Топологическая динамика: Вопросы и задачи для самостоятельной работы по спецкурсу

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского”

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА Вопросы и задачи для самостоятельной работы по спецкурсу Учебно-методическая разработка Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 010100 “Математика”

Нижний Новгород 2006

УДК 517.51/517.53 ББК В151.62 Е 69 Е 69 ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА. Вопросы и задачи для самостоятельной работы по спецкурсу. Учебно-методическая разработка.Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2006.10 с.

Составитель: Ерахтина Г.М. Рецензент: В.Т.Шишина

кандидат

физико-математических

наук

доцент

Настоящая разработка предназначена для студентов старших курсов механико-математического факультета, специализирующихся по кафедре дифференциальных уравнений и математического анализа.

УДК 517.51/517.53 ББК В151.62 2

1.

Понятие непрерывной динамической системы

1.1. Проверить, задает ли указанное однопараметрическое семейство отображений непрерывную динамическую систему в соответствующем фазовом пространстве: 1) x → x(1 + t 3 ) , где x ∈ R 1 , t ∈ I ; 2) x → x 2 + t 2 , где x ∈ R1 , t ∈ I ; 3) ( x, y ) → ( xet ,2 yet ) , где ( x, y ) ∈ R 2 , t ∈ I . 1.2. Найти уравнение траектории, проходящей через точку (0;1;0;1) ∈ R 4 , для системы, порождаемой уравнением x ( 4 ) + 10 x ( 2 ) + 34 x = 0 .

1.3. Изобразить траекторию системы, проходящую через указанную начальную точку ( x0 , y0 , z0 ) : ⎧ x& = x − y − z , 1) ⎪⎨ y& = x + y, ⎪ z& = 3 x + z , ⎩

где x0 = 1, y 0 = z 0 = 0 . ∂u ⎧ ⎪⎪ &x& = − ∂x , 2) ⎨ ⎪ &y& = − ∂u , ⎪⎩ ∂y

1 2

где u = (5 x 2 − 8 xy + 5 y 2 ) , x0 = 1, y0 = x&0 = y& 0 = 0. 1.4. Будут ли топологически эквивалентны (или изоморфны) динамические системы, порождаемые уравнениями: 1) x& = x, и y& = 4( y + 2 ) , где x ∈ R1 , y ∈ R1; 2) x& = x и y& = y ( y − 1), где x ∈ R1 , y ∈ R1; ⎧ x& = y,

3) ⎨ и ⎩ y& = x,

⎧ x& = y, где ( x, y ) ∈ R 2 . ⎨ 2 2 & ⎩ y = x + y − 1,

3

2.

Состояния равновесия и периодические движения

2.1. Найти состояния равновесия и периодические движения, указать периоды движений и расположение траекторий в соответствующем фазовом пространстве для следующих динамических систем: 1) &x& + 2 x = 0; 2) &x&& + &x& + 4 x& + 4 x = 0; ⎧ x& = y 3) ⎪⎨ y& = z ; ⎪ z& = −4 x ⎩

⎧ x& = x(1 − x 2 − y 2 ) . 4) ⎪⎨ 2 2 ⎪⎩ y& = − y (1 − x − y )

2.2. Найти периодические движения и указать их периоды для системы, заданной на двумерном торе ( (ϕ ,ϑ ) ∈ T2 ) : 1) ϕ& = 2, ϑ& = 3 + cos ϕ , 2) ϕ& = 1 + sin 4

ϑ −ϕ

ϑ −ϕ , ϑ& = 1 + sin 2 ; 2 2

3) ϕ& = α , ϑ& = β , где α > 0 , β > 0. 2.3. Доказать, что при изоморфизме динамических систем периодические движения отображаются в периодические, причем период движений сохраняется. 2.4. Может ли непрерывная динамическая система , заданная в R1 , иметь периодические движения, не сводящиеся к состояниям равновесия? 2.5. Пусть R n - пространство Бебутова, т.е. множество всех непрерывных на (−∞,+∞) функций ϕ (x) с метрикой ⎧ ⎩ | x |< X

ρ (ϕ1 ,ϕ 2 ) = sup min ⎨max | ϕ 2 ( x) − ϕ1 ( x) |; X >0

в котором определена динамическая система f t : ϕ ( x) → ϕ ( x + t ).

4

1⎫ ⎬, X⎭

Указать характер функций ϕ (x) , порождающих состояния равновесия, периодические и почти периодические движения в системе Бебутова.

3.

Динамические предельные множества и устойчивость по Пуассону

3.1. Найти Ax и Ω x - предельные множества для каждой траектории системы в конечной части фазовой плоскости: 1) x& = y (2 − x 2 − y 2 ), y& = x( x 2 + y 2 − 2); 2) x& = (3x − 2 y )( x 2 + y 2 − 1), y& = (4 x − y )( x 2 + y 2 − 1). 3.2. Найти в фазовом пространстве R 2 множества неблуждающих точек системы ⎧ x& = x − 1, ⎨ ⎩ y& = x.

3.3. Нарисовать образ квадрата {( x, y ) :| x |≤ 1, | y |≤ 1} при преобразовании фазового потока системы ⎧ x& = 2 y, ⎨ ⎩ y& = x + y,

за время t = 1 . Будет ли указанный квадрат неблуждающим множеством для данной системы ? 3.4. Найти ограниченное множество центральных движений и указать глубину центра динамической системы: 1) x& = x + y, y& = x − y; 2) x& = x( x 2 + y 2 − 4), y& = y (4 − x 2 − y 2 ), 3.5. Будут ли устойчивы по Пуассону движения системы ϕ& = 1, ϑ& = 2 + 3 sin ϕ ,

на двумерном торе ((ϕ ,ϑ ) ∈ T 2 ) .

5

3.6. Для системы ϕ& = F (ϕ ,ϑ ), ϑ& = αF (ϕ ,ϑ ),

указать движения, устойчивые по Пуассону только в положительном, только в отрицательном направлении на торе T 2 в предположении, что α > 0 , F (ϕ ,ϑ ) ∈ c 2 (R 2 ), F (2kπ ,2mπ ) = 0 (k , m ∈ Z) , F (ϕ ,ϑ ) - положительная

функция, если (ϕ ,ϑ ) ≠ (2kπ ,2mπ ) . 4.

Минимальные множества и рекуррентные движения

4.1. Является ли множество {( x, y ) : x 2 − 4 xy + 5 y 2 = 1} минимальным для системы x& = 2 x − 5 y, y& = x − 2 y,

где ( x, y ) ∈ R 2 ? 4.2. На торе с угловыми координатами (ϕ ,ϑ ) найти минимальное множества и исследовать характер движений системы: 1) ϕ& = 2 , ϑ& = 2 3 ; 2) ϕ& = α , ϑ& = β , где α , β - положительные рациональные числа; 3) ϕ& = sin 2 (ϕ / 2) + sin 2 (ϑ / 2), ϑ& = 2 (sin 2 (ϕ / 2) + sin 2 (ϑ / 2)). 4.3. Доказать, что для гладкой динамической системы в R 2 , заданной посредством дифференциальных уравнений, все рекуррентные движения исчерпываются состояниями равновесия и периодическими движениями. 4.4. Доказать, опираясь на определения, что всякое рекуррентное движение устойчиво по Пуассону. 4.5. Доказать, что всякое ограниченное минимальное множество принадлежит центру динамической системы.

6

5.

Почти периодические движения

5.1. Доказать, что движения системы x& = x − y − x( x 2 + y 2 ), y& = x + y − y ( x 2 + y 2 )

устойчивы по Ляпунову относительно своей траектории при t → ∞ , если соответствующая траектория лежит в круге x 2 + y 2 < 1 . 5.2. Исследовать, являются ли устойчивыми по Ляпунову относительно своей траектории при t → ∞ движения системы ϕ& = F (ϕ ,ϑ ), ϑ& = G (ϕ ,ϑ ),

где (ϕ ,ϑ ) - угловые координаты точки двумерного тора, а функции F (ϕ ,ϑ ), G (ϕ ,ϑ ) - дважды непрерывно дифференцируемы, положитель-

ны и 2π - периодичны по каждой из переменных ϕ ,ϑ . 5.3. Доказать, что сумма двух периодических функций с несоизмеримыми периодами не является периодической. 5.4. Доказать, опираясь на определения, что всякое почти периодическое движение устойчиво по Пуассону. 5.5. Найти почти периодические движения, не сводящиеся к периодическим, для системы, порождаемой уравнением x ( IV ) + 3&x& + 2 x = 0.

5.6. Для динамической системы, заданной на торе с угловыми координатами (ϕ ,ϑ ) , исследовать, являются ли ее движения почти периодическими: 1) ϕ& = 1, ϑ& = α , где α > 0 ; 2) ϕ& = F (ϕ ,ϑ ), ϑ& = αF (ϕ ,ϑ ), где F (ϕ ,ϑ ) - непрерывно дифференцируема, 2π - периодична по ϕ и по ϑ и обращается в нуль в единственной точке тора. 5.7. Двойной маятник состоит из двух однородных стержней ОА и АВ длины l1 и l2 , массы m1 и m2 , соответственно. Стержень ОА вращается во7

круг оси О, а стержень АВ – вокруг шарнира А (см. рис. 1). Определить характер малых колебаний маятника в зависимости от начальных условий и параметров системы.

O 1

1 1

A

2 2

B

2

Рис. 1. 6.

Исследование динамических систем

6.1. Найти число вращения систем, заданных на торе: 1) ϕ& = 2, ϑ& = 2 (1 + sin ϑ ); 2) ϕ& = 3, ϑ& = cos3 ϕ ; 3) ϕ& = π / 2 + cos 2 (ϕ / 2), ϑ& = 5. 6.2. Построить фазовый портрет на торе для траекторий системы ϕ& = − sin ϑ , ϑ& = sin ϕ + sin ϑ.

6.3. Исследовать свойства движений (устойчивость по Пуассону, рекуррентность, периодичность, почти периодичность) системы, заданной на торе с угловыми координатами (ϕ ,ϑ ) , если: 1) ϕ& = 3, ϑ& = 6 + sin 2 2ϕ sin ϑ − sin 3 2ϕ ; 2) ϕ& = 1 + cos 2 ϕ , ϑ& = 1 + 2 sin 2 ϑ ; 3) ϕ& = α + sin ϕ , ϑ& = β + sin ϑ (α > 1, β > 1); 4) ϕ& = 5 , ϑ& = 2 5 + cos 2ϕ cosϑ − cos 2 2ϕ . 6.4. Исследовать свойства движений и расположение траекторий в R 3 для следующих нелинейных систем:

8

⎧ x& = y + 2 xz 1) ⎪⎨ y& = − x + 2 yz ⎪ z& = − x 2 − y 2 + z 2 + 3 ⎩ ⎧ x& = y + 2 x( z − 1) 2) ⎪⎨ y& = − x + 2 y ( z − 1) ⎪ z& = −( x 2 + y 2 ) + ( z − 1) 2 + 9 ⎩ ⎧ x& = 2 xz + y ( x 2 + y 2 + z 2 ) ⎪ 3) ⎨ y& = 2 yz − x( x 2 + y 2 + z 2 ) ⎪ z& = z 2 − x 2 − y 2 − z 2 + 4 ⎩

ЛИТЕРАТУРА 1. В.И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1977. 2. Дж.Д. Биркгоф. Динамические системы. М.: ГИТТЛ, 1941. 3. Ю.И. Кузнецов. Введение в теорию динамических систем. М.: Изд. МГУ, 1991. 4. В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. Качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. 5. К.С. Сибирский. Введение в топологическую динамику. Кишинев: Ред.-изд. отд. АН МССР, 1970. 6. А.А. Яблонский, С.С. Корейко. Курс теории колебаний. М.: Высшая школа, 1975.

9

Топологическая динамика. Вопросы и задачи для самостоятельной работы по спецкурсу. Галина Михайловна Ерахтина Учебно-методическая разработка

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского”

10