Геометрические вопросы адаптивной технологии изготовления конструкций намоткой из волокнистых композиционных материалов

Бурятский научный центр СО РАН Отдел физических проблем

Т. В. Аюшеев

Геометрические вопросы адаптивной технологии изготовления конструкций намоткой из волокнистых композиционных материалов

УДК 514.181.2:519.67:621.778.1.068 ББК 365.36 А 998 Ответственный редактор д-р техн. наук, проф. В. В. Найханов Рецензенты: д-р техн. наук, проф. С. О. Никифоров д-р техн. наук, проф. Н. А. Урханов Т.В.Аюшеев. Геометрические вопросы адаптивной А 998 технологии изготовления конструкций намоткой из волокнистых композиционных материалов. − Улан-Удэ: Изд-во БНЦ СО РАН, 2005. – 212 с. ISBN 5-7925-0168-8 Рассмотрены вопросы объемного моделирования и адаптивного управления процессом намотки многослойных конструкций сложных форм из волокнистых композиционных материалов. Разработаны модели и алгоритмы, позволяющие повысить точность реализации процесса намотки при использовании системы технического зрения. Монография предназначена для специалистов в области инженерной геометрии и автоматизации производства намоточных конструкций, а также для аспирантов и студентов соответствующего профиля. Ключевые слова: Намотка, адаптивная система, применение технического зрения, армированная конструкция, расчет параметров намотки, тело намотки.

ISBN 5-7925-0168-8

ББК 365.36

Улан-Удэ Издательство БНЦ СО РАН 2005 1

© Т. В. Аюшеев, 2005

2

ВВЕДЕНИЕ Интенсивное развитие авиационной, космической, атомной и других областей техники определяет необходимость создания новых конструкционных материалов, обладающих сложным комплексом различных свойств и способных обеспечивать работу конструкций в любых условиях. Наиболее перспективным решением этой задачи является создание композиционных материалов (композитов) на основе высокопрочных углеродных, борных, стеклянных, органических и некоторых других видов волокон и нитей [1-4]. Композиционные материалы (КМ) представляют собой сложные гетерогенные (неоднородные) структуры, образованные сочетанием армирующих элементов и изотропного полимерного связующего. Армирующие элементы в виде тонких волокон, нитей, жгутов или тканей обеспечивают физико-механические характеристики материала, в частности, высокую прочность и жесткость в направлении ориентации волокон, а связующее, или матрица, обеспечивает его монолитность. Современные композиционные материалы обладают удельной прочностью и жесткостью в направлении армирования в 4-5 раз превышающей удельную прочность и удельную жесткость стали, алюминиевых и титановых сплавов [5, 6]. КМ характеризуются также низкой тепло- и электропроводностью, стойкостью к агрессивным химическим средам, радиопрозрачностью (стеклопластики), хорошими технологическими, электроизоляционными, антикоррозийными свойствами и сравнительно малым удельным весом [2, 7]. Важнейшим достоинством КМ является направленный характер свойств материала. Можно создавать из КМ элементы конструкций с заранее заданными свойствами, наиболее полно отвечающие характеру и условиям работы. Многообразие волокон и матричных материалов, а также схем армирования, используемых при создании композитов, позволяют направленно регулировать прочность, жесткость, уровень рабочих температур, химическую стойкость и другие свойства. В силу сказанного применение композиционных материалов является одним из важнейших путей развития

3

современной техники. Актуальность рассматриваемого вопроса подтверждается документами федерального уровня "Приоритетные направления развития науки, технологий и техники РФ на период до 2010 года" и "Перечень критических технологий РФ на период до 2010 года". Наиболее распространенным и перспективным методом получения высокопрочных армированных конструкций из КМ является непрерывная намотка лент из однонаправленных волокон, нитей или жгутов, пропитанных связующим, с последующим его отверждением. Намотка непрерывными волокнами в направлении действия силы позволяет полностью реализовать повышенные механические свойства таких материалов, как углерод, бор, стекло, которые в форме волокон относятся к наиболее прочным из известных материалов. Многие композиционные материалы, полученные таким способом, обладают очень высокими функциональными показателями и находят чрезвычайно широкое применение в аэрокосмической, авиационной технике, в судостроении, автомобилестроении, строительстве, химической и других отраслях промышленности. Намотка производится на специальных станках, оснащенных системой числового программного управления (ЧПУ). При намотке на оправку, имеющую конфигурацию внутренней поверхности изготавливаемого изделия, укладывается с натяжением непрерывная лента, составленная из однонаправленных волокон, нитей, пропитанных связующим [5, 8]. Для обеспечения хорошей жесткости волокнистых композиций слои однонаправленных волокон, как правило, укладываются под разными углами с образованием слоистых структур. После получения необходимой толщины и структуры материала производится полимеризация, окончательное отверждение связующего. Оправка удаляется или используется как часть конструкции. Существует несколько технологических методов формования изделий намоткой в зависимости от способа нанесения связующего на волокнистый армирующий материал и обеспечения необходимого содержания его в материале изделия.

4

Способ “сухой” намотки заключается том, что намотка производится с помощью полуфабрикатов, препрегов, являющихся предварительно пропитанными связующим и подсушенными жгутами или лентами. Перед укладкой препреги проходят через горячие валки либо через нагревательную камеру и в размягченном виде укладываются на оправку. Способ “мокрой” намотки отличается тем, что пропитка армирующего волокнистого материала связующим и намотка на оправку совмещены. Свойства изделий из КМ зависят от многих факторов, в том числе, от толщины и равномерности слоя связующего, от глубины его проникновения между волокнами, от содержания летучих веществ, степени полимеризации связующего в подсушенных заготовках и от других характеристик, регулируемых концентрацией растворов, скоростью и температурой пропитки. Поэтому из двух видов намотки, каждый из которых имеет свои недостатки и преимущества, чаще всего используется “сухая” намотка. Она обеспечивает не только более качественную пропитку, но и требуемое равномерное содержание связующего в препреге. При использовании этого метода легче контролируется степень армирования изделия при намотке и более равномерное распределение связующего по толщине стенки изделия, улучшаются условия и культура производства, повышается производительность процесса намотки в 1,5-2 раза, появляется возможность использования практически любого связующего. Процесс намотки оболочек сложной формы со сложной схемой армирования может быть реализован только с помощью программного управления. В этом случае можно обеспечить контроль над точностью процесса для получения максимальной прочности оболочки, требуемой ее формы и удовлетворения других показателей качества при заданных весовых и геометрических характеристиках. Характерной особенностью рассматриваемых материалов, отличающих их от традиционных металлических сплавов, является то, что они, как правило, образуются одновременно с изготовлением конструкции. При этом их механические характеристики, обуславливаемые схемой расположения волокон, могут изменяться в широких пределах,

что позволяет получать конструкции с направленной анизотропией физико-механических свойств, соответствующих спектру действующих нагрузок. Таким образом, изготовление конструкций из композиционных материалов предусматривает, кроме создания геометрических форм, определение рациональной структуры материала, т.е. числа и порядка чередования слоев, углов ориентации и вида армирующих элементов, их относительного содержания в композиции и других параметров. При этом эффективность в значительной степени зависит от степени соответствия формы, назначения и условий эксплуатации изделия возможностям композиционных материалов, а также технологическим возможностям реализации проекта. Эффективность применения композиционных материалов в различных конструкциях определяется степенью совершенства методов расчета и проектирования и технологией изготовления изделий. Поэтому главной технологической задачей намотки является получение спроектированных изделий и конструкций, удовлетворяющих заданному комплексу свойств. Решение этой задачи зависит от физико-механических свойств используемых композиционных материалов, от качества и точности, проведенных конструктором расчетов, от точности моделирования поверхности оправки, качества отработки расчетных траекторий, точности укладки ленты на оправку, создания на лентопроводе нужного натяжения, от возможностей оборудования [3, 5, 6, 9-19]. Первые работы по моделированию процесса намотки и разработке систем автоматизированной подготовки управляющих программ (УП) начались с моделирования поверхности оправки, по внутреннему теоретическому контуру изделия, одного витка линии на поверхности оправки, являющейся геодезической линией, равного отклонения или винтовой. Этому были посвящены работы А.Ф.Парнякова [20-22], М.В.Орлова [23, 24], А.К.Добровольского, В.И.Кострова [25], Г.Б.Евгенева, В.М.Морозовой, А.Н.Петухова, Ю.М.Пидгайного, В.А.Дудко, Д.Ю.Струве [26-28], Ю.А.Исакова [29], Я.Я.Чикильдина, В.Е.Шукшунова, Ю.М.Алпатова [30], В.И.Зборжевского [31], В.А.Гречишкина [32] и многих других.

5

6

В перечисленных работах рассматривались в основном оболочки, имеющие форму тела вращения. Несмотря на то, что такие оболочки достаточно широко распространены в технике, они далеко не исчерпывают всего многообразия форм оболочечных элементов современных конструкций. Во многих важных случаях элементами различных конструкций являются оболочки со сложной формой срединной поверхности, не допускающие простую аналитическую параметризацию, и со сложной конфигурацией границы. Такие оболочки, получившие название оболочек сложной геометрии [33, 34], широко встречаются в конструкциях летательных аппаратов, судов и других машин и аппаратов. Дальнейшее решение задачи для таких конструкций привело к попыткам приспособить методы и расчеты, полученные для оболочек вращения, к оправкам, имеющим некруговые сечения: Г.Р.Борох, Э.М.Мендлин, В.М.Киселев, В.Ф.Соколов [35-37], А.В.Завидский [38-40], Е.В.Моисеев, Ю.М.Щербаков, В.П.Пушков [41, 42], И.А.Литвинов, Г.С.Иванов [16], С.Г.Мухамбетжанов, Ю.И.Ромашов, С.Г.Сидорин, Е.М.Центовский [43] и другие. В перечисленных работах в соответствии с принятым “нитевым” методом расчета армированных оболочек при моделировании технологического процесса намотки, как правило, принималась “нитевая” модель укладки ленты и расчета параметров этого процесса. Такая модель приемлема для лент относительно малой ширины и пригодна для оболочек с простой формой поверхности типа поверхностей вращения. Но для оболочек с более сложной криволинейной формой типа “крыло” или “канал” она дает существенные ошибки и значительные отклонения характеристик изделия от проектных расчетов. Этим вопросам были посвящены работы [9, 44-46]. Впервые моделирование процесса намотки лентами из волокнистых композиционных материалов для произвольных поверхностей с учетом реальной структуры волокон, нитей ленты по ее ширине рассматривалось в работах Н.Н.Беляковой, Г.Р.Бороха, В.А.Калинина, В.И.Якунина и автора [13-15, 19, 4755].

Помимо проблемы геометрического моделирования процесса намотки актуальной задачей является моделирование самих поверхностей, используемых в модели намотки. Вопросам формирования моделей поверхностей и задания кривых на них посвящены работы отечественных авторов: И.И.Котова [56, 57], Н.Н.Рыжова [58, 59], С.А.Фролова [60], В.А.Бусыгина [61, 62], Э.В.Егорова, А.Д.Тузова [63, 64], Ю.С.Завьялова [65, 66], А.В.Завидского [39], Г.С.Иванова [67, 68], К.М.Наджарова [69], В.А.Осипова [70-72], А.М.Тевлина [73], В.И.Якунина [74-76], В.А.Зубкова [77] и других; а также зарубежных авторов: П.Кастельжо [78], А.Фокса, М.Пратта [79], У.Ньюмена, Р.Спрулла [80], Р.В.Хемнинга [81], Ф.Препарата, М.Шеймоса [82] и других. Заключительный этап моделирования процесса намотки связан с разработкой управляющих программ для намоточных станков с ЧПУ. Качество разработки управляющих программ зависит от возможностей оборудования и процессора станка, от качества математических моделей процесса намотки ленты на поверхность оправки. Этому вопросу были посвящены работы В.В.Алексейчика, В.К.Ершова, А.Н.Иванченко, В.А.Пальцева [11, 83], Л.Я.Анисимова, Г.Р.Бороха, В.Е.Верткова, М.Б.Второвой [84, 85], В.Е.Шукшунова, В.Г.Жуковского, А.И.Евченко, Я.Я.Чикильдина, Ю.Н.Алпатова [86, 87] и других. Одной из проблем технологии изготовления армированных конструкций сложной формы из КМ является разработка управляющих программ к намоточным станкам с ЧПУ. Расчет взаимоувязанных движений рабочих органов станка, обеспечивающих намотку по расчетной траектории, весьма сложен из-за невысокой жесткости системы и в связи с трудностями учета всех факторов, влияющих на процесс намотки. Поэтому нужно отслеживать (контролировать) процесс намотки. Для этого необходимо оснащение намоточных станков с ЧПУ адаптивными системами. Существующие адаптивные системы намоточных роботизированных станков, основанные на решении обратной задачи кинематики с применением датчиков, встроенных в исполнительные приводы армирующего манипулятора, не обеспечивают в полной мере заданную точность укладки ленты на поверхность оправки.

7

8

В данной монографии рассматриваются вопросы разработки и создания намоточных адаптивных роботовстанков, оснащенных системой технического зрения (СТЗ). Использование СТЗ в качестве сенсорного устройства адаптивной системы управления позволяет минимизировать возмущения, связанные со сложным нелинейным движением исполнительных органов армирующего манипулятора и с идеализацией самой модели укладки композиционной ленты на поверхность оправки. Способность к анализу зрительной информации позволяет намоточному роботу гибко и “осмысленно” реагировать на отклонения от расчетной траектории, что дает возможность полностью перевести на автоматический режим весь комплекс контроля и управления технологическим процессом намотки деталей сложной формы из волокнистых композиционных материалов. В монографии приведены теоретические данные о геометрическом моделировании и примеры расчета параметров многослойных конструкций сложных форм, формируемых процессом намотки, с применением новой прогрессивной технологии параметрического твердотельного моделирования. В отличие от большинства разработанных геометрических моделей, направленных на решение отдельных задач, представленная объемная модель тела намотки пригодна для решения широкого спектра задач конструкторских и технологических расчетов, а также подготовки управляющих программ для намоточного оборудования. В результате реализации базового набора решаемых задач синтеза и анализа геометрии пространственных объектов в предлагаемой модели раскрываются механизмы параметризации конструктивной модели тела намотки для формирования физической модели с реальными свойствами. Предлагаемый инструментарий дает возможность разработчикам получить более полную и точную картину свойств и параметров проектируемого объекта и оперативно уже на этапе проектирования решать многие технологические задачи для целенаправленного получения требуемых свойств изделия.

9

ГЛАВА 1 МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТАВНЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЛ МНОГОСЛОЙНОЙ СТРУКТУРЫ При моделировании процесса намотки и расчета параметров получающейся оболочки армирования возникают важные геометрические задачи построения сеток граничных и промежуточных поверхностей деформируемых твердых тел многослойной структуры. Тело намотки произвольной формы можно рассматривать как связное множество точек некоторой области V трехмерного евклидового пространства. Введем систему криволинейных координат и поставим в соответствие каждой точке x, y, z этого пространства упорядоченную тройку действительных чисел u, v, w. Криволинейные координаты точки u, v, w тождественно связаны с ее прямоугольными декартовыми координатами x, y, z формулами: u = u ( x , y , z ) , v = v ( x , y , z ) , w = w ( x, y , z ) , (1.1) где функции (1.1) всюду в V однозначны и непрерывно дифференцируемы, причем должно выполняться неравенство ∂ ( u , v, w ) ≠ 0. ∂ ( x, y , z )

Таким образом, в окрестности каждой регулярной области можно допустить параметрическое представление r r r = r ( u, v, w ) = {u ( x, y, z ) , v ( x, y, z ) , w ( x, y, z )} , (1.2)

r

где r ( u, v, w) - радиус-вектор точки тела. Это уравнение (1.2) соответствует трем скалярным уравнениям: x = x ( u , v, w ) , y = y ( u , v, w ) , z = z ( u , v, w ) . Здесь u, v и w – параметры, которые изменяются в некотором диапазоне. Если зафиксировать один из параметров (1.2), например, w = w1 = const , то получим соответствующую двум остальным параметрам (u и v) криволинейную координатную поверхность. Координатные поверхности, соответствующие различным

10

значениям одной и той же координаты, например w = wk , не пересекаются в V. В этой главе будут приведены методики получения уравнений (1.2) и возможности их использования для описания тел намотки со сложными поверхностями. Полученные методики позволят разработчикам решить трудную задачу параметризации деформируемого твердого тела намотки и управления ее формой для получения требуемых свойств изделия. 1.1. Моделирование тела с граничными поверхностями Кунса

Исходными данными для моделирования граничной поверхности тела намотки являются внешние теоретические контуры изделия. Одним из самых распространенных способов задания поверхности изделия на производстве является ее представление дискретным точечным каркасом, который получается снятием координат контрольных точек в некоторой фиксированной системе координат, расположенных в сечениях, идущих вдоль некоторой строительной оси. Такой способ задания каркаса поверхности приводит нас к моделированию поверхности с помощью сплайнов, кусочно-полиномиальных функций [65, 88]. Этот способ в настоящее время является наиболее эффективным и имеет наибольшее распространение. Имея характеристики поверхности в узловых точках или граничных кривых, можно записывать порции поверхности с помощью полиномиальных сплайнов в различных видах: по Кунсу [89, 90], в форме Фергюссона [91], в форме Безье [92], в форме В-cплайнов [79]. Особые преимущества имеют кубические сплайны, которые менее подвержены большим осцилляциям между соседними узлами и обеспечивают лучшее качество аппроксимации приближенно заданных функций по сравнению с полиномами высоких степеней. Далее рассмотрим способы построения модели тела намотки, граничные поверхности которой описаны методом Кунса.

11

1.1.1. Построение модели тела с применением обобщенной линейной интерполяции

Пусть нам известна форма поверхности тела намотки. Допустим, что необходимая сетка кривых, определяющих поверхность тела, уже построена. Сетка кривых делит поверхность на совокупность четырехугольных порций, которые ограничены u, v и w − кривыми, как показано на рис. 1.1. Допустим, что u, v и w изменяются в пределах от 0 до 1 вдоль r соответствующих границ. Тогда r ( u , v, w ) , 0 < u , v, w < 1, r r представляет внутренность порции тела, а r ( i, v, w ) , r ( u, j , w ) , r r ( u , v, k ) , i, j , k = 0,1 представляют шесть известных граничных r r (0,1,1) r r (1,1,1)

r r (0, 0,1) r r (u , v, w) w

r r (1, 0,1)

r r (1, 0, 0)

r r (0, 0, 0)

r r (1,1, 0)

v

z

u

r r (1, 0, 0)

0 y x Рис. 1.1. Порция тела намотки

12

поверхностей. Тем самым задача определения точки внутри r порции тела сводится к нахождению функции r ( u , v, w ) , которая при u = i , v = j или w = k представляет нужную граничную поверхность. Рассмотрим сначала более простую задачу построения уравнения порции тела, если заданы уравнения только двух ее r r граничных поверхностей r ( 0, v, w ) и r (1, v, w ) . Применяя линейную интерполяцию в u-направлении, получим уравнение r тела с боковыми линейчатыми поверхностями r ( u, j , w ) и r r ( u , v, k ) (рис. 1.2): 1 r r r1 ( u, v, w ) = ∑ r ( i, v, w ) I i ( u ) , u ∈ [ 0,1] ,

(1.3)

Аналогичная линейная интерполяция в v-направлении дает уравнение тела, удовлетворяющее двум другим граничным r r условиям r ( u , 0, w ) и r ( u,1, w ) , с боковыми линейчатыми r r поверхностями r ( u, v, k ) и r ( i, v, w ) (рис. 1.3): 1 r r r2 ( u , v, w ) = ∑ r ( u , j , w ) I i ( v ) , v ∈ [ 0,1] .

r r (0,1,1) r r (0, v,1)

i =0

где: I 0 ( g ) = 1 − g , I1 ( g ) = g .

r r (0, v,1)

r r (0, 0, w)

r r (0,1,1)

r r (0, 0, w)

r r (0,1, w)

r r (0, 0, 0)

r r (1, v,1)

ρ r (1,0,1)

r r1 (u , v, w)

r r (u, 0,1) r r2 (u , v, w)

r r (0,1, 0)

r r (0,1, 0)

r r (1, v, 0) r r (1, 0, 0)

Рис. 1.2. Линейная интерполяция порции тела в u-направлении

13

r r (1,1, w)

r r (u,1, 0)

r r (u , 0, 0)

r r (1, 0, w)

r r (1,1, 0)

r r (1, 0, 0) Рис. 1.3. Линейная интерполяция порции тела в v-направлении

r r (1,1, 0)

r r (0, 0, 0)

r r (1,1,1)

ρ r (1,0,1)

r r (1,1, w)

r r (1, 0, w)

r r (0, v, 0)

r r (u ,1,1)

r r (0,1, w)

r r (1,1,1) r r (0, v,1)

(1.4)

j =0

Соответственно, линейная интерполяция в w-направлении даст уравнение тела, удовлетворяющее двум остальным r r граничным условиям r ( u, v, 0 ) и r ( u , v,1) , с боковыми r r линейчатыми поверхностями r ( i, v, w ) и r ( u , j , w ) (Рис. 1.4): 1 r r r3 ( u , v, w ) = ∑ r (u , v, k ) I i ( w). w∈ [ 0,1] . k =0

14

(1.5)

Просуммируем выражения (1.1), (1.2) и (1.3): r r r r r 1 ( u , v, w ) = r1 ( u , v, w ) + r2 ( u, v, w ) + r3 ( u, v, w ) = 1

1

(1.6)

j =0

k =0

r r (0,1,1)

r r (0, v,1) r r (0, v,1)

k =0

(1.7)

r r (u,1,1)

r r (1, v,1) ρ r (1,0,1)

r r (0, v, 0) r r (0,1, 0)

r r (u,1, 0) r r (1, v, 0)

r r (u , 0, 0)

r r (1,1, 0)

r r (1, 0, 0)

Рис. 1.4. Линейная интерполяция порции тела в w-направлении Выражение (1.6) представляет порцию тела, каждая из граничных поверхностей которой является суммой заданной граничной поверхности и двух однопараметрических семейств прямолинейных отрезков, соединяющих точки противоположных граничных кривых этой поверхности. Это утверждение можно легко проверить. Действительно, последовательно подставляя u = i , v = j и w = k в выражение (1.6), получим: 1 1 r r r r r 1 ( i , v , w ) = r ( i , v, w ) + ∑ r ( i , j , w ) I j ( v ) + ∑ r ( i , v, k ) I k ( w ) , j =0

k =0

15

1 1 r r r r r 1 ( u , v, k ) = r ( u , v, k ) + ∑ r ( i , v , k ) I i ( u ) + ∑ r ( u , j , k ) I j ( v ) . i =0

r r (1,1,1)

r r (u, 0,1) r r3 (u, v, w)

r r (0, 0, 0)

i =0

1

r r r = ∑ r ( i , v , w ) I i ( u ) + ∑ r ( u , j , w ) I j ( v ) + ∑ r ( u , v, k ) I k ( w ) . i =0

1 1 r r r r r 1 ( u , j , w ) = r ( u , j , w ) + ∑ r ( i, j , w ) I i ( u ) + ∑ r ( u , j , k ) I k ( w ) ,

j =0

Если мы можем найти порцию тела, граничными поверхностями которой служат вышеупомянутые два однопараметрические семейства прямолинейных отрезков, образующие линейчатые поверхности, то можно восстановить первоначальные граничные поверхности. При линейной интерполяции в u-направлении имеем следующее выражение 1 1  1 r  r r r11 ( u , v, w ) = ∑ I i ( u )  ∑ r ( i, j , w ) I j ( v ) + ∑ r ( i, v, k ) I k ( w ) . (1.8) i =0 k =0  j =0  Соответственно, последующая линейная интерполяция в vнаправлении даст нам 1 1 r r  1 r  r21 ( u , v, w ) = ∑ I j ( v )  ∑ r ( i, j , w ) I i ( u ) + ∑ r ( u , j , k ) I k ( w ) . (1.9) j =0 k =0  i =0  Наконец, линейная интерполяция в w-направлении может быть представлена выражением 1 1  1 r  r r r31 ( u , v, w ) = ∑ I k ( w )  ∑ r ( i, v, k ) I i ( u ) + ∑ r ( u , j , k ) I j ( v )  . k =0 j =0  i =0  (1.10) Просуммировав выражения (1.8), (1.9) и (1.10) получим

r r r r r0 ( u , v, w ) = r11 ( u, v, w ) + r21 ( u , v, w ) + r31 ( u , v, w ) =

1 1  1 r  r = ∑ I i ( u )  ∑ r ( i , j , w ) I j ( v ) + ∑ r ( i , v, k ) I k ( w )  + i =0 k =0  j =0  1 1 1 r  r  + ∑ I j ( v )  ∑ r ( i, j , w ) I i ( u ) + ∑ r ( u , j , k ) I k ( w )  + j =0 k =0  i =0  1  1 r  r + I k ( w )  ∑ r ( i , v, k ) I i ( u ) + ∑ r ( u , j , k ) I j ( v )  j =0  i =0 

16

(1.11)

Сначала найдем граничную поверхность тела при w = 0 . Подставляя w = 0 в (1.11) получим 1  1 r  r r r0 ( u , v, 0 ) = ∑ I i ( u )  ∑ r ( i, j , 0 ) I j ( v ) + r ( i, v, 0 )  + i =0  j =0  1 r  1 r  + ∑ I j ( v )  ∑ r ( i, j , 0 ) I i ( u ) + r ( u , j , 0 )  + j =0  i =0  1 1 r r + ∑ r ( i , v, 0 ) I i ( u ) + ∑ r ( u , j , 0 ) I j ( v ) i =0

j =0

или r r0 ( u , v, 0 ) 2

1 1 r r = ∑ r ( i, v, 0 ) I i ( u ) + ∑ r ( u , j , 0 ) I j ( v ) + i =0

1

1

i =0

j =0

j =0

+ ∑ I i ( u ) ∑ I j ( v ). Учитывая (1.7) можно записать следующее выражение 1 1 r r r r ( u , v, 0 ) = ∑ r ( i , v, 0 ) I i ( u ) + ∑ r ( u , j , 0 ) I j ( v ) − i =0

1

1

i =0

j =0

j =0

r − ∑ I i ( u )∑ r ( i , j , 0 ) I j ( v ) .

(1.12)

Первая составляющая правой части выражения (1.12) представляет линейчатую поверхность с образующей в u-направлении. Вторая составляющая – линейчатую поверхность с образующей в v-направлении. Их сумма не дает нам требуемой поверхности. Чтобы ее построить, необходимо вычесть дополнительное слагаемое, получаемое с помощью того же метода интерполяции в обоих направлениях при использовании только информации об угловых точках. Третья составляющая представляет также линейчатую поверхность. Это поверхность гиперболического параболоида – косая плоскость. Исходя из формулы (1.12), запишем следующие выражения: r 1 1 r0 ( u , v, 0 ) r r = r ( u , v, 0 ) + 2∑ I i ( u ) ∑ r (i, j , 0) I j ( v ), (1.13) 2 i =0 j =0

17

1 1 r r r r 1 ( u , v, 0 ) = 2 r ( u , v, 0 ) + ∑ I i ( u ) ∑ r ( i , j , 0 ) I j ( v ) , i =0

j =0

1

1 r r r 2 r 1 ( u , v, 0 ) = 4 r ( u , v, 0 ) + 2∑ I i ( u ) ∑ r ( i , j , 0 ) I j ( v ) . i =0

(1.14)

j =0

Тогда

r r0 (u , v, 0) r1 r 2r (u , v, 0) − = 3r (u , v, 0) . 2 Отсюда, получим искомую граничную поверхность тела при w=0 r r0 (u , v, 0) r 2 r1 . r (u, v, 0) = r (u , v, 0) − 3 6 Аналогично определяются остальные граничные поверхности порции тела: r r0 ( u, v,1) r 2 r1 , r ( u , v,1) = r ( u , v,1) − 3 6 r r0 ( i, v, w ) r 2 r1 , r ( i , v, w ) = r ( i , v, w ) − 3 6 r r0 ( u , j , w ) r 2 r1 r ( u, j, w) = r ( u, j, w) − . 3 6 Таким образом, векторное уравнение, описывающее искомую порцию тела, принимает вид r r0 ( u , v, w ) r 2 r1 r ( u , v, w ) = r ( u , v, w ) − (1.15) . 3 6 Последовательные подстановки u = i , v = j , w = k в (1.15) подтверждают, что порция тела, определенная этим уравнением, имеет шесть первоначальных поверхностей, т.е. заданные граничные условия соблюдаются. Подставим выражения (1.6) и (1.11) в уравнение (1.15). После простейших преобразований получим 1 r r 2 1 r r ( u , v , w ) =  ∑ r ( i , v, w ) I i ( u ) + ∑ r ( u , j , w ) I j ( v ) + 3  i =0 j =0

18

1 1 r r  1 1 + ∑ r ( u , v, k ) I k ( w )  −  ∑ I i ( u ) ∑ r ( i , j , w ) I j ( v ) + k =0 j =0  3  i =0

z

(1.16)

1 1 1 1  r r + ∑ I j ( v ) ∑ r ( u , j , k ) I k ( w ) + ∑ I k ( w ) ∑ r ( i , v, w ) I i ( u )  . j =0 k =0 k =0 i =0  Уравнение порции тела (1.16) удобно представить в матричном виде 2 r ( u , v, w ) = ( F ( u ) AT ( v, w ) + B ( u, w ) F T ( v ) + 3 1 (1.17) + F ( w) C T ( u, v ) ) − ( F ( u ) D ( w) F T ( v ) + 3 + F ( v ) E ( u ) F T ( w) + F ( w) G ( v ) F T ( u ) ) ,

w

где: F ( g ) = [1 − g , g ] , Т – знак транспонирования, F T ( g ) - вектор-столбец и

A ( v, w ) =  r ( 0, v, w ) , r (1, v, w )  , B ( u , w ) =  r ( u , 0, w ) , r ( u,1, w )  , C ( u, v ) =  r ( u , v, 0 ) , r ( u, v,1)  ,  r ( 0, 0, w ) r ( 0,1, w )  D ( w) =  ,  r (1, 0, w ) r (1,1, w )   r ( u , 0, 0 ) r ( u, 0,1)  E (u ) =  ,  r ( u ,1, 0 ) r ( u ,1,1) 

y x v

u

Рис. 1.5. Порция тела с граничными поверхностями Кунса

 r ( 0, v, 0 ) r (1, v, 0 )  G (v) =  .  r ( 0, v,1) r (1, v,1)  На рисунках 1.5 и 1.6 приведены примеры описания порции трехмерного тела и определения ее промежуточных поверхностей, в том числе срединной поверхности.

19

20

самом деле, можно поменять линейные функции смешения на функции более высокой степени. Сделаем следующую замену: (1 − u ) , u, (1 − v ) , v, (1 − w ) ,

z r r ( u , v,1)

w обозначим соответственно α 0 ( u ) , α1 ( u ) , α 0 ( v ) , α1 ( v ) ,

α 0 ( w ) , α1 ( w ) , тогда функции смешения могут быть любыми, r r ( u , v, 0.75 )

r r ( u , v, 0.5 ) r r ( u , v, 0.25 ) r r ( u , v, 0 )

y

x

для которых выполняются условия α 0 + α1 = 1 и α 0 (0) = 1, α 0 (1) = 0, α1 (0) = 0, α1 (1) = 1. В таком случае уравнение порции тела (1.17) запишется: r 2 r ( u , v, w ) = ( F%( u ) AT ( v, w ) + B ( u , w ) F%T ( v ) + 3 1 + F%( w ) C T ( u, v ) ) − ( F%( u ) D ( w ) F%T ( v ) + 3 T + F%( v ) E ( u ) F% ( w ) + F%( w ) G ( v ) F%T ( u ) ) , где F%( g ) = α 0 ( g ) , α1 ( g )  .

Можно сделать важное обобщение уравнения порции тела (1.17), а именно при использовании линейных функций смешения (1 − u ) , u, (1 − v ) , v, (1 − w ) , w в этом уравнении в результате получится равномерная линейная интерполяция. В

Функции смешения α 0 и α1 выбираются обычно непрерывными и монотонными на интервале 0 ≤ u, v, w ≤ 1. В практике описания составных кривых и поверхностей, как правило, по аналитическим и вычислительным соображениям используют полиномиальные или рациональные функции смешения. Имея точечный каркас или сетку граничных кривых, можно сконструировать составное тело из порций описанного типа. Однако следует учитывать то, что на границах порций это тело будет только непрерывным, но не гладким. Таким образом, в результате формируется составное тело нулевого порядка гладкости. Непрерывность градиентов, существенная для расчета параметров формируемой оболочки армирования, достигается более сложным путем, где порция тела определяется не только через расчет граничных поверхностей, но и также через расчет граничных наклонов в направлениях, трансверсальных граничным поверхностям. С этой целью

21

22

Рис. 1.6. Промежуточные поверхности порции тела

поставлена и решена задача о построении уравнения порции тела, учитывающая заданные наклоны поперек граничных поверхностей. Уравнение такой порции тела может быть выведено путем использования не обобщенной линейной интерполяции, а обобщенной интерполяции Эрмита.

r Подставляя эти формулы в (1.18), можно выразить r через r r r r r ( 0 ) , r (1) , r ′ ( 0 ) и r ′ ( 0 ) : r r r r r = r ( g ) = r ( 0 ) (1 − 3g 2 + 2 g 3 ) + r (1) ( 3 g 2 − 2 g 3 ) + (1.19) r r + r ′ ( 0 ) ( g − 2 g 2 + g 3 ) + r ′ (1) ( − g 2 + g 3 ) .

1.1.2. Построение модели тела с применением обобщенной интерполяции Эрмита

Введем обозначения: α 0 ( g ) = 1 − 3g 2 + 2 g 3 ,

Пусть нам известен точечный каркас порции тела (рис. 1.5). Введем кубическую параметризацию для определения кривых и поверхностей тела. Сегменты кривых описываются уравнениями вида 3 r r r r = r ( g ) = ∑ ai g i . (1.18) i =0

α1 ( g ) = 3 g 2 − 2 g 3 ,

(1.20)

β0 ( g ) = g − 2 g 2 + g 3 ,

β1 ( g ) = − g 2 + g 3 . Многочлены (1.20) есть функции Эрмита третьей степени. Вводя эти обозначения в уравнение (1.19), получим r r r r r r ( g ) = r ( 0) α0 ( g ) + r (1) α1 ( g ) + r ′ ( 0) β0 ( g ) + r ′ (1) β1 ( g ) . (1.21) Эта формула определяет кубическую интерполяционную функцию Эрмита на отрезке [0,1]. Говорят, что параметрическая длина этой кривой равна единице. При этом четыре функции смешения удовлетворяют условиям: α 0 ( 0 ) = 1, α 0 (1) = 0, α1 ( 0 ) = 0, α1 (1) = 1,

Можно видеть, что для определения этого сегмента требуется 4 вектора (или 12 коэффициентов). Обычно для r r r dr определения векторов ai задают значения r и на обоих dg концах сегмента, в которых g = 0 и g = 1 . Между конечными r r dr точками 0 < g < 1 . Обозначая через r ′ ( g ) , получаем dg r r a0 = r ( 0 ) , r r r r r a0 + a1 + a2 + a3 = r (1) , r r a1 = r ′ ( 0 ) , r r r r a1 + 2a2 + 3a3 = r ′ (1) . Отсюда r r a0 = r ( 0 ) , r r a1 = r ′ ( 0 ) , r r r r r a2 = 3 ( r (1) − r ( 0 ) ) − 2r ′ ( 0 ) − r ′ (1) , r r r r r a3 = 2 ( r ( 0 ) − r (1) ) + r ′ ( 0 ) + r ′ (1) .

I11 ( g ) = β1 ( g ) . (1.24) Используя выражение (1.23), запишем уравнения для граничных кривых (рис. 1.7): 1 r r r r ( u , j , k ) = ∑  r ( i, j , k ) I i 0 ( u ) + ru′ ( i, j , k ) I i1 ( u )  ,

23

24

α 0′ ( 0 ) = α 0′ (1) = α1′ ( 0 ) = α1′ (1) = 0, β 0 ( 0 ) = β 0 (1) = β1 ( 0 ) = β1 (1) = 0,

(1.22)

β 0′ ( 0 ) = 1, β 0′ (1) = 0, β1′ ( 0 ) = 0, β1′ (1) = 1. Уравнение (1.21) можно записать в компактной форме 1 r r r r ( g ) = ∑ r ( i ) Ii 0 ( g ) + rg′ ( i ) Ii1 ( g ) , (1.23) i =0

где: I 00 ( g ) = α 0 ( g ) , I10 ( g ) = α1 ( g ) , I 01 ( g ) = β 0 ( g ) ,

i =0

1 r r r r ( i, v, k ) = ∑  r ( i, j , k ) I j 0 ( v ) + rv′ ( i, j , k ) I j1 ( v )  ,

(1.25)

j =0

1

r r r r ( i, j , w ) = ∑  r ( i, j , k ) I k 0 ( w ) + rw′ ( i, j , k ) I k 1 ( w )  . k =0

r rw ( 0, v,1)

r rw′ ( 0, 0,1)

r rv′ ( 0,1,1)

r r ( 0,1,1)

r rv′ ( 0, 0,1)

r r ( 0, 0,1) r ru′ ( 0, 0,1)

w

r rw′ (1,1,1) r rv′ (1,1,1)

r ru′ ( 0,1,1) r rw′ (1, 0,1)

r r (1,1,1) rru′ (1,1,1)

r r ′ (1, 0,1) r v r (1, 0,1) r ru′ (1, 0,1)

r rw′ ( 0,1, 0 ) r r ( 0,1, 0 )

r rv′ ( 0,1, 0 ) r r rv′ ( 0, 0, 0 ) rw′ (1,1, 0 ) r r rw′ ( 0, 0, 0 ) ru′ ( 0,1, 0 ) r v ru′ (1,1, 0 ) r r rw′ (1, 0, 0 ) r ru′ ( 0, 0, 0 ) r (1,1, 0 ) r r r ( 0, 0, 0 ) rv′ (1,1, 0 ) r u rv′ (1, 0, 0 ) r ru′ (1, 0, 0 ) r r (1, 0, 0 )

r rw ( u ,1,1) r rv ( u ,1,1)

r ru ( 0, v,1) r rw ( u , 0,1)

r r rw (1, v,1) r r (1,1,1) rv ( u , 0,1) r r rv ( 0,1, w ) ru (1, v,1) r r ru ( 0,1, w ) rv (1,1, w ) r r r ( 0, 0, w ) r (1, 0,1) w v rr 0, 0, w r u ( r r ) ru (1,1, w ) r 1, 0, w r (0,1, 0) v ( r) rw ( u ,1, 0 ) r r rw ( 0, v, 0 ) r rv ( u ,1, 0 ) ru ( 0, v, 0 ) r v ru (1, 0, w) r r r (1,1, 0 ) rw ( u, 0, 0 ) r r rw (1, v, 0) rv ( u , 0, 0 ) r r ( 0, 0, 0 ) r u ru (1, v, 0 )

r r ( 0, 0,1) r rw′ ( 0,1,1)

r r ( 0,1,1)

r r (1, 0, 0 )

Рис. 1.8. Векторы поперечных градиентов порции тела 1 r r r ru′ ( i, v, k ) = ∑  ru′ ( i, j , k ) I j 0 ( v ) + ruv′′ ( i, j , k ) I j1 ( v ) ,

j =0

1 r r r rv′ ( u , j , k ) = ∑  rv′ ( u , j , k ) I i 0 ( u ) + ruv′′ ( u , j , k ) I i1 ( u ) ,

i =0

Рис. 1.7. Касательные векторы в узловых точках порции тела Выражения для поперечных градиентов также запишем по аналогии с (1.23) (рис. 1.8):

25

1 r r r rw′ ( u, j , k ) = ∑  rw′ ( i, j , k ) I i 0 ( u ) + ruw′′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) ,

i =0

1 r r r ru′ ( i, j , w ) = ∑  ru′ ( i, j , k ) I k 0 ( w ) + ruw′′ ( i, j , k ) I k1 ( w ) ,

k =0

26

(1.26)

1 r r r r r 1 (1, v, 0 ) = r (1, v, 0 ) + ∑  r (1, j , 0 ) I j 0 ( v ) + rv′ (1, j , 0 ) I j1 ( v )  ,

1 r r r rw′ ( i, v, k ) = ∑  rw′ ( i, j , k ) I j 0 ( v ) + rvw′′ ( i, j , k ) I j1 ( v ) ,

j =0

j =0

1 r r r r r 1 ( u , 0, 0 ) = r ( u , 0, 0 ) + ∑  r ( i, 0, 0 ) I i 0 ( u ) + ru′ ( i, 0, 0 ) I i1 ( u )  ,

1

r r r rv′ ( u , j , k ) = ∑  rv′ ( i, j , k ) I k 0 ( w ) + rvw′′ ( i, j , k ) I k1 ( w ) ,

i =0

k =0

i, j , k = 0,1. Рассмотрим задачу определения поверхности тела при w = 0 . Следуя Кунсу, рассмотрим сначала более простую задачу построения порции поверхности, если заданы только две ее r r границы: r ( 0, v,0) и r (1, v,0) . Применяя интерполяцию Эрмита (1.23) в u-направлении, получим уравнение поверхности 1 r r r (1.27) r1 ( u, v, 0 ) = ∑  r ( i, v, 0 ) I i 0 ( u ) + ru′ ( i, v, 0 ) I i1 ( u ) , i =0 r r которое интерполирует две граничные кривые r ( 0, v,0) , r (1, v,0) и r r имеет заданные наклоны ru ( 0, v,0) , ru (1, v,0) поперек границ, если четыре функции смешения удовлетворяют условиям (1.22) . Точно так же можно построить еще одну поверхность, r r которая будет интерполировать две кривые r ( u,0,0) и r ( u,1,0) в v-направлении: 1 r r r r2 ( u, v, 0 ) = ∑  r ( u, j, 0 ) I j 0 ( v ) + rv′ ( u, j , 0 ) I j1 ( v ) . (1.28) j =0

Найдем сумму выражений (1.27) и (1.28). Это даст нам r r r r 1 ( u, v,0) = r1 ( u, v,0) + r2 ( u, v,0) = 1 r r = ∑ r ( i, v,0) Ii 0 ( u ) + ru′ ( i, v,0) Ii1 ( u )  +

(1.29)

i =0

1 r r +∑ r ( u, j,0) I j 0 ( v ) + rv′ ( u, j,0) I j1 ( v) . j =0

Последовательно подставляя u = 0, u = 1, v = 0 и v = 1 в выражение (1.29), получим: 1 r r r r r 1 ( 0, v, 0 ) = r ( 0, v, 0 ) + ∑  r ( 0, j , 0 ) I j 0 ( v ) + rv′ ( 0, j , 0 ) I j1 ( v )  , j =0

1

r r r r r 1 ( u ,1, 0 ) = r ( u ,1, 0 ) + ∑  r ( i,1, 0 ) I i 0 ( u ) + ru′ ( i,1, 0 ) I i1 ( u )  , i =0

r r Из (1.30) видно, что сумма выражений r1 ( u, v, 0 ) + r2 ( u, v, 0 ) не дает нам нужной поверхности. Чтобы ее получить, необходимо r из этой суммы вычесть дополнительное слагаемое r3 ( u, v, 0 ) . r Выражение для r3 ( u, v, 0 ) можно построить с помощью того же метода интерполяции в обоих направлениях при использовании только информации об угловых точках. r Построим r3 ( u, v, 0 ) . Ее границы, отвечающие u = 0 и u = 1 , будут даваться выражениями: 1 r r ∑ r ( 0, j, 0 ) I j 0 ( v ) + rv′ ( 0, j, 0 ) I j1 ( v ) , j =0 1

r r ∑ r (1, j, 0 ) I ( v ) + r ′ (1, j, 0 ) I ( v ) , j0

j =0

v

j1

соответственно, и последующая интерполяция в u-направлении даст 1  1 r  r r r3 ( u , v, 0 ) = ∑ I i 0 ( u )  ∑  r ( i, j , 0 ) I j 0 ( v ) + rv′ ( i, j , 0 ) I j1 ( v )   + i =0  j =0  1  1 r  r + ∑ I i1 ( u )  ∑  ru′ ( i, j , 0 ) I j 0 ( v ) + ruv′′ ( i, j , 0 ) I j1 ( v )   i =0  j =0  или с учетом (1.25) и (1.26) 1 r r r r3 ( u , v, 0 ) = ∑  r ( i, v, 0 ) I i 0 ( u ) + ru′ ( i, v, 0 ) I i1 ( u ) .

i =0

Тогда уравнение результирующей поверхности принимает вид r r r r ( u , v, 0 ) = r 1 ( u , v, 0 ) − r3 ( u , v, 0 ) =

(1.30)

27

28

1 r r r r1 ( u, v, w ) = ∑  r ( i, v, w ) I i 0 ( u ) + ru′ ( i, v, w ) I i1 ( u )  ,

1 r r = ∑  r ( i, v, 0 ) I i 0 ( u ) + ru′ ( i, v, 0 ) I i1 ( u )  +

i =0

i =0 1

r r + ∑  r ( u , j , 0 ) I j 0 ( v ) + rv′ ( u , j , 0 ) J j1 ( v )  −

(1.31)

j =0

1 r r −∑  r ( i, v, 0 ) J i 0 ( u ) + ru′ ( i, v, 0 ) J i1 ( u ) . i =0

Если подставить выражения (1.25) и (1.26) в уравнение (1.31), то r r r все три члена r1 ( u, v, 0 ) , r2 ( u, v, 0 ) и r3 ( u, v, 0 ) становятся эквивалентными, за тем исключением, что последний имеет отрицательный знак. В результате уравнение (1.31) принимает вид: 1 1 r r r r ( u , v, 0 ) = ∑∑  r ( i, j , 0 ) I i 0 ( u ) I j 0 ( v ) +ru′ ( i, j , 0 ) I i1 ( u ) I j 0 ( v ) + i =0 j =0 r r + rv′ ( i, j , 0 ) I i 0 ( u ) I j1 ( v ) + ruv′′ ( i, j , 0 ) I i1 ( u ) I j1 ( v )  . (1.32) По аналогии с (1.32) можно определить остальные граничные поверхности тела: 1 1 r r r r ( u , v,1) = ∑∑  r ( i, j ,1) I i 0 ( u ) I j 0 ( v ) +ru′ ( i, j ,1) I i1 ( u ) I j 0 ( v ) + i =0 j =0

r r + rv′ ( i, j ,1) I i 0 ( u ) I j1 ( v ) + ruv′′ ( i, j ,1) I i1 ( u ) I j1 ( v )  . 1 1 r r r r ( u , j , w ) = ∑∑  r ( i, j , k ) I i 0 ( u ) I k 0 ( w ) +ru′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) I k 0 ( w ) + i =0 k =0

r r + rw′ ( i, j , k ) I i 0 ( u ) I k 1 ( w ) + ruw′′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) I k1 ( w )  .

(1.33)

r которое интерполирует две граничные поверхности r ( 0, v, w) , r r r (1, v, w) и имеет заданные граничные наклоны ru ( 0, v, w) , r ru (1, v, w) в направлениях, трансверсальных граничным r r поверхностям r ( 0, v, w) , r (1, v, w) . При этом четыре функции смешения удовлетворяют условиям (1.22). Точно так же в v-направлении две граничные поверхности r r r ( u, 0, w) и r ( u,1, w) с соответствующими данными о наклонах интерполируется формулой 1 r r r r2 ( u, v, w) = ∑  r ( u, j , w ) I j 0 ( v ) + rv′ ( u, j, w) I j1 ( v )  . j =0

Наконец, интерполяция Эрмита в w-направлении дает уравнение тела 1 r r r r3 ( u, v, w) = ∑  r ( u, v, k ) I k 0 ( w) + rw′ ( u, v, k ) I k1 ( w)  , k =0

которое интерполирует две оставшиеся граничные поверхности r r тела r ( u, v, 0 ) , r ( u, v,1) и имеет заданные граничные наклоны r r rw ( u, v, 0 ) , rw ( u, v,1) . r r r Найдем сумму r1 ( u, v, w) + r2 ( u, v, w) + r3 ( u, v, w) . Имеем следующее выражение r r r r r1 ( u, v, w) = r1 ( u, v, w) + r2 ( u, v, w) + r3 ( u, v, w) =

1 1 r r r r ( i, v, w ) = ∑∑  r ( i, j , k ) I j 0 ( v ) I k 0 ( w ) +rv′ ( i, j , k ) I j1 ( v ) I k 0 ( w ) +

1 r r = ∑r ( i, v, w) Ii0 ( u) + ru′ ( i, v, w) Ji1 ( u)  +

r r + rw ( i, j , k ) I j 0 ( v ) I k 1 ( w ) + rvw′′ ( i, j , k ) I j1 ( v ) I k1 ( w )  .

1 r r +∑r ( u, j, w) I j 0 ( v) + rv′ ( u, j, w) I j1 ( v)  +

j =0 k =0

Рассмотрим задачу построения порции тела, когда заданы только две ее противоположные граничные поверхности: r r r ( 0, v, w) и r (1, v, w) . Применяя интерполяцию Эрмита в u-направлении, получим уравнение тела

29

i =0

(1.34)

j =0

1 r r +∑r ( u, v, k ) Ik 0 ( w) + rw′ ( u, v, k ) Ik1 ( w) . k =0

Последовательно подставляя в выражение (1.34) u = i, v = j , w = k , ( i, j , k = 0,1) , получим

30

1 r r r r r 1 ( i, v, w ) = r ( i, v, w ) + ∑  r ( i, j , w ) I j 0 ( v ) + rv′ ( i, j , w ) I j1 ( v )  + j =0

1

r r + ∑  r ( i, v, k ) I k 0 ( w ) + rw′ ( i, v, k ) I k 1 ( w ) , k =0

1 r r r r r 1 ( u , j , w ) = r ( u , j , w ) + ∑  r ( i, j , w ) I i 0 ( u ) + ru′ ( i, j , w ) I i1 ( u )  + i =0

1

r r + ∑  r ( u , j , k ) I k 0 ( w ) + rw′ ( u , j , k ) I k1 ( w ) ,

(1.35)

k =0

1

r r r r r 1 ( u , v, k ) = r ( u , v, k ) + ∑  r ( i, v, k ) I i 0 ( u ) + ru′ ( i, v, k ) I i1 ( u )  + i =0

r r + ru′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) I k 0 ( w ) + rw′ ( i, j , k ) I i 0 ( u ) I k1 ( w ) + r r + ruw′′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) I k 1 ( w )  + I j1 ( v )  rv′ ( i, j , k ) I i 0 ( u ) I k 0 ( w ) + r r + ruv′′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) I k 0 ( w ) + rvw′′ ( i, j , k ) I i 0 ( u ) I k1 ( w ) + r ′′′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) I k 1 ( w )   . + ruvw Искомое уравнение запишем в следующем виде: 1 r r r r ( u , v, w ) = ∑  r ( i, v, w ) I i 0 ( u ) + ru′ ( i, v, w ) I i1 ( u )  + i =0

1

r r + ∑  r ( u , j , w ) I j 0 ( v ) + rv′ ( u , j , w ) I j1 ( v )  + j =0 1

r r + ∑  r ( u , j , k ) I j 0 ( v ) + rv′ ( u , j , k ) I j1 ( v ) .

r r + ∑  r ( u , v, k ) I k 0 ( w ) + rw′ ( u, v, k ) I k1 ( w )  −

Из (1.35) видно, что сумма выражений r r r r1 ( u, v, w) + r2 ( u, v, w) + r3 ( u, v, w) не дает требуемого тела. Для восстановления первоначальных граничных поверхностей необходимо из этой суммы вычесть дополнительное слагаемое r r r0 ( u, v, w) . Слагаемое r0 ( u, v, w) можно определить с помощью того же метода интерполяции по трем направлениям при использовании только информации об угловых точках. Для r r0 ( u, v, w) имеем следующее выражение

1 1 1 r −∑∑∑  I i 0 ( u )  r ( i, j , k ) I j 0 ( v ) I k 0 ( w ) +

1

j =0

1 1 1 r r r0 ( u , v, w ) = ∑∑∑  I i 0 ( u )  r ( i, j , k ) I j 0 ( v ) I k 0 ( w ) + i =0 j =0 k =0

r r + rv′ ( i, j , k ) I j1 ( v ) I k 0 ( w ) + rw′ ( i, j , k ) I j 0 ( v ) I k1 ( w ) + r r + rvw′′ ( i, j , k ) I j1 ( v ) I k1 ( w )  + I i1 ( u )  ru′ ( i, j , k ) I j 0 ( v ) I k 0 ( w ) + r r + ruv′′ ( i, j , k ) I j1 ( v ) I k 0 ( w ) + ruw′′ ( i, j , k ) I j 0 ( v ) I k1 ( w ) + r ′′′ ( i, j , k ) I j1 ( v ) I k 1 ( w )   + + ruvw  1 1 1 r + ∑∑∑  I j 0 ( v )  r ( i, j , k ) I i 0 ( u ) I k 0 ( w ) + i =0 j =0 k =0

31

(1.36)

k =0

i =0 j =0 k =0

r r + rv′ ( i, j , k ) I j1 ( v ) I k 0 ( w ) + rw′ ( i, j , k ) I j 0 ( v ) I k 1 ( w ) + r r + rvw′′ ( i, j , k ) I j1 ( v ) I k 1 ( w )  + J i1 ( u )  ru′ ( i, j , k ) I j 0 ( v ) I k 0 ( w ) + r r + ruv′′ ( i, j , k ) I j1 ( v ) I k 0 ( w ) + ruw′′ ( i, j , k ) I j 0 ( v ) I k 1 ( w ) + r ′′′ ( i, j , k ) I j1 ( v ) I k 1 ( w )   − + ruvw  1 1 1 r −∑∑∑  I j 0 ( v )  r ( i, j , k ) I i 0 ( u ) I k 0 ( w ) + i =0 j =0 k =0 r r + ru′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) I k 0 ( w ) + rw′ ( i, j , k ) I i 0 ( u ) I k 1 ( w ) + r r + ruw′′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) I k1 ( w )  + I j1 ( v )  rv′ ( i, j , k ) I i 0 ( u ) I k 0 ( w ) + r r + ruv′′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) I k 0 ( w ) + rvw′′ ( i, j , k ) I i 0 ( u ) I k 1 ( w ) + r ′′′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) I k 1 ( w )   . + ruvw В уравнении (1.36) требуется определить законы изменения векторов градиентов от одной граничной поверхности порции тела до другой, т.е. нужно задать векторные поля градиентов для граничных поверхностей. Это предлагается сделать следующим образом:

32

1 r r r ru′ ( i, v, w ) = ∑  ru′ ( i, j , w ) I j 0 ( v ) + ruv′′ ( i, j , w ) I j1 ( v ) , j =0

1 r r r rv′ ( u , j , w ) = ∑  rv′ ( i, j , w ) I i 0 ( u ) + ruv′′ ( i, j , w ) I i1 ( u ) ,

(1.37)

i =0

1 r r r rw′ ( u , v, k ) = ∑  rw′ ( u , j , k ) I j 0 ( v ) + rvw′′ ( u , j , k ) I j1 ( v ) . j =0

После подставки выражений (1.32), (1.33), (1.37), (1.25) и (1.26) в уравнение (1.36) и сокращения одинаковых членов получим 1 1 1 r r r ( u , v, w ) = ∑∑∑  r ( i, j , k ) I i 0 ( u ) I j 0 ( v ) I k 0 ( w ) + (1.38) i =0 j =0 k =0 r r + ru′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) I j 0 ( v ) I k 0 ( w ) + rv′ ( i, j , k ) I i 0 ( u ) I j1 ( v ) I k 0 ( w ) + r r + rw′ ( i, j , k ) I i 0 ( u ) I j 0 ( v ) I k 1 ( w ) + ruv′′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) I j1 ( v ) I k 0 ( w ) + r r + ruw′′ ( i, j , k ) I i 0 ( u ) I j1 ( v ) I k1 ( w ) + rvw′′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) I j 0 ( v ) I k 1 ( w ) + r ′′′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) I j1 ( v ) I k1 ( w )  , + ruvw где: I 00 ( t ) = α 0 ( t ) = 1 − 3t 2 + 2t 3 , I10 ( t ) = α1 ( t ) = 3t 2 − 2t 3 ,

(1.39)

I 01 ( t ) = β 0 ( t ) = t − 2t 2 + t 3 ,

I11 ( t ) = β1 ( t ) = −t 2 + t 3 . Уравнение (1.38) удобно представить в матричном виде r ( u, v, w) = F ( u ) AF T ( v ) α0 ( w) + F ( u ) BF T ( v ) α1 ( w) + (1.40) + F ( u ) CF T ( v ) β0 ( w) + F ( u ) DF T ( v ) β1 ( w) , где: (1.41) F ( t ) = [α0 (t ), α1 (t ), β0 (t ), β1 (t )] − матрица-строка, F ( t ) = [α0 (t ), α1 (t ), β0 (t ), β1 (t )] − матрица-столбец, T – символ транспонирования и T

T

 r ( 0, 0, 0) r ( 0,1, 0) r ′ ( 0, 0, 0) r ′ ( 0,1, 0)  v v    r (1, 0, 0) r (1,1, 0) rv′ (1, 0, 0) rv′ (1,1, 0)  A= , ru′ ( 0, 0, 0) ru′ ( 0,1, 0) ruv′′ ( 0, 0, 0) ruv′′ ( 0,1, 0)   r ′ (1, 0, 0) r ′ (1,1, 0) r ′′ (1, 0, 0) r ′′ (1,1, 0)  u uv uv u   r ( 0, 0,1) r ( 0,1,1) rv′ ( 0, 0,1) rv′ ( 0,1,1)    r (1, 0,1) r (1,1,1) rv′ (1, 0,1) rv′ (1,1,1)   B= , ru′ ( 0, 0,1) ru′ ( 0,1,1) ruv′′ ( 0, 0,1) ruv′′ ( 0,1,1)     ru′ (1, 0,1) ru′ (1,1,1) ruv′′ (1, 0,1) ruv′′ (1,1,1) 

 rw′ ( 0, 0, 0) rw′ ( 0,1, 0) ruw′′ ( 0, 0, 0) ruw′′ ( 0,1, 0)   ′  rw (1, 0, 0) rw′ (1,1, 0) ruw′′ (1, 0, 0) ruw′′ (1,1, 0)   C= , rvw′′ ( 0, 0, 0) rvw′′ ( 0,1, 0) ruvw ′′′ ( 0, 0, 0) ruvw ′′′ ( 0,1, 0)    ′′′ (1, 0, 0) ruvw ′′′ (1,1, 0)   rvw′′ (1, 0, 0) rvw′′ (1,1, 0) ruvw  rw′ ( 0, 0,1) rw′ ( 0,1,1) ruw′′ ( 0, 0,1) ruw′′ ( 0,1,1)   ′  rw (1, 0,1) rw′ (1,1,1) ruw′′ (1, 0,1) ruw′′ (1,1,1)   D= . rvw′′ ( 0, 0,1) rvw′′ ( 0,1,1) ruvw ′′′ ( 0, 0,1) ruvw ′′′ ( 0,1,1)    ′′′ (1, 0,1) ruvw ′′′ (1,1,1)   rvw′′ (1, 0,1) rvw′′ (1,1,1) ruvw

(1.43)

(1.44)

(1.45)

Следует заметить, что порция тела (1.40) полностью определена r r r r r r r r ′′′ в ее восьми углах, через векторы r , ru′ , rv′ , rw′ , ruw′′ , rvw′′ , ruv′′ и ruvw т.е. через компоненты тензоров A, B, C и D. Если строить составное тело из таких порций, можно легко обнаружить, что достигается непрерывность производных поперек границ порции. В качестве примера рассмотрим границу u = i . Действительно, r ru′ ( u, v, w) = Fu ( u ) AF T ( v ) α 0 ( w) + Fu ( u ) BF T ( v ) α1 ( w) + + Fu ( u ) CF T ( v ) β0 ( w) + Fu ( u ) DF T ( v ) β1 ( w) . Отсюда 1 r r r ru′ ( i, v, w) = ∑  ru′ ( i, j, w) I j 0 ( v ) + ruv′′ ( i, j, w) I j1 ( v ) , j =0

где:

33

(1.42)

34

1 r r r ru′ ( i, j , w ) = ∑  ru′ ( i, j , k ) I k 0 ( w ) + ruw′′ ( i, j , k ) I k 1 ( w ) , k =0

1 r r r ′′′ ( i, j , k ) I k 1 ( w ) . ruv′′ ( i, j , w ) = ∑  ruv′′ ( i, j , k ) I k 0 ( w ) + ruvw k =0

r r r r Здесь ru′ ( i, 0, 0 ) , ru′ ( i, 0,1) , ru′ ( i,1, 0 ) и ru′ ( i,1,1) непрерывны на каркасе (это коэффициенты кубического параметрического r сплайна (1.25)). Если сделать непрерывными ruv′′ ( i, j, k ) , r r ′′′ ( i, j, k ) в углах порции, то составное тело будет ruw′′ ( i, j, k ) и ruvw непрерывно до первой производной, т.е. получим трехмерный обвод первого порядка гладкости. Такой метод описания тела не лишен недостатков. При описании граничной поверхности тела был использован метод Кунса. Недостатком этого метода является невозможность получения гладкой поверхности в том случае, когда противоположные границы порции имеют различные параметрические длины [63, 64]. При описании оболочек армирования сложной формы дело обстоит именно так: линии каркаса расположены плотнее в тех местах, где кривизна изменяется сильнее. В такой ситуации “навязывание” противоположным границам порции одинаковых параметрических длин дает поверхность с нежелательными плоскими областями. Для получения равномерного разбиения на противоположных границах порции требуется предварительное преобразование исходного каркаса поверхности, что ведет к существенному возрастанию объема перерабатываемой информации. В некоторых случаях такое преобразование исходного каркаса нежелательно из-за конструктивных и технологических соображений. Для устранения этого недостатка была поставлена и решена задача о построении уравнения порции тела для непрямоугольной области изменения параметров.

35

1.2. Моделирование тела на непрямоугольном каркасе

Уравнение порции тела (1.38) было построено на основе обобщенной интерполяции Эрмита на отрезке [0,1], рассмотренной в предыдущем разделе. С ее помощью сегмент параметрически заданной кривой был представлен через положение его концевых точек, а также через значения касательных в них (1.23) 1 r r r r ( g ) = ∑  r ( i ) I i 0 ( g ) + rg′ ( i ) I i1 ( g )  . i =0

Для наших целей необходима интерполяция Эрмита с параметром t, меняющимся в диапазоне от 0 до h. Если ввести преобразование t = gh , то сегмент кривой можно представить так [63, 64]: 1 r r r r ( g ) = ∑  r ( i ) I i 0 ( g ) + rg′ ( i ) I i1 ( g ) h  . (1.46) i =0

В этом выражении, как и прежде в (1.23), индексы 0 и 1 используются для обозначения концевых точек сегмента кривой. Отличие в множителе h (параметрическая длина кривой; в (1.23) она равнялась единице) и в том, что производные в концевых точках заданы относительно старого параметра t. Рассмотрим произвольный каркас порции тела, образованный пересечением s-кривых с t-кривыми и с pкривыми. Пусть sijk , tijk , pijk , ( i, j , k = 0,1) − значения параметров в узлах конкретной порции (рис. 1.9). Обозначим параметрические длины соответствующих граничных кривых через s jk , tik , pij . Их можно вычислить по формулам: s jk = s1 jk − s0 jk , tik = ti1k − ti 0 k , pij = pij1 − pij 0 .

r По аналогии с (1.46) граничные кривые порции r ( u , j , k ) , r r r ( i, v, k ) и r ( i, j , w ) можно описать следующим образом (рис. 10):

36

1 r r r ( u , j , k ) = ∑  r ( i, j , k ) I

r r ( 0,1,1) s011, t011, p011

i =0

1 r r r ( i, v, k ) = ∑  r ( i , j , k ) I  j =0

t01

r r ( 0, 0,1) s001, t001, p001

s01

p01

r r ( u , v, w )

r r (1, 0,1) s101, t101, p101

p00

t00

r r (0,1, 0) s010, t010, p010

( v ) + rt ′( i, j, k ) I j1 ( v ) tik , r

k0

( w ) + rp′ ( i, j, k ) I k1 ( w ) pij ,

i, j , k = 0,1.

r rp (0,1,1) r rt ( 0, 0,1) r rs ( 0, 0,1)

r rp ( 0, 0,1)

r r ( 0, 0,1)

p10 t10

k =0

p11

r r (1,1, 0 ) s110, t110, p110

r r (1, 0, 0 ) s100, t100, p100

z

x

r r (1,1,1) s111, t111, p111

s10

s00

r r ( 0, 0, 0 ) s000, t000, p000

O

t11

r

j0

1 r r r ( i, j , w ) = ∑  r ( i, j , k ) I

s11

r

( u ) + rs′ ( i, j, k ) I i1 ( u ) s jk ,

i0

r rt ( 0,1,1) r rs ( 0,1,1) r r ( 0,1,1) r rp ( 0,1, 0 )

r r ( 0, 0, 0 )

r r (1,1,1)

r r (1, 0,1) r rs (1, 0,1) r rt ( 0,1, 0 ) r rs ( 0,1, 0 ) r rp (1,1, 0 )

r rp ( 0,1, 0 )

r rp ( 0, 0, 0 ) r rt ( 0, 0, 0 ) r rs ( 0, 0, 0 )

r rt (1, 0,1)

r rp (1,1,1) r rt (1,1,1)

r r ( 0,1, 0 )

r rp (1, 0, 0 )

y

r r (1, 0, 0 )

r rt (1, 0, 0 )

r rs (1,1,1)

r rt (1,1, 0 )

r r (1,1, 0 ) r rs (1,1, 0 )

r rs (1, 0, 0 )

Рис. 1.10. Касательные векторы в узловых точках порции тела Рис. 1.9. Порция тела намотки на непрямоугольном каркасе

37

38

В предыдущем параграфе при описании граничной поверхности тела был использован метод Кунса. По этому методу можно построить поверхность только для прямоугольной (или квадратной) сетки. Чтобы описать поверхность для непрямоугольной области, необходимо определить преобразования: sk = sk ( u , v ) , ti = ti ( v, w ) , tk = t k ( u , v ) ,

p j = p j ( u, w) ,

pi = pi ( v, w ) , s j = s j ( u , w ) .

которые переводят четырехугольники со сторонами s jk , tik и pij в единичные квадраты. Эти преобразования можно определить в классе бикубических функций, используя уравнение Кунса [63, 64]. Найдем, для примера, преобразование s0 = s0 ( u , v ) для r граничной поверхности r ( u , v, 0 ) . Так как теперь порция поверхности произвольная, то при ее построении необходимо воспользоваться интерполяцией (1.46), но для этого требуется определить параметрическую длину произвольной промежуточной s – кривой на порции. Из (1.46) видно, что h = su , т.е. параметрическая длина кривой равна производной от старого параметра по-новому. В рассматриваемом случае необходимо определить su . В [63] предлагается ввести следующим образом: (1.47) su 0 ( v ) = s00α 0 ( v ) + s10α1 ( v ) . Так как α 0 ( 0 ) = 1 , α 0 (1) = 0 и α1 ( 0 ) = 0 , α1 (1) = 1 , то из (1.47) следует, что su 0 ( 0 ) = s00 и su 0 (1) = s10 , т.е. на границах эта параметрическая длина совпадает с параметрическими длинами граничных кривых. Аналогично, если ввести параметрическую длину произвольной t – кривой на порции, то можно определить, что (1.48) tv 0 ( u ) = t00α 0 ( u ) + t10α1 ( u ) . Формулы (1.47) и (1.48) определяют закон изменения параметрических длин. Параметрическая длина в направлении s меняется от s00 (на границе v = 0 ) до s10 (на границе v = 1 ) по

39

закону, определенному (1.47). Аналогично для параметрической длины в направлении t (1.48). Таким образом, по аналогии с (1.47) и (1.48), можно определить остальные преобразования pi = pi ( v, w ) , ti = ti ( v, w ) , p j = p j ( u , w ) и s j = s j ( u , w ) : p jw ( u ) = p0 j α 0 ( u ) + p1 j α1 ( u ) , tiv ( w ) = ti 0α 0 ( w ) + ti1α1 ( w ) , piw ( v ) = pi 0α 0 ( v ) + pi1α1 ( v ) , suj ( w ) = s j 0α 0 ( w ) + p j1α1 ( w ) . r Построим поверхность r1 ( u , v, 0 ) , интерполирующую две r r граничные кривые r ( 0, v, 0 ) и r (1, v, 0 ) и имеющую заданные r r наклоны rs ( 0, v, 0 ) и rs (1, v, 0 ) поперек границ порции. Применяя интерполяцию Эрмита в u-направлении, получим 1 r r r r1 ( u, v, 0 ) = ∑  r ( i, v, 0 ) I i 0 ( u ) + rs′ ( i, v, 0 ) I i1 ( u ) su 0 ( v ) . i =0 r Точно так же построим еще одну поверхность r2 ( u , v, 0 ) , r r которая будет интерполировать две кривые r ( u , 0, 0 ) и r ( u ,1, 0 ) r r с соответствующими наклонами rt ′( u , 0, 0 ) и rt ′( u ,1, 0 ) поперек границ порции 1 r r r r2 ( u, v, 0 ) = ∑  r ( u, j, 0 ) I j 0 ( v ) + rt ′( u, j, 0 ) I j1 ( v ) tv 0 ( u ) . j =0 r r Как при выводе (1.36), находим, что r1 + r2 не дает требуемой граничной поверхности тела. Чтобы получить ее, мы должны вычесть дополнительное слагаемое, получаемое с помощью того же метода интерполяции в обоих направлениях при использовании информации об угловых точках. Искомое уравнение имеет вид 1 r r r r ( u , v, 0 ) = ∑  r ( i, v, 0 ) I i 0 ( u ) + rs′ ( i, v, 0 ) I i1 ( u ) su 0 ( v )  + i =0

40

1 r r + ∑  r ( u , j , 0 ) I j 0 ( v ) + rt ′( u , j , 0 ) I j1 ( v ) tv 0 ( u )  −

(1.49)

j =0

1

1 r r r rp′ ( i, v, k ) = ∑  rp′ ( i, j , k ) I i 0 ( u ) + rsp′′ ( i, j , k ) I i1 ( v ) s jk , i =0

1

r r −∑∑  r ( i, j , 0 ) I i 0 ( u ) I j 0 ( v ) + rs′ ( i, j , 0 ) I i1 ( u ) su ( v ) I j 0 ( v ) +

1 r r r rs′ ( i, j , w ) = ∑  rs′ ( i, j , k ) I k 0 ( w ) + rsp′′ ( i, j , k ) I k1 ( w ) pij ,

r r + rt ′( i, j , 0 ) I i 0 ( u ) I j1 ( v ) tv 0 ( u ) + rst′′ ( i, j , 0 ) I i1 ( u ) su 0 ( v ) I j1 ( v ) tv 0 ( u )  , r r Определим поперечные наклоны rs′ ( i, v, 0 ) и rt ′( u , j , 0 ) :

1 r r r rp′ ( i, j , w ) = ∑  rp′ ( i, j , k ) I j 0 ( v ) + rtp′′ ( i, j , k ) I j1 ( v ) tik ,

i =0 j =0

1 r r r rs′ ( i, v, 0 ) = ∑  rs′ ( i, j , 0 ) J j 0 ( v ) + rst′′ ( i, j , 0 ) J j1 ( v ) ti 0  , j =0

1 r r r rt ′( u , j , 0 ) = ∑  rt ′( i, j , 0 ) J i 0 ( u ) + rst′′ ( i, j , 0 ) J i1 ( v ) s j 0 .

k =0

1 r r r rt ′( i, j , w ) = ∑  rt ′( i, j , k ) I k 0 ( w ) + rtp′′ ( i, j , k ) I k1 ( w ) pij , k =0

(1.50)

i, j , k = 0,1. r r ( 0,1,1)

i =0

Подставим (1.50) в уравнение (1.49) и после сокращения r одинаковых членов получим выражение для r ( u , v, 0 ) : 1 1 r r r r (u, v, 0) = ∑∑  r ( i, j, 0 ) Ii 0 ( u ) I j 0 ( v ) + rs′ ( i, j, 0 ) J i10 ( u, v ) I j 0 ( v ) + i =0 j = 0

r r + rt ′( i, j , 0 ) I i 0 ( u ) K j10 ( u , v ) + rst′′ ( i, j , 0 ) J i10 ( u , v ) K j10 ( u, v )  , (1.51) где

r rp′ ( 0, v,1)

r rt ′( u , 0,1) r r (0, 0,1) r rp′ ( u , 0,1)

J i1k ( u, v ) = I i1 ( u ) suk ( v ) , K j1k ( u , v ) = I j1 ( v ) tvk ( u ) .

Для w = 1 уравнение (1.51) принимает вид 1 1 r r r r ( u, v,1) = ∑∑  r ( i, j ,1) I i 0 ( u ) I j 0 ( v ) + rs′ ( i, j ,1) J i11 ( u, v ) I j 0 ( v ) + i =0 j =0 r r + rt ′( i, j ,1) I i 0 ( u ) K j11 ( u , v ) + rst′′ ( i, j ,1) J i11 ( u , v ) K j11 ( u , v )  . (1.52) Определим остальные поперечные наклоны порции тела r r r r r rp′ ( i, v, k ) , rt ′( u , j , k ) , rs′ ( i, j , w ) , rp′ ( u ,1, 0 ) , rt ′( i, j , w )

j =0

1 r r r rt ′( u, j , k ) = ∑  rt ′( i, j , k ) I i 0 ( u ) + rst′′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) s jk , i =0

41

r r ( 0, 0, 0 )

r rt ′( u,1,1)

r rp′ (1, v,1)

r rt′ ( 0,1, w )

r r (1,1,1)

r rs′ (1, v,1)

r rs′ ( 0,1, w )

r rt ′(1,1, w )

r r (1, 0,1)

r rp′ ( 0, v, 0 ) r r ( 0,1, 0 ) r rs′ ( 0, 0, w ) r rp′ ( u , 0, 0 )

r rp′ ( u ,1,1)

r rs′(0, v,1)

r rt ′( 0, 0, w )

(рис. 1.11): 1 r r r rs′ ( i, v, k ) = ∑  rs′ ( i, j , k ) I j 0 ( v ) + rst′′ ( i, j , k ) I j1 ( v ) tik ,

(1.53)

j =0

r rt ′(1, 0, w )

r rs′ (1,1, w )

r rp′ ( u ,1, 0 )

r rs′ ( 0, v, 0 )

r rs′ (1, 0, w ) r rp′ (1, v, 0)

r rt ′( u, 0, 0 )

r rt ′( u ,1, 0 ) r r (1,1, 0 )

r rs′ (1, v, 0 ) r r (1, 0, 0 )

Рис. 1.11. Векторы поперечных градиентов порции тела

42

Подставляя выражения (1.53) в уравнение (1.49), получим r выражения для остальных граничных поверхностей r ( i, v, w ) и r r ( u, j, w) : 1 1 r r r ( i, v, w ) = ∑∑  r ( i, j , k ) I j 0 ( v ) I k 0 ( w ) +

(1.54)

1 1 r r r ( u , j , w ) = ∑∑  r ( i, j , k ) I i 0 ( u ) I k 0 ( w ) +

i =0 k =0

r r + rp′ ( i, j , k ) Pi1 ( u , w ) I k 0 ( w ) + rs′ ( i, j , k ) I i 0 ( u ) Lk 1 ( u , w ) + r + rsp′′ ( i, j , k ) Pi1 ( u , w ) Lk1 ( u , w )  , где:

Gij1 ( v, w ) = I j1 ( v ) tvi ( w ) , H jk1 ( v, w ) = I k 1 ( w ) p jw ( v ) , Pij1 ( u , w ) = I i1 ( u ) suj ( w ) , L jk 1 ( u , w ) = I k1 ( w ) pwj ( u ) .

Если сравнить полученные уравнения порций граничных поверхностей тела на произвольном каркасе (1.51, 1.52, 1.54) с уравнениями порций поверхностей Кунса (1.32, 1.33), то можно выявить отличия, заключающие в том, что появились множители перед первыми и перекрестными производными, где в них учитывается непрямоугольность областей. Если подставить s00 = s10 = 1 и t00 = t10 = 1 , например, в уравнение

(1.51), то множители su 0 ( v ) , tv 0 ( u ) будут тождественно равны единице и определяемая на единичном квадрате получается поверхность Кунса, как частный случай. Таким образом, уравнение (1.51) является обобщением описания такой поверхности на произвольный четырехугольник. Запишем выражения для векторных полей градиентов граничных поверхностей в следующем виде:

43

j =0

1 r r r rt ′( u , j , w ) = ∑  rt ′( i, j , w ) I i 0 ( u ) + rsp′′ ( i, j , w ) I i1 ( u ) ,

(1.55)

i =0

j =0 k =0

r r + rp′ ( i, j , k ) Gij1 ( v, w ) I k 0 ( w ) + rt ′( i, j , k ) I j 0 ( v ) H jk 1 ( v, w ) + r + rtp′′ ( i, j , k ) Gij1 ( v, w ) H jk1 ( v, w )  ,

1 r r r rs′ ( i, v, w ) = ∑  rs′ ( i, j , w ) I j 0 ( v ) + rsp′′ ( i, j , w ) I j1 ( v ) ,

1 r r r rp′ ( u , v, k ) = ∑  rp′ ( u , j , k ) I j 0 ( v ) + rtp′′ ( u, j , k ) I j1 ( v )  .

j =0

Как и при выводе (1.36), построим порцию тела, если заданы только две ее противоположные граничные поверхности: r r r ( 0, v, w) и r (1, v, w) . Применяя интерполяцию Эрмита в u-направлении, получим уравнение тела 1 r r r r1 ( u , v, w ) = ∑  r ( i, v, w ) I i 0 ( u ) + rs′ ( i, v, w ) I i1 ( u ) , i =0 r которое интерполирует две граничные поверхности r ( 0, v, w) , r r r (1, v, w) и имеет заданные граничные наклоны rs ( 0, v, w) , r rs (1, v, w) в направлениях, трансверсальных данным граничным поверхностям. При этом четыре функции смешения удовлетворяют условиям (1.22). Точно так же в v-направлении две граничные поверхности r r r ( u, 0, w) и r ( u,1, w) с соответствующими данными о наклонах интерполируется формулой 1 r r r r2 (u, v, w) = ∑  r ( u, j , w ) I j 0 ( v ) + rt ′( u , j , w ) I j1 ( v )  . j =0

Наконец, интерполяция Эрмита в w-направлении дает уравнение тела 1 r r r r3 (u, v, w) = ∑  r ( u , v, k ) I k 0 ( w ) + rp′ ( u, v, k ) I k1 ( w )  , k =0

которое интерполирует две оставшиеся граничные поверхности r r тела r ( u, v, 0 ) , r ( u, v,1) и имеет заданные граничные наклоны r r rp ( u, v, 0 ) , rp ( u, v,1) . Как и прежде, построим r r r r r r ( u, v, w ) = r1 ( u , v, w ) + r2 ( u, v, w ) + r3 ( u , v, w ) − r0 ( u , v, w ) .

44

Искомое уравнение будет иметь вид: 1 r r r r ( u , v, w ) = ∑  r ( i, v, w ) I i 0 ( u ) + rs′ ( i, v, w ) I i1 ( u )  +

где

Kijk ( g , t ) = I ij ( g ) tvk ( t ) ,

i =0

1

r r + ∑  r ( u , j , w ) I j 0 ( v ) + rt ′( u , j , w ) I j1 ( v )  +

Dijk ( g , t ) = I jk ( g ) piw ( t ) .

j =0 1

r r + ∑  r ( u , v, k ) I k 0 ( w ) + rp′ ( u , v, k ) I k 1 ( w )  − k =0 1

1

(1.56)

1

r −∑∑∑  r ( i, j , k ) I i 0 ( u )I j 0 ( v ) I k 0 ( w ) + i =0 j =0 k =0

r + rs′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) suk ( v ) I j 0 ( v ) I k 0 ( w ) + r + rt ′( i, j , k ) I i 0 ( u ) I j1 ( u ) tvk ( v ) I k 0 ( w ) + r + rst′′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) suk ( v ) I j1 ( v ) tvk ( u ) , I k 0 ( w ) + r + rp′ ( i, j , k ) I i 0 ( u ) suk ( w ) I j 0 ( v ) I k 1 ( w ) + r + rsp′′ ( i, j , k ) I i 0 ( u ) suk ( v ) I j1 ( v ) pwi ( u ) I k 1 ( w ) + r + rtp′′ ( i, j , k ) I i1 ( u ) pwi ( v ) I j 0 ( v ) tvk ( w ) I k1 ( w ) + r ′′′ ( i, j , k ) pwi ( u ) tvk ( w ) I i1 ( u ) pwi ( v ) I j1 ( v ) suk ( v ) I k1 ( w )  . + rstp После подстановки выражений (1.51, 1.52, 1.54, 1.55) в уравнение (1.56) и сокращения одинаковых членов получим 1 1 1 r r r ( u , v, w ) = ∑∑∑  r ( i, j , k ) I i 0 ( u )I j 0 ( v ) I k 0 ( w ) + i =0 j =0 k =0 r + rs′ ( i, j , k ) J i1 ( u , v ) I j 0 ( v ) I k 0 ( w ) + r + rt ′( i, j , k ) I i 0 ( u ) K j1 ( u , v ) I k 0 ( w ) + r + rst′′ ( i, j , k ) J i1 ( u , v ) K j1 ( u , v ) I k 0 ( w ) + (1.57) r + rp′ ( i, j , k ) J i 0 ( v, w ) I j 0 ( v ) I k1 ( w ) + r + rsp′′ ( i, j , k ) J i 0 ( u , v ) D j1 ( u , v ) I k 1 ( w ) + r + rtp′′ ( i, j , k ) Di1 ( u , v ) K j 0 ( v, w ) I k 1 ( w ) + r ′′′ ( i, j , k ) pw ( v ) tv ( w ) Di1 ( u , v ) J j1 ( u , w ) I k1 ( w )  , + rstp

45

J ijk ( g , t ) = I ij ( g ) suk ( t ) ,

Уравнение (1.55) можно представить в матричном виде r ( u, v, w) = F ( u ) A( u, v) FT ( v) α 0 ( w) +

(1.58)

+ F ( u ) B ( u , v ) F T ( v ) α1 ( w ) + F ( u ) C ( u , v , w ) F T ( v ) β 0 ( w ) + + F ( u ) D ( u , v, w ) F T ( v ) β1 ( w ) ,

где: F ( t ) и F T ( t ) определены в (1.41), а  r ( 0,0,0) r ( 0,1,0) rt′( 0,0,0) tv ( u) rt′( 0,1,0) tv ( u)    r (1,0,0) r (1,1,0) rt′(1,0,0) tv ( u) rt′(1,1,0) tv ( u)   A( u, v) = , rs′ ( 0,0,0) su ( v) rs′ ( 0,1,0) su ( v) rst′′ ( 0,0,0) l000 rst′′ ( 0,1,0) l010    rst′′ (1,1,0) l110   rs′ (1,0,0) su ( v) rs′ (1,1,0) su ( v) rst′′ (1,0,0) l100

 r ( 0,0,1) r ( 0,1,1) rt′( 0,0,1) tv ( u) rt′( 0,1,1) tv ( u)    r (1,0,1) r (1,1,1) rt′(1,0,1) tv ( u) rt′(1,1,1) tv ( u)   B ( u, v) = , rs′ ( 0,0,1) su ( v) rs′ ( 0,1,1) su ( v) rst′′ ( 0,0,1) l001 rst′′ ( 0,1,1) l011    rst′′ (1,1,1) l111   rs′ (1,0,1) su ( v) rs′ (1,1,1) su ( v) rst′′ (1,0,1) l101

rp′ ( 0,0,0) su ( w) rp′ ( 0,1,0) su ( w)  ′ rp (1,0,0) su ( w) rp′ (1,1,0) su ( w) C( u, v, w) =   rtp′ ( 0,0,0) d000 rtp′ ( 0,1,0) d010  rtp′′ (1,1,0) d110  rtp′′ (1,0,0) d100

rsp′′ ( 0,0,0) f000 rsp′ (1,0,0) f100 rtsp′′′ ( 0,0,0) q000 rtsp′′ (1,0,0) q100

rsp′ ( 0,1,0) f010   rsp′ (1,1,0) f110  , rtsp′′ ( 0,1,0) q010   rtsp′′′ (1,1,0) q110 

rp′ ( 0,0,1) su ( w) rp′ ( 0,1,1) su ( w)  ′ rp (1,0,1) su ( w) rp′ (1,1,1) su ( w) D( u, v, w) =   rtp′′ ( 0,0,1) d001 rtp′′ ( 0,1,1) d011  rtp′′ (1,1,1) d111  rtp′′ (1,0,1) d101

rsp′′ ( 0,0,1) f001 rsp′′ (1,0,1) f101 rtsp′′′ ( 0,0,1) q001 rtsp′′′ (1,0,1) q101

rsp′′ ( 0,1,1) f011   rsp′ (1,1,1) f111  , rtsp′′′ ( 0,1,1) q011   rtsp′′′ (1,1,1) q111 

где:

lijk = suk ( v ) tvk ( u ) ,

46

fijk = suk ( v ) pwi ( u ) , dijk = pwi ( v ) tvk ( w ) , qijk = suk ( v ) pwi ( u ) pwi ( v ) tvk ( w ) . r r r Важно проверить непрерывность производных rs′, rt′ и rp′

поперек границ порции при переходе к описанию составного r тела. Рассмотрим, например, поведение rs′ ( i, v, 0 ) Из (1.58) получим r ru′ ( u , v, 0 ) = Fu ( u ) A ( u , v, 0 ) F T ( v ) + F ( u ) Au ( u , v, 0 ) F T ( v ) . Тогда при u = i, ( i = 0,1) r ru′ ( i, v, 0 ) = Fu ( i ) A ( i, v, 0 ) F T ( v ) , так как Au ( i, v, 0 ) = 0 . Получим 1 r r r ru′ ( i, v, 0 ) = ∑  rs′ ( i, j , 0 ) I j 0 ( v ) + rst′′ ( i, j , 0 ) I j1 ( v ) su 0 (v)  .

(1.59)

j =0

Если учесть, что r r r ru′ ( u , v, 0 ) = rs′ ( u , v, 0 ) su 0 ( v ) + rt ′( u , v, 0 ) tu 0 ( u , v ) . При u = i r r (1.60) ru′ ( u , v, 0 ) = rs′ ( u , v, 0 ) su 0 ( v ) . Сравнивая (1.59) и (1.60), получим 1 r r r rs′ ( i, v, 0 ) = ∑  rs′ ( i, j , 0 ) I j 0 ( v ) + rst′′ ( i, j , 0 ) I j1 ( v ) ti 0  . j =0 r Итак, производная rs′ ( i, v, 0 ) поперек границ при i = 0,1 r r зависит лишь от значений rs′ ( i, 0, 0 ) и rs′ ( i,1, 0 ) в углах этих −

граница двух соседних порций). r r r Следовательно, в случае если rs′ ( i, 0, 0 ) , rs′ ( i,1, 0 ) , rst′′ ( i, 0, 0 ) и r rst′′ ( i,1, 0 ) одинаковы на границах двух порций, то составная поверхность тела будет иметь непрерывный градиент поперек этих границ.

границ

( ti 0

общая

47

На рисунках 1.12 и 1.13 приведены примеры описания порции тела на непрямоугольном каркасе и определения ее промежуточных поверхностей. Для полного определения тела на порции необходимо иметь в каждом из восьми ее узлов значения r r r r r r r r r , s, rs′, t , rt ′, p, rp′ , rst′′, rsp′′ , rtp′′ , rstp′′′ , т.е. векторы положения, параметры в направлении первого семейства каркаса (линии s), касательные векторы в этом направлении, параметры в направлении второго семейства (линии t), касательные векторы в этом направлении, параметры в направлении третьего семейства каркаса (линии p), касательные векторы в этом направлении, перекрестные производные по трем пересекающимся граничным поверхностям. Векторы положения известны с самого начала по заданному каркасу. Векторы касательных в углах порций определяется в результате r r r построения сетки сплайновых кривых, т.е. rs′ , rt ′ и rp′ − коэффициенты кубических параметрических сплайнов для s-, tи p-кривых каркаса. В качестве параметров используется суммарная длина хорд соответствующих кривых. Для r r r r r обозначения набора точек r000 , r100 , r010 , r110 ,…, rNMK используем r символ rijk , где: i = 0,1,.., N ; j = 0,1,.., K ; k = 0,1,.., M (рис. 1.14). Здесь ( N + 1) - число кривых первого семейства каркаса;

( K + 1)

- число кривых второго семейства каркаса; ( M + 1) число кривых третьего семейства каркаса. Процесс определения коэффициентов тела по массиву точек будет состоять в следующем: 1) вычисляются сплайновые кривые в s – направлении r r r через ( K + 1) наборов точек ri 0 k , ri1k ,.., riKk , i = 0,1,.., N , k = 0,1,.., M . Каждая кривая требует дополнительных условий в r характерных точках (либо задания наклонов rs′ , либо, если r наклоны неизвестны, rss′′ = 0 ); 2) вычисляются сплайновые кривые в t – направлении через r r r ( N + 1) наборов точек r0 jk , r1 jk ,.., rNjk , j = 0,1,.., K , k = 0,1,.., M .

48

z z

r r ( u , v,1) r r ( u , v, 0.75 ) r r ( u , v, 0.5 )

w

r r ( u , v, 0.25 ) r r ( u , v, 0 )

y x

v

u

Рис. 1.12. Порция тела на непрямоугольном каркасе

49

y

x

Рис. 1.13. Определение промежуточных поверхностей порции тела на непрямоугольном каркасе

50

Каждая кривая требует дополнительных условий в характерных r точках (либо задания наклонов rt ′ , либо, если наклоны r неизвестны, rtt′′ = 0 ); 3) вычисляются сплайновые кривые в p – направлении r r r через ( M + 1) наборов точек rij 0 , rij1 ,.., rijM , i = 0,1,.., N ,

ρ r01M

ρ r02 M

ρ r00 M

ρ r10 M

ρ r002

ρ r11M

ρ r12 M ρ r21M

ρ r202

ρ r101 ρ r100

ρ r1KM

ρ r20 M

ρ r102

ρ r001

ρ r000

ρ r0 KM

ρ r201

ρ r2 KM

ρ r22 M

ρ rN 0 M ρ rN 02

ρ rN 1M ρ rN 12

ρ rN 00

ρ rN 22

ρ rN 21 ρ rN 11

ρ rN 01

ρ r200

ρ rN 2 M

ρ rN 10

ρ rN 20

Рис. 1.14. Составное тело намотки

ρ rNKM ρ rNK 2

j = 0,1,.., K . Каждая кривая требует дополнительных условий в r характерных точках (либо задания наклонов rp′ , либо, если r наклоны неизвестны, rpp′′ = 0 ); 4) в результате на шагах 1), 2) и 3) получаем сетку r r аппроксимированных кривых, т.е. во всех узлах каркаса r , s, rs′ , r r t, rt ′ , p, rp′ могут рассматриваться как известные. В sнаправлении вычисляются

( K + 1)

сплайнов, соответствующих r r r наборам векторов градиентов rt ′,i 0 k ; rt ′,i1k ;.., rt ′,iKk , i = 0,1,.., N ,

r

ρ rNK 1 ρ rNK 0

k = 0,1,.., M . Для их вычислений необходимы значения rst′′ в характерных точках каркаса. Поскольку такие значения получить нельзя, предполагается, что в этих точках равна нулю r старшая производная по s, а именно rsts′′′ = 0 . Коэффициенты r таких сплайновых кривых и есть неизвестные производные rst′′ в узлах каркаса; 5) в p – направлении вычисляются ( N + 1) сплайнов, r r соответствующих наборам векторов градиентов rs′,0 jk ; rs′,i1k ;.., r rs′, Njk , j = 0,1,.., K , k = 0,1,.., M . Для их вычисления необходимы r r значения rsp′′ в характерных точках каркаса. Значения rsp′′ вычисляем аналогично пункту 5, предполагая, что в этих точках r ′′′ = 0 . равна нулю старшая производная по s, а именно rsps Коэффициенты таких сплайновых кривых и есть неизвестные r производные rsp′′ в узлах каркаса; 6) по аналогии с пунктом 6 вычисляются ( K + 1) сплайнов в p – направлении, соответствующих наборам векторов r r r градиентов rs′,i 0 k ; rs′,i1k ;..; rs′,iKk , i = 0,1,.., N , k = 0,1,.., M . Для их

51

52

r вычисления необходимы значения rtp′′ в характерных точках r каркаса. Значения rtp′′ вычисляем, предполагая, что в этих точках r равна нулю старшая производная по t, а именно rtpt′′′ = 0 ;

остается вычислить ( N + 1) сплайнов, наборам векторов перекрестных производных r rsp′′, Njk , j = 0,1,.., K , k = 0,1,.., M . Для их r вычисления необходимы значения rtsp′′′ в характерных точках r каркаса. Значения rtsp′′′ можно вычислить по аналогии с 7) нам соответствующих r r rsp′′,0 jk ; rsp′′,1 jk ;..;

предыдущими пунктами, предполагая, что в этих точках равна r ′′′′ = 0 . нулю старшая производная по t, а именно rtspt

Pvi

Pni R

Коэффициенты таких сплайновых кривых и есть неизвестные r производные rtsp′′′ в узлах каркаса. Таким образом, стали известны все элементы всех A-, B-, C- и D-тензоров, поэтому формула (1.58) может быть использована для построения каждой порции составного тела. Проиллюстрируем изложенный метод на примере, рассмотренном в следующем разделе. 1.3. Применение разработанной модели для описания тела намотки лонжерона стабилизатора вертолета

В этом разделе речь пойдет об описании тела многослойной структуры реального изделия, лонжерона стабилизатора вертолета, изготавливаемого намоткой из композиционного материала, армированного непрерывными однонаправленными углеродными волокнами (из углепластика). Поверхность лонжерона представляет собой носовую часть стабилизатора и задается непрерывным каркасом поперечных сечений. При этом само поперечное сечение определяется двумя массивами точек Pvi и Pni, i = 0,1,.., N , принадлежащих соответственно верхней и нижней дужкам сечения (рис. 1.15).

53

Рис. 1.15. Поперечное сечение стабилизатора вертолета: 1 – лонжерон; 2 – концевая часть стабилизатора; 3 – строительная ось; 4 – верхняя дужка; 5 – нижняя дужка; ОС – строительная хорда Для задания точек Pvi и Pni в пространстве фиксируют декартову систему координат x, y, z, неподвижную относительно стабилизатора, следующим образом. Плоскость xOy параллельна плоскостям поперечных сечений стабилизатора, которые, следовательно, перпендикулярны оси Oz. Ось Ох совпадает со строительной осью этих сечений. Расположение строительной оси и длина строительной хорды остаются неизменными для всех сечений. Теоретический контур сечений стабилизатора определяется процентным заданием координат точек Pvi ( xi , yvi ) и Pni ( xi , yni ) формулам:

относительно длины строительной хорды по

54

xi c, 100 y  yvi с (1.61) yвi =  ( k + 1) + ni ( k − 1)  , 100  100 2 y  yvi с yni =  − ( k − 1) − ni ( k + 1)  , 100  100 2 xi , yvi , yni где − процентное соотношение между координатами точек Pvi, Pni и длиной строительной хорды; k – коэффициент изменения координат Pvi, Pni по длине стабилизатора. Значения xi , yvi , yni приведены в таблице 1.1. xi =

Таблица 1.1 Процентное задание профиля стабилизатора вертолета i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

x% 1,25 2,5 5 7,5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 95 100

yv % 1,43 1,95 2,49 2,74 2,86 2,88 2,74 2,50 2,26 1,80 1,40 1,00 0,65 0,39 0,22 0,16 0

55

yn % -2,44 -3,39 -4,73 -5,76 -6,59 -7,89 -8,80 -9,41 -9,76 -9,80 -9,19 -8,14 -6,69 -4,89 -2,71 -1,47 0

Коэффициент k вычисляется по формуле: z − z0 k =1+ , (1.62) 2 ( z k − z0 ) где z0 и zk соответствуют начальному и конечному сечениям стабилизатора, z0 ≤ z ≤ zk . Значения абсциссы xi точек Pvi, Pni не зависят от сечения стабилизатора, остаются одними и теми же в любом сечении. Значения ординат yvi , yni этих точек (1.61) линейно зависят от k, а коэффициент k линейно зависит от z по (1.62), что означает, то, что указанные координаты являются линейными функциями координаты z, и поверхность стабилизатора порождается прямыми, лежащими в плоскостях x = xi , i = 0,1,.., N . Из (1.61) и (1.62) получаем, что начальное сечение z = z0

имеет точечный каркас из точек Pv0i ( xi , y0 vi ) и Pn0i ( xi , y0 ni ) с координатами x xi = i c, 100 yvi y0 vi = c, 100 yni y0 ni = − c, 100 а конечное сечение z = zk − точечный каркас из точек Pvki ( xi , ykvi ) и Pnki ( xi , ykni ) с координатами x x = i c, 100  5 yvi 1 yni  c ykvi =  +  ,  2 100 2 100  2

 1 yvi 5 yni  c − ykni =  −  .  2 100 2 100  2 Для создания модели поверхности стабилизатора r вертолета r ( s, z ) строятся параметрические кубические

56

сплайны, проходящие через точки Pv0i и Pn0i , i = 0,1,.., N , в начальном сечении и через Pvki и Pnki , i = 0,1,.., N , в конечном сечении, тем самым получая аналитические задания начального r поперечного сечения z = z0 с помощью сплайн-функции r0 ( s ) и конечного поперечного сечения z = zk с помощью сплайнr функции rk ( s ) . Далее, исходя из линейчатой структуры каркаса, по этим сечениям построена линейчатая поверхность, моделирующая поверхность стабилизатора:  z − z0  r z − z0 r r (1.63) r ( s, z ) = 1 − rk ( s ) ,  r0 ( s ) + z k − z0  z k − z0  где s – параметр кривой (длина дуги). На расстоянии h от носовой кромки стабилизатора по строительной хорде профиль лонжерона стабилизатора имеет прямолинейный вертикальный участок, сопрягаемый с верхней и нижней дужками теоретического контура стабилизатора по дугам окружности радиуса R (рис. 1.15). Для построения модели поверхности лонжерона в начальном и конечном сечениях добавляются по две точки Pv0h , Pn0h и Pvkh , Pnkh на вертикали r r x = h и изменены сплайн-функции r0 ( s ) и rk ( s ) , так чтобы они гладко переходили вертикаль в точках Pv0h , Pn0h и Pvkh , Pnkh , соответственно. Тогда поверхность лонжерона является гладкой и состоит из поверхности (1.63) с измененными функциями r r r0 ( s ) и rk ( s ) при 0 ≤ x ≤ h и части плоскости x = h (рис. 1.16). В качестве оси вращения оправки лонжерона задается прямая, параллельная оси Oz, с координатами: h x% , 0 = 2 h h y0 v   + y0 n   2  2. y%0 = 2

57

Рис. 1.16. Поперечное сечение тела намотки лонжерона 1 – сечение внутреннего теоретического контура тела намотки (сечение поверхности оправки); 2 – сечение внешнего контура тела намотки Поверхность внешнего контура тела намотки лонжерона описываем уравнением (рис. 1.17) r r r R ( s, t , w ) = r ( s, t ) + n ( s, t ) w, r где n - орт нормали, опушенной из точки M на поверхность r оправки; r ( s, t ) – радиус-вектор точки P – основания этой r r r нормали; w – проекция вектора R − r на нормаль n поверхности, т.е. относительное расстояние точки М до поверхности оправки. Оправка лонжерона стабилизатора имела следующие размеры в миллиметрах: z0 = 0, zk = 1045, c = 600, h = 200.

58

Толщина тела намотки составляет 20 мм. На оправку укладывается 80 слоев армирующего материала (углепластик) толщиной 0,25 мм. При моделировании тела намотки лонжерона стабилизатора использовался математический пакет программ MathCAD. На рисунке 1.17 представлена геометрическая модель лонжерона стабилизатора. В дальнейшем эта модель будет использована при моделировании и расчете параметров процесса намотки, рассмотренных в следующих разделах. На рисунке 1.18 представлено полутоновое изображение лонжерона стабилизатора вертолета. Проделанная работа с разработанными на основе изложенного метода программными модулями в среде MathCAD описания трехмерного тела намотки позволяет сделать следующие выводы:

Рис. 1.18. Полутоновое изображение тела намотки лонжерона стабилизатора вертолета

Рис. 1.17. Геометрическая трехмерная модель тела намотки лонжерона стабилизатора вертолета

59

1. Предложенный новый метод описания тела не требует перезадания каркаса трехмерного тела. 2. Получение коэффициентов тела с использованием аппроксимации каркасных кривых кубическими параметрическими сплайнами осуществляется достаточно быстро. Поэтому проблем с переаппроксимацией тела не возникает. 3. В связи с тем, что известны производные в любой точке тела, оказалось возможным объединить в одной программе описание граничной и любой промежуточной поверхности тела. Расчет сечений промежуточной поверхности не представляет сложностей, поскольку он проводится по единой программе. 4. Аппроксимация линии пересечения локальными кубическими параметрическими сплайнами позволяет использовать выходную информацию для различных целей: формирование таблиц, выход на станки с ЧПУ и т.п.

60

ГЛАВА 2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА УКЛАДКИ ЛЕНТЫ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ С ОДНОНАПРАВЛЕННЫМИ ВОЛОКНАМИ ПРИ НАМОТКЕ

Важным этапом в моделировании многослойной конструкции, изготавливаемой методом намотки из волокнистых композиционных материалов, является разработка математической модели процесса армирования путем укладки композиционной ленты на поверхность оправки, на основе чего оценивается возможность реализации конкретной схемы армирования и получения требуемых свойств изделия. От точности разработки этой модели во многом зависит точность расчета параметров процесса намотки, расчет управляющей программы для намоточного оборудования с ЧПУ. В настоящее время существует три метода расчета армированных многослойных оболочек из волокнистых КМ. В первом рассматривается армированный слоистый материал как анизотропная и монолитная структура с усредненными упругими характеристиками. Метод основан на традиционных способах расчета конструкций из изотропных материалов. Второй метод расчета исходит из предположения, что связующее вещество не является несущим элементом конструкции, вследствие чего армированная оболочка рассматривается как нитевая оболочка. В третьем методе рассматривается “ленточная” модель, основанная на том предположении, что геометрические характеристики поверхности и параметры армирования в зависимости от внешней формы оправки изменяются в процессе намотки не только вдоль траектории армирования, но и по ширине ленты. В соответствии с принятым “ленточным” методом расчета армированных конструкций при моделировании технологического процесса намотки, как правило, принимают “ленточную” модель укладки армирующего материала и расчета параметров этого процесса. На основе этой модели рассчитываются все параметры процесса намотки оболочки лентой конечной ширины для оправки, изготовленной по

61

внутреннему контуру изделия. Для получения внешнего теоретического контура изделия часто требуется коррекция формы, при которой теоретическая поверхность преобразовывается в поверхность оправки, что приводит к существенному возрастанию объема перерабатываемой информации. В некоторых случаях такое преобразование исходного каркаса нежелательно из-за конструктивных или технологических соображений. Этот недостаток устраняется посредством объемной модели укладки ленты, учитывающей изменения геометрических характеристик различных нитей, волокон ленты при их укладке на поверхность армирования в различных слоях многослойной конструкции и обеспечивающей получение требуемой внешней формы. Такая базовая модель представлена в первом разделе этой главы. Во втором разделе приведены некоторые видоизменения объемной основной модели, которые позволяют рассчитывать такие характеристики рассматриваемого технологического процесса, как прилегание ленты. В третьем разделе эта модель применяется для случая укладки ленты внахлест на поверхность оправки при строчном и плетеном армировании. В четвертом разделе приведен пример применения разработанной модели для оправки, имеющей форму эллиптического параболоида. В пятом разделе рассмотрена геодезическая намотка ленты реального изделия, а именно лонжерона стабилизатора вертолета. 2.1. Объемная основная модель укладки ленты на оправку произвольной формы

При разработке объемной геометрической модели укладки ленты будем считать, что теоретические контуры тела многослойной оболочки и схема армирования заданы, причем граничные поверхности и толщина стенки оболочки, как в продольном, так и в поперечном направлении, изменяются совершенно произвольно. Тело оболочки имеет произвольную форму, а любое трехмерное тело по определению можно представить в параметрическом виде. Если фиксировать в пространстве декартову систему координат x, y, z, неподвижную

62

относительно тела оболочки, то в соответствии с моделью, представленной в первой главе, равенство r r r ( u , v, w ) = r ( x ( u , v, w ) , y ( u , v, w ) , z ( u , v, w ) ) (2.1) даст параметрическое задание тела оболочки, где параметры будут меняться в некотором в замкнутом объеме Ω криволинейных координат u, v и w. Кроме того, схема армирования задается некоторой кривой намотки. Задав u, v и w как функций некоторого параметра t: u = uk ( t ) , v = vk ( t ) , w = wk ( t ) , где t0 ≤ t ≤ tk , можно получить параметрическое представление кривой намотки: r r rk ( t ) = r ( uk ( t ) , vk ( t ) , wk ( t ) ) = x ( uk ( t ) , vk ( t ) , wk ( t ) ) , (2.2) y ( uk ( t ) , vk ( t ) , wk ( t ) ) , z ( uk ( t ) , vk ( t ) , wk ( t ) ) .

{

}

1. Нить ленты является нерастяжимой. Под нитью подразумевается весьма тонкий материальный стержень, ось которой может принимать любую форму. При натяжении ленты длина

этой

оси

во

всех

ее

частях

не

меняет

своих

первоначальных линейных размеров в продольном направлении. 2. Традиционно будем считать, что средняя нить или прядь ленты укладывается точно по заданной кривой намотки. 3.

Пусть

d

–

ширина

ленты,

h

–

ее

толщина,

соответствующая толщине нитей, волокон или прядей, из которого состоит лента. В нашем случае лента представляет

Если параметр w определяет толщину нашей оболочки, то

собой совокупность однонаправленных нитей, волокон или

очевидно, что при w = w0 получим граничную поверхность по

прядей, пропитанных связующим. Предположение состоит в

внутреннему контуру (поверхность технологической оправки), а

том, что прямоугольник d × h в поперечном сечении ленты в

w = wN

при

−

граничную

поверхность

по

внешнему

свободном состоянии будет деформироваться при ее укладке на поверхность армирования, но не будет менять своих размеров d

i , N

и h (рис. 2.1), т.е. их длины в процессе деформации инварианты.

0 ≤ i ≤ N получим поверхности армирования для внутренних

Считаем, что свободное от нитей и волокон пространство внутри

слоев оболочки. Здесь N – число слоев оболочки. В этом случае

прямоугольника d × h заполняет связующее. Таким образом,

уравнение кривой намотки для i-го слоя оболочки примет вид r r rki ( t ) = r ( uk ( t ) , vk ( t ) , wi ) =

учитывается связующий материал композиционной ленты в

теоретическому контуру оболочки. Тогда при w = wi , wi =

{x (u

k

нашей модели. При этом, естественно, предполагается, что

( t ) , vk ( t ) , wi ) , y ( uk ( t ) , vk ( t ) , wi ) , z ( uk ( t ) , vk ( t ) , wi )} .

взаимный порядок волокон, нитей в поперечном сечении ленты

Объемная

армирования.

композиционной

геометрическая ленты

основана

модель на

укладки

остается без изменения после ее укладки на поверхность

следующих

предположениях.

63

64

4. Пусть δ − параметр, меняющийся от −

d d . Проведем до 2 2

знака δ. Тогда множество точек M%= M%( t , δ ) образует кривую на поверхности армирования, которая называется геодезической

через каждую точку M = M ( t ) кривой намотки на некоторой

параллелью к кривой намотки, соответствующей данному

r поверхности армирования оболочки r ( u , v, w ) геодезическую

значению δ. Четвертое предположение состоит в том, что нить,

линию, перпендикулярную этой кривой.

находящаяся на расстоянии δ (расстояние берется со знаком) от

а

средней нити ленты, укладывается как раз по этой геодезической 2

δ

1

3

2

параллели.

Таким

образом,

данная

нить

однозначно

определяется этим параметром δ и на поверхности армирования

h

отождествляется с соответствующей геодезической параллелью

d

к кривой намотки. В частности, при δ = 0 получается сама б

2

кривая намотки (рис. 2.2).

δ

1

3

2

5. Поскольку разные нити и волокна ленты должны 4

укладываться на разные геодезические параллели к кривой

h

d

намотки, а разные параллели имеют различную длину, то нити ленты должны деформироваться вдоль своей длины так, чтобы лента

Рис. 2.1. Поперечное сечение композиционной ленты из однонаправленных волокон, нитей: a) лента в свободном cостоянии; б) лента уложена на поверхность армирования. 1 – средняя нить (волокно) ленты; 2 – крайняя нить ленты; 3 – cвязующий материал; 4 – линия сечения поверхности армирования

приняла

форму

поверхности

армирования.

Пятое

предположение состоит в том, что осуществляются требуемые деформации

нитей

ленты,

т.е.

связующее

вещество

не

препятствует деформации нитей в силу ее размягченного состояния при укладке ленты на поверхность армирования. Считаем, что эти деформации в процессе намотки не превышают предельно допустимых значений для нитей, волокон данного

Отложим на геодезической линии дугу MM% длины δ

по

соответствующую сторону от кривой намотки в зависимости от

материала. 6.

Последнее

предположение

состоит

в

том,

коэффициент трения скольжения между композиционным

65

66

что

материалом ленты и материалом оправки (для первого слоя), а также материалом поверхности армирования (для последующих

r r (1,1,1) r r (1,1, 0)

слоев это может быть материал композиционной ленты или материал специального покрытия между слоями) не зависит от

5 r r (0,1,1)

r r (0,1, 0)

натяжения. d/2

3

1

M

2

Тогда

можем

моделировать

волокна,

нити

композиционной ленты геодезическими параллелями кривой

δ

~ M

намотки. Если будем знать уравнения геодезической параллели,

d/2

соответствующей значению δ, то можно полностью описать

5 r r (1, 0,1)

4

r r (1, 0, 0)

r r (0, 0,1)

поведение

на

произвольной

поверхности

армирования

многослойного тела всех волокон, нитей ленты и в рамках нашей модели вычислить параметры процесса намотки. Чтобы вывести уравнения геодезических параллелей,

r r (0, 0, 0)

введем некоторые обозначения для частных производных. Для r функции r ( u , v, w ) , дающей параметрическое задание тела

Рис. 2.2. Укладка ленты из однонаправленных волокон, нитей на поверхность оболочки армирования: 1 – поверхность тела оболочки; 2 – кривая намотки (средняя нить, волокно ленты); 3 – геодезическая линия, перпендикулярная к кривой намотки; 4 – геодезическая параллель к кривой намотки (нить, волокно ленты), соответствующая значению δ; 5 – крайние нити, волокна ленты

67

оболочки

армирования,

индексы

внизу

будут

означать

дифференцирование: 1 – по переменной u, 2 – по переменной v, 3 – по переменной w. Например: r r r r ∂r r r ∂2 r ∂2 r r1 = ; r12 = ; r23 = и т.д. ∂u ∂u ∂v ∂v∂w Коэффициенты квадратичной формы трехмерного тела имеют вид [93] r r r r r r g11 = ( r1 , r1 ) , g12 = g 21 = ( r1 , r2 ) , g 22 = ( r2 , r2 ) , r r r r r r g13 = g31 = ( r1 , r3 ) , g 23 = g32 = ( r2 , r3 ) , g33 = ( r3 , r3 ) ,

68

(2.3)

где круглые скобки обозначают

скалярное

произведение

векторов.

2

Рассмотрим в соответствии с нашей моделью процесса

(

M x ( uk ( t ) , vk ( t ) , wk ( t ) ) , y ( uk ( t ) , vk ( t ) , wk ( t ) ) , z ( uk ( t ) , vk ( t ) , wk ( t ) )

)

r r r = rk ( t ) . Пусть s – длина дуги вдоль

кривой намотки

геодезической линии, перпендикулярной к кривой намотки, проходящей через точку М и откладываемой от этой точки, а u = uΓ ( s ) , v = vΓ ( s ) , w = wΓ ( s ) − функции, задающие эту геодезическую линию внутри тела оболочки армирования. Тогда геодезическая

линия

имеет

следующее

параметрическое

задание: r r rΓ ( s ) = r ( uΓ ( s ) , vΓ ( s ) , wΓ ( s ) ) .

дуга геодезической линии откладывается по одну сторону от кривой намотки, а при s < 0 − по другую. Уравнения геодезической линии внутри тела оболочки можно записать в виде [93]: 2

2

d 2 uΓ du dv du dwΓ  du   dv  + Γ111  Γ  + 2Γ112 Γ Γ + Γ122  Γ  + 2Γ113 Γ + 2 ds ds ds ds ds  ds   ds  2

dvΓ dwΓ  dw  + Γ133  Γ  = 0, ds ds  ds 

69

dvΓ dwΓ 2  dwΓ  + Γ33  ds  = 0, ds ds   2

2

d 2 wΓ 3  duΓ  3 duΓ dvΓ 3  dvΓ  3 duΓ dwΓ + Γ11  ds  + 2Γ12 ds ds + Γ 22  ds  + 2Γ13 ds ds + 2 ds     2

dvΓ dwΓ 3  dwΓ  + Γ33  ds  = 0. ds ds   k Здесь через Γ ij обозначены символы Кристоффеля, которые +2Γ 323

имеют вид [93, 94]: ∂g ∂g  1   ∂g Γ111 = g g − g 232 ) 11 + ( g12 g33 − g 23 g31 )  11 − 2 12  − 2  ( 22 33 ∂u ∂u  2σ   ∂v ∂g  − ( g12 g 23 − g 22 g13 ) 11  , ∂w  ∂g ∂g 1  g g − g 232 ) 11 − ( g12 g33 − g 23 g13 ) 22 + 2  ( 22 33 ∂v ∂u 2σ  ∂g ∂g    ∂g + ( g12 g23 − g22 g13 )  13 + 23 − 12   , (2.5) ∂u ∂w    ∂v

Γ112 = Γ121 = −

Очевидно, что при s = 0 получается точка М. При s > 0

+2Γ123

2

+2Γ 223

намотки произвольную точку

2

d 2 vΓ 2  duΓ  2 duΓ dvΓ 2  dvΓ  2 duΓ dwΓ + Γ11  ds  + 2Γ12 ds ds + Γ 22  ds  + 2Γ13 ds ds + 2 ds    

(2.4)

∂g 1   ∂g g g − g 232 ) 11 + ( g13 g 23 − g33 g12 )  23 + 2  ( 22 33 ∂w 2σ   ∂u ∂g  ∂g  ∂g + 12 − 13  + ( g12 g 23 − g 22 g13 ) 33  , ∂w ∂v  ∂u 

Γ113 = Γ131 =

∂g 1   ∂g g g − g 232 )  22 − 2 12 2  ( 22 33 ∂v 2σ   ∂u ∂g    ∂g − ( g12 g 23 − g 22 g13 )  22 − 2 23   , ∂v    ∂w

Γ122 =

70

∂g 22   + ( g12 g33 − g 23 g13 ) ∂v − 

∂g ∂g 1   ∂g g g − g 232 )  12 + 13 − 23 2  ( 22 33 ∂v ∂u 2σ   ∂w ∂g  ∂g − ( g12 g33 − g 23 g13 ) 22 + ( g12 g 23 − g 22 g13 ) 33  , ∂w ∂v 

Γ123 = Γ132 = −

∂g 1   ∂g g g − g 232 )  33 − 2 13 2  ( 22 33 ∂w 2σ   ∂u ∂g  − ( g12 g 23 − g 22 g13 ) 33  , ∂w 

Γ133 =

2 Γ33 =

∂g33   − ( g12 g33 − g 23 g13 ) ∂v − 

∂g 1   ∂g g g − g132 )  − 11 + 2 12 2  ( 11 33 ∂u 2σ   ∂v ∂g  + ( g13 g 23 − g12 g33 ) 11  , ∂u 

2 Γ11 =

∂g 1  − g g − g132 ) 33 + 2  ( 11 33 ∂v 2σ  ∂g  ∂g  ∂g + ( g12 g33 − g13 g 23 )  − 33 + 2 13  − ( g13 g12 − g11 g 23 ) 33 ∂w  ∂w  ∂u

 − 

− ( g12 g 23 − g13 g 22 ) ∂g11   + ( g11 g 23 − g12 g13 ) ∂w + 

∂g ∂g 1   ∂g g g − g132 )  12 + 23 − 13 2  ( 11 33 ∂u ∂v 2σ   ∂w ∂g  ∂g − ( g13 g 23 − g12 g33 ) 11 + ( g 23 g11 − g12 g13 ) 33  , ∂w ∂u 

∂g ∂g 1   ∂g g g − g132 ) 22 + ( g12 g33 − g 23 g31 )  22 + 2 12 2  ( 11 33 ∂v ∂v 2σ   ∂u ∂g    ∂g + ( g11 g 23 − g12 g13 )  − 22 + 2 32   , ∂v    ∂w

∂g ∂g 1  g g − g132 ) 22 − ( g13 g12 − g11 g 23 ) 33 + 2  ( 11 33 ∂w ∂v 2σ  ∂g ∂g    ∂g + ( g12 g33 − g13 g 23 )  12 + 13 − 23   , ∂v ∂u    ∂w

2 Γ 223 = Γ 32 =

71

∂g ∂g 1   ∂g g g − g12 2 )  13 + 23 − 12 2  ( 11 22 ∂u ∂w 2σ   ∂v ∂g ∂g  + ( g12 g 23 − g13 g 22 ) 11 + ( g12 g13 − g11 g 23 ) 22  , ∂v ∂u 

3 Γ12 = Γ 321 = −

3 Γ13 = Γ331 = −

 − 

Γ 222 =

∂g11  , ∂u   + 

∂g ∂g 1   ∂g g g − g11 g 23 )  12 + 23 − 13 2  ( 12 13 ∂u ∂v 2σ   ∂w ∂g  ∂g + ( g12 g 23 − g13 g 22 ) 11 + ( g11 g 22 − g122 ) 33  , ∂w ∂u 

∂g ∂g 1  g g − g132 ) 22 − ( g13 g 23 − g12 g33 ) 11 + 2  ( 11 33 ∂u ∂v 2σ  ∂g ∂g    ∂g + ( g 23 g11 − g13 g12 )  13 + 23 − 12   , ∂u ∂w    ∂v

2 Γ12 = Γ 221 =

2 2 Γ13 = Γ31 =

 ,  ∂g ∂g 1   ∂g 3 Γ11 = g g − g12 2 ) 11 + ( g12 g13 − g11 g 23 )  11 − 2 12 2  ( 22 11 ∂w ∂u 2σ   ∂v

Γ322 = −

∂g 1   ∂g g g − g12 2 )  − 22 + 2 23 2  ( 22 11 ∂v 2σ   ∂w

 + 

∂g 22 ∂g    ∂g − ( g12 g 23 − g 22 g13 )  22 − 2 12   , ∂v ∂v    ∂u ∂g ∂g  1   ∂g 3 Γ323 = Γ 32 = − 2  ( g13 g 22 − g12 g 23 )  23 − 13 − 12  + ∂v ∂w  2σ   ∂u + ( g12 g13 − g 23 g11 )

 + 

 + 

+ ( g12 g13 − g 23 g11 )

∂g  ∂g 22 + ( g11 g 22 − g122 ) 33  , ∂w ∂v 

∂g  1   ∂g g g − g12 g 23 )  33 − 2 13  − 2  ( 13 22 ∂w  2σ   ∂u ∂g ∂g  − ( g12 g13 − g 23 g11 ) 33 + ( g11 g 22 − g122 ) 33  , ∂v ∂w 

Γ333 = −

72

 − 

2 где σ = g11 g 22 g33 − g11 g 23 − g122 g33 + 2 g12 g13 g 23 − g132 g 22 . Символы Кристоффеля (2.5) алгоритмически просто могут быть вычислены по формулам: r r r r 2 r r r r r r r r r r rij , r1 , [ r2 , r3 ] + r2 , r3 , r1 , [ r2 , r3 ] + r3 , r2 , r1 , [ r2 , r3 ] Γ1ij = , r r r 2 r1 , r2 , r3

( (

Γij2 =

(

(

)

(

))

) (

)

)

(

(

r r r r r r r r r 2 r r r r r rij , r1 , r3 , r1 , [ r2 , r3 ] + r2 , [ r1 , r3 ] + r3 , r1 , r1 , [ r2 , r3 ]

(

r r r r1 , r2 , r3

(

2

)

(

r r r 2  rr , rr , rr , rr , rr , rr + rr , rr , rr , rr , rr + r3 , [ r1 , r2 ]  ij 1 2 1 [ 2 3 ] 2 1 1 [ 2 3] Γij3 =  r r r 2 r1 , r2 , r3

))

(2.6) ,

))  ,

где i, j = 1, 2, 3 (квадратные скобки обозначают векторное произведение двух векторов, угловые скобки – смешанное произведение трех векторов [79]). Геодезическая должна проходить через точку М и должна быть перпендикулярна к кривой намотки, т.е. r r rΓ (0) = rk (t ), r r  drΓ (0) drk (t )  (2.7)  ds , dt  = 0 ,   r r  drΓ (0) dr  и  ds , dw  = 0.   Фактически эти равенства представляют собой начальные условия для системы дифференциальных уравнений (2.4). Их можно переписать в явном виде для неизвестных функций uΓ ( s ) , vΓ ( s ) , wΓ ( s ) . Так как r r rΓ ( s ) = r ( uΓ ( s ) , vΓ ( s ) , wΓ ( s ) ) и

uΓ ( 0 ) = uk ( t ) , vΓ ( 0 ) = vk ( t ) , wΓ ( 0 ) = wk ( t ) . Второе условие с учетом того, что r drΓ r duΓ r dvΓ r dwΓ = r1 + r2 + r3 ds ds ds ds дает r r r  r drk (t )  duΓ (0)  r drk (t )  dvΓ (0)  r drk (t )  dwΓ (0)  r1 , dt  ds +  r2 , dt  ds +  r3 , dt  ds = 0 . (2.8)       Третье условие с учетом определения (2.3) коэффициентов квадратичной формы тела оболочки позволяет нам записать du (0) dv (0) dw (0) g13 Γ + g23 Γ + g33 Γ = 0. (2.9) ds ds ds r drΓ = 1 , то, возводя это равенство в квадрат, имеем с Так как ds учетом определения коэффициентов первой квадратичной формы тела (2.3) 2 2 duΓ (0) dvΓ (0)  duΓ (0)   dvΓ (0)  + g22  g11   + 2g12 ds  + ds  ds   ds  (2.10) 2 duΓ (0) dwΓ (0) dvΓ (0) dwΓ (0)  dwΓ (0)  +2g13 + 2g23 + g33   = 1. ds ds ds ds  ds  dwΓ (0) duΓ (0) dv (0) через и Γ Выразим из (2.9) ds ds ds dvΓ (0)   duΓ (0) −  g13 + g23 dwΓ (0) ds ds   = . (2.11) ds g33 dv (0) через Подставляя это выражение в (2.8), можно выразить Γ ds duΓ (0) ds

r r rk ( t ) = r ( uk ( t ) , vk ( t ) , wk ( t ) ) , то

первое условие в (2.7) приводит нас к равенствам

73

74

r r   r drk (t )   r drk (t )   duΓ (0) − g33  r1 ,  g13  r13 ,  dt  dt   ds dvΓ (0)    = . (2.12) r r ds  r drk (t )   r drk (t )  g33  r2 , − g23  r3 , dt  dt    Подставляя в (2.10) полученные выражения (2.11) и (2.12) найдем r r   r drk (t )  duΓ (0)  r drk (t )   = ±  g33  r2 , − g 23  r3 ,   g 33 ( g 22 g 33 − ds dt  dt       r r 2 2 2  r drk (t )  2  r drk (t )  − g 23 )  r1 , + g33 ( g 22 g11 − g13 )  r2 , − dt  dt    r r   r drk (t )   r drk (t )  r3 , −2 g33  ( g 22 g13 − g12 g 23 )  r1 , + dt   dt    r r  r dr (t )   r dr (t )  + ( g33 g12 − g 23 g13 )  r2 , k   r1 , k  + dt   dt   r r  r dr (t )   r dr (t )   + ( g11 g 23 − g12 g13 )  r2 , k   r3 , k   + dt   dt    1

r 2 −2  2 2  r drk (t )  + ( g 23 g11 − 2 g12 g13 g 23 + g 22 g13 )  r3 ,  . dt   

2 dvk (t )   2  duk (t )  + ( g33 g 22 − g ) ( g33 g11 − g13 )   + dt    dt  2 23

75

2 dvk (t )   2  duk (t )  + ( g33 g12 − g13 g 23 ) ( g33 g11 − g13 )   + dt    dt 

(2.13)

−

1 2

.

(2.14)

−

1

 dvk ( t )   2 duk (t ) dvk (t ) 2 +2 ( g33 g12 − g 23 g13 ) + ( g33 g 22 − g 23 )    . dt dt dt    Затем из (2.9), подставляя выражения (2.13) и (2.14), найдем du (t ) dwΓ (0) 1 = ± ( g13 g12 − g 23 g11 ) k + ds dt σ 2

+ ( g13 g 22 − g 23 g12 )

2 dvk (t )   2  duk (t )  g g g −  ( 33 11 13 )  dt  + dt     −

1

 2 du (t ) dvk (t ) 2  dvk (t )  +2 ( g33 g12 − g 23 g13 ) k + ( g33 g 22 − g 23 )  dt   . dt dt    Таким образом, для уравнений (2.4) получаем следующие начальные условия: uΓ ( 0 ) = uk ( t ) , vΓ ( 0 ) = vk ( t ) , wΓ ( 0 ) = wk ( t ) и du (t ) duΓ (0) 1 = ± ( g33 g12 − g 23 g13 ) k + σ ds dt 2

Так как

r drk (t ) r duk (t ) r dvk (t ) r dwk (t ) = r1 + r2 + r3 , dt dt dt dt подкоренное выражение упрощается и соответственно du (t ) duΓ (0) 1 = ± ( g33 g12 − g 23 g13 ) k + ds dt σ

 dvk ( t )   du (t ) dvk (t ) 2 +2 ( g33 g12 − g 23 g13 ) k + ( g33 g 22 − g 23 )  dt   dt dt    Подставляя выражения (2.11) и (2.13) в (2.9), запишем du (t ) dvΓ (0) 1 = m ( g33 g11 − g132 ) k + ds dt σ 2

dv (t )    du (t )  + ( g33 g 22 − g ) k  ( g33 g11 − g132 )  k  + dt    dt  2

2 23

76

 dvk ( t )   du (t ) dvk (t ) 2 +2 ( g33 g12 − g 23 g13 ) k + ( g33 g 22 − g 23 )  dt   dt dt    du (t ) dvΓ (0) 1 = m ( g33 g11 − g132 ) k + σ ds dt 2

−

,

(2.15)

2 dvk (t )   2  duk (t )  + ( g33 g12 − g13 g 23 ) ( g33 g11 − g13 )   + dt    dt 

 dvk ( t )   duk (t ) dvk (t ) 2 + ( g33 g 22 − g 23 )    dt dt  dt   du (t ) dwΓ (0) 1 = ± ( g13 g12 − g 23 g11 ) k + ds dt σ 2

1 2

−

+2 ( g33 g12 − g 23 g13 )

1 2

.

2 dvk (t )   2  duk (t )  + ( g13 g 22 − g 23 g12 ) ( g33 g11 − g13 )   + dt    dt 

2

d 2 uΓ  du   du   dv + Γ111  Γ  + 2Γ112  Γ   Γ 2 ds  ds   ds   ds

2

 1  dvΓ   + Γ 22  ds  = 0,   

(2.17) 2 2 d 2 vΓ 2  duΓ  2  duΓ   dvΓ  2  dvΓ  + Γ11   + 2Γ12  ds   ds  + Γ 22  ds  = 0. ds 2  ds       Тогда выражения (2.6) для вычисления символов Кристоффеля принимают следующий вид ∂g11 ∂g ∂g  1  Γ111 = − 2 g12 12 + g12 11  , g 2  22 ∂u ∂u ∂v  2σ 

∂g11 ∂g  1  − g12 22  , g 2  22 ∂v ∂u  2σ  ∂g ∂g ∂g 1  Γ122 = − 2  g 22 22 − 2 g 22 12 + g12 22 ∂u ∂v ∂v 2σ  Γ112 = Γ121 =

−

1

 2 du (t ) dvk (t ) 2  dvk (t )  +2 ( g33 g12 − g 23 g13 ) k + ( g33 g 22 − g 23 )  dt   . dt dt    В формулах (2.15) частные производные функции r r (u , v, w) и значение функции σ берутся в точке М, т.е. при 2

u = uk ( t ) , v = vk ( t ) , w = wk ( t ) , а две возможности распределения знаков зависят от того, по какую сторону от кривой намотки берутся положительные значения δ или, что то же самое, положительные значения s. Если найдем решение uΓ ( s ) , vΓ ( s ) , wΓ ( s ) системы уравнений (2.4), удовлетворяющее начальным условиям (2.15), и подставим в него значение s = δ , то получим уравнение геодезической параллели к кривой намотки, соответствующей этому δ, а именно: un ( t , δ ) = uΓ (δ ) , vn ( t , δ ) = vΓ (δ ) , wn ( t , δ ) = wΓ (δ ) и

77

r r rп (t , δ ) = r (uп (t , δ ), vп (t , δ ), wп (t , δ )). (2.16) Нетрудно заметить, что полученная модель является обобщением известной “ленточной” модели укладки армирующего материала на поверхность оправки [50, 53]. Действительно, если присвоить w = wi , то из (2.4) получим r уравнения геодезической линии на поверхности r (u , v, wi ) :

 , 

∂g ∂g ∂g  1  Γ = − 2  g12 11 − 2 g11 12 + g11 11  , ∂u ∂u ∂v  2σ  ∂g  ∂g 22 1  2 g − g12 11  , Γ12 = Γ 221 = 2  11 ∂u ∂v  2σ 

(2.18)

2 11

Γ 222 =

∂g 22 ∂g ∂g 1  g − 2 g12 12 + g11 22 2  12 ∂u ∂v ∂v 2σ 

 , 

где σ = g11 g 22 − g122 . Начальные условия (2.15) будут выражаться следующим образом: uΓ ( 0 ) = uk ( t ) , vΓ ( 0 ) = vk ( t ) и

78

2 du (t ) dv (t )    du (t )  duΓ (0) 1 = ±  g12 k + g 22 k   g11  k  + ds dt dt    dt  σ

du (t ) dvk (t )  du (t )   +2 g12 k + g 22  k   dt dt  dt   2

dvΓ (0) 1 =m ds σ

1 2

,

(2.19)

2 duk (t ) dvk (t )    duk (t )   + + g g g  11 12  11 dt dt    dt   −

1 2

duk (t ) dvk (t )  du (t )   + g 22  k   . dt dt  dt   Уравнение геодезической параллели (2.16) принимает вид un ( t , δ ) = uΓ (δ ) , vn ( t , δ ) = vΓ (δ ) 2

+2 g12

−

и

r r rп (t , δ ) = r (uп (t , δ ), vп (t , δ )). (2.20) Таким образом, построенная объемная геометрическая модель позволяет описать процесс укладки композиционной ленты на произвольную поверхность армирования внутри тела многослойной конструкции как упорядоченной совокупности однонаправленных волокон, нитей, где каждое волокно ложится по своей известной геодезической параллели кривой намотки. Это дает возможность для трехмерного тела намотки произвольной формы более точно и адекватно рассчитывать параметры процесса намотки с учетом структуры укладки армирующего материала в поперечном сечении ленты и автоматически получать заданный внешний теоретический контур изделия. Отметим, что данной модели укладки ленты соответствует инструментальный метод организации управляющих программ, когда сначала формируется модель поверхности технологической оправки по внутреннему контуру оболочки, а потом моделируется кривая намотки по всей своей длине вместе с геодезическими параллелями, по которым создается управляющая программа на все изделие.

79

В заключение отметим, что система дифференциальных уравнений (2.4) с введением трех новых неизвестных функций dw du dv l = Γ , q = Γ , f = Γ сразу принимает нормальный вид и, ds ds ds следовательно, может быть решена с помощью известных численных методов, например, Рунге-Кутта [95]. 2.2. Некоторые видоизменения основной модели

В этом разделе мы рассмотрим возможные видоизменения объемной математической модели укладки ленты из волокнистых композиционных материалов с однонаправленными волокнами на поверхность оправки. Эти видоизменения приспосабливают объемную модель для расчетов, позволяющих вычислить характеристики процесса намотки, которые в объемной основной модели не удается вычислить. В предлагаемой объемной модели средняя нить ленты необязательно должна укладываться по заданной кривой намотки. По этой кривой может укладываться любая другая нить ленты, например, одна из крайних нитей. Все, что нужно для объемной “ленточной” модели укладки ленты, с учетом ее структуры, это знать, какая именно нить ленты укладывается по заданной кривой намотки. Остальные нити будут укладываться по геодезическим параллелям к кривой намотки, соответствующим расстояниям (со знаком), на которых они находятся от нити, волокна, укладываемого по кривой намотки. Возникает естественный вопрос: если по кривой намотки укладывается не средняя нить, то какая нить ленты? Так при расчете прочностных характеристик часто предполагают, что кривой намотки соответствует самая растянутая нить ленты, обладающая наибольшей относительной деформацией. Чтобы решить этот вопрос в рамках предложенной модели, необходимо видоизменить второе предположение, затем выбрать для укладки по кривой намотки наиболее растянутую нить ленты. По пятому предположению в нашей объемной модели все нити ленты укладываются по соответствующим геодезическим

80

параллелям и имеют допустимые деформации, позволяющие им располагаться по этим кривым. Отсюда следует, что лента, состоящая из нитей и волокон, принимает соответствующую форму поверхности армирования, т.е. прилегает к ней. Она будет прилегать только при условии, если в данной точке геодезической параллели нормальная кривизна поверхности оправки в этой точке положительна или равна нулю. В противном случае лента под действием натяжения просто отстанет от поверхности оправки. В реальности же при намотке ленты на выпуклую поверхность требуемые деформации могут не достигать на всех нитях, волокнах ленты, и она может не прилегать к поверхности армирования. Чтобы решить вопрос о прилегании ленты в рамках нашей объемной модели, мы должны еще изменить предположение и считать, что нити ленты должны в принципе деформироваться в пределах допустимого и укладываться по соответствующим геодезическим параллелям к кривой намотки, хотя в действительности это может и не происходить. Тогда, не требуя заранее нужных деформаций нитей, можно найти эти деформации, сравнивая длины нитей в свободном состоянии и длины кривых, по которым они должны укладываться. Если полученные деформации всех нитей ленты по ее ширине не превышают предельно допустимые деформации для данного материала, из которого изготовлена композиционная лента, то лента прилегает к поверхности армирования, если не удовлетворяет, то не прилегает. Отметим, что при намотке законцовок оправки, которые не являются ее конструктивной частью и служат для организации обратного хода намотки, иногда используют в принципе ненаматываемые кривые на поверхности законцовок для того, чтобы добиться достижения нужных характеристик на конструктивной части оправки, являющейся поверхностью изделия. Это справедливо, тем более что законцовки после завершения процесса получения оболочки отрезаются и потеря прочности оболочки на законцовке из-за неприлегания ленты, как правило, не сказывается на прочности конечного изделия. Поэтому в данной ситуации возникают задачи оценки величины неприлегания, отставания ленты от поверхности армирования.

81

Ее решение в рамках объемной модели укладки ленты со сделанными выше видоизменениями в ее предположениях рассмотрено в следующей главе. 2.3. Моделирование укладки ленты внахлест

При намотке поверхности оправки переменного сечения практически трудно обеспечить качественное (без зазоров) стыкование кромок соседних композиционных лент. Наличие больших зазоров и нахлестов способствует образованию пор, значительно снижающих прочность конструкции и искажающих ее геометрические характеристики. Укладку композиционных лент производят с технологическим перекрытием от 5 до 20 мм [96]. Технологический нахлест должен иметь малую площадь контакта, чтобы прижимной валик мог легко его закатывать заподлицо с основным текстурным слоем. В результате приходим к тому, что нужно определить некую оптимальную ширину. Более того, можно в допустимых пределах подбирать такой рисунок намотки, чтобы по возможности использовать ленту большей ширины. Для решения этой задачи рассмотрим методику моделирования укладки композиционной ленты на поверхность оправки, которая позволит учитывать нахлест при расчете геометрических и прочностных характеристик, получающихся при намотке ленты оболочки. Радиус-вектор любой точки P оболочки армирования, r расположенный вблизи поверхности оправки r ( u , v ) , может быть представлен в виде [94] r r r (2.21) R ( u , v, w ) = r ( u , v ) + wm ( u , v ) , r где m – орт нормали, опущенный из точки Р на поверхность r оправки; r – радиус-вектор точки М – основания этой нормали; r r w – параметр, определяющий проекцию вектора R − r на r нормаль m поверхности, т.е. относительное расстояние от точки Р до поверхности оправки. Тогда в соответствии с нашей моделью уравнение кривой намотки, расположенной вблизи поверхности оправки, принимает следующий вид:

82

r r Rk ( t ) = R ( uk ( t ) , vk ( t ) , wk ( t ) ) = x ( uk ( t ) , vk ( t ) , wk ( t ) ) ,

{

}

y ( uk ( t ) , vk ( t ) , wk ( t ) ) , z ( uk ( t ) , vk ( t ) , wk ( t ) ) ,

(2.22)

t0 ≤ t ≤ t k . Уравнение геодезической параллели в соответствии с “ленточной” моделью имеет вид un ( t , δ ) = uΓ (δ ) , vn ( t , δ ) = vΓ (δ ) wn ( t , δ ) = wΓ (δ ) , r r Rn ( t , δ ) = R ( un ( t , δ ) , vn ( t , δ ) , wn ( t , δ ) ) . (2.23) d d ≤δ ≤ . 2 2 Вначале рассмотрим перекрестную укладку лент на поверхности оправки произвольной формы. На рисунке 2.3 представлены два витка кривой намотки на поверхности оправки, по которым укладываются средние нити лент. По второму витку может укладываться лента, наматываемая в обратном направлении, или следующая смежная лента. Лента на поверхности оправки может пересекаться (например, с лентой, наматываемой в обратном направлении), укладываться внахлест или встык (смежная лента) или наматываться с зазором. Рассмотрим случай, когда ленты пересекаются. Пусть нити ленты первого витка плотно прилегают к поверхности оправки, а нити ленты второго витка пересекают ее под некоторыми углами. Тогда уравнение для первогоr витка принимает следующий вид r Rn ( t , δ ) = R ( un ( t , δ ) , vn ( t , δ ) , h ) ,

t8

1 t7 t6 l

t0 ≤ t ≤ t k , −

d d ≤δ ≤ . 2 2 Нити ленты второго витка не будут плотно прилегать к поверхности оправки. Поэтому введем в нашей модели две дополнительные точки P1 ( t1 , δ1 ) и P2 ( t2 , δ 2 ) в поперечном сечении ленты второго витка (рис. 2.4). Первая из этих точек является точкой подъема (спуска) при переходе нити ленты t0 ≤ t ≤ t k , −

83

−

d 2

2

4

t5

3

5

t4

P2 P

l 5

1

P

d 2 5

−

d 2

4

t1

t2

t3 5

d 2

Рис. 2.3. Перекрестная укладка лент из КМ на поверхность оправки: 1 – поверхность оправки; 2 – ленты первого витка; 3 – лента второго витка; 4, 4 – средние нити, волокна ленты первого и второго витка; 5, 5 – крайние нити ленты первого и второго витка

84

одного витка на крайнюю нить ленты другого витка, а вторая точка является точкой пересечения нити ленты второго витка с крайней нитью (крайними нитями) ленты первого витка. Координаты точки P1 ( t1 , δ1 ) можно вычислить, решив систему уравнений: r  d d     R  un  t , ± ml  , vn  t , ± ml  , h  , t0 ≤ t ≤ tk , 2 2       r d d R ( un ( t , δ ) , vn ( t , δ ) , h ) , t0 ≤ t ≤ tN , − ≤ δ ≤ . 2 2 Координаты точки P2 ( t2 , δ 2 ) можно вычислить, решив систему уравнений: r  d  d  R  un  t , ±  , vn  t , ±  , h  , t0 ≤ t ≤ tk , 2  2    r d d R ( un ( t , δ ) , vn ( t , δ ) , h ) , t0 ≤ t ≤ tN , − ≤ δ ≤ . 2 2 Пусть длина дуги l на отрезке Р1Р2 (рис. 2.4). Так как h ≈ 1 , то можно допустить, что параметр wn ( t , δ ) на этом отрезке меняется линейно.

P2

P1

2h M2

l

M1

Рис. 2.4. Поперечное сечение композиционных лент при их укладке внахлест на поверхность оправки

85

h

Тогда для параметра wn ( t , δ ) второго витка можно записать следующее выражение d  h, t0 ≤ t ≤ t3 , δ1 ≤ δ ≤ 2 ,         t − t1   δ − δ1   d   , t1 ≤ t ≤ t2 , − ≤ δ ≤ δ1 , h 1 +   d 2    t2 − t1  − − δ1      2      δ − δ1   h 1 +  δ − δ   , t2 ≤ t ≤ t3 , δ1 ≤ δ ≤ δ2 ,    2 1         δ − δ  d 2 h 1 +    , t2 ≤ t ≤ t4 , − ≤ δ ≤ δ2 , d    2     − 2 − δ2    d d  2h, t4 ≤ t ≤ t5 , − 2 ≤ δ ≤ 2 , wn ( t, δ ) =         t − t5   δ − δ2   d   , t5 ≤ t ≤ t6 , − ≤ δ ≤ δ2  d h  2 −  2    t6 − t5   − − δ2    2     d 2h, t5 ≤ t ≤ t7 , δ2 ≤ δ ≤ 2     δ − δ  1 h  2 −    , t ≤ t ≤ t7 , δ1 ≤ δ ≤ δ2    δ2 − δ1   6    d     t − t7   2 − δ   d h  2 −    , t7 ≤ t ≤ t8 , δ1 ≤ δ ≤ ,  d 2    t8 − t7   − δ    1    2   h, t ≤ t ≤ t , − d ≤ δ ≤ δ . 6 1 k  2

86

Уравнение геодезической параллели для ленты второго витка с учетом пересечения с лентой первого витка принимает следующий вид r r Rn ( t , δ ) = R ( un ( t , δ ) , vn ( t , δ ) , wn ( t , δ ) ) , d d ≤δ ≤ . 2 2 Теперь перейдем к процессу укладки лент с нахлестом на поверхность оправки (рис. 2.5). Уравнение геодезической параллели для ленты второго витка с учетом нахлеста с лентой первого витка принимает вид t0 ≤ t ≤ tk , −

1

5

5 P3 −

2

d 2 d 2

4 l

4

P2 P1

5

P

t1 −

d 2

d 2

3

5

Рис. 2.5. Укладка лент из КМ внахлест на поверхность оправки: 1 – поверхность оправки; 2 – лента первого витка; 3 – лента второго витка; 4, 4 - средние нити ленты первого и второго витка; 5, 5 - крайние нити ленты первого и второго витка

87

r% r % Rn ( t , δ ) = R ( u%n ( t , δ ) , v% n ( t , δ ) , wn ( t , δ ) ) , % − d ≤δ ≤ d , t% 0 ≤ t ≤ tk , 2 2 где параметр wn ( t , δ ) можно выразить следующим образом d  % % h, t0 ≤ t ≤ tk , δ1 ≤ δ ≤ 2         t − t1   δ − δ1   d % ≤ δ ≤ δ1  + 1 , t% h   d 1 ≤ t ≤ t2 , − 2   t2 − t1  − − δ1   wn ( t, δ ) =    2      δ − δ1    + 1 , t2 ≤ t ≤ tk , δ1 ≤ δ ≤ δ2 h  − δ δ 2 1       d 2h, t2 ≤ t ≤ tk , − ≤ δ ≤ δ2 2  Другим способом моделирования укладки ленты внахлест на поверхность оправки является перезадание каркаса поверхности перед укладкой каждого витка ленты. При таком способе значительно возрастает объем перерабатываемой информации. Этот способ можно применять в тех случаях, когда появляются сложности при решении систем уравнений для определения точек пересечения кривых, например, при плетеном армировании. Изложенные способы моделирования укладки ленты проиллюстрируем для некоторых формах оправок. 2.4. Применение разработанной модели для оправки, имеющей форму эллиптического параболоида

Если поверхность оправки достаточно точно аппроксимируется известными поверхностями, имеющими аналитическое задание, например, поверхностями второго порядка, то имеет смысл использовать это аналитическое задание и вытекающие из него аналитические выражения для производных. В качестве первого примера применения

88

разработанной модели рассмотрим оболочку, получаемую с помощью оправки, имеющей форму эллиптического параболоида. Уравнение эллиптического параболоида запишем в векторно-параметрической форме r (2.24) r (ϕ , z ) = ( az 2 + bz + c ) p cos ϕ , ( az 2 + bz + c ) sin ϕ , z ,

{

}

где ρ, ϕ, z – обобщенные цилиндрические координаты и ось Oz является осью симметрии эллиптического параболоида. Такая форма аналитического задания поверхности позволяет нам получать кроме эллиптического параболоида различные поверхности второго порядка. Если a = 0, b ≠ 0, c ≠ 0, p ≠ 1, то получается эллиптический конус. Если a = 0, b = 0, c ≠ 0, p ≠ 1, то эллиптический цилиндр. В каждом из этих случаев при p = 1 получаются параболоид вращения, круговой конус, круговой цилиндр, соответственно. Производные по параметрам векторной функции (2.24) имеют следующий вид: r rϕ′ (φ , z ) = − ( az 2 + bz + c ) p sin ϕ , ( az 2 + bz + c ) cos ϕ , 0 , r rz′ (φ , z ) = {( 2az + b ) p cos ϕ , ( 2az + b ) sin ϕ ,1} , r rϕϕ′′ (φ , z ) = − ( az 2 + bz + c ) p cos ϕ , − ( az 2 + bz + c ) sin ϕ , 0 , (2.25) r rzz′′ (φ , z ) = {2ap cos ϕ , 2a sin ϕ , 0} , r rϕ′′z (φ , z ) = {− ( 2az + b ) p sin ϕ , ( 2az + b ) cos ϕ , 0} .

{

}

{

}

Исходя из выражения производных (2.25) функции r r (ϕ , z ) , найдем коэффициенты первой квадратичной формы (2.3) для эллиптического параболоида: 2 r r g11 = ( rϕ′ , rϕ′ ) = ( p 2 sin 2 ϕ + cos 2 ϕ )( az 2 + bz + c ) , 2 r r g12 = ( rϕ′ , rz′ ) = − cos ϕ sin ϕ ( p 2 − 1) ( 2az + b ) ( az 2 + bz + c ) , (2.26) r r 2 g 22 = ( rz′, rz′ ) = ( 2az + b ) ( p 2 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) + 1. Тогда имеем:

89

σ = ( az 2 + bz + c ) 4ap 2 z ( az + b ) + p 2 ( b 2 + 1) − cos 2 ϕ ( p 2 − 1) , (2.27) и ∂g11 ∂ϕ ∂g11 ∂z ∂g12 ∂ϕ ∂g12 ∂z ∂g 22 ∂ϕ ∂g 22 ∂z

= 2 ( p 2 − 1)( az 2 + bz + c ) cos ϕ sin ϕ , 2

= 2 ( p 2 sin 2 ϕ + cos 2 ϕ )( az 2 + bz + c ) ( 2az + b ) , = − ( 2 cos 2 ϕ − 1)( p 2 − 1) ( 2az + b ) ( az 2 + bz + c ) , = − ( p − 1)( 6a z + 6azb + 2ac + b ) cos ϕ sin ϕ , 2

2

2

(2.28)

2

= −2 ( p 2 − 1) ( 2az + b ) cos ϕ sin ϕ , 2

= 4a ( 2az + b ) ( p 2 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) .

Используя (2.26)-(2.28), по формулам (2.18) получаем следующие выражения для символов Кристоффеля рассматриваемой поверхности: ( p 2 − 1) sin ϕ cos ϕ Γ111 = , 4ap 2 z ( az + b ) + p 2 ( b 2 + 1) − cos 2 ϕ ( p 2 − 1) (2.29) Γ112 = Γ = 1 22

2 Γ11 =

2az + b , az 2 + bz + c

( az

2

−2a ( p 2 − 1) sin ϕ cos ϕ

+ bz + c )  4ap 2 z ( az + b ) + p 2 ( b 2 + 1) − cos 2 ϕ ( p 2 − 1)  − p 2 ( 2az + b ) ( az 2 + bz + c )

4ap 2 z ( az + b ) + p 2 ( b 2 + 1) − cos 2 ϕ ( p 2 − 1)

2 Γ12 = 0,

90

,

,

Γ 222 =

2ap 2 ( 2az + b )

4ap 2 z ( az + b ) + p 2 ( b 2 + 1) − cos 2 ϕ ( p 2 − 1)

−2

.

Кривой намотки в нашем случае является геодезическая линия. Поэтому функции ϕ k ( s ) , zk ( s ) , задающие эту кривую, где s – длина дуги вдоль кривой, удовлетворяют системе дифференциальных уравнений (2.17), принимающей в данном случае вид: 2 − ( p 2 − 1) sin ϕ cos ϕ d 2ϕ k  dϕk  =   − ds 4ap 2 z ( az + b ) + p 2 ( b 2 + 1) − cos 2 ϕ ( p 2 − 1)  ds 

−2

2az + b d ϕk dzk + az 2 + bz + c ds ds

(2.30) 2

 dz  2a ( p 2 − 1) sin ϕ cos ϕ  k   ds  , + ( az 2 + bz + c ) 4ap 2 z ( az + b ) + p 2 ( b2 + 1) − cos2 ϕ ( p 2 − 1) 2 p 2 ( 2az + b ) ( az 2 + bz + c ) d 2 zk  dϕk  =   − ds 4ap 2 z ( az + b ) + p 2 ( b 2 + 1) − cos 2 ϕ ( p 2 − 1)  ds 

−

2ap

2

( 2az + b )

2

 dzk    . 4ap z ( az + b ) + p ( b + 1) − cos ϕ ( p − 1)  ds  2

2

2

2

2

Приведем эту систему уравнений к нормальному виду с dϕ dz помощью двух новых неизвестных функций l = Γ , q = Γ . ds ds Тогда система уравнений (2.30) примет следующий вид: dϕ l= Γ , ds dzΓ , q= ds − ( p 2 − 1) sin ϕ cos ϕ dl = l2 − 2 2 2 2 2 ds 4ap z ( az + b ) + p ( b + 1) − cos ϕ ( p − 1)

91

+

2az + b lq + az 2 + bz + c

2a ( p 2 − 1) sin ϕ cos ϕ q 2

+ bz + c )  4ap 2 z ( az + b ) + p 2 ( b 2 + 1) − cos 2 ϕ ( p 2 − 1)  p 2 ( 2az + b ) ( az 2 + bz + c ) dq = l2 − 2 2 2 2 2 ds 4ap z ( az + b ) + p ( b + 1) − cos ϕ ( p − 1)

−

( az

(2.31)

2

2ap 2 ( 2az + b )

,

q2 .

4ap 2 z ( az + b ) + p 2 ( b 2 + 1) − cos 2 ϕ ( p 2 − 1)

Полученная система уравнений (2.31) решается численно методом Рунге-Кутта. Начальные условия для системы дифференциальных уравнений (2.30) при построении кривой намотки в данном случае принимают вид: ϕk ( 0 ) = ϕk 0 , zk ( 0 ) = zk 0 ,

( p cos ϕ + sin ϕ ) + 1 sin β = , ds ( az + bz + c ) D ( az + bz + c ) D cos β + dz ( 0 ) = ds ( 2az + b ) ( p cos ϕ + sin ϕ ) + 1 + cos ϕ sin ϕ ( p − 1) ( 2az + b ) ( az + bz + c ) sin β ( az + bz + c ) D где D = 4ap z ( az + b ) + p ( b + 1) − cos ϕ ( p − 1) . d ϕk ( 0 )

( 2azk 0 + b )

2

2

2

2

k0

k0

k0

2

k0

k0

2

k0

k

k0

2

k0

2

2

2

k0

k0

k0

2

k0

2

2

k0

k0

k0

k0

k0

2

k0

2

k0

2

k0

k0

2

2

2

k0

При получении геодезических параллелей также решалась система (2.30) для построения перпендикулярных кривой намотки геодезических линий. Начальные условия (2.19) для системы (2.30) в этом случае имеют вид: ϕΓ ( 0 ) = ϕk ( t ) ,

92

zΓ ( 0 ) = z k ( t ) , dx (t ) dy (t )   −  p cos ϕk ( t ) k + sin ϕ k ( t ) k  ( 2azk ( t ) + b ) − d ϕΓ ( 0 ) dt dt  =  2 ds azk ( t ) + bzk ( t ) + c 4ap 2 zk ( t ) ( azk ( t ) + b ) +

(

−

)

dzk (t ) dt

+ p 2 ( b 2 + 1) − cos 2 ϕk ( t ) ( p 2 − 1) dzk ( 0 ) ds

=

− p sin ϕk ( t )

,

dxk ( t ) dt

+ cos ϕ k ( t )

dyk ( t ) dt

4ap zk ( t ) ( azk ( t ) + b ) + p ( b + 1) − cos ϕ k ( t ) ( p 2 − 1) 2

2

2

2

.

Теперь от двумерной (поверхностной) модели перейдем к трехмерной (объемной) модели укладки композиционной ленты на оправку эллиптического параболоида. Уравнение тела намотки зададим в векторно-параметрическом виде (2.21) (рис. 2.6): r r r R (ϕ , z , w ) = r (ϕ , z ) + wm (ϕ , z ) , (2.32) r где r (ϕ , z ) − уравнение поверхности оправки, имеющей форму r эллиптического параболоида, m (ϕ , z ) - единичный вектор нормали в заданной точке к поверхности оправки. В координатной форме уравнение (2.32) запишется в виде r  w cos ϕ R (ϕ , z , w ) = ( az 2 + bz + c ) p cos ϕ + , ( az 2 + bz + c ) sin ϕ + A 

+

wp sin ϕ A

,z −

wp ( 2az + b )  , A 

(2.33)

(

где A = ( p 2 sin 2 ϕ + cos 2 ϕ ) ( 2az + b )

2

(p

2

Рис. 2.6. Тело намотки эллиптического параболоида

)

cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) + 1 .

В соответствии с нашей моделью определим частные производные векторной функции (2.33): r r r ∂R ∂rr ∂m R1 = w = − ( az 2 + bz + c ) p sin ϕ − = + (2.34) ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ

{

93

94

− +

( 2 A sin ϕ + B cos ϕ ) w 2 A3

pw ( 2 A cos ϕ − B sin ϕ ) 3

2 A

r r r  3C 2 − 2 AK ) w  r ( ∂2 R ∂2 r ∂2 m   cos ϕ , R22 = 2 = 2 + 2 w =  2ap +  ∂z ∂z ∂z 4 A5  

, ( az 2 + bz + c ) cos ϕ + +

(

pw ( 2az + b ) B  ,  2 A3

(

)

где B = sin 2ϕ ( p 2 + 1) ( 2az + b ) ( p 2 + 1) cos 2ϕ + 1 . r r r r  wC  ∂R ∂r ∂m R2 = w =  ( 2az + b ) p − = +  cos ϕ , ( ( 2az + b ) − ∂z ∂z ∂z 2 A3   −

2

pw ( ( 2az + b ) C − 4aA )  pwC  + 1 , ϕ sin ,   2 A3  2 A3 

{

4 A5 − ( az 2 + bz + c ) sin ϕ + +

,

w ( 3 pB 2 sin ϕ − 2 pA ( 2 A sin ϕ + 2 B cos ϕ + D sin ϕ ) ) 4 A5

pw ( 2az + b ) ( 2 AD − 3B 2 )  , 4 A5 

(

(

)

− ( p 2 − 1) ( 2az + b ) sin 2 2ϕ . 2

95

+

w ( 2 A ( C sin ϕ − F cos ϕ ) + 3BC cos ϕ ) 4 A5

,

)

)  ,  

, ( 2az + b ) cos ϕ +

pw ( 4aAB + ( 2az + b )( 2 AF − 3BC ) )  , 4 A5 

где F = 4a sin 2ϕ ( p 2 − 1) ( 2az + b ) cos 2ϕ . r r r r ∂ 2 R ∂m  −2 A sin ϕ − B cos ϕ = = , R13 = R31 = ∂ϕ∂w ∂ϕ  2 A3 2

p ( 2 A cos ϕ − B sin ϕ ) p ( 2az + b ) B  , ,  2 A3 2 A3 r r r r pC sin ϕ ∂ 2 R ∂m  C cos ϕ = = − R23 = R32 = ,− , 3 ∂z ∂w ∂z  2 A 2 A3

где D = 2 ( p 2 − 1) cos 2ϕ ( 2az + b ) cos 2ϕ ( p 2 − 1) + 1 − 2

где K = 8a 2 ( p 2 sin 2 ϕ + cos 2 ϕ )( p 2 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) . r r r r r ∂2 R ∂2 r ∂2 m R12 = R21 = = + w = {− ( 2az + b ) p sin ϕ + ∂ϕ∂z ∂ϕ∂z ∂ϕ∂z +

где C = 4a ( 2az + b ) ( p 2 sin 2 ϕ + cos 2 ϕ )( p 2 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) . r r ∂R r  cos ϕ p sin ϕ p ( 2az + b )  R3 = , ,− =m= , ∂w A A  A  r r r r ∂2 R ∂2 r ∂2 m R11 = 2 = 2 + w = − ( az 2 + bz + c ) p cos ϕ + ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 2 w ( 3B 2 cos ϕ − 2 A ( 2 A cos ϕ − 2 B sin ϕ + D cos ϕ ) )

 pw 8aAC + ( 2az + b ) ( 2 AK − 3C 2 ) pw ( 3C 2 − 2 AK )   2a +  sin ϕ , 5   4 4 A5 A  

p ( ( 2az + b ) C − 4aA )  , 2 A3  r r ∂2 R R33 = 2 = {0, 0, 0} . ∂w Вычислив значения для частных производных по формулам (2.34), несложно определить коэффициенты связности Γijk по формулам (2.6). Подставляя полученные значения Γijk в

96

систему уравнений (2.4) и решая ее численно, найдем точки геодезической линии. Начальные условия для системы дифференциальных уравнений (2.4) при построении кривой намотки в данном случае принимают вид: ϕk ( 0 ) = ϕk 0 , y

z k ( 0 ) = zk 0 , wk ( 0 ) = wk 0 , d ϕk ( 0 ) ds dzk ( 0 ) ds dwk ( 0 ) ds

= =

=

2 g 22 g33 sin 2 β k 0 − g 23

σ

,

2 g 22 g33 sin 2 β k 0 − g 23 ( g 23 g13 − g12 g33 ) − g 22 g33σ cos β k 0

σ ( g 232 − g 22 g33 )

2 g 22 g33 sin 2 β k 0 − g 23 ( g 23 g12 − g 22 g13 ) − g 22 g 23σ cos β k 0

σ ( g 232 − g 22 g33 )

r r где gij = Ri , R j − коэффициенты метрического тензора, r r r σ = R1 , R2 , R3 . r Значения gij и σ вычисляются в точке R (ϕk 0 , zk 0 , wk 0 ) . Используя систему дифференциальных уравнений (2.4) с начальными условиями (2.15) можно построить геодезические параллели к кривой намотки. Для данного случая геодезической намотки ленты были рассчитаны параметры процесса в разработанной модели для волокон ленты, соответствующих δ = ±2.5, ±5, ±7.5, ±10. Геодезическая линия первого витка выходили из начальной точки M 0 ( 30, 0, 0 ) , которая получается при ϕk 0 = 0, zk 0 = 0 , под

(

)

,

,

z x ( Mx, Mz, My ) , ( Xp _ , Zp_ , Yp _)

Рис. 2.7. Моделирование укладки ленты первого витка по геодезической линии (β0=30º) на поверхность эллиптического параболоида

углом намотки β k 0 = 30o (рис. 2.7). Следующим шагом является моделирование поверхности оправки по новому каркасу точек после укладки ленты первого витка (рис. 2.8). Далее моделируется укладка ленты второго витка на обновленной

97

98

y

z x

( Mx1, Mz1, My1)

Рис. 2.8. Поверхность оправки после укладки ленты первого витка (β0=30º)

каждого волокна, нити ленты при их многослойной укладке внахлест при строчном или плетеном армировании толстостенных оболочек. Рассматривались схемы армирования с начальными углами намотки β k 0 = 20o , 30o , 45o выпуклых и вогнутых эллиптических параболоидов со следующими параметрами a = −0.002 , b = 0.4 , c = 100 , p = 0.3 (рис. 2.10, а-в) и a = 0.003 , b = −0.5 , c = 100 , p = 0.3 (рис. 2.11, а-в). При геодезической намотке выпуклого эллиптического параболоида под углом 200 диапазоны углов ϕ0, при котором образуются нахлесты при укладке лент, в начальном сечении составили 35.50 ≤ ϕ0 ≤ 900 , 2210 ≤ ϕ0 ≤ 2570 (рис. 2.10, а). При намотке под углом 300 диапазоны углов ϕ0 увеличились на 14.10 и 15.60 соответственно и составили 21.40 ≤ ϕ0 ≤ 900 , 205.40 ≤ ϕ0 ≤ 2570 (рис. 2.10, б). Существенно изменились диапазоны углов ϕ0 при намотке под углом 450, а (рис. 2.10, в). На именно 8.40 ≤ ϕ0 ≤ 52.30 , 1800 ≤ ϕ0 ≤ 2390 первом участке наблюдается уменьшение на 10.60, а на втором, наоборот, увеличение на 230. Геодезическая намотка выпуклого эллиптического параболоида показывает, что композиционные ленты на такой поверхности будут укладываться неравномерно. На участках поверхности с сильным изменением гауссовой кривизны ленты будут укладываться внахлест, т.е. на этих участках будут значительные утолщения оболочки армирования. Там где гауссова кривизна поверхности меняется меньше всего, толщина оболочки будет меньше, так как ленты смежных витков будут укладываться с зазором. Сложнее дело обстоит с геодезической намоткой вогнутого эллиптического параболоида (рис. 2.11, а-в). На такой поверхности ярко выражены участки неравномерного распределения композиционных лент при их укладке по геодезической линии. При геодезической намотке такой

поверхности оправки (рис. 2.9). Такая методика моделирования процесса укладки ленты на поверхность оправки позволяет более точно рассчитывать геометрические характеристики

99

100 y

y

z

x ( Mx1, Mz1, My1) , ( Xp 2_, Zp2_ , Yp 2_)

( MX , MZ , MY) , ( xp, zp , yp )

Рис. 2.9. Моделирование укладки ленты второго витка на поверхность оправки (β0=-30º)

101

а) β 0 = 20o Рис. 2.10. Геодезическая намотка оправки, имеющей форму выпуклого эллиптического параболоида

102

y

y

z

z

x

x

( MX , MZ , MY) , ( xp, zp , yp )

( MX , MZ , MY) , ( xp, zp , yp )

б) β 0 = 30o

103

в) β 0 = 45o

104

y y

z z

x x ( MX , MZ , MY) , ( xp, zp , yp )

а) β 0 = 20o

( MX , MZ , MY) , ( xp, zp , yp )

б) β 0 = 30o

Рис. 2.11. Геодезическая намотка оправки, имеющей форму вогнутого эллиптического параболоида

105

106

y

z

2930 ≤ ϕ0 ≤ 390.60 (рис. 2.11, а). При намотке под углом 300 диапазоны углов ϕ0 уменьшились на 10.70 и 16.40 соответственно и составили 112.90 ≤ ϕ0 ≤ 1800 , 2830 ≤ ϕ0 ≤ 364.20 (рис. 2.11, б). При намотке под углом 450 в диапазонах углов ϕ0 77.10 ≤ ϕ0 ≤ 127.7 0 , 2570 ≤ ϕ0 ≤ 3080 геодезические линии не доходят до конечного сечения z = 200 эллиптического параболоида, после поворота снова выходят на начальное сечение z = 0 (рис. 2.11, в). Геодезическая намотка вогнутого эллиптического параболоида показывает, что зонами нахлеста укладки композиционных лент являются участки с сильным изменением гауссовой кривизны, особенно в узкой части поверхности. Полученная модель укладки по геодезической линии на оправку в форме эллиптического параболоида далее применяется при расчете параметров процесса намотки. Анализ параметров процесса намотки для рассматриваемой поверхности будет приведен в следующей главе. 2.5. Применение модели укладки ленты для оправки лонжерона стабилизатора вертолета

x ( MX , MZ , MY) , ( xp, zp , yp )

в) β 0 = 45o

В этом разделе рассматривается укладка ленты на оправку лонжерона стабилизатора вертолета, который рассматривался в разделе 1.3. Укладка ленты производилась по геодезической линии с заданным начальным углом намотки β k 0 = 20o (рис. 2.12). Геодезическая линия, которой укладывается средняя нить ленты, начиналась в точке М0 c координатами (100,0,0). Ширина ленты принималась равной 20 мм, и строились геодезические параллели на поверхности лонжерона,

поверхности под углом 200 диапазоны углов ϕ0, где образуются нахлесты при укладке композиционных лент на оправку, в 127.7 0 ≤ ϕ0 ≤ 205.50 , начальном сечении составили

107

108

сечении поверхности лонжерона. Расчет параметров процесса намотки ленты на поверхность лонжерона рассмотрен в следующей главе.

M0

Рис. 2.12. Моделирование укладки ленты на оправку лонжерона стабилизатора вертолета. соответствующие δ = ±2.5, ±5, ±7.5, ±10. Геодезическая намотка лонжерона показывает, что композиционные ленты также будут укладываться неравномерно, с нахлестом, так как на данной поверхности имеются участки с резким изменением гауссовой кривизны. Один из таких участков на поверхности лонжерона проиллюстрирован на рисунке 2.13. На данном рисунке хорошо видно, что причиной появления нежелательного нахлеста укладки лент явился участок сопряжения между вертикальной прямой и верхней дужкой лонжерона на начальном поперечном

109

Рис. 2.13. Иллюстрация укладки ленты внахлест на поверхности лонжерона

110

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ПРОЦЕССА НАМОТКИ

Расчет параметров процесса намотки лентами из волокнистых композиционных материалов неразрывно связан с геометрической моделью укладки ленты на поверхность оправки. Для расчета конструкций с поверхностью сложной формы нужны геометрические модели более точно и полно описывающие укладку лент на поверхность оправки. Модель, частности, должна отражать однонаправленную структуру лент, учитывать изменение геометрических характеристик ленты не только по ее средней нити или любой другой ее нити по ширине ленты при укладке на поверхность оправки, но и по толщине получаемой оболочки армирования, что повышает точность расчетов и точность программирования процесса намотки. Этапы проектирования и изготовления конструкции процессом намотки должны быть тесно взаимосвязаны. Именно на стадии расчета параметров процесса намотки в принятой модели укладки ленты из КМ выявляется несоответствие рассчитанных при проектировании характеристик конструкции и характеристик, получаемых при намотке. И даже если при проектировании конструкции были принята “нитевая” модель, то при моделировании процесса намотки возможно использование объемной “ленточной” модели, учитывающей изменения параметров по толщине получаемой оболочки армирования для коррекции и уточнения проектных расчетов. 3.1. Расчет углов намотки

Как известно, угол намотки определяет ориентацию расчета схемы (рисунка) армирования многослойной конструкции. Исходя из прочностных расчетов проектируемой конструкции, определяется схема армирования. Угол намотки является важнейшим параметров процесса намотки, так как от точности расчета угла намотки зависят прочностные характеристики изделия. Под углом намотки нити на произвольной поверхности понимается угол, образованный в данной точке направлением

111

кривой, по которой укладывается нить, и некоторым характерным направлением, соответствующим данной точке поверхности. Различным точкам поверхности оправки в общем случае соответствуют характерные различные направления. Как правило, в качестве характерного направления принимают одно из семейств линий каркаса поверхности. При расчете угла намотки в работах различных авторов [6, 17, 35, 97-99] лента отождествляется со средней нитью, которая укладывается по кривой намотки. Поэтому не делается различия в геометрической форме волокон, нитей ленты по ее ширине, все они имеют одинаковые углы намотки. В общем случае в “нитевой” модели характерное направление в произвольной точке М поверхности задается r r единичным вектором l = l ( M ) . Зная уравнение кривой намотки r r rk = rk ( t ) для любого значения t, можно определить угол намотки β k = β k ( t ) в произвольной точке кривой намотки: r  drk r   dt , l  (3.1) cos β k =  r  . drk dt Такой метод расчета угла намотки не позволяет учитывать изменение геометрической формы волокон, нитей ленты по ее ширине, так как все они имеют одинаковые углы намотки вдоль поперечного сечения ленты. На самом деле, в процессе намотки каждое волокно, нить, укладывается по своей кривой на поверхность оправки, имеет свою форму, свои геометрические характеристики, которые могут сильно отличаться друг от друга в зависимости от ширины ленты, особенно на участках поверхности, где происходит резкое изменение кривизны. Различие у разных волокон, нитей ленты углов намотки может привести к изменению их ориентации и к существенному нарушению рассчитанной схемы армирования, к неприлеганию ленты к поверхности оправки. В отличие от “нитевой” модели, где не моделируется укладка различных волокон, нитей ленты в поперечном сечении

112

ленты, в работах [48, 50, 53] построена модель укладки ленты из однонаправленных волокон, нитей на произвольную поверхность, которая отождествляет каждое волокно, нить ленты с соответствующей геодезической параллелью к кривой намотки и позволяет находить полный диапазон изменения ориентации волокон, нитей ленты в любом ее поперечном сечении. В “ленточной” модели в общем случае характерное направление в произвольной точке М поверхности также r r задается единичным вектором l = l ( M ) . Зная уравнение r r геодезической параллели rп = rп ( t , δ ) для любого значения δ, можно определить угол намотки β п = β n ( t , δ ) в произвольной точке геодезической параллели или, что-то же самое, соответствующей нити ленты:  drr t , δ   n( )  r  (3.2) cos β n ( t , δ ) =  r dt ,l  . dr t , δ ( ) n     dt   Если в качестве характерного направления в точке М r r произвольной поверхности r = r (u , v, wi ) тела намотки принять r r ∂r , одно из семейств линий каркаса поверхности, например r2 = ∂v r то выражение для единичного вектора l можно записать в следующем виде: r rr2 (3.3) l = r . r2 Подставляя выражение (3.3) в (3.2), получим

 drrn (t , δ )  r   r cos β n (t , δ ) =  r dt , r2   drn (t , δ ) r2    dt  

113

Таким образом, отсюда можно судить об изменении угла намотки как вдоль средней нити ленты, так и любой другой ее нити, т.е. по ширине ленты, на поверхности армирования i-го слоя, что позволяет отслеживать в процессе намотки изменение рисунка армирования не только вдоль всей траектории намотки и по ширине ленты для данного слоя, но и по толщине многослойной оболочки, т.е. в целом по изделию. Для приведенных во второй главе моделей укладки ленты для оправок, имеющей форму эллиптического параболоида и лонжерона, были проведены расчеты изменения угла β вдоль каждого волокна, нити ленты (рис. 3.1-3.3). Уравнение для расчета угла β при геодезической намотке эллиптического параболоида принимает вид: dy  dx  dz ( 2az + b )  n p cos ϕn + n sin ϕn  + n dt  dt  dt , βn =  d 2 xn d 2 yn d 2 zn  2 + 2  ( 2az + b ) ( p 2 cos 2 ϕ n + sin 2 ϕ n ) + 1  2 + 2 dt dt dt   где β n = β n ( t , δ ) , xn = xn ( t , δ ) , yn = yn ( t , δ ) , zn = zn ( t , δ ) ,

(

)

ϕ n = ϕ n ( t , δ ) , zn = zn ( t , δ ) . Разброс ориентации волокон, нитей ленты по ее ширине или, что то же самое, диапазон изменения углов намотки геодезических параллелей кривой намотки для данной ширины ленты d = 20 ( −10 ≤ δ ≤ 10 ) при геодезической намотке выпуклого эллиптического параболоида: углы намотки геодезических параллелей отличаются от углов намотки кривой намотки (δ = 0 ) при β k 0 = 20o не более, чем на 2 − 2.2º, при

β k 0 = 30o не более чем 2.1 − 2.4º, и при β k 0 = 45o не более чем 2 − 1.9º (рис. 3.1).

(3.4)

114

β

δ = -10

β

δ = -10

δ = 10 δ = 10

δ = 10

δ = 10

δ = -10

δ = -10 z

a) β k 0 = 20

z

в) β k 0 = 45o

o

β

β

δ = -10

δ = -10

δ = 10

δ = 10 δ = 10

δ = 10 δ = -10 z

δ = -10

б) β k 0 = 30 Рис. 3.1. Изменение угла β при намотке выпуклого эллиптического параболоида o

115

z

a) β k 0 = 20o Рис. 3.2. Изменение угла β при намотке вогнутого эллиптического параболоида

116

β δ = -10

δ = 10 δ = 10

δ = -10 z

б) β k 0 = 30

o

z Рис. 3.3. Изменение угла β при намотке лонжерона стабилизатора вертолета

β

Те же показатели для геодезической намотки вогнутого эллиптического параболоида имеют следующие значения. Для β k 0 = 20o ∆β = β n ( t , δ ) − β k ( t ) , −10 ≤ δ ≤ 10 , составляет не

δ = -10

более, чем 2.6 − 2.7º, 3.2 − 3.7º для случая β k 0 = 30o и 2.1 − 2.6º δ =10

δ =10

δ = -10 z

в) β k 0 = 45

o

117

для β k 0 = 45o (рис. 3.2). В случае геодезической намотки лонжерона стабилизатора вертолета с начальным углом намотки β k 0 = 20o при −10 ≤ δ ≤ 10 ∆β не превышает 1.6 − 2.1º. Из рисунков и графиков (рис. 2.12 и 3.3) видно, что резкие изменения углов намотки геодезических параллелей от угла намотки кривой намотки наблюдаются на участках резкого изменения кривизны поверхности.

118

3.2. Расчет углов геодезического отклонения

Как известно [99, 100], угол геодезического отклонения, характеризует устойчивость укладки или равновесность нити, волокна на поверхности оправки. Так же, как и для угла намотки, в используемых различными авторами [6, 29, 35, 98] расчетах угла геодезического отклонения лента отождествляется со средней нитью, которая укладывается по кривой намотки, и все нити, волокна ленты тем самым имеют в расчетах один и тот же угол геодезического отклонения, такой же, как и средняя нить. В действительности же каждая нить, волокно укладывается в процессе намотки по своей кривой, и углы геодезического отклонения для разных нитей, волокон могут значительно отличаться друг от друга особенно на поверхностях, имеющих сложную форму. При этом не исключена ситуация, когда средняя нить при натяжении ленты находится в равновесии на поверхности оправки, а некоторые другие нити, волокна нет, и эти последние, скользя по поверхности, могут за счет связующего нарушать равновесность всей ленты, включая и среднюю нить. Устранить этот недостаток “нитевой” модели позволяет применение к расчету угла геодезического отклонения модели процесса укладки ленты из КМ, который рассматривался в работах [48, 50, 53]. Условие равновесия нити на поверхности в общем случае имеет вид (рис. 3.4): tgθ ≤ µ , (3.5) где θ − угол геодезического отклонения кривой; µ − коэффициент трения скольжения нити на поверхности. В предлагаемой модели каждая нить ленты укладывается по своей кривой, по соответствующей геодезической параллели кривой намотки. Поэтому угол геодезического отклонения и, следовательно, равновесность нитей меняются по ширине ленты на поверхности каждого слоя оболочки армирования. Зная r уравнение геодезической параллели rn ( t , δ ) , можно определить угол геодезического отклонения каждой нити.

119

5 4 r 6 g

M

r

3

τ

1

θ

2

r m

r n

Рис. 3.4. Равновесие нити на поверхности: 1 – поверхность; 2 – кривая равновесия нити на r поверхности; τ - единичный касательный вектор к кривой; 3 – касательная плоскость к поверхности; r n – единичный вектор главной нормали кривой; 4 – соприкасающаяся плоскость (проходит через вектора ρ ρ r τ и n ); m – нормальный единичный вектор к поверхности; θ - угол геодезического отклонения кривой; 5 – нормальная плоскость к поверхности, проходящая ρ через касательную к кривой; g – единичный вектор, лежащий в касательной плоскости и перпендикулярный нормальной плоскости 5; 6 – кривая нормального сечения поверхности

120

По известной теореме дифференциальной геометрии произведение кривизны кривой на поверхности на косинус угла геодезического отклонения равно отношению значений второй и первой квадратичных форм поверхности на касательном векторе к кривой [101]. Поэтому имеем b du 2 + 2b12 dun dvn + b22 dvn2 1 cos θ n ( t , δ ) = 11 2n ⋅ , (3.6) g11 dun + 2 g12 dun dvn + g 22 dvn2 kn r r  drn d 2 rn  ,  2   dt dt  где kn = kn ( t , δ ) = − кривизна геодезической r 3 drn dt r r r r r r параллели, а b11 = ( r11 , m ) , b12 = ( r12 , m ) , b22 = ( r22 , m ) − коэффициенты второй квадратичной формы поверхности, определение которых записано с помощью нормального единичного вектора к поверхности r r r r r r [ r1 , r2 ] [ r1 , r2 ] r [ r1 , r2 ] m= r r = . = (3.7) σ [ r1 , r2 ] g11 g 22 − g12 2 Тогда 1 tgθ n ( t , δ ) = −1 . (3.8) 2 cos θ n ( t , δ ) Подставляя выражение (3.8) в неравенство (3.5), получим  d d (3.9) tgθ n ( t , δ ) ≤ µ , t ∈ [t0 , tk ] , δ ∈  − ,  .  2 2 Таким образом, неравенство (3.9) позволяет определить как равновесность ленты для выбранной кривой намотки многослойной оболочки, так и возможную ширину ленты, при которой сохраняется равновесность всех ее нитей. Для рассматриваемой геодезической намотки тангенс угла θ геодезического отклонения кривой намотки, являющейся геодезической линией, равен нулю. Поэтому для кривой намотки условие равновесия (3.9) автоматически выполняется. Для равновесности всей ленты это условие должно выполняться

121

для ее каждой нити. На основе данной модели укладки ленты рассмотрим равновесность укладки ленты на оправку, имеющей форму эллиптического параболоида (2.24). Формулы для расчета коэффициентов первой и второй квадратичной формы для этой поверхности принимают вид: g11 = ( az 2 + bz + c ) g12 g 22

( p sin ϕ + cos ϕ ) , = − ( az + bz + c ) ( 2az + b ) ( p − 1) cos ϕ sin ϕ , (3.10) = ( 2az + b ) ( p cos ϕ + sin ϕ ) + 1, − ( az + bz + c ) p = , ( p sin ϕ + cos ϕ ) ( ( 2az + b ) ( p cos ϕ + sin ϕ ) + 1) 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b11

2

2

2

2

2

2

2

b12 = 0, b22 =

(p

2

(

2ap

sin ϕ + cos ϕ ) ( 2az + b ) 2

2

2

(p

2

)

cos ϕ + sin ϕ ) + 1 2

2

.

Подставляя полученные выражения (3.10) в (3.6), затем по формуле (3.8) найдем тангенсы углов θ геодезического отклонения геодезических параллелей. Тем самым определим равновесность укладки ленты на поверхности эллиптического параболоида. Результаты счета выпуклого эллиптического параболоида показывают (рис. 3.5), что почти во всех точках всех геодезических параллелей кривой намотки для всех рассматриваемых случаев геодезической намотки tgθ содержат значения меньше чем 0.3. Таким образом, геодезическая намотка ленты будет удовлетворять условию равновесности. Что касается намотки вогнутого эллиптического параболоида, то при β k 0 = 300 в большинстве точек значения tgθ n ( t , δ ) превосходят 1, а на крайних геодезических параллелях наблюдаются большие выбросы (рис. 3.6, б). Поэтому условие равновесности (3.5) заведомо не будет выполняться, так как коэффициент трения µ < 1 .

122

tgθ ( t , δ )

tgθ ( t , δ )

δ = -10 δ = -10

δ = 10

δ = 10 а) β k 0 = 200 tgθ ( t , δ )

δ = -10

δ = -10

z

δ = 10 δ = 10 а) β k 0 = 200

z

tgθ ( t , δ )

δ = -10 δ = 10 δ = 10 δ = -10 δ = 10 б) β k 0 = 300 tgθ ( t , δ )

δ = -10

z

z б) β k 0 = 30

0

tgθ ( t , δ )

δ = -10

δ = 10

δ = -10

δ = -10

δ = 10 в) β k 0 = 450

δ = -10 δ = 10

z

δ = 10

Рис. 3.5. Изменение угла геодезического отклонения при намотке выпуклого эллиптического параболоида

123

в) β k 0 = 450 Рис. 3.6. Изменение угла геодезического отклонения при намотке вогнутого эллиптического параболоида

124

z z

При намотке лонжерона стабилизатора большинство значений tgθ n ( t , δ ) не превышает 0.06. Таким образом, геодезическая намотка ленты этой поверхности будет удовлетворять условию равновесности. Наблюдаются лишь отдельные незначительные выбросы по ширине ленты в зонах резкого изменения полной кривизны поверхности. tgθ ( t , δ )

волокон, нитей ленты рассчитываются на основе сравнения длин волокон, нитей ленты в свободном состоянии с длинами соответствующих геодезических параллелей в соответствии с предложением о принципиальной укладываемости волокон, нитей ленты по соответствующим геодезическим параллелям. Пусть L – длина ленты из композиционного материала с однонаправленными волокнами в свободном состоянии. Если L ′ - длина кривой, по которой должна укладываться некоторая нить, волокно ленты, в силу того, что каждая нить ленты в свободном состоянии имеет длину L, относительное удлинение, деформация этой нити равна L′ − L ε= . L r r Так как нам задана кривая намотки rk ( t ) = r ( uk ( t ) , vk ( t ) , wk ( t ) ) ,

t 0 ≤ t ≤ t k , то мы можем в нашей модели укладки найти

z Рис. 3.7. Изменение угла геодезического отклонения при намотке лонжерона стабилизатора вертолета 3.3. Расчет деформаций волокон, нитей ленты

Ранее расчеты углов намотки и геодезического отклонения выполнялись в рамках основной геометрической модели укладки ленты из КМ. В этой главе вернемся к обобщенной модели, с изложенными в разделе 2.2 изменениями. При расчете относительных деформаций нитей будем считать, что они должны в принципе укладываться по геодезическим параллелям заданной кривой намотки. Расчет изменений деформаций различных нитей, волокон ленты в ее поперечном сечении рассматривался в работах [48, 50, 53]. В этих работах относительные деформации различных

125

уравнение произвольной геодезической параллели кривой намотки: d d r r rn ( t , δ ) = r ( un ( t , δ ) , vn ( t , δ ) , wn ( t , δ ) ) , t 0 ≤ t ≤ t k , − ≤ δ ≤ . 2 2 Следовательно, можно определить длину этой геодезической параллели tk r L (δ ) = ∫ rn′ ( t , δ ) dt (3.11) t0

(производная здесь берется по переменной t). В частности, для кривой намотки имеем: tk r L ( 0 ) = ∫ rn′ ( t ) dt . (3.12) t0

По предположению, лента длины L должна укладываться своими волокнами вдоль рассматриваемых геодезических параллелей кривой намотки. Согласно построенной модели укладки волокно, нить, находящаяся на расстоянии δ от среднего волокна, нити ленты, должна укладываться по геодезической параллели, соответствующей этому δ, то относительная деформация этого волокна, нити определяется по

126

формуле

ε (δ ) =

L (δ ) − L

,

(3.13)

L где L (δ ) определяется из (3.11). В частности, для кривой намотки при δ = 0 будет L ( 0) − L , (3.14) ε ( 0) = L где L (δ ) определяется из (3.12). В формулах (3.13) и (3.14) представлены глобальные выражения для относительных деформаций всех нитей ленты в ее поперечном сечении. Возможно получение более точной локальной характеристики деформаций нитей ленты. Так как нить, находящаяся на расстоянии δ от среднего нити ленты, r должна укладываться по геодезической параллели rn ( t , δ ) , то найдем относительную деформацию указанной нити в произвольной точке M%( t , δ ) этой геодезической параллели. Для этого рассмотрим участок ленты длины ∆L в свободном состоянии, который должен укладываться на оправку так, что r начало каждой нити на этом участке совпадает с точкой rn ( t , δ ) , r а конец – с точкой rn ( t + ∆t , δ ) для соответствующего значения

δ. Тогда относительное удлинение рассматриваемого отрезка нити, находящейся от средней нити на расстоянии δ, будет равно ∆L ′ (δ ) − ∆L , ε (δ ) = ∆L где длина ∆L (δ ) дуги соответствующей геодезической параллели, на которую должен ложиться указанный отрезок нити, может быть записана в виде: t +∆t r r (3.15) ∆L (δ ) = ∫ rn′ ( t , δ ) dt = rn′ ( t + θδ ∆t , δ ) ∆t , 0 ≤ θδ ≤ 1, t

(последнее равенство получено по теории о среднем [160]). Тогда имеем

127

ε (δ ) =

r rn′(t + θδ ∆t , δ ) ∆t

− 1. (3.16) ∆L В частности, для средней нити ленты при δ = 0 получаем r rk′ (t + θ 0 ∆t ) ∆t − 1. ε ( 0) = (3.17) ∆L Откуда ε ( 0) + 1 ∆t = r , ∆L rk′ ( t + θ 0 ∆t ) и, подставляя это выражение в (3.22), находим r rn′ ( t + θδ ∆t , δ ) ε (δ ) = r (ε ( 0 ) + 1) − 1. rk′ ( t + θ 0 ∆t ) Переходя в последнем равенстве к пределу при ∆t → 0 и используя гладкость рассматриваемых кривых, придем к локальной формуле относительного удлинения, деформации в r данной точке M%( t , δ ) , имеющей радиус-вектор rn ( t , δ ) , соответствующей геодезической параллели: r rn′ ( t , δ ) (3.18) ε (t, δ ) = r (ε ( t , 0 ) + 1) − 1. rk′ ( t ) Локальная формула (3.18) более точно отражает величину деформации нитей, чем глобальная формула (3.13). В выражении (3.18) стоит величина относительной деформации ε ( t , 0 ) средней нити в произвольной ее точке, которую надо знать. Часто, выходят из этого положения, полагая L ( 0) − L ε (t, 0) ≈ ε ( 0) = L для каждого t или задаваясь оценкой сверху величины ε ( t , 0 ) , ее максимально возможным значением. При проектных расчетах оболочек из композиционных материалов, как правило, исходят из величин и направлений тех усилий и напряжений, которые должны создаваться в оболочке и которые она должна выдерживать. Зная уравнения, описывающие напряженнодеформированное состояние оболочки, можно определить

128

напряжения, создаваемые в ленте при ее укладке. Как известно [102, 103], модуль напряжения и деформации подчинены закону Гука: σ = Eε , где Е – модуль упругости материала. Используя зависимость [102, 103] T σ= dh между напряжением σ и натяжением Т волокон, нитей в ленте, можно записать T σ ε= = . E Edh Обычно эту величину деформации и стараются достигнуть на средней нити. Рассматривалась деформация нитей ленты для оправок, имеющих форму эллиптического параболоида и лонжерона стабилизатора вертолета. Формула расчета деформации нитей ленты (3.18) в данном случае принимает вид для любого s и δ ∈ [ −10,10] : r rn′ ( s, δ ) ε ( s, δ ) = r (ε ( s, 0 ) + 1) − 1 . rk′ ( s ) r Здесь rk ( s ) − вектор-функция, задающая геодезическую линию, r s – длина дуги вдоль этой геодезической, rn ( s, δ ) – векторфункция, задающая геодезическую параллель данной геодезической линии, являющейся кривой намотки. При вычислениях мы полагали ε ( s, 0 ) = ε mex при любом s и

ε ( s, δ )

z

a) β k 0 = 200 ε ( s, δ )

z

б) β k 0 = 300 ε ( s, δ )

рассматривали случай значений ε mex = 0.1 . Картина распределения относительных деформаций ε ( s, δ ) волокон ленты при геодезической намотке с углом

в) β k 0 = 450

намотки β k 0 = 200 выпуклого и вогнутого эллиптических параболоидов (рис. 3.7, 3.8) одинакова и практически не отличается от деформации средней нити. При углах β k 0 = 300 и

Рис. 3.7. Изменение относительной деформации нитей ленты при намотке выпуклого эллиптического параболоида

129

130

z

ε ( s, δ )

β k 0 = 450 на “плохих” участках поверхности наблюдаются

z a) β k 0 = 200

ε ( s, δ )

ε ( s, δ )

б) β k 0 = 30 ε ( s, δ )

незначительные отклонения от деформации на средней нити ленты. Эти отличия составляют 0.001, т.е. 2% от ε mex = 0.05 для выпуклого эллиптического параболоида и 0.003, т.е. 6% от ε mex = 0.05 для вогнутого эллиптического параболоида. Такая же картина распределения относительных деформаций наблюдается при геодезической намотке лонжерона стабилизатора вертолета. Максимальная величина отклонения относительной деформации составляет 0.005, т.е. 10% от ε mex = 0.05 (рис. 3.9).

z

z

0

Рис. 3.9. Изменение относительной деформации нитей ленты при намотке лонжерона стабилизатора вертолета 3.4. Прилегание ленты к поверхности оправки

z в) β k 0 = 45

0

Рис. 3.8. Изменение относительной деформации нитей ленты при намотке вогнутого эллиптического параболоида

131

В этом разделе приведены расчеты на основе результатов, полученных в предыдущем разделе, при анализе прилегания ленты к поверхности оправки при намотке. Авторы работ [35, 97] использовали при расчетах “нитевую” модель укладки, в связи с чем вопрос о прилегании ленты к поверхности оправки вообще не возникал, а рассматривалась только принципиальная наматываемость нити на заданную кривую. Неприлегание же ленты может привести к нестабильности процесса намотки, образованию воздушных клиньев между оправкой и полученной оболочкой, отклонению от требуемой формы изделия, к

132

отрицательным явлениям при спрессовке, что значительно уменьшает прочность изделия. В работах [99, 104] рассматривался вопрос наматывания нити на поверхность применительно к задачам текстильной промышленности. Основным параметром здесь является угол охвата ψ поверхности дугой АВ кривой на ней, введенный А.П.Минаковым и численно равный длине дуги сферической индикатрисы касательного вектора к дуге АВ [99]:

ψ=

∫

AB

s R 2 ds r dτ = ∫ 1 + m2 , Rg Rm 0

где s – длина дуги кривой, Rg и Rm – радиусы геодезической и нормальной кривизны кривой [105]. Применительно к деталям, изготавливаемым в авиастроении методом намотки лентами из КМ с однонаправленными волокнами, вопрос о наматываемости исследовался в работах [35, 97]. На практике понятие наматываемости данной кривой на поверхности означает выпуклость этой кривой [97], т.е. кривая наматываема в том случае, если в любой ее точке главная нормаль направлена в тело намотки, что равносильно тому, что нормальная кривизна кривой неположительна: 1 km = ≤ 0, (3.19) Rm т.е. вектор нормальной кривизны, являющийся проекцией главной нормали кривой на нормаль к поверхности, направлен в сторону, противоположную вектору внешней нормали r r r r поверхности m = [ r1 , r2 ] , где r ( u , v ) − функция, задающая поверхность. Упомянутые выше исследования проводились при отождествлении ленты со средней нитью, укладываемой по кривой намотки. В работах [48-50, 53, 54] было изучено прилегание ленты в геометрической модели ее укладки, рассмотренной в предыдущей главе. Принципиальная наматываемость кривой еще не означает, что соответствующая нить ленты ляжет на эту кривую, требуются дополнительные

133

условия прилегания. Кроме того, наматываемость данной кривой намотки, на которую, по предположению, должна укладываться средняя нить ленты, не означает, что геодезические параллели этой кривой, на которые должны укладываться другие нити, также будут наматываемы. Поэтому при исследовании прилегания ленты к поверхности оправки прежде всего необходимо рассматривать наматываемость соответствующих кривых в нашей модели. Используя параметрические задания поверхности r r r r ( u , v, wi ) и кривой намотки rk ( t ) = r ( uk ( t ) , vk ( t ) , wi ) для i-го слоя многослойной оболочки, по предлагаемой модели укладки ленты можно получить уравнения геодезических параллелей r r d d rn ( t , δ ) = r ( un ( t ) , vn ( t ) , wi ) , − ≤ δ ≤ . Тогда наматываемость 2 2 ленты (именно ленты, а не нити или волокна) вдоль заданной кривой намотки означает наматываемость всех геодезических параллелей по ширине ленты. Записывая условие (3.25) наматываемости для геодезических параллелей, получаем km ( t , δ ) ≤ 0, (3.20) d d ≤ δ ≤ , km ( t , δ ) - нормальная кривизна 2 2 соответствующей геодезической параллели. Так как km = k cos θ , где θ - угол геодезического отклонения, образованный главной нормалью кривой и внешней нормалью к поверхности, то, на основании (3.6) для косинуса угла геодезического отклонения, получаем b du 2 + 2b12 dun dvn + b22 dvn2 km ( t , δ ) = 11 2n ≤ 0. (3.21) g11 dun + 2 g12 dun dvn + g 22 dvn2 В силу того, что первая квадратичная форма положительно определена, приходим к следующему критерию наматываемости в “ленточной” модели процесса укладки b11 dun2 + 2b12 dun dvn + b22 dvn2 ≤ 0 (3.22)

где t ∈ [t0 , tk ] , −

134

на касательном векторе в каждой точке геодезической r r параллели rn ( t , δ ) = r ( un ( t ) , vn ( t ) , wi ) этой кривой при  d d t0 ≤ t ≤ t k , δ ∈  − ,  .  2 2 На основе данной модели укладки ленты рассмотрим наматываемость ленты при ее укладке на оправку в форме эллиптического параболоида (2.24). Для этого на основе формулы (3.10) для расчета коэффициентов второй квадратичной формы для этой поверхности, которые имеют вид: − ( az 2 + bz + c ) p , b11 = ( p 2 sin 2 ϕ + cos2 ϕ ) ( 2az + b )2 ( p 2 cos2 ϕ + sin 2 ϕ ) + 1

(

)

km ( s, δ )

z а) β k 0 = 20

0

km ( s, δ )

b12 = 0, b22 =

(p

2

(

2ap

sin 2 ϕ + cos 2 ϕ ) ( 2az + b )

2

(p

2

)

cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) + 1

Тогда подставляя эти выражения в неравенство (3.22), получим условие наматываемости ленты для случая эллиптического параболоида (2.24), а именно: − ( azn2 + bzn + c ) pd ϕ n2 + 2apdzn2 ≤ 0. ( p 2 sin 2 ϕn + cos2 ϕn ) ( 2azn + b )2 ( p 2 cos2 ϕn + sin 2 ϕn ) + 1

(

)

(3.23) При намотке выпуклого эллиптического параболоида и лонжерона стабилизатора вертолета любые кривые на этих поверхностях будут наматываемые. На вогнутом эллиптическом параболоиде не все кривые будут наматываемы, так как на этой поверхности имеются гиперболические точки. Как видно из графика (рис. 3.10) геодезические параллели при β k 0 = 200 не являются наматываемыми, так как в этих точках нормальная кривизна кривой положительна. При намотке с начальным углом β k 0 = 300 все геодезические параллели на участках 0 < z < 50 , при z > 120 нити ленты δ = −10, −7.5, −5, −2.5 не

135

z

.

б) β k 0 = 300

km ( s, δ )

z

в) β k 0 = 450 Рис. 3.10. Наматываемость ленты при геодезической намотке вогнутого эллиптического параболоида

136

будут наматываемы. При β k 0 = 450 все геодезические параллели будут наматываемы. Как отмечали выше, наматываемость кривой даже в “ленточной” модели укладки, когда она означает наматываемость всех соответствующих геодезических параллелелей этой кривой, не гарантирует прилегания ленты к поверхности оправки. Дело в том, что при намотке некоторые волокна, нити ленты могут претерпевать такие деформации, которые приведут их к разрыву, или могут вообще не претерпевать никаких деформаций, из-за чего они не смогут уложиться на соответствующие кривые. Другими словами, если L – длина свободной нити, а L′ − длина кривой, по которой она должна укладываться, то L и L′ могут быть таковы для некоторых нитей, что относительная деформация L′ − L ε= L будет превышать максимально допустимую деформацию εmax или будет L ′ < L . Поэтому для прилегания ленты для всех ее волокон, нитей должно выполняться условие: 0 ≤ ε ≤ ε max . Если теперь воспользоваться результатами предыдущего раздела, где оценивались деформации различных волокон, нитей ленты, где должны укладываться по геодезическим параллелям кривой намотки, то формула (3.13) для деформаций нитей ленты приводит к глобальному условию прилегания ленты: L (δ ) − L ≤ ε max , (3.24) 0 ≤ ε (δ ) = L tk r  d d где L (δ ) = ∫ rn′(t , δ ) dt , δ ∈  − ,  . Локальная же формула  2 2 t0 (3.18) для деформаций приводит соответственно к локальному условию прилегания ленты: r rn′ ( t , δ ) (3.25) 0 ≤ ε (t, δ ) = r (ε ( t , 0 ) + 1) − 1 ≤ ε max , rk′ ( t )

137

 d d где t ∈ [t0 , tk ] , δ ∈  − ,  .  2 2 Прилегание ленты на основе анализа деформации нитей ленты при намотке эллиптического параболоида и лонжерона стабилизатора вертолета рассматривалось в предыдущем разделе.

3.5. Натяжение нитей, волокон ленты

В разделе 3.4 рассматривались условия прилегания композиционной ленты по ее ширине к поверхности оправки произвольной формы. Основным технологическим фактором, регулирующим прилегание ленты к поверхности оправки, является заданное натяжение на раскладчике ленты намоточного станка. Натяжение может быть как постоянным, так и переменным, механическим или программным, в зависимости от сложности формующей поверхности оправки, схемы армирования, возможности намоточного оборудования. Обычно стараются задать некоторое среднее значение натяжения ленты, не превышающее максимально допустимую деформацию армирующего материала. Такой подход (натяжение) не обеспечивает максимально возможное прилегание ленты к поверхности оправки. При разработке управляющей программы важно знать необходимое натяжение ленты на каждом шаге кривой армирования. На основе оценки деформации различных волокон, нитей ленты, которые должны укладываться по геодезическим параллелям кривой намотки, можно вывести зависимость для определения величины натяжения, обеспечивающего плотное прилегание ленты к поверхности оправки. Рассмотрим эту задачу более подробно. Рассмотрим начальный участок укладки ленты из N нитей на поверхности оправки. Пусть все нити ленты этого участка ленты ложатся с некоторым технологическим натяжением Т0 по отрезкам соответствующих геодезических параллелей, которые могут иметь разные длины (рис. 3.11). Так как нам известны r r точки закрепления rп ( t0 , δ ) и точки касания rп ( ti , δ i ) , i = 1..N ,

138

каждой из нитей ленты, то нетрудно вычислить длины этих отрезков по формулам (3.11) и (3.12): ti r L (δ i ) = ∫ rn′ ( t , δ i ) dt ,

Т0 1

t0

при δ = 0

t1

r L ( 0 ) = ∫ rk′ ( t ) dt. t0

Теперь определяем наиболее короткий отрезок из геодезических параллелей на этом участке при δ = δ 0 и

обозначим его L0, где L0 = L (δ 0 ) . Таких отрезков на участке может быть несколько. Главное - выделить один из них. Очевидно, что все нити ленты на отрезках геодезических параллелей длиной L0, откладываемых от точек закрепления r rп ( t0 , δ ) , имеют одинаковые длины, и могут укладываться на поверхность оправки в нерастянутом состоянии. Чтобы принять окончательную форму отрезка геодезической параллели на поверхности оправки нить ленты должна удлиниться на величину L (δ i ) − L0 . Так как отрезки геодезических параллелей на данном участке имеют разные длины, то и удлинения разных нитей ленты будут различны. Может случиться так, что длина отрезка геодезической параллели будет настолько большой, что нить ленты получит недопустимо большое натяжение и порвется. Поэтому, используя величину относительного удлинения нити (3.13), запишем условие прилегания ленты (3.24) L (δ ) − L ≤ ε max , 0 ≤ ε (δ ) = L tk r где L (δ ) = ∫ rn′ ( t , δ ) dt − длина отрезка соответствующей t0

геодезической параллели; L – длина нити в свободном состоянии; εmax – максимально допустимое относительное

139

r rп ( ti , δ i )

r rп ( t0 , δ ) L0

2 3 L0

4 5

Рис. 3.11. Укладка нитей ленты на поверхность оправки: 1- поверхность оправки; 2 – кривая армирования, по которой укладывается средняя нить ленты; 3 – геодезическая параллель кривой армирования, соответствующая параметру δ, по которой укладывается нить ленты, 4 – нить ленты, находящаяся на расстоянии δ от средней нити; 5 – крайняя нить ленты удлинение нитей, которое зависит от материала, из которого изготовлены нити ленты. В нашем случае условие (3.29) для данного участка ленты принимает вид L (δ ) − L0 ≤ ε max (3.26) ε (δ ) = L0 для каждого δ = δ i , i = 1..N . При δ = 0 , получим

140

ε ( 0) =

L ( 0 ) − L0

≤ ε max .

L0 Условие (3.26) позволяет получить глобальную характеристику прилегания данного участка поверхности оправки. Для определения зон неприлегания на данном участке ленты удобнее всего пользоваться локальной характеристикой (3.25) r rn′ ( t , δ ) 0 ≤ ε (t, δ ) = r (ε ( t , 0 ) + 1) − 1 ≤ ε max , rk′ ( t )  d d где t ∈ [t 0 , t k ] , δ ∈  − ,  .  2 2 Возможно, предложить другой способ вычисления, в случае рассматриваемого прилегания нитей ленты относительно удлинения отрезка геодезической параллели, имеющего минимальную длину на данном участке поверхности оправки. Если участок нити ленты длиной ∆L укладывается на оправку r так, что начало каждой нити совпадает с точкой rп ( t , δ ) , а конец r – с точкой rп ( t + ∆t , δ ) при соответствующем значении δ, то относительное удлинение этого участка нити имеет вид ∆L (δ ) − ∆L (3.27) ε (δ ) = , ∆L t +∆t r r ∆L (δ ) = ∫ rn′ ( t , δ i ) dt = rп′ ( t + θδ ∆t , δ ) ∆t . Последнее Здесь t

выражение получено на основании теоремы о среднем, где 0 ≤ θδ ≤ 1 . Тогда, подставляя последнее выражение в (3.27), получим r rп′ ( t + θδ ∆t , δ ) ∆t ε (δ ) = −1. (3.28) ∆L В частности, для нити при δ = δ 0 будем иметь r ∆L (δ 0 ) − ∆L rп′ t + θδ0 ∆t , δ 0 ∆t = − 1. (3.29) ε (δ 0 ) = ∆L ∆L

(

141

)

Из выражения (3.29) найдем ε (δ 0 ) + 1 ∆t . = r ∆L rп′ t + θδ ∆t , δ 0

(

0

)

(3.30)

Подставляя выражение (3.30) в (3.28), получаем r rn′ ( t + θδ ∆t , δ ) ε (δ ) = r (ε (δ 0 ) + 1) − 1. rn′t + θδ 0 ∆t , δ 0 ( ) Перейдя к пределу при ∆t → 0 в последнем равенстве, r найдем относительное удлинение в данной точке rп ( t , δ ) : r rn′ ( t , δ i ) (3.31) ε (t, δ ) = r (ε ( t , δ 0 ) + 1) − 1. rп′ ( t , δ 0 ) Причем при δ = 0 r rk′ ( t ) ε (t, 0) = r (ε ( t , δ 0 ) + 1) − 1. rп′ ( t , δ 0 ) Поскольку нить ленты при δ = δ 0 укладывается по соответствующей геодезической параллели, то, как и выше, должно выполняться условие ε ( t , δ 0 ) ≤ ε max , иначе эта нить порвется. Следовательно, если мы желаем, чтобы лента на данном участке прилегала к поверхности оправки и принимала ее форму, то нужно требовать выполнения такого же, как и (3.25), условия ε ( t , δ ) ≤ ε max для каждого t, t0 ≤ t ≤ ti , и каждого δ, δ = δ i , i = 1..N . Для этого необходимо определить натяжение в каждой нити ленты. Из уравнений, описывающих напряженнодеформированное состояние оболочки, могут быть определены напряжения, которые должны создаваться в ленте при ее укладке. Так как напряжения и деформации подчинены закону Гука, то можно записать выражение σ = Eε , (3.32) где Е – коэффициент упругости материала.

142

Известно, что напряжение σ и сила натяжения Т нити ленты связаны выражением T σ= , (3.33) S где S – площадь поперечного сечения нити ленты. Соединяя выражения (3.32) и (3.33), получим σ T . ε= = E ES Отсюда, следует (3.34) T = ES ε . Подставляя выражение (3.26) в (3.34), получим  L (δ ) − L0  (3.35) T (δ ) = ES   . L0   После натяжения арматуры ленты усилием Т площадь поперечного сечения нити ленты S0 уменьшится до величины S. Эту величину можно определить с помощью известного выражения S − S0 ∆S L µ=− =− , (3.36) S ∆L S0 ε где µ − коэффициент Пуассона материала; S0 – площадь поперечного сечения нити ленты в нерастянутом состоянии. Из выражения (3.36), учитывая (3.26) получим   L (δ ) − L0   S (δ ) = (1 − µε (δ ) ) S0 =  1 − µ  (3.37)   S0 .  L0    Подставим полученное выражение (3.37) в (3.35). Тогда уравнение (3.35) принимает вид   L (δ ) − L0    L (δ ) − L0  T (δ ) = E 1 − µ  (3.38)   S0   .  L L 0 0      По формуле (3.38) подсчитаем усилия натяжения в каждой нити ленты на данном участке поверхности оправки.

143

  L (δ i ) − L0    L (δ i ) − L0 T (δ i ) = E 1 − µ    S0   L0 L0     Найдем суммарное натяжение нитей

Ti = T (δ i )

N

  .  ленты,

если

N

∑ T = ∑ T (δ ) . i =1

i

i =1

i

Ленту, как правило, наматывают на поверхность оправки с некоторых технологическим натяжением T0 = ( 0.3,.., 0.5 ) Tp (Тр − разрывная нагрузка исходной арматуры ленты). Среднее натяжение нити ленты будет T Tcp = 0 . N Обычно эту величину натяжения и стараются достигнуть на средней нити. Так как нити ленты по ширине имеют разные длины, то они будут иметь различные усилия натяжения и при одинаковом значении L0 могут быть случаи, когда N

∑T i =1

i

< T0 ,

N

∑T i =1

i

= T0 и

N

∑T i =1

i

> T0 .

r Очевидно, что в точках rп ( ti , δ i ) касания нитей ленты с поверхностью оправки суммарное натяжение нитей ленты должна равняться технологическому натяжению, установленному на раскладчике ленты станка. Поэтому нужно N

∑T

= T0

в точках касания нитей ленты с поверхностью оправки. Приравниваем суммарное натяжение ленты технологическое натяжение при Li = L (δ i )

и

найти такое L0, при котором выполнялось бы условие

i

i =1

   Li − L0    S0   = T0 . i =1    L0   Решая уравнение (3.39) относительно L0, получим N



 Li − L0  L0

∑ E 1 − µ 

144

(3.39)

  N 2 2 2 L ES 2 µ + 1 ± )   ∑ Li  E S0 ( 4µ 2 + 4µ + 1) − ∑ 0 ( i i =1   i =1  L1,2 0 = 2 ( NS0 E µ + NS0 E + T0 ) N

1

N

−4∑ ( Li ) i =1

2

2 S0 E µ ( S0 E µ N + S0 EN + T0 )   .

шаг вперед, повторяем алгоритм, описанный выше. В качестве начальных точек отрезков геодезических параллелей, по которым укладываются нити ленты, принимаем точки касания нитей ленты предыдущего участка, а натяжение принимаем T0 + ∆T0 (рис. 3.12).

Величину L0 определяем из первого решения квадратного уравнения, а именно N   N 2 2 2 L ES (2 µ + 1) +   ∑ Li  E S0 ( 4µ 2 + 4µ + 1) − ∑ 0 i   i =1  i =1  L0 = 2 ( NS0 E µ + NS0 E + T0 ) 1 2

 2 −4∑ ( Li ) S0 E µ ( S0 E µ N + S0 EN + T0 )  i =1  . N

Для того чтобы уравнение (3.39) имело решение, необходимо выполнение условия 2

N  N  2 2 L 2 µ 1 4 + − ( ) ( Li ) µ (1 + µ ) ( N + 1) ∑ ∑ i   1 i =0 i =0  T0 ≤ S0 E  . N 2 4 µ ∑ ( Li )

r rп ( ti + ∆ti , δ i ) 1

T0 + ∆T0

r rп ( ti , δ i )

4

5

2

3 5

i =0

Находим величину ∆Li = Li − L0 для всех нитей ленты на данном участке. Если для некоторого множества целых чисел J имеет место неравенство ∆Li ≤ 0 , j = 1,.., J , то это означает, что нити с номером из этого множества свободны (образуются “гофры”). В этом случае, возвращаясь назад, увеличиваем технологическое натяжение T0 + ∆T0 до тех пор, пока для всех номеров множества J не будет выполнено неравенство ∆L j > 0 , соблюдая условие Ti < Tp . При этом изменятся усилия натяжения в каждой

Рис. 3.12. К расчету натяжения ленты из КМ: 1- поверхность оправки; 2 – кривая армирования, по которой укладывается средняя нить ленты; 3 – геодезическая параллель кривой армирования, соответствующая параметру δ, по которой укладывается нить ленты, 4 – нить ленты, находящаяся на расстоянии δ от средней нити; 5 – крайняя нить ленты

нити ленты, но их сумма будет равна T0 + ∆T0 . Далее делаем

145

146

Таким образом, полученный алгоритм позволяет не только оценить прилегание нитей ленты по их допускаемым отклонениям на поверхности оправки, определить зоны неприлегания ленты, но и выбрать оптимальные величины для устранения этих зон в процессе намотки с помощью такого важного технологического параметра, как натяжение ленты, и регламентировать его соответствующими допусками, которые гарантировали бы стабильность плотного прилегания волокон, нитей лент в готовых изделиях из композиционных материалов с однонаправленными волокнами в заданных пределах. Для реализации этого алгоритма требуется знание точек касания нитей ленты с поверхностью оправки на каждом шаге намотки. Чтобы определить эти точки, нужно знать реальное положение ленты на участке между раскладчиком ленты намоточного станка и оправкой на каждом шаге процесса намотки. Решение этой задачи рассмотрено в следующей главе.

147

ГЛАВА 4 АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ НАМОТКИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕХНИЧЕСКОГО ЗРЕНИЯ

Последним этапом моделирования процесса намотки является разработка управляющей программы для намоточного станка с ЧПУ, которая основывается на полученной информации из предыдущих этапов проектирования конструкции. Чем точнее при проектировании проведены расчеты геометрической формы многослойной конструкции, схемы армирования, исходя из требуемых ее прочностных, аэродинамических и других характеристик, смоделированы поверхность технологической оправки, кривые армирования на ней, рассчитаны параметры процесса намотки в принятой модели укладки ленты из КМ, тем точнее будет разработана управляющая программа для намоточного оборудования и выше качество изготовления конструкции. Однако полученную информацию с предыдущих этапов проектирования не всегда удается точно и полностью использовать в управляющих программах из-за ряда причин. На точность реализации процесса намотки существенное влияние оказывают ограниченные возможности движения исполнительных органов станка, возможности его микропроцессора и возможность подключения к нему ЭВМ с большими памятью и быстродействием. Ограничения в памяти микропроцессора не позволяют хранить и использовать в управляющих программах приемлемую математическую модель поверхности оправки, не говоря уже о многослойной конструкции в целом. Так, например, поверхность лопасти постоянного профиля зачастую моделируется поверхностью кругового цилиндра в управляющих программах [106]. По тем же причинам не удается использовать в программах точную, полную информацию о кривых намотки. Практически все программы построены на расчете одного витка намотки и его последующего повторения, может быть, с некоторыми видоизменениями по определенному правилу [35, 36, 97, 107]. Такой способ построения программ часто становится недопустимым для поверхностей, не являющихся

148

поверхностями вращения, имеющих сложную криволинейную форму, так как приводит к намотке неконгруэнтных витков, значительным отклонениям от расчетной траектории намотки, недопустимым отклонениям в ориентации волокон ленты, к зазорам или большим нахлестам, к потере равновесности. С другой стороны, есть ряд факторов, влияющих на точность реализации процесса намотки, которые не связаны напрямую с моделированием этого процесса и возможностями микропроцессора намоточного станка. Например, какой бы точной ни была модель поверхности и кривых намотки на ней, реальная поверхность оправки отличается от компьютерной модели поверхности, создаваемой ЭВМ. Это отличие возникает из-за искажения формы оправки, как при его изготовлении, так и при укладке ленты на ее поверхность. Схема намотки искажается за счет неточной установки исходного положения исполнительных органов намоточного оборудования, самой оправки, либо за счет того, что реальная точка закрепления ленты на оправке не соответствует расчетной. Искажение схемы намотки также происходит из-за отклонения реальной траектории исполнительных механизмов и скорости их движения от теоретических, что обусловлено как неточностью работы оборудования, так и способом интерполирования управляющих программ. Например, в идеале ось ролика раскладчика, с которого сходит лента, должна быть перпендикулярна касательной к кривой намотки, по которой (касательной) должна идти средняя нить ленты от ролика до касания с поверхностью оправки, и перпендикулярна к нормали поверхности в точке касания средней нити. Эти вопросы погрешностей реализации процесса намотки специально рассматривались в работах [9, 11, 44]. 4.1. Формирование управляющей программы для намоточного оборудования

С появлением станков с ЧПУ стали разрабатываться автоматизированные системы подготовки управляющих программ для намотки и стали появляться целые

149

автоматизированные комплексы, обслуживающие этот процесс [83-85]. С появлением возможности подключения к станкам ЭВМ с большими памятью и быстродействием вопросы автоматизации подготовки управляющих программ поднялись на качественно новый уровень [85, 108, 109]. Появились возможности оперативного корректирования управляющих программ для движения исполнительных механизмов станка [45, 46], а также возможности вести вычислительные процедуры параллельно с работой исполнительных органов станка в реальном масштабе времени [110]. Современные автоматизированные системы подготовки числового программного управления оборудованием для изготовления изделий из волокнистых полимерных композиционных материалов методом намотки (например, класса PCNC) реализуются на базе персональных компьютеров, оснащенных диалоговыми мониторами и имеющих достаточно большую память и мультипроцессорную структуру. Использование таких систем приводит к постановке и решению проблем, связанных с разработкой управляющих программ достаточно высокого уровня. Общую задачу управления движением раскладчика можно описать векторным дифференциальным уравнением [109] r r r r r dX = F X , U , c + p, (4.1) dt r r X ( t0 ) = X 0 , r r где X = X ( t ) − n-мерный вектор состояния исполнительных r r органов в момент времени t; U = U ( t ) − m-мерный вектор ρ r управления; c – к-мерный вектор параметров системы; p – n-

(

)

ρ

мерный вектор возмущений; X 0 – вектор начального состояния. Функция F имеет некоторую область определения переменных r r r X , U , c , которая находится из силовых и конструктивных ограничений. Из области определения вытекает область допустимых движений раскладчика r r r r r r X = X t , t0 , X 0 , U , c , p . (4.2)

(

)

150

среди

В соответствии с принципом программного управления допустимых движений (4.2) выделяется класс

ρ

программных движений X k , ведущих к достижению заданной r r цели при p = 0 . Для нахождения программного управления по

ρ

заданному классу X k выполняется подстановка в (4.1) величин r r r r r r dX dX k p = 0, X = X k , , = dt dt и программное управление осуществляется по закону r r r  r dX k r  , c  . U k = U  X k , dt   Но так может происходить только в идеальном случае,

ρ ρ когда известно точное значение вектора c , вектор X k (t 0 )

r r r совпадает с X 0 и, конечно, p = 0 . В действительности же эти условия не выполняются, так как априорная информация о ρ параметре c неточна, имеет какие-то погрешности, r недостижимо полное отсутствие возмущений p и всегда r r X 0 − X k ( t0 ) . Поэтому имеются начальные возмущения программное управление сочетается с управлением, построенным по принципу обратной связи: r r r  r dX k r  U = U  X , , c  , dt  

ρ

качестве оси Oz взять ось вращения оправки и ввести стандартным образом цилиндрические координаты ρ, ϕ, z, то X = P cos Φ , Y = P sin Φ , Z = Z , где Р – полярный радиус точки схода, Φ - полярный угол точки схода, и x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ , z = z , где ρ - полярный радиус точки касания, ϕ - полярный угол точки касания. Исходя из того, что точка схода ленты лежит на касательной к кривой намотки, можно получить [109] основное уравнение намотки: P=

ρ2 ρ cos(Φ − ϕ ) − ρ ′ sin(Φ − ϕ )

.

Решая это уравнение, решается задача кинематики нахождения координат исполнительных органов намоточного станка и получается соответствующая управляющая программа. Существуют два способа [111] организации управляющих программ: цикловой и инструментальный. При цикловом способе управляющая программа собирается из стандартных технологических циклов (витков), которые разрабатываются заранее в параметрической форме и нуждаются только в задании числовых значений параметров и последовательности их выполнения. Этот способ лежит в основе большинства современных систем подготовки управляющих программ процесса намотки. Однако такой способ зачастую непригоден, как только приходится сталкиваться с оправками, поверхности которых имеют сложную криволинейную форму.

обеспечивающим стабилизацию программных движений X k . Так как в “ниточных” моделях укладки ленты, где лента отождествляется с нитью, которая должна укладываться по кривой намотки, или в “ленточных” моделях, где средняя нить ленты укладывается по кривой намотки, раскладчик должен все время находиться на касательной к кривой намотки, то движение раскладчика описывается координатами X, Y, Z точки схода с него ленты и определяются известными координатами x , y , z точки касания ленты на кривой намотки в некоторой фиксированной системе декартовых координат x, y, z. Если в

Поэтому более актуальным и значительно повышающим точность становится инструментальный способ организации управляющих программ, характеризующийся интегральным подходом к созданию программы. При этом способе сначала определяется геометрия и моделируется поверхность изготавливаемой многослойной оболочки, а затем формируется управляющая программа на все изделие. При таком подходе приходится обрабатывать значительно большее количество информации и решение кинематической

151

152

задачи

связано

со

значительными трудностями из-за нелинейности уравнений движения раскладчика намоточного станка. 4.2. Разработка метода адаптивного управления процессом намотки с применением технического зрения

Одним из важных этапов технологии изготовления изделий из волокнистых композиционных материалов методом намотки является подготовка и отладка управляющей программы (УП) для намоточного станка с ЧПУ. Именно на этом этапе выявляются все погрешности и неточности расчетов, допущенные на предыдущих этапах. При этом необходимо учитывать технологические факторы, влияющие на процесс армирования оболочки, такие, как: несовершенство формы оправки при ее изготовлении, неточности позиционирования рабочих органов намоточного станка и др. От учета этих факторов в конечном итоге зависят качественные характеристики изделия. Наиболее трудной проблемой этого этапа является определение реальных геометрических и механических характеристик изделия в процессе изготовления. Для этого нужно знать реальную траекторию укладки композиционной ленты вдоль заданной кривой намотки на технологической поверхности оправки. Знание реальной траектории укладки ленты дает возможность более точно выявить погрешности процесса армирования оболочки и своевременно вносить коррективы в УП намоточного станка. При моделировании процесса укладки ленты предполагают, что все волокна, нити ленты натянуты под действием технологического натяжения и лента на участке между оправкой и раскладчиком ленты представляет собой некоторую линейчатую поверхность. Под действием этого натяжения лента, по крайней мере, ее средняя нить, должна быть постоянно натянута в процессе намотки, чтобы нити, волокна ленты плотно прилегали к поверхности армирования. Строго говоря, намоточное натяжение ленты колеблется при движении

153

лентораскладчика. При исследовании напряженного состояния тела намотки предполагают, что в пределах одного слоя намоточное натяжение ленты неизменно. В действительности в процессе наматывания всегда присутствуют факторы, в основном динамического характера, придающие натяжению ленты переменный характер. Это эксцентриситет оправки, биение шпинделя, на котором крепится оправка, возвратнопоступательное движение лентораскладчика. Если первые два из перечисленных факторов возникают в известной мере вследствие технологических или конструктивных дефектов отдельных элементов приемно-намоточных механизмов и могут быть ликвидированы при более тщательном их изготовлении, то третий фактор является принципиально неустранимым, неизбежно сопутствующим процессу намотки. Задача заключается в том, чтобы правильно оценить степень влияния этого фактора на процесс укладки ленты и указать пути снижения его вредного воздействия. Для этого надо знать реальную траекторию укладки ленты на поверхность оправки. Предлагаемый метод решения задачи учитывает обусловленное возвратно-поступательным движением лентораскладчика изменение длины ленты, ее положения в зоне наматывания, а также реальную точку касания средней нити ленты к поверхности оправки. 4.2.1. Определение реальной траектории укладки композиционной ленты на поверхность оправки

В процессе намотки композиционная лента, состоящая из однонаправленных волокон, нитей, укладывается на поверхность оправки с некоторым намоточным натяжением, создаваемым на лентораскладчике станка. Предположим, что в определенный момент времени каждая нить натянутой ленты в зоне пространства между оправкой и лентораскладчиком представляет собой прямую, соединяющую последнюю точку касания нити ленты с поверхности оправки с точкой схода нити ленты с лентораскладчика станка. Поскольку нити ленты в этой зоне пространства образуют непрерывное семейство прямых, поверхность ленты на этом участке будет линейчатой. В

154

дальнейшем мы будем рассматривать среднюю нить ленты. Наша задача заключается в том, чтобы определить реальную точку касания прямой (средней нити ленты) с поверхностью оправки с целью выявления отклонения укладываемой ленты от расчетной траектории намотки. Для решения этой задачи нами предлагается использовать систему технического зрения. Суть предлагаемого метода заключается в следующем. На рисунке 4.1 схематично представлен процесс намотки композиционной ленты с однонаправленными волокнами на поверхность оправки. Для определения формы и положения ленты в объемном трехмерном пространстве мы используем две одинаковые видеокамеры. Видеокамеры, находящиеся в разных точках, будут регистрировать одну и ту же сцену. Пара изображений, получаемых при этом, называется стереопарой. Видеокамеры располагаем так, что их оптические оси не параллельны, и направление смещения оптического центра одной видеокамеры относительно оптического центра другой произвольно (рис. 4.1). Введем общую правую декартовую систему координат x, y, z для всей системы намотки. Для определенности потребуем, чтобы ось Oz совпадала с осью вращения оправки. Пусть в этой системе координат задана поверхность оправки. Уравнение поверхности оправки имеет вид r r r = r ( u , v ) = { x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v )} , где u и v – криволинейные параметры, изменяющиеся в некоторой области Ω. Кривая намотки нам также известна и описывается уравнением r r rk ( t ) = r ( uk ( t ) , vk ( t ) ) =

{x (u

k

( t ) , vk ( t ) ) , y ( uk ( t ) , vk ( t ) ) , z ( uk ( t ) , vk ( t ) )} .

Рис. 4.1. Процесс намотки композиционной ленты с применением системы технического зрения: 1 – поверхность оправки, 2 – кривая намотки, 3 – средняя нить ленты, 4 – крайняя нить ленты, 5 – раскладчик ленты, К – точка касания средней нити ленты с поверхностью оправки, 6 – плоскость изображения первой видеокамеры, 7 – плоскость изображения второй видеокамеры, S1 – оптический центр первой видеокамеры, S2 – оптический центр второй видеокамеры

Если в процессе намотки производить видеосъемку ленты, то на плоскости изображения каждой видеокамеры получим отображение ленты. Математический аппарат формирования изображения описан в [112]. Мы получим плоское изображение ленты в естественных координатах (в пикселях) на плоскости изображения видеокамеры. Нетрудно выделить на изображении

ленты ее среднюю нить, представляющую собой прямую. Как известно, каждая прямая в объемном трехмерном пространстве может быть определена пересечением двух плоскостей. Каждую плоскость можно задать тремя точками, не лежащими на одной прямой. В нашем случае для задания первой

155

156

плоскости могут служить точки M1, Р1, S1, а для второй плоскости − M2, Р2, и S2. Если знать координаты этих точек в предметной системе координат, то сможем определить положение прямой в трехмерном пространстве. Метод определения указанных точек описан в следующем разделе. Далее определяем параметры прямой, задающей положение в пространстве средней нити ленты по двум заданным ее проекциям. Как видно из рисунка 4.1, точки M1, Р1, и S1 задают плоскость. Уравнение этой плоскости можно записать в виде r r N1 , r + D1 = 0 , (4.3) r T где N1 = ( N1x , N1 y , N1z ) - вектор нормали к плоскости.

(

)

Компоненты этого вектора равны:  y M1 z M1 1    N1x =  yP1 z P1 1 , N1 y =    yS1 zS1 1

 z M1   z P1   zS1

 xM 1  xM1 yM1 1    N1z =  xP1 yP1 1 , D1 = −  xP1     xS1  xS1 yS1 1 Точки M1, Р1, и S1 задают вторую этой плоскости имеет вид r r N 2 , r + D2 = 0 , r T где N 2 = ( N 2 x , N 2 y , N 2 z ) ,

(

N2 x

 yM 2  =  yP2   yS2

zM 2 z P2 z S2

xM1 xP1 xS1

1  1 ,  1

z M1   yP1 z P1  .  yS1 zS1  плоскость. Уравнение yM1

)

 zM 2 1   1 , N 2 y =  z P2   1  zS2

157

(4.4)

xM 2 xP2 xS2

1  1 ,  1

 xM 2 yM 2 1  xM 2 yM 2 zM 2      N 2 z =  xP2 yP2 1 , D2 = −  xP2 yP2 z P2  .      xS2 yS2 1  xS2 yS2 zS2  Два независимых уравнения r r N1 , r + D1 = 0, r r N 2 , r + D2 = 0, r r при условии  N1 , N 2  ≠ 0 определяют искомую прямую как пересечение двух плоскостей. Уравнение полученной прямой удобно представить в параметрической форме r r r rp ( t ) = r0 + lt , (4.5) r r r где l =  N1 , N 2  − направляющий вектор прямой. Компоненты r вектора в точке r0 можно определить из решения системы уравнений r  N1 , rr + D1 = 0,  r r  (4.6)  N 2 , r + D2 = 0, r r r l r − rS1 = 0. Остается определить точку касания пространственной прямой с поверхностью оправки. Решение этой задачи несколько усложняется тем, что нужно учитывать три возможных случая: пересечения, касания и прохождения прямой вблизи поверхности (рис. 4.2). Очевидно предположить, что точка касания прямой должна принадлежать касательной плоскости к поверхности оправки, причем параллельной заданной прямой. Для этого запишем уравнение нормали к поверхности оправки r r r rn ( t ) = r1 + Nt , (4.7) r r r [ ru′, rv′] где N = r r − вектор нормали к поверхности. [ ru′, rv′]

( (

( (

(

) )

) )

)

158

Из произвольной точки прямой

r r r = rp ( t1 )

проведем

прямую линию в направлении нормального вектора к поверхности оправки. Очевидно, что из этой точки мы можем провести только одну прямую, так как в каждой точке поверхности нормаль будет единственной. Следовательно, можно получить некоторую линейчатую поверхность (рис. 4.2). Запишем уравнение этой поверхности r r r rl ( t1 , t2 ) = rp ( t1 ) + Nt2 . r Таким образом, мы имеем две поверхности r ( u , v ) и r rl ( t1 , t2 ) . Кривая пересечения этих поверхностей описывается уравнением r r r ( u , v ) − rl ( t1 , t2 ) = 0. Этому векторному уравнению соответствуют три скалярных уравнения с четырьмя неизвестными. В каждом случае число неизвестных на единицу больше, чем число уравнений, поскольку точки кривой имеют в общем случае одну степень свободы. При решении этих уравнений можно получить последовательность точек, налагая на каждом шаге некоторое

б

в Рис. 4.2. Определение точки касания прямой к поверхности оправки: a) касание прямой с поверхностью; б) прямая не касается с поверхностью; в) прямая пересекает поверхность

а

159

160

дополнительное ограничение. Этим ограничением в нашей задаче будет условие параллельности касательной плоскости к поверхности оправки заданной прямой. Это ограничение можно выразить уравнением r r l,N =0.

(

)

Следовательно, нужно решить задачу на пересечение трех поверхностей: поверхности оправки, линейчатой поверхности и касательной плоскости к поверхности оправки, параллельной заданной прямой (рис. 4.3). Следовательно, наша задача сводится к решению системы уравнений r r  r ( u, v ) − rl ( t1 , t2 ) = 0,  r r  l , N = 0. Решая эту систему уравнений, мы можем определить искомую точку касания прямой с поверхностью оправки. По данному алгоритму можно определить точку касания на поверхности оправки не только для средней нити ленты, но и любой другой ее нити. Тогда композиционная лента с однонаправленными волокнами в пространстве будет

(

)

б

в Рис. 4.3. К определению приближенной точки касания прямой к поверхности оправки: 1 – поверхность оправки; 2 – касательная плоскость к поверхности оправки а

161

162

представлена двумя проекциями некоторой линейчатой поверхности. Решая последовательность задач на вычисление точки касания каждой образующей линейчатой поверхности с поверхностью оправки, можно определить кривую касания этих поверхностей. Таким образом, зная реальную траекторию укладки, как вдоль заданной кривой армирования, так и по ширине ленты на поверхности оправки, можно более точно определить геометрические и механические характеристики оболочки армирования в процессе намотки. Это дает возможность не только контролировать технологический процесс армирования оболочки, но и управлять этим процессом для получения требуемых характеристик изделия. 4.2.2. Калибровка видеокамеры

В разделе 4.1 были получены уравнения для определения положения средней нити ленты в процессе намотки с использованием двух видеокамер. Причем средняя нить ленты, которая отождествляется прямой в трехмерном пространстве, определялась как линия пересечения двух плоскостей. В соответствии с уравнениями (4.3) и (4.4) использование этих уравнений требует знания координат оптического центра, точек проекции прямой на плоскости изображения для каждой видеокамеры в объектной системе координат. Для этого надо знать внутренние и внешние параметры видеокамеры, такие, как фокусное расстояние, смещения видеокамеры, углы поворота и наклона. Эти параметры могут быть измерены непосредственно, но дело в том, что технически довольно сложно выполнить точные измерения положения видеокамеры и особенно ее ориентации относительно произвольной системы координат. Чаще всего для определения одного или нескольких из указанных параметров используют саму видеокамеру в качестве измерительного прибора. Это требует наличия ряда точек изображения с известными декартовыми координатами. Процесс вычисления параметров видеокамеры, использующий эти известные точки, часто называют калибровкой видеокамеры.

163

В настоящее время существуют различные методы и способы калибровки камеры. Решение данной задачи рассматривался во многих работах, которые условно можно разделить на две группы. К первой группе можно отнести работы [113, 114], в которых в качестве калибровочного объекта предлагается использовать круг, расположенный в плоскости, параллельной плоскости изображения камеры. На основе подобия калибровочной окружности и ее изображения определяются параметры калибровки. Также существуют методики, в которых для калибровки камеры используется сферический объект. При работе со сферой должно выполняться условие – оптическая ось должна проходить через центр данной сферы. Методы, отнесенные к этой группе, позволяют определить минимальное число параметров калибровки, так как не предполагают полной связи между изображениями и параметрами калибровки камеры. Ко второй группе работ можно отнести работы [112, 115, 116]. В этих работах в качестве исходной информации для калибровки камеры используют координаты точек калибровочного объекта в предметном пространстве и координаты образов этих точек в системе координат плоскости изображения камеры. В работах [112, 116] расчет параметров калибровки камеры предлагается производить путем решения системы линейных уравнений. Коэффициенты системы уравнений выводятся исходя из преобразований перехода от предметной системы координат к системе координат изображения. Определение этих коэффициентов позволяет вычислить необходимые параметры калибровки. Данная методика достаточно проста в реализации, но в то же время она ненадежна, так как зачастую результаты калибровки, рассчитанные на ее основе, могут иметь ошибочные значения. Это связано с тем, что практически во всех формулах расчета этих коэффициентов задействованы тригонометрические функции, которые, как известно, имеют периодичность. Поэтому при программной реализации данной методики необходимо скрупулезно учитывать факт их периодичности, что во многих случаях является непростой задачей. В этом вопросе приходится полагаться на интуицию исследователя.

164

В работе [115] в качестве калибровочного объекта используется плоская фигура шестиугольной формы, ограниченная тремя парами параллельных линий и расположенная на одной из координатных плоскостей. При этом положение шестиугольника в предметной системе координат должно быть известным, т.е. должны быть известны координаты вершин шестиугольника. Параллельные прямые, расположенные в предметной системе координат, при проецировании на плоскость изображения образуют прямые, сходящиеся в одной точке. В проективной геометрии такая точка называется образом несобственной точки. Точки пересечения изображений параллельных прямых, согласно проективной геометрии, на плоскости изображения должны быть инцидентны образу несобственной прямой, которая называется линией горизонта. Авторы работы [115] предлагают использовать ориентацию и положение линии горизонта для определения ориентации камеры и фокусного расстояния. Однако данная методика работает недостаточно надежно. Точность определения калибровочных объектов в зависимости от положения шестиугольника и камеры имеет значительный разброс. Решению этой проблемы были посвящены работы [117-121]. В этих работах рассматривается методика автоматической калибровки камеры, которая, в отличие от указанных выше методик, полностью реализована на математическом аппарате проективной геометрии. Рассматриваемая методика позволяет существенно повысить надежность определения параметров калибровки камеры, так как в ней исчезли многочисленные тригонометрические функции, с помощью которой устанавливается связь между системой координат изображения и системой координат предметного пространства. Тем не менее, данная методика калибровки камеры реализуется с некоторой погрешностью. Одна часть погрешностей связана с идеализацией процесса получения изображения на светочувствительной поверхности камеры. Дело в том, что вся математика в этой методике основана на предположении, что получаемый снимок – есть центральная проекция объекта на плоскости. Строго говоря, реальный снимок будет представлять

собой центральную проекцию только в том случае, если в момент съемки будут соблюдаться следующие условия: 1) поверхность светочувствительного слоя представляет собой плоскость; 2) элементы внутреннего ориентирования камеры известны и сохраняются от снимка к снимку; 3) объектив камеры дает ортоскопическое изображение объекта. Другая часть погрешностей не зависит от модели получения снимка, а зависит от точности измерений калибровочного объекта при съемке видеокамеры. Самые современные системы технического зрения, используемые в робототехнике, предполагают использование промышленных измерительных видеокамер, предназначенных для фотограмметрической обработки цифровых изображений на компьютере. С изобретением данных систем нового поколения, соединяющих в себе аналитические алгоритмы обработки кадров со статистическими алгоритмами распознавания образов, способных адаптироваться в любых условиях и проводить самокалибровку видеокамеры в реальном режиме времени, робототехника как наука и отрасль производства в настоящее время интенсивно развивается. На современном этапе такие системы достаточно дороги для автоматизации отдельных технологических процессов на средних и малых предприятиях. Есть другой вариант получения цифровых изображений для фотограмметрической обработки – съемка на неметрические (полупрофессиональные) цифровые видеокамеры. Благодаря массовому производству данная техника широко представлена на рынке и стоит относительно недорого. Однако она не разрабатывалась производителями для решения фотограмметрических задач и имеет, в этой связи, ряд недостатков. Прежде всего, это геометрические искажения, вызванные недостатками оптической системы (значительная дисторсия объектива), неровность поверхности ПЗС-матрицы, не идеальная установка ПЗС-матрицы по отношению к главному лучу и ряд других. Но, тем не менее, применение данной техники, по нашему мнению, перспективно. Во-первых, всегда можно выполнить калибровку камеры. Во-вторых, съемка на

165

166

цифровую камеру для решения фотограмметрических задач не налагает столь строгих требований к параметрам камеры как съемка на пленку, поскольку цифровое изображение более пластично и хорошо поддается исправлению программными средствами без существенной потери качества. И, в-третьих, массовость производства данной аппаратуры и конкуренция среди производителей приводит к тому, что соотношение цена − качество неуклонно смещается в пользу потребителя. Уже сейчас промышленностью выпускаются полупрофессиональные цифровые камеры, которые по качеству оптики и разрешению изображения мало, в чем уступают фототеодолиту. Большое количество научных статей, связанных с калибровкой данной аппаратуры и попытками ее использования в фотограмметрии и системах технического зрения, подтверждает это наше мнение. В 2001-2002 годах в рамках НИР НТП “Производственные технологии” на кафедре инженерной и компьютерной графики ВСГТУ был проведен комплекс исследований по данному вопросу и разработана методика калибровки цифровой неметрической видеокамеры, применительно к задаче намотки. В основу предлагаемой методики калибровки положен принцип определения соответствия между калибровочным объектом, расположенным в одной из плоскостей объектной системы координат, с проекцией изображения, полученного видеокамерой. Калибровка выполняется по снимкам, получаемым при движении калибровочного объекта с определенным шагом. Такой путь решения задачи является классическим и, по нашему мнению, наиболее строгим. Основное отличие предлагаемой методики от существующих методик калибровки заключается в том, что в ней не требуется определения элементов внутреннего и внешнего ориентирования видеокамеры и поправок за несовпадения проекции изображения, полученной видеокамерой, и центральной проекции. Рассмотрим предлагаемую методику более подробно. В программно-технический комплекс (рис. 4.4), реализующий данную методику, входят следующие устройства: калибровочный объект, видеокамера, осветительные приборы, компьютер, электронная плата видеозахвата. Важной частью

является программный комплекс, который был специально разработан для решения данной задачи. Калибровочный объект расположен в плоскости OYZ объектной системы координат, причем ось OX направлена в сторону снимающей видеокамеры. Калибровочный объект состоит из N ≥ 12 черных прямоугольников (рис. 4.5). С помощью этих прямоугольников определяются узловые (угловые) точки криволинейной сетки отображения калибровочного объекта на поверхности изображения видеокамеры. В зависимости от сложности геометрической формы отображения калибровочного объекта на поверхности изображения камеры количество черных прямоугольников можно увеличивать. Для решения нашей задачи оказалось достаточным 12 черных прямоугольников, покрывающих все поле поверхности изображения видеокамеры. Стороны черного прямоугольника калибровочного объекта и расстояние между этими прямоугольниками в нашем случае составляет 33.28 мм.

167

168

Рис. 4.4. Основные устройства для калибровки видеокамеры: 1 – калибровочный объект; 2 – видеокамера; 3 – компьютер; 4 – осветительные приборы

Рис. 4.5. Калибровочный объект

Рис. 4.6. Бинарное изображение калибровочного объекта после удаления шума

Далее процесс калибровки состоит из трех этапов. Первый этап заключается в определении K ≥ 48 узловых точек (вершин черных прямоугольников) пространства с известными координатами ( X i , Yi , Z i ) , i = 1, 2,..., K .

P4

P3

На втором этапе получаем соответствующее изображение этих точек ( ui , vi ) , i = 1, 2,..., K , с помощью видеокамеры, в ее естественных координатах. Далее проводилась предварительная обработка изображения, которая заключается в использовании методов понижения шума, определения точек контура изображения. На рисунке 4.6 представлен бинарное изображение калибровочного объекта после удаления шума. Поскольку компоненты векторов, найденных точек контура изображения могут содержать ошибки, минимизируем эти ошибки, используя метод наименьших квадратов (МНК). На рисунке 4.7 в увеличенном виде приведен результат применения линейной регрессии с каждой из четырех сторон изображения прямоугольника калибровочного объекта. Далее определяются

169

а)

P1

б)

Рис. 4.7. К определению узловых точек изображения эталонной фигуры: a) бинарное изображение прямоугольника; P1, P2, P3, P4 - угловые точки изображения прямоугольника

170

P2

хорошо видны геометрические искажения эталонной фигуры при ее отображении на поверхность изображения видеокамеры.

Рис. 4.8. Угловые точки изображения калибровочного объекта

Рис. 4.9. Прямое и обратное отображение точки с криволинейной сетки реальной области изображения фигуры на соответствующую прямоугольную сетку области эталонной фигуры

угловые точки ( ui , vi ) изображения каждого прямоугольника калибровочного объекта как точки пересечения полученных прямых (рис.4.8). Таким образом, зная угловые точки, можно описать отображение эталонных фигур (прямоугольников) на реальной поверхности изображения видеокамеры. В качестве нелинейной функции преобразования использовались кубические параметрические сплайны с параметризацией по длине дуги. При этом распределение точек на контуре реальной области изображения фигуры отображается на контур эталонной фигуры с помощью соответствующего преобразования. Тривиальным образом можно выполнить разбиение эталонной фигуры. Разбиение эталонной фигуры отображается на реальную область изображения с помощью обратного преобразования (рис. 4.9). Интерполяционная сетка отображения калибровочного объекта на поверхности изображения видеокамеры представлена на рисунке 4.10. На этом рисунке

Третий этап состоит в использовании результатов предыдущего этапа для определения внутренней и внешней ориентации видеокамеры. Нами было отснято 10 снимков при перемещении калибровочного объекта с шагом 10 мм вдоль оси OX в рабочей зоне намотки. Используя полученные снимки можно определить положение оптического центра и направление главного луча (оптической оси) видеокамеры в объектной системе координат. Для этого узловые точки, полученные с каждого снимка, отобразим на поверхность изображения (рис. 4.11). Используя соответствующие узловые точки и минимизируя ошибки измерения с помощью МНК, можно определить главную точку на поверхности изображения, точку пересечения оптической оси с поверхностью изображения видеокамеры в ее естественных координатах (рис. 4.12). Для определения положения оптической оси в объектной системе координат необходимо отобразить с помощью обратного преобразования главную точку с поверхности изображения

171

172

Рис. 4.10. Интерполяционная сетка отображения калибровочного объекта на поверхности изображения видеокамеры

173

Рис. 4.11. Совмещенные угловые точки реального изображения калибровочного объекта

174

y

S

x

z Рис. 4.13. Определение оптического центра в объектной системе координат

Рис. 4.12. Определение главной точки на поверхности изображения видеокамеры

175

видеокамеры на соответствующие плоскости калибровочного объекта. Таким образом, получен ряд точек, которые определяют положение оптической оси видеокамеры в пространстве. Эти точки могут содержать ошибки измерений, поэтому при построении главного луча необходимо использовать МНК. В заключение отметим, что процесс калибровки, рассмотренный в этом разделе, может непосредственно использоваться для стереоизображения простой его реализацией независимо для каждой видеокамеры.

176

4.2.3. Определение положения средней нити ленты раскладчиком ленты и оправкой

между

Как указано в разделе 4.1, средняя нить ленты между раскладчиком ленты и оправкой в натянутом состоянии представляет собой прямую линию. Для определения положения этой прямой в объемном трехмерном пространстве использовались две плоскости. Чтобы задать плоскость надо знать положение в объектной системе координат трех точек: оптического центра S и двух точек М, P проекции средней нити ленты на поверхности изображения видеокамеры. Оптический центр можно определить по методике, описанной в предыдущем разделе. Для определения двух остальных точек плоскости нам достаточно задать эти точки на проекции средней нити ленты на поверхности изображения видеокамеры и определить по методике, описанной в предыдущем разделе. Для определения двух остальных точек плоскости нам достаточно задать эти точки на проекции средней нити ленты на поверхности изображения видеокамеры и отобразить их на плоскости калибровочного объекта (рис. 4.14). Зная криволинейные координаты s и t этих точек на поверхности изображения

а

177

б Рис. 4.14. Определение отображения композиционной ленты на плоскости калибровочного объекта: а) отображение ленты на плоскости; б) отображение ленты на поверхности калибровочного объекта изображения видеокамеры; 1 – крайняя нить ленты; 2 – средняя нить ленты видеокамеры, несложно их найти на соответствующей плоскости криволинейных координат калибровочного объекта. Однако данная методика при практической реализации во многом зависит от точности определения точек на средней нити ленты и особенно оптического центра на поверхности изображения видеокамеры. Определение оптического центра, как известно, требует обработки большого массива информации по всей поверхности изображения видеокамеры, чтобы сузить вероятную область и найти в ней приближенную точку. Применение этой методики оправдано в том случае, когда для дальнейших расчетов или вычислений необходим оптический центр. Поэтому для решения нашей задачи предлагается использовать другой способ определения трех точек

178

проецирующей плоскости, не требующий знания оптического центра. Суть этого способа заключается в следующем. По двум заданным точкам М и Р средней нити ленты на поверхности изображения видеокамеры определяем их не на одном снимке, а на всех десяти снимках калибровочного объекта (рис. 4.15). Получим точки Mi и Pi ( i = 0..9 ) для каждой i-ой поверхности изображения видеокамеры. Отображаем их на соответствующие плоскости калибровочного объекта. Получим точки M€i и P€i для каждой i-й плоскости калибровочного объекта. Массивы точек M€ и P€ могут содержать ошибки i

i

измерения. Поэтому для каждого из массивов минимизируем их, используя линейную аппроксимацию на основе МНК. На полученных таким образом двух прямых m и p достаточно задать три произвольные точки, чтобы определить положение проецирующей плоскости.

Рис. 4.15. Определение трех точек проецирующей плоскости в объектной системе координат Этот способ при практической реализации менее чувствителен к точности задания трех точек, чем рассмотренный выше, так как для их задания требуется знание только двух точек на средней линии ленты на поверхности изображения видеокамеры.

179

Таким образом, используя приведенную методику можно определить положение проецирующих плоскостей по трех точкам для первой и второй видеокамеры. Зная положения этих плоскостей в объектной системе координат можно вычислить положение средней нити композиционной ленты по алгоритму, приведенному в разделе 4.1. Для практической реализации приведенной методики была разработана и изготовлена экспериментальная установка намоточного робота-станка, оснащенного системой технического зрения. Экспериментальный намоточный робот способен анализировать видеоинформацию, поступающую из двух видеокамер, и отслеживать реальную траекторию укладки армирующего материала на оправку произвольной формы. В следующем разделе приведено описание экспериментальной установки. 4.3. Описание экспериментальной установки намоточного робота

Схема разработанной нами экспериментальной установки намоточного робота, оснащенного системой технического зрения, представлена на рис. 4.16. Намоточный робот с адаптивным управлением является универсальным намоточным станком и предназначен для изготовления изделий сложных форм из волокнистых композиционных материалов. Намотка осуществляется посредством укладки на оправку технологической ленты, сформированной из однонаправленных нитей, волокон или жгутов. Лента укладывается в сухом виде или пропитанная связующими смолами. Данный робот позволяет реализовать как строчное, так и плетеное армирование. Он имеет три степени свободы: два поступательных и один вращательный. Раскладчик ленты 3 выполняет два поступательных движения в продольном и поперечном направлениях. Главный привод 4 выполняет вращательное движение, обеспечивает вращение технологической оправки 1, изготовленной по внутреннему теоретическому контуру изделия.

180

5 1 4 2

3

Рис. 4.16. Схема намоточного робота: 1 – оправка; 2 – композиционная лента; 3 – раскладчик ленты; 4 – шаговый двигатель; 5 – редуктор; 6, 7 – видеокамеры; 8 – компьютер; 9 – блок управления приводами

Рис. 4.17. Экспериментальная установка намоточного робота, оснащенного системой технического зрения: 1 – оправка; 2 – раскладчик композиционной ленты; 3 – видеокамера; 4 – экран; 5 – осветительный прибор

Робот изготовлен на базе графопостроителя планшетного типа АП-7252A (рис. 4.17). Это дает возможность обеспечить достаточно высокую точность продольных и поперечных перемещений раскладчика ленты. Дополнительно были установлены две неподвижные стойки с острыми концами для крепления оправки. На одной стойке установлен привод для вращения оправки, а на другой специальный раздвижной винт для крепления или снятия оправки. Управление главным приводом вращения оправки и двумя приводами раскладчика

ленты производится программно. Для этого специально была разработана система управления станком Reel 0.1a. В качестве приводов используются три шаговых электродвигателя 2ДШ780,16-1УХЛ4: два для продольного и поперечного перемещения раскладчика ленты и один дополнительный, усиленный специальным редуктором, для вращения оправки. Робот оснащен двумя цифровыми видеокамерами 6, 7. Для видеозахвата изображений используется плата Pinnacle DC-30 с разрешающей способностью 768×576 пикселей. Переключение изображений с одной видеокамеры на другую производится программно. Для повышения качества изображения видеокамеры используются осветительные приборы и экраны белого цвета.

181

182

Оправка изготовлена из березы (рис. 4.18). Она состоит из трех частей: конструктивной части конической формы 1, переходных поверхностей цилиндрической формы 2 и сферических законцовок 3. Коническая форма конструктивной части оправки выбрана для удобства сравнения теоретических и экспериментальных данных при проведении экспериментов. 3

2

1

2

3

Рис. 4.18. Технологическая оправка: 1 – конструктивная часть поверхности оправки; 2 – переходная поверхность цилиндрической формы; 3 – сферическая законцовка

5. Наибольшее продольное перемещение каретки (координата “Z”) 860 мм 6. Цена импульса на продольном перемещении каретки 0,2 мм 7. Наибольшее поперечное перемещение суппорта (координата “X”) 556 мм 8. Цена импульса на поперечном перемещении суппорта 0,2 мм 9. Цена импульса на поворот оправки (координата ϕ) 0,06º 10. Наибольшая скорость линейных перемещений 14,4 м/мин 11. Наибольшая скорость вращения оправки 12 об/мин 12. Занимаемая площадь 3 м2 13. Вес 100 кг Исходные данные для подготовки программы намотки определяются при выборе схемы, способа намотки изделия и при задании чертежа оправки. Далее, для подготовки расчета программы, выбираются толщина нитей, ширина ленты. Схема намотки выбирается исходя из требований прочности и размеров изделия. К схеме прилагаются данные о количестве и порядке укладки на оправку слоев армирующего материала, характеристика каждого слоя, необходимые параметры геодезической кривой, по которой укладывается лента. 4.4. Методика проведения эксперимента

Ниже приведены основные паспортные данные намоточного робота. 1. Система программного управления Reel 0.1a 2. Количество управляемых координат 3 3. Наибольшая длина изделия 440 мм 4. Наибольший диаметр наматываемого изделия 150 мм

Процесс выполнения эксперимента с использованием намоточного робота разделяется на восемь основных этапов: 1) расчет траектории и параметров процесса укладки ленты, 2) разработка управляющей программы для исполнительных механизмов намоточного робота, 3) выполнение укладки ленты на оправку по расчетной траектории намотки без применения технического зрения, 4) калибровка видеокамер, 5) определение контрольных точек с помощью эталонного объекта на расчетной кривой намотки на поверхности оправки и на расчетной траектории движения раскладчика ленты, 6) выполнение

183

184

намотки ленты на оправку с применением системы технического зрения, 7) сравнение полученных экспериментальных данных с расчетными, 8) коррекция укладки ленты в ручном и автоматическом режиме на основе анализа видеоизображений, получаемых с помощью двух видеокамер. Расчет траектории и параметров процесса укладки ленты проводился для конструктивной части оправки, имеющей коническую форму. Намотка производилась по геодезической линии. Расчет траектории укладки ленты проводился для средней нити ленты. В программу управления намоточным роботом вводятся уравнения поверхности оправки и кривой намотки на ней, а также скорости поступательных и вращательных движений исполнительных механизмов робота, начальные точки позиционирования средней нити ленты при ее укладке на оправку и раскладчика ленты. Эти данные являются исходными для разработки управляющей программы исполнительных механизмов намоточного робота. Далее выполняется намотка ленты на оправку без применения системы технического зрения. Намотка производится дискретно с заданным шагом. Полученные данные сравниваются с расчетными. Следующим важным этапом является намотка с применением системы технического зрения. Вначале производится калибровка двух видеокамер, установленных на намоточном роботе. Процесс калибровки видеокамеры представлен на рисунке 4.19. Для калибровки видеокамеры используется специальный калибровочный объект, который можно передвигать с заданным шагом вручную, или установив на суппорт намоточного робота (рис. 4.20). Методика проведения калибровки камеры подробно описана в разделе 4.2.2. Точность выполнения калибровки двух видеокамер проверяется с помощью эталонного объекта цилиндрической формы (рис. 4.21). При точном выполнении калибровки видеокамер положение экспериментальной прямой (прямой пересечения двух проецирующих плоскостей, получаемых с помощью видеокамер) и расчетной прямой (эталонного объекта)

185

Рис. 4.19. Калибровка видеокамеры

1

2 2

Рис. 4.20. Калибровочный объект намоточного робота: 1 – калибровочный объект; 2 – видеокамера; 3 – суппорт намоточного робота

186

должно совпадать (рис. 4.21). В противном случае калибровку видеокамер надо провести заново.

5

Эталонный объект 4 1

3

2

6

Рис. 4.21. Эталонный объект цилиндрической формы После выполнения этапа калибровки двух видеокамер определяются контрольные точки на расчетных траекториях намотки на поверхности оправки и движения раскладчика ленты намоточного робота. Для этого можно использовать рассмотренный выше эталонный объект цилиндрической формы (рис. 4.22). С помощью него можно достаточно точно определять параметры реальной укладки ленты на поверхность оправки и реальное положение раскладчика ленты и сравнивать их с расчетными данными. Заключительным этапом является выполнение намотки ленты с применением системы технического зрения и контроль за процессом, а в случае отклонения укладки ленты от расчетной ее коррекция.

187

Рис. 4.22. Определение положения ленты между оправкой и раскладчиком ленты с помощью технического зрения: 1, 2 – проецирующие плоскости, полученные с помощью двух видеокамер; 3 – прямая пересечения двух плоскостей (средняя нить ленты); 4 – оправка; 5, 6 – средняя нить ленты на поверхности изображения первой и второй видеокамеры Коррекцию укладки ленты на поверхность оправки можно производить как в ручном, так и в автоматическом режиме в процессе намотки. Так как в приводах исполнительных механизмов данной экспериментальной установки намоточного робота используются шаговые электродвигатели, то намотка ленты производится дискретно. Шаг вращения главного привода (вращения оправки) выбирается исходя из сложности формы оправки. Он должен быть таким, чтобы регистрирующие видеокамеры могли отслеживать изменения положения ленты при вращении оправки.

188

4.5. Результаты экспериментальных исследований

y

При проведении экспериментальных исследований рассматривалась геодезическая намотка композиционной ленты шириной 5 мм на оправку конической формы. В разделе 2.4 мы рассматривали модель укладки ленты из однонаправленных волокон на поверхность эллиптического параболоида (2.24). Если подставить в это уравнение a = 0, p = 1, то получим уравнение поверхности кругового конуса: r r (ϕ , z ) = {( bz + c ) cos ϕ ; ( bz + c ) sin ϕ ; z} , где ρ, ϕ, z – обобщенные цилиндрические координаты. Ось Оz является осью симметрии кругового конуса. В нашем случае рассматривался круговой конус с размерами b = −0.171, c = 274 мм, z0 = 150 мм, zk = 343.5 мм. Геодезическая линия выходила из начальной точки M 0 ( 274, 200,150 ) , которая получается при ϕk 0 = 0, zk 0 = 150, под углом намотки β k 0 = −600 . Система дифференциальных уравнений (2.31) решалась численно с помощью метода РунгеКутта. Для данного случая геодезической намотки ленты были рассчитаны параметры процесса для волокон ленты, соответствующих δ = 0, ±2.5. При построении геодезических параллелей также решалась система (2.31). На рисунке 4.23 изображены рассчитанные по программе геодезические параллели на круговом конусе. Мы имеем наглядное представление о геодезической намотке ленты на рассматриваемую поверхность. Геодезическая линия, по которой укладывается средняя нить ленты, поворачивается назад при ϕ = 181.580 , z = 207.96 (табл. 4.1) и возвращается на начальное сечение z0 = 150 конуса в точке M k ( 273.96, 204.4,150 ) , которая получается при ϕ = 3.40 , с углом намотки β k = 59.80 . Намотка ленты по геодезической линии на оправку конической формы на экспериментальном намоточном роботе

189

z x

Рис. 4.23. Геодезические параллели на конической поверхности проводилась в два этапа. На первом этапе проводилась намотка без применения системы технического зрения. С помощью математического пакета MathCAD был созданы анимационные графики, которые визуализируют процесс намотки по расчетной траектории в трех проекциях (рис. 4.23, а) и в объемном виде (рис. 4.23, б). На этих графиках наглядно показаны точки касания среднего волокна ленты с поверхностью оправки и движения раскладчика ленты намоточного робота в процессе намотки. Результаты расчета программы в местах поворота и резкого изменения кривизны поверхности приведены в таблице 4.2. В данной таблице строчными буквами обозначены координаты точки касания среднего волокна ленты с поверхностью оправки, а заглавными − координаты точки

190

Таблица 4.1 Расчетные значения угла намотки волокон ленты в местах поворота и резкого изменения кривизны поверхности

а

б Рис. 4.23. Анимационные графики процесса намотки оправки конической формы

191

192

Расчетные значения угла β

Таблица 4.2

движения раскладчика ленты намоточного робота. При выполнении намотки мы отслеживали траекторию укладки ленты на поверхность оправки с помощью системы технического зрения. Максимальное отклонение угла намотки от расчетного значения в нашем случае составило 0.480. На втором этапе намотка ленты проводилась с автоматической коррекцией на каждом шаге с применением технического зрения (рис. 4.24). На каждом шаге вращения оправки регистрировалось с помощью двух телевизионных камер реальное положение средней нити ленты между оправкой и раскладчиком, и вычислялся угол β в точке ее касания с оправкой. Если угол β превышал допустимое значение, то программное движение раскладчика корректировалось до тех пор, пока угол намотки не примет нужного значения. Максимальное отклонение угла намотки от расчетного составило 0.050 . Результаты счета программы приведены в таблице 4.4.

Таблица 4.3 Реальные значения угла β , определенные с помощью системы технического зрения

Рис. 4.24. Иллюстрация процесса намотки с применением системы технического зрения

193

194

Таблица 4.4 Значения угла β , полученные в результате коррекции с применением системы технического зрения

На основании проведенных экспериментальных исследований можно сделать вывод о том, что применение технического зрения позволяет достаточно точно определять реальное положение ленты в процессе намотки и вводить своевременные коррективы на каждом шаге в автоматическом режиме в управляющую программу намоточного робота. Это дает возможность обеспечивать высокую точность процесса армирования при изготовлении конструкций сложных форм методом намотки из волокнистых композиционных материалов.

195

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Впервые проведены исследования по объемному моделированию и адаптивному управлению процессом намотки многослойных конструкций сложной геометрической формы из волокнистых композиционных материалов на основе применения системы технического зрения. Результаты исследований могут быть использованы при научном обосновании и создании адаптивной технологии изготовления намоточных изделий из композиционных материалов с однонаправленными волокнами, повышающей в значительной мере точность реализации процесса намотки. Разработан векторно-параметрический метод описания трехмерных деформируемых твердых тел многослойной структуры с граничными поверхностями Кунса. Рассмотрены методики построения уравнения порции тела с применением обобщенной линейной интерполяции, обобщенной интерполяции Эрмита. Предложена методика описания порции тела на непрямоугольном каркасе. Разработанные методики, позволяют описывать составные тела намотки со сложными техническими поверхностями и легко управлять их формой для получения требуемых свойств изделия. Предложена методика построения базовой “ленточной” модели процесса укладки ленты из композиционных материалов с однонаправленными волокнами на произвольную поверхность армирования тела намотки. Рассмотрены методики, позволяющие описывать процесс укладки композиционных лент внахлест при строчном и плетеном армировании, что дает возможность точнее учитывать в расчетах изменение структуры укладки волокон ленты на поверхности сложной формы. Приведены варианты применения разработанной методики к конкретным техническим поверхностям. На основе предложенной трехмерной модели укладки ленты рассмотрены алгоритмы, позволяющие оценивать характеристики процесса намотки, такие как ориентация, равновесность, относительные деформации, прилегание, натяжение нитей, волокон ленты для произвольной поверхности армирования тела намотки. Приведенные алгоритмы позволяют

196

оценить указанные параметры процесса намотки (армирования) при нежелательном деформировании формы тела намотки на конечном этапе ее изготовления под воздействием различных технологических факторов (изгиб слоистых структур при короблении, изменение формы тела намотки при опрессовке и другие). Впервые проведены исследования по определению реальной траектории укладки ленты из композиционных материалов с применением системы технического зрения. Разработана методика определения положения ленты из однонаправленных волокон в пространстве между оправкой и раскладчиком на основе анализа видеоизображений, получаемых с помощью двух видеокамер. Создана адаптивная система активного контроля за процессом намотки ленты. Данная система позволяет в автоматическом режиме отслеживать и корректировать в реальном режиме времени процесс укладки ленты в случае отклонения от расчетной траектории. Разработана специальная методика калибровки видеокамеры, применительно к задаче намотки, не требующая определения оптического центра, фокусного расстояния, смещений видеокамеры и углов поворота и наклона. В предлагаемой методике параметры положения проецирующей плоскости в объектной системе координат определяются с помощью специально разработанного калибровочного объекта и программного модуля. Создана реально действующая экспериментальная установка адаптивного намоточного робота, способного анализировать видеоинформацию. Проведенные экспериментальные исследования показали достаточно высокую точность реализации процесса намотки. Полученные результаты теоретических и экспериментальных исследований могут служить основой для создания универсальных намоточных роботов с техническим зрением, обладающих гибкостью и автономностью в управлении, предназначенных для штучного и мелкосерийного выпуска изделий часто меняющейся номенклатуры.

1. Композиционные материалы: Справочник/ В.В. Васильев, В.Д. Протасов, В.В. Болотин и др.; Под общей ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского.- М.: Машиностроение, 1990.- 512 с. 2. Композиционные материалы в конструкции летательных аппаратов.: Сборник статей: Пер. с англ./ Ред. А.Л. Абибов.- М.: Машиностроение, 1975.- 272 с. 3. Нильсен Л. Механические свойства полимеров и полимерных композиций.- М.: Химия, 1978.- 312 с. полимерные композиционные 4. Промышленные материалы/ Под ред. М. Ричардсона.- М.: Химия, 1980.- 472 с. В.В., Новичков Ю.Н. Механика 5. Болотин многослойных конструкций.- М.: Машиностроение, 1980.- 375 с. 6. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. - М.: Машиностроение, 1977. - 144 с. 7. Бривманис Р.Э., Гаганов А.К. Намоточные конструкции в электрических машинах и аппаратах.- М.: Энергия, 1971.- 89 с. 8. Крысин В.Н., Крысин М.В. Технологические процессы формования, намотки и склеивания конструкций.- М.: Машиностроение, 1989.- 240 с. 9. Алексейчик В.В., Душенко А.Г., Ершов В.К., Чикильдин Я.Я. Влияние возмущений программной траектории на точность намотки// Труды Новочеркас. политехн. ин-та им. С.Орджоникидзе. Новочеркасск, 1975. Т. 310. С.24-28. 10. Гречишкин В.А., Белякова Н.Н., Борох Г.Р., Калинин В.А. Особенности процесса намотки деталей двойной кривизны// Межотраслевой науч. - техн. сборник "Технология". Серия "Конструкции из композиционных материалов", 1990, № 2, с. 25-29. 11. Иванченко А.Н., Алексейчик В.В., Ершов В.К., Чикильдин Я.Я. Задача оптимизации законов движения исполнительных органов станка с программным управлением//

197

198

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Системы управления технологическими процессами: Сборник трудов.- Новочеркасск, 1976. С.51-54. 12. Калинин В.А., Аюшеев Т.В. Вопросы прилегания ленты при геометрическом моделировании процесса намотки составной поверхности// Математическое обеспечение систем с машинной графикой: Тезисы VII науч.- техн. семинара.- Ижевск, 1992. С.29. 13. Калинин В.А. Метод определения прилегания ленты из композиционных материалов с однонаправленными волокнами к поверхности оправки при изготовлении изделий методом намотки. Основы прикладной геометрии/: Учеб. пособие. - М.: Изд-во МАИ, 1995.- 75 с. 14. Калинин В.А. Моделирование процесса намотки оболочек волокнистыми композиционными материалами// Геометрические вопросы САПР: Тезисы докладов межгосударственной науч. конф. - Улан-Удэ, 1993.- С.9-10. 15. Калинин В.А., Якунин В.И. Геометрическое моделирование технологического процесса намотки в производстве ЛА/: Учебное пособие. - М.: Изд-во МАИ, 1995.68 с. 16. Литвинов И.А., Иванов Г.С., Щербинин С.В., Гришаев В.П. Расчет траектории многослойной намотки пространственных форм на оборудовании с ЧПУ// Авиационная промышленность.- 1992.- № 3.- C.10-12. О.Г. Основы формования 17. Цыплаков стеклопластиковых оболочек. - Л.: Машиностроение, 1968. - 173 с. 18. Якунин В.И., Калинин В.А., Аюшеев Т.В. Алгоритм намотки составной поверхности // Актуальные вопросы начертательной геометрии и инженерной графики: Тезисы докладов Восьмой Поволжской межзональной конф. Ч. II. Йошкар - Ола, 1990. - С. 45. 19. Якунин В.И., Калинин В.А., Аюшеев Т.В. Алгоритм геометрического проектирования процесса намотки составной поверхности// Компьютерная геометрия и графика в инженерном образовании: Материалы всесоюзной конференции. - Нижний Новгород, 1991. - С. 149.

20. Парняков А.Ф. Геометрические вопросы технологии изготовления поверхностей методом обмотки// Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей: Сборник науч. трудов. - М.: Изд-во МАИ, 1969. Вып.3.- C.18-21. 21. Парняков А.Ф. Построение плотного каркаса геодезических на соосном сочетании отсеков поверхностей вращения// Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей: Сборник науч. трудов. - М.: Изд-во МАИ, 1969. Вып. 3.- С.103-106. 22. Парняков А.Ф. Вопросы конструирования плотных каркасов геодезических// Автореферат дис. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук. - М., 1969. - 19 с. М.В. Определение поверхности 23. Орлов дополнительного технологического отсека, служащего для непрерывной намотки по геодезической линии// Труды МАИ.М., 1970. Вып. 205.- С.51-52. 24. Орлов М.В. Некоторые вопросы формообразования многослойных оболочек геодезических// Автореферат дис. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук. - М., 1972. - 17 с. 25. Добровольский А.К., Костров В.И. К вопросу о методе расчета характеристик геодезической намотки стеклопластиковых оболочек вращения// Механика полимеров.1970.- № 6.- C.934-936. 26. Евгенев Г.Б., Морозова В.М., Петухов А.Н., Струве Д.Ю. Программирование намотки стеклолентой оболочек типа тел вращения на пятикоординатном станке с ЦПУ// Производственно - техн. опыт.- 1971.- № 6.- C.13-16. 27. Морозова В.М., Евгенев Г.Б. Метод расчета программ намотки изделий с различными осевыми отверстиями// Производственно-техн. опыт.- 1973.- № 11.- C.62-64. 28. Пидгайный Ю.М., Морозова В.М., Дудко В.А. Методика расчета характеристик геодезической намотки оболочек тел вращения// Механика полимеров.- 1967.- № 6.C.1096-1104. 29. Исаков Ю.А. К вопросу о расчете параметров спиральной намотки нитью и лентой// Механика полимеров.1974.- № 4.- C.599-607.

199

200

30. Чикильдин Я.Я., Алпатов Ю.М., Шукшунов В.Е. Алгоритм оптимальной укладки стеклоленты при намотке изделий на агрегатах с программным управлением// Труды Новочеркас. политехн. ин-та им. С.Орджоникидзе. Новочеркасск. 1968. Т.182.- C.59-63. 31. Зборжевский В.И., Свитыч А.И., Мазур В.М., Биленко Л.Д. К вопросу расчета параметров траектории намотки тел вращения произвольной формы по кривым равного отклонения// Производственно-техн. опыт.- 1977.- № 1.- С.10-11. 32. Гречишкин В.А. О способах спиральной намотки и их преимуществах// Авиационная промышленность.- 1967.Приложения № 2, 3, С.64-67. 33. Галимов К.З., Паймушин В.Н. Теория оболочек сложной геометрии (геометрические вопросы теории оболочек). - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1985.- 164 с. 34. Паймушин В.Н. К задаче параметризации срединной поверхности оболочки сложной геометрии // Прочность и надежность сложных систем.- Киев: Наук. думка, 1979.- С.26-33. Г.Р., Киселев В.М., Соколов В.Ф. 35. Борох Автоматизированное проектирование изготовления изделий из композиционных материалов// Технология авиационного производства: Сборник трудов.- М.: Изд-во НИАТ, 1981.- С.8187. 36. Борох Г.Р., Мендлин Э.М. Построение математических моделей намоточных процессов// Труды НИАТ.- M., 1979, № 291.- C.7. 37. Мендлин Э.М., Борох Г.Р. Разработка математического обеспечения подготовки УП для намотки несимметричных поверхностей на станке НЛ-2// Техн. отчет НИАТ. – М.: Изд-во НИАТ, 1976. 38. Завидский А.В. Определение параметров технологической поверхности, обеспечивающей непрерывность намотки по геодезическим линиям// Труды МАИ.- M., 1976, № 349.- C.34-35. 39. Завидский А.В. Построение геодезической на поверхности каркаса горизонталей// Труды МАИ.- M., 1977, № 414.- C.18-19.

40. Завидский А.В. Исследование геометрических вопросов технологии изготовления сложных технических поверхностей методом автоматизированной намотки: Диссертация на соиск. учен. степ. канд. техн. наук.- М., 1977.113 с. 41. Пушков В.П. Технология и оборудование для изготовления крупногабаритных деталей типа лопастей вертолетов из композиционных материалов// Технология и оборудование для изготовления деталей из композиционных материалов: Сборник статей.- М.: Изд-во НИАТ, 1976, С.23-27. 42. Пушков В.П., Щербаков Ю.М., Моисеев Е.В., Гришаев В.П., Поддубский В.А. Технология изготовления лопасти воздушных винтов из КМ методом намотки// Авиационная промышленность.- 1978. Приложение № 2.- C.40-42. 43. Мухамбетжанов С.Г., Ромашев Ю.П., Сидорин С.Г., Центовский Е.М. Геодезическая намотка на конических поверхностях произвольного профиля// Механика композитных материалов.- 1992.- № 6.- C.764-770. 44. Борох Г.Р., Медлин Э.М. Обратная задача намотки и точность реализации процесса// Материалы 7-ой науч.-техн. конф. молодых ученых и специалистов НИАТ. Часть IV: Опытно-конструкторские работы.- М.: Изд-во НИАТ, 1976.C.10-13. 45. Второва М.Б. Расчет и редактирование управляющей информации с использованием средств машинной графики при намотке изделий из композиционных материалов// Авиационная промышленность.- 1987.- №1.- C.7-10. 46. Часовщиков Л.Л., Борох Г.Р. Редактирование и коррекции управляющей информации в технологических процессах намотки// Авиационная промышленность.- 1992.№11.- C.6-8. 47. Аюшеев Т.В., Калинин В.А., Якунин В.И. Особенности процесса намотки составной поверхности// Инженерная и компьютерная графика: Тезисы докладов X Всесоюзного науч.метод. семинара. – Полтава, 1991.- C.19. 48. Аюшеев Т.В., Калинин В.А., Якунин В.И. Алгоритм расчета параметров процесса намотки составной поверхности//

201

202

Конструирование поверхностей и технические приложения: Сборник научных трудов. – М.: Изд-во МАИ, 1992.- C.28-32. 49. Белякова Н.Н. Учет прилегания ленты при геометрическом моделировании оболочек армирования// Методы конструирования новых форм поверхностей и их модификаций: Сборник научных трудов. - М.: Изд-во МАИ, 1990.- C.37-42. 50. Белякова Н.Н., Борох Г.Р., Калинин В.А. Метод расчета параметров армирования произвольных поверхностей с учетом ширины композиционной ленты// Авиационная промышленность.- 1986.- № 10.- C.8-11. 51. Белякова Н.Н., Борох Г.Р., Калинин В.А. Исследование реализуемости процесса намотки оболочек лентами конечной ширины// Технология производства изделий из композиционных материалов: Тезисы всесоюзной конференции.- Киев, 1991, с.32. 52. Калинин В.А. Технологический процесс намотки и его моделирование //Керамика в народном хозяйстве: Тезисы науч.техн. конф.- Ярославль, 1994.- C.48-49. 53. Калинин В.А., Аюшеев Т.В. Расчет параметров армирования составной поверхности с учетом ширины композиционной ленты.- Депонир. в ВИНИТИ, № 1082-В92 от 31.03.92. 54. Калинин В.А., Аюшеев Т.В. Вопросы прилегания ленты при геометрическом моделировании процесса намотки составной поверхности// Математическое обеспечение систем с машинной графикой: Тезисы VII науч.-техн. семинара.- Ижевск, 1992.- C.29. 55. Калинин В.А., Аюшеев Т.В. Вопросы наматываемости ленты при геометрическом моделировании процесса намотки составной поверхности.- Депонир. в ВИНИТИ, № 1083-В92 от 31.03.92. 56. Котов И.И. Прикладная геометрия и автоматизированное воспроизведение поверхностей// Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей: Сборник трудов.- М. Изд-во МАИ, 1971. Вып. 8.- C.3-5. 57. Котов И.И., Полозов В.С., Широкова Л.В. Алгоритмы машинной графики.- М.: Машиностроение, 1977.- 231 с.

58. Рыжов Н.Н. Каркасная теория задания и конструирования поверхностей// Труды УДН, 1967. Т.26. Математика, вып. 3.- C.128-138. 59. Рыжов Н.Н. Определитель поверхности и его применение// Труды УДН, 1971. Т.53. Прикладная геометрия, вып. 5.- C.3-16. 60. Фролов С.А. Кибернетика и инженерная графика. - М.: Машиностроение, 1974. - 224 с. 61. Бусыгин В.А., Лебедева А.Б., Филипенков В.А. Коррекция по дискретным исходным данным программы обработки плоского обвода на станках с числовым программным управлением// Авиационная промышленость.- 1976.- № 4.- C.1718. 62. Бусыгин В.А., Медведев Б.А., Филипенков В.А. Программирование обработки цилиндрических поверхностей на четырехкоординатном фрезерном станке с ЧПУ// Авиационная промышленность.- 1980.- № 5.- C.3-6. 63. Егоров Э.В., Тузов А.Д. Моделирование поверхностей агрегатов ЛА/: Уч. пособие под ред. Э.В. Егорова.- М.: Изд-во МАИ, 1988.-88 с. 64. Тузов А.Д. Порции поверхности Кунса в форме Фергюсона на непрямоугольной области// Моделирование задач науки и техники методами начертательной геометрии: Сборник науч. трудов. - Алма-Ата, Казах. ПТИ, 1986.- C.71-76. 65. Вершинин В.В., Завьялов Ю.С., Павлов Н.П. Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания.Новосибирск: Наука, 1988.- 103 с. 66. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.П. Методы сплайн-функций. - М.: Наука, 1980. - 352 с. Г.С. Конструирование технических 67. Иванов поверхностей. - М.: Машиностроение, 1987. - 192 с. 68. Иванов Г.С. Прямая и обратная задачи моделирования поверхностей// Прикладная геометрия и инженерная графика, 1990, вып. 50.- C. 17-21. прикладной геометрии поверхностей 69. Основы элементов ЛА: Учебное пособие/ В.И. Якунин, В.В.-С. Радзивилович, Е.Ж. Есмуханов, А.Д. Тузов, Л.Г. Нартова, К.М.

203

204

Наджаров, Ю.И. Денискин, Н.Н. Белякова, В.А. Калинин; Под ред. В.И. Якунина. - М.: Изд-во МАИ, 1991. - 68 с. 70. Осипов В.А. Машинные методы проектирования и расчета непрерывно-каркасных поверхностей. М.: Машиностроение, 1979. -248 с. 71. Осипов В.А. Проектирование непрерывных каркасов поверхностей с наперед заданными дифференциальными свойствами// Труды Моск. ин-та радиоэлектр. и автомат.- М., 1972. Вып. 63.- C.47-53. 72. Осипов В.А., Осипова Л.И. Теоретические основы каркасно-кинематического метода направляющей линии// Изв. ВУЗов. Серия "Авиационная техника".- 1980.- № 4.- C.48-52. 73. Кинематические методы конструирования технических поверхностей: Сборник статей /под ред. А.М. Тевлина.- Труды МАИ, M., 1970. Вып. 213. – 121 с. 74. Теоретические основы формирования моделей поверхностей: Учебное пособие Якунин В.И. и др.; Под ред. В.И. Якунина. - М.: Изд-во МАИ, 1985. -52 с. 75. Якунин В.И. Геометрические основы систем автоматизированного проектирования технических поверхностей. - М.: Изд-во МАИ, 1980. - 86с. 76. Якунин В.И. Методологические вопросы геометрического моделирования геометрического проектирования и конструирования сложных поверхностей: Учебное пособие. - М.: Изд-во МАИ, 1990. - 76 с. 77. Зубков В.А. Метод геометрического конструирования аэродинамических поверхностей типа "крыло-оперение" и автоматизация их воспроизведения на оборудовании с ЧПУ/ Автореферат дис. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук.- М., 1977. - 20 с. 78. Математика и САПР. Кн.1: Основные методы. Теория полюсов.- М.: Мир, 1988. - 208 с. 79. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. - М.: Мир, 1982. – 304 с. 80. Ньюмен У., Спрулл Р. Основы интерактивной машинной графики.- М.: Мир, 1976. - 573 с. 81. Хемнинг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1972. - 400 с.

82. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. - М.: Мир, 1989. - 480 с. 83. Алексейчик В.В, Ершов В.К., Иванченко А.Н, Пальцев В.А. Структура модели процесса намотки в системе автоматизированного проектирования управляющих программ с ЧПУ// Системы управления технологическими процессами: Сборник трудов.- Новочеркасск, 1980, с. 49-53. 84. Анисимов Л.Я., Борох Г.Р., Вертков В.Е., Скрипников В.Н. Применение микропроцессорной системы управления при изготовлении серийных изделий методом намотки на станке НК10ПУ// Авиационная промышленность.- 1984. Приложение №1.C.41. 85. Анисимов Л.Я., Вертков В.Е., Второва М.Б. Проект гибкого автоматизированного программно-технического комплекса для проектирования технологического процесса намотки// Конструкции и технология получения изделий из неметаллических материалов: Тезисы докладов, ч. 3.- Обнинск, ОНПО “Технология”, 1984.- C.70. 86. Шукшунов В.Е., Жуковский В.Г., Евченко А.И., Калинин И.А., Твердохлебов Н.Ф., Черноморов Г.А. Автоматизированные системы управления намоточными станками.- М.: Машиностроение, 1985. - 208 с. 87. Шукшунов В.Е., Чикильдин Я.Я., Алпатов Ю.Н. Алгоритмы управления исполнительными органами агрегатов с программным управлением для изготовления изделий из стеклопластиков// Труды Новочеркас. политехн. ин-та им. С.Орджоникидзе.- Новочеркасск.- 1968. Т.182.- С.55-58. 88. Алберг Дж., Нильсен Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. – М.: Мир, 1972. – 230 с. 89. Coons S.A. Surfaces for computer aided design of space forms// Project MAC, M.I.T., Report MAC-TR-41, 1967. 90. Coons S.A. Modification of the shape of piecewise curves.Computer Aided Design, 1977, v.3 № 9, pp. 178-180. 91. Ferguson J.C. Multivariable curve interpolation// The Boing Co., Seatle, Washington, Report No. D2-22504. 92. Bezier P. Example of an existing system in the motor industry: The UNISURF System.- Proc. Royal Soc., London, 1971, A 321, pp. 207-218.

205

206

93. Дубровин Б.А., Новиков С.П. Фоменко А.Т. Современная геометрия. – М.: Наука, 1979. – 759 с. 94. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Снигирев В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. – М.: Наука, 1989. – 208 с. 95. Бахвалов Н.С. Численные методы. Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1973. 632 с. принципы 96. Конструктивно-технологические производства деталей летательных аппаратов из композиционных материалов: Учеб. пособие/ Гайдачук В.Е., Гречка В.Д., Кобрин В.Н.- Харьков: Изд-во Харьк. авиац. ин-та, 1986.- 96с. 97. Второва М.Б., Борох Г.Р., Королева И.П., Фролов В.К. Проектирование геометрической формы оправки для намотки конструкций со сложнопрофильной поверхностью// Авиационная промышленность.- 1990.- № 7.- C. 10-12. 98. Миткевич А.Б., Протасов В.Д. Равновесные стеклопластиковые баллоны давления минимальной массы при негеодезической намотке// Механика полимеров.- 1975.- № 6.C.983-987. 99. Минаков А.П. К вопросу о равновесии идеальногибкой нити на шероховатой поверхности// Ученые записки МГУ.- М., 1951. Вып. 154.- С.241-266. 100. Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити.- М.: Наука, 1980.- 240 с. 101. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – М.: Гостехиздат, 1956. – 420 с. 102. Проектирование конструкций из волокнистых композиционных материалов/ С.Б.Черевацкий, Е.М.Центовский, Ю.П.Ромашов, Н.Г.Мороз, В.Д.Протасов. – М., ЦНИИ информации, 1986. – 160 с. 103. Росато Д.В., Грове К.С. Намотка стеклонитью: Пер. с англ. /Под ред. В.А.Гречишкина.- М.: Машиностроение, 1979.179 с. 104. Щедров В.С. Основы механики гибкой нити.- М.: Машгиз, 1961.- 172 с.

105. Норден А.П. Теория поверхностей. – М.: Гостехиздат, 1956. – 215с. 106. Пушков В.П., Щербаков Ю.М., Моисеев Е.В., Гришаев В.П. Поддубский В.А. Технология изготовления лопастей воздушных винтов из КМ методом намотки// Авиационная промышленность.- 1978. Приложение № 2.С. 40-42. 107. Бедовый А.А., Водовозов В.М. Подготовка управляющих программ для формирования стеклопластиковых оболочек// Механика композитных материалов.- 1988.- № 4.C. 665-668. 108. Водовозов В.М. Прямое управление намоточным процессом от микроЭВМ// Механика композитных материалов.1985.- № 5.- C.892-896. 109. Водовозов В.М. Кинематический синтез управления движением намоточного оборудования// Механика композитных материалов.- 1992.- № 5.- C.650-656. 110. Ямалов Р.Б. Система управления станком с ЧПУ СИУС-99CNC на базе микроЭВМ “Электроника-60М”// Авиационная промышленность.- 1989.- № 11.- C.52-53. 111. Сосонкин В.Л. Программное управление технологическим оборудованием.- М.: Машиностроение, 1991.512 с. 112. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника: Пер. с англ.- М.: Мир, 1989.- 624 с. 113. Grosky W., Tamburino L.A., "A unified approach to the linear camera calibration problem", IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell., vol. 12, no. 7, pp. 663-671, July, 1990. 114. Yoshihiko N., Michihiro S., Hiroshi N., Atsushi I. Simple Calibration Algorithm for Nigh-Distortion-Lens Camera.IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence. Vol.14, No.11, pp.1095-1099, 1992. 115. Ling-Ling Wang, Wen-Hsiang Tsai. Camera calibration by Vanishing Lines for 3-D Computer Vision. IEEE Trans. On Pattern Analysis and Machine Intelligence. Vol.13, No.4, April, 1991. 116. Грузман И.С., Киричук В.С., Косых В.П., Перетягин Г.И., Спектор А.А. Цифровая обработка изображений в

207

208

информационных системах: Учебное пособие.- Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. – 168 с. 117. Найханов В.В., Цыдыпов Ц.Ц., Дампилов Н.Н. Методика автоматического определения расстояния от оптического центра до фотослоя камеры и коэффициента преобразования между единицами измерения на ее фотослое. //Роль геометрии в искусственном интеллекте и САПР: Сб. докладов Всероссийской научной конференции.- Улан-Удэ, ВСГТУ, 1996, с. 15-20. 118. Найханов В.В., Цыдыпов Ц.Ц., Аюшеев Т.В. Исследование точностных характеристик систем технического зрения, используемых для автоматической оцифровки поверхностей объемных объектов сложной формы на основе полутоновой информации.: Отчет по НИР, выполненной по единому заказ-наряду № 1.4.96 Исследование геометрических вопросов проблемы искусственного интеллекта.- Улан-Удэ, 1998. 119. Найханов В.В., Цыдыпов Ц.Ц., Дампилов Н.Н. Определение точки пересечения оптической оси объектива камеры с плоскостью изображения. //Роль геометрии в искусственном интеллекте и САПР: Сб. докл. Всерос. науч.техн. конф. -Улан-Удэ, Изд-во ВСГТУ, 1996.- С.24-25. 120. Найханов В.В., Якунин В.И., Цыдыпов Ц.Ц. Автоматизация калибровки камеры// Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации: Науч.-метод. сборник докладов. - Саратов, Изд-во СГТУ, 1996. 121. Найханов В.В., Якунин В.И., Цыдыпов Ц.Ц. Автоматизация калибровки камеры// Международная конференция по компьютерной геометрии и графике «КОГРАФ 96»: Тез. науч. конф.- Нижний Новгород, 1996.- С.66-68.

209

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………………………………………….………………3 Глава 1. Моделирование составных трехмерных тел многослойной структуры………………………………10 1.1. Моделирование тела с граничными поверхностями Кунса…………………………………………………….11 1.1.1. Построение модели тела с применением обобщенной линейной интерполяции……………………………….12 1.1.2. Построение модели тела с применением обобщенной интерполяции Эрмита…………………………………..23 1.2. Моделирование тела на непрямоугольном каркасе…………………………………………………...36 1.3. Применение разработанной модели для описания тела намотки лонжерона стабилизатора вертолета…..53 Глава 2. Геометрические модели процесса укладки ленты из композиционных материалов с однонаправленными волокнами при намотке………………………………...61 2.1. Объемная основная модель укладки ленты на оправку произвольной формы…………………………………...62 2.2. Некоторые видоизменения основной модели………...80 2.3. Моделирование укладки ленты внахлест……………..82 2.4. Применение разработанной модели для оправки, имеющей форму эллиптического параболоида………88 2.5. Применение разработанной модели для оправки лонжерона стабилизатора вертолета…………………108 Глава 3. Расчета параметров процесса намотки……………….111 3.1. Расчет углов намотки………………………………….111 3.2. Расчет углов геодезического отклонения……………119 3.3. Расчет деформации нитей, волокон ленты…………..125 3.4. Прилегание ленты к поверхности оправки…………..132 3.5. Натяжение нитей, волокон ленты…………………….138 Глава 4. Адаптивное управление процессом намотки с применением технического зрения…………………148 4.1. Формирование управляющей программы для намоточного оборудования………………………149 4.2. Разработка метода адаптивного управления процессом намотки с применением технического зрения………153

210

4.2.1. Определение реальной траектории укладки ленты на поверхность оправки……………………………….154 4.2.2. Калибровка видеокамеры……………………………..163 4.2.3. Определение положения средней нити ленты между раскладчиком ленты и оправкой……………………...177 4.3. Описание экспериментальной установки намоточного робота…………………………………………………...180 4.4. Методика проведения эксперимента………………….184 4.5. Результаты экспериментальных исследований………189 Заключение………………………………………………………196 Библиографический список….……..…………………………...198

Научное издание

Тумэн Владимирович Аюшеев Геометрические вопросы адаптивной технологии изготовления конструкций намоткой из волокнистых композиционных материалов Утверждено к печати ученым советом Отдела физических проблем при Президиуме БНЦ СО РАН Редактор Т.А.Стороженко Подписано в печать 15.02.2005 г. Формат 60×84 1/16. Печать офсетная. Бумага писчая. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 12,32. Уч.-изд. л. 12,0. Тираж 500 экз. Заказ № 32. Издательство БНЦ СО РАН 670047, г. Улан-Удэ ул. Сахьяновой, 8. ___________________________________________________ Отпечатано в типографии ВСГТУ, г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 42.

211

212