Хаотическая адеквация в хаотических вихрях

3

Введение Актуальность темы Процессы горизонтального переноса и перемешивания определяют изменение характеристик вод океана, а также влияют на изменения климата. Исследование этих процессов в топографических вихрях имеет фундаментальное значение в силу того, что именно горизонтальный перенос и перемешивание ответственны за

изменение

полей

термогидродинамических

характеристик

и

биопродуктивности вод. При исследовании лагранжева переноса с помощью дрейфующих буев в районах

топографического

вихреобразования,

возникает

проблема

в

интерпретации полученных данных. Установлено, что среди размещенных недалеко друг от друга буев, есть такие, которые расходятся впоследствии на довольно значительные расстояния. Один из подходов к решению этой проблемы предлагает концепция «хаотической адвекции». В ее основе лежит тот факт, что траектории двух изначально близко расположенных частиц, в детерминированном вихревом потоке могут расходиться экспоненциально друг от друга за конечное время. Таким образом, мезомасштабные вихревые поля скорости могут генерировать тонкую структуру в полях концентраций на пространственных масштабах много меньших, чем масштабы самого поля скорости. В рамках концепции хаотической адвекции основным механизмом процессов переноса и перемешивания в топографических вихрях является хаотический перенос и перемешивание. Для решения лагранжевых уравнений необходимо задать поле скорости. В приближении несжимаемой жидкости может быть введена функция тока, через которую выражается поле скорости. Важно, чтобы функция тока была динамически согласованной, т.е. удовлетворяла какому-либо динамическому условию, например закону сохранения потенциальной завихренности, который при условии исчезающе малой вязкости выполняется во всем океане. Это удается сделать в рамках концепции фоновых течений В.Ф. Козлова, которая

4

позволяет строить динамически согласованную функцию тока в замкнутом виде. Основное направление исследований при выполнении диссертационной работы

состояло

в

изучении

процессов

хаотического

переноса

и

перемешивания в топографических вихрях. Особое внимание в работе уделено выявлению роли параметров внешних возмущений, граничных условий, а также неоднородности распределения плотности по вертикали в процессах переноса и перемешивания в вихревых структурах океана топографической природы. Цель и задачи работы. Целью работы является развитие теоретических представлений и получение количественных характеристик процессов переноса и перемешивания в вихревых структурах океана топографической природы. Для достижения поставленной цели был рассмотрен ряд конкретных задач: В рамках баротропной квазигеострофической модели топографического вихря, расположенного возле прямолинейной твердой границы: • Получение

оценки

ширины

зоны перемешивания

в

окрестности

невозмущенной сепаратрисы при учете границы. • Изучение

влияния

прямолинейной

частоты

границы

на

внешнего

возмущения

процессы

хаотического

и

наличия

переноса

и

перемешивания в вихревой области. В рамках двухслойной модели топографического вихря без границы: • Исследование влияния неоднородности распределения плотности по вертикали на перенос облака трассеров из вихревой области в проточную. • Установление зависимости интервала частот внешнего возмущения оптимальных для процесса хаотического переноса от параметров модели.

5

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы применялись следующие методы исследования:

концепция

«Фоновых

течений»

В.Ф.

Козлова,

теория

возмущений, методы теории нелинейных резонансов, метод Лагранжевых частиц, метод построения сечений Пуанкаре, численный метод интегрирования уравнений Булирша-Штерра. Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты: 1.

Получена

оценка

ширины

зоны

перемешивания

в

окрестности

невозмущенной сепаратрисы при наличии боковой границы. Показано, что наличие боковой границы приводит к увеличению этой зоны в 1,5 раза при характерных масштабах топографических вихрей. 2.

Определен интервал оптимальных частот возмущения набегающего потока, при которых степень обновления вихревой области максимальна. Показано, что наличие границы приводит к более эффективной вентиляции вихревой области и перемешиванию в ней. Предложен эмпирический критерий,

характеризующий

эффективность

горизонтального

перемешивания в области вихря. 3.

Установлено, что неоднородность распределения плотности по вертикали приводит к более эффективному и интенсивному процессу вентиляции вихревого ядра по сравнению с баротропной моделью. Показано, что интервал оптимальных частот лежит в окрестности максимальной частоты оборота жидких частиц в вихре.

Основные положения, выносимые на защиту. Основные результаты можно представить в виде следующих положений 1. Показано,

что

при

наличии

боковой

границы

возникающая

в

нестационарном потоке в окрестности границы вихревой области зона

6

перемешивания увеличивается до 1,5 раз при характерных масштабах топографических вихрей. 2. Показано, что процесс вентиляции вихревой области в баротропной жидкости протекает более эффективно, но менее интенсивно при наличии боковой границы. 3. Показано, что процесс обновления вихревой области в двухслойной по плотности жидкости протекает более эффективно и интенсивно по сравнению с однородной жидкостью. Научная и практическая значимость работы. Полученные в работе результаты расширяют наше представление о процессах переноса и перемешивания в топографических вихрях и могут быть использованы при интерпретации экспериментальных данных по дрейфующим буям. Они позволяют дать количественные характеристики исследуемых процессов, а также определить условия наиболее эффективной вентиляции и перемешивания в топографических вихрях. Результаты использовались в работах по ряду проектов РФФИ: 99-0564157-а «Исследование хаотического переноса в двухмерных моделях фоновых течений», 03-05-65214-а «Исследование влияния рельефа дна и береговой черты на хаотический перенос в моделях фоновых прибрежных течений», 0605-96080-р_восток_а

«Теоретическое

и

экспериментальное

исследования

стохастических транспортных процессов в краевых областях океана», ДВО РАН: 03-3-Ж-07-077 «Захват и высвобождение массы в топографических вихрях океана», 05-III-Г-07-128 «Исследование особенностей захвата и высвобождения массы в топографическом вихре бароклинного океана», 06-IIIВ-07-302 «Исследование особенностей горизонтального перемешивания и транспорта пассивной примеси в топографическом вихре бароклинного океана» и в ФЦП «Исследование природы Мирового океана» проект «Нелинейные динамические процессы в океане и атмосфере».

7

Апробация работы. Результаты работы докладывались на «5-й Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию» (Владивосток, 2001), «I конкурсе научных работ молодых ученых ДВО РАН» (Владивосток, 2002), международной конференции «Flux and Structures in Fluids» (Москва, 2005), «Дальневосточной математической школе-семинаре им. академика Е.В. Золотова» (Хабаровск, 2005), семинаре по «Нелинейной динамике» ТОИ ДВО РАН. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы (87 наименований), всего 119 стр. печатного текста, из них – титульный лист и оглавление на 2 стр., 44 рисунка и 2-е таблицы. Содержание диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Во введение показана актуальность темы, формулируются цели и задачи исследования, демонстрируется научная новизна и практическая значимость полученных

результатов,

обсуждается

метод

решения

проблемы,

формулируются положения, выносимые на защиту. В первой главе даются сложившиеся представления о явлении хаотической адвекции и ее связи с процессами переноса и перемешивания в океане. Представлен обзор литературы по исследованию явления хаотической адвекции в различных моделях океанологических процессов. Рассматривается проблема динамической согласованности и возможные пути ее решения. Дается концепция фоновых течений В.Ф. Козлова. Обсуждаются вопросы, связанные с методам численного интегрирования системы уравнений адвекции. Вторая глава посвящена исследованию явления хаотической адвекции на примере квазигеострофической модели топографического вихря в фоновом

8

потоке, расположенного рядом с береговой чертой однородного по глубине океана. Если внешний набегающий поток стационарен, область течения состоит из вихревой области и области свободного потока, разделенные друг от друга сепаратрисой. В этом случаем обмен между областями невозможен. При наличии

нестационарной

составляющей

скорости

набегающего

потока

появляется возможность обмена между вихревой областью и областью свободного потока. Для случая малой амплитуды возмущения скорости внешнего потока, с помощью алгоритма Гледзера А.Е. основанного на теории возмущений проводятся оценки ширины зоны перемешивания в окрестности невозмущенной сепаратрисы. Для случая конечных возмущений, используя численное моделирование, исследуется влияния граничных условий и частоты возмущения на процесс переноса облака трассеров из вихревой области в проточную область. Даются размерные оценки времени вентиляции вихревой области на интервале оптимальных частот внешнего возмущения, средний перенос из вихревой области в проточную. На основе метода сечений Пуанкаре объясняется немонотонная зависимость степени обновления вихревой области от

частоты

хаотического

возмущения. поведения

Используя траекторий

количественные делается

характеристики

заключение

о

степени

эффективности хаотического перемешивания и влияния на него граничных условий. Третья глава посвящена исследованию эффектов хаотической адвекции на

примере

квазигеострофической

модели

топографического

вихря

в

приближении двухслойного океана. Для случая конечных возмущений анализируются зависимость степени обновления вихревой области от частоты внешнего возмущения. На основе метода сечений Пуанкаре проводится качественный анализ структуры вихревой области и объясняется наличие локальных экстремумов у зависимости степени обновления вихревой области от частоты возмущения. На основе анализа частоты оборота трассера в вихревой

области

при

отсутствии

возмущения

определяется

интервал

оптимальных частот. На примере двух моделей топографических вихрей

9

порожденных неоднородностью рельефа дна: Гауссовой и эллиптической форм показано, что интервалы оптимальных частот для них также связаны с соответствующими зависимостями частоты оборота трассера в вихревой области при отсутствии возмущения. В заключение обобщаются результаты по двум рассмотренным моделям и делаются общие выводы о влиянии граничных условий и учета бароклинности на процессы переноса и перемешивания облака трассеров. Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ [20],[21],[23]–[25],[30]–[32],[46],[47],[73]

10

ГЛАВА 1. Хаотическая адвекция: обзор литературы. На

сегодняшний

день

проблемы

переноса

тепла,

солености,

завихренности, загрязнений, перемешивания водных масс одни из основных задач геофизической гидродинамики. Некоторые из них являются очень важными и обуславливают изменчивость водных свойств и изменение климата. В

последние

распространение

два

получают

десятилетия, буи

в

океанологии

нейтральной

плавучести.

все

большее

Отслеживая

положения буев, делают заключения об океанической циркуляции. Так, на (рис. 1.) представлены траектории двенадцати буев нейтральной плавучести, изначально размещенных в Гольфстриме.

Рисунок 1. Траектории 12 буев помещенных в Гольфстрим [39] Несмотря на то, что западные пограничные течения обладают большой интенсивностью, скорости в которых достигают до 3,5 м/с, и пространственной протяженностью от 50 до 70 км, буи то вымываются из Гольфстрима, то вновь им захватываются, т.е. имеются перпендикулярные течению перемещения буев. Один из возможных вариантов для объяснения странного поведения траекторий буев предлагает концепция хаотической адвекции. Известно, что

11

система уравнений адвекции в несжимаемой жидкости имеет Гамильтонову форму

⎧ x = −ψ y , ⎨ y = ψ x ⎩

(1.0.1)

где x, y − координаты жидкой частицы играют роль канонических переменных, а роль Гамильтониана играет функция тока ψ . Если система (1.0.1) неавтономна, то траектории двух изначально близко расположенных жидких частиц могут экспоненциально расходиться за конечное время. В конце 80-х годов на эту особенность указал Хасан Ареф [34], который и ввел понятие хаотической адвекции, рассматривая задачу движения пассивной примеси в системе из двух попеременно вращающихся цилиндров. В физической океанографии часто используется такое понятие как трассер. Под ним подразумевается пассивная частица, размеры которой по сравнению с основными масштабами очень малы. Она имеет определенную температуру, соленость или содержание углерода. Таким образом, эволюцию полей температуры, солености можно изучать с точки зрения переноса трассеров. Такой подход к рассмотрению движения носит название лагранжева подхода. Известно, что поле трассеров подчиняется следующему уравнению эволюции

∂C ∂C ∂C +u +v = Q + κ∇ 2 C , ∂t ∂x ∂y

(1.0.2)

где C − поле трассеров или его концентрация, Q − источники и стоки,

κ − коэффициент диффузии. В отсутствии источников и стоков и при сколь угодно малой диффузии изменение поля C полностью обусловлено адвекцией жидких частиц. Таким образом, в отсутствии диффузии главной причиной, которая приводит к эволюции трассеров, является адвекция. Простейшим случаем адвекции является адвекция пассивных частиц, т.е. предполагается, что трассер не влияет на поле скорости и скорость трассера поля C совпадает со

12

скоростью жидкости в точке где, находится трассер. Уравнения адвекции имеют в этом случае вид ⎧ dx ⎪ dt = u ( x, y, z , t ) ⎪ ⎪ dy ⎨ = v ( x, y , z , t ) , ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = w ( x, y, z , t ) ⎩

(1.0.3)

где u , v, w − компоненты поля скорости, а x, y, z − текущие координаты трассера. Применительно к задачам геофизической гидродинамики в рамках теории хаотической адвекции основываясь на лагранжевом подходе к рассмотрению движения жидкости, учитывая нестационарность океанических течений при наличии в потоке вихрей, струй, фронтов в качестве механизмов процессов переноса

и

перемешивания

предлагаются

хаотический

перенос

и

перемешивание. Под хаотическим переносом понимается перенос жидкой частицы между областями с различными режимами движения, при наличии внешнего нестационарного возмущения. Этот перенос, в свою очередь приводит к перемешиванию жидких частиц из областей с различными режимами движения. На основе теории хаотической адвекции было предложено объяснение странного поведения траекторий буев (RAFOS), которые в количестве 40 штук были выброшены в течение Гольфстрим близ мыса Гаттерас [38]. Несмотря на интенсивность струи, буи вымывались из нее. В рамках простейшей модели меандрирующей струи, без учета турбулентной диффузии удалось показать, что механизм хаотического переноса может выступать в качестве основного при перемещении буев в Гольфстрим. Странное поведение дрифтерных траекторий было обнаружено в области Куросио [53],[54]. Авторами этой работы были исследованы фрактальные свойства Лагранжевых траекторий трех свободно дрейфующих буев в области Куросио в течении 1977 года. За период в один год дрифтеры в приповерхностном слое прошли на расстояния сравнимые с шириной Тихого

13

океана. В течении этого времени траектории дрифтеров характеризуются высокой изменчивостью. Авторы использовали четыре различных метода анализа данных, основанных на фрактальном подходе, для траекторий дрифтеров. Обнаружено, что на масштабах от 20 до 150 км и на временных масштабах от 1.5 дней до 1 недели, каждая из траекторий проявляет фрактальное поведение с фрактальной размерностью около 1.3. Также исследована мультифрактальная природа дрифтерных траекторий. Эти работы стимулировали исследование хаотического переноса и перемешивания в различных моделях океанической циркуляции, а также процессов в атмосфере. В работе [69] был исследован обмен жидкостью в 2-х мерной кинематической модели меандрирующей струи. Результаты показали, что эффективный обмен через струйное течение реализуется при высокой частоте флюктуаций амплитуды меандрирования. Исследовано влияние параметров возмущения на хаотический обмен между областями с различным типом движения. Прогрессивные волны, наложенные на меандрирующую струю могут приводить к эффективному обмену между областями потока с различными режимами движения, когда их фазовая скорость совпадает со скоростями основного потока вдоль границ между областями с различными режимами движения. Численные результаты показали, что обмен через струю менее эффективен, чем обмен между смежными областями. В серии работ [80]–[84] исследуется меридиональный перенос в рамках простейшей модели крупномасштабной циркуляции в Атлантическом океане Северного

полушария,

состоящей

из

двух

циркуляционных

колец

и

меандрирующей струи между ними. В рамках теории хаотической адвекции делается попытка пролить свет на такие процессы как перенос водной массы, температуры и завихренности из одного круговорота в другой. Исследуется зависимость хаотического переноса от интенсивности меандрирования струи, а также от наличия изменчивого поля ветра. Установлено, что наличие изменчивого поля ветра приводит к интенсификации переноса теплых водных

14

масс из субтропического круговорота в субполярный и холодных масс из субполярного в субтропический. Кроме того, изменчивость поля ветра является причиной интенсивного хаотического перемешивания теплых и холодных масс. Получены также результаты по хаотическому перемешиванию и переносу потенциальной завихренности из одного круговорота в другой. Используя теорию нелинейного резонанса [33] в работах [42],[51] исследуются условия хаотического перемешивания через струйное течение. Показано, что возможность разрушение фронта зависит от отношения фазовой скорости меандра к скорости течения. Теория хаотической адвекции привлекалась не только для объяснения различных процессов в океане, но и в атмосфере. Целый ряд работ [58]–[60] посвящен изучению свойств хаотического перемешивания в планетарных волнах Россби. Для исследования областей хаотического поведения траекторий, как с качественной, так и с количественной точек зрения используются методы теории

динамических

систем

рассматриваемыми

задачами.

характеризующего

разбегание

модифицированные Так, двух

вместо изначально

в

соответствии

показателя близко

с

Ляпунова,

расположенных

траекторий, предложен новый критерий степени хаотизации – показатель Ляпунова, вычисленный за конечное время. На основе анализа распределений этого показателя в исследуемой области определяются зоны с наиболее эффективным хаотическим перемешиванием. Кроме того, используется анализ двухточечных

корреляционных

функций. Полученные на

основе этих

критериев результаты по перемешиванию [59] демонстрируют важную роль хаотического

перемешивания,

как

одного

из

основных

механизмов

перемешивания в таких структурах. Кроме того, установлено, что подход, основанный на турбулентной диффузии, может не адекватно описывать процесс перемешивания, который наблюдаются в экспериментах [60]. Большое

количество

работ

посвящено

использованию

теории

хаотической адвекции в исследовании процессов переноса и перемешивания в вихревых образованиях различной природы.

15

Так в работах [36],[63],[64] исследовался хаотический перенос в приливных зонах. Авторы обнаружили появление хаотических траекторий жидких частиц в реалистичной, 2-х мерной численной модели Вадденского моря, как одного из хорошо изученного региона с сильным приливным перемешиванием [64]. В модели показаны некоторые из признаков хаоса в траекториях

частиц.

Обсуждаются

характеристики

хаотического

перемешивания в простой динамической системе представляющей поток в усложненном приливном бассейне, свойства которого имеют сходство со свойствами хаотического перемешивания в потоке, периодически возмущаемом прогрессивными

волнами.

Показано

существование

хаотического

перемешивания и его роль для реального процесса перемешивания. В следующей работе [63] этих же авторов был исследован хаотический перенос в рамках модели циркуляции над подводными банками с приложением к заливу Майн. Полученные в модели численные результаты интерпретировались на основе методов теории нелинейных динамических систем, которые включали обнаружение гиперболических точек, а также их многообразий, вдоль которых жидкие частицы двигаются от этих точек. В работе [36] авторами была рассмотрена универсальная простейшая модель, состоящая из остаточного течения, представляющего собой сетку вихрей, возмущенных приливным потоком. Адвекция характеризуется в терминах возмущенной Гамильтоновой системы. Для малых амплитуд возмущений определяются коэффициенты хаотического аналитическом

перемешивания. виде

Предлагается

отображения

метод

Пуанкаре,

по

получению

посредством

в

которого

вычисляются коэффициенты перемешивания при конечных возмущениях. В работе [76] на основе данных полученных с помощью модели общей циркуляции хаотический перенос был предложен, как один из важных механизмов в адвекции икринок и мальков анчоусов от южных берегов Японии в богатый пищей район соединения Куросио и Оясио. Используя в качестве транспортных путей неустойчивое многообразие гиперболической точки, показано, что мальки анчоусов могут за достаточно короткий временной

16

интервал проникать из района южного побережья Японии в область соединения Куросио и Оясио. В работе [5] использовалась простейшая модель вихревого потока для прояснения механизма обмена между вихревой областью и областью свободного потока. На основе теории возмущений предложен алгоритм для оценки ширины зоны перемешивания, образующейся при наличии малых нестационарных возмущений набегающего потока. Показано, что ширина зоны перемешивания пропорциональна корню квадратному из относительной амплитуды внешнего возмущения, что в размерных величинах при радиусе вихревой области в 10 км составляет порядка 3 км, т.е. довольно значительную часть вихревой области. В серии работ [2],[3],[29] было проведено всесторонне исследование упомянутой выше модели для прояснения свойств хаотического переноса методами теории динамических систем. В работе [45] исследовалось хаотическое движение жидких частиц вокруг вращающегося эллиптического вихря в линейном потоке со сдвигом. При малой скорости растяжения жидкие частицы движутся хаотически внутри двух узких областей, которые расположены близ границ вихревой области. Определяется критическое значение скорости растяжения, при которой хаотические зоны, изначально малого размера, начинают объединяться. Анализ времен жизни жидких частиц близ вихря показал, что они существенно зависят от начального положения частиц. В [1] дается довольно обширный обзор современного состояния вихревой динамики. Некоторые параграфы книги как раз посвящены обнаружению хаотических областей, а также количественным и качественным методам оценки хаотического перемешивания в вихревых потоках. Кроме того, имеются и экспериментальные работы по исследованию хаотического перемешивания в вихревых потоках. Так в работе [41] исследовались процесс хаотического переноса и перемешивания между западным пограничным течением и мезомасштабным вихрем. Установлено, что наиболее эффективное хаотическое перемешивание и обмен реализовывались в

17

том случае, когда имелся сдвоенный вихрь, в отличии одной случая одной области циркуляции. С помощью инжектирования краски визуализировались материальные контуры (инвариантные многообразия), лежащие в основе хаотического переноса и перемешивания. Перенос пассивной примеси и Лагранжевы структуры в нестационарных вихревых течениях исследовался в работе [22]. На основе двухмерного эйлерова поля, полученного в лабораторном эксперименте, проведено численное моделирование лагранжевых траекторий. Результаты моделирования объясняются с точки зрения динамики гамильтоновых систем. Подтверждается, что

частичная

хаотизация

лагранжевых

траекторий

определяется

гомоклинической структурой, возникающей вблизи гиперболических особых точек течения. Проведено исследование зависимости скорости переноса примеси лагранжевыми траекториями от параметров течения, связанных с его топологией. Определены условия существования застойных зон, не связанных траекториями с остальным течением. В большинстве упомянутых выше работ, как правило, использовались кинематические модели, а вопрос о динамической согласованности не обсуждался. Впервые такая проблема была поднята в работе Самельсона [68] в которой он делает упор на то, что, несмотря на широкое применение кинематических моделей, результаты последних ставятся под сомнения в силу того, что функции тока таких моделей не удовлетворяют динамическим законам, например закону сохранения потенциальной завихренности. Одним из решений такой задачи является рассмотрение полной системы уравнений гидродинамики, а затем интегрированием уравнений движения жидких частиц. Однако в этом случае функцию тока в аналитическом виде получить не удается. Другой способ состоит в получение динамически согласованной функции тока из динамических уравнений в некоторых приближениях. Так в работе [52] хаотический перенос изучался в рамках модели, полученной на основе известного решения теории критического слоя волны Россби. Также как и для упомянутых выше моделей, показано, что

18

перемешивание

вполне

адекватно

характеризуется

хаотическим

перемешиванием. На примере динамически согласованной модели вихря Кида в работе [62] исследовались хаотические свойства жидких частиц. В работе [40] в рамках той же модели были исследованы хаотические зоны, на основе анализа скорости расходимости двух изначально близко расположенных траекторий. В начале 90-х годов В.Ф. Козловым была опубликована работа [12] в которой автор излагает концепцию фоновых течений. Построение фоновых течений и исследование на их основе циркуляции Охотского и Японского морей было проведено в работах [14]–[16]. В основе этой концепции лежит понятие

фонового

течения,

которое

характеризуется

однородным

и

стационарным распределением потенциальной завихренности, при которой достигается минимум механической энергии. В рамках этой концепции появляется возможность строить динамически согласованную функцию тока в замкнутом виде. Это дало толчок в развитии направления хаотической адвекции в отечественной океанологии. Одной из первых была рассмотрена модель для полукруга с линейным рельефом дна и системой источник-сток в угловых точках границы [17]. Используя развитый к тому времени аппарат теории динамических, авторы провели исследование процесса хаотического рассеивания облака пассивных трассеров. Исследовано влияние параметров колебаний (частоты, амплитуды, фазы) на хаотический перенос и предельную концентрацию маркеров. Выполнены предварительные оценки показателей Ляпунова для траекторий и сделан вывод об их хаотическом поведении. В следующей работе [18] было продолжено изучение свойств хаотического перемешивания в упомянутой выше модели. Сделан вывод об эффективности использования такой характеристики, как распределение времени нахождения маркера или «времени жизни» в области бассейна. Кроме того, была проведена классификация траекторий маркеров по величине накопленного показателя Ляпунова и времени жизни.

19

Работы [19]–[44] посвящены исследованию хаотических свойств полей пассивных

трассеров

в

рамках

моделей

течений,

порожденных

взаимодействием набегающего потока с топографической неоднородностью. Так,

в

работе

[19]

рассматривалась

невязкая

модель

течения,

порожденного взаимодействием однонаправленного пульсирующего потока с подводной горой Гауссовой формы. С помощью численных экспериментов изучен процесс хаотического рассеивания пассивных трассеров и в частности представлена эволюция соответствующих сечений Пуанкаре в зависимости от частоты и относительной амплитуды внешних возмущений. Предложен подход к

исследованию

механизма

и

параметров

хаотического

переноса

и

перемешивания в открытых системах с ограниченным временем жизни траекторий, основанный на изучении распределения времен жизни маркеров в области вихря. В работе [44] проводилось исследование хаотического переноса в рамках модели фонового течения, порожденного взаимодействием локализованной неоднородности рельефа дна эллиптической формы, с набегающим потоком. Как и в работах [18]–[19] используются методы теории динамических систем модифицированные для применения к моделям с ограниченным временем жизни хаотических траекторий: распределения накопленных показателей Ляпунова, времен жизни, сечения Пуанкаре за конечное время. Исследовался процесс хаотического переноса пятна маркеров из вихревой области в область проточного течения и влияние на этот процесс параметров возмущения. Установлена эффективность используемых методов для количественной и качественной характеристики процессов хаотического перемешивания и переноса пассивных трассеров. Проведено сравнение полученных результатов с результатами, полученными в работе [19]. Установлено, что наиболее эффективное хаотическое перемешивание реализуется в случае подводной возвышенности Гауссовой формы. В

работе

[71]

проведено

исследование

влияние

изолированного

препятствия на динамику материальных частиц в рамках баротропной,

20

квазигеострофической модели океана на f − плоскости, для случаев, когда внешний поток был как устойчив, так и имел приливную компоненту скорости. Установлено существование как квазипериодических, так и хаотических траекторий жидких частиц в такой модели. Отметим, что все указанные выше модели, в которых исследовались процессы переноса и перемешивания использовали баротропное приближение. Это слишком сильное предположение, так как океан по глубине неоднороден [57]. Следовательно, учет бароклинности является естественным усложнением указанных задач. Однако в связи с этим могут возникнуть определенные сложности. Так как система уравнений адвекции будет состоять из трех уравнений, то методы теории динамических систем для двухмерных моделей становятся

непригодными.

Кроме

того,

система

из

трех

уравнений

предполагает хаос даже в случае стационарного набегающего потока. Попытка учесть нестационарность проточного течения еще больше усложнит задачу. Тем не менее, имеется ряд работ, в которых используется система из трех уравнений. Так в работе [72] исследовалось хаотическое движение пассивных частиц внутри трехмерной круговой области в закрытом цилиндрическом контейнере с вращающимся дном. Поле скорости получено численным решением уравнения Навье-Стокса. В работе

[85] исследуется

трехмерная

эволюция

потенциальной

завихренности Эртеля и N 2 O в Северном полушарии в зимний период с 1 по 10 февраля в 1984 году на основе GFDL SKYHI модели. Установлено, что в стратосфере имеются два вида барьеров для потенциальной завихренности и N 2 O : субтропический и полярный. Субтропический барьер более проницаем,

чем полярный, несмотря на влияние тропопаузы, подобно барьеру, имеется обмен веществом между тропосферой и стратосферой. Для идентификации барьеров и хаотических зон используются такие методы, как анализ функции плотности вероятности и показатели Ляпунова, вычисленные за конечное время.

21

В работе [86] того же автора исследуется хаотический перенос и перемешивание в рамках модели устойчивого ламинарного трехмерного океанического

потока

состоящего

из

большого

круговорота

и

моды

термохалинной циркуляции. Установлено, что когда представлены обе моды, траектории трассеров становятся хаотическими, а это в свою очередь приводит к увеличению переноса и перемешивания в поле трассеров. С помощью анализа распределений показателей Ляпунова вычисленных за конечное время авторы определяют зоны, препятствующие процессу хаотического переноса. Также для учета бароклинности используют приближение многослойной жидкости. В работе [87] проводилось исследование хаотического переноса и перемешивания через струйное течение в трехслойной модели, один слой пассивный. Обнаружено, что оба процесса существенным образом зависят от параметра вертикального сдвига между слоями α . При α > 0.5 не существует переноса через струйное течение. Зоны, препятствующие хаотическому переносу, идентифицируются посредством анализа плотности вероятности распределения потенциальной завихренности. Для α < 0.4 разрушается барьер в нижнем слое, а в верхнем остается. Разрушение барьера приводит к затуханию полной дисперсии потенциальной завихренности в нижнем слое. Величины для параметра вертикального сдвига очень хорошо согласуются со значениями α полученными для Гольфстрима α = 0.4 − 0.5 . Таким образом, важным для океанологических исследований является понимание процессов хаотического переноса и перемешивания в моделях геофизических потоков. Теория хаотической адвекции используется в качестве основы для понимания процессов перемешивания и переноса в вихревых структурах океана, в волнах Россби и струйных течениях. В представленной работе

исследуется

влияние

нестационарности

проточного

течения,

прямолинейной твердой границы и стратификации на процессы хаотического переноса и перемешивания в рамках моделей топографических вихрей.

22

§1.1. Фоновые течения в геофизической гидродинамике.

Одной

из

фундаментальных

характеристик

квазидвухмерных

геофизических потоков является потенциальная завихренность (ПЗ) П, синтезирующая вклады [57] относительной завихренности ω и планетарнотопографических воздействий, осложненных в общем случае стратификацией. Поскольку П и ω связаны между собой линейно, задание любого из указанных полей при соответствующих граничных условиях позволяет однозначно восстановить поле течений. Каждую из характеристик П, ω

можно

использовать для выделения различных когерентных структур типа вихрей, струй, фронтальных разделов и т.п. При этом предпочтение традиционно отдается относительной завихренности ω . В отличии от последней ПЗ в случае исчезающей малой вязкости является лагранжевым инвариантом, удовлетворяя уравнению [57] dП ≡ Пt + uП x + vП y = 0 , dt

где

( u, v )

(1.1.1)

вектор горизонтальной скорости и ω = vx − u y . Благодаря этому

свойству инвариантности величина П является более удобной характеристикой для структурирования поля течений. В качестве фонового (отсчетного, реперного) естественно принять течение с горизонтально однородным стационарным распределением П, удовлетворяющим (1.1.1). Результат, однако, будет зависеть от величины П, с изменением которой поле течений может радикально трансформироваться. Из этого многообразия решений выделим единственное фоновое течение (ФТ), для которого П = П сообщает глобальный

минимум

механической

энергии

(сумме

кинетической

и

доступной потенциальной) системы. Одновременно однозначно определяется фоновая относительная завихренность ω , зависящая от рельефа дна, планетарной завихренности и стратификации.

23

§1.2. Баротропная квазигеострофическая модель фонового течения

В односвязной области D с границей ∂D рассмотрим баротропные течения, которые при условии твердой крышки на поверхности описываются системой уравненийEquation Section 2

d ω+ f = 0, dt H 1 1 u = − ψ y, v = ψx, H H ⎛ψ ⎞ ⎛ψ ⎞ ω = ⎜ x ⎟ + ⎜ y ⎟ ≡ Lψ , ⎝ H ⎠x ⎝ H ⎠ y где ψ ( x, y, t ) − интегральная функция тока, а

(1.2.1)

f ( y ) и H ( x, y ) − параметр

Кориолиса и глубина. Пусть f * и H * некоторые постоянные, которые будут определены

ниже.

Введем

удовлетворяющую

(1.2.1)

потенциальную

завихренность П = (ω + f ) ( H * H ) − f * . Для ФТ с постоянным П = П имеем

ω = П ( H H * ) + ω , где f* ω= *H− f. H Если ψ (

H)

(1.2.2)

( x, y ) − решение вспомогательной краевой задачи Lψ (

H)

= H, ψ (

H) ∂D

=0

(1.2.3)

от

ψ=

П (H ) ψ +ψ , H*

(1.2.4)

где Lψ = ω , ψ иψ(

b)

∂D

=ψ (

b)

(l,t )

(1.2.5)

( l , t ) определяет заданные расходы на границе. Для произвольной функции F введем осреднение с весом ψ (

H)

24 −1

⎛ ⎞⎛ ⎞ H H F = ⎜ ∫ψ ( ) FdD ⎟⎜ ∫ψ ( ) dD ⎟ . ⎝D ⎠⎝ D ⎠ Из требования

ω =0

(1.2.6)

находим f * H * = f H , что однозначно определяет ω в (1.2.2); удобно принять

f * = f , H * = H . Учитывая (1.2.4) и (1.2.6) интегрируя по частям, для кинетической энергии получаем выражение

(

)

1 1 1 П2 1 1 1 2 2 (H ) 2 E = ∫ ( ∇ψ ) dD = ∇ ψ dD + ∇ ψ dD , ( ) 2DH 2 H *2 ∫D H 2 ∫D H принимающее минимальное значение при П = 0 , т. е. ω есть фоновая относительная завихренность. Разделяя топографический и планетарный эффекты запишем

ω = ω ( f ) + ω (H ) , ⎛ H

ω( f ) = f * − f , (1.2.7)

⎞

ω ( H ) = f * ⎜ * − 1⎟ ⎝H ⎠ причем ω (

f)

= ω(

Параметр

H)

= 0.

f * определяет некоторую критическую широту, севернее

которой ω ( ) < 0 и южнее

ω ( f ) < 0 , т.е. во всякой замкнутой области поле

f

фоновой планетарной завихренности имеет дипольную структуру, являясь антициклоническим в северной части и циклоническим – в южной (в северном полушарии). Аналогичным

образом

H*

определяет

критическую

изобату,

разделяющую области противоположной циклональности в поле фоновой топографической завихренности ω ( ) . В глубоководных областях ( H > H * ) эта H

часть фоновой завихренности циклоническая, а над подводными горами и возвышенностями

( H < H ) − антициклоническая. *

В частности, на шельфе

25

ω (H )

всегда отвечает антициклоническому сдвигу скорости. В случае

горизонтального дна H ≡ H * топографический фон тождественно исчезает.

§1.3. Двухслойная квазигеострофическая модель.

Рассмотрим задачу построения ФТ в квазигеострофическом приближении [57] двухслойного океана. В i − ом слое ( i = 1,2 для верхнего и нижнего слоя) с постоянной плотностью ρi движение описывается геострофической функцией тока

ψ i ( x, y , t )

с

соответствующими

скоростями

ui = −ψ iy , vi = ψ ix

и

относительной завихренности ωi = vix − uiy = Δψ i . Закон сохранения П можно записать в виде dП dt = 0 [57], где

П1 = Δψ 1 + f +

f0 ζ − П1* , H1

(1.3.1)

f П2 = Δψ 2 + f + 0 ( h − ζ ) − П2* H2

ζ

и

h

возвышение границы раздела и рельефа дна,

H i − толщины

невозмущенных слоев, а постоянные Пi* будут определены ниже. Согласно динамическому

условию

непрерывности

давления на границе раздела

ζ = ( f g ' ) (ψ 2 − ψ 1 ) , где g ' = g ( ρ 2 − ρ1 ) ρ 2 − редуцированное ускорение силы тяжести. Полагая H = H1 + H 2 , введем баротропную и бароклинную функции тока

ψ ' = ( g ' f0 )ζ = ψ 2 − ψ 1

ψ = ( H1ψ 1 + H 2ψ 2 ) H ,

и

соответствующие

П = ( П1 H1 + П2 H 2 ) H , П ' = П2 − П1 . Из (1.3.1) следует f0 h + П*, H f Δψ ' − k 2ψ ' = П ' − 0 h + П *' H2 Δψ = П − f −

где Ld = k −1 = ( g ' H1 H 2 H )

12

(1.3.2)

f 0 − внутренний радиус деформации Россби.

П

26

С помощью решения ϕ ( ) краевой задачи k

Δϕ ( ) − k 2ϕ ( ) = 1, ϕ ( k

k

k) ∂D

=0

(1.3.3)

определим взвешенное осреднение F

k

⎛ ⎞⎛ ⎞ k k = ⎜ ∫ ϕ ( ) FdD ⎟⎜ ∫ ϕ ( ) dD ⎟ ⎝D ⎠⎝ D ⎠

−1

и параметры

П* = f +

f0 f h , П *' = 0 h k . H 0 H2

(1.3.4)

Для постоянных П = П , П ' = П ' решения уравнений (1.3.2) имеют вид

ψ = Пϕ ( 0) + ψ , ψ ' = П 'ϕ ( k ) + ψ ' ,

(1.3.5)

где Δψ = f

−f +

0

f Δψ − k ψ = 0 H2 '

2

'

f0 H

(h

(h

k

0

)

−h , ψ

)

−h , ψ

' ∂D

∂D

=ψ (

=ψ

(b) '

b)

(l, t ) (1.3.6)

( l , t ).

Полная механическая энергия

E=

1 ⎡ 2 2 H1 ( ∇ψ 1 ) + H 2 ( ∇ψ 2 ) + g 'ζ 2 ⎤ dD ∫ ⎦ 2 D⎣

после расщепления поля течения на баротропную и бароклинную части принимает вид E=

2 H1 H 2 ⎡ 1 ⎧ ⎫ 2 ∇ψ ' ) + k 2ψ '2 ⎤ ⎬ dD. ( ⎨ H ( ∇ψ ) + ∫ ⎥⎦ ⎭ 2 D⎩ H ⎢⎣

(1.3.7)

Подставляя в (1.3.7) выражения (1.3.5) и учитывая (1.3.3) и (1.3.4), после преобразований находим E=

(

1 2 0 П H ∫ ∇ϕ ( ) 2 D

)

2

dD +

(

1 '2 H1 H 2 ⎡ k П ∇ϕ ( ) ∫ ⎢ 2 H D⎣

)

2

+ k 2 ∇ϕ (

k )2

⎤ dD + E ,(1.3.8) ⎥⎦

где E=

H1 H 2 ⎡ 1 ⎧ 2 ⎫ ' 2 H ψ ψ ∇ + ∇ + k 2ψ '2 ⎤ ⎬ dD . ( ) ( ) ⎨ ∫ ⎢ ⎥ ⎦⎭ 2 D⎩ H ⎣

27

Минимум

энергии

(1.3.8)

достигается

П = П' = 0,

при

но

представлениям (1.3.5) это означает, что для ФТ ψ = ψ

согласно и ψ ' =ψ ' .

Геострофические функции тока в слоях при этом имеют вид

ψ1 =ψ −

H2 ' ψ, H

ψ 2 =ψ +

H1 ' ψ H

(1.3.9)

§1.4. Некоторые замечания по численному интегрированию.

В работе активно использовалось численное моделирование. Из теории динамических систем известно, что неавтономная система из двух уравнений не

интегрируема,

поэтому

использование

численных

методов

просто

необходимо. Хотя здесь возникают свои трудности. Поскольку динамических хаос характеризуется экспоненциальным разбеганием изначально близко расположенных траекторий, то ошибка численного счета со временем может приводить к тому, что истинное решение (траектория), может существенным образом отличаться от полученного численно (траектории). Таким образом, в некотором смысле ставятся под сомнение результаты, полученные с помощью численного моделирования. Для решения подобных проблем мы, имеем дело не с одной отдельно взятой траекторией (начальным условием), а с достаточно большим набором

( ∼ 10000 )

начальных условий, что позволяет отследить

общую физическую картину явления. Однако это приводит к существенному увеличению времени счета, что является дополнительной проблемой. Кроме того, мы рассматриваем не только регулярные, но и сингулярные поля скорости, как например, для баротропной задачи, что естественно приводит к проблемам

в

численном

интегрировании.

Резюмируя

вышесказанное:

численный метод должен давать высокую точность на шаге, быть не затратным с точки зрения времени счета при наличии сингулярностей. Из множества методов интегрирования уравнений адвекции в работе использовался

метод

Булерша

–

Штерра,

в

основе

которого

лежит

аппроксимация к пределу Ричардсона [74]. Этот метод позволяет не только контролировать

точность

счета,

но

автоматически

выбирать

шаг

28

интегрирования, что естественным образом сказывается на вычислительных затратах. Единственным недостатком используемого метода является трудность его использования в области сингулярностей. Это приводит к существенному увеличению вычислительных затрат. Поэтому для модели точечного вихря баротропной задачи мы не проводили расчетов в малой окрестности эллиптической точки, что является оправданным в силу регулярности движения в этой области.

29

ГЛАВА 2. Баротропная квазигеострофическая модель топографического вихря.

Известно, что в океане имеются вихревые структуры различных масштабов. От вихрей с радиусом порядка 10 км до крупномасштабных циркуляционных колец с линейным масштабом в 1000 км [28]. Промежуточное положение занимают так называемые синоптические вихри с характерным масштабом от 20 до 100 км [9]. Их открытие в 70-х годах прошлого века дало новый виток развития в понимании океанической циркуляции. Как правило, в качестве причин возникновения синоптических вихрей полагались: бароклинная неустойчивость, воздействие ветра и топография рельефа дна [8]–[11]. С последней причиной связано большое число экспериментов, как отечественных, так и зарубежных исследователей, которые подтверждают существование замкнутой циркуляции над подводными горами, банками и гайотами. Так, например, 23 октября 1976 года, океанологи США и Японии запускают буй нейтральной плавучести в Куросио с целью изучения его динамики. После 90 суток, буй попал в зону поднятий Императорского хребта. В течение семи недель он совершал антициклонические обороты со средним периодом около 5 суток над одной из вершин Императорского хребта. К 1976 году экспедициями ТИНРО совместно с ТУРНИФ были обследованы многие поднятия в районах Императорского и Гавайского хребтов в Тихом океане. Океанографические съемки в районе подводных гор показали, что над многими из них формируются столбчатые структуры в распределении гидрологических, гидрохимических и биогенных элементов, обусловленных завихренностью в поле течений над подводными горами. Большое число ссылок на экспериментальные данные по обнаружению топографических вихрей дано в содержательной работе Зырянова [8]. Подобные экспериментальные данные дали большой толчок в развитии теории топографических вихрей. Теоретические исследования показали, что

30

при взаимодействии набегающего потока с подводной неоднородностью в поле течения может возникать замкнутая циркуляция [8],[10]. Так при постоянном значении частоты плавучести и в пренебрежении бета—эффектом при взаимодействии набегающего потока с подводной возвышенностью образуется два вихря. В северном полушарии, антициклонический над возвышенностью и циклонический вниз по потоку [9],[11]. Причем возможны два варианта эволюции вихрей. Первый вариант, когда циклонический вихрь уносится на бесконечность,

а

антициклоническая

над

топографической

циркуляция.

Второй

неоднородностью

вариант,

когда

остается

только

часть

циклонической циркуляции уносится на бесконечность, а часть начинает вращаться вокруг топографического антициклонического вихря. Изложенная качественная картина подтверждается результатами численных экспериментов, демонстрируя возможность реализации обоих случаев [8],[9]. Мы будем интересоваться ситуацией, когда циклонический вихрь сносится потоком на бесконечность,

а

над

подводной

горой

остается

захваченный

антициклонический вихрь. На примере модели топографического вихря расположенного близ береговой

черты

исследуются

процессы

хаотического

переноса

и

перемешивания в вихревом ядре при наличии малого периодического возмущения поля скорости набегающего потока. Equation Section 1

§2.1. Постановка задачи.

Рассмотрим движение жидкости в области D с границей ∂D . Поместим начало системы координат на поверхность жидкости. Ось x направим на восток, ось

y

на север, ось

z

вертикально вниз. В приближении

квазигеострофичности и баротропии, на β − плоскости, при условии твердой крышки на поверхности динамика жидкости полностью определяется законом сохранения потенциального вихря П [14],[57]

31

dП =0 dt

(2.1.1)

который в указанных приближениях имеет вид [13] П = ζ + f − f0 +

f0 h H

(2.1.2)

где ζ = vx − u y = Δψ − относительная завихренность, Кориолиса с некоторым отсчетным значением

f = f 0 + β y − параметр

f 0 , H − средняя глубина

бассейна, h ( x, y ) − возмущение рельефа дна. Горизонтальные компоненты скорости связаны с геострофической функцией тока ψ соотношениями [57] u = −ψ y , v = ψ x .

(2.1.3)

Тогда выражение для относительной завихренности имеет вид ζ = Δψ с оператором Лапласа Δ . Заданием распределения П полностью определяется поле течения Δψ = П − f + f 0 −

ψ где ψ

∂D

=ψ (

b)

(l, t ) −

∂D

=ψ

(b)

f0 h, H

(2.1.4)

(l, t ) ,

условие для функции тока на границе или в случае

неограниченной области на бесконечности [10]. Следуя [12] рассмотрим класс течений, для которых распределение П однородно по пространству и стационарно по времени, тогда уравнение (2.1.1) удовлетворяется тождественно. Из всего многообразия значений П выберем то, при котором достигается минимум доступной кинетической энергии П = П , т.е. мы интересуемся только ФТ. Для

вычисления

П

в

указанных

приближениях

воспользуемся

предложенным выше алгоритмом построения ФТ. Обозначим буквой F «весовую» функцию F ≡ ∂ψ ∂P , для которой из (2.1.4) получаем ΔF = 1, F ∂D = 0. Доступная кинетическая энергия выражается через функцию тока

(2.1.5)

32

E=

1 2 ( ∇ψ ) dD. ∫ 2D

(2.1.6)

Используя (2.1.5) и (2.1.6) получим уравнение для П ∂E f ⎞ ⎛ = − ∫ F ⎜ П − f + f 0 − 0 h ⎟ dD = 0 , ∂P H ⎠ ⎝ D

(2.1.7)

решение которого имеет вид П = f − f0 +

f0 h , H

(2.1.8)

где определена операция «взвешенного» осреднения −1

⎛ ⎞⎛ ⎞ B = ⎜ ∫ BFdD ⎟⎜ ∫ FdD ⎟ . ⎝D ⎠⎝ D ⎠

(2.1.9)

Таким образом, нахождение функции тока ФТ сводится к задаче (2.1.4), которая с учетом (2.1.8) имеет вид Δψ = f − f +

ψ

∂D

=ψ

(b)

f0 ( h − h) H

(2.1.10)

(l, t )

Решение (2.1.10) выражается через функцию Грина G ( x, y, ξ ,η ) [4], которая удовлетворяет уравнению ΔG = δ ( x − ξ ) δ ( y − η ) ,

(2.1.11)

G ∂D = 0,

где δ ( x − ξ ) δ ( y − η ) − дельта-функция Дирака [4], а ρ (ξ ,η ) − координаты источника. На плоскости, решение уравнения (2.1.11) имеет вид [4] G ( x, y, ξ ,η ) =

1 ln 2π

(

(x −ξ )

2

+ ( y −η )

2

).

(2.1.12)

Таким образом, с учетом (2.1.12), решение задачи (2.1.10) может быть представлено в виде

ψ ( x, y, t ) = ψ ( hf ) + ψ ( q ) , где

(2.1.13)

33

⎡ D⎣

ψ ( hf ) = ∫ ⎢ f − f +

f0 ⎤ h − h ) ⎥ G ( x, y, ξ ,η ) dDρ ( H ⎦

(2.1.14)

стационарное вихревое планетарно-топографическое слагаемое, а

ψ (q) =

∫

∂G ( r , ρ )

∂D

∂nρ

ψ (b ) ( lρ , t ) dlρ

(2.1.15)

нестационарное проточное слагаемое. Выражение для весовой функции F , через функцию Грина (2.1.12) имеет вид

F = ∫ GdD

(2.1.16)

D

Согласно (2.1.3) движение произвольного трассера (его траектория) описывается системой уравнений

⎧ x = −ψ y , ⎨ ⎩ y =ψ x ,

(2.1.17)

которая имеет Гамильтонову форму, поэтому фазовое пространство совпадает с конфигурационным. При ψ t = 0 (установившееся движение), функция тока ψ является интегралом динамических уравнений ( dψ dt = 0 ), поэтому задача сводится к квадратурам, и система является интегрируемой. При ψ t ≠ 0

(неустановившееся движение) в общем случае она является неинтегрируемой, и траектории могут проявлять свойства хаотического перемешивания. В качестве конкретного примера рассмотрим на f − плоскости поле течения, порожденное взаимодействием локализованного возвышения рельефа дна, расположенного у границы с набегающим потоком (рис. 2.). В

качестве

топографической

неоднородности

рассмотрим

цилиндрическое возвышение высоты h и радиуса a . В работе [19] показано, что асимптотически поле завихренности точечного вихря совпадает с полем завихренности

порожденное

топографической

неоднородностью

цилиндрической формы. Таким образом, для простоты будем рассматривать подводную

возвышенность

в

виде

h ( x, y ) = τ ∞δ ( x − ξ ) δ ( y − η ) ,

где

34

ρ (ξ ,η ) − центр возвышенности, а эффективный объем τ ∞ принят равным объему цилиндрической возвышенности, т.е. τ ∞ = π h ( ρ ) a 2 .

Рисунок 2. Схема потока в модели топографического вихря у границы в квазигеострофическом приближении баротропного океана Так как h → h∞ к некоторому конечному значению [12], то, не умаляя общности можно положить h∞ = 0 . На границе

y=0

функция Грина должна обращаться в нуль.

Воспользовавшись принципом зеркального отражения [4] для функции Грина получим G ( x, y, ξ ,η ) = G ( x, y, ξ ,η ) − G ( x, y, ξ , −η ) .

Выражение

для

стационарной

вихревой

(2.1.18)

планетарно-топографической

составляющей функции тока согласно (2.1.14) и (2.1.18) имеет вид

ψ

( fh )

f ( x, y ) = 0 H

∞ ∞

∫ ∫ G ( x, y,ξ ,η ) h (ξ ,η )dξ dη =

−∞ −∞

2 2 f 0τ ∞ ⎛ ( x − ξ ) + ( y + η ) = ln ⎜ 4π H ⎜⎝ ( x − ξ )2 + ( y − η )2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(2.1.19)

В качестве проточного течения будем рассматривать пульсирующий восточный вдольбереговой поток, который в простейшем случае имеет вид

35

ψ ( q ) = U ( t ) = −U 0 (1 + δ sin (ωt ) ) y ,

(2.1.20)

где δ − малая относительная амплитуда возмущения, ω − частота возмущения,

U 0 > 0 . Окончательно выражение для функции тока с учетом (2.1.19) и (2.1.20) имеет вид 2 2 f 0τ ∞ ⎛ ( x − ξ ) + ( y + η ) ⎞ ψ = −U ( t ) y + ln ⎜ ⎟ 4π H ⎜⎝ ( x − ξ )2 + ( y − η )2 ⎟⎠

(2.1.21)

§2.2. Масштабирование.

Используя характерные масштабы длины L* − расстояние от границы до центра подводной возвышенности, скорости U * − средняя скорость набегающего L* потока, возвышения рельефа дна h = h (ξ ,η ) введем масштаб времени T = * U *

*

и масштаб функции тока Ψ * = U * L* , введем топографический параметр h* U* σ= и Ro = * − число РоссбиEquation Section 2 HRo L f0 Полагая

( x, y ) = L* ( x′, y′) , t = T *t ′,U = U *U ′,ψ = Ψ*ψ ′

и далее опуская

штрихи над безразмерными переменными, вместо (2.1.21) и (2.1.17) получаем ⎛ x 2 + ( y + 1)2 ⎞ ψ = −U ( t ) y + ln ⎜ 2 ⎟, 4 ⎜⎝ x + ( y − 1)2 ⎟⎠

(2.2.1)

⎧ dx ⎞ y +1 y −1 σ⎛ ⎪ = U (t ) − ⎜ 2 − ⎟ 2 ⎝⎜ x + ( y + 1)2 x 2 + ( y − 1)2 ⎠⎟ ⎪⎪ dt . ⎨ ⎛ ⎞ ⎪ dy σ y +1 y −1 − 2 ⎪ dt = 2 ⎜⎜ 2 2 2 ⎟ ⎟ x y x y 1 1 + + + − ( ) ( ) ⎪⎩ ⎝ ⎠

(2.2.2)

σ

Для конкретных расчетов задачи зададимся следующими размерными параметрами задачи. Линейный масштаб L* = 75 ⋅ 103 м, масштаб скорости U * = 0.08 м/c, масштаб времени T * ≈ 11 сут., радиус подводной возвышенности a = L , высота подводной возвышенности h* = 200 м, эффективный объем горы

36

τ ∞ ≈ 1,767 ⋅ 103 км3, параметр Кориолиса f 0 = 1 ⋅ 10−4 с-1, средняя глубина океана H = 4 ⋅ 103 м. Тогда, число Россби Ro ≈ 1 ⋅ 10−2

σ ≈ 4.

Таким

образом,

при

1 , а топографический параметр

выбранных

величинах

приближение

квазигеострофичности удовлетворяется. Окончательно выражение для функции тока и система уравнений адвекции имеют вид ⎛ x 2 + ( y + 1)2 ⎞ ψ = −U ( t ) y + ln ⎜ 2 ⎟ ⎜ x + ( y − 1)2 ⎟ ⎝ ⎠

(2.2.3)

⎧ dx ⎛ ⎞ y +1 y −1 ⎪ = U (t ) − 2 ⎜ 2 − ⎟ ⎜ x + ( y + 1)2 x 2 + ( y − 1)2 ⎟ ⎪⎪ dt ⎝ ⎠ . ⎨ ⎛ ⎞ ⎪ dy y +1 y −1 = 2 − ⎜ ⎟ ⎪ dt ⎜ x 2 + ( y + 1)2 x 2 + ( y − 1)2 ⎟ ⎪⎩ ⎝ ⎠

(2.2.4)

Equation Section 3

§2.3. Топографический вихрь в стационарном набегающем потоке

В начале, рассмотрим случай стационарного набегающего потока U ( t ) = U 0 = const , когда траектории трассеров совпадают с линиями тока. Движение пассивных частиц в таком поле полностью определяется функцией тока. Так как рассматриваемая система имеет гамильтонову форму [35], это дает возможность использовать для исследования методы и приемы теории динамических систем. Одним из основных понятий теории динамических систем является понятие особой точки [55]. По определению скорость в этой точке равна нулю, а тип точки характеризует движение в ее окрестности. В случае плоских течений особых точек, как правило, две: гиперболическая (седловая) и эллиптическая. Движение в окрестности эллиптической точки есть вращение, а в окрестности гиперболической точки – растяжение в одном направлении и сжатие в другом [55]. Система уравнений для координат особых точек (2.2.4) имеет вид

37

⎧ ⎛ y +1 y −1 ⎪U 0 − 2 ⎜ − 2 2 ⎜ x 2 + ( y + 1) x 2 + ( y − 1) ⎪ ⎝ ⎨ y +1 y −1 ⎪ − =0 2 2 ⎪ x2 + y + 1 2 1 x + y − ( ) ( ) ⎩

⎞ ⎟ = 0, ⎟ ⎠

(2.3.1)

В зависимости от величины скорости набегающего потока U 0 система (2.3.1) имеет следующие решения Э ( xe ; ye ) = ( 0;1) − эллиптическая

U0 ≥ 4

при

(

особая

точка,

)

Г ( xh ; yh ) = 0; 1 − 4 U 0 − гиперболическая особая точка; при

U0 < 4

Э ( xe ; ye ) = ( 0;1) − эллиптическая

(

)

особая

гиперболические Г1 ( xh ; yh ) = − 4 U 0 − 1;0 , Г 2 ( xh ; yh ) =

(

точка

и

две

)

4 U 0 − 1;0 .

На (рис. 3.) представлен профиль компоненты скорости вдоль оси Ox .

Рисунок 3. Зависимость u − U 0 компоненты скорости от координаты y Отметим, что эллиптическая точка является сингулярной, т.е. скорость в ее окрестности стремится к бесконечности.

38

Для каждого из трех случаев область течения состоит из двух частей: с замкнутыми линиями тока вокруг эллиптической точки – вихревая область (ВО) и проточной области (ПО) с линиями тока, уходящими на бесконечность. Эти области отделены друг от друга линией тока с самопересечением в гиперболической точке, которая называется сепаратрисой. Сепаратриса состоит из двух частей (многообразий начальных условий) [7], которые в стационарном случае совпадают между собой. Так частицы из первого множества с течением времени приближаются к гиперболической точке, т.е. имеется приток жидкости к особой точке. Частицы, из второго множества, наоборот, с течением времени удаляются от гиперболической точки, т.е. имеет место отток жидкости. Первое из множеств получило название устойчивого многообразия гиперболической точки H + , а второе неустойчивого многообразия гиперболической точки H − [55],[77],[79]. Значение функции тока на сепаратрисе можно получить, подставив координаты гиперболической особой точки в уравнение для функции тока (2.2.3). Так при

(

) (

U 0 > 4, ψ s1 = −U 0 1 − 4 U 0 + ln ⎡ 1 − 4 U 0 + 1 ⎢⎣ U 0 ≤ 4,ψ s 2 = 0,ψ s 3 = 0.

2

)

2 1 − 4 U0 − 1 ⎤ , ⎥⎦ (2.3.2)

Как было сказано, выше имеется три характерные картины линий тока. Главным

отличием

этих

картин

друг

от

друга

является

положение

гиперболической точки. При U 0 < 4 гиперболическая точка расщепляется на две вдоль границы – сильное влияние границы (рис. 4). При скорости набегающего потока U 0 = 4.0 гиперболическая точка находится на границе (рис. 5) – случай промежуточного влияния границы. При большой скорости набегающего

потока

влияние

границы

невелико

U0 > 4 .

В

фазовом

пространстве имеются две особые точки: эллиптическая в центре вихря и гиперболическая точка на некотором расстоянии от границы (рис. 6).

39

Рисунок 4. Картина линий тока для случая сильного влияния границы U0 = 3.6

Рисунок 5. Картина линий тока для случая промежуточного влияния границы U0 = 4.0

Рисунок 6. Картина линий тока для случая слабого влияния границы U0 = 4.6

40

Рассмотрим поподробнее движение в вихревой области. Как было сказано выше ВО представляет собой множество вложенных друг в друга замкнутых линий тока. Трассер, изначально находящийся на такой траектории, будет бесконечно долго находится на ней. Это приводит к тому, что облако трассеров изначально находящееся в ВО никогда ни проникнет в область проточного течения. Из системы уравнений (2.2.4) следует выражение для времени движения частицы по траектории в ВО

2ζ eΨ+U 0ζ

y

T0 ( y ) = − ∫

y0

(e

(ζ + 1) − (ζ − 1) e ( − 1) e −1 2

Ψ+U 0ζ

2

2

Ψ+U 0ζ

dζ , Ψ = const > Ψ s ,

)

Ψ+U 0ζ

(2.3.3) где y0 − начальное положение частицы, y − конечное положение частицы,

ψ s − значение функции тока на сепаратрисе. С каждой вложенной замкнутой линией тока мы можем связать период обращения трассера по ней T1 (ψ ) , который согласно (2.3.3) имеет вид 2ζ e Ψ+U 0ζ

T1 (ψ ) = − ∫ C

(e

Ψ+U 0ζ

)

−1

2

((ζ + 1)

2

− (ζ − 1) e 2

Ψ+U 0ζ

)

dζ ,

(2.3.4)

e Ψ+U 0ζ − 1

где C − контур интегрирования на котором ψ = const . На (рис. 7.) представлена зависимость периода обращения трассера по траектории в ВО в зависимости от расстояния до эллиптической точки. В размерных величинах на расстоянии от эллиптической точки в 50 км время оборота трассера составляет около 5 суток.

41

Рисунок 7. Зависимость времени оборота трассера в ВО от расстояния до эллиптической точки r для трех случаев влияния границы: а) – сильное влияние границы U0 = 3.6; б) – промежуточное влияние границы U0 = 4.0; в) – слабое влияние границы U0 = 4.6. rh –расстояние от эллиптической до гиперболической точки при U0 = 4.6 Для анализа траекторий в ВО нам понадобится один из методов теории динамических систем – сечение Пуанкаре [79]. Траектория трассера на этом сечении представляет собой набор точек – ее положений в моменты времени t = nΔτ , n = 1,2,3... , где Δτ − период сечения Пуанкаре. Если траектория замкнутая, то соответствующая ей орбита носит название цикла. В зависимости от отношения периода обращения по замкнутой траектории T0 к Δτ имеются следующие типы циклов [66]: 1. T0 Δτ = p q − число рациональное, где p, q − целые числа. В этом случая каждый трассер, находящийся на орбите, возвратится в свое начальное положение через q периодов сечения Пуанкаре. За это время он p раз

42

обойдет вокруг цикла. Таким образом, все частицы на таком цикле двигаются периодически с периодом q [27],[55]. 2. T0 Δτ = θ − число иррациональное. Трассер, находящийся на таком цикле со временем никогда не возвратится в свое начальное положение. Проведем исследование семейства линий тока в малой окрестности сепаратрисы. Перепишем выражение для функции тока (2.2.3) в виде

( y + 1) − ( y − 1) eΨ+U y 2

x=±

2

0

e Ψ+U 0 y − 1

,

(2.3.5)

которое определяет семейство линий тока, рассматриваемой системы. При x = 0 (2.3.5) задает уравнение для координат y10 − верхней и y20 − нижней точек пересечения линии тока с осью симметрии: 0 2 ⎡ 1 + y1,2 ⎤ Ψ y = ln ⎢ . ⎥− U 0 ⎣⎢ 1 − y10,2 ⎦⎥ U 0 0 1,2

(2.3.6)

Из всего семейства (2.3.5) линий тока выберем только те, которые очень близки к сепаратрисе (2.3.2) и представим для них ψ в виде

ψ =ψ s + δ ,

(2.3.7)

где δ − малая величина, ψ s − значение функции тока на сепаратрисе (2.3.2). Используя уравнение (2.3.6) найдем для семейства линий тока (2.3.7) выражения для y10 , y20 . Начнем наше рассмотрение со случая слабого влияния границы U 0 > 4 . Будем искать выражение для нижней точки пересечения линии тока ψ = ψ s1 + δ в виде y20 ≈ yh + ε + γ 1ε 2 ,

(2.3.8)

где ε − малая величина, которая задает отклонение нижней точки пересечения линии тока с осью Oy от гиперболической точки ( 0; yh ) , γ 1 − коэффициент, который будет определен ниже. Подставляя (2.3.8) в (2.3.6) и проводя разложение по ε в логарифме получим следующее уравнение

43

yh + ε + γ 1ε 2 =

⎛ 1 + yh 1 ⎛ ⎜⎜ 2ln ⎜⎜ U0 ⎝ ⎝ 1 − yh

⎞ 4 4 ⎛ yh ⎞ 2 ⎞ + + ε γ ε ⎟+ ⎟⎟ + ⎜ 1 2 2 2 ⎟ ⎟ − − − 1 y 1 y 1 y h h h ⎝ ⎠ ⎠ ⎠

⎞ 4 ⎛⎜⎝1 − 3 yh2 ⎞⎟⎠ ⎞ 3 1 ⎛⎛ ⎜ ⎟ ⎜ y hγ 1 + ⎟ ε − (ψ s1 + δ ) + O ( ε 4 ) . + 2 ⎟ U0 ⎜ ⎜ 3 (1 − yh ) ⎠⎟ ⎝⎝ ⎠

(2.3.9)

из которого, в частности, следует выражение для связи малых параметров ε и

δ ε= и значение для коэффициента γ 1 = −

4δ U 02 yh

(2.3.10)

U0 − 3 . Окончательно для y20 имеем 6 yh

y20 ≈ yh + ε −

U0 − 3 2 ε . 6 yh

(2.3.11)

Выражение для верхней точки пересечения линии тока с осью Oy будем искать в виде y10 ≈ y 1 ⎛⎜⎝1 − β1ε − β 2ε 2 ⎞⎟⎠ ,

(2.3.12)

где y1 − координата верхней точки пересечения сепаратрисы с осью симметрии. Подставляя (2.3.12) в (2.3.6), проводя разложение по ε с учетом (2.3.10) для коэффициентов получаем β1 = 0, β 2 =

(

2

).

U 02 yh y 1 − 1

4 y 1 ⎛⎜⎝ y 12 − yh2 ⎞⎟⎠

В случае промежуточного влияния границы U 0 = 4 выражение для координаты y20 будем искать в виде

y20 ≈ y h + ε + γ 1ε 2 + γ 2ε 3 ,

(2.3.13)

где также как и для случая слабого влияния границы ε − задает отклонение от точки пересечения линии тока ψ = ψ s 2 + δ с осью Oy до гиперболической точки yh = 0 . Подставляя (2.3.13) в (2.3.6) и проводя разложение по ε получим связь отклонения с δ 3 4

ε=3 δ

(2.3.14)

44

1 и значения коэффициентов γ 1 = 0, γ 2 = − . Окончательно для 5

y20 имеем

выражение 1 y20 ≈ ε − ε 3 . 5

(2.3.15)

Выражение для y10 будем искать в виде y10 ≈ y 1 ⎛⎜⎝1 − β1ε − β 2ε 2 − β 3ε 3 ⎞⎟⎠ ,

(2.3.16)

где y1 − координата верхней точка пересечения сепаратрисы с осью Oy . После подстановки (2.3.16) в (2.3.6), с учетом (2.3.14) получим для коэффициентов 2

y −1 β1 = β 2 = 0, β3 = 1 3 . 3 y1 Для случая 3.0 < U 0 < 4.0 найдем y20 − координату пересечения линии тока

ψ = ψ s3 + δ

с

вертикальной

гиперболическую точку

(

осью,

которая

проходит

через

правую

)

4 U 0 − 1;0 . Подставляя это выражение в уравнение

(2.3.5) получим ⎛ ( y 0 + 1) 2 + κ ⎞ 1 2 ⎟− ψ , y20 = ln ⎜ 2 U 0 ⎜ ( y 0 − 1) + κ ⎟ U 0 ⎝ 2 ⎠

(2.3.17)

где κ = ( 4 − U 0 ) U 0 . Будем искать y20 в виде аналогичном (2.3.13) y20 ≈ y h + ε + γ 1ε 2 + γ 2ε 3 .

(2.3.18)

Подставляя (2.3.18) в (2.3.17) и проводя разложение по ε имеем связь ε с δ 12δ , (2.3.19) ε=3 2 U 0 (U 0 − 3) и выражения для коэффициентов γ 1 = 0, γ 2 = −

U 0 (U 02 − 5U 0 + 5 ) 20 (U 0 − 3)

. Окончательно

выражение для y20 запишется в виде y ≈ε − 0 2

U 0 (U 02 − 5U 0 + 5 ) 20 (U 0 − 3)

ε3

(2.3.20)

45

Выражение для y10 будем искать в виде y10 ≈ y 1 ⎛⎜⎝1 − β1ε − β 2ε 2 − β 3ε 3 ⎞⎟⎠

Подставляя

(2.3.21)

коэффициентов

в

(2.3.6)

и

имеем β1 = β 2 = 0, β 3 =

используя

(2.3.21)

выражение

(

U 02 (U 0 − 3) 1 − y 1

2

).

12 y 1 ⎛⎜⎝ y 1U 0 + 4 − U 0 ⎞⎟⎠ 2

(2.3.19)

Случай

для

U0 ≤ 3

остается за рамками нашего рассмотрения, так как в этом случае производная dx в гиперболической точке меняет знак. dy Equation Section 4

§2.4. Перенос и перемешивание трассеров в нестационарном вихревом потоке

Если

на

периодическое

стационарное возмущение,

проточное картина

течение

движения

накладывается трассеров

малое

существенно

изменяется. Несмотря на отсутствие диффузионных процессов, трассеры изначально расположенные в ВО начинают проникать в ПО и наоборот. На (рис. 8.) представлены две траектории трассеров изначально расположенных в ВО в окрестности невозмущенной сепаратрисы на очень небольшом расстоянии друг от друга r = 0.015 в безразмерных переменных (1125 м). С течением времени судьба этих трассеров очень различна. Трассер по траектории красного цвета покидает ВО через 20 безразмерных единиц времени, а трассер по траектории синего цвета вымывается в область проточного течения через 30 единиц безразмерного времени. Такое поведение траекторий гамильтоновой системы получило название хаотической адвекции [34]. В его основе лежит тот факт, что в нелинейный системах под действием нестационарного периодического возмущения фазовые траектории двух изначально близко расположенных частиц могут экспоненциально расходиться за конечное время. Это явление и наблюдается на примере этих двух траекторий.

46

Рисунок 8. Две траектории трассеров в возмущенном набегающем потоке. Начальная точка красной траектории (0;01), начальная точка синей траектории (0;0.025). Невозмущенная сепаратриса выделена черной линией U0 = 4.0, ω = 1.0. Согласно [7] в окрестности невозмущенной сепаратрисы имеется зона перемешивания, благодаря которой трассеры начинают покидать ВО. Ширина этой зоны вдоль невозмущенной сепаратрисы неравномерна, в окрестности гиперболической точки она достигает максимального значения. С точки зрения теории динамических систем под действием возмущения существующая в стационарном случае сепаратриса разрушается вследствие перпендикулярного пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий гиперболической точки. Причем доказано [7],[27], что количество точек пересечения (гомоклинических) бесконечное число. Область между двумя соседними

гомоклиническими

неустойчивым

многообразиями

точками

ограниченная

гиперболической

устойчивым

точки

и

называется

«лепестком» [79]. Так как количество гомоклинических точек бесконечно, то и

47

число лепестков также бесконечно. Это множество лепестков и образует в окрестности невозмущенной сепаратрисы зону перемешивания, из которой трассеры начинают проникать в ПО. Для оценки ширины зоны перемешивания, как правило, пользуются методом Мельникова, который основывается на критерии оценке ширины лепестка [55]. Однако его применение к рассматриваемой системе не дало законченного результата в силу сложности аналитических вычислений. В работе был использован более простой способ получения оценки основанный на теории возмущений предложенный Гледзером А.Е. в работе [5]. Equation Section 5

§2.5. Оценка ширины зоны перемешивания.

Рассмотрим возмущение описанного выше течения. Представим набегающий поток в виде U = U 0 (1 + μ sin ωt ) = U 0 + μU 0 sin ωt , где

U 0 − скорость

набегающего

μU 0 sin ωt − возмущение

скорости

потока

в

(2.5.1)

отсутствии

набегающего

потока,

возмущения,

ω − частота

возмущения, μ − малая относительная амплитуда возмущения. С точностью до первого порядка по μ μU 0 sin(ωt ) может быть заменено на μU 0 sin(ωT0 ( y )) , где T0 ( y ) вычисляется по формуле (2.3.3). В указанном приближении для нестационарного потока система (2.2.4) может быть переписана в виде

)(

(

)(

)

2 2 2 2 2 2 dx 4 ( x − y + 1) − U 0 1 + μ sin (ωT0 ( y ) ) x + ( y + 1) x + ( y − 1) = .(2.5.2) dy 8 xy

Используя уравнение (2.5.2) удается приближенно найти траекторию частицы в нестационарном потоке. В первом приближении по малому параметру возмущения μ решение (2.5.2) имеет вид ⎡ ⎢ x ≈ ± ⎢ x0 + 2 ⎢ ⎣

(

) ( y + 1) − ( y − 1) e

e Ψ+U 0 y − 1

3⎛ ⎜ ⎜ ⎝

2

⎤ ⎥ F ξ d ξ ( ) ⎥ , (2.5.3) ∫ y0 ⎥ ⎦ y

ye Ψ+U 0 y 2 Ψ+U 0 y ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

48

( y + 1) − ( y − 1) eΨ+U y 2

где x0 ( y ) =

e

определяется

2

Ψ+U 0 y

−1

, F (ξ ) = μW0 sin (ωT0 (ξ ) ) , а величина ψ

начальными

данными

( y0 + 1) − ( y0 − 1) eΨ+U y 2

x0 ( y0 ) =

0

2

y = y0

при

и

0 0

.

e Ψ+U 0 y0 − 1

Используя (2.5.3), определим значение координаты y , при которой пассивная частица, стартовав при начальном значении y = y0 внутри ВО, ограниченной

сепаратрисой

невозмущенного

течения,

достигнет

оси

симметрии течения x = 0 или вертикальной оси, проходящей через правую гиперболическую точку

(

4 U 0 − 1;0

)

x ⎛⎜⎝ y1,2 ⎞⎟⎠ = 0, U 0 ≥ 4, x ( y1 ) = 0, x ( y2 ) = где

, 4 − 1, U 0 < 4, U0

(2.5.4)

y1 − верхняя точка пересечения возмущенной траектории с осью

симметрии, y2 − нижняя точка с осью симметрии. Из (2.5.4) имеем e

Ψ+U 0 y1, 2

y12,2 − 2 y1,2 Обозначив g = e

Ψ+U 0 y1, 2

y1, 2 ⎛ Ψ+U y ⎞ 0 1, 2 + ∫ F (η ) dη ⎟ − 1 ⎜e ⎜ ⎟ y0 ⎝ ⎠ +1= 0.

(e

Ψ+U 0 y1, 2

)

−1

2

(2.5.5)

, уравнение (2.5.5) преобразуется к виду y1, 2

y + 2 y ∫ F (η ) dη + 1 2

g −2 2

y0

( y − 1)

2

2

⎛ y +1⎞ +⎜ ⎟ = 0. ⎝ y −1⎠

(2.5.6)

Решение уравнения (2.5.6) в отсутствии возмущения должно совпадать с решением (2.3.6), тогда для y1,2 имеем

49

(

⎛ 2 1 ⎜ y1,2 + y1,2 f ( y1,2 ) + 1 + y1,2 = ln U 0 ⎜⎜ ⎝ −

ψ U0

где

)

y1,2 f ( y1,2 ) y1,2 + 2 ⎛⎜⎝ f ( y1,2 ) + 2 y1,2 ⎞⎟⎠ ⎞ ⎟− 2 ⎟ ⎟ ,(2.5.7) ( y1,2 − 1) ⎠

. f ( y1,2 ) =

y1, 2

∫ F (η ) dη .

С точностью до первого порядка по μ (2.5.7)

y0

преобразуется к виду 2 y1, 2 ⎛ ⎞ 1 ⎜ ⎛⎜ ( y1,2 + 1) ⎞⎟ 1 ψ ln y1,2 ≈ . + ∫ F (η ) dη ⎟ − 2 ⎟ U0 U 0 ⎜ ⎜ ( y1,2 − 1) ⎟ 2 y0 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

(2.5.8)

Рассмотрим случай слабого влияния границы U 0 > 4.0 . Представим величины y1,2 в виде y1,2 = y10,2 ⎝⎛⎜1 + α1,2 ⎠⎞⎟ ,

(2.5.9)

где y10,2 определяются уравнениями (2.3.11) и (2.3.12), а α1,2 − малые величины. Подставим (2.5.9) в (2.5.7) и проведем разложение по малому параметру α1 ⎞ y10 ⎛ ( y 0 + 1) 2 ⎞ ⎟ 0 4 y1 1 1 ψ ⎟ 1 0 ⎜ ⎟ − + O ⎛⎜⎝ α12 ⎞⎟⎠ . ln α1 + ∫ F (η ) dη ⎟⎟ − y1 (1 + α1 ) = 2 2 ⎜ ( y 0 − 1) ⎟ ⎛⎜ y 0 ⎞⎟ − 1 2 y0 U U0 ⎟⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜⎜ ⎝

(2.5.10) Из уравнения (2.5.10) имеем выражение для α1

α1 ≈

(

⎛ ⎜ ⎝

2

y10 ⎞⎟⎠ − 1

2 4 + U0

(y ⎛ ⎜ ⎝

0 1

⎞2 ⎟ ⎠

y10

))

−1

∫ F (η ) dη .

(2.5.11)

y0

Чтобы получить выражение для корня y2 , разложение по малому параметру α 2 следует проводить до второго порядка в силу малости коэффициента при первой степени α 2

50 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎝

⎛ ( y 0 + 1)2 ⎞ 0 1 2 ⎟ − 4 y2 α 2 + y20 (1 + α 2 ) = ln ⎜ ⎜ ( y 0 − 1)2 ⎟ ⎛⎜ y 0 ⎞⎟ 2 − 1 U ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠

⎛ ⎜ ⎝

4 y

(y ⎛ ⎜ ⎝

0 2

⎞ ⎟ ⎠

0 2

2

⎞3 ⎟ ⎠

)

−1

2

⎞ ⎟ ⎟ 2⎟ 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

α + (2.5.12)

y ⎞ ψ 1 ⎛1 2 1 ⎜ ∫ F (η ) dη + F ⎛⎜⎝ y20 ⎞⎟⎠ y20α 2 ⎟ − + + O ⎛⎜⎝ α 23 ⎞⎟⎠ . ⎜ ⎟ U 0 2 y0 2 U0 ⎝ ⎠ 0

После преобразования (2.5.12) получим квадратное уравнение для α 2

(

⎛ ⎞ ⎞⎟ 0 4 y 1 2 ⎛ 0⎞ 0 2 ⎜ y 0U + ⎟ ⎟⎟ α + F y y α + − ⎜ ⎟ 2 2 2 2 0 2 2 ⎛ 0 ⎞2 ⎜ ⎟ ⎟⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎛ 0⎞ 1 y − ⎜ ⎟ ⎜ y2 ⎟ − 1 ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎠ , 4⎝⎛⎜ y20 ⎠⎞⎟

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝

3

)

+

(2.5.13)

y20

1 F (η ) dη = 0 2 y∫0

которое после подстановки в него выражения для y20 (2.3.11) преобразуется к виду y0

2ε 2 2 2 α 2 + α 2 + 2 3 ∫ F (η ) dη = 0 , yh U 0 y h y0

(2.5.14)

где ε − малая величина (2.3.10), которая задает отклонение нижней точки пересечения на невозмущенной линии тока с осью Oy от гиперболической точки ( 0; yh ) . Из двух решений (2.5.14) выбираем то, которое обращается в нуль в отсутствии возмущения 1

2 y0 ⎞2 2ε ⎛ ⎛ 2ε ⎞ 2 2 α 2 = − + ⎜ ⎜ ⎟ − 2 3 ∫ F (η ) dη ⎟ . ⎟ yh ⎜ ⎝ yh ⎠ U 0 yh y0 ⎝ ⎠

(2.5.15)

Если выражение под корнем отрицательно, то α 2 не существует и трассер, не достигнув нижней точки пересечения траекторией оси симметрии, покинет ВО. Заметим, что подобное не может произойти вблизи верхней точки пересечения с осью симметрии, так как α1 существует при всех значениях интеграла y10

∫ F (η ) dη

y0

(по крайне мере, для достаточно малых μ ). Из (2.5.15) следует

51

выражение для критического значения параметра отклонения ε cr

точки

пересечения линии тока, на которой в начальный момент времени находился трассер, с осью симметрии от гиперболической точки y0

2 2 ε cr ≈ F (η ) dη . U 02 yh3 y∫0

(2.5.16)

Исходя из выражения для y20 (2.3.11) получаем, что в окрестности гиперболической точки толщина слоя перемешивания равная y2 − yh ≈ ε cr , пропорциональна

корню

квадратному

из

амплитуды

возмущения.

В

окрестности верхней точки пересечения y1 согласно (2.3.12) ширина зоны перемешивания

равна

y1 − y1 ≈ β1ε cr2 ,

т.е.

пропорциональна

амплитуде

возмущения. Полученные оценки согласуются с оценками, полученными в работе [5]. Следовательно, в случае слабого влияния границы на хаотическое поведение траекторий трассеров рассматриваемой системы, граница большое влияние не оказывает. Для случая промежуточного влияния границы U 0 = 4 в силу малости величины y20 (2.3.15) представим y2 в виде y2 = y20 + α 2 ,

(2.5.17)

а для α1 справедливо выражение (5.11), где вместо

y10 подставляется

выражение (2.3.16). С учетом малости α 2 и y20 разложение по α 2 следует проводить до третьего порядка, что соответствует первому порядку по μ y0 ⎛ ⎛⎜ y 0 ⎞⎟ 2 y 2 ⎜⎝ 2⎠ 1 2 3 F (ζ ) d ζ α2 + α2 + + ⎜ 8 2 64 y20 y∫0 ⎝ 0 2

y20 ⎞ 1 ⎟α + F (ζ ) d ζ = 0 . (2.5.18) ⎟ 2 64 y∫ 0 ⎠

Для существования корня, обращающегося в нуль при μ = 0 , необходимо выполнение условия ⎛ ⎜ ⎝

y

0 ⎞9 2 ⎟⎠

− 2⎛⎜⎝ y

0 ⎞6 2 ⎟⎠

y 77 ⎛ 0 ⎞ 3⎛ 2 ∫y F (ζ ) dζ + 64 ⎜⎝ y2 ⎟⎠ ⎜⎜ y∫ F (ζ ) dζ 0 ⎝ 0

y20

0

2

y ⎞ 1 ⎛ 2 ⎟ + ⎜ F (ζ ) d ζ ⎟ 256 ⎜ y∫ ⎠ ⎝ 0 0

3

⎞ ⎟ > 0, ⎟ ⎠

52

из которого с учетом (2.3.15) следует выражение для критического значения параметра ε cr y20

ε cr ≈ 3 0.6698 ∫ F (ζ ) d ζ . y0

Таким образом, при U 0 = 4 толщина слоя перемешивания в окрестности верхней точки пересечения невозмущенной сепаратрисы с осью симметрии пропорциональна возмущению μ , а в окрестности гиперболической точки корню кубическому из μ . Это говорит о том, что в случае промежуточного влияния границы происходит увеличение ширины зоны перемешивания в окрестности гиперболической точки. В случае сильного влияния границы ( 3.0 < U 0 < 4.0 ) , как и для случая

U 0 = 4 , в силу малости величины y20 (2.3.20), для y2 используем представление (2.5.17). Подставим x = 4 U 0 − 1 в уравнение (2.5.3) и проведем разложение по малому параметру α 2 . В силу малости величины y20 для α 2 имеем кубическое уравнение y20 ⎛ ⎛⎜ y 0 ⎞⎟ 2 2 0 2 ⎜⎝ 2⎠ 4 3 F (ζ ) d ζ α 2 + y2 α 2 + + 0 2 ⎜ 3 3 3 y2U 0 (U 0 − 3) y∫0 ⎝

+

⎞ ⎟α + ⎟ 2 ⎠ .

(2.5.19)

y20

4 F (ζ ) d ζ = 0 3U 02 (U 0 − 3) y∫0

Для существования корня уравнения (2.5.19), удовлетворяющего условию

α 2 = 0 при отсутствии возмущения, необходимо выполнения условия: ⎛ ⎜ ⎝

y

0 2

⎞ ⎟ ⎠

9

⎛ ⎜ ⎝

−6 y

0 2

⎞ ⎟ ⎠

y0

2 167 ⎛ 0 ⎞ 3 2 3 3 4 Θ+ Θ > 0, Θ = 2 F (ζ ) d ζ . ⎜ y2 ⎟ Θ + U 0 (U 0 − 3) y∫0 8 ⎝ ⎠ 2

6

Из которого с учетом (2.3.20) следует оценка для критического значения параметра ε cr y0

2 4 ε cr ≈ 1.2745 3 2 F (ζ ) d ζ W0 (W0 − 3) y∫0

(2.5.20)

53

Для α1 имеем следующее выражение

α1 ≈

(

( y1 )

2

y10

−1

(

))

2( y1 ) 4 + U 0 ( y1 ) − 1 2

2

∫ F (ζ ) d ζ .

y0

Отметим, что все разложения проводились до первого порядка по μ , но отброшенные члены оцениваются как με , т.е. μ 3 2 или μ 4 3 . Таким образом, для всех трех случаев степени влияния границы толщина слоя

перемешивания

в

окрестности

верхней

точки

пересечения

y1

невозмущенной сепаратрисы с осью x = 0 пропорциональна μ . В окрестности гиперболической точки ширина зоны перемешивания для случая слабого влияния границы пропорциональна корню квадратному из возмущения, а при промежуточном и сильном влиянии границы корню кубическому из амплитуды возмущения. На (рис. 9.) представлены оценки зоны перемешивания, вычисленные по теории возмущений, и прямым расчетом траекторий в зависимости от относительной амплитуды внешнего возмущения. Из анализа сравнения численных и аналитических результатов следует, что теория возмущений применима при достаточно маленьких значений μ , что объясняется образованием стохастической паутины, т.е. достаточно быстро начинают играть роль члены более высокого порядка. Собственно этот 1

результат не противоречит и оценке точности приближения как μ 2

μ

1 3

1.

1 или

54

Рисунок 9. Теоретические (штриховые линии) и численные (сплошные линии) границы выхода траекторий из ВО, начавшиеся в точке x0 = 0, y0 = 0 . Линиям а,б,в, соответствуют случаи U 0 = 3.6,4.0,4.6 при соответствующих частотах

ω = 75,100,125 Таким образом, граница начинает оказывать существенное влияние на хаотическое поведение траекторий трассеров уже при малой величине возмущения μ . §2.6. Хаотический перенос.

В данном параграфе, используя численное моделирование, исследуется влияние границы и частоты возмущения на процесс переноса облака трассеров, изначально расположенного в ВО. Трассеры в количестве 8251 штук помещаются равномерно, т.е. на одинаковом расстоянии друг от друга по всей ВО. Отслеживается эволюция этого облака при изменении частоты внешнего возмущения. Трассер считается вымытым, если его траектория пересекла

55

контрольную полосу

x = 2 , заведомо покрывающую всю ВО. Скорость

набегающего потока задавалась в виде U = U 0 (1 + 0.1sin ωt ) , где ω − частота возмущения. На (рис. 10.) представлена эволюция числа вымытых трассеров N ( t ) при различных значениях частоты возмущения для случая слабого влияния границы. Процесс вымывания трассеров состоит из двух этапов: быстрого и медленного.

Рисунок 10. Эволюция числа вымытых трассеров при различных значениях частоты возмущения (показаны на рисунке) для случая слабого влияния границы U0 = 4.6 В течение быстрого режима ВО покидает большая часть трассеров, а медленный этап характеризуется почти полным прекращением вымывания трассеров из ВО. Например, при ω = 50 в течении безразмерного промежутка времени от 0 до 20 ВО покидает около 66% от общего числа трассеров, а затем

56

наступает предельный режим, за который вымывается не более 2% трассеров. Наклон зависимости N ( t ) характеризует средний перенос (СП) из ВО в ПО. С ростом частоты

возмущения СП уменьшается, одновременно с этим

увеличивается время выхода на предельный режим и растет число вымытых трассеров. Т.е. несмотря на уменьшение СП из ВО с ростом частоты возмущения увеличивается степень обновления вихревой области. Так, при

ω = 100 количество вымытых трассеров увеличивается до 78% , а выход на предельный режим реализуется при t = 20 . Однако, рост числа вымытых трассеров при выходе на предельный режим или степени обновления ВО с изменением частоты происходит не монотонно. Имеется интервал частот, при которых реализуется максимальное обновление ВО, т.е. вихревую область покидает максимальное число трассеров. В дальнейшем будем называть частоты из этого интервала – оптимальными частотами для хаотического перемешивания [18]. Для случая слабого влияния границы оптимальная частота хаотического перемешивания равна ω = 125 , при которой ВО покидают 80,5% трассеров от их общего числа. С точность до 1% от общего числа трассеров интервал частот от ω = 125 до ω = 150 считается интервалом оптимальных частот. При частотах возмущения ω > 150 степень обновления ВО, а соответственно и число вымытых трассеров начинает уменьшаться. Так если при ω = 200 ВО покинуло 78% трассеров, то при

ω = 300 всего 32% . Таким образом, ясно, что имеется немонотонная зависимость степени обновления ВО от частоты возмущения и имеется интервал частот при которых число вымытых трассеров из ВО максимально. Это согласуется с результатами, полученными в работах [19],[44],[67],[75]. На (рис. 11.) и (рис. 12) представлена эволюция числа вымытых трассеров для случаев промежуточного и сильного влияния границы U 0 = 4.0,3.6 при различных частотах возмущения.

57

Рисунок 11. Эволюция числа вымытых трассеров при различных значениях частоты возмущения (показаны на рисунке) для случая промежуточного влияния границы U0 = 4.0

Рисунок 12. Эволюция числа вымытых трассеров при различных значениях частоты возмущения (показаны на рисунке) для случая сильного влияния границы U0 = 3.6

58

Анализ зависимостей N ( t ) показал, что качественно процесс вымывания облака трассеров из ВО аналогичен случаю слабого влияния границы. Т.е. имеются два режима: быстрый в течении которого вымывается большая часть трассеров и медленный за который трассеры почти полностью прекращают покидать ВО. Однако с количественной точки зрения имеются существенные различия. На (рис. 13.) представлены эволюции числа вымытых трассеров для трех характерных случаев влияния границы при частоте возмущения ω = 50 .

Рисунок 13. Эволюция числа вымытых трассеров для трех характерных случаев влияния границы при ω = 50 для трех случаев влияния границы: а) сильное влияние границы U 0 = 3.6 ; б) промежуточное влияние границы U 0 = 4.0 ; в) слабое влияние границы U 0 = 4.6 С ростом влияния границы скорость вымывания трассеров из ВО уменьшается, а время выхода на предельный режим увеличивается. Так при

U 0 = 4.6 время выхода на предельный режим соответствует t = 50 , при

59

U 0 = 4.0 , t = 100 , а в случае сильного влияния границы U 0 = 3.6 t = 300 . Таким образом, с ростом влияния границы время обновления ВО при одной и той же частоте возмущения увеличивается. Кроме того, увеличивается число вымытых трассеров. Так, если в случае слабого влияния границы их доля составляет 59.8% , то в случаях промежуточного и сильного влияния границы уже 80.2% и 86.02% , соответственно. Это говорит об увеличении степени обновления ВО с ростом влияния границы. На (рис. 14.) представлены зависимости

N ∞ (ω )

числа вымытых

трассеров к моменту выхода на предельный режим, т.е. степень обновления вихревой области, от частоты возмущения для трех характерных случаях влияния границы.

Рисунок 14. Зависимость числа вымытых трассеров N ∞ (ω ) от частоты возмущения для трех характерных случаев влияния границы: а) сильное влияние границы U 0 = 3.6 ; б) промежуточное влияние границы U 0 = 4.0 ; в) слабое влияние границы U 0 = 4.6

60

Рассмотрим поведение N ∞ (ω ) при U 0 = 4 . При небольших частотах возмущения

ω = 10,20,30

наблюдается рост числа вымытых трассеров

N = 59.8%,69.2%,73.9% , соответственно. При увеличении частоты число вымытых трассеров растет не так быстро. Так, при ω = 40,50,60 вымывается N = 77.2%,80.2%,81.5%

маркеров соответственно. Затем число вымытых

маркеров при изменении частоты возмущения меняется незначительно. Так при

ω = 70, 75, 80, 100, 125, 150

вымывается порядка

80%

от общего числа

трассеров с несущественными отклонениями до 4% . Дальнейший рост частоты возмущения приводит к уменьшению числа вымытых трассеров. Так, если при

ω = 150 их число составляет порядка 80% , то уже при ω = 200 N = 56.4% от их общего числа. Таким образом, установлено, что при небольших частотах возмущения наблюдается рост степени обновления вихревой области и имеется интервал частот, при которых степень обновления – максимальна. При частотах больших оптимальных все меньшее число трассеров покидает вихревую область, а соответственно уменьшается степень обновления ВО. Такое поведение зависимости N (ω ) характерно и для двух других случаев влияния границы. Однако с количественной точки зрения имеются различия. Во-первых, из анализа зависимостей N (ω ) установлено, что с ростом влияния границы интервал оптимальных сужается. Так, если при U 0 = 4.6 этот интервал лежит в пределах от ω = 100 до ω = 200 , то для случая сильного влияния границы U 0 = 3.6 в пределах от ω = 50 до ω = 100 . Во-вторых, степень обновления ВО с ростом влияния границы увеличивается. Если при U 0 = 4.6 она составляла около 80% от общего числа трассеров, то при U 0 = 3.6 она составляет около 90% . Обнаруженная зависимость числа вымытых трассеров к моменту выхода на предельный режим от частоты возмущения имела место в моделях рассмотренных

ранее

[19],[44].

Кроме

того,

она

подтверждается

аналитическими оценками, полученными в работах [19],[67] и доказывает

61

предположение об универсальности зависимости транспорта от частоты возмущения [67] для таких моделей. Итак, результаты численных экспериментов представленные в этом параграфе подтверждают гипотезу о том, что наличие границы, а также частота возмущения набегающего потока существенным образом влияют на перенос трассеров из ВО в ПО [66]. Установлено, что с ростом влияния границы СП при одних и тех же частотах уменьшается, однако степень обновления вихревой области увеличивается. Показано, что имеется немонотонная зависимость числа вымытых трассеров из ВО к моменту наступления предельного режима от частоты возмущения. Так в случае сильного влияния границы при оптимальной частоте ω = 75 вымывается маркеров около 90% трассеров, в случае промежуточного влияния границы при оптимальной частоте ω = 100 вымывается 84% трассеров, а случае слабого влияния границы при ω = 125 около 80% от общего числа трассеров. Используя результаты численного моделирования оценим СП трассеров из ВО в ПО по формуле СП =

γ t

,

где t − время выхода на предельный режим, γ − доля вымытых трассеров в процентах. В (табл. 1.) представлены в размерных переменных СЛТ трассеров из ВО в ПО для различных случаев степени влияния границы и при различных частотах, а также характерные времена обновления ВО и соответствующая им степень обновления.

62

Таблица 1. Размерные величины частот возмущения, времени обновления ВО, доли вымытых трассеров и СП Период возмущения Время обновления γ , % сут

СП, (%)/год

вихревой области, год

Сильное влияние границы, U0 = 3.6 в размерных переменных 0.288 м/с 6.82

2.97

72.17

24.3

1.36

8.92

86.02

9.64

0.91

23.78

87.38

3.67

0.68

29.73

86.69

2.91

0.45

более 50 лет

45.58

около 1

Промежуточное влияние границы, U0 = 4, в размерных переменных, 0.32 м/c 6.82

1.49

59.8

40.1

1.36

2.97

80.23

27

0.91

11.89

83.56

7.03

0.68

29.73

84.18

2.83

более 50 лет

83.8

1.67

0.55 Слабое влияние границы, U0 = 4.6, в размерных переменных, 0.368 1.36

1.49

59.8

40.1

0.55

8.92

80.58

9

0.45

14.86

80.1

5.4

0.34

29.73

78.01

2.62

0.27

более 50 лет

69.8

1.4

63

§2.7. Сечения Пуанкаре.

Для анализа структуры фазового пространства ВО использовался метод сечений Пуанкаре, который, напомним, заключается в том, чтобы отслеживать не траектории трассеров, а положения этих траекторий через период возмущения. Для этого от 30 до 100 трассеров размещались в ВО таким образом, чтобы отобразить насколько возможно все характерные структуры вихревой области. Согласно классификации циклов введенной в параграфе «Топографический вихрь в стационарном набегающем потоке» (стр. 41), а также КАМ теореме и теореме Пуанкаре – Биркгоффа о неподвижной точке [7],[27],[55] при наличии нестационарного возмущения циклы первого типа разрушаются и на сечениях Пуанкаре представляют собой резонансные группы, состоящие из q периодических устойчивых и q периодических неустойчивых орбит. Они будут обозначаться отношением вида

p , где p − число периодов q

сечений Пуанкаре, совпадающее с периодом возмущения, через которое, частица, расположенная на этой орбите вернется в

свое первоначальное

положение. Циклы второго типа в зависимости от диафантового условия [27],[55] подразделяются на КАМ-торы, которые на сечениях Пуанкаре соответствуют гладким замкнутым кривым и канторы – КАМ-торы, имеющие промежутки. КАМ-торы являются непроходимыми барьерами для переноса трассеров. Окрестности устойчивых периодических орбит представляют собой совокупности КАМ-торов замкнутых вокруг такой орбиты. В дальнейшем такие области будем называть островами [7] или застойными областями. Трассеры, находящиеся в островах никогда ни покинут ВО. Таким образом, анализ сечений Пуанкаре позволяет идентифицировать границы застойных областей, а также хаотические зоны, из которых происходит вымывание трассеров. Кроме того, проследив эволюцию сечений Пуанкаре при различных частотах возмущения попытаемся объяснить немонотонную зависимость N ∞ (ω ) полученную для различных случаев влияния границы. Для того чтобы охарактеризовать полную структуру ВО с помощью сечения Пуанкаре

64

необходимо бесконечное время. Однако, так как основные структуры ВО проявляются уже на конечных временах, использование сечений Пуанкаре все же остается целесообразным. Это оправдывает использование этого метода для нашей системы. Начнем наш анализ со случая слабого влияния границы. На (рис. 15.) представлено сечение Пуанкаре при ω = 50 .

Рисунок 15. Сечение Пуанкаре для случая слабого влияния границы U0 = 4.6 ВО состоит из центральной области (ЦО) представляющей множество КАМ-торов вокруг эллиптической точки (черного цвета). Между КАМ-торами находятся резонансы различных порядков. Так, виден поглощенный ЦО резонанс первого порядка

2 (красного цвета ниже эллиптической точки), 1

окруженный двумя КАМ-торами. Справа от ЦО находится боковой остров, состоящий из резонанса первого порядка

1 (красного цвета), на котором 1

расположен вторичный резонанс, состоящий из четырех островов (синего

65

цвета). Остальные резонансы разрушены из-за их взаимного перекрытия [27],[33]. Трассеры, изначально помещенные в ЦО и боковой остров, не покинут вихревую область. Из остальной части ВО, окрашенной серым цветом, трассеры за конечное, но достаточно большое время будут вымыты в проточную область. Таким образом, перенос трассеров полностью определяется площадью островов и ЦО. С ростом частоты возмущения площадь ЦО уменьшается, что вызвано разрушением КАМ-торы составляющих ЦО. Это происходит из-за перекрытия 1 ЦО с резонансом первого порядка , приближающегося к нему, что приводит к 1 их взаимному разрушению. Следствием этого является рост числа вымытых маркеров из ВО (см. рис. 14 частотный интервал ω = 50 до ω = 100 ).

Рисунок 16. Сечение Пуанкаре для случая слабого влияния границы U0 = 4.6 Сечение Пуанкаре при ω = 100 представлено на (рис. 16.). ВО состоит из уменьшенной ЦО, по сравнению со случаем ω = 50 и трех резонансов первого

66

порядка:

2 1 (красного цвета, боковой остров), (трех маленьких островов 3 1

коричневого цвета) и

1 (двух небольших зеленых островов). Так как, ширины 2

резонансов, а соответственно и площади островов, уменьшаются вследствие роста частоты возмущения [7], то они все меньше перекрываются друг с другом. Рост числа вымытых трассеров с ростом частоты возмущения прекращается, что соответствует выходу на интервал оптимальных частот возмущения (см. рис. 14.). На этом интервале частот в ВО становятся видны как резонансы первого, так и второго порядков. При ω = 125 ВО состоит из ЦО, площадь которой еще больше уменьшилась по сравнению с предыдущими случаями, резонансов

2 1 1 (красного цвета), (синего цвета), (зеленого цвета), 3 1 2

1 (зеленого цвета) со вторичными резонансами (коричневого цвета) на них 3 (рис. 17.).

Рисунок 17. Сечение Пуанкаре для случая слабого влияния границы U0 = 4.6

67

Дальнейший рост частоты возмущения приводит к появлению резонансов все больших порядков. Т.е. к большому количеству островов с маленькой площадью по сравнению с резонансом соответствующий резонансу оптимальных

частот,

за

1 . Частота, при которой остров, 1

1 поглощается ЦО, есть граница интервала 1 которой

степень

обновления

ВО

начинает

уменьшаться. На процесс переноса трассеров из ВО в ПО начинают оказывать влияние острова, соответствующие резонансам высоких порядков. Площади островов начинают расти, что приводит к уменьшению числа вымытых трассеров. Это хорошо демонстрируется на (рис. 18.) сечений Пуанкаре при

ω = 175 где видны резонансы вплоть до

1 . 7

Рисунок 18. Сечение Пуанкаре для случая слабого влияния границы U0 = 4.6 Аналогичные сценарии эволюции системы в зависимости от частоты возмущения реализуются для случаев промежуточного и сильного влияния границы. Отметим, только что в этих случаях

баланс между площадями

68

регулярной и стохастической областей с ростом влияния границы реализуется при меньших значениях частоты возмущения при U 0 = 4.0, ω = 100 , а при U 0 = 3.6, ω = 75 . Это и объясняет уменьшение интервала оптимальных частот для случая сильного влияния границы.

§2.8. Хаотическое перемешивание в вихревой области.

Как следует из результатов предыдущего параграфа в ВО имеются области – хаотические области – из которых трассеры вымываются за конечное время. Вымывание определяется устойчивым и неустойчивым многообразиями хаотического инвариантного множества [66] и происходит по сценарию, подробно описанному в работе [3]. Топология и фрактальные свойства траекторий этого множества изменяются с ростом влияния границы, однако, по-прежнему имеется бесконечное множество неустойчивых периодических траекторий трассеров всевозможных периодов, слобохаотических траекторий с прилипанием к островам и хаотических траектории с широким диапазоном времен захвата в вихревой области. К сожалению, метод сечения Пуанкаре дает лишь качественную картину хаотизации в ВО, но локализует области, из которых трассеры либо не вымываются

вообще,

либо

вымываются

за

конечное

время.

Для

количественной оценки степени хаотичности необходимо использовать другие методы. Как следует из определения хаотической адвекции – при наличии малого нестационарного возмущения два изначально близко расположенных трассера экспоненциально расходятся за конечное время. В качестве меры такой расходимости

в

теории

динамических

систем

характеристика как показатель Ляпунова λ d (t )

такая

[27],[55]. По определению

показатель Ляпунова, есть величина ⎛1⎞

используется

λ = lim ⎜ ⎟ ln , x →∞ t d 0 ( ) ⎝ ⎠ d ( 0 )→ 0

69

где

d (t ) −

Евклидово расстояние между траекториями с начальными

положениями x и x + l , где l малая величина в момент времени t . Там, где показатель Ляпунова равен нулю движение регулярное. Ненулевой показатель Ляпунова сигнализирует о наличии хаотического поведения траекторий, а его абсолютная

величина

характеризует

меру

хаотичности.

Однако,

рассматриваемая модель потока является открытой и использование такой характеристики как показатель Ляпунова не представляется возможным. Имеется ряд работ [40],[58],[81], в которых предлагаются эквиваленты показателю Ляпунова, но с адаптацией к открытым моделям. В основе этих эквивалентов

лежит

мера

расходимости

двух

изначально

близко

расположенных траекторий. Здесь используется эквивалент, предложенный в [58],[81] и хорошо зарекомендовавший

себя

в

работах

[18],[44],

как

количественная

характеристика меры хаотичности. Он получил название накопленного показателя Ляпунова, вычисленного за конечное время далее (НПЛ). Его вычисление

основывается

на

алгоритме

Беннетина

[24],

который

применительно к рассматриваемой задаче состоит в следующем:

λ ( x, y , T ) =

1 n ⎛ d ( tk ) ⎞ ⎟, d ( 0 ) = const , ∑ ln ⎜ T k =1 ⎝ d ( 0 ) ⎠

tk = tk −1 + Δt , t1 = 0, где λ − накопленный показатель Ляпунова, T − время нахождения маркера в ВО, n − число разбиений интервала T , Δt шаг вычисления, d ( tk ) − Евклидово расстояние между траекториями в момент времени tk . В работах [59] показано, что при стремлении интервала времени на котором вычисляется НЛП к бесконечности он стремится к истинному показателю Ляпунова. Анализ

распределений

идентифицировать

области

этой с

характеристики

наиболее

в

эффективным

ВО

позволяет хаотическим

перемешиванием. Так регионы с нулевыми или очень маленькими НПЛ соответствуют областям, из которых трассеры не вымываются или вымываются

70

очень медленно. Области с большими значениями НЛП характеризуют регионы с наиболее эффективным хаотическим перемешиванием. С

другой

стороны,

непродолжительно, неадекватной

то

если

время

накопленный

характеристикой

нахождения показатель

маркера

Ляпунова

для меры хаотического

в

ВО

является

перемешивания.

Поэтому, наряду с НПЛ в работе использовалась такая характеристика хаотичности, как «время жизни» трассера или время нахождения трассера в ВО [18],[19],[45],[66]. Регионы ВО, характеризующиеся большими временами жизни, соответствуют областям из которых трассеры вымываются очень медленно или совсем не вымываются. Напротив, области с хаотическим поведением характеризуются малым временем жизни. Используя распределений

численное накопленных

моделирование показателей

были

Ляпунова

получены и

времен

карты жизни,

приведенные к начальным положениям трассеров. Как и для исследования процесса переноса облака трассеров в ВО размещалось однородно 8251 трассера. Время интегрирования T = 6000 выбиралось таким образом, чтобы к его окончанию в ВО остались только те трассеры, которые навсегда останутся в ВО. Как обычно рассматривались три характерных случая влияния границы, а в качестве частоты возмущения выбиралась оптимальная частота. На (рис. 19. – 21.) представлены карты распределений НПЛ и времен жизни различных случаев степени влияния границы. Цветом показаны области с различными величинами этих двух характеристик. Области, обозначенные темным цветом, характеризуются малыми НЛП и большими временами жизни. Трассеры из этих областей не вымываются в ПО. Светлые области соответствуют зонам хаотического поведения.

71

Рисунок 19. Распределения времен жизни (слева) и накопленных показателей Ляпунова (справа), приведенные к начальным положениям трассеров. Случай слабого влияния границы U0 = 4.6

Рисунок 20. Распределения времен жизни (слева) и накопленных показателей Ляпунова (справа), приведенные к начальным положениям трассеров. Случай промежуточного влияния границы U0 = 4.0

72

Рисунок 21. Распределения времен жизни (слева) и накопленных показателей Ляпунова (справа), приведенные к начальным положениям трассеров. Случай сильного влияния границы U0 = 3.6 Анализ распределений времен жизни и НПЛ показал эффективность применения этих методов в идентификации областей, из которых трассеры не вымываются, а также областей с хаотическим поведение. Сравнение с сечениями Пуанкаре показало довольно неплохое совпадение в полученных результатах. На

основе

анализа

величин

этих

характеристик

мы

провели

классификацию трассеров по характеру их траекторий, которые могут быть разделены на три типа. Первый тип – это долгоживущие трассеры. Они никогда не вымываются из ВО и имеют очень маленький накопленный показатель Ляпунова. Области концентрации этих трассеров на (рис. 19. – 21.) окрашены черным цветом. Отметим, что эти области хорошо совпадают с островами на сечениях Пуанкаре. Это еще раз подтверждает тот факт, что накопленный показатель

73

Ляпунова является вполне адекватной характеристикой для идентификации областей регулярного поведения [18]. Второй тип – быстро вымывающиеся трассеры. Они имеют очень маленькое время жизни и большой накопленный показатель Ляпунова на рисунках области этих трассеров окрашены в белый цвет. В основном эти трассеры располагаются в окрестности невозмущенной сепаратрисы. Третий

тип

–

трассеры,

имеющие

промежуточное

значение

накопленного показателя Ляпунова и довольно продолжительное время жизни в ВО. Как правило, они располагаются в окрестности островов, а с эволюцией отделяются от них и впоследствии вымываются в область проточного течения. Подобная типизация маркеров характерна для многих рассмотренных ранее моделей допускающих хаотическое перемешивание [3],[18],[19],[44]. Однако в случае сильного влияния границы (см. рис. 21.) имеются маркеры, которые не относятся ни к одному из указанных выше типов. Они характеризуются продолжительным временем жизни и большим накопленным показателем Ляпунова. Т.е. несмотря на то, что траектории трассеров ведут себя хаотично, они довольно долгое время не вымываются из ВО. На (рис. 22.) приведена одна из таких траекторий (слева) и ее сечение Пуанкаре (справа).

Рисунок 22. Траектория трассера четвертого типа (слева) и ее сечение Пуанкаре (справа)

74

Как

видно

из

(рис.

22.)

траектория,

стартуя

в

окрестности

гиперболической точки, проникает почти до центра ВО. Среди траекторий четвертого типа могут быть орбиты, отслеживающие циклы с большими периодами и периодические седловые движения, а также блуждающие хаотические траектории, "прилипающие" к границам островов. Однако, характерной особенностью таких траекторий являются достаточно частые перескоки между объектами притяжения (возможно разного типа) и при этом низкая вероятность выхода из ВО. Подобное поведение траекторий характерно для гамильтоновых систем с ограниченным фазовым пространством [72]. Можно предположить, что появление таких траекторий в нашей модели с границей объясняется появлением в результате изменения топологии фазового пространства большого числа канторов достаточно близких к КАМ-торам. В такой ситуации проникновение частицы сквозь один кантор еще менее вероятно, но она может просачиваться сквозь соседние канторы как внутрь вихревой области, так и в сторону проточной области. Таким образом, вероятность совершить несколько скачков и в результате выйти в ПО становится

довольно

малой.

Это

приводит

к

более

эффективному

перемешиванию трассеров из ВО и трассеров, изначально находящихся в ПО и под действием нестационарного возмущения, проникших в ВО. Таким образом, идентификация трассеров четвертого типа и локализация областей с такими трассерами является очень важной задачей с точки зрения хаотического перемешивания. Наряду с использование НПЛ и времени жизни, была предложена такая характеристика, как глубина проникновения. Она характеризует максимальное расстояние между двумя последовательными пересечениями траекторией трассера оси Oy при y < 1 . Установлено, что трассеры четвертого типа характеризуются большими значениями глубины проникновения. Комбинируя такие характеристики хаотичности как НПЛ, время жизни и глубину проникновения мы предложили критерий по выделению таких трассеров. Для этого с каждым трассером связывалась величина α

75

α=

t λ dy , T λ* r

где T − время за которое большинство маркеров второго и третьего типа покинули ВО, λ * − средний накопленный показатель Ляпунова, dy − глубина проникновения, r − расстояние от эллиптической точки до гиперболической или до границы. На (рис. 23. – 24.) представлены распределения характеристики α для трех различных случаев влияния границы.

Рисунок 23. Распределение характеристики α , приведенное к начальному положению трассеров для случая слабого влияния границы U0 =4.6

76

Рисунок 24. Распределение характеристики α , приведенное к начальному положению трассеров для случая промежуточного влияния границы U0 =4.0

Рисунок 25. Распределение характеристики α , приведенное к начальному положению трассеров для случая сильного влияния границы U0 = 3.6

77

Анализ распределений показал, что трассеры четвертого почти не встречаются в случае слабого влияния границы, в то время как в случае сильного влияния границы доля таких трассеров существенно увеличивается. Кроме того, распределение трассеров четвертого типа в целом однородно в ВО, что должно приводить к более эффективному хаотическому перемешиванию во всей ВО. На (рис. 26.) показано как много трассеров с соответствующей величиной

α больше заданной для трех случаев степени влияния границы.

Рисунок 26. Зависимость числа трассеров имеющих значение α больше заданного для трех характерных случаев степени влияния границы: а) сильное влияние границы U 0 = 3.6 ; б) промежуточное влияние границы U 0 = 4.0 ; в) слабое влияние границы U 0 = 4.6 Принимая в качестве критического значения α кр − максимальное значение

α в случае слабого влияния границы можно оценить количество трассеров четвертого типа в случаях промежуточного и сильного влияния границы. Так,

78

если в случае U 0 = 4.0 , число маркеров четвертого типа составлять от 7 до 10%, то в случае U 0 = 3.6 вплоть до 25%. Таким образом, установлено, что с ростом влияния границы появляется новый тип траекторий трассеров, который приводит к более эффективному перемешиванию во всей вихревой области. В

рамках

квазигеострофической

модели

топографического

вихря

расположенного возле прямолинейной твердой границы баротропного океана рассмотрены процессы хаотического переноса и перемешивания. Исследована роль нестационарности набегающего потока и боковой границы в процессах хаотического переноса и перемешивания в вихревой области. В частности, установлено, что а) При малой относительной амплитуде внешнего возмущения в окрестности невозмущенной сепаратрисы ширина зоны перемешивания при наличии границы увеличивается до 1,5 раз при характерных масштабах топографических вихрей. б) Рост частоты внешнего возмущения и наличие боковой границы приводят к уменьшению скорости обмена между вихревой и проточной областями. в) Наличие границы приводит к более эффективному обновлению ядра вихря и смещению интервала оптимальных частот в область низкочастотных возмущений. г) Более эффективное перемешивание реализуется при наличии боковой границы. д) В размерных единицах, с ростом влияния границы, время вентиляции вихревой области увеличивается от полугода при скорости набегающего потока U 0 = 0.4 м/с и частоте возмущения в 17 часов до 5 лет при скорости набегающего потока U 0 = 0.3 м/с и частоте возмущения в 22 часа.

79

ГЛАВА 3 Двухслойная квазигеострофическая модель топографического вихря

Рассмотренная выше модель вихревого потока была получена в баротропном

приближение.

Однако

в

реальном

океане

распределение

плотности по вертикали существенно не однородно. Поэтому естественным усложнением баротропных моделей является учет стратификации. Это приводит к большим математическим трудностям в решении уравнений гидродинамики. Для наших же исследований необходимо получить как можно более простое решение для функции тока. Одним из возможных решений этой проблемы является предположение о многослойности жидкости. Т.е. жидкость представляется как совокупность однородных по плотности слоев, решение в которых ищется как решение баротропной задачи. Простейшим примером такого подхода является рассмотрение двухслойной жидкости. Как известно [57] даже такая простая модель уже позволяет учесть роль стратификации. В диссертации сделана попытка учесть влияние бароклинности на хаотическое перемешивание и перенос рассмотрением двухслойной жидкости.

§3.1. Постановка задачи.

Мы исследуем движение пассивных трассеров в поле течения невязкой, несжимаемой жидкости, порожденного взаимодействием набегающего потока с локализованной подводной возвышенностью. Как и для баротропного случая для

построения

динамически

согласованной

функции

тока

течения

воспользуемся концепцией ФТ (см. параграф 1.3). Поместим систему координат на поверхность жидкости. Направим ось Oz к центру Земли, ось Ox на восток, ось

Oy

на

север.

Схематично

поток,

возвышенность, представлен на (рис. 27.).

набегающий

на

подводную

80

Рисунок 27. Схема потока в модели топографического вихря в квазигеострофическом приближении двухслойного океана В

приближении

квазигеострофичности

двухслойного

океана

на

неограниченной f − плоскости, как следует из (1.3.9) геострофические функции тока в слоях имеют вид H2 ' ψ, H H ψ 2 =ψ + 1 ψ ' , H

ψ1 =ψ −

(3.1.1)

где ψ − баротропная, а ψ ' − бароклинная функции тока, которые удовлетворяют уравнениям (1.3.6) и представимы в виде суммы планетарно-топографической и проточной составляющих

ψ = ψ ( fh ) + ψ ( q ) ψ ' = ψ '( fh ) + ψ '( q ) Полагая h F

k

0

= h

k

.

(3.1.2)

= 0 , где введена операция взвешенного осреднения

⎛ ⎞⎛ ⎞ k k = ⎜ ∫ ϕ ( ) FdD ⎟⎜ ∫ ϕ ( ) dD ⎟ ⎝D ⎠⎝ D ⎠

−1

планетарно-топографические составляющие в

указанных приближениях удовлетворяют уравнениям

81

Δψ (

fh )

( fh ) '

Δψ

f0 h, H

=−

−k ψ 2

( fh ) '

(3.1.3)

f = − 0 h, H2

с нулевыми граничными условиями. Единственным ограниченным на всей плоскости является пространственно однородный баротропный поток со скоростью U ( t )

ψ ( q ) = −Uy, U > 0, ψ

(q) '

(3.1.4)

= 0.

Как и для баротропного случая будем рассматривать точечное возмущение рельефа дна h = τ ∞δ ( x − ξ ) δ ( y − η ) , где τ ∞ − эффективный объем горы, а

(ξ ,η ) − координаты центра горы. Решения уравнений (3.1.3) запишем через функции Грина операторов Лапласса и Гельмгольца [4], которые имеют вид f0 ln ( kr ) , 2π H f = 0 K 0 ( kr ) , 2π H

ψ ( fh ) = − ψ

( fh )

где K 0 ( r ) − функция Макдональда нулевого порядка, а r =

(3.1.5)

(x −ξ )

2

+ ( y −η ) . 2

Окончательно для (3.1.1) имеем выражения f 0τ ∞ ( ln kr + K0 ( kr ) ) , 2π H

(3.1.6)

⎞ f 0τ ∞ ⎛ H1 K 0 ( kr ) ⎟ . ⎜ ln kr − 2π H ⎝ H2 ⎠

(3.1.7)

ψ 1 = −Uy − ψ 2 = −Uy −

В дальнейшем будем рассматривать только верхний слой жидкости. Система уравнений адвекции жидких частиц в потоке (3.1.6) имеет вид ∂ψ 1 ⎧ dx , = − ∂y ⎪⎪ dt ⎨ ⎪ dy = ∂ψ 1 . ⎪⎩ dt ∂x

(3.1.8)

82

§3.2. Масштабирование.

Используя масштабы глубины H , толщин слоев H1 и H 2 , параметра Кориолиса

f 0 , скорости U * и возвышения рельефа дна h∗ = h(ξ ,η ) , сконструируем линейный масштаб, в качестве которого взят внутренний радиус деформации Россби [28],[57] Equation Section 2 Ld = k

где g ′ = g

−1

⎛ g ′ H1 H 2 ⎞ = ⎜ ⎟, 2 ⎝ Hf 0 ⎠

(3.2.1)

ρ 2 − ρ1 − редуцированное ускорение силы тяжести, масштаб функции ρ2

тока Ψ * = U * Ld , времени T * = Полагая

Ld и эффективного объема горыτ ∞ = π h∗ L2d . * U

( x, y ) = Ld ⎛⎜⎝ x ′ , y ′ ⎞⎟⎠ ,

t = T *t ' , U = U *U , ψ = Ψ *ψ ′ , помещая центр

горы в начало координат и далее опуская штрихи над безразмерными переменными, вместо (3.1.6) и (3.1.8) получаем

ψ 1 = −Uy −

σ

(ln r + K 0 (r )),

(3.2.2)

⎧ dx σ y⎛1 ⎞ ⎪ dt = U + 2 r ⎜ r − K1 ( r ) ⎟ , ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ dy = − σ x ⎛ 1 − K ( r ) ⎞ , 1 ⎜ ⎟ ⎪⎩ dt 2 r⎝r ⎠

(3.2.3)

2

1 h* U* − число Россби. В и Ro = где введен, топографический параметр σ = Ro H Ld f 0

силу приближения квазигеострофичности должно выполняться ограничение Ro

1, σ ∼ O (1) . Полагая: H = 4000 м, H1 = 900 м, H 2 = 3100 м, f 0 = 1.4 ⋅ 10−4

с-1, U * = 0.15 м/с, T ≈ 2.5 сут., h∗ = 200 м, получим для Ld = 1 k = 35 ⋅ 103 м, Ψ * = 3.5 ⋅ 103 м, Ro ≈ 0.03 и σ ≈ 1.7 . В дальнейшем будем считать, что σ = 2 . Equation Section 3

83

§3.3. Топографический вихрь в стационарном баротропном потоке

Как и для баротропной модели начнем наше исследование с рассмотрения случая стационарного баротропного потока U = U 0 = const . Найдем координаты критических точек потока и определим их тип. Система уравнений для особых точек, согласно (3.2.3) имеет вид ⎧ y⎛1 ⎞ U + 0 ⎜ − K1 ( r ) ⎟ = 0 ⎪ r⎝r ⎪ ⎠ . ⎨ x 1 ⎛ ⎞ ⎪− − K1 ( r ) ⎟ = 0 ⎪⎩ r ⎜⎝ r ⎠

(3.3.1)

Численный анализ системы (3.3.1) показывает, что при U 0 > 0.4 в потоке отсутствуют особые точки, тогда как при U 0 < 0.4 их появляется две – эллиптическая и гиперболическая. Кроме того, эллиптическая точка смещена относительно центра горы вдоль оси Oy . На (рис. 28.) представлена зависимость скорости u − U от координаты y .

Рисунок 28. Профиль компоненты скорости вдоль оси Ox в зависимости от координаты y Картина линий тока рассматриваемой системы (3.2.3) представлена на (рис. 29.) при U 0 = 0.3 . Самопересекающаяся в гиперболической точке сепаратриса разделяет область течения на две части – с замкнутыми линиями тока

вокруг

эллиптической

точки

–

вихревая

область

(ВО)

и

с

84

неограниченными траекториями вне ВО – проточная область (ПО). Трассеры изначально, помещенные в ВО никогда не смогут ее покинуть.

Рисунок 29. Картина линий тока для скорости набегающего потока U0 = 0.3 Граница облака трассеров, изначально помещенное в ВО будет расти по алгебраическому закону. На рисунке также обозначены устойчивое H + и неустойчивое

H−

многообразия

гиперболической

точки

[55],[77].

В

рассматриваемом случае эти многообразия совпадают. Используя выражение для функции тока (3.2.2) и систему уравнений адвекции (3.2.3) вычислим время обращения трассера по траектории в ВО. Оно задается выражением T (ψ ) = U 0 ∫

dξ 1−

(

ψ + ln ξ + K 0 (ξ ) U 0ξ

)

(3.3.2)

2

На (рис. 30.) представлена зависимость ω0 ( y ) =

2π

T (ψ ( y ) )

− частоты

обращения трассера по траектории вокруг эллиптической точки от расстояния до нее r1 .

85

Рисунок 30. Зависимость частоты оборота трассера в ВО ω0 от расстояния между начальной точкой трассера на оси Oy до эллиптической точки r1 Важной особенностью этой зависимости является ее ограниченность в отличии от сингулярной модели рассмотренной ранее, т.е. имеется некоторая критическая частота оборота ωкр и в окрестности эллиптической точки трассеры двигаются с конечными скоростями. Такое поведение частоты обращения трассера в ВО характерно для не сингулярных моделей вихревых потоков. Как утверждается в работе [67] такое поведение в отличии от сингулярных полей скорости существенным образом может сказаться на сценариях развития хаотического поведения жидких частиц, а соответственно повлиять на хаотический перенос и перемешивание. Это и будет предметом дальнейшего исследования.

§3.4. Нестационарный набегающий поток.

При наличии нестационарного возмущения скорости набегающего потока траектории

двух

изначально

близко

расположенных

трассеров

могут

86

экспоненциально расходиться за конечное время [35]. Так облако трассеров малого размера, изначально помещенное в ВО в процессе своей эволюции начинает заполнять почти всю ВО складываясь и растягиваясь. Трассеры, изначально помещенные в ВО начинают вымываться в ПО. С точки зрения теории нелинейных динамических систем [7],[27], устойчивое и неустойчивое многообразия гиперболической точки трансверсально пересекаются, что приводит к возможности переноса трассеров из ВО в ПО. Одной из основных задач является проблема зависимости хаотического переноса и перемешивания от параметров возмущения, приближений и краевых условий. Как было показано в баротропной модели степень обновления ВО, изначально однородно заполненной облаком трассеров и скорость обмена трассерами между ВО и ПО существенным образом зависят от частоты возмущения

набегающего

потока

и

степени

влияния

границы.

Для

рассматриваемой модели важным является вопрос: как и насколько сильно учет бароклинности повлияет на хаотический перенос трассеров?

§3.5. Хаотический перенос облака трассеров.

Начнем наше исследование с рассмотрения задачи о влиянии частоты возмущения на перенос пятна трассеров, изначально покрывающего всю ВО. Будем рассматривать случай конечной по величине относительной амплитуды возмущения. Для всех численных экспериментов набегающий поток задавался в виде U ( t ) = U 0 (1 + δ sin ωt ) где δ = 0.1 − относительная амплитуда возмущения, U 0 = 0.3 , ω − частота возмущения. Проводился эксперимент по отслеживанию эволюции пятна из 8251 трассеров, изначально равномерно распределенных по всей ВО, т.е. на одинаковом расстоянии друг от друга. Трассер считался вымытым, если его

87

траектория пересекала контрольную полосу x = 3 заведомо покрывавшую всю ВО. На (рис. 31.) представлена эволюция числа вымытых трассеров N ( t ) при различных значениях частоты возмущения.

Рисунок 31. Эволюция числа вымытых трассеров при различных значениях частоты возмущения. Единица на временном интервале соответствует 1 году Для примера рассмотрим зависимость N ( t ) для ω = 0.4 (окрашена на рисунке в синий цвет). Как и для баротропной задачи и задач [18],[19],[44],[83] процесс размывания пятна можно разделить на два этапа: быстрый и медленный. Первый этап характеризуется высокой скоростью переноса трассеров из ВО в ПО, второму же этапу наоборот свойственно почти полное прекращение процесса обмена. Средний лагранжев перенос (СП) трассеров из ВО в ПО характеризуется наклоном кривой N ( t ) . Анализ зависимостей N ( t ) показал, что с ростом частоты возмущения скорость вымывания трассеров на начальном этапе уменьшается, т.е.

88

увеличение частоты возмущения приводит к уменьшению СП из ВО в ПО. Подобная зависимость СП имела место в модельных задачах [19],[44], а также и для баротропной модели. Однако в рассматриваемом случае имеются частоты, при которых зависимость N ( t ) имеет излом. Т.е. имеется промежуточный этап между быстрым и медленным в процессе рассеивания пятна примеси из ВО. Скорость вымывания трассеров на этом этапе не нулевая, хотя и мала по сравнению со скоростью на быстром этапе. Грубо говоря, процесс переноса облака трассеров из ВО в ПО реализуется сначала с одной, а затем с другой величиной СЛТ. Для примера, на (рис. 32.) представлены одна из зависимостей N ( t ) при ω = 0.11 , которая имеет излом и для сравнения еще одна зависимость N ( t ) при ω = 0.4 у которой излом отсутствует.

Рисунок 32. Излом у зависимости N ( t ) при ω = 0.11 Анализ зависимости N ( t ) при ω = 0.11 показал, что при наличии излома степень обновления ВО на увеличилась на 10% по сравнению с той степенью обновления, которая была бы в отсутствии излома. Это говорит об отличии процессов рассеивания примеси в рассмотренной модели от предыдущих баротропных моделей [19],[44]. Предполагается, что такое поведение связано с

89

наличием проницаемых барьеров для переноса, в качестве которых могут выступать канторы. Анализ зависимостей показал, что продолжительность промежуточного этапа может существенным образом зависеть от частоты возмущения. Например, при ω = 0.59

продолжительность максимальная.

Однако, СП как и в предыдущих моделях уменьшается с ростом частоты возмущения. Рассмотрим теперь, как степень обновления ВО зависит от частоты возмущения. На (рис. 33.) представлена зависимость числа вымытых трассеров N ∞ (ω ) к моменту выхода на предельный режим от частоты возмущения.

Рисунок 33. Зависимость числа вымытых трассеров N ∞ (ω ) вымытых к моменту наступления предельного режима от частоты возмущения ω Как и в баротропном случае, имеется интервал оптимальных частот, при которых степень обновления ВО будет максимальной. Однако, кроме оптимальных частот имеется несколько довольно ярко выраженных локальных экстремумов. Т.е. степень обновления ВО с ростом частоты возмущения, то повышается, то понижается. Так при ω = 0.26 число вымытых трассеров к моменту выхода на предельный режим составляет 94.5%, а при ω = 0.28 91.6% от общего числа трассеров. При ω = 0.54 степень обновления ВО составляет

90

90.3%, а при ω = 0.59 около 97% трассеров. Сравнение количественных результатов по числу вымытых трассеров к моменту выхода на предельный режим полученных в двухслойной модели и баротропной модели показывает уменьшение степени обновления ВО для баротропной модели на интервале оптимальных частот. Так для двухслойной модели при оптимальной частоте

ω = 0.59 вымывается почти 97% от общего числа трассеров, то при оптимальной частоте ω = 150 (баротропная задача, случай слабого влияния границы) около 80% от общего числа трассеров. Для того чтобы раскрыть механизм появления локальных экстремумов у зависимости N ∞ (ω ) проведем качественное исследование структуры ВО с помощью метода сечений Пуанкаре.

§3.6. Сечения Пуанкаре.

Напомним, что на сечении Пуанкаре траектория в фазовом представляет собой набор точек

( xi , yi )

далее орбита, которые есть ее положения через период

возмущения. Все траектории ВО невозмущенной системы в зависимости от отношения T1 T , где T1 – период обращения жидкой частицы по траектории, а T – период возмущения делятся на три типа: 1. КАМ – торы для которых T1 T = φ есть число иррациональное. Движение на них регулярное, следовательно, они выступают непроходимыми барьерами для переноса трассеров. На сечениях Пуанкаре КАМ-торы представляют собой гладкие замкнутые кривые. 2. Канторы, для которых T1 T = φ есть число иррациональное, но не удовлетворяющее диафантовому условию. Это разрушенные КАМ-торы движение на которых квазирегулярное. Они являются проходимыми барьерами для переноса трассеров. На сечениях Пуанкаре представляют собой сгущения точек.

91

3. Резонансные группы для которых T1 T =

p , где p, q − целые числа. В q

этом случая каждый трассер, находящийся на орбите, возвратится в свое начальное положение через q периодов сечения. За это время он p раз обойдет вокруг орбиты. Таким образом, все частицы на инвариантном цикле двигаются с периодом q . При наличии возмущения траектория разрушается на q устойчивых и q неустойчивых орбит. На сечениях Пуанкаре эти орбиты представляют собой точки. Причем в окрестности устойчивых орбит имеется семейство КАМ-торов, которые образуют острова, из которых трассеры не вымываются. Так как, с невозмущенной траекторией в ВО однозначно связана частота оборота, то и резонансная группа также связана с этой частотой оборота. В дальнейшем резонансная группа будет обозначаться отношением вида

n , где m

n − число периодов сечений Пуанкаре, а m − число устойчивых орбит или островов, соответствующих данной резонансной группе. Начнем рассмотрение эволюции структуры ВО со случая ω = 0.11 сечение Пуанкаре которого представлено на (рис. 34.)

92

Рисунок 34. Сечение Пуанкаре при соответствующей частоте возмущения На сечении Пуанкаре ВО состоит из: семейства КАМ – торов, окружающих центральную эллиптическую орбиту, резонансов первого порядка 5 4 , (красного цвета) и др. которые не видны, вплоть до резонанса второго 1 1 порядка

7 (зеленого цвета). Вся эта совокупность резонансов ограничена 2

общим КАМ – тором и далее называется центральная область (ЦО), который не позволяет облаку трассеров проникнуть в область проточного течения. Чуть левее от ЦО находится резонанс первого порядка

3 (красного цвета), на 1

котором находится вторичный резонанс, состоящий из пяти островов (синего цвета), которые образуют остров. Трассеры изначально находящиеся в этом острове не смогут покинуть ВО. Остальные резонансы разрушены в силу их перекрытия [27],[33] или настолько малы, что не видны. Остальная часть ВО представляет собой регион с хаотическим поведением, из которого трассеры за конечное время будут вымыты в область проточного течения. Таким образом,

93

число вымытых трассеров к моменту наступления предельного режима или степень обновления ВО полностью определяется площадью ЦО и площадью острова, соответствующего резонансу первого порядка

3 с расположенным на 1

нем вторичным резонансом из пяти островов. С ростом частоты возмущения ЦО начинает разрушаться ближайшим к ней резонансом

3 [33], а совокупность КАМ-торов с центром в точке, 1

соответствующей центральной эллиптической орбите разрушается из-за перекрытия с резонансом

5 [33]. Это приводит к увеличению площади 1

хаотического региона, а соответственно и к увеличению числа вымытых трассеров. Кроме того, в силу ограниченности зависимости ω0 ( r1 ) происходит исчезновение резонансов. Так, например, на сечении Пуанкаре для случая

ω = 0.15

представленного

на

(рис.

35.)

отсутствуют

все

резонансы,

соответствующие частоты которых больше ωкр . Однако, так как имеется общий КАМ-тор ограничивающий область в которой происходит исчезновение резонансов, то на степень обновления ВО это не оказывает заметного влияния. Такая эволюция структуры ВО с ростом частоты возмущения приводит к росту числа вымытых трассеров или степени обновления ВО (см. рис. 33. интервал ω = 0.11 до ω = 0.15 ). Однако на интервале частот от ω = 0.26 до

ω = 0.28 наблюдается локальный максимум зависимости N ∞ (ω ) . Рассмотрим поподробнее для этого интервала частот эволюцию сечений Пуанкаре. На (рис. 36.) представлена структура ВО для случая ω = 0.25 .

94

Рисунок 35. Сечение Пуанкаре при соответствующей частоте возмущения

Рисунок 36. Сечение Пуанкаре при соответствующей частоте возмущения

95

Как и для случаев описанных выше ВО состоит из ЦО (черный цвет) и бокового острова, соответствующего резонансу для этого случая

2 (красный 1

цвет). Причем в отличии от предыдущих случаев ЦО состоит исключительно из семейства КАМ-торов окружающих центральную эллиптическую орбиту. С ростом частоты возмущения боковой остров приближается к ЦО и в силу перекрытия взаимно разрушают друг друга [33]. При ω = 0.26 , сечение Пуанкаре для которого представлено на (рис. 37.), ЦО имеет очень маленькую площадь, кроме того, появляются несколько островов соответствующих резонансам

1 (красного цвета) и 1

двух островов, соответствующих резонансу

3 (зеленого цвета). Отметим, что на интервале ω = 0.25 до ω = 0.26 степень 2 обновления ВО растет. Однако, при ω = 0.27 происходит полное разрушение ЦО (рис. 38.).

Рисунок 37. Сечение Пуанкаре при соответствующей частоте возмущения

96

Рисунок 38. Сечение Пуанкаре при соответствующей частоте возмущения

Одновременно с этим исчезает часть резонансной группы

2 , а именно 1

неустойчивая орбита. Теперь ВО состоит из острова, соответствующего остатку от резонансной группы

2 , который имеет максимальную площадь. Это 1

приводит к уменьшению числа вымытых трассеров при достижении предельного режима (ср. рис. 33. верхняя вкладка) и наблюдается локальный минимум.

С

этого

момента

роль

ЦО

соответствовавший разрушенному резонансу

начинает

2 (рис. 39.) 1

играть

остров,

97

Рисунок 39. Сечение Пуанкаре при соответствующей частоте возмущения Дальнейший рост частоты возмущения приводит к тому, что к ЦО начинает приближаться резонансная группа

1 они взаимно разрушают друг друга и 1

ситуация с исчезновение резонанса повторяется. Это вновь приводит к появлению локального максимума и минимума у зависимости N ∞ (ω ) . Отметим, что локальные экстремумы обусловлены не только процессом исчезновения первичных резонансов. Исчезновение вторичных резонансов также приводит к ситуации, в которой наблюдаются локальные экстремумы. Для примера локальный максимум и минимум при ω = 0.41 и ω = 0.42 связаны с появлением общего КАМ-тора окружающего резонанс

1 и вторичный 1

резонанс из 4 островов, который в дальнейшем исчезает (рис. 40. – 41.).

98

Рисунок 40. Сечение Пуанкаре при соответствующей частоте возмущения

Рисунок 41. Сечение Пуанкаре при соответствующей частоте возмущения

99

Анализ величин степени обновления ВО при локальных экстремумах показал, что ярко выраженные локальные максимумы и минимумы, а также глобальный максимум связаны с исчезновением резонансов первого порядка

2 1

1 1 и . Исчезновение этих резонансов происходит на частотах ωкр для резонанса 1 2 2 1 и ωкр для резонанса . Таким образом, можно заключить, что интервал 1 1 оптимальных частот, при которых реализуется максимальное обновление ВО, находится в указанных пределах. На

частотных

интервалах

больших,

чем

ωкр ,

число

островов

увеличивается. Это связано с тем, что начинают проявляться резонансы все больших порядков. Хотя процесс исчезновения их повторяется. Это также приводит к появлению локальных экстремумов у зависимости N ∞ (ω ) , однако наблюдается общая тенденция у уменьшению степени обновления ВО. В (табл. 2.) приведены размерные значения времени обновления ВО, степени обновления ВО в доле трассеров вымытых из нее и СП в числе трассеров в сутки при двух локальных максимумах и двух локальных минимумах, а также при глобальном максимуме. Таблица 2. Размерные величины частот возмущения, времени обновления ВО, доли вымытых трассеров и СП Период возмущения, Время обновления γ , % сут.

СП, %/год

вихревой области, год

66

4.5

95

21.1

61

6

92

15.3

31

7.5

90

12

29

21

97

4.61

100

§3.7. Универсальность положения интервала оптимальных частот для трех различных моделей топографических вихрей.

В этом параграфе делается попытка обобщить результаты, полученные в предыдущем параграфе на класс моделей топографических вихрей с несингулярным полем скорости. В качестве конкретных моделей рассмотрим поля течений порожденных взаимодействием подводной горы Гауссовой формы

[19]

(

h ( x, y ) = exp −1.256 ( x 2 + y 2 )

)

и

эллиптической

формы

h ( q ) = 1 (1 + sh12 2q ) , где q − эллиптическая координата [44] с набегающим

потоком в приближении баротропного океана. На (рис. 42.) представлены зависимости частоты оборота трассера в ВО для моделей топографического вихря: Гауссовой формы, эллиптической формы и для двухслойной модели точечного вихря в отсутствии возмущения.

Рисунок 42. Зависимость Ω частоты оборота трассера в ВО от r расстояния до эллиптической точки для трех моделей топографического вихря: 1 –Гауссовой форы, 2 – эллиптической формы при θ = 0 , 3 – эллиптической формы при

θ=

π 2

, 4 – точечного вихря в двухслойной модели

101

Для всех трех моделей характерной особенностью является ограниченность зависимости Ω ( r ) . Т.е. для каждой из четырех зависимостей имеется критическое значение частоты ωкр . На (рис. 43. – 44.) представлены зависимости степени обновления ВО

δ (ω ) от частоты возмущения скорости набегающего потока для трех моделей топографического вихря.

Рисунок 43. Зависимость степени обновления ВО от частоты возмущения для 1 – модель топографического вихря Гауссовой формы, 2 – двухслойная модель точечного топографического вихря

102

Рисунок 44. Зависимость степени обновления ВО от частоты возмущения для 1 – модель топографического вихря эллиптической формы θ = 0 , 2 – модель топографического вихря эллиптической формы θ =

π 2

Анализ зависимостей δ (ω ) для трех моделей показал, что, как и для двухслойной модели, для моделей вихрей Гауссовой и эллиптической формы

δ (ω ) имеет локальные максимумы и минимумы. Более того численные значения частот соответствующих исчезновению резонансов совпадают с частотами на которых имеются локальные минимумы. Интервал оптимальных частот находится в пределах от частоты, при которой исчезает резонанс

2 до 1

1 частоты, при которой исчезает резонанс . Для модели вихря Гауссовой формы 1 интервал оптимальных частот равен ( 0.22;0.44 ) , а численный эксперимент дал оптимальную частоту при ω = 0.25 . Для модели с эллиптической горой θ = 0 интервал оптимальных частот находится в пределах от ω = 0.1 до ω = 0.2 , а при

θ=

π 2

от ω = 0.11 до ω = 0.22 . Несмотря на грубость приведенных оценок

интервалов оптимальных частот, численные эксперименты довольно хорошо

103

подтверждают гипотезу о том, что границы этого интервала находятся между частотой исчезновения резонанса между

ωкр 2

2 1 и частотой исчезновения резонанса или 1 1

до ωкр .

На примере квазигеострофической модели топографического вихря двухслойного океана исследована роль стратификации в процессе хаотического переноса. В результате исследования установлено, что а) Зависимость степени обновления вихревой области от частоты внешнего

возмущения

имеет

несколько

ярко

выраженных

локальных

экстремумов, наличие которых объяснено ограниченностью зависимости частоты оборота трассера в вихревой области. б) Интервал оптимальных частот находится в окрестности критической частоты оборота трассеров в вихревой области. Показано, что указанный факт, справедлив

для

моделей

локализованных

топографических

вихрей,

порожденных топографиями Гауссовой и эллиптической форм. в) Для двухслойной модели характерны долгопериодные возмущения от 22 до 66 суток и интенсивный процесс обновления вихревой области от 1 до 2 лет. Анализ размерных значений времен обновлений вихревой области и периодов возмущения показал, что, а) Несмотря на увеличение периодов, соответствующих оптимальным частотам (от 26 до 66 суток в двухслойной модели вместо 17 – 22 часов в баротропной) эффективность и интенсивность вентиляции вихревой области выше для двухслойной модели по сравнению с баротропной моделью. Таким образом, установлена существенная роль стратификации в процессах переноса и перемешивания в топографических вихрях.

104

Заключение.

Понимание процессов переноса и перемешивания является одной из важнейших проблем в океанографии, которая до сих пор полностью не решена. Некоторый свет на понимание этих процессов может пролить использование лагранжева похода для изучения океанической циркуляции на различных масштабах. Кроме того, принимая во внимание нестационарность течений различных масштабов, становится ясной необходимость использования в качестве физической основы процессов переноса и перемешивания концепции хаотической адвекции. Известно, что в предположении несжимаемости жидкости поле скорости выражается

через

функцию

тока.

С

точки

зрения

геофизической

гидродинамики эта связь носит название геострофических соотношений, в которых роль функции тока играет давление. В этом приближении система уравнений

адвекции

совпадает

с

Гамильтоновой

системой,

где

роль

канонических переменных играют координаты жидкой частицы, а роль Гамильтониана – функция тока. Связь между системой уравнений адвекции и Гамильтоновой системой дает возможность использовать все доступные к настоящему времени методы и приемы теории динамических систем [7],[27],[55],[79] для исследования движения пассивных частиц в различных модельных полях скорости. Из теории динамических систем известно, что если система имеет более 1 степени свободы, то в некоторой области фазового пространства

две

изначально

близко

расположенные

частицы

могут

расходиться экспоненциально во времени. Это явление получило название динамического хаоса, а в приложении к гидродинамике хаотической адвекции. Для нестационарных океанических потоков при наличии пространственных структур типа вихрей, струй, фронтов в качестве основы процессов переноса и перемешивания перемешивание.

предлагаются

процессы

хаотического

переноса

и

105

В диссертационной работе были рассмотрены процессы хаотического переноса

и

перемешивания

на

примере

аналитических

моделей

топографических вихрей при различных граничных условиях в баротропном приближении и приближении двухслойного океана. Ставилась задача выяснить, какое влияние при этом оказывает граница и неоднородность распределения плотности по вертикали. Важным требованием, предъявляемым к таким идеализированным моделям, состоит в том, чтобы функция тока удовлетворяла определенным динамическим соотношениям, т.е. была динамически согласованной [52],[68]. Эта проблема может быть разрешена с помощью концепции фоновых течений предложенной В.Ф. Козловым [12]. Функции тока, исследованные в работе и сконструированные

в

рамках

этой

концепции,

являются

динамически

согласованными, в том смысле, что удовлетворяет закону сохранения потенциальной завихренности [57]. В

рамках

модели

поля

течения

порожденного

взаимодействием

локализованной подводной возвышенности, расположенной рядом с береговой чертой с нестационарным набегающим потоком был изучен перенос и перемешивания пассивных трассеров. Подобный механизм появления области топографической завихренности над горой следует из динамических уравнений [11], а также подтверждается численными экспериментами [8]. В зависимости от величины скорости набегающего потока рассмотрено три характерных случая: слабого влияния границы, промежуточного влияния границы и сильного влияния границы. В отсутствии внешнего возмущения скорости набегающего потока облако трассеров изначально расположенное в области вихря никогда не покинет ее. При наличии внешнего нестационарного возмущения картина изменяется кардинально. Появляется возможность обмена трассерами между областью вихря

и

областью

проточного

течения.

Облако

трассеров

начинает

деформироваться [7],[27],[55] и часть трассеров покидает область вихря.

106

В

окрестности

невозмущенной

сепаратрисы

образуется

зона

перемешивания, из которой трассеры, изначально расположенные в области вихря, начинают вымываться в область проточного течения. Ясно, что физически важной проблемой является задача о размерах этой зоны и как этот размер зависит от степени влияния границы. При малой относительной амплитуде внешнего возмущения с помощью теории возмущений на основе алгоритма предложенного в работе [5], который позволяет определить останется ли трассер в вихревой области или покинет ее. Показано, что с ростом степени влияния границы ширина зоны перемешивания в окрестности гиперболической особой точки пропорциональна не корню квадратному из относительной амплитуды внешнего возмущения, как в случае слабого влияния границы, а корню кубическому. При характерных масштабах топографических вихрей ширина зоны перемешивания при наличии границы увеличивается до 1,5 раз. Исследование хаотического переноса и перемешивания для случая конечной относительной амплитуды внешнего возмущения проводилось с помощью численного моделирования. Важно установить какое влияние на процессы хаотического переноса и перемешивания окажет частота внешнего возмущения и наличие боковой границы. В частности нами был проведен эксперимент по отслеживанию процесса размывания облака трассеров, изначально покрывающего всю вихревую область. На начальном этапе трассеры вымываются очень интенсивно из вихревой области. Затем наступает предельный режим, при котором трассеры перестают вымываться в область проточного течения. Однако, число трассеров, вымытых к предельному режиму, временной интервал на котором достигается предельный режим, а также перенос трассеров из вихревой области в область проточного течения существенным образом зависят как от наличия боковой границы, так и от частоты внешнего возмущения. Показано, что с ростом частоты возмущения, а также с ростом степени влияния границы средний перенос трассеров из области вихря в область проточного течения уменьшается

107

и увеличивается временной интервал достижения предельного режима. Установлено, что как средний перенос, так и время выхода на предельный режим монотонно зависят от частоты, а также от степени влияния границы. Чего нельзя сказать о зависимости числа вымытых трассеров при достижении предельного режима или степени обновления вихревой области от частоты внешнего возмущения и степени влияния границы. В численных экспериментах показано, что имеются частоты внешнего возмущения – оптимальные частоты, при которых степень обновления вихревой области максимальная. Как показал анализ результатов численного моделирования, интервал оптимальных частот, а также степень обновления вихревой области на этих частотах зависят от степени влияния боковой границы. Установлено, что наличие боковой границы приводит к тому, что максимальная степень обновления вихревой области достигается на меньших частотах по сравнению со случаем слабого влияния границы. Однако, вентиляция вихревой области более эффективна при наличии боковой границы, по сравнению с ее отсутствием. Таким образом, можно

заключить,

что

рост частоты

внешнего

возмущения и наличие боковой границы приводят к уменьшению скорости обмена между вихревой и проточной областями. Наличие границы приводит к более эффективному обновлению ядра вихря и смещению интервала оптимальных частот в область низкочастотных возмущений. Следующей важной задачей, рассмотренной в работе, была проблема хаотического перемешивания. Она связанная непосредственным образом с процессами растяжения и складкообразования материального элемента [55]. Эти

процессы

возможны

в

тех

областях

фазового

пространства,

рассматриваемой системы, где наблюдается экспоненциальная расходимость двух изначально близко расположенных траекторий. Для замкнутых систем количественной

характеристикой

хаотического

перемешивания

служат

показатели Ляпунова. Однако в силу того, что рассматриваемая система является открытой, использование этой характеристики невозможно. Более приемлемо использование накопленных показатели Ляпунова, а также такой

108

количественная характеристики, как «время жизни» или время нахождения трассера в вихревой области. Анализ распределений накопленных Ляпуновских показателей и времен жизни показал, что в случае сильного влияния границы имеются трассеры с продолжительным временем жизни и промежуточным значением накопленного показателя Ляпунова. Анализ этих трассеров показал, что в случае слабого влияния границы доля их от общего числа менее 1% с ростом же влияния границы число этих трассеров растет и в случае сильного влияния границы может достигать 20%. Анализ размерных величин скоростей набегающего потока, времен вентиляции вихревой области показал, что с ростом влияния границы, время вентиляции вихревой области увеличивается от полугода при скорости набегающего потока U 0 = 0, 4 м / c и периоду возмущения в 17 часов до 5 лет при скорости набегающего потока U 0 = 0,3 м / c и периоду возмущения в 22 часа. Итак, резюмируя полученные результаты можно сказать, что учет боковой границы существенным образом повлиял на хаотический перенос и перемешивание. В приложении к эстуариям и открытым морям можно сказать, что при наличии береговой черты и расположенной рядом с ней вихревой области

появляется

возможность

наиболее

интенсивного,

медленного

перемешивания и переноса пассивной примеси из вихревой области в область проточного течения. Важной задачей рассмотренной в диссертации была задача о влиянии неоднородности распределения плотности по глубине на движение пассивных трассеров в поле топографического вихря. Для учета такой неоднородности было использовано простейшее приближение двухслойной жидкости [57]. Также как и в баротропном случае, для получения динамически согласованных функций тока в слоях была использована концепция фоновых течений В.Ф. Козлова и рассмотрены эффекты хаотической адвекции в верхнем слое жидкости.

109

В случае стационарного набегающего потока область течения состоит из вихревой области с замкнутыми линиями тока и проточной области с линиями тока, уходящими на бесконечность, отделенными друг от друга сепаратрисой. Установлено, что при скорости набегающего потока U 0 > 0.4

ВО не

существует, хотя в нижнем слое ВО существует при любом значении скорости. Кроме того, в отличии от баротропной модели важной особенностью двухслойной модели является ограниченность зависимости частоты оборота трассера в вихревой области. Это предполагает существенное отличии в сценариях

развития

двухслойной

хаотического

модели

от

поведения

рассмотренной

траекторий

ранее

трассеров

баротропной

в

модели

топографического вихря. Как и для баротропного случая исследовалась задача переноса облака трассеров, изначально однородно заполнявшего всю вихревую область, в область проточного течения. Ставилась задача выяснить, как на хаотический перенос повлияют частота внешнего возмущения в приближении двухслойного океана. Анализ эволюции числа маркеров вымытых из ВО показал, что качественно процесс переноса трассеров протекает также как и для баротропного случая. Для большинства частот внешнего возмущения эволюция числа вымытых трассеров протекает в два этапа: быстрый и медленный. Подтверждена

монотонно

убывающая

зависимость

среднего

переноса

трассеров из вихревой в проточную область с ростом частоты возмущения. Однако установлено, что на некоторых частотах имеется кроме быстрого и медленного этапов, промежуточный этап, где средняя скорость переноса трассеров из вихревой области в проточную меньше, чем для быстрого этапа. Анализ зависимости N ∞ (ω ) числа вымытых трассеров к моменту выхода на медленный режим от частоты возмущения показал, что кроме наличия интервала оптимальных частот для хаотического перемешивания имеются несколько явно выраженных локальных минимумов. Для объяснения такого

110

поведения N ∞ (ω ) было проведено исследование структуры вихревой области с помощью сечений Пуанкаре. Установлено, что в системе происходит процесс исчезновения нелинейных резонансов [33], который связан с ограниченностью зависимости ω0 ( y ) . Показано, что основной вклад дает исчезновение резонансов соответствующих частотам

1 ωкр и ωкр , т.е. самых больших по 2

площади островов. Анализ эволюции резонансов различных порядков показал, что интервал оптимальных частот находится в пределах от

1 ωкр до ωкр . Это 2

подтверждает анализ результатов численного моделирования по хаотическому переносу облака трассеров в моделях топографических вихрей Гауссовой [19] и эллиптической формы [44]. Установлено, что, как и в рассматриваемой двухслойной модели топографического вихря зависимости частоты оборота трассера в вихревой области в нестационарном набегающем потоке для двух других моделей имеют критические частоты. Анализ зависимостей числа вымытых трассеров к моменту выхода на медленный режим от частоты возмущения показал наличие локальных экстремумов. Установлено, что локальные

экстремумы

зависимостей

N ∞ (ω )

связаны

с

исчезновение

нелинейных резонансов [33], а интервал оптимальных частот находится в пределах от

1 ωкр до ωкр . Таким образом, учет неоднородности распределения 2

плотности по глубине с помощью простейшего приближения двухслойного океана дает нетривиальную зависимость N ∞ (ω ) . Анализ размерных значений времен выхода на медленный режим, степени обновления ВО, оптимальных частот возмущения и среднего Лагранжева переноса трассеров из ВО в ПО для баротропной модели топографического вихря у границы и топографического вихря в приближении двухслойного океана показал, что для двухслойной модели характерны долгопериодные возмущения от 22 до 66 суток и интенсивный процесс обновления вихревой области от 1 до 2 лет.

111

Анализ размерных значений величин времен вентиляции вихревой области,

периодов

возмущения

и

скорости

набегающего

потока

в

рассмотренных моделях показал, что, несмотря на увеличение периодов, соответствующих оптимальным частотам (от 26 до 66 суток в двухслойной модели вместо 17 – 22 часов в баротропной) эффективность и интенсивность вентиляции вихревой области выше для двухслойной модели по сравнению с баротропной моделью. Таким образом, установлена существенная роль стратификации в процессах переноса и перемешивания в топографических вихрях.

Список литературы

[1] Борисов А.В., Мамаев И.С., Соколовский М.А. Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 704 с. [2] Будянский М.В., Пранц С.В. Механизм хаотического перемешивания в элементарном детерминированном потоке // Письма в ЖТФ. 2001. Т. 27, Вып. 6. С. 508–510. [3] Будянский М.В., Улейский М.Ю., Пранц С.В. Хаотическое рассеяние, транспорт и фракталы в простом гидродинамическом потоке // ЖЭТФ. 2004. Т. 126, Вып. 5. С. 1167–1179. [4] Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – 4-е изд.– М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981. 512 с. [5] Гледзер А.Е. Захват и высвобождение массы в вихревых структурах океана // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1990. Т. 35, N 6. С. 838– 845. [6] Данилов С.Д., Довженко В.А., Якушкин И.Г. Перенос пассивного скаляра и Лагранжев хаос в Гамильтоновой гидродинамической модели // ЖЭТФ. 2000. Т. 118, Вып 2. С. 483–494.

112

[7] Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. – М.: Наука, 1988, 368 с. [8] Зырянов В.Н. Топографические вихри в динамике морских течений. – Москва: ИВП РАН, 1995, 240 с. [9] Каменкович В.М., Кошляков М.Н., Монин А.С. Синоптические вихри в океане. – Ленинград.: Гидрометеоиздат, 1987. 512 с. [10] Козлов В.Ф. Влияние рельефа дна на глубинные течения в океане (квазигеострофические модели). Учебное пособие. – Владивосток: ДВГУ, 1981. 91 с. [11] Козлов В.Ф. Модели топографических вихрей в океане. – М.: Наука, 1983. 200 с. [12] Козлов В.Ф. Фоновые течения в геофизической гидродинамике // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1995. Т. 31, № 2. С. 245–250. [13] Козлов В.Ф., Гурулев А.Ю. О динамике фронта потенциальной завихренности в поле фоновых течений // Изв. РАН. 1998. Т. 34, № 3. С. 395—403. [14] Козлов В.Ф., Макаров В.Г. Фоновые течения в Охотском море // Метрология и гидрология. 1996, № 9. C. 58—64. [15] Козлов В.Ф., Макаров В.Г. Фоновые течения в Японском море (баротропная модель) // Океанология. 1995. Т. 35, № 5. С. 658—662. [16] Козлов В.Ф., Макаров В.Г. Фоновые течения в Японском море (двухслойная квазигеострофическая модель) // Океанология. 1996. Т. 36, № 4. С. 493–497. [17] Козлов В.Ф., Кошель К.В. Баротропная модель хаотической адвекции в фоновых течениях // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1999. Т. 35, № 1. С. 137–144. [18] Козлов В.Ф., Кошель К.В. Об одной модели хаотического переноса в баротропном фоновом течении. // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2000. Т. 36, № 1. С. 119–128.

113

[19] Козлов

В.Ф.,

Кошель

К.В.

Некоторые

особенности

хаотизации

пульсирующего баротропного потока над осесимметричной подводной возвышенностью // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2001. Т. 37, № 3. С. 378–389. [20] Козлов В.Ф., Кошель К.В., Степанов Д.В. О влиянии границы на хаотическую адвекцию в баротропных квазигеострофических моделях фоновых течений // Дальневосточный математический журнал. 2001. Т. 2, № 2. С. 89–98. [21] Козлов В.Ф., Кошель К.В., Степанов Д.В. Влияние границы на хаотическую адвекцию в простейшей модели топографического вихря // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2005. Т. 41, № 2. С. 242–252. [22] Костыркин С.В., Якушкин И.Г., Перенос пассивной примеси и лагранжевы структуры в нестационарных вихревых течениях // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2003. Т. 39, N 6. С. 749–759. [23] Кошель К.В., Степанов Д.В. Влияние границы на перемешивание и транспорт пассивной примеси в нестационарном потоке. // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31, № 4. С. 6–12. [24] Кошель К.В., Степанов Д.В. О хаотической адвекции, индуцированной топографическим вихрем бароклинного океана // Доклады АН. 2006. Т. 407, № 4. С. 1 – 5. [25] Кошель

К.В.,

Израильский

Ю.Г.,

Степанов

Д.В.

Определение

оптимальной частоты возмущения в задаче о хаотическом транспорте частиц // Доклады АН. 2006. Т. 407, № 6. С. 773 – 776. [26] Кузнецов С.П. Динамический хаос. – М.: Издательство физ.-мат. Лит., 2001. 296 с. [27] Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. / Пер. с англ. – М.: Мир, 1984. 528 с. [28] Океанология. Физика океана. Гидродинамика океана. 2 Т. – М.:Наука, 1978. 456 с.

114

[29] Пранц С.В. Хаос, фракталы и полеты атомов в резонаторах // Письма в ЖЕТФ. 2002. Т. 75, Вып. 12. С. 777–785. [30] Степанов

Д.В.

Оценка

стохастического

слоя

в

баротропной

квазигеострофической модели фонового течения, учитывающей влияние границы // 5-я Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию. Тезисы докладов. Владивосток, 2001. С. 43. [31] Степанов Д.В. Оценка толщины стохастического слоя, окружающего топографический Океанологические

вихрь,

расположенный

исследования:

сборник

у

береговой

статей

по

черты

//

материалам

конференции молодых ученых Тихоокеанского океанологического института им. В.И. Ильичева ДВО РАН (27–30 ноября 2001 г.). – Вл-к: Дальнаука, 2002. С. 155 – 160. [32] Степанов Д.В. Влияние частоты возмущения на хаотическую адвекцию в вихревом потоке двухслойной жидкости. // Тезисы докладов. Дальневосточная математическая школа семинар им. Е.В. Золотова – Хабаровск, 2005. C. 115. [33] Чириков Б.В. Нелинейный резонанс. Учебное пособие. – Новосибирск: НГУ, 1977. 82 с. [34] Aref H. Chaotic advection of fluid particles // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1990. Vol. 333. P. 273–288. [35] Aref H. The development of chaotic advection // Phys. Fluids. 2002. Vol. 14, № 4. P. 1315–1324. [36] Beerens S.P., Ridderinkhof H., Zimmerman T.F. An analytical study of chaotic stirring in tidal areas // Chaos, Solutions and Fractals. 1994. Vol. 4, № 6. P. 1011–1029. [37] Bower A.S. A simple kinematics mechanism for mixing fluid particles across a meandering jet // J. Phys. Ocean. 1991. Vol. 20. P. 173–180.

115

[38] Bower A.S., T. Rossby Evidence of cross-frontal exchange processes in the Gulf Stream based on isopycnal RAFOS float data // J. Phys. Ocean. 1989. Vol. 19. P. 1177–1190. [39] Bower A.S., Heather D. Hunt Lagrangian Observations of the Deep Western Boundary Current in the North Atlantic Ocean. Part I: Large-Scale Pathways and Spreading Rates // J. Phys. Ocean. 2000. Vol. 30. P. 764–783. [40] Dahleh M.D. Exterior flow of the Kida ellipse // Phys. Fluids A. 1992. Vol. 4, № 9. P. 1979–1985. [41] Deese H.E., Pratt L.J., Helfrich K.R. A laboratory model of exchange and mixing between Western boundary layers and subbasin recirculation gyres // J. Phys. Ocean. 2002. Vol. 32. P. 1870–1889. [42] del-Castillo-Negrete D., Morrison P.J. Chaotic transport by Rossby waves in shear flow // Phys. Fluids. A. 1993. Vol. 5, № 4. P. 948–965. [43] Eckart C. An analysis of the stirring and mixing processes in incompressible fluids // Journal of Marine Research. 1948. Vol. 7, № 3. P. 265–275. [44] Izrailsky Yu. G., Kozlov V. F., Koshel K. V. Some specific features of chaotization of the pulsating barotropic flow over elliptic and axisymmetric seamounts // Phys. Fluids. 2004. Vol. 16, № 8. P. 3173–3190. [45] Kawakami A., Funakoshi M. Chaotic motion of fluid particles around a rotating elliptic vortex in a linear shear flow // Fluid Dynam. Res. 1999. Vol. 25. P. 167–193. [46] Koshel K.V., Stepanov D.V. Some specific features of chaotization and transport in pulsating barotropic flow over a topographic point vortex near boundary // Regular and Chaotic Dynamics. 2004. Vol. 9, № 4. P. 439–449. [47] Kozlov V.F., Koshel K.V., Stepanov D.V. Study of Lagrangian turbulence in an unsteady vortex flow near boarder // International conference “Fluxes and structures in fluids” adstracts. Moscow. June 20-23, 2005. P. 67. [48] Kovalyov S. Phase space structure and anomalous diffusion in a rotational fluid experiment // Chaos. 2000. Vol. 10, № 1. P. 153–165.

116

[49] Liu Z., Yang H. The intergyre chaotic transport // J. Phys. Ocean. 1994. Vol. 24. P. 1768–1782. [50] Mariano A.J., Griffa A., Ozgokman T.M., Zambianchi E. Lagrangian analysis and predictability of coastal and ocean dynamics 2000 // J. Atmosph. Ocean. Tech. 2002. Vol. 19. P. 1114–1126. [51] Meyers S.D. Cross-frontal mixing in a meandering jet // J. Phys. Ocean. Notes and Correspondence. 1994. Vol. 12, № 6. P. 1641–1646. [52] Ngan K., Shepherd T.G. Chaotic mixing and Rossby–wave critical layers // J. Fluid Mech. 1997. Vol. 334. P. 315–351. [53] Osborne A.R., Kirwan A.D., Jr., Provenzale A., Bergamasco L. Fractal drifter trajectories in the Kuroshio extension // Tellus. 1989. Vol. 41 A. P. 416–435. [54] Osborne A.R., Kirwan A.D., Jr., Provenzale A., Bergamasco L. A search for chaotic behavior in large and mesocale motions in the Pacific Ocean // Physica D. 1986. Vol. 23. P. 75–83. [55] Ottino J.M. The kinematic of mixing: stretching, chaos and transport. – N.Y.: Cambridge. University Press. 1989. 364 P. [56] Ottino J.M. Mixing, chaotic advection and turbulence // Annu. Rev. Fluid. Mech. 1990. Vol. 22. P. 207–253. [57] Pedlosky J. Geophysical fluid dynamics – sec. ed. – N.Y.: Springer-Verlag, 1987. 710 p. [58] Pierrehumbert R.T. Large-scale horizontal mixing in planetary atmospheres // Phys. Fluids A. 1991. Vol. 3, № 5. P. 1250–1260. [59] Pierrehumbert R.T., Yang H. Global chaotic mixing on isentropic surfaces // J. Atmos. Sci. 1993. Vol. 50, № 15. P. 2462–2480. [60] Pierrehumbert R.T. Chaotic mixing of tracers and vorticity by modulated travelling Rossby waves // Geophys. Astrophys. Fluid. Dyn. 1991. Vol. 58. P. 285—320. [61] Poje A.C., Haller G. Geometry of cross-stream mixing in a double-gyre ocean model // J. Phys. Ocean. 1999. Vol. 29. P. 1649–1665.

117

[62] Polvani L.M., Wisdom J. Chaotic Lagrangian trajectories around an elliptical vortex patch embedded in a constant and uniform background shear flow // Letters Phys. Fluids A. 1990. Vol. 2, №3. P. 123–126. [63] Ridderinkhof H., Loder J. W. Lagrangian characterization of circulation over submarine banks with application to the outer Gulf of Maine // J. Phys. Ocean. 1994. Vol. 24. P. 1184–1200. [64] Ridderinkhof H., Zimmerman J.T.F. Chaotic stirring in a tidal system // Science. 1992. Vol. 258. P. 1107–1111. [65] Rogier L., Stommel H. Float trajectories in simple kinematic flows // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1979. Vol. 76, № 10. P. 4760–4764. [66] Rom-Kedar V., Leonard A., Wiggins S. An analytical study of transport, mixing and chaos in an unsteady vortical flow // J.Fluid Mech. 1990. Vol. 214. P. 347–394. [67] Rom-Kedar V. Universal properties of chaotic transport in the presence of diffusion // Phys. Fluids. 1999. Vol. 11, № 8. P. 2044–2057. [68] Samelson R.M. Chaotic transport by mesoscale motions / Stochastic modeling in physical oceanography. Eds J. Adler, P. Muller, B. Rozorskii. – Boston: Birkhanson. 1996. P. 423–438 [69] Samelson R.M. Fluid exchange across a meandering jet // J. Phys. Ocean. 1992. Vol. 22, № 4. P. 431–440. [70] Shlesinger M.F., Zaslavsky G.M., Klafter J. Strange kinetics // Nature. 1993. Vol. 363. P. 31–37. [71] Sokolovskuy M.A., Zyryanov V.N., Davies P.A. On the onfluence of an isolated submerged obstacle on a barotropic tidal flow // Geophys. Astrophys. Fluid. Dynamics. 1998. Vol. 88. P. 1–30. [72] Sotiropoulos F., Ventikos Y., Lackey T. C. Chaotic advection in threedimensional stationary vortex-breakdown bubbles: Sil'nikov's chaos and the devil's staircase. // J. Fluid. Mech. 2001. Vol. 444. P. 257—297.

118

[73] Stepanov D. V. Influence of the tide on entrainment and release of passive pollutant by ocean eddy structures. // IUGG 2003, Sapporo Japan, June 30 – July 11, 2003. A.427. [74] Stoer J. Extrapolation methods for the solution of initial value problems and their practical realization // Lecture notes in Mathematics. Vol. 23. P. 1—21. [75] Tsega Y., Michaelides E. E. Particle dynamics and mixing in the frequency driven Kelvin cat eyes flow // Chaos. 2001. Vol. 11, № 2. P. 351 – 358. [76] Waseda T., Mitsudera H. Chaotic advection of the shallow Kuroshio coastal waters // Journal of Oceanography. 2002. Vol. 58. P. 627–638. [77] Wiggins S., Ottino J.M. Foundation of chaotic mixing // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 2004. Vol. 362. P. 937–970. [78] Wiggins S. The dynamical systems approach to Lagrangian transport in ocean flows // Annu. Rev. Fluid Mech. 2005. Vol. 37. P. 295–328. [79] Wiggins S. Chaotic Transport in Dynamical System. – N. Y.: SpringerVerlag, 1992. 301 p. [80] Yang H. The subtropical/subpolar gyre exchange in the presence of annually migrating wind and a meandering jet: water mass exchange // J. Phys. Ocean. 1996. Vol. 26. P. 115–130. [81] Yang H. Chaotic transport and mixing by ocean gyre circulation/ Stochastic modeling in physical oceanography. Eds J. Adler, P. Muller, B. Rozorskii. – Boston: Birkhanson. 1996. P. 439–465. [82] Yang H. Chaotic mixing and transport in wave systems and the atmosphere // J. Bifurcation and Chaos. 1993. Vol. 3, № 6. P. 1423–1445. [83] Yang H. Dependence of Hamiltonian chaos on perturbation structure // Biffurc. and Chaos. 1993. Vol. 3, № 4. P. 1013–1028. [84] Yang H. Lagrangian modeling of potential vorticity homogenization and the associated front in the Gulf Stream // J. Phys. Ocean. 1996. Vol. 26, № 11. P. 2480–2496.

119

[85] Yang H. Three-dimensional transport of the Ertel potential vorticity and N 2 O in the GFDL SKYHI model // J. Atmos. Sci. 1995. Vol. 52, № 9. P. 1513– 1528. [86] Yang H. The three-dimensional chaotic transport and the Great Ocean Barier // J. Phys. Ocean. 1997. Vol. 27, № 7. P. 1258–1273. [87] Yuan G.-C., Pratt L.J., Jones C.K.R. T. Cross-Jet Lagrangian transport and mixing in a 2 12 − layer model // J. Phys. Ocean. 2004. Vol. 34. P. 1991–2005.

120

СОДЕРЖАНИЕ Введение....................................................................................................................... 3 ГЛАВА 1. Хаотическая адвекция: обзор литературы. .......................................... 10 §1.1. Фоновые течения в геофизической гидродинамике. ................................ 22 §1.2. Баротропная квазигеострофическая модель фонового течения .............. 23 §1.3. Двухслойная квазигеострофическая модель.............................................. 25 §1.4. Некоторые замечания по численному интегрированию. ......................... 27 ГЛАВА 2. Баротропная квазигеострофическая модель топографического вихря. ..................................................................................................................................... 29 §2.1. Постановка задачи. ....................................................................................... 30 §2.2. Масштабирование......................................................................................... 35 §2.3. Топографический вихрь в стационарном набегающем потоке ............... 36 §2.4. Перенос и перемешивание трассеров в нестационарном вихревом потоке .................................................................................................................................. 45 §2.5. Оценка ширины зоны перемешивания. ...................................................... 47 §2.6. Хаотический перенос. .................................................................................. 54 §2.7. Сечения Пуанкаре......................................................................................... 63 §2.8. Хаотическое перемешивание в вихревой области. ................................... 68 ГЛАВА 3 Двухслойная квазигеострофическая модель топографического вихря ..................................................................................................................................... 79 §3.1. Постановка задачи. ....................................................................................... 79 §3.2. Масштабирование......................................................................................... 82 §3.3. Топографический вихрь в стационарном баротропном потоке............... 83 §3.4. Нестационарный набегающий поток.......................................................... 85 §3.5. Хаотический перенос облака трассеров. .................................................... 86 §3.6. Сечения Пуанкаре......................................................................................... 90 §3.7. Универсальность положения интервала оптимальных частот для трех различных моделей топографических вихрей. ................................................. 100 Заключение. ............................................................................................................. 104 Список литературы ................................................................................................. 111