Оценка параметров радиосигналов: Методические указания к выполнению лабораторных работ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РФ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ Санкт-Петербургская Государственная Академия аэрокосмического приборостроения

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАДИОСИГНАЛОВ

Методические указания к выполнению лабораторных работ

Санкт - Петербург 1996

2

Составители: Рецензент:

канд. техн. наук доц. канд. техн. наук доц.

А. Д. Кречетов, В.П. Пашкевич Л.Д. Вилесов

Методические указания содержат необходимый материал по подготовке к статистическому моделированию процесса оценки параметров радиосигналов на ЦВМ и проведению исследования качества оценок. Предназначены для студентов специальности "Радиотехника" дневного, вечернего и заочного обучения. Подготовлены к публикации кафедрой радиотехнических систем по рекомендации методической комиссии радиотехнического факультета Санкт-Петербургской академии аэрокосмического приборостроения.

© Санкт-Петербургская государственная академия аэрокосмического приборостроения, 1996

Лицензия ЛР №020341 от 27.12.91 г. ________________________________________________________________________ Подписано в печать 13.06.96 г. Формат 60x84 №1/16. Бумага тип. №3. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,79.

Уч. -изд. л. 3,0

Тираж 200 экз. Зак. № 158 ________________________________________________________________________ Редакционно-издательский отдел Отдел оперативной полиграфии СПб ГААП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская ул., 67

3

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАДИОСИГНАЛОВ Цель работы: изучение методов оценивания параметров радиосигнала, исследование качества оценок моделированием процесса оценивания на ЭВМ. 1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К РАБОТЕ Перед выполнением работы необходимо ознакомиться с методами оценивания, применяемыми при различной степени априорной неопределённости, и алгоритмами оценивания основных параметров радиосигнала. Эта часть работы заканчивается вопросами, ответив на которые, студент получает зачёт по коллоквиуму. Во второй части работы студент по заданию преподавателя изучает характеристики оценок 2-3-х параметров радиосигнала. 2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ОЦЕНОК Сигнал на входе приёмного устройства часто можно представить в виде известной функции времени, зависящей от ряда параметров - S(t,α). Вектор параметров α T = (α 1 ,..., α n ) может содержать как полезные компоненты: временное запаздывание, допплеровский сдвиг, угловая координата, значения параметров модуляции, «вложенных» в сигнал для передачи сообщения, так и паразитные: случайную амплитуду, фазу. Однако наблюдателю сигнал доступен лишь в смеси с помехой x(t ) = S (t , α ) + n(t ) (1) Искажения сигнала вследствие добавления помехи непредсказуемы, поэтому принимаемая реализация x(t) является случайным процессом. Математически её можно описать, задавая вероятность нахождения процесса в определённом интервале значений. Если отсчёты (сечения) случайного процесса x1, x2, … , xn берутся в моменты t1, t2, … , tn , такое описание определяет многомерную плотность вероятности выборочного вектора ХT=(x1, x2, … , xn) – W(X/α). Эту плотность вероятности часто называют условной, поскольку её параметры определяются при условии наличия сигнала. Таким образом, учёт вероятностного механизма взаимодействия сигнала и шума приводит к тому, что задача измерения компонент вектора параметров α является задачей оценки параметров распределения плотности W(X/α) по выборочным данным ХT= (x1, x2, … , xn). 2.1. Основные понятия, используемые для характеристики оценок Для оценки параметра α мы располагаем только выборкой X из наблюдаемой ) реализации х(t) . Следовательно, оценка α может быть определена как некоторая функция выборочных данных X ) α = f (X ) (2) Часто говорят, что функция f определяет решающее правило оценивания или алгоритм оценивания. Задача отыскания функции f при условии, что плотность вероятности выборочных данных W(X/α) известна, является основной в теории оценивания. Особенности преобразования f должны определяться желательными свойст) вами оценки α . Поэтому вначале целесообразно ознакомиться с основными понятиями, используемыми в теории оценивания. Поскольку выборочные компоненты вектора ХT= (x1, x2, …), xn) являются случайными величинами, то каждый результат оценивания (оценка α ) является случайной величиной. Плотность вероятности оценки может быть получена путем функционального преобразования (3)

4

Желательно, чтобы при каждом фиксированном значении параметра α (например, ) при α = α0) плотность вероятности оценки W (α α ) имела вид узкого пика в окрестности α0 (кривая 1, рис.1). Это будет означать, что при многократных повторениях измерений оценочные значения параметра α будут сконцентрированы вблизи истинного значения α0. Кривые 2 и 3 являются нежелательными, так как для кривой 2 концентрация происходит относительно значения α1 отличного от α0. Для кривой 3 характерен больший разброс значений оценки, чем для кривой 1. Для количественной характеристики качества оценивания ) используются параметры распределения оценки W (α α ) Среднее значение ∞

) ) mα) / α = ∫ α W (α / α ) dα .

(4)

−∞

) Оценка называется несмещённой, если среднее значение распределения W (α α ) совпадает с истинным значением параметра, т.е. mαˆ / α = α . На рис.1 оценка, плотность вероятности которой описывается кривой 2, является смещённой; для неё mαˆ / α = α1 , тогда как истинное значение параметра α равно α0. Дисперсия - параметр, характеризующий меру рассеяния оценки относительно среднего значения ∞

σ α2ˆ / α =

∫ [αˆ − m ] W (αˆ α )dα . 2

(5)

αˆ / α

−∞

Дисперсия оценки, плотность вероятности которой описывается кривой 3, больше дисперсии оценки, плотность которой определена кривой 1. Если оценка является несмещённой, то дисперсия даёт представление (при нормальном законе исчерпывающее) о качестве оценивания. Для смещённой оценки качество часто определяют средним квадратом полной ошибки, т.е. средним квадратом отклонения от истинного значения параметра

{

}

) M = (α − α )2 =

∞

∞

−∞

−∞

) 2 ) ∫ (α − α ) W (α α ) dα =

)

)

)

∫ [(α − mα) / α ) + (mα) / α − α )] W (α α ) dα = 2

∞ ∞  ) ) ) ) ) ) )  = (α − mα) / α )2 ∫ W (α α ) dα + 2 (α − mα) / α )mα) / α ∫ W (α α ) dα − ∫ α W (α α ) dα  +   −∞ −∞ −∞ ∞ ) ) ) + ∫ (mα) / α − α )2W (α α ) dα . ∞

−∞

) ) Поскольку W (α α ) dα = 1 , выражение в фигурной скобке равно нулю, а последний интеграл определяет дисперсию оценки, то ) M (α − α )2 = [α − mα) / α ]2 + σ α2) / α = ∆α2) + σ α2) / α , (6)

{

}

где ∆ ) - величина смещения оценки. α Из (6) следует, что критерий среднего квадрата полной ошибки учитывает наличие разброса значений оценки и смещение её среднего значения. ) Иногда распределение оценки W ( α α ) не имеет дисперсии - интеграл (5) расходится. Тогда для определения качества оценки фиксируют интервал ∆ℓ=2∆, в цен

5

тре которого находится или истинное значение или значение оценки параметра. Этот интервал называют доверительным. Для оценки качества определяют вероятность попадания оценки в доверительный интервал α +∆

P∆ =

)

)

∫ W (α α ) dα

(7)

α −∆

Вероятность P∆ называют доверительной вероятностью. Наилучшей будет та оценка, которая при заданном доверительном интервале имеет наибольшую доверительную вероятность. Критерий, связанный с доверительным интервалом являет) ся наиболее общим, применимым для любых распределений оценки W ( α / α ) , но на практике применяется реже, так как принципиально связан с двумя числами - доверительным интервалом и доверительной вероятностью. ) Оценка α называется состоятельной, если по мере увеличения объёма выборки n при любом доверительном интервале ∆ > 0 её доверительная вероятность стремится к единице ) lim P( α − α ≤ ∆ = lim P n →∞

n →∞

α +∆

)

)

∫ Wn ( α / α )dα = 1

,

(8)

α −∆

т. е. для состоятельной оценки по мере увеличения объёма выборки плотность вероятности оценки теснее концентрируется относительно истинного значения параметра (рис.2). Оценка называется эффективной, если для неё средний квадрат ошибки не больше, чем средний квадрат ошибки для любой другой оценки.

{

} {

) ) M (α − α эфф )2 ≤ M (α − α )2

}.

(9)

Если сравниваются несмещенные оценки, то эффективная оценка имеет наи) меньшую дисперсию σ α2)эфф < σ α2) . Оценка α =f(X) является достаточной (использует

(

)

достаточную статистику), если никакие другие оценки, вычисленные по той же самой выборке, не дают дополнительной информации. Необходимым и достаточным условием существования достаточной оценки является возможность представления ус) ловной плотности вероятности W ( α α ) в виде W ( X α ) = g( f ( X ) / α )h ( X ) , (10) ) где g - монотонная функция от (α − α ) ; функция h от параметра α не зависит. 2.2. Метод максимального правдоподобия Метод является наиболее важным, общим, с теоретической точки зрения, методом отыскания, функции f, преобразующей выборочные данные X в значение ) оценки α =f(X). В частных случаях метод впервые был применён К. Гауссом; как общий метод был предложен американским статистиком Р.Фишером в 1912 г. Для использования метода необходимо определить (задать) статистическое описание смеси сигнала и шума (не обязательно аддитивной) в виде условной плотности вероятности W ( X α ) , зависящей от выборочных данных Х Т= (x1,x2,…,xn) и от измеряемых параметров αТ= (α1,α, … ,α n). Значения параметров αi считаются неизвестными. Чтобы идейная сторона метода выступала достаточно рельефно, рассмотрение начнём с простейшего примера.

6

Требуется измерить постоянное напряжение u на фоне гауссового шума с известной дисперсией σ2 по выборочному значению x. Плотность выборки при этом имеет вид W( x / u ) =

1

−

( x −u )2 2σ 2

. (11) 2πσ Пусть зафиксировано выборочное значение x. Необходимо выяснить, какая информация о параметре u при этом получена с учётом того, что плотность вероятности функционально задана соотношением (11). Ответ на этот вопрос даёт логарифмическая функция правдоподобия lnLx(u), которая получается в результате логарифмирования (11) 2 ( x − u) 2 ln W ( x u ) = − ln 2πσ − 2σ 2 и отбрасывания слагаемого, независящего от u, 2 ( x − u) ln Lx ( u ) = − . (12) 2σ 2 На рис.3 представлена логарифмическая функция правдоподобия lnLx(u) при σ2 = 1. Функция имеет максимум при u=x. Поскольку для нормального закона распределения P(|x-u| ≤ σ) = 0,68, то при σ2=1 это эквивалентно выполнению неравенства: x-1
e

n

W( X / u ) =

1

( 2πσ ) 2

n

e

−

∑ ( xi − u ) 2 i =1

2σ 2

.

(13)

Для упрощения анализа предположим, что дисперсия шума σ2=1. Тогда n

W( X / u ) =

1

−

∑ ( xi − u ) 2 i =1

. (14) 2π Внимательно рассмотрим (14), поскольку только из этого выражения может быть извлечена вся информация о параметре u. Выборочные данные после проведения наблюдения приняли фиксированные значения x1, x2, … , xn (числа). При этих фиксированных числах исследуем W ( X u ) как функцию параметра u. Для этого преобразуем (14) к виду

(

)

n

e

2

7

W( X u ) =

(

1 2π

)

n

n 2 n 2u ∑ xi − u 2 n ∑ xi − i =1 − i =1 2 e 2 e .

1 n ∑ xi = x и добавим в показателе первой n i =1 экспоненты + n ( x ) 2 2 , второй − n ( x ) 2 2 . Тогда получим n 2 2 ∑ xi − n( x ) n( u − x )2 i =1 − − 1 2 2 W( X / u ) = e e ( 2π ) n Поскольку первая экспонента от параметра u не зависит, то обозначая n 2 2 ∑ xi − n( x ) − i =1 1 2 e через СX можно записать ( 2π )n ( u − x )2 − 2/ n . (15) W( X / u ) = C e x Логарифмируя (15) и отбрасывая слагаемое, независящее от u, получаем логарифмическую функцию правдоподобия ln Lx(u) n ln L ( u ) = − ( u − x )2 . (16) x 2 Обозначим выборочное среднее

На рис. 4 изображена логарифмическая функция правдоподобия для выборки объёма n=5. Для наглядности пунктиром изображена логарифмическая функция правдоподобия для одной выборки. Для совмещения кривых предполагается, что x = x . Функция правдоподобия для n выборок спадает значительно быстрее при отклонении от x , чем пунктирная кривая. Отрезок прямой АВ, соединяющий ветви параболы на уровне lnLx= -½, по-прежнему характеризует доверительный интервал при доверительной вероятности Р =0,68. При σ2=1 величина этого интервала будет  1 1  меньше и будет равна  x − ≤u≤ x+  . Это говорит о том, что выборочное n n  среднее больше концентрируется относительно истинного значения параметра u, и его следует взять в качестве оценки. Таким образом, анализ логарифмической функции правдоподобия для среднего значения гауссового закона распределения показал, что выборочные данные "объединились" в выборочное среднее (достаточную статистику). Это выборочное среднее является значением параметра u, при котором достигается максимум лога

8

рифмической функции правдоподобия, и его целесообразно принять за оценку па) 1 n раметра u = ∑ xi . С увеличением объёма выборки выборочное среднее теснее n i =1 группируется вблизи истинного значения параметра u, о чём свидетельствует обострение функции правдоподобия. Поскольку выборочное среднее имеет такое же среднее значение, как и среднее значение самого распределения, то оцен) 1 n ка u = ∑ xi является несмещённой. Разброс выборочного среднего уменьшается с n i =1 ) 1 n увеличением объёма выборки, поэтому оценка u = ∑ xi является состоятельной. n i =1 "Хорошие" свойства оценки среднего значения нормального закона распреде) 1 n ления u = ∑ xi , полученной на основе анализа функции правдоподобия, позволяn i =1 ют перейти к формулировке общего метода отыскания оценок максимального правдоподобия. Суть метода состоит в следующем. Наблюдаемая выборка ХТ= (x1,x2,…,xn) подставляется в выражение для условной плотности вероятности W ( X α ) . После подстановки W ( X α ) рассматривается как функция параметра α. Для подчёркивания важности этого момента часто вводят специальное обозначение этой функции LX(α) и называют эту функцию функцией правдоподобия. Отыскивается значение параметра α, при котором эта функция достигает максимума. Это значение параметра α и принимается за оценку. ) (17) max L x ( α ) при α = α мп . α

На рис. 5 показан вид функции правдоподобия для двух значений векторов X’ и X". Поскольку выборочные векторы случайны, то случайными являются и по) ) ложения максимумов функций правдоподобия α ′ и α ′′ . Эти значения и являются оценками максимального правдоподобия параметра α по выборкам X’ и X". Из рис. 5 видно, что они отличаются от истинного значения параметра. Для технических приложений важным является метод отыскания значения α, при котором функция правдоподобия достигает максимума. Наилучшим является случай, когда оценку удаётся найти аналитически, решая уравнение d ln L x ( α ) ) =0 при α = α (18) dα относительно α: т.е. уравнение преобразуется таким образом, что неизвестный параметр α выражается из (18) как явная функция от выборочных данных xi. Получен) ный алгоритм α = f ( X ) называется прямоотсчётным. Чаще уравнение (18) является трансцендентным, и для отыскания оценки α используют алгоритмы численного решения уравнения на ЭВМ. Такие алгоритмы называются итерационными. В другой форме (18) можно представить, используя тот факт, что отношение правдоподобия λ x ( α ) = W ( X / α ) / W ( X / 0 ) , рассматриваемое как функция параметра сигнала α, имеет максимум в той же точке, что и функция правдоподобия, поскольку при фиксированной выборке Х знаменатель является просто числом, которое изменяет масштаб функции правдоподобия вдоль оси ординат.

9

В эквивалентной форме (18) можно записать d ln λ x ( α ) ) = 0 при α = α . (19) dα Если условная плотность вероятности W ( X α ) зависит от вектора параметров αТ=(α1, α2, …, αк), то оценки компонент вектора находят из системы К уравнений d ln L x ( α 1 ,α 2 ,. . .α k ) ) = 0 при α i = α i i =1, 2, . . . , K (20) dα i Система уравнений (20) может быть построена также на основе отношения правдоподобия. 2.3. Свойства оценок максимального правдоподобия Оценки максимального правдоподобия обладают рядом полезных свойств. Они являются состоятельными, т. е. при увеличении объёма выборки значения оценки теснее группируются в окрестности истинного значения параметра. В общем случае оценки максимального правдоподобия являются асимптотически несмещёнными, т.е. с ростом объёма выборки смещение оценки стремится к нулю. Оценки максимального правдоподобия асимптотически эффективны, т.е. их среднеквадратическая ошибка стремится к минимально возможной при увеличении объёма выборки. Оценки максимального правдоподобия обладают свойством инвариантности к монотонным (взаимнооднозначным) преобразованиям. Суть свойства инвариантности состоит в том, что можно отыскивать максимально правдоподобную оценку любого параметра распределения W ( X α ) , связанного с искомым параметром α монотонным преобразованием β=g(α), а максимально правдоподобная оценка параметра ) ) α, определяется соотношением α = g -1 ( β ) , где g -1 - обратное преобразование. С ростом объёма выборки распределение оценки максимального правдоподобия приближается к нормальному закону. Показано, что при большом объёме выборки дисперсия оценки максимального правдоподобия определяется соотношением [1] −1

 d 2 ln λ x ( α )  (21) σ = M −  . dα 2   где М - оператор математического ожидания. Усреднение производится по распределению W ( X α ) . Вторая производная в (21) характеризует (определяет) "остроту" максимума функции правдоподобия. Чем максимум острее (в среднем), тем больше модуль (в среднем) второй производной, а значит, меньше дисперсия оценки. Соотношение (21) в большинстве случаев достаточно точно определяет дисперсию оценки и при малой выборке. 2 α

2.4. Примеры отыскания алгоритмов оценивания параметров радиосигналов методом максимального правдоподобия Оценка амплитуды полностью известного сигнала. Радиосигнал как функцию времени можно записать в виде S ( t ) = u( t ) cos ( ω t − ϕ ) , (22) где u(t) - закон амплитудной модуляции; ϕ - начальная фаза сигнала. Другие параметры принимаемого сигнала, такие как время запаздывания, допплеровский сдвиг, для упрощения записи модели пока не вводятся.

10

Отношение правдоподобия для полностью известного сигнала имеет вид [2] λx = e T

где Э = ∫ S 2 ( t )dt 0

−

Э 2Z + N N

,

(23)

T

- энергия сигнала S(t); Z = ∫ x( t )S ( t )dt

корреляционный интеграл,

0

вычисленный для принятой смеси

x( t ) = S ( t ) + n( t ) (24) N - спектральная плотность мощности белого шума. Прежде, чем приступить к решению задачи оценивания амплитуды сигнала, необходимо её, как параметр, ввести в модель сигнала, определяемую выражением (22). Будем считать, что (22) определяет сигнал единичной амплитуды. Тогда принимаемый сигнал амплитуды a запишется в виде S a ( t ) = au( t ) cos ( ω t − ϕ ) . (25) Амплитуда, как параметр, является коэффициентом перед известной временной функцией S(t). Тогда энергия в (23) приобретает смысл энергии сигнала с единичной амплитудой – Э1. Поскольку энергия сигнала пропорциональна квадрату амплитуды, то энергия сигнала с амплитудой a может быть записана в виде Эa = a 2 Э1 . Корреляционный интеграл для сигнала амплитуды a Z a = aZ 1 . Отношение правдоподобия в параметризованном виде, включающее амплитуду как параметр, запишется в виде −

a 2 Э1 2 aZ1 + N N

λx ( a ) = e (26) Согласно (19) максимально правдоподобной оценкой параметра является то значение a , при котором функция ln λ x ( a ) достигает максимума или её производная равна нулю d ln λ x (a ) 2Э a 2Z ) = − 1 + 1 = 0 при a = α . (27) da N N Тогда максимально правдоподобная оценка амплитуды определяется соотношением T 1 ) Z x( t )S ( t )dt (28) α= 1 = Э1 Э1 ∫0 Из (28) следует, что оценка амплитуды полностью известного сигнала сводится к вычислению корреляционного интеграла Z1 и нормировке его значения путём деления на энергию сигнала единичной амплитуды. Поскольку значение корреляционного интеграла может быть получено на выходе коррелятора или согласованного фильтра, то возможны соответственно две схемы реализации (рис.6). Оценка амплитуды полностью известного сигнала является несмещенной, так как ее математическое ожидание

 1 T ) M {α [x( t )]} = M  ∫ x( t )S ( t )d ( t ) =   Э1 0 T 1  M  ∫ [aS ( t ) + n( t )]S ( t )dt  =  Э1 0  T T  a 1 M  ∫ S 2 ( t )dt + n ( t ) S ( t ) dt ∫ =a Э1 0   Э1 0

11

равно истинному значению параметра, так как

T  T M  ∫ n( t )S ( t )dt  = ∫ M [n( t )]S ( t )dt = 0 , 0  0 поскольку равно нулю среднее значение шума. Дисперсия оценки согласно (21) определяется как среднее значение величины, обратной второй производной от логарифма отношения правдоподобия. Дифференцируя первую производную, определяемую соотношением (27) ещё раз по a , получаем

d 2 ln λ x ( a ) da 2 = − 2Э1 N

(29) Поскольку вторая производная постоянна, то необходимость усреднения отпадает. Откуда согласно (21)

σ a2 = N 2Э1

(30) Из (30) следует, что дисперсия оценки амплитуды тем меньше, чем больше энергия сигнала единичной амплитуды, т.е. чем больше длительность сигнала и меньше уровень шума. Можно доказать, что оценка амплитуды является эффективной [3]. Оценка фазы полностью известного сигнала. Будем считать, что модель принимаемого сигнала определена выражением (25). Поскольку начальная фаза является параметром модели сигнала, то отношение правдоподобия для полностью известного радиосигнала, определяемое выражением (26), должно зависеть и от этого параметра. Выявим эту зависимость. Энергия высокочастотного сигнала от начальной фазы не зависит, а зависит только величина корреляционного интеграла T

T

0

0

Z ( ϕ ) = ∫ x( t )S ( t )dt = ∫ x( t )u( t ) cos( ω t − ϕ )dt =  T  T + x ( t ) u ( t ) cos t dt cos ω ϕ ∫   ∫ x( t ) u( t ) sin ω t dt  sin ϕ . 0  0  T

T

0

0

Обозначая ∫ x( t ) u( t ) cos ω t dt = Z C и

∫ x( t )u( t ) sin ω t dt = Z S ,

назовём их соответственно косинусной и синусной квадратурными составляющими корреляционного интеграла. Тогда Z ϕ = Z C cos ϕ + Z S sin ϕ . Отношение правдоподобия для полностью известного сигнала, записанное в форме, показывающей зависимость от начальной фазы, имеет вид a 2 Э1 2 a − + (Z C cos ϕ + Z S sin ϕ ) N . (31) λx ( ϕ ) = e N Максимально правдоподобной оценкой фазы радиосигнала будет то значение ϕ, при котором (31) достигает максимума. Удобнее отыскивать максимум lnλx(ϕ). Дифференцируя lnλx(ϕ) по ϕ и приравнивая производную нулю, получаем

d ln λ x ( ϕ ) 2 a (− Z C sin ϕ + Z S cos ϕ ) = 0 при ϕ = ϕ) = dϕ N

Тогда максимально правдоподобная оценка фазы определяется выражением

12

T

∫ x( t )u( t ) sin ω t dt

Z ϕˆ = arctg S arctg T0 ZC

.

(32)

∫ x( t )u( t ) cos ω t dt

0

Алгоритм оценивания является прямоотсчётным. Из (32) видно, что при оценке фазы не требуется знание амплитуды сигнала. Схемы реализации измерителей фазы с использованием корреляторов и согласованного фильтра изображены на рис.7а и б.

Максимально правдоподобная оценка фазы является смещённой оценкой, её среднее значение зависит от амплитуды сигнала. При a → 0 среднее значение mϕ → 0 . Для правильной оценки фазы необходимо фиксировать знаки числителя и знаменателя в (32). Определим дисперсию оценки фазы. Согласно (21) для этого необходимо найти вторую производную от lnλx(ϕ) по ϕ и усреднить её по распределению выборочных данных. Дифференцируя (31) дважды, получим

d 2 ln λ x (ϕ ) 2 2aZ = − (Z C cos ϕ + Z C sin ϕ ) = − . 2 a N dϕ

Математическое ожидание второй производной

 d 2 ln λ x (ϕ )  2 aZ  a  = − M  = − M  2 M( Z ) =  2  N N d ϕ    

  a T a T − 2 M  ∫ x( t )S ( t )dt  = −2 M  ∫ [aS ( t ) + n( t )]S ( t )dt  , N 0 N 0   T  d 2 ln λ x (ϕ )   2a  T 2  = − + M  M a S ( t ) dt n ( t ) S ( t ) dt   . ∫ ∫ 2  N d ϕ  0  0  

Поскольку среднее значение второго интеграла равно нулю, то

 d 2 ln λ x (ϕ )  2 a 2 Э1 =− M  2  N ϕ d  

13

Тогда согласно (21) дисперсия оценки фазы

σ ϕ2 =

N 2 a 2 Э1

(33)

т.е. дисперсия оценки фазы тем меньше, чем меньше уровень внутриприёмного шума и больше энергия сигнала. Оценка амплитуды радиосигнала с неизвестной начальной фазой. Модель радиосигнала по-прежнему определяется соотношением (25). Отношение правдоподобия для полностью известного сигнала в параметризованном виде согласно (31) можно записать

λ x ( ϕ ,a ) = e

−

a 2 Э1 2 a + ( Z C cos ϕ + Z S sin ϕ ) N N .

Неизвестными теперь являются два параметра a и ϕ. Для отыскания оценки максимального правдоподобия амплитуды сигнала в соответствии с (19) и (20) необходимо решить систему уравнений  d ln λ x (ϕ , a ) = 0 при ϕ = ϕˆ ,  dϕ   d ln λ x (ϕ , a ) = 0 при a = aˆ .  da

(35)

Решение системы (35) можно отыскивать следующим образом. Вначале из первого уравнения системы (35) находим оценку фазы. Эти преобразования выполнены ранее, и оценка определяется соотношением (32). Подставляем оценку фазы сигнала в (34) ) λ x (ϕ , a ) = e

−

a 2Э1 2 a  Z Z +  Z C cos arctg S + Z S sin arctg S N ZC ZC N

  .

(36)

Учитывая, что

cos arctg u =

1 1 + u2

, sin arctg u =

u 1 + u2

,

(37)

(36) можно записать в виде Z  ZS S  a Э1 2 a  ZC ZC − + + N  1+ ( Z Z )2 N 1+ ( Z S Z C )2 S C   2

) λ x (ϕ ,a ) = e

     

=e

−

a 2Э1 2 a + Z S2 + Z C2 N N

.

(38)

Оценка амплитуды сигнала определяется из решения уравнения

) d ln λ x (ϕ ,a ) =0. da

После логарифмирования и дифференцирования (36) получаем 2aЭ1 2 − + Z S2 + Z C2 .

N

N

Откуда ) a=

Z S2 + Z C2

=

Z1

. (39) Э1 Э1 Из (39) следует, что оценка амплитуды радиосигнала с неизвестной начальной фазой сводится к вычислению модуля корреляционного интеграла и нормирования его значения к энергии сигнала единичной амплитуды. Фильтровой вариант реализации устройства оценки (рис. 8) отличается от схемы оценки амплитуды полностью известного сигнала (рис. 6,б) наличием детектора.

14

Оценка амплитуды радиосигнала с неизвестной начальной фазой является смещённой. Её среднее значение больше амплитуды сигнала. Наглядно смущенность оценки можно показать, рассматривая векторную диаграмму суммирования сигнала и шума на радиочастоте на выходе согласованного фильтра (рис.9). Длины векторов сигнала – Uc и шума- Uш определяют амплитуды сигнала и шумового напряжения на выходе согласованного фильтра в момент времени, когда отклик сигнала достигает максимума. Поскольку сдвиг фаз ϕ между сигналом и шумом является случайной величиной, равномерно распределённой на интервале 0-2π, то конец суммарного вектора может с равной вероятностью занимать любое положение на окружности (рис.9). Изображённые на рис.9 пунктиром векторы 0В и 0А имеют такую же длину, как вектор Uc. Если конец суммарного вектора UΣϕ попадает в любую точку дуги, то амплитуда смеси сигнала и шума будет больше чем амплитуда сигнала. Если же конец суммарного вектора попадает на дугу ВnА, то амплитуда суммарного вектора смеси сигнала и шума будет меньше, чем амплитуда сигнала. Поскольку длина дуги ВmА больше чем длина дуги ВnА, то вероятность того, что при суммировании сигнала с шумом произойдёт увеличение результирующей амплитуды, будет больше, чем её уменьшение. Для фиксированных амплитуд сигнала, шума и сдвига фаз амплитуда суммарного напряжения определяется соотношением (40) U Σ2 ϕ = U c2 + U ш2 + 2 U c U ш cos ϕ , Среднее значение квадрата амплитуды смеси сигнала и шума при фиксированной амплитуде напряжения шума можно найти, усредняя (40) по ϕ 2 U Σ2ϕ = U c2 + U ш (41) + 2U cU ш cos ϕ . Поскольку ϕ равномерно распределена на интервале 0-2π , то cos ϕ = 0 . Тогда 2 2 U Σϕ . = U c2 + U ш

(42)

Для отыскания среднего значения амплитуды смеси необходимо среднее значение амплитуды

U Σ2ϕ , полученное для фиксированной амплитуды Uш, усреднить по

всем возможным значениям Uш. С учётом того, что амплитуда шумовой составляющей распределена по закону Релея, получаем среднее значение амплитуды при Uc = a

− ∞

ma) a = U Σ = ∫ 0

2 Uc

+ U ш2

Uш e σ ш2

U

2 ш

2σ

2 ш

dU . ш

(43)

2 Результат интегрирования показывает, что при любом σ ш > 0 оценка является сме-

щённой, т.е. ma) a > a . Оценка угловой координаты двухканальным фазовым измерителем. На рис.10 изображена структурная схема двухканального фазового угломера. При отклонении источника излучения на угол α от оси антенной системы сигнал до второй антенны проходит дополнительный путь ∆R = d sinα , где d – расстояние между фазовыми центрами (база угломера).

15

Это приводит к дополнительному сдвигу фазы сигнала во втором канале относительно фазы сигнала первого канала.

θ=

∆R 2π d 2π = sinα . λ λ

(44)

Однозначная пеленгация источника излучения возможна в угловом секторе, где разность фаз θ не превышает ± π. При этом в силу монотонности функции sin α в секторе пеленгации

α = arc sin

λ θ, 2π d

(45)

и задача оценивания угловой координаты сводится к оценке разности фаз принимаемых сигналов θ. Запишем отношение правдоподобия для двухканального приёмного устройства. Принимаемые сигналы на входе первой и второй антенн

S A1 = aU ( t ) cos( ω t − ϕ ), S A2 = aU ( t ) cos( ω t − ϕ − θ ) .

(46)

Входная выборка X состоит из двух компонент: выборочного вектора первого канала X1 и выборочного вектора второго канала X2. С учётом независимости внутриприёмных шумов в каналах угломера можно записать W ( X s ) W ( X 1 s )W ( X 2 s ) λx = = = λ x1 λ x2 , (47) W ( X 1 o )W ( X 2 o ) W X o т.е. отношение правдоподобия для двухканальной системы есть произведение отношений правдоподобия, составленных для каждого канала. Согласно (31) можно записать отношение правдоподобия в форме, показывающей зависимость от фазы принимаемого сигнала для первого канала

( )

λ x1 ( ϕ ) = e

−

Э1a 2 2 a Z C1 cos ϕ + Z S1 sin ϕ + N N

(

)

;

(48)

для второго канала

λ x2 ( ϕ ,θ ) = e

−

Э1a 2 2 a Z C2 cos (ϕ +θ ) + Z S 2 sin (ϕ +θ ) + N N

[

]

.

Здесь по-прежнему: Э1 - энергия сигнала единичной амплитуды; a - амплитуда сигнала, одинаковая для фазовой системы в обоих каналах; ϕ - фаза сигнала в первом канале; θ - сдвиг фаз между сигналами, обусловленный угловым рассогласованием относительно оси антенной системы источника излучения. С учётом (47) отношение правдоподобия для двухканальной системы можно записать

λ x ( θ ,ϕ ) = e

−

2 Э1a 2 2 a Z C1 cos ϕ + Z S1 sin ϕ + Z C2 cos( ϕ + θ ) + Z S 2 sin( ϕ + θ ) + N N

[

]

.

(49)

Здесь ϕ и θ являются неизвестными параметрами. Для отыскания оценок максимального правдоподобия ϕ и θ необходимо, согласно (19) и (20), решить систему уравнений  ∂ ln λ x )  ∂ϕ = 0 при ϕ = ϕ (50)  )  ∂ ln λ x = 0 при θ = θ .  ∂θ

16

Решение системы (50) можно получить следующим образом. Из второго уравнения ∂ ln λ x = Z C2 sin( ϕ + θ ) + Z S2 cos( ϕ + θ ) = 0 ∂θ получим ZS θˆ + ϕ = arctg 2 . (51) Z C2 Подставляя (51) в (49), получим λ x ( ϕ ,θˆ ) = e

−

ZS ZS 2 Э1a 2 2 a  +  Z C1 cos ϕ + Z S1 sin ϕ + Z C2 cos arctg 1 + Z S 2 sin arctg 2 N N  Z C1 Z C2

  

.

(52)

Дифференцируя (52) по ϕ и приравнивая производную нулю, ∂ ln λ x ( ϕ ,θˆ ) 2 a = − Z C1 sin ϕ + Z S1 cos ϕ = 0 при ϕ = ϕˆ . ∂ϕ N ZS Откуда ϕˆ = arctg 1 = ϕˆ 1 . Z C1

[

Обозначая arctg

Z S2 Z C2

]

= ϕˆ 2 , подставим ϕˆ 1 и ϕˆ 2 в (51). Тогда

θˆ = ϕˆ 1 − ϕˆ 2 . (53) Используя свойство инвариантности оценок максимального правдоподобия к монотонным преобразованиям согласно (45), получим λ αˆ = arc sin ( ϕˆ 2 − ϕˆ 1 ) . (54) 2πd Вариант реализации схемы измерителя угловой координаты изображён на рис.11. Недостатком этой схемы являются трудности реализации операции деления при большом динамическом диапазоне входных сигналов. Более часто применяют вариант схемы с согласованными фильтрами и усилителями-ограничителями (рис.12).

17

Оценки фаз принимаемых сигналов формируются на выходах согласованных фильтров. Амплитудная информация срезается усилителями-ограничителями. Оценка угловой координаты формируется при большом динамическом диапазоне сигналов. ) ) ) Оценка разности фаз θ так же, как и сами оценки ϕ 1 и ϕ 2 , является смещённой, что приводит к смещённости оценки угловой координаты. Поскольку внутриприёмные шумы в каналах статистически независимы, то ) дисперсия оценки разности фаз θ будет в два раза больше, чем дисперсия оценки каждой из фаз N σ θ2) = 2 . (55) a Э1 Поскольку угловая координата связана с разностью фаз нелинейным преобразованием  λ  α = h( θ ) = arcsin θ  ,  2π d  то дисперсия ошибки α зависит от крутизны преобразования при данном α и приближенно определяется соотношением 2

λ2 4π 2 d 2 λ2 4π 2 d 2 N N  dh  2 σ α2 ≅  σ = = . (56)  θ 2 2 2 2    dθ  a Э 1 − sin α a Э λ 1 1 1 − θ2 2 2   4π d   При отклонении источника излучения от оси антенной системы дисперсия ошибки возрастает, так как уменьшается амплитуда принимаемых сигналов a 2 = a02 f 2 ( α ) ,

(

)

где α0 - амплитуда, соответствующая источнику, расположенному на оси угломера; f(α) - диаграмм направленности приёмных каналов по полю. Для источника излучения, расположенного на оси антенны, среднеквадратичная ошибка измерения угловой координаты равна λ N . (57) σα = 2π d a02 Э1 Из (57) следует, что чем больше база, тем точнее угломер. 2.5. Оценка угловой координаты амплитудным суммарно-разностным измерителем Большое распространение получила схема суммарно-разностного угломера, диаграммы направленности приёмных каналов которого имеют различную угловую направленность (рис.13). На выходе антенной системы принимаемые сигналы имеют одинаковые фазы, отношение амплитуд зависит от угловой координаты источника излучения. Для данной схемы можно ввести понятия суммарной - f Σ и разностной - f ∆ диаграмм направленности по полю (рис.14,а);

18

f Σ ( α ) = f 1 (α ) + f 2 (α ) ;

(58) f ∆ (α ) = f 1 (α ) − f 2 (α ) ; f1(α), f2(α) - диаграммы направленности приёмных каналов. Изменение знака разностной диаграммы при прохождении через точку α = 0 показывает изменение фазы высокочастотного сигнала на 180°. Пеленгационная хаf (α ) рактеристика y = F ( α ) = ∆ используется для измереf Σ (α ) ния угловой координаты и снимается экспериментально (рис. 14,б). По вычисленному значению пеленга y угловая координата определяется путём использования об) ратного преобразования α = F −1 ( y ) . Синтезируем алгоритм измерения угловой координаты методом максимального правдоподобия. Поскольку внутриприёмные шумы в каналах независимы, то, так же как и для фазового измерителя, отношение правдоподобия может быть записано как произведение отношений правдоподобия, составленных для каждого канала λ x = λ xΣ ⋅ λ x∆ . Амплитуды сигналов на выходах суммарного и разностного каналов a Σ = af Σ , a ∆ = af ∆ , где a - амплитуда сигнала на выходе канала с единичным усилением антенны. Поскольку фаза принимаемых сигналов в каналах одинакова и равна ϕ, то λ xΣ и λ x∆ можно записать в виде λ xΣ = e

−

Э1a 2 f Σ2 2 af Σ Z C Σ cos ϕ + Z S Σ sin ϕ + N N

(

Э a 2 f ∆2 2 af ∆ − 1 + Z C ∆ cos ϕ + Z S ∆ sin ϕ N N e

(

) (59)

)

λ x∆ = . Тогда для суммарно-разностного измерителя отношение правдоподобия λ xΣ = e

−

2a Э1a 2 ( f Σ2 + f ∆2 ) 2 a f Σ Z C Σ cos ϕ + Z S Σ sin ϕ + f ∆ Z C ∆ cos ϕ + Z S ∆ sin ϕ + N N N

(

)

(

)

.

(60)

Полезный параметр α определяется отношением коэффициентов усиления диаграмм направленности f∆ /fΣ , a и ϕ - неинформационные параметры. Для отыскания оценок максимального правдоподобия согласно (19) и (20) необходимо найти решение системы уравнений  ∂ ln λ x )  ∂ϕ = 0 , при ϕ = ϕ   ∂ ln λ x ) = 0 , при a = a (61)   ∂a  ∂ ln λ x = 0 , при α = α) .  ∂α  Решение системы (61) будем, также как и для фазового измерителя, получать последовательно. В начале из первого уравнения находим оценку фазы ∂ ln λ x 2af Σ 2 af ∆ ) = − Z C Σ sin ϕ + Z S Σ cos ϕ + − Z C ∆ sin ϕ + Z S ∆ cos ϕ = 0 при ϕ = ϕ , ∂ϕ N N тогда f Z + f ∆ Z S∆ ) ϕ = arctg Σ SΣ = arctg u , f Σ Z CΣ + f ∆ Z C∆

(

)

(

)

19

f Σ Z SΣ + f ∆ Z S∆ . (62) f Σ Z CΣ + f ∆ Z C∆ Подставляя оценку фазы в (60) и учитывая тригонометрические формулы (37), получаем где

Э1a 2 ( f Σ2 + f ∆2 ) 2 a

2a

f Σ SΣ + f ∆ S∆ − + ) N N N λ x (a ,ϕ ,α ) = e , (63) Z + Z SΣ u Z + Z S∆ u , S Σ = C∆ где S Σ = CΣ . 2 2 1+ u 1+ u Дифференцируя (63) и решая полученное уравнение относительно a , находим оценку амплитудного множителя ) ∂ ln λ x (a ,ϕ ,α ) 2Э f 2 + f ∆2 a 2 2 2 ) =− 1 Σ + f Σ S Σ + f ∆ S ∆ = 0 при a = a , (64) N N N ∂a ) f S + f S тогда a = Σ Σ 2 ∆ 2 ∆ . Э1 f Σ + f ∆ ) Подставляя оценку a в (63), получим

(

(

)

)

( f Σ SΣ + f ∆ S ∆ )2

2 2 ) (65) λ x (a ,ϕ ,α ) = e NЭ1 ( fΣ + f ∆ ) . Проведём некоторые преобразования в числителе показателя экспоненты. С учётом (63) ( f Σ Z CΣ + f Σ Z SΣ u + f ∆ Z C∆ + f ∆ Z S∆ u )2 2 ( fΣ SΣ + f ∆ S∆ ) = . (66) 1+ u2 Подставляя u, определяемое соотношением (62), в (66) и проведя сокращения, получим ( f Σ S Σ + f ∆ S ∆ )2 = f Σ2 Z C2Σ + f Σ2 Z S2Σ + f ∆2 Z C2∆ + f ∆2 Z S2∆ + 2 f Σ f ∆ Z CΣ Z C∆ + 2 f Σ f ∆ Z SΣ Z S∆ . (67) Для преобразования (67) в более компактную форму введём обозначения:

Z C2Σ + Z S2Σ = Z Σ - амплитуда смеси сигнала и шума на выходе согласованного фильтра суммарного канала; Z C2∆ + Z S2∆ = Z ∆ - амплитуда смеси сигнала и шума на выходе согласованного фильтра разностного канала; Z SΣ Z CΣ = tgϕ Σ , Z S∆ Z C∆ = tgϕ ∆ ,

где ϕΣ , ϕ ∆ фазы смесей сигналов и шумов на

выходах согласованных фильтров. Тогда Z CΣ Z C∆ + Z SΣ Z S∆ = Z Σ Z ∆ cos(ϕ Σ − ϕ ∆ ) и соотношение (66) преобразуется к виду f Σ2 Z Σ2 + f ∆2 Z ∆2 + 2 f Σ f ∆ Z Σ Z ∆ cos( ϕΣ − ϕ ∆ )

) ) NЭ1 ( f Σ2 + f ∆2 ) λ x (ϕ , a ,α ) = e . (68) Далее можно было бы задать конкретный вид диаграмм направленности как функций угловой координаты и отыскивать максимум, дифференцируя (68) по α. Однако, полезнее получить решение в обобщённом виде, справедливое для угломера с заданной пеленгационной характеристикой F(α). Введём функцию Р(α), связанную с пеленгационной характеристикой монотонным преобразованием f (α ) tgP = ∆ = F( α ) . (69) fΣ (α ) Поскольку параметры Р и α связаны монотонным преобразованием, то используя свойство инвариантности оценок максимального правдоподобия, можно отыскивать оценку параметра P, а оценку параметра α определить, используя преобразование

20

{ }

) F −1 tgP . Тогда, учитывая, что f Σ записать в виде ) ) λ x (ϕ , a ,α ) = e

f Σ2 + f ∆2 = cos P , f ∆

f Σ2 + f ∆2 = sin P , (66) можно

Z Σ2 cos 2 P + Z ∆2 sin 2 P + 2 Z Σ Z ∆ cos( ϕΣ − ϕ ∆ ) sin P cos P NЭ1

.

Оценка максимального правдоподобия параметра Р находится из уравнения ) ) ) ∂ ln λ x (ϕ , a , P ) = − Z Σ2 sin 2 P + Z ∆2 sin 2 P + 2(cos 2 P )Z Σ Z ∆ cos( ϕ Σ − ϕ ∆ ) = 0 при P = P ∂P Откуда ) 1 2 Z Z cos( ϕ Σ − ϕ ∆ ) P = arctg Σ ∆ 2 (70) 2 Z Σ − Z ∆2 Переходя от оценки параметра Р к оценке угловой координаты, получим  1 2 Z Z cos(ϕ Σ − ϕ ∆ )  ) α = F −1 tg arctg Σ ∆ 2 (71)  .  2  Z Σ − Z ∆2 Вариант реализации схемы угломера, соответствующий решающему правилу (71), представлен на рис.15.

Недостатком схемы является трудность реализации операции деления при большом диапазоне входных сигналов. На практике находит применение схема, изображённая на рис.16.

Схема более проста и, благодаря использованию усилителей-ограничителей, работает в большом динамическом диапазоне входных сигналов. Поясним работу схемы с помощью векторной диаграммы (рис.17,а). Вектор ZΣ определяет амплитуду и фазу сигнала на выходе согласованного фильтра в суммарном канале. При отсутствии внутриприёмных шумов вектор разностного сигнала имеет то же направление, что и суммарный (или противофазен). С помощью фазовращателя вектор разностного сигнала поворачивается на 90° и суммируется и вычитается с вектором суммарного сигнала. В результате образуются два вектора U1 и U2 одинаковой длины. Это озна

21

чает, что информация об угловом положении источника излучения заключена теперь в сдвиге фаз сигналов U1 и U2. Сдвиг фаз сигналов U1 и U2 измеряется на выходе усилителей-ограничителей. Покажем, что при наличии внутриприёмных шумов схема, изображённая на рис.16, реализует решающее правило (71). При наличии внутриприёмных шумов наблюдается сдвиг фаз сигналов на выходах согласованных фильтров (ϕΣ-ϕ∆). Векторная диаграмма искажается (рис. 17,б). Разность фаз сигналов U1 и U2 определяется из векторной диаграммы как сумма углов ψ1 и ψ2 Z cos (ϕ −ϕ ) ψ 1 + ψ 2 = arctg Z −∆Z cos Σ(ϕ −∆ϕ ) + Σ ∆ Σ ∆ (72) Z ∆ cos (ϕΣ −ϕ ∆ ) arctg Z + Z cos (ϕ −ϕ ) . Σ ∆ Σ ∆ Используя формулу x+ y arctg x + arctg y = arctg , после несложных преобразований получаем 1 − xy 2 Z Z cos(ϕ Σ − ϕ ∆ ) ∆ϕ = ψ 1 + ψ 2 = arctg Σ ∆ 2 . (73) Z Σ + Z ∆2 Из сравнения (70) и (73) следует, что Р = ∆ϕ/2. Таким образом, после функциональ 1  ного преобразования αˆ = F −1 tg ∆ϕ  получаем оценку угловой координаты.  2  При большом отношении сигнал/шум дисперсия оценки угловой координаты связана с дисперсией оценки разности фаз σ ∆2ϕ соотношением 2

 dh  2  σ ∆ϕ , σ α2 ≅   d∆ϕ  где dh

(74)

  1  = d  F −1  tg ∆ϕ  d∆ϕ . d∆ϕ  2  

f 1 ∆ϕ = arctg ∆ , тогда 2 fΣ dh 1 1 = ⋅ . (75) 2 d∆ϕ 2 F ′ (α ) cos (arctg f ∆ f Σ ) Если мощности шумов на выходах согласованных фильтров суммарного и разностного канала равны, то они удваиваются после амплитудно-фазового преобразования и остаются независимыми, поэтому 2N σ ϕ2 = 2 2 . (76) a f Σ + f ∆2 Э1 Тогда с учётом (74) и (75) выражение для дисперсии оценки угловой координаты суммарно-разностного измерителя имеет вид N , (77) σ α2 = f∆  2 2 2 4 2 a f Σ + f ∆ Э1 2{F ′( α )} cos  arctg f Σ   где F ′( α ) - крутизна пеленгационной характеристики при заданном угле α. Из (77) следует, что на равносигнальном направлении Из векторной диаграммы (рис. 17,а) следует:

(

)

(

)

22

σ α2 = N

{F ′( 0 )}2 2 f Σ2 Э1 a 2

(78)

т.е. точность угломера зависит от крутизны пеленгационной характеристики и энергии принимаемого сигнала. Интересно сравнить дисперсии ошибок измерения угловых координат в некотором угловом секторе для суммарно-разностного амплитудного измерителя и фазового измерителя при условии, что диаграммы направленности приёмных каналов формируются на базе одной антенной решётки и шумы приёмных каналов одинаковы. На рис. 18 и 19 показаны схемы диаграммообразования для амплитудного суммарно-разностного и фазового измерителей. На рис. 20 приведены зависимости среднеквадратичных ошибок измерения угловых координат от углового рассогласования источника излучения относительно оси антенной системы. Ошибки и угловое рассогласование выражены в долях ширины диаграммы направленности антенной решетки θα=λ/d. Расчёт проводился по формулам (56) и (77) для антенной решётки при отношении сигнал/шум q2 = 5, измеренном в суммарном канале для источника, находя-

щегося на оси антенной системы. Из данных (рис.20) следует, что суммарно-разностный амплитудный измеритель имеет более высокую точность вблизи оси антенной системы. По такой схеме строятся угломеры со следящей антенной. Антенна поворачивается таким образом, чтобы удерживать источник излучения на оси. Фазовый измеритель имеет более постоянную ошибку в угловом секторе. По такой схеме целесообразно строить прямоотсчётные измерители. Рассмотрим еще один вариант реализации суммарно-разностного угломера. При небольших угловых рассогласованиях (в схеме следящего измерителя) ZΣ>>Z∆, аргумент функции arctg(⋅) значительно меньше единицы, тогда arctg(x) ≅ x и (71) можно заменить соотношением

23

Z  ) (79) α ≅ F −1  ∆ cos(ϕ Σ − ϕ ∆ ) . ZΣ  Если сигналы узкополосные, то реализация (79) возможна в схеме с использованием

нормирующего действия быстродействующей АРУ (БАРУ) (рис.21). Роль согласованных фильтров выполняют УПЧΣ и УПЧ∆. БАРУ успевает следить за изменением амплитуды ZΣ на входе суммарного канала, поддерживая на выходе УПЧΣ постоянный уровень амплитуды Uвых=1. Тогда произведение коэффициента усиления Ку на амплитуду входного сигнала ZΣ равно 1, т.е. Ку ZΣ =1 , откуда Ку = 1/ ZΣ. Если регулировочные характеристики УПЧΣ и УПЧ∆ одинаковы, то такой же коэффициент усиления имеет и УПЧ∆. Амплитуда напряжения на выходе разностного канала Uвых∆ = Z∆Ку = Z∆ /ZΣ . Тогда напряжение на выходе фазового детектора перемножающего типа определяется выражением Z U ФД = ∆ cos(ϕ Σ − ϕ ∆ ) . ZΣ Направление отклонения источника излучения от оси определяется знаком функции cos(ϕΣ - ϕ∆), величина отклонения - отношением Z∆ /ZΣ. Схема, изображённая на рис.21, находит широкое применение на практике. Можно показать, что если пеленгационная характеристика F(α) линейна, то оценка, полученная с использованием (79), не имеет дисперсии при флюктуирующем сигнале. Оценка времени запаздывания сигнала. Рассмотрим измерение времени запаздывания в системе с разнесёнными приёмником и передатчиком (рис.22). Излучаемый сигнал на приёмной стороне полностью известен, неизвестно время запаздывания tз. Тогда, в соответствии с (25), модель принимаемого сигнала можно записать S tз = S ( t − t з ) = au( t − t з ) cos[ω ( t − t з ) − ϕ ] . (80) Для отыскания оценки максимального правдоподобия необходимо выявить функциональную зависимость компонент отношения правдоподобия (26) от времени запаздывания. Энергия сигнала единичной амплитуды Э1 и спектральная плотность мощности шума N - фиксированные известные параметры. Амплитуда сигнала a принципиально зависит от расстояния между передатчиком и приёмником, определяющим время запаздывания tз, но эта зависимость столь слаба на интервале измерения tз, что ею можно пренебречь. Поскольку угловое положение передатчика относительно приёмника может быть произвольным, то произволен и уровень амплитуды сигнала: т.е. параметр a можно считать неизвестной постоянной. Таким образом, от параметра tз зависит только корреляционный интеграл

24

Z ( tз ) =

tз +T

∫ x( t )S ( t − t з )dt .

(81)

tз

Отношение правдоподобия в параметризованном виде можно представить λ x ( tз ) =

2 aZ ( tз ) Ce N , −

Э1a N

где 2

C=e . (82) Экспонента в (82) является монотонной функцией, поэтому максимум отношения ) правдоподобия наблюдается при том же значении t з , при котором наблюдается и максимум корреляционного интеграла. Таким образом, оценка времени запаздывания по методу максимального правдоподобия требует максимизации корреляционного интеграла как функции tз. Параметр tз входит в пределы интегрирования корреляционного интеграла. На рис.23 представлен вариант схемы устройства оценивания времени запаздывания сигнала. Устройство представляет набор вычислителей корреляционного интеграла, настроенных на различные значения задержки опорного сигнала tзi, которые обеспечиваются линией задержки. Оценкой времени запаздыва) ния сигнала t з является значение задержки опорного сигнала в том канале, где корреляционный интеграл достигает максимума. Недостатком схемы является тот факт, что оценка производится грубо, с точностью до дискрета между опорными значениями задержек. Для уменьшения инструментальных ошибок надо уменьшать дискрет, т.е. увеличивать число каналов.

Более простой вариант устройства оценки времени запаздывания получается при использовании согласованного фильтра. Значение задержки сигнала фиксируется на временной оси. Момент времени, когда отклик на выходе согласованного фильтра достигает максимума, соответствует оценке времени запаздывания сигнала. Не) обходимо только для получения оценки t з вычесть время задержки сигнала в согласованном фильтре t0 (рис.24). Построение схемы фиксации максимума также встречает ряд трудностей. Можно в районе максимума очень часто брать выборки и сравнивать величины напряжений. Точность оценки максимума будет связана с временным дискретом выборок. Технические трудности построения первой и второй схем оценивания tз связаны с

25

∂ ln λ x (t з ) относительно параметра tз неразрешимо и обладает dt з особой спецификой - параметр входит в пределы корреляционного интеграла. Под действием внутриприёмного шума временное положение максимума отклика на выходе согласованного фильтра смещается относительно истинного значения задержки (рис.25, пунктир). Эти отклонения меняются от реализации к реализации. Дисперсия временного положения максимума отклика согласованного фильтра будет являться дисперсией оценки максимального правдоподобия. Определим дисперсию оценки временного запаздывания сигнала. Согласно (21) дисперсия оценки максимального правдоподобия формально определяется как величина, обратная среднему значению второй производной логарифма отношения правдоподобия по задержке сигнала в точке истинного запаздывания сигнала. Предположим, что полностью известный сигнал приходит в некоторый момент времени tзи S прм = S (t − t зи ) . (8З) тем, что уравнение

При вычислении корреляционного интеграла принимаемая реализация х(t) умножается на ожидаемый (опорный) сигнал со значением задержки tз. S оп = S (t − t з ) . (84) Тогда корреляционный интеграл можно записать в виде Z tз = =

∞

∞

∫

x( t )S ( t − t з )dt =

−∞

∞

∫ [S ( t − t зи ) + n( t )]S ( t − t з )dt =

−∞ ∞

∫ S ( t − t зи )S ( t − t з )dt + ∫ n( t )S ( t − t з )dt = Z S ( t з ,t зи ) + Z ш ( t з ) .

−∞

(85)

−∞

ZS(tзи, tз), Zш(tз) - называют соответственно сигнальной и шумовой составляющими корреляционного интеграла. Выполним операции, определяемые соотношением (21), Подставляя (85) в (82) и полагая, для упрощения записи a = 1 , получим 2 2 ln λ x (t з ) = ln C + Z S ( t зи ,t з ) + Z ш ( t з ) . (86) N N Дифференцируя по tз дважды, ∂ 2 ln λ x (t з ) 2 ∂ 2 2 ∂2 = Z ( t , t ) + Zш( tз ). (87) S зи з N ∂t з2 N ∂t з2 ∂t з2 Поскольку в (21) необходимо подставлять среднее значение второй производной, усредняем (87) по множеству реализаций. Случайные значения принимает только Zш(tз). Тогда ∞ ∂ 2 Zш ( tз ) ∂ 2 S (t − t з ) = ∫ n( t ) dt = 0 . (88) ∂t з2 ∂t з2 −∞ Скобки <> означают усреднение по множеству реализаций n(t). Последний интеграл равен нулю, поскольку нулю равно среднее значение внутриприёмного шума. Тогда ∂ 2 ln λ x (t з )

2 ∂ 2 Z S ( t зи ,t з ) = . N ∂t з2

∂t з2 Дисперсия оценки временного положения в соответствии с (21) равна 2 ∂ 2 Z S ( t зи ,t з ) σ t2з = 1 при t з = t зи . N ∂t з2

(89)

(90)

26

Для практических расчётов по формуле (90) необходимо отыскивать значения ∂ 2 Z S ∂t з2 при t з = t зи . Рассмотрим этот вопрос подробнее. Преобразуем выражение для сигнальной составляющей корреляционного интеграла Z S (t зи ,t з ) =

∞

∫ S (t − t зи )S (t − t з )dt .

−∞

Введём новую переменную ℓ = t- tзи и новый параметр τ = tз - tзи, определяющий рассогласование между истинным запаздыванием сигнала и его ожидаемым (опорным) значением. Тогда сигнальная составляющая корреляционного интеграла может быть представлена в виде Z S (τ ) =

∞

∫ S ( t )S ( l − τ ) dl ,

(91)

−∞

ZS(τ) - как функция от τ, является ненормированной автокорреляционной функцией сигнала (АКФ). Для прямоугольного радиоимпульса АКФ представлена на рис.26 и является чётной быстро осциллирующей функцией. Осцилляции АКФ затухают с ростом τ и при |τ | > tи АКФ обращается в нуль. С учётом замены переменных соотношение (90) можно записать в виде 2 ∂ 2 Z S (τ ) σ t2з = 1 при τ = 0 . (92) N ∂τ 2 Вторая производная в знаменателе характеризует кривизну центрального пика АКФ в окрестности точки τ = 0 ("остроту" центрального пика АКФ). На рис.26 эта окрестность выделена. Чем острее пик АМ, тем больше абсолютная величина второй производной и тем точнее измеряется время запаздывания сигнала. Поскольку осцилляции АКФ определяются высокочастотным заполнением сигнала, то острота центрального пика АКФ при τ =0 определяется несущей частотой радиосигнала, а значит, и формулу (92) можно преобразовать таким образом, чтобы точность измерения зависела от несущей частоты радиосигнала. Для радиосигналов ненормированная автокорреляционная функция может быть представлена в виде [5] Z S [τ ] = Эψ (τ ) cos ωτ , (93) ∞

1 где Э - энергия сигнала; ψ (τ ) = ∫ S& (t )S& * (t − τ )dt - комплексная огибающая автокорЭ -∞

реляционной функции сигнала; S(t)=u(t)ejϕ(t) - комплексный закон модуляции сигнала. Тогда (92) можно записать в виде 1 σ t2з = при τ = 0 . (94) 2 2Э ∂ {ψ (τ ) cos ωτ } N ∂τ 2 Для простых сигналов большой длительности огибающая АКФ - ψ(τ) практически не изменяется в пределах периода высокочастотного заполнения. Поэтому, полагая ψ(τ)=1, получаем 2Э (2π f )2 σ t2з = 1 (95) N

27

Формула определяет потенциальную (предельную) точность измерения дальности фазовым методом. Формула применима, если ошибки измерения времени запаздывания значительно меньше, чем период высокочастотного заполнения сигнала. Хотя в радионавигации, где чаще используется схема измерения, представленная на рис. 22, точность измерения запаздывания определяется условиями распространения радиоволн, инструментальными ошибками, иногда полезно оценить потенциальную точность, обусловленную действием внутриприёмного шума. Используя (95) можно, например, определить предельную точность измерения дальности до излучающей станции навигационной системы "Омега". Точные измерения в системе "Омега" осуществляются на частоте f = 10 кГц. Тогда, если в канале приема обеспечивается отношение сигнал-шум q2=2Э/N= З0 дБ, то 1 σ t2з = 3 2 8 = (0 ,5 мкс )2 , 10 4π 10 что соответствует ошибке измерения дальности σR = с σtз =150м. В радиолокационных системах измерения времени запаздывания сигнала, работающих по отражённому сигналу (рис. 27), начальная фаза в (80) неизвестна. В этом случае отношение правдоподобия является монотонной функцией модуля корреляционного интеграла [2]. Измеритель временного запаздывания сигнала должен вычислять модуль корреляционного интеграла как функцию временного запаздывания сигнала и фиксировать её максимум. Возможны два варианта схем измерения tз, аналогичных схемам на рис.25 и 24. Схема с использованием корреляторов будет еще более громоздкой, так как для вычисления модуля корреляционного интеграла при каждом значении задержки необходимы два квадратурных канала. В схеме с согласованным фильтром необходим амплитудный детектор. Аналогичными преобразованиями, как и для случая известного сигнала, можно получить выражение для дисперсии оценки максимального правдоподобия при неизвестной начальной фазе сигнала 1 σ t2з = при τ = 0 (96) 2 Э ∂ 2ψ (τ ) N ∂τ 2 Вторая производная в (96) определяет остроту пика огибающей автокорреляционной функции сигнала. Чем более узкий пик огибающей АКФ, тем больше модуль второй производной в точке максимума, тем меньше ошибка измерения времени запаздывания сигнала. Острота пика огибающей АКФ связана с шириной спектра радиосигнала и (96) можно представить в виде [4] 1 , (97) σ t2з = 2Э 2 ∆f эф N где ∆fэф - эффективная ширина спектра, определяемая соотношением 4π 2 ∆f эф =

2

∞

∫

−∞ ∞

f

2

2 S& ( f ) df

∫ S& ( f )

, 2

(98)

df

−∞

где S&( f ) - спектр комплексного закона модуляции сигнала S&( t ) = u( t )e jψ ( t ) ; ψ(t) - закон фазовой модуляции.

28

Рассмотрим примеры. Для простого импульса с колокольной формой огибающей 2

(рис.28) u( t ) = e −at . Длительность импульса tи определяется на уровне 0,46 от максимального значения. Эквивалентная ширина спектра, рассчитанная по формуле (98), равна ∆f эф = π t и . Тогда потенциальная точность измерения времени запаздывания для импульса колокольной формы определяется соотношением t и2 2 σ tз = . (99) 2Э π N При длительности импульса tи = 2 мкс и 2Э/N=100 (20дб) ошибка измерения времени запаздывания составит 2 σ tз = = 0 ,113 мкс . 10 π Для сигнала с прямоугольным спектром |Ś(f)| = 1 при |f |< ∆fc/2, где ∆fc - ширина спектра сигнала, 4π 2 2 ∆f эф =

∆f c / 2

∫f

2

df

− ∆f c / 2 ∆f c / 2

=

∫ df

π2 ∆f c 2 . 3

− ∆f c / 2

Тогда

σ t2з =

3 2

π ∆f c2 2Э/N

.

(100)

Прямоугольный импульс с линейной частотной модуляцией имеет практически прямоугольный спектр. Для сигнала той же длительности τ = 2 мкс с шириной спектра ∆fс = 5 МГц и 2Э/N =100 3 σ tз ≅ = 0 ,01 мкс . 2 π 25 ⋅ 10 12 ⋅ 100 Анализ (99) и (100) показывает, что для точного измерения дальности следует использовать широкополосные сигналы и простые сигналы малой длительности. Использование формулы (97) для простого прямоугольного импульса имеет некоторые особенности. Если фронты импульса являются бесконечно крутыми, то эквивалентная ширина спектра, рассчитанная по формуле (98), получается бесконечной, так как огибающая автокорреляционной функции в точке максимума не имеет производной. Для получения приближённой формулы следует учитывать конечность полосы пропускания приёмного устройства [5]. Если полоса приёмного устройства ∆fпрм>>1/tи, то 3 . σ t2з = 2Э 2∆f прм N При ∆fпрм=5 МГц, tи=1мкс, 2Э/N=100 1 1 σ t2з = = 0 ,03 мкс . 10 10

29

Оценка допплеровского сдвига частоты радиосигнала. Если при измерении времени запаздывания сигнала со случайной фазой точность определяется остротой пика модуля комплексной огибающей АКФ вдоль оси τ, то при измерении допплеровского сдвига частоты точность определяется остротой пика АКФ вдоль оси частот. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Введём в модуль принимаемого сигнала параметр Fд, определяющий допплеровский сдвиг частоты, полагая для простоты tз = 0, S Fд = a u(t)cos[2π ( f - Fд )t − ϕ ] . Так же, как для измерения времени запаздывания, можно, повторив выводы для параметра Fд, показать, что 1 σ F2д = при F = 0 (101) 2Э ∂ 2ψ (F ) N ∂F 2 где ψ(F) - модуль комплексной огибающей АКФ сигнала, определяемый по оси частот, ∞

2 1 (102) ψ ( F ) = ∫ S&( t ) e j 2π F t dt . Э −∞ Следует отметить симметрию параметров tз и Fд для спектральной и временной форм записи сигнала. Параметр tз определяет сдвиг сигнала по оси времени. Сдвинутый сигнал в комплексной форме записывается как S(t- tз)е2πf(t- tз). Параметр Fд определяет сдвиг комплексного спектра сигнала вдоль оси частот. Сдвинутые по оси частот спектральные компоненты сигнала записываются в виде G& ( f − Fд )e j 2π ( f − Fд )t . Поэтому полученные выводы для измерения времени запаздывания tз будут справедливы и для допплеровского сдвига Fд, если в соответствующих формулах временные характеристики сигнала поменять на спектральные, а спектральные на временные [2]. В соответствии с этим дисперсия измерения допплеровского сдвига сигнала определяется соотношением 1 , (103) σ F2д = 2Э 2 t экв N где tэкв - эквивалентная длительность сигнала; ∞

2 t экв = 4π 2

2 2 ∫ t S& (t ) dt

−∞ ∞

∫ S& (t )

2

,

(104)

dt

−∞

S&( t ) - комплексный закон модуляции сигнала. Из (103) следует, что для точного измерения скорости необходимо применять сигналы большой длительности. Эквивалентная длительность в общем случае зависит и от формы сигнала. Для импульса прямоугольной формы tэкв определяется тем же интегралом, что и для сигнала с прямоугольным спектром, т.е. tэкв2=π2tэкв2/3. Тогда 3 . (105) σ F2 = д 2Э 2 2 π tи N Например, при t = 10 мс и 2Э/N = 100 (20дб)

30

σF =

3 2

−4

≅ 0 ,55 ⋅10 3 Гц .

100π ⋅10 Если λ= 3 см, то из формулы Fд= 2Vr/λ следует σ F = 2σ Vr λ . Откуда среднеквадрад

д

тичная ошибка определения скорости σ Fд λ 0 ,55 ⋅10 3 ⋅ 0 ,03 σ Vr = = 8 ,2 м/сек . 2 2 Реализовать измеритель допплеровского сдвига частоты наиболее просто, если известно время запаздывания сигнала (рис.29). На второй вход смесителя подаётся опорный сигнал, время задержки которого совпадает с моментом прихода принимаемого сигнала.

Изменение фаз сигналов принимаемого и опорного на двух входах смесителя происходит согласованно. В результате наблюдается фазовая демодуляция сигнала (сжатие по спектру). Узкополосный сигнал, ширина спектра которого ∆fс =1/tи, подаётся на набор узкополосных контуров (УК), настроенных на разные частоты. Оценка допплеровского сдвига частоты определяется по номеру фильтра, на выходе которого амплитуда сигнала максимальна. Для уменьшения инструментальных ошибок надо уменьшить дискрет настройки соседних фильтров, т.е. увеличить число фильтров. Если время запаздывания сигнала неизвестно, то необходимо построение измерителей по схеме (рис. 29) на ряд опорных значений задержек в диапазоне априорно ожидаемых значений. 3. ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ Метод максимального правдоподобия предполагает неизвестным значение измеряемого параметра и требует знания функционального вида выражения, определяющего условную плотность вероятности W(Х/α). Однако в ряде случаев об измеряемом параметре имеется предварительная информация (доопытная). На основе тщательного изучения физической задачи иногда может быть получена информация о вероятности тех или иных значений параметра. Если множество значений параметра непрерывно, то это эквивалентно заданию плотности вероятности измеряемого параметра W(α). В этом случае параметр α следует считать случайной величиной с известным (априорно заданным) законом распределения W(α). Два заданных закона распределения W(α) и W(Х/α) определяют полное статистическое описание совместной плотности вероятности выборочных данных и случайного параметра. W ( α ) ⋅ W ( X / α ) = W( X ,α ) . (106) ) В этом случае возможна оптимизация решающего правила α = f(X). При строгой постановке задачи оптимального измерения параметра α необходимо задумываться о последствиях, к которым приводят ошибки измерений, так как всякие ошибки связаны с дополнительными потерями. Например, ошибки навигационных измерений, проводимых летательным аппаратом, связаны с дополнительными затратами полётного времени, расходом топлива и других ресурсов. Количест) венно потери для каждой комбинации значений параметра α и оценки α определя

31

) ) ются функцией потерь П(α,α ) . Функция потерь П(α,α ) представляет собой априорv ную оценку последствий принятия решения α ( X ) в ситуации, характеризуемой непосредственно ненаблюдаемым параметром α. Но наблюдаемые данные X связаны с параметром α вероятностным механизмом, который определён совместной плотностью вероятности W(Х/α), поскольку W(Х/α)≠ W(α)·W(Х) Очевидно, потери будут тем больше, чем больше отклонение оценки от истинного значения параметра. Поэтому ) наиболее часто функция потерь зависит от (α-α ). На рис. 30 представлена обычно используемая квадратичная функция потерь ) ) П (α ,α ) = (α − α )2 . (107) ) Из рис.30 видно, что потери равны нулю, если α=α и возрастают по квадратичному ) закону при отклонении α от α. Поскольку выборочные данные X являются случайными ) величинами, то случайными будут отклонения оценки α от истинного значения параметра α, а значит, случайной будет величина потерь, получаемая при каждом измерении. За качество оценивания удобно принять средние потери (средний риск), учитывающие все возможные ситуации, связанные со случайностью параметра α и выборочных данных Х. Средний риск для решающего ) правила α (Х)=f(X) определяется выражением ) R = ∫ ∫ П [α ,α ( X )]W ( X ,α ) dα dX . (108) Ω X Ωα

) Оптимальным считается такое решающее правило α (Х)=f(X), для которого средние потери минимальны. Для различных функций потерь в общем случае различными ) будут и оптимальные решающие правила α (Х)=f(X). Определим одну из важных общих закономерностей, связанных с отысканием оптимального решающего правила. Учитывая формулу Байеса для совместной плотности вероятности W(Х/α), можно записать W ( X ,α ) = W (α ) ⋅ W ( X / α ) = W ( X ) ⋅ W (α / X ) . (109) Здесь W(α/X) - апостериорная плотность вероятности параметра описывает неопределённость в значении α после фиксации наблюдаемой выборки X; W(X) - безусловная плотность вероятности выборочных данных при наличии сигнала и помехи. Тогда средний риск (108) можно записать в виде   ) R = ∫ W ( X ) ∫ П [α ,α ( X )]W (α / X ) dα dX . (110) Ωα  ΩX Выражение в фигурных скобках представляет потери, усредненные по всем значениям α при данном наблюдении X . Эти потери получили название апостериорного ) риска. Поскольку функция потерь П[α,α (X)] и апостериорная плотность вероятности W(α/X) неотрицательные функции от α, то интеграл в фигурных скобках есть неотрицательное число при любом фиксированном значении X. Если подбором решаю) щего правила α = f(X) мы будем добиваться минимума апостериорного риска, являющегося множителем при плотности W(/X) в подынтегральной функции внешнего интеграла, то тем самым мы будем добиваться и минимума среднего риска. Таким ) образом, задача минимизации среднего риска путём подбора решающего правила α = f(X) эквивалентна более простой задаче минимизации апостериорного риска ) min R X = min (111) ) ) ∫ П [α ,α ( X )]W (α X )dα . α( X )

α( X )

Ωα

Из (111) следует, что апостериорная плотность вероятности даёт всю необходимую ) информацию об измеряемом параметре. Оптимальное решающее правило α = f(X), найденное путём минимизации апостериорного риска, называется байесовым, так

32

как определяющую роль в его отыскании играет апостериорная плотность вероятности W(α/X), полученная на основе формулы Байеса. 3.1. Оптимальная оценка по минимуму среднеквадратичной ошибки При квадратичной функции потерь согласно (111) подбором решающего правила необходимо добиваться минимума ) min R X = ∫ [α − α ( X )]2 W (α X )dα . (112) ) α( X )

Ωα

Из (112) следует, что оптимальная оценка формируется таким образом, что при каждом значении выборки X обеспечивается минимум апостериорного риска. ) Докажем, что значение оценки α опт в этом случае является одним из параметров апостериорной плотности вероятности W(α/X) и зависимость этого параметра от выборки X и определяет функциональную зависимость оценки от выборочных ) ) ) данных α = f(X). Найдём значение оценки α , при котором RX(α ) имеет минимум ) ) (рис. 31). Дифференцируя RX(α ) по α и приравнивая производную нулю, определяем )  dRX (α ) d  )2 ) ) = α − α α α ( ) [ ] W / X d  = 0 при α = α опт ) )∫ dα dα Ω   α ) или 2 ∫ (α − α )W (α / X )dα = 0 Ωα

) α ∫ W (α / X ) dα = Ωα

так как

∫ α W (α / X ) dα ;

Ωα

∫ W (α / X )dα = 1 , то

Ωα

) α опт =

∫ αW (α / X )dα = f ( X ) .

(113)

Ωα

Анализ (11З) показывает, что оптимальная оценка является параметром апостериорной плотности вероятности - её средним значением (рис.32). Иногда среднее значение называют "центром тяжести" апостериорной плотности вероятности. На основании изложенного можно определить последовательность действий, связанных с отысканием оптимального решающего правила при квадратичной функции потерь. 1. Интегрируя W(X,α)= W(α)W(X/α) по α, получаем безусловную плотность вероятности выборочных данных смеси сигнала и шума - W(X). 2. Используя формулу Байеса, получаем функциональное выражение для апостериорной плотности вероятности, зависящей от параметра α и выборки X, W(α/X)=W(X,α)/W(X)

33

3.

Используя формулу для среднего значения случайной величины с заданным законом распределения, получаем функциональную зависимость среднего значения апостериорной плотности вероятности от принимаемого выборочного значения X. Эта зависимость и определяет алгоритм оптимального оце) нивания m X (α ) = ∫ αW (α / X ) dα = α ( X ) = f ( X ) . Ωα

Если удаётся установить, что апостериорная плотность вероятностей является симметричной кривой, то есть её центр тяжести совпадает с максимальным значением плотности вероятностей, тогда можно избежать интегрирования в (113). Отыскивая значение параметра, соответствующего максимуму апостериорной плотности вероятностей, мы определим центр тяжести - оптимальную оценку при квадратичной функции потерь. Используя полученное выражение для оптимального ре) шающего правила α = f ( X ) , можно путём функционального преобразования получить совместную плотность вероятности оценки и оцениваемого параметра. ) ) =f(X ) W (α , X ) α →W (α ,α ) . Тогда величину среднего риска при квадратичной функции потерь можно записать в виде ) ) ) R = ∫ ∫ (α − α )2 W (α ,α ) dα dα . (114) Ωα Ωα)

Из (114) следует, что минимум среднего риска при квадратичной функции потерь является минимумом среднеквадратичной ошибки. Поэтому оценку по центру тяжести апостериорной плотности вероятности чаще называют оценкой по критерию минимума среднеквадратичной ошибки. 3.2. Оптимальная оценка амплитуды полностью известного сигнала Рассмотрим задачу оценки амплитуды полностью известного сигнала при условии, что априорное распределение амплитуды является нормальным со средним значением a0 и дисперсией σ a2 W (α ) =

1

−

(a − a0 )2 2 σ a2

(115) 2πσ a2 Апостериорная плотность вероятностей амплитуды определяется выражением W (a ) ⋅ W ( X / a ) W (a / X ) = . (116) W (X ) Преобразуем правую часть (116) таким образом, чтобы функционально связать апостериорную плотность вероятностей с отношением правдоподобия. Умножим числитель и знаменатель на W(Х/0) - условную плотность вероятности выборочных данных при отсутствии сигнала. Тогда W (a ) ⋅ W ( X / 0 )W ( X / a ) W (a )W ( X / 0 ) W (a / X ) = = λ X (a ) . W ( X )W ( X / 0 ) W (X ) Поскольку при фиксированной выборке X W ( X / 0 ) / W ( X ) - константа, не зависящая от параметра a , то W (a / X ) = W (a )λ X (a ) , где λ X (a ) - отношение правдоподобия для полностью известного сигнала с амплитудой a , определяемое выражением (26). Тогда W (a / X ) = C

1 2πσ a2

e

−

e

(a − a0 )2 2 σ a2

Э a 2 2 aZ1 − 1 + N e N

34

Обозначая C ⋅

1 2πσ a2

= C1 , получим −

(a − a0 )2

Э a 2 2 aZ1 − 1 + N e N

W (a / X ) = C1 e . (117) Поскольку относительно параметра a показатель экспоненты является многочленом второй степени, то можно сделать вывод, что апостериорная плотность вероятностей является гауссовой кривой, а, значит, максимум плотности совпадает с центром тяжести. Дифференцируя показатель степени (117) по a , приравниваем производ) ную нулю. Из уравнения находим α опт 2 (a − a0 ) 2 Э1 a 2 Z1 ) − − + = 0 при α = α опт 2 N N 2σ a Оптимальная оценка при квадратичной функции потерь определяется выражением a N Z1 + 0 2 2σ a ) α опт = . (118)  Э1  1  N  + 2  N σ 2 a   Из (118) следует, что оптимальный алгоритм оценивания амплитуды полностью известного сигнала сводится к вычислению корреляционного интеграла Z1, суммированию его с параметром a0 N 2σ a2 и нормировке на величину N Э1 N + 1 2σ a2 . Анализ (118) показывает, что, если априорная информация о параметре a мала, то ) σ a2 → ∞ , тогда α опт = Z1 Э1 - решающее правило совпадает с оценкой максимального правдоподобия. Если априорно параметр a известен с очень большой точно) стью σ a2 → 0 , то α опт = a и нет необходимости использовать выборочные данные. 2 σ a2

(

)

Следует подчеркнуть важное обстоятельство. Функциональная запись оптимального алгоритма определяется не только принимаемой выборкой, но и параметрами априорного распределения. Сравнивая дисперсии оптимальной оценки и оценки максимального правдоподобия, можно сделать вывод, что дисперсия оптимальной оценки меньше, так как при оптимальном оценивании вычисленное значение корреляционного интеграла (с неслучайной поправкой) делится на большую величину. 2 σ опт Э1 = 2  1 σ мп Э  N  + 1  2 N   2σ a Полезно определить "вклады" априорного распределения W (a ) и функции правдоподобия W ( X / a ) в формировании оценки, рассматривая разные варианты искажающего влияния внутриприёмных шумов. На рис. 33,а изображены априорное распределение вероятностей амплитуды W (a ) и функции правдоподобия W ( X 1 / a ) и W ( X 2 / a ) для двух различных выборок X1 и X2. Искажающее влияние шумов таково, что максимумы функций правдоподобия смещены для первой выборки - в сторону малых значений амплитуд, для второй - в сторону больших.

35

Согласно (116) для формирования апостериорных плотностей вероятностей для каждой из выборок необходимо соответствующие функции правдоподобия перемножить с функцией W (a ) . На рис. 33,б показаны кривые 1 и 2, полученные в результате перемножения. Пунктиром показаны функции правдоподобия. Как видно из рис. 33,б перемножение функций правдоподобия на априорную плотность смещает центры тяжести первой и второй кривых в сторону наиболее априорно вероятных значений амплитуды. Для формирования апостериорных плотностей вероятностей необходимо провести нормировку кривых 1 и 2 делением на соответствующие значения W(Xi), чтобы площади, ограниченные кривыми и осью абсцисс, были равны единице. Таким образом, анализ рис.33 показал, что априорное распределение вероятностей корректирует искажающее влияние шумов. Следует отметить, что в результате перемножения функции правдоподобия и априорного распределения вероятностей получается кривая с более "острым пиком", чем каждая из них. Если σ a2 - дис2 - параметр, характеризующий "остроту пика" персия априорного распределения, σ мп функции правдоподобия, то дисперсия апостериорной плотности вероятности будет равна 2 σ a2 ⋅ σ мп 2 . σ aX = 2 2 σ a + σ мп

3.3. Оптимальность метода максимального правдоподобия Анализ выражения для среднего риска (108) показывает, что каждой паре функций, определяющих априорное распределение вероятностей W (a ) и функцию ) потерь П (α ,α ) , соответствует оптимальное решающее правило. Совокупность ре) шающих правил для всевозможных функций П (α ,α ) и W (a ) образует класс байесовых решающих правил. Класс решающих правил является полным, если любое решающее правило, не относящееся к этому классу, не может быть лучше, чем хотя бы одно из правил данного класса. Иными словами - все самые хорошие решающие правила принадлежат к данному классу. Американский статистик А. Вальд доказал теорему о полноте класса байесовых решающих правил. Оказывается, оценивание по методу максимального правдоподобия является оптимальным решающим правилом для оценки случайного параметра, если априорное распределение параметра α является равномерным, а функция потерь - простой, определяемой выражением ) ) П (α ,α ) = C [1 − δ (α − α )] , (119) где δ(⋅) – дельта функция; С - константа. Функция потерь приписывает всем ошибкам одинаковые потери и только, если оценка совпадает с истинным значением параметра, то потери равны нулю (рис. 34). Используя выражение для апостериорного риска (111) для простой функции потерь, получим ) ) R X = ∫ C [1 − δ (α − α )]W (α / X ) dα = C [1 − W (α / X )] . (120) Ωa

Оценка в (120) соответствует максимальному значению апостериорной плотности, так как только при этом условии достигается минимум апостериорного риска. Если априорное распределение параметра равномерно, то W(α/X)=C1W(X/α), где C1 - кон) станта. Тогда минимум RX соответствует α , найденной из условия максимального правдоподобия.

36

4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Охарактеризуйте основные понятия, используемые в теории оценок (несмещённость, состоятельность, эффективность). 2. Объясните сущность метода максимального правдоподобия. Перечислите основные свойства оценок максимального правдоподобия. 3. Изобразите структурные схемы измерителей амплитуды, фазы, угловых координат, запаздывания сигнала и допплеровского сдвига частоты. 4. Запишите выражения, определяющие средний и апостериорный риск. Поясните смысл оптимизации решающего правила. 5. Приведите последовательность математических операций, необходимых для получения оптимальной оценки при квадратичной функции потерь. 6. Дайте вывод формулы, определяющей оптимальное решающее правило для оценки амплитуды полностью известного сигнала. 7. Перечислите условия, определяющие оптимальность оценки максимального правдоподобия. 5. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЙ В лабораторной работе рассматривается построение основных функциональных зависимостей, связанных с оцениванием параметра. Исследуется зависимость качества оценок от энергетического отношения сигнал/шум, наличия паразитных параметров. Предполагается, что наблюдается колебание x(t ) = a cos(ωt − ϕ ) + n(t ) , 0 < t < T . Рассмотрим следующие случаи: 1. Оцениваемый параметр – амплитуда a , при условии, что частота ω и фаза ϕ известны. Априорное распределение параметра предполагается нормальным. Для конкретной реализации x(t), выработанной при моделировании в ЭВМ, рассчитываются кривые априорной плотности W (a ) , функции правдоподобия W ( X / a ) , апостериорной плотности вероятности W (a / X ) . По графи) ) кам оцениваются a мп , a опт . Эти оценки сопоставляются между собой. Устанавливается далее, в результате р - кратного повторения опыта (при новых реализациях помехи n(t)), случайный характер оценок (при фиксированном значении параметра a ). По результатам р опытов определяются средние значения оценок, смещение, их дисперсия. 2. Оцениваемый параметр - амплитуда a , при условии, что частота ω и фаза ϕизвестны. Определяются параметры оценки максимального правдоподобия для нескольких значений отношения сигнал/шум. 3. Оцениваемый параметр - амплитуда a, при условии, что частота ω - известна, фаза ϕ - случайна и распределена равномерно на интервале 0 - 2π. Исследуется оценка максимального правдоподобия. 4. Оцениваемый параметр - фаза ϕ, исследуется максимально правдоподобная оценка фазы. Качество оценок характеризуется их смещением и дисперсией. Изучается зависимость этих параметров от отношения сигнал/шум. Подробное описание алгоритмов моделирования для вариантов 1-4 дано в [З]. При более углублённом изучении вопросов оценивания возможно исследование качества оценок при окрашенном шуме, а также изучение качества измерения угловых координат.

37

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ − − − −

описание постановки задачи исследования; формулы, определяющие алгоритмы получения оценок; расчётные формулы, определяющие дисперсию оценки; графики, показывающие зависимость качества оценивания от отношения сигнал/шум; − обсуждение полученных результатов, объяснение причин их отклонения от теоретических. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. 2. 3. 4. 5.

Кречетов А. Д. Оценка параметров сигнала: Учеб. пособие / ЛЭТИ (ЛИАП). Л., 1980. Теоретические основы радиолокации / Под ред. В. Е. Дулевича. М.: Сов. радио, 1978. Кречетов А. Д. Оценка параметров сигналов: Метод. указ. к выполнению лабораторной работы /ЛИАП, Л., 1981. Журавлёв А. К., Никитин Г. И. Методы и системы измерения дальности: Учеб. пособие /ЛЭТИ (ЛИАП). Л., 1977. Теоретические основы радиолокации. / Под ред. Я. Д. Ширмана. М.: Сов. радио, 1970.

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К РАБОТЕ ................................. 3 2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ОЦЕНОК .......................................................... 3 2.1. Основные понятия, используемые для характеристики оценок.............................. 3 2.2. Метод максимального правдоподобия...................................................................... 5 2.3. Свойства оценок максимального правдоподобия .................................................... 9 2.4. Примеры отыскания алгоритмов оценивания параметров радиосигналов методом максимального правдоподобия.................................................................. 9 Оценка амплитуды полностыо известного сигнала...................................................................................9 Оценка фазы полностью иавестного сигнала. .........................................................................................11 Оценка амплитуды радиосигнала с неизвестной начальной фазой......................................................13

2.5. Оценка угловой координаты амплитудным суммарно-разностным измерителем ............................................................................................................. 17 Оценка времени запаздывания сигнала...................................................................................................23 Оценка допплеровского сдвига частоты радиосигнала. .........................................................................29

3. ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ................................................................................ 30 3.1. Оптимальная оценка по минимуму среднеквадратичной ошибки ........................ 32 3.2. Оптимальная оценка амплитуды полностью известного сигнала......................... 33 3.3. Оптимальность метода максимального правдоподобия ....................................... 35 4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ....................................................................................... 36 5. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЙ ............................................................... 36 СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ............................................. 37 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК................................................................................. 37

Графика и компьютерная вёрстка – Андронников В.Б. 2003 г.