М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те...
78 downloads
237 Views
148KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те т Ф и зи че ски й фа культе т Ка фе др а р а ди о фи зи ки
А лгори т м ы об н а руж ен и я си гн а лов с н еи звест н ы м и п а ра м ет ра м и М е то ди че ски е ука за ни я по кур са м “О пти ма льные ме то дыр а зли че ни я си гна ло в”, “Ста ти сти че ска я те о р и я р а зли че ни я си гна ло в и о це нки и хпа р а ме тр о в” д л я сту д е нто в 5 к у рса спе циал ьно сти 013800 “ Р ад ио физик а и эл е к тро ник а”и магистро в 6 к у рса направ л е ния 511500 “ Р ад ио физик а” Со ста ви л: до ц. Бе спа ло ва М .Б.
В о р о не ж 2002 г.
2
В веден и е В на сто яще е вр е мя счи та е тся о б щ е пр и зна нным, что в ста ти сти че ско й те о р и и связи сло ж и ли сь и и нте нси вно р а зви ва ю тся два о тно си те льно са мо сто яте льных на пр а вле ни я: р а зли че ни е си гна ло в на фо не по ме х, вклю ча ю щ е е ка к ча стные случа и за да чи о б на р уж е ни я си гна ло в, а та кж е фи льтр а ци я си гна ло в и з по ме х, вклю ча ю ща я о це ни ва ни е не и зме няю щ и хся во вр е ме ни па р а ме тр о в эти х си гна ло в. В ка ж до м и з эти х на пр а вле ни й р а зр а б о та ны ме то ды ка к си нте за со о тве тствую щ и х пр а ви л выб о р а р е ше ни й (а лго р и тмо в), та к и а на ли за ка че ства по луча е мых с и х по мо щ ью ста ти сти че ски х р е ше ни й. В по сле дни е 10 - 15 ле т по яви ло сь мно го р а б о т в о сно вно м в пе р и о ди че ски х и зда ни ях, в ко то р ых р а ссма тр и ва ю тся за да чи , не укла дыва ю щ и е ся в р а мки ука за нных двух на пр а вле ни й. О со б е нно стьи х со сто и тв то м, что на о сно ве о дни х и те х ж е р е зульта то в на б лю де ни й не о б хо ди мо со вме стно выне сти два р е ше ни я ука за ть о ди н и з во змо ж ных си гна ло в на б лю де ни я и о це ни ть е го па р а ме тр ы. М о ж но счи та ть, что со во купно сть р е зульта то в р е ше ни я та ки х за да ч со ста вляе т со де р ж а ни е но во го на пр а вле ни я ста ти сти че ско й те о р и и связи , по лучи вше го на зва ни е со вме стно е р а зли че ни е си гна ло в и о це ни ва ни е и х па р а ме тр о в. Это на пр а вле ни е вклю ча е тме то дыка к си нте за а лго р и тма со вме стно го р а зли че ни я – о це ни ва ни я, та к и а на ли за ка че ства по луча е мых со вме стных р е ше ни й. Ко не чно , и ме е тся глуб о ка я а на ло ги я ме ж ду ме то да ми р е ше ни я за да ч, о тно сящи хся к тр е м ука за нным на учным на пр а вле ни ям; о дна ко е сть и сущ е стве нные о со б е нно сти , ко то р ые пр и ве ли к то му, что до си х по р за да чи р а зли че ни я си гна ло в на фо не по ме х и о це ни ва ни я па р а ме тр о в р е ша ли сьр а зде льно . В ле кци о нных кур са х в си сте ма ти зи р о ва нно м ви де и зла га ю тся ме то ды р е ше ни я за да ч со вме стно го р а зли че ни я си гна ло в и о це ни ва ни я и х па р а ме тр о в на фо не по ме х. Ра ссма тр и ва ю тся ка к ста ти сти че ски й си нте з а лго р и тмо в р а зли че ни я – о це ни ва ни я, та к и а на ли з ка че ства ста ти сти че ски х р е ше ни й, фо р ми р уе мых та ки ми а лго р и тма ми . О сно вно е вни ма ни е уде ле но пр и е му ква зи де те р ми ни р о ва нных си гна ло в c по сто янными на ко не чно м и нте р ва ле вр е ме ни зна че ни ями па р а ме тр о в на фо не га уссо вско й по ме хи .
1.
О п т и м а льн ы е а лгори т м ы об н а руж ен и я
1.1. П о ста но вка за да чи . П устьна и нте р ва ле вр е ме ни [0, T ] до ступна на б лю де ни ю р е а ли за ци я случа йно го пр о це сса x (t ) , ко то р а я мо ж е т б ыть то лько шумо м (по ме хо й) n (t ) и ли ко мб и на ци е й сто ха сти че ско го си гна ла s (t ) и шума n(t ) . По на б лю да е мо й р е а ли за ци и x (t ) не о б хо ди мо выне сти
3
р е ше ни е о на ли чи и и ли о тсутстви и р е а ли за ци и сто ха сти че ско го си гна ла s (t ) в на б лю да е мых да нных. Ре ше ни е о на ли чи и и ли о тсутстви и си гна ла выно си тся в р е зульта те о б р а б о тки р е а ли за ци и на б лю да е мых да нных в со о тве тстви и с не ко то р ым а лго р и тмо м о б на р уж е ни я. Е сте стве нно , ж е ла те льно си нте зи р о ва ть а лго р и тм о б на р уж е ни я, о пти ма льный в смысле не ко то р о го кр и те р и я. За да чу о б на р уж е ни я си гна ла на фо не шума удо б но сфо р мули р о ва ть в те р ми на х пр о ве р ки ста ти сти че ски х ги по те з в си лу случа йно го ха р а кте р а на б лю да е мых да нных, си гна ла и шума . Т а к, по дле ж и тпр о ве р ке ги по те за H 0 : x (t ) = n (t ) (1.1) пр о ти в а льте р на ти вы H 1 : x (t ) = n (t ) ⊕ s (t ) . (1.2) Си мво л ⊕ о зна ча е т пр о и зво льную ко мб и на ци ю си гна ла и шума . Т е пе р ь си нте з а лго р и тма о б на р уж е ни я сво ди тся к о тыска ни ю пр а ви ла выб о р а р е ше ни я по на б лю да е мым да нным x (t ) в по льзу о дно й и з ги по те з H 0 и ли H 1 . В о спо льзуе мся в на ча ле ди скр е тным пр е дста вле ни е м на б лю да е мо го пр о це сса x (t ) , о б о зна чи в x = x(t1 )... x (tn ) - n - ме р на я выб о р ка в мо ме нты вр е ме ни tk ∈ T , где k =1,n , а T - и нте р ва л на б лю де ни я. По ла га е м, что выб о р ка x ∈ X , X - n - ме р но е выб о р о чно е пр о стр а нство на б лю да е мых да нных. Л ю б о й не р а ндо ме зи р о ва нный а лго р и тм о б на р уж е ни я пр и фи кси р о ва нно м и нте р ва ле на б лю де ни я выно си т о дно и з двух во змо ж ных р е ше ни й – ве р на ги по те за H 0 (1.1) и ли а льте р на ти ва H 1 (1.2). Сле до ва те льно , си нте з а лго р и тма о б на р уж е ни я сво ди тся к р а зб и е ни ю выб о р о чно го пр о стр а нства X на две не пе р е се ка ю щи е ся по до б ла сти X 0 и X 1 , та ки е , что X 0 ∪ X1 = X . (1.3) За те м, е сли x∈ X 0 ,
то пр и ни ма е тся р е ше ни е в по льзу ги по те зы H 0 (1.1), а е сли x∈ X 1 - то р е ше ни е в по льзу а льте р на ти вы H 1 (1.2). П р и си нте зе о пти ма льно го а лго р и тма о б на р уж е ни я р а зб и е ни е выб о р о чно го пр о стр а нства X на по до б ла сти X 0 и X 1 пр о и зво ди тся в со о тве тстви и с выб р а нным кр и те р и е м
о пти ма льно сти . 1.2. П р о ве р ка пр о стых ги по те з. П усть и ме е тся по лна я а пр и о р на я и нфо р ма ци я о си гна ле и шуме , т.е . за да но по лно е в ста ти сти че ско м смысле о пи са ни е на б лю да е мых да нных пр и о б е и х ги по те за х и и зве стны а пр и о р ные ве р о ятно сти Pi ка ж до й и з ги по те з H i , i = 0,1. В это м случа е мо ж но и спо льзо ва тькр и те р и й ми ни мума ср е дне го р и ска (б а йе со вски й
4
кр и те р и й) о пти ма льно сти о б на р уж е ни я. О пти ма льно е б а йе со вско е пр а ви ло о б на р уж е ни я о сно выва е тся на ми ни ми за ци и ср е дне го р и ска [1]
∑ P П ∫ W (x H )dx. (i , k = 0,1 ) - ма тр и ца по те р ь, а W (x H ) 1
R=
i ,k = 0
i
ik
i
(1.4)
Xk
- усло вна я пло тно сть Зде сь П ik , i ве р о ятно сти (функци я пр а вдо по до б и я) выб о р ки на б лю да е мых да нных в пр е дпо ло ж е ни и , что ве р на ги по те за H i . П о ло ж и м, ка к это о б ычно де ла е тся, что по те р и не о тр и ца те льны П ik ≥ 0 (1.5) и что не пр а ви льным р е ше ни ям со о тве тствую т по те р и б о льши е , че м пр а ви льным (1.6) П 00 < П 01 , П 11 < П 10 . У чи тыва я, что в си лу усло ви я но р ми р о вки
∫ W (x H ) dx = 1 i
X
и , и спо льзуя (1.3), мо ж е м за пи са ть
∫ W (x H ) dx = 1 − ∫ W (x H )dx , i
X1
i
(1.7)
X0
i = 0,1. П о дста вляя (1.7) в (1.4), пе р е пи ше м ср е дни й р и ск в ви де R = P0 П 01 + P1 П 11 +
∫ [P (П 1
10
− П 11 )W (x H 1 ) − P0 (П 01 − П 00 )W (x H 0 )]dx . (1.8)
X0
О тме ти м, что в си лу (1.5) и (1.6) пе р вые два сла га е мые в пр а во й ча сти (1.8) и мно ж и те ли пр и усло вных пло тно стях ве р о ятно сти по д зна ко м и нте гр а ла не о тр и ца те льны. О б о зна чи м X 0* - по до б ла сть выб о р о чно го пр о стр а нства X , для ко то р о й P1 (П 10 − П 11 )W (x H 1 ) − P0 (П 01 − П 00 )W (x H 0 ) < 0 , (1.9) а X 1* - по до б ла стьвыб о р о чно го пр о стр а нства X , для ко то р о й P1 (П 10 − П 11 )W (x H 1 ) − P0 (П 01 − П 00 )W (x H 0 ) > 0 . (1.10) Т а ки м о б р а зо м, к X 0* о тне се ны все то чки x∈ X , для ко то р ых по дынте гр а льно е выр а ж е ни е в (1.8) о тр и ца те льно . В р е зульта те р а зб и е ни е выб о р о чно го пр о стр а нства на по до б ла сти X 0* и X 1* , со гла сно (1.9) и (1.10), о б е спе чи ва е т ми ни мум ср е дне го р и ска (1.4). Ба йе со вски й а лго р и тм о б на р уж е ни я мо ж но пе р е пи са ть в б о ле е удо б но й для да льне йше го и спо льзо ва ни я фо р ме , вво дя в р а ссмо тр е ни е о тно ше ни е пр а вдо по до б и я [1,2] l [x ] = W (x H 1 ) / W (x H 0 ). (1.11) Т о гда р е ше ни е о на ли чи и си гна ла б уде тпр и ни ма ться, е сли (1.12) l [x ] > c * , где c * = P0 (П 01 − П 00 ) / P (П 10 − П 11 ).
5
О че ви дно , что на йти стр уктур у б а йе со вско го о б на р уж и те ля (1.12) по ср е дство м ми ни ми за ци и (1.4) мо ж но ли шь пр и на ли чи и до во льно б о льшо го чи сла а пр и о р ных све де ни й. Д о лж ны б ыть за да ны ма тр и ца по те р ь, а пр и о р ные ве р о ятно сти на ли чи я и о тсутстви я си гна ла и шума и спо со б и х ко мб и на ци и , о пр е де ляю щи е функци ю и ли о тно ше ни е пр а вдо по до б и я. П о это му в за да ча х о б на р уж е ни я на хо дят пр и ме не ни е кр и те р и и о пти ма льно сти , о тли чные о тб а йе со вско го . Т а к, пр и не и зве стных а пр и о р ных ве р о ятно стях на ли чи я и о тсутстви я си гна ла мо ж е т б ыть и спо льзо ва н ми ни ма ксный кр и те р и й. М и ни ма ксный а лго р и тм о б на р уж е ни я пр е дста вляе т со б о й ча стный случа й б а йе со вско го а лго р и тма для на и ме не е пр е дпо чти те льных зна че ни й а пр и о р ных ве р о ятно сте й P0* и P1* , пр и ко то р ых б а йе со вски й (ми ни ма льный) ср е дни й р и ск R ( P0* , P1* )≥ R ( P0 , P1 ) пр и лю б ых P0 + P1 = 1 . О тме ти м, что ми ни ма ксный по дхо д мо ж е т б ыть и спо льзо ва н и пр и др уги х фо р ма х а пр и о р но й не о пр е де ле нно сти . Ко гда и зве стны а пр и о р ные ве р о ятно сти P0 и P1 , но не и зве стна ма тр и ца по те р ь, мо ж е тб ыть и спо льзо ва н кр и те р и й ма кси мума а по сте р и о р но й ве р о ятно сти . В со о тве тстви и с эти м кр и те р и е м р е ше ни е выно си тся в по льзу ги по те зы, ко то р а я о б ла да е т ма кси ма льно й а по сте р и о р но й ве р о ятно стью P[H i x ] = Pi W (x H i )[P0 W (x H 0 ) + P1W (x H 1 )] , i = 0,1. −1
Кр о ме пе р е чи сле нных кр и те р и е в о б на р уж е ни я ши р о ко е пр и ме не ни е на хо ди т кр и те р и й Н е йма на - П и р со на [1,2]. Д ля это го кр и те р и я фи кси р уе тся ве р о ятно стьло ж но й тр е во ги (1.13) α = ∫ W (x H 0 )dx X1
и ми ни ми зи р уе тся ве р о ятно стьпр о пуска си гна ла β = ∫ W (x H 1 )dx.
(1.14)
X0
Кр и те р и й Н е йма на - П и р со на не тр е б уе тзна ни я а пр и о р ныхве р о ятно сте й на ли чи я и о тсутстви я си гна ла , а та кж е ма тр и цыпо те р ь. В се а лго р и тмы о б на р уж е ни я, о пти ма льные в смысле пе р е чи сле нных кр и те р и е в, сво дятся к вычи сле ни ю о тно ше ни я пр а вдо по до б и я (1.11) по выб о р ке на б лю да е мыхда нных и по сле дую ще му ср а вне ни ю е го с по р о го м, а на ло ги чно (1.12). Д ля кр и те р и я ма кси мума а по сте р и о р но й ве р о ятно сти по р о г р а ве н о тно ше ни ю а пр и о р ных ве р о ятно сте й P0 / P1 , а для кр и те р и я Н е йма на - П и р со на по р о г cα выб и р а е тся и з усло ви я о б е спе че ни я тр е б уе мо го зна че ни я ве р о ятно сти ло ж но й тр е во ги (1.13). Т а ки м о б р а зо м, си нте з о б на р уж и те ля, о пти ма льно го в смысле лю б о го и з упо мянутых кр и те р и е в, тр е б уе т, ка к ми ни мум, на ли чи я а пр и о р ных да нных, по зво ляю щи хпо стр о и тьфункци и пр а вдо по до б и я W (x H 1 ) и W (x H 0 ) и ли о тно ше ни е пр а вдо по до б и я (1.11) . Бо ле е по др о б ный о б зо р пр и ве де нных зде сьи др уги х кр и те р и е в о пти ма льно сти о б на р уж е ни я мо ж но на йти в [1,2,4] .
6
Ра не е пр е дпо ла га ло сь, что о б р а б а тыва е тся ди скр е тна я выб о р ка x и з р е а ли за ци и а на ло го во го случа йно го пр о це сса x (t ) . Это по зво ляе т ли шь пр и б ли ж е нно пр е дста ви ть случа йный пр о це сс. Е сли ж е для о б на р уж е ни я и спо льзуе тся р е а ли за ци я x (t ) (а не ди скр е тна я выб о р ка x ), то с по р о го м ср а вни ва е тся функци о на л о тно ше ни я пр а вдо по до б и я (Ф О П ) [1,2,4] l = l [x (t )] = lim l [x ] n→∞
max t i +1 − t i → 0
Ч а сто о ка зыва е тся б о ле е удо б ным и спо льзо ва тьло га р и фм Ф О П ср а вни ва я е го с по р о го м кр и те р и е м о пти ма льно сти .
L = ln l [x (t )] , c = ln C , где
C
(1.15) о пр е де ляе тся выб р а нным
1.3. П р о ве р ка сло ж ных ги по те з. За да ча о б на р уж е ни я сто ха сти че ско го си гна ла , все ста ти сти че ски е ха р а кте р и сти ки ко то р о го а пр и о р и и зве стны, встр е ча е тся ве сьма р е дко . Ре а льные усло ви я пр и е ма си гна ла на фо не шума , ка к пр а ви ло , пр и во дят к не о б хо ди мо сти р е ше ни я за да чи о б на р уж е ни я в усло ви ях а пр и о р но й не о пр е де ле нно сти . А пр и о р на я не о пр е де ле нно сть о тно си те льно си гна ла и шума мо ж е ти ме ть р а зли чную фо р му. Со о тве тстве нно , ве сьма р а зно о б р а зным о ка зыва ю тся ме то ды пр е о до ле ни я а пр и о р но й не о пр е де ле нно сти [1,2,4] . Ра ссмо тр и м случа й па р а ме тр и че ско й а пр и о р но й не о пр е де ле нно сти о тно си те льно о б на р уж и ва е мо го сто ха сти че ско го си гна ла . П о ло ж и м, что по лно е ста ти сти че ско е о пи са ни е си гна ла и зве стно с то чно стью до не и зве стных па р а ме тр о в θ = θ 1 ⋅ ⋅ ⋅θ m , по сто янных в те че ни е и нте р ва ла на б лю де ни я [0, T ] и р а спр е де ле нных с пло тно стью ве р о ятно сти W (θ H 1 ) в о б ла сти θ ∈Θ . П р и и зве стно й а пр и о р но й пло тно сти ве р о ятно сти W (θ H 1 ) не и зве стных па р а ме тр о в сто ха сти че ско го си гна ла и спо льзуе м кла сси че ски й б а йе со вски й по дхо д. То гда не тр удно на йти а лго р и тм о б на р уж е ни я, о пти ма льный в смысле ка ко го ли б о и з р а ссмо тр е нных в пункте 1.2 кр и те р и е в. Д е йстви те льно , за пи са в ср е дни й р и ск пр и не и зве стных случа йных па р а ме тр а х сто ха сти че ско го си гна ла , о пять пр и хо ди м к фо р муле (1.4), куда на до по дста ви тьфункци ю пр а вдо по до б и я (1.16) W (x H 1 ) = ∫ W (x θ , H 1 )W (θ H 1 )dθ . Θ
Зде сь W (x θ , H 1 ) - усло вна я пло тно сть ве р о ятно сти выб о р ки в пр е дпо ло ж е ни и , что си гна л пр и сутствуе т и е го не и зве стные па р а ме тр ы пр и няли зна че ни е θ . Та ки м о б р а зо м, уср е дне ни е в (1.16) и склю ча е т случа йные па р а ме тр ы и де ла е т ги по те зу H 1 пр о сто й. По вто р яя да ле е выкла дки п.1.2, по луча е м, что о пти ма льный о б на р уж и те ль сто ха сти че ско го си гна ла до лж е н вме сто (1.15) выр а б а тыва ть ло га р и фм уср е дне нно го Ф О П
7
L = ln ∫ exp [L(θ )]W (θ H 1 )dθ
(1.17)
Θ
и ср а вни ва тье го с по р о го м c . Зде сь
L(θ ) = ln l (θ )
(1.18)
- ло га р и фм, а l (θ ) = lim n →∞
W (x θ , H 1 ) W (x H 0 )
(1.19)
max t i +1 − t i → 0
- Ф О П сто ха сти че ско го си гна ла с не и зве стными па р а ме тр а ми θ . П е р е йде м к случа ю , ко гда и ме е т ме сто па р а ме тр и че ска я а пр и о р на я не о пр е де ле нно сть не то лько о тно си те льно о б на р уж и ва е мо го сто ха сти че ско го си гна ла , но и о тно си те льно по ме хи . П усть по дле ж и т пр о ве р ке сло ж на я ги по те за H 01 : x (t ) = n (t ) ⊕n1 (t ) (1.20) пр о ти в сло ж но й а льте р на ти вы (1.21) H 11 : x (t ) =n (t )⊕ n1 (t )⊕ s(t ). Зде сь n(t ) , ка к и в (1.1) , (1.2) – шум, по лно е ста ти сти че ско е о пи са ни е ко то р о го а пр и о р и и зве стно ; n1 (t ) - по ме ха , ста ти сти че ско е о пи са ни е ко то р о й и зве стно с то чно стью до m1 па р а ме тр о в v = v1 ⋅ ⋅ ⋅ v m1 , s(t ) сто ха сти че ски й си гна л, по лно е ста ти сти че ско е о пи са ни е ко то р о го и зве стно с то чно стью до па р а ме тр о в θ ∈Θ . По ло ж и м, что не и зве стные па р а ме тр ы по ме хи v р а спр е де ле ны с а пр и о р но й пло тно стью ве р о ятно сти W (v H i1 ) в о б ла сти v∈V , ко гда ве р на ги по те за H i1 (i = 0,1) . Буде м счи та ть, что не и зве стные па р а ме тр ы по ме хи и сто ха сти че ско го си гна ла ста ти сти че ски не за ви си мы, пр и че м по сле дни е р а спр е де ле ны с а пр и о р но й W (θ H 11 ) пло тно стью ве р о ятно сти в о б ла сти θ ∈Θ . П р и и зве стных а пр и о р ных пло тно стях ве р о ятно сти па р а ме тр о в си гна ла и по ме хи о пять и спо льзуе м кла сси че ски й б а йе со вски й по дхо д. То гда не тр удно на йти а лго р и тм о б на р уж е ни я, о пти ма льный в смысле ка ко го - ли б о и з кр и те р и е в, р а ссмо тр е нных в п.1.2. Д е йстви те льно , за пи са в ср е дни й р и ск пр и пр о ве р ке ги по те з (1.20 ) и (1.21), о пять пр и хо ди м к выр а ж е ни ю (1.4), куда сле дуе т по дста ви тьфункци и пр а вдо по до б и я (1.22) W (x H 11 ) = ∫ ∫ W (x θ , v, H 11 )W (θ H 11 )W (v H 11 )dθ dv, Θ V
W (x H 01 ) = ∫ W (x v, H 01 )W (v H 01 )dv . V
(1.23)
Зде сь W (x θ , v, H 11 ) - усло вна я пло тно сть ве р о ятно сти выб о р ки в пр е дло ж е ни и , что ве р на ги по те за (1.21), а не и зве стные па р а ме тр ы си гна ла и по ме хи и ме ю т зна че ни я θ и v со о тве тстве нно ; W (x v,H 01 ) - усло вна я пло тно стьве р о ятно сти выб о р ки в пр е дло ж е ни и , что ве р на ги по те за (1.20),
8
а не и зве стные па р а ме тр ы по ме хи пр и няли зна че ни е v . О че ви дно , уср е дне ни е в (1.22), (1.23) и склю ча е т не и зве стные па р а ме тр ы си гна ла и по ме хи и де ла е т пр о ве р яе мые ги по те зы пр о стыми . П о вто р яя да ле е выкла дки п.1.2, по луча е м, что о пти ма льный о б на р уж и те ль пр и не и зве стных па р а ме тр а х си гна ла и по ме хи до лж е н вме сто (1.11) выр а б а тыва тьо тно ше ни е пр а вдо по до б и я ви да
∫ ∫ W (x θ ,v,H )W (θ H )W (v H )dθ dv l [x ]= . ( ) ( ) W x v H W v H dv , ∫ 11
11
11
Θ V
01
(1.24)
01
V
Ч то б ыпр е дста ви ть(1.24) в б о ле е удо б но й фо р ме , о б о зна чи м l1 [x ] = W (x θ , v , H 11 )/W (x H 0 ) , l 0 [x ] = W (x v, H 01 )/W (x H 0 ) .
Зде сь W (x H 0 ) - усло вна я пло тно сть ве р о ятно сти выб о р ки на б лю да е мых да нных в пр е дло ж е ни и , что ве р на ги по те за H 0 (1.1) . Т е пе р ь (1.24) пе р е пи ше тся ка к
∫ ∫ l [x ]W (θ H )W (v H )dθ dv l [x ] = ∫ l [x ]W (v H )dv 1
11
11
Θ V
0
.
(1.25)
01
V
П е р е хо дя в (1.25) к пр е де лу пр и n → ∞ , max ti +1 − ti → 0 , по луча е м, что для о б на р уж е ни я по не пр е р ывно й р е а ли за ци и x (t ) о пти ма льный о б на р уж и те льдо лж е н выр а б а тыва тьуср е дне нный ло га р и фм Ф О П ви да (1.26) L10 = L1 − L0 , где
∫ exp [L (θ , v )]W (θ H )W (v H )dθ dv , L = ln ∫ exp[L (v )]W (v H )dv ,
L1 = ln ∫
1
11
11
Θ V 0
0
01
(1.27)
V
L1 (θ , v ) = ln l1 (θ ,v ), L0 (v ) = ln l 0 (v ) , l 1(θ , v ) = lim l 1 [x ], l 0 (v ) = lim l 0 [x ]
пр и n → ∞ и max t i +1 − ti → 0 . Ре ше ни е о на ли чи и си гна ла пр и ни ма е тся, е сли уср е дне нный ло га р и фм Ф О П (1.26) пр е выша е т по р о г c , о пр е де ляе мый выб р а нным кр и те р и е м о пти ма льно сти . Кла сси че ски й б а йе со вски й по дхо д, пр и ме не нный зде сь для пр е о до ле ни я па р а ме тр и че ско й а пр и о р но й не о пр е де ле нно сти о тно си те льно сто ха сти че ско го си гна ла и по ме хи , о б ла да е т и зве стными не до ста тка ми . В о -пе р вых, да ле ко не все гда мо ж е т б ыть о б о сно ва на ко нце пци я случа йно сти не и зве стных па р а ме тр о в, сле до ва те льно , не все гда сущ е ствую т и ли мо гут б ыть о б о сно ва но пр е дло ж е ны а пр и о р ные р а спр е де ле ни я не и зве стных па р а ме тр о в; во -вто р ых, да ж е е сли ко нце пци я случа йно сти не и зве стных па р а ме тр о в о б о сно ва на , и х а пр и о р ные
9
р а спр е де ле ни я ча ще все го не и зве стны; в тр е тьи х, да ж е пр и и зве стных а пр и о р ных р а спр е де ле ни ях не и зве стных па р а ме тр о в б а йе со вски й по дхо д не все гда мо ж е т б ыть пр и ме не н, та к ка к во зни ка ю т тр удно сти в выпо лне ни и и нте гр и р о ва ни я по не и зве стны па р а ме тр а м (ка к а на ли ти че ски , та к и а ппа р а тур но ); в-че тве р тых, суще стве нные тр удно сти вызыва е та на ли з б а йе со вски х о б на р уж и те ле й, т.е . о пр е де ле ни е и х р а б о чи х ха р а кте р и сти к. О тме ти м, что в ка че стве р а б о чи х ха р а кте р и сти к а лго р и тма о б на р уж е ни я (в за ви си мо сти о т выб о р а кр и те р и я о пти ма льно сти ) мо гут и спо льзо ва ться за ви си мо сти ср е дне го р и ска (1.4) и ли ве р о ятно сте й ло ж но й тр е во ги (1.13) и пр о пуска си гна ла (1.14) о ти схо дных па р а ме тр о в си гна ла и шума . Ч а щ е все го ка че ство о б на р уж е ни я ха р а кте р и зую т ве р о ятно стями о ши б о чных р е ше ни й (1.13) и (1.14). Д е йстви те льно , ср е дни й р и ск все гда мо ж но выр а зи ть че р е з эти ве р о ятно сти [1,2] . Кр о ме то го , для и х р а сче та не т не о б хо ди мо сти в зна ни и а пр и о р ных ве р о ятно сте й на ли чи я и о тсутстви я си гна ла и в за да ни и ма тр и цы по те р ь, что не о б хо ди мо для р а сче та ср е дне го р и ска (1.4). 2. О б н а руж ен и е п о м ет оду м а кси м а льн ого п ра вдоп одоб и я 2.1. В р яде за да ч пр е о до ле ни е па р а ме тр и че ско й а пр и о р но й не о пр е де ле нно сти на о сно ве кла сси че ско го б а йе со вско го по дхо да не це ле со о б р а зно и ли не во змо ж но . Т о гда и спо льзую т др уги е по дхо ды, ср е ди ко то р ых за ме тно е ме сто за ни ма е т а да пти вный по дхо д [1,2] . Ра ссмо тр и м е го суть на пр и ме р е о б на р уж е ни я сто ха сти че ско го си гна ла с не и зве стными па р а ме тр а ми . Е сли а пр и о р но е р а спр е де ле ни е не и зве стных па р а ме тр о в сто ха сти че ско го си гна ла и зве стно , то о пти ма льный о б на р уж и те ль до лж е н выр а б а тыва ть ло га р и фм уср е дне нно го Ф О П (1.17). Ра ссмо тр и м и зме не ни е стр уктур ы о б на р уж и те ля (1.17), е сли а пр и о р и то чно и зве стно и сти нно е зна че ни е па р а ме тр о в θ 0 . В это м случа е а пр и о р на я пло тно сть ве р о ятно сти па р а ме тр о в сто ха сти че ско го си гна ла выр о ж да е тся в де льта – функци ю и пр и ни ма е тви д W (θ H 1 ) = δ (θ − θ 0 ) . (2.1) П о дста вляя (2.1) в (1.17) и выпо лняя и нте гр и р о ва ни е , по луча е м стр уктур у о пти ма льно го о б на р уж и те ля сто ха сти че ско го си гна ла с а пр и о р и и зве стными па р а ме тр а ми . Это т о б на р уж и те ль до лж е н выр а б а тыва ть ве ли чи ну (2.2) Lθ = L(θ 0 ) , где L(θ ) - ло га р и фм Ф О П (1.18). Ре ше ни е о на ли чи и и ли о тсутстви и сто ха сти че ско го си гна ла пр и ни ма е тся в р е зульта те ср а вне ни я (2.2) с по р о го м c , о пр е де ляе мым выб р а нным кр и те р и е м о пти ма льно сти . А да пти вный по дхо д к о б на р уж е ни ю си гна ла с не и зве стными па р а ме тр а ми за клю ча е тся в то м, что пр и не зна ни и и сти нно го зна че ни я па р а ме тр о в си гна ла θ 0 , для пр и б ли ж е нно го о пр е де ле ни я (2.2), в (1.18) 0
10
по дста вляю твме сто θ 0 не ко то р ую о це нку не и зве стных па р а ме тр о в. Та ки м о б р а зо м, а да пта ци я за клю ча е тся в за ме не не и зве стно го и сти нно го зна че ни я па р а ме тр о в θ 0 в (2.2) на р е зульта ти х и зме р е ни я (о це нку). И та к, ~ - не ко то р а я о це нка θ 0 , то а да пти вный о б на р уж и те ль е сли θ ∈Θ выр а б а тыва е тве ли чи ну ~ L θ~ = L(θ ) (2.3) ~
и ср а вни ва е те е с по р о го м c . О це нка θ мо ж е то пр е де ляться в р е зульта те не ко то р ых пр е два р и те льных на б лю де ни й сме си си гна ла и по ме хи , а мо ж е т о пр е де ляться по то й ж е р е а ли за ци и x (t ) , по ко то р о й пр о и зво ди тся о б на р уж е ни е . О гр а ни чи мся р а ссмо тр е ни е м по сле дне го случа я. Сущ е ствуе т р яд ме то до в о це ни ва ни я па р а ме тр о в сто ха сти че ско го си гна ла [3,4] . Ср е ди ни х о дни м и з на и б о ле е р а спр о стр а не нных и ши р о ко и спо льзуе мых являе тся ме то д ма кси ма льно го пр а вдо по до б и я. Сво йства м по луча е мых эти м ме то до м о це но к ма кси ма льно го пр а вдо по до б и я (О М П ) по свяще на о б ши р на я ли те р а тур а , на чи на я с р а нни х р а б о тпо кла сси че ско й ма те ма ти че ско й ста ти сти ке . Со гла сно о пр е де ле ни ю , О М П не и зве стных па р а ме тр о в сто ха сти че ско го си гна ла о пр е де ляе тся со о тно ше ни е м ∧
θ = arg sup L(θ ) θ ∈Θ
(2.4)
О тсю да сле дуе т, что для по луче ни я О М П до ста то чно зна тьло га р и фм Ф О П (1.8) и о б ла сть во змо ж ных зна че ни й не и зве стных па р а ме тр о в Θ . О це нки ма кси ма льно го пр а вдо по до б и я мо ж но , в о тли чи е о т б а йе со вски х о це но к, и спо льзо ва ть, ко гда па р а ме тр ы хо тя и не и зве стны, но и не случа йны. П е р е чи сли м кр а тко не ко то р ые по ле зные сво йства О М П: о на со впа да е т с эффе кти вно й (и ме ю щ е й на и ме ньше е р а ссе яни е ) о це нко й, е сли по сле дняя сущ е ствуе т; с р о сто м а по сте р и о р но й то чно сти О М П схо ди тся к и сти нно му зна че ни ю о це ни ва е мо го па р а ме тр а и ча сто являе тся а си мпто ти че ски эффе кти вно й и а си мпто ти че ски га уссо вско й; О М П являе тся а си мпто ти че ски б а йе со вско й для ши р о ко го кла сса функци е й по те р ь и а пр и о р ных р а спр е де ле ни й; О М П и нва р и а нтна к вза и мно о дно зна чно му б е зыне р ци о нно му пр е о б р а зо ва ни ю ло га р и фма Ф О П (1.18), что в р яде за да ч сущ е стве нно о б ле гча е т те хни че скую р е а ли за ци ю о це нки ; а на ли ти че ско е о пр е де ле ни е ка че ства О М П связа но , ка к пр а ви ло , с ме ньши ми ма те ма ти че ски ми тр удно стями , че м пр и и спо льзо ва ни и др уги х ме то до в о це нки . П е р е чи сле нные зде сьи б о ле е ча стные до сто и нства ме то да ма кси ма льно го пр а вдо по до б и я о б усло ви ли е го ши р о ко е пр и ме не ни е в за да ча х о б на р уж е ни я и о це нки . У чи тыва я высо ки е до сто и нства О М П, а та кж е уни ве р са льно сть и о тно си те льную пр о сто ту ме то да ма кси ма льно го пр а вдо по до б и я, б ла го да р я ко то р ым мо гут б ыть р а зр а б о та ны до во льно ∧
пр о стые пр о це дур ыпо луче ни я О М П θ (2.4), о гр а ни чи мся и спо льзо ва ни е м О М П пр и си нте зе а да пти вно го о б на р уж и те ля сто ха сти че ско го си гна ла с не и зве стными па р а ме тр а ми .
11
И та к, а лго р и тм ма кси ма льно го пр а вдо по до б и я (А М П ) о б на р уж е ни я сто ха сти че ско го си гна ла с не и зве стными па р а ме тр а ми по луча е м, за ме няя в ∧
~
(2.3) о це нку θ на О М П θ . У чи тыва я (2.4), на хо ди м, что А М П фо р ми р уе т ве ли чи ну ∧
L =sup L (θ )
(2.5)
θ ∈Θ
и пр и ни ма е тр е ше ни е , ср а вни ва я (2.5) с по р о го м c . В не ко то р ых случа ях р е а ли за ци я пр о це дур ы о тыска ни я ма кси мума ло га р и фма Ф О П в (2.5) на та лки ва е тся на а на ли ти че ски е и ли а ппа р а тур ные тр удно сти . Кр о ме то го , во змо ж ны си туа ци и , ко гда о тсутствуе т до сто ве р на я и нфо р ма ци я о р а зме р а х о б ла сти во змо ж ных зна че ни й не и зве стных па р а ме тр о в Θ . В эти х и не ко то р ых др уги х случа ях мо ж е т о ка за ться по ле зным выр о ж де нный ва р и а нт а да пти вно го о б на р уж и те ля – ква зи пр а вдо по до б ный о б на р уж и те ль (КП О ). Это т о б на р уж и те ль фо р ми р уе тло га р и фм Ф О П (1.18) в не ко то р о й фи кси р о ва нно й то чке θ * ∈Θ L* = L(θ * ) (2.6) * и пр и ни ма е т р е ше ни е , ср а вни ва я L с по р о го м c . Это т а лго р и тм ∧
о б на р уж е ни я пе р е хо ди тв А М П, е сли по ло ж и тьθ * = θ (2.4). О че ви дным о б р а зо м (2.5) и (2.6) о б о б ща ю тся на случа й о б на р уж е ни я пр и не и зве стных па р а ме тр а х сто ха сти че ско го си гна ла и по ме хи . Д ля это го по дста ви м в (1.27) О М П не и зве стныхпа р а ме тр о в. θ∧ , v∧ = arg sup L (θ , v ) 1 θ ∈Θ, v ∈V
(2.7)
- пр и ги по те зе H 11 (1.21) и ∧
v 0 = arg sup L 0 (v ) v ∈V
(2.8)
- пр и ги по те зе H 01 (1.20). П о дста вляя за те м р е зульта тв (1.26) вме сто L 1 и L 0 , на хо ди м, что А М П о б на р уж е ни я пр и не и зве стных па р а ме тр а х сто ха сти че ско го си гна ла и по ме хи до лж е н выр а б а тыва тьве ли чи ну ∧
L 10 =
sup L 1 (θ ,v ) − sup L 0 (v )
θ ∈ Θ , v ∈V
v ∈V
(2.9)
и ср а вни ва тье е с по р о го м c . А на ло ги чным о б р а зо м по луча е м, что КП О в это м случа е выр а б а тыва е тве ли чи ну * L 10 = L 1 (θ *,v * ) − L 0 (v * ) , (2.10) * * где θ , v - не ко то р ые фи кси р о ва нные зна че ни я не и зве стных па р а ме тр о в си гна ла и по ме хи . Си нте зи р о ва нные А М П о б на р уж е ни я сто ха сти че ско го си гна ла с не и зве стными па р а ме тр а ми (2.5) и (2.9), стр о го го во р я, не являю тся о пти ма льными в смысле ка ко го - ли б о о б ще пр и зна нно го кр и те р и я. Те м не ме не е , эти А М П о б ла да ю тр ядо м по ле зных сво йств. И ме нно : (2.5) и (2.9) являю тся функци ями до ста то чных ста ти сти к, е сли о ни суще ствую т; фо р ми р уе мые А М П си гна лыявляю тся та кж е ми ни ма льно до ста то чными
12
ста ти сти ка ми ; А М П о б ла да е тхо р о ши ми а си мпто ти че ски ми сво йства ми – по ме р е уве ли че ни я а по сте р и о р но й то чно сти О М П (2.4), (2.7), (2.8), А М П схо ди тся к б а йе со вско му о б на р уж и те лю для ши р о ко го кла сса сто ха сти че ски х си гна ло в и и х па р а ме тр о в. Стр уктур а А М П о тно си те льно пр о ста с то чки зр е ни я те хни че ско й р е а ли за ци и . Кр о ме то го , а на ли з А М П , т.е . о пр е де ле ни е ка че ства функци о ни р о ва ни я о б на р уж и те ля, связа н с ме ньши ми ма те ма ти че ски ми тр удно стями , че м а на ли з о пти ма льных о б на р уж и те ле й. Е сте стве нно , для р е ше ни я во пр о са о це ле со о б р а зно сти пр и ме не ни я А М П не о б хо ди мо о пр е де ли ть е го ха р а кте р и сти ки . О ко нча те льный выб о р ме ж ду А М П , о пти ма льным о б на р уж и те ле м и КП О о че ви дно за ви си т о т и ме ю щ е йся а пр и о р но й и нфо р ма ци и , а та кж е о т тр е б о ва ни й, пр е дъ являе мых к ка че ству функци о ни р о ва ни я и к сте пе ни пр о сто тые го те хни че ско й р е а ли за ци и .
Ли т ера т ура 1. В а н Тр и с Г. Т е о р и я о б на р уж е ни я, о це но к и мо дуляци и / П е р .с а нгл. по д р е д. В .Н .Ти хо но ва -М .: Со в. Ра ди о , 1972.-Т .1-744 с. 2. Т е о р и я о б на р уж е ни я си гна ло в-М .: Ра ди о и связь, 1984.-440 с. 3. Кули ко в Е .И ., Тр и фо но в А .П . О це нка па р а ме тр о в си гна ло в на фо не по ме х-М .: Со в.Ра ди о , 1978.-296 с. 4. Т р и фо но в А .П., Ш и на ко в Ю .С. Со вме стно е р а зли че ни е си гна ло в и о це нка и х па р а ме тр о в на фо не по ме х-М .: Ра ди о и связь, 1986.-264 с.
Со ста ви те ль Бе спа ло ва М а р и на Бо р и со вна Ре да кто р Т и хо ми р о ва О .А .