Избранные вопросы классических неевклидовых геометрий: Учебно-методическое пособие

Федеральное агентство по образованию РФ Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Ромакина Л.Н.

Избранные вопросы классических неевклидовых геометрий Учебно-методическое пособие

Саратов, 2009

УДК [514.13+514.14+514.15](075/8) ББК 22.151.2 я72 Р 69

Ромакина Л.Н. Избранные вопросы классических неевклидовых геометрий. Учебно-методическое пособие для преподавателей, аспирантов и студентов математических специальностей вузов. – Саратов: , 2009. – 49с.

Рекомендовано к изданию кафедрой геометрии Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского. Р е ц е н з е н т ы: 1. Киотина Г.В., кандидат физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии Рязанского государственного педагогического университета имени С.А. Есенина. 2. Игошин В.И., доктор педагогических наук, кандидат физикоматематических наук, профессор кафедры геометрии Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского.

Учебно-методическое пособие адресовано преподавателям, аспирантам и студентам математических специальностей вузов, интересующимся вопросами неевклидовых геометрий. Пособие содержит большое количество задач исследовательского характера, которые могут быть предложены для самостоятельной работы студентам при изучении неевклидовых геометрий. Основная часть задач и темы курсовых работ посвящены вопросам коевклидовой и копсевдоевклидовой геометрий, изложение которых можно найти в книге автора: Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. Учебное пособие по спецкурсу для студентов-математиков педагогических специальностей вузов. – Саратов: ООО Издательство «Научная книга», 2008. – 279 с.

ББК 22.151.2 я72 © Ромакина Л.Н., 2009 2

ВВЕДЕНИЕ Построение различных неевклидовых геометрий по единой логической схеме берет свое начало в трудах английского математика Артура Кэли, который вводит мероопределение с помощью образа второго порядка и тем самым устанавливает связь между теорией инвариантов и проективной геометрией [13]. Впервые сформулирована данная идея в знаменитой лекции немецкого математика Феликса Клейна, прочитанной в 1872 году в университетете г. Эрланген (Германия) и известной под названием «Эрлангенская программа». Согласно представлениям Кэли и Клейна о геометрии как совокупности свойств фигур, инвариантных относительно некоторой подгруппы группы проективных преобразований, существует девять различных геометрий [4], [13], [18], [20] определенных образом второго порядка на проективной плоскости. Одной из этих девяти геометрий является «родная» нам геометрия Евклида. Мы «евклидово» мыслим. Окружающий нас физический мир, точнее, воспринимаемый нами физический мир, как правило, евклидов. Только немногие из нас имеют уникальную возможность «заглянуть» за пределы этого мира, познакомиться с геометриями, законы которых разрушают многие наши представления, но вслед за этим непременно возводят новые, более общие, более прочные. Восемь остальных геометрий собственно и относят к классическим неевклидовым плоским геометриям. Фиксированный на проективной плоскости образ второго порядка называют абсолютом соответствующей неевклидовой плоскости, или бесконечно удаленной квадрикой, или несобственной линией второго порядка. Приведем указанные девять двумерных геометрий и соответствующие им абсолюты [4], [18]. Прежде всего, выделим три плоские геометрии, абсолюты которых содержат прямую линию проективной плоскости, их называют геометриями с аффинной базой. Евклидова геометрия, ее абсолютом является прямая проективной плоскости с парой мнимо сопряженных точек на ней (рис. 1). 3

Псевдоевклидова, или геометрия Минковского. Абсолют – прямая с двумя действительными точками на ней (рис. 2). Флаговая, или геометрия Галилея. Абсолют – проективная прямая с действительной точкой на ней, которая считается двойной (рис. 3).

+

+

Евклидова Рис. 1

Псевдоевклидова Минковского

Флаговая Галилея

Рис. 2

Рис. 3

По малому принципу двойственности проективной плоскости флаговая геометрия двойственна сама себе, а евклидовой и псевдоевклидовой геометриям соответствуют геометрии: коевклидова с абсолютом, состоящим из пары мнимо сопряженных прямых, пересекающихся в действительной точке (рис. 4); копсевдоевклидова, ее абсолют – пара действительных прямых (на проективной плоскости они всегда имеют общую точку) (рис. 5). Абсолютные линии этих пяти плоскостей вырождены, и, следовательно, метрики плоскостей вводятся с помощью вырожденных квадратичных форм.

Коевклидова

Копсевдоевклидова

Рис. 4

Рис. 5

Эллиптическая Римана Рис. 6

Невырожденными линиями второго порядка на проективной плоскости являются овальная линия и нулевая, не имеющая действительных точек. 4

Нулевая линия (рис. 6) является абсолютом плоской геометрии Римана, ее также называют эллиптической геометрией. Овальная линия определяет три различные двумерные геометрии: гиперболическую, или геометрию Лобачевского, двойственную ей когиперболическую и бигиперболическую.

Гиперболическая

Когиперболическая

Бигиперболическая

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Гиперболическая геометрия построена на множестве точек, внутренних относительно абсолютной овальной линии, и множестве прямых, пересекающих эту линию (рис. 7). Когиперболическая геометрия – на множестве точек, внешних относительно абсолюта, и множестве прямых, не пересекающих его (рис. 8). А бигиперболическая геометрия построена на множестве внешних относительно абсолюта точек и множестве прямых, пересекающих абсолют (рис. 9). Знакомство с неевклидовыми геометриями позволяет с новых позиций увидеть известные факты евклидовой геометрии, более глубоко их осмыслить, а, нередко, и переосмыслить, установить новые связи между известными понятиями. В работе [25] отмечены преимущества применения моделей Кэли-Клейна в изложении неевклидовых геометрий при подготовке будущих учителей математики. Ведущим, наиболее значимым, преимуществом является тот факт, что именно проективное изложение геометрий вооружает исследователя определенным общим алгоритмом, общей схемой построения всех классических неевклидовых геометрий. Настоящее пособие содержит методические рекомендации по изложению некоторых вопросов неевклидовых геометрий с 5

позиций геометрии проективной, систему задач и заданий исследовательского характера и темы курсовых работ, посвященные вопросам классических неевклидовых геометрий. Первая часть пособия состоит из фрагментов лекций по курсу «Избранные вопросы геометрии», проведенных для студентов педагогических специальностей механико-математического факультета Саратовского государственного университета, содержащих введения в неевклидовых геометриях фундаментальных понятий: тип прямой, луч, направление на прямой, отрезок, квазиотрезок [24], [27]. Во второй части пособия предложены задачи и задания исследовательского характера для организации самостоятельной индивидуальной и групповой работы студентов. Тематика разделов блока задач соответствует изложению коевклидовой и копсевдоевклидовой геометрий в книге [24]. Многие задачи содержат новые результаты по различным неевклидовым геометриям. По согласованию с преподавателем они могут быть включены как в курсовые, так и в выпускные квалификационные аттестационные работы. Третья часть пособия – подборка тем курсовых работ по неевклидовым геометриям в проективном изложении. По каждой теме предложены план работы и литература.

6

Часть I. Введение в классических неевклидовых геометриях фундаментальных понятий: направление, луч, отрезок, квазиотрезок Учитывая, что каждая прямая на проективной плоскости пересекает каждую линию второго порядка в двух точках (действительных различных, действительных совпавших, или мнимо сопряженных), получаем три возможных типа прямых в классических неевклидовых геометриях. Бесконечно удаленные, или абсолютные, точки прямой являются своего рода «точками опоры» при построении геометрии на прямой. Именно, с помощью абсолютных точек на прямых можно ввести фундаментальные геометрические понятия: луч, отрезок, деление отрезка в некотором отношении, длина отрезка. Почти по Архимеду: «Дайте мне абсолютную точку, и я построю мир». 1. Типы прямых. Для успешного освоения «неевклидовых миров» необходимо освободить себя от некоторых стереотипов, многие из которых сложились задолго до того, как мы начали изучать геометрию в школе. Например, гуляя по прямой дороге и двигаясь от ее фиксированной точки, мы всегда идем или в одну, или в другую сторону. То есть, находясь в некоторой точке прямой, мы видим два и только два ее направления. Этот факт для нас, а жителей евклидова мира, настолько привычен, что мы по неосторожности, не встречая в жизни «иных прямых дорог», можем приписать его вообще всем «дорогам». А «дороги» бывают разными. Примем единственное общее требование: «дорога» должна быть замкнутой, если все ее точки равноправны. а

б

в

Р

K1

+

г

+

K2

K1

K2

Рис. 10

На рисунке 10 изображены четыре различные прямые. Проективная прямая (рис. 10, а) не имеет особенных точек, все ее 7

точки равноправны. Никакая точка проективной прямой не разрывает ее на части. Поэтому по такой прямой нельзя «гулять» в ту или в другую сторону. Здесь нет понятия «направление». Если проективная прямая скользит сама по себе, любые ее четыре точки переходят в такие ее четыре точки, что сохраняется неизменным некоторое число, сложное отношение данных четырех точек. На рисунке 10, б показана прямая, одна точка (Р) которой особенная, она бесконечно удалена, недостижима для нас. Можно представлять, что приближаясь к этой точке, температура окружающей области, в том числе и нашего тела, снижается, а в самой точке равна абсолютному нулю, то есть движение молекул прекращается, прекращается и наше существование. Принимая во внимание недостижимость точки Р, считаем ее удаленной из прямой, «вырезанной». Тогда прямая перестает быть замкнутой, но остается одним целым «куском». Именно с такими, и только с такими, прямыми мы встречаемся в евклидовом мире. Поэтому для нас так сложно представлять прямую замкнутой. Вообще, такие прямые, их называют аффинными, или параболическими [20, стр. 155], существуют не только в евклидовом мире. Все прямые, например, пространств Минковского и Галилея [3], [18], [29] являются аффинными. По параболическим прямым можно «гулять в сторону». Строгое обоснование этого факта дано в книге [24]. Если бесконечно удаленными точками проективной прямой являются две мнимо сопряженные точки (точки K1, K2 на рисунке 10, в), то прямую называют эллиптической. Эллиптическими прямыми являются все прямые эллиптического пространства, или пространства Римана [20]. Полагая, что по мнимой точке произвести разрез прямой невозможно, мы получаем замкнутую эллиптическую прямую. Наличие бесконечно удаленных точек K1, K2 существенно отличают эллиптическую прямую от проективной. Они дают возможность вводить отношения и понятия, неприменимые к точкам проективной прямой [20], [24] . Наиболее интересными являются прямые с двумя действительными бесконечно удаленными точками, гиперболические прямые (рис. 10, г). Разрезав такую прямую по недостижимым точкам, получим два ее «куска», каждый из которых имеет два направления, или две «стороны для 8

прогулок». Геометрия гиперболических прямых, как неизотропных прямых копсевдоевклидовой плоскости описана в книге [24]. Каждая прямая пространства Лобачевского представляет собой один из двух «кусков» некоторой гиперболической прямой. 2. Определения луча, отрезка и квазиотрезка. 1. Пусть l – параболическая прямая. Справедливо утверждение. Каждая точка А прямой l разделяет множество всех точек этой прямой на два класса. Обоснуем это утверждение. Пусть Р – действительная абсолютная точка прямой l, существование точки Р следует из определения параболической прямой. Если две точки U, V прямой l не разделяют пару точек А и Р, то есть, если сложное отношение четырех точек U, V, A, P больше нуля ((UV AP) > 0), то будем говорить, что эти точки находятся в отношении õ. Обозначение: U õ V. Отношение õ является отношением эквивалентности, так как обладает следующими свойствами. 10. Отношение õ рефлексивно. Действительно, для каждой точки М прямой l: М õ М, так как (ММ AР) = 1 > 0. 20. Отношение õ симметрично. Так как для любых точек М и N прямой l справедливо утверждение: если М õ N, то N õ М. Действительно, если (MN AР) > 0, то (NM AP) = (1: (MN AP)) > 0. 30. Отношение õ транзитивно. Для любых точек L, M, N прямой l имеем: если L õ M и M õ N, то L õ N. Так как если (LMAР) > 0, (MNAР) >0, то (LN AР) = (LM AР)(MN AР) > 0. Множество всех точек прямой l разобьем на классы эквивалентности по отношению õ. Если две точки находятся в отношении õ, поместим их в один класс, если точки не находятся в отношении õ, поместим их в различные классы. 9

Для любой точки Т прямой l (АР) существует единственная точка Т', четвертая гармоническая к тройке точек Т, А, Р. Точки Т и Т' принадлежат различным классам по отношению õ, так как (ТТ' АР) = – 1 < 0. Для любой точки М прямой l имеем: (ТТ' АР) = (ТМ АР)(МТ' АР) < 0, следовательно, числа (ТМ АР) и (МТ' АР) имеют разные знаки, поэтому точка М принадлежит либо классу, содержащему точку Т, либо классу, содержащему точку Т'. Таким образом, существует точно два класса эквивалентности по отношению õ. Что и требовалось доказать. Каждый класс эквивалентности по отношению õ назовем лучом с началом в данной точке А. Будем говорить, что каждый луч с началом в точке А определяет направление на прямой l. Очевидно, на каждой параболической прямой относительно ее некоторой точки существует точно два направления. Рассуждая аналогично, можно доказать, что каждые две точки А и В разделяют множество всех точек аффинной прямой АВ на три класса. Множество точек, состоящее из точек А, В и всех точек X, разделяющих с бесконечно удаленной точкой P пару точек A и B, назовѐм отрезком AB. Точки A и B назовѐм концами этого отрезка. Множество всех точек аффинной прямой АВ, не разделяющих с точкой Р пару точек А и В, можно разбить точно на два класса так, чтобы любые две точки одного класса не разделяли пару точек А и Р, или, что равносильно, не разделяли пару точек В и Р. Каждый из классов является лучом с началом в точке А, или лучом с началом в точке В. 2. Пусть l – эллиптическая прямая. По определению эллиптические прямые замкнуты и имеют две бесконечно удаленные мнимо сопряженные точки. Понятие направления, в привычном для нас смысле, на эллиптической прямой ввести нельзя. Так как никакая точка эллиптической прямой не разбивает ее на части. Если провести рассуждения пункта 1 для эллиптической прямой l и вместо абсолютной точки Р принять в рассуждениях некоторую собственную действительную точку В этой прямой, получим следующее утверждение. 10

Любые две точки А и В эллиптической прямой l разбивают множество всех точек этой прямой, за исключением точек А и В, на два непустых непересекающихся множества Ŋ1, Ŋ2. Каждое из множеств Ŋ1, Ŋ2 с точками А, В назовем отрезком, определенным точками А и В (или отрезком АВ), и обозначим: АВ. Точки А и В назовем концами отрезков АВ. Если указана некоторая точка T прямой l, то отрезок АВ, содержащий эту точку, будем обозначать АТВ. 3. Покажем, что на гиперболических прямых можно ввести отрезки двух типов. Действительно, пусть K1 и K2 – вещественные абсолютные точки гиперболической прямой l. Будем говорить, что точки А и В прямой l находятся в отношении õ (А õ В), если (АВ K1K2) > 0. Согласно утверждению пункта 1 множество всех точек прямой l по отношению õ можно разделить точно на два класса. Каждый класс назовем ветвью прямой l. Каждая точка А некоторой ветви γ прямой l разделяет множество всех точек этой ветви K1 S0 на два класса (рис. 11, рисунок для K2 γ наглядности выполнен с учетом замкнутости прямой l, ветвь γ B(A) S A(B) изображена дугой K1ABK2). Одному классу принадлежат Рис. 11 точки, попарно не разделяющие никакую из пар точек Ki, А, i =1, 2. Каждый класс назовем лучом с началом в точке A. Точки Н и Т прямой l назовем ортогональными, если (НТ K1 K2) = –1. Пусть А и В – точки одной ветви γ гиперболической прямой l. На прямой l найдется единственная пара ортогональных точек S, S0, гармонически разделяющих пару точек A, B: ((SS0 АВ) = –1).

11

Точки S, S0 ортогональны, то есть (SS0 K1 K2) = –1 < 0, поэтому одна и только одна из них принадлежит ветви γ, обозначим ее S, вторую точку обозначим S0. Точки А, В и множество всех точек ветви γ, не разделяющих с точкой S пару А, В, назовем отрезком АВ. Точки А и В назовем концами отрезка АВ, точку S – серединой, а точку S0 – квазисерединой отрезка АВ. Пусть X, Y – некоторые точки отрезка АВ, согласно определению: (XS AB) > 0 и (YS AB) > 0. Тогда (XY AB) = (XS AB):(YS AB) > 0. Следовательно, любая пара точек отрезка не разделяет его концы. Рассмотрим множество Ŋ всех точек ветви γ, не принадлежащих отрезку АВ. Пусть U, V – любые точки из Ŋ. Тогда (US AB)< 0 и (VS AB)< 0, следовательно, (UV AB) = (US AB)(SV AB) = (US AB):(VS AB) > 0. То есть любые две точки множества Ŋ не разделяют концы отрезка АВ. Точки U, V принадлежат одной ветви γ, поэтому (UV K1 K2) > 0. Пусть пара точек U, V разделяет пару точек K1, A, то есть тогда

(UV K1 A)< 0, (UV K2 A) = (UV K2 K1)(UV K1 A) < 0, (UV K1 B) = (UV K1 A)(UV AB) < 0, (UV K2 B) = (UV K2 A)(UV AB) < 0.

Следовательно, если пара точек U, V разделяет хотя бы одну из пар точек Ki, A; Ki, B, i = 1, 2, то она разделяет и любую другую из этих пар. Будем говорить, что точки U, V из Ŋ находятся в отношении ọ, если пара точек U, V не разделяет пару точек K1, A. Обозначение: U ọ V. 12

Отношение ọ, очевидно, является отношением эквивалентности. Разделим по отношению ọ все точки множества Ŋ на классы. Если две точки находятся в отношении ọ, то отнесем эти точки к одному классу. Если точки не находятся в отношении ọ, отнесем их к различным классам. Фактор-множество Ŋ / ọ содержит точно два элемента. Действительно. Пусть в проективном репере R0 = {A, K1, B} прямой l точки K2, U, W имеют координаты: K2 (k : 1), U (u : 1), W (–u : 1), где k и u – решения совместной системы неравенств: k < 1, u < 1, u(u – k)>0, u2 – k2 > 0. Тогда для точек A, B, K1, K2, U, W выполняются условия: (AB K1K2) = 1– k > 0, то есть точки А и В принадлежат одной ветви γ, определенной точками K1, K2, и (UA K1K2) = u : (u – k) > 0, (WU K1K2) = (u + k):(u – k) > 0, то есть точки U, W также принадлежат ветви γ. Из условий (SS0 K1K2) = –1, (SS0 АB) = –1, (АSK1K2) > 0 находим единственную точку S (1 1 k : 1 ) – середину отрезка АВ. Так как справедливы неравенства: (SUАB) < 0,

(SWАB) < 0,

то точки U, W принадлежат множеству Ŋ, и так как (UW K1A) < 0, эти точки принадлежат различным классам по отношению ọ. Следовательно, фактор-множество Ŋ/ ọ содержит не менее двух элементов. Для каждой точки F прямой t выполняется условие: 13

(FW K1A) = (FU K1A)(UW K1A). Согласно неравенству (FW K1A) < 0 выражения (FW K1A) и (FU K1A) имеют разные знаки, то есть либо (FW K1A) > 0, либо (FU K1A) > 0. Поэтому каждая точка множества Ŋ попадает либо в класс, содержащий точку W, либо в класс, содержащий точку U. Следовательно, множество Ŋ разбито по отношению ọ точно на два класса. Таким образом, каждые две точки А и В одной ветви гиперболической прямой разделяют ветвь на три части: отрезок АВ и два луча с началами в точках А, В, причем ни один из лучей не содержит точек отрезка АВ. Пусть теперь точки А и В гиперболической прямой l с несобственными точками K1, K2 принадлежат различным ветвям. Очевидно, что точки А и В разбивают множество всех точек прямой l на два класса Ŋ1, Ŋ2, каждый из которых содержит одну из точек K1, K2. Класс Ŋi, i = 1, 2, содержит все такие точки X прямой l, для которых выполняется условие: (XKi AВ) > 0. Назовем каждый класс Ŋ1, Ŋ2 квазиотрезком АВ, или соответственно принадлежности точки K1 (K2) – квазиотрезком АK1В (АK2В), а точки А и В – концами квазиотрезка АK1В (АK2В). Каждый квазиотрезок АK1В (АK2В), очевидно, состоит из двух лучей различных ветвей прямой l с началами в точках А, В и общей бесконечно удаленной точкой. Квазиотрезки АK1В и АK2В назовем смежными. Точки S1, S2, гармонически разделяющие пары точек K1, K2 и А, В, назовем серединами квазиотрезка АK1В (АK2В).

14

Часть II. Задачи для самостоятельной работы Во всех задачах, если нет дополнительных установок, предполагается, что абсолютные прямые коевклидовой плоскости Р2\ АПЭ [24, стр. 8] заданы в проективном репере R проективной плоскости Р2 уравнениями: l1: x1 = ix2; l2: x1 = – ix2, а прямые абсолюта копсевдоевклидовой плоскости Р2\ АПГ [24, стр. 110] – уравнениями: l1: x1 = x2; l2: x1 = – x2. 1. Инварианты фундаментальных групп преобразований 1.1 Определите точку, которая делит отрезок АВ (А (5:2:1), В(10:4:3)) коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости в отношении (–3). 1.2 Найдите расстояние между изотропными прямыми а(3:2:0), b(5:–1:0) коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости. 1.3 Определите инвариант трех неизотропных прямых коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости: a (2:7:1), b (–6:3:2), c (4:–1:5). 1.4 На коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости найдите расстояние от точки М (2:1:–3) до точек: K (2:1:5), В (7:5:–4), С (2:5:4). Определите: биссектрису угла между прямыми MB и MC; середину отрезка MK. 1.5 На копсевдоевклидовой плоскости укажите абсолютный угол, которому принадлежат точки K, B, C предыдущей задачи. Какие из данных точек могут принадлежать одному квадранту относительно неизотропной прямой? Принадлежат ли точки K, B одному квадранту относительно прямой MC? 1.6 Задана прямая а (–3:1:2) копсевдоевклидовой плоскости. Найдите параллельные ей прямые, содержащие точку А (2:1:1). 1.7 Найдите точку пересечения биссектрис углов ab и bc, образованных прямыми коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости, данными в задаче 1.3. Проверьте, проходит ли биссектриса угла ac через эту точку. Обобщите результат для произвольно заданных неизотропных прямых. Докажите полученное утверждение. 15

1.8 Проверьте, обладает ли расстояние между изотропными прямыми коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей свойством аддитивности. 1.9 Абсолютные прямые коевклидовой плоскости заданы l2 : x1 (a ib) x2 . уравнениями: l1 : x1 (a ib) x2 ; Определите соответствующую матрицу фундаментальной группы преобразований коевклидовой плоскости. 1.10 Найдите матрицу преобразований копсевдоевклидовой плоскости, если абсолютные прямые заданы уравнениями: l1 : x1 0; l 2 : x 2 0. Определите условия на коэффициенты матриц преобразований первого и второго вида. Получите формулы для вычисления основных проективных инвариантов копсевдоевклидовой плоскости. 1.11 Определите матрицу фундаментальной группы преобразований евклидовой плоскости, задав абсолют [4], [5], [18], [33] уравнениями наиболее простого вида. Укажите особенности расположения вершин и единичных точек канонических реперов относительно абсолютных элементов, соответствующие принятым уравнениям абсолюта. 1.12 Найдите инварианты фундаментальной группы преобразований евклидовой плоскости. 1.13 Выведите формулы для вычисления угла между прямыми расширенной евклидовой плоскости, если циклические точки абсолюта имеют однородные проективные координаты: а) J1 (i:1:0), J2 (–i:1:0); б) J1 (a + ib:1:0), J2 (a – ib:1:0). 1.14 Определите на расширенной евклидовой плоскости проективный смысл понятий: аффинный репер; ортогональный репер; ортонормированный репер. 1.15 Проверьте справедливость утверждений: а) все преобразования первого рода евклидовой плоскости образуют разрешимую группу Ли; б) все преобразования второго рода евклидовой плоскости образуют разрешимую группу Ли. 1.16 Абсолют флаговой плоскости [4], [5], [18], [33] состоит из прямой и точки на ней. Определите матрицу фундаментальной группы преобразований флаговой плоскости, задав абсолют уравнениями наиболее простого вида. Найдите особенности 16

расположения вершин и единичной точки канонических реперов относительно абсолютных элементов, соответствующие уравнениям абсолюта. Укажите типы прямых флаговой плоскости. 1.17 Найдите инварианты фундаментальной группы преобразований флаговой плоскости. 1.18 Найдите формулы для вычисления угла между прямыми и расстояния между точками на расширенной флаговой плоскости (плоскости Галилея), если абсолютные элементы заданы координатами: а) l (0:0:1), P (1:0:0); б) l (1: –1:0), P (0:0:1). 1.19 Проверьте справедливость утверждения: все линейные преобразования флаговой плоскости образуют разрешимую группу Ли. 1.20 Абсолют псевдоевклидовой плоскости состоит из действительной прямой и пары действительных точек на ней [4], [5], [18], [33]. Определите инварианты фундаментальной группы преобразований псевдоевклидовой плоскости. 1.21 Определите инвариант псевдоевклидовой плоскости, соответствующий по принципу двойственности инварианту трех неизотропных прямых плоскости копсевдоевклидовой. 1.22* Определите инварианты двух точек и двух прямых на расширенной плоскости Лобачевского [3], [4], [11], [18], [33]. Найдите формулы для вычисления расстояния между точками и угла между прямыми на плоскости Лобачевского, задав абсолют наиболее простым уравнением. 1.23* Учитывая, что на расширенной гиперболической плоскости существует три типа прямых, сформулируйте определение выпуклого n-угольника с изотропными сторонами. 1.24* Пусть АВС – треугольник с изотропными сторонами расширенной гиперболической плоскости. Докажите справедливость следующих утверждений: 1) АВС не имеет внутренних точек; 2) любая прямая плоскости имеет с АВС по крайней мере одну общую точку; 3) если некоторая прямая не содержит вершин треугольника АВС и пересекает два из отрезков АВ, ВС, CА, то она пересекает и третий из этих отрезков. 1.25* Пусть Ŋ – множество всех четырехугольников с изотропными сторонами расширенной гиперболической плоскости [3], [4], [11], [18], [22]. Докажите следующие утверждения: 17

1) существуют четырехугольники, противоположные стороны которых не имеют общих точек, и четырехугольники с пересекающимися противоположными сторонами; 2) диагонали каждого четырехугольника из Ŋ неизотропные, взаимно ортогональные, и пересекаются в их середине или квазисередине; 3) если противоположные стороны четырехугольника из Ŋ пересекаются, то каждая прямая пересекает, по крайней мере, два из отрезков АВ, ВС, СА; 4) любой четырехугольник из Ŋ, противоположные стороны которого не пересекаются, имеет внутренние точки и является выпуклым; 5) любой четырехугольник из Ŋ, противоположные стороны которого пересекаются, имеет внутренние точки, не является выпуклым, и его можно представить в виде объединения двух четырехугольников из Ŋ с непересекающимися противоположными сторонами. 1.26* Определите инварианты двух точек и двух прямых на расширенной бигиперболической (когиперболической) плоскости [3], [4], [11], [18], [22]. Найдите формулы для вычисления расстояния между точками и угла между прямыми этих плоскостей, задав абсолют наиболее простым уравнением. 1.27* Определите подвижность [12], [18], [22], [23] трехмерного аффинного пространства, фундаментальная группа преобразований которого является подгруппой группы преобразований проективного трехмерного пространства, относительно которой инвариантна некоторая плоскость. Укажите основные инварианты фундаментальной группы преобразований аффинного трехмерного пространства. 1.28* Пусть в n-мерном проективном пространстве Pn задан абсолют F, состоящий из гиперплоскости и плоскостей размерности (n – 2), (n – 3), …, 0, вложенных в абсолютную плоскость размерности (n – 1), (n – 2), …, 1 соответственно. Определите в наиболее удобном проективном репере матрицу фундаментальной группы преобразований пространства Pn \ F . 1.29* Определите типы плоскостей размерности (n – k), где k = n – 1, n – 2, … , 2, пространства Pn \ F , определенного в предыдущей задаче. 18

1.30 Докажите утверждения: 1) если все стороны многоугольника псевдоевклидовой плоскости изотропные, то число его вершин четное; 2) на псевдоевклидовой плоскости диагонали четырехугольника с изотропными сторонами ортогональны и точкой пересечения делятся пополам; 3) модули длин диагоналей четырехугольника с изотропными сторонами на псевдоевклидовой плоскости равны. 1.31* Докажите, что для трехмерного псевдоевклидова пространства имеют место утверждения: 1) если F – топологически правильный многогранник, все ребра которого изотропные, то F – гексаэдр; 2) существует гексаэдр, все ребра которого изотропные. 1.32* Квазигиперболическое трехмерное пространство [18], [22] можно рассматривать как проективное трехмерное пространство с абсолютом, состоящим из пары действительных плоскостей и пары действительных точек на прямой пересечения этих плоскостей. Задав абсолют уравнениями наиболее простого вида, найдите фундаментальную группу преобразований квазигиперболического пространства. 1.33* Укажите типы прямых и плоскостей в квазигиперболическом пространстве (см. задачу 1.32*). Определите основные инварианты фундаментальной группы преобразований этого пространства. 1.34* Абсолют когалилеева (копсевдогалилеева) трехмерного пространства [18] состоит из пары мнимо сопряженных (действительных) плоскостей в трехмерном проективном пространстве и действительной точки на прямой пересечения этих плоскостей. Задайте в наиболее подходящем проективном репере абсолют когалилеева (копсевдогалилеева) пространства и найдите фундаментальную группу преобразований этого пространства. 1.35* Определите типы прямых и плоскостей в трехмерном когалилеевом (копсевдогалилеевом) пространстве. Найдите основные инварианты фундаментальной группы преобразований этого пространства.

19

2. Ковекторы 2.1 Прямые a, b, c коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости заданы в каноническом репере R однородными координатами: а (а1: a2: a3), b (b1: b2: b3), c (c1: c2: c3). Определите уравнение семейства F прямых, для которых дублет ab коллинеарен дублету cd . Найдите прямую d семейства F, для которой указанные дублеты равны. 2.2 Докажите существование и единственность разности двух ковекторов коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости. 2.3 В каноническом репере R даны однородные координаты прямых коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости: a (2:5:–1), b (4:0:3), c (0:–1:1), d (3:1:2), e (3:0:1), f (–1:0:1). Найдите координаты ковекторов, равных сумме ковекторов, представленных дублетами ab и cd ; ae и cf . 2.4 Найдите координаты ковектора коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости: а) ef = 5(db bc) bd – 4ac; б) uv = (de bc)bd +3af – аb, если ковекторы ac, bc, db, bd, de, af, ab представлены соответствующими дублетами, образованными прямыми из условия предыдущей задачи. 2.5 На коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости вычислите меры углов ae, ab, cd, ac, bf, образованных прямыми задачи 2.3. На копсевдоевклидовой плоскости укажите, какому из абсолютных углов в репере R принадлежат точки пересечения прямых a и b, c и d, a и c, b и f. 2.6 Определите пары параллельных прямых копсевдоевклидовой плоскости, указанных в задаче 2.3. Найдите расстояния между прямыми каждой пары. 2.7 На копсевдоевклидовой плоскости найдите проекции ковекторов, представленных дублетами со сторонами a, b; b, c; а, d; f, d; e, f зад. 2.3, на координатные оси канонического репера R. 2.8 Даны однородные координаты трех точек в каноническом репере R коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости: 20

а) A(1 : 2 : 1), B(2 : 1 : 3), C (3 : 5 : 1) ; б) А(1 : 0 : 3), B(0 : 2 : 5), C (1 : 2 : 4) ; в) A(3 : 1 : 1), B( 1 : 1 : 2), C (0 : 1 : 1) ; г) A(1 : 3 : 2), B(2 : 5 : 1), C (1 : 1 : 1) . Найдите: углы и стороны трехсторонника ABC; расстояние от вершины A(C) до стороны BC(BA). 2.9 Определите точки, одинаково удаленные от сторон трехсторонника АВС, заданного в предыдущей задаче. 2.10* Сформулируйте теоремы, соответствующие по принципу двойственности теоремам косинусов, синусов, Пифагора евклидовой геометрии. Проверьте выполнимость полученных теорем для трехсторонников коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости с вершинами, заданными в предыдущей задаче. Докажите эти теоремы. 2.11* Определите уравнение множества γ всех точек коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости, высоты которых в данном каноническом репере равны постоянной величине h. 2.12* Исследуйте положение множества γ из задачи 2.11* по отношению к координатным прямым канонического репера R и прямым абсолюта коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости. 2.13* На копсевдоевклидовой плоскости найдите все прямые mi (i – натуральное число), параллельные данной прямой d (2:1:–1), расстояние от которых до прямой d равно двум. Существуют ли среди всех точек попарного пересечения полученных прямых mi пары коллинеарных точек? В случае положительного ответа обобщите результат задачи и докажите сформулированное утверждение. 2.14* Определите расстояния от некоторых точек прямых mi, определенных в задаче 2.13*, до прямой d. Сделайте вывод. Докажите полученное утверждение. 2.15* Пусть γ – множество всех точек плоскости, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных неизотропных прямых есть величина постоянная. Определите уравнение множества γ на коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости. Исследуйте полученное множество. На копсевдоевклидовой плоскости рассмотрите два случая: данные прямые параллельны; данные прямые непараллельны. 21

2.16* Пусть γ – множество всех точек плоскости, разность квадратов расстояний от которых до двух данных неизотропных прямых есть величина постоянная. Определите уравнение множества γ на коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости. Исследуйте полученное множество. На копсевдоевклидовой плоскости рассмотрите случаи, когда данные прямые параллельны и непараллельны. 2.17* Пусть γ – множество всех точек плоскости, произведение расстояний от которых до двух данных неизотропных прямых есть величина постоянная. Определите уравнение множества γ на плоскости коевклидовой и копсевдоевклидовой. Исследуйте положение полученного множества по отношению к абсолюту. На плоскости копсевдоевклидовой рассмотрите случаи параллельных и непараллельных заданных прямых. 2.18* Пусть γ – множество всех точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух данных неизотропных прямых есть величина постоянная. Определите уравнение множества γ на коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостях. Исследуйте полученное множество. На копсевдоевклидовой плоскости исследование проведите для двух случаев: данные прямые параллельны и непараллельны.

22

3. Изображение коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей в трехмерном евклидовом пространстве 3.1* На изображении коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскостей [24, стр. 52 (153)] найдите интерпретацию расстояния от точки до прямой. 3.2* Используя изображение коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости в трехмерном евклидовом пространстве, сформулируйте утверждение о связи сторон трехсторонника. Докажите это утверждение аналитически. 3.3* Используя изображение коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости в трехмерном евклидовом пространстве, сформулируйте теоремы – аналоги теорем синусов и косинусов евклидовой геометрии. Докажите эти утверждения аналитически. 3.4* На изображении коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости в трехмерном евклидовом пространстве исследуйте трехстронники с неизотропными сторонами. 3.5* На изображении коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости в трехмерном евклидовом пространстве исследуйте трехстронники, одна сторона которых принадлежит изотропной прямой. 3.6* Введите понятие равнобедренного трехсторонника коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости. Исследуйте равнобедренные трехсторонники на изображении коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости в трехмерном евклидовом пространстве. Докажите аналитически полученные теоремы. 3.7* Проверьте на изображении коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости в трехмерном евклидовом пространстве, пересекаются ли в одной точке биссектрисы углов трехсторонника с неизотропными сторонами. Докажите аналитически полученный результат. 3.8* Введите понятие медианы трехсторонника коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости. Проверьте на изображении коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости в трехмерном евклидовом пространстве выполнимость утверждений, аналогичных утверждениям евклидовой плоскости о медианах треугольника. 23

3.9* На изображении коевклидовой плоскости в трехмерном евклидовом пространстве постройте изображение коэллипса, когиперболы, копараболы. 3.10* На изображении коевклидовой плоскости в трехмерном евклидовом пространстве постройте изображение сопряженных копарабол, сопряженных коэллипсов и сопряженных когипербол коевклидовой плоскости. 3.11* На изображении копсевдоевклидовой плоскости в трехмерном евклидовом пространстве постройте изображения овальных линий каждого из девяти возможных типов. 3.12* На изображении копсевдоевклидовой плоскости в трехмерном евклидовом пространстве для каждого типа овальных линий найдите интерпретацию инварианта линии относительно фундаментальной группы преобразований копсевдоевклидовой плоскости в случае его существования. 3.13* На изображении коевклидовой плоскости в трехмерном евклидовом пространстве определите положение центров овальных линий. 3.14* На изображении копсевдоевклидовой плоскости в трехмерном евклидовом пространстве определите положение центров овальных линий в случае их существования. 3.15* На изображении копсевдоевклидовой плоскости в трехмерном евклидовом пространстве определите положение фокусов и полярной оси овальных линий.

24

4. Линейные преобразования плоскости 4.1 Объясните использование терминов треугольник, трехвершинник, трехсторонник в евклидовой, проективной и коевклидовой (копсевдоевклидовой) геометриях соответственно. 4.2 Два трехсторонника коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости заданы своими вершинами: A(1 : 0 : 0), B(0 : 1 : 0), C (0 : 1 : 1) , A (0 : 1 : 0), B (1 : 0 : 0),C (1 : 0 : 1) . Найдите все коевклидовы (копсевдоевклидовы) линейные преобразования, переводящие трехсторонник ABC в трехсторонник A'B'C' с сохранением соответствия вершин. Укажите вид каждого из этих преобразований и определяющие его элементы. 4.3 Докажите, что расстояние от точки до неизотропной прямой является инвариантом группы движений коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости. 4.4 На коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости найдите все движения второго рода, переводящие точки: A (1:1:–2), B (2:0:1) соответственно в точки: A' (–1:0:3), B' (1:–1:5). 4.5 Найдите все линейные коевклидовы (копсевдоевклидовы) преобразования первого рода с коэффициентом искажения k = 5, переводящие точку M (4:1:3) в точку M' (1:0:–1). 4.6 Найдите все линейные преобразования коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости с коэффициентом искажения k = 3, переводящие прямую a (2:5:1) в прямую a' (–1:0:2). 4.7 Найдите все линейные преобразования коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости, относительно которых инвариантна изотропная прямая a (3:–2:0). 4.8 Преобразование коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости задано формулами: x1 3 x1 2 x2 ; x1 3 x1 2 x2 ; x2 2 x1 3 x2 ; x2 2 x1 3 x2 ; а) x3 x1 5 x2 x3 ; x3 x1 5 x2 x3 ; x1

б)

x2 x3

3 x1 5 x2 ;

x1 x2

5 x1 3 x1

3 x2 ; 5 x2 ;

2 x1

x3

2 x1

4 x3 ;

5 x1 3 x2 ; x3 ;

25

в) x3

x1

2 x1 ;

x2

2 x2 ;

x1 3 x2

x3 .

x3

x1 x2

2 x1 ; 2 x2 ;

x1

3 x2

x3 .

Определите род и вид (род, вид и класс) преобразования, его неподвижные элементы, коэффициент искажения, образы и прообразы следующих фигур: трехсторонника ABC задачи 4.2; прямой a (2: – 1: 6). 4.9 На коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости найдите аналитическую запись изотропного сдвига на ковектор: V (3; – 1); U (2; 2); Y (–1; 1); W (2; 3). На копсевдоевклидовой плоскости определите вид каждого изотропного сдвига. 4.10 На коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости найдите аналитическую запись отражения от неизотропной прямой a (3: – 1: 2) с коэффициентом k = 1; 3; – 2. 4.11 На коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости найдите аналитическую запись отражения от точки S (3: –1: 2). 4.12 Найдите вращения флаговой плоскости, то есть преобразования, относительно которых инвариантна некоторая собственная точка флаговой плоскости. 4.13 Докажите, что при сдвиге на ковектор V мера угла между каждой прямой коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости и ее образом равна модулю ковектора V (или псевдомодулю ковектора V, если V – изотропный ковектор). 4.14 Пусть Н и Н' – сопряженные отражения коевклидовой плоскости от неизотропной прямой t с коэффициентом k, а Н –1 – преобразование, обратное к преобразованию Н. Найдите композицию преобразований Н' и Н –1. Проверьте, является ли данная композиция преобразований коммутативной. 4.15* Проверьте справедливость утверждения: каждое движение коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости можно представить в виде композиции конечного числа отражений от точки. 4.16* На коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости найдите представление в виде композиции отражений от точки

Все преобразования указанного вида образуют фундаментальную преобразований так называемой бифлаговой плоскости [12].

26

группу

следующих преобразований: а) изотропного сдвига; б) сжатия к неизотропной прямой, являющегося движением. 4.17* Два трехсторонника коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости назовем равными, если равны их соответствующие стороны и соответствующие углы. Даны два равных трехсторонника ABC и A'B'C'. Докажите, что существуют движение первого и движение второго рода коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости, переводящие трехсторонник ABC в трехсторонник A'B'C'. 4.18* Определите композицию двух сопряженных псевдоевклидовых вращений копсевдоевклидовой плоскости. 4.19* Докажите, что все абсолютные движения копсевдоевклидовой плоскости образуют группу. 4.20* Докажите, что все абсолютные движения и все абсолютные псевдодвижения копсевдоевклидовой плоскости образуют группу. 4.21* Какие из коевклидовых (копсевдоевклидовых) преобразований являются гомологиями. В каждом случае определите вид гомологии. 4.22* Докажите, что линейными преобразованиями коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости, при которых мера угла между прямой и ее образом постоянна, то есть не зависит от выбора прямой, являются изотропные сдвиги и только они. 4.23* Чем является композиция двух гомотетий копсевдоевклидовой плоскости с коэффициентами λ и , если центры пучков гомотетий принадлежат одной абсолютной прямой (различным абсолютным прямым). 4.24* Покажите, что каждое преобразование копсевдоевклидовой плоскости, заданное в каноническом репере матрицей: a b 0

b

a 0 ,

c d e где a, b, c, d, e – действительные числа, причем b ≠ 0, e ≠ a + b, является поворотным отражением первого или второго вида. 27

4.25* Определите на коевклидовой плоскости преобразование, соответствующее по принципу двойственности инверсии относительно окружности на евклидовой плоскости. Исследуйте введенное преобразование. 4.26* Найдите на евклидовой (псевдоевклидовой) плоскости аналог коллинеарного преобразования плоскости коевклидовой (копсевдоевклидовой). Определите аналитическую запись полученного преобразования. 4.27* Проведите классификацию линейных преобразований расширенной евклидовой плоскости. Выделите движения. Найдите конструктивные определения преобразований. 4.28* Проведите классификацию линейных преобразований расширенной флаговой плоскости. Выделите движения. Найдите конструктивные определения преобразований. 4.29* Проведите классификацию линейных преобразований расширенной псевдоевклидовой плоскости. Найдите конструктивные определения преобразований. 4.30* Определите линейные инволюции флаговой плоскости. 4.31* Найдите гомологии евклидовой и флаговой плоскостей. 4.32* Определите линейные инволюции псевдоевклидовой плоскости. 4.33* Определите гомологии псевдоевклидовой плоскости. 4.34* Определите на псевдоевклидовой плоскости инверсии относительно окружности по аналогии с инверсиями относительно окружности на плоскости евклидовой, учитывая, что на псевдоевклидовой плоскости существует три вида окружностей: окружности действительного радиуса, мнимого и нулевого. Исследуйте введенные преобразования. 4.35* Определите на копсевдоевклидовой плоскости преобразование, соответствующее по принципу двойственности инверсии относительно окружности (действительного, мнимого или нулевого радиуса) на псевдоевклидовой плоскости. Исследуйте введенные преобразования.

28

5. Линии второго порядка копсевдоевклидовой плоскостей

коевклидовой

и

5.1 Докажите, что произвольные коэллипс и когипербола не имеют общих изотропных касательных. 5.2 Составьте уравнение коокружности с базой, проходящей через точки A (a1: a2: a3), B (b1: b2: b3) и высотой α. 5.3 Докажите, что любая овальная линия не имеет общих точек со своей директрисой. 5.4 Составьте уравнение когиперболы, симметричной относительно прямой а (3:1:–2) и проходящей через точки: K (1:0:2), N (0:1:3). 5.5 Копарабола задана уравнением: 2 2 а) x1 3 x2 x3 0 ; б) x1 4 x2 x3 0. Найдите фокус, центр, директрису, полярную и центральную оси копараболы. 5.6 Определите длину хорды, проходящей через фокус копараболы, заданной в задаче 5.5 и образующей с директрисой угол, мера которого равна 3. 5.7 Определите действительный и мнимый центры когиперболы, заданной в задаче 5.4. 5.8 Определите директрисы и эксцентриситет когиперболы, заданной в задаче 5.4. 5.9 Найдите множество всех точек коевклидовой плоскости, сумма расстояний которых до прямых а (2:0:1) и b (0:0:1) есть постоянная величина h. Исследуйте полученное множество. Укажите значения h, при которых исследуемое множество является коэллипсом, когиперболой, парой прямых. 5.10 Найдите образ коокружности, определенной в задаче 5.2, при симметрии относительно общей точки копарабол, заданных в задаче 5.5. 5.11 Найдите угол между директрисами и длину изотропной хорды линии: 2 2 2 2 2 2 а) 25 x1 16 x2 x3 0 ; б) 9 x1 4 x2 x3 0 ; 2 2 2 2 2 2 в) 4 x1 25 x2 x3 0 ; г) 16 x1 x2 x3 0. 5.12 Найдите расстояния от общих точек линии γ: 2 2 2 2 x1 x 2 x32 0 ; а) 29

б)

2

x12

2

x 22

x32

0;

2 x 2 x3 0 в) x1 и прямой x1 = k x3 до директрис линии γ. 5.13 Найдите длину хорды коэллипса: 2 2 2 2 x1 x2 x32 0, принадлежащей прямой x1 = k x3. 5.14* Даны уравнения линий второго порядка коевклидовой плоскости в некотором каноническом репере: 2 2 1) x1 2 x1 x 2 6 x1 x3 10 x 2 x3 5 x3 0 ; 2 2 2) 2 x1 3 x 2 x1 x 2 2 x1 x3 3 x 2 x3 0 ;

2 2 2 3) 25 x1 x 2 x3 10 x1 x3 0 ; 2 2 4) x1 2 x1 x 2 15 x 2 0 ; 2 2 5) x1 5 x2 0 ; 2 2 2 6) x1 x 2 x3 2 x1 x 2 2 x1 x3 2 x 2 x3 2 2 7) x1 4 x 2 4 x1 x 2 0 ; 2 2 8) x1 x 2 0 ; 2 2 2 9) x1 2 x 2 5 x3 0 ; 2 2 2 10) x1 3x 2 x3 4 x1 x 2 2 x1 x3 2 2 11) 2 x1 3 x 2 2 2 12) x1 2 x 2

4 x32

x32

2 x1 x 2

2 x1 x3

2 x1 x3

0;

2 x 2 x3 6 x 2 x3

0; 0;

0;

2 2 13) x1 2 x 2 2 x1 x3 6 x 2 x3 0 ; 2 2 14) x1 x2 0 ; 2 2 2 15) x1 x 2 x3 0 . Определите проективный класс и расположение каждой линии по отношению к абсолюту коевклидовой плоскости. Укажите тип и класс линии на коевклидовой плоскости. Определите инварианты линии в случае их существования. Выделите из предложенных линий овальные и найдите их канонические уравнения. Найдите центры овальных линий. Вычислите длину хорды овальных линий, принадлежащей координатной прямой А1А2.

30

Определите меру угла между прямыми, содержащими центры коэллипса и когиперболы, указанных в пунктах 1 – 15. Определите взаимное расположение данных в задаче коэллипса и копараболы. 5.15* Задайте произвольно уравнения двух копарабол. Найдите преобразования коевклидовой плоскости, при которых первая копарабола переходит во вторую. 5.16* Исследуйте овальные линии коевклидовой плоскости по их каноническим уравнениям. Определите зависимость между коэффициентами канонического уравнения и эксцентриситетом линии. 5.17* Постройте изображение овальных линий коевклидовой плсокости в евклидовом трехмерном пространстве. 5.18* Задайте произвольно изотропную прямую а и неизотропную прямую b коевклидовой плоскости. Составьте уравнение семейства копарабол, касающихся прямых a и b. Найдите преобразование коевклидовой плоскости, которое каждую копараболу семейства переводит в сопряженную ей копараболу. 5.19* Найдите множество точек коевклидовой плоскости, одинаково удаленных от сторон данного угла. Исследуйте введенное множество точек. 5.20* Докажите, что для любого трехсторонника (с неизотропными сторонами) коевклидовой плоскости существуют точки, равноудаленные от всех сторон трехсторонника. Определите эти точки конструктивно и укажите их количество. 5.21* Коокружность, содержащую все вершины некоторого трехсторонника, будем называть коокружностью, описанной около трехсторонника. Докажите, что для каждого трехсторонника с неизотропными сторонами существует описанная около него коокружность. Для заданного трехсторонника определите количество описанных около него коокружностей. Определите положение центров описанной коокружности по отношению к трехстороннику.

31

5.22* Коокружность, касающуюся всех сторон некоторого трехсторонника, будем называть коокружностью, вписанной в трехсторонник. Докажите, что для каждого трехсторонника с неизотропными сторонами существует вписанная в него коокружность. Для заданного трехсторонника определите количество вписанных в него коокружностей. Определите положение центров вписанной коокружности по отношению к трехстороннику. 5.23* Дана прямая a и на расстоянии m от нее точка А. Через эту точку проводятся всевозможные прямые и на каждой из них от точки пересечения ее с данной прямой откладываются на расстоянии b точки M. Линию, образованную точками M, назовем конхоидой коевклидовой плоскости. Докажите, что конхоида на коевклидовой плоскости вырождается в пару изотропных прямых. Сформулируйте определение коконхоиды как огибающей семейства прямых, соответствующих по принципу двойственности точкам конхоиды евклидовой плоскости. Найдите уравнение коконхоиды. Исследуйте ее положение по отношению к абсолюту коевклидовой плоскости. 5.24* Пусть заданы неизотропная прямая m и точка А, не принадлежащая этой прямой. На прямой m существует единственная точка В, ортогональная точке А. Проведем через А прямую t. Отложим на прямой t точку М, расстояние от которой до точки А равно расстоянию от точки пересечения прямых m и t до точки B. Точка М при всевозможных положениях прямой t описывает линию, которую назовем строфоидой коевклидовой плоскости. Найдите уравнение строфоиды коевклидовой плоскости в наиболее удобной системе координат. Докажите, что строфоида коевклидовой плоскости является линией четвертого порядка, распадающейся на пару сопряженных копарабол. Постройте изображение строфоиды в евклидовом пространстве. 5.25* Найдите преобразования коевклидовой плоскости, переводящие заданную овальную линию в себя. Проверьте, образует ли группу множество всех таких преобразований. Сравните способы построения строфоид на евклидовой и коевклидовой плоскостях.

32

5.26* На коевклидовой плоскости задана копарабола γ. Обозначим через F – точку пересечения фокальной оси и директрисы копараболы, а через S – центр линии γ, собственный для коевклидовой плоскости. Составьте уравнение семейства всех когипербол, касающихся фокальной оси копараболы γ в точке F , а полярной оси – в центре S копараболы γ. Докажите, что все когиперболы семейства имеют один и тот же действительный (мнимый) центр, определите положение действительного (мнимого) центра по отношению к данной копараболе. Выразите инвариант когипербол семейства относительно коевклидовых преобразований через инвариант копараболы γ относительно движений коевклидовой плоскости. 5.27* Параболы евклидовой плоскости обладают широко используемым в практических целях оптическим свойством: прямые, параллельные оси параболы, отражаясь от касательной к параболе в ее произвольной точке, проходят через фокус параболы. Найдите аналог оптического свойства параболы для копарабол коевклидовой плоскости. Докажите утверждение. 5.28* Сформулируйте и докажите свойство коэллипсов коевклидовой плоскости, являющееся аналогом оптического свойства эллипсов плоскости евклидовой: прямые, проходящие через один из фокусов эллипса, отражаясь от касательной к эллипсу в произвольной его точке, проходят через второй фокус эллипса. 5.29* Гиперболы евклидовой плоскости обладают следующим свойством: отрезок касательной к гиперболе в призвольной ее точке, заключенный между асимптотами гиперболы, делится точкой касания пополам. Сформулируйте и докажите аналогичное по принципу двойственности свойство когипербол коевклидовой плоскости. 5.30* Подэрой плоской линии γ относительно точки А называют множество всех точек плоскости, являющихся основаниями перпендикуляров, проведенных через точку А ко всевозможным касательным к линии γ. Найдите подэры коэллипса, копараболы и когиперболы коевклидовой плоскости относительно точки А. Рассмотрите случаи, соответствующие различным положениям точки А относительно линии. Исследуйте полученные кривые. 33

5.31* Найдите подэры овальных линий копсевдоевклидовой плоскости (см. задачу 5.30*). Исследуйте полученные линии при различном положении точки А относительно линии. 5.32* Определите метрическое свойство директрис бигиперболы. 5.33* В каноническом репере копсевдоевклидовой плоскости заданы прямые: а) а (2:7:1), b (–1:3:2); б) а (3:1:–1), b (1:–5:1); в) а (–2:3:1), b (–5:1:2); г) а (2:1:–1), b (–6:–5:1). Найдите множество всех точек копсевдоевклидовой плоскости, сумма (разность) расстояний от которых до прямых а и b равна трем. 5.34* В каноническом репере копсевдоевклидовой плоскости заданы прямые: а) а (2:7:1), b (–1:3:2); б) а (3:1:–1), b (1:–5:1); в) а (1:3:2), b (–i:3:2); г) а (3:1:–1), b (3:1:i); д) а (–2:3:1), b (–5:1:2); е) а (2:1:–1), b (–6:–5:1). Найдите множество всех точек копсевдоевклидовой плоскости, сумма (разность) расстояний которых до прямых а и b равна (– 2). 5.35* Найдите множество всех точек копсевдоевклидовой плоскости, произведение расстояний которых до прямых а и b, заданных в задаче 5.34*, равно 3; – 2; 0. 5.36* Определите группу симметрий каждой овальной линии копсевдоевклидовой плоскости. 5.37* Определите геометрический смысл коэффициентов канонических уравнений овальных линий копсевдоевклидовой плоскости. 5.38* Определите типы овальных линий евклидовой плоскости. Найдите инварианты овальных линий евклидовой плоскости в случае их существования. 5.39* Определите типы овальных линий псевдоевклидовой плоскости. Найдите инварианты овальных линий псевдоевклидовой плоскости в случае их существования. 5.40* Даны уравнения линий второго порядка копсевдоевклидовой плоскости в некотором каноническом репере: 2 2 1) x1 2 x1 x 2 6 x1 x3 10 x 2 x3 5 x3 0 ; 34

2 2 2) 2 x1 3 x 2 x1 x 2 2 x1 x3 3 x 2 x3 0 ; 2 2 2 3) x1 x 2 x3 2 x1 x 2 2 x1 x3 2 x 2 x3 0 ; 2 2 2 4) 25 x1 x 2 x3 10 x1 x3 0 ; 2 2 5) x1 2 x1 x 2 15 x 2 0 ; 2 2 6) x1 5 x2 0 ; 2 2 7) x1 3 x2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3

0;

2 2 2 8) 9 x1 x2 2 x3 0 ; 2 2 9) x1 x1 x2 5 x3 0 ; 2 2 2 10) x1 2 x2 5 x3 0 ; 2 2 2 11) x1 3x 2 x3 4 x1 x 2 2 x1 x3 2 x 2 x3 0 ; 2 2 2 12) 2 x1 3 x 2 4 x3 2 x1 x 2 2 x1 x3 6 x 2 x3 0 ; 2 2 2 13) x1 2 x 2 x3 2 x1 x3 0 ; 2 2 14) x1 2 x 2 2 x1 x3 6 x 2 x3 2 2 15) 3x2 3x1 x2 x3 0 ; 2 2 2 16) x1 x 2 x3 0 ;

2 2 2 17) x1 4 x2 9 x3 0 ; 2 2 2 18) 3x1 9 x2 8 x3 2 x1 x2

0;

4 x1 x3 12 x2 x3

0;

2 2 19) 3x1 2 x2 2 x 4 x1 x2 4 x1 x3 2 x2 x3 0 ; 2 2 2 20) x1 x2 x3 x1 x2 3x1 x3 x2 x3 0 ;

2 2 2 21) 3x1 3 x2 4 x3 6 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3 2 2 2 22) 3x1 x2 x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3 0 ; 2 2 23) 5 x2 x3 4 x1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3 0 ; 2 2 2 24) x1 2 x2 3 x3 2 x1 x3 0 ; 2 2 2 25) x1 x2 x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3 0 ; 2 2 2 26) x1 x2 9 x3 0 ;

2 2 2 27) x1 4 x2 9 x3 0 ; 2 2 28) 5 x1 5 x2 2 x2 x3 0 ; 2 29) 9 x1

9 x22

x32

0; 35

0;

2 2 30) x1 6 x3 2 x1 x2 0 . Определите проективный класс и расположение каждой линии по отношению к абсолюту копсевдоевклидовой плоскости. Укажите тип линии на копсевдоевклидовой плоскости. Определите инварианты линии в случае их существования. Выделите из предложенных линий овальные и найдите их канонические уравнения. Определите, какие из овальных линий являются центральными, найдите их центры. Определите фокусы, полярные, фокальные и изотропные оси овальных линий. Дайте метрическое определение каждой овальной линии.

36

Часть III. Темы курсовых работ 1. Инварианты фундаментальной группы преобразований коевклидовой плоскости 2. Инварианты фундаментальной группы преобразований копсевдоевклидовой плоскости Модели различных неевклидовых пространств можно получить из проективных пространств, фиксируя в них определенную фигуру, называемую абсолютом. Абсолюты классических неевклидовых пространств размерности n являются гиперквадриками в проективном n-пространстве. Все проективные преобразования, сохраняющие абсолют неподвижным, образуют группу, которую называют фундаментальной группой преобразований соответствующего пространства. Свойства фигур, инвариантные относительно фундаментальной группы некоторого пространства, составляют геометрию этого пространства. Абсолютом коевклидовой плоскости является пара мнимо сопряженных прямых на проективной плоскости, а абсолютом копсевдоевклидовой плоскости – пара действительных прямых. Указанные абсолюты соответствуют по малому принципу двойственности абсолютам евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей. Поэтому с их помощью на коевклидовой или копсевдоевклидовой плоскости можно ввести измерения, двойственные евклидовым и соответственно псевдоевклидовым измерениям расстояний между точками и углов между прямыми. В курсовых работах 1, 2 необходимо рассмотреть общую схему построения интерпретаций классических неевклидовых пространств и соответственно этой схеме построить интерпретацию коевклидовой или соответственно копсевдоевклидовой плоскости. Работу 1 рекомендуется выполнить по следующему плану: 1. Пояснить, в чем заключается групповая точка зрения на геометрию [33, стр. 13 – 26].

37

2. Описать схему Кэли – Клейна построения неевклидовых геометрий, указать абсолюты девяти классических неевклидовых геометрий на плоскости [33, стр. 240 – 265]. 3. С помощью абсолюта ввести инварианты фундаментальной группы коевклидовой плоскости [24, стр. 8 – 27]. Для работы 2 рекомендуем следующий план: 1. Пояснить групповую точку зрения на геометрию [33, стр. 13 – 26]. 2. Описать схему Кэли – Клейна построения неевклидовых геометрий, указать абсолюты девяти классических неевклидовых геометрий на плоскости [33, стр. 240 – 265]. 3. С помощью абсолюта ввести основные инварианты группы линейных преобразований копсевдоевклидовой плоскости [24, стр. 8 – 27]. 3. Классификация коевклидовой плоскости

линейных

преобразований

Группы преобразований классических неевклидовых пространств можно рассматривать как подгруппы группы преобразований проективного пространства соответствующей размерности, относительно которых инвариантен некоторый образ второго порядка. В курсовой работе предлагается провести классификацию преобразований фундаментальной группы коевклидовой плоскости, относительно которой на проективной плоскости инвариантна фигура, состоящая из пары мнимо сопряженных прямых. Работу можно провести по следующей схеме: 1. Кратко описать схему Кэли – Клейна построения интерпретаций различных неевклидовых пространств [33, стр. 236 – 240]. 2. Определить фундаментальную группу преобразований коевклидовой плоскости [24, стр. 8 – 10]. 3. По наличию неподвижных элементов (точек и прямых) провести классификацию линейных коевклидовых преобразований [24, стр. 56 – 62]. 38

4. Классификация линейных копсевдоевклидовой плоскости

преобразований

В курсовой работе предлагается провести классификацию преобразований фундаментальной группы копсевдоевклидовой плоскости, относительно которой на проективной плоскости инвариантна фигура, состоящая из пары действительных прямых. Работу можно провести по следующей схеме: 1. Кратко описать схему Кэли – Клейна построения интерпретаций различных неевклидовых пространств [33, стр. 236 – 240]. 2. Определить фундаментальную группу преобразований копсевдоевклидовой плоскости [24, стр. 110 – 113]. 3. По наличию неподвижных элементов (точек и прямых) провести классификацию линейных копсевдоевклидовых преобразований [24, стр. 159 – 169]. 5. Конструктивное определение линейных коевклидовых преобразований первого рода 6. Конструктивное определение линейных коевклидовых преобразований второго рода 7. Конструктивное определение линейных копсевдоевклидовых преобразований первого рода 8. Конструктивное определение линейных копсевдоевклидовых преобразований второго рода 9. Свойства линейных преобразований коевклидовой плоскости. Движения 10. Свойства линейных преобразований копсевдоевклидовой плоскости. Движения, псевдодвижения, абсолютные движения Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей соответствуют по принципу двойственности евклидовой и псевдоевклидовой планиметриям. Фундаментальные группы 39

преобразований этих плоскостей являются подгруппами группы преобразований проективной плоскости, относительно которых инвариантен абсолют, состоящий из пары прямых мнимо сопряженных и действительных соответственно. Преобразования указанных плоскостей, относительно которых инвариантна каждая прямая абсолюта, являются преобразованиями первого рода. Преобразования, переводящие абсолютные прямые друг в друга – преобразованиями второго рода. В работах 5–8 необходимо дать конструктивное определение соответствующих преобразований. Работу можно провести по следующему плану: 1. Кратко описать схему Кэли – Клейна построения интерпретаций различных неевклидовых пространств [33, стр. 236 – 240]. 2. Определить фундаментальную группу преобразований коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости [24, стр. 8 – 10, (стр. 110 – 113)]. Привести результаты классификации линейных преобразований коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости [24, приложение 2]. 3. Дать конструктивное определение преобразований (указать способ построения образа произвольной точки плоскости в данном преобразовании) [24, стр. 68 – 80, 176 – 196]. В работах 9, 10 необходимо доказать основные свойства линейных преобразований коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости. Работу можно провести следующим образом: 1. Кратко описать схему Кэли – Клейна построения интерпретаций различных неевклидовых пространств [33, стр. 236 – 240]. 2. Определить фундаментальную группу преобразований коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости [24, стр. 8 – 10, (стр. 110 – 113)]. Ввести понятия ковектора, модуля ковектора [24, стр. 28 – 41, 136 – 138]. 3. Доказать основные свойства преобразований коевклидовой (копсевдоевклидовой) плоскости. Ввести понятия движения (движения, псевдодвижения, полудвижения, 40

абсолютного движения, абсолютного псевдодвижения). Определить аналитическую запись введенных преобразований [24, стр. 62 – 68, (стр. 159 – 161, 169 – 176)]. 11. Линейные инволюционные преобразования евклидовой и классических неевклидовых плоскостей с вырожденным абсолютом Особое место в геометрии занимают нетождественные преобразования, совпадающие со своими обратными преобразованиями, так называемые инволюции. Линейными инволюциями евклидовой плоскости являются симметрии относительно прямой и относительно точки. Цель курсовой работы – выделить из групп линейных преобразований классических неевклидовых плоскостей с вырожденным абсолютом инволюционные преобразования и исследовать их. План работы: 1. Кратко описать общую схему построения неевклидовых геометрий с метрикой Кэли – Клейна [33, стр. 236 – 265]. 2. Определить фундаментальные группы преобразований плоскостей: евклидовой, псевдоевклидовой, флаговой, коевклидовой, копсевдоевклидовой [24, стр. 8 – 11, 110 – 114]. 3. Выделить инволюционные линейные преобразования указанных в пункте 2 плоскостей. Определить свойства этих преобразований и дать их конструктивное определение [24, стр. 68 – 83, 176 –198]. 12. Овальные линии коевклидовой плоскости Коевклидову плоскость можно рассматривать как проективную плоскость с фиксированной парой мнимо сопряженных прямых. Учитывая положение линии второго порядка по отношению к абсолюту, на расширенной коевклидовой плоскости можно выделить три типа овальных линий: копараболы – линии, содержащие единственную действительную бесконечно удаленную точку Р, коэллипсы – линии, для которых точка Р является внутренней, и когиперболы 41

– линии, относительно которых точка Р внешняя. Указанные линии двойственны соответственно параболе, эллипсу и гиперболе евклидовой плоскости. В курсовой работе необходимо определить фундаментальную группу преобразований коевклидовой плоскости, провести классификацию овальных линий проективной плоскости, найти аналитические условия принадлежности овальной линии к типу копарабол, коэллипсов и когипербол. Для коэллипсов и когипербол доказать существование единственного инварианта относительно группы линейных преобразований коевклидовой плоскости, найти выражение инварианта через коэффициенты общего уравнения квадрики и определить его геометрический смысл. Доказать, что все копараболы коевклидовой плоскости коевклидово эквивалентны. Ввести понятие центра овальной линии, доказать утверждения о наличии центров и их конструктивном определении. Решить задачу 5.14*. Литература: [2, стр. 55–57], [4], [18], [24, стр. 8–11, 84–94]. 13. Метрическое определение коевклидовой плоскости

овальных

линий

Абсолют коевклидовой плоскости позволяет ввести на ней измерение расстояний между точками и углов между прямыми. Причем расстояние между точками оказывается инвариантным относительно всех линейных коевклидовых преобразований, а угол между прямыми инвариантен только относительно коевклидовых движений. В связи с этим для овальных линий коевклидовой плоскости могут быть определены как инварианты относительно фундаментальной группы преобразований плоскости, так и инварианты относительно группы движений. Цель курсовой работы: исследовать овальные линии коевклидовой плоскости на наличие указанных инвариантов, определить их геометрический смысл. Найти основные элементы, определяющие овальную линию. Доказать метрические свойства овальных линий, позволяющие определить линии метрически. 42

План работы: 1. Определить фундаментальную группу преобразований коевклидовой плоскости и выделить из нее группу движений [24, стр. 8 – 23, 45 – 50, 62 - 68]. 2. Определить типы и классы овальных линий коевклидовой плоскости, вывести канонические уравнения копараболы, коэллипса, когиперболы [2, стр. 55 – 57], [24, стр. 87 – 94]. Определить геометрический смысл коэффициентов канонических уравнений овальных линий. 3. Доказать метрические свойства овальных линий [24, стр. 94 – 109]. Решить задачи из пункта 5 (стр. 29). 14. Квадрики копсевдоевклидовой плоскости Интерпретацией копсевдоевклидовой плоскости является проективная плоскость с фиксированной парой действительных прямых. В зависимости от положения по отношению к абсолюту овальные линии копсевдоевклидовой плоскости можно отнести к девяти различным типам. В курсовой работе необходимо определить фундаментальную группу преобразований копсевдоевклидовой плоскости, провести классификацию овальных линий проективной плоскости, определить типы линий плоскости копсевдоевклидовой, найти аналитические условия принадлежности линии каждому из девяти возможных типов. Доказать, что каждая овальная линия копсевдоевклидовой плоскости имеет не более одного инварианта относительно фундаментальной группы преобразований копсевдоевклидовой плоскости. Выделить типы линий, для которых указанный инвариант существует, и типы, каждые две линии которых копсевдоевклидово эквивалентны. Для каждого типа линий, обладающих инвариантом фундаментальной группы, определить инвариант аналитически и геометрически. Решить задачу 5.40*. Литература: [2, стр. 55 – 57], [4], [6], [18], [24, стр. 110 – 114, 199 – 205].

43

15. Метрические свойства копсевдоевклидовой плоскости

овальных

линий

С помощью абсолюта на копсевдоевклидовой плоскости можно ввести гиперболическое измерение расстояний между точками и параболическое измерение углов между прямыми. Расстояние между точками является инвариантным относительно фундаментальной группы преобразований. А угол между прямыми – относительно группы движений этой плоскости. Поэтому для овальных линий копсевдоевклидовой плоскости можно определить инвариантные величины двух типов: величины, инвариантные относительно фундаментальной группы, и величины, инвариантные относительно группы движений плоскости. Исследуя линии на наличие указанных величин, можно выделить те их свойства, которые позволяют определить линии метрически. В курсовой работе необходимо определить фундаментальную группу преобразований копсевдоевклидовой плоскости, инвариант двух точек относительно этой группы и группу движений плоскости. По согласованию с преподавателем выбрать некоторые линии копсевдоевклидовой плоскости и для каждой из них провести исследование по следующей схеме: 1. Определить инвариант линии относительно фундаментальной группы плоскости аналитически и геометрически. 2. Вывести каноническое уравнение линии. 3. Найти инварианты линии относительно движений плоскости. 4. Определить геометрический смысл коэффициентов канонического уравнения линии. 5. Доказать метрические свойства линии. Литература: [24, стр. 110 – 143, 199 – 265], [4], [6], [18]. 16. Группы симметрий овальных линий коевклидовой плоскости Особый интерес в геометрии представляют преобразования, переводящие данную фигуру в себя, такие преобразования образуют так называемую группу симметрий данной фигуры. 44

Например, группу симметрий эллипса евклидовой плоскости образуют симметрии относительно его осей и симметрия относительно его центра. Цель курсовой работы: определить группы симметрий овальных линий коевклидовой плоскости. План работы: 1. Ввести понятие группы симметрий геометрической фигуры [1, стр. 113 – 116, 132 – 135]. 2. Определить фундаментальную группу G преобразований коевклидовой плоскости [24, стр. 8 – 11]. 3. Выделить подгруппу H группы G, относительно которой данная овальная линия (коэллипс, копарабола, когипербола) переходит в себя. Исследовать преобразования группы Н, дать их конструктивное определение [24, стр. 56 – 83, 84 – 93]. 17. Группы симметрий копсевдоевклидовой плоскости

овальных

линий

Цель курсовой работы: определить группы симметрий овальных линий копсевдоевклидовой плоскости. План работы: 1. Ввести понятие группы симметрий геометрической фигуры [1, стр. 113 – 116, 132 – 135]. 2. Определить фундаментальную группу Q преобразований копсевдоевклидовой плоскости [24, стр. 110 – 114]. 3. Для каждого типа линий выделить подгруппу H группы Q, относительно которой данная овальная линия переходит в себя. Исследовать преобразования группы Н, дать их конструктивное определение [24, стр. 159 – 197, 199 – 265].

45

ЛИТЕРАТУРА: [1] Атанасян Л. С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. 1. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов.– М.: Просвещение, 1986.–336 с., ил. [2] Атанасян Л. С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. 2. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов.– М.: Просвещение, 1987.–352 с., ил. [3] Атанасян Л. С. Геометрия Лобачевского. – М.: Просвещение, 2004. – 322 с. [4] Буземан Г., Келли П.Д. Проективная геометрия и проективные метрики. М., 1957. – 410 с. [5] Букушева А.В. Изучение линий второго порядка проективной плоскости как подготовительный этап к изучению неевклидовых геометрий. // Учитель – ученик: проблемы, поиски, находки: Сб. научно-метод. трудов: выпуск 7. – Саратов: ИЦ «Наука», 2009. С. 71 – 74. [6] Глаголев Н.А. Проективная геометрия. 2-е изд. М., 1963. – 344 с. [7] Дарбу Ж.Г. Принципы аналитической геометрии: Пер. с фр. / Под ред. В.И. Милинского. Изд. 2-е, испр. – М.: КомКнига, 2006. – 376 с. [8] Ефимов Н.В. Высшая геометрия. 6-е изд. М., 1978. – 576с. [9] Заславский А.А. Геометрические преобразования.– М.: МЦНМО, 2004.– 86с. [10] Игошин В.И. Логико-дидактическая подготовка учителя математики и ее профессионально-педагогическая направленность // Современные тенденции в обучении математике. Межвуз. сб. научн. трудов – Саратов: Издательство ЗАО «Сигма-плюс», 2001. – 76 с. [11] Кадомцев С.Б. Геометрия Лобачевского и физика. Изд. 3-е. – М.: Книжный дом «Либроком», 2009. – 72 с. [12] Киотина Г.В. Пространства с обобщенной проективной метрикой. Пособие по спецкурсу. Рязанский государственный педагогический институт. Рязань, 1981. [13] Клейн Ф. Неевклидова геометрия. – М. – Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. [14] Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований («Эрлангенская программа») / Пер. Д.М. Синцова // В кн.: Об основаниях геометрии. М. 1956. С. 399 – 434. [15] Кэли А. Шестой мемуар о формах / Пер. Б.Л. Лаптева // В кн.: Об основаниях геометрии. М. 1956. С. 222 – 252. [16] Математика. Большой энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В.Прохоров. – 3-е изд.– М.: Большая Российская энциклопедия, 2000. – 848 с.: ил. [17] Певзнер С.Л. Проективная геометрия. МГЗПИ. М.: Просвещение, 1980. – 128 с. [18] Понарин Я.П. Неевклидовы геометрии с аффинной базой. Кировский государственный педагогический институт. – Киров, 1991. – 121 с. 46

[19] [20] [21] [22]

[23] [24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29] [30] [31] [32] [33]

Пуанкаре А. О науке. – М.: Наука, 1983. – 560 с. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии. М.: ГИТТЛ, 1955. – 744 с., ил. Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства. М., 1969. –548 с. Розенфельд Б.А., Замаховский М.П. Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства. – М.: МЦНМО, 2003. – 560 с. Розенфельд Б.А., Яглом И.М. Неевклидовы геометрии. – В кн.: Энциклопедия элементарной математики. М., 1966, т. V. с. 83. Ромакина Л.Н. Геометрии коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. – Саратов: ООО Издательство «Научная книга», 2008. – 279 с. Ромакина Л.Н. Измерение отрезков неизотропных прямых коевклидовой плоскости // Учитель – ученик: проблемы, поиски, находки: Сб. научнометод. трудов: выпуск 7. – Саратов: ИЦ «Наука», 2009. С. 75 – 82. Ромакина Л.Н. Изучение неевклидовых геометрий в системе подготовки учителей математики // Актуальные вопросы преподавания математики в школе и педагогическом вузе: сб. материалов Московской областной научно-практической конференции. – Коломна, 2008. С. 30 – 32. Ромакина Л.Н. Определение лучей, отрезков и квазиотрезков различного типа прямых при построении классических неевклидовых геометрий на моделях Кэли-Клейна // Проблемы теории и практики обучения математики. Санкт-Петербург, 2009. С. 103–109. Сборник тем курсовых работ по алгебре и геометрии: Для студентовзаочников IV-V курсов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Д.В. Алексеевский, С.Л. Атанасян, Ф.Л. Варпаховский и др.; Сост. Ф.Л. Варпаховский. – М.: Просвещение, 1985. – 40 с. Хачатурян А.В. Геометрия Галилея. – Библиотека «Математическое просвещение». Выпуск 32. Издательство МЦНМО. М., 2005. – 32 с. Харстхорн Р. Основы проективной геометрии / Пер. с англ. М., 1970. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. 8-е изд. М., 1969. – 368 с. Энциклопедия элементарной математики. Кн. 4. Геометрия. М.: ГИФМЛ, 1963. – 568 с., ил. Яглом И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. Изд. 2-е, стереотипное. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 304 с.

[34] http://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия_Лобачевского [35] http://www.college.ru/mathematics/courses/planimetry/content/chapter15/section/paragrap h2/theory.html [36] http://bse.sci-lib.com/article070973.html

47

Содержание Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Часть I. Введение в классических неевклидовых геометриях фундаментальных понятий: направление, луч, отрезок, квазиотрезок. . . . . . . . . . . . . . . . .

3

6

Часть II. Задачи для самостоятельной работы. . . . . . 1. Инварианты фундаментальных групп преобразований. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2. Ковекторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3. Изображение коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей в трехмерном евклидовом пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

4. Линейные преобразования плоскости. . . . . . .

20

5. Линии второго порядка коевклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей. . . . . . . . . . . . .

24

Часть III. Темы курсовых работ. . . . . . . . . . . . . .

32

Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

48

11

Избранные вопросы классических неевклидовых геометрий Учебно-методическое пособие для преподавателей, аспирантов и студентов математических специальностей вузов

Ромакина Людмила Николаевна кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии Cаратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

49