Оптический эффект Доплера

Физическое вузах. Т. 8, № 4, 2002 В.Н.образование Кологривов, вВ.В. Тищенкова

72

Оптический эффект Доплера В.Н. Кологривов, В.В. Тищенкова Московская Государственная Академия тонкой химической технологии им. М.В. Ломоносова Использование элементов векторного анализа позволило дать простой вывод формулы отношения частот в эффекте Доплера при произвольных направлениях скоростей источника и приемника волн, а также при рассеянии волн движущимся телом.

В современных учебниках физики (например [4,5]) эффект Доплера излагается дважды: при нерелятивистских скоростях по К. Доплеру [1], при субсветовых по А. Эйнштейну [2]. Между тем, как было показано Т. Гиллом [3], возможен подход, позволяющий с единой точки зрения рассмотреть явление и учесть как первый его механизм – относительное движение источника и приемника волн, так и второй – нестационарность среды, в которой волны распространяются. Этот нетрадиционный способ достаточно прост (доступен студентам первого курса) и удобен для практических приложений. В монографии Т. Гилла не используется векторная алгебра, и это обстоятельство усложняет выкладки. В настоящей работе предлагается на основе нетрадиционного подхода и с использованием векторных уравнений простой алгоритм вывода формул эффекта как при субсветовых скоростях и произвольных направлениях движения точечных источника и приемника света, так и при рассеянии света движущимся телом. Статья является продолжением работ [6,7]. 1. Отношение ( η ) циклической частоты волны, регистрируемой приемником ( ), к циклической частоте волны, излучаемой источником ( ω 1 ), может быть представлено как производная [3,6]:

dt1' ω2 ≡η = ' ω1 dt 2 '

(1) '

где dt1 ; временной интервал в системе отсчета, связанной с источником, dt 2 ; временной интервал в системе отсчета, связанной с приемником, за которые излучается и поглощается (регистрируется) один и тот же цуг волн dN . ( ω1dt1'

= ω 2 dt 2' = 2πdN )

Оптический эффект Доплера

73

Используем (1), чтобы выразить η через скорости источника и приемника. 2. Пусть в вакууме имеются три инерциальные системы отсчета: одна (1), связанная с источником (время– ), другая (2), связанная с приемником (время – t 2' ), и третья, связанная с некоторым телом О (время – t ).

ρ' ' ηtvdt =β dt12 1 − 1121

Рисунок 1.

1

1 − β 22

Относительно последней системы скорость источника , приемника , причем модули этих скоростей сравнимы со скоростью света в вакууме. Согласно специальной теории относительности, соответствующие друг другу интервалы времени в указанных системах связаны соотношениями:

1 − β 12

(2)

dt 2' = dt 2 1 − β 22 , где

dt1 , dt 2 ; интервалы, за которые соответственно поступает в систему О и

уходит из нее цуг волн dN ,

β1

=

ν1 c

Учитывая (2), из (1) находим:

=

dt1 dt 2 ,

,

β2

=

ν2 c

,

c – скорость света в вакууме.

(3)

74

В.Н. Кологривов, В.В. Тищенкова

где t1 ; момент начала излучения цуга dN, цуга в системе О. Из рис.1 видно:

t 2 ; момент начала приема этого

ρ ρ ρ r2 (t 2 ) = r1 (t1 ) + l о c(t 2 − t1 ) (

; орт вектора ). Дифференцируя (4) по

(4)

, получаем:

ρ ρ dt ρ ρ dt1 dl о c(t 2 − t1 ) + l о c(1 − 1 ) . v 2 = v1 + dt 2 dt 2 dt 2

После скалярного умножения (5) на орт

и деления на c, обнаруживаем:

ρρ dt v1l о dt1 +1− 1 = dt 2 c dt 2

ρ dl о и (здесь учтена ортогональность векторов dt Из (6) следует:

(6) ).

1 − β 2l , 1 − β 1l ρρ v1l о где β 1l = = β 1 cosθ 1 , c =

β 2l

=

ρρ v2l о c

=

(5)

(7)

β 2 cos θ 2 .

Подставляя (7) в (3) имеем:

η=

1 − β 12 1− β

2 2

.

(8)

Связывая систему отсчета О с источником (т.е. полагая ), из (8) получаем:

η=

.

(8А)

Связывая систему отсчета О с приемником ( v 2 = 0 ), из (8) находим:

η=

.

(8Б)

Оптический эффект Доплера

75

Формулы (8А) и (8Б) впервые были выведены Альбертом Эйнштейном в 1905 и 1907 гг., исходя из инвариантности фазы в движущейся и покоящейся системах отсчета [2]. Следует отметить, что эффект Доплера при субсветовых скоростях имеет существенные отличия от нерелятивистского эффекта. Как показано недавно Ю. Овсепяном [8], при сближении, например, с субсветовыми скоростями наблюдателя и источника света могут регистрироваться увеличение, постоянство или уменьшение частоты, тогда как в нерелятивистском случае наблюдается только ее увеличение. 3. Рассмотрим рассеяние (отражение) волны телом Т, движущимся со ρ скоростью v (рис. 2):

ρ ρ ρρ ρρ ρ lt1122((tt*2)) == rRo +− vl1t(*t *=) l=1olc2(otc*(t−2 t−1 )t * )

Рисунок 2.

Пусть волна, излучаемая неподвижным источником 1, регистрируется неподвижным приемником 2 после рассеяния телом Т. Момент излучения волны ; , момент достижения тела Т – t * , момент приема ; t1 . Начальное (при t = 0 ) ρ положение Т задано вектором rо . Из рис. 2 видно: (9)

.

Продифференцировав уравнения (9) по

и разделив их на c , обнаруживаем:

76

В.Н. Кологривов, В.В. Тищенкова

ρ ρ dt dl1о (t * − t1 ) + l1o ( * – η ) dt 2 dt 2 ρ ρ dt * dl 2о dt = (t 2 − t* ) + l 2o (1 − * ) . dt 2 dt 2 dt 2

(10)

Здесь использовано (1) и принято во внимание, что источник и приемник волн неподвижны. Умножив первое из соотношений (10) на , а второе на , с учетом ортогональности каждого орта и его производной находим: =

dt* –η dt 2 = 1−

–

dt* dt 2

(11)

.

Исключив из (11) производную

β 1l

η

ρρ v l1о v = cosθ 1 и β 2l = c c =

dt* и введя обозначения dt 2 ρρ v l 2о , получаем: = = c

.

(12)

Сравнивая (7) и (12) видим, что характеристики источника и приемника поменялись местами. 4. Эффект Доплера применяется для измерения скоростей тел, рассеивающих (отражающих) волны [9]. При этом используется выражение, связывающее разности циклических частот и волновых векторов падающей и рассеянной волн. Покажем, что из (12) следует упомянутое выражение. Заменив в (12) величину з на отношение циклических частот, имеем:

ρ ρ v ρo v ρo ω 2 (1 − l 2 ) = ω 1 (1 − l1 ) . c c

(13)

Поскольку волновые векторы падающей на тело и рассеянной телом волны соответственно равны:

ρ ωρ ρ ωρ k1 = l1o и k 2 = l 2o , уравнение (13) можно переписать в виде: c c

Оптический эффект Доплера

ρρ

ρρ

ω 2 − k 2 v = ω 1 − k1 v .

77 (14)

Откуда и следует:

ρ

ρ ρ

ρρ

ω 2 − ω 1 = ( k 2 − k 1 ) v = Kv , ρ

ρ

(15)

ρ

где K ≡ k 2 − k1 .

Литература 1. «Ueber das farbige Licht Doppelsterne etc» (1842 г.) в книге Doppler Chr., Abhandlungen, Leipzig, 1907 г. 2. Эйнштейн А., Собрание научных трудов, т. 1, М. Наука, 1965 г. 3. Gill T.P. The Doppler effect. London, Logos Press; Acad. Press., 1965 г. 4. Савельев И.В. Курс общей физики, т. 2, М. Наука, 1987 г. 5. Детлаф А.А., Яворский Б.М.. Курс физики, М. Выс. шк., 1989 г. 6. Кологривов В.Н. Нетрадиционная трактовка эффекта Доплера, Физическое образование в вузах, № 2, 2000 г. 7. Кологривов В.Н. Акустический эффект Доплера при произвольных направлениях скоростей источника и приемника звука. Деп. в ВИНИТИ, 06.03.01, №575;В 2001 г. 8. Овсепян Ю.И. Некоторые особенности релятивистского доплер;эффекта, УФН, т. 168, № 9, 1998 г. 9. Дубнищев Ю.Н., Ринкевичюс Б.С. Методы лазерной доплеровской анемометрии, М. Наука, физ.;мат. лит., 1982 г.