Уравнения эллиптического типа (конспект лекций)

moskowskij gosudarstwennyj uniwersitet IM m w lOMONOSOWA .

.

.

mEHANIKO-MATEMATI^ESKIJ FAKULXTET

a a kONXKOW SPECIALXNYJ KURS urawneniq |llipti~eskogo tipa .

.

(KONSPEKT LEKCIJ)

moskwa

2002

sODERVANIE 1 pROSTRANSTWA s.l. sOBOLEWA

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

oSNOWNYE OPREDELENIQ I OBOZNA^ENIQ . . . . . . . . . . . . . . pLOTNOSTX C 1() W Wpm () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iNTEGRALXNYE OPERATORY SO SLABOJ OSOBENNOSTX@ . . . . . . . pREDSTAWLENIE FUNKCIJ PO s.l. sOBOLEWU . . . . . . . . . . . tEOREMY WLOVENIQ s.l. sOBOLEWA. |KWIWALENTNYE NORMY W PROSTRANSTWAH Wpm () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3 7 10 19 22

27

lITERATURA

2

gLAWA 1 pROSTRANSTWA s.l. sOBOLEWA 1.1

oSNOWNYE OPREDELENIQ I OBOZNA^ENIQ

pUSTX  | OTKRYTOE PODMNOVESTWO Rn, n
1, I { = Rn n  | DOPOLNENIE MNOVESTWA  DO WSEGO PROSTRANSTWA Rn. ~EREZ C 1() MY OBOZNA^AEM PROSTRANSTWO FUNKCIJ, BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMYH W , A ^EREZ C 1() | SUVENIQ NA  FUNKCIJ IZ C 1(Rn). pRI \TOM POD C01() MY BUDEM PODRAZUMEWATX MNOVESTWO FUNKCIJ IZ C 1(Rn) S KOMPAKTNYMI NOSITELQMI, PRINADLEVA]IMI . wMESTO C01() ^ASTO ISPOLXZUETSQ OBOZNA^ENIE D(). aNALOGI^NO OPREDELQ@TSQ KLASSY C s (), C s (), C0s () FUNKCIJ S NEPRERYWNYMI PROIZWODNYMI PORQDKA s. pROSTRANSTWO IZMERIMYH FUNKCIJ NA IZMERIMOM PO lEBEGU MNOVESTWE E  Rn, DLQ KOTORYH

kf kLp(E) =


Z

p

1

E

jf jp dx < 1

p
1

BUDEM OBOZNA^ATX Lp(E ). w SWO@ O^EREDX, POD Lp
comp() MY BUDEM PONIMATX PROSTRANSTWO FUNKCIJ, SUMMIRUEMYH SO STEPENX@ p NA WSQKOM KOMPAKTE, PRINADLEVA]EM OTKRYTOMU MNOVESTWU . dLQ KRATKOSTI PIEM L(E ) WMESTO L1(E ) I Lcomp() WMESTO L1
comp(). eSLI W OBOZNA^ENIQH PROSTRANSTW I NORM OTSUTSTWUET UKAZANIE NA OBLASTX , TO IMEETSQ W WIDU, ^TO  = Rn. iNTEGRIROWANIE BEZ UKAZANIQ PREDELOW TAKVE PODRAZUMEWAETSQ WYPOLNENNYM PO WSEMU Rn. kAK \TO PRINQTO, POLAGAEM jj = 1 + : : : + n, ! = 1! : : : n ! I @  = (@=@x1 ) : : : (@=@xn)n  GDE  = (1 : : :  n ) | MULXTIINDEKS. wS@DU NIVE POD Brx MY PODRAZUMEWAEM OTKRYTYJ AR Brx = fy : jy ; xj < rg RADIUSA r > 0 S CENTROM W TO^KE x 2 Rn, A POD Srx | SFERU Srx = fy : jy ; xj < rg. eSLI x = 0, TO WMESTO Br0 I Sr0 PIEM DLQ KRATKOSTI Br I Sr . 1

3

oBLASTX  NAZYWAETSQ ZW


lINEJNYJ FUNKCIONAL f NA D() BUDEM NAZYWATX NEPRERYWNYM, ESLI DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI 'i 2 D(), i = 1 2 : : : , SHODQ]EJSQ K FUNKCII ' 2 D(), lim f ('i ) = f ('):

i!1

mNOVESTWO LINEJNYH NEPRERYWNYH FUNKCIONALOW NA D() NAZYWAETSQ PROSTRANSTWOM OBOB]
4

uPRAVNENIE 1.1.1. pOKAVITE, ^TO RAZLI^NYM FUNKCIQM IZ Lcomp () SOOTWETSTWU@T RAZLI^NYE FUNKCIONALY IZ D0 (). pUSTX f 2 C 1(). kAK SWQZANY MEVDU SOBOJ OBOB]
dALEE MY HOTIM WYQSNITX, KAKIM OBRAZOM U OBOB]
Z f (x(y))'(y) dy G Z

= f (x)'(y(x)) jdet k@y=@xkj dx  = (f (x) '(y(x)) jdet k@y=@xkj)  ' 2 D(G)

GDE k@y=@xk | MATRICA qKOBI. pUSTX TEPERX f (x) 2 D0(), OPREDELIM FUNKCI@ f (x(y)) 2 D0(G), POLAGAQ (f (x(y)) '(y)) = (f (x) '(y(x)) jdet k@y=@xkj)  ' 2 D(G): uPRAVNENIE 1.1.5. dOKAVITE PRAWILO DIFFERENCIROWANIQ SUPERPOZICII  n GDE f (x) 2 D0().

@f (x(y)) = X @f (x)  @xj (y)  @yi @xj x=x(y) @yi j =1

mNOVESTWO OBOB]
kf kWpm() =


Z

1p  p 0Z X jf jp dx + @ j@ f jp dxA : 1

1

jj=m uPRAVNENIE 1.1.6. dOKAVITE POLNOTU Wpm (). 



o

pOD W mp() BUDEM PONIMATX ZAMYKANIE MNOVESTWA C01() W NORME PROSTRANSTWA Wpm (). oPREDELENIE 1.1.3.

6

1.2

C1

pLOTNOSTX

()

W

Wpm

()

rASSMOTRIM NEOTRICATELXNU@ FUNKCI@ ! 2 C01(B1) TAKU@, ^TO

Z

!(x) dx = 1

GDE x = (x1 : : :  xn ) 2 Rn, n
1, dx = dx1 : : : dxn. oBOZNA^IM

1 x !h(x) = hn ! h  h > 0: rAZUMEETSQ, BUDEM IMETX !h 2 C01(Bh), PRI^<M

Z

!h(x) dx = 1:

(1.3)

Z bESKONE^NO GLADKAQ FUNKCIQ

oPREDELENIE 1.2.1.

uh (x) =

!h(x ; y)u(y) dy x 2 Rn h > 0

(1.4)

NAZYWAETSQ USREDNENIEM FUNKCII u 2 Lcomp (Rn) PO sTEKLOWU-{WARCU. lEMMA 1.2.1. pUSTX u 2 Lp(Rn) p
1 tOGDA (1) kuh kLp  kukLp  (2) ku ; uhkLp ! 0 PRI h ! +0 dOKAZATELXSTWO. dOKAVEM OCENKU P. (1). pRIMENQQ NERAWENSTWO g
.

.

1




Z

=

 q
Z

dy !h (x ; y)


Z

1

1

dy !h(x ; y)ju(y)jp

p

1

p

dy !h(x ; y)ju(y)jp

1

DLQ WSQKOGO x 2 Rn, GDE 1=p + 1=q = 1 (W SLU^AE p = 1 SLEDUET FORMALXNO POLOVITX q = 1, 1=q = 0). tAKIM OBRAZOM,

Z

dx juh

(x)jp

p Z
Z = dx dy !h(x ; y)ju(y)j Z Z  dx dy !h(x ; y)ju(y)jp Z Z =

dy ju(y)jp dx !h (x ; y): 7

dLQ ZAWERENIQ DOKAZATELXSTWA P. (1) OSTA
Z Z !h (z )u(x ; z ) dz ; !h (z )u(x) dz Z

uh(x) ; u(x) =

!h (z )(u(x ; z ) ; u(x)) dz

=

OTKUDA, O^EWIDNO, NAHODIM

Z

dx juh (x) ; u(x)jp 

Z

dx


Z

p

!h(z )ju(x ; z ) ; u(x)j dz :

(1.5)

w TO VE WREMQ, WWIDU NERAWENSTWA g
Z

dz !h(z )ju(x ; z ) ; u(x)j =




Z

=

 q
Z

dz !h(z )


Z

dz !h

1

Z

1

1

dz !h (z )(!hp (z )ju(x ; z ) ; u(x)j) q

dz !h(z )ju(x ; z ) ; u(x)jp

(z )ju(x ; z ) ; u(x)jp

p 1

p

1



PO\TOMU (1.5) WLE^
Z

dx juh

(x) ; u(x)jp

Z Z  dx dz !h (z )ju(x ; z ) ; u(x)jp Z Z =

dz !h(z ) dx ju(x ; z ) ; u(x)jp

jzjhZ  sup dx ju(x ; z ) ; u(x)jp: jzjh

dLQ ZAWERENIQ DOKAZATELXSTWA LEMMY DOSTATO^NO UBEDITXSQ, ^TO

Z

sup dx ju(x ; z ) ; u(x)jp ! 0 PRI h ! +0: jzjh

(1.6)

u(x) = (x)

(1.7)

pOSLEDNEE SOOTNOENIE TRIWIALXNO W SLU^AE 8

GDE  | HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ PARALLELEPIPEDA  = (a1 b1)  : : :  (an bn). nO TOGDA (1.6) SPRAWEDLIWO I DLQ WSQKOJ u 2 Lp(Rn), T.K. LINEJNAQ OBOLO^NA FUNKCIJ WIDA (1.7) PLOTNA W Lp(Rn). uPRAVNENIE 1.2.1. dLQ OBOB]
DLQ WSQKOJ

h!+0 FUNKCII ' 2 D(Rn).

lEGKO PONQTX, ^TO LEMMA 1:2:1 PRIMENIMA I K FUNKCIQM u 2 Lp(), GDE  | OBLASTX W Rn, n
1. dEJSTWITELXNO, PRODOLVAQ u NUL<M NA {, POLU^IM u 2 Lp(Rn). tEOREMA 1.2.1. pUSTX  OGRANI^ENNAQ OBLASTX ZWZDNAQ OTNOSI TELXNO NEKOTOROJ SWOEJ TO^KI tOGDA PROSTRANSTWO C 1() PLOTNO W zAME^ANIE 1.2.1.

|

,

-

.

Wpm ().

bEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI MOVNO S^ITATX, ^TO OBLASTX  ZW
@ vh(x)

Z

@x!h (x ; y)v(y) dy Z j  j = (;1) @y!h (x ; y)v(y) dy =

x 2 Rn:

s DRUGOJ STORONY, USREDNQQ PROIZWODNU@ @ v, jj = m, POLU^IM (@ v)h(x) =

Z

!h

(x ; y)@ v(y) dy

DLQ WSEH x 2 , 0 < h < dist( {G). 9

Z

= (;1)jj @y!h (x ; y)v(y) dy

tEM SAMYM, (@ v)hj = @ vhj  jj = m 0 < h < dist( {G):

I

(1.8)

sOGLASNO LEMME 1:2:1 PRI FIKSIROWANNOM  > 0 BUDEM IMETX lim kv ; vkLp () = 0 h!+0 h

v) ; @ vk lim k ( @ jj = m: h Lp () = 0 h!+0 iZ \TIH DWUH PREDELOW I SOOTNOENIQ (1:8) SLEDUET, ^TO

lim kvh ; vkWpm() = 0:

(1.9)

h!+0

pUSTX ZADANO PROIZWOLXNOE " > 0. wYBEREM  > 0 TAKOE, ^TO kv ; ukWpm () < 2" :

(1.10)

wWIDU (1.9) NAJD 0, DLQ KOTOROGO kvh ; vkWpm () < 2" :

oB_EDINQQ POSLEDNIE NERAWENSTWA, ZAWERAEM DOKAZATELXSTWO TEOREMY. uPRAVNENIE 1.2.2. pO^EMU MOVNO WYBRATX  > 0 TAKOE, ^TO BUDET WYPOLNENO (1:10)? 1.3

iNTEGRALXNYE OPERATORY SO SLABOJ OSOBENNOSTX@

w \TOM RAZDELE MY BUDEM IZU^ATX INTEGRALXNYE OPERATORY WIDA

Z f (x y) u(y) dy (Au)(x) =

(1.11) jx ; yj GDE E | IZMERIMOE OGRANI^ENNOE PODMNOVESTWO Rn, n
1, f 2 L1(E  E ) I 0   < n | NEKOTOROE WE]ESTWENNOE ^ISLO. tEOREMA 1.3.1. pUSTX E KOMPAKT f 2 C (E  E ) 1 < p  1 E

|

,

,

,

1=q + 1=p = 1, I PRI \TOM q < n. tOGDA FORMULA (1:11) OPREDELQET WPOLNE NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE A : Lp(E ) ! C (E ). 10

dOKAZATELXSTWO.

pREDPOLOVIM SNA^ALA, ^TO p < 1. pOKAVEM, ^TO Z jf (x y)j ju(y)j dy < 1 (1.12) E jx ; y j

DLQ L@BOGO x 2 E , u 2 Lp(E ). w SAMOM DELE, WWIDU NERAWENSTWA g 0 W PRAWOJ ^ASTI ZAWISIT TOLXKO OT f , , q, n, A  > 0 WYBRANO TAKIM, ^TOBY AR Bx SODERVAL MNOVESTWO E (NAPRIMER, MOVNO WZQTX  = 1

1

diam E ).

oCENKI (1.13) I (1.14) NEMEDLENNO WLEKUT ZA SOBOJ (1.12). pUSTX, DALEE, M | OGRANI^ENNOE PODMNOVESTWO PROSTRANSTWA Lp(). tOGDA A(M ) PREDKOMPAKTNO W C (E ). dEJSTWITELXNO, WWIDU (1.13) I (1.14) SEMEJSTWO A(M ) RAWNOMERNO OGRANI^ENO. pOKAVEM, ^TO A(M ) RAWNOSTEPENNO NEPRERYWNO. sOGLASNO NERAWENSTWU g
Z  f (x1 y) f (x2 y)  j(Au)(x1) ; (Au)(x2)j   jx ; yj ; jx ; yj  ju(y)j dy
EZ  1f (x  y) 2f (x  y) q  q  1  ; 2   dy  jx ; yj jx ; yj
ZE 1  p 2 1

1



E

ju(y)jp dy :

(1.15)

pUSTX jx1 ; x2 j < , GDE > 0 | WE]ESTWENNOE ^ISLO. tOGDA

Z  f (x1 y) f (x2 y) q  ; jx ; yj  dy  j x ; y j 2 E 1

=

 f (x  y) f (x  y) q 2 1  dy  ;    x j x ; y j j x ; y j ZE\B   f (1x1 y) f (2x2 y) q   ;   dy: x 

Z

2

+

1

E nB21

11

jx1 ; yj

jx2 ; yj

(1.16)

pRI \TOM, O^EWIDNO,

Z

 f (x  y) f (x  y) q ! q Z  f (x  y) q ! q  1  ; 2   dy   1   dy x x jx2 ; yj E \B  jx1 ; y j E \B  jx1 ; y j

Z  !q  q   f (x2 y)  dy :  +   E \B x jx2 ; y j 1

2

1

1

2

2

1

1

1

dLQ PERWOGO INTEGRALA W PRAWOJ ^ASTI POSLEDNEGO NERAWENSTWA SPRAWEDLIWA SLEDU@]AQ OCENKA

Z

 f (x  y) q Z dy  const n;q  1 q   dy  k f k C ( E  E )    q E \B x jx1 ; y j E \B x jx1 ; y j 2

1

2

1

GDE const > 0 NE ZAWISIT OT x1, x2. dLQ WTOROGO SLAGAEMOGO WWIDU WKL@^ENIQ B2x  B3x SPRAWEDLIWO ANALOGI^NOE NERAWENSTWO 1

Z

2

 f (x  y) q Z dy  const n;q  2 q   dy  k f k C (E E )   E \B x jx2 ; y j E \B x jx2 ; y jq 2

1

3

2

GDE const > 0 TAKVE NE ZAWISIT OT x1, x2. pUSTX ZADANO " > 0. w SILU SKAZANNOGO WYE NAJD 0 TAKOE, ^TO

 f (x  y) f (x  y) q " 1 2   ; dy <     jx2 ; yj 2 E \B x jx1 ; y j

Z

2

1

DLQ L@BYH x1 x2 2 E , UDOWLETWORQ@]IH SOOTNOENI@ jx1 ; x2j < . dALEE, FUNKCIQ f (x y)=jx ; yj NEPRERYWNA NA KOMPAKTE E  E nf(x y) : jx ; yj
g A ZNA^IT I RAWNOMERNO NEPRERYWNA NA N<M. tAKIM OBRAZOM, SU]ESTWUET  2 (0 ) TAKOE, ^TO

Z

 f (x  y) f (x  y) q " 1 2   ; dy <   2 E nB x jx1 ; y j jx2 ; y j 2

1

DLQ WSEH x1 x2 2 E , UDOWLETWORQ@]IH NERAWENSTWU jx1 ; x2j < . tEM SAMYM, WWIDU (1.16) POLU^IM

Z  f (x1 y) f (x2 y) q  dy < "  ;   jx2 ; yj E jx1 ; y j

DLQ WSEH x1 x2 2 E TAKIH, ^TO jx1 ; x2j < , OTKUDA SOGLASNO (1.15) BUDEM IMETX RAWNOSTEPENNU@ NEPRERYWNOSTX SEMEJSTWA A(M ). 12

pUSTX TEPERX p = 1. w \TOM SLU^AE PO USLOWI@ TEOREMY q = 1 I  < n. iNTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI (1.11), O^EWIDNO, OPREDEL
Z  f (x1 y) f (x2 y)  j(Au)(x1) ; (Au)(x2)j  kukL1 (E)  jx ; yj ; jx ; yj  dy 2 E 1

I IZ RASSUVDENIJ, PRIWED
f1(x y) u(y) dy E jx ; y j GDE 1 | NEKOTOROE WE]ESTWENNOE ^ISLO TAKOE, ^TO  < 1 I 1q < n, A f1(x y) = f (x y)jx ; yj ; 2 C (E  E ): tEOREMA 1.3.2. pUSTX p1
1, 1=q1 + 1=p1 = 1, q1
n, I PUSTX Es n PLOSKOSTX@ | SE^ENIE IZMERIMOGO OGRANI^ENNOGO MNOVESTWA E  R RAZMERNOSTI s, GDE n ; (n ; )p1 < s  n: (1.17) tOGDA INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI (1:11) SHODITSQ PO^TI DLQ WSEH x 2 Es W SMYSLE MERY lEBEGA NA Es . pRI \TOM (1:11) OPREDELQET WPOLNE NEPRERYWNYJ OPERATOR A : Lp (E ) ! Lp (Es ) DLQ L@BOGO WE]ESTWENNOGO ^ISLA p2 TAKOGO, ^TO sp1 1  p2 < p0 = (1.18) n ; (n ; )p : (Au)(x) =

1

1

1

2

1

dOKAZATELXSTWO.

I

pOLOVIM DLQ WSQKOGO " > 0

Z f0(x y) u(y) dy (A0u)(x) = E

jx ; yj

E

jx ; yj

Z f"(x y) (A"u)(x) = u(y) dy 13

GDE f0 = 0f I f" = "f  SOOTWETSTWENNO, 0 I " | HARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII MNOVESTW f(x y) : jx ; yj
"g I f(x y) : jx ; yj < "g. o^EWIDNO, POLU^IM A = A0 + A" : oTOBRAVENIE A0 : Lp (E ) ! Lp (Es) QWLQETSQ KOMPAKTNYM. dOKAVEM, ^TO A" MOVNO SDELATX SKOLX UGODNO MALYM W NORME BANAHOWA PROSTRANSTWA NEPRERYWNYH OPERATOROW IZ Lp (E ) W Lp (Es). pUSTX u 2 Lp (E ) TAKOE, ^TO kukLp (E) = 1: (1.19) 2

1

1

2

1

1

iMEEM Z "(x y)ju(y)j j(A"u)(x)j  kf kL1(EE) dy x 2 Es : (1.20) E jx ; y j rASSMOTRIM SPERWA SLU^AJ 1  p1  p2 < p0, 1 < p2. pRIMENQQ K PRAWOJ ^ASTI (1.20) NERAWENSTWO g 0 NE ZAWISIT OT x 2 E I OT FUNKCII u. pREDPOLOVIM, ^TO NAM UDALOSX \TO SDELATX DLQ NEKOTOROGO 1, UDOWLETWORQ@]EGO USLOWI@ 1 2

1 2

1

1

1 2

1

1 2

1 2

1

1 2

1 2

2

2

2

1

2

1p2 < s:

tOGDA OB_EDINQQ (1.20) I (1.21), BUDEM IMETX Z Z "(x y)ju(y)jp kA"ukLp (Es)  const ds x jx ; yj p dy

(1.23)

1

2

ZEs

E ju(y)jp1 dy

 const E s  const " ; p  1 2

14

Z "(x y) jx ; yj p ds x 1 2

Es

1 2

(1.24)

GDE ds x | \LEMENT s-MERNOGO OB_<MA SE^ENIQ Es , A const > 0 NE ZAWISQT OT u I ". pOSLEDNQQ OCENKA WYTEKAET IZ (1.19) I IZ NERAWENSTWA

Z "(x y) Z jx ; yj p ds x 

ds x  const "s; p  Es fx2Es:jx;y0j<"g jx ; y0j p GDE y0 | ORTOGONALXNAQ PROEKCIQ TO^KI y NA Es , A const > 0 NE ZAWISIT OT y I ". w SWO@ O^EREDX, (1.24) WLE^ n ; (n ; )p2: tAKIM OBRAZOM, SOGLASNO (1.17) SU]ESTWUET WE]ESTWENNOE ^ISLO 1, DLQ KOTOROGO ODNOWREMENNO WYPOLNENY (1.23) I (1.26). w SLU^AE p1 = 1, POLAGAQ W (1.22) 1 =  BUDEM, O^EWIDNO, IMETX Z Z ju(y)j
1; pp q dy = ju(y)j dy = 1: E E jx ; y j(; )q pRI \TOM SPRAWEDLIWOSTX (1.23) WYTEKAET IZ (1.18). tEM SAMYM, MOVNO PREDPOLOVITX, ^TO 1 < p1 < p2 < p0. oBOZNA^IM 2 ; 1) p3 = p1 /((1 ; p1=p2) q2) = p1p(p; p1 > 1: 2 pRIMENQQ K LEWOJ ^ASTI (1.22) NERAWENSTWO g
1 2

1 2

2

1( )

1 2

2

1

1 2

2

1 3

2

1

1

2

1 3

1

15

2 3

oTS@DA SLEDUET, ^TO ESLI NAM UDASTSQ PODOBRATX 1 TAKOE, ^TO

Z

dy dy  const < 1 E jx ; y j(; )q q 1

2 3

GDE const NE ZAWISIT OT x 2 E , TO SOGLASNO (1.19) SOOTNOENIE (1.22) TAKVE BUDET SPRAWEDLIWO. pOSLEDNQQ OCENKA NEMEDLENNO WYTEKAET IZ USLOWIQ ( ; 1)q2q3 < n: (1.28) pODSTAWLQQ W (1.28) QWNYE WYRAVENIQ DLQ q2 I q3 ^EREZ p1 I p2 1)  q2 = p p;2 1  q3 = pp1((pp2 ; 2 2 1 ; 1) PEREPIEM EGO W WIDE  > n ; (n ; )p1 : p1

1

tAKIM OBRAZOM, DLQ TOGO, ^TOBY SOOTNOENIQ (1.28) I (1.23) BYLI ODNOWREMENNO WYPOLNENY DLQ NEKOTOROGO 1 DOSTATO^NO, ^TOBY s > n ; (n ; )p1 : (1.29)

p2 p1 oSTALOSX TOLXKO ZAMETITX, ^TO (1.29) SLEDUET IZ (1.18), I TEOREMA 1.3.2 W SLU^AE 1  p1  p2 < p0, 1 < p2 POLNOSTX@ DOKAZANA. pUSTX TEPERX p1 = p2 = 1. iMEEM IZ (1.19) I (1.20) Z Z "(x y)ju(y)j kA"ukLp (Es)  max jf j ds x  dy E E j x ; y j E E Zs Z "(x y) = max jf j ju(y)j dy jx ; yj ds x E E E Es n ;   const "  2

GDE const NE ZAWISIT OT u I " (ZAMETIM, ^TO  < n PO OPREDELENI@ OPERATORA A). uSTREMLQQ W \TOM SOOTNOENII " K NUL@, WNOWX PRIHODIM K (1.25). nAKONEC, PREDPOLOVIM, ^TO p2 < p1. w \TOM SLU^AE KOMPAKTNOSTX OTOBRAVENIQ A : Lp (E ) ! Lp (Es) WYTEKAET IZ DOKAZANNOJ RANEE KOMPAKTNOSTI OTOBRAVENIQ A : Lp (E ) ! Lp (Es ) I NEPRERYWNOSTI TOVDESTWENNOGO OPERATORA I : Lp (Es) ! Lp (Es ). uPRAVNENIE 1.3.1. pO^EMU OPERATOR A0 : Lp (E ) ! Lp (Es ), WWED
2

1

1

1

2

1

16

2

dOPUSTIM, ^TO  : 0 !  | WZAIMNO ODNOZNA^NOE OTOBRAVENIE OGRANI^ENNYH OBLASTEJ 0  Rn I   Rn, n
2, PRI^<M  2 C 1(0) I  ;1 2 C 1(). oBOZNA^IM ;0 = fx = (x1 : : :  xn ) 2 0 : xs+1 = : : : = xn = 0g GDE 1  s  n | CELOE ^ISLO. mNOVESTWO ; =  (;0) BUDEM NAZYWATX POWERHNOSTX@ RAZMERNOSTI s KLASSA C 1. pUSTX E0 | IZMERIMOE PO lEBEGU PODMNOVESTWO 0, I E =  (E0). pROSTRANSTWO Lp(; \ E ), p
1, ESTESTWENNYM OBRAZOM OPREDELQETSQ, KAK PROSTRANSTWO IZMERIMYH NA ; \ E FUNKCIJ v TAKIH, ^TO

kvkLp (;\E) =


Z

\E

;

jv( )jp d;

p

1

< 1

GDE d; | \LEMENT s-MERNOGO OB_<MA POWERHNOSTI ; W TO^KE  2 ;. nESLOVNO UWIDETX, ^TO

d; (x) =  (x) ds x GDE ds x = dx1 : : : dxs - \LEMENT s-MERNOGO OB_<MA PLOSKOSTI ;0 W TO^KE x 2 ;0, A  (x) UDOWLETWORQET NERAWENSTWU c1   (x)  c2 (1.30) DLQ NEKOTORYH WE]ESTWENNYH ^ISEL c1 > 0, c2 > 0, NE ZAWIQ]IH OT x 2 ;0. w ^ASTNOSTI, v 2 Lp(; \ E ) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA v  2 Lp(;0 \ E0 ). pRI \TOM IZ (1.30) NEPOSREDSTWENNO WYTEKAET, ^TO 1

1

c1 kv  kLp(; \E )  kvkLp (;\E)  c2p kv  kLp (; \E ): pOSLEDNEE OZNA^AET, ^TO OTOBRAVENIE ; : v 7! v  QWLQETSQ TOPOLOGI^ESKIM GOMEOMORFIZMOM Lp(; \ E ) NA Lp(;0 \ E0 ). lEGKO PROWERITX, ^TO OTOBRAVENIE  : Lq (E ) ! Lq(E0), q
1, DEJSTWU@]EE PO TOMU VE PRAWILU  : v 7! v  TAKVE QWLQETSQ TOPOLOGI^ESKIM GOMEOMORFIZMOM PROSTRANSTW Lq (E ) I Lq (E0). oBOZNA^IM ^EREZ A; OPERATOR, STAWQIJ W SOOTWETSTWIE FUNKCII u 2 Lq (E ) OGRANI^ENIE NA MNOVESTWE ; \ E INTEGRALA IZ PRAWOJ ^ASTI (1.11). pOLOVIM PO OPREDELENI@ A; = ; A; ( );1. sKAZANNOE MOVNO PROILp

0

0

0

0

L@STRIROWATX S POMO]X@ KOMMUTATIWNOJ DIAGRAMMY A Lq?(E ) ;;! Lp(;?\ E ) 

?y

;

?y  ;

Lq (E0) ;;! Lp(;0 \ E0) A;0

17

0

oBLASTX OPREDELENIQ Dom A; OPERATORA A; NE PUSTA, T.K. SODERVIT, PO KRAJNEJ MERE, NULEWU@ FUNKCI@. oDNAKO DLQ PROIZWOLXNYH p I q, WOOB]E GOWORQ, Dom A; MOVET NE SOWPADATX S Lq (E ). rAZUMEETSQ, Dom A; =  (Dom A;). tEM SAMYM, Dom A; = Lq (E ) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA 0

Dom A;0 = Lq (E0).

zAPISYWAQ OPERATOR A; W QWNOM WIDE

Z f ( (x) y) (A; u)(x) = u ( ;1(y)) dy x 2 ;0 \ E0  j (x) ; yj 0

E

ZAMENOJ PEMENNYH z =  ;1(y) POLU^IM

Z f0(x z) (A; u)(x) = jx ; z j u(z ) dy x 2 ;0 \ E0 0

GDE

E0

 j det kd (z )kj j x ; z j f0(x z ) = j (x) ;  (z )j f ( (x)  (z )): tAK KAK  ;1 2 C 1(), TO MOVNO UTWERVDATX, ^TO f0 2 L1(E0  E0 ). dRUGIMI SLOWAMI, MY PRIWELI OPERATOR A; K WIDU, IZU^ENNOMU W TEOREME 1.3.2. wMESTE S TEM, OTOBRAVENIE A; : Lq (E0) ! Lp(;0 \ E0 ), O^EWIDNO, QWLQETSQ ABSOL@TNO NEPRERYWNYM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ABSOL@TNO NEPRERYWNO A; : Lq (E ) ! Lp(; \ E ). iTOG NAIM RASSUVDENIQM PODWODIT SLEDSTWIE 1.3.1, SFORMULIROWANNOE NIVE. sLEDSTWIE 1.3.1. pUSTX p1
1 1=q1 + 1=p1 = 1 q1
n I PUSTX Es SE^ENIE IZMERIMOGO OGRANI^ENNOGO MNOVESTWA E  Rn POWERHNOSTX@ 0

0

,

,

|

,

RAZMERNOSTI s KLASSA C 1. tOGDA ESLI WYPOLNENY USLOWIQ (1:17) I (1:18), TO INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA (1:11) SHODITSQ PO^TI DLQ WSEH x 2 Es W SMYSLE MERY lEBEGA NA Es . pRI \TOM (1:11) OPREDELQET WPOLNE NEPRERYWNYJ OPERATOR A : Lp (E ) ! Lp (Es ). uPRAVNENIE 1.3.2. dOKAVITE SOOTNOENIE (1.30). rEENIE. kO\FICIENT  (x) ^ISLENNO RAWEN s-MERNOMU OB_<MU PARALLELEPIPEDA, NATQNUTOGO NA WEKTORY f1 = @ (x)=@x1  : : : , fs = @ (x)=@xs  KASATELXNYE K POWERHNOSTI ; W TO^KE  (x) 2 ; 

(f1 f1) : : : (f1 fs)

  ..

   (x) = det

..  (fs f1) : : : (fs fs)

 OTKUDA, W ^ASTNOSTI, WYTEKAET NEPRERYWNOSTX FUNKCII  NA KOMPAKTE 0. 1

2

18

s DRUGOJ STORONY,  (x) NE MOVET OBRA]ATXSQ W NULX NI DLQ KAKIH x 2 0. w SAMOM DELE, IMEEM f1 = d (x) e1 : : :  fs = d (x) es  GDE d (x) | KASATELXNOE OTOBRAVENIE W TO^KE x 2 0, A e1 = (1 0 : : :  0) e2 = (0 1 : : :  0) : : : , en = (0 0 : : :  1) | KANONI^ESKIJ BAZIS W Rn. pO\TOMU, ESLI BY OB_<M PARALLELEPIPEDA NATQNUTOGO NA WEKTORY f1 : : :  fs, RAWNQLSQ NUL@, TO OTS@DA SLEDOWALO BY, ^TO WEKTORY f1 : : :  fs, LINEJNO ZAWISIMY, A ZNA^IT U OTOBRAVENIQ d (x) NETRIWIALXNOE QDRO. nO \TO PROTIWORE^IT NEWYROVDENNOSTI d (x). tAKIM OBRAZOM, inf  (x) > 0:

x20

nEPRERYWNOSTX FUNKCII  NA 0 TAKVE WLE^
1.4

pREDSTAWLENIE FUNKCIJ PO s.l. sOBOLEWU

tEOREMA 1.4.1. pUSTX 

OGRANI^ENNAQ OBLASTX, ZWZDNAQ OTNOSITELXNO ARA Bh , B h  , I PUSTX u 2 C m (), m
1. tOGDA u(x) = +

|

X

j jm;Z1

X

x

Z

Bh

' (y)u(y) dy

f(x r ) @ u(y) dy rn;m 

(1.31)

jj=m DLQ L@BOGO x 2 , GDE r = jy ; xj,  = (y ; x)=r, ' 2 C01(Bh ) I f 2 C 1(R2n+1). dOKAZATELXSTWO.

pOLOVIM

m;1 Z 1 r (x r ) = ; (m ; 1)! !h(x + t)tn;1 dt r GDE !h 2 C01(Bh ) TAKOE VE, KAK W RAZDELE 1.2. tOGDA BESKONE^NO GLADKAQ FUNKCIQ, PRI^<M  @ i (x r ) = 0 i = 0 : : :  m ; 2 r=0 @ri I  @ m;1 (x r ) = ; Z 1 ! (x + t)tn;1 dt: h r=0 @rm;1 r 19

o^EWIDNO TAKVE, ^TO (x r ) = 0 PRI DOSTATO^NO BOLXIH r. iNTEGRIRUQ PO ^ASTQM, IMEEM DLQ WSQKOGO x 2 

Z1 0

1 m;1 (x r  ) m u(x + r ) @ @ (x r ) @rm dr = (;1)m;1 @rm;1 u(x + r) r=0 Z 1 @m (x r ) + (;1)m @rm u(x + r) dr 0

OTKUDA NAHODIM u(x)

Z1 0

!h

(x + t)tm;1 dt

=

Z 1 @m (x r ) u(x + r) dr m @r 0 Z1 @ m u(x + r)

+ (;1)m;1

0

(x r )

@rm

dr:

iNTEGRIRUQ \TO RAWENSTWO PO  2 S1, W SWO@ O^EREDX, POLU^IM

Z

Z1

!h (x + t)tm;1 dt ZS Z0 1 @m (x r ) = dS1 () u(x + r) dr m @r S 0 Z Z1 m + (;1)m;1 dS1() (x r ) @ u(@rx m+ r) dr

u(x)

1

dS1()

1

S1

0

GDE dS1() | \LEMENT OB_<MA SFERY S1. dRUGIMI SLOWAMI,

Z @m (x r )  u(x +  ) d u(x) n !h (x +  )d = n @rm  n;1 R R r=j j
==j j j j Z m u(x + r )  @ d : m ; 1  + (;1) (x j j =j j)  m n;1 Z

@r w TO VE WREMQ, PO OPREDELENI@ FUNKCII !h Rn

Z

Rn

r=j j
==j j j j

!h(x +  )d = 1:

tAKIM OBRAZOM, IZ PREDYDU]EGO SOOTNOENIQ SLEDUET, ^TO u(x) = +

Z @m (x r )  u(x +  ) d  @rm r=jj
==jj j jn;1 Rn Z m u(x + r )  @ d :  (;1)m;1 (x j j =j j) m n;1 @r Rn r=j j
==j j j j

nAKONEC, SOWERAQ W PRAWOJ ^ASTI POSLEDNEJ FORMULY ZAMENU PEREMENNOJ INTEGRIROWANIQ y = x +  , POLU^IM (1.31). 20

dALEE NAM POTREBUETSQ ODNO PROSTOE, NO WESXMA POLEZNOE UTWERVDENIE. lEMMA 1.4.1. pREDPOLOVIM ^TO a < 0 < b WE]ESTWENNYE ^ISLA M MNOVESTWO S MEROJ lEBEGA  A f : (a b)  M ! R NEKOTORAQ FUNKCIQ TAKAQ ^TO Z jf (0 y)j d(y) < 1 M f (  y) ABSOL@TNO NEPRERYWNA NA (a b) PO^TI DLQ WSEH y 2 M I ,

|

|

,

,

|

,

|

Z

tOGDA INTEGRAL

 @f ( y)    d d(y) < 1: @ (a
b)M Z '() =

M

,

f ( y) d(y)

SHODITSQ DLQ L@BOGO  2 (a b), FUNKCIQ ' ABSOL@TNO NEPRERYWNA NA INTERWALE (a b), I PRI \TOM d'() = Z @f ( y) d(y) d @ M DLQ PO^TI WSEH  2 (a b). dOKAZATELXSTWO. pO FORMULE nX@TONA-lEJBNICA Z  @f ( y) f ( y) = f (0 y) + @ d  DLQ WSEH  2 (a b) I PO^TI WSEH y 2 M , OTKUDA SOGLASNO TEOREME fUBINI NAHODIM Z  Z @f ( y) '() = '(0 ) + d @ d(y) 0

0

DLQ WSEH  2 (a b).

sLEDSTWIE 1.4.1. pUSTX 

M

OGRANI^ENNAQ OBLASTX, ZWZDNAQ OTNOSITELXNO ARA Bh , B h  , I PUSTX u 2 Wpm (), m
1. tOGDA WSE OBOB]NNYE PROIZWODNYE FUNKCII u PORQDKA, NE PREWOSHODQ]EGO m ; 1, PRINADLEVAT PROSTRANSTWU Lp(), I PRI \TOM @ u(x) =

|

X

x

Z

' (y)u(y) dy

j jm;jZ j;1 X f
(x r )  + n;m+j j @ u(y ) dy r  jj=m 21

Bh

(1.32)

PO^TI WS@DU W  DLQ L@BOGO MULXTIINDEKSA  TAKOGO, ^TO jj  m ; 1, GDE r = jy ; xj,  = (y ; x)=r, ' 2 C01(Bh ) I f
2 C 1(R2n+1). nORMY PROIZWODNYH @ u, jj  m ; 1, W Lp() UDOWLETWORQ@T OCENKE X k@ ukLp ()  const kukWpm()  (1.33) j jm;1 GDE const > 0 NE ZAWISIT OT u. dOKAZATELXSTWO. pO TEOREME 1.2.1 NAJD
sOGLASNO INTEGRALXNOMU PREDSTAWLENI@ (1.31) I LEMME 1.4.1 IMEEM @ uk (x) =

X

x

Z

' (y)uk(y) dy

j jm;jZ j;1 X f
(x r )  + jj  m ; 1 (1.34) n;m+j j @ uk (y ) dy r  jj=m DLQ WSEH x 2 , k = 1 2 : : : , GDE ' 2 C01(Bh) I f
2 C 1(R2n+1) | NEKOTORYE FUNKCII. pRAWAQ ^ASTX (1.34) REALIZUET NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE PROSTRANSTWA m Wp () W Lp(). w SLU^AE n < (m ;jj)p \TO NE SLOVNO UWIDETX IZ TEOREMY 1.3.1 I ZAME^ANIQ 1.3.1, A W SLU^AE n
(m ; jj)p | IZ TEOREMY 1.3.2. tAKIM OBRAZOM, X k@ uk kLp()  const kuk kWpm()  (1.35) j jm;1 GDE const > 0 NE ZAWISIT OT uk , k = 1 2 : : : . pEREHODQ K PREDELU W (1.34) I (1.35) PRI k ! 1, NEMEDLENNO POLU^AEM (1.32) I (1.33). 1.5

Bh

tEOREMY WLOVENIQ s.l. sOBOLEWA. |KWIWALENTNYE NORMY W PROSTRANSTWAH Wpm()

nIVE MY BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO  | OGRANI^ENNAQ OBLASTX W Rn, ZW
gOWORIM, ^TO PROIZWODNAQ @ u FUNKCII u 2 Wpm () PORQDKA jj  m ; 1 IMEET SLED NA Es , ESLI INTEGRAL, STOQ]IJ W PRAWOJ ^ASTI (1.32), SHODITSQ PO^TI DLQ WSEH x 2 Es W SMYSLE MERY lEBEGA NA Es . tEOREMA 1.5.1. pUSTX 0  l  m ; 1 CELYE ^ISLA (m ; l)p  n n ; (m ; l)p < s  n I 1  q < sp=(n ; (m ; l)p): tOGDA WSE PROIZWODNYE @ u PORQDKA jj  l FUNKCII u 2 Wpm () IME@T SLED NA Es PRI^M DLQ L@BOGO MULXTIINDEKSA  TAKOGO ^TO jj  l OPERATOR A : u 7! @ ujEs WPOLNE NEPRERYWNO OTOBRAVAET PROSTRANSTWO Wpm () W Lq (Es ) dOKAZATELXSTWO. pRIMENIM TEOREMU 1.3.2 K INTEGRALXNOMU PREDSTAWLENI@ (1.32). w PREDPOLOVENIQH TEOREMY 1.5.1 SLED PROIZWODNYH @ u, jj  l, FUNKCII u 2 Wpm () NA Es MOVNO OPREDELITX SLEDU@]IM \KWIWALENTNYM SPOSOBOM. rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX uk 2 C 1(), k = 1 2 : : : , TAKU@, ^TO ku ; uk kWpm() ! 0 PRI k ! 1. sOGLASNO TEOREME 1.5.1 OGRANI^ENIQ FUNKCIJ @ u, jj  l, NA Es OBRAZU@T FUNDAMENTALXNU@ POSLEDOWATELXNOSTX W PROSTRANSTWE Lq (Es ). pREDEL \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI I BUDET SLEDOM @ u NA Es . tEOREMA 1.5.2. pUSTX 0  l  m ; 1 (m ; l)p  n I 1  q < np=(n ; (m ; l)p): tOGDA Wpm () WPOLNE NEPRERYWNO WKLADYWAETSQ W Wql () dOKAZATELXSTWO. pOLAGAEM W PREDYDU]EM UTWERVDENII s = n. sLEDSTWIE 1.5.1. pROSTRANSTWO Wpm () WPOLNE NEPRERYWNO WKLADY WAETSQ W Wpl () DLQ WSQKOGO l  m ; 1 tEOREMA 1.5.3. pUSTX (m ; l)p > n tOGDA Wpm () WPOLNE NEPRERYWNO WKLADYWAETSQ W C l () dOKAZATELXSTWO. wOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ (1.32) I TEOREMOJ 1.3.1. tEOREMA 1.5.4. pUSTX F NEPRERYWNAQ POLUNORMA NA Wpm () POLO VITELXNAQ NA WSQKOM NETRIWIALXNOM MNOGO^LENE STEPENI NE PREWOSHO DQ]EJ m ; 1 tOGDA NAJDTSQ const > 0 TAKAQ ^TO |

,

,

,

,

,

.

,

.

-

.

.

.

|

,

,

.

,

00 1 1p Z X kukWpm ()  const B @@  j@ujp dxA + F (u)C A 1

jj=m

DLQ L@BOGO u 2 Wpm (). 23

-

pREDPOLOVIM PROTIWNOE. tOGDA DLQ WSQKOGO NATURALXNOGO k DOLVNO SU]ESTWOWATX uk 2 Wpm () TAKOE, ^TO dOKAZATELXSTWO.

00 1 1p Z X  p A @ kuk kWpm() > k B @  j@ uk j dx + F (uk)C A: 1

jj=m

oBOZNA^AQ

vk = ku kuk m  k Wp

()

BUDEM, O^EWIDNO, IMETX kvk kWpm() = 1 k = 1 2 : : :  I

0Z 1p @ X j@vk jp dxA + F (vk)  1  k = 1 2 : : : : k

(1.36)

1



jj=m

(1.37)

pOSLEDOWATELXNOSTX vk , k = 1 2 : : : , OGRANI^ENA W Wpm (), PO\TOMU IZ NE< MOVNO WYDELITX PODPOSLEDOWATELXNOSTX, FUNDAMENTALXNU@ W Lp(). dLQ PROSTOTY BUDEM OBOZNA^ATX \TU PODPOSLEDOWATELXNOSTX TAKVE vk , k = 1 2 : : : . iZ (1.37) SLEDUET, ^TO \TA POSLEDOWATELXNOSTX BUDET FUNDAMENTALXNA I W Wpm (), A ZNA^IT lim kvk ; vkWpm () = 0 k!1

DLQ NEKOTOROGO v 2 Wpm (). pRI^<M @ v = 0 DLQ WSQKOGO MULXTIINDEKSA  TAKOGO, ^TO jj = m. tAKIM OBRAZOM, v | MNOGO^LEN STEPENI, NE PREWOSHODQ]EJ m ; 1. iZ (1.37) I NEPRERYWNOSTI FUNKCII F IMEEM F (u) = 0. tEM SAMYM, v = 0, I MY PRIHODIM K PROTIWORE^I@ S (1.36). pRIMER 1.5.1. pUSTX  | OBLASTX S GRANICEJ KLASSA C 1 I

Z  F (u) =  u dS   @

GDE dS | \LEMENT (n ; 1)-MERNOGO OB_<MA GRANICY @ . sOGLASNO POSLEDNEJ TEOREME, POLU^IM 8u 2 Wp1()

kukWp ()  const 1


Z

!  p Z jrujp dx +  u dS    @ 1

24

(1.38)

GDE const > 0 NE ZAWISIT OT u. o1 w SLU^AE u 2W p() FORMULA (1.38) PREWRA]AETSQ W NERAWENSTWO fRIDRIHSA

kukLp ()  const


Z

p

1



jrujp dx 

(1.39)

GDE const > 0 NE ZAWISIT OT u. zAMETIM, ^TO (1.39) SPRAWEDLIWO I BEZ KAKIH BY TO NI BYLO TREBOWANIJ, KASA@]IHSQ GLADKOSTI @ . dEJSTWITELXNO, OBLASTX  WSEGDA MOVNO POMESTITX W ARo Br DOSTATO^NO BOLXOGO RADIUSA r > 0. pRI \TOM BUDEM o1 IMETX W p() W 1p(Br ): pRIMER 1.5.2. oPREDELQQ POLUNORMU F SOOTNOENIEM

Z  F (u) =  u dx  

POLU^IM DLQ WSQKOJ FUNKCII u 2 Wp1 () NERAWENSTWO pUANKARE

kukWp ()  const


Z

1

 p Z ! jrujp dx +  u dx    1

GDE const > 0 NE ZAWISIT OT u. tEOREMA 1.5.5. pUSTX U ,! V ,! W BANAHOWY PROSTRANSTWA PRI^M WLOVENIE U ,! V KOMPAKTNO A V ,! W NEPRERYWNO tOGDA DLQ L@BOGO WE]ESTWENNOGO ^ISLA " > 0 NAJDTSQ KONSTANTA C (") > 0 TAKAQ ^TO kukV  "kukU + C (")kukW DLQ WSQKOGO u 2 U dOKAZATELXSTWO. pREDPOLOVIM PROTIWNOE. pUSTX NAJD 0 TAKOE, ^TO kuk kV > "kuk kU + kkuk kW DLQ NEKOTOROJ POSLEDOWATELXNOSTI uk 2 U , k = 1 2 : : : . oBOZNA^IM |

,

,

|

.

,

.

vk = kuukk 

k = 1 2  : : : :

k V

tOGDA DLQ WSEH k = 1 2 : : : BUDEM, O^EWIDNO, IMETX kvk kV = 1 25

(1.40)

I "kvk kU + kkvk kW < 1: (1.41) tEM SAMYM, POSLEDOWATELXNOSTX vk , k = 1 2 : : : , OGRANI^ENA W NORME PROSTRANSTWA U , I W SILU KOMPAKTNOSTI WLOVENIQ U ,! V IZ NE< MOVNO WYBRATX PODPOSLEDOWATELXNOSTX, SHODQ]U@SQ W NORME PROSTRANSTWA V K NEKOTOROMU \LEMENTU v 2 V . ~TOBY NE ZAGROMOVDATX INDEKSOW, BUDEM OBOZNA^ATX \TU PODPOSLEDOWATELXNOSTX TAKVE vk , k = 1 2 : : : . pO USLOWI@ V NEPRERYWNO WKLADYWAETSQ W W , PO\TOMU kvk ; vkW ! 0 PRI k ! 1. oDNAKO, IZ NERAWENSTWA (1.41) WYTEKAET, ^TO kvk kW ! 0 PRI k ! 1. tAKIM OBRAZOM, v = 0. pOSLEDNEE NAHODITSQ W PROTIWORE^II S (1.40). sLEDSTWIE 1.5.2. pUSTX 1  l < m. tOGDA DLQ L@BOGO " > 0 NAJDTSQ POSTOQNNAQ C (") > 0 TAKAQ, ^TO

0Z 1p
Z p X kukWpl ()  " @ j@ ujp dxA + C (") jujp dx 1



jj=m

1



DLQ WSQKOGO u 2 Wpm (). dOKAZATELXSTWO. pOLAGAEM W TEOREME 1.5.5 U = Wpm (), V = Wpl () I W = Lp(). zAME^ANIE 1.5.1. rAZUMEETSQ, TEOREMY 1.5.1 { 1.5.4, A TAKVE SLEDSTWIQ 1.5.1 I 1.5.2 OSTA@TSQ W SILE I W SLU^AE, KOGDA  QWLQETSQ OB_EDINENIEM OBLASTEJ, ZW
26

bIBLIOGRAFIQ 1] bERS l., dVON f., {EHTER m. uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. m.: mIR, 1966. 2] gELXFAND i.m., {ILOW g.e. oBOB]
27