Математическое моделирование в естественных науках

1

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ Öåëü ýòîãî êóðñà  ðàññêàçàòü îá îñíîâíûõ ìîäåëÿõ åñòåñòâîçíàíèÿ, íàó÷èòü ïîäõîäàì ê èññëåäîâàíèþ ÿâëåíèé ïðèðîäû, å¼ îñíîâíûõ çàêîíîâ  íà îñíîâå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ýòî  ëåêöèè. È õîòÿ ýòîò ïèñüìåííûé êóðñ íå ïîâòîðÿåò äîñëîâíî òî, ÷òî ãîâîðèòñÿ íà çàíÿòèÿõ, ÿ ñòàðàþñü ñîõðàíèòü ñòèëü æèâîãî ðàçãîâîðà ñ æèâîé àóäèòîðèåé. Äî ñèõ ïîð îáðàçöîì äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ñëóæèò ìåõàíèêà, íà÷èíàÿ ñ êëàññè÷åñêîãî òðóäà Íüþòîíà "Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû íàòóðàëüíîé ôèëîñîôèè" [5]. Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ìåõàíèêè âïëîòü äî XIX âåêà, ñâÿçàííîå ñ èìåíàìè, ïîæàëóé, âñåõ âåëèêèõ ìàòåìàòèêîâ è ôèçèêîâ XVIIXX â.â.  Ãþéãåíñ, Ëåéáíèö, Ôåðìà, Ýéëåð, Ëàãðàíæ, Ãàìèëüòîí, ßêîáè, Ãàóññ, Ãåðö, Ìàêñâåëë, Ïóàíêàðå  ïðèâåëî ê ïîñòðîåíèþ ãðàíäèîçíîãî çäàíèÿ ìåõàíèêè ñèñòåì ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû, à òàêæå è ìåõàíèêè ñïëîøíîé ñðåäû. Âñÿ èñòîðèÿ íàóêè ÿñíî ïîêàçûâàåò, ÷òî êàæäûé ñåðü¼çíûé íîâûé øàã â èññëåäîâàíèè ïðèðîäû áûâàåò íåðàçðûâíî ñâÿçàí ñ ðàçâèòèåì íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé. Íóæíî ëè íàïîìèíàòü, ÷òî íàó÷íûå îòêðûòèÿ íåïîñðåäñòâåííî âëèÿþò íà ðàçâèòèå òåõíîëîãèè, à òåì ñàìûì è íà îáðàç æèçíè ëþäåé? Âðåìÿ îò âðåìåíè âîçíèêàþò ñïîðû î òîì, êàêîå äîñòèæåíèå ìàòåìàòèêè áûëî ñàìûì âàæíûì è êòî èç ìàòåìàòèêîâ áûë ñàìûì âåëèêèì. (ß íå ñ÷èòàþ òàêèå îáñóæäåíèÿ ñëèøêîì óæ ñåðü¼çíûìè, íî âñ¼-òàêè...). Î÷åíü ìíîãèå ñ÷èòàþò, ÷òî ãëàâíûì äîñòèæåíèåì áûëî ââåäåíèå ïîçèöèîííîé ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ, à åå àâòîð, èìÿ êîòîðîãî íåèçâåñòíî (âîçìîæíî, àðàá, à, ñêîðåå âñåãî, èíäóñ), è áûë âåëè÷àéøèì èç ìàòåìàòèêîâ íà íàøåé ïëàíåòå. Ñ ýòèì ìîæíî ïîñïîðèòü. ß ñêëîíåí äóìàòü,÷òî âåëè÷àéøèì äîñòèæåíèåì ìàòåìàòèêè ÿâëÿåòñÿ, áûòü ìîæåò, îãëàâëåíèå ñîâðåìåííûõ êíèã ïî ãëîáàëüíîé äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè. Îíî íà÷èíàåòñÿ ñ ïîíÿòèé òîïîëîãè÷åñêîãî è ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâ. Çàòåì ðàññìàòðèâàþòñÿ ìíîãîîáðàçèÿ, âåêòîðíûå ïîëÿ, äèôôåðåíöèàëüíûå ôîðìû, òåíçîðíûå ïîëÿ, ãåîäåçè÷åñêèå

2

íà ìíîãîîáðàçèÿõ, êðèâèçíû, âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû äëÿ ãåîäåçè÷åñêèõ, ãðóïïû è àëãåáðû Ëè. Ýòî îãëàâëåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåëèêèé ïëàí èññëåäîâàíèÿ, ñîçäàííûé è ðåàëèçîâàííûé, ïðåæäå âñåãî, â ìåõàíèêå, óñèëèÿìè åäâà ëè íå âñåõ âåäóùèõ ìàòåìàòèêîâ òðåõ ñòîëåòèé. Îêàçàëîñü, ÷òî ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè â ãåîìåòðèè â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóþò äâèæåíèÿì â ìåõàíèêå. Äàëåå âûÿñíèëîñü, ÷òî ÿâëåíèÿ, ñ âèäó ñîâåðøåííî íåïîõîæèå íà ìåõàíè÷åñêèå äâèæåíèÿ òåë, îïèñûâàþòñÿ ïî ñóòè òåìè æå çàêîíàìè, ëèøü ñ íåêîòîðûìè èçìåíåíèÿìè, íîñÿùèìè ìàëî ïðèíöèïèàëüíûé õàðàêòåð ñ òî÷êè çðåíèÿ îáùèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ òåîðèé. Íàïðèìåð, â îñíîâå ýëåêòðîäèíàìèêè ëåæàò âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû, óñòàíîâëåííûå âïåðâûå â ìåõàíèêå. Òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè ñ åå ãîëîâîêðóæèòåëüíûìè ñëåäñòâèÿìè òîæå îêàçûâàåòñÿ ñ ôîðìàëüíîé ñòîðîíû íå áîëåå, ÷åì îäíîé èç ãëàâ ìåõàíèêè. Ïëàí îïèñàíèÿ ïðèðîäû, ñîçäàííûé â ìåõàíèêå è ñâÿçàííûé, ãëàâíûì îáðàçîì, ñ äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèåé, ÿâëÿåòñÿ íåêèì èäåàëüíûì îáðàçöîì äëÿ äðóãèõ íàóê. Îäíàêî ïîëíîñòüþ îí íå ðåàëèçîâàí äàæå â ôèçèêå (çà èñêëþ÷åíèåì, ìîæåò áûòü, íåêîòîðûõ å¼ îáëàñòåé, ñêàæåì, òåðìîäèíàìèêè). Âðåìÿ ïîêàæåò, íàñêîëüêî ýòîò ïëàí óíèâåðñàëåí, ìîæåò ëè îí áûòü ðåàëèçîâàí, ñêàæåì, â áèîëîãèè èëè ïðèä¼òñÿ ñîçäàâàòü èíûå ïëàíû. Ïîêà ÷òî ìû î÷åíü äàëåêî îò îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ, õîòÿ â ðàçëè÷íûõ ÷àñòíûõ îáëàñòÿõ áèîëîãèè, õèìèè, ýêîíîìèêè ïðèìåíåíèå èäåé è ìåòîäîâ ìåõàíèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè äàëî óæå íåìàëî èíòåðåñíûõ è ãëóáîêèõ ðåçóëüòàòîâ. Ñåé÷àñ ïîñòîÿííî óïîòðåáëÿþòñÿ íàçâàíèÿ "ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêà", "ìàòåìàòè÷åñêàÿ õèìèÿ", "ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîëîãèÿ", "ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýêîíîìèêà". Íî íåò íèêàêîé "ôèçè÷åñêîé" èëè "áèîëîãè÷åñêîé" ìàòåìàòèêè. Ïðàâäà, â ïîñëåäíåå âðåìÿ ñòàë ìåëüêàòü òåðìèí "ôèíàíñîâàÿ ìàòåìàòèêà", íî ýòî ëèíãâèñòè÷åñêîå íåäîðàçóìåíèå. Ïî-àíãëèéñêè ãîâîðÿò mathematical finance, ìàòåìàòè÷åñêèå ôèíàíñû. Ýòî, îäíàêî, íåóäîáîïðîèçíîñèìî, ÷òî è ïðèâåëî ê ïîÿâëåíèþ "ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêè". Íåêîòîðûå íåäàëåêèå ëþ-

3

äè ïðèíÿëè ýòî íåäîðàçóìåíèå âñåðüåç è ïðåäëàãàþò ó÷èòü äåòåé ñêëàäûâàòü è âû÷èòàòü íå ÿáëîêè è ïàëî÷êè, à äîëëàðû è ðóáëè, è äàëüøå ïðîäîëæàòü ðàçâèâàòü ìàòåìàòèêó â òîì æå äóõå. Íó, êîíå÷íî, ÿ ñ÷èòàþ ýòî ÷óøüþ. Íà ñàìîì äåëå, â "ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêå" ïðèìåíÿþòñÿ âñ¼ òå æå ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, àëãåáðû, òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, òåîðèè ìåðû. Ðåøàþòñÿ óðàâíåíèÿ, ïî ñóòè (à òî è âîâñå íè÷åì) íå îòëè÷àþùèåñÿ îò óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Êñòàòè, âûñîêîìåðíîå îòíîøåíèå ìàòåìàòèêîâ ê ýòîé îáëàñòè íå î÷åíü îïðàâäàíî. Êîíå÷íî, õàëòóðùèêè åñòü âî âñåõ îáëàñòÿõ, à â íîâûõ (ìîäíûõ, ïðåñòèæíûõ è äåíåæíûõ) îáëàñòÿõ èõ â ïðîöåíòíîì îòíîøåíèè áûâàåò ÷óòü áîëüøå, íî è â ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêå ñòàâÿòñÿ è ðåøàþòñÿ çàìå÷àòåëüíî èíòåðåñíûå ìàòåìàòè÷åñêèå çàäà÷è. Èìååòñÿ äîâîëüíî ìíîãî êíèã, íàçâàíèÿ êîòîðûõ íà÷èíàþòñÿ ñëîâàìè "Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ..." èëè "Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå â ...". Äàëüøå ïîìèíàåòñÿ áèîëîãèÿ, ýêîíîìèêà, õèìèÿ,... Çíàêîìñòâî ñ ýòèìè êíèãàìè ñðàçó ïîêàçûâàåò, ÷òî ðå÷ü â íèõ èäåò ïî ñóòè î òåõ èëè èíûõ ÷àñòíûõ ìîäåëÿõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Åñòåñòâåííîíàó÷íàÿ è òåõíîëîãè÷åñêàÿ ñïåöèôèêà ðàññìàòðèâàåìûõ ïðîáëåì çà÷àñòóþ îòðàæàåòñÿ äîâîëüíî ñëàáî. Íåäàâíî ìíå äîâåëîñü ó÷àñòâîâàòü â êîíôåðåíöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêèì ìîäåëÿì, îïèñûâàþùèì ïëàâàþùèå æèâûå îðãàíèçìû (biological swimmers, áèîëîãè÷åñêèõ ïëîâöîâ, êàê îáðàçíî âûðàæàåòñÿ îäèí èç àâòîðèòåòîâ â ýòîé îáëàñòè Äæîí Êåññëåð (John Kessler)), Ëèäñ, íîÿáðü 2001 ãîäà. Íà ýòîé êîíôåðåíöèè îäíè äîêëàä÷èêè ðàññìàòðèâàëè ìèêðîîðãàíèçìû â âîäå, äðóãèå ãîâîðèëè î ðûáàõ è äåëüôèíàõ. Äîâîëüíî çàáàâíûì îáðàçîì ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè áûëè ïðè ýòîì ïî÷òè îäíè è òå æå. Ñïåöèôèêó æèçíè äî ñèõ ïîð íå óäàåòñÿ óëîâèòü è âñòàâèòü â ìàòåìàòè÷åñêèå ôîðìóëû. Îáû÷íî, ìàòåìàòèêè, çàíèìàþùèåñÿ áèîëîãèåé, ëþáÿò ññûëàòüñÿ íà òî, ÷òî èõ ïðåäìåò ìíîãî ñëîæíåé, ÷åì òî, ÷åì ýàíèìàþòñÿ ôèçèêè. Òàê-òî îíî òàê, íî â ðåàëüíîé æèçíè ïîêà ÷òî çàäà÷è, êîòîðûå ðåøàþòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå è ìåõàíèêå, êàê ïðàâèëî, êóäà ñëîæíåå è ãëóáæå, ÷åì

4

òå, êîòîðûå ðåøàþò ìàòåìàòè÷åñêèå áèîëîãè.Ìîæåò áûòü, êîãäà-íèáóäü ýòî ïîëîæåíèå èçìåíèòñÿêîãäà ìàòåìàòèêà ïî-íàñòîÿùåìó ãëóáîêî ïðîíèêíåò â áèîëîãèþ.  ýòîì êóðñå ÿ ïûòàþñü èçëîæèòü òå îáùèå ïðèíöèïû è ïîäõîäû ê ïîñòðîåíèþ ìîäåëåé, êîòîðûå ÿâíî èëè íåÿâíî, ïðàâèëüíî èëè íå ñîâñåì ïðàâèëüíî, ïðèìåíÿþòñÿ âî âñåõ ýòèõ îáëàñòÿõ. Âîçìîæíî, ãëàâíàÿ òðóäíîñòü ïîñòðîåíèÿ ýòîãî êóðñà ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî â ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè ïðèìåíÿåòñÿ åäâà ëè íå âåñü ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, ñîçäàííûé ìàòåìàòèêîé ïðîøëîãî è ñîçäàâàåìûé íà íàøèõ ãëàçàõ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêîé. Ìåæäó òåì, â êóðñàõ, ïðîñëóøàííûõ (â îáîèõ ñìûñëàõ) ñòóäåíòàìè-ìàòåìàòèêàìè, è ÷èñòûìè, è ïðèêëàäíûìè, ìíîãèå âàæíåéøèå òåîðèè è ôàêòû äàæå íå óïîìèíàþòñÿ. Íàïðèìåð, íàøè ñòóäåíòû íè÷åãî íå çíàþò î äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðìàõ, è äàæå, êîãäà ÷èòàåòñÿ êóðñ òîïîëîãèè, íåêîòîðûå ëåêòîðû óõèòðÿþòñÿ íå óïîìÿíóòü ÷èñëà Áåòòè, êîãîìîëîãèè, ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ, âðàùåíèå âåêòîðíîãî ïîëÿ è ò.ï. Äåëî óñóãóáëÿåòñÿ òåì, ÷òî êíèãè ïî òîïîëîãèè (çà ðåäêèì è ñ÷àñòëèâûì èñêëþ÷åíèåì) ïèøóòñÿ äëÿ òîïîëîãîâ,êíèãè ïî ãåîìåòðèè  ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ãåîìåòðîâ è ò.ä.  ëèòåðàòóðå îùóùàåòñÿ îñòðûé äåôèöèò ó÷åáíûõ ïîñîáèé ïî ðàçëè÷íûì ðàçäåëàì ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè, èçëîæåííûì äëÿ ïîñëåäóþùåãî ïðèìåíåíèÿ â ïðèêëàäíîé íàóêå.  èòîãå â ðÿäå ñëó÷àåâ ìíå ïðèõîäèòñÿ áåãëî, áåç äåòàëüíûõ äîêàçàòåëüñòâ, ðàññêàçûâàòü îá îñíîâíûõ ïîíÿòèÿõ ëèíåéíîãî è íåëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà, ìåòîäàõ âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ, äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðìàõ è ò.ä. Èçó÷åíèå ìàòåìàòèêè òàê èëè èíà÷å íà÷èíàåòñÿ ñ îñâîåíèÿ åå òåðìèíîëîãèè, ñëîâàðÿ, íàáîðà îïðåäåëåíèé.  ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêå âîîáùå åñòü òåíäåíöèÿ çàãîíÿòü âñå áîëåå çíà÷èòåëüíóþ ÷àñòü ñîäåðæàíèÿ â îïðåäåëåíèÿ. Äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì ïðè ýòîì çà÷àñòóþ ñòàíîâÿòñÿ êîðîòêèìè è òðèâèàëüíûìè è äàþò íå ñëèøêîì ìíîãî ïèùè äëÿ óìà. Íàäåþñü, íåêîòîðóþ ïîìîùü ÷èòàòåëþ ýòèõ çàïèñîê ëåêöèé îêàæåò ïîìåùåííûé â êîíöå ñëîâàðü

5

ìàòåìàòè÷åñêèõ òåðìèíîâ, â êîòîðîì äàíû êðàòêèå îïðåäåëåíèÿ îñíîâíûõ ïîíÿòèé. Èíîãäà îíè áóäóò íîâûìè äëÿ ñòóäåíòà, à èíîãäà èõ ïðèõîäèòñÿ ïðèâîäèòü ðàäè îïðåäåëåííîñòè, ââèäó ñóùåñòâóþùåãî óæàñíîãî ðàçíîáîÿ â óïîòðåáëåíèè ñëîâ. Îäèí ïðèìåð: íåêîòîðûì ëåêòîðàì êàæåòñÿ, ÷òî ó ïîíÿòèÿ "îòîáðàæåíèå", "îïåðàòîð" ìàëî ñèíîíèìîâ, è îíè äîáàâëÿþò åùå îäèí ñèíîíèì "ôóíêöèÿ". Ëó÷øå, ïî-ñòàðîìó, ïîíèìàòü ôóíêöèþ êàê îòîáðàæåíèå ñî çíà÷åíèÿìè íà âåùåñòâåííîé îñè. Ñèíîíèìîì ñëóæèò ñëîâî "ôóíêöèîíàë", êîòîðîå ÷àùå óïîòðåáëÿåòñÿ, êîãäà îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ  áåñêîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî. 1 1.1

Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû

Ïîä ýâîëþöèåé òîé èëè èíîé ñèñòåìû áóäåì ïîíèìàòü èçìåíåíèå åå ñîñòîÿ-

íèÿ âî âðåìåíè. Ïåðâûé âîïðîñ, êîòîðûé âîçíèêàåò, êîãäà ìû ïðèñòóïàåì ê ïîñòðîåíèþ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè: ÷òî òàêîå ñîñòîÿíèå äàííîé ñèñòåìû? Ýòî ìîæåò áûòü ñêàëÿð, òî÷êà ìíîãîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, âåêòîð, à âîîáùå, ýëåìåíò ëþáîãî ìíîæåñòâà X , êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì äàííîé ñèñòåìû. Ïðàâèëüíûé âûáîð ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, ñîîòâåòñòâóþùåãî èçó÷àåìîé ñèñòåìå, îòíþäü íå òðèâèàëåí è â çíà÷èòåëüíîé ìåðå ïðåäîïðåäåëÿåò íàø êîíå÷íûé óñïåõ (èëè íåóñïåõ). Äåëî â òîì, ÷òî ê âûáîðó ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ïðåäúÿâëÿþòñÿ äîñòàòî÷íî ñóðîâûå òðåáîâàíèÿ. Ãëàâíîå èç íèõ ñîñòîèò â òîì, ÷òî çàäàíèå íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ, ò.å. òî÷êè x0 ∈ X , äîëæíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿòü ýâîëþöèþ ñèñòåìû.  ñàìîì ñèëüíîì âàðèàíòå òðåáóåòñÿ, ÷òîáû äëÿ êàæäîãî t ∈ R áûëî îïðåäåëåíî ñîñòîÿíèå ñèñòåìû

x(t) ∈ X . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äîëæåí áûòü çàäàí ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð N t : X → X , îòîáðàæàþùèé ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî X â ñåáÿ, è òàêîé, ÷òî x(t) = N t x0

(1.1)

6

äëÿ âñåõ t ∈ R è ëþáîé íà÷àëüíîé òî÷êè x0 ∈ X . Ïîñêîëüêó x(0) = x0 äëÿ âñåõ xo ∈ X , ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð î÷åâèäíûì îáðàçîì óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ

N 0 = I,

(1.2)

ãäå I  òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð: Ix = x äëÿ âñåõ x ∈ X . Èíîãäà åãî òàêæå îáîçíà÷àþò id (îò ëàò. ñëîâà idem  òîò æå). Êàê ïðàâèëî, íåîáõîäèìî åùå íàëîæèòü íà ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð N t òå èëè èíûå óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè ïî t, ÷òîáû ïîëó÷àëîñü, ÷òî N t x0 → x0 ïðè t → 0; ïîíÿòèå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòîâ ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà äîëæíî áûòü òàêæå îïðåäåëåíî. Èíîãäà ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð óäà¼òñÿ çàäàòü ëèøü äëÿ t > 0.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äàæå ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü ýâîëþöèîííûå îïåðàòîðû, îïðåäåëåííûå ëèøü íà èíòåðâàëå (−r1 , r2 ), ãäå r1 , r2  íåêîòîðûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, à òî è íà ïîëóèíòåðâàëå [0, r2 ). Ôóíäàìåíòàëüíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ôèçèêè îáû÷íî ïðèâîäÿò ê ýâîëþöèîííûì îïåðàòîðàì, îáëàäàþùèì äîïîëíèòåëüíûì ñâîéñòâîì, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ (íà ìîé âçãëÿä, ÷åðåñ÷óð ïûøíî) ïðèíöèïîì ïðè÷èííîñòè:

N t+s = N t ◦ N s

(1.3)

äëÿ âñåõ t, s ∈ R.  ÷àñòíîñòè, èç (1.3) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî t ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð îáðàòèì, è (N t )−1 = N −t . ßñíî òàêæå, ÷òî, åñëè óæå èçâåñòíî ñîñòîÿíèå x(s) â ìîìåíò s, òî, ïî ïðîøåñòâèè âðåìåíè t, ñîñòîÿíèå îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì x(t + s) = N t x(s). Ïðèíöèï ïðè÷èííîñòè, âûðàæàåìûé ðàâåíñòâàìè (1.2) è (1.3), îçíà÷àåò, ÷òî ñåìåéñòâî îïåðàòîðîâ N t åñòü îäíîïàðàìåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà ñ ïàðàìåòðîì t. Ýòà ãðóïïà î÷åâèäíî, êîììóòàòèâíà: N t ◦ N s = N s ◦ N t . Âî ìíîãèõ çàäà÷àõ (íàïðèìåð, äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè) ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð îïðåäåëåí ëèøü äëÿ t > 0. Òîãäà è ïðèíöèï ïðè÷èííîñòè (1.3) âûïîëíÿåòñÿ ëèøü äëÿ t, s > 0.  ýòîì ñëó÷àå ñåìåéñòâî ýâîëþ-

7

öèîííûõ îïåðàòîðîâ N t îáðàçóåò îäíîïàðàìåòðè÷åñêóþ ïîëóãðóïïó, òîæå êîììóòàòèâíóþ. Çàìå÷ó, ÷òî èíîãäà è â ñëó÷àå ïîëóãðóïï ðàâåíñòâî (1.3) óäàåòñÿ äîêàçàòü, íî, âîîáùå ãîâîðÿ, íå äëÿ âñåõ, à ëèøü äëÿ íåêîòîðûõ ïàð t, s òàêèõ, ÷òî, íàïðèìåð, t > 0, à s < 0. Íî âî âñÿêîì ñëó÷àå íóæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî t + s > 0. Ôàçîâûå ïðîñòðàíñòâà, âñòðå÷àþùèåñÿ â ïðèëîæåíèÿõ, âåñüìà ðàçíîîáðàçíû. Ýòî ìîæåò áûòü êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî, êîíå÷íîìåðíîå èëè áåñêîíå÷íîìåðíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, ñêàæåì, òî èëè èíîå ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, âåêòîð-ôóíêöèé èëè âåêòîðíûõ ïîëåé, êîíå÷íîìåðíîå èëè áåñêîíå÷íîìåðíîå äèôôåðåíöèðóåìîå ìíîãîîáðàçèå. Äàëüøå ÿ ïðèâåäó ìíîãî ïðèìåðîâ, íî ñðàçó çàìå÷ó, ÷òî â öåëîì ðÿäå îáëàñòåé ôèçèêè è ìåõàíèêè (óæ íå ãîâîðÿ, î áèîëîãèè) äî ñèõ ïîð íåèçâåñòíî, êàê ïðàâèëüíî, àäåêâàòíî âûáðàòü ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî. Êðîìå òîãî, çà÷àñòóþ âûáîð ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà íåîäíîçíà÷åí îäíî è òî æå ÿâëåíèå ìîæåò áûòü îïèñàíî ðàçëè÷íûìè íàáîðàìè ïåðåìåííûõ, à åñëè äàæå ïåðåìåííûå óæå âûáðàíû, òî îò÷àñòè îò íàøåãî ïðîèçâîëà çàâèñèò, êàêèå íà íèõ íàëàãàþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå òðåáîâàíèÿ. Íàïðèìåð, åñëè ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî ñîñòîèò èç ôóíêöèé (ïðèìåð: ïîëå òåìïåðàòóðû â îáëàñòè, çàíÿòîé ïðîâîäíèêîì òåïëà), òî ìîæíî åùå ïî-ðàçíîìó âûáèðàòü ìåòðèêè èëè áàíàõîâû íîðìû.  ÷àñòíîñòè, òàêîé âûáîð îïðåäåëÿåò òðåáîâàíèÿ ê íà÷àëüíîìó ñîñòîÿíèþ (ñêàæåì, êàêîâû òðåáîâàíèÿ ðåãóëÿðíîñòè ê íà÷àëüíîìó ïîëþ òåìïåðàòóð). Îáû÷íî ïîä ïðîñòðàíñòâîì ïîíèìàåòñÿ ìíîæåñòâî âìåñòå ñ îïðåäåëåííûì íà íåì òåì èëè èíûì ñïîñîáîì ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé åãî ýëåìåíòîâ. Íàèáîëåå îáùåå îïðåäåëåíèå (ïðè ïîìîùè çàäàíèÿ ñèñòåìû îêðåñòíîñòåé, íàçûâàåìîé òîïîëîãèåé) ïðèâîäèò ê ïîíÿòèþ

òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà.  ýòîì êóðñå ÿ íå áóäó ïîëüçîâàòüñÿ ñòîëü îáùèìè ïðîñòðàíñòâàìè. Íàäî ñêàçàòü, ÷òî äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè îáùèå

8

òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà ìàëî ïðèìåíÿëèñü â èññëåäîâàíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé åñòåñòâåííûõ íàóê (âïðî÷åì, â òàêèõ ñëó÷àÿõ âñåãäà õî÷åòñÿ äîáàâèòü, ÷òî, áûòü ìîæåò, ïîòîìó-òî è íå ðåøåíû íåêîòîðûå èç ïðîáëåì, äåñÿòêàìè, à òî è ñîòíÿìè ëåò îñòàþùèõñÿ íåïðèñòóïíûìè). Êàê ïðàâèëî, äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, è äàæå èõ ñïåöèàëüíûé ñëó÷àé  áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà. Áîëåå òîãî, âî âñåõ èëè ïî÷òè âî âñåõ ïðèëîæåíèÿõ â ôèçèêå è ìåõàíèêå áûâàåò äîñòàòî÷íî ñ÷èòàòü, ÷òî ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî åñòü åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, ñêàæåì, Rn ñî ñòàíäàðòíûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì èëè ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî H . Âïðî÷åì, â öåëîì ðÿäå çàäà÷ íåîáõîäèìî ñ÷èòàòü ôàçîâîå ïðîñòàíñòâî äèôôåðåíöèðóåìûì ìíîãîîáðàçèåì, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ åâêëèäîâûì èëè áàíàõîâûì ëèøü ëîêàëüíî. Çàìå÷ó, ÷òî âñÿêîå ïîäìíîæåñòâî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì (ìåòðèêà ñîõðàíÿåòñÿ, èíäóöèðóåòñÿ). Íà ñàìîì äåëå èçâåñòíî, ÷òî êàæäîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíî êàê ïîäìíîæåñòâî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà. Î÷åâèäíî, êàæäîå ïîäìíîæåñòâî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà åñòü òàêæå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Ñ ýòîé îáùíîñòüþ ïîíÿòèÿ ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà ñâÿçàíà, â çíà÷èòåëüíîé ìåðå, åãî ïîëåçíîñòü. Íåðåäêî äàæå â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà íàì íóæåí òîò èëè èíîé ðåçóëüòàò ëèøü äëÿ êîíå÷íîìåðíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà, áûâàåò öåëåñîîáðàçíî äîêàçûâàòü åãî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî áàíàõîâà èëè ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà. Äåëî â òîì, ÷òî âñÿêèé ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêò, òåîðåìà, ôîðìóëà ñòàíîâÿòñÿ îñîáåííî ÿñíûìè è ïðîñòûìè, êîãäà îíè ðàññìàòðèâàþòñÿ â åñòåñòâåííîé ñòåïåíè îáùíîñòè. Èìåííî òàêíå â ñàìîé îáùåé ôîðìå, à â åñòåñòâåííîé ñòåïåíè îáùíîñòè, êîòîðóþ ïîìîãàåò îïðåäåëèòü ðàçâèòûé ìàòåìàòè÷åñêèé âêóñ. Êîãäà îí èçìåíÿåò, ïîÿâëÿþòñÿ òÿæåëîâåñíûå è ìåëî÷íûå ðàññóæäåíèÿ, â êîòîðûõ òîíóò ãëàâíûå èäåè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êîãäà âåäóùèå èäåè ïðîÿñíåíû, âïîëíå åñòåñòâåííî âîçíèêàþò è äàëüíåéøèå äîâîëüíî î÷åâèä-

9

íûå îáîáùåíèÿ è óòî÷íåíèÿ. Îïðåäåëåíèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. Ïîä äèíàìè÷åñêîé ñèñòå-

ìîé áóäåì ïîíèìàòü ïàðó (X, N t )  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî X è îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî N t : X → X îòîáðàæåíèé ïðîñòðàíñòâà X â ñåáÿ òàêîå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ïðèíöèï ïðè÷èííîñòè (ñì.(1.3)

N 0 = I, N t+s = N t ◦ N s

(1.4)

Êàæäûé ðàç íàäî îñîáî îãîâîðèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ñåìåéñòâî N t ãðóïïîé ïðåîáðàçîâàíèé (t ∈ R) èëè ëèøü ïîëóãðóïïîé (t ∈ R+ ). Êîíå÷íî, êàæäûé ðàç ïðè ðàññìîòðåíèè äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû íóæíî îãîâîðèòü, êàêèìè ñâîéñòâàìè ðåãóëÿðíîñòè (íåïðåðûâíîñòü, ñóùåñòâîâàíèå òåõ èëè èíûõ ïðîèçâîäíûõ, óñëîâèå Ëèïøèöà èëè Ãåëüäåðà è ò.ä.) ïî t è ïî

x îáëàäàåò îäíîïàðàìåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà N t . Èíòåðåñíî çàìåòèòü, ÷òî ðàâåíñòâî (1.4) (ãðóïïîâîå ñîîòíîøåíèå) ñàìî âëå÷åò îïðåäåëåííóþ ãëàäêîñòü îïåðàòîðîâ N t . Íàïðèìåð, â ñëó÷àå, êîãäà X  áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, à

N t äëÿ êàæäîãî t åñòü ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íà ñàìîì äåëå N t çàâèñèò îò t àíàëèòè÷åñêè (ðàçëîæèìî â ñõîäÿùèéñÿ ðÿä Òåéëîðà ïî (t − t0 ) äëÿ ëþáîãî t ∈ R).

Äâèæåíèåì äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû (X, N t ), îïðåäåëÿåìûì íà÷àëüíîé òî÷êîé x0 ∈ X , íàçîâåì îòîáðàæåíèå x : t 7→ x(t) âåùåñòâåííîé îñè R (èëè, ñîîòâåòñòâåííî, ïîëóîñè R+ ) â ïðîñòðàíñòâî X , îïðåäåëÿåìîå ðàâåíñòâîì

x(t) = N t x0 .

(1.5)

Òàêèì îáðàçîì, äâèæåíèå åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòîÿíèé äàííîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. Õîòÿ íåðåäêî ìû ñëûøèì è ãîâîðèì "ôóíêöèÿ x(t)", ñëåäóåò ðàçëè÷àòü ôóíêöèþ èëè îòîáðàæåíèå x è åå çíà÷åíèå x(t) ïðè çàäàííîì t. Ñìåøåíèå ýòèõ ïîíÿòèé íåðåäêî ñõîäèò ñ ðóê, íî ëó÷øå ïðèó÷èòüñÿ ê àêêóðàòíîìó èõ óïîòðåáëåíèþ, òàê êàê âî ìíîãèõ ñåðüåçíûõ ñëó÷àÿõ ïóòàíèöà ìåæäó îòîáðàæåíèåì è åãî çíà÷åíèåì ìîæåò ïðèâîäèòü ê îøèáêàì.

10

Òðàåêòîðèåé (èëè îðáèòîé) äàííîãî äâèæåíèÿ x : t 7→ x(t) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî

T =

[

x(t).

(1.6)

t∈R

 ñëó÷àå ïîëóãðóïïû îáúåäèíåíèå ñëåäóåò áðàòü ïî t ∈ R+ , èíîãäà óïîòðåáëÿåòñÿ òåðìèí ïîëîæèòåëüíàÿ ïîëóòðàåêòîðèÿ. (Êîãäà ÿ ïðîèçíîøó ñëîâî "òðàåêòîðèÿ", òî ïðåäñòàâëÿþ ñåáå ëûæíþ, íà êîòîðîé íå âèäíî ëûæíèêà. Ìû âèäèì ïðîéäåííûé èì ïóòü, íî íå çíàåì, â êàêîé ìîìåíò âðåìåíè îí áûë â òîé èëè äðóãîé òî÷êå òðàåêòîðèèëûæíè.) Òðàåêòîðèÿ  ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé, ïðîéäåííûõ äàííîé ñèñòåìîé â õîäå äâèæåíèÿ. Íåðåäêî áûâàåò ïîëåçíûì ïîíÿòèå ãðàôèêà äàííîãî äâèæåíèÿ. Ýòî  ìíîæåñòâî òî÷åê (t, x(t)) â äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè R × X îñè âðåìåíè R è ïðîñòðàíñòâà X . Ëó÷øå óÿñíèòü ñâÿçè è ðàçëè÷èÿ ìåæäó ïîíÿòèÿìè îòîáðàæåíèÿ è åãî çíà÷åíèÿ â òî÷êå, äâèæåíèÿ è ìãíîâåííîãî ñîñòîÿíèÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, òðàåêòîðèè, îáëàñòè çíà÷åíèé îòîáðàæåíèÿ è ãðàôèêà îòîáðàæåíèÿ Âàì ïîìîæåò óïðàæíåíèå 1. 1.2

Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû è àâòîíîìíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ

Ãëàâíûì èñòî÷íèêîì äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ìîæíî ñ÷èòàòü àâòîíîìíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ  îáûêíîâåííûå è â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé

x˙ 1 = f1 (x1 , x2 , ..., xn ) x˙ 2 = f2 (x1 , x2 , ..., xn ) ... x˙ n = fn (x1 , x2 , ..., xn )

(1.7)

11

Åå ïðàâûå ÷àñòè íå çàâèñÿò ÿâíî îò âðåìåíè t, ýòî è åñòü ñâîéñòâî àâòîíîìíîñòè. Åñëè ïðè ëþáûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ x01 , x02 , . . . , x0n çàäà÷à Êîøè äëÿ ñèñòåìû (1.7) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè

x1 (0) = x01 , x2 (0) = x02 , . . . , xn (0) = x04

(1.8)

èìååò, è ïðèòîì åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t), îïðåäåëåííîå äëÿ âñåõ t ∈ R (èëè õîòÿ áû âñåõ t > 0), òî îïðåäåëåí ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð N t : Rn → Rn , êîòîðûé íà÷àëüíîé òî÷êå x0 = (x01 , x02 , . . . , x0n ) ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå çíà÷åíèå ðåøåíèÿ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) â ìîìåíò âðåìåíè t äëÿ êàæäîãî t ∈ R. Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå x(t) îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì

x(t) = N t x0 .

(1.9)

Ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ  ýòî è åñòü äâèæåíèå îïðåäåëÿåìîé èì äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. Íåîáõîäèìî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ïðåäïîëîæåíèå î ãëîáàëüíîé îäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è Êîøè (1.7)(1.8), êîòîðîå íåîáõîäèìî äëÿ òîãî, ÷òîáû îïðåäåëèòü ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð N t , äëÿ êàæäîé äàííîé ñèñòåìû ïðèõîäèòñÿ ïðîâåðÿòü îòäåëüíî, è ýòî çà÷àñòóþ îêàçûâàåòñÿ íåëåãêîé çàäà÷åé. Âñå îáùèå òåîðåìû â òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ãîâîðÿò ëèøü î ëîêàëüíîé ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è Êîøè. Áîëåå òîãî, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ãëîáàëüíàÿ ðàçðåøèìîñòü  ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ, îïðåäåëåííîãî äëÿ âñåõ t, ïðè ëþáûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ  ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíûì ñâîéñòâîì ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ïîäðîáíåå îá ýòîì ãîâîðèòñÿ â ñëåäóþùåì ðàçäåëå,çäåñü ëèøü çàìå÷ó, ÷òî àïðèîðíûå îöåíêè ðåøåíèé, êîòîðûå íåîáõîäèìû äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè, ñïðàâåäëèâû è ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ëèøü áëàãîäàðÿ ñïåöèàëüíûì ñâîéñòâàì ñèñòåìû. Òàêîâûìè ÿâëÿþòñÿ îñíîâíûå çàêîíû ôèçèêè  çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, äðóãèå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ (ìîìåíòà, êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ), âòîðîå íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè  çàêîí âîçðàñòàíèÿ ýíòðîïèè è ò.ä.

12

Ïîíÿòèå ýâîëþöèîííîãî îïåðàòîðà âåñüìà ïîëåçíî â òåîðèè, íî íàì ïðèõîäèòñÿ ñ íèì ðàáîòàòü, íå èìåÿ äëÿ íåãî, êàê ïðàâèëî, íèêàêèõ àíàëèòè÷åñêèõ ôîðìóë è ïðåäñòàâëåíèé. Çàìåòèì, ÷òî çàäàíèå ýâîëþöèîííîãî îïåðàòîðà îïðåäåëÿåò ñîîòâåòñòâóþùåå åìó äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå. Äåéñòâèòåëüíî, ñèñòåìà (1.7) ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàê âåêòîðíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (1.10)

x˙ = F (x).

Åå ïðàâàÿ ÷àñòü åñòü âåêòîðíîå ïîëå íà ïðîñòðàíñòâå Rn , îïðåäåëÿåìîå ðàâåíñòâîì

F (x) = (f1 (x1 , . . . , xn ), f2 (x1 , . . . , xn ), . . . , fn (x1 , . . . , xn )). Íà÷àëüíîå óñëîâèå (1.8) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå (1.11)

x(0) = x0 .

Åñëè N t : Rn → Rn åñòü ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð, òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1.10)(1.11) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå (1.9). Ïîäñòàíîâêà (1.9) â (1.10) äàåò ðàâåíñòâî

d t N x0 = F ◦ N t x0 , (1.12) dt ñïðàâåäëèâîå äëÿ âñåõ x0 ∈ Rn . Íî ýòî çíà÷èò, ÷òî x0 ìîæíî îïóñòèòü è çàïèñàòü ðàâåíñòâî äëÿ îïåðàòîðîâ

d t N = F ◦ N t. dt

(1.13)

Ñïðàâà ñòîèò êîìïîçèöèÿ îïåðàòîðîâ F è N t :



F ◦ N t (x) = F N t x ,

x ∈ Rn .

Ðàçóìååòñÿ, ñóùåñòâîâàíèå ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè â (1.12) ïðåäïîëàãàåòñÿ.

13

Îïåðàòîð N t îáðàòèì, è åãî îáðàòíûé åñòü (N t )−1 = N−t . "Óìíîæàÿ" ðàâåíñòâî (1.13) íà N −t ñïðàâà, âûâîäèì

 F =

 d t N ◦ N −t . dt

(1.14)

Ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ Rn

 d t N ◦ N −t x. (1.15) F (x) = dt Îñòàåòñÿ åùå çàìåòèòü, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü çäåñü îò t íå çàâèñèò, çíà÷èò, 

íå çàâèñèò îò t è ïðàâàÿ ÷àñòü. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ïîëîæèòü, íàïðèìåð, ñïðàâà t = 0. Ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ F ÷åðåç ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð N t

d F (x) = N t x dt t=0

(1.16)

äëÿ ëþáîãî x ∈ Rn .  ñëó÷àå ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, êàêîâûì ÿâëÿåòñÿ Rn , âåêòîðû åñòåñòâåííûì îáðàçîì îòîæäåñòâëÿþòñÿ ñ òî÷êàìè, à âåêòîðíûì ïîëÿ ñ îòîáðàæåíèÿìè, ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî F  îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â Rn . Îïåðàòîð (âåêòîðíîå ïîëå) F , îïðåäåëÿåìûé ðàâåíñòâîì (1.16), íàçûâàåòñÿ

ãåíåðàòîðîì èëè èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ãðóïïû {N t }. Ìû âèäèì, ÷òî äàæå ãëàäêîå âåêòîðíîå ïîëå F ìîæåò è íå îïðåäåëÿòü ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð (åñëè íåò ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè), íî åñëè óæ îïðåäåëÿåò, òî îäíîçíà÷íî  òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè, êîíå÷íî, èìååò ìåñòî äëÿ ãëàäêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, çàäàíèå ýâîëþöèîííîãî îïåðàòîðà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò åãî ãåíåðàòîð  âåêòîðíîå ïîëå F . Çíà÷åíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, äëÿ êîòîðûõ íåò åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè, â åñòåñòâîçíàíèè ïîêà íåÿñíî. Èíîãäà (êàê â çàäà÷å îá óäàðíûõ âîëíàõ â ãàçå) íååäèíñòâåííîñòü ïðîñòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû ïðîïóñòèëè íåêîòîðûå óñëîâèÿ. Ïîñëå òîãî, êàê ýòè óñëîâèÿ ââåäåíû (â çàäà÷å îá óäàðíûõ âîëíàõ ýòî óñëîâèå Ðåíêèíà-Ãþãîíèî íà ñêà÷êå), îòáèðàåòñÿ

14

óæå åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå ñèòóàöèþ, êîãäà åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè íåò ïðè íåêîòîðûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ, à ïðè äðóãèõ îíà, âîçìîæíî, åñòü. Ïîæàëóé, ñ òàêîé ñèòóàöèåé â çàäà÷àõ åñòåñòâîçíàíèÿ ìû åùå íå âñòðå÷àëèñü. ×òî áû ýòî ìîãëî îçíà÷àòü? Íåîáõîäèìîñòü ïåðåõîäà ê âåðîÿòíîñòíîìó îïèñàíèþ? Ïðèçíàíèå çà ñèñòåìîé íåêîòîðîé ñâîáîäû âîëè? Áóäóùåå ïîêàæåò. ß äóìàþ, äåéñòâèòåëüíî, ïîêàæåò, ïîòîìó ÷òî òàêèå ñèñòåìû, íàâåðíîå, åùå âñòðåòÿòñÿ. Òàê óæå íå ðàç áûâàëî, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèå àáñòðàêöèè è (êàæóùèåñÿ) ïàòîëîãèè ðåàëèçîâûâàëèñü â ôèçèêå. Ïðèìåð òîìó  êàíòîðîâû ìíîæåñòâà. 1.3

Î ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è Êîøè è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ

Ñåé÷àñ ÿ ñîáèðàþñü íàïîìíèòü íåêîòîðûå îñíîâíûå ðåçóëüòàòû èç òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ìû îñîáî ñêîíöåíòðèðóåì âíèìàíèå íà íåêîòîðûõ ðåçóëüòàòàõ, êàñàþùèõñÿ òåîðåì åäèíñòâåííîñòè è ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè, êîòîðûå â îáùåì Âàì èçâåñòíû, íî, âîçìîæíî, îñòàâàëèñü â òåíè. Çàìå÷ó ñðàçó, ÷òî ïîëîæåíèå ñ òåîðåìàìè ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äàëåêî íå òàê áëàãîïîëó÷íî, êàê ýòî ìîæåò ïîêàçàòüñÿ ïðè ÷òåíèè ó÷åáíèêà. Ðå÷ü ïîéäåò î çàäà÷å Êîøè äëÿ âåêòîðíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

x˙ = F (x, t)

(1.17)

â ïðîñòðàíñòâå Rn ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì

x

t=0

= x0 .

(1.18)

Åñëè â ïðîñòðàíñòâå Rn âûáðàí áàçèñ, òî óðàâíåíèå (1.17) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ñèñòåìû n ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé, à íà÷àëüíîå óñëîâèå (1.18)  â âèäå n ñêàëÿðíûõ ðàâåíñòâ. Êîãäà âûáðàí ñòàíäàðòíûé áàçèñ e1 =

(1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1), ýòà ñèñòåìà ïðèíèìàåò

15

âèä

x˙ 1 = f1 (x1 , x2 , ..., xn , t) x˙ 2 = f2 (x1 , x2 , ..., xn , t)

(1.19)

... x˙ n = fn (x1 , x2 , ..., xn , t), ãäå f1 , f2 , . . . , fn  êîìïîíåíòû âåêòîðíîãî ïîëÿ F , çàâèñÿùåãî îò âðåìåíè. Îáû÷íî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïîëå F íåïðåðûâíî ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ x, t â íåêîòîðîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà Rn ×R = Rn+1 , äëÿ êðàòêîñòè áóäåì äàëüøå ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïîëå F çàäàíî íà âñåì ïðîñòðàíñòâå Rn+1 , ò.å. äëÿ âñåõ x ∈ Rn è t ∈ R. Çàìå÷ó, ÷òî îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé x˙ ïî ñêàëÿðíîìó àðãóìåíòó íå òðåáóåò ïðèâëå÷åíèÿ áàçèñà. Äëÿ ëþáîãî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà X ïðîèçâîäíàÿ x(t) ˙ îò âåêòîð-ôóíêöèè x ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà t ∈ R ïî t îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì:

1 (1.20) x(t) ˙ = lim (x(t + τ ) − x(t)) τ →0 τ Ïðåäåë â ýòîì ðàâåíñòâå, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæíî ïîíèìàòü ïî-ðàçíîìó

 âîçìîæíû ðàçëè÷íûå îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíîé. Åñëè ýòî ïðåäåë ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà X , ïîëó÷àåòñÿ ñèëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ.  êîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå âñå íîðìû ýêâèâàëåíòíû, òàê ÷òî ïîíÿòèå ñèëüíîé ïðîèçâîäíîé íå çàâèñèò îò âûáîðà íîðìû, íàïðèìåð, åå ìîæíî ñ÷èòàòü åâêëèäîâîé. Åñëè ðàññìàòðèâàòü ñëàáóþ ñõîäèìîñòü, ïîëó÷èòñÿ ïîíÿòèå ñëàáîé ïðîèçâîäíîé; èìååòñÿ äàæå, âîîáùå ãîâîðÿ, äâà òèïà ñëàáîé ñõîäèìîñòè.  êîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå âñå ýòè âèäû ñõîäèìîñòè ñîâïàäàþò  èìååòñÿ ïî ñóùåñòâó ëèøü îäíî ïîíÿòèå ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòîâ è, ñîîòâåòñòâåííî, ëèøü îäíî ïîíÿòèå ïðîèçâîäíîé. Çàìå÷ó åùå, ÷òî ïðè âûáðàííîì áàçèñå ñõîäèìîñòü â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå åñòü ïîêîîðäèíàòíàÿ ñõîäèìîñòü (äîëæíà ñõîäèòüñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïåðâûõ êîîðäèíàò, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âòîðûõ

16

êîîðäèíàò è ò.ä.); ê òîìó æå ïîíÿòèå ñõîäèìîñòè â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå íå çàâèñèò è îò âûáîðà áàçèñà. Îáùèå òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1.17)(1.18) íîñÿò ëîêàëüíûé õàðàêòåð. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãàðàíòèðóåòñÿ ëèøü ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ, îïðåäåëåííîãî íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå (r1 , r2 ), ãäå r1 < 0,

r2 > 0, ñîäåðæàùåì íà÷àëüíûé ìîìåíò t = 0. Íèêàê íåëüçÿ çàáûâàòü (ìíîãèå âñå-òàêè çàáûâàþò ...), ÷òî ïî ñàìîìó ñâîåìó îïðåäåëåíèþ, ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ åñòü âåêòîð-ôóíêöèÿ ñî çíà÷åíèÿìè â X , îïðåäåëåííàÿ íà èíòåðâàëå (èìåííî íà èíòåðâàëå, à íå íà êàêîì ëèáî èíîì ìíîæåñòâå! ) (r1 , r2 ), ãäå −∞ 6 r1 < 0 è r1 < r2 6 +∞. Êàê ðàç ñëó÷àé, êîãäà

r1 = −∞ è r2 = +∞  ñàìûé õîðîøèé, ýòî ñëó÷àé ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè. Òåîðåìà Àðöåëà. Ïóñòü X  êîíå÷íîìåðíîå áàíàõîâî ïðîñòðàí-

ñòâî, è F  íåïðåðûâíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ ñî çíà÷åíèÿìè â X . Òîãäà äëÿ ëþáîãî x0 ∈ X ñóùåñòâóåò, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1.17)(1.18), îïðåäåëåííîå íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå (r1 , r2 ). Ðàçóìååòñÿ, r1 è r2 çàâèñÿò îò ïîëÿ F , îò âûáîðà íà÷àëüíîãî ìîìåíòà âðåìåíè (âìåñòî t = 0 ìîæíî áûëî áû íàïèñàòü t = t0 ) è îò íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ x0 .  óñëîâèÿõ ýòîé òåîðåìû åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ íåëüçÿ ãàðàíòèðîâàòü  äàæå â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå îäíîãî ñêàëÿðíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ íåòðóäíî ïðèâåñòè ïðèìåðû íååäèíñòâåííîñòè. Êëàññè÷åñêèé ïðèìåð: x˙ =

√ 3

x, x(0) = 0, ñì. òàêæå óïðàæíåíèåÿ 3,4.

Èíòåðåñíî åùå ïîñòàâèòü âîïðîñ î òîì, íàñêîëüêî òèïè÷íà íååäèíñòâåííîñòü. Ïðèìåð àâòîíîìíîãî ñêàëÿðíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

x˙ = f (x) îêàçûâàåòñÿ çäåñü äåçîðèåíòèðóþùèì. Äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ çàäà÷à Êîøè x˙ = f (x), x = x0 â ñëó÷àå, êîãäà f (x0 ) 6= 0, èìååò åäèíñòâåííîå ðåx=0

øåíèå ïðè îäíîì ëèøü óñëîâèè íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f . Âìåñòå ñ òåì, ïðè

f (x0 ) = 0 îïðåäåëåííûå óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè  óñëîâèå Ëèïøèöà èëè óñëî-

17

âèå Îñãóäà (ñì.íèæå)  îêàçûâàþòñÿ ïî ñóòè íåîáõîäèìûìè. Âåñüìà íåîæèäàííûì áûëî îòêðûòèå Âëàäèñëàâà Îðëè÷à, êîòîðûé óñòàíîâèë, ÷òî è äëÿ ñêàëÿðíîãî íåàâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ x˙ = f (x, t) ñ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé f , è äëÿ âåêòîðíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1.17) òèïè÷íà åäèíñòâåííîñòü.  ïðîñòðàíñòâå âñåâîçìîæíûõ íåïðåðûâíûõ íà âñåé ïëîñêîñòè (x, t) ôóíêöèé f ìíîæåñòâî òåõ ôóíêöèé, äëÿ êîòîðûõ èìååòñÿ õîòÿ áû îäíà òî÷êà íååäèíñòâåííîñòè (x0 , t0 ) èìååò ïåðâóþ êàòåãîðèþ â ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, çàäàííûõ íà ïëîñêîñòè. Ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

fn (x, t) â ýòîì ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü íà êàæäîì êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå ïëîñêîñòè R2 (x0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé íååäèíñòâåííîñòè. åñëè çàäà÷à Êîøè äëÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì

x(t0 ) = x0 èìååò áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ). Íàïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâî ïåðâîé êàòåãîðèè îïðåäåëÿåòñÿ òåì óñëîâèåì, ÷òî îíî ïðåäñòàâèìî â âèäå ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ íèãäå íå ïëîòíûõ ìíîæåñòâ. Ýòî îäíî èç ôîðìàëüíûõ îïðåäåëåíèé "ïðåíåáðåæèìî ìàëîãî" ìíîæåñòâà. Äðóãèå îïðåäåëåíèÿ îñíîâûâàþòñÿ íà ïîíÿòèÿõ ðàçìåðíîñòè, ëèáî ìåðû è âåðîÿòíîñòåé. Ïîäðîáíåå î ìíîæåñòâàõ ïåðâîé è âòîðîé êàòåãîðèè ìîæíî ïðî÷èòàòü â ëþáîé êíèæêå ïî òåîðèè ôóíêöèé âåùåñòâåííîãî ïåðåìåííîãî, íàïðèìåð, [14], [15] èëè Íàòàíñîí "Òåîðèÿ ôóíêöèé âåùåñòâåííîãî ïåðåìåííîãî". Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì âòîðîé êàòåãîðèè, åñëè åãî äîïîëíåíèå â ïðîñòðàíñòâå èìååò ïåðâóþ êàòåãîðèþ. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî âòîðîé êàòåãîðèè  ýòî ìàññèâíîå, áîëüøîå ìíîæåñòâî, çàïîëíÿþùåå ïîäàâëÿþùóþ ÷àñòü âñåãî ïðîñòðàíñòâà (áîþñü ãîâîðèòü, "ïî÷òè âñå" ïðîñòðàíñòâî, ïîòîìó ÷òî ýòîò òåðìèí çàõâà÷åí òåîðèåé ìåðû). Õîòÿ ðåçóëüòàò Îðëè÷à ïîêàçûâàåò, ÷òî ãëàäêîñòü ôóíêöèè f èìååò ìàëî îòíîøåíèÿ ê åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (èëè ïîëÿ F ), âñå èçâåñòíûå òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè îñíîâûâàþòñÿ íà óñëîâèè íåêîòîðîé ðåãóëÿðíîñòè ôóíêöèè f ïî ïåðåìåííîé x. Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè. Ïóñòü, â äîïîëíåíèå ê óñëîâèÿì òåîðåìû

18

Àðöåëà, ïîëå F óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà:

|F (x0 , t) − F (x00 , t)| 6 L|x0 − x00 | ñ íåêîòîðîé êîíñòàíòîé L > 0, õîòÿ áû â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íà÷àëüíîé òî÷êè t = 0, x = x0 â R × X . Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1.17)(1.18) åäèíñòâåííî. Íàïîìíþ, ÷òî ðåøåíèÿ x(1) (t) è x(1) (t) íå ñ÷èòàþòñÿ ðàçëè÷íûìè, åñëè îíè ñîâïàäàþò â ïåðåñå÷åíèè èõ èíòåðâàëîâ îïðåäåëåíèÿ. Íåìíîãî óñèëèë ýòó òåîðåìó åäèíñòâåííîñòè àìåðèêàíñêèé ìàòåìàòèê Îñãóä, êîòîðûé óñòàíîâèë, ÷òî óñëîâèå Ëèïøèöà ìîæíî çàìåíèòü óñëîâèåì Îñãóäà

|F (x0 , t) − F (x00 , t)| 6 ω(|x0 − x00 |),

(1.21)

ãäå ω(s)  ôóíêöèÿ îäíîé ïåðåìåííîé, çàäàííàÿ äëÿ ìàëûõ ïîëîæèòåëüíûõ

s, ïðèíèìàþùàÿ ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïðè s > 0 è òàêàÿ, ÷òî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ

Z

ds =∞ ω(s)

(1.22)

+0

Âåðõíèé ïðåäåë çäåñü íåñóùåñòâåíåí. Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî ïðè ω(s) =

L · s, óñëîâèå Îñãóäà ïðåâðàùàåòñÿ â óñëîâèå Ëèïøèöà. Åñëè æå âçÿòü ω(s) = L · sα ïðè 0 < α < 1, òî óñëîâèå Îñãóäà íàðóøàåòñÿ  è â ñàìîì äåëå, ìîæíî óêàçàòü òàêèå óðàâíåíèÿ, äëÿ êîòîðûõ åäèíñòâåííîñòè íåò (ñì. óïðàæíåíèå 4). Ýòî îòíþäü íå îçíà÷àåò, ÷òî óñëîâèå Îñãóäà íåîáõîäèìî äëÿ åäèíñòâåííîñòè  äëÿ óðàâíåíèÿ â óïðàæíåíèè 5 îíî íàðóøåíî, à åäèíñòâåííîñòü, òåì íå ìåíåå, èìååò ìåñòî. Èíòåðåñíî åùå çàìåòèòü, ÷òî åñëè óæ çàäà÷à Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (1.17) èìååò áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ, òî íà ñàìîì äåëå ñóùåñòâóåò öåëîå íåïðåðûâíîå ñåìåéñòâî ðåøåíèé, îáðàçóþùåå êîíòèíóóì, íàçûâàåìûé èíòåãðàëüíîé âîðîíêîé. Ýòî  òåîðåìà Êíåçåðà (ñì. Ô.Õàðòìàí "Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ").

19

Ãëîáàëüíàÿ ðàçðåøèìîñòü. Òåîðåìà îá àëüòåðíàòèâå ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè. Ïðîñòåéøèå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ ìíîãèõ

äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ïî êðàéíåé ìåðå, íåêîòîðûå ðåøåíèÿ íåâîçìîæíî ïðîäîëæèòü íà âñþ âåùåñòâåííóþ îñü âðåìåíè èëè äàæå íà ïîëóîñü t > 0. Áîëåå òîãî, òàêóþ ñèòóàöèþ ñëåäóåò ñ÷èòàòü òèïè÷íîé. Ïðîâåäèòå òàêîé ýêñïåðèìåíò. Ââåäèòå â ëþáóþ ñòàíäàðòíóþ ïðîãðàììó äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé "êàêóþ ïîïàëî" ñèñòåìó, ñêàæåì 2-ãî èëè 3-ãî ïîðÿäêà èëè äàæå ñêàëÿðíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå  èñïîëüçóéòå äëÿ íàïèñàíèÿ ïðàâûõ ÷àñòåé ïîëèíîìû, ýêñïîíåíòû, òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè è ò.ä. Çàäàéòå íà÷àëüíûå äàííûå (òîæå "êàêèå ïîïàëî"). Áåðóñü ïðåäñêàçàòü ðåçóëüòàò òàêîãî ýêñïåðèìåíòà. Ðåøåíèå çà êîíå÷íîå âðåìÿ óéäåò íà áåñêîíå÷íîñòü, è âû÷èñëåíèÿ îñòàíîâÿòñÿ. Íó, ìîæåò áûòü (ýòî î÷åíü íåâåðîÿòíî), ðåøåíèå âûéäåò íà íåêîòîðîå ðàâíîâåñèå. Òîãäà èçìåíèòå íà÷àëüíûå äàííûå, è ðåøåíèå óéäåò íà áåñêîíå÷íîñòü.  èçâåñòíîé ìíå ëèòåðàòóðå íåò ñòðîãèõ òåîðåì î òîì, ÷òî îòñóòñòâèå ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè, íàëè÷èå âçðûâàþùèõñÿ ðåøåíèé ÿâëÿåòñÿ òèïè÷íûì. Íåêîòîðûå òàêèå òåîðåìû, ïðàâäà, äîâîëüíî ÷àñòíîãî õàðàêòåðà, ìíå èçâåñòíû, è ÿ ðàññêàçûâàë î íèõ â ëåêöèÿõ. Äóìàþ, ÷òî èññëåäîâàíèå îáùèõ óñëîâèé ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè ýâîëþöèîííûõ çàäà÷ äëÿ ðàçëè÷íûõ êëàññîâ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â îáûêíîâåííûõ è ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (à òàêæå è èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àêòóàëüíóþ è ìíîãîîáåùàþùóþ îáëàñòü èññëåäîâàíèÿ. Îñîáåííî èíòåðåñíî ñâÿçàòü ãëîáàëüíóþ ðàçðåøèìîñòü ñ ôóíäàìåíòàëüíûìè çàêîíàìè ôèçèêè. ß äàæå äóìàþ, ÷òî ñàìî ïî ñåáå òðåáîâàíèå ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç íàèáîëåå ôóíäàìåíòàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ. Åñëè áóäåò ðàçâèòà ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ, òî ìîæíî îæèäàòü, ÷òî íåêîòîðûå ôèçè÷åñêèå çàêîíû îêàæóòñÿ

20

ñëåäñòâèåì ïîñòóëàòà ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè. Çäåñü îãðàíè÷óñü ëèøü îäíèì ïðèìåðîì äëÿ èëëþñòðàöèè ýòîé îáùåé èäåè. Ðàññìîòðèì ñêàëÿðíîå äèôôåðåíöèàëüíîé óðàâíåíèå

x˙ = P (x),

P (x) = a1 x + a2 x + · · · + an xn

 ïîëèíîì, a1 , a2 , . . . , an  èçâåñòíûå âåùåñòâåííûå ïîñòîÿííûå. Òîãäà (äîêàæèòå ýòî!) äëÿ ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ýòîò ïîëèíîì áûë ëèíåéíûì, òî åñòü, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ðàâåíñòâà

a2 = a3 = · · · = an = 0. Èíûìè ñëîâàìè, êîãäà ýòî óñëîâèå íå âûïîëíåíî, ïðè íåêîòîðûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ (íà ñàìîì äåëå, ëèáî äëÿ âñåõ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé x(0), ëèáî äëÿ âñåõ çíà÷åíèé íà íåêîòîðîì ëó÷å). Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî ïàðàìåòðîâ a1 , a2 , . . . , an åñòü Rn , êàæäîìó óðàâíåíèþ x˙ = P (x) îòâå÷àåò òî÷êà ýòîãî ïðîñòðàíñòâà, Òàê âîò, ãëîáàëüíî ðàçðåøèìûì óðàâíåíèÿì îòâå÷àåò ïðÿìàÿ â Rn  "î÷åíü òîùåå" ìíîæåñòâî. Åãî êîðàçìåðíîñòü åñòü n − 1. Åñòü åùå èíòåðåñíûé è íå ñëèøêîì õîðîøî èçó÷åííûé êëàññ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, äëÿ êîòîðîãî ïî÷òè âñå (òî åñòü âñå, çà èñêëþ÷åíèåì ìíîæåñòâà ëåáåãîâîé ìåðû íîëü) íà÷àëüíûå äàííûå îòâå÷àþò ðåøåíèÿì, îïðåäåëåííûì íà âñåé ïîëóîñè t > 0 (èëè äàæå äëÿ âñåõ t). Èíòåðåñíûå ðåçóëüòàòû î òàêèõ óðàâíåíèÿõ èìåþòñÿ â ðàáîòå À.ß.Ïîçíåðà [].  ýòîé ñòàòüå ïðèâåäåí äîâîëüíî ãðîìîçäêèé ïðèìåð òàêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé, äëÿ êîòîðûõ, äåéñòâèòåëüíî, ãëîáàëüíî ïðîäîëæèìû ëèøü ïî÷òè âñå, íî íå âñå ðåøåíèÿ. Âîò ïðîñòîé ïðèìåð. Ðàññìîòðèì êîìïëåêñíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

z˙ = z 2

(1.23)

Åãî ðåøåíèå ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì z(0) = z0 åñòü

z0 (1.24) 1 − z0 t Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ íåâåùåñòâåííûõ z0 ðåøåíèå (1.24) îïðåäåëåíî äëÿ z(t) =

âñåõ t. Åñëè æå z0  âåùåñòâåííî, òî ïðè z0 > 0 ðåøåíèå (1.24) ìîæíî îïðå-

21

äåëèòü ëèøü íà èíòåðâàëå t ∈ (−∞,

1 ), à åñëè z0 < 0, òî ëèøü íà èíòåðâàëå z0

1 , +∞). Çàìå÷ó, ÷òî êîìïëåêñíîå óðàâíåíèå (1.23) ýêâèâàëåíòíî, êîz0 íå÷íî, (ïîëîæèì z = x + iy ) ñèñòåìå âòîðîãî ïîðÿäêà t∈(

x˙ = x2 − y 2 y˙ = 2xy Âûõîäèò, ÷òî ãëîáàëüíî ïðîäîëæèìû âñå ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû, êðîìå òåõ, êîòîðûå îòâå÷àþò íà÷àëüíûì òî÷êàì (x0 , 0), x0 6= 0 íà îñè x. Î÷åíü èíòåðåñíî áûëî áû èññëåäîâàòü îáùèå êëàññû ñèñòåì óðàâíåíèé ñ àíàëîãè÷íûì ïîâåäåíèåì ðåøåíèÿ  äëÿ êîòîðûõ ãëîáàëüíî ïðîäîëæèìû âñå ðåøåíèÿ, íà÷èíàþùèåñÿ âíå íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà ïîëîæèòåëüíîé êîðàçìåðíîñòè. Î òàêèõ óðàâíåíèÿõ, ïîæàëóé, íè÷åãî ñåé÷àñ íåèçâåñòíî. Âî âñåõ ó÷åáíèêàõ ïî îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà êëàññè÷åñêèõ òåîðåì ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ñëåäóåò îáñóæäåíèå âîïðîñà î âîçìîæíîñòè ïðîäîëæèòü ðåøåíèå íà áîëüøèé èíòåðâàë. Îáû÷íî îäíàêî ýòî îáñóæäåíèå îñòàåòñÿ êàê-òî â òåíè. ß ñåé÷àñ ñôîðìóëèðóþ îñíîâíóþ òåîðåìó îá àëüòåðíàòèâå ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è Êîøè. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ìû ïðèìåíÿåì ìåòîä ðàññóæäåíèÿ îò ïðîòèâíîãî. Ìû ïðîèçíîñèì ôðàçó: äîïóñòèì, ÷òî ðåøåíèå íåâîçìîæíî ïðîäîëæèòü íà âñþ ïîëóîñü t > 0. ×òî äåëàòü äàëüøå? Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîäñêàçûâàåò íàì ïëàí äàëüíåéøèõ äåéñòâèé. Òåîðåìà 1 (îá àëüòåðíàòèâå ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè). Ðàñ-

ñìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ â Rn

x˙ = F (x, t), x(0) = x0

(1.25)

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ êëàññè÷åñêèõ òåîðåì ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè: F  íåïðåðûâíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ äëÿ ∂Fi âñåõ (x, t) ∈ Rn × R, è ñóùåñòâóþò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå , ∂xk i, k = 1, . . . , n.

22

Òîãäà äëÿ ðåøåíèÿ x(t) èìååòñÿ ëèøü äâå âîçìîæíîñòè: 1) ðåøåíèå x(t) ìîæíî ïðîäîëæèòü íà âñþ ïîëóîñü t > 0; + 2) ñóùåñòâóåò t+ ∗ > 0 òàêîå, ÷òî |x(t)| → ∞ ïðè t → t∗

Êîíå÷íî, àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò ñïðàâåäëèâ è äëÿ çàäà÷è ïðîäîëæåíèÿ ðåøåíèÿ íà îòðèöàòåëüíóþ ïîëóîñü: åñëè ðåøåíèå x(t) íåëüçÿ ïðîäîëæèòü íà âñþ ïîëóîñü t 6 0, òî íàéäåòñÿ t− ∗ < 0 òàêîå, ÷òî ÷òî |x(t)| → ∞ ïðè t → t− ∗ . Ìàêñèìàëüíîé îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ðåøåíèÿ x(t) ìîæåò áûòü ëèáî + âñÿ îñü t, ëèáî ïîëóîñü, ëèáî èíòåðâàë (t− ∗ , t∗ ), ëèáî ïîëóèíòåðâàë. Ìîæíî

îáúåäèíèòü âñå ýòè ñëó÷àè, óñëîâèâøèñü ïîëàãàòü t+ ∗ = +∞ â ñëó÷àå, êîãäà ðåøåíèå ïðîäîëæèìî íà âñþ ïîëîæèòåëüíóþ ïîëóîñü, è t− ∗ = −∞, êîãäà ðåøåíèå ïðîäîëæèìî íà âñþ îòðèöàòåëüíóþ ïîëóîñü. ßâëåíèå óõîäà ðåøåíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòü çà êîíå÷íîå âðåìÿ íàçûâàåòñÿ

êîëëàïñîì èëè âçðûâîì. Ñîãëàñíî òåîðåìå îá àëüòåðíàòèâå, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè äîñòàòî÷íî èñêëþ÷èòü âçðûâ, êîëëàïñ. À ýòî çíà÷èò, ÷òî íåîáõîäèìî äîêàçàòü àïðèîðíóþ îöåíêó: ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ðåøåíèå ñóùåñòâóåò è îïðåäåëåíî, ñêàæåì, äëÿ âñåõ t > 0, íóæíî óñòàíîâèòü, ÷òî äëÿ íåãî âåðíà îöåíêà

|x(t)| 6 M (t),

(1.26)

ãäå M (t)  íåêîòîðàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Íå âîñïðåùàåòñÿ äàæå, ÷òîáû ôóíêöèÿ M (t) áûëà íåîãðàíè÷åííîé íà ëó÷å t > 0. Âàæíî, ÷òî àïðèîðíàÿ îöåíêà (1.26) èñêëþ÷àåò âçðûâ, òîãäà, ñîãëàñíî òåîðåìå, ðåøåíèå x(t) îïðåäåëåíî äëÿ âñåõ t > 0. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà èçûñêàííîñòü ïðèìåíÿåìîãî çäåñü ðàññóæäåíèÿ: ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ðåøåíèå íà [0, +∞) ñóùåñòâóåò è äîêàçûâàåì, ÷òî òî-

ãäà äëÿ íåãî âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà (1.26). À îòñþäà, ïî òåîðåìå, ñëåäóåò, ÷òî îíî è â ñàìîì äåëå ñóùåñòâóåò. Ê òîìó æå èíîãäà ôóíêöèÿ M (t) íàì â ÿâíîì âèäå íåèçâåñòíà, íî îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì äîêàçàòü, ÷òî îíà ñóùåñòâóåò.

23

Çàìåòèì åùå, ÷òî â òåîðåìå ðå÷ü èäåò î ôèêñèðîâàííîì ðåøåíèè x(t) , ñîîòâåòñòâåííî, ôóíêöèÿ M (t) îïðåäåëÿåòñÿ äëÿ ýòîãî ðåøåíèÿ. Âîçìîæíî, Âû ïîìíèòå èç îáùåãî êóðñà, ÷òî åñòü âñå-òàêè îäèí î÷åíü âàæíûé êëàññ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (âåêòîðíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé), äëÿ êîòîðîãî èìååò ìåñòî ãëîáàëüíàÿ ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè. Ýòî ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âèäà

x˙ = A(t)x

(1.27)

â Rn èëè, âîîáùå, â êîíå÷íîìåðíîì áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå X . Çäåñü A(t)  íåïðåðûâíàÿ ïî t îïåðàòîð-ôóíêöèÿ: A(t) : X → X äëÿ êàæäîãî t ∈ R åñòü ëèíåéíûé îïåðàòîð.  ñëó÷àå êîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà X âñå ëèíåéíûå îïåðàòîðû íåïðåðûâíû. Ðåçóëüòàò î ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè ñîõðàíÿåòñÿ è â ñëó÷àå áåñêîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà X , åñëè A(t) äëÿ êàæäîãî t åñòü ëèíåéíûå îïåðàòîð, à îïåðàòîð-ôóíêöèÿ A(t) íåïðåðûâíà ïî t â ñìûñëå íîðìû îïåðàòîðà (äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â êíèãå Þ.Ë. Äàëåöêîãî è Ì.Ã.Êðåéíà "Óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå"). Íà ñàìîì äåëå, îäíàêî, ñóòü íå â ëèíåéíîñòè äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, à â òîì, ÷òî âåêòîðíîå ïîëå íà áåñêîíå÷íîñòè ðàñòåò íå ñëèøêîì áûñòðî  ðàçðåøàåòñÿ íå òîëüêî ëèíåéíûé ðîñò, íî äàæå è ÷óòü-÷óòü áîëåå ñèëüíûé. Ïðè òàêèõ óñëîâèÿõ óäàåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷èòü íóæíûå àïðèîðíûå îöåíêè. Îá ýòîì ãîâîðÿò ñëåäóþùèå äâå òåîðåìû. Ñðàçó, îäíàêî, çàìå÷ó, ÷òî óæå ñòåïåííîé ðîñò áîëåå áûñòðûé, ÷åì ëèíåéíûé, ñêàæåì,

|x|1+ε , ε > 0, ìîæåò (õîòÿ, êîíå÷íî, íåîáÿçàòåëüíî) ïðèâåñòè ê êîëëàïñó ðåøåíèé (ñì.óïðàæíåíèå). Òåîðåìà 2. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâ-

íåíèÿ â Rn

x˙ = F (x, t),

x(0) = x0

(1.28)

Ïóñòü ñíîâà âûïîëíåíû óñëîâèÿ êëàññè÷åñêèõ òåîðåì ñóùåñòâîâàíèÿ è

24

åäèíñòâåííîñòè: F  íåïðåðûâíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ äëÿ âñåõ (x, t) ∈ ∂Fi , i, k = 1, . . . , n. Rn × Rn , è ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ∂xk Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíåíà ñëåäóþùàÿ îöåíêà

|F (x, t)| 6 m(t)|x|

(1.29)

äëÿ âñåõ x ∈ Rn , t > 0 (äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû íåðàâåíñòâî (1.29) âûïîëíÿëîñü äëÿ âñåõ x âíå íåêîòîðîãî øàðà, ñêàæåì, ïðè |x| > a). Çäåñü m(t)  íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ äëÿ t > 0. Òîãäà âñÿêîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1.28) ìîæíî ïðîäîëæèòü íà âñþ ïîëóîñü t > 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàäà÷à Êîøè (1.28) èìååò ðåøåíèå

x(t). Ïîäñòàâèì åãî â óðàâíåíèå (1.28). Óìíîæàÿ ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî ñêàëÿðíî íà x(t), ïîëó÷èì

1d |x(t)|2 = (F (x(t), t), x(t)). 2 dt

(1.30)

Äàëüøå, ðàäè êðàòêîñòè, âìåñòî x(t) áóäåì ïèñàòü x, à âìåñòî |x|2  x2 . Ïðèìåíÿÿ äëÿ îöåíêè ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî, à çàòåì óñëîâèå òåîðåìû (1.29), ïîëó÷èì

d 2 x 6 2|F (x, t)| · |x| 6 2m(t)x2 . dt

(1.31)

Ýòî èçâåñòíîå Âàì äèôôåðåíöèàëüíîå íåðàâåíñòâî. Ñëåäóþùåå ðàññóæäåíèå íîñèò äîâîëüíî îáùèé õàðàêòåð, ïîâòîðÿÿ â íàøåì êîíêðåòíîì ñëó÷àå ëåììó Ãðîíóîëà.

Rt −2 m(s)ds

Óìíîæèì (1.31) íà e ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå

0

. Òîãäà ýòî íåðàâåíñòâî ïåðåïèøåòñÿ â

Rt

d −2 0 m(s)ds 2 e x (t) 6 0. (1.32) dt Èíòåãðèðóÿ ïî âðåìåíè, ñ ó÷åòîì íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (1.28), ïîëó÷èì Rt 2 m(s)ds

|x(t)|2 6 |x0 |2 e

0

(1.33)

25

èëè

Rt

|x(t)| 6 |x0 |e0

m(s)ds def

= M (t).

(1.34)

Èòàê, ìû äîêàçàëè àïðèîðíóþ îöåíêó âèäà (1.34). Ïîýòîìó êîëëàïñ íåâîçìîæåí. Îñòàëîñü ñîñëàòüñÿ íà òåîðåìó îá àëüòåðíàòèâå, è äîêàçàòåëüñòâî îêîí÷åíî. Òåîðåìà 3. Ïóñòü, âìåñòî óñëîâèÿ (1.29), âûïîëíÿåòñÿ (õîòÿ áû

ïðè áîëüøèõ |x|) íåðàâåíñòâî

|F (x, t)| 6 m(t)ϕ(|x|),

(1.35)

ãäå m(t)  íåïðåðûâíàÿ íà ëó÷å t > 0 ôóíêöèÿ, à ôóíêöèÿ ϕ(s) òàêæå îïðåäåëåíà äëÿ s > 0 è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ

Z+∞

ds = +∞, ϕ(s)

(1.36)

íèæíèé ïðåäåë ìîæíî ïîñòàâèòü êàêîé óãîäíî. Òîãäà ñîõðàíÿåòñÿ óòâåðæäåíèå òåîðåìû 2: âñÿêîå ðåøåíèå çàäà÷è çàäà÷è Êîøè (1.28) ìîæíî ïðîäîëæèòü íà âñþ ïîëóîñü t > 0. Ýòî òàê íàçûâàåìàÿ òåîðåìà Õàðòìàíà-Óèòíåðà (ñì.êíèãó Ô.Õàðòìàíà [3]), äîñòàòî÷íî òðèâèàëüíàÿ. Äîêàçûâàåòñÿ îíà â îñíîâíîì òàê æå, êàê òåîðåìà 2, äóìàþ, Âû ñïðàâèòåñü ñ ýòèì ñàìè. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì 2, 3 íîñÿò "ñèëîâîé" õàðàêòåð, ïîòîìó ÷òî îíè îñíîâûâàþòñÿ íà íåïîñðåäñòâåííûõ è ãðóáûõ îöåíêàõ ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé. Îãðàíè÷åíèÿ, ïðèíÿòûå â ýòèõ òåîðåìàõ î÷åíü ñèëüíû, î÷åíü ñòðîãè è íå ÷àñòî âûïîëíÿþòñÿ. Äëÿ áîëüøèíñòâà íàèáîëåå âàæíûõ íåëèíåéíûõ ñèñòåì ïðàâûå ÷àñòè íà áåñêîíå÷íîñòè ðàñòóò ñòåïåííûì îáðàçîì (ñêàæåì, êàê |x|2 èëè |x|3 ), à òî è ýêñïîíåíöèàëüíî. Ïîæàëóé, ïîìèìî ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, â ïðèëîæåíèÿõ òåîðåìà 2 ïðèìåíÿåòñÿ åùå ê óðàâíåíèÿì è ñèñòåìàì ñ îãðàíè÷åííûìè ïðàâûìè ÷àñòÿìè. Íàïðèìåð, èç íåå ñëåäóåò ãëîáàëüíàÿ ðàçðåøèìîñòü äëÿ óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà x ¨ + ω 2 sin x = 0.

26

 óïðàæíåíèÿõ Âû íàéäåòå ïðèìåðû ñèñòåì óðàâíåíèé, äëÿ êîòîðûõ àïðèîðíûå îöåíêè ðåøåíèé è ãëîáàëüíóþ ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè ìîæíî âûâåñòè áîëåå òîíêèìè ïðèåìàìè, ñ èñïîëüçîâàíèåì èõ ñïåöèôè÷åñêèõ ñâîéñòâ. 1.4

Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì

Äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì íàçûâàåòñÿ ïàðà

(X, N ), ãäå X  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, N : X → X  îòîáðàæåíèå ýòîãî ïðîñòðàíñòâà â ñåáÿ.

Äâèæåíèåì ýòîé ñèñòåìû ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé x0 íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

x0 , x1 = N x0 , x2 = N x1 = N 2 x0 , . . . , xn = N n x0

(1.37)

Ìíîæåñòâî {xn }, n = 0, 1, . . . íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé òðàåêòîðèåé, îïðåäåëåííîé íà÷àëüíîé òî÷êîé x0 . Âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà

N 0 = I,

N m+n = N m N n .

(1.38)

Ïåðâîå èç íèõ  îáû÷íîå îïðåäåëåíèå, à âòîðîå âûðàæàåò çàêîí àññîöèàòèâíîñòè äëÿ êîìïîçèöèè îòîáðàæåíèé. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòî òîò æå çàêîí ïðè÷èííîñòè (1.4), íî çàïèñàííûé íå äëÿ ïðîèçâîëüíûõ t, s ∈ R, à ëèøü äëÿ èõ íåîòðèöàòåëüíûõ öåëî÷èñëåííûõ çíà÷åíèé t = m, s = n. Åñëè N  îáðàòèìîå îòîáðàæåíèå, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ðàâåíñòâî (1.38) âûïîëíåíî äëÿ âñåõ öåëûõ m, n ∈ Z .  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî îïðåäåëèòü òî÷êè xn = {N −1 }|n| x0 . Ìíîæåñòâî {xn },

n = 0, +1, ±2, . . . íàçûâàåòñÿ òðàåêòîðèåé. Î÷åâèäíî, òðàåêòîðèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ëþáîé ñâîåé òî÷êîé x0 . Çàìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî îïåðàòîðîâ {I, N, N 2 , . . . } åñòü ïîëóãðóïïà.  ñëó÷àå, êîãäà îïåðàòîð N îáðàòèì, åå ìîæíî ðàñøèðèòü äî ãðóïïû {N n },

n = 0, ±1, ±2, . . . .

27

Ñåé÷àñ ìû ðàññìîòðèì ïóòè âîçíèêíîâåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì. Âî-ïåðâûõ, äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì (êàñêàäû) âîçíèêàþò ïðè êâàíòèçàöèè (ñì.íèæå) äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì (ïîòîêîâ). Âî-âòîðûõ, â ðÿäå ñëó÷àåâ (â ÷àñòíîñòè, â ýêîëîãèè) óæå èñõîäíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè îêàçûâàþòñÿ äèíàìè÷åñêèìè ñèñòåìàìè ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì. Â-òðåòüèõ, ðàññìàòðèâàÿ ïåðèîäè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ìîæíî, à çà÷àñòóþ è ïîëåçíî, ïåðåéòè ê ðàññìîòðåíèþ ðåøåíèé ëèøü â òî÷êàõ np, êðàòíûõ ïåðèîäó p, ÷òî ïðèâîäèò ê äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå ñ îïåðàòîðîì ìîíîäðîìèè (ñì.íèæå). È, íàêîíåö, â-÷åòâåðòûõ, äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì âîçíèêàþò ïðè èññëåäîâàíèè àâòîíîìíûõ ñèñòåì, äëÿ êîòîðûõ óäàåòñÿ íàéòè

ïîâåðõíîñòü Ïóàíêàðå è ïîñòðîèòü îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå Êàñêàäû è ïîòîêè. Äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì

íàçûâàþò òàêæå êàñêàäîì, â îòëè÷èå îò äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì, ó êîòîðîé åñòü åùå íàçâàíèå ïîòîê. Òåðìèí "êàñêàä" íå âñåìè ïðèíÿò, à íàçâàíèå "ïîòîê" âåñüìà âûðàçèòåëüíî. Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ àâòîíîìíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå x˙ = F (x) â Rn , òî âñåãäà ïîëåçíî ïðåäñòàâèòü ñåáå, ÷òî F åñòü ïîëå ñêîðîñòè òåêóùåé æèäêîñòè. Ýòî çíà÷èò, ÷òî â òî÷êå x ∈ Rn çàäàíà ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, õîòÿ â ýòîé òî÷êå ïîÿâëÿþòñÿ âñå âðåìÿ íîâûå ÷àñòèöû æèäêîñòè. Åñëè õîòèì ïðîñëåäèòü çà äâèæåíèåì òîé ÷àñòèöû æèäêîñòè, êîòîðàÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò t = 0 íàõîäèëàñü â òî÷êå x0 ∈ Rn , òî äëÿ ýòîãî íóæíî ðåøèòü çàäà÷ó Êîøè ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì x(0) = x0 . Òîãäà ðåøåíèå x(t) = N t x0 äàåò ïîëîæåíèå ýòîé æèäêîé ÷àñòèöû â ìîìåíò t. Êâàíòèçàöèÿ. Ñëó÷àåòñÿ, ÷òî, ðàññìàòðèâàÿ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó

ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì, ìû æåëàåì ñîêðàòèòü îáúåì èíôîðìàöèè, ñ êîòîðîé èìååì äåëî (õðàíèì, îáðàáàòûâàåì, ïåðåñûëàåì) è ôèêñèðîâàòü ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ëèøü â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè, ñêàæåì, òîëüêî äëÿ

t = nT , ãäå T > 0 ôèêñèðîâàíî. Òàê ìû ïîñòóïàåì, íàïðèìåð, ñîñòàâëÿÿ

28

òàáëèöû (T  øàã òàáëèöû) ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Òàê ïîñòóïàþò è ðóêîâîäÿùèå îðãàíèçàöèè, çàïðàøèâàÿ îò÷åòû ëèøü åæåãîäíî (T = 1 ãîä), à íå â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè. Âìåñòî x(t) = N t x0 ìû â ýòîì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàåì ëèøü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn = x(nT ) = N nT x0 . Òàêèì ïóòåì ïðèõîäèì ê äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì

(X, N T ) ñ òåì æå ïðîñòðàíñòâîì X è îòîáðàæåíèåì N T . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì. Èíîãäà èñõîä-

íàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äëÿ îïèñàíèÿ äàííîãî ÿâëåíèÿ óæå îêàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì. Òàêîâû ìíîãèå ìîäåëè ýêîëîãèè è ãåíåòèêè. Îãðàíè÷óñü çäåñü îäíèì ïðèìåðîì. Ðàññìîòðèì èçìåíåíèå ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèè áàáî÷åê. Áóäåì õàðàêòåðèçîâàòü âåëè÷èíó ïîïóëÿöèè â n-ì ïîêîëåíèè, ñêàæåì, åå áèîìàññîé. Îáîçíà÷èì åå ÷åðåç xn ; ÿñíî, ÷òî xn > 0  íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî. Êîãäà ïîïóëÿöèÿ ðàçâèâàåòñÿ áåñïðåïÿòñòâåííî, äåéñòâóåò çàêîí Ìàëüòóñà

xn+1 = bxn .

(1.39)

Çäåñü b > 0  ïàðàìåòð, õàðàêòåðèçóþùèé ïîïóëÿöèþ. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê ðàññìîòðåíèþ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû

(R+ , N ), ãäå íåîòðèöàòåëüíàÿ ïîëóîñü R+ åñòü ïðîñòðàíñòâî äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, à N : R+ → R+  îòîáðàæåíèå, îïðåäåëÿåìîå ðàâåíñòâîì

N x = bx.

(1.40)

Åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò n = 0 (äèñêðåòíîãî âðåìåíè n) âåëè÷èíà ïîïóëÿöèè åñòü x0 , òî ïî ðåêóððåíòíîé ôîðìóëå (1.39) íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷àåì

x n = bn x 0 .

(1.41)

Åñëè b > 1, òî xn → ∞ ïðè n → ∞. Åñëè b = 1, òî xn = x0 äëÿ âñåõ n, ïîïóëÿöèÿ íå ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì. Åñëè b < 1, òî xm → 0, ïîïóëÿöèÿ âûìèðàåò. Òåïåðü ïîíÿòíî, ïî÷åìó b íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðîì æèçíåííîé ñèëû äàííîé ïîïóëÿöèè.

29

Çàêîí Ìàëüòóñà (1.39) äîñòàòî÷íî õîðîøî îïèñûâàåò ðàçâèòèå íå òîëüêî ïîïóëÿöèè áàáî÷åê, íî è âîîáùå ýâîëþöèþ âñÿêîé ïîïóëÿöèè â óñëîâèÿõ (ïðàêòè÷åñêè) íåîãðàíè÷åííîãî çàïàñà ïèòàíèÿ è îòñóòñòâèÿ ñîïðîòèâëåíèÿ âíåøíåé ñðåäû (õèùíèêîâ, çàãðÿçíåíèÿ ñðåäû, ñàìîîòðàâëåíèÿ ïîïóëÿöèè ïðîäóêòàìè åå æèçíåäåÿòåëüíîñòè). ß ãîâîðþ î áàáî÷êàõ, ïîòîìó ÷òî äëÿ íèõ õàðàêòåðíî, ÷òî âñå îñîáè n-ãî ïîêîëåíèÿ ïîãèáàþò, ðîæäàÿ (n + 1)-å ïîêîëåíèå; ðîñò ìîæåò îêàçàòüñÿ åùå áûñòðåå, ÷åì ýêñïîíåíöèàëüíûé, åñëè ÷àñòü îñîáåé n-ãî ïîêîëåíèÿ ïðîäîëæàåò æèòü îäíîâðåìåííî ñ (n + 1)-ì,

(n + 2)-ì è ò.ä. ïîñëåäóþùèìè ïîêîëåíèÿìè. ×àñòî ãîâîðÿò, ÷òî äëÿ ïðîâåðêè óñëîâèé ïðèìåíèìîñòè äàííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè íóæíî ðàññìîòðåòü åå êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé áîëåå îáùèõ ìîäåëåé. Ýòî íå ñîâñåì òàê. Èíîãäà ìîäåëü ñàìà ãðîìêî çàÿâëÿåò î ñâîåé íåïðèìåíèìîñòè. Ñ îäíèì ïðèìåðîì ìû óæå âñòðåòèëèñü ðàíüøå. Åñëè ðåøåíèå x(t) äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ èñïûòûâàåò êîëëàïñ, |x(t)| → ∞ ïðè t → t∗ , òî ÿñíî, ÷òî ïðè t > t∗ (à íà ñàìîì äåëå äàæå ðàíüøå) ìîäåëü ñòàíîâèòñÿ íåïðèìåíèìîé äëÿ îïèñàíèÿ äàëüíåéøåé ýâîëþöèè. Çàêîí Ìàëüòóñà ïðè b > 1 äàåò äðóãîé ïðèìåð. Àâòîðû ïîïóëÿðíûõ êíèã ëþáÿò ïðèâîäèòü ïîäñ÷åò ðîñòà ïîïóëÿöèé áàáî÷åê, èëè êðîëèêîâ â n-ì ïîêîëåíèè è äåìîíñòðèðîâàòü âûâîä, ÷òî î÷åíü ñêîðî òàêàÿ ïîïóëÿöèÿ çàïîëíèò âñþ Çåìëþ, èëè ÷òî åå ìàññà ñòàíåò áîëüøå ìàññû Ñîëíöà. Òàêèå âûâîäû, î÷åâèäíî, ðåøèòåëüíî ïðîòèâîðå÷àò ðåàëüíîñòè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ îïèñàíèÿ äàëüíåéøåãî ðàçâèòèÿ ïîïóëÿöèè ìîäåëü äîëæíà áûòü èçìåíåíà. Îäèí èç ïðîñòåéøèõ ñïîñîáîâ õîòü êàê-òî ó÷åñòü ñîïðîòèâëåíèå âíåøíåé ñðåäû ðàçâèòèþ ïîïóëÿöèé áûë ïðåäëîæåí Ôåðõþëüñòîì [] è îí ñîñòîÿë â òîì, ÷òî â óðàâíåíèå Ìàëüòóñà äîáàâëÿëîñü êâàäðàòè÷íîå ñëàãàåìîå. Ïîñëå ââåäåíèÿ íàäëåæàùèõ ìàñøòàáîâ èçìåðåíèÿ (ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûé ðàçìåð ïîïóëÿöèè ïðèíèìàåòñÿ çà 1) ïîëó÷àåòñÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà (X, N ), ãäå X = [0, 1], à îòîáðàæåíèå N çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì

N x = bx(1 − x).

(1.42)

30

Òðåáîâàíèå, ÷òîáû äëÿ âñÿêîãî x ∈ [0, 1] åãî îáðàç N x òàêæå ïðèíàäëåæàë

[0, 1], ïðèâîäèò ê îãðàíè÷åíèþ íà ïàðàìåòð æèçíåííîé ñèëû 0 6 b 6 4. Òåïåðü ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî

xn+1 = bxn (1 − xn ).

(1.43)

Ñ ðîñòîì n âûðàæåíèå äëÿ xn (÷åðåç x0 ) ïî ýòîé ðåêóððåíòíîé ôîðìóëå ñèëüíî óñëîæíÿåòñÿ. ×ðåçâû÷àéíî óñëîæíÿåòñÿ è ïîâåäåíèå âåëè÷èí xn . Ñåé÷àñ ìû îáñóäèì íåêîòîðûå îáùèå âîïðîñû î ïîâåäåíèè äâèæåíèé, à çàòåì âåðíåìñÿ ê íàøèì áàáî÷êàì. Ïîâåäåíèå äâèæåíèé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû íà áîëüøèõ âðåìåíàõ. Âîîáùå, êîãäà ìû èçó÷àåì äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó, áóäü òî ïîòîê èëè

êàñêàä, íàèáîëåå èíòåðåñíûé âîïðîñ  ÷òî ïðîèñõîäèò ïðè íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàþùåì âðåìåíè: ïðè t → +∞ èëè ïðè n → +∞. Ïðîñòåéøèé âàðèàíò  êîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn èìååò ïðåäåë: xn →

x∗ . Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ðàâåíñòâå xn+1 = N xn

(1.44)

è ó÷èòûâàÿ, ÷òî xn+1 → x∗ , çàêëþ÷àåì, ÷òî x∗  íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ N :

N x∗ = x∗ .

(1.45)

Êîãäà ìû ñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ïî ôîðìóëå (1.44), òî ïî ñóùåñòâó êàê áóäòî áû ïûòàåìñÿ ðåøèòü óðàâíåíèå (1.45) ìåòîäîì èòåðàöèé. Èòåðàöèè ìîãóò, êîíå÷íî, è íå ñõîäèòüñÿ. Êàê âåäåò ñåáÿ òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ? Áûâàåò, ÷òî äâèæåíèå xn ñòðåìèòñÿ ê öèêëó íåêîòîðîãî

ïåðèîäà p. Öèêëîì äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû (X, N ) èëè öèêëîì îòîáðàæåíèÿ

N : X → X íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî {x1 , x2 , . . . , xp } (çàìåòüòå, ÷òî óæå ïî ñìûñëó ñëîâà "ìíîæåñòâî" âñå òî÷êè ýòè ðàçëè÷íû), äëÿ òî÷åê êîòîðîãî âåðíî ðàâåíñòâî

N p xj = xj ,

31

íî åñëè âçÿòü N â ìåíüøåé ñòåïåíè k < p, òî N k xj 6= xj íè äëÿ êàêîãî

j . Íàïðèìåð, åñëè èìååòñÿ òðè ðàçëè÷íûå òî÷êè x1 , x2 , x3 è âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà N x1 = x3 , N x3 = x2 , N x2 = x1 , òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî

{x1 , x2 , x3 } åñòü öèêë ïåðèîäà 3. Çàìåòüòå, ÷òî îïðåäåëåíèå ïåðèîäà öèêëà äëÿ îòîáðàæåíèé îòëè÷àåòñÿ îò îáû÷íîãî îïðåäåëåíèÿ ïåðèîäà ôóíêöèè ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòàçäåñü â îïðåäåëåíèå âêëþ÷àåòñÿ òðåáîâàíèå ìèíèìàëüíîñòè ÷èñëà p, à â ñëó÷àå ôóíêöèéíåò. Íàïðèìåð, ïðàâèëüíî , áóäåò ñêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ sin x, íàðÿäó ñ ïåðèîäîì 2π , èìååò ïåðèîäû 4π, 6π, ..., à ó öèêëà îòîáðàæåíèÿ åñòü òîëüêî îäèí ïåðèîä. Âîîáùå, ïîäìíîæåñòâî M â X íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíûì ìíîæåñòâîì äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû (X, N ) èëè îòîáðàæåíèÿ N , åñëè îíî ïåðåâîäèòñÿ îòîáðàæåíèåì N â ñåáÿ, òàê ÷òî N (M ) ⊂ M . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî

x ∈ M è åãî îáðàç N x ∈ M .  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ðàññìîòðåòü ñóæåíèå N îòîáðàæåíèÿ N è ââåñòè â ðàññìîòðåíèå íîâóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó M (M, N ). M

Äâèæåíèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ìîæåò ñòðåìèòüñÿ è ê áîëåå ñëîæíîìó ìíîæåñòâó, ÷åì öèêë. Íàïðèìåð, äàæå äëÿ ïðîñòîãî êâàäðàòè÷íîãî îòîáðàæåíèÿ (1.42) ñëó÷àåòñÿ, ÷òî äâèæåíèÿ ñòðåìÿòñÿ ê êàíòîðîâó ìíîæåñòâó (ýòî áûëî äîêàçàíî ñðàâíèòåëüíî íåäàâíî ìîèìè ó÷åíèêàìè Þ. Ñ.Áàðêîâñêèì è Ã.Ì.Ëåâèíûì (1980) è îäíîâðåìåííî ïîëüñêèì ìàòåìàòèêîì Ìèñþðåâè÷åì). Íî, êîíå÷íî, áûâàåò è òàê, ÷òî äâèæåíèå xn óõîäèò íà áåñêîíå÷íîñòü. Íàäî ñêàçàòü, ÷òî äîñòàòî÷íî óäèâèòåëüíûì îáðàçîì ïîâåäåíèå äâèæåíèÿ êàñêàäîâ ìîæåò áûòü ñëîæíåå, ÷åì äâèæåíèÿ ïîòîêîâ. Íàïðèìåð, êàê Âû çíàåòå èç òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ïîâåäåíèå ðåøåíèé ñêàëÿðíîãî àâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ x(t) ˙ = f (x) î÷åíü ïðîñòî: âñÿêîå ðåøåíèå

x(t), ñêàæåì, ïðè t > 0, ëèáî 1) óõîäèò íà áåñêîíå÷íîñòü çà êîíå÷íîå âðåìÿ, ëèáî 2) x(t) → +∞ (−∞) ïðè t → +∞, ëèáî 3) ñòðåìèòñÿ ê íåêîòîðîìó ðàâíîâåñèþ: x(t) → x∗ ïðè t → +∞ ïðè÷åì f (x∗ ) = 0. Ìåæäó òåì, åãî

32

äèñêðåòíûé àíàëîã (1.42) äåìîíñòðèðóåò âåñüìà ñëîæíîå ïîâåäåíèå. Çàìåòüòå, ÷òî óðàâíåíèÿ òèïà (1.42) ïîëó÷àþòñÿ èç äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïðè äèñêðåòèçàöèè, êîãäà ìû ðåøàåì çàäà÷ó Êîøè ÷èñëåííî, íàïðèìåð, ìåòîäîì Ýéëåðà. Òàêîå ðåçêîå ðàçëè÷èå â êà÷åñòâåííîì ïîâåäåíèè äâèæåíèé ëèøíèé ðàç íàïîìèíàåò íàì, êàê îñòîðîæíî íóæíî îòíîñèòüñÿ ê âûâîäàì, ïîëó÷åííûì â ðåçóëüòàòå ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèé, â îñîáåííîñòè, êîãäà ðå÷ü èäåò î ðåøåíèè óðàâíåíèé íà áîëüøèõ ïðîìåæóòêàõ âðåìåíè. Ïåðèîäè÷åñêèå ñèñòåìû è îïåðàòîð ìîíîäðîìèè. Ñëåäóþùèìè

ïî ñëîæíîñòè ïîñëå àâòîíîìíûõ ñèñòåì èäóò ïåðèîäè÷åñêèå ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ðàññìîòðèì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

x˙ = F (x, t)

(1.46)

â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå X . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåêòîðíîå ïîëå F çàâèñèò îò âðåìåíè ïåðèîäè÷åñêè, ñ ïåðèîäîì p > 0

F (x, t + p) ≡ F (x, t).

(1.47)

Ïîñòàâèì äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ çàäà÷ó Êîøè ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì

x(0) = a.

(1.48)

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî a ∈ X ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x(t) çàäà÷è (1.46)(1.48), îïðåäåëåííîå äëÿ t ∈ [0, p]. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò îïåðàòîð ìîíîäðîìèè Np : X → X : äëÿ ëþáîãî a, ïî îïðåäåëåíèþ,

Np a = x(p).

(1.49)

Òåïåðü ïîíÿòíî, ÷òî ìîæíî, è ýòî îêàçûâàåòñÿ âåñüìà ïîëåçíûì, ââåñòè â ðàññìîòðåíèå äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì (X, Np ). Ïðè ýòîì ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî X îñòàåòñÿ ïðåæíèì, íî âìåñòî ïîòîêà N t ìû ðàññìàòðèâàåì îòîáðàæåíèå Np : X → X .

33

ßñíî, ÷òî îïåðàòîð ìîíîäðîìèè Np ïîëó÷àåòñÿ èç ýâîëþöèîííîãî îïåðàòîðà N0t óðàâíåíèÿ (1.46) ïðè t = p, òàê ÷òî Np = Np0 . (Çäåñü èíäåêñ 0 îòâå÷àåò âûáîðó íà÷àëüíîãî ìîìåíòà t = 0). Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî, âîîáùå, np

â ìîìåíòû âðåìåíè t = p, 2p, . . . , np, èìååòñÿ ðàâåíñòâî Npn = N0 . Îäíàêî ïåðåõîä îò ýâîëþöèîííîãî îïåðàòîðà N0t ê îïåðàòîðó ìîíîäðîìèè íå åñòü êâàíòèçàöèÿ, ïîòîìó ÷òî äëÿ íåàâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ (1.46) ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð N0t íå îáëàäàåò ãðóïïîâûì ñâîéñòâîì, íå óäîâëåòâîðÿåò ïðèíöèïó ïðè÷èííîñòè, íå ïîðîæäàåòñÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé. Âïðî÷åì, ïîíÿòèå êâàíòèçàöèè ìîæíî åñòåñòâåííî îáîáùèòü è íà íåàâòîíîìíûå ñèñòåìû. Äàëüøå, ïðè îáñóæäåíèè íåàâòîíîìíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ìû ðàññìîòðèì îáîáùåííûé ïðèíöèï ïðè÷èííîñòè è åãî ñëåäñòâèÿ äëÿ ñëó÷àÿ ïåðèîäè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.  òåîðèè ïåðèîäè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðåõîä ê äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå îêàçûâàåòñÿ âåñüìà ïîëåçíûì, íàïðèìåð, ïðè èññëåäîâàíèè óñòîé÷èâîñòè ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé. Íà ïðàêòèêå îïåðàòîð ìîíîäðîìèè, äàæå äëÿ ëèíåéíîãî ïåðèîäè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (1.46) îñòàåòñÿ íåèçâåñòíûì, íå çàäàåòñÿ êàêèìè-ëèáî ÿâíûìè ôîðìóëàìè, íî åãî âïîëíå ìîæíî è íóæíî âû÷èñëÿòü ïðè ïîìîùè êîìïüþòåðà. Îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå. Ðàññìîòðèì àâòîíîìíîå äèôôåðåíöèàëü-

íîå óðàâíåíèå

x˙ = F (x)

(1.50)

â Rn . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì èçâåñòíà ãèïåðïîâåðõíîñòü S (íàïðèìåð, çàäàííàÿ ñêàëÿðíûì óðàâíåíèåì Φ(x) = 0), îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì (ñì. Ðèñ. 1): äëÿ ëþáîé òî÷êè x0 ∈ S íà÷àòîå îò íåå äâèæåíèå x(t) (òî åñòü ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (1.50) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì

x(0) = x0 ), âîçâðàùàåòñÿ íà ýòó ïîâåðõíîñòü. Èíûìè ñëîâàìè, ñóùåñòâóåò t∗ = t∗ (x0 ) > 0 òàêîå, ÷òî x(t∗ ) ∈ S . Ãèïåðïîâåðõíîñòü, îáëàäàþùàÿ ýòèì ñâîéñòâîì, íàçûâàåòñÿ ãèïåðïî-

âåðõíîñòüþ Ïóàíêàðå, ÷àùå ãîâîðÿò, ïîâåðõíîñòü Ïóàíêàðå, õîòÿ ôîðìàëü-

34

S P PH H r

H Hr

x(t∗ )

x0 H H  

Ðèñ. 1:

íî ýòî ïðàâèëüíî ëèøü ïðè n = 3 (ïîâåðõíîñòü äâóìåðíà, ïî îïðåäåëåíèþ). Ïîíÿòíî, ÷òî äâèæóùàÿñÿ òî÷êà x(t) âåðíåòñÿ íà ïîâåðõíîñòü S áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàç. Ïóñòü t∗ = t∗ (x0 ) > 0  ìîìåíò ïåðâîãî âîçâðàùåíèÿ.

Îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå Π : S → S îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì

Πxo = x(t∗ ).

(1.51)

Òàêèì ïóòåì ìû îïðåäåëèì äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì (S, Π). Ïðè ýòîì S  åå ïðîñòðàíñòâî, à Π : S → S  îòîáðàæåíèå. Èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ äâèæåíèé ñèñòåìû (1.50)  âî âñÿêîì ñëó÷àå, òåõ, êîòîðûå ïåðåñåêàþò ïîâåðõíîñòü S  â çíà÷èòåëüíîé ìåðå ñâîäèòñÿ ê èññëåäîâàíèþ èòåðàöèé Πn îòîáðàæåíèÿ Ïóàíêàðå. Åñëè, íàïðèìåð, x0  íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ Π, òàê ÷òî Πx0 = x0 , òî ñîîòâåòñòâóþùåå äâèæåíèå x(t)  ïåðèîäè÷åñêîå. Åãî ïåðèîä åñòü p = t∗ (x0 ). Ê ñîæàëåíèþ, íåò îáùåãî ñïîñîáà íàéòè ïîâåðõíîñòü Ïóàíêàðå äëÿ çàäàííîé àâòîíîìíîé ñèñòåìû. Èçâåñòíû ëèøü ðàçëè÷íûå ÷àñòíûå ïðèåìû òàêîãî ïîñòðîåíèÿ. Ïóñòü, íàïðèìåð, ìû çíàåì pïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå x(t) óðàâíåíèÿ (1.50). Åãî òðàåêòîðèÿ åñòü çàìêíóòàÿ êðèâàÿ (öèêë) (ñì.Ðèñ.1), ñòðåëêà, êàê îáû÷íî óêàçûâàåò íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ. Âûáåðåì êàêóþ-íèáóäü òî÷êó x0 (t) íà ýòîé òðàåêòîðèè è ïðîâåäåì ÷åðåç íåå ìàëóþ ïëîùàäêó S òðàíñâåðñàëüíóþ ê öèêëó Γ (òî åñòü íå êàñàòåëüíóþ ê Γ). Åñëè òî÷êà x0 ∈ S äîñòàòî÷íî áëèçêà ê x(t0 ), òî ïîëüçó-

35

ÿñü òåîðåìîé î íåïðåðûâíîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè îò íà÷àëüíûõ äàííûõ, íåòðóäíî óñòàíîâèòü, ÷òî äâèæåíèå x(t), íà÷àòîå ñ òî÷êè x0 , âåðíåòñÿ íà ïîâåðõíîñòü S . Òåì ñàìûì äëÿ òàêèõ òî÷åê x0 îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå Π : x0 7→ Πx0 . Íåò ãàðàíòèé½ ïðàâäà, ÷òî èòåðàöèè Πn x0 îñòàíóòñÿ íà ïîâåðõíîñòè S . Ýòî ïðèõîäèòñÿ äîêàçûâàòü îòäåëüíî. Äàííîå ïîñòðîåíèå âõîäèò ñóùåñòâåííîé ñîñòàâíîé ÷àñòüþ â äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì îá óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè ïåðèîäè÷åñêèõ àâòîêîëåáàòåëüíûõ ðåæèìîâ (ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1.50)). Ñóùåñòâåííî òàêæå, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì âîçìóùåíèè öèêëà, ñêàæåì, âûçâàííîãî ìàëûì èçìåíåíèåì ïàðàìåòðîâ çàäà÷è, òà æå ñàìàÿ ïëîùàäêà îñòàåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ Ïóàíêàðå.  ðÿäå ñëó÷àåâ òàêèì ïóòåì óäàåòñÿ îáíàðóæèòü íîâûå öèêëû, îòâåòâëÿþùèåñÿ îò èçâåñòíîãî ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðîâ. Ïðîáëåìà âëîæåíèÿ êàñêàäà â ïîòîê. Äàâíî è äîâîëüíî åñòåñòâåí-

íî âîçíèê âîïðîñ, ìîæíî ëè äàííóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó (X, N ) ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì âëîæèòü â ïîòîê, òî åñòü ïîëó÷èòü ïîñðåäñòâîì êâàíòèçàöèè èç íåêîòîðîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì. Îêàçûâàåòñÿ, ýòî âîçìîæíî äàëåêî íå âñåãäà, è óñëîâèÿ, êîãäà ýòî âîçìîæíî, â òî÷íîñòè íåèçâåñòíû. ß ñåé÷àñ ðàññêàæó î äâóõ ïðåïÿòñòâèÿõ ê òàêîìó âëîæåíèþ, îãðàíè÷èâàÿñü ñëó÷àåì, êîãäà X = Rn .

Íåîáðàòèìîñòü. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì óäàëîñü ïîñòðîèòü òàêîå àâòîíîìíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå x˙ = F (x) ñ ãëàäêèì âåêòîðíûì ïîëåì

F (x) è ýâîëþöèîííûì îïåðàòîðîì N t òàê, ÷òî ïðè íåêîòîðîì øàãå êâàíòèçàöèè h ïîëó÷àåòñÿ ðàâåíñòâî N h = N . Íî îïåðàòîð N t äëÿ êàæäîãî t îáðàòèì, çíà÷èò, è N h îáðàòèì. Îá ýòîì ãîâîðÿò òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè. Âûõîäèò, ÷òî íåîáðàòèìîå îòîáðàæåíèå N íåâîçìîæíî âëîæèòü â ïîòîê. Îòîáðàæåíèå N : x 7→ bx(1−x) îòðåçêà

[0, 1] â ìîäåëè ïîïóëÿöèè áàáî÷åê êàê ðàç íåîáðàòèìî. Ïîòîìó-òî òàê ñëîæíà îïðåäåëÿåìàÿ èì äèíàìèêà, à äëÿ ñêàëÿðíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé x˙ = f (x) âñå î÷åíü ïðîñòî. Ðåøåíèÿ ëèáî óõîäÿò íà áåñêîíå÷íîñòü,

36

ëèáî ñòðåìÿòñÿ ê ðàâíîâåñèÿì.

Íåñîõðàíåíèå îðèåíòàöèè. Âñÿêèé ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð N t , íàðÿäó ñ îáðàòèìîñòüþ, èìååò åùå ñâîéñòâî ñîõðàíÿòü îðèåíòàöèþ. Îðèåíòàöèþ ïðîñòðàíñòâà Rn ìîæíî çàäàòü, ôèêñèðóÿ óïîðÿäî÷åííûé áàçèñ e1 , e2 , . . . , en ýòîãî ïðîñòðàíñòâà. Åãî ìû îáúÿâëÿåì ïîëîæèòåëüíûì. Ïîñëå ýòîãî âñå îñòàëüíûå ìûñëèìûå óïîðÿäî÷åííûå áàçèñû e01 , e02 , . . . , e0n ðàçáèâàþòñÿ íà äâà êëàññà ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îïðåäåëèì ëèíåéíûì îïåðàòîð J : Rn → Rn åãî äåéñòâèåì íà ýëåìåíòàõ èñõîäíîãî áàçèñà, ïîëàãàÿ Jek = e0k äëÿ k = 1, 2, . . . , n. Åñëè îïðåäåëèòåëü detJ > 0, òî áàçèñ

e01 , e02 , . . . , e0n íàçîâåì ïîëîæèòåëüíûì, à ïðè detJ < 0  îòðèöàòåëüíûì. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ìàëûõ äåôîðìàöèÿõ ïîëîæèòåëüíîãî áàçèñà ïîëó÷àåòñÿ òàêæå ïîëîæèòåëüíûé áàçèñ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ñîõðàíåíèè áàçèñà J = I ,

detI = 1, à ïðè åãî ìàëîì èçìåíåíèè ýëåìåíòû îïðåäåëèòåëÿ ìåíÿþòñÿ ìàëî, è ñòðîãîå íåðàâåíñòâî detJ > 0 ñîõðàíÿåòñÿ. Îòñþäà íåòðóäíî çàêëþ÷èòü, ÷òî ïðè íåïðåðûâíîì èçìåíåíèè ïîëîæèòåëüíîãî áàçèñà âñåãäà áóäåò ïîëó÷àòüñÿ òàêæå ïîëîæèòåëüíûé áàçèñ, ïðè íåïðåðûâíîì èçìåíåíèè îòðèöàòåëüíîãî áàçèñà  îòðèöàòåëüíûé. Âîîáùå, åñëè ïîäåéñòâîâàòü ëèíåéíûì îáðàòèìûì îïåðàòîðîì A : Rn →

Rn íà äàííûé áàçèñ e1 , e2 , . . . , en , òî ïîëó÷àåòñÿ íîâûé áàçèñ Ae1 , Ae2 , . . . , Aen . Îí îñòàíåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, åñëè detA > 0.  ýòîì ñëó÷àå ìû ñêàæåì, ÷òî îïåðàòîð A ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ ïðîñòðàíñòâà Rn . Åñëè æå detA < 0, òî îïåðàòîð ìåíÿåò îðèåíòàöèþ: áàçèñ Ae1 , Ae2 , . . . , Aen áóäåò îòðèöàòåëüíûì. Ñëó÷àé detA = 0, êîíå÷íî, èñêëþ÷åí, ïîòîìó ÷òî îïåðàòîð ïðåäïîëàãàåòñÿ îáðàòèìûì. Ïðèâåäó ïðèìåð. Ïóñòü n = 3, e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) . Åñëè òåïåðü ïðîâåñòè ïåðåñòàíîâêó è ïîëîæèòü e01 = e2 , e02 = e1 , e03 = e3 , òî

37

ñîîòâåòñòâóþùèé îïåðàòîð J çàäàåòñÿ ìàòðèöåé





0 1 0    J = 1 0 0   0 0 1

(1.52)

Î÷åâèäíî, detJ = −1, òàê ÷òî áàçèñ e01 , e02 , e03  îòðèöàòåëüíûé. Òèïè÷íûì ëèíåéíûì îïåðàòîðîì, íàðóøàþùèì (ãîâîðÿò åùå, ìåíÿ-

þùèì) îðèåíòàöèþ, ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîð çåðêàëüíîãî îòðàæåíèÿ, ñêàæåì, â ïëîñêîñòè x1 , x2 . Îí îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì A : (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x1 , x2 , −x3 ). Åãî îïðåäåëèòåëü detA = −1. Ìû äîêàçàëè, â ÷àñòíîñòè, ÷òî íåâîçìîæíî íåïðåðûâíûì äâèæåíèåì â ïðîñòðàíñòâå R3 ïðåîáðàçîâàòü ïðàâóþ ïåð÷àòêó  â ëåâóþ. Ýòîò ôàêò î÷åíü âîëíîâàë âåëèêîãî ôèëîñîôà Ý.Êàíòà (íå ÷èòàëè? ïî÷èòàéòå!). Îí äàæå ñ÷èòàë, ÷òî îñíîâíûå çàêîíû àðèôìåòèêè, àëãåáðû è ãåîìåòðèè ÿâëÿþòñÿ âðîæäåííûìè, ÷åëîâåê çíàåò èõ îò ðîæäåíèÿ. À âîò äëÿ ÿâëåíèé, ñâÿçàííûõ ñ îðèåíòàöèåé ïðîñòðàíñòâà, äåëàë èñêëþ÷åíèå, ñ÷èòàÿ, ÷òî îíè ïîçíàþòñÿ ëèøü íà îïûòå. Äëÿ íåëèíåéíîãî ãëàäêîãî îòîáðàæåíèÿ ϕ : Rn → Rn ïîíÿòèÿ ñîõðàíåíèÿ è íåñîõðàíåíèÿ îðèåíòàöèè îïðåäåëÿþòñÿ ëèøü ëîêàëüíî. Ãîâîðÿò, ÷òî îòîáðàæåíèå ϕ ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ â òî÷êå x ∈ Rn , åñëè â ýòîé òî÷êå ïîëîæèòåëåí åãî ÿêîáèàí: det ϕ0 (x) > 0. Çàìå÷ó, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ϕ0 (x)  ëèíåéíûé è â ñòàíäàðòíîì áàçèñå e1 , . . . , en çàäàåòñÿ ìàòðèöåé îïåðàòîð  n ∂ϕi . ßêîáè

∂xk i,k=1 Íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð äèôôåðåíöèàëüíîãî

óðàâíåíèÿ x˙ = F (x, t) â Rn ñ ãëàäêèì ïîëåì F âñþäó ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ. Äåéñòâèòåëüíî, ÷òîáû óñòàíîâèòü ñîõðàíåíèå îðèåíòàöèè â òî÷êå x0 , íàéäåì ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè x(t) = N t x0 . Òåïåðü íàì íóæíî íàéòè ïðîèçâîäíóþ (N t )0 (x0 ) è âû÷èñëèòü åå äåòåðìèíàíò. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî âåêòîð-ôóíêöèÿ u(t) = (N t )0 (x0 )u0 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ëèíåà-

38

ðèçîâàííîé íà x(t) çàäà÷è Êîøè

u˙ = Fx (x(t), t)u,

u(0) = u0

(1.53)

(ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îïåðàöèè âû÷èñëåíèÿ ýâîëþöèîííîãî îïåðàòîðà N t è ëèíåàðèçàöèÿ ïåðåñòàíîâî÷íû. Äîêàæèòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî). Íî èç êóðñà îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ìû çíàåì, ÷òî âîîáùå äëÿ âåêòîðíîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ â Rn (1.54)

u˙ = A(t)u

ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Ëèóâèëëÿ. Ïóñòü U t  ýâîëþöèîíûé îïåðàòîð óðàâíåíèÿ (1.54), à åãî îïðåäåëèòåëü åñòü det U t = W (t). Ýòî âðîíñêèàí, îòâå÷àþùèé ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìå ðåøåíèé u1 (t) = U t e1 , ..., un (t) = U t en ñ áàçèñíûìè âåêòîðàìè e1 , . . . , en â êà÷åñòâå íà÷àëüíûõ äàííûõ. Òîãäà Rt

W (t) = W (0)e

0

sp A(τ )dτ

.

(1.55)

Èç ýòîé ôîðìóëû Ëèóâèëëÿ ñëåäóåò, ÷òî W (t) îñòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì äëÿ âñåõ t, åñëè îí ïîëîæèòåëåí ïðè t = 0. Íî W (0) = 1 ïðè t = 0, òàê ÷òî

W (t) > 0. Çàäà÷à (1.53) åñòü, êîíå÷íî, ÷àñòíûé ñëó÷àé çàäà÷è (1.54) ïðè A(t) =

Fx (x(t), t). Ïðè ýòîì U t = (N t )0 (x0 ). Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî det(N t )0 (x0 ) > 0 ïðè âñåõ t, à ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð N t ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íåâîçìîæíî âëîæèòü â ïîòîê íèêàêîå îòîáðàæåíèå, êîòîðîå õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå ìåíÿåò îðèåíòàöèþ ïðîñòðàíñòâà. Íàïðèìåð, íåëüçÿ âëîæèòü â ïîòîê îïåðàòîð çåðêàëüíîãî îòðàæåíèÿ (ñì. âûøå). 1.5

Èíòåãðàëû è çàêîíû ñîõðàíåíèÿ

Ðàññìîòðèì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â Rn (èëè âîîáùå, â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå X )

x˙ = F (x, t).

(1.56)

39

Ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå íà ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå X , íàçûâàþòñÿ òàêæå íàáëþäàåìûìè. Åñëè èçâåñòíà íàáëþäàåìàÿ ϕ = ϕ(x, t), x ∈ X , t ∈ R , çàâèñÿùàÿ îò âðåìåíè, òî ìîæíî è èíòåðåñíî ïîäñòàâèòü âìåñòî x ðåøåíèå

x(t) óðàâíåíèÿ (1.56) è ñëåäèòü çà èçìåíåíèåì âåëè÷èíû ϕ = ϕ(x(t), t). Îãðàíè÷èâàÿñü ïîêà ñëó÷àåì Rn , íàéäåì ïðîèçâîäíóþ îò ýòîé ôóíêöèè ïî t. Äèôôåðåíöèðóÿ ïî t è ó÷èòûâàÿ, ÷òî x(t) = (x1 (t) . . . , xn (t))  ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.56), ïîëó÷àåì n

dϕ(x(t), t) ∂ϕ(x(t), t) X ∂ϕ(x(t), t) = + Fk (x(t), t). dt ∂t ∂xk

(1.57)

k=1

Çäåñü Fk  åñòü k -ÿ êîìïîíåíòà ïîëÿ F , òàê ÷òî F = (F1 , F2 , . . . , Fn ). Ãëÿäÿ íà ýòó ôîðìóëó, íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî öåëåñîîáðàçíî ââåñòè íîâîå îïðåäåëåíèå: ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ôóíêöèè ϕ(x, t) â ñèëó çàäàí-

íîãî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (1.56) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ϕ(x, ˙ t), îïðåäåëåííàÿ äëÿ âñåõ x ∈ Rn è t ∈ R+ ðàâåíñòâîì n

∂ϕ(x, t) X ∂ϕ(x, t) + Fk (x, t). ϕ(x, ˙ t) = ∂t ∂xk

(1.58)

k=1

Ïîä÷åðêíó, ÷òî çäåñü óæå x íå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, à ïðîñòî ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà Rn . Ñðàâíèâàÿ ðàâåíñòâà (1.57) è (1.58), ïðèõîäèì ê âàæíîé ôîðìóëå

dϕ(x(t), t) = ϕ(x(t), ˙ t). dt

(1.59)

Ñîëü â òîì, ÷òî â ôîðìóëå (1.59) ïðèñóòñòâóåò îäíà è òà æå ôóíêöèÿ ϕ˙ äëÿ âñåõ ðåøåíèé x(t). Åñëè X = H  åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, òî îïðåäåëåíèå (1.58) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

ϕ˙ =

∂ϕ + ∇ϕ · F. ∂t

(1.60)

ãäå ∇ϕ  ãðàäèåíò ôóíêöèè ϕ, è àðãóìåíòû x, t îïóùåíû âî âñåõ ñëàãàåìûõ â (1.60).

40

Òåïåðü îãðàíè÷èì ñåáÿ ðàññìîòðåíèåì àâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ â X

x˙ = F (x).

(1.61)

Íàáëþäàåìàÿ ϕ(x) íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì (èëè ïåðâûì èíòåãðàëîì, èëè êîíñòàíòîé äâèæåíèÿ), åñëè äëÿ ëþáîãî ðåøåíèÿ x(t) óðàâíåíèÿ (1.61)

ϕ(x(t)) = C , ãäå C  êîíñòàíòà, çàâèñÿùàÿ îò âûáðàííîãî ðåøåíèÿ (äâèæåíèÿ) x(t). Åñëè çàäàíî íà÷àëüíîå óñëîâèå x(t0 ) = x0 , òî êîíñòàíòà C îïðåäåëÿåòñÿ: C = ϕ(x(t0 )) = ϕ(x0 ). Êîíå÷íî, âñåãäà èìåþòñÿ òðèâèàëüíûå èíòåãðàëû, ýòî ïîñòîÿííûå íàáëþäàåìûå: ϕ(x) ≡ C , C = const. Íàéòè èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (1.61) áûâàåò íå òàê óæ ïðîñòî. Íî ïðîâåðèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè äàííàÿ ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ ϕ(x) èíòåãðàëîì, íåñëîæíî. Ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (1.60) è îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëà, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó çàêëþ÷åíèþ: äëÿ òîãî, ÷òîáû C 1 ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ áûëà èíòåãðàëîì àâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ (1.61), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ âñåõ x âûïîëíÿëîñü óðàâíåíèå

(F, ∇ϕ) = 0.

(1.62)

 ñëó÷àå Rn ýòî ðàâåíñòâî çàïèñûâàåòñÿ â âèäå n X

Fk (x)

k=1

∂ϕ(x) = 0. ∂xk

(1.63)

Èíòåðåñíî çàìåòèòü, ÷òî íà ïðàêòèêå ìû ÷àùå âñåãî íàõîäèì ñíà÷àëà èìåííî ∇ϕ òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óðàâíåíèå (1.62). Çàòåì óæå ïî äàííîìó

∇ϕ íàõîäèòñÿ ϕ. Ýòî äàåò ïîâîä ââåñòè ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿ. Êîñèììåòðèÿ. Âåêòîðíîå ïîëå L = L(x) íà åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå

H íàçûâàåòñÿ êîñèììåòðèåé ïîëÿ F íà H , åñëè äëÿ âñåõ x ∈ H âåêòîðû F (x) è L(x) îðòîãîíàëüíû: (F (x), L(x)) = 0.

(1.64)

Áóäåì òàêæå ãîâîðèòü, ÷òî ïîëå L = L(x) åñòü êîñèììåòðèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ x˙ = F (x).

41

Âåêòîðíîå ïîëå L(x) íàçîâåì ãîëîíîìíûì, åñëè îíî äîïóñêàåò ïðåäñòàâëåíèå â âèäå L(x) = grad ϕ(x) ñ íåêîòîðîé ôóíêöèåé ϕ(x) (ïðèâåäèòå ïðèìåð íåãîëîíîìíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ). Òåïåðü ïðåäûäóùåå óòâåðæäåíèå îá èíòåãðàëàõ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü èíà÷å.

Äëÿ òîãî, ÷òîáû ôóíêöèÿ ϕ áûëà èíòåãðàëîì óðàâíåíèÿ (1.61), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âåêòîðíîå ïîëå L(x) = grad ϕ(x) áûëî (ãîëîíîìíîé) êîñèììåòðèåé ïîëÿ F (x). Ýòà òåðìèíîëîãèÿ áûëà ââåäåíà â 1991 ãîäó â ìîåé çàìåòêå (æóðíàë Ìàòåìàòè÷åñêèå çàìåòêè, 1991 ã.). Îêàçàëîñü (ñîáñòâåííî, îá ýòîì è áûëà íàïèñàíà çàìåòêà), ÷òî è íåãîëîíîìíûå êîñèììåòðèè èìåþò âàæíûå ïðèëîæåíèÿ â òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå. Ãîëîíîìíûå êîñèììåòðèè, êîíå÷íî, ïîñòîÿííî ìåëüêàëè â ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå â ñâÿçè ñ èíòåãðàëàìè, íî îáû÷íî îñòàâàëèñü â òåíè.  äåéñòâèòåëüíîñòè, îäíàêî, îòûñêàíèå èíòåãðàëà, êàê ïðàâèëî, íà÷èíàåòñÿ èìåííî ñ ïîèñêà ñîîòâåòñòâóþùåé êîñèììåòðèè. Çíàíèå îäíîãî èëè íåñêîëüêèõ íåòðèâèàëüíûõ èíòåãðàëîâ óðàâíåíèÿ (1.61) ìíîãî äàåò äëÿ ïîíèìàíèÿ äèíàìèêè ñèñòåìû, à êîãäà èíòåãðàëîâ äîñòàòî÷íî ìíîãî, ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ÿâíûå èëè ïî÷òè ÿâíûå ôîðìóëû äëÿ ðåøåíèÿ. Äîëãîå âðåìÿ óñèëèÿ ìàòåìàòèêîâ áûëè íàïðàâëåíû íà ïîèñê èíòåãðàëîâ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì â íàäåæäå íàéòè ÿâíûå ðåøåíèÿ. Ê óñïåõó ýòî ïðèâåëî ëèøü â ñðàâíèòåëüíî íåìíîãèõ ñëó÷àÿõ. Ïîñòåïåííî ñòàëî ÿñíî, ÷òî ó òèïè÷íîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âîîáùå íåò íè îäíîãî íåòðèâèàëüíîãî èíòåãðàëà.  ïîëíîì îáúåìå ýòà ãèïîòåçà äî ñèõ ïîð íå äîêàçàíà, íî, íàïðèìåð, Ïóàíêàðå (â êîíöå XIX âåêà) óñòàíîâèë, ÷òî ìíîãèå êîíñåðâàòèâíûå ñèñòåìû íå èìåþò äðóãèõ íåòðèâèàëüíûõ èíòåãðàëîâ, êðîìå èíòåãðàëà ýíåðãèè, î êîòîðîì ìû ïîäðîáíåå áóäåì ãîâîðèòü äàëüøå.

42

Êñòàòè, îäíî èç ñàìûõ ãëóïûõ âûñêàçûâàíèé, êàêèå ìíå ïðèõîäèëîñü ñëûøàòü â æèçíè (ê ñîæàëåíèþ, ìíîãî ðàç) çâó÷èò ïðèìåðíî òàê: "Çà÷åì ìû áóäåì âîçèòüñÿ ñ èíòåãðàëàìè, íàì íå íóæíû òî÷íûå ôîðìóëû, ìû ïîñòàâèì ñèñòåìó íà êîìïüþòåð, äà è âû÷èñëèì òî ðåøåíèå, êîòîðîå íóæíî". Íà ñàìîì äåëå, íèêàêîé êîìïüþòåð íå ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ðåøåíèå íà î÷åíü áîëüøèõ âðåìåíàõ (çà âåñüìà ðåäêèì èñêëþ÷åíèåì). Êðîìå òîãî, ñóùåñòâîâàíèå èëè íåñóùåñòâîâàíèå èíòåãðàëîâ âî ìíîãîì îïðåäåëÿåò êà÷åñòâåííîå ïîâåäåíèå äàííîé ñèñòåìû. Âîîáùå, ïðèìåíåíèå êîìïüþòåðà ê èññëåäîâàíèþ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì òðåáóåò íå ìåíüøåé, à íàîáîðîò, áîëåå ãëóáîêîé ìàòåìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêè. Èíà÷å íå ðàçîáðàòüñÿ â òîì âîðîõå èíôîðìàöèè, êîòîðûé âûäàåò ìàøèíà, è äàæå íå ïîíÿòü, èìååò ëè îíà êàêîå-ëèáî îòíîøåíèå ê ðåøåíèÿì çàäàííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë èíòåãðàëà. Ïóñòü ϕ  èíòåãðàë óðàâíåíèÿ

(1.61). Òîãäà óðàâíåíèå

ϕ(x) = C

(1.65)

äëÿ ëþáîé ïîñòîÿííîé C îïðåäåëÿåò ìíîæåñòâî óðîâíÿ ôóíêöèè ϕ. Îíî ìîæåò áûòü ïóñòûì èëè, íàîáîðîò, (åñëè ϕ ≡ C ), ñîâïàäàòü ñî âñåì ïðîñòðàíñòâîì, íî â íåòðèâèàëüíûõ ñëó÷àÿõ ýòî  ãèïåðïîâåðõíîñòü. Íàïðèìåð, íåïóñòûå ìíîæåñòâà óðîâíÿ ôóíêöèè ϕ : R3 → R3 , çàäàííîé ðàâåíñòâîì ϕ(x) = x21 + x22 + x23 , äëÿ ëþáîãî x = (x1 , x2 , x3 ) ñóòü ñôåðû â R3 , çà èñêëþ÷åíèåì ëèøü ñëó÷àÿ C = 0, êîãäà ýòî ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè (0, 0, 0). Ïî îïðåäåëåíèþ èíòåãðàëà, ϕ(x(t)) äëÿ ëþáîãî ðåøåíèÿ x(t) ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå. Åñëè x(0) = x0 , òî ýòî ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå åñòü, î÷åâèäíî, ϕ(x0 ). Òàêèì îáðàçîì, äâèæóùàÿñÿ òî÷êà x(t) âñå âðåìÿ îñòàåòñÿ íà ãèïåðïîâåðõíîñòè

ϕ(x) = ϕ(x0 ).

(1.66)

Âûõîäèò, ÷òî ïðè èññëåäîâàíèè äèíàìèêè, îïðåäåëÿåìîé óðàâíåíèåì (1.61), ìû ìîæåì îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì äâèæåíèé íà îòäåëüíûõ ãè-

43

ïåðïîâåðõíîñòÿõ ϕ(x) = C .  ïðèíöèïå, äèíàìèêà îïèñûâàåòñÿ â òàêîì ñëó÷àå ñèñòåìîé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé íà åäèíèöó ìåíüøåãî ïîðÿäêà. Åñëè èìååòñÿ äâà èíòåãðàëà ϕ1 è ϕ2 (îáîáùåíèå íà áîëüøåå êîëè÷åñòâî èíòåãðàëîâ î÷åâèäíî), òî åñòåñòâåííî ââåñòè ñîâìåñòíîå ìíîæåñòâî

óðîâíÿ, îïðåäåëÿåìîå äëÿ ëþáûõ çàäàííûõ êîíñòàíò C1 è C2 , ðàâåíñòâàìè

ϕ1 (x) = C1 ,

ϕ2 (x) = C2 .

(1.67)

Òåïåðü äåëî ñâåäåòñÿ ê èçó÷åíèþ äèíàìèêè íà èíâàðèàíòíûõ ñîâìåñòíûõ ìíîæåñòâàõ óðîâíÿ. Èõ ðàçìåðíîñòü (êîíå÷íî, ïðè óñëîâèè íåçàâèñèìîñòè èíòåãðàëîâ ϕ1 è ϕ2 ) óæå íà äâå åäèíèöû ìåíüøå, ÷åì ðàçìåðíîñòü ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ñèñòåìû. Ãîâîðÿò, ÷òî èõ êîðàçìåðíîñòü ðàâíà 2. Çàìå÷ó, ÷òî âïîëíå âîçìîæíî áûëî áû ïî àíàëîãèè ââåñòè èíòåãðàëû

ϕ(x, t), çàâèñÿùèå îò âðåìåíè  êàê äëÿ àâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ (1.61), òàê è äëÿ íåàâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ (1.56). Ê ñîæàëåíèþ, îíè ðåäêî âñòðå÷àþòñÿ. Ïðèâåäó íåñêîëüêî ïðèìåðîâ ñèñòåì, äîïóñêàþùèõ èíòåãðàëû. Ïðèìåð 1. Ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå 2-ãî ïî-

ðÿäêà (1.68)

x¨ + x = 0. Äëÿ ëþáîãî ðåøåíèÿ x(t), óìíîæàÿ (1.68) íà x˙ , ïîëó÷èì

d dt



x˙ 2 x2 + 2 2

 = 0.

(1.69)

Òàêèì îáðàçîì, ϕ(x, x) ˙ = 21 (x˙ 2 +x2 ) åñòü èíòåãðàë. Ýòî ïîëíàÿ ýíåðãèÿ. Åñëè ðåøèòü óðàâíåíèå (1.68) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì x(0) = x0 , x(0) ˙ = 1, òî ïîëó÷èì x(t) = sin t. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ðàâåíñòâî sin2 t+cos2 t = 1. âûðàæàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. Ïðèìåð 2. Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà âðàùåíèÿ òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïî-

äâèæíîé òî÷êè. Ýòè óðàâíåíèÿ, âîçìîæíî, ñàìûå êðàñèâûå âî âñåé ìåõàíè-

44

êå, èìåþò âèä

dp = (B − C) q r dt dq (1.70) B = (C − A) r p dt dr C = (A − B) p q dt Íåèçâåñòíûå p, q , r ñóòü êîìïîíåíòû àáñîëþòíîé óãëîâîé ñêîðîñòè ω òåA

ëà â ñèñòåìå êîîðäèíàò, æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òåëîì. Ïàðàìåòðû A, B , C ñóòü ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè òåëà. Ìû òåïåðü õîòèì óìíîæèòü êàæäîå èç òðåõ óðàâíåíèé íà íàäëåæàùèå ôóíêöèè, ïîòîì ñëîæèòü, äà òàê, ÷òîáû ñïðàâà ïîëó÷èëñÿ 0. Íà ÷òî áû íàì óìíîæèòü ýòè óðàâíåíèÿ? Äàâàéòå óìíîæèì èõ ñîîòâåòñòâåííî íà p, q , r. Ñëîæèì. Äåéñòâèòåëüíî, ñïðàâà ïîëó÷àåòñÿ 0. Ñëåâà èìååì

dp dq dr +Bq +Cr = 0. dt dt dt Ýòî, î÷åâèäíî, îçíà÷àåò, ÷òî ñèñòåìà (1.71) èìååò èíòåãðàë Ap

T =


1 A p2 + B q 2 + C r 2 . 2

(1.71)

(1.72)

T  êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òåëà. À íåò ëè åùå îäíîãî èíòåãðàëà? Åñëè óìíîæèòü íà Ap, Bq , Cr, òî àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì èíòåãðàë ìîìåíòà:

M=


1 2 2 A p + B 2 q 2 + C 2 r2 . 2

(1.73)

Î÷åâèäíî, îí íåçàâèñèì ñ èíòåãðàëîì T . Íåëüçÿ ëè íàéòè åùå îäèí èíòåãðàë? Íåò, ïîëó÷èëñÿ áû ïåðåáîð. Ñèñòåìà x˙ = F (x) â Rn (çà èñêëþ÷åíèåì ëèøü íå î÷åíü èíòåðåñíîãî ñëó÷àÿ óðàâíåíèÿ x˙ = 0) ìîæåò èìåòü íå áîëåå

(n − 1)-ãî èíòåãðàëà, íàëè÷èå n íåçàâèñèìûõ èíòåãðàëîâ âîñïðåùàåò âñÿêîå äâèæåíèå ñèñòåìû. Èòàê, ìû ïî ñóùåñòâó óæå ïðèøëè ê òî÷íîìó ðåøåíèþ óðàâíåíèé Ýéëåðà! Ïîëüçóÿñü äâóìÿ íàéäåííûìè èíòåãðàëàìè (íàïðèìåð, èñêëþ÷àÿ p è

q ), ìû ñâåäåì ýòó ñèñòåìó òðåòüåãî ïîðÿäêà ê îäíîìó àâòîíîìíîìó óðàâíåíèþ. Ìû çíàåì, êàê òàêèå óðàâíåíèÿ ðåøàòü  ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåí-

45

íûõ. Êîíå÷íî, ýòî äàâíî ïðîäåëàíî, è ðåøåíèå óðàâíåíèé Ýéëåðà âûðàæåíî ÷åðåç ýëëèïòè÷åñêèå ôóíêöèè (ñì. Ëàíäàó "Ìåõàíèêà"). Çàìå÷ó, ÷òî ôàêòè÷åñêè ìû, ðàçûñêèâàÿ èíòåãðàëû ñèñòåìû (1.70), íàøëè ñíà÷àëà äâå íåòðèâèàëüíûå êîñèììåòðèè ýòîé ñèñòåìû:

L1 = (

1 1 1 p, q, r), A B C L2 = (p, q, r).

(1.74)

Ïðèìåð 3. Íà ñåé ðàç ðàññìîòðèì óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ

 âîëíîâîå óðàâíåíèå (1.75)

utt − c2 ∆u = 0,

äëÿ íåèçâåñòíîé ôóíêöèè u(x, t), x ∈ D, ãäå D  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â

Rn ; åå ãðàíèöó ∂D áóäåì ñ÷èòàòü ãëàäêîé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà ãðàíèöå ∂D âûïîëíÿåòñÿ êðàåâîå óñëîâèå ïåðâîãî ðîäà u = 0.

(1.76)

∂D

Âîçìîæíû, êîíå÷íî, è óñëîâèÿ òðåòüåãî èëè âòîðîãî ðîäà (ðàññìîòðèòå ñàìè ýòè ñëó÷àè). Äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò ñòàâèòü äâà íà÷àëüíûõ óñëîâèÿ

u

t=0

= u0 (x),

ut

t=0

= v0 (x),

(1.77)

ãäå u0 , v0  èçâåñòíûå ôóíêöèè, çàäàííûå â îáëàñòè D. Íóæíî, êîíå÷íî, ðåøèòü âîïðîñ î òîì, êàêèì ôóíêöèîíàëüíûì ïðîñòðàíñòâàì ïðèíàäëåæàò 0 (1) 2

ýòè ôóíêöèè. Íàïðèìåð, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî v0 ∈ L2 , à ôóíêöèÿ u0 ∈W

 ïðîñòðàíñòâó ôóíêöèé, èìåþùèõ ïåðâûå ïðîèçâîäíûå, èíòåãðèðóåìûå ñ êâàäðàòîì; íîëèê ñâåðõó îçíà÷àåò, ÷òî ýòè ôóíêöèè â îïðåäåëåííîì ñìûñëå 0

óäîâëåòâîðÿþò êðàåâîìó óñëîâèþ (1.76). W

(1) 2

 ýòî ýíåðãåòè÷åñêîå ïðî-

ñòðàíñòâî îïåðàòîðà −∆ ñ êðàåâûì óñëîâèåì (1.76) (ñì. Ìèõëèí). Ïðè òàêèõ óñëîâèÿõ ìîæíî äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (1.75)(1.77).

46

Ìû, îäíàêî, â ñëåäóþùåì ðàññóæäåíèè ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìååòñÿ ãëàäêîå ðåøåíèå. Äëÿ ëþáîãî òàêîãî ðåøåíèÿ u çàïèøåì óðàâíåíèå (1.75), óìíîæèì åãî íà ut è ïðîèíòåãðèðóåì ïî îáëàñòè D. Òîãäà ïîëó÷èòñÿ ðàâåíñòâî

d dt

Z

u2t dx = C 2 2

D

Z

(1.78)

∆u · ut dx. D

Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, ïðåîáðàçóåì ïîñëåäíèé èíòåãðàë:

Z

Z ∆u · ut dx = −

D

Z ∇u∇ut dx +

D

ut

∂u dS. ∂n

(1.79)

∂D

Ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë èñ÷åçàåò â ñèëó êðàåâîãî óñëîâèÿ (1.76), èç êîòî ðîãî ñëåäóåò, ÷òî ut



∂D

= 0; ðàâåíñòâî (1.79) ïåðåïèñûâàåòñÿ â âèäå

Z

d 1 ∆u · ut dx = dt 2

Z

(∇u)2 dx.

(1.80)

 1 2 c2 ut + (∇u)2 dx = 0. 2 2

(1.81)

D

D

Èç ðàâåíñòâ (1.78) è (1.80) âûâîäèì

d dt

Z  D

Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèîíàë E(u, ut ), îïðåäåëåííûé ðàâåíñòâîì

Z  E(u, ut ) =

 1 2 c2 ut + (∇u)2 dx, 2 2

(1.82)

D 0

íà âñåì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå W

(1) 2

× L2 , ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ðàññìàò-

ðèâàåìîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. Ýòî ñíîâà èíòåãðàë ýíåðãèè, òåïåðü äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç íàèáîëåå åñòåñòâåííûõ áåñêîíå÷íîìåðíûõ àíàëîãîâ óðàâíåíèÿ âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà äîâîëüíî íåïðèÿòíîå ñòîëêíîâåíèå ñëîâ  "èíòåãðàë" ôèãóðèðóåò çäåñü â äâóõ ñìûñëàõ: E  èíòåãðàë âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ, è ñàì îí âûðàæàåòñÿ ïîñðåäñòâîì èíòåãðàëà ïî îáëàñòè D. Òàêàÿ òðóäíîñòü õàðàêòåðíà äëÿ ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè, êîãäà ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü ðåçóëüòàòû ðàçíûõ

47

îáëàñòåé, à â êàæäîé èç íèõ èìååòñÿ ñâîÿ óñòàíîâèâøàÿñÿ òåðìèíîëîãèÿ. ×òî òóò ïîäåëàåøü? Áóäåì õîòÿ áû èçáåãàòü âûðàæåíèé òèïà "èíòåãðàë E ðàâåí èíòåãðàëó", â êîòîðîì îäíî è òî æå ñëîâî èìååò áîëåå îäíîãî ñìûñëà. 1.6

Íåàâòîíîìíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ

Íàèáîëåå ôóíäàìåíòàëüíûå çàêîíû ïðèðîäû èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ñäâèãîâ âðåìåíè, à ïîòîìó ïðèâîäÿò ê àâòîíîìíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì. Îäíàêî è íåàâòîíîìíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïîñòîÿííî âîçíèêàþò â êà÷åñòâå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ðàçëè÷íûõ ïðèðîäíûõ è òåõíîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Òàê ïîëó÷àåòñÿ óæå ïîòîìó, ÷òî èñêëþ÷åíèå íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé èç ñèñòåìû àâòîíîìíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðèâîäèò ê ñèñòåìàì ìåíüøåãî ïîðÿäêà, íî íåàâòîíîìíûì. ß ïîêàæó ýòî íà ïðîñòîì ïðèìåðå, õîòÿ èäåÿ íîñèò âåñüìà îáùèé õàðàêòåð. Ðàññìîòðèì àâòîíîìíóþ ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé

x˙ = xyz, y˙ = x + y + z,

(1.83)

z˙ = z. Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ëåãêî ðåøèòü: z(t) = z0 et , ãäå z0  íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè z(t). Ïîäñòàâëÿÿ ôóíêöèþ z(t) â îñòàëüíûå äâà óðàâíåíèÿ, ïðèõîäèì ê íåàâòîíîìíîé ñèñòåìå âòîðîãî ïîðÿäêà

x˙ = z0 et xy, t

y˙ = x + y + z0 e .

(1.84)

Ìû âèäèì, ÷òî êëàññ âñåâîçìîæíûõ àâòîíîìíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ-

íåíèé íå çàìêíóò îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè èñêëþ÷åíèÿ íåêîòîðûõ èç íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé. À âîò, íàïðèìåð, êëàññ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî òàêîé îïåðàöèè çàìêíóò: èñêëþ÷åíèå íåèçâåñòíîé ïðèâîäèò ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé íà åäèíèöó ìåíü-

48

øåãî ïîðÿäêà. Ìåíåå î÷åâèäíî, ÷òî è êëàññ ïîëèíîìèàëüíûõ óðàâíåíèé çàìêíóò îòíîñèòåëüíî èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ. Ýòî óñòàíàâëèâàåòñÿ â òåîðèè

ðåçóëüòàíòîâ, â êîòîðóþ çíà÷èòåëüíûé âêëàä âíåñ ìíîãîëåòíèé ÷åìïèîí ìèðà ïî øàõìàòàì Ý. Ëàñêåð (ñì. Âàí-äåð-Âàðäåí, Àëãåáðà). Ñèòóàöèÿ, êîòîðóþ ìû íàáëþäàåì â ïðèâåäåííîì ïðèìåðå, âîçíèêàåò âñÿêèé ðàç, êîãäà ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà ðàçáèâàåòñÿ íà äâå èëè áîëåå ïîäñèñòåì, ïðè÷åì íåêîòîðûå ïîäñèñòåìû ýâîëþöèîíèðóþò íåçàâèñèìî îò äðóãèõ. Ôèëîñîôèÿ ãîâîðèò íàì, ÷òî âñå â ìèðå âçàèìîñâÿçàíî è âçàèìîçàâèñèìî, íî åñëè ýòî ïîëîæåíèå ïîíèìàòü ñëèøêîì áóêâàëüíî, òî ïîëó÷èòñÿ, ÷òî íè÷åãî íåëüçÿ èçó÷èòü, òàê êàê êàæäûé ðàç ìû â ñîñòîÿíèè ó÷èòûâàòü ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ôàêòîðîâ. Ïîìîãàåò òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ "áîëüøèå ñèñòåìû" âëèÿþò íà ìàëûå, à îáðàòíûì âîçäåéñòâèåì ìàëûõ ñèñòåì  íà áîëüøèå âïîëíå äîïóñòèìî ïðåíåáðå÷ü. Íàïðèìåð, èçó÷àÿ äèíàìèêó òðàìâàÿ èëè êîñìè÷åñêîãî êîðàáëÿ, ðàçóìíî îñòàâëÿòü áåç âíèìàíèÿ âëèÿíèå èõ äâèæåíèÿ íà äâèæåíèå Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà. Îáîáùåííûé çàêîí ïðè÷èííîñòè.  ñëó÷àå íåàâòîíîìíîãî äèôôå-

ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

x˙ = F (x, t)

(1.85)

ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð çàâèñèò îò âûáîðà íà÷àëüíîãî ìîìåíòà. Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (1.85) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì

x

= x0

(1.86)

t=τ

ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå

x(t) = Nτt x0 .

(1.87)

Ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð Nτt çàâèñèò òåïåðü îò äâóõ ïàðàìåòðîâ  íà÷àëüíîãî ìîìåíòà τ è êîíå÷íîãî ìîìåíòà t. Åãî íàçûâàþò òàêæå îïåðàòîðîì

ñäâèãà ïî òðàåêòîðèè óðàâíåíèÿ (1.85) çà âðåìÿ îò τ äî t. Ðàçóìååòñÿ, ñàìî ñóùåñòâîâàíèå ýâîëþöèîííîãî îïåðàòîðà ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òåîðåì ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1.85), (1.86). Ýòè

49

x(t)r t

x(s) r s x0 r τ

Ðèñ. 2:

òåîðåìû è óêàçûâàþò, ïðè êàêèõ τ è t îïðåäåëåí îïåðàòîð Nτt äëÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ. Âû óæå çíàåòå, ñ êàêèìè òðóäíîñòÿìè ïðèõîäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ, êîãäà ìû õîòèì îïðåäåëèòü îïåðàòîð Nτt äëÿ âñåõ t, τ èëè õîòÿ áû ïðè âñåõ

t > τ. Ðàññìîòðèì òðè ìîìåíòà âðåìåíè τ , s, t (ñì. Ðèñ. 2). Íàðÿäó ñ âûðàæåíèåì (1.87) äëÿ x(t), ìîæíî ïîëó÷èòü è äðóãîå âûðàæåíèå. Ñíà÷àëà íàéäåì

x(s) = Nτs x0 , à çàòåì åùå ðàç ðåøèì çàäà÷ó Êîøè ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì x t=s = x(s). Òîãäà äëÿ x(t) ïîëó÷èì x(t) = Nst x(s) = Nst Nτs x0 = Nτt x0 .

(1.88)

Òàê êàê ýòî ðàâåíñòâî âåðíî äëÿ ëþáûõ x0 , ïîëó÷èì ðàâåíñòâî äëÿ îïåðàòîðîâ

Nτt = Nst Nτs .

(1.89)

Ýòî è åñòü îáîáùåííûé ïðèíöèï ïðè÷èííîñòè. Îòìåòèì î÷åâèäíîå ðàâåíñòâî

Nττ = I.

(1.90)

 ñëó÷àå àâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ (1.85) íåòðóäíî äîêàçàòü (äîêàæèòå!) ðàâåíñòâî

Nτt = Nτt+h +h

(1.91)

50

äëÿ ëþáîãî h ∈ R. Ïîëàãàÿ çäåñü h = −τ , ïîëó÷èì, ÷òî

Nτt = N0t−τ .

(1.92)

Åñëè òåïåðü â îáîáùåííîì ïðèíöèïå ïðè÷èííîñòè (1.89) ïîëîæèòü τ = 0, à çàòåì çàìåíèòü t íà s + τ (ýòî óæå íîâîå τ ) è âîñïîëüçîâàòüñÿ ðàâåíñòâîì (1.92), òî ïîëó÷èòñÿ

N0s+τ = N0τ N0s ,

(1.93)

òî åñòü ïðèíöèï ïðè÷èííîñòè äëÿ àâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ. Ïîñìîòðèì åùå, êàêèå ñïåöèàëüíûå ñâîéñòâà èìååò ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð â ñëó÷àå ïåðèîäè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, ñ ïåðèîäîì

p > 0. Åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1.85) p-ïåðèîäè÷íà, òî åñòü F (x, t+p) = F (x, t), òî ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð Nτt ýòîãî óðàâíåíèÿ óäîâëåòâîðÿåò î÷åâèäíîìó ðàâåíñòâó (äîêàæèòå åãî!) t Nτt+p +p = Nτ .

(1.94)

Îïåðàòîð Mτ = Nττ +p ñäâèãà ïî òðàåêòîðèÿì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1.85) íà ïåðèîä p íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì ìîíîäðîìèè, îòâå÷àþùèì íà÷àëüíîìó ìîìåíòó τ . Âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîì (1.94) è îáîáùåííûì çàêîíàì ïðè÷èííîñòè (1.89). Ïîëîæèì τ = −p, s = p. Òîãäà ïîëó÷èì ñíà÷àëà, t+p

÷òî Nτ +p = Nst+p Nτs+p , à çàòåì:

N0t+p = Npt+p N0p = N0t N0p .

(1.95)

Ýòî ðàâåíñòâî ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ â òåîðèè ëèíåéíûõ ïåðèîäè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Îíî ïîõîæå íà ïðèíöèï ïðè÷èííîñòè äëÿ àâòîíîìíûõ óðàâíåíèé, íî âûïîëíÿåòñÿ ëèøü â ñëó÷àå, êîãäà îäèí èç ìîìåíòîâ âðåìåíè åñòü ïåðèîä p. Èç (1.95) ñëåäóåò, ÷òî ìîæíî òàêæå â êà÷åñòâå âòîðîãî ìîìåíòà âûáðàòü np, ãäå n  ëþáîå öåëîå ÷èñëî:

N0t+np = N0t N0np .

(1.96)

51

1.7

Èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ

Ýòîò òåðìèí êðàéíå íåóäà÷åí. Îí ãîâîðèò ëèøü î òîì, ÷òî â óðàâíåíèè ïðèñóòñòâóþò îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ, íî òàêèå óðàâíåíèÿ ìîãóò èìåòü ñîâåðøåííî ðàçíóþ ïðèðîäó. Îáúÿñíþ ýòî íà ïðèìåðàõ. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ äëÿ íåèçâåñòíîé ôóíêöèè f (x, t) ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ x ∈ Rn , t ∈ R

∂f (x, t) = ∆f (x, t) + ∂t

Z G(x, y, t)f (y, t)dy.

(1.97)

Rn

Çäåñü ∆  îïåðàòîð Ëàïëàñà, G  èçâåñòíîå ÿäðî èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà. Òàêîãî ðîäà èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âåñüìà èíòåðåñíû, ðåãóëÿðíî âîçíèêàþò â ïðèëîæåíèÿõ, è, â ÷àñòíîñòè, îñíîâíûå óðàâíåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêè (óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà, Ëàíäàó, Âëàñîâà) ïðèíàäëåæàò ýòîìó òèïó. Õàðàêòåðíî, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå â (1.97) ïðîèçâîäèòñÿ

∂f (x, t)  ∂t ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ôóíêöèè f â ìîìåíò âðåìåíè t  âûðàæàåòñÿ ñîãëàñíî

íå ïî âðåìåíè t, à ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé x. Ïîýòîìó

(1.97), ïîñðåäñòâîì îïåðàöèé íàä ôóíêöèåé f â òîò æå ìîìåíò âðåìåíè t. Ýòî è åñòü îñíîâíàÿ îáùàÿ èäåÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Åñëè òðàêòîâàòü ôóíêöèþ f êàê âåêòîð-ôóíêöèþ âðåìåíè t ñî çíà÷åíèåì â íåêîòîðîì (1)

áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå X ôóíêöèé îò x (íàïðèìåð, W2 (Rn ) èëè C(Rn )), òî óðàâíåíèå (1.97) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî êàê äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâ-

íåíèå â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå X

df = A(t)f. dt

(1.98)

Ïðîèçâîäíàÿ çäåñü íå ÷àñòíàÿ, à ïðÿìàÿ, ïîòîìó ÷òî f = f (·, t) ìûñëèòñÿ òåïåðü êàê ýëåìåíò ôóíêöèîíàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà. Îïåðàòîð A(t) îïðåäåëÿåòñÿ ïðàâîé ÷àñòüþ óðàâíåíèÿ (1.97); îí çàâèñèò îò t ïîòîìó (ëèøü ïîòîìó), ÷òî îò t çàâèñèò ÿäðî G. Óðàâíåíèÿ, ïîäîáíûå (1.97), â êîòîðûõ ïðèñóòñòâóåò èíòåãðèðîâàíèå íå ïî t, à, ñêàæåì, ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì, ñîáñòâåííî ãîâîðÿ, íå

52

òðåáóþò îñîáîé îáùåé òåîðèè, à ÿâëÿþòñÿ îáúåêòîì òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå (ñì., íàïðèìåð, Äàëåöêèé, Êðåéí). Áîëåå ñïåöèôè÷íû ýâîëþöèîííûå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñîäåðæàùèå äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî âðåìåíè. Èìåííî óðàâíåíèÿ ýòîãî òèïà ëåæàò, íàïðèìåð, â îñíîâå íàñëåäñòâåííîé òåîðèè óïðóãîñòè, îïèñûâàþùåé ïîâåäåíèå ïîëèìåðíûõ ìàòåðèàëîâ. Íàõîäÿò îíè ñóùåñòâåííûå ïðèìåíåíèÿ è â ðÿäå çàäà÷ ýêîëîãèè.  ýòèõ îáëàñòÿõ óæå èñõîäíûå óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ íå äèôôåðåíöèàëüíûìè, à èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìè. ß ñåé÷àñ ïîêàæó, ÷òî äàæå åñëè áû âñå èñõîäíûå ìîäåëè áûëè àâòîíîìíûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, òî î÷åíü ñêîðî ìû ïðèøëè áû è ê èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì. Ñêàçûâàåòñÿ òîò æå íåäîñòàòîê êëàññà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé  åãî íåçàìêíóòîñòü îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè èñêëþ÷åíèÿ ÷àñòè íåèçâåñòíûõ.  áëàãîïîëó÷íûõ ñëó÷àÿõ ïîñëå îïåðàöèè èñêëþ÷åíèÿ ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ íåàâòîíîìíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (òàêîé âàðèàíò ìû ñ âàìè óæå ðàññìàòðèâàëè).  áîëåå ñëîæíûõ ñèòóàöèÿõ ïîëó÷àåòñÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå. È ýòî ÿ îáúÿñíþ íà ïðîñòîì ïðèìåðå. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó äâóõ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé

x˙ = x + y,

(1.99)

y˙ = −y + x. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ

x

= x0 , t=0

y

= y0 .

(1.100)

t=0

Èñêëþ÷èì èç ýòîé ñèñòåìû íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ y , ïîëüçóÿñü âòîðûì óðàâíåíèåì. Åñëè âðåìåííî ñ÷èòàòü x(t) èçâåñòíîé ôóíêöèåé, òî äëÿ y(t) ïîëó÷àåòñÿ ëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå. Ñ èñïîëüçîâàíèåì íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ íàõîäèì (ïðîùå âñåãî èñïîëüçîâàòü èíòåãðèðóþùèé

53

ìíîæèòåëü et )

y(t) = y0 e−t +

Zt

e−(t−τ ) x(τ )dτ.

(1.101)

0

Ïîäñòàíîâêà â ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (1.99)äàåò èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ íåèçâåñòíîé ôóíêöèè x(t)

x˙ = x + y0 e−t +

Zt

e−(t−τ ) x(τ )dτ.

(1.102)

0

Êîíå÷íî, ýòî ÷èñòî èëëþñòðàòèâíûé ïðèìåð. Îäíàêî ñëó÷àåòñÿ,÷òî ïîñðåäñòâîì èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ óäàåòñÿ âåñüìà ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü çàäà÷ó. Áûâàåò äàæå, ÷òî óäàåòñÿ ñâåñòè ê ñêàëÿðíîìó èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ áåñêîíå÷íîìåðíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé [Çåíüêîâñêàÿ, Þäîâè÷]. Âåñüìà âîçìîæíî, ÷òî èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ íàñëåäñòâåííîé òåîðèè óïðóãîñòè è ýêîëîãèè òîæå ìîæíî ïîëó÷èòü ïîñðåäñòâîì èñêëþ÷åíèÿ íåêîòîðûõ ñêðûòûõ ïåðåìåííûõ èç áîëåå îáùåé ñèñòåìû

äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. ß äóìàþ, ÷òî òàê îíî è åñòü, õîòÿ ýòî åùå íèêòî íå ïðîäåëàë. Çàìå÷ó åùå, ÷òî áûâàþò, êîíå÷íî, ñëîæíûå ñèòóàöèè, â êîòîðûõ íåèçâåñòíûå èñêëþ÷èòü íå óäàåòñÿ è íå òîëüêî ïîòîìó, ÷òî ìû íå ðàñïîëàãàåì àêòèâíûìè ôîðìóëàìè, íî è ïî ñóùåñòâó, èç-çà òîãî, ÷òî òàêîå èñêëþ÷åíèå, ñêàæåì, íåèçâåñòíîé y âîçìîæíî íå äëÿ âñåõ ôóíêöèé x. Òàêèå ñèòóàöèè ìîãóò áûòü î÷åíü èíòåðåñíû è äî ñèõ ïîð íèêåì íå ðàññìîòðåíû. È åùå îäíî çàìå÷àíèå. Ìû ãîâîðèì îá èñêëþ÷åíèè íåèçâåñòíûõ â çàäà÷å Êîøè. Äëÿ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñòàâÿòñÿ è äðóãèå çàäà÷è, íàïðèìåð, çàäà÷à Ïóàíêàðå î ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèÿõ. Äëÿ íèõ òîæå ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ïðîáëåìà èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ. Âñå ýòî äî ñèõ ïîð î÷åíü ìàëî èññëåäîâàíî. Î÷åíü èíòåðåñíî âûÿñíèòü, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ òàêîå èñêëþ÷åíèå âîçìîæíî, êàêîãî ðîäà óðàâíåíèÿ ïðè ýòîì ïîëó÷àþòñÿ, à ãëàâíîå ÷òî ýòî ìîæåò äàòü äëÿ ïîíèìàíèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû.

54

1.8

Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Ðàçáèåíèå ñèñòåìû íà íåçàâèñèìûå ïîäñèñòåìû

Îáû÷íûå òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè  âçÿòèå îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ, ðàçíîñòè, ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè, ñêàæåì, íàä äâóìÿ ìíîæåñòâàìè X , Y , õîòÿ è âñåãäà îïðåäåëåííûå ôîðìàëüíî, ïîæàëóé, îêàçûâàþòñÿ ñîäåðæàòåëüíûìè ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà ýòè ìíîæåñòâà ñîñòîÿò èç ýëåìåíòîâ îäíîé è òîé æå ïðèðîäû (âïðî÷åì, îáúåäèíåíèå ñàìûõ ðàçíîðîäíûõ ýëåìåíòîâ ìîæåò ïîÿâèòüñÿ â ñïèñêå òîâàðîâ, ïðîäàâàåìûõ äàííîé ôèðìîé). Îïåðàöèÿ äåêàðòîâà óìíîæåíèÿ áûâàåò èíòåðåñíà è áåç ýòîãî îãðàíè÷åíèÿ. Íàïîìíþ, ÷òî äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå X ×Y åñòü ìíîæåñòâî âñåâîçìîæíûõ ïàð (x, y), ãäå x ∈ X , y ∈ Y . Êîãäà ìíîæåñòâà X è Y ñíàáæåíû (èëè, êàê ÷àñòî ãîâîðÿò, îñíàùåíû) òåìè èëè èíûìè äîïîëíèòåëüíûìè ñòðóêòóðàìè, áûâàåò èíòåðåñíî îïðåäåëèòü ñîîòâåòñòâóþùèå ñòðóêòóðû è íà èõ äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè. Òàê îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì îïðåäåëèòü äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ãðóïï, ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ, ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ è ò. ä., òàê ÷òî è äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå îêàçûâàåòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, ãðóïïîé, ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì è ò. ä.

Äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì (X1 , N1t ) è (X2 , N2t ) íàçûâàåòñÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà (X1 ×X2 , N1t ×N2t ). Ïðîñòðàíñòâî ýòîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû åñòü äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ

X1 è X2 . Ðàññòîÿíèå â ýòîì íîâîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå äëÿ ëþáûõ äâóõ åãî ýëåìåíòîâ (x1 , x2 ) è (x01 , x02 ) (ïðè x1 , x01 ∈ X1 è x2 , x02 ∈ X2 ) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóììà ðàññòîÿíèé ρ1 (x1 , x01 ) + ρ2 (x2 , x02 ). Çäåñü ρ1  ðàññòîÿíèå â X1 , à ρ2  ðàññòîÿíèå â X2 . ×òî êàñàåòñÿ äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ îòîáðàæåíèé N1t × N2t , òî åãî äåéñòâèå íà ýëåìåíò (x1 , x2 ) îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì

N1t × N2t (x1 , x2 ) = (N1t x1 , N2t x2 ).

(1.103)

Ãîâîðÿ êîðî÷å, ñàìà èäåÿ äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî îïåðàöèè ïðîèçâîäÿòñÿ îòäåëüíî â êàæäîì ïðîñòðàíñòâå X1 è X2 . Ëåãêî

55

ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ îïðåäåëåííîãî òàêèì îáðàçîì îòîáðàæåíèÿ N1t × N2t :

X1 × X2 → X1 × X2 âûïîëíÿåòñÿ ïðèíöèï ïðè÷èííîñòè. Òàêèì îáðàçîì, äàííîå îïðåäåëåíèå äåéñòâèòåëüíî ïðèâîäèò ê íîâîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå

(X1 × X2 , N1t × N2t ). Âïîëíå àíàëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå òðåõ, ÷åòûðåõ è âîîáùå ëþáîãî íàáîðà äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Èìåþòñÿ è îïðåäåëåíèÿ äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ áåñêîíå÷íîãî íàáîðà äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, äàæå íå îáÿçàòåëüíî ñ÷åòíîãî. Âåëèêàÿ îïåðàöèÿ äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ è îòîáðàæåíèé ïîçâîëÿåò íàì ëþáóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé òðàêòîâàòü êàê îäíî óðàâíåíèå. Âûõîäèò, ÷òî îáùàÿ òåîðèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé ïðîñòî íå íóæíà. Ýòî õîðîøèé ïðèìåð ïîëüçû, êîòîðóþ ìîæåò ïðèíåñòè êîíöåïòóàëüíûé ïîäõîä, óäà÷íîå ââåäåíèå îáùèõ àáñòðàêòíûõ ïîíÿòèé. Åñëè èìåþòñÿ äâà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ, ñêàæåì, x˙ = F (x, t) â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå X è y˙ = G(y, t) â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå Y , òî îïåðàöèÿ äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé ñâîäèòñÿ ê òîìó, ÷òî ìû èõ çàïèñûâàåì âìåñòå è ðàññìàòðèâàåì êàê îäíî óðàâíåíèå. Ôîðìàëüíî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû ââîäèì âåêòîð z = (x, y) ∈ X ×Y è çàïèñûâàåì ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó êàê îäíî óðàâíåíèå

z˙ = Q(z, t),

(1.104)

ïðè÷åì ïîëå Q îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâàìè

Q(z, t) = Q(x, y, t) = (F (x, t), G(y, t)).

(1.105)

ß áû õîòåë, ÷òîáû Âû ïî÷óâñòâîâàëè, êàê òðèâèàëüíî âñå òî, ÷òî äî ñèõ ïîð çäåñü ñêàçàíî î äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè. À âûèãðûø ñîñòîèò â òîì, ÷òî, íàïðèìåð, íå íóæíû íîâûå òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ ñèñòåì óðàâíåíèé. Ïðîâåäåííàÿ îïåðàöèÿ íå âûâåëà èç êëàññà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé íà áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå.

56

Åñëè óðàâíåíèå (1.104) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñèñòåìû

x˙ = F (x, t), y˙ = G(y, t),

(1.106)

òî, êàê ãîâîðÿò ôèçèêè, èñõîäíàÿ ñèñòåìà (1.104) ïðåäñòàâëåíà â âèäå îáúåäèíåíèÿ äâóõ íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ èëè íåçàâèñèìûõ ïîäñèñòåì. Êîãäà âñå ýòè óðàâíåíèÿ àâòîíîìíû, ïîëó÷àåòñÿ è ñîîòâåòñòâóþùåå ðàçáèåíèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû íà íåâçàèìîäåéñòâóþùèå ïîäñèñòåìû. Çàäà÷à ðàçáèåíèÿ çàäàííîé ñèñòåìû íà íåâçàèìîäåéñòâóþùèå ïîäñèñòåìû, â èçâåñòíîì ñìûñëå îáðàòíàÿ äåêàðòîâó óìíîæåíèþ, îòíþäü íå òðèâèàëüíà è äàëåêî íå âñåãäà ðàçðåøèìà. Ïðèâåäó ïðèìåð, êîãäà ýòà çàäà÷à îñîáåííî õîðîøî ðåøàåòñÿ Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå óðàâíåíèå

x˙ = Ax

(1.107)

â ïðîñòðàíñòâå Rn , ñ ñàìîñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì A (çàäàâàåìûì ñèììåòðè÷íîé âåùåñòâåííîé ìàòðèöåé). Èçâåñòíî, ÷òî ó òàêîãî îïåðàòîðà ñóùåñòâóåò îðòîíîðìàëüíûé áàçèñ âåêòîðîâ ϕ1 , . . . , ϕn , òàê ÷òî Aϕk = λk ϕk äëÿ

k = 1, . . . , n. Åñëè ðàçûñêèâàòü ðåøåíèå âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿ (1.107) â âèäå x(t) =

n X

ξk (t)ϕk

(1.108)

k=1

ñ íåèçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè ξk , òî ïîäñòàíîâêà (1.108) Â (1.107) äàåò äëÿ îïðåäåëåíèÿ ξk óðàâíåíèÿ

ξ˙k = λk ξk ,

k = 1, . . . , n.

(1.109)

Èñõîäíàÿ ñèñòåìà (1.107) ðàçáèëàñü òàêèì îáðàçîì, íà n íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîäñèñòåì. Íåòðèâèàëüíîñòü ýòîãî ðàçáèåíèÿ ïðîÿâëÿåòñÿ õîòÿ áû â òîì, ÷òî îíî èçìåíÿåòñÿ ïðè èçìåíåíèè îïåðàòîðà A. Åñëè òåïåðü ìû ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (1.107) ñ íåñèììåòðè÷íûì îïåðàòîðîì A, òî óâèäèì, ÷òî ðàçáèåíèå íå âñåãäà âîçìîæíî. Íàïðèìåð, åñëè

57

n = 2, òî â ñëó÷àå æîðäàíîâîé êëåòêè A = ñòåìà

λ 1 0 λ

! ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñè-

x˙ = λx + y, y˙ = λy

(1.110)

íå ìîæåò áûòü ðàçáèòà äàëüøå íà íåâçàèìîäåéñòâóþùèå ïîäñèñòåìû, õîòÿ îäíî íåçàâèñèìîå óðàâíåíèå äëÿ y âûäåëÿåòñÿ. Íåâîçìîæíî òàêæå ðàçáèåíèå íà íåâçàèìîäåéñòâóþùèå ïîäñèñòåìû äëÿ ñèñòåìû âòîðîãî ïîðÿäêà, ñîîòâåòñòâóþùåé ãàðìîíè÷åñêîìó îñöèëëÿòîðó

x˙ = y, y˙ = −x.

(1.111)

Ïðèïîìíèâ íîðìàëüíóþ æîðäàíîâó ôîðìó ìàòðèöû, Âû ëåãêî ðåøèòå âîïðîñ î òîì, êîãäà âîçìîæíî, à êîãäà íåâîçìîæíî ðàçáèòü çàäàííóþ ëèíåéíóþ ñèñòåìó (1.107) íà íåâçàèìîäåéñòâóþùèå ïîäñèñòåìû. 1.9

Ïðîèçâîäíûå è ãðàäèåíòû

Íà÷íåì ñ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíîé ïî ñêàëÿðíîìó àðãóìåíòó âåêòîð-ôóíêöèè

x(τ ) ñî çíà÷åíèÿìè â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå X . Åñòåñòâåííî ïîëîæèòü dx(τ ) x(τ + ε) − x(τ ) = lim . ε→0 dτ ε

(1.112)

Çäåñü èìååòñÿ äâà îñíîâíûõ âàðèàíòà: ïðåäåë ìîæíî ïîíèìàòü â ñìûñëå

ñèëüíîé ñõîäèìîñòè, òî åñòü ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà X , ëèáî â ñìûñëå ñëàáîé ñõîäèìîñòè. Ñîîòâåòñòâåííî, ïîëó÷àþòñÿ ïîíÿòèÿ ñèëüíîé è ñëàáîé ïðîèçâîäíîé. Êîãäà ðå÷ü áóäåò èäòè î ïðîèçâåäåíèè, ÿ áóäó â äàëüíåéøèõ ïðèëîæåíèÿõ èìåòü â âèäó, êàê ïðàâèëî, ñèëüíóþ ïðîèçâîäíóþ. Âîîáùå, êîãäà ðå÷ü èäåò î äèôôåðåíöèðîâàíèè ïî ñêàëÿðíîìó àðãóìåíòó, îïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíû. Âïîëíå àíàëîãè÷íà ïðåäûäóùåìó îïðåäåëÿþòñÿ ïðîèçâîäíûå îò îïåðàòîð-ôóíêöèè, ìàòðè÷íûõ èëè òåíçîðíûõ ôóíêöèé.

58

Âàæíî, êîíå÷íî, ÷òîáû ýòî áûëè ýëåìåíòû ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ, ÷òîáû èìåëî ñìûñë âûðàæåíèå (1.112). Êîãäà ïðèõîäèòñÿ äèôôåðåíöèðîâàòü âåêòîð-ôóíêöèþ ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà, ïðèíèìàþùóþ çíà÷åíèÿ íà íåêîòîðîì ìíîãîîáðàçèè, íåîáõîäèìû äîïîëíèòåëüíûå óõèùðåíèÿ. Îáîéòèñü áåç ýòîãî íåëüçÿ, ïîòîìó ÷òî íåîáõîäèìî âûÿñíèòü, ÷òî òàêîå ñêîðîñòü òî÷êè, äâèæóùåéñÿ ïî ïîâåðõíîñòè. Òàê êàê æå âñå-òàêè îáîáùèòü ñòîëü ïðèâû÷íîå íàì îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé (1.112) ñ òåì, ÷òîáû îáîéòèñü áåç îïåðàöèè âû÷èòàíèÿ? Ðàçóìååòñÿ, êîãäà ïîâåðõíîñòü âëîæåíà â ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, èëè âîîáùå, êîãäà ðàññìàòðèâàåìîå äâèæåíèå ïðîèñõîäèò íà ãëàäêîì ïîäìíîãîîáðàçèè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, ìîæíî ñîõðàíèòü îïðåäåëåíèå (1.112), íå ñìóùàÿñü òåì, ÷òî ðàçíîñòü x(τ + ε) − x(τ ) íå áóäåò ëåæàòü íà ýòîé ïîâåðõíîñòè.  äåéñòâèòåëüíîñòè, äàæå îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âñÿêîå êîíå÷íîìåðíîå ìíîãîîáðàçèå ìîæíî âëîæèòü â êîíå÷íîìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî äîñòàòî÷íî âûñîêîé ðàçìåðíîñòè, è ïðèòîì, êîíå÷íî, ìíîãèìè ñïîñîáàìè (ýòî òåîðåìà Óèòíè). Òóò, îäíàêî, ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî îïðåäåëåíèå çàâèñèò îò âëîæåíèÿ ïîâåðõíîñòè. Ìàòåìàòèêó âïîëíå ïîíÿòíî, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ëèøíèõ îáúåêòîâ â îïðåäåëåíèè ìîæåò ëèøü óñëîæíèòü ðàññìîòðåíèÿ. Åñëè â íà÷àëå òàêîãî äåëà, êàê ðàçâèòèå íîâîé òåîðèè, ïîëåíèòüñÿ ñåðüåçíî ïîðàáîòàòü íàä îïðåäåëåíèÿìè, ïîääàòüñÿ âïå÷àòëåíèþ îò êàæóùåéñÿ ïðîñòîòû, òî ïîñëåäñòâèÿ áóäóò âåñüìà íåïðèÿòíûìè. Ñîâðåìåííàÿ àáñòðàêòíàÿ ìàòåìàòèêà î÷åíü äåéñòâåííà, ïðåäïî÷èòàåò îïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå êàæóòñÿ, ìîæåò áûòü, ñëîæíûìè íà âèä, íî â äàëüíåéøåì îáåñïå÷èâàþò ïðîñòîòó â îáðàùåíèè è áåñïåðåáîéíîñòü ðàáîòû ïîñòðîåííîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà. Î÷åíü âàæíî, ÷òî ïðè ýòîì íå íóæíî (äàæå âðåäíî) ñëèøêîì ãëóáîêî çàäóìûâàòüñÿ íà êàæäîì øàãå âûêëàäîê, à äîñòàòî÷íî àâòîìàòè÷åñêè ñëåäîâàòü ôîðìàëüíûì ïðàâèëàì. Ïîäîáíûå âûêëàäêè ëåãêî ïåðåïîðó÷èòü êîìïüþòåðó. Ê ñëîâó ñêàçàòü, òàêóþ ôîðìàëüíóþ ñèñòåìó è íàçûâàþò èñ÷èñëåíèåì, òàêîâû (â èäåàëå) äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèÿ.

59

ß ïðèâåë ýòî ëèðè÷åñêîå âñòóïëåíèå äëÿ òîãî, ÷òîáû Âû íå ïîëåíèëèñü îñâîèòü ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå è ïðèìåíÿëè åãî â äàëüíåéøåì. Ëèøü ïîíà÷àëó îíî ìîæåò ïîêàçàòüñÿ âû÷óðíûì. Èòàê, ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå x : R → M âåùåñòâåííîé ïðÿìîé â ãëàäêóþ ïîâåðõíîñòü (è âîîáùå, ìíîãîîáðàçèå) M , òî åñòü òî÷êó, äâèæóùóþñÿ âäîëü ìíîãîîáðàçèÿ M ïî èçâåñòíîìó çàêîíó x = x(t). Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ãëàäêóþ ôóíêöèþ f : M → R. Òåïåðü ðàññìîòðèì f (x(t))  ýòî óæå ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ ñêàëÿðíîãî ïåðåìåííîãî t. Ìû õîðîøî çíàåì, êàê òàêèå ôóíêöèè äèôôåðåíöèðîâàòü. Íå áóäó ïðèâîäèòü çäåñü òî÷íûõ îïðåäåëåíèé ãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ M è ãëàäêîé ôóíêöèè f íà M . Ñêàæó ëèøü, ÷òî îòîáðàæåíèå x : t 7→ x(t) íàçûâàåòñÿ ãëàäêèì, åñëè f (x(t)) äëÿ ëþáûõ ãëàäêèõ f èìååò ïðîèçâîäíóþ ïî t. Îíà êîíå÷íî çàâèñèò îò f , òàê ÷òî ìîæíî íàïèñàòü

d f (x(t)) = V (x(t))f. (1.113) dt Åñëè x(t0 ) = a, è â îêðåñòíîñòè òî÷êè a ââåäåíû êîîðäèíàòû x1 , x2 , . . . , xn , òî ýòî ðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå n

X ∂f (x(t)) d d f (x(t)) = f (x1 (t), . . . , xn (t)) = vk (x(t)). dt dt ∂xk

(1.114)

k=1

Çäåñü vk (x(t)) åñòü k -ÿ êîìïîíåíòà ñêîðîñòè x(t) ˙ äâèæóùåéñÿ òî÷êè x(t). À ÷òî òàêîå ñêîðîñòü x(t) ˙ ? òåïåðü ÿñíî, ÷òî åå ñëåäóåò îïðåäåëèòü êàê äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð ïåðâîãî ïîðÿäêà V â ôîðìóëå (1.113).  âûáðàííûõ êîîðäèíàòàõ, â ìîìåíò âðåìåíè t = t0 ìû ìîæåì íàïèñàòü

x(t ˙ 0 ) = v = v(a) =

n X k=1

vk (a)

∂ . ∂xk

(1.115)

Èòàê, ñêîðîñòü x(t ˙ 0 ) îêàçàëàñü ëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûì îïåðàòîðîì! Ïåðâàÿ ïðàêòè÷åñêàÿ âûãîäà òàêîãî îïðåäåëåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîìïîíåíò ñêîðîñòè â ëþáîé äðóãîé ñèñòåìå êîîðäèíàò

y1 , . . . , yn äîñòàòî÷íî â ðàâåíñòâå (1.115) ïðîäåëàòü çàìåíó x1 = x1 (y1 , . . . , yn ),

60

..., xn = xn (y1 , . . . , yn ).  êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ âûðàçèòå êîìïîíåíòû âåêòîðà v â öèëèíäðè÷åñêèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ, åñëè îí ïåðâîíà÷àëüíî çàäàí â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ, òàê ÷òî v = (v1 , v2 , v3 ). ÿ íàäåþñü, ÷òî ÷òåíèå ïðåäûäóùèõ àáçàöåâ ïîáóäèò Âàñ èçó÷èòü ìíîãîîáðàçèÿ, âåêòîðû è âåêòîðíûå ïîëÿ íà ìíîãîîáðàçèÿõ, íàïðèìåð, ïî êíèãàì [7], [8], [9]. Ïðîèçâîäíûå îïåðàòîðîâ è ôóíêöèîíàëîâ. Ïóñòü çàäàí îïåðà-

òîð F : X → Y , äåéñòâóþùèé èç âåùåñòâåííîãî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà

X â âåùåñòâåííîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî Y .  ÷àñòíîñòè, êîãäà Y = R  îïåðàòîð F åñòü ôóíêöèîíàë èëè ôóíêöèÿ íà ïðîñòðàíñòâå X . ñåé÷àñ ìû ðàññìîòðèì îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ïðîñòåéøèå ðåçóëüòàòû, îòíîñÿùèåñÿ ê äèôôåðåíöèðîâàíèþ îïåðàòîðîâ. Ïðîèçâîäíàÿ ïî Ãàòî. Äëÿ ëþáîãî h ∈ X ðàññìîòðèì F (x + sh), ãäå

s ∈ R. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, ïðîèçâîäíàÿ Ãàòî Fg0 (x) îïåðàòîðà F â òî÷êå x åñòü d F (x + sh) − F (x) F (x + sh) = lim = Fg0 (x)h. s→0 ds s=0 s

(1.116)

Òàêèì îáðàçîì, Fg0 (x) : X → Y åñòü îïåðàòîð, çàâèñÿùèé îò x, è äëÿ êàæäîãî x äåéñòâóþùèé èç X â Y . ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî îí îäíîðîäåí:

Fg0 (x)(λh) = λFg0 (x)h. Îäíàêî, êàê ïîêàçûâàþò ïðèìåðû, îí íå âñåãäà ëèíååí. Ïðåäåë â (1.116) ìîæíî ïîíèìàòü ïî ðàçíîìó, äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðå÷ü èäåò î ñõîäèìîñòè ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà Y . Çàìå÷ó, ÷òî îáðèñîâûâàííàÿ âêðàòöå èäåÿ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé íà ìíîãîîáðàçèÿõ ïîçâîëÿåò ïåðåíåñòè îïðåäåëåíèå Ãàòî è íà îïåðàòîðû, çàäàííûå íà áàíàõîâîì ìíîãîîáðàçèè. Ãàòî  òàëàíòëèâûé ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê, îôèöåð ôðàíöóçñêîé àðìèè, ïðîïàâøèé áåç âåñòè âî âðåìÿ I-é ìèðîâîé âîéíû. Ïðîèçâîäíàÿ ïî Ôðåøå. Ïðîèçâîäíîé Ôðåøå â òî÷êå x ∈ X îò

îïåðàòîðà F : X → Y íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûé îïåðàòîð A : X → Y , îáîçíà-

61

÷àåìûé ÷åðåç F 0 (x), òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáîãî h ∈ X âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

F (x + h) − F (x) = Ah + ω(x, h),

(1.117)

ïðè÷åì äëÿ îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà ω(x, h) ñïðàâåäëèâî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå

kω(x, h)kY → 0, khkX

(1.118)

ïðè h → 0, òî åñòü ïðè khkX → 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ω(x, t)  ñëàãàåìîå ïîðÿäêà âûøå ïåðâîãî îòíîñèòåëüíî h. ñîîòâåòñòâåííî Ah åñòü ãëàâíàÿ ëèíåéíàÿ ÷àñòü ïðèðàùåíèÿ îïåðàòîðà F . Åå íàçûâàþò äèôôåðåíöèàëîì Ôðåøå. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ Ôðåøå, êîãäà îíà ñóùåñòâóåò ñîâïàäàåò ñ ïðîèçâîäíîé Ãàòî. (Äîêàçûâàåòñÿ ýòî íåïîñðåäñòâåííî: çàìåíèì â (1.117) h íà sh, ðàçäåëèì íà s è óñòðåìèì s ê 0). Íà ïðàêòèêå ïðîèçâîäíàÿ âñåãäà âû÷èñëÿåòñÿ ïðè ïîìîùè îïðåäåëåíèÿ Ãàòî, à â ïðèëîæåíèÿõ, êàê ïðàâèëî, íóæíà ïðîèçâîäíàÿ Ôðåøå. Ïîýòîìó, íàéäÿ, ïðîèçâîäíóþ ïî Ãàòî, ïðèõîäèòñÿ ïðîâåðÿòü óñëîâèå (1.118) äëÿ îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà. À âîîáùå ïðîèçâîäíàÿ åñòü ïðîèçâîäíàÿ, åå âû÷èñëåíèå äëÿ ÿâíî çàäàííîãî îïåðàòîðà F íå âûçûâàåò ñåðüåçíûõ òðóäíîñòåé, ëèøü áû îíà ñóùåñòâîâàëà. Ïóñòü, íàïðèìåð, X = Rn , Y = Rm , à îïåðàòîð F çàäàí ñâîèì êîîðäèíàòíûì ïðåäñòàâëåíèåì: äëÿ ëþáîãî x = (x1 , . . . , xn )

F x = (F1 (x1 , . . . , xn ), . . . , Fm (x1 , . . . , xn )).

(1.119)

Åñëè ôóíêöèè F1 , . . . , Fm  êîìïîíåíòû âåêòîðà F  íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû, òî ïðîèçâîäíàÿ F 0 (x) çàäàåòñÿ ìàòðèöåé ßêîáè:

F 0 (x) =



∂Fi (x) ∂xk

 i=1,...,m . k=1,...,n

(1.120)

 ÷àñòíîñòè, êîãäà m = 1, ïîëó÷àåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè (ôóíêöèîíàëà). Ãðàäèåíò. Ñîãëàñíî òåîðåìå Ô. Ðèññà, âñÿêèé ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë

ϕ : H → R íà åâêëèäîâîì èëè ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ìîæåò áûòü

62

ðåàëèçîâàí â âèäå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Òî÷íåå, äëÿ ëþáîãî ϕ íàéäåòñÿ òàêîé ýëåìåíò h ∈ H , è ïðèòîì òîëüêî îäèí, òàêîé, ÷òî

ϕ(x) = (x, h)

(1.121)

äëÿ âñåõ x ∈ H . Áîëåå òîãî, îòîáðàæåíèå J : ϕ 7→ h, H ∗ → H åñòü èçîìåòðè÷åñêèé èçîìîðôèçì, òî åñòü J  ëèíåéíûé îáðàòèìûé îïåðàòîð, è

khk = kJϕk = kϕk äëÿ âñåõ ϕ ∈ H ∗ .  ýòîì ñìûñëå èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî ñîïðÿæåííîå ïðîñòðàíñòâî H ∗ (ïðîñòðàíñòâî ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ) ñîâïàäàåò ñ ñàìèì ïðîñòðàíñòâîì H . Íåîáõîäèìî îäíàêî ïîìíèòü, ÷òî òàêîå îòîæäåñòâëåíèå çàêîííî ëèøü äî òåõ ïîð, ïîêà ôèêñèðîâàí èçîìîðôèçì J . Êàê ìû óâèäèì äàëüøå, ýòî î÷åíü ñóùåñòâåííî äëÿ ïðèëîæåíèé, â ÷àñòíîñòè â ìåõàíèêå. Ïóñòü òåïåðü f : H → R  ôóíêöèîíàë, çàäàííûé íà H è èìåþùèé ïðè âñåõ x ïðîèçâîäíóþ f 0 (x). Ñîãëàñíî òåîðåìå Ðèññà, ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò (âåêòîð) g(x) ∈ H , ÷òî ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë f 0 (x) ïðåäñòàâèòñÿ â âèäå

f 0 (x)u = (u, g(x)).

(1.122)

Ýëåìåíò g(x) íàçûâàåòñÿ ãðàäèåíòîì ôóíêöèîíàëà f â òî÷êå x è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç grad f (x). Ñîãëàñíî ýòîìó îïðåäåëåíèþ,

f 0 (x)u = (u, grad f (x)).

(1.123)

Âåêòîð grad f (x) äëÿ êàæäîãî x îïðåäåëÿåò ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë, êîòîðûé îò x çàâèñèò, âîîáùå ãîâîðÿ, íåëèíåéíî. Îïåðàòîð grad f äåéñòâóåò èç H â

H , èëè â ñèìâîëàõ grad f : x 7→ grad f (x) : H → H .  îòëè÷èå îò ïðîèçâîäíîé f 0 (x), ãðàäèåíò îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Îí èçìåíèòñÿ, åñëè ïîìåíÿòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. Ïóñòü A : H → H  ñàìîñîïðÿæåííûé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûé îïåðàòîð, çàäàííûé íà âñåì ïðîñòðàíñòâå H . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îïåðàòîð A ëèíååí è äëÿ ëþáûõ ξ, η ∈ H ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (Aξ, η) = (ξ, Aη), è

63

(Aξ, ξ) > γ 2 (ξ, ξ) ïðè íåêîòîðîì γ > 0. Äàâàéòå åùå ïðåäïîëîæèì, ÷òî îïåðàòîð A îãðàíè÷åí è îáðàòèì, èìååò îãðàíè÷åííûé îáðàòíûé A−1 . Íà ñàìîì äåëå, è òî, è äðóãîå ìîæíî âûâåñòè, ñîîòâåòñòâåííî, èç ïðåäïîëîæåíèé, ÷òî îïåðàòîð A çàäàí âñþäó è ÷òî îí ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåí.  ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå ÷ðåçâû÷àéíî èíòåðåñíû íåîãðàíè÷åííûå ñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû, êîòîðûå îïðåäåëåíû íå âñþäó, à ëèøü íà íåêîòîðûõ âñþäó ïëîòíûõ â H ëèíåéíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ, ñì. [31].  ñëó÷àå êîíå÷íîìåðíîãî H âñå ýòè ïðîáëåìû ïðîñòî íå âîçíèêàþò. Âñÿêèé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûé îïåðàòîð A â H îïðåäåëÿåò íîâîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (1.124)

(ξ, η)A = (Aξ, η)

äëÿ ëþáûõ ξ, η ∈ H . ïðîâåðüòå, ÷òî âñå àêñèîìû ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äåéñòâèòåëüíî âûïîëíÿþòñÿ. Êîãäà îïåðàòîð A èìååò îãðàíè÷åííûé îáðàòíûé, ýòî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ýêâèâàëåíòíî ïðåæíåìó  â òîì ñìûñëå, ÷òî ñõîäèìîñòü ïî ñîîòâåòñòâóþùèì íîðìàì îäíà è òà æå. Íàéäåì ñâÿçü ìåæäó ãðàäèåíòàìè, ïîðîæäàåìûìè ýòèìè ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèÿìè. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ (1.123), èìååì ðàâåíñòâà

f 0 (x)u = (u, grad f (x)) = (u, gradA f (x))A .

(1.125)

Ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèå (1.124), èç (1.125) âûâîäèì ðàâåíñòâà

(u, grad f (x)) = (u, gradA f (x))A = (Au, gradA f (x)) = (u, A gradA f (x)). (1.126) Òàê êàê ðàâåíñòâî (1.127)

(u, grad f (x)) = (u, A gradA f (x)) âûïîëíåíî ïðè ëþáûõ u ∈ H , çàêëþ÷àåì, ÷òî grad è grad

A

ñâÿçàíû ñîîò-

íîøåíèÿìè

grad f (x) =A gradA f (x), gradA f (x) =A

−1

grad f (x).

(1.128)

64

çàìå÷ó, ÷òî ïîäîáíûå ñîîòíîøåíèÿ âûïîëíÿþòñÿ è â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà îïåðàòîð A çàäàí íå íå âñåì ïðîñòðàíñòâå H , à ëèøü íà íåêîòîðîì ïëîòíîì â H ëèíåéíîì ìíîãîîáðàçèè DA (ýòî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà A).  òàêîé ñèòóàöèè, îäíàêî, ïðèõîäèòñÿ ïðîäåëûâàòü åùå íåìàëóþ äîïîëíèòåëüíóþ ðàáîòó. Åå ïåðâàÿ ÷àñòü  ïîïîëíåíèå ëèíåéíîãî ìíîãîîáðàçèÿ DA ïî íîðìå, ïîðîæäåííîé ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (1.124) (ñì. [31]). Ïîòîì åùå ïðèõîäèòñÿ ðàçáèðàòüñÿ â íåîáõîäèìûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ôóíêöèîíàë f è íàõîäèòü îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ãðàäèåíòîâ, êîòîðûå ñàìè ìîãóò è íå áûòü íåïðåðûâíûìè îïåðàòîðàìè  äàæå â ñëó÷àå, êîãäà îíè ëèíåéíû (ïî x), ÷òî ïîëó÷àåòñÿ, êîãäà f  êâàäðàòè÷íûé ôóíêöèîíàë.

65

2

Ìåõàíèêà

Îäíèì èç ãëàâíûõ èñòî÷íèêîâ ôóíäàìåíòàëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ÿâëÿþòñÿ âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû ìåõàíèêè. Ñîâðåìåííàÿ ìåõàíèêà íà÷àëàñü ñ êëàññè÷åñêîé ðàáîòû È.Íüþòîíà "Ìàòåìàòè÷åñêèå ïðèíöèïû íàòóðàëüíîé ôèëîñîôèè" (1687), [5]. Êîíå÷íî, ó ìåõàíèêè áûëà äîëãàÿ è áîãàòàÿ ïðåäèñòîðèÿ (âñïîìíèì, íàïðèìåð, Àðõèìåäà), à Ãàëèëåÿ ìîæíî óæå ñ÷èòàòü ñîâðåìåííûì ôèçèêîì, ïîòîìó ÷òî îí ïîíÿë, ÷òî ïðèðîäó íåîáõîäèìî ïîçíàâàòü ïðè ïîìîùè ýêñïåðèìåíòîâ, ñòðîèòü òåîðèè ïóòåì îáîáùåíèÿ ïîëó÷åííûõ äàííûõ, à íå èñêàòü îòâåòû â òðóäàõ àâòîðèòåòíûõ äðåâíèõ àâòîðîâ. Äî íåãî ñ÷èòàëîñü, ÷òî îòâåòû íà âñå âîïðîñû ìîæíî íàéòè ó Àðèñòîòåëÿ. Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ìåõàíèêè ïðèâåëî ê øèðîêèì îáîáùåíèÿì, ê îïðåäåëåííîìó ñëèÿíèþ ìåõàíèêè ñ äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèåé íà ìíîãîîáðàçèÿõ. Ìåæäó ïðî÷èì, îêàçàëîñü, ÷òî óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â î÷åíü ìíîãèõ ðàçëè÷íûõ, çà÷àñòóþ ðàçèòåëüíî îòëè÷àþùèõñÿ äðóã îò äðóãà, ôîðìàõ. Ðè÷àðä Ôåéíìàí çàìåòèë, ÷òî òàêèì ñâîéñòâîì îáëàäàþò âñå ôóíäàìåíòàëüíûå ìîäåëè ôèçèêè (ïîìèìî ìåõàíèêè, êâàíòîâàÿ ôèçèêà è êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ). Îí ïîñòàâèë âîïðîñ, ïî÷åìó ýòî òàê. ß äóìàþ, ÷òî ðàçíûå ôîðìû ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé ïðîñòåéøèõ (îíè-òî è ÿâëÿþòñÿ íàèáîëåå ôóíäàìåíòàëüíûìè) ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé â ôèçèêå íàèáîëåå ïðèñïîñîáëåíû äëÿ ðàçëè÷íûõ îáîáùåíèé. Òàê, âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû Ãàìèëüòîíà è Ìîïåðòþè (òî÷íåå, ÌîïåðòþèÝéëåðà-Ëàãðàíæà-ßêîáè), óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, íàçûâàåìîå óðàâíåíèåì Ãàìèëüòîíà-ßêîáè, â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ýêâèâàëåíòíû. Íî ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà íåïîñðåäñòâåííî îáîáùàåòñÿ íà ìåõàíèêó òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè (ðåëÿòèâèñòñêóþ ìåõàíèêó), çà èñêëþ÷åíèåì ìåõàíèêè ôîòîíîâ (ñâåòà, ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí), ïðèíöèï Ìîïåðòþè ñîõðàíÿåòñÿ è â äèíàìèêå ôîòîíîâ. À âîò êâàíòîâàÿ ôèçèêà èñïîëüçóåò îáîá-

66

ùåíèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè. Ïîäõîäû è ðåçóëüòàòû ìåõàíèêè íàõîäÿò ñåáå ïðèìåíåíèå äàëåêî çà åå ïðåäåëàìè. Íàïðèìåð, ìû óâèäèì äàëüøå, ÷òî ýëåêòðîäèíàìèêà ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ â îïðåäåë¼ííîì ñìûñëå ÷àñòíûì ñëó÷àåì ìåõàíèêè. 2.1

Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà

Íåñîìíåííî, íà÷àëî ñîâðåìåííîé ìåõàíèêè  ýòî âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ ìàòåðèàëüíîé ÷àñòèöû:

m¨ x = F.

(2.1)

Çäåñü m  ìàññà ÷àñòèöû, x(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t))  åå ïîëîæåíèå â ìîìåíò âðåìåíè t. ×àñòèöà äâèæåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå R3 , è x1 (t), x2 (t), x3 (t)  åå êîîðäèíàòû. F  äåéñòâóþùàÿ íà ÷àñòèöó ñèëà.  ñàìîì ïðîñòîì ñëó÷àå

F = F (t), òî åñòü ñèëà çàäàíà êàê ôóíêöèÿ âðåìåíè.  ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.1) ëåãêî íàõîäèòñÿ äâóìÿ èíòåãðèðîâàíèÿìè ïî t. Îáû÷íî ñèëà

F áûâàåò çàäàíà ëèøü êàê âåêòîð-ôóíêöèÿ îò àðãóìåíòîâ x ∈ R3 , x˙ ∈ R3 è âðåìåíè t. Òîãäà óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà åñòü âåêòîðíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà

m¨ x = F (x, x, ˙ t).

(2.2)

... Ñëó÷àåòñÿ, ÷òî F çàâèñèò îò x ¨ è äàæå îò x , à ìîæåò áûòü, è îò âûñøèõ ïðîèçâîäíûõ. Îäíàêî, òàêîå ïðîèñõîäèò íå â ôóíäàìåíòàëüíûõ ìîäåëÿõ, à ñêîðåå, â ðåçóëüòàòå èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ â áîëåå øèðîêèõ ñèñòåìàõ. Íàïðèìåð, óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå òðåòüåãî ïîðÿäêà, íî ýòî ïîëó÷àåòñÿ ïîòîìó, ÷òî èç áîëåå îáùåé ñèñòåìû èñêëþ÷àåòñÿ ïîëå. Ôèçèêè îáû÷íî ãîâîðÿò, ÷òî ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà  ýòî òåëî "ñòîëü ìàëûõ ðàçìåðîâ", ÷òî èìè ïðè äàííûõ óñëîâèÿõ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Íàïðèìåð, ðàçìåðû ïëàíåò ñòîëü ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ èõ ðàññòîÿíèÿìè äî

67

Ñîëíöà, ÷òî ïðè èçó÷åíèè èõ äâèæåíèÿ ïëàíåòû ìîæíî ñ÷èòàòü ìàòåðèàëüíûìè òî÷êàìè.  àñòðîíîìèè òàê è äåëàåòñÿ, è òåîðåòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû âåëèêîëåïíî ïîäòâåðæäàþòñÿ íàáëþäåíèÿìè. Âìåñòå ñ òåì, ïðè èçó÷åíèè âðàùåíèÿ Çåìëè èëè, ñêàæåì, äâèæåíèÿ ñàìîëåòîâ è ðàêåò íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ðàçìåðû è ôîðìó íàøåé ïëàíåòû. Äëÿ òîãî, ÷òîáû îïèñàòü äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïðè ïîìîùè óðàâíåíèÿ (2.2), êîíå÷íî, íåäîñòàòî÷íî çàäàòü åå ïîëîæåíèå. Ïðàâèëüíûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ âêëþ÷àþò òàêæå çàäàíèå ñêîðîñòè:

x(0) = x0 ,

x(0) ˙ = v0 .

(2.3)

Çäåñü x0  íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå òî÷êè x0 (t) = (x01 , x02 , x03 ) ∈ R3 , v0 (t) =

(v01 , v02 , v03 ) ∈ R3  åå íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü. Òàêèì îáðàçîì, ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî äàííîé ñèñòåìû åñòü R3 × R3 , à ñîñòîÿíèå ñèñòåìû åñòü ïàðà

(x, v), ãäå x  ïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, à v  åå ñêîðîñòü. Ýòî áûëî ãðàíäèîçíûì îòêðûòèåì Íüþòîíà ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì ìû æèâåì, êàê áû óäâàèâàåòñÿ. Àðèñòîòåëü, êîíå÷íî, íå çíàë äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, íî åñëè ïðî÷èòàòü âíèìàòåëüíî åãî ðàññóæäåíèÿ î äâèæåíèè êàìíÿ, òî âèäíî, ÷òî îí, ïîæàëóé, ïûòàëñÿ îïèñàòü ìèð, êîòîðûé óïðàâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà. È. Íüþòîí íà îñíîâå óðàâíåíèÿ ñâîåãî âòîðîãî çàêîíà ïîñòðîèë ìåõàíèêó ñèñòåìû ÷àñòèö è ïðèìåíèë åå ïðåæäå âñåãî ê ïðîáëåìå äâèæåíèÿ ïëàíåò. Ïîæàëóé, ñðåäè âñåõ îòêðûòèé Íüþòîíà ñàìûì ïîòðÿñàþùèì áûëî äîêàçàòåëüñòâî òîãî ôàêòà, ÷òî îäíà è òà æå ñèëà (âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ) çàñòàâëÿåò ïàäàòü êàìåíü íà Çåìëå è óäåðæèâàåò ïëàíåòû íà èõ îðáèòàõ. Ñíà÷àëà îí óñòàíîâèë, ÷òî Ëóíà íà ñâîåé îêîëîçåìíîé îðáèòå äåéñòâèòåëüíî óäåðæèâàåòñÿ ñèëîé, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíîé åå ðàññòîÿíèþ äî Çåìëè. Çàáàâíî âñïîìíèòü, ÷òî Íüþòîíà èçáðàëè äåéñòâèòåëüíûì ÷ëåíîì àíãëèéñêîé Àêàäåìèè íàóê (Royal Society) íå çà ýòî îòêðûòèå, è âîîáùå íå çà íàó÷íîå îòêðûòèå, à çà òî, ÷òî îí èçîáðåë ïðåêðàñíûé ñïîñîá øëèôîâêè ñòåêëà

68

è èçãîòîâëåíèÿ çåðêàë äëÿ òåëåñêîïîâ-ðåôëåêòîðîâ. Ñàìà èäåÿ òåëåñêîïàðåôëåêòîðà, âìåñòå ñ åå ðåàëèçàöèåé, òîæå ïðèíàäëåæàëà È.Íüþòîíó. 2.2

Ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà è óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà II ðîäà

 îñíîâó ïîñòðîåíèÿ ñîâðåìåííîé ìåõàíèêè ïîëàãàþò îáû÷íî ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà, íå âïîëíå òî÷íî íàçûâàåìûé òàêæå ïðèíöèïîì íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ. Êîíôèãóðàöèîííîå è ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâà. Ïîëîæåíèå ìåõàíè-

÷åñêîé ñèñòåìû åñòü, ïî îïðåäåëåíèþ, òî÷êà îáëàñòè D â ïðîñòðàíñòâå Rn . Îáëàñòü D íàçûâàåòñÿ êîíôèãóðàöèîííûì ïðîñòðàíñòâîì èëè ïðîñòðàí-

ñòâîì ïîëîæåíèé äàííîé ñèñòåìû. Ðàçìåðíîñòü dimD êîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà íàçûâàåòñÿ ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû. Íàïðèìåð, ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà â R3 èìååò òðè ñòåïåíè ñâîáîäû, à ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, èìååò øåñòü ñòåïåíåé ñâîáîäû. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû  ýòî êîëè÷åñòâî ñêàëÿðíûõ ïàðàìåòðîâ, êîòîðûå íåîáõîäèìî çàäàòü, ÷òîáû îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå ñèñòåìû. Ñåé÷àñ ìû ðàññìàòðèâàåì ñèñòåìû ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû. Îäíàêî â ìåõàíèêå è ôèçèêå ñïëîøíîé ñðåäû íåîáõîäèìî èçó÷àòü è ñèñòåìû ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû  òàêîâû òåêóùàÿ æèäêîñòü èëè ãàç, äåôîðìèðóåìîå óïðóãîå òåëî, ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå. Ñîîòâåòñòâóþùèå òåîðèè ðàçâèâàþòñÿ âî ìíîãîì ïî îáðàçöó êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè ñèñòåì ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû. Âî âñÿêîì ñëó÷àå, ôîðìàëüíûé àïïàðàò ìåõàíèêè ñïëîøíîé ñðåäû ñòðîèòñÿ ïî àíàëîãèèêîíå÷íûå ñóììû çàìåíÿþòñÿ èíòåãðàëàìè èëè áåñêîíå÷íûìè ñóììàìè, âìåñòî ðàçíîñòåé âîçíèêàþò ïðîèçâîäíûå è òàê äàëåå. Êîíå÷íî, ïåðåõîä îò êîíå÷íîãî ê áåñêîíå÷íîìó ÷èñëó ñòåïåíåé ñâîáîäû  äåëî ñåðüåçíîå, è âîçíèêàþò ìíîãèå íîâûå ïðîáëåìû. Äàëåêî íå ñî âñåìè èç íèõ â íàñòîÿùåå âðåìÿ ñïðàâëÿåòñÿ ñîâðåìåííàÿ íàóêà, òàêèå ïðîáëåìû ñåé÷àñ ñîñòàâëÿþò îäèí èç âàæíåéøèõ ñòèìóëîâ ê ðàçâèòèþ ìàòåìàòèêè.

69

Òî÷êà îáëàñòè D îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç q = (q1 , q2 , . . . , qn ), à âåëè÷èíû q1 , . . . , qn íàçûâàþòñÿ åå îáîáùåííûìè èëè ëàãðàíæåâûìè êîîðäèíàòàìè. Ýòî îáîçíà÷åíèå èäåò îò ñàìîãî Ëàãðàíæà, êîòîðûé íàó÷èëñÿ è íàó÷èë ìåõàíèêîâ èñïîëüçîâàòü ïðè èññëåäîâàíèè ðàçëè÷íûõ ñèñòåì êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû (è ìíîãîìó äðóãîìó).

• Íàäî ïðèçíàòüñÿ, ÷òî ÿ ñ íåêîòîðûì ñîäðîãàíèåì ãîâîðþ, ÷òî D åñòü îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà Rn . Ïðàâèëüíî áûëî áû ñêàçàòü, ÷òî êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû åñòü äèôôåðåíöèðóåìîå

ìíîãîîáðàçèå. Ýòî òàêîå ïðîñòðàíñòâî, äëÿ êîòîðîãî â îêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè ìîæíî ââåñòè ñèñòåìó êîîðäèíàò q1 , q2 , . . . , qn . Òàêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò (âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå äàííîãî ïîäìíîæåñòâà íà íåêîòîðûé øàð â Rn ) íàçûâàåòñÿ êàðòîé ìíîãîîáðàçèÿ â äàííîé êîîðäèíàòíîé îêðåñòíîñòè. Âûõîäèò, ÷òî äàëüøå ìû áóäåì ðàáîòàòü â îäíîé êîîðäèíàòíîé îêðåñòíîñòè, òàê ÷òî íàøè ðàññìîòðåíèÿ áóäóò ëîêàëüíûìè. Îäíàêî, âîîáùå ãîâîðÿ, íåëüçÿ ââåñòè åäèíîé ñèñòåìû äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò äàæå íà òàêèõ ïðîñòûõ ìíîãîîáðàçèÿõ, êàê îêðóæíîñòü S 1 íà ïëîñêîñòè èëè ñôåðà S 2 â R3 . Ïðèõîäèòñÿ ðàçáèâàòü ìíîãîîáðàçèÿ íà ÷àñòè, â êàæäîé èç êîòîðûõ êîîðäèíàòû ââåñòè ìîæíî. Ýòè ïîäìíîæåñòâà ìîãóò (äàæå äîëæíû) ïåðåñåêàòüñÿ, â ïåðåñå÷åíèÿõ ìû èìååì ñðàçó äâå ñèñòåìû êîîðäèíàò, è íàäî óñòàíîâèòü ìåæäó íèìè ñîîòâåòñòâèå. Äëÿ ïîëíîãî îïèñàíèÿ ìíîãîîáðàçèÿ íóæåí, òàêèì îáðàçîì, öåëûé íàáîð ëîêàëüíûõ êàðò âìåñòå ñ ïðàâèëàìè èõ ñîãëàñîâàíèÿ â îáùèõ ÷àñòÿõ. Òàêîé íàáîð êàðò íàçûâàåòñÿ àòëàñîì  îáðàçåö ïðåêðàñíîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåðìèíîëîãèè (âûçûâàåò ïðàâèëüíûå è ÿñíûå àíàëîãèè). Êîãäà âñå ýòî àêêóðàòíî ïðîäåëûâàåòñÿ, òî è ïîëó÷àåòñÿ òåîðèÿ äèôôåðåíöèðóåìîãî ìíîãîîáðàçèÿ (ñì. [7], [8], [9], [10]).

Ñîñòîÿíèå ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû çàäàåòñÿ ïàðîé (q, v), ãäå q ∈ D  ïîëîæåíèå ñèñòåìû, à v ∈ Rn  åå îáîáùåííàÿ ñêîðîñòü. Åñëè ïîëîæåíèå

70

ñèñòåìû ìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó q = q(t), òî åå (îáîáùåííàÿ) ñêîðîñòü åñòü v =

q(t) ˙ , ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè îò q(t). Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñèñòåìà, íàõîäÿñü â ïîëîæåíèè q , ìîæåò èìåòü ëþáóþ ìãíîâåííóþ ñêîðîñòü v . Òàêèì îáðàçîì, ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî äàííîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû åñòü D × Rn .

•  îáùåé ñèòóàöèè êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî åñòü ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå M, íî ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî åñòü íå ïðîñòî äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå, à íîâîå ìíîãîîáðàçèå, íàçûâàåìîå êàñàòåëüíûì ðàññëîåíèåì è îáîçíà÷àåìîå T M. Îíî ëèøü ëîêàëüíî (íàä îäíîé êàðòîé) ÿâëÿåòñÿ äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òîáû îïðåäåëèòü ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó, äîñòàòî÷íî çàäàòü îäíó ôóíêöèþ L(q, q, ˙ t), êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Ëàãðàíæà èëè

ëàãðàíæèàíîì. Åå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ åñòü ðàñøèðåííîå ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî  äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà è îñè âðåìåíè: D ×

Rn × R. Èòàê, ôóíêöèÿ L çàäàíà äëÿ ëþáîé òðîéêè (q, q, ˙ t), q ∈ D, q˙ = v ∈ Rn , t ∈ R. Äåéñòâèå ïî Ãàìèëüòîíó. Òåïåðü îïðåäåëèì äåéñòâèå (ïî Ãàìèëü-

òîíó), ïîëàãàÿ

Zt2 S=

L(q(t), q(t), ˙ t) dt

(2.4)

t1

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî t2 > t1 , à â îñòàëüíîì ìîìåíòû âðåìåíè t1 è t2 ïðîèçâîëüíû. Çàìåòüòå åùå, ÷òî çäåñü q(t) ˙  íà ñàìîì äåëå ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè îò q(t)  âåêòîð-ôóíêöèÿ âðåìåíè t ñî çíà÷åíèÿìè â Rn , à òî÷íåå, â îáëàñòè D.  òî æå âðåìÿ, êîãäà ìû ïèøåì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà L(q, q, ˙ t), òî q˙ îçíà÷àåò ïðîñòî íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ. Êàê âèäíî, äåéñòâèå åñòü ôóíêöèîíàë, êîòîðûé êàæäîé âåêòîð-ôóíêöèè

q(t) ñî çíà÷åíèÿìè â D ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî. Äåôîðìàöèÿ è âàðèàöèÿ. Òåïåðü îïðåäåëèì (ãëàäêóþ) äåôîðìà-

öèþ äàííîé âåêòîð-ôóíêöèè q(t), çàäàííîé äëÿ t ∈ [t1 , t2 ] (à åùå ëó÷øå íà

71

âñåé âåùåñòâåííîé îñè). Ãëàäêîé äåôîðìàöèåé âåêòîð-ôóíêöèè q(t) ñî çíà÷åíèÿìè â D íàçûâàåòñÿ ãëàäêàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ q˜(t, ε) ñî çíà÷åíèÿìè â

D, îïðåäåëåííàÿ äëÿ t ∈ [t1 , t2 ], ε ∈ (−ε0 , ε0 ), ãäå ε0 > 0 (åãî âåëè÷èíà íå èìååò íèêàêîãî çíà÷åíèÿ, äàëüøå áóäåò âèäíî, ïî÷åìó), è óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ

q˜(t, 0) = q(t)

(2.5)

• Ê ñîæàëåíèþ, âî ìíîãèõ êíèãàõ ãåîìåòðû äåôîðìàöèþ íàçûâàþò âàðèàöèåé, îòñòóïàÿ è îò íàãëÿäíîñòè, è îò ïðåêðàñíîé òåðìèíîëîãèè êëàññèêîâ (Ýéëåðà, È.Áåðíóëëè, Ëàãðàíæà).

Âàðèàöèåé äàííîé âåêòîð-ôóíêöèè q(t), îòâå÷àþùåé çàäàííîé äåôîðìàöèè q˜(t, ε), íàçûâàåòñÿ

∂ δq = δq(t) = q˜(t, ε) ∂ε ε=0

(2.6)

• È.Áåðíóëëè è Ë.Ýéëåð ïåðâûìè ñòàëè ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèîíàëû òèïà íàøåãî äåéñòâèÿ S (â ñâÿçè, ïðàâäà, ñ ñîâñåì äðóãèìè çàäà÷àìè  î áðàõèñòîõðîíå è ò.ï.). Êîãäà ìû èìååì äåëî ñ îáû÷íîé ôóíêöèåé

y = f (x), òî êàê âû õîðîøî çíàåòå, î÷åíü ïîëåçíî áûâàåò ïîñìîòðåòü, êàêîå ïðèðàùåíèå ïîëó÷àåò ýòà ôóíêöèÿ f (x), êîãäà åå àðãóìåíò x ïîëó÷àåò ïðèðàùåíèå δx. Òàê âîò, Áåðíóëëè è Ýéëåð ââåëè âàðèàöèþ, ñíà÷àëà èíòóèòèâíî, êàê àíàëîã ïðèðàùåíèÿ àðãóìåíòà ∆x. Òåì, êòî äóìàåò, ÷òî ãåíèàëüíûì ó÷åíûì âñå äàåòñÿ ëåãêî, ÿ áû ïîñîâåòîâàë ïî÷èòàòü ïåðåïèñêó Ýéëåðà è Áåðíóëëè î òîì, êàê æå ñòðîãî îïðåäåëèòü âàðèàöèþ (ñì. êíèãó Ïîëàê "Âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû ìåõàíèêè" [12]). Îïðåäåëåíèå âàðèàöèè (2.6) äàë âïåðâûå Ëàãðàíæ, è âñåì âñå ñòàëî ÿñíî. Òåïåðü äàæå òðóäíî ïîíÿòü, ÷òî âñå-òàêè çàòðóäíÿëî òàêèõ ëþäåé, êàê Áåðíóëëè è Ýéëåð.  ñëåäóþùåì îïðåäåëåíèè ââîäèòñÿ àíàëîã ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè ∆y è åå äèôôåðåíöèàëà dy = f 0 (x)dx.

72

Îïðåäåëèì âàðèàöèþ ôóíêöèîíàëà S (äëÿ äàííîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà  âåêòîð-ôóíêöèè q(t)), îòâå÷àþùóþ äàííîé äåôîðìàöèè q˜(t, ε), ïîëàãàÿ

d δS = dε ε=0

Zt2

L(˜ q (t, ε),˜˙q(t, ε), t) dt.

(2.7)

t1

Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî L ãëàäêî çàâèñèò îò q è q˙, è, ïîëüçóÿñü ðàâåíñòâîì (2.5), èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ âûâîäèì ôîðìóëó

Zt2 δS =

(Lq δq + Lq˙ δ q) ˙ dt.

(2.8)

t1

Ìû çäåñü è äàëåå ïðèìåíÿåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ n X ∂L δqk Lq δq = ∂qk k=1

è

n X ∂L δqk . Lq˙ δq = ∂ q˙k k=1

Ïðè ýòîì δ q˙ îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì

∂ ∂ q˜(t, ε). δ q˙ = ∂ε ε=0 ∂t

(2.9)

Åñëè òåïåðü ïðåäïîëîæèòü, ÷òî q˜(t, ε), ñêàæåì, C 2 -ãëàäêàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ îò ε, t, òî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî ε è ïî t êîììóòèðóþò (èõ ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòàìè). Òîãäà èç (2.9) âûâåäåì

∂ ∂ ∂ ∂ d δ q(t) ˙ = q˜(t, ε) = δq(t). = ∂ε ε=0 ∂t ∂t ∂ε ε=0 dt

(2.10)

Ïîëó÷èëàñü îñíîâíàÿ ôîðìóëà âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ

δ q˙ =

d δq. dt

(2.11)

• Íà ñàìîì äåëå, äëÿ âûâîäà ýòîé ôîðìóëû äîñòàòî÷íî ïðåäïîëîæèòü ∂ 2 q˜(t, ε) ñóùåñòâîâàíèå íåïðåðûâíîé ñìåøàííîé ïðîèçâîäíîé â íåêîòî∂t∂ε ðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (t, 0). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî

73

â ñëó÷àå íåäîñòàòî÷íîé ãëàäêîñòè ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ åå ñìå-

∂2 ∂2 , ìîãóò è íå ñîâïàäàòü (ñì. ïðèìåðû â ∂t∂ε ∂ε∂t ó÷åáíèêå Ã. Ì. Ôèõòåíãîëüöà ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó, òîì 1, [11]). øàííûå ïðîèçâîäíûå

ß âåðþ è óæå ãîâîðèë îá ýòîì ðàíüøå, ÷òî âñå ìàòåìàòè÷åñêèå "ïàòîëîãèè" äîëæíû ðåàëèçîâûâàòüñÿ â ôèçèêå è ñîîòâåòñòâîâàòü òåì èëè äðóãèì ïðèðîäíûì ÿâëåíèÿì. Íåèçâåñòíî (ïîêà!), ãäå â ôèçèêå ìîãóò âîçíèêíóòü òàêèå ôóíêöèè, ó êîòîðûõ ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå çàâèñÿò îò ïîðÿäêà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Òåïåðü ìû ìîæåì çàíÿòüñÿ äàëüíåéøèì ïðåîáðàçîâàíèåì âàðèàöèè δS . Ïîäñòàâëÿÿ δ q˙ èç (2.11) â (2.8) è ïðîâîäÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì, ïðèäåì ê ôîðìóëå

Zt2  δS =

d Lq δq + Lq˙ δq dt

 dt =

t1

Zt2  =

 t2 d Lq − Lq˙ δq dt + Lq˙ δq . t1 dt

(2.12)

t1

Äåôîðìàöèÿ q˜(t, ε) äàííîé âåêòîð-ôóíêöèè q(t) íàçûâàåòñÿ äåôîðìàöèåé ñ

çàêðåïëåííûìè êîíöàìè, åñëè äëÿ âñåõ ε âûïîëíåíû ðàâåíñòâà q˜(t1 , ε) =

q(t1 ), q˜(t2 , ε) = q(t2 ). Âàðüèðóÿ ýòè ðàâåíñòâà, òî åñòü äèôôåðåíöèðóÿ ïî ε ïðè ε = 0, ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèÿ äëÿ âàðèàöèè

δq(t1 ) = 0,

δq(t2 ) = 0.

(2.13)

Ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà. Äëÿ èñòèííîãî äâèæåíèÿ q(t) ìåõàíè÷åñêîé

ñèñòåìû ìåæäó ëþáûìè ìîìåíòàìè âðåìåíè t1 è t2 , t1 < t2 , äåéñòâèå èìååò ýêñòðåìàëüíîå çíà÷åíèå ïî ñðàâíåíèþ ñî âñåâîçìîæíûìè äåôîðìàöèÿìè q˜(t, ε) ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ òàêîé äåôîðìàöèè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

δS = 0,

(2.14)

74

 ñëó÷àå äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ìîìåíòîâ t1 è t2  äåéñòâèå ìèíèìàëüíî.

• Èñòîðè÷åñêè ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà íå áûë ïåðâûì ñðåäè âàðèàöèîííûõ ïðèíöèïîâ ìåõàíèêè. Òàêîâûì áûë ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ Ìîïåðòþè (1747), êîòîðûé â òî âðåìÿ áûë ðåêòîðîì Áåðëèíñêîãî óíèâåðñèòåòà. Ñâîé ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ îí ôîðìóëèðîâàë äîñòàòî÷íî òóìàííî, ñâÿçûâàÿ åãî ñ ðàçëè÷íûìè ôèëîñîôñêèìè è áîãîñëîâñêèìè ñîîáðàæåíèÿìè (îí óòâåðæäàë, ÷òî ïðèðîäà âûáèðàåò òàêèå ïóòè, êîòîðûå òðåáóþò íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ è ò.ï.). Íà åãî ñ÷àñòüå, îäíàêî, ñðåäè ñîòðóäíèêîâ Áåðëèíñêîãî óíèâåðñèòåòà áûë Ëåîíàðä Ýéëåð, êîòîðûé è îáúÿñíèë, â ÷åì, íà ñàìîì äåëå, ñîñòîèò ýòîò ïðèíöèï, è ÷òî òàêîå äåéñòâèå  "ïî Ìîïåðòþè" (îíî îïðåäåëÿåòñÿ íå òàê, êàê äåéñòâèå ïî Ãàìèëüòîíó). Ê äàëüíåéøåìó óòî÷íåíèþ è ðàçâèòèþ ïðèíöèïà ñåðüåçíî ïðèëîæèëè ðóêó Ëàãðàíæ è ßêîáè. Òåì íå ìåíåå, Â. È. Àðíîëüä [8] ãîâîðèò, ÷òî ïðèíöèï Ìîïåðòþè "ïðèíÿòî èçëàãàòü âåñüìà òóìàííî", à ïîòîì çàÿâëÿåò "íå õî÷ó îòñòóïàòü îò òðàäèöèè". Ïðèíöèï Ìîïåðòþè âûçâàë íàñìåøëèâóþ êðèòèêó Âîëüòåðà. Îí íàïèñàë ôèëîñîôñêóþ ïîâåñòü "Êàíäèä", ãåðîé êîòîðîé, ïîïàäàÿ â ðàçíûå ìðà÷íûå è ñìåøíûå ïåðåäðÿãè, êàæäûé ðàç ïîâòîðÿåò òó ôèëîñîôñêóþ ôîðìóëèðîâêó Ìîïåðòþè, êîòîðàÿ â ïàðîäèéíîé ôîðìå Âîëüòåðà çâó÷èò òàê: " Âñå ê ëó÷øåìó â ýòîì ëó÷øåì èç ìèðîâ". Âû, êîíå÷íî, ñëûõàëè ýòó ôðàçó. (À çíàåòå ëè Âû, ÷òî èìåííî Âîëüòåð ñûãðàë ðåøàþùóþ ðîëü â ðàñïðîñòðàíåíèè èäåé Íüþòîíà íà êîíòèíåíòå?) È â ïðèíöèïå Ìîïåðòþè, è â ïðèíöèïå Ãàìèëüòîíà åñòü îäíà (êàæóùàÿñÿ) ñòðàííîñòü  óñëîâèÿ íàëàãàþòñÿ íà ñèñòåìó â áóäóùèå ìîìåíòû âðåìåíè. Ýòî ìîæåò íàâåñòè íà ìûñëü, ÷òî äàííûå ïðèíöèïû èìåþò

òåëåîëîãè÷åñêèé ñìûñë, ò.å. ãîâîðÿò î òîì, ÷òî ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà

75

êàê áóäòî áû ñòðåìèòñÿ ê íåêîòîðîé öåëè â ñâîåì äâèæåíèè. Êîíå÷íî, ýòî íå òàê. Ìû óâèäèì, ÷òî èç âàðèàöèîííîãî ïðèíöèïà Ãàìèëüòîíà ñëåäóþò äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, òàê ÷òî íà ñàìîì äåëå áóäóùàÿ ýâîëþöèÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ ïîïðîñòó íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè.(Âïðî÷åì, òóò åñòü åùå î ÷åì ïîäóìàòü). Çàìå÷ó åùå, ÷òî ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà, ÿâëÿÿñü ìîùíûì ñðåäñòâîì âûâîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ (à â ìåõàíèêå ñïëîøíîé ñðåäû  åùå è íåêîòîðûõ, òàê íàçûâàåìûõ åñòåñòâåííûõ, êðàåâûõ óñëîâèé), âìåñòå ñ òåì, ìàëî ïðèãîäåí äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ. Òàê ïîëó÷àåòñÿ èìåííî ïîòîìó, ÷òî óñëîâèÿ ïðèõîäèòñÿ íàêëàäûâàòü íà ïîëîæåíèå ñèñòåìû â áóäóùåì, êîòîðîå íàì çàðàíåå íåèçâåñòíî. Ïðàâäà, â çàäà÷å î ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèÿõ, êîãäà òðåáóåòñÿ, ÷òîáû íå ïðîñòî ïîëîæåíèå, à íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû (q, q) ˙ ïîâòîðèëîñü ñïóñòÿ ïåðèîä âðåìåíè T , ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà îêàçûâàåòñÿ âåñüìà ïîëåçíûì è äëÿ òåîðèè (ñóùåñòâîâàíèå, åäèíñòâåííîñòü è íååäèíñòâåííîñòü ïåðèîäè÷åñêèõ ðåæèìîâ), è äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà. Ïîñêîëüêó â ïðèíöèïå Ãà-

ìèëüòîíà äîïóñòèìû ëèøü äåôîðìàöèè ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè, èõ âàðèàöèè îáðàùàþòñÿ â íîëü â íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé ìîìåíòû t1 è t2 ñîîòâåòñòâåííî, ñì. (2.13). Ôîðìóëà äëÿ âàðèàöèè óïðîùàåòñÿ, è ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó

Zt2  δS =

 d Lq − Lq˙ δq dt = 0. dt

(2.15)

t1

Ýòî ðàâåíñòâî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîé âåêòîð-ôóíêöèè

δq = δq(t), óäîâëåòâîðÿþùåé êðàåâûì óñëîâèÿì (2.13). Åñëè áû ýòèõ êðàåd âûõ óñëîâèé íå áûëî, òî ìû ïîïðîñòó ïîëîæèëè áû δq = Lq − Lq˙ , âûøëî dt áû, ÷òî èíòåãðàë îò êâàäðàòà ïîñëåäíåé âåêòîð-ôóíêöèè ðàâíÿåòñÿ íóëþ, à

76

çíà÷èò, è ñàìà îíà ðàâíà íóëþ  ïî÷òè äëÿ âñåõ t ∈ [t1 , t2 ], à òàê êàê îíà íåïðåðûâíà, òî è äëÿ âñåõ t ∈ [t1 , t2 ]. Êðàåâûå óñëîâèÿ, îäíàêî, íå ïîçâîëÿþò íàì äåéñòâîâàòü òàêèì îáðàçîì. Òåì íå ìåíåå, ïîëó÷åííûé âûâîä âåðåí: âûïîëíÿåòñÿ óðàâíåíèå Ëàãðàíæà (âòîðîãî ðîäà)

d Lq˙ − Lq = 0, dt

(2.16)

èëè ïîäðîáíåå, â êîîðäèíàòàõ

d Lq˙ − Lqi = 0, dt i

i = 1, . . . , n.

(2.17)

Èìååòñÿ äâà îñíîâíûõ ñïîñîáà ýòî äîêàçàòü. Ñïîñîá ïåðâûé ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû óñòàíîâèòü, ÷òî ìíîæåñòâî âåêòîð-ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ êðàåâîìó óñëîâèþ (2.13), âñþäó ïëîòíî â ïðîñòðàíñòâå L2 (òî÷íåå,

L2 ([t1 , t2 ], Rn )). Ñëåäóþùèå ðàññóæäåíèÿ íîñÿò äîñòàòî÷íî îáùèé õàðàêòåð. d Îáîçíà÷èì Lq − Lq˙ = f , δq = η ; äàëüøå áóäåò íåâàæíî, îòêóäà âçÿdt ëàñü âåêòîð-ôóíêöèÿ f , èíòåãðèðóåìàÿ ñ êâàäðàòîì (ñêàëÿðíûì). Ïî ñâîéñòâó ïëîòíîñòè, äëÿ çàäàííîé âåêòîð-ôóíêöèè f ìîæíî íàéòè òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîð-ôóíêöèé ηk (t), óäîâëåòâîðÿþùèõ êðàåâûì óñëîâèÿì

η(t1 ) = η(t2 ) = 0, êîòîðàÿ ñõîäèòñÿ â L2 ê f . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî kf − ηk k → 0 èëè

Zt2

(f (t) − ηk (t))2 dt → 0.

(2.18)

t1

Äàëåå, ñîãëàñíî (2.15), èìååì

Zt2 f (t) · ηk (t) dt = 0,

k = 1, 2, . . .

(2.19)

t1

Ïåðåõîäÿ â ýòîì ðàâåíñòâå ê ïðåäåëó, ñ ó÷åòîì (2.18), ïîëó÷àåì

Zt2 t1

f 2 dt = 0.

(2.20)

77

Îòñþäà è âûòåêàåò, ÷òî f (t) ≡ 0. Âûøëî, ÷òî ìû âñå-òàêè ñìîãëè, ïðåîäîëåâ ñîïðîòèâëåíèå êðàåâûõ óñëîâèé, ïîëîæèòü δq ðàâíûì f â (2.15). ß îïóñòèë çäåñü äîêàçàòåëüñòâî ñâîéñòâà ïëîòíîñòè, íàäåþñü, ÷òî îíî Âàì èçâåñòíî èç ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà è âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ.

• Íà ñàìîì äåëå, ñïðàâåäëèâî áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå, êîòîðîå ïðèìåíÿåòñÿ äàæå íå òîëüêî â ñëó÷àå ôóíêöèé è âåêòîð-ôóíêöèé, çàäàííûõ íà îòðåçêå, íî è äëÿ ôóíêöèé, çàäàííûõ â ïðîèçâîëüíîé îáëàñòè (ñì., íàïðèìåð, Ìèõëèí "Êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè" [31]). Ëåììà. Ìíîæåñòâî ôóíêöèé C ∞ ãëàäêèõ è èñ÷åçàþùèõ â îêðåñò-

íîñòè ãðàíèöû îáëàñòè D, à åñëè îáëàñòü íå îãðàíè÷åíà, òî òàêæå â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè (òî åñòü âíå íåêîòîðîãî øàðà) âñþäó ïëîòíî â L2 (D). Ðàçóìååòñÿ, îêðåñòíîñòè, î êîòîðûõ èäåò ðå÷ü â ëåììå, ó êàæäîé ôóíêöèè ñâîè. Ýòà ëåììà, êîíå÷íî, ìãíîâåííî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà âåêòîð-ôóíêöèè ñî çíà÷åíèÿìè ñ åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Çàìå÷ó åùå, ÷òî îêîí÷àíèå íàøåãî ïðåäûäóùåãî ðàññóæäåíèÿ ïî ñóòè ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî èçâåñòíîé  ïðîñòîé è âàæíîé  ëåììû ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Ëåììà. Ïóñòü f ∈ H  ýëåìåíò ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà H , è

ïóñòü L ⊂ H  âñþäó ïëîòíîå â H ìíîæåñòâî. Òîãäà èç ðàâåíñòâà

(f, η) = 0,

(2.21)

âûïîëíåííîãî äëÿ âñåõ η ∈ L, ñëåäóåò, ÷òî f = 0. Âòîðîé ñïîñîá âûâîäà óðàâíåíèé Ëàãðàíæà (2.16) èç ðàâåíñòâà (2.15) ñâÿçàí ñ èñïîëüçîâàíèåì δ ôóíêöèè. Ìû òåïåðü ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âåêòîðôóíêöèÿ f = Lq −

d dt Lq˙

íåïðåðûâíà, è äëÿ íåå âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

Zt2 f (t) · η(t) dt = 0 t1

(2.22)

78

äëÿ âñåõ âåêòîð-ôóíêöèé η , íåïðåðûâíûõ è òàêèõ, ÷òî η(t1 ) = η(t2 ) = 0. Ïóñòü t0 ∈ (t1 , t2 )  ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Íà ñåé ðàç ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ηk (t) âåêòîð-ôóíêöèé , êîòîðàÿ ñòðåìèòñÿ (ñëàáî) ê δ(t−

t0 ). Òîãäà, ïîëàãàÿ â (2.22) η = ηk (çäåñü ìû äîëæíû ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ηk óäîâëåòâîðÿåò êðàåâûì óñëîâèÿì) è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó, íàéäåì, ÷òî f (t0 ) =

0, ÷òî è òðåáîâàëîñü (t0  ïðîèçâîëüíî). • Îáà ïðèìåíåííûõ ïðèåìà ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè áîëåå îáùåãî ïîäõîäà, îñíîâàííîãî íà òåîðåìå Õàíà-Áàíàõà. Ïóñòü äëÿ äàííîãî ýëåìåíòà f áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà X âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî η(f ) = 0, ãäå

η åñòü ïðîèçâîëüíûé ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë èç ìíîæåñòâà M ⊂ X ∗ , ïðè÷åì M ïëîòíî (èëè õîòÿ áû ïîëíî) â X ∗ . Òîãäà f = 0. Åùå ðàç çàïèøåì òåïåðü óæå ïîëíîñòüþ âûâåäåííûå óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà

d Lq˙ − Lq = 0. dt Êîíå÷íî, Âàñ íå ñìóòèò ïðèñóòñòâèå çäåñü ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, îíè ëèøü ó÷àñòâóþò â âûðàæåíèÿõ äëÿ ñëàãàåìûõ ýòîãî óðàâíåíèÿ.  íîðìàëüíîé ñèòóàöèè óðàâíåíèå Ëàãðàíæà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó îáûê-

íîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà. Äåéñòâèòåëüíî, ïðîèçâîäÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî t, ìîæíî ïðèäàòü óðàâíåíèþ (2.16) ôîðìó

Lq˙q˙ q¨ + Lqq ˙ q˙ + Lqt ˙ − Lq = 0.

(2.23)

Ýòà ñèñòåìà íå ðàçðåøåíà îòíîñèòåëüíî âòîðûõ, ñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ. Åå ìîæíî ðàçðåøèòü (ýòî è åñòü íîðìàëüíàÿ äëÿ çàäà÷ ìåõàíèêè ñèòóàöèÿ), åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå

 ∂ 2L 6= 0 . det ∂ q˙i ∂ q˙j 

(2.24)

Ìàòðèöà â ýòîì ðàâåíñòâå íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé Ãåññà, à åå îïðåäåëèòåëü

ãåññèàíîì ôóíêöèè L (ïî ïåðåìåííûì q˙1 , q˙2 , . . . , q˙n ). Êîãäà óñëîâèå

79

(2.24) âûïîëíåíî äëÿ âñåõ (q, q, ˙ t) ∈ D × Rn × R, óðàâíåíèå (2.23) è â ñàìîì äåëå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó n äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ñ îáëàñòüþ çàäàíèÿ D × Rn × R. Âûðîæäåííûå ëàãðàíæèàíû. Ñëó÷àåòñÿ, ÷òî óñëîâèå íåâûðîæäåí-

íîñòè (2.24) íàðóøàåòñÿ ëèøü â îòäåëüíûõ òî÷êàõ èëè íà íåêîòîðûõ ïîäìíîãîîáðàçèÿõ ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà. Ìû ñåé÷àñ ðàññìîòðèì âûðîæäåí-

íûå ëàãðàíæèàíû, äëÿ êîòîðûõ óðàâíåíèå Ëàãðàíæà íà âñåì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå "òåðÿåò ïîðÿäîê". Èòàê, íàçîâåì ëàãðàíæèàí L âûðîæäåííûì, åñëè âñþäó (òîæäåñòâåííî) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî (2.25)

Lq˙q˙ (q, q, ˙ t) = 0.

 ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå Ëàãðàíæà (2.23)  ïåðâîãî ïîðÿäêà èëè äàæå âîîáùå íå ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì (ñòàíîâèòñÿ êîíå÷íûì). Èç ðàâåíñòâà (2.25) ñëåäóåò, ÷òî L çàâèñèò îò q˙ ëèíåéíî: (2.26)

L = A(q, t)q˙ + B(q, t),

ãäå A(q, t)  íåêîòîðàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ, B(q, t)  ôóíêöèÿ. Â êîîðäèíàòàõ ðàâåíñòâî (2.26) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå (2.27)

L = Ai (q, t)q˙i + B(q, t),

(Êàê îáû÷íî, ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî i îò 1 äî n). Îòñþäà âûâîäèì

Lq˙i = Ai ,

(2.28)

Lq˙ = A,

Lqi = Aj qi · q˙j + Bqi ,

Lq = A∗q q˙ + Bq .

(2.29)

Çàìåòèì, âî-ïåðâûõ, ÷òî ïðè âûâîäå ïåðâîãî ðàâåíñòâà (2.29) íàì ïðèøëîñü èçìåíèòü íàçâàíèå íåìîãî èíäåêñà i íà j . À âî-âòîðûõ, îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî âî âòîðîé ôîðìóëå (2.29) ïîÿâèëàñü íå ìàòðèöà Aq =



∂Ai ∂qj

n

i,j=1

, à åå

80

òðàíñïîíèðîâàííàÿ

A∗q

=



∂Aj ∂qi

n i,j=1

. Òóò åñòü î ÷åì çàäóìàòüñÿ, à íå òî ëåã-

êî äîïóñòèòü îøèáêó. Äàâàéòå äëÿ ôóíêöèîíàëà M (q, q) ˙ = A(q)q˙ = (A(q), q) ˙ âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ Mq , íå ïåðåõîäÿ ê êîîðäèíàòàì. Âîñïîëüçóåìñÿ îïðåäåëåíèåì Ãàòî. Äëÿ ëþáîãî η ∈ Rn èìååì

d d Mq η = M (q + εη, q) ˙ = (A(q + εη), q) ˙ = dε ε=0 dε ε=0

(2.30)

=(A0 (q)η, q) ˙ = (η, A0 ∗ (q)q). ˙ Çäåñü A0 (q) = Aq . Òàêèì îáðàçîì,

Mq = A0 ∗ (q)q. ˙

(2.31)

Òåïåðü ïîéäåì äàëüøå. Ñîãëàñíî (2.28), (2.29), óðàâíåíèå Ëàãðàíæà (2.23) ïðèíèìàåò âèä

(Aq − A∗q )q˙ + At − Bq = 0.

(2.32)

Ýòî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (ôîðìàëüíî) ïåðâîãî ïîðÿäêà â Rn . Åãî ìîæíî ðàçðåøèòü îòíîñèòåëüíî q˙, åñëè îïåðàòîðíûé êîýôôèöèåíò K = Aq −

A∗q åñòü îáðàòèìûé îïåðàòîð. Íî îïåðàòîð K êîñîñèììåòðè÷åí: K ∗ = −K . Òîëüêî â ÷åòíîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå Rn êîñîñèììåòðè÷åñêèé îïåðàòîð ìîæåò áûòü îáðàòèì.  èíòåðåñíîì ñëó÷àå n = 3, êàê ìû óæå âèäåëè, äåéñòâèå êîñîñèììåòðè÷åñêîãî îïåðàòîðà ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíî êàê âåêòîðíîå óìíîæåíèå íà íåêîòîðûé âåêòîð (òî÷íåå íà ïñåâäîâåêòîð). Ïîýòîìó â ñëó÷àå n = 3 óðàâíåíèå (2.32) ìîæåò áûòü òàêæå çàïèñàíî â âèäå

ω(q, t) ∧ q˙ + At − Bq = 0,

(2.33)

ãäå ω  òîò ñàìûé ïñåâäîâåêòîð, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ îïåðàòîðîì K . Óðàâíåíèå Ëàãðàíæà çàâèñèò îò ëàãðàíæèàíà L ëèíåéíî. Åñëè, íàïðèìåð, ê íåêîòîðîìó èçâåñòíîìó ëàãðàíæèàíó äîáàâèòü ëàãðàíæèàí (2.26), òî â óðàâíåíèå Ëàãðàíæà äîáàâèòñÿ ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (2.32). Ýòî ñîîáðàæåíèå ïîçâîëÿåò âêëþ÷èòü â ãàìèëüòîíîâëàãðàíæåâ ôîðìàëèçì ðàçëè÷íûå óðàâíåíèÿ ìåõàíèêè ñ ãèðîñêîïè÷åñêèìè ñèëàìè. Òàêèå ñèñòåìû âîçíèêàþò,

81

íàïðèìåð, êîãäà ìû ðàññìàòðèâàåì äâèæåíèå âî âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ïðèìåðîì ñëóæèò ñèëà Êîðèîëèñà, êîòîðàÿ ïîÿâëÿåòñÿ â ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ âðàùàþùåéñÿ Çåìëåé. Äàëüíåéøåå âûðîæäåíèå óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà (2.32) âîçíèêàåò, êîãäà

Aq = A∗q , òî åñòü â ñëó÷àå, êîãäà âåêòîðíîå ïîëå A ïîòåíöèàëüíî.  êîîðäèíàòàõ ýòî óñëîâèå èìååò âèä

∂Ai ∂Aj = . ∂qj ∂qi

(2.34)

Èç êóðñà àíàëèçà âàì èçâåñòíî (èçâåñòíî?), ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôóíêöèÿ ϕ(q, t), ÷òî

A = grad ϕ = ϕq .

(2.35)

Âîîáùå ãîâîðÿ, ôóíêöèþ ϕ ìîæíî îïðåäåëèòü ëèøü ëîêàëüíî. Íî åñëè îáëàñòü D ⊂ Rn , ãäå èçìåíÿåòñÿ òî÷êà q , îäíîñâÿçíà (íàïðèìåð, åñëè D = Rn ), òî ïîòåíöèàë ϕ ìîæíî îïðåäåëèòü âñþäó â D. Ïðè óñëîâèè (2.35) óðàâíåíèå (2.32) ñòàíîâèòñÿ êîíå÷íûì, íåäèôôåðåíöèàëüíûì:

At − Bq = 0.

(2.36)

Ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ (2.35), ýòî óðàâíåíèå ïðèâîäèòñÿ ê ñêàëÿðíîìó

ϕt = B.

(2.37)

Çäåñü îïóùåíî ñëàãàåìîå C(t), ïîòîìó ÷òî åãî ìîæíî óáðàòü, âêëþ÷èâ â ôóíêöèþ ϕ  îíà âåäü, ñîãëàñíî (2.35), îïðåäåëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîãî ñëàãàåìîãî, çàâèñÿùåãî ëèøü îò t. Òðèâèàëüíûå ëàãðàíæèàíû. Ìû âèäèì, ÷òî çàäàíèå ëàãðàíæèàíà,

ñîãëàñíî ïðèíöèïó Ãàìèëüòîíà, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò óðàâíåíèå äâèæåíèÿ Ëàãðàíæà (2.16). Îäíàêî îáðàòíîå íåâåðíî  îäíîìó è òîìó æå óðàâíåíèþ (2.16) ñîîòâåòñòâóåò íå îäèí, à ìíîãî ëàãðàíæèàíîâ. Òàê ïîëó÷àåòñÿ ïîòîìó, ÷òî èìååòñÿ öåëûé íàáîð òðèâèàëüíûõ ëàãðàíæèàíîâ.

82

Ëàãðàíæèàí L0 íàçûâàåòñÿ òðèâèàëüíûì, åñëè îòâå÷àþùåå åìó "óðàâíåíèå Ëàãðàíæà" ñâîäèòñÿ ê ðàâåíñòâó 0 = 0. Èç ïðåäûäóùåãî ñëåäóåò, ÷òî òðèâèàëüíûé ëàãðàíæèàí äîëæåí áûòü ëèíååí ïî q˙ (ñì. (2.26)), ïðè÷åì ïîëå A äîëæíî áûòü ïîòåíöèàëüíûì (ñì. (2.35)). Êðîìå òîãî, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî (2.37).  èòîãå ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî òðèâèàëüíûé ëàãðàíæèàí äîëæåí èìåòü âèä

dϕ . (2.38) dt Î ïðåäñòàâëåíèè (2.38) íåòðóäíî áûëî äîãàäàòüñÿ. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ L0 = Aq˙ + B = grad ϕ · q˙ + ϕt =

ëàãðàíæèàíà L0 äåéñòâèå S 0 ïðè çàäàííîì q(t) âûðàçèòñÿ â âèäå

S0 =

Zt2

dϕ dt = ϕ(q 2 , t2 ) − ϕ(q 1 , t1 ), dt

(2.39)

t1

ãäå q 1 = q(t1 ), q 2 = q(t2 ). Âûõîäèò, ÷òî S 0 âîîáùå íå èçìåíÿåòñÿ ïðè âàðüèðîâàíèè (êîíöû q 1 è q 2 çàêðåïëåíû) è ïðèâîäèò ê òðèâèàëüíîìó òîæäåñòâó. Îêîí÷àòåëüíûé âûâîä:ëàãðàíæèàí L0 òðèâèàëåí òîãäà è òîëüêî òî-

ãäà, êîãäà îí äîïóñêàåò ïðåäñòàâëåíèå (2.39) ñ êàêîé-ëèáî ãëàäêîé ôóíêöèåé ϕ(q, t). Ïîíÿòíî, ÷òî åñëè ê ëàãðàíæèàíó L ïðèáàâèòü òðèâèàëüíûé ëàãðàíæèàí L0 , òî ïîëó÷åííûé ëàãðàíæèàí L + L0 ïðèâåäåò ê òåì æå óðàâíåíèÿì Ëàãðàíæà. Åñëè ëàãðàíæèàíû L1 è L2 äàþò îäíè è òå æå óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà, òî èõ ðàçíîñòü L2 − L1  òðèâèàëüíûé ëàãðàíæèàí. 2.3

Ëàãðàíæèàí ñâîáîäíîé ìàòåðèàëüíîé ÷àñòèöû

 ôèçèêå ìàòåðèàëüíîé ÷àñòèöåé èëè ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé íàçûâàåòñÿ, êàê óæå ãîâîðèëîñü, òåëî, ðàçìåðàìè êîòîðîãî â óñëîâèÿõ äàííîé çàäà÷è, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ñåé÷àñ ìû, èñõîäÿ èç ïîñòóëàòîâ îáùåãî õàðàêòåðà, êàñàþùèõñÿ ñâîéñòâ ñèììåòðèè ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè, âûâåäåì âûðàæåíèå äëÿ ñâîáîäíîé, òî åñòü íå âçàèìîäåéñòâóþùåé ñ äðóãèìè òåëàìè, ÷àñòèöû è ïîëó÷èì óðàâíåíèå åå äâèæåíèÿ.

83

Ðàçóìååòñÿ, ïðèíÿòûå ïîñòóëàòû íå ïîäëåæàò äîêàçàòåëüñòâó  îíè ïîëó÷àþòñÿ îáîáùåíèåì âñåãî èìåþùåãîñÿ ó íàñ îïûòà îáùåíèÿ ñ ïðèðîäîé. Ïðåäïîëîæèì, âî-ïåðâûõ, ÷òî ÷àñòèöà äâèãàåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå R3 . Åå ïîëîæåíèå åñòü òî÷êà x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , òàê ÷òî åå êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî åñòü R3 . Äàëåå ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî îäíîðîäíî è èçîòðîïíî, à âðåìÿ òàêæå îäíîðîäíî. Îäíîðîäíîñòü âðåìåíè îçíà÷àåò, ÷òî çàêîíû ïðèðîäû íå ìåíÿþòñÿ ïðè ñäâèãå âðåìåíè, òî åñòü ïðè çàìåíå t → t + τ äëÿ ëþáîãî τ . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëàãðàíæèàí ñâîáîäíîé ÷àñòèöû íå çàâèñèò îò âðåìåíè:

L = L(x, x). ˙

(2.40)

Ôèçèêè åùå ãîâîðÿò, ÷òî íå ñóùåñòâóåò âûäåëåííîãî íà÷àëà îòñ÷åòà âðåìåíè, òàê ÷òî åãî ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíî, è çàêîíû ïðèðîäû íå èçìåíÿò íå òîëüêî ñâîåãî ñóùåñòâà, íî è ôîðìû. Îäíîðîäíîñòü ïðîñòðàíñòâà îçíà÷àåò èíâàðèàíòíîñòü çàêîíîâ ïðèðîäû îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíûõ ñäâèãîâ ïðîñòðàíñòâà: x → x + h, h ∈ R3 . Ôèçè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò òàêæå, ÷òî íå ñóùåñòâóåò èçáðàííîãî íà÷àëà îòñ÷åòà êîîðäèíàò. Òðåáîâàíèå, ÷òîáû ëàãðàíæèàí áûë èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî âñåâîçìîæíûõ ñäâèãîâ ïðîñòðàíñòâà (òî åñòü íå èçìåíÿëñÿ ïðè ñäâèãàõ), îçíà÷àåò, êîíå÷íî, ÷òî îí íå çàâèñèò îò x. Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì íàïèñàòü, ÷òî L = L(v). Èçîòðîïíîñòü ïðîñòðàíñòâà îçíà÷àåò èíâàðèàíòíîñòü çàêîíîâ ïðèðîäû îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíûõ âðàùåíèé ïðîñòðàíñòâà. Èíà÷å ãîâîðÿ, íå ñóùåñòâóåò â ïðîñòðàíñòâå èçáðàííûõ íàïðàâëåíèé äëÿ îñåé êîîðäèíàò äåêàðòîâîé ñèñòåìû îòñ÷åòà. Ñîîòâåòñòâåííî, ëàãðàíæèàí L äîëæåí ñîõðàíÿòü çíà÷åíèå, êîãäà âåêòîð v ïîäâåðãàåòñÿ ïðîèçâîëüíîìó ïîâîðîòó, êîòîðûé åãî ïåðåâîäèò â v 0 . Íî ïîíÿòíî, ÷òî âåêòîð v ïîâîðîòîì ìîæíî ïåðåâåñòè â âåêòîð v 0 â òîì, è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà èõ äëèíû îäèíàêîâû. Âûõîäèò,

84

÷òî ëàãðàíæèàí L(v), ÷òîáû áûòü èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé, äîëæåí çàâèñåòü ëèøü îò äëèíû âåêòîðà v . Òîãäà îí èìååò âèä

L = `(v 2 ),

(2.41)

ãäå v 2 = v · v  êâàäðàò äëèíû, à `  íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ îäíîé ïåðåìåííîé, êîòîðóþ áåç îñîáûõ ðàçãîâîðîâ ôèçèêè ïðåäïîëàãàþò ãëàäêîé (èìåþùåé ñòîëüêî ïðîèçâîäíûõ, ñêîëüêî ïîíàäîáèòñÿ). Óêàçàííûå âûøå ñâîéñòâà îäíîðîäíîñòè ôèçè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè è èçîòðîïíîñòè ïðîñòðàíñòâà, ñòðîãî ãîâîðÿ, èìåþò ìåñòî ëèøü ïðè ñïåöèàëüíîì âûáîðå ñèñòåìû îòñ÷åòà  äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò â R3 è êîîðäèíàòû íà îñè âðåìåíè. Ñèñòåìà îòñ÷åòà ñ ýòèìè ñâîéñòâàìè íàçûâàåòñÿ èíåðöèàëüíîé.  òàêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñâîáîäíîå òåëî, ïîêîÿùååñÿ â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè (à òî÷íåå, íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå âðåìåíè), îñòàåòñÿ â ïîêîå íåîãðàíè÷åííî äîëãî. Ôàêòè÷åñêè, ìû ïîñòóëèðîâàëè ñóùåñòâîâàíèå îäíîé òàêîé ñèñòåìû îòñ÷åòà. Íà ñàìîì äåëå, èõ îêàçûâàåòñÿ ìíîãî. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñäåëàòü ïîñëåäíèé øàã, íóæåí åùå îäèí âàæíûé ïîñòóëàò. Ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ. Âñÿêàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà, äâè-

æóùàÿñÿ ïî îòíîøåíèþ ê èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå ïîñòóïàòåëüíî, ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, îñòàåòñÿ èíåðöèàëüíîé. Èíûìè ñëîâàìè, çàêîíû ïðèðîäû èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ãàëèëåÿ

x0 = x − V t, t0 = t,

(2.42)

ãäå V  ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Çàìåòèì, ÷òî âðåìÿ â íîâîé ñèñòåìå îñòàåòñÿ ïðåæíèì. Ïîñòóëàò îá àáñîëþòíîñòè âðåìåíè ëåæèò â îñíîâå âñåé êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè.Îäíàêî â òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè îí áûë ðåâèçîâàí. Ïîä÷åðêíó åùå, ÷òî â ïðèíöèïå îòíîñèòåëüíîñòè ðå÷ü èäåò ôàêòè÷åñêè î ðàâíîìåðíîì ïîñòóïàòåëüíîì

85

äâèæåíèè ñèñòåìû îòñ÷åòà. Íå òîëüêî óñêîðåííîå ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå, íî è âðàùåíèå ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ íàðóøàåò èíåðöèàëüíîñòü.

• Íà ñàìîì äåëå, òàêàÿ ôîðìóëèðîâêà ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ ïðèíàäëåæèò Ýéíøòåéíó, õîòÿ, êîíå÷íî, ñîäåðæàíèå ïðèíöèïà áûëî çàìå÷àòåëüíûì îòêðûòèåì Ãàëèëåî Ãàëèëåÿ.  îáùåì ïðèíöèïå îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà, âìåñòî ïðåîáðàçîâàíèé Ãàëèëåÿ (2.42), ôèãóðèðóåò ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà. Âðåìÿ ïåðåñòàåò áûòü àáñîëþòíûì è òåïåðü óæå çàâèñèò îò äâèæåíèÿ ñèñòåìû îòñ÷åòà.  ôèçèêå ñèñòåìû îòñ÷åòà æåñòêî ñâÿçûâàþòñÿ ñ òåìè èëè èíûìè òåëàìè. Ïðè ýòîì êàæäûé ðàç ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ñâîéñòâî èíåðöèàëüíîñòè âûïîëíÿåòñÿ ëèøü ïðèáëèæåííî. Òàê, ñèñòåìà îòñ÷åòà, ñâÿçàííàÿ ñ íàøåé Çåìëåé, âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ ïðèáëèæåííî èíåðöèàëüíîé, íî åå íåèíåðöèàëüíîñòü îáíàðóæèâàåòñÿ, íàïðèìåð, ïðè ïîìîùè îïûòà ñ ìàÿòíèêîì Ôóêî. Âû ìîãëè âèäåòü ýòîò ìàÿòíèê â Èñààêèåâñêîì ñîáîðå â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå. Ïðè÷èíà íåèíåðöèàëüíîñòè  âðàùåíèå Çåìëè âîêðóã ñâîåé îñè, áîëåå ñëàáîå îòêëîíåíèå âîçíèêàåò èç-çà åå âðàùåíèÿ âîêðóã Ñîëíöà. Êîãäà èçó÷àåòñÿ äâèæåíèå Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà, ñèñòåìà îòñ÷åòà ñâÿçûâàåòñÿ ñ Ñîëíöåì, ýòà ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ èíåðöèàëüíîé ñ ãîðàçäî ëó÷øèì ïðèáëèæåíèåì.  àñòðîíîìèè, îäíàêî, ïðèìåíÿåòñÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà, "ñâÿçàííàÿ ñ íåïîäâèæíûìè çâåçäàìè", êîòîðàÿ åùå ëó÷øå ïðèáëèæàåò èíåðöèàëüíóþíàñòîëüêî, ÷òî óäàåòñÿ çàìåòèòü âðàùåíèå Ñîëíöà âîêðóã öåíòðà Ãàëàêòèêè. Ïîñìîòðèì, êàêîâ äîëæåí áûòü ëàãðàíæèàí (2.41) ñîãëàñíî ïðèíöèïó îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ. Îêàçûâàåòñÿ, íåëüçÿ òðåáîâàòü, ÷òîáû ëàãðàíæèàí îñòàâàëñÿ íåèçìåííûì ïðè ïðåîáðàçîâàíèè Ãàëèëåÿ (2.42) âìåñòå ñ ñîîòâåòñòâóþùèì ïðåîáðàçîâàíèåì ñêîðîñòè

v 0 = v − V.

(2.43)

86

Ïðèõîäèòñÿ âñïîìíèòü, ÷òî äîáàâëåíèå òðèâèàëüíîãî ëàãðàíæèàíà (2.31) íå ìåíÿåò óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, òðåáîâàíèå èíâàðèàíòíîñòè çàêîíîâ äâèæåíèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ (2.42) äàåò ëèøü ðàâåíñòâî

`(v 02 ) = `(v 2 ) +

d f (x, t), dt

(2.44)

ãäå v 0 îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (2.43), à f  íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ ìîæåò çàâèñåòü îò âåêòîðíîãî ïàðàìåòðà V . Äëÿ äàëüíåéøåãî âûâîäà äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ïðåîáðàçîâàíèå Ãàëèëåÿ ñ ìàëîé ñêîðîñòüþ εV , ãäå ε  ìàëûé ïàðàìåòð:

x0 = x − εV t,

v 0 = v − εV,

t0 = t.

(2.45)

Òåïåðü ïîäñòàâèì ýòè âûðàæåíèÿ â (2.44) è ðàçëîæèì ñëàãàåìûå â ðÿä ïî ñòåïåíÿì ε.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì àñèìïòîòè÷åñêóþ ôîðìóëó ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìûõ ïîðÿäêà ε2 :

`(v 02 ) − `(v 2 ) = `((v − εV )2 ) − `(v 2 ) = `(v 2 − 2εvV + ε2 V 2 ) − `(v 2 ) = = −2`0 (v 2 )ε · v · V + O(ε2 ),

ε → 0.

Ôóíêöèþ f òîæå ïðåäñòàâèì â âèäå f (x, t) = f0 (x, t) + εf1 (x, t) +

ε2 f2 (x, t) + . . . . Ïîäñòàâëÿÿ â (2.44) è ïðèðàâíèâàÿ ÷ëåíû ïîðÿäêà ε ñëåâà è ñïðàâà, ïîëó÷àåì

`0 (v 2 )v · V =

∂g(x, t) d g(x, t) = + v · gx (x, t), dt ∂t

(2.46)

1 2 Ýòî ðàâåíñòâî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ äëÿ ëþáûõ x, v, t . Ôóíêöèÿ g ìî-

ãäå g(x, t) = f1 (x, t).

æåò çàâèñåòü îò âåêòîðà V . Ïîëàãàÿ â (2.46) v = 0, ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî

∂g = 0, òàê ÷òî g = g(x), íå çàâèñèò îò t. Ðàâåíñòâî (2.46) ïðèîáðåòàåò âèä ∂t   v · `0 (v 2 )V − gx (x) = 0. (2.47)

87

Íî ëèøü íóëåâîé âåêòîð ìîæåò áûòü îðòîãîíàëåí ê ïðîèçâîëüíîìó âåêòîðó v , ïîýòîìó

`0 (v 2 )V = gx (x).

(2.48)

Ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà íå çàâèñèò îò v , çíà÷èò, íå çàâèñèò è ëåâàÿ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî `0 (v 2 )  ïîñòîÿííàÿ. Åå ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü ÷åðåç

m . 2

mv 2 + const. Îòáðàñûâàÿ íåñóùåñòâåííóþ ïîñòîÿíÒàêèì îáðàçîì, `(v ) = 2 íóþ, ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíî ëàãðàíæèàí ñâîáîäíîé ÷àñòèöû 2

L=

mv 2 . 2

(2.49)

mv 2 dt. 2

(2.50)

Ñîîòâåòñòâåííî, äåéñòâèå åñòü

Zt2 S= t1

Èç óñëîâèÿ ìèíèìàëüíîñòè äåéñòâèÿ ïðè t2 , áëèçêèõ ê t1 , ñëåäóåò, ÷òî m > 0 (äîêàæèòå ýòî!). Ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ, ñîãëàñíî ïðèíöèïó Ãàìèëüòîíà, ïîëó÷àåòñÿ â âèäå

m¨ x = 0.

(2.51)

Âûõîäèò, ÷òî ñâîáîäíàÿ ÷àñòèöà â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà äâèãàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v = v0 , ãäå v0  åå ñêîðîñòü â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, ñîîòâåòñòâåííî, x(t) = x0 + tv0 . 2.4

Ñèñòåìû ÷àñòèö. Îáîáùåííûé II çàêîí Íüþòîíà

Ïóñòü èìåþòñÿ äâå ìåõàíè÷åñêèå ñèñòåìû A è B , è èõ ïîëîæåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè qA ∈ DA ⊂ RnA è

qB ∈ DB ⊂ RnB . Ïóñòü èõ ëàãðàíæèàíû ñóòü LA (qA , q˙A , t) è LB (qB , q˙B , t) . Ëàãðàíæèàí L = L(qA , qB , q˙A , q˙B , t) îáúåäèíåííîé ñèñòåìû â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì

L = LA + LB + LAB (qA , qB , t).

(2.52)

88

Äîáàâî÷íîå ñëàãàåìîå LAB íàçûâàåòñÿ ëàãðàíæèàíîì âçàèìîäåéñòâèÿ èëè ïîòåíöèàëîì âçàèìîäåéñòâèÿ, ïîñêîëüêó îíî íå çàâèñèò îò ñêîðîñòåé

q˙A , q˙B . Ïîòåíöèàë ëèøü çíàêîì îòëè÷àåòñÿ îò ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Êîãäà ñèñòåìû A è B íå âçàèìîäåéñòâóþò, ýòî ñëàãàåìîå îòñóòñòâóåò. Íàïðèìåð, ëàãðàíæèàí ñèñòåìû n âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå

L=

n X mk v 2 k

2

k=1

− V (x1 , x2 , . . . , xn ).

(2.53)

Çäåñü x1 , x2 , . . . , xn  ïîëîæåíèÿ ÷àñòèö â Rn , à v1 , v2 , . . . , vn  èõ ñêîðîñòè. Çàìåòüòå, ÷òî ïîëó÷èëàñü ñèñòåìà ñ 3n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû è ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì (R3 )n ×(R3 )n = R6n . Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ

V äîëæíà áûòü çàäàíà. Îñîáåííî èíòåðåñåí è âàæåí òîò ñëó÷àé, êîãäà åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

X

V =

vjk (|xj − xk |).

(2.54)

16j
Çäåñü vjk  ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ j -é è k -é ÷àñòèö, êîòîðàÿ çàâèñèò ëèøü îò èõ âçàèìíîãî ðàññòîÿíèÿ.  ýòîé ñóììå îòñóòñòâóþò ñëàãàåìûå, îòâå÷àþùèå j = k  ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷àñòèöà ñàìà ñ ñîáîþ íå âçàèìîäåéñòâóåò. Óñëîâèå j < k ïðèíÿòî ïîòîìó, ÷òî ñëàãàåìûå ñ j > k ìîæíî îáúåäèíèòü ñ òåìè, äëÿ êîòîðûõ j < k ; ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýòî óæå ñäåëàíî. Êàê âèäíî, êàæäàÿ ïàðà ÷àñòèö âçàèìîäåéñòâóåò íåçàâèñèìî îò äðóãèõ  ýòî òàê íàçûâàåìîå ïàðíîå âçàèìîäåéñòâèå, â ïðèíöèïå âîçìîæíû, êîíå÷íî, è áîëåå ñëîæíûå âàðèàíòû. Ê ðàññìàòðèâàåìîìó êëàññó ñèñòåì ïðèíàäëåæèò, íàïðèìåð, ïðîñòåéøàÿ ìîäåëü Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû, ïîñòðîåííàÿ âïåðâûå È. Íüþòîíîì. Äëÿ íåå ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ïàðû ÷àñòèö vjk èìååò âèä

vjk = −f

mj mk , rjk

rjk = |xj − xk |.

(2.55)

89

Ýòî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ çàêîíó âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ Íüþòîíà, f  ïîñòîÿííàÿ òÿãîòåíèÿ. Çàìå÷ó, ÷òî ïðè rjk = 0 ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ òÿãîòåíèÿ íå îïðåäåëåíà, èìååò ñèíãóëÿðíîñòü. Ïîýòîìó ñëåäóåò íåñêîëüêî èçìåíèòü îïðåäåëåíèå êîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà, èñêëþ÷èâ èç íåãî âñå òàêèå òî÷êè. Ýòî, îäíàêî, ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåííûì ëèøü â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ïðîèñõîäèò ñòîëêíîâåíèå ÷àñòèö. Íàòóðàëüíûå ìåõàíè÷åñêèå ñèñòåìû è óðàâíåíèå îáîáùåííîãî II-ãî çàêîíà Íüþòîíà. Ðàññìîòðèì ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó, ïîëîæåíèå

êîòîðîé åñòü òî÷êà åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà H  êîíå÷íîìåðíîãî èëè ãèëüáåðòîâà. Åå êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî åñòü H , à ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî åñòü H 2 = H × H . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî åå ëàãðàíæèàí èìååò âèä

1 ˙ x) ˙ − V (x). L = (M x, 2

(2.56)

Çäåñü M : H → H  ëèíåéíûé ñèììåòðè÷íûé è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûé îïåðàòîð. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáûõ ξ, η ∈ H âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (M ξ, η) = (ξ, M η) è (M ξ, ξ) > 0 äëÿ âñåõ ξ 6= 0 (â áåñêîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå ýòî òðåáîâàíèå íóæíî óñèëèòü). Îïåðàòîð M íàçûâàåòñÿ

îïåðàòîðîì ìàññ èëè îïåðàòîðîì èíåðöèè. Ïåðâîå ñëàãàåìîå â (2.56) íàçûâàåòñÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé, à V  ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ. Ñèñòåìû, ó êîòîðûõ ëàãðàíæèàí ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå òàêîé ðàçíîñòè, íàçûâàþòñÿ íàòóðàëüíûìè. Èç (2.56) ïîëó÷àåì Lx˙ = M x˙ , Lx = −grad V (x). Ïîäñòàíîâêà â óðàâíåíèå Ëàãðàíæà

d Lx˙ − Lx = 0 dt äàåò óðàâíåíèå îáîáùåííîãî II-ãî çàêîíà Íüþòîíà

M x¨ = −grad V (x).

(2.57)

Èíòåðåñíî çàìåòèòü, ÷òî ìîæíî âñåãäà ñ÷èòàòü îïåðàòîð M òîæäåñòâåííûì: M = I . Äëÿ ýòîãî íóæíî èçìåíèòü ìåòðèêó, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. Ââåäåì íîâîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â H , ïîëàãàÿ äëÿ ëþáûõ ξ ,

90

η∈H (ξ, η)M = (M ξ, η).

(2.58)

Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòà áèëèíåéíàÿ ôîðìà óäîâëåòâîðÿåò âñåì àêñèîìàì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (òàê êàê M  ñèììåòðè÷åí è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåí). Âìåñòå ñ íîâûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (2.58) âîçíèêàåò è íîâûé ãðàäèåíò, îáîçíà÷èì åãî gradM . Êàê ìû âèäåëè ðàíåå (), äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f íà H ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå

grad f (x) = M grad f (x).

(2.59)

Ïðèìåíÿÿ (2.59) äëÿ ôóíêöèè V , ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (2.57) è "ñîêðàùàÿ" íà M (òî÷íåå, ïðèìåíÿÿ ê ïîëó÷åííîìó ðàâåíñòâó îáðàòíûé îïåðàòîð M −1 ), ïåðåïèøåì (2.57) â ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå

x¨ = −gradM V (x).

(2.60)

ß ïðåäïîëàãàþ, ÷òî èìåííî ðàññìîòðåíèÿ òàêîãî ðîäà, îñîáåííî â äèíàìèêå ñæèìàåìîãî ãàçà, ïðèâåëè À.Ýéíøòåéíà ê âûâîäó, ÷òî ìåòðèêà ìèðà îïðåäåëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì ìàññ. Çàìå÷ó åùå, ÷òî îïåðàòîð M ìîã áû çàâèñåòü îò x. Òîãäà ïîëó÷èëîñü áû, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ åñòü êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà îò ñêîðîñòåé ñ êîýôôèöèåíòàìè, çàâèñÿùèìè îò ïîëîæåíèé ÷àñòèö.  îáîáùåííûõ êîîðäèíàòàõ

q1 , q2 , . . . , qn îíà ïðèíÿëà áû âèä n 1X mij (q1 , . . . , qn )q˙i q˙j . T = 2 i,j=1

(2.61)

Òàêèå ñèñòåìû òàêæå íàçûâàþòñÿ íàòóðàëüíûìè. Âîîáùå, åñëè äàæå êîýôôèöèåíòû íå çàâèñÿò îò êîîðäèíàò, òî òàêàÿ çàâèñèìîñòü, âîîáùå ãîâîðÿ, íåìåäëåííî ïîÿâèòñÿ, êîãäà ìû ïåðåéäåì ê äðóãèì êîîðäèíàòàì. 2.5

Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ â ìåõàíèêå

Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ëàãðàíæèàí L = L(q, q) ˙

91

íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Ñåé÷àñ ìû ïîêàæåì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà îáëàäàåò èíòåãðàëîì. Ýòî èíòåãðàë ýíåðãèè. Åãî ïðîùå âñåãî ïîëó÷èòü  äëÿ ðàçëè÷íûõ ôîðì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ  åñëè çàïîìíèòü, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ åìó êîñèììåòðèÿ åñòü ñêîðîñòü q˙. Îñòàëüíîå  âûêëàäêè. Èòàê, óìíîæàÿ óðàâíåíèå Ëàãðàíæà, çàïèñàííîå äëÿ íåêîòîðîãî ðåøåíèÿ x(t), ñêàëÿðíî íà q(t) ˙ , ïîëó÷àåì

0 = q˙ =

d d Lq˙ − qL ˙ q = (qL ˙ q˙ ) − q¨Lq˙ − qL ˙ q= dt dt

d (qL ˙ q˙ − L) dt

(2.62) (2.63)

Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ

E(q, q) ˙ = qL ˙ q˙ − L,

(2.64)

íàçûâàåìàÿ ýíåðãèåé, åñòü èíòåãðàë äàííîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû. Ýòî óòâåðæäåíèå åñòü çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè â ìåõàíèêå. Ëåãêîñòü ýòîãî âûâîäà ìîæåò íàñ âäîõíîâèòü íà ïîèñê íîâûõ èíòåãðàëîâ. Óâû, èçâåñòíî, ÷òî òèïè÷íàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà äðóãèõ èíòåãðàëîâ íå èìååò. Äàëüøå ìû óâèäèì, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå äîïîëíèòåëüíûõ èíòåãðàëîâ èëè çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ñâÿçàíî ñî ñïåöèàëüíûìè ñâîéñòâàìè ñèììåòðèè äàííîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äëÿ íàòóðàëüíîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû (2.57) ìîæíî âûâåñòè èç îáùåãî ðåçóëüòàòà (2.64). Ìîæåò áûòü, ïðîùå ïîëó÷èòü åãî íåïîñðåäñòâåííî, îïÿòü-òàêè óìíîæàÿ óðàâíåíèå (2.57) ñêàëÿðíî íà x˙ . Íàäî òîëüêî çàìåòèòü, ÷òî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

d V (x) = (x, ˙ grad V (x)). dt

(2.65)

 èòîãå ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî óðàâíåíèå (2.57) äîïóñêàåò èíòåãðàë ýíåðãèè

E(x, x) ˙ =

1 (M x, ˙ x) ˙ + V (x). 2

(2.66)

92

Ñðàâíèòå âûðàæåíèÿ L = T −V è E = T +V , ãäå T  êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ

1 ˙ x). ˙ T = (M x, 2

(2.67)

Çàìå÷ó, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà ëàãðàíæèàí L çàâèñèò îò âðåìåíè, äëÿ ýíåðãèè, ïî ïðåæíåìó îïðåäåëÿåìîé ôîðìóëîé (2.64), ïîëó÷àåòñÿ ðàâåíñòâî

dE ∂L = . dt ∂t

(2.68)

Ñâÿçü çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ñ ñèììåòðèÿìè. Òåîðåìà Ýììè Íåòåð. Êîãäà íóæíî îáúÿñíèòü òî èëè èíîå ÿâëåíèå ïðèðîäû, öåïî÷êà îò-

âåòîâ íà âîïðîñû "ïî÷åìó" çàêàí÷èâàåòñÿ ññûëêîé íà òîò èëè èíîé çàêîí ñîõðàíåíèÿ. Íî ïî÷åìó âûïîëíÿþòñÿ ñàìè çàêîíû ñîõðàíåíèÿ? È ýòî òîæå èìååò åùå îáúÿñíåíèå â ôèçèêå. Ïðè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðèÿ, èíâàðèàíòíîñòü íàøåãî ìèðà îòíîñèòåëüíî òåõ èëè èíûõ ãðóïï ïðåîáðàçîâàíèé. Ð.Ôåéíìàí ïîñòàâèë âîïðîñ î ïðè÷èíàõ ñèììåòðèè Âñåëåííîé. Íèêòî íå ìîæåò â íàñòîÿùåå âðåìÿ îòâåòèòü âíÿòíî íà ýòîò âîïðîñ. Ñåé÷àñ, òàêèì îáðàçîì, çíàíèå î ñèììåòðèè ìèðà ñîñòàâëÿåò íàèáîëåå ãëóáîêèé óðîâåíü ïîíèìàíèÿ çàêîíîâ ïðèðîäû. Ôèçèêè, ðàáîòàþùèå íà ïåðåäíåì êðàå ñâîåé íàóêè, èçó÷àþùèå ïðèðîäó ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö - ñóùåñòâóþùèõ è åùå íå îòêðûòûõ  è ïîëåé, êîãäà íåò åùå ÿñíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, äåëàþò ñâîè ïðåäñêàçàíèÿ, îñíîâûâàÿñü íà ãèïîòåçàõ î òåõ èëè èíûõ ñèììåòðèÿõ. Èäåÿ ñâÿçè çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ñ ñèììåòðèÿìè ïðîñòðàíñòâà, âðåìåíè, à òàêæå è ñàìèõ ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñòåì âîçíèêëà óæå ó êëàññèêîâ ìåõàíèêè â XIX âåêå (Ëàãðàíæ, ßêîáè), íî â íàèáîëåå ÿñíîé è îáùåé ôîðìå áûëà ðàçâèòà íåìåöêèì ìàòåìàòèêîì Ýììè Íåòåð. Ìíîãèå ñ÷èòàþò åå ñàìûì êðóïíûì ìàòåìàòèêîì âñåõ âðåìåí ñðåäè æåíùèí. Òåîðåìà, êîòîðóþ ìû ñåé÷àñ ñ âàìè áóäåì èçó÷àòü,  ëèøü îäèí èç åå âàæíûõ ðåçóëüòàòîâ â ýòîì íàïðàâëåíèè. Âîîáùå-òî âñÿ ýòà ðàáîòà äëÿ Ý.Íåòåð áûëà, âîçìîæíî, íåêèì èñêëþ÷åíèåì.  îñíîâíîì, îíà èçâåñòíà êàê îñíîâàòåëü íîâîé îáëàñòè ìàòåìàòèêè, êîòîðàÿ äîëãî íàçûâàëàñü ñîâðåìåííîé àëãåáðîé. Ñåé÷àñ

93

åå ïðåäïî÷èòàþò íàçûâàòü àáñòðàêòíîé àëãåáðîé. Ýòî òåîðèÿ ãðóïï, êîëåö, àëãåáð, ìîäóëåé è ò.ä. (ñì.êíèãó åå ó÷åíèêà Âàí äåð Âàðäåíà "Àëãåáðà").

• Ìîé çíàêîìûé, ðóêîâîäèòåëü ôèðìû ïî ïðîèçâîäñòâó ñèñòåìíîãî îáåñïå÷åíèÿ êîìïüþòåðîâ, ïðîöâåòàþùåé óæå ëåò 25, ïðåäïî÷èòàåò áðàòü íà ðàáîòó ìàòåìàòèêîâ, êîòîðûå ïðîñëóøàëè êóðñ àáñòðàêòíîé àëãåáðû. Íè ãðóïïû, íè ìîäóëè, íà ñàìîì äåëå, íå èñïîëüçóþòñÿ â ñèñòåìíîì ïðîãðàììèðîâàíèè. Íî, ïî-âèäèìîìó, èçó÷åíèå àáñòðàêòíîé àëãåáðû íóæíûì îáðàçîì íàñòðàèâàåò ìîçãè. Èíâàðèàíòíîñòü è ñèììåòðèÿ. Ñíà÷àëà ïîãîâîðèì íåìíîãî î ñèì-

ìåòðèè âîîáùå. ×òî òàêîå ñèììåòðèÿ? È, êñòàòè, ÷òî òàêîå êðàñîòà? Îòâåò íà âòîðîé âîïðîñ ìîæåò áûòü, ê ñ÷àñòüþ, íåèçâåñòåí. Íî ÿñíî, ÷òî ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì ýëåìåíòîì êðàñîòû, õîòÿ ìíîãèå ñ÷èòàþò, ÷òî äëÿ êðàñîòû íåîáõîäèìî íåêîòîðîå, óìåðåííîå îòêëîíåíèå îò ñòðîãîé ñèììåòðèè. Âñìîòðèìñÿ â ñëîâî "ñèììåòðèÿ". Ñèììåòðèÿ îçíà÷àåò ñîðàçìåðíîñòü, ýòî ñëîâî ïîÿâèëîñü åùå ó Àðèñòîòåëÿ.  ñîâðåìåííîì ôîðìàëüíîìàòåìàòè÷åñêîì ïîíèìàíèè ñèììåòðèÿ îçíà÷àåò èíâàðèàíòíîñòü òîãî èëè èíîãî îáúåêòà  ìíîæåñòâà, ôóíêöèè, âåêòîðíîãî ïîëÿ, è ò.ä. îòíîñèòåëüíî òîãî èëè èíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, îáëàñòü Ω â Rn èëè äàæå ïðîñòî ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî Ω è ïóñòü çàäàíî íåêîòîðîå ïðåîáðàçîâàíèå ϕ : Ω → Ω ìíîæåñòâà Ω â ñåáÿ. Âû ïîìíèòå, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå  ýòî âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå. Ïîäìíîæåñòâî Ω0 ⊂ Ω íàçîâåì èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ, åñëè ϕ(Ω0 ) = Ω0 , ïåðåõîäèò â ñåáÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèè

ϕ.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ðàññìîòðåòü ñóæåíèå ϕ . Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî ìíîΩ0

æåñòâî Ω0 ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ. Ïóñòü òåïåðü çàäàíà âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ f : Ω → R íà Ω. Ñêàæåì, ÷òî îíà èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ, åñëè äëÿ âñåõ x ∈ Ω

f (ϕ(x)) = f (x).

(2.69)

94

×àñòî óäîáíî áûâàåò çàïèñûâàòü ýòî ðàâåíñòâî ñ èñïîëüçîâàíèåì îáðàòíîãî îòîáðàæåíèÿ ϕ−1 â âèäå

f (ϕ−1 (x)) = f (x).

(2.70)

Ìîæíî ýòè ðàâåíñòâà çàïèñàòü è òàê:

f ◦ ϕ−1 = f.

f ◦ ϕ = f,

(2.71)

Äàëüøå óæå ñóùåñòâåííî, ÷òî Ω  îáëàñòü â Rn , à îòîáðàæåíèå ϕ áóäåì ñ÷èòàòü ãëàäêèì, õîòÿ áû êëàññà C 1 . Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ îòîáðàæåíèå

ϕ îïðåäåëÿåò íå òîëüêî ïðåîáðàçîâàíèå ôóíêöèé íà Ω, íî è îòîáðàæåíèå âåêòîðîâ, ñêàæåì, ïðèëîæåííûõ â íåêîòîðîé òî÷êå a ∈ Ω. Òàêîé âåêòîð v ìîæíî ìûñëèòü êàê ìãíîâåííóþ ñêîðîñòü òî÷êè, êîòîðàÿ â äàííûé ìîìåíò íàõîäèòñÿ â ïîëîæåíèè a. Åñëè ïðè ýòîì òî÷êà äâèãàåòñÿ ïî çàêîíó x = x(t), è x(t0 ) = a, òî x(t ˙ 0) = v. Ïîñìîòðèì òåïåðü, êàê äâèãàåòñÿ ïðåîáðàçîâàííàÿ òî÷êà ϕ(x(t)). Åå ñêîðîñòü åñòü

d ϕ(x(t)) = ϕ0 (x(t))x(t) ˙ dt

(2.72)

èëè â êîîðäèíàòàõ n

X ∂ϕi (x(t) d ϕi (x(t)) = x˙ k (t). dt ∂xk

(2.73)

k=1

Çäåñü ϕ0 (x) îçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ îòîáðàæåíèÿ ϕ â òî÷êå x. Ýòà ïðîèçâîäíàÿ â êîîðäèíàòàõ çàäàåòñÿ ìàòðèöåé ßêîáè 0

∼

ϕ (x) =



∂ϕi (x) ∂xk

n .

(2.74)

i,k=1

Íå ñîâñåì òî÷íî áûëî áû íàïèñàòü çäåñü ïðîñòî çíàê ðàâåíñòâà, ïîòîìó ÷òî ìàòðèöà ßêîáè çàâèñèò îò âûáîðà êîîðäèíàò, à ïðîèçâîäíàÿ ϕ0 (x)  íå çàâèñèò. Íåòðóäíî äàòü åé èíâàðèàíòíîå (îòíîñèòåëüíî âûáîðà êîîðäèíàò) îïðåäåëåíèå.

95

Ôîðìóëû (2.72) è (2.73) ïîêàçûâàþò, ÷òî ðàçóìíî îïðåäåëèòü èíäóöèðîâàííîå ïðåîáðàçîâàíèåì ϕ : Ω → Ω îòîáðàæåíèå âåêòîðîâ â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå x ∈ Ω ïðè ïîìîùè ïðîèçâîäíîé îòîáðàæåíèÿ ϕ. Ýòî èíäóöèðîâàííîå îòîáðàæåíèå ÷àñòî îáîçíà÷àþò ϕ∗ (x), ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ϕ∗ (x)v = ϕ0 (x)v èëè, â êîîðäèíàòàõ

ϕ∗i (x)v =

ϕ0i (x)v

=

n X ∂ϕi (x) k=1

∂xk

vk .

(2.75)

Êðàòêî òî, ÷òî ìû ñåé÷àñ ïðîäåëàëè, âûðàæàþò ñëîâàìè: ãëàäêîå ïðåîáðàçîâàíèå ϕ äåéñòâóåò íà ôóíêöèè ïîñðåäñòâîì çàìåíû ïåðåìåííûõ, à íà âåêòîðû  ïîñðåäñòâîì åãî ïðîèçâîäíîé. Èíâàðèàíòíûå ëàãðàíæèàíû. Ëàãðàíæèàí L(q, q) ˙ , íå çàâèñÿùèé

îò âðåìåíè, çàäàåòñÿ â äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè D × Rn , ãäå D  îáëàñòü â Rn . Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî çàäàíà îäíîïàðàìåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà gτ : D →

D ïðåîáðàçîâàíèé îáëàñòè D. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî g0 = id, gτ +s = gτ gs äëÿ âñåõ τ, s ∈ R. Ýòî îòîáðàæåíèå ïåðåâîäèò òî÷êó q ∈ D â òî÷êó gτ q ∈ D. Ïðè ýòîì âåêòîð q˙, ïðèëîæåííûé â òî÷êå q , ïîäâåðãàåòñÿ èíäóöèðîâàííîìó ïðåîáðàçîâàíèþ gτ0 (q) è ïåðåõîäèò â gτ0 (q)q˙. Ñêàæåì, ÷òî ëàãðàíæèàí L èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ãðóïïû gτ , åñëè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

L(gτ q, gτ0 (q)q) ˙ = L(q, q) ˙

(2.76)

äëÿ âñåõ τ ∈ R, q ∈ D, q˙ ∈ Rn . Ìû óæå çíàåì, ÷òî îäíîïàðàìåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà ïðåîáðàçîâàíèé îáëàñòè D îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïîëåì Q íà D, òàê ÷òî gτ åñòü ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð àâòîíîìíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

dq = Q(q), dt

(2.77)

ïðè ýòîì q(τ ) = gτ q0 åñòü ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì q(0) = q0 .

96

Òåîðåìà Ý. Íåòåð. Ïóñòü ëàãðàíæèàí L = L(q, q) ˙ íå çàâèñèò îò

âðåìåíè è èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé gτ , òàê ÷òî âûïîëíÿåòñÿ (2.74). Òîãäà ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà èìååò èíòåãðàë

I(q, q) ˙ = Lq˙ q 0 ,

(2.78)

ãäå q 0 = q 0 (q) = Q(q). Äîêàçàòåëüñòâî: Ââèäó óñëîâèÿ èíâàðèàíòíîñòè (2.74) äåéñòâèå S èíâà-

ðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé gτ :

Zt2 t1

L(gτ q, gτ0 (q)q) ˙ dt =

Zt2 L(q, q) ˙ dt

(2.79)

t1

Ïðàâàÿ ÷àñòü îò τ íå çàâèñèò. Ïîýòîìó ïðîèçâîäíàÿ îò ëåâîé ÷àñòè ïî

τ ðàâíà íóëþ. Ââåäåì âàðèàöèþ δq , ñîîòâåòñòâóþùóþ äåôîðìàöèè gτ : q 7→ gτ q

d δq = δq(t) = gτ q(t) (2.80) dτ τ =0 Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî ïî t è ìåíÿÿ ìåñòàìè ïðîèçâîäíûå ïî è t ïî τ , ïîëó÷èì ∂ 0 ∂ ∂ gτ q(t) = gτ (q(t))q˙ . (2.81) δ q(t) ˙ = τ =0 τ =0 ∂t ∂τ ∂τ Òåïåðü âàðüèðîâàíèå ðàâåíñòâà (2.79) (òî åñòü äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî ïàðàìåòðó äåôîðìàöèè τ ïðè τ = 0) ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (2.80) è (2.81) äàåò ðàâåíñòâî

Zt2 (Lq (q, q)δq ˙ + Lq˙ (q, q)δ ˙ q) ˙ dt = 0.

(2.82)

t1

Ïîëüçóÿñü îñíîâíîé ôîðìóëîé âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ δ q˙ = (δq)· è èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì (ñì.ôîðìóëû (2.11)), ïðåîáðàçóåì (2.82) ê âèäó

Zt2 t1

t2 d (Lq − Lq˙ ) δq dt + Lq˙ δq = 0. t1 dt

(2.83)

97

Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ Ëàãðàíæà, èíòåãðàëüíîå ñëàãàåìîå èñ÷åçàåò, è ìû ïîëó÷àåì

Lq˙ δq = Lq˙ δq . t1

t2

(2.84)

Ïîñêîëüêó ýòî âåðíî äëÿ ëþáûõ t1 , t2 , ôóíêöèÿ Lq˙ δq = Lq˙ q 0 åñòü èíòåãðàë. Òåîðåìà äîêàçàíà. Êîíå÷íî, ìîæíî ïðîâåñòè äîêàçàòåëüñòâî íåïîñðåäñòâåííî, ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (2.78) â óðàâíåíèå Ëàãðàíæà. Íî ÿ íåíàâèæó òàêèå äîêàçàòåëüñòâà, êîòîðûå ñêðûâàþò ïóòü, êîòîðûì ìîæíî ïðèéòè ê ðåçóëüòàòó. Ïðîâåäåííîå äîêàçàòåëüñòâî ïîêàçûâàåò, ÷òî óñëîâèå èíâàðèàíòíîñòè ëàãðàíæèàíà ðàñøèðÿåò êëàññ äîïóñòèìûõ äåôîðìàöèé ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðèíöèïîì Ãàìèëüòîíà, ÷òî è ïðèâîäèò ê çàêîíó ñîõðàíåíèÿ. Çàìå÷ó, ÷òî ïðèâåäåííàÿ òåîðåìà â äåéñòâèòåëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì çíà÷èòåëüíî áîëåå îáùèõ è ãëóáîêèõ ðåçóëüòàòîâ Ý.Íåòåð (ñì. êíèãó Îëâåð "Ïðèìåíåíèå òåîðèè ãðóïï Ëè ê äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì"). Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðèëîæåíèÿ òåîðåìû Íåòåð. Ìû óâèäèì, ÷òî îñíîâíûå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ èìåþò ñâîåé ïðè÷èíîé ñâîéñòâà ñèììåòðèè ïðîñòðàíñòâà. Çàìå÷ó, ÷òî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè áûë âûâåäåí âûøå â ñëó÷àå ëàãðàíæèàíà L(q, q) ˙ , íå çàâèñÿùåãî îò âðåìåíè. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îí ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì îäíîðîäíîñòè âðåìåíè, èíâàðèàíòíîñòè çàêîíîâ ïðèðîäû îòíîñèòåëüíî ñäâèãîâ âðåìåíè. Ýòîò çàêîí íå ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç äîêàçàííîé íàìè ðàíåå òåîðåìû, íî ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç áîëåå îáùèõ ðåçóëüòàòîâ Ý.Íåòåð. Òðàíñëÿöèîííàÿ èíâàðèàíòíîñòü è èíòåãðàë èìïóëüñà. Ðàñ-

ñìîòðèì íàòóðàëüíóþ ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó ñ ëàãðàíæèàíîì

L=

1 (M x, ˙ x) ˙ − V (x) 2

(2.85)

è óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ

M x¨ = −grad V (x).

(2.86)

98

Çäåñü x  âåêòîð-ôóíêöèÿ ñî çíà÷åíèÿìè â H . Êàæäûé âåêòîð a ∈ H îïðåäåëÿåò ïðåîáðàçîâàíèå ñäâèãà (òðàíñëÿöèè) Ta : H → H , Ta : x 7→ x + a. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ V (x) èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ñäâèãîâ âäîëü íàïðàâëåíèÿ íåêîòîðîãî âåêòîðà a. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî s ∈ R è ëþáîãî x ∈ H âûïîëíåíî ðàâåíñòâî V (Tsa x) = V (x) èëè

V (x + sa) = V (x). Ïðåîáðàçîâàíèå Tsa äåéñòâóåò íà âåêòîðû òðèâèàëüíî, êàê òîæäåñòâåííîå:

d [x(t) + sa] = x(t). ˙ (2.87) dt Ïîýòîìó ëàãðàíæèàí (2.85) èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé

Tsa . Èìååì

d Lx˙ = M x, ˙ x = (x + sa) = a. (2.88) ds s=0 Ñîãëàñíî òåîðåìå Íåòåð, çàêëþ÷àåì, ÷òî óðàâíåíèå (2.86), ïðè óñëîâèè 0

èíâàðèàíòíîñòè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè V (x) îòíîñèòåëüíî ñäâèãîâ âäîëü íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà a, èìååò èíòåãðàë

I(x, x) ˙ = (M x, ˙ a).

(2.89)

Âåêòîð M x˙ åñòü èìïóëüñ (êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ), à èíòåãðàë I ëèøü íåñóùåñòâåííûì ìíîæèòåëåì |a| îòëè÷àåòñÿ îò ïðîåêöèè èìïóëüñà íà íàïðàâëåíèå âåêòîðà a. Âàæíûé ÷àñòíûé ñëó÷àé óðàâíåíèÿ (2.86)  ñèñòåìà

n ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â R3 .  ýòîì ñëó÷àå H = R3n , à îïåðàòîð M çàäàåòñÿ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé

99

            M =          



m1

                     

m1 m1

0

m2 m2 m2

0

...

mn mn

(2.90)

mn Çäåñü mj  ìàññà j -é ÷àñòèöû, è îíà ïîâòîðÿåòñÿ òðèæäû íà ãëàâíîé äèàãîíàëè ýòîé ìàòðèöû, ïîòîìó ÷òî ìàññà íå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ (ýòî ñëåäñòâèå èçîòðîïíîñòè ïðîñòðàíñòâà). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ íå ìåíÿåòñÿ ïðè ëþáîì ñäâèãå âñåé ñèñòåìû ÷àñòèö â íàïðàâëåíèè âåêòîðà e ∈ R3 . Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî e  åäèíè÷íûé âåêòîð: |e| = 1. Åñëè V =

V (x1 , . . . , xn ), ãäå xj ∈ R3  ïîëîæåíèå j -é ÷àñòèöû, òî ýòî óñëîâèå èíâàðèàíòíîñòè çàïèøåòñÿ â âèäå

V (x1 + se, . . . , xn + se) = V (x1 , . . . , xn ).

(2.91)

Èìïóëüñ M x˙ â äàííîì ñëó÷àå èìååò âèä

I=

n X

mj x˙ j .

(2.92)

j=1

Èç ïðåäûäóùåãî âèäíî, ÷òî óñëîâèå (2.91) âëå÷åò ñóùåñòâîâàíèå èíòåãðàëà

n X j=1

! mj x˙ j , e

= (I, e).

(2.93)

100

Ýòî  çàêîí ñîõðàíåíèÿ êîìïîíåíòû èìïóëüñà I âäîëü íàïðàâëåíèÿ e.  ñëó÷àå, íàïðèìåð, ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè

V =

X

vij (|xi − xj |)

16i<j6n

óñëîâèå èíâàðèàíòíîñòè (2.91) âûïîëíåíî, î÷åâèäíî, ïðè ëþáîì âåêòîðå e. Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî çàêîí ñîõðàíåíèÿ âåêòîðà èìïóëüñà. Ïðèìå÷àòåëüíî è ïðàêòè÷åñêè î÷åíü âàæíî, ÷òî ôîðìà èíòåãðàëîâ èìïóëüñà íå çàâèñèò îò ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Ïîýòîìó çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ, íå çíàÿ ÿâíî çàêîíîâ âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö, áóäó÷è ëèøü óâåðåííûìè â òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè.  óñëîâèÿõ, êîãäà ñîõðàíÿåòñÿ âåêòîð èìïóëüñà, öåíòð ìàññ ñèñòåìû äâèãàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, ïî èíåðöèè. Íàïîìíþ, ÷òî ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, åñòü n P

mj xj

j=1

xc = P n

.

(2.94)

mj

j=1

Ïðåæäå, ÷åì ïåðåéòè ê âûâîäó çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà, ðàññìîòðèì íåêîòîðûå îáùèå ðåçóëüòàòû îá èçîìåòðèÿõ áàíàõîâûõ è ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ. Èçîìåòðèè è âðàùåíèÿ áàíàõîâûõ è ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ

Îïåðàòîð A : X → X , ãäå X åñòü âåùåñòâåííîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, íàçûâàåòñÿ èçîìåòðè÷åñêèì îïåðàòîðîì èëè èçîìåòðèåé, åñëè îí ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèÿ (Ðèñ. 3) äëÿ ëþáûõ òî÷åê x è y ïðîñòðàíñòâà X

kAx − Ayk = kx − yk.

(2.95)

Ðàçóìååòñÿ, ýòî îïðåäåëåíèå ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü è íà ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà.

101

x

 Ax         Ay       

y

Ðèñ. 3:

Î÷åâèäíî, îïåðàòîð ñäâèãà Ta : X → X : x 7→ x+a ÿâëÿåòñÿ èçîìåòðèåé äëÿ ëþáîãî a ∈ X . Ó ýòîãî îïåðàòîðà ïðè ëþáîì a 6= 0 íåò íåïîäâèæíûõ òî÷åê. Èçîìåòðèÿ, èìåþùàÿ íåïîäâèæíóþ òî÷êó, íàçûâàåòñÿ âðàùåíèåì. Äàëüøå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòà íåïîäâèæíàÿ òî÷êà åñòü 0 ïðîñòðàíñòâà X . Èòàê, îïåðàòîð A áóäåì íàçûâàòü âðàùåíèåì, åñëè îí óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (2.95) è A(0) = 0. Ñïðàâåäëèâà çàìå÷àòåëüíàÿ òåîðåìà Ñ. Ìàçóðà è Ñ. Óëàìà: âñÿêîå âðà-

ùåíèå áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà åñòü ëèíåéíûé îïåðàòîð. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ãëóáîêîé òåîðåìû ìîæíî íàéòè â êíèãå [Áàíàõ]. â ñëó÷àå åâêëèäîâà èëè ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà Âû, åñëè ïîñòàðàåòåñü, ñìîæåòå ÿ äóìàþ, ïðîâåñòè äîêàçàòåëüñòâî ñàìîñòîÿòåëüíî. Ñ. Ìàçóð è Ñ. Óëàì  ïîëüñêèå ìàòåìàòèêè. Óëàì èçâåñòåí ñâîåé çàìå÷àòåëüíîé ôàíòàçèåé  ñðåäè ìíîãèõ åãî ðåçóëüòàòîâ âñïîìèíàåòñÿ, íàïðèìåð, èäåÿ çàïèñàòü ðÿä íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ïî ñïèðàëè  òîãäà íà äèàãîíàëè âäðóã âîçíèêàþò ðÿäû ïðîñòûõ ÷èñåë (êàê îí ñàì ðàññêàçûâàë, òàêóþ êàðòèíó îí íàðèñîâàë íà êàêîì-òî çàäà÷íèêå, ñòàðàÿñü íå çàñíóòü). Åìó òàêæå ïðèíàäëåæèò èäåÿ òåðìîÿäåðíîé áîìáû. Íàì äàëüøå áóäóò íóæíû ëèøü èçîìåòðè÷åñêèå îïåðàòîðû â åâêëèäîâîì èëè â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H . Ïóñòü îïåðàòîð U : H → H ÿâëÿåòñÿ âðàùåíèåì (÷àùå òàêèå îïåðàòîðû íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè èëè, îñîáåííî â ñëó÷àå êîìïëåêñíîãî ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà H , óíèòàð-

102

íûìè). Óñëîâèå èçîìåòðè÷íîñòè (2.95) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

(U x, U x) = (x, x).

(2.96)

Ìû ó÷ëè, ÷òî U  ëèíåéíûé îïåðàòîð, è çàìåíèëè x − y â (2.95) íà x. Ýòî ðàâåíñòâî ìîæíî òàêæå çàïèñàòü â âèäå

((U ∗ U − I)x, x) = 0.

(2.97)

îïåðàòîð U ∗ U − I , ãäå U ∗  ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð, ñàìîñîïðÿæåí è ïîðîæäàåò íóëåâóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó. Ïîýòîìó

U ∗ U = I.

(2.98)

 êîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îðòîãîíàëüíûé îïåðàòîð îáðàòèì. Äåéñòâèòåëüíî det I = 1, det(U ∗ U ) = det U ∗ det U = (det U )2 . Ïîýòîìó, ñîãëàñíî (2.98), det U = ±1, òàê ÷òî U  îáðàòèìûé îïåðàòîð. Ìû âèäèì òàêæå, ÷òî îðòîãîíàëüíûå îïåðàòîðû áûâàþò äâóõ òèïîâ. Òå äëÿ êîòîðûõ det U = 1, íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè âðàùåíèÿìè, à òå, äëÿ êîòîðûõ det U = −1  íåñîáñòâåííûìè âðàùåíèÿìè. Âñåâîçìîæíûå âðàùåíèÿ ïðîñòðàíñòâà Rn  ñîáñòâåííûå è íåñîáñòâåííûå  îáðàçóþò îðòîãîíàëüíóþ ãðóïïó O(n). Ñîáñòâåííûå âðàùåíèÿ òàêæå îáðàçóþò ãðóïïó (ïðîâåðüòå!) SO(n). Ýòî ïîäãðóïïà ãðóïïû O(n), õîòÿ åå ÷àñòî íóæíî áûâàåò ðàññìàòðèâàòü êàê ñàìîñòîÿòåëüíûé îáúåêò. Íåñîáñòâåííûå âðàùåíèÿ, êîíå÷íî, ãðóïïû íå îáðàçóþò (ïî÷åìó?).  áåñêîíå÷íîìåðíîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå âñåâîçìîæíûå âðàùåíèÿ íå îáðàçóþò ãðóïïû  ñóùåñòâóþò íåîáðàòèìûå âðàùåíèÿ. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð îïåðàòîð U : `2 → `2 , äåéñòâóþùèé íà ïðîèçâîëüíûé âåêòîð

x = (ξ1 , ξ2 , . . .) ∈ `2 ïî ïðàâèëó U x = (0, ξ1 , ξ2 , . . .).

(2.99)

òàêîé îïåðàòîð íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì ïðàâîãî ñäâèãà. Îí, î÷åâèäíî, íåîáðàòèì: óðàâíåíèå U x = y äëÿ y = (η1 , η2 , . . .) ∈ `2 èìååò ðåøåíèå òîëüêî â

103

ñëó÷àå, êîãäà η1 = 0 (ýòî óñëîâèå, êîíå÷íî, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî). Ìû âèäèì, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå íåîáðàòèìûõ âðàùåíèé ñâÿçàíî ñ ñóùåñòâîâàíèåì ó ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà èçîìåòðè÷íûõ åìó ñîáñòâåííûõ (òî åñòü íå ñîâïàäàþùèõ ñî âñåì ïðîñòðàíñòâîì) ïîäïðîñòðàíñòâ. Ðàçóìååòñÿ, ìîæíî è î÷åíü èíòåðåñíî ðàññìàòðèâàòü ãðóïïó âðàùåíèé ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà, êîòîðàÿ ñîñòîèò èç òåõ è òîëüêî òåõ âðàùåíèé, êîòîðûå îáðàòèìû. Çàìå÷ó, ÷òî èçîìåòðèè áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ òàêæå î÷åíü èíòåðåñíû è ñîîòâåòñòâóþùèå ãðóïïû èçîìåòðèé è ãðóïïû âðàùåíèé äîâîëüíî ðàçíîîáðàçíû. Âèäèìî, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî â ñëó÷àå åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ ãðóïïû âðàùåíèé íàèáîëåå áîãàòû. À âîò ñðåäè áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ åñòü òàêèå, ó êîòîðûõ èìååòñÿ ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî âðàùåíèé. Âñòðå÷àþòñÿ äàæå ñëó÷àè, êîãäà ãðóïïà âðàùåíèé ñîñòîèò èç îäíîãî òîæäåñòâåííîãî îïåðàòîðà. Âðàùåíèå è êîñîñèììåòðè÷íûå îïåðàòîðû

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàäàííîå îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî U (s) : H →

H âðàùåíèé îáðàçóåò ãðóïïó. Äèôôåðåíöèðóÿ ðàâåíñòâî (2.98) ïî s, à çàòåì ïîëàãàÿ s = 0 ïîëó÷àåì ñíà÷àëà ðàâåíñòâî

U ∗ 0 (s)U (s) + U ∗ (s)U 0 (s) = 0,

(2.100)

A∗ + A = 0.

(2.101)

à çàòåì

Ìû ó÷ëè, ÷òî U (0) = I è U ∗ (0) = I . Òàêèì îáðàçîì, ãåíåðàòîð A =

U 0 (0) îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ãðóïïû âðàùåíèé åñòü êîñîñèììåòðè÷åñêèé îïåðàòîð. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãðóïïà îïåðàòîðîâ U (s) åñòü ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð óðàâíåíèÿ

x0 = Ax

(2.102)

ñ êîñîñèììåòðè÷åñêèì îïåðàòîðîì A. Îáðàòíîå òîæå âåðíî. ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (2.102) â H , è ïóñòü îïåðàòîð A êîñîñèììåòðè÷åí: A∗ = −A. Òîãäà ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð ýòîãî

104

óðàâíåíèÿ U (s) äëÿ ëþáîãî s ∈ R åñòü âðàùåíèå. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü x(s)  ëþáîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.102). Óìíîæàÿ ýòî óðàâíåíèå íà x(s), ïîëó÷èì

1d (x(s), x(s)) = (Ax(s), x(s)) = 0. 2 ds

(2.103)

Âòîðîå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç êîñîñèììåòðè÷íîñòè: (Ax, x) = (x, A∗ x) =

−(x, Ax), òàê ÷òî (Ax, x) = 0 äëÿ âñåõ x, åñëè A  êîñîñèììåòðè÷åñêèé îïåðàòîð. Èç (2.103) ñëåäóåò ðàâåíñòâî (2.104)

(U (s)a, U (s)a) = (a, a),

ãäå a = x(0). ïîñêîëüêó a  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà H , îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî U (s) åñòü âðàùåíèå. Äàæå â ñëó÷àå áåñêîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà H íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî U (s)  îáðàòèìûé îïåðàòîð äëÿ ëþáîãî s, ëèøü áû îïåðàòîð A áûë îãðàíè÷åí. Ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà êîñîñèììåòðè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ â Rn (êîñîñèììåòðè÷íûõ n ×n ìàòðèö) åñòü, î÷åâèäíî, è òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå, ýòà ðàçìåðíîñòü ñîâïàäàåò ñ n.

n(n − 1) . Ïðè n = 3, 2

 ïðîñòðàíñòâå R3 êîñîñèììåòðè÷åñêèé ëèíåéíûé îïåðàòîð äåéñòâóåò êàê âåêòîðíîå óìíîæåíèå íà ïîñòîÿííûé âåêòîð. Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå äëÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ω ∧ x èìååì

i j k ω∧x = ω1 ω2 ω3 = (ω2 x3 −ω3 x2 )i+(ω3 x1 −ω1 x3 )j+(ω1 x2 −ω2 x1 )k. (2.105) x1 x2 x3 äëÿ ëþáûõ x = (x1 , x2 , x3 ) è ω = (ω1 , ω2 , ω3 ). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè





0 α β   , A= −α 0 γ   −β −γ 0

105

òî



αx2 + βx3



   Ax =  −αx + γx 1 3 .  −βx1 − γx2 ÷òîáû ýòè âûðàæåíèÿ ñîâïàäàëè, íóæíî ïîëîæèòü α = −ω3 , β = ω3 , γ =

−ω1 . òàêèì îáðàçîì, âåêòîðíîìó ïðîèçâåäåíèþ (2.105) ñîîòâåòñòâóåò êîñîñèììåòðè÷åñêàÿ ìàòðèöà

  A= 

0 −ω3 ω3 −ω2

ω2



 0 −ω1  , ω1 0

(2.106)

Èíòåãðàë ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ. Ðàññìîòðèì ìåõàíè÷å-

ñêóþ ñèñòåìó, ó êîòîðîé êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî åñòü åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî H , à ëàãðàíæèàí L = L(x, x) ˙ íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Âàæíåéøèì ïðèìåðîì ñëóæèò íàòóðàëüíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà. Åå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ äàåòñÿ îáîáùåííûì âòîðûì çàêîíîì Íüþòîíà

M x¨ = − grad V (x),

(2.107)

à ëàãðàíæèàí îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì

1 L(x, x) ˙ = (M x, ˙ x) ˙ − V (x). 2

(2.108)

Èíòåãðàëû ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ âîçíèêàþò, êîãäà ëàãðàíæèàí L èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ïîäãðóïïû ãðóïïû âðàùåíèé ïðîñòðàíñòâà H . Òàêàÿ ïîäãðóïïà ñîñòîèò èç îïåðàòîðîâ âèäà

esA , ãäå A  åå ãåíåðàòîð  åñòü êîñîñèììåòðè÷åñêèé îïåðàòîð. Óñëîâèå èíâàðèàíòíîñòè èìååò âèä

L(esA x, esA x) ˙ = L(x, x). ˙

(2.109)

Ñîãëàñíî òåîðåìå Ý. Íåòåð, èç óñëîâèÿ 2.109 ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà èìååò èíòåãðàë

MA = (Lx, ˙ Ax)

(2.110)

106

d esA = A. äëÿ âñåõ x, x˙ ∈ H , s ∈ R. Ìû ó÷ëè, ÷òî ds s=0  ñëó÷àå íàòóðàëüíîé ñèñòåìû èíòåãðàëû òèïà ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ÷àùå âñåãî ïîëó÷àþòñÿ, êîãäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî òîé èëè èíîé (òåõ èëè èíûõ) ïîäãðóïïû (ïîäãðóïï) ãðóïïû âðàùåíèé, òî åñòü, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (2.111)

V (eeA x) = V (x).

 ýòîì ñëó÷àå äëÿ èíâàðèàíòíîñòè ëàãðàíæèàíà (2.108) íóæíî äîïîëíèòåëüíî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû è êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ áûëà èíâàðèàíòíà, òî åñòü ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî (2.112)

(M esA x, ˙ esA x) ˙ = (M x, ˙ x) ˙ ∗

äëÿ ëþáûõ x˙ ∈ H , s ∈ R. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî (esA )∗ = esA = e−sA , ýòî ðàâåíñòâî â âèäå

(e−sA M esA x, ˙ x) ˙ = (M x, ˙ x). ˙

(2.113)

Ñëåâà è ñïðàâà ñòîÿò êâàäðàòè÷íûå ôîðìû, çàïèñàííûå â ñòàíäàðòíîì âèäå, ñ ñàìîñîïðÿæåííûìè îïåðàòîðàìè M è e−sA M esA , ïîýòîìó èç (2.113) ñëåäóåò îïåðàòîðíîå ðàâåíñòâî

e−sA M esA = M.

(2.114)

Ýòî óñëîâèå çà÷àñòóþ äîâîëüíî ñëîæíî ïðîâåðèòü. Åìó, îäíàêî, ìîæíî ïðèæàòü áîëåå ïðîñòóþ ôîðìó. Äèôôåðåíöèðóÿ ðàâåíñòâî (2.114) ïî s, ïîëó÷èì

−Ae−sA M esA + e−sA M esA A = 0.

(2.115)

Åñëè ó÷åñòü (2.114), òî ýòî ðàâåíñòâî ïðèíèìàåò âèä

−AM + M A = 0.

(2.116)

Òàêèì îáðàçîì, èç (2.114) ñëåäóåò, ÷òî M A = AM  îïåðàòîðû A è M êîììóòèðóþò. Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè âûïîëíÿåòñÿ (2.116), òî âûïîëíåíî è

107

óñëîâèå (2.114). Äåéñòâèòåëüíî, ââîäÿ îáîçíà÷åíèå N (s) = e−sA M esA , äëÿ îïåðàòîð-ôóíêöèè N (s) ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

dN = −AN + N A. ds

(2.117)

Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ N (s), èìååì òàêæå íà÷àëüíîå óñëîâèå

N

= M.

(2.118)

s=0

Çàäà÷à Êîøè (2.117), (2.118) äëÿ îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ (2.117) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìà ïðè ëþáîì ëèíåéíîì îïåðàòîðå M (ýòî äîêàçûâàåòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê äëÿ îáû÷íûõ âåêòîðíûõ óðàâíåíèé; áîëåå òîãî, óðàâíåíèå (2.117) åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé âåêòîðíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ). Íî îäíî ðåøåíèå äàííîé çàäà÷è Êîøè î÷åâèäíî: N (s) = M äëÿ âñåõ s ∈ R. Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ðàâåíñòâî (2.114) ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ðàâåíñòâà (2.116). Èòàê, ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ïðè óñëîâèè (2.111) èíâàðèàíòíîñòè ïî-

òåíöèàëüíîé ýíåðãèè äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå (2.116) îáåñïå÷èâàåò èíâàðèàíòíîñòü ëàãðàíæèàíà (2.108) îòíîñèòåëüíî ãðóïïû âðàùåíèé esA , ãäå

A  êîñîñèììåòðè÷åñêèé îïåðàòîð. Èç òåîðåìû Íåòåð òåïåðü ñëåäóåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (2.108) è (2.116) óðàâíåíèå îáîáùåííîãî âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà (2.107) äîïóñêàåò èíòåãðàë ìîìåíòà

MA = (M x, ˙ Ax).

(2.119)

Ýòî, êîíå÷íî, ÷àñòíûé ñëó÷àé èíòåãðàëà (2.110). Äëÿ ìåõàíèêè è ôèçèêè î÷åíü âàæåí êëàññ ñèñòåì òèïà (2.107), âîçíèêàþùèé ïðè ðàññìîòðåíèè ñèñòåì n ÷àñòèö, äâèãàþùèõñÿ â R3 (èëè R2 ) ïðè íàëè÷èè ïàðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó íèìè. Äëÿ òàêîé ñèñòåìû ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ èìååò âèä

V (x) =

X 16i<j6n

wij (|xi − xj |).

(2.120)

108

Îïåðàòîð ìàññ M äåéñòâóåò â ïðîñòðàíñòâå R3n è çàäàåòñÿ, êàê ìû óæå âèäèì, äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé





m1

           M =          

                     

m1 m1

0

m2 m2

0

m2

...

mn mn

(2.121)

mn Ìàññà mj êàæäîé ÷àñòèöû âñòðå÷àåòñÿ çäåñü òðèæäû, ïîòîìó ÷òî ìàññà ñêàëÿð, îíà íå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ. Êàê áûëî óæå îòìå÷åíî ðàíüøå, â ñëó÷àå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè (2.120) ñîõðàíÿåòñÿ âåêòîð èìïóëüñà (ñì. (2.92)) I =

n P

mj x˙ j . Òåïåðü ìû ïîêàæåì,

j=1

÷òî ñîõðàíÿåòñÿ òàêæå âåêòîð ìîìåíòà èìïóëüñà. Ãðóïïà Uτ : R3 → R3 âðàùåíèé (Uτ∗ Uτ = I) òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà (êîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà îäíîé ÷àñòèöû) ïîðîæäàåò ãðóïïó âðà-

bτ : R3n → R3n êîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà ñèñòåìû n ÷àñòèö ùåíèé U ñîãëàñíî ðàâåíñòâó

bτ ξ = (Uτ ξ 1 , . . . , Uτ ξ n ) U j

j

(2.122)

j

äëÿ ëþáîãî ξ = (ξ 1 , . . . , ξ n ), ãäå ξ j = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) ∈ R3  ïîëîæåíèå j -òîé ÷àñòèöû. Ýòî, êîíå÷íî îçíà÷àåò, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Uτ ïîâîðà÷èâàåò âñþ ñèñòåìó ÷àñòèö êàê öåëîå, íå ìåíÿÿ èõ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ (2.120) èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ëþáîãî âðàùåíèÿ Uτ :

bτ x) = V (U

X 16i<j6n

wij (|Uτ xi − Uτ xj |) =

X 16i<j6n

wij (|xi − xj |) = V (x), (2.123)

109

òàê êàê Uτ  ëèíåéíûé îïåðàòîð, ñîõðàíÿþùèé ðàññòîÿíèÿ. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ èìååò âèä

n

1X mj x˙ j 2 T = 2 j=1

(2.124)

è òàêæå, î÷åâèäíî, ñîõðàíÿåòñÿ ïðè âðàùåíèè Uτ , áîëåå òîãî, ñîõðàíÿåòñÿ êàæäîå ñëàãàåìîå â (2.124). Ïîñêîëüêó Uτ - ëèíåéíûé îïåðàòîð, åãî ïðîèçâîäíàÿ ñîâïàäàåò ñíèì ñàìèì, à çíà÷èò x˙ j ïåðåéäåò ïðè âðàùåíèè Uτ â

U τ x˙ j . Ïðè ýòîì |Uτ x˙ j | = |x˙ j |  îïÿòü-òàêè ïî ñâîéñòâó èçîìåòðè÷íîñòè. b ãðóïïû U bτ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ãåíåðàòîð A ãðóïïû Uτ : Ãåíåðàòîð A (2.125)

b = (Aξ 1 , . . . , Aξ n ). Aξ

b ñîîòâåòñòâóåò áëî÷íî- äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, Çàìåòèì, ÷òî îïåðàòîðó A êàæäûé áëîê åñòü ìàòðèöà A. Èíòåãðàë (2.119) ïðèíèìàåò âèä

b = MAˆ = (M x, ˙ Ax)

n X

(2.126)

(mj x˙ j , Axj ).

j=1

Íî ìû óæå âèäåëè, ÷òî âñÿêèé êîñîñèììåòðè÷åñêèé îïåðàòîð A â R3 ðåàëèçóåòñÿ êàê âåêòîðíîå óìíîæåíèå, òàê ÷òî Aξ = ω ∧ ξ , ãäå ω  èçâåñòíûé ïîñòîÿííûé âåêòîð (òî÷íåå, ïðñåâäîâåêòîð), ξ ∈ R3 . Ïîäñòàíîâêà â (2.126) äàåò ðàâåíñòâî

MA =

n X

(2.127)

(mj x˙ j , ω ∧ xj ).

j=1

Ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå òðåõ âåêòîðîâ íå ìåíÿåòñÿ ïðè öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêå, çàïèøåì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â âèäå

MA =

n X j=1

(ω, xj ∧ mj x˙ j ) =

ω,

n X

! xj ∧ mj x˙ j

.

(2.128)

j=1

Ïîñêîëüêó ω çäåñü  ïðîèçâîëüíûé âåêòîð, ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî èìååòñÿ öåëûõ òðè èíòåãðàëà (ïîëîæèì, íàïðèìåð, â (2.128) ω = e1 , ω = e2 è ω = e3 , ãäå e1 , e2 , e3  êîîðäèíàòíûå îðòû â R3 ). Èíûìè ñëîâàìè, äëÿ óðàâíåíèÿ

(2.107) ñ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé (2.120) è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé (2.124)

110

âûïîëíåí çàêîí ñîõðàíåíèÿ âåêòîðà ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ M, îïðåäåëÿåìîãî ðàâåíñòâîì

M=

n X

xj ∧ mj x˙ j .

(2.129)

j=1

Ïðèìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâî èíòåãðàëîâ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ è ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíè íå çàâèñÿò îò êîíêðåòíîãî âèäà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè è ñóùåñòâóþò âñÿêèé ðàç, êîãäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ îáëàäàåò äîëæíûìè ñâîéñòâàìè èíâàðèàíòíîñòè.  îïðåäåëåííîé ìåðå ïîýòîìó ïðåäñêàçàíèÿ, êîòîðûå ìû äåëàåì íà îñíîâå çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ è ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, íàèáîëåå íàäåæíû.  ÷àñòíîñòè, çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èãðàåò çíà÷èòåëüíóþ ðîëü â êîñìîãîíèè  òåîðèÿ ïðîèñõîæäåíèÿ ñîëíå÷íîé ñèñòåìû. Èç-çà áîëüøîé óäàëåííîñòè ïëàíåò îò ñîëíöà ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñîëíå÷íîé ñèñòåìû îãðîìåí, è âñÿêàÿ êîñìîãîíè÷åñêàÿ ãèïîòåçà äîëæíà ýòîò ôàêò îáúÿñíèòü. Ìíîãèå êîñìîãîíè÷åñêèå ãèïîòåçû, è ñàìàÿ ïåðâàÿ èç íèõ  ãèïîòåçà Ëàïëàñà, íå ñïðàâèëèñü ñ ýòîé çàäà÷åé, à ïîòîìó áûëè îòâåãíóòû. Ïî Ëàïëàñó, ñîëíå÷íàÿ ñèñòåìà ïðîèçîøëà îò íåêîé áûñòðî âðàùàþùåéñÿ æèäêîé ìàññû, îò ýêâàòîðà êîòîðîé çà-çà öåíòðîáåæíûõ ñèë îòðûâàëèñü îãðîìíûå ¾êàïëè¿, êîòîðûå, çàñòûâàÿ, ïðåâðàòèëèñü ïîòîì â ïëàíåòû. Íî ââèäó çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà, ýòà æèäêàÿ ìàññà äîëæíà áûëà áû âðàùàòüñÿ ñ ñîâåðøåííî íåâåðîÿòíîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ, âñòóïèëè áû äàæå â ñèëó çàïðåòû òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Äðóãèì âàæíûì ñâîéñòâîì èíòåãðàëîâ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, à òàêæå ýíåðãèè, ÿâëÿåòñÿ èõ àääèòèâíîñòü. Âñå îíè ïîëó÷àþòñÿ ñóììèðîâàíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí äëÿ îòäåëüíûõ ÷àñòèö. Ó ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû íåò äðóãèõ àääèòèâíûõ èíòåãðàëîâ. Çàìå÷ó òàêæå, ÷òî â óñëîâèÿõ îáùåãî ïîëîæåíèÿ, òî åñòü äëÿ ïîäàâëÿþùåãî áîëüøèíñòâà âñåõ ìûñëèìûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì âîîáùå íåò äðóãèõ èíòåãðàëîâ.

111

2.6

Òåîðåìû Ïóàíêàðå î âîçâðàùåíèè.

Ïðîñòðàíñòâî ñ ìåðîé. Ïóñòü X  ìíîæåñòâî, åãî ýëåìåíòû ìîãóò èìåòü

ëþáóþ ïðèðîäó. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûäåëåí íåêîòîðûé êëàññ Σ åãî ïîäìíîæåñòâ, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ σ -àëãåáðîé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè  âçÿòèå îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ, ðàçíîñòè, äîïîëíåíèÿ, ïðèìåíåííûå äàæå ñ÷åòíîå ÷èñëî ðàç, íå âûâîäÿò çà ïðåäåëû êëàññà Σ. Íàïðèìåð, åñëè ìíîæåñòâà E1 , E2 , . . . , En , . . . ïðèíàäëåæàò êëàññó Σ (â ñèìâîëàõ

En ∈ Σ, n = 1, 2, . . .), òî èõ îáúåäèíåíèå è ïåðåñå÷åíèå òàêæå ïðèíàäëåæàò êëàññó Σ, èëè â ñèìâîëàõ, ∞ [ n=1 ∞ \

En = E1 ∪ E2 ∪ . . . ∪ En ∪ . . . ∈ Σ, (2.130)

En = E1 ∩ E2 ∩ . . . ∩ En ∩ . . . ∈ Σ.

n=1

Åñëè E ∈ Σ, è E 0 = X \ E  åãî äîïîëíåíèå, òî è E 0 ∈ Σ. Ìåðà. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, ìåðà µ åñòü íåîòðèöàòåëüíàÿ σ -àääèòèâ-

íàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâ, çàäàííàÿ íà íåêîòîðîé σ -àëãåáðå Σ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êëàññ Σ ñîäåðæèò ïóñòîå ìíîæåñòâî ∅ è âñå ìíîæåñòâî X , è äëÿ ëþáîãî ñ÷åòíîãî íàáîðà íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ E1 , E2 , . . . ∈ Σ ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

µ

∞ [

! En

n=1

=

∞ X

µ(En ).

(2.131)

n=1

Ïîä÷åðêíó, ÷òî ýòî ðàâåíñòâî ïîñòóëèðóåòñÿ ëèøü äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà Ek ∩

En = ∅ ïðè k 6= n. Íà ñàìîì äåëå îíî ñïðàâåäëèâî è ïðè íåñêîëüêî áîëåå øèðîêèõ óñëîâèÿõ (ñì. íèæå). Ìíîæåñòâà, ïðèíàäëåæàùèå êëàññó Σ, íàçûâàþòñÿ èçìåðèìûìè, à òî÷íåå, µ-èçìåðèìûìè. Ýòî óòî÷íåíèå íóæíî, êîíå÷íî, ëèøü â ñëó÷àå, êîãäà ìû èìååì äåëî ñ íåñêîëüêèìè ìåðàìè. Çàìå÷ó, ÷òî â ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêå â õîäó è ðàçëè÷íûå îáîáùåíèÿ ïîíÿòèÿ ìåðû  ðàññìàòðèâàþòñÿ êîíå÷íî-àääèòèâíûå ìåðû, çíàêîïåðåìåí-

112

íûå ìåðû (ïî÷åìó-òî íå ïðèâèëñÿ âûðàçèòåëüíûé òåðìèí çàðÿä), âåêòîðíîçíà÷íûå ìåðû. Çíàêîìÿñü ñ ëèòåðàòóðîé, ïîñìîòðèòå, ÷òî îçíà÷àåò â êàæäîì ñëó÷àå òåðìèí ìåðà. Çà÷àñòóþ ðàçðåøàåòñÿ, ÷òîáû ìåðà µ ïðèíèìàëà è áåñêîíå÷íîå çíà÷åíèå. Åñëè µ(X) < ∞, òî è ìåðà ëþáîãî èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà êîíå÷íà.  ýòîì ñëó÷àå ìåðà µ íàçûâàåòñÿ êîíå÷íîé. Ñîãëàñíî ïðèíÿòîé èäåàëîãèè, ìíîæåñòâàìè ìåðû íîëü ìû ïðåíåáðåãàåì  íå ñ÷èòàåì, ÷òî äâà èçìåðèìûõ ìíîæåñòâà E è F ðàçëè÷íû, åñëè îíè îòëè÷àþòñÿ íà ìíîæåñòâî ìåðû íîëü.  ñèìâîëàõ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

µ(E∆F ) = 0; íàïîìíþ, ÷òî ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü E∆F îïðåäåëÿåòñÿ êàê E∆F = (E \ F ) ∪ (F \ E). Òî÷íî òàê æå íå ðàçëè÷àþòñÿ îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâ ñ ìåðîé, åñëè èõ çíà÷åíèÿ ðàçëè÷íû ëèøü äëÿ ìíîæåñòâà çíà÷åíèé àðãóìåíòà, êîòîðîå èìååò íóëåâóþ ìåðó. Î÷åíü ÷àñòî òî èëè èíîå ñâîéñòâî óñòàíàâëèâàåòñÿ íå äëÿ âñåõ òî÷åê ïðîñòðàíñòâà ñ ìåðîé, à ëèøü äëÿ âñåõ òî÷åê çà èñêëþ÷åíèåì ìíîæåñòâà òî÷åê, èìåþùèõ ìåðó íîëü.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî äàííîå ñâîéñòâî èìååò ìåñòî äëÿ ïî÷òè âñåõ òî÷åê èëè ïî÷òè âñþäó, èëè äëÿ ïî÷òè ëþáîé òî÷êè. Çàìåòèì, ÷òî ýòî ïîíÿòèå "ïî÷òè âñþäó çàâèñèò îò âûáîðà ìåðû, ïîýòîìó, êîãäà íóæíî áûòü áîëåå òî÷íûìè, ãîâîðÿò "µ-ïî÷òè âñþäó" è ò. ä. Áîëåå ñòðîãî ãîâîðÿ, â òåîðèè ïðîñòðàíñòâ ñ ìåðîé è èõ îòîáðàæåíèé, ìû èìååì äåëî íå ñ ìíîæåñòâàìè, è íå ñ îòîáðàæåíèÿìè, à ñ êëàññàìè ýêâèâàëåíòíûõ ìíîæåñòâ è êëàññàìè ýêâèâàëåíòíûõ îòîáðàæåíèé. Ïðè ýòîì âñÿêîå ìíîæåñòâî ìåðû íîëü ðàññìàòðèâàåòñÿ ïî ñóòè, êàê ïóñòîå ìíîæåñòâî, ïîòîìó ÷òî îíî ýêâèâàëåíòíî ïóñòîìó. Ñîîòâåòñòâåííî, åñëè µ(E1 ∩ E1 ) = 0, òî èçìåðèìûå ìíîæåñòâà E1 è E2 òðàêòóþòñÿ, ïî ñóòè, êàê íåïåðåñåêàþùèåñÿ.  ÷àñòíîñòè, ðàâåíñòâî (2.131) âåðíî è â òîì ñëó÷àå, êîãäà µ(Ek ∩E` ) = 0 ïðè âñåõ k è `, ëèøü áû k 6= `. (Ïðîâåðüòå ýòî). Îòîáðàæåíèÿ, ñîõðàíÿþùèå ìåðó. Îòîáðàæåíèå T : X → X íà-

113

çûâàåòñÿ èçìåðèìûì, åñëè (ïîëíûé) ïðîîáðàç T −1 (E) âñÿêîãî èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà E åñòü èçìåðèìîå ìíîæåñòâî. Åñëè îòîáðàæåíèå T âçàèìíî îäíîçíà÷íî, òî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ýòî îïðåäåëåíèå â ýêâèâàëåíòíîé è ÷óòü áîëåå íàãëÿäíîé ôîðìå. Èìåííî, ïîòðåáóåì, ÷òîáû îòîáðàæåíèå T ïåðåâîäèëî âñÿêîå èçìåðèìîå ìíîæåñòâî â èçìåðèìîå: E ∈ Σ ⇒ T (E) ∈ Σ. Ñêàæåì, ÷òî èçìåðèìîå è âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå T : X →

X ñîõðàíÿåò ìåðó µ, åñëè äëÿ âñÿêîãî E ∈ Σ µ(T E) = µ(E).

(2.132)

Äëÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé ðàâåíñòâî (2.132) ìîæíî çàïèñàòü â ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå

µ(T −1 E) = µ(E)

(2.133)

äëÿ âñåõ E ∈ Σ. Íà ñàìîì äåëå, îïðåäåëåíèå (2.133) èìååò ïðåèìóùåñòâà ïî ñðàâíåíèþ ñ (2.132). Ïåðâîå ïðåèìóùåñòâî íîñèò òåõíè÷åñêèé õàðàêòåð è ñîñòîèò â òîì, ÷òî â äàëüíåéøèõ ðàññìîòðåíèÿõ ãîðàçäî ÷àùå ïðèäåòñÿ ïîëüçîâàòüñÿ èìåííî ðàâåíñòâîì (2.133). Âòîðîå  áîëåå ïðèíöèïèàëüíî: îïðåäåëåíèå (2.133) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà íå âçàèìíî îäíîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ. Ïðè ýòîì T −1 E îçíà÷àåò ïîëíûé ïðîîáðàç  ìíîæåñòâî âñåõ òåõ

x ∈ X , êîòîðûå ïîä äåéñòâèåì îòîáðàæåíèÿ T ïåðåõîäÿò â E , òî åñòü, ïî îïðåäåëåíèþ,

T −1 E = {x : T x ∈ E}. Òåîðåìà 1 (òåîðåìà Ïóàíêàðå î âîçâðàùåíèè ìíîæåñòâ) Ïóñòü

E  èçìåðèìîå ìíîæåñòâî â ïðîñòðàíñòâå ñ êîíå÷íîé ìåðîé (X, Σ, µ), ïðè÷åì µ(E) > 0. Ïóñòü T : X → X  îòîáðàæåíèå, ñîõðàíÿþùåå ìåðó

µ. Òîãäà íàéäåòñÿ òàêîå íàòóðàëüíîå n, ÷òî

µ(T n E ∩ E) > 0, ñì. ðèñ. 4.

(2.134)

114

X

T nE

E

Ðèñ. 4:

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññóæäàÿ îò ïðîòèâíîãî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ âñåõ

n = 1, 2, . . . µ(T n E ∩ E) = 0.

(2.135)

Òîãäà èç (2.135) ïîñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâà T k E è T n E òîæå èìåþò ïåðåñå÷åíèå ìåðû íîëü: µ(T k E ∩ T n E) = 0 äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ k è n ïðè k 6= n. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî k < n. Òîãäà

µ(T k E ∩ T n E) = µ(T k (E ∩ T n−k E)) = µ(E ∩ T n−k E).

(2.136)

Ìû ó÷ëè, ÷òî T k ñîõðàíÿåò ìåðó µ, êàê è îòîáðàæåíèå T , à çàòåì âîñïîëüçîâàëèñü ðàâåíñòâîì (2.135). Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîñòðîèëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ, ïîïàðíî

íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ E , T E , T 2 E, . . .. Âñå îíè èìåþò îäíó è òó æå ìåðó: µ(T k E) = µ(E) = m > 0. Íî îòñþäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî

µ

n−1 [ k=0

! k

T E

=

n−1 X

µ(T k E) = nm

(2.137)

k=0

äëÿ ëþáîãî n = 1, 2, . . . (ìû ñ÷èòàåì, ÷òî T 0 = id). Òàê êàê ìåðà ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà â X íå ïðåâîñõîäèò µ(X), ïîëó÷àåì

nm < µ(X).

(2.138)

115

Ââèäó êîíå÷íîñòè ìåðû µ, ýòî íåðàâåíñòâî íå ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ n. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî ðàâåíñòâî (2.135) ïðè íåêîòîðîì n íàðóøàåòñÿ. Òåîðåìà äîêàçàíà.

• Çàìå÷ó, ÷òî íà ïîñëåäíåì øàãå äîêàçàòåëüñòâà ìû âîñïîëüçîâàëèñü àêñèîìîé Àðõèìåäà. Ýòî îí â ñâîåé ðàáîòå "Ïñàììèò, èëè èñ÷èëåíèå ïåñ÷èíîê" óñòàíîâèë, ÷òî âûáðàâ ëþáóþ åäèíèöó èçìåðåíèÿ, ñêàæåì, âåñà èëè äëèíû (ó íàñ ýòî m), ìîæíî äëÿ ëþáîãî êàê óãîäíî áîëüøîãî ÷èñëà (ó íàñ ýòî µ(X)) íàéòè ñòîëü áîëüøîå n, ÷òî íåðàâåíñòâî (2.138) áóäåò íàðóøåíî.  ýòîé ðàáîòå Àðõèìåä î÷åíü áëèçêî ïîäîøåë ê îòêðûòèþ ïîçèöèîííîé ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ (ìíîãèå, ñàìûå êðóïíûå ìàòåìàòèêè, ñ÷èòàþò, ÷òî ýòî áûëî âåëè÷àéøèì îòêðûòèåì çà âñþ èñòîðèþ íàóêè). Êîíå÷íî, ñåé÷àñ âñå ýòî î÷åâèäíî, íî êòî-òî äîëæåí áûë ïåðâûì ýòî ïîíÿòü. Ýòî ñäåëàë Àðõèìåä. Àíãëèéñêèé èñòîðèê Àðíîëüä Òîéíáè íàïèñàë ðàáîòó, â êîòîðîé ïîïûòàëñÿ ïðåäóãàäàòü, êàê ðàçâèâàëîñü áû ÷åëîâå÷åñòâî, åñëè áû Àðõèìåä äåéñòâèòåëüíî ñäåëàë ýòî îòêðûòèå. Ïîëó÷èëîñü, ÷òî ðàçâèòèå òåõíèêè ïîøëî áû íåñðàâíåííî áûñòðåå, âîçìîæíî, îíà ðàçâèëàñü áû â äðóãèõ ñòðàíàõ, è ìèð ñåé÷àñ áûë áû ñîâñåì èíûì. Èç òåîðåìû Ïóàíêàðå âûòåêàåò âàæíîå ñëåäñòâèå, êîòîðîå ïðèìåíÿåòñÿ, ïîæàëóé, ÷àùå, ÷åì ñàìà òåîðåìà. Ñëåäñòâèå 1.  óñëîâèÿõ òåîðåìû 1 ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

íàòóðàëüíûõ ÷èñåë n1 , n2 , . . ., ñòðåìÿùàÿñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè (nk → +∞), òàêàÿ ÷òî

µ(T nk E ∩ E) > 0.

(2.139)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü N  íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ïðèìåíèì òåîðåìó

1 ê îòîáðàæåíèþ T N : X → X , êîòîðîå, êîíå÷íî, òîæå ñîõðàíÿåò ìåðó µ. Ïîëó÷èòñÿ, ÷òî äëÿ íåêîòîðîé åãî ñòåïåíè T N k

µ(T N k E ∩ E) > 0.

(2.140)

116

Ïîëîæèì n1 = N k . Ïîâòîðèì ýòî ðàññóæäåíèå ñ çàìåíîé N íà n1 . Òîãäà ïîëó÷èòñÿ, ÷òî ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâà T n1 k1 E = T N kk1 E ñ E èìååò ïîëîæèòåëüíóþ ìåðó. Ïîëîæèì n2 = N kk1 . Ïðîäîëæàÿ àíàëîãè÷íî, ìû ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü n1 < n2 < . . . < nk < . . . òàêóþ, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ (2.139). Ñîãëàñíî ýòîìó ñëåäñòâèþ, "âîçâðàùåíèå" (÷àñòè÷íîå) ìíîæåñòâà E áóäåò ïðîèñõîäèòü áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàç, ïðè ñêîëü óãîäíî áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ äèñêðåòíîãî âðåìåíè n. Òåîðåìà 2 (òåîðåìà Ïóàíêàðå î âîçâðàùåíèè òî÷åê). Ïóñòü E -

èçìåðèìîå ìíîæåñòâî â ïðîñòðàíñòâå ñ ìåðîé (X, Σ, µ), è T : X → X  ñîõðàíÿþùåå ìåðó µ ïðåîáðàçîâàíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìåðà µ êîíå÷íà:

µ(X) < +∞. Òîãäà äëÿ ïî÷òè ëþáîé òî÷êè x ∈ E íàéäåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî n = n(x) òàêîå, ÷òî T n x ∈ E . Äîêàçàòåëüñòâî. Íàïîìíþ, ÷òî âûðàæåíèå "ïî÷òè ëþáàÿ" îçíà÷àåò, ÷òî

ìíîæåñòâî èñêëþ÷èòåëüíûõ òî÷åê èìååò ìåðó íîëü. Áîëåå òî÷íîå âûðàæåíèå: µ-ïî÷òè ëþáàÿ. Õîòÿ ôîðìàëüíî ìû íå îáÿçàíû ââîäèòü â óñëîâèå òåîðåìû òðåáîâàíèå, ÷òîáû ìåðà ìíîæåñòâà E áûëà ïîëîæèòåëüíà, ÿñíî, ÷òî ñëó÷àé µ(E) = 0  áåññîäåðæàòåëåí  âñå ìíîæåñòâî E ìîæåò òîãäà áûòü èñêëþ÷èòåëüíûì. Òàêèì îáðàçîì, äàëüøå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî µ(E) > 0. Ïîñòðîèì ïîäìíîæåñòâî F ⊂ E , ñîñòîÿùåå èç èñêëþ÷èòåëüíûõ òî÷åê. Îáîçíà÷èì äîïîëíåíèå X \ E ÷åðåç E 0 . Òîãäà T −1 E 0 åñòü ìíîæåñòâî òî÷åê, êîòîðûå íå ïîïàäàþò â E ïîñëå îäíîêðàòíîãî ïðèìåíåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ T (ïîñëå îäíîãî øàãà èòåðàöèé), T −2 E 0  ìíîæåñòâî òî÷åê, íå ïîïàäàþùèõ â

E ïîñëå äâóõ øàãîâ, ... , T −n E 0  ïîñëå n øàãîâ, è ò. ä. ßñíî, ÷òî ìíîæåñòâî F = E ∩ T −1 E 0 ∩ . . . ∩ T −n E 0 . . . åñòü ìíîæåñòâî òî÷åê ìíîæåñòâà E , íå âîçâðàùàþùèõñÿ â E íèêîãäà. Ìíîæåñòâà F è T −n F íå ïåðåñåêàþòñÿ ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì n. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x ∈ F ∩ T −n F , òî T n x ∈ F ⊂ E , òî åñòü òî÷êà x âîçâðàùà-

117

ëàñü áû, â ïðîòèâîðå÷èè ñ îïðåäåëåíèåì ìíîæåñòâà F . Òåïåðü ìû ìîæåì óñòàíîâèòü, ÷òî ìíîæåñòâà F , T −1 F , . . . , T −n F, . . . ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ. Äåéñòâèòåëüíî, T −k F ∩T −n F = T −k (F ∩T −(n−k) F ), êîãäà, íàïðèìåð, n > k . Ïîíÿòíî, ÷òî îáðàç ïóñòîãî ìíîæåñòâà (ïðè îòîáðàæåíèè T −k ) ïóñò. Ìû ïîñòðîèëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ F , T −1 F ,

. . ., T −n F, . . .. Ïðè ýòîì îíè èìåþò îäíó è òó æå ìåðó: µ(T −n F ) = µ(F ). Êàê ìû óæå âèäåëè, ââèäó êîíå÷íîñòè ìåðû µ, ýòî âîçìîæíî ëèøü â ñëó÷àå

µ(F ) = 0. Òåîðåìà äîêàçàíà. Ñëåäñòâèå 2. Äëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ E ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäî-

âàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë n1 , n2 , . . . òàêàÿ, ÷òî nk → ∞ è T nk x ∈ E . Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ, ïî ñóòè, òàê æå, êàê è â ñëó-

÷àå òåîðåìû î âîçâðàùåíèè ìíîæåñòâ. Ïðîâåäèòå åãî ñàìè. Çàìåòüòå ëèøü, ÷òî êîãäà ìû ãîâîðèì "ïî÷òè äëÿ âñåõ òî÷åê", òî êàæäûé ðàç ïðèõîäèòñÿ èìåòü â âèäó ðàçëè÷íûå ìíîæåñòâà ìåðû íîëü. Íî ñ÷åòíîå îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ ìåðû íîëü (âîò îíà  σ -àääèòèâíîñòü) åñòü ìíîæåñòâî ìåðû íîëü.  ïðèëîæåíèÿõ ê ìåõàíèêå ìû ìîæåì âûáðàòü â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà E ñêîëü óãîäíî ìàëóþ îêðåñòíîñòü (ëþáîãî!) çàäàííîãî ñîñòîÿíèÿ â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ïîëó÷èòñÿ, ÷òî â áóäóùåì ñèñòåìà ìíîãî ðàç áóäåò âîçâðàùàòüñÿ â ýòó  ñêîëü óãîäíî ìàëóþ îêðåñòíîñòü. Ïðåäñòàâèì ñåáå, íàïðèìåð, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà åñòü ñîâîêóïíîñòü ìîëåêóë âîçäóõà â ýòîé àóäèòîðèè. Âûáåðåì ñîñòîÿíèå, â êîòîðîì âåñü âîçäóõ ñîñðåäîòî÷èëñÿ âáëèçè îäíîãî óãëà, à îñòàëüíàÿ ÷àñòü àóäèòîðèè  âàêóóì. Âûõîäèò, âðåìÿ îò âðåìåíè âåñü âîçäóõ â ýòîé êîìíàòå áóäåò ñîáèðàòüñÿ âáëèçè óãëà (åñëè áû îäíàæäû áûëî ñîçäàíî òàêîå ñîñòîÿíèå). Âñåì, êòî íàõîäèòñÿ äàëåêî îò ýòîãî óãëà, ïðèäåòñÿ ïëîõî. Ñåé÷àñ ýòî óæå òðóäíî ñåáå ïðåäñòàâèòü, íî â êîíöå XIX âåêà ìíîãèå âûäàþùèåñÿ ó÷åíûå ñèëüíî ñîìíåâàëèñü â ñóùåñòâîâàíèè àòîìîâ. Ïðèìåðû âðîäå íàøåãî ïðèìåðà ñ âîçäóõîì ñ÷èòàëèñü ñèëüíûìè âîçðàæåíèÿìè ïðî-

118

òèâ ñòàòèñòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ. Êîíå÷íî, íèêòî åùå íå âèäåë, ÷òîáû âåñü âîçäóõ ñîáðàëñÿ â îäíîé ÷àñòè êîìíàòû. Ëþäâèã Áîëüöìàí, âíåñøèé îãðîìíûé âêëàä â ðàçâèòèå ýòîé òåîðèè, íà ïîäîáíûå âîçðàæåíèÿ îòâåòèë î÷åíü êîðîòêî: "Äîëãî æå âàì ïðèäåòñÿ æäàòü!" È â ñàìîì äåëå, ñîâðåìåííûå îöåíêè ïîêàçûâàþò, ÷òî ïîäîáíîå ÿâëåíèå î÷åíü ìàëî âåðîÿòíî, âåðîÿòíîå âðåìÿ åãî îæèäàíèÿ ñîñòàâëÿåò ìíîãî ìèëëèàðäîâ ëåò, ÷òî ïðåâîñõîäèò âðåìÿ ñóùåñòâîâàíèÿ Âñåëåííîé. Ôèëîñîôû ñïîðÿò, ñ÷èòàòü ëè òàêèå ÿâëåíèÿ âîçìîæíûìè, íî ìàëî âåðîÿòíûìè èëè ïîïðîñòó îáúÿâèòü èõ íåâîçìîæíûìè. Íà ïðàêòèêå ìû êîíå÷íî, ñ÷èòàåì èõ íåâîçìîæíûìè, âî âñÿêîì ñëó÷àå, äåéñòâóåì, íå ïðèíèìàÿ òàêèå "âîçìîæíîñòè" âî âíèìàíèå. 2.7

Ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà äëÿ ñèñòåì ñî ñâÿçÿìè.

Ñâÿçè. Âî ìíîãèõ âàæíûõ äëÿ ìåõàíèêè ñëó÷àÿõ äîïóñòèìûå ïîëîæåíèÿ

ñèñòåìû íå ìîãóò áûòü ïðîèçâîëüíûìè òî÷êàìè äàííîãî ìíîãîîáðàçèÿ, ñêàæåì ïðîñòðàíñòâà Rn , à îáÿçàíû óäîâëåòâîðÿòü òåì èëè èíûì ñîîòíîøåíèÿì, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ñâÿçÿìè. Ïóñòü, íàïðèìåð, ïîëîæåíèå ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ êàê òî÷êà x ∈ Rn , óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ

Φ(x) = 0,

(2.141)

ãäå Φ  çàäàííàÿ ôóíêöèÿ. Ñêàæåì òîãäà, ÷òî ñèñòåìà ïîä÷èíåíà ãîëîíîì-

íîé ñâÿçè (2.141). Âñòðå÷àþòñÿ è ñëó÷àè, êîãäà ñâÿçü çàâèñèò îò âðåìåíè è èìååò âèä

Φ(x, t) = 0.

(2.142)

Ñâÿçè, çàâèñÿùèå îò âðåìåíè, íàçûâàþòñÿ ðåîíîìíûìè. Ñâÿçü âèäà (2.141), îò âðåìåíè íå çàâèñÿùàÿ, íàçûâàåòñÿ ñêëåðîíîìíîé èëè ñòàöèîíàðíîé. Óðàâíåíèå (2.141) îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êà x(t) ïðîñòðàíñòâà Rn , èçîáðàæàþùàÿ ïîëîæåíèå äàííîé ñèñòåìû â ìîìåíò t, îñòàåòñÿ âñå âðåìÿ íà ãèïåðïîâåðõíîñòè, îïðåäåëÿåìîé óðàâíåíèåì (2.141); â ñëó÷àå n = 3  ýòî ïðîñòî

119

ïîâåðõíîñòü. Êîãäà ñâÿçü ðåîíîìíà è èìååò âèä (2.142), äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïî ãèïåðïîâåðõíîñòè, èçìåíÿþùåéñÿ ïî çàäàííîìó çàêîíó ñî âðåìåíåì. Íåðåäêî âñòðå÷àþòñÿ è áîëåå ñëîæíûå ñâÿçè âèäà

Φ(x, x, ˙ t) = 0,

(2.143)

çàâèñÿùèå îò ñêîðîñòè x˙ . Òàêèå ñâÿçè íàçûâàþòñÿ íåãîëîíîìíûìè. Âïðî÷åì, èíîãäà óðàâíåíèå âèäà (2.143) óäàåòñÿ ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî âðåìåíè è ïðèâåñòè çàäà÷ó ê ñëó÷àþ ãîëîíîìíîé ñâÿçè âèäà (2.141) èëè (2.142). Äàëüøå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ëèøü ãîëîíîìíûå ñâÿçè, îïóñêàÿ èíîãäà ïðèëàãàòåëüíîå "ãîëîíîìíàÿ". ×òî ìîæåò çàñòàâèòü ÷àñòèöó, äâèæóùóþñÿ, ñêàæåì, â ïðîñòðàíñòâå

R3 , îñòàâàòüñÿ âñå âðåìÿ íà ïîâåðõíîñòè (2.141)? Î÷åâèäíî, äëÿ ýòîãî íóæíî, ÷òîáû íà íå¼ äåéñòâîâàëà íåêîòîðàÿ ñèëà, ðàçâèâàåìàÿ ñâÿçüþ. Ýòà ñèëà, çàðàíåå íåèçâåñòíàÿ, íàçûâàåòñÿ ðåàêöèåé ñâÿçè. Ñâÿçü (2.141) íàçûâàåòñÿ èäåàëüíîé, åñëè å¼ ðåàêöèÿ íàïðàâëåíà ïî íîðìàëè ê ãèïåðïîâåðõíîñòè (2.141).  ñëó÷àå, êîãäà óðàâíåíèå (2.141) ðå-

ãóëÿðíî, òî åñòü grad Φ(x) 6= 0 âñþäó íà ïîâåðõíîñòè Φ(x) = 0, ðåàêöèþ èäåàëüíîé ñâÿçè (2.141) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå: −λ grad Φ, ãäå λ  ìíîæèòåëü Ëàãðàíæà; çíàê ìèíóñ, êîíå÷íî, íå èìååò ñåðüåçíîãî çíà÷åíèÿ è ïîñòàâëåí ðàäè áóäóùèõ óäîáñòâ. Åñëè íà ÷àñòèöó, äâèæóùóþñÿ â ïðîñòðàíñòâå R3 , íàëîæåíà èäåàëüíàÿ ñâÿçü âèäà (2.141), è êðîìå ðåàêöèè ñâÿçè, íà íåå íå äåéñòâóþò èíûå ñèëû, òî ñîãëàñíî 2-ìó çàêîíó Íüþòîíà, óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

m¨ x = −λ grad Φ(x).

(2.144)

Çäåñü m  ìàññà ÷àñòèöû, x(t)  ïîëîæåíèå ÷àñòèöû â ìîìåíò t, λ(t)  ìíîæèòåëü Ëàãðàíæà, çàâèñÿùèé îò âðåìåíè t. Èç-çà ïðèñóòñòâèÿ íîâîé íåèçâåñòíîé ôóíêöèè λ(t) ìû äîëæíû ê âåêòîðíîìó óðàâíåíèþ (2.144) äî-

120

áàâèòü óðàâíåíèå ñâÿçè

Φ(x) = 0.

(2.145)

Ïîëó÷àåòñÿ ñâîåîáðàçíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé, â êîòîðóþ âõîäÿò 3 ñêàëÿðíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò x1 (t), x2 (t), x3 (t), à ÷åòâåðòîå óðàâíåíèå (2.145)  êîíå÷íîå, íå ñîäåðæèò ïðîèçâîäíûõ. Íàëè÷èå â ñèñòåìå (2.144), (2.145) óðàâíåíèÿ ñâÿçè çàìåòíî îñëîæíÿåò îòûñêàíèå å¼ ðåøåíèé. Èíîãäà óäàåòñÿ èçáàâèòüñÿ îò ñâÿçè ïóòåì ââåäåíèÿ ñïåöèàëüíûõ êîîðäèíàò íà ïîâåðõíîñòè (2.145). Íàïðèìåð, åñëè Φ(x) = x21 +

x22 − a2 , òî öåëåñîîáðàçíî ââåñòè ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû, ïîëàãàÿ äëÿ òî÷åê äàííîé ïîâåðõíîñòè

x1 = a cos θ,

x2 = a sin θ.

(2.146)

Òîãäà óðàâíåíèå (2.145) áóäåò óäîâëåòâîðåíî òîæäåñòâåííî, è ìû ñìîæåì ñîñòàâèòü óðàâíåíèå Ëàãðàíæà 2-ãî ðîäà, â êîòîðîì âìåñòî íåèçâåñòíûõ x1 ,

x2 , áóäåò ôèãóðèðîâàòü îäíà ïåðåìåííàÿ θ. Îáû÷íî òàê è ïîñòóïàþò, êîãäà ýòî âîçìîæíî. Íî äàëåêî íå âñåãäà óäàåòñÿ ââåñòè ïîäõîäÿùóþ êðèâîëèíåéíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò ñ òåì, ÷òîáû èñêëþ÷èòü óðàâíåíèå ñâÿçè. Ñîáñòâåííî ãîâîðÿ, ñïèñîê òàêèõ óäîáíûõ êîîðäèíàò èçâåñòåí è íå ñëèøêîì äëèí¼í  íàðÿäó ñ ïîëÿðíûìè, ýòî ñôåðè÷åñêèå, ãèïåðáîëè÷åñêèå, ýëëèïòè÷åñêèå, áèïîëÿðíûå êîîðäèíàòû è íåìíîãèå äðóãèå. Áîëåå òîãî, äàæå êîãäà íóæíûå êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû èçâåñòíû, íå âñåãäà ðàçóìíî èõ èñïîëüçîâàòü. Íàïðèìåð, óæå â ñëó÷àå ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò ïîÿâëÿþòñÿ ñèíóñû è êîñèíóñû, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ òðàíñöåíäåíòíûìè ôóíêöèÿìè. Îíè, êîíå÷íî, õîðîøè äëÿ àíàëèòè÷åñêèõ âûêëàäîê, íî ìîãóò ñóùåñòâåííî óâåëè÷èòü âðåìÿ âû÷èñëåíèÿ íà êîìïüþòåðå. Îäíà ñòóäåíòêà, ïî ìîåìó çàäàíèþ, íà ïðîñòåéøåì ïðèìåðå êðóãîâîãî ìàÿòíèêà ïðîâåðèëà, êàê âëèÿåò íà ïðîöåññ âû÷èñëåíèÿ èñïîëüçîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Îêàçàëîñü, ÷òî âðåìÿ âû÷èñëåíèÿ ìîæåò âûðàñòè íà ïîðÿäîê (â 3510 ðàç) ïî ñðàâíåíèþ ñ èíûì ìåòîäîì, òðåáóþùèì ëèøü âû÷èñëåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé.

121

Âûâîä ñîñòîèò â òîì, ÷òî íåëüçÿ èçáåæàòü èññëåäîâàíèÿ ñèñòåì ñî ñâÿçÿìè. Ñèòóàöèÿ, ïîíÿòíî, åùå îñëîæíÿåòñÿ, êîãäà íà ñèñòåìó íàëîæåíî ìíîãî ñâÿçåé, à òî è áåñêîíå÷íî ìíîãî. Êàê ðàç òàêîé ñëó÷àé âîçíèêàåò ïðè èññëåäîâàíèè íåñæèìàåìîé æèäêîñòè èëè ãèáêîé íåðàñòÿæèìîé íèòè.  ñëó÷àå íåèäåàëüíîé ñâÿçè íà ÷àñòèöó â õîäå å¼ äâèæåíèÿ äåéñòâóåò è íåêîòîðàÿ ïðîäîëüíàÿ, êàñàòåëüíàÿ ê ãèïåðïîâåðõíîñòè (2.141) ñèëà, ñêàæåì, ñèëà òðåíèÿ. Ñòðîãî ãîâîðÿ, ñèëû òðåíèÿ óæå è íå îòíîñÿòñÿ ê ìåõàíèêå, èìåþò íåìåõàíè÷åñêîå ïðîèñõîæäåíèå. Âïðî÷åì, â êóðñàõ ìåõàíèêè (åñëè îíè íàïèñàíû íå ôèçèêàìè-òåîðåòèêàìè èëè ïðèìêíóâøèìè ê íèì ìàòåìàòèêàìè) îáû÷íî èìååòñÿ ðàçäåë, ïîñâÿùåííûé òðåíèþ. Ñèëû òðåíèÿ â ïðèðîäå ÷ðåçâû÷àéíî ðàçíîîáðàçíû è äàëåêî åù¼ íå äîñòàòî÷íî èçó÷åíû.  êóðñàõ ìåõàíèêè ðàññìàòðèâàþòñÿ ëèøü ñàìûå ïðîñòûå âèäû òðåíèÿ. Èñêëþ÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ êóðñ ìåõàíèêè È. È. Âîðîâè÷à, êîòîðûé ñêîðî äîëæåí áûòü îïóáëèêîâàí, ê íåñ÷àñòüþ, óæå ïîñëå êîí÷èíû (â 2001 ã.) åãî àâòîðà.  ýòîì êóðñå äàí îáøèðíûé îáçîð ñîâðåìåííûõ ïðåäñòàâëåíèé è ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ðåçóëüòàòîâ ïî ñèëàì òðåíèÿ ñîïðèêàñàþùèõñÿ òâåðäûõ òåë. Òåîðèÿ âíóòðåííåãî òðåíèÿ â æèäêèõ òåëàõ ñòðîèòñÿ â ãèäðîäèíàìèêå, à äëÿ òâåðäûõ òåë  â òåîðèè âÿçêîóïðóãîñòè. Áîëåå îáùèé âçãëÿä íà ïðîöåññû òðåíèÿ â ñïëîøíûõ ñðåäàõ ðàçâèâàåò ñðàâíèòåëüíî íîâàÿ (âîçíèêøàÿ â ñåðåäèíå XX âåêà) íàóêà ðåîëîãèÿ. Äàëüøå áóäåì ðàññìàòðèâàòü èäåàëüíûå ãîëîíîìíûå è, ðàäè êðàòêîñòè, ñòàöèîíàðíûå ñâÿçè âèäà (2.141). Âïîëíå âîçìîæíî, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà ïîä÷èíåíà öåëîìó íàáîðó ñâÿçåé:

Φ1 (x) = 0,

Φ2 (x) = 0, . . . , Φr (x) = 0, .

(2.147)

Âñå ýòè r ñâÿçåé áóäåì ñ÷èòàòü èäåàëüíûìè. Êàæäàÿ èç íèõ Φj (x) = 0 ðàçâèâàåò ðåàêöèþ âèäà: −λj grad Φj (x).  èòîãå îáîáùåííîå óðàâíåíèå 2ãî çàêîíà Íüþòîíà (êîãäà íà ñèñòåìó íå äåéñòâóþò íèêàêèå äðóãèå ñèëû,

122

êðîìå ðåàêöèè ñâÿçè) ïðèìåò âèä

M x¨ = −

r X

λj grad Φj (x),

(2.148)

j=1

ãäå M  îïåðàòîð ìàññ. Íàðÿäó ñ x(t), ìíîæèòåëè Ëàãðàíæà λj òàêæå íåèçâåñòíû è äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû ñîâìåñòíî ñ x(t) èç ñèñòåìû (2.147), (2.148). Èñêëþ÷åíèå ñâÿçåé. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîëîæåíèå ñèñòåìû åñòü

òî÷êà q ∈ Rn , óäîâëåòâîðÿþùàÿ r (ñêàëÿðíûì) ãîëîíîìíûì, ñòàöèîíàðíûì, èäåàëüíûì ñâÿçÿì

Φ1 (q) = 0, . . . , Φr (q) = 0.

(2.149)

Òàêèì îáðàçîì, êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî X äàííîé ñèñòåìû åñòü ïîäìíîãîîáðàçèå â Rn , îïðåäåëÿåìîå óðàâíåíèÿìè (2.149). Êîíå÷íî, íóæíî íàëîæèòü íà çàäàííûå ôóíêöèè Φ1 , . . . , Φr íåêîòîðûå îãðàíè÷åíèÿ. Áóäåì ñ÷èòàòü èõ äîñòàòî÷íî ãëàäêèìè (ïî êðàéíåé ìåðå, êëàññà C 2 ), è ïðåäïîëîæèì, ÷òî óðàâíåíèÿ (2.149) ñîâìåñòíû (òàê ÷òî äàííîå ïîäìíîãîîáðàçèå íå ïóñòî), à ôóíêöèè Φ1 , . . . , Φr â êàæäîé òî÷êå q ∈ X íåçàâèñèìû.   Ïîñëåäíåå ∂Φi óñëîâèå îáåñïå÷èâàåòñÿ òðåáîâàíèåì, ÷òîáû ìàòðèöà ßêîáè i=1,...,r â

∂qj j=1,...,n êàæäîé òî÷êå q ∈ X èìåëà ìàêñèìàëüíûé ðàíã, ðàâíûé r. Îáû÷íî ýòî óñëîâèå çàïèñûâàåòñÿ â âèäå òðåáîâàíèÿ, ÷òîáû îäèí èç ìèíîðîâ r-ãî ïîðÿäêà áûë îòëè÷åí îò íóëÿ, íàïðèìåð,



∂Φi (q) det ∂qj

r 6= 0,

q ∈ X.

(2.150)

i,j=1

Íå íóæíî, îäíàêî, òîðîïèòüñÿ âûïèñûâàòü îïðåäåëèòåëè. Çà÷àñòóþ íåâûðîæäåííîñòü, îáðàòèìîñòü ìàòðèöû ëó÷øå óñòàíàâëèâàòü íåïîñðåäñòâåííî. À â ñëó÷àå, êîãäà ñâÿçåé áåñêîíå÷íî ìíîãî, è âîâñå îïðåäåëèòåëè (êàê ïðàâèëî, õîòÿ è íå âñåãäà!) òåðÿþò ñìûñë. Åñëè óñëîâèå (2.150) âûïîëíåíî, òî ìû ìîæåì ïðèìåíèòü òåîðåìó î íåÿâíîé ôóíêöèè è óñòàíîâèòü, ÷òî â (íåêîòîðîé) îêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè

123

q 0 ∈ X ìîæíî ââåñòè íîâûå êîîðäèíàòû q¯1 , q¯2 , . . . , q¯n , òàê ÷òî îíè âçàèìíî îäíîçíà÷íî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïðåæíèå:

¯ j (q1 , . . . , qn ), q¯j = Q

j = 1, . . . , n,

(2.151)

¯ j  ãëàäêèå ôóíêöèè, è ïðè ýòîì ÷àñòü ìíîãîîáðàçèÿ X â îêðåñòíîñòè Q òî÷êè q 0 îïðåäåëÿåòñÿ r óðàâíåíèÿìè

q¯n−r+1 = 0,

q¯n−r+2 = 0, . . . , q¯n = 0.

(2.152)

Ãðóáî ãîâîðÿ, ìîæíî ïðîñòî ïîëîæèòü

q¯n−r+1 = Φ1 (q1 , . . . , qn ), . . . , q¯n = Φr (q1 , . . . , qn ).

(2.153)

Ïðè ýòîì, ñäâèãàÿ íà÷àëî êîîðäèíàò, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî òî÷êå q 0 ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà q¯0 = 0. Äëÿ òî÷åê íà êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå X ìû áóäåì èìåòü âûðàæåíèÿ

q1 = Q1 (¯ q1 , . . . , q¯n−r ), . . . , qn = Qn (¯ q1 , . . . , q¯n−r ).

(2.154)

Òåïåðü ÿñíî, ÷òî ïîëîæåíèå ñèñòåìû ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì òî÷êè q¯ = (¯ q1 , . . . , q¯n−r ) â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íóëÿ ïðîñòðàíñòâà Rn−r . Åñëè ëàãðàíæèàí ñèñòåìû L = L(q, q, ˙ t) çàäàí, òî åãî ìîæíî òåïåðü âûðàçèòü ÷åðåç ïåðåìåííûå q¯1 , . . . , q¯n−r , q¯˙1 , . . . , q¯˙n−r . Òàêèì îáðàçîì, ìû èçáàâëÿåìñÿ îò ñâÿçåé è ìîæåì òåïåðü îïèñûâàòü äâèæåíèå ñèñòåìû îáû÷íûìè óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà 2-ãî ðîäà. Ê ñîæàëåíèþ, ýòî âåðíî ëèøü äî òåõ ïîð, ïîêà ñèñòåìà íå âûéäåò èç êîîðäèíàòíîé îêðåñòíîñòè òî÷êè q 0 . Åñëè æå ýòî ïðîèçîéäåò, òî ïðèäåòñÿ ââîäèòü íîâóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò, â îêðåñòíîñòè èíîé òî÷êè, ñêàæåì, q 1 ∈ X . Ëèøü â ðåäêèõ ñëó÷àÿõ óäàåòñÿ îïðåäåëèòü ãëîáàëüíî, íà âñåì ïðîñòðàíñòâå X , òàêèå êîîðäèíàòû, ÷òî óðàâíåíèÿ ñâÿçåé âûïîëíÿþòñÿ òîæäåñòâåííî. Ïîýòîìó â îáùåé òåîðèè ìû âûíóæäåíû ðàññìàòðèâàòü ëîêàëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò è ïåðåõîäû îò îäíîé ëîêàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò  ê äðóãîé, îïÿòü-òàêè ëîêàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.

124

Êîíå÷íî, òàêîé îáùèé ìåòîä ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ çàäà÷ áîëüøå ïîäõîäèò äëÿ êîìïüþòåðà, ÷åì äëÿ ÷åëîâåêà. Âìåñòå ñ òåì, äîëæåí çàìåòèòü, ÷òî íà ñåãîäíÿ ñîîòâåòñòâóþùèå âû÷èñëèòåëüíûå ïðîöåäóðû î÷åíü ñëàáî ðàçâèòû. Ñîçäàíèå àëãîðèòìîâ è ïðîãðàìì äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñî ñâÿçÿìè îñòàåòñÿ îäíîé èç âåñüìà àêòóàëüíûõ ïðîáëåì âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Òàê èëè èíà÷å, èññëåäîâàíèå è îáùèõ, è êîíêðåòíûõ ñèñòåì ñî ñâÿçÿìè ìîæíî, è ñëåäóåò ïðîâîäèòü ñíà÷àëà, è íàñòîëüêî äàëåêî, íàñêîëüêî ýòî âîçìîæíî, íå ââîäÿ êîîðäèíàò è íå èñêëþ÷àÿ ñâÿçåé. Ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà äëÿ ñèñòåì ñî ñâÿçÿìè. Ðàññìîòðèì ìåõà-

íè÷åñêóþ ñèñòåìó, çàäàííóþ ëàãðàíæèàíîì L = L(q, q, ˙ t), ãäå q ∈ D ⊂ Rn ,

q˙ ∈ Rn , è ïîä÷èíåííóþ èäåàëüíûì ãîëîíîìíûì ñâÿçÿì Φ1 (q, t) = 0, . . . , Φr (q, t) = 0.

(2.155)

Çäåñü ìû ðàçðåøàåì ôóíêöèÿì Φj çàâèñåòü îò âðåìåíè. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè t1 < t2 îïðåäåëèì, êàê è ðàíüøå, äåéñòâèå S , ïîëàãàÿ

Zt2 S=

L(q, q, ˙ t)dt.

(2.156)

t1

Ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà ïî-ïðåæíåìó çàïèñûâàåòñÿ â âèäå

δS = 0,

(2.157)

îäíàêî íà äåôîðìàöèè è âàðèàöèè íåîáõîäèìî íàëîæèòü äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ ñîãëàñîâàííîñòè ñî ñâÿçÿìè. Îáúÿñíþ ýòî ïîäðîáíåå. Ïóñòü q(t)  èñòèííîå äâèæåíèå ñèñòåìû. Îïðåäåëèì åãî äåôîðìàöèþ

q˜ = q˜(t, ε), ñîõðàíÿÿ ïðåæíèå óñëîâèÿ è äîáàâëÿÿ ê íèì ëèøü òðåáîâàíèå ñîâìåñòíîñòè ñî ñâÿçÿìè (2.155):

Φ1 (˜ q (t, ε), t) = 0, . . . , Φr (˜ q (t, ε), t) = 0

(2.158)

125

äëÿ âñåõ t è ìàëûõ ε. Íàïîìíþ ïðåæíèå òðåáîâàíèÿ ê äåôîðìàöèè q˜(t, ε). Ýòî äîëæíà áûòü ãëàäêàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ îò âðåìåíè t (ñêàæåì, íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå, ñîäåðæàùåì (t1 , t2 )) è îò ε â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè

ε = 0 â R. Ïðè ε = 0 äîëæíî ïîëó÷àòüñÿ èñòèííîå äâèæåíèå: q˜(t, 0) = q(t). Êàê îáû÷íî, â ïðèíöèïå Ãàìèëüòîíà íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå ïîëîæåíèÿ ñèñòåìû äîëæíû ñîõðàíÿòüñÿ:

q˜(t1 , ε) = q(t1 ),

q˜(t2 , ε) = q(t2 )

(2.159)

äëÿ âñåõ ìàëûõ ε. Âàðüèðîâàíèå, âû÷èñëåíèå âàðèàöèè ïî-ïðåæíåìó îçíà÷àåò ïðèìåíåíèå îïåðàöèè

d δ= dε ε=0

(2.160)

Ðàâåíñòâî (2.157), òàê æå, êàê è ðàíüøå, ïðèâîäèò ê ñîîòíîøåíèþ

Zt1  δS =

d Lq − Lq˙ dt

 · δq dt = 0.

(2.161)

t2

Òåïåðü, îäíàêî, îíî âûïîëíÿåòñÿ íå äëÿ âñåõ âàðèàöèé δq , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì δq t=t = 0, δq t=t = 0, à ëèøü äëÿ âàðèàöèé δq , óäîâëåòâîðÿþ-





1

2

ùèõ äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèÿì, ïîëó÷àåìûì âàðüèðîâàíèåì ñâÿçè (2.155). Äèôôåðåíöèðóÿ ðàâåíñòâà (2.158) ïî ε ïðè ε = 0, ïîëó÷àåì ýòè óñëîâèÿ â âèäå

grad Φj (q, t) · δq = 0,

j = 1, . . . , r.

(2.162)

Ïîñêîëüêó t1 è t2 ïðîèçâîëüíû, èç (2.161) ñëåäóåò ðàâåíñòâî



d Lq − Lq˙ dt

 · δq = 0

(2.163)

â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t. Ðàâåíñòâà (2.162) ãîâîðÿò íàì, ÷òî âàðèàöèÿ

δq îðòîãîíàëüíà ê ïîäïðîñòðàíñòâó Y , ïîðîæäàåìîìó âåêòîðàìè grad Φj , d j = 1, . . . , r, à ðàâåíñòâî (2.163) îçíà÷àåò, ÷òî Lq − Lq˙ îðòîãîíàëüíî ê δq , dt à çíà÷èò, ëåæèò â ïîäïðîñòðàíñòâå Y . Ïîñêîëüêó âåêòîðû grad Φj îáðàçóþò

126

áàçèñ â Y èìååì

r X d Lq˙ − Lq = − λj grad Φj . dt j=1

(2.164)

Çäåñü ñêàëÿðíûå ôóíêöèè λj (t), íàçûâàåìûå ìíîæèòåëÿìè Ëàãðàíæà, ñóòü êîýôôèöèåíòû â ðàçëîæåíèè ïî áàçèñó ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.164). Ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå äâèæåíèÿ â ôîðìå óðàâíåíèé Ëàãðàíæà 1-ãî ðîäà. Èõ íóæíî ðåøàòü ñîâìåñòíî ñ óðàâíåíèÿìè ñâÿçåé (2.155). Çàäà÷à Êîøè äëÿ óðàâíåíèé Ëàãðàíæà 1-ãî ðîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû íàéòè ðåøåíèå ñèñòåìû (2.155), (2.164) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè

q t=t0 = q 0 ,

q˙ t=t0 = q˙0 .

(2.165)

Çäåñü ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü q˙0 äîëæíà áûòü ïîä÷èíåíà óñëîâèÿì, íàëàãàåìûì ñâÿçÿìè (2.155). Ýòè óñëîâèÿ ìû ïîëó÷èì, ïîäñòàâëÿÿ q(t) â (2.155) è äèôôåðåíöèðóÿ ïî t ïðè t = t0 . Îíè èìåþò âèä

∂Φj (q 0 , t0 ) + ∇Φj (q 0 , t0 ) · q˙0 = 0. ∂t

(2.166)

 ÷àñòíîì ñëó÷àå íàòóðàëüíîé ñèñòåìû ñ íóëåâîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé 1/2(M x, ˙ x) ˙ óðàâíåíèÿ (2.164) ñîâïàäàþò ñ óðàâíåíèÿìè (2.148). Óðàâíåíèÿ 2-ãî ðîäà, êîòîðûå ìû ðàññìàòðèâàëè ðàíüøå, ïîëó÷àþòñÿ, êîãäà íåò ñâÿçåé. Ñèëà ïðèíöèïà Ãàìèëüòîíà è âûòåêàþùèõ èç íåãî óðàâíåíèé Ëàãðàíæà 2-ãî ðîäà êàê ðàç â òîì è ñîñòîèò, ÷òî èõ ôîðìà èíâàðèàíòíà, íå çàâèñèò, ïî ñóùåñòâó, îò âûáîðà êîîðäèíàò  íà ïðàêòèêå, ïðè ïåðåõîäå ê íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, íóæíî ëèøü ñäåëàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ â ëàãðàíæèàíå. Çàìå÷ó åùå, ÷òî íåðåäêî íàì óäàåòñÿ èñêëþ÷èòü ëèøü ÷àñòü íàëîæåííûõ íà ñèñòåìó ñâÿçåé, òàê ÷òî ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ìíîãî ðàçëè÷íûõ ôîðì óðàâíåíèé Ëàãðàíæà 1-ãî ðîäà äëÿ äâèæåíèé îäíîé è òîé æå ñèñòåìû.  çàêëþ÷åíèå ñôîðìóëèðóåì ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà äëÿ ñèñòåì ñî ñâÿçÿìè.

127

Äëÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ñ ëàãðàíæèàíîì L = L(q, q, ˙ t), ïîä÷èíåííîé èäåàëüíûì ãîëîíîìíûì ñâÿçÿì (2.155), äåéñòâèå ïî Ãàìèëüòîíó, îïðåäåëåííîå ðàâåíñòâîì (2.156), ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíîå (ïðè ìàëûõ t2 − t1  ìèíèìàëüíîå) çíà÷åíèå äëÿ èñòèííîãî äâèæåíèÿ, ïî ñðàâíåíèþ ñ âèðòóàëüíûìè äâèæåíèÿìè, ïîä÷èíåííûìè ñâÿçÿì (2.155) è ñîõðàíÿþùèìè íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå ïîëîæåíèÿ ñèñòåìû. 2.8

Äèíàìèêà ãèáêîé íåðàñòÿæèìîé íèòè.

Ñïåöèôè÷åñêèå, î÷åíü èíòåðåñíûå, øèðîêî ïðèìåíÿåìûå íà ïðàêòèêå è âî ìíîãîì òàèíñòâåííûå â òåîðèè äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû ñî ñâÿçÿìè âîçíèêàþò â ìåõàíèêå ñïëîøíîé ñðåäû. Ñðåäè íèõ íàèáîëåå âàæíûå  íåñæèìàåìàÿ

æèäêîñòü è ãèáêàÿ íåðàñòÿæèìàÿ íèòü. Ñåé÷àñ ìû ïðèìåíèì ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà äëÿ ñèñòåì ñî ñâÿçÿìè, îáîáùèâ åãî íà ñèñòåìû ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû, êàêîâîé ÿâëÿåòñÿ íèòü, è âûâåäåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ íèòè. Ñðàçó ñêàæó, ÷òî íàø âûâîä áóäåò âî ìíîãîì ôîðìàëüíûì (õîòÿ è ãîðàçäî áîëåå ñòðîãèì, ÷åì â îáû÷íûõ êíèãàõ ïî ìåõàíèêå). Ìû óâèäèì, êàêèå íóæíî ñòàâèòü êðàåâûå óñëîâèÿ.  ÷àñòíîñòè, áóäåò íàéäåíî

åñòåñòâåííîå êðàåâîå óñëîâèå, êîòîðîå "âîçíèêàåò ñàìî ñîáîé" èç ïðèíöèïà Ãàìèëüòîíà. Íà÷èíàòü ñëåäóåò ñ îïðåäåëåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, à çàòåì îïðåäåëèòü, ñîîòâåòñòâåííî, êîíôèãóðàöèîííîå è ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâà. Ôèçèêè ãîâîðÿò, ÷òî íèòü  ýòî äåôîðìèðóåìîå òâåðäîå òåëî, ó êîòîðîãî îäèí èç ðàçìåðîâ ìíîãî áîëüøå äâóõ äðóãèõ. Êîíå÷íî, ýòî ñêîðåå îòíîñèòñÿ ê îáëàñòè ïðèìåíèìîñòè òîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, êîòîðóþ ìû ñîáèðàåìñÿ ïîñòðîèòü. ßñíî, ÷òî íåîáõîäèìî èìåòü õîòÿ áû èíòóèòèâíîå ïðåäñòàâëåíèå î òîì îáúåêòå, êîòîðûé ìû ñòðåìèìñÿ îïèñàòü ïðè ïîìîùè ìàòåìàòèêè. Íèòü åñòü îäíîìåðíàÿ ñïëîøíàÿ ñðåäà, äðóãèå îäíîìåðíûå ñïëîøíûå ñðåäûñòåðæíè, áàëêè (â ïðîñòåéøåì âàðèàíòå, êîãäà íå ó÷èòûâàåòñÿ èõ òîëùèíà), ñòðóéêè ïûëè (îäíîìåðíûå ïûëåâûå ñðåäû).

128

x(s, t) r

 
r

r

r

0

s

`

P P  

Ðèñ. 5:

Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ôèêñèðîâàíî ñòàíäàðòíîå ñîñòîÿíèå íèòè  îòðåçîê [0, `] íà âåùåñòâåííîé îñè, `  äëèíà íèòè. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìåõàíèêè, ìû ðàññìàòðèâàåì íåäåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå íèòè. Íî ëó÷øå ïîíèìàòü åãî àáñòðàêòíîíå èíòåðåñîâàòüñÿ ïîíà÷àëó, êàê ýòà íåäåôîðìèðîâàííàÿ íèòü âëîæåíà â ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì ïðîèñõîäèò äâèæåíèå ðåàëüíîé íèòè. Ñîñòîÿíèå íèòè â äàííûé ìîìåíò t åñòü îòîáðàæåíèå x : [0, `] → R3 (ñì. Ðèñ. 5). Òåõíè÷åñêè óäîáíî ñ÷èòàòü, ÷òî òî÷êà íà îòðåçêå [0, `] çàäàåòñÿ ñâîåé äåêàðòîâîé êîîðäèíàòîé s. Ìû ñåé÷àñ èìååì äåëî ñ íèòüþ â ïðîñòðàíñòâå R3 , èíîãäà èíòåðåñíî ðàññìàòðèâàòü íèòü â Rn èëè íà íåêîòîðîì ïîäìíîãîîáðàçèè â Rn , à òî è íà ïðîèçâîëüíîì ìíîãîîáðàçèè. Óñëîâèå íåðàñòÿæèìîñòè íèòè îçíà÷àåò, ÷òî íå òîëüêî åå ïîëíàÿ äëèíà

` íå ìåíÿåòñÿ â õîäå äâèæåíèÿ, íî è äëèíà êàæäîé åå äóãè ìåæäó s1 è s2 òàêæå íå ìîæåò ìåíÿòüñÿ. Ýòî ìîæíî çàïèñàòü â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå, 2

äëÿ êâàäðàòîâ ýëåìåíòîâ äëèíû: dx2 = ds2 . Çàìå÷àÿ, ÷òî dx2 = x0 ds2 , çàïèøåì óñëîâèå íåðàñòÿæèìîñòè íèòè â âèäå 2

x0 = 1.

(2.167)

Çäåñü x0 = x0 (s, t)  ïðîèçâîäíàÿ ïî s îò x. Çàìåòèì, ÷òî x = (x1 , x2 , x3 ) ∈

R3 . Ñîîòíîøåíèå (2.167) äàëåå òðàêòóåòñÿ êàê óðàâíåíèå èäåàëüíîé ñòàöèîíàðíîé ñâÿçè. Èòàê, ïîëîæåíèå íåðàñòÿæèìîé íèòè åñòü îòîáðàæåíèå x : [0, `] →

129

R3 , óäîâëåòâîðÿþùåå óðàâíåíèþ (2.167). Åñëè íè÷åãî áîëüøå íå äîáàâëÿòü, ïîëó÷èòñÿ, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì íèòü ñî ñâîáîäíûìè êîíöàìè.  ñëó÷àå, êîãäà êîíåö íèòè (ñêàæåì ëåâûé, s = 0) çàêðåïëåí èëè ñîâåðøàåò äâèæåíèå ïî çàäàííîìó çàêîíó, íóæíî åùå ïîñòàâèòü äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå

x s=0 = x0 (t),

(2.168)

ãäå x0 (t)  çàäàííûé çàêîí äâèæåíèÿ ýòîãî êîíöà.  ñëó÷àå, êîãäà x0 (t) = a, íå çàâèñèò îò âðåìåíè, âûõîäèò, ÷òî êîíåö íèòè çàôèêñèðîâàí â òî÷êå a. Óñëîâèå (2.160) òàêæå ìîæíî òðàêòîâàòü êàê èäåàëüíóþ ñâÿçü. Ýòî, êîíå÷íî, îçíà÷àåò, ÷òî ìû ïðåíåáðåãàåì òðåíèåì â òî÷êå çàêðåïëåíèÿ íèòè. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè, äàëüøå áóäåì ðàññìàòðèâàòü íèòü, ó êîòîðîé ëåâûé êîíåö äâèãàåòñÿ ïî çàäàííîìó çàêîíó, à ïðàâûé  ñâîáîäåí.  ýòîì ñëó÷àå óñëîâèå (2.168) ñëåäóåò âêëþ÷èòü â îïðåäåëåíèå êîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà. Íèòü  íàòóðàëüíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà, å¼ ëàãðàíæèàí åñòü ðàçíîñòü ìåæäó êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé T è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé V :

L = T − V.

(2.169)

×òîáû îïðåäåëèòü êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ, íóæíî çàäàòü ëèíåéíóþ ïëîòíîñòü ρ(s). Òîãäà

1 T = 2

Z`

ρx˙ 2 ds.

(2.170)

0

 áîëåå îáùåé ñèòóàöèè çàäàåòñÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ µ = µ(s) ìàññû âäîëü íèòè. Ôóíêöèÿ µ(s) åñòü ìàññà îòðåçêà íèòè [0, s). Òîãäà êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ çàäàåòñÿ èíòåãðàëîì Ñòèëòüåñà

1 T = 2

Z`

x˙ 2 dµ(s).

(2.171)

0

 òîì ñëó÷àå, êîãäà ôóíêöèÿ µ(s) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà (èëè õîòÿ áû àáñîëþòíî íåïðåðûâíà), âûðàæåíèå (2.171) ïåðåõîäèò â (2.170), ïðè÷åì

130

ρ(s) = µ0 (s). Äàëüøå áóäåì ñ÷èòàòü ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé (2.170). Ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ îäíîìåðíîé ñïëîøíîé ñðåäû, êîòîðàÿ äâèãàåòñÿ â R3 , âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæíî ïîäðàçäåëèòü íà âíóòðåííþþ è âíåøíþþ. Ìîäåëü àáñîëþòíî ãèáêîé íèòè ñòðîèòñÿ íà ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âíóòðåííÿÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ Vi = 0.  îáùåé ñèòóàöèè ïðèõîäèòñÿ ó÷èòûâàòü êàê ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ñæàòèÿ (å¼ ñåé÷àñ íåò , ïîòîìó ÷òî íèòü íåñæèìàåìà), òàê è ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ èçãèáà  òîãäà ïîëó÷àþòñÿ ðàçëè÷íûå ìîäåëè óïðóãîãî ñòåðæíÿ èëè áàëêè. Âíåøíÿÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñîçäàåòñÿ âíåøíèìè ñèëàìè, äåéñòâóþùèìè íà íèòü. Åñëè, íàïðèìåð, íèòü íàõîäèòñÿ â ïîëå ñèëû òÿæåñòè, òî ãðàâèòàöèîííàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé

Z` Ve = −

ρx · g¯ds,

(2.172)

0

ãäå g¯  âåêòîð óñêîðåíèÿ ñèëû òÿæåñòè. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî êðîìå ñèëû òÿæåñòè, íåò èíûõ âíåøíèõ ñèë, ìû ìîæåì çàïèñàòü ëàãðàíæèàí àáñîëþòíî ãèáêîé íèòè â âèäå (2.169), ãäå T äàåòñÿ ôîðìóëîé (2.170), à V = Ve  ôîðìóëîé (2.172). Äåéñòâèå òîãäà çàïèñûâàåòñÿ â ôîðìå

Zt2 S=

Zt2 Z`  L dt =

t1

t1

 ρx˙ 2 + ρxg dsdt. 2

(2.173)

0

Òåïåðü ïåðåéäåì ê ïðèìåíåíèþ ïðèíöèïà Ãàìèëüòîíà (δS = 0), ñ ó÷åòîì ñâÿçè (2.167) (òî÷íåå, áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ñâÿçåé (2.167)). Èòàê, ïóñòü x = x(s, t)  èñòèííîå äâèæåíèå. Ðàññìîòðèì åãî äåôîðìàöèþ x ˜ = x˜(s, t, ε), îïðåäåëåííóþ äëÿ ε ∈ (−ε0 , ε0 ), ε0 > 0; âåëè÷èíà ε0 äàëåå íèãäå íå ôèãóðèðóåò, òàê ÷òî äîñòàòî÷íî ñêàçàòü, ÷òî ε èçìåíÿåòñÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íóëÿ. Ïðè ýòîì ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî îòîáðàæåíèå

x˜ : (s, t, ε) 7→ x˜(s, t, ε) îáëàäàåò íåêîòîðîé ãëàäêîñòüþ, äîñòàòî÷íîé äëÿ ñëåäóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé. Åñëè óãîäíî, ìîæíî ñ÷èòàòü ñíà÷àëà, ÷òî x ˜ ∈ C ∞,

131

à çàòåì óòî÷íèòü, ñêîëüêî ïðîèçâîäíûõ íà ñàìîì äåëå íóæíî. Ïî îïðåäåëåíèþ äåôîðìàöèè, x ˜(s, t, 0) = x(s, t) äëÿ âñåõ s è t. Êðîìå òîãî, äåôîðìàöèÿ

x˜(s, t, ε) äëÿ âñåõ ìàëûõ ε äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèÿì ñâÿçåé.  íàøåì ñëó÷àå ýòî óñëîâèå íåðàñòÿæèìîñòè íèòè (2.167), à òàêæå è óñëîâèå çàêðåïëåíèÿ (2.168):

x˜0 2 (s, t, ε) = 1,

(2.174)

x˜0 2 (0, t, ε) = x0 (t).

(2.175)

Êàê âñåãäà â ïðèíöèïå Ãàìèëüòîíà, òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ïðè çàäàííûõ íà÷àëüíîì è êîíå÷íîì ìîìåíòàõ âðåìåíè t1 è t2 äåôîðìàöèÿ óäîâëåòâîðÿëà óñëîâèÿì "çàêðåïëåíèÿ êîíöîâ"

x˜(s, t1 , ε) = x(s, t1 ),

x˜(s, t2 , ε) = x(s, t2 ).

(2.176)

Âàðüèðóÿ ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì óñëîâèÿ äëÿ âàðèàöèè

δx(s, t) t=t1 , t2 = 0.

(2.177)

Íàïîìíþ åùå, ÷òî îïåðàöèÿ âàðüèðîâàíèÿ δ åñòü äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî ïàðàìåòðó äåôîðìàöèè ε ïðè ε = 0, òàê ÷òî

d δ= . dε ε=0

(2.178)

Ïðèìåíåíèå âàðüèðîâàíèÿ äàåò âàðèàöèþ. Íàïðèìåð, âàðèàöèÿ δx îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì

d δx = x˜(s, t, ε). dε ε=0

(2.179)

Âàðüèðîâàíèå ñâÿçåé (2.174) è (2.175) äàåò ðàâåíñòâà

x0 · δx0 = 0, δx s=0 = 0. Ðàäè êðàòêîñòè, îïóùåíû àðãóìåíòû s, t â (2.180) è t â (2.181).

(2.180) (2.181)

132

Âàðüèðóÿ äåéñòâèå (2.173) è ïðèìåíÿÿ ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà, ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî

Zt2 Z` (ρxδ ˙ x˙ + ρg · δx) dsdt.

δS = t1

(2.182)

0

Êàê îáû÷íî, ïðåîáðàçóÿ ïåðâîå ñëàãàåìîå ïîñðåäñòâîì èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì ïî t, ñ ó÷åòîì (2.177) è ïðèìåíÿÿ ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà, ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèþ

Zt2 Z` (−ρ¨ x + ρg) · δx dsdt = 0, t1

(2.183)

0

êîòîðîå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ äëÿ âñåõ âåêòîð-ôóíêöèé δx(s, t), óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì (2.177), (2.180), (2.181) è, êîíå÷íî, äîñòàòî÷íî ãëàäêèõ. ×òîáû èçáàâèòüñÿ îò ìåøàþùèõ äâèãàòüñÿ äàëüøå îãðàíè÷åíèé íà âàðèàöèþ δx, ïðèìåíèì ìåòîä Ëàãðàíæà. Óìíîæàÿ óðàâíåíèå (2.180) íà íîâóþ íåèçâåñòíóþ, à ïîêà ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ λ = λ(s, t) (ìíîæèòåëü Ëàãðàíæà) è èíòåãðèðóÿ ïî s, t, ïîëó÷èì

Zt2 Z` t1

λx0 · δx0 dsdt = 0.

(2.184)

0

Âû÷èòàÿ (2.184) èç (2.183), ïîëó÷èì

Zt2 Z` t1

[(−ρ¨ x + ρg) δx − λx0 · δx0 ] dsdt = 0.

(2.185)

0

Óñëîâèå ñâÿçè (2.181) ïîêà îñòàâëÿåì áåç âíèìàíèÿ, äàëüøå îíî áóäåò èñïîëüçîâàíî. Ìû ìîæåì òåïåðü ñ÷èòàòü, êàê îáû÷íî â âàðèàöèîííûõ çàäà÷àõ ñî ñâÿçÿìè, ÷òî ôóíêöèÿ λ âûáðàíà òàêèì îáðàçîì, ÷òî ðàâåíñòâî (2.185) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âàðèàöèé δx, êîòîðûå óæå íå îáÿçàíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ (2.180). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ðàâåíñòâî (2.185) èìååò ìåñòî äëÿ ëþáûõ t1 è t2 , ìîæíî óáðàòü èíòåãðàë ïî t (ôîðìàëüíî: äèôôåðåíöèðóåì ïî t2 è ó÷èòûâàåì, ÷òî

133

t2 ïðîèçâîëüíî). Òàêèì îáðàçîì, èìååì Z`

[(−ρ¨ x + ρg) δx − λx0 δx0 ] ds = 0.

(2.186)

0

Ýòî ñîîòíîøåíèå âûïîëíÿåòñÿ â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t. Ïåðåáðîñèì ïðîèçâîäíóþ ïî s ñ δx0 íà âòîðîé ìíîæèòåëü λx0 â ïîñëåäíåì ñëàãàåìîì ïîñðåäñòâîì èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì. Ó÷èòûâàÿ êðàåâîå óñëîâèå íà ëåâîì êîíöå (2.181), ïîëó÷àåì

Z`

(−ρ¨ x + ρg − (λx0 )0 ) δxds + λx0 · δx s=` = 0.

(2.187)

0

Òåïåðü ìû åùå ðàç ïðèìåíèì èäåþ âûâîäà åñòåñòâåííîãî êðàåâîãî óñëîâèÿ, êîòîðàÿ áûëà óæå èñïîëüçîâàíà ðàíüøå â ñëó÷àå âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ. Ñíà÷àëà ìû ðàññìàòðèâàåì ðàâåíñòâî (2.187) â òîì ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà

δx = 0 ïðè s = `, è ïîêàçûâàåì, ÷òî èç ïîëó÷åííîãî èíòåãðàëüíîãî ðàâåíñòâà óæå ñëåäóåò óðàâíåíèå äâèæåíèÿ

ρ¨ x = (λx0 )0 + ρg,

(2.188)

êîòîðîå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ äëÿ âñåõ t è s ∈ (0, `). Íî ïîñëå òîãî, êàê óðàâíåíèå (2.188) âûâåäåíî, ìû âèäèì, ÷òî èíòåãðàë â (2.187) èñ÷åçàåò äëÿ ëþáûõ δx.  ðåçóëüòàòå èìååì ðàâåíñòâî

λx0 · δx s=` = 0.

(2.189)

Ïîñêîëüêó δx s=` ìîæíî âûáèðàòü ïðîèçâîëüíî, èìååì ïðàâî ïîëîæèòü â



(2.189) δx s=` = x0 s=` . Â ðåçóëüòàòå íàõîäèì åñòåñòâåííîå êðàåâîå óñëîâèå





íà ñâîáîäíîì êîíöå íèòè s = `:

λ s=` = 0.

(2.190)

Åùå ðàç ìû óáåæäàåìñÿ â äâîéíîé ïîëüçå ïðèíöèïà Ãàìèëüòîíà â ìåõàíèêå ñïëîøíîé ñðåäû  îí äàåò íå òîëüêî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, íî è åñòåñòâåííûå êðàåâûå óñëîâèÿ. Ïîñëåäíèå ïîëó÷àþòñÿ íà òåõ ÷àñòÿõ ãðàíèöû îáëàñòè,

134

çàíÿòîé ñïëîøíîé ñðåäîé, ãäå ïåðâîíà÷àëüíî íå ñòàâÿòñÿ íèêàêèå êðàåâûå óñëîâèÿ èëè çàäàí íåïîëíûé íàáîð êðàåâûõ óñëîâèé. Ïðèìåðàìè ìîãóò ñëóæèòü ñâîáîäíûå ãðàíèöû (íèêàêèõ êðàåâûõ óñëîâèé äëÿ äåôîðìàöèé) èëè ïîäâèæíûå òâåðäûå ãðàíèöû. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îïèñàíèÿ äèíàìèêè íèòè ïðè ïîñòàâëåííûõ âûøå óñëîâèÿõ ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå (2.188) ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè (2.190) è (ñì. (2.168))

x s=0 = x0 (t).

(2.191)

 íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè äîëæíû áûòü çàäàíû ïîëîæåíèå íèòè è ñîîòâåòñòâóþùåå ïîëå ñêîðîñòåé:

x t=0 = x0 (s), x˙ t=0 = v(s),

(2.192) (2.193)

Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ x0 è âåêòîð-ôóíêöèÿ v íå âïîëíå ïðîèçâîëüíû. Îíè äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì, âûòåêàþùèì èç óðàâíåíèÿ ñâÿçè

x002 = 1,

x00 · v 0 = 0.

(2.194)

Âòîðîå ðàâåíñòâî ïîëó÷àåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî t ïðè t = 0 óðàâíåíèÿ

x0 2 = 1. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ìíîæèòåëÿ Ëàãðàíæà λ. Êîãäà ìû ïðèìåíÿåì

ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà, ôèçè÷åñêèé ñìûñë ìíîæèòåëÿ Ëàãðàíæà îñòàåòñÿ â òåíè. Ðàññìîòðèì ýëåìåíò íèòè ìåæäó òî÷êàìè s è s + ds (ñì. Ðèñ. 6). Òàê êàê íèòü íå ñîïðîòèâëÿåòñÿ èçãèáó, ñèëû, äåéñòâóþùèå íà âûáðàííûé ýëåìåíò íèòè ñî ñòîðîíû îñòàëüíûõ ÷àñòåé íèòè â òî÷êàõ s è s +ds, êàñàòåëüíû ê íèòè (ïîïåðå÷íûõ ñèë íåò). Ïîýòîìó òàêóþ ñèëó ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

λx0 , ãäå λ = λ(s, t)  íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ. Ýòî âíóòðåííÿÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ýëåìåíò íèòè "ñïðàâà"  ñî ñòîðîíû áîëüøèõ çíà÷åíèé s. Îíà âîçíèêàåò â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ âûáðàííîãî ýëåìåíòà íèòè ñ îñòàëüíîé ÷àñòüþ íèòè.Ïî òðåòüåìó çàêîíó Íüþòîíà, ñëåâà äåéñòâóåò ñèëà −λx0 ,

135

λx0 s+ds X X ( (  ((((  ( ( r( r

s + ds

−λx0  s  ( (

Ðèñ. 6:

îòëè÷àþùàÿñÿ ëèøü çíàêîì. Ìû âèäèì, ÷òî ðàâíîäåéñòâóþùàÿ äâóõ ñèë, ðàñòÿãèâàþùèõ ýëåìåíò íèòè (s, s + ds), åñòü (λx0 )0 ds  ñ òî÷íîñòüþ äî ìàëûõ âûñøåãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ds. Ñðàâíèâàÿ ýòî âûðàæåíèå ñ ïðàâîé ÷àñòüþ óðàâíåíèÿ (2.189), çàêëþ÷àåì, ÷òî λ åñòü âåëè÷èíà ðàñòÿãèâàþùåãî óñèëèÿ â òî÷êå íèòè. Ïðè ýòîì ïîëîæèòåëüíûì λ ñîîòâåòñòâóåò ðàñòÿæåíèå, à îòðèöàòåëüíûì  ñæàòèå íèòè. Äàëüøå ìû ïîêàæåì, ÷òî λ(s, t) > 0 äëÿ âñåõ s, t , òàê ÷òî íèòü âñåãäà íàõîäèòñÿ â ðàñòÿíóòîì ñîñòîÿíèè â êàæäîé ñâîåé òî÷êå. Íèòü âñåãäà ðàñòÿíóòà. Èíòóèöèÿ ãîâîðèò íàì, ÷òî íèòü, íå ñîïðî-

òèâëÿþùàÿñÿ èçãèáó, íå ìîæåò âûäåðæàòü ñæàòèÿ. Åñëè å¼ âñ¼-òàêè ñæàòü, òî ïðè ìàëåéøåì îòêëîíåíèè îò ñòðîãî ïðÿìîëèíåéíîé ôîðìû îíà íà÷íåò ñèëüíî ìîðùèòüñÿ, ïî íåé ïîéäóò î÷åíü êîðîòêèå âîëíû. Òàê êàê íåò íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íà äëèíó òàêèõ âîëí è èõ àìïëèòóäû, îêàæåòñÿ, ÷òî âîçíèêíóò âîëíû ñêîëü óãîäíî ìàëîé äëèíû ñ áîëüøèìè àìïëèòóäàìè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãëàäêîñòü ðåøåíèÿ ñèëüíî ïîðòèòñÿ, íàñòîëüêî, ÷òî ðåøåíèå âîîáùå ìîæåò áûòü ðàçðóøåíî. Âñå ýòî òèïè÷íî äëÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷ òèïà çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ îòðèöàòåëüíûõ âðåìåí èëè çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà. Äàëüøå ìû óâèäèì, ÷òî èìåííî ýòà ïîñëåäíÿÿ çàäà÷à, äåéñòâèòåëüíî, âîçíèêíåò, åñëè ìû âçäóìàåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó î ñæàòîé íèòè. Ïîíÿòíî, ÷òî îïèñàííûå ïàòîëîãèè ñâÿçàíû ñ ÷ðåçìåðíîé èäå-

136

àëèçàöèåé ìîäåëè. Îíè, êîíå÷íî, èñ÷åçàþò, åñëè ó÷åñòü èçãèáíóþ æåñòêîñòü è/èëè âíóòðåííåå âÿçêîå òðåíèå. Çàìå÷ó, ÷òî â ïîäîáíûõ ñèòóàöèÿõ áîëüøîé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò èññëåäîâàíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ðåøåíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ êðàåâûõ çàäà÷ (äëÿ ðàâíîâåñèé îäíîìåðíîé ñïëîøíîé ñðåäû), à òàêæå è íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷, äëÿ å¼ äâèæåíèé, ïðè ñòðåìëåíèè ê íóëþ èçãèáíîé æåñòêîñòè è êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ. Òå æå âîïðîñû âîçíèêàþò, êîíå÷íî, è äëÿ ìíîãîìåðíûõ ñïëîøíûõ ñðåä.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðîáëåìû òàêîãî ðîäà ïî÷òè íå èçó÷åíû. Ñåé÷àñ ìû â ïðîñòåéøåé ñèòóàöèè äîêàæåì, ÷òî íèòü âñþäó ðàñòÿíóòà. Ðåçóëüòàò, êîòîðûé áóäåò ïîëó÷åí, äîïóñêàåò äîâîëüíî ñèëüíîå ðàñøèðåíèå. Íî âñ¼-òàêè â ñàìîé îáùåé ñèòóàöèè, êîãäà íà íèòü äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû, à êîíöû å¼ ñîâåðøàþò ïðîèçâîëüíîå äâèæåíèå, ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî îíà êîåãäå è ñæàòà.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ïðèõîäèòñÿ çàêëþ÷èòü, ÷òî ìîäåëü àáñîëþòíî ãèáêîé íèòè íåäîñòàòî÷íà äëÿ îïèñàíèÿ ðåàëüíîãî äâèæåíèÿ ðåàëüíîé íèòè. Ñëåäóåò âñåãäà ïîìíèòü, ÷òî â íàóêå ìû óìååì ðàáîòàòü ëèøü ñ ìîäåëÿìè ðåàëüíûõ îáúåêòîâ, à íå ñ ñàìèìè îáúåêòàìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íèòü äâèãàåòñÿ â íåâåñîìîñòè (g = 0), à å¼ ëåâûé êîíåö ôèêñèðîâàí. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (2.188) ïðèíèìàåò âèä

ρ¨ x = (λx0 )0 ,

(2.195)

à êðàåâûå óñëîâèÿ ñóòü

= 0, x s=0 λ = 0.

(2.196) (2.197)

s=`

Ïî-ïðåæíåìó äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå íåðàñòÿæèìîñòè íèòè

x0 2 = 1.

(2.198)

Ìû äîêàæåì òåïåðü, ÷òî λ(s, t) > 0 ïðè âñåõ t è s ∈ [0, `); ïðàâûé êîíåö èñêëþ÷åí ââèäó êðàåâîãî óñëîâèÿ (2.197).

137

Ðàçäåëèì óðàâíåíèå (2.195) íà ρ è ïðîäèôôåðåíöèðóåì åãî ïî s.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå

 0  0 0 λ λ λ0 00 λ 00 0 0 000 x + x + x + x . x¨ = ρ ρ ρ ρ

(2.199)

Ìû íàìåðåâàåìñÿ óìíîæèòü ýòî óðàâíåíèå ñêàëÿðíî íà x0 . Ïðè ýòîì áóäóò ïîëåçíû ñîîòíîøåíèÿ, ïîëó÷àåìûå èç óðàâíåíèÿ ñâÿçè (2.198) äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè äèôôåðåíöèðîâàíèÿìè ïî s:

x0 x00 = 0,

2

x0 x000 = −x00 .

(2.200)

Íóæíà åù¼ è ôîðìóëà, ïîëó÷àåìàÿ èç óðàâíåíèÿ ñâÿçè (2.198) äâóìÿ äèôôåðåíöèðîâàíèÿìè ïî t:

x0 x¨0 = −x˙ 0 2

(2.201)

Òåïåðü âñ¼ ãîòîâî. Îñóùåñòâèì ñâî¼ íàìåðåíèå è óìíîæèì (2.199) ñêàëÿðíî íà x0 . Ñ èñïîëüçîâàíèåì óðàâíåíèÿ ñâÿçè (2.198) è âûâåäåííûõ èç íåãî ñîîòíîøåíèé (2.200) è (2.201), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå



1 0 λ ρ

0

x00 2 − λ = −x˙ 0 2 . ρ

(2.202)

Ýòî óðàâíåíèå ØòóðìàËèóâèëëÿ îòíîñèòåëüíî λ ñ êîýôôèöèåíòàìè, êîòîðûå âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïðîèçâîäíûå ïî s îò x(s, t). Çàìåòèì, ÷òî â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè, çíàÿ x(s, t), ìîæíî îïðåäåëèòü λ(s, t)  íå íóæíî ðåøàòü çàäà÷ó ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè. Ýòî îáùàÿ ñèòóàöèÿ äëÿ çàäà÷ ñî ñâÿçÿìè. Îäíàêî ÿ íåìíîæêî ïîòîðîïèëñÿ ñêàçàòü, ÷òî ìîæíî îïðåäåëèòü ðàñòÿãèâàþùåå óñèëèå λ  íóæíû åùå êðàåâûå óñëîâèÿ. Íà ïðàâîì êîíöå èìååòñÿ óñëîâèå (2.197). Óñëîâèå íà ëåâîì êîíöå s = 0 ìû âûâåäåì èç óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (2.195). Åñëè ïðåäïîëîæèòü (ìû è ïðåäïîëîæèì), ÷òî ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêèì, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ýòî óðàâíåíèå è íà êîíöå

s = 0. Òîãäà ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ïðè s = 0 0 = λx00 + λ0 x0 ,

(2.203)

138

òàê êàê x ¨ s=0 â ñèëó êðàåâîãî óñëîâèÿ (2.196)  îíî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ t,



à ïîòîìó åãî ìîæíî ïî t äèôôåðåíöèðîâàòü. Óìíîæàÿ (2.203) ñêàëÿðíî íà

x0 è ïðèìåíÿÿ (2.198) è (2.200), âèäèì, ÷òî λ0 s=0 = 0. Èòàê, óðàâíåíèå ØòóðìàËèóâèëëÿ (2.202) ñëåäóåò ðåøàòü ïðè êðàåâûõ óñëîâèÿõ

λ0

= 0, s=0

λ

(2.204)

= 0. s=`

Èç òåîðèè êðàåâûõ çàäà÷ ØòóðìàËèóâèëëÿ ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå λ(s, t) êðàåâîé çàäà÷è (2.202), (2.204) ïîëîæèòåëüíî ïðè 0 6 s < `. Çäåñü ñóùåñòâåííî, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðè λ íåïîëîæèòåëåí, ðàâíî êàê è ñâîáîäíûé ÷ëåí â (2.202). Äîêàçàòåëüñòâî Âû ìîæåòå ïðîâåñòè ñàìîñòîÿòåëüíî, óñâîèâ èäåè äîêàçàòåëüñòâà ïðèíöèïîâ ìàêñèìóìà-ìèíèìóìà, íàïðèìåð, ïî êíèãàì [26, 27]. Æåñòêîñòü ñèñòåì ñî ñâÿçÿìè. Ñåé÷àñ ÿ ñîáèðàþñü, íà÷èíàÿ ñ ïðè-

ìåðà íåðàñòÿæèìîé íèòè, îáñóäèòü ÿâëåíèå æåñòêîñòè, êîòîðîå ñïåöèôè÷íî äëÿ ñèñòåì ñî ñâÿçÿìè. ß ïîêîëåáàëñÿ â âûáîðå ýïèòåòà, íî òàê è íå ðåøèë, "ïðèÿòíîå" èëè "íåïðèÿòíîå" ýòî ÿâëåíèå, è íè íà îäíîì èç íèõ íå îñòàíîâèëñÿ. Ñ ÿâëåíèåì æåñòêîñòè èëè ÷àñòè÷íîé æåñòêîñòè ñâÿçàíû èíòåðåñíûå ñëåäñòâèÿêàê ïîçèòèâíûå, òàê è íåãàòèâíûå . Ðàññìîòðèì íåðàñòÿæèìóþ íèòü ñ çàêðåïë¼ííûìè êîíöàìè. Ñîîòâåòñòâóþùèå êðàåâûå óñëîâèÿ èìåþò âèä

x

= a, s=0

x

(2.205)

= b, s=`

ãäå a è b  èçâåñòíûå òî÷êè ïðîñòðàíñòâà R3 . Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ýòîì äîëæíî áûòü âûïîëíåíî óñëîâèå (2.206)

|a − b| 6 `,

ãäå `  äëèíà íèòè. Åñëè |a − b| > `, òî íå ñóùåñòâóåò íè îäíîé âåêòîð2

ôóíêöèè x(s, t), óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ ñâÿçè x0 = 1 è êðàåâûì óñëîâèÿì (2.205). Åñëè æå ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè a è b â òî÷íîñòè ðàâíî `, òî

139

î÷åâèäíî, ñóùåñòâóåò ëèøü îäíà òàêàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðÿìîëèíåéíîìó ïîëîæåíèþ íèòè ìåæäó òî÷êàìè a è b. Íèòü íå ñìîæåò äâèãàòüñÿ! Ýòî è åñòü ÿâëåíèå æåñòêîñòè. Áîëåå îáùåå óñëîâèå |a − b| 6 ` 2

íàçîâåì óñëîâèåì ñîâìåñòíîñòè ñâÿçåé x0 = 1 (íåðàñòÿæèìîñòü) è (2.205). Ïîíÿòíî, ÷òî âñÿêèé ðàç, êîãäà íàçíà÷àþòñÿ óñëîâèÿ ñâÿçåé, íóæíî ïîçàáîòèòüñÿ îá èõ ñîâìåñòíîñòè (íåïðîòèâîðå÷èâîñòè), íå òî ïîëó÷èòñÿ, ÷òî äâèæåíèå íåâîçìîæíî, è ìû ñòàâèì çàäà÷ó ñ ïóñòûì ñîäåðæàíèåì. Åñëè ñâÿçè ñîâìåñòíû, òî âñ¼ ðàâíî ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî èì óäîâëåòâîðÿåò ëèøü îäíî ïîëîæåíèå ñèñòåìû èëè íåêîòîðûé äèñêðåòíûé íàáîð ïîëîæåíèé, à äâèæåíèå âñå-òàêè íåâîçìîæíî. Áîëåå èíòåðåñíî ÿâëåíèå ÷àñòè÷íîé æåñòêîñòè. Åñëè ñèñòåìà èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû, ñêàæåì, îáúåìëþùåå ïðîñòðàíñòâî åñòü

Rn , è íàëîæåíî êîíå÷íîå ÷èñëî r ñâÿçåé, òî â óñëîâèÿõ íåâûðîæäåííîñòè ðàçìåðíîñòü k êîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà ñèñòåìû åñòü n − r. Åñëè æå îêàçàëîñü, ÷òî k < n − r, òî ñêàæåì, ÷òî ñèñòåìà  ÷àñòè÷íî æåñòêàÿ, âåëè÷èíà n−r−k åñòü ìåðà ýòîé æåñòêîñòè. Îñîáåííî èíòåðåñåí òîò ñëó÷àé, êîãäà è ðàçìåðíîñòü îáúåìëþùåãî ïðîñòðàíñòâà, è êîëè÷åñòâî ñâÿçåé áåñêîíå÷íû.  ðåçóëüòàòå ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ, ÷òî ñèñòåìà èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû. Èìåíííî ýòà ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò â çàäà÷å î äâèæåíèè àáñîëþòíî òâ¼ðäîãî òåëà, íàïðèìåð, â R3 . Ñâÿçè â ýòîì ñëó÷àå òðåáóþò, ÷òîáû ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè òåëà îñòàâàëèñü íåèçìåííûìè â õîäå äâèæåíèÿ. À â ðåçóëüòàòå îêàçûâàåòñÿ, ÷òî êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî êîíå÷íîìåðíî, èìåííî 6ìåðíî, ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû òâåðäîãî òåëà ðàâíî 6. Åñëè æå îäíà òî÷êà òåëà çàêðåïëåíà, òî ïîëó÷àåòñÿ ñèñòåìà ñ 3-ìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. À êîãäà çàêðåïëåíû äâå òî÷êè, òî îñòàåòñÿ îäíà ñòåïåíü ñâîáîäûòåëî ìîæåò ëèøü âðàùàòüñÿ âîêðóã îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ýòè äâå (íó, êîíå÷íî, ðàçëè÷íûå) òî÷êè. Êñòàòè, èìåííî ïî ýòîé, äîâîëüíî ôîðìàëüíîé ïðè÷èíå äèíàìèêà àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà ïîïàäàåò â êóðñû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè, à íå â êóðñû ìåõàíèêè ñïëîøíîé ñðåäû. Äàëüøå ÿ

140

ñîáèðàþñü ðàññìîòðåòü çàäà÷ó î äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà ïîäðîáíåå. Óðàâíåíèå êîëåáàíèé ñòðóíû. Óäèâèòåëüíîå äåëî  åäâà ëè íå

âî âñåõ ðàñïðîñòðàíåííûõ ó÷åáíèêàõ ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå óðàâíåíèå ïîïåðå÷íûõ êîëåáàíèé ñòðóíû âûâîäèòñÿ íåêîððåêòíî  è ñ ôèçè÷åñêîé, è ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ. Íåêîòîðûì èñêëþ÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ ëèøü êëàññè÷åñêàÿ êíèãà Ð. Êóðàíòà è Ä. Ãèëüáåðòà [?]. Ëèíåéíîå óðàâíåíèå ñòðóíû îïèñûâàåò ìàëûå, à òî÷íåå ãîâîðÿ, áåñêîíå÷íî ìàëûå êîëåáàíèÿ îêîëî å¼ ïðÿìîëèíåéíîé ôîðìû ðàâíîâåñèÿ. Îáû÷íî âíå îáñóæäåíèÿ îñòàåòñÿ âîïðîñ î çàêîííîñòè ïåðåõîäà îò áîëåå òî÷íûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ê ëèíåàðèçîâàííûì. Äëÿ óðàâíåíèé ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà, îïèñûâàþùèõ âîëíîâûå ïðîöåññû, ýòà ïðîáëåìà âñå åù¼ ñîñòàâëÿåò íåìàëóþ òðóäíîñòü. Ê òîìó æå â ìåõàíèêå è â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå íåðåäêî ñëó÷àåòñÿ, ÷òî èñòèííûå íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ âîîáùå âûïàäàþò èç ïîëÿ çðåíèÿ, íå âûïèñûâàþòñÿ ÿâíî, è îñòàåòñÿ íåÿñíûì, êàêóþ, ñîáñòâåííî ãîâîðÿ, çàäà÷ó ìû ðåøàåì ïðèáëèæåííî, ïåðåõîäÿ ê ëèíåéíûì óðàâíåíèÿì. Ñàìà ïðîáëåìà èññëåäîâàíèÿ âçàèìîñâÿçè ìåæäó ðåøåíèÿìè íåëèíåéíûõ è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ëèíåàðèçîâàííûõ óðàâíåíèé "çàìåòàåòñÿ ïîä êîâåð". Ñëó÷àåòñÿ, ÷òî ê ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ ñòðóíû äîïèñûâàþòñÿ äîâîëüíî ïðîèçâîëüíî íåëèíåéíûå ñëàãàåìûå, è òàêèå óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè íåëèíåéíîé ñòðóíû (ïðèìåð: utt − uxx + u3 = 0). Ðàçóìååòñÿ, ïîäîáíûå óðàâíåíèÿ áûâàþò î÷åíü èíòåðåñíûìè, îïèñûâàþò ðàçíîîáðàçíûå âîëíîâûå ïðîöåññû, ñëóæàò õîðîøèìè ìîäåëÿìè, ïîìîãàþùèìè ïîíÿòü ðîëü íåëèíåéíîñòè â ïðîáëåìå ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí. È âñ¼-òàêè ìîæíî äîâîëüíî óâåðåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íå èñêóññòâåííî ñîñòàâëÿåìûå óðàâíåíèÿ, à ôóíäàìåíòàëüíûå ìîäåëè, âûâîäèìûå èç "ïåðâûõ ïðèíöèïîâ" (òàêèõ, êàê çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, çàêîí âîçðàñòàíèÿ ýíòðîïèè â çàìêíóòîé ñèñòåìå, ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà) è ëó÷øå îïèñûâàþò ÿâëåíèÿ ðåàëüíîãî ìèðà, è îêàçûâàþòñÿ ïðîùå äëÿ èññëåäîâàíèÿ.  èñòîðèè íàóêè íå ðàç áûâàëî, ÷òî ìîäåëè, ñîñòàâëåííûå ïî ïðèíöèïó èõ (êàæóùåéñÿ íà ïåðâûé âçãëÿä!) ïðîñòîòû, íà äåëå îêàçûâàþòñÿ

141

e
A
A

e H  H e e

H H  

H H  

x1 Ðèñ. 7:

êàê ðàç íàèáîëåå ñëîæíûìè, âûðîæäåííûìè è òðóäíî ïîääàþùèìèñÿ àíàëèçó. ß ãîâîðþ ýòî êàê íåêîòîðîå îïðàâäàíèå ðàññìîòðåííîé äàëüøå, âíåøíå äîâîëüíî ñëîæíîé, ñèñòåìû óðàâíåíèé àáñîëþòíî ãèáêîé íèòè, êîòîðàÿ ïðè ëèíåàðèçàöèè è ïîðîæäàåò óðàâíåíèå ñòðóíû. Ïðîáëåìà îáîñíîâàíèÿ çàêîííîñòè ëèíåàðèçàöèè çäåñü îòíþäü íå ïðîñòà, è íà ñåãîäíÿøíèé äåíü îñòàåòñÿ îòêðûòîé. Äàëüøå ìû óâèäèì, ÷òî óðàâíåíèå ñòðóíû ïîëó÷àåòñÿ êàê óðàâíåíèå ìàëûõ êîëåáàíèé íèòè, ðàñòÿãèâàåìîé ïðîäîëüíîé ñèëîé, îêîëî å¼ ïðÿìîëèíåéíîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Îïðåäåëåííàÿ òîíêîñòü ïîñòàíîâêè ýòîé çàäà÷è ñâÿçàíà ñ íåîáõîäèìîñòüþ êàê-òî îáîéòè ýôôåêò æåñòêîñòè ñâÿçè. Èìåþòñÿ ðàçíûå ñïîñîáû ñíÿòèÿ æåñòêîñòè. Ìîæíî áûëî áû ðàññìîòðåòü ðàñòÿæèìóþ íèòü, îòêàçàâøèñü âîâñå îò óñëîâèÿ ñâÿçè (äîâîëüíî èíòåðåñíî ïðîäåëàòü ýòî ïîäðîáíî). Îñòàâàÿñü â ðàìêàõ ìåõàíèêè ñèñòåì ñî ñâÿçÿìè, èíòåðåñíî è èäåéíî ðàññìîòðåòü ìèíèìàëüíîå îñëàáëåíèå ñâÿçåé, äîïóñòèâ ïîäâèæíîñòü îäíîãî èç êîíöîâ íèòè è ñîõðàíèâ óñëîâèå å¼ íåðàñòÿæèìîñòè. Ïî ýòîìó ïóòè ìû òåïåðü è ïîéäåì. (Åùå îäèí âàðèàíò âûâîäà óðàâíåíèÿ ñòðóíû âîçíèêàåò, êîãäà ðàññìàòðèâàåòñÿ íèòü ïåðåìåííîé äëèíûñêàæåì, äëèííàÿ íèòêà ïðîïóùåíà ÷åðåç èãîëüíîå óøêî è ðàñòÿãèâàåòñÿ çàäàííîé ñèëîé, à ìû ñëåäèì çà ñîáûòèÿìè ëèøü ïî îäíó ñòîðîíó îò ýòîãî èãîëüíîãî óøêà. Ê ýòîé çàäà÷å ÿ íàäåþñü âåðíóòüñÿ ïîçäíåå). Äèíàìèêà íèòè, ó êîòîðîé îäèí êîíåö çàêðåïëåí, à ê äðóãîìó ïðèëîæåíî ðàñòÿãèâàþùåå óñèëèå. Ðàññìîòðèì àáñîëþòíî ãèáêóþ

íåðàñòÿæèìóþ íèòü ñ çàêðåïëåííûì ëåâûé êîíöîì, è ïóñòü ê å¼ ïðàâîìó êîíöó ïðèëîæåíî ðàñòÿãèâàþùåå óñèëèå T, ñì. Ðèñ. 7. Ïðàâûé êîíåö ïîäâè-

142

e H  e He

'$ j &%

5 êã

Ðèñ. 8:

æåí, íî åìó ðàçðåøàåòñÿ ïåðåìåùàòüñÿ ëèøü âäîëü îñè x1 . Íåòðóäíî ïðåäñòàâèòü ñåáå, êàêèì îáðàçîì ìîæíî ïðàêòè÷åñêè îáåñïå÷èòü èçîáðàæåííûé íà Ðèñ. 7 ñïîñîá ïðèëîæåíèÿ íàãðóçêè: äîñòàòî÷íî ïðèêðåïèòü ê æåñòêîìó øàðíèðó íà ïðàâîì êîíöå íèòè åùå îäíó íèòü, ïåðåáðîñèòü å¼ ÷åðåç âîðîò è ê å¼ ñâîáîäíîìó êîíöó ïîäâåñèòü ãðóç, ñì. Ðèñ. 8. Ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå âèäû òðåíèÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëû (÷åñòíåå ãîâîðèòü: îòñóòñòâóþò, ðàâíû íóëþ), è ÷òî ýòà äîïîëíèòåëüíàÿ íèòü (à ìîæåò, ñòåðæåíü èëè òðóáêà, ÷åðåç êîòîðóþ ïðîïóùåíà íèòü) îñòàåòñÿ âñ¼ âðåìÿ ïàðàëëåëüíîé îñè x1 . Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìîæíî âûâåñòè èç ïðèíöèïà Ãàìèëüòîíà. Ñèñòåìà ýòà íàòóðàëüíà, å¼ ëàãðàíæèàí L åñòü ðàçíîñòü ìåæäó êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé Ek è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé V :

L = Ek − V.

(2.207)

Ïî-ïðåæíåìó êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ çàäàåòñÿ (â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî íèòü îäíîðîäíà, è ïîãîííàÿ ìàññà íèòè, îíà æåëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü ρ ðàâíà åäèíèöå) ðàâåíñòâîì

1 Ek = 2

Z`

x˙ 2 (s, t)ds.

(2.208)

0

Ïðè ýòîì x = x(s, t), s ∈ [0, `], t ∈ R  ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïîëîæåíèÿ íèòè â ìîìåíò t, à `  å¼ äëèíà. Ïðèøëîñü èçìåíèòü îáîçíà÷åíèå, òàê êàê áóêâà T çàíÿòà  îáùåïðèíÿòî ÷åðåç T îáîçíà÷àòü ðàñòÿãèâàþùåå óñèëèå. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ V , ñâÿçàííàÿ ñ çàäàííûì ðàñòÿãèâàþùèì

143

óñèëèåì T , èìååò âèä (2.209)

V = −T x1 (s, t) Äåéñòâèå ïî Ãàìèëüòîíó îïðåäåëÿåòñÿ òåïåðü ðàâåíñòâîì

Zt2 S=

Zt2

t1

(2.210)

(Ek − V )dt.

L dt = t1

Íàðÿäó ñ óñëîâèåì íåðàñòÿæèìîñòè 2

x0 (s, t) = 1,

(2.211)

ê ÷èñëó ñâÿçåé îòíîñÿòñÿ òàêæå êðàåâûå óñëîâèÿ íà ëåâîì êîíöå è äâà óñëîâèÿ íà ïðàâîì êîíöå íèòè:

x

= 0, s=0

x2

= 0, s=`

x3

= 0.

(2.212)

s=`

Åùå îäíî óñëîâèå íà ïðàâîì êîíöå ïîëó÷èòñÿ äàëåå èç ñàìîãî ïðèíöèïà Ãàìèëüòîíà êàê åñòåñòâåííîå. Ñîãëàñíî ïðèíöèïó Ãàìèëüòîíà äëÿ ñèñòåì ñî ñâÿçÿìè, δS = 0. Äëÿ äåôîðìàöèé óðàâíåíèÿ ñâÿçåé (2.211), (2.212) äîëæíû áûòü âûïîëíåíû, à âàðèàöèÿ δx äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì, ïîëó÷àþùèìñÿ ïðè âàðüèðîâàíèè ðàâåíñòâ (2.211), (2.212)

x0 δx0 = 0, δx = 0, s=0

(2.213)

δx2

= 0, s=`

δx3

= 0.

(2.214)

s=`

Ðàâåíñòâî δS = 0, ñîãëàñíî (2.210), èìååò âèä

Zt2 Z`

Zt2 xδ ˙ xdsdt ˙ +T

t1

0

δx1 (`, t)dt = 0.

(2.215)

t1

Êàê è ðàíåå, ïðîâîäèì â ïåðâîì ñëàãàåìîì (2.215) èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì, à çàòåì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî t2 èçáàâëÿåìñÿ îò èíòåãðàëà ïî âðåìåíè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå

Z` −¨ x · δx ds + T δx1 (`, t) = 0, 0

(2.216)

144

êîòîðîå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ â êàæäûé ìîìåíò t (ìû çàìåíèëè t2 íà t). Èç óðàâíåíèÿ (2.213), óìíîæàÿ åãî íà ìíîæèòåëü Ëàãðàíæà λ = λ(s, t), ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì ïîëó÷àåì

Z` −

` (λx ) δx ds + λx · δx = 0. 0 0

0

(2.217)

0

0

Ñ ó÷åòîì óñëîâèé (2.214), èìååì

Z` −

0 0

(λx ) δx ds +

λx01

· δx1

0

(2.218)

= 0. s=`

Âû÷èòàÿ ýòî ðàâåíñòâî èç (2.216), ïîëó÷àåì

Z`

0 0

(−¨ x + (λx ) ) δx ds + (T −



λx01 )δx1

0

= 0.

(2.219)

s=`

Äàëüøå, ïðèìåíÿÿ åùå ðàç ñòàíäàðòíîå ðàññóæäåíèå, ñâÿçàííîå ñ ïåðåõîäîì ê âàðèàöèÿì δx, èñ÷åçàþùèì íà ãðàíèöå, ñíîâà ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ íèòè

x¨ = (λx0 )0 ,

(2.220)

à çàòåì, âîçâðàùàÿñü ê ïðîèçâîëüíûì âàðèàöèÿì, óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèÿì (2.213) è (2.214), è ó÷èòûâàÿ, ÷òî δx1 s=` ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíûì,



ïîëó÷àåì åñòåñòâåííîå êðàåâîå óñëîâèå íà ïðàâîì êîíöå

λx01

= T.

(2.221)

s=`

Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (2.220) îñòàåòñÿ ïðåæíèì  âîîáùå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, êàê ëåãêî ïîíÿòü, íå ìåíÿþòñÿ ïðè ïåðåõîäå ê íîâûì êðàåâûì óñëîâèÿì. Ïî-ïðåæíåìó äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå íåðàñòÿæèìîñòè íèòè (2.211), à êðàåâûå óñëîâèÿ çàäàþòñÿ ðàâåíñòâàìè (2.212) è (2.221). Êîíå÷íî, êðàåâîå óñëîâèå (2.221) ìîæíî âûâåñòè è íåïîñðåäñòâåííî, çàîäíî ëó÷øå ïîíÿâ åãî ìåõàíè÷åñêèé ñìûñë. Äëÿ ýòîãî íóæíî ðàçëîæèòü

145

çàäàííîå ðàñòÿãèâàþùåå óñèëèå T, ñì. Ðèñ. 1, íà ñóììó äâóõ êîìïîíåíò, îäíà èç êîòîðûõ îðòîãîíàëüíà ëèíèè äåéñòâèÿ óñèëèÿ  îñè x1 , à äðóãàÿ  êàñàòåëüíà ê íèòè è ðàâíà (T ·x0 )x0 = (T ·x01 )x0 â òî÷êå s = `. Îðòîãîíàëüíàÿ ê îñè x1 êîìïîíåíòà óðàâíîâåøèâàåòñÿ ðåàêöèåé ñâÿçè (x2 = 0, x3 = 0 ïðè

s = `) è â äàëüíåéøåì íå ó÷àñòâóåò. Êàñàòåëüíàÿ æå ê íèòè êîìïîíåíòà äàåò ðàñòÿãèâàþùåå óñèëèå λx0 íà êîíöå íèòè. Òàêèì îáðàçîì, äîëæíî áûòü âûïîëíåíî ðàâåíñòâî

λx0 = (T · x0 )x0 ,

(2.222)

÷òî ñîâïàäàåò ñ (2.221). Ïðèñìîòðèìñÿ ê êðàåâîìó óñëîâèþ (2.221). Èç íåãî ñëåäóåò íå ñëèøêîì ïðèÿòíûé âûâîä: ïðîäîëüíîå óñèëèå λ ïðè s = ` îêàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøèì, åñëè x01 s=` = 0 â íåêîòîðûé ìîìåíò t. Ðàâåíñòâî x01 s=` = 0 îçíà-





÷àåò, ÷òî íèòü â òî÷êå s = ` îðòîãîíàëüíà ê îñè x1 . ðåàêöèÿ ñâÿçè x2 = 0,

x3 = 0, åñëè îíà èäåàëüíà, òîæå îðòîãîíàëüíà îñè x1 . Âûõîäèò, ÷òî ðàñòÿãèâàþùåå óñèëèå T, äåéñòâóþùåå âäîëü îñè x1 , íè÷åì íå óðàâíîâåøåíî. Ìû ïðèøëè ê ïàðàäîêñàëüíîìó âûâîäó. ×òî æå ïðîèñõîäèò íà ñàìîì äåëå? Âîïåðâûõ, ÿñíî, ÷òî íàøà ìîäåëü óæå íà ìîæåò îïèñàòü ïîâåäåíèå ðåàëüíîé ñèñòåìû ïðè t > t0 , åñëè â ìîìåíò t = t0 îêàçàëîñü, ÷òî x01 s=` = 0. Êàê



áû íè áûëà ìàëà ìàññà òîé êîíñòðóêöèè íà Ðèñ. 8 ("äåðæàëêè") è ñàìîé íèòè, èìåííî îíà îïðåäåëÿåò äâèæåíèå íèòè â ìîìåíò âðåìåíè ñðàçó ïîñëå

t = t0 . Ïîñòðîåííàÿ íàìè ìîäåëü ñàìà çàÿâëÿåò î ñâîåé íåñîñòîÿòåëüíîñòè è òðåáóåò âêëþ÷èòü äîïîëíèòåëüíóþ èíôîðìàöèþ. Íåòðóäíî ïîêàçàòü (ïîïûòàéòåñü!), ÷òî ñ ó÷åòîì ìàññû "äåðæàëêè", êðàåâîå óñëîâèå (2.221) äîëæíî áûòü çàìåíåíî áîëåå îáùèì: ïðè s = `

m¨ x1 = T − λx01 .

(2.223)

Çäåñü m  ìàññà äåðæàëêè, à óðàâíåíèå (2.223) ïîëó÷àåòñÿ ïðèìåíåíèåì II-ãî çàêîíà Íüþòîíà; ìàññîé íèòè ìû ïî-ïðåæíåìó ïðåíåáðåãàåì, ñ÷èòàÿ, ÷òî îíà "ìíîãî ìåíüøå" (òàê îáû÷íî ãîâîðÿò, õîòÿ òî÷íåå áûëî áû ñêàçàòü

146

"âî ìíîãî ðàç ìåíüøå"). Ïîäðîáíåå î çàäà÷àõ ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè òèïà (2.222) ðàññêàçàíî â ðàáîòå [30]. Áûëî áû "ìàòåìàòè÷åñêîé ãëóïîñòüþ", ïðèìåíÿÿ íàøó ìîäåëü íà ïðàêòèêå, ñîâñåì çàáûòü î òîé êîìïîíåíòå óñèëèÿ T, êîòîðàÿ óðàâíîâåøèâàåòñÿ ðåàêöèåé ñâÿçè. Åñëè îíà îêàçûâàåòñÿ ñëèøêîì áîëüøîé, òî ñâÿçü ìîæåò ðàçîðâàòüñÿ, è óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè íàøåé ìîäåëè áóäóò íàðóøåíû. À ïîòîìó äîêàæèòå, ÷òî ýòà ðåàêöèÿ ðàâíà âåêòîðó ñîëþòíàÿ âåëè÷èíà åñòü T

q

1 x0 21

T 0 0 x01 (0, −x2 , −x3 ).

Åãî àá-

− 1. Îíà îáðàùàåòñÿ â íîëü, êîãäà |x01 | = 1

ïðè s = ` (íèòü êàñàåòñÿ îñè x1 â òî÷êå s = `), è ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè x00 → 0 (íèòü îðòîãîíàëüíà ê îñè x1 ïðè s = `). Ïîäâåäåì èòîã.  óñëîâèÿõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ Ðèñ. 7, óðàâíåíèå äâèæåíèÿ íèòè è óñëîâèÿ å¼ íåðàñòÿæèìîñòè èìåþò âèä

x¨ = (λx0 )0 ,

(2.224)

2

x0 = 1.

(2.225)

Ñîîòâåòñòâóþùèå êðàåâûå óñëîâèÿ ñóòü

x

(2.226)

= 0, s=0

x2

= 0, s=`

x3

λx01

= 0, s=`

= T.

(2.227)

s=`

Íàïîìíþ, ÷òî òðåòüå êðàåâîå óñëîâèå (2.227) âûïîëíÿåòñÿ ëèøü â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî x01 (`, t) 6= 0 äëÿ âñåãî èíòåðâàëà âðåìåíè t, íà êîòîðîì ðàññìàòðèâàåòñÿ äâèæåíèå íèòè. Åñëè æå îíî íàðóøàåòñÿ, ïðèäåòñÿ ïåðåéòè ê áîëåå îáùåìó êðàåâîìó óñëîâèþ òèïà (2.223). Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ñîñòîÿò â çàäàíèè ïîëîæåíèÿ íèòè è ïîëÿ ñêîðîñòåé ñîñòàâëÿþùèõ å¼ òî÷åê ïðè t = 0:

x

= x0 (s), t=0

x˙

= v 0 (s).

(2.228)

t=0

Êàê âñåãäà ïðè íàëè÷èè ñâÿçåé, íà÷àëüíûå äàííûå äîëæíû áûòü ñ íèìè ñîãëàñîâàíû. Íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå x0 äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ íåðàñ-

147

òÿæèìîñòè íèòè (2.225) è êðàåâûì óñëîâèÿì (2.226) âìåñòå ñ ïåðâûìè äâóìÿ óñëîâèÿìè (2.227): 2

x00 (s) = 0, 0 0 = 0, x2 x s=0

(2.229)

= 0, s=`

0 x3

= 0.

(2.230)

s=`

Íà÷àëüíîå ïîëå ñêîðîñòåé äîëæíî áûòü ïîä÷èíåíî óñëîâèÿì, âûòåêàþùèì èç óðàâíåíèé ñâÿçè  ïîëó÷àåìûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî t ïðè t = 0:

x0 0 · v 0 = 0, 0 0 v = 0, v2 s=0

(2.231)

= 0, s=`

0 v3

= 0.

(2.232)

s=`

Ïðÿìîëèíåéíîå ðàâíîâåñèå íèòè è åãî âîçìóùåíèÿ. Äîâîëüíî

î÷åâèäíî, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé è êðàåâûõ óñëîâèé (2.224)(2.227) äîïóñêàåò ðåøåíèå, íå çàâèñÿùåå îò âðåìåíè è îòâå÷àþùåå ïðÿìîëèíåéíîé ôîðìå ðàâíîâåñèÿ íèòè:

x¯1 = s,

x¯2 = 0,

x¯3 = 0,

¯ = T. λ

(2.233)

Ïåðâûå òðè ñîîòíîøåíèÿ ãîâîðÿò, ÷òî íèòü ðàñïîëàãàåòñÿ âäîëü îñè x1 , ëè-

¯ ïîñëå ýòîãî îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ íèè äåéñòâèÿ ñèëû T. Âåëè÷èíà λ (2.224). Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ðåøåíèÿ (x, λ) ïîëîæèì

x = x¯ + u,

¯ + µ, λ=λ

(2.234)

¯ = T . Âåêòîð-ôóíêöèÿ ãäå x ¯ = (s, 0, 0) = si (i  êîîðäèíàòíûé îðò îñè x1 ), λ u íàçûâàåòñÿ âîçìóùåíèåì ôîðìû ðàâíîâåñèÿ x¯, à ôóíêöèÿ µ  âîçìóùåíèå ¯ = T. ïðîäîëüíîãî óñèëèÿ λ Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (2.234) â óðàâíåíèÿ è êðàåâûå óñëîâèÿ (2.224)

148

(2.227), ïîëó÷èì íåëèíåéíóþ ñèñòåìó äëÿ âîçìóùåíèé u, µ

u¨ = (T u0 + µi + µu0 )0 ,

(2.235)

2u01 + u0 2 = 0, u = 0, s=0 u2 = 0, u3

(2.236)

s=`

(2.237)

= 0, s=`

µ + (T + µ)u01

= 0.

(2.238)

s=`

Õàðàêòåðíîé ÷åðòîé óðàâíåíèé âîçìóùåíèé ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ, â äàííîì ñëó÷àå u = 0, µ = 0. Äåéñòâèòåëüíî, êîãäà âîçìóùåíèÿ èñ÷åçàþò, ìû âîçâðàùàåìñÿ ê èçâåñòíîìó ðåøåíèþ  ðàâíîâåñèþ (2.233). Óðàâíåíèå êîëåáàíèé ñòðóíû. Ëèíåàðèçóåì ñèñòåìó (2.235)(2.238).

Ýòî çíà÷èò  â êàæäîì èç ýòèõ óðàâíåíèé îñòàâèì ëèøü ëèíåéíûå ÷ëåíû, 2

à ÷èñòî íåëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî µ è u, íàïðèìåð, µu0 , u0 è ò. ï. îòáðîñèì.  ðåçóëüòàòå ïðèäåì ê ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìå

u¨ = (T u0 + µi)0 ,

(2.239)

u01 = 0, u = 0, s=0 u2 = 0,

(2.240)

s=`

(2.241)

u3

= 0, s=`

µ+



T u01

= 0.

(2.242)

s=`

Ðàçóìååòñÿ, óðàâíåíèÿ, êîòîðûå áûëè ëèíåéíûìè è îäíîðîäíûìè, îñòàëèñü áåç èçìåíåíèÿ. Êàê âèäèì, ïåðåõîä îò íåëèíåéííûõ óðàâíåíèé ê ëèíåàðèçîâàííûì  äîâîëüíî ãðóáàÿ îïåðàöèÿ. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ëèíåàðèçîâàííûõ óðàâíåíèé ìîæíî íàäåÿòüñÿ ëèøü íà îïèñàíèå äâèæåíèé, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê îñíîâíîìó ðåæèìó. Êîãäà ðå÷ü èäåò îá óðàâíåíèÿõ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, íåèçáåæíî âñòàåò âîïðîñ è î òîì, â êàêîì ñìûñëå ïîíèìàåòñÿ áëèçîñòü ðåøåíèé ïîëíîé ñèñòåìû è ëèíåàðèçîâàííîé. Íàïðèìåð, îòáðàñûâàÿ â (2.236) 2

ñëàãàåìîå u0 è ïåðåõîäÿ ê (2.240), ïðèõîäèòñÿ ïðåäïîëàãàòü, ÷òî íå ïðîñòî

149

âîçìóùåíèå u, íî è åãî ïðîèçâîäíàÿ äîñòàòî÷íî ìàëû. Íåëåãêî îïðåäåëèòü, ÷òî çíà÷èò "äîñòàòî÷íî"  êîãäà ìàòåìàòèêè ïðîèçíîñÿò òàêèå ñëîâà, òî ýòî îçíà÷àåò ëèøü, ÷òî ñóùåñòâóåò èëè äîëæíà ñóùåñòâîâàòü òàêàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà η > 0, ÷òî ïðè óñëîâèè |u0 | < η èçâåñòíà íåêîòîðàÿ õîðîøàÿ îöåíêà ðàçíîñòè ìåæäó ðåøåíèÿìè äâóõ ñèñòåì. Äàæå êîãäà òåîðèÿ óñòàíîâèëà, ÷òî òàêàÿ êîíñòàíòà η ñóùåñòâóåò, îáû÷íî áûâàåò íåïðîñòî ïîëó÷èòü äëÿ íå¼ õîðîøèå îöåíêè.  êîíöå êîíöîâ, êàê ïðàâèëî, ïðèõîäèòñÿ ïðèáåãàòü ê ÷èñëåííîìó èëè íàòóðíîìó ýêñïåðèìåíòó. Çàìå÷ó åùå, ÷òî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ íèêàê íåëüçÿ îæèäàòü, ÷òî ðåøåíèÿ ïîëíîé íåëèíåéíîé çàäà÷è îñòàþòñÿ áëèçêèìè íåîãðàíè÷åííî äîëãî. Ìû ìîæåì ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû âîçìóùåíèÿ áûëè ìàëû â íà÷àëüíûé ìîìåíò. Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèå ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò ñî âðåìåíåì, òî î÷åâèäíî, ÷òî èñõîäíîå ïðåäïîëîæåíèå î ìàëîñòè îòáðîøåííûõ ñëàãàåìûõ ïîëíîñòüþ íàðóøàåòñÿ. Ïðè ýòîì â ìíîãèõ ñëó÷àÿõ óäàåòñÿ äîêàçàòü  äëÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ýòî äîêàçàë À. Ì. Ëÿïóíîâ. Ïîäîáíîå ïîâåäåíèå ðåøåíèé ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû îçíà÷àåò íåóñòîé÷èâîñòü îñíîâíîãî ðåøåíèÿ ïîëíîé ñèñòåìû. Ðåçóëüòàòû Ëÿïóíîâà î çàêîííîñòè ëèíåàðèçàöèè â ïðîáëåìå óñòîé÷èâîñòè ïåðåíåñåíû è íà íåêîòîðûå êëàññû áåñêîíå÷íîìåðíûõ çàäà÷ (ñì. [28], [29]). Îäíàêî â ðàññìàòðèâàåìîé íàìè ñåé÷àñ ïðîáëåìå, êàê è âî ìíîãèõ äðóãèõ àíàëîãè÷íûõ ïðîáëåìàõ î íåëèíåéíûõ êîëåáàíèÿõ, âîïðîñ î çàêîííîñòè ëèíåàðèçàöèè äî ñèõ ïîð íå ðàññìîòðåí. Òåì áîëåå çàìå÷àòåëüíî, ÷òî ìíîãèå âûâîäû, âûòåêàþùèå èç óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé ñòðóíû, ïðåêðàñíî ïîäòâåðæäàþòñÿ îïûòîì. Òóò äàæå õî÷åòñÿ ÷óòü-÷óòü ïîôèëîñîôñòâîâàòü è ñïðîñèòü, íå îòíîñèòñÿ ëè ýòî âîîáùå êî âñåì ìàòåìàòè÷åñêèì ïðîáëåìàì åñòåñòâîçíàíèÿ. Âåäü êàæäûé ðàç ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïðèõîäèòñÿ ïðåíåáðåãàòü ñòîëü ìíîãèìè ôàêòîðàìè, ÷òî ñîâïàäåíèå òåîðåòè÷åñêèõ âûâîäîâ ñ ýêñïåðèìåíòîì âûãëÿäèò ïðîñòî êàê ÷óäî. Áûòü ìîæåò, ñàìîå ñèëüíîå ïåðåæèâàíèå èññëåäîâàòåëÿ  âèäåòü, êàê ýêñïåðèìåíòàëüíûå òî÷êè ëîæàòñÿ íà òåîðåòè÷åñêèé

150

ãðàôèê (èëè òî÷êè ðàññ÷èòàííûå ïî òåîðèè, ëîæàòñÿ íà ýêñïåðèìåíòàëüíûé ãðàôèê). Âåðíåìñÿ, îäíàêî, ê ñèñòåìå (2.239)(2.242). Èç (2.240) ñëåäóåò, ÷òî u, íå çàâèñèò îò s, à òîãäà, ñîãëàñíî êðàåâîìó óñëîâèþ (2.241), u1 ≡ 0. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ôàêòà, âåêòîðíîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (2.239) â êîîðäèíàòíîé ôîðìå ïðèìåò âèä

0 = µ0 ,

(2.243)

u¨2 = T u002 ,

(2.244)

u¨3 = T u003 .

(2.245)

Èç (2.243) è êðàåâîãî óñëîâèÿ (2.242) ñëåäóåò, ÷òî µ = 0, ÷òî â ïðèíÿòîì ïðèáëèæåíèè ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè îñòàåòñÿ ðàâíîé T . Óðàâíåíèÿ (2.244) è (2.245) èìåþò îäíó è òó æå ôîðìó  óðàâíåíèÿ ïîïåðå÷íûõ êîëåáàíèé

ñòðóíû. Ìû åãî çàïèøåì â âèäå

u¨ = c2 u00 ,

(2.246)

ãäå

T (2.247) ρ  êâàäðàò ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïîïåðå÷íûõ âîëí. Ðàíüøå ìû ïðèíèc2 =

ìàëè ïîãîííóþ ìàññó íèòè ρ (îíà åùå íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ) ðàâíîé åäèíèöå. Âîîáùå îíà ïîÿâëÿåòñÿ êàê ìíîæèòåëü â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèé (2.243), (2.244), îòêóäà è ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèå (2.247). Ãëÿäÿ íà ýòó ôîðìóëó, îñîáåííî ÿñíî, ÷òî óïðóãîñòü íèòè òóò íå ïðè ÷åì, ñòðàííî, ÷òî ýòîãî íå çàìåòèëè àâòîðû ìíîãèõ ó÷åáíèêîâ. Ïðåäûäóùèé âûâîä äàë òàêæå êðàåâûå óñëîâèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ ñòðóíû (2.246), ñì. (2.241), (2.242): u2 è u3 äîëæíû èñ÷åçàòü íà êîíöàõ. Îïóñêàÿ èíäåêñû, çàïèøåì ýòè óñëîâèÿ ïåðâîãî ðîäà:

u

= 0, s=0

u

= 0. s=`

(2.248)

151

e H  H e

H H  

e

Ðèñ. 9:

Äðóãèå êðàåâûå óñëîâèÿ. Ïîìèìî óñëîâèé ïåðâîãî ðîäà (2.248), äëÿ

óðàâíåíèé ñòðóíû ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ òàêæå êðàåâûå óñëîâèÿ âòîðîãî è òðåòüåãî ðîäà. Îíè ñîîòâåòñòâóþò èíûì ñïîñîáàì çàêðåïëåíèÿ ïîäâèæíîãî ïðàâîãî êîíöà íèòè. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî íà ïðàâûé êîíåö íèòè äåéñòâóåò âíåøíÿÿ ñèëà ñ èçâåñòíîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé ϕ(x(`)). Íàïðèìåð, ìîæíî ñåáå ïðåäñòàâèòü, ÷òî íèòü ïðèêðåïëåíà ê ïîäâèæíîìó øàðíèðó íà òâåðäîé ïîñòàâêå, à ïîñëåäíÿÿ ïðèäåëàíà ê ïîäâèæíîé ïëàòôîðìå, íî íå æåñòêî, à ïðè ïîìîùè óïðóãèõ ïðóæèí, ñì. Ðèñ. 9.  ýòîì ñëó÷àå êðàåâîå óñëîâèå ïðè s = ` ïðèìåò âèä

λx0 = − grad ϕ(x)

.

(2.249)

s=`

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ϕ òàêîâà, ÷òî íåëèíåéíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ íèòè äîïóñêàåò ðàâíîâåñèå (2.233): x ¯1 = s, x¯2 = 0,

¯ = T . Ýòî íàëàãàåò íà ôóíêöèþ ϕ îãðàíè÷åíèÿ x¯3 = 0, λ ϕx1 (`, 0, 0) = −T,

ϕx2 (`, 0, 0) = 0,

ϕx3 (`, 0, 0) = 0.

(2.250)

Ïîâîðîòîì îñåé x2 , x3 ìîæíî äîáèòüñÿ èñ÷åçíîâåíèÿ ñëàãàåìîãî ñ x2 x3 (ïðèâåñòè êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó îò x2 , x3 ê ãëàâíûì îñÿì). Ïðè òàêîì âûáîðå îñåé x2 , x3 ðàçëîæåíèå Òåéëîðà ôóíêöèè ϕ â òî÷êå (`, 0, 0) ïðèíèìàåò âèä

ϕ(x) = T (`−x1 )+

 1 k1 (` − x1 )2 + k2 x22 + k3 x23 + 2q2 (` − x1 )x2 + 2q3 (` − x1 )x3 +. . . . 2 (2.251)

152

Çäåñü îïóùåíû ÷ëåíû ñòåïåíè 3 è âûøå. Ïåðåõîäÿ ê âîçìóùåíèÿì ðàâíîâåñèÿ (2.233), ò. å. ïîëàãàÿ x = x ¯ + u,

λ = T + µ, çàïèøåì êðàåâîå óñëîâèå (2.249) â âèäå (T + µ)(i + u0 ) = − grad ϕ(` + u1 (`, t), u2 , u3 )

(2.252)

â òî÷êå s = `.  êîîðäèíàòàõ èìååò ñîîòíîøåíèÿ

(T + µ)(1 + u01 ) = −ϕx1 (` + u1 , u2 , u3 ), (T + µ)u02 = −ϕx2 (` + u1 , u2 , u3 ),

(2.253)

(T + µ)u03 = −ϕx3 (` + u1 , u2 , u3 ). Ïðàâûå ÷àñòè âû÷èñëÿåì ïðè ïîìîùè ðàâåíñòâà (2.251). Èìååì

ϕx1 (` + u1 , u2 , u3 ) = −k1 u1 − q2 u2 − q3 u3 , ϕx2 (` + u1 , u2 , u3 ) = k2 u2 − q2 u1 ,

(2.254)

ϕx3 (` + u1 , u2 , u3 ) = k3 u3 − q3 u1 . Ëèíåàðèçàöèÿ ñîîòíîøåíèé (2.253) äàåò êðàåâûå óñëîâèÿ äëÿ ñòðóíû

T u01 + µ = k1 u1 + q2 u2 + q3 u3 , T u02 = −k2 u2 + q2 u1 ,

(2.255)

T u03 = −k3 u3 + q3 u1 . Ëèíåàðèçàöèÿ óñëîâèÿ íåðàñòÿæèìîñòè íà ðàâíîâåñèè (2.233) äàåò ïî-ïðåæíåìó ðàâåíñòâîu01 = 0, ÷òî âìåñòå ñ êðàåâûì óñëîâèåì ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó

u1 = 0. Ðàâåíñòâà (2.255) ïîýòîìó çàïèñûâàþòñÿ â âèäå µ = q 2 u 2 + q3 u 3 , (2.256)

T u02 = −k2 u2 , T u03 = −k3 u3 .

Êàê è ðàíüøå, ïåðâîå óñëîâèå ñëóæèò äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû µ, à îñòàëüíûå äâà äàþò êðàåâûå óñëîâèÿ ïðè s = ` äëÿ óðàâíåíèé ñòðóíû. Ïðè k2 6= 0 è k3 6= 0  ýòî óñëîâèÿ 3-ãî ðîäà. Îáà îíè èìåþò âèä (îïóñòèì èíäåêñû)

u0 = −βu,

β=

k . T

(2.257)

153

Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî âåëè÷èíû k2 è k3 ñóòü íå ÷òî èíîå êàê æåñòêîñòè óïðóãèõ ýëåìåíòîâ (ïðóæèí), óäåðæèâàþùèõ òî÷êó îïîðû ïðàâîãî êîíöà íèòè

s = ` âáëèçè îñè x1 . òàêèì îáðàçîì, óñëîâèÿ 3-ãî ðîäà ñîîòâåòñòâóþò óïðóãîìó çàêðåïëåíèþ êîíöà íèòè îêîëî ëèíèè äåéñòâèÿ ðàñòÿæåíèÿ. Êîãäà íèòü î÷åíü ñèñëüíî íàòÿíóòà (â ïðåäåëå T → ∞), èëè êîãäà æåñòêîñòü ïðóæèíû î÷åíü ìàëà (k → 0), òî åñòü ïðè β = 0, óñëîâèå (2.257)  âòîðîãî ðîäà. Íåîäíîðîäíàÿ íèòü è íåîäíîðîäíàÿ ñòðóíà. Åñëè ëèíåéíàÿ ïëîò-

íîñòü íèòè ρ = ρ(s) íå ïîñòîÿííà, òî åå êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïðèíèìàåò âèä

1 Ek = 2

Z`

ρ(s)x˙ 2 (s, t)ds.

(2.258)

0

Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïðèìåò âèä

ρ(s)¨ x = (λx0 )0 .

(2.259)

Íåêîððåêòíîñòü çàäà÷è î ñæàòîé íèòè. Âûøå ìû ïðåäïîëàãàëè,

÷òî íèòü ðàñòÿãèâàåòñÿ âíåøíåé íàãðóçêîé, T > 0. Îäíàêî íè÷òî íå ìåøàåò, êàê-áóäòî ïðîäåëàòü âñå ïðåäûäóùèå âûâîäû è ïðè T < 0  êîãäà âíåøíÿÿ ñèëà ñæèìàåò íèòü.  ðåçóëüòàòå, îäíàêî, âìåñòî ãèïåðáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñòðóíû, ïîëó÷àåòñÿ (ïóñòü ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü ρ = const) óðàâíåíèå ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà

u¨ + ku00 = 0,

k=−

T > 0, ρ

(2.260)

êîòîðîå íåñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà (à ïðè k = 1) ñîâïàäàåò. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ñì., íàïðèìåð, [31], ÷òî çàäà÷à Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (2.260) íåêîððåêòíà. Ðåøåíèå ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ

u

= u0 (s), t=0

ut

= v0 (s)

(2.261)

t=0

äàæå äëÿ C ∞ -ãëàäêèõ u0 , v0 , êàê ïðàâèëî, íå ñóùåñòâóåò, à åñëè è ñóùåñòâóåò, òî ìàëåéøåå íà÷àëüíîå âîçìóùåíèå ÷ðåçâû÷àéíî áûñòðî âîçðàñòàåò

154

ñî âðåìåíè è â êîíå÷íûé ìîìåíò âðåìåíè îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü. Ýòî ïîêàçûâàåò, ÷òî ñæàòàÿ íèòü óæàñàþùå íåóñòîé÷èâà. Ñíîâà ìîäåëü çàÿâëÿåò íàì î ñâîåé íåàäåêâàòíîñòè. Íà ñåé ðàç ê êîððåêòíîé çàäà÷å ìîæíî ïðèéòè, åñëè ó÷åñòü ñîïðîòèâëåíèå ðåàëüíîé íèòè èçãèáó. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò äîáàâëåíèþ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè, çàâèñÿùåé 2

îò êðèâèçíû κ , òî÷íåå îò åå êâàäðàòà κ 2 = x00 :

Z` Vb =

f (κ)ds

(2.262)

0

ñ çàäàííîé ôóíêöèåé f . Â ïðîñòåéøåì âàðèàíòå ïîëàãàþò f (κ) =

D 2 2κ ,

D > 0.  èòîãå ïîëó÷àåòñÿ ìîäåëü íåñæèìàåìîãî ñòåðæíÿ (áàëêè). Áûëî áû î÷åíü èíòåðåñíî ðàññìîòðåòü äèíàìèêó áàëêè ïðè î÷åíü ìàëîé èçãèáíîé æåñòêîñòè D è ïîíÿòü, âîçìîæåí ëè è â êàêîì ñìûñëå, îñóùåñòâèòü ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïðè D → 0. ß îæèäàþ, ÷òî ëèøü ïðèâëå÷åíèå ìåòîäîâ òåîðèè âåðîÿòíîñòè ïîìîæåò îïèñàòü ýòó âåñüìà ñëîæíóþ äèíàìèêó, íå ïîääàþùóþñÿ äåòåðìèíèðîâàííîìó àíàëèçó. Î íåîáõîäèìîì ÷èñëå êðàåâûõ óñëîâèé è ïðàêòè÷åñêîì çíà÷åíèè òåîðåì åäèíñòâåííîñòè.

Ïîñòàíîâêà êðàåâûõ óñëîâèé íà ïîäâèæíîì êîíöå íèòè  íåïðîñòîå äåëî, â îñîáåííîñòè, åñëè ìû õîòèì íå òîëüêî ïîëó÷èòü êîððåêòíóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü, à íàìåðåâàåìñÿ îïèñàòü ðåàëüíóþ ñèòóàöèþ  ñêàæåì, êîëåáàíèÿ ñòðóí ãèòàðû è ñêðèïêè èëè ýëåêòðè÷åñêîãî ïðîâîäà ìåæäó äâóìÿ ñòîëáàìè. Ðàçóìååòñÿ, òå ñõåìû çàêðåïëåíèÿ ïîäâèæíîãî êîíöà íèòè, êîòîðûå èçîáðàæåíû íà Ðèñ. 79, íå ñëåäóåò ïîíèìàòü ñëèøêîì áóêâàëüíî, îíè ïðèâåäåíû ëèøü äëÿ èëëþñòðàöèè. Íàïðèìåð, ïðóæèíêè ïðîñòî îçíà÷àþò, ÷òî â òî÷êå îïîðû äåéñòâóåò óïðóãàÿ ñèëà, êîòîðàÿ ñòðåìèòñÿ âîçâðàòèòü êîíåö íèòè â åãî ðàâíîâåñíîå ïîëîæåíèå. Ýòà ñèëà çàâèñèò òîëüêî îò âåëè÷èíû îòêëîíåíèÿëèíåéíî (ïî Ãóêó) èëè íåëèíåéíî. Äàëüøå ÿ åùå ñîáèðàþñü îáñóäèòü èíîé âàðèàíò çàêðåïëåíèÿ è ðàñ-

155

ñìîòðåòü "íèòü, ïðîäåòóþ ñêâîçü èãîëüíîå óøêî" èëè òîíêóþ òðóáêó. ïðèíöèïèàëüíîå îòëè÷èå ýòîãî ñïîñîáà çàêðåïëåíèÿ îò âñåõ ïðåäûäóùèõ ñîñòîèò â òîì, ÷òî íà ñåé ðàç äëèíó íèòè íåëüçÿ ñ÷èòàòü ôèêñèðîâàííîé, ïîòîìó ÷òî ìû äåðæèì ïîä íàòÿæåíèåì ëèøü å¼ ÷àñòü.  èòîãå çàäà÷à ïîïàäàåò â òîò ðàçðÿä ìîäåëåé, êîòîðûå îïèñûâàþò ñèñòåìû ñ ïåðåìåííûì ñîñòàâîì ÷àñòèö. Àíàëîãè÷íûå ïðîáëåìû âîçíèêàþò â ãèäðîäèíàìèêå, êîãäà èçó÷àåòñÿ äâèæåíèå æèäêîñòè â íåêîòîðîé èçâåñòíîé îáëàñòè, ãðàíèöà êîòîðîé èëè, ïî êðàéíåé ìåðå, å¼ ÷àñòü ïðîíèöàåìà äëÿ æèäêîñòè.  ðåçóëüòàòå ÷àñòèöû æèäêîñòè ìîãóò âõîäèòü â îáëàñòü èçâíå è óõîäèòü èç íå¼. Ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà íåïðèìåíèì ê ñèñòåìàì ñ ïåðåìåííûì ñîñòàâîì ìàòåðèàëüíûõ ÷àñòèö. À ñåé÷àñ ìû îáñóäèì ïàðàäîêñàëüíîå ðàçëè÷èå ìåæäó êðàåâûì óñëîâèåì (2.190) íà ñâîáîäíîì êîíöå íèòè (λ s=` = 0) è êðàåâûì óñëîâèåì (2.227) â



ñëó÷àå, êîãäà íèòü ðàñòÿãèâàåòñÿ (x2 = 0, x3 = 0, λx01 = T , T > 0 ïðè s = `). ïî÷åìó â ñëó÷àå ðàñòÿæåíèÿ (T > 0) íåîáõîäèìî òðè êðàåâûõ óñëîâèÿ, à åñëè åãî íåò (T = 0), òî äîñòàòî÷íî îäíîãî? À ìîæåò áûòü, è íà ñâîáîäíîì êîíöå íóæíû äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ? Òàêîãî ðîäà ñîìíåíèÿ ðàçðåøàåò ëèøü òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è. åñëè ïðè ïîñòàâëåííûõ óñëîâèÿõ å¼ óäàåòñÿ äîêàçàòü, òî ýòî, áåçóñëîâíî, îçíà÷àåò, ÷òî íèêàêèõ èíûõ óñëîâèé ñòàâèòü íå íóæíî. Çàìå÷ó, ÷òî òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ, íàïðîòèâ ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîñòàâëåííûå óñëîâèÿ íåïðîòèâîðå÷èâû, íåò ëèøíèõ óñëîâèé, êîòîðûå ñëåäîâàëî áû îòáðîñèòü. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì åäèíñòâåííîñòè è òåîðåì ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ íèòè òåõíè÷åñêè äîâîëüíî ñëîæíû, à ãëîáàëüíûå òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ âîîáùå íåèçâåñòíû. Çäåñü ÿ îãðàíè÷óñü ïðîñòåéøèì ñëó÷àåì, êîãäà â íà÷àëüíûé ìîìåíò íèòü íåïîäâèæíà, à å¼ ôîðìà ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíîé. Èòàê, ðàññìîòðèì

156

ñëó÷àé íà÷àëüíûõ óñëîâèé

x

x˙

= x0 (s), t=0

=0

(2.263)

t=0

äëÿ âñåõ s ∈ [0, `]. Êðàåâûå óñëîâèÿ ñîîòâåòñòâóþò çàêðåïë¼ííîìó ëåâîìó êîíöó è ñâîáîäíîìó ïðàâîìó

x

= 0, s=0

λ

= 0.

(2.264)

s=`

Äîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå äâèæåíèÿ íèòè x ¨ = (λx0 )0 , ïîä÷èí¼ííîé íåðàñòÿ-

æèìîñòè x0 2 = 1, èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x(s, t) = x0 (s), λ = 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Óìíîæèâ óðàâíåíèå äâèæåíèÿ íà x˙ è èíòåãðèðóÿ ïî

s, âûâîäèì 1d 2 dt

Z`

` Z ` x˙ 2 ds = λx0 x˙ − λx0 x˙ 0 ds. 0

0

(2.265)

0

Âíåèíòåãðàëüíûå ÷ëåíû îáðàùàþòñÿ â íîëü â ñèëó êðàåâûõ óñëîâèé (2.264); òàê êàê x s=0 = 0, òàêæå è x˙ s=0 = 0. Äèôôåðåíöèðóÿ ïî t óðàâíåíèå ñâÿçè





x0 2 = 1, ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî x0 · x˙ 0 = 0.

(2.266)

Èç íåãî ñëåäóåò, ÷òî èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè (2.265) òàêæå ðàâåí íóëþ. Òàêèì îáðàçîì,

d dt

Z`

x˙ 2 ds = 0.

(2.267)

0

Èç ýòîãî ðàâåíñòâà è íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (2.264), ñëåäóåò, ÷òî x˙ ≡ 0. Âûõîäèò, ÷òî x(s, t) = x(s), à îò t íå çàâèñèò. Ïîýòîìó x(s, t) = x(s, 0) = x0 (s) äëÿ âñåõ t è s, ââèäó íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (2.264). Íàøå óòâåðæäåíèå, òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî. Ðàçóìååòñÿ, "ôèçè÷åñêè î÷åâèäíî", ÷òî íèòü, íà êîòîðóþ íå äåéñòâóþò íèêàêèå ñèëû, âå÷íî îñòàåòñÿ â ïîêîå ïðè ëþáîé å¼ íà÷àëüíîé ôîðìå (íà÷àëüíîå ïîëå ñêîðîñòåé  íóëåâîå). Ìàòåìàòèê, îäíàêî, îáÿçàí ïîäîáíûå

157

óòâåðæäåíèÿ ïðîâåðÿòü, èñõîäÿ èç ïîñòðîåííîé ìîäåëè, ÷òî õîòÿ áû â êàêîéòî ìåðå ïîäòâåðæäàåò åå ïðàâèëüíîñòü. Ôèçèêè, ÷àñòî âûñòóïàÿ ïðîòèâ "òåîðåì ñóùåñòâîâàíèÿ"(ÿ ïîñòàâèë êàâû÷êè, ïîòîìó ÷òî îíè îáû÷íî èìåþò â âèäó âîîáùå ÷ðåçìåðíî ïåäàíòè÷íûå îáîñíîâàíèÿ, è íåðåäêî â ýòîì áûâàþò ïðàâû), îáû÷íî ïðèçíàþò ïîëåçíîñòü òåîðåì åäèíñòâåííîñòè. Êîãäà íåêîòîðîå ðåøåíèå óäàåòñÿ ïîëó÷èòü, ïðèÿòíî çíàòü, ÷òî íåò äðóãèõ ðåøåíèé. Òóò âñå ñîãëàñíû. Âïðî÷åì, ôîí Êàðìàí óòâåðæäàë, ÷òî ôèçèêè îáû÷íî ïèøóò ïðàâèëüíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, íî íèêîãäà íå ïèøóò ïðàâèëüíî êðàåâûå óñëîâèÿ. 3

Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà.

Òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè õîðîøî èçëîæåíà âî ìíîãèõ êíèãàõ  ñì. Ëàíäàó è Ëèôøèö  "Òåîðèÿ ïîëÿ", Âîëüôãàíã Ïàóëè "Òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè". Ïîñëåäíèé òðóä áûë íàïèñàí 20-ëåòíèì ñòóäåíòîì, áûë î÷åíü âûñîêî îöåíåí, ïîïàë â ôèçè÷åñêóþ ýíöèêëîïåäèþ è äî ñèõ ïîð ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ëó÷øèõ îáçîðîâ ðàííåãî ïåðèîäà ðàçâèòèÿ ýòîé òåîðèè. À âñ¼-òàêè ÿ ðåêîìåíäóþ íà÷àòü ñ ÷òåíèÿ ðàáîòû ñàìîãî À. Ýéíøòåéíà "Ê ýëåêòðîäèíàìèêå äâèæóùèõñÿ ñðåä", îíà ñåé÷àñ ëåãêî äîñòóïíà.  îñíîâå òåîðèè Ýéíøòåéíà ëåæàò äâà ïîñòóëàòà. 1. Ïîñòóëàò îòíîñèòåëüíîñòè. Ïîñòóëèðóåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå òðåõ-

ïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà ñèñòåì îò÷åòà, íàçûâàåìûõ èíåðöèàëüíûìè, â êîòîðûõ âñå çàêîíû ïðèðîäû "âûãëÿäÿò îäèíàêîâî". Âñå ýòè ñèñòåìû äâèæóòñÿ äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà ïîñòóïàòåëüíî ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ (3 ïàðàìåòðà  òðè êîìïîíåíòû ýòîé ñêîðîñòè). Ýòîò ïîñòóëàò äàëåå êîíêðåòèçèðóåòñÿ ïîñðåäñòâîì óêàçàíèÿ ïðåîáðàçîâàíèé ïåðåõîäà îò îäíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà ê äðóãîé. 2. Ïîñòóëàò ïîñòîÿíñòâà ñêîðîñòè ñâåòà. Âî âñåõ èíåðöèàëüíûõ

ñèñòåìàõ îòñ÷åòà ñêîðîñòü ñâåòà c â âàêóóìå îäíà è òà æå è ðàâíà (ñ õîðîøåé

158

òî÷íîñòüþ) 3 · 1010 ñì/ñåê.Áîëåå òî÷íîå çíà÷åíèå: c = 2.99792 · 1010 ñì/ñåê. Ýòîò ïîñòóëàò êàæåòñÿ îñîáåííî ïîðàçèòåëüíûì, ïîñêîëüêó ìû óæ î÷åíü ïðèâûêëè ê ãàëèëååâó ïðàâèëó ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé. Åãî "ýêñïåðèìåíòàëüíîå îáîñíîâàíèå" ïàðàäîêñàëüíî è ñîñòîèò, ïî Ýéíøòåéíó, â òîì, ÷òî íèêòî íå íàáëþäàë ñòîÿ÷èõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí. À åñëè áû âûïîëíÿëèñü îáû÷íûå ïðàâèëà Ãàëèëåÿ, òî, êàê êàæåòñÿ, ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû â íàäëåæàùåé äâèæóùåéñÿ ñèñòåìå êîîðäèíàò îñòàíîâèëèñü áû. (Ñåé÷àñ óæå ïî÷òè çàáûò çàìå÷àòåëüíûé ïîïóëÿðèçàòîð íàóêè, îñîáåííî àñòðîíîìèè, Êàìèëë Ôëàììàðèîí. Âîçìîæíî, îí âîîáùå áûë ïåðâûì ïîïóëÿðèçàòîðîì, àâòîðîìèçîáðåòàòåëåì æàíðà. Èíîãäà îí íåìíîãî îòêëîíÿëñÿ îò ïîïóëÿðèçàöèè â ñòîðîíó ôàíòàñòèêè.  îäíîé åãî êíèãå êîñìè÷åñêèé ïóòåøåñòâåííèê ëåòèò â êîñìè÷åñêîì êîðàáëå ñî ñêîðîñòüþ, áîëüøåé ñêîðîñòè ñâåòà è íàáëþäàåò ñîáûòèÿ íà Çåìëå â îáðàòíîì ïîðÿäêå. Óáèòûé Öåçàðü ïîäíèìàåòñÿ, Áðóò è Êàññèé ðàçáåãàþòñÿ îò íåãî, ïðÿ÷óò íîæè, è ò. ä. Ñêîðî ìû óâèäèì, ÷òî äâèæåíèå ñî ñâåðõñâåòîâîé ñêîðîñòüþ íåâîçìîæíî). Èíòåðåñíî çàìåòèòü, ÷òî è äðóãîå ýêñïåðèìåíòàëüíîå îáîñíîâàíèå ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè ñòîëü æå ïàðàäîêñàëüíî è ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïîïûòêè îáíàðóæèòü òàê íàçûâàåìûé ýôèðíûé âåòåð, "îáäóâàþùèé" Çåìëþ, ïðèâåëè ê îòðèöàòåëüíîìó ðåçóëüòàòó. Ýôèð  ãèïîòåòè÷åñêàÿ ñðåäà, çàïîëíÿþùàÿ âñå ïðîñòðàíñòâî, êîëåáàíèÿ êîòîðîé è ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû. Èíòåðåñíî, ÷òî öåëüþ Ìàéêåëüñîíà, êîòîðûé â òå÷åíèå äåñÿòèëåòèé ïðîâîäèë âñå áîëåå òî÷íûå ýêñïåðèìåíòû, áûëî êàê ðàç îáíàðóæåíèå ýôèðà. Ýêñïåðèìåíòû, îäíàêî, ïðèâåëè ê âûâîäó, ÷òî ýôèð íå ñóùåñòâóåò. Êàçàëîñü áû, ëîãèêà ðàçâèòèÿ íàóêè òàêîâà, ÷òî, îñíîâûâàÿñü íà ðåçóëüòàòàõ îïûòîâ Ìàéêåëüñîíà (à òàêæå Ìàéêåëüñîíà-Ìîðëè è ðÿäà äðóãèõ, àíàëîãè÷íûõ), Ýéíøòåéí è âûâåë ñâîé ïîñòóëàò. Íåðåäêî òàê ëîãè÷íî è èçëàãàþò ýòó èñòîðèþ â êíèãàõ. Îäíàêî ñàì Ýéíøòåéí óòâåðæäàë, ÷òî äî ïóáëèêàöèè åãî çíàìåíèòîé ñòàòüè îí íè÷åãî íå ñëûøàë îá îïûòàõ Ìàéêåëüñîíà. Ìíå ëè÷íî êàæåòñÿ, ÷òî ñîîáðàæåíèå îá îòñóòñòâèè

159

ñòîÿ÷èõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí  ïîñèëüíåå ëþáûõ êîíêðåòíûõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ðåçóëüòàòîâ. Âîçâðàùàÿñü îò îáùåé ôèëîñîôèè ê äåëó, ïîñìîòðèì, êàêèå ñëåäñòâèÿ âûòåêàþò èç 2-ãî ïîñòóëàòà. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî çàôèêñèðîâàíà íåêîòîðàÿ èíåðöèàëüíàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà, ýòî çíà÷èò, äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò x1 ,

x2 , x3 è âðåìÿ t. Çàìå÷ó, ÷òî âîçìîæíîñòü ïîëüçîâàòüñÿ åäèíîé äëÿ âñåãî ïðîñòðàíñòâà äåêàðòîâîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò õàðàêòåðíà (ïîñòóëèðóåòñÿ) äëÿ ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè.  îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, íàçûâàåìîé òàêæå òåîðèåé ãðàâèòàöèè, ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü íååâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, îáëàäàþùåå êðèâèçíîé. Òåïåðü ââåäåì ïîäâèæíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò x01 , x02 , x03 è ñîîòâåòñòâóþùåå åé âðåìÿ t0 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 îáå ñèñòåìû êîîðäèíàò ñîâïàäàþò. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî "øòðèõîâàííàÿ" ñèñòåìà êîîðäèíàò äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v â íàïðàâëåíèè îñè x3 (áîëåå ïðàâèëüíî áûëî áû ñêàçàòü, ÷òî îñü x3 âûáðàíà â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ ñèñòåìû îòñ÷åòà). Òåïåðü ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 (ïðè ýòîì è t0 = 0 ) â îáùåì íà÷àëå êîîðäèíàò äâóõ ñèñòåì âñïûõíóëà ëàìïî÷êà, âîçíèê èñòî÷íèê ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû.  èñõîäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò å¼ ôðîíò (ìíîæåñòâî òî÷åê, äî êîòîðûõ â ìîìåíò âðåìåíè t äîøëà âîëíà) çàäà¼òñÿ óðàâíåíèåì

x21 + x22 + x23 − c2 t2 = 0.

(3.1)

Ýòî ñôåðà ðàäèóñà ct, ãäå c  ñêîðîñòü ñâåòà. Íî â ïîäâèæíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óðàâíåíèå ýòîé ïîâåðõíîñòè, ñîãëàñíî äâóì ïîñòóëàòàì, ìîæíî çàïèñàòü â àíàëîãè÷íîé ôîðìå 2

2

2

2

x0 1 + x0 2 + x0 3 − c2 t0 = 0.

(3.2)

Çàìå÷ó, ÷òî ñ òî÷êè çðåíèÿ ïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ñâåò äîñòèãàåò ãðàíèöû ñôåðû (3.1) íåîäíîâðåìåííî. Èçìåíÿåòñÿ íàø âçãëÿä íà ïðèðîäó

160

âðåìåíè. Ýéíøòåéí ïðåäïîëîæèë, ÷òî ìåæäó ñòàðûìè è íîâûìè êîîðäèíàòàìè èìååòñÿ ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü (ýòî ìîæíî äîêàçàòü ïðè ïîìîùè òåîðåìû Ìåçóðà-Óëàìà, ñì. Ïðèëîæåíèå 2). Ïîñëå ëèíåéíîé çàìåíû êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà (3.2) ïåðåéäåò â êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó îò x1 , x2 , x3 , t. ×òîáû ïðè ýòîì ñôåðà (3.2) ïåðåøëà â ñôåðó (3.1), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèå ñîîòíîøåíèÿ


2 2 2 2 x0 1 + x0 2 + x0 3 − c2 t0 = κ(v) x21 + x22 + x23 − c2 t2 .

(3.3)

Ôðîíò âîëíû åñòü ôèçè÷åñêàÿ ðåàëüíîñòü, à ñèñòåìû êîîðäèíàò ìû ââîäèì ñàìè.  (3.3) κ = κ(v)  êîíñòàíòà, îíà ìîæåò çàâèñåòü ëèøü îò v . Íî "íåïîäâèæíàÿ" ñèñòåìà êîîðäèíàò x1 , x2 , x3 äâèãàåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò x01 , x02 , x03 ñî ñêîðîñòüþ −v , ïîýòîìó äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ òàêæå ðàâåíñòâî

x21

+

x22

+

x23

2 2

− c t = κ(−v)



2 x0 1

+

2 x0 2

+

2 x0 3

2 02

−c t



.

(3.4)

Ñðàâíåíèå ýòèõ äâóõ ðàâåíñòâ äàåò ñîîòíîøåíèå

κ(v) · κ(−v) = 1.

(3.5)

 ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè ñîõðàíÿþòñÿ ïîñòóëàòû îá îäíîðîäíîñòè è èçîòðîïíîñòè ïðîñòðàíñòâà. Èçîòðîïíîñòü, íåçàâèñèìîñòü ñâîéñòâ ïðîñòðàíñòâà îò íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ, âëå÷åò ðàâåíñòâî κ(v) = κ(−v). Òîãäà èç (3.5) ñëåäóåò, ÷òî κ 2 (v) = 1. Îòñþäà κ(v) = ±1. Çíàê ìèíóñ ñëåäóåò îòáðîñèòü, ïîòîìó ÷òî ïðè v = 0 ìû äîëæíû, î÷åâèäíî, èìåòü κ(0) = 1. Åñëè åùå ïðåäïîëîæèòü, ÷òî κ(v) íåïðåðûâíî çàâèñèò îò v (ôèçèêè îáû÷íî ñ÷èòàþò íèæå ñâîåãî äîñòîèíñòâà óïîìèíàòü î òàêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ "ìåëî÷àõ"  äî òåõ ïîð, ïîêà íå ïðîèçîéäóò áîëüøèå íåïðèÿòíîñòè), ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî κ(v) = 1 äëÿ âñåõ v . Âûõîäèò, ÷òî êîîðäèíàòû è âðåìÿ â äâóõ ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà äîëæíû áûòü ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì 2

2

2

2

x0 1 + x0 2 + x0 3 − c2 t0 = x21 + x22 + x23 − c2 t2 .

(3.6)

161

Ñâÿçü ìåæäó êîîðäèíàòàìè  âðåìåíåì â äâóõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà ðàçûñêèâàåì òåïåðü â âèäå

x01 = x1 x02 = x2

(3.7)

x03 = αx3 + βt t0 = γx3 + δt.

Êîíñòàíòû α, β , γ , δ (çàâèñÿùèå îò v ) íàõîäÿòñÿ èç óñëîâèÿ (3.6). Âû ñìîæåòå ïðîäåëàòü ýòîò âûâîä ñàìîñòîÿòåëüíî  îí, ïî ñóùåñòâó, ñîâïàäàåò ñ òåì âûâîäîì, êîòîðûé ìû óæå ïðîâåëè, ðàçûñêèâàÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ èíâàðèàíòíî âîëíîâîå óðàâíåíèå. Îòâåò ñîñòîèò â òîì, ÷òî èñêîìîå ïðåîáðàçîâàíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èçâåñòíîå óæå íàì ïðåîáðà-

çîâàíèå Ëîðåíöà:

x01 = x1 , x02 = x2 , x3 − vt (3.8) , x03 = √ 1 − ε2 t − cv2 x3 0 t =√ , 1 − ε2 ãäå ε = v/c. Êîãäà ñêîðîñòü äâèæåíèÿ v ìàëà ïî îòíîøåíèþ ê ñêîðîñòè ñâåòà, òî åñòü â ïðåäåëå ε → 0, ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà ïåðåõîäÿò â ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ

x01 = x1 ,

x02 = x2 ,

x03 = x3 − vt,

t0 = t.

(3.9)

Êàê âèäèì, ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ âûâîä ñîîòíîøåíèé (3.8) âåñüìà ïðîñò. Îäíàêî ôèçè÷åñêèå âûâîäû ïîðàçèòåëüíû. Îêàçûâàåòñÿ, âðåìÿ íå àáñîëþòíî, â ÷åì áûë óâåðåí Íüþòîí, à çàâèñèò îò äâèæåíèÿ âûáðàííîé ñèñòåìû îòñ÷åòà. Ðàíüøå ìû óæå óñòàíîâèëè, ÷òî çàìåíà ïðåîáðàçîâàíèé Ãàëèëåÿ íà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ çàêîíà ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé.

162

Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì åùå îäíó ñèñòåìó êîîðäèíàò, êîòîðàÿ äâèãàåòñÿ, ïîïðåæíåìó â íàïðàâëåíèè îñè x3 , ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ ïî îòíîøåíèþ ê ïîäâèæíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Òîãäà å¼ ñêîðîñòü w ïî îòíîøåíèþ ê íåïîäâèæíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé íå v + u (êàê ïîëó÷èëîñü áû ñîãëàñíî ïðåîáðàçîâàíèÿì Ãàëèëåÿ), à îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì

w=

v+u . 1 + uv 2 c

(3.10)

Ñîêðàùåíèå äëèí è îòðåçêîâ âðåìåíè. Åùå äî ðàçâèòèÿ òåîðèè

îòíîñèòåëüíîñòè Ëîðåíö è Ôèöäæåðàëüä äëÿ îáúÿñíåíèÿ ðåçóëüòàòîâ íåêîòîðûõ ýêñïåðèìåíòîâ ââåëè ïðåäïîëîæåíèå î ñîêðàùåíèè äëèíû òåë â íàïðàâëåíèè èõ äâèæåíèÿ. Ñíà÷àëà êàçàëîñü, ÷òî ýôôåêò ËîðåíöàÔèöäæå-

ðàëüäà ÿâëÿåòñÿ äèíàìè÷åñêèì, ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ñîêðàùåíèå äëèí ïðîèñõîäèò ïîä äåéñòâèåì íåêîòîðûõ íåèçâåñòíûõ íàì ñèë, ñêàæåì, ñîïðîòèâëåíèÿ ýôèðà äâèæåíèþ òåë. Âîçíèêàëà íåñêîëüêî ñìóòíàÿ àíàëîãèÿ ñ äâèæåíèåì òåë â âîçäóõå èëè âîäå. Áûòü ìîæåò, ãëàâíîå äîñòèæåíèå Ýéíøòåéíà (òàê ñ÷èòàþò ìíîãèå ôèçèêè) ñîñòîèò â òîì, ÷òî îí ïîíÿë êèíåìàòè÷åñêèé õàðàêòåð âñåõ îñíîâíûõ ðåëÿòèâèñòñêèõ ýôôåêòîâ  ïðîñòî (ïðîñòî!) òàê óñòðîåíû ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ. Òåïåðü ïîñìîòðèì, êàê íåïðèíóæäåííî òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè îáúÿñíÿåò ýôôåêò Ëîðåíöà - Ôèöäæåðàëüäà, à çàîäíî ïðåäñêàçûâàåò åùå áîëåå ïîðàçèòåëüíûé ýôôåêò ñîêðàùåíèÿ îòðåçêîâ âðåìåíè. Õîä âðåìåíè çàâèñèò îò äâèæåíèÿ òåë! Ýòî íåëåãêî áûëî óñâîèòü ñîâðåìåííèêàì. Èòàê, ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî â ôèêñèðîâàííîé ("íåïîäâèæíîé") ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååòñÿ ñòåðæåíü, äëèíû `, ðàñïîëîæåííûé âäîëü îñè x3 ìåæäó òî÷êàìè z1 è z2 , òàê ÷òî z2 − z1 = `. Åñëè òåïåðü èçìåðèòü äëèíó ýòîãî ñòåðæíÿ â ïîäâèæíîé (øòðèõîâàííîé) ñèñòåìå êîîðäèíàò â ìîìåíò t0 , òî ïîëó÷èì

zi0 + vt0 v zi = √ , i = 1, 2, ε= (3.11) c 1 − ε2 Îáîçíà÷èì ÷åðåç `0 = z20 −z10 äëèíó ñòåðæíÿ â ïîäâèæíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.

163

r

r

r

z1

z2

z3

P P  

Ðèñ. 10:

Âû÷èòàÿ ôîðìóëû (3.11) îäíó èç äðóãîé, ïðèäåì ê ðàâåíñòâó

`0 `=√ . (3.12) 1 − ε2 Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî äëèíà ` â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò áîëüøå, ÷åì äëèíà ñòåðæíÿ â äâèæóùåéñÿ ñèñòåìå. Àíàëîãè÷íî âîñïîëüçóåìñÿ ñâÿçüþ ìåæäó ìîìåíòàìè âðåìåíè t01 è t02 . Èìååì

vz 0 + 2 i = 1, 2. (3.13) ti = √ c , 1 − ε2 Ñîîòâåòñòâåííî ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó îòðåçêîì âðåìåíè t2 − t1 è t0i

ñîîòâåòñòâóþùèì îòðåçêîì âðåìåíè t02 −t01 â äâèæóùåéñÿ ñèñòåìå êîîðäèíàò

t0 − t01 . (3.14) t2 − t1 = √2 1 − ε2 Ýòà ïðîñòàÿ ôîðìóëà âëå÷åò ñëåäñòâèÿ, êîòîðûå ñ áîëüøèì òðóäîì óêëàäûâàþòñÿ â ñîçíàíèå. Âû, íàâåðíîå, ñëûøàëè î òàê íàçûâàåìîì ïàðàäîêñå áëèçíåöîâ. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî îäèí èç äâóõ áëèçíåöîâ ñàäèòñÿ â êîñìè÷åñêèé êîðàáëü è ïóòåøåñòâóåò íà íåì ñî ñêîðîñòüþ, äîñòàòî÷íî áëèçêîé ê ñêîðîñòè ñâåòà. Ïîòîì îí âîçâðàùàåòñÿ íà Çåìëþ. Ôîðìóëà (3.14) ãîâîðèò, ÷òî íà Çåìëå, ê ìîìåíòó åãî âîçâðàùåíèÿ, ïðîøëî âðåìåíè â

√ 1 1−ε2

áîëüøå, ÷åì òî

âðåìÿ t02 − t01 , êîòîðîå áëèçíåö-ïóòåøåñòâåííèê ïðîâåë â ñâîåì êîñìè÷åñêîì êîðàáëå. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ε äîñòàòî÷íî áëèçêî ê 1, òî åñòü v áëèçêî ê c, íà Çåìëå ìîãëî ïðîéòè ñêîëü óãîäíî áîëüøîå âðåìÿ. Ïèñàòåëè-ôàíòàñòû íå ðàç ýêñïëóàòèðîâàëè ýòó èäåþ. Âûñêàçûâàëèñü è ðàçëè÷íûå âîçðàæåíèÿ ïðîòèâ ïàðàäîêñà áëèçíåöîâ. Ãëàâíîå èç íèõ ñîñòîèò â òîì, ÷òî êîñìè÷åñêèé êîðàáëü, ÷òîáû íàáðàòü ñêîðîñòü v , äîëæåí äâèãàòüñÿ óñêîðåííî, à ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè

164

íå ìîæåò îïèñàòü, ÷òî ïðîèñõîäèò â äâèæóùåéñÿ óñêîðåííî ñèñòåìå. Îòâåò äðóãîé ñïîðÿùåé ñòîðîíû ñîñòîèò â òîì, ÷òî êîðàáëü ìîæåò íàáðàòü ñêîðîñòü ñ î÷åíü ìàëûì óñêîðåíèåì, à çàòåì íàõîäèòüñÿ â ñâîáîäíîì ïîëåòå ñî ñêîðîñòüþ v çíà÷èòåëüíî áîëåå äîëãîå âðåìÿ. Ðàçóìååòñÿ, è òîðìîçèòü ïðè ïîñàäêå íà Çåìëþ îí äîëæåí ñ ìàëûì óñêîðåíèåì. Òîãäà óñëîâèÿ áóäóò áëèçêè ê òåì, êîòîðûå õîðîøî îïèñûâàþòñÿ òåîðèåé îòíîñèòåëüíîñòè. Äðóãîå âîçðàæåíèå îñíîâûâàåòñÿ íà òîì, ÷òî ïðè ðàçãîíå òåëà äî ñêîðîñòè, áëèçêîé ê ñêîðîñòè ñâåòà, íóæíî çàòðàòèòü íåâîîáðàçèìî îãðîìíóþ ýíåðãèþ. Íó, ýòî óæ íå êàæåòñÿ òàêèì ïðèíöèïèàëüíûì. Êñòàòè, äâèæåíèå â óñêîðåííûõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò ïðåêðàñíî îïèñûâàåòñÿ îáùåé òåîðèåé îòíîñèòåëüíîñòè, è ïàðàäîêñ áëèçíåöîâ ïðè ýòîì ñîõðàíÿåòñÿ. Òàê ÷òî äåëî ëèøü çà ýêñïåðèìåíòàëüíîé ïðîâåðêîé íà ëþäÿõ. Íà ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèöàõ "ïàðàäîêñ" ïîëíîñòüþ ïîäòâåðæäåí. Ìåõàíèêà òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. ß óæå ãîâîðèë ðàíüøå, ÷òî

Ýéíøòåéí ðàçâèë êèíåìàòèêó òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, îáíàðóæèâ ïðè ýòîì íîâûå óäèâèòåëüíûå ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè. Íî îí ïîøåë è äàëüøå, ñîçäàâ ðåëÿòèâèñòñêóþ äèíàìèêó. Åå ñïåöèôèêà ñâÿçàíà ñ îòíîñèòåëüíîñòüþ âðåìåíè, îòñóòñòâèåì àáñîëþòíîãî íüþòîíîâñêîãî âðåìåíè, çàâèñèìîñòüþ âðåìåíè îò äâèæåíèÿ ñèñòåìû îòñ÷åòà, åñòåñòâåííî ñâÿçàííîé ñ äâèæóùèìñÿ òåëîì èëè ìàòåðèàëüíîé ÷àñòèöåé. Íåòðóäíî óáåäèòñÿ, ÷òî â òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè èíâàðèàíòíà ñëåäóþùàÿ âåëè÷èíà

(¯ x1 − x1 )2 + (¯ x2 − x2 )2 + (¯ x3 − x3 )2 − c2 (t¯ − t)2 , êîòîðîé ïðèñâîåíî íåñêîëüêî ñòðàííîå íàçâàíèå "èíòåðâàë".

(3.15) Çäåñü

(x1 , x2 , x3 , t), (¯ x1 , x¯2 , x¯3 , t¯) äâå òî÷êè â îäíîé è òîé æå ñèñòåìå îòñ÷åòà. Êàæäàÿ òàêàÿ òî÷êà ÷åòûðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà íàçûâàåòñÿ (ìîæåò, ÷åðåñ÷óð ïûøíî) ñîáûòèåì. Ðàçóìååòñÿ, èíâàðèàíòíîñòü â òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, èëè ðåëÿòèâèñòñêàÿ èíâàðèàíòíîñòü, îçíà÷àåò èíâàðèàíòíîñòü îò-

165

íîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà. Ëèøü âåëè÷èíû, íå çàâèñÿùèå îò íàøåãî ñóáúåêòèâíîãî âûáîðà ñèñòåìû, ìîãóò èìåòü ôèçè÷åñêèé ñìûñë.  ñëó÷àå, êîãäà âñå ïðèðàùåíèÿ â (3.15) áåñêîíå÷íî ìàëû ýòî âûðàæåíèå ïðèíèìàåò âèä

dx21 + dx22 + dx23 − c2 dt2 .

(3.16)

Îêàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííûì ââåñòè ñîáñòâåííîå âðåìÿ τ äâèæóùåéñÿ ïî ïðîèçâîëüíîìó çàêîíó xj = xj (t) òî÷êè, ïîëàãàÿ

dx21 + dx22 + dx23 − c2 dt2 = −c2 dτ 2 .

(3.17)

Îòñþäà äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè τ = τ (t) ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

p dτ = 1 − ε2 . (3.18) dt p Çäåñü ε = v/c, ïðè÷åì ñêîðîñòü v = x˙ 21 + x˙ 22 + x˙ 23 îïðåäåëÿåòñÿ ïî çàäàííîìó çàêîíó äâèæåíèÿ òî÷êè. Äîáàâèâ íà÷àëüíîå óñëîâèå τ (0) = 0, ìû îïðåäåëèì ñîáñòâåííîå âðåìÿ ÷àñòèöû îäíîçíà÷íî. Ãåîðã Ìèíêîâñêèé ñóùåñòâåííî óïðîñòèë òåîðèþ, çàìåòèâ, ÷òî ïîñëå ââåäåíèÿ êîìïëåêñíîé (÷èñòî ìíèìîé) ïåðåìåííîé x4 = ict, èíòåðâàë (3.15) ïðåîáðàçóåòñÿ ê ñóììå êâàäðàòîâ. Ïîñëå ýòîãî ñòàíîâèòñÿ ÿñíî, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà ïîëó÷àåòñÿ ïîïðîñòó èç ïðåîáðàçîâàíèÿ âðàùåíèÿ ÷åòûðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà ïåðåìåííûõ x1 , x2 , x3 , x4 . Ïðè ýòîì, ïðîâîäÿ ìíîãèå àíàëèòè÷åñêèå âûêëàäêè, ìîæíî íàäîëãî çàáûòü, ÷òî ïåðåìåííàÿ x4 èãðàåò îñîáóþ ðîëü (àëãåáðà  ñèëüíàÿ íàóêà!), è âñïîìíèòü îá ýòîì ëèøü òîãäà, êîãäà íóæíî îñìûñëèòü îêîí÷àòåëüíûé îòâåò. Òàêîå ÷åòûðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî, ñ âûäåëåííîé îñîáî ïåðåìåííîé x4 , íîñèò íàçâàíèå ÷åòûðåõ-

ìåðíûé ìèð Ìèíêîâñêîãî. (Ê ñëîâó ñêàçàòü, êîãäà èäóò äèñêóññèè î òîì, ÿâëÿåòñÿ ëè íàøå ïðîñòðàíñòâî òðåõìåðíûì èëè ÷åòûðåõìåðíûì, à ìîæåò, èìååò áîëüøóþ ðàçìåðíîñòü, òî ðå÷ü èäåò èìåííî î ïðîñòðàíñòâå. Ñóùåñòâîâàíèå åùå îäíîé ïåðåìåííîé t ïîäðàçóìåâàåòñÿ.  ñîâðåìåííîé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ è âàðèàíòû î÷åíü áîëüøèõ ðàçìåðíîñòåé 

166

áûòü ìîæåò íàøå ïðîñòðàíñòâî 9-ìåðíî èëè äàæå 20-ìåðíî. Ãëàâíûì àïïàðàòîì â ýòîé íàóêå ñëóæèò òåîðèÿ ãðóïï Ëè.)  ìåõàíèêå (òî÷íåå, â äèíàìèêå) òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, êàê è â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå, ðàáîòàåò ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà. Èçìåíåíèå, îäíàêî, ñîñòîèò â òîì, ÷òî âìåñòî àáñîëþòíîãî âðåìåíè, êîòîðîå íå ñóùåñòâóåò, íóæíî èñïîëüçîâàòü ñîáñòâåííîå âðåìÿ äâèæóùåéñÿ ìàòåðèàëüíîé ÷àñòèöû. (ß îãðàíè÷óñü çäåñü ñëó÷àåì ìàòåðèàëüíîé ÷àñòèöû. Ñëó÷àé òâåðäîãî òåëà âûçâàë èçâåñòíûå òðóäíîñòè â ñâÿçè ñ íåâîçìîæíîñòüþ ïåðåäà÷è "ñèãíàëà" ñ ïðîèçâîëüíî áîëüøîé ñêîðîñòüþ. Âåäü òâåðäîå òåëî öåëèêîì è ìãíîâåííî ðåàãèðóåò íà äâèæåíèå ëþáîé åãî ÷àñòè. Òðóäíîñòè çäåñü ðàçðåøèë Ï. Ýðåíôåñò. Âïðî÷åì, Ëàíäàó ñ÷èòàë, ÷òî òâåðäûå òåëà ïðîñòî íåâîçìîæíû â òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè.).  ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî îïðåäåëÿåòñÿ ðåëÿòèâèñò-

ñêèé ëàãðàíæèàí L = L(xj , uj , τ ), ãäå j = 1, 2, 3, 4, τ  ñîáñòâåííîå âðåìÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû, à âåëè÷èíû u1 , u2 , u3 , u4 ñóòü êîìïîíåíòû ðåëÿòèâèñòñêîé 4-ñêîðîñòè, îïðåäåëÿåìîé äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî τ (à íå ïî t):

uj =

dxj 1 dxj = ·√ . dτ dt 1 − ε2

(3.19)

Çäåñü t  âðåìÿ â íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, êîòîðóþ ìû ìîæåì ñ÷èòàòü íåïîäâèæíîé. Öåëåñîîáðàçíî ââåñòè åùå êîìïîíåíòû ñêîðîñòè vj =

dxj dt

â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. ×åòâåðòàÿ êîîðäèíàòà 

îñîáàÿ

ic . (3.20) 1 − ε2 Äàëåå, äëÿ ëþáûõ äâóõ ìîìåíòîâ τ1 è τ2 (ïóñòü τ1 < τ2 ) ñîáñòâåííîu4 = √

τ = ic,

ãî âðåìåíè τ ìû îïðåäåëÿåì ðåëÿòèâèñòñêîå (èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà) äåéñòâèå

Zτ2 I=

L(xj , uj , τ )dτ. τ1

(3.21)

167

Òåïåðü ïîñòóëèðóåòñÿ âàðèàöèîííûé ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà (3.22)

δI = 0.

Ïî-ïðåæíåìó ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äåôîðìàöèè íå ìåíÿþò íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî ïîëîæåíèé ÷àñòèöû. Çàìå÷ó, ÷òî âàðèàöèîííûé ïðèíöèï (3.22) èìååò äâîéñòâåííóþ ïðèðîäó  îí ïîõîæ è íà êëàññè÷åñêèé ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà, è íà ïðèíöèï Ìîïåðòþèßêîáè, îïèñûâàþùèé äâèæåíèå íà èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòÿõ. ×òîáû íàéòè ëàãðàíæèàí ñâîáîäíîé ìàòåðèàëüíîé ÷àñòèöû, ìîæíî äåéñòâîâàòü ïî àíàëîãèè ñ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêîé. Ïðîñòðàíñòâî ïî-ïðåæíåìó ïðåäïîëàãàåòñÿ èçîòðîïíûì è îäíîðîäíûì, íî âìåñòî ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ, ïðèíèìàåòñÿ ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà  èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà. Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðåäñòàâëåíèåì Ìèíêîâñêîãî äëÿ 4-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà âðåìåíè, òî íåòðóäíî ïðèéòè ê âûðàæåíèþ

L=

m0 uj uj , 2

j = 1, 2, 3, 4.

(3.23)

Ñðàâíèòå ýòî âûðàæåíèå ñ êëàññè÷åñêèì:

mvj vj mx˙ 2 Lcl = = , 2 2

j = 1, 2, 3.

(3.24)

Âåëè÷èíà m0 â (3.23) íàçûâàåòñÿ ìàññîé ïîêîÿ ÷àñòèöû. Äàëüøå ìû óâèäèì, ÷òî â îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè, ìàññà ÷àñòèöû çàâèñèò îò å¼ ñêîðîñòè (!). Çíàÿ ëàãðàíæèàí (3.23), ìû ìîæåì îïðåäåëèòü ðåëÿòèâèñòñêèå èì-

ïóëüñû:

∂L = m 0 uj . ∂uj

(3.25)

Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, âûòåêàþùèå èç âàðèàöèîííîãî ïðèíöèïà (3.22), èìåþò âèä

∂L d ∂L − = 0, dτ ∂uj ∂xj

j = 1, 2, 3, 4.

(3.26)

168

 ñëó÷àå ëàãðàíæèàíà (3.23) ñâîáîäíîé ìàòåðèàëüíîé ÷àñòèöû ýòè óðàâíåíèÿ ïðèíèìàþò âèä

d (m0 uj ) = 0, dτ

(3.27)

j = 1, 2, 3, 4.

Êîãäà íà ÷àñòèöó äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû ñ êîìïîíåíòàìè Kj , â óðàâíåíèÿõ ïîÿâëÿåòñÿ ïðàâàÿ ÷àñòü

d (m0 uj ) = Kj , (3.28) dτ Âåëè÷èíû Kj ñóòü êîìïîíåíòû 4-ñèëû, íàçûâàåìîé ñèëîé Ìèíêîâñêîãî. Åñëè ïåðåéòè â óðàâíåíèÿõ (3.27) è (3.28) ê äèôôåðåíöèðîâàíèþ ïî t, ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ

d 1 √ 1 − ε2 dt



m √ 0 vj 1 − ε2

 = Kj ,

j = 1, 2, 3, 4.

Ìû èñïîëüçîâàëè ôîðìóëû (3.19), (3.20) è òîò ôàêò, ÷òî

d dτ

=

(3.29) d √ 1 . 1−ε2 dt

Åñëè òåïåðü ââåñòè îáîçíà÷åíèå

m=√

m0 , 1 − ε2

(3.30)

òî ìîæíî óâèäåòü, ÷òî ðåëÿòèâèñòñêîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (3.29) åñòü ïîïðîñòó óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ñ ïåðåìåííîé ìàññîé m:

p d (mvj ) = Kj 1 − ε2 , dt

j = 1, 2, 3, 4.

(3.31)

Èòàê, âûÿñíèëîñü, ÷òî ìàññà  ïîíÿòèå îòíîñèòåëüíîå, îíà çàâèñèò îò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ. Ïðè ýòîì ìàññà m äâèæóùåéñÿ ÷àñòèöû âñåãäà áîëüøå ìàññû ïîêîÿ m0 .  ðàçâèòèè ôèçèêè èãðàåò ñóùåñòâåííóþ ðîëü ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ. Ìû óâåðåíû, ÷òî êëàññè÷åñêàÿ ìåõàíèêà, ïîäòâåðæäåííàÿ íåâîîáðàçèìî îãðîìíûì ýêñïåðèìåíòàëüíûì ìàòåðèàëîì, íå áóäåò îïðîâåðãíóòà íèêàêèìè íîâûìè îòêðûòèÿìè  â ñâîåé îáëàñòè ïðèìåíèìîñòè. Âñÿêàÿ íîâàÿ òåîðèÿ äîëæíà ñîäåðæàòü íîâûé ïàðàìåòð, â òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè ýòî  ñêîðîñòü ñâåòà c èëè ε = v/c, òàêîé, ÷òî â ïðåäåëå, â äàííîì ñëó÷àå ïðè c = ∞ èëè

169

ε = 0, íîâàÿ ìåõàíèêà ïåðåõîäèò â êëàññè÷åñêóþ. Òî æå ñàìîå, êîíå÷íî, îòíîñèòñÿ è ê äðóãèì îáîáùåíèÿì ôóíäàìåíòàëüíûõ òåîðèé êëàññè÷åñêîé ôèçèêè, è â ïåðâóþ î÷åðåäü, ê êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Êîíå÷íî, ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ ðàáîòàåò è ïðè äàëüíåéøèõ îáîáùåíèÿõ íîâûõ ôèçè÷åñêèõ òåîðèé. Èòàê, ìû îæèäàåì, ÷òî ïðè ε → 0 ðåëÿòèâèñòñêèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äîëæíû ïåðåõîäèòü â êëàññè÷åñêèå. Ïîäñ÷èòàåì ëàãðàíæèàí (3.23). Èìååì

m0 L= 2



v2 c2 − 1 − ε2 1 − ε2

 =−

m0 c2 . 2

(3.32)

Òåïåðü ïåðåïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîãî äåéñòâèÿ (3.21) â ñëó÷àå ëàãðàíæèàíà (3.23), ïåðåõîäÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî âðåìåíè t. Èìååì

Zt2 −

I=

m0 c2 p 1 − ε2 dt. 2

(3.33)

t1

Ïðè ìàëûõ ε ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â (3.33) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

m0 c2 − 2



v2 1 − 2 + ... 2c



1 =− 2



 m0 v 2 2 − m0 c + . . . . 2

(3.34)

Èòàê, â êëàññè÷åñêîì ïðåäåëå, ïðè ε → 0 ëàãðàíæèàí â (3.33) ïðèíèìàåò âèä

1 − 2



 m0 v 2 2 − m0 c . 2

(3.35)

Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü − 12 , êîíå÷íî, íåñóùåñòâåíåí. Äîïîëíèòåëüíîå ñëàãàåìîå −m0 c2 çàñòàâëÿåò íàñ íàñòîðîæèòüñÿ. Åñëè ïðåäñòàâèòü ñåáå, ÷òî ëàãðàíæèàí åñòü ðàçíîñòü ìåæäó êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèÿìè, òî âûõîäèò, ÷òî ïîÿâèëàñü äîïîëíèòåëüíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ

E = m0 c2 ,

(3.36)

êîòîðîé îáëàäàåò íåïîäâèæíàÿ ìàòåðèàëüíàÿ ÷àñòèöà. Ïîêà ÷òî òðóäíî óòâåðæäàòü, ÷òî ýòà ôîðìóëà èìååò ñåðüåçíûé ôèçè÷åñêèé ñìûñë, ïîòîìó ÷òî ïîñòîÿííûé ëàãðàíæèàí òðèâèàëåí. Òàêîå ñëàãàåìîå â (3.35) ìîæíî ïðîñòî îòáðîñèòü, ýòî íå ïîâëèÿåò íà óðàâíåíèå äâèæåíèÿ. Èòàê, ìû óñòàíîâèëè,

170

÷òî ïðè ε → 0 ðåëÿòèâèñòñêèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ïåðåõîäÿò â êëàññè÷åñêèå. Ýíåðãèÿ â òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ îáùèì

îïðåäåëåíèåì ýíåðãèè â ìåõàíèêå Ãàìèëüòîíà-Ëàãðàíæà: (3.37)

E = vLv − L.

Ïîäïðàâèì âûðàæåíèå (3.33), âíîñÿ â íåãî òàêîé ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü, ÷òîáû â ïðåäåëå ε → 0 ïîëó÷àëèñü â òî÷íîñòè êëàññè÷åñêîå äåéñòâèå è êëàññè÷åñêèé ëàãðàíæèàí. Ñîãëàñíî (3.35), äëÿ ýòîãî íóæíî óìíîæèòü (3.33) íà

2.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ðåëÿòèâèñòñêîå äåéñòâèå â âèäå Zt2 S=−

r 1−

v2 dt. c2

(3.38)

1−

v2 . c2

(3.39)

m0 c2

t1

Ëàãðàíæèàí äàåòñÿ ôîðìóëîé

r L = −m0 c2 Òåïåðü âû÷èñëèì ýíåðãèþ E . Èìååì

Lv = m 0 c

2



v2 1− 2 c

−1/2 ·

v . c2

(3.40)

Ïî ôîðìóëå (3.37), ïîëó÷àåì

m0 c2 E = mc = q . v2 1 − c2 2

(3.41)

Âîò òåïåðü íåò ñîìíåíèé, ÷òî ïðè v = 0 ÷àñòèöà äåéñòâèòåëüíî îáëàäàåò

ýíåðãèåé ïîêîÿ, îïðåäåëÿåìîé ïî ôîðìóëå (3.36). Âîîáùå ôîðìóëà (3.41) îïèñûâàåò ãëóáêóþ ñâÿçü ìåæäó ìàññîé è ýíåðãèåé, â íåêîòîðîì ñìûñëå èõ ýêâèâàëåíòíîñòü. Ìíîæèòåëü c2 âûãëÿäèò êàê êîýôôèöèåíò ïåðåõîäà îò îäíèõ åäèíèö èçìåðåíèÿ ê äðóãèì. Ïðè æåëàíèè ýíåðãèþ ìîæíî áûëî áû èçìåðÿòü â ãðàììàõ èëè äðóãèõ åäèíèöàõ ìàññû.

171

Êîãäà ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû  ïðîòîíû, íåéòðîíû è ýëåêòðîíû îáúåäèíÿþòñÿ â îäèí àòîì, ìàññà àòîìà îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå ñóììàðíîé ìàññû ýòèõ ÷àñòèö. Òåðÿåòñÿ ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè ìàññû. Ïðè÷èíà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè òàêîì ñîåäèíåíèè èñïóñêàåòñÿ ñâåò, ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà. ×àñòèöû ñâåòà èìåþò íóëåâóþ ìàññó ïîêîÿ (äëÿ íèõ m0 = 0). Äâèãàþòñÿ îíè, ïîíÿòíî, ñî ñêîðîñòüþ c. Åñëè ïðè ýòîì èçëó÷àåòñÿ ýíåðãèÿ ∆E , òî âîçíèêàåò äåôåêò ìàññû

∆E . (3.42) c2 Òàê òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè íåïðèíóæäåííî îáúÿñíèëà, ïî÷åìó àòîì∆m =

íûå ìàññû (÷àùå ãîâîðÿò î âåñàõ) ýëåìåíòîâ ìåíüøå, ÷åì ñóììàðíûå ìàññû ñîñòàâëÿþùèõ àòîìû ÷àñòèö.

172

Ïðèëîæåíèå 1. Òèïè÷íîñòü åäèíñòâåííîñòè è íåòèïè÷íîñòü íååäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè.

Çäåñü ìû ðàññìîòðèì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (4.1)

x˙ = f (x, t)

ñ íåïðåðûâíîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé f : R2 → R, çàäàííîé íà âñåé ïëîñêîñòè R2 . Íà ñàìîì äåëå ñëåäóþùèå ðàññìîòðåíèÿ ìîæíî ïðîâåñòè âïîëíå àíàëîãè÷íî è äëÿ óðàâíåíèé â Rn . Èìåþòñÿ è äàëüíåéøèå îáîáùåíèÿ  íà óðàâíåíèÿ â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå X , íà óðàâíåíèÿ ñ ìíîãîçíà÷íûìè ôóíêöèÿìè è ò. ä. Íàøà öåëü  èçëîæèòü äîêàçàòåëüñòâî óäèâèòåëüíîé òåîðåìû Âëàäèñëàâà Îðëè÷à (1932, [20]) (èññëåäîâàíèÿ Îðëè÷à áûëè ïðîäîëæåíû â ðàáîòàõ [21, 22, 23] ). Ýòà òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî â îïðåäåëåííîì ñìûñëå, ðàçúÿñíåííîì íèæå, òèïè÷íîé ÿâëÿåòñÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà äëÿ óðàâíåíèÿ (4.1) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì âèäà

x

(4.2)

= x0 t=t0

ðåøåíèå äëÿ âñåõ òî÷åê (x0 , t0 ) ∈ R2 åäèíñòâåííî! È ýòî íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî îäíîãî ëèøü ñâîéñòâà íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f , êàê ïîêàçûâàþò ïðîñòûå ïðèìåðû (âñïîìíèòå çàäà÷ó Êîøè x˙ =

√ 3

x, x(0) = 0), äëÿ åäèíñòâåí-

íîñòè íåäîñòàòî÷íî. Óäèâèòåëüíîå äåëî, ýòîò ôóíäàìåíòàëüíûé ðåçóëüòàò ïîëüñêîãî ìàòåìàòèêà ñîâñåì ìàëî èçâåñòåí, íå óïîìèíàåòñÿ â òðàêòàòàõ ïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì, è â ó÷åáíèêàõ. Áîëåå òîãî, âåñüìà ðàñïðîñòðàíåí ïðåäðàññóäîê, ÷òî òèïè÷íà êàê ðàç íååäèíñòâåííîñòü. Ïî-âèäèìîìó, òàê ïîëó÷àåòñÿ ïîòîìó, ÷òî ìíîãèå âåðÿò â "ïðèíöèï õðóïêîñòè õîðîøåãî". Ýòîò ïðèíöèï, ãîâîðÿùèé, ÷òî âñå õîðîøåå âñòðå÷àåòñÿ ðåäêî è ëåãêî ïîðòèòñÿ, ïðèìåíèì, ê ñîæàëåíèþ, êî ìíîãèì ïðîáëåìàì ìàòåìàòèêè è æèçíè. Íî âîò, âûõîäèò, îòêàçûâàåò ïðèìåíèòåëüíî ê çàäà÷è Êîøè (4.1), (4.2). Íå ñ÷èòàòü æå "õîðîøèì" ñëó÷àåì íååäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ.

173

 øóòêó ÿ ïðîâîäèë ãîëîñîâàíèå ñðåäè ìàòåìàòèêîâ, ñíà÷àëà â Ðîññèè, à çàòåì â íåñêîëüêèõ àìåðèêàíñêèõ óíèâåðñèòåòàõ, ïî âîïðîñó î òîì, ÷òî òèïè÷íî  åäèíñòâåííîñòü èëè íååäèíñòâåííîñòü. Ýòîò äåìîêðàòè÷åñêèé ñïîñîá ðåøåíèÿ ïðîáëåìû äàë ïðàâèëüíûé ðåçóëüòàò ëèøü íà ñåìèíàðå â Èíñòèòóòå Êóðàíòà â Íüþ-Éîðêå, ïðè÷åì ñîîòíîøåíèå ãîëîñîâ çà ïðàâèëüíûé îòâåò (åäèíñòâåííîñòü!) è ïðîòèâ íåãî áûëî, êàæåòñÿ, 14:12, ìíîãèå âîçäåðæàëèñü. Âûäàþùèåñÿ ñïåöèàëèñòû ïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì îêàçàëèñü â ðàçíûõ ïàðòèÿõ. Ïîëó÷èâ, íàêîíåö, ïðàâèëüíûé îòâåò, ÿ ïðåêðàòèë òàêèå ýêñïåðèìåíòû. Äàëüøå íàì ïîíàäîáèòñÿ ðÿä ïîíÿòèé èç ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Âåðîÿòíî, îíè âàì áîëüøåé ÷àñòüþ èçâåñòíû, à çäåñü ÿ èõ ëèøü êðàòêî íàïîìíþ. Êàòåãîðèÿ ìíîæåñòâà ïî Áýðó. Ïóñòü X  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàí-

ñòâî. Ìíîæåñòâî B ⊂ X íàçûâàåòñÿ âñþäó ïëîòíûì â X , åñëè åãî çàìûêàíèå M ñîâïàäàåò ñ X . Ýêâèâàëåíòíîå òðåáîâàíèå: â êàæäîì øàðå ïðîñòðàíñòâà X íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäíà òî÷êà ìíîæåñòâà M . Ëèáî: äëÿ ëþáîé òî÷êè

x ∈ X íàéäåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê x1 , x2 , . . . ìíîæåñòâà M òàêàÿ, ÷òî xn → x, òî åñòü ρ(xn , x) → 0. Çäåñü ρ  ìåòðèêà, òàê ÷òî ρ(x, y)  ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè x è y â X . Ìíîæåñòâî M ⊂ X íàçûâàåòñÿ íèãäå íå ïëîòíûì â X , åñëè äëÿ êàæäîãî øàðà â X íàéäåòñÿ ðàñïîëîæåííûé âíóòðè íåãî øàð, íå ñîäåðæàùèé íè îäíîé òî÷êè ìíîæåñòâà M . Òèïè÷íûå ïðèìåðû: ìíîæåñòâî Q âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë âñþäó ïëîòíî â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå R. Ìíîæåñòâî Qn âñåâîçìîæíûõ âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà Rn , èìåþùèõ ðàöèîíàëüíûå êîîðäèíàòû, âñþäó ïëîòíî â Rn . Ìíîæåñòâî Z âñåõ öåëûõ ÷èñëå íèãäå íå ïëîòíî â R. Ïðÿìàÿ â R2 íèãäå íå ïëîòíà. Íåòðèâèàëüíûé ïðèìåð íèãäå íå ïëîòíîãî ìíîæåñòâà ïîñòðîèë Ã. Êàíòîð. Ðàññìîòðèì ñåãìåíò [0, 1]. Âûáðîñèì èç íåãî èíòåðâàë

1 2 3, 3




. Ñ äâóìÿ

174

îñòàâøèìèñÿ îòðåçêàìè ïðîäåëàåì òàêóþ æå ïðîöåäóðó: ðàçäåëèì êàæäûé èç íèõ íà 3 ðàâíûõ îòðåçêà è âûáðîñèì ñðåäíþþ ÷àñòü. Ñ îñòàâøèìèñÿ ÷åòûðüìÿ îòðåçêàìè ïðîäåëàåì òî æå ñàìîå. Ïðîäîëæèì ýòè äåéñòâèÿ äî áåñêîíå÷íîñòè. Îñòàâøååñÿ êàíòîðîâî ìíîæåñòâî K íèãäå íå ïëîòíî íà

[0, 1].  ýòîì ñëó÷àå X = [0, 1], ρ(x, y) = |x − y|. Çàìåòüòå, ÷òî ïîñòðîåííîå òàêèì îáðàçîì êàíòîðîâî ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç âñåâîçìîæíûõ ÷èñåë íà îòðåçêå [0, 1], èìåþùèõ ðàçëîæåíèå â òðîè÷íóþ äðîáü, â êîòîðîì îòñóòñòâóåò öèôðà 2. Êàíòîðîâû ìíîæåñòâà äîëãîå âðåìÿ êàçàëèñü ìàòåìàòèêàì àáñòðàêòíîé è âû÷óðíîé âûäóìêîé. Îäíàêî â ñåðåäèíå XX âåêà îíè ñòàëè ïîÿâëÿòüñÿ â òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì è, ïî ñóòè, âî âñåõ îáëàñòÿõ íåëèíåéíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè (êîíå÷íî, íå îáÿçàòåëüíî â ïðîöåäóðå Êàíòîðà äåëèòü îòðåçêè íà ðàâíûå ÷àñòè). Ìíîæåñòâî M íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì 1-îé êàòåãîðèè (ïî Áýðó), åñëè åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñ÷åòíîå îáúåäèíåíèå íèãäå íå ïëîòíûõ ìíîæåñòâ. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî Q ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë â R, à òàêæå è Qn â Rn , ñóòü ìíîæåñòâà 1-é êàòåãîðèè, õîòÿ áû ïî òîìó, ÷òî îíè ñàìè ñ÷åòíû. Ìíîæåñòâà, íå ÿâëÿþùèåñÿ ìíîæåñòâàìè 1-é êàòåãîðèè, íàçûâàþòñÿ ìíîæåñòâàìè 2-é êàòåãîðèè. Ñðåäè íèõ îñîáåííûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò

âû÷åòû. Ìíîæåñòâî M ⊂ X íàçûâàåòñÿ âû÷åòîì, åñëè îíî  2-é êàòåãîðèè, à åãî äîïîëíåíèå X \ M åñòü ìíîæåñòâî 1-é êàòåãîðèè. Çàìå÷ó, ÷òî âñÿêîå

ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî X åñòü ìíîæåñòâî âòîðîé êàòåãîðèè â ñåáå.  ýòîì ñëó÷àå è âñÿêîå íåïóñòîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî â X òîæå âòîðîé êàòåãîðèè, è äîïîëíåíèå âñÿêîãî ìíîæåñòâà ïåðâîé êàòåãîðèè èìååò âòîðóþ êàòåãîðèþ, à çíà÷èò, ÿâëÿåòñÿ âû÷åòîì. Ïîíÿòíî, ÷òî ìíîæåñòâà 1-é êàòåãîðèè  ýòî â íåêîòîðîì ðîäå "ìàëûå ìíîæåñòâà", çà÷àñòóþ ïðåíåáðåæèìî ìàëûå. Íàïðîòèâ, ÿâëåíèÿ, êîòîðûå ïðîèñõîäÿò äëÿ âñåõ òî÷åê ìíîæåñòâà 2-é êàòåãîðèè, â àíàëîãè÷íîì ñìûñëå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òèïè÷íûå (êîíå÷íî, òèïè÷íîñòü ÿâëåíèÿ íå îçíà-

175

÷àåò, ÷òî îíî ïðîèñõîäèò âñåãäà, ìîæåò áûòü íåñêîëüêî, äàæå áåñêîíå÷íî ìíîãî, ðàçëè÷íûõ òèïè÷íûõ ñèòóàöèé; ñì. óïðàæíåíèå 4). Êîíå÷íî, èìåþòñÿ è äðóãèå ïîäõîäû ê îïðåäåëåíèþ "ïðåíåáðåæèìî ìàëûõ" è òèïè÷íûõ ìíîæåñòâ. Íàïîìíþ äâà äðóãèõ âàðèàíòà. Ïåðâûé èç íèõ ñâÿçàí ñ ðàçìåðíîñòÿìè. Íàïðèìåð, ãëàäêàÿ êðèâàÿ èëè ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü â R3 ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ "ïðåíåáðåæèìûì" ìíîæåñòâîì (çàìå÷ó, ÷òî ãëàäêîñòü çäåñü î÷åíü ñóùåñòâåííà  êàê ïîêàçàë Ïåàíî, íåïðåðûâíàÿ êðèâàÿ ìîæåò ïðîõîäèòü ÷åðåç âñå òî÷êè êóáà). Âòîðîé ïîäõîä ñâÿçàí ñ ìåðîé; ïðåíåáðåæèìûìè ñ÷èòàþòñÿ ìíîæåñòâà ìåðû 0; èíîãäà èõ äàæå íàçûâàþò íóëåâû-

ìè. Îáû÷íî òàêæå "ïðåíåáðåæèìî ìàëûìè" ñ÷èòàþòñÿ êîíå÷íûå ïîäìíîæåñòâà áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ, èëè âîîáùå ïîäìíîæåñòâà ìåíüøåé ìîùíîñòè. Êîãäà-òî ìàòåìàòèêè áûëè ïîðàæåíû ðåçóëüòàòîì Êàíòîðà: êâàäðàò è îòðåçîê ïðÿìîéìíîæåñòâà ðàâíîìîùíûå (äîêàæèòå!) Íàäî åùå ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ïîíÿòèÿ ïëîòíîãî, íèãäå íå ïëîòíîãî ìíîæåñòâà, à òàêæå ìíîæåñòâ 1-îé è 2-îé êàòåãîðèè çàâèñÿò îò âûáîðà ìåòðèêè. Ýòè ïîíÿòèÿ îïðåäåëÿþòñÿ è äëÿ áîëåå îáùèõ òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ, è òîæå çàâèñÿò îò âûáîðà òîïîëîãèè. Âïîëíå ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî ìíîæåñòâî 1-îé êàòåãîðèè ñòàíåò ìíîæåñòâîì 2-îé êàòåãîðèè, åñëè ìû íà òîì æå ìíîæåñòâå X ââåäåì äðóãóþ ìåòðèêó èëè òîïîëîãèþ. Òî÷íî òàê æå ìíîæåñòâî, èìåþùåå íóëåâóþ ìåðó µ, ìîæåò îêàçàòüñÿ ìíîæåñòâîì ïîëîæèòåëüíîé ìåðû µ1 . Ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé C(R2 ). Êàæäàÿ ôóíêöèÿ f : R2 → R :

(x, t) 7→ f (x, t) îïðåäåëÿåò íà âñåé ïëîñêîñòè R2 äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âèäà (4.1). Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðîñòðàíñòâî âñåâîçìîæíûõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà ïëîñêîñòè. ×òîáû èìåòü ïðàâî ïðîèçíîñèòü ñëîâî "ïðîñòðàíñòâî", íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü, ÷òî ìû ïîíèìàåì ïîä ñõîäèìîñòüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé f1 (x, t), f2 (x, t), . . .. Ñêàæåì, ÷òî fn → f , åñëè äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà â R2 (à ìîæíî ñêàçàòü ïðîùå, äëÿ ëþáîãî êðóãà ) èìååò ìåñòî ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü fn (x, t) →

176

f (x, t), ãäå f  ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ. Ýòî ïðîñòðàíñòâî ìû è îáîçíà÷èì ÷åðåç C(R2 ). Îêàçûâàåòñÿ, íåâîçìîæíî òàê îïðåäåëèòü áàíàõîâó íîðìó, ÷òîáû ñõîäèìîñòü ïî ýòîé íîðìå ñîâïàäàëà ñ ââåäåííîé òîëüêî ÷òî ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòüþ íà êîìïàêòàõ. Ìîæíî îäíàêî ââåñòè ìåòðèêó, îïðåäåëÿþùóþ òàêîé òèï ñõîäèìîñòè. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü ∞ X 1 kf − gkC(Bk ) ρ(f, g) = . 2k 1 + kf − gkC(Bk )

(4.3)

k=1

Çäåñü Bk  êðóã ðàäèóñà k ñ öåíòðîì â òî÷êå (0, 0), òàê ÷òî Bk = {(x, t) : x2 +

t2 6 k 2 }. Äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f íîðìà â C(Bk ) îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì

kf kC(Bk ) = max |f (x, t)|. (x,t)∈Bk

(4.4)

Âàì ñòàíåò ïîíÿòíî, îòêóäà âçÿëñÿ ðÿä (4.3), åñëè Âû ïðèïîìíèòå îïðåäåëåíèå ìåòðèêè â ïðîñòðàíñòâå âñåâîçìîæíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé S (ñì. [17]). Íåòðóäíî óñòàíîâèòü (óñòàíîâèòå!), ÷òî ââåäåííàÿ ðàâåíñòâîì (4.3) ìåòðèêà ïðåâðàùàåò ïðîñòðàíñòâî C(R2 ) â ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Çàìå÷ó, ÷òî äàëüíåéøåå èñïîëüçîâàíèå ïðîñòðàíñòâà C(R2 ) îòíîñèòñÿ ñêîðåå ê êðàñèâîìó îôîðìëåíèþ, íåæåëè ê ñóòè èäåè Îðëè÷à. Ìíîæåñòâî óðàâíåíèé ñ òî÷êàìè íååäèíñòâåííîñòè. Ðàññìîò-

ðèì ìíîæåñòâî M ⊂ R2 , ñîñòîÿùåå èç òàêèõ ôóíêöèé f , ÷òî çàäà÷à Êîøè (4.1), (4.2) õîòÿ áû äëÿ îäíîé òî÷êè (x0 , t0 ) ∈ R2 èìååò áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ. Òàêóþ òî÷êó (x0 , t0 ) íàçîâåì òî÷êîé íååäèíñòâåííîñòè. Ïîíÿòíî, ÷òî äîïîëíåíèå X \ M ñîñòîèò èç òàêèõ ôóíêöèé f , ÷òî çàäà÷à (4.1), (4.2) äëÿ

âñåõ òî÷åê (x0 , t0 ) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Äëÿ ëþáîé òî÷êè (x0 , t0 ) ∈ R2 è ïàðû ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë τ è a îïðåäåëèì ìíîæåñòâî M (x0 , t0 , τ, a) ⊂ C(R2 ), ñîñòîÿùåå èç òàêèõ ôóíêöèé

f (x, t), ÷òî â êðóãå B1 (x0 , t0 ) ñ öåíòðîì (x0 , t0 ), ðàäèóñà 1 óðàâíåíèå (4.1)

177

B  B

x∗ (t) s

x˜0 (x0 , t0 )

s

1 x(t)

t˜0 − τ t˜0 t˜ + τ

H H  

Ðèñ. 11:

èìååò õîòÿ áû îäíó òî÷êó íååäèíñòâåííîñòè, ñêàæåì, (˜ x0 , t˜0 ), è ïðè ýòîì âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) Ñóùåñòâóþò äâà ðåøåíèÿ x(t) è x∗ (t) óðàâíåíèÿ x˙ = f (x, t), óäîâëåòâîðÿþùèå îäíîìó è òîìó æå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ x(t˜0 ) = x ˜0 , x∗ (t˜0 ) = x˜0 ; ïðè ýòîì îáà ðåøåíèÿ îïðåäåëåíû (ïî êðàéíåé ìåðå) íà èíòåðâàëå

(t˜0 − τ, t˜0 + τ ), ñì. Ðèñ. 11. 2) Ðåøåíèÿ x(t) è x∗ (t) ïîä÷èíåíû íåðàâåíñòâàì

|x(t) − x0 | 6 1,

|x∗ (t) − x0 | < 1

(4.5)

äëÿ âñåõ t ∈ (t˜0 − τ, t˜0 + τ ). 3) Âûïîëíåíà îöåíêà ñíèçó

sup t˜0 −τ
|x(t) − x∗ (t)| > a.

(4.6)

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Îðëè÷à îñíîâûâàåòñÿ íà ñëåäóþùèõ äâóõ ëåììàõ.

178

Ëåììà 1. Ìíîæåñòâî M (x0 , t0 , τ, a) ïðè ëþáîì âûáîðå òî÷êè (x0 , t0 )

â R2 è ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë τ è a çàìêíóòî â C(R2 ). Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóòü äåëà, êîíå÷íî â òîì, ÷òî âñå óñëîâèÿ, îïðåäåëÿ-

þùèå ìíîæåñòâî M (x0 , t0 , τ, a), âûäåðæèâàþò ïðåäåëüíûé ïåðåõîä â ïðîñòðàíñòâå C(R2 ). Ãëàâíûì ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå (4.6), êîòîðîå îáåñïå÷èâàåò ñîõðàíåíèå åäèíñòâåííîñòè ïðè ýòîì ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå. Íåáîëüøàÿ òåõíè÷åñêàÿ òðóäíîñòü ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî ñàìà òî÷êà íååäèíñòâåííîñòè ïðåäåëüíîãî óðàâíåíèÿ çàðàíåå íå îïðåäåëåíà. Èòàê, ïóñòü äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé fn ∈ M (x0 , t0 , τ, a), êîòîðàÿ ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîé ôóíêöèè f ∈ C(R2 ) â ñìûñëå ìåòðèêè (4.3). Ìû äîëæíû äîêàçàòü, ÷òî f ∈ M (x0 , t0 , τ, a). Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ìíîæåñòâà M (x0 , t0 , τ, a), äëÿ ëþáîãî n = 1, 2, . . . îïðåäåëåíà ïàðà ðåøåíèé xn (t) è xn∗ (t) çàäà÷è Êîøè ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé

(xn0 , tn0 ) ∈ B1 (x0 , t0 ) x˙ = f (x, t),

x(tn0 ) = xn0 .

(4.7)

Çäåñü (xn0 , tn0 )  òà ñàìàÿ òî÷êà íååäèíñòâåííîñòè, êîòîðàÿ â îáùåì îïðåäåëåíèè îáîçíà÷åíà ÷åðåç x ˜0 , t˜0 . Ïðè ýòîì îáà ðåøåíèÿ îïðåäåëåíû íà èíòåðâàëå

(tn0 − τ, tn0 + τ ), è, ñîãëàñíî (4.6), âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà |xn (t) − x0 | 6 1, sup tn0 −τ
|xn∗ (t) − x0 | < 1,

|xn (t) − xn∗ (t)| > a.

(4.8) (4.9)

Ïîñêîëüêó âñå òî÷êè íååäèíñòâåííîñòè ðàñïîëîæåíû â åäèíè÷íîì êðóãå B1 (x0 , t0 ), à ýòîò (çàìêíóòûé) êðóã êîìïàêòåí, ìîæíî âûáðàòü òàêóþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíäåêñîâ nk , ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè íååäèíñòâåííî∞ ñòè (xn0 k , tn0 k ) ñõîäÿòñÿ ê íåêîòîðîé ïðåäåëüíîé òî÷êå (x∞ 0 , t0 ). Ðàäè êðàòêî-

ñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòîò ïåðåõîä ê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè óæå ïðîäåëàí, n ∞ òàê ÷òî xn0 → x∞ 0 , è t0 → t0 .

Òåïåðü íàøà öåëü  äîêàçàòü, ÷òî âîçìîæíî òàê âûáðàòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé èíäåêñà n, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå ïîäïîñëåäîâàòåëü-

179

íîñòè ðåøåíèé xn (t) è xn∗ (t) áóäóò ñõîäèòüñÿ ñîîòâåòñòâåííî ê íåêîòîðûì ðåøåíèÿì x∞ (t) è x∞ ∗ (t) ðàâíîìåðíî íà ëþáîì ñåãìåíòå, ñîäåðæàùåìñÿ â ∞ èíòåðâàëå (t∞ 0 − τ, t0 + τ ). Îïðåäåëèì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñåãìåíòîâ 1 ∞ Im = [t∞ 0 − τm , t0 + τm ], ãäå τm = τ (1 − m ), è m = 1, 2, . . . Î÷åâèäíî, ÷òî äî-

ñòàòî÷íî äîêàçàòü ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü íà êàæäîì èç ñåãìåíòîâ Im , òàê ∞ êàê ëþáîé ñåãìåíò, ñîäåðæàùèéñÿ â èíòåðâàëå (t∞ 0 − τ, t0 + τ ), ñîäåðæèòñÿ

â êàæäîì ñåãìåíòå Im , íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ m. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé xn (t) (ñ ðåøåíèÿìè xn∗ (t) âñå àíàëîãè÷íî) è äîêàæåì, ÷òî ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîìïàêò-

íà â C(Im )  â ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèé íåïðåðûâíûõ íà ñåãìåíòå Im . Òî÷íåå áûëî áû ñêàçàòü, ÷òî ðå÷ü èäåò î ñóæåíèè êàæäîé èç ôóíêöèé íà ñåãìåíò

Im . Äëÿ ýòîãî, êîíå÷íî, íàäî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ñåãìåíò Im ñîäåðæàëñÿ â èíòåðâàëå çàäàíèÿ (tn0 − τ, tn0 + τ ) ðåøåíèÿ xn (t). Ýòî âåðíî, âîçìîæíî, íå äëÿ âñåõ n, íî äëÿ âñåõ n, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî; òàêèå çíà÷åíèÿ n è áóäåì ðàññìàòðèâàòü. Ñîãëàñíî êðèòåðèþ Àðöåëà (ñì. [17]), äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé xn (t) íà Im ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà è ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíà. Ðàâíîìåðíàÿ îãðàíè÷åííîñòü íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà M (x0 , t0 , τ, a): èç (4.8) âûòåêàåò, ÷òî |xn (t)| 6 |x0 | + 1 äëÿ âñåõ n è äëÿ âñåõ t. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ðàâíîñòåïåííîé íåïðåðûâíîñòè, êàê èçâåñòíî, äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü ðàâíîìåðíóþ îãðàíè÷åííîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðîèçâîäíûõ x˙ n (t) íà ñåãìåíòå Im . Íî èç óðàâíåíèÿ (4.7), êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåò xn (t), ñëåäóåò îöåíêà

|x˙ n (t)| 6 max |fn (x, s)|, (x,s)∈Πm

(4.10)

ãäå Πm  ïðÿìîóãîëüíèê íà ïëîñêîñòè R2 : Πm = J0 × Im , ïðè÷åì J0 =

[x0 − 1, x0 + 1]. Äåéñòâèòåëüíî, äâèæóùàÿñÿ òî÷êà xn (t) ïðè t ∈ Im íå âûõîäèò èç ïðÿìîóãîëüíèêà Πm , ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó (4.8). Ïîñêîëüêó fn ñõîäèòñÿ ê f ðàâ-

180

íîìåðíî íà Πm (êàê è íà ëþáîì êîìïàêòå), ïðàâàÿ ÷àñòü â (4.10) îãðàíè÷åíà (m  ôèêñèðîâàíî) âåëè÷èíîé max |f (x, t)| + δ , ãäå δ > 0  ïðîèçâîëüíî Πm

ôèêñèðîâàíî, ðàâíîìåðíî ïî n äëÿ n > Nδ . Çäåñü ÷èñëî Nδ îïðåäåëÿåòñÿ ïî çàäàííîìó δ . Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðîâåðèëè óñëîâèÿ êðèòåðèÿ Àðöåëà è ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn (t) êîìïàêòíà â C(Im ). Òåïåðü âûáåðåì èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn (t) ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ðàâíîìåðíî ñõîäÿùóþñÿ íà ñåãìåíòå I1 . Èç ýòîé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûáåðåì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùóþñÿ íà ñåãìåíòå I2 . Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ íåîãðàíè÷åííî è ïðèìåíÿÿ äèàãîíàëüíóþ ïðîöåäóðó Ãåîðãà Êàíòîðà, ìû ïîëó÷èì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé xn (t), êîòîðàÿ ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà êàæäîì ñåãìåíòå Im (m = 1, 2, . . .), à çíà∞ ÷èò, âîîáùå íà ëþáîì ñåãìåíòå, ñîäåðæàùåìñÿ â èíòåðâàëå (t∞ 0 − τ, t0 + τ ).

Èòàê, ñóùåñòâóåò ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ x∞ (t), çàäàííàÿ è íåïðåðûâíàÿ íà ∞ n âñåì èíòåðâàëå (t∞ 0 − τ, t0 + τ ). Àíàëîãè÷íî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x∗ (t) ñõî-

äèòñÿ ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè x∞ ∗ (t) íà òîì æå èíòåðâàëå. Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî x∞ (t) è x∞ ∗ (t) ñóòü ðåøåíèÿ ïðåäåëüíîé çàäà÷è Êîøè ∞ x(t∞ 0 ) = x0 .

x˙ = f (x, t),

(4.11)

Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî çàäà÷à Êîøè (4.7) (äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âìåñòå ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì) ýêâèâàëåíòíà èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåò xn (t)

xn (t) = xn0 +

Zt

fn (xn (s), s) ds.

(4.12)

tn0

Ïåðåéäåì â ýòîì óðàâíåíèè ê ïðåäåëó, êîãäà n ïðîáåãàåò âûäåëåííóþ íàìè n ∞ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé. Òîãäà xn0 → x∞ 0 , è x (t) → x (t) ðàâíîìåð-

íî íà ëþáîì ñåãìåíòå Im . Ïîñêîëüêó fn → f ðàâíîìåðíî íà ëþáîì êîìïàêòå, âûïîëíåíû óñëîâèÿ èçâåñòíîé Âàì òåîðåìû î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå ïîä çíà-

181

êîì èíòåãðàëà. Òàêèì ïóòåì ìû ïðèõîäèì ê èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ

Zt

x∞ (t) = x∞ 0 +

f (x∞ (s), s) ds,

(4.13)

t∞ 0

èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî x∞ (t) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè

x˙ = f (x, t),

∞ x(t∞ 0 ) = x0 .

(4.14)

Àíàëîãè÷íî óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî è ôóíêöèÿ x∞ ∗ (t)  ðåøåíèå ýòîé æå çàäà÷è Êîøè. ∞ Ìû óæå âèäåëè, ÷òî (x∞ 0 , t0 ) ∈ B1 (x0 , t0 ). Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â (4.8) è

(4.9), ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâàì (ïðîäåëàéòå ïîäðîáíûå äîêàçàòåëüñòâà)

|x∞ (t) − x0 | 6 1, sup ∞ t∞ 0 −τ
|x∞ ∗ (t) − x0 | 6 1,

|x∞ (t) − x∞ ∗ (t)| > a.

(4.15) (4.16)

Ìû äîêàçàëè, ÷òî ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f ∈ M (x0 , t0 , τ, a), à âìåñòå ñ òåì è ëåììó 1. Ëåììà 2. Ìíîæåñòâî M (x0 , t0 , τ, a) íèãäå íå ïëîòíî äëÿ ëþáîé òî÷-

êè (x0 , t0 ) è ëþáûõ ÷èñåë τ > 0, a > 0. Äîêàçàòåëüñòâî.

Ðàññóæäàÿ îò ïðîòèâíîãî, äîïóñòèì, ÷òî ìíîæåñòâî

M (x0 , t0 , τ, a) ïëîòíî â íåêîòîðîì øàðå ïðîñòðàíñòâà C(R2 ). Ââèäó çàìêíóòîñòè, îíî öåëèêîì ñîäåðæèò ýòîò øàð.  êàæäîì øàðå ïðîñòðàíñòâà C(R2 ), êàê èçâåñòíî, ïëîòíî òàêæå è ìíîæåñòâî ãëàäêèõ ôóíêöèé C ∞ (íàì ñåé÷àñ äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü ñóæåíèÿ ôóíêöèé èç C(R2 ) íà êðóã B1 (x0 , t0 )). Íî äëÿ ãëàäêîé ôóíêöèè f (x, t) ìû çíàåì òåîðåìó åäèíñòâåííîñòè çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ x˙ = f (x, t). Çíà÷èò òàêàÿ ôóíêöèÿ íå ìîæåò ïðèíàäëåæàòü ìíîæåñòâó M (x0 , t0 , τ, a) (êðàñèâî?). Ëåììà 2 äîêàçàíà. Òåîðåìà Îðëè÷à. Ìíîæåñòâî M ôóíêöèé f ∈ C(R2 ) òàêèõ, ÷òî

óðàâíåíèå x˙ = f (x, t) îáëàäàåò õîòÿ áû îäíîé òî÷êîé íååäèíñòâåííîñòè íà ïëîñêîñòè R2 ,  ïåðâîé êàòåãîðèè â C(R2 ).

182

Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ f òàêàÿ, ÷òî ñóùå-

ñòâóåò õîòÿ áû îäíà òî÷êà íååäèíñòâåííîñòè óðàâíåíèÿ x˙ = f (x, t), ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîìó ìíîæåñòâó M (x0 , t0 , τ, a). Áîëåå òîãî, ÿñíî, ÷òî ïðè ýòîì ìîæíî ñ÷èòàòü ÷èñëà x0 , t0 , τ , a ðàöèîíàëüíûìè. Ìíîæåñòâî Q âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñ÷åòíî, ìíîæåñòâî âñåõ ÷åòâåðîê ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë x0 , t0 ,

τ , a òîæå ñ÷åòíî (äîêàæèòå!). Ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ìíîæåñòâî M ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíûì îáúåäèíåíèåì

M=

[

(4.17)

M (x0 , t0 , τ, a)

ïî âñåì x0 , t0 , τ, a ∈ Q. Ñîãëàñíî ëåììå 2, êàæäîå èç ìíîæåñòâ M (x0 , t0 , τ, a) íèãäå íå ïëîòíî. Òåîðåìà äîêàçàíà.  ñâåòå ýòîé òåîðåìû ñèòóàöèÿ ñ ïðîáëåìîé åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè âûãëÿäèò äðàìàòè÷åñêîé. Íà ñàìîì äåëå, åäèíñòâåííîñòü  ïðè ëþáîé íà÷àëüíîé òî÷êå!  èìååò ìåñòî äëÿ ïîäàâëÿþùåãî áîëüøèíñòâà óðàâíåíèé x˙ = f (x, t), f ∈ C(R2 ).  òî æå âðåìÿ êëàññè÷åñêàÿ òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè îòíîñèòñÿ ê ôóíêöèÿì f , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ Ëèïøèöà, êîòîðûå â ñîâîêóïíîñòè îáðàçóþò ìíîæåñòâî 1-é êàòåãîðèè â C(R2 ). Ñèòóàöèÿ ñ òåîðåìîé åäèíñòâåííîñòè Îñãóäà ÷óòü ìåíåå ÿñíà. Åñëè çàôèêñèðîâàòü â ýòîé òåîðåìå ôóíêöèþ g(s), îöåíèâàþùóþ ìîäóëü íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f , è ðàññìàòðèâàòü ëèøü òàêèå f , äëÿ êîòîðûõ ëîêàëüíî, âáëèçè êàæäîé òî÷êè (x0 , t0 ) ∈ R2 , âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî

|f (x0 , t) − f (x00 , t)| 6 Kg(|x0 − x00 |),

K > 0,

(4.18)

òî íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùåå ìíîæåñòâî Cg èìååò 1-þ êàòåãîðèþ. Âîïðîñ: êàêîâà êàòåãîðèÿ ìíîæåñòâà âñåõ f , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëî-

âèÿì òåîðåìû Îñãóäà? Íàïîìíþ, ÷òî ôóíêöèÿ g äîëæíà ëèøü ïîä÷èíÿòüñÿ òðåáîâàíèþ

Z +0

ds = +∞. g(s)

(4.19)

183

Ïðè ýòîì, êîíå÷íî, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî g(0) = 0, íî g(s) > 0 äëÿ âñåõ s >

0 (èëè äëÿ s äîñòàòî÷íî ìàëûõ). Èìåþòñÿ íåáîëüøèå îáîáùåíèÿ òåîðåìû Îñãóäà, ñêàæåì, â íåðàâåíñòâå (4.18) ìîæíî åùå äîïóñòèòü ìíîæèòåëü ϕ(t) ïðè äîñòàòî÷íîé ðåãóëÿðíîñòè ôóíêöèè ϕ (ñì. [18, 3]). Âñå ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî íóæíî è èíòåðåñíî èñêàòü íîâûå ïîäõîäû ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè çàäà÷è Êîøè. "Ñèëîâûå ïîäõîäû", îñíîâàííûå íà îöåíêàõ òèïà (4.18) àáñîëþòíîé âåëè÷èíû ðàçíîñòè f (x0 , t) è

f (x00 , t) äëÿ ïàðû ðåøåíèé x0 è x00 , ïî-âèäèìîìó, íå ïðèâîäÿò ê ðåçóëüòàòó äëÿ î÷åíü ìíîãèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îáëàäàþùèõ, íà ñàìîì äåëå, ñâîéñòâîì åäèíñòâåííîñòè. Íàäî ïðèçíàòüñÿ, ÷òî ïðåäûäóùåå óòâåðæäåíèå ìîæåò îêàçàòüñÿ "ëîæíîé òðåâîãîé".  ìàòåìàòèêå íå òàê óæ ðåäêî ñëó÷àåòñÿ, ÷òî òî èëè èíîå ÿâëåíèå ïðîèñõîäèò â "ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå" ñëó÷àåâ, íî óñòàíîâèòü, ÷òî îíî ïðîèñõîäèò â äàííîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå, î÷åíü òðóäíî, à òî è ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî. Íàïðèìåð, èçâåñòíî, ÷òî â ñèòóàöèè îáùåãî ïîëîæåíèÿ ëèíåéíûé îïåðàòîð A : Rn → Rn èìååò íåíóëåâîé îïðåäåëèòåëü è îáðàòèì, íî äîêàçàòü, ÷òî äàííûé îïðåäåëèòåëü îòëè÷åí îò íóëÿ,  íåïðîñòîå äåëî. Îêàçàëîñü, ÷òî â îáùåé ïðîáëåìå îáðàòèìîñòè îïåðàòîðà A öåëåñîîáðàçíî èçìåíèòü ïîñòàíîâêó âîïðîñà: âìåñòî èíäèâèäóàëüíîãî îïåðàòîðà

A, ðàññìàòðèâàòü îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî îïåðàòîðîâ A − λI . Òîãäà ìîæíî óñòàíîâèòü, ÷òî îáðàòèìîñòü èìååò ìåñòî äëÿ âñåõ çíà÷åíèé λ, êðîìå êîíå÷íîãî íàáîðà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (â ñëó÷àå áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà è âïîëíå íåïðåðûâíîãî îïåðàòîðà A  êðîìå íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà çíà÷åíèé). Ýòî âñ¼, ÷òî ìîæåò äàòü îáùàÿ òåîðèÿ. À âûÿñíåíèå, äëÿ êàêèõ λ îïåðàòîð A − λI îáðàòèì, è äëÿ êàêèõ îí íåîáðàòèì, ðàñïàäàåòñÿ íà íåîáîçðèìîå ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ ÷àñòíûõ òåîðèé, êîòîðûå â ñîâîêóïíîñòè îáðàçóþò ñïåêòðàëüíóþ òåîðèþ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ, è åùå, ïîæàëóé, íå îôîðìèâøóþñÿ â ñàìîñîñòîÿòåëüíóþ äèñöèïëèíó áåñêîíå÷íîìåðíóþ ëèíåé-

íóþ àëãåáðó.

184

Äðóãîé ïðèìåð  ñâîéñòâà ýðãîäè÷íîñòè è ïåðåìåøèâàíèÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû [19]. Äëÿ êîíêðåòíûõ ñèñòåì äîêàçàòåëüñòâî ýðãîäè÷íîñòè è ïåðåìåøèâàíèÿ, êàê ïðàâèëî, ÷ðåçâû÷àéíî òðóäíî, õîòÿ äîêàçàíî, ÷òî ýðãîäè÷åñêèå ñèñòåìû îáðàçóþò ìíîæåñòâî 2-îé êàòåãîðèè ïðè îïðåäåëåííîì âûáîðå òîïîëîãèè. Êñòàòè, ýòî êàê ðàç õîðîøèé ïðèìåð çàâèñèìîñòè êàòåãîðèè ïî Áýðó îò âûáîðà òîïîëîãèè. Åñëè ïðîâîäèòü àíàëîãèþ ìåæäó ïðîáëåìîé åäèíñòâåííîñòè è ïåðå÷èñëåííûìè âûøå ïðîáëåìàìè, òî ñ íåêîòîðîé âåðîÿòíîñòüþ (ïî-ìîåìó, íå î÷åíü áîëüøîé) ìîæíî îïàñàòüñÿ, ÷òî äëÿ óðàâíåíèÿ x˙ = f (x, t), ãäå f  âñåãî ëèøü íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, íå ïîëó÷èòñÿ âïîëíå îáùåé òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè. Èíòåðåñíî, îäíàêî, íàéòè, ïóñòü ÷àñòíûå, óñëîâèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå åäèíñòâåííîñòü äëÿ ìíîæåñòâà òàêèõ óðàâíåíèé 2-é êàòåãîðèè. Î äðóãèõ ïîäõîäàõ ê ïðîáëåìå íååäèíñòâåííîñòè. Íàðÿäó ñ

êëàññèôèêàöèåé ìíîæåñòâ ïî Áýðó, èìåþòñÿ è äðóãèå ïîäõîäû ê ïðîáëåìå ñðàâíåíèÿ ìíîæåñòâ ïî èõ "ìàññèâíîñòè". Íàïðèìåð, åñëè íà ðàññìàòðèâàåìîì ìíîæåñòâå (íàñ ñåé÷àñ èíòåðåñóåò C(R2 )) çàäàíà íåêîòîðàÿ ìåðà, ïðèíÿòî è åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü "ïðåíåáðåæèìî ìàëûìè" ìíîæåñòâà ìåðû 0. Ñóùåñòâåííî çàìåòèòü, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà íà äàííîì ìíîæåñòâå îïðåäåëåíû è ìåòðèêà, è ìåðà, ýòè äâà ïîäõîäà ìîãóò ñóùåñòâåííî ðàçîéòèñü.  ÷àñòíîñòè, ìíîæåñòâî 1-é êàòåãîðèè ìîæåò èìåòü ïîëîæèòåëüíóþ ìåðó. Çíàìåíèòûé ìàòåìàòèê íàøåãî âðåìåíè Â. È. Àðíîëüä íå ðàç îáðàùàë âíèìàíèå íà ïîäîáíîå ðàñõîæäåíèå â ðÿäå âàæíûõ âîïðîñîâ òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Ïîýòîìó, ðàññêàçûâàÿ åìó î òåîðåìå Îðëè÷à, ÿ ïðåäâèäåë, ÷òî îí ñïðîñèò è î ïîäõîäå ê äàííîé ïðîáëåìå ñ òî÷êè çðåíèÿ ìåðû. Ýòî òðóäíûé âîïðîñ. Íåÿñíî äàæå, êàê åãî êîððåêòíî ñôîðìóëèðîâàòü, ïîñêîëüêó äëÿ áåñêîíå÷íîìåðíûõ ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ íå ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííîãî àíàëîãà ìåðû Ëåáåãà â Rn . Êàêóþ æå ìåðó âûáðàòü? Îò ýòîãî âûáîðà òîæå çàâèñèò ðåçóëüòàò.  òàêîé ñèòóàöèè èíòåðåñíî äëÿ íà÷àëà ðàññìîòðåòü êîíå÷íûå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ôóíêöèé èç C(R2 ), ñêàæåì,

185

n P

ck fk (x, t). Òåïåðü êàæäîìó óðàâíåíèþ ñ òàêîé ïðàâîé ÷àñòüþ ñîîòâåò-

k=1

ñòâóåò òî÷êà (c1 , . . . , cn ) ∈ Rn . È ðåçîííî ñïðîñèòü, êàêîâà ìåðà Ëåáåãà ìíîæåñòâà òàêèõ òî÷åê, îòâå÷àþùèõ óðàâíåíèÿì, îáëàäàþùèì òî÷êàìè íååäèíñòâåííîñòè. Ïðè ýòîì ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî êîýôôèöèåíòû ck îãðàíè÷åíû, íàïðèìåð, íåðàâåíñòâîì ìåéñòâ óðàâíåíèé

n P

c2k 6 a2 . Íåòðóäíî ïðèâåñòè ïðèìåðû òàêèõ ñå-

k=1

x˙ =

n X

ck fk (x, t),

(4.20)

k=1

äëÿ êîòîðûõ òî÷êè íååäèíñòâåííîñòè ïðèñóòñòâóþò ïðè ëþáîì âûáîðå êîýôôèöèåíòîâ (íàïðèìåð, ïîëîæèì fk (x, t) = |x|1/2k ); òîãäà (0, t0 )  òî÷êà íååäèíñòâåííîñòè ïðè ëþáîì t0 . Ïðåäïîëîæèì îäíàêî, ÷òî äàííîå ñåìåéñòâî ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíî óðàâíåíèå, äëÿ êîòîðîãî âåðíà òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ïðè ëþáîì âûáîðå íà÷àëüíîé òî÷êè. ×òî ìîæíî òîãäà ñêàçàòü î ìåðå ìíîæåñòâà òåõ óðàâíåíèé ñåìåéñòâà (ÿ óæå îòîæäåñòâèë óðàâíåíèå è îïðåäåëÿþùóþ åãî òî÷êó (c1 , c2 , . . . , cn )), êîòîðûå îáëàäàþò õîòÿ áû îäíîé òî÷êîé íååäèíñòâåííîñòè?

Èòàê, ïîñòàâèì âîïðîñ î ìåðå ìíîæåñòâà òåõ òî÷åê (c1 , c2 , . . . , cn ) ∈ n P c2k 6 a2 (ïðè çàäàííîì a > 0), äëÿ Rn è óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ k=1

êîòîðûõ óðàâíåíèå (4.20) èìååò õîòÿ áû îäíó òî÷êó íååäèíñòâåííîñòè. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî íàáîðà c01 , . . . , c0n åäèíñòâåííîñòü èìååò ìåñòî äëÿ âñåõ íà÷àëüíûõ òî÷åê â R2 . Ó ìåíÿ íåò ïîëíîé óâåðåííîñòè, ÷òî ýòî óæå îêîí÷àòåëüíàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è.  êîíöå êîíöîâ, ëèøü êðàñèâûé îòâåò ìîæåò ïîäòâåðäèòü ðàçóìíîñòü âîïðîñà. Åñòü îäíàêî íàäåæäà, ÷òî äâèãàÿñü â íàìå÷åííîì íàïðàâëåíèè, âîçìîæíî ïðèéòè ê èíòåðåñíûì ïîñòàíîâêàì çàäà÷, äîïóñêàþùèõ ñîäåðæàòåëüíûå ðåøåíèÿ. Î ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè. Íàðÿäó ñ åäèíñòâåííîñòüþ, ïðåäñòàâ-

ëÿåò çíà÷èòåëüíûé èíòåðåñ ãëîáàëüíàÿ ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ x˙ = f (x, t). Ãëîáàëüíàÿ ðàçðåøèìîñòü îçíà÷àåò,

186

÷òî äëÿ ëþáîé íà÷àëüíîé òî÷êè ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (âñå ðåøåíèÿ, åñëè èõ ìíîãî) ìîæíî ïðîäîëæèòü íà âñþ âðåìåííóþ îñü (èëè õîòÿ áû íà ïîëîæèòåëüíóþ ïîëóîñü  ýòî äðóãîé âàðèàíò âîïðîñà). Òèïè÷íà ëè ãëîáàëüíàÿ ðàçðåøèìîñòü? Êàêîâà êàòåãîðèÿ ìíîæåñòâà ãëîáàëüíî ðàçðåøèìûõ óðàâíåíèé? Ìíå êàæåòñÿ, ÷òî â îòëè÷èå îò åäèíñòâåííîñòè, ãëîáàëüíàÿ ðàçðåøèìîñòü íåòèïè÷íà. Ìîæåò áûòü, êòî-íèáóäü âîçüìåòñÿ ïîäòâåðäèòü èëè îïðîâåðãíóòü ýòó ãèïîòåçó. Óïðàæíåíèÿ ê Ïðèëîæåíèþ 1.

1. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, â ðàçëîæåíèè êîòîðûõ â k -ðè÷íóþ äðîáü êàêàÿ ëèáî öèôðà, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìåñòà, îòñóòñòâóåò, åñòü ìíîæåñòâî 1-é êàòåãîðèè â R. 2. Èç ðåçóëüòàòà ïðåäûäóùåãî óïðàæíåíèÿ âûÿñíèëè, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå ÷èñëà, ÷òî â èõ ðàçëîæåíèÿõ â k -ðè÷íóþ äðîáü, äëÿ ëþáîãî k , êàæäàÿ çíà÷àùàÿ öèôðà ïðèñóòñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàç. Áîëåå òîãî, ìíîæåñòâî òàêèõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ âû÷åòîì. 3. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî îãðàíè÷åííûõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé åñòü ìíîæåñòâî ïåðâîé êàòåãîðèè â C(R2 ). Äîêàçàòü, ÷òî è ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé f , òàêèõ ÷òî

|f (x,t)| (1+x2 +t2 )α

(ïðè ôèêñèðîâàííîì α)  îãðàíè-

÷åííàÿ ôóíêöèÿ íà R2 ,  òîæå ìíîæåñòâî 1-é êàòåãîðèè â C(R2 ). 4. Äîêàæèòå, ÷òî êàê ñóùåñòâîâàíèå ó âåùåñòâåííîãî ïîëèíîìà x2 +px+q ïàðû âåùåñòâåííûõ ïðîñòûõ êîðíåé, òàê è ñóùåñòâîâàíèå ó íåãî ïàðû êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ êîðíåé  òèïè÷íûå ñèòóàöèè, à ñóùåñòâîâàíèå êðàòíîãî êîðíÿ  íå òèïè÷íî (â ñìûñëå êàòåãîðèé ñîîòâåòñòâóþùèõ ìíîæåñòâ òî÷åê (p, q) íà ïëîñêîñòè R2 ). Êàê îáîáùèòü ýòîò âûâîä íà ïîëèíîìû n-é ñòåïåíè? 5. Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé C(a, b), íåïðåðûâíûõ íà èíòåðâàëå

(a, b). Îïðåäåëèì ñõîäèìîñòü â ýòîì ïðîñòðàíñòâå, ñ÷èòàÿ, ÷òî fn → f ,

187

åñëè è òîëüêî åñëè fn (x) → f (x) ðàâíîìåðíî ïî x íà ëþáîì ñåãìåíòå [α, β] ⊂ (a, b). Ïî àíàëîãèè ñ ìåòðèêîé (4.3), îïðåäåëèòå ìåòðèêó, îòâå÷àþùóþ ýòîìó òèïó ñõîäèìîñòè. 6. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî ôóíêöèé èç C(R2 ), óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ Ëèïøèöà, åñòü ìíîæåñòâî 1-é êàòåãîðèè. 7. Îñòàíåòñÿ ëè âåðíîé òåîðåìà Îðëè÷à, åñëè â íåé çàìåíèòü ïðîñòðàíñòâî

C(R2 ) íà áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî M C(R2 ) íåïðåðûâíûõ è îãðàíè÷åííûõ íà R2 ôóíêöèé? Íîðìà â ýòîì ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì:

kf kM C(R2 ) = sup |f (x, t)|. (x,t)∈R2

8. Âñïîìíèòå äîêàçàòåëüñòâî è äîêàæèòå, ÷òî çàäà÷à Êîøè x˙ = f (x),

x(0) = x0 èìååò, è ïðèòîì åäèíñòâåííîå, ðåøåíèå äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f (x) ïðè îäíîì ëèøü óñëîâèè, ÷òî f (x0 ) 6= 0. 9. Ðàññìîòðèòå çàäà÷ó Êîøè x˙ =

√ 3

x + εt, x(0) = 0. Ïðè ε = 0 ðåøåíèå

íååäèíñòâåííî. À ïðè ε 6= 0? 10. Ðàññìîòðèòå óðàâíåíèå x˙ = |x + ε|t|β |α , ïðè 0 < α < 1, è 0 < β < 1. Ïðè ε = 0 ó íåãî åñòü òî÷êà íååäèíñòâåííîñòè. Èìåþòñÿ ëè òî÷êè íååäèíñòâåííîñòè ïðè ε 6= 0? (Êîíå÷íî ìîäóëè óðîäóþò ýòî óðàâíåíèå, íî èõ ìîæíî îïóñòèòü, åñëè âûáðàòü â êà÷åñòâå α è β ïðàâèëüíûå äðîáè ñ íå÷åòíûìè çíàìåíàòåëÿìè). Îòâåò ìíå â äàííûé ìîìåíò íåèçâåñòåí. Òåîðåìà Îðëè÷à ïîäñêàçûâàåò ãèïîòåçó: ïðè ε 6= 0  âñåãäà åäèíñòâåííîñòü. Ëþáîïûòíî, òàêæå ïîñìîòðåòü, ÷òî äàäóò ñòàíäàðòíûå ïðîãðàììû ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ïðèìåíèòåëüíî ê óðàâíåíèÿì òàêîãî òèïà. 11. Åñëè ôèçèê-ýêñïåðèìåíòàòîð ïîêàæåò Âàì ìàòðèöó, íàïðèìåð, ðàçìåðîâ 10 × 10, ýëåìåíòû êîòîðîé ïîëó÷åíû ïóòåì èçìåðåíèé, è ñïðîñèò

188

êàêîâà åå æîðäàíîâà ôîðìà, Âû ìîæåòå óâåðåííî îòâå÷àòü, ÷òî äèàãîíàëüíàÿ. Ïî÷åìó? 12. À òåïåðü ïðåäñòàâüòå ñåáå, ÷òî Âàø äðóã, ôèçèê-ýêñïåðèìåíòàòîð èç ïðåäûäóùåãî óïðàæíåíèÿ, ïîïðîñèë Âàñ ïðèâåñòè ê äèàãîíàëüíîìó âèäó äâà-òðè äåñÿòêà ìàòðèö 10 × 10. Îí Âàì ñîîáùèë, ÷òî êàæäàÿ èç ýòèõ ìàòðèö ìíîãîêðàòíî ïðîâåðåíà íåçàâèñèìûìè ýêñïåðèìåíòàìè. Àíàëèçèðóÿ äèàãîíàëüíûå ôîðìû ýòèõ ìàòðèö, îí ðàññ÷èòûâàåò ïîëó÷èòü âàæíûå ôèçè÷åñêèå âûâîäû (äîïóñòèì, îá îçîíîâîé äûðå, ëèáî î ñòðîåíèè êðèñòàëëîâ). Ó Âàñ èìååòñÿ íåñêîëüêî ñòàíäàðòíûõ ïðîãðàìì äèàãîíàëèçàöèè ìàòðèö, âñå îíè Âàìè õîðîøî ïðîâåðåíû è ìíîãî ðàç ïðèìåíåíû äëÿ ðàçëè÷íûõ ìàòðèö 20-ãî è 30-ãî ïîðÿäêà. È âîò âûÿñíèëîñü, ÷òî âñå Âàøè ïðîãðàììû îòêàçûâàþòñÿ ðàáîòàòü äëÿ ýòèõ ìàòðèö. Ñêîðåé âñåãî, Âû äîëæíû ïîçäðàâèòü ñâîåãî äðóãà-ôèçèêà ñ áîëüøèì óñïåõîì. Ïî÷åìó? ×òî Âû ïðåäëàãàåòå äåëàòü äàëüøå?

189

Ïðèëîæåíèå 2. Èçîìåòðèè è âðàùåíèÿ áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà. Òåîðåìà Ìàçóðà è Óëàìà.

Çäåñü èçëîæåíà çàìå÷àòåëüíàÿ òåîðåìà Ìàçóðà è Óëàìà î ëèíåéíîñòè èçîìåòðè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ U : X → Y îäíîãî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà â äðóãîå, ïðè óñëîâèè, ÷òî 0 ∈ X ïåðåõîäèò â 0 ∈ Y , òàê ÷òî U (0) = 0. Ñîõðàíÿÿ îñíîâíóþ èäåþ äîêàçàòåëüñòâà [24], ÿ ïîïûòàëñÿ ïðîÿñíèòü åãî õîä ïðè ïîìîùè ââåäåíèÿ ïîíÿòèÿ öåíòðà ìíîæåñòâà â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå. Öåíòð îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà. Ïóñòü X  ìåòðè÷åñêîå ïðî-

ñòðàíñòâî, è M ⊂ X  îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî â íåì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî M ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì øàðå ïðîñòðàíñòâà X . Îïðåäåëèì äèàìåòð d(M ) ìíîæåñòâà M , ïîëàãàÿ

d(M ) = sup ρ(x, y).

(5.1)

x,y∈M

Î÷åâèäíî, äëÿ îãðàíè÷åííûõ ìíîæåñòâ, è òîëüêî äëÿ íèõ, äèàìåòð êîíå÷åí. Òåïåðü îïðåäåëèì 1-öåíòð C 1 (M ) ìíîæåñòâà M , ïîëàãàÿ

1 C 1 (M ) = {x ∈ X| ∀z ∈ M : ρ(x, z) 6 d(M )}. 2

(5.2)

Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî C 1 (M ) ñîñòîèò èç âñåâîçìîæíûõ òî÷åê ïðîñòðàíñòâà X , óäàëåííûõ îò ïðîèçâîëüíîé òî÷êè ìíîæåñòâà M íå áîëåå, ÷åì íà ïîëîâèíó äèàìåòðà ìíîæåñòâà M . Íàïðèìåð, 1-öåíòð øàðà â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå åñòü ïîïðîñòó ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç îäíîé òî÷êè  åãî öåíòðà. Áûâàåò, ÷òî 1-öåíòð ìíîæåñòâà ïóñò: âûáðîñèì öåíòð íåêîòîðîãî øàðà èç X , òîãäà 1-öåíòð øàðà ïîëó÷åííîãî ïðîñòðàíñòâà íå áóäåò ñîäåðæàòü íè îäíîé òî÷êè. Òåïåðü ïî èíäóêöèè îïðåäåëèì n-öåíòð C n (M ) äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n = 2, 3 . . ., ïîëàãàÿ

C 2 (M ) = C 1 (C 1 (M )) ∩ C 1 (M ), . . . , C n (M ) = C 1 (C n−1 (M )) ∩ C n−1 (M ), . . . (5.3)

190

Çàìåòèì, ÷òî 1-öåíòð C 1 (M ) êîíñòðóèðóåòñÿ èç òî÷åê ïðîñòðàíñòâà X , â òî âðåìÿ êàê n-öåíòð C n (M ) ïðè n = 2, 3, . . . îáÿçàí áûòü ïîäìíîæåñòâîì

(n − 1)-öåíòðà. Îïðåäåëèì, íàêîíåö, öåíòð îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà M ⊂ X êàê ïåðåñå÷åíèå âñåõ n-öåíòðîâ

C(M ) =

∞ \

C n (M )

(5.4)

n=1

Ëåììà 1. Öåíòð âñÿêîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà M ìåòðè÷åñêîãî

ïðîñòðàíñòâà X ñîäåðæèò íå áîëåå îäíîé òî÷êè Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ÷òî äèàìåòð n-öåíòðà, ïî êðàéíåé ìåðå,

â 2n ðàç ìåíüøå ÷åì d(M ):

1 d(M ). (5.5) 2n Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ýòî íåðàâåíñòâî ïðè n = 1 è ïðèìåíèòü çàòåì î÷åâèäd(C n (M )) 6

íóþ èíäóêöèþ. Åñëè x, y ∈ C 1 (M ), òî ââèäó îïðåäåëåíèÿ 1-öåíòðà (5.2), âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

1 ρ(x, y) 6 d(M ). (5.6) 2 Èç íåãî ñðàçó ñëåäóåò íåðàâåíñòâî (5.5) ïðè n = 1, à çàòåì è äëÿ ëþáûõ n. Íåðàâåíñòâî (5.5) ïîêàçûâàåò, ÷òî äèàìåòð öåíòðà C(M ) ðàâåí íóëþ. Ýòî äîêàçûâàåò ëåììó 1. Äàëüøå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî X  áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, òàê ÷òî

ρ(x1 , x2 ) = kx1 − x2 kX , ãäå k · kX  íîðìà â ïðîñòðàíñòâå X . Ñêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî M ⊂ X öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íî, è ξ ∈ X åãî

öåíòð ñèììåòðèè, åñëè âìåñòå ñ êàæäîé òî÷êîé x = ξ +u ∈ M , òàêæå òî÷êà

x¯ = ξ − u ∈ M . Çàìåòèì, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå S : M → M , îïðåäåëåííîå ðàâåíñòâîì Sx = x ¯ = 2ξ − x åñòü èíâåðñèÿ: S 2 x = x¯ = x, S 2 = I . Ëåììà 2. Åñëè ìíîæåñòâî M â X  öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íî, òî è

åãî n-öåíòðû òàêæå öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íû (ñ òåì æå öåíòðîì ñèììåòðèè ξ ), à öåíòð C(M ) ëèáî ïóñò, ëèáî ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè ξ .

191

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ÷òî 1-öåíòð C 1 (M ) öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷åí

îòíîñèòåëüíî òî÷êè ξ . Ïóñòü x = ξ + u ∈ C 1 (M ). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íåðàâåíñòâî

1 (5.7) kx − zk 6 d(M ) 2 âûïîëíåíî äëÿ ëþáûõ z ∈ M . Íåðàâåíñòâî (5.7) îñòàåòñÿ âåðíûì è ïðè çàìåíå z íà z¯, òàê êàê z¯ ∈ M . Ïîýòîìó èìååì

1 k¯ x − zk = k2ξ − x − zk = kx − z¯k 6 d(M ) 2

(5.8)

Òàêèì îáðàçîì, 1-öåíòð C 1 (M ) öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷åí. Î÷åâèäíàÿ èíäóêöèÿ äàåò òîò æå ðåçóëüòàò è äëÿ n-öåíòðà C n (M ). Òîãäà è öåíòð C(M ) öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷åí áóäó÷è ïåðåñå÷åíèåì öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íûõ ìíîæåñòâ. Åñëè òåïåðü äîïóñòèòü, ÷òî öåíòð C(M ) ñîäåðæèò òî÷êó x = ξ+u, òî òàêæå è òî÷êà x ¯ = ξ − u åìó ïðèíàäëåæèò. Íî, ïî ëåììå 1, ýòè òî÷êè äîëæíû ñîâïàäàòü. Ïîýòîìó u = 0, è ëåììà 2 äîêàçàíà. Ñëåäñòâèå. Ïóñòü ìíîæåñòâî M = {x1 , x2 }, ãäå x1 è x2 ïðîèçâîëü-

íûå òî÷êè â X . Òîãäà öåíòð C(M ) åñòü ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç îäíîé òî÷êè ξ = 21 (x1 + x2 ). Èçîìåòðèè è âðàùåíèÿ. Íàïîìíþ, ÷òî îòîáðàæåíèå U : X → Y

ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà X â ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî Y íàçûâàåòñÿ

èçîìåòðè÷åñêèì èëè èçîìåòðèåé, åñëè äëÿ ëþáûõ x1 , x2 ∈ X âûïîëíåíî ðàâåíñòâî

ρY (U x1 , U x2 ) = ρX (x1 , x2 ).

(5.9)

 ñëó÷àå áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ X è Y ðàâåíñòâî (5.9) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå

kU x1 − U x2 kY = kx1 − x2 kX .

(5.10)

Î÷åâèäíî, âñÿêîå èçîìåòðè÷åñêîå îòîáðàæåíèå íåïðåðûâíî. Ñòîëü æå î÷åâèäíî, ÷òî èçîìåòðèÿ îòîáðàæàåò ïðîñòðàíñòâî X íà ñâîé îáðàç U (X) âçàèìíî îäíîçíà÷íî.

192

 ëþáîì áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå X êàæäîìó ýëåìåíòó h ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå èçîìåòðè÷åñêîå îòîáðàæåíèå Lh : x 7→ x + h, íàçûâàåìîå ïåðåíîñîì èëè òðàíñëÿöèåé íà âåêòîð h. Åñëè U : X → X  èçîìåòðèÿ áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà X , òî îòîáðàæåíèå U0 , îïðåäåëÿåìîå ðàâåíñòâîì U0 x = U x − U (0)  òàêæå èçîìåòðèÿ. Ïðè ýòîì òî÷êà 0 ∈ X åñòü íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ U0 , òàê ÷òî U0 (0) = 0. Âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå U : X → X íàçûâàåòñÿ âðàùåíèåì (áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà X ), åñëè îíî èçîìåòðè÷íî è îñòàâëÿåò íåïîäâèæíîé òî÷êó íîëü. Ïîä÷åðêíó, ÷òî â ñëåäóþùåé òåîðåìå íå òðåáóåòñÿ, ÷òîáû îáðàç U (X) ïðîñòðàíñòâà X ïðè îòîáðàæåíèè U ñîâïàäàë ñî âñåì ïðîñòðàíñòâîì Y . Òåîðåìà Ìàçóðà è Óëàìà. Âñÿêîå èçîìåòðè÷åñêîå îòîáðàæåíèå

U : X → Y áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà X â áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî Y , ïåðåâîäÿùåå 0 ïðîñòðàíñòâà X â 0 ïðîñòðàíñòâà Y (òàê ÷òî U (0) = 0)  ëèíåéíî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x1 è x2  ïðîèçâîëüíûå òî÷êè â X . Ñîãëàñíî

1 2 Îïðåäåëåíèÿ n-öåíòðîâ è öåíòðà ìíîæåñòâà ñâÿçàíû ëèøü ñ ìåòðèêîé,

ñëåäñòâèþ, öåíòð ìíîæåñòâà {x1 , x2 } åñòü ξ = (x1 + x2 ).

à èçîìåòðèÿ U åå ñîõðàíÿåò. Ïîýòîìó ÿñíî, ÷òî îòîáðàæåíèå U ïåðåâîäèò öåíòð ëþáîãî ìíîæåñòâà M ⊂ X â öåíòð åãî îáðàçà U (M ) ⊂ Y . Ïîñêîëüêó

1 (U x1 + U x2 ), ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó 2   1 1 (x1 + x2 ) = (U x1 + U x2 ). (5.11) U 2 2

öåíòð ìíîæåñòâà {U x1 , U x2 } åñòü

Ïîëàãàÿ çäåñü x1 = x è x2 = 0 è ó÷èòûâàÿ, ÷òî U (0) = 0, äëÿ ëþáîãî x ∈ X ïîëó÷èì ðàâåíñòâî

 U

1 x 2



1 = U x. 2

(5.12)

Òåïåðü äëÿ ïðîèçâîëüíûõ x1 , x2 ∈ X , ïîëàãàÿ â (5.12) x = x1 +x2 è ïðèìåíÿÿ

193

(5.11), âûâîäèì

 U (x1 + x2 ) = 2U

 1 1 (x1 + x2 ) = 2 · (U x1 + U x2 ) = U x1 + U x2 . 2 2

(5.13)

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îïåðàòîð U àääèòèâåí. Õîðîøî èçâåñòíî (ñì. íèæå ëåììó 3), ÷òî, âìåñòå ñ íåïðåðûâíîñòüþ â íóëå (à èçîìåòðè÷åñêèé îïåðàòîð íåïðåðûâåí âñþäó), ýòî ñâîéñòâî âëå÷åò ëèíåéíîñòü îïåðàòîðà U . Òåîðåìà äîêàçàíà. Ëåììà 3. Ïóñòü îïåðàòîð U : X → Y (X è Y  áàíàõîâû) àääèòè-

âåí è íåïðåðûâåí â òî÷êå 0 ∈ X . Òîãäà îí íåïðåðûâåí âñþäó è îäíîðîäåí, òî åñòü U  ëèíåéíûé îïåðàòîð. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî óñëîâèþ, äëÿ ëþáûõ x1 , x2 ∈ X âûïîëíÿåòñÿ

ðàâåíñòâî

U (x1 + x2 ) = U x1 + U x2 .

(5.14)

Èç íåãî ïî èíäóêöèè ïîëó÷àåòñÿ áîëåå îáùåå ðàâåíñòâî

U (x1 + x2 + . . . + xm ) = U x1 + U x2 + . . . + U xm .

(5.15)

Èç íåãî, ïîëàãàÿ x1 = x2 = . . . = xm = x, âûâîäèì ðàâåíñòâî

U (mx) = mU x äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî m è ëþáîãî x ∈ X . Çàìåíÿÿ çäåñü x íà ÷èì

(5.16)

1 x, ïîëóm

 1 1 U x = U x. (5.17) m m Ïîñêîëüêó m ∈ N â (5.16) è (5.17) ïðîèçâîëüíî, äëÿ ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà



m n,

ãäå m, n ∈ N , âûâîäèì ðàâåíñòâî

m  m U x = U x. n n

(5.18)

Èòàê, âñÿêîå ïîëîæèòåëüíîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê îïåðàòîðà U . Ïîêàæåì, ÷òî ìîæíî âûíîñèòü è −1. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïîëîæèòü â (5.14) x1 = x2 = 0, òî ïîëó÷èòñÿ, ÷òî U (0) = 2U (0), òàê ÷òî

194

U (0) = 0. Äàëåå, åñëè ïîëîæèòü â (5.14) x1 = x è x2 = −x, òî ïîëó÷èì U (0) = U x + U (−x). Òàê êàê U (0) = 0, âûõîäèò, ÷òî U (−x) = −U (x). Òåïåðü ÿñíî, ÷òî ðàâåíñòâî (5.18) ñïðàâåäëèâà äëÿ ëþáûõ ðàöèîíàëüíûõ

m n.

Äîêàæåì, ÷òî èç íåïðåðûâíîñòè àääèòèâíîãî îïåðàòîðà â òî÷êå 0 ñëåäóåò åãî íåïðåðûâíîñòü â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå x. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè xn →

x, òî ξn = xn − x → 0 è U xn − U x = U (x + ξn ) − U x = U x + U ξn − U x = U ξn → 0,

(5.19)

ââèäó íåïðåðûâíîñòè îïåðàòîðà U â íóëå. Èòàê, îïåðàòîð U íåïðåðûâåí â ëþáîé òî÷êå x ∈ X . Åñëè òåïåðü λ ∈ R  ëþáîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî, òî ìû âîçüìåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë âèäà

m n,

ñõîäÿùóþñÿ ê λ, è, ïåðåõîäÿ ê

ïðåäåëó â (5.18), íàéäåì

U (λx) = λU x.

(5.20)

Èòàê, îïåðàòîð U íåïðåðûâåí âñþäó, àääèòèâåí è îäíîðîäåí, òî åñòü ëèíååí. Ëåììà 3 äîêàçàíà. Êàê äîêàçàë Ç. Õàæèíñêèé [25], âñÿêèé èçîìåòðè÷åñêèé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â êîíå÷íîìåðíîì ëèíåéíîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå òàêæå ëèíååí. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îí ïîñòðîèë ïî äàííîé ìåòðèêå ïðåäíîðìó (îòëè÷àåòñÿ îò íîðìû òîëüêî òåì, ÷òî îíà ìîæåò îáðàùàòüñÿ â íîëü è íà íåíóëåâûõ âåêòîðàõ) ñ òåì æå íóëåì, èíâàðèàíòíóþ îòíîñèòåëüíî âñåõ èçîìåòðèé. Äàëåå, â [25] èñïîëüçîâàíà òåîðåìà ÌàçóðàÓëàìà è èíäóêöèÿ ïî ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà.

195

Óïðàæíåíèÿ ê Ïðèëîæåíèþ 2.

1. Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî X ñîñòîèò èç 5-è òî÷åê: x1 , x2 , x3 , x4 , x5 . Ìåòðèêó çàäàäèì, ïîëàãàÿ ρ(x1 , x2 ) = 1, ρ(x1 , x3 ) = 1, ρ(x1 , x4 ) = 1;

ρ(x1 , x5 ) = 2; ρ(x2 , x3 ) = 1/2; ρ(x2 , x4 ) = 1/2; ρ(x2 , x5 ) = 1; ρ(x3 , x4 ) = 1/2; ρ(x3 , x5 ) = 1; ρ(x4 , x5 ) = 1. Ïðîâåðüòå âûïîëíåíèå àêñèîì ìåòðèêè. Íàéäèòå 1-öåíòð ýòîãî ïðîñòðàíñòâà, à òàêæå åãî öåíòð s x4

x1 s

s x3

s

x5

s x2

2. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ âñÿêîãî øàðà B â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå X öåíòð

C(B) åñòü åãî öåíòð â îáû÷íîì ñìûñëå ñëîâà. 3. Ïóñòü U : X → Y  èçîìåòðè÷åñêîå îòîáðàæåíèå ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà X â ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî Y . Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà M ⊂ X ñ íåïóñòûì öåíòðîì C(M ) = {ξ} åãî îáðàç

U (M ) ⊂ Y òàêæå èìååò öåíòð η ∈ Y è U ξ = η . Äîêàæèòå òàêæå, ÷òî U (C n (M )) = C n (U (M )). 4. Ïóñòü D  ìíîæåñòâî â Rn , ñîäåðæàùåå íå ìåíåå, ÷åì n+1 òî÷êó, ñðåäè êîòîðûõ èìååòñÿ òî÷êà 0 ∈ Rn , à îñòàëüíûå n òî÷åê ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Èíäóöèðîâàííàÿ íà íåì ìåòðèêà ïðîñòðàíñòâà Rn ïðåâðàùàåò D â ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Ïóñòü U : D → Rn  èçîìåòðè÷åñêîå îòîáðàæåíèå, îñòàâëÿþùåå òî÷êó 0 íåïîäâèæíîé. Äîêàæèòå, ÷òî åãî ìîæíî ñ÷èòàòü ëèíåéíûì. Òî÷íåå, ñóùåñòâóåò ëèíåéíîå èçîìåòðè÷åñêîå îòîá-

ˆ : Rn → Rn , îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåìîå îòîáðàæåíèåì U , è ðàæåíèå U ˆ = U. òàêîå, ÷òî åãî ñóæåíèå íà D åñòü U , èëè, â ñèìâîëàõ: U D

196

5. Äîêàæèòå, ÷òî, åñëè â òåîðåìå Ìàçóðà è Óëàìà îòáðîñèòü óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ íóëÿ, òî ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî èçîìåòðè÷åñêîå îòîáðàæåíèå

àôôèííî, òî åñòü U = U0 + Lh , ãäå Lh  òðàíñëÿöèÿ íà ïîñòîÿííûé âåêòîð h, à U0  ëèíåéíîå èçîìåòðè÷åñêîå îòîáðàæåíèå.

197

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

[1] Ë. Ì. Ëàíäàó, Å.Ì.Ëèôøèö Ìåõàíèêà. Ì.: Íàóêà, 1988. [2] Ã. Ëàìá. Ãèäðîäèíàìèêà. Ì.: Ãîñòåõèçäàò, 1947. [3] Õàðòìàí Ô. Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ.  Ì.:Ìèð, 1970. [4] À. ß. Ïîâçíåð. Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ â öåëîì äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû è èíäåêñ äåôåêòà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà // Ñèáèðñêèé ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë. Ò. 5,  2, 1964, ñ. 377386. [5] Newton I. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, London, 1687; Mathematical Principles of natural philosophy. Dawsons of Pall Mall, London, 1969. [6] Ð.Ôåéíìàí, Ð.Ëåéòîí, Ì.Ñýíäñ Ôåéìàíîâñêèå ëåêöèè ïî ôèçèêå. Ò.1-2.  M.: Ìèð, 1976. [7] Àðíîëüä

Â.È.

Îáûêíîâåííûå

äèôôåðåíöèàëüíûå

óðàâíåíèÿ.



Ì.:Íàóêà, 1984. [8] Àðíîëüä Â.È. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè: Ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ âóçîâ  Ì.:Íàóêà, 1989. [9] Ãðîìîë Ä., Êëèíãåíáåðã Â., Ìåéåð Â. Ðèìàíîâà ãåîìåòðèÿ â öåëîì. Ì.: Ìèð, 1971. [10] Çîðè÷ Â.À. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ò. I, II.  Ì.: Íàóêà, 1984. [11] Ôèõòåíãîëüö Ã.Ì. Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ò. I,II,III.  Ì.: Íàóêà, 1964. [12] Ïîëàê Ë.Ñ. Âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû ìåõàíèêè.  Ì.:Ôèç.-ìàò. ëèò.1960.

198

[13] Ìèõëèí Ñ. Ã. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.  M.: Íàóêà, 1968. [14] Ðóäèí Ó. Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.  Ì.: Ìèð, 1976. [15] Àëåêñàíäðîâ Ï.Ñ., Êîëìîãîðîâ À.È. Ââåäåíèå â òåîðèþ ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî.  ÃÒÒÈ, 1938. [16] Þäîâè÷ Â. È. Êîñèììåòðèÿ, âûðîæäåíèå ðåøåíèé îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé, âîçíèêíîâåíèå ôèëüòðàöèîííîé êîíâåêöèè // Ìàò. çàìåòêè. 1991. Ò. 49. N. 5. C. 142148. [17] Ëþñòåðíèê Ë. À., Ñîáîëåâ Â. È. Ýëåìåíòû ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Ãîñòåõèçäàò, 1951. [18] Ïåòðîâñêèé È. Ã. Ëåêöèè ïî òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ì.: Íàóêà, 1970. 280 ñ. [19] Õàëìîø Ï. Ð. Ëåêöèè ïî ýðãîäè÷åñêîé òåîðèè. Èæåâñê: Èçäàòåëüñêèé äîì "Óäìóðòñêèé óíèâåðñèòåò", 1999. 136 ñ. [20] Orlicz W. Zur Theorie der Differentialgleichung y 0 = f (t, y) // Bull. de Acad. Pol. des Sciences, Ser. A, 1932, 221228.  [21] Janda J. Uber die Kategorie der Menge stetiger Funktionen, welche Differentialgleihungen ohne Eindeutigkeit bestimmen // Czechoslovak Mathematical Journal, 23 (98), no. 1, 1973, 3033. [22] Kisielewicz M. Description of a class of differential equation with set-valued solutions // Atti Ac. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. fismat. e natur. 58, no. 2, 1975, 158162. [23] Kisielewicz M. Description of a class of differential equation with set-valued solutions // Atti Ac. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. fismat. e natur. 58, no. 3, 1975, 338341.

199

[24] Áàíàõ Ñ. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ îïåðàöèé. ÌîñêâàÈæåâñê, Ðåãóëÿðíàÿ è Õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà. 2001. [25] Charzinski Z. Sur les transformations isom
etrique dans les espace du type (F), Studia Math., 13, 1953, pp. 94121. [26] Þäîâè÷ Â. È. Ëåêöèè îá óðàâíåíèÿõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Èçä-âî Ðîñòîâñêîãî óíèâåðñèòåòà, 1998 [27] Þäîâè÷ Â. È. Ëåêöèè îá óðàâíåíèÿõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. ×àñòü âòîðàÿ. Èçä-âî Ðîñòîâñêîãî óíèâåðñèòåòà, 1999 [28] Äàëåöêèé Þ. Ë., Êðåéí Ì. Ã. Óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ì., 1970, 534 ñ. [29] Þäîâè÷ Â. È. Ìåòîä ëèíåàðèçàöèè â ãèäðîäèíàìè÷åñêîé òåîðèè óñòîé÷èâîñòè. Ðîñòîâ-íà-Äîíó, èçä-âî ÐÃÓ, 1984. 192 ñ. (Àíãë. ïåðåâîä: Yudovich V. I. The Linearization Method in Hydrodynamical Stability Theory, In.: Translation of mathematical monographs, 74, American Mathematical Society, Providence, Rodeisland, 177 p., (1989)) [30] Þäîâè÷ Â. È. Äèíàìèêà íèòè // Äåï. â ÂÈÍÈÒÈ 10.10.95, 2725-Â95. [31] Ìèõëèí Ñ. Ã. Âàðèàöèîííûå ìåòîäû â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå. Ì.: ÃÈÒÒË, 1957. 476 ñ. [32] Broer L. J. F. On the Dynamics pf Strings // Journal of Engineering Mathematics. Vol. 4. No. 3. 1970. 195202. [33] Êóðàíò Ð., Ãèëüáåðò Ä. Ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ò. 1.  Ì.Ë. Ãîñòåõèçäàò, 1951.  476 ñ.