòå ìîäåë³ íåîêëàñèöèçìó. 10. ßê³ ñó÷àñí³ ìîäåë³ ðèíêîâî¿ åêîíîì³êè âè çíàºòå? ÒÅÑÒÈ ÒÀ ÇÀÄÀײ 1. Óçãîäüòå ìîäåëü òà ¿¿ àâòîðà: à) ïåðøà ³íôëÿö³éíà ìîäåëü — Ä. гêàðäî; á) ìîäåëü ì³æíàðîäíî¿ òîðã³âë³ — Ð. Ô³øåð; â) ìîäåëü çàãàëüíî¿ åêîíîì³÷íî¿ ð³âíîâàãè — Æ. Áîäåí; ã) ìîäåëü äèñïåðñ³éíîãî àíàë³çó — Ë. Âàëüðàñ. 2. Ó ìàêðîåêîíîì³÷íèõ ìîäåëÿõ íå â³äîáðàæàþòüñÿ ïðîáëåìè: à) çàéíÿòîñò³; á) ³íôëÿö³¿; â) åêîíîì³÷íîãî çðîñòàííÿ; ã) ïîâåä³íêè ô³ðì. 3. Äî ñïåöèô³÷íèõ ìåòîä³â äîñë³äæåííÿ íàëåæèòü ìåòîä: à) íàóêîâî¿ àáñòðàêö³¿; á) ìîäåëþâàííÿ; â) àíàë³çó òà ñèíòåçó; ã) ïîçèòèâíèé ³ íîðìàòèâíèé. 4. Çì³íí³, ÿê³ º ðîçâ’ÿçêîì çàäà÷³, íàçèâàþòüñÿ: à) åêçîãåííèìè; á) åíäîãåííèìè. 5. Çà çàãàëüíèì ö³ëüîâèì ïðèçíà÷åííÿì ìîäåë³ ïîä³ëÿþòü íà: à) òåîðåòè÷í³ òà ïðèêëàäí³; á) ë³í³éí³ òà íåë³í³éí³; â) ð³âíîâàæí³ òà áàëàíñîâ³; ã) ìàêðîåêîíîì³÷í³ òà ì³êðîåêîíîì³÷í³. 10

Best books Ageofbook.com 6. Ìîäåëü, ÿêà â³äîáðàæຠåêîíîì³÷íèé ïðîöåñ íà ïî÷àòêó òà íàïðèê³íö³ ïåð³îäó, íå ðîçãëÿäàþ÷è ñàìîãî ïðîöåñó ïåðåõîäó, º: à) ñòàòè÷íîþ; á) ñòàòèñòè÷íîþ; â) äèíàì³÷íîþ; ã) ë³í³éíîþ. 7. Âïîðÿäêóéòå ëàíöþæîê ïðîöåñó ìîäåëþâàííÿ (ïðîïóùåí³ äåÿê³ åòàïè): à) àíàë³ç ðåçóëüòàò³â; á) ÷èñåëüíå ð³øåííÿ; â) åêîíîì³÷íèé àíàë³ç ïîáóäîâàíî¿ ìîäåë³; ã) ïîáóäîâà àíàë³òè÷íî¿ ìîäåë³. 8. Âèçíà÷òå ãðà䳺íò ôóíêö³¿ 2

F(X1, X2) = X1 X2 ó òî÷ö³ ç êîîðäèíàòàìè (2, 3). 9. Âèçíà÷òå ôóíêö³þ ïîâíèõ âèòðàò ô³ðìè TC(Q), ÿêùî ô³êñîâàí³ âèòðàòè FC = 20, à ãðàíè÷í³ âèòðàòè MC = 4.

ÑÏÈÑÎÊ ÂÈÊÎÐÈÑÒÀÍί

ÒÀ ÐÅÊÎÌÅÍÄÎÂÀÍί ˲ÒÅÐÀÒÓÐÈ

1. Çàìêîâ Î. Î.,×åðåìíûõ Þ. À., Òîëñòîïÿòåíêî À. Â. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â ýêîíîìèêå: Ó÷åáíèê. — 2-å èçä. — Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ; Äåëî è ñåðâèñ, 1999. 2. Ìàêðîåêîíîì³÷íå ìîäåëþâàííÿ òà êîðîòêîñòðîêîâå ïðîãíîçóâàííÿ / Çà ðåä. ². Â. Êðþ÷êîâî¿. — Õàðê³â: Ôîðò, 2000. 3. Íóðååâ Ð. Ì. Êóðñ ìèêðîýêîíîìèêè: Ó÷åá. äëÿ âóçîâ. — Ì.: ÍÎÐÌÀ, 2000. 4. Ñåëèùåâ À. Ñ. Ìàêðîýêîíîìèêà. — ÑÏá.: Ïèòåð, 2000. 5. Øåëîáàåâ Ñ. È. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû è ìîäåëè â ýêîíîìèêå, ôèíàíñàõ, áèçíåñå: Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ âóçîâ. — Ì.: ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, 2000.

11

Best books Ageofbook.com

Ðîçä³ë 2 ÌÎÄÅ˲ ÑÏÎÆÈÂ×ÎÃÎ ÐÈÍÊÓ Ìîäåëü ïîâåä³íêè ñïîæèâà÷à Êåéíñ³àíñüêà ìîäåëü ñïîæèâàííÿ Ìîäåëü ì³æ÷àñîâîãî ñïîæèâ÷îãî âèáîðó ². Ô³øåðà Ìîäåëü æèòòºâîãî öèêëó Ô. Ìîä³ëüÿí³ Ìîäåëü ïåðìàíåíòíîãî äîõîäó Ì. Ôð³äìåíà

2.1. ÌÎÄÅËÜ ÏÎÂÅIJÍÊÈ ÑÏÎÆÈÂÀ×À Äëÿ â³äíîñíîãî àíàë³çó ì³êðîåêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â âèêîðèñòîâóþòü êðèâ³ áàéäóæîñò³. Êðèâà áàéäóæîñò³ — öå ë³í³ÿ ð³âíî¿ êîðèñíîñò³, óñ³ òî÷êè ÿêî¿ õàðàêòåðèçóþòü òîâàðè, ùî çàáåçïå÷óþòü ñïîæèâà÷ó îäíàêîâèé ð³âåíü êîðèñíîñò³ U = U0 (ðèñ. 2.1). X2

X2' X2''

A ∆X2 B

U0 = U(X1, X2) = const

∆X1 0

X1'

X1''

X1

Ðèñ. 2.1. Êðèâà áàéäóæîñò³

Ïðèêëàä. Ôóíêö³ÿ êîðèñíîñò³ ìຠâèãëÿä: U(X1, X2) = (2X1+1)(X2+3), äå X1, X2 — ñïîæèâàííÿ òîâàð³â X1 òà X2 â³äïîâ³äíî. Çàïèø³òü ð³âíÿííÿ êðèâî¿ áàéäóæîñò³, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó (X1, X2) = (3, 1). Ðîçâ’ÿçàííÿ. ϳäñòàâèìî çíà÷åííÿ (3, 1) ó ôóíêö³þ êîðèñíîñò³. U(X1, X2) = U(3, 1) = (2 · 3 + 1)(1+3) = 7·4 = 28, U0 = 28. Îòæå, (2X1+1)(X2+3) = 28. Çâ³äñè ð³âíÿííÿ êðèâî¿ áàéäóæîñò³: 28 − 3. X2 = 2 X1 + 1 12

Best books Ageofbook.com Ôîðìà êðèâèõ áàéäóæîñò³ â³äîáðàæຠãîòîâí³ñòü ñïîæèâà÷à îáì³íþâàòè îäèí òîâàð íà ³íøèé. Êîëè îáèäâà òîâàðè ëåãêî çàì³íèòè, êðèâà áàéäóæîñò³ óâ³ãíóòà ìåíøå. ßêùî òîâàðè íå çàì³íþþòüñÿ — êðèâà áàéäóæîñò³ óâ³ãíóòà á³ëüøå. Êàðòà êðèâèõ áàéäóæîñò³ — ìíîæèíà âñ³õ ìîæëèâèõ ð³âí³â êîðèñíîñò³ (U1, U2, U3,...) äëÿ ïåâíîãî ñïîæèâà÷à (ðèñ. 2.2). X2

U3 U2 U1

X1 0 Ðèñ. 2.2. Êàðòà êðèâèõ áàéäóæîñò³

Ãðàíè÷íà êîðèñí³ñòü MUi áëàãà Xi — öå çì³íà çàãàëüíî¿ êîðèñíîñò³ íàáîðó äâîõ òîâàð³â ïðè çì³í³ ê³ëüêîñò³ äàíîãî áëàãà íà îäèíèöþ. Ìàòåìàòè÷íî ãðàíè÷íà êîðèñí³ñòü áëàãà Xi ïðè íåçì³íí³é ê³ëüêîñò³ âñ³õ ³íøèõ áëàã º ÷àñòêîâîþ ïîõ³äíîþ ôóíêö³¿ êîðèñíîñò³: ∂f ( X 1 , X 2 ) MU i = . ∂X i ʳëüê³ñòü áëàãà X2, â³ä ÿêî¿ ñïîæèâà÷ ãîòîâèé â³äìîâèòèñÿ â îáì³í íà äîäàòêîâó îäèíèöþ áëàãà X1 ïðè íåçì³ííîìó çàãàëüíîìó ð³âí³ êîðèñíîñò³, íàçèâàºòüñÿ ãðàíè÷íîþ íîðìîþ çàì³ùåííÿ áëàã (MRS). ∆X 2 MU 1 =− . MRS = − ∆X 1 MU 2 Äëÿ îïóêëèõ êðèâèõ áàéäóæîñò³ ãðàíè÷íà íîðìà çàì³ùåííÿ MRS âèì³ðþº íàõèë êðèâî¿ áàéäóæîñò³. Ïðèêëàä. Äëÿ äàíî¿ ôóíêö³¿ êîðèñíîñò³ U(X1, X2) ï³äðàõóâàòè ãðàíè÷í³ êîðèñíîñò³ MU1 ³ MU2 òà ãðàíè÷íó íîðìó çàì³ùåííÿ áëàã MRS: U(X1, X2) = 2X1+4X2. Ðîçâ’ÿçàííÿ. ∂U ∂U MU1 2 1 = 2; = 4; MRS = − =− =− . MU1 = MU 2 = ∂X 1 ∂X 2 MU 2 4 2 Íàñòóïíèé åòàï ìîäåë³ ïîâåä³íêè ñïîæèâà÷à àðãóìåíòóºòüñÿ òèì, ùî ñïîæèâà÷ îáìåæåíèé ô³íàíñîâèìè ðåñóðñàìè ³ öå íå äຠéîìó ìîæëèâîñò³ çàäîâîëüíèòè óñ³ ñâî¿ ïîòðåáè. 13

Best books Ageofbook.com Áþäæåòíå îáìåæåííÿ ñïîæèâà÷à (ãðàô³÷íî öå — áþäæåòíà ë³í³ÿ) — ìíîæèíà íàáîð³â, âàðò³ñòü ÿêèõ ñòàíîâèòü R: P1 X1 + P2 X2 = R. Ïðèêëàä. Ñïîæèâà÷ ìຠäîõ³ä 500 ãð. îä. íà ì³ñÿöü. Ïðèïóñò³ìî, â³í êóïóº 2 òîâàðè ó ê³ëüêîñòÿõ X1 òà X2 çà ö³íàìè 2 ãð. îä. òà 4 ãð. îä. çà øòóêó â³äïîâ³äíî. Çàïèø³òü áþäæåòíå îáìåæåííÿ ñïîæèâà÷à. Íàêðåñë³òü áþäæåòíó ë³í³þ. Âèçíà÷òå íàõèë áþäæåòíî¿ ë³í³¿. Ðîçâ’ÿçàííÿ. Áþäæåòíå îáìåæåííÿ ñïîæèâà÷à (ðèñ. 2.3): 2X1 + 4X2 = 500. Òî÷êà ïåðåòèíó ç â³ññþ OX1: X2 = 0; 2X1 = 500; X1 = 250. Òî÷êà ïåðåòèíó ç â³ññþ OX2: X1 = 0; 4X2 = 500; X2 = 125. X2

125 2X1+ 4X2 = 500

X1 0 250 Ðèñ.2.3. Ïðèêëàä ïîáóäîâè áþäæåòíî¿ ë³í³¿

Íàõèë áþäæåòíî¿ ë³í³¿ ïîêàçóº àëüòåðíàòèâí³ âèòðàòè ñïîæèâàííÿ òîâàðó 1. Íàõèë áþäæåòíî¿ ë³í³¿ −

P1 P2

2

=−

4

=−

1 2

.

Íà áþäæåòíó ïðÿìó âïëèâàþòü çíàðÿääÿ åêîíîì³÷íî¿ ïîë³òèêè: ïîäàòêè, ñóáñè䳿, ðàö³îíîâàí³ îáìåæåííÿ. Äëÿ îïòèì³çàö³¿ ïîâåä³íêè ñïîæèâà÷à ñë³ä ñóì³ñòèòè ñèñòåìè êðèâèõ áàéäóæîñò³ ç áþäæåòíèì îáìåæåííÿì (ðèñ. 2.4). Ñïîæèâà÷ îáèðຠíà ë³í³¿ áþäæåòíîãî îáìåæåííÿ òî÷êó (òî÷êó îïòèìóìó), ÿêà ì³ñòèòüñÿ íà êðèâ³é áàéäóæîñò³ òà âèùà çà ³íø³ êðèâ³ áàéäóæîñò³. X2 B

U3

O

U2 U1

X1 A Ðèñ. 2.4. Îïòèìóì ñïîæèâà÷à 0

14

Best books Ageofbook.com Ó òî÷ö³ îïòèìóìó Î ãðàíè÷íà íîðìà çàì³ùåííÿ äâîõ òîâàð³â äîð³âíþº ¿õ â³äíîñí³é ö³í³. ˳í³ÿ áþäæåòíîãî îáìåæåííÿ º äîòè÷íîþ äî êðèâî¿ áàéäóæîñò³. Âèá³ð ó òî÷ö³ Î º îïòèìàëüíèì âèáîðîì äëÿ ñïîæèâàííÿ. P1 MU1 P1 MU1 . =− = MRS = àáî P2 MU 2 P2 MU 2

2.2. ÊÅÉÍѲÀÍÑÜÊÀ ÌÎÄÅËÜ ÑÏÎÆÈÂÀÍÍß Êåéíñ³àíñüêà ìîäåëü ñïîæèâàííÿ íàëåæèòü äî ìàêðîåêîíîì³÷íèõ ìîäåëåé. Çà Êåéíñîì âèêîðèñòîâóâàíèé äîõ³ä Y ïîä³ëÿþòü íà C — ñïîæèâàííÿ òà S — çàîùàäæåííÿ: Y = C + S. Ñïîæèâ÷³ âèòðàòè — öå âèòðàòè äîìîãîñïîäàðñòâ íà ïðèäáàííÿ ñïîæèâ÷èõ òîâàð³â ³ îïëàòó ïîñëóã äëÿ çàäîâîëåííÿ îñîáèñòèõ ïîòðåá. Çà Êåéíñîì ñïîæèâ÷³ âèòðàòè çì³íþþòüñÿ çàêîíîì³ðíî ç³ çì³íîþ äîõîäó. Äîñë³äæóâàâ ö³ çàêîíîì³ðíîñò³ íà îñíîâ³ ñ³ìåéíèõ áþäæåò³â í³ìåöüêèé ñòàòèñò XIX ñò. Åðíåñò Åíãåëü. Ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ âèðàæຠçàëåæí³ñòü ì³æ âèêîðèñòîâóâàíèì äîõîäîì ³ îáñÿãîì ñïîæèâàííÿ ³ ìຠâèãëÿä: C = F(Y') àáî C = F(Y–T) (ðèñ. 2.5). Ñ

C=Y Ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ Ñ = ñ 0 + ñ 'Y

Ôóíêö³ÿ çàîùàäæåííÿ S = –ñ0 + (1 – ñ')Y

ñ0 0 –ñ0

Y

Ðèñ. 2.5. Ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ òà ôóíêö³ÿ çàîùàäæåííÿ

×èííèêîì ñïîæèâàííÿ ó ôóíêö³¿ º äîõ³ä. C = c0 + c'(Y – T), äå c0 — àâòîíîìíå ñïîæèâàííÿ, òîáòî îáñÿã ñïîæèâàííÿ, ÿêèé íå çàëåæèòü â³ä âèêîðèñòîâóâàíîãî äîõîäó. Íàïðèêëàä, ïðîæèâàííÿ â áîðã, çà 15

Best books Ageofbook.com ðàõóíîê çàîùàäæåíü, ñóáñèä³é. Ó äîâãîñòðîêîâîìó ïåð³îä³ äëÿ åêîíîì³êè âö³ëîìó àâòîíîìíå ñïîæèâàííÿ ïðÿìóº äî 0; c' — ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ — âåëè÷èíà, ÿêà ïîêàçóº, íà ñê³ëüêè îäèíèöü çì³íèòüñÿ îáñÿã ñïîæèâàííÿ ïðè çì³í³ âèêîðèñòîâóâàíîãî äîõîäó íà îäíó îäèíèöþ ³ âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ c' = MPC = ∆C/∆Y, äå ∆C — ïðèð³ñò ñïîæèâ÷èõ âèòðàò; ∆Y — ïðèð³ñò âèêîðèñòîâóâàíîãî äîõîäó. Ç ãåîìåòðè÷íî¿ òî÷êè çîðó ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ MPC — öå êóò íàõèëó êðèâî¿ ñïîæèâàííÿ. Ìîäåëü ôóíêö³¿ ñïîæèâàííÿ: C = c0 + c' Y, äå Ñ — âåëè÷èíà ñïîæèâàííÿ äîìàøí³õ ãîñïîäàðñòâ; c0 — àâòîíîìíå ñïîæèâàííÿ; c' — ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ; Y — äîõ³ä. Çàîùàäæåííÿ S — öå íåñïîæèòà ÷àñòèíà äîõîäó. Íàéïðîñò³øà ôóíêö³ÿ çàîùàäæåííÿ ìຠâèãëÿä: S = F(Y). Êîæí³é ôóíêö³¿ ñïîæèâàííÿ â³äïîâ³äຠºäèíà ôóíêö³ÿ çàîùàäæåíü (äèâ. ðèñ. 2.5): S =Y – C = Y – c0 – c'Y = –c0 + (1 – c')Y. Ìîäåëü ôóíêö³¿ çàîùàäæåííÿ: S = s0 + s'Y, s' = 1 – c', s0 = 1 – c0, äå S — âåëè÷èíà çàîùàäæåíü äîìàøí³õ ãîñïîäàðñòâ, s0 — àâòîíîìíå çàîùàäæåííÿ; 1 – c' = s' — ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî çàîùàäæåííÿ; Y — äîõ³ä. Ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî çàîùàäæåííÿ — âåëè÷èíà äîäàòêîâîãî çàîùàäæåííÿ ç îäí³º¿ äîäàòêîâî¿ ãðîøîâî¿ îäèíèö³ âèêîðèñòîâóâàíîãî äîõîäó: MPS = ∆S/∆Y, äå ∆S — ïðèð³ñò çàîùàäæåíü; ∆Y — ïðèð³ñò âèêîðèñòîâóâàíîãî äîõîäó. Îñê³ëüêè ÷àñòèíà êîæíî¿ ãðîøîâî¿ îäèíèö³ (ãðèâí³), ÿêà íå ñïîæèâàºòüñÿ, îáîâ’ÿçêîâî çàîùàäæóºòüñÿ, òî: MPC + MPS = 1. ×èííèêè, ÿê³ íå çàëåæàòü â³ä äîõîäó òà âïëèâàþòü íà ñïîæèâàííÿ òà çàîùàäæåííÿ: 1. Áàãàòñòâî. 2. Ïîäàòêè. 3. гâåíü ö³í. 4. ³äðàõóâàííÿ íà ñîö³àëüíå ñòðàõóâàííÿ. 5. Î÷³êóâàííÿ. 6. Ñïîæèâ÷à çàáîðãîâàí³ñòü. 7. ³äñîòêîâà ñòàâêà. Òåîð³ÿ Êåéíñà àïðîáîâóâàëàñü íà îñíîâ³ ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ åêîíîì³êè ÑØÀ çà 1929–1941 ðð. гâíÿííÿ ìàëî òàêèé âèãëÿä: C = 47,6 + 0,73Y. Ïîäàëüø³ äîñë³äæåííÿ ï³äòâåðäæóþòü ïðèéíÿòí³ñòü ôîðìóëè ò³ëüêè äëÿ êîðîòêîñòðîêîâîãî ïåð³îäó. Ó 1946 ð. àìåðèêàíñüêèé ó÷åíèé óêðà¿íñüêîãî ïîõîäæåííÿ Ñ. Êóçíåöü íà îñíîâ³ àíàë³çó ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ çà 1869–1940 ðð. ä³éøîâ âèñíîâêó, ùî ³ç çðîñòàííÿì äîõîäó ñåðåäíÿ ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ çàëèøàºòüñÿ ïîñò³éíîþ (ðèñ. 2.6). Ñ. Êóçíåöü íà ï³äñòàâ³ îô³ö³éíî¿ ñòàòèñòèêè äîñë³äæóâàâ çàëåæí³ñòü 16

Best books Ageofbook.com ì³æ äîõîäîì ³ ñïîæèâàííÿì ó ÑØÀ ó ïåð³îä ç 1868 ïî 1930 ð³ê. Âèÿâèëîñü, ùî â³äíîøåííÿ Ñ/Y ó äîâãîñòðîêîâîìó ïåð³îä³ íå ìຠòåíäåíö³¿ äî çíèæåííÿ, à ìຠâèãëÿä: Ñ =ñ'Y. Ñïîæèâ÷³ Ñ âèòðàòè

Ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ ó äîâãîñòðîêîâîìó ïåð³îä³ Ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ ó êîðîòêîñòðîêîâîìó ïåð³îä³

ñ0 0

) 45°

Y

Äîõ³ä

Ðèñ. 2.6. Ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ ó äîâãîñòðîêîâîìó òà êîðîòêîñòðîêîâîìó ïåð³îäàõ

²ñíóº ê³ëüêà êîíöåïö³é, ÿê³ ïîÿñíþþòü öþ ïðîáëåìó. Çîêðåìà, ìîäåë³ ì³æ÷àñîâîãî ñïîæèâ÷îãî âèáîðó ². Ô³øåðà, æèòòºâîãî öèêëó Ô. Ìîä³ëüÿí³, ïåðìàíåíòíîãî äîõîäó Ì. Ôð³äìåíà.

2.3. ÌÎÄÅËÜ Ì²Æ×ÀÑÎÂÎÃÎ ÑÏÎÆÈÂ×ÎÃÎ ÂÈÁÎÐÓ ². Ô²ØÅÐÀ ²ðâ³íã Ô³øåð (1867–1947) — àìåðèêàíñüêèé åêîíîì³ñò, ñòàòèñòèê, ïðåäñòàâíèê íåîêëàñè÷íî¿ øêîëè âèñóíóâ ã³ïîòåçó ïðî òå, ùî, ïðèéìàþ÷è ñïîæèâ÷³ ð³øåííÿ, ðàö³îíàëüíà ëþäèíà âðàõîâóº íå ò³ëüêè ïîòî÷íèé, àëå é ìàéáóòí³é äîõ³ä, òîáòî âåñü äîõ³ä, ÿêèé âîíà îäåðæóº ïðîòÿãîì æèòòÿ. Çàïðîïîíîâàíà ìîäåëü îäåðæàëà íàçâó ìîäåë³ ì³æ÷àñîâîãî ñïîæèâ÷îãî âèáîðó. Ñóòü ¿¿ ïîëÿãຠâ òîìó, ùî ïðè ïðèéíÿòò³ ð³øåííÿ ïðî ñïîæèâàííÿ ó äàíèé ìîìåíò ³ â ìàéáóòíüîìó ñïîæèâà÷³ çóñòð³÷àþòüñÿ ç ì³æ÷àñîâèì áþäæåòíèì îáìåæåííÿì. Ïåðåä ñïîæèâà÷åì âèíèêຠïðîáëåìà âèáîðó ³ äâà ÷àñîâèõ ïåð³îäè: ìîëîä³ñòü (äîõ³ä Y1) ³ ñòàð³ñòü (äîõ³ä Y2). Ó ïåðøèé ïåð³îä îñîáà ñïîæèâຠ³ çàîùàäæóº: Y1 = C1 + S1. Çâ³äñè: C1 = Y1 – S1; S1 = Y1 – C1. Ó äðóãîìó ïåð³îä³ ³íäèâ³ä ìຠäîõ³ä Y2. ³í ñïîæèâàº, àëå íå çàîùàäæóº, âèêîðèñòîâóº çàîùàäæåííÿ ïåðøîãî ïåð³îäó òà îäåðæàí³ â³äñîòêè ó ïåðøèé ïåð³îä æèòòÿ. Òîä³: C2 = Y2 + S1(1 + r) =Y2 + (Y1 – C1)(1 + r), äå r — ðåàëüíà â³äñîòêîâà ñòàâêà. 17

Best books Ageofbook.com Ïåðåòâîðèìî ð³âíÿííÿ: ñïîæèâàííÿ — ë³âîðó÷, äîõ³ä — ïðàâîðó÷. C2 = Y2 + Y1(1 + r) – C1(1 + r); C1(1 + r) + C2 = Y1 (1 + r) + Y2. Ïîä³ëèìî îáèäâ³ ÷àñòèíè íà 1 + r, îäåðæèìî:

C1 +

C2 1+ r

= Y1 +

Y2 1+ r

.

Öå — ð³âíÿííÿ ì³æ÷àñîâîãî áþäæåòíîãî îáìåæåííÿ ñïîæèâà÷à, ùî ïîêàçóº, ÿêîþ ñóìîþ êîøò³â ïîâèíí³ âîëîä³òè ñïîæèâà÷³ ïðîòÿãîì äâîõ æèòòºâèõ ïåð³îä³â. C2 Y1(1+r)+Y2

Y2 C1

0

Y1

Y1 +

Y2 1+ r

Ðèñ. 2.7. Áþäæåòíå îáìåæåííÿ ñïîæèâà÷à çà ìîäåëëþ Ô³øåðà

Íàõèë ë³í³¿ áþäæåòíîãî îáìåæåííÿ äîð³âíþº 1/(1 + r) (ðèñ. 2.7):

Y1 +

(1 + r )Y1 + Y2

Y2 1+ r

(1 + r )Y1 + Y2

=

1+ r (1 + r )Y1 + Y2

=

1 1+ r

.

Ïåðåâàãè ñïîæèâà÷à ì³æ ñïîæèâàííÿì ó ïåðøîìó òà äðóãîìó ïåð³îäàõ â³äîáðàæàþòü êðèâ³ áàéäóæîñò³. Êîæíà êðèâà áàéäóæîñò³ õàðàêòåðèçóº ð³âíèé ð³âåíü êîðèñíîñò³ äëÿ ñïîæèâà÷à ð³çíèõ íàáîð³â ñïîæèâàííÿ ó òåïåð³øíüîìó òà ìàéáóòíüîìó ïåð³îäàõ (ðèñ. 2.8). Ñïîæèâà÷ íàäຠïåðåâàãó âèùèì êðèâèì áàéäóæîñò³, îñê³ëüêè âîíè çàáåçïå÷óþòü á³ëüøå ñïîæèâàííÿ. Ïðàãíåííÿ ñïîæèâà÷³â ìàêñèì³çóâàòè ñâîþ êîðèñí³ñòü îáìåæåí³ áþäæåòîì. Îïòèìàëüíà êîìá³íàö³ÿ ñïîæèâàííÿ ó ïåðøîìó òà äðóãî18

Best books Ageofbook.com ìó ïåð³îäàõ äîñÿãàºòüñÿ ó òî÷ö³ äîòèêó íàéâèùî¿ êðèâî¿ áàéäóæîñò³ äî ë³í³¿ áþäæåòíîãî îáìåæåííÿ. C2

Y2

O

U3(C1, C2) U2(C1, C2) U1(C1, C2)

0

Y1

C1

Ðèñ. 2.8. Îïòèìóì ñïîæèâà÷à äëÿ ìîäåë³ Ô³øåðà

Íàõèë êðèâî¿ áàéäóæîñò³ â³äîáðàæຠãðàíè÷íó íîðìó çàì³ùåííÿ (MRS). Íàõèë ë³í³¿ áþäæåòíîãî îáìåæåííÿ äîð³âíþº 1/(r + 1). Îòæå, â òî÷ö³ Î: MRS = 1/(1 + r). Íà ñïîæèâàííÿ âïëèâàþòü: 1) çì³íà äîõîäó; 2) çì³íà ð³âíÿ â³äñîòêîâî¿ ñòàâêè. Çðîñòàííÿ äîõîäó çì³ùóº ë³í³þ áþäæåòíîãî îáìåæåííÿ ïðàâîðó÷. Ïðè çðîñòàíí³ â³äñîòêîâî¿ ñòàâêè çì³íèòüñÿ êóò íàõèëó áþäæåòíî¿ ë³í³¿, îñê³ëüêè ñïîæèâàííÿ ó ïåðøîìó ïåð³îä³ çìåíøèòüñÿ, ó äðóãîìó — çá³ëüøèòüñÿ. Âïëèâ ðåàëüíî¿ â³äñîòêîâî¿ ñòàâêè â³äîáðàæàºòüñÿ â åôåêò³ äîõîäó òà åôåêò³ çàì³ùåííÿ. Åôåêò äîõîäó — çì³íà ó ñïîæèâàíí³, âèêëèêàíà ïåðåõîäîì äî âèùî¿ êðèâî¿ áàéäóæîñò³. Åôåêò çàì³ùåííÿ — çì³íà ó ñïîæèâàíí³, âèêëèêàíà çì³íîþ â³äíîñíî¿ ö³íè ñïîæèâàííÿ â îáèäâà ïåð³îäè.

2.4. ÌÎÄÅËÜ ÆÈÒÒªÂÎÃÎ ÖÈÊËÓ Ô. ÌÎIJËÜßͲ Ôðàíêî Ìîä³ëüÿí³ (ÑØÀ). Îñíîâíà ïðàöÿ “Æèòòºâèé öèêë, çàîùàäæåííÿ ãðîìàäÿí ³ áàãàòñòâî íàö³¿”. 1985 ð. îäåðæàâ Íîáåë³âñüêó ïðåì³þ çà àíàë³ç ô³íàíñîâèõ ðèíê³â ³ ïðîöåñ³â çàîùàäæåííÿ. Ñóòü éîãî òåî𳿠ïîëÿãຠâ òîìó, ùî äîõ³ä ëþäèíè êîëèâàºòüñÿ ïðîòÿãîì æèòòÿ.  þíîñò³ ëþäè áåðóòü ïîçèêó, ðîçðàõîâóþ÷è íà âèñîê³ çàðîá³òêè ó ìàéáóòíüîìó. Ó ïåíñ³éíîìó â³ö³ ñïîæèâàííÿ çàáåçïå÷óþòü çàîùàäæåííÿ ìèíóëîãî ïåð³îäó. 19

Best books Ageofbook.com Ïðèïóñò³ìî, ùî ñïîæèâà÷ ïåðåäáà÷ຠïðîæèòè T ðîê³â, âîëî䳺 áàãàòñòâîì W, î÷³êóº îäåðæóâàòè äîõ³ä Y, íà ïåíñ³þ ïëàíóº ï³òè ÷åðåç R ðîê³â. Îòæå, ïðîòÿãîì æèòòÿ ñïîæèâà÷ îäåðæèòü ñóìó W + RY. Ïðè öüîìó íå âðàõîâóºòüñÿ â³äñîòêîâà ñòàâêà. Îñê³ëüêè îäåðæàíà ïðîòÿãîì æèòòÿ ñóìà ðîçïîä³ëÿºòüñÿ ð³âíîì³ðíî çà T ðîêàìè, òî îñîáà ñïîæèâຠùîð³÷íî: W + RY C= (ãð. îä.). T Îòæå, ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ äëÿ ðàö³îíàëüíîãî ñïîæèâà÷à ìຠâèãëÿä: W + RY 1 R = W + Y, C= T T T òîáòî, ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ çàëåæèòü â³ä î÷³êóâàíîãî äîõîäó ³ ïîòî÷íîãî áàãàòñòâà: Ñ = Ñ(Y, W). Ìîäåëü ôóíêö³¿ ñïîæèâàííÿ Ôðàíêî Ìîä³ëüÿí³ íàáóâຠâèãëÿäó: Ñ= αW + βY; α = 1/T; β = R/T, äå α — ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ çà ïîòî÷íèì áàãàòñòâîì; β — ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ çà äîõîäîì;W — áàãàòñòâî; Y — äîõ³ä; T — ðîêè æèòòÿ; R — ê³ëüê³ñòü ðîê³â, ùî î÷³êóºòüñÿ ïðîïðàöþâàòè äî ïåíñ³¿. Ïðèêëàä. Ñïîæèâà÷ ïåðåäáà÷ຠïðîæèòè ùå 40 ðîê³â, ïðîïðàöþâàâøè 20 ðîê³â. Çàïèø³òü ôóíêö³þ ñïîæèâàííÿ äëÿ ðàö³îíàëüíîãî ñïîæèâà÷à çà òåîð³ºþ “æèòòºâîãî öèêëó” Ô. Ìîä³ëüÿí³. ×îìó äîð³âíþº ñïîæèâàííÿ, ÿêùî ñïîæèâà÷ âîëî䳺 áàãàòñòâîì 20 òèñ. ãð. îä. òà î÷³êóº îäåðæóâàòè ùîð³÷íî äîõ³ä 50 òèñ. ãð. îä.? Ðîçâ’ÿçàííÿ. 1 R T = 40, R = 20; C = W + Y; T T 1 20 C= W+ Y = 0, 025W + 0, 5Y ; C (20, 50) = 25, 5 òèñ. ãð. îä. 40 40

2.5. ÌÎÄÅËÜ ÏÅÐÌÀÍÅÍÒÍÎÃÎ ÄÎÕÎÄÓ Ì. ÔвÄÌÅÍÀ ̳ëòîí Ôð³äìåí (ÑØÀ). 1976 ð. îäåðæàâ Íîáåë³âñüêó ïðåì³þ çà àíàë³ç òåî𳿠ñïîæèâàííÿ, òåî𳿠òà ³ñòî𳿠ãðîøîâîãî îá³ãó. Îñíîâí³ ïîëîæåííÿ éîãî òåîð³¿: 1. Ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ ìຠçíà÷åííÿ ò³ëüêè äëÿ äîâãîñòðîêîâîãî ïåð³îäó. 2. Ñïîæèâàííÿ âèçíà÷àºòüñÿ çàëåæíî â³ä ïîñò³éíîãî (ïåðìàíåíòíîãî äîõîäó). 20

Best books Ageofbook.com Ïåðìàíåíòíèé äîõ³ä — ñåðåäíüîçâàæåíà âåëè÷èíà ç óñ³õ äîõîä³â, ÿê³ ëþäèíà î÷³êóº îäåðæàòè (ñåðåäí³é äîõ³ä). óïîòåçà ïåðìàíåíòíîãî äîõîäó áàçóºòüñÿ íà òåî𳿠ñïîæèâ÷îãî âèáîðó ². Ô³øåðà. Ó Ôð³äìåíà ìîäåëü íàáóâຠâèãëÿäó:

C1 +

C2

= YP +

1+ r

YP 1+ r

,

äå Yp — ïåðìàíåíòíèé äîõ³ä. Ïåðåòâîðèìî ð³âíÿííÿ â³äíîñíî Yp, îäåðæèìî:

YP = (

1+ r 2+r

)(C1 +

C2 1+ r

).

Ïîòî÷íèé äîõ³ä Y äîð³âíþº ñóì³ ïîñò³éíîãî äîõîäó Yp ³ òèì÷àñîâîãî äîõîäó Yt: Y = Yp+Yt . Òèì÷àñîâèé äîõ³ä — ÷àñòèíà äîõîäó, ÿêó íå î÷³êóþòü çáåðåãòè ó ìàéáóòíüîìó. Öå — âèïàäêîâå â³äõèëåííÿ â³ä äîõîäó. Òèì÷àñîâèé äîõ³ä ìîæå áóòè òðüîõ âèä³â. Âèïàäêîâèé òèì÷àñîâèé äîõ³ä ñòàíîâèòü âèïàäêîâ³ â³äõèëåííÿ â³ä çâè÷àéíîãî òðåíäó (âèãðàø ó ëîòåðå¿), ïðè ÿêîìó ïîòî÷íå ñïîæèâàííÿ åêîíîì³÷íèõ ñóᒺêò³â íå çì³íþºòüñÿ. Òèì÷àñîâèé äîõ³ä ïåðìàíåíòíîãî â³äõèëåííÿ â³ä çâè÷àéíîãî (ï³äâèùåííÿ àáî ïîíèæåííÿ ó ïîñàä³). ²ç çì³íîþ äîõîäó çì³íþºòüñÿ ñïîæèâàííÿ. Î÷³êóâàíå â³äõèëåííÿ äîõîäó (î÷³êóºòüñÿ ï³äâèùåííÿ ó ïîñàä³ àáî ïëàíóþòüñÿ âåëèê³ âèòðàòè ó çâ’ÿçêó ç³ çì³íîþ ì³ñöÿ ïðîæèâàííÿ). Ó öüîìó âèïàäêó ïðè íåçì³ííîìó ïîòî÷íîìó äîõîä³ â³äáóâàºòüñÿ çì³íà ñïîæèâ÷èõ âèòðàò. Ïîä³ë ïîòî÷íîãî äîõîäó íà ïåðìàíåíòíèé ³ òèì÷àñîâèé äàâ ìîæëèâ³ñòü Ôð³äìåíó âèð³øèòè ïðîòèð³÷÷ÿ Êåéíñà ì³æ äîâãîñòðîêîâîþ ³ êîðîòêîñòðîêîâîþ ôóíêö³ÿìè ñïîæèâàííÿ, çà ÿêèìè ñåðåäíÿ ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ ó êîðîòêîñòðîêîâîìó ïåð³îä³ ìຠòåíäåíö³þ äî çíèæåííÿ, à â äîâãîñòðîêîâîìó º ñòàá³ëüíîþ. Ó äîâãîñòðîêîâîìó ïåð³îä³ òèì÷àñîâ³ â³äõèëåííÿ ïîòî÷íîãî äîõîäó â³ä ïåðìàíåíòíîãî âð³âíîâàæóþòüñÿ ³ ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ íàáóâຠâèãëÿäó: Ñ = αYp, äå α — êîåô³ö³ºíò. Îòæå, ñïîæèâàííÿ ïðîïîðö³éíå ïåðìàíåíòíîìó äîõîäó. Ïîä³ëèìî îáèäâ³ ÷àñòèíè ð³âíÿííÿ íà Y, îäåðæèìî:

C Y

=

α YP Y

, 21

Best books Ageofbook.com òîáòî ñåðåäíÿ ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ çàëåæèòü â³ä â³äíîøåííÿ ïîñò³éíîãî äîõîäó äî ïîòî÷íîãî. Îòæå, ó ðîêè âèñîêîãî äîõîäó ñåðåäíÿ ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ º íèçüêîþ, ó ðîêè ìàëîãî äîõîäó — âèñîêîþ. Ó äîâãîñòðîêîâîìó ïåð³îä³ âîíà º ïîñò³éíîþ. Äîñë³äæåííÿ Ôð³äìåíà çà ñòàòèñòè÷íèìè äàíèìè ç 1905 ïî 1967 ð. äàëè ðåçóëüòàò: C = 0,88Yp. ÎÑÍÎÂͲ ÒÅÐ̲ÍÈ • Ìîäåëü ïîâåä³íêè ñïîæèâà÷à • Ìîäåëü ì³æ÷àñîâîãî ñïîæèâ÷îãî âèáîðó • Êîðèñí³ñòü • Áþäæåòíå îáìåæåííÿ • Îïòèìóì ñïîæèâà÷à • Ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ • Ôóíêö³ÿ çàîùàäæåííÿ

• Ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ çà äîõîäîì • Ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ çà ïîòî÷íèì áàãàòñòâîì • Êåéíñ³àíñüêà ìîäåëü • Ìîäåëü æèòòºâîãî öèêëó • ×àñîâèé ïåð³îä • Ìîäåëü ïåðìàíåíòíîãî äîõîäó • Òèì÷àñîâèé äîõ³ä

ÊÎÍÒÐÎËÜͲ ÇÀÏÈÒÀÍÍß 1. ßê³ ìîäåë³ âèêîðèñòîâóþòü äëÿ àíàë³çó ì³êðîåêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â? 2. ßêèé åêîíîì³÷íèé ïðîöåñ â³äîáðàæàºòüñÿ áþäæåòíèì îáìåæåííÿì ñïîæèâà÷à? 3. Ùî âèñòóïຠ÷èííèêîì ñïîæèâàííÿ òà çàîùàäæåííÿ ó â³äïîâ³äíèõ êåéíñ³àíñüêèõ ôóíêö³ÿõ? 4. ×èì â³äð³çíÿþòüñÿ ôóíêö³¿ ñïîæèâàííÿ ó êîðîòêîñòðîêîâîìó òà äîâãîñòðîêîâîìó ïåð³îäàõ? 5. Ó ÿê³é ìîäåë³ ñïîæèâ÷îãî ðèíêó ðîçãëÿäàþòüñÿ äâà ÷àñîâèõ ïåð³îäè? 6. ßê âèçíà÷àºòüñÿ îïòèìóì ñïîæèâà÷à äëÿ ìîäåë³ ². Ô³øåðà? 7. ³ä ÷îãî çàëåæèòü ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ ó ìîäåë³ æèòòºâîãî öèêëó Ô. Ìîä³ëüÿí³? 8.  ÿêèõ ìîäåëÿõ ñïîæèâ÷îãî ðèíêó íå âðàõîâóºòüñÿ â³äñîòêîâà ñòàâêà? 9. Ùî îçíà÷ຠêàòåãîð³ÿ “ïåðìàíåíòíèé äîõ³ä”? 10. ßê âèð³øóºòüñÿ ïðîòèð³÷÷ÿ ì³æ êîðîòêîñòðîêîâîþ òà äîâãîñòðîêîâîþ ôóíêö³ÿìè ñïîæèâàííÿ â ìîäåë³ ². Ô³øåðà? 22

Best books Ageofbook.com ÒÅÑÒÈ ÒÀ ÇÀÄÀײ 1. Êåéíñ³àíñüêà ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ âèðàæຠçàëåæí³ñòü ì³æ îáñÿãàìè: à) äîõîäó òà ³íâåñòèö³é; á) äîõîäó òà ñïîæèâàííÿ; â) ñïîæèâàííÿ òà çàîùàäæåííÿ; ã) ïîòî÷íîãî òà òèì÷àñîâîãî ñïîæèâàííÿ. 2. Çà òåîð³ºþ ². Ô³øåðà, ïðèéìàþ÷è ñïîæèâ÷³ ð³øåííÿ, ðàö³îíàëüíà ëþäèíà âðàõîâóº: à) ïîòî÷íèé òà ìàéáóòí³é á) ïîòî÷íèé òà òèì÷àñîâèé äîõ³ä; äîõ³ä; â) ìàéáóòí³é òà òèì÷àñîâèé ã) ïî÷àòêîâå áàãàòñòâî òà äîõ³ä; ìàéáóòí³é äîõ³ä. 3. Ïåðìàíåíòíèé äîõ³ä öå: à) ïî÷àòêîâèé äîõ³ä; á) ïî÷àòêîâèé òà ìàéáóòí³é äîõ³ä; â) ñåðåäí³é äîõ³ä çà âñ³ ïåð³îäè; ã) ïîòî÷íèé äîõ³ä. 4. Àâòîíîìíå ñïîæèâàííÿ ñ0 = 1,5. Ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî çàîùàäæåííÿ MPS = 0,25. Çàïèø³òü êåéíñ³àíñüê³ ôóíêö³¿ ñïîæèâàííÿ òà çàîùàäæåííÿ. 5. Êåéíñ³àíñüêà ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ çàäàíà òàáëè÷íî: Äîõ³ä 24 29 34 39 Ñïîæèâàííÿ 20 24 28 32 Çàïèø³òü ð³âíÿííÿ ôóíêö³¿ ñïîæèâàííÿ. 6. Ôóíêö³ÿ êîðèñíîñò³ ìຠâèãëÿä: U(X1, X2) = 2X1X2 + X2, äå X1, X2 — ñïîæèâàííÿ òîâàð³â X1 òà X2 â³äïîâ³äíî. Çàïèø³òü ð³âíÿííÿ êðèâî¿ áàéäóæîñò³, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó (2, 4). 7. Ñïîæèâà÷ ìຠäîõ³ä 50 ãðí íà äîáó. Ïðèïóñò³ìî, â³í êóïóº äâà òîâàðè ó ê³ëüêîñòÿõ Õ1 ³ Õ2 çà ö³íàìè 2 ãðí çà îä. òà 2,5 ãðí çà îä. â³äïîâ³äíî. Çàïèø³òü áþäæåòíå îáìåæåííÿ ñïîæèâà÷à. Íàêðåñë³òü áþäæåòíó ë³í³þ. 23

Best books Ageofbook.com 8. Çà ìîäåëëþ Ô³øåðà ó ïåðøîìó ïåð³îä³ æèòòÿ ³íäèâ³ä ìຠäîõ³ä 2 ìëí ãð. îä. ³ ñïîæèâຠ1,5 ìëí ãð. îä. Ó äðóãîìó ïåð³îä³ æèòòÿ äîõ³ä ñòàíîâèòü 485 òèñ. ãð. îä., à ñïîæèâàííÿ — 1 ìëí ãð. îä. ×îìó äîð³âíþº ðåàëüíà â³äñîòêîâà ñòàâêà? 9. Ñïîæèâà÷ ïåðåäáà÷ຠïðîæèòè ùå 50 ðîê³â, ïðîïðàöþâàâøè 30. Çàïèø³òü ôóíêö³þ ñïîæèâàííÿ çà òåîð³ºþ æèòòºâîãî öèêëó Ô. Ìîä³ëüÿí³. ßêèé äîõ³ä î÷³êóº îäåðæóâàòè ùîð³÷íî ñïîæèâà÷, ÿêùî â³í âîëî䳺 áàãàòñòâîì 100 òèñ. ãð. îä. ³ ùîð³÷íî ñïîæèâຠ50 òèñ. ãð. îä.? 10. Çà òåîð³ºþ ïåðìàíåíòíîãî äîõîäó Ì. Ôð³äìåíà ðåàëüíà â³äñîòêîâà ñòàâêà äîð³âíþº 2 %. Ñïîæèâàííÿ ïåðøîãî ïåð³îäó ñòàíîâèòü 400 òèñ. ãð. îä., ñïîæèâàííÿ äðóãîãî ïåð³îäó ñòàíîâèòü 200 òèñ. ãð. îä. Âèçíà÷³òü âåëè÷èíó ïåðìàíåíòíîãî äîõîäó.

ÑÏÈÑÎÊ ÂÈÊÎÐÈÑÒÀÍί

ÒÀ ÐÅÊÎÌÅÍÄÎÂÀÍί ˲ÒÅÐÀÒÓÐÈ

1. Áóäàãîâñüêà Ñ., ʳ볺âè÷ Î. ̳êðîåêîíîì³êà òà ìàêðîåêîíîì³êà: ϳäðó÷. äëÿ ñòóäåíò³â åêîí. ñïåö. çàêë. îñâ³òè. — Ê.: Îñíîâè, 1998. 2. Âýðèàí Õ. Ð. Ìèêðîýêîíîìèêà. Ïðîìåæóòî÷íûé óðîâåíü. Ñîâðåìåííûé ïîäõîä: Ó÷åá. äëÿ âóçîâ / Ïåð. ñ àíãë. ïîä ðåä. Í. Ë. Ôðîëîâîé. — Ì.: ÞÍÈÒÈ, 1997. 3. Íóðååâ Ð. Ì. Êóðñ ìèêðîýêîíîìèêè: Ó÷åá. äëÿ âóçîâ. — Ì.: ÍÎÐÌÀ, 2000. 4. Ñåëèùåâ À. Ñ. Ìàêðîýêîíîìèêà. — ÑÏá.: Ïèòåð, 2000. 5. Øåëîáàåâ Ñ. È. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû è ìîäåëè â ýêîíîìèêå, ôèíàíñàõ, áèçíåñå: Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ âóçîâ. — Ì.: ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, 2000.

24

Best books Ageofbook.com

Ðîçä³ë 3 ÌÀÊÐÎÅÊÎÍÎ̲×Ͳ вÂÍÎÂÀÆͲ ÒÀ ÁÀËÀÍÑβ ÌÎÄÅ˲ Áàçîâ³ ìîäåë³ ðèíêîâî¿ åêîíîì³êè Ìîäåë³ ô³ñêàëüíî¿ ïîë³òèêè Ìîäåë³ áàíê³âñüêî¿ ñèñòåìè Áàëàíñîâ³ ìîäåë³

3.1. ÁÀÇβ ÌÎÄÅ˲ ÐÈÍÊÎÂί ÅÊÎÍÎ̲ÊÈ Ìàêðîåêîíîì³êà äîñë³äæóº ãîñïîäàðñòâî â ö³ëîìó, òîáòî âñþ ñóêóïí³ñòü ðèíê³â. Àëå áàãàòî ðèíê³â çâîäèòüñÿ äî òðüîõ àãðåãîâàíèõ: ðèíîê áëàã (ñóêóïí³ñòü ðèíê³â òîâàð³â ³ ïîñëóã); ô³íàíñîâèé ðèíîê (ñóêóïí³ñòü ðèíê³â ö³ííèõ ïàïåð³â ³ ãðîøåé); ðèíîê ÷èííèê³â âèðîáíèöòâà (ñóêóïí³ñòü ðèíê³â ïðàö³ òà êàï³òàëó) (ðèñ. 3.1).

ÅÊÎÍÎ̲ÊÀ

Ðèíîê áëàã

Ðèíîê òîâàð³â Ðèíîê ïîñëóã

Ô³íàíñîâèé ðèíîê

Ðèíîê ÷èííèê³â âèðîáíèöòâà

Ðèíîê ö³ííèõ ïàïåð³â Ðèíîê ãðîøåé

Ðèíîê ïðàö³ Ðèíîê êàï³òàëó

Ðèñ. 3.1. Ñóêóïí³ñòü ðèíê³â â åêîíîì³ö³

Íà ðèíêó áëàã ð³âíîâàãà äîñÿãàºòüñÿ, ÿêùî îáñÿã ÂÂÏ äîð³âíþº çàïëàíîâàíèì âèòðàòàì óñ³õ ñóᒺêò³â òîâàðíîãî ðèíêó íà êóï³âëþ òîâàð³â ³ ïîñëóã, ÿê³ âèðîáëåí³ â êðà¿í³. Ïîïèò ³ ïðîïîçèö³ÿ äîõîäó íà öüîìó ðèíêó çàëåæàòü â³ä çàãàëüíîãî ð³âíÿ ö³í: Ys = Yd (äèâ. ðèñ. 3.2). 25

Best books Ageofbook.com Íà ðèíêó ãðîøåé ð³âíîâàãà äîñÿãàºòüñÿ, ÿêùî ê³ëüê³ñòü çàïðîïîíîâàíèõ áàíê³âñüêîþ ñèñòåìîþ ãðîøåé â åêîíîì³ö³ âð³âíîâàæóºòüñÿ ïîïèòîì íà íèõ: Ms = Md (ðèñ. 3.3). гâåíü ö³í

Ys

³äñîòêîâà ñòàâêà

Ms

Yd 0

Md 0

Äîõ³ä,Y Ðèñ. 3.2. Ðèíîê áëàã

Ãðîøîâà ìàñà, M Ðèñ.3.3. Ðèíîê ãðîøåé

Ðèíîê ö³ííèõ ïàïåð³â, àáî ðèíîê êðåäèòó, îõîïëþº âñþ ñóêóïí³ñòü äîâãîñòðîêîâèõ ïàïåð³â, ÿê³ ïðèíîñÿòü â³äñîòîê. Ö³íà ö³ííèõ ïàïåð³â º îáåðíåíî çàëåæíîþ âåëè÷èíîþ â³ä ñòàâêè â³äñîòêà: 1/r. гâíîâàãà äîñÿãàºòüñÿ, ÿêùî ïîïèò ³ ïðîïîçèö³ÿ íà ðèíêó ö³ííèõ ïàïåð³â çá³ãàþòüñÿ: Bs = Bd (ðèñ. 3.4). Íà ðèíêó ïðàö³ ð³âíîâàãà äîñÿãàºòüñÿ, ÿêùî ê³ëüê³ñòü çàïðîïîíîâàíèõ ðîáî÷èõ ì³ñöü âð³âíîâàæóºòüñÿ ç ïðîïîçèö³ºþ ðîáî÷î¿ ñèëè: Ns = Nd (ðèñ. 3.5). Çàðîá³òíà ïëàòà Ws

Ö³íà ö³ííèõ ïàïåð³â P, 1/r

Bs

Bd 0

Îáñÿã ö³ííèõ ïàïåð³â,  Ðèñ. 3.4. Ðèíîê ö³ííèõ ïàïåð³â

Ns

Nd 0

Ðîáî÷à ñèëà, N Ðèñ. 3.5. Ðèíîê ïðàö³

Ó ñòàí³ çàãàëüíî¿ åêîíîì³÷íî¿ ð³âíîâàãè 䳺 çàêîí Âàëüðàñà (1834– 1910), çà ÿêèì â åêîíîì³ö³, ÿêà ñêëàäàºòüñÿ ç n âçàºìîïîâ’ÿçàíèõ ðèíê³â, íà n-ìó ðèíêó çàâæäè áóäå ð³âíîâàãà, ÿêùî âîíà áóäå äîñÿãíóòà íà óñ³õ ³íøèõ n-1 ðèíêàõ. Çàêîí âèïëèâຠç òîãî, ùî ñóêóïíèé ïîïèò ³ ñóêóïíà ïðîïîçèö³ÿ óñ³õ áëàã âèðàæàþòüñÿ ÷åðåç ¿õ ö³íè: òî26

Best books Ageofbook.com âàð³â ³ ïîñëóã Y ÷åðåç P, ö³ííèõ ïàïåð³â B ÷åðåç 1/r, ïðàö³ N ÷åðåç W, ãðîøåé M ÷åðåç 1. Ìîäåëü íàáóâຠâèãëÿäó: PYd + (1/r) Bd + WNd + Md = PYs + (1/r) Bs + WNs + Ms. Çãðóïóºìî çì³íí³ ë³âîðó÷. Ìîäåëü Âàëüðàñà íàáóâຠâèãëÿäó: P (Yd – Ys) + (1/r)(Bd – Bs) + W(Nd – Ns) + (Md – Ms) = 0. Ìàêðîåêîíîì³÷íèé àíàë³ç çà çàêîíîì Âàëüðàñà ïîâèíåí äîñë³äæóâàòè n-1 ðèíîê. Òîìó ç àíàë³çó, ÿê ïðàâèëî, âèëó÷àºòüñÿ íàéñêëàäí³øèé — ðèíîê ö³ííèõ ïàïåð³â.  îñíîâó ìàêðîåêîíîì³÷íîãî àíàë³çó ïîêëàäåíî ìîäåëü åêîíîì³÷íîãî êðóãîîá³ãó. Ìîäåëü åêîíîì³÷íîãî êðóãîîá³ãó ç ó÷àñòþ äåðæàâè (ðèñ. 3.6) äëÿ çàêðèòî¿ åêîíîì³êè ì³ñòèòü ó ñîá³ ñåêòîðè: äîìîãîñïîäàðñòâà, ô³ðìè òà äåðæàâà ³ äâà âèäè ðèíêó: ðèíîê áëàã ³ ðèíîê ðåñóðñ³â. Ïîòîêè “äîõîäè–âèòðàòè” ä³þòü ó ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìàõ, à ñóìàðíèé ïîò³ê äîõîä³â äîð³âíþº ñóìàðíîìó ïîòîêó âèòðàò â óìîâàõ ð³âíîâàãè. Äåðæàâà áåðå ó÷àñòü ó ðåãóëþâàíí³ åêîíîì³êè òðüîìà ñïîñîáàìè: 1) çáèðàííÿì ïîäàòê³â; 2) çä³éñíåííÿì äåðæàâíèõ âèòðàò; 3) ðåãóëþâàííÿì ê³ëüêîñò³ ãðîøåé â åêîíîì³ö³. Ñïîæèâ÷³ âèòðàòè

Äîìîãîñïîäàðñòâà

Äîõîäè

Ðèíîê áëàã

Ïîäàòêè

Äåðæàâà

Òðàíñôåðòè

Ïîäàòêè

Ô³ðìè

Ñóáñè䳿

Äîõîäè Ðèíîê ðåñóðñ³â

Ðåàëüí³ ïîòîêè

Âèðîáíè÷³ âèòðàòè Ãðîøîâ³ ïîòîêè

Ðèñ. 3.6. Ìîäåëü åêîíîì³÷íîãî êðóãîîá³ãó çà ó÷àñòþ äåðæàâè

27

Best books Ageofbook.com Ìîäåëü “ïîïèò–ïðîïîçèö³ÿ” — öå ìîäåëü ì³êðîåêîíîì³÷íî¿ ð³âíîâàãè. гâíîâàãà òîâàðíîãî ðèíêó — ñòàí ðèíêó, êîëè äëÿ ïðîäàæó ïðîïîíóºòüñÿ òàêà ê³ëüê³ñòü òîâàðó, ÿêó ñïîæèâà÷ ãîòîâèé êóïèòè. Çàêîí ïîïèòó òà ïðîïîçèö³¿ — ö³íà áóäü-ÿêîãî òîâàðó çì³íþºòüòñÿ, ùîá âð³âíîâàæèòè ïîïèò ³ ïðîïîçèö³þ. гâíîâàæíà ö³íà — ö³íà, ÿêà âð³âíîâàæóº ïîïèò ³ ïðîïîçèö³þ. гâíîâàæíèé îáñÿ㠗 îáñÿã ïðîïîçèö³¿ òà îáñÿã ïîïèòó â óìîâàõ, êîëè âð³âíîâàæóºòüñÿ ïîïèò ³ ïðîïîçèö³ÿ (ðèñ. 3.7). Íàäëèøîê

P

S

Pe

Äåô³öèò 0

D Q

Qe

Ðèñ. 3.7. Ìîäåëü “ïîïèò–ïðîïîçèö³ÿ”

ßêùî ïîïèò íà òîâàð ïåðåâèùóº ïðîïîçèö³þ òîâàðó, âèíèêຠäåô³öèò ïðîïîçèö³¿, àáî íàäëèøêîâèé ïîïèò. ßêùî ïîïèò íà òîâàð ìåíøèé çà ïðîïîçèö³þ òîâàðó, âèíèêຠíàäëèøîê ïðîïîçèö³¿, àáî äåô³öèò ïîïèòó. Ïðèêëàä. Ïîáóäóéòå ïðÿì³ ïîïèòó òà ïðîïîçèö³¿. Âèçíà÷òå ð³âíîâàæíó ö³íó òà ê³ëüê³ñòü. ßêùî ö³íà äîð³âíþº 2,25 ãðí, ùî ³ñíóº íà ðèíêó — òîâàðíèé äåô³öèò ÷è íàäëèøîê? Ö³íà, ãðí.

2,00

2,25

2,5

2,75

3,00

Îáñÿã ïîïèòó, òèñ. êã

200

190

180

170

160

Îáñÿã ïðîïîçèö³¿, òèñ. êã

150

155

160

165

170

Ðîçâ’ÿçàííÿ. Äëÿ çàïèñó ð³âíÿíü ïðÿìèõ ïîïèòó òà ïðîïîçèö³¿ ñêîðèñòàºìîñü ð³âíÿííÿì ïðÿìî¿, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç äâ³ òî÷êè. гâíÿííÿ ïðÿìî¿ ïîïèòó:

P − 2, 00 2, 25 − 2, 00 28

=

Qd − 200 190 − 200

⇒ Qd = −40 P + 280 .

Best books Ageofbook.com гâíÿííÿ ïðÿìî¿ ïðîïîçèö³¿:

P − 2, 00

=

Qs − 150

⇒ Qs = 20 P + 110 . 2, 25 − 2, 00 155 − 150 Ðîçâ’ÿçóºìî ñèñòåìó äâîõ ð³âíÿíü ç äâîìà íåâ³äîìèìè:

Q = −40 P + 280;  Q = 20 P + 110.

³äïîâ³äü. гâíîâàæíà ö³íà P*= 2,83; ð³âíîâàæíà ê³ëüê³ñòü Q*= 166,6. Ïðè P = 2,25 ïîïèò íà òîâàð ïåðåâèùóº ïðîïîçèö³þ òîâàðó (D > S), íà ðèíêó òîâàðíèé äåô³öèò. Ìîäåëü ñóêóïíîãî ïîïèòó òà ñóêóïíî¿ ïðîïîçèö³¿ — áàçîâà ìîäåëü ìàêðîåêîíîì³÷íî¿ ð³âíîâàãè (ðèñ. 3.8). гâåíü ö³í

AS

гâíîâàæíèé ð³âåíü ö³í AD 0

гâíîâàæíèé äîõ³ä, âèïóñê

Äîõ³ä, âèïóñê

Ðèñ. 3.8. Êåéíñ³àíñüêà ìîäåëü AD–AS

Ìîäåëü ñóêóïíîãî ïîïèòó ³ ñóêóïíî¿ ïðîïîçèö³¿ àíàë³çóº ïðè÷èíè êîëèâàíü ð³âíÿ ö³í ³ ðåàëüíèõ îáñÿã³â íàö³îíàëüíîãî âèðîáíèöòâà. Ñóêóïíèé ïîïèò ³ ñóêóïíà ïðîïîçèö³ÿ àãðåãóþòüñÿ â³äïîâ³äíî ç ð³âíîâàæíèõ âåëè÷èí ïîïèòó ³ ïðîïîçèö³¿ íà óñ³õ ðèíêàõ òîâàð³â ³ ïîñëóã. Ñóêóïíèé ïîïèò (AD) — öå çàãàëüíèé îáñÿã â³ò÷èçíÿíèõ òîâàð³â ³ ïîñëóã, ÿê³ ãîòîâ³ êóïèòè äîìîãîñïîäàðñòâà, ô³ðìè òà äåðæàâà ³ åêîíîì³÷í³ ñóᒺêòè ³íøèõ êðà¿í çà ïåâíîãî ð³âíÿ âíóòð³øí³õ ö³í. ³䒺ìíèé íàõèë êðèâî¿ ñóêóïíîãî ïîïèòó âèçíà÷àºòüñÿ òðüîìà ö³íîâèìè ÷èííèêàìè: 1) åôåêòîì áàãàòñòâà; 2) åôåêòîì â³äñîòêîâî¿ ñòàâêè; 3) åôåêòîì îáì³ííîãî êóðñó. Ñóêóïíà ïðîïîçèö³ÿ (AS) — öå îáñÿã òîâàð³â ³ ïîñëóã, ÿêèé ïðîïîíóºòüñÿ åêîíîì³êîþ äëÿ ïðîäàæó çà êîæíîãî ð³âíÿ ö³í. Âåëè÷èíà ñóêóïíî¿ ïðîïîçèö³¿ âèçíà÷àºòüñÿ íàÿâíèìè â åêîíîì³ö³ êàï³òàëîì, ïðàöåþ ³ òåõíîëî㳺þ ³ ìîæå áóòè çàïèñàíà íà îñíîâ³ âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿. 29

Best books Ageofbook.com гâåíü ö³í

AS

P* AD 0

Y*

Äîõ³ä

Ðèñ. 3.9. Êëàñè÷íà ìîäåëü ñóêóïíî¿ ïðîïîçèö³¿

Êëàñè÷íà ìîäåëü ñóêóïíî¿ ïðîïîçèö³¿ (ðèñ. 3.9) — ìîäåëü äëÿ äîâãîñòðîêîâîãî ïåð³îäó. Ö³íîâ³ ÷èííèêè ñóêóïíî¿ ïðîïîçèö³¿: 1. Çì³íà â³äñîòêîâî¿ ñòàâêè. 2. Çì³íà ð³âíÿ ö³í. Íåö³íîâ³ ÷èííèêè ñóêóïíî¿ ïðîïîçèö³¿: 1. Çì³íè ö³í íà ðåñóðñè. 2. Çì³íè â ïðîäóêòèâíîñò³ ïðàö³. 3. Çì³íè ïîäàòê³â ç ï³äïðèºìñòâ ³ ñóáñèä³é. Ïðè çì³í³ íåö³íîâèõ ÷èííèê³â çì³íþþòüñÿ ñåðåäí³ âèòðàòè. Ïðÿìà ñóêóïíî¿ ïðîïîçèö³¿ çì³ùóºòüñÿ ë³âîðó÷ àáî ïðàâîðó÷. гâåíü ö³í

LAS AS

гâíîâàæíà ö³íà

A AD 0

Ïîòåíö³éíèé äîõ³ä

Äîõ³ä, âèïóñê

Ðèñ. 3.10. Ïîäâ³éíà ð³âíîâàãà â ìîäåë³ AD–AS

Ïåðåòèí ïðÿìèõ ñóêóïíîãî ïîïèòó ÀD òà äîâãîñòðîêîâî¿ ïðÿìî¿ ñóêóïíî¿ ïðîïîçèö³¿ AS âèçíà÷ຠð³âíîâàæíèé äîõ³ä, âèïóñê òà ð³âíîâàæíèé ð³âåíü ö³í. Êîëè åêîíîì³êà äîñÿãຠäîâãîñòðîêîâî¿ ð³âíîâàãè, óÿâëåííÿ, çàðîá³òíà ïëàòà ³ ö³íè çì³íþþòüñÿ òàêèì ÷èíîì, ùîá êîðîòêîñòðîêîâà ïðÿìà ñóêóïíî¿ ïðîïîçèö³¿ LAS òàêîæ ïðîéøëà ÷åðåç öþ òî÷êó.  òî÷ö³ À ìຠì³ñöå ïîäâ³éíà ð³âíîâàãà (ðèñ. 3.10). ²íâåñòèö³¿ — öå åêîíîì³÷í³ ðåñóðñè, ÿê³ ñïðÿìîâóþòüñÿ íà çá³ëüøåííÿ ðåàëüíîãî êàï³òàëó ñóñï³ëüñòâà.  ìàêðîåêîíîì³ö³ áàçî30

Best books Ageofbook.com âîþ ³íâåñòèö³éíîþ ôóíêö³ºþ º ôóíêö³ÿ, ÿêà çàëåæèòü â³ä â³äñîòêîâî¿ ñòàâêè. Ðåàëüíà â³äñîòêîâà ñòàâêà — ïëàòà çà ïðèäáàííÿ ãðîøîâîãî êàï³òàëó äëÿ ³íâåñòóâàííÿ. Ôóíêö³ÿ ³íâåñòèö³é º ñïàäíîþ ³ â³äîáðàæຠîáåðíåíó çàëåæí³ñòü ì³æ â³äñîòêîâîþ ñòàâêîþ òà ³íâåñòèö³ÿìè. Ôàêòè÷í³ ³íâåñòèö³¿ ïîä³ëÿþòü íà ïëàíîâ³ òà íåïëàíîâ³. Öåé ïîä³ë â³äîáðàæàºòüñÿ â ìîäåë³ åêîíîì³÷íî¿ ð³âíîâàãè “âèïóñê–âèòðàòè”, ãðàô³÷íà ³íòåðïðåòàö³ÿ ÿêî¿ ìຠíàçâó “êåéíñ³àíñüêèé õðåñò” (ðèñ. 3.11). Âèòðàòè, Å

Ef = Y Ep = C + I A

+

Y*

Y1

–

0

45° Y2

Äîõ³ä, Y

Ðèñ. 3.11. Ìîäåëü “âèòðàòè–âèïóñê”

Á³ñåêòðèñà îçíà÷àº, ùî ôàêòè÷í³ ³ ïëàíîâ³ âèòðàòè çá³ãàþòüñÿ, “+” — íåçàïëàíîâàíå çðîñòàííÿ, “–” — çìåíøåííÿ ³íâåñòèö³é ó òîâàðíî-ìàòåð³àëüí³ çàïàñè. Ó òî÷ö³ À, äå âèòðàòè çá³ãàþòüñÿ ç äîõîäîì, äîñÿãàºòüñÿ ð³âí³ñòü ïëàíîâèõ ³ ôàêòè÷íèõ ³íâåñòèö³é, òîáòî âñòàíîâëþºòüñÿ ìàêðîåêîíîì³÷íà ð³âíîâàãà. ßêùî ôàêòè÷íèé äîõ³ä ïåðåâèùóº ð³âíîâàæíèé, ô³ðìè âèðîáëÿþòü á³ëüøå, í³æ ïîêóïö³ êóïëÿþòü. ³äáóâàºòüñÿ íåïëàíîâå çðîñòàííÿ ³íâåñòèö³é ó òîâàðí³ çàïàñè, ³ âèðîáíèöòâî áóäå ìàòè òåíäåíö³þ äî ñïàäó, îñê³ëüêè åêîíîì³êà ïîñò³éíî ïðàãíå äîñÿãòè ð³âíîâàãè. ßêùî ð³âíîâàæíèé äîõ³ä ïåðåâèùóº ôàêòè÷íèé, â³äáóâàºòüñÿ íåïëàíîâå ñêîðî÷åííÿ ³íâåñòèö³é ó òîâàðí³ çàïàñè ³ âèðîáíèöòâî áóäå ìàòè òåíäåíö³þ äî çðîñòàííÿ.

3.2. ÌÎÄÅ˲ Ô²ÑÊÀËÜÍί ÏÎ˲ÒÈÊÈ Ïðèïóñò³ìî, äåðæàâà çáèðຠïîäàòêè T ³ çä³éñíþº âèòðàòè íà ïðèäáàííÿ òîâàð³â íàð³âí³ ç äîìîãîñïîäàðñòâàìè òà ï³äïðèºìñòâàìè G. 31

Best books Ageofbook.com Ìîäåëü ìຠíàçâó êåéíñ³àíñüêà ìîäåëü ç ó÷àñòþ äåðæàâè òà íàáóâຠòàêîãî âèãëÿäó: Y = AD, AD = C + Y + G, C = c0 + c' (Y – T), I = I(r), G = G0, Y = AD = c0 + c'(Y – T) + I + G, äå: Y — äîõ³ä, AD — ñóêóïíèé ïîïèò; C — ñïîæèâàííÿ; G — äåðæàâí³ âèòðàòè; c0 — àâòîíîìí³ ñïîæèâ÷³ âèòðàòè; c' — ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ; T — ïîäàòêè; I(r) — ³íâåñòèö³¿, ùî çàëåæàòü â³ä â³äñîòêîâî¿ ñòàâêè. Âèâåäåìî çíà÷åííÿ ìóëüòèïë³êàòîðà äåðæàâíèõ âèòðàò ÷åðåç äèôåðåíö³þâàííÿ ð³âíÿííÿ: Y (1–c') = c0 – c'T + I + G.

dY dG

(1 − c ') = 1;

dY dG

=

1 1− c '

= mG .

Îòæå, ìóëüòèïë³êàòîð äåðæàâíèõ âèòðàò äîð³âíþº:

mG =

∆Y

=

1 ,

∆G 1 − MPC äå MPC — ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ, ∆ Y — çì³íà äîõîäó, ∆ G — çì³íà äåðæàâíèõ âèòðàò. ßêùî ïëàíîâ³ âèòðàòè âðàõîâóþòü âïëèâ ïîäàòêîâèõ íàäõîäæåíü T = tY, ìóëüòèïë³êàòîð äåðæàâíèõ âèòðàò â³äîáðàæຠçàëåæí³ñòü àâòîìàòè÷íèõ ïîäàòêîâèõ âèëó÷åíü â³ä çì³íè ÂÂÏ ³ ìຠâèãëÿä: 1 mG / T = , 1 − MPC (1 − t ) äå t — ãðàíè÷íà ñòàâêà îïîäàòêóâàííÿ. Ìóëüòèïë³êàòîð ïîäàòê³â îçíà÷àº, ùî çðîñòàííÿ ïîäàòê³â íà ∆T çìåíøóº âèïóñê ó – c'/(1– c') ðàç³â. MPC . mT = − ∆Y = mT ∆T ; MPS Ïðèêëàä. MPC = 0,75. Ïîäàòêè çðîñëè ç 80 äî 100 ìëí äîë. ßê ³ íà ñê³ëüêè çì³íèòüñÿ ð³âíîâàæíèé äîõ³ä? Ðîçâ’ÿçàííÿ. 0, 75 −0, 75 ∆Y = mT ∆T = − ⋅ 20 = − ⋅ 20 = −3 ⋅ 20 = −60 . 1 − 0, 75 0, 25 ³äïîâ³äü. гâíîâàæíèé äîõ³ä çìåíøèòüñÿ íà 60 ìëí äîë. Áþäæåò — ãðîøîâå âèðàæåííÿ çáàëàíñîâàíîãî êîøòîðèñó äîõîä³â ³ âèäàòê³â çà ïåâíèé ïåð³îä. Áþäæåò ââàæàºòüñÿ äåô³öèòíèì, 32

Best books Ageofbook.com ÿêùî âèäàòêè ïåðåâèùóþòü íàäõîäæåííÿ, íîðìàëüíèì — ÿêùî âîíè ð³âí³, ïðîô³öèòíèì — ÿêùî íàäõîäæåííÿ ïåðåâèùóþòü âèäàòêè. Ìîäåëü äåðæàâíîãî áþäæåòó: BD = –Sg, Sg = T – Tr – N – G, äå Sg — äåðæàâí³ çàîùàäæåííÿ; T — ïîäàòêè; Tr — òðàíñôåðòè; N — âèïëàòà â³äñîòê³â çà äåðæàâíèì áîðãîì; G — äåðæàâí³ âèäàòêè. ßêùî Sg< 0 , áþäæåò º äåô³öèòíèì, ÿêùî Sg > 0 — ïðîô³öèòíèì. Ïðèêëàä. Åêîíîì³êà êðà¿íè õàðàêòåðèçóºòüñÿ íàñòóïíèìè ïîêàçíèêàìè (ìëðä ãð. îä.): Ñïîæèâ÷³ âèòðàòè – 120 Äåðæàâí³ çàêóïêè òîâàð³â ³ ïîñëó㠖 50 Âàëîâ³ âíóòð³øí³ ³íâåñòèö³¿ – 40 Äåðæàâí³ òðàíñôåðòè – 6 Âèïëàòà â³äñîòê³â çà äåðæàâíèì áîðãîì – 4 Ïîäàòêè – 50 Äëÿ ïîêðèòòÿ äåô³öèòó äåðæáþäæåòó âèïóùåíî äåðæàâí³ îáë³ãàö³¿ òà çá³ëüøåíî ïðîïîçèö³þ ãðîøåé â åêîíîì³ö³. Äåô³öèò äåðæáþäæåòó íà 60 % ô³íàíñóºòüñÿ âèïóñêîì äåðæàâíèõ îáë³ãàö³é, íà 40 % — çá³ëüøåííÿì ïðîïîçèö³¿ ãðîøåé. Ðîçðàõóâàòè: à) äîõ³ä; á) äåðæàâí³ çàîùàäæåííÿ; â) âàðò³ñòü äåðæàâíèõ îáë³ãàö³é ³ äîäàòêîâî¿ ê³ëüêîñò³ ãðîøåé â åêîíîì³ö³. Ðîçâ’ÿçàííÿ. à) Y = C + I + G = 120 + 40 + 50 = 210. á) BD = –Sg; Sg = T – Tr – N – G = 50 – 6 – 4 – 50 = –10. Äåô³öèò áþäæåòó. â) Sg = ∆B + ∆M; ∆B = 0,6BD = 0,6·10 = 6 ìëðä ãð. îä; ∆M = 0,4 BD = 0,4·10 = 4 ìëðä ãð. îä. ³äïîâ³äü. Äåô³öèò ó 10 ìëðä ãð. îä. ô³íàíñóºòüñÿ âèïóñêîì îáë³ãàö³é íà ñóìó 6 ìëðä ãð. îä. ³ âèïóñêîì ãðîøåé íà ñóìó 4 ìëðä ãð. îä.

3.3. ÌÎÄÅ˲ ÁÀÍʲÂÑÜÊί ÑÈÑÒÅÌÈ Äåïîçèòè êîìåðö³éíèõ áàíê³â ñëóæàòü ðåçåðâàìè ãðîøîâî¿ ñèñòåìè. Ñóìà êîøò³â, ùî âíåñåí³ ÿê äåïîçèòè íà áàíê³âñüê³ ðàõóíêè ³ íå âèäàí³ ÿê êðåäèòè, òîáòî äîñÿæí³ äëÿ çàáåçïå÷åííÿ âèìîã âêëàäíèê³â ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò, ñòàíîâèòü îáîâ’ÿçêîâ³ ðåçåðâè êîìåðö³éíîãî áàíêó TR. ×àñòêîâå áàíê³âñüêå ðåçåðâóâàííÿ — ñèñòåìà, çà ÿêî¿ áàíêè òðèìàþòü ó ðåçåðâàõ ò³ëüêè ÷àñòèíó çàãàëüíî¿ ñóìè âíåñê³â. Öå îçíà÷àº, ùî âñ³ êîìåðö³éí³ áàíêè ïîâèíí³ ìàòè îáîâ’ÿçêîâ³ ðåçåðâè R ïðîïîðö³éíî äî ñóìè â³äêðèòèõ äåïîçèò³â D. Íîðìà îáîâ’ÿçêîâîãî ðåçåðâóâàííÿ âñòàíîâëþºòüñÿ çàêîíîì 33

Best books Ageofbook.com ³ âèçíà÷àºòüñÿ ÿê â³äíîøåííÿ ñóìè îáîâ’ÿçêîâèõ ðåçåðâ³â äî ñóìè çàëó÷åíèõ äåïîçèò³â: r = R/D. Íàäëèøêîâ³ ðåçåðâè — âåëè÷èíà, íà ÿêó ôàêòè÷í³ ðåçåðâè áàíêó ïåðåâèùóþòü éîãî îáîâ’ÿçêîâ³ ðåçåðâè: E = TR – R. Áàíê³âñüêà ñèñòåìà çàãàëîì ìîæå íàäàòè ïîçèêè, îáñÿã ÿêèõ ó ê³ëüêà ðàç³â ïåðåâèùóº ¿¿ ïî÷àòêîâ³ íàäëèøêîâ³ ðåçåðâè. Êîåô³ö³ºíò 1/r íàçèâàºòüñÿ ïðîñòèì äåïîçèòíèì, àáî áàíê³âñüêèì ìóëüòèïë³êàòîðîì. Ïðîñòèé äåïîçèòíèé ìóëüòèïë³êàòîð (m = 1/r) âèçíà÷ຠìàêñèìàëüíó ê³ëüê³ñòü íîâèõ äåïîçèòíèõ ãðîøåé, ùî ñòâîðþºòüñÿ îäí³ºþ ãðîøîâîþ îäèíèöåþ íàäëèøêîâèõ ðåçåðâ³â ïðè çàäàíîìó ð³âí³ íîðìè îáîâ’ÿçêîâîãî ðåçåðâóâàííÿ. Ìîäåëü áàíê³âñüêî¿ ñèñòåìè íàáóâຠâèãëÿäó: íîðìà îáîâ’ÿçêîâîãî ðåçåðâóâàííÿ r = R/D; íàäëèøêîâ³ ðåçåðâè E = TR – R; ïðîñòèé äåïîçèòíèé ìóëüòèïë³êàòîð m = 1/r. Ìîäåëü áàíê³âñüêî¿ ñèñòåìè ç óðàõóâàííÿì äåïîçèòíèõ ³ ãîò³âêîâèõ ãðîøåé. Ïðè öüîìó âðàõîâóºòüñÿ: ðîëü Öåíòðàëüíîãî áàíêó, ïîâåä³íêà êîìåðö³éíèõ áàíê³â, ìîæëèâèé â³äò³ê ÷àñòèíè ãðîøåé ç äåïîçèò³â áàíê³âñüêî¿ ñèñòåìè ó ãîò³âêó. Êîåô³ö³ºíò äåïîíóâàííÿ ãðîøåé — öå â³äíîøåííÿ ãîò³âêè äî äåïîçèò³â: c = C/D. Êîåô³ö³ºíò äåïîíóâàííÿ õàðàêòåðèçóº ñòðóêòóðó çáåð³ãàííÿ íàñåëåííÿì ë³êâ³äíèõ êîøò³â ó âèãëÿä³ ¿õ ðîçïîä³ëó ì³æ ãîò³âêîâèìè ãðîøèìà Ñ ³ êîøòàìè íà ïîòî÷íèõ (÷åêîâèõ) äåïîçèòàõ D. Ãðîøîâèé ìóëüòèïë³êàòîð: mc = (c + 1)/(c + r). Ìîäåëü íàáóâຠâèãëÿäó: ðåçåðâíà íîðìà r = R/D; êîåô³ö³ºíò äåïîíóâàííÿ c = C/D; íàäëèøêîâ³ ðåçåðâè E = TR – R; ãðîøîâèé ìóëüòèïë³êàòîð mc = (c + 1)/(c + r). Ïðèêëàä. Íîðìà îáîâ’ÿçêîâîãî ðåçåðâóâàííÿ äîð³âíþº 0,2. Ñóìà îáîâ’ÿçêîâèõ ðåçåðâ³â 1 ìëðä ãð. îä. Ãîò³âêà ñòàíîâèòü 0,5 ìëðä ãð. îä. Ó ñê³ëüêè ðàç³â ìîæå áóòè çá³ëüøåíà ïðîïîçèö³ÿ ãðîøåé? Ðîçâ’ÿçàííÿ. D = R/r = 1/0,2 = 5ìëðä ãð. îä.; c = C/D = 0,5/5 = 0,1; mc = (c + 1)/(c + r) = (1 + 0,1)/(0,2 + 0,1) = 3,66. ³äïîâ³äü. Ïðîïîçèö³ÿ ãðîøåé ìîæå áóòè çá³ëüøåíà ó 3,66 ðàçà.

3.4. ÁÀËÀÍÑβ ÌÎÄÅ˲  îñíîâ³ ñòâîðåííÿ ìîäåëåé ì³æãàëóçåâîãî áàëàíñó ëåæèòü áàëàíñîâèé ìåòîä — âçàºìíå ç³ñòàâëåííÿ íàÿâíèõ ìàòåð³àëüíèõ, òðóäîâèõ ³ ô³íàíñîâèõ ðåñóðñ³â ³ ïîòðåá ó íèõ. 34

Best books Ageofbook.com Îñíîâó ³íôîðìàö³éíîãî çàáåçïå÷åííÿ áàëàíñîâèõ ìîäåëåé â åêîíîì³ö³ ñòàíîâèòü ìàòðèöÿ êîåô³ö³ºíò³â çàòðàò ðåñóðñ³â çà êîíêðåòíèìè íàïðÿìàìè ¿õ âèêîðèñòàííÿ. Ó ìîäåë³ ÌÃÁ òàêó ðîëü â³ä³ãðຠòåõíîëîã³÷íà ìàòðèöÿ. Ïðèíöèïîâà ñõåìà ÌÃÁ âèðîáíèöòâà ³ ðîçïîä³ëó ñóêóïíîãî ñóñï³ëüíîãî ïðîäóêòó ó âàðò³ñíîìó âèðàæåíí³ íàâåäåíà ó òàáëèö³.  îñíîâó ñõåìè ïîêëàäåíî ïîä³ë ñóêóïíîãî ïðîäóêòó íà 2 ÷àñòèíè: ïðîì³æíèé ³ ê³íöåâèé. Óñå íàðîäíå ãîñïîäàðñòâî ïîä³ëåíî íà n ãàëóçåé. Ïðè öüîìó êîæíà ãàëóçü ïðåäñòàâëåíà ó áàëàíñ³ ÿê âèðîáíè÷à ³ ÿê ñïîæèâ÷à. Ñõåìà ì³æãàëóçåâîãî áàëàíñó

Âèðîáíè÷³ ãàëóç³

Ñïîæèâ÷³ ãàëóç³

1

2

Õ11 Õ12 Õ21 Õ22

1 2 3 ... Àìîðòèçàö³ÿ

n

...

...

Õ1n

...

...

Y1

Õ2n

Y2

... ²²

Âàëîâèé ïðîäóêò X1

X2

...

...

² ...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Õnn

Yn

Xn

...

cn

v1

Îïëàòà ïðàö³

...

...

Õn1 Õn2 c1 c2

n

ʳíöåâèé ïðîäóêò

3

v2

c3

v3

²²²...

...

...

²V

vn

×èñòèé äîõ³ä

m1

m2

m3

...

mn

Âàëîâèé ïðîäóêò

X1

X2

X3

...

Xn

ΣXi

Âèä³ëÿþòü 4 ÷àñòèíè, ÿê³ ìàþòü ð³çíèé åêîíîì³÷íèé çì³ñò. Âîíè íàçèâàþòüñÿ êâàäðàíòàìè áàëàíñó. I — òàáëèöÿ ì³æãàëóçåâèõ ìàòåð³àëüíèõ çâ’ÿçê³â. II — ê³íöåâà ïðîäóêö³ÿ óñ³õ ãàëóçåé ìàòåð³àëüíîãî âèðîáíèöòâà. III — íàö³îíàëüíèé äîõ³ä ÿê ñóìà ÷èñòî¿ ïðîäóêö³¿ ³ àìîðòèçàö³¿. IV — ê³íöåâèé ðîçïîä³ë ³ âèêîðèñòàííÿ íàö³îíàëüíîãî äîõîäó. Ó ìàòðè÷í³é ôîðì³ ìîäåëü ÌÃÁ ìîæíà çàïèñàòè: X = AX + Y, X1

äå X = K — âåêòîð-ñòîâïåöü X âàëîâî¿ ïðîäóêö³¿; n

Y1

Y = L — âåêòîð-ñòîâïåöü Y ê³íöåâî¿ ïðîäóêö³¿. n

A = (aij), äå aij — êîåô³ö³ºíò ïðÿìèõ ìàòåð³àëüíèõ âèòðàò íà âèðîáíèöòâî îäèíèö³ ïðîäóêö³¿, ùî ïîêàçóº, ÿêó ê³ëüê³ñòü ïðîäóêö³¿ i-¿ 35

Best books Ageofbook.com ãàëóç³ íåîáõ³äíî, âðàõîâóþ÷è ò³ëüêè ïðÿì³ çàòðàòè, äëÿ âèðîáíèöòâà îäèíèö³ ïðîäóêö³¿ j-¿ ãàëóç³. Çàïèøåìî ìîäåëü ÌÃÁ ó âèãëÿä³ ìîäåë³ Ëåîíòüºâà: (E – A)X = Y, äå Å — îäèíè÷íà ìàòðèöÿ. Ïðèêëàä. Îá÷èñë³òü îáñÿãè âèðîáíèöòâà ê³íöåâîãî ïðîäóêòó Y1 òàY2, ÿêùî â³äîìà ìàòðèöÿ ïðÿìèõ âèòðàò À òà îáñÿãè âàëîâîãî ïðîäóêòó Õ1 òà Õ2. 0, 3 0, 4 2 A= ,X = 0, 8 0, 7 3 E− A=

1 0 0 1

( E − A) ⋅ X =

−

0, 3 0, 4 0, 8 0, 7

=

0, 7 − 0, 4 −0, 2 0, 3

0, 7 − 0, 4 2 0, 2 ⋅ = −0, 2 0, 3 3 0, 5

³äïîâ³äü. Äëÿ âèðîáíèöòâà îäèíèö³ ïðîäóêö³¿ íåîáõ³äíî 0,2 îäèíèö³ ïðîäóêö³¿ 1 òà 0,5 ïðîäóêö³¿ 2. ÎÑÍÎÂͲ ÒÅÐ̲ÍÈ • Ðèíîê áëàã • Ô³íàíñîâèé ðèíîê • Ðèíîê ÷èííèê³â âèðîáíèöòâà • Ìîäåëü Âàëüðàñà • Ìîäåëü åêîíîì³÷íîãî êðóãîîá³ãó • Ìîäåëü“Ïîïèò–ïðîïîçèö³ÿ” • Ìóëüòèïë³êàòîð • Êîåô³ö³ºíò äåïîíóâàííÿ ãðîøåé

• Êëàñè÷íà ìîäåëü AD–AS • Êåéíñ³àíñüêà ìîäåëü AD–AS • Ïîäâ³éíà ð³âíîâàãà • Êåéíñ³àíñüêèé õðåñò • Ìîäåëü “Ñóêóïíèé ïîïèò — ñóêóïíà ïðîïîçèö³ÿ” • Ìîäåëü Ëåîíòüºâà • ×àñòêîâå ðåçåðâóâàííÿ äåïîçèò³â • Ìîäåëü ì³æãàëóçåâîãî áàëàíñó

ÊÎÍÒÐÎËÜͲ ÇÀÏÈÒÀÍÍß 1. ßê³ ðèíêè àíàë³çóþòüñÿ â ìîäåë³ Âàëüðàñà? 2. ßêèì ÷èíîì áåðå ó÷àñòü ó ðåãóëþâàíí³ åêîíîì³êè äåðæàâà çà ìîäåëëþ åêîíîì³÷íîãî êðóãîîá³ãó? 3. ×èì çóìîâëåíà ð³âíîâàãà íà òîâàðíîìó ðèíêó çà ìîäåëëþ “ïîïèò–ïðîïîçèö³ÿ”? 36

Best books Ageofbook.com 4. Ùî âèçíà÷ຠð³çíèöþ â ìîäåëÿõ “ïîïèò–ïðîïîçèö³ÿ” òà “ñóêóïíèé ïîïèò — ñóêóïíà ïðîïîçèö³ÿ”? 5. ×èì â³äð³çíÿþòüñÿ êëàñè÷íà òà êåéíñ³àíñüêà ìîäåë³ “ñóêóïíèé ïîïèò — ñóêóïíà ïðîïîçèö³ÿ”? 6. Ùî âèçíà÷ຠïîïèò, à ùî ïðîïîçèö³þ â ìîäåë³ “êåéíñ³àíñüêèé õðåñò”? 7. ßê âð³âíîâàæóþòüñÿ äîõ³ä ³ âèòðàòè çà ìîäåëëþ “âèïóñê– âèòðàòè”? 8. ßêà ð³çíèöÿ ì³æ ïðîñòèì äåïîçèòíèì ³ ñêëàäíèì ãðîøîâèì ìóëüòèïë³êàòîðàìè? 9. ßêèé ìåòîä º îñíîâîþ ìîäåëåé ì³æãàëóçåâîãî áàëàíñó? 10.  ÿê³é ìîäåë³ äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ âèêîðèñòîâóºòüñÿ îäèíè÷íà ìàòðèöÿ? ÒÅÑÒÈ ÒÀ ÇÀÄÀײ 1. Çàêîí Âàëüðàñà ñòâåðäæóº, ÿêùî íà óñ³õ ðèíêàõ, êð³ì îäíîãî, ³ñíóº ð³âíîâàãà, òî: à) ðèíîê ïåðåáóâຠó ñòàí³ íåñòàá³ëüíîñò³; á) ðèíîê ïåðåáóâຠó ñòàí³ ÷àñòêîâî¿ ð³âíîâàãè; â) îñòàíí³é ðèíîê ïåðåáóâຠó ñòàí³ ð³âíîâàãè; ã) îñòàíí³é ðèíîê íå ïåðåáóâຠó ñòàí³ ð³âíîâàãè. 2. Çàçíà÷òå íåïðàâèëüíå òâåðäæåííÿ: à) íà ðèíêó áëàã ð³âíîâàãà äîñÿãàºòüñÿ, ÿêùî îáñÿã ÂÂÏ äîð³âíþº çàïëàíîâàíèì âèòðàòàì óñ³õ ñóᒺêò³â íà êóï³âëþ áëàã, ùî âèðîáëåí³ â êðà¿í³; á) íà ðèíêó ïðàö³ ð³âíîâàãà äîñÿãàºòüñÿ, ÿêùî ê³ëüê³ñòü çàïðîïîíîâàíèõ ðîáî÷èõ ì³ñöü âð³âíîâàæåíà ç ïîïèòîì íà çàðîá³òíó ïëàòó; â) ðèíîê ö³ííèõ ïàïåð³â îõîïëþº óñþ ñóêóïí³ñòü äîâãîñòðîêîâèõ ïàïåð³â, ÿê³ ïðèíîñÿòü â³äñîòîê; ã) íà ðèíêó áëàã äîìîãîñïîäàðñòâà âèñòóïàþòü ïîêóïöÿìè. 3. Ó êåéíñ³àíñüê³é ìîäåë³ “Ñóêóïíèé ïîïèò — ñóêóïíà ïðîïîçèö³ÿ” êðèâà ñóêóïíî¿ ïðîïîçèö³¿ º: à) âåðòèêàëüíîþ; á) ãîðèçîíòàëüíîþ; â) çðîñòàþ÷îþ; ã) ñïàäíîþ.

37

Best books Ageofbook.com 4. ßêùî ïîïèò íà òîâàð ïåðåâèùóº ïðîïîçèö³þ òîâàðó, âèíèêàº: à) äåô³öèò òîâàðó; á) íàäëèøîê òîâàðó; â) äåô³öèò ïîïèòó; ã) íåìຠâ³ðíî¿ â³äïîâ³ä³. 5. Ñóêóïíèé ïîïèò ó ìîäåë³ AD–AS — öå: à) ðåàëüíèé ÂÂÏ; á) íîì³íàëüíèé ÂÂÏ; â) ñóìà çàïëàíîâàíèõ âèòðàò ã) äîõ³ä êðà¿íè. åêîíîì³÷íèõ ñóᒺêò³â; 6. Çàïèñàòè ôóíêö³þ ïîïèòó ÿê çàëåæí³ñòü ê³ëüêîñò³ â³ä ö³íè Q(P) çà äàíèìè òàáëèö³: Ö³íà, ãðí. çà îä., P

4

6

8

10

ʳëüê³ñòü, îä., Q

30

26

22

18

7. Ó ìîäåë³ “âèòðàòè–âèïóñê” ñóêóïíèé ïîïèò ïðåäñòàâëåíèé: à) çàïëàíîâàíèìè âèòðàòàìè; á) ôàêòè÷íèìè âèòðàòàìè; â) íåçàïëàíîâàíèìè ³íâåñòèö³ÿìè; ã) ôàêòè÷íèìè äîõîäàìè. 8. Åêîíîì³êà êðà¿íè õàðàêòåðèçóºòüñÿ íàñòóïíèìè ïîêàçíèêàìè (ìëðä ãð. îä.): Ñïîæèâ÷³ âèòðàòè – 100 Äåðæàâí³ çàêóïêè òîâàð³â ³ ïîñëó㠖 30 Âàëîâ³ âíóòð³øí³ ³íâåñòèö³¿ – 25 Äåðæàâí³ òðàíñôåðòè – 4 Âèïëàòà â³äñîòê³â çà äåðæàâíèì áîðãîì – 3 Ïîäàòêè – 35 Äëÿ ïîêðèòòÿ äåô³öèòó äåðæáþäæåòó âèïóùåíî äåðæàâí³ îáë³ãàö³¿ òà çá³ëüøåíî ïðîïîçèö³þ ãðîøåé â åêîíîì³ö³. Äåô³öèò äåðæáþäæåòó íà 50 % ô³íàíñóºòüñÿ âèïóñêîì äåðæàâíèõ îáë³ãàö³é, íà 50 % — çá³ëüøåííÿì ïðîïîçèö³¿ ãðîøåé. Ðîçðàõóéòå: à) äîõ³ä; á) äåðæàâí³ çàîùàäæåííÿ; â) âàðò³ñòü äåðæàâíèõ îáë³ãàö³é ³ äîäàòêîâî¿ ê³ëüêîñò³ ãðîøåé â åêîíîì³ö³. 9. Äåðæàâí³ âèòðàòè çðîñëè íà 2 ìëðä ãð. îä. Ïîäàòêè çìåíøèëèñü íà 5 ìëðä ãð. îä. Ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ 0,8. ßê ³ íà ñê³ëüêè çì³íèâñÿ ð³âíîâàæíèé äîõ³ä?

38

Best books Ageofbook.com 10. Åêîíîì³êà êðà¿íè îïèñóºòüñÿ ð³âíÿííÿìè: Y = C + I + G; C = 50 + 0,8(Y – tY); t = 0,15; G = 5; I = 12 + 0,3Y. Âèçíà÷òå ð³âíîâàæíèé äîõ³ä. 11. Îáîâ’ÿçêîâ³ ðåçåðâè áàíêó ñòàíîâëÿòü 8 ìëí ãð. îä. Äåïîçèòè ñêëàäàþòü 24 ìëí ãð. îä. Ó ñê³ëüêè ðàç³â ìîæå áóòè çá³ëüøåíà ïðîïîçèö³ÿ ãðîøåé â åêîíîì³ö³?

ÑÏÈÑÎÊ ÂÈÊÎÐÈÑÒÀÍί

ÒÀ ÐÅÊÎÌÅÍÄÎÂÀÍί ˲ÒÅÐÀÒÓÐÈ

1. Çàìêîâ Î. Î., ×åðåìíûõ Þ. À., Òîëñòîïÿòåíêî À. Â. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â ýêîíîìèêå: Ó÷åáíèê. — 2-å èçä. — Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ; Äåëî è ñåðâèñ, 1999. 2. Ìýíêüþ Í. Ã. Ïðèíöèïû ýêîíîìèêñ. — ÑÏá.: Ïèòåð Êîì, 1999. 3. Ñåëèùåâ À. Ñ. Ìàêðîýêîíîìèêà. — ÑÏá.: Ïèòåð, 2000. 4. Ìàëèø Í. À. Ìàêðîåêîíîì³êà: Íàâ÷. ïîñ³á. — Ê.: ÌÀÓÏ, 2003.

39

Best books Ageofbook.com

Ðîçä³ë 4 ÄÈÍÀ̲×Ͳ ÌÎÄÅ˲ Âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ Ìîäåë³ åêîíîì³÷íîãî öèêëó Ìîäåë³ åêîíîì³÷íîãî çðîñòàííÿ

4.1. ÂÈÐÎÁÍÈ×À ÔÓÍÊÖ²ß Äëÿ îïèñó âçàºìîçâ’ÿçêó ì³æ çàòðàòàìè ÷èííèê³â âèðîáíèöòâà ³ îáñÿãîì ïðîäóêö³¿, ùî âèïóñêàºòüñÿ, â åêîíîì³ö³ âèêîðèñòîâóþòü ïîíÿòòÿ âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿. Òåõíîëîã³÷íà çàëåæí³ñòü ì³æ ñòðóêòóðîþ çàòðàò ðåñóðñ³â, íàïðèêëàä ïðàöåþ (L) òà êàï³òàëîì (Ê), ³ ìàêñèìàëüíî ìîæëèâèì âèïóñêîì ïðîäóêö³¿ (Q) çàïèñóºòüñÿ çà äîïîìîãîþ òàêî¿ âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿: Y = F(L, K) àáî Q = F(L, K). Âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ ïîêàçóº, ÿêèé ìàêñèìàëüíèé îáñÿã âèïóñêó Y ìîæå áóòè îäåðæàíèé ïðè êîæíîìó êîíêðåòíîìó íàáîð³ âèòðà÷åíèõ ðåñóðñ³â ³ íåçì³íí³é òåõíîëî㳿. Çì³íà òåõíîëî㳿 ïðèâîäèòü äî çì³íè ñàìî¿ ôóíêö³îíàëüíî¿ çàëåæíîñò³. Ââåäåìî ïîçíà÷åííÿ: Q — îáñÿã âèïóñêó; L — ê³ëüê³ñòü ïðàö³; K — ê³ëüê³ñòü ô³çè÷íîãî êàï³òàëó; A — çì³ííà, ÿêà çàëåæèòü â³ä åôåêòèâíîñò³ âèðîáíè÷èõ òåõíîëîã³é; F() — ôóíêö³ÿ, ÿêà âèçíà÷ຠçàëåæí³ñòü îáñÿã³â âèïóñêó ïðîäóêö³¿ â³ä çíà÷åíü âèòðàò ÷èííèê³â âèðîáíèöòâà. Á³ëüø³ñòü âèðîáíè÷èõ ôóíêö³é ìຠâëàñòèâ³ñòü ïîñò³éíî¿ â³ääà÷³ â³ä ìàñøòàáó. Öå îçíà÷àº, ùî ïðè îäíî÷àñí³é çì³í³ âñ³õ ÷èííèê³â âèðîáíèöòâà íà îäíó é òó ñàìó âåëè÷èíó ôóíêö³ÿ çì³íþºòüñÿ íà òó æ ñàìó âåëè÷èíó. Ðîçãëÿíåìî âèðîáíè÷ó ôóíêö³þ äëÿ äâîõ ÷èííèê³â L òà K. Ìàòåìàòè÷íî öå îçíà÷àº, ùî äëÿ áóäü-ÿêîãî äîäàòíîãî ÷èñëà z: zQ = A F(zL, zK). ßêùî z=1,2, òî ïðè çðîñòàíí³ îáîõ ÷èííèê³â âèðîáíèöòâà íà 20 % îáñÿã âèïóñêó ïðîäóêòó òàêîæ çðîñòå íà 20 %, àáî â 1,2 ðàçà. Çàëåæíî â³ä ê³ëüêîñò³ ÷èííèê³â âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ âèçíà÷àºòüñÿ ÿê îäíî÷èííèêîâà, äâî÷èííèêîâà, áàãàòî÷èííèêîâà. Ôóíêö³îíàëüíà çàëåæí³ñòü ìîæå áóòè ïîäàíà â òàáëè÷í³é, ãðàô³÷í³é òà àíàë³òè÷í³é ôîðìàõ. 40

Best books Ageofbook.com Äëÿ íåïåðåðâíî¿ ³ äèôåðåíö³éîâàíî¿ äâî÷èííèêîâî¿ âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿ ôîðìóëà ìîæå áóòè çàïèñàíà ç âèêîðèñòàííÿì ÷àñòêîâèõ ïîõ³äíèõ ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ:

MPL =

∂F ( L, K ) ∂L

MPK =

;

∂F ( L, K ) ∂K

.

Òåõíîëîã³÷íà íîðìà çàì³ùåííÿ MRTS ïîêàçóº âèá³ð ì³æ äâîìà ÷èííèêàìè ó âèðîáíèöòâ³. Âîíà âèì³ðþº ïðîïîðö³þ, ó ÿê³é ô³ðì³ ïîòð³áíî çàì³íèòè îäèí ÷èííèê ³íøèì, ùîá çàëèøèòè âèïóñê áåç çì³í. MPK ∆L . =− MRTS ( K , L ) = ∆K MPL Âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ â³äïîâ³äຠçàêîíó ñïàäíî¿ â³ääà÷³ ÷èííèê³â âèðîáíèöòâà. Ðîçãëÿíåìî äâî÷èííèêîâó âèðîáíè÷ó ôóíêö³þ (äèâ. òàáëèöþ) çà äàíèìè òàê çâàíî¿ âèðîáíè÷î¿ ñ³òêè. Êîæíà êë³òèíà òàáëèö³ â³äîáðàæຠìàêñèìàëüíèé îáñÿã âèïóñêó, ÿêèé çàáåçïå÷óºòüñÿ â³äïîâ³äíèìè îáñÿãàìè ÷èííèê³â [1]. Ðîáî÷èé ÷àñ L, ëþäèíî-äí³â çà ì³ñÿöü

Âèòðàòè êàï³òàëó (Ê), îäèíèöü çà ì³ñÿöü 1

2

3

1

1

2

3

4 4

2

2

4

5

10

3

3

5

10

15

4

4

6

13

20

5

5

10

15

22

6

6

12

17

23

7

7

13

19

24

8

8

14

20

25

Äëÿ ïîáóäîâè äâî÷èííèêîâî¿ ôóíêö³¿ âèáèðàºìî ç òàáëèö³ ð³çí³ êîìá³íàö³¿ ðåñóðñ³â, ÿê³ çàáåçïå÷óþòü îäèí ³ òîé ñàìèé îáñÿã âèïóñêó, ³ íàíîñèìî òî÷êè ç â³äïîâ³äíèìè êîîðäèíàòàìè (L, K) íà êîîðäèíàòíó ïëîùèíó. ßêùî 璺äíàòè ö³ òî÷êè ïëàâíîþ êðèâîþ, îäåðæèìî ë³í³þ íåçì³ííîãî âèïóñêó — ³çîêâàíòó (ðèñ. 4.1). ²çîêâàíòà — êðèâà, 41

Best books Ageofbook.com

Êàï³òàë, K

Q = 15 Q = 10 Q=5 0

Ïðàöÿ, L Ðèñ. 4.1. Êàðòà ³çîêâàíò

ùî ïîêàçóº âñ³ ìîæëèâ³ êîìá³íàö³¿ ðåñóðñ³â (L, K), ÿê³ äîçâîëÿþòü îòðèìàòè ïåâíèé ô³êñîâàíèé îáñÿã âèðîáíèöòâà (Q). Àíàëîã³÷íî ìîæíà ðîçãëÿíóòè ð³çí³ âàð³àíòè äîñÿãíåííÿ îáñÿã³â âèïóñêó Q = 10, Q = 15 òà ïîáóäóâàòè â³äïîâ³äí³ ¿ì ³çîêâàíòè. Ñóêóïí³ñòü ³çîêâàíò îäí³º¿ âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿, êîæíà ç ÿêèõ â³äïîâ³äຠïåâíîìó îáñÿãó âèïóñêó ïðîäóêö³¿, íàçèâàºòüñÿ êàðòîþ ³çîêâàíò. Ôóíêö³ÿ â³äîáðàæຠçàëåæí³ñòü ì³æ îáñÿãîì âèïóñêó (Y) òà ïðàöåþ (L). Òèïîâèì ïðèêëàäîì âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿ â àíàë³òè÷í³é ôîðì³ ìîæå áóòè âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ Êîááà–Äóãëàñà: Q = aLbKc; a, b, c > 0; b, c < 1. ¯¿ ³çîêâàíòè ìàþòü âèãëÿä êðèâèõ, ÿê³ ìè ðîçãëÿíóëè âèùå. Âîíè îïóêë³ â á³ê ïî÷àòêó êîîðäèíàò ³ íå ïåðåòèíàþòü ¿õ, à íåîáìåæåíî íàáëèæàþòüñÿ äî êîîðäèíàòíèõ îñåé. Öå îçíà÷àº, ùî ÷èííèêè âèðîáíèöòâà ìîæóòü ëèøå ÷àñòêîâî çàì³íþâàòè îäèí îäíîãî, àëå ïîâíà çàì³íà º íåìîæëèâîþ, òîáòî F(0, K) = F(L, 0) = 0. Íàñòóïíèé ïðèêëàä âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿ — ôóíêö³ÿ ç ô³êñîâàíèìè ïðîïîðö³ÿìè ÷èííèê³â, ÿêà ìຠíàçâó âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿ Ëåîíòüºâà (ðèñ. 4.2): Q = min(aL, bK); a, b > 0.

42

Best books Ageofbook.com K Q3 Q2 Q1 0

L Ðèñ. 4.2. Âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ Ëåîíòüºâà

K 4 3

0

∆K

∆L 4

5

L

Ðèñ. 4.3. ˳í³éíà âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ ç ïîâíèì çàì³ùåííÿì ÷èííèê³â âèðîáíèöòâà

Òðåò³é ïðèêëàä — ë³í³éíà âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ ç ïîâíèì çàì³ùåííÿì ÷èííèê³â âèðîáíèöòâà (ðèñ. 4.3): Q = aL + bK; a, b > 0. Äëÿ âèïàäêó a = b = 1 (ðèñ. 4.3) ∆K/∆L = 1.

4.2. ÌÎÄÅ˲ ÅÊÎÍÎ̲×ÍÎÃÎ ÖÈÊËÓ Åêîíîì³÷íèé öèêë (öèêë ä³ëîâî¿ àêòèâíîñò³) — öå ïåð³îäè÷íèé ï³äéîì àáî ñïàä ðåàëüíîãî ÂÂÏ íà ôîí³ çàãàëüíî¿ òåíäåíö³¿ äî çðîñòàííÿ. Êîæåí öèêë ñòàíîâèòü ïåâíó ïîñë³äîâí³ñòü, ÿêà ñêëàäàºòüñÿ ç àëüòåðíàòèâíèõ ôàç, ùî ïîâòîðþþòüñÿ. Åêîíîì³÷íèé öèêë õàðàêòåðèçóºòüñÿ: 1) ñàìîâ³äòâîðåííÿì; 2) áåçïåðåðâí³ñòþ; 3) õâèëåïîä³áíèì õàðàêòåðîì äèíàì³êè ìàêðîåêîíîì³÷íèõ ïîêàçíèê³â. Äâîôàçîâ³ ìîäåë³ ì³ñòÿòü ó ñîá³ ôàçè ï³äíåñåííÿ ³ ñïàäó òà íàéâèùó ³ íàéíèæ÷ó òî÷êè öèêëó. Çà òðèâàë³ñòþ åêîíîì³÷í³ öèêëè ïîä³ëÿþòü íà: êîðîòê³ (ìàë³) — êîëèâàííÿ ä³ëîâî¿ àêòèâíîñò³ 3–4 ðîêè; ñåðåäí³ — êîëèâàííÿ ä³ëîâî¿ àêòèâíîñò³ 8–10 ðîê³â; âåëèê³ (äîâã³ õâèë³) — ç ïåð³îäè÷í³ñòþ 48–55 ðîê³â. 43

Best books Ageofbook.com Ìîäåëü Ñàìóåëüñîíà–Õ³êñà — öå êåéíñ³àíñüêà ìîäåëü åêîíîì³÷íîãî öèêëó. Ó ìîäåë³ Ñàìóåëüñîíà–Õ³êñà áåðóòü ó÷àñòü äâà åêîíîì³÷íèõ ñóᒺêòè: äîìîãîñïîäàðñòâà ³ ô³ðìè. Ïðèïóñêàºòüñÿ ô³êñîâàí³ñòü ð³âíÿ ö³í ³ â³äñîòêîâî¿ ñòàâêè [2]. Ñïîæèâàííÿ ïîòî÷íîãî ïåð³îäó Ct âèçíà÷àºòüñÿ äîõîäîì ïîïåðåäíüîãî ïåð³îäó Yt-1: Ct = c'Yt-1, ' äå c = MPC — ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ. Ôóíêö³ÿ ñóêóïíîãî ïîïèòó ìຠâèãëÿä: d a Yt = c'Yt-1 + It . a Öå — ñòàòè÷íà ìîäåëü öèêëó. It — àâòîíîìí³ ³íâåñòèö³¿ ô³ðì. Ïðè çðîñòàíí³ àâòîíîìíèõ ³íâåñòèö³é çà ïðèíöèïîì ìóëüòèïë³êàòîðà çðîñòຠñóêóïíèé ïîïèò ³ äîõ³ä. Ïðèð³ñò äîõîäó âèêëèêຠçì³íó ³íäóö³éîâàíèõ ³íâåñòèö³é (³íâåñòèö³¿, ÿê³ çàëåæàòü â³ä äîõîäó). Îòæå, åôåêò ìóëüòèïë³êàòîðà âèêëèêຠä³þ àêñåëåðàòîðà. Àêñåëåðàòîð — â³äíîøåííÿ ïðèðîñòó ³íäóö³éîâàíèõ ³íâåñòèö³é äî â³äíîñíîãî ïðèðîñòó äîõîäó. Ôîðìóëà àêñåëåðàòîðà: in It A= . Yt −1 − Yt − 2 Îòæå, ôóíêö³ÿ ñóêóïíîãî ïîïèòó ìîæå áóòè ïðåäñòàâëåíà òàê: d a Yt = c'Yt-1 + It + A(Yt-1 – Yt-2). Öå — äèíàì³÷íà ìîäåëü åêîíîì³÷íîãî öèêëó, àáî ìîäåëü âçàºìî䳿 ìóëüòèïë³êàòîðà òà àêñåëåðàòîðà, ó ÿê³é ñóêóïíèé ïîïèò çàëåæèòü â³ä c' òà À. Çà Õ³êñîì, ñ' òà À ìîæóòü âèêëèêàòè êîëèâàííÿ, à íå âèáóõè ïîïèòó, îñê³ëüêè ³ñíóþòü ïåâí³ îáìåæåííÿ. Íèæíº îáìåæåííÿ — âåëè÷èíà àìîðòèçàö³éíèõ â³äðàõóâàíü, âåðõíº — ð³âåíü ïîâíî¿ çàéíÿòîñò³. Ìîäåëü Êàëäîðà — êåéíñ³àíñüêà ìîäåëü åêîíîì³÷íîãî öèêëó (ðèñ. 4.4). Îñîáëèâîñò³ ìîäåë³. 1. Ôóíêö³¿ ñïîæèâàííÿ òà ³íâåñòèö³é ìàþòü íåë³í³éíèé õàðàêòåð òà îïèñóþòüñÿ ëîã³ñòè÷íèìè êðèâèìè (S-êðèâèìè). 2. гâíîâàãà åêîíîì³÷íî¿ ñèñòåìè çàëåæèòü â³ä ãðàíè÷íî¿ ñõèëüíîñò³ äî çàîùàäæåííÿ òà ãðàíè÷íî¿ ñõèëüíîñò³ äî ³íâåñòóâàííÿ. Ö³ âåëè÷èíè âèçíà÷àþòü íàõèë ë³í³é çàîùàäæåííÿ òà ³íâåñòèö³é. ßêùî ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ³íâåñòóâàííÿ á³ëüøà çà ãðàíè÷íó ñõèëüí³ñòü äî çàîùàäæåííÿ, òî åêîíîì³êà ïåðåáóâຠó íåñò³éê³é ð³âíîâàç³. ßêùî 44

Best books Ageofbook.com ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ³íâåñòóâàííÿ ìåíøà çà ãðàíè÷íó ñõèëüí³ñòü äî çàîùàäæåííÿ, òî åêîíîì³êà ïåðåáóâຠó ñò³éê³é ð³âíîâàç³. 3. Çà Êàëäîðîì, îáñÿã ³íâåñòèö³é òà çàîùàäæåíü çì³íþºòüñÿ çàëåæíî â³ä ôàçè åêîíîì³÷íîãî öèêëó [6]. I

Ôóíêö³ÿ ³íâåñòèö³é

I

II

III

Y

Ðèñ. 4.4. Çì³íà ôóíêö³¿ ³íâåñòèö³é â³ä çì³íè äîõîäó

Ðîçãëÿíåìî ÷îòèðèôàçîâó ìîäåëü åêîíîì³÷íîãî öèêëó, ÿêà ñêëàäàºòüñÿ ç òàêèõ ôàç: ñïàä, äåïðåñ³ÿ, ïîæâàâëåííÿ, ï³äíåñåííÿ.  óìîâàõ ñïàäó òà äåïðåñ³¿ ñïîñòåð³ãàºòüñÿ íåçíà÷íèé ð³âåíü áåçðîá³òòÿ ³ íåäîâàíòàæåííÿ âèðîáíè÷èõ ïîòóæíîñòåé. Äëÿ çá³ëüøåííÿ äîõîäó ³íâåñòèö³¿ íå ïîòð³áí³, îñê³ëüêè ïðè çðîñòàíí³ çàéíÿòîñò³ çðîñòå çàâàíòàæåííÿ âèðîáíè÷èõ ïîòóæíîñòåé. ˳í³ÿ ³íâåñòèö³é ó öüîìó âèïàäêó º ïîëîãîþ (I).  óìîâàõ ïîæâàâëåííÿ ³ñíóþòü âèñîêà çàéíÿò³ñòü ³ ïîâíå çàâàíòàæåííÿ âèðîáíè÷èõ ïîòóæíîñòåé. Òîìó äëÿ çá³ëüøåííÿ âèðîáíèöòâà ³ äîõîäó ïîòð³áí³ ³íâåñòèö³¿. Åëàñòè÷í³ñòü ³íâåñòèö³é çà äîõîäîì á³ëüøà çà îäèíèöþ ó çâ’ÿçêó ³ç çðîñòàííÿì ðåàëüíîãî êàï³òàëó. ˳í³ÿ ³íâåñòèö³é íàáóâຠêðóòèçíè (II).  óìîâàõ ï³äíåñåííÿ (íàäëèøêîâî¿ çàéíÿòîñò³ òà âèñîêîãî äîõîäó àáî ³íôëÿö³éíîãî ðîçðèâó) ³íâåñòèö³¿ âòðà÷àþòü åëàñòè÷í³ñòü çà äîõîäîì. ¯õ óïðîâàäæåííÿ ïîâ’ÿçàíå ç³ çíà÷íèìè âòðàòàìè òà ðèçèêîì (III). Ôóíêö³ÿ çàîùàäæåíü

I

I II III

Y

Ðèñ. 4.5. Çì³íà ôóíêö³¿ çàîùàäæåíü â³ä çì³íè äîõîäó

45

Best books Ageofbook.com Ïðè ñïàä³ òà äåïðåñ³¿ ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî çàîùàäæåíü º âèñîêîþ, îñê³ëüêè ëþäè ïðàãíóòü á³ëüøå çàîùàäèòè “íà ÷îðíèé äåíü”. ˳í³ÿ çàîùàäæåíü º êðóòîþ (I). Ïðè ïîæâàâëåíí³ ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî çàîùàäæåíü çìåíøóºòüñÿ, à ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ çðîñòàº. ˳í³ÿ çàîùàäæåíü º ïîëîãîþ (II). Ïðè ï³äíåñåíí³ ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî çàîùàäæåíü çðîñòàº. ˳í³ÿ çàîùàäæåíü º êðóòîþ (äèâ. ðèñ. 4.5). Îᒺäíàºìî ãðàô³êè ôóíêö³é ³íâåñòèö³é ³ çàîùàäæåíü. I, S

C

S I

B A

I II III

Y

Ðèñ. 4.6. гâíîâàãà ó ìîäåë³ Êàëäîðà

гâíîâàãà íà ðèíêó áëàã âñòàíîâëþºòüñÿ çà óìîâè I(Y, t) = S(Y, t) (ðèñ. 4.6). Ó ìîäåë³ Êàëäîðà òàêà ñòàòè÷íà ð³âíîâàãà ìîæå áóòè äîñÿãíóòà ÿê êîðîòêîñòðîêîâà. Ïðîòÿãîì îäíîãî öèêëó çíà÷åííÿ îáñÿã³â çàîùàäæåíü òà ³íâåñòèö³é ìîæå çá³ãàòèñÿ ò³ëüêè òðè÷³ (òî÷êè À, Â, Ñ). Ó òî÷êàõ À òà Ñ MPS > MPI ⇒ ð³âíîâàãà ñò³éêà, îñê³ëüêè â³äõèëåííÿ â³ä À òà Ñ ïðàâîðó÷ âèêëèêຠòîâàðíèé íàäëèøîê (S>I) ³ ñïðèÿº çìåíøåííþ îáñÿãó âèðîáíèöòâà. ³äõèëåííÿ ë³âîðó÷ âèêëèêຠòîâàðíèé äåô³öèò ³ ñïðèÿº çðîñòàííþ âèðîáíèöòâà. Ó òî÷ö³ Â: MPI > MPS ⇒ ð³âíîâàãà íåñò³éêà, îñê³ëüêè áóäü-ÿêå âèïàäêîâå â³äõèëåííÿ â³ä òî÷êè  ë³âîðó÷ ïðèçâîäèòü äî òîâàðíîãî íàäëèøêó (S > I). À öå áóäå âèêëèêàòè ïîäàëüøèé ñïàä âèðîáíèöòâà. ³äõèëåííÿ â³ä òî÷êè  ïðàâîðó÷ óòâîðþº òîâàðíèé äåô³öèò (I > S), ùî âèêëèêຠïîäàëüøå çðîñòàííÿ âèðîáíèöòâà. Ó òî÷êàõ À òà Ñ ð³âíîâàãà êîðîòêîñòðîêîâà. Âîíà ïîðóøóºòüñÿ âíàñë³äîê çì³íè ñõèëüíîñò³ ï³äïðèºìö³â äî ³íâåñòóâàííÿ.  óìîâàõ ñïàäó òà äåïðåñ³¿ ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ³íâåñòóâàííÿ º ìàëîþ: Ic < 0, I – A < 0, I < A (ðèñ. 4.7 à, á). Äåô³öèò ä³þ÷îãî êàï³òàëó âèêëèêຠçðîñòàííÿ ãðàíè÷íî¿ ñõèëüíîñò³ äî ³íâåñòóâàííÿ, ïîïèò íà ³íâåñòèö³¿ çðîñòàº, ³ ãðàô³ê I(Y, t) çì³ùóºòüñÿ äîãîðè. 46

Best books Ageofbook.com S C

I, S B

I, S

I A

Y

Y

Y

à

â

á S

I, S B A

I

C

B A

A

ã

B, C

I, S

B, C

I, S

I, S

C

C

B A

Y

Y ´

A

Y

ä

Ðèñ. 4.7. Ìîäåëü Êàëäîðà

 óìîâàõ ï³äíåñåííÿ ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ³íâåñòóâàííÿ º âåëèêîþ: Ic > 0, I – A > 0, I > A (ðèñ. 4.7, â). Îáñÿã êàï³òàëó ïåðåâèùóº ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìèé, ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ³íâåñòóâàííÿ ñïàäàº, ïîïèò íà ³íâåñòèö³¿ çìåíøóºòüñÿ ³ ãðàô³ê I(Y, t) çì³ùóºòüñÿ äîíèçó, ïîêè íå ïî÷èíàºòüñÿ êðèçà (ðèñ. 4.7, ã, ´). Îòæå, çà åêîíîì³÷íîãî öèêëó ñïîñòåð³ãàºòüñÿ ïî÷åðãîâà çì³íà ñò³éêî¿ òà íåñò³éêî¿ ð³âíîâàãè.

4.3. ÌÎÄÅ˲ ÅÊÎÍÎ̲×ÍÎÃÎ ÇÐÎÑÒÀÍÍß Êåéíñ³àíñüêà ìîäåëü åêîíîì³÷íîãî çðîñòàííÿ Äîìàðà áóëà çàïðîïîíîâàíà íàïðèê³íö³ 40-õ ðîê³â ÕÕ ñò. Âîíà âèçíà÷ຠðîëü ³íâåñòèö³é ó çá³ëüøåíí³ ñóêóïíîãî ïîïèòó òà ó çá³ëüøåíí³ âèðîáíè÷èõ ïîòóæíîñòåé ñóêóïíî¿ ïðîïîçèö³¿ â ÷àñ³. ª. Äîìàð äîñë³äæóâàâ ïðîáëåìó ïîâíî¿ çàéíÿòîñò³ â äîâãîñòðîêîâîìó ïåð³îä³ òà íåîáõ³äí³ñòü âðàõóâàííÿ îáîõ ñêëàäîâèõ ³íâåñòèö³é — ìóëüòèïë³êàòîðà òà àêñåëåðàòîðà. Îñíîâí³ ïðèïóùåííÿ ìîäåë³. 1. Òåõíîëîã³ÿ âèðîáíèöòâà ïîäàºòüñÿ ó âèãëÿä³ âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿ Ëåîíòüºâà. 2. Íåãíó÷ê³ñòü ö³í âèêëèêຠíà ðèíêó ïðàö³ íàäëèøêîâó ïðîïîçèö³þ. 47

Best books Ageofbook.com 3. Âèáóòòÿ êàï³òàëó â³äñóòíº. 4. Íîðìà çàîùàäæåííÿ º âåëè÷èíîþ ïîñò³éíîþ. 5. Âèïóñê çàëåæèòü â³ä ºäèíîãî ðåñóðñó — êàï³òàëó. 6. Ðèíîê áëàã çáàëàíñîâàíèé. 7. ²íâåñòèö³éíèé ëàã äîð³âíþº íóëþ. Ïðèïóñò³ìî, ùî ñóêóïíèé ïîïèò çðîñòຠâ ðåçóëüòàò³ ³íâåñòèö³éíèõ âèòðàò. Òîä³ ïðèð³ñò äîõîäó íàáóäå òàêîãî çíà÷åííÿ: ∆Y = ∆I/s', ' äå S = MPS — ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî çàîùàäæåííÿ. Çà ìîäåëëþ Äîìàðà, ó êîðîòêîñòðîêîâîìó ïåð³îä³ çðîñòàííÿ ³íâåñòèö³é íå ïðèçâîäèòü äî çðîñòàííÿ âèðîáíè÷èõ ïîòóæíîñòåé. Öå òðàïëÿºòüñÿ ó äîâãîñòðîêîâîìó ïåð³îä³. Ó ìîäåë³ âèçíà÷àºòüñÿ íåîáõ³äíèé òåìï çðîñòàííÿ ³íâåñòèö³é äëÿ òîãî, ùîá âèêîíóâàëàñü òîòîæí³ñòü ì³æ òåìïîì ïðèðîñòó âèðîáíè÷èõ ïîòóæíîñòåé ³ òåìïîì ïðèðîñòó äîõîäó. ³í çàäàºòüñÿ òàêèì ð³âíÿííÿì: ∆I/I = MPS·Q, äå Q — êàï³òàëîºìí³ñòü, â³äíîøåííÿ ïðèðîñòó ³íâåñòèö³é äî ïðèðîñòó âèïóñêó ïðîäóêö³¿. ˳âîðó÷ ó ð³âíÿíí³ — ð³÷íèé òåìï çðîñòàííÿ ³íâåñòèö³é, ÿêèé ïîâèíåí çá³ëüøóâàòèñü ç ð³÷íèì òåìïîì s'Q äëÿ çàáåçïå÷åííÿ ïîâíî¿ çàéíÿòîñò³ øëÿõîì çðîñòàííÿ âèðîáíè÷èõ ïîòóæíîñòåé. Êåéíñ³àíñüêà ìîäåëü åêîíîì³÷íîãî çðîñòàííÿ Õàððîäà ðîçðîáëåíà 1939 ð. Âîíà äîñë³äæóº ïðîáëåìè çáàëàíñîâàíîãî çðîñòàííÿ íà îñíîâ³ ïðèíöèïó àêñåëåðàòîðà òà î÷³êóâàíü ï³äïðèºìö³â. Îñíîâí³ óìîâè ìîäåë³. 1. Òîòîæí³ñòü çàîùàäæåíü òà ³íâåñòèö³é: St = It, äå t — ïåð³îä ÷àñó. 2. Çàîùàäæåííÿ çàëåæàòü â³ä íàö³îíàëüíîãî äîõîäó òîãî æ ñàìîãî ïåð³îäó: St = sYt, äå s — ñõèëüí³ñòü äî çàîùàäæåííÿ. 3. ²íâåñòèö³¿ çàëåæàòü â³ä øâèäêîñò³ çì³íè äîõîäó â³ä îäíîãî ïåð³îäó äî íàñòóïíîãî ïåð³îäó: It = a(Yt – Yt-1), äå Yt — äîõ³ä ó ïîòî÷íîìó ïåð³îä³; Yt-1 — äîõ³ä ó ìèíóëîìó ïåð³îä³; a — àêñåëåðàòîð. 4. Óìîâà ð³âíîâàãè: ∆Yt/Yt = s/a, äå ∆Y = Yt – Yt-1. Ó ë³â³é ÷àñòèí³ ð³âíÿííÿ — â³äñîòêîâà çì³íà äîõîäó. Ó ïðàâ³é — â³äíîøåííÿ âåëè÷èíè s (ãðàíè÷íî¿ ñõèëüíîñò³ äî çàîùàäæåííÿ) äî àêñåëåðàòîðà. Øâèäê³ñòü çì³íè äîõîäó íàçèâàºòüñÿ ãàðàíòîâàíèì òåìïîì çðîñòàííÿ (äëÿ ï³äïðèºìö³â). Ôàêòè÷íèé òåìï çðîñòàííÿ âèçíà÷àºòüñÿ â ìîäåë³ ñóìîþ òåìïó çðîñòàííÿ ðîáî÷î¿ ñèëè ³ òåìïó çðîñòàííÿ ïðîäóêòèâíîñò³ ïðàö³. Ïðèðîäíèé òåìï çðîñòàííÿ — öå ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìèé òåìï çðîñòàííÿ íàñåëåííÿ òà òåõí³÷íîãî ïðîãðåñó. 48

Best books Ageofbook.com ßêùî ïðèðîäíèé òåìï çðîñòàííÿ ïåðåâèùóº ãàðàíòîâàíèé, åêîíîì³êà â³äõèëÿºòüñÿ â³ä ãàðàíòîâàíîãî òåìïó çðîñòàííÿ ³ ñïîñòåð³ãàºòüñÿ äîâãîñòðîêîâå ï³äíåñåííÿ åêîíîì³êè. ßêùî ãàðàíòîâàíèé òåìï çðîñòàííÿ ïåðåâèùóº ïðèðîäíèé, ñïîñòåð³ãàºòüñÿ äîâãîñòðîêîâà ñòàãíàö³ÿ åêîíîì³êè. Åêîíîì³êà íàáóâຠñò³éêîãî ðîçâèòêó ëèøå çà óìîâè ð³âíîñò³ ôàêòè÷íîãî, ãàðàíòîâàíîãî òà ïðèðîäíîãî òåìï³â çðîñòàííÿ. Îñê³ëüêè òàêîãî ñòàíó â åêîíîì³ö³ äîñÿãòè ïðàêòè÷íî íåìîæëèâî, äèíàì³÷íà ð³âíîâàãà â óìîâàõ åêîíîì³÷íîãî çðîñòàííÿ º íåñò³éêîþ. Îòæå, çà êåéíñ³àíñüêîþ òåîð³ºþ â åêîíîì³êó ïîâèííà âòðó÷àòèñü äåðæàâà. Ìîäåëü Õàððîäà–Äîìàðà íàëåæèòü äî ìàêðîåêîíîì³÷íèõ ìîäåëåé åêîíîì³÷íîãî çðîñòàííÿ ³ º ¿õ óçàãàëüíåííÿì. Ðîçãëÿíåìî ìîäåëü ç íåïåðåðâíèì ÷àñîì, ÿêà îïèñóº äèíàì³êó äîõîäó Y(t) [3]. Äîõ³ä ðîçãëÿäàºòüñÿ ÿê ñóìà ñïîæèâàííÿ òà ³íâåñòèö³é: Y(t) = C(t) + I(t). Åêîíîì³êà ââàæàºòüñÿ çàêðèòîþ, îòæå, ÷èñòèé åêñïîðò äîð³âíþº íóëþ. Äåðæàâà íå âòðó÷àºòüñÿ â åêîíîì³êó. Îñíîâí³ óìîâè ìîäåë³. 1. Øâèäê³ñòü çðîñòàííÿ äîõîäó ïðîïîðö³éíà ³íâåñòèö³ÿì: I(t) = BdY/dt, äå B — êîåô³ö³ºíò êàï³òàëîì³ñòêîñò³ ïðèðîñòó äîõîäó. 1/B — ïðèð³ñíà êàï³òàëîâ³ääà÷à. 2. ²íâåñòèö³éíèé ëàã äîð³âíþº íóëþ. ²íâåñòèö³¿ ìèòòºâî ïåðåõîäÿòü ó ïðèð³ñò êàï³òàëó, òîáòî ∆K(t) = I(t), äå ∆K(t) — íåïåðåðâíà ôóíêö³ÿ ïðèðîñòó êàï³òàëó â ÷àñ³. 3. Âèáóòòÿ êàï³òàëó íåìàº. 4. Âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ â ìîäåë³ º ë³í³éíîþ. 5. Âèïóñê íå çàëåæèòü â³ä âèòðàò ïðàö³, îñê³ëüêè ïðàöÿ íå º äåô³öèòíèì ðåñóðñîì. 6. Ìîäåëü íå âðàõîâóº òåõí³÷íîãî ïðîãðåñó. Ìîäåëü ïðèçíà÷åíà äëÿ âèâ÷åííÿ âçàºìîçâ’ÿçêó äèíàì³êè ³íâåñòèö³é ³ çðîñòàííÿ âèïóñêó. Äëÿ ïðîãíîçóâàííÿ âåëè÷èíè ñóêóïíîãî âèïóñêó ¿¿ íå çàñòîñîâóþòü. Ïîêàçíèê îáñÿãó ñïîæèâàííÿ C(t) ìîæå áóòè ïîñò³éíèì ó ÷àñ³, çðîñòàòè ³ç çàäàíèì ïîñò³éíèì òåìïîì àáî ìàòè áóäü-ÿêó ³íøó äèíàì³êó. Ïðèïóñò³ìî, ùî C(t) = C, àáî º âåëè÷èíîþ, ùî ïîñò³éíà ó ÷àñ³. ϳäñòàâèâøè â ð³âíÿííÿ äîõîäó âåëè÷èíó Ñ, îäåðæèìî íåîäíîð³äíå ë³í³éíå äèôåðåíö³éíå ð³âíÿííÿ: Y(t) = BY(t) + C. 49

Best books Ageofbook.com Éîãî ÷àñòêîâèì ðîçâ’ÿçàííÿì º Y(t) = C. Äîäàìî öå ðîçâ’ÿçàííÿ äî çàãàëüíîãî ðîçâ’ÿçàííÿ îäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ Y(t) = A e òà îäåðæèìî éîãî çàãàëüíå ðîçâ’ÿçàííÿ: Y(t) = Ae + C. ϳäñòàâèìî t = 0, îäåðæèìî A = Y(0) – C = I(0) òà Y(t) = (Y(0) – C) e + C. Íåïåðåðâíèé òåìï ïðèðîñòó äîõîäó â öüîìó ðîçâ’ÿçàíí³ äîð³âíþº:  1     B  t

 1     B t

 1     B 

t

y (t ) =

³í ñêëàäàº

1

C  1− . B  Y (t ) 

1  C (0)  ⋅ 1− B  Y (0) 

ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó (ïðè t = 0) ³, çðîñòàþ÷è, çá³ãຠäî 1/B ïðè t → ∞. Öå îçíà÷àº, ùî äîõ³ä çðîñòàº, à ïîñò³éíèé îáñÿã ñïîæèâàííÿ ñòàíîâèòü âñå ìåíøó éîãî äîëþ. Âåëè÷èíà ó äóæêàõ α(t) = [1 – C/Y(t)] º íîðìîþ íàãðîìàäæåííÿ ó ìîìåíò ÷àñó t, ³ òåìï ïðèðîñòó äîõîäó âèÿâëÿºòüñÿ ïðîïîðö³éíèì ö³é âåëè÷èí³, òàê ñàìî ÿê ïîêàçíèêó ïðèð³ñòíî¿ êàï³òàëîâ³ääà÷³ 1/B. Îòæå, çðîñòàííÿ íîðìè íàãðîìàäæåííÿ ïðîïîðö³éíî çá³ëüøóº òåìïè ïðèðîñòó äîõîäó. Îäíàê öå çíèæóº ð³âåíü ïîòî÷íîãî ñïîæèâàííÿ. Äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ïðîáëåìè óçãîäæåííÿ êîíêóðåíòíèõ ö³ëåé çá³ëüøåííÿ òåìï³â çðîñòàííÿ òà ð³âíÿ ïîòî÷íîãî äîáðîáóòó ó ìîäåëü çàçâè÷àé âêëþ÷àþòü åëåìåíòè îïòèì³çàö³¿. Ðîçãëÿíåìî âàð³àíò ìîäåë³, ó ÿê³é ñïîæèâàííÿ çðîñòຠç ïîñò³éíèì òåìïîì r. Ñ(t) = Ñ(0) ert . Äèôåðåíö³éíå ð³âíÿííÿ ö³º¿ ìîäåë³ ìຠâèãëÿä: Y(t) = B Y(t) + C(0) ert. Ðîçâ’ÿçàííÿ öüîãî ð³âíÿííÿ º òàêèì:

C (0)  B  Y (t ) = Y (0) − e  1 − Br  1

+

 C (0)  rt 1 − Br  e .

Âèñíîâîê ç ìîäåë³ º òàêèì. Òåìï ïðèðîñòó ñïîæèâàííÿ r íå ïîâèíåí áóòè á³ëüøèì çà ìàêñèìàëüíî ìîæëèâèé çàãàëüíèé òåìï ïðèðîñòó 1/B, îñê³ëüêè ç ÷àñîì ñïîæèâàííÿ ìîæå ïåðåâèùèòè äîõ³ä. Äëÿ âèáîðó çíà÷åííÿ r ïîòð³áíî òàêîæ áðàòè äî óâàãè ïåðåâàãè îñ³á, ÿê³ ïðèéìàþòü ð³øåííÿ. 50

Best books Ageofbook.com Íåîêëàñè÷íà ìîäåëü åêîíîì³÷íîãî çðîñòàííÿ Ð. Ñîëîó. Ìîäåëü áóëà âïåðøå íàâåäåíà ó ïðàö³ Ðîáåðòà Ñîëîó “Âíåñîê äî òåî𳿠åêîíîì³÷íîãî çðîñòàííÿ” (1956). Çà ðîçðîáêó òåî𳿠åêîíîì³÷íîãî çðîñòàííÿ Ð. Ñîëîó â 1987 ð. áóëî ïðèñóäæåíî Íîáåë³âñüêó ïðåì³þ. Ìîäåëü çðîñòàííÿ Ñîëîó º ñêëàäíîþ òåîðåòè÷íîþ ìîäåëëþ. Íàä ¿¿ ðîçðîáêîþ àâòîð ïðàöþâàâ äåñÿòèë³òòÿ. Ìîäåëü ïîêàçóº, ÿê çàîùàäæåííÿ, çì³íà ÷èñåëüíîñò³ íàñåëåííÿ ³ òåõí³÷íèé ïðîãðåñ âïëèâàþòü íà åêîíîì³÷íå çðîñòàííÿ. Îñíîâí³ ïåðåäóìîâè ìîäåë³. 1. Âðàõîâàíî âïëèâ òðüîõ ÷èííèê³â: çàïàñó êàï³òàëó, çðîñòàííÿ íàñåëåííÿ òà òåõí³÷íîãî ïðîãðåñó. 2. Âèçíà÷åíî ÷èííèêè çðîñòàííÿ, ÿê³ ìàþòü êîðîòêîñòðîêîâèé âïëèâ (çàïàñ êàï³òàëó òà çðîñòàííÿ ÷èñåëüíîñò³ íàñåëåííÿ) ³ äîâãîñòðîêîâèé (òåõí³÷íèé ïðîãðåñ). 3. Âèçíà÷àëüíó ðîëü â³ä³ãðàþòü çàîùàäæåííÿ. 4. ʳíöåâèì ðåçóëüòàòîì º çðîñòàííÿ ïðîäóêòèâíîñò³ ïðàö³ y = Y/L, äå Y — îáñÿã âèïóñêó; L — ê³ëüê³ñòü ïðàö³; y — ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³. Çíà÷åííÿ y — ïðîäóêòèâíîñò³ ïðàö³ — ìîæíà îäåðæàòè ïåðåòâîðåííÿì âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿: Y = F(K, L); Y/L = F(K/L,1); y = f(k), äå Ê — ê³ëüê³ñòü ô³çè÷íîãî êàï³òàëó. 5. Çàîùàäæåííÿ äîð³âíþþòü ³íâåñòèö³ÿì: S = I. Ïðîïîçèö³ÿ âàëîâîãî ïðîäóêòó â ìîäåë³ Ñîëîó ôîðìàë³çóºòüñÿ ó âèãëÿä³ âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿: Y = F(K, L). Ïîïèò çàäàºòüñÿ ÷åðåç õàðàêòåðèñòèêè ñïîæèâàííÿ (c) òà ³íâåñòèö³é (i) ó ðîçðàõóíêó íà îäèíèöþ ïðàö³: y = c + i, äå c = C/L, à i = I/L. Îñê³ëüêè ñïîæèâàííÿ º ïðîïîðö³éíèì äî äîõîäó ³ çàëåæèòü â³ä íîðìè çàîùàäæåíü (s), òî: c=(1 – s) y, y=(1 – s) y + i. Çâ³äêè i = s y , i = s f(k).  óìîâàõ ð³âíîâàãè ³íâåñòèö³¿ äîð³âíþþòü çàîùàäæåííÿì ³ º ïðîïîðö³éíèìè äî äîõîäó. ϳñëÿ ïåðåòâîðåíü îäåðæóºìî ñóêóïí³ñòü ð³âíÿíü, ÿê³ âèðàæàþòü äîõ³ä, ñïîæèâàííÿ, ³íâåñòèö³¿ â ðîçðàõóíêó íà îäíîãî ïðàö³âíèêà ÿê ôóíêö³þ â³ä êàï³òàëîîçáðîºíîñò³ ïðàö³ (äèâ. ðèñ. 4.8): y = f(k), i = s f(k), c = f(k) – s f(k). Çàïàñ êàï³òàëó çàëåæèòü â³ä îáñÿãó ³íâåñòèö³é òà âèáóòòÿ êàï³òàëó (ð³âíÿ éîãî àìîðòèçàö³¿). ¯õ ñï³ââ³äíîøåííÿ âèçíà÷ຠçðîñòàííÿ êàï³òàëó. 51

Best books Ageofbook.com

y, i

y = f(k) i = sf(k)

y

c

i y

i

0

k

Ðèñ. 4.8. Âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ òà ôóíêö³ÿ ³íâåñòèö³é

Âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ º íåë³í³éíîþ ³ õàðàêòåðèçóºòüñÿ ñïàäíîþ ãðàíè÷íîþ ïðîäóêòèâí³ñòþ ïðàö³. Íîðìà çàîùàäæåíü s º ïîñò³éíîþ, ³ çàîùàäæåííÿ äîð³âíþþòü ³íâåñòèö³ÿì. ×èì á³ëüøèì º çàïàñ ³ñíóþ÷îãî êàï³òàëó, òèì á³ëüøå áóäå éîãî âèáóòòÿ. Ôóíêö³ÿ âèáóòòÿ º ë³í³éíîþ. σk, i

σk

i = sf(k)

0

k*

k

Ðèñ. 4.9. Ñò³éêèé ð³âåíü êàï³òàëîîçáðîºííÿ ïðàö³

Çà ñò³éêîãî ð³âíÿ êàï³òàëîîçáðîºííÿ ïðàö³ k* äîñÿãàºòüñÿ ð³âí³ñòü ì³æ âåëè÷èíîþ ³íâåñòèö³é òà àìîðòèçàö³¿. Çà áóäü-ÿêîãî ð³âíÿ êàï³òàëîîçáðîºííÿ åêîíîì³êà çá³ãຠäî òî÷êè ð³âíîâàãè k* (ðèñ. 4.9). Ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ³íâåñòèö³ÿìè (âàëîâèìè) òà àìîðòèçàö³ºþ º ïîêàçíèêîì ñòàíó åêîíîì³êè êðà¿íè (ðèñ. 4.10). 52

Best books Ageofbook.com

σk, i

σk i = sf(k)

0

k1

k*

k2

k

Ðèñ. 4.10. Çðîñòàþ÷à, ñòàòè÷íà òà ñòàãíó÷à åêîíîì³êà

Òî÷êà k1 îçíà÷àº, ùî êàï³òàëó ³íâåñòóºòüñÿ á³ëüøå, í³æ âèðîáëÿºòüñÿ. гâåíü ³íâåñòèö³é ïåðåâèùóº ð³âåíü âèáóòòÿ êàï³òàëó. Öå îçíà÷àº, ùî â åêîíîì³ö³ íàêîïè÷óþòüñÿ çàïàñè êàï³òàëó. Çà ð³ê ñïîæèâàºòüñÿ ìåíøå êàï³òàëó, í³æ âèðîáëÿºòüñÿ, åêîíîì³êà çðîñòàþ÷à. Òî÷êà k* îçíà÷ຠñò³éêèé ñòàí, àáî ð³âí³ñòü ì³æ ð³âíåì ³íâåñòèö³é ³ ð³âíåì âèáóòòÿ êàï³òàëó (³íâåñòèö³ÿìè). Åêîíîì³êà º ñòàòè÷íîþ àáî çàñò³éíîþ. Òî÷êà k2 îçíà÷àº, ùî êàï³òàëó ³íâåñòóºòüñÿ ìåíøå, í³æ âèðîáëÿºòüñÿ. гâåíü âèáóòòÿ êàï³òàëó ïåðåâèùóº ð³âåíü ³íâåñòèö³é. Öå îçíà÷àº, ùî â åêîíîì³ö³ çìåíøóþòüñÿ çàïàñè êàï³òàëó. Çà ð³ê ñïîæèâàºòüñÿ á³ëüøå êàï³òàëó, í³æ âèðîáëÿºòüñÿ, åêîíîì³êà ñïàäíà (ñòàãíó÷à). Îòæå, çðîñòàííÿ êàï³òàëîîçáðîºííÿ º ÷èííèêîì åêîíîì³÷íîãî çðîñòàííÿ ëèøå çà óìîâè, ùî êàï³òàëîîçáðîºííÿ ïðàö³ íå äîñÿãëî ñò³éêîãî ñòàíó, òîáòî k1 < k*. Íà ãðàô³êó öå óñ³ òî÷êè ë³âîðó÷ â³ä k*. Çíàéäåìî ïðèð³ñò k, òîáòî ò³ óìîâè, çà ÿêèõ ³íâåñòèö³¿ ïåðåâèùóþòü âèáóòòÿ (àìîðòèçàö³þ) êàï³òàëó: ∆k = s f(k*) – k*. * Îñê³ëüêè â òî÷ö³ k ïðèðîñòó êàï³òàëó íåìàº, òî ∆k = 0. Çâ³äñè: s f(k*) – σk* = 0, àáî s f(k*) = σk*. Ïîä³ëèìî îáèäâ³ ÷àñòèíè ð³âíÿííÿ íà σf(k*), îäåðæèìî:

s

k

*

= * . σ f (k ) 1 Ïðèêëàä. Âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ ìຠâèãëÿä: y = f(k) = k 3 , íîðìà çàîùàäæåííÿ s = 0,25, íîðìà àìîðòèçàö³¿ σ = 0,15. Îá÷èñë³òü ñò³éêèé ð³âåíü êàï³òàëîîçáðîºííÿ. 53

Best books Ageofbook.com

f ( k ) = (0, 25) /(0,15) = *

0, 25 0,15

=

k 1

k = ( 1, 66)

;

3

.

3

k Çðîñòàííÿ íîðìè çàîùàäæåíü º äæåðåëîì åêîíîì³÷íîãî çðîñòàííÿ. Àëå çá³ëüøåííÿ íîðìè çàîùàäæåíü ñóïðîâîäæóºòüñÿ ñêîðî÷åííÿì íîðìè ñïîæèâàííÿ. Öÿ ñóïåðå÷í³ñòü ó ìåæàõ ìîäåë³ Ñîëîó ðîçâ’ÿçóºòüñÿ òàê. “Çîëîòå ïðàâèëî” íàãðîìàäæåííÿ ÿê êðèòåð³é ìàêñèì³çàö³¿ ð³âíÿ ñïîæèâàííÿ. Êðèòåð³ºì ïðè âèáîð³ íîðìè çàîùàäæåííÿ º ìàêñèì³çàö³ÿ äîáðîáóòó ñóñï³ëüñòâà, òîáòî ÿêíàéá³ëüøå ñïîæèâàííÿ. Çà “çîëîòèì ïðàâèëîì”, íîðìà çàîùàäæåíü, çà ÿêî¿ ôîðìóºòüñÿ ñò³éêå êàï³òàëîîçáðîºííÿ, ïîâèííà âðàõîâóâàòè ìàêñèìóì ñïîæèâàííÿ. Çà “çîëîòèì ïðàâèëîì”, ãðàíè÷íà ïðîäóêòèâí³ñòü êàï³òàëó äîð³âíþº íîðì³ éîãî âèáóòòÿ: MPK = σ. Ïðèêëàä. Âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ ìຠâèãëÿä y = k , σ = 0,24. Ðîçðàõóâàòè ð³âåíü êàï³òàëîîçáðîºíîñò³, ÿêèé â³äïîâ³äàòèìå “çîëîòîìó ïðàâèëó”. '

'

MPK = y = ( k ) = 1 k

= 2 ⋅ 0, 24;

k=

1 2 1

k

0, 48

−

1 2

;

⇒ k ≈ (2, 083) . 2

Ó ìîäåë³ Ñîëîó äîâåäåíî, ùî çðîñòàííÿ íàñåëåííÿ 䳺 íà êàï³òàëîîçáðîºííÿ òàê ñàìî, ÿê ³ âèáóòòÿ êàï³òàëó. ²íâåñòèö³¿ çá³ëüøóþòü çàïàñ êàï³òàëó ³ êàï³òàëîîçáðîºí³ñòü ïðàö³, à çíîøóâàííÿ êàï³òàëó ³ çðîñòàííÿ ê³ëüêîñò³ ïðàöþþ÷èõ ¿¿ çìåíøóþòü. Ðîçãëÿíåìî ð³âíÿííÿ âèçíà÷åííÿ ñò³éêîãî ð³âíÿ êàï³òàëîîçáðîºííÿ ç óðàõóâàííÿì çðîñòàííÿ íàñåëåííÿ ³ òåõí³÷íîãî ïðîãðåñó: ∆k = i – σk – nk = sf(k) – (σ + n)k, äå n — ïðèð³ñò íàñåëåííÿ. Ïîêàçíèê (σ + n)k íàçèâàþòü êðèòè÷íîþ âåëè÷èíîþ ³íâåñòèö³é (break-even investment). Öÿ âåëè÷èíà ïîêàçóº, íà ñê³ëüêè íåîáõ³äíî çá³ëüøèòè âåëè÷èíó êàï³òàëó, ùîá éîãî çàïàñ, ÿêèé ïðèïàäຠíà îäíîãî ïðàöþþ÷îãî ç óðàõóâàííÿì âèáóòòÿ êàï³òàëó òà çðîñòàííÿ ê³ëüêîñò³ ïðàöþþ÷èõ, çàëèøèâñÿ íåçì³ííèì. гâíÿííÿ âèçíà÷åííÿ ñò³éêîãî ð³âíÿ êàï³òàëîîçáðîºííÿ íàáóâຠâèãëÿäó: s k = . f (k ) σ +n+ g 54

Best books Ageofbook.com Çðîñòàííÿ íàñåëåííÿ íåîäíîçíà÷íî âïëèâຠíà åêîíîì³÷íå çðîñòàííÿ. Ó ìåæàõ ñò³éêîãî ñòàíó åêîíîì³êè âèïóñê ïðîäóêö³¿ íà îäíîãî ïðàö³âíèêà çàëèøàºòüñÿ íåçì³ííèì, îñê³ëüêè íåçì³ííèì º êàï³òàëîîçáðîºííÿ ïðàö³. Îäíàê çàãàëüíèé ïðîäóêò ìîæå çðîñòàòè çà ðàõóíîê çá³ëüøåííÿ ê³ëüêîñò³ ïðàö³âíèê³â. Çðîñòàííÿ íàñåëåííÿ ìîæå âèêëèêàòè ³ çìåíøåííÿ êàï³òàëîîçáðîºííÿ, ³ ïðîäóêòèâíîñò³, ÿêùî âîíî íå êîìïåíñóºòüñÿ çðîñòàííÿì ³íâåñòèö³é. Íàñë³äêîì ïðèñêîðåíîãî çðîñòàííÿ íàñåëåííÿ º çìåíøåííÿ êàï³òàëîîçáðîºííÿ. Öÿ ÷àñòèíà ìîäåë³ âèêîðèñòîâóºòüñÿ ÿê àðãóìåíò äëÿ ïîÿñíåííÿ òîãî, ÷îìó â êðà¿íàõ ç âèñîêèì ùîð³÷íèì òåìïîì ïðèðîñòó íàñåëåííÿ º íèçüêèìè ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³ òà âèïóñê ïðîäóêö³¿ íà äóøó íàñåëåííÿ. Âèñîêèé òåìï ïðèðîñòó íàñåëåííÿ ñòຠãàëüìîì åêîíîì³÷íîãî çðîñòàííÿ ó òîìó âèïàäêó, êîëè çðîñòàííÿ ³íâåñòèö³é íå ìîæå éîãî êîìïåíñóâàòè. Äæåðåëîì åêîíîì³÷íîãî çðîñòàííÿ º òåõí³÷íèé ïðîãðåñ. Ïðèïóñêàºòüñÿ, ùî ñï³ââ³äíîøåííÿ âèòðàò ïðàö³ òà êàï³òàëó, ç îäíîãî áîêó, òà âèïóñê ïðîäóêòó — ç ³íøîãî ëèøàºòüñÿ íåçì³ííèì. ßêùî íàñåëåííÿ çðîñòຠç òåìïîì n, à åôåêòèâí³ñòü ïðàö³ — ç òåìïîì g, òî çàãàëüíèé îáñÿã âèðîáíèöòâà çá³ëüøóºòüñÿ ï³ä âïëèâîì ïðèðîñòó íàñåëåííÿ òà òåõí³÷íîãî ïðîãðåñó ç òåìïîì (n + g). Ç óðàõóâàííÿì òåõí³÷íîãî ïðîãðåñó “çîëîòå ïðàâèëî” ôîðìóëþºòüñÿ òàê: äëÿ ìàêñèì³çàö³¿ ñïîæèâàííÿ íåîáõ³äíî, ùîá ÷èñòà ãðàíè÷íà ïðîäóêòèâí³ñòü êàï³òàëó (ïðèð³ñò ïðîäóêòó íà äîäàòêîâó îäèíèöþ êàï³òàëó áåç àìîðòèçàö³¿) äîð³âíþâàëà òåìïó ïðèðîñòó çàãàëüíîãî îáñÿãó âèðîáíèöòâà (n + g): MPK = σ + n + g. ÎÑÍÎÂͲ ÒÅÐ̲ÍÈ • Âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ • Ïîñò³éíà â³ääà÷à â³ä ìàñøòàáó • Çàêîí ñïàäíî¿ â³ääà÷³ ÷èííèê³â âèðîáíèöòâà • ²çîêâàíòà • Ìîäåëü Ñàìóåëüñîíà–Õ³êñà • Ñò³éêà, íåñò³éêà ð³âíîâàãà Êîááà–Äóãëàñà

• Ìîäåëü Õàððîäà • Ãàðàíòîâàíèé, ïðèðîäíèé òåìï çðîñòàííÿ • Ìîäåëü Ñîëîó • Ìîäåëü Äîìàðà • Ñò³éêèé ð³âåíü êàï³òàëîîçáðîºííÿ ïðàö³ • “Çîëîòå ïðàâèëî” íàãðîìàäæåííÿ • Ìîäåëü Êàëäîðà

55

Best books Ageofbook.com ÊÎÍÒÐÎËÜͲ ÇÀÏÈÒÀÍÍß 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Ùî òàêå âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ? Íàâåä³òü ïðèêëàäè. Ùî îçíà÷ຠòåðì³í “åêîíîì³ÿ â³ä ìàñøòàáó”? ×èì âèì³ðþºòüñÿ íàõèë ³çîêâàíòè? ×èì ð³çíÿòüñÿ ì³æ ñîáîþ ìîäåë³ åêîíîì³÷íèõ öèêë³â? ßêà äèíàì³÷íà ìîäåëü ðîçãëÿäຠâçàºìîä³þ ìóëüòèïë³êàòîðà òà àêñåëåðàòîðà? Ó ÿê³é äèíàì³÷í³é ìîäåë³ ôóíêö³¿ ñïîæèâàííÿ òà ³íâåñòèö³é îïèñóþòüñÿ ëîã³ñòè÷íèìè êðèâèìè? ×èì â³äð³çíÿºòüñÿ ìîäåëü Äîìàðà â³ä ìîäåë³ Õàððîäà? ßêèé òåìï çðîñòàííÿ íàñåëåííÿ òà òåõí³÷íîãî ïðîãðåñó ãàðàíòóº ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìèé òåìï åêîíîì³÷íîãî çðîñòàííÿ? ßê³ ÷èííèêè åêîíîì³÷íîãî çðîñòàííÿ âðàõîâóº ìîäåëü Ñîëîó? ßêèìè ïîêàçíèêàìè ìîæíà âèçíà÷èòè ñòàí åêîíîì³êè êðà¿íè? ÒÅÑÒÈ ÒÀ ÇÀÄÀײ

1. ²çîêâàíòà: à) ìຠâ³ä’ºìíèé íàõèë; â) º âåðòèêàëüíîþ;

á) ìຠäîäàòíèé íàõèë; ã) º ãîðèçîíòàëüíîþ.

2. Âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ f(K, L) = K2 L2 õàðàêòåðèçóºòüñÿ â³ääà÷åþ â³ä ìàñøòàáó: à) ïîñò³éíîþ; á) çðîñòàþ÷îþ; â) ñïàäíîþ. 3. Ó ìîäåë³ Ñàìóåëüñîíà–Õ³êñà â åêîíîì³ö³ áåðóòü ó÷àñòü ñóᒺêòè: à) äîìîãîñïîäàðñòâà; á) ô³ðìè òà äåðæàâà; â) äîìîãîñïîäàðñòâà ã) äîìîãîñïîäàðñòâà òà òà äåðæàâà; ô³ðìè. 4. Çà ìîäåëëþ Êàëäîðà ð³âíîâàãà åêîíîì³÷íî¿ ñèñòåìè çàëåæèòü â³ä: à) ãðàíè÷íî¿ ñõèëüíîñò³ äî çàîùàäæåííÿ; á) ãðàíè÷íî¿ ñõèëüíîñò³ äî çàîùàäæåííÿ òà ãðàíè÷íî¿ ñõèëüíîñò³ äî ³íâåñòóâàííÿ; â) ãðàíè÷íî¿ ñõèëüíîñò³ äî ñïîæèâàííÿ òà ãðàíè÷íî¿ ñõèëüíîñò³ äî ³íâåñòóâàííÿ; ã) ãðàíè÷íî¿ ñõèëüíîñò³ äî ñïîæèâàííÿ òà ãðàíè÷íî¿ ñõèëüíîñò³ äî çàîùàäæåííÿ. 56

Best books Ageofbook.com 5. Çàçíà÷òå ïðàâèëüíå òâåðäæåííÿ çà ìîäåëëþ Êàëäîðà: à) ñòàòè÷íà ð³âíîâàãà ìîæå áóòè äîñÿãíóòà ÿê äîâãîñòðîêîâà; á) â óìîâàõ ñïàäó ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ³íâåñòóâàííÿ º âåëèêîþ; â) ñòàòè÷íà ð³âíîâàãà ìîæå áóòè äîñÿãíóòà ÿê êîðîòêîñòðîêîâà; ã) â óìîâàõ ï³äíåñåííÿ ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ³íâåñòóâàííÿ º ìàëîþ. 6. Ìîäåëü Ñîëîó íå âðàõîâóº âïëèâ: à) òåìïó çðîñòàííÿ ÂÂÏ; á) çðîñòàííÿ íàñåëåííÿ; â) çàïàñó êàï³òàëó; ã) òåõí³÷íîãî ïðîãðåñó. 7. Çà ìîäåëëþ Ñîëîó ñò³éêèé ð³âåíü êàï³òàëîîçáðîºííÿ ïðàö³ äîñÿãàºòüñÿ ïðè ð³âíîñò³: à) ñïîæèâàíü ³ çàîùàäæåíü; á) ³íâåñòèö³é ³ çàîùàäæåíü; â) àìîðòèçàö³¿ òà âèáóòòÿ ã) ³íâåñòèö³é ³ âèáóòòÿ êàï³òàëó; êàï³òàëó. 8. Âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ ìຠâèãëÿä: 1

y = f(k) = k3, íîðìà çàîùàäæåííÿ s = 0,22, íîðìà àìîðòèçàö³¿ σ = 0,15. Îá÷èñë³òü ñò³éêèé ð³âåíü êàï³òàëîîçáðîºííÿ. 9. Âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ ìຠâèãëÿä: 1

y = f(k) = k2 , íîðìà àìîðòèçàö³¿ σ = 0,12. Îá÷èñë³òü ñò³éêèé ð³âåíü êàï³òàëîîçáðîºííÿ, ÿêèé â³äïîâ³äàòèìå “çîëîòîìó ïðàâèëó”. 10. Ìîäåëü âçàºìî䳿 ìóëüòèïë³êàòîðà òà àêñåëåðàòîðà ìຠíàçâó: à) ïàâóêîïîä³áíî¿ ìîäåë³; á) ìîäåë³ Êàëäîðà; â) ìîäåë³ Ñàìóåëüñîíà–Õ³êñà; ã) ìîäåë³ Ñîëîó.

ÑÏÈÑÎÊ ÂÈÊÎÐÈÑÒÀÍί

ÒÀ ÐÅÊÎÌÅÍÄÎÂÀÍί ˲ÒÅÐÀÒÓÐÈ

1. Áóäàãîâñüêà Ñ., ʳ볺âè÷ Î. ̳êðîåêîíîì³êà òà ìàêðîåêîíîì³êà: ϳäðó÷. äëÿ ñòóäåíò³â åêîí. ñïåö. çàêë. îñâ³òè. — Ê.: Îñíîâè, 1998. 2. Âå÷êàíîâ Ã. Ñ., Âå÷êàíîâà Ã. Ð. Ìàêðîýêîíîìèêà. — ÑÏá.: Ïèòåð, 2000. 57

Best books Ageofbook.com 3. Çàìêîâ Î. Î., ×åðåìíûõ Þ. À., Òîëñòîïÿòåíêî À. Â. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â ýêîíîìèêå: Ó÷åáíèê. — 2-å èçä. — Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ; Äåëî è ñåðâèñ, 1999. 4. Íóðååâ Ð. Ì. Êóðñ ìèêðîýêîíîìèêè: Ó÷åá. äëÿ âóçîâ. — Ì.: ÍÎÐÌÀ, 2000. 5. Ðàä³îíîâà ². Ìàêðîåêîíîì³êà òà åêîíîì³÷íà ïîë³òèêà. — Ê.: Òàêñîí, 1996. 6. Ñåëèùåâ À. Ñ. Ìàêðîýêîíîìèêà. — ÑÏá.: Ïèòåð, 2000.

58

Best books Ageofbook.com

Ðîçä³ë 5 ÎÏÒÈ̲ÇÀÖ²ÉͲ ÌÎÄÅ˲ Ìîäåë³ ìàòåìàòè÷íîãî ïðîãðàìóâàííÿ Åêîëîãî-åêîíîì³÷í³ ìîäåë³ îïòèì³çàö³¿ Çàäà÷³ áåçóìîâíî¿ òà óìîâíî¿ îïòèì³çàö³¿ òà ìåòîäè ¿õ ðîçâ’ÿçóâàííÿ Ìåòîä Ëàãðàíæà äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ îïòèì³çàö³¿ íà óìîâíèé åêñòðåìóì

5.1. ÌÎÄÅ˲ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÍÎÃÎ ÏÐÎÃÐÀÌÓÂÀÍÍß Çàäà÷à îïòèì³çàö³¿ ïîëÿãຠó çíàõîäæåíí³ îïòèìàëüíîãî çíà÷åííÿ ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿ f(x) íà äîïóñòèì³é ìíîæèí³ D. Ðîçâ’ÿçàòè îïòèì³çàö³éíó çàäà÷ó — îçíà÷ຠçíàéòè ¿¿ îïòèìàëüíå ðîçâ’ÿçóâàííÿ àáî âñòàíîâèòè, ùî ðîçâ’ÿçóâàííÿ íåìàº. Ìåòîäè ðîçâ’ÿçóâàííÿ îïòèì³çàö³éíèõ çàäà÷ íàçèâàþòü ìåòîäàìè ìàòåìàòè÷íîãî ïðîãðàìóâàííÿ. Îïòèì³çàö³éí³ ìîäåë³ áóâàþòü äâîõ òèï³â: çàäà÷³ ì³í³ì³çàö³¿ ³ çàäà÷³ ìàêñèì³çàö³¿. Ìîäåëü îïòèìàëüíîãî ïëàíóâàííÿ âèðîáíèöòâà. Çàãàëüíà ïîñòàíîâêà çàäà÷³ ìàòåìàòè÷íîãî ïðîãðàìóâàííÿ ç äâîìà íåâ³äîìèìè. Âèçíà÷èòè ìàêñèìóì (ì³í³ìóì) ôóíêö³¿: f(Õ1, Õ2) → max (min) ïðè îáìåæåííÿõ: g1(Õ1, Õ2) ≤ 0 ... gj(Õ1, Õ2) ≤ 0, j = 1, m, Õ1 ≥ 0, Õ2 ≥ 0. Ôóíêö³ÿ f íàçèâàºòüñÿ ö³ëüîâîþ. Îáìåæåííÿ ó âèãëÿä³ íåð³âíîñòåé íàçèâàþòüñÿ ñïåö³àëüíèìè îáìåæåííÿìè, íåâ³ä’ºìí³ñòü çì³ííèõ ó âèãëÿä³ íåð³âíîñòåé ìຠíàçâó çàãàëüíèõ îáìåæåíü çàäà÷³ ìàòåìàòè÷íîãî ïðîãðàìóâàííÿ (ÇÌÏ). Òî÷êà (Õ1, Õ2), ÿêà çàäîâîëüíÿº ñïåö³àëüíèì ³ çàãàëüíèì îáìåæåííÿì, íàçèâàºòüñÿ äîïóñòèìèì ðîçâ’ÿçóâàííÿì ÇÌÏ. Ìíîæèíà âñ³õ äîïóñòèìèõ ðîçâ’ÿçóâàíü íàçèâàºòüñÿ äîïóñòèìîþ ìíîæèíîþ ÇÌÏ. Îïòèìàëüíèì ðîçâ’ÿçóâàííÿì ÇÌÏ íàçèâàºòüñÿ òî÷êà (õ1*, õ2*), ÿêà çàäîâîëüíÿº óìîâàì îáìåæåíü òà ö³ëüîâ³é ôóíêö³¿. Ïðèêëàä. ϳäïðèºìñòâî âèðîáëÿº ïðîäóêö³þ äâîõ âèä³â À òà Â, äëÿ ÷îãî âèêîðèñòîâóº ñèðîâèíó òðüîõ âèä³â: 1, 2 òà 3. Äëÿ âèãîòîâëåííÿ îäí³º¿ îäèíèö³ ïðîäóêö³¿ À âèòðà÷àºòüñÿ 10 îäèíèöü ñèðîâèíè 1, 15 îäèíèöü ñèðîâèíè 2 òà 20 îäèíèöü ñèðîâèíè 3. Äëÿ âèãîòîâëåííÿ 59

Best books Ageofbook.com îäí³º¿ îäèíèö³ ïðîäóêö³¿  âèòðà÷àºòüñÿ 30 îäèíèöü ñèðîâèíè 1, 20 îäèíèöü ñèðîâèíè 2 òà 25 îäèíèöü ñèðîâèíè 3. Çàïàñè ñèðîâèíè ñòàíîâëÿòü: 100 îäèíèöü ñèðîâèíè 1, 120 îäèíèöü ñèðîâèíè 2 òà 200 îäèíèöü ñèðîâèíè 3. Ïðèáóòîê ï³äïðèºìñòâà ñòàíîâèòü 20 ãð. îä. çà îäèíèöþ ïðîäóêö³¿ â³ä âèðîáíèöòâà îäí³º¿ îäèíèö³ ïðîäóêö³¿ À òà 25 ãð. îä. çà îäèíèöþ ïðîäóêö³¿ â³ä âèðîáíèöòâà îäí³º¿ îäèíèö³ ïðîäóêö³¿ Â. Ñêëàä³òü òàêèé ïëàí âèðîáíèöòâà ïðîäóêö³¿, çà ÿêîãî ïðèáóòîê áóâ áè ìàêñèìàëüíèì (äèâ. òàáëèöþ). Âèä ïðîäóêö³¿

Ñèðîâèíà

Çàïàñè ñèðîâèíè

À

Â

1

10

30

100

2

15

20

120

3

20

25

200

Ââåäåìî çì³íí³: Õ1 òà Õ2 — ïëàí âèðîáíèöòâà ïðîäóêö³¿ À òà Â. Áóäóºìî ìîäåëü. Ö³ëüîâà ôóíêö³ÿ: 20Õ1+25Õ2→max. Îáìåæåííÿ: 10Õ1 + 30Õ2 ≤ 100; 15Õ1 + 20Õ2 ≤ 120; 20Õ1 + 25Õ2 ≤ 200; Õ1 ≥ 0, Õ2 ≥ 0. Çàäà÷ó ìàòåìàòè÷íîãî ïðîãðàìóâàííÿ ç äâîìà íåâ³äîìèìè ðîçâ’ÿæåìî ãðàô³÷íèì ñïîñîáîì (ðèñ. 5.1). Äëÿ öüîãî â îáìåæåííÿõ çàì³íèìî çíàê “≤” íà “=” ³ íàêðåñëèìî òðè ïðÿìèõ ë³í³¿ â³äïîâ³äíî. Äàë³ ïîâåðíåìîñü äî ïî÷àòêîâèõ íåð³âíîñòåé ³ âèçíà÷èìî íàï³âïëîùèíè, äå âèêîíóþòüñÿ çàäàí³ óìîâè. Óòâîðåíà ìíîæèíà äîïóñòèìèõ ðîçâ’ÿçóâàíü çàäîâîëüíÿº óñ³ì ñïåö³àëüíèì ³ çàãàëüíèì óìîâàì. X2 8 6 2,5 2

A

X1 8 10 2 Ðèñ. 5.1. Ãðàô³÷íå ðîçâ’ÿçóâàííÿ ÇÌÏ ç äâîìà çì³ííèìè 0

60

Best books Ageofbook.com Îïòèìàëüíå ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ êðèºòüñÿ â îäí³é ç âåðøèí îäåðæàíî¿ ìíîæèíè äîïóñòèìèõ ðîçâ’ÿçóâàíü. Âèçíà÷èìî, ÿêà ç âåðøèí äàñòü íàéá³ëüøèé ðåçóëüòàò. Òî÷êà f(0, 0) = 0; f(0, 2) = 20·0+25·2 = 50; f(8, 0) = 20·8 + 25·0 = 160. Ùîá çíàéòè ùå îäíó òî÷êó — òî÷êó À, — ïîòð³áíî ðîçâ’ÿçàòè ñèñòåìó äâîõ ð³âíÿíü ç äâîìà íåâ³äîìèìè.

10 X 1 + 30 X 2 = 100;  15 X 1 + 20 X 2 = 120. Õ1 = 6,4 , Õ2 = 1,2. Ïðèáóòîê ñòàíîâèòü 20·6,4 + 25·1,2 = 158 ãð. îä. Îòæå, ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ íàáóâàºòüñÿ ó òî÷ö³ X1 = 20, X2 = 0 ³ ñòàíîâèòü 160 ãð. îä. Çíà÷íî øâèäøèé øëÿõ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ — ïîáóäîâà âåêòîðà íîðìàë³. Êîîðäèíàòè âåêòîðà — öå ÷àñòêîâ³ ïîõ³äí³ ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿, àáî ãðà䳺íò ôóíêö³¿ (äèâ. äîäàòîê). Çà êîåô³ö³ºíòàìè ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿ (20, 25) àáî ç ïðîïîðö³éíèìè êîåô³ö³ºíòàìè (2,0; 2,5) (ðèñ. 5.1) áóäóºìî âåêòîð. Ó öüîìó íàïðÿìêó áóäå çðîñòàòè çíà÷åííÿ ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿. Ïåðïåíäèêóëÿðíî äî âåêòîðà íîðìàë³ ïðîâîäèìî ïðÿìó ë³í³þ ³ çì³ùóºìî ¿¿ ïàðàëåëüíî ó íàïðÿìêó âåêòîðà. Îñòàííÿ òî÷êà, ÿêà ì³ñòèòüñÿ íà ìåæ³ äîïóñòèìî¿ ïëîùèíè, — òî÷êà ç êîîðäèíàòàìè (8, 0). ¯¿ çíà÷åííÿ äîð³âíþº 20·8 = 160. Îòæå, îïòèìàëüíèé ïëàí âèðîáíèöòâà: Õ1 = 8; Õ2 = 0, àáî ïëàí ñòàíîâèòèìå 8 îäèíèöü ïðîäóêö³¿ À. Ïðèáóòîê ñòàíîâèòü 160 ãð. îä.

5.2. ÅÊÎËÎÃÎ-ÅÊÎÍÎ̲×Ͳ ÌÎÄÅ˲ ÎÏÒÈ̲ÇÀÖ²¯ Îñê³ëüêè Óêðà¿íà íàéá³ëüøå ïîòåðï³ëà â³ä àâà𳿠íà ×ÀÅÑ, äîñèòü àêòóàëüíèìè áóëè ³ çàëèøàþòüñÿ ïðîáëåìè ðàö³îíàëüíîãî âèêîðèñòàííÿ ðåñóðñ³â â åêîëîã³÷íî íåñïðèÿòëèâèõ óìîâàõ. Ðîçãëÿíåìî åêîëîãî-åêîíîì³÷í³ ìîäåë³ îïòèì³çàö³¿ ñ³ëüñüêîãîñïîäàðñüêîãî âèðîáíèöòâà ÿê íàéá³ëüø óðàæåíî¿ ãàëóç³ ï³ñëÿ àâà𳿠íà ×ÀÅÑ [4]. Ïðîáëåìàìè ìîäåëþâàííÿ åêîëîãî-åêîíîì³÷íèõ ñèñòåì ñ³ëüñüêîãîñïîäàðñüêîãî âèðîáíèöòâà çàéìàëèñü òàê³ óêðà¿íñüê³ óñòàíîâè: Óêðà¿íñüêèé íàóêîâî-äîñë³äíèé ³íñòèòóò ñ³ëüñüêîãîñïîäàðñüêî¿ ðàä³îëî㳿, ²íñòèòóò áîòàí³êè ³ì. Í. Ã. Õîëîäíîãî, ²íñòèòóò ê³áåðíåòèêè ³ì. Â. Ì. Ãëóøêîâà. Íàéö³êàâ³øèìè º ïðàö³ óêðà¿íñüêèõ ó÷åíèõ Á. Ñ. Ïð³ñòåðà, Â. Ã. Áàð’ÿõòàðà, Ä. Ì. Ãðîäçèíñüêîãî òà ³í. Îäí³ºþ ç îñíîâíèõ ïðîáëåì ï³ä ÷àñ ë³êâ³äàö³¿ íàñë³äê³â àâà𳿠ó ïåðø³ òèæí³ òà ì³ñÿö³ ï³ñëÿ àâà𳿠áóëî çàáåçïå÷åííÿ áåçïåêè íàñåëåí61

Best books Ageofbook.com íÿ â³ä âïëèâó çîâí³øíüîãî îïðîì³íþâàííÿ òà âíóòð³øíüîãî íàäõîäæåííÿ ðàä³îàêòèâíèõ ïðîäóêò³â àâà𳿠âíàñë³äîê ñïîæèâàííÿ ì³ñöåâèõ õàð÷îâèõ ïðîäóêò³â. Äàë³ ïåðøî÷åðãîâèìè çàâäàííÿìè ñòàëè îö³íþâàííÿ òà ïðîãíîçóâàííÿ çàáðóäíåííÿ ñ³ëüñüêîãîñïîäàðñüêî¿ ïðîäóêö³¿ ó ïðèëåãëèõ äî ×ÀÅÑ ðàéîíàõ. Áóëè çàïðîïîíîâàí³ íàñòóïí³ îðãàí³çàö³éí³ òà àãðîìåë³îðàòèâí³ çàõîäè: • çì³íà ñïåö³àë³çàö³¿ ãîñïîäàðñòâà â³äïîâ³äíî äî ð³âíÿ çàáðóäíåííÿ òåðèòî𳿠çåìëåêîðèñòóâàííÿ; • âèêëþ÷åííÿ ç âèðîáíèöòâà çàáðóäíåíî¿ ïðîäóêö³¿, ÿêà íàäõîäèòü áåçïîñåðåäíüî ó õàð÷óâàííÿ ëþäèíè; • ïåðåâàæíå âèðîáíèöòâî ðîñëèííèöüêî¿ ïðîäóêö³¿ íà íàñ³ííÿ, òåõí³÷í³ ö³ë³ òà êîðìè äëÿ òâàðèííèöòâà; • çä³éñíåííÿ çàõîä³â, ñïðÿìîâàíèõ íà ô³êñàö³þ òà çàêð³ïëåííÿ ðàä³îíóêë³ä³â ó íåäîñÿæí³ ïðîòÿãîì òðèâàëîãî ÷àñó äëÿ ðîñëèí ôîðìè øëÿõîì âíåñåííÿ ó íåîáõ³äíèõ äîçàõ ì³íåðàëüíèõ äîáðèâ, âàïíà òà ñîðáåíò³â (ãëèíÿíî¿ ñóñïåí糿...) ó âåðõí³é çàáðóäíåíèé øàð ´ðóíòó; • ðîçøèðåííÿ ïëîù ï³ä áàãàòîë³òí³ òðàâè, ùî çàáåçïå÷óº çíèæåííÿ âì³ñòó ðàä³îíóêë³ä³â ó êîðìàõ, à â³äòàê — ó ïðîäóêòàõ òâàðèííèöòâà; • â³äãîä³âëÿ òâàðèí êîðìàìè ç íèçüêèì âì³ñòîì ðàä³îíóêë³ä³â. Ö³êàâîþ áóëà ³äåÿ íàñàäæåííÿ ë³ñ³â íà ä³ëÿíêàõ ç âèñîêîþ ù³ëüí³ñòþ çàáðóäíåííÿ, îñê³ëüêè ïðèäàòíîþ äëÿ êîðèñòóâàííÿ äåðåâèííà ïðîäóêö³ÿ áóäå ÷åðåç äåñÿòèë³òòÿ, êîëè â³äáóäåòüñÿ ñóòòºâå çìåíøåííÿ ðàä³îíóêë³ä³â. Ëàáîðàòîð³ºþ Ä. Ì. Ãðîäçèíñüêîãî ²íñòèòóòó êë³òèííî¿ á³îëî㳿 òà ³íæåíå𳿠áóëà çàïðîïîíîâàíà êîíöåïö³ÿ, ÿêà ì³ñòèëà ³äåþ óïðàâë³ííÿ âèíåñåííÿì ðàä³îàêòèâíèõ åëåìåíò³â, ÿê³ çäàòí³ êîíöåíòðóâàòè ó ñâî¿õ òêàíèíàõ ðîñëèíè òà äèñêðèì³íóâàòè ¿õ íàäõîäæåííÿ ç ´ðóíòó. Ìîæëèâèìè º äâà ñïîñîáè íàäõîäæåííÿ ó ðîñëèíè ðàä³îíóêë³ä³â ç ´ðóíò³â, ÿê³ çàçíàëè çàáðóäíåííÿ: • ì³í³ì³çàö³ÿ — ïîñëàáëåííÿ ¿õ íàäõîäæåííÿ ó ñ³ëüñüêîãîñïîäàðñüê³ ðîñëèíè ³, îòæå, ó õàð÷îâ³ ëàíöþãè; • ìàêñèì³çàö³ÿ — ïîñèëåííÿ âèíåñåííÿ çà äîïîìîãîþ êóëüòóðíèõ àáî äèêèõ âèä³â ðîñëèí (ô³òîäåçàêòèâàö³ÿ). Ââåäåìî çì³íí³: k — ê³ëüê³ñòü ä³ëÿíîê ó ðåã³îí³; i — îñíîâí³ ñ³ëüñüêîãîñïîäàðñüê³ êóëüòóðè â ðåã³îí³; Rik — çàáðóäíåííÿ i-¿ êóëüòóðè íà k-é ä³ëÿíö³ (ʳ/ãà); Kik — ñåðåäíº çíà÷åííÿ ïèòîìî¿ êîíöåíòðàö³¿ ðàä³îíóêë³ä³â, êã ïðîäóêö³¿ (ʳ/êã); 62

Best books Ageofbook.com bik — ñåðåäíº çíà÷åííÿ âðîæà¿â êóëüòóð, ÿê³ ç³áðàí³ ó äàíîìó ðåã³îí³ (êã/ãà); Sik — ïëîù³, ÿê³ çàéíÿò³ äàíîþ êóëüòóðîþ (ãà). Çàãàëüíà ôîðìóëà îö³íêè âèíåñåíî¿ ³ç âðîæàºì ê³ëüêîñò³ ðàä³îíóêë³ä³â ñòàíîâèòü ïîäâ³éíó ñóìó: ∑∑RikKikbikSik → max (ʳ/ãà). ki Íàéïðîñò³øà ìîäåëü îïòèì³çàö³¿ â óìîâàõ ðàä³îàêòèâíîãî çàáðóäíåííÿ çàïèñóºòüñÿ ó âèãëÿä³: ∑ p j ( v1 ...vm ) X j → max; ∑ aij X ij ≤ b ; i X ij ≥ 0. Çì³íí³ ìîäåë³: pj(v1...vm) — ö³íà j-ãî ïðîäóêòó, ÿêèé âèðîáëÿºòüñÿ ç 1...m ðåñóðñàìè òà ç v1...vm çàáðóäíåííÿì. Ìîäåëü íàëåæèòü äî ìîäåëåé ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ. Ñêëàäí³øîþ º ìîäåëü, ÿêà îïèñóº á³ëüø éìîâ³ðí³ñíèé òà äîâøèé òðîô³÷íèé ëàíöþæîê: “´ðóíò–ðîñëèíà–ðîñëèííèé êîðì–òâàðèíà– òâàðèííèé êîðì–õóòðîâèé çâ³ð–õóòðî”. Ïðîòÿãîì ïðîõîäæåííÿ ëàíöþæêà ñóòòºâî çíèæóºòüñÿ êîíöåíòðàö³ÿ çàáðóäíåííÿ, ïðè öüîìó ìàêñèì³çóºòüñÿ ïðèáóòîê ïðîäóêö³¿. Ðîçãëÿíåìî åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü îïòèì³çàö³¿ ñ³ëüñüêîãîñïîäàðñüêîãî âèðîáíèöòâà ç óðàõóâàííÿì ù³ëüíîñò³ çàáðóäíåííÿ àãðîãðóï. Ðîçêðèºìî ¿¿ ñóòü. Ðîçïîä³ëèòè ïîñ³âí³ ïëîù³, ÿê³ â³äâîäÿòü ï³ä êîæíó ñ³ëüñüêîãîñïîäàðñüêó êóëüòóðó íà ä³ëÿíêàõ â³äïîâ³äíèõ àãðîãðóï ç ð³çíîþ ù³ëüí³ñòþ çàáðóäíåííÿ òàêèì ÷èíîì, ùîá äîñÿãòè ìàêñèìàëüíîãî åôåêòó ç óðàõóâàííÿì òåõíîëîã³÷íèõ, àãðîòåõí³÷íèõ, îðãàí³çàö³éíèõ òà åêîëîã³÷íèõ óìîâ. Íåâ³äîì³ çì³íí³ â ìîäåë³ — öå ïëîù³, ÿê³ â³äâîäÿòü ï³ä êóëüòóðè äåÿêîãî âèäó íà ä³ëÿíö³ â³äïîâ³äíî¿ àãðîãðóïè ïåâíîãî òèïó çàáðóäíåííÿ. Ó ìîäåë³ â³äîì³ ïàðàìåòðè: âðîæàéí³ñòü êóëüòóðè íà ò³é ÷è ³íø³é ä³ëÿíö³, íîðìè âíåñåííÿ ìåë³îðàíò³â, çàãàëüíà ïëîùà ð³ëë³ â ãîñïîäàðñòâ³, êîåô³ö³ºíòè ïåðåõîäó ê³ëüêîñò³ êóëüòóð ó çåðíîâ³ îäèíèö³. Ùå îäèí òèï ìîäåëåé, ÿê³ ìîæíà çàñòîñîâóâàòè â óìîâàõ ðàä³îàêòèâíîãî çàáðóäíåííÿ, öå — ö³ëî÷èñåëüí³ îïòèì³çàö³éí³ ìîäåë³. Íàïðèêëàä, ìîäåëü îïòèìàëüíîãî ðîçïîä³ëó êóëüòóð çà ïîëÿìè ñ³âîçì³í. Êðèòåð³é îïòèìàëüíîñò³ òóò íàñòóïíèé: çíàéòè äîëþ ïëîù³ êîæíîãî ïîëÿ (0 àáî 1), ÿêó â³äâîäÿòü ï³ä êîæíó êóëüòóðó, òîáòî

63

Best books Ageofbook.com ñôîðìóâàòè ïëàí ðîçïîä³ëó êóëüòóð çà ïîëÿìè, ÿêèé çàáåçïå÷óº ì³í³ìóì ñóìàðíî¿ çàáðóäíåíîñò³ ïðîäóêö³¿ àáî òàêèé, ùî çàáåçïå÷óº ìàêñèìàëüíèé ïðèáóòîê â³ä ðåàë³çàö³¿ ïðîäóêö³¿. Ó ö³ëüîâó ôóíêö³þ ìîæíà ââåñòè êîåô³ö³ºíò, ÿêèé âêàçóº íà ó÷àñòü ïðîäóêö³¿ â ðåàë³çàö³¿: àij = 1, ÿêùî á³îëîã³÷í³ íîðìè âì³ñòó ðàä³îíóêë³ä³â º äîïóñòèìèìè; aij = 0, ÿêùî íîðìè âì³ñòó º íåäîïóñòèìèìè. Çàëåæíî â³ä ïîñòàâëåíîãî çàâäàííÿ îïòèì³çàö³¿ ñ³ëüñüêîãîñïîäàðñüêîãî âèðîáíèöòâà ðîçãëÿäàþòüñÿ ñâî¿, â³äì³íí³ â³ä ³íøèõ, êðèòå𳿠îïòèìàëüíîñò³. Âèá³ð òà îá´ðóíòóâàííÿ êðèòåð³þ îïòèìàëüíîñò³ — âàæëèâèé åòàï ìîäåëþâàííÿ. ²ñíóþòü ð³çí³ êðèòå𳿠îïòèìàëüíîñò³: ïðèáóòîê â³ä ðåàë³çàö³¿ ïðîäóêö³¿ ãîñïîäàðñòâà, ì³í³ìàëüí³ âèòðàòè, ñîá³âàðò³ñòü ïðîäóêö³¿, ìàêñèìóì ïðîäóêö³¿ â çåðíîâèõ îäèíèöÿõ, ìàêñèìóì âèïóñêó ÷èñòî¿ ïðîäóêö³¿. Ïðèáóòîê â³ä ðåàë³çàö³¿ ñ³ëüñüêîãîñïîäàðñüêî¿ ïðîäóêö³¿ ìîæíà îá÷èñëèòè çà â³ëüíèìè ðèíêîâèìè, äåðæàâíèìè àáî ñâ³òîâèìè ö³íàìè. Êîëè éäåòüñÿ ïðî çàäà÷ó îïòèì³çàö³¿, âèíèêຠïðîáëåìà âèáîðó êðèòåð³¿â îïòèìàëüíîñò³. Çíàõîäæåííÿ îïòèìàëüíîãî ïëàíó ðîçì³ùåííÿ ñ³ëüñüêîãîñïîäàðñüêîãî âèðîáíèöòâà â óìîâàõ ðàä³îàêòèâíîãî çàáðóäíåííÿ º áàãàòîö³ëüîâèì. Îäíàê âèá³ð ïëàíó çà âñ³ìà êðèòåð³ÿìè îäíî÷àñíî º íåìîæëèâèì, òîìó íåîáõ³äíî àáî âèáðàòè ç óñ³õ êðèòåð³¿â íàéâàãîì³øèé, àáî çàñòîñîâóòè ó ö³ëüîâ³é ôóíêö³¿ ïåâí³ âàæåë³. Ïðè ðîçâ’ÿçóâàíí³ çàäà÷³ ñòîñîâíî îäíîãî ç êðèòåð³¿â ñòóï³íü äîñÿãíåííÿ ³íøèõ ö³ëåé ìîæíà ô³êñóâàòè ÿê îáìåæåííÿ. Ðîçâ’ÿçóâàííÿ åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷íèõ ìîäåëåé ´ðóíòóºòüñÿ íà âèêîðèñòàíí³ ñèìïëåêñ-ìåòîäó àáî éîãî ìîäèô³êàö³é.

5.3. ÇÀÄÀײ ÁÅÇÓÌÎÂÍί ÒÀ ÓÌÎÂÍί ÎÏÒÈ̲ÇÀÖ²¯ ÒÀ ÌÅÒÎÄÈ ¯Õ ÐÎÇ’ßÇÓÂÀÍÍß Ìàòåìàòè÷íå ïðîãðàìóâàííÿ ìîæíà ïîä³ëèòè íà ë³í³éíå òà íåë³í³éíå. Íåë³í³éíå ïðîãðàìóâàííÿ º äîñèòü ñêëàäíèì ç òî÷êè çîðó çàñòîñóâàííÿ ìàòåìàòè÷íîãî àïàðàòó. Çàäà÷³ íåë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ ïîä³ëÿþòü çàëåæíî â³ä îïòèìóì³â: ëîêàëüíèé ÷è ãëîáàëüíèé (ðèñ. 5.3); åêñòðåìóì³â: óìîâíèé ÷è áåçóìîâíèé (ðèñ. 5.2) òà ìåòîä³â ðîçâ’ÿçóâàííÿ: àíàë³òè÷íèé ÷è îá÷èñëþâàëüíèé. Íà ïðàêòèö³ â çàäà÷àõ îïòèì³çàö³¿ äëÿ çì³ííèõ çàäàþòü ãðàíè÷í³ óìîâè. Ó ìåæàõ öèõ óìîâ ö³ëüîâà ôóíêö³ÿ ìîæå íàáóâàòè íàéá³ëüøå ÷è íàéìåíøå çíà÷åííÿ àáî ìàòè åêñòðåìóì. Îïòèìóì — øèðøå ïîíÿòòÿ, í³æ åêñòðåìóì. ßêùî åêñòðåìóì º íå ó âñ³õ ôóíêö³é, òî â ïðàêòè÷íèõ çàäà÷àõ îïòèìóì ³ñíóº çàâæäè [1]. 64

Best books Ageofbook.com f(x)

f(x)

À

Â

0 Å

f(x)

0

x

x

G

Ä 0

x Ðèñ. 5.2. Åêñòðåìóìè ôóíêö³é

f(x)

f(x) G G F

0

x

f(x)

0

x

K I

0

x Ðèñ. 5.3. Îïòèìóìè ôóíêö³é

65

Best books Ageofbook.com Ó á³ëüøîñò³ åêîíîì³÷íèõ çàäà÷ îïòèì³çàö³¿ çóñòð³÷àºòüñÿ ëîêàëüíèé îïòèìóì. Çàäà÷àìè áåçóìîâíî¿ îïòèì³çàö³¿ íàçèâàþòüñÿ òàê³, â ÿêèõ çàäàºòüñÿ ëèøå îäíà ö³ëüîâà ôóíêö³ÿ. Ó òàêèõ çàäà÷àõ íå ³ñíóº îáìåæåíü ³ ãðàíè÷íèõ óìîâ. Ìîäåë³ áåçóìîâíî¿ îïòèì³çàö³¿ ìàþòü òåîðåòè÷íèé õàðàêòåð, îñê³ëüêè íà ïðàêòèö³ ãðàíè÷í³ óìîâè çàäàþòüñÿ çàâæäè. Ó öèõ çàäà÷àõ ïîíÿòòÿ îïòèìóìó òà åêñòðåìóìó çá³ãàþòüñÿ, ³ äëÿ çíàõîäæåííÿ îïòèìóìó â íèõ çàñòîñîâóþòüñÿ ìåòîäè çíàõîäæåííÿ åêñòðåìóìó. Àíàë³òè÷íèé ìåòîä ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ áåçóìîâíî¿ îïòèì³çàö³¿. Çàäàíà ôóíêö³ÿ îäí³º¿ çì³ííî¿ F = f(x). Äëÿ òîãî ùîá âèçíà÷èòè åêñòðåìóì, íåîáõ³äíî: 1. Çíàéòè ïåðøó ïîõ³äíó ôóíêö³¿. 2. Ïðèð³âíÿòè ¿¿ äî íóëÿ. 3. Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ, âèçíà÷èâøè x*. 4. Çíàéòè äðóãó ïîõ³äíó ôóíêö³¿. Âèçíà÷èòè çíàê ö³º¿ ïîõ³äíî¿. ßêùî äðóãà ïîõ³äíà ìåíøà çà 0, òî òî÷êà õ* — ìàêñèìóì ôóíêö³¿. ßêùî äðóãà ïîõ³äíà á³ëüøà çà 0, òî òî÷êà õ* — ì³í³ìóì ôóíêö³¿. Ìåòîäè ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ óìîâíî¿ îïòèì³çàö³¿. f(xj) → min ïðè îáìåæåííÿõ: gi(xj) = 0; i = 1,m; aj ≤ xj ≤ bj. 1. Ìåòîä øòðàôíèõ ôóíêö³é. ³ä çàäà÷³ óìîâíî¿ îïòèì³çàö³¿ ïåðåõîäÿòü äî çàäà÷³, â ÿê³é ì³í³ì³çóºòüñÿ íîâà ö³ëüîâà ôóíêö³ÿ, ÿêà ì³ñòèòü ó ñîá³ ïåðøó ö³ëüîâó ôóíêö³þ òà çàäàí³ îáìåæåííÿ. Çàïèñóºòüñÿ: F(xj) = f(xj) + Ψ(g(xj)) → min, äå Ψ(g(xj)) — øòðàôíà ôóíêö³ÿ. 2. Ìåòîä Ëàãðàíæà.

5.4. ÌÅÒÎÄ ËÀÃÐÀÍÆÀ ÄËß ÐÎÇ’ßÇÓÂÀÍÍß ÇÀÄÀ× ÎÏÒÈ̲ÇÀÖ²¯ ÍÀ ÓÌÎÂÍÈÉ ÅÊÑÒÐÅÌÓÌ Ñóòí³ñòü ìåòîäó ïîëÿãຠó ïîáóäîâ³ ôóíêö³¿ âèäó: L(x1, x2, λ) = f(x1, x2) + λg(x1, x2),

òîáòî, çâåäåííÿ çàäà÷³ íà óìîâíèé åêñòðåìóì äâîõ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ äî çàäà÷³ íà àáñîëþòíèé åêñòðåìóì ôóíêö³¿ L(x1, x2, λ) òðüîõ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ x1, x2, λ. Ôóíêö³ÿ Ëàãðàíæà º ñóìîþ ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿ òà ôóíêö³¿ îáìåæåííÿ, ïîìíîæåíî¿ íà íîâó íåçàëåæíó çì³ííó λ (ìíîæíèê Ëàãðàíæà), ÿêà ìຠïåðøèé ïîðÿäîê. 66

Best books Ageofbook.com Äëÿ çíàõîäæåííÿ òî÷îê óìîâíîãî ëîêàëüíîãî åêñòðåìóìó ôóíêö³¿ çà íàÿâíîñò³ îáìåæåííÿ ñë³ä íàñàìïåðåä çíàéòè êðèòè÷í³ òî÷êè ôóíêö³¿ Ëàãðàíæà, òîáòî çíàéòè âñ³ ðîçâ’ÿçàííÿ ñèñòåìè ð³âíÿíü: ∂L ( x1 , x2 ,λ ) ∂x1

= 0;

∂L ( x1 , x2 ,λ ) ∂x2

∂L( x1 , x2 ,λ )

= 0;

∂λ

= 0.

Äàë³ êðèòè÷í³ òî÷êè ôóíêö³¿ Ëàãðàíæà ïîòð³áíî ñêîðîòèòè íà êîîðäèíàòè λ. Ïîò³ì êîæíó îäåðæàíó ñêîðî÷åíó òî÷êó íåîáõ³äíî ïðîàíàë³çóâàòè, ÷è º âîíà òî÷êîþ óìîâíîãî åêñòðåìóìó ôóíêö³¿ çà äàíèõ îáìåæåííÿõ ÷è í³. 2 2 Ïðèêëàä. Çíàéä³òü åêñòðåìóì ôóíêö³¿ y = x1 + x 2 çà óìîâè x1 + x2–1 = 0 àáî ðîçâ’ÿæ³òü çàäà÷ó íà óìîâíèé åêñòðåìóì ìåòîäîì Ëàãðàíæà. Çàïèøåìî ôóíêö³þ Ëàãðàíæà: L ( x1 , x2 , λ ) = x1 + x2 + λ ( x1 + x2 − 1). 2

2

Çíàõîäèìî êðèòè÷í³ òî÷êè ôóíêö³¿ Ëàãðàíæà, ðîçâ’ÿçàâøè ñèñòåìó ð³âíÿíü: ∂L ( x1 , x2 ,λ ) ∂x1 ∂L ( x1 , x2 ,λ ) ∂λ

∂L ( x1 , x2 ,λ )

= 2 x1 + λ = 0;

∂x2

= 2 x2 + λ = 0;

= x1 + x2 − 1 = 0.

Îäåðæèìî: x1 = x2 = 1/2, λ = –1. Îòæå, ñèñòåìà ð³âíÿíü ìຠºäèíå ðîçâ’ÿçóâàííÿ, ºäèíó êðèòè÷íó òî÷êó ôóíêö³¿ Ëàãðàíæà (1/2, 1/2, –1). Äëÿ âèçíà÷åííÿ, ÿêèé ñàìå åêñòðåìóì ìຠì³ñöå ó êðèòè÷í³é òî÷ö³ — ìàêñèìóì ÷è ì³í³ìóì, ïîòð³áíî ïðîàíàë³çóâàòè âåëè÷èíó: D = AB – C2, äå A, B, C — äðóã³ ÷àñòêîâ³ ïîõ³äí³ ôóíêö³¿: ∂ y 2

A=

∂x1

2

∂ y 2

;

B=

∂x2

2

∂ y 2

;

C=

∂x1∂x2

.

ßêùî D > 0 òà A < 0 ³ B < 0, òî êðèòè÷íà òî÷êà — òî÷êà ìàêñèìóìó. ßêùî D > 0 òà A > 0 ³ B > 0, òî êðèòè÷íà òî÷êà — òî÷êà ì³í³ìóìó. ßêùî D < 0, åêñòðåìóì³â ó äàí³é òî÷ö³ íåìàº. ßêùî D = 0, â³äïîâ³ä³ íåìàº, íåîáõ³äíî çíàõîäèòè ïîõ³äí³ âèùèõ ïîðÿäê³â. 67

Best books Ageofbook.com Äëÿ íàøîãî ïðèêëàäó A=2, Â=2, Ñ=0. Îòæå, D=2·2=4>0, À>0, Â>0, êðèòè÷íà òî÷êà — òî÷êà ì³í³ìóìó. Ïåðåâ³ðÿºìî, ÷è º ñêîðî÷åíà êðèòè÷íà òî÷êà òî÷êîþ óìîâíîãî ëîêàëüíîãî åêñòðåìóìó ôóíêö³¿ çà íàÿâíîñò³ îáìåæåííÿ. f(x1, x2) = (1/2)2 + (1/2)2 = 1/2; 1/2 + 1/2–1= 0. Îòæå, (x1, x2) = (1/2, 1/2). Çàäà÷à ñïîæèâ÷îãî âèáîðó ÿê çàäà÷à íà óìîâíèé åêñòðåìóì [1]. Ðîçãëÿíåìî ìîäåëü ïîâåä³íêè ñïîæèâà÷à (ðîçä. 2, ï. 2.1) ÿê çàäà÷ó íà óìîâíèé åêñòðåìóì: u(x1, x2) → max çà óìîâè p1x1 + p2x2 = R. Äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ ö³º¿ çàäà÷³ çàñòîñóºìî ìåòîä Ëàãðàíæà. Çàïèøåìî ôóíêö³þ Ëàãðàíæà: L(x1, x2, λ) = u(x1, x2) + λ(p1x1 + p2x2 – R). Çíàõîäèìî ¿¿ ïåðø³ ÷àñòêîâ³ ïîõ³äí³ çà çì³ííèìè x1, x2, λ òà ïðèð³âíþºìî ÷àñòêîâ³ ïîõ³äí³ äî íóëÿ:

∂L ∂x1 ∂L ∂x2

= u '1 − λ p1 = 0; = u '2 − λ p2 = 0;

∂L

= p1 x1 + p2 x2 − R = 0. ∂λ Âèêëþ÷àºìî ç îäåðæàíî¿ ñèñòåìè òðüîõ ð³âíÿíü ç òðüîìà íåâ³äîìèìè ïàðàìåòð λ, îäåðæèìî ñèñòåìó äâîõ ð³âíÿíü ç äâîìà íåâ³äîìèìè õ1 òà õ2: p1 u '1 p1 x1 + p2 x2 = R. ; = u '2 p2 Ðîçâ’ÿçóâàííÿì ö³º¿ ñèñòåìè º “ñêîðî÷åíà” êðèòè÷íà òî÷êà ôóíêö³¿ Ëàãðàíæà. ϳäñòàâèìî ðîçâ’ÿçóâàííÿ â ë³âó ÷àñòèíó ïåðøîãî ð³âíÿííÿ

u '1 ( x1 , x2 ) u '2 ( x1 , x2 ) 68

=

p1 p2

Best books Ageofbook.com ³ îäåðæèìî â³äîìèé ôàêò ç êóðñó “̳êðîåêîíîì³êà”, ùî ó òî÷ö³ ëîêàëüíî¿ ðèíêîâî¿ ð³âíîâàãè â³äíîøåííÿ ãðàíè÷íèõ êîðèñíîñòåé ïðîäóêò³â äîð³âíþº â³äíîøåííþ ðèíêîâèõ ö³í p1 òà p2 íà ö³ ïðîäóêòè:

u '1 ( x1 , x2 ) u '2 ( x1 , x2 )

p1

=

p2

.

Ó ð³âíÿíí³ ë³âîðó÷ — ãðàíè÷íà íîðìà çàì³ùåííÿ ïåðøîãî ïðîäóêòó ³íøèì (MRTS) (äèâ. äîäàòîê). Ãåîìåòðè÷íî ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ ìîæíà ³íòåðïðåòóâàòè ÿê òî÷êó äîòèêó ë³í³¿ áàéäóæîñò³ ôóíêö³¿ êîðèñíîñò³ u(x1, x2) ç áþäæåòíîþ ïðÿìîþ p1x1 + p2x2 = R (ðèñ. 5.4). x2

R p2

(x1*, x2* )

0

x1

R p1

Ðèñ. 5.4. Îïòèìóì ñïîæèâà÷à

³äíîøåííÿ

dx2 dx1

=−

u '1 u '2

âèçíà÷ຠòàíãåíñ êóòà íàõèëó ë³í³¿ ð³âíÿ p1

ôóíêö³¿ êîðèñíîñò³, à â³äíîøåííÿ − p2 óÿâëÿº òàíãåíñ êóòà íàõèëó áþäæåòíî¿ ïðÿìî¿. Ó òî÷ö³ ñïîæèâ÷îãî âèáîðó âîíè äîòèêàþòüñÿ. ÎÑÍÎÂͲ ÒÅÐ̲ÍÈ • Çàäà÷à îïòèì³çàö³¿ • Ñïåö³àëüí³ òà çàãàëüí³ îáìåæåííÿ • Åêîëîãî-åêîíîì³÷í³ ñèñòåìè • Ìîäåë³ îïòèì³çàö³¿ â óìîâàõ ðàä³îàêòèâíîãî çàáðóäíåííÿ • Ö³ëî÷èñåëüí³ îïòèì³çàö³éí³ ìîäåë³

• Ìàòåìàòè÷íå ïðîãðàìóâàííÿ • Óìîâíà òà áåçóìîâíà îïòèì³çàö³ÿ • Ö³ëüîâà ôóíêö³ÿ • Åêñòðåìóì ôóíêö³¿ • Îïòèìóì ôóíêö³¿ • Ìåòîä Ëàãðàíæà • Ìíîæíèê Ëàãðàíæà

69

Best books Ageofbook.com ÊÎÍÒÐÎËÜͲ ÇÀÏÈÒÀÍÍß 1. ßê³ òèïè îïòèì³çàö³éíèõ ìîäåëåé âè çíàºòå? 2. Ó ÷îìó ïîëÿãຠãðàô³÷íèé ìåòîä ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ ìàòåìàòè÷íîãî ïðîãðàìóâàííÿ? 3. ßê³ îðãàí³çàö³éí³ òà àãðîìåë³îðàòèâí³ çàõîäè íåîáõ³äíî âðàõîâóâàòè â åêîëîãî-åêîíîì³÷íèõ ìîäåëÿõ îïòèì³çàö³¿? 4. Ùî îçíà÷ຠòåðì³í “òðîô³÷íèé ëàíöþæîê” ó ìîäåë³ îïòèì³çàö³¿ â óìîâàõ ðàä³îàêòèâíîãî çàáðóäíåííÿ? 5. ßê âèð³øóþòüñÿ ïðîáëåìè ðàä³îàêòèâíîãî çàáðóäíåííÿ â ö³ëî÷èñåëüíèõ îïòèì³çàö³éíèõ ìîäåëÿõ? 6. ×èì ð³çíÿòüñÿ ïîíÿòòÿ “îïòèìóì” ³ “åêñòðåìóì”? 7. Ó ÷îìó ïîëÿãຠàíàë³òè÷íèé ìåòîä ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ áåçóìîâíî¿ îïòèì³çàö³¿? 8. ßê çíàõîäèòè êðèòè÷í³ òî÷êè ôóíêö³¿ Ëàãðàíæà? 9. ßêèìè ñïîñîáàìè ìîæíà ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷ó ñïîæèâ÷îãî âèáîðó? 10. ßê³ îïòèì³çàö³éí³ ìîäåë³ äëÿ åêîíîì³êè Óêðà¿íè âè á çàïðîïîíóâàëè? ÒÅÑÒÈ ÒÀ ÇÀÄÀײ 1. Òî÷êà, ÿêà çàäîâîëüíÿº ñïåö³àëüíèì ³ çàãàëüíèì îáìåæåííÿì çàäà÷³ ìàòåìàòè÷íîãî ïðîãðàìóâàííÿ, íàçèâàºòüñÿ: à) ì³í³ìàëüíèì; á) ìàêñèìàëüíèì; â) äîïóñòèìèì; ã) íåäîïóñòèìèì ðîçâ’ÿçóâàííÿì. 2. ßêùî äîïóñòèìà ìíîæèíà çàäà÷³ ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ íå ïóñòà, à ö³ëüîâà ôóíêö³ÿ îáìåæåíà çíèçó àáî çâåðõó íà ö³é ìíîæèí³, òî çàäà÷à: à) ìຠðîçâ’ÿçàííÿ; á) íå ìຠðîçâ’ÿçàííÿ. 3. Ìåòîäè ðîçâ’ÿçóâàííÿ îïòèì³çàö³éíèõ çàäà÷ íàçèâàþòü ìåòîäàìè: à) ì³í³ì³çàö³¿; á) ìàòåìàòè÷íîãî ïðîãðàìóâàííÿ; â) ïëàíóâàííÿ; ã) ñòàòèñòèêè. 4. Êîíöåïö³ÿ ïîñèëåííÿ âèíåñåííÿ ðàä³îíóêë³ä³â çà äîïîìîãîþ êóëüòóðíèõ àáî äèêèõ âèä³â ðîñëèí, ÿêà áóëà çàïðîïîíîâàíà äëÿ ë³êâ³äàö³¿ íàñë³äê³â àâà𳿠íà ×ÀÅÑ, ìàëà íàçâó êîíöåïö³¿: à) ë³ñîïîíîâëåííÿ; á) ñïåö³àë³çàö³¿; â) ô³òîäåçàêòèâàö³¿; 70

Best books Ageofbook.com ã) îïòèìàëüíîãî ðîçïîä³ëó ñ³ëüñüêîãîñïîäàðñüêèõ êóëüòóð. 5. Ó ö³ëî÷èñåëüíèõ îïòèì³çàö³éíèõ ìîäåëÿõ âèêîðèñòîâóþòü: à) áóëåâ³ çì³íí³ (0,1); á) äîäàòí³ çì³íí³; â) â³ä’ºìí³ çì³íí³; ã) çì³íí³, ÿê³ óòâîðþþòü ãåîìåòðè÷íó ïðîãðåñ³þ. 6. Çàçíà÷òå ïðàâèëüíå òâåðäæåííÿ: à) ó çàäà÷àõ áåçóìîâíî¿ îïòèì³çàö³¿ íå ³ñíóº îáìåæåíü; á) ó çàäà÷àõ áåçóìîâíî¿ îïòèì³çàö³¿ ³ñíóþòü ãðàíè÷í³ óìîâè; â) ÿêùî äðóãà ïîõ³äíà ôóíêö³¿ ìຠäîäàòíå çíà÷åííÿ, îïòèìàëüíà òî÷êà º òî÷êîþ ì³í³ìóìó; ã) åêñòðåìóì — øèðøå ïîíÿòòÿ, í³æ îïòèìóì. f ( x1 , x2 ) = x1 + 2 x2 → min; x1 + x2 ≤ 2;

x1 + x2 ≥ 1;

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0.

7. Ðîçâ’ÿæ³òü çàäà÷ó ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ ãðàô³÷íèì ìåòîäîì: 8. Ðîçâ’ÿæ³òü çàäà÷ó ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ ãðàô³÷íèì ìåòîäîì: f ( x1 , x2 ) = 2 x1 + 2 x2 → max;

x1 − 2x2 ≤ 1;

x1 + 2x2 ≤ 4;

x1 ≥ 1; x1 ≥ 0; x2 ≥ 0.

9. Ðîçâ’ÿæ³òü çàäà÷ó áåçóìîâíî¿ îïòèì³çàö³¿. Âèçíà÷òå åêñòðåìóì ôóíêö³¿

F ( x) = −12 x − 2 x + 4. 2

10. Ñïîæèâà÷ ìຠäîõ³ä 500 ãðí íà òèæäåíü ³ ìîæå êóïóâàòè 2 áëàãà ó ê³ëüêîñò³ X1 òà X2 çà ö³íàìè 40 òà 50 ãðí çà îäèíèöþ â³äïîâ³äíî. Ôóíêö³ÿ êîðèñíîñò³ ñïîæèâà÷à U ( X 1 , X 2 ) = 2 X 12 + X 22 . Ðîçâ’ÿæ³òü çàäà÷ó ñïîæèâ÷îãî âèáîðó çà äîïîìîãîþ ìåòîäó ìíîæíèê³â Ëàãðàíæà.

ÑÏÈÑÎÊ ÂÈÊÎÐÈÑÒÀÍί

ÒÀ ÐÅÊÎÌÅÍÄÎÂÀÍί ˲ÒÅÐÀÒÓÐÈ

1. Çàìêîâ Î. Î., ×åðåìíûõ Þ. À., Òîëñòîïÿòåíêî À. Â. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â ýêîíîìèêå: Ó÷åáíèê. — 2-å èçä. — Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ; Äåëî è ñåðâèñ, 1999. 2. Ëÿøåíêî ². Ì. Åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷í³ ìåòîäè òà ìîäåë³ ñòàëîãî ðîçâèòêó. — Ê.: Âèùà øê., 1999. 71

Best books Ageofbook.com 3. Ìàëèø Í. À. Ìîäåëþâàííÿ åêîëîãî-åêîíîì³÷íèõ ñèñòåì àãðîïðîìèñëîâîãî êîìïëåêñó íà òåðèòî𳿠ðàä³îàêòèâíî çàáðóäíåíîãî ðåã³îíó. Äèñ... íà çäîá. â÷. ñòóï. ê. å. í. ÊÍÓ ³ì. Òàðàñà Øåâ÷åíêà, 1993. 4. Ðþìèíà Å. Â. Ýêîëîãè÷åñêèé ôàêòîð â ýêîíîìèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëÿõ. — Ì.: Íàóêà, 1980. 5. Øåëîáàåâ Ñ. È. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû è ìîäåëè â ýêîíîìèêå, ôèíàíñàõ, áèçíåñå: Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ âóçîâ. — Ì.: ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, 2000.

72

Best books Ageofbook.com

Ðîçä³ë 6 ÒÅÎÐ²ß ²ÃÎÐ, ÒÅÎÐ²ß ÃÐÀԲ ² ѲÒÊÎÂÅ ÏËÀÍÓÂÀÍÍß Îñíîâí³ ïîíÿòòÿ òà êëàñèô³êàö³ÿ ³ãîð Çàñòîñóâàííÿ àïàðàòó òåî𳿠³ãîð â åêîíîì³ö³ Òåîð³ÿ ãðàô³â ³ ñ³òêîâå ïëàíóâàííÿ

6.1. ÎÑÍÎÂͲ ÏÎÍßÒÒß ÒÀ ÊËÀÑÈÔ²ÊÀÖ²ß ²ÃÎÐ Â îïòèì³çàö³éíèõ ìîäåëÿõ âèá³ð ð³øåííÿ çä³éñíþâàâñÿ îäí³ºþ îñîáîþ.  òåî𳿠³ãîð ð³øåííÿ ïðèéìàþòüñÿ ê³ëüêîìà ó÷àñíèêàìè. Çíà÷åííÿ ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿ äëÿ êîæíîãî ç íèõ çàëåæèòü â³ä ð³øåíü, ùî ïðèéìàþòüñÿ ðåøòîþ ó÷àñíèê³â. Òåîð³ÿ ³ãîð ùå ìຠíàçâó òåî𳿠êîíôë³êòíèõ ñèòóàö³é. Ïðèêëàäàìè º ñèòóàö³ÿ “ïîêóïåöü–ïðîäàâåöü”, êàðòêîâ³ òà ñïîðòèâí³ ³ãðè, îë³ãîïîë³ñòè÷í³ ìîäåë³. Êîíôë³êò ìîæå áóòè ðåçóëüòàòîì ñâ³äîìèõ ³ ñòèõ³éíèõ ä³é ð³çíèõ ó÷àñíèê³â. Ãðàâö³ â òåî𳿠³ãîð — öå ó÷àñíèêè (ñóᒺêòè) êîíôë³êòó. Âîíè â³äð³çíÿþòüñÿ ³ìåíàìè àáî íîìåðàìè. ÌîæëèⳠ䳿 êîæíî¿ ç³ ñòîð³í ìàþòü íàçâó ñòðàòå㳿, àáî õîä³â. ²íòåðåñè ñòîð³í ïðåäñòàâëÿþòüñÿ ôóíêö³ÿìè âèãðàøó (ïëàòåæó) äëÿ êîæíîãî ç ãðàâö³â. Ãðà — öå ìîäåëü, ÿêà ôîðìàë³çóº çì³ñòîâíèé îïèñ êîíôë³êòó. Òåîð³ÿ ³ãîð óïåðøå áóëà ñèñòåìíî âèêëàäåíà Äæ. ôîí Íåéìàíîì ³ Î. Ìîíãåðøòåðíîì ó 1944 ð.  ðîêè Äðóãî¿ ñâ³òîâî¿ â³éíè ³ ï³ñëÿ íå¿ òåîð³ÿ ³ãîð ïðèâåðíóëà óâàãó â³éñüêîâèõ ÿê àïàðàò äëÿ äîñë³äæåííÿ ñòðàòåã³÷íèõ ð³øåíü. Ïðîòå îñíîâíèì çàñòîñóâàííÿì òåî𳿠³ãîð ñòàëà åêîíîì³êà. Ó 1994 ð. Íîáåë³âñüêó ïðåì³þ ç åêîíîì³êè îäåðæàëè Äæîí Íåø (ÑØÀ), Äæîí Õàðñàíü¿ (ÑØÀ), Ðåéíõàðä Çåëüòåí (ͳìå÷÷èíà) çà ïðàö³ ó ñôåð³ òåî𳿠³ãîð. ²ãðè êëàñèô³êóþòü çàëåæíî â³ä îáðàíîãî êðèòåð³þ: çà ê³ëüê³ñòþ ãðàâö³â, çà ê³ëüê³ñòþ ñòðàòåã³é, çà âëàñòèâîñòÿìè ôóíêö³é âèãðàøó òà çà ìîæëèâîñòÿìè ïîïåðåäí³õ ïåðåãîâîð³â ì³æ ãðàâöÿìè. Çàëåæíî â³ä ê³ëüêîñò³ ãðàâö³â ðîçð³çíÿþòü ³ãðè ç äâîìà, òðüîìà ³ á³ëüøå ó÷àñíèêàìè. Òåîð³þ îïòèì³çàö³¿, íàïðèêëàä, ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê òåîð³þ ³ãîð ç îäíèì ãðàâöåì. Ìîæíà äîñë³äæóâàòè òàêîæ ³ãðè ç íåñê³í÷åííîþ ê³ëüê³ñòþ ãðàâö³â. 73

Best books Ageofbook.com Çà ê³ëüê³ñòþ ñòðàòåã³é ðîçð³çíÿþòü ñê³í÷åíí³ òà íåñê³í÷åíí³ ³ãðè. Ó ñê³í÷åííèõ ³ãðàõ ê³ëüê³ñòü ìîæëèâèõ ñòðàòåã³é º ÷èñëîì ñê³í÷åííèì (ï³äêèäàííÿ ìîíåòè — äâ³ ñòðàòå㳿, ï³äêèäàííÿ êóáèêà — ø³ñòü ñòðàòåã³é). Ñòðàòå㳿 ó ñê³í÷åííèõ ³ãðàõ íàçèâàþòü ÷èñòèìè ñòðàòåã³ÿìè.  íåñê³í÷åííèõ ³ãðàõ ê³ëüê³ñòü ñòðàòåã³é º íåñê³í÷åííîþ. Çà âëàñòèâîñòÿìè ôóíêö³é âèãðàøó (ïëàò³æíèõ ôóíêö³é) òåîð³þ ³ãîð ïîä³ëÿþòü íà òðè âèäè. Ãðà, â ÿê³é âèãðàø îäíîãî ç ãðàâö³â äîð³âíþº ïðîãðàøó äðóãîãî, ìຠíàçâó ãðè ç íóëüîâîþ ñóìîþ, àáî àíòàãîí³ñòè÷íî¿ ãðè. ßêùî ãðàâö³ âèãðàþòü ³ ïðîãðàþòü îäíî÷àñíî òà ¿ì âèã³äíî ä³ÿòè ðàçîì, òî òàê³ ³ãðè ìàþòü íàçâó ³ãîð ç ïîñò³éíîþ ð³çíèöåþ. Ãðà ç íåíóëüîâîþ ñóìîþ — öå ãðà, â ÿê³é íàÿâí³ êîíôë³êò òà óçãîäæåíà ä³ÿ ãðàâö³â. Çà ìîæëèâ³ñòþ ïîïåðåäí³õ ïåðåãîâîð³â ì³æ ãðàâöÿìè ðîçð³çíÿþòü êîîïåðàòèâí³ òà íåêîîïåðàòèâí³ ³ãðè. Êîîïåðàòèâíà ãðà — öå ãðà, â ÿê³é äî ¿¿ ïî÷àòêó ó÷àñíèêè óòâîðþþòü êîàë³ö³¿ ³ ïðèéìàþòü óãîäè ïðî ñâî¿ ñòðàòå㳿. Íåêîîïåðàòèâíà ãðà — ãðà, â ÿê³é ãðàâö³ íå ìîæóòü êîîðäèíóâàòè ñâî¿ ñòðàòå㳿. Ïðèêëàäîì êîîïåðàòèâíî¿ ãðè ìîæå ñòàòè ñèòóàö³ÿ ëîá³þâàííÿ ó ïàðëàìåíò³ ïðèéíÿòòÿ ð³øåííÿ çàö³êàâëåíèõ ó íüîìó ó÷àñíèê³â øëÿõîì ãîëîñóâàííÿ. Ðîçãëÿíåìî ãðó ç äâîìà ó÷àñíèêàìè, ÿêà ìຠñê³í÷åííó ê³ëüê³ñòü ñòðàòåã³é. Öå äîçâîëèòü çîáðàçèòè ãðó çà äîïîìîãîþ ïëàò³æíî¿ ìàòðèö³. Ïðèïóñò³ìî, êîæåí ãðàâåöü ìຠäâ³ ñòðàòå㳿: “Òàê” àáî “Í³”. Ö³ ñòðàòå㳿 ìîæóòü ÿâëÿòè åêîíîì³÷íèé âèá³ð, íàïðèêëàä, ï³äâèùóâàòè àáî çíèæóâàòè ö³íó òà ïîë³òè÷íèé âèá³ð, íàïðèêëàä, ïðèéìàòè àáî íå ïðèéìàòè çàêîí. Êîæíîìó ãðàâöþ ó êîæí³é ñèòóàö³¿ ïðèïèñóþòü ÷èñëî, ÿêå âèðàæຠñòóï³íü çàäîâîëåííÿ éîãî ³íòåðåñ³â. Öå ÷èñëî íàçèâàºòüñÿ âèãðàøåì ãðàâöÿ. ³äïîâ³äí³ñòü ì³æ íàáîðîì ñèòóàö³é ³ âèãðàøåì ãðàâöÿ íàçèâàºòüñÿ ôóíêö³ºþ âèãðàøó. Ó âèïàäêó ñê³í÷åííî¿ ãðè äâîõ îñ³á ôóíêö³¿ âèãðàøó êîæíîãî ç ãðàâö³â çðó÷íî ïðåäñòàâëÿòè çà äîïîìîãîþ ìàòðèö³ âèãðàø³â, äå ðÿäêè çîáðàæóþòü ñòðàòå㳿 îäíîãî ãðàâöÿ, ñòîâïö³ — ñòðàòå㳿 äðóãîãî ãðàâöÿ.  êë³òèíêàõ ìàòðèö³ âêàçóþòü âèãðàø³ êîæíîãî ç ãðàâö³â ó êîæí³é ç óòâîðåíèõ ñèòóàö³é. Ïëàò³æíà ìàòðèöÿ â³äîáðàæຠâèãðàø êîæíîãî ãðàâöÿ çà êîæíî¿ êîìá³íàö³¿ ñòðàòåã³é, ùî âèáèðàþòüñÿ. ßêùî ãðàâö³ âèáèðàþòü îäíàêîâ³ ñòðàòå㳿, òîáòî ãîâîðÿòü “Òàê” àáî “Í³”, òî âèãðàø îäíîãî ãðàâöÿ äîð³âíþº îäèíèö³, à ïðîãðàø äðóãîãî ãðàâöÿ äîð³âíþº ì³íóñ îäèíèö³. 74

Best books Ageofbook.com Ìàòðèöÿ âèãðàø³â ïåðøîãî ãðàâöÿ ìຠâèãëÿä: Ñòðàòå㳿 äðóãîãî ãðàâöÿ Ñòðàòåã³ÿ ïåðøîãî ãðàâöÿ

“Òàê”

“ͳ”

“Òàê”

1

–1

“ͳ”

–1

1

Ìàòðèöÿ âèãðàø³â äðóãîãî ãðàâöÿ ìຠâèãëÿä: Ñòðàòå㳿 äðóãîãî ãðàâöÿ Ñòðàòåã³ÿ ïåðøîãî ãðàâöÿ

“Òàê”

“ͳ”

“Òàê”

–1

1

“ͳ”

1

–1

Äëÿ íàî÷íîñò³ ìàòðèöþ âèãðàø³â äëÿ îáîõ ãðàâö³â ìîæíà îᒺäíàòè â îäíó: Ñòðàòå㳿 äðóãîãî ãðàâöÿ Ñòðàòåã³ÿ ïåðøîãî ãðàâöÿ

“Òàê”

“ͳ”

“Òàê”

1; –1

–1; 1

“ͳ”

–1; 1

1; –1

Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä çàäàííÿ ìàòðèö³ âèãðàø³â äëÿ ãðè ç íåíóëüîâîþ ñóìîþ, ÿêà ìຠíàçâó äèëåìè óâ’ÿçíåíèõ. Ñóòü ãðè òàêà: äâîõ óâ’ÿçíåíèõ — ñï³âó÷àñíèê³â çëî÷èíó äîïèòóþòü â îêðåìèõ ê³ìíàòàõ. Ó êîæíîãî ç íèõ º âèá³ð: àáî ç³çíàòèñü ó çëî÷èí³ ³ òèì ñàìèì âïëóòàòè ³íøîãî, àáî çàïåðå÷óâàòè ñâîþ ïðè÷åòí³ñòü äî çëî÷èíó. ßêùî ç³çíàºòüñÿ ëèøå îäèí ç óâ’ÿçíåíèõ, éîãî çâ³ëüíÿòü, ³ çâèíóâà÷åíèì áóäå äðóãèé, ÿêîãî ïîçáàâëÿòü âîë³ íà òåðì³í äî 5 ðîê³â. ßêùî îáèäâà çëî÷èíö³ áóäóòü çàïåðå÷óâàòè ñâîþ ïðè÷åòí³ñòü äî çëî÷èíó, îáîõ ïðîòðèìàþòü ó â’ÿçíèö³ äî îäíîãî ðîêó, ÿêùî îáèäâà ç³çíàþòüñÿ, îáîõ óâ’ÿçíÿòü íà òåðì³í äî 3 ðîê³â. Ïëàò³æíà ìàòðèöÿ ö³º¿ ãðè ìຠâèãëÿä: Ñòðàòå㳿 äðóãîãî ãðàâöÿ “Òàê” Ñòðàòåã³ÿ ïåðøîãî ãðàâöÿ

“ͳ”

“Òàê”

3; 3

0; 5

“ͳ”

5; 0

1; 1

75

Best books Ageofbook.com Îñíîâíèì ïðèïóùåííÿì ó òåî𳿠³ãîð º òå, ùî êîæåí ãðàâåöü ïðàãíå çàáåçïå÷èòè äëÿ ñåáå ìàêñèìàëüíî ìîæëèâèé âèãðàø çà áóäü-ÿêèõ ä³é ïàðòíåðà. Ïðèïóñò³ìî, ùî º ñê³í÷åííà àíòàãîí³ñòè÷íà ãðà ç ìàòðèöåþ âèãðàø³â ïåðøîãî ãðàâöÿ À ³, â³äïîâ³äíî, ìàòðèöÿ âèãðàøó äðóãîãî ãðàâöÿ ì³íóñ A. Ãðàâåöü 1 ââàæàº, ùî ÿêó á ñòðàòåã³þ â³í íå îáðàâ, ãðàâåöü 2 îáåðå ñòðàòåã³þ, ÿêà ìàêñèì³çóº éîãî âèãðàø ³ òèì ñàìèì ì³í³ì³çóº âèãðàø ãðàâöÿ 1. Îïòèìàëüíà ñòðàòåã³ÿ ãðàâöÿ 1, ÿêà çàáåçïå÷èòü éîìó íàéá³ëüøèé ç ìîæëèâèõ âèãðàø³â ïîçà ñòðàòå㳺þ, ÿêó îáåðå ñóïåðíèê, áóäå ïîëÿãàòè ó âèáîð³ ñòðàòå㳿 ç íàéâèùèì ç òàêèõ ïëàòåæ³â. Òàêèì ÷èíîì, ãðàâåöü 1 îáèðຠi-òó ñòðàòåã³þ, ÿêà º ðîçâ’ÿçàííÿì çàäà÷³: max min aij . i

j

Ãðàâåöü 2 òàê ñàìî ïðàãíå çàáåçïå÷èòè äëÿ ñåáå íàéâèùèé âèãðàø (íàéìåíøèé ïðîãðàø) íåçàëåæíî â³ä ñòðàòå㳿, îáðàíî¿ ñóïåðíèêîì. Éîãî îïòèìàëüíîþ ñòðàòå㳺þ áóäå ñòîâïåöü ìàòðèö³ À ç íàéìåíøèì çíà÷åííÿì ìàêñèìàëüíîãî ïëàòåæó. Òàêèì ÷èíîì, ãðàâåöü 2 îáåðå j -òó ñòðàòåã³þ, ÿêà º ðîçâ’ÿçàííÿì çàäà÷³: min max aij . j

i

Ó ï³äñóìêó, ÿêùî ãðàâåöü 1 äîòðèìóºòüñÿ îáðàíî¿ ìàêñèì³ííî¿ ñòðàòå㳿, éîãî âèãðàø ó áóäü-ÿêîìó ðàç³ áóäå íå ìåíøèì çà ìàêñèì³ííå çíà÷åííÿ (íèæíÿ ö³íà ãðè), òîáòî: aij ≥ max min aij . i

j

³äïîâ³äíî, ÿêùî ãðàâåöü 2 äîòðèìóºòüñÿ ñâ ì³í³ìàêñíî¿ ñòðàòå㳿, éîãî ïðîãðàø áóäå íå á³ëüøèé çà ì³í³ìàêñíå çíà÷åííÿ (âåðõíÿ ö³íà ãðè), òîáòî: aij ≤min max aij . j

i

ßêùî âåðõíÿ òà íèæíÿ ö³íà ãðè çá³ãàþòüñÿ: max min aij = min max aij = aij*, ij

j

j

i

îáèäâà ãðàâö³ îäåðæóþòü ãàðàíòîâàí³ ïëàòåæ³. Çíà÷åííÿ aij* íàçèâàºòüñÿ ö³íîþ ãðè. ßêùî ö³íà àíòàãîí³ñòè÷íî¿ ãðè äîð³âíþº 0, ãðà íàçèâàºòüñÿ ñïðàâåäëèâîþ. Ïðèêëàä. Ðîçãëÿíåìî ãðó, â ÿê³é ãðàâåöü 1 âîëî䳺 òðüîìà ñòðàòåã³ÿìè, à ãðàâåöü 2 — ÷îòèðìà. Ìàòðèöÿ âèãðàø³â À ãðàâöÿ 1 ìຠâèãëÿä: 76

Best books Ageofbook.com 2

4

5

1

3

5

6

4

4

1

2

7

Ìàòðèöÿ âèãðàø³â äðóãîãî ãðàâöÿ áóäå äîð³âíþâàòè –À. Âèçíà÷òå âåðõíþ òà íèæíþ ö³íó ãðè òà âêàæ³òü ìàêñèì³ííó òà ì³í³ìàêñíó ñòðàòå㳿. Çíàõîäèìî ì³í³ìàëüí³ çíà÷åííÿ â êîæíîìó ðÿäêó: 1-é ðÿäîê min (2, 4, 5, 1) = 1; 2-é ðÿäîê min (3, 5, 6, 4) = 3; 3-é ðÿäîê min (4, 1, 2, 7) = 1. Øóêàºìî ìàêñèìóì ç îäåðæàíèõ â³äïîâ³äåé max (1,3,1) = 3. Îòæå, íèæíÿ ö³íà ãðè äîð³âíþº 3. Âåðõíÿ ö³íà ãðè — öå: min (max(2, 3, 4); max(4, 5, 1); max(5, 6, 2); max(1, 4, 7)) = max(4, 5, 6, 7) = 4. Îòæå, íèæíÿ ö³íà ãðè ìåíøà çà âåðõíþ ö³íó ãðè. Ãðà, â ÿê³é âèêîíóºòüñÿ òàêà ñòðîãà íåð³âí³ñòü, íàçèâàºòüñÿ íå ïîâí³ñòþ âèçíà÷åíîþ ãðîþ. Ó âèïàäêó êîëè âåðõíÿ ö³íà ãðè çá³ãàºòüñÿ ç íèæíüîþ ö³íîþ, ãðà íàçèâàºòüñÿ âèçíà÷åíîþ.

6.2. ÇÀÑÒÎÑÓÂÀÍÍß ÀÏÀÐÀÒÓ ÒÅÎв¯ ²ÃÎÐ Â ÅÊÎÍÎֲ̲ Äèëåìà óâ’ÿçíåíèõ ìîæå áóòè çàñòîñîâàíà äî øèðîêîãî êîëà åêîíîì³÷íèõ ³ ïîë³òè÷íèõ ÿâèù. Ó çàäà÷³ äèëåìè óâ’ÿçíåíèõ ³ñíóº äâà ð³âíîâàæíèõ ðîçâ’ÿçàííÿ. Ïåðøå, ÿêùî îáèäâà íå ç³çíàþòüñÿ òà ¿õ â³äïóñêàþòü, íàçèâàºòüñÿ Ïàðåòî-åôåêòèâíå ð³øåííÿ. Òàêå ð³øåííÿ ìàêñèì³çóº êîðèñí³ñòü îáîõ ñòîð³í. Äðóãå, êîëè îáèäâà ç³çíàþòüñÿ, íàçèâàºòüñÿ ð³âíîâàãîþ çà Íåøåì. Ó öüîìó âèïàäêó æîäåí ç ãðàâö³â íå ìîæå ïîêðàùèòè ñâ³é âèãðàø, çì³íþþ÷è îäíîîñ³áíî âëàñíå ð³øåííÿ. гâíîâàãà çà Íåøåì — öå ñèòóàö³ÿ, êîëè ñòðàòåã³ÿ êîæíîãî ç ãðàâö³â º íàéêðàùîþ ðåàêö³ºþ íà 䳿 ³íøîãî ãðàâöÿ. Ïîä³áíà ñèòóàö³ÿ âëàñòèâà îë³ãîïî볿, îñê³ëüêè îë³ãîïîë³ñòè òàêîæ çä³éñíþþòü íåêîîïåðàòèâíèé âèá³ð, ïåðåáóâàþ÷è â óìîâàõ âçàºìîçàëåæíîñò³. Ïðèïóñò³ìî, ðèíîê ïîä³ëÿþòü ì³æ äâîìà ô³ðìàìè-îë³ãîïîë³ñòàìè: ô³ðìîþ À òà ô³ðìîþ Â. ßêùî á îáèäâ³ ô³ðìè ìîãëè ñï³âïðàöþâàòè, òî, ñêîðîòèâøè âèïóñê ³ ïðèçíà÷èâøè ìîíîïîëüíî âèñîê³ ö³íè, âîíè îäåðæàëè á ³ âèñîêèé ïðèáóòîê ïî 100 ãðí çà îäèíèöþ ïðî77

Best books Ageofbook.com äóêö³¿. Îäíàê ô³ðìè ä³þòü ÿê êîíêóðåíòè. Òîìó âîíè ìîæóòü ïîðóøèòè íåãëàñíó óãîäó âñóïåðå÷ î÷³êóâàííÿì ñóïåðíèêà ïîíèçèòè ö³íè ³ çàõîïèòè ÷àñòèíó éîãî ðèíêó, îäåðæàâøè ùå á³ëüøèé ïðèáóòîê ó 140 ãðí çà îäèíèöþ. Òîä³ ïðèáóòîê ñóïåðíèêà ùå á³ëüøå ñêîðîòèòüñÿ ³ ñòàíîâèòèìå, íàïðèêëàä, 20 ãðí. Ñïðîáóþ÷è ïåðåãðàòè ñóïåðíèêà, êîæåí ãðàâåöü âèáåðå íèçüê³ ö³íè, òà îáèäâ³ ô³ðìè îäåðæàòü ïðèáóòîê ïî 60 ãðí çàì³ñòü 140. Âàð³àíòè ïðèáóòê³â çàëåæíî â³ä âèáîðó ö³í çîáðàæåí³ ó ïëàò³æí³é ìàòðèö³. Ô³ðìà À

Ô³ðìà  Íèçüê³ ö³íè

Âèñîê³ ö³íè

Íèçüê³ ö³íè

60; 60

140;

20

Âèñîê³ ö³íè

20; 140

100; 100

Ô³ðìà À ³ ô³ðìà  íå ìîæóòü ä³ÿòè óçãîäæåíî ³ ðîáëÿòü âèá³ð íà ï³äñòàâ³ ö³íîâî¿ ïîâåä³íêè êîíêóðåíòà. Îáèäâ³ ô³ðìè âèáèðàþòü íàéâèù³ ö³íè ³ îäåðæóþòü îäíàêîâèé ïðèáóòîê ïî 60 ãðí çà îäèíèöþ ïðîäóêö³¿.  ðåçóëüòàò³ ðèçèêè ì³í³ì³çîâàí³, é îë³ãîïîë³ñòè÷íèé ðèíîê ïåðåáóâຠâ óìîâàõ ð³âíîâàãè çà Íåøåì. Öå — ÷àñòêîâà ð³âíîâàãà, îñê³ëüêè ô³ðìè íå ìàêñèì³çóþòü ñâîþ êîðèñí³ñòü. Öÿ ð³âíîâàãà çáåðåæåòüñÿ äîòè, äîêè â îë³ãîïîë³ñò³â íå ç’ÿâèòüñÿ ñòèìóë äî çì³íè îáñÿã³â âèïóñêó. Ó ì³êðîåêîíîì³÷íèõ ìîäåëÿõ ðîçãëÿäàþòü òàê³ ìîäåë³ ïîâåä³íêè îë³ãîïîë³ñò³â: ëàìàíà êðèâà ïîïèòó, òàºìíèé çãîâ³ð (êàðòåëü), ë³äåðñòâî â ö³íàõ, ïðèíöèï ö³íîóòâîðåííÿ “âèòðàòè–ïëþñ”. Àíàë³ç âçàºìîâ³äíîñèí äâîõ ô³ðì â óìîâàõ äóîïî볿 áóâ çàïðîïîíîâàíèé 1838 ðîêó ôðàíöóçüêèì åêîíîì³ñòîì À. Êóðíî (1801–1877). Ìîäåëü Êóðíî ìຠòàê³ ïðèïóùåííÿ. Ô³ðìè À òà  âèðîáëÿþòü îäíîð³äíèé òîâàð. ¯ì â³äîìà êðèâà ðèíêîâîãî ïîïèòó. Îáèäâ³ ô³ðìè ïðèéìàþòü ð³øåííÿ ïðî âèðîáíèöòâî ñàìîñò³éíî òà íåçàëåæíî îäèí â³ä îäíîãî. Êîæíà ç ô³ðì ïåðåäáà÷ຠâèïóñê òîâàðó êîíêóðåíòà ïîñò³éíèì, ïðîäàâö³ íå ìàþòü ³íôîðìàö³¿ ïðî ñâî¿ ïîìèëêè. Ïðè öüîìó ìîæëèâ³ ð³çí³ âàð³àíòè. ßêùî ô³ðìà  ïðèéìຠð³øåííÿ ïðèçóïèíèòè âèðîáíèöòâî, òî ïîïèò ïîâí³ñòþ çàäîâîëüíÿºòüñÿ âèïóñêîì ô³ðìè À. Îáñÿã âèðîáíèöòâà, ÿêèé ìàêñèì³çóº ïðèáóòîê, áóäå âèçíà÷àòèñü ç óìîâè çá³ãàííÿ ãðàíè÷íîãî äîõîäó ³ ãðàíè÷íèõ âèòðàò. ßêùî ô³ðìà  áóäå âèðîáëÿòè ìàêñèìàëüíó ê³ëüê³ñòü òîâàðó, òî ô³ðìà À â³äðåàãóº íà öå çóïèí78

Best books Ageofbook.com êîþ âèðîáíèöòâà. ßêùî ïîçíà÷èòè íà ãðàô³êó çì³íè âèïóñêó ô³ðìè À çàëåæíî â³ä çì³íè âèïóñêó ô³ðìè Â, îäåðæèìî êðèâó ðåàêö³¿ ô³ðìè À: Ra. Ñòîñîâíî ô³ðìè  îäåðæèìî êðèâó ðåàêö³¿ ô³ðìè Â: Rb. Ïåðåòèí êðèâèõ ðåàãóâàííÿ öèõ äâîõ ô³ðì (òî÷êà Å) ïîêàçóº ð³âíîâàãó Êóðíî: êîæíà ô³ðìà â³ðíî ïåðåäáà÷ຠïîâåä³íêó êîíêóðåíòà ³ ïðèéìຠîïòèìàëüíå äëÿ ñåáå ð³øåííÿ. Q2 Q2max

A

Rb

E Ra

0

B

Q1max

Q1

Ðèñ. 6.1. гâíîâàãà Êóðíî

Ìîäåëü ð³âíîâàãè Êóðíî ïðèïóñêàº, ùî ô³ðìè-äóîïîë³ñòè êîíêóðóþòü îäíà ç îäíîþ. ßêùî ô³ðìè äîìîâëÿòüñÿ ìàêñèì³çóâàòè ñóêóïíèé ïðèáóòîê, ùîá ïîò³ì ïîä³ëèòè éîãî íàâï³ë, òî ìíîæèíà ðîçâ’ÿçóâàíü ö³º¿ çàäà÷³ áóäå íàëåæàòè êîíòðàêòí³é êðèâ³é (ïðÿìà ÀÂ). Ìîäåëü Êóðíî — öå ïðèêëàä íåêîîïåðàòèâíî¿ ãðè ç íóëüîâîþ ñóìîþ. Îêð³ì ìîäåë³ Êóðíî, äóîïîë³þ ìîæíà ðîçãëÿäàòè çà ìîäåëÿìè Áåðòðàíà, Åäæóîðòà ³ Øòàêåëüáåðãåðà.

6.3. ÒÅÎÐ²ß ÃÐÀԲ ² ѲÒÊÎÂÅ ÏËÀÍÓÂÀÍÍß Òåîð³ÿ ãðàô³â çàðîäèëàñü ï³ä ÷àñ ðîçâ’ÿçóâàííÿ ãîëîâîëîìîê ó XVIII ñò., îäíàê äîâãî áóëà îñòîðîíü ãîëîâíèõ íàïðÿì³â äîñë³äæåíü. Ïîøòîâõ äî ðîçâèòêó òåîð³ÿ ãðàô³â îäåðæàëà íà ìåæ³ Õ²Õ–ÕÕ ñò., êîëè ð³çêî çð³ñ ³íòåðåñ äî ïðàöü ó ãàëóç³ òîïîëî㳿 òà êîìá³íàòîðèêè. ßê îêðåìà äèñöèïë³íà òåîð³ÿ ãðàô³â óïåðøå áóëà ðîçãëÿíóòà ó ïðàö³ óãîðñüêîãî ìàòåìàòèêà Êüîí³ãà ó 30-ò³ ðîêè ÕÕ ñò. Ãðàôè åôåêòèâíî âèêîðèñòîâóþòüñÿ â òåî𳿠ïëàíóâàííÿ òà óïðàâë³ííÿ, ñîö³îëî㳿, ë³íãâ³ñòèö³, åêîíîì³ö³, ìåäèöèí³. 79

Best books Ageofbook.com ѳòêè ñòàëè çðó÷íèì çíàðÿääÿì äëÿ îïèñó òà àíàë³çó ñêëàäíèõ ïðîåêò³â. ѳòêîâ³ ìîäåë³ ñêëàäíèõ êîìïëåêñ³â ðîá³ò áóëè ðîçðîáëåí³ ³ ïî÷àëè âèêîðèñòîâóâàòèñü ó 50-ò³ ðîêè ÕÕ ñò. ѳòêîâà ìîäåëü çàñòîñîâóâàëàñü ó ÑØÀ ïðè ñòâîðåíí³ áàë³ñòè÷íèõ ðàêåò “Ïîëàð³ñ”, ïðèçíà÷åíèõ äëÿ îñíàùåííÿ àòîìíèõ ï³äâîäíèõ ÷îâí³â àìåðèêàíñüêîãî â³éñüêîâî-ìîðñüêîãî ôëîòó. Ó êîìïëåêñ³ ðîá³ò áðàëî ó÷àñòü ïîíàä 6000 ô³ðì, ðîáîòè âèêîíóâàëèñü íà òåðèòî𳿠48 øòàò³â, à ñ³òêîâèé ãðàô³ê ì³ñòèâ á³ëüøå 10 òèñÿ÷ ïîä³é. Ïåðøà ñèñòåìà ïëàíóâàííÿ é óïðàâë³ííÿ â ÑØÀ ìຠíàçâó ÏÅÐÒ. Óñï³õè â ¿¿ çàñòîñóâàíí³ äîñèòü çíà÷í³. Öå ï³äòâåðäæóº îáîâ’ÿçêîâå ¿¿ çàñòîñóâàííÿ ó áóä³âíèöòâ³. Òðèâàë³ñòü åêîíîì³÷íîãî ïðîöåñó ³ç çàñòîñóâàííÿì ñèñòåìè ñêîðî÷óºòüñÿ íà îäíó òðåòèíó. Ó ÑÐÑÐ íàéïîøèðåí³øèìè áóëè ñèñòåìè ïëàíóâàííÿ òà óïðàâë³ííÿ ÑÏÓ.  îñíîâ³ öèõ ñèñòåì ëåæàòü ñ³òêîâ³ ãðàô³êè. Ñèñòåìè ÑÏÓ ç óñï³õîì çàñòîñîâóâàëèñü ï³ä ÷àñ ñïîðóäæåííÿ ÒÅÖ ó Ëèñè÷àíñüêó, ïðè ðåêîíñòðóþâàíí³ äîìåííî¿ ïå÷³ “Çàïîð³æñòà볔, ïðè áóä³âíèöòâ³ ìåòðîìîñòó ÷åðåç Äí³ïðî â Êèºâ³. ѳòêîâèé ãðàô³ê º íàî÷íèì â³äîáðàæåííÿì åêîíîì³÷íîãî ïðîöåñó. ѳòêè, ÿê³ íåâåëèê³ çà îáñÿãîì, ìîæóòü àíàë³çóâàòèñü áåç âèêîðèñòàííÿ ÏÅÎÌ. ѳòêè ç âåëèêîþ ê³ëüê³ñòþ ïîä³é ó ñó÷àñíèõ óìîâàõ çà íàÿâíîñò³ ïîòóæíèõ êîìï’þòåð³â ³ ïðîãðàì ëåãêî ðåàë³çóþòüñÿ òà âèêîðèñòîâóþòüñÿ. Ãðàô — öå íåïóñòà ìíîæèíà òî÷îê ³ ìíîæèíà â³äð³çê³â, îáèäâà ê³íö³ ÿêèõ íàëåæàòü çàäàí³é ìíîæèí³ òî÷îê. Ïîçíà÷èìî ãðàô áóêâîþ G. ³äð³çêè, ÿê³ ç’ºäíóþòü òî÷êè ãðàôà, ìîæóòü áóòè ë³í³éíèìè òà íåë³í³éíèìè. Äîâæèíè â³äð³çê³â ³ ðîçòàøóâàííÿ òî÷îê º äîâ³ëüíèìè.

a

á

â

Ðèñ. 6.2. Ïðèêëàäè çîáðàæåííÿ ãðàô³â

Òî÷êè ãðàôà íàçèâàþòüñÿ âåðøèíàìè, â³äð³çêè — ðåáðàìè ãðàôà. Ãðàô íà ðèñ. 6.2, à, â ìຠ÷îòèðè âåðøèíè ³ ÷îòèðè ðåáðà. Ãðàô íà ðèñ. 6.3, à ìຠ5 âåðøèí ³ 3 ðåáðà, íà ðèñ. 6.3, á — 4 âåðøèíè ³ 6 ðåáåð. 80

Best books Ageofbook.com

a

á Ðèñ. 6.3. Ïðèêëàäè çîáðàæåííÿ ãðàô³â

Âåðøèíè, ÿê³ íå íàëåæàòü æîäíîìó ç ðåáåð, íàçèâàþòüñÿ ³çîëüîâàíèìè. Íà ðèñ. 6.3, à ãðàô ìຠäâ³ ³çîëüîâàí³ âåðøèíè. Âåðøèíè ãðàôà ïîçíà÷àþòüñÿ ÷èñëàìè àáî âåëèêèìè áóêâàìè, ðåáðà — ïàðàìè ÷èñåë àáî ïàðàìè áóêâ. Ïðèêëàäàìè ãðàô³â ìîæíà ââàæàòè ñõåìè äîð³ã, ïëàíè âèñòàâîê, á³çíåñ-ïëàíè. Ãîëîâíà ¿õ îñîáëèâ³ñòü ïîëÿãຠâ òîìó, ùî íà ñõåìàõ ãðàô³â â³äîáðàæàþòüñÿ ëèøå çâ’ÿçêè ì³æ îᒺêòàìè. Ãðàô íàçèâàºòüñÿ ïîâíèì, ÿêùî êîæí³ äâ³ ð³çí³ âåðøèíè 璺äíàí³ îäíèì ³ ò³ëüêè îäíèì ðåáðîì, ÿêùî ³ñíóþòü âåðøèíè, ÿê³ íå 璺äíàí³ ç ðåáðîì, ãðàô ìຠíàçâó íåïîâíîãî ãðàôà.

Ðèñ. 6.4. Ïîâíèé ãðàô

Ðèñ. 6.5. Íåïîâíèé ãðàô

Äëÿ òîãî ùîá çàäàòè ïîâíèé ãðàô, äîñòàòíüî çíàòè ê³ëüê³ñòü éîãî âåðøèí. Êîæí³é âåðøèí³ ó ïîâíîìó ãðàô³ ç n âåðøèíàìè íàëåæèòü n-1 ðåáðî. Ñòóï³íü âåðøèíè — ê³ëüê³ñòü ðåáåð ãðàôà, ÿêèì íàëåæèòü öÿ âåðøèíà. A

B

A

B B

D

a

C

á

C

A

â

C

Ðèñ. 6.6. Ãðàôè ç ð³çíèìè ñòóïåíÿìè âåðøèí

81

Best books Ageofbook.com Íà ðèñ. 6.6, à ³ á çîáðàæåí³ ãðàôè ç³ ñòóïåíåì âåðøèí: 2 òà 0 â³äïîâ³äíî. Ó ãðàôà íà ðèñ. 6.6, â ñòóïåí³ âåðøèí º ð³çíèìè. Âåðøèíà À ìຠñòóï³íü 2. Âåðøèíè  òà Ñ ìàþòü ñòóï³íü 1. ßêùî ñòóï³íü âåðøèíè — íåïàðíå ÷èñëî, òî âåðøèíà íàçèâàºòüñÿ íåïàðíîþ, ³ íàâïàêè. Øëÿõîì ãðàôà â³ä âåðøèíè À1 äî âåðøèíè Àn íàçèâàºòüñÿ ïîñë³äîâí³ñòü ðåáåð â³ä À1 äî An, â ÿê³é êîæí³ äâà ñóñ³äí³õ ðåáðà ìàþòü ñï³ëüíó âåðøèíó ³ êîæíå ðåáðî çóñòð³÷àºòüñÿ ëèøå îäèí ðàç. Âåðøèíà À1 íàçèâàºòüñÿ ïî÷àòêîì øëÿõó. Âåðøèíà Àn — ê³íöåì øëÿõó. Çà îçíà÷åííÿì âåðøèíè øëÿõó ìîæóòü ïîâòîðþâàòèñü. Øëÿõ â³ä À1 äî Àn íàçèâàºòüñÿ ïðîñòèì, ÿêùî â³í ïðîõîäèòü ÷åðåç êîæíó âåðøèíó ãðàôà ò³ëüêè îäèí ðàç. Ïðèêëàä. Çíàéòè øëÿõè ì³æ âåðøèíàìè ãðàôà À1 òà À4. ßêèé øëÿõ º ïðîñòèì? A2

A1

A3 A4

Øëÿõè ì³æ âåðøèíàìè º ïðîñòèìè: 1. (À1, À4); 2. (À1, À2), (À2, À3), (À3, À4).

Öèêëîì íàçèâàºòüñÿ øëÿõ, ó ÿêîìó çá³ãàþòüñÿ éîãî ïî÷àòêîâà òà ê³íöåâà âåðøèíè. Çà ïðèêëàäîì öèêëîì ó ãðàô³ º øëÿõ (À1, À2), (À2, À3), (À3, À4), (À4, À1). Äîâæèíîþ øëÿõó íàçèâàºòüñÿ ê³ëüê³ñòü ðåáåð öüîãî øëÿõó. Äîâæèíîþ öèêëó íàçèâàºòüñÿ ê³ëüê³ñòü ðåáåð ó öüîìó öèêë³. Ïðèêëàä. Âèçíà÷èòè äîâæèíó øëÿõó â³ä âåðøèíè À1 äî âåðøèíè À5. A2

A1

A4 A5

A3

Äîâæèíà øëÿõó â³ä À1 äî À5: 1. (À1, À5) = 1; 2. (À1, À2), (À2, À3), (À3, À5) = 3. 3. (À1, À2), (À2, À3), (À3, À4), (À4, À5) = 4. 82

Best books Ageofbook.com Äâ³ âåðøèíè À1 òà Àn íàçèâàþòüñÿ çâ’ÿçàíèìè, ÿêùî â ãðàô³ ³ñíóº øëÿõ ç ê³íöÿìè À1 òà Àn, ³ íåçâ’ÿçàíèìè, ÿêùî â ãðàô³ íå ³ñíóº æîäíîãî øëÿõó, ùî ïîâ’ÿçóº ¿õ. Äåðåâîì íàçèâàºòüñÿ áóäü-ÿêèé çâ’ÿçàíèé ãðàô, ÿêèé íå ìຠöèêë³â. A

C

B E

F

G

H

D I

J

K

Ðèñ. 6.7. Äåðåâî

Ó áóä³âíèöòâ³ âåëèêîãî ï³äïðèºìñòâà áåðå ó÷àñòü âåëèêà ê³ëüê³ñòü îðãàí³çàö³é ³ ëþäåé. ßê íàéêðàùå îðãàí³çóâàòè îêðåì³ ðîáîòè, ùîá áóä³âíèöòâî çàâåðøèòè ó íàéêîðîòøèé ñòðîê? ßê ðîçïîä³ëèòè óñòàòêóâàííÿ, ô³íàíñîâ³ ðåñóðñè, ðîáî÷ó ñèëó, ùîá ì³í³ì³çóâàòè âèòðàòè? Ïðè ïëàíóâàíí³ òàêîãî êîìïëåêñó ðîá³ò äîïîìîæå ñ³òêîâå ïëàíóâàííÿ. Ïðîåêòîì íàçèâàºòüñÿ äåÿêèé çàïëàíîâàíèé êîìïëåêñ ðîá³ò, íåîáõ³äíèé äëÿ äîñÿãíåííÿ ìåòè. Äî ïðîåêòó ìîæíà çàðàõóâàòè ïðîåêò áóä³âíèöòâà, ïëàí ä³é íà òèæäåíü, á³çíåñ-ïëàí, ïëàí íàïèñàííÿ äèïëîìíî¿ ðîáîòè. Ïðîåêò ïîä³ëÿºòüñÿ íà îêðåì³ ðîáîòè. Íàïðèêëàä, ïðîåêò íàïèñàííÿ âèïóñêíî¿ äèïëîìíî¿ ðîáîòè ìàã³ñòðà ì³ñòèòü: 1. ϳäá³ð ë³òåðàòóðè ç îáðàíî¿ òåìàòèêè àáî ðîáîòó ç êàòàëîãîì. 2. Ïåðåãëÿä îáðàíî¿ ë³òåðàòóðè, âèá³ð íàéö³êàâ³øîãî ³ äîñòóïíîãî ìàòåð³àëó. 3. Ðîáîòà ç ïåð³îäè÷íèìè âèäàííÿìè. Îãëÿä ñòàòåé ³ ïóáë³êàö³é. 4. Îçíàéîìëåííÿ ç WEB-ñòîð³íêàìè. ϳäá³ð ïîòð³áíèõ àäðåñ. 5. Ñêëàäàííÿ ïëàíó äèïëîìíî¿ ðîáîòè. 6. Îáðîáêà ìàòåð³àëó íà êîìï’þòåð³. 7. Ãðóïóâàííÿ òà àíàë³ç ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ. 8. Íàá³ð ðîáîòè íà êîìï’þòåð³. 9. Ðåäàãóâàííÿ òåêñòó òà îôîðìëåííÿ ðîáîòè â³äïîâ³äíî äî âèìîã. 10. Çäà÷à äèïëîìíî¿ ðîáîòè íà ðåöåíç³þ. Ðîáîòà, ùî âõîäèòü äî ïðîåêòó (êîìïëåêñó), ïîòðåáóº âèòðàò ÷àñó. Äåÿê³ ðîáîòè ìîæóòü âèêîíóâàòèñü ò³ëüêè ó ïåâíîìó ïîðÿäêó, ³íø³ — îäíî÷àñíî ³ íåçàëåæíî îäíà â³ä îäíî¿. ßêùî êîæí³é ïî䳿 ïîñòàâèòè â³äïîâ³äíî âåðøèíó ãðàôà, à êîæí³é ðîáîò³ — îð³ºíòîâàíå 83

Best books Ageofbook.com ðåáðî, òî îäåðæèìî ãðàô. ³í áóäå â³äîáðàæàòè ïîñë³äîâí³ñòü âèêîíàííÿ îêðåìèõ ðîá³ò ³ ïî÷àòêó ïîä³é â ºäèíîìó êîìïëåêñ³. ßêùî íàä ðåáðàìè ïðîñòàâèòè ÷àñ, ÿêèé íåîáõ³äíèé äëÿ çàâåðøåííÿ â³äïîâ³äíî¿ ðîáîòè, îäåðæèìî ñ³òêó. Çîáðàæåííÿ òàêî¿ ñ³òêè íàçèâàºòüñÿ ñ³òêîâèì ãðàô³êîì. Óìîâíà çàëåæí³ñòü ì³æ ïîä³ÿìè çîáðàæóºòüñÿ øòðèõîâèìè ñòð³ëêàìè. ѳòêîâèé ãðàô³ê — öå ãðàô³÷íà ìîäåëü êîìïëåêñó ðîá³ò.  îñíîâ³ ïîáóäîâè ñ³òêîâîãî ãðàô³êà ëåæàòü ïîíÿòòÿ: ðîáîòà, ïî䳿 òà øëÿõ. Ðîáîòó ïîä³ëÿþòü íà âèäè: 1) ðåàëüíà ðîáîòà — áóäü-ÿêèé òðóäîâèé ïðîöåñ, ùî ïîòðåáóº âèòðàò ïðàö³, ÷àñó ³ ìàòåð³àëüíèõ ðåñóðñ³â; 2) î÷³êóâàííÿ — ïàñèâíèé ïðîöåñ; 3) ô³êòèâíà ðîáîòà. Ïî䳿 ïîä³ëÿþòü íà ïî÷àòêîâó, çàâåðøàëüíó òà ïðîì³æí³. Ïàðà ÷èñåë â³äîáðàæຠ÷àñ, íåîáõ³äíèé íà âèêîíàííÿ ðîáîòè (i, j). Òðèâàë³ñòü ðîáîòè ïîçíà÷àºòüñÿ t(i, j). Ïðèêëàä. Äàíî ñ³òêîâèé ãðàô³ê. Âèçíà÷àºìî êðèòè÷íèé øëÿõ ³ ðàíí³é ç ìîæëèâèõ ñòðîê³â ïî÷àòêó çàâåðøàëüíî¿ ïî䳿. 4

1 10 0

7

5

3

2 2

4

3

6 10

7

8 5

2

6

Òðèâàë³ñòü øëÿõó â ñ³òêîâîìó ãðàô³êó — ÷àñ, íåîáõ³äíèé äëÿ âèêîíàííÿ âñ³õ ðîá³ò, ùî ëåæàòü íà øëÿõó L. Òðèâàë³ñòü ïîâíîãî øëÿõó t(L). Øëÿõ, ÿêèé ìຠíàéá³ëüøó òðèâàë³ñòü, — öå êðèòè÷íèé øëÿõ. Âèçíà÷àºìî øëÿõè äàíîãî ãðàôà òà ¿õ òðèâàë³ñòü. L1(0, 1, 2, 7); t(L1) = 10 + 4 + 6 = 20; L2(0, 3, 1, 2, 7); t(L2) = 5 + 7 + 4 + 6 = 22; L3(0, 3, 4, 7); t(L3) = 5 + 2 + 10 = 17; L4(0, 5, 6, 7); t(L4) = 3 + 2 + 8 = 13. Òðèâàë³ñòü íàéäîâøîãî øëÿõó ñòàíîâèòü 22 (äîáè, òèæí³, ãîäèíè). Ïðîåêò íå ìîæå áóòè ðåàë³çîâàíèé ìåíø í³æ çà 22 (äîáè, òèæí³, ãîäèíè). ÎÑÍÎÂͲ ÒÅÐ̲ÍÈ • Ãðà • Äèëåìà óâ’ÿçíåíèõ • Ñòðàòåã³ÿ • Ãðàô • Ôóíêö³ÿ âèãðàøó • Ïðîåêò • ѳòêîâèé ãðàô³ê • Òðèâàë³ñòü øëÿõó 84

Best books Ageofbook.com • Òåîð³ÿ ³ãîð • Ñê³í÷åíí³ òà íåñê³í÷åíí³ ³ãðè • Ìàòðè÷í³ ³ãðè • Êîîïåðàòèâíà òà íåêîîïåðàòèâíà ãðà • Ìàêñèì³ííà òà ì³í³ìàêñíà ñòðàòå㳿

• гâíîâàãà çà Íåøåì • Ìîäåëü Êóðíî • Êðèâà ðåàãóâàííÿ • Êîíòðàêòíà êðèâà • Äîâæèíà øëÿõó

ÊÎÍÒÐÎËÜͲ ÇÀÏÈÒÀÍÍß 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

ßê³ çàäà÷³ ðîçâ’ÿçóþòü â ìîäåëÿõ òåî𳿠³ãîð? ×èì ïðåäñòàâëåí³ ³íòåðåñè ñòîð³í ó òåî𳿠³ãîð? ßê³ ³ñíóþòü êëàñèô³êàö³¿ òåî𳿠³ãîð? Ó ÷îìó ïîëÿãຠîñîáëèâ³ñòü ìàòðè÷íèõ ³ãîð? Ùî îçíà÷ຠ“ìàêñèì³ííà ñòðàòåã³ÿ”? ßê³ ð³âíîâàæí³ ð³øåííÿ ³ñíóþòü ó äèëåì³ óâ’ÿçíåíèõ? ßê³ îë³ãîïîë³ñòè÷í³ ìîäåë³ ìîæíà ðîçâ’ÿçóâàòè çà äîïîìîãîþ òåî𳿠³ãîð? 8. Ùî â³äîáðàæຠñ³òêîâèé ãðàô³ê? 9. ßêà îñíîâíà îñîáëèâ³ñòü ãðàô³â? 10. Äî ÿêèõ åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â âè çàïðîïîíóâàëè á çàñòîñóâàòè ñ³òêîâèé ãðàô³ê? ÒÅÑÒÈ ÒÀ ÇÀÄÀײ 1. Ìàòåìàòè÷íà òåîð³ÿ êîíôë³êòíèõ ñèòóàö³é — öå: à) ìàòåìàòè÷íå ïðîãðàìóâàííÿ; á) òåîð³ÿ ³ãîð; â) ðåãðåñ³éíèé àíàë³ç; ã) òåîð³ÿ ãðàô³â. 2. Òåîð³þ ³ãîð ç îäíèì ãðàâöåì ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê òåîð³þ: à) ãðàô³â; á) îïòèì³çàö³¿; â) ñòàòèñòèêè; ã) áàëàíñîâó. 3. ßêùî ãðàâåöü äîòðèìóºòüñÿ ìàêñèì³ííî¿ ñòðàòå㳿, éîãî âèãðàø çàâæäè áóäå: à) ìåíøèì; á) íå ìåíøèì; â) á³ëüøèì; ã) íå á³ëüøèì çà ìàêñèì³ííå çíà÷åííÿ. 4. Ñèòóàö³ÿ, êîëè ñòðàòåã³ÿ êîæíîãî ç ãðàâö³â º íàéêðàùîþ ðåàêö³ºþ íà ä³þ ³íøîãî ãðàâöÿ, ìຠíàçâó: à) Ïàðåòî-åôåêòèâíîãî ð³øåííÿ; á) ð³âíîâàæíî¿ ãðè; â) ð³âíîâàãè Êóðíî; ã) ð³âíîâàãè çà Íåøåì. 85

Best books Ageofbook.com 5. Äî ìîäåëåé ïîâåä³íêè îë³ãîïîë³ñò³â íå íàëåæàòü: à) ëàìàíà êðèâà ïîïèòó; á) êåéíñ³àíñüêèé õðåñò; â) êàðòåëü; ã) ë³äåðñòâî ó ö³íàõ. 6. Íà îë³ãîïîë³ñòè÷íîìó ðèíêó ä³þòü äâ³ ô³ðìè, ÿê³ âèïóñêàþòü îäíîð³äíèé òîâàð. Ôóíêö³¿ ðåàãóâàííÿ êîæíî¿ ô³ðìè ìàþòü âèãëÿä: Q1 = 48 – 2Q2; Q2 = 48 – 2Q1, äå Q1, Q2 — îáñÿãè âèðîáíèöòâà ô³ðì. Âèçíà÷òå çà óìîâè ð³âíîâàãè Êóðíî âåëè÷èíó âèïóñêó äëÿ êîæíî¿ ô³ðìè. 7. Çíàéä³òü îïòèìàëüí³ ñòðàòå㳿 ãðàâö³â ³ ö³íó ãðè çà íàñòóïíîþ ìàòðèöåþ: 2 À=

3

12

5

8

5

6

7

10

4

8

12

8. Ñòóï³íü âåðøèíè À äàíîãî ãðàôà äîð³âíþº: à) 1; á) 3; â) 4; ã) 5. A

C

B

D

9. Áóäü-ÿêèé òðóäîâèé ïðîöåñ, ùî ïîòðåáóº âèòðàò ïðàö³, ÷àñó ³ ìàòåð³àëüíèõ ðåñóðñ³â, öå: à) î÷³êóâàííÿ; á) ïîä³ÿ; â) ä³éñíà ðîáîòà; ã) ô³êòèâíà ðîáîòà. 10. ×àñ, íåîáõ³äíèé äëÿ âèêîíàííÿ óñ³õ ðîá³ò ó ñ³òêîâîìó ãðàô³êó, ùî ëåæàòü íà öüîìó øëÿõó, ìຠíàçâó: à) òðèâàë³ñòü øëÿõó; á) ïðîåêò; â) öèêë; ã) ïðîì³æíà ïîä³ÿ.

86

Best books Ageofbook.com 11. Çà ñ³òêîâèì ãðàô³êîì âèçíà÷òå òðèâàë³ñòü íàéêîðîòøîãî øëÿõó. 4

1 3

5

2

4 4

0

3

5

7

5

1 2

2

4

3

3 6

12. Çà ñ³òêîâèì ãðàô³êîì âèçíà÷òå êðèòè÷íèé øëÿõ ³ ðàíí³é ç ìîæëèâèõ ñòðîê³â ïî÷àòêó îñòàííüî¿ ïî䳿 (íàéäîâøèé øëÿõ). 1 3

4

5

0

ÑÏÈÑÎÊ ÂÈÊÎÐÈÑÒÀÍί

7

3

1 2

2 6

3

1 2

5

4

4

3

6

ÒÀ ÐÅÊÎÌÅÍÄÎÂÀÍί ˲ÒÅÐÀÒÓÐÈ

1. Áåðåçèíà Ë. Þ. Ãðàôû è èõ ïðèìåíåíèå. — Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1979. 2. Äóáðîâ À. Ì., Ëàãîøà Á. À., Õðóñòàëåâ Å. Þ. Ìîäåëèðîâàíèå ðèñêîâûõ ñèòóàöèé â ýêîíîìèêå è áèçíåñå: Ó÷åá. ïîñîáèå. — Ì.: Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà, 2000. 3. Çàìêîâ Î. Î., ×åðåìíûõ Þ. À., Òîëñòîïÿòåíêî À. Â. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â ýêîíîìèêå: Ó÷åáíèê. — 2-å èçä. — Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ; Äåëî è ñåðâèñ, 1999. 4. Ìýíêüþ Í. Ã. Ïðèíöèïû ýêîíîìèêñ. — ÑÏá.: Ïèòåð Êîì, 1999. 5. Íóðååâ Ð. Ì. Êóðñ ìèêðîýêîíîìèêè: Ó÷åá. äëÿ âóçîâ. — Ì.: ÍÎÐÌÀ, 2000.

87

Best books Ageofbook.com

Ðîçä³ë 7 ÑÒÀÒÈÑÒÈ×Ͳ ÌÎÄÅ˲ ÒÀ ÌÅÒÎÄÈ Îñíîâí³ ñòàòèñòèêè Ìåòîäè ñòàòèñòè÷íîãî àíàë³çó Ïðèêëàäí³ ñòàòèñòè÷í³ ìîäåë³ òà ìåòîäè â åêîíîì³ö³

7.1. ÎÑÍÎÂͲ ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÈ Ìàòåìàòè÷íà ñòàòèñòèêà âèâ÷ຠìåòîäè îáðîáêè äîñë³äíèõ äàíèõ. Îñíîâîþ ñòàòèñòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ º êëàñè÷íèé àïàðàò òåî𳿠éìîâ³ðíîñòåé ³ ìàòåìàòè÷íî¿ ñòàòèñòèêè. Åêîíîì³êî-ñòàòèñòè÷íà ìîäåëü ñêëàäàºòüñÿ ç ê³ëüêîõ åòàï³â: òåîðåòè÷íèé àíàë³ç, âèñóíåííÿ ã³ïîòåçè, àáñòðàãóâàííÿ ïðåäìåòà ìîäåëþâàííÿ, âèá³ð òèïó ìîäåë³. Åêîíîì³êî-ñòàòèñòè÷íó ìîäåëü ìîæíà îäåðæàòè ó âèãëÿä³ ãðóïóâàííÿ, ðÿäó ðîçïîä³ëó, ð³âíÿííÿ, ãðàô³êà òîùî. Åêîíîì³êî-ñòàòèñòè÷í³ ìîäåë³ ïîâèíí³ çàäîâîëüíÿòè îñíîâíèì âèìîãàì: 1) âèðàæàòèñü ñòàòèñòè÷íèìè êàòåãîð³ÿìè; 2) ï³ääàâàòèñü ïåðåâ³ðö³ íà îñíîâ³ ñòàòèñòè÷íèõ êðèòåð³¿â (t, Ñòüþäåíòà, F, Ô³øåðà, Õ-êâàäðàò); 3) ´ðóíòóâàòèñÿ íà âåëèê³é ê³ëüêîñò³ â³ðîã³äíèõ äàíèõ äëÿ ðåàëüíîãî â³äáèòòÿ ³ñíóþ÷èõ âçàºìîçâ’ÿçê³â ³ çàêîíîì³ðíîñòåé. Åêîíîì³êî-ñòàòèñòè÷í³ ìîäåë³ êëàñèô³êóþòü çàëåæíî â³ä îáðàíîãî êðèòåð³þ. 1. Çà ñòóïåíåì àãðåãóâàííÿ ñîö³àëüíî-åêîíîì³÷íîãî ÿâèùà: ìàêðîåêîíîì³÷í³, ì³æãàëóçåâ³, ãàëóçåâ³ òà ì³êðîåêîíîì³÷í³. 2. Çà ñòóïåíåì îõîïëåííÿ òåðèòîð³¿: ñâ³òîâ³, íàö³îíàëüí³, ðåã³îíàëüí³. 3. Çà ðîçì³ðí³ñòþ çàëåæíî â³ä ê³ëüêîñò³ ÷èííèêîâèõ îçíàê: ñóáëîêàëüí³ (äî 3), ëîêàëüí³ (â³ä 4 äî 14), ñóáãëîáàëüí³ (â³ä 15 äî 99), ãëîáàëüí³ (ïîíàä 100). 4. Çà õàðàêòåðîì â³äîáðàæåííÿ ÷àñó: ìîìåíòí³ òà ³íòåðâàëüí³. Òðóäíîù³, ÿê³ âèíèêàþòü ó ïðîöåñ³ ïîáóäîâè åêîíîì³êî-ñòàòèñòè÷íèõ ìîäåëåé, ïîâ’ÿçàí³ ç ïðîòèð³÷÷ÿì ì³æ íåïåðåðâíèì õàðàêòåðîì ñîö³àëüíèõ ³ âèðîáíè÷èõ ïðîöåñ³â ³ äèñêðåòíèì õàðàêòåðîì ìîäåëåé, òîáòî ó íàÿâíîñò³ ÷àñîâèõ ëàã³â. Íåçá³ãàííÿ ó ÷àñ³ ïîâ’ÿçàíèõ ì³æ ñîáîþ ñîö³àëüíî-åêîíîì³÷íèõ ÿâèù ïðèçâîäèòü äî éìîâ³ðí³ñíîãî õàðàêòåðó çâ’ÿçê³â, ÿê³ â³äîáðàæàþòüñÿ ó ìîäåëÿõ. 88

Best books Ageofbook.com Åêîíîì³êî-ñòàòèñòè÷í³ ìîäåë³ ìîæíà ïîä³ëèòè íà òðè ãðóïè: ìîäåë³ ñòðóêòóðè, ìîäåë³ âçàºìîçâ’ÿçêó òà ìîäåë³ äèíàì³êè. Äî ìîäåëåé ñòðóêòóðè íàëåæàòü ãðóïóâàííÿ òà êðèâ³ ðîçïîä³ëó. Ìîäåë³ âçàºìîçâ’ÿçêó çàäàþòüñÿ ð³âíÿííÿìè ðåãðåñ³¿ íà îñíîâ³ ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â. Äî ìîäåëåé äèíàì³êè íàëåæàòü òðåíäîâ³ ìîäåë³, ìîäåë³ ïåð³îäè÷íèõ êîëèâàíü òà êðèâ³ ðîñòó. Îñíîâíîþ ñïåöèô³÷íîþ ðèñîþ ñòàòèñòèêè º òå, ùî âîíà ðîçãëÿäຠíå îêðåìå ÿâèùå, à ¿õ ñóêóïí³ñòü. Ñòàòèñòèêîþ íàçèâàºòüñÿ áóäü-ÿêèé ïàðàìåòð, ùî çàëåæèòü â³ä õ1, õ2, ..., õn. Ñåðåäíº çíà÷åííÿ â³ä ðåçóëüòàòó N ñïîñòåðåæåíü: x = (1/N)Σxi. Ïðèêëàä. Çàïðîïîíîâàíà âèá³ðêà îáñÿã³â ïðîäàæó òåëåâ³çîð³â çà 6 äí³â: {xi} = {2, 5, 3, 7, 4, 1}. Âèçíà÷òå ñåðåäíº çíà÷åííÿ îáñÿã³â ïðîäàæó çà 1 äåíü. x = (1/N)Σxi = (2 + 5 + 3 + 7 + 4 + 1)/6 = 22/5 = 4,4. ßêùî âðàõîâóâàòè ÷àñòîòó âèíèêíåííÿ â³äïîâ³äíèõ çíà÷åíü ó âèáîðö³, òî: x = (1/N)Σxiwi , äå wi — ÷àñòîòà âèíèêíåííÿ çíà÷åííÿ ó âèáîðö³. Ìàòåìàòè÷íå î÷³êóâàííÿ âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè âèçíà÷àºòüñÿ ÿê çâàæåíà ñóìà âñ³õ ìîæëèâèõ ðåàë³çàö³é âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè õ. Òåðåçàìè ó ñóì³ âèñòóïàþòü éìîâ³ðíîñò³ öèõ ðåàë³çàö³é. Ñóìà òåðåç äîð³âíþº îäèíèö³. x x1 x2 ... xn p p1 p2 ... pn Mx = p1x1 + p2x2 + ... + pnxn = Σpixi. Âëàñòèâîñò³ ìàòåìàòè÷íîãî î÷³êóâàííÿ äëÿ ∀a, b, c. Mc = c; M(x + b) = Mx + b; M(aõ) = aMx; M(ax + b) = aMx + b. Ìàòåìàòè÷íå î÷³êóâàííÿ âèêîðèñòîâóºòüñÿ ïðè ïîð³âíÿíí³ âèòðàò ³ ïåðåâàã 䳿 ç âèïàäêîâîþ ïî䳺þ, íàïðèêëàä, âèãðàø ó ëîòåðåþ àáî äîõ³ä, ùî î÷³êóºòüñÿ â³ä ðèçèêîâèõ ö³ííèõ ïàïåð³â. Äèñïåðñ³ÿ — ñåðåäí³é êâàäðàò â³äõèëåííÿ âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè â³ä ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ.

Dx = Mx − ( Mx ). Ñåðåäíº êâàäðàòè÷íå â³äõèëåííÿ âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè σ — ì³ðà ðîçêèäó âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè íàâêîëî ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ, âèçíà÷àºòüñÿ ÿê êîð³íü êâàäðàòíèé ç äèñïåðñ³¿ âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè: σõ = Dx. 2

2

89

Best books Ageofbook.com

7.2. ÌÅÒÎÄÈ ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÍÎÃÎ ÀÍÀ˲ÇÓ Ïåðøèé ìåòîä ñòàòèñòè÷íîãî àíàë³çó — öå äèñïåðñ³éíèé àíàë³ç, àáî ìåòîä ñòàòèñòè÷íî¿ îáðîáêè ñïîñòåðåæåíü. Çàñòîñîâóºòüñÿ äëÿ îö³íþâàííÿ âïëèâó íà âåëè÷èíó, ùî ñïîñòåð³ãàºòüñÿ çà ð³çíèõ ÷èííèêîâèõ îçíàê, â³ä ÿêèõ öÿ âåëè÷èíà çàëåæèòü. Êîæíå âèì³ðþâàííÿ çàëåæèòü â³ä ïåâíî¿ ê³ëüêîñò³ ïàðàìåòð³â, ÿê³ ìîæóòü íàáóâàòè àáî äèñêðåòí³, àáî íåïåðåðâí³ çíà÷åííÿ. Çàëåæí³ñòü ðîçãëÿäàþòü ó âèãëÿä³ ë³í³éíî¿ êîìá³íàö³¿ ïàðàìåòð³â ç êîåô³ö³ºíòàìè: yi = b1x1j + b2x2j + ... + bmxmj + e³, äå xij — ïàðàìåòðè; bi — êîåô³ö³ºíòè; ei — âèïàäêîâà ïîõèáêà âèì³ðþâàííÿ, ³ = 1,m. Êîåô³ö³ºíòè b íàçèâàþòü ÷èííèêàìè. гâíÿííÿ íàçèâàþòü ë³í³éíîþ áàãàòî÷èííèêîâîþ ìîäåëëþ. Ó äèñïåðñ³éíîìó àíàë³ç³ ïàðàìåòðè xij çàçâè÷àé áåðóòü ð³âíèìè íóëþ àáî îäèíèö³, ùî âêàçóº íà òå, ÿê³ ç ÷èííèê³â âðàõîâóþòü çà òàêîãî àíàë³çó. Îäí³ºþ ç ïðîáëåì â åêîíîì³÷íîìó ìîäåëþâàíí³ º ïðîáëåìà âèâ÷åííÿ âçàºìîçâ’ÿçêó åêîíîì³÷íèõ ïîêàçíèê³â. Äðóãèé ìåòîä ñòàòèñòè÷íîãî àíàë³çó — öå ðåãðåñ³éíèé àíàë³ç. Ðîçãëÿíåìî çàëåæí³ñòü äâîõ çì³ííèõ: õ òà y. Ïðèïóñò³ìî, ùî º ðÿäè çíà÷åíü çì³ííèõ ³ â³äïîâ³äí³ ¿ì òî÷êè íàíåñåí³ íà ãðàô³ê. y

0

x

Ðèñ. 7.1. ˳í³éíà çàëåæí³ñòü äâîõ çì³ííèõ

Äëÿ äîñë³äíèõ äàíèõ çà åìï³ðè÷íó ôîðìóëó ìîæíà ïðèéíÿòè ë³í³éíó çàëåæí³ñòü y = ax + b. Íàïðèêëàä, ó êåéíñ³àíñüê³é ôóíêö³¿ ñïîæèâàííÿ ³ñíóº ë³í³éíà ïðÿìà çàëåæí³ñòü ñïîæèâàííÿ â³ä äîõîäó, ôóíêö³ÿ ³íâåñòèö³é òàêîæ ë³í³éíî â³äîáðàæຠîáåðíåíó çàëåæí³ñòü â³äñîòêîâî¿ ñòàâêè â³ä îáñÿãó ³íâåñòèö³é. Îòæå, ìè ïîâèíí³ îö³íèòè ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ y = f(x) — ôîðìóëó ñòàòèñòè÷íîãî çâ’ÿçêó ì³æ çì³ííèìè. ßêùî öÿ ôîðìóëà ë³í³éíà, éäåòüñÿ ïðî ë³í³éíó ðåãðåñ³þ. Ôîðìóëà ñòàòèñòè÷íîãî çâ’ÿçêó äâîõ çì³ííèõ íà90

Best books Ageofbook.com çèâàºòüñÿ ïàðíîþ ðåãðåñ³ºþ, à â³ä ê³ëüêîõ çì³ííèõ — ìíîæèííîþ ðåãðåñ³ºþ. Äëÿ îö³íþâàííÿ íåâ³äîìèõ ïàðàìåòð³â çà ðåçóëüòàòàìè âèì³ðþâàíü âèêîðèñòîâóþòü ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â. Çà éîãî äîïîìîãîþ ñïî÷àòêó âèçíà÷àþòü ôóíêö³îíàëüíó çàëåæí³ñòü ïðåäñòàâëåííÿ äàíèõ äîñë³äæåííÿ, à ïîò³ì äëÿ ö³º¿ çàëåæíîñò³ äîáèðàþòü ïàðàìåòðè. Äëÿ äîñë³äíèõ äàíèõ (ðèñ. 7.2) çà åìï³ðè÷íó ôîðìóëó êðàùå ïðèéíÿòè êâàäðàòè÷íó y = ax2 + bx + c. Äëÿ äîñë³äíèõ äàíèõ (ðèñ. 7.3.) çà åìï³ðè÷íó ôîðìóëó êðàùå ïðèéíÿòè ã³ïåðáîë³÷íó: y = a + b/x. Íàïðèêëàä, êðèâà Ô³ë³ïñà äëÿ êîðîòêîñòðîêîâîãî ïåð³îäó â³äîáðàæຠã³ïåðáîë³÷íó çàëåæí³ñòü ì³æ òåìïàìè ³íôëÿö³¿ òà ð³âíåì áåçðîá³òòÿ. y

y

0

x

Ðèñ. 7.2. Êâàäðàòè÷íà çàëåæí³ñòü

0

x

Ðèñ. 7.3. óïåðáîë³÷íà çàëåæí³ñòü

Çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ïîòð³áíî ì³í³ì³çóâàòè ñóìó: 2 S = ∑ ( yi − y ( xi )) → min, äå xi, yi — çíà÷åííÿ äîñë³äíèõ äàíèõ; y(xi) — çíà÷åííÿ ôóíêö³¿, îá÷èñëåíå çà åìï³ðè÷íîþ çàëåæí³ñòþ ó òî÷ö³ xi; ³=1,n. ßêùî çàëåæí³ñòü âèçíà÷åíà ÿê ë³í³éíà, ñóìà íàáóâຠâèãëÿäó: n

2 F = ∑ ( yi − axi − b) → min . i =1

Äëÿ êâàäðàòè÷íî¿ çàëåæíîñò³: n

2 2 F = ∑ ( yi − axi − bxi − c ) → min . i =1

̳í³ìóì ôóíêö³¿ äîñÿãàºòüñÿ ó òî÷ö³, â ÿê³é ïîõ³äíà ñóìè çà ïàðàìåòðàìè äîð³âíþº íóëþ. Äëÿ ë³í³éíî¿ çàëåæíîñò³ ñèñòåìà ð³âíÿíü, óòâîðåíà ç ïîõ³äíèõ, íàáóâຠâèãëÿäó

∂F / ∂a = −2∑ ( yi − axi − b) xi = 0;  ∂F / ∂b = −2∑ ( yi − axi − b) = 0. 91

Best books Ageofbook.com Äëÿ âèçíà÷åííÿ ïàðàìåòð³â ðîçâ’ÿçóºìî ñèñòåìó äâîõ ð³âíÿíü ç äâîìà íåâ³äîìèìè a òà b.

a ∑ x 2 + b ∑ x = ∑ x y ; i i i i  ∑ ∑ a x bn y + = .  i i Ïðèêëàä. Äîñë³äí³ äàí³ ïðî çíà÷åííÿ X òà Y íàâåäåí³ ó òàáëèö³. X

1

2

3

4

5

6

Y

10

12

4

5

–1

–2

Àíàë³ç äîñë³äíèõ äàíèõ çàñâ³ä÷èâ, ùî çà åìï³ðè÷íó çàëåæí³ñòü ìîæíà âèêîðèñòàòè ë³í³éíó: y = ax + b. Âèçíà÷èìî çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â çíà÷åííÿ à òà b. Ïðîì³æí³ ðåçóëüòàòè çàïèøåìî â òàáëèöþ. i

xi

yi

xi2

xiyi

1

1

10

1

10

2

2

12

4

24

3

3

4

9

12

4

4

5

16

20

5

5

–1

25

–5

6

6

–2

36

–12

Σ

21

28

91

49

Çà îá÷èñëåíèìè äàíèìè ñèñòåìà ë³í³éíèõ ð³âíÿíü íàáóâຠâèãëÿäó:

91a + 21b = 49;  21a + 6b1 = 28.

Ðîçâ’ÿçàâøè ¿¿, îäåðæèìî a = –2,8; b = 14,46. Åìï³ðè÷íà ôîðìóëà ìຠâèãëÿä: y = –2,8x + 14,46.

92

Best books Ageofbook.com

7.3. ÏÐÈÊËÀÄͲ ÑÒÀÒÈÑÒÈ×Ͳ ÌÎÄÅ˲ ÒÀ ÌÅÒÎÄÈ Â ÅÊÎÍÎֲ̲ Ðîçãëÿíåìî ì³êðîåêîíîì³÷íó ìîäåëü “ïîïèò–ïðîïîçèö³ÿ” (ðîçä. 3, ï. 3.1). Ïðèêëàä. Çàïèø³òü ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ äëÿ äîñë³äíèõ äàíèõ ïîïèòó òà ïðîïîçèö³¿ ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â. Âèçíà÷òå ð³âíîâàæíó ö³íó òà ê³ëüê³ñòü. Ïîïèò, Qd

10

9,5

9,1

8,7

8,4

8,0

Ïðîïîçèö³ÿ, Qs

6,0

6,2

6,8

7,6

8,7

9,5

Ö³íà, P

1,0

1,5

2,1

2,4

3,0

3,3

Ðîçâ’ÿçàííÿ. Äëÿ âèçíà÷åííÿ ïàðàìåòð³â ðîçâ’ÿçóºìî ñèñòåìó äâîõ ð³âíÿíü ç äâîìà íåâ³äîìèìè a òà b.

a ∑ x 2 + b ∑ x = ∑ x y ; i i i i   a ∑ xi + bn = ∑ yi .

Äëÿ ôóíêö³¿ ïðîïîçèö³¿ çàì³ñòü õ áåðåìî äàí³ ó ðÿäêó ö³íè, çàì³ñòü y — äàí³ ó ðÿäêó ïðîïîçèö³¿. Äëÿ ôóíêö³¿ ïîïèòó: çàì³ñòü õ — äàí³ ó ðÿäêó ö³íè, çàì³ñòü y — äàí³ ó ðÿäêó ïîïèòó. Ïðîì³æí³ äàí³ äëÿ ôóíêö³¿ ïðîïîçèö³¿ çàïèñóºìî â òàáëèöþ. i

xi

yi

xi2

xiyi

1

1,0

6,0

1,0

6,0

2

1,5

6,2

2,25

9,3

3

2,1

6,5

4,41

14,28

4

2,4

7,6

5,76

18,24

5

3,0

8,7

9,0

26,1

6

3,3

9,5

10,89

31,35

Σ

13,3

44,8

33,31

105,27

93

Best books Ageofbook.com Ïðîì³æí³ äàí³ äëÿ ôóíêö³¿ ïîïèòó òàêîæ çàïèñóºìî â òàáëèöþ. i

xi

yi

1

1,0

10,0

2

1,5

3

xi2

xiyi

1,0

1,0

9,5

2,25

14,15

2,1

9,1

4,41

19,11

4

2,4

8,7

5,76

20,88

5

3,0

8,4

9,0

27,0

6

3,3

8,0

10,89

26,4

Σ

13,3

53,7

33,31

108,54

Ðîçâ’ÿçóºìî äâ³ ñèñòåìè ð³âíÿíü.

33, 31a + 13, 3b = 105, 27;  13, 3a + 6b = 44, 8.

33, 31a + 13, 3b = 8, 54;  13, 3a + 6b = 53, 7.

Îäåðæóºìî òàê³ ð³âíÿííÿ ôóíêö³é ïðîïîçèö³¿ òà ïîïèòó: y = 1,55õ + 4,03; y = –2,77õ + 9,56. Îñê³ëüêè ð³âíîâàæíà ö³íà òà ê³ëüê³ñòü âèçíà÷àºòüñÿ ÿê êîîðäèíàòè òî÷êè ïåðåòèíó ïðÿìèõ ïîïèòó òà ïðîïîçèö³¿, òî ðîçâ’ÿçóºìî ùå îäíó ñèñòåìó ë³í³éíèõ ð³âíÿíü:

 y = 1, 55 x + 4, 03;   y = −2, 77 x + 9, 56.

Îäåðæèìî: õ = 1,28, y = 6,014. ³äïîâ³äü. гâíîâàæíà ö³íà ñòàíîâèòü 1,28 ãð. îä., ð³âíîâàæíà ê³ëüê³ñòü — 6,014 îä. Ó 1971 ð. Ðàëüô Õàñá³ øëÿõîì åìï³ðè÷íèõ äîñë³äæåíü îäåðæàâ ïðîñòó íåë³í³éíó ôóíêö³þ ñïîæèâàííÿ äðóãîãî ñòóïåíÿ [4]: C = 506 + 0,92y – 0,000014y2. Ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ òàêî¿ ôóíêö³¿ äîð³âíþº: MPC = 0,92 – 0,0028y. Òîáòî, MPC ñàìà º ë³í³éíîþ ôóíêö³ºþ çà äîõîäîì ³ ïðè çðîñòàíí³ äîõîäó MPC çíèæóºòüñÿ. Òèì ñàìèì äîâîäèòüñÿ îäíà ç ã³ïîòåç Êåéíñà ïðî îáåðíåíó çàëåæí³ñòü ì³æ äîõîäîì ³ ãðàíè÷íîþ ñõèëüí³ñòþ äî ñïîæèâàííÿ. 94

Best books Ageofbook.com Ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ ó öüîìó âèïàäêó ìຠòàêèé âèãëÿä: Ñ

506

0

Y Ðèñ. 7.4. Ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ Ð. Õàñá³

Ìîäåëü, àáî ã³ïîòåçà Ò. Áðàóíà âèñóíóòà 1952 ðîêó ³ ìຠíàçâó “ã³ïîòåçà çáåðåæåííÿ çâè÷îê” [4]. Ó í³é ïðèïóñêàºòüñÿ, ùî ïîòî÷íå ñïîæèâàííÿ çàëåæèòü â³ä ïîòî÷íîãî äîõîäó ³ ñïîæèâàííÿ ó ìèíóëîìó. Ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ ìຠâèãëÿä: Ct = a + byt + dCt-1 + ut, äå Ct — ïîòî÷íå ñïîæèâàííÿ; yt — ïîòî÷íèé äîõ³ä; Ct-1 — ñïîæèâàííÿ ó ìèíóëîìó, ut — éìîâ³ðí³ñíà ïîìèëêà, ÿêà âèíèêຠâíàñë³äîê ñòîõàñòè÷íèõ â³äõèëåíü. Ó ìîäåë³ çàñòîñîâóâàâñÿ ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â. Äëÿ Ðîñ³¿ 1985–1990 ðð. çàëåæí³ñòü áóëà òàêîþ: C = 80,35 + 0,62y, äëÿ 1992–1995 ðð. çàëåæí³ñòü íàáóëà âèãëÿäó: C = 66,0 + 0,67ó. Äëÿ Ôåäåðàòèâíî¿ Ðåñïóáë³êè ͳìå÷÷èíè ïåð³îäó 1961–1975 ðð. ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ ìàëà âèãëÿä: Ct = 5,78 + 0,57yt + 0,32Ct-1 ± 1,84. Ðîçãëÿíåìî ìîäåëü ïîâåä³íêè ñïîæèâà÷à â óìîâàõ íåâèçíà÷åíîñò³ ç òî÷êè çîðó ñõèëüíîñò³ ñïîæèâà÷à äî ðèçèêó [1]. Ïðèïóñò³ìî, ñïîæèâà÷ âèð³øóº, êóïóâàòè ÷è íå êóïóâàòè ëîòåðåþ çà 10 ãðí, ÿêùî ç éìîâ³ðí³ñòþ 50 % â³í îäåðæèòü äîõ³ä ó 5 ãðí àáî ç éìîâ³ðí³ñòþ 50 % ïðîãðຠ5 ãðí. Î÷³êóâàíå çíà÷åííÿ éîãî êàï³òàëó äîð³âíþº 10 ãðí, à î÷³êóâàíà êîðèñí³ñòü: 1/2U(15) + 1/2U(5) (äèâ. ðèñ. 7.5).

95

Best books Ageofbook.com Êîðèñí³ñòü U(15) U(10) 0,5U(5)+0,5U(15)

Î÷³êóâàíà êîðèñí³ñòü Ôóíêö³ÿ êîðèñíîñò³

U(5)

0

5

10

15

Êàï³òàë

Ðèñ. 7.5. Ôóíêö³ÿ êîðèñíîñò³ ñïîæèâà÷à, ÿêèé íå ñõèëüíèé äî ðèçèêó

Î÷³êóâàíà êîðèñí³ñòü º ñåðåäíüîþ äâîõ ÷èñåë: U(15) òà U(5). ßêùî î÷³êóâàíà êîðèñí³ñòü êàï³òàëó ìåíøà çà êîðèñí³ñòü î÷³êóâàíîãî çíà÷åííÿ, çíà÷èòü ñïîæèâà÷ íå ñõèëüíèé äî ðèçèêó. ßêùî î÷³êóâàíà êîðèñí³ñòü ïåðåâèùóº êîðèñí³ñòü î÷³êóâàíîãî çíà÷åííÿ, òî ñïîæèâà÷ ñõèëüíèé äî ðèçèêó (ðèñ. 7.6). Ôóíêö³ÿ êîðèñíîñò³

Êîðèñí³ñòü U(15)

Î÷³êóâàíà êîðèñí³ñòü

0,5U(5)+0,5U(15) U(10) U(5)

0

5

10

15

Êàï³òàë

Ðèñ. 7.6. Ôóíêö³ÿ êîðèñíîñò³ ñïîæèâà÷à, ÿêèé ñõèëüíèé äî ðèçèêó

Äëÿ ñïîæèâà÷à, ÿêèé íå ñõèëüíèé äî ðèçèêó, ôóíêö³ÿ êîðèñíîñò³ îïóêëà (ðèñ 7.5). Äëÿ ñïîæèâà÷à, ÿêèé ñõèëüíèé äî ðèçèêó, ôóíêö³ÿ êîðèñíîñò³ óâ³ãíóòà (ðèñ. 7.6). Îòæå, êðèâèçíà ôóíêö³¿ êîðèñíîñò³ â³äáèâຠâ³äíîøåííÿ ñïîæèâà÷à äî ðèçèêó. ßêùî î÷³êóâàíà êîðèñí³ñòü êàï³òàëó äîð³âíþº êîðèñíîñò³ éîãî î÷³êóâàíîãî çíà÷åííÿ, òî ñïîæèâà÷ º íåéòðàëüíèì äî ðèçèêó. Íàé÷àñò³øå ïîêàçíèêîì åôåêòèâíîñò³ ô³íàíñîâîãî ð³øåííÿ º ïðèáóòîê. Ó ìîäåëþâàíí³ ðèçèêîâèõ ñèòóàö³é íàéïîøèðåí³øîþ ì³ðîþ ðèçèêó äåÿêîãî á³çíåñîâîãî ð³øåííÿ º ñåðåäíº êâàäðàòè÷íå â³äõèëåííÿ çíà÷åííÿ ïîêàçíèêà åôåêòèâíîñò³ öüîãî ð³øåííÿ. ×èì ìåíøèé ðîç96

Best books Ageofbook.com êèä (äèñïåðñ³ÿ) ðåçóëüòàòó ð³øåííÿ, òèì ìåíøèé ðèçèê. ßêùî äèñïåðñ³ÿ äîð³âíþº íóëþ, ðèçèê â³äñóòí³é. Íàïðèêëàä, â óìîâàõ ñòàá³ëüíî¿ åêîíîì³êè îïåðàö³¿ ç äåðæàâíèìè ö³ííèìè ïàïåðàìè ââàæàþòüñÿ áåçðèçèêîâèìè [2]. Ïðèêëàä. ª äâà ³íâåñòèö³éí³ ïðîåêòè. Ïåðøèé ç éìîâ³ðí³ñòþ 0,6 çàáåçïå÷óº ïðèáóòîê 15 ìëí ãð. îä., îäíàê ç éìîâ³ðí³ñòþ 0,4 ìîæå ïðèçâåñòè äî âòðàòè 5,5 ìëí ãð. îä. Äëÿ äðóãîãî ïðîåêòó ç éìîâ³ðí³ñòþ 0,8 ìîæíà îäåðæàòè ïðèáóòîê 10 ìëí ãð. îä. ³ ç éìîâ³ðí³ñòþ 0,2 âòðàòèòè 6 ìëí ãð. îä. ßêèé ïðîåêò îáðàòè? Ðîçðàõóºìî ñåðåäíþ ïðèáóòêîâ³ñòü äëÿ ïåðøîãî òà äðóãîãî ïðîåêò³â. Ìàòåìàòè÷íå î÷³êóâàííÿ äëÿ ïåðøîãî ïðîåêòó ñòàíîâèòü 0,6õ15 + 0,4õ(–5,5) = 6,8. Ìàòåìàòè÷íå î÷³êóâàííÿ äëÿ äðóãîãî ïðîåêòó ñòàíîâèòü 0,8õ10 + 0,2õ(–6) = 6,8. Îñê³ëüêè ìàòåìàòè÷í³ ñïîä³âàííÿ çá³ãàþòüñÿ, çíàéäåìî ñåðåäí³ êâàäðàòè÷í³ â³äõèëåííÿ äëÿ ïåðøîãî òà äðóãîãî ïðîåêò³â. Ñåðåäíº êâàäðàòè÷íå â³äõèëåííÿ äëÿ ïåðøîãî ïðîåêòó ñòàíîâèòü 0, 6(15 − 6, 8) + 0, 4( − 5, 5 − 6, 8) = 10, 04 ìëí ãð. îä.

Ñåðåäíº êâàäðàòè÷íå â³äõèëåííÿ äëÿ äðóãîãî ïðîåêòó ñòàíîâèòü 0, 8(10 − 6, 8) + 0, 2(−6 − 6, 8) = 6, 4 ìëí ãð. îä.

Äðóãèé ïðîåêò ìຠïåðåâàãó ÿê ìåíø ðèçèêîâàíèé, îñê³ëüêè ñåðåäíº êâàäðàòè÷íå â³äõèëåííÿ äëÿ íüîãî ìåíøå, í³æ äëÿ ïåðøîãî ïðîåêòó. Äëÿ ïîð³âíÿííÿ ñï³ââ³äíîøåííÿ ðèçèêó ³ äîõîäó ð³çíèõ ³íâåñòèö³é ñë³ä âèçíà÷èòè â³äíîñíèé áàçèñ ïîð³âíÿííÿ öèõ âåëè÷èí. Òàêó ôóíêö³þ âèêîíóº êîåô³ö³ºíò âàð³àö³¿. Êîåô³ö³ºíò âàð³àö³¿ =

Ñòàíäàðòíå â³äõèëåííÿ äîõîä³â

.

Î÷³êóâàíèé äîõ³ä ×èì íèæ÷èé êîåô³ö³ºíò âàð³àö³¿, òèì ñïðèÿòëèâ³øå âêëàäàòè ãðîø³ ó öåé ïðîåêò ç òî÷êè çîðó ñï³ââ³äíîøåííÿ ðèçèêó ³ äîõîäó. Íàñòóïíà ìîäåëü — ðèçèê ïîðòôåëÿ ³íâåñòèö³é [3]. Ó âèùåíàâåäåí³é ìîäåë³ ðèçèê ³ äîõîäè ðîçãëÿäàþòüñÿ ñòîñîâíî êîæíîãî îêðåìîãî ïðîåêòó. Ïðîòå êîìïàí³¿ ìàþòü íà ñâî¿õ áàëàíñàõ ð³çí³ àêòèâè òà ïàñèâè, à ³íâåñòîðè ó ñâî¿õ ïîðòôåëÿõ — ð³çíîìàí³òí³ ö³íí³ ïàïåðè. Êîøòè ³íâåñòóþòüñÿ, àáè îäåðæàòè ìàêñèìàëüíèé äîõ³ä ç íàéìåíøèì ðèçèêîì. Âèçíà÷åííÿ ðèçèêó ³ äîõîäó âñüîãî ïîðòôåëÿ ïîòð³áíî ðîçïî÷èíàòè ç ï³äðàõóâàííÿ ñòàíäàðòíèõ â³äõèëåíü òà î÷³97

Best books Ageofbook.com êóâàíîãî äîõîäó â³ä îêðåìèõ àêòèâ³â ïîðòôåëÿ. Ïîò³ì ñë³ä ðîçïîä³ëèòè ðèçèê íà ê³ëüêà àêòèâ³â àáî ö³ííèõ ïàïåð³â, àáè çìåíøèòè çàãàëüíèé ðèçèê. Äëÿ öüîãî º äâà ñïîñîáè. Ïî-ïåðøå, ìîæíà äîäàòêîâî âêëàñòè ãðîø³ â ð³çíîìàí³òí³ ö³íí³ ïàïåðè ïîðòôåëÿ. Ïî-äðóãå, ìîæíà ïðèäáàòè ö³íí³ ïàïåðè, äîõîäè â³ä ÿêèõ ìàþòü ³íøó àìïë³òóäó êîëèâàíü, í³æ ò³, ùî º ó ïîðòôåë³. Äèâåðñèô³êàö³ÿ — çìåíøåííÿ ðèçèêó øëÿõîì ³íâåñòóâàííÿ ó ð³çí³ âèäè ö³ííèõ ïàïåð³â. ×èì á³ëüøå êîëèâàþòüñÿ ó ð³çíèõ íàïðÿìàõ àêòèâè ó ïîðòôåë³, òèì ìåíøèé ð³âåíü ðèçèêó. Äëÿ ïîøóêó ö³ííèõ ïàïåð³â ç ð³çíîþ àìïë³òóäîþ êîëèâàíü êîðèñòóþòüñÿ êðèòåð³ºì êîâàð³àö³¿. Êîâàð³àö³ÿ — öå ñòàòèñòè÷íèé ìåòîä, ÿêèé çàñòîñîâóºòüñÿ äëÿ ïîð³âíÿííÿ íàïðÿì³â çì³í äâîõ çì³ííèõ àáî àêòèâ³â ó ïîðòôåë³ (ðèñ. 7.7). Êîåô³ö³ºíò êîðåëÿö³¿, ÿêèé çì³íþºòüñÿ ó ìåæàõ â³ä –1,0 äî +1,0, âèçíà÷ຠãðàíèö³ òà íàïðÿìè, çà ÿêèìè äîõîäè çì³íþþòüñÿ. Êîåô³ö³ºíò –1,0 îçíà÷àº, ùî íàïðÿìè çì³í äîõîä³â ïðîòèëåæí³, ³ íîâ³ àêòèâè ðåàãóþòü òàê ñàìî, ÿê ³ âåñü ïîðòôåëü ³íâåñòèö³é ³ íå çìåíøóþòü ðèçèêó. Êîåô³ö³ºíò +1,0 îçíà÷àº, ùî íàïðÿìè çì³í äîõîä³â îäíàêîâ³ ³ ðèçèê ïîðòôåëÿ çìåíøóºòüñÿ. Î÷³êóâàíèé äîõ³ä

Î÷³êóâàíèé äîõ³ä Ïîðòôåëü

Ïîðòôåëü Àêòèâè 0

×àñ

Àêòèâè 0

×àñ

Ðèñ. 7.7. Àêòèâè ç á³ëüøèì ³ ìåíøèì ð³âíåì ðèçèêó

Âèêîðèñòîâóþ÷è ìåòîä êîâàð³àö³¿ äëÿ ï³äðàõóíêó êîåô³ö³ºíò³â êîðåëÿö³¿ ð³çíèõ àêòèâ³â ïîðòôåëÿ, ìîæíà âèçíà÷èòè òà âèáðàòè àêòèâè, ùî çâîäÿòü ðèçèê ïîðòôåëÿ äî ì³í³ìóìó. ÎÑÍÎÂͲ ÒÅÐ̲ÍÈ • Ñòàòèñòèêà • Ñåðåäíº çíà÷åííÿ • Ìàòåìàòè÷íå î÷³êóâàííÿ • Äèñïåðñ³ÿ • Ñåðåäíÿ ïðèáóòêîâ³ñòü • Ñåðåäíº êâàäðàòè÷íå â³äõèëåííÿ • Ðèçèê • Êîåô³ö³ºíò âàð³àö³¿ 98

• Ðåãðåñ³éíèé àíàë³ç • Ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â • ˳í³éíà ðåãðåñ³ÿ • Åìï³ðè÷íà ôîðìóëà • Ìîäåëü Ð. Õàñá³ • óïîòåçà Ò. Áðàóíà • Ìåòîä êîâàð³àö³¿ • Äèâåðñèô³êàö³ÿ

Best books Ageofbook.com ÊÎÍÒÐÎËÜͲ ÇÀÏÈÒÀÍÍß 1. ßêèì îñíîâíèì âèìîãàì ïîâèíí³ çàäîâîëüíÿòè åêîíîì³êîñòàòèñòè÷í³ ìîäåë³? 2. ßê³ ãðóïè åêîíîì³êî-ñòàòèñòè÷íèõ ìîäåëåé âè çíàºòå? 3. Ùî º ïîêàçíèêîì åôåêòèâíîñò³ ô³íàíñîâîãî ð³øåííÿ? 4. Ùî º ì³ðîþ ðèçèêó ó ïðèéíÿòò³ ô³íàíñîâîãî ð³øåííÿ? 5. ßê³ âè çíàºòå ñòàòèñòè÷í³ êðèòåð³¿? 6. Íàâåä³òü ïðèêëàäè ñòàòèñòè÷íèõ ìîäåëåé. 7. Ó ÷îìó ïîëÿãຠñóòí³ñòü ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â? 8. Ó ÷îìó îñîáëèâîñò³ ìîäåëþâàííÿ åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â â óìîâàõ ðèçèêó? 9. ×èì â³äð³çíÿþòüñÿ ôóíêö³¿ ñïîæèâàííÿ Êåéíñà ³ Õàñá³? 10. Ðîçòëóìà÷òå ïîâåä³íêó ñïîæèâà÷à, ñõèëüíîãî äî ðèçèêó ÷åðåç çîáðàæåííÿ ôóíêö³¿ êîðèñíîñò³. ÒÅÑÒÈ ÒÀ ÇÀÄÀײ 1. Äî ñòàòèñòè÷íèõ êðèòåð³¿â íå íàëåæèòü êðèòåð³é: à) Ñòüþäåíòà; á) ì³í³ìàêñíèé; â) Ô³øåðà; ã) Õ-êâàäðàò. 2. Çâ’ÿçêè ó ñòàòèñòè÷íèõ ìîäåëÿõ ìàþòü: à) ë³í³éíèé õàðàêòåð; á) ñòîõàñòè÷íèé õàðàêòåð; â) ö³ëî÷èñåëüíèé õàðàêòåð; ã) éìîâ³ðí³ñíèé õàðàêòåð. 3. Äî ñòàòèñòè÷íèõ ìîäåëåé íå íàëåæàòü: à) ìîäåë³ ñòðóêòóðè; á) ìîäåë³ âçàºìîçâ’ÿçêó; â) ñ³òêîâ³ ìîäåë³; ã) ìîäåë³ äèíàì³êè. 4. Ñåðåäí³é êâàäðàò â³äõèëåííÿ âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè â³ä ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ íàçèâàºòüñÿ: à) ìàòåìàòè÷íèì î÷³êóâàííÿì; á) âèáîðêîþ; â) äèñïåðñ³ºþ; ã) ðèçèêîì. 5. Çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ì³í³ìóì ôóíêö³¿ äîñÿãàºòüñÿ ó òî÷ö³, â ÿê³é ïîõ³äíà ñóìè çà ïàðàìåòðàìè äîð³âíþº: à) îäèíèö³; á) ìàòåìàòè÷íîìó î÷³êóâàííþ; â) íóëþ; ã) äèñïåðñ³¿. 6. Ó ìîäåëþâàíí³ ðèçèêîâèõ ñèòóàö³é íàéïîøèðåí³øîþ ì³ðîþ ðèçèêó äåÿêîãî á³çíåñîâîãî ð³øåííÿ º: à) ñåðåäíº êâàäðàòè÷íå â³äõèëåííÿ; á) ìàòåìàòè÷íå î÷³êóâàííÿ; â) ïðèáóòîê; ã) äîõ³ä. 99

Best books Ageofbook.com 7. Äëÿ ñïîæèâà÷à, ÿêèé íå ñõèëüíèé äî ðèçèêó, ïðîïîíóºòüñÿ âèá³ð ì³æ ãðîþ, ÿêà çàáåçïå÷óº 100 ºâðî ç éìîâ³ðí³ñòþ 25 %, ³ 10 ºâðî ç éìîâ³ðí³ñòþ 75 % òà îäíîìîìåíòíîþ âèïëàòîþ ó 32,5 ºâðî. Ùî â³í îáåðå? 8. Ó òàáëèö³ ïîäàíî çíà÷åííÿ òà éìîâ³ðíîñò³ âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè Õ. X

2

3

5

1

6

7

4

P

0,1

0,3

0,2

0,1

0,15

0,05

0,1

Îá÷èñë³òü âåëè÷èíó ìàòåìàòè÷íîãî î÷³êóâàííÿ âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè. 9. ²ñíóº äâà ³íâåñòèö³éí³ ïðîåêòè. Ïåðøèé ç éìîâ³ðí³ñòþ 0,8 çàáåçïå÷óº ïðèáóòîê 10 ìëí ãð. îä. òà ìîæå ç éìîâ³ðí³ñòþ 0,2 âòðàòèòè 2 ìëí ãð. îä. Äëÿ äðóãîãî ïðîåêòó ç éìîâ³ðí³ñòþ 0,75 ìîæíà îäåðæàòè ïðèáóòîê 12 ìëí ãð. îä. ³ ç éìîâ³ðí³ñòþ 0,25 âòðàòèòè 8 ìëí ãð. îä. ßêèé ïðîåêò îáðàòè? 10. Íîì³íàëüí³ äîõîäè â óìîâí³é åêîíîì³ö³ çðîñëè â³äïîâ³äíî äî òåìïó çðîñòàííÿ ð³âíÿ ö³í ó êðà¿í³ çà ïåâíèé ïåð³îä òàêèì ÷èíîì: гâåíü ö³í, X

1,05

1,1

1,2

1,25

1,5

1,6

Íîì³íàëüíèé äîõ³ä, Y

4,5

5

5,2

5,7

6,2

7,0

ßê³ñíèé àíàë³ç äàíèõ çàñâ³ä÷èâ, ùî çà åìï³ðè÷íó çàëåæí³ñòü ìîæíà âèêîðèñòàòè ë³í³éíó çàëåæí³ñòü Y = AX + B. Çàïèø³òü ð³âíÿííÿ ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿ äëÿ äàíèõ ð³âíÿ ö³í ³ íîì³íàëüíîãî äîõîäó â êðà¿í³.

ÑÏÈÑÎÊ ÂÈÊÎÐÈÑÒÀÍί

ÒÀ ÐÅÊÎÌÅÍÄÎÂÀÍί ˲ÒÅÐÀÒÓÐÈ

1. Âýðèàí Õ. Ð. Ìèêðîýêîíîìèêà. Ïðîìåæóòî÷íûé óðîâåíü. Ñîâðåìåííûé ïîäõîä: Ó÷åá. äëÿ âóçîâ / Ïåð. ñ àíãë. ïîä ðåä. Í. Ë. Ôðîëîâîé. — Ì.: ÞÍÈÒÈ, 1997. 2. Äóáðîâ À. Ì., Ëàãîøà Á. À., Õðóñòàëåâ Å. Þ. Ìîäåëèðîâàíèå ðèñêîâûõ ñèòóàöèé â ýêîíîìèêå è áèçíåñå: Ó÷åá. ïîñîáèå. — Ì.: Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà, 2000. 3. ͳêáàõò Å., Ãðîïïåëë³ À. Ô³íàíñè: Ïåð. ç àíãë. — Ê.: Îñíîâè, 1993. 4. Ñåëèùåâ À. Ñ. Ìàêðîýêîíîìèêà. — ÑÏá.: Ïèòåð, 2000. 100

Best books Ageofbook.com

Ðîçä³ë 8 ÅÊÎÍÎÌÅÒÐÈ×Ͳ ÌÎÄÅ˲ ÒÀ ÌÅÒÎÄÈ Åêîíîìåòð³ÿ òà ïðîãíîçóâàííÿ Ïðèêëàäí³ åêîíîìåòðè÷í³ ìîäåë³ Ôðàíö³¿ òà ÑØÀ Ìàêðîåêîíîìåòðè÷í³ ìîäåë³ Óêðà¿íè

8.1. ÅÊÎÍÎÌÅÒÐ²ß ÒÀ ÏÐÎÃÍÎÇÓÂÀÍÍß Åêîíîìåòð³ÿ — ïðèêëàäíà åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷íà äèñöèïë³íà, ÿêà âèâ÷ຠäèíàì³êó ðåàëüíèõ ì³êðî- òà ìàêðîåêîíîì³÷íèõ ÿâèù ³ ïðîöåñ³â äëÿ ê³ëüê³ñíîãî òà ÿê³ñíîãî àíàë³çó é ïðîãíîçóâàííÿ ðåçóëüòàò³â ðîçâèòêó åêîíîì³÷íèõ ñèñòåì, ïðîöåñ³â ³ ÿâèù. Åêîíîìåòðè÷í³ ìîäåë³ ÿâëÿþòü ñîáîþ ñèñòåìè âçàºìîïîâ’ÿçàíèõ ð³âíÿíü ³ âèêîðèñòîâóþòüñÿ äëÿ ê³ëüê³ñíèõ îö³íîê ïàðàìåòð³â åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â òà ÿâèù. Çà âíåñîê ó ðîçâèòîê åêîíîìåòðè÷íèõ ìîäåëåé ³ ìåòîä³â 1969 ð. Íîáåë³âñüêó ïðåì³þ îäåðæàëè Ð. Ôð³ø ³ ß. Ò³íáåðãåí. 1980 ð. çà ñòâîðåííÿ åêîíîì³÷íèõ ìîäåëåé ³ çàñòîñóâàííÿ ¿õ äî àíàë³çó åêîíîì³÷íèõ êîëèâàíü ³ åêîíîì³÷íî¿ ïîë³òèêè Íîáåë³âñüêó ïðåì³þ îäåðæàâ Ë. Êëÿéí. Çà ïîÿñíåííÿ ôóíäàìåíòàëüíèõ îñíîâ åêîíîìåòðèêè çà äîïîìîãîþ òåî𳿠éìîâ³ðíîñòåé òà çà àíàë³ç îäíî÷àñíèõ åêîíîì³÷íèõ ñòðóêòóð íîáåë³âñüêèì ëàóðåàòîì 1989 ð. ñòàâ Ò. Õààâåëüìî, íàðåøò³, 2000 ð. Íîáåë³âñüêó ïðåì³þ îäåðæàëè Ä. Õåêìàí ³ Ä. ÌàêÔàääåí “Çà ðîçðîáêó ì³êðîåêîíîìåò𳿠òà ìåòîä³â ñòàòèñòè÷íîãî àíàë³çó”. Åêîíîìåòðè÷í³ ìîäåë³ â Óêðà¿í³, çîêðåìà, ìîæóòü äîñë³äæóâàòè òàê³ ïðîáëåìè. • Àíàë³çóâàòè âïëèâ îñíîâíèõ ìàêðîåêîíîì³÷íèõ ïîêàçíèê³â íà îáñÿãè ÂÂÏ (³íôëÿö³ÿ, áåçðîá³òòÿ, ³íäåêñ ñïîæèâ÷èõ ö³í òîùî). • Ïðîãíîçóâàòè îñíîâí³ ìàêðîåêîíîì³÷í³ ïîêàçíèêè íà íàñòóïí³ ïåð³îäè (ðåàëüíèé ³ íîì³íàëüíèé ÂÂÏ, ð³âí³ çàéíÿòîñò³ òà áåçðîá³òòÿ, ³íäåêñè ö³í). • Àíàë³çóâàòè òà ïðîãíîçóâàòè ïåðñïåêòèâè ðîçâèòêó áàíê³âñüêî¿ ñèñòåìè, ïðè öüîìó âðàõîâóâàòè ¿¿ îñíîâí³ ïîêàçíèêè (áàëàíñ, ñòàòóòíèé ôîíä, ïðèáóòîê, äåïîçèòè, êðåäèòè òîùî). 101

Best books Ageofbook.com • Äîñë³äæóâàòè âïëèâ îñíîâíèõ ìàêðîåêîíîì³÷íèõ ïîêàçíèê³â íà îáñÿãè êàï³òàëîâêëàäåíü, îñê³ëüêè, çðîñòàííÿ êàï³òàëîâêëàäåíü º îäíèì ç åëåìåíò³â ï³äíåñåííÿ â åêîíîì³ö³. •  óìîâàõ ðèíêîâî¿ åêîíîì³êè, âðàõîâóþ÷è ä³þ çàêîí³â ïîïèòó òà ïðîïîçèö³¿, ñîö³àëüíó ñïðÿìîâàí³ñòü ñó÷àñíî¿ åêîíîì³êè, àíàë³çóâàòè òà ïðîãíîçóâàòè ïðèâàòí³ ñïîæèâàííÿ òà çàîùàäæåííÿ ç óðàõóâàííÿì òàêèõ ÷èííèê³â: çàðîá³òíà ïëàòà, òðàíñôåðòí³ âèïëàòè, ð³âåíü ³íôëÿö³¿, ñïîæèâàííÿ ïðîäîâîëü÷èõ ³ íåïðîäîâîëü÷èõ òîâàð³â, êóðñè ³íîçåìíèõ âàëþò, êóï³âëÿ âàëþòè òà ö³ííèõ ïàïåð³â òîùî. • Äîñë³äæóâàòè ãðîøîâèé ðèíîê íà îñíîâ³ ð³âíîâàæíî¿ ìîäåë³ ãðîøîâîãî ðèíêó ç âèçíà÷åííÿì ºäèíî¿ â³äñîòêîâî¿ ñòàâêè. Âðàõîâóâàòè ïîêàçíèêè ãðîøîâèõ àãðåãàò³â, ãðîøîâî¿ ïðîïîçèö³¿, ãðîøîâî¿ áàçè. • Àíàë³çóâàòè òà ïðîãíîçóâàòè ðîçâèòîê óêðà¿íñüêî¿ åêîíîì³êè ó ìåæàõ ñâ³òîâîãî ãîñïîäàðñòâà ç óðàõóâàííÿì ÷èííèê³â âïëèâó íà êóðñ íàö³îíàëüíî¿ âàëþòè, òîðã³âåëüíîãî òà ïëàò³æíîãî áàëàíñ³â, òàðèôíèõ ³ íåòàðèôíèõ ìåòîä³â òîðã³âåëüíî¿ ïîë³òèêè. Ïðîãíîçóâàííÿ — öå íàóêîâî îá´ðóíòîâàíå âèÿâëåííÿ ìîæëèâèõ òåíäåíö³é ðîçâèòêó äîñë³äæóâàíèõ ïðîöåñ³â. Íåîáõ³äí³ñòü ïðîãíîçóâàííÿ ïîâ’ÿçàíà ç ÍÒÏ ³ áóðõëèâèì ðîçâèòêîì åêîíîì³êî-ñîö³àëüíèõ ïðîöåñ³â. Ïðîöåñ, ùî ïðîãíîçóºòüñÿ, ïîâèíåí ìàòè ðÿä àëüòåðíàòèâ ðîçâèòêó òà áóòè ³íåðö³éíèì, òîáòî çáåð³ãàòè ó ïåðñïåêòèâ³ ñâî¿ îñíîâí³ ðèñè òà çàêîíîì³ðíîñò³. Çàëåæíî â³ä òðèâàëîñò³ ïåð³îäó ðîçð³çíÿþòü òðè âèäè ïðîãíîç³â: êîðîòêîñòðîêîâ³ (ïåð³îä ïðîãíîçóâàííÿ íå á³ëüøå îäíîãî ðîêó), ñåðåäíüîñòðîêîâ³ (â³ä îäíîãî äî ï’ÿòè ðîê³â), äîâãîñòðîêîâ³ (ïîíàä ï’ÿòü ðîê³â). Ðîçðîáêè ó ñôåð³ åêîíîì³÷íîãî ïðîãíîçóâàííÿ â çàðóá³æíèõ êðà¿íàõ ç’ÿâèëèñü â îñòàíí³é ÷âåðò³ XIX ñò. ³ áóëè ïîâ’ÿçàí³ ç³ ñïðîáàìè äîñë³äíèê³â âèÿâèòè ìàéáóòí³ òåíäåíö³¿ âèðîáíèöòâà îñíîâíèõ ïðîäóêò³â íà îñíîâ³ àíàë³çó äèíàì³êè ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ, ÿê³ º â ¿õ ðîçïîðÿäæåíí³. Ãîëîâíèìè ìåòîäàìè ïðîãíîçóâàííÿ íà òîé ÷àñ áóëè åêñïåðòí³ îö³íêè (íà îñíîâ³ ÿê³ñíîãî àíàë³çó ðÿä³â) òà ïðîñòà åêñòðàïîëÿö³ÿ (ïåðåíåñåííÿ ìèíóëèõ òåíäåíö³é íà ìàéáóòíº). Íà ïî÷àòêó XX ñò. çðîáëåí³ ïåðø³ ñïðîáè âèÿâëåííÿ åêîíîì³÷íèõ ³íäèêàòîð³â. 1911 ð. Äæ. Áðóêìàéºð ñïðîáóâàâ âèêîðèñòîâóâàòè äëÿ ïðîãíîçóâàííÿ òðè õðîíîëîã³÷íèõ ðÿäè òàêèõ ïîêàçíèê³â: ³íäåêñ áàíê³âñüêèõ êðåäèò³â, ³íäåêñ ö³í àêö³é, ³íäåêñ çàãàëüíî¿ åêîíîì³÷íî¿ àêòèâíîñò³. Ïîäàëüøèé ðîçâèòîê öåé ï³äõ³ä îäåðæàâ ó 20-ò³ ðîêè â äîñë³äæåííÿõ Ãàðâàðäñüêîãî óí³âåðñèòåòó. Çà îñíîâó áóëè âçÿò³ “ãàðâàðäñüê³ êðèⳔ: ³íäåêñ âàðòîñò³ ö³ííèõ ïàïåð³â íà á³ðæ³, âåëè÷èíà äåïîçèò³â ó áàíêàõ, íîðìà â³äñîòêà. Ïîøòîâõîì ó ïîäàëüøîìó ðîçâèòêó ïðîãíî102

Best books Ageofbook.com çóâàííÿ òà ïëàíóâàííÿ ó ñâ³ò³ ñòàëà ñâ³òîâà åêîíîì³÷íà êðèçà 1929– 1933 ðð. Ó 30-ò³ ðîêè çà êîðäîíîì âèíèêຠïëàíóâàííÿ íà ìàêðîð³âí³. Íàéá³ëüøó ïîïóëÿðí³ñòü îòðèìàëà Ãàðâàðäñüêà øêîëà åêîíîì³÷íèõ áàðîìåòð³â (áàðîìåòð³â ðîçâèòêó), ÿêà ïîâèííà áóëà ïåðåäáà÷àòè ìàéáóòíþ êîí’þíêòóðó, òîáòî ïðîãíîçóâàòè äèíàì³êó òîâàðíîãî ³ ãðîøîâîãî ðèíê³â. Çàñíîâíèêàìè åêîíîìåòðèêè ââàæàþòü Ð. Ôð³øà, ß. Ò³íáåðãåíà, Å. Øóìïåòåðà. Íèí³ ó ñâ³ò³ ñôîðìóâàëîñÿ òðè ïðîâ³äí³ ñèñòåìè ïëàíóâàííÿ òà ðåãóëþâàííÿ: ï³âí³÷íî-àìåðèêàíñüêà (ÑØÀ, Êàíàäà), àç³éñüêà (ßïîí³ÿ òà ϳâäåííà Êîðåÿ), ºâðîïåéñüêà (Ôðàíö³ÿ òà Øâåö³ÿ). ˳äåðîì ó ïðîãíîçóâàíí³ º ÑØÀ. Ïðîãíîçóâàííÿ â ÑØÀ ââàæàºòüñÿ îäí³ºþ ç íàéâàæëèâ³øèõ ôîðì ðåãóëþâàííÿ åêîíîì³êè. Äëÿ ïðîãíîçóâàííÿ çàñòîñîâóþòü ìåòîäè åêñïåðòíèõ îö³íîê, ìåòîäè ñòàòèñòè÷íîãî ïðîãíîçóâàííÿ òà çì³øàí³ ìåòîäè (ïîºäíàííÿ ïåðøèõ äâîõ). Ç â³äîìèõ åêñïåðòíèõ ìåòîä³â íàé÷àñò³øå âèêîðèñòîâóþòü ìåòîäè “Äåëüô³” òà “Ìîçêîâèõ àòàê”. Çà ìåòîäîì “Äåëüô³” ôîðìóþòü ãðóïè, ÿê³ ñêëàäàþòüñÿ ç îäíîãî àáî á³ëüøå åêñïåðò³â. Êîæíà ãðóïà îäåðæóº ïåðåë³ê ïèòàíü ç ïåðñïåêòèâíîãî ðîçâèòêó ñèñòåì ³ â³äïîâ³äຠíà íèõ ñàìîñò³éíî, íåçàëåæíî â³ä ³íøèõ ãðóï. Íà ï³äñòàâ³ â³äïîâ³äåé åêñïåðò³â áóäóºòüñÿ ïðîãíîç. Äàë³ ïî÷èíàºòüñÿ óçãîäæåííÿ ïðîãíîçó äîòè, äîêè äóìêè âñ³õ åêñïåðò³â çá³æàòüñÿ àáî áóäóòü áëèçüêèìè. Çà ìåòîäîì “Ìîçêîâèõ àòàê” óñ³ åêñïåðòè çáèðàþòüñÿ çà “êðóãëèì ñòîëîì”. Êîæåí âèñëîâëþº âëàñíèé ïðîãíîç ùîäî ðîçâèòêó äîñë³äæóâàíî¿ ñèñòåìè. Óñ³ äóìêè åêñïåðò³â îáãîâîðþþòüñÿ, àíàë³çóþòüñÿ ³ ç íèõ âèáèðàºòüñÿ íàéá³ëüø ïðèéíÿòíà. Ìàêðîåêîíîì³÷íå ìîäåëþâàííÿ âæå ê³ëüêà äåñÿòèë³òü âèêîðèñòîâóºòüñÿ ÿê çðó÷íå çíàðÿääÿ àíàë³çó, ³ì³òàö³¿ òà ïðîãíîçóâàííÿ åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â ó äåðæàâíèõ ³ íåäåðæàâíèõ óñòàíîâàõ áàãàòüîõ êðà¿í.

8.2. ÏÐÈÊËÀÄͲ ÅÊÎÍÎÌÅÒÐÈ×Ͳ ÌÎÄÅ˲ ÔÐÀÍÖ²¯ ÒÀ ÑØÀ [4] Ìàêðîåêîíîì³÷íà ìîäåëü Ôðàíö³¿ áóëà ðîçðîáëåíà ó 60-ò³ ðîêè ³ ìàëà íàçâó FIFI. Âîíà ì³ñòèëà 2000 ð³âíÿíü, ùî õàðàêòåðèçóâàëè ïîâåä³íêó ñóᒺêò³â ãîñïîäàðþâàííÿ òà åëåìåíòè ô³íàíñîâîãî ìîäåëþâàííÿ. Çãîäîì ç’ÿâèëèñÿ á³ëüø óí³âåðñàëüí³ ñòàòè÷í³ ìîäåë³ STAR òà ZOGOL. 1978 ð. áóëî ðîçðîáëåíî äèíàì³÷íó áàãàòîñåêòîðíó ìîäåëü DMS, ÿêà íàë³÷óâàëà 1300 ð³âíÿíü ³ îõîïëþâàëà 13 ãàëóçåé åêîíîì³êè. Íàñòóïíîþ áóëà ìîäåëü METRIC, ÿêà âèêîðèñòîâóâàëàñü äëÿ ä³àãíîñòóâàííÿ êîí’þíêòóðè, áþäæåòíîãî ïëàíóâàííÿ ³ êîíòðîëþ. ² íàðåøò³, ìîäåë³ DMS (3200 ð³âíÿíü), Mini DMS1 (45 ð³âíÿíü), Mini 103

Best books Ageofbook.com DMS2 (400 ð³âíÿíü), AMADEUS (ç ê³ëüêîìà âåðñ³ÿìè: ð³÷íîþ, äèíàì³÷íîþ, äâîãàëóçåâîþ). Äëÿ ìîäåëþâàííÿ ô³íàíñîâèõ ïîòîê³â áóëè ðîçðîáëåí³ ìîäåë³ MEFISTO òà BAF, äëÿ äîñë³äæåííÿ ì³æíàðîäíî¿ êîí’þíêòóðè — MOSAIQUE òà MIMOZA. Óñ³ì ìîäåëÿì ñïî÷àòêó áóëî âëàñòèâå óñêëàäíåííÿ, ïîò³ì — ïåðåõ³ä äî ñïðîùåíèõ ³ çðó÷íèõ ó êîðèñòóâàíí³ ìîäåëåé. Íèí³ â óñòàíîâàõ Ôðàíö³¿ âèêîðèñòîâóþòü ï’ÿòü ñó÷àñíèõ ìàêðîåêîíîì³÷íèõ ìîäåëåé: äâ³ ìîäåë³ Ì³í³ñòåðñòâà åêîíîì³êè, ô³íàíñ³â òà ïðîìèñëîâîñò³ Ôðàíö³¿ — AMADEUS òà METRIC, ìîäåëü Áàíêó Ôðàíö³¿ — BAF, äâ³ ìîäåë³ OFCE òà Ïàðèçüêî¿ ïàëàòè òîðã³âë³ òà ïðîìèñëîâîñò³ — MOSAIQUE òà HERMES. Çàãàëüíîþ îçíàêîþ âñ³õ ìîäåëåé º íåîêåéíñ³àíñüêèé ï³äõ³ä. Á³ëüø³ñòü ìàêðîåêîíîìåòðè÷íèõ ìîäåëåé ÑØÀ ´ðóíòóºòüñÿ íà êåéíñ³àíñüêîìó ï³äõîä³ äî âèçíà÷åííÿ äîõîäó àáî ÂÂÏ òà éîãî îñíîâíèõ êîìïîíåíò. Ìîäåë³ âèêîðèñòîâóþòü çà òðüîìà íàïðÿìàìè: ñòðóêòóðíîãî àíàë³çó (âèçíà÷åííÿ ìóëüòèïë³êàòîð³â), ïðîãíîçóâàííÿ îáñÿã³â ³ òåìï³â çì³íè ÂÂÏ, îö³íþâàííÿ åôåêòèâíîñò³ åêîíîì³÷íî¿ ïîë³òèêè (àíàë³ç åôåêòèâíîñò³ äåðæàâíèõ âèòðàò ÷è çì³í ð³âíÿ îïîäàòêóâàííÿ). Íàé÷àñò³øå ó ìîäåëÿõ âèêîðèñòîâóþòü çì³íí³: ñïîæèâàííÿ, ³íâåñòèö³¿, óðÿäîâ³ âèòðàòè, ÷èñò³ ³íîçåìí³ ³íâåñòèö³¿, äîõîäè, ö³íà, çàðîá³òíà ïëàòà, â³äñîòêîâ³ ñòàâêè, çàéíÿò³ñòü, áåçðîá³òòÿ, âèðîáíèöòâî, àêòèâè. Ó ìàêðîåêîíîìåòðè÷íèõ ìîäåëÿõ ÑØÀ íàé÷àñò³øå ìàþòü ì³ñöå òàê³ ôóíêö³îíàëüí³ çàëåæíîñò³: Cp = f (Y , Ec ); I = f (Y , Y−1 , Ei ); Y = Cp + I + Cg + NX , äå Cp — îáñÿã ïðèâàòíîãî ñïîæèâàííÿ; Y — îáñÿã ÂÂÏ; Ec, Ei — çì³íí³, ÿê³ õàðàêòåðèçóþòü âïëèâ âèïàäêîâèõ ÷èííèê³â íà îáñÿãè ïðèâàòíîãî ñïîæèâàííÿ òà îáñÿãè ³íâåñòèö³é; I — îáñÿã ³íâåñòèö³é; Cg — îáñÿã äåðæàâíîãî ñïîæèâàííÿ; NX — îáñÿã ÷èñòîãî åêñïîðòó. Ïåðøå ð³âíÿííÿ õàðàêòåðèçóº ôóíêö³îíàëüíó çàëåæí³ñòü ì³æ îáñÿãîì ñïîæèâàííÿ, âåëè÷èíàìè íàö³îíàëüíîãî äîõîäó ³ ÷èííèêàìè ñòîõàñòè÷íî¿ ïðèðîäè. Äðóãå ð³âíÿííÿ îïèñóº âçàºìîçâ’ÿçîê ì³æ îáñÿãîì ³íâåñòèö³é, ïîòî÷íèì ³ ïîïåðåäí³ì íàö³îíàëüíèì äîõîäîì ³ âïëèâîì âèïàäêîâèõ ÷èííèê³â. Òðåòº ð³âíÿííÿ — îñíîâíà ìàêðîåêîíîì³÷íà òîòîæí³ñòü.

104

Best books Ageofbook.com Åêçîãåííèìè çì³ííèìè â ìîäåë³ º Cg, NX. Åíäîãåííèìè — Cp, I, Y. Ìàêðîåêîíîìåòðè÷í³ ìîäåë³ ÑØÀ ñêëàäàþòüñÿ ç ï’ÿòè îñíîâíèõ: Êëåéíà, Êëåéíà–Ãîëüäáåðãåðà, Óàðòîíà, MPS, DRI. 1. Ìîäåëü Êëåéíà (“ì³æâîºííà ìîäåëü”) ñëóãóâàëà äëÿ àíàë³òè÷íîãî äîñë³äæåííÿ ôóíêö³îíóâàííÿ åêîíîì³êè ÑØÀ çà ïåð³îä ì³æ Ïåðøîþ òà Äðóãîþ ñâ³òîâèìè â³éíàìè (1921–1941). Îñîáëèâîñò³ ìîäåë³. Åêçîãåííèìè çì³ííèìè âèñòóïàþòü çì³íí³, ÿê³ õàðàêòåðèçóþòü äåðæàâíó åêîíîì³÷íó ïîë³òèêó ó ñôåð³ âèòðàò, çàðîá³òíî¿ ïëàòè òà ïîäàòê³â: äåðæàâí³ âèòðàòè (îêð³ì âèòðàò íà çàðîá³òíó ïëàòó äåðæñëóæáîâöÿì), çàðîá³òíà ïëàòà äåðæñëóæáîâöÿì, ïîäàòêè íà á³çíåñ, ÷àñ. Åíäîãåíí³ çì³íí³: âèïóñê — ïðèâàòíèé (íåäåðæàâíèé) íàö³îíàëüíèé ïðîäóêò ó ðèíêîâèõ ö³íàõ, ñïîæèâàííÿ, ÷èñò³ ³íâåñòèö³¿, çàðîá³òíà ïëàòà ïðàö³âíèê³â, çàéíÿòèõ ó íåäåðæàâíîìó ñåêòîð³, ïðèáóòîê, êàï³òàëüí³ çàïàñè íà ê³íåöü ðîêó. Íèí³ öÿ ìîäåëü ïðàêòè÷íî íå âèêîðèñòîâóºòüñÿ. 2. Ìîäåëü Êëåéíà–Ãîëüäáåðãåðà ðîçðîáëåíà äëÿ âèâ÷åííÿ åêîíîì³êè ÑØÀ çà ïåð³îä ç 1921 ïî 1952 ð. çà âèíÿòêîì âîºííèõ 1942–1945 ðð. Ïî÷àòêîâà âåðñ³ÿ ïîáóäîâàíà íà ð³÷íèõ ñïîñòåðåæåííÿõ, õàðàêòåðèçóºòüñÿ ô³êñîâàíîþ âåëè÷èíîþ ïîäàòê³â, ì³ñòèòü 20 ð³âíÿíü, ç ÿêèõ 15 º ñòîõàñòè÷íèìè, 5 — òîòîæíîñò³. Öÿ ìîäåëü ñòàëà îñíîâîþ âåðñ³é åêîíîìåòðè÷íèõ ìîäåëåé äëÿ ïðîãíîçóâàííÿ ð³âíÿ åêîíîì³÷íîãî ðîçâèòêó ÑØÀ. Åêçîãåíí³ çì³íí³ ìîäåë³: äåðæàâí³ âèòðàòè, ïðÿì³ òà íåïðÿì³ ïîäàòêè, ÷èñåëüí³ñòü íàñåëåííÿ òà ðîáî÷î¿ ñèëè, ê³ëüê³ñòü â³äïðàöüîâàíèõ ãîäèí, íàäëèøêîâ³ ðåçåðâè, ð³âåíü ö³í ³ìïîðòíèõ çàêóï³âåëü. Åíäîãåíí³ çì³íí³: ñóêóïíèé äîõ³ä, ñïîæèâàííÿ, âàëîâ³ ïðèâàòí³ ³íâåñòèö³¿, âåëè÷èíà àìîðòèçàö³¿, îáñÿã ³ìïîðòó, çàãàëüí³ çàîùàäæåííÿ, ê³ëüê³ñòü ïðèâàòíèõ ïðàö³âíèê³â, ïðèáóòîê, îáñÿã êàï³òàëüíèõ çàïàñ³â, âåëè÷èíà ë³êâ³äíèõ àêòèâ³â, ð³âåíü ö³í, ð³âåíü â³äñîòêîâèõ ñòàâîê. Ìîäåëü òåîðåòè÷íî ´ðóíòóºòüñÿ íà êåéíñ³àíñüê³é òåîð³¿, à ñàìå íà ñïîæèâ÷îìó ïîïèò³. Ïåðåâàãà ìîäåë³ — çäàòí³ñòü àäåêâàòíî â³äòâîðþâàòè òà ïðîãíîçóâàòè êîëèâàííÿ åêîíîì³÷íî¿ àêòèâíîñò³ â ÑØÀ. 3. Ìîäåëü Óàðòîíà º ïîõ³äíîþ ìîäåë³ Êëåéíà–Ãîëüäáåðãåðà. Îñîáëèâîñò³ ìîäåë³. Íàé÷àñò³øå ðîçðàõîâóºòüñÿ íà îñíîâ³ êâàðòàëüíèõ ïîêàçíèê³â. Ïðèçíà÷åíà äëÿ ñêëàäàííÿ êîðîòêîñòðîêîâèõ ïðîãíîç³â. Âèñîêà òî÷í³ñòü ñòàòèñòè÷íîãî îáë³êó. Ö³ë³ñíå ïðåäñòàâëåííÿ ìîíåòàðíîãî áëîêó ìîäåë³. Ñêëàäàºòüñÿ ç 76 ð³âíÿíü, ç ÿêèõ 47 — ñòîõàñòè÷í³, 29 — ìàêðîåêîíîì³÷í³ òîòîæíîñò³. Ïåðåâàãè: êðàùå çà ð³÷í³ ìîäåë³ â³äòâîðþº êîëèâàííÿ ä³ëîâî¿ àêòèâíîñò³. Ïðèñòîñîâàíà äëÿ âèâ÷åííÿ êîðîòêîñòðîêîâîãî ïåð³îäó ìàêðîåêîíîì³÷íèõ ïðî105

Best books Ageofbook.com öåñ³â. Ó ìîäåë³ ðîçãëÿäàþòüñÿ åêîíîìåòðè÷í³ çàëåæíîñò³, íàïðèêëàä, êðèâà Ô³ë³ïñà, ÿêà ãðàô³÷íî â³äîáðàæຠçâ’ÿçîê ì³æ ð³âíåì çàðîá³òíî¿ ïëàòè òà àãðåãîâàíèì ð³âíåì áåçðîá³òòÿ. Ïàðàìåòðè ìîäåëüíèõ ð³âíÿíü îö³íþþòüñÿ çà äîïîìîãîþ ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â. Îñòàííÿ âåðñ³ÿ ìîäåë³ ìຠíàçâó “Ìîäåëü Ìàðê-9”, ÿêà ì³ñòèòü ñóáìîäåëü “âèòðàòè– âèïóñê”, áëîê òîðã³âë³ òà âèêîðèñòîâóº ãðàíè÷í³ âåëè÷èíè. 4. Ìîäåëü MPS — ñï³ëüíà åêîíîìåòðè÷íà ðîçðîáêà Ôåäåðàëüíîãî ðåçåðâíîãî áþðî, ̳í³ñòåðñòâà çîâí³øíüî¿ òîðã³âë³ ÑØÀ òà Ïåíñèëüâàíñüêîãî óí³âåðñèòåòó. Ïðèçíà÷åíà äëÿ ùîêâàðòàëüíî¿ îö³íêè åêîíîì³÷íîãî âïëèâó àëüòåðíàòèâíèõ âàð³àíò³â ìîíåòàðíî¿ ïîë³òèêè. Ñêëàäàºòüñÿ ç á³ëüø í³æ 100 ð³âíÿíü. Ìຠø³ñòü áëîê³â: ê³íöåâîãî ïîïèòó, ðîçïîä³ëó äîõîäó, ïîäàòê³â ³ òðàíñôåðòíèõ âèïëàò, ðèíêó ïðàö³, ö³í ³ ô³íàíñîâîãî ñåêòîðà. 5. Ìîäåëü DRI — íàéìàñøòàáí³øà àìåðèêàíñüêà åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü. Ðîçðîáëåíà íà îñíîâ³ Áðóê³íãñüêî¿ ìîäåë³ òà ìîäåë³ Óàðòîíà. Îñòàíí³é âàð³àíò ìîäåë³ ðîçðîáëåíèé ï³ä âïëèâîì ê³ëüêîõ òå÷³é: êåéíñ³àíñüêî¿, íåîêëàñè÷íî¿ òà ìîíåòàðíî¿. Ìîäåëü ñòðóêòóðîâàíà íà ê³ëüêîõ ð³âíÿõ ³ ìຠ10 ñåêòîð³â: âíóòð³øí³ ïðèâàòí³ âèòðàòè; âèðîáíèöòâî ³ äîõîäè; óðÿäîâ³ íàäõîäæåííÿ ³ âèòðàòè; ì³æíàðîäí³ ïîòîêè; ô³íàíñè; ö³íà, çàðîá³òíà ïëàòà, ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³; ïðîïîçèö³ÿ; î÷³êóâàííÿ; íàñåëåííÿ; ³íø³ àãðåãàòè òà ïîêàçíèêè. Ðîçãëÿäàþ÷è ³íø³ ïðîãíîçí³ àìåðèêàíñüê³ ìîäåë³, çàçíà÷èìî, ùî ïåðøîþ ìàêðîåêîíîìåòðè÷íîþ ìîäåëëþ ÕÕ ñò. äëÿ äîñë³äæåííÿ ä³ëîâèõ öèêë³â Àìåðèêè ïðîòÿãîì 1919–1932 ðð. áóëà ìîäåëü Ò³íáåðãåíà — ïåðøà ñïðîáà ê³ëüê³ñíîãî âèâ÷åííÿ ïðåäìåòà àíàë³çó á³çíåñ-öèêë³â. Ìîäåëü Âàëàâàí³øà âðàõîâóâàëà ñòàòèñòè÷í³ ñïîñòåðåæåííÿ ç 1869 ïî 1953 ð. ³ áóëà ñïðÿìîâàíà íà âèâ÷åííÿ äîâãîñòðîêîâîãî ïåð³îäó ðîçâèòêó. Ìîäåëü Äüþçåíáåð³–Åêñòåéíà Ôðîììà (DEF–ìîäåëü) îïèñóº ïîêâàðòàëüíèé ðîçâèòîê åêîíîì³êè ÑØÀ â óìîâàõ ðåöåñ³¿. Áðóê³íãñüêà ìîäåëü ñòâîðåíà íà ïî÷àòêó 60-õ ðîê³â ÕÕ ñò. Äîñèòü ñêëàäíà åêîíîìåòðè÷íà ùîêâàðòàëüíà ìîäåëü. Áóëà íå äîñèòü òî÷íîþ â ïðîãíîçíèõ îö³íêàõ, ³ òîìó ç 1960 ð. ¿¿ âèêîðèñòîâóâàëè äëÿ àíàë³çó åêîíîì³÷íî¿ ñèòóàö³¿, à íå ÿê ïðîãíîçíó.

8.3. ÌÀÊÐÎÅÊÎÍÎÌÅÒÐÈ×Ͳ ÌÎÄÅ˲ ÓÊÐÀ¯ÍÈ [4] Óñ³ ìîäåë³ º íàéá³ëüø âàãîìèìè àíàë³òè÷íèìè òà ïðîãíîçíèìè çíàðÿääÿìè äëÿ äîñë³äæåííÿ ïðîáëåì ìàêðîåêîíîì³÷íîãî ðîçâèòêó Óêðà¿íè. 106

Best books Ageofbook.com 1. Ìàêðîìîäåëü åêîíîì³êè Óêðà¿íè-1 ðîçðîáëåíî ôàõ³âöÿìè ²íñòèòóòó åêîíîì³÷íîãî ïðîãíîçóâàííÿ ÍÀÍ Óêðà¿íè. Ïðèçíà÷åíà äëÿ ñêëàäàííÿ ñåðåäíüîñòðîêîâèõ ïðîãíîç³â ðîçâèòêó êëþ÷îâèõ ìàêðîåêîíîì³÷íèõ ïîêàçíèê³â. Âèêîðèñòîâóþòüñÿ ïîêàçíèêè ³ çàëåæíîñò³ ÑÍÐ Óêðà¿íè ç óðàõóâàííÿì ö³ëåé åêîíîì³÷íî¿ ïîë³òèêè. Ìîäåëü º åêîíîìåòðè÷íîþ, ìຠáëî÷íó ñòðóêòóðó òà ùîð³÷íå âèì³ðþâàííÿ. Ñêëàäàºòüñÿ ç 33 ñòîõàñòè÷íèõ ð³âíÿíü ³ òîòîæíîñòåé. Áëîêè-ñåêòîðè ìîäåë³: áëîê ðåàëüíîãî ñåêòîðà, áëîê ñåêòîðà ñïîæèâàííÿ òà äîõîä³â íàñåëåííÿ, áëîê äåðæàâíîãî ñåêòîðà, áëîê çîâí³øíüîåêîíîì³÷íîãî ñåêòîðà, áëîê ãðîøîâî-êðåäèòíîãî ñåêòîðà. Îñîáëèâîñò³ ìîäåë³. Áëîêè ìîäåë³ óçãîäæåí³ ïîêàçíèêàìè ïëàò³æíîãî, ìîíåòàðíîãî áàëàíñ³â ³ áàëàíñó äåðæàâíîãî áþäæåòó. Òåîðåòè÷íîþ áàçîþ ìîäåë³ º êåéíñ³àíñüêèé ï³äõ³ä. 2. Ìàêðîåêîíîìåòðè÷í³ ìîäåë³ ïðîãíîçóâàííÿ ÓÊÐ-ÌÀÊÐÎ-3, ÓÊÐ-ÌÀÊÐÎ- 4. Öå íàéìàñøòàáí³ø³ ìîäåë³. ÓÊÐ-ÌÀÊÐÎ-3 ìຠáëî÷íó ñòðóêòóðó ³ ø³ñòü ï³äñèñòåì: âèðîáíèöòâî; çàéíÿò³ñòü ³ áåçðîá³òòÿ; ôîíäè òà êàï³òàëüí³ âêëàäåííÿ; ô³íàíñè òà ïîäàòêè; ñîö³àëüíà ñôåðà; ðèíîê òîâàð³â ³ ïîñëóã. Ïåðåâàãè ìîäåë³: øèðîêå îõîïëåííÿ, çíà÷íèé ñòóï³íü äåòàë³çàö³¿ (28 ð³âíÿíü, ç íèõ 4 — òðåíäè), âðàõîâóâàííÿ ñïåöèô³êè óêðà¿íñüêî¿ åêîíîì³êè (³ìïîðò íàôòè, ãàçó), òðè ñïîñîáè îö³íêè ³íôëÿö³éíîãî âïëèâó, ê³ëüê³ñíà îö³íêà ñîö³àëüíèõ ñèòóàö³é. Íåäîë³êè: ñòàòèñòè÷íà íåîᒺêòèâí³ñòü, ÿêà ïîâ’ÿçàíà ç íåäîñêîíàë³ñòþ ñòàòèñòè÷íîãî îáë³êó â Óêðà¿í³, æîðñòêèì ïîäàòêîâèì òèñêîì ³ ì³íëèâèìè ïðàâîâèìè íîðìàìè. 3. Ìîäåëþþ÷à ñèñòåìà Áþäæåò. Ðîçðîáêà ²íñòèòóòó ê³áåðíåòèêè ³ì. Â. Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè. Ïðèçíà÷åíà äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ áþäæåòíîãî òà ìàêðîåêîíîì³÷íîãî ìîäåëþâàííÿ. Ìຠáëî÷íèé ïðèíöèï ïîáóäîâè — 8 áëîê³â, êîæåí ç ÿêèõ º îêðåìîþ åêîíîì³êîìàòåìàòè÷íîþ ìîäåëëþ àáî ãðóïîþ ìîäåëåé. 4. Ìîäåëü ñåðåäíüîñòðîêîâîãî ïðîãíîçóâàííÿ ðîçðîáëåíà â ²íñòèòóò³ ê³áåðíåòèêè. Ïðèçíà÷åíà äëÿ ðîçðàõóíêó ùîð³÷íèõ òåìï³â ðîñòó êëþ÷îâèõ ìàêðîåêîíîì³÷íèõ çì³ííèõ (ðåàëüíèé ÂÂÏ, ð³âåíü ³íôëÿö³¿, áåçðîá³òòÿ) ³ áàçóºòüñÿ íà âèêîðèñòàíí³ âèðîáíè÷èõ ôóíêö³é Êîááà–Äóãëàñà. Ðîçðîáêà ì³ñòèòü 2 ï³äìîäåë³: íåë³í³éíó êâàðòàëüíó ìîäåëü (8 ð³âíÿíü) ³ ë³í³éíó ð³÷íó (3 ð³âíÿííÿ). Îñîáëèâîñò³ ìîäåë³: âèêîðèñòàííÿ åêñïåðòíèõ îö³íîê äëÿ êîðèãóâàííÿ ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ, ÿê³ õàðàêòåðèçóþòü ïåð³îä ïî÷àòêó 90-õ ðîê³â. Íåäîë³ê: ñïðîùåíèé îïèñ ìàêðîåêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â, ñïðîùåíà ôîð107

Best books Ageofbook.com ìàë³çàö³ÿ âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿. Ïåðåâàãè: îö³íþâàííÿ ñòàíó îñíîâíîãî âèðîáíè÷îãî êàï³òàëó, âðàõóâàííÿ ïîêàçíèê³â ïàëèâíî-åíåðãåòè÷íîãî áàëàíñó, çàëó÷åííÿ åêñïåðòíèõ îö³íîê ÿê ñïîñîáó êîðèãóâàííÿ òà äîïîâíåííÿ ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ. 5. Êâàðòàëüíà (ð³÷íà) ìîäåëü ïðîãíîçíîãî ðîçðàõóíêó ðåàëüíîãî ÂÂÏ. Ðîçðîáëåíà â ʳáåðíåòè÷íîìó öåíòð³ ÍÀÍ Óêðà¿íè ïðîãíîçíà ìîäåëü º ë³í³éíîþ áàãàòîôàêòîðíîþ ðåãðåñ³ºþ ³ ìîæå âèêîðèñòîâóâàòèñÿ äëÿ ñåðåäíüî- òà äîâãîñòðîêîâîãî ïðîãíîçóâàííÿ. Ïåðåâàãè ìîäåë³: âèñîêà òî÷í³ñòü ¿¿ ïîêàçíèê³â. Íåäîë³ê: â³äñóòí³ñòü ïåâíî¿ åêîíîì³÷íî¿ òåîð³¿. ÎÑÍÎÂͲ ÒÅÐ̲ÍÈ • Åêîíîìåòð³ÿ • Ïðîãíîçóâàííÿ • “Ãàðâàðäñüê³ êðèⳔ • Ìåòîä “Äåëüô³” • Ìåòîä “Ìîçêîâèõ àòàê” • Åêîíîìåòðèêà • Åêîíîìåòðè÷í³ ìîäåë³

• Åêñïåðòí³ îö³íêè • Êîðîòêîñòðîêîâ³ òà ñåðåäíüîñòðîêîâ³ ïðîãíîçè • Ìàêðîåêîíîì³÷í³ ìîäåë³ Ôðàíö³¿ • Ìàêðîåêîíîìåòðè÷í³ ìîäåë³ ÑØÀ • Ìàêðîåêîíîì³÷í³ ìîäåë³ Óêðà¿íè

ÊÎÍÒÐÎËÜͲ ÇÀÏÈÒÀÍÍß 1. Ùî îçíà÷ຠêàòåãîð³ÿ “ïðîãíîçóâàííÿ”? ßê³ âèäè ïðîãíîç³â âè çíàºòå? 2. ßê³ ìåòîäè ïðîãíîçóâàííÿ âè çíàºòå? 3. Ùî íàëåæèòü äî “ãàðâàðäñüêèõ êðèâèõ”? 4. ßêà îñíîâíà îñîáëèâ³ñòü åêîíîìåòðè÷íèõ ìîäåëåé Ôðàíö³¿? 5. Íà ÿê³é òåî𳿠´ðóíòóºòüñÿ á³ëüø³ñòü ìîäåëåé ÑØÀ? 6. ßê³ ìåòîäè çàñòîñîâóþòü ïðè ðîçâ’ÿçàíí³ çàäà÷ çà ïîáóäîâàíèìè ìîäåëÿìè ÑØÀ? 7. Ç ÿêèõ ñåêòîð³â óòâîðåíà ìàêðîìîäåëü åêîíîì³êè Óêðà¿íè-1? 8. Ó ÷îìó îñîáëèâ³ñòü ìîäåë³ ïðîãíîçóâàííÿ ÓÊÐ-ÌÀÊÐÎ-3? 9. Ó ÷îìó ïåðåâàãè òà íåäîë³êè óêðà¿íñüêî¿ ìîäåë³ ñåðåäíüîñòðîêîâîãî ïðîãíîçóâàííÿ? 10. ßê³ á ìîäåë³ âè çàïðîïîíóâàëè äëÿ àíàë³çó òà ïðîãíîçóâàííÿ åêîíîì³êè Óêðà¿íè?

108

Best books Ageofbook.com ÒÅÑÒÈ ÒÀ ÇÀÄÀײ 1. Íàóêîâî îá´ðóíòîâàíå âèÿâëåííÿ ìîæëèâèõ òåíäåíö³é ðîçâèòêó äîñë³äæóâàíèõ ïðîöåñ³â — öå: à) ìîäåëþâàííÿ; á) àáñòðàãóâàííÿ; â) ïðîãíîçóâàííÿ; ã) ³ì³òàö³¿. 2. Çàñíîâíèêàìè åêîíîìåòðèêè º: à) Ð. Ôð³ø; á) Ð. Ñîëîó; â) Ä. Êåéíñ; ã) Â. Ëåîíòüºâ. 3. Äî ìåòîä³â ïðîãíîçóâàííÿ íå íàëåæàòü ìåòîäè: à) ð³âíîâàãè; á) åêñïåðòíèõ îö³íîê; â) ñòàòèñòè÷í³; ã) “Ìîçêîâèõ àòàê”. 4. Äî “ãàðâàðäñüêèõ êðèâèõ” ó ìîäåëÿõ ÑØÀ XX ñò. íå âõîäèëè ïîêàçíèêè: à) ³íäåêñ âàðòîñò³ ö³ííèõ ïàïåð³â íà á³ðæ³; á) âåëè÷èíà äåïîçèò³â ó áàíêàõ; â) íîðìà â³äñîòêà; ã) ñïîæèâàííÿ äîìîãîñïîäàðñòâ. 5. Äî ïðîâ³äíèõ ñèñòåì ðåãóëþâàííÿ òà ïðîãíîçóâàííÿ åêîíîì³êè íàëåæèòü ñèñòåìà: à) ºâðîïåéñüêà; á) êèòàéñüêà; â) ìåêñèêàíñüêà; ã) óêðà¿íñüêà. 6. Äî åêîíîìåòðè÷íèõ ìîäåëåé Ôðàíö³¿ íàëåæèòü ìîäåëü: à) Ò³íáåðãåíà; á) Êëåéíà; â) MPS; ã) AMADEUS. 7. Á³ëüø³ñòü ìàêðîåêîíîìåòðè÷íèõ ìîäåëåé ÑØÀ ´ðóíòóºòüñÿ íà òåîð³¿: à) êëàñè÷í³é; á) êåéíñ³àíñüê³é; â) ìîíåòàðí³é; ã) ñóñï³ëüíîãî âèáîðó.

109

Best books Ageofbook.com 8. Àìåðèêàíñüêîþ ìàêðîåêîíîìåòðè÷íîþ ìîäåëëþ, ðîçðîáëåíîþ ï³ä âïëèâîì êåéíñ³àíñüêî¿, íåîêëàñè÷íî¿ òà ìîíåòàðíî¿ òåîð³é, ìîäåëü: à) DRI; á) Êëåéíà; â) Ò³íáåðãåíà; ã) Óàðòîíà. 9. Ìàêðîåêîíîìåòðè÷íîþ ìîäåëëþ Óêðà¿íè, ÿêà âðàõîâóº ñïåöèô³êó óêðà¿íñüêî¿ åêîíîì³êè (åêñïîðò íàôòè òà ãàçó), º: à) ìîäåëþþ÷à ñèñòåìà Áþäæåò; á) ìîäåëü ÓÊÐ-ÌÀÊÐÎ-3; â) ìîäåëü ñåðåäíüîñòðîêîâîãî ïðîãíîçóâàííÿ; ã) êâàðòàëüíà ìîäåëü ïðîãíîçíîãî ðîçðàõóíêó ðåàëüíîãî ÂÂÏ. 10. Êîæåí ç áëîê³â óêðà¿íñüêî¿ ìîäåëþþ÷î¿ ñèñòåìè Áþäæåò º îêðåìîþ: à) ð³âíîâàæíîþ ìîäåëëþ; á) åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷íîþ â) áàëàíñîâîþ ìîäåëëþ; ìîäåëëþ; ã) ìîäåëëþ òåî𳿠³ãîð.

ÑÏÈÑÎÊ ÂÈÊÎÐÈÑÒÀÍί

ÒÀ ÐÅÊÎÌÅÍÄÎÂÀÍί ˲ÒÅÐÀÒÓÐÈ

1. ³òë³íñüêèé Â. Â. Ìîäåëþâàííÿ åêîíîì³êè: Íàâ÷. ïîñ³á. — Ê.: Âèä-âî ÊÍÅÓ, 2003. 2. Êîðîëüîâ Î. À. Åêîíîìåòð³ÿ: Íàâ÷. ïîñ³á. — Ê.: Íàö. òîðã.åêîí. óí-ò, 2000. 3. Êîñò³íà Í. ²., Àëåêñººâ À. À., Âàñèëèê Î. Ä. Ô³íàíñè: ñèñòåìà ìîäåëåé ³ ïðîãíîç³â: Íàâ÷. ïîñ³á. — Ê.: ×åòâåðòà õâèëÿ, 1998. 4. Ìàêðîåêîíîì³÷íå ìîäåëþâàííÿ òà êîðîòêîñòðîêîâå ïðîãíîçóâàííÿ / Çà ðåä. ². Â. Êðþ÷êîâî¿. — Õàðê³â: Ôîðò, 2000. 5. Íàêîíå÷íèé Ñ. ²., Òåðåùåíêî Ò. Î., Ðîìàíþê Ò. Ï. Åêîíîìåòð³ÿ: ϳäðó÷íèê. — Ê.: Âèä-âî ÊÍÅÓ, 2000. 6. Ïðîãíîçèðîâàíèå è ïëàíèðîâàíèå ýêîíîìèêè: Ó÷åá. ïîñîáèå / Ïîä îáù. ðåä. Â. È. Áîðèñåâè÷à, Ã. À. Êàíäàóðîâîé. — Ìèíñê: Èíòåðïðåññåðâèñ, 2001.

110

Best books Ageofbook.com

ÄÎÄÀÒÎÊ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÍÈÉ ÀÏÀÐÀÒ ÏÐÎÖÅÑÓ ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß Ôóíêö³ÿ. Ïîíÿòòÿ ôóíêö³¿, àáî ôóíêö³îíàëüíî¿ çàëåæíîñò³, º îñíîâíèì ìàòåìàòè÷íèì ïîíÿòòÿì ó ìîäåëþâàíí³. Çà äîïîìîãîþ ôóíêö³¿ ìîäåëþþòü âçàºìîçâ’ÿçêè ì³æ ð³çíèìè âåëè÷èíàìè òà ïîêàçíèêàìè. Çàäàíà ôóíêö³ÿ f, ÿêùî çàäàíî çàêîí, çà ÿêèì êîæíîìó çíà÷åííþ x ç ìíîæèíè À ñòàâèòüñÿ â³äïîâ³äíî ïåâíå çíà÷åííÿ y ç ìíîæèíè Â: y = f(x), x íàçèâàþòü íåçàëåæíîþ çì³ííîþ (àðãóìåíòîì), à y — çàëåæíîþ çì³ííîþ, À — îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿,  — îáëàñòü çì³íè ôóíêö³¿¿. Ôóíêö³þ ìîæíà çàäàòè ôîðìóëîþ, òàáëèöåþ, ãðàô³êîì. 1. Àíàë³òè÷íèé: ôóíêö³ÿ ïîâíèõ âèòðàò ô³ðìè TC = FC+VC. 2. Òàáëè÷íèé: ôóíêö³ÿ ïîïèòó. Ö³íà, ãðí. çà îä.

2

3

4

5

Îáñÿã ïîïèòó, îä.

20

18

16

14

3. Ãðàô³÷íèé: çàëåæí³ñòü ì³æ äîõîäîì ³ ñïîæèâàííÿì äîìàøí³õ ãîñïîäàðñòâ çà ð³ê. Ãðàô³êè äâîõ çì³ííèõ äîçâîëÿþòü ïðîàíàë³çóâàòè äâà åêîíîì³÷íèõ ïàðàìåòðè çà äîïîìîãîþ ñèñòåìè êîîðäèíàò. Ñïîæèâàííÿ Ñ = f(Y) ñ0 Äîõ³ä

0 Ðèñ. 9.1. Ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ

˳í³éí³ ôóíêö³¿ â åêîíîì³ö³ Ôóíêö³ÿ ïðîïîçèö³¿

P

0

Ôóíêö³ÿ ïîïèòó Q Ðèñ. 9.2. Ôóíêö³¿ ïîïèòó òà ïðîïîçèö³¿

111

Best books Ageofbook.com гâåíü ö³í

Êëàñè÷íà ôóíêö³ÿ ñóêóïíî¿ ïðîïîçèö³¿

Êåéíñ³àíñüêà ôóíêö³ÿ ñóêóïíî¿ ïðîïîçèö³¿

Ôóíêö³ÿ ñóêóïíîãî ïîïèòó Q

0

Ðèñ. 9.3. Ôóíêö³¿ ñóêóïíîãî ïîïèòó òà ñóêóïíî¿ ïðîïîçèö³¿ Òîâàð 2

Òîâàð 1

0

Ðèñ. 9.4. Ôóíêö³ÿ áþäæåòíîãî îáìåæåííÿ ñïîæèâà÷à

Ôóíêö³¿ êîðèñíîñò³. U(X1, X2) = X1X2. Ãðàô³êîì ôóíêö³¿ êîðèñíîñò³ º êðèâà áàéäóæîñò³. X2

0

X1

Ðèñ. 9.5. Êðèâà áàéäóæîñò³

112

Best books Ageofbook.com Ôóíêö³ÿ ñïåêóëÿòèâíîãî ïîïèòó íà ãðîø³ (ïîïèò íà ãðîø³ ÿê íà ìàéíî) ïîêàçóº, ñê³ëüêè ãðîøåé äîìàøí³ ãîñïîäàðñòâà áàæàþòü òðèìàòè ïðè ð³çíèõ â³äñîòêîâèõ ñòàâêàõ (ïðè ð³çíèõ ö³íàõ ö³ííèõ ïàïåð³â): L = L(i). i

L(i)

L

0

Ðèñ. 9.6. Ôóíêö³ÿ ñïåêóëÿòèâíîãî ïîïèòó íà ãðîø³

Ïîõ³äíà ôóíêö³¿ Ïåðøîþ ïîõ³äíîþ ôóíêö³¿ f(x) ó òî÷ö³ õ íàçèâàþòü ñê³í÷åííó ãðàíèöþ â³äíîøåííÿ ïðèðîñòó ôóíêö³¿ ∆y = ∆f(x) äî ïðèðîñòó àðãóìåíòà ∆õ çà óìîâè, ùî ∆õ ïðÿìóº äî íóëÿ. f '(x) = lim(∆y/∆x). Îïåðàö³þ çíàõîäæåííÿ ïîõ³äíî¿ f '(x) íàçèâàþòü îïåðàö³ºþ äèôåðåíö³þâàííÿ ôóíêö³¿ f(x). Äèôåðåíö³àëüíå ÷èñëåííÿ â åêîíîì³ö³. Çà äîïîìîãîþ äèôåðåíö³àëüíîãî ÷èñëåííÿ âèâ÷àþòü çâ’ÿçêè åêîíîì³÷íèõ âåëè÷èí, ÿê³ çàïèñóþòü ó âèãëÿä³ ôóíêö³¿. Äèôåðåíö³àëîì dx íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿ õ íàçèâàþòü ¿¿ ë³í³éíèé ïðèð³ñò. Ãåîìåòðè÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿ òà äèôåðåíö³àëà (ðèñ. 9.7). N

Y

dy

M

∆y

y=f(x)

dx

y 0

x0

x0+dx

X

Ðèñ. 9.7. Ãåîìåòðè÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿ òà äèôåðåíö³àëà

113

Best books Ageofbook.com Äîòè÷íîþ äî ãðàô³êà ôóíêö³¿ y = f(x) ó òî÷ö³ m(x0,f(x0)) íàçèâàþòü ãðàíè÷íå ïîëîæåííÿ ñ³÷íî¿ MN ïðè äîâ³ëüíîìó ïðÿìóâàíí³ òî÷êè N äî òî÷êè M ïî ãðàô³êó ôóíêö³¿. Çíà÷åííÿ ïîõ³äíî¿ f'(x0) ó òî÷ö³ õ0 âèçíà÷ຠêóòîâèé êîåô³ö³ºíò äîòè÷íî¿, ÿêà ïðîâåäåíà äî ãðàô³êà ôóíêö³¿ f(x) ó òî÷ö³ M(x0, f(x0)), òîáòî f'(x0) = tgϕ, äå ϕ — êóò ì³æ äîäàòíèì íàïðÿìêîì â³ñ³ ÎÕ ³ äîòè÷íî¿, ÿêèé â³äðàõîâóºòüñÿ ïðîòè ÷àñîâî¿ ñòð³ëêè. Çàñòîñóâàííÿ ïîõ³äíî¿ â åêîíîì³ö³. Ãðàíè÷íà íîðìà çàì³ùåííÿ â çàäà÷àõ ñïîæèâ÷îãî âèáîðó (âçàºìîçàì³íþâàí³ñòü áëàã). Ôóíêö³¿ êîðèñíîñò³ U(X1, X2) = X1X2. Y A

y ∆y

B

y–∆y 0

∆x x

x+∆x

X

Ðèñ. 9.8. Ãðàíè÷íà íîðìà çàì³ùåííÿ

Ãðàíè÷íà íîðìà çàì³ùåííÿ ïîêàçóº, íà ñê³ëüêè îäèíèöü ñïîæèâàííÿ áëàãà Õ ïîòð³áíî çá³ëüøèòè, ùîá ïîâí³ñòþ êîìïåíñóâàòè ñïîæèâà÷ó çìåíøåííÿ ñïîæèâàííÿ áëàãà Y íà îäíó äîäàòêîâó îäèíèöþ. dy −∆y . Äëÿ íåïåðåðâíîãî âèïàäêó MRS = − MRS = . ∆x dx Çáåðåæåííÿ çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ íåçì³ííèì îçíà÷àº, ùî ïðèð³ñò y, à îòæå, ³ éîãî ãîëîâíà ÷àñòèíà, ïîâèíí³ äîð³âíþâàòè íóëþ. ' f y ( x, y ) dx ' ' df ( x , y ) = 0; df ( x , y ) = f x dx + f y dy ⇒ − = ' . dy f x ( x, y )  åêîíîì³÷íèõ ìîäåëÿõ øèðîêî âèêîðèñòîâóþòüñÿ ë³í³éí³ òà íåë³í³éí³ ôóíêö³¿ äâîõ ³ n çì³ííèõ. Âïîðÿäêîâàíà ïàðà ïåðøèõ ÷àñòêîâèõ ïîõ³äíèõ: ∂f ( X 1 , X 2 ) ∂X 1

114

,

∂f ( X 1 , X 2 ) ∂X 2

Best books Ageofbook.com ôóíêö³¿ f(X1, X2) äâîõ çì³ííèõ X1 òà X2 ïîçíà÷àºòüñÿ ñèìâîëîì grad f(X1, X2) ³ íàçèâàºòüñÿ ãðà䳺íòîì ôóíêö³¿ f(X1, X2) äâîõ çì³ííèõ. Ãðà䳺íò ôóíêö³¿ â òî÷ö³ À ïîêàçóº íàïðÿì íàéøâèäøîãî çðîñòàííÿ ôóíêö³¿ f(X1, X2) ó ö³é òî÷ö³. X2 grad f(X1, X2) X2*

0

A

X1

X1* Ðèñ. 9.9. Ãðà䳺íò ôóíêö³¿

ÑÏÈÑÎÊ ÂÈÊÎÐÈÑÒÀÍί

ÒÀ ÐÅÊÎÌÅÍÄÎÂÀÍί ˲ÒÅÐÀÒÓÐÈ

1. Ëÿøåíêî È. Í., Ëÿøåíêî Å. È. Ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ. — Äîíåöê: Èçä-âî ÄîíÃÓ, 1999. 2. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ ýêîíîìèñòîâ / Ïîä ðåä. Â. È. Åðìàêîâà. — Ì.: Âûñø. øê., 1987.

115

Best books Ageofbook.com

²ÄÏβIJ ÄÎ ÇÀÄÀ× Ðîçä³ë 1.

8. grad F(x1, x2) = (9, 12).

Ðîçä³ë 2.

4. C = 1,5 + 0,75Y, S = –1,5 + 0,25Y. 5. C = 0,8 + 0,8Y. 6. X2 = 20/(2X1 + 1). 7. 2X1 + 2,5X2 = 50. 8. r = 3%. 9. C = 0,02W + 0,6Y, Y = 80 òèñ. ãð. îä. 10. 300 òèñ. ãð. îä.

Ðîçä³ë 3.

6. Qd = 38 – 2P. 8. a) 155 ìëðä. ãð. îä.; á) Sg= –2; â) ïî 1 ìëðä ãð. îä. 9. Çðîñòå íà 30 ìëðä ãð. îä. 10. 3350 ìëðä ãð. îä. 11. Óòðè÷³

Ðîçä³ë 4.

8. k* = 1,77; 9. k* = 17,36.

Ðîçä³ë 5.

7. fmin(0,1)=1. 9. x = –1/12 òî÷êà ìàêñèìóìà.

9. TC(Q) = 20 + 4Q.

8. fmax(2, 5; 0, 75) = 6,5. 10. õ1 = 3,04; õ2 = 7,58.

Ðîçä³ë 6.

6. Ô³ðìè ïîð³âíó ïîä³ëÿþòü ðèíîê Q1 = Q2 = 16. 7. Íèæíÿ òà âåðõíÿ ö³íà ãðè = 5. 8. á. 11. Lmin(0, 1, 7) = 7. 12. Lmax(0, 1, 3, 7) = 13.

Ðîçä³ë 7.

7. Îäíîìîìåíòíó âèïëàòó. 8. MX = 3,85. 9. Ïåðøèé ïðîåêò. 10. Y = 0,5X + 3,96.

116

Best books Ageofbook.com

Ç̲ÑÒ

Ïåðåäìîâà ................................................................................................. 3

Ðîçä³ë 1

ÂÑÒÓÏ ÄÎ ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß ................................................................... 4 1.1. Ïðåäìåò ìîäåëþâàííÿ ...................................................................... 4 1.2. Îñíîâí³ êëàñèô³êàö³¿ ìîäåëåé .......................................................... 5 1.3. Åòàïè ïðîöåñó ìîäåëþâàííÿ ............................................................ 6 1.4. ²ñòîðè÷íèé ðîçâèòîê ïðåäìåòà ìîäåëþâàííÿ ................................. 8 Îñíîâí³ òåðì³íè ........................................................................................ 9 Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ ............................................................................ 10 Òåñòè òà çàäà÷³ ...................................................................................... 10 Ñïèñîê âèêîðèñòàíî¿ òà ðåêîìåíäîâàíî¿ ë³òåðàòóðè .......................... 11

Ðîçä³ë 2

ÌÎÄÅ˲ ÑÏÎÆÈÂ×ÎÃÎ ÐÈÍÊÓ .......................................................... 12 2.1. Ìîäåëü ïîâåä³íêè ñïîæèâà÷à ......................................................... 12 2.2. Êåéíñ³àíñüêà ìîäåëü ñïîæèâàííÿ .................................................. 15 2.3. Ìîäåëü ì³æ÷àñîâîãî ñïîæèâ÷îãî âèáîðó ². Ô³øåðà .................... 17 2.4. Ìîäåëü æèòòºâîãî öèêëó Ô. Ìîä³ëüÿí³ ........................................ 19 2.5. Ìîäåëü ïåðìàíåíòíîãî äîõîäó Ì. Ôð³äìåíà ............................... 20 Îñíîâí³ òåðì³íè ...................................................................................... 22 Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ ............................................................................ 22 Òåñòè òà çàäà÷³ ...................................................................................... 23 Ñïèñîê âèêîðèñòàíî¿ òà ðåêîìåíäîâàíî¿ ë³òåðàòóðè .......................... 24

Ðîçä³ë 3

ÌÀÊÐÎÅÊÎÍÎ̲×Ͳ вÂÍÎÂÀÆͲ ÒÀ ÁÀËÀÍÑβ ÌÎÄÅ˲ ........................................................................... 25 3.1. Áàçîâ³ ìîäåë³ ðèíêîâî¿ åêîíîì³êè ................................................. 25 3.2. Ìîäåë³ ô³ñêàëüíî¿ ïîë³òèêè ........................................................... 31 3.3. Ìîäåë³ áàíê³âñüêî¿ ñèñòåìè ............................................................ 33 3.4. Áàëàíñîâ³ ìîäåë³ .............................................................................. 34 Îñíîâí³ òåðì³íè ...................................................................................... 36 Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ ............................................................................ 36 Òåñòè òà çàäà÷³ ...................................................................................... 37 Ñïèñîê âèêîðèñòàíî¿ òà ðåêîìåíäîâàíî¿ ë³òåðàòóðè .......................... 39

117

Best books Ageofbook.com Ðîçä³ë 4

ÄÈÍÀ̲×Ͳ ÌÎÄÅ˲ ............................................................................... 40 4.1. Âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ .......................................................................... 40 4.2. Ìîäåë³ åêîíîì³÷íîãî öèêëó ........................................................... 43 4.3. Ìîäåë³ åêîíîì³÷íîãî çðîñòàííÿ .................................................... 47 Îñíîâí³ òåðì³íè ...................................................................................... 55 Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ ............................................................................ 56 Òåñòè òà çàäà÷³ ...................................................................................... 56 Ñïèñîê âèêîðèñòàíî¿ òà ðåêîìåíäîâàíî¿ ë³òåðàòóðè .......................... 57

Ðîçä³ë 5

ÎÏÒÈ̲ÇÀÖ²ÉͲ ÌÎÄÅ˲ .................................................................... 59 5.1. Ìîäåë³ ìàòåìàòè÷íîãî ïðîãðàìóâàííÿ ......................................... 59 5.2. Åêîëîãî-åêîíîì³÷í³ ìîäåë³ îïòèì³çàö³¿ ......................................... 61 5.3. Çàäà÷³ áåçóìîâíî¿ òà óìîâíî¿ îïòèì³çàö³¿ òà ìåòîäè ¿õ ðîçâ’ÿçóâàííÿ .................................................................... 64 5.4. Ìåòîä Ëàãðàíæà äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ îïòèì³çàö³¿ íà óìîâíèé åêñòðåìóì ....................................................... 66 Îñíîâí³ òåðì³íè ...................................................................................... 69 Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ ............................................................................ 70 Òåñòè òà çàäà÷³ ...................................................................................... 70 Ñïèñîê âèêîðèñòàíî¿ òà ðåêîìåíäîâàíî¿ ë³òåðàòóðè .......................... 71

Ðîçä³ë 6

ÒÅÎÐ²ß ²ÃÎÐ, ÒÅÎÐ²ß ÃÐÀԲ ² ѲÒÊÎÂÅ ÏËÀÍÓÂÀÍÍß ...................................................................... 73 6.1. Îñíîâí³ ïîíÿòòÿ òà êëàñèô³êàö³ÿ ³ãîð ........................................... 73 6.2. Çàñòîñóâàííÿ àïàðàòó òåî𳿠³ãîð â åêîíîì³ö³ ............................... 77 6.3. Òåîð³ÿ ãðàô³â ³ ñ³òêîâå ïëàíóâàííÿ ................................................ 79 Îñíîâí³ òåðì³íè ...................................................................................... 84 Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ ............................................................................ 85 Òåñòè òà çàäà÷³ ...................................................................................... 85 Ñïèñîê âèêîðèñòàíî¿ òà ðåêîìåíäîâàíî¿ ë³òåðàòóðè .......................... 87

Ðîçä³ë 7

ÑÒÀÒÈÑÒÈ×Ͳ ÌÎÄÅ˲ ÒÀ ÌÅÒÎÄÈ ................................................. 88 7.1. Îñíîâí³ ñòàòèñòèêè ......................................................................... 88 7.2. Ìåòîäè ñòàòèñòè÷íîãî àíàë³çó ....................................................... 90 7.3. Ïðèêëàäí³ ñòàòèñòè÷í³ ìîäåë³ òà ìåòîäè â åêîíîì³ö³ .................. 93 Îñíîâí³ òåðì³íè ...................................................................................... 98 Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ ............................................................................ 99 Òåñòè òà çàäà÷³ ...................................................................................... 99 Ñïèñîê âèêîðèñòàíî¿ òà ðåêîìåíäîâàíî¿ ë³òåðàòóðè ........................ 100

118

Best books Ageofbook.com Ðîçä³ë 8

ÅÊÎÍÎÌÅÒÐÈ×Ͳ ÌÎÄÅ˲ ÒÀ ÌÅÒÎÄÈ ......................................... 101 8.1. Åêîíîìåòð³ÿ òà ïðîãíîçóâàííÿ ....................................................... 101 8.2. Ïðèêëàäí³ åêîíîìåòð³÷í³ ìîäåë³ Ôðàíö³¿ òà ÑØÀ ...................... 103 8.3. Ìàêðîåêîíîìåòðè÷í³ ìîäåë³ Óêðà¿íè ........................................... 106 Îñíîâí³ òåðì³íè ...................................................................................... 108 Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ ............................................................................ 108 Òåñòè òà çàäà÷³ ...................................................................................... 109 Ñïèñîê âèêîðèñòàíî¿ òà ðåêîìåíäîâàíî¿ ë³òåðàòóðè .......................... 110 Äîäàòîê. Ìàòåìàòè÷íèé àïàðàò ïðîöåñó ìîäåëþâàííÿ ..................... 111 ³äïîâ³ä³ äî çàäà÷ .................................................................................... 116

119

Best books Ageofbook.com In the proposed manual basic models of the market economy are stated. Tests and tasks, recommended literature is given to each chapter. The manual contains tooling of mathematical analysis, examples of its usage and it successfully combines the study of mathematical instruments with economy. It is meant for students of all educational forms, candidates and people working for doctor’s degree.

Íàâ÷àëüíå âèäàííÿ Ìàëèø Íàòàë³ÿ Àíäð³¿âíà ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß ÅÊÎÍÎ̲×ÍÈÕ ÏÐÎÖÅѲ ÐÈÍÊÎÂί ÅÊÎÍÎ̲ÊÈ Íàâ÷àëüíèé ïîñ³áíèê Educational edition Malysh, Nataliya A. ECONOMICAL PROCESSES OF MARKET ECONOMY MODELLING Educational manual ³äïîâ³äàëüíèé ðåäàêòîð Â. Ä. Áîíäàð Ðåäàêòîð Í. Â. Òèõîíîâà Êîðåêòîðè Ë. Ï. Êîâàëü÷óê, Ò. Ê. Âàëèöüêà Êîìï’þòåðíå âåðñòàííÿ Ò. Â. Êóë³ê Îôîðìëåííÿ îáêëàäèíêè Î. Î. Ñòåöåíêî ϳäï. äî äðóêó 09.02.04. Ôîðìàò 60×84/16. Ïàï³ð îôñåòíèé. Äðóê îôñåòíèé. Óì. äðóê. àðê. 6,98. Îáë.-âèä. àðê. 6,8. Òèðàæ 5000 ïð. Çàì. ¹ 130 ̳æðåã³îíàëüíà Àêàäåì³ÿ óïðàâë³ííÿ ïåðñîíàëîì (ÌÀÓÏ) 03039 Êè¿â-39, âóë. Ôðîìåò³âñüêà, 2, ÌÀÓÏ Ñâ³äîöòâî ïðî âíåñåííÿ äî Äåðæàâíîãî ðåºñòðó ñóᒺêò³â âèäàâíè÷î¿ ñïðàâè ÄÊ ¹ 8 â³ä 23.02.2000 ÑÏÄ ×àë÷èíñüêà Í. Â. 03146 Êè¿â-46, âóë. Æìåðèíñüêà, 22, êâ. 125 Ñâ³äîöòâî ÄÊ ¹ 1011 â³ä 23.08.2000

120

Best books Ageofbook.com

WWW.AGEOFBOOK.COM Только лучшие книги для Вас! Книга была найдена в архивах открытого доступа сети Internet или прислана пользователями сайта. Все права на материалы принадлежат их авторам. Какое либо распространение материалов с коммерческими или другими целями без разрешения их авторов запрещено. Нарушение авторских прав влечёт за собой ответственность согласно действующего законодательства. Администрация не несёт никакой ответственности за материалы, добавленные пользователями сайта. Все материалы представлены коммерческого использования.

для

ознакомления,

без

целей

После скачивания материала Вы должны коротко ознакомиться с ним и немедленно полностью удалить со своего носителя информации, и, при желании, купить лицензионную бумажную версию в соответствующих точках продажи. Желаем приятного чтения! С уважением, Администрация сайта.