Сибирский математический журнал Март—апрель, 2000. Том 41, № 2
УДК 515.164.13
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В ЗАДАЧАХ О НОРМАЛЬНОЙ И КОМПАКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ОПЕРАТОРА ВНЕШНЕГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В. И. Кузьминов, И. А. Шведов Аннотация: Конструкция разложения L2 -комплекса де Рама в ортогональную сумму подкомплексов используется для отыскания условий нормальной и компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на искривленных произведениях римановых многообразий и, в частности, на искривленных цилиндрах. Библиогр. 5.
В этой работе нас будут интересовать задачи отыскания необходимых и достаточных условий нормальной и компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования, действующего в L2 -пространствах дифференциальных форм на искривленных произведениях римановых многообразий. Для произвольного линейного оператора T : A → B, заданного на некотором линейном подпространстве Dom T векторного пространства A и принимающего значения в векторном пространстве B, условия Dom T −1 = Im T , T −1 ◦ T ⊂ π, где π — каноническая проекция, однозначно определяют оператор T −1 : B → A/ Ker T . Пусть A и B — банаховы пространства и подпространство Ker T замкнуто в A. Тогда оператор T называется нормально разрешимым, если оператор T −1 ограничен, и компактно разрешимым, если оператор T −1 компактен. Замкнутый оператор T нормально разрешим в том и только в том случае, когда подпространство Im T замкнуто в B. Будем считать, что пространство Dom T нормировано нормой kakDom T = 1/2 2 kakA + kT ak2B . Замкнутый оператор T : A → B компактно разрешим тогда и только тогда, когда оператор π|Dom T : Dom T → A/ Ker T компактен [1]. Пусть M — гладкое риманово многообразие и Lkp (M ) — пространство тех измеримых дифференциальных форм степени k на M , модуль которых интегрируем в степени p. Оператор внешнего дифференцирования мы будем рассматривать как оператор, действующий из Lkp (M ) в Lk+1 (M ), указывая его область p задания Γk ⊂ Lkp (M ). Если Γk содержит все гладкие финитные формы степени k и оператор внешнего дифференцирования dkΓ : Lkp (M ) → Lk+1 (M ) с областью p задания Γk замкнут, то выбор пространства Γk можно трактовать как выбор «идеальных граничных условий», определяющих область задания оператора dkΓ . Если подпространства Γk заданы для всех k ∈ Z и Im dkΓ ⊂ Ker dk+1 для каждоΓ го k, то определен Lp -комплекс де Рама Lp,Γ (M ), соответствующий граничным Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 97–01–00846).
c 2000 Кузьминов В. И., Шведов И. А.
386
В. И. Кузьминов, И. А. Шведов
условиям Γ = {Γk }k∈Z . Компоненты этого комплекса суть пространства Lkp (M ), а дифференциалы — операторы dkΓ . Наиболее употребительными являются граничные условия W и Wc . Оператор dkWc представляет собой замыкание оператора внешнего дифференцирования, заданного на гладких финитных формах степени k, а dkW — замыкание оператора внешнего дифференцирования, заданного на тех гладких формах ω ∈ Lkp (M ), для которых dω ∈ Lk+1 (M ). p Пусть M = X ×f Y — искривленное произведение гладких римановых многообразий X и Y . В [2] на основе метода разделения переменных для определенного вида граничных условий Γ указано разложение комплекса L2,Γ (M ) в ортогональную сумму некоторых его подкомплексов. Это разложение заведомо имеет место, если Γ = W или Γ = Wc , а многообразие Y компактно. Среди слагаемых указанной ортогональной суммы имеются комплексы двух типов. Это весовые L2 -комплексы де Рама многообразия X и так называемые комплексы R2,Θ (X, τ, ξ), введенные в [3]. Легко указать необходимые и достаточные условия как нормальной, так и компактной разрешимости оператора dkΓ : Lkp (M ) → Lk+1 (M ), сформулированные в терминах свойств дифференциаp лов слагаемых ортогонального разложения комплекса L2,Γ (M ). В настоящей работе мы показываем, что в трех частных случаях k = 0, k = dim M − 1, dim X = 1 существенная часть этих условий выполнена автоматически и может быть отброшена. Остающиеся условия уже приемлемы с точки зрения возможности их проверки в конкретных случаях. Приведем некоторые факты из теории банаховых пространств, необходимые нам в дальнейшем. Пусть A, B, C — банаховы пространства, T : A → B, P : B → C, S : A → C — линейные операторы, оператор T замкнут, оператор P ограничен, Dom P = B, P ◦ T ⊂ S, X = T (Ker S ∩ Dom T ), π1 : A → A/ Ker S и π2 : B → B/X — канонические проекции, Te : A/ Ker S → B/X — оператор, определенный условиями Dom Te = π1 (Dom T ), Te ◦ π1 ⊃ π2 ◦ T. Лемма 1. Если подпространства Ker S в A и X в B замкнуты, оператор Te замкнут и оператор S нормально разрешим, то оператор T нормально разрешим. Доказательство. Так как P ◦ T ⊂ S, то X ⊂ Ker P . Поэтому существует ограниченный оператор Pe : B/X → C, для которого Pe ◦ π2 = P . В силу нормальной разрешимости оператора S найдется ограниченный оператор S −1 : C → A/ Ker S, для которого Dom S −1 = Im S и S −1 ◦ S ⊂ π1 . Тогда PeTeπ1 a = Peπ2 T a = P T a = Sa для любого a ∈ Dom T . Тем самым PeTeπ1 a ∈ Dom S −1 и S −1 PeTeπ1 a = π1 a для a ∈ Dom T . Поскольку π1 (Dom T ) = Dom Te и оператор S −1 ◦ Pe ограничен, оператор Te нормально разрешим. Следовательно, подпространство Im Te замкнуто в B/X. Так как X ⊂ Im T и π2 (Im T ) = Im Te, то Im T = π2−1 (Im Te). Значит, подпространство Im T замкнуто в B. Оператор T нормально разрешим. Лемма доказана. Лемма 2. Если dim(Ker S/ Ker T ) < ∞ и оператор S нормально (компактно) разрешим, то и оператор T нормально (компактно) разрешим. Доказательство. Пусть dim(Ker S/ Ker T ) < ∞ и оператор S нормально разрешим. Подпространство Ker S замкнуто в A, поскольку оно содержит замкнутое подпространство Ker T конечной коразмерности. В силу того, что dim X ≤ dim(Ker S/ Ker T ) < ∞, подпространство X замкнуто в B. Каноническая проекция π1 ×π2 : A×B → A/Ker S ×B/X переводит график Γ оператора T
Метод разделения переменных
387
e оператора Te. Проекция π1 × π2 может быть представлена как комна график Γ позиция проекций π3 : A×B → A/Ker S×B и π4 : A/Ker S×B → A/Ker S×B/X. Так как график Γ оператора T замкнут в A × B и Ker π3 ⊂ Γ, подпространство π3 (Γ) замкнуто в A/Ker S × B. Оператор π4 переводит замкнутые пространства на замкнутые пространства, поскольку dim Ker π4 < ∞. Следовательно, оператор Te замкнут. По лемме 1 оператор T нормально разрешим. Предположим теперь, что оператор S компактно разрешим. Покажем, что оператор π|Dom T : Dom T → A/ Ker T компактен. Пусть aν — произвольная ограниченная последовательность в Dom T . Так как P ◦ T ⊂ S и оператор P ограничен, последовательность Saν ограничена в C. В силу компактной разрешимости оператора S в пространстве Dom S можно выбрать сходящуюся в A последовательность a0k , для которой последовательность Sa0k совпадает с некоторой подпоследовательностью aνk последовательности aν . Так как a0k − aνk ∈ Ker S и dim(Ker S/ Ker T ) < ∞, последовательность a0k − aνk представима в виде a0k − aνk = a ¯k + a ¯0k , где a ¯k — последовательность в Ker T , a ¯0k — последовательность в некотором конечномерном подпространстве, дополняющем пространство Ker T в Ker S. Последовательность aν ограничена в A, тем самым ограничена в A и последовательность a0k . Переходя к подпоследовательности, мы не ограничим общности, если будем считать последовательность a ¯0k сходящейся. Так как aνk + a ¯k = a0k + a ¯0k и a ¯k ∈ Ker T , последовательность aνk + a ¯k сходится в A и T (aνk + a ¯k ) = T aνk . Этим установлено, что оператор π|Dom T : Dom T → A/ Ker T компактен. Следовательно, оператор T компактно разрешим. Лемма доказана. L L Пусть A, B — гильбертовы пространства, A = Aν , B = Bν — ν∈N
ν∈N
некоторые их представления в виде ортогональной суммы подпространств, Pν : A → Aν , Qν : B → Bν — ортогональные проекторы на Aν и Bν соответственно, T : A → B — линейный оператор, T ((Dom T ) ∩ Aν ) ⊂ Bν для каждого ν ∈ N , Tν : Aν → Bν , Dom Tν = (Dom T ) ∩ Aν , Tν — сужение оператора T . Будем говорить, что оператор T является ортогональной суммой семейства операторов (Tν )ν∈N , если Pν (Dom T ) ⊂ Dom Tν и Qν ◦ T = Tν ◦ Pν для каждого ν ∈ N L. Для ортогональной суммы операторов Tν будем использовать обозначение Tν . ν∈N L Если T = Tν и оператор T замкнут, то все операторы Tν замкнуты, ν∈N P a ∈ Dom T тогда и только тогда, когда Pν a ∈ Dom Tν и kTν Pν ak2 < ∞. Кроν∈N P ме того, T a = Tν Pν a для каждого a ∈ Dom T . Эти утверждения доказаны ν∈N
в [2]. Для произвольного линейного оператора T : A → B с замкнутым ядром положим K(T ) = kT −1 k. L Лемма 3. Замкнутый оператор T = Tν нормально (компактно) разреν∈N
шим тогда и только тогда, когда все операторы Tν нормально (компактно) разрешимы и семейство констант (K(Tν ))ν∈N ограничено (K(Tν ) → 0 при ν → ∞). Доказательство. Легко видеть, что K(T ) = sup{K(Tν ) : ν ∈ N }. Поэтому оператор T нормально разрешимLтогда и только тогда, когда sup{K(Tν ) : ν ∈ N } < ∞. Так как Ker T = Ker Tν , пространство Aν / Ker Tν моν∈N
жет быть отождествлено с образом подпространства Aν при канонической проекции A → A/ Ker T . Это позволяет для каждого подмножества N 0 мно-
388
В. И. Кузьминов, И. А. Шведов
жества N считать оператор (
Tν )−1 оператором, действующим из B в
L
ν∈N
0
A/ Ker T и заданным подпространстве Im T пространства L на −1 L L B. Этот оператор совпадает с ( Tν ) на Im Tν и равен 0 на Im Tν . Поэтому ν∈N ν∈N 0 ν∈N \N 0 L kT −1 − ( Tν )−1 k = sup{K(Tν ) : ν ∈ N \N 0 }. Для каждого конечного подν∈N 0 L множества N 0 множества N оператор ( Tν )−1 компактен тогда и только ν∈N
0
тогда, когда компактны операторы Tν−1 при ν ∈ N 0 . Поэтому оператор T −1 компактен, если операторы Tν−1 компактны и K(Tν ) → 0 при ν → ∞. Для каждого ν ∈ N оператор Tν−1 является сужением оператора T −1 и поэтому операторы Tν компактно разрешимы, если компактно разрешим оператор T . Допустим, что K(Tν ) 6 →0 при ν → ∞. Тогда найдутся бесконечное множество N 0 в N , число ε > 0 и элементы bν ∈ Im Tν при ν ∈ N 0 такие, что kbν kB = 1 и kT −1 bν kA/ Ker T ≥ ε. Так как элементы T −1 bν попарно ортогональны в A/ Ker T , семейство T −1 bν не содержит сходящихся подпоследовательностей. Поэтому оператор T −1 не компактен. Лемма доказана. Обратимся теперь к теории дифференциальных форм на римановых многообразиях. Пусть X — гладкое m-мерное ориентированное риманово многообразие, Lk (X) — векторное пространство всех тех дифференциальных форм P степени k на X, локальные координатные представления ω = aI dxI ко|I|=k
торых имеют локально интегрируемые коэффициенты aI , Dk (X) — линейное подпространство пространства Lk (X), образованное всеми теми гладкими формами на X, носители которых компактны и содержатся в int X, dkD : Dk (X) → Dk+1 (X) — оператор внешнего дифференцирования, заданный на пространстве Dk (X). Дифференциальная форма dk ω называется (обобщенным) внешним дифференциалом формы ω ∈ Lk (X), если равенство Z Z k+1 ω ∧ dm−k−1 u = (−1) dk ω ∧ u D X
X
выполнено для всех u ∈ Dm−k−1 (X). Отображение (частично заданное) dk : Lk (X) → Lk+1 (X) будем так же, как и dkD , называть оператором внешнего дифференцирования. Ясно, что dk = dkD на Dk (X). Для каждого числа p ∈ (0, ∞) и произвольной измеримой функции σ на X определено пространство Lkp (X, σ), образованное теми формами ω ∈ Lk (X), для которых Z 1/p kωkp,σ = |ω(x)|p |σ(x)|p dx < ∞. X
Здесь dx — форма объема, определяемая римановой метрикой риманова многообразия X. Будем предполагать в дальнейшем, что весовая функция σ непрерывна на X и строго положительна в каждой точке x ∈ X. В этом случае kωkp,σ — норма в пространстве Lkp (X, σ) и это пространство полно, при p = 2 оно гильбертово относительно скалярного произведения Z (ω, ϕ) = σ 2 ω ∧ (∗ϕ). X
Метод разделения переменных
389
Невырожденное спаривание Z hω, ϕi =
ω∧ϕ X
определено в каждом из следующих случаев: 1) ω ∈ Lk (X), ϕ ∈ Dm−k (X); 2) ω ∈ Dk (X), ϕ ∈ Lm−k (X); p . 3) ω ∈ Lkp (X, σ), ϕ ∈ Lm−k (X, σ −1 ), p0 = p−1 p0 k Относительно этого спаривания пространства Lp (X, σ) и Lm−k (X, σ −1 ) взаимно p0 сопряжены. Предположим, что для каждого k ∈ Z в пространстве Lkp (X, σ) выбрано линейное подпространство Γk . Последовательность Γ = (Γk )k∈Z будем называть специальной последовательностью в Lp (X, σ), если Γk ⊂ Dom dk , dk (Γk ) ⊂ Γk+1 , Dom dkΓ = Γk , сужение dkΓ : Lkp (X, σ) → Lk+1 (X, σ) оператора dk являетp k k ся замкнутым оператором и D (X) ⊂ Γ для каждого k ∈ Z. Пространство Γk будем считать снабженным нормой kωkΓ = (kωk2p,σ + kdk ωk2p,σ )1/2 . Ввиду замкнутости оператора dkΓ это пространство банахово. Положим W k Lp (X, σ) = ω ∈ Lkp (X, σ) ∩ Dom dk : dk ω ∈ Lk+1 (X, σ) . p Пространства W k Lp (X, σ) образуют специальную последовательность W Lp (X, σ) в Lp (X, σ). Оператор dkΓ в случае Γ = W Lp (X, σ) будем обозначать символом dkW . Пусть Γ — некоторая специальная последовательность в Lp (X, σ) и Θ — семейство носителей на X, содержащее все компактные множества, лежащие в int X. Обозначим через ΓkΘ замыкание в Γk множества тех ω ∈ Γk, носители которых принадлежат семейству Θ. Последовательность ΓΘ = ΓkΘ k∈Z специальна в Lp (X, σ). Оператор dkΓ в случае Γ = (W Lp (X, σ))Θ будем обозначать символом dkWΘ . Для k ∈ Z и произвольной специальной последовательности Γ в Lp (X, σ) рассмотрим подпространство (Γ⊥ )m−k−1 в Lpm−k−1 (X, σ −1 ), образованное всеми 0 m−k−1 −1 теми формами ϕ ∈ W Lp0 (X, σ ), для которых равенство hω, dm−k−1 ϕi = (−1)k+1 hdkΓ ω, ϕi выполнено для всех ω ∈ Γk . Последовательность Γ⊥ = ((Γ⊥ )j )j∈Z специальна в Lp0 (X, σ −1 ). Операторы dkΓ и (−1)k dm−k−1 сопряжены относительно спаривания Γ⊥ h·, ·i. Последовательность (Ak , T k )k∈Z банаховых пространств Ak и замкнутых операторов T k : Ak → Ak+1 называется банаховым комплексом, если Im T k−1 ⊂ Ker T k для каждого k ∈ Z. В соответствии с этой терминологией каждой специальной последовательности Γ в Lp (X, σ) соответствует банахов комплекс Lp,Γ (X, σ) = Lkp (X, σ), dkΓ k∈Z . Пространства k-мерных гомологий этого комплекса обозначают символом H k Γ, а редуцированных k-мерных гомологий — k символом H Γ. Пусть Rk (X) = Lk (X) × Lk−1 (X). Определим оператор ∂ k : Rk (X) → k+1 R (X), полагая Dom ∂ k = {(ω0 , ω1 ) ∈ Rk (X) : ω0 ∈ Dom dk , ω1 ∈ Dom dk−1 }
390
В. И. Кузьминов, И. А. Шведов
и ∂ k (ω0 , ω1 ) = (dk ω0 , ω0 − dk−1 ω1 ). Очевидно, что Im ∂ k−1 ⊂ Ker ∂ k для каждого k ∈ Z. Для произвольной пары непрерывных и положительных весовых функций ξ, τ на X и числа p ∈ (1, ∞) рассмотрим банаховы пространства Rpk (X, ξ, τ ) = Lkp (X, ξ)×Lk−1 (X, τ ), считая при этом, что норма в Rpk (X, ξ, τ ) задана формулой p 1/2 . k(ω0 , ω1 )k = kω0 k2p,ξ + kω1 k2p,τ k Последовательность Γ = (Γ )k∈Z , Γk ⊂ Rpk (X, ξ, τ ) будем называть специальной последовательностью в Rp (X, ξ, τ ), если для каждого k ∈ Z Γk ⊂ Dom ∂ k ,
∂ k (Γk ) ⊂ Γk+1 ,
Dk (X) × Dk−1 (X) ⊂ Γk
и сужение ∂Γk : Rpk (X, ξ, τ ) → Rpk+1 (X, ξ, τ ) с областью задания Dom ∂Γk = Γk оператора ∂ k является замкнутым оператором. Для каждого k ∈ Z положим W k Rp (X, ξ, τ ) = ω ∈ Rpk (X, ξ, τ ) : ω ∈ Dom ∂ k , ∂ k ω ∈ Rpk+1 (X, ξ, τ ) . Тогда W Rp (X, ξ, τ ) = (W k Rp (X, ξ, τ ))k∈Z — специальная последовательность в Rp (X, ξ, τ ) [2]. В случае, когда Γ = W Rp (X, ξ, τ ), оператор ∂Γk будем обознаk чать символом ∂W . Для произвольной специальной последовательности Γ в Rp (X, ξ, τ ) и семейства носителей Θ на X, содержащего все компактные множества, лежащие в int X, обозначим через ΓkΘ замыкание в банаховом пространстве Dom ∂Γk множества тех пар форм из Γk , носители которых принадлежат семейству Θ. Последовательность ΓΘ = (ΓkΘ )k∈Z специальна в Rp (X, ξ, τ ). В случае, k . когда Γ = (W Rp (X, ξ, τ ))Θ , будем вместо ∂Γk использовать обозначение ∂W Θ Формула Z [(−1)k+1 ω0 ∧ ϕ1 + ω1 ∧ ϕ0 ]
hω, ϕi = X
определяет невырожденное спаривание в каждом из следующих случаев: a) ω ∈ Rk (X), ϕ ∈ Dm−k+1 (X) × Dm−k (X); b) ω ∈ Dk (X) × Dk−1 (X), ϕ ∈ Rm−k+1 (X); c) ω ∈ Rpk (X, ξ, τ ), ϕ ∈ Rpm−k+1 (X, τ −1 , ξ −1 ). 0 Это спаривание коммутативно в том смысле, что hω, ϕi = (−1)mk+1 hϕ, ωi. Лемма 4. Пара форм ω ∈ Rk (X) принадлежит области задания оператора ∂ : Rk (X) → Rk+1 (X) тогда и только тогда, когда существует пара форм θ ∈ Rk+1 (X), для которой равенство hθ, ϕi = (−1)k+1 hω, ∂ϕi выполнено для любой пары форм ϕ ∈ Dm−k (X) × Dm−k−1 (X). При этом пара форм θ определена указанным условием однозначно и θ = ∂ k ω. k
Доказательство этой леммы легко следует из определений оператора ∂ k и спаривания h·, ·i. Пусть Γ — произвольная специальная последовательность в Rp (X, ξ, τ ). Для каждого k ∈ Z рассмотрим подпространство (Γ⊥ )m−k пространства Rpm−k (X, τ −1 , ξ −1 ), образованное теми ϕ ∈ W m−k Rp0 (X, τ −1 , ξ −1 ), для которых 0 равенство
k
m−k ∂W ω, ϕ = (−1)k+1 ω, ∂W ϕ выполнено для всех ω ∈ Γk .
Метод разделения переменных
391
Лемма 5. Для любой специальной последовательности Γ в Rp (X, ξ, τ ) последовательность Γ⊥ специальна в Rp0 (X, τ −1 , ξ −1 ). Операторы ∂Γk , (−1)k+1 ∂Γm−k ⊥ взаимно сопряжены относительно спаривания h·, ·i. Оператор ∂Γm−k нормально ⊥ (компактно) разрешим в том и только том случае, когда нормально (компактно) разрешим оператор ∂Γk . Кроме того, K ∂Γm−k = K ∂Γk . ⊥ Доказательство. По лемме 4 оператор ∂Γm−k является сужением опера⊥ m−k ⊥ m−k тора ∂W . Пространство (Γ ) совпадает с областью задания оператора 0 ∂Γk , сопряженного оператору ∂Γk . Поэтому равенство
k
m−k ∂W ω, ϕ = (−1)k+1 ω, ∂W ϕ , выполненное для любых ω ∈ Γk , ϕ ∈ (Γ⊥ )m−k , означает, что оператор (−1)k+1 ∂Γm−k сопряжен оператору ∂Γk относительно спаривания h·, ·i. Если T 0 — ⊥ оператор, сопряженный произвольному плотно определенному замкнутому оператору T , то K(T 0 ) = K(T ) и операторы T и T 0 нормально (компактно) разрешимы одновременно [1, предложение 2]. Лемма доказана. Лемма 6. Пусть многообразие X связно, Γ, Γ0 , Γ1 — специальные последовательности в Rp (X, ξ, τ ), Lp (X, ξ) и Lp (X, τ ) соответственно. Тогда если Γ0 ⊂ Γ00 × {0} и оператор d0Γ0 нормально (компактно) разрешим, то и оператор ∂Γ0 нормально (компактно) разрешим. Если {0} × Γ1m−1 ⊂ Γm и оператор dΓm−1 1 нормально (компактно) разрешим, то и оператор ∂Γm нормально (компактно) разрешим. Доказательство. Пусть оператор d0Γ0 нормально (компактно) разрешим и Γ0 ⊂ Γ00 × {0}. В силу связности многообразия X будет dim ker d0Γ0 ≤ 1. По лемме 2 для T = ∂Γ0 , S = d0Γ0 и канонической проекции P : L1p (X, ξ) × L0p (X, τ ) → L1p (X, ξ) получаем, что оператор ∂Γ0 нормально (компактно) разрешим. Пусть теперь нормально (компактно) разрешим оператор dΓm−1 и {0} × 1 m−1 m m−1 m 0 Γ1 ⊂ Γ . Тогда оператор dΓ⊥ , сопряженный оператору (−1) dΓ1 , нор1
0 мально (компактно) разрешим по лемме 5. Кроме того, (Γ⊥ )0 ⊂ (Γ⊥ 1 ) × {0}. По 0 уже доказанному первому утверждению леммы оператор ∂Γ⊥ нормально (компактно) разрешим. По лемме 5 нормально (компактно) разрешим оператор ∂Γm . Лемма доказана. Замечание. Легко проверить, что W 0 Rp (X, ξ, τ )Θ ⊂ W 0 Lp (X, ξ)Θ × {0} и {0} × W m−1 Lp (X, τ )Θ ⊂ W m Rp (X, ξ)Θ . Поэтому в случае связного много0 образия X оператор ∂W нормально (компактно) разрешим, если нормально Θ m (компактно) разрешим оператор d0WΘ : L0p (X, τ ) → L1p (X, τ ). Оператор ∂W Θ нормально (компактно) разрешим, если нормально (компактно) разрешим опеm−1 ратор dm−1 (X, ξ) → Lm p (X, ξ). WΘ : Lp Для произвольного вещественного числа λ > 0 топологические векторные пространства Rpi (X, ξ, τ ) и Rpi (X, ξ, λτ ) совпадают. Поэтому любую специальную последовательность Γ в Rp (X, ξ, τ ) можно рассматривать как специальную последовательность в Rp (X, ξ, λτ ). Обозначим через KΓi (λ) константу K ∂Γi : Rpi (X, ξ, λτ ) → Rpi+1 (X, ξ, λτ ) .
Лемма 7. Для любой специальной последовательности Γ в Rp (X, ξ, τ ) функция KΓi (λ) переменной λ при i ∈ {0, m} не возрастает с ростом λ. Доказательство. Оператор ∂Γi , рассматриваемый как отображение векторных пространств, не зависит от λ. Норма любого элемента пространства
392
В. И. Кузьминов, И. А. Шведов
Rp1 (X, ξ, λτ ) не убывает с ростом λ, а норма пространства Rp0 (X, ξ, λτ ) не зависит от λ. Поэтому KΓ0 не возрастает с ростом λ. Константы K(∂Γm : Rpm (X, ξ, λτ ) → Rpm+1 (X, ξ, λτ )) и K(∂Γm : Rpm (X, λ−1 ξ, τ ) → Rpm+1 (X, λ−1 ξ, τ )) совпадают. Норма любого элемента в пространстве Rpm (X, λ−1 ξ, τ ) не убывает с ростом λ, а норма в Rpm+1 (X, λ−1 ξ, τ ) не зависит от λ. Поэтому KΓm (λ) не возрастает с ростом λ. Лемма доказана. Лемма 8. Пусть Γ — произвольная специальная последовательность в Rp (X, ξ, τ ), i ∈ {0, m} и оператор ∂Γi : Rpi (X, ξ, τ ) → Rpi+1 (X, ξ, τ ) компактно разрешим. Тогда KΓi (λ) → 0 при λ → ∞. 6 0 при λ → ∞. Тогда сущеДоказательство. Предположим, что KΓ0 (λ) → ствует такое δ > 0, что KΓ0 (λ) ≥ δ для всех λ > 0. Для такого δ и любого λ ≥ 1 выберем ωλ ∈ L0p (X, ξ) так, что (ωλ , 0) ∈ Γ0 ,
kωλ k2λτ + kd0 ωλ k2ξ = 1,
kωλ kξ ≥
3 δ. 4
По индукции построим последовательность λj такую, что kωλi − ωλj kξ ≥ 4δ при i 6= j. Пусть λj при 1 ≤ j ≤ N , удовлетворяющие указанному условию, выбраны. Найдется компактное гладкое подмногообразие XN многообразия X
той же размерности, что и X, такое, что i∗N ωλj ξ ≥ 2δ при 1 ≤ j ≤ N , где ı∗N : L0p (X, ξ) → L0p (XN , ξ) — оператор ограничения функций с X на XN . Пусть 4 ξ(x) λN +1 = sup : x ∈ XN . δ τ (x) Тогда для 1 ≤ j ≤ N
δ kωλN +1 − ωλj kξ ≥ i∗N ωλN +1 ξ − i∗N ωλj ξ ≥ − i∗N ωλN +1 ξ 2
ξ(x) δ : x ∈ XN ≥ − i∗N ωλN +1 τ sup 2 τ (x) 1 ξ(x) δ δ sup : x ∈ XN ≥ . = − kωλN +1 kλN +1 τ 2 λN +1 τ (x) 4 Так как λj ≥ 1, то kωλj kτ ≤ kωλj kλj τ . Построена последовательность форм ωλj такая, что kωλj k2τ + kd0 ωλj k2ξ ≤ 1, kωλj − ωλi kξ ≥ 4δ > 0 при любых i 6= j и (ωλj , 0) ∈ Γ0 . Наличие этой последовательности противоречит условию компактной разрешимости оператора ∂Γ0 : Rpm (X, ξ, τ ) → Rp1 (X, ξ, τ ). Утверждение леммы в случае i = 0 доказано. По лемме 5 операторы ∂Γm : Rpm (X, ξ, λτ ) → Rpm+1 (X, ξ, λτ ) и ∂Γ0 ⊥ : Rp00 (X, τ −1 , λξ −1 ) → Rp10 (X, τ −1 , λξ −1 ) компактно разрешимы одновременно. Кроме того K ∂Γm = K ∂Γ0 ⊥ . Следовательно, утверждение леммы в случае i = m сводится к случаю i = 0. Лемма доказана.
Метод разделения переменных
393
Пусть Y — гладкое n-мерное риманово многообразие, f — гладкая положительная функция на X, M = X ×f Y — искривленное произведение (warped product) многообразий X и Y с искривляющей функцией f , ρ — весовая функция на X, σ — весовая функция на Y , Γ — специальная последовательность в L2 (Y, σ), Θ — семейство носителей в X, содержащее все компактные множеe k пространство, образованное всества, лежащие в int X. Обозначим через Γ k ми теми формами ω ∈ W L2 (M, ρσ), для которых равенство hdk ω, u ∧ vi = (−1)k+1 hω, dn+m−k−1 (u ∧ v)i выполнено всякий раз, как только u ∈ Di (X), e = (Γ e k )k∈Z — спеv ∈ (Γ⊥ )j , i + j = n + m − k − 1. В [2] установлено, что Γ циальная последовательность в L2 (M, ρσ). Пусть Θ × Y — семейство всех тех замкнутых множеств в M , каждое из которых содержится в некотором множестве вида F × Y, F ∈ Θ. Пусть ρj = n ρ · f 2 −j для 0 ≤ j ≤ n, i Kji (λ) = K ∂W : R2i (X, ρj , λρj+1 ) → R2i+1 (X, ρj , λρj+1 ) . Θ Теорема 1. Пусть dim X = m > 0, 0 ≤ k ≤ n + m − 1, операторы djΓ : → Lj+1 2 (Y, σ) компактно разрешимы при k − n ≤ j ≤ k. Тогда
Lj2 (Y, σ)
1) оператор dke : Lk2 (M, ρσ) → Lk+1 (M, ρσ) нормально разрешим в том и 2 ΓΘ×Y только в том случае, когда выполнены следующие условия: a) операторы diWΘ : Li2 (X, ρj ) → Li+1 2 (X, ρj ) нормально разрешимы при всех i, j таких, что i + j = k, 0 ≤ i < m, 0 ≤ j ≤ n, H j Γ 6= 0, i b) операторы ∂W : R2i (X, ρj , ρj+1 ) → R2i+1 (X, ρj , ρj+1 ) нормально разрешиΘ мы при всех i, j таких, что i + j = k, 0 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j < n, c) sup Kji (λ) : λ ∈ R < ∞ для всех i, j, удовлетворяющих условиям п. b); 2) оператор dke : Lk2 (M, ρσ) → Lk+1 (M, ρσ) компактно разрешим в том и 2 ΓΘ×Y только в том случае, когда выполнены следующие условия: a0 ) операторы diWΘ : Li2 (X, ρj ) → Li+1 2 (X, ρj ) компактно разрешимы и dim H j Γ < ∞ для всех i, j таких, что i + j = k, 0 ≤ i < m, 0 ≤ j ≤ n, H j Γ 6= 0, i b0 ) операторы ∂W : R2i (X, ρj , ρj+1 ) → R2i+1 (X, ρj , ρj+1 ) компактно разреΘ шимы для всех i, j таких, что i + j = k, 0 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j < n, c0 ) Kji (λ) → 0 при λ → ∞ для любых i, j, удовлетворяющих условиям п. b0 ). Доказательство. Пусть S = {s ∈ Z : max{k − m, 0} ≤ s ≤ min{k, n − 1}}, T = {t ∈ Z : k − m ≤ t ≤ k, H t Γ 6= 0}. Обозначим через C s ортогональное дополнение к Ker dsΓ в Ls2 (Y, σ), а через H t ортогональное дополнение к Im dt−1 Γ в Ker dtΓ . Предположение о компактной разрешимости операторов djΓ при k−n ≤ j ≤ k позволяет так выбрать для каждого s ∈ S ортонормированные базисы csν в C s , ν ∈ Ns и bs+1 в Im dsΓ , ν ∈ Ns что будут выполнены следующие условия: ν s s s s s d cν = λν bν , λν > 0 для всех ν ∈ Ns , λsν → ∞ при ν → ∞ [2, лемма 6]. Пусть htκ , κ ∈ Kt — произвольный ортонормированный базис в H t . Для любых s ∈ S, ν ∈ Ns рассмотрим подкомплекс Cs,ν комплекса i s s+1 L2,Γ (Y, σ), для которого Cs,ν = 0 при j ∈ / {s, s + 1}, dim Cs,ν = dim Cs,ν = 1, s s cν ∈ Cs,ν , а для любых t ∈ T , κ ∈ Kt — подкомплекс Ht,κ комплекса L2,Γ (Y, σ), j t t для которого Ht,κ = 0 при j 6= t, dim Ht,κ = 1, htκ ∈ Ht,κ . Пусть
394
В. И. Кузьминов, И. А. Шведов
j L2 (Y, σ) при j < max(k − m, 0) и j > min(k + 1, n), Im dj−1 при j = max(k − m, 0), Γ Aj = C j + H j при j = min(k + 1, n), 0 при max(k − m, 0) < j < min(k + 1, n). Обозначим через djA сужение оператора dj с Dom djA = Aj ∩ Γj . Пространства Aj вместе с дифференциалами djA образуют подкомплекс комплекса L2 (Y, σ). Комплекс L2 (Y, σ) является ортогональной суммой своих подкомплексов Cs,ν , Ht,κ и A. Это означает, что для каждого j гильбертово пространство j j Lj2 (Y, σ) является ортогональной суммой своих подпространств Cs,ν , Ht,κ и Aj , а дифференциал djΓ — ортогональной суммой j-х дифференциалов комплексов Cs,ν , Ht,κ и A. В [2, лемма 13] для каждого разложения в ортогональную сумму комплекса L2,Γ (Y, σ) и семейства носителей Θ на X построено некоторое разложение в ортогональную сумму комплекса L2,ΓeΘ×Y (M, ρσ). Согласно [2] разложению M MM M Cs,ν Ht,κ A L2,Γ (Y, σ) = соответствует разложение в ортогональную сумму M MM M [Cs,ν ]Θ [Ht,κ ]Θ [A]Θ , L2,ΓeΘ×Y = причем каждый комплекс [Cs,ν ]Θ ) изоморфен со сдвигом размерностей на s комплексу R2,Θ X, ρs , λsν ρs+1 , каждый комплекс [Ht,κ ]Θ изоморфен со сдвигом размерностей на t комплексу L2,Θ (X, ρt ), а k-й дифференциал комплекса [A]Θ равен 0. Осталось воспользоваться леммой 3. Теорема доказана. e Θ×Y = W , если Γ = W , а Θ — семейЗамечание. В [2] установлено, что Γ e Θ×Y = Wc , если Γ = Wc и Θ — семейство ство всех замкнутых множеств в X, и Γ всех компактных множеств, лежащих в int X. Теорема 2. Пусть многообразие X связно, dim X > 0 и оператор d0Γ : L02 (Y, σ) → L02 (Y, σ) компактно разрешим. Тогда оператор d0e нормально ΓΘ×Y
(компактно) разрешим тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий: a) H 0 Γ 6= 0 (0 < dim H 0 Γ < ∞), и оператор d0WΘ : L02 (X, ρ0 ) → L12 (X, ρ0 ) нормально (компактно) разрешим, 0 b) H 0 Γ = 0, и оператор ∂W : R20 (X, ρ0 , ρ1 ) → R21 (X, ρ0 , ρ1 ) нормально Θ (компактно) разрешим. Доказательство. Используя лемму 6 и замечание к ней, заключаем, что 0 оператор ∂W : R20 (X, ρ0 , ρ1 ) → R21 (X, ρ0 , ρ1 ) нормально (компактно) разрешим, Θ если нормально (компактно) разрешим оператор d0WΘ : L02 (X, ρ0 ) → L12 (X, ρ1 ). Поэтому в случае k = 0 из условия a) теоремы 1 вытекает условие b) этой теоремы, а из условия a0 ) — условие b0 ). Леммы 7 и 8 показывают, что при k = 0 выполнены условия c) и c0 ) теоремы 1. Поэтому теорема 2 следует из теоремы 1. Теорема доказана. Доказательство следующего утверждения аналогично доказательству теоремы 2. Теорема 20 . Пусть многообразие X связно, dim X > 0 и оператор dn−1 : Γ n−1 n L2 (Y, σ) → L2 (Y, σ) компактно разрешим. Тогда оператор dn+m−1 : L2n+m−1 (M, ρσ) → Ln+m (M, ρσ) 2 e ΓΘ×Y
Метод разделения переменных
395
нормально (компактно) разрешим тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий: m−1 a) H n Γ 6= 0 (0 < dim H n Γ < ∞), и оператор dW : Lm−1 (X, ρn ) → 2 Θ m L2 (X, ρn ) нормально (компактно) разрешим, m b) H n Γ = 0, и оператор ∂W : R2m (X, ρn−1 , ρn ) → R2m+1 (X, ρn−1 , ρn ) норΘ мально (компактно) разрешим. Теорема 3. Пусть многообразие X связно, dim X = 1, 0 ≤ k ≤ n, операторы djΓ : Lj2 (Y, σ) → Lj+1 2 (Y, σ) компактно разрешимы при j ∈ {k − 1, k}. Тогда нормально (компактно) разрешим в том и только том случае, оператор dke ΓΘ×Y когда выполнено одно из следующих условий: a) H k Γ 6= 0 (0 < dim H k Γ < ∞), и оператор d0Wc : L02 (X, ρk ) → L12 (X, ρk ) нормально (компактно) разрешим, 0 b) H k Γ = 0, 0 < k < n, операторы ∂W : R20 (X, ρk , ρk+1 ) → R21 (X, ρk , ρk+1 ) и c 1 2 1 ∂Wc : R2 (X, ρk−1 , ρk ) → R2 (X, ρk−1 , ρk ) нормально (компактно) разрешимы. 0 : R20 (X, ρ0 , ρ1 ) → R21 (X, ρ0 , ρ1 ) нормально c) H 0 Γ = 0, k = 0, оператор ∂W c (компактно) разрешим, 1 : R21 (X, ρn−1 , ρn ) → R22 (X, ρn−1 , ρn ) норd) H n Γ = 0, k = n, оператор ∂W c мально (компактно) разрешим. Доказательство. Так как каждое связное одномерное риманово многообразие изометрично промежутку вещественной прямой, то можно считать, что X = (a, b), −∞ ≤ a < b ≤ ∞. Для двух произвольных весовых функций ξ и τ на X положим W (X, ξ, τ ) = ω ∈ L02 (X, ξ) ∩ Dom d0 : d1 ω ∈ L02 (X, τ ) . Векторное пространство W (X, ξ, τ ) будем считать снабженным нормой kωk = 1/2 kωk22,ξ + kdωk22,τ . Пусть W (X, ξ, τ )c — замыкание в W (X, ξ, τ ) подпространства D0 (X) гладких функций с компактными носителями. Коразмерность пространства Wc (X, ξ, τ ) в W (X, ξ, τ ) не превосходит 2 [4, лемма 11]. Пусть ξ = max(ρk , ρk+1 ), τ = ρk+1 . Область задания оператора 0 ∂W : R20 (X, ρk , ρk+1 ) → R21 (X, ρk , ρk+1 )
очевидным образом может быть отождествлена с пространством W (X, ξ, τ ), а 0 область задания оператора ∂W — с пространством Wc (X, ξ, τ ). Для любой спеc 0 циальной последовательности Γ в R2 (X, ρk , ρk+1 ) имеем Dom ∂W ⊂ Dom ∂Γ0 ⊂ c 0 0 Dom ∂W , и поэтому коразмерность пространства Dom ∂Wc в Dom ∂Γ0 не превосходит 2. А так как при этом Ker ∂Γ0 = 0, оператор ∂Γ0 нормально (компактно) разрешим тогда и только тогда, когда нормально (компактно) разрешим опера0 тор ∂W [1]. c Область задания оператора d0W : L02 (X, ρk ) → L12 (X, ρk ) совпадает с W (X, ρk , ρk ), а область задания оператора d0Wc : L02 (X, ρk ) → L12 (X, ρk ) — с Wc (X, ρk , ρk ), dim ker d0W ≤ 1. Отсюда делаем вывод, что для любой специальной последовательности Γ в L2 (X, ρk ) оператор d0Γ нормально (компактно) разрешим тогда и только тогда, когда нормально (компактно) разрешим оператор d0Wc . Для произвольной специальной последовательности Γ в R2 (X, ρk−1 , ρk ) бу1 1 дет ∂W ⊂ ∂Γ1 ⊂ ∂W . В соответствии с леммой 5 оператор (∂Γ1 )0 , сопряженный c оператору ∂Γ1 ), удовлетворяет условиям −1 −1 −1 0 1 0 0 0 ∂W ⊂ (∂Γ1 )0 ⊂ ∂W , ∂W , ∂W : R20 X, ρ−1 k , ρk−1 → R2 X, ρk , ρk−1 . c c
396
В. И. Кузьминов, И. А. Шведов
Поэтому оператор ∂Γ1 нормально (компактно) разрешим тогда и только тогда, когда нормально (компактно) разрешим оператор −1 −1 −1 0 1 ∂W : R20 X, ρ−1 k , ρk−1 → R2 X, ρk , ρk−1 , который, в свою очередь, нормально (компактно) разрешим одновременно с оператором 1 ∂W : R21 (X, ρk−1 , ρk ) → R21 (X, ρk−1 , ρk ). c Лемма 6, замечание к ней, леммы 7 и 8 позволяют теперь убедиться в том, что в частном случае dim X = 1 условия нормальной и компактной разрешимосводятся к условиям теоремы 3. Теорема доказана. сти оператора dke ΓΘ×Y
Следствие. Если dim X = 1, а Y — замкнутое (т. е. компактное без края) многообразие, то для любого k ∈ Z оператор dkW : Lk2 (M, ρσ) → Lk+1 (M, ρσ) 2 нормально (компактно) разрешим тогда и только тогда, когда нормально (ком(M, ρσ). пактно) разрешим оператор dkWc : Lk2 (M, ρσ) → Lk+1 2 Доказательство. В случае замкнутого многообразия Y все операторы fc = Wc и djW : L2 (Y, σ) в L2 (Y, σ) компактно разрешимы [1]. Кроме того W k f W = W . По теореме 3 свойство оператора df быть нормально (компактно) WΘ×Y
разрешимым не зависит от выбора семейства носителей Θ. Следствие доказано. 0 : R20 (X, ξ, τ ) → R20 (X, ξ, τ ) нормально разрешим тогда и тольОператор ∂W c (1)
ко тогда, когда имеет место вложение W 0 R2 (X, ξ, τ )c ⊂ L02 (X, ξ, τ ). Этот оператор компактно разрешим тогда и только тогда, когда оператор указанного вложения компактен. В [5] указаны условия существования и компактности оператора вложения W 0 R2 (X, ξ, τ )c ⊂ L02 (X, ξ, τ ) в терминах свойств весовых функций ξ и τ . В формулировке теоремы 3 условие нормальной (компактной) разрешимо0 можно заменить условием наличия (компактного) вложения сти оператора ∂W c 0 0 W R2 (X, ξ, τ )c ⊂ L2 (X, ξ, τ ). Полученное в результате такой замены утверждение подтверждает в случае p = 2 сформулированную в [3] гипотезу об условиях нормальной (компактной) разрешимости операторов dkW и dkWc на искривленных цилиндрах. В общем вопрос о справедливости этой гипотезы остается открытым. ЛИТЕРАТУРА 1. Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. О нормальной и компактной разрешимости линейных операторов // Сиб. мат. журн.. 1989. Т. 30, № 5. С. 49–59. 2. Кузьминов В. И., Шведов И. А. О разложении в ортогональную сумму комплексов де Рама искривленных произведений римановых многообразий // Сиб. мат. журн.. 1998. Т. 39, № 2. С. 354–368. 3. Кузьминов В. И., Шведов И. А. О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на искривленных произведениях // Сиб. мат. журн.. 1996. Т. 37, № 2. С. 324–337. 4. Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. Ненулевые элементы Lp -когомологий искривленных произведений // Сиб. мат. журн.. 1992. Т. 33, № 6. С. 14–30. 5. Oinarov R. On weighted norm inequalities with three weights // J. London Math. Soc. (2). 1993. V. 48, N 1. P. 103–116. Статья поступила 5 ноября 1999 г. г. Новосибирск Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН
[email protected];
[email protected]
