Основы технической диагностики и теории надёжности: Рабочая программа, задание на контрольные работы, методические указания к выполнению контрольных работ

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра электротехники и электромеханики

ОСНОВЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ И ТЕОРИИ НАДЁЖНОСТИ Рабочая программа Задания на контрольные работы Методические указания к выполнению контрольных работ

Факультет энергетический Направление и специальность подготовки дипломированного специалиста 140601 (180100) – электромеханика Направление подготовки бакалавра 140600 (551300) – электротехника, электромеханика и электротехнологии

Санкт-Петербург 2005

Утверждено редакционно-издательским советом университета УДК 621.313 Основы технической диагностики и теории надёжности: Рабочая программа, задания на контрольные работы, методические указания к выполнению контрольных работ. – СПб.: Изд – во СЗТУ, 2005. – 25с. Рабочая программа разработана в соответствии с государственными образовательными стандартами высшего профессионального образования по направлению и подготовки дипломированного специалиста специальность 140601 (180100) – «Электромеханика» и направлению подготовки бакалавра 140600 (551300). Методический сборник содержит рабочую программу, задания – на две контрольные работы и методические указания к выполнению контрольных работ. В рабочей программе рассмотрены элементы теории вероятности и математической статистики, основы технической диагностики и основы теории надёжности.

Рассмотрено на заседании кафедры электротехники и электромеханики 17 октября 2005 г., одобрено методической комиссией энергетического факультета 24 октября 2005 г.

Рецензенты: кафедра электротехники и электромеханики СЗТУ (доцент кафедры В.Е. Воробьёв, канд. техн. наук, доцент); Г.Я. Скориков, канд. техн. наук, зав. отделом образования Красносельского района Санкт-Петербурга.

Составитель: В.Я.Кучер, канд. техн. наук, доц. © Северо-западный государственный заочный технический университет, 2005

1. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 1.1. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА (Объём 66 часов) Введение [1], c. 4 – 5 Техническая диагностика как наука о распознавании технического состояния объекта. Основные задачи технической диагностики и теоретическая основа решения этих задач: теория распознавания образов, теория статистических решений, теория контролеспособности, диагностические модели и модели отказов. Техническая диагностика как раздел общей теории надёжности. 1.1.1. Элементы теории вероятности и математической статистики [1], c. 6 – 13; [2], c. 23 – 55, 67 – 103 Элементы математической логики: событие, вероятность события, логическая сумма (дизъюнкция) и логическое произведение (конъюнкция) событий. Группа событий: полная и несовместная, вероятность группы событий и условная вероятность события, условие независимости событий. Случайные величины: детерминированные и непрерывные, законы распределения случайных величин и способы их задания, основное свойство законов распределения случайных величин. Обобщённые характеристики (параметры) законов распределения: генеральная совокупность и выборка, среднее значение и математическое ожидание, среднеквадратичное отклонение и дисперсия, плотность вероятности (плотность распределения) и интегральная функция распределения, квантиль распределения, медиана и мода распределения. Моментные характеристики распределений: начальные и центральные моменты, асимметрия и эксцесс. 1.1.2. Основы технической диагностики [1] c. 14 – 23; [2] c.56 – 58, 468 – 501; [3] c. 5 – 191; [4] c. 184 – 194 Состояние объекта, выбор параметров при распознавании состояния объекта. Вероятностный и детерминистский методы при решении задачи распознавания состояния объекта. Статистические методы распознавания: обобщённая формула Байеса и метод последовательного анализа. Система состояний и признаков, энтропия и информация для систем с непрерывным множеством состояний.

3

1.1.3. Основы теории надёжности [1] c. 24 – 45; [4] c. 91 – 184 Система стандартов «Надёжность в технике», основные термины и определения, используемые в теории надёжности согласно ГОСТ 27.002 – 83 «Надёжность в технике. Термины и определения». Показатели надёжности невосстанавливаемых изделий: вероятность безотказной работы, вероятность отказа, частота отказов, интенсивность отказов и средняя наработка до первого отказа. Показатели надёжности восстанавливаемых изделий: параметр потока отказов, средняя наработка на отказ, коэффициент готовности, коэффициент вынужденного простоя, функция готовности. Законы распределения отказов: закон Вейбулла, экспоненциальный и нормальный (закон Гаусса). Структурная надёжность, резервирование. Оценка показателей надёжности по статистической информации об отказах при эксплуатации и испытаниях. Сбор и обработка статистической информации об отказах. Определение вида и параметров закона распределения времени исправной работы (времени до отказа). Точечные и интервальные оценки, доверительная вероятность, доверительные границы и уровень значимости. Критерии согласия Колмогорова, Пирсона, Фишера, Стьюдента и др. Построение гистограмм. Планы испытаний и интервальные оценки показателей надёжности согласно этим планам. Определительные и контрольные испытания на надёжность. Статистические методы контрольных испытаний на надёжность: метод однократной выборки (одиночный контроль), метод двукратной выборки (двойной контроль) и метод последовательного анализа. 1.2. Тематический план лекций для студентов очно-заочной формы обучения (12 часов) Темы лекций 1. Элементы теории вероятности и математической статистики. Элементы математической логики. Случайные величины, законы распределения случайных величин и их обобщённые характеристики. 2. Основы технической диагностики. Основные положения. Статистические методы распознавания. Элементы теории информации. 3. Основы теории надёжности. Общие положения. 4. Показатели надёжности невосстанавливаемых и восстанавливаемых изделий. 5. Законы распределения отказов. Структурная надёжность. 6. Оценка показателей надёжности по статистической информации об отказах при эксплуатации и испытаниях. Испытания на надёжность. 4

Объём, ч 2 2 2 2 2 2

1.3. Тематический план практических занятий для студентов очно-заочной формы обучения (4 часа) Темы практических занятий 1. Расчёт характеристик надёжности невосстанавливаемых и восстанавливаемых изделий. 2. Оценка и контроль надёжности технических устройств по результатам испытаний.

Объём, ч 2 2

2. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Основной: 1. Кучер В.Я. Основы технической диагностики и теории надёжности: Письм. лекции. – СПб.: СЗТУ, 2004. 2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Физматгиз, 1986. 3. Биргер И.А. Техническая диагностика. – М.: Машиностроение, 1978. 4. Котеленец Н.Ф., Кузнецов Н.Л. Испытания и надёжность электрических машин: Учеб. пособие. – М.: Высшая школа, 1988. Дополнительный: 5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1969. 6. Основы технической диагностики /П.П. Пархоменко, В.В. Карибский, Е.С. Согомонян, В.Ф. Халчев. – М.: Энергия, 1976. 7. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьёв А.Д. Математические методы в теории надёжности. – М.: Наука, 1965. 8. Половко А.М. Основы теории надёжности. – М.: Наука, 1964. 9. Сборник задач по теории надёжности / Под ред. А.М. Половко, И.М. Маликова / Сост.: А.М. Половко, И.М. Маликов, А.Н. Жигарев, В.И. Зарудный. – М.: Советское радио, 1972. 10. Файнстейн А. Основы теории информации. – М.: Иностранная литература, 1965. 11. Шор Я.Б., Кузьмин Ф.И. Таблицы для анализа и контроля надёжности. – М.: Советское радио, 1968. 12. Янко Я. Математико-статистические таблицы. – М.: Госстатиздат, 1964. 3. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ Контрольная работа № 1 Задача 1. В течение некоторого времени проводилось наблюдение за работой N0 экземпляров восстанавливаемых изделий. Каждый из образцов проработал ti часов и имел пi отказов. Требуется определить среднюю наработку на отказ по 5

данным наблюдения за работой всех изделий. Исходные данные для расчёта приведены в табл. 1, ответы – в табл. 2. Таблица 1 Номер варианта

п1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 3 12 6 6 10 18 3 1 3

t1, час 300 90 960 144 144 1020 2700 720 300 1650

п2 3 6 15 5 5 26 32 4 3 2

Исходные данные t2, n3 t3, n4 час час – 400 2 600 5 140 4 270 7 808 8 1112 8 80 3 125 – 80 3 125 18 3480 24 3120 16 3480 24 4000 6 500 2 1040 7 2300 6 600 – 2300 4 1200

t4, час – 230 1490 176 – 2700 2080 1800 2450 –

п5 – 3 – 5 – – 24 – – –

t5, час – 180 – 150 – – 3480 – – –

Таблица 2 Варианты 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ответы tср , час 216 43 104 25,7 25 132 136 271 291 572 Задача 2. В течение времени ∆t проводилось наблюдение за восстанавливаемым изделием и было зафиксировано п(∆t) отказов. До начала наблюдения изделие проработало t1 часов, общее время наработки к концу наблюдения составило t2 часов. Требуется найти среднюю наработку на отказ. Исходные данные для расчёта и ответы приведены в табл. 3. Таблица 3 Номер варианта 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

t1,час 350 400 1000 770 1200 300 540 300 12 570

Исходные данные t2,час 1280 1600 6400 4800 5558 540 1200 3200 184 2000

6

п(∆t) 15 3 9 7 2 12 5 8 16 27

Ответы tср , час 62 400 600 575 2179 20 132 362,5 10,75 53

Задача 3. Система состоит из N приборов, имеющих разную надёжность. Известно, что каждый из приборов, проработав вне системы ti часов, имел пi отказов. Для каждого из приборов справедлив экспоненциальный закон распределения отказов. Найти среднюю наработку на отказ всей системы. Исходные данные для расчёта и ответы приведены в табл. 4. Таблица 4 Исходные данные Вариант N t1, час п1 t2, час n2 t3, час n3 t4, час – 3 4800 9 5500 3 1200 3 0 780 10 250 8 540 6 5 256 1 – 3 2000 6 1860 4 2160 3 2 8 1490 4 960 12 1112 15 808 3 230 4 140 6 270 3 90 5 4 200 4 200 2 5 600 45 600 5 – 3 80 5 125 6 3 144 6 2 1800 500 3 1040 4 4 720 7 – 176 10 5 150 3 1650 3 8 700 8 90 2 120 1 4 120 9

n4 – 4 – 7 5 6 – 6 – 1

Ответы t5, час п5 tср , час 203 – – 900 12 12,5 153 – – 24,6 – – 8,2 3 180 7,25 2 200 8,4 – – 65,4 – – 10,9 – – 8,7 – –

Задача 4 (для вариантов 0 – 4). Система состоит из k групп элементов. В процессе эксплуатации зафиксировано п отказов. Количество отказов в j–й группе равно nj; среднее время восстановления элементов j–й группы равно tj. Требуется вычислить среднее время восстановления системы. Исходные данные для расчёта и ответы приведены в табл. 5. Изделие имеет среднюю наработку на отказ tср и среднее время восстановления tв задача 4 (для вариантов 5 – 9). Требуется определить коэффициент готовности изделия. Исходные данные для расчёта и ответы приведены в табл. 6. Таблица 5 Вариант k 0 1 2 3 4

5 5 4 5 5

n

n1

12 1 40 5 9 2 18 3 68 14

t1, мин 20 15 37 72 18

n2 4 8 1 5 8

Исходные данные t2, t3, n3 мин мин 16 3 30 60 12 25 60 2 480 36 4 40 20 27 40

7

Ответы

n4 2 6 4 2 6

t4, мин 36 40 25 120 30

п5 2 9 – 4 13

t5, мин 40 20 – 60 15

tв , мин 28,3 35,4 86 57,8 21,9

Таблица 6 Варианты 5 6 7 8 9

Исходные данные tср , час tв , час 230 12 556 23 556 2,5 430 8 143 1,7

Ответы Kг 0,95 0,96 0,995 0,98 0,988

Контрольная работа № 2 Задача 1. Изделие состоит из N элементов, средняя интенсивность отказов которых λср. Требуется вычислить вероятность безотказной работы в течение t и среднюю наработку до первого отказа. Исходные данные для расчёта и ответы приведены в табл. 7. Таблица 7 Исходные данные Ответы λср, 1/час t, час P(t) Tср, час N -5 0,16·10 120 5200 0,19 0 200 -5 139 3600 0,698 1 50 0,2·10 -6 1143 2500 0,916 2 100 0,35·10 -5 80 2500 0,2865 3 100 0,5·10 -5 200 1000 0,6065 4 100 0,5·10 -5 266 750 0,6873 5 100 0,5·10 -5 400 500 0,7788 6 100 0,5·10 -5 800 250 0,8825 7 100 0,5·10 -5 2,44 20500 0,44 8 2 2·10 -3 2 1000 0,7788 9 0,5 0,5·10 Задача 2 (для вариантов 0 – 4). Изделие состоит из N групп узлов. Отказы узлов первой группы подчинены экспоненциальному закону с интенсивностью отказов λ, отказы узлов второй группы – нормальному закону с параметрами Т1 и σ, отказы узлов третьей группы – закону Вейбулла с параметрами λ0 и k. Требуется определить вероятность безотказной работы изделия в течение времени t. Исходные данные для расчёта и ответы приведены в табл. 8. Задача 2 (для вариантов 5 – 9). Изделие состоит из N групп узлов. Отказы узлов первой группы подчинены экспоненциальному закону с интенсивностью отказов λ, отказы узлов второй группы – закону Релея с параметром σ и отказы узлов третьей группы – закону Вейбулла с параметрами λ0 и k. Требуется определить вероятность безотказной работы изделия в течение времени t. Исходные данные для расчёта и ответы приведены в табл. 9. Варианты

8

Таблица 8 Исходные данные Варианты N λ·10 , λ ·10-5, Т1, час σ, час 0 1/час групп 1/час 0,1 7200 2000 1 3 0 0,3 6000 4000 – 2 1 0,2 – – 3,2 2 2 – 8000 3000 0,93 2 3 0,16 4000 4000 0,6 3 4

Ответы

-4

k

t

1,5 100 1,5 1000 1,3 500 – 2000 1,4 2400

P(t) 0,89 0,87 0,45 0,82 0,67

Таблица 9 Варианты 5 6 7 8 9

Исходные данные N групп λ·10 , 1/час σ, час λ0·10-3, 1/час 0,1 1000 0,2 3 0,03 1200 0,1 3 1,6 1000 – 2 1,3 – 0,09 2 – 800 0,06 2 -3

k 1,5 1,5 1,3 1,3 –

Ответы t, час P(t) 0,7 500 0,54 1000 0,53 500 0,93 120 0,96 200

Задача 3. В результате обработки данных по испытаниям и эксплуатации, получен вариационный ряд значений времени безотказной работы изделия в часах. Требуется определить закон распределения времени безотказной работы. Исходные данные для расчёта и ответы приведены в табл. 10. Таблица 10 Варианты 1 0 1 2 3 4

Исходные данные ti 2 2; 2; 3; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 9; 13; 15; 16; 17; 18; 20; 21; 25; 27; 35; 38; 53; 56; 69; 77; 86; 98; 120 60; 100; 150; 170; 240; 300; 430; 650; 1100 22; 31; 35; 50; 67; 74; 80; 84; 91; 93; 138; 152; 166; 171 82; 89; 116; 124; 132; 197; 431; 1027 3; 4; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 9; 10; 10; 11; 12; 12; 12; 12; 12; 14; 14; 15; 15; 15; 16; 17; 18; 20; 20; 20; 21; 21; 22; 22; 23; 29; 30; 32; 33; 37; 38; 40; 40; 40; 42; 45; 46; 48; 49; 50; 53; 55; 55; 73; 86; 90; 110; 129

9

Ответы 3 Экспоненциальный Экспоненциальный Экспоненциальный Экспоненциальный Экспоненциальный

Продолжение таблицы 10 1 5 6 7 8 9

2 3 19; 28; 28; 32; 36; 36; 50; 51; 71; 124; 126; 138; 163; 231; 246; 260; 300; 302; 320; 341; 380; 384; 468; 477; 603; Экспоненциальный 807; 895; 920; 937 17; 18; 57; 134; 160; 160; 174; 198; 200; 225; 279; 370; Нормальный 420 61; 64; 92; 149; 150; 150; 178; 179; 200; 200; 250; 252; Нормальный 255; 255; 312; 340; 341; 359; 362; 378; 600; 600 699; 724; 794; 799; 810; 935; 997; 1115; 1120; 1174; 1190; 1300; 1353; 1500; 1534; 1573; 1800; 1800; 1900; Экспоненциальный 2000; 2166; 2278; 2301; 2400; 2444; 2447; 2500; 2700; 2850; 2950 200; 232; 328; 368; 393; 404; 421; 457; 483; 511; 527; Вейбулла 540; 544; 572; 598; 605; 619; 633; 660; 681; 736; 791; 942

Задача 4. По данным задачи 3 и вариационному ряду исследуемого времени безотказной работы построить полигон и гистограмму распределения, по виду которых ориентировочно подтвердить закон распределения отказов. 4. Методические указания к выполнению контрольных работ

Критерием надёжности называют признак, по которому оценивают надёжность различных изделий. К числу наиболее широко применяемых критериев надёжности относятся: – вероятность безотказной работы P(t) или вероятность отказа Q(t) в течение определённого времени t; – средняя наработка до первого отказа Тср; – наработка на отказ tср; – частота отказов а(t); – интенсивность отказов λ(t); – параметр потока отказов ω(t); – функция готовности Кг(t); – коэффициент готовности Кг. Характеристикой надёжности называют количественное значение критерия надёжности конкретного изделия. Выбор количественных характеристик надёжности зависит от вида изделия (невосстанавливаемого или восстанавливаемого). Невосстанавливаемыми называют такие изделия, которые в процессе выполнения своих функций не допускают ремонта. Если происходит отказ такого изделия, то выполняемая операция будет сорвана и её необходимо начинать вновь в том случае, если возможно устранение отказа. К таким изделиям относятся как изделия однократного действия (ракеты, управляемые снаряды, искусственные спутники Земли, усилители системы подводной 10

межконтинентальной связи и т. п.), так и изделия многократного действия (некоторые системы навигационного комплекса судового оборудования, системы ПВО, системы управления воздушным движением, системы управления химическими, металлургическими и другими производственными процессами и т. д.). Восстанавливаемыми называют такие изделия, которые в процессе выполнения своих функций допускают ремонт. Если произойдёт отказ такого изделия, то он вызовет прекращение функционирования изделия только на период устранения отказа. К таким изделиям относятся: электрические машины, телевизоры, агрегаты питания, станки, автомобили, тепловозы и т. п. 4.1. Методические указания к выполнению первой контрольной работы

Средней наработкой на отказ восстанавливаемого изделия называется среднее значение времени между соседними отказами. Для одного изделия статистическая оценка средней наработки на отказ будет равна n ⎛ tcp = ⎜ ∑ ti ⎞⎟ n , (1) ⎝ i=1 ⎠ где ti – время исправной работы изделия между (i – 1)-м и i-м отказами; n – число отказов за время t. Для N наблюдаемых в течение времени t изделий статистическая оценка средней наработки на отказ определяется по формуле ⎛N ⎞ N tcp = ⎜ ∑ ∑ tij ⎟ ∑ n j , (2) ⎝ j=1 i=1 ⎠ j=1 где tij – время исправной работы j-го изделия между (i – 1)-м и i-м отказами; nj – число отказов j-го изделия за время t. Пример 4.1.1. В течение некоторого периода времени проводилось наблюдение за работой одного восстанавливаемого изделия. За весь период наблюдения было зарегистрировано 15 отказов. До начала наблюдения изделие проработало 258 час, к концу наблюдения наработка изделия составила 1233 час. Требуется определить среднюю наработку на отказ tср. Решение: Наработка изделия за наблюдаемый период равна t = t2 – t1 = 1233 – 258 = 975 час. Принимая

n

∑t i =1

i

= 975 час по формуле (1), находим среднюю наработку на

отказ:

tcp = ⎛⎜ ∑ ti ⎞⎟ n = 975/15 = 65 час. ⎝ i=1 ⎠ Пример 4.1.2. Проводилось наблюдение за работой трёх одинаковых восстанавливаемых изделий. За период наблюдения было зафиксировано по первому изделию 6 отказов, по второму – 11 отказов и по третьему – 8 отказов. n

11

Наработка первого изделия составила 181 час, второго – 329 часов и третьего – 245 часов. Требуется определить среднюю наработку изделий на отказ. Решение: Суммарная наработка трёх изделий N

tΣ = ∑ ∑ tij = 181 + 329 + 245 = 755 часов. j=1 i =1

Суммарное количество отказов N

nΣ = ∑ n j = 6 + 11 + 8 = 25 отказов. j=1

Средняя наработка на отказ по формуле (2) будет равна ⎞ N ⎛N tcp = ⎜ ∑ ∑ tij ⎟ ∑ n j = tΣ / nΣ = 755/25 = 30,2 часа. ⎝ j=1 i=1 ⎠ j=1 Пример 4.1.3. Система состоит из 5 изделий, причём отказ любого одного из них ведёт к отказу системы. Известно, что первое изделие отказало 34 раза в течение 952 часов работы, второе – 24 раза в течение 960 часов работы, а остальные изделия в течение 210 часов работы отказали 4, 6 и 5 раз соответственно. Требуется определить наработку на отказ системы в целом, если справедлив экспоненциальный закон надёжности для каждого из пяти изделий. Решение: Для решения этой задачи воспользуемся соотношениями: N 1 . (3) λс = ∑ λ i и tср = λc i =1 Интенсивность отказов для каждого изделия: 4+6+5 1 34 1 24 1 λ1 = = 0,0357 , λ2 = = 0,025 , λ 3, 4, 5 = = 0,0714 . 210 час 952 час 960 час Интенсивность отказов системы: N 1 λс = ∑ λ i = λ1 + λ 2 + λ 3, 4, 5 = 0,0357 + 0,025 + 0,0714 = 0,1321 . час i =1 Средняя наработка на отказ системы: 1 1 tср = = = 7,57 часов. 0,1321 λc Пример 4.1.4. При эксплуатации системы было зарегистрировано п = 40 отказам. Распределение отказов по группам элементов и время, затраченное на восстановление, приведено в табл. 11. Найти величину среднего времени восстановления системы.

12

Таблица 11

Группа элементов 1

Вес отказов Количество по отказов по группе группе пi n тi = i n 2 3

ППП

8

0,2

Резисторы и конденсаторы

10

0,25

Реле, трансформаторы, дроссели

4

0,1

ЭВП

14

0.35

13

Время восстановления ti, мин 4 80 59 110 91 45 43 99 73 61 73 91 58 44 112 82 54 91 94 102 98 124 128 60 64 56 36 65 44 42 33 32 23

Суммарное время восстановления по группе tв, мин 5

600

760

452

700

Продолжение таблицы 11 1

2

3

Прочие элементы

4

0,1

4 125 133 115 107

5 480

Решение: Определяем среднее время восстановления аппаратуры по группам элементов. Для полупроводниковых приборов n

tв =

‡”t i =1

ni = 600/8 = 75 мин.

i

Аналогично находим: – для резисторов и конденсаторов 76 мин; – для реле, трансформаторов, дросселей 113 мин; – для ЭВП 50 мин; – для прочих элементов 120 мин. Рассчитываем среднее время восстановления системы по формуле m

tв с =

‡”t i =1

вi

mi ,

(4)

где tвi – среднее время восстановления элементов i-й группы; тi – вес отказов по группам элементов. Подставляя значения данных в формулу, получим tв с = 0,2·75 + 0,25·76 + 0,1·113 + 0,35·50 + 0,1·120 = 75 мин. Пример 4.1.5. Изделие имело среднюю наработку на отказ tcp = 65 часов и среднее время восстановления tв = 1,25 часа. Требуется определить коэффициент готовности изделия после отказа и восстановления. Решение: По определению коэффициент готовности изделия будет равен tcp 1 1 Кг = = = 0,98. = tcp + tв 1 + tв / tcp 1 + 0,019 4.2. Методические указания к выполнению второй контрольной работы

Если отказ технического устройства наступает при отказе одного из его элементов, то говорят, что такое устройство имеет основное соединение элементов. При расчёте надёжности таких устройств предполагают, что отказ элемента является событием случайным и независимым. Тогда вероятность безотказной работы изделия в течение времени t равна произведению вероятностей безотказной работы его элементов в течение времени t с учётом законов распределения отказов. Основные соотношения для количественных 14

характеристик надёжности при различных законах распределения времени до отказа невосстанавливаемых изделий приведены в табл. 12. Таблица 12 Наименование закона распределения

Частота Вероятность отказов безотказной (плотность работы распределения)

Экспоненциальный Релея

λе–λt

е–λt

t 2 2 ехр(– t2/2σ2) 2 ехр(– t /2σ ) σ λ 0 kt k - 1 × ехр(–λ0tk)

Вейбулла

1

Нормальный

T F ( 1 )σ 2 π σ exp[–(t – T)2/2σ2]

Средняя наработка до первого отказа

λ = const

1 λ

t σ2 λ 0 kt k - 1

ехр(–λ0tk) ×

Интенсивность отказов

π 2 Γ(1 / k + 1)

σ

1 k 0

λ

T1 + T1 t [σ/ 2 π F(T1/σ)]× 2σ 2 2 πσF [(T1 t )/σ] exp(– T12 /2σ2)

F [(T1 t )/σ] F (T1 / σ)

exp

Пример 4.2.1. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых λср = 0,32·10–6 1/час. Определить вероятность безотказной работы и среднюю наработку до первого отказа в течение t = 50 часов. Решение: В этом случае все элементы данного типа равнонадёжны и интенсивность отказов системы будет равна r

λс =

‡”N λ i =1

i

i

= λсрN = 0,32·10–6·12600 = 4,032·10–3 1/час,

тогда вероятность безотказной работы системы в течение 50 часов Р(50) = e - λ t = e -4,032•10 •50 ≈ 0,82, а средняя наработка системы до первого отказа равна 1 Тср с = = 1/4,032·10–3 ≈ 250 часов. λc Пример 4.2.2. Время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром λ = 2,5·10–5 1/час. Требуется вычислить характеристики надёжности элемента P(t), a(t) и Тср, если t = 500 часов. Решение: Используя формулы для P(t), a(t) и Тср, приведённые в табл. 12, вычисляем: вероятность безотказной работы P(t) = e–λt = exp(–2,5·10–5·t), P(500) = exp(–2,5·10–5·500) = e–0,0125 = 0,9875; -3

c

15

частота отказов a(t) = λ(t)P(t), a(500) = 2,5·10 ·exp(–2,5·10 ·500) = 2,5·10–5·0,9875 = 2,469·10–5 1/час; средняя наработка до первого отказа 1 Тср = = 1/2,5·10–5 = 40000 часов. λ Пример 4.2.3. Время работы изделия до отказа подчинено закону распределения Релея. Требуется вычислить количественные характеристики надёжности изделия P(t), a(t), λ(t), Тср для t = 500 часов, если параметр распределения σ = 1000 часов. Решение: Используя формулы для P(t), a(t), λ(t) и Тср, приведённые в табл. 12, вычисляем: вероятность безотказной работы P(500) = exp(–t2/2σ2) = exp(–5002/2·10002) = e–0,125 = 0,88; частота отказов а(500) = (t/σ2)exp(–t2/2σ2) = (500/10002)exp(–5002/2·10002) = 0,44·10–3 1/час; интенсивность отказов t 500 –3 1/час; λ(500) = 2 = 2 = 0,5·10 σ 1000 средняя наработка до первого отказа π π Тср = σ= 1000 = 1253 часа. 2 2 Пример 4.2.4. Время безотказной работы изделия подчиняется закону Вейбулла с параметрами k = 1,5 и λ0 = 10–4 1/час, а время его работы t = 100 часов. Требуется вычислить количественные характеристики надёжности изделия. Решение: Используя формулы для P(t), a(t), λ(t) и Тср, приведённые в табл. 12, вычисляем вероятность безотказной работы P(t) = exp(–λ0tk), подставляя значения λ0, t и k из условия задачи, получим P(100) = 0,9. Частота отказов определяется по формуле a(t) = λ0ktk – 1exp(–λ0tk – 1). Тогда а(100) = 10-4·1,5·1001,5 – 1·0,9 = 1,35·10-3 1/час, λ(100) = а(100)/Р(100) = 1,35·10-3/0,9 =1,5·10-3 1/час. Для вычисления средней наработки до первого отказа определяем значение гамма-функции из табл. [11], [12] для х = (1/k) + 1 = (1/1,5) + 1 ≈ 1,67. Подставляя в формулу для Тср значение гамма-функции Г(х) = 0,9033 и параметры распределения λ0 и k, получим –5

–5

16

⎛1 ⎞ Tcp = Γ ⎜ + 1⎟ λk0 = 0,9033/(10-4)1/1,5 ≈ 418 часов. ⎝k ⎠ 1

Пример 4.2.5. Время работы элемента до отказа подчинено нормальному закону с параметрами Т1 = 8000 часов, σ = 2000 часов. Требуется вычислить количественные характеристики надёжности P(t), a(t), λ(t), Тср для t = 4000 часов. Решение: Используя формулы для P(t), a(t), λ(t) и Тср, приведённые в табл. 12, вычисляем вероятность безотказной работы ⎛T −t⎞ F⎜ 1 ⎟ σ ⎠ = F[(8000 – t)/2000]/F(4). P(t ) = ⎝ ⎛ T1 ⎞ F⎜ ⎟ ⎝σ⎠ Для вычисления Р(4000) по данным табл. П.7.16 [9] находим F(2) = 0,97725 и F(4) = 1, тогда P(4000) = F[(8000 – 4000)/2000]/F(4) = F(2)/F(4) = 0,97725/1 = 0,97725. exp[(t T1 ) 2 / 2σ 2 ] . Вычисления удобно производить, Частота отказов a (t ) = F (T1 / σ)σ 2 π 1 ехр(–х2/2). В данном случае х = используя табл. П.7.17 [9] функции φ(х) = 2π (t – T1)/σ. Имея в виду, что F(T1/σ) = F(8000/2000) = F(4) ≈ 1, находим a(t) = φ(x)/σ. Тогда: a(4000) = φ[(4000 – T1)/σ]/σ = φ[(4000 – 8000)/2000]/2000 = φ(–2)/2000 = φ(2)/2000 = 0,05399/2000 = 2,7·10–5 1/час. Подставляя найденные значения a(t) и Р(t) в выражение λ(t) = a(t)/P(t), рассчитываем интенсивность отказов λ(4000) = а(4000)/Р(4000) = 2,7·10–5/0,97725 = 2,76·10–5 1/час. Вычисляем среднюю наработку до первого отказа Тср = Т1 + σ·ехр(–Т12/2σ2)/ 2 π F(T1/σ) = 8000 + 2000·exp(–0,5·42)/ 2 π F(4) = 8000,26 часов. Пример 4.2.6. В результате опыта получен следующий вариационный ряд времени исправной работы в часах: 2; 3; 3; 5; 6; 7; 8; 8; 9; 9; 13; 15; 16; 17; 18; 20; 21; 25; 28; 35; 37; 53; 56; 69; 77; 86; 98; 119. Требуется установить закон распределения времени безотказной работы.

17

Решение: Проверка соответствия принятого закона распределения отказов осуществляется по критериям согласия, наиболее распространёнными из которых являются критерий Пирсона и критерий Колмогорова. По критерию Пирсона вычисляют вероятность вида ∞

Р(χ2 ≤ Δ < ∞) = ∫ k r (u )du , ч

(5)

2

2

где Δ – мера расхождения; χ – функция плотности распределения − npi ) , (6) npi ч где п – общее число наблюдаемых изделий; рi = пi/п частость i-го интервала статистического ряда; k – число интервалов статистического ряда u ( r/2 )−1e − u/2 kr(u) = r / 2 , (7) 2 Г(r/2 ) где r = k – 1 – число степеней свободы распределения. Если вероятность Р(χ2 ≤ Δ < 0,1) ≥ 0,1 , то экспериментальное распределение соответствует теоретическому. По критерию Колмогорова соответствие теоретического и экспериментального распределений проверяется по выполнению условия D k ≤ 1, (8) где D – наибольшее отклонение теоретической кривой распределения от экспериментальной; k – общее количество экспериментальных точек. Общее число отказов ∑пi = 28. Заполняем табл. 13. Таблица 13 Статистические данные об отказах

χ2 =

k

∑

(n

i

2

Δti, час 0 – 20 20 – 40 40 – 60 60 – 80 80 – 100 100 – 120 n(Δti) 16 5 2 2 2 1 λ(Δti), 1/час 0,0400 0,0263 0,0167 0,0250 0,0500 ― По данным табл. 13 строится гистограмма требуемого показателя надёжности и аппроксимируется кривой, по виду которой ориентировочно устанавливается закон распределения отказов путём сравнения с соответствующими теоретическими кривыми (см. рис.). Находим среднее значение λср и наибольшее отклонение D: 0,0400 + 0,0263 + 0,0167 + 0,0250 + 0,5000 1 = 0,0316 , λ cp = 5 час D = λmax – λcp = 0,0500 – 0,0316 = 0,0184 1/час. Проверяем экспериментальное распределение на соответствие предполагаемому нормальному распределению по критерию согласия Колмогорова (8) D k = 0,0184 28 = 0,097 < 1. 18

В соответствии с критерием считаем, что закон распределения отказов нормальный. " P(t)

t

Рис. 5. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

1. Что является основной задачей технической диагностики ? 2. На чём основываются алгоритмы распознавания в технической диагностике ? 3. Какие методы используются при решении диагностических задач ? 4. Что обеспечивает достоверную оценку технического состояния изделия ? 5. Явление, которое можно определить как свершившееся или несвершившееся называется ………………… . 6. Число Р(А), характеризующее возможность появления события называется …………………………………………… . 7. Чему равна вероятность достоверного события ? 8. Чему равна вероятность невозможного события ? 9. Вероятность случайного события А определяется неравенством 0 Р(А) 1; проставьте недостающие операторы сравнения. 10. При испытаниях вероятность события А рассчитывается по формуле Р(А) = т/п, где т и п – ……………………………………………………………… . 11. Суммой событий А и В называют событие С = А … В; проставьте недостающий логический оператор. 12. Произведением событий А и В называют событие С = А … В; проставьте недостающий логический оператор. 13. Как называется совокупность событий, хотя бы одно из которых должно произойти ? 14. Какую группу событий составляют отказ и безотказность изделий ? 15. Если любые два события группы не могут произойти одновременно, то такая группа событий считается совместной или несовместной ? 16. Чему равна вероятность полной группы событий А, В и С, образующих полную группу событий, то есть хотя бы одно из которых обязательно осуществится ? 17. Чему равна сумма вероятностей полной группы несовместных событий А, В и С ? 19

18. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий ? 19. Величину, которая в результате испытания может принять одно из возможных заранее неизвестных значений называют ……………………… . 20. Случайные величины подразделяют на дискретные или непрерывные. 21. Назовите способы задания законов распределения случайной величины. 22. Назовите основное свойство любого закона распределения случайной величины. 23. Назовите основные обобщённые характеристики (параметры) закона распределения случайной величины ? 24. Общая совокупность большого числа однородных изделий (теоретически бесконечная) называется ………………………… . 25. Партия п испытуемых изделий из генеральной совокупности называется ………………………… . 26. Напишите формулу для расчёта математического ожидания случайной величины х, принимающей возможные значения х1, х2, … , хr с вероятностями Р1, Р2, … , Рr. 27. Напишите формулу для расчёта среднеквадратичного отклонения случайной величины х, принимающей возможные значения х1, х2, … , хr с вероятностями Р1, Р2, … , Рr. 28. Чему равна плотность вероятности (плотность распределения) f(x), если вероятность нахождения х в пределах интервала ∆х составляет ∆Р ? 29. Чему равна вероятность того, что случайная величина х окажется в интервале ∆х ? 30. Какую размерность имеет плотность распределения или плотность вероятности f(x) ? +Ѓ‡

31. Чему равен несобственный интеграл

Ѓзf ( x )dx

?

-Ѓ‡

32. Напишите формулу для расчёта интегральной функции распределения F(x) непрерывной случайной величины. 33. Каков геометрический смысл интегральной функции распределения непрерывной случайной величины ? 34. Чему равна интегральная функция распределения F(– ∞) ? 35. Чему равна интегральная функция распределения F(∞) ? 36. Напишите дифференциальный закон плотности распределения непрерывной случайной величины. 37. Как называется квантиль, соответствующий вероятности Р = 0,5 ? 38. Каков геометрический смысл медианы распределения ? 39. Чему равно математическое ожидание постоянной величины ? 40. Чему равно среднеквадратичное отклонение постоянной величины ? 41. Напишите формулу для расчёта начального момента порядка k непрерывных распределений. 42. Напишите формулу для расчёта начального момента порядка k дискретных распределений.

20

43. Напишите формулу для расчёта центрального момента порядка k непрерывных распределений. 44. Напишите формулу для расчёта центрального момента порядка k дискретных распределений. 45. Чему равен центральный момент нулевого порядка ? 46. Чему равен центральный момент первого порядка ? 47. Чему равен центральный момент второго порядка ? 48. Чему равен центральный момент третьего порядка ? 49. Чему равен центральный момент четвёртого порядка ? 50. Что характеризует асимметрия закона распределения случайной величины ? 51. Что характеризует эксцесс закона распределения случайной величины ? 52. В чём заключается распознавание состояния объекта при диагностировании ? 53. Как называется совокупность последовательных действий в процессе распознавания состояния объекта ? 54. Назовите два основных подхода к задаче распознавания состояния объекта. 55. Напишите обобщённую формулу Байеса, используемую в методах технической диагностики. 56. При применении метода последовательного анализа (метода Вальда) требуется меньшее или большее число обследований (объём испытаний), чем при использовании формулы Байеса ? 57. Как называется состояние изделия, при котором оно способно выполнять заданные функции с параметрами, установленными требованиями нормативно– технической и конструкторско–технологической документацией ? 58. Как называется событие, заключающееся в нарушении работоспособности изделия ? 59. Как называется признак, по которому оценивается надёжность различных изделий ? 60. Как называется свойство изделия непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени ? 61. Как называется продолжительность работы изделия в часах, циклах и т.п. ? 62. Как называется наработка изделия от начала эксплуатации до возникновения первого отказа ? 63. Как называется состояние изделия, при котором его дальнейшее применение по назначению недопустимо или нецелесообразно ? 64. Как называется свойство изделия сохранять работоспособное состояние до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания или ремонтов ? 65. Как называется свойство изделия, заключающееся в возможности к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов, к поддержанию и восстановлению работоспособного состояния путём проведения технического обслуживания и ремонтов ? 21

66. Как называется свойство изделия сохранять значения показателей безотказности, долговечности и ремонтопригодности в течение эксплуатации, хранения и транспортирования ? 67. Как называется наработка изделия от начала его эксплуатации или её возобновления после ремонта до перехода в предельное состояние ? 68. Как называется календарная продолжительность от начала эксплуатации изделия или её возобновления после ремонта до перехода в предельное состояние ? 69. Как называется математическое ожидание времени восстановления работоспособного состояния изделия ? 70. Как называется количественная характеристика одного или нескольких свойств, определяющих надёжность изделия ? 71. Как называется вероятность того, что при определённых условиях эксплуатации в заданном интервале времени возникнет хотя бы один отказ ? 72. Чему равна сумма вероятности безотказной работы и вероятности отказа ? 73. Как называется плотность вероятности времени работы изделия до отказа ? 74. Как называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к среднему числу изделий, исправно работающих в данный отрезок времени ? 75. Как называется математическое ожидание времени работы изделия до отказа ? 76. Напишите формулу для расчёта частоты отказов. 77. Напишите формулу для расчёта интенсивности отказов. 78. Напишите формулу для расчёта средней наработки до первого отказа при известной частоте отказов. 79. Напишите формулу для расчёта вероятности безотказной работы при известной функциональной зависимости интенсивности отказов от времени для любого закона распределения отказов. 80. Напишите формулу для статистической оценки вероятности отказа для невосстанавливаемых изделий. 81. Напишите формулу для статистической оценки вероятности безотказной работы для невосстанавливаемых изделий. 82. Напишите формулу для статистической оценки интенсивности отказов невосстанавливаемых изделий. 83. Напишите формулу для статистической оценки средней наработки до первого отказа невосстанавливаемых изделий, зная моменты выхода из строя всех наблюдаемых изделий. 84. Напишите формулу для статистической оценки средней наработки до первого отказа невосстанавливаемых изделий, имея данные о количестве вышедших из строя изделий в каждом интервале времени наблюдения. 85. Назовите наиболее часто нормируемые показатели надёжности восстанавливаемых изделий.

22

86. Как называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к числу испытываемых изделий при условии, что все изделия восстанавливаемые, а вышедшие из строя заменяются исправными ? 87. Как называется среднее значение времени между соседними отказами восстанавливаемых изделий ? 88. Как называется отношение времени исправной работы к сумме времени исправной работы и вынужденных простоев восстанавливаемых изделий, взятых за один и тот же календарный срок ? 89. Как называется отношение вынужденного простоя к сумме времени исправной работы и вынужденных простоев восстанавливаемых изделий, взятых за один и тот же календарный срок ? 90. Напишите формулу для статистической оценки параметра потока отказов. 91. Напишите формулу для статистической оценки коэффициента готовности. 92. Напишите формулу для статистической оценки коэффициента вынужденного простоя. 93. Чему равна сумма коэффициента готовности и коэффициента вынужденного простоя ? 94. Является ли функцией времени работы восстанавливаемого изделия коэффициент готовности ? 95. Как называется вероятность застать восстанавливаемое изделие в исправном состоянии в любой момент времени ? 96. Зависит ли функция времени восстанавливаемого изделия от времени работы изделия ? 97. Назовите три периода работы, характерные для любого технического изделия. 98. Как называются отказы изделия в период приработки ? 99. Какому закону распределения подчиняются отказы в период приработки ? 100. Для чего проводят технологическую приработку изделия ? 101. Как называются отказы изделия в период нормальной эксплуатации ? 102. Какому закону распределения подчиняются отказы в период нормальной эксплуатации ? 103. Как называются отказы изделия в период старения или износа ? 104. Какому закону распределения подчиняются отказы в период старения ? 105. Возможна ли эксплуатация изделия в период старения ? 106. Экспоненциальный закон распределения отказов однопараметрический или двухпараметрический ? 107. Нормальный закон распределения отказов однопараметрический или двухпараметрический ? 108. Закон распределения Вейбулла однопараметрический или двухпараметрический ? 109. Закон Релея однопараметрический или двухпараметрический ? 23

110. Как называется результирующая надёжность изделия при заданной структуре и известных значениях надёжности всех входящих в него блоков и элементов ? 111. Какое соединение элементов имеет техническое устройство, если отказ устройства наступает после отказа одного из его элементов ? 112. Чему равна вероятность безотказной работы изделия при основном соединении его элементов ? 113. Как влияет резервирование на показатели надёжности: повышает их, понижает или не влияет на показатели надёжности ? 114. Что является основным параметром резервирования ? 115. На какие виды делится резервирование по способу его включения ? 116. В каких состояниях могут находиться резервные элементы до включения их в работу при включении резерва по способу замещения ? 117. Как вычисляется вероятность безотказной работы резервированного устройства, если его элементы имеют отказы вида: «короткое замыкание» или «обрыв» ? 118. Интервальные оценки определяются неравенством α = Вер(θн θ θв); проставьте недостающие операторы сравнения. 119. Как называется вероятность того, что значение оцениваемого параметра θ выйдет из интервала [θн, θв] ? 120. Напишите уравнение, связывающее доверительную вероятность α и уровень значимости β. 121. Что означает первая буква п в плане испытаний [nБп] ? 122. Что означает буква Б в плане испытаний [nБt0] ? 123. Что означает третья буква п в плане испытаний [nБп] ? 124. Что означает третья буква t0 в плане испытаний [nБt0] ? 125. Что означает буква B в плане испытаний [nBd] ? 126. Что означает третья буква d в плане испытаний [nBd] ? 127. Назовите виды испытаний на надёжность. 128. Какие испытания на надёжность проводят с целью определения фактических количественных показателей надёжности для одного из вариантов испытаний, соответствующих заданным условиям применения ? 129. Для каких изделий проводятся определительные испытания на надёжность ? 130. Какие испытания на надёжность проводят с целью контроля соответствия количественных показателей надёжности требованиям стандартов или технических условий ? 131. Какая ошибка возникает при принятии решения по результатам испытаний выборки, когда хорошая партия бракуется ? 132. Какая ошибка возникает при принятии решения по результатам испытаний выборки, когда плохая партия принимается ? 133. Как называется вероятность ошибки первого рода ? 134. Как называется вероятность ошибки второго рода ? 135. Назовите три основных статистических метода контроля надёжности. 24

136. Как называется совокупность условий испытаний контролируемых изделий и правил принятия решений ? 137. Какой закон распределения отказов принимается при планировании испытаний на надёжность, если N > 500 для восстанавливаемых изделий или когда п ≤ 0,1N ? 138. Последовательный метод контроля предусматривает или не предусматривает предварительного определения объёма выборки ? 139. Назовите два возможных способа при последовательном методе контроля надёжности. 140. Что определяют три характеристические точки графика контроля надёжности при последовательном методе ? СОДЕРЖАНИЕ

1. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 1.1. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Введение 1.1.1. Элементы теории вероятности и математической статистики 1.1.2. Основы технической диагностики 1.1.3. Основы теории надёжности 1.2. Тематический план лекций для студентов очно-заочной формы обучения 1.3. Тематический план практических занятий для студентов очно-заочной формы обучения 2. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 3. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ 4. Методические указания к выполнению контрольных работ 4.1. Методические указания к выполнению первой контрольной работы 4.2. Методические указания к выполнению второй контрольной работы 5. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Редактор Н.В. Мариничева

3 3 3 3 3 4 4 5 5 5 10 11 14 19

Сводный темплан 2005 г. Лицензия ЛР № 020308 от 14.02.97 Санитарно-эпидемиологическое заключение № 78.01.07.953.П..005641.11.03 от 21.11.03 г. Подписано в печать Формат 60×84 1/16 Б. кн. – журн. П.л. Б.л. Издательство СЗТУ Тираж . Заказ . ____________________________________________________________________ Северо-Западный государственный заочный технический университет Издательство СЗТУ, член Издательско-полиграфической ассоциации университетов России 191186 Санкт-Петербург, ул. Миллионная д. 5 25