Проверка гипотез о характере распределения: Методические указания к лабораторному практикуму

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение "Оренбургский государственный университет" Кафедра математических методов и моделей в экономике

А.Г. РЕННЕР, О.А. ЗИНОВЬЕВА, Г.Г. АРАЛБАЕВА

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ХАРАКТЕРЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОМУ ПРАКТИКУМУ

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения "Оренбургский государственный университет"

Оренбург 2002

ББК 22.172я7 Р-39 УДК 519.233.5(076.5)

Введение Данные статистических обследований являются основой для принятия одного из нескольких альтернативных решений о свойствах и параметрах генеральной совокупности. При этом любое суждение о генеральной совокупности, сделанное на основе выборочных наблюдений, не может рассматриваться как достоверное утверждение, а лишь как предположительное в силу неполноты информации на основе выборки. Проверка статистической гипотезы заключается в том, чтобы установить, не противоречат ли данные выборочных наблюдений выдвинутой гипотезе. С этой целью производится количественная оценка степени достоверности предлагаемой гипотезы, которая осуществляется с помощью специально построенного статистического критерия. Для статистической проверки гипотез о теоретическом (модельном) виде закона распределения вероятностей исследуемой случайной величины ζ используют критерии согласия. На основании оценки закона распределения в форме ряда распределения, статистической функции распределения, полигона, гистограммы или иных соображений, порой априорного характера, делаем предположение о модельном виде закона распределения (выдвигаем нулевую гипотезу). Наша задача на основании n независимых наблюдений (выборки) случайной величины проверить справедливость гипотезы Н0 или отвергнуть ее. Для проверки гипотезы выбираются (строятся) критические статистики, измеряющие расстояния между эмпирическим законом распределения и гипотетическим семейством.

2

1 Описание лабораторной работы Лабораторная работа включает следующие этапы: - постановку задачи; - ознакомление с порядком выполнения работы в диалоговой системе STADIA; - выполнение расчетов индивидуальных задач; - подготовку письменного отчета; - защиту лабораторной работы.

2 Постановка задачи По выборочным значениям из генеральной совокупности визуально оценить закон распределения данной совокупности, для этого: - построить интервальный вариационный ряд частот (относительных частот); - построить гистограмму плотности относительных частот; - построить кумулятивную функцию (статистическую функцию) распределения относительных частот; На основании полученных оценок выдвинуть и проверить гипотезу о характере распределения с помощью: - проверки нулевой гипотезы соответствия нормальному распределению (если есть основание) по коэффициентам асимметрии и эксцесса; - критерия согласия Пирсона (χ2). Для одной из выборок с помощью критерия Пирсона проверить гипотезу на согласие эмпирического распределения с равномерным распределением. Задача. Даны три выборки, выполненные из различных генеральных совокупностей, распределенных по нормальному, экспоненциальному и равномерному законам, объемом n=50. Выдвинуть и проверить на уровне значимости α= 0,05 гипотезы о характере законов распределения генеральных совокупностей.

3

3 Порядок работы Запускаем систему STADIA. Вводим в электронную таблицу данные своего варианта (Рисунок 1).

Рисунок 1- Таблица данных Для выдвижения гипотезы о характере распределения генеральной совокупности будем использовать оценки числовых характеристик, таких как асимметрия и эксцесс, а также гистограмму. Для этого необходимо вызвать меню статистических методов (F9). Выбираем пункт "1=Описательная статистика", а в бланке выбора переменной можно выделить сразу все переменные. Выдвигаем нулевую гипотезу Н0: Аs=0, Ех=3 (совокупность распределена по нормальному закону) против альтернативной гипотезы Н1: Аs ≠0, Ех ≠3.

4

Рисунок 3- Результаты описательной статистики Для первой и третьей выборок значимость коэффициентов асимметрии и эксцесса больше 0,05. Таким образом, нет основания отвергнуть гипотезу о равенстве эмпирических коэффициентов асимметрии и эксцесса соответственно 0 и 3, что дает основание заподозрить нормальный характер распределения генеральной совокупности. Построим гистограмму и проверим гипотезу о нормальном характере распределения с помощью критериев согласия. В меню статистических методов (F9) выбираем кнопку «2=Гистограмма/нормальность». На странице результатов появится типовой бланк выбора переменой (Рисунок 3), в котором необходимо выбрать подлежащую анализу переменную из электронной таблицы.

Рисунок 3- Бланк выбора переменной По нажатию <Enter> или «Утвердить» появляется новый бланк «Гистограмма», в котором нужно указать число интервалов и область определения гистограммы. В качестве начального числа интервалов подсказывается значение, вычисленное по эвристической формуле: 1 int(1,5+3,3log10(N)) , а область определения принята равной диапазону выборочных значений в масштабе от 0 до 10 (Рисунок 4).

1

Можно указать любое количество интервалов, но не превышающее число значений в совокупности. 5

Рисунок 4- Бланк выбора параметров гистограммы После подтверждения параметров на этой же странице появляются результаты и запрос на сохранение данных в матрице данных (Рисунок 5).

Рисунок 5 Если запрос будет подтвержден, то на странице электронной таблицы в первый свободный столбец запишутся частоты значений в каждом интервале. На новой появившейся страничке графиков будет выведена гистограмма (Рисунок 6), при нажатии «No» программа сразу показывает график.

Рисунок 6 - Гистограмма переменной х1 Графическая выдача содержит изображение гистограммы с наложенной кривой нормального распределения с соответствующими параметрами а и σ. При нажатии на кнопку «Оставить» возвращаемся на страницу с результатами (Рисунок 7).

6

Рисунок 7- Результаты проверки нулевой гипотезы о нормальности заданного распределения Для каждого интервала гистограммы на экран выводятся: - Х-лев. – левая граница интервала в исходных единицах; - Х-станд. – левая граница интервала в единицах стандартного отклонения (из каждого элемента первого столбца вычитается среднее значение выборки и полученная разность делится на стандартное отклонение выборки); - Частота – число выборочных значений, попавших в интервал; - % - относительная частота; - Накопл – накопленное число выборочных значений до текущего интервала включительно; - % - относительная накопленная частота. Далее приводятся результаты проверки нулевой гипотезы об отсутствии различий между выборочным и нормальным распределениями и значения трех статистик: - Колмогорова D с уровнем значимости Р; - омега-квадрат ω2 (Мизеса) с уровнем значимости Р; - хи-квадрат χ2 (Пирсона) с уровнем значимости Р. Интервальный вариационный ряд частот был получен на страничке результатов. Интервалы представлены левыми границами, абсолютные частоты в графе "Частота", и относительная частота в следующей графе "%". На основании гистограммы подтверждаем выдвижение гипотезы о нормальном характере распределения х1. Проверка нулевой гипотезы по критерию Пирсона дала положительную оценку в сравнении с заданным уровнем значимости (0,84>0.05). Критерии Колмогорова и омега-квадрат также не выявили расхождения с нормальным распределением.

7

Оценка асимметрии и эксцесса для второй выборки не дала положительных результатов, таким образом, гипотеза о нормальном распределении была отвергнута. Построим для выборки х2 гистограмму. На основании полученной гистограммы и вариационного ряда делаем предположение, что генеральная совокупность распределена по экспоненциальному закону (рисунок 8).

Рисунок 8 - Гистограмма переменной х2 Для проверки соответствующей гипотезы вызываем меню статистических методов «Статистика» и в нем выбираем «U=Согласие распределений». При этом на экране появится типовой бланк выбора переменной из электронной таблицы (Рисунок 3). После выбора переменной система выдает меню теоретических распределений (Рисунок 9).

Рисунок 9 - Меню выбора теоретических распределений. В этом меню предлагается восемь теоретических распределений. Заданное распределение необходимо проверить на согласие с предполагаемым теоретическим распределением. Таким образом, в меню выбора нажимаем на вторую кнопку 2=экспоненциальное. После этого система выходит на графическую страничку, на которой точками изображена кумулятивная функция распреде8

ления с наложенной на нее линией теоретической функции распределения (Рисунок 10).

Рисунок 10 - График кумулятивной функции распределения и наложенной кривой экспоненциального распределения. После просмотра графика система выходит на страничку результатов. Результаты процедуры проверки на согласие с теоретическим распределением содержат: в строке Распределение – название распределения (в данном случае экспоненциальное), параметры распределения, а также значения статистик Колмогорова и омега-квадрат, их уровни значимости и число степ. своб. Сравнивая полученные значимости с 5%, система выдает заключение Гипотеза 0: Распределение не отличается от теоретического для каждого из указанных выше критериев (Рисунок 11).

Рисунок 11- Результаты проверки гипотезы о согласии с теоретическим распределением Сравнение графиков дает основание подтвердить наше предположение об экспоненциальном распределении переменной х2. значимость критериев согласия Колмогорова и омега-квадрат больше 0,05, таким образом нет оснований отвергнуть гипотезу об экспоненциальном законе распределения совокупности, из которой была сделана выборка х2. 9

Оценки асимметрии и эксцесса для переменной х3 дали основание предположить, что и третья совокупность распределена по нормальному закону распределения. Для подтверждения этой гипотезы мы строим гистограмму. Однако гистограмма дает основание выдвинуть гипотезу не о нормальном, а о равномерном характере распределении (Рисунок 12).

Рисунок 12- Гистограмма переменной х3 Поскольку процедура проверки гипотезы на согласие с равномерным законом распределения в Stadia не предусмотрена, то этот этап лабораторной работы необходимо выполнить самостоятельно (вручную либо с применением других программ, например, Excel). Для того, чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении Х, т.е. по закону  1 /(b − a ) в интервале (a, b) f ( x) =  вне интервала (a, b) 0 надо: 1. Оценить параметры a и b – концы интервала, в котором наблюдались возможные значения Х, по формулам (через а* и b* обозначены оценки параметров): a* = x − 3 ⋅ €s , b* = x + 3 ⋅ €s . 2. Найти плотность вероятности предполагаемого распределения f ( x ) = 1 /( b * −a*) . 3. Найти теоретические частоты:

10

n1′ = nP1 = n[ f ( x) ⋅ ( x1 − a*)] = n ⋅ n 2′ = n3′ = ... = n s −1′ = n ⋅

1 ( x1 − a*); b * −a *

1 ( xi − xi −1 ), (i = 2,3,..., s − 1); b * −a *

1 (b * − x s −1 ). b * −a * 4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k=s-3, где s – число интервалов, на которые разбита выборка. Значение выборочной средней и дисперсии возьмем из результатов описательной статистики для переменной х3 (Рисунок 13). Найдем тем самым оценки параметров равномерного распределения a и b: ns ′ = n ⋅

Рисунок 13- Результаты описательной статистики для переменной х3 a* = 175 − 3 ⋅ 11.3 = 155.43; b* = 175 + 3 ⋅ 11.3 = 194.57. Определим плотность предполагаемого распределения: f ( x ) = 1 /( b * −a*) = 1 /( 194.57 − 155.43 ) = 0.03. Далее определяются теоретические частоты: ′ n1 = 50 ⋅ 0.03 ⋅ ( 158 − 155.43 ) = 3.9 ; ′ n 2 = 50 ⋅ 0.03 ⋅ ( 163.5 − 158 ) = 8.3. Длины каждого следующего интервала, кроме последнего, равны длине второго интервала, поэтому их теоретические частоты совпадают, т.е. ′ ′ ′ ′ n3 = n4 = n5 = n6 = 8.3; ′ n7 = 50 ⋅ 0.03 ⋅ ( 194.57 − 191 ) = 5.4. Чтобы сравнить эмпирические и теоретические частоты, составим таблицу1. Таблица 1 i n n′ (n − n ′ ) (n − n ′ ) 2 (n − n ′ ) 2 /n ′ 1

i

i

i

i

i

i

i

1

6

3,9

2,1

4,41

1,13

2

9

8,3

0,7

0,49

0,06

3

7

8,3

-1,3

1,69

0,20

4

7

8,3

-1,3

1,69

0,20

5

5

8,3

-3,3

10,89

1,31

6

9

8,3

0,7

0,49

0,06

7

7

5,4

1,6

2,56

0,47

Σ

50

i

3,44 11

2 Из расчетной таблицы получаем χ набл = 3,44 . По таблице критических точек распределения χ2 по уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=s-3=7-3=4 находим критическую точку правосторонней критической области χ кр2 ( 0 ,05;4 ) = 9 ,5.

Сравнивая наблюдаемое значение χ2 с критическим (3,44<9,5), делаем вывод о том, что нет оснований отвергнуть гипотезу о согласии распределения переменной х3 с равномерным распределением. Замечание. Если Вы на основании оценок асимметрии, эксцесса и гистограммы не выдвинули гипотезу о согласии с каким-либо распределением, то попробуйте проверить гипотезы о согласии поочередно с каждым из предложенных теоретических распределений в процедуре "Согласие распределений".

12

4 Содержание письменного отчета 1. Постановка задачи. 2. Краткое изложение теоретического материала по теме критерии согласия. 3. Результаты машинной обработки данных. 4. Приложения с графиками гистограмм и функций распределения. 5. Анализ полученных результатов. 6. Выводы о характере распределения генеральных совокупностей, заданных соответствующими выборками.

13

5 Вопросы к защите лабораторной работы 1. Как вычислить статистическую оценку коэффициента асимметрии? 2. Как найти статистическую оценку коэффициента эксцесса? 3. Как построить интервальный вариационный ряд частот (относительных частот)? 4. Как построить гистограмму? 5. Дать определение статистической функции распределения. 6. Что собой представляет график статистической кумулятивной функции распределения в случае а) дискретного вариационного ряда; б) в случае интервального вариационного ряда. 7. В чем суть критериев согласия? 8. Каким образом определяется мера расхождения по критерию согласия Колмогорова? 9. Каким образом определяется мера расхождения по критерию согласия Пирсона? 10. Каким образом определяется мера расхождения по критерию согласия Мизеса (ω2)? 11. В чем особенности применения критериев Пирсона и Колмогорова? 12. Особенность применения критерия омега-квадрат.

14

13.

Список использованных источников 1. Колемаев В.А.. Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1991,286с. 2. Четыркин Е.М., Калихман И.Л. Вероятность и статистика. – М.: Финансы и статистика, 1982,-356с. 3. Дубров А.М., Мхитарян В.С, Трошин Л.И. Математическая статистика (для бизнесменов и менеджеров) – М.: МЭСИ, 1996, -181с.

15

Приложение А (обязательное) Варианты заданий 244 224

Вариант 1 160 164 166 151 156 152 155 154 166 172 162 163 174 168 150 173 166 161 146 160 171 163 148 170 155 162 162 161 164 147 159 172 158 169 161 164 156 162 159 149 159 161 146 152 155 176 146 152 151 144 16

20 3.41 57.1 31.2 6.19 10.7 4.87 14.7 5.2 2.14 13.6 49 9.11 1.14 25.7 0.924 15.4 10.4 9.94 3.89 24.8 9.08 5.19 24.7 0.814 15.4 3.48 47.5 2.12 32.2 18.6 4.3 53.7 8.8 11.7 17.4 6.62 5.07 0.121 12.3 20.6 81.3 17.5 4.69 42.6 34.7 1.6 73.9 0.6 16.2

233 226 226 246 253 255 223 236 222 223 244 222 226 226 231 231 252 257 246 255 243 226 242 255 256 233 252 223 227 250 225 231 230 256 223 227 242 234 235 225 221 227 239 251 235 248 241 229 234 236

115 131

30.5 2.85

Вариант 2 243 210 195 224 218 215 227 233 219 233 216 233 221 221 220 227 235 212 213 217 221 220 225 223 192 220 243 228 203 222 234 224 235 221 203 221 237 219 217 223 215 228 210 243 227 224 207 225

132 121 108 124 118 108 132 116 120 124 114 120 131 105 106 137 114 105 110 112 134 110 129 135 103 122 121 105 122 109 126 109 125 115 113 133 137 125 107 101 128 126 103 136 114 103 135 132

38 6.38 27.6 13.2 6.96 40.8 42.5 9.83 7.65 20 2.16 3.76 24.2 7.04 37.1 82.7 10 15.1 4.02 59.7 2.46 35.2 40.2 39.8 78.3 1.62 44.9 0.713 26.8 8.17 60 22.9 80.3 7.64 8.16 6.15 28 19.7 14.4 23.5 10.6 1.02 1.95 15.8 20.5 19.9 22.7 29.1

Вариант 3

226 235 233 207 237 236 229 255 233 232 250 216 251 228 254 228 220 211 230 222 222 208 208 229 231 220 260 212 230 227 227 209 249 230 220 230 235 224 232 210 234 255 236 220 246 228

15.5 10.3 9 8.63 28.9 8.37 55.7 14.6 24.4 27 39 80.2 7.98 0.478 10.4 21.2 30.5 46 10.4 5.34 1.91 15.7 13 13.6 0.94 3.5 8.8 7.57 6.2 25.4 37.1 29.5 22.1 6.29 31.5 7.62 18 10.1 3.01 4.04 18.3 2.16 28.9 7.27 18.7 3.64

200 210 201 209 210 206 204 198 194 210 204 203 199 198 192 199 207 218 217 203 218 217 199 220 217 194 191 200 209 192 216 192 206 204 201 204 199 206 219 218 211 198 197 211 205 208

222 224 226 225

0.167 19.3 34.7 21.9

213 201 219 192

Вариант 4 210 215 197 197 201 213 215 194 203 210 216 219 198 214 198 211 209 204 204 218 197 207 205 223 212 192 191 198 215 209 209 222 204 212 196 220 198 209 215 220 215 214 192 217 219 216 207 208 207

305 316 338 316 323 301 315 313 309 311 312 304 330 313 310 321 310 302 312 317 328 316 305 325 344 320 319 320 323 322 297 324 306 301 303 295 335 311 314 316 316 310 316 300 323 324 331 320 304

201

317

10.1

Вариант 5 27.5 87.6 46.2 16.1 0.211 17.1 16.7 21 12.1 3.87 27.8 62.8 41.6 35 9.34 3.3 5.64 44.5 34.4 10 44.7 35.5 23.4 43.7 8.57 21.7 0.99 2.41 9.23 8.07 30.5 46.5 11.2 14.2 39.9 9.69 28.8 2.55 1.65 25.8 35.9 0.313 10.3 64.3 28.2 8.07 19.3 9.77 85.5

468 456 436 440 454 443 464 470 462 457 434 451 461 470 447 444 449 429 456 450 459 455 476 447 450 464 453 454 443 458 458 437 445 449 454 462 449 461 451 453 446 452 471 456 456 453 467 452 428

41.7 14.3 38.2 1.45 0.86 7.73 0.342 4.47 25.9 79.3 15.1 69.4 75.2 23.8 0.267 2.88 30.1 0.516 31.2 13.7 2.34 20.2 26.2 8.33 3.16 15 25.8 31.6 25.5 0.884 1.44 40.6 40.3 1.9 4 45.4 8.19 17.4 45.7 12.6 5.33 27.4 12.2 0.133 12.7 19.9 1.16 1.62 1.56

455

10.7

177

Вариант 6 167 183 173 182 163 180 167 181 179 179 183 161 165 170 171 162 168 162 183 166 183 168 169 172 163 169 163 162 170 162 178 180 178 178 179 176 175 167 178 174 173 180 182 174 163 174 172 168 180

7.67 52.1 0.917 9.05 6.73 6.22 9.28 10.5 6.63 16.9 26.1 15.8 13.4 11.9 2.22 16.7 10 2.8 57.1 25.4 49.6 21.7 6.44 21.7 68.1 3 21.3 12.4 2.1 1.36 17.3 5.32 19.8 20.2 3.27 50.3 32.1 54 11.6 16 6.36 17.6 25 0.0391 40.5 59.6 4.89 44.3 2.5

460 473 438 471 466 443 445 451 488 468 446 461 430 458 485 476 437 474 424 455 470 474 465 431 473 497 467 447 449 455 502 480 444 446 449 476 418 457 477 489 469 468 438 441 453 456 468 460 438

348 348 344 333 334 350 352 339 347 333 340 349 336 337 355 348 335 338 347 333 347 347 332 336 338 355 338 339 346 333 335 356 341 355 335 343 339 353 345 331 335 353 346 354 344 336 332 339 335 17

8.5

429

339

Вариант 7 5.56 7.78 42.4 0.565 7.96 2.52 4.86 52.7 14.2 9.96 5.12 28.8 37.2 12.6 30.5 2.53 8.77 25.3 6.46 9.53 5.1 16.1 17.1 14.8 52 5.34 14.6 20.4 2.9 9.16 31.3 5.51 39 29.9 7.64 17.7 3.23 41.2 21.9 12 5.52 29.7 73.3 89.3 3.21 77.6 7.4 18.7 51.6 0.261 18

197 207 216 201 208 217 210 203 191 209 205 211 221 195 197 215 199 207 196 210 190 218 191 210 195 195 198 199 197 197 213 216 200 217 193 220 196 207 215 196 197 191 199 206 192 191 209 200 202 210

Вариант 8 167 209 186 215 181 206 190 222 183 182 191 165 174 198 180 198 196 165 172 175 190 170 181 172 203 195 178 178 182 222 176 188 176 178 186 192 206 189 190 191 172 197 184 184 167 212 202 178 156 176

199 190 178 184 196 174 173 186 200 187 177 192 188 151 196 194 191 204 173 172 174 216 196 174 202 185 172 186 183 165 183 212 166 169 173 177 181 176 222 181 202 181 184 193 184 171 209 197 190 197

59.4 26.3 2.05 21.6 35 32.2 4.11 21.8 8.62 54.9 5.1 3.02 4.27 28.3 0.433 4.97 5.27 14.9 38.6 11.8 4.46 11.7 1.86 0.0846 0.116 28.9 53.6 1.38 41.4 66.8 41.9 6.07 5.86 0.868 0.994 10.5 26.3 1.31 2.07 0.696 24.2 8.49 71.7 14.9 15.1 40.1 5.16 0.778 5.53 35.5

Вариант 9 781 774 776 776 782 780 777 778 787 784 784 790 781 781 778 779 776 779 786 788 785 786 774 786 786 788 786 784 778 788 778 779 788 778 783 788 781 775 787 776 781 781 780 776 787 782 787 777 782 779

763 785 777 766 785 780 774 783 773 767 795 752 775 783 786 782 788 771 770 779 767 791 787 776 773 770 783 769 793 773 774 768 767 765 772 798 762 762 771 766 772 781 773 767 773 780 769 784 777 775

555 554 552 547 549 555 549 549 548 550 553 550 554 552 549 554 552 548 550 548 549 548 549 552 554 551 548 551 550 549 553 555 552 548 551 552 548 551 549 550 554 551 548 548 553 555 551 553 554 552

37.1 26.4 3.63 2.71 0.142 4.03 7.74 57.4 6.62 5 9.82 28.9 31.4 37.6 8.65 43.1 35.8 6.64 29.8 15.7 0.878 16.7 20.8 28 23.9 6.4 0.372 25.2 35.6 16.6 8.54 5.39 1.28 7.14 45.5 19.4 13.4 9.57 34.7 30.8 5.52 16.6 25.4 8.37 6.67 34.1 37.5 14.9 26.2 2.03

Вариант 10 2.79 7.42 42.9 2.06 12.4 39.9 30.6 13.7 26 23.2 17.5 76.9 25.8 16.6 10.1 59.5 1.63 25.5 12.1 18.6 26.1 31.3 38.2 2.23 13.6 5.2 1.37 3.03 38.2 6.25 70.1 8.45 2.8 50.6 0.459 8.6 2.61 8.27 9.04 27.5 1.91 9.47 40.1 12.3 58.4 26.1 30.5 29.8 7.97 10.3

309 303 300 301 309 305 301 309 305 306 299 307 298 302 299 300 306 301 303 305 303 300 307 304 305 308 306 300 301 306 299 308 307 299 306 301 303 305 310 299 306 300 300 305 299 302 305 308 308 298

Вариант 11 292 285 299 283 298 295 296 284 303 314 291 283 313 282 296 295 295 305 290 310 290 296 311 297 294 282 298 290 292 287 307 304 298 278 311 297 310 294 287 307 292 297 296 293 295 286 308 316 295 286

299 283 304 295 295 297 280 297 287 302 288 301 290 310 299 292 300 305 292 303 293 291 294 323 286 286 306 285 292 302 300 304 298 294 298 299 277 297 310 311 298 295 304 292 306 302 299 290 299 302

679 690 683 684 684 680 686 681 679 687 683 678 680 682 685 678 678 681 688 688 686 680 681 682 685 689 689 689 681 684 682 682 682 684 682 684 687 684 683 681 681 690 678 685 688 679 679 688 689 688

Вариант 12 9.23 22.5 2.81 3.6 2.26 2.46 7.25 13 47 17 15.7 2.88 51.1 18.2 0.644 30.6 6.2 7.98 4.76 9.32 13.4 10.6 8.99 18.2 19.1 1.94 15.9 5.05 13.6 28.6 8.4 12.2 0.393 45.6 5.04 21 3.57 10.8 52.3 2.03 7.89 7.59 12.4 9.81 59.2 3.39 13.1 15 7.98 6.66

178 182 188 173 183 183 187 184 182 182 184 186 188 186 181 193 189 184 182 179 185 178 169 189 183 188 186 176 186 182 197 193 186 187 186 199 187 194 177 192 187 194 189 181 193 189 187 192 188 183

345 350 334 347 333 345 348 352 343 352 348 333 341 336 340 336 340 335 343 336 345 353 352 334 347 339 345 338 341 334 348 350 347 351 347 343 353 351 340 352 341 347 337 336 335 353 341 349 351 348

30.2 74 21.1 31.9 192 24.3 17 5.93 63.4 60.1 127 4.08 22 1.07 17.4 3.76 10.7 15.1 0.653 0.456 2.87 50 0.788 66.4 4.21 70.3 15.8 7.17 126 29.4 45.2 67.6 5.44 13.3 12 10.8 8.21 24.4 107 16.9 28.4 48.2 7.43 4.98 14 0.452 30.8 101 68.6 27.3 19

Вариант 13 51.5 32.9 95.4 39.3 11.3 53 29.2 13.1 36.7 21.2 5.65 78.8 60 43.3 1.21 24.3 14.5 14.4 4.22 72.7 10.5 147 133 43.3 40.8 6.94 13.6 36.5 9.36 15.9 8.3 35.7 63.7 30.6 0.0317 33.3 76.7 30.1 4.28 52.3 22.5 27.7 8.84 52.6 5.92 39.2 2.88 45.4 37.6 8.93 20

329 338 343 345 333 337 340 348 337 338 348 330 335 337 344 336 343 341 333 329 343 338 337 341 336 335 336 336 338 341 333 340 340 347 342 337 342 336 329 344 338 338 352 349 337 343 335 344 332 332

Вариант 14 647 658 655 660 659 653 648 659 660 661 650 659 653 654 651 655 648 657 648 653 654 655 657 654 655 647 648 660 660 657 654 655 648 656 652 648 660 660 655 652 649 660 656 652 658 653 657 655 653 648

652 658 647 658 657 649 652 651 655 653 648 653 654 647 661 660 660 655 652 658 656 652 653 649 659 653 650 650 656 658 653 657 658 655 651 660 653 648 659 651 648 652 651 653 656 648 658 656 655 648

13.5 56.7 14.5 34.8 7.14 45.4 7.58 9.74 31.5 47.7 34.5 109 114 0.0238 19.8 78.7 7.24 1.8 5.28 4.78 52.1 18 3.72 2.59 5.24 10.1 15 24.2 45 70.2 16 1.13 17.2 51.8 27.8 46.5 18.4 60.3 18.3 26.8 26.6 60.5 1.83 30.4 109 17.1 23.6 22.4 38.7 10.7

Вариант 15 259 260 237 262 255 262 256 241 254 268 244 252 248 253 250 253 264 253 259 251 256 254 258 242 263 249 247 244 254 245 254 261 266 267 252 251 259 261 251 260 256 248 257 252 251 252 263 262 264 249

260 256 242 250 253 248 258 259 245 264 257 244 247 255 251 266 250 250 251 264 247 259 264 263 245 268 264 250 255 246 266 267 251 257 253 258 257 258 246 256 246 263 252 273 252 253 260 263 248 259

271 274 255 278 257 261 277 257 280 264 270 258 267 257 274 262 261 261 265 258 259 260 265 272 269 280 264 269 267 255 260 270 272 274 279 279 260 264 264 255 271 260 265 266 279 268 276 265 274 271

0.131 38 80.3 10.1 7.42 5.11 8.17 7.6 35.1 49.6 6.54 60 39.9 56 12 5.23 23.6 70.1 73.4 160 133 38.8 2.42 17.7 42.1 3.65 12.2 7.98 27.7 6.8 25.4 6.25 42.3 44.7 1.32 6.38 4.66 15.3 12.9 44.4 83.7 2 31.1 11.6 12.9 25 21.1 17.2 11.7 66

Вариант 16 3.57 55.1 1.25 103 14.2 27 93.4 33.8 17 31.1 75.2 37 13.7 2.22 37.1 12.1 16.5 0.761 31.4 6.7 38.6 10.7 7.6 12.7 2.75 7.35 16.3 15.6 108 36.3 1.44 2.65 3.76 13.2 52.7 6.17 36.3 34.1 29.5 23.1 9.78 81.1 5.39 28.6 59.5 22.4 24.5 39.8 5.47 2.14

853 851 849 844 817 835 843 832 837 846 843 845 865 857 837 852 858 842 846 852 830 838 845 853 844 852 851 839 841 847 845 852 850 846 840 831 835 854 861 854 835 854 873 846 848 838 848 859 846 847

Вариант 17 657 659 659 659 669 672 668 675 671 660 656 672 670 669 665 670 662 655 669 668 672 671 665 655 664 662 657 661 674 656 672 660 664 662 660 673 659 665 661 673 667 667 671 671 659 664 661 666 665 665

664 666 661 656 672 674 661 671 662 671 671 663 667 665 668 668 669 663 669 661 663 660 666 669 673 663 663 668 670 667 674 656 656 662 663 659 657 665 656 663 663 662 665 655 674 658 673 664 668 664

549 555 559 552 553 558 554 556 552 544 552 549 562 549 548 548 551 556 557 552 551 547 551 544 557 550 548 545 555 549 547 543 539 553 551 550 559 560 554 557 557 557 554 542 550 555 555 556 550 555

Вариант 18 14 15.5 19.1 24.7 13.6 34.5 4.57 2.27 44.5 3.95 4.53 46.5 41.6 21.8 47.7 10.6 11.5 0.931 1.29 1.53 32.8 1.95 16.4 99.1 9.15 27.8 6.6 9.91 25.4 18.9 1.88 2.46 3.47 14.2 20.5 2.19 17.3 24.7 30.5 55.6 43.6 25.4 0.875 19.9 1.87 19.7 103 3.06 30.9 21.2

16.2 10.6 0.149 6.43 3.89 1.79 57.8 0.705 11.3 40 28.1 104 78.5 9.46 3.48 11.7 11.1 0.682 4.5 5.96 24.7 60.6 2.12 52.6 2.39 13.4 12.3 10.3 27.1 10.6 14.6 4.64 22.4 43.3 3.44 3.52 10.1 1.25 30.5 1.99 18.5 21.9 18.6 3.86 21.2 1.79 11.9 22.9 36.8 13.2

727 765 758 739 746 750 739 744 763 740 762 768 754 754 767 764 763 770 758 754 732 733 772 742 747 750 745 757 745 762 732 761 749 713 759 744 746 743 755 767 748 755 758 753 766 754 760 761 753 780

473 477 472 478 462 470 459 475 463 459 462 470 465 470 458 467 462 457 466 464 467 464 458 473 458 460 472 466 460 461 467 467 478 463 463 470 457 471 460 467 475 469 470 468 461 475 471 473 457 462 21

Вариант 19 469 458 477 467 458 464 459 462 468 469 464 460 464 461 457 473 467 472 474 460 461 473 476 463 463 459 461 477 470 463 459 477 478 462 465 470 476 463 468 476 473 468 462 469 463 465 471 469 476 470 22

7.8 1.22 39.1 35 5.35 6.17 4.63 19.7 12.4 58.6 13 0.935 20.2 65.3 8.66 4.18 3.61 4.19 6.61 40 13.3 1.41 0.0047 12.5 4.83 17.6 0.824 9.45 30.2 4 18.3 21.2 44.8 13.1 3.32 3.98 127 11.4 52.1 18 27.3 11.7 19 11.9 21.4 24.6 6.2 21.8 4.53 14.1

Вариант 20 222 211 217 216 218 214 219 215 220 197 207 210 219 213 232 214 226 213 215 211 228 217 217 215 215 218 214 215 218 211 209 205 196 221 221 217 217 204 203 203 219 219 208 220 213 219 208 214 217 217

5.86 13.8 40.2 3.69 19.1 0.79 7.82 16.8 11.2 10.4 0.403 31.6 40.6 12.9 9.67 0.987 10.2 1.42 6.34 3.4 26.9 33.2 31.2 11.1 8.66 14.3 49.8 55 13.2 12.1 30.2 1.33 12.3 0.695 8.47 53.1 37.6 18.8 29.4 5.56 24 17.3 25.7 40.4 37.4 5.71 7.76 39 2.82 35.6

369 355 351 348 356 369 364 371 350 359 362 361 355 346 355 347 363 356 354 370 370 367 360 352 360 359 357 354 365 367 351 358 354 351 372 361 343 363 354 358 357 366 355 368 354 360 369 360 364 358

Вариант 21 384 375 376 372 368 367 370 377 383 364 360 370 364 375 366 378 379 368 378 371 371 374 360 380 367 381 365 362 370 375 361 384 364 372 373 379 366 378 380 371 379 359 364 370 369 379 378 363 363 360

363 371 371 379 368 383 370 378 361 358 364 362 368 376 376 372 359 366 370 369 375 369 364 361 358 378 379 362 374 380 380 381 383 382 364 373 369 363 367 378 366 363 374 373 365 364 376 358 383 364

10.3 15.3 3.74 1.5 5.66 4.22 30.3 9.9 4.31 78.6 9.36 3.13 18 10.5 12.7 16.5 11.7 7.4 12 7.51 12.1 27.6 4.03 2.54 3.96 6.92 9.44 40.3 9.54 17.4 6.51 2.48 3.06 8.73 17.6 41.4 24.5 3.78 30.8 14.8 4.7 1.3 4.21 18.2 34 10.1 19.6 34.4 5.4 8.71

161 151 148 159 149 156 172 161 162 167 162 158 155 168 158 157 165 154 169 146 159 157 162 168 165 159 161 155 170 160 158 150 161 153 147 159 159 158 158 157 163 161 159 160 152 167 179 157 163 165

Вариант 22 152 160 171 160 149 160 165 164 151 164 159 153 165 169 160 167 159 166 170 161 165 158 150 150 162 154 169 157 152 157 163 164 159 163 156 163 160 143 155 148 162 162 157 162 146 160 150 164 158 176

5.17 13.9 21.4 4.34 49.2 24.6 9.62 4.03 24 23.1 0.0369 2.14 3.97 21.8 29.3 7.17 32.1 16.6 5.08 48.1 33.1 6.09 20.6 16 87.5 19.9 38.3 5.05 10 15.4 3.27 63 0.483 11.9 50.5 6.02 9.51 9.42 19.6 18.9 82.3 11.1 39.4 6.3 0.478 1.36 32.4 6.7 18.2 30.7

Вариант 23 502 497 495 508 494 500 507 495 508 501 493 504 492 506 497 496 502 504 491 494 494 493 499 490 491 508 501 500 506 490 490 502 508 510 494 495 494 498 506 505 492 509 492 492 495 500 492 503 493 509

507 504 500 493 508 505 491 491 509 500 503 495 496 493 501 494 494 501 489 502 505 493 499 500 498 489 489 490 507 494 506 498 497 496 508 510 498 491 499 492 489 501 495 510 505 497 493 496 500 492

2.52 20.5 7.1 8.97 6.08 41.7 9.56 2.48 23.3 15.6 9.64 3.03 14.3 59.3 14.8 38.5 5.93 5.37 0.131 2.02 0.998 15.2 12.6 9.76 21 0.973 20.8 7.04 17.7 17.4 7.71 31.5 10.8 2.63 1.28 0.103 5.33 5.14 9.08 17.2 7.78 16.9 13.8 1.29 16.6 12.1 12 7.66 9.6 1.03

Вариант 24 213 215 211 223 222 217 214 229 226 226 218 224 223 220 214 224 224 228 216 224 213 226 220 227 222 217 221 211 221 214 212 233 227 225 222 218 224 227 229 214 218 219 226 221 226 228 216 209 222 224

218 224 221 227 224 216 226 219 230 219 216 215 214 220 227 227 223 228 220 227 225 227 225 222 214 230 226 214 220 224 212 225 227 227 222 224 225 223 215 216 219 223 216 213 225 228 225 228 230 215

4.52 20.2 37.8 1.63 0.0881 49.8 13.7 8.23 19.3 28.6 10.7 1.79 13.8 5.9 23.3 9.98 10.4 9.39 7.85 68.7 13.9 4.39 25.1 9.12 50.3 13.5 41 12.9 5.23 6.04 13.6 19.2 30.3 7.58 1.61 13.8 51.6 61.9 21.7 14.1 35.8 7.02 32.5 8.89 0.443 50.3 1.34 90.3 2.91 31.4

229 222 218 228 219 220 225 220 226 229 220 228 224 229 227 226 228 221 229 226 222 220 230 230 221 228 221 225 223 229 220 222 221 220 223 228 225 230 219 222 218 219 221 229 228 222 229 228 224 222 23

Вариант 25 222 226 222 225 224 224 230 219 230 223 226 225 228 219 228 223 221 226 220 221 221 225 225 227 223 218 228 219 229 220 228 229 224 221 227 221 229 228 223 224 222 222 226 223 219 228 226 219 224 222 24

222 224 217 209 219 225 211 219 217 227 210 222 218 219 224 216 223 217 214 226 210 207 224 222 212 222 227 229 220 225 225 212 219 208 217 216 226 225 223 217 217 216 213 221 216 220 222 211 218 218

Вариант 26 35.8 14.8 50.6 13.9 4.44 3.9 10 3.67 6.85 10.7 31.7 45.3 42.5 59.8 4.12 46.2 38.1 80.2 26 6.01 35.7 6.39 8.92 0.894 19 51.5 48.3 25.7 11.9 42.2 9.19 74 7.23 29 8.35 14.5 20.3 26.4 6.4 3.47 5.09 13.6 22.8 14 7.47 17.1 13 50 35.3 17

8.8 18.5 19.6 47.7 19.3 1.25 81.9 9.62 41 3.13 32 11.9 26.7 15.5 0.678 2.44 4.95 5.83 27.8 51 16.3 40.2 10 2.78 17.3 97.3 7.65 11.9 72.8 25.3 44.5 22.9 1.71 22.8 5.15 3.99 31.5 5.36 43.1 2.27 61.9 41 25.8 18.1 13.3 12.4 51.1 17.7 19.1 16.8

293 290 305 301 309 312 311 311 300 300 296 290 298 293 295 308 306 290 303 294 297 298 294 296 302 308 307 297 296 296 299 301 302 291 311 292 302 312 303 307 304 308 301 304 300 307 309 311 297 312

Вариант 27 451 444 424 459 457 452 446 450 474 443 469 446 440 450 447 488 450 456 437 440 481 476 430 435 451 452 479 453 442 477 476 462 446 464 431 435 456 444 457 434 455 468 444 442 466 450 443 480 469 430

463 472 435 459 461 426 447 448 445 446 470 440 430 472 454 458 450 435 434 439 464 448 453 431 449 459 446 440 448 444 462 443 425 467 435 446 441 458 441 458 455 453 443 433 454 442 448 449 466 457

21.4 43.1 8.62 15.3 13.2 1.26 37.3 2.35 16.2 17 8.1 31.2 6.4 18.8 14.4 4.12 13.5 1.5 11.7 8.89 29.7 7.45 13.8 25.6 10.1 1.56 5.54 13 1.56 10.2 32.2 16.3 5.55 1.07 30.3 3.21 11.5 4.54 20.1 15.5 53.5 15.6 1.74 16.7 12.6 7.02 0.678 5.96 19.5 0.212

166 157 167 167 167 163 158 163 160 157 156 158 154 159 164 166 152 169 157 151 152 160 170 168 157 154 157 152 160 170 168 154 155 164 164 154 167 164 163 151 163 169 155 170 168 154 170 155 167 165

Вариант 28 156 155 165 162 167 169 152 157 160 158 162 150 161 162 164 163 165 154 150 152 159 159 160 164 154 166 168 153 153 158 151 161 157 156 162 154 165 165 152 159 154 153 155 166 164 164 154 158 160 158

0.955 5.38 19.9 19.4 27.7 1.84 3.05 0.92 30.6 16.9 2.86 5.36 5.65 105 30 35.4 65.9 0.991 49.4 18.9 33.7 1.7 0.118 9.1 0.0991 1.35 10.2 7.36 38.1 10.6 27.3 4.37 22.5 13.3 55.6 4.46 12.9 8.42 1.11 20.3 25.3 17.3 15.5 26.2 0.295 34.1 1.41 2.04 15.7 9.92

Вариант 29 552 547 553 551 542 547 561 547 552 545 547 546 549 550 534 543 564 549 551 554 552 548 547 557 545 553 553 557 550 552 545 547 545 542 549 548 542 548 543 538 548 534 539 542 556 549 539 543 547 549

559 539 542 553 546 543 558 548 539 558 551 545 552 549 538 534 553 546 554 536 553 550 548 532 549 545 546 542 537 551 549 553 545 550 551 535 548 542 547 547 557 536 549 550 547 546 553 545 547 555

14 14.2 17.4 3.11 8.58 18.3 8.06 17.1 22 25.3 19.4 23.7 42.7 17 32 0.609 19.1 7.38 45.2 39.4 21.1 83.8 5.65 5.88 9.16 2.17 7.75 49.4 13.1 6.34 31.3 1.78 16.5 9.68 2.77 2.91 1.15 5.35 2.37 20.3 4.94 4.1 5.11 5.89 18.8 27.3 14.8 29.5 3.58 7.1

Вариант 30 572 577 584 569 584 580 568 567 568 574 566 585 583 566 575 584 569 569 572 573 570 580 569 573 579 585 582 570 566 582 578 585 582 570 578 566 580 571 576 579 579 582 566 575 571 569 571 580 573 573

573 581 583 581 569 577 570 577 580 574 580 580 573 571 576 582 584 578 569 569 584 574 583 576 575 571 574 569 569 574 585 579 583 574 569 585 573 583 575 576 569 572 580 573 584 583 575 573 584 571

5.94 24.7 12.1 15 3.11 29.5 11.7 13.8 18.8 0.774 7.42 3.67 22.9 25.1 10.9 0.504 85.7 23.8 48.7 11.4 13.3 16.7 5.29 33.1 16 11.3 9.25 18.8 3.49 6.05 14.3 15.2 32.1 4.19 3.32 13.6 58.6 7.93 12.5 10.6 0.84 15.1 30.3 2.53 11.2 1.83 7.19 45.5 1.28 2.4

535 534 558 546 545 534 561 558 547 558 538 545 522 549 555 558 541 535 545 545 552 568 550 537 539 556 556 553 549 545 551 548 539 563 556 535 565 530 532 539 544 539 545 539 542 538 544 548 552 545 25