Задача Хеймана об овалах

МАТЕМАТИКА ЗАДАЧА ХЕЙМАНА ОБ ОВАЛАХ М. Б. БАЛК, М. Я. МАЗАЛОВ Смоленский государственный педагогический институт

HAYMAN'S PROBLEM OF OVALS M. B. BALK, M. Ya. MAZALOV

This article is instructive for a mathematics teacher primarily because it shows how a considerable, far from being trivial, mathematical problem, which contains no reference to complex numbers whatsoever, can be successfully solved by intentional and purposeful use of complex numbers and complex functions. Для учителя математики данная статья поучительна прежде всего тем, что здесь рассказано, как содержательную, далеко не тривиальную задачу , в которой нет даже упоминания о комплексных числах, удается успешно решить благодаря преднамеренному и целенаправленному привлечению комплексных чисел и комплексных функций.

1. ЧТО ТАКОЕ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И ЧТО ТАКОЕ ОВАЛ В различных разделах математики и ее приложениях (в гидродинамике, электростатике, теории упругости и др.) важную роль играют так называемые полигармонические (ПГ) функции различных порядков: ПГ-функции порядка 1, или гармонические функции, ПГ-функции порядка 2, или бигармонические (БГ) функции, и др. Мы здесь будем рассматривать лишь полигармонические функции от двух переменных (x, y). Сейчас мы воспроизведем соответствующие определения. Пусть G – какая-нибудь область на декартовой координатной плоскости xOy (эту плоскость мы будем обозначать R 2); пусть u(x, y) – вещественнозначная функция двух вещественных переменных x и y, заданная в области G. Чтобы не задерживаться на существовании ее частных производных по x и y и их непрерывности, заранее договоримся рассматривать лишь такие функции u(x, y), которые имеют в области G частные производные всех порядков по переменным x и y, причем все они непрерывные функции всюду в области G. В учебниках по математическому анализу называют функцию u(x, y) гармонической в области G плоскости R 2, если она в каждой точке этой области удовлетворяет следующему уравнению (его называют уравнением Лапласа): 2 ∂u ∂u -------2- + -------2- = 0. ∂y ∂x 2

(1)

© Балк М.Б., Мазалов М.Я., 2001

Для более короткой записи этого уравнения обознача-

128

∂ ∂ ют выражение -------2 + -------2 (его называют дифференци∂x ∂y альным оператором Лапласа) одной буквой ∆; тогда уравнение (1) записывается короче так: 2

2

∆u = 0.

www.issep.rssi.ru

(1')

Читатель легко может проверить, что функции x; y; x2 − y2 являются гармоническими на всей плоскости y -2 гармонична на плоскости R 2 с R 2; функция --------------2 x +y

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 1 1 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА выколотой точкой (0, 0), а функции x2 + y2; 5x2 − 7y2; x / y не являются гармоническими ни в какой области G, расположенной на плоскости. Располагая дифференциальным оператором ∆, возможно составить новые операторы: ∆2, ∆3, …, ∆n, понимая по определению, что ∆2u = ∆(∆u), ∆3u = ∆(∆2u), … …, ∆nu = ∆(∆n − 1u). Например, 2 2 2 2 4 4 ∂u ∂ ∂u ∂u ∂u ∂u ∂ 2 ∆ u =  -------2 + -------2  -------2- + -------2- = -------4- + 2 ---------------2 + -------4- . 2  ∂x ∂y   ∂x  ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y 4

Функцию u(x, y), удовлетворяющую в каждой точке некоторой области G плоскости R 2 дифференциальному уравнению ∆2u = 0, называют бигармонической в этой области, а функцию u(x, y), удовлетворяющую (при некотором фиксированном номере n) в области G уравнению ∆nu = 0, – полигармонической порядка n (или n-гармонической) в области G. Таким образом, ПГфункции порядка 1 – это гармонические функции, ПГфункции порядка 2 – это бигармонические функции. В дальнейшем будем говорить лишь о таких функциях, которые полигармоничны (какого-нибудь порядка n) на всей плоскости (то есть полагаем G = R 2), их будем называть n-гармоническими в R 2 или целыми n-гармоническими функциями. Класс (совокупность) всех таких функций будем обозначать так: PHn(R 2). Под овалом будем в дальнейшем понимать замкнутую аналитическую кривую, не имеющую самопересечений. (Говоря подробнее, это означает следующее: найдутся периодические (с некоторым периодом T > 0) функции g(t) и h(t), − ∞ < t < +∞, аналитические при всех значениях параметра t, такие, что кривая задается парой уравнений вида x = g(t),

y = h(t),

−∞ < t < +∞,

причем равенства g(t1) = g(t2) и h(t1) = h(t2) выполняются одновременно тогда и только тогда, когда t1 и t2 отличаются друг от друга на целое число периодов T.) Например, кривая x4 + y4 = 1 является овалом, так как она может быть задана парой уравнений cos t -, x = ---------------------------------------4 4 1⁄4 ( cos t + sin t )

sin t y = ---------------------------------------4 4 1⁄4 ( cos t + sin t )

(−∞ < t < +∞; T = 2π). 2.ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, АННУЛИРУЮЩИЕСЯ НА ОВАЛАХ Пусть о некоторой ПГ-функции в R 2 порядка 1 (то есть о целой гармонической функции) известно, что она обращается в нуль на некоторой окружности (то есть в каждой точке этой окружности). Уже около двух столе-

тий известно, что в таком случае она обязана быть равной нулю тождественно (то есть в каждой точке плоскости). Обратимся теперь к целым бигармоническим функциям. Пусть такая функция u(x, y) обращается в нуль на некоторой окружности L. Обязана ли u(x, y) быть равной нулю тождественно? После небольшого размышления мы обнаружим: не обязана. Например, БГ-функция u(x, y) = (x2 + y2 − 1)x обращается в нуль на единичной окружности L = {(x, y): x2 + y2 − 1 = 0}, но не является тождественным нулем. Но как обстоит дело с целой ПГ-функцией порядка 2, обращающейся в нуль на двух окружностях? Как обстоит дело с целой ПГ-функцией порядка n, обращающейся в нуль на n различных окружностях? Ответ на этот вопрос содержится в статье, опубликованной в 1993 году У.К. Хейманом и Б. Коренблюмом. Каждая функция, полигармоническая порядка n в R 2, обращающаяся в нуль на n различных окружностях, равна нулю в R 2 тождественно. Заметим, что Хейман и Коренблюм установили более общий результат, касающийся сходного вопроса для областей в многомерных пространствах. Однако в данной статье мы не будем его обсуждать. Обратимся теперь к рассмотрению аналогичных вопросов для произвольных овалов. Если функция u(x, y) ПГ порядка n в R 2 обращается в нуль на n попарно различных овалах, то обязана ли эта функция быть тождественно равной нулю в R 2? При n = 1 ответ утвердительный: еще в первой половине XIX века было известно, что функция, гармоническая в R 2 и обращающаяся в нуль на каком-либо овале, должна быть равной нулю тождественно. Как обстоит дело при n = 2? Верно ли, что бигармоническая функция, равная нулю на двух овалах, равна нулю тождественно? Представляется правдоподобным, что ответ на этот вопрос должен, вероятно, быть положительным – неясно лишь, как это доказать… Однако вопреки ожиданиям У.К. Хейман и Б. Коренблюм установили также следующий результат. Существует на плоскости R 2 такая бесконечная последовательность овалов L1 , L2 , …, Ln , Ln + 1 , … (каждый из них (Ln) расположен внутри следующего, все они содержат внутри себя начало координат, и их расстояние от него с ростом номера n неограниченно возрастает) и существует такая функция u(x, y), бигармоническая в R 2, которая обращается в нуль во всех точках всех этих овалов, но, однако, не равна нулю тождественно (!).

БАЛК М.Б., МАЗАЛОВ М.Я. ЗАДАЧА ХЕЙМАНА ОБ ОВАЛАХ

129

МАТЕМАТИКА 3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ХЕЙМАНА ОБ ОВАЛАХ Итак, если функция u(x, y), n-гармоническая в R 2, обращается в нуль на n овалах L1 , L2 , …, Ln , то она не обязана быть равной нулю тождественно. Кроме того, если эти n овалов суть попарно различные окружности, то уже можно гарантировать, что u(x, y) равна тождественно нулю. Чем же объясняется такая особая роль окружностей? Внимательно прослеживая доказательство, данное Хейманом и Коренблюмом в случае окружностей, можно обнаружить, что оно опирается на одну специфическую особенность окружностей, а именно если какаянибудь функция, скажем U(x, y), полигармоническая в R 2, обращается в нуль на какой-нибудь окружности и если эта окружность имеет уравнение p(x, y) = 0, где p(x, y) = x2 + y2 + Ax + By + C (здесь A, B, C – какие-нибудь константы), то U = p ⋅ V, где V = V(x, y) – тоже полигармоническая функция в R 2, но более низкого порядка. Остается неясным, можно ли провести доказательство без привлечения этого свойства окружностей. Эта ситуация привела Хеймана к проблеме, которую он предложил математикам в недавно вышедшем сборнике еще не решенных математических задач (см. [1]). В случае функций, полигармонических в R 2, она допускает следующую формулировку: Задача 1. Существует или не существует для каждого n > 1 такой комплект из n овалов L1 , L2 , …, Ln , отличных от окружностей, обладающий следующим свойством: каждая целая n-гармоническая функция, аннулирующаяся на всех этих n овалах, обязана быть равной нулю тождественно? Эту задачу и будем называть в дальнейшем задачей Хеймана об n овалах. Задача 1 может быть сформулирована короче, если воспользоваться термином “множество единственности”. Множество E точек плоскости называют множеством единственности для класса функций PHn(R 2), если из совпадения двух функций f1 и f2 из этого класса на множестве E вытекает их совпадение всюду на всей плоскости R 2. Полагая h(x, y) = f2(x, y) − f1(x, y), видим, что множество E тогда и только тогда является множеством единственности для класса PHn(R 2), когда каждая функция h(x, y) из этого класса, обращающаяся в нуль на множестве E, обязана быть тождественным нулем. Теперь задача 1 допускает следующую переформулировку. Существует или не существует для каждого натурального n такой комплект из n овалов, отличных от

130

окружностей, который служит множеством единственности для класса функций PHn(R 2)? В формулировке задачи 1 не исключается, что некоторые из этих n овалов или даже все совпадают. В последнем случае задача Хеймана приобретает следующий вид. Задача 2. Существует или не существует для каждого номера n такой овал Ln на плоскости R 2, что каждая n-гармоническая в R 2 функция, аннулирующаяся на этом овале, равна нулю в R 2 тождественно? Недавно авторам данной статьи удалось решить задачи 1 и 2. Ниже даем читателю представление о способе их решения. 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ ПОРЯДКА n Чтобы кратко сформулировать полученные нами ответы к задачам 1 и 2, воспользуемся несколькими терминами. Пусть p0(x, y) – однородный многочлен с вещественными коэффициентами от двух вещественных переменных. Его называют эллиптическим, если он обращается в нуль только в точке (0, 0). Можно показать, что его точная степень degp0 относительно пары переменных x, y – обязательно четное число. Число m = (degp0)/2 будем называть порядком эллиптичности этого многочлена, а сам многочлен – m-эллиптическим. Любой вещественнозначный многочлен p(x, y) будем называть m-эллиптическим, если таковым является его старшая часть p0(x, y) (то есть сумма членов старшей степени многочлена p(x, y)). Рассмотрим кольцо R[x, y] всевозможных вещественнозначных многочленов. Пусть p(x, y) – какой-нибудь многочлен (необязательно эллиптический) из этого кольца. Назовем его порождающим, если: 1) либо p(x, y) неприводим в кольце R[x, y] и имеет неизолированную нуль-точку; 2) либо p(x, y) может быть представлен в виде произведения нескольких попарно взаимно простых многочленов из кольца R[x, y], каждый из которых обладает обоими указанными в разделе 1 свойствами. Например, многочлены 2x2 + 3y2 − 1 и (x2 + y2 − 1) × × (2x2 + 3y2 − 1)y являются порождающими, а многочлены x2 + y2 и (x2 + y2 − 1)3 нет. Кривую L на плоскости R 2, которая может быть задана уравнением вида p(x, y) = 0, где p(x, y) – многочлен, одновременно порождающий и m-эллиптический, условимся называть m-эллиптической кривой. Таковыми, например, будут объединение m попарно различных эллипсов; кривая, задаваемая уравнением x2m + y2m − 1 = 0.

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 1 1 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА 5. ОТВЕТ К ЗАДАЧЕ ОБ ОВАЛАХ

a) F(z) представима в виде

Основной установленный авторами результат таков. Теорема 1. Пусть L – произвольная n-эллиптическая кривая. Тогда каждая функция, n-гармоническая в R 2 и обращающаяся в нуль на кривой L, равна нулю в R 2 тождественно. Иначе говоря, каждая n-эллиптическая кривая является множеством единственности для класса функций PHn(R 2). Или по-другому: каждая n-гармоническая функция в R 2 однозначно определяется своими значениями на кривой L. Возьмем в качестве кривой L объединение n попарно различных эллипсов. Как мы уже отметили выше, это объединение является n-эллиптической кривой в R 2. Следовательно, каждая n-гармоническая в R 2 функция, аннулирующаяся на n попарно различных эллипсах, равна нулю тождественно. Тем самым установлено, что ответ к задаче 1 положительный. Выберем произвольно натуральное число n и возьмем в качестве кривой L линию, задаваемую уравнением x2n + y2n = 1.

F(z) = f 0(z) + z f 1(z) + … + z

n–1

f n – 1 ( z ),

где f0(z), f1(z), …, fn − 1(z) – какие-то целые аналитические функции, az = x – iy; b) u(x, y) = ReF(z). IV. (Принцип аргумента). Пусть f(z) – целая аналитическая функция, а γ – какая-нибудь окружность, на которой нет ни одного корня функции f(z). Пусть внутри окружности γ содержится всего m корней функции f(z) (каждый корень учитывается столько раз, какова его кратность). Пусть точка z обходит окружность γ один раз в положительном направлении. Тогда соответствующая точка w = f(z) опишет некоторую замкнутую кривую, причем, двигаясь по этой кривой, точка w = f(z) совершит m полных оборотов вокруг точки w = 0. V. (Теорема Руше). Если две целые аналитические функции f (z) и g(z) удовлетворяют в каждой точке z некоторой окружности γ строгому неравенству | f(z)| > > | g(z) |, то функции f (z) и f (z) + g(z) имеют внутри окружности γ одинаковое число корней (при этом каждый корень учитывается столько раз, какова его кратность).

(2)

Мы уже отметили выше, что она является n-эллиптической кривой. Следовательно, если n-гармоническая в R 2 функция аннулируется на кривой (2), то она обязана быть равной нулю тождественно. Видим, что ответ к задаче 2 тоже положительный. 6. В БОЙ ВСТУПАЮТ КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ Доказательство теоремы 1 использует несколько фактов о функциях комплексного переменного, которые можно найти в распространенных учебниках. Приведем эти факты. I. Функция f(z) = u(x, y) + iυ(x, y) (здесь z = x + iy) называется целой аналитической функцией, если она имеет производную по переменному z = x + iy в каждой точке комплексной плоскости. II. Понятие кратности корня такой функции вводится примерно так же, как и для многочлена: число c называется корнем кратности k функции f(z), если f(z) представима в виде a) f(z) = (z − c)kg(z), где g(z) – тоже целая аналитическая функция, причем g(c) ­ 0. III. Для каждой целой n-гармонической функции u(x, y) существует такая функция F(z), которая обладает следующими двумя свойствами:

7. ИДЕЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ 1 Чтобы не задерживать внимание читателя на второстепенных деталях и выкладках, ограничимся случаем, когда u(x, y) – бигармоническая функция (то есть когда n = 2), и притом многочлен. В таком случае кривая L (о которой говорится в теореме 1) является эллиптической кривой порядка 2, то есть задается уравнением p(x, y) = 0, где p(x, y) – порождающий многочлен точной степени 4 относительно пары переменных x, y. Допустим, что БГ-функция u(x, y) не есть тождественный нуль. Из того, что u(x, y) обращается в нуль в каждой точке кривой p(x, y) = 0, следует, что u(x, y) ≡ p(x, y)q(x, y),

(3)

где q(x, y) – некоторый многочлен. Пусть k – его точная степень относительно пары переменных x, y. Обозначим через p4(x, y), qk(x, y), uk + 4(x, y) старшие части многочленов p, q, u, получим из (3) uk + 4(x, y) ≡ p4(x, y)qk(x, y).

(4)

Перейдем от вещественных переменных x, y к сопряженным комплексным переменным z, z по формулам z = x + iy, z = x – iy, то есть z+z x = ----------- , 2

z–z y = ----------; 2i

получим из (4) тождество вида

БАЛК М.Б., МАЗАЛОВ М.Я. ЗАДАЧА ХЕЙМАНА ОБ ОВАЛАХ

131

МАТЕМАТИКА U k + 1 ( z, z ) = P 4 ( z, z )Q k ( z, z ),

(5)

где каждый из трех многочленов P4 , Qk , Uk + 4 в (5) – однородный относительно пары переменных z, z (соответственно точной степени 4, k и k + 4). Теперь учтем, что в каждой точке z единичной окружности γ (γ = {z: |z| = 1}) справедливо равенство 1 z = --, поэтому равенство z 1 1 1 U k + 4  z, -- = P 4  z, -- Q k  z, --  z  z  z

(6)

для рациональных функций тоже справедливо на единичной окружности, а следовательно, для всех комплексных чисел z (кроме числа z = 0). Выясним, сколько корней на единичной окружности γ имеют рациональные функции, записанные в правой и левой частях тождества (6). Так как многочлен p4(x, y) однородный и эллиптический, то он вовсе не имеет корней на γ. Понятно, что то же верно и для функции P4(z, 1/z) (ибо на γ она совпадает с p4(x, y)). Рациональная функция Qk(z, 1/z), являющаяся относительно пары переменных z и 1/z однородным многочленом степени k, не может, очевидно, иметь больше 2k комплексных корней, поэтому она подавно не может иметь больше 2k корней на γ. Следовательно, рациональная функция, записанная в правой части тождества (6), имеет на окружности γ не больше 2k корней. К тому же БГ-многочлен u(x, y) можно представить в виде u ( x, y ) ≡ Re [ f 0 ( z ) + f 1 ( z )z ] ,

(7)

где f0 и f1 – многочлены. Приравняв старшие части выражений, стоящих в левой и правой частях этого тождества, убедимся, что однородный многочлен uk + 4(x, y) может быть представлен в виде u k + 4 ( x, y ) = Re F k + 4 ( z, z ), где F k + 4 ( z, z ) имеет вид F k + 4 ( z, z ) = Az (здесь A и B – какие-то числа). На единичной окружности γ имеем 1 z = --, z

(8) k+4

+ Bz

1 k+4 k+2 k+2 + Bz = z H ( z ), F k + 4  z, -- = Az  z

k+3

z

(9)

где H(z) – некоторый многочлен. Зафиксируем сначала свое внимание на том случае, когда H(z) не обращается в нуль ни в одной точке единичной окружности γ. Как видно из (9), многочлен

132

Fk + 4(z, 1/z) имеет внутри γ, в точке z = 0 корень кратности не ниже k + 2. Таким образом, общее число корней многочлена Fk + 4(z, 1/z) внутри γ (с учетом их кратностей) не меньше k + 2. Поэтому (в силу принципа аргумента, см. IV), когда точка z опишет окружность γ один раз в положительном направлении (против движения часовой стрелки), соответствующая ей точка w = Fk + 4(z, 1/z) опишет некоторую замкнутую линию γ' и, двигаясь по ней, совершит не менее k + 2 полных оборота вокруг начала координат. Но в таком случае кривая γ' пересечет мнимую ось не меньше чем в 2(k + 2) точках, то есть не меньше чем при 2k + 4 различных значениях переменного z; при этих значениях z будет ReFk + 4(z, 1/z) = 0. Но всюду на единичной окружности γ имеем равенство 1 U k + 4  z, -- = U k + 4 ( z, z ) = u k + 4 ( x, y ) = Re F k + 4 ( z, z ) =  z 1 = Re F k + 4  z, -- .  z Видим, что функция Uk + 4(z, 1/z) (то есть левая часть тождества (6)) имеет на единичной окружности не меньше 2k + 4 корней. Этот вывод мы получили в предположении, что H(z) не имеет ни одного корня на окружности γ. Но если это не так, то наш вывод все равно остается в силе. В самом деле, пусть H(z) имеет корень (хотя бы один) на γ. Тогда рассмотрим вспомогательную функцию вида Φ(z) = F(z, 1/z) − id, где d – некоторое положительное число. Оказывается, что число d возможно выбрать так, чтобы функция Φ(z): (a) имела не меньше k + 2 корней внутри γ; (б) не имела ни одного корня на γ (доказать это можно с помощью принципа аргумента и теоремы Руше). 1 1 Но U k + 4  z, -- = Re F k + 4  z, -- = Re Φ ( z ).  z  z Следовательно, и в этом случае Uk + 4(z, 1/z) имеет не менее 2(k + 2) корней на γ. Итак, мы пришли к двум противоречащим друг другу выводам, касающимся тождества (6). Это означает, что наше исходное допущение ошибочно. Следовательно, u(x, y) ≡ 0. Сходными, но существенно более громоздкими рассуждениями возможно доказать теорему 1 и в общем случае. Замечание 1. Пусть L – какой-нибудь эллиптический овал порядка 2 (например, кривая x4 + y4 = 1) и пусть D – ограниченная им область. В теории дифференциальных уравнений известно, что существует бесконечно много функций, которые бигармоничны в

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 1 1 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА области D, непрерывны в D ∪ L и обращаются в нуль всюду на овале L. Как следует из теоремы 1, только одна из этих функций может быть доопределена вне овала L так, чтобы оказаться бигармонической на всей плоскости R 2, – это функция u(x, y) ≡ 0. Замечание 2. Известно, что если целая БГ-функция u(x, y) обращается в нуль на какой-либо линии γ, являющейся окружностью, и еще на какой-нибудь аналитической замкнутой кривой, то u(x, y) ≡ 0. Однако аналогичное утверждение может оказаться ошибочным в случае, когда γ есть эллипс. Примером может служить бигармоническая функция u ( x, y ) = ( 5x + y – 10 ) × 2

2

323 1445 3 2 2 2 ×  6x – 26y x – 18x + 36y + --------- x – ------------ .  18 243 

ЛИТЕРАТУРА 1. Балк М.Б., Мазалов М.Я. Решение проблемы Хеймана на плоскости: Полианалитические функции: Граничные свойства и краевые задачи. Смоленск: Смоленский гос. пед. институт, 1997. С. 3–12.

Рецензент статьи Ю.П. Соловьев *** Марк Бенеевич Балк, доктор физико-математических наук, профессор, преподавал в Смоленском государственном педагогическом университете, в данное время живет в США. Максим Яковлевич Мазалов, кандидат физико-математических наук, и.о. профессора кафедры математики и физики Смоленского военного университета. Область научных интересов – граничные свойства, теория приближения.

БАЛК М.Б., МАЗАЛОВ М.Я. ЗАДАЧА ХЕЙМАНА ОБ ОВАЛАХ

133