Методика расчета корпусных элементов музыкальных инструментов(Диссертация)

Мини ст ер ст во о б разо вания Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и М ар и й с к и й г о с у д а р ст в е н н ы й т е х н и ч е с к и й уни вер си т е т

Н а правах р у к о п и с и

Ш л ы ч к о в С е р г е й Вл адим ир ович

Методика расчета корпусных элементов музыкальных инструментов 01.02.06. − Дин а ми ка , п р о ч н о с т ь м а ш и н , п р и б о р о в и аппаратуры Ди ссер т аци я н а с о и с к а н и е у ч е н о й ст епени к а н д и д а т а т ех н и ч е ск и х нау к

Научный руководитель – доктор технических наук, п р о ф е с с о р Ю. А . Ку ли ков

Йо шкар - О л а

2004

2

Огла вл ение Стр. П ер е ч е н ь со кр ащений ............................................................. 5 В в е д е н и е .................................................................................. 6 1. М е то д ы и с с л е д о в а н и я м у з ы к а л ь н ы х и н с тр умен то в .......... 14 1 . 1 . Св едени я и з и с т о р и и му зы к альной аку ст ик и ................ 14 1 . 2 . М ат ер и а л ы и к о н с т р у к ц и и .......................................... 17 1.3. Об зор и сследов ан ий д и н а м и к и т о н к о ст е н н ы х ко нстру к ций

22 1 . 4 . Р а сч ет ные мод е ли и м етод ы и сследо в ани я ................. 25 1 . 5 . Ц е л и и з ад а ч и р а б о т ы ................................................. 33

2.

Методика

расчета

кор пу с ных

э л ем е н т о в

к о н с тр у к ц и й

музы ка льных с т р у н н ы х и н с тр умен то в .................................. 35 2 . 1 . С и с т е м а р а з р е ш а ю щ и х у р а в н е н и й ............................... 35 2 . 2 . Кон е чный э л е м ент тонко стенной о б о л о ч к и из В К М ..... 40 2 . 3 . Ст ержн евой ко нечн ый э л е м ент .................................... 48 2 . 4 . Р а с ч е т соб с тв енных фор м и ч ас т о т .............................. 51 2 . 5 . Р а с ч е т а м п л и т у д у ст ано ви вших ся колеб ан и й ............... 53 Вы воды по г л а в е 2 ............................................................ 56 3 . Ана лиз р а с ч е т н о й м о д ел и М К Э ......................................... 58 3 . 1 . Кон стру кци я и р а с ч е т н а я модель д е ки ......................... 58 3.2.

Упругое

деформирование

деки .

Расчет

и эк сп ери м ент ....................................................................... 61 3 . 3 . Т е с т и р о в а н и е . Расчёт п л а с т и н о к ................................. 64 3 . 3 . 1 . З а д а ч а ст атики ................................................... 64 3 . 3 . 2 . З а д а ч а д и н а м и к и ................................................ 67 3 . 3 . 3 . З а д а ч а у ст о йчи во с ти .......................................... 70 Вы воды по г л а в е 3 ............................................................ 72

3

4.

Э к спер иментал ьно е

Стр. м еха нических

исследование

к о л е б а н и й г и та р но й д е к и ...................................................... 75 4 . 1 . Э к спери м ен тальн ая у с т а н о в к а ..................................... 75 4 . 2 . Ан ализ соб с тв енных фор м . Ф и г у р ы Х л а д н и ................. 78 4.3.

По стро ение

АЧХ

и

определение

ко нст ан т

д е м п ф и р о в а н и я ....................................................................... 81 4 . 4 . Физико - м е х ан и ч е с к и е х ар а кт ер и ст ики м а т е р и а л о в ....... 87 4.5. С о п о с т а в и т е л ь н ы й ан ализ р е з у л ь т а т о в р а с ч ё т о в и эксп е р и м е н т о в … ............................................................................ 90 4 . 6 . Ц и ф р о в о й с п е к т р а л ь н ы й а н а л и з .................................. 94 4 . 6 . 1 . В л и я н и е а к у с т и ч е с к о г о р езо на то р а ..................... 96 4 . 6 . 2 . В л и я н и е струн .................................................. 99 Вы воды по г л а в е 4 ...........................................................103 5.

Х а р а к т е р и с ти к и

г ита р но й

деки

в

зависимости

от

ко нстру к тив ны х фа кто р ов ...................................................105 5 . 1 . Исследов ан ие н а п р я ж ё н н о г о с о с т о я н и я ......................105 5.2.

П а р а ме т р и ч е с к и й

ан ализ

спектра

соб с тв енных

к о л е б а н и й . ............................................................................107 5 . 2 . 1 . В л и я н и е сх емы п о д кр еп л ени я ............................107 5 . 2 . 2 . В л и я н и е н а ч а л ь н о г о н ап р яж ен н о г о состо яни я ...111 5 . 2 . 3 . В л и я н и е г ео м етр и ч е ск и х р аз м ер о в ....................113 5 . 2 . 4 . В л и я н и е к о н с т р у кт и в н ы х ф а к т о р о в ....................114 5.3.

Сопо ст авлен ие

част от

со бст в енн ы х

колеб ани й

деки и с т р у н ..........................................................................116 Вы воды по г л а в е 5 ...........................................................120 6 . А на лиз р езо на нсны х х а р а к т е р и с т и к .................................122 6 . 1 . С т а т и ч е с к и е и д и н а ми ч е ск и е п о д а т л и в о с т и ................122

4

Стр. 6.2.

З ав и с и мо ст ь

р ез о н а н с н ы х

амплитуд

от

сх емы

п о д кр еп л ени я ........................................................................129 6.3. З а ви си мо с т ь р езо нансных а м п л и ту д о т высот ы р е б е р ж е с т к о с т и ..............................................................................134 6.4.

З ав и с и мо ст ь

р е зо н ан сн ы х

амплитуд

от

уровня

д е м п ф и р о в а н и я ......................................................................136 Вы воды по г л а в е 6 ...........................................................138 Общ и е выво ды .....................................................................140 С п и с о к л и т е р а т у р ы ..............................................................144 Пр илож ения .........................................................................162 Пр и ло ж ени е 1 . Резуль таты т е ст иров ани я ............................163 Пр и ло ж ени е 2 . Р езультаты в н е д р ен и я ................................169

5

П ер е ч е н ь с о к р а щ е н и й АМ

− асимптотический метод,

АЧХ

− а м п л и т у д н о - ч ас т о т н а я х ар а к тер и с ти к а ,

ВКМ

− во ло книстый к о м п о з и ц и о н н ы й м а т е р и а л

ГУ

− граничные условия,

КЭ

− ко н ечный элем ент ,

М КЭ

− метод ко нечн ых э л е м ент о в ,

МИ

− музы к альны й и н с т р у м е н т ,

НД С

− н а п р я ж е н н о - д е ф о р м и р о в а н н о е со стояние ,

НИР

− н ау чн о - и с с л е д о в а т е л ь с к а я р а б о т а ,

ПЭ ВМ − п е р с о н а л ь н а я Э В М , САПР – с и с т е м а а в т о м а т и ч е с к о г о п р о е к т и р о ва н и я , С П М – с п е к т р а л ь н а я п ло т н о ст ь мо щност и , ЭВМ

– электронная вычислительная машина.

6

Введение И с т о р и я р а з в и т и я му з ы к альн ы х и н с т р у м е н т о в ( М И ) н еп о ср ед ст в енно св яз ан а с р а з в и т и е м ч е л о в е ч е с к о г о о б щ е с т в а – его культур ы , н ау к и и тех ники . З а многи е сто л ет ия в о б л а с т и р азр а ботки , ко н ст р у и р о в ани я и п р о и з в о д с т в а М И н а к о п л е н б о г а т ы й о п ы т , с ф о р м и р о в а н ы о п р е д е л е н н ы е т р а д и ц и и . Д ли т е л ьн ая э в о люц и я и е с т е с т в е н н ы й о т б о р п р и в е л и к созд ани ю со вер ш ен ны х к о н стру кций . От мети м зн амени тую к р е м о н с к у ю школу ( б л и з К р е м о н ы , Ит али я ) . Г л а в а ш к о л ы А. А м а т и ( 1 5 3 5 – 1 6 1 1 ) и его п р о с л а в л е н н ы е у ч еники А . Г в а р н е р и ( 1 6 2 6 – 1 6 9 8 ) , Д . Г в а р н е р и ( 1 6 6 6 – 1738), А. Стр а див ари ( 1 6 4 0 – 1 7 3 7 ) и з г о т о в и л и о к о л о 1 0 0 0 ск ри п о к , в и о ло н ч ел е й , контр аб а сов , гитар , д о сих п о р не п р ев зойд ен н ы х п о сво и м д о сто и н с тв а м . Т р а д и ц и и и т ай н ы н е п р е в з о й д ё н н о г о маст ер ств а п е р е д а в а л и с ь о т о тц а к сыну , о т м а с т е р а к у ч ени ку . С е г о д н я сто и мо ст ь лу чших и н с т р у м е н т о в Стр а див ари , Гварнери п р е в ы ш а е т миллио н у сло в ны х е д и н и ц ( у . е . ) . В то же вр емя стои мо сть со вр еменных п е р во к л а с с н ы х М И, к а к п р а в и л о , со ст ав л я е т н е б о л е е д е ся ти т ы с яч у . е ., ц е н а ж е ф а б р и ч н ы х инстру м ен т о в д л я н а ч и н а ю щ и х и в о в с е н е п р е в ы ш а е т ст а у . е. Воз н и кает в о п р о с , в ч ё м р азн и ц а м е ж д у ними ? Отр аж а ет ли сло жив ши й с я у р о в е н ь ц ен сто л ь с у щ е с т в е н н у ю р а з н и ц у в к л а с с е ? М о г у т ли совр еменны е М И с о п е р н и ч а т ь с л у ч ш и м и об ра з ц а ми вели ких и т а л ь я н с к и х маст еров ? Д еб ат ы на э т и темы не у т и х а ю т уже о ко ло д в у х с о т лет . Эти в о п р о с ы в о лну ю т не то лько и сп о лн и телей и муз ы к а льных маст еро в , но и у ч ё н ы х – и с с л е д о в а т е л е й , з ад а ча к о т о р ы х з а к л ю ч а е т с я в т о м , чт обы не только п о н я т ь эт о р аз ли чи е , но и о п и с а т ь его к о л и ч е с т в е н н о .

7

От мети м , что д о с и х по р лу чши е о б р а з ц ы МИ и з г о т а в л и в а ю т с я в р у ч н у ю. О с н о в н ы е пар а метры инстру м ентов о п р е д е л я ю т с я о п ы т н ы м п у т ё м , н а о сно ве с л о ж и в ш и х с я т р а д и ц и й и п р а в и л . О ч е в и д н о , во змо жно сти э мп и р и ч е ско г о пути р а з в и т и я к н а сто ящему вр емени в о с н о в н о м и сч ер п аны . В со временных у с л о в и я х , п р е ж д е в с е г о условиях ж е ст ко й к о н к у р е н ц и и , в о многи х областях тех ники п р о и с х о д и т б ы с т р а я с м е н а к о н с т р у к ц и о н н ы х м а т е р и а л о в , и д ет вн едрени е н о в ы х б о л е е с о в е р ш е н н ы х т е х н о л о г и й и кон стру кци й . С т р е м и т е л ь н о р а з в и в ает ся в ы ч и с л и т е л ь н а я м а т е м а т и к а и м е х а н и к а . Б о л ь ш о е в л и я н и е н а н ау к у и тех нику о к азы в а ет р а з в и т и е и совер ш ен ст вов ан и е ЭВМ. Получают развитие методы математического моделирован и я , н а б а з е к о т о р ы х разр аб атыв аю т с я САПР . Со вр еменн а я вы ч и с л и т е л ь н а я т ех н и к а и п р о г р а м м н о е о б е с п е ч е н и е по зво ляют с высо кой ст еп ен ью до стов ерно сти м о д е л и р о в а т ь р е а л ь н ы е п р о цессы и п р о е к т и р о в а т ь б о л е е со в ер ш енн ы е к о н с т р у к ц и и . В му зы к альной пром ыш ленно сти и д е т н а п р я ж е н н ы й п о и с к б о л е е р а ц и о н а л ь н ы х ф о р м и р а з м е р о в констр укций . Вн едр я ют ся прогрессивные

ко н ст р у кц и о н н ы е

материалы.

Разрабатываются

М И с н о вы м у р о в н е м а к у с т и ч е с к и х св ойст в . В с ё э т о п р е д ъ я в л я е т п о в ы ш е н н ы е т р е б о в а н и я к к а ч е ст в у п р о е к т и р о ва н и я . С е г о д н я п р и созд ани и и сов ер ш ен ст вов ании М И клю чево е зн ач ен и е п р и о б р етает н а у чн ая б аз а , к о т о р а я , с о д н о й с т о р о н ы , отражает и си ст е м ати з ирует о п ы т, с д р у г о й – и с п о л ь з у е т зн ани я и мет о ды т о ч н ы х нау к: математ ик и , фи зи ки , мех а ники . В д и с с е р т а ц и и р а с с м а т р и в а е т с я к л а с с с т р у н н ы х М И, к о т о р ы е в з ав и с и мо ст и о т спо с оба из в л еч ен ия звука д е л я т с я на к л а в и шн ы е , с м ы ч к о в ы е и щи пковы е . В к а ч е с т в е о б ъ е к т а и сследо в ани я

8

принят струнный щипковый инструмент – семиструнная классич е с к а я г и тар а . П е р в ы е у п о м и н а н и я о г и т а р е о тно с ят с я к X I V – X V в в. Н азвани е "г и т а р а" п р о и з о ш л о о т н а з в а н и я д р е в н е г р е ч е с к о г о М И "ки ф ар а ". В кон це X V I в. ш и р о к о е р а с п р о с т р а н е н и е в Евро пе , з ат е м в А м е р и к е п о л у ч и л а ш е с т и с т р у н н а я и сп ан с ка я г и т ар а. В Р о ссии г и т а р а п о я в и л а с ь п о з д н е е , н ач и н а я с X V I I I в. ш и р о к о е п р и зн ани е п о л у ч и л а с е ми с т р у н н ая г и т а р а . В н а с т о я щ е е в р е м я г и т а р а – о д и н из н а и б о л е е п о п у л я р н ы х и люби мых МИ . Н а н е й играют м и л л и о н ы муз ы к анто в – л ю б и т е л е й , пр офессио налов . О с н о в н ы ми э л е м ент а ми л ю б о г о с т р у н н о г о М И я в л я ю т с я : • С т р у н ы – исто ч ники м е х а н и ч е с к и х ко лебаний . • Деки – у с и л и т е л и м е х а н и ч е с к и х ко лебаний . • А к у с т и ч е с к и е в н у т р е н н и е поло сти – р езо на то р ы зву к овых колеб ан ий . Стр у н н ы й М И в цело м – это с в я з а н н а я у п р у г о - а к у с т и ч е с к а я си ст ема . У п р у г и е ко лебани я с т р у н , д е к и з в у к о в ы е колеб ан и я д а в л е н и я с в я з а н ы д р у г с д р у г о м . Стр у ны с д е ко й пр ед ст авляю т г е н е р а т о р и и з л у ч а т е л ь зву к а , у с т р о й с т в о д л я в о з б у жд е н и я зву ковых в о лн в о к р у ж а ю щ е й во зд ушной с р е д е . Кон стру кци я М И со ч ет а ет в с е б е ц е лы й ряд дост ато ч но п р о т и в о р е ч и в ы х с в о й с т в и качест в . С о д н о й с т о р о н ы , М И д о л ж е н б ы т ь легки м , у д о б н ы м для и г р ы , с д р у г о й – о б л а д а т ь до ст ато ч н о й п р о ч н о с т ь ю , ж е ст к о ст ью и д о л г о в е ч н о с т ь ю в у сл о виях э к сп л у ат а ц и и . По ми мо п р о ч н о с т и и ж ё ст к о сти , р е ш а ю щ е е з н а ч е н и е п р и о ц е н к е к ач е ст в а МИ в с ё- т а ки и м е ют ег о аку с т ич е ск ие х а р а к т е р и сти ки . В сво ю оч еред ь аку ст ик а МИ о п р е д е л я е т с я у п р у г и м и , и н е р ц и о н н ы м и и д и с с и п а т и в н ы м и св ойст в а ми его о т д е л ь н ы х

9

элем ент о в .

Од ни

э л е м ент ы

имеют

повышенные

ж е ст ко ст ь

и

д е м п ф и р у ю щ у ю спо соб ност ь ( это , п р е ж д е в с е г о , э л е м ент ы к о р п у с а) , д р у г и е , н а о б о р о т , – в м еру п о д а т л и в ы е и и м е ют э кс т р е м а л ь н о н и з к о е д е м п ф и р о в а н и е ( с т р у н ы ). К л ю ч е в ы м э ле м ент о м констр укции муз ы к а льного с т р у н н о г о и н с т р у м е н т а я в л я е т с я д е ка ( з в у ч а щ а я д о с ка ) . Ф у н к ц и о н а л ь н о д ек а п р е д н а з н а ч е н а д л я у си л ени я м е х а н и ч е с к и х к о л е б а н и й стр у н . "Зву ки с к р и п к и , г и т а р ы исходят о т е ё деки , а не о т струн , и б о д е к а в с о с т о я н и и в т о р и т ь т е м з в у к а м , к о т о р ы е п е р во н а ч а л ь н о вы зывает с т р у н а " [2 4 ]. К о л е б а н и я струн "р а с к а ч и в а ю т " деку . Д е к а о к а з ы в а е т р е ш а ю щ е е в ли я н и е на фо р мир о в ан ие т е мб р а , си лу и д л и т е л ь н о с т ь и з л у ч е н и я з в у к о в. Ид еальн а я д е к а д о л ж н а [ 1 0 , 4 2 , 5 9 , 1 1 3 , 1 1 4 ] : • Об есп ечив ат ь м и н и м а л ь н ы е п о т е р и п р и п е р ед а ч е эн ер гии у п р у г и х к о л е б а н и й стр у н о кр у жа ю щ ей во зду ш ной ср еде . • Р а в н о м е р н о у с и л и в а т ь колеб ан и я всех ч а сто т сп ектр а возбуждения. Одн а ко в р е ал ь ны х условиях д е ка о б л а д а е т о пр е д е л е н н о й и з б и р а т е л ь н о с т ь ю . Он а у с или в ае т о д н и с о с т а в л я ю щ и е с п е к т р а возб у ж д е н и я и о с л аб л я ет д р у г и е . Ч а с т о т н а я з а в иси мо ст ь д и н а м и ч е с к о й р е а к ц и и д е ки и с к а ж а е т с о с т а в с п е к т р а возбу жд ени я . Я в л е н и е и зб и р ат е л ь н о ст и и и с к а ж е н и я п р о яв л я е т с я т е м с и л ь н е е , ч е м с л а б е е д е мп фи р о ва н и е , ч е м "о с тр е е " р е зо н ан сы деки . П о в ы ш е н и е д е м п ф и р у ю щ е й спо соб ност и , в с в о ю о ч еред ь , у в е л и ч и в а е т п о т е р и эн ергии м е х ан и ч е с к и х колеб ан и й , ч т о п р и в о д и т к у м ен ьшен ию п р о д о л ж и т е л ь н о с т и зву ч ани я и у х у д ш е н и ю к а ч е ст в а М И. В а ж н о й х а р а к т е р и с т и к о й деки я в л я е т с я е ё у п р у г а я по да т л и в о с т ь . Х о р о ш а я д е к а в с е г д а п о д а т л и в а я . Ч е м вы ше п о д а т л и в о ст ь , т е м н и ж е соб ст в енны е ч а сто т ы , в к л ю ч а я ч а сто т у о с н о в н о г о т о н а ,

10

и вы ше а м п л и т у д ы колебани й . Т а к а я д е ка и з л у ч ае т с и л ь н ы й зву к с н и з к и м о сн о в н ы м то ном . Од нако п о в ы ш е н н а я п о д а т л и в о ст ь, в сво ю о ч ер ед ь , п р и в о д и т к з н а ч и т е л ь н ы м д ефо р м аци я м деки п р и н а с т р о й к е и н ат яж ен и и струн к о л к а м и . Т а к и м о б р а з о м , г ар мо нию "и н т ер е со в " п р и х о д и т с я и с к а т ь ко мпро ми ссны м п у т е м , и м е я в вид у следу ю щи е к р и т е р и и к а ч е ст ва : 1 . Г л а д к и й , о т н о с и т е л ь н о р о в н ы й характер резо нансно й кри вой [10 5 , 106 ]. 2 . Ни зкая ч ас т о т а о с н о в н о г о т о н а, и ли дост ато чно в ы со к а я податливость [10, 59]. А к т у а л ь н о с т ь р аб о ты о п р ед е ля ет с я н е о б х о д и м о с т ь ю ре ш е н и я в а ж н о й нау чно - т е х н и ч е с к о й и с о ц и а л ь н о - к у л ь т у р н о й п р о б л е м ы , св я занн о й с р азр аб о т ко й методики р а с ч е т а и п р о е к т и р о в а н и я к о р п у с н ы х э л е м ент о в ко нстру к ций стр у нных М И. Н а з а щи т у выно сят ся р е зу л ьт ат ы , с о д е р ж а щ и е элемен ты нау ч но й новизны: • М ет о д и к а и с с л е д о в а н и я д и н а м и к и т о н к о ст е н н ы х э л е м ен т о в кон стру кци й МИ . • Математическая

модель

и

вычислительные

алгоритмы

р а с ч е т а п а р а м е т р о в со бст в енн ы х и в ы н у ж д е н н ы х к о л еб ан и й с у ч е т о м п о д к р еп л е н и й и н а ч а л ь н о г о Н Д С , о б у с л о в л е н н о г о пр ед вар и т е льны м н а т яж е н и е м струн . • Р езультаты фи зическог о и м а т е м а т и ч е с к о г о м о д е л и р о в а н и я , у ст ан ав ли в а ю щи е з ав и с и мо сти д и н а м и ч е с к и х х а р а к т е р и с т и к резо нансных д е к о т к о н с т р у кт и в н ы х ф а к т о р о в . Д л я р е ш е н и я пр облемы п р и в л е к а ю т с я м етод ы т е о р и и т о н к и х пластин и о б о л о ч е к из В К М , т е о р и и к о л еб ан и й , в ы ч и с л и т е л ь н о й

11

м а т е м а т и к и и м е х а н и к и , э к сп ери м ент а льны е м етод ы и с с л е д о в а ния. Ди ссер т аци я п р е д у с м а т р и в а л а с ь п л ано м НИР к аф ед р ы сопро тивл е н и я м а т е р и а л о в и п р и к л а д н о й м еханики М а р и й с к о г о г о с у д а р с т в е н н о г о т е х н и ч е с к о г о у н и в е р с и т е т а в рамках г о с б ю д ж е т н о й темы « М ех ан и к а к о н с т р у к ц и й и м а т е р и а л о в » ( 1 9 9 9 – 2 0 0 3 г о д ы ). Он а со стоит и з вв ед ени я , ш е с т и г л а в, общих в ы в о д о в , сп иск а и с п о л ь з о в а н н о й л и т ер ат у р ы и п р и л о ж е н и й . В п е р в о й г л а в е дан о б з о р и си ст емати ч ески й ан ализ и с с л е д о ван и й М И, как в н а ш е й стр ан е , т а к и за р у б е ж о м . Прив едены св ед ен и я и з и с т о р и и м у з ы к а л ь н о й аку сти ки . Р а с с м о т р е н ы су щест вую щ ие р а с ч ё т н ы е модели и м етод ы и с с л е д о в а н и я . В ы п о л н е н ан ализ и з в е с т н ы х к о н с т р у к ц и й г и т а р н ы х д е к . Пр ед ст ав лены х ар а к т е р н ы е а к у с т и ч е с к и е х ар а к тер и с ти ки в ы с о к о к л а с с н ы х и фаб р и чн ы х о б р а з ц о в М И. С ф о р м у л и р о в а н ы ц е ли и зад а чи р аб о ты . В т о р а я глава п о с в я щ е н а р азр аб о т к е м е т о д и к и р а с ч ё т а кор пусных элемен тов кон стру кци й МИ . У ч и ты в а ю т с я пер е менна я кривизна

поверхности

оболочек,

анизотропия

физико -

м е х ан и ч е с к и х с в о й с т в м а т е р и а л а , н а л и чи е п о д к р еп л е н и й в в и д е а с и м м е т р и ч н о г о набор а рёбер ж е с т к о с т и . И с п о л ь з у е т с я в ар и а н т М КЭ , о сн о в а н н ы й н а с м е ш а н н о й в а р иа ц и о н н о й ф о р м у л и р о в к е п р и н ц и п а Х е л л и н г е р а - Р е й с с н е р а и т е о р и и то нких о б о л о ч е к Ти мо шен к о . З ад а ч а д и н а м и к и фо р му лир у е тс я к а к зад а ча на вы ну ж д е н н ы е колеб ан ия п р е д в а р ит е л ь н о н ап р яж ен н о й к о н с т р у к ц и и . С учётом демпфирования рассматривается вычислительный алгор и тм р а с ч е т а у с т а н о в и в ш и х с я а м п л и т у д к о л е б а н и й . В тр етьей гла в е д ан а н а л и з р а сч ё тно й м о д ел и . Р а с с м о т р е н а кон стру кци я и р а с ч е т н а я м о д е л ь д е ки к л а с с и ч е с к о й г и т а р ы. И сс л е д о в а н о у п р у г о е д е ф о р м и р о в а н и е по д д ей ст ви е м с и л н ат яж е -

12

н и я стр у н к о л к а м и . Д а н н ы е р а с ч ё т о в с о п о с т а в л е н ы с р езу л ьт ат ами э к сп ери м ент о в . Р е ш е н р я д т е сто вы х зад а ч с т а т и к и , д и н а м и к и и усто йчиво с ти тонких п л а с т и н о к . До сто в ерн о ст ь р а с ч е т н о й мо дели п о д т в е р ж д а е т с я с о г л а с о в а н н о с т ь ю полу ченных р е зу л ьт ат о в : п а р а м е т р о в Н Д С , с п е к т р о в со бст в енн ы х ч а ст о т , к р и т и ч е с к и х н агрузок с известными данными классических решений. Исследован ы сх одимо ст ь и т о ч н о с т ь мо делей М КЭ . Четвер та я

глава

сод е ржит

результаты

расчётно-

эк сп ери м ент а льных и с с л е д о в а н и й м е х а н и ч е с к и х ко лебаний г и тарно й деки . Пред ст ав лены методики и апп а ратур а и з м е р е н и й с о б с т в е н н ы х частот и ф о р м , к о н ст ан т д е м п ф и р о в а н и я , а мп ли т у д в ы н у ж д е н н ы х колеб ан ий п р и с и л о в о м мо но гар мони ч еско м возбуждении.

У с т ан о в л е н ы

фи зико - м е х ан и ч е с к и е

х ар а кт ери с тики

к о н с т р у кц и о н н ы х м а т е р и а л о в . П о к а з а н о , что д е к а с п о д к р е п л е ниями о б л ад а ет б о л е е р о в н ы м со ст ав ом р езо нансных а м п л и т у д , ч е м д е к а б ез п о д к р еп л е н и й . Р е зу л ьт ат ы физи ческих э к сп ери м ен т о в: р ез о н а н с н ы е а мп ли т у д ы , с о б с т в е н н ы е ч а с т о т ы и ф о р м ы ко л е б а н и й с о п о с т а в л е н ы с д а н н ы м и р а с ч е т а М КЭ . Пут ё м ц и ф р о в о г о с п е к т р а л ь н о г о ан ализ а и с с л е д о в а н о в ли я н и е а к у с т и ч е с к о й в н у т ренней поло сти и с т р у н на сп ек тр с о б с т в е н н ы х ч ас т о т к о л еб ан и й деки . В п я то й г л а в е и с с л е д у е т с я н ап р яж ен н о е со сто яни е д е ки п о д д ей ст ви е м с и л н а т я ж е н и я с т р у н . По казаны 1 0 низших собств ен н ы х фо рм в з а в и си мо с т и о т схем ы п о д кр еп л ени я . Исследо в аны зави си мости с п е к т р о в с о б с т в е н н ы х ч а сто т о т к о н с т р у к т и в н ы х ф а к т о р о в . У ст а н о в л е н ы о с н о в н ы е з ак о н о м ер н о ст и . Со бст в енн ы е ч ас т о т ы

деки

сопо ст авлены

с

ч а сто т н ы ми

х ар ак т е р и ст и к а ми

струн . Д е к а и струны р а с с м а т р и в а ю т с я к а к п а р ц и а л ьн ы е д и н а ми ч ес к и е системы .

13

В ш е ст о й г л а в е п р и в о д я т с я р ез у ль т аты в ы ч и с л и т е л ь н ы х э к сп е р и м е н т о в . Р а с с м а т р и в а ю т с я ст ат ич ески е и д и н а м и ч е с к и е п о д а т л и в о с т и т о ч е к кр еп лени я с т р у н к д е к е. В зави си мости о т сх емы п о д к р еп л ени я , р а з м е р о в р ёб ер ж е ст ко сти и у р о в н я д е м п ф и р о ван и я и сследо в аны сп ектры р е зо н ан сн ы х а м п л и т у д . В о б щ и х в ы в о д а х п о д в о д я т с я и т о г и д и с с е р т а ц и о н н о й р аб о ты . В п р и л о ж е н и я х п р и в о д я т с я р езу л ьт аты р е ш е н и й зад а ч ст ат и ки , д и н а м и к и и усто йчиво сти п л а с т и н о к , п о д тв ер жд а ю щи е д о с т о в е р н о ст ь р а с ч е т н о й мод е ли МКЭ . Пр ед ст авлены р е з у л ь т а т ы вн едр ен ия д и с с е р т а ц и о н н о й р а б о ты .

14

1. М е то д ы и с с л е д о в а н и я м у з ы к а л ь н ы х и н с тр умен то в В п ер во й г л а в е дан кр ат кий а н а л и з и с с л е д о в а н и й в о б л а с т и д и н а м и к и т о н к о ст е н н ы х к о н с т р у к ц и й . Р а с с м о т р е н ы с у щ е с т в у ющи е р а с ч е т н ы е мод е ли и м е т о д ы и с с л е д о в а н и я МИ . Прив ед ен ы св ед ен и я из и с т о р и и м у з ы к а л ь н о й а к у с т и к и . Пр ед ст авлены к о н с т р у к ц и о н н ы е м а т е р и а л ы , р а с с м о т р е н ы к о н с т р у к ц и и резо нанс н ы х д е к . С ф о р м у л и р о в а н ы цели работы и пост ав лены зад а чи и сследований. 1 . 1 . Сведения и з истор и и м у з ы к а л ь н о й а ку с т ик и Музы кальн ая а к у с т и к а – о д н а из н аи б о л е е д р е в н и х о б л а с т е й з н ан и й . Е щ е д р е в н е г р е ч е с к и й м а т е м а т и к и фило соф Пи ф аго р ( 6 век д о н .э .) вид ел с в я з ь м е ж д у вы сотой то на и д ли н о й стр у ны . С и м е н е м П и ф а г о р а с в я з а н о по стро ени е п ер во г о в и с т о р и и чело в е ч е с т в а му зы к а ль ного с т р о я , в котор о м в к а ч ес т в е осно в ы и сп о л ь з о в а н а ч и с т а я к в и н т а с о т н о ш е н и е м ч а ст о т 3 : 2 . Ц е л о с т н а я с и с т е м а зн ан ий о движении и музы к е п р е д с т а в л е н а в э н ц и к л о п ед и ч е ск и х труд ах Ари стот е ля ( 4 в е к д о н . э.) . У ж е в то д а л ё к о е о т н а с вр емя А р и с т о т е л ь п р ав и л ьн о т р а к т о в а л п р и р о д у зву к а . З ву к о н с в я з ы в а л с р а с п р о с т р а н е н и е м во лн разр еж ени я и сж ат и я в о з д у х а . О с н о в ы у ч е н и я о музы к альной аку сти к е д р е в н и х и з л о ж е н ы в к л а с с и ч е с к и х трудах С . Б е т и у с а (480 – 525). Мно г ие и з его взг лядо в б л и з к и н а ш и м п р е д с т а в л е н и я м . В ч а стно ст и о н п и с а л : "Если д в и ж е н и е п р и у д ар е м е д л е н н о е , то в о з б у ж д а е т с я б о л е е н и з к и й т о н , и б о п о д о б н о тому , к ак м е д л е н н о е д в и ж е н и е б л и ж е к со сто ян ию по ко я, т а к и н и з к и й т о н б л и ж е к м о л ч а н и ю. Б ы с т р о е д в и ж е н и е п р и в о д и т к в ы со к о м у зву чанию . Вся со во купность час -

15

тей со единя ет ся в и зв е стн о й п р о п о р ц и и. П р о п о р ц и и ж е п о з н а ю т с я, г л ав н ы м о б р а з о м , в числах . В з ави си мо сти о т мно г о кр атн ы х или п о д р а з д е л е н н ы х п р о п о р ц и й с л ы ш а т с я л и б о соз ву ч ные , ли бо н е с о з в у чн ы е то ны . Со з вучны е т о н ы – это т а к и е т о н ы , котор ы е , взяты е одновр еменно , созд ают п р и я т н о е и с л и т н о е з в у ч ани е . Н есоз ву чн ы е т о н ы – это т а к и е то ны , к о т о р ы е , в з я т ы е о д но вр е м ен но, не создают приятного и слитного звучания". По след н е е по ло жение п о чти д о с л о в н о с о в п а д а е т с со в р емен ными пр ед ст авлени я ми к о н с о н а н с а и д и с с о н а н с а . Одни м из о сно ва т ел ей со вр еменной муз ы к а льной а к у с т и к и п р и н я т о сч ит ат ь в е ли к о г о Г . Г а л и л е я ( 1 5 6 4 – 1 6 4 2 ) . Г али л ей пред ст авля л , чт о з в у ч а щ е е т е л о и с п ы т ы в а е т у п р у г и е колеб ан и я . П р и ч ё м высот а звука о п р е д е л я е т с я ч а сто т о й к о л е б а н и й , и н т е н си вно ст ь з в у к а – а мп ли т у д о й . Г а л и л е й п ы т а л с я п о н я т ь и о б ъ я снить , п о ч е му м у з ы к а л ь н ы е и н т ер в а лы с про стыми о т н о ш е н и я м и 1 : 1 , 1 : 2 , 2 : 3 и н е к о т о р ы е д р у г и е – к а ж у т с я п р и я т н ы м и на с л у х, а муз ы к а льны е интер в алы с о т н о ш е н и я м и б о л ь ш и х ч и с е л , н а п р и мер 1 5 : 1 6 , – н е п р и я т н ы м и . В и ст о р и и му зык а льн о й аку с тики о с о б о е место з а н и м а е т с т р у н а к ак и с т о чни к з в у к а [69 ]. Пр и и зу ч ени и м е х ан и ч е с к и х ко л е б а н и й с т р у н были о т к р ы т ы многи е законы а к у с т и к и . Р е ш е н и е зад а чи о колеб ани ях с т р у н по служило о с н о в о й р я д о в Ф у р ь е ( о сн о в о й г ар мо н и ч е ско г о а н а л и з а) . З д е с ь , п р ежд е в с ег о , о т м е т и м т р у д ы Ж . С а в е р а ( 1 6 5 3 – 1 7 1 6 ) , о п у б л и к о в а н н ы е Пар иж с кой а к а д е м и е й нау к в 1 7 0 0 – 1 7 0 7 годах . В н и х и з л о ж е н ы р е з у л ь т а т ы э к сп ери м ент а льн ы х исследов ан ий колеб ан ий с т р у н и вп ервые и с п о л ь з о в а н ы т е р ми н ы : у зе л и п у чн о с т ь к о л еб ан и й , о с н о в н о й и в ы с ш и й т о н ы . По каз ан о , что п р и колеб ан иях стр у н излу чается з в у к , со о т в ет ст в у ю щий н е с к о л ь к и м т о н а м , взяты м одновр еменно . Б о л е е в ы со ки е т о н ы н а х о д я т с я в

16

кр атно м отно шении к ч а сто т е о сно вно г о т о н а . В с е э т и пред ст ав л е н и я, в в е д е н н ы е в 1 7 0 0 г о д у , со х р ани ли с ь н е и з м е н н ы м и д о н а ших д н е й . П е р в о е р е ш е н и е з ад ач и о ко лебани ях струн

было п о л у ч е н о

Б. Т э й л о р о м ( 1 6 8 5 – 1 7 3 1 ) . Т е й л о р р а с с ч и т а л ч а сто т у о с н о в н о г о т о н а в з ав и с и мо сти о т д л и н ы , м а с с ы и силы н ат яж ен и я струны . П р о б л е м ы ко лебани й с т р у н занимали видно е место в р а бо т а х Л.

Эйлера

(1707

–

1783),

Д.

Б ер н у л ли

(1700

–

1782),

Ж . Д 'А л а мб е р а ( 1 7 1 7 - 1 7 8 3 ) , Ж . Л аг р а н ж а ( 1 7 3 6 – 1 8 1 3 ) . В э т и х р аб о тах р а з р а б о т а н а о б щ а я в о л н о в а я т е о р и я и полу чено р е ш е н и е зад а чи о б у с т а н о в и в ш и х с я ко леб ани ях струн . Дин амическо е п о вед е ни е струн пред ст ав лено суп ерпо зици ей д в у х п о п е р е ч н ы х волн , б е г у щих н ав с т р е ч у д р у г д р у г у в п р о д о л ь н о м н а п р а в л е н и и . З а д а ч а о неу с тано вивших ся колеб ан иях стр у н с у п р у г и м и опорами на основе р е ш е н и я в о л н о в о г о у р а в н е н и я в ф о р м е Ф у р ь е р а с с м о т р е н а С. П. Ти мо шен ко [ 1 2 4 ] . П о к а з а н о , что во лновы е эф фекты п р ед ст ав ля ют п р а к т и ч е с к и й и н т ер е с ли шь п р и и с с л е д о в а нии переходных процессов, обусловленных ударным нагружением. Задачи о колеб ани ях с т р у н вы зывают и н т е р е с и в н а ши д н и . В р а б о т а х Ю. А . Демьян ова [39 ] , Н . А. Ко маро ва [56 , 57 ] с т р у н а пред ст авлен а к а к элемент кон стру кци и МИ . У ч и ты в а ю т с я и зм е н е н и я д л и н ы и р а с т я г и в а ю щ е й с и л ы в р езу ль т ат е п р и жи м а ст ру н ы к л а д у п р и “ пер ебо ре ” стр у н . Р а с с м а т р и в а ю т с я п а р а м ет р и ч е с к и е э ф ф е кты : нар яду с р а сп р о стр ан е н и е м п о п е р е ч н ы х во лн и сс л е д у ю т с я п р о д о л ь н ы е волн ы , св я занн ы е с к о л е б а т е л ь н ы м и дви жениями

опорной

ко нстру кц ии .

Од нако

результаты

решений

пред ст авля ют о г р а н и ч е н н ы й и н т е р е с , по ско л ьку п о л у ч е н ы п р и о т су т с т ви и д о с т о в е р н ы х д а н н ы х о д и н а м и ч е с к и х х а р а кт ер и сти к ах о п о р н о й ко нстру кц и и . З а м ет и м , ч т о о п о р о й стру ны с л у ж и т

17

д е к а. Х а р а к т е р и с т и к и о п о р н о й констр укции о пр ед е ля ют ся , п р еж д е в с ег о , д и н а м и ч е ск и м и податливо с тями д ек и . О с н о в а т е л е м э к сп ери м ентально й а к у с т и к и по п р а в у с ч и т а е т с я Э . Х л а д н и ( 1 7 5 6 – 1 8 2 7 ) . В с в о е й к н и г е по а к у с т и к е [1 56 ] о н п р и в ё л р е з у л ь т а т ы и сследов ан ий колебани й з в у ч а щи х т е л – м е мбран , п л а ст и н , коло ко лов . О н пер вый п р о д е м о н с т р и р о в а л су щест вов ан ие у з л о в ы х лин ий п р и колеб ан иях п л а с т и н о к . Большо й

вклад

в

р а звит и е

му зы к а ль ной

акустики

вн ес

Г . Г е ль мг о л ьц ( 1 8 2 1 – 1 8 9 4 ) . Гельмго л ьц г л у б о к о п р о н и к в со ст ав му зык а льн ы х зву к ов; т е м б р зву к а о б ъ я с н и л н ал и чи е м д о б а вочных т о н о в ( о б е р т о н о в ) ; п о с т р о и л м а т е м а т и ч е с к у ю мод е ль ч ел о в е ч е с к о г о у х а , о ткр ы в пр и эт ом к о м б и н а ц и о н н ы е р ез о нан сы . Работы по ак усти к е на у р о в н е конц а XI X в е к а п о л у ч и л и систематическое

изложение

в

фундаментальном

труде

Дж .У . Р эл е я ( Д ж. В . С т р е т т а) [ 1 2 2 ] . В н е м с е д и н ы х позиций р а сс м о т р е н ы к о л е б а т е л ь н ы е и во лн овые п р о ц е с с ы , и м е ю щ и е р аз ли чн у ю фи зическу ю п р и р о д у . 1 . 2 . Ма тер иал ы и к о н с тр у к ц и и кор п усных э л ем е н т о в О с н о в н ы ми элемент а ми к о р п у с а М И я в л я ет с я д е к а. Р а с с м о т р и м о со б енно с т и к о н с т р у к ц и й резо нансных д е к , х ар а к тер ны е для щип ко в ых и смычко вы х с т р у н н ы х М И [ 1 0 , 1 5 , 5 9 , 61, 113]. Р езо н ан сн а я д е к а , п р е ж д е в с е г о , это т о н к о ст е н н а я к о н ст р у к ц и я . Р а з м е р ы и ф о р м а д е ки о п р е д е л я ю т вид М И. У к л а с с и ч е с к и х гитар и скрипо к д е к а н а п о м и н а е т в о с ь м ё р ку , у м а н д о л и н и д о м р – н е п р а в и л ь н ы й овал , у балалаек – т р е у г о л ь н и к . У о д н и х М И д е к а п ло с к ая , у д р у г и х – п р о с т р а н с т в е н н а я кр и в о ли н ейн а я . Ст ен к а , к ак пр авило , и м е ет п е р е м е н н у ю т о л щ и н у .

18

Деки со времен н ы х М И ( даже в пред елах о д н о г о вид а ) отли ч аю т с я б о л ь ш и м р азно о б р аз и е м фор м . В н а с т о я щ е е в р е м я идёт широ ки й п о и с к н о в ы х ф о р м ( к о н ф и г у р а ц и й ) , о д на ко э т о т п о и с к п р о в о д и т с я и ск л юч и т ел ь н о э м п и р и ч е ск и м п у т ё м . Н е с м о т р я н а ук аз ан ны е р а з л и ч и я , в с е д е к и с о д е р ж а т о д н о т и п н ы е элемент ы : р е з о н а н с н ы й щи т в вид е п л а ст и н к и или о б о лочки , п р у ж и н к и , п о д с т а в к у для стр у н . В р е з о н а н с н ы х щи тах преду с матри в аю тся о т в е р с т и я – к р у г л ы е и ли в вид е буквы “ S ” ( “ эфы ” у с к р и п о к ). От в ер сти я служат д ля пер е дачи а к у с т и ч е с к и х колеб ан ий сто л ба в о з д у х а , з ак лю ч ённ о г о в н у тр и к о р пу с а , в о кр у ж а ю щ у ю возд ушну ю ср еду . Р азр ы в а я поверх ность верхн е й д еки , о н и не то лько о к а з ы в а ю т вли ян и е на е ё с о б с т в е н н ы е фо рмы колеб ан ий , о со б е н н о в о б л а сти высо ких ч ас т о т , но и , ч т о в аж н е е , у си ли ва ют зву к в о б л а с т и н и з к и х ч а ст о т . Э т о п р о и с х о д и т з а с ч е т явлени я "в о з д у шн о г о р е з о н а н с а Г е ль мг о л ьц а ", пр и возвр а т н о п о с т у п а т е л ь н о м д в и ж е н и и ч ер е з о т в е р с т и я в о з д у х а . Д л я у ве ли ч ени я ж ёс т ко сти р е з о н а н с н о г о щи т а п р и м е н я ю т с я п р у ж и н к и . Пру жин ки п р ед ст ав ля ют д е р ев ян н ы е б р у с к и , п р и к л е и в а е м ы е к в н у т р ен н ей п о вер х н о сти д ек и . Они служат для аку сти ч ес к о й настройки М И. Сх ема р а спо лож ени я пр ужино к, их р а з м е р ы о к а з ы в а ю т с у щ е с т в е н н о е в л и я н и е н а с п е к т р колебаний д е ки , н а си лу и т е мб р зву к а М И [ 1 0 , 5 9 , 1 1 3 ] . Н а р и с . 1.1 и з о б р а ж е н ы х а р а к т е р н ы е сх емы п о д к р еп л е н и й г и тарно й деки . Р аз ли ч а ю т п о п е р е ч н у ю , веерну ю и к о м б и н и р о в а н н у ю сх емы [59, 93, 95]. С х е м а 2 х а р а к т е р н а д ля г и т а р м а с с о в о г о п р о и з в о д с т в а. С хемы 3 – 9 – для в ы с о к о к л а с с н ы х г и т а р . О ч е в и д н о , ч т о к аж д а я из этих с х е м и м е ет св ои д о с т о и н с т в а и свои н е дост ат к и . М ат ер и а л о м д л я изго то вления д е к т р а д и ц и о н н о с л у ж и т резо н ан сн а я д р е в е с и н а . А к у с т и ч е с к и е с в о й с т в а д р ев е си н ы х ар ак тер и -

19 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Рис.1.1. Характерные схемы подкреплений

20

зуют ся

акустической

к он ст а нтой ,

и ли

ко н ст ан т о й

излу чения

Н. Н . А н д р е е в а [ 5 , 1 6 1 ] : K =

E

ρ

3

=

c

ρ

,

( 1 .1 )

г д е Е – м о д у л ь у п р у г о с т и , ρ – пло тно сть , с – с к о р о с т ь р а сп р о стр ан ен и я зву к а в д р е в е с и н е . Ч е м б о л ь ш е в ел и ч и н а K , т е м лу чше древесина. Н а и б о л е е п о д х о д я щ и м и м а т е р и а л а м и д ля д ек с ч и т а ю т с я ель , со сн а , п и х т а к а в к а з с к а я , кед р сибир с кий . И з них н а и б о л ь ш е е р а с п р о с т р а н е н и е п о л у ч и л а р е зо н ан сн а я ель [1 3 0 ]. К н а с т о я щ е м у времен и р е з о н а н с н ы е п о р о д ы д р ев е си н ы с т ан о в я т с я у н и к а л ь н ы м п р и р о д н ы м сыр ь ём. Ст оимо ст ь кубо метр а с е р т и ф и ц и р о в а н н ы х заг о товок на миро вом р ы н к е д о с т и г а е т 1 – 1 , 5 ты с. д о л л а р о в С Ш А . Вы со к а я сто и мо ст ь р ез о н а н с н о й д р е в есины з а с т а в л я е т п р о и з в о д и т е л е й М И в е сти эн ергичный п о и с к альтернативных материалов. В

к а ч е ст в е

з а м ен и т е л ей

древесины

находят

при м ен ени е

м е т а л л ы , к а р т о н , клеён а я фанер а , ст екло , р аз ли чны е п л а с т м а с с ы [90, 96, 97]. Од нако ни о д и н м а т е р и а л не п о л у ч и л ш и р о к о г о р а сп р о с т р а н е н и я . Опыт ы НИИ му зык а льн о й п р о м ы ш л е н н о с т и п о к азали [1 13 ], что з а ме н а к о н с т р у к ц и о н н о г о м а т е р и а л а д о л ж н а со п р о в о ж д а т ь с я и з м ен ен и я ми ф о р м ы д е ки . То лько пр и этих усло виях д о с т и г а ю т с я у д о в л е т в о р и т е л ь н ы е р езу л ьт аты . В р аб о т ах [91 , 98 ] д л я и зг о т о вл ен и я к о р п у с н ы х э л е м ен т о в с т р у н н ы х М И и сп о л ьзу ют ся п о р и с т ы е п л а с т и к и . От мечает ся , что М И и з п о р о п л а с т о в о б л а д а ю т п о вы ше н н ы ми а к у с т и ч е с к и м и к а ч е ст в а ми . В то ж е в р е м я и х о т л и ч а ю т ср ав нит ельно м а л ы й ве с , вы со ки е п р о ч н о с т ь и д о л г о в е ч н о с т ь . П о р и с т ы е п ен о м ат ер и а лы : п о л и у р е т а н , п о л и с т и р о л и А В Сп л а с т и к о б л а д а ю т а к у с т и ч е с к и м и х ар а кт ер и ст и к а ми , б л и з к и м и к

21

х ар ак т е р и ст и к а м р е зо н ан сн о й д р е в е с и н ы [ 1 3 3 ] . К д о с т о и н с т в а м п о л и у р е т а н а о т н о с я т с я высо ки е п р о ч н о с т ь и эл а ст и ч н о ст ь , п р о ст ая т е х н о л о г и я м ех ан и ч е ско й о б р а б о т к и . К н е д о с т а т к а м – б ы стро е ст ар ени е и по лзу ч есть . В р аб о т ах [9 9 – 1 0 1 ] п р и и з г о т о в л е н и и д ек п р ед лаг а ет ся и сп о л ь з о в а т ь с п е ц и а л ь н ы е п о к р ы т и я . В [ 9 4 ] р а с с м а т р и в а е т с я в ар и ант н ан е с ен и я в и б р о п о г л о щ а ю щ и х ( д е мп фир у ю щи х ) п о к р ы т и й н а о т д е л ь н ы е у ч а с т к и п о в е р х н о с т и д ек и . С е г о д н я в к ач е ст в е п е р сп е кти вн ы х к о н с т р у к ц и о н н ы х м а т ер и а л о в для п р о и з в о д с т в а М И р а с с м а т р и в а ю т с я ко мпо зиты . И з в е с т н ы р е а л ь н ы е к о н с т р у к ц и и гитар и скрипо к , у к о т о р ы х д е к и и з г о т о в л е н ы из п л а с т и к о в , ар миро в ан ных ст еклянн ы ми и у г л ер о д н ы м и воло кнами [ 4 4 , 5 5 , 9 2 ] . И сп ы т ан и я , п р о в е д ё н н ы е в Уни вер си т ете ш т а т а Ю ж н о й К а р о л и н ы ( С Ш А), по казали , что п р о чн о стны е и а к у с т и ч е с к и е х а р а к т е р и с т и к и М И из у г л е п л а с т и к о в ( г р а ф и т – э п о к с и д н а я с м о л а) не у сту па ют х а р а кт ер и сти к а м М И, и з г о т о в л е н н ы х из лу чших п о р о д р ез о н а н с н о й д р ев е си н ы . От мети м , что иску сственные к о н с т р у к ц и о н н ы е м а т е р и а л ы п р и м е н я ю т с я н е то лько в о п ы т н о - кон с труктор с ких р а зр аб о тк ах . Н а ф аб р и к е по п р о и з в о д с т в у н а р о д н ы х музы к а льных и н стр у м е н т о в и м. А. В . Лун ачар с кого ( А О О Т “ Арф а ”) для п р о и з в о д с т в а щип ко в ых М И: г и т а р , домр , б а л а л а е к в н а сто я щ ее вр емя и сп о ль зуют ся п л а с т м а с с ы [10 ]. Д л я э т о г о п р и м е н я ю т с я т е х н о л о г и и вакуу мног о ф о р м о в а н и я . Ш и р о к о й и з в е с т н о с т ь ю п о л ь з у ю т с я к о мп а н и и R u s s t o n e X X I , C a t a l y s t I n s t r u m e n t s и CA Guit ars , у с п е ш н о вн едряющи е в п р о и з в о д с т в о с т р у н н ы х М И и с к у с с т в е н н ы е м а т ериалы . К а ч е с т в о МИ н а о с н о в е с о в р е м е н н ы х м а т е р и а л о в не у ст у пает лу чши м т р а д и ц и о н н ы м о б р а з ц а м . Т а к и м о б р а з о м , в о б щ е м слу ч ае р езо н а н сн а я д е к а с т р у н н о г о М И– эт о т о н к о ст е н н а я простр ан ст в ен ная кон стру кци я , ко т о р а я

22

имеет ц е лы й р я д сп еци фич ески х о с о б е н н о с т е й . Е ё о т л и ч а ю т п ер е м е н н ы е кр и в и зн а по верх ности и т о л щ и н а ст ен ки ; дост ат очно с л о ж н а я и р а з н о о б р а з н а я к о н ф и г у р а ц и я конту р а; н е о д н о р о д н а я с л о и с т о - воло кн ист а я с т р у к т у р а м а т е р и а л а пр и ярко в ы р а ж е н н о й ан и з о тр о пии ф и з и ко - м е х ан и ч е с к и х св ойст в ; н а л и ч и е а с и м м е т р и ч н о г о набор а рёбер ж ё ст ко ст и ( п р у ж и н о к ) ; п о л е н а ч а л ь н ы х н ап р я ж е н и й , о б у с л о в л е н н ы х п р е д в а р ит е л ь н ы м н а т яж е н и е м струн . 1.3. Об зор и с с л е д о в а н и й д и н а м и к и т о н к о с т е н н ы х ко нструкций Р а з р а б о т к е м е т о д о в и с с л е д о в а н и й д и н а м и к и тонко с тенны х к о н стру кций по св я щ ен ы много чи с ленн ые р аб о ты . Р е зу л ьт аты р аб о т о п у б л и к о в а н ы во многих ст ат ьях , р я д е м о н о г р а ф и й , п р е д ст авлен ы в у ч е б н о й и с п р а в о ч н о й лит е ратур е [ 4 , 8 , 1 7 , 2 8 , 2 9 , 3 1 , 32, 40, 41, 52 – 54, 73, 75, 76, 81, 85, 111, 117]. С у щ е с т в у ю т н е с к о л ь к о вари ан тов т ео р и и мно г ослойн ых п л асти н и о б о л о ч е к из В К М . В о т л и ч и е о т о д н о р о д н ы х и и з о т р о п н ы х м а т е р и а л о в , з д е с ь в аж н ы м ф а к т о р о м р а сч ё тно й сх емы я вл я ю т с я дефор м ации попер е чно г о сдви га и си лы и н е р ц и и , с в я з а н н ы е с п о в о р о т о м нор м али . Одни м из п ер в ы х в ар и ан т о в т е о р и и т о н к и х п л а ст и н , учиты вающей попер е чный сд виг , б ы л п р е д л о ж е н Е . Р ей сн е р о м в 1 9 4 4 г о д у [17 2 ]. Результаты ф у н д а м е н т а л ь н ы х и с с л е д о в а н и й п р ед ст ав лены в работах

Н.А. Алфутова, П.А. Зиновьева, Б.Г. Попова [1, 2, 104],

С.А. Амбарцумяна [3], В.Л. Бидермана [18], В . В. Б о л о т и н а [ 2 0 – 2 3 ] , Г . А. В а н и н а [25 ], В . В. В а с и л ь е в а [27 ], Р . Кр и ст ен с ен а [60], С .Г . Л е х н и ц к о г о

[6 8 ] , Ю. Н .Р а б о тн о г о [108], С .П . Т и м о ш е н к о

[ 1 2 4 – 1 2 6 ] , Л .А . Ш ап о в а ло в а [1 32 ] и д р у г и х а в т о р о в .

23

К а к пр авило , у р а в н е н и я д и н а м и к и с т р о я т с я н а б а зе у р а в н ен и й ст атики , п у т ё м в в е д ени я в них д и н а м и ч е с к и х ч л ен о в , у чи т ы вающих си лы и н ер ц и и и си лы со п р о т и вл ен и я д в и ж е н и ю . Д ля это г о п р и м е н я ю т с я п р и н ц и п Даламбер а и л и в а р иа ц и о н н ы й п р и н ц и п Гамильтона – Остроградского. От мети м д в а п р и н ц и п и а л ь н ы х п о д х о д а к п о с т р о е н и ю р а с ч ё т н ы х мо делей т о н к о ст е н н ы х ко нстру кц ий . П е р в ы й п о д х о д п р е д у сматри в а ет

применение уравнений пространственной (общей)

т е о р и и у п р у г о с т и . В т о р о й п р е д п о л а г а е т с в е д е н и е т р ё х м е р н о й за дачи к д в у м е р н о й на ос нове р яд а у п р о щ а ю щ и х п р ед п о ло ж ен и й ( г и п о т е з). Из в е стн ы два т и п а ф и з и ч е с к и х г и п о т е з. Г и п о т е зы пер вого т и п а о п и с ы в а ю т д ефо р мир о в ан ие к а ж д о г о сло я в о т д е л ь н о с т и , поэто му носят н а з в а н и е г и п о т е з ло маной н о р м а л и . П о р я д о к раз р е ш а ю щ и х у р а в н е н и й в это м с л у ч а е п о л у ч а е т с я кр ат ным чи слу слоёв. Гипотезы второго типа отражают деформирование пакета с л о ё в в цело м , поэто му их называют п а ке т н ы м и гипотезам и . По р я д о к р а з р е ш а ю щ и х у р а в н е н и й в это м слу ч ае не з а в и с и т о т чи сла слоёв. В м о н о г р а ф и и В . В. В а с и л ь е в а [ 2 7 ] п р е д с т а в л е н а у н и в е р с а л ь н а я р а с ч ё т н а я мод е ль тонко стенных э л е м ент о в к о н с т р у к ц и й и з к о м п о з и т о в , у ч и т ы в а ю щ а я п о п е р еч н ы й сдвиг . Р а с с м о т р е н шир о кий к л а с с з ад ач ст ати ки и д и н а м и к и п л а ст и н и о б о л о ч е к . В с л у ч а е , если т о л щ и н а о б о ло чк и и с д в и г о в а я ж ё ст к о ст ь п ак ет а до ст ато чн о малы , х о р о ш е е п р и б л и ж е н и е п о л у ч а е т с я н а о сн о в е г и п о т е з , п р е д л о ж е н н ы х С .П . Ти мо шен к о [126]. Г и п о т е з ы т и п а Ти мо шен к о позво ляют п о л у ч а т ь дост ато чно кор р ектны е и ко мп акт ные р е ш е н и я : п о р я д о к р а з р е ш а ю щ и х у р а в н е н и й по лу чает ся н е з а в и с и м ы м о т ч и с л а с л о ё в .

24

С л е д у е т и м е т ь в вид у , что к л а с с и ч е с к и е т е о р и и о б о л о ч е к спр ав ед лив ы д л я о б л а с т и н и з ш и х ч ас т о т колебани й п р и у с л о в и и , что т о л щ и н а ст ен ки до ст ато чн о м а л а по ср ав нени ю с д л и н а м и п о лу во лн р а сч ёт ных фор м ко лебаний . Д л я р е ш е н и я з а д а ч д и н а м и к и т о н к о ст е н н ы х ко нстру кц и й ши роко п р и м е н я ю т с я а си мп т о т и ч е ск и й метод [ 2 0 , 2 2 , 2 8 ] , в ар и а ц и о н н ы е методы Р эл е я – Р и тц а, Г а л ёр к и н а [8, 18, 26, 124]. Од н ако о б л а с т ь применимо с ти к л асси ч еских м е т о д о в о г р а н и ч е н а в о сновно м а к а д е м и ч е с к и м и п р о б л е м а м и . Д л я р а с ч ё т а р е а л ь н ы х констру к ций ш и р о к о е р а с п р о с т р а н е н и е п о л у ч и л и ч и с л е н н ы е метод ы . При м ен ени е ч и с л е н н ы х м е т о д о в о с о б е н н о э ф ф е к т и в н о д ля к о н с т р у к ц и й со с л о ж н о й г е о м е т р и е й , с р а з р ы в а м и ф и з и ко - м е х ан и ч е с к и х свой ст в м а т е р и а л а , п р и с л о жн ы х Г У [11, 12, 33, 83, 104, 107, 109, 119]. В основу ч и с л е н н ы х м е т о д о в поло жены д и с к р е т н ы е р а с ч е т н ы е сх емы . В р езу л ьт ат е д и с к р ет и з а ц и и к о н т и н у а л ь н а я си ст ема с б е с ч и с л е н н ы м ч и с л о м ст еп ен ей свобо д ы п р и в о д и т с я к с и с т е м е с ко нечны м чи сло м ст епеней с в о б о д ы . Д л я д и с к р ет и з а ц и и констру к ций п р и м е н я ю т с я к о н еч н о - р а з н о с т н ы е и к о н еч н о - элемен тные сх емы . Э ф ф е к т и в н ы м ср ед ст в о м р еа л и з а ц и и ч и с л е н н ы х м е т о д о в являют ся в а р и а ц и о н н ы е ф о р м у л и р о в к и : у с л о в и я ст ац ионарно ст и н е к о т о р ы х э н е р г е т и ч е с к и х фу н кц и о н а л о в [16 , 26 ]. О с о б е н н о р ац и о н а л ь н ы м о к а з ы в а е т с я с о ч е т а н и е в а р иа ц и о н н ы х ф о р м у л и р о в о к с апп ар ато м м а т р и ч н о й а л г е б р ы . В р а б о те Б. Г . Попо ва [ 1 0 4 ] такой п о д х о д н аз ва н в а р иа ц и о н н о - м а т р и ч н ы м . При о п и с а н и и с л о ж н ы х п р о ц е с с о в д е ф о р м и р о в а н и я , х а р а к терных для м н о г о с л о й н ы х т о н к о с т е н н ы х к о н с т р у к ц и й с н ео д н о р о д н о й с т р у к т у р о й , с ярко в ы р а ж е н н о й ан и зо т р о п и ей физи ко м е х ан и ч е с к и х с в о й с т в , в а р иа ц и о н н о - м а т р и ч н ы е м етод ы позво л яют стро ить с и с т е м ы р а з р е ш а ю щ и х у р а в н е н и й с т р о г о в с о о т в е т с т -

25

вии с и с х о д н ы м и д о п у щ е н и я м и и гипотезам и . П р и б л и ж е н н ы е р еш е н и я в это м случ ае п о л у ч а ю т с я н а и б о л е е до ст овер ны ми . С е г о д н я о д н и м из н аи б о л е е р а с п р о с т р а н е н н ы х ч и с л е н н ы х мет о д о в я в л я ет с я метод к о н еч н ы х э л е м е н т о в ( М КЭ ) . О н п р е д п о л агает я в н у ю ап прок си маци ю р е ш е н и я на м а л ы х п о д о б л а с т я х ( ко н е ч н ы х элемент ах ) . Д л я интер поляции п р и м е н я ю т с я к о о р д и н а т н ы е фу нкции , и м е ю щ и е р а з л и ч н ы й п о р я д о к . Это о б с т о я т е л ь с т в о позво л яет с т р о и т ь р е ш е н и я с " р а з у м н о й с т р о г о с т ь ю " [43 ]. Кр оме т о г о , чт о и с к л ю ч и т е л ь н о важно , а л г о р и т м ы М К Э отличает вы со к ая у сто йчи во с т ь п р о ц е с с о в в ы ч и с л е н и й . Ин жен е рная и н т е р п р е т а ц и я М КЭ д а н а в и з в е с т н ы х мо ногра фиях О . З е н к е в и ч а [ 4 7 , 4 8 ] , Р . Галлаг ер а [35 ], Д. Нор р и и Ж . Д’ Ф р и з а [82 ], Л. С е г е р ли н д а [118], В . А. П о с т н о в а [ 1 0 7 ] . М атематические

аспекты

теории

М КЭ

рассм отрены

в

кн игах

Г . С т р е н г а и Д ж. Фи кс а [ 1 2 1 ] , С . Ю . Ер еменко [43 ]. Вы чи сли тельн ы е а л г о р и т м ы и п р о г р а м м ы п р е д с т а в л е н ы в р а б о т а х К. Б а т е и Е. Ви лсон а [11], Б. А й р о н с а и С. А х м а д и [ 1 6 5 ] , У . Вив ер а и П. Д жо нсто на [ 1 7 8 ] . О т м е т и м разраб отки н а основе М КЭ – у н и в е р с а л ь н ы е п р о г р а м м н ы е ко мп лексы A N S Y S , N A S T R A N [7 9 , 1 3 4 ]. Пр и ло ж ени е М КЭ к р а с ч е т у м н о г о с л о й н ы х п л а ст и н и о бо л о ч ек п р е д с т а в л е н о в раб отах Н. А . А л ф у т о в а , П . А. З и н о в ь е в а , Б.Г . По пов а [1 ], Р . Б. Р и к ар д с а и А . К. Ч а т е [1 12 ], а т а кж е д р у г и х авторов [9, 36, 37, 109, 110, 150, 162, 177]. 1 . 4 . Р а с ч е т н ы е м о д е л и и м е то д ы и с с л е д о в а н и я К н а с т о я щ е м у в р е м ен и в нашей стр ан е и за р у б е ж о м о п у б л и ковано зн ачи т ельно е ч и с л о р а б о т , по св я щ енн ы х т е о р е т и ч е с к о м у и эк сп еримен тально му и с с л е д о в а н и я м э л е м е н т о в ко нстру кц и й М И.

26

О ч е в и д н о , н а ч а ло т ео р ети ч е с ки м и с с л е д о в а н и я м п о ло ж ен о р а б о т а м и [ 3 8 , 8 4 , 1 2 9 ] . Пр и м ени т е л ь н о к д е к е р о я л я в в о д и т с я п о н я т и е э к в и в а л ен т н о й о д н о р о д н о й модели : тонкой п л а с т и н к и без б р у с а и рёбер ж ё ст ко сти . Д е к а пр ед ст авля ет ся д и н а м и ч е с к о й си ст емо й с о д н о й ст еп ен ью с в о б о д ы . По лучены п р и б л и ж ё н н ы е зн ач ен и я п ер во й с о б с т в е н н о й ч ас т о т ы и скорости р а спро стр ан ен и я в о л н и зг и б а . З н а ч и т е л ь н ы й в к л ад в р а з в и т и е т е о р и и М И в н ё с А. В . Р и мский - Ко рсако в [1 1 3 , 1 1 4 ]. Е г о м о н о г р а ф и я [ 1 1 3 ] ст ала с в о е о б р а з н ы м р у к о в о д с т в о м п о п р о е к т и р о в а н и ю и п р о и з в о д с т в у МИ . В ней р а с с м а т р и в а ю т с я деки с т р у н н ы х М И. Р а с ч ё т н ы е мод е ли пред ст авля ют ся в вид е и з о т р о п н ы х к р у г л о й п л а с т и н к и , з а щ е млённой по к о н т у р у , и п р я м о у г о л ь н о й п л а с т и н к и , п о д к р еп л ё н н о й ц е н т р а л ь н ы м р е б р о м ж ё ст ко сти . Р е ш а е т с я з ад а ч а на вы н у жд е н н ы е колебани я п р и моно гар мо н и ч е с к о м си лов о м во зб уждени и . В ы н у ж д а ю щ а я с и л а п р и к л а д ы в а е т с я по н о р м а л и к поверх ности деки . Р а с с м а т р и в а ю т с я д в а п р е д е л ь н ы х п о л о ж е н и я : в о д н о м слу ч ае то чка п р и л о ж е н и я вы ну ж д а ю щ е й си лы с о в м е щ а е т с я с у з л о в о й лин ией , в д р у г о м – с п у чн о с т ь ю колеб ан ий . Д ля д в у х п о ло ж ен и й с и л ы в у с ло виях резо н а н с а р а с с ч и т ы в а ю т с я д и н а м и ч е с к и е п о д а т л и в о с т и . В з ав и с и мо сти о т п о д ат ли во с т ей о п р е д е л я ю т с я х ар ак т ер ист ики излу чения деки . Произв ед ени е с к о р о с т и колеб ан и й то чки п р и л о же н и я силы н а а м п л и т у д у силы о п р е д е л я е т мо щно ст ь и з л у ч е н и я деки . Пред п о л а г а е т с я , что в с е то чки деки п р и это м ко леб лют ся синф аз н о . Отно шениями

Kд =

Wи K = Wс δ

( 1 .2 )

х ар ак т е р изу ет с я к о э ф ф и ц и е н т п о л е з н о г о д ей с т ви я д е ки н а р езо нансно й

частоте.

Здесь

Wи

–

мо щност ь

излу чат е ля

( д е ки ) ,

27

W с – м о щ н о с т ь стру ны , К − а к у с т и ч е с к а я ко нст ан т а , δ − ло гарифмический декремент. А. В . Р и м с к и й - К о р с а к о в п р о в ё л с е р и ю эк сп ери м енто в , в х о д е к о т о р ы х сопо ст ав ил сп ектры к о л еб ан и й с к р и п о к р азн о г о к ач е ст ва . О н п о к а з а л , что п о д о б и е А Ч Х р е з о н а т о р о в в поло се ч а ст о т 260

–

270

Гц

и

излучателей

в

поло сах

400

–

500

Гц

и

7 0 0 – 1 5 0 0 Гц о б е с п е ч и в а е т х о р о ш е е со о т в ет ст ви е а к у с т и ч е с к и х х а р а к т е р и с т и к . При э т и х условиях му зык ан ты – п р о ф е с с и о н а л ы н е мог л и о т л и ч и т ь з в у к и копии скри пк и о т з в у к о в о р и г и н а л а . Вни м ан ие и с с л е д о в а т е л е й у д е л я е т с я и ср ав н ительно му ан ализу а к у с т и ч е с к и х х ар а кт ер и с ти к г о т о в ы х М И. В [16 3 ] а к у с т и ч е ские характеристики виолончелей получены при равномерном д в и ж е н и и с м ы ч к а , пр и это м и н т ен си вн о ст ь з в у к а и з м е р я л а с ь п р и помо щи м и к р о ф о н а . Н а р и с . 1 . 2 п р и в е д е н ы у с р е д н ё н н ы е А Ч Х виоло нчелей р а з л и ч н о г о к л а с с а [88 ]. С р авнительный ан ализ п о к аз ы в ае т , что в и о л о н ч е л и , и з г о т о в л е н н ы е в маст ер ско й Г в а р н ер и , о т л и ч а е т б о л е е р о в н ы й сп ек тр р езо н ан сн ы х а м п л и т у д. В р аб о те Г . Г . З в е з д к и н о й [4 6 ] р а с с м а т р и в а е т с я м е т о д и к а ср авн ит е льной оценки а к у с т и ч е с к и х к а ч е с т в щип ко в ых М И. С это й ц е л ью п р о в о д я т с я и с п ы т а н и я 1 8 домр . В вод ит ся п о н я т и е мод е ль н о го д и с к а : кру г лой и з о т р о п н о й п л а с т и н к и , шарнир но о п е р т о й по к о н т у р у . В к ач е ст в е о сно в ны х а к у с т и ч е с к и х х ар а кт ер и с т и к деки р а с с м а т р и в а ю т с я м а с с а д и с к а , н и з ш ая с о б с т в е н н а я ч ас т о т а , мак си м аль н ый п р о г и б п о д д ей ст ви е м со ср едо точ енно й си лы , м о д у л ь упругости м а т ер и а л а , к о э ф ф и ц и е н т П у а с с о н а и во лно во е с о п р о ти в л е н и е . Э т и х а р а к т е р и с т и к и с н и м а л и с ь с л у ч ших о б р а з ц о в , з ат е м к о п и р о в а л и с ь п р и и з г о т о в л е н и и серии . Наиболее обстоятельный обзор зарубежных исследований на у р о в н е 1 9 6 7 г о д а выпо лн ен Ф . В и н к е л е м [ 1 7 9 ] .

28 P, дБ

МИ Гварнери

f, кГц 0,08 P, дБ

0,125

0,2

0,315 0,5

0,8

1,25

2

3,15

5

8

Улучшенный МИ

f, кГц 0,08 0,125 0,2 P, дБ

0,315 0,5

0,8

1,25

2

3,15

5

8

10

Фабричный МИ

f, кГц 0,08

0,125 0,2 0,315 0,5 0,8 1,25 2 3,15 Ри с . 1 . 2 . У с р е д н е н н а я А Ч Х в и о л о н ч е л е й

5

8

29

Изучени е м д и н а м и ч е с к и х сво йств констр укций г и тар з а н и м а л с я а в с т р а л и й с к и й у ч ёны й Г . К о л д е р с м и т [ 1 5 4 , 1 5 5 ] . В св оих р аб о тах р а с ч ё т н ы м и э к сп ери м ент а льн ы м п у т ё м о н п о л у ч и л з н ач ен и я н и з ш ей с о б с т в е н н о й ч а с т о т ы ко лебаний деки . Р а с ч ё т н а я сх ема в ы б и р а л а с ь в вид е к р у г л о й п л а с т и н к и . Эк сп ери м ент а льны е д а н н ы е п о л у ч е н ы м е т о д о м г о л о г р а ф и ч е с к о й ин тер ф еро м етри и . От мети м , ч т о п р ед ст ав ленны е вы ше р а с ч е т н ы е мод е ли н о с я т явно у п р о щ ё н н ы й характер . О н и н е п о зво ля ю т по лучить д о с т о вер ны е р е з у л ь т а т ы и с дост ато чной п о л н о т о й о п и с а т ь д и н а м и ч е с к и е с в о й с т в а р е а л ь н ы х констру кций . В м е с т е с т е м , с л е д у е т о т м ет и т ь, что в н а с т о я щ е е вр емя д л я и с с л е д о в а н и й к о р п у с н ы х э л е м е н т о в М И п р и в л е к а ю т с я совр емен н ы е в ы ч и с л и т е л ь н ы е и эк сп ери м ент а льные м е т о д ы , р а з р а б а т ы в а ют ся р а с ч ё т н ы е м о д ел и вы со ко го у р о в н я . В [152] на б а зе п р о г р а м м н о г о к о мп л е к с а A B A Q U S п о с т р о е н а к о н еч н о - э л е м е н т н а я мо дель к о р п у с а с к р и п к и . Д л я эт ого и с п о л ь зованы 1 7 0 0 0 пло ских и 2 5 0 0 п р о с т р а н с т в е н н ы х КЭ . Р а с ч е т н ы е с о б с т в е н н ы е ч а сто т ы и формы колеб ан и й сопо ст авлен ы с р е з у л ьт а т а м и эк сп ери м ент а . О т м е ч е н о х о р о ш е е со о т в ет ст в и е р е зу л ьт ат о в. В [ 1 5 7 , 1 5 8 ] г р у п п о й и сп ан с ки х и с с л е д о в а т е л е й п р и помо щи М КЭ р а с с ч и т а н ы н и з ш и е соб с тв енны е ч а сто т ы г и т а р н о й д е к и н а р аз ли чн ы х с т а д и я х е е и з г о т о в л е н и я. Р езультаты р а с ч ё т о в с о п о ст а в л е н ы с эк сп еримен тальны ми данными . Исследов ан о

влияние

а к у с т и ч е с к о й п о ло сти и к о н с т р у к т и в н ы х э л ементо в к о р п у с а н а д и н а м и ч е с к и е с в о й с т в а г и т а р ы. В [89 ] пред ст авлен а к о н е ч н о - э л е м е н т н а я д и н а ми ч е ск а я мо дель ко локо ла . При это м испо льзо ваны 3 0 0 0 К Э с 8 6 0 0 ст еп еня ми свободы.

Пут ё м

математического

моделирования

разр або тан а

ко н стру ктор с кая и т е х н о л о г и ч е с к а я д о ку м ентация д ля коло ко лов

30

с н ап ер ёд з а д а н н ы м и а к у с т и ч е с к и м и сво й ств а ми . Н а б а з е ли тей н о г о п р о и з в о д с т в а А М О З ИЛ о т л и т а н с а м б л ь б р о н з о в ы х ко локо лов в е со м о т 0 , 0 4 д о 2 0 к Н В [ 1 7 4 ] д л я о п р е д е л е н и я фор м ко лебаний р е зо н ан сн о й деки и с п о л ь з о в а л а с ь э л е к т р о н н а я т е л е в и з и о н н а я г о л о г р а ф и я. Р а с с м о т рены ко леб ани я г и т а р н о й деки , п о д к р еп л е н н о й р е б р а м и ж е ст ко сти ( п р у ж и н к а м и ) . И с с л е д о в а н о в л и я н и е сх емы п о д к р еп л е н и я н а сп ектр с о б с т в е н н ы х фор м и ч а ст о т колебани й . К о р о л е в с к и й т е х н о л о г и ч е с к и й институ т в С т о кг о л ь м е – о д н о и з н аи б о л е е и з в е с т н ы х в мир е мест к о мп л е к с н ы х и сследов ан и й МИ (наряду с Кембриджским и Стэндфордским университетами). Р а б о т а ю щ и й т а м Е. В . Йенсен у ж е б о л е е т р и д ц а т и лет з а н и м а е т с я и зу ч ен и е м М И. В его и с с л е д о в а н и я х [ 1 6 7 , 1 7 0 ] р а с с м а т р и в а е т с я вли ян и е п а р а м е т р о в в н у т р е н н и х полостей скр ипок и гитар н а тембр з в у к а . П о к а з а н о , что о т о б ъ ё м а а к у с т и ч е с к о й внутр ен н ей поло сти зави сит высо т а о с н о в н о г о т о н а М И. А н а л и з и р у ют с я со б с т в е н н ы е фор мы ко лебан ий . В [ 1 6 6 , 1 7 6 ] н а р яд у с а к у с т и ч е с к и м и методами и с п о л ь з у ю т с я г о л о г р а ф и ч е с к и е м е т о д ы и с с л е д о в а н и й . С их помо щью о п р е д е ляют ся п я т ь н и з ш и х со бст в енн ы х ф о р м ко лебаний г и т а р н о й деки , а т ак ж е формы к о л е б а н и й в ер х н ей и нижней скри пи чных д е к . При э т о м колеб ани я во збужд а ют ся в р я д е то чек , и п р и помощи микрофона

определяются

з а в иси мо ст и

давления

от

ч а ст о т ы

возбу жд ени я . В р аб о т е [169] пред ст авлены р езу л ьт а ты а к у с т и ч е с к и х и сп ы т а н и й 9 0 скрип о к р а з н ы х м а с т е р о в , в кл ю ч ая 2 0 староит а л ь я н ских . Д ля во зб уждени я ко лебаний и сп о ль зу ет с я э л е к т р о д и н а м и ч е с к а я с и с т е м а . При по мо щи шести м и к р о ф о н о в ( д л я п о д ав л ен и я эффект а

направленности)

з а п и сы в аю т с я

резонансные

кривые.

Ан ализ резонансных кривых позво л яет вы явит ь р я д т и п и ч н ы х

31

особ енн о ст ей , п р и су щи х с т а р о и т а л ь я н с к и м и н с т р у м е н т а м . Пр еж д е в с ег о , с т а б и л ь н о е значен ие н и з ш е й р е зо н ан сн о й ч ас т о т ы верх ней деки . Кро м е т о г о , д о с т а т о ч н о высо ки е а мп ли т у д ы ко леб а н и й н а р е з о н а н с н ы х ч а стот ах в по ло сах 6 0 0 – 1 0 0 0 Гц и 1 6 0 0 Г ц . Из мер ен ия по казывают , что с п е к т р ы и злу ч ен и я зву к а ст аро и т а л ь я н с к и х с к р и п о к с у щ е с т в е н н о о т л и ч а ю т с я о т спектров д р у г и х ск р ипок . Э т и м о б ъ я с н я е т с я их к а ч е ст в е н н о е р аз л ичи е . А в т о р д е л а е т в ы в о д , ч т о п о в ы ш е н и е и н т е н с и в н о с т и и злу ч ен и я з в у к а в о в с е м ди ап азо н е а к у с т и ч е с к и х ч ас т о т не эффекти вно . Д л я со вер ш е н с т в о в а н и я М И д о с т а т о ч н о о г р а н и ч и т ь с я и з м ен ен и я ми сп ек т р а л ь н о г о со ст ав а и з л у ч ен и я ли шь в н е к о т о р ы х , д о с т а т о ч н о у зких п о л о с а х ч а с т о т . Пр ед ст авля ют и н т ер е с р е з у л ь т а т ы Н И Р , по лу ченные н а э кс п е р и м е н т а л ь н о й фабри к е щип ко вых М И [15, 148]. В эт их р а бо т а х р а с с м а т р и в а е т с я в ли я н и е р а з м е р о в и сх емы распо ло жени я п р у жино к на сп ек тр ко лебани й деки . У с т а н а в л и в а е т с я , что фор м а п о п е р е ч н о г о с е ч е н и я п р у ж и н о к н е о к а з ы в а е т заметн ого вли яни я н а к ач е ст в о з в у к а. Пу т ё м и з м е н е н и я в ы со т ы п р у ж и н о к р ег у л и р у ет ся о с но вно й т о н . П о н и ж е н и е о сно в но г о то на суб ъ екти вно восп р и н и м а е т с я к а к у лу ч ш ени е к а ч е с т в а з в у к а М И [ 1 5 , 5 9 ] . В з ак л ю ч ен и е с л е д у е т о т м ет и т ь н а ши работы , п р о в о д и м ы е с 1 9 9 8 г о д а , п о с в я щ ё н н ы е о ц е н к е влиян ия к о н с т р у к т и в н ы х и фи з и ко - м е х а н и ч е с к и х пар а м етр о в н а д и н а м и ч е ск и е с в о й с т в а г и т ар н о й деки [ 6 2 – 6 5 , 1 3 5 – 1 4 5 ] . О б о б щ а я ск аз ан ное , о т м е т и м с л е д у ю щ е е . Об есп е чени е в ы со к о г о к а ч ес т в а М И с в я з а н о с р е ш е н и е м к о м п л е к с а з а д а ч , к ак п о сов ер шенст вов а нию с а м о й ко нстру кц ии , т а к и по р а с ш и р е н и ю н о м е н к л а т у р ы к о н с т р у кц и о н н ы х м а т е р и а л о в . С и с т е м а т и ч е с к и й ан ализ позво л яет выд е лит ь тр и характерных напр авления и с с л едований:

32

1 . С р а в н и т е л ь н ы е и с с л е д о в а н и я а к у с т и ч е с к и х х а р а кт ер и сти к г о т о в ы х МИ с ц е л ь ю о пр е д е л е н и я и к о п и р о в а н и я лучших о б р а з цов [30, 34, 42, 46, 56, 67, 103, 113, 114, 148, 149, 151, 163, 168, 170, 171 173, 174]. 2 . И с с л е д о ва н и я

ф изи ко - м е х а н и ч е с к и х

и

акустических

сво йств к о н с т р у к ц и о н н ы х м а т е р и а л о в с ц ел ь ю у л у ч ш е н и я и х к ач ес т в а [ 4 4 , 5 5 , 7 0 , 7 1 , 9 2 , 1 2 7 , 1 2 8 , 1 3 0 ] . 3 . Р а з р а б о т к а р а с ч ё т н ы х мод е лей и м о д е л и р о в а н и е п о в е д е н и я элем ент о в к о н с т р у к ц и й М И [ 6 , 1 3 , 1 4 , 3 8 , 6 2 – 6 5 , 7 2 , 8 4 , 1 1 5 , 135 – 145, 152 – 155, 158, 160, 166 –168, 175, 176]. От мети м , ср ав нит ельн ые и с с л е д о в а н и я а к у с т и ч е с к и х с в о й с т в г о т о в ы х М И о б ы ч н о в ы п о лн я ю т ся с п р и в л е ч е н и е м а к у с т и ч е с к и х и г о л о г р а ф и ч е с к и х м е т о д о в , а т ак ж е метод о в т е л е в и з и о н н о й сп ек тр о с копии . Пр и м е н ен и е э т и х м е т о д о в я в л я е т с я дост ато чно д о р о г о с т о я щ и м и т р у д о ё м к и м д е ло м . Кро м е т о г о , р езу л ьт аты эк сп ери м ент а льных исследов ан ий г о т о в ы х М И не п о з в о л я ю т а н а л и з и р о в а т ь и пр огнозир о вать и х свой ств а на р анн ей с т а д и и - ст ад и и р аз р аб о т ки и п р о ек т и р о в а н и я и з д е л и й . При и с с л е д о в а н и и д и н а м и ч е с к и х с в о й с т в э л е м ент о в кон ст р у кц и й М И т р а д и ц и о н н о о с н о в н о е в н и м ани е у д е ля е тс я с т р у н е к ак г е н е р а т о р у колеб ан и й . З н а ч и т е л ь н о м е н ь ш е р а б о т п о с в я щ е н о и с с л е д о в а н и я м к о р п у с н ы х э ле м ент о в констру к ций : к а к и злу ч ат елей , т а к и р е з о н а т о р о в з в у к а . П р а к т и ч е с к и во в с ех р аб о тах г е н е ратор , и злу ч ат е л ь и р е з о н ато р зву к а р а с с м а т р и в а ю т с я р а з д е л ь н о , к ак п а р ц и а л ь н ы е д и н а м и ч е с к и е си ст емы . По с у щ е с т в у о т с у т с т вуют р а б о ты , в котор ы х М И р а с с м а т р и в а е т с я ц ели ко м к а к связанн ая у п р у г о - а к у с т и ч е с к а я с и с т е м а . С л е д у е т и м е т ь в в и д у , что в с е п е р е ч и с л е н н ы е вы ше р а б о ты , п о с в я щ ё н н ы е т е о р е т и ч е с к и м и эк сп ери м ент а льным и сследов ан и я м д и н а м и к и элементо в констр укций М И, с о д ер ж а т л и ш ь о т д е л ь -

33

н ы е , до ст ато чн о р а з р о зн е н н ы е р е з у л ь т а т ы . В о мног и х ра бо т а х о т су т с т ву ют и с х о д н ы е д а н н ы е . Эти об сто ят е льств а н е п о з в о ля е т в о с п о л ь з о в а т ь с я о п у б л и к о в а н н ы м и д а н н ы м и , д а ж е д л я со по ста вит е льн о го ан ализ а р е зу л ьт ато в . 1 . 5 . Ц ел и и з а д а ч и р а б о т ы Ан ализ с у щ е с т в у ю щ и х р а з р а б о т о к п о зво ля е т сд елать с л ед у ю щ и е вы воды : • Дин а ми ч ес ки е сво йств а к о р п у с н ы х э л е м ент о в констр укций с т р у н н ы х М И и с с л е д о в а н ы н едо ст ато чн о . • Вв иду о т с у т с т в и я совр еменны х р а с ч е т н ы х м о д е л е й и п р о г р а м м н ы х ср ед ст в со в ер ш ен ст вов ани е МИ вы полн яет с я в о с н о вном эмпирически, путём проб и ошибок. • Недостаточно проработаны вопросы, связанные с влиянием к о н с т р у кт и в н ы х ф а к т о р о в на д и н а м и ч е с к и е с в о й с т в а к о р п у с н ы х элем ент о в стру нных М И. • Не

и сследов ан о

влияние

п р е д в а р ит е л ь н о г о

натяжения

струн н а с п е к т р к о л е б а н и й М И . • От су т ст ву е т д е та л ьн ы й ан ализ вли ян и я д е м п ф и р о в а н и я н а д и н а м и ч е с к и е х а р а к т е р и с т и к и э л е м ен т о в М И . Ц е л ь ю насто я щей р аб о ты я в л я е т с я со з д ани е методики р а с ч е та и п р о е к т и р о в а н и я к о р п у с н ы х элемен тов кон стру кци й М И , р азр а б о т к а на б аз е м е т о д и к и совр еменных п р о г р а м м н ы х ср ед ст в . В д и с с е р т а ц и и с т а в я т с я и р е ш а ю т с я с л е д у ю щ и е з ад а ч и : 1. Разработка

расчётной

динамической

модели

корпусных

элем ент о в М И , как т о н к о ст е н н ы х п р е д в а р ит е л ь н о н а п р я ж е н н ы х к о н стру кций с а с и м м е т р и ч н ы м н а б о р о м рёбер ж ё ст ко ст и .

34

2 . О б о сн о в а н и е до сто в ерн о сти р а с ч е т н о й м о д ел и п у т е м т е ст и р о в а н и я и со пост ав лени я р е зу л ьт ат о в р а с ч ё т о в с известными данными. 3 . П р о в е д е н и е с е р и и эк спери м ен тальных и с с л е д о в а н и й д еф о р м и р о в а н и я и колебаний элементо в МИ с ц е л ь ю апроб ац ии р а с ч е т н о й мод е ли . 4 . Эк сп ери м ент а льное о пр ед е ле ни е ф и з и к о - м е х а н и ч е с к и х х арактеристик с целью идентификации конструкционных материалов . 5 . Эк сп ери м ент а льная о ц е н к а в ли я н и я а к у с т и ч е с к о й в н у т р ен ней по лости и с т р у н н а сп ектр с о б с т в е н н ы х колебаний деки . 6 . Р а с ч ё т н о - эк сп еримен тально е и сследо в ани е у п р у г и х п ер ем е щ е н и й и н ап р яж ён н о г о со сто яни я , и н д у ц и р о ва н н о г о н а т я ж е н и ем струн колками. 7 . И с с л е д о ва н и е с т а т и ч е с к и х и д и н а м и ч е с к и х п о д ат ли во ст ей т о ч е к к р еп л ен и я с т р у н к д е к е . 8 . Оц енка

влияния

уровня

демпфирования

на

АЧХ

резо нансной д е ки . 9 . Ан ализ вли ян и я сх емы и р а з м е р о в п о д к р еп л е н и й на спектр колеб ан ий д е ки .

35

2. Методика расчета корпусных элементов конструкций музыкальных струнных инструментов Во в т о р о й главе приводится описание методики расчёта . Элементы корпуса МИ рассматриваются в вид е тонкостенных конструкций , подкрепленных рёбрами жесткости . Учитываются асимметрия подкрепления и нелинейности , связанные с влиянием мембранных усилий на и з г и б н у ю жесткость стенки . Мембранные усилия определяются в зависимости о т предварительного натяжения струн. Используется о д и н из вариантов МКЭ , основанный н а смешанной вариационной формулировке п р и н ц и п а Хеллингер а- Рейсснера и теории тонких оболочек Тимошенко . Расчетные соотношения строятся н а основе независимой аппроксимации п еремещений и деформаций . Применяются криволинейные о бо л о чечный и стержневой КЭ . Задача динамики описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений . Амплитуды установившихся колебаний определяются путем разложения движен и я п о собственным формам . Для решения задачи на собственные значения применяется метод итераций в подпространстве собст венных векторов. 2.1. Система разрешающих уравнений Для вывода разрешающих уравнений , описывающих малые колебательные движения , воспользуемся МКЭ и п р и н ц и п о м возможных перемещений в сочетании с п р и н ц и п о м Даламбера . В качестве примера рассмотрим гитарную деку . Представим её

36

Рис. 2.1. Конечно-элементная модель гитарной деки

в

ви д е

ансамбля

тонкостенных

оболочечных

и

стержневых

КЭ ( р и с.2.1). Согласно п р и н ц и п у возможных перемещений работа внешних и внутренних сил, включая силы инерции и силы сопротивления движению , на малых виртуальных отклонениях системы равна нулю : N



T T T ∑ ∫∫δ {ε } {σ }dS + ∫∫δ {u} [m0 ]{u&&}dS + ∫∫δ {u} [b]{u&}dS − n =1  S

S

S

 T T − ∫∫ δ {u} {p}dS − ∫∫ δ {ϑ} [N o ]{ϑ }dS  = 0 S S 

(2.1)

Здесь n – порядковый номер КЭ, N – число КЭ, δ − знак вирту альной вариации , S – площадь КЭ, {ε } − вектор деформаций , { σ } − вектор напряжений , { u }, {u&} и {u&&} – векторы обобщенных пере-

мещений , скоростей и ускорений (точка определяет операцию дифференцирования функции по времени ), { ϑ} – вектор углов поворота поперечного сечения , [ N 0 ] − матрица мембранных уси лий, { p ( t )} − вектор внешних нагрузок, [ m 0 ] – матрица инерцион -

37

ных характеристик , [ b ] – матрица коэффициентов сопротивления . Интегралы (2.1) вычисляются в произвольный момент времени t . В соответствии с процедурой МКЭ используется следующая аппроксимация упругих перемещений в пределах КЭ:

{u (α 1 , α 2 , t )} = [Φ(α 1 , α 2 )]{q ( n) (t )},

(2.2)

где {u} – вектор перемещений , [Ф] – матрица интерполяционных функций , {q ( n ) } − вектор обобщенных перемещений узлов КЭ, α 1 и α 2 – криволинейные пространственные координаты . Дифференцируя функции перемещений (2.2) по пространст венным координатам, находим углы поворота поперечного сечения (нормали ): { ϑ }=[Q]{u}=[Q][Ф]{q ( n ) (t)}.

(2.3)

Здесь [Q] – матрица дифференциальных операторов. Зависимости напряжений от деформаций описываем при помощи модели линейно -упругого тела и формул обобщенного закона Гука

{σ } = [D]{ε },

(2.4)

где [D] – матрица упругих постоянных материала . Далее, используя подстановки (2.2), (2.3) и (2.4), перепишем (2.1) в следующем виде N



∑  ∫∫ δ {ε }T [D]{ε }dS − ∫∫ δ {u}T {p}dS +

n =1 S

S

] [ ] [ ] )]

([

(2.5)

+ {q}T M (n ) {q&&} + B (n ) {q&} − R (n ) {q} = 0. Здесь [M ( n ) ], [B ( n ) ] и [R ( n ) ] – матрицы масс; демпфирования и гео метрической жесткости , или начальных напряжений КЭ. Коэффи циенты этих матриц определяются следующими выражениями : [M ( n ) ]= ∫∫ [Φ ] [m][Φ ]dS , T

S

(2.6)

38

[B ( n ) ]= ∫∫ [Φ ] [b][Φ ]dS ,

(2.7)

[R ( n ) ]= ∫∫ ([Q ][Φ ])T [N o ][Q ][Φ ]dS .

(2.8)

T

S

S

В свою очередь компоненты вектора деформаций {ε} выража ем через перемещения . С этой целью воспользуемся дифференци альными соотношениями типа Коши {ε} = [L]{u}

или

[L]{u} - {ε} = 0,

(2.9)

где [L] – матрица дифференциальных операторов. Расчетные соотношения МКЭ строятся на основе смешанной вариационной

формулировки

принципа

Хеллингера-Рейсснера

[26, 104, 172]: N





S



∑ ∫∫ ([L]δ {u})T [D]{ε }dS − W (δ {u}) = 0 ,

(2 .1 0 )

  T [ ] [ ] δ { ε } D ( L { u } − { ε } ) dS =0 ∑ ∫∫ n =1  S 

(2 .1 1 )

n =1

N

Здесь W( δ {u } ) – работа внешних сил на возможных перемещениях в момент времени t, определяется следующим выражением :

W (δ {u}) = ∫∫ δ {u} {p}dS − δ {q} T

T

([M ]{q&&} + [B]{q&} − [R]{q}) .

(2.12)

S

Отметим, смешанная вариационная формулировка (2.10) и (2.11) предполагает независимое варьирование перемещений и деформаций . Из вариационного уравнения (2.10) следуют условия равновесия , из (2.11) – условия непрерывности . Для деформаций { ε } применяется следующая аппроксимация { ε ( α 1 , α 2 , t )}=[ ω ( α 1 , α 2 ) ]{ β ( t ) },

(2 .1 3 )

г д е [ ω ] – матрица интерполяционных функций , { β } – вектор про извольных постоянных . Подставляя интерполяционные функции (2.2) и (2.13) в вариационные уравнения (2.10) и (2.11), получим

39 N

T (n) T (n) ∑ [ δ { β } ( [ G ] { q }-[ H ]{ β })]=0,

(2.14)

n=1 N

T (n) T (n) (n) (n) ∑ [ δ { q } ( [ G ] { β }-{ P }+[ M ] {q&&} +[ B ] {q&} - [ R ]{ q })]=0.

n=1

(2.15)

Здесь

[G ( ) ]= ∫∫ [ω ] [D][L][Φ]dS , [H ( ) ] = ∫∫ [ω ] [D][ω ]dS , T

n

S

{ F }= ∫∫ [Φ] {p} dS. (n )

T

n

S

(2.16)

T

S

Обозначим [C ( n ) ]=[G ( n ) ] T [H ( n ) ] - 1 [G ( n ) ].

(2 .1 7 )

Очевидно , что [C ( n ) ] – это матрица жесткости КЭ. Исключая из уравнений (2.14) и (2.15) вектор { β } и суммируя по n согласно алгоритма ансамблирования МКЭ [36, 43, 47, 48, 82, 121], с учетом (2.17) получим систему линеаризованных обыкновенных дифференциальных уравнений вида

[M ]{q&&} + [B]{q&} + ([C ] − [R ]){q} = {F (t )}.

(2 .1 8 )

Здесь [M], [B], [С] и [R] – матрицы , характеризующие инерцион ные, диссипативные и упругие свойства конструкции , как ан самбля КЭ; {F( t)} – вектор обобщенных вынуждающих сил. Предполагается , что источником возбуждения элементов корпуса МИ являются колебательные движения струн. В свою очередь , предварительное натяжение струн иницииру ет начальное НДС. Параметры НДС находятся из решения системы алгебраических уравнений вида

[С ]{qm } = {Fm },

(2 .1 9 )

г д е {F m } – вектор нагрузки , соответствующей предварительному натяжению струн. Таким

образом,

система

дифференциальных

уравнений (2.18) описывает вынужденные колебания предвари -

40

тельно напряженной динамической системы относительно равно весного состояния (2.19). 2.2. Конечный элемент тонкостенной оболочки из ВКМ

Для расчета тонкостенных пластин и оболочек разработано большое число разнообразных КЭ. Описания некоторых из них содержатся в работах [12, 35 – 37, 43, 47, 48, 118]. В этих рабо тах , как правило , для вывода расчетных соотношений МКЭ используются классические гипотезы Кирхгофа- Лява и метод перемещений , основанный на вариационной формулировке принципа Лагранжа и процедуре кусочной интерполяции перемещений . В этом случае условие сходимости приближенного решения МКЭ к точному предъявляет к интерполяционным функциям ( функциям формы ) следующие требования :

• Функции перемещений и их производные должны быть достаточно гладкими и сохранять непрерывность при переходе через границы КЭ.

• Функции перемещений должны включать слагаемые , отражающие смещения КЭ, как жесткого целого. Эти требования определяют класс допустимых интерполяци онных функций . В противном случае КЭ приобретает нежела тельные свойства, о н не обеспечивает "хорошую" сходимость и вносит существенные погрешности в решение. Неудачный выбор функций формы приводит к необходимости чрезмерно мелкого деления конструкции на КЭ и, как следствие , – к неоправданным расходам ресурсов ЭВМ. Область применимости большинства известных оболочечных КЭ ограничена традиционными , то есть однородными и изотропными материалами . Однако для изготовления элементов корпуса

41

МИ обычно используется резонансная древесина , в последнее время – полимерные композиты ( углепластики , стеклопластики и д р .) [10, 44, 55, 92, 133]. В отличие о т традиционных материалов естественные и искусственные волокнистые композиты ( ВКМ) обладают ярко выраженной анизотропией физико - механических свойств. Для них характерна неоднородная слоисто - волокнистая структура. При выборе КЭ следует иметь в виду и геометрические осо бенности . Форма поверхностей корпуса МИ бывает как плоской , так и искривленной . Их отличает разнообразная , чаще всего до вольно сложная конфигурация контура, а также наличие отвер стий и вырезов, переменные толщина стенки и кривизна поверх ности . Известно , что при расчете тонкостенных слоистых конструкций из ВКМ важно учитывать деформации поперечного сдвига и силы инерции , связанные с поворотом нормали . Учет сдвиговых деформаций в рамках классической формулировки метода перемещений , как правило , приводит к появлению ложных деформа ций и, тем самым, вносит существенную погрешность в решение [104]. Эти недостатки сглаживаются при использовании смешан ной вариационной формулировки . Независимая аппроксимация перемещений и деформаций позволяет , в частности , минимизиро вать энергию ложных деформаций . Таким образом, особенности конструкции , характерные для корпусных элементов МИ, предъявляют следующие требования к КЭ:

• КЭ должны быть универсальными , пригодными для аппроксимации поверхностей произвольной гауссовой кривизны при сложной конфигурации контура.

42

• Расчетные соотношения должны строиться с учетом анизо тропии

физико -механических

свойств ,

слоисто - волокнистой

структуры материала и отражать заданное распределение толщин стенки .

• Жесткость стенки на изгиб должна рассчитываться с учетом мембранных усилий, обусловленных предварительным натяжени ем струн. Перечисленным требованиям наилучшим образом отвечает треугольный КЭ Б.Г. Попова [104]. Это – универсальный КЭ с поверхностью произвольной гауссовой кривизны . Он имеет 3 0 степеней свободы и предназначен для аппроксимации разнооб разных поверхностей (рис.2.2). Конечно - элементные зависимости для треугольного КЭ [104] строятся на основе независимой интерполяции перемещений (2.2) и деформаций (2.13). При этом [Ф]=[[Ф] ( 1 ) , [Ф] ( 2 ) , [Ф] ( 3 ) , [Ф] ( 4 ) , [Ф] ( 5 ) , [Ф] ( 6 ) ], {q }=

{{q}( ) ,{q}( ) ,{q}( ) ,{q}( ) ,{q}( ) ,{q}( )} , T 1

T 2

T 3

T 4

T 5

{q} ( i ) ={ u1(i ) , u 2(i ) , w(i ) ,ψ 1(i ) ,ψ 2(i ) } T ,

T T 6

(2.20)

43

5 3 2

z

α1 6

4

1

α2

Рис.2.2. Конечный элемент многослойной оболочки

3

α1

2 z

α1' 1

α2

O

α2'

O'

Рис.2.3. Стержневой конечный элемент

b

44

{ ε }={ ε 1 , ε 2 , γ 1 2 , χ 1 , χ 2 , χ 1 2 , γ 3 1 , γ 3 2 } Т . Здесь u1(i ) , u2(i ) , w(i ) , ψ 1(i ) , ψ 2(i ) − составляющие вектора линейного и углового перемещений узла i ( i=1, 2, …, 6); ε 1 , ε 2 и γ 1 2 − линей ные и угловая

деформации

базисной

координатной поверхно -

сти ; χ 1 , χ 2 и χ 1 2 − изменения кривизн и крутка ; γ 3 1 и γ 3 2 − дефор мации поперечного сдвига. Матрица интерполяционных функций [Ф] имеет размерность ( 5 х 3 0 ) и блочную структуру заполнения. Каждый блок определяется равенством [Ф] ( i ) = φi [E], г д е [Е] – единичная матрица ( 5 х 5). Базисные функции φ i записываются в L – координатах ( естественные или барицентрические координатах ) в виде

φ 1 =L 1 ( 2 L 1 – 1 ) ; φ 2 =L 2 ( 2 L 2 – 1 ) ; φ 3 =L 3 ( 2 L 3 –1);

(2.21)

φ 4 =4 L 1 L 2 ; φ 5 =4 L 2 L 3 ; φ 6 =4 L 3 L 1 . В свою очередь L − координаты выражаются через простран ственные координаты α 1 и α 2 [1, 104]. При этом нумерация φ i ( i = 1,…,6) согласуется с нумерацией узлов КЭ . Для интерполяции обобщенных деформаций { ε } используют ся полные полиномы . При этом число независимых компонент вектора { β } равно 24. Берётся разность между общим числом степеней свободы КЭ и числом независимых ф о р м движения КЭ , как жесткого целого . В результате матрица [ ω ] получает размер ность (8 х 24). Считаем , что в общем случае стенка имеет перекрестную схему армирования : волокна составляют углы ±φ с главной коор динатной осью α 1 . Число однонаправленных слоев ( монослоев ) в пакете принимаем 2 k. Монослои предполагаем ортотропными и линейно - упругими , связи волокон и связующего , а также отдель ных слоёв д р у г с д р у г о м – идеальными .

45

При симметричном армировании соотношения упругости мно гослойного пакета имеют вид [1, 27, 104]:

{N } = [D]{ε },

( 2 .2 2 )

{N}={N 1 , N 2 , N 1 2 , M 1 , M 2 , M 1 2 , Q 1 , Q 2 } Т ,

 В11 В  21  0 С  11 [D] = С21  0   0  0   где

В12 В22

0 0 В33 0 0 С33 0 0

0 С12 С 22 0 0 0

С11 С12

С12 С 22

0 D11 D21

0 D12 D22

0 0 0

0 0 0

0 0 С33 0 0 D33 0 0

0 0 0 0 0 0 K11 0

0  0   0  0   0 , 0   0  K 22   

( В11 , C11 , D11 ) = ∑ g11 j H12 j (t Bj , tCj , t Dj ) , k

j =1

( В12 , C12 , D12 ) = ∑ g12 j (t Bj , tCj , t Dj ) , k

j =1

( В33 , C33 ,

D33 ) = ∑ g 44 j H 12 j (t Bj , tCj , t Dj ) , (1, 2); k

j =1

−1

K 22

−1

 k H 12 j t Bj  = h 2 ∑  , g  i =1 55 j 

H 12 j =

2 + k 2 (z j + z j −1 ) 2 + k1 (z j + z j −1 )

t Bj = z j − z j −1 , t Cj

(z =

 k H 21 j t Bj  K11 = h 2 ∑  ; g  i =1 66 j 

, 2 j

(1, 2); − z 2j −1

2

), t

Dj

(z =

3 j

− z 3j −1

3

).

Здесь j – порядковый номер слоя ( каждый слой составляется из двух монослоёв ), h – толщина стенки , z j −1 и z j – нормальные ко ординаты соответственно внутренней и наружной поверхностей jг о слоя ( отсчитываются о т базисной координатной поверхности и в случае переменной толщины стенки являются функциями коор -

46

динат α 1 и α 2 ), k 1 и k 2 – главные кривизны координатной поверх ности оболочки , g n m j ( m , n = 1, 2, 4, 5, 6) – коэффициенты матри цы упругости , связывающие напряжения и деформации j- г о слоя. Коэффициенты g n m j определяются в зависимости о т угла ар мирования φ и коэффициентов упругости монослоя на основании известных соотношений [52]. Коэффициенты упругости моно слоя, записанные в главных осях , определяются следующими вы ражениями : 0 g11 = Е 1 / ( 1 - ν 1 2 ν 2 1 ),

0 g12 = ν 2 1 Е 1 / ( 1 - ν 1 2 ν 2 1 ),

0 g 22 = Е 2 / ( 1 - ν 1 2 ν 2 1 ),

0 0 0 0 0 g 44 = G 1 2 , g 21 = g12 , g 55 = G 3 2 , g 66 = G31.

Здесь Е 1 , Е 2 – модули упругости , G 1 2 , G 3 1 и G 3 2 – модули сдвига,

ν 1 2 и ν 2 1 – коэффициенты Пуассона. Индекс 1 соответствует направлению оси α 1 , индекс 2 – оси α 2 , индекс 3 – направлению нормали к координатной поверхности оболочки . Эти характери стики называются эффективными упругими постоянными . Они определяются в зависимости о т упругих характеристик волокна и матрицы , а также объемной доли волокон в композите. Симметричные матрицы [ B ] ( 3 х 3 ) , [ D ] ( 3 х 3 ) , [ C ] ( 3 х 3 ) и [ K ] ( 2 х 2 ) х арактеризуют приведенные мембранные , изгибные, мембранно изгибные и сдвиговые жёсткости пакета слоев . В случае симмет ричной , по толщине пакета слоёв , структуры базисная коорди натная поверхность совмещается со срединной поверхностью оболочки . В этом случае компоненты матрицы [ C ] ( 3 х 3 ) обращают ся в нули . При переменных параметрах армирования и толщинах стенки коэффициенты матриц приведенных жёсткостей являются функциями координат α 1 и α 2 . Обобщенные деформации выражаются через перемещения с помощью соотношения (2.9), г д е { u }= { u1, u2 , w, ψ1, ψ 2 }т ,

( 2 .2 3 )

47

 ∇1  ϕ 21  ∇ 2 − ϕ12  0 [L] =  0  0   −k 1  0  Здесь ∇1 =

1 ∂ (⋅) ; А1 ∂α1

ϕ12

k1

0

k2

0

0

0

0

0

∇1

0

0

0

0

0

∇1

∇2

∇1 − ϕ 21

− k2

ϕ12 =

  0   0  ϕ12  . ∇2   ∇1 − ϕ 21   0  1  0

ϕ 21 ∇ 2 − ϕ12

∇2

1 ∂А1 А1 А2 ∂α 2

1 0

(1 ↔ 2) , А 1 и А 2 – параметры

Ламэ . Распределение перемещений по толщине пакета слоев описы вается на основе гипотез Тимошенко . Считается , что

v1 = u1 + zψ 1

(1 ↔ 2);

v3 = w ,

(2.24)

где u1 , u 2 и w – тангенциальные и нормальная составляющие перемещения

точки

базисной

координатной

поверхности

z = 0; ψ1 и ψ 2 – углы по в о р о т а прямой , нормальной д о деформи рования к координатной поверхности . При выводе выражения для матрицы геометрической жёстко сти используется формула (2.8). Считается , что

 N0 [N 0 ]=  10  N 21

0  N12 , N 20 

k [Q]=  1 0

0

− ∇1

0

k2

− ∇2

0

0 . 0

(2.25)

0 Мембранные усилия N10 , N 20 и N12 о т предварительного натяже -

ния струн определяются на основании решения (2.19). Матрица масс КЭ определяется формулой (2.6). При этом [m] =d i a g [m 0 , m 0 , m 0 , I 1 , I 2 ]. Здесь m 0 – погонная масса ; I 1 , I 2 – моменты инерции массы m 0 относительно координатных осей α1 и α2.

48

Кинематические граничные условия, или условия на переме щения задаются путем исключения из разрешающей системы тех уравнений , которые соответствуют заданным ( нулевым) переме щениям. Этот вычислительный прием достаточно эффективен , о н сохраняет симметрию матриц . Интегралы (2.6), (2.7), (2.8), (2.16) вычисляются численно посредством семиточечной схемы квадратур Гаусса на треуголь н о й области . 2.3. Стержневой конечный элемент

Для моделирования подкреплений ( пружинок ) выбирается криволинейный стержневой КЭ , совместимый с оболочечным КЭ [104]. Элемент имеет 3 узла, по 3 степени свободы в каждом ( р и с.2.3). Осевая линия КЭ на расстояние b равноудалена о т ко ординатной поверхности оболочки . Перемещения произвольной точки КЭ определяются выраже нием

{u} = [Φ ]{s}.

( 2 .2 6 )

Деформации выражаются зависимостью { ε }=[ ω ]{ α }

( 2 .2 7 )

Здесь [Ф] - матрица интерполяционных функций размерности ( 3 х 9). Она имеет следующую структуру заполнения [Ф] = [[Ф](1), [Ф](2), [Ф](3)]. Каждый блок определяется равенством [Ф]i = φ i [E], г д е [E] − еди ничная матрица (3 х 3). Базисные функции имеют вид :

φ 1 = 2 ξ 2 - 3 ξ +1, φ3 = 2ξ2-ξ,

φ 2 = -4 ξ 2 +4 ξ ,

ξ = ( α 1 - α 1 ( 1 ) ) / ( α 1 ( 3 ) - α 1 ( 1 ) ),

(2.28)

49

г д е α 1 ( 1 ) , α 1 ( 3 ) – координаты первого и третьего узлов КЭ ( р и с.2.3). Нумерация функций φ i соответствует нумерации узлов. В свою очередь матрица [ ω ] имеет размерность ( 3 х 6 ) и блочн у ю структуру заполнения [ ω ] = diag[[ F], [F], [F]],

[F] = [1 - ξ , ξ ].

(2.29)

В качестве обобщенных перемещений узлов и обобщённых деформаций принимаем : {s } ( i ) ={ u (i ) , w(i ) ,θ ( i ) } T ;

(2 . 3 0 )

{ ε }={ ε , ℵ , ψ } T .

( 2 .3 1 )

Здесь u ( i ) , w ( i ) - перемещения узла i ( i = 1, 2, 3) в направлениях α 1 и z соответственно , θ ( i ) − у г о л п о в о р о т а поперечного сечения стержня ( узла i) относительно оси α 2 , ε − линейная деформация ,

ℵ − изменение кривизны оси стержня , ψ − деформация попереч н о г о сдвига. Считаем , что многослойный стержень включает k слоев . Каж д ы й слой имеет свои структуру и физико - механические свойства материала . Оси α 2 и z – главные центральные оси поперечного сечения . Упругие свойства монослоя описываем п р и помощи мо дели о р т о т р о п н о г о тела. Соотношения упругости записываем в форме (2.22), г д е {N}={N, M, Q} Т ,

 d11 [D] = d 21  0

d12 d 22 0

( 2 .3 2 )

0  0  . d 33 

k

k

k

j =1

j =1

j =1

При этом d 1 1 = ∑ E j f j t1 j , d 1 2 = d 2 1 = ∑ E j f j t 2 j , d 22 = ∑ E j f j t 3 j , k

d 33 = ∑ G13 j f i t1 j , t1 j = z j − z j −1 , t 2 j j =1

(z =

2 j

− z 2j −1 2

),

t3 j

(z =

3 j

− z 3j −1 3

).

50

Здесь j – порядковый номер слоя, z j - 1 и z i – нормальные коорди наты

соответственно

внутренней

и

наружной

поверхностей

j-го слоя, E j и G 1 3 j − модуль упругости и модуль сдвига, f j – ширина j-г о слоя. Далее, при помощи соотношений (2.9) выражаем деформации через перемещения . Считая перемещения и деформации малыми , в рамках линейного приближения записываем : ∇ [L] =  0 − k Здесь ∇ =

k 0 ∇

0 ∇ .  1 

(2 .3 3 )

∂ (⋅) , k – изменение кривизны оси стержня . ∂α

Матрица масс КЭ определяется формулой (2.6). При этом [m] = d i a g[m 0 , m 0 , J 2 ].

(2 .3 4 )

Здесь m 0 и J 2 − соответственно погонная масса и момент инерции массы m 0 относительно оси α 2 . В связи с тем, что стержневые КЭ расположены асимметрич но относительно срединной поверхности оболочки , процедуре формирования разрешающих уравнений (2.18) и (2.19) предшест вует процедура преобразований матриц вида ~ ~ (n) С ( n ) = [T][С ( n ) ][T ' ] - 1 , M = [T][M ( n ) ][T ' ] - 1 .

[ ]

[

]

(2.35)

При этом [T] = d iag [[T], [T], [T]], 1 [T] = 0  b

0 1 0

0 0 ,  1

[T] ' = diag[[T ' ], [T ' ], [T ' ]], 1 [ T ] = 0  0 '

0 1 0

− b 0 .  1 

Матрица масс [M ( n ) ] и матрица жесткости [С ( n ) ] стержневого КЭ определяются формулами (2.6) и (2.17). Только в этом случае интегралы вычисляются не по площади , а по длине КЭ. Для чис-

51

ленного интегрирования применяется пятиточечная схема квад ратур Гаусса . 2.4. Расчет собственных форм и частот

Собственные колебания предварительно напряженной динамической системы без демпфирования описываются о дно родной системой линейных дифференциальных уравнений [M ]{q&&} + C~ {q} = 0 , (2 .3 6 ) ~ гд е С = [С ] − [R ] − приведенная матрица жесткости конструкции .

[]

[]

Для систем высокой размерности (в нашем случае порядка 1 0 0 0 0 ) одним из наиболее эффективных вычислительных методов решения задач на собственные значения является метод обратных итераций . Ограничимся расчетом р низших собственных форм и частот, причем p << m, г д е m − порядок разрешающих уравнений . В этом случае наиболее рациональным оказывается улучшенный вариант метода итераций − метод итераций в подпространстве собствен ных векторов [11, 53]. Решение (2.36) находим в виде {q(t)}=ejωt{w}.

(2.37)

В результате задача (2.36) сводится к алгебраической проблеме на собственные значения ~ С {w j } = ω j 2 [M]{w j },

[]

(2 .3 8 )

гд е ω j и {w j } – соответственно собственное число и собственный вектор ( j = 1, 2,..., p ). Согласно

алгоритму

метода

итераций

в

подпространстве

предварительно строится начальное подпространство с матрицей [X O ] размерности ( r

x

m). При формировании матрицы [X O ] для

52

ускорения сходимости используются единичные векторы . Причем, одновременно считаются не p , а r = min (2 p , p +8) собствен ных векторов. Этот приём позволяет при вычислении наибольшего собственного значения λ p обеспечить заданную точность (до 6 значащих цифр ) не более, чем за 9 итераций . Решение (2.38) находим при помощи процедуры обратных итераций для r собственных векторов: [YO] = [M][XO]

~ С [X к ] = [Yк −1 ]  

(2 .3 9 )

[X к ] = [X к ][Qk ] [Yк ] = [M ][X к ] с одновременным проектированием матриц на подпространство ~ ∧  T  ∧  T [М ][X к ]. [ ] [ ] [ ] M = X С = X С X , к к   к к к          

(2.40)

и решением задачи на собственные значения подпространства

∧  ∧  [ ] С Q = к   к M к [Qк ][Λ к ] ,    

(2 .4 1 )

гд е [ Λ ] − диагональная матрица с элементами λ j = ω j 2 , к – номер итерации . В результате преобразований (2.40) имеет место редукция размерности задачи с m до r, как правило r << m. Задача (2.41) с редуцированными симметричными матрицами решается методом Якоби . Критерием сходимости итерационного процесса является условие (λj(k)- λj(k-1))/λj(k) ≤ ε , где ε

= 1 0 - 6 − заданная точность. Для

контроля правильности вычислений используется последователь ность Штурма.

53

2.5. Расчет амплитуд установившихся колебаний

Рассмотрим силовое моногармоническое возбуждение {F( t)} = { F 0 } sin( Ω t) .

(2 .4 2 )

Здесь Ω – круговая частота, {F 0 } – вектор амплитуд нагрузки . При расчете резонансных амплитуд необходимо учесть эффекты демпфирования колебаний . Основные результаты исследо ваний процессов демпфирования изложены в классических работах В.В. Болотина [21], В.Л. Бидермана [18], Я.Г. Пановко [86], Г.С. Писаренко [102], В.А. Постнова [107] и многих других исследо вателей . В этих работах рассматриваются традиционные одно родные и изотропные материалы . В работах П.А. Зиновьева [49 – 51, 180] построена энергетическая теория демпфирования анизо тропных тел и многослойных волокнистых композитов. Для описания рассеяния энергии колебаний корпусных элементов МИ воспользуемся моделью пропорционального демпфи рования [11, 18, 45]. В этом случае уравнения движения (2.18) приводятся к несвязанной форме. Считаем [11]

[B] = M∑γ j [M p

j=1

j

],

−1 ~

С

(2 .4 3 )

гд е γ k − параметры Рэлея. Они определяются из решения системы p уравнений :





1 γ ξ j =  1 + γ 2ω j + γ 3ω 3j + ... + γ pω (j2 p −3 )  . 2 ω j 

(2 .4 4 )

Здесь ξ j и ω j − относительное демпфирование и круговая частота для j − о й собственной формы (определяются на основе экспери ментальных данных ). В общем случае количество коэффициентов демпфирования ξ j равняется p . При p = 2 уравнение (2.44) приво дится к классической формуле Рэлея:

54

[B] = γ 1[M] + γ 2[ С~ ],

(2 .4 5 )

2 ξ j ω j = γ 1 + γ 2ω 2j . Первое слагаемое (2.45) учитывает “ внешнее” трение, второе – “ внутреннее ” трение, связанное с рассеянием энергии в материа ле. Значения коэффициентов демпфирования ξ j на резонансных частотах ω j для разнообразных элементов конструкций МИ оказываются различными , поэтому получить единые данные на все случаи практически невозможно . Имеющиеся данные о б интен сивности рассеяния энергии колебаний получены путём обработ ки экспериментальных данных для конкретных условий [113, 127]. В условиях ограниченной информации с некоторым прибли жением можно воспользоваться экстраполяцией [178]: e

ω  ξ j = ξ 1  j  ,  ω1 

(0,5 ≤ e ≤ 0,7).

(2.46)

Для первой собственной формы ξ 1 = δ 2π , где δ − логарифмиче ский декремент колебаний ( определяется экспериментально ). Колебательные движения деки представляются в виде линей ной комбинации ( суперпозиции ) p низших собственных форм. Принимается

{q(t )} = [Φ ]{Z (t )}.

(2.47)

Здесь [Ф] = [ ϕ 1 , ϕ 2 …, ϕ p ,] − матрица, составленная из p низших собственных форм, {Z(t)} − главные, или нормальные координаты . В этом случае [Ф] T [М][Ф] = d i a g[1] [Ф] T [B][Ф] = d i a g[2 ξ j ω j ]

(2 .4 8 )

55

[]

~ [Ф] T С [Ф] = d i a g[ ω j 2 ] Уравнения (2.18), записанные в главных координатах , прини мают следующий вид Z&& j + 2ξ j ω j Z& j + ω 2j Z j = f j (t ) , Здесь

{f j (t )} = [Ф]T {F (t )}

(j = 1, 2…, p )

(2.49)

− обобщенная сила, соответствующая j-о й

собственной форме. Отметим, что дифференциальные уравнения (2.49) относи тельно главных координат получаются несвязанными . Решение, соответствующее установившимся гармоническим колебаниям , имеет вид : {z j ( t)} = { z 1 j } sin Ω t + {z 2 j } cos Ω t, гд е z 1 j = β 1 j f 0 j =

z2j = β2j f0j =

ω 2j − Ω 2 (ω 2j − Ω 2 ) 2 + 4ξ 2j ω 2j Ω 2

2ξ jω 2j Ω 2 (ω 2j

2 2

−Ω ) +

4ξ 2j ω 2j Ω 2

(2 .5 0 )

x

f0j,

x

f0j.

Здесь β 1 j , β 2 j – динамические коэффициенты . Они определяют "вес" j – ой собственной формы . Линейная комбинация p низших собственных форм, взятых с определенными "весами ", составляет форму вынужденных колебаний . Далее выполняется обратный переход : из системы главных координат z j ( t ) переходим к обобщенным перемещениям q ( t ). С этой целью используются линейные преобразования (2.47). Очевидно { q ( t )} = { q 1 } sin Ω t + { q 2 } cos Ω t , где { q 1 } = [ Ф ]diag[ β 1 j ][ Ф ] T { F 0 }, { q 2 } = [ Ф ]diag[ β 2 j ][ Ф ] T { F 0 }. Здесь { q 1 }, { q 2 } – векторы амплитуд .

(2.51)

56

Выводы по главе 2

1. На базе МКЭ разработана методика расчёта корпусных элементов конструкций музыкальных струнных инструментов . Учитывается переменная кривизна поверхностей оболочек , сложная конфигурация контура, наличие отверстий и вырезов, переменная толщина стенки , слоисто -волокнистая структура материала при выраженной анизотропии физико -механических свойств, наличие подкреплений стенок в виде асимметричного набора рёбер жесткости , начальное напряженное состояние, обусловленное предварительным натяжением струн. Методика реализована в виде компьютерной программы . 2. На основе принципа возможных перемещений и МКЭ построена разрешающая система уравнений , которая описывает вынужденные колебания предварительно напряженной динамиче ской системы относительно равновесного состояния. Учитывают ся нелинейности , связанные с влиянием мембранных усилий на изгибную жесткость стенки . При выводе расчетных соотношений применяются вариационная формулировка принципа ХеллингераРейсснера и теория тонких оболочек Тимошенко . Используется независимая аппроксимация перемещений и деформаций . 3. Представлен вычислительный алгоритм расчета устано вившихся амплитуд . Колебания элементов корпуса, обусловлен ные периодическими движениями струн, записаны в виде супер позиции низших собственных форм. Алгебраическая проблема на собственные значения решается методом итераций в подпро странстве собственных векторов. Диссипативные свойства конст рукции описываются при помощи модели пропорционального демпфирования Рэлея. Приведён алгоритм расчета характеристик демпфирования .

58

3. Анали з р а с ч е т н о й м о д ел и М К Э В тр етьей г л а в е п р е д с т а в л е н а кон стр укци я и р а с ч е т н а я ко нечно - э л е м е н т н а я м о д е л ь г и т а р н о й д е ки . Р езу л ьт аты р а с ч ё т а у п р у г и х п е р е м е щ е н и й д ек и в з а ви си мо сти о т н а т я ж е н и я с т р у н ко лк а ми со пост ав лены с д а н н ы м и эк сп ер имен та . Выпо лнено т е сти р о в а н и е и ср ав нит ельн ая о ц е н к а э ф ф екти вно сти и то чно сти р а сч ет н о й мод е ли М КЭ . С э той ц е ль ю п р о в е д ё н р а с ч е т р я д а то нко ст енн ы х ко нстр укций . 3 . 1 . К о н с тр у к ц и я и р а с ч е т н а я м о д е л ь д е ки Ад е кв ат н о ст ь р а с ч е т н о й м о д е л и п р о а н а л и з и р у е м н а п р и м ер е реальной конструкции. Рассмотрим корпус семиструнной классич е ско й гитары мод е ли 3 8 6 - А с м е н з у р о й L = 540 м м, изготовлен н о й н а Б о б р о в с к о й ф аб р и к е му зык а льн ы х и н с т р у м е н т о в ( г .Б о б р о в). Э л е м ент а ми к о р пу с а являю т ся о б е ч а й к а , к о н т р о б е ч а й к а , д е к а, д н о ( "д о н ь я") , п о д с т а в к а д ля стру н ( с т р у н о д е р ж а т е л ь ) , р ё б р а ж ё с т к о с т и ( п р у ж и н к и ). Об ечай ка и две к о н т р о б е ч а й к и о б р а з у ют г н у т у ю к о н с т р у к ц и ю , кото рая н о с и т н а з в а н и е р а м ки к о р п у с а . Н а и б о л ь ш и й п р а к т и ч е с к и й и н т ер е с пр ед ст авля ет д е к а , н еп о ср ед ст в енно св яз анн а я со с т р у н а м и . К а ч е с т в о д е к и во м н о г о м о п р е д е л я е т к а ч е ст в о М И в ц ел о м . Н а р и с . 3 . 1 и з о б р а ж е н ч ер т е ж д е ки ( в и д со с т о р о н ы в н у т р е н ней по лости ) . Р а з м е р ы на ч ер т е ж е ук аз ан ы в м м . Д е к а и м е ет к р у г л о е р е з о н а т о р н о е о т в е р с т и е , о н а пред ст авля ет о д н о с л о й н у ю тонку ю п л а с т и н к у , по ф о р м е н а п о мин а ю щу ю в о с ь м ер к у . Ни жн ий о в а л в о с ь м ё р к и больше верх нег о . В сво ю оч ер ед ь п л а с т и н к а и л и р е зо н ан сн ы й щит – э т о со ст авн ая кон стр укци я , с кл е ен н а я из о т д е ль ны х д о щ е ч е к д р е в е с и -

59

н ы . Ко лич е ство д о щ е ч е к о б ы ч н о – о т 5 д о 7. Кажд ая д о щ е ч к а п л у ч а е т с я п у т е м р ад и а ль но й р а спи ло в ки з аг о т о в о к . Н а п р а в л е н и е воло кон д р е в е с и н ы с о в м е щ а е т с я с н а п р а в л е н и е м струн . К наружной поверхности пластинки приклеена подставка для кр еп лен и я с т р у н . Н а р и с .3.1 о н а п о к а з а н а п у н к т и р о м . К в н у т р ен н ей п о вер х н о сти п л а ст и н ки п р и к л е е н ы п р у ж и н к и , п р и помощи к о т о р ы х р е г у л и р у е т с я ж ё с т к о с т ь деки и т е м с а м ы м о с у щ е с т в л я е т с я а к у с т и ч е с к а я н а с т р о й к а М И . Гео м етрия п р у жи н о к п о к а з а н а н а р и с.3 .1 , о сно вн ы е р аз м ер ы д ан ы в т аб л .1. Таблица 1 Размеры подкреплений, мм П1

П2

П3

П4

П5

П6

L

260

230

325

326

184

170

L1

80

55

65

55

0

40

L2

80

55

95

105

0

40

H

12

12

12

12

5,5

12

H1

6

2

5

8

5,5

6

H2

6

4

3

6

5,5

6

B

5

5

5

5

28

30

П р у ж и н к и пр ед ст авля ю т д е р е в я н н ы е б р у с к и п р я м о у г о л ь н о г о п опер е чно г о с е ч е н и я B х H , и м ею щи е по кр аям х ар а кт ер ны е ско сы . П р у ж и н к и у ст а н а вли в а ют ся по о б е с т о р о н ы р е зо н ато р но г о о т в е р сти я и п о д ст а вк и д л я с т р у н , п ер пенд и ку ляр но н а п р а в л е н и ю в о л о кон д р е в е с и н ы . Одн а из п р у ж и н о к у с т а н а в л и в а е т с я п о д угло м 1 0 º – 1 5 º . Пр ед ст ав ленн ая сх ема п о д к р е п л е н и я я в л я е т с я о д н о й и з н аи б о л ее р ас пр о стр ан ё нны х сх ем . По к о н т у р у п л а с т и н к а п р и к л е и в а е т с я к т о р ц а м контр о бечай ки . К о н т р о б е ч а й к а – с в о е о б р а з н ы й ф и г у р н ы й шп анго ут , ко то рый

60

30

278 85 ∅83

55

55

П1

П2

3

П3 П6

356

460

1 2

195 130

90

110

П4

10

80 345

L2

L1 L

Рис.3.1. Дека гитары модели 386-А

H2

Ребро жесткости ("пружинка")

H1

148

П5

61

о б е с п е ч и в а е т ж ё ст ко ст ь к о р п у с а и у в е л и ч и в а е т п л о щ а д ь конт акт а р а м к и с д е к о й и д н о м . В сво ю оч ер едь р а м к а к о р п у с а у с и л и в а е т с я д в у м я д е р ев я н н ы м и б р у с к а м и ( с м . з а ш т р и х о в а н н ы е о б л а с т и н а р и с .3.1) . В е р х н и й б р у с о к п р е д н а з н а ч а е т с я д л я кр епления г р и ф а . Р а с ч е т н а я сх ема д е ки пред ст авля ет ся в вид е д и н а м и ч е с к о й си ст емы с 9 6 6 8 ст еп ен я ми с в о б о д ы . И с п о л ь з у е т с я М КЭ . П л асти н к а р а з б и в а е т с я н а 9 9 0 т р е у г о л ь н ы х пло с ких К Э , п р у ж и н к и и п о д с т а в к а д л я струн – на 1 4 0 ст ержн ев ых К Э , сов м ести мых с п л о с к и м и КЭ . П р и н ц и п и а л ь н а я д и с к р е т н а я сх ема и з о б р а ж е н а н а р и с .2.1 . Кон е чн о - э л е м е н т н а я с е т к а с т р о и т с я симметр ично о т н о сит е льн о линии с и м м е т р и и д е к и . В о б л а с т и о тв ер сти я испо льзу ют ся б о л е е м е л к и е К Э . При м о д е л и р о в а н и и д е ки во зн икает п р о б л е м а сх емат из ации со единения д е к и с к о н т р о б е ч а й к о й . С э той ц е ль ю р е а л и з у ю т с я к ак шар нирное закр еп лени е , т а к и ж е с т к о е з а щ е м л е н и е д ек и по линии к о н т у р а . Ш а р н и р н о е з а к р еп л ен и е м о д е л и р у е т с я п у т ё м “ зап р е т а ” лин ейн ых п е р е м е щ е н и й ( u = v= w = 0) , з а щ е м л е н и е – ли н е й н ы х и у г л о в ы х п е р е м е щ е н и й ( u = v = w = θ 1 = θ 2 = 0). З д е с ь u , v , w , θ 1 , θ 2 – л и н е й н ы е п е р е м е щ е н и я и углы п о в о р о т а н о р ма л и в у з л о в ы х то чках , р а с п о л о ж е н н ы х по л и н и и к о н т у р а . 3 . 2 . У п р у г о е д е ф о р м и р о в а н и е д е ки: Ра счет и э к с п е р и м е н т Д е к а я в л я е т ся п р е д в а р ит е л ь н о напр яженной констру к цией . Н а т я ж е н и е с т р у н ко лками и н д у ц и р у е т н а ч а л ь н о е НД С . Исследу е м у п р у г о е д е ф о р м и р о в а н и е г и т а р н о й деки . Р а с с м о т р и м т р и вар и а н т а констру кции : в ар и ант 1 со о т в ет ст ву е т н еп о д кр еп ле н н о й сх еме , вар иант 2 – с и м м е т р и ч н о й сх еме , в ар и ан т 3 – а с и м м е т р и ч н о й сх еме п о д кр еп л ени я ( р ис .3.2) .

62

Н а о с н о в а н и и данных [61 ], п о лу ч е н н ы х для к л а с с и ч е с к о й гитары , п р и м е м следу ю щи е з н а ч ен и я си л п р е д в а р ит е л ь н о г о н ат я ж е н и я с т р у н : P 1 = 71 Н , P 2 = 72 Н, P 3 = 1 2 5 Н , P 4 = 1 0 5 Н , P 5 = 1 0 0 Н, P 6 = 1 0 5 Н, P 7 = 1 0 1 Н. З д е с ь н и ж н и й и н д е к с о б о з н ач а ет п о р я д к о вы й но мер с т р у н ы . Но мер а п р и св аи ва ют с я в п о р я д к е возр аст ани я – о т тонко й ( д и с к а н т о в о й ) к т о л с т о й ( б а с о в о й ) с т р ун е . От мети м , ч т о си ст ема в н е ш н и х с и л н е я в л я ет с я с и м м е т р и ч н о й . С у м м а р н а я н а г р у з к а , д е й с т в у ю щ а я на д еку со с т о р о н ы н а т ян у т ы х с т р у н , со ст авля ет 6 7 9 Н ( ~ 6 9 , 2 к Г ). Н а ч а л ь н о е НД С о п р е д е л я е т с я на о сно вании р е ш е н и я ( 2 . 1 9 ) . У п р у г и е сво й ств а д р е в е с и н ы о п и с ы в а ю т с я мод е лью о р т о т р о п н о г о т е л а . Ф и з и к о - м е х а н и ч е с к и е х а р а к т е р и с т и к и м а т е р и а л а в ы б и р ают ся из таб л .7 ( стр .88). П л а с т и н к а и з г о т о вл е н а и з р ез о н а н с н о й ели , п о д с т а в к а д ля стру н – из б у к а, п р у жи н к и – из со сн ы . Н а р и с . 3 . 3 п о к а з а н ы э п ю р ы п р о г и б о в , п о с т р о е н н ы е вдоль линии с и м м е т р и и п л а с т и н к и . Для з а щ е м л е н н о й и шар ни рно о п ё р т о й по лин ии к о н т у р а д ек формы п р о г и б о в полу чаю т с я п о д о б н ы м и и д о с т а т о ч н о близкими д р у г д р у г у . Это о з н а ч а е т , ч т о г р ан и чн ы е у с ло вия н а контур е ( ш ар н и р или з ад е лк а ) о к а з ы в а ю т с л а б о е в ли я н и е на п р о г и б ы п л а ст и н ки . Ч е р н ы м и кру жками н а р и с . 3 .3 о т м е ч е н ы п р о г и б ы д ек и 3 , сн яты е эк сп ери м ент а льно . Д ля и з м е р ен и й и с п о л ь з о в а л с я и н д и к а т о р ч асо вого т и п а . Ан ализ р е з у л ь т а т о в п о к а з ы в а е т , что ж ё ст ко ст ь н а и з г и б д еки 3 п о л у ч а е т с я б о л ь ш е , ч е м д е ки 1 – почти в 6 раз , и ч е м д ек и 2 – в 1 , 3 р а з а . О ц е н к а ж ё ст ко ст и п р о и з в е д е н а по вели чин е , обрат н о й м а к с и м а л ь н о м у п р о г и б у . М а к с и м ал ь н ы й п р о г и б д е ки 1 р ав ен 4 , 5 м м, что п р е в ы ш а е т т о л щ и н у п л а с т и н к и h = 3 м м. В э т о м слу ч ае взаимны е с м е щ е н и я кр о мо к о т в е р с т и я со ст ав ля ют о ко л о 4 м м.

63

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Рис.3.2. Варианты конструкций гитарной деки

1

W, 10-3 м P e

0

0,4

X1⁄L

0,6

0,2

0,8

5

1,0

-1

-2

-3

-4

-5

e = 0,01 м вариант 1 вариант 2 вариант 3 эксперимент вариант 1 (заделка) вариант 2 (заделка) вариант 3 (заделка)

Рис.3.3. Эпюра прогибов гитарной деки

64

Под кр е плени е деки р ё б р а м и ж ё ст ко ст и у м е н ь ш а е т п р о г и б ы и вы р а в н и в а е т фор му д е ф о р м и р о в а н и я . Т а к и м о б р азо м , п р у ж и н к и о б е с п е ч и в а ю т д о п о лн и т е ль н у ю ж ё ст ко ст ь , п р е д о х р а н я я д е ку о т б о л ь ш и х п р о г и б о в п о д д е й с т в и е м си л п р е д в а р и т е л ь н о г о н а т я ж ен и я стр у н . 3 . 3 . Т е с т и р о в а н и е . Р а с ч ё т пл астино к С ц е л ью оценки т о ч н о ст и р а с ч ё т н о й мод е ли М К Э р а с с м о т р и м ряд з ад а ч ст ат ики , д и н а м и к и и у с т о й ч и в о с т и п л а с т и н о к . Р а с ч ё т н ы е п ер е м е щ ен и я , соб с тв енны е ч ас т о т ы и кр и т и ч е с ки е н а г р у з к и , с о о т в е т с т в у ю щ и е п о т е р е у с т о й ч и в о с т и , сопо ст ави м с д а н н ы м и известных аналитических и численных решений. Исследуем сход и м о с т ь п р и б л и ж е н н ы х р е ш е н и й М К Э к то чны м а н а л и т и ч е с к и м р е ш е н и я м. 3 . 3 . 1 . З а д а ча с т а т и к и Рассмотрим

изгиб

к в ад р атно й

пластинки

со

стороной

a = 0,4 м , т о л щ и н о й с т е н к и h = 2 ⋅1 0 - 3 м п о д д ей ст ви е м р а сп р ед е ленной н а г р у зк и инт ен си вно ст и q = 1 2 , 5 ⋅к Н/ м 2 . При о п и с а н и и у п р у г и х с в о й с т в и с п о л ь з у е м д в е р а с ч е т н ы е мод е ли м а т е р и а л а : • И з о т р о п н о е т е л о ( Е = 2 0 0 Г П а, ν = 0 , 3 ) . • Ортотро пное т е ло ( Е 1 = 2 0 Г П а,

Е 2 = 2 0 0 Г П а,

ν 1 2 = 0,03,

ν 2 1 = 0 , 3 , G 1 2 = 2 8 6 , 2 Г П а) . Н а р и с. 3 . 4 и з о б р а ж е н а р а с ч е т н а я сх ема п л а с т и н к и , шарнир н о - о п е р т о й по к о н т у р у . В т аб л . 2 п р е д с т а в л е н ы р е з у л ь т а т ы р а с ч е т о в. Н а р и с .3.5 и 3 . 6 по казаны г р а ф и к и с х о д и м о с т и , по лученные для и з о т р о п н о г о м а т е р и а л а .

65

x3 x1

q

x2

Рис.3.4. Пластинка, шарнирно-опертая по контуру

Таблица 2 Число КЭ

Изотропное тело

Ортотропное тело

w,⋅10-3 м

M1, (Нм)/м

w,⋅10-2м

M2, (Нм)/м

2

1,96

1,4

0,509

1,4

4

4,57

3,9

1,16

7,3

8

7,69

6,7

1,85

12

16

8,05

7

2,05

12,1

24

8,06

8,1

2,06

12,3

36

8,52

9,3

2,08

14,7

50

8,87

9,5

2,11

16,2

Решение [126]

8,87

9,58

2,14

19,3

66 -3

w , 10 м

Аналитическое решение [126]

10

8

6

4

2

Число КЭ 0 0

10

20

30

40

50

60

Рис.3.5. Зависимость прогиба w от числа КЭ

М1, Hм/м

12

Аналитическое решение [126]

10 8 6 4 2 Число КЭ 0 0

10

20

30

40

50

Рис.3.6. Зависимость изгибающего момента M1 от числа КЭ

60

67

Ко н ст а т и р у е м , п р и чи сле К Э N = 36 р а с ч е т н ы е п е р е м е щ е н и я и у си ли я о т л и ч а ю т с я о т р е з у л ь т а т о в а н а л и т и ч е с к о г о р е ш е н и я [ 1 2 6 ] м е н е е ч е м н а 3 %. 3 . 3 . 2 . З а д а ча д и на м ик и Выпо лним р а сч ет с о б с т в е н н ы х ч ас т о т к в ад р а т н о й п л а с т и н к и , жестко з а щ е м л е н н о й п о конту р у ( р и с .3.7) . С т о р о н а п л а с т и н к и a = 0 ,4 м , то лщино й ст ен ки h = 10 - 2 м, п л о т н о с т ь м а т е р и а л а .

ρ = 8 1 0 3 кг / м 3 . И с п о л ь з у е м д в е мод е ли м а т е р и а л а : • И з о т р о п н о е т е л о ( Е = 1 9 8 Г П а, ν = 0 , 3 ) . • Ортотро пное т е ло ( Е 1 = 1 9 , 8 Г П а, Е 2 = 1 9 8 Г П а , ν 1 2 = 0,03,

ν 2 1 = 0 , 3 , G 1 2 =7 Г П а , G 1 3 = 1 9 , 6 = 1 9 , 6 Г П а) Д л я д и с к р ет и з а ц и и п л а ст и н ки и с п о л ь з у е м р ег у ляр ну ю ко н еч н о - э л е м е н т н у ю сетку с чи сло м КЭ N = 2 5 6 . Р е з у ль т аты вы чи слен и й со п о ст ави м с д ан н ы ми к л а с с и ч е с к и х р е ш е н и й , п о л у ч е н н ы х н а о сно ве д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й с о б с т в е н н ы х колеб ан и й : для и з о т р о п н о г о м а т е р и а л а

∂ 4 w/ ∂ x 4 + 2 ∂ 4 w / ∂ x 2 ∂ y 2 + ∂ 4 w/ ∂ y 4 + ρ h ∂ 2 w / ∂ t 2 = 0 ,

(3 .1)

для о р т о т р о п н о г о м а т е р и а л а D 1 1 ∂ 4 w / ∂ x 4 + 2 D 1 2 ∂ 4 w/ ∂ x 2 ∂ y 2 + D 2 2 ∂ 4 w/ ∂ y 4 + ρ h ∂ 2 w/ ∂ t 2 = 0 ( 3 . 2 ) З д е с ь w ( x, y, t) – н о р м а л ь н ы й п р о г и б ; D 1 1 и D 2 2 – ц и л и н д р и ч ес к и е ж е с т к о с т и в г л а в н ы х осях упругости ; D 1 2 – с м е ш а н н а я жест ко ст ь .

Главные

н а п р а вл ен и я

упругости

совмещаются

с

напр авлениями к о о р д и н а т н ы х о с ей x 1 и x 2 . Д л я п л а ст и н ки , з а щ е м л е н н о й п о кон ту р у , сог л асно ан алити ч ес к и м р е ш е н и я м (3 .1) и (3.2) , ч а сто т ы с о б с т в е н н ы х колеб ан и й о п р е д е л я ю т с я ф о р м у л о й [22 ]:

ωj = αj

π2 a

2

D11 , ρh

( 3 .3 )

68 x2

a

x1 a Рис.3.7. Пластинка, защемленная по контуру

Таблица 3 m

n

Наше решение

Решение АM[22]

Решение [164]

1

1

3,647

3,556

3,646

1

2

7,452

7,386

7,437

2

1

7,452

7,386

7,437

2

2

10,941

10,889

10,965

1

3

13,420

13,337

13,393

3

1

13,485

13,337

13,393

2

3

16,695

16,656

16,717

3

2

16,695

16,656

16,717

3

3

22,146

22,222

−

71

4

21,615

21,313

−

4

1

21,615

21,313

−

2

4

24,621

24,540

24,631

4

2

24,735

24,540

−

3

4

29,838

29,960

−

4

3

29,838

29,960

−

4

4

37,177

37,556

−

69

г д е α j − б е з р а з м е р н ы й коэффи циен т для j - о й с о б с т в е н н о й фо рмы ( j = 1, 2,.., p ), p – ч и с л о р а с ч е т н ы х со бст в енн ы х ф о р м . В с л у ч а е изотропного тела D11 = D. В т аб л . 3 п р е д с т а в л е н ы р а с ч е т н ы е ко эффиц и е нты α j для п ер вых 1 6 ф о р м ко лебаний и з о т р о п н о й п л а ст и н ки , в т аб л . 4 – для о р тотропной

пластинки

(учитываются

первые

11

собственных

ф о р м ). В е л и ч и н ы m и n − ц е л ы е чи сла , о п р е д е л я ю щ и е фор му ко л е б а н и й . Р е з у л ь т а т ы в ы ч и с л е н и й с о п о с т а в л е н ы с данными к л а сси ч е ско г о

решения [2 2 ],

полученного

асимптотическим мето-

д о м ( А М) и р е ш е н и я [ 1 6 4 ] , вы полн енн о го в д в о й н ы х тригономет р и ч е с к и х р я д а х ( р а с с м а т р и в а л и с ь п ер в ы е ш е с т ь ч л ен о в р яд а) . Из со п о ст авит ельного ан али з а д ан н ы х таб л .3 след ует , чт о пер вая р а с ч е т н а я соб с тв енн а я часто т а о т л и ч а е т с я о т ан алит ич ес к о г о р е ш е н и я [164] н а 0 , 0 3 % . Д ля вы сших ч а сто т э т о р а з л и ч и е со ст ав ля ет м е н е е 0 , 1 % . П р и ч е м , полу ченно е р е ш е н и е МКЭ о к азывает ся б ли ж е к [164], ч е м к л а с с и ч е с к о е р е ш е н и е А М [2 2 ]. Таблица 4 m

n

Наше решение

Решение АМ [22]

1

1

7,654

7,570

2

1

10,147

9,971

3

1

15,504

14,936

1

2

19,725

20,137

2

2

21,334

21,587

4

1

23,857

22,249

3

2

25,062

25,060

4

2

31,754

30,898

1

3

37,678

39,064

2

3

38,942

40,300

3

3

41,943

42,965

70

В сво ю оч еред ь , и з т аб л.4 вид н о , ч т о р а сч е тн а я п ер в а я соб ст венн ая ч ас т о т а п л а с т и н к и из о р т о т р о п н о г о м а т е р и а л а о т л и ч а е т с я о т а н а л и т и ч е с к о г о р е ш е н и я [2 2 ] н а 1 %. Д ля в ы с ш и х ч а сто т разли чи е р езу л ьт а то в н е п р е в ы ш а е т 4 %. 3 . 3 . 3 . З а д а ча у с то й ч и в о с т и Проведём анализ влияния мембранных усилий на изгибную жесткость стенки. Для этого рассмотрим задачу устойчивости равновесия тонкой пластинки под действием сжимающих внешних нагрузок. Для решения задачи воспользуемся у р а в н е н и е м ( 2 . 3 6 ) , в к о т о р о м [ R ] – м а т р и ц а гео м етр и ч е ско й ж е ст ко сти , и л и н ач а л ьн ы х н а п р я жен и й . Он а у ч и т ы в а е т вли ян и е м е м б р а н н ы х усилий н а и з г и б н у ю ж е с т к о с т ь ст ен ки . О ч е в и д н о , п р и д о с т и ж е н и и с ж и м а ю щ и м и н агрузками некоторых определенных значений матрица жесткости [ C- R ] о к аж ет ся в ы р о ж д е н н о й . Это у с ло ви е с о о т в е т с т в у е т п о т ер е у ст о й чи во с т и т и п а д и в е р г е н ц и и по п е р в о й со бст в енн о й ф о р м е ( и з г и б н о й фор м е р а в н о в е с и я) . Т а к и м о б р азо м , в а р ь и р у я в н е ш н и е н а г р у з к и и о п р е д е л я я со о т в ет ст ву ю щи е им соб ст в енны е ч а сто т ы , н ах о д и м т а ки е з н а ч е н и я , д л я к о т о р ы х н и з ш а я собств енн а я ч а сто т а о б р а щ а е т с я в н у л ь. По лученные з н а ч е н и я с о о т в е т с т в у ю т кр и т и ч е с ки м н а г р у з к а м . Р а с с м о т р и м к в ад р атну ю п л а с т и н к у с о с м е ш а н н ы м и Г У н а ко н ту р е : с т о р о н ы x 1 = 0 и x 2 = а – жестко з а щ е м л е н ы , две д р у г и е – ш а р н и р н о о п е р т ы по к о н т у р у ( р и с.3 .8). П л а с т и н к а с ж и м а е т с я в напр авлении оси х 1 р а с п р ед е л е н н о й н а г р у зк о й инт ен си вно сти q ( имеет место о д н о о с н о е сж ат ие ) . П л о с к о с т ь д ей ст ви я вн ешн ей нагрузки с о в м е щ а е т с я со ср единн о й п о в е р х н о с т ь ю п л а с т и н к и . Н а г р у з к а п р едпо лагает ся " мёр тво й " . Размеры

п л а с т и н к и : с т о р о н а a = 0 ,4 м; т о л щ и н а h = 1 0 - 2 м.

71

x2

q

q

x1 Рис.3.8. Расчетная схема пластинки

Таблица 5 Число КЭ

qкр,⋅106 Н/м

4

345,312

16

13,391

64

6,498

256

6,158

Аналитическое решение [2]

6,205

qкр, МН/м

40

30

20 Аналитическое решение [2]

10 6,205

Число КЭ 0 0

50

100

150

200

250

Рис.3.9. Зависимость критической нагрузки qкр от числа КЭ

72

Моду ль у п р у г о с т и м а т е р и а л а Е = 1 9 8 Г П а , ко эффициент П у а с с о на ν = 0,3. В т аб л.5 и н а р и с .3.9 пр ед ст авлен ср ав нит ельн ый ан ализ р езу л ьт ат о в р ас ч ет а М К Э с д а н н ы м и к л а с с и ч е с к о г о р е ш е н и я [2 ], п о л у ч е н н о г о п у т е м и н т е г р и р о в а н и я д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в н ен и я и зг и б а п р я м о у г о л ь н о й п л а с т и н к и м е т о д о м Г а л е р к и н а . Н а о сн о в е ан ализ а д е л ае м в ы в о д : п р и у в е л и ч е н и и чи сла К Э и м ее т м есто сх о д и мо ст ь чи слен ного р е ш е н и я к точно м у а н а л и т и ч е с к о м у р е ш е н и ю [2 ]. П р и ч е м, как и с л е д о в а л о о ж и д а т ь , с х о д и м о с т ь н аб л ю д а е т с я "с в е р х у " . Это т р езу л ь тат о б ъ я с н я е т с я т е м , ч т о р а сч е т н а я мод е ль М К Э п р и к р у п н о й с е т к е , п о стро ен ная н а о сно ве н ез ави си мой и н т е р п о л я ц и и пер е мещений ( 2 .2 ) и д е ф о р м а ц и й ( 2 . 1 3 ) , п о л у ч а е т с я б о л е е ж е ст ко й , ч е м р е а л ь н а я кон стру кци я . При чи сле КЭ N = 64 о т н о с и т е л ь н а я о ши б к а с о с т а в л я е т 4 , 5 %, п р и N = 256 – 0,76%. В п р и л о же н и и 1 п р и в е д е н ы д о п о л н и т е л ь н ы е р е зу л ьт ат ы р а сч ёт о в т о н к и х п л а с т и н о к п р и р аз ли чны х ГУ н а контур е . Р езу л ьт аты р а с ч е т о в М КЭ соп о ст авлены с д а н н ы м и к л а с с и ч е с к и х р е ш ен и й . По лученн ые д ан н ы е п о д т вер жд а ют до ст овер ность р а с ч е т н о й мод е ли М КЭ . Вы вод ы по г л а в е 3 1 . Пр ед ст авлен а р а сч е тн а я м о д е л ь деки к л а с с и ч е с к о й г и т а р ы . Д л я сх емати з ац ии деки испо льзованы 9 9 0 т р е у г о л ь н ы х п л о с к и х и 1 4 0 ст ержн евы х КЭ . Р а сч е тн а я м о д ел ь р е али зов ан а в вид е п р о г р а м м н о г о ко мп лекса д л я Э ВМ . 2 . В з ав и с и мо ст и о т н а т я ж е н и я с т р у н ко лками и сследо в ано у п р у г о е д е ф о р м и р о в а н и е д е ки . Д л я т р ё х вар и антов ко нстру кц и й

73

п о д кр еп л ени я п о стро ен ы эпюр ы п р о г и б о в. Р е з у ль т аты вычи сле н и й п о д тв ер жд а ют ся д а н н ы м и э к сп ери м ент а . У с т ан о в л е н о : • Сх ема п о д кр еп л ени я о к а з ы в а е т с у щ е с т в е н н о е вли ян и е н а ж ё с т к о с т ь д ек и . • ГУ по л и н и и к о н т у р а ( шарнир или з а д е лк а ) о к а з ы в а ю т с л а б о е в ли я н и е на фор м ы п р о г и б о в. 3. Н а п р и м ер е зад а чи и з г и б а тонкой п л а с т и н к и и с с л е д о ван а т о ч н о ст ь р а с ч е т н о й мод е ли М К Э . Пут е м сопост ав ит ельного ан ализ а п а р а м е т р о в НД С п о к а з а н о , что с у ме н ь ш ени е м р а з м е р о в КЭ и м е ет м е с т о с х о д и м о с т ь п р и б л и ж е н н ы х р е ш е н и й М КЭ к т о чному а н а л и т и ч е с к о м у р е ш е н и ю Ти мо шен ко . Д ля по лу чения п р и е м л е м о й точно сти по н а п р я ж е н и я м ( о ши б к а в пред елах 3 %) т р еб у е т с я б о л е е м е л к а я к о н е ч н о - э л е м е н т н а я с е т к а , ч е м по п ер е м е щениям. 4.

Рассмотрены

собств енны е

колеб ани я

т о н к о ст е н н о й

п р я м о у г о л ь н о й п л а с т и н к и п р и р аз ли чн ы х г р а н и ч н ы х у с ло ви ях н а к о н ту р е . Р е з у л ь т а т ы в ы ч и с л е н и й М КЭ сопо ст авлены с к л а с с и ч е с к и м и р е ш е н и я м и Б о л о т и н а и Игути . У с т а н о в л е н о , пр и чи сле К Э

N = 2 5 6 имеет место х о р о ш е е их в з а и мно е с о о т в е т с т в и е . Д ля пер вых ш е с т н а д ц а т и фо рм ко лебани й р аз ли чи е соб ст в енных ч а ст о т со ст ав ля ет м е н е е 1 %. 5. Пров ед ен ан ализ в л и я н и я м е м б р а н н ы х у с и л и й н а и зг и б н у ю ж е с т к о с т ь с т е н к и . С эт ой ц ел ь ю р а с с м о т р е н ы зад а чи у сто й чи во сти р а в но в ес ия тонких пластин п р и р а з л и ч н ы х г р ан и чн ы х у с л о в и я х и сх емах н а г р у ж е н и я . Опр ед е лены у с ло ви я с х о д и м о с т и п р и б л и ж е н н ы х р е ш е н и й М КЭ . При ч и с л е К Э N = 64 р а с ч е т н ы е кр и т и ч е с ки е

нагрузки,

со о тв е тст ву ю щи е

первой

собственной

ф о р м е , дост ато чно х о р о ш о сог л асуют с я с р ез у ль т ат а ми т о ч н ы х ан алити ч еских р е ш е н и й . С х о д и м о с т ь р е ш е н и я " св ерх у " о з н а ч а е т ,

74

что р а с ч е т н а я мод е ль М КЭ пр и к р у п н о й с е т к е п о л у ч а е т с я б о л е е жесткой , ч е м р е а л ь н а я констру к ция . 6. Н а о сн о в а н и и ан али за р а с ч е т н о й модели М КЭ з а к л ю ч ае м : д ля по лу чения д о сто в ер ных р ез у ль т ато в н ео б х о д и мо п о стро ени е

ад ек ватных

к о н еч н о - э л е м е н т ны х

сх ем.

Ад екв атны е

сх емы о п р е д е л я ю т с я н а о с н о в е в а р и а н т н о г о ан ализ а п у т е м и сс л е д о в а н и я сх о д и мо ст и р е ш е н и й . При р а с ч е т е п л а с т и н о к п р и п о мо щи о б о л о ч е ч н ы х К Э Попо в а [1 , 104 ] с л е д у е т с т р о и т ь р яд а л ьт е р н а т и в н ы х д и с к р е т н ы х сх ем и п у т е м сопо ст ав ит ельного ан али за р езу л ьт ато в в ы б и р а т ь а д е к в ат ну ю сх ему .

75

4. Э к спер им ентал ь но е и с с л е д о в а н и е м е х а н и ч е с к и х к о л е б а н и й гитар но й д ек и В н а сто я щ ей г л ав е п р и в е д е н ы р е з у л ь т а т ы р а с ч ё т н о - эксп е р и м е н т а л ь н ы х и с с л е д о в а н и й . Пред ст ав лены методики и з м е р е н и й с о б с т в е н н ы х ф о р м и ч а сто т , к о н ст ан т д е м п ф и р о в а н и я , а мп ли т у д в ы н у ж д е н н ы х к о л еб ан и й . Опр е делены физи ко - м е х а н и ч е с к и е х ар а к т е р и с т и к и к о н с т р у к ц и о н н ы х мат ер иалов , у ст ано в л ены пор о ды д р е в е с и н ы . По стро ены а мп ли т у д н о - ч а сто т н ы е х ар а к тер и с ти ки . Рез у льтаты ф и з и ч е с к и х эк сп ер имен тов сопо ст ав лены с д а н н ы ми р а с ч ё т о в М КЭ . И с с л е д о в а н о в ли я н и е а к у с т и ч е с к о й в н у т р е н н е й поло сти и стр у н на сп ектр колеб ан и й д е к и . Исп о льзов а ли сь ультразвуковой

метод ,

метод

электротензометрии,

методика

Х л а д н и и ц и ф р о во й с п е к т р а л ь н ы й ан ализ [ 7 4 , 1 2 3 , 1 4 6 , 1 4 7 ] . 4 . 1 . Э к с п е р и м е н т а л ь н а я у с та но в ка С ц е ль ю и с с л е д о в а н и я д и н а м и ч е с к и х сво йств г и т а р н о й деки б ы л а с п р о е к т и р о в а н а и и з г о т о в л е н а с п е ц и а л ь н а я у ст ано вк а , о сн о в н ы м и ч а ст я ми к о т о р о й я в л я ю т с я : си ст ема возбу ж дени я к о л еб а н и й , к о р п у с М И ( г и т а р ы ) и контро льно - и з м ер и т е л ь н а я апп ар атура. Н а р и с . 4 . 1 п о к а з а н о б щ и й вид у с т а н о в к и . Кор пус г и т а р ы ( б ез г р и ф а и с т р у н ) жестко со един ен с и сп ы т а т е л ь н ы м сто ло м ( 3 н а р и с .4.1) . К о н с т р у к ц и я со единения и ск лю ч а ет возм о ж ные д в и ж ен и я к о р п у с а о т н о с и т е л ь н о п ло с ко с т и с т о л а . Си ст ема возбу ж дени я к о л еб ан и й в к л ю ч а ет : в и б р о с т е н д э л е кт р о д и н а м и ч е с к и й ВЭД С - 1 0 А ( 1 на р и с.4 .1) и ц е н т р о б е ж н ы й в и б ратор ( 2 на р и с .4.3) . Возбу ж дени е н а д е ку п е р е д а е т с я о т в и б р ат о р а по ср ед ст в о м сп ец иальной тр ав ер сы (1 н а р и с .4.3) .

76

1

2

3

Рис.4.1. Общий вид экспериментальной установки (1 – вибростенд; 2 – тензометрический усилитель; 3 – стол испытательный)

1

2

Рис.4.2. Приборы для измерений (1 – частотомер; 2 – осциллограф)

77

1 3

2

Рис.4.3. Система возбуждения колебаний (1– траверса; 2 – вибратор; 3 – тензометрический динамометр)

1

2

Рис.4.4. Тензометрический динамометр (1 – тензорезистор; 2 – акселерометр)

78

Д л я и з м е р ен и я вынужд ающих си л р а з р абот ан с п е ц и а л ь н ы й коль ц е в о й динамо метр , и л и у п р у г о е " т е н з о к о л ь ц о " (3 на р и с.4 .3). Д и а м е т р кольц а d = 56 м м , т о л щ и н а ст енки h = 1,5 м м, вес – 2 3 г . Н а в н у т р е н н ю ю поверх ность к о л ь ц а н а кл еи в а ли с ь п р о в о л о ч н ы е т е н з о р е з и с т о р ы к о н с т р у к ц и и Ц Н И И С К с б аз о й 1 0 м м ( р и с. 4 . 4 ) . Д л я э т о г о и с п о л ь з о в а л с я ц и а к р и н о в ы й к л ей . Т а р и р о в к а ко льц ев о г о динамо метра в ы п о л н я л а с ь п у т е м п р о в е д е н и я с а м о с т о я т е л ь н о г о э к спери м ен та . Для определения виброускорений применялся миниатюрный пьезоэлектрический

д ат чи к

KD-91

(Metra

Meß

−

und

F r e-

q u e n z t e c h n i k R a d e ß e u l ) , или а к с е л е р о м е т р ( 2 на р и с.4 .4 ). В е с д ат чи ка 1 , 8 г . Д а т ч и к ж е с т к о з а к р е п л я л с я на п о в е р х н о с т и деки . Д ля этого и с п о л ь з о в а л а с ь сп еци а льн а я з а ма з к а . От мети м , что к о л ь ц е в о й д и н а м о м е т р и т р а в е р с а р а с с ч и т а н ы н а д о р е зо н ан сн ы й р е ж и м р аб о ты . Г ео м етр и ч е с ки е и ж е с т к о с т н ы е пар а метры ко льца и тр авер сы п о д о б р а н ы т а к , ч т о их со бст в енн ы е ч ас т о т ы р а с п о л о ж е н ы вы ше и с с л е д у е м о г о ди ап азо н а часто т , т.е . вы ше 5 6 0 Гц . Д л я р ег и стр ац и и р е з у л ь т а т о в м е х ан и ч е с к и х и с п ы т а н и й и спользо вались

ч еты р ех к ан ал ьн ы й

тензометрический

у си ли т е л ь

4 А Н Ч- 2 2 ( 2 на р и с .4.1) , ч а сто т омер э л е к т р о н н о- с ч е т н ы й Ч3 - 3 4 ( 1 н а р и с. 4 . 2 ) и ц и ф р о в о й з а п о м и н а ю щ и й о сци л ло г р аф С9 - 8 ( 2 н а р и с .4.2) . 4 . 2 . Анализ с о б с тв е н н ы х фор м . Ф и г у р ы Х л а дн и Д л я и сследов ан ия н и з ш и х соб с тв енных фор м к о л еб ан и й и с п о л ь з о в а л а с ь классич еск ая м е т о д и к а Х л а д н и [ 1 5 6 ] . П о в е р х н о с т ь д ек и п о к р ы в а л а с ь т о н ки м с л о е м мелко з ерн и сто г о п е с к а . П е с о к о к р а ш и в а л с я в с и н и й ц ве т . З ат е м в к л ю ч а л с я в и б -

79

ратор . При колеб ани ях на р езо нансных ч а с т о т а х песо к с м е щ а л с я в о б л а с т и , при л ег аю щие к у з л о в ы м л и н и я м . Это с в я з а н о с т е м , что п р о г и б ы н а у з л о в ы х л и н и я х п р и к о л еб ан и я х п л а с т и н к и б ли зки к ну лю . П о л у ч е н н ы е песо чные к а р т и н ы но сят н а з в а н и е фиг у р Хладни. Н а р и с .4.5, с и н и м ц в ет о м , и з о б р а ж е н а ф и г у р а Х л а д н и д л я д еки б е з п о д к р еп л е н и й , на р и с . 4 . 6 – д ля д еки с п о д к р еп л ен и я ми . Кон стру кци я п о д к р еп л е н и я п о к а з а н а н а р и с .3.1. Пр ед ст авлен н ые ф и г у р ы Х л а д н и со о т в ет ст ву ю т н и з ш и м с о б с т в е н н ы м ф о р м а м . В пер во м с л у ч а е ( д е к а без п о д к р еп л ени й ) – частот а в о з б у ж д е н и я

ν 1 = 85 – 87 Гц , в о в т о р о м ( д е к а с п о д кр еп л ени я ми ) – ν1 = 116 – 120 Гц. Изобр а жения п о лу ч е н ы п р и по мо щи ц и ф р о в о й ф о т о к а м е р ы и о б р а б о т а н ы н а ко мп ьют ер е . З а ф и к с и р о в а т ь и з о б р аж е н и е б о л е е высо ких соб ст в енных ф о р м о к аз а ло с ь з а т р у д н и т е л ь н ы м . Д е ло в т о м , что п р и ви браци ях н а б о л е е вы со ких ч а ст отах ( f > ν 1 ) п е со к быстро о с ы п а л с я с п о в е р х н о с т и деки . П е с о ч н ы й "у з о р " и м е л р а сп л ы в ч а т ы е о ч ер тан и я и п р о с м а т р и в а л с я в чр езвычай но к о р о т к и й п р о м е ж у т о к вр емени . С о п о с т а в и т е л ь н ы й ан ализ ф игу р Х л а д н и, пр ед ст авлен н ых н а р и с .4.5 и 4 . 6 , п о к азы в а ет , что у си л ени е ст ен к и р е б р а м и ж е ст ко сти в и д о и з м е н я е т н и з ш у ю фор му ко лебани й . Д л я д ек и с п о д к р е п л е н и я м и у з л о в ы е л и н и и р а с п о л о ж е н ы б л и ж е к контур у п л а с т и н ки , ч е м для деки б ез п о д к р еп л е н и й . Фор м а колеб ан и й п о д к р е п ленной деки со о т в ет ст ву ет конфигу р ации контур а п л а с т и н к и . Фор м а к о л еб ан и й н еп о д кр еп ле н н о й д е к и скор ее напо минает о ва л . Фор мы с о б с т в е н н ы х ко лебаний ( р и с . 4 . 5 и 4.6), п о м и м о мето дики Х л а д н и , о ц ени в а ли с ь к а ч ес т в ен н о п р и помо щи а к с е л е р о м е т р а . Акселер ометр п о следов ат ельно у ст ан а вли в а л с я в р а з ли чн ы х то чках п о в е р х н о с т и д ек и . В к а ж д о й то чке ф и к с и р о в а л с я

80

Рис.4.5. Первая форма колебаний деки без подкреплений

Рис.4.6. Первая форма колебаний деки с подкреплениями

81

сдвиг фаз д в у х г ар мо н ич е с ки х сигн алов: сиг нала ак селеро м етр а о т н о с и т е л ь н о с и г н а л а динамо метр а . О ч е в и д н о , колебани я о б л а стей д ек и , р аз д е л е н н ы х у з л о в ы м и линиями , н ах о д ят с я в п р о т и в о ф а з е. Р е зу л ьт ат ы и с п о л ь з о в а н и я д ву х м е т о д и к ан алоги чны . 4.3.

Построение

АЧ Х

и

определение

к о н с та н т

демпфирования Исследу е м п о в е д е н и е г и тар н о й деки п р и мо но гар мони ч еско м си лово м возбу ж дени и . С ч и т а е м , что в ы н у ж д а ю щ а я с и л а и з м ен я ет ся п о закону F( t) = F 0 sin Ω t ,

( 4 .1 )

г д е F 0 и Ω – а м п л и т у д а и к р у г о в а я ч а сто т а со о т в ет ст ве н н о . Вы нужд аю щу ю си лу п р и к л а д ы в а е м в т р е х р а з н ы х т о ч к а х ( р и с.4 .7) , эти м с а м ы м у м е н ь ш а е м в е р о я т н о с т ь п о п а д а н и я т о ч к и воз бу жде н и я н а у з л о в у ю л и н и ю. Н а п р а в л е н и е в е к т о р а си лы с о в м е щ а е м с п е р п е н д и к у л я р о м к п ло с ко с т и деки .

1 2 3

Рис.4.7. Точки возбуждения колебаний

82

Н а к а ж д о й ч ас т о т е во збужд ен и я ф и к с и р у е м а м п л и т у д ы вы нужд аю щих си л F 0 и а м п л и т у д ы в и б р о у с к о р е н и й a 0 . В и б р о у с к о р е н и я и зм ер я е м в непо ср едственной б ли зо с ти о т т о ч к и во зб ужд е н и я к о л еб ан и й . По н и м р а с с ч и т ы в а е м п р и в е д е н н у ю а м п л и т у д у q0 =

ka0 , F0 f 2

( 4 .2 )

г д е k =1 0 4 − м а с ш т а б н ы й м но жи тель , f − ч а сто т а к о л е б а н и й в Г ц . Т а к и м о б р азо м , с ш а г о м 2 – 3 Гц и с с л е д о в а л с я ч а сто т н ы й д и ап а з о н о т 8 0 д о 5 6 0 Гц . В о б л а с т и р е зо н ан со в шаг п о ч ас т о т е умен ьшался . О т д е л ь н о р а с с м а т р и в а л а с ь д е к а с п о д к р еп л ен и я ми ( р и с .3.1 ) и д е к а б е з п о д к р еп л е н и й . Р езу л ьт аты и з м е р е н и й в в и де А Ч Х пр ед ст авлены н а р и с . 4 . 8 – 4 . 1 3 с п л о ш н о й л и н и е й . С л е д у е т и м е т ь в виду , ч т о на к а ч ес т в о э л е м ент о в к о р п у с а М И с у щ е с т в е н н о е в ли я н и е о к а з ы в а е т д е м п ф и р о в а н и е . Вви д у мног о образия и сложности физических процессов, связанных с рассеян и е м эн ергии , д о сто в ер ная и н ф о р м а ц и я о х ар ак тер и с ти к ах д е м п ф и р о в а н и я к о н с т р у к ц и и , как п р ав и ло , о т с у т с т в у е т . Приб ли женн ы е о ц е н к и п о лу ч а ют с я г л ав н ы м о б р а з о м э к сп ери м ент а льн ы м путем. Из в е стн ы два о сно вны х эк сп ер имен тальных м е т о д а о п р ед ел е н и я к о н ст ан т д е м п ф и р о в а н и я : м е т о д с о б с т в е н н ы х затух аю щ и х колеб ан ий [ 1 8 0 ] и м е т о д в ы н у ж д е н н ы х колеб ан и й ( и ли р е з о н а н сн ы й метод ) [ 4 0 , 7 8 , 1 2 0 ] . В о в т о р о м с л у ч а е х ар а кт ер и ст и ки д е м п ф и р о в а н и я по лучаются н а о сно в е и з м е р ен и й о д н о г о и з с л едующих параметров: • шири ны п о л о с ы р ез о н а н с н о й к р и в о й ; • а м п л и т у д ы д и н а ми ч е ск и х п е р е м е щ е н и й п р и р ез о нан с е; • пло щ ади п ет ли гист ер ези са .

83 q0, м/H

500

ν1

400 300 200 100

ν3

15

ν9

12

ν4

9

ν10 ν11

6

ν6

ν5

ν13

3

f, Гц

0 40

80

120

160

200

280

240

320

360

400 440

480

520

560

Рис.4.8. АЧХ деки без подкреплений (возбуждение в точке 1) q0, м/H

21

ν3

18 15 12

ν1

ν2

9 6

ν5 3 f, Гц

0 80

120

160

200

240

280

320

360

400

440

480

520

560

Рис.4.9. АЧХ деки c подкреплениями (возбуждение в точке 1)

84 q0, м/H

300

ν1

250 200 150 100 50

ν3 9

6

ν6 ν4

3

ν5

ν13 f, Гц

0

40

80

120

160

200

240

280

320

360

400 440

480

520

560

Рис.4.10. АЧХ деки без подкреплений (возбуждение в точке 2) q0, м/H

21 18

ν1

15 12 9

ν3

6

ν5 3

ν2

f, Гц

0 80

120

160

200

240

280

320

360

400

440

480

520

560

Рис.4.11. АЧХ деки с подкреплениями (возбуждение в точке 2)

85 q0, м/H

150

ν1

120 90 60 30

ν5

ν3

9

ν6 ν4

6

ν9

3

ν12 f, Гц

0 40

80

120

160

200

240

280

320

360

400

440 480

520

560

Рис.4.12. АЧХ деки без подкреплений (возбуждение в точке 3) q0, м/H

21 18 15

ν1 12 9 6

ν2

3

ν5

f, Гц

0 80

120

160

200

240

280

320

360

400

440

480

520

560

Рис.4.13. АЧХ деки c подкреплениями (возбуждение в точке 3)

86

Для о п р е д е л е н и я х а р а к т е р и с т и к д е м п ф и р о в а н и я во спо л ьзу емся А Ч Х н а р и с . 4 . 8 – 4 . 1 3 . Д е м п ф и р у ю щ у ю с п о с о б н о с т ь д е ки о ц е н и в а е м и н т е г р а ль н о по шир ине по лосы пер вого “ п и к а ” р е зо нансно й кривой ( по первому т о н у колебаний ) . На р и с .4.14 д а н а сх ема , п о я с н я ю щ а я п р о ц е д у р у о б р а б о т к и А Ч Х . З д е с ь q 0 – р ез о н ан сн а я а м п л и т у д а ко лебаний , р а з н о с т ь f 2 – f 1 - шир ина по лосы резо нансной кр ивой . П р и м е м n = 2 . В эт ом с л у ч а е f 2 – f 1 указы -

вает о б л а с т ь частот , д ля ко то рых эн ергия вынужденных ко леб аний составляет 50% эн ергии ко лебаний при р ез о нан с е . q0, м/Н

10 max 9

q0

8

q0

7

В

6

С

n5 4 3 2 1

f, Гц

0 0

0,05

f1

0,1f р е з

f2

0,15

0,2

Рис.4.14. Ширина полосы резонансной кривой

Ширин а поло сы резонансной кривой п р я мо пр опорцио нальна безразмерному коэффи циен ту затух ан ия η , который о пр ед е ля ет с я формулой [80 ]:

η=

f 2 − f1 f рез n 2 − 1

.

(4 .3 )

В е л и ч и н а η обратно п р о п о р ц и о н а л ь н а д о б р о т н о с т и к о л еб ательной си ст емы . Ч е м м е н ь ш е η , т е м к р у ч е кр ив ая вб лизи резо н а н с а . Н а о б о р о т , при больших η р езо н ан сн а я крив ая ст ано ви тся пологой . В з а ви си мо сти о т б е з р а з м е р н о г о к о э ф ф и ц и е н т а з а т у х а -

87

ния η н а х о д и т с я лог а риф ми ч еский д е к р е м е н т ко лебаний [6 6 ]. При слабом д е м п ф и р о в а н и и δ = π η.

(4 .4 )

Результаты о б р а б о т к и А Ч Х, пр едставленных н а р и с .4.8, 4.10 , 4.12 (д л я деки б ез п о д к р еп л ени й ) и на рис . 4 . 9 , 4 . 1 1 , 4 . 1 3 (для д еки с по дкр еплениями ) , св ед ен ы в т аб л.6 . Н а о с н о в а н и и а н а л и з а таблицы к о н с т а т и р у е м , что у с ил ени е деки р е б р а ми ж е с т к о с т и ( рис .3.1 ) существенно , в 2 , 4 р а за у в е л и ч и в а е т е ё д е м п фир у ю щу ю спо собн о ст ь . Таблица 6 Конструкция деки

fрез, Гц

f2 - f1, Гц

Η

δ

Без подкреплений

86

4

0,05

0,157

С подкреплениями

118

18

0,12

0,377

Полученные результаты (табл.6) неплохо согласуются с данными работ [61, 113], в которых для дек струнных МИ указаны следующие границы изменения логарифмического декремента δ = 0,157 ÷ 0,628. В свою очередь для бука δ = 0,03 ÷ 0,049, ели – δ = 0,034 ÷ 0,049, сосны – δ = 0,025. В целом для деревянных конструкций δ = 0,151 ÷ 0,176 [111]. 4.4 Физико-механические характеристики материалов

С

целью

идентификации

констру кционных

материалов

и

оценки их у п р у г и х и и н ер ц и о н н ы х сво йст в в л а б о р а т о р и и с е р т и фик ац и и древесины М а р Г Т У ( р у к о в о д и т е л ь п р о ф. В . И. Ф ед ю к о в ) были вы полн ен ы сп еци а льны е эк сп ери м ент ы . Из э л е м ент о в к о р п у с а гитары ( рис .3.1 ): верхней д е ки , под ст авки д л я стр у н и пружино к были в ы р е з а н ы образцы . Обр а зцы ,

88

п р е д н а з н а ч е н н ы е д л я о пр е д е л е н и я у п р у г и х посто янных , у д о в л етворяли следу ю щи м т р е б о в а н и я м : • О с е в а я линия о б р а з ц а о р и е н т и р о в а н а строго в д о л ь во локо н древесины . • П р о д о ль н ы й размер о б р а з ц а в 2 0 раз б о ль ш е х ар а кт ер но г о попер е чного р аз м ер а . • Р а з м е р ы попер е чного с е ч е н и я по д л и н е о б р а з ц а примерно одинако вы . Вн ач але о п р е д е л я л а с ь плотно сть . Д л я этого сни м а ли с ь р азмеры к а ж д о г о о б р аз ц а , п о с л е ч ег о они в з в е ши в а ли с ь . По лучен ные з н а ч ени я п ло т н о ст и п р и в е д е н ы в т аб л.7 . Таблица 7 Элементы Порода конструкции древесины

ρ,

Е1,

Е2,

G12,

G13,

G23,

кг/м3

ГПа

ГПа

ГПа

ГПа

ГПа

ν21

0,335* 0,622* 0,422* 0,043* 0,009*

Дека

Ель

494

15,0

Подставка для струн

Бук

739

14,6

–

–

0,952*

–

–

Ребра жесткости

Сосна

581

16,6

–

–

1,18*

–

–

Затем о пр ед е л я ли с ь мо дули упругости . Для э т о г о использо в а л с я импу льсный у л ь т р а з в у к о в о й м е т о д . При помо щи у л ь т р азву ково го деф е кто с коп а У К- 1 4 П ( р и с. 4 . 1 5 ) и з м е р я л а с ь в е л и ч и н а τ − вр емя п р о б е г а у п р у г о й волн ой п о л н о й д л и н ы образца l . По сле ч ег о в ы ч и с л я л а с ь с к о р о с т ь з в у к а

l с= ,

τ

(4 .4 )

В з ав и с и мо ст и о т скорости з в у к а и п ло т н о ст и м а т е р и а л а по фор му л е

E1 = с 2 ρ

(4 .5 )

89

р а с с ч и т ы в а л с я моду л ь упругости вдо л ь во локон древесины . По лученн ые зн ачени я Е 1 пред ст авлены в т аб л.7 .

Рис.4.15. Импульсный ультразвуковой дефектоскоп УК – 14П

Д а л е е , путем с о п о с т а в и т е л ь н о г о ан ализ а м о р ф о л о г и ч е с к и х п р и з н а к о в образцов с этало нами д р е в е с и н ы , а т а кж е путем со п о с т а в л е н и я п о л у ч е н н ы х физико - м е х ан и ч е с к и х х а р а к т е р и с т и к с известными д ан н ы ми [7 ], в з я т ы ми при 12% в л а ж н о сти , определя ли сь п о р о д ы древесины . У ст ан о в л ено , что д е к а и з г о т о в л е н а из ели , п о д с т а в к а д ля стру н – из б у к а, пру жинки – из со сн ы . Моду ль упругости по пер е к во локо н Е 2 ; моду ли сдви га G 1 2 ,

G 1 3 , G 2 3 ; ко эффициент П у а с с о н а ν 2 1 д л я ели , б у к а и со сны в з я т ы на о сно вании э к сп ери м ент а льн ых д ан н ы х [7 ]. В т аб л . 7 соответ ст вую щ ие з н а ч е н и я у п р у г и х по сто янных о т м е ч е н ы з в е з д о ч к а м и . З а м е т и м , что р е зо н ан сн ы е свой ст в а древесины х а р а к т е р и з уют ся акустической ко н ст ан т о й К , фо р му л а ( 1 . 1 ) . Ч е м больше вели чин а К , т е м лучше сч ит ает с я д р е в е с и н а . В н а ш е м с л у ч а е

К = 11,2 м 4 /( кг с), что несколько н и ж е ср едн е й величины , х а р а ктерно й д л я р е зо нансной ели – К ~ 1 2 м 4 /(кг с) [130].

90

4 . 5 . Со по став ител ьны й а на л из р езу ль та тов р а с ч ё т о в и экспериментов

Н а р и с . 4 . 8 – 4 . 1 3 пред ст авлен ы А Ч Х , постро енные н а о сно вании э к сп ери м ент а льн ых и расчетных данных . Д ан н ы е э к сп е р и мента и з о б р а ж е н ы кру жками , со единенными сп ло шн ыми линиями . Р е з у ль т аты р а с ч ё т о в ( амплитуды на р е зо нансных ч а сто т а х ) жирны м и то чками , со единенными штриховыми ли н и я ми . Р а с ч е т резо нансных амплитуд выпо лнен н а о с н о в а н и и р е ш е н и я ( 2 . 1 8 ) . Д е м п ф и р о в а н и е о п и с а н о мод е л ью (2.4 3). Ан алоги чны е р е зу л ьт аты по лу чены н а о сно в е экстр аполяция ( 2 .46). Рис . 4 . 8 , 4 . 1 0 , 4 . 1 2 со о т в ет ст ву ют д е к е б ез подкр е плений , рис . 4.9, 4.11 и 4.13 – д е к е с п о д кр еп л ени я ми ( рис.3 .1). Из а н ализ а А Ч Х видно , что в с л у ч а е деки б е з п о д к р еп л е н и й р е з к о в ы д е л я ю т с я ко леб ани я п е р в о г о тона . В ы с о т а п е р в о г о " п и к а" н а р езо н ан сн ы х крив ых пр евышает о ст а л ьны е в 1 0 – 3 0 р аз . В с л у ч а е д е ки с п о д к р е п л е н и я м и к ар т и н а А Ч Х заметн о и з м ен я е т с я . О с н о в н о й тон пер е стает б ы т ь д о м и н и р у ю щ и м . Д е к а с п о д кр еп л ени я ми обладает б о л е е р о в н ы м с о с т а в о м р ез о н а н с н ы х а м п л и т у д по ср авнению с д еко й б е з п о д к р еп л е н и й . Из в е стн о [ 5 9 , 6 1 , 1 0 5 , 1 0 6 , 1 1 3 , 1 1 4 ] , что и д е а л ь н ы е д еки должны одинаково р е з о н и р о в а т ь ко лебани я к аж д о й струны . С л едовательно , п о д к р еп ле н и я ( пр ужинки ) спо соб ст вую т тому , ч т о д и н а м и ч е с к а я р е а к ц и я деки н а вн ешн е е в и б р а ц и о н н о е возбу жд ение в р а с с м а т р и в а е м о м д и а п а з о н е ч а ст о т ст ан овит ся б о л е е о д но родной. Кри вы е на р и с .4 .8 и 4 . 9 полу чены п у т ё м прило жения в и б р ационной нагру з ки в то чке 1, н а р и с . 4 . 1 0 и 4 . 1 1 – в т о ч к е 2 , на рис .4.12 и 4.13 – в то чке 3 . Точки 1 , 2 , 3 р а с п о л о ж е н ы между р езон атор ным о т в е р с т и е м и п о д с т а в к о й д ля стру н.

91

Из ан ализ а кри вых н а б л ю д а е т с я с л е д у ю щ а я о собенно сть . В с л у ч а е деки б е з подкр еплений : ч е м б л и ж е т о ч к а п р и л о ж е н и я нагрузки к р е зо н ато р но м у о т в е р с т и ю , т е м б о л ь ш е полу чаются а мплитуды колебаний . И это е с т е с т в е н н о . В с л у ч а е д е к и с п о д к р е п л е н и я ми отмеченная о с о б е н н о с т ь выр а жен а в м е н ь ш е й ст еп ени . Т е м н е м е н е е , при возбужд ен ии колебаний в точке 3 ( ближе к п о д с т а в к е д л я с т р у н ) динамическая р е а к ц и я деки полу ч а ет ся несколько слаб ее , ч е м в т о чк ах 1 и 2. Ср авн ит е ль ный ан ализ А Ч Х п о к а з ы в а е т , ч т о вибр ационные нагру зки в точках 1, 2, 3 (рис.4 .7) в ы з ы в аю т р аз ли чну ю динами ч е ску ю р е а к ц и ю . Т а к, в с л у ч а е п о д к р еп л е н н о й деки при в о з б у ждении к о л еб ан и й в т о ч к е 1 q0max (рис .4.9) н а б л ю д а е т с я н а ч а сто т е

ν 3 ( д о м и н и р у е т третий тон). Пр и возбу жд ении колеб а н ий в точке 3 м а к с и м а л ь н ы е а м п л и т у д ы п о л у ч а ю т с я на ч а ст о т е ν 1 ( рис .4.13 ) . З д е с ь у же д о м ин и р у е т пер вый тон. С у в е л и ч е н и е м ч а сто т ы в о зб у ж д е н и я умен ьшаю тся а мп ли т у д ы ко лебаний . При ч ём , вн е з ав и си мо сти о т кон стру кци и деки , с п р и ло же н и е м вибр ационной н агрузки в то чке 3 А Ч Х полу чаются б о л е е по логими , ч е м в т о чк ах 1 и 2. По х ар а кт ер ны м "п и к а м " А Ч Х н а р и с . 4 . 8 – 4 . 1 3 о п р е д е л я е м резо нансные ч а сто т ы . Для д е к и б е з п о д кр еп л ен и й у д а ёт с я в ы д елит ь д о т р и н а д ц а т и , д л я д е ки с п о д к р е п л е н и я м и – д о шести н и зших со бст в енн ых ч а с т о т . Р ез у ль т аты обработки э к спери м ен та св ед ен ы в т а б л . 8 . Про ч ерки о зн ач а ют о т с у т с т в и е р е зо н ан сн ы х "п и к о в " на А Ч Х. З д е с ь ж е пр ед ст авлены 2 0 р а с ч е т н ы х соб с тв ен ных ч а с т о т , п о л у ч е н н ы х на о с новании р е ш ен и я ( 2 . 3 6 ) д л я с л у ч аев шарнирно - опертой и з а щ е м л ё н н о й по ко нтур у д ек и . З а м е т и м , соб с тв енны е формы ко лебаний деки б е з п о д к р еп л ений д е л я т с я н а симметр ичные и ко со си мметри ч ные . В т аб л.8 ч а стоты , с о о т в е т с т в у ю щ и е ко со симметр ичным ф о р ма м , о т м е ч е н ы

92

з в езд о ч к а ми . Констру к ция д е к и с п о д к р еп л е н и я м и н е являет ся симметр ичной , поэто му ее со бст в енн ые фор мы н е обладают сво йств о м с и м м е т р и и . Таблица 8 Собственные частоты, Гц Частота

Дека без подкреплений Эксперимент

Расчет Шарнир

Заделка

88

105

126*

Дека с подкреплениями Эксперимент

Расчет Шарнир

Заделка

116 - 120

118

161

164*

220 – 240

237

314

187

250

280 – 300

262

338

221*

266*



385

463

225

291

423 – 495

424

525

292*

366*

525

529

617

ν1

85 – 87

ν2



ν3

172 - 182

ν4

205*- 219*

ν5

225 - 257

ν6

271*- 297*

ν7



310

373



555

668

ν8



382

466



632

792

ν9

395*- 399*

402*

493*



724

882

ν10

413

416

494



816

930

ν11

434*

437*

513*



862

966

ν12

455 - 461

453

555



897

987

ν13

490*- 495*

501*

608*



927

1009

ν14



569

658



969

1103

ν15



588*

683*



1020

1129

ν16



612

687



1087

1203

ν17



660

759



1198

1343

ν18



668*

773*



1204

1355

ν19



685

796



1209

1384

ν20



722*

816*



1278

1424

Ан ализ р е з у л ь т а т о в т а б л.8 по казывает , что в с л у ч а е з а щ е мл е н и я с о б с т в е н н ы е ч ас т о т ы п о лу ч а ют с я з а м е т н о вы ше , ч е м в с л у ч а е шарнир но - о п е р т о й кон стру кци и . Э т а о с о б е н н о с т ь б о л е е

93

в ы р а ж е н а в о б л а с т и н и з ши х ч а сто т . Т о е с т ь спектр с о б с т в е н н ы х ч ас т о т колеб ан ий деки обладает з а м е т н о й чу встви т ельно ст ь ю к г р ани чн ы м у с ло вия м н а контур е . В ц е ло м мо жно о т м е т и т ь , что р а с ч ё т н а я сх ема ш а р н и р н о - о п е р т о й деки лу чше о т в е ч а е т эксп е рименту . В м е с т е с т е м, о тд е л ьны е р а с ч ё т н ы е частоты на 10 – 20% о тли чают ся о т э к спери м ен та . О ч е в и д н о , э т и р а з ли чи я о б ъ я с н я ю т с я , с од н о й с т о р о ны , погр ешно стями р а с ч е т н о й д и н а м и ч е с к о й мо дели , с д р у г о й – погрешностями эк сп ер имен та , а т а к ж е т е х н о л о г и ч ес к и м и и кон с труктор с ки ми н е сов ер ш ен ст в а ми самой деки , к а к э л е м е н т а к о н с т р у к ц и и М И. Ср авнительный ан ализ р а с ч е т н ы х и эк сп ери м ентальны х кри вых на рис .5.9 – 5.14 выявляет их заметно е р аз ли чи е : расчетная крив ая б о л е е о д н о р о д н а по со ст аву и лишена отдельных п и к о в . Види мо , это об сто ят е льство связано с тем , ч т о р ас ч етн а я д и н ами ч е ск ая мод ел ь д ек и не у ч и т ы в а е т в ли я н и я а к у с т и ч е с к о й в н у тренней поло сти , котор а я и м е ет с о б с т в е н н у ю ж ё ст ко ст ь и о б л а д а ет с о б с т в е н н ы м н а б о р о м р езонансных ч а сто т . Н а о сно вании э к сп ери м ент а по лучена сово куп ная А Ч Х д е ки с р е з о н а т о р о м . Э т а кр ив ая , о ч е в и д н о , содержит пики , обусловлен ные к а к р е з о н а н с а м и самой д е ки , т а к и р е з о н а н с а м и а к у с т и ч еской в н у т р е н н е й поло сти . Е с л и с о б с т в е н н ы е ч ас т о т ы деки и аку с т и ч е с к о й внутренней поло сти не со в пад ают д р у г с д р у г о м , то р е з о н а т о р повышает жё с т к о с т ь у п р у г о й системы и у м е н ь ш а е т а м п л и т у д ы колебани й деки и, н а п р о ти в, у в е л и ч и в а е т их там , г д е с о б с т в е н н ы е ч а сто т ы б ли з ки . При э т о м э к сп еримен тальны е з н ач ен и я

собственных

ч ас т о т

деки ,

как

св я занн о й

упруго-

а к у с т и ч е с к о й системы , мало о тли ч аю т с я о т р а с ч ё т н ы х ч а сто т д еки , к ак парциальной д и н а м и ч е с к о й с и с т е м ы .

94

4 . 6 . Ц и ф р о в о й с п е к т р а л ь н ы й анализ

С ц е л ью оценки вли ян и я аку ст ич е ско й внутр е нней по ло сти и струн н а д и н а м и ч е с к и е х ар ак т ер и ст и к и деки на о сно ве ц и фр о во г о с п е к т р а л ь н о г о ан ализ а б ы л п о с т а в л е н и п р о в е д е н ряд д о п о лн и т е л ь ны х э к сп ери м ент о в . Эк сп ери м енты п р о в о д и л и с ь в л а б о р а т о р и и к а ф ед р ы Сопро т и в л е н и я материалов и п р и к л а д н о й механи ки МарГТУ при по мо щи специально го п р и б о р а “ Навигатор ” н а б а зе П К C a s s i o p e i a EG- 80 0 . Прибор с к о н с т р у и р о в а н в М а р Г Т У, как моб ил ьно е у с тройство для и з м е р ен и й динамических п а р а м е т р о в . Р аз р абот ан ное п р о г р а м м н о е о б е сп е че н и е о г р а н и ч и в а л о с ь а н а л и з о м у ст ано ви в ших с я р еж и мо в колеб ан ий . Для р ег и стр ац и и в и б р о у с к о р е н и й п р и м е н я л с я пьезоэлектри ч ес к и й д а т ч и к АР - 9 8 - 1 0 0 . Д ат чи к з а к р еп ля л с я н а по верх ности деки п о с л е д о в а т е л ь н о в т о ч к а х 1 , 2 , 3 (рис .4.7) при помо щи сп ециально го шт иф та . Ко лебани я в о з б у ж д а ли с ь щи пко м б а со во й и ли д и с к а н т о в о й с т р у н . Р е зу л ьт ат о м измерений с т а л н аб о р дискрет но - вр еменных п о с ле д о в а т е л ь н о с т е й в и б р о у с к о р е н и й : a = f [ n ] ( рис .4.1 6). В моменты времен и t 0 , t 1 , t 2 ,…, t N - 1 фиксир овали с ь N дискретных значений виброускорений.

0

t, с

a

-0,1 -0,2 -0,3 -0,4

Рис.4.16. Форма сигнала

95

Период дискр етизации h = колеб ан ий . Ч а с т о т а f h =

T = 125 м к с, г д е Т – основной п е р и о д N

1 = 8 кГц – э т о ч ас т о т а ср ез а , и л и ч а сто h

та Ко тел ьни ков а - Найквиста . К а к пр авило , м а к с и м а л ь н а я о ж и д а ем а я частота в 1,5-2 р а з а по лучается м е н ь ш е, т . е . f m a x = 4-5,3 кГ ц . З а в и с и м о с т ь a = f [ n ] = f ( nh ) дважды и н т е г р и р о в а л а с ь . По лу ч ен н а я

д и ск рет н ая

амплитудно -вр еменн а я

последовательность

w [ n ] п о д в е р г а л а с ь ч и сл е н н ы м п р еобр аз ования м Фур ь е:  − i 2πfn  W [ f ] = h ∑ w[n] exp ,  N  n =0 N −1

(4 .6)

w [ n ] = w ( nh ). Здесь w [ n ], ( n = 0, 1, … N – 1 ) – дискретный си гнал , i =

− 1 . При

это м испо льзо валась п р о г р а м м а MathCAD 2000. Затем определя лась спектральная п ло т н о ст ь мощности ( СПМ ) [74]: h P( f ) = N

2

 − i 2πfn  ∑ w[n] exp N  . n =0

N −1

(4 .7 )

Из в е стн о , что в ы б о р о ч н ы й сп ектр д а ё т ст ати сти ч еск и н е со сто ят е льны е оценки С П М. К а к правило , имеют место л о ж н ы е пики , п о л о ж е н и е которых и з м е н я е т с я в з ав и с и мо сти о т к о о р ди н а т ы н а ч а л а о т с ч е т а вр емен и . В э т о й св яз и и с п о л ь з о в а л с я о д и н из наибо л ее э ф ф е к т и в н ы х м е т о д о в сглаживания – метод У э л ч а [7 4 ]. Д а н н ы е w [n ] р аз б и в а л и с ь н а K с е г м е н т о в по D о т с ч е т о в в к аждо м со сд виго м S м е ж д у с о с е д н и м и сегментами ( S ≤ D) . Макси мальное чи сло с е г м е н т о в K о пред е ляло сь ц е ло й ч а с т ь ю чи сла K =( N- D) /S +1 . Каждый сегмент “ вз ве ш ива л с я ” поср ед ст во м о кн а Натто лла .

У ср е д н ен и е

по

периодограммам

сегментов

д ав а ло

о к о н ч а т е л ь н у ю оценку С П М: 1 P( f ) = K

K −1

∑ P i ( f ).

k =0

(4 .8 )

96

Для г р а ф и ч е с к о г о пр ед ст авлен ия р е зу л ьт ато в испо льзовалась лог ариф ми ч еская шк ал а . По о си о р д ина т о т к л а д ы в а л а с ь р азно с ть уровней СПМ в д Б:  P( f )  ~  . P ( f ) = 10 Lg  ( ( ) ) max P f  

( 4 .9 )

4.6.1. Влияние акустического резонатора

Эк сп ери м енты в ы п о лн я ли с ь на г и т а р е с декой , изгото вленной из тр ех слойной ф ан ер ы . С в н у т р е н н е й с т о р о н ы д ек а и ме л а три попер е чно р а с п о л о ж е н н ы х пружинки . К о р п у с г и т а р ы у с т а н а в л и в а л с я г о р и з о н т а л ь н о на м а с с и в н ы й и с п ы т а т е л ь н ы й ст ол. З ат е м , поср ед ство м

прибора

сни м а ли сь

зн ач ен и я

виброускорений

a = f [n ]. В к а ж д о й т о ч к е д е ки пр о изво д ило с ь д о п я т и повтор ных измерений. Д а л е е , из к о р п у с а г и т а р ы вы резало сь д н о т а к и м о б р а з о м , чтобы э т о мин и м а ль н о о т р а з и л о с ь на у с ло ви ях закр еп лени я д е ки . По сле ч ег о кор пус г и т а р ы вно вь у ст а н а в л и в а л с я в г о р и з о н т а л ьн о е п о л о ж е н и е т а к , ч т о б ы о б е сп е чи ть с в о б о д н у ю цирку ляцию воздух а над и п о д декой . Т а к и м о б р а з о м , и с кл ю ч ало с ь в л и я н и е а к у с т и ч е с к о й в н у т р е н н е й по ло сти . Н а р и с . 4 . 1 7 пред ст авлены с п е к т р а л ь н ы е кри в ые деки с резо н а т о р о м , на р и с .4.18 – деки б е з р е з о н а т о р а . П о х а р а к т е р н ы м пи к а м опр ед е ляли сь д е с я т ь н и з ши х соб с тв енных ч а сто т . Р езу л ьт а ты эк сп ери м енто в св ед ен ы в таб л .9. З д е с ь же п р и в е д е н ы р а с ч ё т н ы е данные. Из сопо ст авит ельного ан ализ а р е з у л ь т а т о в с л е д у е т : • С п е кт ра ль н а я к р и в ая д е ки с р е зо н ато р о м со держит д о п о л н и тельны е пики – аку с ти ч ески е р е з о н а н с ы н а ч а стот ах 1 5 0 - 1 7 0 Гц , 3 5 0 - 3 8 0 Гц , 6 5 0 - 6 8 0 Гц . Пи ки и м е ют яр ко выр а женный х а р а к т е р .

97 0

Измерение в точке 1

P,·дБ ν1

-10 -20

ν4

ν2 ν 3

ν5 ν6

-30

ν8

ν7

-40

ν10

-50 -60

0

f, Гц 100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Измерение в точке 1

P,·дБ ν1

-10 ν2 -20

ν4 ν3

ν5

ν6

-30

ν8 ν7

ν9

ν10

-40 -50

0 -10

f, Гц 100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Измерение в точке 2

P,·дБ ν1 ν3 ν2

-20

ν4 -30

ν5

ν6

ν7

-40

ν10

ν9

-50 -60

f, Гц 100

200

300

400

500

600

700

800

900

Рис. 4.17. Спектральные кривые деки с резонатором

1000

98 Измерение в точке 1

P,·дБ

0

ν1

-10

ν2

-20

ν3

ν4

-30

ν5

ν6 ν7

ν8 ν9

-40

ν10

-50 -60

f, Гц 100

200

300

400

600

700

800

900

1000

Измерение в точке 1

P,·дБ

0

500

ν1

-10 -20

ν2

ν3

-30

ν4 ν5

ν8

ν6 ν7

-40

ν9

ν10 f, Гц

-50 100 0 -10

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Измерение в точке 2

P,·дБ ν1

-20

ν2 ν3

-30 -40

ν4

ν5

ν6

ν7

ν8

ν9

ν10

-50 -60

f, Гц

-70 100

200

300

400

500

600

700

800

900

Рис. 4.18. Спектральные кривые деки без резонатора

1000

99 Таблица 9 Собственные частоты, Гц

Эксперимент Дека с Дека без

Расчет

резонатором

резонатора

ν1

120 – 136

110 – 120

112

ν2

210 – 230

200 – 215

210

ν3

260 – 280

260 – 280

271

ν4

320 – 335

340 – 355

375

ν5

415 – 435

430 – 460

454

ν6

455 – 480

485 – 500

500

ν7

525 – 535

510 – 540

512

ν8

580 – 595

600 – 610

611

ν9

620 – 630

615 – 625

615

ν10

720 – 740

710 – 720

743

• С о б с т в е н н ы е ч а сто т ы деки с р е з о н а т о р о м и деки б е з резо натор а мало о т ли ч ают с я д р у г о т д р у г а . • С о б с т в е н н ы е ч а сто т ы , у с т а н о в л е н н ы е эк сп ери м ент а льно , в цело м н еп ло х о сог л асу ет ся с р а сч е то м . • С п е к т р а л ь н а я к р и в ая д е ки б е з р е з о н а т о р а п о л у ч а е т с я б о л е е р о в н о й по со ст аву а м п л и т у д , ч е м д ек и с р е з о н а т о р о м . О ч е в и д н о , р е з о н а т о р у с и л и в а е т а м п л и т у д ы ко лебаний д е ки н а р ез о н а н с н ы х частотах. 4.6.2. Влияние струн К о р п у с г и т а р ы у с т а н а в л и в а л с я г о р и з о н т а л ь н о на и сп ы т а т е л ь н о м сто л е. Вибрации в о з б у ж д а ли с ь поср ед ст в о м о т т я г и в а н и я б асово й с т р у н ы . О б е с п е ч и в а л а с ь п о в т о р я е м о с т ь эк сп ер имен та : а мп л и т у д ы , т о ч к и прило жения н а г р у з к и , пло ско сти ко лебаний б асово й с т р у н ы пр и п р о ве д е н и и к аж д о г о о п ы т а б ы ли о д и н а к о в ы м и .

100 0

Из м е р е н и е в т о ч ке 1

P,·дБ ν1

-10

ν2

-20 ν3

-30

ν4

ν5

-40

ν7

ν8 ν9

ν 10

-50 f, Гц -60 0

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Из м е р е н и е в т о ч ке 2

P,·дБ ν1

ν2

-10 ν3 ν4

-20

ν6 ν7

ν8

ν9

ν 10

-30

-40

f, Гц 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Из м е р е н и е в т о ч ке 3

P,·дБ 0 ν1 ν2

-10

ν3

-20

ν4

ν7

ν8

ν9

-30

-40

ν 10

f, Гц 0

100

200

300

400

500

600

700

800

Рис.4.19. Спектральная кривая деки со струнами

900

1000

101 0

P,·дБ

Измерение в точке 1

-10 ν2

-20

ν4 ν6

-30

ν8 ν9

ν5

-40

ν10

-50 -60

f, Гц 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Измерение в точке 2

P,·дБ 0 ν1 -10

ν2

-20

ν5

-30

ν4

ν6

ν7 ν8

-40

ν9 ν10

-50 -60

f, Гц 0

100

300

200

400

500

600

700

800

900

1000

Измерение в точке 3

P,·дБ 0 -10

ν1

-20

ν2

ν3

ν4

-30

ν5 ν6

ν7

-40

ν8 ν9

-50 -60

f, Гц 0

100

200

300

400

500

600

700

800

Рис.4.20. Спектральная кривая деки без струн

900

1000

102

С п е к т р а л ь н ы е к р и вы е д е ки со с т р у н а м и п р е д с т а в л е н ы н а р и с .4.19 , д е ки б ез струн – н а р и с .4.20 . С л е д у е т и ме т ь в виду , ч т о п о в е д е н и е д е ки б е з стр у н и с с л е д о в а л о с ь п у т ё м в о з б у жд е н и я ко л е б а н и й т о й же б а с о в о й струны . О с т а л ь н ы е стр у ны п р и э т о м б ы ли сня т ы . По х а р а к т е р н ы м п и к а м сп ек т р альных кривы х о п р е д е л я л и с ь д е с я т ь низших соб ст в енных ч ас т о т . Р е з у л ь т а т ы э к сп ери м ентов св ед ен ы в т аб л. 1 0 . З д е с ь ж е п р и в е д е н ы р ас ч ётн ы е д ан н ы е . Таблица 10 Эксперимент Собственные частоты, Гц

Дека со

Дека без

струнами

струн

Расчёт С учетом Без учета начального

начального

НДС

НДС

ν1

95 – 105

85 – 105

107

104

ν2

190 – 200

185 – 200

192

191*

ν3

280 – 290

275 – 290

259

260

ν4

360 – 375

360 – 380

378

378

ν5

415 – 430

400 – 420

419

417*

ν6

460 – 465

460 – 475

467

466*

ν7

485 – 500

500 – 505

492

493

ν8

555 – 565

545 – 560

563

566*

ν9

610 – 615

605 – 620

593

591

ν10

695 – 715

705 – 720

726

726*

Ан ализ эк сп ери м ент а льных д а н н ы х п о к а з ы в а е т , что н а ли чи е струн о к азы в ает с л а б о е в ли ян и е н а со бст в енн ы е ч а ст о т ы ко леб а н и й д е к и . Р е зу л ьт аты э к сп ери м ент а п о д т в е р ж д а ю т с я р а сч ё тн ы ми данными.

103

Вы вод ы по г л а в е 4 1 . П р о в е д е н о эк сп ери м ент а льное и с с л е д о в а н и е м е х ан и ч е с к и х колеб ан ий г и т а р н о й д е ки . С эт ой ц ел ь ю с п р о е к т и р о в а н а и и з г о т о в л е н а сп е ц и а л ьн ая у ст ано вк а . Р а зр а б о тан ы м е т о д и к и и з м е р ен и й со б ст в енны х ч ас т о т и фор м , ко нстан т д е м п ф и р о в а н и я , а мплитуд в ы н у ж д е н н ы х к о л еб ан и й . 2 . При по мо щи методики Х л а д н и и с с л е д о в а н ы н и з ши е собст в е н н ы е ф о р м ы . По каз ан о , что у си л ени е деки р ёб р а ми ж е с т к о с т и видоизмен я ет н и з шу ю с о б с т в е н н у ю ф о р м у ко лебаний . Р езу л ь таты эк сп ери м ент а к а ч е с т в е н н о п о д т в е р ж д а ю т с я а л ь т е р н а т и в н ы м и эк сп ери м ент а льным и ч и с л е н н ы м методами . 3 . Выпо лн ены э к спери м ен ты , с по мо щью к о т о р ы х о п р е д е л е н ы физи ко - м е х а н и ч е с к и е х ар ак т ер ист ики к о н с т р у кц и о н н ы х м а т е р и а лов и у с тан о в л е н ы п о р о д ы др евесины . 4 . Р а с с м о т р е н ы в ы н у ж д е н н ы е ко леб ани я г и тар н о й деки и п о стро ены А Ч Х . В р е зу л ьт ат е р а с ч ё т н о - эк сп ери м ент а льных и с с л ед о в а н и й у ст ано в л ены следу ю щи е з а к о н о м ер н о ст и : • Д и н а м и ч е с к а я р е а к ц и я деки н а м о н о г а р м о н и ч е с к о е си лово е возбу жд ени е з ав и си т о т т о ч к и п р и л о ж е н и я в и б р а ц и о н н о й н а г р у зки . Ч е м д а л ь ш е н а г р у з к а о т р е з о н а т о р н о г о о т в е р с т и я , т е м меньш е а м п л и т у д ы к о л еб ан и й , т е м б о л е е по логой п о л у ч а е т с я А Ч Х. • Под креплени е деки р ё б р а м и ж е с т к о с т и п р и в о д и т к з а м е т ному у м ен ьшен ию а м п л и т у д ы колеб ан и й о с н о в н о г о т о н а . Д е к а с п о д кр еп л ени я ми обладает б о л е е р о в н ы м с о с т а в о м р ез о н а н с н ы х а м п л и т у д, ч е м д е ка б е з п о д к р еп л е н и й . • Заметно е в ли ян и е н а сп ектр со бст в енн ы х ч а ст о т о к а з ы в а ю т г р ан и чн ы е у с ло вия н а контур е . Сх ема ш ар н и р н о - о п ё р т о й д е ки л у ч ш е о тв еч а ет эк сп ери м енту , ч е м з ад е лк а . 5 . Выпо лн ен а

интегральная оценка диссипативных свойств

к о н стру кции д е ки и о п р ед е ле н ы кон ст анты д е м п ф и р о в а н и я . Ус-

104

т а н о в л е н о , ч т о у си л ен и е д еки р ё б р а м и жест ко сти в 2 , 4 р а з а у вел и ч и в а е т е е д е м п ф и р у ю щ у ю с п о с о б н о с т ь . По лученн ые р е зу л ьт аты н еп л о х о сог л асуют с я с и зв е стн ы м и д а н н ы м и . 6 . Р езультаты эк спери м ен тов со п о ст авлены с д а н н ы м и р а с ч ё -

т о в М К Э . Р а с ч ё т н ы е д а н н ы е – р е зо н ан сн ы е ч а сто т ы в ц е ло м у д о в л е т в о р и т е л ь н о сог л асуют с я с э к сп ери м ент о м . В м е с т е с т е м , в ы я в л е н о замет ное р аз ли чи е р а сч е тны х и эк сп ери м ент а льных р езо н ан сн ы х кр ивых . 7 . Н а о сно ве цифр о вого с п е к т р а л ь н о г о а н а л и з а у с т а н о в л е н о

з а м е т н о е в ли ян и е н а А Ч Х а к у с т и ч е с к о й внутр енн ей п о ло сти ( р ез о н атор а) . А к у с т и ч е с к и й резонатор з а м ет н о у си ли ва ет а м п л и т у д ы ко лебани й д е ки н а резо нансных ч а стот ах и о д н о в р е м е н н о о сл а б л я е т их з а п р е д е л а м и р езо н а нсо в . 8 . С п е к т р а л ь н а я к р и в ая д е ки с р е з о н а т о р о м сод ерж ит д о п о л-

нительные

пики

–

акустические

р езо н ан сы

на

частотах

1 5 0 – 1 7 0 Гц , 3 5 0 - 3 8 0 Гц , 6 5 0 - 6 8 0 Гц . 9 . С т р у н ы не о к а з ы в а ю т з а м е т н о г о в л и я н и я н а сп ектр соб ст -

в е н н ы х колеб ан ий д е ки .

105

5. Х а р а к т е р и с т и к и г и т а р но й д е ки в з а в и с и м о с т и о т ко нстру к тив ны х фа кто р ов В п ят о й г л а в е п р и в е д е н ы р е з у ль т аты р а с ч ё т н ы х и с с л е д о ван и й н а п р я ж ё н н о г о со сто ян ия в з ав и с и мо сти о т н а т я ж е н и я струн к о л к а м и и сп ект р а соб с тв енных ф о р м и ч а сто т в з а в и си мо сти о т к о н с т р у к т и в н ы х ф а к т о р о в . С о б с т в е н н ы е ч а с т о т ы д е ки сопо ст авлены с ч а с т о т а м и соб с тв енных к о л е б а н и й стр у н . 5 . 1 . И с с л е д о в а н и е на пр яж ённо го с о с то я н и я Исследу е м напр яженно е со сто я ние д е к и , и н д у ц и р о в а н н о е н ат я ж е н и е м струн: F 1 = 71 Н, F 2 = 72 Н, F 3 = 125 Н , F 4 = 1 0 5 Н, F 5 = 1 0 0 Н, F 6 = 1 0 5 Н, F 7 = 1 0 1 Н. Н и ж н и й и н д е к с обозначает п о р яд ковый н о м ер с т р у н ы . Н о м е р а п р и с в а и в а ю т с я в п о р я д к е в о з р а с т ан и я – о т т о н к о й ( д и с к а н т о в о й ) к т о л с т о й ( б а со во й ) с т р у н е . И сп о льз у ем р е ш е н и е (2 .19 ) . Р а сч е тн а я мо дель р е а л и з у е т шарнир но н е п о д в и ж н о е кр еп лени е пластинки по л и н и и к о н т у р а . Р а с с м о тр и м т р и в ар и ан т а к о н с т р у к ц и й п о д кр еп л ени я д е ки ( р и с .3.2) . Н а р и с . 5 . 1 и зо б р аж е н ы к ар т и н ы р а с п р е д е л е н и й м е м б р а н н ы х усилий , г д е N 1 и N 2 – н о р м а л ь н ы е у си л ия . С е р ы м ц в ет о м о т м е ч е н ы о б л а с т и р а ст яж ен и я , б е лы м – о б л а с т и с ж а т и я п л а с т и н к и . Цв етны е по ло сы х ар а к тер и зу ю т инт ен си вно ст ь вну тр енних у силий . Каждо му у р о в н ю с о о т в е т с т в у е т о пр е д е л ё н н ы й цвет . А н а л и з п о к а з ы в а е т , ч т о м е м б р а н н ы е у с или я в п р о д о л ь н о м н а п р ав л ен и и N 1 п о лу ч аются зн ачи т ельно б о л ь ш е , ч е м в по пер е чно м н ап р а вл е н и и N 2 . Н и ж ня я ч а ст ь п л а с т и н к и ( част ь н и ж е п о д с т а в к и д л я струн) о к азы в ается р а с т я н у т о й , верх няя ч а ст ь – сж атой ( N 1 ) .

106 Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

N1, kH/м

N2, kH/м

0,1 ÷ 0,3

0,4 ÷ 0,6

0,9 ÷ 1,1

1,5 ÷ 2,5

3,5 ÷ 4,5

Рис.5.1. Распределение мембранных усилий в зависимости от схемы подкрепления

107

С о п о с т а в и т е л ь н ы й а н а л и з р езу л ьт ато в п о к а з ы в а е т , ч т о п о д кр еп лен и я в н о с я т з а м е т н ы е и з м е н е н и я в к а р т и н у н ап р яж ен н о г о со сто ян ия , о со б е н н о в р а спр ед е л ени е у си ли й N 2 . 5.2.

Параметрический

анализ

спектра

собст в е н н ы х

колебаний П р о ан а л и з и р у е м зави си мо ст ь с о б с т в е н н ы х фо рм и ч а сто т о т гео м етр и ч е ск их р а з м е р о в и констру к тивных ф а к т о р о в . Ан ализ о г р а н и ч и в а е м 1 0 н и з ш и м и фор м ами ко лебаний . Д л я р а с ч ё т о в и сп о л ьзу е м д и н а м и ч е с к у ю м о д е л ь М КЭ , си ст ему о д н о р о д н ы х д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й (2.36), систе му а лгебр аи ч е ск их у р а в н е н и й ( 2 . 1 9 ) и м е т о д итер аций в п о д п р о с т р а н ст в е со бст в енн ы х в е к т о р о в [1 1 ]. Р ас ч ёты вып о лн яем на ПЭ ВМ с п р о ц е с с о р о м AMD Ath lon с т а кто во й ч ас т о т о й 9 0 0 МГц . В р е м я м а ш и н н о г о сч ет а со ст ав ля ет о ко ло 3 ми н . 5 . 2 . 1 . В л и я н и е сх ем ы п о д к р е п л е н и я Р а с с м о т р и м т р и в ар и ан т а ( сх емы ) п о д к р еп л ени я г и т а р н о й д еки ( р и с .3.2). В таб л . 1 1 для к а ж д о г о вариан та п р и в е д е н ы расчёт н ы е соб ст в енны е ч а сто т ы . З ве зд о ч ко й о т м е ч е н ы ч а ст о т ы , со от вет ству ю щи е к о со си мметри чн ы м ф о р м а м ко лебаний . Ан ализ таб лицы п о к азы в а ет , что п о д к р е п л е н и я о к а з ы в а ю т с у щ е с т в е н н о е вли ян и е на сп ектр соб ст в енны х ч ас т о т. Е с л и п е р вы е ( о с н о в н ы е ) ч ас т о т ы д л я в ар и ан т о в 2 и 3 о т л и ч а ю т с я о т вар иан та 1 на 1 8 % и 34%, то ш е с т ы е – у ж е н а 6 0 % и 8 0 % , д е ся ты е – на 7 5 % и 9 6 % со о т в ет ст ве н н о . Т а к и м о б р азо м , п о д к р е п л е н и е деки о д н о с т о р о н н и м н а б о р о м рёбер ж ё ст ко ст и у в е л и ч и в а е т е ё соб с тв енны е часто т ы . Н а и б о л е е

108

си льно е вли яни е р ё б р а ж ё с т к о с т и о к а з ы в а ю т н а в ы с ш и е ч а ст о т ы колеб ан ий . Н а р и с. 5 . 2 и р и с .5.3 изоб р ажены 1 0 н и з ш и х с о б с т в е н н ы х ф о р м ко лебаний . П о к а з а н ы ли ни и у р о в н я. По стр о ени я в ы п о лн е н ы в еди но м м а с ш т а б е ( и с п о л ь з о в а л с я о д и н а к о в ы й шаг ). З н а к а м и плюс и мину с о т м е ч е н ы о б л а с т и с п р о т и в о п о л о ж н ы м и ф а з а м и колеб ан ий . С о п о с т а в и т е л ь н ы й ан ализ р е зу л ьт ато в п о к а з ы в а е т , ч т о фор мы собств енных к о л е б а н и й з ав и с я т о т сх емы п о д кр еп л ени я . Ч е м вы ше п о р я д к о в ы й н о м е р с о б с т в е н н о й ф о р м ы , т е м с и л ь н е е пр оявл я е т с я э т а з а в и с и мо ст ь . От мети м , что н и з ши е р а сч ё тны е фор м ы колебаний со вп ад ают с фигур а ми Х л а д н и н а р ис .4.5 и 4.6. Таблица 11 Частота

Собственные частоты, Гц

колебаний

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

ν1

88

104

118

ν2

126*

191*

237

ν3

187

260

262

ν4

221*

378

385

ν5

225

417*

424

ν6

292*

466*

529

ν7

310

493

555

ν8

382

566*

632

ν9

402*

591

724

ν10

416

726*

816

109 Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

1 Форма

2 Форма

3 Форма

4 Форма

5 Форма Рис.5.2. Собственные формы в зависимости от схемы подкрепления

110 Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

6 Форма

7 Форма

8 Форма

9 Форма

.

10 Форма

Рис.5.3. Собственные формы в зависимости от схемы подкрепления

111

5 . 2 . 2 . В л и я н и е на чал ь ного на пря ж енного со стоя ния В таб л . 1 2 , 1 3 и 1 4 д л я тр ех вар иант о в п о д к р еп л ени я д е ки ( р и с .3.2 ) п р е д с т а в л е н ы 1 0 низших со бст в енн ы х ч а с т о т , р а сс чи т а н н ы х с у ч ето м и б ез у ч е т а н а ч а л ь н о г о Н Д С . Н а ч а л ь н о е Н Д С р а с с ч и т ы в а л о с ь н а о сно вании р е ш е н и я (1.19). Ан ализ таб лиц п о к а з ы в а е т , ч т о небо льшо е р аз ли чи е , в п р е д елах 3 – 6%, и ме ет м е с т о ли шь для низших ч а с т о т . Вы сши е ч а сто ты п р а к т и ч е с к и н е о тл и ч аю тс я д р у г о т д р у г а . Т а к и м о б р а з о м , е с л и д ля стру ны си ла н а т я ж е н и я в ы с т у п а е т о с н о в н ы м п ар а м ет р о м ж ё ст ко ст и , кото рый оказывает р е ш а ю щ е е вли ян и е на е ё с о б с т в е н н ы е ч а с т о т ы , то для д ек и это в л и я н и е о к азывает ся до ст ат очно слабы м . П о э т о му п р и р а с ч ё т е д и н а м и ч е с к и х п а р а м е т р о в р е з о н а н с н ы х дек н а ча л ьн ы м Н Д С , и н д у ц и р о в а н н ы м п р е д в а р ит е л ь н ы м н ат яж ен и е м с т р у н , м о ж н о пр ен ебр е ч ь . Таблица 12 Собственные частоты, Гц Частота колебаний

Толщина пластинки h = 2,5 мм Без учета С учетом

Толщина пластинки h = 3 мм Без учета С учетом

начального

начального

начального

начального

НДС

НДС

НДС

НДС

ν1

76

81

88

93

ν2

107*

109

126*

128

ν3

158

161

187

189

ν4

188*

187

221*

221

ν5

192

191

225

224

ν6

249*

249

292*

293

ν7

264

267

310

312

ν8

324

324

382

381

ν9

343*

340

402*

401

ν10

357

356

416

416

112 Таблица 13 Собственные частоты, Гц Частота колебаний

Толщина пластинки h = 2,5 мм Без учета С учетом

Толщина пластинки h = 3 мм Без учета С учетом

начального

начального

начального

начального

НДС

НДС

НДС

НДС

ν1

87

90

104

107

ν2

160*

160

191*

192

ν3

230

230

260

259

ν4

322

321

378

378

ν5

371*

373

417*

419

ν6

398*

397

466*

467

ν7

417

417

493

492

ν8

487*

483

566*

563

ν9

510

512

591

593

ν10

627*

626

726*

726

Таблица 14 Собственные частоты, Гц Частота колебаний

Толщина пластинки h = 2,5 мм Без учета С учетом

Толщина пластинки h = 3 мм Без учета С учетом

начального

начального

начального

начального

НДС

НДС

НДС

НДС

ν1

99

103

118

120

ν2

202

205

237

239

ν3

232

232

262

262

ν4

329

328

385

384

ν5

380

379

424

424

ν6

453

457

529

531

ν7

478

479

555

557

ν8

561

562

632

633

ν9

633

631

724

724

ν10

731

731

816

817

113

5.2.3. Влияние геометрических размеров Из в е стн о , что а к у с т и ч е с к а я н а с т р о й к а М И о с у щ е с т в л я е т с я п у т ё м и з м ен ен и я толщины п л а ст и н к и и ли /и п у т ё м и з м е н е н и я высо ты

пружинок.

гео м етр и ч е ск ие

Рассмотрим,

размеры

какое

п ла ст и н ки

и

в ли я н и е пр ужино к

оказывают на

спектр

с о б с т в е н н ы х ч а сто т ко лебаний деки . В т аб л. 1 2 , 1 3 и 1 4 пред ст ав лены 1 0 н и з ш и х соб с тв енных ч ас т о т для т р е х в ар и а н т о в п о д к р еп л е н и я д е к и ( р и с.3 .2). Ч а с т о т ы р а с с ч и т а н ы п р и т о л щ и н е ст енк и h = 2 , 5 м м и h = 3 м м . Ан ализ таб лиц п о к а з ы в а е т , чт о , н е з а в и с и м о о т схемы п о д к р еп л е н и я , у в е л и ч е н и е толщины п л а ст и н к и на 0 , 5 м м о б у с л а в л и в а е т по вы шение собственных частот на 10…20%. Причём, отмеченная особ е н н о с т ь к а с а е т с я в сех ч ас т о т с п е к т р а к о л еб ан и й . Н а р и с . 5 . 4 п о с т р о е н ы з ав и с и мо сти п ят и н и з ш и х соб ств е н н ы х ч ас т о т о т высо т ы п р у ж и н о к H ( р и с .3.1 ). Вы со та H в а р ь и р о в а л а с ь в пр ед елах о т 1 0 д о 1 4 м м . Р а с с м а т р и в а л а с ь д е к а 3 . ν, Гц

600 500 ν5

400 ν4

300 200

ν3 ν2 ν1

100 0

H, 10-3 м

10 10,5 11 11,5 12 12,5 13 13,5 14 Рис.5.4. Зависимости низших собственных частот от поперечного размера пружинок

114

Ко н ст а т и р у е м , если пр и H = 10 м м с о б с т в е н н ы е ч а сто ты р а с п о л а г а ю т с я в поло се о т 1 1 2 д о 3 9 7 Гц , то п р и H = 14 м м – о т 1 7 0 д о 5 4 5 Гц . Т а к и м о б р а з о м , у в е ли ч ени е вы соты пр ужи н о к н а 4 м м п р и в о д и т к п о в ы ш е н и ю с о б с т в е н н ы х ч а сто т н а 40…60 %. П р и ч ё м, в о б л а с т и H о т 1 0 д о 1 2 м м и з м ен ен и я ч а ст о т п р о я в ляют ся з а м е т н о слаб ее , ч е м в о б л а сти H о т 1 2 д о 1 4 м м . Таким размеров

образом, пластинки

путём и

ц е л ен ап р ав л ен н о г о

пружинок

мо жно

изменения регулировать

д и н а м и ч е с к и е х а р а к т е р и с т и к и д еки . 5 . 2 . 4 . В л и я н и е ко нстру к тив ны х фа кто р ов В к а ч е с т в е к о н с т р у кт и в н ы х ф а к т о р о в р а с с м а т р и в а ю т с я р езо н ато р но е о т в е р с т и е , п о д с т а в к а для кр еп лени я струн и о с о б е н н о сти со единения деки с кон тро б ечайко й . В ы ч и с л и т е л ь н ы е э к с п ер и м е н т ы ст ав я тся н а д е ке 1 ( р ис .3.2) . Таблица 15 Частота колебаний

Собственные частоты, Гц Дека с отверстием

Дека без отверстия

Шарнир

Заделка

Шарнир

Заделка

ν1

88

105

96

113

ν2

126*

164

132*

ν3

187

250

194

255

ν4

221*

266

228*

275

ν5

225

291*

238

297*

ν6

292*

366*

304*

377*

ν7

310

373

309

379

ν8

382

466

393

486

ν9

402*

493*

ν10

416

494

415* 433

168*

505* 506

115

В т аб л. 1 5 пред ст авлен ы 1 0 низших со бст в енн ы х ч а с т о т в з ави си мо сти о т с п о с о б а закр еп лени я д е ки по л и н и и к о н т у р а . Р а ссматри в а ют ся д ве сх емы закр еплени я : шарнир ное о п и р ан и е и жёст к ая з а д е л к а ( з а щ е м л е н и е ) . Ко н ст а т и р у е м ,

что

при

ш арнирно м

опирании

контура

с о б с т в е н н ы е ч а сто т ы к о л еб ан и й деки полу чаются з а м ет н о н и ж е, ч е м п р и з а щ е м л е н и и . Это р аз ли чи е ( почти на 3 0 % ) осо б енно з а м е т н о д л я в т о р о й и т р ет ь ей с о б с т в е н н ы х ч ас т о т . Кро м е т о г о , в т аб л. 1 5 п р ив ед ен ы р е з у л ь т а т ы в ы ч и с л ен и й д л я деки с о т в е р с т и е м и деки б е з о т в е р с т и я . О ч е в и д н о , о т в е р с т и е у м е н ь ш а е т к а к ж ё с т к о с т ь , т а к и массу деки . Поэ то м у с о б с т ве н н ы е ч а с т о т ы деки с о т в е р с т и е м полу чаются н и ж е, чем деки без о т в е р с т и я . В цело м в ли я н и е о т в е р с т и я не вели ко . Ни з ши е соб ст в е н н ы е ч ас т о т ы р а з л и ч а ю т с я н а 1 0 % . Р аз ли чи е вы соких ч а ст о т выражено менее значительно. О с о б ы й интер ес п р е д с т а в л я е т вли ян и е элемен тов п о д к р еп л е н и я н а д и н а м и ч е с к и е х а р а к т е р и с т и к и деки . В э той св язи , п р и м ен и т е л ь н о к д ек е 2 ( р и с . 3 . 2 ) а н а л и з и р у е м с о б с т в е н н ы е ч ас т о т ы н а о с н о в а н и и след ую щих р а с ч ё т н ы х сх ем : • П л а с т и н к а. • Пластинка с тремя пружинками. • П л а с т и н к а с т р е м я п р у ж и н к а м и и п о д с т а в к о й д ля стру н. Сопоставительный

ан ализ

р ез у ль т ато в,

пр ед ст авлен н ых

в

таб л . 1 6 , о б н а р у ж и в а е т следую щу ю о с о б е н н о с т ь . Пр ежде в с е г о , п л а с т и н к а с т р е м я п р у ж и н к а м и имеет б о л е е вы со ки е с о б с т в е н н ы е ч ас т о т ы , чем г л а д к а я п л а ст и н к а , и это о ч е в и д н о . В м е с т е с т е м , т р и п ер вы е ч а с т о т ы ко лебаний п л а с т и н к и с п р у ж и н к а м и и п о д ст авкой полу чаются н и ж е , ч е м п л а с т и н к и с п р у ж и н к а м и , н о б е з п о д с т а в к и д л я с т р у н . Т о есть д о б ав л ен и е к п р у жи н к а м п о д с т а в к и

116

для кр еплени я струн н е у в е л и ч и в а е т , а н а о б о р о т , у м е н ь ш а е т н и з ш и е с о б с т в е н н ы е ч а сто т ы . А это у же н е т а к о ч ев и д но . Таблица 16 Собственные частоты, Гц Частота колебаний

Пластинка

Пластинка с пру-

Пластинка с пружинками

жинками и подставкой для струн

ν1

88

162

103

ν2

126*

260*

187*

ν3

187

268

250

ν4

221*

396

402

ν5

225

424

422*

ν6

292*

439

482*

ν7

310

463*

523

ν8

382

559*

568*

ν9

402*

588*

640

ν10

416

657*

737*

Под м еч енн а я о с о б е н н о с т ь , п о н и ж е н и е н и з ш и х соб с тв енных ч ас т о т колеб ан ий деки п р и д о б а в л е н и и о т д е л ь н ы х д е та л ей п о д кр еп лен и я , о т м е ч а е т с я т а кж е в р аб о т ах [ 6 1 , 1 5 7 ] . 5.3. Со по ставл е ние ча сто т с о б с тв е н н ы х к ол еба н и й д е к и и струн При р аз р аб о т к е М И со бст в енн ы е ч ас т о т ы д е к и М И с л е д у е т сог л асо выв ат ь с ч а сто т а ми соб ст в енны х ко лебаний с т р у н . Д е ло в т о м , ч т о п р и к о л еб ан и я х н а близких ч а с т о т а х в у п р у г о й си ст еме р а з в и в а ю т с я б и е н и я . Н а с л у х б и ени я в о спр и н и м а ют ся к ак п ер и о д и ч е с к о е у с и л е н и е и о с л аб л е ни е г р о м к о с т и зву к а.

117

По ми мо биений в с и с т е м е п р о я в л я ю т с я эффект ы н е г а р мо н и чн о с т и : о тк ло н ен и я о б е р т о н о в к о л еб ан и й о т г а р м о н и ч е с к о г о р я д а . В р е зу л ьт ат е ч е г о н а р у ш а е т с я чи стот а зву к а. Э ф ф е к т ы негар мо нично сти , в ч а с т н о с т и , о б ъ я с н я ю т с я “ п о д т яг и в ани е м ” о т д е л ь н ы х о б е р т о н о в ко лебани й с т р у н к р е з о н а н с н ы м ч а сто т а м деки [ 6 1 , 105, 113]. Кро м е т о г о , п р и ко лебаниях н а б л и з к и х ч а стот ах н аб л юд аю т с я си льные в з а и мо д ей с т ви я с т р у н с д е ко й и н а о б о р о т , д ек и со с т р у н а м и . С и л ь н ы е в з а и мо д ей с т ви я мо гут слу жит ь причин о й о б р а з о в а н и я т ак н а з ы в а е м ы х “ во лчьих т о н о в ” - звук р ез ко меняет сво й х а р а кт ер , п е р е х о д я о т р о в н о г о то на к х р ю к а ю щ е м у [ 1 5 9 ] . Б у д е м с ч и т а т ь струну аб со лю т но г и б к о й . Кон ц евы е с е ч е н и я струн ж ё ст ко з а к р еп ле н ы . В эт ом с л у ч а е е ё п о п е р е ч н ы е ко леб а н и я о п и с ы в а ю т с я в о л н о вы м у р а в н е н и е м [ 1 8 , 1 2 4 ] . С о б с т в е н н ы е ч ас т о т ы о п р е д е л я ю т с я ф о р м у л о й :

ν ок =

N0 , m0

к 2 L0

к = 1, 2, 3,…

( 5 .1 )

З д е с ь к – п оряд ковый н о м ер фо рмы ко лебаний , L 0 – д л и н а , N 0 – си ла на т яж е н и я , m 0 – м а с с а ед и н и ц ы д л и н ы стр у ны . В р е зу л ьт ат е п р и ж ати я стру ны к л а д о в о й п л а ст и н е е ё соб ст в е н н ы е ч ас т о т ы и з м е н я ю т с я . Д ля р ас ч ёт а о сн о вны х ч а сто т в о сп о л ь з у е м с я с о о тн о ш е н ие м [61 ] :

ν m / ν о = L о /L m = ( 2 ) m / 1 2 ,

m =1, 2, 3,…

(5.2)

З д е с ь m – п о р я д к о в ы й номер л а д а, ν о и ν m – ч ас т о т ы ко лебаний открытой

и

п р и ж ато й

к

m- му

ладу

стру ны ,

Lо

и

Lm

–

с о о т в е т с т в у ю щ и е д ли н ы р аб о ч и х ч а ст ей . Б л и ж н и й к порожку г р и ф а лад с ч и т а е т с я п е р вы м. И с п о л ь з у я фо р му лы ( 5 . 1 ) , ( 5 . 2 ) и д а н н ы е [61], с ч и т а е м основные

ч ас т о т ы

ко лебаний

струн

семиструнной

гитары

с

м е н з у р о й L = 540 м м ( р и с . 3.1 ) . Р а с ч е т о г р а н и ч и в а е м полосо й

118

ч ас т о т д о 6 0 0 Гц . Р а с с м а т р и в а е м 7 из 1 9 - ти и м е ю щ и х с я л а д о в . Результаты р а с ч ё т о в св одим в т аб л.17 . Таблица 17 Резонансные частоты, Гц № Открытая струны струна

№ лада 1

2

3

4

5

6

7

1

391,92

415,22

439,92

466,07

493,79

523,15

554,26

587,22

2

329,60

349,20

369,96

391,96

415,27

439,96

466,12

493,84

3

261,60

277,16

293,64

311,10

329,60

349,19

369,96

391,96

4

195,96

207,61

219,96

233,04

246,89

261,58

277,13

293,61

5

164,80

174,60

184,98

195,98

207,63

219,98

233,06

246,92

6

130,80

138,58

146,82

155,55

164,80

174,60

184,98

195,98

7

97,38

103,17

109,31

115,80

122,69

129,99

137,72

145,91

Сопоставительный

ан ализ

значений

собственных

часто т

струн ( таб л . 1 7 ) и деки h = 2,5 мм ( т аб л.14) позво л яет вы явить ряд б л и з к и х з н а ч е н и й . В ы б о р к а эти х з н а ч е н и й п р и в е д е н а в таб л . 1 8 . Таблица 18 № струны

№ лада

7

Собственные частоты, Гц Струна

Дека (h = 2,5 мм)

1

103,17

103

4

1

207,61

205

4

3

233,04

232

2

0

329,6

328

2

2

369,96

379

1

3

466,07

457

1

4

493,79

479

1

6

554,26

562

119

Из т аб л. 1 8 с л е д у е т , что б л и ж е всего к р ез о н ан сн ы м ч а сто т а м струн р а спо ло ж ены п ер ва я ( ν 1 = 103 Г ц ), тр етья ( ν 3 = 2 3 2 Гц ) и ч ет в ёр т а я ( ν 4 = 3 2 8 Гц) с о б с т в е н н ы е ч а сто т ы д е ки . В

т аб л. 1 9

дана

выборка

близких

зн ач ен и й

соб с тв енных

ч ас т о т с т р у н ( т а б л. 1 7 ) и д еки h = 3 м м ( таб л .14). Таблица 19 № струны

№ лада

7

Собственные частоты, Гц Струна

Дека (h = 3 мм)

4

122,69

120

4

3

233,04

239

3

0

261,6

262

1

0

391,92

384

1

1

415,22

424

1

5

523,15

531

1

6

554,26

557

Здесь

б ли ж е

располагаются

всего

третья

к

р ез о н а н с н ы м

(ν3 = 262 Гц) и

ч а сто т а м

седьмая

струн

(ν7 = 557 Гц)

с о б с т в е н н ы е ч а сто т ы деки . О ч е в и д н о , именно на эти х часто тах б у д у т п р о я в л я т ь с я н аи б о л е е с и л ь н ы е вз аи мо д ей ст ви я . З а м е т и м , что н е ж е л а т е л ь н ы е э ф ф е кты ( б и е н и я, н ег ар мо н и чн о с т и о б ер то но в, си льные вз а и мо д ей с т ви я с т р у н с декой ) на высо ких ч а сто т а х п р о я в л я ю т с я з ам етн о с л а б е е , ч е м н а низких . С этой то чки зр ения вар иан т д е ки h = 3 м м о к а з ы в а е т с я б о л е е п р е д п о ч т и т е л ь н ы м по с р а в н е н и ю с в ар и ан т о м деки h = 2 , 5 м м .

120

Вы вод ы по г л а в е 5

1 . В з ав и с и мо ст и о т н а т я ж е н и я с т р у н ко лками и с с л е д о в а н о напр яжённое со сто яни е деки . По стро ены к а р т и н ы р а с п р е д е л е н и й мембр а нных усилий . У ст ан о в л ено су щест венн ое в л и я н и е сх емы п о д кр еп л ени я н а н а п р я ж ё н н о е со сто ян ие . 2 . Д л я т р ё х в ар и а н т о в ко нстру кц ий д ек и постро ены 1 0 низших соб ст в енны х фор м колеб ан ий . 3 . В з а в и с и мо ст и о т г е о м е т р и ч е с к и х р а з м е р о в , к о н с т р у кт и в ных ф а к т о р о в , а т а к ж е н а ч а л ь н о г о НД С , выпо лн ен ан ализ сп ек т р о в 1 0 низших с о б с т в е н н ы х ф о р м и ч а сто т г и т а р н о й деки . В р езу л ьт ат е а н а л и з а у с т а н о в л е н ы с л е д у ю щ и е з а к о н о м ер н о ст и : • У с и л е н и е деки ре б р ам и ж е ст ко сти о к а з ы в а е т с у щ е с т в е н н о е вли ян и е на е е с о б с т в е н н ы е фор мы и ч а сто т ы . Ч е м вы ше ч а ст о т а колеб ан ий , т е м си льн е е п р о яв л я е т с я это в ли я н и е . Д ля д е ки с п о д кр еп л ени я ми ( сх емы 2 и 3 ) п е р вы е ч ас т о т ы р а з л и ч а ю т с я на 18% и 3 4 %, шестые – н а 60% и 8 0 % , д е с я т ы е – уже н а 75% и 9 6 % по ср ав нени ю с д еко й б ез п о д к р еп л ени й . • Н а ч а л ь н о е напр яженно е состояние , о б у с л о в л е н н о е п р е д в ар и т е л ь н ы м н ат я же н и е м струн , п р а к т и ч е с к и н е вли я ет на сп ектр с о б с т в е н н ы х фо рм и ч а с т о т ко лебани й д е ки . • У в е л и ч е н и е то лщины п л а ст и н к и с 2,5 м м д о 3 м м п р и в о д и т к п о в ы ш е н и ю со бст в енн ы х ч а с т о т н а 1 0 …2 0 % . • У в е л и ч е н и е вы соты ребер ж е с т к о с т и ( п р у ж и н о к ) с 1 0 д о 1 4 м м о б у с л а в л и в а е т п о в ы ш е н и е с о б с т в е н н ы х ч ас т о т н а 4 0 … 6 0 % . • Усло ви я з ак р еп л ен и я д е ки по контуру о к а з ы в а ю т з а м ет н о е вли ян и е на соб с тв енны е часто т ы . Это вли ян и е о с о б е н н о з а м е т н о для в т о р о й и тр етьей со бст в енн ы х ч а с т о т ( р аз л ичи е о к о л о 30 %).

121

• В л и я н и е р е з о н а т о р н о г о о т в е р с т и я в ц е ло м н е вели ко . Ни зши е соб ст в енны е ч а с т о т ы р а з л и ч а ю т с я на 1 0 % . Р а з л и чи е б о л е е высо ких ч а сто т в ы р а ж е н о м е н е е з н а ч и т е л ь н о . • Под ст ав к а д л я кр еп лен ия с т р у н не у в е л и ч и в а е т , а н а о б о р о т, у м е н ь ш а е т н и з ш и е с о б с т в е н н ы е ч а сто т ы . 4 . П р о в е д е н с о п о с т а в и т е л ь н ы й ан ализ сп ек тр о в с о б с т в е н н ы х ч ас т о т к о л еб ан и й с т р у н и д в у х вар иант о в ко нструкций деки . У стано вле н о пр еи му щест во о д н о г о из вариан тов ко нстр укций .

122

Глава 6 . А н а л и з р е з о н а н с н ы х х а р а к т е р и с т и к В п о с л е д н е й шестой г л ав е п р е д с т а в л е н ы р е з у л ь т а т ы м а т е м а т и ч е с к о г о м о д е л и р о в а н и я п р о ц е с с а у ст ано ви вших ся к о л е б а н и й деки в режиме си лово го г а р м о н и ч е с к о г о в о з б у ж д ен и я . Си ловое возбу жд ени е и м и т и р у ет у п р у г и е в и б р а ц и и стр у н . Со ст авлены м а т р и ц ы ст ати ч еск их п о д а т л и в о ст е й т о ч е к кр еп л е н и я с т р у н к д е к е. В д и а п а з о н е о т 8 0 д о 1 4 0 0 Гц в з ав и с и мо сти о т ч а ст о т ы в о з б у ж д ен ия и с с л е д о в а н ы д и н а м и ч е с к и е п о д а т л и в о сти . По стро ены сп ек тр ы р езо н ан сн ы х а м п л и т у д. Р а с с м о т р е н ы зави си мо сти с п е к т р о в р е зо н ан сн ы х а м п л и т у д о т сх емы п о д к р еп л е н и я , р а з м е р о в р ёб ер ж ё ст ко сти и у р о в н я д е м п ф и р о в а н и я . 6 . 1 . С та т и ч е с к и е и д и н а м и ч е с к и е под а тл иво с ти Спо соб ност ь д е ки вто р ить с т р у н е о п р ед е ля ет с я ст еп ен ью п о д в и ж н о с т и о д н о й из её о п о р, с в я з а н н о й с д е к о й . С т р у н а "р а ск а ч и в а е т " д е ку . Поэ то м у , ч е м вы ше у п р у г а я п о д а т л и в о с т ь д е ки , т е м си льн е е з в у к. В з ав и с и мо сти о т п о д а т л и в о с т и н а х о д и т с я и длительность излучения звука. Р а с с м о т р и м д е к у , сх ема к о т о р о й и з о б р аж е н а н а р и с .6.1. Точки кр еп лени я с т р у н к д е к е ( т о ч н е е к п о д с т а в к е д ля струн ) о б о зн ачи м 1 , 2 , … , 7 . Нумер аци я то чек вы полн ен а снизу вверх , о т то н к о й ( д и с к а н т о в о й ) струны к т о л с т о й ( б ас о во й ) . То чка 4 р а сп о л о ж е н а н а о си с и м м е т р и и . Р а с с т о я н и е между стр у нами ( шаг ) t = 10 м м . С т р у н ы отсто я т о т с р е д и н н о й повер х ности п л а с т и н к и н а р а с с т о я н и и е = 1 0 м м . Толщи на п л а с т и н к и h = 3 м м . П р о ан а л и з и р у е м

стат и ч ески е

п о д а т л и в о ст и . Обозн а чи м u i j

( i, j = 1 , 2 , … , 7 ) – ли н ей н ы е п ер е м е щ ен и я в н а п р а вл ен и и стру ны i п о д д е й ст ви е м е д и н и ч н ы х си л , прило женных в н а п р а в л е н и и j.

123

Со о т в ет ст в ен н о w i j ( i ,j = 1 ,2 ,… ,7 ) – л и н е й н ы е п е р е м е щ е н и я т о ч ек кр еп лен и я стру н i в н а п р а вл ен и и нор м али к ср един ной п о в е р х н о сти п л а ст и н ки п о д д ей ст ви е м е д и н и ч н ы х с и л , прило ж енных в н аправлении j. Для расчета используем систему алгебраических уравнений (2.19), п о р я д о к си ст емы – 9 6 6 8 . У ч и т ы в а е м д е ф о р м а ц и и р ас тя ж ен и я – сж ати я , сдвиг а и и зг и б а с т е н к и . В т аб л . 2 0 пред ст авлен ы со ст авля ю щи е у п р у г и х п е р е м е щ е н и й т о ч е к к р еп л ен и я стру н п о д д ей ст ви е м е д и н и ч н ы х сил , прило ж ен н ы х в н а п р а в л е н и и стр у н . Таблица 20 Упругие перемещения (uij/wij),·10-7 м/Н 1

2

3

4

5

6

7

4,218

2,651

2,076

1,626

1,255

0,932

0,647

0,432

0,737

0,973

1,143

1,256

1,330

1,369

2,651

3,678

2,488

1,999

1,593

1,245

0,939

0,876

0,512

0,710

0,914

1,090

1,233

1,347

2,076

2,488

3,520

2,419

1,981

1,608

1,277

1,342

0,928

0,596

0,765

0,973

1,171

1,352

1,626

1,999

2,419

3,509

2,444

2,041

1,678

1,702

1,343

0,996

0,686

0,893

1,137

1,393

1,255

1,593

1,981

2,444

3,578

2,574

2,182

1,962

1,716

1,449

1,168

0,921

1,169

1,493

0,932

1,245

1,608

2,041

2,574

3,821

2,840

2,155

2,059

1,929

1,759

1,552

1,338

1,679

0,647

0,939

1,277

1,678

2,182

2,840

4,524

2,292

2,405

2,480

2,513

2,480

2,368

2,169

1

2

3

4

5

6

7

Из т а б л и ц ы в и д н о , что со ст ав ляю щи е u i j о б л а д а ю т с в о й с т в о м с и м м е т р и и , т .е . u i j = u j i . При это м u 7 7 > u 1 1 и w 7 7 > w 1 1 . Эти н е р а-

124

венства достаточно очевидны, они обусловлены асимметрией ко н стру кции п о д к р еп л е н и я . Н а и м е н ь ш е й п о д а т л и в о ст ь ю в п р о д о л ь н о м напр авлении о б л а д а е т т о ч к а кр епления ц е н т р а л ьн о й струны 4, в по п ер еч но м напр авлении – т о ч к а к р еп л ен и я д и с к а н то во й с т р у н ы ( т о ч к а 1 ) . Со ст ав ляю щ ие u i i п о лу ч а ют с я з а м е т н о больше w i i ( i = 1 , 2 , … , 7 ) . При н а г р у з к е 1 Н у п р у г и е п е р е м е щ е н и я со ст ав ля ют т ы с я ч н ы е доли ми лли м етр а . Это т р е з у л ь т а т сви д ет ельству ет о зн ачит ель н о й ж е сткости деки в н а п р а в л е н и и стр у н . В т аб л . 2 1 п р и в е д е н ы со ст ав ля ю щи е у п р у г и х пер е мещений т о ч е к к р еп л ен и я струн п р и д е й с т в и и е д и н и ч н ы х си л , прило ж ен н ы х п о н о р м а л и к ср еди нной по верх ности д е ки . Таблица 21 Упругие перемещения (wij/uij),·10-7 м/Н 1

2

3

4

5

6

7

126,848

116,635

106,522

96,469

86,491

76,545

66,650

0,432

0,878

1,342

1,702

1,962

2,155

2,292

116,635

112,071

105,758

99,194

92,478

85,661

78,784

0,737

0,512

0,929

1,343

1,716

2,059

2,405

106,522

105,758

104,513

101,607

98,303

94,739

90,990

0,973

0,710

0,596

0,996

1,449

1,929

2,480

96,469

99,194

101,607

103,621

103,906

103,759

103,274

1,143

0,914

0,765

0,689

1,168

1,759

2,513

86,491

92,478

98,303

103,906

109,108

112,630

115,639

1,256

1,090

0,973

0,893

0,921

1,552

2,480

76,545

85,661

94,739

103,759

112,630

121,246

128,069

1,330

1,233

1,171

1,137

1,169

1,338

2,368

66,650

78,784

90,990

103,274

115,639

128,069

140,541

1,369

1,347

1,352

1,393

1,493

1,679

2,169

1

2

3

4

5

6

7

125

Со ст авляю щи е w i j полу чаю тся симметр ичными , т.е . w i j = w j i . Выпо лн яю тся с л е д у ю щ и е нер а венства : w 7 7 > w 1 1 ,

u 7 7 > u 1 1 . По -

д а т л и в о с т и о тд е ль ны х точек зн ачи т ельно о т л и ч а ю т с я д р у г о т друга. Составляющие wij значительно превышают uij. Сопо ст авлен ие данных таб л .20 и табл . 2 1 п о з в о л я е т с д е л а т ь вывод , что п о д а т л и в о с т ь деки в н а п р а в л е н и и с т р у н ( в п р о д о л ь н о м н ап р ав л ен и и ) п о ч т и на д в а п о р я д к а полу чается м е н ь ш е, че м п о д а т л и в о с т ь д е ки в н а п р а в л е н и и н о р м а л и ( в по п ер е чно м н ап р а в л е н и и ).

Выполняется

пр инцип

взаи мно сти

перемещений

w i j ( т аб л. 2 0 ) = u j i ( т аб л .21). Д а л е е , в зави си мо сти о т ч ас т о т ы в о з б у жд е н и я п р о а н а л и з и р у е м д и н а ми ч е ск и е п о д а т л и в о с т и . Д ля э т о г о р а с с м о т р и м р е ж и м у ст а н о в и в ш и х с я в ы н у ж д е н н ы х колеб ан и й . И с т о ч н и к о м во збу жде н и я с ч и т а е м у п р у г и е в и б р ац и и струн , сов ер шаю щи е к о л е б а т е л ь н ы е д в и ж е н и я “ в п ло ск о сти ” д е ки . С т р у н а в о з б у ж д а е т с я " щи п ко м": д ля э т о г о её п р е д в а р ит е л ь н о о т т я г и в а ю т , з ат е м – о т п у с к ают . Сд елаем о д н о в аж н о е отсту пление . Э к сп ери м ентально у с т ановлено:

δ

=

лог а риф ми ч еский

0,377

( таб л . 6 ,

декремент

с т р .8 7),

для

ко лебаний

для

металлической

деки

стр у ны

δ = 0 , 0 0 0 4 [ 6 1 ] . С л е д о в а т е л ь н о , д ли т е л ьно ст ь с в о б о д н ы х виб р ац и й с т р у н , к а к ав тоно мной д и н а м и ч е с к о й си ст емы , по чти н а т р и п о р я д к а вы ше, ч е м д е ки . В э т и х условиях , о ч е в и д н о , у п р у г и е вибр аци и с т р у н мо жно р а с с м а т р и в а т ь к ак с в о б о д н ы е ( возб у ж дение обусловлено

начальным

возд ей ст ви ем ) , а к о л е б а т е л ь н ы е

д в и ж е н и я д ек и – как в ы н у ж д е н н ы е . С н е к о т о р ы м п р и б л и ж е н и е м п р о ц е с с си лово го во збу ждени я мо жно с ч и т а т ь г ар мо н и ч е ск и м . Д л я р а с ч е т а у ст а н о в и в ш и х с я а м п л и т у д во спо л ьзу е мся си сте мой о б ы кн о в ен н ы х диф фер ен ци альных у р а в н е н и й (2.18 ) . Ко леб а -

126

тельн ы е д в и ж е н и я д е ки пред ст ав и м в вид е су перпо зиции 2 0 - ти низших с о б с т в е н н ы х фо рм . Н а р и с . 6 . 1 д и н а ми ч е ск и е п о д а т л и в о с т и u 1 1 , u 4 4 , u 7 7 пост р о е ны в вид е сп ектр а а мп ли т у д , р а с с ч и т а н н ы х на р е зо н ан сн ы х ч а ст о тах . Ко нст а тир у ем , д и н а м и ч е с к и е п о д а т л и в о с т и з а в и с я т о т ч астоты во збужд ен ия . Н а и б о л ь ш и е п о д а т л и в о с т и н а б л ю д а ю т с я н а 8 ми п ер в ы х резо нансных часто т ах в д и а п а з о н е д о 6 3 0 Гц . И ме н н о н а э т и х ч а с т о т а х следу ет о ж и д а т ь н аи б о л е е г р о м к и е звуки . По м е р е у в е ли ч ени я ч а сто т ы возбу жд ени я р е зо н ан сн ы е а мп л и т у д ы п л а в н о у ме нь ш аю т с я . Х а р а к т е р ы и з м ен ен и й а м п л и т у д u 1 1 , u 4 4 , u 7 7 в зави си мо сти о т ч а сто т ы в о з б у ж д е н и я , в ц е ло м, я вляют ся и д е н т и ч н ы м и . Дин а ми ч ес ки е п о д а т л и в о с т и п о д чи н я ют ся т е м же з а к о н о м ер н о с т я м , что и ст ати ч еск ие п о д а т л и в о ст и . Стру ны 1 и 7, р а сп о ло ж е н н ы е по к р а я м п о д с т а в к и , вызы вают б о л е е си льн ы е р е акции деки , ч е м ц е н т р а л ь н а я с т р у н а 4 . Н а р и с. 6 . 2 по строены д и н а м и ч е с к и е п о д а т л и в о с т и w 1 1 , w 4 4 , w 7 7 , р а с с ч и т а н н ы е в н а п р а вл ен и и н о р м а л и к п о вер х н о сти д е к и в зави си мости о т ч ас т о т ы возбу ж дени я . С л е д у е т о т м е т и т ь , ч т о а мп л и т у д ы w j j ( j = 1 , 4 , 7 ) н а пер вой резо нансной ч а сто т е з н а ч и тельн о превосх о дят о с та л ьн ы е . Пр и эт ом w 7 7 > w 4 4 > w 1 1 . По м е р е у в е л и ч е н и я ч а с т о т ы в о з б у ж д е н и я д и н а м и ч е с к и е п о д а т л и в о ст и плавно уменьшаются.

127 u11,·10-8 м/Н

35

F0 sin(ω t)

30 25

7 4 1

20 15 10 5

f, Гц

0 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

u44,·10-8 м/Н

35 30 25 20 15 10 5

f, Гц

0 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

u77,·10-8 м/Н

35 30 25 20 15 10 5

f, Гц

0 0

200

400

600

800

1000

1200

Рис.6.1. Динамические податливости деки (uii)

1400

128 F0 sin(ω t)

w11,·10-8 м/Н

400 300

7 4 1

200 100

30 20 10 0

f, Гц 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

w44,·10-8 м/Н

400 300 200 100

30 20 10 0

f, Гц 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

w77,·10-8 м/Н

400 300 200 100

30 20 10 0

f, Гц 0

200

400

600

800

1000

1200

Р и с . 6 . 2 . Д и н а м и ч е с к и е п о д а т л и в о с т и д е к и ( wii)

1400

129

6.2.

Зависимость

резонансных

амплитуд

от

сх емы

под кр е пл ения О ч е в и д н о , что в о з б у жд е н и е п о л у ч а е т с я т е м си льнее , чем больше м а с с а , си ла н ат яж ен и я и а м п л и т у д а вибр ац ий с т р у н ы . Рассмотрим

поведение

деки

б а с о в о й с т р у н ы 7. А мп л и т у д у

при

гармонических

вибрационной

вибр ациях

нагру з ки п р и м е м

F 0 = F 7 / 1 0 = 1 0 , 1 Н . З д е с ь F 7 – си ла п р е д в а р ит е л ь н о г о н а т я ж е н и я б а с о в о й стру ны ( стр . 1 05). Сх ема п р и л о ж е н и я н а г р у зк и п о к а з а н а н а р и с.6 .1. Исследу е м 3 вариан та констру кции п о д к р еп л е н и я : в а р и ан т ы 1 и 2 – схемы 2 и 3 н а р ис .4.2 и в ар и ан т 3 – сх ема н а р ис .6.3 . Д л я в а р и ан т а 3 р а з м е р ы по пер е чно г о с е ч е н и я п р у ж и н о к В× Н = 5 × 4 мм; д ли н ы L 1 = L 6 = 2 0 0 м м, L 2 = L 5 = 210 м м , L 3 = L 4 = 2 2 0 м м . То лщина п л а ст и н ки h = 3 м м . 3

2

1

П1 П2 П3

П4 П5 П6 Рис.6.3. Комбинированная схема подкрепления

От мети м ,

что

в

отличие

от

в ар и а н т о в

1

и

3,

в ар и а н т

п о д кр еп л ени я 2 не о б л а д а е т с в о й с т в о м с и м м е т р и и . В а р и а н т ы 1 и 2 соответствуют схемам с поперечным расположением пружинок, вар и ант 3 – ко мбинир ованной сх еме ( со четание п о п е р еч н о г о и веерног о р ас п о ло ж ен и я п р у ж и н о к ). Выпо лним р ас ч еты а м п л и т у д в и б р о п е р е м е щ е н и й т о ч е к 1 , 2 , 3 ( р и с .6.3 ) на 2 0 - ти низших р е зо н ан сн ы х ч ас т о т ах . Д ля р а с ч е т а

130

воспользуемся к аж д о г о

методикой, представленной

вари ант а

п о д кр еп л ени я

в

разделе 2. Для

примем

характеристику

демпфирования δ = 0,377. На рис.6.4 – 6.6 представлены спектры расчетных амплитуд в и б р о п е р е м е щ е н и й то чек 1 , 2 , 3 . Из ан ализ а с п е к т р а л ь н о г о со ст ав а

а мп ли т у д

следует,

–

для

симметричных

вар и антов

п о д к р еп л е н и й 1 и 3 и м е ет место р е з ко е о т л и ч и е а м п л и т у д н а ч а с т о т а х f = ν 1 и f = ν 2 . Это обсто ят е льство о б ъ я сня е тс я т е м, что пер вая

собств енн а я

форма

ко лебаний

деки

являет с я

симметр ичной , а в т о р а я – к о с о с и м м е т р и ч н о й ( р и с .5.2 ). То чки 1 , 2,

3

расположены

на

линии

симметрии,

котор а я

для

ко со с и м м ет р и чн о й формы со в пад ает с у з л о в о й линией . К а ж д а я собственная

форма

по - своему

реагирует

на

д ей с т ви е

в и б р а ц и о н н о й н а г р у зк и . Вот почему к аж д а я т о ч к а деки и м е ет сво й со бст в енн ы й сп ек тр р езо н ан сн ы х а м п л и т у д. П р и ч ё м, п р и п е р е х о д е о т т о ч к и 1 к т о ч к е 3 п р о я в л я ю т с я дост ато чно п р о ти в о р е ч и в ы е т е н д е н ц и и . Н е з а в и с и мо о т в ар и а н т а п о д кр еп л ени я

амплитуды

ко лебаний

на

первой

собственной

ч ас т о т е ( f = ν 1 ) у в е л и ч и в а ю т с я , н а б о л е е высо ких ч ас т о т ах ( f = ν 2 , ν 3 , … , ν 2 0 ) , н а о б о р о т , у ме н ь ш аю тс я . Р а с п р е д е л е н и я резо нансных а м п л и т у д д л я в а р и ан т о в 2 и 3 полу чаются б о л е е однородными , ч е м д л я вар иант а 1. Сп ектр резо нансных

амплитуд

для

вар иант а

3

получается

более

п л о т н ы м , ч е м для в ар и ан т а 2 . В п е р в о м слу ч ае ν 2 0 = 1 1 1 6 Г ц , во в т о р о м ν 2 0 = 1 2 7 8 Гц . Это об сто ят е льство ( б о л е е о д н о р о д н ы й и п ло т н ы й сп ектр резо нансных

а м п л и т у д)

позволя ет

ожидать,

что

дека

с

к о м б и н и р о в а н н о й сх емой п о д к р еп л е н и я б у д е т и з л у ч а т ь б о л е е я р к и й , н а сы щ ен н ы й о б е р т о н а м и з в у к .

131 w,·10-6 м

60 50 40 30 20 10 8 6 4 2

f, Гц

0 0 60 50

200

400

600

800

1000

1200

1400

w,·10-6 м

40 30 20 10 8 6 4 2

f, Гц

0 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

w,·10-6 м

60 50 40 30 20 10 8 6 4 2

f, Гц

0 0

600 800 1200 1400 400 1000 200 Рис.6.4. Спектры амплитуд виброперемещений точки 1

132 70 60 50 40 30 20 10

w,·10-6 м

8 6 4 2

f, Гц

0 0 70 60 50 40 30 20 10

200

400

600

800

1000

1200

1400

w,·10-6 м

8 6 4 2

f, Гц

0 0 70 60 50 40 30 20 10

200

400

600

800

1000

1200

1400

w,·10-6 м

8 6 4 2

f, Гц

0 0

200

400

600

800

1000

1200

Рис.6.5. Спектры амплитуд виброперемещений точки 2

1400

133 w,·10-6 м

80 60 40 20

8 6 4 2

f, Гц

0 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

w,·10-6 м

80 60 40 20 8 6 4 2

f, Гц

0 0 80

200

400

600

800

1000

1200

1400

w,·10-6 м

60 40 20 8 6 4 2

f, Гц

0 0

200

400

600

800

1000

1200

Рис.6.6. Спектры амплитуд виброперемещений точки 3

1400

134

6 . 3 . З а в и с и м о с т ь р езо на нсны х а м п л и т у д о т высо ты р ёб е р жёсткости В р азд е л е 5 .2 .3 п о к а з а н о , ч т о с у в е л и ч е н и е м высо ты рёбер ж е с т к о с т и ( п р у жи н о к ) с о б с т в е н н ы е ч а сто т ы д е ки у в е л и ч и в а ю т с я . П р о ан а л и з и р у е м в л и я н и е р а з м е р о в р ёб ер ж е ст ко сти н а а мп ли т у д ы вы н у жд е н н ы х ко лебани й . Р а с с м о т р и м д е к у 3 ( р и с .4.2) . При м е м вы соту п р у ж и н о к H = 12, 13 и 1 4 м м . П р о ц е с с в о з б у ж д ен и я колеб ан ий с в я з ы в а е м с г а р м о н и ч е с к и м и вибр ациями с т р у н ы 1. С ч и т а е м а м п л и т у д у в ы н у ж д а ю щ е й си лы F 0 = F 1 / 1 0 = 7 , 1 Н , г д е F 1 – си ла п р е д в а р и т е л ь н о г о н а т я ж е н и я с т р у н ы 1 ( стр . 105). Ло гарифмический декремент колебаний δ = 0,377. Н а р и с . 6 . 7 п р е д с т а в л е н ы сп ек тры а м п л и т у д в и б р о п е р е м е щ е н и й то чки 3 , р а с с ч и т а н н ы е н а 2 0 - ти н и з ши х р ез о н а н с н ы х ч а с т о тах . Р е з у л ь т а т ы свид ет ельству ют , с у ве ли ч ен ие м р аз м ер а H а мп л и т у д ы колебаний на перво й резо нансной ч а сто т е у в е л и ч и в а ю т с я, о ст а л ьны е, н а о б о р о т , у м е н ь ш а ю т с я . При H = 12 м м спектр р езо н ан сн ы х а м п л и т у д п о л у ч а е т с я б о л е е р о в н ы м и п л о тн ы м п о с о ст аву , ч е м п р и H = 14 м м . В п ер во м с л у ч а е ν 2 0 = 1 2 8 0 Гц , во вто р о м ν 2 0 = 1 4 5 3 Гц . От мети м , по лу ченные р е з у л ь т а т ы к а с а ю т с я в и б р о п е р е м е щ е н и й т о ч к и 3, б л и зко р а спо ло ж е нно й к п о д с т а в к е д л я с т р у н . О ч евидно , сп ектры резонансных а м п л и т у д д р у г и х точек деки мо гут о т л и ч а т ь с я о т т о чк и 3 . В м е с т е с т е м н е ль з я не о т м е т и т ь , ч т о о т д е л ь н ы е с о с т а в л я ющи е сп ектр а ко лебаний не п о д ч и н я ю т с я о б щ и м з а к о н о м ер н о с т я м . Так а м п л и т у д ы колеб ан и й н а в т о р о й р ез о н а н с н о й ч а с т о т е п р а кт и ч е с к и не и з м е н я ю т с я . А мп ли т у д ы шестой , в о с ь мо й и д е в я т о й со ст ав ляю щих сп ектр а с у в е л и ч е н и е м H о б о р о т, н е с к о л ь к о у в ел ичи ва ют с я .

н е у м е н ь ш а ю т с я , а н а-

135 w,·10-6 м

60 50 40

H = 12 мм

20 30 10 6 4 2 0

f, Гц 0

200

400

600

800

1000

1200

w,·10-6 м

60 50 40 30

1400

1600

H = 13 мм

20 10 6 4 2 f, Гц

0 0 60 50 40 30 20 10

200

400

w,·10-6 м

600

800

1000

1200

1400

1600

H = 14 мм

6 4 2 f, Гц

0

400 200 600 800 1000 1200 1400 1600 0 Рис.6.7. Спектры резонансных амплитуд в зависимости от высоты рёбер жёсткости

136

6.4. З а в и с и м о с т ь резо на нсных а м пл и ту д о т у р о в н я д е м п фирования Из в е стн о , что т е мб р , ч и сто т а и д л и т е л ь н о с т ь излу чения зву ка зави сят о т спо собно ст и деки д е м п ф и р о в а т ь у п р у г и е к о л е б а н и я . Ид еальн о й п р и н я т о с ч и т а т ь д ек у , котор а я р авн о м ер но у си ли ва е т колеб ан ия во в с е м ди ап азо не ч а сто т в о з б у ж д ен и я . Р а с с м о т р и м сп ектры р е зо н ан сн ы х а м п л и т у д ко лебаний деки 3 ( р и с .4.2 ) в з ави си мо сти о т у р о в н я д е м п ф и р о в а н и я . Д е мп ф и р о в а н и е о п и сы в а е м на о сно вании э к с т р ап о л я ц и и ( 2 . 4 6 ) . П р о ц е с с возб у ж д е н и я ко лебани й с ч и т а е м к ак м о н о г а р мо н и ч е с к и й . Силу с а м п л и т у д о й F 0 = 1 Н п р и к л а д ы в а е м в то чке 1 в напр авлении н о р мали к пло с кости деки . П р и в е д е н н ы е а м п л и т у д ы в и б р о п е р е м е щений , н о р м а л ь н ы х к п ло ско с т и деки , фиксиру е м в то чке 1 ( р а сс ч и т ы в а е м по ф о р м у л е ( 4 . 2 ) ) . Н а р и с. 6 . 8 п р е д с т а в л е н ы сп ектры р ез о н а н с н ы х а м п л и т у д , рассчитанные

при

ло гари ф м ических

декрементах

δ = 0,157;

δ = 0,377; δ = 0 , 6 2 8 со о т в ет ст в ен н о . Н а о с н о в а н и и сопо ст ав и т е л ь н о г о ан али за с п е к т р о в а м п л и т у д о тм ет и м следую щи е х ар а ктерны е о с о б е н н о с т и : • С у в е ли ч ен и е м лог ариф ми ч еско го д е к р е м е н т а δ о т 0 , 1 5 7 д о 0 , 6 2 8 в о б л а с т и н и з ш и х ч а ст о т р е з о н а н с н ы е а мп ли т у д ы у м е н ьш а ю т с я в 3 – 4 р аз а . • И з м е н е н и е а м п л и т у д в о б л а с т и ср едн их и в ы с ши х ч ас т о т п р о я в л я е т с я м е н е е з н а ч и т е л ь н о . В р е зу л ьт ат е ч ег о со ст ав сп ек т р а резо нансных а м п л и т у д ст ано ви тся б о л е е о д н о р о д н ы м . Н а п р а к т и к е д и с с и п а т и в н ы е св ойст в а д е к с т р у н н ы х М И р е г улиру ют ся, в ч а с т н о с т и , п у т е м н а д л е ж а щ е г о п о д б о р а конст р у к ц и о н н ы х м а т е р и а л о в , со ст ав а к л е ё в и л а к о в ы х п о к р ы т и й .

137 q0, м/H

50 40 30 20 10

F0 sin(ωt) 1

2

3

4 3 2 1 0

f, Гц

0 50 40

200

400

600

800

1000

q0, м/H

1200

1400

δ = 0,377

30 20 10 4 3 2 1 0

f, Гц

0

50

200

400

600

800

1000

q0, м/H

1200

1400

δ = 0,628

40 30 20 10 4 3 2 1

f, Гц

0 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Рис.6.8. Спектры резонансных амплитуд в зависимости от уровня демпфирования

138

Вы вод ы по г л а в е 6 1 . Со ст авлены

матрицы

ст ат ич еских

п о д ат ли в о ст ей

точек

кр еп лен и я стру н к д ек е . П о к а з а н о , ч т о н а и м е н ь ш е й п о д а т л и в о ст ью в п р о д о л ь н о м н ап р ав л ен и и об лад ает т о ч к а кр еп лени я ц ен т р а л ь н о й с т р у н ы , н а и б о л ь ш е й – т о ч к и к р е п л е н и я б а с о в о й и д и ск анто во й стру н , р ас п о ло ж ен н ы х по кр аям п о д ст а вк и . Под а тли в о с т ь д е ки в н ап р ав л ен и и с т р у н п о л у ч а е т с я п о ч т и н а д в а п о р яд к а м е н ь ш е, ч е м п о д ат ли во ст ь д еки в н ап р а вл ен и и н о р м а л и . 2 . Дин а ми ч ес ки е п о д а т л и в о с т и п р ед ст ав лены в вид е с п е к т р о в а м п л и т у д, р а с с ч и т а н н ы х на р езо нансных ч а сто т а х в п о л о с е о т 8 0 д о 1 4 0 0 Гц . У с т а н о в л е н о , что н а и б о л ь ш и е д и н а м и ч е с к и е п о д а т ливо сти и м е ю т место д о 6 3 0 Гц . По м е р е у в е л и ч е н и я ч а сто т ы возбу жд ени я д и н а м и ч е с к и е п о д а т л и в о с т и п л ав н о у м е н ь ш а ю т с я . С т р у н ы , р а с п о л о ж е н н ы е по кр аям п о д с т а в к и , вызы вают б о л е е си льны е д и н а ми ч ес ки е р е а к ц и и , ч е м ц е н т р а л ьн а я стру н а . 3 . По каз ан о , ч т о д и н а м и ч е с к а я п о д ат ли во ст ь д е к и на п е р в о й резо нансной ч а сто т е в п о п е р е ч н о м н ап р ав л ен и и на п о р я д о к в ы ш е , ч е м в п р о д о л ьн о м. 4 . И с с л е д о ва н ы з а в и си мо с т и с п е к т р о в р е зо н ан сн ы х а м п л и т у д о т сх емы п о д к р еп л ени я д е ки . По каз а но , что к о м б и н и р о в а н н а я сх ема , с о ч е т а ю щ а я по пер е чно е и в е е р н о е р а с п о ло ж е н и е п р у жи н о к , и м е ет б о л е е р о в н ы й и п л о т н ы й спектр а м п л и т у д по сравн ен и ю с п о п ер е чн ы м р а с п о л о ж е н и е м п р у жи н о к . 5 . По каз ан о , что в условиях си ло вого г а р м о н и ч е с к о г о в о з б у ж д е н и я , и м и т и р у ю щ е г о у п р у г и е в и б р а ц и и с т р у н , р аз л и ч н ы е т о чки деки и м е ю т с в о и соб ст в енны е с п е к т р ы р езо н ан сн ы х а м п л и т у д. 6 . Р а с с м о т р е н ы зави си мо сти с п е к т р о в р е зо н ан сн ы х а м п л и т у д о т вы со ты р ёб е р ж ё ст к о сти ( п р у ж и н о к ) . У ст а н о в л е н о , что с увели чени ем р а з м е р о в п р у жи н о к а м п л и т у д ы ко лебани й н а п ер во й

139

резо нансной

ч а сто т е

увеличиваются,

о ст а ль ны е,

наоборот,

уменьшаются. 7 . Выпо лн ен ан ализ з ави си мо ст ей сп ек т ров р е з о н а н с н ы х ам плитуд о т у р о в н я д е м п ф и р о в а н и я . У с т а н о в л е н о , что с у ве ли ч ен и е м д е м п ф и р о в а н и я р езо нансные а м п л и т у д ы у м е н ь ш а ю т с я , со ст ав сп ектр а а м п л и т у д ст ано вит ся б о л е е о д н о р о д н ы м .

140

Общие выводы Получено

решение

прикладной

научно - технической

проблемы , имеющей важное народно - хозяйственное и социально культурное

значение,

в

рамках

которой

решены

следующие

задачи : 1 . Разработана

методика исследований динамики корпусных

элементов конструкций струнных МИ. 2 . Построена

резонансной

конечно - элементная

деки .

Элементы

динамическая

корпуса

модель

представлены

как

предварительно напряжённые тонкостенные слоистые оболочки с асимметричным н а б о р о м рёбер жёсткости . Разрешающая система уравнений

получена

на

основе

смешанной

вариационной

формулировки Хеллингера – Рейсснера и теории тонких оболочек Тимошенко . Расчётная модель реализована в вид е компьютерной программы . 3 . Путём сопоставительного анализа результатов расчётов с

данными известных аналитических и численных решений , а также прямого эксперимента , поставленного на реальной конструкции , дано

обоснование

разработанной

модели

МКЭ .

Рассмотрены

задачи статики , динамики и устойчивости . 4 . Проведено экспериментальное исследование механических

колебаний изготовлена

гитарной

деки .

специальная

С

э той

установка .

целью

спроектирована

Разработаны

и

методики

измерений собственных частот и ф о р м, констант демпфирования и амплитуд вынужденных колебаний . На основании методики Хладни исследованы низшие собственные формы . 5 . Поставлена

серия

экспериментов ,

в

ходе

которых

определены физико - механические характеристики материалов и установлены п о р о д ы древесины .

141 6 . В зависимости о т натяжения струн колками исследованы

у п р у г о е деформирование и напряжённое состояние деки . 7 . Проведены

г и тар н ой

деки

вычислительные исследовано

эксперименты . влияние

На

примере

конструктивных

и

технологических факторов на спектр колебаний . 8 . На основе сопоставительного анализа спектров собственных

частот

струн

и

двух

вариантов

конструкций

гитарной деки

установлено преимущество о д н о г о из вариантов . 9 . В полосе частот о т 8 0 д о 5 6 0 Гц построены АЧХ гит а р н о й

деки .

Исследованы

зависимости

АЧХ

от

точки

приложения

вибрационной нагрузки и схемы подкрепления деки рёбрами жёсткости . 10.

полости

С

целью и

струн

оценки на

влияния

акустической

динамические

внутренней

характеристики

деки

проведены эксперименты . Результаты измерений обработаны п р и помощи методов ц и ф р о в о г о спектрального анализа . 11.

Получены

значения

статических

и

динамических

податливостей точек крепления струн к деке . 12.

Построены спектры резонансных амплитуд гитарно й деки

в условиях гармонического возбуждения , имитирующего у п р у г и е вибрации струн . В результате анализа поведения деки акустической гитары установлены следующие закономерности : • Подкрепление

деки

рёбрами

жёсткости

оказывает

существенное влияние на её собственные формы и частоты , п р и в о д и т к заметному уменьшению амплитуд колебаний . • Рёбра жёсткости увеличивают демпфирующую способность деки . Дека с подкреплениями обладает более р о в н ы м спектром резонансных амплитуд , чем дека без подкреплений .

142

• Акустический резонатор “ обогащает ” спектр резонансных амплитуд деки новыми компонентами . • Собственные частоты деки с резонатором мало отличаются о т собственных частот деки без резонатора. • Начальное

напряжённое

состояние ,

обусловленное

предварительным натяжением струн, практически не оказывает влияния на спектр колебаний деки . • Спектры

колебаний

деки

проявляет

высокую

чувствительность к изменениям толщины пластинки и высоты рёбер жёсткости , к условиям закрепления деки по к о н т у р у . • Басовые и дискантовые струны , расположенные по краям подставки , вызывают более сильные динамические реакции , чем центральная струна. • Наибольшие динамические податливости деки наблюдается в полосе д о 6 3 0 Гц . По мере увеличения частоты возбуждения динамические податливости плавно уменьшаются . • Комбинированная

схема

подкрепления ,

сочетающая

поперечное и веерное расположение п р у ж и н о к , обладает более ровным

и

плотным

спектром

резонансных

амплитуд

по

сравнению с поперечным расположением п р у ж и н о к . • В условиях силового моногармонического возбуждения , имитирующего у п р у г и е вибрации струн , каждая точка деки имеет свой собственный спектр резонансных амплитуд . Разработанная в диссертации методика расчёта внедрена н а фирме по производству музыкальных инструментов ЗАО "Этюд Урал". Результаты математического моделирования используются н а практике п р и проектировании и производстве акустических гитар

с

мензурой

650

мм.

Компьютерные

программы

применяются в учебном процессе МарГТУ в курсах “ Основы

143

автоматизированного

проектирования изделий ” и “ Численные

методы в инженерном деле”.

144

С П И С О К И С П ОЛ ЬЗ О ВА Н Н О Й Л И Т Е РАТ У Р Ы 1.

А л ф у т о в Н. А ., Зино вь ев П. А ., П о п о в Б .Г . Р ас ч ет мно г о -

с л о й н ы х п л а с т и н и о б о л о ч е к и з ко мпо зиционных м а т е р и а л о в . – М. : М а ш и н о с т р о е н и е , 1 9 8 4 . – 2 6 3 с. 2.

А л ф у т о в Н. А . О с н о в ы р а с ч е т а н а у с то йчи во ст ь у п р у г и х

си ст ем . – М .: М а ш и н о с т р о е н и е , 1978. − 3 1 1 с. 3.

А м б а р ц у м я н С . А . О б щ а я т ео р и я р а сч ет а а н и з о т р о п н ы х

о б о л о ч е к . – М .: Н а у к а , 1 9 7 4 . − 4 4 6 с. 4.

А н д р е е в А. Н ., Н е м и р о в с к и й Ю . В. М н о г о с л о й н ы е анизо -

т р о п н ы е п л а с т и н ы и оболочки : Изг иб , у с т о й ч и в о с т ь, ко л еб ан и я . – Но во сибирск : Н а у к а , 2 0 0 1 . – 2 8 8 с. 5.

А н д р е е в Н. Н . О д ер е в е д ля м у з ы к а л ь н ы х инстру м ентов

// Сб . тр . Н И И М П. − М . − Л. − 1 9 3 8 . − В ы п .1 .− С .11 − 1 8 . 6.

Аш к еназ и Е .К ., Г а н о в Э . В. А н и з о т р о п и я к о н с т р у к ц и о н н ы х

м а т е р и а л о в . – Л .: М а ш и н о с т р о е н и е , 1 9 8 0 . – 2 4 7 с. 7.

Ар тамо нов С . С . З а м е ч ан и я и н же н ер а о м е х а н и з м а х з в у -

ч ан и я и н с т р у м е н т о в с к р и п и ч н о г о с е м е й с т в а // Музы кальн ая а к а д е м и я . − 1 9 9 6 . − №3 . − С . 1 2 1− 1 2 4 . 8.

Ба бако в И .М . Т е о р и я ко лебаний . – М .: Н а у к а , 1 9 6 8 .

− 5 5 9 с. 9.

Бак улин В. Н ., Р а с с о х а А .А . М е т о д кон е чных э л е м ен т о в и

г о л о г р а ф и ч е с к а я и н т е р ф е р о м е т р и я в м е х а н и к е к о м п о з и т о в . – М. : М а шино стро ени е , 1 9 8 7 . – 3 1 2 с . 1 0 . Банда с Л.Л ., К у зн ец о в И. А . П р о и з в о д с т в о и р е мо нт щ и п ковых м у з ы к а л ь н ы х и н с т р у м е н т о в .– М .: Л ёг к а я п р о м- с т ь , 1 9 8 3 . – 2 8 8 с. 1 1 . Ба те К ., Вил со н Е . Чи сленны е м е т о д ы ан али з а и м е т о д к о н еч н ы х э л е м е н т о в . – М. : С т р о й и з д а т , 1 9 8 2 . – 4 4 8 с .

145

1 2 . Белкин А .Е ., Г а в р ю ш и н С . С . Р а сч е т п л а ст и н м е т о д о м ко н е ч н ы х элемен тов : Учебно е п о со б и е . – М .: Изд - во МГ ТУ и м . Н. Э . Б а у м ан а , 2 0 0 3 . – 1 5 1 с. 1 3 . Б е л о в А .И . Исследов ан ия д е к клави ш ных и н с т р у м е н т о в // От чет Н И И М П. − Л. , 1 9 4 0 . 1 4 . Б е л о в А .И ., Уго л ьнико в Н. И . Ч а с т о т н ы е х а р а к т е р и с т и к и излу чения д е к клави ш ных и н с т р у м е н т о в // Сб . т р у д о в Н И И М П.– 1 9 4 1 . − Вып . 3 . – C . 3 4 – 4 8 . 1 5 . Б е л о в С .И ., Ба ндас Л . П., Мин и н А. Е . Щипко вые му з ы к ал ь н ы е инстру менты . – М .: Г о л е с б у ми з д а т , 1 9 6 3 . – 2 4 0 с. 1 6 . Б е р д и ч е в с к и й В .Л . В а р и а ц и о н н ы е пр инципы м ех а н и к и сп ло шн ой ср ед ы .– М .: Н а у к а , 1 9 8 3 . – 4 4 8 с. 1 7 . Б е р т Ч . Р а с ч е т о б о л о ч е к // Ко мпозицио нные м а т е р и а л ы . В 8 - ми т . – М. : М а ш и н о с т р о е н и е , 1978. – Т .7, Ч .1 . А н а л и з и п р о е ктирование конструкций – С.210–264. 1 8 . Бид ерма н В .Л . Т е о р и я м е х ан и ч е с к и х к о л еб ан и й . – М . : В ы с ш а я шко л а , 1 9 8 0 . – 4 0 8 с. 1 9 . Биргер И. А ., М а в л юто в Р. Р . С о п р о т и в л е н и е м а т е р и а л о в .– М. : Н а у к а, 1 9 8 6 . – 5 6 0 с . 2 0 . Боло ти н В .В . , Моска л ен ко В .Н . К о л е б а н и я п л а с т и н о к // Про ч ност ь , у ст о й чи во с т ь , колеб ан и я : Спр аво чни к . В 3 - х т. / Под р ед . И. А . Б и р г е р а , Я.Г . Пано вко . – М. : М а шино стро ени е , 1968. – Т. 3. – С.370–416. 2 1 . Боло ти н В. В . Д и н а м и ч е с к а я у ст о й чи во с т ь у п р у г и х си ст е м . − М. : Г о с т е х и з д а т , 1 9 5 6 . – 6 0 0 с . 2 2 . Боло ти н В. В ., М а к а р о в Б . П., М и ш ен к о в Г . В. и д р . А с и мп т о т и ч е с к и й м е т о д и сследов ан ия сп ек тра со бств енных ч а сто т у п р у г и х пластино к . / / Р а с ч е т ы н а п р о ч н о с т ь .- М . : М а шг и з , 1 9 6 0 . − Вып .6 . − С . 2 3 1 − 2 5 3 .

146

2 3 . Боло ти н В . В., Нови чко в Ю . Н. М ех ан и к а

мно г ослойн ых

к о н стру кций . – М. : М а ш и н о с т р о е н и е , 1 9 8 0 . – 3 7 6 с. 2 4 . Брэ гг У . М и р с в е т а . Ми р з в у к а . − М. Н а у к а . 1 9 6 7 . − 3 3 5 с . 2 5 . Ванин Г . А. Ми к ромех ан ик а ко мпозицио нных м а т е р и а л о в . – Ки ев : Н а у к . д у м к а , 1 9 8 5 . – 3 0 2 с. 2 6 . Ва сидз у К. В а р и а ц и о н н ы е м е т о д ы в т е о р и и упруг о с т и и п л а с т и ч н о с т и .– М. : Мир , 1 9 8 7 . – 5 4 2 с . 2 7 . Ва силь ев В . В. М ех ан и к а к о н с т р у к ц и й из ко мпозицио нных м а т е р и а л о в .– М .: М а ш и н о с т р о е н и е , 1 9 8 8 . – 2 7 2 с . 2 8 . Вибр ац ии в т е х н и к е: Спр а вочник в 6 т. / Ко леб ани я ли н е й н ы х с и с т е м / Под р ед а кц и е й Бо ло тина В . В . − М . : М а ши н о стро ени е , 1 9 7 8 . − Т .1. − 3 5 2 с. 2 9 . Вибр ац ии в т е х н и к е: Спр а вочник в 6 т./ Ко леб ани я м а шин

констру кций

и

их

э л ементо в /

Под

редакцией

Дим ен т берга Ф .М . и К о л е с н и к о в а К . С . − М.: М а шин о стро ен и е , 1 9 8 0 . − Т .3 − 5 4 4 с. 3 0 . Ви тачек О. Е . Очерки по и з г о т о в л е н и ю музы к альных и н струментов.− Музгиз, 1952. 3 1 . Воль мир А . С., К у р а н о в Б . А., Т у р б о в с к и й А .Т . Ст атик а и динамика

сло ж ных

структур.

–

М.:

Машиностроение,

1989.

– 248 с. 3 2 . Вин сон Ж . Р., С и р а к о в с к и й Р .Л . По в ед ени е ко нстру кц и й из

ко мпозицио нных

материалов.

–

М .:

Металлургия,

1991.

– 264 с. 3 3 . Г а в р ю ш и н С . С ., К о р о в а й ц е в А. В . Мето ды р а с ч е т а э ле м ен тов

ко нстру кц ий

на

Э В М.

–

М. :

Изд - в о

ВЗ ПИ,

1991.

–

1 6 0 с. 3 4 . Г а л е м б о А. С . Ф о р т е п и а н о . Качество з в у ч а н и я . − М .: Л ег п р о м б ы т и з д а т , 1 9 8 7 . − 1 6 3 с.

147

3 5 . Г а л л а г е р Р. М ет о д ко нечных элемен тов . О с н о в ы . – М. : Мир , 1 9 8 4 . – 4 2 8 с. 3 6 . Г о л о в а н о в А . И. , Б е р е ж н о й Д. В . М ет о д конечн ых элемен т о в в м е х а н и к е д е фо р ми р у е м ы х т в е р д ы х т ел . − К а з а н ь: И з д - во “ Д А С ” , 2 0 0 1 . − 3 0 1 с. 3 7 . Г о р б а ч е в К. П . Метод к о н е ч н ы х элементо в в расч ет ах п р о ч н о с т и .– Л .: Судо стр о ени е , 1 9 8 5 . – 1 5 6 с. 3 8 . Г у т и н Л. Я. Р ас ч ёт м а н д о л и н ы // Ж у р н а л т ех н и ч е ско й фи з и к и. − 1 9 3 7 . − Т.7, № 1 0 . − С. 7 8 - 8 5 . 3 9 . Демь ян ов Ю . А . К у т о ч н е н и ю теории к о л е б а н и й му зы к ал ь н ы х струн / / Д о к л. Р А Н. − 1 9 9 9 . − 3 6 , №4 . – С. 4 6 1 – 4 6 5 . 4 0 . Д ен - Г а р т о г Дж .П . М е х ан и ч е с к и е колебани я . − М .: Ф и зм а т г и з , 1960. − 5 8 0 с. 4 1 . Дон елл Л.Г . Б а лк и , п л а ст и н ы и о б о л о ч к и . − М. : Н а у к а, 1982. − 568с. 4 2 . Дь яконо в Н. А . П р о и з в о д с т в о р о ял ей и п и а н и н о .– Р о с г и з м е с т п р о м , 1 9 5 5 . – 3 7 0 с. 4 3 . Ер ем енк о С .Ю . М ет о д ы к о н еч н ы х элементо в в м е х а н и к е д е ф о р м и р у е м ы х т е л . – Х а р ь к о в : И з д – во " О с н о в а " п р и Х Г У, 1 9 9 1 . – 2 7 2 с. 44. Ефремов

А.

Ф о р му л а

идеальной

с к р и п к и //

Хи мия

и

жизн ь . − 1 9 7 9 . − №1 0 – С.89 − 9 3 . 4 5 . Ж у р а в л е в, В .Ф . , К л и м о в Д. М . П р и к л а д н ы е м е т о д ы теор ии колеб ан ий . – М . : Н а у к а , 1 9 8 8 . – 3 2 8 с . 4 6 . Зв езд ки н а Г .Г . Р а з р а б о т к а а к у с т и ч е с к о й т е о р и и ф о р м и р о ван и я п о ло жи т е л ьн ы х муз ы к а льно - а к у с т и ч е с к и х свой ст в щи п ко вых и н с т р у м е н т о в // Т е х н и ч е с к а я аку с т ик а . – 1 9 9 2 . – Т .1., № 2. − С.67–72.

148

4 7 . З е н к е в и ч О . Метод кон е чных э л е м ент о в в т е х н и к е .– М. : Мир , 1 9 7 5 . – 5 4 1 с. 4 8 . З е н к е в и ч О., М о р г а н К . Кон е ч ные э л е м ент ы и ап прок си м а ц и я .– М .: Ми р , 1 9 8 6 . – 3 1 8 с . 4 9 . Зиновьев П.А. Расчет констру кций и з к о м п о з и ц и о н н ы х материалов:

У ч еб .

п о со б и е .

−

М. :

И з д - во

МВТУ

им.

Н. Э . Б а у м ан а , 1 9 8 2 . – 6 2 с. 5 0 . Зино вь ев П . А. П р о ч н о с т н ы е , т е р м о у п р у г и е и д и с с и п а т и в н ы е х а ракт ери сти ки к о мп о з и т о в // Ко мпо зиционные м а т е р и а л ы : Спр а вочник /

Под

ред .

В .В .

Ва силь ев а ,

Ю . М. Т а р н о п о л ь с к о г о . – М .: М а ш и н о с т р о е н и е , 1 9 9 0 . – С . 2 3 2 – 2 6 7 . 5 1 . Зино вь ев

П . А.

Диссипативные

свойства

моно сло я

// М а ш и н о с т р о е н и е : Э н ц и к л о п е д и я / По д ред . К . С. К о л е с н и к о ва . – М. : М а ш и н о с т р о е н и е , 1 9 9 4 . – Т . 1 – 3 , К н .1 . – С. 3 0 4 – 3 0 6 . 5 2 . К а р м и ш и н А. В . К т е о р и и у п р у г и х т о н к о с т е н н ы х э л е м е н т о в с у ч ето м п о п ер е чн ы х сд ви гов // Пр икладны е п р о б л е м ы п р о чн о с т и и п л а с т и ч н о с т и . Г о р ь к и й : ГГУ , 1 9 8 6 . – С . 7 – 1 7 . 5 3 . К л а ф Р ., П е н з и е н Дж . Дин а ми ка с о о р у ж е н и й . – М. : С т р о й и з д а т , 1 9 7 9 . – 3 2 0 с. 5 4 . К н о э л л А ., Роби нсон Е. Р а с ч е т фер м , б а ло к , р а м и т о н к о ст енн ы х э л ем е н т о в // Ко мпо зиционные м а т е р и а л ы : В 8 - ми т . – М. : М а шино стро ени е , 1 9 7 8 . – Т. 7 . , Ч.1 . А н а л и з и п р о е к т и р о в а н и е к о н стру кций . – С . 1 0 8 – 1 5 3 . 5 5 . К о з л о в с к и й А . Ч е р н ы е с к р и п к и конц а 2 0 в ек а/ / Хи ми я и жизн ь . − 1 9 7 7 . − №5 . – С . 4 0 – 4 3 . 5 6 . К о м а р о в Н. А . Сов ер ш ен ст вов ани е э к сп ери м ентально й у с тано вки для и с с л е д о в а н и я щи пковых музы к а ль ных инстру м ен т о в// Н е к о т о р ы е в о п р о с ы м еханики д р е в е с и н ы . Тр . М Л Т И. – М. , 1 9 7 5 . – Вып .69 . – С . 1 6 8 – 1 7 0 .

149

5 7 . К о м а р о в Н . А. Уто ч н ен н ы й расчет м е н з у р ы щ и п к о вы х му з ы к а л ь н ы х инструменто в // Ново е в т е х н о л о г и и и материалах д е р е в о о б р а б а т ы в а ю щ е й п р о м ы ш л е н н о с т и . Тр . М Л Т И . – М. , 1 9 8 7 . – Вып . 1 9 0 . – С . 9 4 – 9 8 . 5 8 . К о р н . Г ., К о р н Т . Спр ав о чни к п о м а т е м а т и к е д ля н ау ч н ы х р а б о т н и к о в и и н ж е н е р о в . – М. : Н а у к а , 1 9 6 8 . – 7 2 0 с. 5 9 . К о р с а к о в Г . С. Т е х н о л о г и я му зы к альных инстру м ен т о в и з д р е в е с и н ы : У ч е б н о е п о с о б и е .– Л.: Л Т А , 1 9 8 6 . – 7 3 с . 6 0 . К р и с т е н с е н Р . Вв ед ен ие в м еханику ко мпо з итов .– М. : Мир , 1 9 8 2 . – 3 3 4 с. 6 1 . Кузнецо в

Л .А .

Аку с т ика

му зык а льн ы х

инструментов:

Спр а вочник . М .: Л е г п р о м б ы т и з д а т , 1 9 8 9 . – 3 6 8 с. 6 2 . Кули ков Ю . А., Шлы чко в С . В . Ко мп ью терн ая д и н а м и ч е с к а я мо дель му зык а льн о го стр у нного и н с т р у м е н т а к а к ко мпо зит н о й кон стру кци и // Ко мпозицио нные м а т е р и а л ы в а в и а с т р о е н и и и народно м х о з я й с т в е: М ат ер и а л ы В с е р о с . н ау ч . - техн . к о н ф . − К азань , 1 9 9 9 . – Ч . 2 . – С .3 6. 6 3 . Кули ков Ю .А ., Шлы чко в С . В. М а т е м а т и ч е с к а я п о с т а н о в к а зад а чи р а с ч е т а ч ас т о т н ы х х а р а к т е р и с т и к г и т а р н ы х д е к му зык а ль н ы х с т р у н н ы х инстру менто в / / Ч е т в е р т ы е В а в и л о в с к и е ч т е н и я : Ди алог нау ки и п р а к т и к и в по исках н о во й п а р ад и г м ы о б щ е с т в е н н о г о р а з в и т и я России в ново м т ы с я ч е л е т и и : М ат ер и а л ы по стоян н о д е й с т в у ю щ е й всеро с . м е ж д и с ц и п л . науч . к о н ф . − Йо шкар - О л а, 2000. – Ч.3. − С. 212–215. 6 4 . Кули ков Ю .А ., Шлы чко в С . В. А н а л и з с о б с т в е н н ы х фор м и ч ас т о т верх ней и нижней д е к класси ч еской г и т а р ы // М е х а н и к а к о м п о з и ц и о н н ы х м а т е р и а л о в и констру кций . − 2 0 0 0 . – Т .6, №4 . − C.551−561. 6 5 . Кули ш Г .Г . , Ш л ы ч к о в С .В . О в л и я н и и д и с с и п а т и в н ы х сво йств

на

динамическую

р е ак ци ю

гитарной

деки

150

// XX М еж д у н ар . конф . по т ео р и и о б о л о ч е к и пластин : Сб . д о к л . − Н . Н о в г о р о д , 2 0 0 2 . − С . 2 0 2− 2 0 7 . 6 6 . Кур с /

В. И .

Дронг ,

т ео р ети ч е ско й

механики:

В. В . Д уб и н и н , М .М .

Учебник

Ильин

и

д ля

д р .; Под

вузов общ.

ред . К . С . К о л е с н и к о ва – М .: Изд - во МГ ТУ им . Н. Э . Б ау м а н а , 2 0 0 0 . – 7 3 6 с. 6 7 . Лема н А .И . А к у с т и к а с к р и п к и .− М. : Изд - во П. Юрг ен с она , 1 9 0 3 . − 1 8 7 с. 6 8 . Л е х н и ц к и й С .Г . Т е о р и я у п р у г о с т и а н и з о т р о п н о г о т ел а .– М. : Н а у к а. Г Р Ф М Л , 1 9 7 7 . – 4 1 6 с . 6 9 . Лэмб Г . Д и н а ми ч е ск а я т е о р и я з в у к а .– М. : Ф и з м а т г и з , 1 9 6 0 .− 2 7 4 с. 7 0 . Макар ь ева Т . А . И с с л е д о в а н и е а к у с т и ч е с к и х х а р а к т е р и сти к д р е в е с и н ы , использу емой для д е к му зы к а ль ных инстру м ен т о в, и р азр аб о т к а м е т о д о в их к о н т р о л я в у сло виях п р о и з в о д с т в а: Ав тор е ф . д и с … к ан д . т ех н . нау к/ М Л Т И. − М ., 1976. 7 1 . Макар ь ева Т . А., Х р и п у н о в А .К . и др . При м ен ени е ц е л лю лозы A C E T O B A C T E R X Y L I N I U M ( Ц А Х) д л я у л у ч ш е н и я а к у с т и ч ес к и х х а р а к т е р и с т и к д р е в е с и н ы // Т е з . д о к л . 2- г о м е ж д у н а р о д н о г о с и м п о з и у м а " Стро ение , с в о й с т в а и к а ч е с т в о д р е в е с и н ы " − 1 9 9 6 . − М. : МГ УЛ − 1 9 9 6 . − С . 6 3 . 7 2 . М а л ь г и н а Л. А. П р о в е д е н и е и сп ы т ан и й г и т а р н ы х стру н : От чёт Н И И К Т И М П − М ., 1982. 7 3 . Манд ел ьшта м Л. И . Л е к ц и и по т е о р и и ко лебаний . – М: Н а у к а , 1 9 7 2 . – 4 7 0 с. 7 4 . М а р п л- мл . С .Л . Ц и ф р о в о й с п е к т р а л ь н ы й ан ализ и его п р и л о ж е н и я . – М. : Мир , 1 9 9 0 . – 5 8 4 с . 7 5 . М а т в е е в В . В. Д е мп ф и р о в а н и е колеб ан и й д е ф о р м и р у е м ы х т е л . – К и е в : Н а у к. Д у м к а , 1 9 8 5 . – 2 6 3 с .

151

7 6 . М а шино стро ени е: Э н ц и к л о п е д и я. В 4 0 т. Т. 1 – 3 . Кн .1 : Дин а ми ка и п р о чн о с т ь машин . Т е о р и я м е х а н и з м о в и машин . – М. : М а шино стро ени е , 1 9 9 4 . – 5 3 3 с . 7 7 . М ех ан и ч ес к и е колеб ан и я . Осн о вны е п о н ят и я . Т е р м и н о л о г и я . Б у к в е н н ы е о б о з н а ч е н и я в е ли ч и н : Сб . р е к о м е н д у е м ы х т ер ми н о в. – М. : Н а у к а, 1 9 8 5 . – 2 3 с. 7 8 . Мэнли Р . Ан ализ и о б р а б о т к а зап и се й ко лебаний . − М. : М а шино стро ени е , 1 9 7 2 . − 3 6 8 с. 7 9 . На седки н А. В . Кон еч но – э л е м е н т но е мод е лир о вани е н а о сн о ве A N S Y S . П р о г р а м м ы р е ш е н и я ст ат ич еских з а д а ч со п р о т и в л е н и я м а т е р и а л о в с вари ан тами и н д и в и д у а л ь н ы х зад ани й .– Р о с т о в- на- Дону : У П Л Р Г У, 1 9 9 8 . – 4 4 с . 8 0 . Наши ф А ., Джо ун с Д ., Х е н д е р с о н Д. Д е мп ф и р о в а н и е ко л е б а н и й . – М. : Мир , 1 9 8 8 . – 4 4 8 с. 8 1 . Ново жи лов В .В ., Ч ер н ы х К. Ф ., М и х а й л о в с к и й Е .И . Ли ней ная

теория

тонких

оболочек.

–

Л.:

По лит ех н и к а,

1991.

– 655 с. 8 2 . Н о р р и Д., д е Фриз Ж . В в е д е н и е в метод ко нечных э л ем е н т о в . – М .: М и р , 1 9 8 1 . – 3 0 4 с . 8 3 . О б р а з ц о в И . Ф ., С а в ел ь е в Л. М ., Ха зан о в Х . С . М ет о д ко н е ч н ы х элемент о в в з ад а ч ах стр о ительн ой мех а ники л е т а т е л ь н ы х апп ар ат о в . – М . : Вы сш. ш к. , 1 9 8 5 . – 3 2 9 с. 8 4 . О с т р о у м о в Г . А . М ат ер и а л ы п о а к у с т и ч е с к о м у р а с ч е т у ф о р т е п и а н н ы х д е к / / Тр . Н И И М П . − Вы п .1. − 1 9 3 8 . 8 5 . Пано вко Я .Г . О с н о в ы п р и к л а д н о й т е о р и и ко лебаний и у д а р а. – М .: М а ш и н о с т р о е н и е , 1 9 7 6 . – 3 2 0 с. 8 6 . Пано вко , Я .Г . В н у т р е н н е е тр ение п р и колеб ан иях у п р уг и х си ст ем . – М. : Ф и з м а т г и з , 1 9 6 0 . – 1 9 4 с. 8 7 . П а р то н В . З., П е р л и н П .И . М ет о д ы м а т е м а т и ч е с к о й т е о р и и у п р у г о с т и . – М .: Н а у к а, Г Р Ф М Л , 1 9 8 1 . – 6 8 8 с.

152

8 8 . П а р ш и н а С . В., П о р в е н к о в В.Г ., Ч ел н о ко в Н. Н . Исследо ва н и е а к у с т и ч е с к и х и фи зико - м е х а н и ч е с к и х п ар а м етр о в дек г и т а р и виоло нчелей // П о в ы ш е н и е к а ч е ст в а и сов ер шенст вов а ние п р о и зв о д с т в а музы к а льных и н с т р у м е н т о в : С б . н ау ч . тр . Н И К Т И М П − М. , 1 9 8 3 . − C . 3 − 35. 8 9 . Пат . 2 0 9 7 1 6 5 Р Ф, М П К B 2 2 D 2 5 / 0 0 , B 2 2 C 9 / 0 2 , B 2 2 D 2 1 / 0 0 . Спо соб и з г о т о в л е н и я к о л о к о л а . 9 0 . Пат . 2 5 8 8 1 0 1 С Ш А, к л. 8 4 − 2 9 1 . M u s i c a l i n s t r u m e n t c o n struction. 9 1 . Пат . 4 1 8 5 5 3 4 С Ш А, М П К G 1 0 D 3 / 0 2 . S t r i n g e d mu s i c a l i n s t r u m e n t s w i t h f o a me d s o l i d b o d i e s . 9 2 . Пат . 5 3 3 3 5 2 7 С Ш А, М П К G 1 0 D 1 / 0 8 . C o m p r e s s i o n m o l d e d composite guitar soundboard. 9 3 . Пат . 5 3 9 6 8 2 3 С Ш А, М П К G 1 0 D 3 / 0 0 . R i b r e i n f o r c e d , i n t e gral guitar belly. 9 4 . Пат . 5 4 0 6 8 7 4 С Ш А, М П К G 1 0 D 3 / 0 0 . M e l a m i n e s h e e t g u i tar. 9 5 . Пат . 5 4 6 9 7 7 0 США , М П К G 1 0 D 3 / 0 0 . D i s t r i b u t e d l o a d sound board system. 9 6 . Пат . 1 2 3 5 5 7 1 Ф р а н ц и я , кл . g 1 0 d . 9 7 . Пат . 8 1 3 - 8 0 2 Ф Р Г , к л . 51 с , 1/0 1 . 9 8 . Пат . 4 4 - 6 4 8 4 2 Я п о н и я , М К И G 1 0 c 3 / 0 6 . 9 9 . Пат . 4 9 - 2 9 4 4 8 Я п о н и я , М К И G 1 0 c 3 / 0 6 . 1 0 0 . Пат . 4 9 - 2 4 6 8 6 Я п о н и я , М К И G 1 0 c 3 / 0 6 . 1 0 1 . Пат . 5 3 - 4 8 0 8 5 Я п о н и я , М К И G 1 0 c 3 / 0 6 . 1 0 2 . Пи сар ен ко Г . Г . , Яко вл е в А. П ., М а т в е е в В. В . В и б р о п о г ло щаю щ ие свой ст в а к о н с т р у кц и о н н ы х м а т е р и а л о в : С п р а в о ч н и к . – Ки ев : Н а у к. д у м к а , 1 9 7 1 . – 3 7 6 с . 1 0 3 . Пло тки на Н . А. И с с л е д о в а н и е ф л у к т у а ц и й о г и б а ю щ е й п е р ех о д н о г о п р о ц е с с а к ак о д н о г о из крит ери ев о ц е н к и к а ч е ст в а

153

зву ч ани я музы к а ль ных инстру м енто в : Ав тор е ф . д и с … канд . т ех н . нау к/ Л Э И С . − Л. , 1 9 6 5 . 104.

П о п о в Б .Г . Р а сч ет м н о г о с л о й н ы х к о н с т р у к ц и й вар и а-

ц и о н н о - м ат р и чн ы ми

методами .

–

М. :

Из д – во

МГ ТУ

им.

Н. Э . Б а у м ан а , 1 9 9 3 . – 2 9 4 с. 105.

П о р в е н к о в В . Г . Аку с ти ка и н а с т р о й к а музы к а льных

инстру м енто в .− М. : М у з ы к а , 1 9 9 0 . − 1 9 2 с. 106.

П о р в е н к о в В.Г . , К и р и л л о в А. В . О б ъ е к т и в н ы е ме т о ды

о ц е н о к к ач е ст в а скр и п о к // Т е о р е т и ч е с к и е и эк сп ери м ент а льные и с с л е д о в а н и я в о б л а с т и п р о и з в о д с т в а му зы к а льных инстру м ен т о в: Сб . н ау ч . т р . Н И И К Т И М П − М. , 1 9 7 9 . − C . 6 9− 8 4 . 107.

По стно в В . А. Чи сленн ы е мет о ды р а с ч е т а с у д о в ы х

к о н стру кций .– Л.: Суд о стро ен ие , 1 9 7 7 . – 2 8 0 с . 108.

Ра ботн ов Ю . Н . М ех ан и к а к о м п о з и т о в / / Кн . М е х а н и к а

д е ф о р м и р у е м о г о т в е р д о г о т е л а . – М. : Н а у к а , 1 9 8 8 . – С . 6 8 3− 7 1 1 с. 109.

Р а с ч е т н е о д н о р о д н ы х пологих о б о л о ч е к и п л а ст и н

м е т о д о м кон е чн ых э л е м ент о в / В .Г . Писк уно в , В . Е. В е р и ж е н к о , В .К. Пр исяжн ю к и д р . – Ки ев : Ви ща ш к о л а , 1 9 8 7 . – 2 0 0 с. 110.

Р а с ч е т ы м а ши н о стр о и т е ль н ы х констру кций м е т о д о м

к о н еч н ы х э л е м е н т о в : С п р а в о ч н и к / В . И .М я ч ен к о в , В. П .Мал ьц е в, В .П . М а й б о р о д а и д р .; п о д о б щ. ред . В. И. М я ч е н к о в а . – М.: М а ши н о стр о ение , 1 9 8 9 . – 5 2 0 с . 111.

Р а с ч е т ы на п р о чн о с т ь в м а ш и н о с т р о е н и и : В 3 - х т.

Т .3. И н е р ц и о н н ы е нагр узки . К о л е б а н и я и у д а р ны е н а г р у з к и . Вы н о с л и в о ст ь .

У с т о й чи в о ст ь/

С . Д.

П о н о м а р е в,

В .Л .

Бид ерма н ,

К.К . Ли хар ев и д р . – М. : М а ш и н о с т р о е н и е , 1 9 5 9 . – 1 1 1 8 с. 112.

Рикар д с Р . Б. , Ч а т е А . К . Изо пар амет рич е ск и й тр е-

у г о л ь н ы й к о н е ч н ы й э л е м ент м н о г о с л о й н о й оболочки п о сдв и г о вой мод е ли Т и м о ш е н к о // М ех ан и к а к о м п о зи т н ы х м а т е р и а л о в. – 1981. – № 3. – С.453–460.

154

113.

Рим ский - К о р с а к о в А . В ., Дь яко н ов Н . А . Музы кальны е

инстру м енты : М ет о д ы и с с л е д о в а н и й и р а с ч е т ы .− М. : М е ст . п р о мст ь , 1 9 5 2 . − 3 4 5 с. 114. зыкальных

Рим ский - К о р с а к о в А . В . Исслед овани е с т р у н н ы х му инструментов:

Автореф.

д и с…

д - р а.

техн .

нау к

/ ЛТА. – Л., 1949. 115.

Р у с а к о в И.Г . Р о ль фор мы и м а т е р и а л а в скр ипично м

с м ы ч к е инстру м енто в / / Сб . тр . Н И И М П. − М. , 1 9 4 1 .− Вы п .3 . − C . 8 0− 97. 116.

С б о р н и к н ау чн ы х п р о г р а м м н а Ф о р т р а н е . М ат р и ч н а я

а л г е б р а и л и н е й н а я алгебр а . – М.: С т а т и с т и к а , 1 9 7 4 . – Вып . 2 . – 224 с. 117.

С в е т л и ц к и й В. А ., С т а с е н к о И. В . С б о р н и к з ад а ч п о

т е о р и и колеб ан ий . – М . : Вы сш. ш к. , 1 9 7 3 . – 4 5 2 с. 118.

С е г е р л и н д Л . Примен ен ие м е т о д а кон е чных э л е м ен -

т о в. – М .: М а ш и н о с т р о е н и е , 1 9 7 9 . – 3 9 2 с. 119.

С м и р н о в В. А . Чи сленн ы й м е т о д р а с ч е т а п о д к р е п л е н -

н ы х в н у т р и к о н т у р а о р т о т р о п н ы х пластин // Р а с ч е т ы на п р о чн о с т ь . − М .: М а ш и н о с т р о е н и е , 1983. − Вып .23 . − С. 2 7 2 − 2 8 0 . 120.

С т р е л к о в С. П . Вв ед ен ие в т е о р и ю к о л еб ан и й . – М . :

Наука, 1964. – 437 c. 121.

С т р е н г Г ., Фик с Д ж . Т е о р и я М КЭ . – М.: Ми р , 1 9 7 7 .

– 349 c. 122.

С т р е т т Дж . В . (Р э л е й ) . Т е о р и я звука: В 2 т. − М. ,

1955. 123.

Сухарев И. П . Эк сп ери м ент а льн ы е мето ды исследов а -

н и я д е ф о р м а ц и й и п р о ч н о с т и . − М .: М а шино стро ени е , 19 8 7 . − 2 1 6 с. 124.

Т и м о ш е н к о С. П , Янг Д . Х ., У и в е р У . Ко леб ани я в и н -

ж е н ер н о м д ел е . − М .: М а ш и н о с т р о е н и е , 1 9 8 5 . – 4 7 2 с.

155

125.

Т и м о ш е н к о С . П. У ст о й чи в о с т ь у п р у г и х с и с т е м . −

Гост ехи здат , 1 9 5 5 . – 5 6 8 с. 126.

Т и м о ш е н к о С. П ., В о й н о в с к и й – Кригер С . Пластинки и

о б о л о ч к и . – М .: Ф и з м а т г и з , 1 9 6 3 . – 6 3 6 с . 127.

Т у л у з а к о в В. В . О ло г ар иф ми че с ко м д е к р е м е н т е з ат у -

х а н и я резо нансной д р ев е си н ы // Н а у ч. тр . М Л Т И . − 1 9 8 1 . − Вып .1 31. − С .11 − 14. 128.

Уголев Б .Н . Др ев еси но вед ени е с о с н о в а м и л е с н о г о

тов аров ед ени я . – М .: Лесн . п р о м- ст ь , 1 9 8 6 . – 3 6 8 с. 129.

У г о л ь н и к о в Н . И . А к у с т и ч е с к и й расчёт щип ко в ого и н -

стру мен та д л я о с н о в н ы х ч а с т о т д ек и и р е зо н ато р а// Сб . тр . Н И И М П . − М . , 1 9 3 8 . − В ы п .1 . − C . 1 1 2− 1 2 1 . 130.

Ф е д ю к о в В . И. Ель р ез о н ан сн а я : О т б о р на ко рню , вы -

р а щ и в а н и е , с е р ти ф и к а ц и я .– Йо шкар – О л а, 1 9 9 8 . – 2 0 4 с . 131. Н. А .

Физические величины:

Ба б ушк ина ,

А .М .

Спр ав о чни к /

Братковский

и

А .П . Б а б и ч е в ,

д р .;

под

ред .

И. С . Г р и г о р ь е в а , Е. З . М ей л и хо ва. – М .: Э нерг о ато ми з дат , 1 9 9 1 . – 1231 с. 132.

Ш а п о в а л о в Л . А. Об о д н о й фор м е п р е д с т а в л е н и я у р а в -

н е н и й л и н е й н о й теор ии о б о л о ч е к и п л а с т и н с у ч ето м д е ф о р м а ц и и п о п е р е ч н ы х с д в и г о в // И з в . Р А Н . М ех ан и к а т в е р д о г о т е л а. – 1 9 9 5 . – № 3 . – С. 1 6 7 – 1 7 8 . 133.

Ш а п о ч к и н А. С . , К и р и л л о в А . В. По ли мерные м а т е р и а -

лы в п р о и з в о д с т в е му з ы к альн ы х инструм енто в // С б . нау ч. тр . И с с л е д о в а н и е сво йст в м а т е р и а л о в д л я п р о и з в о д с т в а му зык а льн ы х инстру м енто в . − М . , 1 9 8 1 . 134.

Шимко в ич Д .Г . Р а с ч е т констру кций в MS C/ NAS T RAN

f o r W i n d o w s . − М. : Д М К П р е с с , 2 0 0 1 . − 4 4 8 с. 135.

Шлы чко в С . В. По ст ано вк а з ад а ч и д и н а м и к и музы -

к ал ь н о г о с т р у н н о г о и н стр у м е н т а // Т р . М ар Г Т У . Йошка р - Ола .

156

М ат ер и а л ы 5 2 - й м е ж в у з. студ . нау ч.- т е х н . кон ф . – 2000. – Вы п .7 . − С.314−316. 136.

Шлы чко в С . В. О ц е н к а т о чно ст и р а с ч е т н о й мод е ли н а-

п р я ж е н н о - д е ф о р м и р о в а н н о г о с о с т о я н и я т о н к о ст е н н ы х элемен тов муз ы к а льных с т р у н н ы х инстру м енто в / / И с с л е д о в а н о в России . Электронный

ж у р на л .

−

2 0 0 0 .−

№1 8

−

С.2 45 − 2 6 2 .

h t t p : / / z h u r n a l . a p e . r e l ar n . r u / a r t i c l e s / 2 0 0 0 / 0 1 8 . p d f 137.

Шлы чко в С .В . Оц ен ка т о ч н о ст и р а с ч е т н о й д и н а м и ч е -

с к о й мо дели т о н к о ст е н н ы х э л е м ент о в муз ы к а льных с т р у н н ы х и н с т р у м е н т о в . – Йо шкар - О л а: М ар Г Т У , 2 0 0 0 . – 1 8 с. ( Д е п . в В ИН И Т И 2 8 . 0 6 . 0 0 ; №1 8 2 2 – В0 0 ) . 138. ст енн ы х

Шлы чко в С . В . Ан ализ резонансных сво йств тонко элементо в

муз ы к а льных

струнных

инструментов

// И с с л е д о в а н о в Р о с с и и Э л е к т р о н н ы й журнал . − 2 0 0 0 . − №6 4 . − С . 9 2 4− 9 4 2 . h t t p : / / z h u r n a l . a p e . r e l ar n . r u / a r t i c l e s / 2 0 0 0 / 0 6 4 . p d f 139.

Шлы чко в С . В . М а т е м а т и ч е с к а я м о д е л ь к о н с т р у к ц и и

муз ы к а льных с т р у н н ы х инстру м енто в // Тез . д о к л. 1 - й Р о с . кон ф . мо лоды х у ч е н ы х по м а т е м а т и ч е с к о м у м о д е л и р о в а н и ю . К а л у г а − М. , 2 0 0 0 . – C . 4 7− 49. 140.

Шлы чко в С .В . Р а с ч е т н о - эк сп еримен тально е и с с л е д о -

ван и е р ез о н а н с н ы х с в о й с т в к о р п у с н ы х элемен тов муз ы к альн ы х инстру м енто в / / А э р о к о с м и ч е с к а я т ех н и к а и вы со ки е т е х н о л о г и и – 2 0 0 1 : Сб . д о к л . В с е р о с . н а у ч .- т ех н . кон ф . – П е р м ь, 2 0 0 1 . – С .304. 141.

Шлы чко в С .В . Р а с ч е т н о - эк сп еримен тально е и с с л е д о -

ван и е р ез о н а н с н ы х с в о й с т в к о р п у с н ы х элемен тов муз ы к альн ы х инстру м енто в // VIII В с е р о с . съезд по теор ет и ч еской и п р и к л а д н о й механи к е : Анно т. д о к л. − П е р м ь: Изд - во ПГ ТУ , 2001. − С . 6 1 2− 6 1 3 .

157

142.

Шлы чко в С .В . Р а с ч е т н о - эк сп еримен тально е и с с л е д о -

ван и е д и н а м и ч е с к и х с в о й с т в г и тар н о й д е к и // М ех ан и к а ко мп ози ц и о н н ы х м а т е р и а л о в и кон стру кци й . − 2 0 0 1 . − Т.7 , №3 . − C.389−400. 143.

Шлы чко в С. В . И с с л е д о ва н и е д и н а м и ч е с к и х св ойст в

з в у к о и з л у ч а ю щ и х элементо в м у з ы к а л ь н ы х стр у нных инстру м ен т о в: р а с ч е т и э к сп ери м ент // Ф и з и ч е с к а я аку ст ик а . Р а с п р о с т р а н е н и е и д и фр акц и я в о л н: Сб . тр . X I - й с е с с и и Р о с . а к у с т и ч е с к о г о о б щ е с т в а . − М .: Гео с , 2 0 0 1 . – Т. 1 . – С .2 22 − 2 2 5 . 144.

Шлы чко в С . В . В л и я н и е у р о в н я д е м п ф и р о в а н и я гитар -

н о й д е к и на е е а м п л и т у д н о - ч а сто т н у ю х ар ак т ер и ст и к у // Тр . Ни ж е г о р о д с к о й а к у с т и ч е с к о й н ау чн о й с е с с и и . − Н. Н о в г о р о д : И з д во “ Т А Л А М ” , 2 0 0 2 . − С . 3 3 4 − 3 3 6 . 145.

Шлы чко в С. В . В л и я н и е сх емы п о д кр еп л ен и й н а д и н а-

ми ч е ску ю р е а к ц и ю г и т а р н о й деки // А к у с т и ч е с к и е и з м е р ен и я и ст анд ар тиз аци я . Аэро аку сти ка. Гео а ку стика . У л ь т р а з в у к и у л ьтр а з в у к о в ы е т е х н о л о г и и . Э л ек т р о а ку с т и к а : Сб . тр . XI II- й с е с с и и Рос.

акустического

общества.

−

М.:

Гео с,

2003.

–

Т.2 .

–

С . 2 8 5− 2 8 8 . 146.

Эк сп ери м ент а льная м е х а н и к а . В 2 - х кн . Кн . 1 / Под

ред . А . Коба яси . – М. : Мир , 1 9 9 0 . – 6 1 6 с. 147.

Эк сп ери м ент а льная м е х а н и к а : В 2 - х кн . Кн . 2 / Под

ред . А . Коба яси . – М. : Мир , 1 9 9 0 . – 5 5 2 с. 148.

Янко вский Б . А . И с с л е д о в а н и е т е мб р о вы х о с обенно -

ст ей с к р и п о к и р а з р а б о т к а м етод а о б ъ е к т и в н о й оценки их каче ст в а: От чёт эк спери м ен тальной ф аб р и к и щип к овых му зык а льн ы х инстру м енто в . − М . , 1 9 5 1 .

158

149.

Янко вский Б . А. М ет о д ы о б ъ е к т и в н о й о цен ки к а ч е с т в а

зву ч ани я скр и п о к // А к у с т и ч е с к и й ж у р н а л . − 1 9 6 5 Т .2, №3 . − C.269–286. 150.

A

handbook

of

finite

element

systems/

Edit.

C.A. B rebbia – S o u t h a m p t o n : C M L P u b l . , 1 9 8 1 . – 4 9 0 p . 151.

Aranowska E., Rogala T. The sound spectrum of upright

p i an o s and its relation to t he s o u n d q u a l i t y / / A c t a A c u s t i c a . − 1 9 9 8 . − Vol .84 , № 1 . − P.129 − 1 3 5 . 152.

Br etos J., San ta maria C., J. Alo n so Mor a l. Vibr ation al

patterns and frequency responses of the free plates and box of a viol i n o b t a i n e d b y f i n i t e e l e m e n t a n a l y si s / / J o u r n a l A c o u s t i c S o c i e t y o f America. − 1999. − Vol.105, № 3. − P.1942−1950. 153.

B i s s i n g e r G . A c o u s t i c n o r m a l m o d es b e l l o w 4 k H z f o r a

r i g i d , c l o s e d v i o l i n - s h a p e d c a vity// Jo urnal Acoustic Society o f America. − 1996. − Vol.100, № 3. − P.1835−1839. 154.

Cald ers mith G. Guit ar as a refl ex en closur e// Journal

A c o u s t i c S o c i e t y o f A m e r i c a . − 1 9 7 8 . − V o l . 6 3 , № 5. − P . 1 5 6 6 − 1 5 7 5 . 155.

Cald ers mith G. D e s i g n i n g a g u i t a r f a m i l y / / A p p l i e d

aco u st i cs. − 1 9 9 5 . − V o l . 4 6 , №1 . − P .3 − 1 7 . 156.

C h l a d n i E . F . Di e Aku s tik . − L e i p z i g , 1 8 0 2 .

157.

Elejabarrieta M. J., Ez c u r r a A . , S a n t a m a r i a C . Evolu-

tion of the vibrational behavior of a guitar soundboard along success i v e c o n s t r u c t i o n p h a s es b y m e a n s o f t h e m o d a l a n a l y s i s t e c h n i q u e / / J o u r n a l A c o u s t i c S o c ie t y o f A m e r i c a . − 2 0 0 0 . − V o l . 1 0 8 , № 1 . − P.369−378. 158.

E l e j a b a r r i e t a M . J ., Ezcu rra A., S a n t a m a r i a C . Coupled

modes of the resonance box of the guitar // Journal Acoustic Society of America. − 2002. − Vol.111, № 5. − P.2283−2292.

159

159.

G o u g h C . S c i e nc e a nd S t ra di va r i / / P h y s i c s W o r l d . −

2 0 0 0 . − №4 . − h t t p : / / p h y s i c s w e b . o r g / a r t i c l e / w o r l d / 1 3 / 1 4 / 8 160.

Griffin S., Luo H., Hanagud S. Acoustic guitar function

mod el i n cluding sy mme tric and asy m m etri c p l at e mod es// Act a Acustica. − 1998. − Vol.84, № 3. − P.563−569. 161.

H o h n e m a n W . , H e c h t H . S ch all f eld er u n d

s ch all an t en -

nen II// Phys. Z. leipzig. − 1917. − № 18. − S.261−270. 162.

Hu ebn er K.H. Th e Fini te El ement Met h o d f o r E n g i n e e r s .

Engin eers M e ch ani cs Dep art me nt Gen e ral Mot o rs Res e ar ch Laboratories. – New–York: John Wiley & Sons Ltd, 1975. – 444 p. 163.

Hut chin s

C.M.

The

Physics

of

Violins//

Scientific

A m e r i c a n . − 1 9 6 2 . − V o l . 2 0 7 , № 5 . − P .3 4 − 50. 164.

Iguchi

S.

Biegeschwingungen

und

Klangfiguren

der

viers eit i g eing es pannt en recht e ck igen Pl atte/ / Ing.- Arch iv . − 1 9 3 7 . − Bd .8, H.1. – S .3 6 − 48. 165.

Irons B.M., Ahmad S. Finite element techniques. Ellis

H o r w o o d . – C h i c h es t e r , 1 9 8 0 . – 5 2 9 p . 166.

Jansson E. V. A study of acoustical and hologramm in-

terf ero m etri c me asur eme n ts of the t o p p l a t e v i b r a t i o n s o f a g u i t a r / / A c u s t i c a . − 1 9 7 1 . − V o l . 2 5 , № 1 . − P .9 5 − 1 0 0 . 167.

Jansson E . V. A c u s t i c a l p r o p e r t i e s o f co mpl ex caviti es .

Prediction and measurements of resonance properties of violins h a p e d a n d g u i t a r - s h a p e d c a vi t i e s / / Ac us t i c a . − 1 9 7 7 . − Vol .3 7 , № 4 . − P .9 5 − 1 0 0 . 168.

Kern E., Glautti P. Die Beziehung zwishen Musiker und

m u z i k i n s t r u m e n t i n s i n n e s p h y si o l o g i e s c h e r / / S i c h t . H N U . – №2 2 . – Ohn e jahr. – S .2 9 7 − 3 0 8 . 169.

M ey er J . Z u m K l a n g p h a n o m e n d e r a l t i t l i e n i s c h e n G e i -

g e n / / A c u s t i c a . − 1 9 8 2 . − V o l . 5 1 , № 1 . − Р .1 − 1 1 .

160

170.

Moral J.A., Jansson E.V. Eigenmodes, input admittance,

a n d t h e f u n c t i o n o f t h e v i o l i n / / A c u s t i c a . − 1 9 8 2 . − Vol .50 . − Р . 3 2 9− 3 3 7 . 171.

P i c h o n A . , Be r ge S., C hai gne A. C o m p a r i s o n b e t w e e n

exp eri m ent al an d predi ct e d r a d i a t i o n o f a g u it a r / / A c t a A c u s t i c a . − 1998. − Vol.84, № 1. − P.136−145. 172.

Reissn er E. On the th eo ry of ben d i n g o f e l a s t i c p l a t e s

/ / J . M a t h . a n d P h y s. – 1 9 4 4 . – V o l . 2 3 , № 4 . – Р . 1 8 4 – 1 9 1 . 173.

R i c h a r d s o n B . E . Th e guitar: I ts p ast , pres ent and fu-

ture// Acoustic Bulletin. − 1994. − № 3. – P.5–9. 174.

R o s s i n g T . D . , E b a n G . Nor mal mo des o f a r a d i a l l y

braced guitar determined by electronic TV holography // Journal Acoustic

Society

of

A m e ri c a .

–

1999.

–

Vol.106,

№

5.–

P.2991–2996. 175.

R u n n e m a l m M . Op er at ing Def lection Shap es of the

Plates and Standing Aerial Waves in a Violin and a Guitar Model // Acta Acustica. − 2000. − Vol.86, № 5. − P.883−890. 176.

Saldner O.H., Molin N.E., Jansson E. V. Vibration

modes of the violin forced via the bridge and action of the soundp o s t / / J o u r n a l A c o u s t i c S o c i e t y o f A m e r i c a . – 1 9 9 6 . – V o l . 1 0 0 , №2 . – P.1168–1177. 177.

S t r e s s A n a l y s i s : R e c e n t D e v el o p m e n t s i n N u m e r i c a l a n d

Experimental

Methods/

Edited

by

O.C.

Zienkiewicz

and

G.S . Ho lister. – L o n d o n – N e w – Y o r k – S y d n e y : J o h n W i l e y & S o n s Ltd, 1965. – 470 p. 178.

Weaver W., Johnston P. Structural dynamics by finite

e l e m e n t s . – N e w J e r s e y : P r e n ti c e – H a l l , 1 9 8 7 . – 5 9 2 p . 179.

Winckel F. Die Akustik der Geige. − B.F. Voigt Verlag,

Hamburg, 1967.

161

180.

Zinoviev, P.A., Ermakov Y.N. Energy Dissipation in

Co mposi te Mat er ials . – Lan c ast er B a s e l : T e c h n o m i c P u b l i s h i n g C o . , Inc., 1994. – 246 p.

162

ПРИЛОЖЕНИЯ

163

Пр и ло ж ен и е 1

Резул ьт аты те стирова н ия В п р и л о же н и и 1 п р и в о д я т с я д о п о л н и т е л ь н ы е р езу л ьт а ты р ешений з ад а ч ст ати ки , д и н а м и к и и у ст о йчи во с ти п л а с т и н о к , п о д тв ержд аю щи е д о сто в ер ност ь р а с ч е т н о й м о д ел и М К Э . Ра счет парам е тров Н Д С Кв адр а т ной п л а ст и н ки со с т о р о н о й a = 0 ,4 м , т о л щ и н о й стен ки h = 2 ⋅1 0 - 3 м . И с п о л ь з у ю т с я д ве мод е ли м а т е р и а л а : • И з о т р о п н о е т е л о ( Е = 2 0 0 Г П а, ν = 0 , 3 ) . • Ортотро пное т е ло ( Е 1 = 2 0 Г П а,

Е 2 = 200 Г П а,

ν 1 2 = 0,0 3 ,

ν 2 1 = 0 , 3 , G 1 2 = 2 8 6 , 2 Г П а) . 1. Изг и б шар н ирно - о п е р т о й п л а ст и н к и со ср едоточ ен ной си лой P = 5 0 0 Н ( р и с . П.1) . Вы чи сля е тся н о р м а л ь н ы й п р о г и б w то чки п р и л о ж е н и я си лы Р и м а к с и м а л ь н ы е зн ачени я и зг и б аю щи х мо менто в M 1 и M 2 н а п ло щ ад к а х с нор м алями х 1 и х 2 . В т аб л. 2 2 р е з у л ь т а т ы р а с ч е т о в с о п о с т а в л я ю т с я с д а н н ы м и ан алити ч еского р е ш е н и я [126]. Н а р и с . П.2 и р ис . П.3 н а п р и м е р е о р т о т р о п н о й п л а ст и н к и и с с л е д у е т с я с х о д и м о с т ь р е ш е н и й . П р и чи сле К Э N = 3 6 р е ш е н и е М КЭ по п е р е м е щ е н и я м от лич а ет ся о т то чн о го р е ш е н и я [126] м е н е е , ч е м н а 3%. Д ля о б е с п е ч е н и я т о й же то чности по у си ли я м и н а п р я ж е н и я м с л е д у е т у ве ли чи т ь ч и с л о КЭ . З д е с ь т о ч н о с т ь 3 % д о с т и г а е т с я пр и N = 5 0 .

164

x3 x1 P

x2

Рис.П.1. Пластинка, шарнирно-опертая по контуру

Таблица 22 Число КЭ

Изотропное тело

Ортотропное тело

w,⋅10-3 м

M1, Нм/м

w,⋅10-2м

M2, Нм/м

2

1,47

1,1

0,382

1,1

4

3,26

1,4

0,833

2,7

8

5,07

3,9

1,23

6,7

16

5,42

4,5

1,32

7,9

24

5,52

5,1

1,33

7,92

36

6,11

6,7

1,39

11,4

50

6,27

6,9

1,4

12,5

Решение [126]

6,33

7,5

1,45

12,9

165 -3

w , 10 м

Аналитическое решение [126]

14 12 10 8 6 4 2

Число КЭ

0 0

10

20

30

40

50

60

Рис.П.2. Зависимость прогиба w от числа КЭ

Аналитическое решение [126]

M2, Hм/м

14 12 10 8 6 4 2 Число КЭ

0 0

10

20

30

40

50

60

Рис.П.3. Зависимость изгибающего момента M2 от числа КЭ

166

2.

Сжатие

пластинки

нагрузкой

инт ен си вно сти

q = 0 , 2 2 5 к H/ м. Д и а м е т р о т в е р с т и я d = 5 ⋅1 0 - 2 м . И с п о л ь з у е т с я н е р е г у л я р н а я кон е чно - э л е м е н т н а я с е т к а ( р и с . П.4 ), о б л а с т ь вы со ки х г р ад и ен т о в н ап р яж ени й р а з б и в а е т с я н а б о л е е м е л к и е КЭ .

q

q x1

x2 Рис.П.4. Расчетная схема пластинки

Н а р и с . П.5 с т р о и т с я э п ю р а р а спр ед е л ени я вд оль о си x 2 п р од о л ь н ы х усилий N 1 . Р е зу л ьт ат ы в ы ч и с л е н и й сопо ст авля ют ся с д а н н ы м и а н а л и т и ч е с к о г о р е ш е н и я [11 1 ] и р е ш е н и я М КЭ [4 7 ]. По лученные р е зу л ьт ат ы у д о в л е т в о р и т е л ь н о с о г л а с у ю т с я с д ан ными и з в е с т н ы х ан алит ич еског о и ч и с л е н н о г о р е ш е н и й . 3

N 1 , 1 0 Н /м

10

Решение [47]

9 8

Наше решение

7

Аналитическое решение [111]

6 5 4 3 2 1

x2 , м

0 0

0 ,0 5

0 ,1

0 ,1 5

0 ,2

Рис.П.5. Эпюра распределения продольных усилий N1

0 ,2 5

167

Ра счет соб с тв енных ч а с т о т Кв адр а т ная п л а с т и н к а со с т о р о н о й a = 0,4 м и то лщиной ст ен ки

h

=

10-2

м.

Используется

модель

изотропного

тела

( Е = 1 9 8 Г П а , ν = 0 ,3) . Пло тн о ст ь м а т е р и а л а ρ = 8 . 1 0 3 кг / м 3 . Сто р о н а x 1 = 0 ж ё с т к о з а щ е м л е н а, т р и д р у г и е – ш арнирно о п е р т ы п о к о н т у р у . При м ен яет ся р е г у л я р н а я ко нечно - э л е м е н т н а я с е т к а с чи сло м КЭ N = 256. В т аб л . 2 3 р а с ч е т н ы е к о э ф ф и ц и ен т ы α j ( фор му л а ( 3 . 3 ) д л я пер вых 9 фор м к о л е б а н и й соп о ст авля ют ся с ан алити ч ески м р еш е н и е м АМ [22 ]. Д ля п ер во й с о б с т в е н н о й фор мы р а сч етны й к о э ф ф и ц и е н т α 1 о т л и ч а е т с я о т ан алити ч еского р е ш е н и я [163] м ен е е , ч е м н а 0,8%. Д л я б о л е е высо ких часто т р аз ли чи е р е з у л ь т ат о в р а с ч е т а и р е ш е н и я А М [22 ] н е п р е в ы ш а е т 1 %. Таблица 23 M

n

Наше решение

Решение АМ [22]

Решение [163]

1

1

2,382

2,395

2,401

1

2

5,209

5,234

−

2

1

5,930

5,234

−

2

2

8,653

8,726

−

1

3

10,146

10,151

−

3

1

11,503

10,151

−

2

3

13,432

13,549

−

3

2

14,184

13,549

−

3

3

18,827

19,050

−

168

Ра счет кр итических н а г р у з о к Кв адр а т ная п л а ст и н к а со с м е ш а н н ы м и граничными у с ло ви я ми п о к о н т у р у : на кр аях x 1 = 0 и x 2 = 0 п р е д п о л а г а ю т с я ж е ст ки е зад е лки , на кр аях x 1 = a и x 2 = a

- ск ольз я щи е з ад е л к и . И м е е т

место д в у х о с н о е сж ат и е в н а п р а в л е н и я х x 1 и x 2 нагру з кой интен си вно ст и q . В т аб л . 2 4 и н а р и с . П. 6 р е з у л ь т а т ы р а сч е то в М КЭ с о п о с т а в ляют ся с данными к л а с с и ч е с к и х р е ш е н и й Т е й л о р а и С .П . Ти мо ш е н к о [ 1 2 5 ] . С ув елич ени е м ч и с л а К Э и м е ет место с х о д и м о с т ь ч и с л е н н о г о р е ш е н и я к р е ш е н и я м [125]. При ч и с л е К Э N = 256 о тн о с и т е л ь н а я о ш иб к а со ст авля ет о ко ло 0,1%. Таблица 24 Число КЭ

qкр,⋅106 Н/м

4

39,438

16

14,524

64

6,647

256

5,938

Тейлор [125]

5,932

С.П. Тимошенко [125]

5,965

qкр, МН/м q кр

40 30 20

Аналитическое решение [125] 10 5,932 0

Число КЭ 0

50

100

150

200

250

Рис.П.6. Зависимость критической нагрузки qкр от числа КЭ

169

Пр и ло ж ен и е 2

“ЗАО Этюд – Урал”

170

Пр и ло ж ен и е 2