Механика. Исследование деформации изгиба балки и определение модуля Юнга: Методические указания к выполнению лабораторной работы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Механика Методические указания к выполнению лабораторной работы

«Исследование деформации изгиба балки и определение модуля Юнга»

ПЕНЗА 2005

1

УДК 53 Приведены общие методические сведения по изучаемому явлению, описание лабораторной установки, порядок проведения измерений и обработки экспериментальных данных. Методические указания подготовлены на кафедре «Физика» и предназначены для студентов физико-математической и инженернотехнических специальностей. Ил. 13, табл. 1, библиогр. 4 назв.

Составители: А.В. Рудин, Вас.В. Евстифеев, Н.В. Костина, П.П. Першенков

Под редакцией профессора Викт.В. Евстифеева

Рецензент Р.В. Зайцев, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей физики Пензенского государственного педагогического университета

2

Цель работы: исследовать кривую изгиба балки; проверить выполнимость закона Гука; рассчитать модуль Юнга. Приборы и оборудование: установка с деформируемой балкой, микрометр - индикатор часового типа ИЧ 10 МН с ценой деления 0,01 мм, грузы массой 1 кг (3 шт.), измерительная линейка, штангенциркуль.

Теоретические сведения Любые изменения формы, размеров и объема тела называются деформациями. Деформировать тело можно различными способами. При этом могут возникать сложные изменения его формы. Такие сложные деформации можно представить как наложение более простых. Поэтому имеет смысл рассмотреть некоторые простые деформации. Объемная деформация это такая V0 деформация, при которой происходит только изменение объема тела, а форма его остается V неизменной. Примером может служить изменение объема резинового шарика с воздухом при помещении его в жидкость на достаточную глубину (рис. 1). Деформация одностороннего растяжения Рис. 1 (сжатия) это такая деформация, при которой происходит изменение одного из линейных размеров тела. В качестве примера можно привести увеличение длины резинового шнура, к концу которого прикреплен груз (рис. 2). Следует отметить, что при растяжении шнура происходит уменьшение площади его поперечного сечения. Рис.22 Рис. Деформация сдвига - это такая деформация, при которой происходит только смещение отдельных слоев тела относительно друг друга. Деформация сдвига наблюдается при сцеплении зубцов шестеренок (рис. 3). Для твердых тел различают два вида предельных деформаций: упругие и пластические.

3

Рис. 3

Упругая деформация - это такая деформация, которая полностью исчезает после прекращения действия внешних сил. Пластическая деформация - это такая деформация, которая полностью или частично сохраняется после прекращения действия внешних сил. Рассмотрим подробнее деформацию растяжения стержня. Пусть r один конец его закреплен, а к другому прикладывается сила F , направленная параллельно оси стержня (рис. 4). Длина стержня увеличится от l 0 до l . Тогда величина упругой силы, приложенной к стержню определится по известной формуле: l0 Δl r r F F′ F = k ⋅ Δl , (1) где k - жесткость стержня; Δl = l − l 0 - его удлинение. Абсолютное удлинение Δl при прочих равных условиях зависит от длины стержня: чем больше длина стержня, тем больше его удлинение. Поэтому наряду с абсолютным удлинением рассматривается относительное удлинение ε l Рис. 4

ε=

Δl , l

(2)

которое не зависит от длины стержня. Очевидно, что при увеличении площади поперечного сечения стержня S абсолютное и относительное удлинения будут уменьшаться. Таким образом, удлинение стержня определяется приложенной силой, материалом, из которого изготовлен стержень, его длиной и площадью поперечного сечения: Δl ∼

l F. S

(3)

В деформированном стержне в каждом поперечном сечении появляются силы взаимодействия между соседними слоями. Так, на r правую часть стержня (рис.4) действует внешняя сила F , вызывающая r упругую деформацию одностороннего растяжения, и сила упругости F ′ со стороны левой части стержня. При этом F ′ = F . Тогда выражение (3)

4

можно представить пропорциональности Е:

в

другой

форме,

F′ Δl =E . l S

введя

коэффициент

(4)

Величина, измеряемая силой упругости, действующей на единицу площади сечения, называется механическим напряжением σ

σ=

F′ . S

(5)

Если сила направлена перпендикулярно сечению, то напряжение называется нормальным, если по касательной к сечению тангенциальным. После введения понятий относительной деформации и механического напряжения выражение (4) можно представить в виде:

σ=ε⋅E ,

(6)

где величина Е называется модулем Юнга. Эта величина численно равна напряжению, при котором относительная деформация одностороннего растяжения равна единице. Соотношение (6) носит название закона Гука: при малых деформациях возникающие в теле напряжения пропорциональны относительным деформациям. Следует отметить, что выражения (1), (3) и (4) тоже называют законом Гука, который является законом приближенным. Он справедлив только при малых деформациях, когда остаточными изменениями размеров тела можно пренебречь. График σ зависимости напряжения от величины E относительной деформации при σ ПР одностороннем растяжении (диаграмма σ Т напряжений) представлен на рис. 5. σ УП В С D А ОА σ П Участок диаграммы соответствует напряжениям, пропорциональным деформациям. 0 ε Рис. 5 σ П , при Максимальное напряжение котором еще выполняется закон Гука, 5

называется пределом пропорциональности. При дальнейшем увеличении напряжения (участок диаграммы АВ) пропорциональность между σ и ε нарушается, но после снятия напряжений деформация практически исчезает. Максимальное напряжение, при котором деформация остается еще практически упругой, называется пределом упругости σ УП . Область ВС соответствует пластическим деформациям. С увеличением напряжения деформация нарастает все быстрее. При значении напряжения σ Т , соответствующем точке С, удлинение увеличивается без увеличения нагрузки. Говорят, что материал «течет» (область СD). Напряжение σ Т называется пределом текучести. Далее с увеличением деформации напряжение начинает слабо возрастать, достигает максимального значения σ ПР (предел прочности), а затем резко спадает, и образец разрушается. Очевидно, что каждый материал характеризуется своими «пределами» и «областями». Описание метода измерения Деформацию изгиба можно рассмотреть на примере горизонтального бруса с прямоугольным поперечным сечением, один конец которого закреплен неподвижно, а к другому приложена некоторая деформирующая сила. Деформацию изгиба определяют стрелой прогиба λ , то есть тем расстоянием, на которое опускается точка приложения равнодействующей всех изгибающих сил, действующих на брус. Деформацию изгиба можно рассмотреть как совокупность деформаций растяжения (для верхних слоев бруса) и сжатия (для его нижних слоев). Рассмотрим деформацию бруса прямоугольного сечения, один конец l которого закреплен, а к другому λ приложена сила F. Пусть длина бруса - l , поперечное сечение - S (рис.6). Сила F, действующая на свободный конец бруса , r F создает вращающий момент, под Рис. 6 действием которого стержень стремится повернуться относительно горизонтальной оси. Но так как другой конец бруса закреплен, возникает сила реакции, препятствующая повороту бруса. Брус будет изгибаться, причем верхние слои бруса будут растягиваться, а нижние - сжиматься. На границе этих слоев будет располагаться некоторый бесконечно тонкий слой, который не изменяет своей длины, так как он не испытывает напряжения. Этот слой называется нейтральным. 6

Если на боковую плоскость бруса нанести прямоугольную сетку в виде продольных и поперечных прямых (рис. 7а), то при чистом изгибе она деформируется (рис. 7б) следующим образом: а) продольные линии а искривляются по дуге окружности; б) контуры поперечных сечений остаются плоскими; в) линии контуров сечений всюду пересекаются с продольными волокнами а1 под прямым углом. На основании этого можно сделать вывод, что при а0 чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими и поворачиваются так, что остаются а2 нормальными к изогнутой оси балки. Следовательно, при чистом изгибе, как и при растяжении, справедлива гипотеза плоских сечений: поперечное сечение, плоское до деформации, остается плоским и после деформации. Данная гипотеза вместе с уравнениями статики позволяет решить задачу определения напряжений при чистом изгибе. Рассмотрим элемент прямоугольного m n бруса (рис. 8) длиной ab , который после деформации искривится (рис. 9). Два a0 b0 и (n-n), смежных сечения (m-m) y отстоящие друг от друга на расстоянии dx a b m n наклонятся, образовав между собой угол x dϕ . Элемент a0 b0 нейтрального слоя dx Рис. 8 превращается в дугу с радиусом ρ , а волокно ab , находящееся на расстоянии y m n от нейтрального слоя, - в криволинейное a1 b1 y dx волокно a1b1 с радиусом кривизны ( ρ +y ). b' a'0 0 М М Относительное удлинение этого n m волокна ρ m b1

n a1 y

dϕ

7

Рис. 9

a1b1 − ab . ab ab = dx , поэтому ε=

Но

a1b1 = (ρ + y )dϕ

и

(ρ + y )dϕ − dx . (7) dx Чтобы упростить это выражение, рассмотрим волокно a0 b0 , принадлежащее нейтральному слою. Его длина a0 b0 = ρdϕ . Но волокна нейтрального слоя не изменяют своей длины при деформации, поэтому ε=

dx = ρdϕ .

(8)

Подставив выражение (8) в выражение (7) и сократив на dϕ , получим: ε=

y . ρ

(9)

Следовательно, рассмотрение геометрической стороны задачи показало, что относительная продольная деформация пропорциональна расстоянию волокна от нейтральной оси. Если предположить, что отдельные волокна не давят друг на друга, то каждое из них будет находиться в условиях простого растяжения (или сжатия). В этом случае для перехода от удлинения ε к напряжению σ можно воспользоваться законом Гука. Подставив выражение (9) в уравнение (6), получим: σ=

E ⋅y . ρ

(10)

Теперь определим момент внутренних сил относительно нейтральной оси. Для этого вычислим сумму моментов элементарных внутренних сил dF = σ ⋅ dS относительно этой оси и приравняем ее изгибающему моменту:

8

M ′ = ∫ σ ⋅ y ⋅ ds . S

Подставляя вместо напряжения σ его значение по формуле (10), получим M′=

E 2 ∫ y ds . ρS

(11)

Интеграл, входящий в это выражение, определяет величину момента инерции поперечного сечения прямоугольного бруса

I = ∫ y 2 ds .

(12)

S

Подставляя выражение (11) в уравнение в (12), получим:

M′=

E ⋅I , ρ

1 M′ . = ρ E⋅I

или

Подставляя полученное окончательно получим:

σ=

выражение

M′ ⋅y . I

(13)

(13)

в

формулу

(10),

(14)

Формула (14) позволяет определить напряжение в любой точке, лежащей на горизонтальной линии поперечного сечения бруса, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии y. Из формулы (14) видно, что напряжение σ зависит от величины у линейно. График, изображающий закон изменения напряжений по высоте сечения, называется эпюрой напряжений. Совершенно одинаковый изгибающий момент мы получим и для нижней части поперечного сечения бруса. Следовательно, общий изгибающий момент, с учетом формулы (13), будет иметь вид:

9

M = 2M ′ = 2

E ⋅I. ρ

(15)

Момент М упругих сил, восстанавливающих форму бруса, равен моменту внешней приложенной силы F, изгибающей брус. Если изгиб бруса незначителен, то плечом силы F будет x - расстояние волокна a1b1 от конца бруса. При значительном изгибе это плечо будет намного короче. Тогда, подставляя выражение (8) в уравнение (15), для условия равновесия бруса, получим:

F ⋅ x = 2E ⋅ I

dϕ . dx

(16)

Для нахождения стрелы прогиба конца бруса проведем в точках a1 и b1 касательные к изогнутой поверхности бруса (рис.9). Угол между этими касательными будет равен углу dϕ , образованному сечениями (m-m) и (nn). Обозначая через dλ смещение конца бруса вследствие изгиба только одного рассматриваемого волокна, можно записать:

dλ = x ⋅ dϕ , Подставляя (17) в (16), получим: откуда dλ =

или

dϕ =

dλ . x

(17)

F ⋅ x 2 ⋅ dx = 2 E ⋅ I ⋅ dλ ,

F x 2 dx . 2E ⋅ I

Интегрируя полученное выражение по всей длине бруса, находим стрелу прогиба бруса:

λ=

F F ⋅ x3 2 = +C. x dx ∫ 2E ⋅ I 6E ⋅ I

(18)

Эта формула справедлива для прямоугольного бруса, закрепленного одним концом. 10

Например, для случая, когда брус свободно лежит на опорах, сила F F , а приложена к его середине. Сила реакции каждой опоры равна 2 расстояние свободных концов до точки приложения деформирующей силы l равно . Тогда стрела прогиба бруса, свободно лежащего на опорах, 2 определится выражением:

λ=

F ⋅ l3 . 96 ⋅ E ⋅ I

(19)

Для прямоугольного бруса, закрепленного одним концом, стороны которого равны h и b (рис. 10), интеграл I в уравнении (18) определится: h 2

I = ∫ y 2 dS = ∫ by 2 dy = b 0

S1

3

y 3

h 2

= 0

b ⋅ h3 . 24

(20)

Тогда величина модуля Юнга прямоугольной балки одинакового сечения, защемленной одним концом, выразится уравнением: F ⋅ l 3 ⋅ 24 4 F ⋅ l 3 . (21) = E= 6 ⋅ b ⋅ h3 b ⋅ h3 ⋅ λ

b dy

y

h Рис. 10

напряжения во (наибольшему):

всех

ее

В данной работе модуль Юнга определяется по изгибу стальной балки с прямоугольным сечением, ширина которой изменяется по прямолинейному закону. При такой форме балки сечениях будут равны допускаемому

σ max =

M′ ⋅ y max . I

11

(22)

Введем обозначение: W =

I

.

y max

(23)

Эта геометрическая характеристика сопротивления сечения. Таким образом, σ=

называется

M . W

моментом

(24)

Момент сопротивления сечения характеризует собой сопротивляемость бруса изгибу. Он измеряется в кубических сантиметрах (см3 ) и зависит от формы и размеров поперечного сечения. Если наибольшие нормальные напряжения во всех поперечных сечениях равны допускаемому напряжению, то получим так называемую балку равного сопротивления изгибу. Рассмотрим балку переменного сечения (рис.11). Обозначим переменную ширину балки через b, ширину балки в плоскости защемления – b0, а ширину балки на свободном конце – z. Если обозначить изгибающий момент в произвольном сечении балки равного сопротивления через Мx, а момент сопротивления через Wx, то должно соблюдаться условие: x

b

F

h

z

l

M x M max = = σ max = const , (25) Wx W Wx M x = , W M

или

Рис. 11

(26)

где M = F ⋅ l , M x = F ⋅ x - максимальный и изменяющийся изгибающие моменты в точке защемления и в произвольной точке x; h

Wx = 2W ′ = где y max =

2 y max

h

42 2 4 b 3 2 4 ⋅ b ⋅ h 3 bh 2 ∫S y ds = h ∫0 y bdy = h ⋅ 3 ⋅ y = 3 ⋅ 8 ⋅ h = 6 , 0 2

h . 2

12

(27)

Следовательно, в балках равного сопротивления изгибу моменты сопротивления сечений должны быть прямо пропорциональны соответствующим моментам. Аналогично находим момент сопротивления в точке защемления:

W0 =

b0 h 2 . 6

(28)

Подставляя выражения (27) и (28) в уравнение (26), получим:

Wx bh 2 6 F⋅x . = ⋅ = 2 6 b0 h W F ⋅l

(29)

Из уравнения (29) (при z=0), находим: b=

b0 ⋅ x. l

(30)

Из уравнения (30) следует, что ширина балки изменяется по прямолинейному закону. Экономия материала при применении такой балки в сравнении с призматической балкой достигает 50%. В действительности экономия материала несколько меньше, т. к. свободный конец балки на некоторой небольшой длине делается постоянной ширины: иначе поперечная сила на конце балки вызвала бы недопустимо большие. касательные напряжения. Применяя выражения (18) и (20) можно рассчитать стрелу прогиба для балки равного сопротивления, закрепленной одним концом, высота которой постоянна по всей длине, а длина изменяется по линейному закону: b −z . (31) b = z + cx , где c = 0 l Подставляя выражение (31) в уравнение (20), получим: h 2

I = ( z + cx )∫ y 2 dy = ( z + cx ) ⋅ 0

13

h3 . 24

(32)

Подставляя полученное выражение (32) в уравнение (18), получим: F ⋅ 24 l x 2 dx 12 ⋅ F l x 2 dx = λ= = ∫ ∫ 2 E ⋅ h 3 0 z + cx E ⋅ h 3 0 z + cx 2 ⎤ 12 ⋅ F 1 ⎡ ( z + cx ) 2 ( ) ( ) = ⋅ − + + + 2 z z cx z ln z cx ⎢ ⎥ E ⋅ h3 c3 ⎣ 2 ⎦0

l

.

Тогда, после соответствующих преобразований стрела прогиба балки окончательно выразится уравнением: λ=

6 ⋅ F ⋅ l3 3 E ⋅ h 3 ⋅ (b0 − z )

b ⎞⎤ ⎡ ⎛ ⋅ ⎢b02 − 4b0 z + z 2 ⎜ 3 + 2 ln 0 ⎟⎥ = z ⎠⎦ ⎝ ⎣

2 ⎡ b ⎞⎤ . (33) z ⎛ z⎞ ⎛ = ⋅ ⎢1 − 4 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ 3 + 2 ln 0 ⎟⎥ 3 b0 ⎝ b0 ⎠ ⎝ z ⎠⎦⎥ ⎛ z⎞ ⎢ E ⋅ h 3 ⋅ b0 ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⎣ ⎝ b0 ⎠

6 ⋅ F ⋅ l3

На практике для расчета модуля Юнга балки равного сопротивления закрепленного одним концом используется приближенная упрощенная формула:

6 ⋅ F ⋅ l3 . E= b0 ⋅ h 3 ⋅ λ

(34)

Действительно, при z << b0 произведение скобок в правой части уравнения (33) приблизительно равно единицы, т.е.: −3 2 ⎛ b ⎞⎤ z⎞ ⎡ z ⎛ z⎞ ⎛ ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⋅ ⎢1 − 4 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ 3 + 2 ln 0 ⎟⎥ ≈ 1 . b0 ⎝ b0 ⎠ ⎝ z ⎠⎥⎦ ⎝ b0 ⎠ ⎢⎣

Для случая, когда l ≠ x , т.е. когда точка нагружения и точка измерения деформации не совпадают, стрелу прогиба балки можно связать с радиусом изгиба балки.

14

Действительно, радиус кривизны ρ упругой линзы рассматриваемой балки во всех сечениях одинаков, т.е. балка прогибается по дуге круга (рис. 12). Из прямоугольного треугольника ОАВ имеем: OB 2 = OA2 + AB 2 , т. к. λ << ρ , то AB ≈ l .

l

Тогда

ρ 2 = (ρ − λ ) + l 2 , или 2

А

Пренебрегая величиной λ2 в сравнении с другими величинами, получим: 2ρλ = l 2 ,

ρ-λ

ρ 0

ρ 2 = ρ 2 − 2ρλ + λ2 + l 2

λ

В

откуда

Рис. 12

1 2λ . = ρ l2

(35)

Тогда для произвольной точки измерения деформации балки стрела прогиба определится по формуле:

λ=

1 ⋅ x2 2ρ

(36)

Подставляя выражения (35) и (34) в уравнение (36), получим:

λ=

6⋅F ⋅l 6 ⋅ mg ⋅ l 2 ⋅ x2 = ⋅x , 3 E ⋅ b0 ⋅ h E ⋅ b0 ⋅ h 3

(37)

которая с достаточно хорошим приближением описывает зависимость стрелы прогиба балки от приложенной деформирующей силы F=mg . Тогда, для модуля Юнга прямоугольной балки равного сопротивления, закрепленного одним концом получим окончательную формулу: E=

6 ⋅ mg ⋅ l x 2 . ⋅ b0 ⋅ h 3 λ

15

(38)

Описание лабораторной установки Схема установки для исследования деформации балки и определения модуля Юнга изображена на рис. 13. Основным элементом установки является деформируемая балка переменного сечения 1, одним концом жестко закрепленная на массивном основании 2. Вдоль балки может перемещаться опорная призма 3 с подставкой для грузов 4. Под действием грузов балка изгибается. Стрела прогиба балки измеряется индикатором 5 часового типа ИЧ 10 МН с ценой деления 0,01 мм. Расстояние от закрепленного конца балки l до точки приложения нагрузки и координата x точки, для которой измеряется стрела прогиба измеряются закрепленной к массивному основанию металлической линейкой с миллиметровыми делениями.

Рис. 13.

Порядок выполнения работы Задание 1. Проверить зависимость стрелы прогиба балки от приложенной силы и вычислить модуль Юнга. 1. Опорную призму 3 с подставкой 4 для грузов – гирь установить на расстоянии l , а индикатор 5 – на расстоянии x от закрепленного конца балки (см. рис.13). 2. Положение индикатора установить так, чтобы стержень индикатора касался верхней поверхности балки. Записать показания индикатора. 3. Последовательно помещая грузы m = 1 кг, 2 кг и 3кг на опорную площадку снять показания индикатора.

16

Последовательно убирая грузы m с площадки снова снять 4. показания индикатора. 5. Найти среднее значение стрелы прогиба < λ> для каждой нагрузки F = mg. 6. Построить график зависимости стрелы прогиба от величины нагрузки и сравнить полученный график с аналитической зависимостью (37). 7. Вычислить модуль Юнга по формуле (38) и оценить погрешность измерений по формулам: 2

⎛ Δb ⎞ ⎛ 3Δh ⎞ ⎛ Δl ⎞ ⎛ 2Δx ⎞ ⎛ Δλ ⎞ ε = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ , ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎝ b0 ⎠ ⎝ h ⎠ ⎝ l ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ λ ⎠ 2

ΔE =< E > ⋅ε ,

2

2

2

E =< E > ± ΔE ,

(39) (40)

где: b0=50 мм; h=10,4 мм; z=20 мм (постоянные для используемой установки). 8. № п/п 1. 2. 3.

Результаты измерений и расчетов свести в табл. 1: m, кг

l, м

λ, мм

x, м

<λ>, мм

Е, 1011, Па

Задание 2. Исследовать зависимость стрелы прогиба λ от расстояния х и вычислить модуль Юнга. 1. Призму с грузами укрепить на расстоянии l от закрепленного конца балки. Индикатором измерить стрелу прогиба λ в различных точках балки х при постоянной нагрузке m (по указанию преподавателя). и сравнить с 2. Построить график зависимости λ от x2 аналитической зависимостью (37). 3. Вычислить модуль Юнга по формуле (38) для различных значений x. 4. Сравнить полученные значения с величиной Е, полученной при фиксированной длине балки. 5. Результаты измерений и расчетов свести в табл. 1. 17

Контрольные вопросы 1. 2.

3. 4. 5. 6.

7.

8.

Что такое деформация? Перечислите простые деформации, приведите примеры. Какие тела называются упругими, пластичными, хрупкими? Что называется техническим напряжением? В каких единицах оно измеряется? Сформулируйте закон Гука. Что называется модулем Юнга? Выведите формулу для расчета модуля Юнга. Приведите примеры каких-нибудь конструкций или механизмов и укажите деформации их деталей. Приведите пример технологического процесса и назовите возникающие при этом деформации. В каких пределах должны лежать значения механического напряжения при штамповке деталей? Воспользуйтесь понятиями пределов упругости, пластичности, прочности. Балка работает на изгиб. Предложите профиль поперечного сечения балки, имея в виду ее достаточную прочность и экономию материала. Предельная рабочая нагрузка на трос равна 4500 Н. Во сколько раз необходимо увеличить диаметр троса, чтобы предельная нагрузка возросла до 18 кН?

Литература 1. 2. 3. 4.

Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. Учебник. 4-е изд., испр. –М.: В.Ш., 2002. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. –М.: Наука, 1989. Руководство к лабораторным работам по физике. Под ред. Л.Л. Гольдина, изд. 2-е. –М.: Наука, 1973. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. Изд. 15-е. –М.: Наука, 1976.

18