Высшая математика. Задачи

ГЛАВА II. ДИФ ФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ф УНКЦИИ  ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ  2.1.  Определение. Предел функции двух переменны х  Конт рольны е вопросы  и примеры  1.  Дайте определение функции двух переменных.  2.  Что называется d­окрестностью точки M0  на плоскости?  3.  Какая точка M0  называется внутренней точкой множества D на плоскости?  4.  Какое множество D на плоскости называется открытым?  5.  Какая точка M0  называется предельной точкой множества D на плоскости?  6.  Какое множество D на плоскости называется замкнутым?  7.  Пусть существуют две последовательности точек на плоскости M n (1 )  и M n ( 2 )  такие, что M n (1 ) ¾n ¾ ¾ ® M ( 0 ) ( x 0 ;  y 0 )  и M n ( 2 ) ¾n ¾ ¾ ® M ( 0 )  ( x 0 ;  y 0 )  ®¥ ®¥

причем lim  f ( M n (1 ) ) = lim  f ( M n (2 ) ) = 10 . 

n ®¥

n ®¥

Можно ли считать, что  lim  f ( x ;  y)  = 10  ? 

x ® x 0  y ® y 0 

Ответ нужно обосновать.  8.  Как доказать, что предел  lim  f ( x ;  y) 

x ® x 0  y ® y 0 

не существует?  Задачи и примеры  с решениями  1. Каков геометрический образ функции  z=xy ?  Решение. Для построения поверхности используем метод сечений. В вертикальном  сечении y=x получаем параболу  z =  x 2  . В сечении y=­x получаем параболу  z = - x 2 . В  горизонтальном сечении z=0 получаем xy=0, т.е. x=0 или y=0. Это дает пару прямых x=0 и  y=0, совпадающих с осями координат. В горизонтальном сечении z=c (c¹0), получаем xy=c  или  y = 

c  ­ уравнение гиперболы. x

Очевидно, что поверхность представляет собой гиперболический параболоид.  Чертеж поверхности дан на рис. 2.1.1.  2. Найти область определения функции z = ln ( x 2  -  y 2 ) . 

Решение. Область определения определяется  неравенством  x 2  - y 2  > 0 x 2  >  y 2 x  >  y

Рис. 2.1.1 

y  <  x . 

При y³0 получаем условие  y <  x .  Область, соответствующая этому условию, показана штриховкой на рис. 2.1.2.а.  При y<0 получаем условие - y <  x  или 

y > - x .  Область, соответствующая этому условию показана на рис. 2.1.2.б.  Объединение этих областей дает область определения функции (см. рис. 2.1.2.в). 

Рис. 2.1.2

Пунктирные линии указывают на то, что границы области не входят в область  определения, т.е. эта область является открытой.  3. Существует ли предел  xy  2  ?  x ® 0  x  +  y y ® 0 

lim 

2 

Решение. Непосредственное нахождение предела невозможно, так как возникает  æ 0 ö неопределенность вида  ç ÷ .  è 0ø

1 й  способ. Рассмотрим две последовательности точек, стремящихся к точке O(0; 0): æ 1  1 ö M n (1 ) ç ;  ÷ ¾n ¾ ¾® O ( 0 ;  0 ) , ®¥  è n  n ø ( ) æ 1  2 ö M n 2  ç ;  ÷ ¾n ¾ ¾® O ( 0 ;  0 ) .  ®¥  è n  n ø

Очевидно, что æ 1  ö 1  1  ç 2  ÷ × è n  ø 1  n  n  (1 ) lim  f ( M n  ) = lim  = lim  =  , 1  n ®¥ æ 2  ö 2  n ®¥ n ®¥ 1  + ç 2  ÷ èn ø n 2  n 2 

(

lim  f  M n ( 2 )

n ®¥

) 

æ 2  ö 1  2  ç 2  ÷ × è n  ø 2  n  n  = lim  = lim  =  .  n ®¥ 1  4  n ®¥ æ 5  ö 5  + ç 2  ÷ èn ø n 2  n 2 

Таким образом,

(

)

(

lim  f  M n ( 1 ) ¹  lim  f  Mn ( 2 )

n ®¥

n ®¥

) 

и предел  lim  x ® 0  y ® 0 

xy  x  +  y 2  2 

не существует.  2 й  способ. Перейдем к полярным координатам:  x = r cos j .  y =  r sin j  Тогда xy  r cos j × r sin j r 2  × sin j × cos j lim  2  = lim  2  =  2  = lim  2  2  2  2  x ® 0  x  + y  r ® 0  r  cos  j + r  sin  j r ® 0  r ( cos 2  j + sin 2 j )  y ® 0  = limsin j × cos j = r ® 0 

1  limsin 2j  .  2  r ® 0 

В любой сколь угодно малой окрестности точки O(0; 0) есть точки, где  sin 2 j =  0 (например, при j = 

p 2 

) и точки, где  sin j = 1 (например, при j = 

p 4 

). Поэтому не 

существует такой окрестности точки O(0; 0), чтобы при любом e>0 выполнялось  неравенство  sin 2j - c  < e

для какого­то числа c. Это говорит о том, что предел

limsin 2j ,  r ®0 

а с ним и исходный предел, не существует.  4. Найти предел  xy 3  lim  2  2  .  x ® 0  x  +  y y ® 0  Решение. Непосредственное нахождение предела невозможно, так как возникает  æ 0 ö неопределенность вида  ç ÷ .  è 0ø 1 й  способ. Будем искать предел, используя определение предела. Очевидно, что 2 

xy 3  xy  xy  y  xy 3  2  2  0  = = y  × £ y  × = < e  x 2  + y 2  2 x 2  + y 2  0 + 2 xy  ( x - y ) 2  + 2 xy  для любого e>0, как только  2 

y  < 2e  y <  2e  . 

или  Обозначим d =  2 e . 

Таким образом, для любого e>0 можно найти d = 2 e >  0  такое, что, как только  выполняется условие  y - 0 < d  (и  x - 0 < d ), 

будет выполнятся неравенство  xy 3  - 0 < e .  x 2  + y 2 

Это и означает, что  xy 3  lim  2  2  =  0.  x ® 0  x  + y y ® 0  2 й  способ. Введем полярные координаты:  x = r cos j .  y =  r sin j  Тогда xy 3  r cos j × r 3  sin 3  j r 4  × cos j × sin 3 j lim  2  = lim  2  = lim r 2  × cos j × sin 3  j  =  0 ,  2  = lim  2  2  2  2  x ® 0  x  + y  r ® 0  r  cos  j + r  sin  j r ® 0  r  ( cos 2  j + sin 2  j )  r ® 0  y ® 0  т.к.  cos j × sin 3 j ­ функция ограничена, а  r 2®0.

5. Будут ли равны повторные пределы при x®0 и y®0 для функции  1  + y  x  ?  x +  y 

x × sin f ( x ;  y )  =

Решение. Найдем сначала предел  1  1 x × sin  + y  lim x × sin  + y  x ® 0  x  x  A 1  = lim lim  = lim  .  y ®0  x ® 0  y ® 0  x + y  y 

Поскольку x®0, а функция  sin 

1  ­ ограничена, то  x  1  lim x × sin  =  0 ,  x ® 0  x

и тогда  0 + y  A 1  = lim  = 1 .  y ® 0  y 

Найдем теперь предел  1  1  x × sin  + y  x × sin  x  x  = lim sin 1 .  A 2  = lim lim  = lim  x ® 0  y ® 0  x  ® 0  x ® 0  x + y  x  x  1  Данный предел не существует, т.к. в любой окрестности точки x=0 найдутся такие точки, где  sin  = 1 , и  x 1  такие точки, где  sin  = - 1 .  x

Повторный предел A 2  не существует.

Задачи и примеры  без решений  1. Каков геометрический образ следующих функций:  1)  z = 4 - x 2  -  y 2  ; 

Ответ: параболоид вращения. 

2)  z = x 2  + y 2  + 1 ; 

Ответ: параболоид вращения. 

3)  z = 2 x + 3 y + 5 ; 

Ответ: плоскость. 

4)  z = 1 - x 2  -  y 2  ; 

Ответ: верхняя часть сферы. 

5)  z = y 2  - x ; 

Ответ: гиперболический параболоид. 

6)  z = - x 2 

Ответ: параболический цилиндр. 

2. Найдите область определения следующих функций:  1) z = ln ( y -  x) ; 

6)  z =

2) z = ln ( x 2  +  y 2 ) ; 

y  7)  z = arcsin  ;  x

x -  y : 

3)  z =

x + y  ;  x -  y

y  8)  z = tg  ;  x

4)  z =

y - x  ;  x 2  +  y 2 

9)  z =

5)  z = 1 - x 2  -  y 2  ; 

1  1 - x 2  -  y 2 

; 

x  y  10)  z = arcsin  + arcsin  .  a  b

3. Подобрать аналитические выражения, областями определения которых были бы  следующие множества:  1) плоскость с "выколотой" точкой M0(­2; 3).  2) плоскость с "удаленной" окружностью  x 2  + y 2  = 16 .  3) полукруг  x 2  + y 2  £ 64 ; x>0.  4. Найти пределы:  y 2 x  1)  lim  2  2  ;  x ® 0  x  +  y y ® 0 

Ответ: 0. 

1 + x 2  + y 2  - 1  2)  lim  ;  2  2  x ® 0  x  +  y y ® 0 

Ответ: 0. 

3) lim  x ® 0  y ® 0 

sin ( x 4 y 2 ) 2  2 

( x  +  y )  2 

; 

Ответ: 0.

4  Ответ:  .  3 

4)  lim  f ( x ;  y) , где  x ®1  y ® 1 

ì x 2  + 2 xy - 3 y 2  при x ¹ y  ïï x 3  - y 3  f ( x ,  y ) = í ï 4  при x = y  ï  î 3  5. Доказать, что следующие пределы не существуют:  x - y  ;  x ® 0  x +  y y ® 0 

1)  lim 

ì x 3  + y 3  при ( x ;  y )  ¹ ( 0 ;  0 )  ï 2)  lim  f ( x ;  y) , где  f ( x ,  y )  = í x 4  + y 4  x ® 0  ï 0  y ® 0  при ( x ;  y )  = ( 0 ;  0 )  î 6. Существуют ли повторные пределы при x®0 и y®0 для функции  f ( x ;  y ) = x × sin

1  y 

Ответ:  lim lim  f существует,  y ® 0  x ® 0 

lim lim  f не существует.  x ® 0  y ® 0 

2.2.  Непреры вность  функции двух переменны х  Конт рольны е вопросы  и примеры  1.  Дайте определение непрерывной в точке M0  функции z=f(x; y).  2.  При каких условиях функция f(x; y) достигает в области D своих точных верхней  и нижней границ?  Примеры  и задачи с решениями  1. Будет ли непрерывной в точке O(0; 0) функция  ì xy 3  2  2  ï 2  2  при  x  + y  > 0 ,  f ( x ;  y )  = í x  + y  ?  ï 0  при  x = 0 и y = 0 .  î

Решение. Функция f(x; y) определена в точке O(0; 0):  f(0; 0)=0.  Кроме того,  lim  f ( x ;  y)  = 0 .  x ® 0  y ® 0 

(см. пример 4, в предыдущем параграфе).  Поэтому

lim  f ( x ;  y )  = f ( 0 ;  0 )  =  0  x ® 0  y ® 0 

и функция непрерывна в точке O(0; 0).  2. Будет ли непрерывной в точке O(0; 0) функция  ì xy  2  2  ï 2  2  при  x  + y  > 0 ,  x  + y  f ( x ;  y )  = í ?  ï 0  при  x = 0 и y = 0 .  î Решение.  lim  f ( x ;  y)  не существует.  x ® 0  y ® 0 

(см. пример 3, в предыдущем параграфе).  Поэтому функция f(x; y) терпит разрыв в точке O(0; 0).  3. Исследовать функцию  f ( x ;  y ) =

1  x  + y 2  - 1  2 

на непрерывность.  Решение. Функция не определена при  x 2  + y 2  - 1 = 0 ;  x 2  + y 2  = 1 ,  т.е. в точках окружности  x 2  + y 2  = 1 . В этих точках функция терпит разрыв. В остальных  точках функция непрерывна.  Примеры  и задачи без решений  1. Найти точки разрыва функции:  1).  f ( x ;  y ) =

x - y  ;  x +  y 

2).  f ( x ;  y ) =

3 x - 4  ;  x  + y 2  - 9  2 

x 2  + y 2  3).  f ( x ;  y ) = 2  ;  x  -  y 2  4).  f ( x ;  y ) =

5  ;  x  +  y 2  2 

5). f ( x ;  y )  = ln(16 - x 2  -  y 2 ) .

2. Будут ли непрерывными в точке O(0; 0) функции:  ì y 2 x  2  2  ï 2  2  ,  если x  + y  > 0  1).  f ( x ;  y )  = í x  + y  ï 0  ,  если x = 0 и y = 0  î

Ответ: да 

ì y 3 x  2  2  ï 2  2  ,  если x  + y  > 0  x  + y  2).  f ( x ;  y )  = í ï 5  ,  если x = 0 и y = 0  î

Ответ: нет 

3. Доопределить следующие функции в точках, где они не определены, так, чтобы  они оказались непрерывными в этих точках:  1).  f ( x ;  y ) =

x 2  y 2  ;  x 2  +  y 2  2 

3 

( x - 2 ) 2  + 2 ( y - 3 ) + ( x - 2 ) 4 ( y - 3 ) 2). f ( x ;  y ) = .  2  ( x - 2 ) 2  + 2 ( y - 3 )  2.3.  Частны е производны е  Конт рольны е вопросы  и примеры  1.  Что называется частным приращением функции z=f(x; y)?  2.  Дайте определение частной производной первого порядка от функции z=f(x; y).  3.  Сколько производных третьего порядка может быть у функции u=f(x; y; z)?  4.  Всегда ли верно равенство f xy  ¢¢ ( x 0 ;  y 0 ) = f yx  ¢¢ ( x 0 ;  y 0 ) ?  Задачи и примеры  с решениями  1. Найти частные производные первого порядка по x и по y функции z = sin ( x 2 y ) +

1  2 

x  +  y 2 

. 

Решение. При дифференцировании по x, переменная y полагается постоянной  величиной. ¢ 1  3  é 2  ¢ 1  2  - 2  ù z ¢x  = cos(x  y )(x  y )x  + ê(x  + y  ) ú = cos (x 2  y ) × 2 xy - (x 2  + y 2 ) 2  (x 2  + y 2  ) x  = 2  ë û x  2 

2 

= 2 xy × cos (x 2 y ) -

¢

2 x  2  (x  + y  ) 2 

2  3 

= 2 xy cos (x 2 y ) -

x 

(x  + y  )  2 

2  3 

. 

При дифференцировании по y, переменная x полагается постоянной величиной. 3  1  -  z ¢y  = cos ( x 2 y )( x 2 y ) y ¢ - ( x 2  + y 2 ) 2  ( x 2  + y 2 ) y ¢ = x 2  cos ( x 2 y ) 2 

y  2  3 

( x  + y  ) 2 

.

2. Показать, что функция  u = tg( x - at ) + ln( x + at )  удовлетворяет уравнению 2  ¶ 2 u 2  ¶ u =  a  ¶t 2  ¶x  2 

(a ­ постоянная величина).  Решение. Находим

¶u  : ¶t   

¶u  1  1  - ( a ) a  ( x - at ) t ¢ + ( x + at ) t ¢ = = u t ¢ = + =  2  2  ( x + at ) ¶t   cos  ( x - at ) cos ( x - at ) ( x + at ) - 1 

= - a cos -2 ( x - at ) + a ( x + at ) .  Находим

¶ 2 u : ¶t   2 

¶ 2 u  ² ¢ ¢ ¢ - 2  ¢ = u tt  = æç u t  ö÷ = (- a )(- 2 ) cos - 3 ( x - at )[cos ( x - at )]t  - a ( x + at ) ( x + at )t  = 2  è ø t  ¶t  2 a 2  sin ( x - at ) a 2  - 2  = -2 a cos - 3 ( x - at ) sin ( x - at )( x - at ) t ¢ - a 2 ( x + at ) = = cos3 ( x - at ) ( x + at ) 2  é 2 tg ( x - at ) 1  ù = a 2  ê 2  2  ú .  ë cos  ( x - at ) ( x + at ) û

Находим

(*) 

¶u  : ¶ x 

¶u  1  1  1  1  ( x - at ) x ¢ + ( x + at ) x ¢ = 2  = u x ¢ = + =  2  ¶x    cos  ( x - at ) x + at  cos ( x - at ) x + at  - 1 

= cos -2 ( x - at ) + ( x + at ) . 

Находим

¶ 2 u : ¶x    2 

¶ 2 u  ² ¢ ¢ ¢ - 2  ¢ = u xx  = æç u x  ö÷ = -2 cos 3 ( x - at )(cos ( x - at )) x  - ( x + at ) ( x + at ) x  = 2  è ø x  ¶x  = 2 cos - 3 ( x - at ) sin ( x - at )( x - at ) x ¢ - ( x + at ) =

- 2 

=

2 tg ( x - at ) 1  .  2  cos  ( x - at ) ( x + at ) 2 

(**) 

Сравнивая формулы (*) и (**), получаем, что 2  ¶ 2 u 2  ¶ u =  a  .  ¶t 2  ¶x  2 

Задачи и примеры  без решений

1. Найти частные производные первого порядка по x и по y следующих функций:  Ответы: z = cos ( xy 2 ) -

1

z x ¢ =

( x  +  y )  2 

2 

z y ¢ =

2 x 

( x  + y  ) 2 y 

2  2 

( x  + y  )

z x ¢ =

z = arcsin  x 2  +  y 2 

2  2 

2 

z y ¢ =

2 

-  y 2  sin( xy 2 )  - 2 xy sin ( xy 2 )  x 

2 

1 - x  - y 2  x 2  +  y 2  y  2 

1 - x  - y 2  x 2  +  y 2 

. 

2. Показать, что функция u = ln ( x - at ) + cos ( x + at )  удовлетворяет уравнению 2  ¶ 2 u 2  ¶ u =  a  .  ¶t 2  ¶x  2 

3. Проверить, что

¶ 2 z  ¶ 2 z  =  ¶x ¶y  ¶y ¶x  для функции z = cos 2  ( x +  y) . 

2.4.  Полны й дифференциал. Дифференцируемость  функции  двух переменны х. Уравнения касательной плоскости и  нормали к поверхности  Конт рольны е вопросы  и примеры  1.  Что называется полным приращением Dz функции Z=f(x; y)?  2.  Чем отличается полное приращение Dz от частных приращений Dzx, Dzy?  3.  Дайте определение полного дифференциала dz.  4.  Какая функция z=f(x; y) называется дифференцируемой в точке (x; y)?  5.  В чем отличие дифференцируемости функции двух переменных z=f(x; y) от  дифференцируемости функции одной переменой y=f(x)?  6.  Запишите свойства полного дифференциала.  7.  Какая плоскость называется касательной к поверхности в данной точке?  Запишите уравнение касательной плоскости.

8.  Что называется нормалью к поверхности в данной точке? Запишите уравнение  нормали.  Примеры  и задачи с решениями  1. Для функции  z = x 2  + xy +  y 2  найдите полное приращение Dz и полный  дифференциал dz.  Решение. Dz = f ( x + Dx ;  y + D y ) - f ( x ;  y) = 

[( x + Dx )

2 

+ ( x + Dx )( y + Dy ) + ( y + Dy )

] - [ x  + xy + y  ] = x  + 2 x Dx + ( Dx )  + xy + x D y +

2 

2 

2 

2 

2 

[

2 

]

+ y Dx + Dx Dy + y 2  + 2 y Dy + ( Dy ) - x 2  - xy - y 2  = (2 x + y )Dx + ( 2 y + x ) D y + 

[

2 

]

2  + ( Dx ) + Dx Dy + ( D y ) . 

Здесь первая квадратная скобка есть главная линейная часть приращения, а вторая  квадратная скобка ­ бесконечно малая величина o(Dr) по сравнению с 2 

2  Dr = ( Dx ) + ( Dy ) . Тогда

[

]

Dz = (2 x + y )Dx + (2 y + x ) Dy + o ( D r ) .  В соответствии с определением полного дифференциала имеем dz = (2 x + y )Dx + (2 y +  x ) D y . 

Поскольку x и y ­ независимые переменные, то  dx=Dx  и  dy=Dy,  и окончательно имеем dz = ( 2 x + y dx  ) + (2 y + x dy )  . 

Замечание. В данном примере полный дифференциал dz найден непосредственно  по определению. Разумеется, если бы нужно было найти только dz, то ответ можно было  получить проще: dz = z x ¢ dx + z y ¢ dy = ( x 2  + xy + y 2 ) x ¢ dx + ( x 2  + xy + y 2 ) y ¢ dy = (2 x + y dx  ) + ( 2 y + x dy  )  . 

2. Найти дифференциал функции  z =  x y .  Решение. z x ¢ = ( x y ) x ¢ = yx y -1 ; z y ¢ = ( x y ) y ¢ =  x y ln x ;  dz = z x ¢ dx + z y ¢ dy = yx y -1 dx + x y ln xdy .  3. Найти дифференциал функции  z =

x 2  - y 2  . 3 x - 2 y

Решение. Используя формулу для дифференциала частного, получаем æ x 2  - y 2  ö d ( x 2  - y 2 )( 3 x - 2 y ) - ( x 2  - y 2 )d (3 x - 2 y ) dz = d ç =  ÷= è 3 x - 2 y ø (3 x - 2 y) 2 

(2 xdx - 2 ydy )(3 x - 2 y ) - ( x  - y  )( 3 dx - 2 dy ) = =  (3 x - 2 y) 2 

2 

2 

=

2 x (3 x - 2 y dx  ) - 2 y (3 x - 2 y dy  ) - 3 ( x 2  - y 2 )dx + 2 ( x 2  - y 2 )dy 

(6 x  - 4 xy - 3 x  = ( 3 x - 2 y ) 2 

2 

+ 3 y 2 )

2 

=

2 

(3 x - 2 y)

3 x 2  - 4 xy + 3 y 2 

(3 x - 2 y )

2 

dx +

= 

( - 6 xy + 4 y  + 2 x  - 2 y  ) dx + dy =  (3 x - 2 y ) 2 

2 

2 

2 

2 x 2  - 6 xy + 2 y 2 

(3 x - 2 y )

2 

dy . 

x 2  4. Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности  z = -  y 2  2  в точке M0(2; ­1; 1).  Решение.  z x ¢ =

2 x  =  x ; z x ¢ ( M 0 ) =  2 ;  2 

z y ¢ = -2 y ; z y ¢ ( M 0 ) =  2 .  Используя уравнение касательной плоскости

( z - z  ) = z  ¢ ( M  )( x - x  ) + z  ¢ ( M  )( y -  y  ) ,  0 

x 

0 

0 

y

0 

0 

получаем

( z - 1 ) = 2 ( x - 2 ) + 2 ( y + 1 )  z - 1 = 2 x - 4 + 2 y + 2  2 x + 2 y - z - 1 = 0 .  Используя уравнение нормали

( x - x  ) ( y - y  ) = = -( z - z  ) ,  z  ¢ ( M  ) z  ¢ ( M  ) 0 

0 

0 

x 

0 

y

0 

получаем x - 2  y + 1  = = -( z - 1 )  2  2  x - 2  y + 1  z - 1  = = .  2  2  - 1 

Примеры  и задачи без решений

1. Для функции  z = y 2  - xy найти полное приращение Dz и полный дифференциал  dz. 

[

]

Ответ: Dz = - y Dx + (2 y - x )Dy + o ( D r ) ; dz = - ydx + (2 y -  x dy )  .  2. Найти полный дифференциал для следующих функций  z =  y x z =

Ответ:  dz = y x  ln ydx + xy x- 1 dy ; 

x 2  + y 2  2 x + 3 y

Ответ: dz = 

2 x 2  + 6 xy - 2 y 2 

(2 x + 3 y )2 

(- 3 x  + 4 xy + 3 y  ) dy  2 

dx +

(2 x + 3 y ) 2 

3. Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности  y 2  z = -  x 2  в точке M0(­1; 2; 1).  Ответ:  2 x + 2 y - z - 1 = 0 ; 

x + 1  y - 2  z - 1  = = .  2  2  - 1 

2.5. Производная сложной функции. Производная функции  заданной неявно. Дифференциалы  вы сших порядков  Конт рольны е вопросы  и примеры  1.  Какая функция двух переменных (x, y) называется сложной.  2.  Запишите формулы для первых производных от сложной функции.  3.  Какая производная 

dz называется полной производной?  dt 

4.  Запишите формулу для производной от функции, заданной неявно.  5.  В чем состоит свойство инвариантности первого дифференциала?  6.  Запишите формулу для  d 2 z .  Задачи и примеры  с решениями  1. Найти частные производные по x и y сложной функции  F  = u × sin v ,  где  u = x +  y ;  v =  xy . 

Решение. Используя формулы  F x ¢ = F u ¢ × u x ¢ + F v ¢ × v x ¢  F y ¢ = F u ¢ × u y ¢ + F v ¢ × v y ¢ ,  получаем F x ¢ = sin v × u x ¢ + u × cos v × v x ¢ = sin ( xy )( x + y ) x ¢ + ( x + y ) cos( xy )( xy ) x ¢ =  = sin ( xy ) + ( x + y ) cos ( xy ) y = sin ( xy ) + ( xy +  y 2 ) cos ( xy ) .

2 

F y ¢ = sin v × u y ¢ + u × cos v × v y ¢ = sin ( xy )( x + y ) y ¢ + ( x + y ) cos( xy )( xy ) y ¢ =  = sin ( xy ) + ( x 2  +  xy ) cos xy . 

2. Найти  y x ¢  для функции, заданной с помощью уравнения  x 2  + 6 xy + 2 y 2  - 4 x + 5 y - 3 =  0 .  Решение. Пусть  F ( x ;  y ) = x 2  + 6 xy + 3 y 2  - 4 x + 5 y - 3  F x ¢ ( x ;  y ) = 2 x + 6 y - 4 ;  F y ¢ ( x ;  y )  = 6 x + 6 y + 5  F x ¢ ( x ;  y )  2 x + 6 y - 4  ¢ y x  = =,  ¢ 6 x + 6 y + 5  F y ( x ;  y )  где x и y связаны уравнением F(x; y)=0.  3. Пусть дана функция D( t )  =

Найти. 

t 2 

cos t 

sin t  t + 2 

,  где |A| ­ определитель матрицы A. 

d D( t )  .  dt

Решение. Используя правило дифференцирования определителя (см. конспект  лекций, гл. 2, §8), получаем  2 t  cos t  t 2  - sin t  d D( t )  = + = 2 t ( t  + 2 ) - cos 2  t  + t 2  + sin 2  t  = 3 t 2 + 4 t -  cos  t  t  + 2  dt  sin t  1 

- (cos 2  t  - sin 2  t ) = 3 t 2  + 4 t  - cos 2 t .  4. Найти  d 2 z  для функции z = sin 3  ( x + 2 y) .  Решение. Находим производные первого и второго порядков: z x ¢ = cos ( 3 x + 2 y )( 3 x + 2 y ) x ¢ = 3 cos ( 3 x + 2 y ) ;

( )

z xx ² = z x ¢

¢

= -3 sin (3 x + 2 y )(3 x + 2 y ) x ¢ = -9 sin ( 3 x + 2 y ) ;

²  ¢ ¢ ¢ z xy  = æç z x  ö÷ = -3 sin (3 x + 2 y )(3 x + 2 y ) y  = -6 sin (3 x + 2 y ) ; è ø y  z y ¢ = cos ( 3 x + 2 y )(3 x + 2 y ) y ¢ = 2 cos (3 x + 2 y ) ;

( )

z yy ² = z y ¢ ¢ = -2 sin (3 x + 2 y )(3 x + 2 y ) y ¢ = -4 sin (3 x + 2 y ) . y 

Используя формулу  d 2 z = z xx ² dx 2  + 2 z xy ² dxdy + z yy ² dy 2  ,  получаем d 2 z = -9 sin (3 x + 2 y dx  ) 2  - 12 sin (3 x + 2 y dxdy  ) - 4 sin(3 x + 2 y dy  )  2  =  = - sin 3  ( x + 2 y )(9 dx 2  + 12 dxdy + 4 dy 2 ) . 

5. Найти  d 3 z  для функции  z = xe y  +  ye x .  Решение. Используя символическую формулу  3

æ¶ ¶ ö d  z = ç dx + dy ÷ z ,  ¶ y  ø è ¶x  3 

получаем  æ ¶ 3  3  ¶3 ¶ 3  ¶ 3  3 ö 2  2  2  d  z = ç 3  dx  + 3  2  dx  dy  + 3 dxdy  + 3  dy  ÷ z = ¶x  ¶y  ¶x ¶y 2  ¶y  è ¶x  ø 3 

¶ 3 z 3  ¶ 3 z  2  ¶ 3 z  ¶ 3 z 3  2  = 3  dx  + 3  2  dx  dy + 3  dxdy  + 3  dy  ¶x  ¶x  ¶y  ¶x ¶y 2  ¶y    или, в другой записи,:  2  3  d 3 z = z xxx  ¢¢¢ dx 3  + 3 z ¢¢¢ ¢¢¢ dxdy 2  + z ¢¢¢  xxy dx  dy + 3z xyy  yyy dy  . 

Находим частные производные: z x ¢ = ( xe y  + ye x ) x ¢ = e y  + ye x

( )

z y ¢ = ( xe y  + ye x ) y ¢ = xe y  + e x ² ¢ ¢ ¢ z yy  = æç z y  ö÷ = (xe y  + e x ) y  = xe y  è ø y 

z xx ² = z x ¢ ¢ = (e y  + ye x ) x ¢ = ye x x 

( )

( )

z xxx  ¢¢¢ = z xx ² ¢ = ( ye x ) x ¢ =  ye x

² ¢ = ( xe y ) ¢ =  xe y z ¢¢¢ yyy  = z yy  y 

x 

( )

y 

z xxy  ¢¢¢ = z xx ² ¢ = ( ye x ) y ¢ =  e x y 

² ¢ ¢ ¢ z xy  = æç z x  ö÷ = (e y  + ye x ) y  = e y  + e x  è ø y 

( )

z xyy  ¢¢¢ = z xy ² ¢ = ( e y  + e x ) y ¢ = e y  y 

Подставляя эти выражения в формулу (*), получаем  d 3 z = ye x dx 3  + 3 e x dx 2 dy + 3e y dxdy 2  + xe y dy 3 .  Задачи и примеры  без решений  1. Найти частные производные первого порядка по x и y от функции

)  2  ,   где  u =  x 2 y 3 ,  v = x +  y . F  = ( cos u v

(*) 

Ответ: F x ¢ = -2 xy 3 ( x + y ) sin ( x 2 y 3 ) + 2 ( x +  y ) cos( x 2 y 3 )  2 

F y ¢ = -3 x 2 y 2 ( x + y ) sin ( x 2 y 3 ) + 2 ( x +  y ) cos ( x 2 y 3 ) .  2 

2. Найти  y x ¢  для функций, заданных следующими уравнениями: 

( 3 x 2  - 6 xy + 4 y 2  + y + 3 ) ¢ а)  x  - 3 x  y + 4 xy  - 2 y  + xy + 3 x - 5 y + 6 = 0 , Ответ: y x = ;  ( - 6 y 2  + 8 xy - 3 x 2  + x - 5 )  3 

2 

2 

3 

б)  y = x + ln y ,  3. Найти  d 2 z , если  z =  e xy , 

Ответ:  y x ¢ =

y  .  y - 1 

Ответ:  d 2 z = e xy ( y 2 dx 2  + 2 xydxdy +  x 2 dy 2 ) . 

4. Найти  d 3 z , если  z =  e x cos y ,  Ответ:  d 3 z = e x (cos ydx 3  - 3 sin ydx 2 dy - 3 cos ydxdy 2  + sin ydy 3 ) .