Сложность теорий вычислимых категоричных моделей

Алгебра и логика, 43, N 6 (2004), 650—665

УДК 510.53+510.67

СЛОЖНОСТЬ ТЕОРИЙ ВЫЧИСЛИМЫХ КАТЕГОРИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ∗) С. С. ГОНЧАРОВ, Б. ХУСАИНОВ § 1. Предварительные сведения

Пусть T — некоторая непротиворечивая теория первого порядка. Имеет ли эта теория вычислимые модели? Если теория T имеет вычислимую модель, то какова ее алгоритмическая сложность, т. е. какова тьюрингова степень теории T ? Хорошо известно, что если теория T разрешима, то она имеет разрешимую модель, для которой отношение выполнимости разрешимо. С другой стороны, если теория T имеет вычислимую модель, то она разрешима с оракулом 0ω . Например, теория арифметики (ω, S, +, ×, ≤, 0) эквивалентна по Тьюрингу множеству 0ω . Добавим еще, что существуют примеры конечно аксиоматизируемых и, следовательно, вычислимо перечислимых теорий, не имеющих вычислимых моделей. В работе будут представлены для любого натурального числа примеры ℵ1 категоричной вычислимой модели и ℵ0 -категоричной модели, элементарные теории которых по Тьюрингу эквивалентны 0n , а сами эти модели имеют конечную сигнатуру. Эти результаты анонсированы в [1]. Напомним некоторые результаты, связанные с исследуемыми теориями. В [2] было доказано, что все счетные модели ℵ1 -категоричной тео∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке фонда Марсдена; работа первого

автора также поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, проект N 02-01-00593, и Советом по грантам Президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ, проект НШ-2112.2003.1.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2004

Сложность теорий вычислимых категоричных моделей

651

рии T могут быть представлены цепью элементарных расширений A0   A1  A  . . .  Aω , где A0 — простая модель, Aω — насыщенная модель, а любая модель Ai+1 является минимальным собственным элементарным расширением модели Ai . Пусть SCM (T ) — спектр вычислимых моделей теории T , т. е. SCM (T ) = {i | Ai имеет вычислимое представление}. Если теория T является ℵ1 -категоричной разрешимой, то все ее счетные модели имеют разрешимые представления (см. [3, 4]). Таким образом, SCM (T ) = ω ∪ {ω}. В [5] показано существование ℵ1 -категоричной теории T , вычислимой с оракулом 0′ , для которой SCM (T ) = {0}. Этот результат был обобщен в [6], где доказано, что для любого n > 0 существует ℵ1 -категоричная теория T , вычислимая с оракулом 0′ , для которой SCM (T ) = {0, 1 . . . , n}. В [7] приводится доказательство существования ℵ1 -категоричных теорий T1 и T2 , вычислимых с оракулом 0′′ , причем SCM (T1 ) = ω, SCM (T2 ) = ω ∪ {ω} \ {0}. Заметим, что все известные примеры ℵ1 -категоричных теорий, имеющих вычислимую модель, разрешимы с оракулом 0′′ . В [8] для любого данного натурального числа n > 1 построены примеры ℵ1 -категоричных вычислимых моделей, теории которых эквивалентны по Тьюрингу множеству 0n , данные модели имеют бесконечную сигнатуру. В [9] приведены некоторые достаточные условия, при которых у счетно категоричных арифметических теорий существуют вычислимые модели. А именно, показано: если T — счетно категоричная арифметическая теория такая, что множество всех предложений, начинающихся с квантора существования и имеющих не более n + 1 чередующейся группы однотипных кванторов, лежит в классе Σ0n+1 для любого n, то T имеет вычислимую модель. Этот результат был улучшен в [10], где добавлено условие определенной равномерности и опущено требование арифметичности теории T . Все известные примеры теорий ℵ0 -категоричных вычислимых моделей имеют низкий уровень алгоритмической сложности и до настоящего времени не существовало примеров теорий, удовлетворяющих условиям, установленным в [9], для достаточно больших n. В данной работе такие примеры будут представлены.

652

С. С. Гончаров, Б. Х. Хусаинов Приведем основные определения. Зафиксируем вычислимый язык L.

Алгебраическая система (модель) A этого языка называется вычислимой, если ее базисное множество, базисные операции и предикаты равномерно вычислимы. Это эквивалентно тому, что атомная диаграмма модели A вычислима. Алгебраическая система B называется вычислимо представимой, если она изоморфна некоторой вычислимой модели. В этом случае любой изоморфизм из B на вычислимую модель A называется вычислимым представлением модели B. Полная теория T ℵ1 -категорична, если все модели теории T мощности ℵ1 изоморфны. Аналогично, полная теория T ℵ0 -категорична, если все счетные модели теории T изоморфны. Полная теория T называется почти сильно минимальной, если в любой модели каждый из ее элементов является алгебраическим над множеством, выделяемом сильно минимальной формулой в главном обогащении константами. Модель M ℵ1 -категорична (ℵ0 -категорична), если ее элементарная теория Th(M) ℵ1 -категорична (ℵ0 категорична). Типичными примерами ℵ1 -категоричных теорий являются теории алгебраически замкнутых полей фиксированных характеристик, теория векторных пространств над фиксированным счетным полем, теория следования системы (ω, S). Рациональные числа с естественным порядком или структуры случайностей (см. [11]) являются типичными примерами ℵ0 -категоричных моделей. В § 2, следуя идеям конструкции Маркера из [12], будут определены два теоретико-модельных оператора, названных операторами Маркера ∃- и ∀-расширений. В § 3 доказывается лемма о представлении для Σ02 подмножеств множества натуральных чисел. В §§ 4, 5 будут доказаны следующие две теоремы. ТЕОРЕМА 1. Для любого натурального числа n > 1 существует ℵ1 -категоричная, имеющая вычислимую модель теория T конечной сигнатуры, эквивалентная по Тьюрингу 0n . Более того, все счетные модели теории T имеют вычислимые представления и T слабо минимальна. Теория называется слабо минимальной, если в ней есть сильно минимальная формула такая, что в любой модели этой теории алгебраическое

Сложность теорий вычислимых категоричных моделей

653

замыкание определяемого ею подмножества совпадает со всей моделью. ТЕОРЕМА 2. Для любого натурального числа n > 1 существует ℵ0 -категоричная, имеющая вычислимую модель теория T конечной сигнатуры, эквивалентная по Тьюрингу 0n . Предполагается, что читатель знаком с основами теории моделей и теории вычислимости. Стандартные понятия и обозначения можно найти в [13, 14]. Слова ”модель“ и ”структура“ будут взаимозаменять друг друга. § 2. Маркеровские расширения В работе [12] для любого данного натурального числа n > 0 построена тотально категоричная почти сильно минимальная не Σn -аксиоматизируемая теория. Эта конструкция использовалась для построения некоторых специальных структур. В этом параграфе конструкция Маркера будет адаптирована для общего случая. Пусть L — конечный язык, не содержащий функциональных симвоnm ) — некоторая структура языка L. Предположим, лов, A = (A, P0n0 , . . . , Pm

что для каждого предиката P этой структуры оба множества Ak \ P и P бесконечны, где k — арность предиката P . Маркеровское ∃-расширение предиката P обозначим через P∃ и определим следующим образом. Пусть X — некоторое бесконечное множество, не пересекающееся с A. Тогда P∃ — k + 1-арный предикат, удовлетворяющий следующим свойствам: 1) если P∃ (a1 , a2 , . . . , ak , ak+1 ), то P (a1 , . . . , ak ) и ak+1 ∈ X; 2) для любого a ∈ X существует единственный k-набор (a1 , . . . , ak ) такой, что P∃ (a1 , a2 , . . . , ak , a); 3) если P (a1 , . . . , ak ), то существует единственное a такое, что P∃ (a1 , a2 , . . . , ak , a). Маркеровское ∀-расширение предиката P обозначается через P∀ и определяется следующим образом. Пусть X — некоторое бесконечное множество, не пересекающееся с A. Тогда P∀ — это k + 1-арный предикат, удовлетворяющий следующим свойствам: 1) если P∀ (a1 , a2 , . . . , ak , ak+1 ), то a1 , . . . , ak ∈ A и ak+1 ∈ X;

654

С. С. Гончаров, Б. Х. Хусаинов 2) для любого набора (a1 , . . . , ak ) ∈ Ak существует не более одного

элемента ak+1 ∈ X такого, что ¬P∀ (a1 , a2 , . . . , ak , ak+1 ); 3) если P∀ (a1 , a2 , . . . , ak , ak+1 ) для всех ak+1 ∈ X, то P (a1 , . . . , ak ); 4) для любого a ∈ X существует единственный k-набор (a1 , . . . , ak ) такой, что ¬P∀ (a1 , a2 , . . . , ak , ak+1 ). Множество X в любом ∃- и ∀-расширении называется спутником P . nm ) — произвольная ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть A = (A, P0n0 , . . . , Pm

модель. 1) Модель A∃ положим равной A∪

m [

nm +1 , X0 , X1 , . . . , Xm Xi , P0n0 +1 , . . . , Pm

i=0

!

,

где каждый предикат Pini +1 , i = 0, . . . , m, совпадает с маркеровским ∃расширением Pini со спутником Xi , i = 0, . . . , m, причем спутники различных предикатов попарно не пересекаются. 2) Аналогично, A∀ положим равной A∪

m [

nm +1 , X0 , X1 , . . . , Xm Xi , P0n0 +1 , . . . , Pm

i=0

!

,

где каждый предикат Pini +1 , i = 0, . . . , m, совпадает с маркеровским ∀расширением Pini со спутником Xi , i = 0, . . . , m, а спутники различных предикатов попарно не пересекаются. ТЕОРЕМА 3. Маркеровские расширения модели A удовлетворяют следующим свойствам: 1) модель A определима в каждом из маркеровских расширений; 2) если теория модели A ℵ0 -категорична, то таким же свойством обладает и теория каждого из маркеровских расширений; 3) если теория модели A ℵ1 -категорична, то таким же свойством обладает и теория каждого из маркеровских расширений; 4) если теория модели A почти сильно минимальна, то таким же свойством обладает и теория каждого из маркеровских расширений; 5) любой автоморфизм модели A может быть расширен до автоморфизма каждого из маркеровских расширений.

Сложность теорий вычислимых категоричных моделей

655

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Пусть X0 , X1 , . . . , Xm — все спутники, nm +1 в любом из маркеровнеобходимые для предикатов P0n0 +1 , . . . , Pm m V ¬Xi (x) определяет оригинальное базисских расширений. Предикат j=0

ное множество структуры A. Ясно, что в модели A∃ предикат Pini

определяется формулой ∃xPini +1 (x1 , . . . , xni , x). Аналогично, формула ∀xPini +1 (x1 , . . . , xni , x) определяет предикат Pini в модели A∀ . Свойства 2–4 следуют из того, что каждый элемент в любом из маркеровских расширений является алгебраическим над оригинальным базисным множеством A структуры A∀ . В самом деле, предположим, что a ∈ Xi , Xi — спутник предиката Pi . В этом случае в ∃-расширении существует единственный набор (a1 , . . . , ak ) ∈ A такой, что Pi∃ (a1 , . . . , ak , a). Аналогично, в ∀-расширении существует единственный набор (a1 , . . . , ak ) ∈ A такой, что ¬Pi∀ (a1 , . . . , ak , a). 5) Пусть α : A → A некоторый автоморфизм, расширим его на A∃ . Возьмем произвольный элемент x ∈ X, где X — спутник предиката P∃ . Тогда существует единственный набор (a1 , . . . , ak ) ∈ A такой, что P∃ (a1 , . . . , ak , x). Заметим, что P (α(a1 ), . . . , α(ak )), следовательно, по определению предиката P∃ существует единственный элемент y ∈ X такой, что P∃ (α(a1 ), . . . , α(ak ), y). Полагаем α′ (x) = y на этом элементе. Нетрудно видеть, что так определенное расширение α′ задает автоморфизм модели A∃ , расширяющий α. Точно так же можно расширить α на A∀ . Теорема доказана. Маркеровское расширение позволяет расширять лежащую в основе структуру. Пусть A — некоторая структура, w — слово в алфавите {∃, ∀}. Определим Aw по индукции следующим образом. Если w является пустой последовательностью символов, то Aw = A. Предположим, что w = w′ ∃ или w = w′ ∀ и B = Aw′ . Полагаем Aw′ ∃ = B∃ и Aw′ ∀ = B∀ . Отсюда получаем СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть A — некоторая структура, w — слово в алфавите {∃, ∀}. Приведенная конструкция обладает следующими свойствами: 1) модель A определима в Aw ;

656

С. С. Гончаров, Б. Х. Хусаинов 2) если теория модели A является ℵ0 -категоричной (ℵ1 -категорич-

ной, почти сильно минимальной), то такова и теория модели Aw ; 3) любой автоморфизм модели A может быть расширен до автоморфизма модели Aw . Цель § 3 — показать, что модель A∃∀ проще модели A с алгоритмической точки зрения.

§ 3. О представлениях Σ02 -множеств ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Σ02 -множество A называется однозначно представимым, если для некоторого вычислимого предиката Q ⊂ ω 3 выполняются условия 1) для каждого n ∈ ω, ∃a∀bQ(n, a, b) тогда и только тогда, когда n ∈ A; 2) для каждого n ∈ ω, ∃a∀bQ(n, a, b) тогда и только тогда, когда ∃=1 a∀bQ(n, a, b)∗) ; 3) для любого b существует единственная пара hn, ai такая, что ¬Q(n, a, b); 4) для любой пары hn, ai либо ∃b¬Q(n, a, b), либо ∀bQ(n, a, b); 5) для любого a существует единственное n такое, что ∀bQ(n, a, b). Нетрудно увидеть, что любое бесконечное и кобесконечное вычислимое множество A однозначно представимо. Для Σ02 -множества A существует вычислимое множество H такое, что n ∈ A ↔ ∃a∀bH(n, a, b). В действительности, существует вычислимое множество Q, для которого ∃a∀bH(n, a, b) ↔ ∃=1 a∀bQ(n, a, b). Чтобы доказать это, опишем процедуру построения предиката Pn , n ∈ ω. На шаге 0 полагаем a0 = 0, r0 = 0, h0 = 0. На шаге t предикат Pn будет определен на всех парах (i, j) таких, что j 6 t, i 6 rt . Необходимо определить значение для at так, чтобы at был единственным свидетелем того, что n ∈ A тогда и только тогда, когда ∀bPn (at , b). Значение для ht должно удовле∗) =1

∃

xP (x) означает, что существует единственный x, выполняющий P .

Сложность теорий вычислимых категоричных моделей

657

творять условию: если n ∈ A, то ht выдает минимальное значение h 6 t, для которого (∀b 6 t)H(n, h, b). Ш а г t + 1. Вычислим H(n, i, j) для всех i, j 6 t + 1. Если (∀i 6 t + +1)(∃j 6 t + 1)¬H(n, i, j), то полагаем rt+1 = rt + 1, ht+1 и at+1 неопределенными, а Pn (i, j) ложным на всех парах (i, j), i 6 rt+1 , j 6 t + 1, на которых он еще не был определен. Если значение ht не определено и условие ∀j 6 t + 1H(n, t + 1, j) выполнено, то полагаем ht+1 = t + 1, rt+1 = rt + 1, at+1 = rt+1 . Значение Pn (at+1 , j) будет истинным для всех j 6 t+1, Pn (i, j) — ложным на всех i 6 rt+1 , j 6 t+1, на которых Pn еще не был определен. Если значение ht определено и условие ∀j 6 t+1H(n, ht , j) выполнено, то полагаем ht+1 = ht , at+1 = at , rt+1 = rt + 1, Pn (at+1 , j) истинным для всех j 6 t + 1, Pn (i, j) ложным на всех (i, j), i 6 rt+1 , j 6 t + 1, на которых предикат Pn еще не был определен. Построим предикат Q следующим образом: (n, a, b) ∈ Q тогда и только тогда, когда Pn (a, b). Приведенная конструкция гарантирует, что предикат Q является искомым. ЛЕММА 1. Пусть A — кобесконечное Σ02 -множество, содержащее бесконечное вычислимое подмножество S такое, что A \ S бесконечно. Тогда A имеет однозначное представление. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как было отмечено выше, существует вычислимое множество H такое, что n ∈ A тогда и только тогда, когда ∃=1 a∀bH(n, a, b). Определим предикат H1 следующим образом: H1 (n, a, b) тогда и только тогда, когда a = hn, xi & H(n, x, b). Легко проверить, что формулы ∃a∀bH(n, a, b) и ∃a∀bH1 (n, a, b) эквивалентны. Более того, для любого a существует не больше одного n такого, что ∀bH1 (n, a, b). Пусть H2 определен следующим образом: ¬H2 (n, a, b) тогда и только тогда, когда b = hn, a, xi & ¬H1 (n, a, x) & (∀z < x)H1 (n, a, z). Нетрудно увидеть, что предикат H2 удовлетворяет свойствам 1) формулы ∃a∀bH1 (n, a, b) и ∃a∀bH2 (n, a, b) эквивалентны; 2) формулы ∀bH1 (n, a, b) и ∀bH2 (n, a, b) эквивалентны;

658

С. С. Гончаров, Б. Х. Хусаинов 3) для любой пары n, a существует не больше одного b такого, что

¬H2 (n, a, b); 4) для любого a существует не больше одного n такого, что ∀bH2 (n, a, b); 5) для любого b существует не больше одной пары (n, a) такой, что ¬H2 (n, a, b). Можно считать, что H удовлетворяет свойствам 3–5. Используя предикат H, построим искомый предикат Q. На шаге t предикат Qt будет определен на [0, t] × [0, r2 (t)] × [0, r3 (t)], где значения функций r2 (t), r3 (t) на этом шаге получаются эффективно. Предикат Qt будет удовлетворять следующим свойствам P1 : для всех n 6 t, a 6 r2 (t) либо Qt (n, a, b) истинно для всех b 6 r3 (t), либо ∃=1 b 6 r3 (t)¬Qt (n, a, b); P2 : если a 6 r2 (t) является (Q, t)-свидетелем для n 6 t, т. е. ∀b 6 6 r2 (t)Qt (n, a, b), то существует единственный (Q, t)-свидетель для n; P3 : нет двойных (Q, t)-свидетелей (которые могут совпадать для различных n1 и n2 ); P4 : для каждого b 6 r3 (t) существует единственная пара (n, a) такая, что ¬Qt (n, a, b). Пусть H0 ⊂ H1 ⊂ . . . является аппроксимацией H такой, что H = =

S

Ht , где Ht = H ∩ [0, t] × [0, t] × [0, bt ], bt — минимальный b > t такой,

t

что выполняются следующие свойства: 1) если a 6 t является (H, t)-свидетелем для n 6 t, т. е. ∀j 6 bH(n, a, j), то существует единственный (H, t)-свидетель для n; 2) нет двойных (H, t)-свидетелей (которые могли бы совпасть для различных n1 и n2 ); 3) для всех n, a 6 t либо (∀j 6 b)H(n, a, b), либо (∃=1 j 6 b)¬H(n, a, j). Заметим, что bt определен корректно. Если для некоторого n 6 t существует (H, t)-свидетель для n, то он обозначается через h(n, t). Без потери общности можно считать, что H(0, 0, 0) истинно. В конструкции на шаге t используются функции r2 (t), r3 (t), h(n, t) и a(n, t). Вторая и третья координаты Qt не превосходят значений функций r2 (t) и

Сложность теорий вычислимых категоричных моделей

659

r3 (t), соответственно; h(n, t) является (H, t)-свидетелем, а a(n, t) — (Q, t)свидетелем для n, если они существуют. Конструкция гарантирует, что h(n, t) определено тогда и только тогда, когда a(n, t) определено. На шаге 0 полагаем r2 (0) = 0, r3 (0) = 0, h(0, 0) = 0, a(0, 0) = 0. Некоторые из номеров a 6 r2 (t) будут помечены через 2s , где s ∈ S. Поэтому конструкция гарантирует, что a будет Q-свидетелем для s, т. е. ∀bQ(s, a, b). Предположим, что Qt−1 уже определен так, что выполняются все свойства P1 , P2 , P3 , P4 . Пусть каждый элемент a 6 r2 (t − 1) либо является (Q, t − 1)-свидетелем вида a(n, t − 1) (для некоторого n 6 t), либо был отмечен некоторой меткой 2s для некоторого s ∈ S. Ш а г t. Если t ∈ S и некоторый элемент a 6 r2 (t − 1) отмечен меткой 2t , то делаем a (Q, t)-свидетелем для s, полагаем r2 (t) = r2 (t − 1), r3 (t) = r3 (t − 1) + t, расширяем Qt−1 до Qt на [0, t] × [0, r2 (t)] × [0, r3 (t)] так, чтобы все (Q, t − 1)-свидетели сохранились как (Q, t)-свидетели и чтобы Qt удовлетворяло свойствам P1 –P4 (то, что свойство P4 можно удовлетворить, следует из определения функции r3 (t)). В противном случае поступаем следующим образом. Вычислим значение Ht . Пусть i1 , . . . , ik 6 t — возрастающая цепочка такая, что h(ij , t) определено и h(ij , t) 6= h(ij , t − 1), j = 1, . . . , k. Заметим, что h(ij , t − 1) может быть не определено, также заметим, что k 6 2. Возьмем первые неиспользованные числа s1 и s2 ∈ S, отметим каждый элемент a(ij , t − 1) меткой 2sj , делаем a(ij , t − 1) (Q, t′ )-свидетелем для sj на всех шагах t′ > sj , j = 1, . . . , k. Далее, возьмем номера n1 = r2 (t−1)+1, . . . , nk = r2 (t−1)+k и положим a(ij , t) = nj для j = 1, . . . , k, r2 (t) = nk , r3 (t) = r3 (t − 1) + (k + 1)t, расширим Qt−1 до Qt на множестве [0, t]×[0, r2 (t)]×[0, r3 (t)], делая каждый a(ij , t) (Q, t)-свидетелем для ij , сохраняя всех других (Q, t − 1)-свидетелей как (Q, t)-свидетелей так, чтобы Qt удовлетворяло свойства P1 –P4 (то, что P4 свойство можно удовлетворить, следует из определения функции r3 (t)). Если требуемой выше последовательности i1 , . . . , ik 6 t нет, то возьмем первое неиспользованное число s ∈ S и отметим t меткой 2s , при этом t будет (Q, t′ )-свидетелем для s на всех шагах t′ > s. Положим r2 (t) = r2 (t − 1) + 1, r3 (t) = r3 (t − 1) + 2t + 1, расширим Qt−1 до Qt

660

С. С. Гончаров, Б. Х. Хусаинов

на множестве [0, t] × [0, r2 (t)] × [0, r3 (t)], сохраняя всех (Q, t − 1)-свидетелей как (Q, t)-свидетелей, и заботясь о том, чтобы Qt удовлетворяло свойства P1 –P4 . На этом шаг t заканчивается. S Определим Q = Qt . Несложно заметить, что Q является однозначt

ным представлением для A. На любом шаге t каждый элемент a 6 r2 (t) либо помечен меткой 2s , либо имеет вид a(n, t). Если a отмечен меткой 2s , то выполнено ∀bQ(s, a, b), т. к. a является (Q, t′ )-свидетелем для s на каждом шаге t′ > s. Предположим, что a не помечен меткой 2s для s ∈ S. Рассмотрим шаг с номером a. Существует число n такое, что a = a(n, a). Тогда для всех t > a имеем a(n, t) = a(n, a), откуда ∀bQ(n, a, b). Итак, каждый элемент a ∈ ω является Q-свидетелем для некоторого n ∈ A. Все остальные искомые свойства предиката Q справедливы, поскольку Qt удовлетворяет свойствам P1 –P4 на каждом шаге t. Лемма доказана.

Ясно, что определение однозначного представления для Σ02 -множеств можно релятивизовать относительно любого оракула X. Релятивизованная версия вышеприведенной леммы используется в § 4. ЛЕММА 2 (о релятивизованном однозначном представлении). Пусть A является кобесконечным Σ0,X 2 -множеством и содержит бесконечное X-вычислимое подмножество S такое, что A \ S бесконечно. Тогда существует X-вычислимое множество Q ⊂ ω 3 , являющееся однозначным представлением A. § 4. ℵ1 -категоричные вычислимые модели ТЕОРЕМА 1. Для любого натурального числа n > 1 существует ℵ1 -категоричная, имеющая вычислимую модель теория T конечной сигнатуры, эквивалентная по Тьюрингу 0n . Более того, все счетные модели теории T имеют вычислимые представления, а T имеет сильно минимальную формулу, замыкание которой в любой модели равно всей этой модели. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть X — некоторое Σn+1 -множество, не содержащее 0 и 1. Рассмотрим структуру M = (M, P ), где P — бинарный предикат со следующими свойствами:

Сложность теорий вычислимых категоричных моделей

661

1) P антирефлексивен, т. е. выполняется ¬P (x, x) для всех x; 2) P симметричен, т. е. P (x, y) тогда и только тогда, когда P (y, x); 3) для любого n существует P -цикл длины n тогда и только тогда, когда n ∈ X; 4) для каждого n ∈ X существует в точности один P -цикл длины n; 5) каждый элемент x ∈ M принадлежит некоторому P -циклу. Нетрудно проверить, что следующие свойства справедливы для структуры M = (M, P ): 1) теория T структуры M = (M, P ) ℵ1 -категорична; 2) структура M = (M, P ) имеет представление A = (ω, P ) такое, что предикат P вычислим в степени 0n ; 3) любая структура N теории T имеет представление A = (ω, P ) такое, что предикат P вычислим в степени 0n . Применяя свойство 2 структуры M и следствие 1, можно построить последовательность {Ai }i6n моделей такую, что 1) A0 равно A; 2) структура Ai , где 1 6 i 6 n, получается последовательным применением маркеровского ∀-расширения и маркеровского ∃-расширения к структуре Ai−1 ; 3) модель Ai является 0n−i -вычислимой. В самом деле, по следствию 1 каждая модель из последовательности {Ai }i6n (в частности, модель An ) ℵ1 -категорична. Лемма 2 гарантирует, что Ai является 0n−i -вычислимой. В частности, модель An вычислима. Заметим, что исходный предикат P определим в модели An , поэтому утверждение о существовании P -цикла длины t можно выразить в теории T модели An . Поэтому T эквивалентна 0n . Теорема доказана. § 5. ℵ0 -категоричные вычислимые модели ТЕОРЕМА 2. Для любого натурального числа n > 1 существует ℵ0 -категоричная имеющая вычислимую модель теория T конечной сигнатуры, которая эквивалентна 0n .

662

С. С. Гончаров, Б. Х. Хусаинов ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Y — бесконечное подмножество из ω.

Покажем, как закодировать это множество в некоторой ℵ0 -категоричной теории TY такой, что Y и TY имеют одну степень Тьюринга. Тогда у TY будет Y -вычислимая модель. Будем использовать конструкцию Перетятькина из [15]. Язык теории TY состоит из одного бинарного предиката R. Для каждого n ∈ ω рассмотрим цикл Cn = ({0, 1, . . . , n + 2}, R) длины n + 3, где R(x, y) выполняется тогда и только тогда, когда {x, y} = {i, i + 1} или {x, y} = {0, n + 2}. Ясно, что отношение R является антирефлексивным и симметричным на Cn . Рассмотрим класс KY , состоящий из всех конечных графов G (т. е. конечных структур языка с одним бинарным предикатом) таких, что нет циклов Cn , n 6∈ Y , вложимых в G. Ясно, что m ∈ Y тогда и только тогда, когда Cm ∈ KY . ЛЕММА 3. Класс KY обладает свойством амальгамируемости. Другими словами, если A, B1 , B2 лежат в KY и e : A → B1 , f : A → B2 являются вложениями, то существует C ∈ K и вложения g : B1 → C и h : B2 → C такие, что ge = hf . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Можно считать, что A = B1 ∩ B2 , A является подграфом и в B1 , и в B2 . Определим C следующим образом. Основное множество структуры C положим равным C = B1 ∪ B2 . В качестве отношения R на C возьмем объединение множеств R1 , R2 (которые являются отношениями в B1 и B2 соответственно) и {(a, b) | a ∈ B1 \ A, b ∈ B2 \ A}. Например, если b ∈ B2 \ A и a ∈ B1 \ A, то R(b, a) не выполняется. Если цикл Cn вложим в C, то из антисимметричности отношения R на паре (a, b), где a ∈ B1 \ A, b ∈ B2 \ A, следует, что цикл Cn вложим или в B1 , или в B2 , откуда n 6∈ Y . Следовательно, C ∈ KY . Лемма доказана Класс KY обладает еще и наследственным

свойством, т. е. если

A ∈ KY и B является подструктурой A, то B ∈ KY . Кроме того, класс KY имеет свойство совместной вложимости, т. е. для любых A, B ∈ KY существует граф C ∈ KY такой, что A и B вложимы в C. Отсюда (см. [11]) класс KY имеет ультраоднородную структуру AY , теория TY которой ℵ0 -категорична и эквивалентна по Тьюрингу Y . Дадим точное описание

Сложность теорий вычислимых категоричных моделей

663

теории TY и построим структуру A этой теории. Приведем аксиомы теории TY . Прежде всего, постулируем антирефлексивность отношения R. Далее, для каждого конечного графа B 6∈ KY потребуем, чтобы B не вкладывался в модели теории TY . Это соответствует перечислению бесконечного множества универсальных предложений. Наконец, зададим список аксиом, который гарантирует выполнимость следующего свойства: для любых A, B ∈ KY и вложения f : A → B существуют расширение A′ графа A и изоморфное вложение f ′ : A′ → B, продолжающее f . Таким образом, список аксиом состоит из ∀∃-формул. Если применить лемму 3 достаточное число раз для произвольного графа A ∈ KY , то можно найти граф A⋆ , удовлетворяющий свойству: для любых графов B, C ∈ KY и f таких, что f является вложением B в A, B — подграфом в C, а card(C) = card(B) + 1, существует вложение g : C → A⋆ , которое продолжает f . Заметим, что по данной модели A модель A⋆ может быть сконструирована эффективно с оракулом Y . Построим модель A теории TY . Пусть A0 — некоторая модель из KY . Рассмотрим цепочку A0 ⊂ A1 ⊂ A2 ⊂ . . . моделей из KA такую, что An+1 получается из An применением приведенной выше процедуры так, что An+1 = A⋆n . Пусть A равно объединению этой

цепочки моделей. Нетрудно видеть, что A является моделью теории TY . Пусть теперь A и B — две счетные модели теории TY . Рассмотрим множество всех конечных частичных изоморфизмов между этими моделями. Используя аксиомы теории TY и игру Эренфойхта–Фрессе, можно показать, что эти две модели изоморфны, поэтому теория TY является ℵ0 категоричной. Нетрудно заметить, что TY допускает элиминацию кванторов. Покажем, что Y и TY имеют одну и ту же тьюрингову степень. Достаточно заметить, что для всех n ∈ ω, выполняется n ∈ Y тогда и только тогда, когда цикл Cn вложим в модель теории TY . Последнее вытекает из аксиомы теории TY о том, что существует цикл длины n. Для завершения доказательства теоремы предположим, что Y = 0n .

664

С. С. Гончаров, Б. Х. Хусаинов

Теория TY имеет модель A = (ω, R), вычислимую в 0n . На основании леммы 2 и следствия 1 можно сконструировать последовательность моделей {Ai }i6n такую, что 1) A0 равно A; 2) структура Ai , где 1 6 i 6 n, получается примененными последовательно к структуре Ai−1 маркеровскими ∃- и ∀-расширениями; 3) структура Ai является 0n−i -вычислимой. По следствию 1 каждая из структур в последовательности {Ai }i6n и, в частности, структура An ℵ0 -категоричны. Лемма 2 гарантирует, что структура Ai является 0n−i -вычислимой. В частности, An вычислима. Заметим, что исходный предикат R определим в модели An . Поэтому предложение о существовании R-цикла длины n можно выразить в теории T модели An . Отсюда легко проверить, что теория T эквивалентна по Тьюрингу 0n . Теорема доказана.

§ 6. Перспективы работы Ответы на следующие вопросы еще неизвестны. Существуют ли вычислимые ℵ1 - и ℵ0 -категоричные модели, теории которых эквивалентны по Тьюрингу 0ω ? Авторы полагают, что развитая в этой работе техника поможет ответить позитивно на оба этих вопроса.

ЛИТЕРАТУРА 1. С. Гончаров, Б. Хусаинов, Сложность категоричных теорий с вычислимыми моделями, Докл. АН, 385, N 3 (2002), 299—301. 2. J. Baldwin, A. Lachlan, On strongly minimal sets, J. Symb. Log., 36, N 1 (1971), 79—96. 3. L. Harrington, Recursively presentable prime models, J. Symb. Log., 39, N 2 (1974), 305—309. 4. Н. Хисамиев, Сильно конструктивные модели разрешимых теорий, Изв. АН Каз. ССР, cер. физ.-мат., 1 (1974), 83—84.

Сложность теорий вычислимых категоричных моделей

665

5. С. С. Гончаров, Конструктивные модели ω1 -категоричных теорий, Матем. зам., 23, N 6 (1978), 885—888. 6. К. Кудайбергенов, О конструктивных моделях неразрешимых теорий, Сиб. матем. ж., 21, N 5 (1980), 155—158. 7. B. Khoussainov, A. Nies, R. Shore, On recursive models of theories, Notre Dame J. Form. Log., 38, N 2 (1997), 165—178. 8. С. Гончаров, Б. Хусаинов, О сложности теорий вычислимых ℵ1 -категоричных моделей, Вестник НГУ, сер. матем., мех. информ., 1, N 2 (2001), 63—76. 9. M. Lerman, J. Scmerl, Theories with recursive models, J. Symb. Log., 44, N 1 (1979), 59—76. 10. J. Knight, Nonarithmetical ℵ0 -categorical theories with recursive models, J. Symb. Log., 59, N 1 (1994), 106—112. 11. W. Hodges, A shorter model theory, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1997. 12. D. Marker, Non-Σn -axiomatizable almost strongly minimal theories, J. Symb. Log., 54, N 3 (1989), 921—927. 13. Г. Кейслер, Ч. Ч. Чен, Теория моделей, М., Мир, 1977. 14. R. I. Soare, Recursively enumerable sets and degrees, New York, Springer– Verlag, 1987. 15. М. Г. Перетятькин, О полных теориях с конечным числом счетных моделей, Алгебра и логика, 12, N 5 (1973), 550—576.

Поступило 8 сентября 2002 г. Окончательный вариант 16 сентября 2003 г. Адреса авторов: ГОНЧАРОВ Сергей Савостьянович, Институт математики СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, РОССИЯ. Тел.: (383-2) 33-28-94. e-mail: [email protected] ХУСАИНОВ Бахадыр, Department of Computer Science, University of Auckland, Auckland, NEW ZEALAND. Tel.: (219)-631-63-55. e-mail:[email protected]