Статистическая теория передачи сообщений. Основы статистической радиотехники: Задание и методические указания к курсовой работе по дисциплинам

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Поволжская государственная академия телекоммуникаций и информатики» Кафедра ТОРС

Одобрено методическим советом ГОУВПО ПГАТИ

Задание и методические указания к курсовой работе по дисциплинам «Статистическая теория передачи сообщений» и «Основы статистической радиотехники» для студентов-магистрантов I курса направления 550400 «Телекоммуникации»

Составители:

профессор Николаев Б.И. ассистент Чингаева А.М.

Редактор:

профессор Кловский Д.Д.

Рецензент:

профессор Карташевский В.Г.

Самара, 2004

Цель курсовой работы Целью курсовой работы является расчёт и сравнение по помехоустойчивости трёх различных систем передачи информации: аналоговой системы передачи, цифровой системы передачи без кодирования и цифровой системы передачи с кодированием. Критерием сравнения является зависимость общей среднеквадратической погрешности D λˆ | λ оценки передаваемого параметра λ от

(

)

отношения средней мощности принимаемого сигнала к мощности аддитивного белого гауссовского шума, приведённого ко входу приёмника. Все три системы находятся в одинаковых условиях, т.е. во всех случаях сохраняются как параметры источника сообщения, так и параметры канала. Итоговыми результатами сравнения являются рассчитанные зависимости D λˆ | λ = f ( P P ) и сделанные на их

(

)

с

ш

основе выводы о преимуществах и недостатках той или иной системы. Задание на курсовую работу 1. По каналу связи, имеющему полосу пропускания F, необходимо передать информацию от некоторого датчика, измеряющего параметр λ удалённого объекта. Параметр λ имеет нормальное распределение, усечённое границами ± 3σ , с M ( λ ) = 0 и с дисперсией σ 2 = D ( λ ) . Отсчёт параметра λ производится периодически через

время T. Корреляцию соседних отсчётов не учитывать. 2. Построить структурную схему системы передачи информации и рассчитать зависимость общей среднеквадратической погрешности оценки параметра D λˆ | λ от отношения средней мощности прини-

(

)

маемого сигнала к мощности аддитивного белого гауссовского шума, приведённого ко входу приёмника, N 0 для трёх систем: 2.1. Передача параметра λ в аналоговой форме с модуляцией несущего колебания u0 ( t ) . Несущее колебание u0 ( t ) и вид модуляции определяются вариантом. Оценивание параметра на приёмной стороне производится по правилу максимального правдоподобия. 3

2.2. Передача параметра λ в цифровой форме без помехозащитного кодирования с использованием двухпозиционной ФМ и длительности элементарного сигнала T0 . Число уровней квантования выбрать максимально возможным при величине произведения FT0 = 1 . Демодуляция осуществляется с помощью оптимального когерентного приёмника. 2.3. Передача параметра λ в цифровой форме с помехозащитным кодированием, позволяющим исправить одиночные ошибки. Использовать код Хемминга или укороченный код Хемминга. Сравнить полученные зависимости погрешности D λˆ | λ = f ( P P ) для всех трёх систем передачи. Значения P P

(

)

с

ш

с

ш

задавать равными 2...16 . Варианты задания приведены в табл. П.1 приложения. Методические указания по выполнению курсовой работы Курсовая работа должна содержать: • структурные схемы системы передачи для каждого пункта задания с подробным описанием взаимодействия её блоков в процессе передачи сообщения; • описание работы оценивателя, включая решающее правило и алгоритм его работы, а также причины возникновения погрешности оценки; • теоретический вывод величины погрешности оценки и расчёт зависимости этой погрешности от отношения мощности сигнала к мощности шума; • таблицы расчётных значений погрешности D λˆ | λ = f ( P P ) ;

(

)

с

ш

(

)

• сводный график зависимостей D λˆ | λ = f ( Pс Pш ) для всех пунктов; • выводы по результатам расчёта, в которых необходимо отразить преимущества и недостатки каждого из методов передачи в зависимости от ситуации в канале.

4

1. Передача параметра λ в аналоговой форме Структурная схема системы передачи параметра λ в аналоговой форме содержит источник сообщения (ИС), модулятор (Мод) с заданным законом модуляции (амплитудная, частотная или временная модуляция), канал связи, источник белого гауссовского шума и блок оценивания передаваемого параметра λ (рис. 1).

ИС (λ)

λ(kT)

Мод

u(t,λ) Канал s(t,λ) (γ)

z(t) Оцени- λ(kT) ватель n(t)

Рис. 1. Структурная схема системы передачи параметра λ в аналоговой форме Параметр λ полагается постоянным на интервале времени t = T , следовательно, λ ( t ) = λ ( kT ) . 1.1. Модулятор Модулятор изменяет соответствующий параметр несущего колебания u0 ( t ) в соответствии с законом изменения λ. При амплитудной модуляции (АМ) сигнал на выходе модулятора будет иметь вид: (1) uАМ ( t , λ ) = a ⋅ λ ⋅ u0 ( t ) . При частотной модуляции (ЧМ): uЧМ ( t , λ ) = Re u0 ( t ) ⋅ e jaλt  .

(2)

При временной модуляции (ВМ): uВМ ( t , λ ) = u0 ( t − aλ ) .

(3)

Масштабный коэффициент a во всех случаях вычисляется из условий максимальной мощности, предоставленной полосы частот и периода отсчёта параметра λ. При АМ средняя мощность передаваемого сигнала должна быть равна Pс , т.е. 3σ T

1 2 uАМ ( t , λ ) ⋅ w ( λ ) dt ⋅ d λ = Pс . ∫ ∫ T −3 σ 0 С учётом (1)

(4)

5

3σ

T

1 2 a u0 ( t ) dt ⋅ ∫ λ 2 w ( λ ) d λ = Pс , ∫ T 0 −3 σ 2

Так как по условию M ( λ ) = 0 , то 3σ

∫ λ w(λ) dλ = D (λ) = σ 2

2

,

−3σ

a=

Pс T

1 D ( λ ) ⋅ ∫ u02 ( t ) dt T 0

.

(5)

При расчёте a величину Pс принять равной 1 В2 . При ЧМ масштабный коэффициент a вычисляется из условия, что при максимальных отклонениях λ от среднего значения частота сигнала ω0 + aλ не выходит за пределы отведённой полосы частот 2πF : (6) ( ω0 + aλ max ) − ( ω0 − aλ max ) = 2πF . Отсюда 2aλ max = 6aσ = 2πF

и πF . (7) 3σ При ВМ нулевому значению параметра λ соответствует смещение u0 ( t ) по оси времени на половину интервала отсчёта T 2 . Масштабa=

ный коэффициент a выбирается таким образом, чтобы при максимальных отклонениях λ от среднего значения смещение по оси времени не выходило за пределы интервала отсчёта λ: T  T  (8)  + aλ max  −  − aλ max  = T , 2 2     2aλ max = 6aσ = T . Отсюда T a= . (9) 6σ

6

1.2. Канал связи Канал связи вносит ослабление сигнала γ : s ( t , λ ) = γu ( t , λ ) .

(10)

Кроме того, на входе оценивателя действует аддитивный белый гауссовский шум (АБГШ) n ( t ) : z (t ) = s (t, λ ) + n (t ) .

Величина γ не влияет на окончательные результаты расчёта. При необходимости можно положить γ = 1 .

1.3. Оцениватель 1.3.1. Алгоритм работы и схема оценивателя Оцениватель находит максимально правдоподобную (МП) оценку передаваемого параметра ( λˆ ). Решающим правилом для оценивателя является уравнение правдоподобия:

(

dw z ( t ) λ dλ

)

λ = λˆ

= 0.

(12)

Шум на входе оценивателя n ( t ) белый гауссовский, следовательно  1 w z ( t ) λ = K ⋅ exp  −  N0

(

)

(

T

∫ ( z (t ) − s (t, λ )) 0

)

2

 dt  . 

Подставляя выражение для w z ( t ) λ в (12), получим  1 d  K ⋅ exp  − d λ   N0

T

∫ ( z (t ) − s (t, λ )) 0

2

  dt   =0. ˆ λ = λ  

Для максимизации экспоненты достаточно минимизировать показатель степени: T  2 d  1 z t s t , dt − λ (13) ( ) ( ) ( )   ˆ =0. λ = λ d λ  N 0 ∫0  Для случая АМ получаем:

7

T

T

a γ ⋅ ∫ z ( t ) u0 ( t ) dt − ( a γ ) λˆ ∫ u02 ( t )dt = 0 . 2

0

0

Отсюда V . λˆ = a γE

(14)

T

Здесь

V = ∫ z ( t ) u0 ( t ) dt

–

корреляционный

интеграл,

0

T

E = ∫ u02 ( t )dt – энергия несущего сигнала. 0

Оцениватель, работающий по алгоритму (13), может быть реализован на одном согласованном фильтре (рис. 2)

z(t)

СФ

V|t=(k+1)T

λ(kT)

1/(aγE) Рис. 2. Структурная схема оценивателя амплитуды Для реализации когерентной демодуляции по схеме рис. 2 необходимо знать величину ослабления сигнала γ . Для случая ЧМ, аналогично АМ, получаем: T 2 d z t − γ ⋅ u t λ dt =0. , ( ) ( ) ( ) ЧМ λ = λˆ d λ ∫0 Рассмотрим случай, когда в качестве несущего выбран сигнал u0 ( t ) = U 0 sin ω0 t . Тогда uЧМ ( t , λ ) = U 0 sin ( ω0 + aλ ) t  , и, следователь-

но, s ( t , λ ) = γU 0 sin ( ω0 + aλ ) t  . Уравнение правдоподобия в этом случае примет вид T T d 2 2 2 d z ( t ) dt + γ U 0 sin 2 ( ω0 + aλ ) t  dt − ∫ ∫ dλ 0 dλ 0 T

d − 2γU 0 z ( t ) sin ( ω0 + aλ ) t  dt = 0. λ = λˆ d λ ∫0

Первый интеграл не зависит от λ . Второй интеграл представляет собой энергию посылки, которая также не зависит от λ , так как ЧМ 8

относится к неэнергетическому виду модуляции. Тогда получаем уравнение T

∫ z ( t ) ⋅ t ⋅ cos ( ω

0

0

)

+ aλˆ t  dt = 0 . 

Непосредственное нахождение решения этого уравнения (т.е. оцениваемого параметра λˆ ) затруднительно. Практически отыскание оценки λˆ сводится к определению частоты ω принимаемого колебания, после чего λˆ находится как ˆ − ω0 ω λˆ = . (15) a Вернёмся к выражению для функции правдоподобия. Для максимизации третьего интеграла T

I ( ω) = ∫ z ( t ) sin ( ωt ) dt , 0

где ω = ω0 + aλ , нужно построить функцию I ( ω) и найти её максимум. Тогда

λˆ = arg max I ( ω) . λ

(16)

Чтобы построить функцию I ( ω) , можно взять дискретный ряд значений аргумента ω . Минимальное число значений определяется теоремой Котельникова в частотной области, согласно которой шаг по оси частот 1 ∆f = . T Тогда число отсчётов функции I ( ω) F (17) = FT . ∆f В окрестности максимального отсчёта производится интерполяция полиномом и поиск аргумента точного значения экстремума. При аппроксимации полиномом второй степени оценка частоты принимаемого колебания получается по следующей формуле: I− − I+ π ˆ = ωm + ⋅ . (18) ω T I − + I + − 2Im L≥

Здесь ωm – аргумент максимума, I m –максимум, I − и I + – блиˆ жайшие к максимуму значения. Для корректного получения оценок ω

9

по формуле (18) на границах диапазона необходимы два дополнительных фильтра. Функция I ( ω) представляет собой корреляционный интеграл,

дискретные значения которого для разных ω могут быть получены на выходах согласованных фильтров (СФ). Таким образом, оцениватель частоты должен содержать L + 2 согласованных фильтров и устройство определения максимума, включающее интерполятор (рис. 3). Начальная фаза принимаемого сигнала считается известной.

I0

СФ0 z(t)

I1

СФ1

УОМ

ωm

−ω 0

IL+1

СФL+1

λ(kT)

1/a

Рис. 3. Схема оценивателя частоты с использованием согласованных фильтров Фильтры на рис. 3 согласованы с опорными сигналами sin ( ωl t ) , ( ωl = ω0 − πF + π ( 2l − 1) T , l = 0, L + 1 ). Для случая ВМ, как и для случая ЧМ, непосредственное нахождение решения уравнения (12) затруднительно. На практике оценивание параметра λ при ВМ сводится к отысканию аргумента максимума выражения (20): λˆ = arg max I ( t ) ; (19) λ

I (t ) =

2T

∫ z ( τ) u ( τ − t ) d τ . 0

(20)

0

Выражение (20) представляет собой взаимную корреляционную функцию опорного сигнала u0 ( t ) и принимаемого сигнала z ( t ) . Зная аргумент максимума I ( t ) , можно найти λˆ : 10

t −T λˆ = m . (21) a Здесь tm – аргумент максимума выражения (20). Оцениватель, работающий по алгоритму (19), можно реализовать на одном согласованном фильтре (рис. 4).

z(t)

I(t)

СФ

λ(kT)

tm

УОМ

−T

1/a

Рис. 4. Оцениватель параметра λ при ВМ 1.3.2. Оценка дисперсии погрешности параметра λ

Для

случая

энергетической модуляции (АМ) дисперсия погрешности оценки D λˆ | λ параметра λ находится непосредствен-

(

)

но из уравнения (14). Принимаемый сигнал z ( t ) = γaλu0 ( t ) + n ( t ) . Подставляя это выражение в уравнение (14), получим T ˆλ = 1 ( γaλu ( t ) + n ( t ) ) u ( t ) dt = 0 0 a γE ∫0 T

(21)

1 n ( t ) u0 ( t ) dt = λ + ξ. a γE ∫0 Из выражения (21) видно, что дисперсия погрешности оценивания =λ+

(

D λˆ | λ

)

равна дисперсии случайной величины ξ , обусловленной

АБГШ. 2  T   ˆ D λ | λ = D (ξ) = M  ∫ n ( t ) u0 ( t ) dt   . 2 γ a E ( )  0   После преобразований (проделать самостоятельно) получаем 1 1 1 ⋅ . (22) D λˆ | λ = 2 2 = 2 2a h 2a FT ( Pс Pш )

(

)

(

)

1

11

γ 2 E Pс = FT – отношение сигнал-шум на приёмной Здесь h = N0 Pш стороне. Для неэнергетических видов модуляции (ЧМ, ВМ) дисперсия погрешности оценки D λˆ | λ параметра λ находится с использова2

(

)

нием неравенства Крамера-Рао: 1 1 D λˆ | λ ≥ = − 2 . Φ 2h Ψ ′′ ( λ, λ 0 )

(

Здесь

)

(23)

Φ = −2h 2 Ψ ′′ ( λ, λ 0 ) –

информация Фишера, T

1 Ψ ( λ, λ 0 ) = s ( t , λ 0 ) s ( t , λ ) dt – Eс ∫0

функция неопределённости сигнала s ( t , λ ) , а Eс – энергия сигнального элемента на приёмной стороне: T

Eс = ∫ s 2 ( t , λ ) dt . 0

Рассмотрим случай ЧМ, когда в качестве несущего выбран сигнал u0 ( t ) = U 0 sin ω0 t . Тогда γ 2U 02 T sin ( ω0 + aλ 0 ) t  sin ( ω0 + aλ ) t  dt . Ψ ( λ, λ 0 ) = Eс ∫0 Интеграл T sin  2 ( ω0 + aλ 0 ) T  1 cos 2 ω + a λ t dt = =0   ( ) 0 0   2 ω + aλ T T∫ 0

(

0

0

)

в случае, если ω0T >> 1 или если ω0T = 2πn ( n = 1, 2,... ). После преобразований (проделать самостоятельно) получаем sin  a ( λ 0 − λ ) T  . Ψ ( λ, λ 0 ) = a ( λ0 − λ ) T

Вторая производная будет иметь вид:

12

Ψ ′′ ( λ, λ 0 ) = −

aT sin  a ( λ − λ 0 ) T 

( λ − λ0 ) sin  a ( λ − λ 0 ) T  +2 . 3 aT ( λ − λ 0 )

−2

cos  a ( λ − λ 0 ) T 

( λ − λ0 )

2

+

Значение второй производной при λ − λ 0 = 0 :

Ψ ′′ ( λ 0 , λ 0 ) = − a 2T 2 (вывести самостоятельно).

Подставляя полученное выражение в (23), получаем 1 1 1 D λˆ | λ = 2 2 2 = 2 3 ⋅ . 2h a T 2a T F ( Pс Pш )

(

)

(24)

Для случая ВМ функция неопределённости примет вид γ 2U 02 T − b(t − aλ0 )2 − b( t − aλ )2 e Ψ ( λ, λ 0 ) = dt . Eс ∫0 Для того, чтобы проинтегрировать это выражение, можно расширить пределы и воспользоваться свойством 1

∞

∫e

−

x2 2s

dx = 1 .

2πs −∞ После интегрирования (проделать самостоятельно) получаем Ψ ( λ, λ 0 ) = e

−

a2b ( λ−λ 0 )2 2

.

Вторая производная будет иметь вид: Ψ ′′ ( λ, λ 0 ) = − a b 1 − a b ( λ − λ 0 )  Значение второй производной при λ − λ 0 2

2

2

−

a2b ( λ−λ 0 )2 2

e  =0:

.

Ψ ′′ ( λ 0 , λ 0 ) = − a 2 b .

Подставляя полученное выражение в (23), получаем 1 1 1 D λˆ | λ = 2 2 = 2 ⋅ . 2h a b 2a bFT ( Pс Pш )

(

)

(

(25)

)

Расчётные значения D λˆ | λ = f ( Pс Pш ) необходимо свести в таблицу вида (табл. 1):

13

Таблица 1 Pс Pш

(

D λˆ | λ

(

2

)

По

)

4

значениям

6

из

8

табл. 1

10

12

строится

14

кривая

16

зависимости

D λˆ | λ = f ( Pс Pш ) в логарифмическом масштабе.

2. Передача параметра λ в цифровой форме без помехозащитного кодирования с использованием двухпозиционной ФМ

Структурная схема системы передачи параметра λ в цифровой форме без помехозащитного кодирования с использованием двухпозиционной ФМ содержит источник сообщения (ИС), аналогоцифровой преобразователь (АЦП), модулятор ФМ-2 (Мод), канал связи, источник белого гауссовского шума, демодулятор и цифроаналоговый преобразователь (ЦАП) (рис. 5). ИС (λ)

λ(kT)

АЦП

{bk}

Мод ui(t) (ФМ-2)

Канал (γ)

si(t)

z(t)

Демод.

{bk}

ЦАП

λ(kT)

n(t)

Рис. 5. Структурная схема системы передачи параметра λ в цифровой форме без помехозащитного кодирования Поскольку λ = const ( t ) на интервале T , то АЦП фактически представляет собой квантователь по уровню одного дискретного отсчёта λ k . Число разрядов квантователя n выбирается так, чтобы оно было максимально возможным при заданной полосе частот (т.е. FT0 = 1 , где T0 – период следования отсчётов цифрового сигнала bk ): n = T T0 = FT . (26) Фазовый модулятор (ФМ-2) модулирует несущее колебание u0 ( t ) = U 0 cos ω0 t по фазе. Для двухпозиционного ( m = 2 ) сигнала можно записать модулированный сигнал ui ( t ) в виде  U 0 cos ω0 t , i = 0; ui ( t ) = U 0 cos ( ω0 t + πbi ) =  −U 0 cos ω0 t , i = 1.

14

(27)

Или

u0 ( t ) = U 0 cos ω0 t при передаче «0», u1 ( t ) = −U 0 cos ω0 t при передаче «1».

В качестве демодулятора используется оптимальный когерентный приёмник, работающий по правилу максимума функции правдоподобия (решающее правило по критерию Котельникова при p1 = p0 = 1 2 ): bˆ = arg max w ( z ( t ) | b ) . i

j

bj

Алгоритм работы приёмника в этом случае имеет вид T

∫ ( z (t ) − s (t ))

0ˆ

dt <>

2

0

1ˆ

0

T

∫ ( z (t ) − s (t )) 1

2

dt .)

0

После преобразований (проделать самостоятельно) можно привести алгоритм к следующему виду: T

∫ z ( t ) cos ω tdt 0

1ˆ

< 0. >

(28)

0ˆ

0

Этот алгоритм легко реализовать с использованием одного фильтра, согласованного с сигналом cos ω0 t . Схема такого демодулятора приведена на рис. 6.

z(t)

РУ (t = T0)

СФ

bk

Рис. 6. Схема демодулятора сигнала ФМ-2 на согласованном фильтре Вероятность ошибки при когерентном приёме сигналов ФМ-2 вычисляется по формуле:   P  P  p = P ( ош ) = Q 2h 2 = Q  2 FT0 ⋅ с  = Q  2 с  .   Pш  Pш   

(

Здесь Q ( x ) =

1 2π

∞

)

−t 2 ∫ e dt – функция ошибок (см., например, 2

x

[4]). Некоторые значения функции Q ( x ) приведены в табл. П.3 данных методических указаний. Зависимость P ( ош ) = f ( Pс Pш ) рекомендуется свести в таблицу следующего вида (табл. 2.): 15

Таблица 2 Pс Pш

2

4

6

8

10

12

14

16

P ( ош )

(

)

Дисперсия погрешности оценки параметра λ D λˆ | λ складывается из дисперсии шума квантования и дисперсии шума ошибок: D λˆ | λ = D + D .

(

)

кв

ош

Шум квантования представляет собой случайную величину, равномерно распределённую в интервале ( − ∆ 2, ∆ 2 ) , где ∆ – шаг квантования: 6σ . (29) 2n Дисперсия шума квантования ∆2 . (30) Dкв = 12 ЦАП выполняет операцию, обратную АЦП, т.е. номер j уровня λ ∆=

j=2

n −1

bn −1 + 2

n−2

n −1

bn − 2 + ... + b0 = ∑ 2k bk . k =0

Ошибка в одном из разрядов bk приводит к тому, что на выходе АЦП значение ˆj изменяется на величину 2k , в соответствии с номером k ошибочного разряда. Дисперсию шума, обусловленного такими ошибками, получим складывая дисперсии шума по разрядам: n −1 4n − 1 2 k 2 . Dош = ∑ P ( ош ) ∆ 4 = ∆ P ( ош ) 3 k =0

Пренебрегая единицей (т.к. 4n >> 1 ), получим: ∆ 2 4n Dош = P ( ош ) . (31) 3 Тогда общая дисперсия погрешности D λˆ | λ равна сумме (30) и

(

)

(31): ∆2 ˆ 0, 25 + 4n ⋅ P ( ош )  . D λ|λ = 3

(

16

)

(32)

(

)

Расчётные значения D λˆ | λ = f ( Pс Pш ) необходимо свести в таблицу, аналогичную табл. 1, а затем построить график полученной зависимости. 3. Передача параметра λ в цифровой форме с помехозащитным кодированием, позволяющим исправить одиночные ошибки

Структурная схема системы передачи параметра λ в цифровой форме с помехозащитным кодированием содержит источник сообщения (ИС), аналого-цифровой преобразователь (АЦП), кодер кода Хемминга, модулятор ФМ-2 (Мод), канал связи, источник белого гауссовского шума, демодулятор, декодер, исправляющий одиночные ошибки, и цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП) (рис. 7). ИС (λ)

λ(kT) АЦП

{ak}

Кодер

{bk}

Мод (ФМ-2)

ui(t)

Канал (γ)

si(t) z(t)

Демод.

{bk}

Декод.

{ak}

λ(kT) ЦАП

n(t)

Рис. 7. Структурная схема системы передачи параметра λ в цифровой форме с помехозащитным кодированием Код, позволяющий исправлять ошибки, вносит избыточность, которую необходимо учесть при расчёте максимально возможного числа разрядов квантователя. Если к информационным добавляются ещё и проверочные символы, то чтобы не выйти за рамки заданного частотно-временного ресурса, необходимо уменьшить число разрядов квантователя на число проверочных символов выбранного кода. В качестве кода выбирается линейный блоковый ( n, k ) код (Хемминга). Коды Хемминга получаются по следующему правилу: n = 2r − 1 , где n – общее число разрядов, r – число проверочных разрядов и n − r – число информационных разрядов. Если для заданного FT нет подходящего кода Хемминга, то можно воспользоваться укороченным кодом Хемминга, т.е. исключить «лишнюю» часть информационных символов. Вероятность ошибочного декодирования блока складывается из вероятностей того, что в кодовой комбинации будет более одной ошибки. Вероятность появления m ошибок в комбинации длиной n вычисляется по биномиальной формуле Бернулли: 17

Pn ( m ) = Cnm p m (1 − p )

n−m

.

Здесь p – вероятность ошибки демодулятора. Вероятность ошибочного декодирования n

P ( ош. дек ) = ∑ Cnm p m (1 − p )

n−m

.

(33)

m=2

В ошибочно декодированной последовательности каждый бит ненадёжен, т.е. ошибочен с вероятностью 1 2 . Отсюда вероятность ошибочного приёма любого бита на выходе декодера 1 (34) P ( ош ) ≈ P ( ош. дек ) . 2 Дисперсия погрешности D λˆ | λ находится как и в предыдущем

(

)

пункте (с учётом того, что число разрядов квантователя теперь уменьшилось на величину r ). Результаты расчёта D λˆ | λ = f ( P P )

(

)

с

ш

сводятся в таблицу, аналогичную табл. 1. По таблице строится график.

18

Литература

1. Прокис Дж. Цифровая связь / Пер. с англ. под ред. Д.Д.Кловского. – М.: Радио и связь, 2000. – 800 с. 2. Теория электрической связи: Учебник для вузов / А.Г. Зюко, Д.Д. Кловский, В.И. Коржик, М.В. Назаров; Под ред. Д.Д. Кловского. – М.: Радио и связь, 1998. – 432 с. 3. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем: Учеб. пособие для вузов. – М.: Радио и связь, 1991. – 608 с. 4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – М.: Наука, 1980. – 976 с.

19

Приложение

Таблица П.1. Варианты заданий № вар.

F, кГц

T , мс D ( λ )

u0 ( t )

Вид модуляции

1

1,2

10

1

U 0 cos ω0 t

ЧМ

2

0,25

48

2

U cos ω0 t

АМ

3

2,0

5

3

Ue − bt

4

4,0

3

4

U 0 e − bt

5

3,0

4

5

6

1,0

15

7

0,3

8

Примечание

АМ

b = 5 ⋅105 1 c 2

ВМ

b = 2 ⋅106 1 c 2

U ⋅ сп ( ω0 t )

АМ

сп ( ⋅) = sign cos ( ⋅) 

6

U ⋅ sп ( ω0 t )

АМ

sп ( ⋅) = sign sin ( ⋅) 

50

7

U 0 e − bt

ВМ

b = 2 ⋅104 1 c2

2,5

4

8

Ue − bt

АМ

b = 2 ⋅106 1 c 2

9

5,0

3

9

U sin ω0 t

АМ

10

4,0

3,5

10

U 0 sin ω0 t

ЧМ

11

2,0

8

11

U 0 cos ω0 t

ЧМ

12

0,5

30

12

U cos ω0 t

АМ

13

6,0

2

13

U 0 e − bt

2

ВМ

b = 2 ⋅108 1 c2

14

1,5

12

14

U 0 e − bt

2

ВМ

b = 2 ⋅105 1 c 2

15

8,0

2

15

U sin ω0 t

АМ

16

6,0

2,5

16

U 0 sin ω0 t

ЧМ

20

2

2

2

2

Таблица П.2. Некоторые значения функции Q ( x ) x

Q ( x)

x

Q ( x)

x

Q ( x)

x

Q ( x)

1,41

7,86 ⋅10−2

3,16

7,83 ⋅10−4

4,24

1,11 ⋅10−5

5,10

1, 71 ⋅10−7

2,00

2, 28 ⋅10−2

3,46

2, 66 ⋅10−4

4,47

3,88 ⋅10−6

5,29

6, 08 ⋅10−8

2,45

7,15 ⋅10−3

3,74

9,14 ⋅10−5

4,69

1,36 ⋅10−6

5,48

2,17 ⋅10−8

2,83

2,34 ⋅10−3 4,00

3,17 ⋅10−5

4,90

4,82 ⋅10−7

5,66

7, 73 ⋅10−9

21