Избранные вопросы математического анализа: Рабочая учебная программа дисциплины

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Факультет математический Кафедра математического анализа

УТВЕРЖДАЮ: Проректор по учебной работе УрГПУ ________________ Т.Н. Шамало «___» ______________2008 г.

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по дисциплине «Избранные вопросы математического анализа» для специальности «050201-Математика» по циклу ДПП.В.00 – Дисциплины предметной подготовки (курсы по выбору)

Очная форма обучения Курс – 2 Семестр – 4 Объѐм в часах всего – 68 в т.ч.: лекции – 34 самостоятельная работа – 34 Зачет – 4 семестр Курсовая работа – 4 семестр

Заочная форма обучения Курс – 2 Семестр – 4 Объѐм в часах всего – 68 в т.ч.: лекции – 10 самостоятельная работа – 58 Зачет – 4 семестр Курсовая работа – 4 семестр

Екатеринбург 2008

Рабочая учебная программа по дисциплине «Избранные вопросы математического анализа» ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Екатеринбург, 2008. – 8 с. Составители:

Бодряков Владимир Юрьевич, зав.кафедрой математического анализа УрГПУ, д.ф.-м.н., доцент Фомина Нина Гервасиевна, старший преподаватель кафедры математического анализа УрГПУ

Рабочая учебная программа обсуждена на заседании кафедры математического анализа УрГПУ Протокол от «___» ________ 200_ г. №___. Зав. кафедрой __________В.Ю. Бодряков

Отделом нормативного обеспечения образовательного процесса УрГПУ выдан сертификат № _______ от «___» __________ 2008 г. Начальник отдела ____________ Р.Ю. Шебалов

2

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Целью данной дисциплины является углубление знаний по разделам основного курса математического анализа и некоторым смежным разделам математики, а также расширение кругозора студентов-математиков в аспекте приложений математики. Для достижения этой цели решаются следующие задачи: углубляется понятие предела; обобщаются основные понятия математического анализа; моделируются деформации графиков функций; отрабатываются операциональные навыки; рассматриваются задачи, допускающие решения с применением численного моделирования, развиваются навыки самостоятельной работы с научными текстами, познавательный интерес, воспитывается ответственность. Изучение вышеуказанных вопросов способствует профессиональному развитию будущего учителя математики, развитию у студентов самостоятельности, профессиональной мобильности и формирует основу для написания курсовых работ. 2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 2.1 . Учебно-тематический план очной формы обучения № Наименование раздела, темы Всего Аудиторные часы Сам. п/п трудо Все Лек Прак Лаб рабо ѐмость го ции тич. раб. та 1 Математический анализ как одна из базовых дисцип8 4 4 4 лин современной математики. Предел как основное понятие математического анализа 2 Понятие функции, его обобщение. Графики функций, 8 4 4 4 их деформирование (компьютерное моделирование) 3 8 4 4 4 Бесконечно малые функции, символ [], его свойства. Связь между функцией (последовательностью), ее пределом и бесконечно малой функцией (последовательностью) 4 Эквивалентные функции, сравнение функций. При- 12 6 6 6 ложение эквивалентных функций к исследованию числовых рядов на сходимость 5 Дифференцируемость функции в точке и на множест8 4 4 4 ве. Связь непрерывности и дифференцируемости 6 Исследование функций, заданных явно, неявно и па8 4 4 4 раметрически (схема исследования), построение графиков функций 7 Формула Тейлора и ее приложения 8 4 4 4 8 Несобственные интегралы, их свойства 8 4 4 4 Итого: 68 34 34 34 № п/п 1

2 3

2.2 Учебно-тематический план заочной формы обучения Наименование раздела, темы Всего Аудиторные часы Сам. трудо Все Лек Прак Лаб рабо ѐмость го ции тич. раб. та Математический анализ как одна из базовых дисцип3 1 1 2 лин современной математики. Предел как основное понятие математического анализа Понятие функции, его обобщение. Графики функций, 5 1 1 6 их деформирование (компьютерное моделирование) 5 1 1 4 Бесконечно малые функции, символ [], его свойства. Связь между функцией (последовательностью), ее пределом и бесконечно малой функцией (последовательностью) 3

4

5 6

7 8

Эквивалентные функции, сравнение функций. Приложение эквивалентных функций к исследованию числовых рядов на сходимость Дифференцируемость функции в точке и на множестве. Связь непрерывности и дифференцируемости Исследование функций, заданных явно, неявно и параметрически (схема исследования), построение графиков функций Формула Тейлора и ее приложения Несобственные интегралы, их свойства Итого:

11

1

1

10

10

2

2

8

14

2

2

12

7 11 68

1 1 10

1 1 10

6 10 58

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 3.1. Перечень тем лекционных занятий 1. Математический анализ как одна из базовых дисциплин современной математики. Предел как основное понятие математического анализа. Постановка задач курса. Понятие предела (последовательности и функции), его обобщение. Роль предела в развитии математического анализа. 2. Понятие функции, его обобщение. Графики функций, их деформирование (компьютерное моделирование). Построение графиков функций методом преобразований, исследование функций. Построение графиков функций с помощью компьютерных прикладных программ. 3. Бесконечно малые функции, символ [], его свойства. Связь между функцией (последовательностью), ее пределом и бесконечно малой функцией (последовательностью). Связь между функцией (последовательностью), ее пределом и бесконечно малой функцией (последовательностью). Решение задач с применением []. 4. Эквивалентные функции, сравнение функций. Приложение эквивалентных функций к исследованию числовых рядов на сходимость. Критерий эквивалентности функций. Замена функций эквивалентными при вычислении пределов. Вычисление пределов с помощью эквивалентных функций 5. Дифференцируемость функции в точке и на множестве. Связь непрерывности и дифференцируемости. Условия дифференцируемости функции. Свойства дифференцируемых функций. Дифференцирование неявно заданных функций. Исследование функций на дифференцируемость в точке и на множестве 6. Исследование функций, заданных явно, неявно и параметрически (схема исследования), построение графиков. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на множестве. Асимптотическое поведение функций. Построение графиков функций. 7. Формула Тейлора и ее приложения. 8. Несобственные интегралы, их свойства. Вычисление несобственных интегралов. Приближенное вычисление интегралов.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

3.2. Вопросы для контроля и самоконтроля Бесконечно малые функции, символ [] и его свойства. Эквивалентные функции, сравнение функций. Критерий эквивалентности функций. Замена функций эквивалентными при вычислении пределов. Вычисление пределов с помощью эквивалентных функций. Дифференцируемость функции в точке и на множестве. Исследование функций на дифференцируемость в точке и на множестве. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на множестве. 4

9. Асимптотическое поведении функций. 10. Формула Тейлора и ее приложения. 11. Приближенное вычисление интегралов. 4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНООЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 4.1. Темы, вынесенные на самостоятельное изучение 1. История зарождения понятия «Предел». 2. Изучение некоторых видов «особых» функций. 3. Сравнение скоростей изменения функций. 4. Вычисление предела с помощью формулы Тейлора. 5. Вычисление приближенных значений функций и интегралов различными способами. 4.2. Примерные темы курсовых работ 1. Применение компьютерных методов построения функций. 2. Исследование числовых рядов с помощью признака Раабе на сходимость. 3. Различные способы вычисления приближенных значений функций. 4.3. Примерные вопросы для курсового зачета 1. Графики функций, их деформирование. 2. Символ  и его свойства. 3. Решение задач с применением . 4. Вычисление пределов с помощью эквивалентных функций. 5. Приложение к исследованию числовых рядов на сходимость. 6. Исследование функций на дифференцируемость в точке и на множестве. 7. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на множестве. 8. Исследование функций, построение графиков. 9. Асимптотическое поведение функций. 10. Формула Тейлора и ее приложения. 11. Вычисление несобственных интегралов. 12. Приближенное вычисление интегралов. 5. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Студент, изучивший дисциплину, должен знать:  основные понятия математического анализа как одной из базовых дисциплин современной математики;  понятие предела;  понятие функции, бесконечно малой и бесконечно большой функции;  свойства символа ;  понятие эквивалентности функции, критерии эквивалентности;  понятие дифференцируемости функции в точке и на множестве, свойства дифференцируемых функций;  схему исследования функции и схему построения ее графика;  формулу Тейлора и схему ее применения;  понятие несобственного интеграла и его свойства;  схему приближенного вычисления функций и определенных интегралов. Студент, изучивший дисциплину, должен уметь:

5

 деформировать графики функций, в том числе с применением средств компьютерной графики;  решать задачи с применением ;  применять понятие эквивалентности функции при вычислении пределов и исследовании числовых рядов на сходимость;  исследовать функции на дифференцируемость в точке и на множестве;  находить наибольшее и наименьшее значения функции на множестве;  исследовать функции, включая асимптотическое поведение, строить графики;  применять формулу Тейлора для разложения функций, вычисления приближенных значений функций и определенных интегралов. 6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 6.1. Рекомендуемая литература

1. 2. 3. 4. 5. 6.

7.

Основная Фихтенгольц, Г.Н. Основы математического анализа. Часть 1 [Текст] / Г. Н. Фихтенгольц. – СПб.: Лань, 2005. – 448 с. Фихтенгольц, Г.Н. Основы математического анализа. Часть 2 [Текст] / Г. Н. Фихтенгольц. – СПб.: Лань, 2005. – 464 с. Данилин, А.Р. Математический анализ. Начальный курс [Текст] / А. Р. Данилин. – Екатеринбург: УрГПУ, 2003. – 119 с. Архипов, Г.И. Лекции по математическому анализу [Текст] / Г. И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. – М.: Дрофа, 2004. – 640 с. Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу [Текст] / Б.П. Демидович. – М.: Астрель, 2003. – 558 с. Сборник задач по математическому анализу. Т. 1. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость [Текст] / Л. Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. – М.: Физматлит, 2003. – 495 с. Сборник задач по математическому анализу. Т. 2. Интегралы. Ряды [Текст] / Л. Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. – М.: Физматлит, 2003. – 502 с.

Дополнительная 8. Рудин, У. Основы математического анализа [Текст] / У. Рудин ; пер. с англ. В.П. Хавина. – СПб.: Лань, 2004. – 320 с. 9. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы [Текст] / Г. Корн, Т. Корн; пер. с амер. И.Г. Арамановича. – СПб.: Лань, 2003. – 832 с. 10. Сборник задач по математическому анализу. Т. 3. Функции нескольких переменных [Текст] / Л. Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. – М.: Физматлит, 2003. – 472 с. 11. Виноградова, И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Часть 1. Дифференциальное и интегральное исчисление [Текст] / И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий. – М.: Дрофа, 2001. – 725 с. 12. Виноградова, И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Часть 2. Рды, несобственные интегралы, ряды Фурье, преобразования Фурье [Текст] / И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий. – М.: Дрофа, 2001. – 712 с.

6

6.2 Информационное обеспечение дисциплины: Локальная электронная сеть математического факультета УрГПУ: Информационная обучающая среда. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ И ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ При изучении данной дисциплины используются персональные компьютеры с соответствующим программным обеспечением для построения графиков функций и их деформирования, приближенного значения функций и определенных интегралов. 7.

8. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ПРОГРАММЫ Бодряков Владимир Юрьевич д.ф.-м.н. доцент зав.кафедрой математического анализа УрГПУ Фомина Нина Гервасиевна старший преподаватель кафедры математического анализа УрГПУ рабочий телефон (343) 371-09-24

7

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по дисциплине «Избранные вопросы математического анализа» для специальности «050201-Математика» по циклу ДПП.В.00 – Дисциплины предметной подготовки (курсы по выбору)

Подписано в печать

Формат 60х84/16

Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. Тираж экз. Заказ Уральский государственный педагогический университет. 620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26.

8