Теория чисел: Рабочая учебная программа дисциплины

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Факультет ____математический___ Кафедра __алгебры и теории чисел УТВЕРЖДАЮ: Проректор по учебной работе УрГПУ ____________________ Т.Н. Шамало «____» _____________________2007 г.

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине ___«Теория чисел» для специальности 032100 «Математика» по циклу___«Дисциплины предметной подготовки» Очная форма обучения

Заочная форма обучения

Курс – 2 Семестр – 3 Объѐм в часах всего – 162 в т. ч.: лекции – 40 практические занятия – 40 лабораторные занятия – 0 самостоятельная работа – 82 Экзамен 3 – семестр

Курс – 2 Семестр – 4 Объѐм в часах всего – 162 в т. ч.: лекции – 10 практические занятия – 10 лабораторные занятия – 0 самостоятельная работа –142 Экзамен 5 – семестр

Екатеринбург 2007

Рабочая учебная программа по дисциплине «Теория чисел» ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Екатеринбург, 2007, 8 с. Составитель: Фрейдман П.А., доцент кафедры алгебры и теории чисел, к.ф.-м.н., доцент Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры алгебры и теории чисел УрГПУ Протокол от__7 апреля 2006_ г. № __8__ . Зав. кафедрой А.П. Ильиных Отделом нормативного обеспечения образовательного процесса УрГПУ выдан сертификат № ____ от ________ г. Начальник отдела ______________Р.Ю. Шебалов

2

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Курс "Теория чисел" имеет тесную связь с многими разделами школьным математики. Одни его темы, такие как "Наибольший общий делитель", "Наименьшее общее кратное", "Разложение натуральных чисел на простые множители", "Признаки делимости", непосредственное связаны со школьной программой, другие могут служить основой для факультативных курсов. Тема 2 содержит материал, связанный со свойствами простых чисел, основной теоремой арифметики натуральных чисел и числовыми функциями. Кроме доказательства теоремы Евклида о бесконечности множества простых чисел, полезно привести и какоенибудь другое доказательство, например, доказательство Эйлера. Следует рассказать о применении ЭВМ к нахождению простых чисел, сообщить студентам, какое самое большое простое число известно в настоящее время. Нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного натуральных чисел по их каноническим разложениям дает обоснование школьного способа нахождения НОД и НОК. Материал о простых числах Мерсенна и Ферма, совершенных и дружественных числах, о распределении простых чисел в натуральном ряде, о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях предполагается изложить обзорно. Этот материал может использоваться в школе для факультативных занятий. Кроме отмеченных в программе числовых функций   n  , s  n  , и [x] полезно вывести формулу для определения произведения   n всех делителей натурального числа n . Тема 4 программы посвящена теории сравнений в кольце целых чисел. Эта тема охватывает следующий важный материал: свойства сравнений по натуральному модулю n , функцию Эйлера   n  , сравнения первой степени, сравнения по простому модулю, первообразные корни и индексы по простому модулю. Так как более глубокое изучение теории групп переносится на старшие курсы, доказательство знаменитых теорем Эйлера, Ферма и Вильсона придется проводить, опираясь на свойства сравнений. Студенты должны уметь составлять таблицы индексов по простому модулю и уметь применять их для решения примеров. Материал темы 8 имеет большое значение для будущего учителя математики, так как имеет важные арифметические приложения. По курсу “Теория чисел” предусматривается проведение двух контрольных работ.

2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 2.1. Учебно-тематический план очной формы обучения Аудиторные Всего занятия № Наименование труПрап/п раздела, темы доем- Все- Лек- ктикость го ции ческие 1 Делимость целых чисел, НОД и его 24 12 6 6 свойства. 2 Простые числа. 18 8 4 4 3 Теоретико-числовые функции. 16 8 4 4 4 Теория сравнений. 40 20 10 10 5 Непрерывные дроби. 16 8 4 4 6 Решение сравнений. 16 8 4 4 7 Первообразные корни и индексы. 16 8 4 4 8 Приложения теории сравнений. 16 8 4 4 Итого 162 80 40 40

СамостоятельЛаная бораработа торные 12

Учебно-тематический план заочной формы обучения 3

10 8 20 8 8 8 8 82

Аудиторные Всего занятия № Наименование труПрап/п раздела, темы доем- Все- Лек- ктикость го ции ческие 1 Делимость целых чисел, НОД и его 24 2 2 свойства. 2 Простые числа. 18 2 2 3 Теоретико-числовые функции. 16 2 2 4 Теория сравнений. 40 4 2 2 5 Непрерывные дроби. 16 2 2 6 Решение сравнений. 16 4 2 2 7 Первообразные корни и индексы. 16 2 2 8 Приложения теории сравнений. 16 2 2 Итого 162 20 10 10

СамостоятельЛаная бораработа торные 22 16 14 36 14 12 14 14 142

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 1. Делимость целых чисел, НОД и его свойства. Делимость целых чисел, свойства делимости. Частное и остаток. Наибольший обший делитель и алгоритм Евклида. Свойства НОД и взаимно простых чисел. Наименьшее общее кратное и его свойства. 2. Простые числа. Простые числа. Свойства простых чисел. Бесконечность множества простых чисел. Решето Эратосфена. Неравенства Чебышева. Каноническое разложение натурального числа. 3. Теоретико-числовые функции. Целая и дробная части ействительногочисла.Число делителей и сумма делителей натурального числа. 4. Теория сравнений. Сравнения. Свойства сравнений. Полная система вычетов. Признак полной системы вычетов. Приведенная система вычетов. Признак приведенной системы вычетов. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма. Сравнения первой степени с одним неизвестным. 5. Непрерывные дроби. Представление действительных чисел непрерывными дробями. Подходящие дроби и их свойства. Теорема Лежандра о квадратичной иррациональности. 6. Решение сравнений. Решение в целых числах уравнения ax + by = c. Сравнение по простому модулю. Число решений сравнения по простому модулю. Теорема Вильсона. 7. Первообразные корни и индексы. Показатель числа по модулю, свойства показателя. Первообразные корни. Существование первообразных корней по простому модулю. Индексы и их свойства. 8. Приложения теории сравнений. Системы счисления, арифметические операции над числами в заданной системе счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Признаки делимости. Признак Паскаля. Десятичные дроби. Конечные, чистые периодические и смешанные периодические десятичные дроби. 4

4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Темы, вынесенные на самостоятельное обучение: 1. Теорема Лежандра о квадратичной иррациональности 2. Смешанные периодические десятичные дроби. Примерные темы курсовых работ: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Великая теоpема Феpма. Компьютеpные вычисления в теоpии чисел. Арифметика кольца целых гауссовых чисел. Теория сравнений в кольце. Системы счисления. Простые числа. Числа Фибоначчи.

Вопросы для экзамена: Отношение делимости. Свойства делимости. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Свойства НОД. Линейная фоpма НОД. НОД нескольких чисел. Взаимно простые числа. Свойства взаимно простых чисел. Наименьшее общее кратное. Свойства НОК. Наименьшее общее кратное нескольких чисел. 7. Простые числа. Свойства простых чисел. 8. Решето Эратосфена. Бесконечность множества простых чисел. 9. Основная теорема арифметики. 10. Теоретико-числовые функции. 11. Непрерывные дроби. 12. Подходящие дроби. Свойства подходящих дробей. 13. Сравнения. Свойства сравнений. 14. Полная система вычетов. 15. Приведенная система вычетов. 16. Функция Эйлера. 17. Теоремы Эйлера и Ферма. 18. Сравнения первой степени. 19. Сравнения высших степеней. 20. Решение неопределенных уравнений. 21. Показатель числа. Свойства показателя. 22. Первообразные корни по простому модулю. 23. Индексы и их свойства. 24. Признаки делимости. 25. Системы счисления. Систематические числа. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

5. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

5

Студент, изучивший дисциплину, должен знать: основные основные факты о делимости, простых числах, cравнениях, кольце классов вычетов, непрерывных дробях, показателе числа по данному модулю, приложениях теории сравнений. Студент, изучивший дисциплину, должен уметь: решать задачи на делимость целых чисел, находить НОД и НОК чисел, решать задачи на простые числа, сравнения. задачи на теоретико-числовые функции и непрерывные дроби.

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 6.1. Рекомендуемая литература Основная 1. Алгебра и теория чисел. Ч3 [Текст]: учебное пособие для студентов-заочников пед. ин-тов / под редакцией Н.Я. Виленкина. – Просвещение, 1984. – 192 с. 2. Виноградов И.М. Основы теории чисел [Текст] / И.М. Виноградов. – 10-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2004. – 176 с. 3. Грибанов В.У. Сборник упражнений по теории чисел [Текст]: учеб. пособие для пед.ин-тов / В.У. Грибанов, П.И. Титов. – М.: Просвещение, 1964. – 144 с. 4. Ильиных А.П. Теория чисел [Текст]: учебное пособие / А.П. Ильиных; Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург. [б.и.], 2003. – 148 c. 5. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел [Текст]: учеб. пособие для вузов./ Г.А. Кудреватов. – М.: Просвещение, 1970. – 128 с. 6. Сборник контрольных заданий по «Теории чисел» [Текст]:метод разраб. / Урал. гос. пед. ун-т; сост. Н.И. Смирнова. – Екатеринбург:[б.и.], 1997. – 34 с.

Дополнительная 1. Боревич З.И. Теория чисел [Текст] / З.И. Боревич, И.Р.Шафаревич. – М., Наука, 1985. – 496 с. 2. Бухштаб А.А. Теория чисел [Текст]: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов / А.А. Бухштаб. – М.: Просвещение, 1966. – 384 с. 3. Девенпорт Г. Высшая арифметика [Текст] / Г. Девенпорт. – М., Наука, 1965. – 4. Живые числа: Пять экскурсий [Текст] / В. Боро [и др.]. – М., Мир, 1985. – 5. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел [Текст] / А.А. Карацуба. – М., Наука, 1983. – 6. Кочева А. А. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел [Текст]: учебное пособие для студентов-заочников 2 курса физ.-мат. фак. пед. ин-тов / А.А. Кочева. – М., Просвещение, 1984. – 7. Малаховский В.С. Числа знакомые и незнакомые [Текст]: учеб. пособие / В.С. Малаховский. – Калининград: Янтар. сказ, 2005. – 184 с. 8. Михелович Ш.Х. Теория чисел [Текст]: учеб.пособие / Ш.Х.Михелович. – М.: Высш. шк., 1967. – 336 с. 9. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел [Текст]: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. вузов / Л.Б. Шнеперман. – Минск.: Дизайн ПРО., 2000. – 240 с.

6

Информационное обеспечение дисциплины Локальная сеть математического факультета УрГПУ, сайт кафедры алгебры и теории чисел, «Информационная обучающая среда».

7. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ И ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Компьютерные классы математического факультета.

8. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ ПРОГРАММЫ Фрейдман Павел Абрамович, доцент кафедры алгебры и теории чисел УрГПУ. Рабочий телефон: 371-12-61.

7

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине ___«Теория чисел» для специальности «032100 «Математика» по циклу______«Дисциплины предметной подготовки»

Подписано в печать

Формат 60х84/16

Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. Тираж

экз.

Заказ

Уральский государственный педагогический университет. 620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26.

8