Механика. Колебания и волны. Молекулярная физика: Лабораторный практикум

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ

Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àýðîêîñìè÷åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ

МЕХАНИКА. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Лабораторный практикум

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2001

УДК 531+534+539.1 ББК 22.3 М55

Кол. авт. М55 Механика. Колебания и волны. Молекулярная физика: Лабораторный практикум / Под ред. И. И. Коваленко. СПбГУАП. СПб., 2001. 124 с.: ил. В вводной части лабораторного практикума приведены: порядок проведения лабораторных работ, правила оформления отчета, краткие сведения из теории погрешностей, правила математической и графической обработки результатов измерений. В основной части приведены описания пятнадцати лабораторных работ, которые могут быть предложены студентам в первом учебном семестре. В описании каждой работы содержатся краткие теоретические сведения, описание и внешний вид лабораторной установки, предлагаемые задания и порядок их выполнения, а также контрольные вопросы. Лабораторный практикум предназначен для студентов всех специальностей, обучающихся на факультетах № 1, 2, 3 и 4. Рецензент: кандидат физико-математических наук А. С. Будагов Óòâåðæäåíî ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì ñîâåòîì óíèâåðñèòåòà â êà÷åñòâå ëàáîðàòîðíîãî ïðàêòèêóìà

© СПбГУАП, 2001

2

Порядок проведения лабораторных работ В течение семестра каждый студент должен выполнить установленное число лабораторных работ, которое определяется рабочей программой по дисциплине. На каждую лабораторную работу отводится по два занятия, одно – на выполнение, и одно – на защиту отчета. На первую вводную работу может быть отведено два или три занятия. К занятиям студенты допускаются лишь после инструктажа по технике безопасности проведения лабораторных работ. ВНИМАНИЕ! ЗАПРЕЩАЕТСЯ НАХОДИТЬСЯ В ЛАБОРАТОРИИ В ВЕРХНЕЙ ОДЕЖДЕ В лабораторию студенты должен приходить подготовленными к назначенной работе. Выполнять работу студенту разрешается, лишь получив допуск после беседы с преподавателем. В этой беседе преподаватель должен убедиться, что студент понимает: какие явления он будет наблюдать и исследовать, какая цель перед ним поставлена, какими приборами и как ведутся измерения, как следует проводить эксперимент. Получение допуска к работе отмечается преподавателем в журнале. В процессе выполнения лабораторной работы нужно обязательно заполнять протокол измерений, причем, каждому студенту свой; ведение одного протокола несколькими студентами вместе не допускается. Протокол ведется на листе формата А4. На этом листе должно быть отражено: точное полное название и номер лабораторной работы; фамилия, инициалы студента и номер студенческой группы; фамилия и инициалы преподавателя; таблица технических характеристик измерительных приборов (название прибора, рабочий диапазон, цена деления, класс точности и др.); параметры установки, на ней указанные; результаты измерений; дата и подпись студента. Все записи должны вестись авторучкой, шариковой, капиллярной или гелевой ручкой. Запись наблюдений и данных карандашом не допускается, карандашом можно лишь чертить таблицы и графики. В конце 3

занятия протокол измерений обязательно представляется на подпись преподавателю. Без нее протокол считается недействительным. Подпись студента под протоколом обозначает, что он отвечает за все проведенные измерения, а подпись преподавателя – что работа действительно выполнялась и указанные значения действительно получены во время эксперимента. По результатам, зафиксированным в протоколе измерений, студент дома пишет отчет и защищает его на следующем занятии. При защите отчета могут быть заданы любые вопросы по теории работы и полученным результатам. За принятый отчет преподаватель выставляет студенту оценку по пятибалльной системе и сообщает номер и название следующей лабораторной работы. Cодержание и оформление отчета Отчет по лабораторной работе должен выполняться на листах формата А4, записи на которых ведутся только с одной стороны. По краям листа должна быть оставлена рамка шириной не менее 20 мм. Все листы должны быть пронумерованы в верхнем поле. Отчет должен начинаться с титульного листа, за которым должен следовать подписанный студентом и преподавателем протокол измерений. Отчет должен содержать следующие разделы: 1. Цель работы Цель работы сформулирована в описании лабораторной работы. 2. Описание лабораторной установки Описание установки должно быть кратким. Не нужно приводить изображения внешнего вида приборов. Следует ограничиться функциональной или электрической схемой установки, описанием постановки эксперимента и таблицей технических характеристик измерительных приборов, перенесенной из протокола измерений. 3. Рабочие формулы Под рабочими формулами понимаются только те формулы, по которым непосредственно производятся вычисления исследуемых величин. Все приведенные формулы должны быть пронумерованы. Вывод формул и промежуточные выражения приводить в этом разделе не нужно. Формулы для вычисления погрешностей и проведения математической обработки результатов измерений в этом разделе тоже не приводятся. 4

4. Результаты измерений и вычислений В этом разделе отчета должны быть приведены все измеренные и вычисленные результаты. По возможности, их нужно представлять в виде наглядных таблиц. В приводимых значениях нельзя оставлять лишние десятичные разряды (подробнее об этом пойдет речь ниже). 5. Примеры вычислений В этом разделе отчета должны быть приведены подробные примеры вычислений по каждой рабочей формуле. Не нужно приводить всех вычислений, вполне достаточно одного примера вычисления по каждой формуле. 6. Вычисление погрешностей В этом разделе отчета должны быть представлены формулы, по которым проводилась математическая обработка результатов. Должны быть выведены формулы, по которым вычислялись систематические и случайные погрешности и представлены примеры вычислений по каждой из них. 7. Графики и рисунки Графики и рисунки формата А4 приводятся на отдельном листе. Они должны быть обязательно подписаны. Графики выполняются обязательно на миллиметровой бумаге. У каждой оси должно быть обозначено, какая величина и в каких единицах вдоль нее откладывается. На самих осях должны быть нанесены не измеренные на опыте значения, а узлы координатной сетки. Около одной или нескольких экспериментальных точек должны быть отложены систематические погрешности соответствующих измерений (подробнее об этом пойдет речь ниже). 8. Окончательные результаты, их обсуждение, выводы В этом разделе отчета нужно подвести итог проделанной работы. Написать, какие величины и с какими погрешностями получены. Если измерения проводились разными методами, то обязательно нужно сравнить эти результаты и их погрешности, сделать заключения, какой метод лучше, точнее, удобнее. Если известно табличное значение измеренной величины, то нужно обязательно сравнить его с полученным на опыте и дать аргументированное заключение об их совпадении или несовпадении. Если в работе значения одной и той же величины получены экспериментально и теоретически, то эти результаты нужно обязательно срав5

нить и дать аргументированное заключение об их совпадении или несовпадении. В случае, когда между сраниваемыми величинами имеются недопустимые расхождения, это нужно обязательно отметить в отчете и высказать предположение о возможных причинах этого несовпадения. Если в работе ставилось целью проверить какой-то физический закон или изучить явление, то в данном разделе необходимо дать обоснованный ответ на поставленный вопрос. Cведения из теории погрешностей Измеренное значение любой физической или технической величины отличается от истинного, т. е. в любом измеренном значении содержится ошибка. Сначала остановимся на ошибках прямых измерений, т. е. таких, в которых искомая величина определяется непосредственно прибором. Таковыми, например, являются измерения времени секундомером, длины линейкой, силы тока амперметром, напряжения вольтметром и т. п. Ошибки могут быть обусловлены природой измеряемой величины, несовершенством измерительных приборов или обеими причинами сразу. В том случае, когда измеряемая величина случайна по своей природе, т. е. не имеет точного значения, правильнее говорить не об ошибках, а о разбросе экспериментально измеренных значений. Ошибки, связанные с несовершенством измерительных средств, бывают случайными и неслучайными. Неслучайные ошибки корректируются введением соответствующих поправок. Случайные же ошибки приборов и других измерительных средств описываются погрешностями, т. е. интервалами возможного отклонения измеренного значения величины от ее истинного значения. Систематическая погрешность. Интервал допустимого отклонения измеренной величины от ее истинного значения называется систематической погрешностью прибора. Обычно систематическая погрешность обозначается большой греческой буквой "θ", нижним индексом около которой указывается измеряемая величина. Например, систематическая погрешность времени обозначается θt, тока – θI, напряжения – θU , длины – θl, массы – θm. Систематическую погрешность прямого измерения можно рассчитать по шкале прибора. Обычно на ней крупной цифрой указывается класс точности. Класс точнос6

ти – это число, показывающее, сколько процентов от максимального значения по шкале в выбранном диапазоне составляет систематическая погрешность. Таким образом, систематическая погрешность величины θX определяется пределом шкалы прибора Xmax и его классом точности К:

X max K . (1) 100 Если цифра, обозначающая класс точности, помещена в кружок, в формуле (1) вместо величины Xmax нужно брать измеренное значение X. В тех случаях, когда класс точности прибора не указан (линейка, секундомер, термометр), систематическую погрешность обычно принимают равной половине цены деления шкалы. По формуле (1) можно найти систематическую погрешность прямого измерения, однако чаще приходится проводить косвенные измерения. Косвенным называется такое измерение, которое сводится к определению по прибору величины или величин, не являющихся искомыми, и вычислению искомой по ним; измеряются величины X1, X2, X3… и по ним вычисляется искомая функция f(x1, x2, x3…). Например, определение электрического сопротивления резистора R, сводящееся к измерению силы тока I, напряжения U и вычислению R = U/I, является косвенным. В данном случае U = x1, I = x2, R = f. Систематическая погрешность косвенного измерения θf выражается через систематические погрешности прямых измерений θ X1 , θ X 2 , θ X 3 ... : θX =

θf =

∂f ∂f ∂f θ X1 + θX2 + θ X 3 + ... ∂x1 ∂x2 ∂x3

(2)

Здесь ∂f / ∂xi – частные производные функции по соответствующей переменной. Частной производной функции нескольких переменных называется производная по одной из них, взятая при условии, что другие переменные принимают в этот момент фиксированные значения. Вычисление погрешности по формуле (2) скорее является оценкой, поэтому полученное значение θƒ принято округлять до одной значащей цифры. Вторую цифру можно сохранять (можно и не сохранять) лишь в том случае, если первая оказалась единицей. Погрешность при округлении можно увеличивать, но лучше не уменьшать (об этом пойдет речь ниже). 7

П р и м е р 1. Измерение электрического тока проводится амперметром, имеющим предел измерения Im =10 A и класс точности КI =1. Напряжение измеряется вольтметром с пределом измерения Um = 250 B и классом точности КU = 2. Показания приборов: I = 4A, U = 220 B. Найти электрическую мощность и ее систематическую погрешность. Р е ш е н и е. Систематические погрешности прямых измерений тока и напряжения найдем по формуле (1).

θI =

I m K I 10 × 1 = = 0,1(A); 100 100

θU =

U m KU 250 × 2 = = 5(B). 100 100

Мощность электрического тока вычисляется по известной формуле: P = IU. Поскольку мы имеем дело с косвенным измерением, систематическую погрешность мощности θP выразим при помощи формулы (2) через погрешности тока θI и напряжения θU.

θP =

∂P ∂P θI + θU . ∂I ∂U

Найдем частные производные от мощности по току и по напряжению:

∂P ∂ ( IU ) ∂I = =U = U, ∂I ∂I ∂I

∂P ∂ ( IU ) ∂U = =I =I. ∂U ∂U ∂U

Таким образом, получаем окончательное выражение для систематической погрешности мощности электрического тока:

θ P = U θ I + I θU . θ P = 220 × 0,1 + 4 × 5 ≅ 40 (Bт).

Теперь найдем мощность электрического тока P = IU = 4 ×220 = 880 (Вт) О т в е т:

P = 880 ± 40 ( Вт ).

Случайная погрешность. При многократном повторении измерений полученные результаты будут отличаться друг от друга. В качестве результата серии из N измерений (как прямых, так и косвенных) в таком случае разумно взять среднее арифметическое: N

X + X 2 + X 3 + ... + X N = X = 1 N 8

∑ Xi i =1

N

.

(3)

Средняя квадратичная погрешность отдельно взятого измерения Xi обычно обозначается SX и вычисляется по формуле: N

( X1 − X ) + ( X 2 − X ) 2

SX =

+ ... + ( X N − X )

2

2

N −1

=

∑ (Xi − X ) i =1

2

N −1

. (4а)

Эта величина показывает стандартное отклонение результата отдельного опыта Xi от получившегося среднего значения X . Для вычисления по этой формуле нужно иметь известное значения X . Таким образом, обработку экспериментальных данных приходится проводить дважды – сначала по формуле (3) для нахождения X , а затем – по (4а) для нахождения SX. Удобнее пользоваться другой формулой: (4б). SX = X 2 − X 2 . 2 Преимущество этой формулы состоит в том, что величины X и X можно вычислять одновременно. С увеличением числа измерений N величины X и SX не должны сильно меняться, они должны лишь уточняться. Однако, если провести несколько серий измерений величины X, в каждой из них должно получиться свое среднее значение X k . Разброс этих средних значений определяется средним квадратичным отклонением S X . Интуитивно ясно, что эта величина должна быть существенно меньше, чем SX. С увеличением числа измерений N в каждой серии средние значения X k будут определяться точнее. Следовательно, они будут меньше отличаться друг от друга, и их разброс станет меньше. Таким образом, с увеличением числа измерений среднее квадратичное отклонение должно уменьшаться, а достоверность полученного результата – увеличиваться. Как следует из теории, SX = SX

. (5) N Окончательная формула для среднего квадратичного отклонения: N

∑ (Xi − X )

2

i =1

(6) . N ( N − 1) Рассмотрим серию косвенных измерений. Пусть в опыте с номером i измеряются величины X1i, X2i, X3i…, по которым вычисляется искомая SX =

9

величина – функция f(x1i, x2i, x3i…). Следует различать два случая при проведении таких измерений. Сначала рассмотрим случай, когда внешние условия не меняются от опыта к опыту. При такой постановке эксперимента значения каждой переменной меняются лишь вследствие случайных ошибок измерений. В таком случае по формуле (3) находят средние значения каждой переменной X1, X 2 , X 3 ... , а по формулам (4–6) – их случайные погрешности. Среднее значение величины f вычисляют по формуле (7) f = f ( x1 , x2 , x3 ...). Среднее квадратичное отклонение этой величины можно выразить через средние квадратичные отклонения каждой из переменных  ∂f  Sf =    ∂x1 

2

( ) SX

2

1

 ∂f  +   ∂x2 

2

(

SX 2

)

2

 ∂f  +   ∂x3 

2

(S X 3 )

2

+ ....

(8)

Отметим, что формула эта получена в предположении, что все случайные ошибки прямых измерений независимы, т. е. ошибка измерения одной величины не влечет за собой автоматически ошибки другой. Кроме описанного выше метода обработки серии косвенных измерений существует и другой, который применим в случае проведения серии измерений как при неизменных, так и при меняющихся внешних условиях. Состоит он в том, что по результатам i-го измерения сначала находится величина fi = f(x1i, x2i, x3i…), а затем получившийся набор значений fi обрабатывается так же, как и в случае прямых измерений. Это значит, что по формуле (3) находится среднее значение величины f , а по формулам (4–6) – средняя квадратичная погрешность Sf и среднее квадратичное отклонение S f . В случае, когда число измерений N невелико (~10 или меньше), среднее квадратичное отклонение округляют по тем же правилам, что и систематическую погрешность, т. е. сохраняют одну значащую цифру, вторую иногда сохраняют лишь в случае, когда первая равна единице. При записи средней квадратичной погрешности Sf сохраняют тот же десятичный разряд, что и в среднем квадратичном отклонении S f . П р и м е р 2. Определяется жесткость пружины k. Для этого проводится серия измерений деформации пружины x в зависимости от приложенной к ней силы F. В таблице приведена серия измеренных значений F от x.

10

F(H)

572

648

741

770

810

850

972

1045

1100

x, мм

11

12

13

14

16

17

18

19

20

Требуется найти жесткость пружины k в единицах Н/мм, среднее квадратичное отклонение S k и среднюю квадратичную погрешность Sk отдельного измерения. Р е ш е н и е. Очевидно, что серия опытов проводилась при меняющихся внешних условиях, т. е. при измерениях сила намеренно менялась в широком диапазоне значений. Значит, применим лишь второй метод обработки результатов измерений. Сначала найдем серию значений ki, где i – номер опыта. Для этого воспользуемся формулой ki = Fi / xi. k, H/мм

52

54

57

55

54

50

54

55

55

Теперь найдем среднее значение жесткости пружины.

52 + 54 + 57 + 55 + 54 + 50 + 54 + 55 + 55 486 = = 54,0 ( H мм). 9 9 Зная его, можно вычислить среднее квадратичное отклонение S k и сред-

k=

нюю квадратичную погрешность отдельного измерения Sk.

Sk =

N

∑ ( ki − k )

2

N ( N − 1);

i =1

Sk =

N

∑ ( ki − k )

Sk =

( N − 1).

i =1

(52 − 54 )2 + 3 (54 − 54 )2 + (57 − 54 )2 + 9 (9 − 1) +3 (55 − 54 ) + (50 − 54 ) 2

Sk =

2

2

= 0, 7 ( H мм ) ;

(52 − 54 )2 + 3 (54 − 54 )2 + (57 − 54 )2 + (9 − 1) +3 (55 − 54 ) + (50 − 54 ) 2

2

= 2, 0 ( H мм ).

О т в е т: k = 54, 0 H мм, S k = 0, 7 H мм, S k = 2, 0 H мм, при N = 9. 11

Результатами математической обработки серии измерений как прямых, так и косвенных, являются: среднее значение, вычисленное по формуле (3) или (7), среднее квадратичное отклонение, вычисленное по формулам (5), (6) или (8) и полное число измерений N. Полная погрешность измерений. Как уже отмечалось выше, ошибки могут быть обусловлены природой измеряемой величины, несовершенством измерительных приборов или обеими причинами сразу. Приборные ошибки и, соответственно, приборные погрешности полностью исключить невозможно. Можно лишь априори установить их границы с помощью систематической погрешности. Погрешности, обусловленные всеми возможными причинами вместе, называют полными. Обычно их обозначают большой греческой буквой "∆", нижним индексом около которой указывают измеряемую величину или записывают рядом с измеренным значением через знак "±". Договоримся считать, что полная погрешность задает интервал в который с вероятностью 95 % попадает истинное значение измеряемой величины. В большинстве лабораторных работ по курсу физики проводятся измерения неслучайных по своей природе величин, разброс значений которых обусловлен лишь случайными ошибками измерительных приборов. В таком случае средняя квадратичная погрешность измеряемой величины должна оказаться сравнимой или меньше интервала, определяемого систематической погрешностью. Sx < θx . (9) ~ Среднее квадратичное отклонение должно всегда получаться меньше этого интервала. (10) Sx < θx . Невыполнение этих условий обычно бывает связано с промахами, т. е. грубыми ошибками экспериментатора при измерениях. И наоборот, знак строгого неравенства в условии (9) и выполнение условия (10) в более жестком виде (10, а) S x << θ x свидетельствует о старательности, аккуратности экспериментатора и о надежности полученных результатов. В описываемом случае полная погрешность среднего значения определяется только систематической: (11) ∆ x = θx . В случае проведения технических испытаний обычно имеют дело с величинами, случайными по своей природе. Разброс измеряемых 12

параметров при таких испытаниях связан с немного различными характеристиками испытуемых образцов и с ошибками, вносимыми измерительными приборами. Средняя квадратичная погрешность и среднее квадратичное отклонение, определенные по формулам (4), (5), (6), (8), включают в себя обе названные причины и поэтому не ограничены интервалом систематической погрешности. В этой ситуации случайную погрешность серии измерений и систематическую погрешность, связанную с несовершенством измерительных приборов объединяют в полную погрешность: ∆ X = θ X + kS X . (12) В этой формуле k – коэффициент, зависящий от количества проведенных измерений в серии. N=5 k = 2,5 N = 10 k = 2,3 N = 20 k = 2,0 Обработка серии измерений и представление результатов. По результатам серии измерений нужно при помощи формулы (3) или (7) найти среднее значение. После этого по формулам (4), (5), (6) нужно найти среднюю квадратичную погрешность и среднее квадратичное отклонение. Для одного, нескольких или всех полученных значений по формулам (1), (2) рассчитать систематическую погрешность. Дальнейший порядок обработки результатов измерений зависит от того, какие величины измеряются: случайные или неслучайные*. Если измеряемая величина по своей природе не является случайной, и ее случайные ошибки связаны лишь с влиянием измерительных приборов на процесс измерений, систематические и случайные погрешности нужно сравнить по критериям (9) и (10). В качестве полной погрешности, в соответствие с формулой (11), взять систематическую. Если измеряемая величина является случайной по своей природе, то случайную и систематическую погрешности следует объединить в полную по формуле (12). * Èçìåðÿåìóþ âåëè÷èíó ñëåäóåò ñ÷èòàòü ñëó÷àéíîé ïî ñâîåé ïðèðîäå, åñëè ïðè åå èçìåðåíèè âîçíèêàþò íåêîíòðîëèðóåìûå ýêñïåðèìåíòàòîðîì ôàêòîðû èëè ôèçè÷åñêèé ïðîöåññ ïðîòåêàåò òàê áûñòðî, ÷òî ýêñïåðèìåíòàòîð íå óñïåâàåò ïðîâåñòè äîñòîâåðíûå èçìåðåíèÿ. Íàïðèìåð, â ëàáîðàòîðíîé ðàáîòå ¹ 11 ñòóäåíòó ïðåäëàãàåòñÿ âî âðåìÿ ýêñïåðèìåíòà ïîääåðæèâàòü ïîñòîÿííîé ÷àñòîòó âðàùåíèÿ ãèðîñêîïà. Ïîñêîëüêó èçìåðåíèå äëèòñÿ äîñòàòî÷íî äîëãî, èíîãäà îêîëî ìèíóòû, à ÷àñòîòà âðàùåíèÿ âñåòàêè "óïëûâàåò", ýêñïåðèìåíòàòîð ñòàëêèâàåòñÿ ñî ñëó÷àéíûì ôàêòîðîì, êîòîðûé íå ó÷èòûâàåòñÿ ñèñòåìàòè÷åñêîé ïîãðåøíîñòüþ ïðèáîðà.

13

Результатом серии измерений при любом способе обработки должны быть: среднее значение и полная погрешность измеряемой величины. Кроме того, приводится среднее квадратичное отклонение и полное число измерений. Для единичного измерения указывается полученное значение и его систематическая погрешность. Округление результатов. При записи окончательного результата обязательно производится округление. Сначала округляют погрешность, а затем измеренную величину. Погрешность округляют до одной значащей цифры. Если эта цифра равна единице, то можно сохранить следующую. В полученном результате сохраняют последним тот десятичный разряд, до которого округлена погрешность. При этом правила округления результата и его погрешности разные: в измеряемой величине последняя сохраняемая цифра не меняется, если старшая из отбрасываемых меньше 5, и увеличивается на 1, если больше. Если же отбрасываемая цифра равна 5 и все последующие цифры нули или неизвестны, то последнюю сохраненную цифру при округлении нужно сделать четной; в погрешности округление проводится в большую сторону если старшая отбрасываемая цифра 3 и более. Сохранение лишних цифр при записи результата измерения или его погрешности является грубой ошибкой. П р и м е р 3. НЕПРАВИЛЬНО

14

ПРАВИЛЬНО

D = 11,294 мм;

θD = 0,047 мм

→

D = 11,29 мм;

θD = 0,05 мм

R = 621,54 Ом;

θR = 1,27 Oм

→

R = 621,5 Ом;

θR = 1,3 Oм

t = 16,33333 c;

θt = 0,33333 c

→

t = 16,3 c;

θt = 0,4 c

m 1 = 18,350 кг;

θm = 0,277 кг

→

m 1 = 18,4 кг;

θm = 0,3 кг

m 2 = 33,450 кг;

θm = 0,277 кг

→

m 2 = 33,4 кг;

θm = 0,3 кг

q = 38,47·10–8 Кл;

θq= 8,1·10–9 Кл

→

q = 385·10–9 Кл;

θq= 8·10–9Кл

Допустимые расхождения между результатами измерений. В тех случаях, когда это возможно, нужно сравнивать полученное экспериментально значение X с теоретическим или табличным ХТ. В тех случаях, когда выполняется условие

X − XT ≤ ∆ X ,

(13)

расхождение величин X и ХТ следует считать допустимым и не требующим объяснения. Этот факт нужно обязательно отметить в отчете. Если же условие (13) нарушается, то это свидетельствует об ошибках в проведении, постановке эксперимента или в расчетах величин X и ∆ X . В этом случае нужно обязательно еще раз проверить свои измерения, расчеты и в отчете попытаться объяснить причину имеющихся расхождений или хотя бы выдвинуть правдоподобную гипотезу. Объединение результатов различных измерений. Иногда физическая величина определяется двумя или несколькими разными способами. Если значения получаются разными, то встают вопросы, что взять в качестве окончательного результата, и допустимы ли имеющиеся расхождения экспериментальных значений. Сначала, если это возможно, нужно все результаты сравнить с табличным или теоретическим значением по критерию (13). Однако, зачастую, такое сравнение невозможно, поскольку в эксперименте, как правило, стремятся определить именно неизвестную величину. Остановимся подробнее на этом случае. Если разные значения Xi одной и той же величины получены в нескольких независимых опытах, то их надо усреднять с весовыми множителями gi, обратно пропорциональными квадратам их полных погрешностей:

(∆ X ) . gi = −2 ∑ (∆ X ) −2

i

(13а)

i

i

Объединенное или среднее взвешенное значение найдем по формуле

X=

∑ gi Х i , i

(14)

Погрешность среднего взвешенного можно оценить по формуле

∆ X = ∑ g∆ X . i

i

(15) 15

В случае, когда все измерения получены с одинаковой точностью, коэффициенты gi одинаковы и равны gi = 1/N , где N – число усредняемых значений. В таком случае формула (14) преобразуется в обычную формулу для среднего арифметического, а формула (15) даст ∆ X = ∆ X i . Отметим, что весовые коэффициенты gi допустимо вычислять с меньшей точностью, чем сами погрешности. Обычно при вычислении этих коэффициентов принято оставлять один, редко – два знака. После того как значения среднего взвешенного X и его погрешности ∆ X найдены, нужно опять вернуться к исходным значениям Xi и проверить допустимость отклонения каждого из них от среднего взвешенного. Для каждого опыта должно выполняться неравенство Xi − X ≤ ∆ Xi . (16) Если для одного из опытов неравенство (16) не выполняется, это свидетельствует о допущенной экспериментальной, вычислительной или методической ошибке. В таком случае либо следует считать, что объединение результатов невозможно, либо нужно повторить обработку, исключив из рассмотрения результаты "ошибочного" опыта. П р и м е р 4. В двух независимых измерениях электрического сопротивления получены значения R1 = 1,73 ± 0,18 Ом, R2 = 1,64 ± 0,12 Ом. Таким образом, ∆ R1 = 0,18Ом , ∆ R2 = 0,12Ом. Найти среднее значение сопротивления и его погрешность.

Р е ш е н и е. Сначала по формуле (13) вычислим весовые множители:

(∆ R ) (1 0,18)2 31 = = ≅ 0,3; g1 = −2 −2 2 2 (∆ R ) + (∆ R ) (1 0,18) + (1 0,12 ) 31 + 69 −2

1

1

2

∆R ) ( (1 0,12 )2 69 g2 = = = ≅ 0, 7. −2 −2 2 2 31 + 69 1 0,18 1 0,12 + ( ) ( ) ∆ + ∆ ( R) ( R) −2

2

1

2

Теперь по (14) вычислим среднее взвешенное значение сопротивления R . R = g1 R1 + g 2 R2 = 0, 3 × 1, 73 + 0, 7 × 1, 64 = 0, 519 + 1,148 = 1, 667 ≅ 1, 67 (Ом).

16

Прежде чем вычислять по (15) полную погрешность ∆ R и давать окончательный ответ, нужно проверить выполнение критерия (16). R1 − R = 1, 73 − 1, 67 = 0, 06 (Ом ) < ∆ R1 ,

R2 − R = 1, 67 − 1, 64 = 0, 03 (Ом ) < ∆ R2 .

Неравенство выполняется для результатов обоих опытов, значит усреднение проведено корректно, и можно искать погрешность сопротивления

∆ R = g1∆ R1 + g 2 ∆ R2 = 0,3 × 0,18 + 0, 7 × 0,12 = 0, 054 + 0, 084 ≅ 0,14 (Ом), R = 1, 67 ± 0,14 ( Ом ).

О т в е т:

П р и м е р 5. В шести независимых опытах, проведенных при разных условиях, получены шесть разных значений момента инерции диска Ii и его погрешности ∆ Ii . Результаты измерений приведены в таблице. №

I,кг · см2

∆I, кг · см2

1

2,54

0,07

2

2,55

0,06

3

2,64

0,08

4

2,65

0,04

5

2,55

0,04

6

2,56

0,06

Найти среднее взвешенное значение момента инерции диска I и его полную погрешность ∆I. Р е ш е н и е. Сначала найдем весовые множители gi по формуле (13). Для вычисления каждого из них прежде всего нужно найти знаменатель в этой формуле:

( )

−2

∑ ∆ Ii

−2

= (0, 07 )

( )

−2

= ∆ I1

−2

+ ( 0, 06 )

( )

−2

+ ∆ I2

−2

+ (0, 08 )

( )

−2

+ ∆ I3

−2

+ (0, 04 )

( )

−2

+ ∆ I4

−2

+ ( 0, 04 )

( )

−2

+ ∆ I5

−2

+ (0, 06 )

( )

+ ∆ I6

−2

(

=

≅ 2170 кг –2 см –4

)

Затем весовые множители gi выразить через это значение:

17

(∆ I ) = (0, 07 )−2 = 0, 094 ≅ 0,1; g1 = −2 2170 ∑ (∆ I ) −2 ∆I ) ( (0, 06 )−2 g2 = = = 0,123 ≅ 0,1; −2 2170 ∑ (∆ I ) −2 ∆I ) ( (0, 08)−2 = = 0, 072 ≅ 0,1; g3 = −2 2170 ∑ (∆ I ) −2 ∆I ) ( (0, 04 )−2 g4 = = = 0, 288 ≅ 0, 3; −2 2170 ∑ (∆ I ) −2 ∆I ) ( (0, 04 )−2 = = 0, 288 ≅ 0, 3; g5 = −2 2170 ∑ (∆ I ) −2 ∆I ) ( (0, 06 )−2 = = 0,123 ≅ 0,1. g6 = −2 2170 ∑ (∆ I ) −2

1

i

2

i

3

i

4

i

4

i

6

i

Теперь можно вычислить среднее взвешенное значение момента инерции I по (14). Результат округлим до второй цифры после запятой, поскольку столько знаков содержат все экспериментальные данные. I = ∑ gi I i = g1 I1 + g 2 I 2 + g3 I 3 + g 4 I 4 + g5 I 5 + g6 I 6 =

= 0,1× 2, 54 + 0,1× 2, 55 + 0,1× 2, 64 + 0, 3 × 2, 65 + 0, 3 × 2, 55 + 0,1× 2, 56 =

(

)

= 0, 254 + 0, 255 + 0, 264 + 0, 795 + 0, 765 + 0, 256 = 2, 589 ≅ 2, 59 кг ⋅ см 2 . Прежде чем вычислять погрешность этого результата и давать окончательный ответ, нужно проверить, выполняется ли критерий (16) в каждом из шести опытов:

( ) = 2,55 − 2,59 = 0, 04 (кг ⋅ см ) < ∆ = 2, 64 − 2,59 = 0, 05 (кг ⋅ см ) < ∆ = 2, 65 − 2,59 = 0, 06 (кг ⋅ см ) > ∆

( ) = 0, 06 (кг ⋅ см ); = 0, 08 (кг ⋅ см ); = 0, 04 (кг ⋅ см );

I1 − I = 2,54 − 2,59 = 0, 05 кг ⋅ см 2 < ∆ I1 = 0, 07 кг ⋅ см 2 ; I2 − I I3 − I I4 − I

18

2

2

I2

2

2

I3

2

2

I1

( ) = 2,56 − 2,59 = 0, 03 (кг ⋅ см ) < ∆

( ) = 0, 06 (кг ⋅ см ).

I 5 − I = 2,55 − 2,59 = 0, 04 кг ⋅ см 2 = ∆ I 2 = 0, 04 кг ⋅ см 2 ; I6 − I

2

2

I3

Как видно из приведенных оценок, неравенство (16) не выполняется для четвертого опыта. Поэтому нужно еще раз очень внимательно проверить вычисления самого значения и его погрешности в этом опыте. Нужно мысленно вернуться к проведенному опыту и проверить, не было ли в нем допущено какой-то ошибки. Если никакой ошибки нигде обнаружить не удалось, то результат этого опыта следует считать промахом и из дальнейшей обработки исключить. Именно так мы и поступим. Понятно, что заканчивать вычисления объединенной погрешности по результатам всех шести опытов уже бессмысленно. Нужно снова находить весовые множители gi, но уже по результатам пяти опытов. Повторим снова все вычисления:

( )

∑ ∆ Ii

−2

−2

( )

= ∆ I1

−2

−2

( )

+ ∆ I2

−2

( )

+ ∆ I3

−2

−2

( )

−2

+ ∆ I5

−2

−2

= (0, 07 ) + (0, 06 ) + ( 0, 08 ) + ( 0, 04 ) + ( 0, 06 ) Вычислим весовые множители gi:

( )

+ ∆ I6

−2

=

(

)

≅ 1540 кг –2 см –4 .

(∆ I ) = (0, 07 )−2 = 0,13 ≅ 0,1; g = (∆ I ) = (0, 06 )−2 = 0,18 ≅ 0, 2; g1 = 2 −2 −2 1540 1540 ∑ (∆ I ) ∑ (∆ I ) −2 −2 ∆I ) ∆I ) ( ( (0, 08)−2 (0, 04 )−2 g3 = g 0,10 0,1; = = = = = = 0, 41 ≅ 0, 4 . 5 −2 −2 1540 1540 ∑ (∆ I ) ∑ (∆ I ) −2

1

−2

2

i

i

3

5

i

i

Поскольку погрешности второго и шестого опытов равны, их весовые множители тоже должны быть равны, g6 = g 2 ≅ 0, 2. Найдем среднее взвешенное значение I по формуле (14). Результат, как и в прошлый раз, округлим до второй цифры после запятой, поскольку с такой точностью получены все экспериментальные данные.

I = ∑ gi I i = g1 I1 + g 2 I 2 + g3 I 3 + g5 I 5 + g6 I 6 = = 0,1× 2,54 + 0, 2 × 2,55 + 0,1× 2, 64 + 0, 4 × 2,55 + 0, 2 × 2,56 =

(

)

= 0, 254 + 0,510 + 0, 264 + 1, 020 + 0,512 = 2,56 кг ⋅ см 2 . Прежде чем вычислять погрешность полученной величины и давать окончательный ответ, нужно снова проверить выполнение критерия (16) в каждом из пяти оставшихся опытов:

19

( ) = 2,55 − 2,56 = 0, 01(кг ⋅ см ) < ∆ = 2, 64 − 2,56 = 0, 08 (кг ⋅ см ) = ∆ = 2,55 − 2,56 = 0, 01(кг ⋅ см ) < ∆ = 2,56 − 2,56 = 0, 00 (кг ⋅ см ) < ∆

( ) = 0, 06 (кг ⋅ см ); = 0, 08 (кг ⋅ см ); = 0, 04 (кг ⋅ см ); = 0, 06 (кг ⋅ см ).

I1 − I = 2,54 − 2,56 = 0, 02 кг ⋅ см 2 < ∆ I1 = 0, 07 кг ⋅ см 2 ; I2 − I I3 − I I5 − I I6 − I

2

2

I2

2

2

I3

2

2

I2

2

2

I3

Как видно из приведенных оценок, неравенство (16) строго выполняется для четырех опытов и выполняется на пределе для одного – для третьего. Таким образом, критерий (16) выполняется, можно вычислять погрешность ∆ I объединенного среднего взвешенного значения

∆ I = ∑ gi ∆ Ii = g1∆ I1 + g 2 ∆ I 2 + g3 ∆ I3 + g5 ∆ I5 + g6 ∆ I6 = = 0,1× 0, 07 + 0, 2 × 0, 06 + 0,1× 0, 08 + 0, 4 × 0, 04 + 0, 2 × 0, 06 =

(

)

= 0, 007 + 0, 012 + 0, 008 + 0, 016 + 0, 012 = 0, 055 ≅ 0, 06 кг ⋅ см 2 . Ответ

(

)

I = 2,56 ± 0, 06 кг ⋅ см 2 .

Графическая обработка результатов измерений Графики нужно обязательно строить на миллиметровой бумаге, которая выступает в роли одного из измерительных инструментов. 1. Сначала нужно решить, какая из наблюдаемых величин будет функцией и какая аргументом. В соответствии со сделанным выбором график нужно озаглавить. 2. После этого следует разумно выбрать масштабы по обеим осям. Их нужно выбирать с учетом значений тех величин, которые по этим осям будут откладываться. Единица масштабной сетки должна соответствовать 1, 2, 5, 10 и т. д. единицам измеряемой величины. Представляемые на осях интервалы значений должны быть такими, чтобы, по возможности, использовать все поле графика. В некоторых случаях координатные оси разумно изобразить с разрывом. 3. После выбора масштаба нужно начертить координатные оси и подписать, какие величины и в каких единицах вдоль них откладываются. На осях нужно нанести узлы координатной сетки. Под осью абсцисс и слева от оси ординат эти узлы нужно подписать. Подписываются только числа; единицы их измерения указываются на осях. Значения, полученные на опыте, на осях не отмечаются. 20

4. На график обязательГрафик зависимости момента но наносятся все экспериинерции от положения грузов I, ментальные точки. Около 2 них двумя вертикальным и кг·см двумя горизонтальным отрезками откладываются систематические погрешθI ности измеряемых величин. θl 5. Для большей наглядности, для возможности получения параметров функциональной зави2 3 4 5 6 7 8 l,см2 1 симости и для получения градуировочных графиРис. 1. Образец оформления графика ков через экспериментальные точки проводят линию. Ее следует проводить не через конкретные точки, а плавно вблизи них, избегая изломов и пересекая "крестики" погрешностей. Если известен теоретический закон, связывающий измеряемые величины, то линия на графике должна ему соотвествовать. Графическое определение параметров линейной зависимости Если теоретический закон, связывающий две измеряемые величины x и f , записывается в виде f = kx + b , (17) то на графике должна получиться прямая линия. Ее нужно провести по линейке через имеющийся набор точек. Разумеется, все точки не могут попасть на прямую, поэтому нужно проводить прямую таким образом, чтобы она проходила по возможности ближе к максимальному числу точек. Проводя прямую линию через набор экспериментальных точек (рис. 2), нужно руководствоваться следующими правилами: прямая должна пересечь все или почти все крестики, обозначающие систематические погрешности отложенных величин; число точек, оказавшихся выше и ниже проведенной прямой, должно быть примерно одинаковым; экспериментальные точки должны быть и выше, и ниже прямой во всем диапазоне значений х. 21

a)

б)

в)

f

f

f

x

x

г) f

x

д) f

x

x

Рис. 2. Прямая f = kx + b, проведенная через экспериментальные точки: а – неправильно, б – неправильно, в – правильно, г – промах, д – прямую провести невозможно

Иногда получается, что через набор точек невозможно провести прямую, руководствуясь сформулированными правилами (рис. 2, г, д). Если из общего набора выпадает только одна точка (рис. 2, г), то ее следует считать промахом и в дальнейшем не учитывать. Если же сильно выбиваются несколько точек или явно видна нелинейность (рис. 2, д), то следует сделать вывод, что экспериментальные данные противоречат теоретической зависимости (17). Если же наблюдаются случаи, показанные на рис. 2, в или 2, г, то можно говорить о том, что экспериментальные данные подтверждают теоретическую зависимость. В случае, когда через экспериментальные точки удалось провести прямую, по графику находят параметры k и b уравнения (17). Параметр b равен отрезку, отсекаемому на оси f при х = 0, а угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой, который можно найти по катетам треугольника, изображенного на рис. 3. Обратим внимание на то, что катеты ∆х и ∆f измеряются не между экспериментальными точками, а по проведенной линии. Оценка погрешностей величин k и b, определенных графически Систематическую погрешность величины b разумно принять равной значению систематической погрешности θf . 22

f

k = tgα =

∆f α

∆f ; ∆x

b = f( x =0 ) .

∆x

b x Рис. 3. Графическое определение параметров прямой

Систематическую погрешность величины k разумно принять равной  θf θ  θk = k  + x  , (18)  (∆ f ) (∆ x )  где ∆f и ∆ х – катеты треугольника на рис. 3, а θf и θ x – систематические погрешности величин f и х. Для оценки случайных погрешностей Sk и Sb проводят следующие действия: по имеющемуся набору точек проводят еще одну прямую; для нее находят новые значения величин k' и b'; считают, что Sk = k − k ′ , а Sb = b − b′ . Очень часто измеряемые величины должны быть прямо пропорциональны друг другу: f = kx. (19) Прямая пропорциональность является частным случаем линейной зависимости (17) при b = 0. График функции (19) должен обязательно проходить через начало координат. Проводя прямую линию через набор экспериментальных точек (рис. 4), нужно руководствоваться следующими правилами: прямая должна обязательно проходить через начало координат; прямая должна пересечь максимальное количество крестиков, обозначающих систематические погрешности отложенных величин; число точек, оказавшихся выше и ниже проведенной прямой, должно быть примерно одинаковым. В некоторых случаях (рис. 4, г, д, е) через имеющиеся экспериментальные точки невозможно провести прямую (19). Если из общего набора выбивается только одна точка (рис. 4, г), то ее следует считать 23

промахом и в дальнейшем не учитывать. Если же таких точек несколько или наблюдается нелинейность (рис. 4, д), или очевидно, что экспериментальная зависимость проходит мимо начала координат (рис. 4, е), то a)

б) f

в) f

f

x г)

x д)

f

x е)

f

f

x

x

x

Рис. 4. Прямая f = kx, проведенная через экспериментальные точки: а – неправильно, б – неправильно, в – правильно, г – промах, д и е – прямую провести невозможно

следует сделать вывод, что данные опыта противоречат теоретической формуле (19). Если наблюдаются случаи, показанные на рис. 4, в или 4, г, то можно говорить о том, что экспериментальные данные подтверждают эту теоретическую зависимость. Если через имеющийся набор данных прямую провести удалось, то величину b определять не нужно, поскольку она в этом случае обязана равняться нулю. Угловой коэффициент k = tgα находится также, как и в прошлом случае (см. рис. 3). Графическая обработка экспоненциальной зависимости На практике очень часто приходится иметь дело с теоретическими зависимостями, которые сводятся к формуле

f (t ) = Ae 24

−

t τ,

(20)

в которой t – время, а τ – константа, которая обычно называется постоянной времени или временем релаксации. Обработка экспериментальных данных может быть проведена одним из двух методов. Метод 1. Измеренные значения f(t) откладываются на графике. Через них проводится плавная кривая, как это показано на рис. 5. Эта линия не обязана проходить через все точки, она должна лишь пересекать f крестики, обозначающие систематические погрешности. По проведенной линии нужно определить или уточнить значение пара- A метра А, как это показано на рисунке. Кроме того нужно провести горизонA/e тальную линию f = А/е и найти точку t τ ее пересечения с построенной кривой. Рис. 5. Определение параметров Из найденной точки нужно опустить экспоненциальной зависимости перпендикуляр на ось t и найти значение τ. К достоинствам этого метода несомненно следует отнести его простоту и наглядность. Его недостатками являются отсутствие корректной процедуры оценки погрешностей и необходимость вручную проводить экспоненту. Проведенный вручную график функции часто слишком тяготеет к отдельным экспериментальным точкам. Другой метод свободен от этих недостатков, но более громоздок и требует логарифмирования. Метод 2. Получившиеся значения f логарифмируются; на графике откладывается набор точек lnf от t, как это показано на рис. 6. ln f

k = tgα=

ln A t0

ln A α

t0 t Рис. 6. Определение параметров уравнения (21)

25

Теоретически эта зависимость должна оказаться линейной

( τ )t ,

ln f = ln A − 1

(21)

поэтому через экспериментальные точки нужно провести прямую линию по правилам, описанным ранее. Определив по графику длину отрезка ln А, отсекаемого прямой на оси ординат, найдем параметр А уравнения ( 21 ). Экстраполируя получившуюся прямую до пересечения с осью абсцисс, находим время t0, угловой коэффициент k = tgα и постоянную времени τ: t (22) τ= 0 . ln A Отметим, что по оси ординат около каждой точки откладывается систематическая погрешность не самой величины ∆ f , а ее логарифма

θln ( ∆f ) =

θ( ∆f ) . ∆f

(23)

Достоинством этого метода является то, что через набор точек проводить нужно не экспоненту "тведым движением руки", а прямую линию по линейке. Эта линия опирается сразу на весь набор экспериментальных точек. Вторым важным достоинством описанного метода является возможность оценить погрешности найденных параметров. Систематическую погрешность величины А разумно принять равными значению систематической погрешности θf для значений, полученных при наименьшем значении времени t: (24) θА = θf при min t. Систематическую погрешность величины τ разумно принять равной

θf  θ θτ = τ  t + . (25)  t0 A ln A  Для оценки случайных погрешностей SА и Sτ проводят следующие действия: по имеющемуся набору точек проводят еще одну прямую; для нее находят новые значения величин А' и τ'; принимают S A = A − A′ , а Sτ = τ − τ′ . 26

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 Определение электрического сопротивления Цель работы: ознакомление с методикой обработки результатов измерений; определение электрического сопротивления; экспериментальная проверка закона Ома; определение удельного сопротивления нихрома. Теоретические сведения Напряжением или разностью потенциалов между двумя точками электрического поля называется отношение работы сил Кулона по переносу заряда из первой точки во вторую к величине перенесенного заряда: A U12 = ϕ1 − ϕ2 = 12 . (1.1) q Падением напряжения на проводнике называется напряжение между его концами. В международной системе единиц ( СИ) электрический заряд измеряется в кулонах (Кл), а напряжение – в вольтах (В). 1B = 1Дж

1Кл

Прибор, измеряющий напряжение, называется вольтметром. В электрических схемах он обозначается символом V . Силой тока или просто током называется отношение заряда, протекшего по проводнику, ко времени его протекания: q I= . (1.2а) t Написанная формула применима лишь для вычисления постоянного, т. е. неизменного во времени, тока. Для вычисления тока, меняющегося со временем, нужно пользоваться другой формулой: dq I= . (1.2 б) dt В международной системе единиц ( СИ) ток измеряется в амперах (А). 1Кл = 1А·1с Прибор, измеряющий силу тока, называется амперметром. В электрических схемах он обозначается символом А . Из закона Ома для участка цепи следует, что отношение падения напряжения на проводнике к силе тока в нем есть величина постоянная, называемая электрическим сопротивлением. 27

R =U

= const. (1.3) I Электрическое сопротивление проводника (резистора) не зависит от падения напряжения на нем и от величины протекающего по нему тока. Сопротивление зависит лишь от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он изготовлен. Для тонкого длинного проводника справедливо соотношение

l R=ρ . (1.4) s В этой формуле l – длина проводника, S – площадь его поперечного сечения, а ρ – удельное сопротивление материала. В международной системе единиц (СИ) электрическое сопротивление измеряется в омах (Ом). 1Ом =1В

1A Сопротивление проводников, соединенных последовательно, можно рассчитать по формуле (1.5) R = R1 + R2 + ...+RN . Для вычисления сопротивления параллельно соединенных проводников нужно пользоваться другой формулой:

1 1 1 1 = + + ... + . R R1 R2 RN

(1.6)

Электроизмерительные приборы – амперметр и вольтметр – имеют свои собственные внутренние сопротивления, поэтому, будучи включенными в электрическую цепь, они изменяют сопротивление этой цепи или ее отдельных участков и таким образом влияют на показания друг друга. Для того чтобы измерить силу тока в проводнике и падение напряжения на нем, амперметр нужно подключить к исследуемому проводнику последовательно, а вольтметр – параллельно. Таким образом, для внесения минимальных искажений в электрическую цепь, сопротивление амперметра должно быть как можно меньше, а вольтметра – как можно больше. Однако, это условие удается соблюсти не всегда, поэтому приходится учитывать падение напряжения на амперметре и ток через вольтметр. 28

Лабораторная установка Для определения неизвестного сопротивления необходимо измерить силу тока, текущего через проводник, и падение напряжения на нем. Для этого можно использовать одну из схем, приведенных на рисунке 1.1. При помощи амперметра можно измерить ток через резистор I, при помощи вольтметра падение напряжения на нем U; по этим данным при помощи формулы (1.3 ) можно рассчитать электрическое сопротивление. В случае, когда для сопротивлений амперметра RА, резистора R и вольтметра RV справедливо неравенство RA << R << RV , обе эти схемы одинаково пригодны для решения поставленной задачи.

A A R V Схема А

R V Схема В

Рис. 1.1. Различные варианты измерительных схем

Если сопротивление R оказывается сравнимым с сопротивлением амперметра RA или вольтметра RV, то желательно, а иногда просто необходимо, учитывать падение напряжения на амперметре (в схеме А) или ток через вольтметр (в схеме В). Уточненные формулы, учитывающие поправки на внутренние сопротивления измерительных приборов, записываются следующим образом: U R = − RA , ( 1.7 ) для схемы А I 1 I 1 = − . для схемы В ( 1.8 ) R U RV Рабочая установка содержит измерительную часть, включающую вольтметр, миллиамперметр и стойку с нанесенной метрической шкалой. На стойке смонтированы два неподвижных кронштейна, между 29

которыми натянут исследуемый провод, и третий подвижный кронштейн с контактным зажимом. На подвижном кронштейне нанесена риска, облегчающая определение длины исследуемого провода. На лицевую панель выведены кнопка Вкл./Выкл., шкалы вольтметра и миллиамперметра, ручка регулировки напряжения источника, кнопка переключения схем A ↔ В и другие кнопки. Параметры установки: сопротивление вольтметра RV = 2500 Ом, сопротивление амперметра RA = 0,2 Ом, диаметр провода D = 0,36 мм, (если не указан на приборе), длина провода l = [ 5–50 ] см, (задается преподавателем). Задания и порядок их выполнения Прежде чем приступить к выполнению работы обязательно нужно ознакомиться с лабораторной установкой: разобраться, как переключаются схемы А и В; определить цену деления амперметра и вольтметра, научиться снимать отсчет с приборов; определить границы, в пределах которых может меняться ток и напряжение; разобраться, как устанавливается необходимая длина провода; рассчитать систематические погрешности приборов; систематическую погрешность длины провода принять θl = 2 мм; составить таблицу технических характеристик приборов. Студенту предлагается выполнить одно или несколько из приведенных ниже заданий. Задание № 1 является стандартным опытом в этой работе. Оно обязательно выполняется каждым студентом и является основой для выполнения следующих более сложных заданий. Задание 1. Измерение электрического сопротивления провода. Включить указанную преподавателем схему (А или В). Установить заданную преподавателем длину провода. Снять показания амперметра и вольтметра при различных токах и напряжениях не менее 10 раз. Измерения следует проводить таким образом, чтобы первое значение было получено при минимально возможном токе, последнее при максимально возможном, а остальные при различных промежуточных значениях. 30

Результаты измерений и вычислений по (1.3 ) занести в таблицу. №

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

U, В I, мА U/I, Ом

Убедиться, что все полученные значения Ri = U i

близки друг к Ii другу. Этот факт должен стать подтверждением закона Ома. Провести статистическую обработку серии значений Ri; найти среднее значение R и среднее квадратичное отклонение S R . Для нескольких значений Ri по указанию преподавателя вычислить систематическую погрешность θR. Если от преподавателя никаких указаний не получено, то вычислить погрешности для значений сопротивления, полученных при наибольшем, наименьшем и при среднем значении тока. Сравнить погрешности сопротивлений, полученных при различных токах. Сделать заключение относительно того, при каких условиях опыта получаются наиболее точные результаты. Провести статистическую обработку полученных результатов, считая что все случайные ошибки измерений связаны только с влиянием измерительных приборов на ход эксперимента. При обработке результатов воспользоваться значением систематической погрешности для результата, полученного при среднем значении тока. Задание 2. Определение среднего взвешенного значения электрического сопротивления. Для выполнения задания 2 не нужно проводить дополнительных измерений, можно использовать результаты, полученные в задании 1. Порядок выполнения задания описан во вводной части настоящего пособия. Для каждого из полученных электрических сопротивлений Ri рассчитать систематическую погрешность θ Ri . Считая, что для единичного измерения θ Ri = ∆ Ri , найти весовые множители gi. 31

Найти среднее взвешенное значение R . Проверить, нет ли среди исходных данных Ri и их погрешностей промахов. Если есть, то исключить их и найти новые весовые множители и новое среднее взвешенное значение сопротивления. Рассчитать погрешность среднего взвешенного сопротивления R . Сравнить средние значения и их полные погрешности, полученные при обработке одной и той же серии измерений в первом и втором заданиях, и сделать заключение о целесообразности проведения обработки результатов серии по методике этого задания. Задание 3. Изучение различных схем включения приборов. Провести измерения сопротивления для одной и той же длины провода при помощи разных схем (см. задание 1). Сравнить средние значения электрических сопротивлений, полученные на разных схемах, и объяснить, почему они различаются. При помощи формул (1.7) и (1.8) уточнить полученные средние значения. Вместо U/I в них следует подставить средние значения R для каждой схемы. Сравнить уточненные средние значения, найденные по разным схемам и ответить на вопрос, допустимы ли расхождения между ними. Найти итоговое объединенное значение электрического сопротивления и его полную погрешность. Дать мотивированное заключение о предпочтительности одной из приведенных электрических схем. Предпочтение следует отдать той схеме, для которой сопротивление можно вычислять, не учитывая поправок на внутренние сопротивления приборов. Этот критерий основан на соображении удобства; электрическое сопротивление обычно рассчитывают без учета этих поправок, т. е. просто по формуле (1.3 ). Задание 4. Изучение зависимости сопротивления от его длины. Провести несколько серий измерений с разными длинами провода (см. задание 1). Сравнить получившиеся сопротивления. Построить график и объяснить зависимость R(l). Найти удельное сопротивление металла. Оценить случайную, систематическую и полную погрешности удельного сопротивления. 32

Сравнить получившийся результат с табличным значением удельно6 го сопротивления нихрома – ρ = 1,05 ⋅10− Ом⋅м. Прямая линия должна tgα = R / l обязательно проходить R, Ом через начало координат и пересекать все полученR ные в эксперименте "крестики". Если она прошла α мимо одного или нескольl l, м ких из них, то либо она Рис. 1.2. График зависимости проведена неверно, либо в сопротивления провода экспериментальных значеот его длины ниях содержится грубая ошибка. Удельное сопротивление вычисляется по формуле ρ = S ( R / l ) . В этом выражении S – площадь сечения провода; S = ( πD 2 ) 4 . Среднее значение отношения R /l, также, как и случайная ошибка этого отношения, определяется графически по катетам получившегося на рисунке треугольника.

πD 2 tgα . (1.9) 4 Систематическую погрешность удельного сопротивления θρ вычислить для самой большой из имеющихся длин провода. Систематическую погрешность диаметра провода считать θD = 0,01 мм. ρ=

Контрольные вопросы 1.Что называется электрическим током, падением напряжения, электрическим сопротивлением? 2. Как нужно включать в электрическую схему амперметр и как вольтметр? 3. Каким должно быть сопротивление идеального амперметра и идеального вольтметра? 4. Каким образом нужно учитывать внутренние сопротивления приборов при измерении сопротивления образца? 5. При измерении каких электрических сопротивлений удобнее пользоваться схемой А, и каких – схемой В? 33

6. Зависит ли систематическая погрешность сопротивления от того, на какой схеме проводились измерения? 7. Объяснить, почему точность измерения электрического сопротивления возрастает с увеличением напряжения, приложенного к образцу. 8. В каком случае можно говорить, что экспериментальные данные подтверждают закон Ома, и в каком случае нельзя? 9. В каком случае значения сопротивлений, полученные при помощи разных схем, можно объединять (усреднять) и в каком нельзя? 10. В каком случае по экпериментальной зависимости R(l) можно получить значение удельного сопротивления и в каком нельзя? ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 Машина Атвуда Цель работы: исследование равномерного и равноускоренного прямолинейного движения. Теоретические сведения Положение материальной точки в произвольный момент времени t
однозначно задается при помощи радиуса-вектора r , соединяющего
начало координат с движущейся точкой. Скорость υ точки в момент времени t равна производной по времени от радиуса-вектора:

dr υ= . (2.1) dt
Ускорение материальной точки a определяется как производная по времени от скорости:

dυ a= . (2.2) dt
Если известен закон, по которому изменяется ускорение a (t ) , и задана скорость материальной точки в начальный момент времени, то можно найти скорость материальной точки в произвольный момент времени t: t




υ = υ0 + ∫ a (t )dt.

(2.3)

Перемещение ∆r
материальной точки к моменту времени t можно
найти, если известен закон, по которому изменяется скорость υ (t ) : 0

34

t



∆r = ∫ υ (t )dt.

(2.4)

0

Из написанных формул можно получить формулы для скоростей и перемещений в ряде конкретных случаев. Остановимся на одном из них, на случае прямолинейного равноускоренного движения с нулевой начальной скоростью вдоль вертикальной оси (oy). В этом случае формулы (2.3) и (2.4) могут быть переписаны в виде υ = at , (2.5)

at 2 . (2.6) 2 Скорость, которую приобретет тело, прошедшее путь S с ускорением a и нулевой начальной скоростью, можно найти по формуле S=∆y=

(2.7) υ = 2aS . Рассмотрим систему из двух одинаковых грузов массой М каждый (рис. 2.1). Грузы соединены нерастяжимой, невесомой нитью, перекинутой через блок. Массой блока и трением, возникающим при его вращении, пренебрежем. К одному из грузов добавим малую массу m.
T2 Если блок может свободно вращать-
a ся, то система грузов начнет двигаться m с ускорением. Если же в некоторый модополнительный груз мент времени t1 M
m отделится от системы, то большие
a T1 грузы продолжат двигаться равномерно с набранной ими к этому моменту
(m + M ) g скоростью (2.7a) υ = 2aS1 , где S1 – путь, пройденный телами за время t1 равноускоренного движения. За время t2 равномерного движения грузы переместятся на расстояние S 2 = υ t2 = 2aS1 t2 .

M
Mg Рис. 2.1. Система грузов на блоке

35

Таким образом, ускорение системы грузов можно выразить через пути, пройденные при равноускоренном S1 и равномерном S2 движениях, а также через время t2 равномерного движения a=

S22

. ( 2.8 ) 2 S1t22 Теперь найдем ту же самую величину, решив динамическую задачу. Второй закон Ньютона для системы тел, первого массой М и второго массой М + m, записывается в виде


 Ma1 = T1 + Mg ,


(2.9) ( M + m)a2 = T2 + ( M + m) g . Проектируем все векторы в этих уравнениях на направление вертикальной оси (oy), учитывая, что Т1 = Т2 = Т и а1 = а2 = a:  Ma = T − Mg ,   −( M + m) a = −T − ( M + m) g . Складываем эти уравнения, меняем знак и получаем ( M − M − m) a = −( M + M + m) g ; ⇒ ma = (2 M + m) g . Таким образом, ускорение системы грузов будет равно: m a=g . (2.10) 2M + m Подставляя это выражение в (2.7, а), получим скорость, с которой заканчивается равноускоренное движение и начинается равномерное:

υ=

mgS1 . M + 0,5m

(2.11)

Лабораторная установка Внешний вид лабораторной установки приведен на рис. 2.2. На вертикальной стойке закреплен блок 1, через который проходит нить с привязанными к ней большими грузами 2а и 2б. На правый груз 2а сверху может помещаться дополнительный небольшой грузик 3 в виде кольца. Электромагнит 4 фиксирует начальное положение грузов при помощи фрикционной муфты. На вертикальной стойке находятся три кронштейна 5, 6 и 7. Кронштейны 5 и 6 могут передвигаться вдоль стойки. Верхний кронштейн 5 имеет риску, по которой устанавливается низ большо36

го груза. Для измерения расстояний на стойке нанесена миллиметровая шкала. Средний 6 и нижний 7 кронштейны снабжены фотоэлектрическими датчиками 8 и 9. Когда нижний край груза 2а пересекает оптическую ось верхнего фотодатчика 8, включается секундомер. Выключается он в тот момент, когда нижний край того же груза пересекает оптическую ось фотодатчика 9. Дополнительная полочка 10 на среднем кронштейне 6 снимает дополнительный грузик 3 с груза 2а в тот момент, когда последний пересекает оптическую ось датчика 8. 1 1

4 3 5

3

2а

5 2а 10

10

8

6 6

8

2б 9

2б

7 11

7

11

Рис. 2.2. Внешний вид лабораторной установки

37

На лицевой панели установки 11 имеются клавиши "Сеть", "Пуск" и "Сброс". Для проведения измерений нужно включить установку кнопкой "Сеть", установить необходимые длины S1 и S2, зафиксировать начальное положение грузов 2а, 2б и установить груз 3. С нажатием кнопки "Пуск" грузы приходят в движение, поочередно срабатывают фотодатчики 8 и 9, на табло высвечивается время t2. Нажатие кнопки "Сброс" обнуляет показания секундомера и приводит установку в режим готовности к следующему измерению. Задания и порядок их выполнения Перед выполнением лабораторной работы нужно ознакомиться с назначением кнопок, получить от преподавателя набор грузов и установить заданные пути равномерного и равноускоренного движений. Нужно проверить, одинаковые ли массы у грузов, полученных от преподавателя. Для этого грузы нужно повесить на блок, нажать кнопку "Сброс" и проверить, будут ли они в равновесии. Убедиться, что в крайнем верхнем положении левого груза правый груз пересекает оптическую ось нижнего фотодатчика. До начала измерений нужно установить стойку строго вертикально, чтобы грузы при своем движении не задевали средний и нижний кронштейны. Необходимо обратить особое внимание на то, чтобы нижний край правого груза в верхнем положении находился точно на уровне риски, нанесенной на верхнем кронштейне. Задание 1. Стандартный опыт. Установить необходимые длины S1 и S2. Правый груз зафиксировать на уровне риски, нанесенной на верхнем кронштейне. Нажать кнопку "Пуск" и после остановки груза перенести в протокол измерений время равномерного движения t2. Систематические погрешности обоих путей считать θS = 2 мм, систематическую погрешность измеренного времени принять θt = 0,001 c. Задание 2. Изучение равномерного движения. Необходимо убедиться, что вторую часть своего пути правый груз проходит с постоянной скоростью. Для этого нужно построить зависимость пути S2 от времени t2. Если скорость груза постоянна, то эта зависимость на графике будет представлять собой прямую, проходящую через начало координат. 38

Нужно сделать не менее пяти измерений времени t2 при неизменном расстоянии S1 и различных S2. В отчете нужно привести график зависимости S2 (t2) (см. рис. 2.3) дать заключение о том, является движение груза равномерным или нет и найти скорость груза. Задание 3. Изучение равноускоренного движения. Необходимо убедиться, что первую часть своего пути грузы проходят с постоянным ускорением. Для этого нужно построить зависимость (t2)–2 от S1 при неизменном пути S2. Как следует из (2.8),

(t2 )−2 =

2 S22

a S1 .

(2.12)

Следовательно, изучаемая зависимость должна быть линейной и проходить через начало координат. Нужно сделать не менее пяти измерений времени t2 при неизменном расстоянии S2 и различных S1. В отчете нужно привести график зависимости (t2)–2 от S1 (см. рис. 2.4) и дать заключение о том, является движение груза равноускоренным или нет.

(t2 )–2

S2

t2 Рис. 2.3. Изучение равномерного движения

S1 Рис. 2.4. Изучение равноускоренного движения

К следующим заданиям можно приступать лишь в случае, если установлено, что движение на участке S1 является равноускоренным, а на участке S2 – равномерным. Задание 4. Определение ускорения грузов. Необходимо обработать все экспериментальные данные, полученные в заданиях № 2 и № 3, и по формуле (2.8) рассчитать ускорения грузов, найти среднее значение ускорения a и его среднее квадратичное 39

отклонение S a . Для одного из опытов по указанию преподавателя нужно найти систематическую погрешность θа. По формуле (2.10) рассчитать ускорение, сравнить полученное значение с экспериментальным и дать аргументированное заключение о совпадении или несовпадении экспериментального и расчетного значений. В случае необходимости выдвинуть предположения о причинах наблюдающихся расхождений. Задание 5. Определение скорости грузов. Необходимо обработать все экспериментальные данные, полученные в задании № 2, и для каждого из них найти скорость равномерного движения грузов на участке пути S2 по формуле

υ=

S2 . t2

(2.13)

Рассчитать скорость, найти среднее значение скорости υ и среднее квадратичное отклонение Sυ . Для одного из опытов по указанию преподавателя нужно найти систематическую погрешность θυ . По формуле (2.11) рассчитать скорость, сравнить полученное значение с экспериментальным и дать аргументированное заключение о совпадении или несовпадении экспериментального и расчетного значений. В случае необходимости выдвинуть предположения о причинах наблюдающихся расхождений. Все определяемые в настоящей работе величины являются неслучайными по своей природе. Случайные ошибки, возникающие при их измерениях, связаны только с влиянием измерительных приборов на процесс измерения. Контрольные вопросы 1. Что называется материальной точкой и что абсолютно твердым телом? 2. Какое движение абсолютно твердого тела называется поступательным? 3. Как описывается движение материальной точки? 4. Чем отличается перемещение от пути? 5. Что называется средней и мгновенной скоростью? 6. Какое движение материальной точки называется равномерным, и какое – равноускоренным? 40

7. Как изменится формула (2.10), если при ее выводе не пренебрегать силами трения оси блока? 8. Как изменится формула (2.10), если при ее выводе не пренебрегать моментом инерции блока? 9. Каким образом можно экспериментально убедиться в том, что движение грузов на втором участке пути равномерное? 10. Каким образом можно экспериментально убедиться в том, что движение грузов на первом участке пути равноускоренное? ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 Маятник Максвелла Цель работы: определение момента инерции маятника Максвелла Теоретические сведения Маятник Максвелла (рис. 3.1) представляет собой диск, жестко насаженный на стержень и подвешенный на двух параллельных нерастяжимых нитях. Намотав нити на стержень, можно сообщить маятнику потенциальную
T энергию относительно его нижнего положения, определяемого длиной этих нитей. Если маятник отпустить из вер
хнего положения, то, вращаясь, он начmg нет падать. Учитывая, что на маятник действуют только консервативные r силы (сила тяжести и сила натяжения нитей), закон сохранения его механиh ческой энергии можно записать в виде

1 1 mυ 2 + I ω2 + mgh = mgh0 , (3.1) 2 2 где h0 – начальная высота маятника, определяющая его полную энергию; h – текущая высота; m – масса маятника; I – момент инерции маятника относительно его оси; ω – угловая скорость вращения маятника относи-

Рис. 3.1. Маятник Максвелла

41

тельно этой оси; υ – скорость центра масс; g – ускорение свободного падения. Начало отсчета поместим в нижней точке.
Радиус-вектор h , проведенный из этой точки в центр масс маятника, будет направлен вертикально вверх. Поскольку ускорение свободного падения направлено вертикально вниз, произведение скалярных величин можно заменить скалярным произведением векторов

mgh = − m g h . Известно также, что ω2 = (υ r ) , где r – радиус стержня, и что

υ 2 = υυ . С учетом сделанных замечаний (3.1) переписывается в виде 2

1

I





mυυ + υυ m g h m g h0 . − = 2 2r 2

(3.2)

Дифференцируем получившееся уравнение по времени и получаем


I
dυ
dυ
dh + 2υ − mg = 0. mυ (3.3) dt dt dt r

dh

dυ
Учитывая, что = υ, = a , где a – ускорение центра масс, dt dt перепишем уравнение (3.3) в виде





(3.4) mr 2υ a + Iυ a = mr 2υ g . Поскольку все векторы в уравнении (3.4) одинаково направлены, перейдем от скалярных произведений к произведениям длин этих векторов. Сократив все члены уравнения на модуль скорости, получим 2 (3.5) mr 2 a + Ia = mr 2 g . Откуда следует I = mr ( g a − 1) . Поскольку величины I, m и r для маятника Максвелла постоянны, ускорение маятника будет тоже постоянным. Найти его можно, измерив время падения t с высоты h0 2h a = 20 . (3.6) t Подставив (3.6) в (3.5), получим выражение для вычисления момента инерции маятника Максвелла

 gt 2  I = mr 2  − 1 .    2 h0  42

( 3.7 )

В этой формуле не учтена толщина нити, которая наматывается на ось маятника. В реальных условиях ее нужно обязательно учитывать. На рис. 3.2 видно, что сила натяжения нити Т приложена не к краю шкива, а к середине нити. Поэтому радиус шкива r следует заменить суммой r + rн , где rн – радиус нити. 2  2  gt I = m ( r + rн )  − 1 . (3.8)  2 h0    Маятник Максвелла (рис. 3.3) состоит из трех элементов: оси вращения, диска и кольца. Поэтому его момент инерции складывается из моментов инерции этих трех элементов

Кольцо

R2

Нить

Ось r

Ось

Диск

Рис. 3.2. Точки приложения сил

Диск

R1

Рис. 3.3. Размеры элементов маятника

(3.9) I = I0 + I D + I K . Момент инерции оси ввиду его малости учитывать не будем. Моменты инерции диска и кольца можно найти по формулам

(

)

2 mD RD m ; I K = K RK2 1 + RK2 2 . (3.10) 2 2 Принимая во внимание, что RK 1 = RD = R1 , a RK 2 = R2 , получаем теоретическое выражение для момента инерции маятника Максвелла

ID =

I=

(

(

1 mD R12 + mK R12 + R22 2

)) .

(3.11)

Лабораторная установка Внешний вид лабораторной установки показан на рис. 3.4. На вертикальной стойке крепятся два кронштейна. Верхний неподвижный кронш43

тейн снабжен воротком 1 для крепления и регулировки бифилярного подвеса, электромагнитом 2 для фиксировании маятника в верхнем положении и фотодатчиком 3, включающим секундомер. На подвижном кронштейне закреплен фотодатчик 4, выключающий секундомер. Шкала секундомера 5 вынесена на лицевую панель прибора. 2

1 2

3 3

4

4

Рис. 3.4. Внешний вид лабораторной установки

Кнопка "Сеть" включает питание установки, кнопка "сброс" производит обнуление показаний секундомера. При нажатии на кнопку "Пуск" отключается электромагнит, и маятник приходит в движение. Массу и момент инерции маятника можно менять при помощи сменных колец, надеваемых на диск. Длина нити должна быть такой, чтобы нижняя кромка маятника была на 1–2 мм ниже оптической оси нижнего фотодатчика. Ось маятника должна быть горизонтальной. Длина нити (высота падения) определяется по шкале, нанесенной на вертикальной стойке. 44

Параметры установки: радиус оси 5 мм, радиус нити 0,6 мм, радиус диска R1 = 42,5 мм, внешний радиус кольца R2 = 52,5 мм. Значения остальных параметров указаны на элементах маятника. Задания и порядок их выполнения Задание 1. Экспериментальное определение момента инерции маятника Максвелла (стандартный опыт). Провести измерение времени падения маятника не менее 10 раз. Вычислить среднее время падения, а по нему при помощи формулы (3.8) момент инерции. Провести стандартную обработку результатов измерений. Погрешность измерения высоты принять равной θh = 2 мм, погрешность измерения времени θt = 0,001 c. Внимание ! При проведении опыта нужно следить за тем, чтобы нить наматывалась на ось аккуратно в один слой. Опыты, в которых это условие не соблюдается, в дальнейшем не учитывать. В опытах, проводимых для маятника без кольца, к измеренной высоте h нужно добавить 1 см, т. е. толщину кольца. Описанная выше процедура является стандартным опытом в данной работе. Ее нужно провести для маятника с каждым из сменных колец и без кольца. Задание 2. Исследование зависимости момента инерции маятника Максвелла от высоты, с которой происходит его падение. Для указанного преподавателем кольца провести стандартный опыт для трех разных высот h. Нужно экспериментально убедиться в том, что момент инерции маятника не зависит от высоты, с которой начинается его падение, и в отчете объяснить, почему. Для кольца, с которым проводились измерения в этом задании, получить среднее взвешенное значение по результатам трех серий, проведенных при разных высотах. При проведении математической обработки результатов измерений в первом и втором заданиях нужно исходить из того, что момент инерции является неслучайной величиной. 45

Задание 3. Теоретический расчет момента инерции маятника Максвелла. По формулам (3.10), (3.11) вычислить моменты инерции всех элементов маятника и всего маятника в целом для всех случаев. Сравнить расчетные значения с экспериментальными и объяснить расхождения, если они возникнут. Контрольные вопросы 1. Что называется моментом инерции абсолютно твердого тела? 2. Чему равны моменты инерции диска и кольца? 3. Чему равна кинетическая энергия абсолютно твердого тела? 4. Как записать закон сохранения энергии для маятника Максвелла? 5. Является ли падение маятника равноускоренным? 6. Почему, опустившись до нижней точки, маятник снова начинает подниматься наверх? 7. Какая энергия маятника больше – кинетическая поступательного движения или кинетическая вращения? При ответе на этот вопрос воспользоваться полученным значением момента инерции маятника и известным значением радиуса оси маятника. 8. Как зависит время падения маятника Максвелла от его массы? Почему время падения маятника с кольцом больше, чем без кольца? Как изменится время падения, если маятник выполнить из менее плотного, чем сталь материала (например, алюминия)? Как изменится время падения, если у маятника утяжелить ось? ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 Математический и оборотный маятники Цель работы: определение ускорения свободного падения; определение приведенной длины и момента инерции физического маятника. Теоретические сведения Физическим маятником называется абсолютно твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной оси. Плоскость, проходящая через эту ось и центр тяжести тела в положении равновесия, вертикальна. При отклонении маятника от этого положения на угол α возникают моменты сил, стремящиеся вернуть маятник в положение равновесия. 46

По основному уравнению динамики вращательного движения абсолютно твердого тела сумма моментов всех сил, приложенных к телу, равна →

→

∑ Mi = I ε .

(4.1)

i

В этой формуле I – момент инерции маятника относительно точки →

подвеса,

ε – его угловое ускорение, а

→

∑ M i – сумма моментов всех сил, к это-


N

i

му маятнику приложенных. Ось маятника на рис. 4.1 обозначена буквой O, а его центр тяжести буквой С. Обозначим → OC = b . К точке С приложены две

O α

C


mg

α

→

силы: сила тяжести m g и сила реакции →

→

N . Поскольку сила N направлена вдоль отрезка [ОС], момент этой силы относительно точки О равен нулю, а сумма моментов этих сил равна →

∑ Mi i

Рис. 4.1. Физический маятник

→ → → → → → → → = OC × m g + OC × N = OC × m g = b × m g . →

→

→

Подставим в (4.1) и получим: I ε =, b × m g . Спроектируем полученное выражение на направление оси вращения. I ε = − mgb sin α Знак минус показывает, что момент силы тяжести стремится вернуть маятник в положение равновесия. Ограничимся рассмотрением лишь малых колебаний, для которых sinα = α, и учтем, что угловое ускорение есть вторая производная от угла поворота по времени mgb α′′(t ) + α(t ) = 0. (4.2) I Получившееся уравнение аналогично дифференциальному уравнению гармонических колебаний пружинного маятника 47

x(′′t ) + ω2 x(t ) = 0

(4.3)

mgb . (4.4) I Следовательно, при малых углах отклонения от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω =

α(t ) = А cos (ωt + ϕ0 ) ,

(4.5)

период которых зависит от момента инерции маятника относительно оси C, его массы и от расстояния между центром тяжести и этой осью: T = 2π

I . mgb

(4.6)

Уравнение (4.5) содержит две произвольные постоянные: амплитуду А и начальную фазу ϕ0, значения которых определяются из начальных условий. Если секундомер включить в момент прохождения маятником положения равновесия, то ϕ0 = – 90°, и уравнение (4.5) перепишется: α(t ) = А sin ( ωt ).

(4.7)

В случае, когда физический маятник, совершающий малые колебания, представляет собой небольшое тело, подвешенное на легкой длинной нерастяжимой нити, его можно считать математическим маятником. Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, совершающая под действием силы тяжести малые колебания. Такие колебания являются гармоническими и описываются функциями (4.5) или (4.7). Момент инерции математического маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, равен I = ml 2 , где l – длина нити. Подставляя это выражение в (4.4) и (4.6), найдем циклическую частоту и период колебаний математического маятника. ω= g T = 2π

48

l

,

(4.8)

l . g

(4.9)

Таким образом, частота и период колебаний математического маятника зависят от его длины и ускорения свободного падения. От массы маятника они не зависят. Сравнивая друг с другом формулы (4.6) и (4.9), замечаем, что математический маятник с длиной нити

I (4.10) mb будет иметь такой же период колебаний, что и физический маятник. Величина, определяемая выражением (4.10), называется приведенной длиной физического маятника. Для любого физического маятника можно указать такую пару параллельных осей, периоды малых колебаний относительно которых одинаковы, а расстояние между ними равно приведенной длине физического маятника. Докажем это утверждение. На рис. 4.2 изображен физический маA C B ятник, который может быть подвеa b шен на одной из двух параллельных осей – А или В. Центр тяжести маятника обозначим точкой С. Введем Рис. 4.2. Физический маятник обозначения a и b, смысл которых с двумя осями подвеса понятен из рисунка: AC = a ; BC = b. Моменты инерции маятника относительно осей А, В и относительно оси, проходящей через точку С параллельно осям А и В, обозначим соответственно I A , I B , I C . По теореме Штейнера значения этих величин L=

связаны друг с другом соотношением: I A = I C + ma 2 ; I B = I C + mb 2 . Периоды малых колебаний маятника относительно этих осей будут равны TA = 2 π

I C + ma 2 ; mga

TB = 2π

I C + mb 2 . mgb

(4.11)

Если положения осей А и В выбраны так, что периоды одинаковы, то

IC + ma 2 I + mb 2 , откуда следует, что = C a b

I C = mab.

(4.12) 49

Подставляя (4.12) в любую из формул (4.11), получаем TA = TB =

mab + ma 2 a+b = 2π . mga g

(4.13)

Величина a + b есть расстояние между осями подвеса, но она же, согласно определению, есть приведенная длина физического маятника. Для демонстрации доказанного свойства служит оборотный маятник. Оборотным называется физический маятник с двумя параллельными призмами, на любой из которых он может быть подвешен. Перемещением опорных призм можно добиться того, что при подвешивании маятника на любой из них периоды колебаний окажутся одинаковыми. Расстояние между призмами при этом окажется равным приведенной длине. Измерив его и зная период колебаний маятника, можно найти ускорение свободного падания g: g=

4π2 L

. (4.14) T2 Определив положение центра тяжести оборотного маятника и измерив расстояния от этой точки до каждой из призм, т. е. расстояния a и b, по формуле (4.12) можно найти момент инерции маятника Ic.

Лабораторная установка Внешний вид установки приведен на рис. 4.3. Установка состоит из математического и оборотного маятников. Математический маятник выполнен в виде металлического шарика 1 на бифилярном подвесе 2. Длина подвеса измеряется линейкой на стойке 3. Оборотный маятник состоит из металлического стержня 4, на котором крепятся две подвижные опорные призмы 5 и два груза 6, перемещение которых изменяет распределение масс. Фотодатчик 7 на нижнем кронштейне сигнализирует о прохождении маятником положения равновесия. Время измеряется миллисекундомером, а число колебаний – специальным счетчиком. Прибор включается нажатием кнопки "Сеть". Кнопка "Сброс" служит для установки нуля. Нажатие кнопки "Стоп" выключает прибор после окончания текущего колебания.

50

5 5 6

2

6

3 4

4

5

5

6

6

7

1

7

Рис. 4.3. Внешний вид лабораторной установки

Задания и порядок их выполнения Задание 1. Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника. Верхнюю планку следует развернуть так, чтобы математический маятник оказался над фотодатчиком таким образом, чтобы в положении равновесия он пересекал оптическую ось. 51

Перед началом измерений нажимают кнопку "Сброс". Шарик отклоняют на небольшой угол ~ 4–5° и осторожно без толчка отпускают. Когда на счетчике колебаний появляется цифра 9, нажимают кнопку "Стоп". В таком случае прибор измерит время 10 полных колебаний и найти их средний период будет очень просто. Определение периода колебаний проводится таким методом не менее 5 раз при различных длинах маятника L. Для каждого значения периода и соответствующей длины при помощи формулы (4.14) находится ускорение свободного падения. Необходимо провести стандартную математическую обработку результатов измерения g. Задание 2. Определение ускорения свободного падения при помощи оборотного маятника. Верхнюю планку повернуть так, чтобы нижняя часть оси A оборотного маятника проходила через прорезь фотодатчика. Грузы на стержне лучше фиксировать несимметрично, чтобы один находился у конца стержня, другой – около его сеl редины. Призмы следует закрепить по разные стороны от центра тяжести маятника. Одну призму следует поместить ближе к свободному концу стержня, другую – между B грузами. Сначала маятник следует подвесить на призме А, которая ближе к его концу, как это показано на рис. 4.4. Отклонить маятник на небольшой угол ~ 4–5° и осторожно без толчка отпустить его. Нажать кнопку "Сброс"; включится секундомер и счетчик колебаний. Рис. 4.4. Положение маятника при Когда на счетчике колебаний измерении периода T1

52

появится цифра 9, нажать кнопку "Стоп". В таком случае прибор измерит время 10 полных колебаний и найти их средний период Т0 будет очень просто. После измерения Т0 нужно снять маятник, измерить расстояние l между призмами, перевернуть его и подвесить на призме В. Нижний кронштейн с фотодатчиком поднять так, чтобы маятник пересекал его оптическую ось. По 10 колебаниям следует определить среднее значение периода Т1. Если окажется, что Т1 > Т0, то вторую призму переместить таким образом, чтобы расстояние l увеличилось и наоборот, если Т1 < Т0, то уменьшилось. Перемещать призму следует на целое число делений, поскольку в этом случае она закрепляется наиболее надежно. Положение первой призмы и грузов при этом изменять нельзя. Повторить измерение периода, измерить Т2, и снова сравнить его с Т0. Призму b следует перемещать до тех пор, пока не окажется, что периоды колебаний ТK–1 и ТK при двух соседних положениях призмы окажутся чуть меньше и чуть больше чем Т0. По двум соответствующим длинам lк и lк–1 найти приведенную длину L и ее систематическую погрешность θ L. В простейшем случае можно воспользоваться формулой L = 0,5(lk + lk −1 ).

(4.15)

Для упрощения измерения расстояния между призмами на стержне через каждый сантиметр нанесены риски. Толщина грузов составляет 2 см. Систематическая погрешность приведенной длины оборотного маятника, найденной по T (4.15), равна половине цены деления, k–1 Tk –1 т. е. θ L = 0,5 см. T0 По заданию преподавателя, стуk Tk денту может быть предложено получить приведенную длину более точным методом. На рис. 4.5. покаlk –1 L lk l зан участок зависимости периода колебаний Т от расстояния между при- Рис. 4.5. Определение приведенной змами l; на нем отмечены два посдлины маятника ледних измерения под номерами k– 1 и k, а также период Т0 . Из этого рисунка видно, как графически находится приведенная длина оборотного маятника. Для обозначен53

ных величин справедлива пропорция

lk − L T −T = 0 k . Перепишем lk − lk −1 Tk −1 − Tk

ее, введя обозначения ∆T = Tk −1 − Tk и ∆l = lk − lk −1 = 1 см.

L = lk −

∆l (T0 − Tk ). ∆T

(4.16)

Систематическую погрешность определения приведенной длины этим методом можно принять равной θ L = 2 мм. Зная приведенную длину и период, по формулам (4.15) или (4.16) следует найти ускорение свободного падения g. На основании погрешности θ L нужно оценить систематическую погрешность θg. Случайную погрешность в первом и втором заданиях определять не имеет смысла, поскольку различия измеренных периодов обусловлены не столько случайными ошибками измерений, сколько имеющейся слабой зависимостью периода колебаний от амплитуды. Систематическую погрешность измерения периода принять равной θТ = 0,005 с. Задание 3. Определение момента инерции оборотного маятника. Не меняя положения призм А и В, после выполнения задания 2 найти положение центра тяжести маятника. Для этого снять маятник, развернуть его горизонтально и положить на острие, как это показано на рис. 4.6. На нем указаны два последних положения призмы В. Необходимо измерить расстояния a = AC . Расстояние b между точками B и C лучше не измерять, а вычислить b = L – a, поскольку положение точки В находится, строго говоря, между двумя последними положениями призмы с порядковыми номерами k–1 и k. Массу маятника

A

C

B

Рис. 4.6. Определение центра тяжести оборотного маятника

54

вычислить по величинам, указанным на установке. По формуле (4.12) вычислить момент инерции маятника. Оценить систематическую погрешность θI . Контрольные вопросы 1. Какие тела называются физическим, математическим и оборотным маятниками? 2. Напишите дифференциальные уравнения колебаний физического и пружинного маятников, а также их решения. 3. Каким образом из начального отклонения и начальной скорости найти амплитуду А и начальную фазу ϕ0 колебаний? 4. Напишите формулы для периодов и частот колебаний пружинного, физического и математического маятников. 5. В чем состоит содержание теоремы Штейнера? 6. Что называется приведенной длиной физического маятника? 7. Почему для вычисления ускорения свободного падения при помощи математического маятника можно пользоваться формулой (4.14), полученной для физического маятника? 8. Почему с увеличением расстояния между призмами период колебаний уменьшается, если колебания происходят относительно призмы В? 9. Как перепишется формула (4.16) в случае, когда расстояние между призмами от опыта к опыту увеличивают, а не уменьшают? 10.Как графически найти приведенную длину оборотного маятника? ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5 Крутильный маятник Цель работы: определение моментов инерции тел сложной формы. Теоретические сведения Основное уравнение динамики вращательного движения абсолютно твердого тела записывается в виде →

→

(5.1) I ε = M. В этом выражении М – равнодействующая моментов внешних сил, приложенных к телу, I – момент инерции этого тела, ε – его угловое ускорение. Если к телу приложен момент только одной внешней силы, 55

уравнение (5.1) можно переписать в скалярной форме, поскольку равенство двух векторов возможно лишь при равенстве их длин: (5.2) Iε = М . В дальнейшем рассмотрим именно такой случай; исследуемое тело закрепим на упругой проволоке, натянутой вертикально. При повороте тела-маятника на некоторый угол β возникает момент упругих сил M, стремящийся вернуть его в положение равновесия: (5.3) M = − Cβ . Знак минус показывает, что момент сил кручения проволоки стремится вернуть маятник в положение равновесия. Коэффициент пропорциональности C в этом выражении называется модулем кручения проволоки. Учитывая, что угловое ускорение есть вторая производная от угла поворота по времени – ε = d 2β dt 2 , основное уравнение динамики вращательного движения переписывается в виде d 2β(t )

C β(t ) = 0. (5.4) I dt Получилось дифференциальное уравнение, связывающее угол отклонения маятника как функцию времени, со второй производной этой функции по времени. Это уравнение аналогично дифференциальному уравнению гармонических колебаний пружинного маятника 2

+

x(′′t ) + ω2 x(t ) = 0

(5.5)

с циклической частотой ω = C I . (5.6) Следовательно, тело будет совершать гармонические колебания  2πt  β(t ) = βm cos  + ϕ0  (5.7)  T  с периодом T = 2π I C .

(5.8)

Уравнение (5.7) содержит две константы – амплитуду βm и начальную фазу ϕ0, которые определяются из начальных условий. Если период крутильных колебаний известен, то с его помощью можно найти момент инерции тела I=

56

C 4π2

T 2.

(5.9)

Именно таким образом определяются моменты инерции твердых тел в настоящей работе. Поскольку исследуемое тело закреплено на подвеске, в левой части этого уравнения величину I нужно заменить суммой моментов инерции тела I и подвески I0. В итоге получаем I=

C

T 2 − I0.

(5.10) 4π Для того чтобы воспользоваться этой формулой, нужно знать значения двух констант: момента инерции подвески I0 и модуля кручения проволоки C. Эти значения можно определить, измерив периоды крутильных колебаний нескольких тел с известными моментами инерции, отложив эти данные на графике I от T 2, и проведя через них прямую линию, как это показано на рис. 5.1. График, построенный по набору I экспериментальных точек, называется градуировочным. В рассматриваемом случае он представляет собой α прямую линию с угловым коэффици2

T2

ентом tgα = C (4π ) , отсекающую –I 0 на вертикальной оси отрезок I 0 . Рис. 5.1. Построение грауировочной прямой Именно так графически находится эта величина. Определив экспериментально угловой коэффициент градуировочной прямой k = tg α, можно найти модуль кручения проволоки (5.11) C = 4π2tgα . Теперь, когда оба параметра уравнения (5.10) найдены и градуировочный график построен, момент инерции любого твердого тела, закрепленного в подвеске, может быть легко вычислен или найден графически по измеренному периоду крутильных колебаний. 2

Лабораторная установка Внешний вид установки приведен на рис. 5.2. На основании 1 закреплена стойка 2 с тремя кронштейнами 3, 4 и 5. Между кронштейнами 3 и 5 натягивается стальная проволока, к которой крепится рамка 6, в которой могут быть закреплены грузы разной формы 7. На кронштейне 4 крепятся электромагнит 8, удерживающий рамку в начальном положении, угловая шкала 9 и фотодатчик 10, фиксирующий прохождение 57

маятником положения равновесия. Электрический сигнал с фотодатчика поступает на миллисекундомер и счетчик колебаний, расположенные в измерительном блоке 11 на основании прибора 1. 5

5

6

6

7

7 9 8 10 11

4

11

3 2 1

Рис. 5.2. Внешний вид лабораторной установки

Установка включается нажатием кнопки "Сеть". Кнопка "Сброс" обнуляет показания секундомера и счетчика колебаний. Кнопка "Пуск" отключает электромагнит. Секундомер и счетчик колебаний запускаются при первом после нажатии кнопки "Пуск" пересечении оси фотодатчика. Выключаются эти приборы нажатием кнопки "Стоп" после окончания очередного колебания. Задания и порядок их выполнения До начала измерений следует ознакомиться с установкой, научиться надежно закреплять грузы, чтобы они не проскальзывали в рамке во время колебаний, и правильно измерять период крутильных колебаний. 58

Для измерения периода нужно во время колебаний маятника нажать кнопку "Пуск", после чего включатся миллисекундомер и счетчик колебаний. Когда на счетчике появится цифра 9, нужно нажать кнопку "Стоп". В таком случае прибор измерит время 10 полных колебаний и найти их средний период будет очень просто. Описанная процедура позволяет определять период крутильных колебаний с систематической погрешностью θT = 0,005 с. Задание 1. Построение градуировочного графика. Определение модуля кручения проволоки и момента инерции пустой рамки. Для выполнения этого задания нужно измерить периоды крутильных колебаний рамки с закрепленными в ней телами, моменты инерции которых известны. В качестве таких тел в настоящей работе могут быть использованы параллелепипеды и цилиндры. Моменты инерции этих тел относительно разных осей указаны на рис. 5.3. Кроме этих тел, следует измерить период колебаний пустой рамки, считая, что в ней закреплено тело с моментом инерции, равным нулю. Нужно провести измерения периодов колебаний для разных тел и рассчитать их моменты инерции. Результаты измерений и вычислений нужно отложить на графике I от Т 2, как это показано на рис. 5.1. График следует строить на большом листе миллиметровой бумаги, форматом не меньше чем А4. Около каждой точки нужно отложить систематическую погрешность измерения квадрата периода θT 2 = 2T θT ,

(5.12)

систематическую погрешность моментов инерции, вычисленных по формулам (5.13),учитывать и откладывать на графике не нужно. Через получившийся набор точек следует провести прямую линию и по ее параметрам найти момент инерции пустой подвески и модуль кручения проволоки. Провести стандартную обработку графика и найти погрешности найденных из этого графика величин. Нужно иметь ввиду, что "случайные ошибки" в этом опыте вовсе не случайны. Они связаны, в первую очередь, со слабой зависимостью периода крутильных колебаний от амплитуды. Определять их не имеет смысла.

59

1

4 b c

R

a

2

h

3

5

3 2

5

4

1

1 m (b 2 + c 2 ), 12 1 I 2 = m (a 2 + c 2 ), 12 1 I 3 = m (a 2 + b 2 ), 12 I1 =

1 m R2 , 2 1 1 I5 = m R 2 + m h2 . 4 12

I4 =

(5.13)

Рис. 5.3. Моменты инерции параллелепипеда и цилиндра

Задание 2. Определение моментов инерции сложных тел. По указанию преподавателя это задание может выполняться в одной из ниже перечисленных вариаций: определение момента инерции тела по градуировочному графику; вычисление момента инерции тела по теоретической формуле. В обоих случаях полученные от преподавателя тела следует надежно закрепить в подвеске, измерить периоды их крутильных колебаний и вычислить величины Т 2 и θT 2 . По графику или по формуле (5.10) найти момент инерции тела сложной формы и его систематическую погрешность. Случайную погрешность в данной работе, как уже отмечалось выше, определять не имеет смысла. Поэтому полную погрешность нужно просто приравнять систематической. Телами с неизвестными моментами инерции в этом задании могут быть тела как неправильной, так и правильной геометрической формы. Последние закрепляются в подвеске косо, так что60

бы ось вращения проходила через центр тяжести не параллельно ребрам. Задание 3. Теоретическое вычисление моментов инерции косо под вешенных тел. Для выполнения этого задания нужно взять параллелепипед, который использовался для построения градуировочной прямой. Его моменты инерции относительно осей, проходящих через центр параллельно ребрам I1, I2, I3 известны. Если же ось вращения проходит через центр тяжести тела и образует с первой ось угол δ1, со второй – δ2, а с третьей – δ1, то момент инерции этого тела относительно такой оси можно вычислить по формуле (5.14) I = I1 cos 2 δ1 + I 2 cos 2 δ 2 + I 3 cos 2 δ3 . По известным длинам ребер нужно вычислить косинусы трех углов, рассчитать момент инерции по этой формуле и сравнить результат с полученным во втором задании. Контрольные вопросы 1. Как записывается основное уравнение динамики для поступательного и для вращательного движений? 2. Что называется моментом инерции абсолютно твердого тела? Каков его физический смысл? 3. Что называется модулем кручения проволоки? 4. В каком случае возникают незатухающие крутильные колебания? 5. Что называется градуировочным графиком? Как он строится? 6. Почему в настоящей работе градуировочная линия должна быть прямой? 7. Как найти неизвестный момент инерции тела по градуировочному графику? Как графически найти его погрешность? 8. По известным длинам ребер вычислите величины cosδ1, cosδ2 и cos δ3, для всех возможных "косых" осей.

61

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 Маятник Обербека Цель работы: определение момента инерции маятника Обербека; изучение свойств момента инерции. Теоретические сведения Маятник Обербека представляет собой маховик крестообразной формы, по четырем одинаковым взаимно перпендикулярным стержням которого можно перемещать и закреплять одинаковые грузы. Схема маятника показана на 2 рис. 6.1. На шкив 1, закрепленный на оси маятника, намотана нить, переки
нутая через другой шкив 2. К концу T нити прикреплен груз m, под действиm ем которого нить разматывается и
mg приводит маятник во вращательное движение. Таким образом, одновременно происходят три движения: поступательное движение груза m и два 1 вращательных движения – маятника и шкива 2. Ввиду малости момента инерции второго шкива его вращение в дальнейшем учитывать не будем. Маятник Обербека, имеющий момент инерции I относительно своей Рис. 6.1. Маятник Обербека оси, вращается относительно нее с угловым ускорением ε под действием момента силы натяжения Т нити. Такое движение подчиняется основному уравнению динамики вращательного движения абсолютно твердого тела. →

→

Iε = M.

(6.1)

Поскольку равенство двух векторов возможно лишь при равенстве их длин, уравнение (6.1) можно переписать в скалярной форме: (6.2) Iε = М . Поступательное движение груза m под действием силы тяжести mg и силы натяжения нити Т подчиняется основному уравнению динамики – второму закону Ньютона. 62

→ → → (6.3) ma =m g + T. Проектируем это уравнение на направление нити и получаем ma = mg − T , откуда находим силу натяжения нити Т и создаваемый ею момент (6.4) T = m( g − a), M = T r = m r ( g − a). Здесь и в дальнейшем r – радиус шкива 1. Ускорение падающего груза равно тангенциальному (или касательному) ускорению точек обода шкива маятника, поэтому оно связано с угловым ускорением ε маятника формулой a = ε r. (6.5) Подставляем (6.4) и (6.5) в (6.2) и получаем уравнение Ia = mr 2 ( g − a ) , из которого выразим момент инерции маятника Обербека

 g  I = mr 2  − 1 . (6.6)  a  Если груз m начинает движение с постоянным ускорением из состояния покоя, то пройденный им за время t путь будет равен h = at 2 2 . Отсюда находим ускорение груза a=

2h

, (6.7) t2 подставляем его в выражение (6.6) и получаем конечную формулу для момента инерции маятника Обербека

 gt 2  I = mr 2  − 1 . (6.8)    2h  Таким образом, задав массу груза m, радиус шкива r, высоту h и измерив время падения груза t, можно по формуле (6.8) экспериментально определить момент инерции I маятника Обербека. Момент инерции маятника можно рассчитать и теоретически. Момент инерции является аддитивной величиной, поэтому он равен сумме моментов инерции отдельных частей маятника: четырех стержней – IС, четырех грузов – IГ и шкива – I0. 63

I = 4 IС + 4 IГ + I0 . Момент инерции стержня IС относительно оси, проходящей через его конец, вычисляется по формуле

1 m1 l 2 , 3 где m1 – масса стержня; l – его длина. Грузы m2, прикрепленные на стержнях на расстоянии R от оси маятника, будем считать материальными точками, поэтому IC =

I Г = m2 R 2 . Момент инерции шкива маятника мал по сравнению с IС и IГ, поэтому величиной I0 можно пренебречь. Таким образом, окончательно имеем

I=

4 m1 l 2 + 4 m2 R 2 . 3

(6.9)

Лабораторная установка Внешний вид установки приведен на рис. 6.2. На среднем кронштейне крепится электромагнит 1, удерживающий систему с грузами в неподвижном состоянии. На этом же кронштейне расположен узел подшипников, на оси которого с другой стороны закреплен двухступенчатый шкив 2. На другом конце оси находится крестовина 3, представляющая собой четыре металлических стержня с нанесенными на них через 1 см рисками. На каждом стержне могут перемещаться и фиксироваться грузы 4, что дает возможность изменять момент инерции маятника. На верхнем и нижнем кронштейнах укреплены фотодатчики 5, сигналы с которых включают и выключают миллисекундомер. Пройденный путь измеряется миллиметровой линейкой 6, нанесенной на вертикальную стойку. При нажатой кнопке "Сеть" загораются лампочки фотодатчика и цифровые индикаторы миллисекундомера. Электромагнит фиксирует положение крестовины. Нажатие кнопки "Сброс" обнуляет все данные. Нажатие кнопки "Пуск" отключает электромагнит и запускает миллисекундомер.

64

1 5 2 4

3 6

4

5

Рис. 6.2. Внешний вид лабораторной установки

Задания и порядок их выполнения Прежде чем приступить к выполнению работы нужно обязательно ознакомиться с лабораторной установкой: составить таблицу технических характеристик, систематических погрешностей приборов и параметров установки; убедиться, что центр масс маятника находится на оси вращения; 65

сделать два–три пробных опыта, на которых можно освоить методику проведения измерений. Задание 1. Экспериментальное определение момента инерции. Установить передвижные грузы на стержнях на заданных расстояниях R от 0m центра оси. Задать радиус шкива r, массу груза m и установить высоту h. Провести опыт 5 раз, измерив время падения груза t. Нижний край груза нужно обязательно установить на оси верхнего фотоэлемента, чтобы секундомер включался одновременно с началом движения. Для среднего значения времени падения t по формуле (6.8) вычислить момент инерции. Провести математическую обработку результатов серии измерений неслучайной величины I. Cчитать погрешность высоты θh = 2 мм, а погрешность расстояния между осью маятника и грузом θR = 1 мм. Задание 1 является стандартным опытом в этой работе. Оно обязательно выполняется каждым студентом и является основой для следующих заданий. С разрешения преподавателя можно не проводить математической обработки следующих серий, а воспользоваться полученными в этом опыте погрешностями. Задание 2. Теоретическое вычисление момента инерции маятника. Вычисление нужно провести по формуле (6.9) с использованием указанных параметров установки. Теоретический результат следует сравнить с полученным на опыте и либо сделать заключение о допустимости имеющихся расхождений, либо объяснить эти расхождения. Различия теоретического и экспериментального значений могут быть связаны с неточной установкой начального положения верхнего груза. Неточность в установке даже на 3–5 мм недопустима. Задание 3. Исследование зависимости момента инерции от внешних параметров опыта (от радиуса шкива r, от массы груза m и от высоты h, с которой начинает падать груз). Убедиться, что момент инерции маятника Обербека не зависит от радиуса шкива r, на который наматывается нить. Для этого нужно провести стандартный опыт при двух радиусах шкива и сравнить получившиеся результаты. 66

Убедиться, что момент инерции маятника Обербека не зависит от массы груза m, раскручивающего маятник. Для этого нужно провести стандартный опыт при трех–пяти различных массах груза m и сравнить получившиеся результаты. Убедиться, что момент инерции маятника Обербека не зависит от высоты h, с которой начинает падать груз. Для этого нужно провести стандартный опыт при трех–пяти различных высотах h и сравнить получившиеся результаты. Можно считать, что момент инерции не зависит внешних параметров опыта r, т и h, если при различных значениях этих параметров значения момента инерции постоянны в пределах систематической погрешности измерений θI. Задание 4. Исследование зависимости момента инерции от расстояния меж- I ду осью маятника и грузом. Выполнить стандартный опыт при 3–5 различных положениях грузов R. Результаты измерений нанести на гра-

( )

фик I R 2 (см. рис. 6.3). Убедиться, что наблюдаемая зависимость линейная, и объяснить, почему. Пояснить смысл величины, отсекаемой при R → 0 на оси I, и тангенса угла наклона прямой.

R2 Рис. 6.3. Зависимость момента игнерции от расстояния

Контрольные вопросы 1. Как связаны линейные и угловые величины при вращательном движении? 2. Что называется моментом импульса и моментом силы? 3. Как записывается основное уравнение динамики для поступательного и для вращательного движений? 4. В чем состоит аналогия между формулами для поступательного и вращательного движений? 5. Что называется моментом инерции абсолютно твердого тела? Каков его физический смысл? 6. Сформулировать правило, по которому следует выбирать расстояния R до грузов. 67