О некоторых физических аналогиях сопровождающих колебания связанных колебательных систем

110

Ôèçè÷åñêîå îáðàçîâàíèå П.В. Леоновâ âóçàõ. Ò. 9, ¹ 1, 2003

О некоторых физических аналогиях сопровождающих колебания связанных колебательных систем П.В. Леонов Институт техники, технологии и управления СГТУ ã. Áàëàêîâî, Ñàðàòîâñê. îáë., óë. ×àïàåâà 140, ÁÈÒÒèÓ, êàôåäðà “Îáùàÿ ôèçèêà è ýëåêòðîòåõíèêà”, email: [email protected] В статье проводятся физические аналогии между процессом колебаний двух связанных осцилляторов и явлениями, сопровождающими взаимодействие различных колебательных систем. Показано, что известные особенности колебаний двух связанных осцилляторов отчетливо просматриваются на характерных закономерностях из различных разделов физики.

Удовлетворение требованиям образовательных стандартов РФ предполагает в процессе инженернотехнического образования понимание и овладение всем комплексом современных технологий на основе достаточно тонких физических эффектов. В отсутствие университетской математической подготовки сложно объяснить некоторые явления атомной физики и квантовой механики. В ряде случаев этот недостаток можно восполнить обратившись к аналогии между известным классическим явлением и сугубо квантовой трактовкой. В частности, известно много аналогий между колебаниями двух связанных маятников и закономерностями в более сложных колебательных системах. В учебниках физики для инженерных специальностей обычно отсутствуют сведения о колебаниях связанных систем (маятников или контуров). Обратившись к раритетам [1], удалось найти подробное, без формул описание механических колебаний двух связанных маятников. Три первых автора, в то время уже профессора, что ни имя, то история отечественной физики. Подробно описан доступный любому механический эксперимент. К двум опорам прикреплена горизонтально упругая нить. К ее центральной части на расстоянии друг от друга укреплены подвесы двух маятников. Отклоните один из маятников и понаблюдайте за системой. Вследствие упругости нити, на которой подвешены маятники, колебания первого будут воздействовать на второй. Через некоторое время колебаться будут оба маятника и форма этих колебаний будет соответствовать графику, приведенному на рисунке 1. Затухающие колебания двух связанных упругой связью маятников радикально отличаются от затухающих колебаний одиночного маятника. Уменьшение амплитуды происходит поочередно, часть энергии маятника с большей амплитудой передается через упругую связь маятнику

О некоторых физических аналогиях сопровождающих колебания связанных колебательных систем

111

с меньшей амплитудой. Огибающие колебаний маятников имеют фазовый сдвиг Т/4.

Рисунок 1.

Естественно, что подробное изложение вопроса об электрических колебаниях двух связанных колебательных контуров имеются в большинстве университетских учебников для радиофизических и радиотехнических специальностей. При этом записывается система двух дифференциальных уравнений, относительно токов в каждом контуре и анализируется ее решение. В простейшем случае системы из двух связанных контуров, настроенных на одну и ту же частотуw0 , вводится понятие коэффициента связи

k св =

Χ св

Χ1Χ 2 ,

(1)

представляющего собой отношение активного или реактивного сопротивления элемента связи к среднему геометрическому значению соответствующих сопротивлений каждого из контуров (рисунок 2а). Связь может быть осуществлена путем общего для обоих контуров активного, емкостного, индуктивного элемента или через взаимную индуктивность двух контуров. Коэффициент связи может принимать значения между нулем и единицей; первое отвечает полному отсутствию связи, а последнее,  предельному случаю максимально возможной связи [2]. На основе анализа решения делаются выводы, значение которых в ряде случаев выходит далеко за рамки радиотехники. Эти выводы сводятся к следующему: 1.При отсутствии затухания на осциллограммах токов отдельных контуров видны биения, что свидетельствует о наличии в системе двух близких по частоте колебаний. Частоты связи, одна нижняя, другая верхняя подчиняются соотношениям:

112

П.В. Леонов

ω1 =

ω0

ω2 =

,

1+k

ω0 1−k

.

(2)

Если учесть потери энергии в контурах, то качественная картина процесса колебаний в системе зависит от критической величины коэффициента связи, равной среднему геометрическому затуханий обоих контуров: k кр =

d 1d

2

.

(3)

Если выполняется условие k < kкр, то колебания не существенно отличаются от колебаний в одиночном контуре. Если же выполняется k > kкр, то затухающие свободные колебания системы из двух связанных контуров соответствуют показанным на рисунке 1, то есть содержат две парциальные частоты, расположенные по частоте выше и ниже резонансной  ω0, и определяющиеся по более сложным формулам, чем (2). 2. Это хорошо видно из изменений амплитудночастотной характеристики

Рисунок 2.

(АЧХ) системы связанных контуров, показанных на рисунке 2 б. Зависимость амплитуды колебаний от частоты для случая k < k кр соответствует АЧХ одиночного колебательного контура. Если k > k кр , АЧХ на резонансной частоте  ω0 имеет провал, по обе стороны которого имеются максимумы на парциальных частотах ω1 и ω2. На графике зависимости резонансной частоты от коэффициента связи, рисунок 2 в, четко видно расщепление одной резонансной частоты на две парциальные, при превышении коэффициентом связи критического значения. Для количественной оценки изменений АЧХ служат понятия ширины, или полосы пропускания резонансной кривой и коэффициента прямоугольности. Обе величины определяются по нормированному уровню (это уровень половинной мощности, или

О некоторых физических аналогиях сопровождающих колебания связанных колебательных систем

113

1/ 2 по напряжению). Ширина АЧХ это частотный интервал Δω между точками АЧХ с нормированным уровнем. Коэффициент прямоугольности  наклон АЧХ, опять же в точках с нормированным уровнем. Из рисунка видно, что ширина АЧХ с k > kкр больше, чем в случае k< k кр. Наклон скатов АЧХ также больше при k > kкр. Система трех и более связанных колебательных контуров обычно не анализируется изза рутинных математических преобразований, но качественная картина известна достаточно подробно. АЧХ трех одинаковых колебательных контуров, при связи выше критической, представляет трехгорбую резонансную кривую, показанную на рисунке 2 г. Центральный резонанс соответствует частоте настройки контуров, а еще два резонанса  высшей и низшей частотам связи. Ширина АЧХ и ее коэффициент прямоугольности оказываются выше, чем для системы двух связанных контуров. Эта тенденция продолжается с увеличением количества контуров. АЧХ системы из n взаимосвязанных контуров, при связи выше критической всегда, представляется резонансной кривой с n более или менее выраженными максимумами. Коэффициент прямоугольности и ширина АЧХ системы с n контурами всегда превышают аналогичные показатели системы с меньшим числом таких же контуров. 3. Форма АЧХ, ее симметрия и параметры ширины зависят от процесса настройки [3]. Это иллюстрируется рисунком 3 а, на котором показаны расчетные кривые частот связи системы двух связанных контуров в зависимости от коэффициента связи и частот настройки первого и второго контура, в случае отсутствия затухания [2]. По оси абсцисс отложена частота настройки первого контура  вынуждающая, а по оси ординат  частота второго контура  вынужденная. Кривые показывают взаимовлияние частот настройки одного и другого контура при неизменном коэффициенте связи k> kкр. Связанные осцилляторы произвольной природы, совершающие вынужденные колебания, могут быть, вследствие неидеальности, или возбуждения

Рисунок 3.

114

П.В. Леонов

извне, подвержены затуханию (как положительному, так и отрицательному) [4]. В зависимости от значения коэффициента связи, собственная частота ведет себя различным образом. Если коэффициент связи незначительно выше критического, имеет место явление синхронизма или захвата частоты, а именно высшая частота связи в области вблизи резонанса постепенно переходит в низшую частоту, как это показано на рисунке 3 б. Если коэффициент связи значительно превосходит критический, вблизи резонансной частоты образуется неустойчивая область, в которой возможны хаотические перескоки между верхней и нижней частотами связи. Естественно, что характерные особенности колебаний связанных колебательных систем, не зависят от вида этих систем (механические, электрические и т.д.). Для высококачественного воспроизведения звука акустическими системами существует необходимость обеспечения повышения отдачи в области низших звуковых частот (2050 Гц). Излучателем является диффузор – рупорный элемент, эквивалентный пружинному маятнику с горизонтальным направлением колебаний. В [5] предлагается прозрачная физическая идея расширения АЧХ за счет связанных излучателей. Это активный излучатель и пассивный, в качестве которого используется излучающий элемент без электромеханического преобразователя, но с элементами подстройки, которыми можно довести его резонансную частоту до частоты активного излучателя. Излучатели оказываются связанными за счет акустической связи по давлению воздуха внутри герметизированной акустической системы. Вид АЧХ такой системы точно соответствует АЧХ двух колебательных систем при закритической связи. Силы межмолекулярного взаимодействия не валентного характера действуют между атомами и молекулами на расстояниях, превышающих характерные размеры волновых функций их состояний. Это силы Ван – дер – Ваальса, природа этих сил, как в классическом, так и в квантовом представлениях, основывается на взаимном притяжении двух осцилляторов. В зависимости от вида молекул и физического характера взаимодействия различают три типа Ван – дер  Ваальсовых сил. Если обе молекулы полярны и взаимодействие обязано их диполям, они называются ориентационными. В случае, когда неполярная молекула приобретает в поле соседней молекулы индуцированный дипольный момент, они называются поляризационными. Наконец, если обе молекулы неполярны, то вследствие движения электронов, они обладают мгновенными электрическими моментами и взаимодействуют путем синхронизации этих мгновенных диполей, силы называются дисперсионными. Независимо от принадлежности к виду этих сил, взаимодействие сводится к дипольному электромагнитному взаимодействию между двумя осцилляторами,

О некоторых физических аналогиях сопровождающих колебания связанных колебательных систем

115

настроенными на одну и ту же частоту. Это приводит к наличию двух частот связи, расположенных симметрично, относительно центральной частоты:

,

ω

2

=

1 2

1 m

⎛ 2e 2 ⎜⎜ 1 − r3 ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

.

(4)

В результате взаимодействия минимальная колебательная энергия уменьшается, что соответствует потенциалу притяжения, имеющего для всех трех типов сил одинаковую форму: U =

ω1 =

1 2

A , r6

(5)

где А зависит от типа сил [6]. Вышеприведенные рассуждения являются полуклассическими, поскольку взаимодействие описывается классическими формулами электромагнетизма, а осцилляторы являются атомными квантовыми системами. Однако и в типично квантовых системах, например в колебательных термах многоатомных молекул, таких как CO2, COS, CS2, C2H2 наблюдается так называемое 1 ⎛ 2e 2 ⎞ ⎜⎜ 1 случайное ⎟ + вырождение, или резонанс Ферми. Оно наблюдается в случаях, когда m ⎝ r 3 ⎟⎠ имеет место близкое совпадение энергий двух колебательных термов с одним типом симметрии. В такой ситуации происходит взаимное возмущение этих термов, которое проявляется в их смещении в противоположных направлениях по энергии (взаимное отталкивание термов). Один из термов увеличивает свою энергию относительно центрального значения, другой ее уменьшает [6], совершенно так же как расходятся парциальные частоты от центральной (рисунок 2 б). В квантовой механике возникновение мультиплетной структуры атомных термов известно, как снятие вырождения энергетического состояния при наличии возмущения. Проявление этого эффекта оказывается важным для механизма электропроводности неупорядоченных (не кристаллических) материалов. Примесные центры в этих материалах расположены хаотично и в силу этого имеет место разброс энергий. Проводимость в такой системе возможна туннелированием электронов между состояниями с одинаковой энергией. Однако в такой ситуации среди ближайших центров может не оказаться центра с необходимой энергией. Поэтому проводящие пути определяются не расстоянием до ближайшего центра, а расстоянием до центра с подходящей энергией. Таков механизм прыжковой проводимости [7]. Другой пример, среди органических соединений встречаются так называемые

116

П.В. Леонов

физические димеры, состоящие из двух одинаковых органических молекул, расположенных близко друг к другу, так что химической связи между молекулами не образуется, однако физически, за счет межмолекулярного взаимодействия, молекулы оказываются связанными. На рисунке 4 а показана структурная схема физического димера антрацена С14Н10, типа “сэндвич“. Квантовомеханический расчет, с учетом потенциала взаимодействия между составными частями димера, показывает, что стационарные состояния образуются снятием вырождения основного состояния мономеров ψ 1 и ψ 2 и имеют вид: ψ + = (ψ1*ψ2+ψ1ψ2*) / 2 , ψ − = (ψ1*ψ2 !

ψ1ψ2*) / 2 . “Эти два ортогональных стационарных решения эквивалентны в квантовой механике двум нормальным модам связанных маятников “ [8] . Движение электрона в атоме чрезвычайно сложно, однако вследствие его периодичности можно представить его, как колебательное. В атоме гелия два электрона, движущихся вокруг ядра. Учитывая в приближенном решении уравнения Шредингера взаимодействие, получим, что электроны взаимодействуют друг с другом с кулоновскими силами и силами называемыми обменными. По существу, обе эти силы – результат кулоновского взаимодействия. Однако разделение их на кулоновские и обменные происходит вследствие того, что чисто кулоновское взаимодействие приводит к отталкиванию электронов друг от друга, а обменное – к расщеплению уровня энергии, рассчитанного без учета взаимодействия, на два подуровня выше и ниже по энергии. Это взаимодействие называют резонансным, потому что, цитируя [9]: “Задача об атоме гелия (и вообще о двух тождественных взаимодействующих частицах, находящихся в одинаковых условиях) имеет формальную аналогию с задачей о взаимодействии двух резонирующих осцилляторов, то есть осцилляторов, собственные частоты которых совпадают ”. Гейзенберг не считал эту аналогию формальной. В работе посвященной тому же гелию, он рассмотрел классическое взаимодействие двух осцилляторов и связал расщепление первоначального уровня с обменным вырождением и образованием симметричного и антисимметричного дублета [10]. При решении задачи дифракции Френеля на длинной прямой щели, прорезанной в непрозрачном экране, используется метод ГюйгенсаФренеля. Каждая точка волнового фронта первичной волны, проходящей через щель, считается источником вторичных волн, а результат интерференции этих вторичных волн в точке наблюдения зависит от количества прямоугольных зон на поверхности волнового фронта. Расстояние от их длинных краев до точки наблюдения отличается на половину длины волны света. Подчеркнем, что вторичные источники не являются реальными физическими излучателями, дифракцию на одной щели можно наблюдать и в вакууме. Однако, задача дифракции на щели сводится к задаче о

О некоторых физических аналогиях сопровождающих колебания связанных колебательных систем

117

длинном прямом излучателе [11]. При этом, в интересующем случае малых и средних значений волнового параметра (отношение среднего геометрического из длины волны и расстояния до точки наблюдения к ширине щели) зависимость интенсивности от расстояния вдоль ширины щели определяется линейной комбинацией интегралов Френеля и выглядит так, как показано на рисунке 4 б. Сравнивая его с рис. 2 г, убеждаемся, что эта форма соответствует АЧХ колебательной системы из связанных элементов, число которых определяется числом зон Френеля располагающихся на ширине щели. Пунктиром показана область соответствующая светлому участку, согласно геометрической оптике.

Рисунок 4.

Интересно, что форма прямоугольного радиоимпульса, отраженного от ионосферы при ее вертикальном зондировании, претерпевает такие же искажения и описывается теми же формулами [12]. Роль ширины щели играет здесь ширина максимума электронной концентрации ( e<0 ) в ионосферном слое; источниками вторичных волн являются реальные свободные электроны в слое, а число зон Френеля соответствует тем же соотношениям, что и в случае дифракции на щели с учетом, что длина электромагнитной волны составляет десятки метров, ширина слоя может достигать десятков километров, а высота слоя над Землей сотен километров. Зонная структура энергетических уровней в твердом теле обязана перекрытию волновых функций электронов в атомах при их сближении до расстояний, характерных для кристаллических решеток. Физически, перекрытие означает увеличение связи между осцилляторами чрезвычайно высокой добротности, поскольку движение электронов в атомах не сопровождается диссипацией энергии. Число осцилляторов в единице объема составляет порядка 10 22 см 3. Ширина зоны разрешенных энергий будет определяться числом осцилляторов, то есть представляться широкой полосой (подобно многоконтурной

118

П.В. Леонов

АЧХ) с достаточно резкими краями. Однако на краю зоны плотность максимумов АЧХ будет ниже, чем ближе к центру зоны и определяться дифракцией прямых и отраженных электронных волн на краевом потенциале кристаллической решетки. Известно, что дифракционная картина вида изображенного на рисунке 4 б, для случая малого волнового параметра, определяется суммой двух интегралов Френеля, аргумент которых пропорционален D(zl)!1/2, где D  ширина щели, z – расстояние, l  длина волны [11]. Переходя от длины волны к частоте, усреднив значения интегралов Френеля, получим плотность дифракционных максимумов у края дифракционной картины пропорциональной ω . Это известный закон пропорциональности Е − E c плотности электронных состояний на краю разрешенной зоны от энергии [13], показанный на рисунке 4 в. Основные качественные закономерности двух связанных осцилляторов проявляются при взаимодействии двух колебательных систем. Эти системы сами могут содержать большое количество связанных осцилляторов и по составу относиться к различным физическим системам [14]. Для примера обратимся к процессу поглощения электромагнитных волн твердыми телами, преимущественно ионными кристаллами. В этом случае в кристалле имеется фононная система – набор оптических поперечных квантов колебаний решетки, обычно дискретного спектра. Электромагнитное излучение представляется потоком когерентных фотонов с импульсом ћk, и энергией ηω = η ck . Взаимодействие между системами приводит к появлению в кристалле смешанных фотонфононных состоянийполяритонов [15]. Эти возбужденные состояния ведут себя как квазичастицы с ограниченным временем жизни и их образование наиболее вероятно при совпадении волновых векторов фонона и фотона, с учетом дисперсии фотона в кристалле с определенной диэлектрической проницаемостью. Поляритонная система поддерживается проходящей через кристалл электромагнитной волной и характеризуется двумя ветвями колебаний (поляритонными модами). Одна начинается в области малых частот и при малых k ведет себя как фотонная кривая дисперсии (ω=ck). Однако, при сближении значений волновых векторов фотона и фонона она асимптотически переходит в закон дисперсии оптических поперечных фононов ωТО=const. Вторая ветвь начинается с частоты продольных оптических фононов ωLO, асимптотически приближается к фотонному закону ω=ck. Взаимодействуют две колебательные системы: фотонная с вынуждающей частотой и фононная – вынужденной. Поглощение энергии фотона происходит при исчезновении поляритона с испусканием двух фононов меньшей энергии. Отличия от взаимодействия 2х связанных контуров ( рисунок 3 а ) заключаются в том, что фотонная и фононная системы представляют собой множества связанных высокодобротных осцилляторов.

О некоторых физических аналогиях сопровождающих колебания связанных колебательных систем

119

Вследствие этого они имеют достаточно широкие АЧХ и, следовательно, широкие частотные интервалы, удовлетворяющие условиям критической связи. Роль элемента связи между этими двумя системами играет электромагнитное поле, поляризующее ионную решетку кристалла и являющееся причиной возникновения возбужденных состоянийполяритонов [16].

Рисунок 5.

Более сложная ситуация пересечения ветвей зонной структуры меди изображена на рисунке 5 б [17]. Решетка кристалла Cu кубическая гранецентрированная. Первая зона Бриллюэна в пространстве обратной решетки представляет собой усеченный октаэдр. Направление L соответствует направлению [1 1 1] в кристалле. Рисунок показывает закон дисперсии электронных волн двух ветвей зонной структуры. Точка Г1 соответствует минимуму нижней зоны, точка Г /25 максимуму верхней зоны образованной из уровня 5d. Пунктирная линия Г1  L /2 есть практически неискаженная ветвь нижней зоны почти свободных электронов из sp состояний. Пересекающаяся с ней ветвь Г /25  L1 соответствует d – зоне. Возмущение в виде резонансного взаимодействия между ветвями вблизи точки пересечения – kd снимает вырождение и раздвигает ветви до положений показанных сплошными линиями. Это происходит в результате гибридизации между sp и d состояниями. Сложность взаимодействующих колебательных систем приводит к сложности законов дисперсии пересекающихся ветвей, лишь отдаленно похожих на пересечение термов, показанных на рисунках 3 б и 5 а. Вот пример из, пожалуй, самого отдаленного от механики раздела – физики элементарных частиц. Речь идет о пока гипотетическом явлении, предсказанном лишь теоретически,  нейтринных осцилляциях, или осцилляциях Понтекорво. К настоящему времени установлены три типа нейтрино  электронное, мюонное и таонное, предположительно с весьма малыми, но различными массами. Пучок

120

П.В. Леонов

нейтрино  частиц со слабым взаимодействием, испытывает колебания вероятности обнаружения (биения) различных типов нейтрино в зависимости от расстояния до источника. Осцилляции возникают вследствие взаимопревращений одного типа нейтрино в другие с некоторым нарушением специфического квантового числа  лептонного заряда. Если нейтринные осцилляции действительно существуют, они описываются теми же уравнениями что и связанные контуры. Проведенные аналогии частично известны, но, находясь в различных разделах физики, не объединены общей идеей радикальных изменений характера колебаний в любой колебательной системе, при наличии критической связи между осцилляторами составляющими систему. Обращение к аналогии позволяет легче и доступнее пояснить, в ряде случаев, следствия такого поведения для совершенно различных по сути и сложности физических систем “не потому, что предмет настолько прост, чтобы его можно было объяснить без привлечения математического аппарата, а, скорее потому, что он слишком запутан и не вполне доступен математической интерпретации “ [18].

Литература 1. Добронравов Н.И., Наследов Д.Н., Харитон Ю.Б., Штрауф Е.А. Курс общей физики, т. 1, М.Л.: ГИТТЛ, 1941. 2. Калинин В.И.,Герштейн Г.М. Введение в радиофизику, М.: ГИТТЛ, 1957. 3. Зернов Н.В., Карпов В.Г. Теория радиотехнических цепей. М. – Л.: Энергия,1965. 4. Бриллюэн Л. Научная неопределенность и информация. М.: Мир, 1966. 5. Корзинин М. Акустическая система с пассивным излучателем // Радио, № 2, 1984. 6. Кондратьев В.Н. Структура атомов и молекул. М.: ГИФМЛ, 1959. 7. Займан Дж. Модели беспорядка. Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем. М.: Мир, 1982. 8. Поуп М., Свенберг Ч. Электронные процессы в неорганических кристаллах, т.1. М.: Мир, 1985. 9. Шпольский Э.В. Атомная физика, т. 2. М.Л.: ГИТТЛ, 1950. 10. Зоммерфельд А. Строение атома и спектры, т. 2. М.: ГИТТЛ, 1956. 11. Горелик Г.С. Колебания и волны. М.: ГИФМЛ, 1959. 12. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967. 13. Киреев П.С. Физика полупроводников. М.: Высшая школа, 1967. 14. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. 15. Маделунг О. Теория твердого тела. М.: Наука, 1980. 16. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 17. Займан Дж. Вычисление Блоховских функций. М.: Мир, 1973. 18. Шредингер Э. Что такое жизнь. С точки зрения физика. М.: Атомиздат, 1972.