Основы оптики. Учебное пособие

§ 1. Интерференция и дифракция света. 1.1. Некоторые основные отношения. Оптическая длина пути – L = l ⋅ n , где l – расстояние, проходимое лучом в среде с показателем преломления n. Разность хода двух лучей ∆ = L2 − L1 . Порядок интерференции ∆ p= .

λ

Разность фаз колебаний в интерферирующих лучах 2π∆ δ = ϕ1 − ϕ 2 = = 2πρ .

λ

Ширина интерференционной полосы (при наложении двух плоских волн, образующих между собой небольшой угол ω ): b=

λ . ω

Суммарная интенсивность двух интерферирующих лучей (одинаково направленные колебания одного периода): I = I1 + I 2 + 2 I1 ⋅ I 2 ⋅ cos δ ; При I1 = I 2 и I1 + I 2 = I 0 : ⎡ ⎛ 2π∆ ⎞⎤ I = I 0 ⋅ ⎢1 + cos⎜ ⎟⎥ . λ ⎝ ⎠⎦ ⎣ Разность хода лучей в плоскопараллельной пластинке – в отраженном свете: ∆ = 2tn cos β + – в проходящем свете:

λ

2

= 2t n 2 − sin 2 α +

λ

2

;

∆ = 2tn cos β , где t – толщина пластинки, n – показатель преломления среды пластинки, α и β – соответственно углы падения и преломления. Разность хода лучей в клиновидной пластинке с малым углом клина θ ∆ = 2 xnθ , где x – расстояние от вершины клина до точки, в которой определяется разность хода. Ширина интерференционных полос в этом случае b=

λ λ = . ω 2 nθ

1.2. Однослойное просветление оптической поверхности. Коэффициент отражения стеклянной оптической поверхности с нанесенной на нее прозрачной пленкой R + R23 + 2 R12 ⋅ R23 cos δ R = 12 , 1 + R12 ⋅ R23 + 2 R12 ⋅ R23 cos δ 4π ⋅ t ПЛ ⋅ n ПЛ – разность фаз между лучами, отраженными от где δ =

λ

пленки с толщиной tПЛ и показателем преломления nПЛ ; R12 и R23 – соответственно коэффициенты отражения от верхней и нижней границ пленки. При нормальном падении света на поверхность 2

2

⎛ n −1⎞ ⎛ n − n ПЛ ⎞ ⎟⎟ , R23 = ⎜⎜ СТ ⎟⎟ , R12 = ⎜⎜ ПЛ + n 1 n n + ⎝ ПЛ ⎠ ПЛ ⎠ ⎝ СТ где nСТ – показатель преломления стекла. kπ (k=1,3,5,….) и nПЛ < nСТ коэффициент отражения минимален: При δ = 2 2 2 ⎛ nСТ − n ПЛ ⎞ ⎟ . Rmin = ⎜⎜ 2 ⎟ + n n ПЛ ⎠ ⎝ СТ Rmin = 0 при n ПЛ = nСТ . Условие образования широкого минимума отражения с серединой при длине волны λ : ∆ = 2t ПЛ ⋅ n ПЛ =

λ

2

,

при соответствующей толщине пленки – t ПЛ =

λ 4n ПЛ

1.3. Кольца Ньютона. Радиусы светлых колец в отраженном свете rK =

(2k − 1) ⋅ ρ ⋅ λ

2n

Радиусы темных колец в отраженном свете rK' = k ⋅ ρ ⋅

λ 2n

,

;

.

где k – номер кольца, ρ – радиус сферической поверхности, контактирующей с плоской поверхностью, n – показатель преломления среды между контактирующими поверхностями. В проходящем свете – картина светлых и темных полос, обратная случаю отраженного света. 1.4. Контрастность интерференционной картины. Контрастность двухлучевой интерференционной картины в случае частично когерентного света. I − I min K ' = max < 1. I max + I min Контрастность K ' зависит: – от степени монохроматичности света, определяющейся соотношением ∆λ :

λ

'

K = где p ∆' λ = p

∆λ

λ

K ∆' λ

sin(π ⋅ p∆' λ ) = , π ⋅ p∆' λ

приращение порядка интерференции для длин волн,

входящих в интервал ∆λ , p = ∆ ;

λ

– от углового размера источника света 2ε (расходимость пучка лучей): sin(π ⋅ pε' ) ' ' K = Kε = , π ⋅ pε' '

pε = p

ε2

– приращение порядка интерференции для лучей, 2 проходящих через интерферометр под углом ε к осевому лучу. Если интерференционная картина регистрируется с помощью фотоприемника с установленным перед ним отверстием шириной a , выделяющим долю интерференционной полосы a , то b ' sin(π ⋅ p a ) , K ' = K a' = π ⋅ p a' где p a' = a . b где

В интерферометре обычно действуют одновременно все три фактора. Результирующая контрастность в этом случае: K ∑' ≈ K ∆' λ ⋅ K ε' ⋅ K a' . По энергетическим соображениям при расчетах выбирается:

K ∆' λ = K ε' = K a' = k ' и k ' = 3 K Σ'

.

Соответственно p ∆' λ = pε' = p a' . 1.5. Многолучевая интерференция в плоскопараллельной пластинке. Распределение интенсивности в интерференционной картине для монохроматического излучения с длиной волны λ – τ 2 ⋅ τ СР I = I0 ⋅ , ∆ π ⎛ ⎞ 2 (1 − R ⋅ TСР ) + 4 RT ⋅ sin 2 ⎜ ⎟ ⎝ λ ⎠ где I0 – интенсивность падающего света; R, T и Tср – соответственно коэффициенты отражения и пропускания зеркальных покрытий и среды между ними; ∆ = 2tn cos ϕ – разность хода между соседними лучами, где t и n – толщина и показатель преломления среды пластинки, ϕ – угол интерференции. Для воздушной пластинки (n=1, Tср = 1 ) интенсивности в максимуме и минимуме интерференционной картины соответственно равны – I0 ⋅T 2 I ⋅T 2 I = I max = 0 , . min 2 2 (1 − R ) (1 + R ) Так как 1 − R = T + A , где A – коэффициент поглощения зеркального слоя I0 ⋅T 2 I0 = . I max = (1 + A)2 ⎛ A ⎞ 2 ⎜1 + ⎟ ⎝ T⎠ Контраст многолучевой интерференционной картины I max (1 + R )2 = . K= I min (1 − R )2 Эффективное число интерферирующих лучей π R π 1+ R . ≈ ⋅ N эф = (1 − R ) 2 1 − R 1.6. Интерферометр Фабри – Перо (ИФП) как спектральная система. Угловая дисперсия dϕ p 1 ⎡ рад ⎤ , нм −1 . Dϕ = =− =− ⎢ ⎥ dλ 2t sin ϕ λ ⋅ tgϕ ⎣ нм ⎦ Разрешающая способность ИФП

[

]

ℜ = p ⋅ N ЭФ = где p =

2t cos ϕ

λ

πt 1 + R ⋅ , λ 1− R

– порядок интерференции.

Свободный от переналожений спектральный интервал длин волн ∆' λ ≈

λ p

=

λ2 2t

где p – порядок интерференции, δλ =

= δλ ⋅ N ЭФ ,

λ ℜ

– разрешаемый ИФП

спектральный интервал длин волн. 1.7. Интерференционный светофильтр. Длина волны светофильтра

центра

полосы

λ max =

пропускания 2tn cos ϕ

ψ p− π

интерференционного

,

где ψ – скачок фазы при отражении света на границе диэлектрик зеркальное покрытие. Ширина полосы пропускания интерференционного фильтра

δλ =

λ max

pN эфф

–

.

1.8. Спектральная дифракционная решетка. Условие образования главного максимума с длиной волны λ в порядке m mλ = d (sinψ + sin ϕ ) , где d – постоянная решетки, ψ и ϕ – соответственно углы падения и дифракции. Знаки углов ψ и ϕ берутся одинаковыми, если они расположены по одну сторону от нормали к решетке, и разными, если расположены по обе стороны к ней. При этом угол ψ принимается положительным, а соотношение синусов углов определяет знак порядка m. Условие переналожения спектров разных порядков mλ1 = (m + 1)λ 2 . Угловая дисперсия –

dϕ m sin ψ + sin ϕ . = = dλ d cos ϕ λ cos ϕ Разрешающая способность ℜ = m ⋅ N = m ⋅ N1 ⋅ L , где N – общее число штрихов на решетке, N1 – число штрихов на 1 мм длины, L – длина нарезанной части решетки. Разрешаемый спектральный интервал – Dϕ =

δλ =

λ

. ℜ Свободный от переналожений интервал длин волн ∆' λ =

λ

(m + 1)

.

Распределение энергии в спектре порядка m профилированной отражательной решетки 2

λ1 max ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ ⎢ sin π ⋅ ⎜ m − λ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠⎥ , I m (λ ) ≈ ⎢ λ1 max ⎞ ⎥ ⎛ ⎢ ⎢ π⎜m − λ ⎟ ⎥ ⎠ ⎦ ⎝ ⎣ где λ1 max = 2d sin i – длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре первого порядка, i – профиль штриха решетки. Линейная дисперсия Dl спектрального прибора с дифракционной решеткой, имеющей угловую дисперсию Dϕ , определяется по формуле: mN1 f ' dl mf ' ' , Dl = = Dϕ ⋅ f = = dλ cos ϕ d cos ϕ где ƒ′ – фокусное расстояние камерного объектива, формирующего в своей задней фокальной плоскости изображение спектра, в котором dl есть расстояние между двумя близкими спектральными линиями, разность длин волн которых равна dλ.

1.9. Дифракционная картина (дифракция Фраунгофера). Дифракция, образованная параллельными лучами, рассматривается в плоскости, оптически сопряженной с плоскостью источника света (объекта), то есть наблюдается в том месте, где свет собирается объективом, формирующим изображение. Такое изображение, даваемое объективом в своей задней фокальной плоскости, есть дифракционная картина, возникающая вследствие ограничения сечения светового пучка входным зрачком объектива. Теоретическая разрешающая способность

безаберрационного объектива с задним фокусным расстоянием ƒ′ и круглым входным зрачком диаметра D, когда проходящий через объектив свет монохроматичен и имеет длину волны λ, определятся по критерию Рэлея: – в угловой мере 1.22 ⋅ λ Ψ= D – в линейной мере 1.22λf ' . δ= D Задачи:

1.1. Разность хода между двумя интерферирующими лучами монохроматического света ∆ = λ . Определить разность фаз δ колебаний. 2 1.2. Монохроматический свет с длиной волны λ=0.479 мкм нормально падает на поверхность тонкого клина. Клин сделан из стекла К8 с показателем преломления для этой длины волны n=1.522. В отраженном свете наблюдается интерференционная картина. Определить угол клина θ , если расстояние между соседними темными полосами равно 0.27 мм. Ответ: θ =2′. 1.3. Определить разность хода интерферирующих лучей, отраженных от двух поверхностей плоскопараллельной пластинки, изготовленной из стекла К8 (n=1.515), если ее толщина t=10 мм, а угол падения излучения на пластинку α =30˚. Ответ: ∆=28.6 мм. 1.4. Пучок света с длиной волны λ=0.63 мкм нормально падает на тонкий стеклянный (n=1,5) клин. В отраженном свете на ее поверхности наблюдаются пять интерференционных полос. Определить максимальную разнотолщинность ∆t клина. Ответ: ∆t = 0.84 мкм. 1.5. В воздушном клине, образованном двумя стеклянными пластинками с углом между ними θ =2′, наблюдаются интерференционные полосы равной толщины. Свет с длиной волны λ=0,546 мкм нормально падает на одну из пластин. Вычислить расстояние b между соседними максимумами. Ответ: b = 0.469 мм.

1.6. Пучок света с длиной волны λ=0.582 мкм нормально падает на тонкий стеклянный (n=1.5) клин. Угол клина θ = 20′′. Определить число темных полос, приходящихся на единицу длины клина. Ответ: 5 полос на 1 см. 1.7. Интерференционная картина от 2–х когерентных точечных источников S1 и S2 рассматривается на экране. Источники расположены симметрично относительно центра интерференционной картины, расстояние между источниками S1 и S2 0.2 мм. Источники излучают свет с длиной волны λ=0.6328 мкм. Расстояние между светлыми соседними интерференционными полосами равно 15 мм. Вычислить расстояние L от источников до экрана. Ответ: L= 4.74 м. 1.8. Определить ширину полосы b интерференционной картины, образованной при сложении 2–х плоских монохроматических волн с λ = 0.5 мкм и распространяющихся под углом ω = 30′. Ответ: b = 5.73×10-2 мм. 1.9. В интерференционной картине, наблюдаемой в опыте Юнга, расстояние между ±1 интерференционными максимумами 2b = 1 мм. Плоскость наблюдения установлена на расстоянии L = 6 м, а длина волны используемого монохроматического излучения λ = 0.6 мкм. Определить расстояние a между источниками. Ответ: а = 7.2 мм. 1.10. В интерференционной схеме Юнга в одном из пучков установлена кювета длиной 3 см с плоскопараллельными прозрачными окнами. При повышении давления воздуха в кювете изменяется показатель преломления. На какое количество полос p должна сместиться интерференционная картина, если показатель преломления изменился на величину ∆n = 0.2×10-4; длина волны используемого излучения λ = 0.6 мкм. Ответ: p = 1 полоса. 1.11. Тонкая пленка помещается в одно из плеч интерференционной установки Юнга, вследствие этого центральная светлая полоса интерференционной картины сместилось в положение, первоначально занятое пятой светлой полосой (не считая центральной). Пленка установлена перпендикулярно падающему лучу и имеет показатель преломления n = 1.5. Вычислить ее толщину t, если λ = 0.6 мкм. Ответ: t = 6 мкм. 1.12. Определить показатель преломления nпл и минимальную толщину пленки tпл, которую необходимо нанести на поверхность пластинки из

стекла марки ТФ1 (n = 1.6522), чтобы отражающая способность в направлении нормали была равна нулю для света с длиной волны λ = 0.5461 мкм. Ответ: nпл= 1.285, tпл= 106.2 нм. 1.13. Рассчитать кривую зависимости коэффициента отражения R(λ) просветленной поверхности (смотри условия задачи 1.12) от длины волны. Расчет произвести для длины волны: 0.365 мкм; 0.434 мкм; 0.456 мкм и 0.765 мкм. Построить кривую R(λ) = f(λ) и оценить цвет поверхности. 1.14. На пластинку из стекла ТФ1 нанесена просветляющая пленка из криолита с показателем преломления n = 1.35 и оптической толщиной 3λ/4. Минимальный коэффициент отражения находится при λ = 486.1 нм. Рассчитать и построить кривую зависимости коэффициента отражения от длины волны – R(λ)=f(λ). Расчет произвести для λ = 404.7 нм; 486.1 нм; 589.3 нм и 766.5 нм. 1.15. Расстояние между первым и вторым темными кольцами Ньютона в отраженном свете ∆r1 = 1, 5 мм. Определить расстояние между четвертым 2

и пятым темными кольцами ∆r4 . Ответ: ∆r4 = 0.855 мм.

5

5

1.16. Кольца Ньютона наблюдаются в воздушном промежутке между двумя плосковыпуклыми линзами, прижатыми друг к другу выпуклыми поверхностями. Радиусы выпуклых поверхностей линз равны соответственно ρ1 = 1м, ρ2 = 1.5 м. Определить радиус пятого темного кольца в отраженном свете r5, если наблюдение ведется в свете с длиной волны 0.589 мкм. Указание: стрелка t по хорде 2r окружности радиуса ρ – r2 t= . Толщина воздушного промежутка, соответствующая пятому кольцу 2ρ

в отраженном свете: t Σ = t1 + t 2 =

r52

2 ρ1

+

r52

2ρ2

, 2t = 5λ.

Ответ: r5 = 1.328 мм. 1.17. Как измениться вид интерференционной картины колец Ньютона в отраженном свете после заполнения промежутка между плосковыпуклой линзой и стеклянной поверхностью жидкостью. Показатели преломления линзы nл, жидкости nж, стеклянной поверхности nст соотносятся nл
Ответ: темные и светлые полосы поменяются местами, а система колец сожмется. 1.18. В отраженном свете с длиной волны λ = 0.6328 мкм наблюдаются кольца Ньютона от плосковыпуклой линзы. Радиус четвертого светлого кольца равен 1 мм. Определить фокусное расстояние линзы f′, полагая n = 1.5147 (стекло К8). Ответ: f′= 880 мм. 1.19. Для нахождения величины неизвестной длины волны в ее свете измерен диаметр двадцатого темного кольца системы колец Ньютона. В отраженном свете он равен 2r = 12.92 мм. Радиус плосковыпуклой линзы R = 3296 мм. Ответ: длина волны 0.633 мкм. 1.20. При наблюдении с помощью плоскопараллельной пластинки колец Ньютона от одной из поверхностей тонкой двояковыпуклой линзы в отраженном свете с длиной волны 0.6328 мкм радиус 30 темного кольца ρ = 3 мм. Когда пластинка положена на другую поверхность линзы, радиус темного кольца того же порядка равен 5 мм. Определить фокусное расстояние линзы, если она изготовлена из стекла с показателем преломления n = 1.5. Ответ: f΄ = 73.5 см. 1.21. Радиус третьего светлого кольца Ньютона равен 3.65 мм. Наблюдение ведется в проходящем свете, причем пространство между плосковыпуклой линзой и стеклянной пластинкой заполнено жидкостью. Определить показатель преломления жидкости, если радиус кривизны линзы ρ = 10 м, а измерения выполнялись со светом с длиной волны 0.5893 мкм. Ответ: n = 1.327. 1.22. При контроле заготовки вогнутого зеркала пробным стеклом с радиусом кривизны ρ = ∞ на диаметре 40 мм наблюдается 50 светлых колец Ньютона. Определить стрелку прогиба t контролируемой детали на диаметре 20 мм, если длина волны используемого излучения 0.5 мкм. Ответ: t = 0.00125 мм. 1.23. В системе объектива, состоящего из 2–х компонентов, склеенных канадским бальзамом (n = 1.5317), вследствии различия радиусов склеиваемых поверхностей в отраженном свете наблюдаются четыре интерференционных кольца. Определить максимальную разнотолщинность слоя клея, если длина волны используемого излучения λ = 0.6328 мкм. Ответ: ∆t = 0.62 мкм.

1.24. В интерферометре Майкельсона одно из зеркал переместилось на ∆l, при этом интерференционная картина сместилась на ∆p полос. Определить величину ∆l перемещения зеркала, если в качестве источника использован гелий–неоновый лазер с длиной волны 0.6328 мкм, а ∆p = 150. Ответ: ∆l = 47.5 мкм. 1.25. В интерферометре Майкельсона при перемещении одного из зеркал на расстояние 0.153 мм интерференционная картина сместилась на 525 полос. Определить длину волны падающего света. Ответ: длина волны 0.583 мкм. 1.26. В одно из плеч интерферометра Майкельсона помещена откачанная трубка длиной 14 см. Затем трубку заполнили газом, коэффициент преломления которого не известен. Интерференционная картина сместилась на 180 полос. Зная, что длина волны света 0.59 мкм, вычислить показатель преломления газа nг. Ответ: nг = 1.00038. 1.27. С помощью интерферометра Жамена определяется показатель преломления газа nг. Для этого в оба интерферирующих луча вначале устанавливаются вакуумные трубки одинаковой длины. После того, как в одну трубку был впущен газ, интерференционная картина сместилась на 23.7 полосы. Зная, что длина трубок равна 100 мм, а измерения выполнены с источником с длиной волны λ = 0.5893 мкм, найти показатель преломления газа nг. Ответ: nг = 1.00014. 1.28. В интерферометре Жамена на пути одного из лучей поместили откачанную трубку, а вторую трубку заполнили парами хлора, после чего интерференционная картина сместилась на 131 полосу. Для измерений использовался свет с длиной волны λ = 0.5893 мкм. Определить показатель преломления паров хлора n, если известно, что длина трубок равна 100 мм. Ответ: n = 1.00772. 1.29. В интерферометре Рэлея на пути интерферирующих лучей установлены две кюветы длиной 100 мм каждая. После того как в одну из кювет вместо воздуха ввели пары аммиака, разность хода в интерферометре изменилась на величину 10 мкм. Полагая, что показатель преломления воздуха nв=1.000277, определить показатель преломления аммиака nа. Ответ: nа = 1.000377

1.30. С целью измерения показателя преломления тонкая пленка прозрачного материала внесена в одно из плеч интерферометра Рэлея. Толщина пленки t = 0.095 мм. Измеренная разность хода в ней 0.05 мм. Погрешность измерений на интерферометре 200 нм. Вычислить значение n и погрешность измерения ∆n; оценить, с какой погрешностью ∆t в этом случае должна быть известна толщина пленки t. Ответ: n = 1.526; ∆n = 0.002; ∆t = 0.0002 мм. 1.31. Заданы параметры интерферометра Рэлея: фокусные отрезки коллиматорного и камерного объективов f1 = f2 = 300 мм; ширина двух отверстий в промежуточной диафрагме а = 5 мм, а расстояние между их центрами с =20 мм; длина волны источника, освещающего входную щель, 546 нм. Вычислить число n наблюдаемых интерференционных полос и их ширину b, а также ширину b0 входной щели, при которой контрастность в центре интерференционной картины K ' = 0.75. Ответ: n = 7; b = 0.008 мм; b0 = 0.0033 мм. 1.32. В интерферометре Майкельсона разность хода ∆ изменяется от 0 до 1 мм. Оценить длину когерентности источника света ∆ C , если известно, что контрастность интерференционной картины K ' ≥ 0,8 во всем диапазоне изменения ∆. Найти необходимую монохроматичность источника света ∆λ , если длина волны 0.5461 мкм. Ответ: ∆ C = 2.8 мм; ∆λ = 0.106 нм. 1.33. В интерферометре Майкельсона используется источник света с длиной волны 0.5771 мкм и ∆λ = 0.05 нм. Оценить контрастность K ' получающейся интерференционной картины, когда в один из лучей введена стеклянная пластинка толщиной t = 3 мм с показателем преломления n = 1,5. Ответ: K ' = 0.29. 1.34. В интерферометре Майкельсона в качестве источника света используется газоразрядная натриевая лампа, излучающая две спектральные линии с длинами волн λ1 = 0.5890 мкм и λ2 = 0.5896 мкм. При этом возникает две системы интерференционных полос, накладывающихся друг на друга. Суммарная интерференционная картина получается контрастной при таких значениях разности хода ∆, при которых порядки интерференции Р1 и Р2 двух систем отличаются на целое число к. Очевидно, что если при некоторой разности хода ∆' порядки отличаются на к+1/2, то совпадают максимумы и минимумы систем и контрастность суммарной интерференционной картины становится равной нулю. При дальнейшем увеличении разности хода полосы снова

появляются, а затем опять исчезают. Так как контрастность каждой системы полос зависит от собственной ширины линии ∆λ и величины ∆, то с увеличением разности хода контрастность суммарной картины будет последовательно убывать. Задание: а). рассчитать разности хода ∆ и ∆' , при которых интерференционная картина контрастна или исчезает. б). рассчитать разность хода ∆'' , при превышении которой максимумы и минимумы суммарной картины становятся малозаметными (положить для линий ∆λ = 0.01 нм, минимальная контрастность в каждой системе полос K ' = 0.2). Ответ: ∆ = 0; 0.578 мм; 1.156 мм; …. ∆' = 0.289 мм; 0.867 мм; 1.445 мм; …. ∆'' = 28.4 мм. 1.35. Известно, что фотоэлектрическая регистрация интерференционной картины позволяет повысить чувствительность интерференционных измерений. Это осуществляется путем измерения фототока приемника излучения, устанавливаемого на выходе интерферометра. Взаимность измерения малых изменений разности хода в интерферометре ограничивается шумами и помехами, сопровождающими его работу. Оценить минимальное значение приращения разности хода δ∆ в двух лучевом интерферометре, если относительный уровень помех ∆i i = 0.01 , где ∆i – величины колебаний электрического сигнала i в выбранной для измерений точке интерференционного поля. Указание. Найти связь между приращением тока di и приращением разности хода в интерферометре d∆ , продифференцировав выражение ⎡ ⎛ 2π∆ ⎞⎤ i = i0 ⎢1 + cos⎜ ⎟⎥ . Измерения целесообразно производить в точке ⎝ λ ⎠⎦ ⎣ интерференционного поля, где di d∆ принимает максимальное значение, а i=i0. Ответ: δ∆ ≈ λ 1000 1.36. Интерферометр Фабри – Перо освещен излучением с длиной волны λ = 0.6328 мкм. На сколько нужно изменить толщину интерферометра, чтобы интерференционная картина сместилась на один порядок? 1.37. Зеркала интерферометра Фабри – Перо изготовлены со значениями коэффициентов пропускания и поглощения T = 0.1 и A = 0.21. Рассчитать пропускание интерферометра в максимуме и минимуме интерференционной картине τ max , τ min и контраст К.

1.38. Коэффициент отражения зеркал интерферометра Фабри – Перо R = 0.85 при длине волны λ = 0.5 мкм. Толщина t=0.5 мм, ϕ = 5ο . Рассчитать величину разрешимого спектрального интервала δλ и необходимую величину интервала ∆λ предварительной монохроматизации излучения. Указание. ∆λ ≤ ∆' λ Ответ: δλ = 1.35 ⋅ 10 −2 нм, ∆λ ≤ 2,5 ⋅ 10 −1 нм . 1.39.

Измеренное

значение

угловой дисперсии интерферометра рад при λ = 0.578 мкм. При каком угле Фабри – Перо Dϕ = 1.73 ⋅ 10 − 2 нм интерференции ϕ и в каком порядке p работает интерферометр, если его толщина t=5 мм? Ответ: ϕ = 5.71ο, p ≅ 17200 . 1.40. Интерферометр Фабри – Перо с толщиной t=5 мм предназначен для исследования тонкой структуры линии ртути с λ = 0.5461 мкм. Какой коэффициент отражения R должны иметь зеркала, чтобы разрешить спектральный интервал δλ = 1 ⋅ 10 −3 нм ? При расчете принять cos ϕ = 1 . Ответ: R = 0.9. 1.41. Измерены значения коэффициентов пропускания интерферометра Фабри – Перо в максимуме и минимуме интерференционной картины τ max = 0.33 и τ min =0.009. Рассчитать коэффициенты отражения R , пропускания T и поглощения A зеркальных покрытий. Ответ: R =0.9, T =0.057, A =0.043. 1.42. Спектральная установка – спектрограф с интерферометром Фабри – Перо предназначены для исследования тонкой структуры линии ртути λ = 546.1 нм. Минимальное спектральное расстояние между парой компонентов структуры δν = 0.112 см-1. Расстояние между крайними компонентами структуры ∆ν = 8.2 см-1. Рассчитать необходимые значения толщины t интерферометра коэффициента R зеркальных покрытий. Изобразите вид интерференционной картины на фотопластинке. Указание. В шкале волновых чисел ν = 1 λ см −1 , разрешающая

[

]

способность ℜ = ν δν ; ∆ν ≤ ∆'ν , где ∆'ν – свободный от переналожений интервал в волновых числах. Ответ: t= 3.3 мм, R = 0.96. 1.43. В спектре пропускания интерференционного светофильтра в видимой области наблюдаются три полосы с длинами волн максимумов – 600, 530,

и 433 нм. Определить порядки интерференции p для этих длин волн и толщину t диэлектрического слоя. При расчете принять для диэлектрика n=1.35, ψ π = 0.1 , cos ϕ = 1 . Ответ: p = 3,4,5; t=0.76мкм. 1.44. Каков максимальный порядок для длины волны λ , если постоянная прозрачной дифракционной решетки d. 1.45. В каком порядке произойдет наложение спектров в случае видимых лучей (от 400 нм до 750нм). Зависит ли это от постоянной решетки? 1.46. Какими данными должна обладать дифракционная решетка, чтобы во втором порядке разрешить дублет натрия с длинами волн 589.0 и 589.6 нм? Ответ: N ≥ 500 . 1.47. Дифракционная решетка с шириной нарезанной части L=25 мм и постоянной d = 0.833 мкм работает во втором порядке. Какова ее разрешающая способность R при λ = 500 нм и чему равен разрешаемый интервал δλ ? Ответ: R=60000, δλ = 8.33 ⋅ 10 −3 нм. 1.48. Вывести выражение для угловой дисперсии Dϕ дифракционной решетки и показать, что в общем случае Dϕ не зависит от номера порядка и постоянной решетки. Поясните, в чем заключается разница в спектрах дифракционных решеток с разными постоянными, но имеющих одинаковую угловую дисперсию при длине волны λ . 1.49. На прозрачную дифракционную решетку по нормали падает белый свет и разлагается в спектр. При этом длина волны λ дифрагирует под углом ϕ , отсчитаным по часовой стрелке от нормали. Как изменится угловая дисперсия Dϕ при этой длине волны, если решетку повернуть на угол α ? Указание. После поворота решетки угол дифракции ϕ ' ≠ ϕ . Соотношение между ϕ и ϕ ' найдется, если приравнять разности хода лучей в первом и 1 втором положениях решетки. Dϕ ~ . cos ϕ Ответ: Dϕ возрастает при повороте решетки на угол α по часовой стрелке и уменьшается при повороте против.

1.50. На дифракционную решетку падает излучение под углом Ψ = 20 ο. Определить углы дифракции и вычислить угловую дисперсию при следующих условиях: 1. d=0.833 мкм, λ =450 нм, m=1 и m=2 2. d=1.666 мкм, λ =900 нм, m= ± 1 3. d=1,666 мкм, λ =300 нм, m= –2 и m=3 4. d=0.833 мкм, λ =200 нм, m= –2 и m=3 5. d=0.555 мкм, λ =200 нм, m= ± 1 Постройте схему прохождения лучей. 1.51. На дифракционную решетку падает излучение так, что углы падения и дифракции равны (автоколлимационный ход лучей). Определить необходимые для этого углы поворота решетки α и вычислить угловую дисперсию по условиям задачи 1.50 для положительных порядков. 1.52. На дифракционной решетке реализуется схема хода лучей, при которой угол γ между падающим и дифрагированным лучами остается постоянным для любой длины волны. Для этого решетка поворачивается на угол α от начального положения, когда нормаль к ней делит угол γ пополам. а). Постройте схему хода лучей, найдите связь углов падения и дифракции с углами α и γ ; выведите выражение связывающее длину волны λ с углом поворота решетки. б). При угле γ = 20 ο спектральная линия с длиной волны λ =410 нм наблюдается во втором порядке при угле поворота решетки α =30 ο ; вычислить постоянную решетки d и угловую дисперсию Dϕ , полагая, что угол дифракции больше угла падения.

γ

Ответ: а). mλ = 2d cos sin α ; 2 б). d = 0.833 мкм , Dϕ = 3.1 ⋅ 10 −3 нм −1 . 1.53. Рассчитать распределение энергии в 5 точках спектра дифракционной решетки в области длин волн λ1 ÷ λ 2 в порядке m, если задана длина волны максимума распределения λ m max . Вычислить необходимый угол i профиля штриха. Оценить вид распределения энергии в смежных порядках. 1. m=3; λ3 max = 200 нм; λ1 ÷ λ 2 =170 ÷ 240 нм; d=0.833 мкм. 2. m=2; λ 2 max = 500 нм; λ1 ÷ λ 2 = 400 ÷ 670 нм; d=1.666 мкм 3. m=1; λ1max = 400 нм; λ1 ÷ λ 2 = 270 ÷ 800 нм; d=0.833 мкм 4. m=1; λ1 max = 10 нм; λ1 ÷ λ 2 = 7.5 ÷ 20 мкм; d=20 мкм 5. m=4; λ 4 max = 250 нм; λ1 ÷ λ 2 = 220 ÷ 280 нм; d=1.666 мкм

1.54. Впервые дифракционные решетки были применены для изучения спектров в 1821 г. Фраунгофером. Первые изготовленные им решетки состояли из большого числа тонких проволочек, натянутых параллельно друг другу. Просветы между проволочками играли роль щелей, число которых доходило до 136 на 1 см. Определить постоянную d решетки Фраунгофера и ширину одной её щели, полагая приблизительно равными диаметры проволочек и просветы между ними. Ответ: d = 73.53 мкм, а ширина щели равна 36.63 мкм. 1.55. Каким должен быть угол падения лучей на дифракционную решетку Фраунгофера с периодом 73.53 мкм, чтобы дифракция на ней была сопоставима с дифракцией на решетке с периодом 1 мкм? Решение. В этом случае должно быть обеспечено косое падение лучей на ⎛d' ⎞ решетку под углом ψ = arccos⎜⎜ ⎟⎟ = arccos 1 = 89 ο13'15'' . При этом 73.53 ⎝d⎠ дифракция происходит так, как если бы решетка была заменена другой, представляющей её проекцию на направление, перпендикулярное к падающим лучам Нулевой максимум будет лежать на продолжении первичных (падающих) лучей, а периодом решетки станет величина d ' = d cosψ , где ψ – угол падения первичных лучей на решетку.

(

)

1.56. На дифракционную решетку, имеющую 600 штрихов на 1 мм, по нормали падает свет от газоразрядной спектральной лампы. Спектр рассматривается через зрительную трубу, установленную на лимбе, нулевая отметка которого совпадает с нормалью к плоскости решетки. В спектре первого порядка красная линия видна под углом 22о43′30′′, зелёная линия – под углом 19о07′33′′, а синяя – под углом 15о09′34′′. Определить длины волн λкр, λзел, и λсин этих линий. Ответ: λкр = 643.8 нм; λзел = 546.1 нм; λсин = 435.8 нм. 1.57. На отражательную дифракционную решетку по нормали падает излучение с линейчатым спектром. Угол дифракции для света с длиной волны 589.3 нм в третьем порядке составляет 32о01′50′′. Определить угол дифракции для света с длиной волны 404.7 нм в первом порядке. Ответ: 6о58′25′′. 1.58. Плоская отражательная дифракционная решетка с шириной заштрихованной части 13.1 мм позволяет в спектре 1–го порядка видеть раздельно составляющие желтого дублета натрия (λ1 = 589.0 нм и λ2 =

589.6 нм). Определить для этой решетки число N1 штрихов, приходящееся на 1 мм. Ответ: N1 = 75 штр/мм. 1.59. Позволит ли плоская отражательная дифракционная решетка с шириной заштрихованной части 10,86 мм и периодом 20 мкм видеть раздельно в фиолетовой области спектра 1–го порядка линии ртути 433.9 нм и 434.7 нм? Решение: 1) λ = (433.9 + 434.7) / 2 = 434.3 нм; 2) R = λ/δλ = 434.3 / (434.7 – 433.9) = 542.87; 3) R = mN = 1 ⋅ 10.86 / (20⋅10-3) = 543. Следовательно, решетка позволит разрешить эти линии ртути, но на пределе своего разрешения. 1.60. Получить выражение для угла ψ , под которым должен падать на плоскую отражательную дифракционную решетку с числом штрихов на 1 мм, равным N1, монохроматический свет длины волны λ, если у этой решетки для порядка спектра m угловая дисперсия равна Dϕ? Ответ: ψ = arcsin(mλN1 −

1−

2 m 2 N1 D2

ϕ

).

1.61. Вывести выражение, позволяющее определить период (постоянную) плоской отражательной дифракционной решетки d, на которую нормально падает монохроматический свет длины волны λ = 433.9 нм, если в результате дифракции угол ∆ϕ между главными максимумами 1–го и 2–го порядков составляет 5о. λ 5 − 4 cos ∆ϕ = 0.005 мм = 5 мкм. Ответ: d = sin ∆ϕ 1.62. В спектральном приборе на плоскую отражательную дифракционную решетку, имеющую 300 штрихов на 1 мм, нормально падает белый свет. Фокусное расстояние ƒ′ камерного объектива, формирующего в своей задней фокальной плоскости изображения спектров, равно 1000 мм. Вывести выражение для длины ∆lm каждого из спектров 1–го и 2–го порядков и получить эти значения в границах: λg = 435,83 нм и λD = 589,29 нм, когда спектр нулевого порядка совпадает с оптической осью камерного объектива.

⎡ λD ⎢ Ответ: ∆ lm = lD – lg = m N1 ƒ′ ⋅ ⎢ 2 ⎢⎣ 1 − ( m λ D N 1) ∆lm=1 = 47.7 мм, ∆lm=2 = 107.1 мм.

−

λg

(

⎤ ⎥ ⎥, 2 ⎥⎦

)

1 − m λ g N1

1.63. В спектральном приборе плоская отражательная дифракционная решетка предназначена для работы в первом порядке в спектральном диапазоне ∆λ=689.3 нм, середина которого приходится на λ=700 нм. Длина спектра ∆l, формируемого в фокальной плоскости камерного объектива с ƒ′ = 100 мм, не должна превышать величину 6.91 мм. Получить выражение и определить для этой решетки N1, т.е. число штрихов, приходящееся на 1 мм, если в приборе свет падает на решетку нормально. Ответ: N1 = Dϕ / (m· 1 + λ 2 D 2 ) = 0.1 штрих/мкм = 100 штрих/мм.

ϕ

1.64. Можно ли для плоской отражательной решетки, дифракционный спектр которой ограничен видимым спектральным диапазоном (от 750 нм до 380 нм), обеспечить работу в первом порядке (m = 1) при отсутствии переналожения спектров соседних порядков? Решение. Обозначив через λm и λM соответственно коротковолновую и длинноволновую границы рабочей спектральной области, отметим, что наложение линий соседних порядков наступит при m λM = (m + 1) λm. При этом, введя обозначение ∆λ = λM – λm, т. е. λm = λM – ∆λ, имеем: m λM = (m + 1)(λM – ∆λ) или m λM = m λM + λM – m ∆ λ – ∆ λ . Отсюда видно, что область свободная от переналагающихся порядков (получившая название области свободной дисперсии) определяется формулой: ∆λ = λM – λm = λM / (m + 1). А так как согласно заданию λM = 750 нм, λm = 380 нм, m = 1 и при этом выполняется условие (λM – λm) < λM /(m + 1), то можно утверждать, что при работе такой решетки в рассматриваемом спектральном диапазоне переналожение порядков отсутствует. 1.65. Определить длину волны λ спектральной линии, сформированной в спектральном приборе с плоской отражательной дифракционной решеткой в спектре третьего порядка, если её изображение совпадает с изображением линии 486 нм в спектре четвертого порядка. Ответ: λ = 648 нм.

1.66. Определить, как переналагаются спектры 1–го, 2–го, 3–го и 4–го порядков дифракционной решетки, если излучение простирается от 100 нм до 760 нм, а в первом порядке границами рабочей области спектра служат фиолетовая (λm = 400 нм) и красная (λM = 760 нм) длины волн. Ответ. Спектры первого и второго порядков не переналагаются, второго и третьего порядков – переналагаются, а также переналагаются спектры третьего и четвертого порядков. При этом на спектр третьего порядка налагаются спектры как второго, так и четвертого порядка. 1.67. Для получения дифракции рентгеновских лучей их можно направлять на плоскую отражательную дифракционную решетку под большими углами падения на неё. В этих условиях необходимо определить длины волн рентгеновского излучения, дифрагировавшего в 1–й, 2–й и 3–й порядки от решетки, период которой равен 1 мкм, угол падения рентгеновских лучей на неё 89о30′, а угол дифракции составляет −88о30′. Указание. Изобразить схему хода лучей. Ответ: λm=1 = 3.05 Å; λm=2 = 1.52 Å; λm=3 = 1.02 Å. 1.68. Желтый дублет натрия состоит из двух близко расположенных линий с длинами волн 589.0 нм и 589.6 нм. Чтобы в дифракционном спектре первого порядка можно было различить эти линии, необходимо ответить на следующие вопросы: а). Какую разрешающую способность R должна иметь плоская отражательная дифракционная решетка; б). Какой должна быть длина L нарезанной части такой дифракционной решетки с N1 = 24 штрих/мм; в). Каким должно быть общее число штрихов N у этой дифракционной решетки. Ответ: а). R = 982; б). L = 41 мм; в). N = 982. 1.69. У ряда художников, относящихся к неоимпрессионистам, некоторые из картин содержат огромное количество вплотную расположенных однотонных пигментных точек, диаметром около 2.5 мм каждая. Иллюзия смешения цветов происходит лишь в глазу наблюдателя. Наименьший диаметр зрачка глаза наблюдателя Dгл = 3 мм, а переднее фокусное расстояние глаза ƒгл = –17.1 мм. Определить, на каком расстоянии L(min) от

картины должен находиться наблюдатель, чтобы достичь эффекта цветового смешения. Примечание. Переднее и заднее фокусные расстояния человеческого глаза не равны по абсолютной величине друг другу. Связь между ними дается формулой: ƒ′гл/ƒгл = –nгл/nвозд. Для глаза человека nгл=1.336, а nвозд=1.Максимальная разрешающая способность наблюдается у глаза при λ = 0.56 мкм. Решение: ƒ′гл= – (ƒгл nгл) / nвозд = – (– 17.1) ⋅ 1.336 / 1 = 22.8; 1) 2) δ = 1,22 λƒ′гл / D = 1,22 ⋅ 0.56⋅10-3 ⋅ 22.8 / 3 = 5.2⋅10-3мм; 3) tg αгл = (δ/2) / ƒ′гл= 1.14⋅10-4 ; 4) 5)

sin αгл = tg αгл / 1 + tg 2α ГЛ = 1.14⋅10-4 ; sin αвозд= nгл⋅sin αгл= 1.336 ⋅ 1.14⋅10-4 = 1.523⋅10-4 ;

tg αвозд = sin αвозд / 1− sin 2 α возд = 1.523⋅10-4 ; L(min) = (2.5/2) / tg αвозд = 1.25 / 1.523⋅10-4 = 8.2⋅103мм. Отсюда следует, что эффект цветового смешения будет достигнут, когда наблюдатель будет рассматривать картину неоимпрессиониста с расстояния не менее 8,2 метра.

6) 7)

1.70. Может ли космонавт, находящийся на борту пилотируемого космического корабля с высотой полета Н = 300 км, различить невооруженным глазом (с диаметром зрачка 3 мм) крупноразмерные части у судна длиной 10 метров в океане при дневном освещении или он сможет только обнаружить его присутствие? Какова должна быть минимальная длина судна lmin, чтобы космонавт видел раздельно бак и ют, то есть носовую и кормовую надстройки судна? Ответ. Космонавт не может детально разглядеть с орбиты носовую и кормовую надстройки у 10–метрового судна. Чтобы космонавт раздельно видел бак и ют, длина судна lmin = 2Н ⋅ tg αвозд= 2 ⋅ 300⋅106 ⋅ 1.523⋅10-4 = 9.138⋅104мм = 91.38 м, то есть должна быть не меньше 91.4 метра. 1.71. Определить линейную меру δ разрешения безаберрационного объектива (при визуальных измерениях) с диаметром круглого входного зрачка равным 50 мм и фокусным расстоянием 150 мм. Ответ: δ ≈ 2 мкм. 1.72. Зрительная труба геодезического инструмента имеет объектив диаметром 70 мм и фокусным расстоянием 315 мм. Изображение, формируемое объективом зрительной трубы, рассматривается без окуляра глазом, диаметр зрачка которого Dгл=2,5 мм. Определить (при визуальных наблюдениях):

а). предел разрешения δ в линейной мере объектива зрительной трубы, входной зрачок которой совпадает с оправой объектива; б). минимальное расстояние между двумя условно–точечными объектами, находящимися на расстоянии 5 км от объектива зрительной трубы; в). минимальное увеличение зрительной трубы Г=D/Dгл, при котором разрешающая способность её объектива будет полностью использована, если объектив трубы и глаз наблюдателя можно условно считать безаберрационными оптическими системами. Ответ: а). 3 мкм; б). 48.8 мм; в). 28х.

ЛИТЕРАТУРА Ландсберг Г. С. Оптика. М.: Наука, 1976, 346 – 348 для задач 3.75 – 3.78, стр. 204 – 209 и 211 – 217 для задач 3.60 – 3.74.

стр. 172 – 173,

182 – 184,

27

§ 2. Поляризация света и оптика анизотропных сред 2.1. Какая связь существует между двумя вроде бы разными явлениями двулучепреломления и плеохроизма? Как эту связь можно показать на графике? Ответ: связь между двулучепреломлением и плеохроизмом определяется спектральной зависимостью показателей преломления и поглощения для соответствующих направлений распространения света в анизотропном веществе [1, c.386 – 387]. 2.2. Поясните, почему практически все известные поляризационные призмы, использующие явление двулучепреломления, конструируются таким образом, что оптическая ось для каждой из двух составляющих кристаллических половинок рабочей призмы ориентирована параллельно или перпендикулярно одной из граней этих призм? 2.3. Поясните, как устроен поляризационный фильтр, основанный на явлении рассеяния? Проанализируйте его особенности и недостатки. 2.4. Поясните, почему поляризационные призмы обладают лучшей степенью поляризации, чем дихроичные поляризационные фильтры? 2.5. Поясните физические принципы работы поляризационного фильтра для ИК – области, изготовленной в виде пропускающей дифракционной решетки из тонких металлических полосок с периодом 1200 штрих ⁄мм? [3, с. 244]. 2.6. В частично – поляризованном свете максимальная интенсивность пропускаемого через анализатор света в 2 раза больше минимальной интенсивности. Определить степень поляризации Р света. Ответ: 0.33. 2.7. Степень поляризации Р частично – поляризованного света равна 0.5. Во сколько раз отличается максимальная интенсивность света, пропускаемого через анализатор, от минимальной интенсивности? Ответ: в 3 раза. 2.8. На пути частично – поляризованного света, степень поляризации Р которого равна 0.6, поставили анализатор так, что интенсивность света, прошедшего через него, стала максимальной. Во сколько раз уменьшится интенсивность света, если плоскость пропускания анализатора повернуть на угол 30°? Ответ: в 1.23 раза.

28

2.9. На николь падает пучок частично – поляризованного света. При некотором положении николя интенсивность света, прошедшего через него, стала минимальной. Когда плоскость пропускания николя повернули на угол 45°, интенсивность света возросла в 1.5 раза. Определить степень поляризации Р света. Ответ: 0.33. 2.10. Поясните, чем должны отличаться условия распространения света при анализе характеристик эллиптичности при прохождении линейно поляризованного светового пучка через пластинку толстого анизотропного монокристалла кварца и волокна из кристаллического кварца? Примечание: у пластинки монокристалла оптическая ось перпендикулярна плоскости образца, а у волокна совпадает с геометрической осью волокна. Ось светового сходящегося пучка перпендикулярна плоскости монокристаллической пластинки и торцу волокна. Ответ: отличие характеристик эллиптичности после прохождения линейно – поляризованного светового пучка пластинки кристаллического кварца и кристаллического волокна связана в случае волокна дополнительным фактором – сдвигом фаз ортогональных компонент светового луча при полном внутреннем отражении в волокне. 2.11. От чего зависит различие дисперсий обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле исландского шпата, а также в других кристаллах? [2, c.324]. 2.12. Поясните, что означает положительный и отрицательный одноосный кристалл? [1, c.508]. 2.13. В каких условиях возможна интерференция после прохождения светом анизотропной среды? 2.14. Поясните происхождение явления окрашивания кристаллических пластинок при наблюдении их в поляризованном свете. В результате, какого явления происходит окраска? В рамках, какой оптической схемы можно наблюдать такое окрашивание? [1, c.516]. 2.15. Для какой цели служит фазочувствительная пластинка, как она устроена и как она работает? Как с помощью этой пластинки можно измерять малые различия величины двулучепреломления анизотропных кристаллов?

29

2.16. Имеется призма Волластона [1, c.387], изготовленная из исландского шпата. Показатель преломления обыкновенного луча n0 = 1.658, а →

необыкновенного, когда вектор E коллинеарен оптической оси, ne = 1.486. Угол при вершине α =15°. Найти угол между выходящими из призмы лучами. Решение: при переходе через границу раздела между средами с взаимно перпендикулярными оптическими осями обыкновенный в первой среде луч становится необыкновенным во второй и, наоборот, необыкновенный луч в первой среде становится обыкновенным во второй. Обозначая θ пр−о и θ пр−e углы преломления обыкновенного и необыкновенного лучей, можем записать sin θ пд−e no sin θ пд−о ne = ≥1 = ≤1 sin θ пр −o ne sin θ пр −е no причем sin θ пд−о = sin θ пр−е = sin α . (1)

Обозначая θ пд−о и θ пр −е углы преломления при выходе из призмы в воздух, запишем законы преломления в виде: sin (α − θ пр −е ) sin (α − θ пр −о ) = 1 , = 1 , (2) sin θ пр−е ne sinθ ′ пр −o nо

поскольку углы падения на границу при выходе из призмы обыкновенного и необыкновенного лучей равны соответственно α – θпр_o и α – θпр_e . Из (2) с учетом (1) получаем для углов преломления значения θпр_o = 2°14´ и θпр_o = 3°2´, причем эти углы отсчитываются в разные стороны от нормали. Поэтому угол между вышедшими из призмы лучами θ'пр_o + θ'пр_e =5°16´. 2.17. Поясните, почему поляризационные призмы и дихроичные фильтры не используются в качестве поляризующих устройств в УФ области короче 170 нм? Какие поляризующие устройства применяются в этой области? Ответ: Все твердые тела поглощают в области короче 170нм. В этой области используются отражательные поляризационные системы. 2.18. В кварцевых спектрографах призма вырезается из одноосного кварца вдоль оптической оси (основание призмы параллельно оптической оси). Однако небольшое двоение линий заметно. Для устранения двоения применяют призму, состоящую из двух половинок, изготовленных из право– и левовращающего кварца. Объяснить действие составной призмы. 2.19. Вычислить, какой толщины должны быть пластинки из кварца и из исландского шпата, для того чтобы они для каждой из длин волн λ1= 687 нм и λ2= 400 нм служили четвертьволновыми пластинками. Показатели

30 преломления для различных длин волн в исландском шпате и кварце приведены в табл. 1. Таблица 1 Показатели преломления в исландском шпате и кварце для разных длин волн Длина волны λ, нм 687 (красный) 656 (оранжевый) 589 (желтый) 527 (зеленый) 486 (голубой) 431(сине– фиолетовый) 400 (фиолетовый)

Исландский шпат(кальцит) nо ne

ne

Кварц nо

1.484 1.485 1.486 1.489 1.491 1.495

1.653 1.655 1.658 1.664 1.668 1.676

1.551 1.553 1.556 1.559 1.564 1.568

1.541 1.542 1.544 1.547 1.550 1.554

1.498

1.683

1.484

1.558

2.20. Ввиду трудности изготовления тонких пластинок обычно применяются пластинки, дающие разность хода, равную (т + 1/4)λ. Рассчитать такую пластинку из кварца для λ = 589.3 им (желтый цвет), с тем, чтобы ее толщина была около 1 мм. Как будет действовать такая пластинка на фиолетовые лучи (λ = 400 нм)? 2.21. Объяснить, в чем невыгодность толстых кристаллических пластинок λ/4 (обратить внимание на зависимость разности показателей преломления от длины волны). 2.22. Имеется два идеальных линейных поляризатора (нет потерь на поглощение и отражение) и источник неполяризованного света. Расположите эти поляризаторы друг за другом и разверните на угол 00 и 500, соответственно. Затем поместите между ними другой линейный поляризатор с осью пропускания, развернутой на 250. Какая доля излучения пройдет через эти устройства при наличии среднего поляризатора и без него? [1, c.378]. 2.23. Имеем пучок неполяризованного света, который падает нормально на стопу идеальных линейных поляризаторов, которые располагаются один позади другого с осью наибольшего пропускания первый вертикально, второй развернут на 300, третий на 600, и четвертый на 900. Какая часть света пройдет?

31

2.24. Два идеальных линейных поляризатора расположены друг за другом. На какой угол должны быть развернуты их оси наибольшего пропускания, чтобы ослабить падающий пучок на 70%? 2.25. Естественный свет проходит через два идеальных линейных поляризатора. Их оси наибольшего пропускания параллельны, на сколько будет ослаблен световой пучок, если второй поляризатор развернуть на 300? 2.26. Какова будет интенсивность прошедшего излучения, если первый поляризатор в предыдущей задаче развернуть на 300? 2.27. Какова будет интенсивность прошедшего через два идеальных линейных поляризатора излучения, если оси наибольшего пропускания поляризаторов составляют 450? 2.28. Анализатор в 2 раза уменьшает интенсивность света, приходящего к нему от поляризатора. Определить угол между плоскостями пропускания поляризатора и анализатора. Потерями интенсивности света в анализаторе пренебречь. 2.29. Угол между плоскостями пропускания поляризатора и анализатора равен 450. Во сколько раз уменьшится интенсивность света, выходящего из анализатора, если угол увеличить до 600? 2.30. Во сколько раз ослабляется интенсивность света, проходящего через два николя, плоскости пропускания которых образуют угол 300, если в каждом из николей в отдельности теряется 10% интенсивности падающего на него света? Ответ: в 3.3 раза. 2.31. Известно, что вещества типа сахара и инсулина оптически активны, они вращают плоскость поляризации пропорционально длине пути и концентрации раствора. Стеклянная кювета с раствором инсулина помещена между парой скрещенных идеальных линейных поляризаторов. При этом через второй поляризатор выходит 50% света, прошедшего через первый. Какова должна быть концентрация сахарного раствора в кювете и ее толщина для соответствующего поворота плоскости поляризации после первого поляризатора? Величину удельного вращения сахара см. [1, с.614].

32 2.32. Линейно поляризованный свет с электрическим вектором, наклоненным к вертикали на 550, падает перпендикулярно на идеальный поляризатор, чья ось наибольшего пропускания отклонена от вертикали на +100. Какая доля от падающего света появится на выходе? 2.33. Имеется два идеальных поляризатора. Их вертикальные оси наибольшего пропускания развернуты на 100 и 600, соответственно. Если электрический вектор линейно поляризованного луча развернуть на 400 по отношению к первому поляризатору, какая часть излучения пройдет? 2.34. Имеется пара скрещенных идеальных линейных поляризаторов. Введем между поляризаторами другой линейный поляризатор, у которого ось наибольшего пропускания развернута на 450 относительно первого. Какая часть излучения пройдет? 2.35. Наблюдатель рассматривает объект (текст) в рамках следующей схемы: свет от объекта направляется через кальцитовую призму на зеркало, которое возвращает луч света обратно на кальцитовую призму. После вторичного прохождения света через призму он направляется в глаз наблюдателя. Будет ли наблюдатель видеть двойное изображение объекта? 2.36. Световой пучок с λ0=589.3 нм падает на кварцевую пластинку, у которой оптическая ось перпендикулярна к лучу. Вычислите длину волны в обыкновенном и необыкновенном лучах. Каковы их частоты? 2.37. Плоскость поляризации падающего линейно поляризованного света составляет угол +300 с горизонтальной быстрой осью четвертьволновой пластинки. Опишите состояние поляризации выходящей электромагнитной волны. 2.38. Вычислить критический угол θc для обыкновенного луча, который является углом полного внутреннего отражения для кальцит – бальзамового слоя призмы николя. Ответ: sinθc = nбальзам ⁄ nо =1.55 ⁄ 1.658 = 0.935; θc = 69о. 2.39. Имеем поляризационную призму Рошона. Эта призма склеена из двух полупризм, у первой по ходу луча полупризмы входная грань перпендикулярна оптической оси кристалла. У второй полупризмы направление оптической оси перпендикулярно оптической оси первой полупризмы [1, c.387].

33 Показать направление лучей для случаев: а). Призма сделана из кальцита, б). Призма сделана из кварца, в). В чем особенность призмы Рошона по сравнению с призмой Волластона? Ответ: а). Обыкновенный луч выходит из призмы перпендикулярно ее выходной грани, необыкновенный луч отклоняется вверх. б). Обыкновенный луч выходит из призмы перпендикулярно ее выходной грани, необыкновенный луч отклоняется вниз. в). Поскольку из призмы Рошона обыкновенный луч выходит без отклонения, она обладает лучшей ахроматизацией. 2.40 Имеем два идеальных скрещенных поляризационных светофильтра, на которые падает естественный свет. Вставим между ними стопку из 10 пластинок λ , первая с быстрой осью, развернутой на π/40 рад от 2 плоскости поляризации первого поляризатора, и у каждой последующей пластинки быстрая ось развернутой на π/40 рад по отношению к предыдущей пластинке. Определите отношение прошедшей интенсивности к интенсивности падающего излучения. Поясните логику ваших действий. Ответ: 25 %. 2.41. Предположим, Вам дали линейный поляризатор и пластинку λ ⁄4. Как Вы могли бы различить эти пластинки, имея источник неполяризованного света? 2.42. Лево – циркулярная волна проходит через пластинку λ⁄8, у которой быстрая ось расположена горизонтально. Какой вид поляризации будет у прошедшей волны? 2.43. Имеем источник неполяризованного света и два линейных поляризатора, их оси параллельны друг другу. Помещаем между ними предмет в виде кусочка прозрачной целлофановой ленты (лента имеет анизотропную структуру, связанную с внутренними напряжениями). Целлофановая лента представляется для наблюдателя черной. Объясните этот эффект. Литература 1. Ландсберг Г.С. Оптика. М.: Наука, 1976. 2. Поль Р.В. Оптика и атомная физика. М.: Наука, 1966. 3. Прикладная физическая оптика: Учебник для ВУЗов/ И.М.Нагибина, В.А. Москалев, Н.А. Полушкина, В.Л. Рудин – М.: Высш. шк. 2002.

34

§ 3. Отражение и преломление света 3.1. Имеется граница между водой ( n B =4/3) и стеклом ( ncn = 3/2), вычислите угол для прошедшего пучка света θ пр , если угол для падающего пучка в воде равен θ пад =450. Показать, что если прошедший пучок развернуть обратно, так чтобы он вновь упал на границу сред, то θ пр =450 [1, c.470 – 480].

3.2. Пучок света с λ0 = 600нм в вакууме направляется на блок из стекла с nст = 1.50. Вычислить длину волны в стекле. Какая возникнет окраска стекла? 3.3. Лазерный пучок падает на границу воздух – жидкость при угле 550. Преломленный луч наблюдается при угле 400. Какой показатель преломления у жидкости? 3.4. Свет из воды направляется к границе вода – воздух под углом 350. Какой угол будет у пучка, вышедшего в воздух? 3.5. Лазерный пучок падает на поверхность пластинки стекла ( ncn = 1.50) толщиной 2 см при угле падения 350. Какой путь пучок пройдет в стекле? 3.6. Пучок света падает из воздуха на границу воздух – стекло. Если показатель преломления стекла ncn =1.70 найти такой угол падения θ пад , при котором угол прошедшего пучка будет равным 1/2 θ пад [1, c.470 – 478]. 3.7. Лазерный пучок падает на границу воздух – диэлектрик с показателем преломления n. Покажите что для малых углов падения θ пр = θ пад . С n

учетом этого равенства и уравнения Френеля для амплитудного коэффициента отражения r⊥ покажите, что вблизи нормального угла n −1 . падения выполняется уравнение [− r⊥ ]θ пад ≈0 = n +1

35 3.8. Докажите, что для границы вакуум – диэлектрик для скользящего падения r⊥ → –1. 3.9. Имеется кусок прозрачного стекла, при этом установлено, что полное внутреннее отражение на границе стекло – воздух происходит при угле 480. Какой показатель преломления у стекла? 3.10. Имеется кусок стекла с показателем преломления n =1.55, покрытый слоем воды n =1.33. Каков будет критический угол падения для света, проникающего через стекло в направлении границы раздела сред? 3.11. Свет имеет в вакууме длину волны λ0 = 600нм проходит через стеклянный блок и испытывает полное внутреннее отражение от границы стекло – воздух при угле 450. Определите расстояние, на котором амплитуда затухающей волны в воздухе ослабляется в 1 раз от ее e величины вблизи границы раздела сред? [2, c.34 – 52]. 3.12. Покажите, что tgθ Бр = n2

, где n1 и n2 – показатели преломления n1 граничащих сред. Рассчитайте угол Брюстера, то есть угол полной поляризации для пластинки стекла (n = 1.52), находящейся на воздухе. 3.13. Допустим, мы смотрим в направлении перпендикуляра к стопке из N стеклянных пластинок. Источник света, который наблюдается через эту стопку пластин, станет темнее. Покажите, что в отсутствии поглощения 2N светопропускание пластин равно T = (1 − R ) , где R – коэффициент отражения от границы воздух – пластинка. 3.14. Если в предыдущей задаче пластинки поглощают свет, то 2N T = (1 − R ) × exp{− K (λ )Nd }. Найти величину Т для стопы из 5 стеклянных поглощающих пластинок для λ0=600нм ( K (λ ) = 4πk , n = 1.50, k = 0.001, d = 1мм ).

λ

имеется излучатель линейно поляризованных 3.15. Допустим, электромагнитных микроволн, у которых, как известно, электрический →

вектор E параллелен оси излучающих диполей. Мы хотим, чтобы от

36 поверхности реки отразилось наибольшее количество энергии (для микроволн показатель преломления воды n = 9). Какой должен быть в этом случае угол падения и как надо ориентировать пучок микроволн? 3.16. Чему равен угол Брюстера для света, отраженного от пластинки стекла ( nст = 1.65), погруженного в воду ( n В = 1.33)? 3.17. Пучок естественного света падает на границу раздела воздух – стекло ( nст =1.50) под углом 700 и частично отражается. Вычислить коэффициент полного отражения. Вычислить этот коэффициент для угла падения 56.30 и сравнить с предыдущим. Объяснить результат. 3.18. Световой луч желтого света падает на пластинку исландского шпата (кальцита) с n0 = 1.6584 ne =1.4864 под углом 500. Пластинка вырезана так, что оптическая ось ее параллельна передней входной грани и перпендикулярна к плоскости падения. Найдите угол между двумя вышедшими из пластинки лучами. Ответ: ∆θ = 3о29′. 3.19. На столе лежит лист бумаги. Луч света, падающий на бумагу под углом θ = 300, дает на ней светлое пятно. Насколько сместится это пятно, если на бумагу положить плоскопараллельную стеклянную пластину толщиной d = 5 см? Ответ: 1.1 см. 3.20. Луч падает под углом θ = 600 на стеклянную пластинку толщиной d = 30 мм. Определить боковое смещение ∆x луча после выхода из пластинки. Ответ: 15.4 мм. 3.21. Пучок параллельных лучей падает на толстую стеклянную пластину под углом θ = 600, и, преломляясь, переходит в стекло. Ширина а пучка в воздухе равна 10 см. Определить ширину b пучка в стекле. Ответ: 16.3 см. 3.22. Луч света переходит из среды с показателем преломления n1 в среду с показателем преломления n2. Показать, что если угол между отраженным

37 и преломленным лучами равен π /2, то вьполняется условие tgθ 1 = n1

n2

(θ1

– угол падения). 3.23. Луч света падает на грань призмы с показателем преломления n под малым углом. Показать, что если преломляющий угол δ призмы мал, то угол отклонения β лучей не зависит от угла падения и равен θ (n − 1). 3.24. На стеклянную призму с преломляющим углом θ = 600 падает луч света. Определить показатель преломления n стекла, если при симметричном ходе луча в призме угол отклонения β = 400. Ответ: 1.53. 3.25. Преломляющий угол δ стеклянной призмы равен 300. Луч света падает на грань призмы перпендикулярно ее поверхности и выходит в воздух из другой грани, отклоняясь на угол β = 200 от первоначального направления. Определить показатель преломления n стекла. Ответ: 1.63. 3.26. Луч света падает на грань стеклянной призмы перпендикулярно ее поверхности и выходит из противоположной грани, отклонившись на угол β = 250 от первоначального направления. Определить преломляющий угол δ призмы. Ответ: 35030′. Литература

1. Ландсберг Г.С. Оптика. М.: Наука, 1976. 2. Прикладная физическая оптика: Учебник для ВУЗов/ И.М.Нагибина, В.А. Москалев, Н.А. Полушкина, В.Л. Рудин – М.: Высш. шк. 2002.

38

§ 4. Дисперсия и абсорбция света 4.1. Что такое поляризуемость и поляризация вещества, из каких составляющих она образуется? Какие оптические свойства вещества зависят от поляризуемости, и каким образом они зависят от нее (прямо пропорциональная, квадратичная зависимость и т.п.)? [1, c.548, 578, 600, 2, c.273, 295]. 4.2. Как объяснить большее значение электронной поляризуемости по сравнению с атомной? Как это сказывается на ходе показателя преломления конденсированного вещества в видимой и ИК–области? Как это сказывается на ходе показателя преломления разреженного газа в этих же областях? Указание: в качестве примера рассмотрите молекулы кислорода О2 и воды Н2О в газообразном и сжиженном состояниях. [2, c.295–297; 3, с.60]. 4.3. Через какой молекулярный параметр в уравнении Лорентц – Лоренца связана дисперсия и поглощение? 4.4. В чем отличие молярной поляризации вещества от молярной рефракции? Как будет влиять температура на каждую из этих составляющих? 4.5. Нарисуйте и поясните график дисперсии показателя преломления для полярных и для неполярных веществ от ультрафиолетовой области до радиодиапазона включительно (0.1микрометр – 1метр). Ответ: На рис. представлен график для полос поглощения в области собственных частот ω03, ω02, ω01, которые условно можно считать полосами поглощения в УФ, ИК и радио – диапазоне частот, соответственно.

Рис. 4.1. Дисперсия вещества, ω03, ω02, ω01 – области спектра с резонансным поглощением в рентгеновской, УФ и ИК области соответственно.

39 4.6. Поясните, почему показатель преломления жидкого гелия He ( n D =1.0261) намного меньше показателя преломления жидкого ксенона Xe ( nD =1.345), жидкого кислорода O2 ( nD =1.25) или воды H2O ( n D =1.33)? Указание. Для ответа воспользуйтесь уравнением Клаузиуса – Мосотти или Лорентц – Лоренца. Как ответ можно было бы подкрепить сведениями о строении электронной оболочки? 4.7. Запишите законы поглощения света Бугера и Бугера—Ламберта— Бера и объясните смысл величин, входящих в эти законы. 4.8.

Что означает термин “оптическая плотность” D = – 1

lg T

и для

решения, каких задач он используется на практике? 4.9. Какие преимущества дает преобразование спектральных кривых дифференцированием (первая, вторая и последующие производные “оптической плотности”) по длине волны? 4.10. Поясните, как изменится взаимодействие света с изолированной молекулой вещества (возьмите для примера поглощательную способность молекул вещества), если молекула из воздуха (n=1.00003) будет помещена в среду с показателем преломления n=1.50? [2, c.307]. 4.11. Поясните, почему рефракции не всегда складываются аддитивно? Приведите примеры аддитивного и неаддитивного сложения рефракций. 4.12. Поясните, почему показатель преломления полярных веществ (спирты, вода) в далекой инфракрасной области больше показателя преломления в видимой области? 4.13. Как световое поле воздействует на молекулы среды? Как называются эти эффекты и в чем они проявляются? Приведите примеры такого воздействия. 4.14. Поясните почему показатель преломления неполярных веществ (бензины, масла) в инфракрасной области мало отличается от показателя преломления в видимой области? 4.15. Нарисуйте график дисперсии показателя преломления для полярных и неполярных веществ в интервале λ от ультрафиолетовой области до ИК – диапазона включительно (0.1 – 10мкм).

40 4.16. Как изменится показатель преломления пористой пленки двуокиси титана ( n = 2.4), когда пленка находится в вакууме и на воздухе (n=1), где поры заполняются водой ( n = 1.33). Объемная пористость пленки двуокиси титана V=16%. Указание. При расчете воспользуйтесь уравнением Лоренц – Лоренца: 2 2 2 nсреда −1 nсмесь − 1 nпоры − 1 = V + (1 – V). n смесь– эффективный показатель 2 2 2 nсмесь + 1 nпоры +1 nсреда +1 преломления пористой пленки, nпоры– показатель преломления вещества, находящегося в порах, nсреда – показатель преломления двуокиси титана. 4.17. Определите максимум кривой поглощения для системы мелких коллоидальных частиц металлического натрия хаотически распределенных в кристалле n NaCl . Указание. При расчете воспользуйтесь уравнением, которое справедливо для системы мелких коллоидальных частиц: k Na = 2 × n NaCl , где k – показатель поглощения, комплексный показатель преломления n − ik . Соответствующие данные для Na и n NaCl взять в справочнике [5]. 4.18. Полоса поглощения воды в ИК – спектре расположена у λ = 2.8 мкм, k макс = 0.3, nD =1.33, см. [5]. 1. Определить пропускание Т(λ) слоя воды 1мкм в окрестности максимума полосы и построить график Т(λ). 2. Определить методом НПВО коэффициент отражения Rs(λ) в максимуме поглощения воды λ = 2.8 мкм для условий, когда линейно поляризованный свет падает на границу алмаз – вода со стороны кристалла под углом θ=45°. Указание. При построении графиков T (λ ) и Rs (λ ) можно допустить, что аномальная дисперсия в полосе отсутствует, полуширина полосы ∆λ 1 = 2

0.1 мкм. 1.Формула

Бугера

T = exp{− K (λ ) × d }, K (λ ) = 4πk

–

λ

бугеровский

коэффициент поглощения, d = 1мкм – толщина образца. 2. Электрический вектор света, падающего на границу двух сред, перпендикулярен плоскости падения (s–поляризация). eff eff Rs ≈ exp − K (λ ) × d s , где d s – эффективная толщина поглощающего слоя в условиях НПВО. Для электрического вектора, который перпендикулярен плоскости падения, имеем d eff = n21 × λ1 × cosθ 1 − n 2 sin 2 θ − n 2 ,

{

}

s

(

21

)(

21

)

41

λ1 = λ n , n21 = n2 n , для алмаза n1 = 2.4, вода n2 ≈ nD = 1.33. 1 1 4.19. В рамках задач 4.18 проанализируйте влияние аномальной дисперсии на форму и положение контура полосы в спектре ИК – пропускания и спектре НПВО. 2 Указание. Формула T = (1 − R ) × exp(− K (λ ) × d ) , R – спектральный коэффициент отражения от границы воздух – образец. Дополнительные сведения: следует учесть, что для полосы поглощения с контуром Лоренца выполняется условие kмакс= nмакс− nмин, при этом экстремумы n макс и n мин дисперсионной кривой n в окрестности полосы поглощения k находятся на уровне полуширины этой полосы, где полуширина ∆λ 1 = 0.1мкм. 2

4.20. Перечислите механизмы поглощения света в веществе. Какие из них в случае диэлектриков будут приводить к наибольшему поглощению в видимой области? [2, c.309 – 320]. 4.21. Имеется спектр поглощения в виде двух полос в области λ0 = 400нм и λ0 =600 нм. Показатель преломления среды в коротковолновой УФ области равен n =1.45. Покажите качественный ход показателя преломления в области λ=200 – 800нм, и в области прозрачности (λ > 800 нм) [2, c.295 – 297]. Указание. При построении графика воспользуйтесь соотношением между n и k для полос поглощения с Лорентцовским контуром, для которых в окрестности полосы выполняется для аномальной дисперсии соотношение kмакс= nмакс− nмин. Дополнительные сведения: λ0 = 400нм, kмакс = 0.1, λ0 =600нм, kмакс= 0.15 . Экстремумы n макс и n мин дисперсионной кривой n в окрестности полосы поглощения k находятся на уровне полуширины ∆λ 1 этой полосы. 2

4.22. Осциллятор поглощает в области λ0 = 10мкм. Показатель преломления среды, внутри которой находятся подобные осцилляторы, равен nD =1.33. Покажите качественный ход показателя преломления в области λ = 5 – 18мкм. Указание. При построении графика воспользуйтесь соотношением между n и k для полос поглощения с Лорентцовским контуром, для которых в окрестности полосы выполняется для аномальной дисперсии соотношение kмакс= nмакс− nмин.

42 Дополнительные сведения: λ0= 10 мкм, полуширина полосы ∆λ 1 = 1мкм, 2

kмакс= 0.3.

4.23. Два осциллятора поглощают соответственно в области λ0= 600 нм (видимая область) и λ0=3000 нм (инфракрасная область). Показатель преломления среды, внутри которой находятся осцилляторы, равен nD =1.45. Покажите качественный ход показателя преломления в области λ=200 – 4000нм, когда интенсивности двух полос в спектре пропускания T равны. Указание. Формула Бугера T = exp(− K λ × d ) , Кλ–коэффициент поглощения, зависящий от λ , d – толщина образца. При построении графика воспользуйтесь соотношением между n и k для полос поглощения с контуром Лорентца, для которых в окрестности полосы выполняется для аномальной дисперсии лмакс= nмакс− nмин. Дополнительные сведения: λ0= 400нм, kмакс = 0.1, λ0= 600нм, kмакс = 0.15, для обеих полос можно принять ∆λ 1 = 40нм. 2

4.24. Оцените, как влияют центры окраски на величину поглощения и показателя преломления в области прозрачности кристалла? В качестве примера для ответа возьмите кристалл NaCℓ [2, c.316]. 4.25. Как изменится интенсивность поглощения капиллярно– конденсированной воды в ИК – спектре (вода λ = 2.8мкм, kмакс = 0.3), когда вода конденсируется в микропорах пленки, приготовленной электронно– лучевым распылением в вакууме: 1 – из кварцевого стекла ( nD =1.45) и 2 – германия ( nλ =2 =4.0) [2, c. 307]. Указание. Воспользуйтесь уравнением Лорентц – Лоренца. При расчете следует принять, что пористость пленок мала (V≤1%) и поэтому оптические свойства среды (имеется в виду показатель преломления, но не поглощения!) практически совпадают со свойствами пленкообразующего вещества. Литература

1. Ландсберг Г.С. Оптика. М.: Наука, 1976. 2. Поль Р.В. Оптика и атомная физика. М.: Наука, 1966. 3. Вилков Л.В., Пентин Ю.А. Физические методы в химии. Структурные методы и оптическая спектроскопия. М.: Высшая школа, 1987. 4. Heсht Е. Optics. –3rd.ed. Addison Wesley Longman, Inc. 1998. 5. Золотарев В. М., Морозов В.Н., Смирнова Е.В. Справочник. Оптические постоянные природных и технических сред. Л.: Химия, 1984.

43

§ 5. Рассеяние света 5.1. Поясните термин “поляризуемость”, из каких составляющих она образуется? Каким образом рассеивающая способность вещества зависит от поляризуемости? [1, c.578,273; 2, c.273, 295]. 5.2. Как будет выглядеть спектральная зависимость коэффициента рассеяния света мелкими каплями воды: 1 – в области прозрачности воды (0.4 – 0.6мкм), 2 – в окрестности обертонов воды (0.7 – 1.5мкм)? Указание: следует воспользоваться формулой Рэлея и проанализировать 2

⎛ ε − ε2 ⎞ ⎟⎟ , где ε1 – диэлектрическая проницаемость роль сомножителя ⎜⎜ 1 + ε ε ⎝ 1 2 ⎠ воды в области 0.7 – 1.5мкм, а ε2 – диэлектрическая проницаемость среды (воздух). При расчете ε1 нужно (для упрощения расчета) учитывать только вещественную часть показателя преломления воды. Данные для ε2 воды взять в справочнике [4]. 5.3. Поясните из каких физических соображений (или формул) следует, что интенсивность рассеянного света пропорциональна ω4? Почему интенсивность Рэлеевского рассеяния для разных молекул должна различаться? 5.4. Каковы основные причины деполяризации рассеянного Рэлеевского света? 5.5. Объясните с классической волновой точки зрения Рэлеевского рассеяния.

происхождение

5.6. Поясните, почему рассеянный свет всегда деполяризован? От чего зависит степень поляризации рассеянного света? 5.7. Какой параметр молекулы нужно знать, чтобы можно было сравнить между собой рассеивающие свойства двух разных молекул (например НСℓ и Н2О)? 5.8. Поясните, в чем основное сходство и в чем отличие Рэлеевского рассеяния от комбинационного рассеяния [1, c.581, 593, 600, 3, c.258, 260]? 5.9. Индикатрису рассеяния отдельной частицы трудно экспериментально наблюдать в направлении распространения пучка (и в обратном направлении). Однако при организации эксперимента в условиях полного внутреннего отражения это удается сделать.

44 Условия опыта: равнобедренная призма с углом при вершине 900. Свет падает на полированную гипотенузную грань под углом 450 и претерпевает полное внутренне отражение. По этой причине наблюдатель может рассматривать гипотенузную грань в направлении распространения света и в обратном направлении. Поскольку высота микрошероховатостей поверхности h << λ, а расстояния между ними ≥ λ, эти условия хорошо отвечают Рэлеевскому рассеянию. Нарисуйте индикатрисы рассеяния в локальной области, где происходит полное внутренне отражение. 5.10. Каким образом, имея линейный поляризатор можно в условиях задачи 5.8 методом визуальной фотометрии проанализировать свойства индикатрисы рассеяния: 1 – определить характер рассеяния, соответствует ли оно закону рассеяния Рэлея или Ми [3, c.290 – 295]? 2 – оценить размеры микрошероховатостей h, мкм полированной поверхности гипотенузной грани 900 призмы: d < λ или ≥ λ. 5.11. Известно, что характер окраски неба на восходе и на закате имеет красноватый оттенок, а в полдень безоблачное небо кажется голубым. Исходя из этих цветовых оттенков неба, какой вид рассеяния мы наблюдаем в разное время суток (рассеяние Рэлея или Ми)? В чем причины такой окраски неба [1, с.290, 3, c.290 − 295]? 5.12. Ослабление света мелкими слабо поглощающими частицами описывается формулой Бугера, где пропускание Т = ехр{−(Красс + Кпогл)}·d , где Красс − коэффициент рассеяния, Кпогл − бугеровский коэффициент поглощения, d − длина пути света в веществе (толщина слоя). Покажите на графике, как будет выглядеть спектр пропускания атмосферы в области 0.7 − 1.5мкм (область обертонов поглощения воды) при высокой влажности, когда воздух насыщен очень мелкими капельками воды? Указание: характер коэффициента рассеяния Красс и его вклад следует оценить исходя из Рэлеевского характера рассеяния. Необходимые данные для Кпогл смотри в справочнике [4]. 5.13. Поясните с волновой точки зрения, в чем основное сходство и в чем отличие Рэлеевского рассеяния от рассеяния Мандельштама–Брюллиена? Какие физические причины обуславливают появление основной частоты в рассеянии Мандельштама – Брюллиена? 5.14. Каков механизм возникновения рассеянного света? От каких свойств вещества зависит интенсивность рассеянного Рэлеевского света? Для каких условий выполняется Рэлеевское рассеяние?

45 5.15. Поясните с волновой точки зрения, в чем основное сходство Рэлеевского рассеяния и комбинационного рассеяния? Почему отдельные линии в спектре комбинационного рассеяния полностью поляризованы, а другие частично деполяризованы? 5.16. Поясните физические основы рассеяния Мандельштама–Брюллиена. От чего зависит соотношение интенсивностей компонент в спектре Мандельштама – Брюллиена? 5.17. Почему в спектре Мандельштама – Брюллиена спутники (сателлиты) расположены намного ближе к основной несмещенной частоте, чем в спектре комбинационного рассеяния? 5.18. В чем заключается причина различия интенсивности линий в спектрах комбинационного рассеяния отдельной молекулы? 5.19. Какие электрооптические параметры молекул являются первопричиной появления спектров поглощения молекул в ИК области и в спектрах комбинационного рассеяния? 5.20. В чем состоит физическая суть резонансного комбинационного рассеяния и каковы его основные отличия от классического комбинационного рассеяния (интенсивность, правила отбора и др.)? 5.21. В чем состоит физическая суть когерентного антистоксова рассеяния света (КАРС), которое иногда называют когерентной антистоксовой раман – спектроскопией? Каковы его основные принципы технической реализации и отличия от классического комбинационного рассеяния? 5.22. В чем состоит физическая суть вынужденного комбинационного рассеяния (ВКР) света? Дать объяснение явлению с позиций классической волновой оптики (поляризуемость, диполь, излучение). Каковы основные отличия ВКР от обычного комбинационного рассеяния? 5.23. Какие электрооптические параметры молекул являются причиной появления спектров вынужденного комбинационного рассеяния (ВКР)? Литература 1. Ландсберг Г.С. Оптика. М.: Наука, 1976. 2. Поль Р.В. Оптика и атомная физика. М.: Наука, 1966. 3. Матвеев А.Н. Оптика. М.: Высшая школа, 1985. 4. Золотарев В. М., Морозов В.Н., Смирнова Е.В. Справочник. Оптические постоянные природных и технических сред. Л.: Химия, 1984.

46

§ 6. Квантовая оптика 6.1. В каких физических процессах излучаемая или поглощаемая энергия является энергией “световых квантов”? [1, c.638; 2, c.331]. 6.2. Что такое среднее время жизни возбужденных состояний квантовой частицы (атом, молекула) и от каких физических и спектроскопических факторов оно зависит? 6.3. В чем отличие явлений флуоресценции, замороженной флуоресценции и фосфоресценции, которые относятся к более общему термину “люминесценция”? Как влияет температура на квантовый выход этих видов свечения (увеличивает, уменьшает)? [1, c.642, 756, 683; 2, c.46, 498]. 6.4. Поясните термин “сила осциллятора”, как он связан с вероятностью перехода системы из одного состояние в другое и как он связан с экспериментальными параметрами спектра (интенсивность, полуширина и др.)? 6.5. В чем состоит физическая сущность сенсибилизированной флуоресценции? [2, c.347, 351].

резонансной

и

6.6. Что такое энергетический и квантовый выходы флуоресценции? [2, c.347, 439]. 6.7. В чем заключается правило зеркальной симметрии спектров поглощения и флуоресценции? 6.8. Как принципы квантования проявляются в процессах, связанных с изменением энергетического состояния атомных и молекулярных систем? Приведите примеры в случае атомных спектров водорода для сериальных зависимостей Лаймана, Бальмера и др. [2, c.367 – 418]. 6.9. Как принципы квантования проявляются в процессах, связанных с изменением энергетического состояния молекулярных систем? Приведите примеры в случае молекулярных вращательных и колебательных спектров двухатомных молекул типа HCl. [3, c.169]. 6.10. Что означает термин вырождение энергетического уровня квантовой частицы (атом, молекула) и как можно экспериментально снять вырождение?

47 Какую информацию о свойствах квантовой частицы можно получить, зная степень вырождения уровня? 6.11. Как формулируется принцип Франка – Кондона для вероятности электронных переходов в молекулярных системах? Нарисуйте схему потенциальных кривых для основного и возбужденного электронных состояний молекулы и обозначьте стрелками переходы с вибронных (колебательных) уровней с учетом принципа Франка – Кондона.[3, c.311]. 6.12. Что такое “центры окраски” и как они образуются в щелочно – галлоидных кристаллах с решеткой типа NaCl? В чем (в каких опытах) проявляется квантовая природа этих центров? Могут ли теоретически существовать в идеальном кристалле “центры окраски”? [2, c.307, 317]. 6.13. Рассчитайте положение максимумов ν f полос, так называемых F – центров окраски, для ряда кристаллов KCl , KBr , KJ . Указание. Воспользуйтесь эмпирической формулой ν × a 2 = 2.02 × 10 −4 м2⁄ сек, где a – кристаллографическая постоянная решетки. [2, c.327, 337].

6.14. Какое явление будет наблюдаться, если на кристалл NaCl , содержащий центры окраски, воздействовать светом с частотой близкой ν f для этого кристалла? 6.15. При каких температурных условиях происходит преобразование F – центров в М – центры окраски (при высоких или при низких температурах)? Каков механизм и квантовый выход этих процессов? 6.16. Как практически можно осуществить получение центров окраски в реальном кристалле, и какими способами можно разрушить (обесцветить) эти центры окраски? 6.17. Как можно объяснить следующие результаты по наблюдению центров окраски? 1. На кристалл LiF , являющимся окном газоразрядной водородной лампы, падает жесткое УФ излучение (линия Лаймана в спектре водорода), в результате воздействия этого УФ излучения на протяжении нескольких минут прозрачность окна уменьшается. Измерения пропускания производятся через некоторое время после облучения. 2. Измерения пропускания окна LiF водородной лампы ведутся в процессе воздействия УФ излучения на протяжении тех же нескольких минут, что и в

48 случае 1. При этом прозрачность окна по истечении времени облучения уменьшилась значительно больше. При выключении лампы прозрачность быстро (в течение нескольких минут) нарастает и достигает величин, наблюдающихся в 1. Как можно объяснить этот опыт с учетом того, что в процессе облучения были зарегистрированы полосы поглощения F – и M – центров окраски? 6.18. На чем основывается количественный люминесцентный анализ и в чем его преимущества в чувствительности сравнительно с абсорбционной спектрофотометрией? Литература

1. Ландсберг Г.С. Оптика. М.: Наука, 1976. 2. Поль Р.В. Оптика и атомная физика. М.: Наука, 1966. 3. Вилков Л.В., Пентин Ю.А. Физические методы в химии. Структурные методы и оптическая спектроскопия. М.: Высшая школа, 1987.

49

§ 7. Фотометрия. Фотометрия – наука об изучении и измерении энергетических характеристик излучения оптического диапазона спектра. Для оценки этих характеристик используются энергетические и световые величины и единицы. Первые применяются для всего оптического диапазона (~1 нм – 1 мм), вторые – только в видимой области спектра (~380 нм – 760 нм). Основные энергетические и световые величины и единицы приведены в таблице 1. Таблица 1

Энергетические Наименование

Формула

Поток излучения

dW dt dФe Ie = dω

Фe =

Энергет. сила света Энергет. светимость Энергет. освещенность Энергет. яркость

dФe Me = dS1 dФe Ee = dS 2 Le = ×

Световые Единица Наименование вт

Световой поток

вт/ср

Сила света

вт/м2

Светимость

вт/м2

Освещенность

d 2 Фe × вт/м2·ср. dS1

1 dω ⋅ cos α

Яркость

Формула

Единица

dWv dt dФv Iv = dω

люмен, лм

ФV =

dФv dS1 dФv Ev = dS 2

Mv =

Lv = ×

d 2Фv × dS1

1 dω ⋅ cosα

кандела, кд, лм/ср лм/м2 люкс, лк

кд/м2

дж/м2 лк·с Энергет. Экспозиция H e = E e⋅ t H v = E v⋅ t экспозиция dS1 и dS 2 – соответственно площадь излучающей и освещаемой поверхности. Спектральная плотность X λ любой фотометрической величины X : dX . Xλ = dλ

Примечание:

50 1 дж = 1вт·с; 1 эрг = 10-7 дж; 1 вт = 1 дж/с = 107 эрг/с; 1 эВ = 1.602·10-19 дж; 1 кал = 4.18 дж. Связь между энергетическими световыми единицами осуществляется в соответствии с выражениями Φv = KM

0.76

Φ λ = K M ⋅ V λ ⋅ Φ e , λ ⋅ dλ

∫ Vλ ⋅Φ e,λ ⋅ dλ ,

0.38

где K M = 680 лм/вт – максимальное значение световой эффективности, Vλ – относительная спектральная световая эффективность [1, с.32]. Освещенность, создаваемая точечным источником I ⋅ Cosα E= h2 где h – расстояние от источника до освещаемой поверхности, α – угол между нормалью к поверхности и направлением излучения. Освещенность от источника в виде круглого диска с постоянной яркостью L и диаметром d , находящегося на расстоянии h от освещаемой площадки, π ·L·0.25d 2 σ = π ·L·Sin 2 , E= 2 2 ⎛d ⎞ 2 ⎜ ⎟ +h ⎝2⎠ где σ – угол, под которым виден диск из центра освещаемой площадки. Для источников, подчиняющихся закону Ламберта, светимость и яркость связаны соотношением M =π ⋅L. Для диффузно рассеивающей поверхности, фотометрические свойства которой подчиняются закону Ламберта, светимость обусловлена созданной на ней освещенностью, тот есть M = R ⋅ E . Поэтому яркость и освещенность такой поверхности связаны соотношением RE L=

π

где R – коэффициент отражения поверхности. Освещенность оптического изображения E = π ⋅ τ ⋅ L ⋅ Sin 2σ ' , где σ ' – задний апертурный угол, а τ - пропускание оптической системы, создающей изображение. Монохроматический поток Φ λ , прошедший слой прозрачного поглощающего вещества толщиной l, ослабляется в соответствии с

51 законом

Бугера–Ламберта–Бера

–

Φ λ ,1 = Φ λ ,0 ⋅ e − aλ ⋅l ,

где

Φ λ ,0

–

монохроматический поток на входе слоя, aλ' – натуральный показатель поглощения. Чаще используется десятичная форма закона поглощения БугераЛамберта-Бера Φ λ ,1 = Φ λ ,0 ⋅ 10 − aλ ⋅l , где aλ = 0,434aλ' – десятичный показатель поглощения. Φ называется спектральным коэффициентом Величина τ λ = λ ,1 Φ λ ,0 пропускания, а Dλ – оптической плотностью вещества, lg l Dλ = aλ ⋅ l =

τλ

Пропускание светофильтра с учетом потерь на отражение на его входной и выходной поверхностях определяется выражением τ λ = (1 − Rλ )2 ⋅ 10 − aλ ⋅l , а его оптическая плотность 2 Dλ = 2 lg(1 − Rλ ) = aλ l + DR ,λ ,

где DR ,λ = 2 lg(1 − Rλ ) – поправка на отражение. Задачи:

7.1. Сила света раскаленного металлического шарика диаметром 2 см постоянна во всех направлениях и равна I =50 кд. Рассчитать яркость LV , светимость M V и световой поток ΦV . Ответ: LV = 15.9·104 нт, M V = 50·104 лм/м, ΦV = 628.3 лм. 7.2. Определить монохроматические световые потоки, излучаемые ртутной лампой высокого давления ПРК–2 для λ1 = 435.8 нм и λ 2 = 546.1 нм. Монохроматические лучистые потоки Φ e,λ1 = 6.98 Вт и Φ e,λ2 = 7.92 Вт.

Ответ: Φ e,λ1 = 71.5 лм, Φ e,λ2 = 5301.2 лм.

7.3 Лампа силой света I = 18 кд установлена на расстоянии 0.75 м от корригированного селенового фотоэлемента с интегральной чувствительностью K = 400 мкА/лм. Вычислить значение фототока. Площадь рабочей поверхности фотоэлемента равна 2.8·10-3 м2. Ответ: i = 35.8 мкА.

52 7.4. Известно, что в минуту Солнце излучает Q = 5·1024 ккал тепла. Радиус Солнца r = 0.7·106 км. Определить энергетическую яркость поверхности Солнца. Ответ: L = 1.8·107 вт/ср·м2. 7.5. Найти яркость Lv поверхности Солнца, зная, что солнечное излучение создает на поверхности, перпендикулярной направлению на Солнце, освещенность Ev = 1·104 лк. Известно, что диаметр Солнца с Земли виден под углом 32'. Ответ: L = 11.56·107 кд/м2.

Примечание: ·

Примечание:

7.6. Сигнальный огонь виден на расстоянии 3 км. Вычислить силу света Iv этого источника, если освещенность при этом расстоянии равна 2·10-7 лк. Потерями в атмосфере пренебречь. Ответ: I v = 1.8 кд. 7.7. На поверхности монохроматическим лучистым потоком Φ e,λ создается освещенность Ev,λ = 680 лк. Определить значение лучистого потока, если площадь поверхности S = 2 м2 и λ = 555 нм. Ответ: Φ e,λ = 1.99 вт. 7.8. Ртутная лампа сверхвысокого давления имеет излучающее тело в виде шара диаметром 6 мм со светимостью M e = 555 вт/см2. Считая лампу равнояркой, определить освещенность Ee поверхности, расположенной на расстоянии h = 5м. Ответ: Ee = 0.5·10-4 вт/м2. 7.9. Определить лучистый Фе и световой Фv потоки, выходящие из коллиматора с относительным отверстием D = 1:5, в фокусе которого f находится нить лампы накаливания СЦ–64 (12в, 50вт, 1000лм). На поток излучения Фе приходится 0.75 от мощности лампы. Ответ: Фv = 2.5 лм, Фе = 0.9 вт. 7.10. Освещенность поверхности от точечного источника определяется Cosα выражением E = I ⋅ 2 ,а от светящегося диска диаметром d и яркостью h

L – E = π ⋅ L ⋅ Sin 2

α

. Определить погрешность в расчете освещенности, 2 когда она для источника в виде светящегося диска вычислена по формуле

Примечание:

53 для точечного источника. При каком соотношении d погрешность будет h меньше 0.1%. Ответ: d <1/16. h 7.11. Бесконечная плоскость излучает как абсолютно черное тело с температурой 3000К. Найти освещенность Ее площадки, расположенной параллельно бесконечной плоскости и удаленной от неё на расстояние 10 м [1, с.25]. Ответ: Ее = 459.3 вт/м. 7.12. Вывести выражение для освещенности E входного зрачка D оптической системы, облучаемой отраженным земной поверхностью излучением Солнца. Оптическая система установлена на высоте Н от поверхности Земли. Температура поверхности Солнца ТК, коэффициент отражения земной поверхности R . Пропускание всей толщи атмосферы Ta , пропускание атмосферы от Земли до входного зрачка оптической системы – T . Оптическая ось системы нормальна поверхности Земли [1, с.26]. 7.13. Лампа находится над столом на высоте 0.5 м от его поверхности. Её полный световой поток Φv = 1000 лм равномерно распределяется по всем направлениям. Вычислить освещенность Ev стола под лампой. Ответ: Ev = 318.3 лк. 7.14. Яркость матированного молочного стекла Lv = 0.8·103 кд/м2. Рассчитать, на каком расстоянии h располагается это стекло от точечного источника с силой света I v = 2 кд, чтобы получить указанную яркость. Коэффициент отражения молочного стекла R = 0.8. Ответ: h = 0.025 м. 7.15. В фокальной плоскости коллиматора с относительным отверстием D f = 1:5 установлена нить лампы накаливания при T =2854К. После объектива коллиматора установлен светофильтр с полосой пропускания в области 0.5–0.7 мкм и коэффициентом пропускания в этой области 0.8. Среднее значение коэффициента излучения вольфрама в области 0.5–0.7 мкм – 0.437. Определить значение потока излучения на выходе коллиматора [2, с.26]. 7.16. Вывести выражение для освещенности внутренней поверхности полой сферы диаметром D, внутри которой находится источник с силой

Примечание:

54 света I . Внутренняя поверхность сферы покрыта краской с коэффициентом отражения R , отражающей по закону Ламберта [2, с.111]. 2 ρ ⋅I ⎛D⎞ Ответ: E = E0 + E ' = E0 + ⋅⎜ ⎟ . 1− R ⎝ 2 ⎠ 7.17. Имеются два светофильтра с оптическими плотностями D1 и D2 . Как изменится пропускание системы из двух этих светофильтров, поставленных на оптический контакт. 2 Ответ: увеличится в 1 (1 − R ) раз. 7.18. Определить толщину l светофильтра, ослабляющего в 10 раз проходящее через него излучение, если показатель поглощения материала светофильтра α = 0.1 см-1 , а показатель преломления n = 1.6. Ответ: l = 9.5 см. 7.19. Определить световой поток натриевой лампы, если она излучает в видимой области на длине волны λ = 590 нм лучистый поток Фе = 20 вт. Ответ: Φ v = 10340 лм. 7.20. Определить освещенность изображения источника, который излучает свет с длиной волны λ = 590 нм, имеет яркость Le = 20 вт/ср·м2 и располагается на двойном фокусном расстоянии от линзы, со световым диаметром 50 мм и фокусным расстоянием 100 мм. Ответ: Ev = 500 лк. 7.21. Сравнить освещенности E1 и E2 площадки, освещаемой непосредственно Солнцем и через линзу с относительным отверстием D f. Ответ: E1 = 0.75 ⋅ L ⋅ σ ; E2 = 0.25 ⋅ π ⋅ τ ⋅ L ⋅ (D f ) . 7.22. Точечный источник с силой света Iv = 100 кд находится на высоте 2 м над столом покрытым белой бумагой, которая отражает по закону Ламберта и имеет коэффициент отражения R = 0.9. Определить яркость Lv и светимость M v белой бумаги. Ответ: Lv = 7.16 кд, M v = 22.5 лм/м2 . 7.23. Рассчитать освещенность Ev , создаваемую на экране ртутной лампой, излучающей на длине волны λ = 546.1 нм поток 7.92 вт (это излучение выделяется с помощью специального светофильтра). Лампа находится на расстоянии h=1м от экрана, перед которым расположен светофильтр толщиной 1 мм из нейтрального стекла НС–11. Показатели

55 поглощения и преломления НС–11 соответственно равны α λ = 1.9 мм-1 и nλ = 1.51. Ответ: Ev = 4.9 лк. 7.24. Определить освещенность Ev от электролампы с силой света Iv = 400 кд на поверхности стола в центре и на расстояниях от центра 1м и 2м, если она подвешена над столом на высоте 2м от его поверхности. 7.25. Лампа накаливания, излучающая световой поток в 60 вт, освещает удаленный на расстояние 2 м корригированный селеновый фотоэлемент с площадью чувствительной площадки 20 см2. Рассчитать ток i в цепи фотоэлемента, если его интегральная чувствительность 400 мкА/лм. Ответ: i = 649.7 мкА. 7.26. Определить светимость M e,λ лампы накаливания, имеющей TЦВ = 2896К для длины волны, соответствующей максимуму излучения. Считать, что лампа излучает как ЧТ [1, с.26]. 7.27. Рассчитать и построить кривую распределения энергии по спектру лампы накаливания, имеющей цветовую температуру 2896К (источник типа А) [1, с. 26]. 7.28. Определить величину лучистого потока в интервале длин волн 8–14 мкм, испускаемого поверхностью Земли с площади 2 см2 и поступающего в оптическую систему с числовой апертурой 0.1. Температура поверхности Земли равна 300 К, а ее излучательная способность ε = 0.9 [1, с.26–29].

Литература 1. Справочник конструктора оптико – механических приборов. Л.: Машиностроение, 1980 г. 2. Гуревич М.М. Введение в фотометрию. Теория, методы, приборы. М.: Энергоатомиздат, 1983 г.