Задачи и упражнения по математическому анализу: Учебно-методическое пособие

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С КИ Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

ЗАД АЧИ И У П РАЖ Н Е Н И Я П О М АТ Е М АТ И ЧЕ С КО М У АН АЛ И ЗУ

У чебн о – мето дическо е по со бие по специальн о стям: 010501 (010200) « П р икладн ая математикаи ин ф о р матика» 010901 (010500) « М ех ан ика» 010503 (351500) « М атематическо е о беспечен ие и админ истр ир о ван ие ин ф о р мацио н н ы х систем»

В О РО Н Е Ж 2005

2 У твер ж ден о н аучн о -мето дическо й ко миссией ф акультетапр икладн о й математики, ин ф о р матики и мех ан ики 20 сен тябр я 2005 г., пр о то ко л № 10

С о ставители : Л ар ин А. А., В ин о гр адо ваГ .А.

У чебн о -мето дическо е по со бие по дго то влен о н акаф едр е диф ф ер ен циальн ы х ур авн ен ий ф акультета пр икладн о й математики, ин ф о р матики и мех ан ики В о р о н еж ско го го судар ствен н о го ун ивер ситета. Реко мен дуется для студен то в 1 кур сад/о и в/о , о бучаю щ их ся по специальн о стям 010501 (010200) « П р икладн ая математикаи ин ф о р матика» 010901 (010500) « М ех ан ика» 010503 (351500) « М атематическо е о беспечен ие и админ истр ир о ван ие ин ф о р мацио н н ы х систем»

3 1. М ето до м математическо й ин дукции до каж ите спр аведливо сть р авен ств для каж до го н атур альн о го з н ачен ия n : а) 12 + 2 2 + 32 + ... + (2 n − 1) 2 = n (4 n 2 − 1) / 3; б) 12 − 22 + 32 − 42 + ... + ( − 1) n−1 n 2 = ( − 1) n−1 n ( n + 1) / 2; 1 1 1 n + + ... + = . в) 1⋅ 5 5⋅ 9 (4n − 3) (4n + 1) 4n + 1 2. М ето до м математическо й ин дукции до каж ите спр аведливо сть следую щ их н ер авен ств для всех н атур альн ы х n > 1: 1 3 5 2n − 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ < ; 2 4 6 2n 3n + 1 1 1 1 13 б) + + ... + > ; n +1 n + 2 2n 24 1 1 + ... + < 2 n; в) n < 1 + 2 n а)

г)

1 1 1 1 n < 1 + + + + ... + n < n. 2 2 3 4 2 −1

3. Д о каз ать, что arctg

1 1 1 n , n∈N. + arctg + ... + arctg 2 = arctg 2 8 2n n +1

4. Д о каз ать, что для лю бы х n по ло ж ительн ы х чисел x1 , ... , xn , удо влетво р яю щ их усло вию x1 ⋅ ... ⋅ xn = 1, имеет место со о тн о шен ие x1 + x2 + ... + xn ≥ n . 5. С пр аведливаследую щ ая тео р ема, пр ин адлеж ащ ая Г ур вицу : Е сли ξ − ир р ацио н альн о е число , и c ≤ 5 − лю бо е по ло ж ительн о е дейстh вительн о е число , то сущ ествует беско н ечн о мн о го р ацио н альн ы х чисел таk ких , что |ξ −

h 1 |< . k c k2

4 Е сли ж е c > 5 , то сущ ествуетир р ацио н альн о е число ξ , для ко то р ы х указ ан н о е н ер авен ство вы по лн яется то лько для ко н ечн о го мн о ж ества р ацио н альн ы х h чисел . k П о каж ите, что для лю бы х н атур альн ы х p и q вы по лн яется н ер авен ство p 1 | ≥ . q 4q2

| 2 −

6. Равн о сто р о н н ие тр еуго льн ики со сто р о н ами 1,3,5, ... , вы стр о ен ы в р яд так, что их о сн о ван ия р аспо ло ж ен ы н а о дн о й пр ямо й и впло тн ую пр имы каю т др уг к др угу. Д о каз ать, что вер шин ы тр еуго льн ико в, пр о тиво леж ащ ие о сн о ван иям, р аспо ло ж ен ы н апар або ле. 7. У стан о вить вз аимн о -о дн о з н ачн о е со о тветствие меж ду то чками ин тер вала (0; 1) и то чками о тр ез ка [0; 1]. 8. П о следо вательн о сть{xn } о пр еделяется следую щ имо бр аз о м: xn =

1 1 1 + + ... + . n ( n + 1) 1⋅ 2 2 ⋅ 3

Н айти lim xn . n →∞

9. Д о каз ать, что если k ∈ (0;1), то lim [(n + 1)k − n k ] = 0. n →∞

10. Н айти пр еделы по следо вательн о стей xn =

n n2 + n

, yn =

n n2 + 1

, zn =

1 n2 + 1

+ ... +

11. П усть a > 1. И сследо ватьпо веден ие о тн о шен ия

1 n2 + n

an , k > 0, пр и n → ∞ . nk

1

12. Д о каз ать, что lim n n . У стан о витьспр аведливо стьо цен ки n →∞

<

2 n

.

.

1

0 < nn − 1 <

5 cn 13. Д о каз ать, что lim = 0. n →∞ n ! 14. П усть дан ы два числа a и b . П о ло ж им x0 = a , x1 = b , а по следую щ ие з н ачен ия xn о пр еделим р авен ство м xn = ( xn − 2 + xn −1 ) / 2, n ≥ 2. Д о каз ать, что пр еделпо следо вательн о сти {xn } сущ ествуети р авен ( a + 2b) / 3. 15. Д о каз атьсх о димо стьи н айти пр еделпо следо вательн о сти а) an +1 = ( an + A) / 4, a1 = 0 ; б) an +1 = (2 an + M / an2 ) / 3, a1 = M > 0. 16. П усть c > 0. О пр еделимпо следо вательн о сть{xn } так: x1 = c , x2 = = c + c , и, во о бщ е, xn = c + c + ... + c . Д о каз ать, что пр едел {xn } сущ ествует, и вы числитьего . 17. П о каз ать, что если по следо вательн о сть {xn } имеетпр едел, ко н ечн ы й или беско н ечн ы й, то то т ж е пр едел имеет и по следо вательн о сть bn = ( x1 + ... + xn ) / n . 18. П усть дан ы m по ло ж ительн ы х чисел a1 , ..., am . О бо з н ачая чер ез A н аибо льшее из н их , до каз ать, что n

lim

n →∞

a1n + a2n + ... + ann = A .

19. П усть p1 , ..., pl , a1 , ..., al − пр о из во льн ы е по ло ж ительн ы е числа. Т о гда lim

n →∞

n

p1 a1n + p2 a2n + ... + pl aln

сущ ествуети р авен н аибо льшему из чисел a1 , a2 , ... , al . Д о каз ать. 20. В о бо з н ачен иях пр еж н ей з адачи имеем lim

n →∞

Д о каз ать.

p1 a1n +1 + p2 a2n +1 + ... + pl aln +1 = max{ai }. 1≤ i ≤ l p1 a1n + p2 a2n + ... + pl aln

6 21. П о каз ать, что если по ло ж ительн ая по следо вательн о сть {an } имеет пр едел (ко н ечн ы й или н ет), то то тж е пр едел имеети по следо вательн о сть bn =

a1 a2 ... an .

n

22. П о следо вательн о сть {xn } н аз ы вается по следо вательн о стью с о гр ан ичен н ы м из мен ен ием, если сущ ествует число C тако е, что для лю бо го n ∈ N вы по лн яется усло вие n

∑| x k =1

k +1

− xk | ≤ C .

Д о каз ать, что лю бая по следо вательн о стьсо гр ан ичен н ы миз мен ен иемсх о дится. 23. С ущ ествуетли пр едел lim sin n ? О твето бо сн о вать. n →∞

24. xn =

пр едельн о й то чко й по следо вательн о сти

Является ли то чка 0

n sin n ? П о следо вательн о сти xn =

3

n 2 + 1 sin n ? О твето бо сн о вать.

25. П о следо вательн о сть {xn } о бладаетсво йство м: | xn − xm | >

1 для лю бы х n < m , n, m ∈ N . n

Д о каз ать, что по следо вательн о стьн ео гр ан ичен а. 26. П о следо вательн о сть {xn } з адан аследую щ имо бр аз о м: x1 =

1 , xn +1 = xn − xn2 пр и n ≥ 1. 2

Д о каз ать, что lim n xn = 1. n →∞

27. П усть a1 = 1, ak = k ( ak −1 + 1), k > 1. В ы числить lim

n →∞

n

1

∏ (1 + a k =1

).

k

28. Д о каз атьн ер авен ство e −

n

∑ k =0

1 1 < . k! n ⋅ n!

29. И спо льз уя н ер авен ство из пр еды дущ ей з адачи и учиты вая то тф акт, что

7 n!

n

1

k =0

k!

∑

естьцело е число , до каз ать, что число e - ир р ацио н альн о е. 30. Д о каз атьн ер авен ство n

n

n n а)   < n ! < e   , n ∈ N ; e 2 n

1 1 4  < e − 1 +  < , n∈ N. б) 4n n n 

31. Д о каз ать, что для лю бо го счётн о го мн о ж ества A = {xn } вещ ествен н ы х чисел сущ ествуеттако е число a , что мн о ж ество {xn + a} ∩ A пусто . 32. Д о каз ать, что по следо вательн о сть n ! e − [n ! e], n ∈ N , имеет един ствен н ую пр едельн ую то чку 0 (з десь и далее симво ло м [ s ] о бо з н ачается целая частьчисла s ). 33. Д о каз ать, что лю бая то чка един ичн о й о кр уж н о сти | z | = 1 является пр едельн о й то чко й по следо вательн о сти zn = e

1 1 1 i (1 + + + ... + ) 2 3 n

, n∈ N.

34. Д о каз атьследую щ ие утвер ж ден ия. а) П усть n − цело е число , x − пр о из во льн о е. Т о гда [ x + n] = [ x] + n . б) [2 x ] − 2[ x ] = 0 или 1, смо тр я по то му, будетли x − [ x ] <

1 1 или ≥ . 2 2

в) Е сли 0 < α < 1, то [ x ] − [ x − α ] = 0 или 1, смо тр я по то му, будет ли x − [ x ] ≥ α или < α .

8 35. П усть θ − ир р ацио н альн о е число , 0 < θ < 1, и an р авн о 0 или 1, смо тр я по то му, р авн ы меж ду со бо й или ж е р аз личн ы числа [nθ ] или [( n −1)θ ]. П о каз ать, что lim (a1 + a2 + ... + an ) / n = θ . n →∞

(У каз ан ие: по лучитьявн о е вы р аж ен ие для an ). 36. Д о каз ать, что если по кр айн ей мер е о дн ако о р дин атацен тр ао кр уж н о сти ир р ацио н альн а, то н а само й о кр уж н о сти н е бо лее двух то чек с р ацио н альн ы ми ко о р дин атами. 37. Ф ун кция f о пр еделен ан асимметр ичн о мпр о меж утке ( − l ; l ). Д о каз ать, что её мо ж н о пр едставитьв виде суммы чётн о й и н ечётн о й ф ун кций. 38. Д о каз ать, что мо н о то н н ая ф ун кция имеетн е бо лее чемсчётн о е мн о ж ество то чек р аз р ы ва. 39. П усть f ( x ) и g ( x ) о пр еделен ы н авсей число во й пр ямо й и являю тся пер ио дическими ф ун кциями. И з вестн о , что lim ( f ( x ) − g ( x )) = 0. Д о каз ать, что f ( x ) ≡ g ( x ).

x→+∞

40. О пр еделимв пр о меж утке (0;1) ф ун кцию R( x ) следую щ имо бр аз о м: если p 1 x р ацио н альн о и вы р аж ается н есо кр атимо й др о бью , то R( x ) = ; для x ир q q р ацио н альн о го по ло ж им R( x ) = 0. Д о каз ать, что f ( x0 + 0) = f ( x0 − 0) = 0 для лю бо го x0 ∈ (0;1). И сследо ватьф ун кцию R ( x ) н ан епр ер ы вн о сть. 41. П усть t = 0, t1 t2 ... tn ... − десятичн ая з апись числа t , 0 ≤ t < 1. П усть, далее, n1 < n2 < ... < nk < ... − н еко то р ая по дпо следо вательн о сть по следо вательн о сти н атур альн ы х чисел. И сследо ватьн ан епр ер ы вн о стьф ун кцию x(t ) = 0, tn 1 tn 2 ... tn k ... . 42. Н айти все н епр ер ы вн ы е в пр о меж утке ( − ∞ ; ∞) ф ун кции f ( x ), удо влетво р яю щ ие усло вию f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ), како вы бы н и бы ли з н ачен ия x и y. 43. Д о каз ать, что для лю бо й н епр ер ы вн о й ф ун кции f : [0;1] → [0;1] (о то бр аж ен ие f сю р ъективн о ) сущ ествует x0 ∈ [0;1] такая, что f ( x0 ) = x0 (н епо движ н ая то чкао то бр аж ен ия f ).

9 44. Ф ун кция f ( x ) о пр еделен ан апо луо си [0; + ∞) и р авн о мер н о н епр ер ы вн ан ан ей. И з вестн о , что lim f ( x + n ) = 0 (n − цело е) для лю бо го x ≥ 0. Д о каn →∞

з ать, что lim f ( x ) = 0 . x→+∞

45. Е сли о гр ан ичен н ая мо н о то н н ая ф ун кция f ( x ) н епр ер ы вн а н а ин тер вале ( a ; b), ко н ечн о мили беско н ечн о м, то о н ар авн о мер н о н епр ер ы вн ан а ( a ; b). 46. П усть f ( x ) − н епр ер ы вн ая н а ( a ; b) ф ун кция и x1 , x2 , x3 − лю бы е то чки из это го ин тер вала. Т о гдасущ ествуетто чка ξ ∈ ( a ; b) такая, что 1 f (ξ ) = ( f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 )). 3 Д о каз ать. 47. Ф ун кция f ( x ) н епр ер ы вн ан авсей число во й пр ямо й и пер ио дичн аспер ио до м 2π . Д о каз ать, что сущ ествуетто чка ξ такая, что f (ξ ) = f (ξ + π ). 48. И сследо ватьн адиф ф ер ен цир уемо стьф ун кцию 1  2  x sin , x ≠ 0, f ( x) =  x  0, x = 0. 49. П усть  g ( x ), x ≥ a f ( x) =   h ( x ), x < a . Како му усло вию до лж н ы удо влетво р ять н епр ер ы вн ы е ф ун кции g и h , что бы ф ун кция f бы ладиф ф ер ен цир уемо й н авсей число во й о си ?

50. Н айти мн о го член н аимен ьшей степен и p ( x ) тако й, что бы ф ун кция

бы ла

 x 2 e − 2 x , | x | ≤ 1, f ( x) =   p( x ), | x | > 1

1) н епр ер ы вн ан авсей число во й пр ямо й; 2) диф ф ер ен цир уеман авсей число во й пр ямо й.

10 51. П устьф ун кция f ( x ) о пр еделен ан ао тр ез ке [a ; b] и для лю бы х x1 ∈ [a ; b] , x2 ∈ [a ; b] вы по лн яется н ер авен ство | f ( x1 ) − f ( x2 ) | ≤ K | x1 − x2 |α , K = const , α > 1. Т о гда f ( x ) = const н ао тр ез ке [a ; b]. Д о каз ать. 52. П усть ф ун кция f ( x ) дваж ды диф ф ер ен цир уема н а пр о меж утке [0; ∞), lim f ( x ) = 0, | f ′( x ) | ≤ 1. Т о гда lim f ′( x ) = 0. Д о каз ать. x→+∞

x→+∞

53. Д о каз ать, что если для н епр ер ы вн о й в то чке x0 ф ун кции f ( x ) сущ ествует lim f ′( x ) = A , то сущ ествуети f +′( x0 ) = A (то естьпр о из во дн ая спр авав то ч-

x → x0 + 0

ке x0 такж е сущ ествуети р авн а A ). 54. И з вестн о , что ф ун кция f ( x ) н епр ер ы вн а н а о тр ез ке [0;1] , диф ф ер ен цир уеман аин тер вале (0;1), f (0) = 4, f (1) = 2, f ′( x ) ≥ − 2. Д о каз ать, что f ( x ) − лин ейн ая ф ун кция. 55. С по мо щ ью мето да математическо й ин дукции до каз ать, что для лю бы х з н ачен ий n мн о го член x2 xn Pn ( x ) = 1 + x + + ... + 2! n! н е мо ж етиметь бо лее о дн о го действительн о го ко р н я (то чн ее, имеет место следую щ ий ф акт: пр и n = 2 m мн о го член Pn ( x ) н е имеетдействительн ы х ко р н ей, апр и n = 2 m + 1 имеетр о вн о о дин действительн ы й ко р ен ь). 56. П усть f ( x ) - мн о го член n − о й степен и, имею щ ий n р аз личн ы х вещ ествен н ы х ко р н ей, а f ′( x ) − его пр о из во дн ая. С о ставим р аз н о сти меж ду каж ды м из ко р н ей ур авн ен ия f ( x ) = 0 и каж ды м из ко р н ей ур авн ен ия f ′( x ) = 0. В ы числитьсумму величин , о бр атн ы х по лучен н ы мр аз н о стям. 57. П устьф ун кция f ( x ) н епр ер ы вн ан ао тр ез ке [0;1] и диф ф ер ен цир уеман а ин тер вале (0;1). Д о каз ать, что если f (0) = f (1) = 0, то f ′( x ) = f ( x ) в н еко то р о й то чке x ∈ (0;1). 58. С ко лько действительн ы х ко р н ей имеетмн о го член

x2 xn Pn ( x ) = 1 + x + + ... + ? 2 n

11 59. Д о каз ать, что ф ун кция f (t ) =

r

∑ p (t ) e k =1

k

λk t

≠ 0,

где pk (t ) − мн о го член ы , λk ∈ R ( k = 1,..., r ), имеет ко н ечн о е число н улей н а действительн о й о си. 60. Д о каз ать, что мн о го член x2 xn Pn ( x ) = 1 + x + + ... + 2! n! н е имееткр атн ы х ко р н ей. 61. Н айти мн о го член н аимен ьшей степен и, пр ин имаю щ ий максимальн о е з н ачен ие 6 пр и x = 1 и мин имальн о е з н ачен ие 2 пр и x = 3. 62. П усть мн о го член P ( x ) имеет то лько вещ ествен н ы е ко р н и. Д о каз ать, что если a − кр атн ы й ко р ен ь P ′( x ), то P( a ) = 0. 63. П усть c1 c + ... + n = 0. n +1 2 Д о каз ать, что мн о го член c0 + c1 x + ... + cn x n имеет х о тя бы о дин действительн ы й ко р ен ь. c0 +

64. Д о каз ать, что для всяко й со во купн о сти действительн ы х чисел a0 , a1 , ... , an и лю бо й то чки x = x0 сущ ествуеттако й мн о го член P ( x ) степен и n , что P ( k ) ( x0 ) = ak ( k = 0,1,..., n ). В ы р аз ить ко эф ф ициен ты это го мн о го член а чер ез числа ak . 65. П усть P( x ) − мн о го член степен и n и P( a ) ≥ 0, P′( a ) ≥ 0, ... , P ( n −1) ( a ) ≥ ≥ 0, P ( n ) ( a ) > 0. Д о каз ать, что действительн ы е ко р н и ур авн ен ия P( x ) = 0 (если о н и сущ ествую т) н е пр ево сх о дят a. 66. Н айти все мн о го член ы P( x ), удо влетво р яю щ ие то ж деству x P ( x − 1) ≡ ( x − 2) P( x ), x ∈ R . 67. Н айти все мн о го член ы P( x ), удо влетво р яю щ ие то ж деству ( x − 1) P( x + 1) − ( x + 2) P ( x ) ≡ 0, x ∈ R .

12 68. Д о каз ать, что н и для о дн о го мн о го член а с целы ми ко эф ф ициен тами н е мо гутвы по лн яться р авен ства P(7) = 5, P (15) = 9. 69. Д ан мн о го член P( x ) с целы ми ко эф ф ициен тами, пр ичём P(0) и P(1) − целы е н ечётн ы е числа. Д о каз ать, что P ( x ) н е имеетцелы х ко р н ей. 70. П усть P( x ) − цело числен н ы й мн о го член , то есть мн о го член , пр ин имаю щ ий пр и целы х x целы е з н ачен ия. П усть P( x ) пр ин имаетз н ачен ие, р авн о е 5, в пяти целы х то чках . Д о каз ать, что мн о го член P( x ) н е имеетцелы х ко р н ей. 71. П усть P( x ) − квадр атн ы й тр ёх член , 0 ≤ P( − 1) ≤ 1, 0 ≤ P(0) ≤ 1, 0 ≤ P(1) ≤ 1. Д о каз ать, что P( x ) ≤ 9 / 8 для лю бо го x ∈ [0 ; 1]. 72. Ф ун кция f ( x ) о пр еделен ан авсей о си и о бладаетследую щ имсво йство м: пр и x ∈ R f ( x + ∆ x ) − f ( x ) = A ( x ) ∆ x + α ( x , ∆ x ), где | α ( x , ∆ x ) | ≤ C | ∆ x |3 , C = const . Д о каз ать, что f ( x ) = A x + B , A = const , B = const . 73. Ф ун кция f ( x ) диф ф ер ен цир уема н а о тр ез ке [a ; b]. П р и пер ех о де чер ез то чку ξ ∈ [a ; b] пр о из во дн ая f ′( x ) мен яет з н ак и f ′(ξ ) = 0. Д о каз ать, что сущ ествую ттакие числаα , β ∈ [a ; b], α < β , что f ( β ) − f (α ) = 0. 74. Ф ун кция ϕ ( x ) диф ф ер ен цир уемаи удо влетво р яетусло вию φ ′( x ) = = F (φ ( x )), где F ( x ) имеетпр о из во дн ы е всех по р ядко в. Д о каз ать, что ф ун кция φ ( x ) такж е имеетпр о из во дн ы е всех по р ядко в. 75. Ф ун кция f ( x ), о пр еделен н ая н а [0; ∞), пр о до лж ается н авсю о сьпо ф о р муле f ( x ), x ≥ 0,   n f ( x) =  ak f ( − k x ), x < 0. ∑  k =1 !

Д о каз ать, что ко эф ф ициен ты ak мо ж н о вы бр атьтак, что бы для лю бо й ф ун кции !

f ( x ) ∈ C n −1 ([0; ∞)) ф ун кция f ( x ) бы ла n − 1 р аз н епр ер ы вн о диф ф ер ен цир уемо й н авсей о си.

13 76. Н айти все о пр еделён н ы е н адействительн о й о си дваж ды диф ф ер ен цир уемы е ф ун кции f ( x ) такие, что f ′( x ) f ′′( x ) = 0 для каж до го x . 77. Д ан аф ун кция f ( x ) ∈ C m ([0;1]). И з вестн о , что н и о дн аиз ф ун кций f ( k ) ( x ) пр и k = 0,1, ... , m − 1 н е пр ин имает н улево го з н ачен ия н а о тр ез ке [0;1], а | f ( m ) ( x ) | ≥ M пр и всех x ∈ [0;1]. Д о каз ать, что max f ( x ) ≥ M / m ! . x ∈[0;1]

78. П усть мн о го член P( x ) н е имеет действительн ы х ко р н ей. Д о каз ать, что мн о го член P (2) ( x ) P (2 n ) ( x ) P( x ) + + ... + + ... 2! (2 n ) ! такж е н е имеетвещ ествен н ы х ко р н ей. 79. П устьф ун кция f ( x ) диф ф ер ен цир уеман ао тр ез ке [0;1], f ′(0) = 1, f ′(1) = = 0. Д о каз ать, что f ′( c ) = c в н еко то р о й то чке c ∈ (0;1). 80. Ф ун кция f ( x ) н епр ер ы вн а н а о тр ез ке [a ; b] и диф ф ер ен цир уема н а ин тер вале ( a ; b). И з вестн о , что f ( a ) ≤ f (b) и пр и н еко то р о м ε > 0 н ер авен ство f ( x ) + f ′( x ) < ε вы по лн ен о для всех x ∈ ( a ; b). Д о каз ать, что f ( x ) < ε пр и x ∈ ( a ; b). 81. П усть f ( x ) ∈ C ∞ ( R ), f (0) = 0, f ( k ) (0) = 0 и f ( k ) ( x ) ≥ 0 для всех k ∈ N и x > 0. Д о каз ать, что f ( x ) = 0 пр и x > 0. 82. П усть ф ун кция f ( x ) тр иж ды диф ф ер ен цир уеман а R . П р и это м ф ун кции f ( x ), f ′( x ), f ′′( x ), f ′′′( x ) всю ду по ло ж ительн ы . Д о каз ать, что сущ ествует тако е по ло ж ительн о е число a , что f ( x ) > a x 2 пр и лю бо м x > 0. 83. Д о каз атьн ер авен ства а) sin x >

2 π x пр и 0 < x < ; π 2

x2 б) cos x > 1 − пр и x > 0; 2 в) sin x > x −

x3 пр и x > 0; 6

14 x3 π пр и 0 < x < ; г) tg x > x + 3 2 д) ln x ≤ x − 1 пр и x > 0. 84. П усть x > 0, 0 < α < 1. Д о каз атьн ер авен ство xα − α x ≤ 1 − α . 85. И сследо ватьн аэкстр емум в то чке x = 0 ф ун кции :  x 2 sin (1/ x ), x ≠ 0, а) f ( x ) =  0, x = 0. 

 x 2 (1 + sin (1/ x )), x ≠ 0, б) f ( x ) =  0, x = 0.  86. О пир аясь н а ф о р мулу Т ейло р а, по каз ать, что для бо льших по ло ж ительн ы х ко р н ей ур авн ен ия x tg x = 1 спр аведливаф о р мула 1 x = πn + + O ( n − 3 ), n ∈ N . πn 87. Д о каз ать, что бо льшие по ло ж ительн ы е ко р н и ур авн ен ия tg x = x даю тся асимпто тическо й ф о р муло й 1 2 1 x = µ− − + O ( µ − 5 ), 3 µ 3 µ 1 где µ = π ( n + ), n ∈ N . 2 88. П усть x ∈ (0; π ). П о каз ать, что n − я итер ация син уса sin n ( x ) = sin (sinn −1 ( x )), sin1 ( x ) = sin x пр и во з р астан ии n стр емится к 0, пр ичёмимеетместо пр едельн о е со о тн о шен ие lim

n →∞

n sin n ( x ) = 1. 3

89. П усть f ( x + h ) = f ( x ) + h f ′( x ) + ... +

hn (n) f ( x + θ h ), θ = θ ( h ) ∈ (0;1), n!

15 пр ичём f ( n +1) ( x ) ≠ 0. Д о каз ать, что 1 . h→0 n +1 90. У стан о витьин тегр ир уемо стьф ун кции R( x ) из з адачи № 40. lim θ =

91. Д о каз атьследую щ ий кр итер ий ин тегр ир уемо сти по Риман у : для сущ ество ван ия ин тегр алао тф ун кции f ( x ) н ео бх о димо и до стато чн о , что бы по з адан н ы м числам ε > 0 и σ > 0 мо ж н о бы ло н айти тако е δ > 0, что , лишь то лько все ∆ xi < δ , сумма ∑ ∆ xi′ длин тех пр о меж утко в, ко то р ы м о твечаю т ко лебаi′

н ия ф ун кции ωi′ ≥ ε , самабы лабы мен ьше σ . 92. В о спо льз о вавшись устан о влен н ы м в пр еды дущ ей з адаче кр итер ием, до каз атьследую щ ее пр едло ж ен ие. Е сли ф ун кция f ( x ) ин тегр ир уема в пр о меж утке [a ; b], пр ичём з н ачен ия её н е вы х о дят з а пр еделы пр о меж утка [c ; d ], в ко то р о м н епр ер ы вн а ф ун кция g ( y ), то сло ж н ая ф ун кция g ( f ( x )) такж е ин тегр ир уемав [a ; b]. 93. Н айти з н ачен ия ин тегр ало в ( m и n - н атур альн ы е числа) : π 2

а)

sin (2 m − 1) x dx ; б) ∫0 sin x

π 2

2

 sin n x  ∫0  sin x  dx .

94. П устьимеется н епр ер ы вн ая пер ио дическая ф ун кция f ( x ) спер ио до м ω , так что пр и лю бо м x вы по лн яется р авен ство f ( x + ω ) = f ( x ). Т о гда в лю бы х пр о меж утках с длин о й ω , р авн о й пер ио ду, ин тегр ал о т это й ф ун кции имеет о дн о и то ж е з н ачен ие, a +ω

∫

f ( x ) dx =

a

ω

∫ f ( x ) dx . 0

Д о каз ать. 2

95. У читы вая то тф акт, что

dx = ln 2, до каз атьсо о тн о шен ие x 1

∫

 1 1 1  lim  + + ... +  = ln 2. n →∞ n+2 2n  n +1 96. Ф ун кция f ( x ) имеетн ао тр ез ке [0 ; 1] о гр ан ичен н ую пр о из во дн ую . Д о каз ать, что сущ ествует по сто ян н ая C > 0 такая, что для лю бо го n ∈ N вы по лн яется н ер авен ство

16 1

| ∫ f ( x ) dx − 0

1 n

n

k

C . n

∑ f (n) | ≤ k =1

97. Д о каз ать, что если f ( x ) ∈ C 2 ([0 ; 1]), то 1 1 lim n  ∫ f ( x ) dx − n →∞ n 0

n −1

k 

k =0



∑ f ( n )

f (1) − f (0) . 2

=

98. Ф ун кция f ( x ) н а о тр ез ке [a ; b] имеет о гр ан ичен н ую и ин тегр ир уемую пр о из во дн ую . П о ло ж им b b−a n b−a ∆ n = ∫ f ( x ) dx − f (a + k ). ∑ n n k =1 a Н айти lim n ∆ n . n →∞

99. Д о каз ать, что для о гр ан ичен н о й и мо н о то н н о й н ао тр ез ке [0 ; 1] ф ун кции f ( x ) сущ ествуетпо сто ян н ая C > 0 такая, что для лю бо го n ∈ N вы по лн яется н ер авен ство 1 1 n k C | ∫ f ( x ) dx − f( )| ≤ . ∑ n k =1 n n 0 100. Ф ун кция f ( x ) о пр еделен ан ао тр ез ке [0 ; 1] и убы ваетн ан ём. Д о каз ать, что для лю бо го α ∈ (0 ; 1) вер н о н ер авен ство α

∫ f ( x ) dx

1

≥ α

0

∫ f ( x ) dx . 0

101. Ф ун кции f ( x ) и g ( x ) ин тегр ир уемы по Риман у н ао тр ез ке [a ; b]. Д о каз атьн ер авен ство b

| ∫ f ( x ) g ( x ) dx | ≤ 2

a

b

∫ ( f ( x))

b

2

dx

a

∫ ( g ( x))

2

dx .

a

102. Ф ун кция f ( x ) н епр ер ы вн о диф ф ер ен цир уема н а о тр ез ке [0 ; 1] и удо влетво р яетусло вию f (1) − f (0) = 1. Д о каз ать, что 1

∫ ( f ′( x)) 0

103. П усть

2

dx ≥ 1.

17 1  sin , x ≠ 0, f ( x) =  x  0, x = 0. Д о каз ать, что сущ ествуетпо сто ян н ая C > 0 такая, что x

| ∫ f (t ) dt | ≤ C x 2 , | x | ≤ 1. 0

1

104. Ф ун кция f ( x ) н епр ер ы вн а н а о тр ез ке [0 ; 1], пр ичём ∫ f ( x ) dx > 0. Д о 0

каз ать, что сущ ествуето тр ез о к [a ; b] ⊂ [0 ; 1], н ако то р о м f ( x ) > 0. 105. П устьф ун кция f ( x ) н епр ер ы вн ан ао тр ез ке [a ; b] и для лю бы х x1 и x2 из [a ; b] спр аведливо н ер авен ство f (( x1 + x2 ) / 2) ≤ ( f ( x1 ) + f ( x2 )) / 2. Т о гда a+b ) (b − a ) ≤ 2 Д о каз ать. f(

f ( a ) + f (b) (b − a ). 2

b

∫

f ( x ) dx ≤

a

106. Д о каз ать, что для н епр ер ы вн о диф ф ер ен цир уемо й н а о тр ез ке [a ; b] ф ун кции f ( x ) 4 max | f ′( x ) | ≥ x ∈[ a ; b ] (b − a ) 2

если f ( a ) = f (b) = 0.

b

∫ | f ( x) | dx , a

107. П устьф ун кция f ( x ) диф ф ер ен цир уеман ао тр ез ке [a ; b], пр ичём f ( a ) = = f (b) = 0. Т о гдан ао тр ез ке [a ; b] сущ ествуетпо кр айн ей мер е о дн ато чка ξ , в ко то р о й вы по лн яется н ер авен ство 4 | f ′(ξ ) | ≥ (b − a ) 2

b

∫ f ( x) dx . a

Д о каз ать. 108. Ф ун кция f ( x ) н епр ер ы вн ан а [a ; b] и для лю бо го о тр ез ка [α ; β ] ⊂ [a ; b] имеетместо н ер авен ство β

| ∫ f ( x ) dx | ≤ M | β − α |1 + δ , α

где M , δ − н еко то р ы е по ло ж ительн ы е по сто ян н ы е. Д о каз ать, что f ( x ) = 0 н а [a ; b].

18 109. В ы числить +∞

lim

n

n →∞

cos x ∫ (1 + x 2 )n dx . −∞

110. Н айти пр едел 1

lim

n →∞

n

n

∫ ln (1 + 1

1 x

) dx .

111. Ф ун кция f ( x ) н епр ер ы вн а и н ео тр ицательн а н а о тр ез ке [a ; b]. Д о каз ать, что   lim  ∫ ( f ( x ))n dx  n →∞ a  b

1 n

= max f ( x ). x∈[ a ;b ]

112. П усть ф ун кции ϕ ( x ) и f ( x ) н епр ер ы вн ы и по ло ж ительн ы н а о тр ез ке [a ; b]. Т о гда   lim  ∫ ϕ ( x ) ( f ( x ))n dx  n →∞ a  b

Д о каз ать.

1 n

= max f ( x ). x ∈[ a ;b ]

113. П усть sin (2 k − 1) x , 2 k − 1 k =1 где n − ф иксир о ван о , x ∈ (0 ; π ). Д о каз ать, что ф ун кция Sn ( x ) в указ ан н о м пр о меж утке по ло ж ительн а. Sn ( x ) =

n

∑

114. Д о каз ать, что для н епр ер ы вн ы х и н ео тр ицательн ы х ф ун кций u ( x ) и v( x ), удо влетво р яю щ их усло вию t

u(t ) ≤ C +

∫ u( x ) v( x ) dx , C > 0,

t > a,

a

спр аведливо н ер авен ство t

u(t ) ≤ C exp( ∫ v ( x ) dx ). a

115. П усть u( x ) − по ло ж ительн ая н епр ер ы вн ая ф ун кция, о пр еделён н ая н а пр о меж утке [0 ; + ∞), пр ичём

19 +∞

dx

∫ u( x ) < ∞ . 0

Д о каз ать, что lim

A→ + ∞

1 A2

A

∫ u( x ) dx = + ∞ . 0

116. П усть 1 In = n!

π 2

n

π 2 2 ∫π  4 − t  cos t dt , n = 0,1, 2, ... .

−

2

Д о каж ите, что I n = Pn (π 2 ), где Pn − алгебр аический мн о го член степен и н е вы ше n сцелы ми ко эф ф ициен тами. В ы ведите о тсю да, что π 2 (аследо вательн о , и π ) – ир р ацио н альн о е число . 117. П усть 1 Jn = n!

x

∫ (x

2

− t 2 ) n e t dt , n = 0,1, 2, ... .

−x

Д о каж ите, что J n ( x ) = An ( x ) e x + Bn ( x ) e − x , где An , Bn − алгебр аические мн о го член ы степен и n с целы ми ко эф ф ициен тами. В ы ведите о тсю да, что e r ∉ Q , если r ∈ Q , r ≠ 0. 118. П усть 1 I n ( x) = n! Д о каж ите, что

x

∫ (x

2

− t 2 ) n cos t dt , n = 0,1, 2, ... .

−x

I n ( x ) = Cn ( x ) cos x + Sn ( x )sin x ,

где Cn , Sn − алгебр аические мн о го член ы степен и н е вы ше n с целы ми ко эф ф ициен тами. В ы ведите о тсю да, что tg r ∉ Q , если r ∈ Q , r ≠ 0. В з аклю чен ие пр иведемо бр аз цы з адач, часто встр ечаю щ их ся н аэкз амен е по математическо му ан ализ у в пер во мсеместр е. 1. Н айти мн о ж ество частичн ы х пр едело в по следо вательн о сти n −1 2π n xn = sin , n∈N. n+2 3

20 2. П о льз уяськр итер иемКо ши, до каз атьсх о димо стьпо следо вательн о сти cos 1! cos 2! cos n ! xn = + + ... + , n∈N. 1⋅ 2 2⋅3 n ( n + 1) 3. Д о каз ать, что мо н о то н н ая по следо вательн о сть будет сх о дящ ейся, если сх о дится н еко то р ая ее по дпо следо вательн о сть. 4. В ы числитьпр едел 1 lim . n →∞ (0,3) n ⋅ n ! 5. В ы числитьпр едел 2n + 1 lim n ⋅ . n →∞ n! + n 6. В ы ясн ить, является ли ф ун дамен тальн о й по следо вательн о сть n 1 xn = ∑ . 1 2 k =1 ( k + 1) sin k 7. В ы ясн ить, является ли ф ун дамен тальн о й по следо вательн о сть n 1  1 xn = ∑  − ln (1 + )  . k  k =1  k 8. В ы числитьпр едел x + 2 − 3 x + 20 lim . x→7 4 x+9−2 9. В ы числитьпр едел 2

n

lim ( 3 x 3 + 3 x 2 −

x 2 − 2 x ).

x→+∞

10. В ы числитьпр едел

11. В ы числитьпр едел

 π x lim  tg  x →1 4   lim x →0

1 x+3−2

.

(cos x )sin 2 x − 1 . x3

12. В ы числитьпр едел 5x − 4 x lim . x → 0 ln (cos 2 x ) 2

2

13. В ы числитьпр едел  x 1 lim  ( x 3 − x 2 + ) e x − x→+ ∞ 2 

 x6 + 1  . 

14. П р о классиф ицир о ватьто чки р аз р ы ваф ун кции

21 1 1 − x x +1 . f ( x) = 1 1 − x −1 x 15. И сследо ватьф ун кцию 1 f ( x) = x   x н ан епр ер ы вн о стьи пр о классиф ицир о ватьее то чки р аз р ы ва. 16. Н а пр о меж утке (0;1) исследо вать н а р авн о мер н ую н епр ер ы вн о сть ф ун кцию 1 f ( x ) = e x sin . x 17. Н а пр о меж утке (0;1) исследо вать н а р авн о мер н ую н епр ер ы вн о сть ф ун кцию 1 f ( x ) = arctg (cos ). x 18. И сследо ватьн адиф ф ер ен цир уемо стьф ун кцию f ( x ) = arccos (cos x ).

19. И сследо ватьн адиф ф ер ен цир уемо стьф ун кцию 2x f ( x ) = arccos . 1 + x2 20. И сследо ватьн адиф ф ер ен цир уемо стьв то чке x = 0 ф ун кцию  sin x , x ≠ 0,  f ( x) =  x  1, x = 0. 21. В ы ясн ить, ско лько р аз диф ф ер ен цир уемав то чке x = 0 ф ун кция f ( x) = | x | x5 . 22. Н айти f (20) ( x ), если f ( x ) = ( x 2 − 1) log 2 (1 − 3 x ). 23. И сследо ватьн аэкстр емумф ун кцию  − |1x| 1 e ( 2 + sin ), x ≠ 0, f ( x) =  x  0, x = 0. 

22 Л итер атур а 1. Ф их тен го льц Г . М . К ур сдиф ф ер ен циальн о го и ин тегр альн о го исчислен ия / Г . М . Ф их тен го льц. – С П б., 1997. – Т . 1 – 3. 2. В ин о гр адо ваИ .А. М атематический ан ализ в з адачах и упр аж н ен иях /И .А. В ин о гр адо ва, С .Н . О лех н ик, В .А. С адо вн ичий. - М ., 2000.- Т . 1 – 2. 3. П о йаГ . Задачи и тео р емы из ан ализ а/Г . П о йа, , Г . С егё.- М ., 1978.- Т . 1-2.

23

С о ставители Л ар ин Алексан др Алексан др о вич В ин о гр адо ваГ алин аАн ато льевн а Редакто р Т их о мир о ваО .А.