Сборник справочных материалов по курсу высшей математики

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"

Т. В. Тарбокова

Сборник справочных материалов по курсу высшей математики

Томск 2006

УДК 517 Т 19 Т 19

Тарбокова Т. В. Сборник справочных материалов по курсу высшей математики: Учебное пособие / Т.В. Тарбокова. – Томск: Изд-во ТПУ, 2006. – 92 с. Сборник справочных материалов содержит сведения по всем разделам курса высшей математики, изучаемого в вузе, и способствует развитию творческих способностей, математического мышления студентов, активизации их познавательной деятельности и самостоятельной работы. Включает теоретические сведения, оформленные в виде структурнологических схем, алгоритмов решения задач, крупноблочного представления материала. Для студентов всех специальностей вузов.

УДК 517

Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета

Рецензенты Кандидат физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики ТУСУР Л.И. Магазинников Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа ТГУ Л.С. Копанева

© Оформление. Издательство ТПУ, 2006 © Томский политехнический университет, 2006

2

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы

⎡ a11 a12 ⎢ A = ⎢ a21 a22 ... ... ⎢a ⎣ m1 am 2 Определение минора.

... a1n ⎤ ... a2 n ⎥ ... ... ⎥ ... amn ⎥⎦

Минором M k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых её «к» столбцов и любых её «к» строк

M 1 = a ij , M 2 = i, s = 1,..., m,

a ij

a ik

a sj

a sk

, и т. д.

j , k = 1,..., n

нет

A=0 Rang A = 0

∃M 1 ≠ 0 да нет

∃M 2 ≠ 0

Rang A = 1

да нет

∃M 3 ≠ 0

Rang A = 2

да

….. Определение ранга матрицы.

Рангом r матрицы А называется наибольший порядок r минора этой матрицы, отличного от нуля:

∃M r ≠ 0, ∀M k = 0 или ∃М k , k = r + 1, r + 2,... (существует минор порядка r, не равный нулю, а все миноры более высоких порядков равны нулю или не существуют).

3

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями Условимся называть рабочей строку, которая не изменяется на проводимом этапе элементарных преобразований (перестановке строк; умножении строки на число и сложении с соответствующими элементами другой строки; вычеркиванием всех пропорциональных строк, кроме одной из них). Рабочая строка первая. Получим нули в первом столбце на местах всех элементов первого столбца за исключением элемента в первой строке а11. Для этого умножим все элементы первой строки на такие числа, чтобы при сложении с элементами первого столбца остальных строк получить нули в первом столбце, за исключением элемента первой строки а11. Если в системе, которую Вы решаете, коэффициент при х1 в первом уравнении не равен единице, поменяйте местами строки, записав первой ту, в которой коэффициент при неизвестном х1 равен единице. Если при неизвестном х1 во всех уравнениях коэффициенты отличны от единицы, можно: 1) умножить первую строку расширенной матрицы системы на число, противоположное тому, на месте которого Вы хотите получить ноль; а строку, в которой хотите получить ноль, умножьте на коэффициент при х1 в первой строке; 2) сложите соответствующие элементы умноженной первой строки и умноженной другой строки. ⎡3 A = ⎢⎢5 ⎢⎣7

1

−2

−3 2

1 −3

2⎤ 3 ⎥⎥ 6 ⎥⎦

(−5)(−7 )

⎡3

1

−2

⎣⎢0

−1

5

(3) ∼ ⎢ ⎢0 − 14 13

+

2⎤ ∼ − 1⎥⎥ 4 ⎦⎥

Далее нужно получить нули во втором столбце ниже главной диагонали. Рабочая строка вторая. Получаем нули во втором столбце ниже элемента а22. Умножим третью строку на (–14) и сложим с соответствующими элементами второй строки. (Или можно было поменять местами вторую и третью строки, чтобы на главной диагонали оказалась единица (см. (∗))). −2 2⎤ ⎡3 1 −2 1 2⎤ ⎡3 ⎢0 − 14 13 ⎥ ∼ ; ⎢ − 1⎥ + −14 − 1 ⎥⎥ 13 ⎢ ⎢0 − 14 ( ) ⎢⎣0 − 1 ⎢⎣0 5 4 ⎥⎦ − 57 ⎥⎦ 0 − 57 ⎛ ⎡3 ⎜ ⎢ ⎜ ∼ ⎢0 ⎜ ⎢0 ⎝ ⎣

1 −1 − 14

−2 5 13

2⎤ 4 ⎥⎥ − 1 ⎥⎦

⎡1 (−14) ∼ ⎢⎢0 ⎢⎣0

2 −1 0

3 5 − 57

2 ⎤⎞ ⎟ (∗) 4 ⎥⎥ ⎟ − 57 ⎥⎦ ⎟⎠

Rang A = 3

З а м е ч а н и е . Полученная в скобках матрица (∗) также эквивалентна исходной матрице А , то есть имеет тот же ранг, а системы уравнений, соответствующие этим матрицам, имеют одинаковые решения. Вычисление определителей Правило треугольников для вычисления определителей третьего порядка:

• • • • • • • • •

• • • • • • • • •

+ – произведения элементов берутся с тем же знаком, ─ – произведения элементов берутся с противоположным знаком.

+ – Таблица Саррюса для вычисления определителей третьего порядка: 1 2 3 1 2 ─ столбцы.

⎡• • • • •⎤ ⎢• • • • •⎥ ⎢⎣• • • • •⎥⎦ Правило разложения определителя по элементам какой-либо его строки или столбца с использованием понятия минора и алгебраического дополнения Определение Минором M ij элемента a ij определителя n-го порядка называется минора M i j определитель (n–1)-го порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием элементов элемента a i j i-й строки и j-го столбца. определителя n-го порядка. Определение

Алгебраическим дополнением

4

Aij элемента a ij называется минор этого элемента,

алгебраического дополнения A i j элемента ai j оп-

умноженный на ( −1) Aij = ( −1)

(i + j )

(i + j )

:

⋅ M ij

ределителя n-го порядка. В соответствии со свойствами определитель порядка n может быть представлен в виде разложения этого определителя по элементам i-й строки: n

det A = ∑ ai j Ai j = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + + ain Ain = = ai1 (− 1)i +1 M i1 + ai 2 (− 1)i +2 M i 2 + + ain (− 1)i +n M in . j =1

То есть определитель квадратной матрицы А порядка n равен сумме произведений элементов какойлибо i-й его строки на алгебраические дополнения этих элементов. Аналогичным образом можно разложить этот же определитель по элементам любого его столбца. Так для определителя третьего порядка формула разложения определителя по элементам второго столбца получится следующей: a11 a12 a13

a21 a23 a11 a13 a11 a13 = a21 a22 a23 = a12 (− 1)1+2 + a22 (− 1)2+2 + a32 (− 1)3+2 a31 a33 a31 a33 a21 a23 a31 a32 a33

= − a12 (a 21a 33 − a 31a 23 ) + a 22 (a11a 33 − a 31a13 ) − a 32 (a11a 23 − a 21a13 ) . Определители второго порядка получаются, если вычеркнуть в определителе третьего порядка второй столбец и, соответственно, первую, потом вторую, потом третью строки. Действия над матрицами

( ) и B = (bij ) с одинаковым количеством m строк и n столбC = (cij ) , элементы которой равны сумме соответствующих эле-

Суммой двух матриц A = a ij цов называется матрица Определение суммы двух матриц.

ментов слагаемых матриц: C = A + B.

cij = a ij + bij ,

(i = 1, 2, …, m;

j = 1, 2, …, n.) . Обозначение:

3⎞ 4⎞ ⎛ 0 + 3 −1 + 4 ⎞ ⎛ 3 ⎛ 0 − 1⎞ ⎛ 3 ⎛ 0 −1⎞ ⎛ 3 4⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ C = A + B = ⎜ − 2 − 3⎟ + ⎜ − 5 0 ⎟ = ⎜ − 2 − 5 − 3 + 0 ⎟ = ⎜ − 7 − 3⎟ . Если A = ⎜ − 2 − 3⎟, B = ⎜ − 5 0⎟ , то ⎜ 5 4 ⎟⎠ 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 + 1 6 − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 6 ⎜ 5 6⎟ ⎜ 1 − 2⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Произведением матрицы A = a ij на число λ называется матрица, у которой каждый

( )

Определение произведения матрицы на число.

Например.

элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число λ : ⎛ i = 1, 2, …, m; ⎞ ⎟⎟ . λA = λ a ij = λa ij , ⎜⎜ ⎝ j = 1, 2, …, n. ⎠

( ) ( )

⎛ 2 0 − 1⎞ ⎛ − 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 0 − 1 ⋅ (−1) ⎞ ⎛ − 2 0 1⎞ ⎟. ⎟=⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ − 1 ⋅ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ − 3 − 1 0 ⎟⎠ ⎝ 3 1 0 ⎠ ⎝ − 1 ⋅ 3 − 1 ⋅1

λA = (−1) ⋅ ⎜⎜

Определение произведения матрицыстроки на матрицустолбец.

Произведением матрицы-строки, имеющей n столбцов, на матрицу-столбец, имеющий столько же строк, называется матрица, состоящая из одного элемента, который равен сумме произведений соответствующих элементов перемножаемых матриц: A1×n ⋅ Bn×1 = C1×1 ,

5

Или или

(a11

a12

⎛ b11 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ a1n )⎜ 21 ⎟ = (a11b11 + a12b21 + … + a1nbn1 ) . ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ n1 ⎠

⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ . ⎜ 2 ⎟ Например, C = (− 1 2 0 4 )⎜ ⎟ = (− 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 2 + 0 ⋅ (−4) + 4 ⋅ 3) = (16 ) −4 ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠

Условие существования произведения двух матриц.

Произведение матриц A ⋅ B существует только в тех случаях, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B , то есть Am×n ⋅ Bn× p = C m× p . При этом

Определение перестановочных матриц.

Квадратные матрицы, произведение которых коммутативно: AB = BA , называются перестановочными.

матрица-произведение имеет число строк матрицы A и число столбцов матрицы B .

( )

( )

имеющую n строк и p столбцов, называется матрица C = cij , имеющая m строк и p столбцов, у которой элемент cij равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы A и

то есть

( )

Произведением матрицы A = a ij , имеющей m строк и n столбцов, на матрицу B = bij ,

Определение произведения матриц.

j -го столбца матрицы B , ⎛ i = 1, 2, …, m; ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ j = 1, 2, …, p. ⎠ Am×n ⋅ Bn× p = C m× p .

cij = a i1b1 j + a i 2 b2 j + … + a in bnj ,

Произведение матриц обозначается

Замечание. Правило умножения матриц можно легко запомнить, если сформулировать его в следующем виде: элемент cij матрицы C , стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца, есть скалярное произ-

ведение

i -й вектор – строки матрицы A и j -го вектор – столбца матрицы B .

⎛ 7 10 13⎞ ⎟ ⎛ 0 ⋅ 7 + 2 ⋅ 8 + 3⋅ 9 0 ⋅10+ 2 ⋅11+ 3⋅12 0 ⋅13+ 2 ⋅14+ 3⋅15⎞ ⎛ 43 58 73 ⎞ . ⎛ 0 2 3⎞ ⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ 8 11 14⎟ = ⎜⎜ A⋅ B = ⎜⎜ ⎝ 4 5 6⎠ ⎜ 9 12 15⎟ ⎝ 4 ⋅ 7 + 5 ⋅ 8 + 6 ⋅ 9 4 ⋅10+ 5 ⋅11+ 6 ⋅12 4 ⋅13+ 5 ⋅14+ 6 ⋅15⎠ ⎝122 167 202 ⎠ ⎝ ⎠ Определение единичной матрицы.

Квадратная матрица, на главной диагонали которой все элементы равны единице, а все остальные элементы нули, называется единичной матрицей и обозначается буквой E.

Определение обратной матрицы.

Обратной для матрицы A называется такая матрица A −1 , что их произведение равно единичной матрице: A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = E .

Теорема существования обратной матрицы.

Для любой квадратной матрицы A , определитель которой не равен нулю (det A ≠ 0) ,

Определение невырожденной и вырожденной матриц.

Матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной. Матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной.

существует единственная обратная матрица A −1 .

6

Чтобы найти обратную для A матрицу A −1 , можно действовать следующим образом: 1. Вычислить определитель матрицы A (det A ≠ 0) .

2.

Если det A = 0 , то матрица A не имеет обратной A −1 . Составить союзную матрицу из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A : Aij .

3.

Транспонировать союзную матрицу, то есть заменить строки на столбцы с такими же номерами: Aij

4.

Разделить

( )

( )T .

(Aij )T A −1 =

det A

транспонированную =

союзную

матрицу

на

определитель

матрицы

A:

( )T .

1 Aij det A

Например. 1 −2 1. det A = = 3 − 0 = 3 ≠ 0 . 2. 0 3

(Aij ) = ⎛⎜⎜ 23

0⎞ ⎟ . Вспомните, что Aij = ( −1) i + j M ij . 1 ⎟⎠

⎝ 3 2 3 2 ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 1 ⎟⎟ 4. A −1 = ⎜⎜ ⎟. 3. Aij T = ⎜⎜ 0 1 3 ⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎝ ⎠ Проверим, правильно ли найдена обратная матрица:

( )

1 ⎛ 3 0⎞ ⎛1 0⎞ ⎟=⎜ ⎟=E. A −1 ⋅ A = 1 ⎛⎜ 3 2 ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ 1 − 2 ⎞⎟ = 1 ⎛⎜ 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 3 ⋅ (−2) + 2 ⋅ 3 ⎞⎟ = ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎝ 0 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ 3 ⎠ 3 ⎝ 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 0 ⋅ ( −2 ) + 1 ⋅ 3 ⎠ 3 ⎝ 0 1⎠ ⎝ 0 Определение Система строк (столбцов, векторов, решений) x1 , x2 ,..., xn называется линейно залинейной висимой, если линейная комбинация λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λn xn = 0 , когда не все зависимости (независимости) коэффициенты линейной комбинации λ1 , λ2 , ...λn ─ нули, системы и называется линейно независимой, если линейная комбинация λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λn xn = 0 , когда все коэффициенты линейной комбинации

λ1 , λ2 , ...λn

─ нули.

Исследование и решение произвольной системы линейных уравнений Определение базисного минора и базисных неизвестных.

Любой, не равный нулю минор, имеющий порядок ранга основной и расширенной матриц системы, называется базисным минором, а неизвестные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор – базисными неизвестными.

Определение свободных неизвестных.

Неизвестные, коэффициенты при которых не вошли в базисный минор, называются свободными.

Определение СОЛУ.

Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены во всех уравнениях этой системы равны нулю. AX = 0 – матричная запись СОЛУ.

Система однородных линейных уравнений всегда совместна, поскольку имеет так называемое тривиальное решение, когда все неизвестные равны нулю: X = 0, ⇒ A ⋅ 0 = 0 . Ранги основной и расширенной матриц системы однородных линейных уравнений всегда равны, так как вычеркивание нулевого столбца свободных членов не изменяет ранга матрицы, поэтому по теореме Кронекера-Капели СОЛУ всегда совместна. Фундаментальной системой частных решений системы однородных линейных уравнений называется система линейно независимых частных решений, число решений в Определение которой равно числу свободных неизвестных системы. ФСЧР СОЛУ. Если n – число неизвестных системы, r – её ранг, то ФСЧР СОЛУ должна содержать k = n – r линейно независимых частных решений. Фундаментальную систему частных решений получают обычно, последовательно приравнивая свободные неизвестные элементам строк единичной матрицы E порядка k = n − r . Замечание. ФСЧР СОЛУ можно получить также, приравнивая свободные неизвестные элементам строк произвольной квадратной матрицы А порядка k = n – r, если det A ≠ 0 .

7

Блок-схема исследования и решения произвольной системы линейных уравнений

R(А) – ранг основной матрицы системы; R(В) – ранг расширенной матрицы системы; Мr – базисный минор; n – число неизвестных.

Система совместна (имеет хотя бы одно решение)

R(A) = R(B) = =r =n

Начало R(A) =R(B)

Система несовместна (нет решений)

да

нет

да

Определённая система (имеет единственное решение)

нет

r
Метод Гаусса

Mr ≠0 r неизвестных – базисные; k = (n – r) неизвестных – свободные. Перенести свободные неизвестные к свободным членам, выразить базисные неизвестные через свободные, получить общее решение.

Приравнять свободные неизвестные произвольным постоянным числам, получить частное решение. Для системы однородных линейных уравнений (все свободные члены равны нулю) получить фундаментальную систему (n – r) частных решений, последовательно приравняв свободные неизвестные элементам строк единичной матрицы.

8

Метод Крамера

Матричный метод

Проверка

Конец

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Координаты вектора АВ находят, вычитая из координат точки B (bx , by , bz ) , являющейся концом вектора, соответствующие координаты точки

A(ax , a y , az ) , являющейся началом вектора.

AB = (bx − ax , by − ay , bz − az ) = (bx − a x )i + (b y − a y ) j + (bz − a z )k .

Косинус угла между векторами A B и CD равен отношению скалярного произведения этих векторов к произ-

) (AB, CD ) .

∧ cos AB, CD =

(

ведению длин этих векторов:

AB CD

Скалярное произведение двух векторов в ортонормированном (декартовом) базисе равно сумме произведений одноименных координат этих векторов: если a = (a x , a y , a z ), b = (bx , b y , bz ) , то (a, b) = (b, a ) = axbx + a y by + az bz .

a = (a, a ) в ортонормированном базисе равна корню квадратному из суммы квадратов

Длина вектора

координат этого вектора. Например, если

a = (a x , a y , a z ), то a = a x2 + a y2 + a z2 .

пр b a =

( a, b) b

–

проекция вектора а на вектор b . В ортонормированном базисе векторное произведение находят, раскладывая определитель, в первой строке

которого – орты i , j , k декартовой системы координат, во второй строке – координаты левого из перемножаемых векторов, а в третьей строке – координаты правого из перемножаемых векторов. Например, a = ( a1 , a 2 , a 3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) , тогда векторное произведение этих векторов в декартовой системе координат можно найти так:

i j a , b = a1 a2

[ ]

b1

b2

k a a3 = i 2 b2 b3

Свойства векторного произведения

[a, b] = −[b, a]; mod[a, b] = a b sin(a тройка a, b, [a, b]− правая.

a3 a a a a − j 1 3 +k 1 2 . b3 b1 b3 b1 b2

∧

b);

Геометрический смысл векторного произведения.

Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах как на двух смежных сторонах. Обычно векторы приводят к общему началу. Половина модуля векторного произведения численно равна площади треугольника, построенного на перемножаемых векторах как на двух смежных сторонах этого треугольника. Обычно векторы приводят к общему началу.

Определение и условие компланарности векторов.

Векторы, лежащие в одной или параллельных плоскостях, называются компланарными. Смешанное произведение ненулевых компланарных векторов равно нулю.

Смешанное произведение трех векторов получают, умножая векторное произведение двух векторов на третий вектор скалярно. В ортонормированном базисе смешанное произведение равно определителю, строками или столбцами которого являются координаты перемножаемых векторов. Обычно первой строкой определителя записывают координаты первого вектора, второй строкой – координаты второго вектора, а третьей строкой – координаты третьего вектора, если считать векторы слева направо. Полезно помнить такие свойства смешанного произведения: 1) при перестановке двух любых соседних векторов смешанное произведение меняет знак на противоположный; 2) при циклической перестановке (последний вектор ставится впереди первого) смешанное произведение не изменяется, поскольку при этом два раза переставляются соседние векторы. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, Геометрический смысл смешанного построенного на этих векторах как на ребрах. Обычно векторы приводят к общему произведения. началу. Объём пирамиды, построенной на векторах AB , AC и A D , равен одной Деление отрезка в отношении λ.

шестой объёма параллелепипеда, построенного на этих же векторах как на ребрах x + λxB y + λy B z + λz B . АК : ; yK = A ; zK = A xK = A λ=± 1+ λ 1+ λ 1+ λ КВ

9

Точка A( x A , y A , z A ) , точка B ( x B , y B , z B )

ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Условие ортогональности векторов

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Условие компланарности

Вектор AB = ( x B − x A , y B − y A , z B − z A )

а и b ( a ⊥ b) : ( a, b ) = 0

Условие коллинеарности векторов а и b ( a

[a, b] = 0

Скалярное произведение векторов

а и b − ЧИСЛО (a, b) :

векторов a, b, c : ( a, b, c )

b, a = λ b) : Смешанное произведение векто-

ров a, b, c − ЧИСЛО ( a, b, c) :

1. (a, b) = (b, a ) ; 2. (α a + β b, c) = α ( a, c) + β (b, c) ; 3. (a, b) ≥ 0, (a ≠ 0 ∩ b ≠ 0 ); 4. (a, b) = 0, (a = 0 ∪ b = 0) .

Векторное произведение векторов а и b − ВЕКТОР c 1. c 2.

1. Длина вектора а : a =

( a, a ) ;

2. Проекция вектора а на вектор b :

пр b a =

( a, b) b

=0

;

[ ]

= a, b :

⊥ a, c ⊥ b ;

[a, b] = a ⋅ b ⋅ sin(a,

∧

(a, b, c) = =

([ a, b ], c) = (a, [ b, c ])

b) ; Свойства: 1. Циклическая перестановка векторов

3. Тройка векторов a, b, c − правая.

(a, b, c) = (c, a, b) = (b, c, a) ;

Свойства:

[ ] = −[b, a];

1. a, b

2. Перестановка двух любых соседних векторов

2.

(a, b, c) = − (b, a, c) .

[ α a + β b, c ] = α [ a, c ] + β [ b, c ] .

3. Угол между векторами а и b :

) (a, b )

∧ cos a, b =

(

a b

В ортонормированном базисе (ДСК): ( a , b ) = a x bx + a y b y + a z bz , если a = (a x , a y , a z ), b = (bx , b y , bz )

В ортонормированном базисе (ДСК): i j k a a3 a a a a − j 1 3 +k 1 2 , a , b = a1 a2 a3 = i 2 b1 b2 b2 b3 b1 b3 b1 b2 b3

[ ]

если a = (a x , a y , a z ), b = (bx , b y , bz ) , c

= (c x , c y , c z ) .

В ортонормированном базисе (ДСК):

ax (a, b, c) = bx

ay by

az bz

cx

cy

cz

ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ТАБЛИЦАХ

ТАБЛИЦА 1

№ Уравнения прямой L на плоскости (в R2) 1 A(x-x1)+B(y-y1) = 0

2

Уравнение прямой L, проходящей через точку M1(x1,y1) ∈ L, перпендикулярно вектору N = (A,B) Ax + By +D = 0 Общее уравнение прямой L

3

y = kx+b Уравнение прямой L с угловым коэффициентом

Рисунки, пояснения N = (A,B) r = (x, y) r1 = (x1, ,y1) M1(x1, ,y1) ∈ L ∀M(x, y) ∈ L

M1(x1, y1) ∈ L;

D = – Ax1 – By1; N=(A,B)⊥L k = y′ = − b = −

A = tgα , α = B

D B

(l ,i ) ∧

y

α≥0 b α 0

4

x y + =1 a b Уравнение прямой L в отрезках

5

x − x1 y − y1 = m n

Уравнение прямой L каноническое

6

x − x1 y − y1 = x 2 − x1 y 2 − y1

Уравнение прямой L, проходящей через две данные точки M1 и M2 7

y=0 ⇒ x=a x=0 ⇒ y=b D a=− ; A D b=− B

⎧ x = x1 + mt , ⎨ ⎩ y = y1 + nt. Уравнение прямой L параметрическое

x

y

b 0

a

x

l=(m, n) l=(m, n) ⎜⎜L M1(x1, y1)∈L ∀M(x, y)∈L

l=(m, n) ⎜⎜L M1(x1, ,y1)∈L M2(x2, y2)∈L ∀M(x, y)∈L

m=x2–x1, n=y2-–y1 x − x1 y − y1 = = t, m n

. ∀t∈R1 – параметр

ТАБЛИЦА 2

№ 1

2 3

4

1

Уравнения плоскости Р A(x–x1)+B(y–y1)+C(z–z1)=0 Уравнение плоскости P , проходящей через данную точку М1,, перпендикулярно данному вектору N=(A,B,C)

Рисунки, пояснения

Ax + By + Cz + D = 0 Общее уравнение плоскости P x y z + + =1 a b c Уравнение плоскости P в отрезках x − x1 y − y1 z − z1

D = – Ax1 – By1 – Cz1

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1 = 0

x3 − x1

y3 − y1

z3 − z1

Уравнение плоскости P , проходящей через три данные точки Уравнения прямой L в трехмерном пространстве (R3) ⎧A1x+B1y+C1z+D1=0 ⎩A2x+B2y+C2z+D2=0. Общее уравнение прямой L

2

x − x1 y − y1 z − z1 = = m n p

Уравнения прямой L канонические 3

x − x1 y − y1 z − z1 = = x2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1

Уравнения прямой L, проходящей через две данные точки M1 и M2 4

r = (x, y, z) r1 = (x1, ,y1, z1) M1(x1, ,y1, z1)∈P

∀M(x, y, z)∈ P

y=0, z=0 ⇒ x=a x=0, z=0 ⇒ y=b x=0, y=0 ⇒ z=c M1(x1, y1, z,1)∈ P, М1М∈Р M2(x2, y2, z2)∈ P, М2М1∈Р M3(x3, y3, z3)∈ P, М3М1∈Р ∀M(x, y, z)∈P

Рисунки, пояснения N1=(A1,B1,C1) N2=(A2,B2,C2) N1 ⎜⎜N2 L={P1∩P2} l ⎜⎜L, l=(m ,n, p)=[ N1, N2] l ⎜⎜L, l=(m, n, p) M1(x1, y1, z1)∈L ∀M(x, y, z)∈L

l ⎜⎜L, l=(m, n, p), lt=M1M2 m=x2–x1, n=y2–y1, p=z2–z1 M1(x1, y1, z1)∈L M2(x2, y2, z2)∈L ∀M(x, y, z)∈L

⎧ x = x1 + mt , ⎪ ⎨ y = y1 + nt , ⎪ z = z + pt 1 ⎩

x − x1 y − y1 z − z1 = = = t, m n p ∀t∈R1

Параметрические уравнения прямой L

12

Уравнения плоскости Р в трехмерном пространстве R3 и уравнения прямой L в двухмерном пространстве R2 ТАБЛИЦА 3

Уравнения плоскости Р в R3 в Векторная форма уравнений Уравнения прямой L в R2 в координатной форме координатной форме P, L в R3 и R2 I R3 Уравнения P и L, проходящих через данную точку М1 R2 I перпендикулярно данному вектору N N = (A,B) N=(A,B,C) r-r1 = M1M M1M ⊥ N(P) r = (x, y, z) r = (x, y) M1M ⊥ N(L) r1 = (x1, y1, z1) M1(x1, y1, z1)∈P ∀M(x, y, z)∈ P

A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0

R3

II

Ax + By + Cz + D = 0

(r-r1,N) = 0 (M1M,N) = 0 Условие ортогональности векторов Общие уравнения

r1 = (x1, y1) M1(x1, y1) ∈ L ∀M(x, y) ∈ L

A(x-x1)+B(y-y1) = 0

R2

(r,N) + D = 0

Ax + By +D = 0

D = -Ax1 -By1 -Cz1 R3

D = – (r1, N) Через n фиксированных точек M n=3 n=2 M1(x1,y1,z,1)∈ P, М1М∈Р M2(x2,y2,z2)∈ P, М2М1∈Р M1 ∈ P, L M3(x3,y3,z3)∈ P, М3М1∈Р M2 ∈ P, L ∀M(x,y,z)∈P ∀M ∈ P, L x − x1 y − y1 z − z1 M3 ∈ P III

x2 − x1 x3 − x1

A=

y2 − y1 z2 − z1 y3 − y1 z3 − z1

B=−

С=

y2 − y1 y3 − y1

II

z2 − z1 = 0 z3 − z1

D = -Ax1 -By1 R2 III M1(x1,y1) ∈ L, M2(x2, y2) ∈ L ∀M(x, y) ∈ L М1М ⎜⎜ М2М1

i x − x1 x 2 − x1

j y − y1 y 2 − y1

[M1M,M1M2] = 0

(M1M,M1M2,M1M3)=0

Условие компланарности векторов

Условие коллинеарности векторов

A =y2-y1; B = –(x2-x1), ⇔ A(x-x1) + B(y-y1) = 0 (1. I.)

x2 −x1 z2 −z1 x3 −x1 z3 − z1

x2 − x1 y2 − y1 (1. I .) x3 − x1 y3 − y1 IV

k 0 =0 0

R3

x y z + + =1 a b c y=0, z=0 ⇒ x=a x=0, z=0 ⇒ y=b x=0, y=0 ⇒ z=c

Уравнения в отрезках r =xi +yj +zk τ = i/a +j/b +k/c (r,τ) = 1 τ = (1/a, 1/b, 1/c) ⎜r ⎜cos(r,τ) = 1/ ⎜τ ⎜

13

R2

y=0 ⇒ x=a x=0 ⇒ y=b

IV

x y + =1 a b

Уравнения прямой L в трехмерном пространстве R3 и в двухмерном пространстве R2

ТАБЛИЦА 4 Уравнения прямой L в R2 в коордиУравнения прямой L в R3 в коорВекторная форма уравнединатной форме ний прямой L в R2 и R3 натной форме I Канонические уравнения прямой L I l=(m,n,p) l=(m,n) r-r1=M1M ⎜⎜l l=(m,n,p)⎪⎪L l=(m,n) ⎜⎜L r2-r1=M1M2 ⎜⎜l M1(x1,y1,z1)∈L M1(x1,y1)∈L M2(x2,y2,z2)∈L M2(x2,y2)∈L [r-r1, l ]=0 ∀M(x,y)∈L ∀M(x,y,z)∈L [M1M, l ]=0

x − x1 y − y1 = m n

x − x1 y − y1 z − z1 = = m n p II

x − x1 y − y1 z − z1 = = = t , ∀t∈R1 m n p

Уравнения прямой L, проходящей через две данные точки M1 и M2

Общие уравнения прямой L в R3

N1=(A1,B1,C1) N2=(A2,B2,C2)

(P1∩P2)

Уравнение прямой L с угловым коэффициентом k в R2 V

Ax+By+D=0, B≠0

N1 ⎜⎜N2

L={P1∩P2} .

⎧A1x+B1y+C1z+D1=0, ⎩A2x+B2y+C2z+D2=0.

N1 ⎜⎜N2 ⇔ P1∩P2 ⇔

x − x1 y − y1 = x 2 − x1 y 2 − y1

[M1M,M1M2]=0

x − x1 y − y1 z − z1 = = x2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1

III

l ⎜⎜L, l=(m,n), tl=M1M2 m=x2–x1, n=y2-–y1

M1M ⎜⎜ M1M2 ⎜⎜ l M1∈L, M2∈L, ∀M∈L

m=x2–x1, n=y2–y1, p=z2–z1

∀t∈R1

⎧ x = x1 + mt , ⎨ ⎩ y = y1 + nt.

r-r1=M1M=tl r=r1+tl [M1M, tl ]=0

l ⎜⎜L, l=(m,n,p), lt=M1M2

IV

x − x1 y − y1 = = t, m n

r-r1 ⎜⎜l, ∀t∈R1 M1M⎜⎜l

⎧ x = x1 + mt , ⎪ ⎨ y = y1 + nt , ⎪ z = z + pt 1 ⎩ III

II

Параметрические уравнения прямой L

⎡ A1 Rang ⎢ ⎣ A2

B1 B2

⇓

y=−

A D x− B B

y =kx+b

C1 ⎤ = 2. C 2 ⎥⎦

b = −

14

( ) ∧

k = y′ = − D B

A = tgα , α = l ,i B α≥0

.

ТАБЛИЦА 4а (продолжение таблицы 4) Связь между уравнениями прямой L в R3 Общие (2.IV)

Связь между уравнениями прямой L в R2 С угловым коэффициентом: (2.V)

⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 A1 B1 ≠ 0⇒ z0=0 A2 B2

y=kx+b

N = (k ,−1),

⇓ ⎧x=x1, y=kx1+b=y1 ⇒ M1(x1,y1)∈L, ⎩x=x2, y=kx2+b=y2 ⇒ M2(x2,y2)∈L.

⎧ A1 x + B1 y + D1 = 0, ⇒ M0(x0,y0,0)∈L ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + D2 = 0 A1 С1 ≠ 0 ⇒ y1=0 ⇒ M1(x1,0,z1)∈L или A2 С 2

k=

y 2 − y1 x2 − x1

x − x1 y − y1 через точки M1∈L и M2∈L = x 2 − x1 y 2 − y1 (1. III) (2.III)

B1 или B2

C1 ≠ 0 ⇒ x2=0 ⇒ M2(0,y2,z2)∈L ⎧ x − x = m, x − x1 y − y1 2 1 C2 ⇒ = ⎨ y − y = n m n 2 1 ⎩ – канонические (2.I) ⇓

N1=(A1,B1,C1),⎫ N2=(A2,B2,C2) ⎭ ⇔ l=[N1,N2]=(m,n,p)

⎧n(x-x1)=m(y-y1) ⎨n(x-x1)-m(y-y1)=0, ⎩n=A; –m=B;

x − x0 y − y 0 0 − z 0 – канонические (2.I) = = t= m n p ⎧x-x0+mt, ⎨y-y0+nt, ⎩z=0+pt

-

⇓ -Ax1–By1=D

– параметрические (2.II)

M1(x1,y1)∈L N=(A,B)⊥L (1.I)

Ax+By+D=0 – общее (1.II)

⇓

0 − z0 x − x0 y − y0 = = x1 − x0 y1 − y 0 z1 − z 0

A(x-x1)+B(y-y1)=0

– через две

точки M0∈L, M1∈L (2.III)

⎧( x − x0 )( y1 − y 0 ) = ( y − y 0 )( x1 − x0 ), – ⎨ ⎩ ( y − y 0 )( z1 − z 0 ) = (0 − z 0 )( y1 − y 0 ) общие (2.IV)

15

Взаимное расположение плоскостей P в трёхмерном пространстве R3 и прямых L в двухмерном пространстве R2

I

ТАБЛИЦА 5 Обозначения, принятые в I таблице 2, {L1,L2} в R2

I

Обозначения, принятые в таблице 2, {P1,P2} в R3

P1: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ⎫ ⎬Ψ R3 P2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0⎭

cos ϕ =

( N1 , N 2 )

a)

N1 N 2

L1 : A1 x + B1 y + D1 = 0, ⎫ ⎬χ L 2 : A2 x + B2 y + D2 = 0⎭

N1=(A1,B1); N2=(A2,B2)

N1=(A1,B1,C1); N2=(A2,B2,C2)

⎡A B С ⎤ Rang⎢ 1 1 1 ⎥ = RangA(ψ ) ⎣ A2 B2 С2 ⎦

⎡A Rang ⎢ 1 ⎣ A2 N1=(A1, B1, C1); N2=(A2, B2, C2)

R2

⎡A B C D ⎤ Rang⎢ 1 1 1 1 ⎥ = RangB(ψ) ⎣A2 B2 C2 D2 ⎦ ϕ

B1 ⎤ = Rang A(χ ) B 2 ⎥⎦

⎡A B D ⎤ Rang⎢ 1 1 1 ⎥ = RangB(χ) ⎣ A2 B2 D2 ⎦ б)L1: y=k1x+b1 L2: y=k2x+b2 tgϕ = k 2 − k 1 1 + k1k 2 ⇓ k1=tg α1; k2=tg α2

N1=(A1,B1) N2 =(A2,B2)

tgϕ =tg (α2 – α1) = tg α 2 − tg α 1 , 1 + tg α 1 tg α 2

Признаки взаимного расположения плоскостей {P1, P2} и прямых {L1, L2} II P и L Как расположены Прямые {L1, L2} в Rn; n=2 Плоскости {Р1, Р2} в Rn;n=3 P1 ∩ P2 (пересекаются) L1∩L2 (пересекаются) P1 ∩ P 2, L1 ∩ L 2

II

cosϕ=

A1A2 +B1B2 +C1C2

A12 +B12 +C12 A22 +B22 +C22

≠±1

P1⊥P2 ⇔ N1⊥N2 ⇔ cosϕ=0 {P1∩P2}=L, L ∈P1, L ∈P2

N1⎪⎪ N2

ϕ ≠ πk, k=0, ±1, ±2, ... cos ϕ ≠ ± 1

A1 B1 C1 D1 = = ≠ A2 B2 C 2 D2 cosϕ = ±1

P1≡P2 (совпадают)

A1 B1 C1 D1 = = = = λ ∈ R1 A2 B2 C2 D2 cosϕ = ±1

A1A2 + B1B2

A12 + B12 A22 + B22

≠ ±1

L1⊥L2⇔N1⊥N2 ⇔ cosϕ = 0 б) tgϕ=

Rang A(ψ)= = Rang B(ψ)= 2 < 3=n совместная неопределенная система (ψ)

P1⎪⎪P2 (параллельны)

a) cosϕ =

P1 P 2, L1 L 2 N1=λN2; D1≠λD2 λ∈R1 1=Rang A(ψ,χ) < < Rang B(ψ,χ) = 2 системы (ψ),(χ) несовместны

P1 ≡ P 2, L1 ≡ L 2 N1=λN2; D1 = λD2; λ∈R1 Rang A(ψ,χ)= = Rang B(ψ,χ)= 1 совместные неопределенные системы (ψ), (χ)

16

k 2 − k1 ≠0 1 + k1k 2

1+ k1k2 ≠ 0 L1⊥L2 ⇔1+ k1k2 =0 ⇔ ⇔ k2= −1/k1 {L1∩L2}=M, M∈L1, M∈L2 Rang A(χ)= = Rang B(χ)= 2=n совместная определенная система (χ) L1⎪⎪L2 (параллельны)

а)

A1 B1 D1 = ≠ A2 B2 D2

cosϕ = ±1 б) k1 = k2; b1 ≠ b2 tgϕ = 0 L1≡L2 (совпадают) а)

A1 B1 D1 = = = λ ∈ R1 A2 B2 D2

cosϕ = ±1 б) k1 = k2, b1 = b2 tgϕ = 0

Расстояния d(P1,P2) между плоскостями P1 и P2 и d(L1,L2) между прямыми L1 и L2 в R3, пересечение {P∩L} плоскости P и прямой L в R3

ТАБЛИЦА 6 I

P1 || P2, L1 || L2 в R3 координатная форма

N1 = N2 = N = (A, B, C)⊥P1, P2

d ( M 2 , P1) = d ( L1, L 2 ) = = d ( M 1 , L 2 ) = d ( M 2 , L1) =

⇐

d ( P1, P2) = d ( M 1 , P2) = d ( M 2 , P1) = =

d ( P1, P 2 ) = d ( M 1 , P 2 ) =

, D1 ≠ D2

= np N M 1 M 2 =

A( x 2 − x1 ) + B( y 2 − y1 ) + C ( z 2 − z1 )

(M 1M 2 , N )

N1 = N2 = N=(A,B)⊥L1,L2 ⇒ d ( L1, L 2) = d ( M 1 , L 2) = d ( M 2 , L1) =

=

N

A2 + B 2 + C 2

A( x 2 − x 1 ) + B ( y 2 − y 1 ) A2 + В 2

M1 ( x1 , y1 ) ∈ L1,M 2 ( x2 , y2 ) ∈ L2

M1 (x1 , y1 , z1 ) ∈ P1,M2 (x2 , y2 , z2 ) ∈ P2

x−x1 y−y1 z−z1 l1 =l2 =l = (m, n, p) = = m n p M1(x1, y1, z1)∈L1 x−x2 y−y2 z−z2 = = L2: M2 (x2 , y2 , x2 )∈L2 m n p

x−x1 y − y1 = m n x−x2 y − y2 = L2: m n l1 = l2 = l = (m, n,0) M1(x1, y1) ∈L1 M2(x2, y2) ∈L2 L1:

L1:

d ( L1, L2) = d (M 1 , L2) = d (M 2 , L1) ⇒

d ( L1, L 2) = d ( M 1 , L 2) = d ( M 2 , L1) = i

=

mod x2 − x1 m

j

k

y2 − y1 n

z2 − z1 p

⇐

=h

Δ M 1M 2 2 , l

=

d (L1, L2) = d(M1 , L2) = d (M 2 , L1) =

2

l

=

Прямые L1 и L2 скрещиваются в R3 P1 || P2 (L1⊂P1, L2⊂P2) x − x1 y − y1 z − z1 = = L1 : m1 n1 p1

d(L1, L2) = d(M V Π (M 1 M 2 , l1 l 2 ) S Δ l1 , l 2 x mod

2

1

(M 1 M

=

[l

− x1 m

1

m

2

m m

1 2

1

2

2

, L1) = h

, l1 , l 2 )

, l2

]

z 2 − z1

n1

p1 p2

2

j

k

n1 n2

p1 p2

(

Π M 1M

2

, l1 l 2

m2 + n 2

P : Ax + Bx + Cz + D = 0 P ⊥ N = ( A, B , C ) ⊥ P

) =

=

y 2 − y1 n i

mod

, L2) = d(M

i j k mod x2 − x1 y2 − y1 0 m n 0

Прямая L и плоскость P пересекаются в R3 {P∩L}=M1

L2 || l 2 = (m2 , n2 , p 2 ),M 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) ∈ L2

=

1

h – высота треугольника

L1 || l1 = (m1 , n1 , p1 ),M 1 ( x1 , y1 , z1 ) ∈ L1 x − x2 y − y 2 z − z 2 L2 : = = m2 n2 p2

=

[M M , l ]

m2 + n2 + p 2

III

Ax+ By+ D1 =0 Ax+ By+ D2 =0

L1: L2:

N = ( A, B, C ) l = ( m, n, p)

P1: Ax + By + Cz + D1 = 0 P2: Ax + By + Cz + D2 = 0

II

L1 || L2 в R2 координатная форма

P1 || P2, L1 || L2, N 1 || N 2 ,l1 || l 2 векторная форма

L:

L || l = ( m , n , p ) M0(x0,y0,z0) ∈L

π − ϕ ) = sin ϕ 2 (N , l ) sin ϕ = cos( N , l ) = = N l cos( N , l ) = cos(

= ≠ 0

x − x0 y − y0 z − z0 = = m n p

Am + Bn + Cp A + B2 + C2 2

m2 + n2 + p2

sin ϕ = ± 1⎫ ⎪ cos ϕ = 0 ⎬( P || L ) ∪ ( L ⊂ P ) ( N , l ) = 0 ⎪⎭ sin ϕ = 0 ⇔ L ⊥ P, l ⎪⎪N

(d(L1,L2)=0⇔L1∩L2);П(М1М2,l1,l2) –параллелепипед, построенный на векторах М1М2, l1,l2,, h – его высота

17

≠ ±1

IV

ТАБЛИЦА 6а (продолжение таблицы 6) VI Векторная запись условий ортогональности (P⊥L), коллинеарности (P||L) плоскости P и прямой L в R3, пересечения P и L (P∩L).

{P∩L}=M1(x1,y1,z1) – координаты точки пересечения плоскости P и прямой L в R3

1.L ⊥ P ⇔ l , N = 0

P ⊥ N = ( A, B, C ) P :Ax + By + Cz + D = 0 ⎫ ⎪ x − x0 y − y 0 z − z 0 ⎬Q; M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) ∈ L L: = = =t ⎪⎭ m n p L || l = (m, n, p) A( x0 + mt ) + B( y 0 + nt ) + C ( z 0 + pt ) + D = 0⇒t = t1 (2.II) ⇒

[ ]

2.L || P ⇔(l , N ) = 0 L :r = r0 + tl (2.II) ⎫ 3.L ∩ P ⇔ ⎬⇒ P :(r , N ) + D = 0(1.II)⎭ ⇒(r0 + tl , N ) + D = 0, t =−

(r0 , N ) + D (l , N )

= t1 ⇔M1 (t1 ) = {L ∩ P}

V

⎧ x1 = x0 + t1m M 1 ( x1 , y1 , z1 ) ∈ L, ⎪ ⎨ y1 = y0 + t1n⇒ ⎪ z = z + t p M 1 ( x1 , y1 , z1 ) ∈ P 0 1 ⎩ 1 Система Q совместная определенная

∃{L∩P}=M1 {L∩P}=1

18

совместная неопредел.

несовместная

L⊂P

L || P

{L∩P}=∞

{L∩P}= ∅

к-мерная плоскость Рк в точечно-векторном евклидовом n-мерном пространстве Rn

ТАБЛИЦА 7

к = n – r, Rang A = r AX=B

⎧ a11x1 + a12 x2 + ... + a1n = b1, ⎪ a x + a x + ... + a = b , ⎪ 21 1 22 2 2n 2 ⎨ .... ⎪ ⎪⎩am1x1 + a2m x2 + ... + amn xn = bm

⎡x1⎤ ⎡b1 ⎤ ⎡ a11a12...a1n ⎤ ⎢x ⎥ ⎢b ⎥ ⎢ a a ...a ⎥ B = ⎢ 2 ⎥;A = ⎢ 21 22 2n ⎥;X = ⎢ 2⎥ ⎢.⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ .... ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣xn⎦ ⎣bm⎦ ⎣am1am2...amn⎦

n

∑

j= 1

a ij x

j

= b i , i = 1,...,

m

Система m линейных уравнений с n неизвестными r=1 гиперплоскость к = n–1 матричная координатная форма форма A = [a1a2 ...an ], ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ X = ⎢ 2 ⎥;B = [b] ⎢.⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦ AX = B

a1 x1 + a 2 x2 + ... + + a n xn = b

к=1 прямая в Rr+1 n–r=1

⎡ a11a12...a1r a1r +1 ⎤ ⎢a a ...a a ⎥ A = ⎢ 21 22 2r 2r +1 ⎥; ⎥ ⎢ .... ⎥ ⎢ ⎣ ar1ar 2...arr arr +1 ⎦

к-мерная плоскость Рк0 в Rn, проходящая через начало координат В=0 (СОЛУ) – система однородных линейных уравнений матричная форма координатная форма

⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ x ⎥ ⎧ a11x1+a12x2 +...+a1n xn=0, ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ B= , Am× n , X = ⎢ 2 ⎥ ⎪a x +a x +...+a x =0, 2n n ⎢ ... ⎥ ⎪ 21 1 22 2 ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎨ . . . . . . . . . ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦ ⎣ xn ⎦ ⎪ ⎪⎩a m1x1+a m2 x2+...+a mn xn=0

Общее решение произвольной системы линейных уравнений В≠0 (ОРСЛУ)

⎧ a11x1+a12 x2+...+a1rxr=b1−a1 r+1xr+1−...−a1 n xn ⎪a x +a x +...+a x =b −a x −...−a x ⎪ 21 1 22 2 2r r 2 2 r+1 r+1 2n n ⎨ . . . . . . .. ⎪ ⎪⎩ar1x 1+ar 2x2 +...+ar rxr=br−ar r+1 xr+1−...−ar nxn

Плоскость в R3 n=3

A=[a1a2a3],

a1 x1 + a2 x2 + +a3 x3 = b

⎡x1⎤ X= ⎢⎢x2⎥⎥; ⎢⎣x3⎥⎦

x y z + + =1 ⎛b ⎞ ⎛b ⎞ ⎛b ⎞ ⎜ a⎟ ⎜ a ⎟ ⎜ a⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3⎠

B=[b] AX=B

N = (a1 , a2 , a3 )

Уравнение плоскости в отрезках;

⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢b ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2⎥ X = ⎢ . ⎥; B = ⎢ . ⎥ ⎢ xr ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x r +1 ⎦ ⎣b r ⎦

Rang A = r = n–1 n=r+1 AX=B

AX=0

rang A=r, x1,x2,..,xr – базисные неизвестные. Число базисных неизвестных равно r.

19

xr+1, xr+2,..,xn – свободные неизвестные Число свободных неизвестных равно k=n – r

Отбросить строки, не вошедшие в базисный минор, перенести свободные неизвестные в правые части уравнений, а дальше следует применить метод Гаусса, Крамера или матричный.

Прямая в R3 n=3, r=2, к=1 матричная форма

Фундаментальная система частных решений СОЛУ (ФСЧР) координатная форма

Общие уравнения

⎡x1 ⎤ ⎡ a 11 a 12 a 13 ⎤ ⎢ ⎥ A=⎢ ⎥; X = ⎢x 2 ⎥ a a a ⎣ 21 22 23 ⎦ ⎢⎣ x 3 ⎥⎦ ⎡b ⎤ B = ⎢ 1 ⎥; AX = B ⎣b 2 ⎦

Свободным неизвестным придать последовательно значения строк единичной матрицы Е

⎧ a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 ⎨ ⎩ a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 N 1 = (a 11 , a 12 , a 13 )

X

N 2 = (a 21 , a 22 , a 23 )

l = [N 1 , N 2 ], l || L

B =[b]

x2

+ =1 ⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞ ⎜ a ⎟ ⎜ a ⎟ 1⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ Уравнение прямых в отрезках

x1 = α1C11 + C1 ⎫ x2 = α1C21 + C2 ⎪⎪ ⎬ параметрические .... ⎪ xn = α1Cn1 + Cn ⎪⎭

X

0

= α

X = X

1

0

уравнения,

x1 − C1 x − C = 2 C 11 C 21

2

= ... =

x

АХ2 = 0

n = r+1, k = 1 матричная форма

α1 – параметр, свободная неизвестная α1 =

2

⎡ C 12 ⎢C 22 ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ C = ⎢ 0 r2 ⎢ ⎢ 1 ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢ ⎣ 0

r +1

C

− C

r +1

X

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ,..., ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

X

k

⎡ C 1k ⎢ C 2k ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢ .C rk = ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 . ⎢ ⎢ . ⎢ ⎢⎣ 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

АХк = 0, k=n–r.

⎡C11 ⎤ ⎡C1k ⎤ ⎡C12 ⎤ ⎢C ⎥ ⎢C ⎥ ⎢C ⎥ 12 22 ⎢ ⎥ ⎢ 2k ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ x10 ⎤ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ . ⎢x ⎥ ⎢Cr1 ⎥ ⎢C ⎥ ⎢Cr2 ⎥ 20 ⎥ ⎢ =α ⎢ ⎥ + α + ...+ αk ⎢ rk ⎥ = X0 = ⎢ . ⎥ 1 ⎢ 1 ⎥ 2 ⎢⎢ 0 ⎥⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ . ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0 1 ⎣xn0 ⎦ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣1⎦ = α1 Х1 + α2 Х 2 + ...+ αk Х k

N = ( a1 , a 2 ); N || L

Прямая в Rn=Rr+1 координатная форма

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥; X ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

Общее решение системы однородных линейных уравнений АХ0=0 матричная форма координатная форма

a1 x1 + a 2 x 2 = b x1

1

⎡ C 11 ⎢C 21 ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ C r1 = ⎢ ⎢ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ ⎢⎣ 0

АХ1 = 0

Прямая в R2 n = 2, r = 1, k = 1 матричная форма координатная форма

⎡x ⎤ A =[a1a2];X = ⎢ 1 ⎥; ⎣x2 ⎦ АХ=В

1

+ C = α

Частное решение произвольной СЛУ (ЧРСЛУ) xr+1 = xr+2 =...= xn = 0

1

⎡ C 11 ⎢C 21 ⎢ ⎢ ⎢ C r1 ⎢ ⎢ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎣

⎤ ⎡ C 1 ⎥ ⎢C ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢C r ⎥ + ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

– канонические уравнения

r + 1 ,1

20

x10 = α 1C 11 + α 2 C 12 + ... + α k C 1 k x 20 = α 1C 21 + α 2 C 22 + ... + α k C 2 k ...... x r 0 = α 1C r 1 + α 2 C r 2 + ... + α k C rk x r + 10 = α 1 x r + 20 = α 2 xn 0 = α k ,n = r + k

C

⎡C 1 ⎢C ⎢ 2 ⎢ . ⎢ . ⎢C r = ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ 0 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

АС=В О. Р. произвольной системы линейных уравнений (ОРСЛУ) АХ=В

↑ ← X0 + C = X AX=A(X0+C)= =AX0+AC=O+B=B

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами и равная 2a.

Определение эллипса.

a – большая полуось эллипса; b – малая полуось эллипса; F1(– с,0) и F2 (с,0) – фокусы эллипса; c 2 = a 2 − b 2 , с – фокусное расстояние эллипса; с ε = <1, ε − эксцентриситет эллипса; а →

→

→

→

– фокальные радиусы-векторы; по определению r1 + r2 = 2a . r1 = F1 M , r2 = F2 M

Прямые x = ± a = ± d называются директрисами эллипса. ε

Каноническое уравнение эллипса

x2 y2 + =1. a 2 b2

Строят эллипс, вписывая его в прямоугольник со сторонами длиной 2а и 2b и с центром симметрии в начале координат. Уравнение эллипса со смещенным при помощи параллельного переноса в точку М0(x0, y0) центром имеет вид ( x − x0 ) 2 ( y − y 0 ) 2 + =1. a2 b2

Чтобы привести общее уравнение эллипса a11 x + a10 x + a 22 y 2 + a 01 y + a 00 = 0, где коэффициенты a11 и a 22 должны иметь одинаковые знаки, к каноническому виду, нужно выделить полные квадраты по переменным x и y. 2

Например, приведем уравнение кривой x 2 − 2x + y 2 + 6 y + 6 = 0 к каноническому виду: x 2 − 2 x + y 2 + 6 y + 6 = ( x 2 − 2 x + 1) − 1 + ( y 2 + 6 y + 9) − 9 + 6 = 0 ⇔ ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 = 4 . Полученное уравнение является каноническим уравнением окружности, радиус которой равен 2, а центр находится в точке М (1,–3). Признак уравнения окружности: 1. коэффициенты при квадратах переменных одинаковые; 2. отсутствует произведение переменных. 21

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами и равная 2а.

Определение гиперболы.

a – действительная полуось гиперболы; b – мнимая полуось гиперболы; F1(– с,0) и F2 (с,0) – фокусы гиперболы; c 2 = a 2 + b 2 , с – фокусное расстояние гиперболы; с ε = >1, ε − эксцентриситет гиперболы; а →

→

→

→

r1 = F1 M , r2 = F2 M

по определению

– фокальные радиусы-векторы; r1 − r2 = 2a .

a

Прямые x = ± = ± d называются директрисами гиперболы. ε

b a

Уравнения асимптот гиперболы имеют вид y = ± x . Каноническое уравнение гиперболы

x2 y2 − = 1. a 2 b2

Строят гиперболу, изобразив предварительно прямоугольник со сторонами длиной 2а и 2b и с центром симметрии в начале координат, а затем вписывают ветви гиперболы в углы между асимптотами гиперболы (прямыми, на которых лежат диагонали прямоугольника), помещая вершины гиперболы в точки с координатами (– а, 0), (а, 0). Уравнение гиперболы со смещенным при помощи параллельного переноса в точку М0(x0,,y0) центром имеет вид ( x − x0 ) 2 a2

−

( y − y0 ) 2 b2

=1.

Чтобы привести общее уравнение гиперболы a11 x 2 + a10 x + a 22 y 2 + a01 y + a00 = 0, где коэффициенты a11 и a 22 должны иметь противоположные знаки, к каноническому виду, нужно выделить полные квадраты по переменным x и y. Гипербола, уравнение которой перболе, имеющей уравнение

y2 x2 − = 1 , называется сопряженной по отношению к гиb2 a2 x2 y2 − = 1 . Фокусы сопряженной гиперболы расположены на a 2 b2

мнимой оси.

22

Определеение параболы ы.

Параболой называетсся множесттво всех точ П чек плоскоости, каждаая из которрых нааходится на н одинакоовом расст тоянии от данной тоочки, назы ываемой фоокусоом, и от даанной прям мой, назывваемой дирректрисой и не прох ходящей чеерез ф фокус.

Каноничееское уравн нение парааболы: y 2 = 2 px . Строят паараболу, отткладывая одинаковы ые отрезки от точек параболы доо фокуса с координа-p 2 O (0 ,0) .

p 2

тами F ( , 0) и до директрисы д ы, уравнени ие которой й x = − . Вершина В паараболы нааходится в точке Уравнениее параболы ы со смещеенной при помощи паараллельноого переносса в точку у М0(x0, y0) 2 вершиной й имеет вид д ( y − y 0 ) = 2 p ( x − x0 ) . Чтоб бы привести общее урравнение параболы п a10 x + a22 y 2 + a01 y + a00 = 0 к кан ноническо-му виду, нужно выдделить пол лный кваддрат по пееременной y и удвоеенный парааметр p поо переменноой х. сопряженн Парабола,, уравнениее которой x 2 = 2 py , называется н ной по отн ношению к параболе,, p 2

имеющей уравнениее y 2 = 2 px . Фокус Ф сопрряженной параболы п р расположен н в точке F (0, ) , а еее p 2

директрисса имеет урравнение y = − . Полярная я система координат к т Полярная система координат состоит с из некоторой й точки О, называемоой полюсо ом, и исхо-дящего изз нее луча ОЕ, О называаемого полярной осью. Кроме этого э задаеется единиц ца масшта-ба для изм мерения дли ин отрезкоов. ρ − это расстояние р от точки М до полюсса О, ϕ − угол, на которы ый нужно повернуть п п против часо овой стреллки полярнуую ось дляя совмеще-ния с лучоом ОМ. Полярныее и декартоввы координ наты точки и связаны соотношени с иями: y x y. 2 2 ρ = x + y , sin ϕ = , cos ϕ = , tgϕ = x2 + y2

x

x2 + y2

Чтобы поллучить изоображение кривой в полярной п системе кооординат, поостройте лу учи, выхо-дящие из полюса 0 под п углами и ϕ к поляярной оси. На каждом луче отлложите дли ину вычис-ленного Вами В поляррного радиууса ρ. Если и ρ – отриц цательное число, ч то д для постро оения соот-ветствующ щей точки нужно отлложить мод дуль ρ на луче, л повёррнутом на 1180° вокругг полярной й ( ) оси, то ессть отложи ить от поляярной оси угол у ϕ + 1880 . Соеди ините пострроенные Вами В точки и плавной линией. л Кривые, уравненияя которыхх в поляррной систееме коорд динат имею ют вид ρ = a sin kϕ , ρ = a cos kϕ , называютт розами. Причем, П ессли k – четтное, то леп пестков у ррозы 2k , а если е числоо k – нечетн ное, то у роозы k лепеестков. 23

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ

⎧0 ⎫ f ( x) = ⎨ ⎬, x → a, a < ∞ ⎩0 ⎭ Какие преобразования Вид функции f(x) нужно сделать

№ n/n

f ( x) =

1

Pn ( x) = Qm ( x)

Разделить многочлены Pn(x) и Qm(x) на разность (х − а), n n −1 n−2 сократить f(x) на эту разa x + a1 x + a 2 x + ... + a n = 0 m . m −1 m−2 b0 x + b1 x + b2 x + ... + bm ность (х − а) и подставить вместо х значение х = а.

Pn (a ) = Qm (a ) = 0

2

Функция f(x) содержит иррациональность вида

u1 ( x) − u 2 ( x)

3

Функция f(x) содержит иррациональность вида 3

u1 ( x ) − 3 u 2 ( x )

или 3

u1 ( x) + 3 u 2 ( x)

c = const ≠ 0, b = const ≠ 0 Результат преобразований ⎧0 ⎫ ⎧∞ ⎫ ⎨ ⎬ = 0; ⎨ ⎬ = ∞; ⎩c ⎭ ⎩с⎭ ⎧c ⎫ ⎧с⎫ ⎨ ⎬ = ∞; ⎨ ⎬ = 0; ⎩0⎭ ⎩∞ ⎭

ϕ ( х) d = , x→a ψ ( х) b

lim

d = const ; ⎧0 ⎫ ⎨ ⎬ – повторить ⎩0 ⎭ прием

Умножить и разделить функцию f(x) на сопряженное иррациональное выражение

( u1 ( x) + u 2 ( x) ) ,

------ // ------

использовать формулу сокращенного умножения (А–В)(А+В)=А2–В2 и сократить f(x) на разность (х – а). Умножить и разделить разность кубических корней на неполный квадрат суммы, а сумму кубических корней – на неполный квадрат разности, воспользоваться формулами сокращенного умножения: (А–В)(А2+АВ+В2)=А3–В3; (А+В)(А2– АВ+В2)=А3+В3 и сократить функцию f(x) на разность (х – а).

24

⎧0 ⎫ ⎧∞ ⎫ ⎨ ⎬ = 0; ⎨ ⎬ = ∞; ⎩c ⎭ ⎩с⎭ ⎧c ⎫ ⎧с⎫ ⎨ ⎬ = ∞; ⎨ ⎬ = 0; ⎩0⎭ ⎩∞ ⎭

ϕ ( х) d = , x→a ψ ( х) b

lim

d = const ; ⎧0 ⎫ ⎨ ⎬ – повторить ⎩0 ⎭ прием

Замечание. При делении многочлена Pn(x) или Qm(x) на разность (х – а) опираются на теорему Безу: если число х = а является корнем многочлена (при х = а многочлен равен нулю), то этот многочлен делится на разность (х – а) без остатка. Деление многочлена на разность (х – а) осуществляется по тем же правилам, по которым делятся столбиком числа:

x−a _a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an a0xn-1 + (a1 + aa0)xn-2 + … = Pn-1(x) a0xn − aa0xn-1 n-1 n-2 _ (а1 + aa0)x + a2x (a1 + aa0)xn-1 – a(a1 + aa0)xn-2 _ (a2 + a(a1 + aa0))xn-2 + a3xn-3 …………………………… …………………………… 0 Обратите внимание на то, что индекс в обозначении многочлена соответствует старшей степени х этого многочлена. В результате деления получим представление многочлена Рn (х) в виде произведения многочлена Pn-1 (x) на разность (x–a) : Рn(x) = (x – а) Рn-1(х). Предел дробно-рациональной функции

f ( x) = 1) m > n ≥ 0, 2)

х→ ∞

lim f ( x) = 0 ; x→∞

n = m ≥ 0,

3) n > m ≥ 0,

Pn ( x) a 0 x n + a1 x n −1 + a 2 x n − 2 + ... + a n , = Qm ( x) b0 x m + b1 x m −1 + b2 x m − 2 + ... + bm

lim f ( x) = x→∞

a0 b0

;

lim f ( x ) = ∞. x→∞

Более того, если функция f(x) представляет собой отношение линейных комбинаций степенных функций, показатели которых неотрицательны (то есть m и n не обязательно целые, но обязательно неотрицательные), то при х → ∞ можно оставить в числителе и в знаменателе только слагаемые наибольших степеней х, а остальными пренебречь. Предел функции при х → ∞ из-за отбрасывания слагаемых, содержащих меньшие степени х (в том числе и х0 = 1), не изменяется, то есть a 0 x n + a1 x n1 + ... + a k x 0 a0 x n lim = lim , x →∞ b x m + b x m1 + ... + b x 0 x →∞ b x m 0 0 1 l где n > n1 > n2 > … ≥ 0, m > m1 > m2 > … ≥ 0 (слагаемые записываются в порядке убывания степеней х).

Предел функции

1)

f ( x) =

a0 x n n > m ≥ 0 ⇒ lim = ∞; x →∞ b0 x m

a0 x n a0 = ; x →∞ b x m b0 0 n a0 x = 0. 3) m > n ≥ 0 ⇒ lim x →∞ b0 x m

2)

n = m ≥ 0 ⇒ lim

25

a0 x n b0 x m

при х → ∞

Пусть f(x) = qx, q = const.

Предел этой функции, если 1)

|q| < 1

⇒ lim q x = 0;

2)

q=1

⇒ lim q x =

3)

1
4)

− ∞ < q ≤ −1

x →∞

x →∞

1;

⇒ lim qx = ∞ ; x→∞

⇒ lim qx − x→∞

не существует.

Сравнение бесконечно малых функций

Пусть при х

α (х) и β (х) – бесконечно малые функции (б. м. ф.) → а, то есть lim α ( x) = lim β ( x) = 0 , тогда: x→a

x→a

1) α (х) – б. м. ф. более высокого порядка малости по сравнению с при х → а, если

α ( x) = 0 ⇔ α ( x) = ο ( β ( x)) ; x→a β ( x)

β (х) – б. м. ф.

lim

2) α (х) – б. м. ф. более низкого порядка малости по сравнению с при х → а, если

lim x→a

β (х) – б. м. ф.

α ( x) = ∞ ⇔ β ( x) = ο (α ( x)) ; β ( x)

3) α (х) и β (х) – б. м. ф. одинакового порядка малости при х → а, если

α ( x) = с ≠ 0 ⇔ α ( x) = с ( β ( x)) ; x→a β ( x)

lim 4)

α (х) и β (х) – б. м. ф., эквивалентные при х → а, если lim x→a

5)

α ( x) =1⇔ β ( x)

α(x)~β(x);

α (х) – б. м. ф. k-го порядка малости по сравнению с β (х) –

б. м. ф. при х → а, если

α ( x) = с ≠ 0 ⇔ α ( x) = с ( β k ( x)) . x → a ( β ( x )) k

lim Теорема о первом замечательном пределе.

Предел функции f ( x ) =

lim x →0

sin x при x → 0 существует и равен единице: x

sin x = 1. x 1

Теорема о втором замечательном пределе.

Предел функции f ( x ) = (1 + x ) x , если x → 0 , и функции f ( x ) = (1 +

1 x ) , если x → ∞ , существует и x

e ≈ 2, 718281828459045 ... : 1 x

1 lim(1 + x ) = lim(1 + ) x = e . x →0 x →∞ x 26

равен числу

Применение первого и второго замечательных пределов позволяет доказать справедливость формул в таблице эквивалентных бесконечно малых функций при х → а.

α ( x ) → 0 при х → а 6

1

log

sin α ( x) ~α (x )

a

α (x) ( 1 + α ( x )) ~ ln a

2

tgα (x ) ~α (x )

6а

ln(1 + α ( x)) ~α (x )

3

arcsin α ( x ) ~α (x )

7

a α ( x ) − 1~α ( x ) ln a

4

arctg α ( x ) ~α ( x )

7а

eα ( x ) − 1 ~α (x )

8

(1 + α ( x )) μ − 1 ~ μα ( x )

5

1 − cos α ( x ) ~

( α ( x )) 2 2

Замечание. В случаях, когда аргумент α(х) функции в вычисляемом пределе стремится не к нулю, а к отличному от нуля числу, например, α(х) → а, а ≠ 0, вводят новую переменную t = α(х) – а.

Тогда, если α(х) → а, то t → 0 (функция t(х) должна быть непрерывной функцией в окрестности точки t = 0 ). Новая переменная t → 0 (при α(х) → а), и для нее легко можно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых функций. Например, вычислим предел

⎧ 2 2 ⎫ − ⎪⎪ ⎪ sin x − cos x 2 ⎪ = ⎧ 0 ⎫ = x − π = t ⇔ x → π ⇒ t → 0 = Предварительно = ⎨ 2 lim ⎬ ⎨ ⎬ π ln(tg x ) ln 1 4 4 x→ ⎪ ⎪ ⎩0⎭ 4 ⎪⎩ ⎪⎭ сделаем следующие преобразования:

cos x = cos(t +

tg x = tg(t +

π 4

)=

π 4

) = cos t cos

tg t + tg

π 4

− sin t sin

π 4

=

2 (cos t − sin t ); 2

π

4 = tg t + 1 = 1 − tg t + 2 tg t = 1 + 2 tg t ; π 1 − tg t 1 − tg t 1 − tg t 1 − tg t tg 4

2 tg t →0 1 − tg t

при

t →0

и воспользуемся результатами преобразований:

=

2 2 (cos t − sin t ) (sin t + cos t ) − 2t 2 sin t 2 2 2 lim = lim = lim = . 2 tg t tg t t t →0 t →0 t →0 2 2 ln(1 + ) 2 1− t 1 − tg t 1 − tg t 27

Бесконечно большие функции (б. б. ф.), так же как и бесконечно малые, можно сравнивать между собой. Если предел отношения двух бесконечно больших функций равен: 1. Бесконечности, тогда в числителе – б. б. ф. более высокого порядка роста; 2. Нулю, тогда в числителе – б. б. ф. более низкого порядка роста; 3. Постоянному числу, не равному нулю или единице, тогда эти бесконечно большие функции одинакового порядка роста; 4. Единице, тогда бесконечно большие функции эквивалентны. Полезно иметь в виду, что при вычислении пределов отношений конечного числа б. б. ф. складываемых функций слагаемые более низкого порядка роста можно отбрасывать, а сумму заменять слагаемым самого высокого порядка роста.

При функция

x → ∞ самый высокий порядок роста имеет показательная функция f ( x ) = a ; степенная x

f ( x) = x n

имеет порядок роста, более низкий по сравнению с показательной функцией, но более

высокий по сравнению с логарифмической; логарифмическая функция

f ( x ) = log a x

имеет самый низкий

порядок роста по сравнению и с показательной функцией, и со степенной. Это обозначают так:

log a x << x n << a x ,

при

x→∞.

Очень эффективным при вычислении пределов оказывается применение следующих правил: 1. Предел отношения б. м. ф. (б. б. ф.) не изменится, если заменить эти функции эквивалентными. 2. Разность эквивалентных б. м. ф. (б. б. ф.) есть б. м. ф. (б. б. ф.) более высокого порядка малости (роста) по сравнению с уменьшаемой и вычитаемой б. м. ф. (б. б. ф.). 3. Сумма конечного числа б. м. (б. б.) слагаемых разного порядка малости (роста) эквивалентна слагаемому самого низкого (высокого) порядка малости (роста). 4. Если б. м. ф. α (x) ~ α1(x) при x→a, A=const ≠ 0, то A+ α (x) ~ A+ α1(x) при x→a.

− x2 1 + x − x2 ⎧∞ ⎫ 1 lim = =− . = ⎬ ⎨ 2 2 x →∞ 2 x + 3 x 2 ⎩ ∞ ⎭ x →∞ 2 x

Например. lim

Чтобы вычислить предел

lim u v , x →a

можно воспользоваться основным логарифмическим тождеством v v ln u .

u =e

1

Например.

Если же

lim x 1 + 5 x = lim(1 + 5 x) x {1∞ } = e x →0 x →0

lim

ln(1+ 5 x ) x

x →0

5x

lim ⎧0⎫ = ⎨ ⎬ = e x →0 x = e 5 . ⎩0⎭

u → 1, v → ∞ , то есть в случае неопределенность вида {1∞ },

можно применить следующую последовательность тождественных преобразований:

lim u = lim(1 + (u − 1)) = lim(1 + (u − 1)) v

x→ a

v

x→ a

1 ⋅( u −1)⋅v u −1

x→ a

5

lim ( u −1)⋅v

= e x→a ⋅x

.

5x x−2 x−2 lim ⎡ ⎤ x+3 x x+3 5 Например. lim ( ) = 1∞ = lim (1 + ( ) 5 ⎥ = e x →∞ x = e 5 . − 1)) x = lim ⎢(1 + x →∞ x − 2 x →∞ x →∞ x−2 x−2 ⎣ ⎦

{ }

28

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ 1. ( сonst ) / = 0; степенные функции 2. (u n ) / = n ⋅ u n −1 ⋅ u / ;

16. ( cth u ) / = −

показательно – степенные функции

2a. ( x ) / = 1; 2b. (u 2 ) / = 2 ⋅ u ⋅ u / ; 1 1 2c. ( ) / = − 2 ⋅ u / ; u u 1 2e. ( u ) / = ⋅u/; 2⋅ u m m − 1 n m n ( x =x ; =x n) m n x показательные функции 3. ( a u ) / = a u ⋅ ln a ⋅ u / ;

17. (u v ) / = u v ⋅ ln u ⋅ v / + v ⋅ u v −1 ⋅ u / . модуль функции /

18. u = sgn u ⋅ u / , ( u = sgn u ⋅ u ) ,

⎧⎪ 1, u > 0 где sgn u = ⎨− 1, u < 0; – функция знак u ⎪⎩ 0, u = 0. (сигнум u). Правила дифференцирования 1. ( сu ) / = c ⋅ u / ; u 1 1a. ( ) / = ⋅ u / ; c c / 2. (u ± v) = u / ± v / ; 3. (u ⋅ v ) / = u / ⋅ v + u ⋅ v / ;

3a. ( e ) = e ⋅ u ; логарифмические функции 1 ⋅ u/ ; 4. (log a u) / = u ⋅ ln a u

/

4a. (ln u ) / =

u

1 ⋅u/; 2 sh u

/

1 / ⋅u ; u

u u/ ⋅ v − u ⋅ v/ ; 4. ( ) / = v v2

a = ln a − ln b; ln a n = n ln a ) b тригонометрические функции 5. (sin u ) / = cos u ⋅ u / ; 6. (cos u ) / = − sin u ⋅ u / ; 1 7. (tg u ) / = ⋅u/; 2 cos u 1 8. ( ctg u ) / = − 2 ⋅ u / ; sin u обратные тригонометрические функции 1 9. (arcsin u ) / = ⋅ u/; 2 1− u 1 10. (arccos u ) / = − ⋅ u/; 2 1− u 1 11. ( arctg u ) / = ⋅ u/; 2 1+ u 1 12. ( arcctg u ) / = − ⋅u/; 2 1+ u гиперболические функции 13. ( sh u ) / = ch u ⋅ u / ; 14. ( ch u ) / = sh u ⋅ u / ; 1 ⋅u/; 15. (th u ) / = 2 ch u ( ln

5. сложная функция

( F (u( x )) / = Fu/ ⋅ u x/ ; 6. параметрически заданная функция / / / ⎧ x = x (t ), ⇒ y / = y t ; y // = ( y x ) t ; ⎨ y = y (t ) x xx x t/ x t/ ⎩

7. неявно заданная функция y = y (x ) уравнением F ( x, y ) = 0; ⇒ чтобы найти производную неявно заданной функции, нужно продифференцировать обе части уравнения F ( x, y ) = 0, считая y функцией от х и применяя правило 5 дифференцирования сложной функции; 8. логарифмическое дифференцирование

y = f ( x ) ⇒ ln y = ln f ( x ); 1 / ⋅ y = (ln f ( x )) / . y

29

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ (u = u( x ))

1.

∫ f ( x)dx = F ( x) + C ⇔ F

∫ 0 du = c;

∫

u2 ± a2

= ln u + u ± a

u = ax + b ⇒ dx =

d (ax + b) ; a

dx

1

2

u = (ax 3 + b) ⇒ dx =

d (ax 3 + b) 3ax 2

∫ x сos(ax

1 sin(ax 3 + b) + c; 3a

2

3

+ b) dx =

d (mx) m 1 mx dx = arcsin + c; a a 2 − (mx) 2 m

u = mx ⇒ dx =

∫

основные свойства неопределенного интеграла

+ c;

1.

тригонометрические функции 9. ∫ sin u du = − cos u + c;

2. 3.

10. ∫ cos u du = sin u + c;

4.

du 11. ∫ = tg u + c; cos 2 u du 12. ∫ = −ctg u + c; sin 2 u

∫ (u ± v )dx = ∫ udx ± ∫ vdx; ∫ αudx = α ∫ udx; d ∫ u( x )dx = u( x )dx; ∫ du = u + c;

замена переменной

u = u(t ) ⇔ du = u t/ dt;

∫ f (u)du = ∫ f (u(t ))u dt; / t

гиперболические функции 13. ∫ sh u du = ch u + c;

14.

du ; u/

∫ ax + b = a ⋅ ln ax + b + c;

дробные рациональные и иррациональные функции du 1 u 5. ∫ 2 = arctg + c; 2 a a u +a du 1 u−a 6. ∫ 2 = ln + c; u − a 2 2a u + a du u 7. ∫ = arcsin + c; 2 2 a a −u 2

du = u x/ dx ⇒ dx =

1 1 (ax + b)1− m dx = ⋅ + c; ∫ (ax + b) m a 1− m

показательные функции au 4. ∫ a u du = + c; ln a 4a. ∫ e u du = e u + c;

8.

( x) = f ( x)

Непосредственное интегрирование

степенные функции u m +1 2. ∫ u m du = + c; m ≠ −1; m +1 du = ln u + c; 3. ∫ u m m − 1 ( n xm = x n ; =x n) n xm

du

/

интегрирование по частям

∫ ch u du = sh u + c;

∫ udv = uv − ∫ vdu.

du ∫ ch 2 u = th u + c; du 16. ∫ 2 = − cth u + c; sh u

15.

30

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

lim

f ( x) ⎧0 ⎫ f ′( x ) = ⎨ ⎬ = lim g ( x ) ⎩ 0 ⎭ x→a g ′( x )

lim

f ( x) ⎧ ∞ ⎫ f ′( x ) = ⎨ ⎬ = lim g ( x ) ⎩ ∞ ⎭ x→a g ′( x )

x →a

x →a

№ Вид неопп/п ределенности 1

2

{0 ⋅ ∞}

{∞ − ∞}

{ 1 }, { 0 }, { ∞ }.

Преобразования

f ( x ) ⋅ h( x ) =

3

0

0

⎧0 ⎫ ⎧∞ ⎫ ⎨ ⎬ или ⎨ ⎬ – применить ⎩0 ⎭ ⎩∞ ⎭ правило Лопиталя

f ( x ) h( x ) = 1 1 h( x ) f ( x)

2.1 . дроби привести к общему знаменателю; 2.2 . умножить и разделить разность функций на сопряженное выражение, если это разность квадратных корней; 2.3 . умножить и разделить разность функций на неполный квадрат суммы этих функций, если это разность корней кубических; 1 1 − h( x ) f ( x ) 2.4 . f ( x ) − h( x ) = 1 f ( x ) ⋅ h( x )

∞

3.1.

⎧c ⎫ ⎨ ⎬=∞; ⎩0 ⎭

⎧c⎫ ⎨ ⎬=0; ⎩∞ ⎭

⎧0 ⎫ ⎨ ⎬=0; ⎩c ⎭

⎧∞ ⎫ ⎨ ⎬=∞; ⎩c⎭ ⎧с ⎫ ⎨ ⎬= A ⎩d ⎭

⎧0 ⎫ ⎧∞ ⎫ ⎨ ⎬ или ⎨ ⎬ – применить ⎩0 ⎭ ⎩∞ ⎭ правило Лопиталя

y = u v ⇒ ln y = v ln u; lim ln y = A ⇒ lim y = e A . x →a

3.2.

Результат преобразований (c, d – const ≠ 0)

x →a

y = u v = e v⋅ln u

31

См. выше

Исследования функции без применения производных

№ п/п

Цель исследования

Действия

Вывод

1

Найти область определения функции

Найти точки, в которых функция не определена или не задана (точки разрыва графика функции)

Исключить найденные точки из области определения функции

Найти вертикальные асимптоты

Вычислить односторонние пределы функции в точках разрыва и в точках, «подозрительных» на разрыв для кусочноаналитической функции

2

3

Исследовать функцию на четность и нечетность

4

Исследовать функцию на периодичность

5

Найти точки пересечения с осями координат

6

Найти наклонные, в частности, горизонтальные асимптоты

Если f ( − x ) = f ( x ) , то функция четная. Если f ( − x ) = − f ( x ) , то функция нечетная

T – период функции – (наименьшее из всех возможных значений, удовлетворяющих уравнению: f ( x + T ) = f ( x) Решив уравнение y = f ( x ) = 0 , найти x 0 : f ( x 0 ) = 0 . Найти y (0) = y 0 Вычислить пределы f ( x) и k = lim x → ±∞ x b = lim ( f ( x ) − kx ) x → ±∞

32

Если хотя бы один из односторонних пределов в исследуемой точке равен бесконечности, то график функции имеет вертикальную асимптоту: lim f ( x ) = ∞ ⇒ x = a – x →a ± 0

вертикальная асимптота Ограничиться исследованием функции на интервале (0, ∞) . График четной функции симметричен относительно оси OY, график нечетной функции симметричен относительно начала координат Ограничиться исследованием на интервале, по длине равном периоду T, за пределы интервала продолжить график функции периодическим образом Точка пересечения графика с осью OX: ( x 0 ,0) . Точка пересечения графика с осью OY: (0, y 0 ) Если k и b – конечные числа, то уравнение наклонных асимптот y = kx + b , причем, при к = 0 асимптота горизонтальная y = b

Исследования функции с применением производных

№ п/п

Цель исследования

Действия и вывод

1.1.1. Найти критические точки первого порядка xi , i = 1,2,..., n :

y / ( x i ) = 0 или y / ( x i ) = ∞ , или y / ( x i ) − не существует (необходимое условие существования экстремума функции в точке);

1

Найти интервалы монотонности и точки локальных экстремумов функции

1.2.1. Применить первое достаточное условие существования экстремума функции в критической точке: x

y/

x < x1

x1

x > xx

⎯

Критическая точка первого порядка

+

Функция убывает

( x1 , y ( x1 )) − точка минимума

Функция возрастает

x < x2

x2

x > x2

+

Критическая точка первого порядка

⎯

( x 2 , y ( x 2 )) − точка максимума

Функция убывает

y x

y/

y

Функция возрастает

1.2.2. Если x 3 и x 4 – стационарные точки (все производные до (2к–1) порядка равны нулю), можно применить второе достаточное условие существования экстремума функции в точке: y ( 2 k ) ( x3 ) > 0 ⇒ ( x3 , y ( x3 )) − точка локального минимума;

y ( 2 k ) ( x4 ) < 0 ⇒ ( x4 , y ( x4 )) − точка локального максимума; y ( 2 k ) ( x5 ) = 0, y ( 2 k +1) ≠ 0 – в точке ( x5 , y ( x5 )) экстремума нет.

2

Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба

2.1. Найти критические точки второго порядка x j , j = 1,2,..., m : y // ( x j ) = 0 или y // ( x j ) = ∞ , или y // ( x j ) − не существует

(необходимое условие существования точки перегиба графика); 2.2. Применить достаточные условия выпуклости и вогнутости графика и существования точек перегиба: x x < x6 x6 x > x6

y //

y

+ График функции вогнутый

33

Критическая точка второго порядка, точка непрерывности ( x 6 , y ( x 6 )) − точка перегиба

⎯ График функции выпуклый

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Метод непосредственного интегрирования

du u x/

du = u x/ dx ⇒ dx =

u = ax + b ⇒ dx =

d (ax + b) ⇒ a

dx

∫

ax + b

d ( ax + b)

=∫

a ax + b

e − ax d (−ax 2 + b) − ax 2 + b = e x dx u = (−ax + b) ⇒ dx = ⇒ − 2ax

∫

2

u = sin x ⇒ dx =

∫

2

+b

=

2 ⋅ ax + b + c; a

2 xd (− ax 2 + b) 1 = − e − ax + b + c; − 2ax 2a

d (sin x) cos xdx cos x d (sin x) 1 sin x − a ⇒∫ 2 =∫ = ln + c; 2 2 2 cos x sin x − a (sin x − a ) cos x 2a sin x + a

u = mx ⇒ dx =

d (mx) sin mx d (mx ) 1 ⇒ ∫ sin mxdx = ∫ = − cos mx + c; m m m

Метод интегрирования по частям

∫ udv = uv − ∫ vdu; № п/п

Интеграл

1

∫ P ( x)e dx, α ∫ P ( x)a dx, ∫ P ( x) sin mxdx, ∫ P ( x) cos mxdx. αx

n

x

n n n

∫ P ( x) ln xdx, ∫ P ( x) arcsin xdx, ∫ P ( x) arccos xdx, ∫ P ( x)arctgxdx, ∫ P ( x)arcctgxdx. n

2

n

n

n

n

Циклические интегралы: 3

∫e

αx

sin mxdx, ∫ e αx cos mxdx

Разбиение подынтегрального выражения на части

du

u = Pn ( x)

v eαx

⎧ eαx ⎫ ⎪ αx ⎪ ⎪⎪ a ⎪⎪ dv = ⎨ sin mx ⎬dx ⎪cos mx ⎪ ⎪ ⎪ ⎭⎪ ⎩⎪

⎧ ln x ⎫ ⎪ ⎪ u = ⎨ ... ⎬, ⎪arcctgx⎪ ⎭ ⎩ dv = Pn ( x)dx

⎧ sin mx ⎫ dv = ⎨ ⎬dx ⎩cos mx ⎭ ⎛ ⎧ sin mx ⎫ ⎜ или u = ⎨ ⎬, ⎜ ⎩cos mx ⎭ ⎜ αx ⎝ dv = e dx

34

Pn −1 ( x)dx

a αx , α α ln a cos mx , − m sin mx m

dx , x ......... dx − 1+ х 2

Pn +1 ( x)

Получают интеграл от функций степеней х

cos mx , m sin mx m

Метод применяют 2 раза, получая уравнение относительно искомого интеграла

,

α e αx dx

u = eαx ,

− ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Результат применения метода Метод применяют n раз, пока степень многочлена не понизится до нулевой

План интегрирования рациональных дробей

Pn ( x) dx . m ( x)

∫Q

Рn (x)= a 0x n + a 1x n-1 + a2x n-2 + …….+ a n, Qm(x)= b0xm + b1xm-1 + b2xm-2 + ……. + bm. I. n ≥ m – дробь неправильная; n < m – дробь правильная (степень Рn(x) меньше)

⇓ (степень n Рn(x) больше или равна степени m Qm(x)) Рn (x)

Qm(x)

……

целая часть

Pn ( x) остаток = целая часть + Qm ( x ) Qm ( x )

⇒

⇓

rs(x) – остаток (s<m)

rs ( x) – прав. дробь. Qm ( x ) II. Знаменатель Qm(x) разложить на множители линейные – (x-a) и квадратичные – (x2+px+q). Правильную дробь разложить на сумму простых дробей в зависимости от множителей знаменателя. Вид множителя в Сколько знаменателе дроби дробей Сумма простых дробей, соответствующая множителю в знаменателе правильной рациональной дроби

(x-a)

k

A A1 A2 + + ... + k k k −1 x−a ( x − a) ( x − a) M x + Nw M 1 x + N1 M x + N2 + 2 2 + ... + 2 w 2 w w −1 ( x + px + q) ( x + px + q) x + px + q

k

(x2+px+q)w w III. Найти неопределенные коэффициенты A, M, N, приведя сумму дробей к общему знаменателю и приравняв числители исходной правильной дроби и суммы дробей. IV. Проинтегрировать простые дроби: A A а) дроби первого типа d ( x − a ) = A ln x − a + c; dx = б) дроби второго типа

∫ x−a

∫ x−a

A

∫ ( x − a)

k

dx = A

( x − a ) − k +1 + c; (k > 1) − k +1 x 2 + px + q =

в) дроби третьего типа

= (x +

p 2 p2 ) − +q 2 4

Mx + N p ∫ x 2 + px + q dx = x + 2 = t; dx = dt = ∫ x 2 + px + q = t 2 ± a 2

x 2 + px + q = ( x +

г) дроби четвертого типа ∫ (x

∫ (t

2

2

Mx + N dx = + px + q ) w

p )+N td (t 2 ± a 2 ) p dt 2 dt = M ∫ 2 + ( N − M )∫ 2 = .... 2 (t ± a 2 )2t 2 t ± a2 t ± a2

M (t −

p 2 p2 ) − +q 2 4

p = t ; dx = dt 2 2 x + px + q = t 2 ± a 2 x+

= ...

dt t 1 dt – рекуррентная формула ( 2 ) = 2 + (2n − 3) ∫ 2 2 n 2 n −1 2 n −1 2a (n − 1) (t + a ) (t + a ) +a )

35

Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций

3

4

5

= − R (sin x, cos x) Нечетная относительно сos x R (− sin x, cos x) = = − R (sin x, cos x) Нечетная относительно sin x R (− sin x,− cos x) = = R(sin x, cos x) Четная относительно сos x и sin x sin 2 m x ⋅ cos 2 n x Степени четные неотрицательные

sin mx cos nx cos mx cos nx

6

sin mx sin nx

Вспомогательные преобразования

Универсальная x t = tg 2

sin x =

dt = cos x dx

t = cos x

dt = − sin x dx

t = tgx

t = ctgx

cos2 x =

sin x =

t 1+ t2 1 1+ t

2

; cos x =

; cos x =

1 1+ t2 t 1+ t

2

; dx =

dt 1+ t2

; dx = −

dt 1+ t2

1 + cos 2 x 1 − cos 2 x 1 ; sin 2 x = ; sin x cos x = sin 2 x 2 2 2

1 (sin(m + n) x + sin(m − n) x) 2 1 cos mx cos nx = (cos(m + n) x + cos(m − n) x) 2 1 sin mx sin nx = (cos(m − n) x − cos(m + n) x) 2

sin mx cos nx =

e x − e−x e x + e−x shx chx e ix − e − ix e ix + e −ix ; chx = ; thx = ; cthx = ; sin x = ; cos x = ; chx shx 2 2 2i 2 ch2 x − 1 ch2 x + 1 1 ch 2 x − sh 2 x = 1; shxchx = sh 2 x; sh 2 x = ; ch 2 x = 2 2 2 Интегрирование гиперболических функций аналогично интегрированию тригонометрических функций shx =

7

2t 1− t2 2dt = ; cos ; dx = x 2 2 1+ t 1+ t 1+ t2

t = sin x

sin x =

Итог

Подынтегральная функция рациональная относительно х

2

R (sin x, cos x ) − рациональная функция относительно sin x, cos x R (sin x,− cos x) =

Подстановка

Понижение степени

1

Подынтегральная функция

Сумма функций

№ п/п

36

Подынтегральная функция p2 q2

ax + b ax + b ) ,( ) ,...) cx + d cx + d R – рациональная функция, p1 , p2 , q1 , q2 ,... − целые числа

R ( x, ( 1

p1 q1

Интегрирование иррациональностей Подстановка

Итог

ax + b = t k , где k ─ наименьшее общее кратное cx + d знаменателей показателей:

k = НОК (q1 , q2 ,...) x = a sin t или x = a cos t dx = a cos tdt или dx = − a sin tdt

R ( x, a 2 − x 2 )

( a 2 − x 2 = a 2 cos 2 t

2

2

Дифференциальный бином

x m (a + bx n ) p

m +1 − целое n m +1 + p− n − целое

a + bx n = t k , k − знаменатель дроби p n −1

dx = kt

k −1

dt ,

x (a + bx ) dx = x t m

n

5

−n

m kp

kt k −1 dt bnx n −1

Рациональная функция t

kt k −1 dt , где − anx − n −1

tk − b = a

1

ax 2 + bx + c

p

a + bx n = t k x n , k − знаменатель дроби p ax − n + b = t k , − anx − n −1 dx = kt k −1 dt ,

x

(mx + n) ax 2 + bx + c mx + n

cos t

dx = kt k −1dt

x m (a + bx n ) p dx = x m (t k x n ) p

4

sin t ,

x = t k , k = НОК ( знаменателей m, n)

bnx 3

Рациональная функция

a a или x = cos t sin t a sin t − a cos t dx = dt или dx = dt 2 cos t sin 2 t ( x 2 − a 2 = a 2 tg 2 t или x 2 − a 2 = a 2 ctg 2 t )

2

p ─ целое число, m,n ─ дроби

a 2 − x 2 = a 2 sin 2 t )

x=

R ( x, x − a ) 2

или

x = atgt или x = actgt adt − adt dx = или dx = 2 cos t sin 2 t a2 a2 2 2 или a x (a 2 + x 2 = + = ) cos2 t sin 2 t

R ( x, a + x ) 2

Рациональная функция t

t=

t = x+

1 mx + n

b b2 , ax 2 + bx + c = at 2 − +c 2a 4a

См. пункт 5 Два табл-х инт-ла

При нахождении первообразной функции можно пользоваться следующим алгоритмом: 1. Попытаться применить непосредственное интегрирование; 2. Если это не удается, определить класс функции (рац. дробь, тригонометрическая, иррациональная) и применить соответствующие подстановки, а если функция смешанных классов – интегрирование по частям.

37

Несобственные интегралы (н.и.) I рода II рода (от неограниченной (по бесконечному промежутку) на промежутке интегрирования функции) Определение н.и.

1

∫

+∞

a

2

∫

b

−∞

3

∫

+∞

f ( x)dx = lim

b

b → +∞ a

f ( x)dx = lim

∫

b

a → −∞ a

f ( x)dx = lim

−∞

∫

∫

c

a → −∞ a

f ( x)dx

lim f ( x) = ∞ ⇒

f ( x)dx

lim f ( x) = ∞ ⇒

f ( x)dx + lim

∫

b

b → +∞ c

x →b

x→a

b

f ( x)dx = lim ∫

∫

b −ε

ε →0 a

a b

f ( x)dx = lim ∫

b

ε →0 a +ε

a

f ( x)dx f ( x)dx

lim f ( x) = ∞ ⇒

f ( x)dx

x →c

∫

b

a

Определение сходимости н.и.

∫

c

b

a

c

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx

Несобственный интеграл сходится, если существуют конечные пределы в правых частях равенств, определяющих эти интегралы. Если эти пределы бесконечны или не существуют, то несобственный интеграл расходится.

⎧ А − конечное число ⇒ интеграл сходится; ⎪ ∫a f ( x)dx =⎨ ∞⎫⎬ − интеграл расходится. ⎪ ∃⎭ ⎩ 1 ϕ ( x), f ( x) непрерывны ∀х ∈ [а,+∞ ) ϕ ( x), f ( x) непрерывны ∀х ∈ [а, b ) lim ϕ ( x) = lim f ( x) = ∞ b

x →b

x →b

0 ≤ ϕ ( x) ≤ f ( x) Сходимость

∫

+∞

Признаки сходимости н.и.

a

∫

+∞

a

a

f ( x)dx

Расходимость

ϕ ( x) > 0, f ( x) > 0, ∀х ∈ [а,+∞ )

2

b

b

∫ ϕ ( x)dx ∫a

f ( x)dx

Расходимость

ϕ ( x), f ( x) непрерывны ∀х ∈ [а, b ) lim ϕ ( x) = lim f ( x) = ∞ x →b

f ( x) = A≠0 x → ∞ ϕ ( x)

x →b

f ( x) = A≠0 x →b ϕ ( x)

∃ lim

∃ lim

Несобственные интегралы от функций ϕ ( x ) и f ( x) ведут себя одинаково: или оба сходятся, или оба расходятся 3

∫

+∞

a

f ( x) dx ⇒ ∫

+∞

a

∫

f ( x)dx

b

a

b

f ( x) dx ⇒ ∫ f ( x)dx a

сходится ⇒ сходится абсолютно

сходится ⇒ сходится абсолютно

⎧сходится условно; расходится ⇒ ⎨ ⎩ расходится.

⎧сходится условно; расходится ⇒ ⎨ ⎩ расходится. ⎧ (b − a ) − k +1 dx ⎪ − сходится, если k < 1, ∫a (b − x)k = ⎨ − k + 1 ⎪⎩ ∞ − расходится, если k ≥ 1. b ⎧ (b − a) − k +1 dx ⎪ − сходится, если k < 1, ∫a ( x − a) k = ⎨ − k + 1 ⎪⎩ ∞ − расходится, если k ≥ 1. b

⎧ dx ⎪ a − сходится, если k > 1, ∫a >0 x k = ⎨ k − 1 ⎪⎩+ ∞ − расходится, если k ≤ 1. +∞

Эталонные н.и.

ϕ ( x)dx

Сходимость

− k +1

38

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Теорема. Если величина Q обладает на [a,b] 1. свойством аддитивности, а именно, если a = x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤…≤ xn = b, то Q=ΔQ1+ΔQ2+…+ΔQn, где ΔQi – значение Q на [xi-1,xi], i=1,2,…n; 2. свойством линейности Q в малом: ΔQ ≈ f(x)Δx, где f(x) – интегрируемая на [a,b] функция, то величину Q можно найти интегралом от ее элемента dQ = f(x)dx по промежутку [a,b]: b

Q = ∫ f ( x)dx a

Q S, п л о щ а д ь п л о с к о й ф и г у р ы D

№

Чертеж

Д. С. К. a≤ x≤b ⎫ ⎧ D=⎨ ⎬ f x y f x ( ) ≤ ≤ ( ) 1 ⎭ ⎩ 2

1

Д. С. К. c≤ y≤d ⎫ ⎧ D=⎨ ⎬ ⎩ f 2 ( y ) ≤ x ≤ f1 ( y )⎭

2

S = ∫ ( f 1 ( x) − f 2 ( x))dx

S,

b

a

d

S = ∫ ( f 1 ( y ) − f 2 ( y ))dy c

Одна кривая границы области D не левее другой.

Д. С. К. α≤t≤β x(α)=a, x(β)=b ( y(t)≥0, ∀ t∈ [α,β ] )

3

β

S = ∫ y (t ) xt/ dt α

Верхняя граница области задана параметрически

ρ1(φ)

ρ2(φ) 4 α

1

П. С. К. α ≤ϕ ≤ β

2

β

⎧ ⎫ D=⎨ ⎬ ρ ϕ ρ ρ ϕ ( ) ≤ ≤ ( ) 1 ⎩ 2 ⎭

1 S = ∫ ( ρ12 (ϕ ) − ρ 22 (ϕ ))dϕ 2α

Д. С. К. ⎧a ≤ x ≤ b ⎫ L=⎨ ⎬ ⎩ y = f (x) ⎭

l = ∫ 1 + ( y x/ ) 2 dx

Д. С. К. ⎧c ≤ y ≤ d ⎫ L=⎨ ⎬ ⎩ x = f ( y) ⎭

l,

к р и в о й

Q

Одна кривая границы области D не выше другой.

β

д л и н а

Формула

Система координат и пояснения

3

П. С. К. ⎧α ≤ ϕ ≤ β ⎫ L=⎨ ⎬ ⎩ ρ = ρ (ϕ ) ⎭

L

4

β

α

39

ф и г у р ы D

a

l, d

l = ∫ 1 + ( xt/ ) 2 dy c

β

l = ∫ ( xt/ ) 2 + ( yt/ ) 2 dt α

Линия L задана параметрически

ρ(φ)

п л о с к о й

b

Д. С. К. α ≤t≤β ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ L = ⎨ x = x(t ), y = y (t ) ⎬ ⎪ x(α ) = a, x( β ) = b⎪ ⎩ ⎭

п л о щ а д ь

β

l = ∫ ρ 2 + ( ρ / ) 2 dϕ α

д л и н а к р и в о й L

Q

№

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Система координат и пояснения Формула Q

Чертеж

Д. С. К. V, о б ъ е м

1

т е л а Т

V1 = ∫ S ( x)dx

⎧c ≤ y ≤ d ⎫ T2 = ⎨ ⎬ ⎩ S ( y ) ⊥ 0Y ⎭ ⎧e ≤ z ≤ f ⎫ T3 = ⎨ ⎬ ⎩ S ( z )⊥0 Z ⎭

V2 = ∫ S ( y ) dy

2

a f

V3 = ∫ S ( z )dz e

b

V = π ∫ y 2 ( x)dx a

Тело Т образовано вращением кривой у=f(х) вокруг оси 0Х

b

σ x = 2π ∫ y ( x) 1 + ( y x/ ) 2 dx a

Поверхность ϖ образована вращением кривой у=f(х) вокруг оси 0Х Д. С. К.

⎧ α ≤t≤β ⎫ ⎪ ⎪ ω x = ⎨ y = y (t ), x = x(t )⎬ ⎪ Δσ = 2π y (t )Δl ⎪ ⎩ ⎭

β

σ x = 2π ∫ y (t ) ( xt/ )2 + ( yx/ ) 2 dt α

Поверхность ϖ образована вращением кривой у=f(х (t)), заданной параметрически, вокруг оси 0Х Д. С. К.

⎧t ≤ t ≤ t 2 ⎫ V =⎨1 ⎬ ⎩ V = V (t ) ⎭

1

t1

Д. С. К.

⎧a ≤ x ≤ b⎫ F =⎨ ⎬ ⎩ F = F (x) ⎭

1

b

A = ∫ F ( x )dx a

Сила F направлена параллельно оси 0Х на промежутке [a,b] Д. С. К.

a≤x≤b ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ D=⎨ f 2 ( x) ≤ y ≤ f1 ( x) ⎬ ⎪ΔP = gxμ ( x)( f ( x) − f ( x))⎪ 1 2 ⎭ ⎩ μ – плотность жидкости, давящей на

1

т е л а

σ, п л о щ а д ь п о в е р х н. ω S, п у т ь

t2

s = ∫ V (t )dt

V – скорость прямолинейного движения тела на промежутке времени [t1,t2]

V, о б ъ е м

Т

Д. С. К.

⎧ a≤ x≤b ⎫ ⎪ ⎪ ω x = ⎨ y = f ( x) ⎬ ⎪Δσ = 2π y ( x)Δl ⎪ ⎩ ⎭ 1

Р, д а в л

b

⎧a ≤ x ≤ b, y = f ( x ) ⎫ T =⎨ ⎬ 2 ⎩ π y = S ( x ) ⊥0 X ⎭

п о в е р х н. ω

А, р а б о т а

a

Д. С. К.

σ, п л о щ а д ь

S, п у т ь

b

⎧a ≤ x ≤ b⎫ T1 = ⎨ ⎬ ⎩S ( x)⊥0 X ⎭

b

P = g ∫ xμ ( x)( f1 ( x) − f 2 ( x))dx a

А, р а б о т а Р, д а в л.

пластину D m, м а с с а

Д. С. К.

⎧a ≤ x ≤ b, y = f ( x)⎫ L=⎨ ⎬ ⎩ Δm = μ ( x)Δl ⎭

1

b

m = ∫ μ ( x) 1 + ( y ) dx / 2 x

a

μ – линейная плотность кривой L

m, м а с с а

Статические моменты относительно координатных осей Sx, Sy,, моменты инерции Мх,, Му, координаты центра тяжести хс, ус плоской кривой

y = f ( x), a ≤ x ≤ b, dl = 1 + ( y x/ ) 2 dx = ( x t/ ) 2 + ( y t/ ) 2 dt = ρ 2 + ( ρ ϕ/ ) 2 dϕ b

S x = ∫ μ ( x) ydl a

S y = ∫ μ ( x) xdl

b

M x = ∫ μ ( x) y 2 dl a

b

M y = ∫ μ ( x) x 2 dl a

40

xc =

Sy m

yc =

Sx m

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ФНП) Определение частной производной. Экстремум функции двух переменных Градиент функции F ( x, y, z ) : Если в точке М(х,у) существует предел отношения 1. Необходимое условие существования экстремума. ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F частного приращения ФНП z = f(x,y) по одному из Если функция f(x,y) имеет в точке М0(х0,у0) экстремум ; )= i+ j+ k grad F ( x, y, z ) = ( ; ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ее аргументов к приращению этого аргумента при и имеет в точке М0 частные производные первого постремлении приращения аргумента к нулю, то этот Градиент функции в точке характеризует направление рядка, то в этой точке частные производные первого предел называется частной производной ФНП по и величину максимальной скорости возрастания этой порядка равны нулю, т. е. функции в данной точке. этому аргументу в точке М(х,у): f x/ ( x 0 , y 0 ) = f y/ ( x 0 , y 0 ) = 0 . Производная по направлению Δ z f ( x + Δx, y ) − f ( x, y ) ∂z 2. Достаточные условия существования экстремума. ; = lim x = lim Вектор направления l = ( m , n , p ) ; Δx → 0 Δx Δx → 0 Δx ∂x f xx// ( x 0 , y 0 ) f xy// ( x 0 , y 0 ) . Тогда Пусть Δ = Орт направления: Δyz f ( x, y + Δy ) − f ( x, y ) ∂z f xy// ( x 0 , y 0 ) f yy// ( x 0 , y 0 ) ( m , n, p ) . lim = lim = = (cos α , cos β , cos γ ) ; l0 = Δy →0 Δy Δy →0 Δy ∂y а) если Δ> 0, то в точке М0 функция имеет экстремум, 2 2 2 m +n + p Правило. Чтобы найти частную производную ФНП причем при f xx// ( x 0 , y 0 ) < 0 – локальный максимум, Производная по направлению равна скалярному пропо одному из ее аргументов, надо все остальные изведению градиента на орт направления: при f xx// ( x 0 , y 0 ) > 0 – локальный минимум; аргументы ФНП считать постоянными и применять

правила дифференцирования и таблицу производных функции одного аргумента, по которому берется частная производная Производные сложных функций

z = f (u, v), u = u ( x, y ), v = v( x, y ) ; u, v – промежуточные аргументы, x,.y – основные аргументы. ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ; = = + + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y Производные неявно заданных функций F(x,y,z) = 0, ⇔ z = f(x,y). F y/ F/ ∂z ∂z = − x/ ; =− / . ∂y ∂x Fz Fz Полный дифференциал ФНП ∂z ∂z dz = dx + dy . ∂x ∂y Полный дифференциал ФНП равен сумме ее частных дифференциалов: dz = d x z + d y z .

∂F = ( grad F , l 0 ) = ∂l ∂F ∂F ∂F = cos α + cos β + cos γ ∂x ∂y ∂z Уравнение касательной плоскости к поверхности F(x,y,z)=0 в точке М0(х0,у0,z0)

Скалярное произведение ( grad F ( M 0 ), M 0 M ) = 0 , или F ( M 0 )( x − x0 ) + F ( M 0 )( y − y 0 ) + Fz/ ( M 0 )( z − z 0 ) = 0 / x

/ y

Уравнение нормали к поверхности F(x,y,z)=0 в точке М0(х0,у0,z0)

[

векторное произведение

grad F ( M 0 ), M 0 M x − x0 / x

F (M 0 )

=

или y − y0 / y

F (M 0 )

41

=

]= 0,

z − z0 Fz/ ( M 0 )

б) если Δ<0, то в точке М0 экстремума нет; в) если Δ=0, то требуются дополнительные исследования.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в ограниченной замкнутой области 1. Найти точки, принадлежащие области, в которых частные производные первого порядка равны нулю или не существуют. Вычислить значения функции в этих точках. 2. Заменить одну из независимых переменных из уравнения границы области и найти наибольшее и наименьшее значения получившейся функции одного аргумента на отрезке изменения этого аргумента: вычислить значения функции в критических точках первого порядка и на концах отрезка. 3. Из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Интегралы от скалярной функции

Определенный

Ω

Определение, обозначение инт-ла

ΔΩ Мi

Тройной

M∈R1 Ω:{∀x∈[a,b]} отрезок оси ОХ

M∈R2 Ω-область D в плоскости XOY S-площадь D

ΔΩ=Δx Mi=ξi∈Δxi b

∫ f ( x)dx = =

lim

n

∑ f (ξ )Δx

n →∞ max Δх i → 0 i =1

i

трапеции

i

Криволинейный I рода M∈R3 Ω-дуга кривой l в R3

M∈R3 Ω-часть поверхности σ в R3

ΔΩ=ΔS=ΔxΔy Mi(ξi,ηi)∈∆Si

ΔΩ=Δl-элемент дуги кривой Mi(ξi,ηi,ζi)∈Δli

ΔΩ=Δσ-элемент поверхности Mi(ξi,ηi,ζi)∈Δσi

∫∫ f ( x, y)dxdy =

∫∫∫ f ( x, y, z )dV =

∫ f ( x, y, z )dl =

∫∫σ f ( x, y, z )dσ =

V

n

n →∞

i

l

n

= lim ∑ f (ξ ,η )ΔS i

= lim ∑ f (ξi,ηi , ςi )ΔVi

i

n →∞

i =1

i =1

n

= lim ∑ f (ξi,ηi , ςi )Δl n →∞

i =1

a

b

f (x) =1⇒ ∫ dx = b − a a

= lim ∑ f (ξi,ηi , ςi )Δσi n→∞

i =1

σ

f(x,y,z) – плотность в т.М кривой l

∫ f (x)dx = S

n

Уравнение поверхности: z = f(x,y)

D b

Поверхностный I рода

M∈R3 Ω – область трехмерного пространства. V-некоторый объем. ΔΩ=ΔV=ΔxΔyΔz Mi(ξi,ηi,ζi)∈∆Vi

D

a

S – площадь криволинейной Геометрический и физический смысл.

Двойной

∫∫ f ( x, y )dS = Vцил. тела;

Mi(ξi,ηi)

∫∫∫ f (x, y, z)dV = m

D

f ( x, y ) − плотность плоской пластины D ⇒

D

−

f ( x, y, z ) = 1 ⇒ ∫∫∫ dV =Vтела V V

− масса D; f ( x, y ) = 1 ⇒

∫∫ dS = S

D

телаV

V

∫∫ f ( x, y )dS = m D

f(x,y,z) – плотность в т.М тела V

∫

f ( x, y, z )dl =mкривой l

l

f ( x, y, z ) = 1 ⇒ ∫ dl = длина l l

f(x,y,z) – плотность в т.М поверхности σ

∫∫σ f ( x, y, z )dσ =m

поверхности

f(x,y,z)=1⇒

⇒ ∫∫ dσ = площадьσ σ

−

D

площадь D

42

Вычисление кратных интегралов Декартова система координат (ДСК)

Д в о й н о й

Полярная система координат (ПСК)

z=f(x,y)

x = ρ cos ϕ ; y = ρ sin ϕ

∫∫ D

и D н При вычислении двойной интеграл т сводится к повторному (двукратному): f1 ( x ) b е f ( x , y ) dxdy = dx ∫a f ∫( x )f ( x, y)dy = г ∫∫ D 2 р ϕ1 ( y ) d а = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx л ϕ ( y) c

Область D – правильная в направлении оси ОY.

2

2

1

a

f2 ( x)

∫ f ( x, y)dy

β

Внутренний интеграл меняется от кривой y=f2(x) до кривой y=f1(x), внешний – от прямой х=а до прямой х=b

∫∫ f ( x, y ) dS

d

f1 ( y )

D

c

f2 ( y)

α

=

β

ρ 1 (ϕ )

α

ρ 2 (ϕ )

∫ dϕ

∫ f ( ρ , ϕ )ρdρ

ρ меняется от кривой до кривой – границ области D -в направлении стрелок на рис., ϕ меняется от α до β.

x = ρ cos ϕ ; y = ρ sin ϕ dS = dxdy = ρ d ρ d ϕ

0

x

∫∫ f ( x , y ) dS

=

D

Внутренний интеграл меняется от кривой x=f2(y) до кривой x=f1(y), внешний – от прямой y=c до прямой y=d.

ДСК

=

D

x2 + y 2 = ρ 2

∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dy ∫ f ( x, y)dx

Область D – правильная в направлении оси OX

1

f1 ( x )

D

2

Т р о й н о й и н При вычислении тройной интеграл сводится к т повторному (трехкратному): е f ( x) z ( x, y ) b г I= f ( x, y, z )dV = ∫ dx ∫ dy ∫ f ( x, y, z )dz ∫∫∫ р V a f ( x) z ( x, y ) а л

b

f ( x, y )dxdy = ∫ dx

dS = dxdy = ρ d ρ d ϕ

=

Цилиндрическая (ЦСК)

2π

ρ (ϕ )

0

0

∫ dϕ

∫ f ( ρ , ϕ )ρ d ρ

Сферическая (ССК)

θ

ρ

(ρ,φ,θ)

ρ

φ

φ Внутренний интеграл меняется от поверхности до поверхности, средний – от кривой до кривой в области D, внешний – от прямой до прямой в области D. Пределы интегрирования зависят от переменных внешних интегралов или постоянны, если граница области совпадает с плоскостями координатной сетки: x = const, y = const, z = const

43

x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ , z = z; d V = ρ dρ dϕ dz; x + y = ρ ; 2

ϕ2

I = ∫ dϕ ϕ1

ρ 2 (ϕ )

2

2

z 2 (ϕ , ρ )

∫ ρ dρ ϕ∫ ρf (ϕ , ρ , z )dz ρ ϕ 1(

)

z1 ( , )

Пределы интегрирования постоянны, если граница области состоит из поверхностей координатной сетки: ϕ =const, ρ=const, z=const.

x = ρ sin θ cos ϕ , y = ρ sin θ sin ϕ , z = ρ cos θ , x2 + y 2 + z 2 = ρ 2 dV = ρ 2 sin θ dρ dϕ dθ , ϕ2

I = ∫ dϕ ϕ1

θ 2 (ϕ )

ρ 2 ( ϕ ,θ )

∫ sin θdθ ρ ∫ϕ θf (ϕ , ρ ,θ ) ρ θ ϕ 1(

)

1(

2

dρ

, )

Пределы интегрирования постоянны, если граница области состоит из поверхностей координатной сетки: ϕ =const, ρ=const, θ=const.

Криволинейные и поверхностные интегралы I-го рода.

Интегралы I рода По длине дуги

По площади поверхности

μ=f (x, y, z)-линейная плотность

μ=f (x, y, z) – поверхностная плотность

Разобьем

⎫ ⎧ AB = ⎨ A0 A1, A1 A2,..., An − 1 An ⎬ = {Δl1, Δl 2,..., Δ ln} ⎭ ⎩ ∪

∪

∪

∪

Mi∈Δli f (Mi) – линейная плотность дуги Δli

σ = {Δσ1, Δσ2,..., Δσn} Mi∈Δσi f (Mi) – поверхностная плотность на площадке Δσi

Выберем произвольно точки Mi, i=1÷n

Δmi = f (Mi)Δli – i-тый элемент массы кривой

Просуммируем элементы массы Δmi:

Δmi = f (Mi)Δσi – i-тый элемент массы поверхности

n

∑ Δ mi i =1

n

n

n

∑ Δm = ∑ f (M )Δl = ∑ f ( x , y , z )Δl i

i =1

i

i

i =1

i

i

i

n

i

i

i =1

линейного интеграла по длине дуги max Δli → 0 n

lim ∑ n → ∞ i =1

n

n

∑ Δm = ∑ f (M )Δσ = ∑ f ( x , y , z )Δσ

– интегральная сумма для криво-

i =1

Перейдем к пределу n→∞

i

i

i =1

i

i

i

i

– интегральная сумма для по-

i =1

верхностного интеграла по площади поверхности max diam Δσi → 0 n

lim ∑ f ( xi, yi, zi )Δli = ∫∫ f ( x, y, x)dσ = m

f ( xi, yi, zi )Δli = ∫ f ( x, y, z )dl = m

n → ∞ i =1

l

44

σ

Криволинейные и поверхностные интегралы II-го рода (по координатам).

Интегралы II рода Криволинейные интегралы по координатам

Поверхностные интегралы по координатам V = P( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R( x, y, z )k = = ( P, Q, R) − вектор скорости жидкости,

F = P( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R( x, y, z )k = = ( P, Q, R) − вектор силы, перемещающей точку по кривой от А к В

протекающей через двустороннюю поверхность σ , одна из сторон которой выбрана для построения нормалей

Разобьем

⎫ ⎧ AB = ⎨ A0 A1, A1 A2,..., An − 1 An ⎬ = {Δl1, Δl 2,..., Δ ln} ⎭ ⎩ ∪

∪

∪

∪

Mi∈Δli

σ = {Δσ1, Δσ2,..., Δσn}

F ( M i ) – сила в точке Мi дуги Δ li

V ( M i ) – скорость в точке Мi на поверхности Δσi Просуммируем элементы работы Δ Еi и элементы потока жидкости Δ Пi

ΔEi = ( F ( M i ), Δ r i ) – скалярное произведение силы в точке Мi на вектор Δ ri = Ai −1 Ai , n

n

i = 1÷ n

n

∑ ΔE = ∑ ( F ( M ), Δ r ) = ∑ P( x , y , z )Δx + Q( x , y , z )Δy i

i

i =1

i

i =1

i

i

i

i =1

i

i

i

i

i

n

+ R ( xi , yi , zi )Δzi – инте-

∑ i =1

гральная сумма для криволинейного интеграла по координатам n

n

=

i =1

n→∞

i =1

n

n

i =1

i =1

ΔП i = ∑ (V ( M i ), n 0 ( M i ))Δσ i = ∑ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )Δσ i – инте-

n →∞

i =1

i =1

n →∞

n→∞

i =1

i =1

= ∫∫ ( P cosα + Q cos β + R cos γ )dσ = ∫∫ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy

∫ Pdx + Qdy + Rdz

σ

AB

Е – работа силы по перемещению точки из А в В по дуге АВ

n

n

n

П = lim ∑ ΔПi = lim ∑ (V ( M i ), n0 ( M i ))Δσ i = lim ∑ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )Δσ i =

Е = lim ∑ ΔEi = lim ∑ ( F ( Mi ), Δ ri ) = ∑ P ( xi, yi, zi ) Δxi + Q ( xi , yi , zi ) Δyi + R ( xi , yi , zi ) Δzi = n→∞

ΔПi = (V ( M i ), n0 ( M i ))Δσ i -скалярное произведение скорости на единичный вектор нормали в точке Мi,, умноженное на элемент поверхности Δσi

гральная сумма для поверхностного интеграла по координатам Перейдем к пределу n→∞ max diam Δσi → 0

max Δli → 0 n

Mi∈Δσi

Выберем произвольно точки Mi, i=1÷n

σ

П –поток жидкости через выбранную сторону поверхности σ

45

Вычисление криволинейных (по длине дуги) и поверхностных (по площади поверхности) интегралов I рода Элемент деления

⎧ x = x (t ) ⎪ l : ⎨ y = y (t ) ⎪ z = z (t ) ⎩

Кривая

Поверхность

σ : z = z( x, y) ΔSi = cos γ Δσ i

α ≤ t ≤ β

cos γ =

Элемент деления дуги кривой: Δl =

2

2

=

1 + ( z ) 2 + ( z y/ ) 2

Элемент деления поверхности:

(Δ x ) 2 + (Δ y) 2 + (Δ z) 2 =

⎛ Δx ⎞ ⎛ Δy ⎞ ⎛ Δz ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ Δt ⎠ ⎝ Δt ⎠ ⎝ Δt ⎠

1 / x

2

⋅ Δt

Δσ i =

ΔS i = 1 + ( z x/ ) 2 + ( z iy ) 2 Δ S i cos γ

Приближенное значение элемента деления

τ i ∈ Δt i

( x (τ i )) + ( y (τ i )) + ( z (τ i )) Δ t i

Δli ≈

/ t

2

/ t

2

Масса m кривой АВ,

/ t

2

Δσ i ≈

Вычисление

если f ( x, y, z) − линейная плотность: n

m = ∫ f ( x, y, z)dl = lim ∑ f ( xi , y i , z i )Δl i = n →∞

l

i y

2

Масса m поверхност и σ , если f ( x , y , z ) − поверхност ная

( x i , yi ) ∈ ΔSi

плотность :

σ

= lim ∑ f ( x(τ i ), y(τ i ), z(τ i )) ( x (τ i )) + ( y (τ i )) + ( z (τ i )) Δt i = / t

i =1

2

/ t

2

/ t

n

2

= lim ∑ f ( x i , y i , z ( x i , y i ) ⋅ 1 + ( z x/ ( x i , y i )) 2 + ( z y/ ( x i , y i )) 2 Δ S i = n→∞

β

2

/ t

2

/ t

i =1

= ∫∫ f ( x , y , z ( x , y )) 1 + ( z x/ ) 2 + ( z y/ ) 2 dS

= ∫ f ( x(t ), y(t ), z(t )) ( x ) + ( y ) + ( z ) dt / t

2

m = ∫∫ f ( x , y , z ) dσ =

i =1

n

n →∞

1 + ( z ( x i , y i )) + ( z ( x i , y i )) Δ S i / x

2

D

α

Правило Чтобы вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (I рода), нужно привести его к определенному интегралу: 1) в подынтегральную функцию вместо переменных x,y,z подставить их выражения из параметрических уравнений линии интегрирования; 2) заменить элемент дуги dl корнем квадратным из суммы квадратов производных x,y,z по t, умноженным на dt; 3) взять определенный интеграл в пределах изменения параметра t.

Чтобы вычислить поверхностный интеграл по площади поверхности (I рода), нужно привести его к двойному интегралу: 1) в подынтегральную функцию вместо z подставить его выражение из уравнения поверхности; 2) элемент поверхности dσ заменить дифференциальным выражением

1 + ( z x/ ) 2 + ( z y/ ) 2 dS ;

3) вычислить полученный двойной интеграл по области D – проекции поверхности σ на плоскость XOY.

46

Вычисление криволинейных и поверхностных интегралов II рода (по координатам) Элемент деления На поверхности σ : z = z ( x , y ), N = ( − z x/ , − z y/ ,1 )

На кривой АВ:

⎧ x = x (t ) ⎪ ⎨ y = y (t ), ⎪ z = z (t ) ⎩ α = t ( A ), t(B ) = β ,

N N

AB

= ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) Δ σ = = P Δ yΔ z + Q Δ xΔ z + R Δ xΔ y

Основное свойство

F по перемещению материальной точки из А в В:

∫ Pdx + Qdy + Rdz =

= n 0 = (cos α , cos β , cos γ ),

Δ П = (V , n 0 ) Δ σ =

ΔE = (F , Δr) = = PΔx + QΔy + RΔz

E = ∫ ( F , dr ) =

ΔS i = 1 + ( z x' ) 2 + ( z iy ) 2 Δ S i cos γ

V = ( P , Q , R ),

Δ r = (Δ x, Δ y, Δ z)

Работа E вектора силы

≥ 0

1 + ( z ) 2 + ( z 'y ) 2 ' x

Δσ i =

F = ( P , Q , R ),

Интеграл меняет знак при изменении направления интегрирования

1

cos γ =

Вычисление

Интеграл меняет знак при изменении выбора стороны поверхности Поток П векторного поля П=

AB

V

через поверхность

cos α = =

α

:

∫∫σ (V , n )dσ = ∫∫σ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )dσ =

β

= ∫ ( P( x(t ), y (t ), z (t )) xt/ + Q( x(t ), y (t ), z (t )) y t/ + R( x(t ), y (t ), z (t )) z t/ )dt

σ

0

∫∫σ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy =

cos β =

z x/ 1 + ( z x/ ) 2 + ( z y/ ) 2 z y/

=

1 + ( z x/ ) 2 + ( z y/ ) 2

= ± ∫∫ ( P( x, y, z ( x, y )) cos α + Q( x, y, z ( x, y )) cos β + R( x, y, z ( x, y )) cos γ ) 1 + ( z x/ ) 2 + ( z y/ ) 2 dxdy = D xy

= ± ∫∫ P( x( y, z ), y, z )dydz ± D yz

Чтобы вычислить криволинейный интеграл по координатам (II рода), нужно привести его к определенному интегралу: 1) в подынтегральном выражении вместо переменных x,y,z и дифференциалов dx, dy dz подставить их выражения из параметрических уравнений линии интегрирования; 2) взять определенный интеграл в пределах изменения параметра t от точки А до точки В.

Правило

Dxy

Чтобы вычислить поверхностный интеграл по координатам (II рода), нужно привести его к двойному интегралу: 1) выбрать знак +, если угол γ между нормалями к поверхности и осью OZ острый, и знак −, если угол γ – тупой; 2) вместо z подставить его выражение из уравнения поверхности; 3) элемент поверхности dσ заменить дифференциальным выражением 1 + ( z x/ ) 2 + ( z y/ ) 2 dxdy ; 4)

47

∫∫ Q( x, y( x, z ), z )dxdz ± ∫∫ R( x, y, z( x, y)dxdy

D xz

вычислить полученный двойной интеграл по области Dxy – проекции поверхности σ на плоскость XOY.

Множество Ω, на котором определена и непрерывна подынтегральная функция

ИНТЕГРАЛЫ

Пространство

Одномерное R1

Двухмерное R2

Ω – множество точек отрезка [a,b] ⊂ Ω

Ω – множество точек плоскости Dxy – двойной интеграл

Определенный интеграл

∫∫ f ( x, y)dxdy

b

∫ f ( x)dx a

Dxy

Трехмерное R3

Ω – множество точек поверхности σ

Поверхностный интеграл I рода

Поверхностный интеграл II рода

∫∫ f ( x, y, z )dσ

∫∫ (V , n°)dσ

σ

Ω – множество точек объема V – тройной интеграл

∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz V

Ω – множество точек кривой ℓ – криволинейные интегралы

II рода

I рода

∫ ( F , dr )

∫ f ( x, y, z )dl l

σ

Формула О. – Г.

Формула Грина

Формула Стокса R2

48

Элементы теории поля

Функция u скалярного поля

Оператор Гамильтона (набла)

u = u ( x, y , z )

Φ векторного поля Φ = ( P, Q, R ) = Pi + Qj + Rk Функция

∂ ∂ ∂ ∇= i + j+ k ∂y ∂z ∂x

Скалярное произведение

Уравнение поверхности уровня скалярного поля

∇u = gradu = ∂u ∂u ∂u = i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

(∇, Φ )

[∇, Φ]

Дивергенция векторного поля

Ротор векторного поля

divΦ = (∇, Φ ) = ∂P ∂Q ∂R = + + ∂x ∂y ∂z

rotΦ = ∇, Φ =

u = u ( x, y, z ) = const

n − нормаль к поверхности уровня Гармоническое поле

gradu n , направлен в сторону возрастания u, 2

2

⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ gradu = ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠

div gradu = 0

2

i ∂ = ∂x P

оператор Лапласа (дельта)

Δ = ∇2 =

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

Δu = 0

Потенциальное поле

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2 u =0 + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

Φ = gradu = ∇u

Безвихревое поле

C =

rotΦ = 0

[∇, ∇u ] = 0 по свойствам векторного произведения

Векторное произведение

∫ (Φ , dr ) = 0 ∂Q

∫ ( Φ , d r ) = ∫∫ ( ∂ x

∂P ) dxdy ∂y

−

D

Формула Стокса в R3

C =

∫ ( Φ , d r ) = ∫∫σ ( rot Φ , n

divΦ = 0

ΠΦ =

∫∫σ ( Φ ,n

0

) d σ = Π rot Φ 49

0

)dσ = 0

Формула ОстроградскогоГаусса

ΠΦ =

Формула Грина в R2

C =

Соленоидальное поле

=

∫∫σ ( Φ ,n

∫∫∫ div Φ dV V

0

)dσ =

Дифференциальные операции II порядка

Градиент скалярного поля u

[

]

j ∂ ∂y Q

k ∂ ∂z R

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Дифференциальные уравнения первого порядка № Тип дифф. Признак уравнения Метод решения уравРезультат применения метода Вид уравнения уравнения нения Уравнения с Проинтегрировать каждое Общий интеграл Функция при dx зависит разделенными слагаемое в уравнении. М ( x ) dx + N ( y ) dy = 0 x , функция при только от 1 ∫ M ( x )dx + ∫ N ( y )dy = c переменными dy зависит только от y .

2

3

4

5

6

7

Уравнения с разделяющимися переменными

Однородные уравнения

Уравнения, приводящиеся к однородным Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными Уравнения Лагранжа Уравнения Клеро

M 1 ( x ) N 1 ( y )dx + M 2 ( x ) N 2 ( y )dy = 0 или

y / = f 1 ( x) f 2 ( y ) ;

( y/ =

dy ). dx

M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 или

y y/ = f ( ). x y/ =

y/ =

a1 x + b1 y + c1 ; a 2 x + b2 y + c 2

a1 x + b1 y + c1 ; a 2 x + b2 y + c 2

y = xϕ ( y / ) + ψ ( y / )

Функции при дифференциалах распадаются на произведения функций, зависящих только от одной из переменных. Уравнение не изменяет своего вида при замене x и y на λx и λy . Производная равна отношению линейных комбинаций переменных

a1 a2

b1 ≠ 0. b2

Производная равна отношению линейных комбинаций переменных

a1 a2

b1 = 0. b2

ϕ , ψ - известные функции /

y = x y/ +ψ ( y/ )

от y ψ - известная функция от

y/ 50

Разделить уравнение на произведение N 1 ( y )M 2 ( x) ≠ 0 .

Сделать замену переменной y = tx ,

y/ = t/x + t , dy = tdx + xdt . ⎧ x = u + x 0, ⎨y = v + y ⎩ 0 ⎧ a1 x 0 + b1 y 0 + c1 = 0, ⎨a x + b y + c = 0 ⎩ 2 0 2 0 2 z = a1 x + b1 y

z / = a1 + b1 y / p = y /; линейное ур-ние отн-но х

y = cx + ψ (c)

Уравнение с разделенными переменными и общий интеграл:

N ( y) M 1 ( x) dx + ∫ 2 dy = c N1 ( y) 2 ( x)

∫M

Уравнение с разделяющимися переменными t / x = f (t ) − t .

Однородное уравнение

dv a1u + b1 v ; = du a 2 u + b2 v Уравнение с разделяющимися переменными

z / − a1 z + c1 a = ;k = 2 b1 kz + c 2 a1 ( p − ϕ ( p ))

dx = xϕ / ( p ) + ψ / ( p) dp

Общее решение

№

Тип дифф. уравнения Линейные уравнения

8

Дифференциальные уравнения первого порядка Признак уравнения Метод решения уравнения

Вид уравнения

1. Метод Бернулли Искомая функция и её производная входят в y = uv ; y / = u / v + uv / уравнение в первой 2.Метод вариации произвольной степени и между собой постоянной не перемножаются. a ) q( x) = 0, y = y (c, x);

y + p ( x ) y = q( x ) x / + p ( y ) x = q( y ) /

0

y + p ( x ) y = q( x ) y или / x + p ( y ) x = q( y ) x m .

Левая часть уравнения – такая же, как у линейного уравнения, а правая отличается на сомножитель: искомую функцию в степени m.

M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0

Условие полного дифференциала ∂M ∂N = . ∂y ∂x

/

9

10

Уравнения Бернулли

Уравнения в полных дифференциалах

m

б ) y = y0 (c( x), x), q( x) ≠ 0 1. Метод Бернулли y = uv ; y / = u / v + uv / 2. z = y 1− m , z / = (1 − m) y − m y /

⎧⎪ u = M ( x, y )dx + ϕ ( y ) = с, ∫ 1. ⎨ . / / ⎪⎩( ∫ M ( x, y )dx ) y + ϕ ( y ) = N ( x, y ) x

y

x0

y0

2. u = ∫ M ( x, y 0 )dx + ∫ N ( x, y )dy = c

Результат применения метода ⎧v / + p( x )v = 0, 1. ⎨ / ⎩ u v = q( x ). Система двух ДУ с разделяющимися переменными 2.ДУ с разделяющимися переменными 1. Система двух ДУ с разделяющимися переменными ⎧ v / + p( x )v = 0, ⎨ / m m ⎩u v = q( x )u v . 2. Линейное уравнение z / + (1 − m ) p( x ) z = (1 − m) q( x )

Общий интеграл.

x = const ≠ x0

или x

y

x0 y = const ≠ y 0

y0

u = ∫ M ( x, y ) dx + ∫ N ( x 0 , y )dy = c

11

Приводящиеся к уравнению в полных диф.

M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0

1 ∂M ∂N ( ); − ∂x N ∂y 1 ∂N ∂M − W ( y) = ( ) ∂y M ∂x F ( x) =

∂(μ M ) ∂(μ N ) = ∂y ∂x

51

; μ ( y) = e ∫ μ ( x) = e ∫ μ M ( x, y )dx + μ N ( x, y )dy = 0 − F ( x ) dx

W ( y ) dy

уравнение в полных дифф-лах

Дифференциальные уравнения высших порядков

№

1

Тип уравнения Допускает понижение порядка

2

Допускает понижение порядка

3

Допускает понижение порядка

4

Вид уравнения

Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (ЛОДУ)

Признак уравнения

y (n) = f ( x)

F ( x, y

(k )

,y

/

( k +1)

F ( y , y ,... y

y ( n ) + a1 y ( n −1)

,... y

(n)

(n)

)=0

)=0

Ур-ние записано явно относительно старшей производной; в правой части ур-ния ф-ция зависит только от х. Уравнение не содержит явно искомой функции y и её первых производных до порядка k-1 включительно Уравнение не содержит явно независимой переменной х

Искомая функция и все её производные входят в уравнение в первой + ... + a n −1 y / + a n y = 0 степени и между собой не перемножаются; правая часть уравнения равна нулю.

52

Метод решения уравнения Последовательное понижение порядка производной n-кратным интегрированием

y = ∫ ∫ ...∫ f ( x )dxdx...dx + c1 n

n

x n −1 x n −2 + c2 + ... + c n ( n − 1)! ( n − 2)!

Понижение порядка уравнения на k единиц заменой переменной y ( k ) = p( x ) , y ( k +1) = p / ( x ) ,…., y ( n ) = р ( n − k ) ( x ) . Понижение порядка уравнения на единицу заменой переменной

y / = p( y ), y // = p

dp /// dp d2p , y = p( ) 2 + p 2 и так далее. dy dy dy 2

Нахождение корней характеристического уравнения k n + a1 k n −1 +, , ,+ a n −1 k + a n = 0 . Каждому действительному корню k кратности r характеристического уравнения соответствует r линейно независимых частных решений ЛОДУ: y1 = e kx , y2 = xe kx ,..., yr = x r −1e kx Каждой паре комплексных корней k = α ± iβ кратности s харкого ур-ния соответствует 2s линейно нез-мых Ч.Р. ЛОДУ:

eαx cos β x, xeαx cos βx,..., x s −1eαx cos β x, eαx sin βx, xeαx sin βx,..., x s −1eαx sin βx, Если s = 1 , то y1 = eαx cos β x, y2 = eαx sin βx ОР ЛОДУ y0 = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn

№ Тип ур-я

5

5/

Линейные неоднородные с постоянными коэффициентами (ЛНДУ).

ЛНДУ

y (n)

y

(n)

Дифференциальные уравнения высших порядков Признак Вид уравнения Метод решения уравнения ур-ия Искомая Метод вариации произвольных постоянных. Интегрируются решения функция алгебраической системы линейных уравнений (АСЛУ) с неизвестными и все её функциями c1/ ( x ), c 2/ ( x ),...c n/ ( x ) и фундаментальной системой частных произрешений ЛОДУ y1 , y 2 ..., y n , (f(x)=0). Решения АСЛУ можно найти меводные тодом Крамера: входят в 0 ... y2 yn уравнение / 0 y2 ... y n/ в первой / / / ⎧ 0 ... ... ... с1 y1 + c 2 y 2 + ... + c n y n = 0, степени и ( n −1) ( n −1) / / / / / / ⎪ f ( x) y 2 ... y n между ⎪ c1 y1 + c 2 y 2 + ... + c n y n = 0, ⇒ c1/ = ; ⎨ собой не ...................................... = 0, y1 y2 ... yn ⎪ / ( n −1) + c 2/ y 2( n −1) + ... + c n( n −1) = f ( x ) + a1 y ( n −1) + ... + a n −1 y / + a n y = f ( x ) перемноy1/ y 2/ ... y n/ ⎩⎪c1 y1 жаются; ... ... ... ... функция y1( n −1) y 2( n −1) ... y n( n −1) в правой y1 0 ... yn y1 y2 ... 0 части / / / / y 0 ... y y y ... 0 n 1 1 2 уравне.... 0 ... ... .... ... ... 0 ния зави( n −1) ( n −1) ( n −1) ( n −1) y f ( x ) ... y y y ... f ( x) 1 n 2 сит тольc 2/ = ;…., c n/ = 1 . ко от x. y1 y2 ... yn y1 y2 ... yn y1/ y 2/ ... y n/ y1/ y 2/ ... y n/ ... ... ... ... ... ... ... ... y1( n −1) y 2( n −1) ... y n( n −1) y1( n −1) y 2( n −1) ... y n( n −1)

+ a1 y αx

( n −1)

+ ... + a n −1 y + a n y = f ( x ) /

f ( x ) = e ( Pm ( x ) cos βx + Q l ( x ) sin βx )

Правая часть специального вида

Общее решение ЛНДУ: y = c1 ( x ) y1 + c 2 ( x ) y 2 + ... + c n ( x ) y n . Метод неопределенных коэффициентов. Общее решение ЛНДУ получают как сумму общего решения y 0 соответствующего ЛОДУ и частного решения y н ЛНДУ: y = y0 + yн = y0 + x s eαx (U w ( x) cos βx + Vw ( x) sin βx) : w = max(m, l ); s − кратность корня α ± β i хар − го ур − я 53

Системы дифференциальных уравнений

№

1

Тип с-мы ур-й

Нормальная система дифференциальных уравнений (НСДУ)

Вид НСДУ

y1/ ( x ) = f 1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n ); y 2/ ( x ) = f 2 ( x, y1 , y 2 ,..., y n ); ....................................... y n/ ( x ) = f n ( x, y1 , y 2 ,..., y n ).

Признак НСДУ

Метод решения НСДУ

Уравнения записаны явно относительно первой производной; функции в правой части уравнений зависят только от аргумента x и искомых функций y1 , y 2 ,..., y n .

Метод исключения неизвестных. Дифференцированием уравнений и выражением одних функций через другие НСДУ сводят к одному или нескольким дифференциальным уравнениям с одной неизвестной функцией в каждом. Метод выделения интегрируемых комбинаций. Получают из системы такие уравнения, которые можно проинтегрировать и найти первый интеграл системы. Если найдены n независимых первых интегралов НСДУ, то их совокупность дает общий интеграл этой системы. Для выделения интегрируемых комбинаций из НСДУ её записывают в так называемой симметрической форме: dy n dy1 dy 2 dx = = ... = = f 1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n ) f 2 ( x, y1 , y 2 ,..., y n ) f n ( x, y1 , y 2 ,..., y n ) 1 и используют следующее свойство равных дробей: если u u1 u 2 = = ... = n = γ , то при любых α 1 , α 2 ,..., α n имеет место соотv1 v 2 vn ношение α 1u1 + α 2 u 2 + ... + α n u n = γ (∗). α 1 v1 + α 2 v 2 + ... + α n v n Значения α 1 , α 2 ,..., α n подбираются таким образом, чтобы числитель в (∗) был полным дифференциалом знаменателя или же числитель и знаменатель были равны нулю.

54

Системы дифференциальных уравнений

№

2

Тип системы Нормальная линейная однородная система n -го порядка (НЛОС).

Нормальная линейная однородная систе3а ма n -го порядка с постоянными коэффициентами

Вид системы y ( x ) = a11 ( x ) y1 + a12 ( x ) y 2 + ... + a1n ( x ) y n , / 1

y 2/ ( x ) = a 21 ( x ) y1 + a 22 ( x ) y 2 + ... + a 2 n ( x ) y n , .......................................................... y n/ ( x ) = a n1 ( x ) y1 + a n 2 ( x ) y 2 + ... + a nn ( x ) y n , .

Коэффициенты линейных комбинаций искомых функций зависят от аргумента x.

Признак системы Ур-я записаны явно отн-но первых производных; правые части уравнений представляют собой линейные комбинации искомых функций.

Метод решения системы Метод исключения неизвестных (см. НСДУ). Фундаментальной системой решений НЛОС называется совокупность произвольных n линейно независимых решений Y k ( x ) = ( y1(k ) ( x ), y 2( k ) ( x ),..., y n( k ) ( x )), k = 1,2,..., n . Если Y k ( x ), k = 1,2,..., n,− фундаментальная система решеn

ний ЛОС, то общее решение имеет вид Y ( x ) = ∑ C k Y k ( x ) , k =1

где C1 , C2 ,..., Cn -произвольные постоянные. Уравнения за- Матричный метод. Из характеристического уравнения / писаны явно det( A − λE ) = 0 находят различные корни λ1 , λ 2 ,..., λ s и для y1 ( x ) = a11 y1 + a12 y 2 + ... + a1n y n , относительно каждого корня λ (с учетом его кратности) определяют соотпервых произy 2/ ( x ) = a 21 y1 + a 22 y 2 + ... + a 2 n y n , ветствующее ему частное решение Y ( λ ) ( x ) . Общее решение .......................................................... водных; правые n y n/ ( x ) = a n1 y1 + a n 2 y 2 + ... + a nn y n , . части уравнений имеет вид Y ( x ) = C Y ( λk ) ( x ) . При этом, если а) λ − дей∑ k k =1 Коэффициенты линейных комбинаций представляют собой линейные ствительный корень кратности 1 (один), то искомых функций постоянны. (λ ) комбинации ⎛ξ 1 ⎞ ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎜ (λ ) ⎟ ⎜a ⎟ искомых функa ... a 22 2n ⎟ – A = ⎜ 21 матрица из ций. Y ( λ ) ( x ) = Y ( λ ) e λx = ⎜ ξ 2 ⎟e λx , где Y ( λ ) − собственный вектор ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ... ... ... ⎟ ⎜ξ ( λ ) ⎟ a a ... a n 1 n 2 nn ⎝ ⎠ ⎝ n ⎠ коэффициентов при искомых функциях. матрицы A , соответствующий собственному значению λ , то есть AY ( λ ) = λY ( λ ) , Y ( λ ) ≠ 0

55

Системы дифференциальных уравнений Ур-я записа- Матричный метод. Из характеристического уравнения y ( x ) = a11 y1 + a12 y 2 + ... + a1n y n , ны явно от-но det( A − λE ) = 0 находят различные корни λ1 , λ 2 ,..., λ s и для каждого первых про- корня λ (с учетом его кратности) определяют соответствующее y 2/ ( x ) = a 21 y1 + a 22 y 2 + ... + a 2 n y n , .......................................................... изводных; ему частное решение Y ( λ ) ( x ) . Общее решение имеет вид y n/ ( x ) = a n1 y1 + a n 2 y 2 + ... + a nn y n , . правые части n Коэффициенты линейных комби- уравнений Y ( x ) = ∑ C k Y ( λk ) ( x ) . Если б) λ − комплексный корень кратности k =1 наций искомых функций постоян- представляют собой линей1 (один), тогда корнем характеристического уравнения является ны. ные комбинатакже сопряженное с λ число λ . Вместо комплексных частных ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎜a ⎟ ции искомых ... a a 22 2 n ⎟ – матрица решений Y ( λ ) ( x ) и Y ( λ ) ( x ) следует взять действительные частные A = ⎜ 21 функций. ⎜ ... ... ... ... ⎟ решения Y1( λ ) ( x ) = Re Y ( λ ) ( x ) и Y ( λ ) ( x ) = Im Y ( λ ) ( x ) . ⎝ a n1 a n 2 ... a nn ⎠ из коэффициентов при искомых функциях. Уравнения Матричный метод. Если в) λ − корень кратности r ≥ 2 , то соот/ записаны яв- ветствующее этому корню решение системы ищут в виде вектора y1 ( x ) = a11 y1 + a12 y 2 + ... + a1n y n , но относи⎛ α 1(1) + α 1( 2 ) x + ... + α 1( r ) x r −1 ⎞ / ⎜ (1) ⎟ тельно перy 2 ( x ) = a 21 y1 + a 22 y 2 + ... + a 2 n y n , α 2 + α 2( 2 ) x + ... + α 2( r ) x r −1 ⎟e λx (∗∗), коэффициенты кото(λ ) ⎜ ( ) = Y x .......................................................... вых произ⎜ ⎟ y n/ ( x ) = a n1 y1 + a n 2 y 2 + ... + a nn y n , . водных; ⎜ α (1) + α ( 2 ) x + ... + α ( r ) x r −1 ⎟ n n ⎝ n ⎠ Коэффициенты линейных комби- правые части ( j) рого α i , i = 1,..., n, j = 1,..., r определяются из системы линейных наций искомых функций постоян- уравнений представляют уравнений, получающихся приравниванием коэффициентов при ны. собой линей- одинаковых степенях x в результате подстановки вектора (∗∗) в ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ⎜a ⎟ ные комбина- исходную систему. A = ⎜ 21 a 22 ... a 2 n ⎟ – матрица ции искомых ⎜ ... ... ... ... ⎟ функций. ⎝ a n1 a n 2 ... a nn ⎠ из коэффициентов при искомых функциях. / 1

3б

Нормальная линейная однородная система n го порядка с постоянными коэффициентами

3в

Нормальная линейная однородная система n го порядка с постоянными коэффициентами

56

Числовые ряды

Знакоположительные ∞

∑a n=0

n

Знакопеременные ∞

∑a

,∀an ≥ 0

n=0

=∑ un − n=0

∞

∑v n=0

n

, ∀ u n ≥ 0, ∀ v n ≥ 0

n→∞

Необходимый признак сх-ти

Требуются дополни∞

∑

n = 0

a

Нет

n

Ряд расходящийся

Знакочередующийся ряд

Да

∞

∑ ( − 1)

Ряд из модулей сходится I теорема сравнения

un ≤ vn сх. ∞

∑u n =0

абсолютно ∞

∑v

n

n =0

II теорема сравнения

Признак Даламбера

Интегральный признак Коши

Радикальный признак Коши

un = c ≠ 0, n →∞ v n

lim

a n +1 =p n→∞ a n

Интеграл

lim n a n = p

lim

n

( с <∞) оба ряда ведут себя одинаково

p < 1 – сх-ся p > 1 – расх-ся p= 1– ответа нет

∞

∫ a dn, n ∈ R n

k

и ряд ∞

∑a n=k

Эталонные ряды

∑ q n − геом. прогрессия q < 1 − сх ∞

q ≥ 1 − расх 1

∑n n =1

p

p < 1 – сх-ся p > 1 – расх-ся p = 1 – ответа нет

> 1 − сх − обобщ. гарм. ряд pp ≤ 1 − расх

n

n=0

Знакопеременный ряд

1.

сходится абсолютно

Да

an , ∀ an ≥ 0

liman = 0 n→∞

2. an+1
– ведут Сходится условно Нет

Эталонный интеграл

∞

2.

n→∞

себя одинаково

расх

1. n = 0

n

тельные исследова-

Абсолютная сх-ть

Нет Достаточные признаки сходимости

n

liman = 0

Да

Признак ответа не дает

∞

⎧ ln ln n ∞k , α = 1, dn ⎪ ∫k n ⋅ ln α n =⎨ ln1−α n ∞ , α ≠ 1 ⎪ k ⎩ 1−α α > 1 − сх α ≤ 1 − расх ∞

lim an ≠ 0

n →∞

Ряд расходится

57

lim an = 0

n →∞

Требуются дополнительные исследования

Функциональные ряды

∑ u (z )

ТВТ©ТПУВМ05

n

n

Ряд

∑ u (z ) n

сходится в D

В каждой точке z∈ D

да

∃S ( z ) = lim S n ( z ) = lim ∑ un ( z ),

n

n →∞

n→∞

lim

x ∈ [0,

∑ cn ( z − z0 )n

Нечетное продолжение

∀a n = 0

n-целое n = 0,±1,±2,..

f ( z) 1 cn = dz ∫ 2πi γ ⊂ D ( z − z 0 ) n +1

=

2

сn =

f

∫ f ( x) sin

πnx

Сходится внутри круга ⎢z-z0 ⎢
n = 0,1,2,… – правильная часть

n<0– главная часть

1. 2. 3.

Сходится внутри кольца r< ⎢z-z0 ⎢
Сходится вне круга

Ряды Фурье

f ( x) ~

Четное продолжение

an =

an = dx

=

2

∫

1

a0 ∞ πnx πnx + ∑ an cos + bn sin 2 n =1

a+2

∫

f ( x) cos

πnx

dx

T =2

a

f ( x) cos

πnx

dx

0

Ряд Лорана

( z0 ) n!

]

∀bn = 0

bn =

0

( n)

u n +1 ( z ) > 1, lim n un ( z ) > 1 и другие приn →∞ un ( z )

знаки сходимости числовых рядов

Ряды степеней ( z − z0 )

Ряд Тейлора

n

n

n →∞

признаки сходимости числовых рядов

n≥0

∑ u (z ) расходится в D

Ряд

n

На границе D соответствующий числовой ряд исследуется отдельно

u ( z) lim n +1 < 1, lim n un ( z ) < 1 и другие n →∞ u ( z ) n→∞ n

нет

S ( z ) < ∞ ∀z ∈ D

S(x) –непрерывна в области сходимости D Ряд можно почленно дифференцировать любое число раз в D Ряд можно почленно интегрировать по любой кривой L⊂ D любое число раз.

bn =

1

a+2

∫

f ( x) sin

πnx

dx

a

Условия Дирихле 1. f(x)-периодическая, T=2ℓ; 2. f(x)-кусочно-непрерывная на любом конечном [x1,x2] и может иметь разрывы только I рода; 3. f(x)-кусочно-монотонная

⎧ f ( x) − в т. непр − ти ⎪ S ( x ) = ⎨ f ( x − x0 ) + f ( x + x0 ) ⎪⎩ 2

r< ⎢z-z0 ⎢

в х0 - т.р. I рода

58

Функции комплексного переменного z =

x=Re z – действительная часть z – действ. число, y=Im z – мнимая часть z – действительное число i – мнимая единица, i2=–1

x 2 + y 2 – модуль z

Главное значение аргумента

2i=2ei(π/2+2πk)

y ⎧ ⎪ arctg x , I , IV четверть ⎪⎪ y ϕ = arg z = ⎨ arctg + π , II четверть x ⎪ y ⎪arctg − π , III четверть ⎪⎩ x −π < ϕ ≤ π Argz = arg z + 2πk

Правильный n-угольник

-2=2ei(π+2πk)

z = ze

iϕ

Формула Эйлера

z = n ze

i

2=2ei2πk

R=n z -2i=2e

n

z = x + iy = z ei (ϕ + 2πk )

α

i(-π/2+2πk)

Показательная форма записи компл. числа

z=x+iy – алгебраическая форма записи компл. числа

α=

ϕ n

ϕ + 2πk n

, k = 0,1,…, n-1

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

iϕ

e = cos ϕ + i sin ϕ

z = z (cos ϕ + i sin ϕ )

e iϕ − e − iϕ e iϕ + e − iϕ sin ϕ = 2i 2 ϕ −ϕ ϕ e +e e − e −ϕ chϕ = shϕ = 2 2

cos ϕ =

shz = −i sin iz chz = cos iz

e − iw − e − iw e 2iw − 1 Arc sin z = w → z = sin w = = → e 2iw − 2ize wi − 1 = 0 → e iw = iz ± 1 − z 2 → iw 2i 2ie → w = Arc sin z = −iLn(iz ± 1 − z 2 )

Lnz = ln z + i (ϕ + 2πk )

Arc sin z = −iLn(iz ± 1 − z 2 )

Arc cos z = −iLn( z ± z − 1) i 1 + iz Arctgz = − Ln 2 1 − iz i z −i Arcctgz = Ln 2 z+i 2

z n = e nLnz a z = e zLna

59

Производная функции комплексного переменного ∂u ∂u dy dx + ∂x ∂y ∂v ∂v ∃dv = dx + dy ∂y ∂x

∃du =

Условия Коши-Римана

f ( z ) = u + iv

∂u ∂v = ∂x ∂y

∃f ′(z ) в точке z

∃f ′( z ) =

и некоторой ее окрестности

∂u ∂v =− ∂y ∂x

∂u ∂v z+z z−z. +i ;x = ;y= ∂x ∂x 2 2i

Алгебраическими преобразованиями можно исключить

u,v – гармонические функции

∂ 2u ∂ 2u + =0 ∂x 2 ∂y 2

f(z) – аналитическая в точке z

∂ 2v ∂ 2v + =0 ∂x 2 ∂y 2

(0,0) (1,0)

(x0,y0)

U – известна; x

V = ∫ (− x0

и т.д.

y

∂u ( x, y0 ) ∂u ( x, y ) )dx + ∫ dy + C = ∂y ∂x y0 x = const ≠ x0

x

∫ (−

x0

y

∂u ( x0 , y ) ∂u ( x, y ) )dx + ∫ dy + C ∂x ∂y y0

y = const ≠ y0 V– известна y

∂v( x, y 0 ) ∂v( x, y ) dx + ∫ (− )dy + C = ∂y ∂x x0 y0 x

U=

∫

x = const ≠ x 0 x

∫

∂v( x, y )

y

dx + ∫ (−

∂v ( x0 , y )

)dy + C ,

Геометрический смысл производной Если в точке z0 производная аналитической функции не равна нулю, то все бесконечно малые дуги, выходящие из точки z0, при отображении ω = f (z ) поворачиваются на один и тот же угол, равный аргументу производной, и получают одно и то же растяжение, равное модулю производной.

60

z

Интегрирование ФКП

f ( z ) = u + iv

ТВТ©ТПУВМ05

f ( z ) − неаналитическая в G

∂u ∂v = ∂x ∂y ∂v ∂u =− ∂x ∂y ( x, y ) ∈ G

нет

(содержит z , z , Im z , Re z ) tB

∫ f ( z )dz = ∫ f ( x(t ) + iy(t ))(x

AB

' t

+ iy )dt ' t

f ( z ) − аналитическая в G

да

Интегральная формула Коши

∫

tA

∀L ⊂ G

f ( z) dz = 2π if ( z 0 ) z − z0

f(z) – аналитическая функция внутри D, ограниченной L⊂ G

⎧ x = x(t ), AB : ⎨ ⎩ y = y (t )

Теорема Коши для односвязной области G

∫ f ( z )dz = 0

∀L ⊂ G z2

∫ f ( z )dz = F ( z ) − F ( z ) 2

res f ( x) = z = z0

1 f ( z )dz 2π i ∫L

z0∈D, огр.L; z0 – единств. и.о.т. Основная теорема теории вычетов

∫

z1

Теорема Коши для многосвязной области D

Формула для производной аналитической в G функции f(z)

2π i ( n ) f ( z )dz = f (z0 ) n +1 ∫ n! ∀L ⊂ G ( z − z 0 )

n

f ( z )dz = 2πi ∑ res f ( z ) i =1

L

z = zi

Устранимая и.о.т. z0 : lim f ( z ) = const z → z0

Простой полюс z0 :

lim f ( z )( z − z0 ) = const ≠ 0

z → z0

m-кратный полюс z0 :

∫

∀L ⊂ G

n

f ( z )dz = ∑

∫ f ( z )dz

i =1 ∀γ i ⊂ G

Интеграл по внешнему контуру L равен сумме интегралов по внутренним контурам γi, причем все контуры обходятся в одинаковом направлении.

res f ( z ) = 0

z = z0

res f ( z ) = lim f ( z )( z − z 0 ) ;

z = z

0

z → z

res z = z0

0

ϕ ( z ) ϕ ( z0 ) = ψ ( z ) ψ ′( z0 )

1 d m −1 lim m −1 ( f ( z )( z − z0 ) m ) (m − 1)! z → z0 dz

lim f ( z )( z − z0 ) = const ≠ 0

res f ( z ) =

Существенно о.т. z0 : lim f ( z ) не существует

res f ( z ) = c−1 из разложения f ( z ) = ∑ cn ( z − z0 ) n ; res f ( z ) = −c−1 , f ( z ) = ∑ cn z n , z > R

m

z → z0

z → z0

z = z0

∞

z = z0

−∞

61

∞

z =∞

−∞

1

Вычисление некоторых интегралов при помощи вычетов Интеграл 1

Условия Pm ( x) R( x) = , n − m ≥ 2, Qn ( x) R(z) ─ непрерывна на всей действительной оси

∞

∫ R( x)dx

−∞

2

∫ R( x) cos λxdx

−∞

∫ R( x) sin λxdx

2π

∫ R(sin x, cos x)dx

k

z = zk

zk ─ все полюсы функции R(z) в верхней полуплоскости ∞

∫ R( x)сosλxdx = Re( 2πi ∑ resR( z )e k iλz

−∞

iλ z

z = zk

), λ > 0

zk ─ все полюсы функции R(z)e в верхней полуплоскости

P ( x) R( x) = m , n − m ≥ 1, Qn ( x) R(z) ─ непрерывна на всей действительной оси

∞

−∞

4

∫ R( x)dx = 2πi ∑ resR( z )

−∞

P ( x) R( x) = m , n − m ≥ 1, Qn ( x) R(z) ─ непрерывна на всей действительной оси

∞

3

Вычисление ∞

∞

∫ R( x) sin λxdx = Im(2πi ∑ resR( z )e k iλz

−∞

z = zk

iλ z

), λ > 0

zk ─ все полюсы функции R(z)e в верхней полуплоскости

R(x) ─ непрерывна внутри промежутка интегрирования

z = e ix , sin x =

1 1 1 1 dz ( z − ), cos x = ( z + ), dx = , 2i z 2 z iz

2π

∫ R(sin x, cos x)dx = ∫ F ( z )dz 0

z =1

0

Некоторые разложения в степенные ряды 1 2

2

n

∞

n

z z z z e = 1 + + + ... + + ... = ∑ , 1! 2! n! n = 0 n! z

sin z = z −

z <∞

e =e z

∞ ∞ z 2 n +1 (−1) n z 2 n +1 (−1) n z 2 n +1 z3 z5 , shz = ∑ + ... = ∑ + + ... + , 3! 5! (2n + 1! n = 0 ( 2n + 1)! n = 0 ( 2 n + 1)!

3

∞ z (−1) n z 2 n (−1) n z 2 n z2 z4 , cos z = 1 − + + ... + + ... = ∑ , chz = 2! 4! (2n)! (2n)! n = 0 ( 2n)! n=0

4

∞ b = b∑ (q ( z )) n , 1 − q( z ) n=0

5 6

∞

∑

ln(1 + z ) = z −

2n

z <∞

z <∞

q( z ) < 1

∞ z 2 z3 (−1) n z n (−1) n z n +1 + + ... + + ... = ∑ , n n +1 2 3 n=0

( z − z0 ) n =e ∑ , z − z0 < ∞ n! n=0 z0

∞

cos z = cos(( z − z0 ) + z0 ) = cos( z − z0 ) cos z0 − sin( z − z0 ) sin z0 = ∞ (−1) n ( z − z0 ) 2 n (−1) n ( z − z0 ) 2 n +1 = cos z0 ∑ − sin z0 ∑ , z − z0 < ∞ (2n)! (2n + 1)! n=0 n=0 ∞

Mz + N A B A B = + = + = z 2 + bz + c z − z1 z − z 2 ( z − z 0 ) + ( z 0 − z1 ) ( z − z 0 ) + ( z 0 − z 2 ) B A = + = z − z0 z 0 − z1 ( z − z 0 )(1 + ) ( z 0 − z 2 )(1 + ) z0 − z2 z − z0 ∞

=∑

z < 1, z = 1

( z − z0 ) + z0

n =0

(−1) n A( z 0 − z1 ) n (z − z0 )

n +1

∞

( −1) n B ( z − z 0 ) n

n=0

( z 0 − z 2 ) n +1

+∑

r = z 0 − z1 < z − z 0 < z 0 − z 2 = R

m(m − 1) 2 m(m − 1)...( m − n + 1) n z + ... + z + ... = 2! n! ∞ m(m − 1)...( m − n + 1) n =∑ z , z <1 n! n=0

(1 + z ) m = 1 + mz +

(ln(1 + z )) / =

62

∞ 1 = ∑ (−1) n z n , z < 1 1 + z n=0

,

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

1. f (t ) интегрируема ∀t ∈ (0, ∞ ); f (t ) − оригинал: 2. f (t ) = 0, ∀t < 0;

F (P ) − изображение оригинала: ∞

3. f (t ) ≤ Meσ 0 t , M = const , σ 0 = const

F ( P) =

∫ f (t )e

− pt

dt

0

дифференцирование изображения

дифференцирование оригинала f (t ) → PF ( P) − f (0); f (t ) → P F ( P) − Pf (0) − f (0); /

f

( n)

//

2

/

(t ) → P n F ( P) − P n −1 f (0) − P n − 2 f / (0) − ... − f

( n −1)

(0)

F / ( P ) ← −tf (t ); F ( n ) ( P ) ← (−1) n t n f (t )

интегрирование оригинала

интегрирование изображения

t

∞

F ( P) P

∫ f (τ )dτ → 0

f (t ) t P смещение в области изображений

∫ F ( P)dP ←

смещение в области оригиналов f (t − τ ) → e − Pτ F ( P), τ > 0 теорема подобия 1 P f (ωt ) → F ( ), ϖ > 0

ω

F ( P − P0 ) ← e P0t f (t ) теорема о свертке оригиналов t

F1 ( P ) F2 ( P ) ← ∫ f 1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ = f 1 (t ) * f 2 (t )

ω

0

формула разложения f (t ) = ∑ res F ( P)e Pt P = Pk

k

табличные соотношения 1→

ϖ P 1 1 ; e αt → ; sin ϖ t → 2 ; cosϖ t → 2 ; 2 P P −α P +ϖ P +ϖ 2 ϖ n! P t n → n +1 ; shϖ t → 2 ; chϖ t → 2 2 P P −ϖ P −ϖ 2 изображени е кусочно − линейной функции

F ( P ) = ∑ e − Pτ k k

τ k − точки разрыва f (t ) или f / (t ), α β α k = a k − bk − скачки f (t ), ( k + k2 ), P P β k = tgγ k − tgδ k − скачки f / (t )

Интегрирование линейных дифференциальных уравнений формулами Дюамеля a 0 x ( n ) (t ) + a1 x ( n −1) (t ) + ...a n x(t ) = f (t ); x(0) = x / (0) = ... = x ( n −1) (0) = 0. a ) a 0 x ( n ) (t ) + a1 x ( n −1) (t ) + ...a n x(t ) = 1 ⇒ x1 (t ); t

б ) x(t ) = ∫ x1/ (τ ) f (t − τ )dτ , или 0

t

x(t ) = ∫ x1/ (t − τ ) f (τ )dτ , или 0

t

t

x(t ) = f (0) x1 (t ) + ∫ f (τ ) x1 (t − τ )dτ , или

x(t ) = f (0) x1 (t ) + ∫ f / (t − τ ) x1 (τ )dτ

/

0

0

63

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 1

2

Соединения, определения вероятности Названия, обозначения Пояснения Перестановки из n элементов Соединения отличаются тольPn = n! = 1·2·…·(n-1)·n ко порядком элементов. Перестановки с повторениями

p с повтор

n! = α !⋅β !⋅γ !

α+β+γ=n

С О Е Д И Н Е Н И Я

3

Размещения из n элементов по m (n ≤ m) n! Anm = = (n − m)! = n ⋅ (n − 1)...(n − m + 1)

4

Размещения из n элементов по m (n ≤ m) с повторениями

m сомножителей

Соединения содержат любой элемент из m сколько угодно раз от 0 до m.

( Anm ) с повт = n m 5

Сочетания из n элементов по m (m ≤ n) Am n! C nm = = n m ! (n − m)! m !

6

Сочетания из n элементов по m с повторениями (m может быть больше, чем n)

(C nm ) с повт = C nm+ m −1 1

Статистический подход

PA = P( A) = lim Pn∗k ( A) nk →∞

В Е Р О Я Т Н О С Т Ь

Соединения из n одинаковых элементов, распределенных по подгруппам из α, β, γ элементов, отличающиеся порядком элементов. Соединения отличаются хотя бы одним элементом или порядком элементов.

2

Классическое определение

P ( A) =

3

m , m≤n n

Геометрическое определение

P( A) = 4

mes g mes G

3. P(∑ Ak ) = ∑ P( Ak ), Ai ∩ A j = 0, i ≠ j k

k

Число способов распределить 3 различные обязанности между 10 студентами, если один студент может выполнять любое число из них ( A103 ) с повт = 103 = 1000

Соединения отличаются хотя бы одним элементом (порядок элементов не учитывается)

Число способов распределить 3 студентов из 10 на три одинаковые должности 0 1 m n−m 10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 C n = C n ; C n = 1; C n = n C103 = = = 120 3!⋅7! 1 ⋅ 2 ⋅ 3 Число способов выбрать 6 Соединения состоят не только пирожных в кондитерской, из m различных элементов, но если есть 4 разных сорта пии из m каких угодно и как рожных угодно повторяющихся элементов. 9! 9 ⋅8⋅ 7 C 46+ 6−1 = = = 84 6 !⋅3! 1 ⋅ 2 ⋅ 3 В серии из nk испытаний событие А появилось mk раз; частота P ∗ ( A) = mk , k = 1,2,... nk nk обладает свойством устойчивости. Пространство элементарных событий Ω дискретно и состоит из конечного числа n элементарных равновозможных несовместных событий ω i, называемых случаями. Вероятность P(A) наступления события А равна числу случаев m, благоприятствующих наступлению события А, деленному на число всех возможных исходов n. Пространством элементарных событий является некоторая область, мера которой mes G, событию А соответствует область, мера которой mes g ⊆ mes G .

Аксиоматическое определение

A ∈ F − поле событий : 1. Р( А) ≥ 0; 2. P(Ω) = 1;

Примеры Число способов поменять местами 10 студентов, стоящих в шеренгу 10! = 1·2·…·10 = 3628800 Число способов разбить группу из 12 студентов на подгруппы по 3, 4, 5 человек 12! Pс повт = = 27720 3!⋅4!⋅5! Число способов распределить 3 различных обязанности между 10 студентами (по одной обязанности на одного студента) 3 A10 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720

Свойства операций над событиями A + A = A, A + B = B + A, A + Ω = Ω, A + 0 = A, A + A = Ω AB = BA, A ⋅ A = A, A ⋅ Ω = A, A ⋅ 0 = 0, AB = A + B, A + B = A ⋅ B, A( B + C ) = AB + AC , ( A + B )( A + C ) = A + BC , ( A + B) + C = A + ( B + C )

64

Ω А AB B

Ω

А

B

Основные теоремы теории вероятностей Зависимые события – P ( A1 A2 A ⋅ ⋅ ⋅ An ) = наступление одного из = P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P ( A3 / A1 A2 ) ⋅ ⋅ ⋅ P ( An / A1 A2 ⋅ ⋅ ⋅ An −1 ) У них изменяет вероятм ность наступления P( AB) P( AB) P( A / B) = , P ( B ) ≠ 0; P ( B / A) = , P ( A) ≠ 0 н другого P( B) P ( A) о ж Независимые события – P( A1 A2 A3 ⋅ ⋅ ⋅ An ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P( A3 ) ⋅ ⋅ ⋅ P( An ) е наступление одного из н них не изменяет верояти ность наступления любоя го другого и всех возможP ( A / B ) = P ( A), P ( B / A) = P ( B ) ных их пересечений P ( A1 + A2 + A3 + ... An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P ( An ) −

Совместные события содержат общие точки С пространства элементарл ных событий Ω о ж е и Несовместные события я не содержат общих точек пространства элементарных событий Ω

Гипотезы Нi образуют полную группу событий:

− P( A1 A2 ) − P ( A1 A3 ) − ... − P ( An −1 An ) + P( A1 A2 A3 ) + ... + ( −1) n +1 P ( A1 A2 A3 ⋅ ⋅ ⋅ An )

P( A + B) = P( A) + P( B) − P( AB) P( A1 + A2 + A3 + ... An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( An )

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )

n

Формула полной вероятности

P ( A) = ∑ P ( H j ) P ( A / H j ) = P ( H 1 ) P ( A / H 1 ) + ... + P ( H n ) P ( A / H n ) j =1

H i ∩ H j = 0,

i ≠ j, n

P( H k / A) =

∑ P( H ) = 1

Формула Байеса

Схема испытаний Бернулли

Pn ( m) = C nm p m (1 − p ) n − m

i =1

i

1 – событие А наступило; 0– событие А не наступило;

{0,0,1,0,...,1}

последовательность содержит m единиц и (n-m) нулей. P(A)=p,

P( A) = = 1− p = q

Формула Бернулли Вероятность того, что событие А наступит m раз в серии из n испытаний

P( H k ) P( A / H k ) , k = 1,2,..., n P( A)

p → 0, n → ∞, λ t = a = np

Формула Пуассона

Pn (m) =

интенсивность потока λ

(λ t ) m − λ t a m − a e ≈ e m! m!

Наивероятнейшее число m0 наступления события А

⎧целая часть числа [np + p ], если np + p − дробь, np − q < m0 < np + p; m0 = ⎨ . ⎩ два числа np + p и np − q, если np + p − целое Локальная теорема Муавра-Лапласа

Pn (m) ≈ x=

1 ϕ ( x), функция Гаусса ϕ ( x) = npq

m − np ; npq

1 x2 еxp(− ) − табулирована, 2 2π

ϕ (− x) = ϕ ( x) − четная. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

P(m1 ≤ m ≤ m2 ) = Φ( x 2 ) − Φ( x1 ), функция x1 =

m1 − np npq

, x2 =

m2 − np npq

;

Лапласа Φ ( x) =

x

t2 ∫ exp(− 2 )dt , 2π 0 1

Φ(− x) = −Φ ( x) − нечетная, табулирована. 65

Закон ны распредел ления случай йных величи ин ξ(ω) (ω – случайные события) Диск кретные случ чайные велич чины Непр рерывные сл лучайные велличиСвойсства ξ(ω): Ω → R ны ξ(ω): Ω → R Функ кция распред деления F(x)) Функ кция распред деления F(x)) 1. 0 ≤ F ( x) ≤ 1;

F (x) = P (ξ < x)

F (x ) = P (ξ < x)

2. F (−∞) = 0, F (∞) = 1; 3. x1 < x 2 ⇒ F ( x1 ) ≤ F ( x 2 );

1

4. ∃ lim F ( x) = F ( x0 ); x → x0 − 0

5. P( a ≤ ξ < b) = F (b) − F (a ). ка p: ηp Кванттиль порядк

Кван нтиль порядк ка p: ηp

3

Меди иана – кванти иль порядка 0.5 0

Меди иана – кванти иль порядка 0.5 0 Плоттность распр ределения ρ(xx)

4

Ряд распределени р ия ξ х1 х2 … xn Р p1 p2 … pn

2

F (η p − 0) ≤ p, F (η p + 0) > p

∑ р к = 1, к = 1,2,...

F (η p − 0) ≤ p, F (η p + 0) > p

ρ (x) = F / ( x)

…

a

∞

3. ∫ ρ ( x)dx = 1; 4. F ( x) =

Мод да ξ mod ξ = x(max x P)

Мод да ξ mod ξ = x((max ρ(x))

m k = ∑ x p j , j = 1,2,... k j

j

Начаальные момеенты порядк ка к ∞

∫x

mk =

k

ρ ( x)dx

−∞

Математическоое ожиданиее ξ: М((ξ)

7

2. P(a ≤ ξ < b) = ∫ ρ ( x)dx;

−∞

льные моменты порядка к Начал 6

1. ρ ( x) ≥ 0;

b

…

к

5

ηp сууществуют дл ля любых слуучайны ых величин, обладают свойсством устойч чивости, легкко могутт быть измер рены.

M (ξ ) = m1 = ∑ x j p j , j = 1,2,... j

Маатематическое ожиданиее ξ: М((ξ)

M (ξ ) = m1 =

∞

∫ xρ ( x)dx,

−∞

M ( f (ξ )) = ∑ f ( x j ) p j

∞

M ( f (ξ )) =

j

∫ f ( x) ρ ( x)dxx

x

∫ ρ ( x)dx.

−∞

Унимоодальные распрееделения имеютт единсттвенный максим мум, полимодалььные – два и более.

1. M (C ) = C , C = const; M (ξ ); 2. M (Cξ ) = CM 3. M (α 1ξ + ... + α nψ ) =

= α 1 M (ξ ) + ... + α n M (ψ ),

α 1 ,..., α n − const; 4. M (ξ ⋅ψ ) = M (ξ ) ⋅ M (ψ ), ) ξ ,ψ − незаависимые.

−∞

Центр ральные мом менты порядка к: μк 8

Центтральные мо оменты поряд дка к: μк

μ k = ∑ ( x j − M (ξ )) k p j , j = 1,2,... j

Дисперси ия ξ: D(ξ)

D(ξ ) = μ 2 = ∑ ( x j − M (ξ )) 2 p j , 9

j

∞

μ k = ∫ ( x − M (ξ )) k ρ ( x)dxx −∞

Дисперси ия ξ: D(ξ)

D (ξ ) = μ 2 =

∞

2 ∫ ( x − M (ξ )) ρ ( x)dx

−∞

j = 1,2,...

∀μ1 = 0, μ 2 = D(ξ ); )

μ 3 = m3 − 3m1 m2 + 2m13 ; μ 4 = m4 − 4m1 m3 + 6m2 m12 − 3m14 ; D(C ) = 0, C = consst; D(α 1ξ1 + ... + α n ξ n ) = = α 12 D(ξ1 ) + ... + α n2 D(ξ n ),

α 1 ,...,, α n − const, ξ i , ξ j − незав. (i, j = 1,2,...n, i ≠ j ) D(ξ ) = M (ξ 2 ) − ( M (ξ )) 2

рактеристичееская функц ция Хар gх(t) ( 10

g x (t ) = M (e

itx j

) = ∑e j

j = 1,2,...; i 2 = −1 11

itx j

pj,

Хар рактеристич ческая функц ция gх(t) ( ∞

g x (t ) = ∫ eitx ρ ( x)dx −∞

i = −1 2

Кумулянтная функц ция φ(t)

66

ρ ( x) =

1 2π

∞

∫e

− itx

g x (t )dt ;

−∞

g (0) = 1; g (t ) ≤ 1; g x( k ) (0) = i k M (ξ k ); ) M (ξ ) = −ig x/ (0) = −iϕ / (0); D (ξ ) = − g x// (0) + ( g x/ (0)) 2 = −ϕ // (0);

ψ = aξ + b, (a b − const y − значченияψ ) ⇒

ϕ (t ) = ln g x (t )

67

Центральная предельная теорема и Закон больших чисел

N ( a, σ ) 2

Функция распределения

x

F ( x) =

x

(t − a) 2 exp( − F ( x) = )dt 2σ 2 σ 2π −∫∞ 1

ε σ

P ( X − a < ε ) = 2Φ ( )

ρ ( x) = F / ( x)

−∞

Функция Лапласа:

Вероятность попадания Х в интервал

β −a α −a P(α < X < β ) = Φ ( ) − Φ( ) σ σ

∫ ρ (t )dt Φ ( x) =

1 2π

x

t2

∫ exp(− 2 ) dt ;

Φ ( − x ) = −Φ ( x )

Неравенство Чебышева Пафнутия Львовича (1821-1894)

P( X − M [ X ] ≥ ε ) ≤

D[ X ]

ε

2

, или P( X − M [ X ] < ε ) > 1 −

D[ X ]

ε2

( x − a) 2 exp(− ) ρ ( x) = 2σ 2 σ 2π 1

Распределение Бернулли, Пуассона

Если X 1 , X 2 ,..., X n − независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с конечными математическим ожиданием m и дисперсией σ2, то при неограниченном увеличении n закон распределения случайной X + X 2 + ... + X n − nm величины Yn = 1 σ n неограниченно приближается к нормальному. n

n

k =1

k =1

То есть, если S n = X 1 + X 2 + ... + X n ; An = ∑ M [ X k ]; Bn2 = ∑ D[ X k ], S − An то F ( x) = lim P( n < x) = n→∞ Bn

N ( a, σ 2 )

0

Центральная предельная теорема Теорема Ляпунова Александра Михайловича (1857-1918). Если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному (доказана в 1901 г.).

Плотность распределения

1 2π

Pn (m) = Cnm p m q n − m ≈ ≈

P(

1 (m − np ) 2 (np ) m − np exp( )≈ e . 2npq m! 2π npq m − p < ε ) ≈ 2Φ (ε n

n ). pq

P (m1 < m < m2 ) ≈ ≈ Φ(

m2 − np m − np ) − Φ( 1 ). npq npq

x

t2 ∫−∞exp(− 2 )dt

Закон больших чисел Сходимость по вероятности Последовательность {Хn}сходится по вероятности к числу а, если для любых чисел ε > 0, δ > 0 найдется такое число N(ε, δ), зависящее от ε и δ,

что для всех n > N выполняется неравенство P ( X n − a < ε ) > 1 − δ

Теорема Чебышева П. Л.

Теорема Бернулли

Теорема Пуассона

Если X 1 , X 2 ,... X n − последовательность попарно независимых случайных величин с

Пусть производится n независимых испытаний по схеме Бернулли, в каждом из которых может появиться с постоянной вероятностью p некоторое событие А. При неограниченном увеличении числа испытаний n относительная частота p* появления события А сходится по вероятности к p.

Если производится n независимых испытаний, и вероятность появления события А в k – м испытании pk, то при возрастании n относительная частота p* появления события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей pk.

конечными математическими ожиданиями M[Х1], M[Х2], …, M[Хn] и дисперсиями D[X1], D[X2], …, D[Xn], каждая из которых ограничена числом L, то последовательность

Yn

∑ =

n k =1

ожиданий

n

Xk

∑

сходится по вероятности к среднему арифметическому математических

n k =1

M[X k ] n

.

67

№ 1

2 3 4

5

№ 1

Некоторыее дискретные расспределения (M[X] – математическое м ож жидание, D[X] – дисперсия д , A[X] – коэффициент к асим мметрии, E[X] – экксцесс, или коэффи ициент островерш шинности) Распр ределение Числовые характтеристики Название и пояяснения Верояттность M[X] D[X] A[X] Биномиальное расспределение. P( A) = p; P ( A) = q = 1 − p m – число появлен ний события А в сеерии из n испытан ний Распределениее Пуассона. a = np = λ t ; n ≥ 10; p ≤ 0,1 λ − интенсиввность пуассоновсского потока, t − вр ремя Геометрическое распределение. И Испытания провод дятся до п первого появленияя события А Гипергеометричееское распределение. M элементов множества м N обладают неко оторым свойством.. Нужно отобрать n элементов этого множесства, среди которы ых m элементов обл ладали бы указанным свойством. Мультимодально ое (полимодальноее) распределение. Х1 – число проданных един ниц товара А, Х2 – число проданных х единиц товара В, …,, Хк – число продан нных единиц товаара К. А+В+…+К К=n

Pn (m) = C p q m n

Pn (m) =

m

n−m

, где C = m n

n! m!( n − m )!

(λ t ) m − λ t a m −a e ; Pt (m) = e m! m! Pm = q m −1 p Pm =

C Mm C Nn −−mM C Nn

dhypergeom m(m,n,M,N) n! P( X 1 , X 2 ,..., X k ) = p1X 1 p 2X 2 .... p kX k X 1! X 2 !...X k !

np

npq

а

а

1 p nM N

q p2

q− p npq 1

E[X] X]

1 − 6 pq p npq q

a

1 a

?

?

n ( N − M )( N − n) nM N 2 ( N − 1)

?

?

?

?

?

?

Всспомогательные формулы ф для под дсчета вероятносттей в испытаниях х по схеме Бернул лли Ч Число наступлений й события А Выч числение вероятно ости Менее m рраз P (0) + P (1) + ... + P (m − 1) n

n

n

2

Более m рраз

Pn (m + 1) + Pn (m + 2) + ... + Pn (n)

3

Не менее m раз

Pn (m) + Pn (m + 1) + ... + Pn (n)

4

Не более m раз

Pn (0) + Pn (1) + ... + Pn (m)

5

Между m1 и m2 раз

Pn (m1 ) + Pn (m1 + 1) + ... + Pn (m2 )

6

Производящая ф функция. n

n

i =1

m =0

Разлложение производяящей функции

ϕ n ( Z ) = ∏ ( q i + p i Z ) = ∑ P n ( m) Z m

ϕ n (Z ) по степеням Z дает в качестве ккоэффициентов прри Zm веероятности Pn (m) .

pi − вероятностьь появления событиия А в i-м опыте. 68

Некоторые непрерывные распределения Название

1

Равномерное

Плотность распределения

⎧ 1 ⎪ , x ∈ (a, b), ρ ( x) = ⎨ b − a ⎪⎩ 0, x ∉ ( a, b) ⎧ x −x2 2σ ⎪ , x > 0, ρ ( x ) = ⎨σ 2 e ⎪ 0, x≤0 ⎩ 2

2

Распределение Релея

α

Гамма3 распределение (Г – распределение)

α −1

⎧λ x ⎪ e − λx , x ≥ 0, ρ ( x ) = ⎨ Г (α ) ⎪⎩

x<0

0,

∞

α > 0, λ > 0, Г (α ) = ∫ xα −1e − x dx

Матем. ожидание

Функция распределения

x ≤ a, ⎧ 0, ⎪x − a F ( x) = ⎨ , a < x ≤ b, ⎪b − a x>b ⎩ 1, x ⎧ ⎪1 − e − 2σ 2 , x > 0, F ( x) = ⎨ ⎪⎩ 0, x ≤ 0. 2

a+b 2

π 2

σ

Дисперсия

Обратная функция для функции распределения

Мода

η 0.5 =

(b − a) 2 12

(2 −

π 2

⎧x ⎪ ρ ( x)dx, x ≥ 0, F ( x) = ⎨∫ 0 ⎪ 0, x<0 ⎩

α λ

⎧1 − e − λx , x > 0, F ( x) = ⎨ x ≤ 0. ⎩ 0,

1

1

λ

λ2

_

_

)σ 2

Медиана

=

x = σ − 2 ln(1 − y )

mod=σ

a+b 2

η 0.5 − -квантиль порядка 1

α λ2

x( ρ max )

η 0.5 −

2

-квантиль порядка 1

2

0

Показательное 4 распределение

⎧λe ρ ( x) = ⎨

Закон арксину6 са

Нормальное 7 распределение

, x > 0, x≤0

⎩ 0,

(Г – распределение при α = 1)

Распределение 5 Коши

− λx

λ>0,

x=−

1

λ

ln(1 − y )

x( ρ max )

η 0.5 − -квантиль порядка 1

2

ρ ( x) =

1 ⎡ ( x − a) 2 ⎤ π ⋅ b ⋅ ⎢1 + b 2 ⎥⎦ ⎣

ρ ( x) =

1

π ⋅b ⋅ 1− ρ ( x) =

1

σ 2π

( x − a) 2 b2 −

e

( x − a )2 2σ 2

,

F ( x) =

F ( x) =

⎛ x−a⎞ 1 arctg ⎜ ⎟+ π ⎝ b ⎠ 2 1

⎛ x−a⎞ 1 ⋅ arcsin⎜ ⎟+ π ⎝ b ⎠ 2 1

1 F ( x) = σ 2π

x

∫e

−

(t −a )2

−∞

69

2σ 2

dt

а

b2 2

а

σ2

⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ x = b ⋅ tg ⎢π ⋅ ⎜ y − ⎟⎥ + a 2 ⎠⎦ ⎣ ⎝

mod=a

⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ x = b ⋅ sin ⎢π ⋅ ⎜ y − ⎟⎥ + a 2 ⎠⎦ ⎣ ⎝

mod=a

mod=a

Med=а

η0.5 = а

η0.5 = а

Определение функции распределения

F ( x, y ) = P( X < x,Y < y ) y

Система двух случайных величин (СВ) Функция распределения Свойства функции распределения

• 1. 0 ≤ F ( x, y ) ≤ 1. • 2. lim F ( x, y ) = 0; lim F ( x, y ) = 0; x → −∞

y → −∞

lim

x → −∞ , y → −∞

F ( x, y ) = 0;

lim

x → +∞ , y → +∞

F ( x , y ) = 1.

• 3. lim F ( x, y ) = F1 ( x); lim F ( x, y ) = F2 ( y ). • 4. F ( x, y ) неубывающая функция по каждому аргументу при фиксированном втором. y → +∞

(x, y)

x → +∞

• 5. P( x1 ≤ X < x 2 , y1 ≤ Y < y 2 ) = F ( x 2 , y 2 ) + F ( x1 , y1 ) − F ( x1 , y 2 ) − F ( x 2 , y1 ). • 6. F ( x, y ) = F1 ( x) ⋅ F2 ( y ) ⇔ X и Y независимые СВ. • 7. F ( x, y ) = F1 ( x) ⋅ F ( y / x); F ( x, y ) = F2 ( y ) ⋅ F ( x / y ), где F ( x / y ), F ( y / x) − условные функции распределения. x

Дискретные случайные величины (ДСВ) Матрица распределения Матрица распределения вероятностей У вероятностей системы Х, У y1 y2 ym Y … рj p1 p2 … Pm X Y x1 x2 xn … y1 p11 p21 … pn1 y2 p12 p22 … pn2 … … … … … pj – сумма вероятностей j– й строки матрицы расym p1m p2m … pnm пределения вероятностей системы Х, У n m

∑∑ p i =1 j =1

ij

Непрерывные случайные величины (НСВ) Плотность распределения вероятностей системы Х, У

ρ ( x, y ) =

Свойства плотности распределения вероятностей системы Х, У

• 1. ρ ( x, y ) ≥ 0. • 2. Если ρ ( х, у ) непрерывна, то P ( x ≤ X < x + Δx, y ≤ Y < y + Δy ) = ρ (ξ ,η )ΔxΔy, где ξ ∈ Δx, η ∈ Δy. • 3. Если ρ ( х, у ) непрерывна в D, то P[( x, y ) ∈ D ] = ∫∫ ρ ( x, y )dxdy. D

=1

x y

• 4. F ( x, y ) =

i – номер столбца, j – номер строки

∫

∫ ρ ( x, y)dxd y. • 5. ∫

−∞−∞ y

F2 ( y ) =

Условные вероятности Матрица распределения вероятностей Х x1 x2 xn Х … рi p1 p2 … pn pi – сумма вероятностей i – го столбца матрицы распределения вероятностей системы Х, У.

P (Y = y j / X = xi ) = P ( X = xi / Y = y j ) =

P ( X = xi , Y = y j ) P ( X = xi )

P ( X = xi , Y = y j ) P(Y = y j )

= =

pij pi pij pj

∂ 2 F ( x, y ) ∂x∂y

∫∫

−∞

+∞

−∞

+∞ +∞

∫

−∞ −∞

ρ ( x, y )dxdy = 1. • 6. F1 ( x) =

x

∫∫

−∞ +∞

+∞

−∞

−∞

+∞

−∞

ρ ( x, y )dx)dy;

ρ ( x, y )dx)dy;. • 7. ρ 1 ( x) = ∫ ρ ( x, y )dy; ρ 2 ( y ) = ∫ ρ ( x, y )dx.

, • 8. Х и У независимы ⇔ ρ ( x, y ) = ρ 1 ( x) ρ 2 ( y ).

ρ ( x, y ) ρ ( x, y ) ; ρ ( y / x) = . ρ 2 ( y) ρ 1 ( x) 1 Для зависимых Х и У : ρ ( x, y ) = ρ 1 ( x) ρ ( y / x); ρ ( x, y ) = ρ 2 ( y ) ρ ( x / y ).

• 9. Условные плотности распределе ния ρ ( x / y ) =

.

• 10. Z = ϕ ( X , Y ) ⇒ F ( z ) = P ( Z < z ) = P (ϕ ( x, y ) < z ) = ∫∫ ρ ( x, y )dxdy ⇔ ρ ( z ) = F / ( z ), где D = {( x, y ) : ϕ ( x, y ) < z}

Математическое ожидание функции двух случайных аргументов

D

Математическое ожидание функции двух случайных аргументов

70

Z = ϕ ( X , Y ) ⇒ M [Z ] = ∑ ϕ ( xi , y j ) pij

Z = ϕ ( X , Y ) ⇒ M [Z ] = ∫

+∞ +∞

∫

−∞ −∞

i, j

ϕ ( x, y ) ρ ( x, y )dxdy.

Характеристики связи двух случайных величин (СВ) Дискретные случайные величины (ДСВ) Непрерывные случайные величины (НСВ) Регрессия (условные математические ожидания) Функция регрессии Х на У:

[

]

n

M X / Y = y j = ∑ xi i =1

m

p ij pj

M [Y / X = xi ] = ∑ y j

Функция регрессии У на Х:

M [ X / Y = y ] = ψ ( y ) = ∫ xρ ( x / y )dx +∞

Функция регрессии Х на У:

;

−∞ +∞

M [Y / X = x ] = ϕ ( x) = ∫ yρ ( y / x)dy

Функция регрессии У на Х:

pij

−∞

pi Условные дисперсии (характеризуют степень отклонения экспериментальных точек от кривых регрессии) n Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования. 2 j =1

[

]

[

]

D X / Y = y j = ∑ ( xi − M X / Y = y j ) pij ; i =1 m

D[Y / X = xi ] = ∑ ( y j − M [Y / X = xi ]) 2 pij j =1

[

]

[

]

Ковариация случайных величин Х и У: cov( X , Y ) = M ( X − m x )(Y − m y ) = M X ⋅ Y − m x m y Необходимое условие независимости Х и У: X и У независимы ⇒ cov( X , Y ) = 0 ⇔ cov( X , Y ) ≠ 0 ⇒ Х и У зависимые СВ . Обратное утверждение неверно (за исключением нормального распределения): cov( X , Y ) = 0 ⇒ ⎧ X и Y могут быть зависимыми СВ, . ⎨ ⎩ X и Y могут быть независимыми СВ

n

m

n

m

cov( X , Y ) = ∑∑ ( xi −m x )( y j − m y ) pij = ∑∑ xi y j pij − m x m y i =1 j =1

i =1 j =1

cov( X , Y ) = ∫

+∞ +∞

∫

−∞ −∞

( x − m x )( y − m y ) ρ ( x, y )dxdy = ∫

+∞ +∞

∫

−∞ −∞

xyρ ( x, y )dxdy − m x m y

Коэффициент корреляции (мера линейной зависимости СВ) и прямые среднеквадратической регрессии: σy ⎧ ( rxy = 0 ⇒ X и У называют некоррелированными ) y−m = r ( x − m ) прямая регрессии У на Х ,

rxy =

cov( X , Y ) cov( X , Y ) . = σ xσ y Dx Dy

y xy x) ⎪ σx ⎪ ⎨ σx ⎪ x − mx = rxy ( y − my ) прямая регрессии Х на У . σy ⎪⎩

( rxy ≠ 0 ⇒ X и У называют коррелированными )

Свойства математического ожидания Теорема 1. Если случайные величины Х и У имеют конечные математические ожидания, то

M [αX + βY ] = αM [X ] + βM [Y ], где α и β константы .

[

]

[ ]

[ ]

Теорема 2. Если случайные величины Х и У имеют конечные математические ожидания, то M X ⋅ Y = M X ⋅ M Y + cov( X , Y ) Свойства дисперсии

[

]

[ ] + β 2 D[Y ] + 2αβ cov( X , Y ), где α

Теорема 3. Если случайные величины Х и У имеют конечные дисперсии, то D α X + β Y = α D X Свойства коэффициента корреляции Теорема 4. Если случайные величины Х и У имеют конечные дисперсии, то − 1 ≤ rxy ≤ 1 .

71

2

и β константы .

⎧ 1, если а > 0, где a и b константы, то rxy = ⎨ ⎩− 1, если а < 0. Интервальная оценка числовых характеристик

Теорема 5. Если случайные величины Х и У связаны линейной зависимостью Y = aX + b,

1

2

Оцениваемый параметр Математическое ожидание а (дисперсия σ2 известна)

Математическое ожидание а (дисперсия σ2 неизвестна)

Статистика

Плотность распределения

G( X , a) = =

x−a

σ

Стандартное нормальное N(0,1) 2

1 - x2 ρ ( x) = e 2π

n,

1 n x = ∑ xi n i =1 G ( X , a) = x−a n, ~ S 1 n ~ S2 = ( xi − x ) 2 ∑ n − 1 i =1

S (t , n) =

−n

t2 2 = Bn (1 + ) , n −1 Γ n2 Bn = π (n − 1)Γ n2−1

()

Φ (tγ ) = tγ

= ∫ ρ (t )dt = 0

Распределение Стьюдента с k=n-1 степенями свободы

=

Интегральное уравнение

tγ

γ 2

γ

∫ S (t , n)dt = 2 0

Решение интегрального уравнения Таблица значений функции Лапласа

tγ =

ε n σ

γ – доверительная вероятность 2ε – длина доверительного интервала Таблица квантилей распределения Стьюдента

ε n tγ (n, γ ) = ~ S

Доверительный интервал

σt σt ⎞ ⎛ ⎜⎜ x − γ , x + γ ⎟⎟ n n⎠ ⎝

~ ~ ⎛ S tγ S tγ ⎞ ⎜x − ⎟ ,x + ⎜ ⎟ n n ⎝ ⎠

( )

∞

Γ( x) = ∫ e −t t x −1dt 0

3

Дисперсия

σ

2

Распределение хи-квадрат

G( X ,σ ) = 2

n −1 ~ 1 = 2 S2 = 2

σ

σ

n

∑ (x − x) i =1

i

с k = n–1 степенями свободы

2

Pk ( x) =

x

k −2 2 k 2

x 2

n −1 1− q

()

n −1 1+ q

e

2 Γ

q=

−

1−γ 2

∫ P ( x)dx = γ

σ2

k = n − 1 ⎫⎪ 1 − γ ⎬ x22 (γ ) q= 2 ⎪⎭

~ ~ ⎛ (n − 1) S 2 (n − 1) S 2 ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎜ x (γ ) ; x 2 (γ ) ⎟ 1 ⎝ 2 ⎠

k = n − 1⎫ 2 ⎬ x1 (γ ) 1− q ⎭ n −1 x22 (γ ) = 2 max (0;1 − qγ )

⎛ n −1 ~ n −1 ~ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x (γ ) S ; x (γ ) S ⎟ 1 ⎝ 2 ⎠

σ

k

k 2

с k степенями свободы

x12 (γ ) = 72

n −1 (1 + qγ ) 2

σ2

~ max (0;1 − qγ ) S 2 < σ 2 < ~ < (1 + qγ ) 2 S 2 2

Гипотеза о независимости 2-х при-

Гипотеза проверки однородности двух выборок

Критерий Смирнова Эмпирические функции распределения: F1,n, и F2,m

n, m – объёмы выборок Статистика критерия

Dnm = = max F1, n ( x ) − F2, m ( x) −∞< x<∞

Наблюдаемое значение критерия λнабл

nm Dnm n+m

λнабл. =

Критерий Вилкоксона ( n1 ≤ n2 ) Расположить выборки в виде одного вариационного ряда (n1 – объём первой выборки, n2 – объём второй выборки); ωнабл. – сумма порядковых номеров первой выборки в образованном вариационном ряду Альтернативные Основная гипотеза H 0 : F1 ( x) = F2 ( x) гипотезы Кр.Вилкоксона n ≤ n ≤ 25 n > 25 ∪ n > 25 1

H 1 : F1 ( x) ≠ F2 ( x) –двусторонняя критическая область

P(

nm Dnm < λкр . ) = K (λкр. ) = n+m ∞

= 1 + 2∑ (−1) j e

Гипотезы Смирнова

H 0 : F1 ( x) = F2 ( x) H 1 : F1 ( x) ≠ F2 ( x)

− 2 j 2λкр 2

=1−α

j =1

λ набл. < λ кр. − Н 0 принимают

λ набл . ≥ λ кр . − Н

0

отвергают

Критерий Кендалла … n Rk – число рангов, … yn больших yk Статистика критерия R=R1+R2+…+Rn-1 А В

1 y1

2 y2

Выборочный коэфф. ранговой корреляции Кендалла τв Критическая точка Ткр

τв =

4R −1 n(n − 1)

–левосторонняя критическая область

правосторонняя критическая область

T кр = z кр

1−α Φ ( z кр ) = 2

= ( n 1 + n 2 + 1 ) n 1 − ω н . кр . т

ω н . кр . т . ( Q = α , n1 , n 2 ) −

из

из

таблицы критических точек критерия Вилкоксона

ϖ

… …

в . кр . т .

Rn Sn

Статистика критерия Выборочный коэфф. ранговой корреляции Спирмена rв

Т набл = rв 2 ( 2 n + 5) 9 n ( n − 1)

R2 S2

из

таблицы критических точек критерия Вилкоксона

H 1 : F1 ( x) < F2 ( x) -–

R1 S1

в . кр . т .

ω н .кр .т . (Q = α , n1 , n2 ) −

H 1 : F1 ( x) > F2 ( x) -

А В

1

таблицы критических точек критерия Вилкоксона

ϖ

Критическая точка λкр.распределения Колмогорова К(λ), α – уровень значимости

2

α ω н . кр . т . ( Q = , n1 , n 2 ) − 2

n−2 1 − rв2

Критическая точка t кр (α , n − 2)

= ( n 1 + n 2 + 1) n 1 − ω н . кр . т

2

ω н .кр .т . = ⎡ ( n + n2 + 1) n1 − 1 n n ( n + n2 + 1) ⎤ =⎢ 1 − z кр . 1 2 1 ⎥; 2 12 ⎣ ⎦ 1−α Φ ( z кр . ) = − функция Лапласа ; 2 ω в .кр .т = ( n1 + n2 + 1) n1 − ω н .кр .т

ωн.кр.т. = ⎡ (n + n + 1)n1 − 1 n n (n + n + 1) ⎤ =⎢ 1 2 − zкр. 1 2 1 2 ⎥; 2 12 ⎦ ⎣ 1 − 2α Φ ( z кр. ) = − функция Лапласа; 2 ⎡ ( n1 + n 2 + 1) n1 − 1 n n ( n + n 2 + 1) ⎤ − z кр . 1 2 1 ⎥; 2 12 ⎣ ⎦

ω н .кр . т . = ⎢

1 − 2α − функция Лапласа ; 2 = ( n1 + n 2 + 1) n1 − ω н . кр . т

Φ ( z кр . ) =

ω в . кр . т

Критерий Спирмена А 1 2 … n R, S – ранги выборки по В T1 T2 … Tn признакам А и В Статистика критерия DRi = Ri − R; DS i = S i − S n

rв =

∑ DR DS i

i =1

n

n

i

∑ DR ∑ DS i =1

2 i

i =1

Н0 принимают, если ωнабл. > ωн.кр.т.

Н0 принимают, если ωнабл. < ωв.кр.т.

Т – ранги выборки по признаку В

Выборочный коэфф. ранговой корреляции Спирмена ρв

d i = i − Ti n 6 ρв = 1 − d i2 ∑ 2 n(n − 1) i =1

Критическая точка

t кр (α , n − 2) – из таблицы

2 i

t кр (α , n − 2) – из таблицы

распределения Стьюдента (двусторонняя критическая область)

73

Н0 принимают, если ωн.кр.т. < ωнабл. < < ωв.кр.т.

Tкр = t кр (α , n − 2)

1− ρ n−2

2 в

распределения Стьюдента (двусторонняя критическая область)

Гипотезы Кендалла H 0 : τ в = 0; Н1 : τ в ≠ 0

τ в < T кр −

Гипотезы Спирмена

Т набл < t кр −

Н0 принимают, связь

H 0 : rв = 0;

Н0 принимают, связь признаков

признаков незначимая

Н 1 : rв ≠ 0

незначимая

74

Гипотезы Спирмена H 0 : ρ в = 0; Н1 : ρ в ≠ 0

ρ в < T кр −

Н0 принимают, связь признаков незначимая

Сравнение двух средних генеральных совокупностей. (независимые выборки) I

I

H0: mx=my α – уровень значимости

Нормальное распределение. Dx,Dy известны

Т набл =

Да

x−y

Н1: mx> my

α/2 α/2 -tкр 0 tкр двусторонняя критическая область

Ф(tкр)=

⏐Тнабл⏐
α 0 – tкр левосторонняя критическая область

1 − 2α 2

Тнабл
H0-отвергают, принимают Н1

Н1: mx< my

α 0 tкр правосторонняя критическая область

1−α 2

нет

Смотри II

Конкурирующая гипотеза Н1

Dx D y + nx ny

Н1: mx≠ my

Ф(tкр)=

Нет

Нет n>30

нет

Тнабл>─ tкр нет

да

H0-принимается

да нет H0-отвергают, принимают Н1

Сравнение двух средних генеральных совокупностей. (независимые выборки) II

II

H0: mx=my α – уровень значимости

Распределение Стьюдента. Dx,Dy -неизвестны

да

нет

Смотри I

n>30

~ S x2 F набл = ~ 2 Sy

Распределение Фишера-Снедекора Н0D: Dx= Dy

Конкурирующая гипотеза Н1D

~ S x = max(S x , S y ) Fкр=F(α,k1,k2) k1=nx–1, k2=ny–1

Н1D: Dx≠ Dy

Н1D: Dx> Dy

Fкр=F( Fнабл
Tнабл=

2

,k1= nx–1,k2= ny–1)

нет

H0D-принимается Dx=Dy

k=nx+ny – 2

α

~2 ~ S x2 S y 2 ( + ) nx n y k= ~ ~ S y2 2 S x2 2 ( ) ( ) ny nx + nx − 1 n y − 1

H0D-отклоняется, принимается H1D

tkr (α, k) находят по распределению Стьюдента

x−y ~2 ~ ⋅ (n x − 1) S x + (n y − 1) S y2

Tнабл=

n x n y (n x + n y − 2) nx + n y

x−y ~2 ~ S x2 S y + nx n y

Конкурирующая Н1

Н1: mx≠ my двусторонняя критическая двусторонняя критическая область область

⏐Тнабл⏐
нет Н0-отвергается

да

Н1: mx> my односторонняя односторонняя критическая область критическая область

нет

Тнабл
да Н0-принимается 76

Н1: mx< my односторонняя односторонняя критическая область критическая область

нет

да

Тнабл>– tкр

нет Н0-отвергается

Проверка гипотезы о равенстве вероятностей событий в испытаниях по схеме Бернулли m + m2 m m ; Нулевая гипотеза H 0 : p1 = p 2 ; w1 = 1 ; w2 = 2 ; w = 1 n1 + n2 n2 n1 pq p q w1 → N ( p1 ; 1 1 ) w2 → N ( p 2 ; 2 2 ) (n1, n2 ≥ 100) n1 n2 Очевидно, что если испытания независимы в пределах каждой выборки и между выборками, то величины m1 и m2 независимы, тогда w1 и w2 также независимы. Поэтому p1 q1 p 2 q 2 + ) n1 n2

( w1 − w2 ) − ( p1 − p 2 )

→ N (0; 1) p1 q1 p 2 q 2 + n1 n2 Следовательно, проверка нулевой гипотезы осуществляется при помощи критерия w1 − w2 → N ( p1 − p 2 ;

w1 =

m + m2 m m1 ; w2 = 2 ; w = 1 ; u набл. = n1 + n2 n2 n1

Альтернативная гипотеза а

H 1 : p1 > p 2

в

H 1 : p1 < p 2

w(1 − w)(

Критические точки 1−α Φ (u крит ) = 2 1 − 2α Φ (u крит ) = 2 1 − 2α Φ (u крит ) = 2

H 1 : p1 ≠ p 2

б

w1 − w2 1 1 + ) n1 n2

Правило принятия решения: Н0 отклоняется, если u набл ≥ u двустор α крит ;

u набл ≥ u

2

правостор крит ; α

левостор u набл ≤ − u крит ;α

Следствие. Проверка гипотезы о численном значении вероятности события в испытаниях по схеме Бернулли Нулевая гипотеза H 0 : p = p0

w=

m ; u набл. = n

w − p0 p 0 (1 − p0 )

Альтернативная гипотеза а

H1 : p1 ≠ p0

б

H1 : p1 > p0

в

H1 : p1 < p0

1 n Критические точки 1−α Φ (u крит ) = 2 1 − 2α Φ (u крит ) = 2 1 − 2α Φ (u крит ) = 2 77

Правило принятия решения: Н0 отклоняется, если u набл ≥ u двустор α крит ;

2

правостор u набл ≥ u крит ;α левостор u набл ≤ − u крит ;α

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ Интегрирование и дифференцирование в системе MathCAD Часть І 6x 2 − 8 Нахождение неопределенных интегралов рассмотрим на примере ∫ dx 3x + 5 с помощью следующих операций: 1. Включаем компьютер, находим MathCAD. 2. Щелчком левой кнопки мыши выбираем место для интеграла. 3. Из палитры Calculus один раз щелкаем левой кнопкой мыши по символу

∫

неопределенного интеграла. Этот символ появляется на заготовленном месте экрана в виде ∫ • d • . Заполняем щелчками мыши и клавишами клавиатуры подынтегральное выра4. жение, не забывая ставить знаки умножения и скобки для сумм и разностей; 6x 2 − 8 на экране появится ∫ dx . 3x + 5 5. Из палитры Symbolic выбираем стрелку вправо . 6. Нажатие клавиши Enter позволяет получить первообразную функцию для неопределенного интеграла: 10 26 x 2 − x + ln(9 x + 15) . 3 9 Для закрепления полученных навыков находим следующие интегралы: 5 3 5 ∫ cos 3xdx; ∫ 5 x ln x dx; ∫ tan xdx. Часть ІІ Вычисление определенных и кратных интегралов рассмотрим на примере вычисле10

ния

∫ xe

−2 x

dx с помощью следующих операций:

1

1. Выводим на заготовленное место экрана щелчком левой кнопки мыши символ •

∫ • d • с панели Calculus. •

2. Вводим в пустые маркеры подынтегральное выражение и пределы интегрирова10

ния. На экране появится

∫ xe

−2 x

dx .

1

10

3. Нажимаем клавишу «равно»: =, и на экране увидим:

∫ xe

−2 x

dx = 0.102 .

1

Замечание. Кратные интегралы получаются аналогичным образом, но нужно нажи•

мать кратно символ ∫ • d • из палитры Calculus. •

Для закрепления полученных навыков находим следующие интегралы: 1

∫

`0 ∞

xdx 1− x

5 2 10

= ;

3 −5 x ∫ x e dx = ; 0

x −1

∫ ∫ ∫ x + 1dxdxdx = 0 1 0 ∞

∫ 0

dx = ; 2 x + 3x + 2

7 4 2

;

∫ ∫ ∫ (2 x − 3 y + 5 z )dxdxdx =

;

0 −3 1

∞

dx

∫x

2

= ;

1

∫ (x

2

dx = ; + 0.1) 2

dx

∫ ( x + 5)

2

= .

Часть ΙΙΙ Точно так же можно находить производные любого порядка, пользуясь соответствующими кнопками палитры Calculus. 78

Методы простой итерации и Зейделя решения систем линейных уравнений Пусть дана система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде ⎧ a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 , ⎪ a x + a x + ... + a x = b , ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ .......... .......... .......... .......... ........ ⎪ ⎪⎩ an1 x1 + an 2 x2 +, , ,+ ann xn = bn .

Допустим, что определитель основной матрицы этой системы не ра-

вен нулю, тогда система имеет единственное решение. Для нахождения этого решения можно использовать итерационные методы, в которых решение системы получается как предел последовательности приближений, вычисленных некоторым единообразным процессом. Для получения итерационных формул метода простой итерации выразим из первого уравнения системы x1 , из второго – x2 , из последнего – xn . Тогда систему можно записать в матричном виде X = AX + β , где ⎡ ⎢ 0 ⎢ ⎢− a21 A=⎢ a 22 ⎢ ... ⎢ a ⎢− n1 ⎣⎢ ann

−

a12 a11 0

... a − n2 ann

an1 ⎤ a11 ⎥ ⎥ a ... − n 2 ⎥ a22 ⎥ ... ... ⎥ ⎥ ... 0 ⎥ ⎦⎥ ... −

⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ X = ⎢ 2⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦

⎡ b1 ⎤ ⎢a ⎥ ⎢ 11 ⎥ ⎢ b2 ⎥ β = ⎢ a 22 ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢b ⎥ ⎢ n ⎥ ⎣⎢ a nn ⎦⎥

, и итерационный процесс организовать по

формуле X ( k +1) = AX ( k ) + β . При таком построении последовательности приближений нужно выяснить условия, при которых последовательность имеет предел. Эти условия дает следующая теорема. Для того, чтобы процесс итераций сходился к решению системы при любом начальном векторе X ( 0) , достаточно, чтобы какая-нибудь норма матрицы А была меньше единицы A < 1. n

Введение нормы дает легко проверяемые условия сходимости метода: aii > ∑ aij или j =1

n

a jj > ∑ aij (в суммах i ≠ j ). i =1

Если условия сходимости не выполнены, то надо преобразовать систему так, чтобы условия выполнялись. Это можно сделать, используя эквивалентные преобразования системы или преобразования следующего вида. Обозначим D = C −1 − ε , где ε = ε ij – матрица с малыми

[ ]

по

модулю

элементами.

Тогда

вместо исходной системы будем иметь: , где , . λ = εC μ = DB DCX = DB ⇔ (C − ε )CX = DB ⇔ X = εCX + DB ⇔ X = CX + μ При достаточно малых ε итерационный процесс должен сходиться. Если заданная точность вычислений по методу простой итерации ω, то вычисления следует проводить до тех пор, пока не выполнится неравенство: X ( k +1) − X ( k ) < ω . −1

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации. Идея его заключается в том, что при вычислении (k + 1) -го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k + 1) -е приближения неизвестных x1 , x2 ,..., xi −1 .

X = ( F + D) X + B ⇒ X ( k +1) = FX ( k +1) + DX ( k ) + B ⇒ X ( k +1) = ( E − F ) −1 DX ( k ) + ( E − F ) −1 B То есть итерационная формула X ( k +1) = D1 X ( k ) + B1 , где −1 −1 D1 = ( E − F ) D, B1 = ( E − F ) B

79

Решение Метод

систем простых

i := 2 .. N

:= B + A ⋅ X

(

итерационными

⎛ 1.24 ⎞ ⎜ ⎟ 0 ⎟ ⎜ B := ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1.17 ⎠

−.04 .21 −.18 ⎞

⎟

−.23 .06 −.88 ⎟

〈i〉

.34

.11

.62

〈i〉 〈i−1〉 w i := max X − X

)

w 50 = 0.00011

W 50 = −0.00011

(

〈i〉 〈i−1〉 W i := min X − X

)

w 25 = 0.0116 2

2

X( 1 , i)

wi

1

X( 2 , i)

0

0

Wi

методами

⎟ ⎟ −.25 .34 −.12 ⎠ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ 〈1〉 ⎜ 0 ⎟ 〈2〉 X := X := B ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠

N := 50

〈i+ 1〉

уравнений

итераций

⎛ .23 ⎜ ⎜ .45 A := ⎜ .26 ⎜ ⎝ .05

ORIGIN := 1

X

линейных

X( 3 , i) X( 4 , i)

1

0

1

1 2

2 0

⎛ 1.89754 ⎞ ⎜ ⎟ 〈50〉 ⎜ 1.58143 ⎟ X = ⎜ 0.30932 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1.21909 ⎠ ⎛ 1.89756 ⎞ ⎜ ⎟ 〈50〉 ⎜ 1.58148 ⎟ Z = ⎜ 0.30928 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1.21905 ⎠

20

40 i

Метод

60

Зейделя

〈1〉 〈1〉 Z := X m := 1 .. 4

F( m , n) := if ⎡⎣m > n , A( m , n) , 0⎤⎦

0

20

〈2〉 Z := B n := 1 .. 4

40

60

i

k := 2 .. N

D( m , n) := if ⎡⎣m ≤ n , A( m , n) , 0⎤⎦ −1

−1

D1 := G ⋅ D B1 := G ⋅ B E := identity ( 4) G := E − F 〈k+ 1〉 〈k〉 := D1⋅ Z + B1 Z Задание 1. Посмотрите , какие матрицы E , F и D 2. Постройте график решений , найденных по методу Зейделя 3.

меняется Исследуйте , как зависимости от номера

погрешность итерации

в

4. Сделайте проверку: (E–A)X = B, (E–A)Z =B? (E–A)–1B = X, (E–A)–1B = Z? 5. Найдите номер итерации, с которого обеспечивается заданная точность вычислений

80

Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона Задача интерполяции заключается в следующем. На отрезке [a, b] заданы упорядоченные n+1 точки и значения функции в этих точках, т. е. задана таблица значений функции y = f (x) :

a = x0 f ( x0 )

x1

x2 f ( x2 )

f ( x1 )

x3

…

xn = b

f ( x3 )

…

f ( xn )

Требуется найти значения этой функции для промежуточных значений аргумента, не совпадающих с приведенными в таблице. Получить аналитическое выражение функции по таблице ее значений в большинстве случаев невозможно. Поэтому вместо нее строят другую функцию F (x ) , которая легко вычисляется и имеет ту же таблицу значений, что и f (x) , т. е. F ( xi ) = f ( xi ) = y i ; i = 0,1,..., n Исходная функция называется интерполируемой функцией, а функция F (x) – интерполяционной. Значения аргумента в таблице называются узлами интерполяции. В общем случае полином степени n, принимающий при х = хi заданные значения yi (i= 0, 1,…,n), можно представить интерполяционной формулой Лагранжа

y=

( x − x1 )( x − x2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x − xn ) ( x − x0 )( x − x2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x − xn ) y1 + ⋅ ⋅ ⋅ y0 + ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x0 − xn ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x1 − xn )

⋅⋅⋅ +

( x − x0 )( x − x1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x − xk −1 )( x − xk +1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x − xn ) yk + ⋅ ⋅ ⋅ ( xk − x0 )( xk − x1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( xk − xk −1 )( xk − xk +1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( xk − xn )

⋅⋅⋅ +

( x − x0 )( x − x1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x − xn −1 ) yn ( xn − x0 )( xn − x1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( xn − xn −1 )

Пусть разности табличных значений аргумента h = Δxi ( Δxi = xi +1 − xi ; i = 0,1,..., n − 1) – постоянные (шаг таблицы). Тогда значение функции y для промежуточных значений х приближенно можно найти при помощи интерполяционной формулы Ньютона

y = y 0 + q ⋅ Δy 0 + где q =

q (q − 1) 2 q(q − 1)...(q − n + 1) n Δ y 0 + ... + Δ y 0, 2! n!

x − x0 , Δy 0 = y1 − y 0 , Δ2 y 0 = Δy1 − Δy 0 , ... − последовательные конечные разности функции y. h

Для удобства пользования формулой Ньютона рекомендуется предварительно составить таблицу конечных разностей. При х = хi полином Ньютона принимает соответственно табличные значения yi. Погрешность интерполяционной формулы Ньютона приближенно можно оценить по формуле

Rn ( x ) =

Δn +1 y 0 q (q − 1) ⋅ ⋅ ⋅ (q − n) . (n + 1)! n +1

Если число n можно взять любым, то его следует выбирать так, чтобы разность Δ

y 0 = 0 в пределах

данной точности; иными словами, разности Δ y 0 должны быть постоянными в заданных десятичных разрядах. n

sin 25 015 / , пользуясь 0 0 0 sin 26 = 0,43837, sin 27 = 0,45399, sin 28 = 0,46947 . Найти

Пример.

i 0 1 2

xi 260 270 280

yi 0,43837 0,45399 0,46947

табличными ∆yi 1562 1548

данными ∆2yi -14

0 / 0 Здесь h = 60 / , q = 26 15 − 26 = 0,25 . Применяя формулу Ньютона, используя первую горизонтальную /

60

строку таблицы, имеем sin 26 015 / = 0,43837 + 1 0,01562 + 0,25(0,25 − 1) (−0,00014) = 0,44229 . Причем погреш4 2! ность

R2 <

0,25(0,25 − 1)(0,25 − 2) π 3 ( ) = 0,25 ⋅ 10 −6 . Таким образом, все полученные знаки 3! 180

sin 26 015 / ─ верные. 81

Многочлен

⎛ ⎝

⎛ x ⎞⎞ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠⎠ f1 ( x ) := ⎛ ⎛ x ⎞⎞ 2 ⋅ ⎜ cos( x ) + exp ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠

Лагранжа

⎛ ⎝

−2 ⋅ sin( x ) + ⎜ exp ⎜

⎛ x ⎞⎞ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠⎠

f ( x ) := ln ⎜ cos( x ) + exp ⎜ n := 5

a := 3

i := 0 .. n

b := 6

h :=

q :=

N := 20

b−a

4 3 yi 2 1

∏ if (i ≠ j , tk − x j , 1)

∑

yi ⋅

2

H( i , k)

−многочлен

Fi

Fi :=

tk := x 0 + k ⋅ q

j := 0 .. n

∏ if (i ≠ j , xi − x j , 1)

Лагранжа.

( )

dk := f tk − Lk

max ( d) = 0.00052 min ( d) = −0.00017

dk

3

5 . 10

4

0

Lk

6

L15 = 2.66138

4

yi

4

j

i

t15 = 5.25

0

i

j

Lk :=

yi := f x i

k := 0 .. N + 1

N

f(x)

( )

x i := a + i ⋅ h

n

⎛ 1.25039 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1.63956 ⎟ ⎜ 2.03809 ⎟ y=⎜ ⎟ ⎜ 2.40791 ⎟ ⎜ 2.74177 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3.0467 ⎠

⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3.6 ⎟ ⎜ 4.2 ⎟ x=⎜ ⎟ ⎜ 4.8 ⎟ ⎜ 5.4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠

H( i , k) :=

b−a

−производная

0

2 5 . 10 1

3

4

5

6

L( m + 1 ) − Lm

( )

max ( D) = 0.00795

5

m := 0 .. N − 1 0.7

дифференцирование

Dm := f1 tm − L1m

4 tk

⎡⎣t( m+ 1) − tm⎤⎦

Численное

3

7

x i , tk

L1m :=

4

L1m f1 ( tm)

min ( D) = −0.0167

0.6 0.5 0.4

3

4

5 tm

82

6

6

7

.

Теоретическое обоснование методов хорд и касательных решения трансцендентных уравнений f ( x ) = 0 . Найдем координаты точки пересечения хорды, соединяющей концы дуги АВ кривой y = f (x) , с осью абсцисс ОХ ( A = f (a), B = f (b), f (a) ⋅ f (b) < 0 ).

Угловой коэффициент хорды АВ равен k = f (b) − f (a) , поэтому уравнение хорды b−a

можно записать так: y − f (a) = k ( x − a) . В точке ( x , y ) пересечения хорды с осью ОХ ордината равна нулю, следовательно, b−a f (a) f (a ) (☺). x=a− =a− k

f (b) − f (a )

Аналогичным образом из уравнения y − f (b) = k ( x − b) можно получить формулу f (b ) b−a x =b− =b− f (b) (☺☺). k

f (b) − f ( a )

Искомый корень уравнения должен находиться на отрезке, ординаты концов которого имеют разные знаки: f (a) ⋅ f ( x) < 0 или f (b) ⋅ f ( x) < 0 . Для доказательства сходимости процесса итерации предположим, что корень отделен, и вторая производная сохраняет постоянный знак на отрезке [a,b] . Пусть для определенности f // ( x) > 0 при a ≤ x ≤ b . Тогда кривая вогнута и, следовательно, расположена ниже своей хорды АВ. Возможны два случая: 1) f ( a ) > 0 и 2) f (a ) < 0 .

ξ

ξ

Заметим, что 1) неподвижен тот конец, для которого знак функции совпадает со знаком ее второй производной; 2) одна последовательность приближений монотонно убывает и ограничено снизу числом а, а другая – монотонно возрастает и ограничена сверху числом b, поэтому обе последовательности имеют предел, равный искомому корню ξ уравнения f ( x) = 0 . Для организации итерационного процесса решения уравнений методом хорд нужно выяснить, какой конец промежутка отделения корня неподвижен, и применить соответствующую формулу (☺) или (☺☺). Найдя какое-нибудь приближение корня x n = ξ,, положим ξ = x n + hn и по формуле Тейлора получим 0 = f ( x n + hn ) ≈ f ( x n ) + hn f / ( x n ) . Откуда hn = − xn +1 = xn −

f ( xn ) f / ( xn )

f ( x) . Таким образом, f / ( x)

– итерационная формула решения уравнений методом касательных.

Можно показать, что погрешность вычислений ω оценивается так:

83

x n +1 − x n ≤ ω.

Решение трансцендентных и нелинейных уравнений методами хорд и касательных Зададим функцию и найдем от неё две первые f1 ( x ) и f2 ( x ) . 3

производные

2

f ( x ) := x − 15 ⋅ sin( x ) Найем отрезки функции и её

f1 ( x ) := 3 ⋅ x − 15 ⋅ cos( x ) f2 ( x ) := 6 ⋅ x + 15 ⋅ sin( x ) таблицу значений изоляции корней , построим график.

t := −4 , −3 .. 4 t=

f ( t) =

-4

-75.35204

-3

-24.8832

-2

5.63946

-1

11.62206

0

0

1

-11.62206

2

-5.63946

3

24.8832

4

75.35204

100 f ( t) 0

0

100

5

0

5

t

Обратим внимание на то , что функция меняет знак ( −3 , −2) , ( −1 , 1) , ( 2 , 3) , то есть имеет три корня ( 2 , 3) Найем корень на промежутке a := 2

b := 3

Выберем

начальную

Организуем

i := 0 .. m

процесс .

p ( t) := t − f ( t) ⋅

( ) ( ))

x i+ 1 := if d > 0 , p x i , l x i Метод

d = −144.59275

хорд

(

t−b ( f ( t) − f ( b) )

h1 := x m

n0 := x 0

( )

y1 ( s) := f x k +

( )

( )(

ni+ 1 := ni −

k := 0

N ( s) := f x k + f1 x k ⋅ s − x k

s − xk

( x k+ 1 − x k)

)

l ( t) := a − f ( a ) ⋅

u := x 0

касательных

s := a − 1 , a + .1 .. b + 1

промежутках

x 0 := if ( d > 0 , a , b)

точку

итерационный

m := 10 Метод

d := f ( a ) ⋅ f2 ( a )

на

h0 := root ( f ( u) , u)

( ) f1 ( ni) f ni

((

h2 := nm

t−a ( f ( t) − f ( a ) ) cистемное

⎛⎜ 2.26133 ⎞⎟ h = ⎜ 2.26133 ⎟ ⎜ 2.26133 ⎟ ⎝ ⎠

) ( ))

⋅ f x k+ 1 − f x k

−корень

хорды

касательные

Задание Постройте

графики

итерационных Поменяйте Найие

функции , хорд

значений

значения остальные

x

и

m,a,b, К корни

и

n .

касательных Оцените

. .

84

. Постройте

погрешность

таблицы

вычислений

зн − е

.

Работа с символьными операторами палитры Symbolic

(2

)

f( x) := x⋅ ⎡⎣5⋅ x + 2⋅ x − 1⎤⎦

2

1. Упрощение выражений

2

( sin ( x) ) + ( cos ( x) ) simplify → 1

b

⌠ 5 4 10 3 1 2 5 4 10 3 1 2 ⎮ f( x) dx simplify → ⋅ b + ⋅b − ⋅b − ⋅a − ⋅a + ⋅a ⌡ 4 3 2 4 3 2 a 3

2. Разложение выражений по степеням 3

(z3 − 8)⋅(z2 − 9) collect , z

2

f( x) collect , x → 5⋅ x + 10⋅ x − x

2

f( x) expand , x → 5⋅ x + 10⋅ x − x 5

3

2

→ z − 9⋅ z − 8⋅ z + 72

3. Разложение на простые дроби 2

x

(x2 − 1)⋅(x2 − 4)

−1

convert , parfrac , x →

6⋅ ( x − 1)

+

1 6⋅ ( x + 1)

+

1

−

3⋅ ( x − 2)

1 3⋅ ( x + 2)

Можно также записать дробь, пометить переменную, открыть палитру Symbolics, выбрать Variable, затем выбрать Convert to Partial Fraction 4. Преобразования в комплексной форме

2

( 2 + 3⋅ i) complex → −5 + 12⋅ i

i := −1

5. Присваивание переменным неопределенного значения, даже если до этого им были присвоены значения, а также задание ограничений на значения или тип переменных 6. Разложение в ряд Маклорена и Тейлора ( sin ( x) ) series , x

x

e series , x

⌠ ⎮ ⌡

−1 2

e

− a⋅ x

dx assume , a > 1 →

0

0 , 6 → 1 + 1⋅ x +

2 , 4 → sin ( 2) + cos ( 2) ⋅ ( x − 2) +

∞

2

⋅ sin ( 2) ⋅ ( x − 2) +

−1 6

⋅ cos ( 2) ⋅ ( x − 2)

(

)

9. Вычисление коэффициентов полиномов

(

1⎤ ⎤

)

(

)

y := π

⎥⎥ ⎥⎥ ⎦⎥ ⎥ 1⎤ ⎥⎥ 2 ⎥ ⎥ ⎦⎥ ⎦

t float , e → 2.718281828459045235

2

2

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠

2

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠

x − 4⋅ x + 3 solve , x →

x − 5⋅ x + 6 solve , x →

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ 3 x − 1 solve , x → ⎜ ⎜ ⎛0⎞ ⎜ ⎜0⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ 3 2 4⋅ x + 3⋅ x ⋅ ( x + 1) coeffs , x → ⎜ 3 ⎟ ⎜7⎟ ⎜ ⎟ ⎝4⎠

)

10. Разложение тригонометрических функций кратных углов 4

3

y float , π → 3.141592653589793238 t := e

8. Решение уравнений

(

a

1 2 1 3 1 4 1 5 ⋅x + ⋅x + ⋅x + ⋅x 2 6 24 120

7. Преобразование в формат чисел с плавающей точкой

⎡ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ 1 ⋅ ⎢ −b + b 2 − 4⋅ a⋅ c ⎢ 2⋅ a ⎣ 2 a⋅ x + b ⋅ x + c solve , x → ⎢ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎢ 2 ⎢ 2⋅ a ⋅ ⎣ −b − b − 4⋅ a⋅ c ⎣ 0 ⎛ ⎞ 3 x − x solve , x → ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1 ⎠ ⎛0⎞ 2 x⋅ x − 1 solve , x → ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1 ⎠

1

2

( sin ( 5⋅ x) ) expand , x → 16⋅ sin ( x) ⋅ cos ( x) − 12⋅ sin ( x) ⋅ cos ( x) + sin ( x)

⎞ ⎟ 1 ⎟ 1 −1 2 ⎟ + ⋅ i⋅ 3 2 2 ⎟ 1 ⎟ ⎟ −1 1 2 − ⋅ i⋅ 3 ⎟ 2 2 ⎠ 1

4⋅ tan ( x) − 4⋅ tan ( x)

( tan ( 4⋅ x) ) expand , x →

2

3

1 − 6⋅ tan ( x) + tan ( x)

4

11. Использование встроенных функций (на примере решения системы нелинейных уравнений)

x := 3.3

y := 1.2

Given cos ( x − 1) + y

0.5

x − cos ( y )

3

⎛ 3.3559117⎞ ⎟ ⎝ 1.2069068⎠

Find( x, y ) = ⎜

12. Применение программных блоков из палитры Programming: Add Line и т.д. (на примере решения той же системы нелинейных уравнений) 0

1

n := 10 x := a ← 3.3

0

3.3623578

1.2114514

b ← 1.2

1

3.3516611

1.2038939

for i ∈ 0 .. n

2

3.3587257

1.2088944

3

3.3540536

1.2055913

4

3.3571408

1.2077756

5

3.3550997

1.2063322

6

3.3564486

1.2072865

7

3.3555569

1.2066558

8

3.3561463

1.2070727

9

3.3557567

1.2067972

10

3.3560142

1.2069793

x ← 3 + cos ( b ) x=

y ← 0.5 − cos ( x − 1) z

←x

z

←y

i, 0 i, 1

a←x b←y z

Приближенное решение этой системы уравнений можно также найти графически:

r( w) := 0.5 − cos ( w − 1) w := 3 , 3.1.. 3.5 r( w) =

t( w) =

0.916

1.571

1.005

1.471

1.089

1.369

1.166

1.266

1.237

1.159

1.301

1.047

t( w) := acos ( w − 3) 4 3.75 3.5 3.25 3 2.75 2.5 2.25 r( w ) 1.752 1.5 t ( w ) 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 w

86

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41.

ЛИТЕРАТУРА Араманович И.Г. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / И.Г. Араманович, Г.А. Лунц, Л.Э. Эсгольц. – М.: Наука, 1968. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры – M: Наука, 1980, 1984. – 320с. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. М.: Физматиздат, (1969 и позднее). Берман Г.И. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Физматиздат, издание стереотипное. Боровков А.А. Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез. – М.: Наука, 1984. – 472с. Буколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н. и др. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. / Под ред. А.В. Ефимова. – М.: Наука, 1984. – 606с. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.И., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах. – М.: Высшая школа, 1993. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Физматгиз,1962. – 564с. Вентцель Е.С, Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.: Радио и связь, 1983. – 416с. Волковыский Л.И. Сборник задач по теории функций комплексного переменного /Л.И. Волковыский, Г.А. Лунц, И.Г. Араманович. – М.: Наука, 1970. Володин Б.Г., Ганин М.П., Динер И.Я. и др. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / Под ред. А.А. Свешникова. – М.: Наука, 1970. – 656с. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1977. – 480с. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1979. – 400с. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука,1988. – 448с. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т. 1. – М.: Высш. шк., 1970. – 416 с. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. /Под ред. Б.П. Демидовича. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2004. – 495с. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974. – 296с. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 1. – М.: Наука, 1971. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Ч. I, II, III, Ш, IV, V. Харьков: Издательство Харьковского государственного университета, 1971. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. T.I, Т.2, Т3 – M.: Высш. школа, 1973. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Рольф, 2001. – 576с. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 592с. Магазинников Л.И. Теория вероятностей. – Томск.: Изд-во Том. ун-та систем правления и радиоэлектроники, 2000. – 150 с. Никольский С.М. Курс математического анализа. – М.: Наука, 1975. Пантелеев А. В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах /А. В. Пантелеев, А. С. Якимович. – М.: Высш. шк., 2001. Пестова Н.Ф. Неопределенный интеграл. – Томск.: Изд-во Том. Политехнического ун-та, 1995. – 110 с. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: издание стереотипное (1960 г. и позднее). Привалов И.И. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1964. – 272с. Пугачёв B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Наука, 1979. – 496с. Радюк Л.Е., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. – Томск.: Изд-во гос. ун-та, 1988. – 174с. Румшиский Л.З. Элементы теории вероятностей. – М.: Наука, 1970. – 256с. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. – М.: Наука, 1982. – 256с. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей. – М.: Изд-во МГУ, 1972. – 230с. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т.1. – М.: Мир, 1964. – 498с. Фукс Б.А. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения /Б.А. Фукс, Б.В. Шабат. – М.: Наука, 1969. Хапланов М.Г. Теория функций комплексного переменного/М. Г. Хапланов, – М.: Просвещение, 1965. Хинчин А.Я. Краткий курс математического анализа, – М.: 1955. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1982. – 256с. Шилов Г.В. Математический анализ (функции одного переменного). Ч. 1-2. – М.: Наука, 1969. Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высш. шк., 1990. – 479 с. Шнейдер В.Е. и др. Краткий курс высшей математики. Т. 1 . – М.: Высш. шк., 1978. –384 с.

87

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Абсолютно сходящийся ряд 57, 58 Алгебраическая форма комплексного числа 58 Алгебраический многочлен 24,35 Алгебраическое дополнение 5 Аналитическая функция 60,61 Аргумент комплексного числа 59 Асимптота 32 —гиперболы 22

— эллипса 21 Дисперсия 66 Дифференциал 30, 34, 36, 37 Дифференциальное уравнение 50—53 ------ в полных дифференциалах 51 ------ высших порядков 52—53 ------------ ,допускающее понижение порядка 52 ------------ линейное 52,53 --------------- неоднородное 51, 53 -------------------с постоянными коэффициентами 52, 53 --------------- однородное 50, 52 ------------------ с постоянными коэффициентами 52 ----- первого порядка 50, 51 ------------ линейное 51 --------------- неоднородное 51 --------------- однородное 50, 52 ------------ , разрешенное относительно производной 50, 52, 54 ----- с разделяющимися переменными 50 ----- n-го порядка 51, 52 Дифференцирование 29, 35 — обратной функции 29 —, основные правила 29 — простейших элементарных функций 29 — сложной функции 29 —, таблица производных простейших элементарных функций 29 — функции, заданной параметрически 29 Длина вектора 9 — дуги 36, 39 Дробно-рациональная функция 25, 35 Доверительный интервал 68

Базис 7 Бесконечно большая функция 28 — малая функция 26—28 Большая полуось эллипса 21 Вектор 9 Векторная функция47—49 Векторное поле 49 — произведение 9 Вектор-столбец 6 Вектор-строка 6 Величины случайные 66 —дискретные 66 —непрерывные 66 —взаимно независимые 66 — —зависимые 66 Вероятность 64 —безусловная 65 —доверительная 69 —, определение —,—аксиоматическое 64 —,— геометрическое 64 —,— классическое 64 —,— статистическое 64 Вертикальная асимптота 32 Верхняя сторона поверхности 45 Вершины гиперболы 22 — эллипса 21 Вещественна часть комплексного числа 59 Возрастающая функция 33 Второй замечательный предел 34 Выпуклость вверх (выпуклость) 33 — вниз (вогнутость) 33

Единичная матрица 6 Задача Коши 53 Знакопеременный ряд 57 Знакочередующийся ряд 57 Интегральная кривая 51 — сумма 42, 44, 45, 46 Интеграл с переменным верхним пределом 66 Интегральный признак 57 Интегрирование 30, 34—37 —линейных дифференциальных уравнений формулами Дюамеля 63 — некоторых иррациональных функций 37 трансцендентных функций 34, 37 — непосредственное 30, 34 — подстановкой 30, 36, 37 — полных дифференциалов 41, 60 — по частям 34 — рациональных функций 36 Интенсивность потока 65 Интервал 32 — сходимости степенного ряда 58 Интерполяционная формула Лагранжа 78, 79 ----- Ньютона 78, 79 Интерполяционный многочлен 78 Интерполяция 78 Иррациональная функция 24, 37 Испытание 65 Исход благоприятствующий 64 —элементарный 64

Гамма- функция 69, 70 Гармонический ряд 57 Гармоническое поле 49 Геометрический смысл двойного интеграла 42 ---- криволинейного интеграла первого рода 42, 46 ---- определенного интеграла 42 ---- производной 14 ---- смешанного произведения 9 Геометрическое изображение комплексных чисел 59 ---- функции двух переменных 42 Гипербола 22 Гипотеза 65, 73, 74 Главная диагональ матрицы 6 определителя 4 Главное значение аргумента комплексного числа 59 Горизонтальная асимптота 32 Градиент 49 Граница области 58, 61 График 32, 33 Двойной интеграл 42, 43 -------, вычисление путем замены переменной 43 ------ , ------ сведения к повторному 43 ------ , геометрические приложения 42 ------ , физические приложения 42 Двусторонняя поверхность 45 Действительная ось гиперболы 22 Деление отрезка в данном отношении 9 Дивергенция векторного поля 49 Директриса параболы 23 Директрисы гиперболы 22

Каноническое уравнение ----- гиперболы 22 ----- параболы 23 ----- эллипса 21 Касательная — плоскость 41 Квадратная матрица 6 Коллинеарные векторы 13 Компланарные векторы 13 Комплексная плоскость 59 Комплексно сопряженное число 59

88

Комплексное число 59 Композиция функций (сложная функция) 29 Конечная производная 29, 31 Конечный предел 24—28, 31 Контур интегрирования 49, 61 Координата точки 9 Координатная плоскость 21—23 — прямая 23 Координатный угол 23 Координаты вектора 9 Коэффициенты степенного ряда 58 — тригонометрического ряда 58 — Фурье 58 Крамер Г. 8, 53 Кратность корня 34, 52 Криволинейная трапеция 39, 42 Криволинейный интеграл 42, 44—49 ----- второго рода 41, 45, 46—49 ----- . первого рода 41, 45, 46, 48, 49 — Критическая точка 33 Круг сходимости 58 Кусочно-непрерывная функция 58

См. также Интегрирование Непрерывность — функции в интервале 32, 33 -------- точке 32, 33 ----------- слева, справа 32, 33 ----- двух переменных 43 ----------- вдоль кривой 48, 49 ----- на отрезке 34, 35 Несобственный интеграл второго рода 41, 42 ----- первого рода 57, 62 Нижний предел интегрирования 38, 39, 40 Нижняя сторона поверхности 45, 47 Нормаль 45, 47 — к поверхности 41 Нормальный вектор плоскости 10, 16, 17 Нулевой вектор 13 Область — интегрирования 43 — критическая 73, 74, 75 — принятия гипотезы 73, 74, 75 — определения функции 31 — сходимости степенного ряда 58, 62 Обратная матрица 7 — функция 29 Обратные тригонометрические функции 29, 34 Общее решение дифференциального уравнения 51—53 Общий член ряда 57, 58 Объем криволинейного цилиндра 57, 58 — — тела 57, 58 вращения 42 Односвязная область 61 Односторонняя поверхность 45, 47 Окрестность точки 32, 33 о малое 26—28 Оператор Гамильтона 49 —Лапласа 49 —«набла» 49 Определенный интеграл 38, 39, 40 ------ , геометрические и физические приложения 39, 40 Определитель Вронского 53 —второго порядка 5, 7 —системы уравнений 8 —третьего порядка 4 Ордината 32, 33 Ориентация поверхности 45, 47 Ориентируемая поверхность 45, 46 Ортогональности условия 13 Основной прямоугольник гиперболы 22 Особая точка 61 Остаточный член интерполяции 77 Оси гиперболы 22 —координат 10—17 —эллипса 21 Ось 23 — абсцисс 10—23 — аппликат 10—23 — ординат 10—23 — параболы 23 Отрицательное направление обхода контура 49

Левосторонняя (правосторонняя) производная 33 Левая (правая) тройка векторов 9 Левосторонний (правосторонний) предел 58 Линейная функция 10—20 Линейно зависимые функции 7 — независимые функции 7 Линия второго порядка 21—23 — первого порядка 10—18 — (поверхность) уровня 49 Логарифмическая производная 29 Локальный максимум 33 — минимум 33 — экстремум 33 Лопиталь Г. 31 Максимальное значение функции 33 Малая полуось эллипса 21 Масса пластинки 42, 46 — тела 42 Математическое ожидание 66 — —дискретной случайной величины 66 — — непрерывной случайной величины 66 — — случайной функции 66 Матрица 5—7 Мгновенная скорость 29 Медиана 66 Метод вариации постоянной 51, 53 —замены переменной 34—37 —интегрирования по частям 34 —касательных 81, 80 —неопределенных коэффициентов 36 — Ньютона 79, 78 — подстановки 34—37 Минимальное значение функции 33 Минор 3, 4 Мнимая единица 59 — ось 59 ----- гиперболы 22 — часть комплексного числа 59 Мнимое число 59 Множество 21—22 — значений функции 32, 33 Мода 66 Модуль комплексного числа 59 — числа 29 Момент инерции пластинки 42—44, 46 ------ тела 42, 43 Монотонная функция 33

Парабола 23 Параметр 10, 15, 18 — параболы 23 Параметрическое задание функции 29 Первообразная 30 Первый замечательный предел 26 Переменная интегрирования 28 Переменные интегрирования 42—49 Перестановки 64 Периодическое продолжение функции 32 Плотность распределения 66 — —, связь с функцией распределения 66 Площадь криволинейного сектора 39 — криволинейной трапеции 39, 40

Наклонная асимптота 32 Независимые испытания 65 Неопределенный интеграл 34—37 ---- , основные методы интегрирования 34—37 —, —свойства 30 ---- , таблица основных интегралов 30

88

— плоской фигуры 39, 40 — поверхности 45, 46 вращения 40 — треугольника 9 Побочная диагональ определителя 4, 7 Поверхностный интеграл 42—49 ------ второго рода 45, 47, 48, 49 ------ первого рода 42, 44, 46 Погрешность 76—81 Подынтегральная функция 36, 37 Подынтегральное выражение 34, Показательная функция 28, 29, 30 ------- комплексной переменной 59 Поле событий 64 Полная группа событий 65 Полный дифференциал 41 Положительное направление обхода контура 48, 49 Полюс 23 Полярная ось 23 — система координат 23 Полярные координаты точки 23 Полярный радиус 23 — угол 23 Порядок бесконечно большой 27 --------- малой 26, 28 Потенциал 49 Потенциальная функция 49 Потенциальное поле 49 Потенциальный вектор 49 Поток вектора через поверхность 45, 47—49 — событий 65 Правая тройка векторов 9 Правило треугольников 4 Правый предел 32, 33, 58 Произведение независимых случайных величин 66 — событий 65 Пространство элементарных событий 64

Смешанное произведение 9 Событие достоверное 64 — невозможное 6 — простое 64 — случайное 64 События зависимые 65 — независимые 65 — в совокупности 65 — — попарно 65 — несовместные 65 — противоположные 64, 65 — совместные 65 — элементарные 64 Соленоидальное поле 49 Сопряженная гипербола 22 Сочетания 64 Сравнение бесконечно больших 28 ------ малых 26—28 — --- выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности 74, 75 — --- — дисперсий нормальных генеральных совокупностей 75 — --- — средних нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями 73 — --- — — — — с неизвестными дисперсиями 75 Статические моменты 40 Степенная функция 29, 30 Степенной ряд 57, 58 ----- с комплексными членами 58 Стокс Д. 48, 49 Столбец 4—6 Сторона поверхности 45, 47 Строка 4—6 Сумма векторов 9 —комплексных чисел 59 —матриц 5 —ряда 57, 58 Суперпозиция функций 29 Сферические координаты 42 Схема исследования графика функции 32, 33 Сходящийся ряд 57, 59

Размещения 64 Раскрытие неопределенностей 24—28 Распределение по закону арксинуса 69 — биномиальное 65 — гамма 69 — Коши 69 — нормальное 69 — показательное 69 — Пуассона 65 — равномерное 69 — Релея 69 — Стьюдента 69 Расстояние между двумя точками 9 — от точки до плоскости 17 -------------прямой 17 Расходящийся ряд 57, 58 Рациональная функция 35, 36 ------ двух переменных 36 Рекуррентная формула 35 Решение дифференциального уравнения 50—52 — системы уравнений 54—56 —,— дифференциальных уравнений 54—56 Ротор векторного поля 49 Ряд 57,58 — Фурье 58 ------ для функций с периодом 58 --------- четных и нечетных функций 58

Таблица основных интегралов 30 — производных простейших элементарных функций 29 — — изображений 64 Табличный интеграл 30 — Тейлор Б. 58 Теорема Абеля 58 — Бернулли 65 —дифференцирования оригинала 63 — — изображения 63 —интегрирования оригинала 63 — — изображения 63 —Коши 61 — Лапласа интегральная 65 — — локальная 65 —Лопиталя 31 ----- о замене переменной в двойном интеграле 43 ----- монотонности функции 33 ------независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования 51, 61 —подобия 63 ---- -разложении рациональной функции на элементарные дроби 35 ----- связи между бесконечно большой и я бесконечно малой функциями 24, 28 ----------- криволинейным и двойным интегралами 48, 49 , ----------- поверхностным и криволинейным интегралами 48, 49 ----------- тройным интегралами 48, 49 —смещения в области оригиналов 63 — — — изображений 63 — об общем уравнении прямой 10

Свободный вектор 9 Система трех линейных уравнений 7, 8 с тремя неизвестными 7, 8 —------------------- однородная 7, 8 Скалярная величина 49 — функция 49 Скалярное поле 49 — произведение 9, 49 Скалярный квадрат 9 Сложная функция 29 Смешанная частная производная 41

89

—о свертке оригиналов 63 Теоремы о бесконечно малых функциях 26—28 ------ направлении выпуклости и точках перегиба графика функции 33 ------ первообразных 30 ------ пределах функций 24—28 ------ разложении функций в ряд Фурье 58 ------ сведении двойного интеграла к повторному 43 ------ свойствах решений линейных дифференциальных уравнений 51—53 ------ свойстве эллипса и гиперболы 21, 22 -------сходимости степенных рядов 58 ---------- числовых рядов 57 — об абсолютных величинах 29 ------- интегрируемости функций 30, 34—39, 42—49 ------- экстремумах функций 33 Точка возможного экстремума 33 — локального максимума 33 минимума 33 экстремума 33 — перегиба 33 — разрыва 32 ---- 1-го рода 58 ---- 2-го рода 32 Трансцендентная функция 34 Тригонометрическая форма комплексного числа 59 ' Тригонометрические функции 29, 30, 36 ----- комплексной переменной 57 Тригонометрический ряд 58 Тройной интеграл 42, 43, 48, 49 ----- , вычисление путем замены переменных 43 ----- , ------ сведения к повторному 43 ----- , приложения 42, 43, 48, 49 Трубчатое (соленоидальное) поле 49

Формула Бернулли 65 — для вычисления дисперсии 65 — полной вероятности 65 — Пуассона 65 Формулы Байеса 65 Функция Гаусса 65 — кумулянтная 66 — Лапласа 65 — распределения вероятностей 66 — характеристическая 66 Фурье Ж. 58 Характеристическое уравнение 52 Целая рациональная функция 36 —часть числа 65 Центр гиперболы 22 —линии второго порядка 21—23 —масс пластинки40, 42 —— тела 40, 42 —эллипса 21 Цилиндрическая поверхность 42 Цилиндрические координаты 43 Циркуляция векторного поля 49 Фокальные радиусы точки 21—23 Фокус параболы 23 Фокусы гиперболы 22 — эллипса 21 Формула Грина 49 — замены переменной в неопределенном интеграле 30 ------------определенном интеграле 39, 40 — интегрирования по частям в неопределенном интеграле 30, 34 --------------- определенном интеграле 39, 40 — Коши 61 — Ньютона — Лейбница 38, 39, 40 — Остроградского 48, 49 — разложения 63 — Стокса 48, 49 Формулы Крамера 8, 53 — Эйлера 59 Функция — двух переменных 41 — Дирихле 63 — n переменных 41

Убывающая функция 33 Угловой коэффициент 10, 14 Угол между плоскостями 16 ------ прямой и плоскостью 17 ------ прямыми 16 — наклона прямой к оси Ох 14 Узлы интерполяции 78, 79 Упорядоченная пара чисел 9 — тройка векторов 9 ------ чисел 9 Уравнение — Лапласа 49 — линии 10—23 ---------- пересекающихся прямых 16 ------- параллельных прямых 16 ------- совпавших прямых 16 — плоскости нормальное 13 общее 12, 13 — поверхности 36 — прямой «в отрезках» 10, 13 ------- нормальное 10, 13 ------- общее 10, 13 ------- , проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом 10, 14 ------- , ------ две данные точки 10 – 14 ------- с угловым коэффициентом 10, 14 —с двумя переменными 41 См. также Каноническое уравнение Уравнения линии 10—24 — прямой канонические 10, 14 общие 10, 14 Условие параллельности плоскостей 17, 18 ---- прямой и плоскости 16, 17, 18 ---- прямых 17 — перпендикулярности плоскостей 16 прямой и плоскости 15 ---- прямых 16 Условия Коши 60 Условно сходящийся ряд 57, 58 Уровень значимости 73, 74, 75

Частичная сумма ряда 57, 58 Частная производная 41 ------ высшего порядка 41 Частное — комплексных чисел 59 — последовательностей 57 — приращение 41 — решение дифференциального уравнения 52, 53 Частота 64 Число е 27 Числовой ряд 57 ------ с комплексными членами 58 Чисто мнимое число 59 Член ряда 57, 59 Эйлер Л. 58 Эквивалентные бесконечно малые 26—28 Эксцентриситет гиперболы 22 — эллипса 21 Элемент матрицы 4 — множества 64 — объема 42, 43 — определителя 3—5 — площади 42, 43 Элементарные множители 35 —функции 29, 30 Эллипс 21 Якобиан 43

90

Содержание

1.

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

19.

20. 21.

стр. Матрицы, определители, системы линейных уравнений ........................... 3 ● метод окаймляющих миноров ................................................................. 3 ● алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду ........................... 4 ● вычисление определителей ...................................................................... 4 ● действия над матрицами ........................................................................... 5 ● исследование и решение произвольной системы линейных уравнений ................................................................................. 7 Элементы векторной алгебры ........................................................................ 9 Геометрия прямых и плоскостей в таблицах ............................................. 11 Кривые второго порядка .............................................................................. 21 Вычисление пределов ................................................................................... 24 Таблица производных ................................................................................... 29 Таблица интегралов ...................................................................................... 30 Приложения производной ............................................................................ 31 Неопределенный интеграл ........................................................................... 34 Несобственные интегралы ........................................................................... 38 Приложения определенного интеграла ...................................................... 39 Дифференциальное исчисление функции нескольких переменны ......... 41 Интегральное исчисление функций нескольких переменных ................. 42 Дифференциальные уравнения, системы дифференциальных уравнений .. 50 Числовые и функциональные ряды ............................................................. 57 Функции комплексного переменного ......................................................... 59 Операционное исчисление ........................................................................... 63 Теория вероятностей и математическая статистика ................................. 64 ● соединения, определения вероятности ................................................. 64 ● основные теоремы теории вероятностей .............................................. 65 ● законы распределения случайных величин ......................................... 66 ● центральные предельные теоремы, закон больших чисел…………...67 ● некоторые дискретные распределения ................................................. 68 ● некоторые непрерывные распределения .............................................. 69 ● системы двух случайных величин ......................................................... 70 ● интервальная оценка числовых характеристик ................................... 72 ● проверка статистических гипотез ......................................................... 73 ● сравнение двух средних генеральных совокупностей ........................ 74 Методы вычислений ..................................................................................... 77 ● метод простых итераций и метод Зейделя решения систем линейных уравнений ................................................. 78 ● интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона ...................... 80 ● теоретическое обоснование методов хорд и касательных решения трансцендентных уравнений ....................... 82 Литература ..................................................................................................... 86 Предметный указатель ................................................................................. 87 91

Татьяна Васильевна Тарбокова

Сборник справочных материалов по курсу высшей математики Учебное пособие

Научный редактор доктор физико-математических наук, профессор К.П. Арефьев Редактор Н.Я. Горбунова

Подписано к печати г. Формат 60 × 84/8. Бумага ZOOM. Печать плоская. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. Тираж 150 экз. Заказ Цена свободная. ИФП ТПУ. Лицензия ЛТ №1 от 18.07.94. Типография ТПУ. 634034, Томск, пр. Ленина, 30.

92