Бифуркации уравнений с вариационными операторами в гильбертовом пространстве: Учебно-методическое пособие

Ôåäåðàëüíîå àãåíòñòâî ïî îáðàçîâàíèþ ÐÔ Âîðîíåæñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò

ÁÈÔÓÐÊÀÖÈÈ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÂÀÐÈÀÖÈÎÍÍÛÌÈ ÎÏÅÐÀÒÎÐÀÌÈ Â ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÎÌ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ïî ñïåöèàëüíîñòè "Ìàòåìàòèêà" 010101 (010100)

Âîðîíåæ 2005

Óòâåðæäåíî íàó÷íî-ìåòîäè÷åñêèì ñîâåòîì ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÂÃÓ, ïðîòîêîë 1 îò 1.09.2005

Ñîñòàâèòåëü Âîðîòíèêîâ Ä.À.

Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ïîäãîòîâëåíî íà êàôåäðå àëãåáðû è òîïîëîãè÷åñêèõ ìåòîäîâ àíàëèçà ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÂÃÓ Ðåêîìåíäóåòñÿ äëÿ ñòóäåíòîâ 4-5 êóðñîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà

1

Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ Ïóñòü X - áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì K (âåùåñòâåííûõ èëè êîì-

ïëåêñíûõ ÷èñåë), Ω  îêðåñòíîñòü íóëÿ â X è A : Ω → X  íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ A(0) = 0. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå

A(x) − λx = 0, (λ, x) ∈ K × Ω.

(1.1)

Ýòî óðàâíåíèå âñåãäà èìååò òðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ, òî åñòü ðåøåíèÿ âèäà

(λ, 0). Íàïîìíèì, ÷òî òî÷êà λ0 ∈ K íàçûâàåòñÿ òî÷êîé áèôóðêàöèè óðàâíåíèÿ (1.1), åñëè â êàæäîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (λ0 , 0) â òîïîëîãè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå

K × Ω íàéäåòñÿ òî÷êà (λ, x), x 6= 0, ÿâëÿþùàÿñÿ ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ. Íàïîìíèì òàêæå, ÷òî òî÷êà λ0 ∈ K íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ñïåêòðà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà L : X → X, åñëè îïåðàòîð L − λ0 I, ãäå I  òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð, íå èìååò îãðàíè÷åííîãî îáðàòíîãî. Îêàçûâàåòñÿ, ïîíÿòèÿ òî÷êè ñïåêòðà è òî÷êè áèôóðêàöèè òåñíî ñâÿçàíû.

Åñëè îòîáðàæåíèå A èìååò ïðîèçâîäíóþ Ôðåøå â íóëå, âñÿêàÿ òî÷êà áèôóðêàöèè λ0 óðàâíåíèÿ (1.1) ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ñïåêòðà îïåðàòîðà A0(0). Ïðåäëîæåíèå 1.1.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïî îïðåäåëåíèþ òî÷êè áèôóðêàöèè íàéäåòñÿ ïîñëåäî-

âàòåëüíîñòü (λn , xn ) òàêàÿ, ÷òî

(λn , xn ) −→ (λ0 , 0), A(xn ) − λn xn = 0, xn 6= 0. n→∞

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî îïðåäåëåíèþ ïðîèçâîäíîé Ôðåøå

A(xn ) = A0 (0)xn + o(kxn k). Ñëåäîâàòåëüíî,

A0 (0)xn − A(xn ) + λn xn − λ0 xn A0 (0)(xn ) − λ0 xn = = kxn k kxn k =

o(kxn k) (λn − λ0 )xn + −→ 0. xn →0 kxn k kxn k 3

(1.2)

Íî åñëè áû îïåðàòîð A0 (0) − λ0 I èìåë îãðàíè÷åííûé îáðàòíûé, íàøëàñü áû êîíñòàíòà c òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ X

k(A0 (0) − λ0 I)−1 xk ≤ ckxk,

(1.3)

Ïîëàãàÿ â (1.3) x = A0 (0)(xn ) − λ0 xn , ïîëó÷èì:

kxn k ≤ ckA0 (0)(xn ) − λ0 xn k, îòêóäà

kA0 (0)(xn ) − λ0 xn k 1 ≥ , kxn k c

÷òî ïðîòèâîðå÷èò (1.2). Óòâåðæäåíèå, îáðàòíîå ïðåäëîæåíèþ 1.1, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî. Èìåþòñÿ ïðèìåðû (ñì. Èíäåêñ îñîáîé òî÷êè âïîëíå íåïðåðûâíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ è ïðèëîæåíèå ê ïðîáëåìå ñóùåñòâîâàíèÿ òî÷åê áèôóðêàöèè óðàâíåíèé ñ âïîëíå íåïðåðûâíûìè îïåðàòîðàìè/ Â.Ã. Çâÿãèí// Ìåòîä. ðàçðàáîòêà.- Âîðîíåæ, ÂÃÓ, 1998. - 24 ñ.), êîãäà òî÷êà ñïåêòðà îïåðàòîðà A, è äàæå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé áèôóðêàöèè óðàâíåíèÿ (1.1). Îäíàêî ïðè ðàçëè÷íûõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè áèôóðêàöèè, è íåêîòîðûå òåîðåìû îá ýòîì áûëè ïðèâåäåíû â ðàçðàáîòêå (Èíäåêñ îñîáîé òî÷êè âïîëíå íåïðåðûâíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ è ïðèëîæåíèå ê ïðîáëåìå ñóùåñòâîâàíèÿ òî÷åê áèôóðêàöèè óðàâíåíèé ñ âïîëíå íåïðåðûâíûìè îïåðàòîðàìè/ Â.Ã. Çâÿãèí// Ìåòîä. ðàçðàáîòêà.- Âîðîíåæ, ÂÃÓ, 1998. - 24 ñ.). Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñèòóàöèÿ óïðîùàåòñÿ â âàðèàöèîííîì ñëó÷àå, òî åñòü êîãäà îïåðàòîð ÿâëÿåòñÿ ãðàäèåíòîì íåïðåðûâíîãî ôóíêöèîíàëà.  ýòîì ñëó÷àå òî÷êè áèôóðêàöèè óðàâíåíèÿ (1.1) îêàçûâàþòñÿ ñâÿçàííûìè ñ óñëîâíûìè ýêñòðåìàëÿìè ýòîãî ôóíêöèîíàëà, è ÷èñëî íåîáõîäèìûõ óñëîâèé äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ òî÷êè áèôóðêàöèè ñåðüåçíî óìåíüøàåòñÿ. Âïåðâûå ðåçóëüòàò òàêîãî ñîðòà áûë ïîëó÷åí Êðàñíîñåëüñêèì (Êðàñíîñåëüñêèé Ì.À. Òîïîëîãè÷åñêèå ìåòîäû â òåîðèè íåëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé. - Ì., Ãîñòåõèçäàò, 1956. - 392ñ., ñì. òàêæå [2]) äëÿ ãðàäèåíòà ñëàáî íåïðåðûâíîãî ôóíêöèîíàëà â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Îò æåñòêîãî óñëîâèÿ ñëàáîé íåïðåðûâíîñòè óäàëîñü îñâîáîäèòüñÿ Ìàðèíî (Marino A. La biforcazione nel caso varizionale// Conf. Sem. 4

Mat. Univ. Bari, 1973.) è Á¼ìå (B ohme R. Die L osung der Verzweigungsgleichung f ur nichtlineare Eigenwertprobleme// Math. Z., 1972, V.127, pp.105-126.). Âïîñëåäñòâèè ïîÿâèëîñü ìíîãî îáîáùåíèé ýòèõ ðåçóëüòàòîâ (ñì. íàïð. Chow S.-N., Lauterbach R. A bifurcation theorem for critical points of variational problems// Nonlinear Anal. TMA, 1988, V.12, No. 1, pp. 51-61.).  îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ýòîãî ïóíêòà ìû ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïîíÿòèé è óòâåðæäåíèé, êîòîðûå ïîòðåáóþòñÿ íèæå. Ïóñòü H  ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, Ω  îòêðûòîå ìíîæåñòâî â H, F :

Ω → R−C 1 - ãëàäêèé ôóíêöèîíàë. Íàïîìíèì, ÷òî åãî ãðàäèåíòîì íàçûâàåòñÿ îïåðàòîð

gradF : Ω → H, îïðåäåëÿåìûé ôîðìóëîé

(gradF (x), y) = F 0 (x)y, x ∈ Ω, y ∈ H.

(1.4)

Çäåñü êðóãëûå ñêîáêè îáîçíà÷àþò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â H. Ïóñòü M - íåêîòîðîå C 1 - ãëàäêîå ïîäìíîãîîáðàçèå â H. ×åðåç Tx M áóäåì îáîçíà÷àòü êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ê M â òî÷êå x ∈ M (åãî ìîæíî ñ÷èòàòü âëîæåííûì â H ). Íèæå áóäåì äëÿ êðàòêîñòè ïèñàòü ïðîñòî "ìíîãîîáðàçèå"âìåñòî "C 1 - ãëàäêîå ïîäìíîãîîáðàçèå â H ". Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ÷àñòî íàçûâàþò òåîðåìîé Ëàãðàíæà.

Ïóñòü M  ìíîãîîáðàçèå è F : H → R − C 1 - ãëàäêèé ôóíêöèîíàë. Ïóñòü x0 ∈ M  òî÷êà ýêñòðåìóìà ôóíêöèîíàëà F M . Òîãäà Ëåììà 1.1.

(gradF (x0 ), y) = 0

(1.5)

äëÿ ëþáîãî y ∈ Tx M. 0

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü y  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò Tx0 M. Íåòðóäíî âè-

äåòü, ÷òî íàéäåòñÿ ôóíêöèÿ ψ : R → M ⊂ H òàêàÿ, ÷òî ψ(0) = x0 , ψ 0 (0) = y. Òîãäà ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ F ◦ ψ èìååò ýêñòðåìóì â íóëå. Ñëåäîâàòåëüíî,

(F ◦ψ)0 (0) = 0. Íî èç ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè ñëåäóåò, ÷òî

(F ◦ ψ)0 (0) = F 0 (ψ(0))ψ 0 (0) = F 0 (x0 )y = (gradF (x0 ), y), 5

÷òî âëå÷åò (1.5). Ëåììà äîêàçàíà. Ïóñòü M1 è M2  äâà ìíîãîîáðàçèÿ. Îíè íàçûâàþòñÿ òðàíñâåðñàëüíûìè, åñëè äëÿ ëþáîãî x ∈ M1

T

M2 âûïîëíåíî Tx M1 + Tx M2 = H.

Åñëè äâà ìíîãîîáðàçèÿ M1 è M2 òðàíñâåðñàëüíû, òî èõ ïåðåñå÷åíèå òàêæå ÿâëÿåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì è äëÿ ëþáîãî x ∈ M1 T M2 âûïîëíåíî \ \ Ëåììà 1.2.

Tx (M1

M2 ) = Tx M1

Tx M2

(1.6)

Ýòî óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç îáùèõ ñâîéñòâ òðàíñâåðñàëüíîñòè (ñì. íàïð. [3]). Íàì ïîíàäîáèòñÿ òàêæå ñëåäóþùèé âàðèàíò òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè, ïðèíàäëåæàùèé Ìàðèíî (Marino A. La biforcazione nel caso varizionale// Conf. Sem. Mat. Univ. Bari, 1973.).

Ïóñòü X1, X2, Y  áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà, Ω  îêðåñòíîñòü íóëÿ â X1 × X2. Ïóñòü C 1 - ãëàäêèé îïåðàòîð B : Ω\{(0, 0)} → Y óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì: Ëåììà 1.3.

B(x1 , 0) = 0; x1 ∈ H 1 ; x1 →0 kx1 kX1

a) lim

ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíûé èçîìîðôèçì B0 ïðîñòðàíñòâà X2 íà Y òàêîé, ÷òî ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ Bx0 (x1, x2) → B0 ïî îïåðàòîðíîé íîðìå ïðè b)

2

kx2 kX2 (x1 , x2 ) → 0, → 0; (x1 , x2 ) ∈ Ω; kx1 kX1 c) Bx0 1 (x1 , x2 ) → 0 kx2 kX2 → 0; (x1 , x2 ) ∈ Ω. kx1 kX1 c, δ > 0,

ïî îïåðàòîðíîé íîðìå ïðè (x1, x2) → 0,

Òîãäà ñóùåñòâóþò ÷èñëà

êîíóñ

C = {(x1 , x2 ) : kx2 kX2 < ckx1 kX1 , 0 < kx1 kX1 < δ} ⊂ Ω

è C 1 - ãëàäêîå îòîáðàæåíèå φ : {x1 ∈ X1 : 0 < kx1kX (x1 , x2 ) ∈ C áóäåò âûïîëíåíî

1

< δ} → X2 ,

÷òî äëÿ

B(x1 , x2 ) = 0 ⇔ x2 = φ(x1 ).

Êðîìå òîãî,

kφ(x1 )kX2 = 0. x1 →0 kx1 kX1

lim φ0 (x1 ) = 0, lim

x1 →0

6

(1.7)

Äîêàçàòåëüñòâî.

Èç ïðåäïîëîæåíèÿ b) ñëåäóåò, ÷òî íàéäóòñÿ ÷èñëà c, δ >

0, 0 < K < 1 è êîíóñ C = {(x1 , x2 ) : kx2 kX2 < ckx1 kX1 , 0 < kx1 kX1 < δ} ⊂ Ω òàêèå, ÷òî

kBx0 2 (x1 , x2 ) − B0 k ≤ KkB0−1 k−1 , (x1 , x2 ) ∈ C. Çàìå÷àíèå.

(1.8)

Âñå óòâåðæäåíèÿ ëåììû, êðîìå ïåðâîãî ïðåäåëüíîãî ïåðåõî-

äà èç (1.7), áóäóò âûâåäåíû òîëüêî èç ïðåäïîëîæåíèÿ à) è (1.8). Îáîçíà÷èì ÷åðåç B2 îïåðàòîð Bx0 2 (x1 , x2 ), (x1 , x2 ) ∈ C, à ÷åðåç B3 îïåðàòîð

B0−1 ◦ (B2 − B0 ). Òîãäà èç (1.8) ñëåäóåò, ÷òî kB2 − B0 k ≤ KkB0−1 k−1 è kB3 k ≤ K < 1. Ïîýòîìó îïåðàòîð I + B3 îáðàòèì, è îáðàòíûé èìååò âèä I − B3 + B32 − B33 + ... Íîðìà ýòîãî îáðàòíîãî îïåðàòîðà k(I + B3 )−1 k íå ïðåâîñõîäèò 1 1 + K + K 2 + K 3 + ... = . Ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàòîð B2 = B0 (I + B3 ) 1−K òàêæå îáðàòèì è kB2−1 k = k[B0 (I + B3 )]−1 k ≤ kB0−1 k . ≤ kB0 k k(I + B3 ) k ≤ 1−K Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ −1

−1

ψ : X1 × X2 → X2 , ψ(x1 , x2 ) = x2 − B0−1 B(x1 , x2 ). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ψ(x1 , x2 ) = x2 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

B(x1 , x2 ) = 0. Èìååì äëÿ h2 ∈ X2 :

ψx0 2 (x1 , x2 )(h2 ) = h2 − B0−1 Bx0 2 (x1 , x2 )(h2 ) = = B0−1 (B0 − Bx0 2 (x1 , x2 ))(h2 ). Ñëåäîâàòåëüíî,

kψx0 2 (x1 , x2 )k ≤ kB0−1 k kB0 − Bx0 2 (x1 , x2 )k. 7

(1.9)

Èç (1.8) çàêëþ÷àåì

kψx0 2 (x1 , x2 )k ≤ K < 1, (x1 , x2 ) ∈ C

(1.10).

Îòñþäà äëÿ âñÿêèõ x1 , x12 , x22 ; (x2 , x12 ) ∈ C, (x1 , x22 ) ∈ C áóäåò

kψ(x1 , x12 ) − ψ(x1 , x22 )kX2 ≤ ≤

sup x2 ∈[x12 ,x22 ]

kψx0 2 (x1 , x2 )k kx12 − x22 kX2 ≤ Kkx12 − x22 kX2 .

(1.11)

Çàôèêñèðóåì òåïåðü x1 : 0 < kx1 kX1 < δ è ðàññìîòðèì øàð:

Dx1 = {x2 : kx2 kX2 ≤ ckx1 kX1 }. Èìååì äëÿ x2 ∈ Dx1 :

kψ(x1 , x2 )kX2 ≤ kψ(x1 , 0)kX2 + kψ(x1 , x2 ) − ψ(x1 , 0)kX2 ≤ ≤ kB0−1 B(x1 , 0)kX2 + Kkx2 kX2 ≤ ≤ kB0−1 kkB(x1 , 0)kY + cKkx1 kX1 .

(1.12)

Èç ïðåäïîëîæåíèÿ à) ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì δ ñëåäóåò

kB(x1 , 0)kY ≤

c(1 − K) kx1 kX1 . kB0−1 k

(1.13)

Èç (1.12) è (1.13) èìååì äëÿ x2 ∈ Dx1 :

kψ(x1 , x2 )kX2 ≤ ckx1 kX1 . Òî åñòü äëÿ x2 ∈ Dx1 áóäåò ψ(x1 , x2 ) ∈ Dx1 . Íî èç (1.11) ñëåäóåò, ÷òî îòîáðàæåíèå ψ(x1 , ·) ñæèìàþùåå. Ïî òåîðåìå Áàíàõà - Êà÷÷èîïîëëè â Dx1 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ýòîãî îòîáðàæåíèÿ, êîòîðóþ ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç φ(x1 ). Èòàê, äëÿ (x1 , x2 ) ∈ C ñëåäóþùèå òðè ðàâåíñòâà ýêâèâàëåíòíû:

x2 = φ(x1 ), ψ(x1 , x2 ) = x2 , 8

B(x1 , x2 ) = 0. Îöåíêà (1.9) äàåò, ÷òî ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ Bx0 2 (x1 , x2 ) â êàæäîé òî÷êå

(x2 , x2 ) ∈ C åñòü èçîìîðôèçì X2 íà Y. Òîãäà èç êëàññè÷åñêîé òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè ñëåäóåò, ÷òî â îêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè (x1 , x2 ) ñóùåñòâóåò

C 1 - ãëàäêàÿ íåÿâíàÿ ôóíêöèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ B(x1 , x2 ) = 0. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îíà íà ýòîé îêðåñòíîñòè ñîâïàäàåò ñ φ. Ïîýòîìó ôóíêöèÿ φ ñàìà C 1 ãëàäêàÿ. Èç öåïî÷êè ðàâåíñòâ (1.12) ñëåäóåò:

kψ(x1 , x2 )kX2 ≤ kB0−1 kkB(x1 , 0)kY + Kkx2 kX2 , (x1 , x2 ) ∈ C.

(1.14)

Åñëè x2 = φ(x1 ), òî ψ(x1 , x2 ) = x2 , è (1.14) ïðèìåò âèä:

kφ(x1 )kX2 ≤ kB0−1 kkB(x1 , 0)kY + Kkφ(x1 )kX2 . Ïðåîáðàçóåì ýòî íåðàâåíñòâî:

(1 − K)kφ(x1 )kX2 ≤ kB0−1 kkB(x1 , 0)kY è

kφ(x1 )kX2 kB0−1 k kB(x1 , 0)kY ≤ . kx1 kX1 1−K kx1 kX1 Ïðåäïîëîæåíèå à) è (1.15) âëåêóò kφ(x1 )kX2 −→ 0. kx1 kX1 x1 →0

(1.15)

(1.16)

Îñòàëîñü äîêàçàòü ïåðâûé ïðåäåëüíûé ïåðåõîä èç (1.7). Èìååì äëÿ 0 < kx1 kX1 < δ :

B(x1 , φ(x1 )) = 0. Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ýòî òîæäåñòâî. Èìååì äëÿ âñåõ h1 ∈ X1 :

Bx0 1 (x1 , φ(x1 ))(h1 ) + Bx0 2 (x1 , φ(x1 )) ◦ φ0 (x1 )(h1 ) = 0. Îòñþäà

φ0 (x1 )(h1 ) = −[Bx0 2 (x1 , φ(x1 ))]−1 Bx0 1 (x1 , φ(x1 ))(h1 ). 9

(1.17)

Íî ïðåäïîëîæåíèå ñ) ñ ó÷åòîì (1.16) âëå÷åò:

Bx0 1 (x1 , φ(x1 )) −→ 0. x1 →0

Òîãäà èç (1.17) è (1.9) ñëåäóåò:

φ0 (x1 ) −→ 0. x1 →0

Ëåììà äîêàçàíà.

2

Òåîðåìà Ìàðèíî-Áåìå Ïóñòü H  âåùåñòâåííîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî. Äàëåå êðóãëûìè ñêîá-

êàìè è çíà÷êîì k · k áóäåì îáîçíà÷àòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è åâêëèäîâó íîðìó â H. Ïóñòü Ω  îêðåñòíîñòü íóëÿ â H è F : Ω → R  C 2 - ãëàäêèé ôóíêöèîíàë. Ïóñòü A : Ω → H, A(0) = 0 ÿâëÿåòñÿ åãî ãðàäèåíòîì.  íà÷àëå ñåìèäåñÿòûõ ãîäîâ ÕÕ âåêà Ìàðèíî (Marino A. La biforcazione nel caso varizionale// Conf. Sem. Mat. Univ. Bari, 1973.) è Á¼ìå (B ohme R. Die L osung der Verzweigungsgleichung f ur nichtlineare Eigenwertprobleme// Math. Z., 1972, V.127, pp.105-126.) íåçàâèñèìî äîêàçàëè ñëåäóþùóþ òåîðåìó.

Ïóñòü λ0 ∈ R òàêîâî, ÷òî A0(0) − λ0I åñòü îïåðàòîð ñ íåòðèâèàëüíûì êîíå÷íîìåðíûì ÿäðîì è çàìêíóòûì îáðàçîì. Òîãäà λ0 åñòü òî÷êà áèôóðêàöèè óðàâíåíèÿ (1.1). Åñëè A0(0)  âïîëíå íåïðåðûâíûé îïåðàòîð, òî ëþáîå íåíóëåâîå âåùåñòâåííîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ0 îïåðàòîðà A0(0) åñòü òî÷êà áèôóðêàöèè óðàâíåíèÿ (1.1). Òåîðåìà 2.1.

Ñëåäñòâèå 2.1.

Äåéñòâèòåëüíî, â óñëîâèÿõ ñëåäñòâèÿ 2.1 ÿäðî îïåðàòîðà A0 (0)−λ0 I íåòðèâèàëüíî. À èç òåîðèè Ðèññà-Øàóäåðà ñëåäóåò, ÷òî ýòî ÿäðî êîíå÷íîìåðíî, è îáðàç A0 (0) − λ0 I çàìêíóò. Òàêèì îáðàçîì, âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 2.1. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.1 ðàçîáüåì íà íåñêîëüêî ëåìì. Ëåììà 2.1.

Îïåðàòîð A0 = A0(0) ñàìîñîïðÿæåí.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü x, y  ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû ïðîñòðàíñòâà H è

J  äîñòàòî÷íî ìàëàÿ îêðåñòíîñòü íóëÿ â R2 . Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ ϕ : J → R, ϕ(t1 , t2 ) = F (t1 x + t2 y). Èìååì: 10

ϕ00t1 t2 (0, 0)

0

= (F (t1 x +



t2 y)y)0t1

t1 =t2 =0

= (A (t1 x + t2 y)x, y)

= [(A(t1 x +

0

t1 =t2 =0



t2 y), y)]0t1

= t1 =t2 =0

= (A0 x, y).

Àíàëîãè÷íî

ϕ00t2 t1 (0, 0) = (A0 y, x). Ñëåäîâàòåëüíî, (A0 x, y) = (A0 y, x). Ëåììà äîêàçàíà.

Ïóñòü B0 = A0 − λ0I, H1 = KerB0, H2 = H1⊥, P1 è P2  îðòîãîíàëüíûå ïðîåêòîðû â H ñîîòâåòñòâåííî íà H1 è H2. Òîãäà îïåðàòîð B0 ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì H2 íà H2 . Ëåììà 2.2.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî B0 (H2 ) ⊂ H2 . Äåéñòâèòåëüíî,

ïóñòü x ∈ H2 , y = (A0 − λ0 I)x è z ∈ H1 . Òîãäà ïî ëåììå 2.1

(y, z) = (A0 x, z) − λ0 (x, z) = (x, A0 z) − λ0 (x, z) = (x, B0 z) = 0 è ïîýòîìó y ∈ H1⊥ = H2 . Íî B0 (H2 ) çàìêíóòî ïî óñëîâèþ òåîðåìû 2.1. Èòàê, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî B0 (H2 ) = H2 , äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî â H2 íå ñóùåñòâóåò ýëåìåíòîâ, îðòîãîíàëüíûõ B0 (H2 ), êðîìå íóëåâîãî ýëåìåíòà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî z òàêîé ýëåìåíò. Òîãäà äëÿ ëþáîãî y ∈ H2 :

0 = (B0 y, z) = (A0 y, z) − λ0 (y, z) = (y, A0 z) − λ0 (y, z) = (y, B0 z), òî åñòü B0 z ∈ H1 . Íî ðàç z ∈ H2 , òî B0 z ∈ H2 . Çíà÷èò, B0 z = 0, òî åñòü

z ∈ H1 .. Íî z ∈ H2 , ïîýòîìó z = 0. Èòàê, B0 (H2 ) = H2 , Ker(B0 |H2 ) = 0 è ïî òåîðåìå Áàíàõà ñóùåñòâóåò îáðàòíûé B0−1 : H2 → H2 , òî åñòü B0  èçîìîðôèçì H2 íà H2 . Ëåììà 2.3.

Äëÿ îòîáðàæåíèÿ L : Ω\{0} → R, L(x) =

(A(x), x) (x, x)

(2.1)

íàéäåòñÿ êîíñòàíòà C1 òàêàÿ, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ïî íîðìå x âûïîëíåíû îöåíêè |L(x)| < C1 , kL0 (x)k < 11

C1 . kxk

(2.2)

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì ïðîèçâîäíîé, èìååì:

|L(x)| = |

(A0 (0)x + o(kxk), x) (A(x), x) |=| |≤ (x, x) (x, x)

≤ kA0 k +

o(kxk) ≤ kA0 k + 1, kxk

åñëè x äîñòàòî÷íî áëèçêî ê íóëþ. À äëÿ âñÿêîãî h ∈ H èìååì:

|L0 (x)h| =

2 1 0 [(A (x)h, x) + (A(x), h)] − (A(x), x)(x, h). kxk2 kxk4

Ñëåäîâàòåëüíî,

kA0 (x)k kA(x)k kA(x)k kL (x)k ≤ + + 2 ≤ kxk kxk2 kxk2 0

1 kA0 (0)x + o(kxk)k 0 ≤ (kA (x)k + 3 ). kxk kxk Âûðàæåíèå â ñêîáêàõ îãðàíè÷åíî âáëèçè íóëÿ. Ëåììà äîêàçàíà. Ëåììà 2.4.

Ïðè

x → 0,

âûïîëíåíî

kP2 xk →0 kP1 xk

L(x) → λ0 . Äîêàçàòåëüñòâî.

(2.4)

Çàìåòèì, ÷òî ïðè óñëîâèè (2.3)

kP2 xk kP2 xk ≤ → 0, kxk kP1 xk òî åñòü P2 x = o(kxk). Èìååì:

(A(x) − L(x)x, x) = (A(x) −

(A(x), x) x, x) = 0 (x, x)

Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì ïðîèçâîäíîé, ïîëó÷àåì:

(A0 (0)x + o(kxk) − L(x)x, x) = 0. Ïîýòîìó

((A0 − λ0 I)x + o(kxk) + (λ0 − L(x))x, x) = 0, 12

(2.3)

îòêóäà

L(x) − λ0 =

(B0 x + o(kxk), x) (B0 P1 x + B0 P2 x + o(kxk), x) = = (x, x) (x, x)

=

(B0 P2 x + o(kxk), x) (o(kxk), x) = → 0. (x, x) (x, x)

Ëåììà äîêàçàíà. Ëåììà 2.5.

Äëÿ îòîáðàæåíèÿ B : Ω\{0} → H2, B(x) = P2 (A(x) − L(x)x)

âûïîëíåíî

kB(x1 )k kx1 k

à ïðè óñëîâèè (2.3)

−→

x1 →0, x1 ∈H1

0,

B 0 (x) → B0

(2.5)

(2.6)

(2.7)

ïî îïåðàòîðíîé íîðìå. Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü x1 ∈ H1 . Ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî (A0 − λ0 I)(x) =

B0 x1 = 0 è P2 x1 = 0, èìååì B(x1 ) = P2 (A(x1 ) − L(x1 )x1 ) = P2 A(x1 ) = P2 (A0 (0)x1 + o(kx1 k) = = P2 ((A0 − λ0 I)x1 + λ0 x1 + o(kx1 k) = P2 (o(kx1 k)) = o(kx1 k), è (2.6) äîêàçàíî. Äàëåå, ïðè h ∈ H ïîëó÷àåì:

B 0 (x)h = P2 A0 (x)h − P2 L(x)h − P2 xL0 (x)h.

(2.8)

Òàê êàê îïåðàòîð A åñòü ãðàäèåíò C 2 - ãëàäêîãî ôóíêöèîíàëà, îí C 1 ãëàäêèé è P2 A0 (x) → P2 A0 ïî îïåðàòîðíîé íîðìå ïðè x → 0. Èç ëåììû 2.4 ñëåäóåò, ÷òî L(x)P2 → λ0 P2 ïî îïåðàòîðíîé íîðìå ïðè óñëîâèè (2.3). Ïîñëåäíåå æå ñëàãàåìîå â (2.8) ïðè x, áëèçêèõ ê íóëþ íå ïðåâîñõîäèò ïî íîðìå âûðàæåíèÿ

kP2 xk

C1 kP2 xk khk ≤ C1 khk, kxk kP1 xk 13

Òîãäà èç (2.8) ñëåäóåò, ÷òî ïðè óñëîâèè (2.3) B 0 (x) ñòðåìèòñÿ ê

P2 A0 − λ0 P2 = P2 (A0 − λ0 I) = P2 B0 = B0 ïî îïåðàòîðíîé íîðìå.

Òàê êàê B0|H ≡ 0, èç ëåììû 2.5 ñëåäóåò, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ ëåììû 1.3 ñ X1 = H1, X2 = H2, Y = H2. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà c è δ, êîíóñ Ñëåäñòâèå 2.2.

1

C = {x : 0 < kP1 xk < δ, kP2 xk < ckP1 xk}

è ôóíêöèÿ φ : {x1 ∈ H1 , 0 < kx1 k < δ} → H2

òàêàÿ, ÷òî äëÿ x ∈ C B(x) = 0 ⇔ P2 x = φ(P1 x).

Êðîìå òîãî,

kφ(x1 )k = 0; x1 ∈ H1 . x1 →0 kx1 k

lim φ0 (x1 ) = 0; lim

x1 →0

(2.9)

Ïóñòü M  ãðàôèê ôóíêöèè φ (òî åñòü ìíîæåñòâî {x1 + φ(x1 )|x1 ∈ H1 , 0 < kx1 k < δ}) è Sρ = {x ∈ H, kxk = ρ}(ñôåðà). Òîãäà íàéäåòñÿ ÷èñëî ρ0 > 0 òàêîå, ÷òî ïðè 0 < ρ < ρ0 ìíîãîîáðàçèÿ M è Sρ òðàíñâåðñàëüíû. Ëåììà 2.6.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Çàìåòèì, ÷òî äëÿ x0 ∈ Sρ

T

M áóäåò

Tx0 Sρ = {x : (x, x0 ) = 0}, Tx0 M = {h1 + φ0 (P1 x0 )h1 ; h1 ∈ H1 }. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ òîãî ÷òîáû áûëî Tx0 Sρ + Tx0 M = H äîñòàòî÷íî, ÷òîáû

Tx0 M * Tx0 Sρ . Ïîëîæèì h1 = P1 x0 . Ïîêàæåì, ÷òî h1 + φ0 (P1 x0 )h1 ∈ / Tx0 Sρ ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì ρ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ýòî íå òàê, òî

(P1 x0 , x0 ) + (φ0 (P1 x0 )P1 x0 , x0 ) = 0. 14

Îòñþäà

|(φ0 (P1 x0 )P1 x0 , x0 )| = |(P1 x0 , x0 )| = kP1 x0 k2 .

(2.10)

Íî φ0 (P1 x0 )P1 x0 ∈ H2 ; ïîýòîìó

|(φ0 (P1 x0 )P1 x0 , x0 )| = |(φ0 (P1 x0 )P1 x0 , P2 x0 )| ≤ ≤ kφ0 (P1 x0 )k kP1 x0 k kP2 x0 k.

(2.11)

Íî x0 ∈ M ⊂ C, è kP2 x0 k < ckP1 x0 k. Êðîìå òîãî, èç (2.9) ñëåäóåò, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì ρ

1 kφ0 (P1 x0 )k < . c

Ïîýòîìó (2.11) âëå÷åò îöåíêó

|(φ0 (P1 x0 )P1 x0 , x0 )| < kP1 x0 k2 , êîòîðàÿ ïðîòèâîðå÷èò (2.10), è ëåììà äîêàçàíà. Ñëåäñòâèå 2.3.

Èç ëåìì 2.6 è 1.2 ñëåäóåò, ÷òî Sρ ∩ M  ìíîãîîáðàçèå

è äëÿ âñÿêîãî x0 ∈ Sρ ∩ M

Tx0 (Sρ

ïðè 0 < ρ < ρ0. Ëåììà 2.7.

\

M ) = Tx0 Sρ

\

Tx0 M

(2.12)

Ïðè 0 < ρ < ρ0 èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå H = H2 ⊕ Tx0 (Sρ ∩ M ) ⊕ Lin(x0 ).

Äîêàçàòåëüñòâî.

(2.13)

Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî H = Tx0 M ⊕ H2 .  ñàìîì äåëå,

âñÿêèé ýëåìåíò h ∈ H ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå

h = P1 h + φ0 (P1 x0 )P1 h + P2 h − φ0 (P1 x0 )P1 h. Ñóììà ïåðâûõ äâóõ ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè ëåæèò â Tx0 M, à îñòàâøèåñÿ ñëàãàåìûå ëåæàò â H2 . Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî

Tx0 M

T

H2 = {0}.

Èç (2.12) ñëåäóåò, ÷òî Tx0 (Sρ

T

M ) = {h ∈ Tx0 M, (h, x0 ) = 0}. 15

Ïîýòîìó êîðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà Tx0 (Sρ

T

M ) ⊕ H2 ðàâíà 1, è äëÿ äî-

êàçàòåëüñòâà (2.13) äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî

x0 ∈ / Tx0 (Sρ

T

M ) ⊕ H2 .

Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, x0 = h2 + ξ, ãäå h2 ∈ H2 , ξ ∈ Tx0 (Sρ

T

M ). Â

÷àñòíîñòè, ξ ∈ Tx0 M, òo åcòü ýòîò ýëåìåíò èìååò âèä ξ = h1 + φ0 (P1 x0 )h1 , ãäå

h1 ∈ H1 . Èòàê, x0 = h1 + h2 + φ0 (P1 x0 )h1 . Òàê êàê h1 ∈ H1 , h2 + φ0 (P1 x0 )h1 ∈ H2 , èìååì h1 = P1 x0 . Ïîýòîìó ξ = P1 x0 +

φ0 (P1 x0 )P1 x0 , òî åñòü íå îðòîãîíàëüíî x0 , ÷òî ïîêàçàíî ïðè äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 2.6. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ξ îðòîãîíàëüíî x0 êàê ýëåìåíò Tx0 (Sρ ∩ M ). Ïðîòèâîðå÷èå âëå÷åò óòâåðæäåíèå ëåììû. Ëåììà 2.8.

Ìíîãîîáðàçèå Sρ T M êîìïàêòíî è íåïóñòî ïðè 0 < ρ < ρ0.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Sρ

\

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî

M = {x1 + φ(x1 )|x1 ∈ H1 , 0 < kx1 k < δ, kx1 + φ(x1 )k = ρ}

Äëÿ âñÿêîãî x1 ∈ H1 : 0 < kx1 k < δ áóäåò φ(x1 ) ∈ H2 , òî åñòü x1 îðòîãîíàëüíî

φ(x1 ). Òîãäà ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà

Sρ

\

M = {x1 + φ(x1 )|x1 ∈ H1 , 0 < kx1 k < δ, kx1 k2 + kφ(x1 )k2 = ρ2 }.

Ïóñòü ξn ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ èç Sρ

T

M. Òîãäà ξn = yn +

φ(yn ); yn ∈ H1 , 0 < kyn k < δ, kyn k2 + kφ(yn )k2 = ρ2 . Èç (2.9) ñëåäóåò, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì ρ0 áóäåò kφ(yn )k ≤ kyn k. Ñëåäîâàòåëüíî,

1 ρ2 1 kyn k2 ≥ kyn k2 + kφ(yn )k2 ≥ . 2 2 2 Êðîìå òîãî, ëåãêî âèäåòü, ÷òî kyn k2 ≤ ρ2 ≤

δ2 , 2

åñëè ρ0 äîñòàòî÷íî ìàëî. Íî {yn }  îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå H1 . Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè îíà ñõîäèòñÿ: yn → y0 . Ëåãêî âèäåòü, 16

ρ2 δ2 2 ÷òî y0 ∈ H1 , ky0 k + kφ(y0 )k = ρ . Êðîìå òîãî, ≤ ky0 k ≤ , è çíà÷èò, 2 2 T 0 < ky0 k < δ. Èòàê, ξn = yn + φ(yn ) → y0 + φ(y0 ) ∈ Sρ M. Êîìïàêòíîñòü T Sρ M äîêàçàíà. 2

2

2

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

ψ : {x1 ∈ H1 , kx1 k ≤ ρ} → R,

ψ(x1 ) = kx1 k2 + kφ(x1 )k2 , x1 6= 0

ψ(x1 ) = 0, x1 = 0.  ñèëó (2.9) ýòà ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà â íóëå, íåïðåðûâíîñòü â îñòàëüíûõ òî÷êàõ î÷åâèäíà. Ïóñòü x0 ∈ H1 , kx0 k = ρ. Òîãäà ψ(x0 ) ≥ ρ2 . Ïî òåîðåìå Êîøè íàéäåòñÿ òî÷êà x∗ ∈ H1 , 0 < kx∗ k ≤ ρ òàêàÿ, ÷òî ψ(x∗ ) = ρ2 . Òîãäà

x∗ + φ(x∗ ) ∈ Sρ

T

M, òî åñòü Sρ

T

M íå ïóñòî.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.1.

Òàê êàê ìíîæåñòâî Sρ ∩ M êîìïàêòíî,

ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà íàéäåòñÿ òî÷êà xρ ∈ Sρ

T

M òàêàÿ, ÷òî ôóíêöèîíàë

F |Sρ T M èìååò â íåé ìàêñèìóì. Ïî ëåììå 1.1 (A(xρ ), x) = (gradF (xρ ), x) = 0 T äëÿ ëþáîãî x ∈ Txρ (Sρ M ). Íî (xρ , x) = 0 äëÿ ëþáîãî T x ∈ Txρ (Sρ M ) ⊂ Txρ Sρ . Ïîýòîìó (A(xρ ) − L(xρ )xρ , x) = 0 äëÿ ëþáîãî x ∈ Txρ (Sρ

T

(2.14)

M ).

Èç (2.1) ñëåäóåò

(A(xρ ) − L(xρ )xρ , xρ ) = 0.

(2.15)

Íî èç òîãî, ÷òî xρ ∈ M ñëåäóåò

0 = B(xρ ) = P2 (A(xρ ) − L(xρ )xρ ).

(2.16)

Èòàê, ïðîåêöèè A(xρ ) − L(xρ )xρ íà âñå òðè ïðîñòðàíñòâà èç ðàçëîæåíèÿ (2.13) ðàâíû íóëþ. Ïîýòîìó A(xρ ) − L(xρ )xρ = 0. 17

Ïðîäåëàåì ýòó îïåðàöèþ äëÿ âñåõ ρ < ρ0 . Îáîçíà÷èì L(xρ ) ÷åðåç λρ . Èìååì:

A(xρ ) − λρ xρ = 0.

(2.17)

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî xρ −→ 0. Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî λρ −→ λ0 . Äåéñòâèòåëüíî, ρ→0

ρ→0

kP2 xρ k kφ(P1 xρ )k = −→ 0. kP1 xρ k kP1 xρ k ρ→0 Ïîýòîìó ïî ëåììå 2.4 L(xρ ) → λ0 . Èòàê, λ0  òî÷êà áèôóðêàöèè óðàâíåíèÿ (1.1).

18

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

[1] Êîëìîãîðîâ À. Í. Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà/ À.Í. Êîëìîãîðîâ, Ñ.Â. Ôîìèí; Ìîñêîâñêèé ãîñ. óí-ò èì. Ì.Â.Ëîìîíîñîâà.Èçä. 7-å.- Ì.: Ôèçìàòëèò, 2004. - 570 ñ. [2] Êðàñíîñåëüñêèé Ì. À. Ãåîìåòðè÷åñêèå ìåòîäû íåëèíåéíîãî àíàëèçà/ Ì.À. Êðàñíîñåëüñêèé, Ï.Ï. Çàáðåéêî. - Ì. : Íàóêà, 1975. - 510 ñ. [3] Ëåíã Ñ. Ââåäåíèå â òåîðèþ äèôôåðåíöèðóåìûõ ìíîãîîáðàçèé/ Ñ. Ëåíã.Âîëãîãðàä : Ïëàòîí, 1996. - 204 ñ. [4] Òðåíîãèí Â. À. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç : ó÷åáíèê äëÿ ñòóä., îáó÷. ïî ñïåöèàëüíîñòÿì "Ìàòåìàòèêà"è "Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà"/ Â. À. Òðåíîãèí. - 3-å èçä., èñïð. - Ì. : Ôèçìàòëèò, 2002. - 488 ñ.

Ñîñòàâèòåëü Âîðîòíèêîâ Äìèòðèé Àëåêñàíäðîâè÷ Ðåäàêòîð Òèõîìèðîâà Î.À.

19