ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ Кафедра вычислительной физики

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÙÅÃÎ È ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ

-

ÑÀÍÊÒÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ

 ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒ



ÁÓÑËΠÂ. À. , ßÊÎÂËÅ Ñ. Ë.

ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ×ÈÑËÅÍÍÛÉ ÀÍÀËÈÇ

Êàôåäðà âû÷èñëèòåëüíîé ôèçèêè

ÑÀÍÊÒÏÅÒÅÐÁÓÐÃ 1999

2

Îãëàâëåíèå

0.1 1

2

Ââåäåíèå. Ïðîñòðàíñòâà ñ ìåòðèêîé

4

6 7

Àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé

13

2.1

Èíòåðïîëÿöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.1

Çàäà÷à èíòåpïîëÿöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.2

×åáûøåâñêèå ñèñòåìû ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.3

Èíòåpïîëÿöèÿ ìíîãî÷ëåíàìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.1.4

Ïîãpåøíîñòü èíòåpïîëÿöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.5

Îöåíêà

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1.6

Ñõîäèìîñòü èíòåpïîëÿöèè. Ïpèìåpû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1.7

Ñïëàéíû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Àïïðîêñèìàöèè Ïàäå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.1

"Íàèâíûé"ïîäõîä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.2

Äåòåðìèíàíòíîå Ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ Ïàäå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2.3

Àïïðîêñèìàöèè Ïàäå â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2

3

Îò àâòîðîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

NN +1 (x):

×èñëåííîå äèôôåpåíöèpîâàíèå

33

3.1

Äèôôåðåíöèðîâàíèå èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2

Êîíå÷íûå pàçíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.2.1

Îïåðàòîð

37

3.2.2

Èíòåpïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Íüþòîíà äëÿ pàâíîîòñòîÿùèõ óçëîâ


è îáîáùåííàÿ ñòåïåíü

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

×èñëåííîå èíòåãpèpîâàíèå

39

4.1

Íàâîäÿùèå ñîîáðàæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.2

Êâàäpàòópíûå ôîpìóëû Íüþòîíà-Êîòåñà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.2.1

Ñëó÷àé pàâíîîòñòîÿùèõ óçëîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.2.2

Îöåíêà ïîãpåøíîñòè êâàäpàòópíûõ ôîpìóë Íüþòîíà-Êîòåñà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Ôîpìóëû Ãàóññà-Êpèñòîôåëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

4.3.1

Ïðåäåëû àëãåáðàè÷åñêîé ñòåïåíè òî÷íîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

4.3.2

Îpòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.3.3

Ñâîéñòâà îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.3.4

Ïpèìåpû îpòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4.3.5

Ïîãpåøíîñòü êâàäpàòópíûõ ôîpìóë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Ïpèìåpû êâàäpàòópíûõ ôîpìóë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

4.3

4.4

3

4.4.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Ñîñòàâíûå êâàäpàòópíûå ôîpìóëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

4.5.1

50

4.4.2 4.4.3 4.5

4.6

5

Ñõîäèìîñòü êâàäpàòópíûõ ôîpìóë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Äðóãèå ôîðìóëû

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

4.6.1

Ñïëàéí-êâàäpàòópà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

4.6.2

Ôîpìóëû Ôèëîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4.6.3

Ñîñòàâíûå ôîpìóëû Ôèëîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Ñèñòåìû ópàâíåíèé

55

5.1

Ðåøåíèå íåëèíåéíûõ ópàâíåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

5.1.1

Îäíîìåðíûé ñëó÷àé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

5.1.2

Ìåòîä Íüþòîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

5.1.3

Ìåòîä ñåêóùèõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

5.1.4

Ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

Ðåøåíèå ëèíåéíûõ ñèñòåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

5.2.1

Îáóñëîâëåííîñòü ëèíåéíûõ ñèñòåì, ïîãðåøíîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

5.2.2

Ìåòîä Ãàóññà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

5.2.3

L-R ðàçëîæåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

5.2.4

Ìåòîä ïpîãîíêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

5.2.5

Ìåòîä Çåéäåëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

5.2.6

Ñõîäèìîñòü ìåòîäà Çåéäåëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

5.2

6

L=1. ×èñëî óçëîâ L = 2 . ×èñëî óçëîâ L = 3 . ×èñëî óçëîâ

Àëãåáðàè÷åñêèå ñïåêòðàëüíûå çàäà÷è

69

6.1

Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç ìàòðè÷íîé òåîðèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

6.2

Cîáñòâåííûå ÷èñëà ýðìèòîâûõ ìàòðèö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

6.2.1

Èíòåðïîëÿöèîííûé ìåòîä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

6.2.2

Íàõîæäåíèå ìàêñèìàëüíîãî ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

6.2.3

Îápàòíûå èòåpàöèè

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Íåýðìèòîâû ìàòðèöû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

6.3.1

Äîïîëíèòåëüíûå ñâåäåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

6.3.2

Ìåòîä èòåpàöèé äëÿ ìàêñèìàëüíîãî ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîãî ÷èñëà êpàòíîñòè 2 â ñëó÷àå æîpäà-

6.3

íîâîé àíîìàëèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

73

Ïîèñê ìèíèìóìà

77

7.1

Ñëó÷àé îäíîé ïåðåìåííîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

7.1.1

Ìåòîä çîëîòîãî ñå÷åíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

7.1.2

Ìåòîä ïàpàáîë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

Ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

7.2.1

Êîîðäèíàòíûé ñïóñê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

7.2.2

Íàèñêîðåéøèé ñïóñê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

7.2.3

Ìåòîä ñîïðÿæåííûõ íàïðàâëåíèé

80

7.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

8

Äèôôåpåíöèàëüíûå ópàâíåíèÿ

83

8.1

Îáùèå ñâåäåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

8.1.1

Çàäà÷à Êîøè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

8.1.2

Êðàåâàÿ çàäà÷à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

8.1.3

Çàäà÷à Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

8.1.4

×òî ïîíèìàåòñÿ ïîä ÷èñëåííûì ðåøåíèåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

Çàäà÷à Êîøè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

8.2.1

Ïîëó÷åíèå ÿâíûõ ñõåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

8.2.2

Ñõåìà Ýéëåpà (ìåòîä ëîìàíûõ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

8.2.3

Ìåòîäû Ðóíãå-Êóòòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

8.2.4

Ìåòîäû Àäàìñà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

Êðàåâàÿ çàäà÷à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

8.3.1

Ìåòîä ñòðåëüáû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

8.3.2

Ìåòîä ñåòîê (ðàçíîñòíûé ìåòîä) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

8.3.3

Ñõîäèìîñòü ñåòî÷íûõ ìåòîäîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

8.3.4

Ìåòîä Íóìåpîâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

Çàäà÷à Øòópìà-Ëèóâèëëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

8.4.1

Ìåòîä ñòpåëüáû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

8.4.2

Ìåòîä ñåòîê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

Ðàçíîñòíûé îïåpàòîp âòîðîé ïðîèçâîäíîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

8.5.1

Îïåðàòîð âòîðîé ïðîèçâîäíîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

8.5.2

Ðàçíîñòíûé îïåðàòîð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

8.5.3

Ðåçîëüâåíòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

8.5.4

Òåîpèÿ âîçìóùåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

8.2

8.3

8.4

8.5

5

0.1

Îò àâòîðîâ

Ïðåäëàãàåìîå èçäàíèå ÿâëÿåòñÿ ïåðâîé ÷àñòüþ ó÷åáíèêà äëÿ ñòóäåíòîâ åñòåñòâåííîíàó÷íûõ ôàêóëüòåòîâ è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èçëîæåíèå ââîäíûõ ëåêöèé ïî ÷èñëåííûì ìåòîäàì, ÷èòàâøèõñÿ íà ïðîòÿæåíèè ðÿäà ëåò àâòîðàìè â ïåðâîì ñåìåñòðå II êóðñà ôûçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÑÏáÃÓ. Ñ ýòèì ñâÿçàíî îãðàíè÷åíèå ìàòåðèàëà âîøåäøåãî â ó÷åáíèê, ïîñêîëüêó êî âòîðîìó êóðñó ñòóäåíòû åùå íå îáëàäàþò äîñòàòî÷íîé ìàòåìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêîé, íåîáõîäèìîé äëÿ ðåàëèçàöèè ìíîãèõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ.  ÷àñòíîñòè, íå îñâåùåíû âîïðîñû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, íåêîððåêòíûõ çàäà÷ è ðÿäà äðóãèõ, îòíîñÿùèõñÿ êî âòîðîé ÷àñòè êóðñà ïî ÷èñëåííûì ìåòîäàì, ïðåïîäàâàåìîãî íà IV êóðñå ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà, è ãîòîâÿùèìñÿ ê ïóáëèêàöèè â êà÷åñòâå âòîðîé ÷àñòè íàñòîÿùåãî ïîñîáèÿ. Òåì íå ìåíåå íåêîòîðûå âîïðîñû ââîäíîãî êóðñà ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ òðåáóþò ïðåäâàðèòåëüíûõ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè îá'åìà ìàòåìàòè÷åñêèõ ñâåäåíèé, ïîëó÷àåìûõ ñòóäåíòàìè íà I-ì è äàæå II-ì êóðñå, ïîýòîìó àâòîðû ñî÷ëè êàê íåîáõîäèìûì òàê è âîçìîæíûì, âêëþ÷èòü â ñîîòâåòñòâóþùèõ ìåñòàõ áàçîâûå ñâåäåíèÿ èç ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, ÷òîáû ñäåëàòü èçëîæåíèå ìàòåðèàëà â ðàçóìíûõ ïðåäåëàõ íåçàâèñèìûì îò àïðèîðíûõ çíàíèé ÷èòàòåëÿ.  êíèãå ïðèíÿòà íóìåðàöèÿ ôîðìóë ïî ãëàâàì. Ïðèâåäåííàÿ áèáëèîãðàôèÿ ÷àñòè÷íî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èñòî÷íèê ñïðàâî÷íîãî ìàòåðèàëà, íî, â îñíîâíîì, ðàññ÷èòàíà íà äàëüíåéøåå èçó÷åíèå ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ. Àâòîðû ðàäû âîçìîæíîñòè âûðàçèòü ñâîþ áëàãîäàðíîñòü íàøåìó êîëëåãå Ñ.Þ.Ñëàâÿíîâó, ïðî÷èòàâøåìó ðóêîïèñü è ñäåëàâøåìó ðÿä öåííûõ çàìå÷àíèé, è ïðèçíàòåëüíû Ò.Â.Ôðîëîâîé çà ïîìîùü â íàáîðå òåêñòà.

6

Ãëàâà 1 Ââåäåíèå. Ïðîñòðàíñòâà ñ ìåòðèêîé

 ÷èñëåííûõ ìåòîäàõ ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàäà÷à ðåøàåòñÿ êàê ïðàâèëî ïðèáëèæåííî. Ïîëó÷àåìîå ïðèáëèæåíèå â òîì èëè èíîì ñìûñëå äîëæíî áûòü "áëèçêî ðàñïîëîæåííûì"ê èñòèííîìó ðåøåíèþ, ïîýòîìó ïîíÿòèþ áëèçîñòè íåîáõîäèìî ïðèäàòü ÷åòêèé ìàòåìàòè÷åñêèé ñìûñë, ÷òîáû èìåòü êðèòåðèé ñðàâíåíèÿ è âîçìîæíîñòü óòâåðæäàòü, ÷òî òàêîå-òî ïðèáëèæåíèå åñòü "õîðîøåå"ïðèáëèæåíèå, à òàêîå-òî  íåò. Âñå îá'åêòû, êîòîðûå èçó÷àþòñÿ â ÷èñëåííûõ ìåòîäàõ, ïðèíàäëåæàò íåêîòîðûì ïðîñòðàíñòâàì (ðàçëè÷íûì ïðîñòðàíñòâàì ôóíêöèé, âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâàì) ñ ðàçëè÷íûìè ñâîéñòâàìè. Îáùèì äëÿ âñåõ ýòèõ ïðîñòðàíñòâ ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ðàññòîÿíèÿ, êîòîðîå è ÿâëÿåòñÿ ìåðîé áëèçîñòè ýëåìåíòîâ. Ïîýòîìó åñòåñòâåííî íà÷àòü èçó÷åíèå ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ñ íàèáîëåå îáùåãî ïðîñòðàíñòâà, äëÿ ëþáîé ïàðû ýëåìåíòîâ êîòîðîãî, îïðåäåëåíî ðàññòîÿíèå. Òàêîâûì ÿâëÿåòñÿ Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü

M

 íåêîòîðîå ìíîæåñòâî è



ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.

 áèíàðíàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåìàÿ

R+ = [0; 1), òàêàÿ ÷òî äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà M âûïîëíåíî

ìåòðèêîé,  : M  M !

(x; y) = 0 , x = y; 2)(x; y ) = (y; x); 3)(x; z )  (x; y ) + (y; z )  íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà, òîãäà ïàðà (M; ) íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì. 1)

Çàìåòèì, ÷òî åñëè íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå

M

îïðåäåëèòü äðóãóþ áèíàðíóþ ôóíêöèþ ñ óêàçàííûìè ñâîéñò-

âàìè, òî ìû áóäåì èìåòü, ñîîòâåòñòâåííî, è äðóãîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Ñòðóêòóðà ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà ïîçâîëÿåò ãîâîðèòü î ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ýëåìåíòîâ äàííîãî ïðîñòðàíñòâà. Èìåííî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xi íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ (ïî ìåòðèêå) ê ýëåìåíòó

x åñëè

lim (xi; x) = 0 :

i!1

Íà ïðàêòèêå æå, èìåÿ äåëî ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè ïðèáëèæåíèé xi ê òî÷íîìó ðåøåíèþ

x ïîñòàâëåííîé çàäà÷è, ïðî-

âåðÿòü âûïîëíåíèå ýòîãî óñëîâèÿ çà÷àñòóþ íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì, ïîñêîëüêó ñàìî ýòî ðåøåíèå, êàê ïðàâèëî, íåèçâåñòíî, è åñòü ëèøü âîçìîæíîñòü ñðàâíèâàòü ïðèáëèæåíèÿ xi ìåæäó ñîáîé, òî åñòü âûÿñíÿòü ÿâëÿåòñÿ ëè äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíäàìåíòàëüíîé (ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ Êîøè). Íàïîìíèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xi íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé, åñëè

8  > 0 9N 8i; k > N (xi; xk ) < . Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì ëþáàÿ ôóíäàìåí-

òàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ïðåäåë, ïðèíàäëåæàùèé ýòîìó æå ïðîñòðàíñòâó, íàçûâàåòñÿ

ïîëíûì. Êàê èçâåñòíî,

(M; ) ìîæíî ïîïîëíèòü [5] åäèíñòâåííûì îáðàçîì ñ ñîõðàíåíèåì ðàññòîÿíèÿ, åñëè ïîíèìàòü ïîä ýëåìåíòàìè ïîïîëíåíèÿ (M  ;  ) êëàññû ýêâèâàëåíòíûõ äðóã äðóãó ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé (ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fxn g è fyn g íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè (xn ; yn ) ! 0 ïðè n ! 1), à â êà÷åñòâå íîâîé ìåòðèêè  ïðèíÿòü ñëåäóþùóþ:  (x ; y  ) = lim (xk ; yk ), ãäå ýëåìåíòû xk , yk ÿâëÿþòñÿ k-ìè ýëåìåíòàìè èç k!1 ëþáîå íåïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî

ïðîèçâîëüíûõ ïðåäñòàâèòåëåé

fxn g è fyn g êëàññîâ ýêâèâàëåíòíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, îòâå÷àþùèõ ýëåìåíòàì x è 7

y  ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ýòîì ýëåìåíòû ïðîñòðàíñòâà (M; ) âñþäó ïëîòíû â (M  ;  ). Ïðîñòûì ïðèìåðîì íåïîëíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà ñëóæèò îòðåçîê (0; 1] c ìåòðèêîé (x; y ) = jx y j. Ýòî ïðîñòðàíñòâî íåïîëíîå, òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 1=n, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé, íî åå ïðåäåëîì ÿâëÿåòñÿ 0, è îí íå ïðèíàäëåæèò îòðåçêó (0,1]. Ïîïîëíåíèåì ñëóæèò çàìêíóòûé îòðåçîê [0,1]. Åñòåñòâåííî, ÷òî ïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà, ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì îáñòîÿòåëüñòâîì äëÿ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðèáëèæåíèé, ïðèíàäëåæàùèõ îäíîìó êëàññó îáúåêòîâ, ìîæåò èìåòü ïðåäåë ýòîìó êëàññó íå ïðèíàäëåæàùèé è, ñëåäîâàòåëüíî, íå îáëàäàòü òðåáóåìûìè ñâîéñòâàìè. Êàê ïðàâèëî â ÷èñëåííûõ ìåòîäàõ çàäà÷à ïîèñêà ðåøåíèÿ

x

ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ìîæåò áûòü

ñôîðìóëèðîâàíà â âèäå çàäà÷è î íàõîæäåíèè íåïîäâèæíîé òî÷êè íåêîòîðîãî ñæèìàþùåãî îòîáðàæåíèÿ

Ax = x :

A:

(1)

x íàçûâàåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ A çàäàííîãî â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå, åñëè âûïîëíåíî (1). Ñàìî æå îòîáðàæåíèå A íàçûâàåòñÿ ñæèìàþùèì èëè ñæàòèåì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî 0 <  < 1 , ÷òî äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x; y ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà Íàïîìíèì, ÷òî òî÷êà

(Ax; Ay )  (x; y ) :

(2)

Çàìåòèì, ÷òî âñÿêîå ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå íåïðåðûâíî, ïîñêîëüêó åñëè xn

! x, òî èç (2) ñëåäóåò, ÷òî Axn ! Ax.

Âàæíûì ñâîéñòâîì ñæèìàþùåãî îòîáðàæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå íåïîäâèæíîé òî÷êè. Èìåííî, ñïðàâåäëèâà

Âñÿêîå ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå, îïðåäåëåííîå â ïîëíîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå èìååò îäíó è òîëüêî îäíó íåïîäâèæíóþ òî÷êó. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x0  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà. Îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn = Òåîðåìà (ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé).

Axn 1 . Ïîêàæåì, ÷òî îíà ôóíäàìåíòàëüíàÿ. Áóäåì ñ÷èòàòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ÷òî m  n, òîãäà (xn ; xm ) = (An x0 ; Am x0 )  n (x0 ; xm n ) 

 n f(x0 ; x1 ) + (x1; x2 ) + : : : + (xm

= n (x0; x1 )f1 +  + 2 + : : : + m

n

n

1 ; xm

n )g 

1 g = n (x0; x1 ) 1 m 1 

n



 n (x0 ; x1 ) 1 1  n!1 !0:

Òàêèì îáðàçîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ôóíäàìåíòàëüíàÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ïîëíîòû ïðîñòðàíñòâà èìååò ïðåäåë. Îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç x. Óáåäèìñÿ, ÷òî x ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé. Äåéñòâèòåëüíî, èç íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ

A Ax = A

lim

n!1

xn =

lim

n!1

Axn =

lim

n!1

xn+1 = x :

Îñòàëîñü óäîñòîâåðèòüñÿ, ÷òî íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé. Ïóñòü

Ax = x ;

Ay = y ;

òîãäà èç (2)

(x; y ) = (Ax; Ay )  (x; y ) ; îòêóäà

(x; y ) = 0, ÷òî â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà îçíà÷àåò, ÷òî x = y . 8

 äàëüíåéøåì ìû áóäåì íåîäíîêðàòíî ïîëüçîâàòüñÿ ïðèíöèïîì ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé. Îïðåäåëèì òàêæå ïîíÿòèå

ïîðÿäêà ñõîäèìîñòè. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ñõîäèòñÿ: nlim x =x !1 n d=

è

; x) : lim lnln(x(xn+1 n ; x)

(3)

n!1

Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë (3), òî îí è íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì ñõîäèìîñòè. Âûðàæåíèå (3) ìîæíî çàïèñàòü è â äðóãîé ôîðìå. Èìåííî:

lim (dx(nx+1n ;;xx)) = C ;

(4)

n!1

ãäå C íåêîòîðàÿ îòëè÷íàÿ îò

0 è íå ðàâíàÿ áåñêîíå÷íîñòè êîíñòàíòà. Èç ýòîãî âûðàæåíèÿ âèäíî, ÷òî ÷åì âûøå ïîðÿäîê

ñõîäèìîñòè d, òåì áûñòðåå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ñõîäèòñÿ ê ïðåäåëó.

Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ñëèøêîì îáùèì ïîíÿòèåì. Êàê ïðàâèëî, îá'åêòû, ñ êîòîðûìè ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî, îáëàäàþò ñâîéñòâàìè íå òîëüêî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà, íî è ðÿäîì äîïîëíèòåëüíûõ ñâîéñòâ. Íàïîìíèì ïðåäâàðèòåëüíî íåêîòîðûå îïðåäåëåíèÿ èç àáñòðàêòíîé àëãåáðû [10]. Îïðåäåëåíèå. Êëàññ

G

îá'åêòîâ (ýëåìåíòîâ) a, b, c,

êîòîðàÿ êàæäîé ïàðå ýëåìåíòîâ a,

:::

íàçûâàåòñÿ

ãðóïïîé, åñëè îïðåäåëåíà áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ,

b ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðûé îá'åêò (ðåçóëüòàò îïåðàöèè) a
b òàê, ÷òî:

a
b ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì êëàññà (çàìêíóòîñòü îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè
); 2) a
(b
c) = (a
b)
c (àññîöèàòèâíîñòü); 3) G ñîäåðæèò (ëåâóþ) åäèíèöó e òàêóþ, ÷òî äëÿ ëþáîãî a èç G, e
a = a; 4) äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà a 2 G â G ñóùåñòâóåò (ëåâûé) îáðàòíûé ýëåìåíò a 1 1)

Îïåðàöèþ
, îïðåäåëÿþùóþ ãðóïïó, íàçûâàþò (àáñòðàêòíûì)

òàêîé, ÷òî

a 1
a = e.

óìíîæåíèåì è ÷àñòî îïóñêàþò ïðè çàïèñè: ab = a
b.

êîììóòàòèâíà èëè àáåëåâà, åñëè ëþáûå åå ýëåìåíòû ïåðåñòàíîâî÷íû. Îïðåäåëÿþùóþ îïåðàöèþ â êîììóòàòèâíîé ãðóïïå ÷àñòî íàçûâàþò (àáñòðàêòíûì) ñëîæåíèåì, îáîçíà÷àÿ åå +, à åäèíè÷íûé ýëåìåíò íàçûâàþò íóëü è îáîçíà÷àþò 0. Îáðàòíûé ýëåìåíò ê a çàïèñûâàþò êàê a; ïðè ýòîì ïèøóò a + ( b) = a b. Ãðóïïà

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî êàæäàÿ ãðóïïà èìååò åäèíñòâåííóþ ëåâóþ è ïðàâóþ åäèíèöû, è ýòè åäèíèöû ðàâíû, ðàâíî êàê êàæäûé ýëåìåíò èìååò åäèíñòâåííûé ëåâûé è ïðàâûé îáðàòíûå è ýòè ýëåìåíòû ðàâíû. Îòñþäà ñëåäóþò çàêîíû ñîêðàùåíèÿ (ab

= ac ) b = c; ca = cb ) b = c) è ñóùåñòâîâàíèå åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ x óðàâíåíèÿ ax = b (èëè

xa = b), ò.å. îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíî "äåëåíèå". Îïðåäåëåíèå. Êëàññ R îá'åêòîâ (ýëåìåíòîâ) a, b, c, : : :

íàçûâàåòñÿ

êîëüöîì, åñëè îïðåäåëåíû óæå äâå áèíàðíûå

îïåðàöèè, îáû÷íî íàçûâàåìûå ñëîæåíèåì è óìíîæåíèåì, òàêèå, ÷òî:

R åñòü àáåëåâà ãðóïïà ïî ñëîæåíèþ; 2) ab 2 R (çàìêíóòîñòü ïî îòíîøåíèþ ê óìíîæåíèþ); 3) a(bc) = (ab)c (àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ); 4) a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc (äèñòðèáóòèâíûå çàêîíû). Çàìåòèì, ÷òî a
0 = 0
a = 0. Äâà ýëåìåíòà a 6= 0 è b 6= 0, äëÿ êîòîðûõ ab = 0, íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííîëåâûì è 1)

ïðàâûì äåëèòåëÿìè íóëÿ. Íàïðèìåð, íåïðåðûâíûå ôóíêöèè íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå îáðàçóþò êîììóòàòèâíîå êîëüöî, ñîäåðæàùåå äåëèòåëè íóëÿ.  êîëüöå áåç äåëèòåëåé íóëÿ èç ab = 0 ñëåäóåò, ÷òî ëèáî a = 0 ëèáî b = 0 è äåéñòâóþò çàêîíû ñîêðàùåíèÿ. Åñëè êîëüöî

R

ñîäåðæèò è ëåâóþ è ïðàâóþ åäèíèöû, òî îíè åäèíñòâåííû è ñîâïàäàþò, a

R

íàçûâàåòñÿ

êîëüöîì ñ åäèíèöåé. Àíàëîãè÷íî, åñëè ýëåìåíò îáëàäàåò è ëåâûì è ïðàâûì îáðàòíûì, òî îíè òàêæå åäèíñòâåííû è ñîâïàäàþò.

Òåëî B  êîëüöî ñ åäèíèöåé, â êîòîðîì äëÿ êàæäîãî íåíóëåâîãî ýëåìåíòà ñóùåñòâóåò ìóëüòèïëèêàòèâíûé îáðàòíûé (ò.å. B n f0g  ãðóïïà ïî óìíîæåíèþ). Îïðåäåëåíèå.

Êîììóòàòèâíîå òåëî íàçûâàåòñÿ ïîëåì.

9

Îïðåäåëåíèå. Íåïóñòîå ìíîæåñòâî

L íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì èëè âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàä ïîëåì F, åñëè îíî

óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:

L  ãðóïïà ïî (âåêòîðíîìó) ñëîæåíèþ; 2. Äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà  ïîëÿ F è ëþáîãî x 2 L îïðåäåëåí ýëåìåíò x 2 L, ïðè÷åì à) ( x) = ( )x (àññîöèàòèâíûé çàêîí äëÿ óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð); á) 1
x = x; â) ( + )x = x + x, (x + y ) = x + y (äèñòðèáóòèâíûå çàêîíû). 1.

Åñëè â êà÷åñòâå ïîëÿ

F

âûñòóïàåò ïîëå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë

èëè ïîëå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë

R

C,

òî ðàçëè÷àþò,

ñîîòâåòñòâåííî, äåéñòâèòåëüíûå (âåùåñòâåííûå) è êîìïëåêñíûå ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà.

L ñî çíà÷åíèÿìè â ïîëå F (f : L ! F) ìû áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèîíàëîì. Ôóíêöèîíàë f íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì, åñëè äëÿ ëþáûõ x; y 2 L è ; 2 F âûïîëíåíî: 1) f (x + y ) = f (x) + f (y ) (àääèòèâíîñòü); 2) f (x) = f (x) (îäíîðîäíîñòü). Ôóíêöèîíàë f íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíûì â òî÷êå x, åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn èç xn ! x ñëåäóåò, ÷òî f (xn ) ! f (x). Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî åñëè ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íåïðåðûâåí â îäíîé òî÷êå x, òî îí íåïðåðûâåí è âî âñåì L. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü yn ! y , òîãäà x + yn y ! x è èç íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèîíàëà â òî÷êå x ñëåäóåò, ÷òî f (x + yn y ) ! f (x), îòêóäà ïî ëèíåéíîñòè ôóíêöèîíàëà çàêëþ÷àåì, ÷òî f (yn ) ! f (y ). Îáû÷íî íåïðåðûâíîñòü ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà ïðîâåðÿþò â íóëå ( òî åñòü, åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ! 0 ) f (xn ) ! 0, òî Âñÿêóþ ôóíêöèþ

f

çàäàííóþ íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå

ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íåïðåðûâåí). Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèîíàë

íîðìîé, åñëè 1) f (x) = 0 , x = 0; 2) f (x) = jjf (x); 3) f (x + y )  f (x) + f (y ).

f,

çàäàííûé íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå

L

ñî çíà÷åíèÿìè â R+

Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, íà êîòîðîì çàäàíà íåêîòîðàÿ íîðìà, íàçûâàåòñÿ

x ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü kxk. Âñÿêàÿ íîðìà ïîðîæäàåò â L è ìåòðèêó

= [0; 1), íàçûâàåòñÿ

íîðìèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì. Íîðìó

ýëåìåíòà

(x; y ) = jjx y jj ; òî åñòü ïðåâðàùàåò íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî â ìåòðè÷åñêîå. Îáðàòíîå íåâåðíî. Íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, ïîëíîå ïî ìåòðèêå ïîðîæäåííîé íîðìîé, íàçûâàåòñÿ

áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì.

Ïðèìåðû íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ

1. Ïðèìåðîì íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà ìîæåò ñëóæèòü ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé Lp[a;b]

f

2 Lp[a;b]

2. Ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé

 , jjf jjp def =

C[a;b] ñ íîðìîé

Zb

 p1

jf (t)jp dt

;

1  p < 1:

1:

(5)

a

jjf jj = amax jf (t)j : tb

(6)

Ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ïîëíî ïî ìåòðèêå, ïîðîæäåííîé ýòîé íîðìîé. Åùå áîëåå ñîäåðæàòåëüíûì îá'åêòîì ÿâëÿþòñÿ åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà  ïðîñòðàíñòâà ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì.  äåéñòâèòåëüíîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå (â äàëüíåéøåì îáîçíà÷àåìàÿ

L ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå

îïðåäåëÿåòñÿ êàê áèíàðíàÿ ôóíêöèÿ íà

h
;
i) ñî çíà÷åíèÿìè â R, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: 10

L

hx; yi = hy; xi; 2) hx + y; z i = hx; z i + hy; z i; 3) hx; xi  0, ïðè÷åì hx; xi = 0 , x = 0. 1)

Äåéñòâèòåëüíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñ ôèêñèðîâàííûì â íåì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì

åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâîì.

Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â êîìïëåêñíîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L  ýòî áèíàðíàÿ ôóíêöèÿ h
;
i, îïðåäåëåííàÿ äëÿ

ëþáîé ïàðû ýëåìåíòîâ

x; y 2 L, ñî çíà÷åíèÿìè â C, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:

hx; yi = hy; xi; 2) hx + y; z i = hx; z i + hy; z i; 3) hx; xi  0, ïðè÷åì hx; xi = 0 , x = 0. 1)

Óñëîâèÿ 2) è 3) ñîâïàäàþò äëÿ êîìïëåêñíûõ è äåéñòâèòåëüíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ ñîâïàäàþò, ðàçëè÷èå ëèøü â óñëîâèè 1). Íàêîíåö, åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ

ãèëüáåðòîâûì, åñëè îíî ñåïàðàáåëüíî (ò.å. â íåì ñóùåñòâóåò ñ÷åòíûé

áàçèñ (íàïîìíèì, ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ñ÷åòíûì, åñëè ìåæäó íèì è ìíîæåñòâîì íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå)) è ïîëíî ïî ìåòðèêå, ïîðîæäåííîé ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì. Ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì [5].

11

L2

12

Ãëàâà 2 Àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé

Òåðìèí

àïïðîêñèìàöèÿ îçíà÷àåò ïðèáëèæåíèå. Ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ àïïðîêñèìàöèåé ôóíêöèè g, åñëè îíà â òîì èëè

èíîì ñìûñëå áëèçêà ê ñîâïàäàëà

g

g

(ñêàæåì, ïî òîé èëè èíîé íîðìå). Â ñèòóàöèè, êîãäà ôóíêöèÿ

â êîíå÷íîì íàáîðå òî÷åê, òî åå, ðàâíî êàê è ñàì ïðîöåññ ïîèñêà, íàçûâàþò

åñëè èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè

f

èùåòñÿ òàê, ÷òîáû îíà

èíòåðïîëÿöèåé. Ïðè ýòîì,

g (ò.å. çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f ), íàõîäÿùèåñÿ âíå îòðåçêà ñ

çàäàííûì íàáîðîì òî÷åê (ýòî êàñàåòñÿ ëèøü âåùåñòâåííûõ ôóíêöèé, ðàçóìååòñÿ), òî íàðÿäó ñ òåðìèíîì èíòåðïîëÿöèÿ óïîòðåáëÿåòñÿ òàêæå òåðìèí

2.1

ýêñòðàïîëÿöèÿ.

Èíòåðïîëÿöèÿ

2.1.1

Çàäà÷à èíòåpïîëÿöèè

Ïóñòü çàäàíà òàáëèöà ÷èñåë

fxi ; fi g, i = 0 ; 1 ; ::: ; N ; x0 < x1 < ::: < xN . f (x) fxi ; fi gNi=0

Îïðåäåëåíèå. Âñÿêàÿ ôóíêöèÿ

(èíòåpïîëÿöèåé) äëÿ òàáëèöû

f (xi )

òàêàÿ, ÷òî

=

fi

; i = 0 ; 1 ; ::: ; N

íàçûâàåòñÿ

èíòåpïîëèpóþùåé

.

Çàäà÷à èíòåpïîëÿöèè ñîñòîèò â îòûñêàíèè (ïîñòpîåíèè) èíòåpïîëèpóþùåé ôóíêöèè (ò.å. ïpèíèìàþùåé â çàäàííûõ óçëàõ èíòåpïîëÿöèè

xi

çàäàííûå çíà÷åíèÿ

fi

) è ïpèíàäëåæàùåé çàäàííîìó êëàññó ôóíêöèé. Ðàçóìååòñÿ çàäà÷à

èíòåpïîëÿöèè ìîæåò èìåòü èëè íå èìåòü ðåøåíèå (è ïðè òîì íå åäèíñòâåííîå), âñå çàâèñèò îò "çàäàííîãî êëàññà ôóíêöèé". Íåîáõîäèìî âûÿñíèòü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ çàäà÷à èíòåpïîëÿöèè áûëà áû êîppåêòíî ïîñòàâëåíà. Îäèí èç ñïîñîáîâ èíòåðïîëÿöèè ñîñòîèò â òîì, ÷òî èíòåðïîëèðóþùàÿ ôóíêöèÿ èùåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè íåêîòîpûõ êîíêpåòíûõ ôóíêöèé. Òàêàÿ èíòåðïîëÿöèÿ íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé. Òîëüêî ëèíåéíûå èíòåðïîëÿöèè ìû è áóäåì ðàññìàòðèâàòü â äàëüíåéøåì.

2.1.2

×åáûøåâñêèå ñèñòåìû ôóíêöèé

(x)gNi=0  íåêîòîðûé íàáîð ôóíêöèé íà [a; b] , ñêàæåì 'i (x) 2 C[a;b] . Ðàññìîòpèì ëèíåéíóþ îáîëî÷êó N P 'i (x) , îíà ïî îïpåäåëåíèþ ñîñòîèò èç ôóíêöèé ïpåäñòàâèìûõ â âèäå ai 'i (x) , ãäå ai  íåêîòîpûå ÷èñëà.

Ïóñòü f'i N W

H=

i=0

i=0

Áóäåì èñêàòü påøåíèå çàäà÷è èíòåpïîëÿöèè â êëàññå ôóíêöèé, ïpèíàäëåæàùèõ H . Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî

'i (x)

 ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ôóíêöèè (â ïpîòèâíîì ñëó÷àå, åñëè çàäà÷à èíòåpïîëÿöèè

pàçpåøèìà, òî åå påøåíèå çàâåäîìî íå åäèíñòâåííî). Îäíàêî îäíîãî ýòîãî îãpàíè÷åíèÿ äëÿ îäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè íåäîñòàòî÷íî. Ïpèìåpû. Ïóñòü çàäàíà òàáëèöà

xi fi

0

1

0

1

.

13

1. Âîçüìåì â êà÷åñòâå H îáîëî÷êó ñèíóñîèäàëüíûõ ôóíêöèé H Âñÿêàÿ ôóíêöèÿ èç H ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå è îíà íå óäîâëåòâîðÿåò âòîðîìó óñëîâèþ òàáëèöû:

=

N P

N W k=0

sin(kx).

f (x) = ak sin kx è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íåå f (0) = 0 ; f (1) = 0 k=0 f (1) = 0 6= 1 , òàêèì îáðàçîì ðåøåíèé íåò.

2. Ïóñòü òåïåðü H  ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ñòåïåííûõ ôóíêöèé H

N W

=

k=0

xk

è

N

 2 , ñêàæåì N = 2 . Òîãäà

f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 : Ïîñêîëüêó

f (0) = 0 , òî a0 = 0. Äàëåå, f (1) = 1

a1 + a2 = 1, òî åñòü påøåíèé áåñêîíå÷íî ìíîãî.

è çíà÷èò

Íåòpóäíî âèäåòü, ÷òî âî âòîpîì ïpèìåpå äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè påøåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå H ôóíêöèè âèäà

a0 + ak xk . Òî åñòü, äëÿ åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è èíòåðïîëÿöèè åñòåñòâåííî èñïîëü-

çîâàòü ñëåäóþùåå îãpàíè÷åíèå: ÷èñëî óçëîâ äîëæíî pàâíÿòüñÿ pàçìåpíîñòè èíòåpïîëèpóþùåãî ïpîñòpàíñòâà. Îäíàêî, êàê ïîêàçûâàåò ïåðâûé ïðèìåð, äëÿ ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è èíòåðïîëÿöèè è ýòîãî îãðàíè÷åíèÿ íåäîñòàòî÷íî. Âûÿñíèì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ çàäà÷à èíòåðïîëÿöèè ðàçðåøèìà îäíîçíà÷íî. Çàäà÷à ëèíåéíîé èíòåpïîëÿöèè âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îápàçîì: ïóñòü

2 H , ãäå H  ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà íåêîòîðûõ ôóíêöèé 'i (x); i = 0; 1; 2;


; N

f

,

íåîáõîäèìî óäîâëåòâîðèòü ñèñòåìå ðàâåíñòâ

f (xi ) = fi =

fak gNk=0

Òî åñòü, òpåáóåòñÿ íàéòè íàáîð ÷èñåë

f

ïðèíàäëåæèò ëèíåéíîé îáîëî÷êå ôóíêöèé

Îáîçíà÷èì ìàòpèöó

k=0

ak 'k (xi ) :

òàêèõ, ÷òîáû ôóíêöèÿ

Ñëîâî "ëèíåéíàÿ"â ôîðìóëèðîâêå îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèè ôóíêöèÿ

N X

'i

f (x)

(1) óäîâëåòâîðÿëà çàäàííîé òàáëèöå

fxi ; fi g .

âõîäÿò â (1) ëèíåéíûì îáðàçîì (èëè, ÷òî òî æå ñàìîå,

'i ).

f'k (xi )g ÷åðåç . Ïóñòü f  âåêòîp ñ êîìïîíåíòàìè fi , è a = (a0 ; a1 ; : : : ; aN )T , òîãäà ñèñòåìà

(1) ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å

T a = f : det  6= 0 , òî ýòà ñèñòåìà pàçpåøèìà åäèíñòâåííûì îápàçîì. Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà ôóíêöèé f'i g, äëÿ êîòîpîé det  6= 0, íàçûâàåòñÿ ÷åáûøåâñêîé.

Åñëè

Çàìåòèì, ÷òî ëþáàÿ ÷åáûøåâñêàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé àâòîìàòè÷åñêè ëèíåéíî íåçàâèñèìà. Âàæíûì ïðèìåðîì ÷åáûøåâñêèõ ñèñòåì ÿâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíû.

2.1.3

Èíòåpïîëÿöèÿ ìíîãî÷ëåíàìè

Îñîáîå ìåñòî ìíîãî÷ëåíîâ Âûäåëåííîñòü ìíîãî÷ëåíîâ (ïîëèíîìîâ) îáóñëîâëåíà öåëûì ðÿäîì îáñòîÿòåëüñòâ. 1) Ïîëèíîìû

pn (x)

ëåãêî âû÷èñëÿòü;

2) Ìíîæåñòâî ïîëèíîìîâ ïëîòíî â ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ôîðìóëèðîâêó êîòîðîé ìû ïðèâåäåì.

Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f 2 C[a;b] è äëÿ ëþáîãî pn (x) , deg pn (x) = n ,÷òî jjf pn jjC a;b < ":

Òåîpåìà Âåéåpøòpàññà.

[

">0

C[a;b]

, â ñèëó òåîpåìû Âåéåpøòpàññà,

ñóùåñòâóåò òàêîå

è òàêîé ïîëèíîì

]

3) Ïîëèíîìû ÿâëÿþòñÿ ÷åáûøåâñêîé ñèñòåìîé äëÿ ëþáîé ñèñòåìû íåñîâïàäàþùèõ óçëîâ.  ñàìîì äåëå, ïóñòü

n

f'i (x)gNi=0 = f1 ; x ; x2 ; : : : ; xN g , òîãäà det ñîâïàäàåò ñ îïðåäåëèòåëåì Âàíäåðìîíäà 14

1 .. .


(x0 ; x1 ; : : : ; xN ) =

x20 x21

x0 x1

1

.. .

xN0 xN1

::: :::

.. .

..

.. .

.

=

Y

N km0

(xk

xm ) ;

x2N : : : xNN êîòîðûé, î÷åâèäíî, íå ðàâåí íóëþ åñëè xk 6= xm ïðè k 6= m. Óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ Âàíäåðìîíäà ïî èíäóêöèè [6]. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü äëÿ èíäåêñà ðàâíîãî N 1 ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà âåðíà. Âû÷òåì â îïðåäåëèòåëå
(x0 ; x1 ; : : : ; xN ) èç êàæäîãî ñòîëáöà ïðåäøåñòâóþùèé, óìíîæåííûé íà x0 , òîãäà xN

1

0

1


(x0 ; : : : ; xN ) =

1 .. .

x1 x0

1

xN

0

x21 x1 x0

.. .

.. .

x2N

x0

x0 )(x2

x0 ) : : : (xN

x0 )

x0 )(x2 x0 ) : : : (xN

xN1 1 x0 xNN 1 x0

x1 x2

x21 x22

::: :::

xN1 1 xN2 1

1 .. .

.. .

.. .

xN

x2N

(xk

xm ) =

..

=

.. .

.

xNN

Y

x0 )

1

:::

1

= (x1

..

0

xN

xN x0 1

= (x1

::: :::

.. .

.

=

xNN 1

:::

Y

(xk xm ): N km1 N km0 Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à èíòåðïîëÿöèè äëÿ òàáëèöû fxi ; fi gN i=0 ðàçðåøèìà åäèíñòâåííûì îáðàçîì â ëèíåéíîé îáîëî÷êå N W k ñòåïåííûõ ôóíêöèé H = x . Âîçíèêàåò âîïpîñ: êàê ñòpîèòü èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì pN (x) , âåäü åñòü ñâîk=0 áîäà âûáîpà áàçèñà â H èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ñâîáîäà ôîpìû çàïèñè. Ápàòü â êà÷åñòâå 'k (x) ñîáñòâåííî ñòåïåíè xk çà÷àñòóþ îêàçûâàåòñÿ íåóäîáíûì.  ÷àñòíîñòè, íàïðèìåð, íà îòðåçêå [a; b] = [0; 1] ñòåïåííûå ôóíêöèè âûñîêèõ ïîðÿäêîâ âåäóò ñåáÿ âåñüìà ñõîæèì îáðàçîì: ñòåïåíè xi è xj "ïî÷òè ëèíåéíî çàâèñèìû"(îíè î÷åíü ïîõîæè äpóã íà äpóãà) è ïpè ýòîì ïîëó÷àåòñÿ ïî÷òè âûpîæäåííàÿ ìàòpèöà

x

. Çàäà÷à íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ

ak

ïðè ñòåïåíÿõ

îêàçûâàåòñÿ ïëîõî îáóñëîâëåííîé. Íåáîëüøîå âàðüèðîâàíèå âõîäíûõ äàíûõ (çíà÷åíèé fi ) ïðèâîäèò ê çíà÷èòåëüN W íûì èçìåíåíèÿì âåëè÷èí ak . Åñëè æå â H xi âûápàòü äpóãîé áàçèñ, òî ýòî áóäåò îòâå÷àòü òîìó, ÷òî âìåñòî

=

îïpåäåëèòåëÿ Âàíäåpìîíäà (

i=0 det ) è ñàìîé ìàòpèöû , íåîáõîäèìîé äëÿ îòûñêàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ak â çàäà÷å

f (xk ) = a0 + a1 xk + a2 x2k + : : : + aN xNk ; k = 0 ;

1;

::: ; N ;

ìû áóäåì èìåòü íåêîòîpóþ äpóãóþ çàäà÷ó

f (xk ) = b0 p0 (xk ) + b1 p1 (xk ) + : : : + bN pN (xk ) ; k = 0 ; 1 ; : : : ; N ; ãäå pk

2 H. Êîýôôèöèåíòû bk

îïðåäåëÿþòñÿ èç ðàâåíñòâà

f (x) = ïpè ýòîì

pi (x) =

P

Cik xk , òî åñòü f (x) =

èëè â ìàòðè÷íîé ôîðìå

N X i=0

bi

N X k=0

N X i=0

bi pi (x) =

Cik xk =

N X N X k=0 i=0

CT b = a : 15

N X j =0

aj xk ;




bi Cik xk =

N X k=0

ak xk ;

(2)

det C 6= 0, òî íîâàÿ çàäà÷à (2) òàê æå pàçpåøèìà åäèíñòâåííûì îápàçîì. Íåâûpîæäåííîñòü C ýêâèâàëåíòíà òîìó, ÷òî fpk (x)gN k=0 îápàçóþò áàçèñ â H (ñëåäñòâèå ëèíåéíîé àëãåápû).  ÷àñòíîñòè, åñëè ïîëèíîìû N fpk (x)gk=0  H òàêîâû, ÷òî deg pk = k , òî îíè àâòîìàòè÷åñêè ëèíåéíî íåçàâèñèìû è îápàçóþò áàçèñ â H è, Òàêèì îápàçîì, åñëè

ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à èíòåpïîëÿöèè pàçpåøèìà åäèíñòâåíûì îápàçîì.

Èíòåpïîëÿöèîííûé ïîëèíîì â ôîðìå Ëàãpàíæà Îäèí èç âîçìîæíûõ ïîäõîäîâ ê ðåøåíèþ çàäà÷è èíòåðïîëÿöèè ìíîãî÷ëåíàìè, ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ìàòðèöà



èìåëà ïî âîçìîæíîñòè ïðîñòîé âèä. Èìåííî, ðàññìîòðèì çàäà÷ó èíòåpïîëÿöèè : ïóñòü äàíà èíòåðïîëÿöèîííàÿ òàáëèöà

fxk ; fk gNk=0 . Òpåáóåòñÿ íàéòè ïîëèíîì pN (x) Ââåäåì áàçèñ â H åñòü

Îòñþäà

pN (x) =

N P k=0

=

ñòåïåíè N óäîâëåòâîðÿþùèé ýòîé òàáëèöå. N W i x , â êîòîpîì ìàòpèöà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé åäèíè÷íóþ, îáîçíà÷èì åãî



i=0

Lk (xi ) = Æki ;  = I : ak Lk (x) ; è N X

fi = pN (xi ) =

p(x) = Êàê ïîñòpîèòü ëàãðàíæåâû ïîëèíîìû

N

ak Lk (xi ) = ai ;

k=0

èëè

N X k=0

fk Lk (x) :

Lk (x) ? Ïîñêîëüêó Lk (xi) = 0

i 6= k , òî òàêîé ïîëèíîì Lk (x) èìååò Q N . Òàêèì îáðàçîì Lk (x) = Ck (x xi ), ïpè÷åì Lk (xk ) = 1 , i6=k

êîpíåé è ñëåäîâàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì ñòåïåíè Q 1 ïîýòîìó Ck (xk xi ) , ñëåäîâàòåëüíî

=

fLk (x)gNk=0 , òî

ïpè

i6=k

Lj (x) =

Y

x xk : x xk k6=j j

Îêîí÷àòåëüíî, påøåíèå çàäà÷è èíòåpïîëÿöèè ïðèíèìàåò âèä

p(x) =

N X j =0

fj

Y

x xk : x xk k6=j j

Èíòåpïîëÿöèîííûé ïîëèíîì â ôîpìå Íüþòîíà Èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì ñòåïåíè

N

, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç çàäàííûå

(N +1)

òî÷êó

fxi ; fi gNi=0

åäèíñòâåííåí. Îäíàêî

çàïèñü åãî â ôîðìå Ëàãðàíæà ìîæåò äëÿ íåêîòîðûõ çàäà÷ îêàçàòüñÿ íåóäîáíîé. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì îáñòîÿòåëüñòâîì, ÷òî âñå Ëàãðàíæåâû ïîëèíîìû ñåòêå

fxi ; fi g

Lk (x)

èìåþò îäíó è òó æå ñòåïåíü 

N

äîáàâëÿòü íîâûå òî÷êè, òî íåëüçÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ ðàíåå ïîñòðîåííûìè ëàãðàíæåâûìè ïîëèíîìàìè, è

ïðèõîäèòñÿ äëÿ áîëåå âûñîêèõ ñòåïåíåé èõ ñòðîèòü çàíîâî. Áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó èíòåpïîëÿöèè âûáðàâ â H íîâûé áàçèñ

N0 (x) = 1 ; Nk (x) =

Y

i
(x

fNk (x)gNk=0 :

xi ) ; k = 1 ; : : : ; N :

deg Nk (x) = k , è òåì ñàìûì íüþòîíîâû Ni ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Èòàê, áóäåì èñêàòü èíòåpïîëÿöèîííûé ïîëèíîì p(x) â âèäå

 òîì, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî áàçèñ â H ëåãêî óáåäèòüñÿ, ïîñêîëüêó ìíîãî÷ëåíû

.  ÷àñòíîñòè, åñëè ê èíòåðïîëÿöèîííîé

16

p(x) =

N X

ak Nk (x) :

k=0

Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå è ÿâëÿåòñÿ çàïèñüþ èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà â ôîðìå Íüþòîíà. Çàìåòèì, ÷òî ïpè

j < k . Ñàìè êîýôôèöèåíòû ak

p(xj ) = fj ; j = 0 ; : : : ; N

íàõîäèì èç ñèñòåìû: 8 > > > > > > > > > > > > <

k=0

(xl) = fm ;

(xN ) = fN : a0

Ýòî òðåóãîëüíàÿ ñèñòåìà. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ

, çàòåì, çíàÿ

, è òàê äàëåå. Ìîæíî påøèòü òó æå çàäà÷ó è áîëåå "ýëåãàíòíî". Ââåäåì òàê íàçûâàåìûå

ðàçíîñòè 0-ãî ïîðÿäêà  ýòî ïðîñòî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè îïðåäåëÿþòñÿ ðåêóðåíòíî:

1 ïîpÿäêà

fij

= f (xi ; xj ) = xfii

2 ïîpÿäêà

fijk = f (xi ; xj ; xk ) = fxiji fxjk k

èëè

a0 = f0 ; a0 + a1 (x1 x0 ) = f1 ; :::

m P ak Nk > > k=0 > > > > > ::: > > > N > P > : ak Nk

a1

Nk (xj ) = 0

a0

, èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåì

pàçäåëåííûå pàçíîñòè. Ðàçäåëåííûå

= f (xi ) . Ðàçäåëåííûå ðàçíîñòè áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ

fi

;

fj xj

;

:::::::::::::::::::::::: k

ïîpÿäêà

f 0 ; 1 ::: k

= f ::: kx 0 1

1 0

f 1 2 ::: k xk

:

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ðàçäåëåííûå ðàçíîñòè èìåþò ðàçìåðíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîèçâîäíûõ. Ðåøåíèå çàäà÷è èíòåðïîëÿöèè äàåòñÿ ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì

p(x) =

N X k=0

f012 ::: k Nk (x) :

×òîáû óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ, ðàññìîòðèì ðàçäåëåííûå ðàçíîñòè èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëè-

p(x) , â êîòîðûõ â êà÷åñòâå ïåðâîãî èç àðãóìåíòîâ âûñòóïàåò ñàìà ïåðåìåííàÿ x , à îñòàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ òî÷êè èíòåðïîëÿöèè. Ñòåïåíü ýòîãî ïîëèíîìà ðàâíà N . Ðàçíîñòü p(x) p(x0 ) = p(x) f0 îáðàùàåòñÿ â íîëü â òî÷êå x0 è, ñëåäîâàòåëüíî, äåëèòñÿ íà x x0 . Òàêèì îáðàçîì ðàçäåë¼ííàÿ ðàçíîñòü px0 = p(xx) px(0x0 ) , ðàññìàòðèâàåìàÿ êàê ôóíêöèÿ x , ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì ñòåïåíè N 1. Àíàëîãè÷íî, âòîðàÿ ðàçäåëåííàÿ ðàçíîñòü px01 = pxx0 xp101 åñòü ïîëèíîì ïî x ñòåïåíè N 2 , ðàçäåëåííàÿ ðàçíîñòü N -ãî ïîðÿäêà px012:::N 1 óæå íå çàâèñèò îò x è ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé è íîìà

ðàçíîñòè áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà òîæäåñòâåííî ðàâíû íóëþ. Òàêèì îáðàçîì,

p(x) = p0 + (x x0 )px0 = p0 + (x x0 )[p01 + (x x1 )px01 ] = p0 + (x x0 )p01 + (x x0 )(x x1 )[p012 + (x x3 )px012 ] = : : : =

=

N X k=0

p012:::k

Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî ïîñêîëüêó â óçëàõ èíòåðïîëÿöèè çíà÷åíèÿì

fi

, òî è

f01:::k = p01:::k

xi

k Y i=0

.

17

(x

xi ) :

çíà÷åíèÿ èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà ðàâíû òàáëè÷íûì

2.1.4 Ïóñòü

Ïîãpåøíîñòü èíòåpïîëÿöèè f (x)

 íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ è ïóñòü

fxi ; fi gNi=0  èíòåpïîëÿöèîííàÿ òàáëèöà, êîòîðîé ýòà ôóíêöèÿ óäîâëåòâî-

f (xi ) = fi ). Ïî ýòîé æå èíòåðïîëÿöèîííîé ñåòêå ìîæíî ïîñòðîèòü è èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì pN (x). Âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ: íàñêîëüêî ðàçëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé ôóíêöèÿ f (x) è ïîëèíîì pN (x), óäîâëåòâîðÿþùèå îäíîé è òîé æå òàáëèöå? Åñëè íèêàêèõ ñâîéñòâ ãëàäêîñòè íå ïîòðåáîâàòü îò ôóíêöèè f , òî è ñêàçàòü íè÷åãî îïðåäåëåííîãî íåëüçÿ. Îäíàêî, ïðè äîñòàòî÷íîé ãëàäêîñòè ôóíêöèè f ìîæíî îöåíèòü ðàçíîñòü f (x) pN (x), èìåííî, ðÿåò (òî åñòü

ñïðàâåäëèâà

Ïóñòü f 2 C N +1 [a; b] è pN | èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì, óäîâëåòâîðÿþùèå îäíîé è òîé æå ñåòêå çíà÷åíèé fxi ; fi gNi=0 , òîãäà äëÿ ëþáîé òî÷êè x 2 [a; b] ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà (x), ÷òî Òåîpåìà.

ãäå NN +1 (x) = (x

N +1 f (x) pN (x) = f ( (x)) NN +1 (x) ; (N + 1)!

x0 )(x x1 ) : : : (x xN ).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïpåäñòàâèì ïîãpåøíîñòü â âèäå

f (x) pN (x) = NN +1 (x)r(x) : Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå åñòåñòâåííî, ïîñêîëüêó è ðàçíîñòü

f

pN

NN +1

è

â òî÷êàõ xi ;

i = 0; 1; : : : ; N

îáðàùàþòñÿ â

íîëü:

[(x) Ïðè ýòîì

pN (x)]jx=xi = 0 ; i = 0 ; 1 ; : : : ; N :

r(x) 2 C[a;b] . Ââåäåì òàêæå âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ q ( ) = f ( ) pN ( )

x

Çäåñü òî è

q

 ïàpàìåòp,



2 [a; b] . Î÷åâèäíî, ÷òî q() = 0

NN +1 ()r(x) : 

â òî÷êàõ

= x0 ; x1 ; : : : ; xN ; x . Äàëåå, åñëè f 2 C N +1

2 C N +1 . Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ ôóíêöèè, ïðèíàäëåæàùåé C 1 , ìåæäó äâóìÿ êîðíÿìè èìååòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå

îäèí íóëü ïpîèçâîäíîé. Ñëåäîâàòåëüíî, ìåæäó êpàéíèìè èç

(N + 1)-îé ïpîèçâîäíîé. Âûïèøåì ýòó ïðîèçâîäíóþ:

q N +1 ( ) = f N +1 ( ) Ïóñòü îíà îáðàùàåòñÿ â íóëü â òî÷êå

 (x)

: q((x)) = 0

N +2

íóëÿìè ôóíêöèè

q ( )

ëåæèò õîòÿ áû îäèí íóëü

(N + 1)!r(x) :

è, ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîé òî÷êå

 (x)

âûïîëíåíî

N +1 r(x) = f ( (x)) ; (N + 1)! îòêóäà óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî. Çàìå÷àíèå. Ïðèâåäåííûì ðàññóæäåíèåì î êîðíÿõ âñïîìîãàòåëüíîé ôóíêöèè

x 6= xi , òàê êàê ïpè x = xi àâòîìàòè÷åñêè, ïîñêîëüêó

q

ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òîëüêî, åñëè

q (x) èìååò ëèøü N + 1 êîpåíü. Îäíàêî ïðè x = xi f (xi ) = pN (xi ) è NN +1 (xi ) = 0. ôóíêöèÿ

óñëîâèÿ òåîðåìû âûïîëíåíû

Èç óñëîâèÿ òåîðåìû ñëåäóåò àïðèîðíàÿ îöåíêà 



jf N +1 ()j jNN +1 (x)j  jjf N +1 jjC jNN +1 (x)j : jf (x) pN (x)j  max (N + 1)! 2[a;b] (N + 1)! p Ïpèìåp. Îöåíèòü ïîãpåøíîñòü ôóíêöèè y = x íà ïpîìåæóòêå [100,144] ñ óçëàìè 100, 121, 144 ñ ïîìîùüþ èíòåpïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà âòîpîé ñòåïåíè (â ôîpìå Ëàãpàíæà èëè Íüþòîíà  ýòî âñå pàâíî, ïîñêîëüêó ýòî îäèí è òîò æå ïîëèíîì, ðàçíèöà ìîæåò âîçíèêíóòü òîëüêî, åñëè âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòîâ ïpîèñõîäèò íå òî÷íî, à ñ íåêîòîpîé

18

ïîãpåøíîñòüþ). Ðåøåíèå. Äëÿ òîãî, ÷òîáû îöåíèòü ïîãðåøíîñòü âîâñå íåò íåîáõîäèìîñòè ñòðîèòü ñàì èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì, äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïîëó÷åííîé îöåíêîé. Èòàê

max jy000 j  38 (100)

5 2

=

3 10 5 , îòêóäà 8

N

=2

; y 0 = 12 x

1 2

; y 00 = 14 x

3 2

; y 000 = 38 x

5 2

, ñëåäîâàòåëüíî

jpN (x) y(x)j  38 10 5 3!1 max j(x 100)(x 121)(x 144)j < 3
10 3 :

Òàêèì îápàçîì, äàæå íå ñ÷èòàÿ ñàì èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì pN

2.1.5

Îöåíêà

(x) ìû îöåíèëè ïîãpåøíîñòü.

NN +1( )

x :

NN +1

Ïpè ïpîèçâîëüíîì pàñïîëîæåíèè óçëîâ îöåíèòü ìîäóëü âûãëÿäèò ïpîùå. Ïpîâåäåì ãpóáóþ îöåíêó. Ïóñòü

äîâîëüíî ñëîæíî. Äëÿ pàâíîìåpíîé ñåòêè ñèòóàöèÿ

x 2 [xk 1 ; xk ], òîãäà

jx0 xj  kh ; jx1 xj  (k 1)h ; : : : ; jxk 1 xj  h ; jxk xj  h ; jxk+1 xj  2h ; : : : ; jxN xj  (N k + 1)h ; îòêóäà

jNN +1 j  (N k + 1)!k!hN +1 , è jjf pn jjC  jjf N +1 jjC k!(N(N++11)! k)! hN +1 ; |

òî åñòü

{z

1=CNk +1

}

jf pN j = O(hN +1 ) .  ýòîé ñèòóàöèè ãîâîðÿò, ÷òî èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí pN (x)

O(hN +1 ).

Çàìå÷àíèå. Ìîæíî ïîäîápàòü óçëû òàê, ÷òîáû âåëè÷èíà

èìååò ïîãðåøíîñòü

max jNN +1 (x)j áûëà ìåíüøå, ÷åì ó ëþáîãî äpóãîãî ïîëèíîìà

òîé æå ñòåïåíè ñ åäèíè÷íûì ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì (òàêèå ïîëèíîìû íàèìåíåå îòêëîíÿþùèåñÿ îò íóëÿ  ìíîãî÷ëåíû ×åáûøåâà). Óçëû pàñïîëîæåíû påäêî â ñåpåäèíå è ñãóùàþòñÿ ó êîíöîâ ïðîìåæóòêà.

2.1.6

Ñõîäèìîñòü èíòåpïîëÿöèè. Ïpèìåpû

Õîòÿ òåîpåìà Âåéåpøòpàññà è óòâåðæäàåò ïîëíîòó ïîëèíîìîâ, îäíàêî îíà íè÷åãî íå ãîâîðèò îòíîñèòåëüíî òîãî, êàê ñòðîèòü òàêèå ïîëèíîìû

pn

. Âîçíèêàþò âîïpîñû:

1. Êàê âûáèðàòü èíòåpïîëÿöèîííóþ òàáëèöó

fxi ; fi g?

2. Ñõîäèòñÿ ëè â òîì èëè èíîì ñìûñëå ïîñëåäàâàòåëüíîñòü àïïpîêñèìàöèîííûõ ïîëèíîìîâ ê èíòåpïîëèpóåìîé ôóíêöèè? Äëÿ óâåëè÷åíèÿ òî÷íîñòè ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ïîëèíîìà: 1. Óìåíüøåíèå øàãà ñåòêè, ïðè ïîñòîÿííîé ñòåïåíè

N

èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà. Â ýòîé ñèòóàöèè èíòåðïî-

ëÿöèîííûé ïîëèíîì õîðîøî îïèñûâàåò ïîâåäåíèå ôóíêöèè

hN

f

2 C N +1 ëèøü íà íåáîëüøîì ïðîìåæóòêå (äëèíû

).

2. Ðàçóìíîå pàçìåùåíèå óçëîâ. Îáû÷íî ýòî îçíà÷àåò âûáîð â êà÷åñòâå óçëîâ êîðíåé ìíîãî÷ëåíîâ ×åáûøåâà. 3. Óâåëè÷åíèå ÷èñëà óçëîâ è, òåì ñàìûì, óâåëè÷åíèå ñòåïåíè èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà. Èçâåñòíî, ÷òî åñëè

y (x)

 öåëàÿ ôóíêöèÿ (ò.å. pàçëàãàåòñÿ â ñòåïåííîé pÿä ñ áåñêîíå÷íûì pàäèóñîì ñõîäèìîñòè

íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè), òî ïpè ïpîèçâîëüíîì pàñïîëîæåíèè óçëîâ íà ëþáîì ïðîìåæóòêå

19

[a; b],

pN (x)

! y(x)

N ! 1 . Îäíàêî åñëè ôóíêöèÿ áåñêîíå÷íî äèô1 f 2 C( 1;1) , òî ýòî óæå íå ãàpàíòèpóåò ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

pàâíîìåpíî (ò.å. ïî íîpìå ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ) ïpè ôåðåíöèðóåìà ëèøü â âåùåñòâåííîì ñìûñëå: èíòåðïîëÿöèîííûõ ïîëèíîìîâ ê ôóíêöèè

f

ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà óçëîâ.

Ïpèìåp.

f (x) =

(

e

0

1

x

x0; 0<x:

Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåðïîëÿöèîííûõ ïîëèíîìîâ ïî òî÷êàì îòðèöàòåëüíîé ïîëóîñè. Âñå îíè òîæäåñòâåííî ðàâíû íóëþ pn

(x)  0 è ñõîäèìîñòè ê ôóíêöèè

f

íåò. Ïpàâäà óçëû ìû âûáðàëè âåñüìà íåýôôåêòèâíî.

Ïðè ðàâíîìåðíîì ðàñïîëîæåíèè óçëîâ òàêæå íå âñåãäà óäàåòñÿ äîáèòüñÿ ñõîäèìîñòè. Ïðè÷èíà çäåñü çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â îöåíêó èíòåðïîëÿöèè âõîäèò ïðîèçâîäíàÿ îò èíòåðïîëèðóåìîé ôóíêöèè.  ñëó÷àå åñëè

f

íå îáëàäàåò

äîñòàòî÷íîé ãëàäêîñòüþ, òî è îöåíêà òåðÿåò ñìûñë. Ïpèìåp Áåpíøòåéíà.

y (x) = jxj ; x 2 [ Áåðíøòåéí ïîêàçàë, ÷òî äëÿ pàâíîìåpíîé ñåòêè çíà÷åíèÿ pN ïpè

N

1; 1] :

(x) ìåæäó óçëàìè èíòåpïîëÿöèè íåîãpàíè÷åííî âîçpàñòàþò

! 1 â îêðåñòíîñòè òî÷åê -1, 1. Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ jxj íåäèôôåðåíöèðóåìà â íóëå, íî â îêðåñòíîñòè íóëÿ

èíòåðïîëÿöèîííûå ïîëèíîìû âûñîêîé ñòåïåíè äîñòàòî÷íî õîðîøî ïåðåäàþò ïîâåäåíèå ôóíêöèè ìîäóëü.  èçâåñòíîì ñìûñëå îáùåãî ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èíòåðïîëÿöèîííûõ ïîëèíîìîâ íåò. È îñíîâàíèåì, ÷òîáû óòâåðæäàòü ñòîëü "ïðåíåïðèÿòíåéøåå èçâåñòèå", ÿâëÿåòñÿ Òåîpåìà Ôàáåpà (NO GO Theorem).

x00 x10 x20

x11 x21

x22

xn0 :::

xn1 :::

xn2 :::

.. .

.. .

.. .

... ::: :::

Ïóñòü xji | ïðîèçâîëüíûé èíòåpïîëÿöèîííûé ìàññèâ íà [a; b]:

. xnn :::

:::

Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôóíêöèÿ g 2 C[a;b] è òàêàÿ òî÷êà x 2 [a; b] , ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåðïîëÿöèîííûõ ïîëèíîìîâ, ïîñòðîåííàÿ ïî ñòðîêàì ýòîãî ìàññèâà è ñîâïàäàþùàÿ â íèõ ñ g íå ñòðåìèòñÿ â òî÷êå x ê g(x) . Òàêèì îáðàçîì, pàâíîìåpíîé ñõîäèìîñòè âîîáùå ãîâîðÿ äîáèòüñÿ íå óäàåòñÿ. Êàê "ïpåîäîëåòü"òåîpåìó Ôàáåpà? Íåîáõîäèìî îòêàçàòüñÿ îò ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè è çàìåíèòü åå íà ñõîäèìîñòü â ñpåäíåì. Èìåííî, âåðíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Ïóñòü

Pn (x)

 ñèñòåìà ìíîãî÷ëåíîâ îpòîãîíàëüíûõ ñ âåñîì Zb

Ïóñòü x(mn) ñóòü êîpíè

 2 C[a;b] íà ïðîìåæóòêå [a; b] :

Pn (x)Pm (x)dx = Ænm ; (x) > 0 :

a

Pn .

Âñå îíè âåùåñòâåííûå è ïpîñòûå è ïðèíàäëåæàò ïðîìåæóòêó

èíòåãðèðîâàíèå"). Âîçüìåì êîðíè

x(mN +1)

pN N -îé ñòåïåíè ïpîõîäÿùèé ÷åpåç N + 1 äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé íà [a; b] ôóíêöèè f Zb

[f (x)

pN (x)]2 (x)dx

a

20

(ñì. ãë. "×èñëåííîå

PN +1 â êà÷åñòâå óçëîâ èíòåpïîëÿöèè, è ïî íèì (N +1) ) = pN (x(mN +1) ) ; m = 0 ; : : : ; N . Òîãäà òî÷êó: f (xm

îðòîãîíàëüíîãî ïîëèíîìà

ïîñòpîèì ïîëèíîì

(a; b)

! 0:

N !1

Âûáèðàÿ òó èëè èíóþ âåñîâóþ ôóíêöèþ, ïîëó÷àåì ðàçëè÷íûå îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû. Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûìè îðòîãîíàëüíûìè ïîëèíîìàìè ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìû ßêîáè, Ëåæàíäpà, ×åáûøåâà, Ëàããåpà, Ýpìèòà.

2.1.7

Ñïëàéíû

Êàê ìû âèäåëè, óâåëè÷åíèå ñòåïåíè èíòåðïîëèðóþùåãî ïîëèíîìà äàëåêî íå âñåãäà ïðèâîäèò ê æåëàåìîìó ðåçóëüòàòó. Çà÷àñòóþ áîëåå ýôôåêòèâíûì ñïîñîáîì èíòåðïîëÿöèè íà ñåòêå

fxi ; fi gNi=0 îêàçûâàåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ñïëàéíîâ. Äàäèì

ñîîòâåòñòâóþùèå îïðåäåëåíèÿ. Ïóñòü

x0 < x1 < x2


< xN

 íåêîòîðûå ÷èñëà. Ðàññìîòpèì êóñî÷íî ïîëèíîìèàëüíóþ ôóíêöèþ

íàòóðàëüíûå) çàäàííóþ íà ïðîìåæóòêå íåêîòîðûé ïîëèíîì

pin

ñòåïåíè

n:

[x0 ; xN ]

òàêóþ, ÷òî íà êàæäîì ïðîìåæóòêå

[xi

1 ; xi ]

Sn (  n; ; n

îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé

Sn (x) = pin (x); x 2 [xi 1 ; xi ]; i = 1; 2;


N ; è, ïðè ýòîì, ðàññìàòðèâàåìàÿ íà âñåì ïðîìåæóòêå òî åñòü Sn

[x0 ; xN ]

2

[x0 ; xN ]

ôóíêöèÿ

Sn

èìååò

n



íåïðåðûâíûõ ïðîèçâîäíûõ,

x1 ; x2 ;


xN 1

ïðîìåæóòêà

dk pi+1 j dk pi j = ; i = 1; 2;


; N 1 ; k = 0; 1; 2;


n  : x =( x ) n i k dx dxk n x=(xi ) Ôóíêöèÿ Sn (x) íàçûâàåòñÿ ñïëàéíîì ïîpÿäêà n (ñòåïåíè n) äåôåêòà ; . Òî÷êè xi

íàçûâàþòñÿ

C[nx0 ;x N ] , è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïîëèíîìîâ

pin âî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷êàõ

âûïîëíåíî

Îïðåäåëåíèå.

óçëàìè ñïëàéíà.

Î÷åâèäíî, ÷òî äåôåêò ñïëàéíà



ðàâåí åãî ïîðÿäêó

n

"ìèíóñ"÷èñëî åãî íåïpåpûâíûõ ïpîèçâîäíûõ.

Ñóùåñòâóåò ëè õîòÿ áû îäèí ñïëàéí? Ðàçóìååòñÿ, äà.  ÷àñòíîñòè ïîëèíîì

Sn äëÿ âñåõ



îò 0 äî

n .  êà÷åñòâå ïðèìåðà ñïëàéíà òàêæå îòìåòèì, ÷òî

S11

n-îé ñòåïåíè åñòü îäíîâðåìåííî ñïëàéí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëîìàííóþ, òî÷êàìè

èçëîìà êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ óçëû ñïëàéíà. Âñÿêèé ñïëàéí

Sn , äî òåõ ïîð ïîêà ìû îò íåãî íè÷åãî íå ïîòðåáîâàëè êðîìå êàê ÿâëÿòüñÿ êóñî÷íî ïîëèíîìèàëüíîé

ôóíêöèåé, îáëàäàåò íåêîòîðûì ÷èñëîì ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ, êîòîðûìè ìû ìîæåì ðàñïîðÿæàòüñÿ ïî ñâîåìó óñìîò-

N ïðîìåæóòêîâ
k = [xk  ïðîìåæóòêîâ ñïëàéí Sn äîëæåí ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé íåêîòîðûé ïîëèíîì

1 ; xk ]; k = 1; 2;


; N . Íà êàæäîì èç ýòèõ n P n-ñòåïåíè pkn = a(jk) xj , êîòîðûé èìååò j =0 n +1 ñâîáîäíûé ïàðàìåòð. Òàêèì îáðàçîì, îáùåå ÷èñëî ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ ðàâíî N (n +1) . Îäíàêî îäíîâðåìåííî ñ ýòèì íà ñàì ñïëàéí íàëîæåíî íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî óñëîâèé ãëàäêîñòè âî âíóòðåíèõ óçëàõ ñïëàéíà x1 ; x2 ;


; xN 1 . 1 Ñïëàéí äîëæåí áûòü íåïðåðûâåí è íåïðåðûâíûìè äîëæíû áûòü n  åãî ïðîèçâîäíûõ â N 1 òî÷êå fxi gN i=1 , òî åñòü èç îáùåãî ÷èñëà ïàðàìåòðîâ N (n + 1) ìû äîëæíû âû÷åñòü ÷èñëî óñëîâèé ãëàäêîñòè, ðàâíîå (N 1)(n  + 1) .  èòîãå, ÷èñëî F äåéñòâèòåëüíî ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ ðàâíî ðåíèþ. ×åìó ðàâíî ýòî ÷èñëî? Ó íàñ èìååòñÿ

F

=  (N 1) + n + 1 :

Ïóñòü òåïåðü íàì çàäàíà íåêîòîðàÿ èíòåðïîëÿöèîííàÿ òàáëèöà

fx0i ; yi gMi=0 (òî÷êè x0i

 ýòî óçëû èíòåðïîëÿöèè è

îíè âîâñå íå îáÿçàíû ñîâïàäàòü ñ óçëàìè ñïëàéíà xi ) è ìû õîòèì íàéòè ñïëàéí Sn , êîòîðûé áû ýòîé òàáëèöå óäîâëåòâîðÿë: Sn (x0i ) = yi , i = 0 ; 1 ; : : : ; M . Ñóùåñòâóåò ëè ðåøåíèå òàêîé çàäà÷è èíòåðïîëÿöèè è åäèíñòâåííî ëè îíî? Åñëè

F =  (N 1)+ n +1 ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì M +1 óñëîâèé èíòåðïîëÿöèè (óñëîâèÿ fi â M +1 óçëå èíòåðïîëÿöèè), òî ìîæíî íàäåÿòüñÿ, ÷òî îòâåò ïîëîæèòåëüíûé õîòÿ

÷èñëî ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ ñïëàéíà ðàâåíñòâà êîíêðåòíûì çíà÷åíèÿì

ýòî è íå âñåãäà òàê, è îòâåò, â ÷àñòíîñòè, çàâèñèò îò âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ óçëîâ èíòåðïîëÿöèè è óçëîâ ñïëàéíà. Òàê, íàïðèìåð, åñëè ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè óçëàìè òî çàäà÷à íåêîððåêòíà, ïîñêîëüêó îò ïîëèíîìà ÷åðåç

xi 1 è xi ñïëàéíà Sn íàõîäèòñÿ áîëåå ÷åì n + 1 óçåë èíòåðïîëÿöèè, n-îé ñòåïåíè íååñòåñòâåííî òðåáîâàòü, ÷òîáû îí ïðîõîäèë áîëåå ÷åì

n +1 çàäàííóþ òî÷êó fx0i ; fi g. Êðîìå òîãî íà ïðàêòèêå äâà óñëîâèÿ îáû÷íî ðåçåðâèðóþò ïîä ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ 21

ñïëàéíà èëè åãî ïðîèçâîäíûõ. Ñêàæåì èíòåðïîëèðóåìàÿ ôóíêöèÿ èçâåñòíà íàì â íåêîòîðîì êîëè÷åñòâå òî÷åê è ïðè ýòîì óäîâëåòâîðÿåò íåêîòîðîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì. Ìîæíî â ïðèíöèïå ïîòðåáîâàòü ÷òîáû ýòèì æå óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿë è èíòåðïîëèðóþùèé å¼ ñïëàéí (õîòÿ íèêàêîìó óðàâíåíèþ îí, ðàçóìååòñÿ, íå óäîâëåòâîðÿåò). Äëÿ íåêîòîðûõ êîíêðåòíûõ ñïëàéíîâ (íàïðèìåð, êóáè÷åñêèé ñïëàéí

S31 )

åñòü áîëåå åñòåñòâåííûå

ñîîáðàæåíèÿ, ïî êîòîðûì èìååò ñìûñë äâà óñëîâèÿ èñïîëüçîâàòü êàê ãðàíè÷íûå. ×óòü ïîçæå ìû ýòîãî êîñíåìñÿ.

Ïàðàáîëè÷åñêèé ñïëàéí S21 Äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî ñïëàéíà ÷èñëî ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ óäîâëåòâîðèòü èíòåðïîëÿöèîííîé òàáëèöå

xi

è

=  (N 1) + n + 1 = N + 2 è åãî èñïîëüçóþò, ÷òîáû

fx0i ; fi g ñ N óçëàìè èíòåðïîëÿöèè, îñòàâëÿÿ äâà ïàðàìåòðà ïîä ãðàíè÷íûå

óñëîâèÿ, êîòîðûå çàäàþòñÿ â êðàéíèõ óçëàõ ñïëàéíà óçëàìè ñïëàéíà

F

x0

xN . Óçëû èíòåðïîëÿöèè x0i

è

ðàñïîëàãàþò ìåæäó ñîñåäíèìè

xi+1 : x0i 2 (xi ; xi+1 ) :

(3)

Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà (ïðèâîäèìàÿ íàìè áåç äîêàçàòåëüñòâà) êîòîðàÿ óòâåðæäàåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (3) çàäà÷à èíòåðïîëÿöèè ïàðàáîëè÷åñêèì ñïëàéíîì êîððåêòíà, ò.å. äëÿ ëþáîé èíòåðïîëÿöèîííîé òàáëèöû

fx0i ; fi gNi=0

èíòåðïîëèðóþùèé å¼ ñïëàéí ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåíåí ïðè ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ âèäà

1 S (a) + 1 S 0 (a) = 1 ; 2 S (b) + 2 S 0 (b) = 2 ; 2i + i2 6= 0 ; i = 1; 2; a = x0 ; b = xN : Äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî ñïëàéíà óçëû èíòåðïîëÿöèè è óçëû ñïëàéíà íå ñîâïàäàþò, è ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè èíòåðïîëÿöèè ôóíêöèè òî åñòåñòâåííî òî÷êè ïåðåãèáà èíòåðïîëèðóåìîé ôóíêöèè ýêñòðåìóìîâ

f (x)  â êà÷åñòâå óçëîâ èíòåðïîëÿöèè.

Çàäà÷à èíòåpïîëÿöèè êóáè÷åñêèì ñïëàéíîì Ïóñòü íàì çàäàíà èíòåðïîëÿöèîííàÿ òàáëèöà

f (x). Èìåííî, ïîñêîëüêó ïàðàáîëà íå èìååò òî÷åê ïåðåãèáà, f (x) âûáèðàòü â êà÷åñòâå óçëîâ ñïëàéíà, à òî÷êè ëîêàëüíûõ

S31 (x)

fxi ; yi gN0

S31 (x), óçëû êîòîðîãî yi , i = 0 ; 1 ; : : : ; N . Äëÿ

è òðåáóåòñÿ íàéòè êóáè÷åñêèé ñïëàéí

ñîâïàäàþò ñ óçëàìè èíòåðïîëÿöèè, è êîòîðûé áû ýòîé òàáëèöå óäîâëåòâîðÿë:

S31 (xi )

=

ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ïðåæäå âñåãî îïðåäåëèì ÷èñëî ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ è êîëè÷åñòâî óñëîâèé, êîòîðûì íåîáõîäèìî óäîâëåòâîðèòü. Äëÿ ñïëàéíà

Sn

÷èñëî ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ

F

ðàâíî

=  (N 1) + n + 1 = 1(N 1) + 3 + 1 = N + 3 : Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî óäîâëåòâîðèòü (N + 1)-ìó óñëîâèþ ðàâåíñòâà ñïëàéíà çíà÷åíèÿì èíòåðïîëÿöèîííîé òàáëèöû. F

Äâà îñòàâøèõñÿ ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðà èñïîëüçóþò ïîä ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ. Ïåðå÷èñëèì íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ êóáè÷åñêîãî ñïëàéíà. 1. 2.

00 00 S31 (x0 ) = S31 (xN ) = 0  åñòåñòâåííûé (íàòóðàëüíûé) ñïëàéí; 00 00 S31 (x0 ) = A ; S31 (xN ) = B ;

3. ïåpèîäè÷åñêèé ñïëàéí

S () (a) = S () (b) ;  = 0 ; 1 ; 2 :

Âîïpîñ. Ïî÷åìó â ñëó÷àå ïåðèîäè÷åñêîãî ñïëàéíà óêàçàíî 3 óñëîâèÿ, à íå 2 ... èëè èõ âñå òàêè 2?

22

Ñâîéñòâî ìèíèìàëüíîé êðèâèçíû Âûäåëåííîñòü åñòåñòâåííîãî ñïëàéíà îáóñëîâëåíà òåì, ÷òî îí èìååò ìèíèìàëüíóþ ñðåäíþþ êðèâèçíó ñðåäè âñåõ ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ çàäàííîé èíòåðïîëÿöèîííîé òàáëèöå. Èìåííî, ñïðàâåäëèâà

Ïóñòü
= [a; b] ; a = x0 < x1 < : : : < xN = b è fyi gNi=0 | íåêîòîpûå ÷èñëà. Ñpåäè âñåõ äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé F , òàêèõ ÷òî f (xi ) = yi ; f 00 (a) = f 00 (b) = 0 íà åñòåñòâåííîì ñïëàéíå S31 Rb äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì ôóíêöèîíàëà F (f ) = (f 00 (x))2 dx . a 1 Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f 2 C[2a;b] è óäîâëåòâîðÿåò òàáëèöå fxi ; yi gN i=0 . Îáîçíà÷èì äëÿ óäîáñòâà S (x) = S3 (x) . Òåîpåìà (Õîëèäåé).

Ðàññìîòpèì ðàçíîñòü Zb

F (f ) F (S ) = f(f 00 )2 (S 00 )2 gdx = a Zb

S 00 )2

= (f 00

Zb

+ (2f 00 S 00 2S 002 )dx = I1 + 2I2 :

a

Î÷åâèäíî

a

I1  0 . Ðàññìîòðèì âòîðîé èíòåãðàë: Zb

I2 =

xi+1 N X1 Z 00 00 S )S dx = (f 00 i=0 xi

(f 00

a

S 00 )S 00 dx :

Âîçüìåì åãî ïî ÷àñòÿì:

N X1 i=0

x S 0 )S 00 i+1

(f 0

xi

xi+1 N X1 Z i=0 xi

(f 0

S 0 )S 000 dx :

Ïåpâàÿ ñóììà pàâíà 0 èç ãpàíè÷íûõ óñëîâèé, ïîýòîìó

I2 =

N X1 i=0

000

Si

xZi+1

(f 0

S 0 )dx =

xi

N X1 i=0

000

Si (f

x

S ) xii+1

ïîñêîëüêó çíà÷åíèå òpåòüåé ïpîèçâîäíîé íà i-îì ïpîìåæóòêå ïîñòîÿííî, à îáðàçîì,

F (f ) F (S )  0, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

f

è

=0; S

èíòåpïîëèpóþò òàáëèöó. Òàêèì

Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü êóáè÷åñêîãî ñïëàéíà Ïîêà ìû çíàåì, ÷òî äëÿ ñïëàéíà

S31 (x)

ñ çàäàííûìè ãpàíè÷íûìè óñëîâèÿìè êîëè÷åñòâî íåèçâåñòíûõ, êîòîpûå íåîáõî-

äèìî îïpåäåëèòü (ò.å. ñâîáîäíûõ ïàpàìåòpîâ) ñîâïàäàåò ñ êîëè÷åñòâîì ópàâíåíèé. Òàêèì îáðàçîì â ïpèíöèïå ñïëàéí

S31 (x)

ìîæåò ñóùåñòâîâàòü. Îäíàêî ñîâïàäåíèå êîëè÷åñòâà ópàâíåíèé è êîëè÷åñòâà íåèçâåñòíûõ íå ãàpàíòèpóåò íè

ñóùåñòâîâàíèÿ íè åäèíñòâåííîñòè påøåíèÿ. Ðàññìîòðèì ïîäðîáíî ýòîò âîïpîñ.

S31 , êîòîðûé äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîñòî S (x). S 00 (x)  ýòî ëîìàíàÿ, èëè êóñî÷íî-ëèíåéíàÿ íåïpåpûâíàÿ ôóíêöèÿ. Îáîçíà÷èì ÷åpåç Mi çíà÷åíèÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé îò ñïëàéíà â òî÷êàõ xi : Mi = S 00 (xi ) ; i = 0 ; 1 ; : : : ; N . Ïîñêîëüêó íà ëþáîì ïpîìåæóòêå [xi 1 ; xi ] S 00 (x) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé, ïpîõîäÿùåé ÷åpåç òî÷êè (xi 1 ; Mi 1 ) è (xi ; Mi ), òî îíà î÷åâèäíî èìååò âèä: Âîçüìåì âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ îò ñïëàéíà

Îáîçíà÷èì

xi

xi 1 = hi

,

S 00 (x) = Mi x xi 1 xi xi 1 i = 1 ; : : : ; N , òîãäà

+ Mi

1x

xi x ; xi 1

i

S 00 (x) = Mi (x xi 1 ) + Mi 1 (xi hi hi 23

x 2 [xi 1 ; xi ] :

x) :

Èíòåãpèpóÿ ïî ïðîìåæóòêó

[xi

1 ; xi ] , ïîëó÷àåì Mi 1 (x 2hi i

S 0 (x) = Mi (x xi 1 )2 2hi

x)2 + di ;

è èíòåãðèðóÿ åùå ðàç, ïðåäñòàâèì ñïëàéí â âèäå

S (x) = Mi (x xi 1 )3 + Mi 1 (xi 6hi 6hi

x)3 + di (x xi 1 ) 2

di (x

2

i

x) + ci :

Êîíñòàíòû di è ci ïîêà íåèçâåñòíû. ×òîáû èõ íàéòè âîñïîëüçóåìñÿ ñîáñòâåííî ópàâíåíèÿìè èíòåpïîëÿöèè

yi 1

è

S (xi ) = yi , êîòîðûå â íàøåì ñëó÷àå ïðèíèìàþò âèä Mi 1 h2 6 i

di h

2 i + ci = yi

S (xi 1 ) =

Mi h2 + di h

1 ;

6

2 i + ci = yi :

i

Ñêëàäûâàÿ è âû÷èòàÿ ýòè óðàâíåíèÿ ïîëó÷àåì

ci = yi + yi 1 Tàêèì îáðàçîì

ci

è

di

Mi + Mi 1 h2 ; d = yi i i

2

12

yi 1 hi

Mi

Mi 1 h : i

6

Mi , åñëè áû ïîñëåäíèå áûëè èçâåñòíû. ×òîáû èõ âî âíóòðåííèõ óçëàõ x1 ; : : : ; xN 1 . Ýòè óñëîâèÿ çàïèñûâàþòñÿ â âèäå

ìîæíî îïpåäåëèòü ÷åpåç âåëè÷èíû

îïðåäåëèòü, èñïîëüçóåì íåïpåpûâíîñòü

S 0 (x)

Mi hi Ïîäñòàâèì ñþäà âûpàæåíèå äëÿ âåëè÷èí

di : Mi h

2

Mi hi+1

2 + di =

i

+

yi

= M2 i hi+1 +

2

+ di+1 :

yi 1 Mi Mi 1 h = i hi 6 yi+1 yi Mi+1 Mi h ; i+1 hi+1 6

òî åñòü

i = 1; 2; ::: ; N

hi M + 2M + hi+1 M = 6 ( yi+1 yi yi yi 1 ) ; i hi + hi+1 i 1 hi + hi+1 i+1 hi + hi+1 hi+1 hi 1 . Ýòî ñèñòåìà èç N 1 ópàâíåíèÿ ñ (N + 1)-îé íåèçâåñòíîé âåëè÷èíîé M0 ; M1 ; : : : ; MN

. Åå

íåîáõîäèìî äîïîëíèòü äâóìÿ ópàâíåíèÿìè èñõîäÿ èç ãpàíè÷íûõ óñëîâèé . Âîçüìåì, ñêàæåì, îäíîðîäíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ

(

M0 = 0; MN = 0:

Ìàòðèöà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèñòåìå ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé, òðåõäèàãîíàëüíà, è ïðè ýòîì ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ñ äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäàíèåì. Íàïîìíèì, ÷òî êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ìàòðèöåé ñ

äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäàíèåì åñëè äëÿ ýëåìåíòîâ jdii j >

N X j 6=i

D (âîîáùå ãîâîðÿ êîìïëåêñíàÿ) íàçûâàåòñÿ íàçûâàåòñÿ dij ëþáîé ñòðîêè âûïîëíåíî

jdij j :

Ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà (Ãåðøãîðèí).

Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöû jz dii j 

X

j 6=i

D = fdij gNi;j =1

ëåæàò â îáúåäèíåíèè êðóãîâ

jdij j :

Ïðÿìûì ñëåäñòâèåì òåîðåìû Ãåðøãîðèíà ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîñòü ìàòðèö ñ äîìèíèðóþùåé ãëàâíîé äèàãîíàëüþ, ïîñêîëüêó äëÿ òàêèõ ìàòðèö óêàçàííîå îáúåäèíåíèå êðóãîâ íå ñîäåðæèò òî÷êó

24

z

=0

è, ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà íå

èìååò íóëåâîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ, à çíà÷èò è íåâûðîæäåíà. Òàêèì îáðàçîì ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí

Mi

îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìà, òåì ñàìûì ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü êóáè÷åñêîãî ñïëàéíà ìîæíî ñ÷èòàòü

äîêàçàííûìè. Ñàìó æå âîçíèêøóþ òðåõäèàãîíàëüíóþ ñèñòåìó óäîáíî ðåøàòü ìåòîäîì ïðîãîíêè, êîòîðûé ðàññìàòðèâàåòñÿ â ñîîòâåòñòâþùåé ãëàâå. Òàì æå ïîêàçàíî (íåçàâèñèìî îò òåîðåìû Ãåðøãîðèíà), ÷òî äëÿ ìàòðèö ñ äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäàíèåì ìåòîä ïðîãîíêè çàâåäîìî ðàçðåøèì.

Áàçèñ â ïpîñòpàíñòâå ñïëàéíîâ ñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè Äëÿ âñÿêîé èíòeðïîëÿöèîííîé òàáëèöû

x0 ; x1 ; : : : ; xN y0 ; y1 ; : : : ; yN

S31 (x) = S (x) , êîòîðûé åé óäîâëåòâîðÿåò

ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé êóáè÷åñêèé ñïëàéí

S (xi ) = yi ;

 = 0; 1; ::: ; N ; è óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (òàê íàçûâàåìûé íàòóðàëüíûé èëè åñòåñòâåííûé ñïëàéí) S 00 (x0 ) = S 00 (xN ) = 0 : yi

Âàpüèpóÿ âåëè÷èíû

(ñ÷èòàÿ, ÷òî óçëû

xi

M (x0 ; x1 ; : : : ; xN ) èíòåpN c óçëàìè fxi g0 .  ñàìîì äåëå, ââåäåì â êà÷åñòâå

ôèêñèpîâàíû) ìû ïîëó÷èì ïpîñòpàíñòâî

dim = N + 1 Sk (xi ) = Æik i = 1 ; : : : ; N . Êàæäûé òàêîé ñïëàéí

ïîëÿöèîííûõ åñòåñòâåííûõ ñïëàéíîâ ðàçìåðíîñòè áàçèñà â

M

ñëåäóþùèå ñïëàéíû: fSk (x)gN k=0 :

Sk (x)

ñóùåñòâóåò

è åäèíñòâåíåí. Ðàññìîòpèì êîìáèíàöèþ

S (x; fi gNi=0 )  Ïpåäïîëîæèì, ÷òî

S (x; fg)  0 , òîãäà

N X k=0

k Sk (x) :

S (xi ; fg) = Si (xi )i = 0 i = 0 , ò.å. ñïëàéíû Si (x) ëèíåéíî íåçàâèñèìûå, è îíè ïîêpûâàþò âñå M. Ñëåäîâàòåëüíî ëþáîé S 2 M (x0 ; : : : ; xN ) åäèíñòâåííûì îápàçîì ïpåäñòàâèì â âèäå

è, ñëåäîâàòåëüíî, âñå êóáè÷åñêèé ñïëàéí

S (x; fy g) =

N X k=0

yk Sk (x) :

Êàê áûòü â ñëó÷àå ñïëàéíîâ ñ íåíóëåâûìè ãpàíè÷íûìè óñëîâèÿìè, ñêàæåì ñ óñëîâèÿìè

S 00 (x0 ) = A; S 00 (xN ) = B ?

Ìíîæåñòâî òàêèõ ñïëàéíîâ óæå íå îáðàçóåò ïðîñòðàíñòâî, ïîñêîëüêó íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì (ñóììà òàêèõ ñïëàéíîâ íå óäîâëåòâîðÿåò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì). ×òîáû îïèñàòü ýòó ñèòóàöèþ ïîñòpîèì ñïëàéí ñïåöèàëüíîãî âèäà

S (0;N ) (x)

òàêîé, ÷òî

1) S (0;N ) (xi ) = 0 ; i = 0; 1; 2; : : : ; N ; 2) S (0;N ) (x) óäîâëåòâîpÿåò çàäàííûì íåîäíîðîäíûì ãpàíè÷íûì óñëîâèÿì.

Òàêîé ñïëàéí ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåíåí ïî äîêàçàííîìó íàìè óòâåðæäåíèè î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè êóáè÷åñêîãî ñïëàéíà. Ïðîèçâîëüíûé ñïëàéí ñ óçëàìè

fxi gN0

è ñ íåîäíîðîäíûìè ãpàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïpåäñòàâèì

åäèíñòâåííûì îápàçîì â âèäå

N

X S (x) = S (0;N ) (x) + yk Sk (x) ; k=0

25

ãäå

Sk

ðàíåå ïîñòðîåííûå áàçèñíûå ñïëàéíû ïðîñòðàíñòâà åñòåñòâåííûõ ñïëàéíîâ. Òàêèì îáðàçîì êóáè÷åñêèå ñïëàéíû

îïèñàíû ïîëíîñòüþ.

2.2

Àïïðîêñèìàöèè Ïàäå

2.2.1

"Íàèâíûé"ïîäõîä

Ïðèáëèæåíèå ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà èëè ñ ïîìîùüþ ñïëàéíà îñíîâàíî íà èñïîëüçîâàíèè çíà÷åíèé èíòåðïîëèðóåìîé ôóíêöèè â íåêîòîðîì êîëè÷åñòâå òî÷åê, è êàê ñïëàéí òàê è èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì äîëæíû â ýòèõ òî÷êàõ èìåòü çíà÷åíèÿ, ñîâïàäàþùèå ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè çíà÷åíèÿìè èíòåðïîëèðóåìîé ôóíêöèè. Ìîæíî, îäíàêî, ðàññìàòðèâàòü ïðèáëèæåíèÿ íå ñâÿçàííûå æåñòêî ñî çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè â íàáîðå òî÷åê.  ÷àñòíîñòè N (k ) P f (x x0 ) x x k ìîæåò äîñòàòî÷íî õîðîøî ïðèáëèæàòü ôóíêöèþ â îêðåñòíîñòè îòðåçîê ðÿäà Òåéëîðà-Ìàêëîðåíà 0 k! òî÷êè ðàçëîæåíèÿ

x0

k=0

(ñ òî÷íîñòüþ

o((x

( ) x0 )N ) ) è, ïðè ýòîì, íå áûòü ñâÿçàííûì ñ èíòåðïîëÿöèîííîé òàáëèöåé (îí

îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü çíà÷åíèÿìè ïðîèçâîäíûõ â îäíîé åäèíñòâåííîé òî÷êå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäèí èç ñïîñîáîâ Ïóñòü ôóíêöèÿ

f

x0

). Îòðåçîê ðÿäà Òåéëîðà-Ìàêëîðåíà

àïïðîêñèìàöèè. Áîëåå îáùèìè àïïðîêñèìàöèÿìè ÿâëÿþòñÿ àïïðîêñèìàöèè Ïàäå.

(âîîáùå ãîâîðÿ êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ) çàäàíà ñâîèì ðÿäîì Òåéëîðà. Äëÿ óäîáñòâà áóäåì ñ÷èòàòü,

÷òî òî÷êîé ðàçëîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ íóëü

1 X

f (z ) =

i=0

(4)

ci z i :

Íà ýòîò ðÿä ìîæíî ñìîòðåòü è êàê íà ôîðìàëüíûé (ò.å. âîçìîæíî è íå ñõîäÿùèéñÿ íèãäå íè ê êàêîé ôóíêöèè). Äàäèì ñíà÷àëà ïðåäâàðèòåëüíîå îïðåäåëåíèå, à òî÷íîå  íåñêîëüêî ïîçæå. "Íàèâíîå"îïðåäåëåíèå. Íàçîâåì

[L=M ]f -àïïðîêñèìàöèåé Ïàäå îòíîøåíèå äâóõ ïîëèíîìîâ L P

[L=M ]f =

pi z i

i=0 M P i=0

qi z i

; q0 = 1 ;

(5)

ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà êîòîðîãî, ñîâïàäàåò ñ ïåðâûìè êîýôôèöèåíòàìè ðÿäà Âñåãî ìû èìååì

L+M

f

íàñòîëüêî, íàñêîëüêî ýòî âîçìîæíî.

+ 1 ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ (ò.ê. q0 = 1), ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî íàäåÿòüñÿ íà òî, ÷òî èõ

âûáîðîì óäàñòñÿ äîáèòüñÿ âûïîëíåíèÿ ñëåäóþùåãî ðàâåíñòâà

1 X i=0

L P

ci

zi

=

i=0 M P i=0

pi z i qi z i

+ O(zL+M +1 ) :

(6)

Ïðèìåð. Ïóñòü

f (z ) = 1

1 z + 1 z2 1 z3 +


2 3 4

:

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî

[1=0]f = 1 12 z = f (z) + O(z2 ) ; [0=1]f = 1 +1 1 z = f (z) + O(z2 ) ; 2

îòêóäà

a

[1=1]f = 11 ++ az = (1 + az)(1 bz + b2 z2


) = 1 + (a b)z + (b2 bz b = 1=2 , b(b a) = 1=3 ; òî åñòü a = 1=6 , b = 2=3 ; è 26

ab)z 2 +


;

1 [1=1]f = 11 ++ 62 zz = f (z) + O(z3 ) :

Äîìíîæèì ðàâåíñòâî (6) íà ïîëèíîì

M X i=0

3

Q.

!

qi

zi

1 X i=0

Çàìåòèì, ÷òî êîýôôèöèåíòû ïðè ñòåïåíÿõ z L+1 ; ñòåïåíÿõ, ïîëîæèâ cj

Ïîñêîëüêó

q0

= 0 ïðè j < 0.

!

ci

zi

z L+2 ;

=

L X

pi z i + O(z L+M +1 ) :

(7)

i=0


; zL+M ðàâíû íóëþ. Ñîñ÷èòàåì êîýôôèöèåíòû ïðè ýòèõ

z L+1

:

cL+1 q0 + cL q1 +


+ cL M +2 qM 1 + cL M +1 qM

=0;

z L+2

:

cL+2 q0 + cL+1 q1 +


+ cL M +3 qM 1 + cL M +2 qM

=0;

z L+M

:

cL+M q0 + cL+M 1 q1 +


+ cL+1 qM 1 + cL qM

ìû ïîëîæèëè ðàâíûì 1, òî èìååì

M

óðàâíåíèé íà

M

=0

(8)

:

íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ qi , êîòîðûå óäîáíî

çàïèñàòü â ìàòðè÷íîé ôîðìå: 0 B B B B B @




cL M +2 cL M +1


cL M +3 cL M +2





...





cL+M 1 cL+M 2


cL+1 cL cL cL+1

cL 1 cL

10 CB CB CB CB CB A@

q1 q2 .. .

qM

1

0

C C C C C A

B B B B B @

=

cL+1 cL+2 .. .

cL+M

1 C C C C: C A

Åñëè îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû, ôèãóðèðóþùåé â ýòîé ëèíåéíîé ñèñòåìå, íå îáðàùàåòñÿ â íóëü, òî èç íå¼ ìîæíî îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû ïîëèíîìà

P

qi

. Íàéäÿ èõ è ïðèðàâíèâàÿ â (7) êîýôôèöèåíòû ïðè

1; z; z2 ;


; zL

;

íàõîäèì è êîýôôèöèåíòû

:

p0 = c0 ; p1 = c1 + q1 c0 ; p2 = c2 + q1 c1 + q2 c0 ; pL = cL +

min(X L;M ) i=1

; qi cL i :

Ïîñëåäíèå äâå ñèñòåìû óðàâíåíèé íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Ïàäå. Çàìå÷àíèå 1. Åñëè óêàçàííàÿ ñèñòåìà ðàçðåøèìà, òî òåéëîðîâñêîå ðàçëîæåíèå

äî O(z L+M +1 ).

Çàìå÷àíèå 2. Êîýôôèöèåíòû

ci

ñîâïàäàåò ñ

[L=M ]f ñ òî÷íîñòüþ

ìîãóò áûòü òàêèìè, ÷òî ñòåïåííîé ðÿä (4) âåçäå ðàñõîäèòñÿ (ðàäèóñ ñõîäèìîñòè

ðàâåí íóëþ) è ÿâëÿåòñÿ ôîðìàëüíûì. Îäíàêî ïðè ýòîì, ñêàæåì, äèàãîíàëüíûå (L ñõîäèòñÿ ïðè M

f

= M ) àïïðîêñèìàöèè Ïàäå ìîãóò

! 1 ê íåêîòîðîé ôóíêöèè F . Íà ýòîì îñíîâûâàåòñÿ èäåÿ î òîì, ÷òî ìîæíî ñ ïîìîùüþ àïïðîêñèìàöèé

Ïàäå ïîñòðîèòü àíàëîã àíàëèòè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ. Òî åñòü, ôóíêöèÿ

f

ìîæåò áûòü çàäàíà â íåêîòîðîé îáëàñòè, à

åå àïïðèêñèìàöèè Ïàäå ïðè ýòîì ñõîäÿòñÿ â áîëåå øèðîêîé îáëàñòè. Çàìå÷àíèå 3. Îòðåçîê ðÿäà Òåéëîðà õîðîøî àïïðîêñèìèðóåò ôóíêöèþ ëèøü â îêðåñòíîñòè òî÷êè ðàçëîæåíèÿ, òîãäà êàê àïïðîêñèìàöèÿ Ïàäå çà÷àñòóþ õîðîøî ïðèáëèæàåò ôóíêöèþ â çíà÷èòåëüíî áîëåå øèðîêîé îáëàñòè. Ïðèìåð. Ïóñòü

27

r

f (z ) =

1 + 12 z 1 + 2z

:

Îòðåçîê ðÿäà Òåéëîðà ôóíêöèè f èç òðåõ ÷ëåíîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïàðàáîëó è íà âåùåñòâåííîé îñè ïðè ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, òîãäà êàê ñàìà ôóíêöèÿ

f (z )

îñòàåòñÿ ïðè ýòîì îãðàíè÷åííîé.

z=x!1

[1=1]-àïïðîêñèìàöèÿ Ïàäå

èìååò ïîãðåøíîñòü íèãäå íå ïðåâûøàþùóþ 8 ïðîöåíòîâ (â òîì ÷èñëå è íà áåñêîíå÷íîñòè).

2.2.2 Äåòåðìèíàíòíîå Ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ Ïàäå Çàìåòèì, ÷òî ñèñòåìà (8) äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí qi ïîçâîëÿåò ïðåäúÿâèòü íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí ôèöèåíòû êîòîðîãî ýòîé ñèñòåìå óäîâëåòâîðÿþò: cL+1 cL+2 Q[M=L]f z


cL+M

~






cL M +2 cL M +1


cL M +3 cL M +2


...





: cL+M 1


cL+1 cL z


zM 1 zM cL cL+1

( )=

1

Îïðåäåëèì òåïåðü ñîîòâåòñòâóþùèé ìíîãî÷ëåí

Q~ [M=L]f (z ) , êîýô-

P~ [L=M ]

èç ñîîòíîøåíèÿ

1

X Q~ [L=M ]f (z ) ci z i P~ [L=M ]f (z ) = O(z L+M +1 ) :

(9)

i=0

Èìååì

Q~ [L=M ]f (z )

1 X i=0

ci z i =

c L+1 cL+2


cL+M P 1 i ci z

i=0

cL cL+1




cL+M 1 ci z i+1 i=0 1 P







..

cL M +2 cL M +3






.




cL+1 1 M +i 1 P


ci z i=0




cL 1 P M + i ci z

cL M +1 cL M +2

:

i=0

Äîìíîæèì ïåðâóþ ñòðîêó íà z L+1 è âû÷òåì åå èç ïîñëåäíåé ñòðîêè. Âòîðóþ ñòðîêó äîìíîæèì íà z L+2 è òàêæå âû÷òåì èç ïîñëåäíåé ñòðîêè è ò.ä.

M -óþ

ñòðîêó äîìíîæèì íà z L+M è âû÷òåì èç ïîñëåäíåé ñòðîêè. Â ðåçóëüòàòå â êàæäîé

ñóììå â ïîñëåäíåé ñòðîêå áóäóò îòñóòñòâîâàòü ÷ëåíû ñî ñòåïåíÿìè

z

ðàâíûìè

L + 1; L + 2;


; L + M .

Åñëè òåïåðü

âûäåëèòü èç ïîñëåäíåãî îïðåäåëèòåëÿ âñå ÷ëåíû äî ñòåïåíè z L âêëþ÷èòåëüíî, òî îí ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå c cL


cL M +2 cL M +1 L+1 cL+2 cL+1


cL M +3 cL M +2 .. .











cL+M cL+M 1


cL+1 cL P L LP1 LP M +1 LPM i i +1 M + i 1 M + i ci z ci z


ci z ci z

+

i=0

i=0

i=0

i=0

+O(zM +L+1 ) = P~ [L=M ]f (z) + O(zM +L+1 ) : Èòàê äîêàçàíî ïðåäñòàâëåíèå (9). Èíà÷å ãîâîðÿ äîêàçàíà 1 i P ci z Òåîðåìà.

÷òî

Äëÿ ëþáîãî ðÿäà

i=0

ñóùåñòâóþò òàêèå ïîëèíîìû P è Q ñòåïåíåé íå âûøå L è M ñîîòâåòñòâåííî, Q(z )

1 X i=0

ci z i

P (z ) = O(z L+M +1 ) : 28

(10)

Çàìåòèì, ÷òî ïðè äîêàçàòåëüñòâå âîçìîæíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ (7) ìû íèãäå íå ïîëüçîâàëèñü òåì âûðîæäåíà èëè íå âûðîæäåíà ìàòðèöà ñîñòàâëåííàÿ èç êîýôôèöèåíòîâ ci . Îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëèòåëü

Q~ [L=M ] (0) =

cL cL+1


cL+M




cL M +2 cL M +1


cL M +3 cL M +2


...





cL 1 cL+M 2


cL+1 cL 1 cL



íàçûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëåì Õàíêåëÿ. Îòìåòèì, ÷òî èç íàøèõ ðàññóæäåíèé ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùåé òåîðåìû.

Åñëè Q~ [L=M ](0) 6= 0, òî ñóùåñòâóþò åäèíñòâåííûå (ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ) ìíîãî÷ëåíû P (z) è Q(z ) ñòåïåíåé íå âûøå L è M ñîîòâåòñòâåííî, òàêèå ÷òî Òåîðåìà.

1 X i=0

P (z ) Q(z )

ci z i

Ïðèìåð (íåäîñòàòêè íàèâíîãî ïîäõîäà). Ïîñòðîèì

= O(zM +L+1 ) :

[1=1]-àïïðîêñèìàöèþ äëÿ f (z) = 1 + z2 . Òðåáóåòñÿ äîáèòüñÿ ðà-

âåíñòâà

p0 + p1 z q0 + q1 z

= 1 + z2 + O(z3 ) ;

îòêóäà

p0 + p1 z = q0 + q1 z + q0 z 2 + O(z 3 ) ; è

q0 = p0 ; p1 = q1 ; òî åñòü

[1=1] = 1 è ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à ðåøåíèé íå èìååò. Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê äåòåðìèíàíòíûì ôîðìóëàì.

Q~ [1=1] =



P~ [1=1] =

c2 c1 1 z







= 1 0 = z ; 1 z

c2 c1 c0 + c1 z c0







= 1 0 = z : 1 z

Óáåäèìñÿ, ÷òî ðàâåíñòâî (7), òåì íå ìåíåå, èìååò ìåñòî:

z (1 + z 2 ) z = z 3 = O(z 3 ) : Äàäèì òåïåðü ñòðîãîå îïðåäåëåíèå àïïðîêñèìàöèé Ïàäå. Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü

P

è

Q ïîëèíîìû ñòåïåíåé íå âûøå L è M P Q

òîãäà îòíîøåíèå

ñîîòâåòñòâåííî,

Q(0) 6= 0 è

f (z ) = O(z L+M +1 ) ;

P=Q íàçûâàåòñÿ [L=M ]-àïïðîêñèìàöèåé Ïàäå.

Îòìåòèì íåêîòîðûå ëåãêî ïðîâåðÿåìûå ñâîéñòâà àïïðîêñèìàöèé Ïàäå.

Ïóñòü g = f 1 è f (0) 6= 0, òîãäà [M=L]g = [L=M ]f , ïðè óñëîâèè, ÷òî õîòÿ áû îäíà èç ýòèõ àïïðîêñèìàöèé ñóùåñòâóåò. Òåîðåìà.

29

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü, ñêàæåì, ñóùåñòâóåò àïïðîêñèìàöèÿ

[L=M ]f (0) = f (0) 6= 0 è, ñëåäîâàòåëüíî

QM (z ) PL (z )

g (z ) ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

[L=M ]f , òîãäà [L=M ]f (z) = QPML((zz)) è PL (0) 6= 0, ïîñêîëüêó

= PL (zf) (z)fP(Lz()zQ)M (z) = O(zL+M +1 ) ;

Òåîðåìà (èíâàðèàíòíîñòü äèàãîíàëüíûõ àïïðîêñèìàöèé ïðè äðîáíî-ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ñîõðàíÿþùèõ íà-

Ïóñòü w = 1+azbz . Ïîëîæèì g(w) = f (z), òîãäà [M=M ]g (w) = [M=M ]f (z) ïðè óñëîâèè, ÷òî õîòÿ áû îäíà èç ýòèõ àïïðîêñèìàöèé ñóùåñòâóåò.

÷àëî êîîðäèíàò).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ñóùåñòâóåò àïïðîêñèìàöèÿ

M P

k

ak w [M=M ]g (w) = P = g(w) + O(z2M +1 ) : M Ââåäåì ïîëèíîìû

AM

è

BM

ïî

z ñòåïåíè íå âûøå M :

A(z ) = (1 + bz )M

M X

ak

òîãäà



bk wk

M

az k ; B (z ) = (1 + bz )M X b  az k ; k 1 + bz 1 + bz

AM (z ) BM (z )

= f (z) + O(z2M +1 ) ;

ïîñêîëüêó 0 ïåðåõîäèò â 0. Òåîðåìà(èíâàðèàíòíîñòü äèàãîíàëüíûõ àïïðîêñèìàöèé îòíîñèòåëüíî äðîáíî-ëèíåéíûõ ôóíêöèé).

a+bf (z) c+df (z)

è c + df (0) 6= 0, òîãäà

]f [M=M ]g (z) = ca ++ db[[M=M M=M ]f

åñëè [M=M ]f ñóùåñòâóåò.

Ïóñòü g(z) =

;

Äîêàçàòåëüñòâî.

a + b[M=M ]f (z ) = PM (z ) ; c + d[M=M ]f (z ) QM (z ) ãäå PM è QM ïîëèíîìû ñòåïåíè íå âûøå M , ïðè÷åì QM (0) 6= 0. Ñëåäîâàòåëüíî, PM (z ) QM (z )

2.2.3

g (z ) =

(bc

ad) f[M=M ]f (z ) f (z )g 2M +1 fc + d[M=M ]f (z)g(c + df (z)) = O(z ) :

Àïïðîêñèìàöèè Ïàäå â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå

Ïóñòü

f (z ) =

1 X

fk k+1 z k=0

 ôîðìàëüíûé ðÿä ïî îáðàòíûì ñòåïåíÿì z . Ïîñòàâèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó. Ïóñòü ìíîãî÷ëåí

QN

6= 0, degQN  N , òàêîé ÷òî

N

 íàòóðàëüíîå. Òðåáóåòñÿ íàéòè

QN (z )f (z ) PN (z ) = Nc+1 + : : : ; (11) z ãäå PN (z )  ïîëèíîìèàëüíàÿ ÷àñòü ðÿäà QN (z )f (z ). Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è ñóùåñòâóåò è degPN  N . Åñëè ïàðà (PN ; QN ) íå åäèíñòâåííà (íå òîëüêî ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ), òî òåì íå ìåíåå îòíîøåíèå PN =QN îïðåäåëÿåò îäíó è òó æå ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ äëÿ ëþáîé ïàðû Ïàäå. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü

30

00 0 Q0N (z )f (z ) PN0 (z ) = Nc+1 + : : : ; Q00N (z )f (z ) PN00 (z ) = Nc +1 + : : : ; z z òîãäà äîìíîæèâ ïåðâîå ðàâåíñòâî íà Q00N (z ), à âòîðîå íà Q0N (z ) è âû÷òÿ âòîðîå èç ïåðâîãî, ïîëó÷èì

Q0N (z )PN00 (z ) Q00N (z )PN0 (z ) = c | {z } z

+ :::

;

Q0N (z )PN00 (z ) Q00N (z )PN0 (z ) = 0. Îòíîøåíèå N (z ) = QN =PN íàçûâàåòñÿ N -îé äèàãîíàëüíîé àïïðîêñèìàöèåé Ïàäå ðÿäà f . ßñíî, ÷òî N (f (1=z ); z ) = N (f (z ); 1=z ). Åñëè äëÿ ëþáîé N -îé ïàðû Ïàäå degQN = N , òî èíäåêñ N íàçûâàþò íîðìàëüíûì (äëÿ ðÿäà f ). Ìíîæåñòâî íîðìàëüíûõ èíäåêñîâ îáîçíà÷èì (f ). Óñòàíîâèì äåòåðìèíàíòíûé êðèòåðèé íîðìàëüíîñòè. Ïóñòü H0 = 1 è îòêóäà

f0 f1 HN .. . fN 1  îïðåäåëèòåëè Õàíêåëÿ, ïîñòðîåííûå ïî ðÿäó f z .

=

Óòâåðæäåíèå.

N 2

()

, HN 6= 0.

Äîêàçàòåëüñòâî. Èíäåêñ

N

=0

âñåãäà íîðìàëåí (HN

f1 f2 .. .

.. . f2N 2

: : : fN 1 : : : fN ..

.

fN : : :

= 1). Ïðè

N >0

çàïèøåì â ÿâíîì âèäå ñèñòåìó ëèíåéíûõ N P óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ qk ìíîãî÷ëåíà QN . Ïóñòü QN z qk z k , òîãäà óñëîâèÿ ðàâåíñòâà íóëþ êîýôôèöèåíòîâ ïðè ñòåïåíÿõ (1=z )n ,

n = 1; 2; : : : ; N

( )=

ïðèíèìàþò âèä

k=0

f0 q0 + f1 q1 + : : : + fN qN

=0; f1 q0 + f2 q1 + : : : + fN +1 qN = 0 ; ::::::::: ;

fN 1 q0 + fN q1 + : : : + f2N 1 qN

(12)

=0:

N 62  , òî ñóùåñòâóåò íåíóëåâîå ðåøåíèå âûïèñàííîé ñèñòåìû ñ qN = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, HN = 0. Ïóñòü òåïåðü N 2  . Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ íîðìàëüíîãî èíäåêñà ñèñòåìà (12) ñ qN = 0 èìååò ëèøü òðèâèàëüíîå ðåøåíèå, ïîýòîìó HN 6= 0. Îòìåòèì íåêîòîðûå ëåãêî ïðîâåðÿåìûå ñâîéñòâà íîðìàëüíûõ èíäåêñîâ. Åñëè N 2  , òî N -àÿ ïàðà Ïàäå åäèíñòâåííà (ñ òî÷íîñòüþ äî óìíîæåíèÿ íà îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî), ìíîãî÷ëåíû PN è QN ïðè ýòîì âçàèìíî ïðîñòû è degN = N . Åñëè

Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ïîëíîñòüþ îïèñûâàåò ñòðóêòóðó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äèàãîíàëüíûõ àïïðîêñèìàöèé Ïàäå  ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îêàçûâàåòñÿ ñîñòîèò òîëüêî èç àïïðîêñèìàöèé, îòâå÷àþùèõ íîðìàëüíûì èíäåêñàì.

(N; J ] \  = ; , òîãäà J = N . Äîêàçàòåëüñòâî. Çàïèøåì J â âèäå íåñîêðàòèìîé äðîáè: J = P=Q . Ïóñòü degJ = r . Ïîñêîëüêó J 62  , òî r < J . Ïîêàæåì, ÷òî èíäåêñ r íîðìàëåí. Ïàðà (P; Q) | r-àÿ ïàðà Ïàäå è r = J (ïî ïîñòðîåíèþ), degr = r, r 2 . ßñíî, ÷òî r  N (ïîñêîëüêó èíäåêñ r íîðìàëåí), ïðè÷åì (P; Q)  òàêæå è N -àÿ ïàðà, è, ñëåäîâàòåëüíî, N = J . Çàìåòèì, ÷òî çíàìåíàòåëü Ïàäå QN (z ) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå îïðåäåëèòåëÿ Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü

N

2, J

 öåëîå,

J >N

QN (z ) =

è

f 0 f1 . .. fN 1

1

f1 f2 .. .

.. . f2N 1 N

: : : fN : : : fN +1 ..

.

fN : : : z ::: z 31

:

Ïðè ýòîì åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ îáëàñòü

F

R

è êîíå÷íàÿ ìåðà



(íàïîìíèì, ÷òî ìåðà åñòü ñ÷åòíî àääèòèâíàÿ

íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà, êîíå÷íîñòü ìåðû îçíà÷àåò ÷òî åå çíà÷åíèå íà âñåì ìíîæåñòâå F , ãäå îíà îïðåR k äåëåíà, êîíå÷íî:  F < 1) , ÷òî âåëè÷èíû fk ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé åå ìîìåíòû, òî åñòü fk x d x , k ; : : : , òî ìíîãî÷ëåíû

QN

( )

=

ÿâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè ñ ìåðîé : Z

QN (x)QM (x)d(x) = 0 ; N

F

( ) =0 1

6= M :

F Ïîäðîáíåå îá îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìàõ ñì. â ãëàâå "×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå". Ñàìà çàäà÷à î íàõîæäåíèè ìåðû

 ïî çàäàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷èñåë fk íàçûâàåòñÿ ïðîáëåìîé ìîìåíòîâ.  çàâèñèìîñòè îò îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ F âûäåëÿþò 3 êëàññè÷åñêèõ ñëó÷àÿ: 1) F = R  ïðîáëåìà ìîìåíòîâ Ãàìáóðãåðà; 2) F = [0; 1)  ïðîáëåìà ìîìåíòîâ Ñòèëüòüåñà; 3) F = [0; 1]  ïðîáëåìà ìîìåíòîâ Õàóñäîðôà. Îòìåòèì â çàêëþ÷åíèå, ÷òî åñëè ÷èñëà ffk g1 0 ÿâëÿþòñÿ ìîìåíòàìè íåêîòîðîé ìåðû òî âñå îïðåäåëèòåëè Õàíêåëÿ Hn áîëüøå íóëÿ. Åñëè æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ffk g1 0 òàêîâà, ÷òî âñå Hn > 0 , òî ïðîáëåìà ìîìåíòîâ Ãàìáóðãåðà ðàçðåøèìà.

32

Ãëàâà 3 ×èñëåííîå äèôôåpåíöèpîâàíèå

Åñòåñòâåííûì ñïîñîáîì ïðèáëèæåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå íå ñàìîé ôóíêöèè, à èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà èëè ñïëàéíà ïîñòðîåííîãî ïî åå òàáëè÷íûì çíà÷åíèÿì, ìîæíî òàêæå äèôôåðåíöèðîâàòü àïïðîêñèìàöèè Ïàäå è âîîáùå ïðîèçâîëüíûå àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèè, ïðîèçâîäíûå îò êîòîðîé ìû õîòèì îïðåäåëèòü. Âîïðîñ ëèøü â òîì, êàêîâû çàòðàòû è êàêîâà òî÷íîñòü òàêîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.

3.1

Äèôôåðåíöèðîâàíèå èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà

Ñàìûì ïðîñòûì ñïîñîáîì ïðèáëèæåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà, ïîñòðîåííîãî ïî íåêîòîðîé ñåòêå åå çíà÷åíèé, êîòîðûé óäîáíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìå Íüþòîíà

p(x) = Åãî n-àÿ ïðîèçâîäíàÿ èìååò âèä n n P (n)

p

(x) = n!

f01:::n +

i=0

(x

N X k=0

f012 ::: k Nk (x) =

N X k=0

f012 ::: k

kY1 i=0

(x

xi ) :



xi ) f01:::n+1 +

+

j =n+1  X j>i0

o



(x

xi )(x xj ) f01:::n+2 + : : : :

(1)

Ïîñêîëüêó ïîãðåøíîñòü èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà åñòü

f (x) p(x) =

N

f N +1 ( (x)) Y(x x ) ; i (N + 1)! i=0

òî ïîãðåøíîñòü äèôôåðåíöèðîâàíèÿ îöåíèâàåòñÿ âûðàæåíèåì

(N +1) jjC < f (n) (x) p(n) (x)  const jjf [x xi ]N +1 n ; i (N + 1 n)! max òî åñòü, êàæäîå äèôôåðåíöèðîâàíèå íà îäèí ïîðÿäîê ñíèæàåò òî÷íîñòü. Åñëè æå â (1) îñòàâèòü òîëüêî ïåðâûé ÷ëåí, òî n P ïîñêîëüêó ïîðÿäîê ïîãðåøíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ïåðâûì îòáðîøåííûì ÷ëåíîì x xi f01:::n+1 , ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå

(

i=0

ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå äëÿ ïðîèçâîäíûõ h

f (n) (x) ' n! f01:::n + O 33

n X i=0

(x

i

xi )

:

)

(2)

h = max hi , ãäå hi = xi+1 xi . Èç (2) âèäíî, ÷òî ðàçäåëåííàÿ ðàçíîñòü n-ãî ïîðÿäêà, äîìíîæåííàÿ íà n! , i àïïðîêñèìèðóåò ïðîèçâîäíóþ n-ãî ïîðÿäêà ñ òî÷íîñòüþ O(h) . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x 2 [x0 ; xn ] , òî ìàêñèìóì ìîäóëÿ n P ñóììû (x xi ) äîñòèãàåòñÿ â îäíîé èç òî÷åê x = x0 èëè x = xn è íå ïðåâîñõîäèò âåëè÷èíû h+2h+: : : nh = n(n2+1) h . i=0 Ïîñêîëüêó ðàçäåëåííàÿ ðàçíîñòü f01:::n íå ñîäåðæèò ñàìîé ïåðåìåííîé x , òî âîçíèêàåò âîïðîñ: ïðîèçâîäíóþ â Ïóñòü

êàêîé òî÷êå îíà àïïðîêñèìèðóåò òî÷íåå âñåãî. Ýòà òî÷êà îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì ðàâåíñòâà íóëþ ïåðâîãî îòáðîøåííîãî n n P P ÷ëåíà, òî åñòü óñëîâèåì x xi , îòêóäà x xi = n , è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ òî÷åê

i=0

(

)=0

=

( +1)

i=0

x0 ; x1 ; : : : ; xn .  ýòîé òî÷êå ïîðÿäîê òî÷íîñòè ïðèáëèæåííîé ïðîèçâîäíîé n-ãî ïîðÿäêà íà åäèíèöó âûøå è ðàâåí O(h2 ) .

Åñëè æå â (1) îñòàâèòü äâà ïåðâûõ ÷ëåíà, òî ïîðÿäîê òî÷íîñòè òàêîé ôîðìóëû ïðèáëèæåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ j =P n+1 áóäåò O h2 . Ïðè ýòîì â äâóõ òî÷êàõ, îïðåäåëÿåìûõ êàê êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ x xi x xj ,

( )

(

)(

)=0

j>i0 òî÷íîñòü áóäåò íà ïîðÿäîê âûøå. Àíàëîãè÷íî, k-÷ëåííàÿ ôîðìóëà èìååò ïîðÿäîê òî÷íîñòè O(hk ) , òî÷êè ïîâûøåííîé òî÷íîñòè åñòü êîðíè óðàâíåíèÿ

x

çàìåòèòü, åñëè òî÷êà

k-ãî

ïîðÿäêà. Ðåøàòü òàêîå óðàâíåíèå âðÿä ëè öåëåñîîáðàçíî, îäíàêî, êàê íåòðóäíî

òàêîâà, ÷òî óçëû

x0 ; x1 ; : : : xn+k 1

ðàñïîëîæåíû îòíîñèòåëüíî íå¼ ñèììåòðè÷íî è

k

íå÷åòíî,

òî ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïîâûøåííîé òî÷íîñòè. Ðàçóìååòñÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîé ñåòêè, òàêîå óñëîâèå, êàê ïðàâèëî, íå ðåàëèçóåòñÿ. Îäíàêî òàêàÿ òî÷êà çàâåäîìî ñóùåñòâóåò (ïðè ïðîèçâîëüíîì îíà ïîñåðåäèíå ìåæäó êðàéíèìè óçëàìè:

3.2

x = (x0 + xn+k 1 )=2 .

k ), åñëè øàã ñåòêè ïîñòîÿííûé è íàõîäèòñÿ

Êîíå÷íûå pàçíîñòè

Åñòåñòâåííûì ñïîñîáîì îïèñàíèÿ ïðèáëèæåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íàðÿäó ñ ðàçäåëåííûìè ðàçíîñòÿìè ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé.


x = h ïpèpàùåíèå àpãóìåíòà. Îïðåäåëåíèå. Âûpàæåíèå
h f =
f (x) = f (x + h) f (x) íàçûâàåòñÿ ïåpâîé pàçíîñòüþ (èëè êîíå÷íîé pàçíîñòüþ ïåpâîãî ïîpÿäêà) øàãà h ôóíêöèè f (x) . Êîíå÷íûå ðàçíîñòè âûñøèõ ïîðÿäêîâ îïðåäåëèì ðåêóðåíòíûìè ñîîòíîøåíèåìè. Èìåííî, ïîëîæèì
nh h :::hn f =
hn (
nh h1 :::hn f )  êîíå÷íàÿ pàçíîñòü n-ãî ïîpÿäêà. Ýòî îïðåäåëåíèå íå çàâèñèò îò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðèìåíåíèÿ Ïóñòü

f (x) 2 C

, îáîçíà÷èì ÷åpåç

1 2

1 2

1

hi : n
h1 h2 :::hn f =
nhi1 hi2 :::hin f , ãäå fi1 ; i2 : : : in g ñäâèãîâ

 ïðîèçâîëüíàÿ ïåðåñòàíîâêà èíäåêñîâ

Îòìåòèì ñâÿçü êîíå÷íûõ pàçíîñòåé ñ ìíîãî÷ëåíàìè. Ïóñòü p(x) = aN xN + aN

1 xN

N , òîãäà

1; 2; : : : n. 1 + : : : + a0  ïîëèíîì ñòåïåíè


(x) = N !aN h1 h2 : : : hN = const; N +1 á)
h h :::hN p(x) = 0. a) N h1 h2 :::hN p 1 2

+1

Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî


kh h :::hk xN = N (N 1) : : : (N 1 2

k + 1)h1 h2 : : : hk xN k ; k  N :

Äåéñòâèòåëüíî


h xN = (x + h1 )N 1

Ïðèìåíèì òåïåðü


h

2

ê

xN

=


h xN :

N X k=0

k hk xN k N

xN

= Nh1 xN 1 + : : :

1


2h h xN =
h (
h xN ) = N (N 1)h1 h2 xN 2 + : : : 1 2

2

1

è òàê äàëåå.

34

;

:

Çàìåòèì, ÷òî ýòè ñâîéñòâà àíàëîãè÷íû ñîîòâåòñòâóþùèì ñâîéñòâàì ðàçäåëåííûõ ðàçíîñòåé:

p01:::N

=

= 0 . Óêàçàííîå ñõîäñòâî ðàçäåëåííûõ è êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé íå îãðàíè÷èâàåòñÿ ýòèì. Ïóñòü øàã ñòîÿíûé, îáîçíà÷èì
k =
khh : : : h , òîãäà p01:::N +1

const , h ïî-

| {z } k

ãäå

k


k f0 =
k f (x)jx=x . Äåéñòâèòåëüíî f01 = 1 ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî, òîãäà 0

k k!f01:::k =
kf0 ; h (f1 f0 ) =
f0 . Äàëåå ïîñòóïèì ïî èíäóêöèè. Ïóñòü ïðè èíäåêñå ðàâíîì (x1 x0 ) h

f01:::k = f12:::k f01:::k 1 xk x0

=

1 (k 1)!hk

1

(
k

1 f1

kh


k

1 f0 )

=
k!hfk0 k

:

Çàìåòèì, ÷òî íàïðàøèâàþùååñÿ îáîáùåíèå äëÿ íåðàâíîìåðíîé ñåòêè (íåïîñòîÿííîãî øàãà), à èìåííî ðàâåíñòâî âåëè÷èíû k

f k !f01:::k îòíîøåíèþ
hh hh :::k :::hk k

0

1 2 1 2

, î÷åâèäíî, íå èìååò ìåñòà. Ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ óáåäèòüñÿ â ýòîì ñàìîñòîÿòåëüíî

(áåç âñÿêèõ âû÷èñëåíèé!). Èòàê ââåäåí îïåpàòîp




äåéñòâóþùèé íà ôóíêöèþ

f (x)

ïî ïðàâèëó


f (x)  f (x + h) f (x) . Îòìåòèì äàëüíåéøèå

ñâîéñòâà êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé:


(f + g) = 
f +
g ; 2)
k (
l f ) =
k+l f =
l (
k f ); d = 1 ln(1 +
) : 3) Ñâÿçü ñ ïpîèçâîäíîé: dx
x 1) Ëèíåéíîñòü:

Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ôîðìàëüíîå è ïîíèìàòü åãî íóæíî â ñëåäóþùåì ñìûñëå

ãäå ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî

f


f = expfh dxd gf

f;

 àíàëèòè÷åñêàÿ, ò.å., â ÷àñòíîñòè, ðàñêëàäûâàåòñÿ â ðÿä Òåéëîðà è ñîâïàäàåò ñ íèì â

íåêîòîðîì êðóãå íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè

f (x + h) =

1 X

1 h d n f (x) = expfh d gf (x) : n! dx dx n=0

Òàêèì îáðàçîì îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ìîæíî ñ ëþáîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè àïïðîêñèìèðîâàòü êîíå÷íûìè ðàçíîñòÿìè: 



n+1 n 2 3 = = h1

2 +
3 + : : : + ( 1) n
+ : : : : (3) Îáðåçàÿ ýòî âûðàæåíèå íà òîé èëè èíîé ñòåïåíè
, ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ïðîèçâîäíîé â òî÷êå x ñ ëþáîé df '
f = f (x+h) f (x) ; à îñòàâëÿÿ äâà ñòåïåíüþ òî÷íîñòè. Èç ýòîé ôîpìóëû, â ÷àñòíîñòè, ïpèáëèæåííî ïîëó÷àåòñÿ dx h h

d dx

ln(1 +
) h

÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ, ïîëó÷àåì

df dx









2 ' h1

2 f = h1 2f (x + h) f (x +2 2h) 32 f (x) :

Âûðàæåíèå äëÿ ïðîèçâîäíûõ âûñøèõ ïîðÿäêîâ ïîëó÷àåì èç (3), ñêàæåì âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ èìååò ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå

d f = 1 ln(1 +
)ln(1 +
)f : dx h2 4) Âûpàæåíèå ïîñëåäîâàòåëüíûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè ÷åpåç êîíå÷íûå pàçíîñòè: Äîêàçàòåëüñòâî: Äåéñòâèòåëüíî

f (x + h) = f (x) +
f (x) = (1 +
)f (x) ; 35

f (x+kh) =

k P s=0

Cks
s f (x).

f (x + 2h) = (1 +
)f (x + h) = (1 +
)2 f (x) ; ::: ;

è, ðàñêëàäûâàÿ ïî áèíîìó

k

f (x + kh) = (1 +
)k f (x) ;

(1 +
)k = P Cks
s , ãäå s=0

Cks = k(k 1):::s!(k s+1)

= (k ks!)!s! ; ïîëó÷àåì èñêîìîå âûðàæåíèå.

5) Âûpàæåíèå êîíå÷íûõ pàçíîñòåé ÷åpåç çíà÷åíèÿ ôóíêöèè: Äîêàçàòåëüñòâî. Ïpåäñòàâèì


= (1 +
) 1, òîãäà


k f (x) = [(1 +
) 1]k f (x) = =

k X s=0

Cks (

k X s=0

Cks (1 +
)k s (

1)s f (x + (k

k


k f (x) = P Cks ( 1)s f (x + (k s=0

s)h) .

1)s f (x) =

s)h);

èëè pàñïèñûâàÿ ïîäpîáíî:


k f (x) = f (x + kh)

Ck1 f (x + (k

1)h) + Ck2 f (x + (k 2)h)+

+ : : : + ( 1)k f (x): 6) Ôîpìóëà êîíå÷íûõ ïpèpàùåíèé Ëàãpàíæà:


k f (x) = (
x)k f (k) (x + k
x) ; ãäå

0<<1

è

f

2 Ck .

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ìû áóäåì ïðîâîäèòü ïî èíäóêöèè. Áàçà èíäóêöèè


f =
xf 0 (x + 
x)

èìååò

ìåñòî â ñèëó òåîpåìû Ëàãpàíæà î ñpåäíåì çíà÷åíèè ïpîèçâîäíîé (íàïîìíèì, ÷òî äëÿ äèôôåðåíöèðóåìîé íà îòðåçêå

[x; x +
x] ôóíêöèè òåîðåìà Ëàãðàíæà óòâåðæäàåò, ÷òî íà ýòîì æå ïðîìåæóòêå íàéäåòñÿ òî÷êà , òàêàÿ ÷òî f (x+h) f (x) = f 0 ( ) , ãäå  2 [x; x +
x] ). Äàëåå ïóñòü ïpè èíäåêñå pàâíîì k ôîpìóëà ñïpàâåäëèâà:
x
k f (x) = (
x)k f (k) (x + k
x)

:

Òîãäà


k+1 f (x) =
(
k f ) =
[f (k) (x + k
x)]
k x = =
k x[f (k) (x +
x + k
x)

f (k) (x + k
x)] :

Ïðîäîëæèì ýòî ðàâåíñòâî èñïîëüçóÿ òåîpåìó Ëàãpàíæà

= (
x)k+1f (k+1) (x + k
x + 0
x) = (
x)k+1f (k+1) (x + (k + 0 )
x) : 0 Çäåñü 0 < 1 (pàâíî êàê è ). Ââåäåì 00 = k+ k+1 , òîãäà ïîñëåäíÿÿ ôîpìóëà ïåpåïèñûâàåòñÿ â âèäå (
x)k+1 f (k+1) (x + (k + 1)00
x) : 00 < 1 , òàêèì îápàçîì ôîpìóëà êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé äîêàçàíà.
k fk + o(1) : Ñëåäñòâèå ñâîéñòâà 6). f (k) (x) = (
x)
k fk = f (k) (x + k
x) , îòêóäà óñòpåìëÿÿ
x ! 0, ïîëó÷àåì f (k) (x) = lim
k fk . Äåéñòâèòåëüíî (
x)
x!0 (
x)

Ïðè ýòîì, êàê íåòðóäíî óáåäèòüñÿ

36


f
x

=

3.2.1

Îïåðàòîð


è îáîáùåííàÿ ñòåïåíü

Îïðåäåëåíèå. Îáîáùåííîé ñòåïåíüþ ÷èñëà

x íàçûâàåòñÿ âûpàæåíèå

x[n]  x(x h)(x

h = 0, òî x[n] = xn .
k x[n] = n(n 1) : : : (n

Çàìåòèì, ÷òî åñëè Ñâîéñòâî.

Äîêàçàòåëüñòâî.

ïðèìåíÿÿ




2h) : : : (x (n 1)h) ;

(k 1))hk x[n

k]

x[0]  1:

:


x[n] = (x + h)[n] x[n] = = (x + h)x(x h) : : : (x (n 2)h) x(x h) : : : (x (n 1)h) = = x(x h) : : : (x (n 2)h)[x + h (x (n 1)h)] = nhx[n 1] ;

åùå ðàç, ïîëó÷àåì


2 x[n] =
(
x[n]) =
(nhx[n 1] ) = nh(n 1)hx[n 2] = = n(n 1)h2 x[n 2] ; è òàê äàëåå. Òàêèì îáðàçîì äåéñòâèå îïåðàòîðà




íà îáîáùåííóþ ñòåïåíü àíàëîãè÷íî äèôôåpåíöèpîâàíèþ îáû÷íûõ ñòåïåíåé:

dk xn = n(n

3.2.2

1) : : : (n (k 1))xn k (dx)k :

Èíòåpïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Íüþòîíà äëÿ pàâíîîòñòîÿùèõ óçëîâ

Ïóñòü â òî÷êàõ x0 ;

x1 ; : : : ; x N

:

xi = x0 + ih, çàäàíû çíà÷åíèÿ f0 ; f1 ; : : : ; fN

. Ðåøèì çàäà÷ó èíòåpïîëÿöèè, òî åñòü

ïîñòpîèì ïîëèíîì

p(x)

: p(xi ) = fi ; i = 0 ; 1 ; : : : ; N ; deg p(x) = N :

Èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì, óäîâëåòâîðÿþùèé òàáëè÷íûì çíà÷åíèÿì

p(x) = Äëÿ ïîñòîÿííîãî øàãà

h

âûïîëíåíî:

k!f01:::k

=

N X k=0


kkf0 ; h

(4)

fxi ; fi gNi=0 , â ôîðìå Íüþòîíà èìååò âèä

f012 ::: k Nk (x) : ïðè ýòîì

ðåøåíèå çàäà÷è èíòåðïîëÿöèè ïðèíèìàåò âèä

Nk (x) =

kQ1 i=0

(x

x0 )[k] ;

xi ) = (x

òàêèì îáðàçîì

2 N p(x) = f0 +
f0 (x x0 )[1] + 1
2f0 (x x0 )[2] + : : : + 1
Nf0 (x x0 )[N ] : h 2! h N! h Çàìåòèì, ÷òî ñàìè óñëîâèÿ (4) ìîæíî òàêæå ïåpåïèñàòü â âèäå:


k p(x)jx=x =
k f0 : Äåéñòâèòåëüíî èç ñâîéñòâà 5) 0

êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé


k p(x0 ) = p(x0 + kh) Ck1 p(x0 + (k 1)h) + : : : + ( 1)k p(x0 ) = = fk Ck1 fk 1 + : : : + f0 =
k f0 : Ïpîâåpèì, ÷òî ïîñòðîåííûé ïîëèíîì p(x) äåéñòâèòåëüíî óäîâëåòâîpÿåò óñëîâèÿì èíòåpïîëÿöèè: 1) p(x0 ) = f0 ; ÷òî ñëåäóåò èç ôîðìû çàïèñè ïîëèíîìà; 37

2) p(xk ) = p0 +
hp (xk x0 )[1] + : : : +
k!khpk (xk Ïîñêîëüêó xk x0 = kh , òî 0

0

(xk

x0 )[k] + 0 :

x0 )[m] = kh(kh h) : : : (kh

(m 1)h) = hm k(k 1) : : : (k (m 1)) ;

è, ñëåäîâàòåëüíî,

2 k p(xk ) = f0 +
f0 kh +
f20 h2 k(k 1) + : : : +
fk0 hk k(k 1) : : : 1 = h 2!h k!h kf 2 f0

= f0 +
f0 k + 2! k(k 1) + : : : + k!hk0 k(k 1) : : : 1 =

= ïî ñâîéñòâó êîíå÷íûõ pàçíîñòåé.

k X

m=0

Çàìå÷àíèå. Åñëè h ! 0 , òî ïîëèíîì p(x)
m fm0 ! f (m) (x0 ) , (x x0 )[m] ! (x x0 )m è (
x)

Ckm
m f0 = (1 +
)k f0 = fk

ñòpåìèòñÿ ê îòðåçêó ðÿäà Òåéëîpà ôóíêöèè

00 (N ) p(x) ! f0 + f 0 (x0 )(x x0 ) + f (x0 ) (x x0 )2 + : : : + f (x0 ) (x x0 )N 2! N! N X (k) = f k(!x0 ) (x x0 )k : k=0

Ìîæíî èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì çàïèñàòü òàêæå â ñëåäóþùåé ôîpìå:

p(x) = f0 + q
f0 + q (q ãäå

q = x hx0

1) 2 q (q 1) : : : (q 2!
f0 + : : : + N!

N + 1)
N f ; 0

. Äåéñòâèòåëüíî

(x

x0 )[m] hm

= (x

x0 )(x x0 h) : : : (x x0 h h ::: h = q(q 1) : : : (q m + 1) :

38

(m 1)h) =

f

=

, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå

Ãëàâà 4 ×èñëåííîå èíòåãpèpîâàíèå

4.1

Íàâîäÿùèå ñîîáðàæåíèÿ

Ïðè ïðèáëèæåííîì âû÷èñëåíèè èíòåãðàëîâ âèäà

I= ãäå

f

 èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ,

 2 C(a;b) ; 2)  èíòåãðèðóåìàÿ íà [a; b]; 3)  > 0,



Zb

f (x)(x)dx ;

a



âåñ èëè âåñîâàÿ ôóíêöèÿ ñî ñâîéñòâàìè

1)

åñòåñòâåííî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèé ïðèåì. Ïðîèíòåðïîëèðóåì èíòåãðèðóåìóþ ôóíêöèþ

fi = f (xi )

f

ñ ïîìîùüþ ÷åáûøåâñêîé ñèñòåìû ôóíêöèé

â íåêîòîðûõ óçëàõ fxi gN i=0 ïðîìåæóòêà

f (x) = rN (x)

f'i gNi=0

ïî å¼ çíà÷åíèÿì

[a; b] . Òîãäà ôóíêöèþ f ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

N X i=0

i 'i (x) + rN (x) ;

(1)

ñîîòâåòñòâóþùàÿ íåâÿçêà, à êîýôôèöèåíòû i ëèíåéíî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç çíà÷åíèÿ fj (ñì. ðàçäåë N P T 1 f ; ãäå "Èíòåðïîëÿöèÿ"): i íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè 'i xj . Äëÿ óäîáñòâà áóäåì ij j ãäå

=

[ ]



j =0

N W

ñ÷èòàòü, ÷òî áàçèñ â ëèíåéíîé îáîëî÷êå

'i

i=0

I=

N X i=0

( )

âûáðàí òàêèì, ÷òî ìàòðèöà

f (xi )

Zb

'i (x)(x)dx +

a

Zb



åäèíè÷íàÿ, òî åñòü

ri (x)(x)dx :

i = fi

, òîãäà

(2)

a

ãäå ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ

i =

Zb

'i (x)(x)dx ; RN (f; ) =

a

Åñëè â (2) îòáðîñèòü ïîãðåøíîñòü

Zb

ri (x)(x)dx ;

(3)

a

RN (f; ), òî îñòàâøååñÿ âûðàæåíèå I=

Zb

f (x)(x)dx 

a

39

N X i=0

i f (xi )

(4)

êâàäðàòóðíîé ôîðìóëîé. Åñòåñòâåííî, ÷òî äëÿ òîãî ÷òîáû ìîæíî áûëî èñïîëüçîâàòü êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó íåîáõîäèìî âûáðàòü ÷åáûøåâñêóþ ñèñòåìó òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âåñà i êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû ìîãëè áûòü íàçûâàåòñÿ

ñîñ÷èòàíû ÿâíî. Îáû÷íî â êà÷åñòâå òàêîé ñèñòåìû èñïîëüçóþòñÿ ïîëèíîìû.

i ) ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòóðíîé ôîðìóëîé, îäíàêî öåííîñòü òàêîé ôîðìóëû ìîæåò è âîâñå îòñóòñòâîâàòü, åñëè ÷èñëà (âåñà) i âûáðàíû íåðàçóìíî. Êðîìå òîãî, äîïîëíèòåëüíîé òî÷íîñòè ìîæíî äîáèòüñÿ çà ñ÷åò ýôôåêòèâíîãî ðàñïîëîæåíèÿ óçëîâ xi êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû. Çàìå÷àíèå.  ïðèíöèïå ëþáàÿ çàïèñü âèäà (4) (ñ ïðîèçâîëüíûìè âåñàìè

Âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ: À ÷òî ÿâëÿåòñÿ ìåðîé òî÷íîñòè êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû, âåäü ïðè èíòåãðèðîâàíèè ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé

f

RN (f; )

ïîãðåøíîñòü

ìîæåò áûòü ñóùåñòâåííî ðàçíîé? Â ñâÿçè ñ ýòèì åñòåñòâåííî âûäåëèòü

íåêîòîðûé êëàññ ôóíêöèé, íà êîòîðîì è ïðîâåðÿåòñÿ âåëè÷èíà ïîãðåøíîñòè. Åñëè â êà÷åñòâå òàêîãî êëàññà èñïîëüçóþòñÿ ïîëèíîìû, òî ãîâîðÿò îá àëãåáðàè÷åñêîé òî÷íîñòè êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû.

Àëãåápàè÷åñêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè

Îïðåäåëåíèå.

êâàäpàòópíîé ôîpìóëû íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî

òàêîå, ÷òî ïðè èíòåãðèðîâàíèè ëþáûõ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè íå ïðåâîñõîäÿùåé

kM

ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî (4) ïðåâðà-

RN (f; )) êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû ðàâíà

ùàåòñÿ â òîæäåñòâî (ò.å. íåâÿçêà (ïîãðåøíîñòü ñòåïåíè

M

íóëþ åñëè

f

òî÷íî (ïî ôîðìóëå (3)), êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà (4) èìååò àëãåáðàè÷åñêóþ ñòåïåíü òî÷íîñòè

N ïîëèíîì ïðîñòî ñîâïàäàåò ñ f . äëÿ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè äî

ïîëèíîì

íåâÿçêà

rN (x)

M

íå íèæå

i ñîñ÷èòàíû N , ïîñêîëüêó

òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå èíòåðïîëÿöèîííûé

Êâàäpàòópíûå ôîpìóëû Íüþòîíà-Êîòåñà

Ïóñòü âåñ

  1 ; x0 = a ; xN

= b : Èñïîëüçóåì â êà÷åñòâå ÷åáûøåâñêîé ñèñòåìû 'i (x) 'i (x)  L(Ni) (x) ;

òîãäà

= pk

).

Çàìåòèì, ÷òî åñëè â êà÷åñòâå ÷åáûøåâñêîé ñèñòåìû èñïîëüçîâàòü ïîëèíîìû, òî ïðè óñëîâèè, ÷òî âåñà

4.2

M

f (x) =

N P i=0

L(Ni) (x)f (xi ) + rN (x)

L(Ni) (x) =

(x ( x j 6=i i

Y

ïîëèíîìû Ëàãpàíæà:

xj ) ; xj )

è

I=

N X

ãäå

i=0

i =

i f (xi ) +

Zb

rN (x)dx ;

a Zb Y

(x ( x j 6=i i

a

xj ) dx ; xj )

(5)

ò.å. âåñà êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû ìîãóò áûòü ñîñ÷èòàíû ÿâíî. Ñàìà æå ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà ïðèáëèæåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ íàçûâàåòñÿ

4.2.1

êâàäðàòóðíîé ôîðìóëîé Íüþòîíà-Êîòåñà.

Ñëó÷àé pàâíîîòñòîÿùèõ óçëîâ

Ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ âåñîâ â ñëó÷àå ðàâíîîòñòîÿùèõ óçëîâ.  ýòîé ñèòóàöèè Y

j 6=i

à òàêæå Y

j 6=i

(xi

(x

xk = x0 + kh ; k = 0; 1; : : : ; N ; è

xj ) = (x x0 )[i] (x xi+1 )[N i] ;

xj ) = ih(i |

1)h : : : h} (| h) : : : ( {z1)(N

{z

(N i) p

ip

40

i)h = }

= i!(N

i)!(

1)N

i hN

:

Òàêèì îápàçîì

N i i = ( 1) N i!(N i)!h Ïîëîæèì x hx0

= q ; a = x0 ; b = xN

N Q

Zb

è çàìåòèì, ÷òî b ha

(x

(x

a

= N1

N i i = ( 1) h i!(N i)!

ZN

0

jh)

x0

j =0

ih)

x0

dx :

, òîãäà

N Q

dq

(q

j)

j =0

:

q i

Îêîí÷àòåëüíî, îáû÷íî ââîäÿò íåñêîëüêî äpóãèå êîýôôèöèåíòû, íàçûâàåìûå

êîýôôèöèåíòàìè Êîòåñà:

Hi

= b 1 a i ;

ïðè ýòîì êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà ïðèíèìàåò âèä Zb

f (x)dx = (b a)

a

Ñâîéñòâà êîýôôèöèåíòîâ Êîòåñà N P 1) Hi ;

2)

=1

N X i=0

Hi f (xi ) + R(f ) :

Hi :

i=0 Hi = HN i .

Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïîñêîëüêó êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà Íüþòîíà-Êîòåñà òî÷íà äëÿ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè íå ïðåâîñõîäÿùåé

f

÷àñòíîñòè åñëè âçÿòü â êà÷åñòâå ôóíêöèè Zb

ôóíêöèþ òîæäåñòâåííî ðàâíóþ 1, òî

dx = (b a)

a

N X i=0

Hi f (xi ) = (b a)

N X i=0

Hi = (b a) ;

îòêóäà ñâîéñòâî 1) ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî. 2) Êîýôôèöèåíò

Hi

ðàâåí

N N i Z

Hi = 1 ( 1) N i!(N i)! ïðè ýòîì

HN i = 1 N (N

( 1)N i)!(N ( 1)i

= N (N

Ïðîèçâåäåì çàìåíó ïåðåìåííîé ZN

îòêóäà

HN i = Hi .

0

q N N Q

=

0

N Q

dq

j =0

ZN

N + i)!

i)!i!

0 p ; dq = dp, òîãäà

N Q

dq

j)

;

q i

N +i

ZN

(q

0

(q

j =0

N Q

(q j ) dq j =0 q N +i j)

q N +i

=

:

N Q

N

Q (N p j ) (p ZN j =0 j =0 j =0 N dq = dp (p i) = ( 1) dp p q N +i

(q

j)

ZN

0

0

41

j) i

;

N

, òî â

4.2.2

Îöåíêà ïîãpåøíîñòè êâàäpàòópíûõ ôîpìóë Íüþòîíà-Êîòåñà r(x)

Äëÿ ïîãðåøíîñòè èíòåðïîëèðîâàíèÿ

ôóíêöèè

f (x)

èíòåðïîëÿöèîííûì ïîëèíîìîì

p(x)

ó íàñ áûëî ïîëó÷åíî

âûðàæåíèå

(N +1) ( ) r(x)  f (x) pN (x) = f (N + 1)! NN +1 (x) ; 

ãäå òî÷êà

çàâèñèò îò

x

 =  (x)

:

è

N

NN +1 (x) = Q (x xi ) . Òàêèì îáðàçîì i=0

RN (f; 1) =

Zb

rn (x)dx =

a

è

Zb

f (N +1) ( ) N (x)dx ; (N + 1)! N +1

a

b

Z jj f (N +1) jjC [a;b] NN +1 (x)dx : jRN (f; 1)j  (N + 1)!  ÷àñòíîñòè, åñëè

f (x)

 ýòî ïîëèíîì ñòåïåíè

ôîpìóëà Íüþòîíà-Êîòåñà ñ

4.3

4.3.1

(N + 1)

a

deg f  N

òî

RN (f; 1)

= 0 , òî åñòü äåéñòâèòåëüíî êâàäpàòópíàÿ

óçëîì òî÷íà äëÿ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè íå ïðåâîñõîäÿùåé

N.

Ôîpìóëû Ãàóññà-Êpèñòîôåëÿ

Ïðåäåëû àëãåáðàè÷åñêîé ñòåïåíè òî÷íîñòè

Âûÿñíèì êàêîé ìîæåò áûòü àëãåáðàè÷åñêàÿ ñòåïåíü òî÷íîñòè Zb

f (x)(x)dx 

a

M

L X k=1

êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû ñ

L

óçëàìè

x1 ; x2 ; : : : ; xL :

k f (xk ) :

(6)

×àñòè÷íûé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äàåò Ëåììà.

äëÿ ëþáîé êâàäpàòópíîé ôîpìóëû M  2L 1; á) äëÿ ëþáîé äàííîé ñèñòåìû óçëîâ fxi gL i=1 ñóùåñòâóþò òàêèå k , ÷òî àëãåápàè÷åñêàÿ ñòåïåíü òî÷íîñòè 1. à)

L

M



Äîêàçàòåëüñòâî. à) Ñíà÷àëà ïðèâåäåì íåñòðîãîå ðàññóæäåíèå. Ïîäñ÷èòàåì ÷èñëî ñâîáîäíûõ ïàpàìåòpîâ êâàäpàòópíîé ôîpìóëû.

2L (L âåñîâ i è L óçëîâ xi ). Ïîëèíîì æå ñòåïåíè M ñîäåðæèò M + 1 ïàpàìåòp. Ïpèpàâíÿåì ýòè âåëè÷èíû: M + 1 = 2L, òî åñòü M íå ìîæåò ïpåâîñõîäèòü 2L 1. Ñòpîãîå æå äîêàçàòåëüñòâî ñîñòîèò â òîì, ÷òî ìû ïpîñòî ïpåäëîæèì ïîëèíîì ñòïåíè 2L, äëÿ êîòîpîãî (6) íå ìîæåò L Q áûòü òîæäåñòâîì. Äåéñòâèòåëüíî ïóñòü f (x) = [ (x xi )]2 , òîãäà f (x)  0 è ïîñêîëüêó âåñ (x) íåîòðèöàòåëåí è íå Îíî ðàâíî

ðàâåí òîæäåñòâåííî íóëþ, òî á) Ââåäåì ìîìåíòû

Rb

a

i=1

f (x)(x)dx > 0, ñ äðóãîé ñòîðîíû

cl =

Zb

a Åñëè (6)  ñòpîãîå pàâåíñòâî äëÿ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè äî

L P k=1

k f (xk ) = 0, ïîñêîëüêó f (xk ) = 0.

xl (x)dx :

M , òî äîëæíî áûòü âûïîëíåíî: 42

Zb

xl (x)dx = cl =

a

Çàìåòèì, ÷òî ýòî ñèñòåìà èç

M

L X k=1

k xlk ; l = 0 ; 1 ; : : : ; M

M + 1 ëèíåéíîãî ópàâíåíèÿ íà L ÷èñåë k

è îíà ñòàíîâèòñÿ îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìîé ïðè

= L 1, ïîñêîëüêó îïpåäåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû  îïpåëåëèòåëü Âàíäåpìîíäà è, ñëåäîâàòåëüíî, îòëè÷åí îò íóëÿ,

ïîýòîìó âåñà k ñóùåñòâóþò è åäèíñòâåííû. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ âåñîâ èìååò âèä

k = ÷òî åñòåñòâåííî ñîâïàäàåò ñ (5) ïðè

Zb Y

a

(x)  1.

(x ( x j 6=k k

xj ) (x)dx ; xj )

Èòàê, àëãåáðàè÷åñêàÿ ñòåïåíü òî÷íîñòè íå ìîæåò ïðåâûøàòü âåëè÷èíó

(7) 2L 1, à ìîæåò ëè îíà ðàâíÿòüñÿ ýòîìó

÷èñëó?  Äà, ìîæåò! Îïðåäåëåíèå. Êâàäpàòópíûå ôîpìóëû íàèâûñøåé àëãåápàè÷åñêîé ñòåïåíè òî÷íîñòè (M=2L-1) íàçûâàþòñÿ

òóðíûìè ôîðìóëàìè Ãàóññà-Êðèñòîôåëÿ.

êâàäðà-

Çàéìåìñÿ ïîñòpîåíèåì ôîðìóë Ãàóññà-Êðèñòîôåëÿ. Åñëè óçëû óæå èçâåñòíû, òî âåñà ìîæíî k îïpåäåëèòü èñïîëüçóÿ îïðåäåëèòåëü Âàíäåpìîíäà ( è ïîëó÷èòü âûðàæåíèå (7)), íî ýòî ãàpàíòèpóåò àëãåápàè÷åñêóþ ñòåïåíü òî÷íîñòè ëèøü äî çíà÷åíèÿ

M

= L 1. Çíà÷èò âîïpîñ çàêëþ÷àåòñÿ â "pàçóìíîì"pàñïîëîæåíèè óçëîâ xk . Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è

íàì ïîòðåáóþòñÿ íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ îá îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìàõ (êîðíè êîòîðûõ è ÿâëÿþòñÿ óçëàìè êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë Ãàóññà-Êðèñòîôåëÿ).

4.3.2

Îpòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû

Ïóñòü çàäàíà âåñîâàÿ ôóíêöèÿ  ñî ñâîéñòâàìè 1)-3), òîãäà â ñèñòåìà îpòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ Pn (x) :

Òåîpåìà.

L2;

ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà ïîëíàÿ

Zb

hPn ; Pm iL ; = Pn (x)Pm (x)(x)dx = Ænm jjPn jj2L ; ; 2

òàêàÿ ÷òî degPn = n .

2

a

f'i g

E , íàçûâàåòñÿ ïîëíîé åñëè íàèìåíüøåå çàìêíóòîå (ò.å. ñîäåðæàùåå âñå ñâîè ïðåäåëüíûå òî÷êè) ïîäïðîñòðàíñòâî, ñîäåðæàùåå f'k g ; åñòü âñå E .  êîíå÷íîìåðíîì Íàïîìíèì,÷òî ñèñòåìà âåêòîðîâ

íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà

íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå âñÿêîå ïîäïðîñòðàíñòâî àâòîìàòè÷åñêè çàìêíóòî. áåñêîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå ýòî íå òàê. Íàïðèìåð, â ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé

C[a;b] (ñî ñâîåé íîðìîé: jjf jj =

max jf (x)j) ïîëèíîìû îáðàçóþò ïîä-

x2[a;b]

ïðîñòðàíñòâî, íî íå çàìêíóòîå. Îäíàêî, â ñèëó òåîðåìû Âåéåðøðàññà, ñèñòåìà ôóíêöèé

C[a;b] .

fxk g1 k=0

ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé â

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü áåç ïpîâåpêè ïîëíîòû. Ïpåäúÿâèì ýòè ïîëèíîìû ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ ÿâíî:

c0 c1 c1 c2 Pn (x) = An : : : : : : cn 1 cn 1 x Çäåñü,

An

: : : cn : : : cn+1 ::: ::: : : : : c2n 1 : : : xn

 íîðìèðîâî÷íûå êîíñòàíòû. Äëÿ ïðîâåðêè ñóùåñòâîâàíèÿ, íåîáõîäèìî óáåäèòüñÿ, ÷òî

Äåéñòâèòåëüíî

43

Pn

? xm ; m < n .

c0 c1 c1 c2 Zb Zb m m x Pn (x)(x)dx = An x : : : : : : a a cn 1 cn 1 x c0 c1 = An : : : : : : cn 1 cn cm cm+1 åñëè

: : : cn : : : cn+1 : : : : : : (x)dx = : : : c2n 1 : : : xn

: : : cn ::: ::: : : : c2n 1 : : : cm+n

=0;

1 (îïpåäåëèòåëü ñ äâóìÿ îäèíàêîâûìè ñòpîêàìè). Òàêèì îáðàçîì îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû ñóùåñòâóþò.

mn

Ïîñêîëüêó ñòåïåíè xm ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî îpòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû ìîæíî òàêæå ïîñòpîèòü è ñòàíäàpòíîé ïpîöåäópîé îpòîãîíàëèçàöèè (Ãèëüáåðòà-Øìèäòà):

P0 =

x hx; 1iL ; 1 1 jj1jjL ; ; P1 = jjx hx; 1iL ; 1jjL ; ; : : : ; 2

2

xl

Pl =

1;

2

lP1

hxl; Pk iL ; Pk 2

k=1

lP1

jjxl

2

hxl; Pk iL ; Pk jjL ; 2

k=1

:

2

Ïðîâåðèì òåïåðü åäèíñòâåííîñòü. Ïóñòü ñóùåñòâóåò äðóãîé ïîëèíîì Gk ñòåïåíè k, òàêîé ÷òî Gk ? Pi ; i k P : : : ; k . Ðàçëîæèì åãî ïî ñèñòåìå Pk : Gk ci Pi . Äîìíîæèì ýòî ðàâåíñòâî íà Pl è ïðîèíòåãðèðóåì ñ âåñîì

1 = i=0 ïî îòðåçêó [a; b] (ò.å. ðàññìîòðèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå), òîãäà hgk ; Pl i = 0 = cl ïðè l < k è, ñëåäîâàòåëüíî Âîïpîñ: À ãäå ìû èñïîëüçóåì ñâîéñòâà ?

Äåëî â òîì, ÷òî åñëè

= 

gk = ck Pk .

 óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâàì 1)-3), òî ôîðìà Zb

hf; giL ; = f (x)g(x)(x)dx 2

a

äåéñòâèòåëüíî îïðåäåëÿåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.

4.3.3

Ñâîéñòâà îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ

Ïóòü çàäàíà ñèñòåìà îðòîãîíàëüíûõ ñ âåñîì

ïîëèíîìîâ

Pn (x) . Ñïðàâåäëèâà

Pn (x) âåùåñòâåííûå, ïpîñòûå è ïðèíàäëåæàò îòðåçêó (a; b) . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Pn (x) èìååò k âåùåñòâåííûõ êîðíåé xi íà îòpåçêå (a; b) íå÷åòíîé êpàòíîñòè. Ïîëîæèì Òåîpåìà.

Âñå êîðíè



qk (x) =

ãäå êîpíè

Pn (x)qk (x)

xi

2 (a; b)

8 > < > :

1;

k Q

(x

j =1

k=0

xj ); k > 0

;

âçÿòûå áåç ó÷åòà êpàòíîñòè, ò.å. âõîäÿò â ïpîèçâåäåíèå òîëüêî îäèí pàç. Òîãäà ïðîèçâåäåíèå

íå ìåíÿåò çíàê íà ïpîìåæóòêå

(a; b) , è, ñëåäîâàòåëüíî, Zb

Pn (x)qk (x)(x)dx 6= 0 :

a

44

k
0

èíòåãpàë äîëæåí pàâíÿòüñÿ

Pn

â ñèëó îpòîãîíàëüíîñòè

ïîëèíîìàì ìåíüøåé ñòåïåíè. Òàêèì

Åñëè àëãåáðàè÷åñêàÿ ñòåïåíü òî÷íîñòè êâàäpàòópíîé ôîpìóëû c L óçëàìè xk ðàâíà 2L 1 , òî óçëû xk  ñóòü êîðíè îðòîãîíàëüíîãî ïîëèíîìà PL (x) . L Q (x xi ) , ãäå xi  óçëû êâàäpàòópíîé ôîpìóëû è ïóñòü å¼ àëãåáðàè÷åñêàÿ Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü NL (x) = i=1 ñòåïåíü òî÷íîñòè ðàâíà 2L 1. Ðàññìîòpèì ôóíêöèþ f (x) = NL (x)Pm (x) , ãäå m  L 1 , ÿâëÿþùóþñÿ ïîëèíîìîì ñòåïåíè íå ïðåâîñõîäÿùåé 2L 1. Äëÿ òàêîé ôóíêöèè êâàäpàòópíàÿ ôîpìóëà òî÷íà ïî óñëîâèþ, è, ñëåäîâàòåëüíî, Òåîpåìà.

Zb

òî åñòü

Rb

a

f (x)(x)dx =

a

NL (x)Pk (x)dx = 0 xi

k=1

f (xk )k = 0 ;

NL ? Pm . Òàêèì îáðàçîì NL

è çíà÷èò

åäèíñòâåííîñòè ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ ñîâïàäàåò ñ Ïóñòü òåïåðü êîpíè

L X

îðòîãîíàëüíîãî ïîëèíîìà

PL . PL (x)

ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì ïîëèíîìîì è â ñèëó

ÿâëÿþòñÿ óçëàìè êâàäpàòópíîé ôîpìóëû. Ïîêàæåì,

÷òî àëãåáðàè÷åñêàÿ ñòåïåíü òî÷íîñòè êâàäpàòópíîé ôîpìóëû ìîæåò ðàâíÿòüñÿ

f (x)

ïîëèíîìîì

g (x)

ñòåïåíè

1

L

ïî åå çíà÷åíèÿì â òî÷êàõ

L X

g (x) = Ïóñòü

I

=

Rb

a

f (x)(x)dx ; J

=

Rb

a

i=1

f (xi )Li (x) ;

g (x)(x)dx : Òîãäà I

xi

2L 1 . Ïðîàïïpîêñèìèpóåì ôóíêöèþ

:

L Y

(x ( x j 6=i i

Li (x) =

= J , åñëè

f

xj ) : xj )

 ïîëèíîì ñòåïåíè äî

L

1

âêëþ÷èòåëüíî,

= g . Íî åñëè f | ïîëèíîì ñòåïåíè äî 2L 1 , òî ðàçíîñòü ïîëèíîìîâ f è g òàêæå ïîëèíîì ñòåïåíè íå ïðåâîñõîäÿùåé 2L 1 , ïpè÷åì (f g ) jx=xj = 0 , è, ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå f g = PL qL 1 , ãäå qL 1  íåêîòîpûé ïîëèíîì ñòåïåíè äî L 1 . Òîãäà ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå

f

I

J=

Zb

(x)[f (x) g (x)]dx =

a

Zb

(x)PL (x)qL 1 (x)dx = 0 ;

a

òî åñòü àëãåáðàè÷åñêàÿ ñòåïåíü òî÷íîñòè êâàäpàòópíîé ôîpìóëû ðàâíà

2L 1 , åñëè å¼ óçëû  êîðíè îðòîãîíàëüíîãî

ïîëèíîìà. Âåñà ïðè ýòîì ðàâíû

k =

Zb

Lk (x)(x)dx =

a

Zb Y L

(x ( x i6=k k

a

Îòìåòèì, ÷òî êîpíè ñîñåäíèõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ PL è PL

xi è xi+1 ïîëèíîìà PL (x)PL 1 (x) (x xk ) , òîãäà degfk = 2L

PL

äîâàòåëüíûìè êîpíÿìè

xi ) (x)dx : xi )

1

pàçëè÷íû (íà ñàìîì äåëå ìåæäó äâóìÿ ïîñëå-

ëåæèò pîâíî îäèí êîpåíü

x~i

ïîëèíîìà

PL 1

). Äåéñòâèòåëüíî,

fk (x) = 1 è ôîðìóëà Ãàóññà-Êðèñòîôåëÿ ñ óçëàìè xi , ÿâëÿþùèìèñÿ êîðíÿìè ïîëèíîìà PL , äëÿ òàêîé ôóíêöèè òî÷íà. Îíà, êàê ëåãêî óâèäåòü ïðèíèìàåò âèä

ïóñòü

k PL0 (xk )PL 1 (xk ) = Ïóñòü

ai

Zb

a

PL (x)PL 1 (x) (x)dx : (x xk )

 ñòàðøèå êîýôôèöèåíòû îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ

PL (x) = aL

Y

(x

Pi

, òîãäà

xi ) ; PL 1 (x) = aL 1

Y

è ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå

PL (x) x xk

= aaLL 1 PL 1 (x) + qL 2 (x) ; 45

(x x~i ) ;

qL 2 (x)

ãäå

 íåêîòîðûé ïîëèíîì ñòåïåíè íå âûøå

1 k = 0 PL (xk )PL 1 (xk ) íî òàê êàê

k 6= 1

Zb

a

L

2 . Òàêèì îáðàçîì ñ ó÷åòîì îðòîãîíàëüíîñòè

aL jjPL 1 jj2L2; aL P 2 (x)(x)dx = ; L 1 aL 1 aL 1 PL0 (xk )PL 1 (xk )

(äëÿ âåñîâ óæå ïîëó÷åíî ÿâíîå âûðàæåíèå (7), äà è êðîìå òîãî, çíàÿ óçëû, âåñà ìîæíî îäíîçíà÷íî

PL 1 (xk ) 6= 0 , è çíà÷èò íè îäèí èç êîðíåé ïîëèíîìà PL PL 1 . Ïîïóòíî ìû íàøëè è äpóãîå âûpàæåíèå äëÿ âåñîâ k .

îïpåäåëèòü ÷åðåç îïðåäåëèòåëü Âàíäåðìîíäà), òî ÿâëÿòüñÿ êîðíåì ïîëèíîìà

íå ìîæåò

Ñâîéñòâà âåñîâ 1) k

> 0.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

h i2 fk (x) = Nx L (xxk) : Ýòî ïîëèíîì ñòåïåíè 2L

2 , pàâíûé

0 âî âñåõ óçëàõ, êpîìå

x = xk

,

äëÿ íåãî ôîpìóëà Ãàóññà-Êpèñòîôåëÿ òî÷íà, ïîýòîìó Zb 

a

  2   NL (x) 2 (x)dx = k NL (x) = k NL0 (xk ) 2 > 0 ; x xk x xk x=xk

> 0. Rb 2) ñâÿçü âåñîâ k ñ ìîìåíòàìè cl = xl (x)dx :

ñëåäîâàòåëüíî k

a L X k=1

xlk k = cl ; l = 0 ; 1 ; : : : ; 2L

1:

Ñâîéñòâî ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì, åñëè ñîñ÷èòàòü èíòåãpàë ñ âåñîì îò ñòåïåíè L Rb P

3)

k=1

k = (x)dx : a

Ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé ñâîéñòâà 2) ïpè

4.3.4

xl

ïî ôîpìóëå Ãàóññà-Êpèñòîôåëÿ.

l=0.

Ïpèìåpû îpòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ

1) Ïîëèíîìû Ëåæàíäpà

Pn (x)

ÿâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè íà ïðîìåæóòêå (-1,1) ñ âåñîì

(x)

= 1. Ñ òî÷íîñòüþ äî

íîðìèðîâêè äëÿ íèõ ñïðàâåäëèâî âûðàæåíèå

 ÷àñòíîñòè

P0 = 1 ; P1 = x ; P2 = 12 (3x2

n n Pn (x) = ( n1) d n (1 x2 )n : 2 n! dx 1) :

2) Ïîëèíîìû ×åáûøåâà ïåðâîãî ðîäà

[X n=2]

( 1)m (n m 1)! (2x)n 2m 2 m=0 m!(n 2m)! îðòîãîíàëüíû íà òîì æå ïðîìåæóòêå [ 1; 1] ; ñ âåñîì  = p 1 1 x . 3) Ïîëèíîìû Ýpìèòà Hn îðòîãîíàëüíû íà ïðîìåæóòêå ( 1; 1) ; ñ âåñîì (x) = e Tn = n

2

x2 . Ñ òî÷íîñòüþ äî íîðìèðîâêè

îíè èìåþò âèä

Hn (x) = ( 4) Ïîëèíîìû Ëàãåpðà

Ln

1)n ex

2

îðòîãîíàëüíû íà ïðîìåæóòêå

dn e x2 : dxn [0; 1) ; ñ

âèäå

Ln (x) =

1 ex dn (xn e x ) : n! dxn 46

âåñîì

(x) = e x .

Èõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â

4.3.5

Ïîãpåøíîñòü êâàäpàòópíûõ ôîpìóë

Ïóñòü ôóíêöèÿ

f (x)

f (xi )

ïðîèíòåðïîëèðîâàíà ïî å¼ çíà÷åíèÿì

f (x) = gL 1 (x) + r(x) ; gL 1 (x) = R

Ïîãðåøíîñòü èíòåãðèðîâàíèÿ

ïðè çàìåíå

f (x)

L

â

L X i=1

òî÷êàõ

f (xj )

L Y

(x ( x j 6=i i

xi ; i = 1; 2; : : : ; L ; ïîëèíîìîì gL 1

:

xj ) : xj ) gL 1

èíòåðïîëÿöèîííûì ïîëèíîìîì

(îíà æå  ïîãðåøíîñòü

ñîîòâåòñòâóþùåé êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû) èìååò âèä

R=

Zb

Zb

fdx

a

gL 1 dx =

a

Zb

r(x)dx =

a

a

N (x) = è åñëè

f

L

 ïîëèíîì ñòåïåíè íå âûøå

pàâíîîòñòîÿùèõ óçëîâ

xi

xi 1 = h

Zb

1 , òî f (L)  0

L Y i=1

(x

f (L) ( (x)) N (x)(x)dx ; L!

xi )

è, ñëåäîâàòåëüíî, êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà òî÷íà. Äëÿ ñëó÷àÿ

èìååì: 



jNL (x)j  hL max 1  hL L! k Ck L

è, çíà÷èò Zb

jRj  hL jjf (L) jj

C

è ïpè

(x)dx ;

a

=1

jRj  hL jjf (L) jj(b a) : h.  ñëó÷àå, åñëè óçëû íå ïðîèçâîëüíûå, à êîpíè îpòîãîíàëüíîãî ïîëèíîìà PL , òî êâàäpàòópíàÿ ôîpìóëà òî÷íà äëÿ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè íå ïðåâîñõîäÿùåé 2L 1, õîòÿ ïîëó÷åííàÿ îöåíêà ýòîãî è íå "÷óâñòâóåò". ×òîáû óëó÷øèòü îöåíêó â ýòîì ñëó÷àå ïîñòóïèì ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü f 2 C 2L . Ðàçëîæèì åå â pÿä Òåéëîpà â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè x : Ýòî äîâîëüíî ãpóáàÿ îöåíêà, îäíàêî îíà ïîêàçûâàåò ïîðÿäîê òî÷íîñòè ïî

f (x) = òîãäà

R=

Zb

[f

2X L 1 (k) f (x )(x x )k + f (2L) (x )(x x )2L k! (2L)!{z k=0 | {z } | f2 (x) f1 (x)

gL 1 (x)](x)dx =

a

Zb

a

|

 = 1, îöåíèì ïîñëåäíèé èíòåãpàë îòáðîñèâ ðàçëîæåíèÿ x òî÷êó a2+b , òîãäà Ïóñòü âåñ

Zb

òî åñòü ïîãðåøíîñòü

R

[f1

a

gL 1 (x)](x)dx + {z

=0 îò ôóíêöèè

}

f2 (x)

Zb

+ q(x) ; }

f2 (x)(x)dx :

a îñòàòîê

f (2L) (x )(x x )2L dx  jjf (2L) jjC (b a)2L+1 ; (2L)! 22L (2L + 1)!

âåäåò ñåáÿ êàê

47

q (x)

è âûáðàâ â êà÷åñòâå òî÷êè

(2L) R  2jjLf jjC (b a)2L+1 : 2 (2L + 1)! 4.4

Ïpèìåpû êâàäpàòópíûõ ôîpìóë

 ýòîì ïóíêòå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âåñ

4.4.1

×èñëî óçëîâ

L

 = 1;

è, ÷òî

L  ÷èñëî óçëîâ íà [a; b] .

=1

a) Ôîpìóëà ëåâûõ ïpÿìîóãîëüíèêîâ:

Rb

x1 = a;

á) Ôîpìóëà ïðàâûõ ïpÿìîóãîëüíèêîâ:

x1 = b;

a

â) Ôîpìóëà ñpåäíèõ (ïðÿìîóãîëüíèêîâ)

f (x)dx  (b a)f (a) :

Rb

f (x)dx  (b a)f (b) :

a

 ôîðìóëà íàèâûñøåé àëãåápàè÷åñêîé ñòåïåíè òî÷íîñòè (îíà äîëæíà áûòü òî÷íîé äëÿ ïîëèíîìîâ íå ïðåâîñõîäÿùèõ

2L 1 = 1). Ïîñòpîèì åå â ñîîòâåòñòâèè ñ èçëîæåííûìè âûøå ñîîáðàæåíèÿìè äëÿ ôîðìóë Ãàóññà-Êðèñòîôåëÿ. Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà ñ ïîìîùüþ ìàñøòàáíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ è ñäâèãà ïåðåâåäåì îòðåçîê [a; b] â îòðåçîê [ 1; 1] , íà ñòåïåíè

Pk

êîòîðîì îðòîãîíàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìû Ëåæàíäðà Zb

b a

f (x)dx =

2

a Ïîñêîëüêó pàâåí

=

4.4.2

Z1

1

. Òîãäà

f ( b + a + b a y ) dy ; x = b + a + b a y :

2

|

{z

q(y)

2

2

}

2

P1 (y ) = y , òî åäèíñòâåííûé êîpåíü ýòîãî ïîëèíîìà òî÷êà y = 0. Âåñ  (ïî ñâîéñòâó âåñîâ R1 dx = 2, òàêèì îáðàçîì 1 Z1 Zb b a b a b+a f (x)dx = 2 q(y)dy  2 2q(0) = (b a)f ( 2 ) : 1 a

×èñëî óçëîâ

L

à) Ôîpìóëà òpàïåöèé. Çäåñü óçëàìè ÿâëÿþòñÿ òî÷êè

P

Rb

i = (x)dx) a

=2 x1 = a ; x2 = b. f (x)

çàìåíÿåòñÿ èíòåðïîëÿöèîííûì ïîëèíîìîì ïåðâîé ñòåïåíè

ïîñòðîåííûì ïî ýòèì óçëàì:

f (x) Zb

= af (a)b

Zb

a

! g1 (x) = xa bb f (a) + xb aa f (b) ;

f (x)dx  f (a)

a

y dy + f (b) b a

Zb

Zb

a

x b dx + f (b) a b

y dy =

a

= (b

Zb

a

x a dx = b a

f (a) (a b)2 (a b) 2

a) f (a) + f (b) :

2

Ýòà ôîðìóëà pàçóìååòñÿ òî÷íà äëÿ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè íå ïðåâîñõîäÿùåé á) Ôîpìóëà Ãàóññà-Êpèñòîôåëÿ äëÿ

2

+ (bf (b)a) (b 2 a) =

L=2

Äëÿ åå ïîëó÷åíèÿ ïîñòóïèì òàê æå êàê â ñëó÷àå ôîðìóëû ñðåäíèõ:

48

L

1 = 1 (è íå áîëüøå).

p1 (x),

Zb

f (x)dx = b a

2

a

Ïîëèíîì

P2

îäèíàêîâû:

= 2

;

1

q (y )dy ; q (y ) = f ( b + a + b a y ) :

2

P2

1

êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà èìååò âèä Zb



f (x)dx  b a f ( b + a

2

a

M

Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñòåïåíü òî÷íîñòè

4.4.3

×èñëî óçëîâ

L

Ôîpìóëà Ñèìïñîíà

2 2 1 = 3.

2L

ðàâíà

b+a b a 1 3 ) + f ( 2 + 2 p3 )

:

=3

x1 = a ; x2 = a+2 b ; x3 ìàñøòàáíûì ïðåîáðàçîâàíèåì q (y ) = f ( b+2 a + b 2 a y ) : Zb

q (y )



b a p1

Çäåñü óçëàìè ÿâëÿþòñÿ òî÷êè

Çàìåíèì

2

= 12 (3y2 1) . Åãî êîpíè y1 = p13 ; y2 = p13 . Âåñà èç ñèììåòpè÷íîñòè äîëæíû áûòü R1 1 + 2 = 2 ) i = 1, ñëåäîâàòåëüíî, g (y )dy  q ( p13 ) + q ( p13 ). Òàêèì îáðàçîì èñêîìàÿ

èìååò âèä:

1

Z1

f (x)dx =

b a

2

a

èíòåðïîëÿöèîííûì ïîëèíîìîì

q (y )

Z1

= b. Äëÿ óäîáñòâà âû÷èñëåíèé ïåðåéäåì ê îòðåçêó [ 1; 1]

q (y )dy ; y1 =

1 p2 (y ) :

1;

y2 = 0 ; y3 = 1 :

! p2 (y) = q( 1)L1 (y) + q(0)L2 (y) + q(1)L3 (y) ;

ãäå

y 1) y (y 1) (y ( 1))(y 1) (y + 1)(y 1) ; L1 (y) = ( (y1 0)( 0)( 1 1) = 2 ; L2 (y) = (0 ( 1))(0 1) = 1

Òîãäà èíòåãðàë

R1

1

1))(y 0) = (y + 1)y : L3 (y) = ((1y (( 1))(1 0) 2 p2 (y )dy ðàâåí q(

1)

Z1

1

y (y

1

1

1

1

1) dy + q(0) Z (y + 1)(y 1) dy + q(1) Z y(y + 1) dy : 2 1 2

Ñîñ÷èòàåì âåñà

3 = 1 = òàêèì îáðàçîì

R1

1

Z1

1

2 (y

2

y )dy =

2

1; 3

2 =

Z1

1

(1

y 2 )dy =

4; 3

q (y )dy  q( 3 1) + 43 q (0) + q(1) 3 : Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíîé ôóíêöèè f , ïîëó÷àåì ôîðìóëó Ñèìïñîíà Zb

a

f (x)dx  b a [f (a) + 4f ( a + b ) + f (b)] :

6

2

Çàìåòèì, ÷òî ýòà ôîpìóëà òî÷íà è äëÿ ïîëèíîìîâ òðåòüåé ñòåïåíè, õîòÿ ïîñòpîåíèå ãàpàíòèpîâàëî òî÷íîñòü ëèøü äî çíà÷åíèÿ

L

1 = 2.

49

Äëÿ áîëåå òî÷íîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ ìîæíî ñòðîèòü èíòåðïîëÿöèîííûå ïîëèíîìû âñå áîëåå âûñîêîé ñòåïåíè, îäíàêî áîëåå ðàçóìíûì ïîäõîäîì ÿâëÿåòñÿ ðàçáèåíèå ïðîìåæóòêà èíòåãðèðîâàíèÿ íà ÷àñòè è ïðèìåíåíèå íà íèõ êàêîãî ëèáî èç èçëîæåííûõ âûøå ïðîñòûõ ñïîñîáîâ èíòåãðèðîâàíèÿ.

4.5

Ñîñòàâíûå êâàäpàòópíûå ôîpìóëû

Ðàçîáüåì ïðîìåæóòîê èíòåãðèðîâàíèÿ

[xi ; xi 1 ]

[a; b]

íà

N

÷àñòåé

x0 = a ; x1 ; : : : ; xN

=b

è íà êàæäîì ïpîìåæóòêå

ïpèìåíèì òó èëè èíóþ êâàäpàòópíóþ ôîpìóëó è ïðîñóììèðóåì ïî âñåì ïðîìåæóòêàì. Ïóñòü


i =

hi = xi xi 1 .

Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ñîñòàâíûå êâàäðàòóðíûå ôîðìóëû N P M hi f xi +2xi 1 ;

=

T

)

(

i=1 N P = hi f (xi)+2f (xi 1 ) ; i=1 N = P h6i [fi 1 + 4f ( xi i=1

+xi 2 ) + f (xi )]. Ëþáîïûòíî îòìåòèòü, ÷òî S = 23 M + 13 T . S

1

Óäîáíî ñîñòàâíóþ ôîðìóëó Ñèìïñîíà ïðåäñòàâëÿòü â âèäå (ïðè ÷åòíîì ÷èñëå ïðîìåæóòêîâ)

Òàêàÿ çàïèñü íàçûâàåòñÿ

4.5.1

S(f ) = h (f0 + 4f1 + 2f2 + : : : 3

îáîáùåííîé ôîðìóëîé Ñèìïñîíà.

+ 4fN 1 + fN ) :

Ñõîäèìîñòü êâàäpàòópíûõ ôîpìóë

Óñòðåìèì â ñîñòàâíûõ êâàäpàòópíûõ ôîpìóëàõ ðàíã äðîáëåíèÿ

h = max hi

ê íóëþ. Åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàþò

âîïðîñû 1) Ñòpåìèòñÿ ëè ñóììà ê èíòåãðàëó? 2) Åñëè "äà", òî ñ êàêîé ñêîpîñòüþ? Îòâåò íà ïåðâûé âîïðîñ ïîëîæèòåëåí. Ïîñêîëüêó è ôîðìóëà ñðåäíèõ

M

è ôîðìóëà òðàïåöèé

T

 ñóòü èíòåã-

ðàëüíûå ñóììû, à äëÿ èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèè èíòåãðàë ïî îïðåäåëåíèþ åñòü ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ ñóìì. Ïîñêîëüêó ôîðìóëà Ñèìïñîíà

S

ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé (ñ ñóììîé êîýôôèöèåíòîâ ðàâíîé 1) ôîðìóë ñðåäíèõ è òðàïå-

öèé, òî ïðè ðàíãå äðîáëåíèÿ ñòðåìÿùèìñÿ ê íóëþ, îíà òàêæå ñòðåìèòñÿ ê èíòåãðàëó. Íåòpóäíî äîêàçàòü ñõîäèìîñòü è äðóãèõ êâàäðàòóðíûõ ôîpìóë. Òåïåðü îáðàòèìñÿ ê âîïðîñó î ñêîpîñòè ñõîäèìîñòè. Ïîñêîëüêó ôîðìóëû òðàïåöèé

T

è ñðåäíèõ

O(h2 ),

M

òî÷íû äëÿ

1 , òî åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî èõ ïîãpåøíîñòü åñòü à äëÿ ôîðìóëû 4 Ñèìïñîíà, èìåþùåé àëãåáðàè÷åñêóþ ñòåïåíü òî÷íîñòè ðàâíóþ òðåì, ïîãðåøíîñòü  O(h ). Ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ äåòàëüíî. Ïóñòü x i = xi +2xi : Ðàçëîæèì f (x) â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x . ïîëèíîìîâ ñòåïåíè íå ïðåâîñõîäÿùåé

1

f (x) = f (xi ) + (x xi )f 0 (xi ) + 1 (x xi )2 f 00 (xi )+

2

3 4 5 + (x 3!xi ) f 000 (xi ) + (x 24xi) f (4) (xi ) + (x 120xi) f (5) (xi ) + O(h6i ) : 1 ; xi ]. Çàìåòèì, ÷òî ïðè ýòîì âñå ÷ëåíû Òåéëîðîâñêîãî ðàçëîæåíèÿ ñ íå÷åòíûìè ñòåïåíÿìè (x x i) ïðîïàäóò èç-çà ñèììåòðèè ðàñïîëîæåíèÿ òî÷êè xi . Òàêèì îáðàçîì Ïðîèíòåãðèðóåì ýòî ðàçëîæåíèå ïî ïðîìåæóòêó

Zxi

xi

1

[xi

3 5 7 f (x)dx = hi f (xi ) + hi 2 f 00 (xi ) + hi 4 f (4) (xi ) + hi 6 f (6) (xi ) + : : : : 3!2 5!2 7!2 50

(8)

Èç òåéëîðîâñêîãî ðàçëîæåíèÿ òàêæå íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî

2

f (xi ) + f (xi 1 )

4

hi f 00 (x ) + hi f (4) (x ) + O(h6 ) ; = f (xi ) + 2!2 i i i 2 4!24

2

îòêóäà

h2i f 00 (x ) 2!22 i

f (xi ) = f (xi ) + f (xi 1 )

2

h4i f (4) (x ) O(h6 ) : i i 4!24

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (8), ïîëó÷àåì Zxi

Äàëåå, ïîñêîëüêó

S=

xi

h3i f 00 (x ) + h5i f (4) (x )[ 1 i 12 i 4!24 5

f (x)dx = hi f (xi ) + f (xi 1 )

2

1

2M + 1T 3 3

1] + O(h6i ) :

(9)

, òî Zxi

xi





(f (xi ) + f (xi 1 )) + 3 2f (xi ) + 2

f (x)dx = hi

1

(4) (xi )h5i h 2 1 1 4 i 6i ) = S + f (4) (xi )h5i [ 2] + O(h6i ) : + f 4!2

+ O ( h 4 3 5 3 5 4!24 3
5

(10)

Èòîãî, äëÿ pàâíîîòñòîÿùèõ óçëîâ èç (8) ïîãpåøíîñòü ñîñòàâíîé ôîðìóëû ñðåäíèõ ÆM ðàâíà

ÆM

=

Zb

f (x)dx M =

a

òî åñòü

Zb

f (x)fdx

a

jÆM j  241

N X i=1

N X i=1

2 00 h3i jjf 00 jjC = h jjf jjC

24

N 3 X h

i f 00 ( xi ) + O(h5 ) ; 24 i=1

hi f (xi ) =

N X i=1

hi = (b a) jjf 00 jjC h2 : 24

Èç (9), àíàëîãè÷íî

jÆT j  (b 12 a) jjf 00 jjC h2 : Èç (10)

(4) 4 jÆS j  jjf 6!4jjC h (b a) : Çäåñü èìååòñÿ â âèäó ñîñòàâíàÿ ôîpìóëà Ñèìïñîíà

(4)

S . Äëÿ îáîáùåííîé ôîpìóëû Ñèìïñîíà íàäî h çàìåíèòü íà 2h:

4 4

M4 h4 (b a) : jÆS j  jjf 6! jjC 22h2 (b a) = 180 4.6

Äðóãèå ôîðìóëû

4.6.1

Ñïëàéí-êâàäpàòópà

Äëÿ ïðèáëèæåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæíî òàêæå èñïîëüçîâàòü ñïëàéíû. Èìåííî, èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ çàìåíÿåòñÿ ñïëàéíîì, êîòîðûé è èíòåãðèðóåòñÿ. Ïóñòü

x

2
i = [xi 1 ; xi ] ; hi = xi xi 1 ; ! = 1 ! =

èíòåãðèðîâàíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî íà ïðîìåæóòêå

x xi hi

1

. Ïðèìåíèì ñïëàéí


i åãî ìîæíî ïpåäñòàâèòü â âèäå: 51

S31

äëÿ ïðèáëèæåííîãî

2 S31 (x) = !fi + ! fi 1 + hi [(! 3 6 Çäåñü Mi = S 00 (xi ). Ïóñòü S (! ) = S31 (x), òîãäà Zxi

Ïðè ýòîì

R1

!d! =

0

S31 (x)dx = hi

Z1

xi 1 0 1 1 ; R (! 3 !)d! = 1 : Òàêèì îáðàçîì 2 4 0 Zxi

xi

! )Mi + (! 3 ! )Mi 1 ] :

S (! )d! ; (dx = hi d! ) :

S31 (x)dx = hi fi + fi 1

h3i Mi + Mi 1 :

2

1

|

p

24

{z

}

p

Äåéñòâèòåëüíî, âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ñïëàéíà, àïïðîêñèìèðóåò âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ îò ôóíêöèè è

h3i (Mi + Mi 1 )

3

 h12i f 00 (xi ) ;

24

÷òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîïðàâî÷íûé ÷ëåí ôîðìóëû òðàïåöèé (ñì. ôîðìóëó (9)). Òàêèì îáðàçîì ïðîèñõîäèò êîìïåíñàöèÿ îøèáêè ôîðìóëû òðàïåöèé. Îêîí÷àòåëüíî Zb

f (x)dx 

a

N X i=1

hi fi + fi 1

2


h3i Mi + Mi 1 :

24

Çàìå÷àíèå. Ñïëàéí-êâàäpàòópà íå åñòü êâàäpàòópíàÿ ôîpìóëà â ÷èñòîì âèäå, ïîñêîëüêó îíà èñïîëüçóåò íå òîëüêî ýíà÷åíèÿ ôóíêöèè, íî è âòîðûå ïðîèçâîäíûå îò ñïëàéíà.

4.6.2 Ïóñòü

Ôîpìóëû Ôèëîíà Rb

I = f (x)ei!x dx ; j! j >> 1=jb aj , à f (x) a

ìåäëåííî ìåíÿþùàÿñÿ îòíîñèòåëüíî ïåðèîäà

T

= 2=! êîëåáàíèé, (a; b) è èñïîëüçî-

ôóíêöèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ïîäèíòåãpàëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x)ei!x èìååò ìíîãî îñöèëÿöèé íà ïðîìåæóòêå

âàíèå îáû÷íûõ êâàäpàòópíûõ ôîpìóë âåñüìà çàòðóäíåíî, ïîñêîëüêó ïðèõîäèòñÿ äåëèòü ïðîìåæóòîê èíòåãðèðîâàíèÿ íà áîëüøîå êîëè÷åñòâî ÷àñòåé. Îäíàêî íåò íåîáõîäèìîñòè çàìåíÿòü âñþ ïîäèíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ èíòåðïîëÿöèîí-

f (x).

íûì ïîëèíîìîì. Äîñòàòî÷íî ýòó ïðîöåäóðó ïðîäåëàòü ëèøü ñ ôóíêöèåé ïîëèíîìîì p. Òîãäà

f (x)  p(x) = J=

Zb

N X j =0

p(x)ei!x dx =

a Èíòåãpàëû

N X j =0

f (xj )

Zb

N Y

(x ( x k6=j;k=0 j

ei!x Lj (x)dx =

a

N X j =0

f

èíòåpïîëÿöèîííûì

xk ) ; xk )

Aj (! )f (xj ) :

Rb

Aj (! ) = ei!x Lj (x)dx áåpóòñÿ â ýëåìåíòàpíûõ ôóíêöèÿõ. Ïîëó÷àåìûå ïðè ýòîì ôîðìóëû ïðèáëèæåííîãî a

èíòåãðèðîâàíèÿ íàçûâàþòñÿ

ôîðìóëàìè Ôèëîíà: I=

Çàäà÷à: Äëÿ èíòåãpàëîâ

0 ; x2 = 1.

Lj (x)f (xj ) ; Lj (x) =

Èòàê, çàìåíèì

R1

1

Zb

f (x)ei!x dx 

a

sin !xf (x)dx ,

R1

1

N X j =0

Aj (! )f (xj ) :

cos !xf (x)dx ïîëó÷èòü ôîpìóëó Ôèëîíà ñ òpåìÿ óçëàìè: x0 = 1 ; x1 = 52

4.6.3

Ñîñòàâíûå ôîpìóëû Ôèëîíà

Ðàçîáüåì ïpîìåæóòîê

[a; b] íà N ÷àñòåé a = x0 < x1 < : : : < xN = b è íà êàæäîì ïpîìåæóòêå [xk

èíòåpïîëÿöèîííûì ïîëèíîìîì pk íåêîòîðîé ñòåïåíè, òîãäà

I=

Zb

N Zxk X i!x f (x)e dx = k=1xk

a

f (x)ei!x dx  J

1

=

N Zxk X k=1xk

1 ; xk ] çàìåíèì f (x)

pk (x)ei!x dx :

1

Ïpèìåp. Àíàëîã ôîpìóëû ñpåäíèõ. Zxk

xk

Zxk

f (x)ei!x dx 

xk

1

f (x)ei!x dx =

1

= !2 f (xk )ei!xk sin !h2 k : i! Îöåíèì ïîãpåøíîñòü ýòîé ôîðìóëû. Ïðåäñòàâèì f (x) ïðèáëèæåííî: f (x)  f ( xk ) + f 0 (xk )(x xk ) . Òîãäà ïîãðåøíîñòü R ïðèáëèæåííî îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì = f (xk )

R=

ZxN

ei!xk

ei!xk

r(x)ei!x dx 

x0

= !2i2 ò.å. åñëè ïðîèçâåäåíèå

N X k=1

f 0 (xk )

1

N X k=1

f 0 (xk )

Zxk

xk



sin !h2 k

(x xk )ei!xdx =

1

!hk cos !hk  ei!xk ;

2

2

!hk ïîðÿäêà 1, òî ôîpìóëà Ôèëîíà èìååò íåáîëüøóþ ïîãðåøíîñòü, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîãðåø-

íîñòü òîãî æå ïîðÿäêà, ÷òî è çíà÷åíèå èíòåãðàëà.

53

54

Ãëàâà 5 Ñèñòåìû ópàâíåíèé

5.1

Ðåøåíèå íåëèíåéíûõ ópàâíåíèé

Çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé óðàâíåíèé ìîæíî ôîðìóëèðîâàòü ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Íàïðèìåð êàê çàäà÷ó íà íàõîæäåíèå êîðíåé:

f (x) = 0 , èëè êàê çàäà÷ó íà íàõîæäåíèå íåïîäâèæíîé òî÷êè: F (x) = x . Ïðè ýòîì â çàâèñèìîñòè îò

ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è óäîáíî ïðèìåíÿòü òå èëè èíûå ñïîñîáû ðåøåíèÿ. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà îäíîìåðíóþ ñèòóàöèþ.

5.1.1

Îäíîìåðíûé ñëó÷àé

Ìåòîä äåëåíèÿ ïîïîëàì f (x) = 0 ÷òî f (x0 )

Ïðîñòåéøèì ìåòîäîì íàõîæäåíèÿ êîðíåé óðàâíåíèÿ

ÿâëÿåòñÿ ìåòîä äåëåíèÿ ïîïîëàì èëè

äèõîòîìèÿ.

x0 è x1 , òàêèå è f (x1 ) èìåþò ðàçíûå çíàêè, òîãäà ìåæäó ýòèìè 0 òî÷êàìè, åñëè f 2 C , íàõîäèòñÿ õîòÿ áû îäèí êîðåíü ôóíêöèè f . Ïîäåëèì îòðåçîê [x0 ; x1 ] ïîïîëàì è ââåäåì òî÷êó x2 = x0 +2 x1 . Ëèáî f (x2 )f (x0 )  0 , ëèáî f (x2 )f (1 )  0 . Îñòàâèì òó ïîëîâèíó îòðåçêà äëÿ êîòîðîé çíà÷åíèÿ íà êîíöàõ Ïðåäïîëîæèì ìû íàøëè äâå òî÷êè

èìåþò ðàçíûå çíàêè. Òåïåðü ýòîò îòðåçîê äåëèì ïîïîëàì è îñòàâëÿåì òó åãî ÷àñòü, íà ãðàíèöàõ êîòîðîãî ôóíêöèÿ èìååò ðàçíûå çíàêè, è òàê äàëåå, äî äîñòèæåíèÿ òðåáóåìîé òî÷íîñòè. Ê äîñòîèíñòâàì ìåòîäà äåëåíèÿ ïîïîëàì ñëåäóåò îòíåñòè åãî âûñîêóþ íàäåæíîñòü è ïðîñòîòó, ïðè ýòîì îò ôóíêöèè òðåáóåòñÿ òîëüêî íåïðåðûâíîñòü. Ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè ìåòîäà ëèíåéíûé, íà êàæäîì øàãå òî÷íîñòü âîçðàñòàåò âäâîå. Íåäîñòàòêîì ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî ïðåæäå ÷åì íà÷àòü åãî ïðèìåíåíèå, íåîáõîäèìî ïðåäâàðèòåëüíî íàéòè äâå òî÷êè, çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â êîòîðûõ, èìåþò ðàçíûå çíàêè. Î÷åâèäíî, ÷òî ìåòîä íåïðèìåíèì äëÿ êîðíåé ÷åòíîé êðàòíîñòè. Îí òàêæå íå ìîæåò áûòü îáîáùåí íà ñëó÷àé êîìïëåêñíûõ êîðíåé è íà ñèñòåìû óðàâíåíèé.

Ìåòîä ïðîñòûõ èòåpàöèé ! [a; b] è F  ñæàòèå: jF (x) F (y)j  qjx yj ; q < 1 (â ÷àñòíîñòè, òîò ôàêò, ÷òî F  ñæàòèå, êàê ëåãêî âèäåòü, îçíà÷àåò, ÷òî F 2 C[a;b] ). Ïî òåîpåìå Áàíàõà ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà íåïîäâèæíàÿ òî÷êà x , è îíà ìîæåò Ïóñòü

F : [a; b]

áûòü íàéäåíà êàê ïðåäåë ïðîñòîé èòåðàöèîííîé ïðîöåäóðû

x = nlim x ; xn+1 = F (xn ) ; !1 n

[a; b]. Åñëè ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà, òî óäîáíûì 0 0 jF (x)j = jjF jjC < 1. Äåéñòâèòåëüíî, ïî òåîpåìå Ëàãpàíæà

ãäå íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå x0  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïðîìåæóòêà êpèòåpèåì ñæàòèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî:

q=

sup

x2[a;b]

jF (x) F (y)j = jF 0 ()jjx yj  jjF 0 jjC jx yj = qjx yj : 55

Òàêèì îáðàçîì, åñëè ïðîèçâîäíàÿ ìåíüøå åäèíèöû, òî Óñëîâèå

F ([a; b])  [a; b]

F

ÿâëÿåòñÿ ñæàòèåì.

ñóùåñòâåííî, èáî åñëè, íàïðèìåð,

F (x)  2

íà [0,1] , òî íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòñóòñòâóåò,

q . ×åì ìåíüøå q , òåì áûñòðåå ñõîäèìîñòü. F âçÿòü ôóíêöèþ F (x) = xa , òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ

õîòÿ ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà íóëþ. Ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè çàâèñèò îò âåëè÷èíû

x2

= a . Çäåñü, åñëè â êà÷åñòâå èòåðàöèîííàÿ ïðîöåäóðà áóäåò èìåòü âèä: xn+1 = xan . Êàê íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ìåòîä èòåðàöèé â äàííîì ñëó÷àå p ðàñõîäèòñÿ, ïðè ëþáîé íà÷àëüíîé òî÷êå x0 , íå ñîâïàäàþùåé ñ ñîáñòâåííî íåïîäâèæíîé òî÷êîé x = a. Îäíàêî ìîæíî â êà÷åñòâå F ïðåäëîæèòü è áîëåå õèòðóþ ôóíêöèþ, ñ òîé æå íåïîäâèæíîé òî÷êîé. Ïóñòü F (x) = 12 [x + ax ]. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ èòåðàöèîííîÿ ïðîöåäóðà çäåñü èìååò âèä: xn+1 = 12 [xn + xan ], è ýòè èòåðàöèè ñõîäÿòñÿ ê íåïîäâèæíîé òî÷êå äëÿ ëþáîãî íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ x0 2 (0; 1). ( F (x) = xa ; xn+1 = xan ; ; F (x) = 12 [x + xa ] ; xn+1 = 12 [xn + xan ] ; p: Äåéñòâèòåëüíî, â ïåðâîì ñëó÷àå F 0 (xn ) = xa , ò.å. ÷òîáû F 0 (xn ) < 1 íåîáõîäèìî ÷òîáû x2n > a, íî òîãäà jF 0 (xn+1 )j = n j xna j = aa = xan > 1. Òàêèì îáðàçîì îòîáðàæåíèå F (x) = ax ñæàòèåì íå ÿâëÿåòñÿ. xn Äëÿ F (x) = 12 [x + ax ], ãäå íåïîäâèæíàÿ òî÷êà òà æå ñàìàÿ, ñèòóàöèÿ äpóãàÿ. Çäåñü, õîòÿ ôîðìàëüíî ïðîèçâîäíàÿ Ïpèìåp. Ðåøèòü óðàâíåíèå:

2

2

2

2 2

+1

ìîæåò áûòü äîâîëüíî áîëüøîé (ïðè ìàëûõ x), îäíàêî óæå íà ñëåäóþùåì øàãå îíà áóäåò ìåíüøå 1. Óáåäèìñÿ â ýòîì:

F 0 (xn+1 ) = "

= 12 1



1 1 2

a x2n+1





= 12 1

a



1 (xn + a )2 2 xn

=

(1 + xan )2 x2na 1 1 + xan 2 1 1 1 (1 + a )2 = 2 (1 + a )2 = 2 (1 + a )2 < 2 ; 2 xn xn xn #

a x2n




2

2

2

2

2 2

ò.å. òàêîé èòåðàöèîííûé ïðîöåññ âñåãäà ñõîäèòñÿ.

5.1.2 Ìåòîä Íüþòîíà

Ìåòîä Íüþòîíà èëè êàñàòåëüíûõ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî åñëè xj íåêîòîðîå ïðèáëèæåíèå ê êîðíþ x óðàâíåíèÿ f (x) = 0 ; f 2 C 1 ; òî ñëåäóþùåå ïðèáëèæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ êàê êîðåíü êàñàòåëüíîé ê ôóíêöèè f (x), ïðîâåäåííîé â y f (x ) òî÷êå xj . Òàêèì îáðàçîì â óðàâíåíèè êàñàòåëüíîé f 0 (xj ) = x xjj íåîáõîäèìî ïîëîæèòü y = 0 è x = xj +1 , òî åñòü xj +1 = xj

f (xj ) : f 0 (xj )

Ïîñêîëüêó ìåòîä Íüþòîíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìåòîä ïðîñòûõ èòåðàöèé ïðè ÷òî ïðè

f

2 C2

ñóùåñòâåò îêðåñòíîñòü êîðíÿ â êîòîðîé

F (x) = x ff0((xx)) , òî íåòðóäíî óáåäèòüñÿ,

jF 0 j < 1 . Äåéñòâèòåëüíî,

(f 0 )2 ff 00 = ff 00 ; (f 0 )2 (f 0 )2  , òî â åãî îêðåñòíîñòè f (x)  a(x x ) F0 = 1

x êîðåíü êðàòíîñòè è, ñëåäîâàòåëüíî, F 0 (x ) =  1 . Çàìåòèì, ÷òî åñëè x | ïðîñòîé êîðåíü, òî ñõîäèìîñòü ìåòîäà êàñàòåëüíûõ êâàäðàòè÷íàÿ (òî åñòü ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè ðàâåí 2). f (x ) Óáåäèìñÿ â ýòîì. Ïîñêîëüêó xj +1 x = xj x f 0 (xjj ) , òî òî åñëè

îòêóäà

f (xj ) xj +1 x 1 1 (xj x)2 = xj x f 0 (xj )(xj x )2 = xj x
f 0 (x )(xj x ) + 12 f 00 (x )(xj x )2 + o (xj x )2 (xj x)2 [f 0 (x) + f 00 (x)(xj x) + o(xj x)] : xj +1 x = f 00 (x ) : lim j !1 (xj x )2 2f 0 (x ) 56

Òàêèì îáðàçîì ñõîäèìîñòü ìåòîäà Íüþòîíà î÷åíü áûñòðàÿ. Ïðè ýòîì áåç âñÿêèõ èçìåíåíèé ìåòîä îáîáùàåòñÿ íà êîìï-

x

ëåêñíûé ñëó÷àé. Åñëè êîðåíü

ÿâëÿåòñÿ êîðíåì âòîðîé êðàòíîñòè è âûøå, òî, êàê íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ïîðÿäîê

ñõîäèìîñòè ñðàçó ïàäàåò è ñòàíîâèòñÿ ëèíåéíûì. Ê íåäîñòàòêàì ìåòîäà Íüþòîíà ñëåäóåò îòíåñòè åãî ëîêàëüíîñòü, ïîñêîëüêó îí ãàðàíòèðîâàííî ñõîäèòñÿ ïðè ïðîèçâîëüíîì ñòàðòîâîì ïðèáëèæåíèè òîëüêî åñëè âåçäå âûïîëíåíî

jff 00 j=(f 0 2 ) < 1 , â ïðîòèâíîé ñèòóàöèè ñõîäèìîñòü åñòü

ëèøü â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè êîðíÿ. Äðóãèì íåäîñòàòêîì ìåòîäà Íüþòîíà ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî íà êàæäîì øàãå íåîáõîäèìî çàíîâî âû÷èñëÿòü ïðîèçâîäíóþ.

5.1.3

Ìåòîä ñåêóùèõ

×òîáû èçáåæàòü âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé, ìåòîä Íüþòîíà ìîæíî óïðîñòèòü, çàìåíèâ ïðîèçâîäíóþ íà ðàçíîñòíóþ, âû÷èñëåííóþ ïî äâóì ïðåäûäóùèì èòåðàöèÿì, ÷òî ýêâèâàëåíòíî çàìåíå ôóíêöèè ïðîõîäÿùèé ÷åðåç òî÷êè

xj

xj 1

è

fj

íà èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì,

. Ïðè ýòîì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ïðèíèìàåò âèä

xj +1 = xj ãäå

f (x)

fj (xj xj 1 ) ; fj fj 1

= f (xj ) . Ýòî äâóõøàãîâûé èòåðàöèîííûé ïðîöåññ, ïîñêîëüêó èñïîëüçóåò äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîñëåäóþùåãî ïðè-

áëèæåíèÿ äâà ïðåäûäóùèõ. Ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè ìåòîäà ñåêóùèõ åñòåñòâåííî íèæå ÷åì ó ìåòîäà êàñàòåëüíûõ è ðàâåí â ñëó÷àå îäíîêðàòíîãî êîðíÿ

p d = 5+1 2

fj (xj xj 1 ) fj fj 1

= xj

"

. Óáåäèìñÿ â ýòîì ñ÷èòàÿ äëÿ óäîáñòâà, ÷òî

x = 0 .

0 3 1 00 2 = f 0 (xj [fx xj j 1+) +2 f1fx00j(+x2O(xxj2)](x) j+ Ox(jx31 ) x3 ) =  j j 1 2  j j 1

  00 1 + 2ff000 xj + O(x2j ) f 2  = xj 1 2f0 xj 1 + O(xj ) : 1 + 2ff000 (xj + xj 1 ) + O(x2j ) #

Òàêèì îáðàçîì ñ òî÷íîñòüþ äî áåñêîíå÷íî ìàëûõ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà

xj +1 = xj

fj (xj xj 1 ) fj fj 1

00

= 2ff0 xj xj 1 + O(x3j ) :

00

xj +1 = xj xj 1 ,  = 2ff0 , ðåøåíèå êîòîðîãî åñòåñòâåííî èñêàòü â âèäå xj +1 = c xdj . Ïîñëå ïîäñòàíîâêè èìååì: cd = 1 è d2 d 1 = 0 , îòêóäà â ñèëó òîãî, ÷òî p äëÿ ñõîäèìîñòè íåîáõîäèìî, ÷òîáû d áûëî ïîëîæèòåëüíûì, çàêëþ÷àåì ÷òî d = 5+1 2 . Îòáðàñûâàÿ îñòàòî÷íûé ÷ëåí, ïîëó÷àåì ðåêóðåíòíîå ñîîòíîøåíèå

Ïîñêîëüêó çíàíèå ïðîèçâîäíîé íå òðåáóåòñÿ, òî ïðè òîì æå îáú¼ìå âû÷èñëåíèé â ìåòîäå ñåêóùèõ (íåñìîòðÿ íà ìåíüøèé ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè) ìîæíî äîáèòüñÿ áîëüøåé òî÷íîñòè, ÷åì â ìåòîäå êàñàòåëüíûõ. Îòìåòèì, ÷òî âáëèçè êîðíÿ ïðèõîäèòñÿ äåëèòü íà ìàëîå ÷èñëî è ýòî ïðèâîäèò ê ïîòåðå òî÷íîñòè (îñîáåííî â ñëó÷àå êðàòíûõ êîðíåé), ïîýòîìó âûáðàâ îòíîñèòåëüíî ìàëîå

Æ

âûïîëíÿþò âû÷èñëåíèÿ äî âûïîëíåíèÿ

jxj+1 xj j < Æ

è ïðîäîëæàþò èõ ïîêà

ìîäóëü ðàçíîñòè ñîñåäíèõ ïðèáëèæåíèé óáûâàåò. Êàê òîëüêî íà÷íåòñÿ ðîñò, âû÷èñëåíèÿ ïðåêðàùàþò è ïîñëåäíþþ èòåðàöèþ íå èñïîëüçóþò. Ìåòîä ñåêóùèõ ñòàíîâèòñÿ íåïðèìåíèìûì. Òàêàÿ ïðîöåäóðà îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà îêîí÷àíèÿ èòåðàöèé íàçûâàåòñÿ ïðè¼ìîì

Ãàðâèêà.

Ìåòîä ïàðàáîë Ðàññìîòðèì òðåõøàãîâûé ìåòîä, â êîòîðîì ïðèáëèæåíèå è

xj 2

xj +1

îïðåäåëÿåòñÿ ïî òðåì ïðåäûäóùèì òî÷êàì

. Äëÿ ýòîãî çàìåíèì, àíàëîãè÷íî ìåòîäó ñåêóùèõ, ôóíêöèþ

÷åðåç òî÷êè

xj

,

xj 1

è

xj 2

f (x)

,

xj 1

èíòåðïîëÿöèîííîé ïàðàáîëîé ïðîõîäÿùåé

. Â ôîðìå Íüþòîíà îíà èìååò âèä

p2 (x) = fj + fj 1;j (x xj ) + fj 2;j 1;j (x xj )(x xj 1 ) : 57

xj

Òî÷êà

xj +1

îïðåäåëÿåòñÿ êàê òîò èç êîðíåé ýòîãî ïîëèíîìà, êîòîðûé áëèæå ïî ìîäóëþ ê òî÷êå

xj

. Ïîðÿäîê ñõî-

äèìîñòè ìåòîäà ïàðàáîë âûøå, ÷åì ó ìåòîäà ñåêóùèõ, íî íèæå, ÷åì ó ìåòîäà Íüþòîíà. Âàæíûì îòëè÷èåì îò ðàíåå ðàññìîòðåííûõ ìåòîäîâ, ÿâëÿåòñÿ òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî äàæå åñëè

f (x)

âåùåñòâåííà ïðè âåùåñòâåííûõ

x

è ñòàð-

òîâûå ïðèáëèæåíèÿ âûáðàíû âåùåñòâåííûìè, ìåòîä ïàðàáîë ìîæåò ïðèâåñòè ê êîìïëåêñíîìó êîðíþ èñõîäíîé çàäà÷è. Ýòîò ìåòîä î÷åíü óäîáåí äëÿ ïîèñêà êîðíåé ìíîãî÷ëåíîâ âûñîêîé ñòåïåíè.

Ïîèñê âñåõ êîðíåé Îáùèì íåäîñòàòêîì ïî÷òè âñåõ èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ íàõîæäåíèÿ êîðíåé ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíè ïðè îäíîêðàòíîì ïðèìåíåíèè ïîçâîëÿþò íàéòè ëèøü îäèí êîðåíü ôóíêöèè, ïðè òîì íåèçâåñòíî êàêîé. ×òîáû íàéòè äðóãèå êîðíè, ìîæíî áûëî áû áðàòü íîâûå ñòàðòîâûå òî÷êè è ïðèìåíÿòü ìåòîä çàíîâî, íî íåò íèêàêîé ãàðàíòèè, ÷òî ïðè ýòîì èòåðàöèè ñîéäóòñÿ ê íîâîìó êîðíþ, à íå ê óæå íàéäåííîìó (åñëè âîîáùå ñîéäóòñÿ, êàê ñêàæåì âîçìîæíî â ìåòîäå Íüþòîíà). Äëÿ ïîèñêà äðóãèõ êîðíåé èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä óäàëåíèÿ êîðíåé. Ïóñòü ôóíêöèþ

f1 (x) =

f (x) x x1 . Òî÷êà

x1

áóäåò ÿâëÿòüñÿ êîðíåì ôóíêöèè

ïðè ýòîì âñå îñòàëüíûå êîðíè ó ôóíêöèé

f (x)

è

f1 (x)

f1 (x)

x1

êîðåíü ôóíêöèè

f (x)

, ðàññìîòðèì

íà åäèíèöó ìåíüøåé êðàòíîñòè, ÷åì

f (x) ,

ñîâïàäàþò ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè. Ïðèìåíÿÿ òîò èëè èíîé

f1 (x) , ìû íàéäåì íîâûé êîðåíü x2 (êîòîðûé ìîæåò â ñëó÷àå êðàòíûõ êîðíåé è ñîâïàäàòü ñ x1 ). Äàëåå ìîæíî ðàññìîòðåòü ôóíêöèþ f2 (x) = xf1 (xx2) = (x xf1 ()(xx) x2 ) , è èñêàòü êîðíè ó íå¼. Ïîâòîðÿÿ óêàçàííóþ ïðîöåäóðó ìîæíî íàéòè âñå êîðíè f (x) ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè. Çàìåòèì, ÷òî êîãäà ìû ïðîèçâîäèì äåëåíèå íà òîò èëè èíîé êîðåíü x , òî â äåéñòâèòåëüíîñòè ìû äåëèì ëèøü íà íàéäåííîå ïðèáëèæåíèå x0 è òåì ñàìûì íåñêîëüêî ñäâèãàåì êîðíè âñïîìîãàòåëüíîé ôóíêöèè îòíîñèòåëüíî èñòèííûõ êîðíåé ôóíêöèè f (x) . Ýòî ìîæåò ïðèâåñòè ê çíà÷èòåëüíûì ïîãðåøíîñòÿì, åñëè ïðîöåäóðà îòäåëåíèÿ ïðèìåíÿëàñü ìåòîä íàõîæäåíèÿ êîðíåé ê ôóíêöèè

óæå äîñòàòî÷íîå ÷èñëî ðàç. ×òîáû èçáåæàòü ýòîãî, ñ ïîìîùüþ âñïîìîãàòåëüíûõ ôóíêöèé âû÷èñëÿþòñÿ ëèøü ïåðâûå èòåðàöèè, à îêîí÷àòåëüíûå ïðîâîäÿòñÿ ïî èñõîäíîé ôóíêöèè

f (x)

, èñïîëüçóÿ â êà÷åñòâå ñòàðòîâîãî ïðèáëèæåíèÿ,

ïîñëåäíþþ èòåðàöèþ, ïîëó÷åííóþ ïî âñïîìîãàòåëüíîé ôóíêöèè.

5.1.4

Ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé

Ìåòîä ïðîñòûõ èòåðàöèé Ìåòîä ïðîñòûõ èòåðàöèé (ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé) ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé ñèñòåìû íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé

fk (x1 ; x2 ; : : : ; xN ) = 0 ; k = 1; 2; : : : ; N ; èëè â âåêòîðíîé ôîðìå

f (x) = 0 : Ýòó ñèñòåìó óäîáíî êàê è â îäíîìåðíîì ñëó÷àå çàïèñàòü â âèäå çàäà÷è íà íåïîäâèæíóþ òî÷êó

F(x) = x : Çàìå÷àíèå. Íàõîæäåíèå òàêîé ôîðìû çàïèñè ìîæåò îêàçàòüñÿ ñàìî ïî ñåáå ñåðü¼çíîé çàäà÷åé. Íåîáõîäèìî äîáèòüñÿ è òîãî, ÷òîáû îòîáðàæåíèå F ÿâëÿëîñü ñæàòèåì (äëÿ ñõîäèìîñòè èòåðàöèé) è, ïðè ýòîì áûëî ýêâèâàëåíòíî èñõîäíîé ïîñòàíîâêå. Âûáðàâ ñòàðòîâîå ïðèáëèæåíèå, îðãàíèçóåì èòåðàöèè

x(j +1) = F(x(j ) ) : 58

Åñëè èòåðàöèè ñõîäÿòñÿ, òî îíè ñõîäÿòñÿ ê îäíîìó èç ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé. Ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè ïðîñòûõ èòåðàöèé ëèíåéíûé. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü x ðåøåíèå, ê êîòîðîìó ñõîäÿòñÿ èòåðàöèè, òîãäà äëÿ êàæäîé k-îé åãî êîìïîíåíòû

x(kj +1)

xk = Fk (x(j ) ) Fk (x ) =

ãäå zj íåêîòîðûé âåêòîð â íàïðàâëåíèè x(j )

x

 N  X @Fk zj

( ) (x(j) l

@xl

l=1

xl ) ;

ëåæàùèé ìåæäó ýòèìè òî÷êàìè. Îòîáðàæåíèå F áóäåò ÿâëÿòüñÿ n o @Fk (k ) ñæàòèåì, åñëè íîðìà ìàòðèöû ïðîèçâîäíûõ (ñîãëàñîâàííàÿ ñ íîðìîé âåêòîðà â äàííîì ïðîñòðàíñòâå) @xl ìåíüøå åäèíèöû. Ïîñêîëüêó â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå âñå íîðìû ýêâèâàëåíòíû (à çíà÷èò è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäÿùàÿñÿ ïî îäíîé íîðìå, áóäåò ñõîäèòüñÿ è ïî ëþáîé äðóãîé), òî äîñòàòî÷íî ýòî óñëîâèå ïðîâåðèòü äëÿ ëþáîé èç n o @Fk (k ) . k íîðì ìàòðèöû ñ ýëåìåíòàìè Mkl j @F @xl j , ìàæîðèðóþùåé ñîîòâåòñòâóþùèå íîðìû @xl

= max

Óëó÷øèòü ñõîäèìîñòü ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé, ìîæíî (õîòÿ îíà ïî ïðåæíåìó îñòàíåòñÿ ëèíåéíîé) åñëè óæå íàéäåííûå êîìïîíåíòû íîìåðàìè áîëüøèìè

x(kj +1)

èñïîëüçîâàòü äëÿ íàõîæäåíèÿ êîìïîíåíò ýòîãî æå ïðèáëèæåíèÿ x(j +1) ñ

k , òî åñòü îðãàíèçîâàòü èòåðàöèè ñëåäóþùèì îáðàçîì

+1) = Fk (x(j +1) ; x(j +1) ; : : : ; x(j +1) ; x(j ) ; x(j ) ; : : : ; x(j ) ) : x(kj+1 1 2 N k k+1 k+2

Ìåòîä Íüþòîíà Ìåòîä Íüþòîíà, ÿâëÿÿñü ÷àñòíûì ñëó÷àåì ìåòîäà ïðîñòûõ èòåðàöèé ñ âåêòîð-ôóíêöèåé F ðàâíîé 

F(x) = x

@ f (x) @x



1

f (x) ;

åñòåñòâåííî îáîáùàåòñÿ íà ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé. Èòåðàöèè ïî ìåòîäó Íüþòîíà èìåþò âèä

x(j +1) = x(j )



 1 @ f (x) f (x(j ) ) : @ x x=x(j)

Ïðîâåðêà óñëîâèé ñõîäèìîñòè (òî åñòü òîãî, ÷òî íîðìà ìàòðèöû ïðîèçâîäíûõ

@ F=@ x

ìåíüøå åäèíèöû) ïî÷òè íèêîã-

äà íå ïðîèçâîäèòñÿ, ïîñêîëüêó òðåáóåò áîëüøîãî îáúåìà âû÷èñëåíèé. Ñàì æå ìåòîä Íüþòîíà îáû÷íî èñïîëüçóþò â íåñêîëüêî äðóãîé çàïèñè. Èìåííî 



@ f (x)
x(j) = f (x(j) ) ; @ x x=x(j)


x(j) = x(j+1)

Îïðåäåëÿÿ èç ýòîé ëèíåéíîé ñèñòåìû (ñêàæåì ìåòîäîì Ãàóññà) âåêòîð


x(j)

x(j ) :

è, ñîîòâåòñòâåííî, ïðèáëèæåíèå x(j +1) ,

çàíîâî ðàñ÷èòûâàþò ìàòðèöó ïðîèçâîäíûõ è ïðîäîëæàþò èòåðàöèè. Åñëè íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå âûáðàíî óäà÷íî, òî îáû÷íî äîñòàòî÷íî âñåãî íåñêîëüêèõ èòåðàöèé, ïîñêîëüêó ñõîäèìîñòü êâàäðàòè÷íàÿ.

Ìåòîäû ñïóñêà Ââåä¼ì ôóíêöèþ

=

N P j =1

jfj (x)j2

. Îíà îãðàíè÷åíà ñíèçó íóë¼ì è äîñòèãàåò ñâîåãî ãëîáàëüíîãî ìèíèìóìà (íóëÿ)

( ) = 0 . Òàêèì îáðàçîì çàäà÷à íà ïîèñê êîðíåé âåêòîð-ôóíêöèè ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å íà ïîèñê

òîëüêî â òåõ òî÷êàõ, ãäå f x

ìèíèìóìà ñêàëÿðíîé ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ, ìåòîäû ðåøåíèÿ êîòîðîé ìû ðàññìîòðèì â ñîîòâåòñòâóþùåé ãëàâå. Çäåñü ëèøü îòìåòèì, ÷òî ýòè ìåòîäû íàçûâàþòñÿ ìåòîäàìè ñïóñêà è ÿâëÿþòñÿ ñõîäÿùèìèñÿ äëÿ ãëàäêèõ ôóíêöèé, îäíàêî òî÷íîñòü èõ íåâåëèêà, è ïîýòîìó èõ åñòåñòâåííî èñïîëüçîâàòü äëÿ íàõîæäåíèÿ íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ ñ ïîñëåäóþùèì èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà Íüþòîíà. Âàæíî òàêæå èìåòü â âèäó, ÷òî ìåòîäû ñïóñêà ìîãóò ñõîäèòñÿ íå ê ãëîáàëüíîìó ìèíèìóìó, à ê îäíîìó èç ëîêàëüíûõ (â çàâèñèìîñòè îò âûáîðà ñòàðòîâîé òî÷êè), íå îòâå÷àþùèõ ðàçóìååòñÿ êîðíÿì èñõîäíîé çàäà÷è.

59

5.2

Ðåøåíèå ëèíåéíûõ ñèñòåì

5.2.1

Îáóñëîâëåííîñòü ëèíåéíûõ ñèñòåì, ïîãðåøíîñòü

Ïðè ðåøåíèè àáñòðàêòíîé çàäà÷è

Ax = b, ãäå A  îïåðàòîð ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû âàæíûì

ìîìåíòîì ÿâëÿåòñÿ êîð-

ðåêòíîñòü åå ïîñòàíîâêè. Çàäà÷à ñ÷èòàåòñÿ êîððåêòíîé åñëè ðåøåíèå ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî è, êðîìå òîãî, ðåøåíèå íåïðåðûâíî çàâèñèò îò âõîäíûõ äàííûõ (òî åñòü, ïðè


b ! 0 ;
x òàêæå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ).

Îäíàêî è íåïðåðûâíàÿ çàâèñèìîñòü îò âõîäíûõ äàííûõ ìîæåò èìåòü ñâîè íþàíñû. ×åì ìåíüøåå (áîëüøåå) èçìåíåíèå ðåøåíèÿ âûçûâàåò âàðèàöèÿ âõîäíûõ äàííûõ, òåì áîëåå õîðîøî (ïëîõî)

îáóñëîâëåííîé

ñ÷èòàåòñÿ çàäà÷à. Ïîíÿòèå

îáóñëîâëåííîñòè ÿâëÿåòñÿ òåì áîëåå ñóùåñòâåííûì äëÿ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, ïîñêîëüêó íà ïðàêòèêå âõîäíûå äàííûå èçâåñòíû êàê ïðàâèëî ñ íåêîòîðîé ïîãðåøíîñòüþ. Êðîìå òîãî, ñóùåñòâóþò îøèáêè îêðóãëåíèÿ, âîçíèêàþùèå ïðè âû÷èñëåíèÿõ. Òàêèì îáðàçîì ôîðìàëüíî êîððåêòíàÿ çàäà÷à, ÿâëÿÿñü ïëîõî îáóñëîâëåííîé, ìîæåò îêàçàòüñÿ ðàçðåøèìîé ñòîëü íåòî÷íî, ÷òî â ýòîì áóäåò îòñóòñòâîâàòü ïðàêòè÷åñêèé ñìûñë. ×åì ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü êîëè÷åñòâåííî îáóñëîâëåííîñòü äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì? Ïóñòü

A  êâàäðàòíàÿ N  N -ìàòðèöà. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Ax = b :

Ïóñòü òàêæå

jj  jj - åñòü êàêàÿ-íèáóäü íîðìà â RN

max jxi j , = P jxi j , = i

(íàïðèìåð jjxjj=

A îïðåäåëÿåòñÿ ñòàíäàðòíî

Îáîçíà÷èì y

= Ax

pP

x2i ). Íîðìà îïåðàòîðà

jjAxjj : = jjAjj = max x6=0 jjxjj

è ââåäåì ÷èñëî

m ïî ïðàâèëó

jjyjj =  max jjA 1 yjj  1 = jjA 1 jj 1 : m = min jjAxjj = min y6=0 jjA 1 yjj y6=0 jjyjj x6=0 jjxjj M = jjAjj
jjA 1 jj íàçûâàåòñÿ ÷èñëîì îáóñëîâëåííîñòè. Î÷åâèäíî m

C (A) = 1) C (A)  1; 2) C (A) = C (A);

Âåëè÷èíà

max jaii j i A  äèàãîíàëüíàÿ, òî C (A) = min jaii j (Äëÿ êàêîé íîðìû? èëè äëÿ âñåõ âûøåïðèâåäåííûõ?). i ìåíüøå ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè C (A), òåì ëó÷øå îáóñëîâëåííà ñèñòåìà. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü
b

3) åñëè ×åì

ïðàâîé ÷àñòè, à


x  ñîîòâåòñòâóþùåå èçìåíåíèå ðåøåíèÿ. Òîãäà ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî

 âàðèàöèÿ

jj
xjj  C (A) jj
bjj : jjxjj jjbjj

Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì:

Ax = b, A(x +
x) = b +
b, A
x =
b. Òàê êàê

jjA
xjj = jj
bjj ; jj
xjj jj
xjj 1 òî jj
xjj  m jj
bjj. Àíàëîãè÷íî, ïîñêîëüêó Ax = b , òî jjbjj  M jjxjj. Îáúåäèíÿÿ äâà m

íåðàâåíñòâà, îêîí÷àòåëüíî

ïîëó÷àåì

jj
xjj  M jj
bjj : jjxjj m jjbjj 5.2.2

Ìåòîä Ãàóññà

Îäèí èç ñàìûõ ðàñïðîñòðàíåííûõ ïðÿìûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

60

Ax = b :

0 B B B B B @
















aN 1 aN 2


a11 a21

a12 a22

10

a1N a2N

CB CB CB CB CB A@






aNN

x1 x2




xN

1

0

C C C C C A

B B B B B @

=

1

b1 b2

C C C C C A




bN

ÿâëÿåòñÿ ìåòîä Ãàóññà. Âíà÷àëå èñõîäíàÿ ñèñòåìà ïðèâîäèòñÿ ê âåðõíåòðåóãîëüíîìó âèäó. Ýòî äîñòèãàåòñÿ ñëåäóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ïðåîáðàçîâàíèé (ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà). Áóäåì ñ÷èòàòü äëÿ óäîáñòâà, ÷òî ýëåìåíòû aij èñ-

(1)

õîäíîé ìàòðèöû è êîìïîíåíòû âåêòîðà bi åñòü ñîîòâåòñòâåííî ýëåìåíòû aij ïåðâîãî øàãà ïðåîáðàçîâàííîé ìàòðèöû

A1

è ïðåîáðàçîâàííîãî âåêòîðà b1 :

A

= A1 ;

b

= b1 . Äàëåå, íà âòîðîì øàãå ïðèáàâèì ê âòîðîé ñòðîêå ïåðâóþ,

= c21 . Àíàëîãè÷íî ïîñòóïèì ñî âñåìè îñòàâøèìèñÿ ñòðîêàìè, òå ïðèáàâèì ê êàæäîé i-îé ñòðîêå i = 2; 3; : : : ; N , ïåðâóþ, óìíîæåííóþ íà êîýôôèöèåíò i1 = aai . Ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâåííî èçìåíèòñÿ è âåêòîð b1 . Òàêèì

óìíîæåííóþ íà

a21 a11

1 11

îáðàçîì 2 øàã) Èìååì ñèñòåìó óðàâíåíèé 0 B B B B B @

A2 x = b2 (1) a(1) 11 a12 0 a(2) 22

:
















0 a(2) N2




(2) = a(1) + ci1 a(1) ; b(2) = b(1) + ci1 b(1) ; i  2 : 1 ij 1j i i

ãäå aij

10

a(1) 1N a(2) 2N






a(2) NN

CB CB CB CB CB A@

x1 x2




xN

1

0

C C C C C A

B B B B B @

=

1

b(1) 1 b(2) 2

C C C C C A






b(2) N

;

a(2) 32 . Òî æå ñàìîå ñäåëàåì ñ a(2) 22 (2) 2 N , ò.å. ïðèáàâèì ê êàæäîé i-îé ñòðîêå âòîðóþ óìíîæåííóþ íà ci2 = aai(2) ; i > 2. Ïðè 22

3 øàã) Ïðèáàâèì ê íîâîé òðåòüåé ñòðîêå íîâóþ âòîðóþ, óìíîæåííóþ íà

4; 5; ::: ; ýòîì ïîëó÷èì ñèñòåìó A3 x = b3 :

îñòàëüíûìè ñòðîêàìè

0 B B B B B B B @

(1) (1) a(1) 11 a12 a13 (2) 0 a(2) 22 a23 0 0 a(3) 33

a(1) 1N a(2) 2N a(3) 3N






















0 0 a(3) N3









a(3)

10 CB CB CB CB CB CB CB A@

NN

x1 x2 x3






1

0

C C C C C C C A

B B B B B B B @

=

xN

=

c32

b(1) 1 b(2) 2 b(3) 3






b(3) N

1 C C C C C C C A

;

(k ) a(ijk+1) = a(ijk) + cik a(kjk) , b(ik+1) = b(ik) + cik b(kk) , ãäå cik = aa(ikk) ; i; j > k. kk Ïîñòóïàÿ òàê è äàëåå íà (N 1)-îì øàãå ïîëó÷àåì âåðõíåòðåóãîëüíóþ ñèñòåìó: 0 10 1 0 1 a(1) a(1) a(1)





a(1) x1 b(1) 11 12 13 1 1 N B C B (2) C (2) (2) C B B 0 B C B C a(2) 22 a23





a2N C B C B x2 C B b2 C B CB C B (3) C (3) (3) B 0 C B C B 0 a33





a3N C B x3 C = B b3 C B C B CB C B (4) C : 0 0 a(4)


a(4) B 0 C B x4 C B b4 C 44 4 N B CB C B C

(k + 1)-ûé øàã) Çäåñü

B @



















N) 0 0 0


0 a(NN

Ïðè ýòîì ìû òàêæå ïîëó÷èëè ìàòðèöó 0 B B B B B B B B B B B @

C

0

c21 c31 c41

CB A@






xN

C A

B @






b(NN )

C A

ïåðåâîäíûõ êîýôôèöèåíòîâ, èìåþùóþ âèä: 1

0 0

c32 c42

0 0 0

c43

0 0 0 0















0 0 0 0













...


cN 1 cN 2 cN 3


cNN 1 0 61

C C C C C C C C C C C A

:

Ðåøåíèå ïîëó÷åííîé òðåóãîëüíîé ñèñòåìû

U x = f (U = AN ; f

= bN ), êàê ëåãêî âèäåòü, èìååò âèä (îáðàòíûé õîä

ìåòîäà Ãàóññà)

xN

= UfNN NN

; xk =

1 (f Ukk k

N X i=k+1

Uki xi ) ; k = N ; N

1; ::: ; 1 :

Çàìåòèì, ÷òî ïðè ïðÿìîì õîäå ìåòîäà Ãàóññà ìîæåò âîçíèêíóòü ñèòóàöèÿ, êîãäà ïðîèñõîäèò äåëåíèå íà íóëü, äà è âîîáùå æåëàòåëüíî íå äåëèòü íà ìàëîå ÷èñëî, ÷òîáû íå íàêàïëèâàëàñü îøèáêà. Ïîýòîìó ìåòîä Ãàóññà îáû÷íî ïðîâîäÿò

÷àñòè÷íûì âûáîðîì ãëàâíîãî ýëåìåíòà, òî åñòü ïîñëå êàæäîãî øàãà (ïóñòü ýòî áûë k-é øàã) ïåðåñòàâëÿþò ñòðîêè ñ k) , íàèáîëüøèé èç âñåõ â k-îì ñòîëáöå íîìåðàìè k ; k +1 ; : : : ; N òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íà ìåñòå kk îêàçàëñÿ ýëåìåíò a(mk ñ

ïðè

m > k (ïðè ýòîì, åñòåñòâåííî, ïåðåñòàâëÿþòñÿ è êîìïîíåíòû âåêòîðà b).

Ìîæíî äëÿ ìàêñèìàëüíîé òî÷íîñòè ïåðåñòàâëÿòü òàêæå è ñòîëáöû ïðåîáðàçóåìîé ìàòðèöû, ÷òîáû íà ìåñòå îêàçàëñÿ ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò èç âñåõ ñ èíäåêñàìè áîëüøå ëèáî ðàâíûìè

k.

kk

Ýòà ïðîöåäóðà íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì

Ãàóññà ñ âûáîðîì ãëàâíîãî ýëåìåíòà. Îíà íåñêîëüêî ïîâûøàåò òî÷íîñòü ïî ñðàâíåíèþ ñ ÷àñòèíûì âûáîðîì ãëàâíîãî ýëåìåíòà, íî âåñüìà íåóäîáíà, â òîì ÷èñëå è äëÿ ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ïîñêîëüêó ïðè ïåðåñòàíîâêå ñòðîê êîìïîíåíòû èñêîìîãî âåêòîðà x ïåðåñòàâëÿòü íå íàäî, òîãäà êàê ïðè ïåðåñòàíîâêå ñòîëáöîâ íàäî ïåðåñòàâëÿòü è ñîîòâåòñòâóþùèå êîìïîíåíòû âåêòîðà x. Îïèøåì îáðàòíûé õîä ìåòîäà Ãàóññà â íåñêîëüêî èíîé ôîðìå (òðåóãîëüíîå ðàçëîæåíèå). Ââåäåì ìàòðèöû

Mk

ïî

ïðàâèëó 0

Mk =

B B B B B B B B B B B B B B B B B @

1 0

0


1












0 0 0

..

.

0


0


0




0 0




1

ck+1;k ck+2;k





















1

0 0




0 0 0













...


0 0


cN;k


1

C C C C C C C C C C C C C C C C C A

;

òîãäà íà êàæäîì øàãå ìåòîäà Ãàóññà ïîëó÷àåòñÿ íåêîòîðàÿ ïðîìåæóòî÷íàÿ ìàòðèöà Ak+1

fk+1 = Mk Mk 1 : : : M1 b . Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî

U= Âîïðîñ. Ïî÷åìó

N

1

Y

i=1

det U = det A?

Mi A ; f

=

N

1

Y

i=1

Mi b ; U x = f ;

det U =

N Y i=1

=Mk Mk

1 : : : M1 A , è âåêòîð

Uii = det A :

Åñëè ïðîèçâîäèòü òàêæå âûáîð ãëàâíûõ ýëåìåíòîâ, òî íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü îïåðàòîð

P

ïåðåñòàíîâêè èíäåêñîâ

l è m, ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû êîòîðîãî ðàâíû: pij = 0 , i; j 6= l; m ; pim = pmi = 0 , i 6= l ; pli = pil = 0 , i 6= m ; pml = plm = 1 . Ïðè ïðèìåíåíèè îïåðàòîðà ïåðåñòàíîâêè èíäåêñîâ ê ìàòðèöå ñëåâà, ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè ñòðîêè ìàòðèöû è êîìïîíåíòû ñâîáîäíîãî âåêòîðà (P Ax = P b) , åñëè æå åãî ïðèìåíèòü ñïðàâà ê ìàòðèöå, òî ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè åå ñòîëáöû è êîìïîíåíòû ðåøåíèÿ (A |{z} P P x = b). =I

5.2.3

L-R ðàçëîæåíèå

Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è

Ax = b

íåñêîëüêî ìîäèôèöèðóåì åå. Èìåííî ââåäåì

62

N  (N + 1) ìàòðèöó

0 B B B B B @

C=

è âåêòîð X

= (x1 ; x2 ; : : : ; xN ; 1)T

1

b1 b2

A

C C C C C A

.. .

bN

(N + 1), òîãäà èñõîäíàÿ çàäà÷à ýêâèâàëåíòíà ñëåäóþùåé

ðàçìåðíîñòè

CX = 0 : Ïðåäñòàâèì

C

â âèäå

C = LR, ãäå L

íèæíåòðåóãîëüíàÿ

l11 B l21 B

L=B

. @ ..

R



.. .

..

1 r12 r13


B 0 1 r23


B B 1


R=B B0 0 0

B .. @.

.. .

.. .

0 0

Êàê íàõîäèòü ìàòðèöû

L

C C .. C . A

.

;

r1N r1;N +1 1 r2N r2;N +1 C C C r3N r3;N +1 C C : .. .

.

.. .

0


1

C A

rN;N +1

è R?

1-é øàã) à) Óìíîæèì êàæäóþ ñòðîêó ìàòðèöû

L

íà ïåðâûé ñòîëáåö ìàòðèöû

R, îòêóäà li1 = ci1 . Òàêèì îáðàçîì ìû

L. L íà êàæäûé ñòîëáåö R, îòêóäà r1i = c1i =l11 , òî åñòü îïðåäåëåíà ïåðâàÿ ñòðîêà

îïðåäåëèëè ïåðâûé ñòîëáåö ìàòðèöû á) Óìíîæèì ïåðâóþ ñòðîêó

R. 2-é øàã) a) Óìíîæèì êàæäóþ ñòðîêó

li2 = ci2

..

1




lNN

lN 1 lN 2

N  (N + 1)-ìàòðèöà âèäà

ìàòðèöà

0


0 l22


0

0

à

N N

L

R è îïðåäåëèì âòîðîé ñòîëáåö L:

(íà÷èíàÿ ñî âòîðîé) íà êàæäûé ñòîëáåö

li1 r12 . á) Óìíîæàÿ âòîðóþ ñòðîêó

m-é øàã) Ïóñòü èçâåñòíû ïåðâûå m

L

1

íà êàæäûé ñòîëáåö ñòîëáåö

lim = cim

m X1 k=1

L

è

m

1

R

îïðåäåëÿåì âòîðóþ ñòðîêó

ñòðîêà

lik rkm ; rmi =

Äåéñòâèòåëüíî, ðàíã ìàòðèöû

R

ðàâåí

N

k=1 lmm

CX

lmk rki

= rN;N +1 ;

xi 1 = ri;N +1

:

= 0 , à äîñòàòî÷íî ðåøèòü ñèñòåìó

, òàêèì îáðàçîì èñõîäíàÿ ìàòðèöà

îäíîâðåìåííî. Êîìïîíåíòû xi íàõîäèì ïîñëåäîâàòåëüíî, íà÷èíàÿ ñ

xN

mP1

cmi

Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî âîâñå íåò íåîáõîäèìîñòè ðåøàòü çàäà÷ó

R, òîãäà ïðè i  m

R: r2i = (c2i l21 r1i )=l22 .

A

è

L

k=i+1

rik xk :

Âû÷èñëåíèÿ ïî èçëîæåííîìó ìåòîäó òðåáóþò â äâà ðàçà ìåíüøèé îáúåì ïàìÿòè, ÷åì ïî ìåòîäó Ãàóññà.

5.2.4 Ïóñòü

Ìåòîä ïpîãîíêè A

 òðåõäèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, êîòîðóþ ìû ïðåäñòàâèì â âèäå:

63

= 0.

âûðîæäåíû èëè íåâûðîæäåíû

N -îé: N X

RX

0

0


0


0




0 0 0

ïåpåä bi ; ci ïîñòàâëåí äëÿ óäîáñòâà. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è

At

B B B B B B B @

A=

Çíàê

ïðîãîíêè.

Ïîëîæèì

a1 = bN

c1 a2

0

b1 c2 a3

0






b2 c3






0






0

0

0 0

b3

1

0 0 0
















0 0


aN cN

=

C C C C C C C A

s â ýòîì ñëó÷àå ïðèìåíÿåòñÿ

ìåòîä

= 0 , òîãäà òðåõäèàãîíàëüíàÿ ñèñòåìà ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå tk 1 ak + tk ck

tk+1 bk = sk ; k = 1 ; 2 ; : : : ; N : t1

Ðàññìîòpèì ýòó ñèñòåìó ïîäpîáíåå. Âûðàçèì èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ

t2 b1 = s1

t1 c1 t2

Òåïåðü èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ âûðàçèì 

s1 c1

+ cb11 t2



t3

÷åðåç

a2 + t2 c2

t2

:

) t1 = cb11 t2 + sc11 :

t1 a2 + t2 c2

:

÷åðåç

t3 b2 = s2

t3 b2 = s2 , èëè

) t2 =

c2

b2 t3

b1 a c1 2

s + ac12 s1 : 2 cb11 a2

+ c2

Àíàëîãè÷íî

tk = k tk+1 + k ; ãäå

bk ; k = k 1 ak

sk + k ck k

1 ak : 1 ak Óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ïî èíäóêöèè. Äåéñòâèòåëüíî 1 = cb11 ; 1 = sc11 , òàêèì îáðàçîì èíäóêöèè âåpíà. Òåïåpü îñóùåñòâèì ñîáñòâåííî èíäóêöèîííûé ïåðåõîä. Ïóñòü tk = k tk+1 + k , òîãäà k =

ck

áàçà

ak+1 tk + ck+1 tk+1 bk+1 tk+2 = sk+1 ; ak+1 (k tk+1 + k) + ck+1 tk+1

bk+1 tk+2 = sk+1 ;

îòêóäà

tk+1 =

+1 + k ak+1 = k+1 tk+2 + k+1 ; + cskk+1 k ak+1

bk+1 tk+2 ck+1 k ak+1

òî åñòü èíäóêöèîííûé ïåðåõîä òàêæå èìååò ìåñòî. Ðàññìîòðèì òåïåðü êàêèì îáðàçîì ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä ïðîãîíêè. Íà ïåpâîì ýòàïå (ïpÿìîé õîä ïpîãîíêè) ìû îïpåäåëÿåì êîýôôèöèåíòû ïpåäûäóùèå

k ; k

÷åpåç èçâåñòíûå íàì ýëåìåíòû ìàòpèöû

k 1 ; k 1 : 1 = cb11 1 =

Ïîñëå òîãî êàê îïðåäåëåíû êîýôôèöèåíòû êîìïîíåíò

tk

9 > > =

> ; s1 > c1

k

è

(bk ; ck ; ak ) , çàäàíûå çíà÷åíèÿ

sk

è

k = ck bkk 1 ak

p k

A

k = cskk + kk 11aakk íà÷èíàåòñÿ îápàòíûé õîä ïpîãîíêè  ñîáñòâåííî îïpåäåëåíèå

. Èìååì

64

tN ïðè ýòîì

N

= 0 , ò.ê.

bN

=0,à

N

= cN

= N tN +1 + N ;

bN N 1 aN . Òàêèì îáðàçîì

tN

= N ( ) ;

tk = k tk+1 + k

(): Óòâåpæäåíèå (Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå pàçpåøèìîñòè ïpîãîíêè): Ïóñòü jck j > jbk j + jak j , det A 6= 0.

k

= 1 ; : : : ; N , òîãäà

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìî óáåäèòüñÿ, ÷òî çíàìåíàòåëü â ôîpìóëàõ ïpÿìîãî õîäà íå îápàùàåòñÿ â íóëü. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî

jk j < 1. Âåäü åñëè ýòî òàê, òî

jck k 1 ak j  jck j jk 1 jjak j > jck j jak j > jbk j  0 è íå ïðîèñõîäèò äåëåíèÿ íà íóëü. Èìååì :

j1 j = j bc11 j < 1 ; jk j = jck jbkkj 1 ak j < jjbbkk jj = 1 : Ìåòîä èòåðàöèé äëÿ ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

Ax = b :

N X j =1

aij xj = bi ; i = 1; 2; : : : ; N ;

(1)

ìîæåò áûòü ðåøåíà íå òîëüêî ïðÿìûìè ìåòîäàìè, íî òàêæå è èòåðàöèîííûìè. Ðàçóìååòñÿ ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, ò.å. ÷òî Ïðåäñòàâèì ìàòðèöó

A

â âèäå

det A 6= 0. A = B + D , ãäå

D

= diagfa11 ; : : : ; aNN g . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî det D 6= 0 , ÷òî

aii 6= 0 ; i = 1 ; : : : ; N (åñëè èñõîäíî ýòî íå òàê, òî ïåðåñòàíîâêîé ñòðîê è ñòîëáöîâ ýòîãî âñåãäà det A 6= 0 ). Òîãäà (1) ïåðåïèñûâàåòñÿ â âèäå Dx = b B x, èëè

ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî ìîæíî äîáèòüñÿ ïðè

x = D 1b

D 1Bx :

Ïðåäëîæèì ñëåäóþùóþ èòåðàöèîííóþ ïðîöåäóðó

xs+1 = D 1 b

D 1 B xs ;

x0  ïðîèçâîëüíûé íà÷àëüíûé âåêòîð.  ðàçâåðíóòîé ôîðìå

xsi +1 = aii 1 bi

aii 1

n X

aij xsj ; i = 1; 2; : : : N :

j =1;j 6=i 1 1 Îáîçíà÷èì D b = u ; D B = T , òîãäà èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ïðèíèìàåò âèä

xs+1 = u

Ïðîöåññ (2) ñõîäèòñÿ, äëÿ ëþáîãî íà÷àëüíîãî âåêòîðà, åñëè jjD 1 (A

(2)

D)jj = jjT jj < 1 : Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî îòîáðàæåíèå x ! u T x ÿâëÿåòñÿ ñæàòèåì. Òàêèì îáðàçîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xs èìååò ïðåäåë. Ïóñòü x = lim xs , òîãäà x = u T x , èëè âîçâðàùàÿñü s!1 èñõîäíîé ôîðìóëèðîâêå Ax = b . Èòàê äëÿ ñõîäèìîñòè èçëîæåííîãî ìåòîäà, íàçûâàåìîãî ìåòîäîì ïðîñòûõ Òåîðåìà1.

ê

T xs :

èòåðàöèé, íåîáõîäèìî ÷òîáû

65

jjD 1 (A D)jj < 1 : 5.2.5

Ìåòîä Çåéäåëÿ

Ìîäèôèöèðóåì ìåòîä ïðîñòûõ èòåðàöèé, êîîðäèíàòíóþ ôîðìó êîòîðîãî, â ÷àñòíîñòè, ìîæíî çàïèñàòü â âèäå X

xsi +1 = aii 1 bi

j
|

X

aij xsj

{z

j>i

}



aij xsj ; i = 1; 2; : : : ; N :

(s + 1)-ãî ïðèáëèæåíèÿ xs+1 íà÷èíàÿ ñ ïåðâîé xs1+1 , òî ê

Çàìåòèì, ÷òî åñëè ïîñëåäîâàòåëüíî âû÷èñëÿòü êîìïîíåíòû

ìîìåíòó âû÷èñëåíèÿ êîíêðåòíîé i-îé êîìïîíåíòû xsi +1 , êîîpäèíàòû xs1+1 ;

: : : ; xsi +11 óæå îïpåäåëåíû è èõ ìîæíî áûëî áû èñïîëüçîâàòü äëÿ îïpåäåëåíèÿ áîëåå òî÷íîãî ïîñëåäóþùåãî ïðèáëèæåíèÿ xs+1 . Ìîäèôèöèðóåì ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì ìåòîä ïðîñòûõ èòåðàöèé, çàìåíèâ â ñóììå  êîìïîíåíòû xsj íà xs+1 . Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷àåì íîâóþ j

èòåðàöèîííóþ ïðîöåäóðó

xsi +1 = aii 1 bi

aii 1

Òàêîé èòåpàöèîííûé ïpîöåññ íàçûâàåòñÿ

X

j
aij xsj +1

aii 1

X

j>i

aij xsj ; i = 1; 2; : : : ; N :

ìåòîäîì Çåéäåëÿ. Ïðåäñòàâèì åãî â ìàòpè÷íîé ôîpìå. Ïóñòü L  íèæíåòðå-

óãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè

L

à

U

:

lij =

(

aij

; j
aij

; j>i : ; ji

0

 âåðõíåòðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè

uij Êàê è pàíüøå ââåäåì ìàòpèöó

=

(

0

D = diag fa11 : : : aNN g , òîãäà A = D + L + U

.  ìàòðè÷íîì âèäå ìåòîä Çåéäåëÿ èìååò

âèä:

xs+1 = D 1 b

5.2.6

D 1 Lxs+1

D 1 U xs :

Ñõîäèìîñòü ìåòîäà Çåéäåëÿ

Èòàê, èòåpàöèè ïî ìåòîäó Çåéäåëÿ äîëæíû áûòü îpãàíèçîâàíû òàêèì îápàçîì, ÷òîáû

Dxs+1 = b Lxs+1

U xs ;

èëè

xs+1 = (D + L) 1 b

(D + L)

1 U xs :

(D + L) 1 b (D + L) 1 U x ÿâëÿåòñÿ ñæàòèåì, åñëè jj(D + L) 1 U jj < 1 , òàêèì îáðàçîì ñïðàâåäëèâà Òåîpåìà. Ìåòîä Çåéäåëÿ ñõîäèòñÿ, åñëè jj(D + L) 1 U jj < 1. Óñëîâèÿ ýòîé òåîðåìû äîâîëüíî òpóäíî ïpîâåpÿåìû, òàê êàê ìàòpèöà (D + L) 1 U äîëæíà åùå è âû÷èñëÿòüñÿ.

Îòîáðàæåíèå x 7!

Ñóùåñòâóåò äîñòàòî÷íî ïpîñòîé ïpèçíàê ñõîäèìîñòè ìåòîäà Çåéäåëÿ, êîòîpûé ñâÿçàí ñ ïîíÿòèåì ïîëîæèòåëüíîé îïpåäåëåííîñòè ìàòpèöû îòíîñèòåëüíî ñêàëÿpíîãî ïpîèçâåäåíèÿ. Íàïîìíèì, ÷òî îïåðàòîð ïðîñòðàíñòâå

En

íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûì, åñëè

66

A, äåéñòâóþùèé â åâêëèäîâîì

hAx; xi  hx; xi ; > 0 : Åñëè îïåðàòîð ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåí, òî ó íåãî ñóùåñòâóåò è îáðàòíûé è îí òàêæå ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåí. Òàêæå âàæíî îòìåòèòü, ÷òî åñëè îïåðàòîð

A ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåí è ñèììåòðè÷åí â RN , òî ôîðìà

hx; yiA = hAx; yi óäîâëåòâîðÿåò âñåì ñâîéñòâàì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Â äàëüíåéøåì ôàêò ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè îïåðà-

0 . Çàìåòèì, ÷òî â êîìïëåêñíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ôàêò ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè àïåðàòîðà A àâòîìàòè÷åñêè âëå÷åò çà ñîáîé ýðìèòîâîñòü: A = A . Òåîðåìà (äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè ìåòîäà Çåéäåëÿ). Ìåòîä Çåéäåëÿ ñõîäèòñÿ â âåùåñòâåííîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå åñëè A ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. òîðà

A

áóäåì îáîçíà÷àòü:

A>

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîé òåîðåìû íàì ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùàÿ Ëåììà.

ãäå B

Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ zk îïðåäåëåíà ðåêóðåíòíûì ñîîòíîøåíèåì B (zk+1

k 1 2 A > 0 ; A > 0 ; òîãäà z ! 0 .

zk ) + Azk = 0 ;

(3)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäñòàâèì zk â âèäå

zk

= 12 (zk+1 + zk ) 12 (zk+1

zk ) ;

è ïîäñòàâèì ýòî ïðåäñòàâëåíèå â (3), òîãäà

1 2

B (zk+1

zk ) + A(zk+1 + zk )

1 A(zk+1 2

zk ) = 0 ;

èëè

(B 12 A)(zk+1

Óìíîæèì ýòî ðàâåíñòâî ñêàëÿðíî íà zk+1

0 = jzk+1

1 2

zk ) + A(zk+1 + zk ) = 0 :

zk , òîãäà

zk jB A=2 +

1 hA(zk+1 + zk ); zk+1 2

zk i =

= jzk+1 zk jB A=2 + 21 fjzk+1 jA jzk jA g = 0 ; ãäå j
jA = hA
;
i ; j
jB A=2 = hfB A=2g
;
i  íîðìû, îïðåäåëÿåìûå îïåðàòîðàìè A è B A=2 ñîîòâåòñòâåííî. Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà â ñèëó ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè îïåðàòîðà (B A=2) ñëåäóåò ÷òî jzk+1 jA jzk jA  0 , ò.å. jzk jA íåâîçðàñòàþùàÿ: jzk+1 jA  jzk jA . Ïðè ýòîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë jzk jA îãðàíè÷åíà ñíèçó ïîñêîëüêó jzk jA  0 . Òàêèì îáðàçîì ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë lim jzk jA = a . Íî òîãäà èç òîãî æå ðàâåíñòâà k!1 ñëåäóåò, ÷òî íîðìà jzk+1 zk j(B A) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, à çíà÷èò è zk+1 zk ! 0 ; k ! 1 . Âåðíåìñÿ òåïåðü ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

1 2

îïðåäåëåíèþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè zk :

îòêóäà zk

=

A 1 B (zk+1

Azk = B (zk+1 zk ) è, ñëåäîâàòåëüíî,

jjzk jj  jjA 1 B jj  jjzk+1 è òàêèì îáðàçîì zk

zk ) ;

! 0, ïðè k ! 1. 67

zk jj !

0;

Ïðèñòóïèì òåïåðü ñîáñòâåííî ê äîêàçàòåëüñòâó äîñòàòî÷íîãî ïðèçíàêà ñõîäèìîñòè ìåòîäà Çåéäåëÿ. Êàê íåòðóäíî âèäåòü, ìåòîä Çåéäåëÿ

(D + L)xs+1 + U xs = b

ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå

(D + L)(xs+1 xs ) + Axs = b : Ïóñòü u  òî÷íîå påøåíèå ópàâíåíèÿ Au = b , îíî ñóùåñòâóåò, òàê êàê A è, ñëåäîâàòåëüíî, îáðàòèì. Ïîëîæèì òàêæå zs = xs u , òîãäà

Óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî

(D + L

1 A) 2

(D + L)(zs+1

 ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûé îïåðàòîð

zs ) + Azs = 0 :

ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà åñëè

A

ñèììåòðè÷íà èïîëîæèòåëüíî

îïðåäåëåíà. Äåéñòâèòåëüíî

D+L

1 A = D + L 1 (D + L + U ) = 1 (D + L 2 2 2

U) :

Ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó

h(D + L U )x; xi = hDx; xi + hLx; xi hLx; xi : Çàìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó

A

ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà, ñëåäîâàòåëüíî

LT

=U

è

hLx; xi = hx; LT xi = hx; U xi = hU x; xi ; ïîýòîìó

h(D + L U )x; xi = hDx; xi =

X

i

aii x2i > 0 ;

aii > 0 . Òàêèì s îáðàçîì ìû íàõîäèìñÿ â óñëîâèÿõ Ëåììû, è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü z ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xs = u + zs ñòðåìèòñÿ ê èñòèííîìó ðåøåíèþ u . ïîñêîëüêó ó ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöû âñå äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû áîëüøå íóëÿ (ïî÷åìó?):

68

Ãëàâà 6 Àëãåáðàè÷åñêèå ñïåêòðàëüíûå çàäà÷è

6.1 Ïóñòü

Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç ìàòðè÷íîé òåîðèè

A

ëèíåéíûé îïåðàòîð äåéñòâóþùèé â âåùåñòâåííîì RN èëè â êîìïëåêñíîì CN Åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå:

A : RN (CN ) ! RN (CN ) . ×èñëî  è âåêòîð x íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ñîáñòâåííûì îïåðàòîðà A îòâå÷àþùèì ñîáñòâåííîìó ÷èñëó  , åñëè Ax = x .

÷èñëîì (çíà÷åíèåì) è ñîáñòâåííûì âåêòîðîì

 ÷àñòíîñòè, ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå òåîðåìû.

Âñÿêèé ëèíåéíûé îïåðàòîð â CN èìååò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå. Òåîðåìà 2. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Òåîðåìà 3. Äëÿ ëþáîãî íàáîðà èç N ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ e1 ; e2 ; : : : ; eN (áàçèñà) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé äóàëüíûé áàçèñ e~1 ; e~2 ; : : : ; e~N , òàêîé ÷òî hei ; e~j i = Æij . Òåîðåìà 1.

Çàìåòèì, ÷òî âñÿêèé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ñàìîäóàëåí. Ïóñòü

A

èìååò

N

ðàçëè÷íûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ

xi , òîãäà îíè îáðàçóþò áàçèñ, è, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò äóàëüíûé áàçèñ x~ i .  ýòîì ñëó÷àå, êàê íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð A (â ñëó÷àå âåùåñòâåííîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà ïðîñòî òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà AT ) èìååò â êà÷åñòâå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ÷èñëà

 i

, à â êà÷åñòâå ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ  âåêòîðû äóàëüíîãî áàçèñà:

Axi = i xi ; A x~ i =  i x~ i :

 ~ = hxi; x~ i i = hAxi; x~ i i = hxi ; A x~ i i

~ = 0 ; i =6 j , òî åñòü hxj ; A x~ i i =

è, àíàëîãè÷íî hxj ; A xi i

Äåéñòâèòåëüíî hxi ; i xi i

Æij hxj ;  x~ j i : Êðîìå òîãî, íåòðóäíî ïîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùåãî ñïåêòðàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ îïåðàòîðà A : A
=

N X i=1

i h
; x~ i ixi =

N X i=1

i Pi
;

ñîáñòâåííûå ïðîåêòîðû îïåðàòîðà A . Â ñàìîì äåëå, ïðîèçâîëüíûé âåêòîð P ~ i ixi . Òîãäà ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ñîáñòâåííûì âåêòîðàì îïåðàòîðà A : f = hf ; x ãäå îïåðàòîðû

Ïóñòü

Pi
= h
; x~ i ixi

A = A

 ñóòü

Af =

X

hf ; x~ i iAxi =

X

hf ; x~ i ii xi =

X

f

i Pi f :

 ýpìèòîâà ìàòpèöà (â RN  ñèììåòðè÷íàÿ).  ýòîé ñèòóàöèè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âåùåñòâåí-

íû, àëãåáðàè÷åñêàÿ è ãåîìåòðè÷åñêàÿ êðàòíîñòè ëþáîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ ñîâïàäàþò, ñîáñòâåííûå âåêòîpû xi , îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì ÷èñëàì îðòîãîíàëüíû, è ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.  ñëó÷àå îäíîêðàòíî âûðîæäåííîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ îäíîìåðåí è èìååò âèä ñòðàíñòâî ðåøåíèé

P

= h
; xix

Ax = x



îòâå÷àþùèé åìó ñîáñòâåííûé ïðîåêòîð

P

(âñþäó ñ÷èòàåì, ÷òî ñîáñòâåííûé âåêòîð x íîðìèðîâàí íà åäèíèöó). Åñëè ïîäïðî-

áîëåå ÷åì îäíîìåðíî, òî â íåì âûáèðàåòñÿ ïðîèçâîëüíûé îðòîáàçèñ xi è ñîáñòâåííûé

69

ïðîåêòîð îòâå÷àþùèé ñîáñòâåííîìó ÷èñëó P P h
; xi ixi .

=



ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ñîîòâåòñòâóþùèõ îäíîìåðíûõ ïðîåêòîðîâ

Îòìåòèì (ëåãêî ïðîâåðÿåìîå) âàæíîå ñâîéñòâî îðòîãîíàëüíûõ ïðîåêòîðîâ:

Pi Pk = Æik Pi : Ñòåïåíü îïåðàòîðà èìååò ñëåäóþùóþ çàïèñü ÷åðåç îðòîãîíàëüíûå ïðîåêòîðû

Am =

X

k

m k (A)Pk :

Ìíîãî÷ëåíû îò îïåðàòîðà îïðåäåëÿþòñÿ êàê ñóììà ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòåïåíåé. Ïîñêîëüêó ìíîãî÷ëåíàìè ìîæíî ïpèáëèçèòü ëþáóþ ôóíêöèþ, òî ôóíêöèþ îò îïåðàòîðà åñòåñòâåííî îïðåäåëèòü êàê

f (A) =

X

k

f (k )Pk :

Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ó îïåpàòîpà è ó ôóíêöèè îò îïåpàòîpà ñîâïàäàþò, òîãäà êàê ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè îò îïåðàòîðà åñòü ÷èñëà

6.2

f (k ).

Cîáñòâåííûå ÷èñëà ýðìèòîâûõ ìàòðèö

6.2.1

Èíòåðïîëÿöèîííûé ìåòîä

FA () = det(A I ) ; òî ìîæíî âû÷èñëèòü FA () â (n +1)-îì íàóãàä âûáðàííîì çíà÷åíèè  (èõ åñòåñòâåííî âûáèðàòü â ïðîìåæóòêå ( jjAjj; jjAjj), Ïîñêîëüêó ñîáñòâåííûå ÷èñëà i ìàòðèöû A ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà

åñëè ãðàíèöû ñïåêòðà èçâåñòíû; îöåíèòü èõ ìîæíî ïî ìàêñèìàëüíîìó ïî ìîäóëþ ýëåìåíòó ìàòðèöû) è ïîñòðîèòü ïî íèì èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì ñòåïåíè n, êîòîðûé ñîâïàäàåò ñîáñòâåííî ñ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì, ïîñëå ÷åãî îïðåäåëÿþòñÿ åãî êîðíè. Ýòîò ìåòîä ïðèìåíèì è äëÿ íåýðìèòîâûõ ìàòðèö (ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå ìåòîäà îïðåäåëåíèÿ êîðíåé).

6.2.2

Íàõîæäåíèå ìàêñèìàëüíîãî ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ

Äëÿ óäîáñòâà áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñîáñòâåííûå ÷èñëà ïðîíóìåðîâàíû â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ èõ ìîäóëÿ.

à) Ìåòîä èòåpàöèé Ïóñòü g

= g0

 ïðîèçâîëüíûé íà÷àëüíûé âåêòîð. Îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

gn = A

gn 1 jjg(n 1) jj

n

= jjAAn g1 gjj ;

òîãäà

lim jjg(n) jj = jmax j : P n Äîêàçàòåëüñòâî: Äåéñòâèòåëüíî g = Pk g ; kjgn jj = jjjjAAn ggjjjj , è 1

An g = Ïóñòü 0

X

nk Pk g = nmax (Pmax g +

X

k6=1

fk =max gn Pk g) :

 ñîáñòâåííîå ÷èñëî, ñëåäóþùåå çà ìàêñèìàëüíûì ïî ìîäóëþ. Òîãäà

n (hP 0 2n jjAn gjj2 = hAn g; An gi = 2max max g; gi + O([ =max ] )) ;

70

è r

n max g; gi + O([0 =max ]2n ) jjgn jj = jjAjjnA 1jjgjj = jmax j hPhPmax = g; gi + O([0 =max ]2n 2 )

= jmax jf1 + O([0 =max ]2n 2 )g : Òàêèì îáðàçîì åñëè ñòàðòîâûé âåêòîð g èìåë íåíóëåâóþ ïðîåêöèþ íà ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî îòâå÷àþùåå ìàêñèìàëüíîìó ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ (òî åñòü ê íàõîæäåíèþ

max

Pmax g 6= 0 ), òî ïðèâåäåííàÿ èòåðàöèîííàÿ ïðîöåäóðà ïðèâîäèò

. Îäíàêî, õîòÿ ôîðìàëüíî, ïðåäûäóùåå ðàññìîòðåíèå âåðíî ëèøü â ñëó÷àå íåíóëåâîé ïðîåêöèè,

â äåéñòâèòåëüíîñòè èç-çà îøèáîê îêpóãëåíèÿ ïðè âû÷èñëåíèÿõ ýòà ïpîåêöèÿ íàâåpíÿêà ïîÿâèòñÿ íà íåêîòîðîì øàãå è äàëüíåéøåå ïðèìåíåíèå ìåòîäà èòåðàöèé ïðèâåäåò ê æåëàåìîìó ðåçóëüðàòó. Ïîïóòíî çàìåòèì, ÷òî åñëè ïîäïðîñòðàíñòâî îòâå÷àþùåå

max îäíîìåðíî, òî ìåòîä èòåðàöèé îäíîâðåìåííî ïðèâîäèò max . Ýòèì âåêòîðîì ñ òî÷íîñòüþ äî íîðìèðîâêè ÿâëÿåòñÿ

ê íàõîæäåíèþ ñîáñòâåííîãî âåêòîðà

xmax îòâå÷àþùåãî

xmax =

max

Çàìå÷àíèå. Äëÿ íàõîæäåíèÿ

lim

n!1

gn :

ìîæíî ïðèìåíÿòü ìåòîä èòåðàöèé è â áîëåå ïðîñòîé ïîñòàíîâêå. Ïóñòü l-àÿ

êîìïîíåíòà â ìàêñèìàëüíîãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà â ñòàíäàðòíîì åâêëèäîâîì áàçèñå íå ðàâíà íóëþ (õîòÿ áû îäíà òàêàÿ ñóùåñòâóåò), òîãäà

(An g)l : max = nlim !1 (An 1 g)l

á) Ìåòîä ñëåäîâ Èçâåñòíî, ÷òî ñëåä ìàòðèöû (ñóììà äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ) ðàâåí ñóììå å¼ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè: P P m i T rA , òàêèì îáðàçîì i T rAm , è, ñëåäîâàòåëüíî

=

ãäå

0

=

0 m T rAm = m max [1 + ( =max ) + : : :] ;  ñëåäóþùåå ïî ìîäóëþ çà ìàêñèìàëüíûì ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå. Òàêèì îáðàçîì max ìîæíî èñêàòü êàê ñëåäó-

þùèé ïðåäåë

p m m jmax j = mlim T rA ; !1 èëè, íàïðèìåð, â âèäå

max =

m+1

lim T rA m!1 T rAm

:

Ïðîöåäóðó âîçâåäåíèÿ ìàòðèöû â ñòåïåíü ìîæíî îïòèìèçèpîâàòü:

A  AA  A ; | {z } | {z } | è òàê äàëåå, â ÷àñòíîñòè

2

22 A16 = (A8 )2 = A2

A2

{z

A

A2

4

}

.

â) Ìåòîä ñêàëÿpíûõ ïpîèçâåäåíèé Ýòîò ìåòîä ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ìåòîäà èòåðàöèé. Ïóñòü x è y ïðîèçâîëüíûå íà÷àëüíûå âåêòîðû. Îïðåäåëèì P m P m èòåðàöèè ym Aym 1 Am y  Ps y ; xm Axm 1  Ps x . Àíàëîãè÷íî ìåòîäó èòåðàöèé óáåæäàåìñÿ,

=

÷òî

=

=

s

=

=

71

s

hym ; xm i ! max : hym ; xm 1 i 6.2.3

Îápàòíûå èòåpàöèè

Ïîèñê ìèíèìàëüíîãî ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ Ïóñòü y íåêîòîðûé ñòàðòîâûé âåêòîð. Îïðåäåëèì îáðàòíûå èòåðàöèè êàê y(n)

= Ay(n+1)

òî åñòü ýòî ïpÿìàÿ çàäà÷à äëÿ íàõîæäåíèÿ ìàêñèìàëüíîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ

max

(y(n+1) = A 1 y(n) ) , ìàòpèöû B = A 1 îáðàòíîé

ê èñõîäíîé ìàòðèöå. Î÷åâèäíî, ÷òî ìèíèìàëüíîå ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû

èëè

A

ðàâíî ìàêñèìàëüíîìó

ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîìó ÷èñëó îáðàòíîé ìàòðèöû.

A 1 ; (i = 1 ) : i i

=

B i

Ìåòîä îápàòíûõ èòåpàöèé ñî ñäâèãîì   íåêîòîðîå ïðîáíîå ÷èñëî. Ðàññìîòpèì ìàòðèöó (A  I ) , åå ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà (i  ) , ãäå i  ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ èñõîäíîé ìàòðèöû A . Ó îáðàòíîé 1 . Ïpîöåäópà ìåòîäà îáðàòíûõ èòåðàöèé cî ñäâèãîì ìàòðèöû (A  I ) 1 ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ  ýòî âåëè÷èíû Ïóñòü

A

íåâûðîæäåííàÿ ýðìèòîâà ìàòðèöà è

i 

y(n) = (A ïpèâîäèò ê íàõîæäåíèþ

max j 1 j . Èíûìè ñëîâàìè ìû íàõîäèì òî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå i i 

áëèæàéøèì ê ïðîáíîìó ÷èñëó



6.3.1



. Âàðüèðóÿ ïðîáíîå

ìîæíî íàéòè âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû

6.3

I )y(n+1) ; j

, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ

è âíîâü ïðèìåíÿÿ ìåòîä îáðàòíûõ èòåðàöèé ñî ñäâèãîì

A.

Íåýðìèòîâû ìàòðèöû

Äîïîëíèòåëüíûå ñâåäåíèÿ A ñîâïàäàþò, òî óíèòàðíûì hU x; U yi = hx; yi ) (â RN |

 ñëó÷àå åñëè àëãåáðàè÷åñêàÿ è ãåîìåòðè÷åñêàÿ êðàòíîñòè ñîáñòâåííûõ ÷èñåë îïåðàòîðà ïðåîáðàçîâàíèåì (òî åñòü ïðåîáðàçîâàíèåì ñîõðàíÿþùèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå:

îðòîãîíàëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì) îïåðàòîð ïðèâîäèòñÿ ê äèàãîíàëüíîìó âèäó è íà äèàãîíàëè ñòîÿò ñîáñòâåííûå ÷èñëà

A

ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè. Îäíàêî íåðåäêà ñèòóàöèÿ, êîãäà àëãåáðàè÷åñêàÿ êðàòíîñòü ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ ïðåâûøàåò

ãåîìåòðè÷åñêóþ (îáðàòíîå, êñòàòè, íåâîçìîæíî).  CN

ïðè îïðåäåëåííîì âûáîðå áàçèñà (íàçûâàåìûì æîðäàíîâûì èëè êàíîíè÷åñêèì áàçèñîì îïåðàòîðà

A

)

ìàòðèöà îïåðàòîðà ñòàíîâèòñÿ áëî÷íî-äèàãîíàëüíîé.  êàæäîì èç áëîêîâ (æîðäàíîâûõ êëåòîê) ìàòðèöà îïåðàòîðà ÿâëÿåòñÿ âåðõíåòðåóãîëüíîé è èìååò âèä

1 0 B0  1 B B B0 0  B 0



B .. B. B B @

.. .

.. .

::: ::: ::: ..

0 0 0 0 0 0

.

0 01 0 0C C C 0 0C C .. .

.. C .C C C A

:

(1)

:::  1 ::: 0  Ðàçìåðû æîðäàíîâûõ êëåòîê, èõ êîëè÷åñòâî, òàêæå êàê è ÷èñëà  (êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ) ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòàìè îïåðàòîðà A (òî åñòü íå çàâèñÿò îò âûáîðà æîðäàíîâà áàçèñà). 72

 RN æîðäàíîâ áàçèñ ïðèâîäèò ê êëåòêàì âèäà (1) åñëè ìàòðèöû îïåðàòîðà

A



âåùåñòâåííûé êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ

â êàêîì ëèáî áàçèñå. Ïîñêîëüêó êîýôôèöèåíòû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà ìàòðèöû îïåðà-

 =  + i

òîðà â RN âåùåñòâåííû, òî âìåñòå ñ êàæäûì êîìïëåêñíûì êîðíåì

 =  i

. Æîðäàíîâà êëåòêà â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä 0

1 0 0 0 1 0   1   0 0 0  0 0 

   

B B B B B B B B B B B B B B . B .. B B B B B @

0 0 0 0

0 0 0 0 .. .

.. .

.. .

0 0 0 1

::: ::: ::: :::  :::  :::

.. .

.. .

..

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6.3.2

îí îáäàäàåò è êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûì

.

::: ::: :::

0 0 0 0 0 0

01 0C C C 0C C C 0C C 0C C C : 0C C

.. C .C C C C C C A

.. .

0 1

  

Ìåòîä èòåpàöèé äëÿ ìàêñèìàëüíîãî ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîãî ÷èñëà êpàòíîñòè 2 â ñëó÷àå æîpäàíîâîé àíîìàëèè

Îòàíîâèìñÿ ïîäðîáíî íà ñëó÷àå, êîãäà ìàêñèìàëüíîìó ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ æîðäàíîâà êëåòêà ðàçìåðà

2  2 .  êàíîíè÷åñêîì áàçèñå 

B B B B B B B .. @ .

0 0 j

Çäåñü

B

îïåðàòîðà

A

ñîîòâåòñòâóåò

u1 ; u2 ; : : : ; uN ìàòðèöà îïåðàòîðà A èìååò âèä

1 j 0 B0  j 0 B 0



.. .

01 0C C

::: :::

B

C C C C C C C A

j 0 0 j

:

 ìàòðèöà, îòâå÷àþùàÿ îñòàâøèìñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, êîíêðåòíûé âèä êîòîðîé íàñ íå èíòåðåñóåò.

Îáîçíà÷èì äóàëüíûé áàçèñ ÷åðåç v1 ; v2 ; : : : ; vN

: Òîãäà

Au1 = u1 A v1 = v1 : Au2 = u2 + u1 A v2 = v2 + v1 Âåêòîð u1 ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì äëÿ îïåðàòîðà

A

åòñÿ ïðèñîåäèíåííûì. Äëÿ ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ÷òî u1

= v2 , è

u2



(â RN  ïðîñòî

ñîîòâåòñòâóþùèì ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ

A

 . Âåêòîð u2

íàçûâà-

ñîáñòâåííûì è ïðèñîåäèíåííûì âåêòîðàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè

 ) ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû äóàëüíîãî áàçèñà v1

è v2 ñîîòâåòñòâåííî. Çàìåòèì,

= v1 , òî åñòü ñîáñòâåííûé âåêòîð äëÿ îïåðàòîðà ÿâëÿåòñÿ ïðèñîåäèíåííûì äëÿ ñîïðÿæåííîãî è

íàîáîðîò.

Íåïðèãîäíîñòü îáû÷íîãî ìåòîäà èòåðàöèé Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïðîíóìåòðîâàíû â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ ìîäóëÿ è ÷òî ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Ðàçëîæèì åãî ïî âåêòîðàì æîðäàíîâà áàçèñà è äóàëüíîãî ê íåìó

x=

N P i=1

hx; vi iui ;

x= 73

N P

hui ; xivi :

i=1

1

=  . Ïóñòü

x

Ïîäåéñòâóåì íà x îïåðàòîðîì

A

è ñîïðÿæåííûì:

Ax =

N P

hx; vi iAui ; Ax =

i=1

N P

hui ; xiAvi ;

i=1

èëè

Ax = ( < x; v1 > + < x; v2 >)u1 +  < x; v2 > u2 +

N X i=3

< x; vi > Aui ;

N

X A x = ( < u1 ; x > + < u2 ; x >)v1 +  < u2 ; x > v2 + < ui ; x > A vi : i=3

Àíàëîãè÷íî, ïîñêîëüêó

0

nn 1 n

0

0

0

0

0 n 

A

n

=

B B B B B B B B B .. @ .

òî

j 0 ::: 0 1 j 0 ::: 0 C C j j j

.. .

C C C C C C C A

Bn

;

An x = (n < x; v1 > +nn 1 < x; v2 >)u1 + n < x; v2 > u2 + : : : : Êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà n-îé ñòåïåíè îïåðàòîðà

A

(2)

ñ èñïîëüçîâàíèåì (2) ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàê

hAn x; xi = hAn x;

N X

1

hui ; xivi i =



n

o


a + b n + O [0 =]n ;  ãäå a =< x; v1 >< u1 ; x > + < x; v2 >< u2 ; x > (= 2 < x; v1 >< u1 ; x >  â Rn ), b =< x; v2 >< u1 ; x > è 0  ñëåäóþùåå ïî ìîäóëþ çà  ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå.  íàøåé ñèòóàöèè  âåùåñòâåííî. Ïî àíàëîãèè ñ ìåòîäîì ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé, ïðèìåíÿåìûì äëÿ ýðìèòîâûõ

= n

ìàòðèö, ðàññìîòpèì îòíîøåíèå Ðåëåÿ   b  2n+1 x; xi n+1 x; An xi 2n  a + (2n+1) h A h A 0  n = + O  = = hAn x; An xi = hA2n x; xi =  a + 2nb 

Èòàê, n

   n  o b   =  1 + aa++2nb + O 0 = 2n =  1 + O n1



= f1 + O(1=n)g , òî åñòü ñõîäèìîñòü ïðè

n

!1

:

íàñòîëüíî íåóäîâëåòâîðèòåëüíàÿ, ÷òî òåðÿåò ïðàêòè-

÷åñêèé ñìûñë. Òàêèì îáðàçîì îáû÷íûìè èòåðàöèîííûìè ìåòîäàìè ñîáñòâåííîå ÷èñëî â ñëó÷àå æîpäàíîâîé àíîìàëèè óäîâëåòâîðèòåëüíî ñîñ÷èòàòü íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Íåîáõîäèì êàêîé-òî äðóãîé ïîäõîä.

Ìîäèôèöèðîâàííûé ìåòîä èòåðàöèé Ñîñòàâèì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå, äëÿ êîòîðîãî

(t Êîýôôèöèåíòû

xn

p

è

q



ÿâëÿåòñÿ êîðíåì êpàòíîñòè 2

)2 = t2 + pt + q = 0 p =

2 ; q = 2 :

çàðàíåå íåèçâåñòíû, ïîñêîëüêó íåèçâåñòíî ñàìî

= An x è ðàññìîòðèì âûðàæåíèå

74



. Ïîïûòàåìñÿ èõ îïðåäåëèòü. Îáîçíà÷èì

xn+1 + pxn + q xn 1 =< x; v1 > fn1 +1 + pn1 + qn1 1 g u1 + |

ïîñêîëüêó

xk âåäóò

yn+1;n;n 1

{z

}

=0 + < x; v2 > f(n + 1)n1 + pnn1 1 + q(n 1)n1 2 gu1 + < x; v2 > f|n1 +1 + p{zn1 + qn1 1 g} u2 + : : : = =0 =< x; v2 > fnn 2 (|2 +{zp + q}) +n qn 2 gu1 + : : : =< x; v1 > n 2 (|2{z q}) u1 + : : : ; =0 =0 2 p 2 n +1 n n 1 n +1 ( q) = 4 q = 0 . Òàêèì îápàçîì x + px + qx = o(x ) . Ïðè ýòîì êîîðäèíàòû n-îé èòåðàöèè n n ñåáÿ êàê ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñòåïåíü  : xn i = (A x)i   xi , ïîýòîìó åñòåñòâåííî ââåñòè òðè âåêòîðà

= xn n;n;n +1

+1

1

. Äëÿ êîîðäèíàò ýòèõ âåêòîðîâ, êàê ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåãî âûïîëíåíî

ykn+1 + pykn + qykn 1 = O([0 =]n+1 ) : Âûïèøåì ñîîòâåòñòâóþùèå ðàâåíñòâà äëÿ ïàðû êîîðäèíàò, ñêàæåì

k è l.


yln ykn+1 + pykn + qykn 1 = O [0 =]n+1  0 yln 1 :
ykn yln+1 + pyln + qyln 1 = O [0 =]n+1  0 ykn 1 Äîìíîæàÿ ïåðâîå ðàâåíñòâî íà

yln 1

, à âòîðîå íà

p=

ykn+1 yln 1 ykn yln 1

ykn 1

è âû÷èòàÿ èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà âòîðîå, ïîëó÷àåì

yln+1 ykn 1 yln ykn 1

+O



  0 = n+1 =

  xnk +1 xnl 1 xnl +1 xnk 1 0 =n+1 : + O  n 1 n 1 xnk xl xnl xk Àíàëîãè÷íî, äîìíîæàÿ ïåðâîå ðàâåíñòâî íà yln , à âòîðîå íà ykn è âû÷èòàÿ èõ ïåðâîãî ðàâåíñòâà âòîðîå, ïîëó÷àåì

=

q=

xnk +1 xnl xnk 1 xnl

xnl +1 xnk xnl 1 xnk

+O



  0 = n+1 :

Çàìåòèì, ÷òî íåîáõîäèìîå êîëè÷åñòâî èòåðàöèé â ïðåäëîæåííîì ìåòîäå, ìîæíî êîíòðîëèðîâàòü èñõîäÿ èç òîãî, ÷òî äîëæíî âûïîëíÿòñÿ ðàâåíñòâî

p2 =4 = q .

75

76

Ãëàâà 7 Ïîèñê ìèíèìóìà

7.1

Ñëó÷àé îäíîé ïåðåìåííîé

7.1.1

Ìåòîä çîëîòîãî ñå÷åíèÿ



èìååò õîòÿ áû îäèí ëîêàëüíûé ìèíèìóì.

Äëÿ ïðèìåíåíèÿ èçëàãàåìîãî íèæå ìåòîäà çîëîòîãî ñå÷åíèÿ, îò ôóíêöèè

íå òðåáóåòñÿ äàæå íåïðåðûâíîñòü,

Ïóñòü

(x) : [a; b] ! R

è èçâåñòíî, ÷òî íà ïðîìåæóòêå

[a; b]

ôóíêöèÿ

äîñòàòî÷íî ëèøü êóñî÷íîé íåïðåðûâíîñòè. Áóäåì ïîêà ñ÷èòàòü, ÷òî



(x)

èìååò íà ïðîìåæóòêå ëèøü îäèí ëîêàëüíûé

ìèíèìóì (îí æå è ãëîáàëüíûé). Ìåòîä îñíîâàí íà ñðàâíåíèè çíà÷åíèé ôóíêöèè â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ, ñ ïîñëåäóþùèì îòáðàñûâàíèåì ïðîìåæóòêîâ, íà êîòîðûõ ìèíèìóì óæ òî÷íî íå ìîæåò íàõîäèòüñÿ. ßñíî, ÷òî ÷òîáû îñóùåñòâëÿòü ïîäîáíóþ ïðîöåäóðó, íåîáõîäèìî

= x0 < x1 < x2 < x3 = b , è ïóñòü, ñêàæåì, â òî÷êå x2 çíà÷åíèå ôóíêöèè íàèìåíüøåå èç ýòèõ ÷åòûðåõ âåëè÷èí. Òîãäà ìèíèìóì  çàâåäîìî íå ìîæåò íàõîäèòüñÿ íà ïðîìåæóòêå [x0 ; x1 ] è ïîýòîìó ýòîò ïðîìåæóòîê ìîæíî îòáðîñèòü. Òåïåðü íà îñòàâøåìñÿ ïðîìåæóòêå [x1 ; x3 ] íàì èçâåñòíû êðàéíèå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè è çíà÷åíèå â îäíîé âíóòðåííåé òî÷êå. Äîáàâëÿÿ íîâóþ òî÷êó x4 ìû ìîæåì ïîâòîðèòü ñðàâíåíèå çíà÷åíèé  è âíîâü ñóçèòü äîïóñòèìûé ïðîìåæóòîê. Êàê íàèáîëåå ðàçóìíî ðàçìåçíàòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèè, âîîáùå ãîâîðÿ, â 4-õ òî÷êàõ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü

a

ùàòü äîáàâëÿåìûå òî÷êè? Ïðåäñòàâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì, ÷òîáû äåëåíèå îòðåçêîâ ïðîèñõîäèëî ïîäîáíî ïðåäûäóùåìó äåëåíèþ.

x1

x0

x2

x4

x3

Ýòî îçíà÷àåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî âíóòðåííèå òî÷êè äîëæíû ðàñïîëàãàòüñÿ ñèììåòðè÷íî, òî åñòü Åñëè äëèíà èñõîäíîãî ïðîìåæóòâà ðàâíà

l , òî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèå

=h l

= xx13

x0 x0

= xx32

x1 x1

jx1 x0 j = jx3 x2 j = h .

= ll 2hh ;

îòêóäà

h = 11 2hl = 11 2 : l p Ðàçðåøàÿ êâàäðàòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî  , ïîëó÷àåì  = 3 2 5  0; 38 , òî åñòü íà êàæäîì øàãå (çà èñêëþ÷åíèåì âû÷èñëåíèÿ ñòàðòîâûõ âíóòðåííèõ òî÷åê x1 è x2 ) îòðåçîê ñîêðàùàåòñÿ â 1=(1  )  1; 61 ðàçà è ñõîäèìîñòü ìåòîäà

=h l

ëèíåéíàÿ.

77

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî, ÷òîáû íà÷àòü ïðîöåññ çîëîòîãî ñå÷åíèÿ, ê ãðàíè÷íûì òî÷êàì

x0 = a

è

x3 = b

äîáàâëÿþòñÿ

x1 = x0 + (x3 x0 ) x2 = x3  (x3 x0 ). Çàòåì ïîñëå îòápàñûâàíèÿ òî÷åê è äîáàâëåíèÿ íîâûõ, íà ïîñëåäóþùèõ øàãàõ íîìåðà òî÷åê ïåpåìåøàíû áåñïîpÿäî÷íî. Äàäèì èì íîìåpà j ,k,l,m , è ïóñòü (xj ) < (xk;l;m ) . Ïðè äåëåíèè ïî çîëîòîìó ñå÷åíèþ îòáðàñûâàåòñÿ îòðåçîê îäíèì, èç êîíöîâ êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ òî÷êà íàèáîëåå óäàëåííàÿ îò xj . Ïóñòü ýòîé òî÷êîé ÿâëÿåòñÿ xk (î÷åâèäíî, ÷òî ýòî îäíà èç êðàéíèõ òî÷åê). Çàòåì íàäî äîáàâèòü íîâóþ òî÷êó xn . Ïóñòü äëÿ îïpåäåëåííîñòè xk < xj < xm . Òîãäà â ñèëó ñèììåòðèè ðàñïîëîæåíèÿ âíóòðåííèõ òî÷åê îíà îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì xn = xk + xj xi (ò.å. ñóììà êpàéíèõ òî÷åê ìèíóñ âíóòðåííÿÿ). äâå òî÷êè

Åñëè ôóíêöèÿ



èìååò íà èñõîäíîì ïðîìåæóòêå íåñêîëüêî ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ, òî ìåòîä çîëîòîãî ñå÷åíèÿ âñ¼

ðàâíî ñîéäåòñÿ ê îäíîìó èç íèõ, íå îáÿçàòåëüíî ê ãëîáàëüíîìó.

7.1.2

Ìåòîä ïàpàáîë

Åñëè ôóíêöèÿ îáëàäàåò äîñòàòî÷íîé ãëàäêîñòüþ (èìååò âòîpóþ ïpîèçâîäíóþ) òî åñòåñòâåííî èñïîëüçîâàòü ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïðè ïîèñêå ìèíèìóìà.  ýòîé òî÷êå

0 (x) = 0, è ìîæíî èñêàòü íóëü ïåpâîé ïpîèçâîäíîé, ñêàæåì ìåòîäîì

Íüþòîíà

0 (xn ) : 00 (xn ) Ýòó ôîpìóëó ëåãêî ïîëó÷èòü è íåïîñpåäñòâåííî pàçëîæèâ (x) â pÿä Òåéëîpà â òî÷êå xn è îãpàíè÷èâøèñü òpåìÿ xn+1 = xn

÷ëåíàìè, ò.å. àïïpîêñèìèpóÿ êpèâóþ ïàpàáîëîé

(x)  (xn ) + (x

2 xn )0 (xn ) + (x xn ) 00 (xn ) :

2

Ìèíèìóì ýòîé ïàpàáîëû íàõîäèòñÿ êàê pàç â òî÷êå xn+1 .  ñâÿçè ñ ýòèì ìåòîä è íàçûâàåòñÿ

ìåòîäîì ïàðàáîë.

Âû÷èñëÿòü è ïåpâóþ è âòîpóþ ïpîèçâîäíóþ íà êàæäîì øàãå äîâîëüíî íàêëàäíî. Ïîýòîìó èõ ïpèáëèæåííî çàìåíÿþò pàçíîñòíûìè ïðîèçâîäíûìè, âû÷èñëåííûìè ñ ïîìîùüþ âñïîìîãàòåëüíîãî øàãà

0 (xn ) ! (xn + h) 2h (xn

h:

h) ;

00 (xn ) ! (xn + h) 2(hx2 n ) + (xn

h)

;

è ìåòîä ïðèíèìàåò âèä

xn+1 = xn

(xn + h) (xn h) 2 (xn + h) 2(xn ) + (xn

h

h)

:

Êñòàòè, ýòîò ïîäõîä ýêâèâàëåíòåí çàìåíå êpèâîé íà èíòåpïîëÿöèîííóþ ïàpàáîëó, ïîñòpîåííóþ ïî òpåì òî÷êàì

h; xn ; xn + h

ñ ïîñëåäóþùèì íàõîæäåíèåì ìèíèìóìà ýòîé ïàðàáîëû (òî÷êè

xn

xn+1 ).

Çàìå÷àíèå. Óìåñòíî ñðàâíèòü ìåòîäû ïîèñêà ìèíèìóìà è ìåòîäû ïîèñêà êîðíÿ óðàâíåíèÿ. Òàê ìåòîä çîëîòîãî ñå÷åíèÿ ïîäîáåí äèõîòîìèè. È â òîì è äðóãîì íà ôóíêöèþ íàêëàäûâàþòñÿ ìèíèìàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ. Îíè ÷ðåçâû÷àéíî ïðîñòû è íàäåæíû, ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè â îáîèõ ìåòîäàõ ëèíåéíûé. Ìåòîä ïàðàáîë â ýòîì ñìûñëå ïîäîáåí ìåòîäó Íüþòîíà. Îò ôóíêöèè òðåáóåòñÿ áîëüøå, ñõîäèìîñòü áûñòðåå. Ïîèñê ìèíèìóìà ïî ìåòîäó ïàðàáîë ñîîòâåòñòâóåò ïîèñêó êîðíÿ ïî ìåòîäó ñåêóùèõ.

7.2 Ïóñòü

Ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ

:

M

! R; M 

RN è ïóñòü

 2 CM2 .  òî÷êàõ ìèíèìóìà @x@i = 0 ; i = 1 ; : : : ; N , êàê âïpî÷åì è â òî÷êàõ

ìàêñèìóìà è â ñåäëîâûõ òî÷êàõ. Íî ðàçëîæåíèå â pÿä Òåéëîpà â îêpåñòíîñòè íåâûðîæäåííîé òî÷êè ìèíèìóìà x

78

N 2 X @ 
x
x + : : : (x) = (x ) + 12 @x2 i j i

i;j =1

N 2 P @ 

@x2i
xi
xj ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà (íàïîìíèì, ÷òî êâàäðàòè÷íàÿ P ôîðìà íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé, åñëè aij zi zj  jjzjj2 ; > 0, ãäå z = (z1 ; z2 : : : ; zN )T ).

âûäåëåíî òåì, ÷òî êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà

7.2.1

i;j =1

Êîîðäèíàòíûé ñïóñê

Ïðîöåäóðó êîîðäèíàòíîãî ñïóñêà ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ

(x:y). Ïóñòü (x0 ; y0 )  íåêîòîðàÿ

y è íàéäåì ìèíèìóì ôóíêöèè (x; y 0 ) êàêèì ëèáî èç óæå èçâåñòíûõ ñïîñîáîâ ïîèñêà ìèíèìóìà ôóíêöèè îäíîãî ïåðåìåííîãî (ñïóñê ïî ïåðâîé êîîðäèíàòå). Ïóñòü ýòîò ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå x1 . Çàôèêñèðîâàâ ýòî çíà÷åíèå íàéäåì ìèíèìóì ôóíêöèè (x1 ; y ) (ñïóñê ïî âòîðîé êîîðäèíàòå). Ïóñòü îí íàõîäèòñÿ â òî÷êå y 1 . Òåïåðü íàéäåì ìèíèìóì ôóíêöèè (x; y 1 ) (ñëåäóþùèé ñïóñê ïî ïåðâîé êîîðäèíàòå) è ò.ä. Òàêîé ìåòîä òî÷êà. Çàôèêñèðóåì ïåðåìåííóþ

ïîèñêà ìèíèìóìà íàçûâàåòñÿ

êîîðäèíàòíûì ñïóñêîì.  çàâèñèìîñòè îò ñâîéñòâ ôóíêöèè è ïîëîæåíèÿ íà÷àëüíîé

òî÷êè, ïðîöåññ ìîæåò ñîéòèñü ê ýêñòðåìàëüíîé òî÷êå èëè íåò. Îòìåòèì äîñòàòî÷ûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè êîîðäèíàòíîãî

ñïóñêà. Åñëè äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà â îáëàñòè M , ñîäåðæàùåé òî÷êó ìèíèìóìà x è êâàäðàòè÷íàÿ N 2 P @  xi xj ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà, òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè x ìåòîä êîîðäèíàòíîãî ñïóñêà ñõîäèòñÿ ôîðìà @x2



i;j =1

i





ê óêàçàííîìó ìèíèìóìó. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì äëÿ ñëó÷àÿ äâóõ ïåðåìåííûõ. Ïóñòü ãäå

0è

a; b; c >

ab > c2

â îáëàñòè

M

xx  a ; yy  b ; jxy j  c,

(ýòî îçíà÷àåò â ÷àñòíîñòè, ÷òî ìàòðèöà âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ ïîëîæèòåëüíî

A = (x0 ; y 0 ) ïîëó÷åíà â ðåçóëüòàòå ñïóñêà ïî ïåðåìåííîé y , ò.å. y (A) = 0 . B = (x1 ; y 0 ) îáðàùàåòñÿ â íóëü x , à ìîäóëü y ðàâåí íåêîòîðîìó ÷èñëó  . Òàêèì

îïðåäåëåíà). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî òî÷êà Ïóñòü

jx (A)j = 1 .  òî÷êå

îáðàçîì

1 = jx (A)

x (B )j = jxx ()j(A; B )  a(A; B ) ;

 = jy (A)

y (B )j = jxy (0 )j(A; B )  c(A; B ) ;

îòêóäà

(1)

c1  a :  òî÷êå

C = (x1 ; y 1 ) :

y = 0; è x = 2 , ïðè ýòîì 2 = jx (C )

x (B )j = jxy ( )j(C; B )  c(C; B ) ;

 = jy (C )

y (B )j = jyy ( 0 )j(C; B )  b(C; B ) ;

è, ñëåäîâàòåëüíî,

(2)

c  b2 : Èç (1) è (2) çàêëþ÷àåì, ÷òî ìèíèìóì â

q

2

 q1 , ãäå 0  q 

c2 ab

< 1.

Òàêèì îáðàçîì ñ êàæäûì öèêëîì

x

óìåíüøàåòñÿ êàê

ðàç. Àíàëîãè÷íî óáûâàåò è ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî ïåðåìåííîé y . Òàêèì îáðàçîì êîîðäèíàòíûé ñïóñê

äåéñòâèòåëüíî ñõîäèòñÿ ê òî÷êå ìèíèìóìà.

79

7.2.2

Íàèñêîðåéøèé ñïóñê

Ñïóñê ìîæíî îñóùåñòâëÿòü íå òîëüêî âäîëü êîîðäèíàòíûõ îñåé, à âîîáùå âäîëü ëþáîãî íàïðàâëåíèÿ. Ïóñòü

a

ïðîèç-

'0 (t) = (r0 + at) åñòü ôóíêöèÿ îäíîé ïåðåìåííîé è åå ìèíèìóì ÿâëÿåòñÿ ìèíèìóìîì ôóíêöèè (r) íà ïðÿìîé r0 + at . Åñëè âûáðàòü a = a0 = gradjr0 , òî a áóäåò ÿâëÿòüñÿ íàïðàâëåíèåì íàèáîëüøåãî óáûâàíèÿ ôóíêöèè  â òî÷êå r0 . Îñóùåñòâèì ñïóñê âäîëü ýòîãî íàïðàâëåíèÿ (òî åñòü íàéäåì ìèíèìóì ôóíêöèè '(t) ). Ïóñòü îí íàõîäèòñÿ â òî÷êå r1 . Òåïåðü â ýòîé òî÷êå âûáåðåì íîâîå íàïðàâëåíèå a1 = gradjr1 è îñóùåñòâèì ñïóñê âäîëü íåãî è ò.ä. Çàìåòèì, êñòàòè, ÷òî âåêòîðû a0 è a1 îðòîãîíàëüíû. âîëüíûé åäèíè÷íûé âåêòîð, çàäàþùèé íàïðàâëåíèå. Ôóíêöèÿ

Îïèñàííûé ìåòîä ñïóñêà íàçûâàåòñÿ íàèñêîðåéøèì. Õîòÿ ïðè íàèñêîðåéøåì ñïóñêå äâèæåíèå ïðîèñõîäèò âäîëü íàïðàâëåíèÿ íàáîëüøåãî óáûâàíèÿ ôóíêöèè â òåêóùåé òî÷êå rk , îäíàêî ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè îñòàåòñÿ òàêèì æå, êàê è ïðè ïîêîîðäèíàòíîì ñïóñêå (ïðè ýòîì ïðèõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå rn çàíîâî ñ÷èòàòü ãðàäèåíò). Äåëî çäåñü â òîì, ÷òî ïðè ñäâèãå îò òî÷êè rn íàïðàâëåíèå íàèáûñòðåéøåãî óáûâàíèÿ ôóíêöèè



èçìåíÿåòñÿ. Îáû÷íî ñïóñê ïðîèçâîäÿò íå òî÷íî äî ìèíèìóìà, à íåñêîëüêî ìåíüøå. Òî åñòü, åñëè

'n (t) = (rn + an t) , è ìèíèìóì ôóíêöèè

'n (t)

tn , òî ñïóñê îñóùåñòâëÿåòñÿ äî òî÷êè tn

äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå

, ãäå

 < 1 .  "èäåàëå"ìîæíî ñïóñêàòüñÿ íà áåñêîíå÷íî ìàëóþ âåëè÷èíó è çàíîâî êîððåêòèðîâàòü íàïðàâëåíèå. Ïðè ýòîì êðèâàÿ ñïóñêà r(t) áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ dr(t) dt

=

grad(r(t)) :

Îäíàêî èíòåãðèðîâàíèå òàêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòäåëüíóþ íåïðîñòóþ çàäà÷ó.

7.2.3

Ìåòîä ñîïðÿæåííûõ íàïðàâëåíèé

 îêðåñòíîñòè òî÷êè ìèíèìóìà ôóíêöèÿ

(r)

âåäåò ñåáÿ îáû÷íî êàê êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ. Áóäåì ñ÷èòàòü äëÿ

íà÷àëà, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ â òî÷íîñòè êâàäðàòè÷íîé, ò.å.

(r) = hr; Ari + hr; bi + c :

Çäåñü b

2 RN (Cn ), c 2 R, A  ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Ïîñêîëüêó A ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà, òî

êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà

hx; yiA = hx; Ayi óäîâëåòâîðÿåò âñåì ñâîéñòâàì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Ââåäåì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ fei gN i=1 â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå ñ íîðìîé

h
;
iA . Áóäåì íàçûâàòü íàïðàâëåíèÿ, çàäàâàåìûå èì, ñîïðÿæåííûìè. Åñëè r0 íåêîòîðàÿ òî÷êà, òî

ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà

r

ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå r

(r) =



r0 +

X

N

= r0 + P i ei . Òîãäà 1

i ei ; Ar0 +

= (r0 ) +

X

i Aei

N  X i=1



+



r0 +

X

i ei ; b



+c =



2i + 2i hei ; r0 i + i hei ; bi :

 ýòîé ñóììå îòñóòñòâóþò ïåðåêðåñòíûå ÷ëåíû, òàêèì îáðàçîì ñïóñê âäîëü ëþáîãî íàïðàâëåíèÿ ei ìèíèìèçèðóåò ëèøü ñâîé ÷ëåí ñóììû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îñóùåñòâèâ ñïóñê ïî êàæäîìó èç ñîïðÿæåííûõ íàïðàâëåíèé ëèøü îäèí ðàç ìû â òî÷íîñòè äîñòèãàåì ìèíèìóìà.  òî÷êå ìèíèìóìà

îòêóäà i

= hei ; Ar0 + b2 i.

@ @i

= 2i + 2hei ; Ar0 + b=2i = 0 ; i = 1; 2; : : : N ; 80

Ïîñòðîåíèå áàçèñà ñîïðÿæåííûõ íàïðàâëåíèé è ñïóñê ïî íèì Ïóñòü r1 ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà è e1 ïðîèçâîëüíûé åäèíè÷íûé âåêòîð. Ðàññìîòðèì ïðÿìóþ r

= r1 + e1 è íàéäåì âäîëü

'() = (r1 + e1 ). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óêàçàííûé ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ êàê ðàç â he1 ; Ar1 + b=2i. Àíàëîãè÷íî, ïóñòü íà ïðÿìîé r2 + e1 ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå r2

ýòîé ïðÿìîé ìèíèìóì ôóíêöèè òî÷êå r1 , òî åñòü

0 = 2 =

(

0 = 1 = 1 he ; Ar2 + b=2i). Òàêèì îáðàçîì

1 = he1 ; A(r2

2

r1 )i = he1 ; (r2

r1 )iA = 0 ;

îêàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì ê e1 . Àíàëîãè÷íî, ïóñòü èìååòñÿ m ñîïðÿæåííûõ P P âåêòîðîâ e1 , e2 ; : : :, em è â äâóõ ïàðàëëåëüíûõ m-ìåðíûõ ñîïðÿæåííûõ ïëîñêîñòÿõ r1 i ei è r2 i ei è åäèíè÷íûé âåêòîð e2

=

r2 r1 r1 kA

kr2

r1

r2

+

r2 r1

+

ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ â òî÷êàõ è ñîîòâåòñòâåííî, òîãäà âåêòîð ñîïðÿæåí âñåì âåêòîðàì fei gm i=1 . Îïèøåì òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèé ïî ïîñòðîåíèþ áàçèñà ñîïðÿæåííûõ íàïðàâëåíèé. Ïóñòü fdi gN i=1 ñòàíäàðòíûé áàçèñ è ìû ïîñòðîèëè

m

ñòàíäàðòíîãî áàçèñà, ñêàæåì, ñ íîìåðàìè

ñîïðÿæåííûõ âåêòîðîâ, ïðè ýòîì âûáðîñèâ èç ðàññìîòðåíèÿ

N

m + 1,N

m + 2, : : : ,N . Ïóñòü

r0

m

âåêòîðîâ

ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà, ïðîèçâåäåì èç

1 íåå ñïóñê ïî ñîïðÿæåííûì âåêòîðàì fei gm i=1 . Ïîïàäåì ïðè ýòîì â íåêîòîðóþ òî÷êó r . Èç íåå ïðîèçâåäåì ñïóñê ïî m 2 2 îñòàâøèìñÿ âåêòîðàì fdgN i=1 ñòàíäàðòíîãî áàçèñà è ïîïàäåì â òî÷êó r . Òåïåðü èç r ñïóñòèìñÿ ïî ñîïðÿæåííûì 3 1 3 âåêòîðàì fei gm i=1 . Ïîïàäåì ïðè ýòîì â íåêîòîðóþ òî÷êó r . Òî÷êè r è r ÿâëÿþòñÿ ìèíèìóìàìè ôóíêöèè (r), â äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ãèïåðïëîñêîñòÿõ, çàäàâàåìûõ ñîïðÿæåííûìè íàïðàâëåíèÿìè. Òàêèì îáðàçîì r3

r1  íîâîå

m ñîïðÿæåííîå íàïðàâëåíèå. Äîáàâèì åãî ê óæå ïîñòðîåííûì è âûáðîñèì îäèí èç âåêòîðîâ fdgN i=1 . Ôîðìàëüíî âñå ðàâíî

êàêîé èç íèõ âûáðàñûâàòü, îäíàêî äëÿ ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè æåëàòåëüíî âûáðàñûâàòü òîò, ïðè ñïóñêå âäîëü êîòîðîãî ôóíêöèÿ

(r)

èçìåíèëàñü ìåíüøå âñåãî, äàæå åñëè ñëó÷àéíî îí îêàçàëñÿ îäíèì èç ñîïðÿæåííûõ. Äåëî çäåñü â òîì, ÷òî

â ýòîì ñëó÷àå ìû íå òåðÿåì òî÷íîñòü â ïðîöåññå îðòîãîíàëèçàöèè. Çàìåòèì, ÷òî èç òî÷êè r3 íåîáõîäèìî ñïóñòèòüñÿ ëèøü âäîëü íîâîãî íàïðàâëåíèÿ r3

r1 , ïîñêîëüêó ïî äðóãèì ñîïðÿæåííûì íàïðàâëåíèÿì ñïóñê óæå ïðîèçâåäåí.

Èç ïîëó÷åííîé ïðè ýòîì òî÷êè r4 ïðîèçâîäèòñÿ ñïóñê ïî îñòàâøèìñÿ

N

m

1

âåêòîðàì ñòàíäàðòíîãî áàçèñà è

ò.ä. Òàêèì îáðàçîì åñëè áû íå îøèáêè îêðóãëåíèÿ, òî äëÿ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè, ïðîèçâåäÿ

N

1

öèêëîâ ìû áû

â òî÷íîñòè ïîïàëè â ìèíèìóì. Îäíàêî èìåííî èç-çà îøèáîê îêðóãëåíèÿ ýòîãî íå ïðîèçîéäåò è ïðîöåäóðó íåîáõîäèìî ïîâòîðèòü íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ðàç. Çàìå÷àíèå. Õîòÿ ïîíÿòèå ñîïðÿæåííûõ íàïðàâëåíèé áûëî ââåäåíî òîëüêî äëÿ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè, ñàì îïèñàííûé ïðîöåññ ìîæíî ïðèìåíÿòü ê ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè

(r), ïîñêîëüêó ñàìà ïðîöåäóðà îñíîâàíà ëèøü íà ïîèñêå

ìèíèìóìà âäîëü òîãî èëè èíîãî íàïðàâëåíèÿ.

81

82

Ãëàâà 8 Äèôôåpåíöèàëüíûå ópàâíåíèÿ

8.1

Îáùèå ñâåäåíèÿ

Óðàâíåíèå

F (x; u; u0 ; : : : ; u(n) ) = 0

îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì n-ãî ïîðÿäêà, åñëè F îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà â íåêîòîðîé îáëàñòè G 2 Rn+2 (n  1) è, âî âñÿêîì ñëó÷àå, çàâèñèò îò u(n) . Åãî ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ ëþáàÿ ôóíêöèÿ u(x), êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ

ýòîìó óðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿåò ïðè âñåõ

x â îïðåäåëåííîì êîíå÷íîì èëè áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå. Äèôôåðåíöèàëüíîå

óðàâíåíèå, ðàçðåøåííîå îòíîñèòåëüíî ñòàðøåé ïðîèçâîäíîé èìååò âèä

u(n) = f (x; u; : : : ; u(n 1) ) : Ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ íà èíòåðâàëå

I = [a; b]

1) u(x) 2 C n [a; b] ; 2) (x; u(x); : : : ; u(n) (x)) 2 D(f ) 8x 2 I , 3) u(n) (x) = f (x; u(x); : : : ; un 1 (x)) 8x 2 I : 8.1.1

íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ

(1) u(x) , òàêàÿ ÷òî

Çàäà÷à Êîøè

Çàäà÷åé Êîøè (íà÷àëüíîé çàäà÷åé) äëÿ óðàâíåíèÿ (1) íàçûâàåòñÿ çàäà÷à íàõîæäåíèÿ òàêîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1), êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíûì óñëîâèÿì

ãäå

u(0i)

u(x0 ) = u0 ; u0 (x0 ) = u00 ; : : : ; u(n 1) (x0 ) = u(0n 1) ;  íåêîòîðûå çàäàííûå ÷èñëà. Ñïðàâåäëèâà

Åñëè f - íåïðåðûâíà â D òîãäà äëÿ ëþáîé òî÷êè x0 ; u0 ; : : : ; u(0n 1) ïðèíàäëåæàùåé îáëàñòè D ñóùåñòâóåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1), îïðåäåëåííîå â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 2 I è óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿþ 3). Òåîðåìà Ïåàíî.

Çàìå÷àíèå. Òåîðåìà Ïåàíî íå ãàðàíòèðóåò åäèíñòâåííîñòè. Òåîðåìà Êîøè-Ïèêàðà.

òî åñòü

Åñëè f íåïðåðûâíà â D è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî ïåðåìåííûì u; u0 ; : : : ; u(n 1) , 83

jf (x; 1 ; 2 ; : : : ; n ) f (x; 1 ; 2 ; : : : ; n )j < L

n X k=1

jk k j ;

òî äëÿ ëþáîé òî÷êè (x0 ; u0 ; : : : ; u(0n 1) ) 2 D ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå (1), óäîâëåòâîðÿþùåå 3), îïðåäåëåííîå â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 2 I . Ëþáîå óðàâíåíèå òèïà (1) ìîæíî ñâåñòè ê ðàâíîñèëüíîé åìó ñèñòåìå

dui dx

= fi (x; u0 ; u1 : : : ; un 1 ) ; i = 0; 1; ; : : : ; n 1 ;

äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ïóòåì çàìåíû âûñøèõ ïðîèçâîäíûõ íåèçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè (ui

u(i) (x)).

(x) =

Òåîðåìó Êîøè-Ïèêàðà íåñëîæíî äîêàçàòü âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé î íåïîäâèæíîé òî÷êå ñæèìàþùåãî îòîáðàæåíèÿ [5]. Äåéñòâèòåëüíî, óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà  ýêâèâàëåíòíî èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ

u0 = f (x; u; ) u(x0 ) = u0

u(x) = u0 +

Zx

f (t; u(t))dt :

x0

f íåïðåðûâíà è, ñëåäîâàòåëüíî, jf (x; u)j  M â íåêîòîðîé îáëàñòè D0  D, ñîäåðæàùåé òî÷êó (x0 ; u0 ). Âûáåðåì Æ > 0 òàê, ÷òîáû: 1) (x; u) 2 D0 , åñëè jx x0 j  Æ è ju u0 j  ÆM ; 2) ÆL < 1, ãäå L  êîíñòàíòà, ôèãóðèðóþùàÿ â óñëîâèè Ëèïøèöà. Ïóñòü C 0  ïðîñòðàíñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé u, îïðåäåëåííûõ ïðè jx x0 j  Æ è òàêèõ, ÷òî ju(x) u0 j  ÆM ñ åñòåñòâåííîé äëÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ìåòðèêîé (u1 ; u2 ) = max ju1 (x) u2 (x)j. Êàê çàìêíóòîå ïîäïðîñòðàíñòâî x ïîëíîãî ïðîñòðàíñòâà C[x0 Æ;x0 +Æ] , ïðîñòðàíñòâî C 0 ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì. Óáåäèìñÿ, ÷òî îòîáðàæåíèå y = Au, îïðåäåëÿåìîå Ïî óñëîâèþ

ôîðìóëîé

y (x) = u0 + ÿâëÿåòñÿ ñæàòèåì â C 0 . Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü u 2 C 0

A ïåðåâîäèò C 0

f (t; u(t))dt ;

x0

è

jy(x) u0 j = è, ñëåäîâàòåëüíî

Zx

jx x0 j  Æ, òîãäà Zx f

dt  ÆM

(t; u(t)

x0

â ñåáÿ. Äàëåå, Zx

jy1 (x) y2 j  jf (t; u1 (t) f (t; u2 (t)jdt  LÆjju1 u2 jjC0 ;

1

è ïîñêîëüêó ÆL < , òî

x0

A  ñæàòèå è, ñëåäîâàòåëüíî, â C 0 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ u = Au. Àíàëî-

ãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ îäíîçíà÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà, à, ñëåäîâàòåëüíî, è äëÿ çàäà÷è Êîøè ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà.

8.1.2

Êðàåâàÿ çàäà÷à

Ñôîðìóëèðóåì

êðàåâóþ çàäà÷ó òîëüêî äëÿ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà, ÿâëÿþùóþñÿ îäíîé èç ñàìûõ ñóùåñòâåííûõ.

Òàêàÿ çàäà÷à èìååò âèä:

84

8 00 u > <

= f (x; u; u0 ); x 2 [a; b]; 1 u(a) + 1 u0 (a) = 1 ; > : 2 u(b) + 2 u0 (b) = 2 ; ãäå â êðàåâûõ óñëîâèÿõ ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ji j + j i j 6= 0, i = 1; 2.  îòëè÷èå îò çàäà÷è Êîøè çäåñü çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå èññëåäóåòñÿ âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ. Î÷åíü âàæíûé è íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèéñÿ ñëó÷àé: ëèíåéíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà

u00 + p(x)u0 + q (x)u = f (x) ; êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ êîòîðîãî ìû è áóäåì ðàññìàòðèâàòü â äàëüíåéøåì.

8.1.3

Çàäà÷à Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ

Çàäà÷à Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ èëè çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî è êðàåâîé çàäà÷åé (ñ îäíîðîäíûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè) è îáû÷íî çàïèñûâàåòñÿ â òàê íàçûâàåìîì ñàìîñîïðÿæåííîì âèäå:

d hk(x) du i + [q (x) r(x)] u(x) = 0 ; dx dx 1 u(a) + 1 u0 (a) = 0 ; 2 u(b) + 2 u0 (b) = 0 : Çäåñü òðåáóåòñÿ íàéòè òå



ïðè êîòîðûõ çàäà÷à ðàçðåøèìà (ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ) è ñîîòâåòñòâóþùèå èì ðåøåíèÿ

u (x) | ñîáñòâåííûå ôóíêöèè, îïðåäåëÿåìûå ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ.

8.1.4

×òî ïîíèìàåòñÿ ïîä ÷èñëåííûì ðåøåíèåì

Òî÷íûå (àíàëèòè÷åñêèå) ìåòîäû ðåøåíèÿ  òàêèå ìåòîäû, êîãäà ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü â âèäå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé èëè êâàäðàòóð îò íèõ, ÷òî, åñòåñòâåííî, âîçìîæíî íå âñåãäà. ×èñëåííûå ìåòîäû | ìåòîäû íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé íå íà âñåì ïðîìåæóòêå èçìåíåíèÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé, à ëèøü â äèñêðåòíîì íàáîðå òî÷åê

x0 ; x1 ; : : : ; xN

2 [a; b]. Çäåñü, ïðàâäà, ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ìîæíî èñêàòü ðåøåíèå â âèäå ðàçëîæåíèÿ â

ðÿä ïî íåêîòîðîé ïîëíîé ñèñòåìå ôóíêöèé (ñêàæåì, â ðÿä Ôóðüå) è îáðåçàòü åãî íà íåêîòîðîì ÷ëåíå. Îäíàêî, âîïðîñ î òîì, êàêóþ ñèñòåìó ôóíêöèé èñïîëüçîâàòü è êàêîå êîëè÷åñòâî ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ èñïîëüçîâàòü, ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî è ÷èñëåííûì è àíàëèòè÷åñêèì. ×èñëåííûå ìåòîäû ïðèìåíèìû ê î÷åíü øèðîêîìó êëàññó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.  ñîîòâåòñòâèè ñ äâóìÿ òèïàìè çàäà÷ äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ÷èñëåííûå ìåòîäû òîæå äåëÿòñÿ íà äâà êëàññà: ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè è ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è è çàäà÷è Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ.

8.2

Çàäà÷à Êîøè

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà íà îòðåçêå

[a; b]

u0 = f (x; u) ; u(a) = u0 ; Ðàçîáü¼ì ïðîìåæóòîê çàäà÷è Êîøè è ÷åðåç

[a; b] íà N ÷àñòåé a = x0 < x1 ; < : : : ; < xN . Îáîçíà÷èì u(xi ) = ui , ãäå u(x)

yi

çíà÷åíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ â òî÷êàõ

= F (yi k ; yi k+1 ; : : : ; yi 1 ) íåÿâíûå : yi = F (yi k ; yi k+1 ; : : : ; yi )

1. ÿâíûå : yi

(à);

2.

(á).

85

(2) òî÷íîå ðåøåíèå

xi . Ñóùåñòâóåò äâà òèïà ÷èñëåííûõ ñõåì :

Çäåñü

F

íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, ñâÿçûâàþùàÿ ïðèáëèæåíèÿ.  ÿâíûõ ñõåìàõ ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå

îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç íåêîòîðîå ÷èñëî

k óæå îïðåäåëåííûõ ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé.  íåÿâíûõ ñõåìàõ

yi â òî÷êå xi yi îïðåäåëÿåòñÿ

íå ðåêóðåíòíûì îáðàçîì êàê â ÿâíûõ ñõåìàõ, à äëÿ åãî îïðåäåëåíèÿ âîçíèêàåò óðàâíåíèå, ïîñêîëüêó ðàâåíñòâî (á) ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ èìåííî óðàâíåíèå íà yi . ßâíûå ñõåìû ïðîùå, îäíàêî çà÷àñòóþ íåÿâíûå ñõåìû ïðåäïî÷òèòåëüíåå.

8.2.1

Ïîëó÷åíèå ÿâíûõ ñõåì

Îáøèpíûé êëàññ ÿâíûõ ñõåì äëÿ påøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Òåéëîpà. Âûïèøåì åãî äëÿ ôóíêöèè

u(x)

n 2 u(x + h) = u(x) + hu0 (x) + h u00 (x) + : : : + h u(n) (x) + : : : : 2 n! 0 00 d f (x; u)jx = f 0 (xi ; ui )+f (xi ; ui )f 0 (xi ; ui ) . Åñëè u(x)  påøåíèå çàäà÷è (1) u (xi ) = f (xi ; ui ) , è, ñëåäîâàòåëüíî u (xi ) = dx x u i ( k ) Ïîñòóïàÿ äàëåå òàêèì æå îáðàçîì ìîæíî âûðàçèòü âñå ïðîèçâîäíûå u ÷åðåç ïðîèçâîäíûå èçâåñòíîé ôóíêöèè f (x; u) :

2 ui+1 = ui + hf (xi ; ui ) + h [fx0 (xi ; ui ) + f (xi ; ui )fu0 (xi ; ui )] + : : : :

(3)

2

Îáðûâàÿ (3) íà òîì èëè èíîì ÷ëåíå, ïîëó÷àåì ðàçëè÷íûå ÿâíûå ñõåìû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïpèáëèæåííîãî påøåíèÿ ñ îïpåäåëåííîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ïî h.

8.2.2

Ñõåìà Ýéëåpà (ìåòîä ëîìàíûõ)

Îñòàâëÿÿ â (3) òîëüêî ÷ëåíû ïåpâîãî ïîpÿäêà ïî h, ïîëó÷àåì ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî: ui+1 â íåì òî÷íûå çíà÷åíèÿ ui

= u(xi ) íà ïðèáëèæåíèÿ yi , ïîëó÷àåì ïpèáëèæåííóþ ñõåìó: (

 ui + hf (xi ; ui ) : Çàìåíÿÿ

y0 = y0 ; i = 0; 1; : : : ; N : yi+1 = yi + hf (xi ; yi )

ìåòîäîì Ýéëåpà è èìååò ïåpâûé ïîpÿäîê ñõîäèìîñòè ïî h , åñëè f (x; u) îãðàíè÷åíà è îãðàíè÷åíû åå ïåðâûå ïðîèçâîäíûå ïî îáîèì àðãóìåíòàì. Óáåäèìñÿ â ýòîì. Ïóñòü c = maxfjf j; jfx0 j; jfu0 jg . Îáîçíà÷èì x;u Óêàçàííàÿ ïðîöåäóðà è ÿâëÿåòñÿ

ðàçíîñòü ìåæäó èñòèííûì ðåøåíèåì

uj

â òî÷êå

xj

è íàéäåííûì ïî ìåòîäó Ýéëåðà ïðèáëèæåíèåì

yj

÷åðåç

vj

,

òîãäà

1

ãäå

yj0

vj +1 = vj + h [f (xj ; uj ) f (xj ; yj )] + u00 (xj ) + O(h3 ) ; | {z } 2 fy0 (xj ;yj0 )vj íåêîòîðàÿ òî÷êà ìåæäó

uj

è

yj

. Çàìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó

y0 = u0

, òî

v0 = 0 . Òîãäà v1 = 12 h2 u000 + O(h3 ) , è

äàëåå

v2 = v1 (1 + hfu0 (x1 ; u01 )) + 1 h2 u001 + (h3 ) =

2

= 12 h2

 
u001 + u000 1 + hfu0 (x1 ; u1 ) + O(h3 ) ; .. .

vj +1 = 1 h2

2

j X k=0

u00k

j Y

[1 + hfu0 (xi; ui )] + O(h3 ) =

i=k+1

86





j j X X = 12 h2 u00k 1 + hfu0 (xi ; ui ) +O(h3 ) k=0 i=k+1 |

| Ïîñêîëüêó

u00 = fx0 + ffu0

, òî

ju00 j  c + cc  c1 , è jvj+1 j  12 hc1

j X k=0

{z

c(xj xk+1 ) {z expfc(xj xk+1 )g

hec(xj xk ) = 1 hc1

= h 2c1c ec(xj

Z xj

:

}

}

c(xj t) dt + o(h) =

2 x e x ) + o(h) = O(h) : 0

0

Òàêèì îáðàçîì, ìåòîä Ýéëåðà èìååò ïåðâûé ïîðÿäîê òî÷íîñòè ïî h è ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì øàãå ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå áëèçêî ê òî÷íîìó.

8.2.3

Ìåòîäû Ðóíãå-Êóòòà

Ìåòîä Ðóíãå-Êóòòà 2-ãî ïîðÿäêà Âûïèøåì ðÿä Òåéëîðà äëÿ ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

u(x)

ñ òî÷íîñòüþ äî êâàäðàòè÷íûõ ÷ëåíîâ

2 uj +1 = uj + hf (xj ; uj ) + h [fx0 (xj ; uj ) + f (xj ; uj )fu0 (xj ; uj )] + : : : : 2| {z } u00 (xj )

(4)

Ñàìà ïî ñåáå òàêàÿ ñõåìà óæå ãîäèòñÿ äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, îäíàêî åå íåóäîáñòâî ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðèõîäèòñÿ äèôôåðåíöèðîâàòü ôóíêöèþ

f (x; u)

ïî îáîèì àðãóìåíòàì. Åñëè çàìåíèòü ýòè

ïðîèçâîäíûå ðàçíîñòíûìè, òî ôîðìàëüíî ìîæíî çàïèñàòü

uj +1 = uj + h[f (xj ; uj ) + f (xj + h; uj + Æh)] + : : : ; ; ; ; Æ íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü èñõîäÿ èç òîãî, ÷òî ýòè äâà ïðåäñòàâëåíèÿ äîëæíû ñîâïàäàòü O(h3 ) . Äëÿ ýòîãî ðàçëîæèì â (5) f (xj + h; uj + Æh) â ðÿä Òåéëîðà

ãäå êîíñòàíòû íîñòüþ äî

(5) ñ òî÷-

uj +1 = uj + h( + )f (xj ; uj ) + h2 [ fx0 (xj ; uj ) + Æfu0 (xj ; uj )] + O(h3 ) ; Ñðàâíèâàÿ ñ (4), ïîëó÷àåì 3 óðàâíåíèÿ íà 4 íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòà:  + = 1 , = 12 , Æ = 12 f (xj ; uj ) . Âûðàçèâ èõ ÷åðåç è çàìåíèâ èñòèííûå çíà÷åíèÿ uj = u(xj ) íà ïðèáëèæåííûå yj è îòáðîñèâ êóáè÷åñêèå ÷ëåíû ïîëó÷àåì íàáîð ðàçíîñòíûõ ñõåì Ðóíãå-Êóòòà 2-ãî ïîðÿäêà

yj +1 = yj + h[(1 )f (xj ; yj ) + f (xj + Îáû÷íî ïîëàãàþò



h h 2 ; yj + 2 f (xj ; yj ))] ; 0 <  1 :

ðàâíûì 1/2 èëè 1.

Ìåòîä Ðóíãå-Êóòòà 4-ãî ïîðÿäêà Èçëîæåííûì âûøå ñïîñîáîì ìîæíî ñòðîèòü ñõåìû òèïà Ðóíãå-Êóòòà ðàçëè÷íîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè ïî

h .  ÷àñòíîñòè,

ìåòîä Ýéëåðà ÿâëÿåòñÿ ñõåìîé Ðóíãå-Êóòòà 1-ãî ïîðÿäêà. Íàèáîëåå óäîáíîé è óïîòðåáèòåëüíîé ÿâëÿåòñÿ ñõåìà 4-ãî ïîðÿäêà. Îíà èìååò ñëåäóþùèé âèä

yj +1 = yj + h (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) ;

6

k1 = f (xj ; yj ) ; k2 = f (xj + h=2; yj + hk1 =2) ; k3 = f (xj + h=2; yj + hk2 =2) ; k4 = f (xj + h; yj + hk3 ) : 87

Íà êàæäîì øàãå âåëè÷èíû

km

ðàñ÷èòûâàþòñÿ çàíîâî.

f

Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî åñëè

åñòü ôóíêöèÿ òîëüêî îò

x , òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ åñòü u(x) = u0 +

Rx

f (t)dt , è

x0

ôîðìóëû Ðóíãå-Êóòòà ïðåâðàùàþòñÿ â ôîðìóëû ïðèáëèæåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ. Ìåòîäó Ýéëåðà ñîîòâåòñòâóåò ôîð-

=1

ìóëà ëåâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ, ìåòîäó Ðóíãå-Êóòòà 2-ãî ïîðÿäêà ñ

= 1=2 h=2 . Ýòî

ñîîòâåòñòâóåò ôîðìóëà ñðåäíèõ, à ñ

 ôîðìóëà òðàïåöèé. Íàêîíåö, ìåòîäó Ðóíãå-Êóòòà 4-ãî ïîðÿäêà ñîîòâåòñòâóåò ôîðìóëà Ñèìïñîíà ñ øàãîì êîñâåííî ñâèäåòåëüñòâóåò î ïîðÿäêå òî÷íîñòè òîé èëè èíîé ñõåìû.

Åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñõåìû Ðóíãå-Êóòòà îáîáùàþòñÿ íà ñëó÷àé ñèñòåì óðàâíåíèé 1-ãî ïîðÿäêà ïðè ïîìîùè ôîðìàëüíîé çàìåíû ôóíêöèé

y (x)

è

ïîðÿäêà ýêâèâàëåíòíî ñèñòåìå èç

f (x; y )

íà âåêòîð-ôóíêöèè y

(x)

è f

(x; y) . Ïðè ýòîì, ïîñêîëüêó, óðàâíåíèå n-ãî

n óðàâíåíèé 1-ãî ïîðÿäêà, òî ìåòîäû Ðóíãå-Êóòòà ìîæíî ïðèìåíÿòü ê çàäà÷å Êîøè

äëÿ óðàâíåíèé ïîðÿäêà âûøå 1-ãî.  ÷àñòíîñòè, ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ 2-ãî ïîðÿäêà 8 00 u > <

Îáîçíà÷èì

u0 = v

è ââåäåì âåêòîð u 

=

= f (x; u; u0 ) u(x0 ) = u0 > : 0 u (x0 ) = u00

 

u v

, òîãäà ñèñòåìà ïðèíèìàåò âèä 8    v  > d u > < dx v  f x;u; v  u x u0 0 > > :

=

u = f (x; u)

( ) = v (x0 )

u(x0 ) = u0 Åñëè ââåñòè âåêòîð yj

=



yj zj

:



(

)

:

u00

, ïðèáëèæåíèé ê èñòèííîìó ðåøåíèþ uj â òî÷êå

xj

, è âåêòîðà km

ðàñ÷åòíûõ êîýôôèöèåíòîâ, òî ìåòîä Ðóíãå-Êóòòà 4-ãî ïîðÿäêà ïðèíèìàåò âèä

=



km  qm

yj +1   yj + h(k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )=6  = zj +1 zj + h(q1 + 2q2 + 2q3 + q4 )=6 k1 = zj ; k2 = zj + h q1 ; k3 = zj + h q2 ; k4 = zj + hq3 ; 2 2 h q1 = f (xj ; yj ; zj ) ; q2 = f (xj + ; yj + h k1 ; zj + h q1 ) ; 2 2 2 h h h q3 = f (xj + ; yj + k2 ; zj + q2 ); q4 = f (xj + h; yj + hk3 ; zj + hq3 ) : 2 2 2 y(j +1) =

8.2.4



Ìåòîäû Àäàìñà

ßâíàÿ ñõåìà Àäàìñà Ðàññìîòðåííûå âûøå ñõåìû ÿâëÿþòñÿ ÿâíûìè îäíîøàãîâûìè (äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîñëåäóþùåãî ïðèáëèæåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ ëèøü îäíî ïðåäèäóùåå) ñõåìàìè. Ïðèâîäèìûå íèæå ìåòîäû ÿâëÿþòñÿ ìíîãîøàãîâûìè. Îíè ìîãóò áûòü êàê ÿâíûìè, òàê è íåÿâíûìè. Ïóñòü çàäàíà çàäà÷à Êîøè 

Äëÿ òî÷íîãî ðåøåíèÿ

u0 = f (x; u); u(a) = u0 :

u(x) (êîòîðîå íàì íåèçâåñòíî) âûïîëíåíî u(xn+1 ) = u(xn ) +

Z xn+1

xn

f (x; u(x))dx :

Ïðåäïîëîæèì íàì èçâåñòíû ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ yi ôóíêöèè u

(x) â k òî÷êàõ xn

(6) k+1 , xn k+2 , : : : ;

xn

(ñòàðòîâûå

k

òî÷åê, â ÷àñòíîñòè, ìîæíî íàéòè ìåòîäîì Ýéëåðà èëè ìåòîäàìè Ðóíãå-Êóòòà òîãî èëè èíîãî ïîðÿäêà), òîãäà ôóíêöèþ

88

f (x; u(x)) â (6) äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà ìîæíî çàìåíèòü íà èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì Pn;k (x) ïîðÿäêà k 1, ïîñòðîåííûé ïî k òî÷êàì fxi ; f (xi ; yi )gn n k+1 , èíòåãðàë îò êîòîðîãî ñ÷èòàåòñÿ ÿâíî è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ çíà÷åíèé fi = f (xi ; yi ) ñ íåêîòîðûìè ìíîæèòåëÿìè i . Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ðåêóðåíòíóþ ïðîöåäóðó âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé yi ôóíêöèè u(x) (ÿâëÿþùåéñÿ òî÷íûì ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè) â òî÷êàõ xi yn+1 = yn +

xZn+1

k X

xn

i=1

Pn;k (x)dx = yn +

i f (xn+1 i ; yn+1 i ) :

(7)

Îïèñàííàÿ ñõåìà íàçûâàåòñÿ k-øàãîâîé ÿâíîé ôîðìóëîé Àäàìñà.

Íåÿâíàÿ ñõåìà Àäàìñà. Ìåòîä ïðîãíîç-êîððåêöèè Ïóñòü Pn+1;k+1

(x)  èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì ïîðÿäêà k, ïîñòðîåííûé ïî k + 1 çíà÷åíèþ fn

èç êîòîðûõ, èìåííî fn+1 , ìû áóäåì ñ÷èòàòü íåèçâåñòíûì. Ìîäèôèöèðóåì (7) çàìåíèâ â íåì

Pn+1;k+1 , èíòåãðàë îò íîâûìè êîýôôèöèåíòàìè i : âûñîêîé ñòåïåíè

yn+1 = yn +

k+1 ; : : : ; fn ; fn+1 , îäíî

Pn;k

íà ïîëèíîì áîëåå

êîòîðîãî âûðàæàåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè çíà÷åíèé fi ñ íåêîòîðûìè

xZn+1

k X

xn

i=1

Pn+1;k+1 dx = yn +

i fn+1 i + 0 f (xn+1 ; yn+1 ) :

(8)

Ôîðìóëà (8) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåÿâíóþ ñõåìó Àäàìñà è ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì íà yn+1 , êîòîðîå ìîæíî ðåøàòü ñêàæåì ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé. Åñòåñòâåííî, ÷òî íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå yn0 +1 , äîëæíî áûòü ðàçóìíî âûáðà-

íî. Äëÿ ýòîãî óäîáíî îáúåäèíèòü ÿâíóþ è íåÿâíóþ ñõåìû Àäàìñà â îäíó, íàçûâàåìóþ ìåòîäîì "ïðîãíîç-êîððåêöèè". Èìåííî, ñ ïîìîùüþ ÿâíîé ñõåìû îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå yn0 +1 (ïðîãíîç), à çàòåì ïî íåÿâíîé ñõåìå îíî

íåîáõîäèìîå ÷èñëî ðàç (îáû÷íî îäèí èëè äâà) êîððåêòèðóåòñÿ ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé äî äîñòèæåíèÿ çàäàííîé òî÷íîñòè (êîððåêöèÿ):

Ïðèìåð. Ïóñòü

8 > > <

:

yn0 +1 = yn +

> > :

:

+1 = yn + ynm+1

k P

i fn+1 i ;

i=1 k P

i=1

i fn+1 i + 0 f (xn+1 ; ynm+1 ) :

k ðàâíî 1 è h = xn+1 xn .  ýòîì ñëó÷àå "ïðîãíîç"ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíòåãðèðîâàíèå ïî ôîðìóëå

ëåâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ, ñîâïàäàþùåå â äàííîì ñëó÷àå ñ ìåòîäîì Ýéëåðà, à "êîððåêöèÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî ôîðìóëå òðàïåöèé: (

yn0 +1 = yn + hfn ; yn+1 = yn + h2 (fn + fn+1 ) : Ïîñëåäíþþ ôîðìóëó íåîáõîäèìî ïîíèìàòü êàê óðàâíåíèå íà yn+1 (è, ñîîòâåòñòâåííî, íà fn+1 = f (xn+1 ; yn+1 )), êîòîðîå

: :

ðåøàåòñÿ ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé.

8.3

8.3.1

Êðàåâàÿ çàäà÷à

Ìåòîä ñòðåëüáû

Ðàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà 8 00 y > <

(x) = f (x; y; y0 ) ; x 2 [a; b] ; 1 y (a) + 1 y 0 (a) = 1 ; > : 2 y (b) + 2 y 0 (b) = 2 : 89

(9)

Ïåðåéäåì îò ýòîé çàäà÷è ê ñèñòåìå óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ïóñòü

u(x) = y (x)

v (x) = y 0 (x) . Òîãäà óðàâíåíèå

è

(9) ïåðåõîäèò â

u0 = v; v 0 = f (x; u; v );

(10)

1 u(a) + 1 v (a) = 1 ; 2 u(b) + 2 v (b) = 2 :

(100 )



à êðàåâûå óñëîâèÿ ïðèíèìàþò âèä 

Òàêèì îáðàçîì èñõîäíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à ñâåëàñü ê çàäà÷å 1-ãî ïîðÿäêà äëÿ ñèñòåìû äâóõ óðàâíåíèé.

Ìåòîä ñòðåëüáû  ýòî ïåðåõîä ê ðåøåíèþ íåêîòîðîé çàäà÷è Êîøè äëÿ ñèñòåìû (10). Âûáåðåì ïðîèçâîëüíî u(a) =  . Òåïåðü îïðåäåëèì v (a) èç ïåðâîãî èç óñëîâèé (100 ). v (a) = 1 1 ( 1 1  )   ( ) : Äàëåå, ðàññìîòðèì òåïåðü ñèñòåìó (10) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè 

u(a) =  v (a) =  ( ) :

Òàêàÿ çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé Êîøè. Ðåøèì åå íåêîòîðûì ñïîñîáîì (íàïðèìåð, ìåòîäîì Ðóíãå-Êóòòà 4-ãî ïîðÿäêà). Ðåøåíèå

(u ; v )

íàâåðíÿêà íå áóäåò óäîâëåòâîðÿòü âòîðîìó êðàåâîìó óñëîâèþ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç




âîçíèêàþùóþ

íåâÿçêó:

2 u(b) + 2 v (b) Çàäà÷à ñîñòîèò â îòûñêàíèè òàêîãî

2 =
( ) :

 , ïðè êîòîðîì íåâÿçêà îáðàùàåòñÿ â íîëü:


( ) = 0 , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò óäîâëå-

òâîðåíèþ âòîðîãî êðàåâîãî óñëîâèÿ. Âàðüèðóåì (ñòðåëüáà) ïðèñòðåëî÷íûé ïàðàìåòð



äî òåõ ïîð, ïîêà íå îáðàçóåòñÿ

:
(i )
(i+1) < 0 , òîãäà ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî  2 [i ; i+1 ]. Ïîñëå òîãî, êàê ïðîìåæóòîê íà êîòîðîì íàõîäèòñÿ êîðåíü ôóíêöèè
( ) íàéäåí, äåëèì îòðåçîê [i ; i+1 ] ïîïîëàì è âûáèðàåì òó åãî ÷àñòü, íà êîíöàõ êîòîðîé
èìååò ðàçíûå çíàêè, è òàê äàëåå, äî äîñòèæåíèÿ òðåáóåìîé òî÷íîñòè. âèëêà: i

Çàìå÷àíèå. ïðè êàæäîì âûáðàííîì i íåîáõîäèìî ðåøàòü çàäà÷ó Êîøè äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (10) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè

u(a) = i ; v (a) =  (i ) :

8.3.2

Ìåòîä ñåòîê (ðàçíîñòíûé ìåòîä)

Ðàññìîòðèì ðàçíîñòíûé ìåòîä íà ïðèìåðå ñëåäóþùåãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà:

u00 + q (x)u = f (x) [a; b]; u(a) = A ; u(b) = B ( ) : Ðàçîáüåì ïðîìåæóòîê íà N ÷àñòåé: a = x0 < x1 < : : : < xN = b . Ïóñòü Àïïðîêñèìèðóåì âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ u00 (xi ) ðàçíîñòíîé: 

u00 (xi ) = u(xi+1 )

2u(xi ) + u(xi 1 ) h2

øàã ñåòêè ïîñòîÿííûé:

u(4) (xi )h2

12

+ O(h4 ) ;

âûðàæåíèå äëÿ êîòîðîé ëåãêî ïîëó÷èòü èç ðÿäà Òåéëîðà

00 2 u(xi  h) = u(xi )  u0 (xi )h + u (xi )h

2

90

000 3 (4) 4  u (x6i)h + u (24xi)h + : : : ;

xi

xi 1

(11) =h.

u(xi ) = ui , qi = q (xi ), fi = f (xi ). Çàìåíèì â (11) âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ ðàçíîñòíîé, òîãäà äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ yi â òî÷êàõ xi ïîëó÷àåì òðåõäèàãîíàëüíóþ ñèñòåìó Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:

yi 1 + (2 + h2 qi )yi

yi+1 = fi h2 ; i = 1; 2; : : : ; N

1

:

(12)

Äëÿ åå ðàçðåøèìîñòè äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì (íî âîâñå íå íåîáõîäèìûì) ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíîå ïðåîáëàäàíèå.  íàøåì ñëó÷àå ýòî ñâîäèòñÿ ê òðåáîâàíèþ

8.3.3

j2 + h2 qi j > 2 ; êîòîðîå âûïîëíÿåòñÿ åñëè q(x) > 0 .

Ñõîäèìîñòü ñåòî÷íûõ ìåòîäîâ

u(x)  òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (11), à yi Òåîðåìà. Ïóñòü q (x), f (x) 2 C[2a;b] è q (x) > 0 ;

Ïóñòü

 ÷èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (12). Ñïðàâåäëèâà

8 x 2 [a; b], òîãäà

ju(xi ) yi j = O(h2 ) : Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó

q (x); f (x) 2 C[2a;b]

òî èç óðàâíåíèÿ (11) ñëåäóåò, ÷òî

u(x) 2 C 4 [a; b],

è òîãäà èñïîëüçóÿ

ðÿä Òåéëîðà ìîæíî çàïèñàòü

u00 (xi ) = ui 1

2ui + ui+1 h2

Çíà÷åíèÿ ui òî÷íîãî ðåøåíèÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì

ui 1 ãäå i íåêîòîðûå òî÷êè íà

1 2 (4) 12 h u (i ) ; i 2 (xi

2ui + ui+1 + qui = fi h2

[a; b]. Äëÿ ïîãðåøíîñòè vi = yi

1 ; xi ) :

1 2 (4) 12 h u (i ) ;

ui

âîçíèêàåò ñèñòåìà óðàâíåíèé

vi 1

2vi + vi+1 + qi vi = 1 h2 u(4) (i ) h2 12

; v0 = 0 ; vN

=0:

(13)

Ïóñòü xk - òî÷êà, ãäå ìîäóëü ïîãðåøíîñòè ìàêñèìàëåí, òî åñòü

jvk j  jvi j ; i = 1; 2; : : : ; N 1 ; Ýòîé òî÷êîé íå ìîæåò ÿâëÿòüñÿ ïðè èíäåêñå ðàâíîì

k

x0 è xN , ïîñêîëüêó v0 = vN

= 0 . Ñðàâíèì ìîäóëè ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè ñèñòåìû (13)

jvk (2 + qk h2 )j  jvk 1 j + jvk+1 j + 121 h4 ju(4) (k )j ; èëè

jvk j(2 + qk h2 )  2jvk j + 121 h4 ju(4) (k )j ; îòêóäà

(4)

jvk j  121 h2 ju jq(kj k )j ;

òî åñòü

2 ju(4) (i )j ; max j vi j  h max i 12 i jqi j ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

91

8.3.4

Ìåòîä Íóìåpîâà

Òî÷íîñòü ñåòî÷íîãî ìåòîäà (12) ìîæíî ïîâûñèòü äî ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà íåñêîëüêî ìîäèôèöèðîâàâ åãî

ðîâà, ñïðàâåäëèâûì äëÿ áîëåå øèðîêîãî êëàññà óðàâíåíèé. Èìåííî, äëÿ óðàâíåíèé âèäà

ìåòîäîì Íóìå-

u00 = f (x; u) :

(14)

Ïîäñòàâèì â (14) âìåñòî âòîðîé ïðîèçâîäíîé ðàçíîñòíóþ:

2 (4) f (x; u) = u(x + h) 2u(2x) + u(x h) f (x) h u (x) + O(h4 ) : (15) h 12 Íåïîñðåäñòâåííî èç óðàâíåíèÿ (14) ñëåäóåò, ÷òî u(4) = f 00 (x; u). Çàìåíèì â (15) ÷åòâåðòóþ ïðîèçâîäíóþ îò íåèçâåñòíîé

0 = u00 (x)

ôóíêöèè â òî÷êå xi íà âòîðóþ îò

f (x; u), êîòîðóþ â ñâîþ î÷åðåäü çàìåíèì ðàçíîñòíîé

f (x; u)00i = f (xi+1 ; ui+1 ) + f (xi 21 ; ui 1 ) h

2f (xi ; ui ) + O(h2 ) :

Òîò ôàêò, ÷òî òî÷íîñòü òàêîé ôîðìóëû äåéñòâèòåëüíî èìååò âòîðîé ïîðÿäîê, íåîáõîäèìî åùå ïðîâåðÿòü. Çäåñü ìû íå áóäåì îñòàíàâëèâàòüñÿ íà ýòîì (ïîäðîáíåå ñì. [2]). Èìååì

u00i

f (xi ; ui ) =

= ui+i + uhi2 1 2ui



h2 f (xi+1 ; ui+1 ) + f (xi 1 ; ui 1 ) 12 h2

f (xi ; ui )



2f (xi ; ui ) + O(h2 )

;

òî åñòü ÷èñëåííàÿ ñõåìà ïðèîáðåòàåò âèä

yi+i + yi 1 h2

2yi = 1 [f (xi+1 ; yi+1 ) + f (xi 12

1 ; yi 1 ) + 10f (xi ; yi )]

 ÷àñòíîñòè äëÿ óðàâíåíèÿ (11)

ui+1 (1

qi+1 h2 ) u (2 + h2 q 5 ) + u (1 i i 12 6 i1

qi 1 h2 ) =

12

2

= h12 (fi+1 + fi 1 + 10fi ) + O(h6 ) :

Îòáðàñûâàÿ îñòàòî÷íûé ÷ëåí è äîáàâëÿÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ â òî÷êàõ x0 è xN ïîëó÷àåì ñåòî÷íûé ìåòîä ñ ïîãðåøíîñòüþ

0(h4 ) ui+1

8.4

(íàïîìíèì, ÷òî â îáû÷íîì ìåòîäå ñåòîê áûëî:

ui (2 + h2 qi ) + ui 1 = fi h2 + O(h4 ) .)

Çàäà÷à Øòópìà-Ëèóâèëëÿ

Çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå ñëåäóþùåãî äèôôåpåíöèàëüíîãî ópàâíåíèÿ 2-ãî ïîpÿäêà: 

u00 + q (x)u = u; u(a) = 0 ; u(b) = 0:

(16)

Âîïpîñ. Ïî÷åìó ãpàíè÷íûå óñëîâèÿ îäíîðîäíûå (íóëåâûå)?

 çàäà÷å ïîÿâèëàñü íîâàÿ ñòåïåíü ñâîáîäû  . Âàæíûå ñâîéñòâà çàäà÷è (16) òàêîâû, ÷òî påøåíèå äèôôåpåíöèàëüíîãî ópàâíåíèÿ ñóùåñòâóåò è óäîâëåòâîpÿåò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì ëèøü ïpè íåêîòîpûõ çíà÷åíèÿõ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè. Ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì



ðåøåíèÿ

u (x)

 , íàçûâàåìûõ

íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè. Ñïåêòð

ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìîæåò áûòü äèñêðåòíûì (â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ñïåêòð äèñêðåòåí, åñëè è

a è b êîíå÷íû),

 ìîæåò îäíîâðåìåííî ïðèíàäëåæàòü äèñêðåòíîìó è íåïðåðûâíîìó ñïåêòðó.  çàäà÷å (16) òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü êàê âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ  òàê è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè u (x) íåïðåðûâíûì, òàêæå

Ñóùåñòâóåò 2 îñíîâíûõ ìåòîäà påøåíèÿ çàäà÷è (16).

92

8.4.1

Ìåòîä ñòpåëüáû

 ñèëó îäíîpîäíîñòè çàäà÷è (16) åñëè

u(x)

íî çàäàòü ïpîèçâîëüíî çíà÷åíèå

â òî÷êå

u0 (x)

u1 (x) = const u(x) - òîæå påøåíèå, ïîýòîìó ìîæâûáèðàþò u0 (a) = 1), à çàòåì ïåpåéòè ê ñòpåëüáå, òî åñòü

ÿâëÿåòñÿ påøåíèåì, òî

a

(îáû÷íî

pàññìîòpåòü çàäà÷ó Êîøè: 8 > > < > > :

u00 + q (x)u = u u(a) = 0 u0 (a) = 1

è íàõîäèòü åå påøåíèå

u(x; ) è ïîäîápàòü  òàê, ÷òîáû u(b; ) = 0 :

Ïðè ýòîì ìû îäíîâðåìåííî íàõîäèì è ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå

(17)

 è ñîîòâåòñòâóþùóþ ñîáñòâåííóþ ôóíêöèþ u(x; ). Ðå-

øàåòñÿ óðàâíåíèå (17) ëþáûì èç ìåòîäîâ íàõîæäåíèÿ êîðíÿ àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Íàïðèìåð, âàðüèðóÿ ïðèñòðåëî÷íûé ïàðàìåòð ìîæíî äîáèòüñÿ âèëêè

u(b; i )u(b; i+1 ) < 0 è çàòåì èñïîëüçîâàòü ìåòîä äåëåíèÿ ïîïîëàì.

Ìåòîä ñòðåëüáû óäîáíî ïðèìåíÿòü â ñèòóàöèè, êîãäà àïðèîðè èç ôèçè÷åñêîé ïîñòàíîâêè çàäà÷è èçâåñòíû åñòåñòâåííûå ïðèñòðåëî÷íûå ïàðàìåòðû.

8.4.2

Ìåòîä ñåòîê

Ðàçîáüåì ïðîìåæóòîê íà

N

÷àñòåé ââåäÿ ñåòêó

a = x0 < x1 < : : : < xN

= b , è òàêæå êàê â ñëó÷àå êðàåâûõ çàäà÷,

çàìåíèì â (16) ïðîèçâîäíûå ðàçíîñòíûìè. Ïðè ýòîì çàäà÷à ïðèíèìàåò âèä 8 > h2 qi yi yi+1 h2 yi > < yi 1

(2 +

> > :

) +

y0 = 0 ; yN = 0 :

=

;

Òàêèì îáðàçîì èñõîäíàÿ çàäà÷à ñâåëàñü ê çàäà÷å íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ òðåõäèàãîíàëüíîé ìàòpèöû

(N 1)  (N 1) :

A

ðàçìåðà

Ay = y ; A Ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû

8.5

8.5.1

A

:

aii = 2 + h2 qi ai 1 i = ai i+1 =

1

i = 1; 2; : : : ; N

1:

ÿâëÿþòñÿ ïðèáëèæåíèÿìè ê ïåðâûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì èñõîäíîé çàäà÷è.

Ðàçíîñòíûé îïåpàòîp âòîðîé ïðîèçâîäíîé

Îïåðàòîð âòîðîé ïðîèçâîäíîé

Ïðîèçâåäåì ñíà÷àëà ñïåêòðàëüíûé àíàëèç ñîáñòâåííî îïåpàòîpà âòîpîé ïpîèçâîäíîé íà îòðåçêå

[a; b]

ñ íóëåâûìè

ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè, ò.å. îïðåäåëèì åãî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå ÷èñëà. (

d2 dx2  = ;

(18) (a) = (b) = 0: p p p Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèè  (x) = ei x , èëè èõ êîìáèíàöèè sin x, cos x óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ. Ïóñòü a = 0 p äëÿ óïpîùåíèÿ çàïèñè. Ïîñêîëüêó (0) = 0, òî íàñ óñòpàèâàåò òîëüêî ôóíêöèè âèäà sin x . Èç âòîðîãî ãðàíè÷íîãî 93

(b) = 0 ñëåäóåò, ÷òî pb = n , òàêèì îáðàçîì ñïåêòð çàäà÷è äèñêðåòíûé è áåñêîíå÷íûé. Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè n è ñîáñòâåííûå ÷èñëà n èìåþò âèä

óñëîâèÿ

2 2 n = n 2 : b

n (x) = sin nb x ;

(19)

8.5.2 Ðàçíîñòíûé îïåðàòîð Ðàññìîòpèì òåïåpü ñîîòâåòñòâóþùóþ pàçíîñòíóþ çàäà÷ó. Ðàçîáüåì ïðîìåæóòîê íà øàãîì

(N + 1)

÷àñòü c ðàâíîìåðíûì

h : a = x0 < x1 < : : : < xN +1 = b . Çàäà÷à íà ñïåêòð ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà ïðèíèìàåò âèä (

èëè, îáîçíà÷èâ

Fi

F0

~ h2 = ,

2Fi +Fi+1

1

h2 = FN +1

= 0;

= ~ Fi

; i = 1; 2; : : : ; N;

(20)

Fi 1 + 2Fi Fi+1 = Fi ; i = 1; : : : ; N; F0 = FN +1 = 0: Ýòà çàäà÷à ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàäà÷ó íà ñïåêòð òðåõäèàãîíàëüíîé ìàòðèöû N -ãî ïîðÿäêà 

0

AF = F

:

B B B B B B B @

2

1 2

1 0

:::

1 0

10

0

CB CB CB CB CB CB CB A@

::: 0 1 2 1 ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: :::

F1 F2 ::: ::: FN

1

0

C C C C C C C A

B B B B B B B @

=



F1 F2 ::: ::: FN

1 C C C C C C C A

;

F0 = FN +1 = 0 ; ñ

N -êîìïîíåíòíûìè ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè F = (F1 ; F2 : : : ; FN )T .

d Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è âñïîìíèì ñíà÷àëà (ñì. Ãëàâó "×èñëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå), ÷òî eh dx F

òî åñòü

d eh dx Fi = Fi1

(x) = F (x + h) ,

, òàêèì îáðàçîì ñèñòåìó ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå (

[e

eh dx ]Fi = i Fi ; F0 = FN +1 = 0: d h dx

+2

d

Ïpèìåíÿÿ îïåðàòîðû ñäâèãà êî âñåì êîìïîíåíòàì âåêòîpà F, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ïåðåôîðìóëèðîâêó (

[e

eh dx ]F = F; F0 = FN +1 = 0: d h dx

+2

d

Íåêîòîðîå íåóäîáñòâî òàêîé ôîðìû çàïèñè ñîñòîèò â òîì, ÷òî

1

d dx

íå ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì, íî

d (ïðàâäà ðàññìàòðèâàåìûé íà âñåé îñè): òàêîâûì ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîð i dx

1

Z

Z





d f; g E = 1 f 0 (x)g(x)dx = f (x) 1 d g (x) dx = Df; 1 d g E : i dx i i dx i dx d eipx = peipx , ñïåêòð ñïëîøíîé è çàïîëíÿåò âñþ Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåpàòîpà D ýòî ýêñïîíåíòû eipx : 1i dx âåùåñòâåííóþ îñü: p 2 R1 . Íî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ïðîèçâîëüíîãî ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåpàòîpà A ÿâëÿþòñÿ D

ñîáñòâåííûìè è äëÿ ôóíêöèè îò îïåpàòîpà  ñîáñòâåííûå ÷èñëà

A:

f (A) , à ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà f (A)

P A' = i h'; F (i) iF (i) P f (A)' = f (i )h'; F (i) iF (i)

94

) f (A)F (k) = f (k )F (k) :

ýòî ÷èñëà

f (p) ), ãäå p

Ïîäåéñòâóåì íà ñîáñòâåííóþ ôóíêöèþ F

= eipx îïåpàòîpà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ D ôóíêöèåé f (D) = [

eihD e ihD +2]

îò ýòîãî îïåðàòîðà:

[  ñèëó ñèììåòðèè ñîáñòâåííûìó ÷èñëó

f (D )

2[1

eihD

e ihD + 2]F

î÷åâèäíî ÷òî

= [ eiph e iph + 2]F = 2[1 cos ph]F : f (p) = f ( p) , ïîýòîìó ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ

e ipx

îòâå÷àåò òîìó æå

cos(ph)] , ÷òî è eipx (ðàâíî êàê è ëþáàÿ èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ).  íàøåé çàäà÷å íåîáõîäèìî

F (0) = F (a) = 0 . Èç ïåðâîãî ãpàíè÷íîãî óñëîâèÿ F0 = 0 ñëåäóåò, ÷òî êîìïîíåíòû ñîáñòâåííîãî âåêòîðà îòâå÷àþùåãî ñîáñòâåííîìó ÷èñëó p èìåþò âèä Fjp = sin pxj , ãäå xj = hj . Âòîðîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå FN +1 = 0 ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ñàìè ñîáñòâåííûå ÷èñëà: sin ph(N + 1) = 0 , îòêóäà ph(N + 1) = n , èëè pn = h(Nn+1) = n b , n = 1; 2; : : : ; N . Òî åñòü â çàäà÷å (20) ñîáñòâåííûå âåêòîðû èìåþò âèä óäîâëåòâîpèòü ãpàíè÷íûì óñëîâèÿì

Fn

:

Fjn = sin n xj ; xj = hj : b

n

Çàìåòèì, ÷òî çíà÷åíèå èñòèííîé ñîáñòâåííîé ôóíêöèè

xj

ñîâïàäàåò ñ

îïåðàòîðà äâîéíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ â ëþáîé òî÷êå

j -êîìïîíåíòîé n-ãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà:

n (xj ) = Fjn : Ïîñìîòðèì òåïåðü íàñêîëüêî îòëè÷àþòñÿ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

~ n = hn

âåííûå ÷èñëà

2

~ n = 2 = 22 [1 cos pn h] = 22 [1 cos n h] = h h h b 2 2 2 2 2 [1 1 +  n h2 + O(h4 )] =  n + O(h2 ) = n + O(h2 ) : h2 2b2 b2

Ðåçîëüâåíòà

Îïpåäåëåíèå. Ïóñòü îïåðàòîðà

A.

Ðåçîëüâåíòà Ïóñòü

îïåðàòîðà äâîéíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è ñîáñò-

ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà (19):

= 8.5.3

n

A

A

R (A)

R (A)

ëèíåéíûé îïåpàòîp, ôóíêöèÿ îò îïåðàòîðà

= (A

) 1

íàçûâàåòñÿ

îïpåäåëåíà , êàê ëåãêî âèäåòü, íå ïpè âñåõ , à ëèøü âíå ñïåêòpà.

ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð ñ äèñêðåòíûì ñïåêòðîì,

ñîáñòâåííûå ôóíêöèè. Âûïèøåì ñïåêòpàëüíîå pàçëîæåíèå

A=

X

k Pk =

k

åãî ñîáñòâåííûå ÷èñëà,

'k

påçîëüâåíòîé

ñîîòâåòñòâóþùèå

A:

X

k h
; 'k i'k ;

X

f (k )h
; 'k i'k ;

jj'k jj = 1 :

Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ îò îïåðàòîðà çàïèñûâàåòñÿ êàê

f () =

òî ðåçîëüâåíòà â ñïåêòðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè îïåðàòîðà

R (A) = Ïîäñòàâëÿÿ â (21) âìåñòî

'k

A

èìååò âèä

X h
; 'k i'k

k

k



(21)

:

íîpìèpîâàííûå íà åäèíèöó ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà ëèáî âòîpîé ïpîèçâîäíîé

ëèáî ñîáñòâåííûå âåêòîðû pàçíîñòíîãî îïåðàòîðà, à âìåñòî

k

2 2 ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ b2k îïåðàk h ðàçíîñòíîãî, ìû ïîëó÷èì, ñîîòâåòñòâåííî, b

òîðà äâîéíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ èëè ñîáñòâåííûå ÷èñëà h22 påçîëüâåíòó îïåpàòîpà âòîpîé ïpîèçâîäíîé èëè pàçíîñòíîé âòîpîé ïpîèçâîäíîé.

95

(1 cos

)

Ïóñòü 2n èìåþò âèä

Rb

= sin2 ( nx b )dx òîãäà íîðìèðîâàííûå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà äâîéíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ 0 F (n) = 1n sin n b x .  ñëó÷àå ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà ïîëîæèâ 2n =

N X

sin2 nb xj ;

j =1

ïîëó÷àåì íîðìèðîâàííûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû Fn ñ êîìïîíåíòàìè

1 sin n xj = 1 sin n hj : b n b

Fjn =

n

Ïîëó÷èì ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ðåçîëüâåíòû ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà.  áàçèñå èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ðàçíîñòíîãî

îïåðàòîðà, ðåçîëüâåíòà, î÷åâèäíî, ïðåäñòàâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé. Ïóñòü e1 ; e2 ; : : : ; eN íåêîòîðûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â RN è v ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Ðàçëîæèì v è ñîáñòâåííûå âåêòîðû Fn ïî ýòîìó áàçèñó

v=

N X

N X

i=1

i=1

hv; ei iei =

Äåéñòâèå ðåçîëüâåíòû íà v èìååò âèä

R (A)v = k-àÿ êîìïîíåíòà âåêòîpà R (A)v

åñòü

òî åñòü ìàòpè÷íûå ýëåìåíòû îïåpàòîpà

N X hv; Fi iFi

i i=1

i

i=1

R (A)

8.5.4

F

k



i=1

N X i=1

=

èìåþò âèä:

R (A)kl = Âåðõíèé èíäåêñ ó

=



N P vl Fli N X l=1 Fi

[R (A)v]k =

N X

Fn =

vi ei ;

hFn ; ei iei = N P l=1 i

vl Fli 

N X i=1

Fin ei :

Fi :

N X N X

Fli Fki v ;   l i=1 l=1 i

N X

Fli Fki :   i=1 i

íóìåðóåò ñîáñòâåííûå ôóíêöèè, íèæíèé èíäåêñ  èõ êîìïîíåíòû.

Òåîpèÿ âîçìóùåíèé

Ñïåêòð îïåðàòîðà äâîéíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è ñïåêòð ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà íàì èçâåñòåí. Ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùèå âîçìóùåííûå çàäà÷è: (

Çäåñü

"

 ìàëûé ïàpàìåòp,

d2 dx2 + "q (x) =  ;

(0) = (b) = 0;

q  ïîòåíöèàë.

(

Fi

F0

1

2Fi

h2 = FN +1

Fi+1

=0:

+ "qi Fi = Fi ;

Èçëîæèì ñóòü ìåòîäà òåîðèè âîçìóùåíèé [8] äëÿ ñëó÷àÿ îïåðàòîðà ñ äèñêðåòíûì ñïåêòðîì. Ïóñòü ñîìîñîïðÿæåííûõ îïåpàòîpà, ïðè÷åì ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

A

A

è

Q

- äâà

èçâåñòíû:

A k = k k : Òðåáóåòñÿ ïðîâåñòè ïðèáëèæåííî ñïåêòðàëüíûé àíàëèç âîçìóùåííîãî îïåðàòîðà

[A + "Q]'k = k 'k : Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñïåêòð

A

A + "Q , òî åñòü íàéòè ðåøåíèÿ çàäà÷è

(22)

íåâûðîæäåí. Ðàçëîæèì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè âîçìóùåí-

íîãî îïåðàòîðà ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàpàìåòpà

": 96

ãäå

(ki)

è

'(ki)

2 (2) k = k + "(1) k + " k + : : : ;

(23)

2 (2) 'k = k + "'(1) k + " 'k + : : : ;

(24)

íåêîòîpûå íåèçâåñòíûå ÷èñëà è ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâåííî. Îãðàíè÷èìñÿ ïåpâûì ïîpÿäêîì òåîpèè âîç-

ìóùåíèé. Ïîäñòàâëÿÿ â (22) âûðàæåíèÿ (23), (24) è ó÷èòûâàÿ ñàìî óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî

"

A k

= k k , ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ

ïîëó÷àåì

[A + "Q

(1) k "(1) k ]( + "'k ) = 0 ;

k

èëè

(1) k ) k +"[(A k )'(1) k + (Q k ) k ] = 0 : } =0

(|A

{z

Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìî ðåøèòü óðàâíåíèå:

(A

(1) k I )'(1) k = (k

Q) k :

k I = B . Ýòî âûpîæäåííûé îïåpàòîp (ïîñêîëüêó èìååò (1) ( Q) k = g . Òîãäà çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ

A

Îáîçíà÷èì Ïóñòü òàêæå

íóëåâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå:

(25) B k = 0 ).

k

B'(1) k =g : g îðòîãîíàëüíà  B g = 0 . Íå âäàâàÿñü â äîêàçàòåëüñòâà ïîÿñíèì ýòîò ðåçóëüòàò

 ñîîòâåòñòâèè ñ àëüòåðíàòèâàìè Ôðåäãîëüìà, ýòà çàäà÷à èìååò åäèíñòâåííîå påøåíèå, åñëè ôóíêöèÿ ÿäðó ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà, òî åñòü ðåøåíèÿì çàäà÷è ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïðåäñòàâèì

g

â âèäå ñóììû äâóõ ôóíêöèé, îäíà èç êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò ÿäðó ñîïðÿæåííîãî

îïåðàòîðà, à äðóãàÿ îðòîãîíàëüíîìó äîïîëíåíèþ:

g = v1 + v2

v1 ? v2

,

,

B  v 1 = 0 . Òîãäà

(1)  1 2 (1) 2 1 2 2 2 2 jjgjj2 = hB'(1) k ; g i = h'k ; B (v + v )i = hB'k ; v i = hv + v ; v i = hv ; v i ; òî åñòü íîðìà íå çàâèñèò îò ïpîåêöèè

g

íà ÿäðî ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà, èíà÷å ãîâîpÿ ýòîé ïpîåêöèè ïpîñòî íåò. Â

B = A k I  càìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð. (1) âèä (k Q) k ? k èëè h((1) Q) k ; k i = 0 , îòêóäà k íàøåé ñèòóàöèè

Òàêèì îáðàçîì óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè (25) ïðèíèìàåò

(1) k = hQ k ; k i : Òàêèì îáðàçîì ïîïðàâêè ê ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì îïðåäåëåíû. Ïîïðàâêè ê ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì îïðåäåëÿåì èç òîãî æå óðàâíåíèÿ (25)

(A

(1) k )'(1) k = (k

Q) k :

Òî åñòü ôîðìàëüíî

Íî

R (A)

ïðè

 = k

(1) (1) Q) k = X h i ; (k Q) k i i : '(1) k k = Rk (A)(k i k i=1 íå ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì îïåðàòîðîì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû

ñóììèðîâàíèå ìîæíî âåñòè ïî

i 6= k . Ïðîäîëæàÿ ðàâåíñòâî ïîëó÷àåì '(1) k =

((1) k

X h i;

i6=k

i

Q) k i i X h i ; Q k i i = : k k i i6=k 97

h((1) Q) k ; k i = 0 , ïîýòîìó k

Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îðòîãîíàëüíû. Èòàê, â ïåðâîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé

k = k + "hQ k ; k i ; 'k = k + "

X

i6=k

98

h i ; Q k i i : k

i

Ëèòåðàòóðà

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]

Í.Í. Êàëèòêèí // ×èñëåííûå ìåòîäû // Ìîñêâà, Íàóêà, 1978. Í.Ñ.Áàõâàëîâ, Í.Ï.Æèäêîâ, Ã.Ì.Êîáåëüêîâ // ×èñëåííûå ìåòîäû // Ì., Íàóêà, 1987. Äæ. Ôîpñàéò, Ì.Ìàëüêîëüì, Ê.Ìîóëåð // Ìàøèííûå ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé // Ìîñêâà, Ìèp, 1980. Ñ.Á. Ñòå÷êèí, Þ.Í. Ñóááîòèí // Ñïëàéíû â âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêå // Ìîñêâà, Íàóêà, 1976. À.Í.Êîëìîãîðîâ, Ñ.È.Ôîìèí // Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà // Ì., Íàóêà, 1972. Ä.Ê.Ôàääååâ// Ëåêöèè ïî àëãåáðå// Ì., Íàóêà, 1984. Ã.Å.Øèëîâ // Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç (ôóíêöèè îäíîãî ïåðåìåííîãî. ×àñòü 3) // Ì., Íàóêà, 1970. Ë.Ä.Ëàíäàó, Å.Ì.Ëèôøèö // Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà (íåðåëÿòèâèñòñêàÿ òåîðèÿ) // Ì., Íàóêà, 1989. À.Í.Òèõîíîâ, À.À.Ñàìàðñêèé // Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè // Ì., Íàóêà, 1972. Ã.Êîðí, Ò.Êîðí // Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå // Ì., Íàóêà, 1984. Ä.Ìàê-Êðàêåí, Ó.Äîðí // ×èñëåííûå ìåòîäû è ïðîãðàììèðîâàíèå íà ÔÎÐÒÐÀÍå // Ì., Ìèð, 1977. Â.Â.Âåðøèíèí, Þ.Ñ.Çàâüÿëîâ, Í.Í.Ïàâëîâ // Ýêñòðåìàëüíûå ñâîéñòâà ñïëàéíîâ è çàäà÷à ñãëàæèâàíèÿ // Íîâîñèáèðñê, Íàóêà, 1988.

[13]

À.È.Ãðåáåííèêîâ // Ìåòîä ñïëàéíîâ è ðåøåíèå íåêîððåêòíûõ çàäà÷ òåîðèè ïðèáëèæåíèé // Èçäàòåëüñòâî ÌÃÓ, 1983.

[14]

Ý.Äóëàí, Äæ.Ìèëëåð, Ó.Øèëäåðñ // Ðàâíîìåðíûå ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ñ ïîãðàíè÷íûì ñëîåì // Ì., Ìèð, 1983.

[15] [16]

Â.Â.Âîåâîäèí, Þ.À.Êóçíåöîâ // Ìàòðèöû è âû÷èñëåíèÿ // Ì., Íàóêà, 1984. Ñ.Ïèññàíåöêè // Òåõíîëîãèÿ ðàçðåæåííûõ ìàòðèö // Ì., Ìèð, 1988.

99