=1と
と る こ と に よ り,規
格 化 さ れ た 直 交 す る 固有 関 数
(26) を得 る. 8) 次 の 関 係 式 に も注 意 し よ う.
(27) ￨u0>を￨0>,
〓(a+)k￨u0>を￨k>と略
記 す る と,式(27)は
(28) と書 け る.こ れ よ りa+は 量 子 数 を一 つ 増 加 す る演 算 子,aは る演 算 子 で あ る こ とが わ か る.a+,aを
量 子 数 を一 つ 減 少 す
そ れ ぞ れ 生 成 演 算 子,消
滅 演 算 子 と い う.
注 式(15)は こ の よ うに 書 か な い で,任 意 の 関 数υ に対 し
(29) と書 い た 方 が 左 辺 が ス カ ラ ー 量 に な っ て よい か も しれ な い.第2式
の方 は
(30) と な る 関 数υ が 存 在 す る,と
問2.12
表 現 で き る.
1次 元 調 和 振 動 子 の 固 有 状 態 を 考 え る.座 標 お よ び 運 動 量 の ゆ ら ぎ の
2乗 の 期 待 値<(Δq)2>と<(Δp)2>を 方 針 問2.11よ
り,固
求 め よ.ま
た<ΔqΔp>を
計 算 せ よ.
有 関 数ukは
(1) で あ る.Δp,Δqをaとa+を 解 問2.11よ
使 っ て 書 き 表 し,期
り,座標qと
運 動 量pは
待 値 を 求 め る.
それぞれ
(2)
と な る.し
た が っ て,そ
れ ぞ れ の 期 待 値 は,
(3) で あ る.ま た2乗 の 期 待値 は
(4) 同様 に して
(5) と な る.よ
っ て そ れ ぞ れ の ゆ ら ぎの 期 待 値 は,式(3),式(4),式(5)よ
り
(6) を得 る. さ ら に<ΔqΔp>に
つ い て も 同 様 の 計 算 を 行 う こ と に よ り,
(7) を 得 る.こ 注
の 関 係 は不 確 定 性 原 理 を満 た して い る.
式(2)よ
りaとa+をp,qで
表 し た も の が 式(2.4)で
あ る.た だ しq=xで
あ
る.
問2.13
z方
求 め よ.H=∇
向 に 一 様 な 磁 場H=(0,0,H)を ×Aで
与 え る ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ルAを
あ る.
解 (1)* *
1) ∂yは〓
を 意 味 す る.他も同様
.
を 解 け ば よ い が,解 ∂xAy=Hよ
は 一 意 に 決 ま ら な い.簡
単 な 解 と し て,Ax=Az=0と
す る.
り
(2) よ っ て,
(3) と な る.こ
の 選 び 方 を ラ ン ダ ウ ゲ ー ジ(Landau
他 の と り 方 も あ る.た
問 2.14
場E,磁
呼 ぶ.
と え ば,
ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ルAお
と に よ っ て,電
gauge)と
よび ス カ ラー ポ テ ンシ ャル φ を導 入 す る こ
場Hは (cgs単
と 表 す こ と が で き る.Aと
(1)
位 系)
φ の 間 に,
(2) の 条 件 を課 す と き,Aと
φ そ れ ぞ れ の 満 た す 方 程 式 を求 め よ.
方 針 マ ク ス ウ ェル(Maxwell)の を代 入 し,EとHを 解
方 程 式 お よ び連 続 の 方 程 式 に式(1)と 式(2)
消 去 す る.
マ クス ウ ェ ル の 方 程 式 は,
(cgs単
位 系)
(3)
連 続 の 方 程 式 は,
(4) で あ る.こ
こ で ρ は 電 荷 密 度,cは
光 速,jは
電 流 密 度 で あ る.
ま ず,ス
カ ラ ー ポ テ ン シ ャ ル に つ い て 考 え る.式(1),式(2),式(3)よ
り,
よっ て
(5) を 得 る. 次 に,ベ
ク トル ポ テ ン シ ャ ル に つ い て,式(1)∼
こ れ と,ベ
ク トル 解 析 の 公 式∇ ×(∇ ×A)=V(∇
式(4)よ
・A)-ΔAよ
り
り
(6) を 得 る.
問 2.15 z方
向 にか か って い る磁 場Hの
中 で の 電 子 の 運 動 につ い て 以 下 の 問 に
答 え よ.
1) 電 子 の 波 動 方 程 式 を導 け. 2) 波 動 関 数 をΨ(x,y,z)=φ(y)exp[i(pxX+pzZ)/h]と
置 き,φ(y)に
関する
運 動 方 程 式 を導 け. 3) 2)の 結 果,y方
向 の 運 動 は1次 元 調 和 振 動 子 と同 等 で あ る こ とが わ か る.
こ の こ と よ りエ ネ ル ギ ー 固 有 値 を 求 め よ.
方 針 電 磁 場 中 の 電 子 の シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方程 式 を書 き下 し,磁 場H=(0, 0,H)を
与 え る ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ルA=(-Hy,0,0)と,ス
カ ラ ー ポ テ ン シ ャル
φ=0を 解
代 入 す る. 1)ベ
ク トル ポ テ ン シ ャ ルA=(-Hy,0,0)がH=(0,0,H)を
は す ぐわ か る(∵H=∇
×A).し
た が っ て,シ
与 えること
ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 方 程 式 は 式(1.9)
よ り,
(1) で あ る.す
な わ ち,
(2) とな る. 2)
与 え られ た波 動 関 数 を式(2)に 代 入 して ま とめ る と
(3) を 得 る. 3)
式(3)は
ま さ に1次
元 調 和 振 動 子 で あ る.す
な わ ち,
(4) に平 衡 点 が あ り,角 振 動 数 ωは
(5) と な っ て い る.ゆ え に,こ の系 の エ ネル ギー は調 和 振 動 子 の そ れ とz方
向 の 自由
運 動 の エ ネ ル ギー の 和
(6) と な る.こ
こ で μB=eh/2mcを
ボ ー ア 磁 子(Bohr
こ の 電 子 はz方
向 に 運 動 量pzで
と が わ か る.こ
の 二 つ の 運 動 を 合 成 す る と 図2.13に
2.13).
magneton)と
い う.式(6)よ
り
自 由 運 動 を し,他 の 方 向 は 調 和 振 動 を し て い る こ 示 す ら せ ん 運 動 に な る.(図
図2.13
磁場 中 の 自由電子 の運 動
章
3 第
球対称場中の運動
こ の 章 で は,球
対 称 な ポ テ ン シ ャ ル の 場 の 中 に お け る粒 子 の 運 動,特
子 に つ い て 考 え る.古 を 電 荷-eを
典 論 では,中
心 に 電 荷 ｅ を もつ 原 子 核 が あ り,そ
の まわ り
も っ た 電 子 が 速 度υ で ま わ っ て い る と考 え る.電 子 と 原 子 核 の 間 に は
ク ー ロ ン(Coulomb)力F=-e2/r2が て い る.こ
に 水素 原
働 き,回 転 に よ る 遠 心 力mυ2/rと
う い う 描 像 で 水 素 原 子 を と ら え る と,電
っ て 加 速 度 が 働 い て い る こ と に な る.電 け る と エ ネ ル ギ ー を 放 出 す る.こ 次 第 に エ ネ ル ギ ー を 失 い,つ
子 に は 常 に原 子 核 方 向 に 向 か
磁 気 学 に よ れ ば,荷
の 結 果,原
つ り合 っ
電 粒 子 は加 速 度 を受
子 核 の ま わ り を ま わ って い る電 子 は
い に は 原 子 核 へ 落 ち 込 ん で し ま う は ず で あ る.こ
は 水 素 原 子 が 安 定 に 存 在 し て い る と い う 実 験 事 実 と 矛 盾 す る.さ ギ ー ス ペ ク トル は 連 続 的 な 値 を と る は ず で あ る が,こ
れ
ら に放 出 エ ネ ル
の 点 も観 測 結 果 と 異 な っ て
い る. バ ル マ ー(Balmer),ラ (Blackett),フ 数ν
はmとnを
イ マ ン(Lyman),パ
ン ト(Hund)ら
ッ シ ェ ン(Paschen),ブ
の 実 験 に よ っ て,水
ラ ッケ ッ ト
素 原 子 か ら放 出 され る 光 の 振 動
整 数 と して
(3.1) と い う 振 動 ス ペ ク トル を も っ て い る こ と が 観 測 さ れ た.こ (Rydberg)定
数,cは
こ にＲ
は リ ドベ リ ー
光 速 度 で あ る.
量 子 力 学 は こ れ ら 古 典 論 で は 説 明 の つ か な か っ た 事 実 を み ご と に 説 明 す る.こ の 章 で は,ポ
テ ン シ ャ ル が 球 対 称 の 形 を もつ 場 合 の シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 方 程 式 を
解 く こ と に よ り,水
素 原 子 の エ ネ ル ギ ー ス ペ ク トル(式(3.1))を
使 用 され て い る 数 学 の 中 にル ジ ャ ン ドル(Legendre)の の 多 項 式,ベ
ッ セ ル(Bessel)関
導 く.
多 項 式,ラ ゲ ー ル(Laguerre)
数 な ど の 特 殊 関 数 が あ る が,初 学 者 は あ ま り気 に し
な い で 進 ん で ほ しい.
問3.1
ハ ミル トニ ア ン
(1) で 記述 され る2粒 子 系 が あ る.ポ テ ン シ ャルVは2粒
子 間 の 距 離￨x1-x2￨の
み
に依 存 す る とす る.以 下 の 座 標 変 換 に よ り,重 心 の 運 動 と相 対 運 動 に 分 離 し,後 者 を極 座 標 表 示 に 書 きか え よ.
(2) {x,y,z} と書 く
と,
ｘ=
(3) 方針 まず 変換(式(2))を 行 い,そ
の後,極
座 標 に変 換 す る.
解 変 換(式(2))は 偏微 分 法 の 約 束 に従 って,
(4) さ らに
(5) と な る.他
の 変 数y1,z1,x2,y2,z2に
対 し て も 同 様 の 計 算 を 行 う こ と に よ り,ハ
ミル トニ ア ン は 以 下 の よ う に 書 き か え られ る.
(6) こ こ で,ΔXは,Xに 意 味 す る.
つ い て の ラ プ ラ シ ア ン を,Δ
はxに
つ い て の ラプ ラ シ ア ン を
式(6)は
変 数 分 離 型 の 微 分 方 程 式 な の で,波 動 関 数 をψ(X,x)=F(X)f(x)と
い て 解 く.こ
お
れ を 代 入 し て,
(7) を 得 る.両
辺 をF(X)f(x)で
割 る と,
(8) と な る.こ
こ でＸ
る.第2項+第3項
とxは
独 立 変 数 で あ る こ と か ら,式(8)の
も同 じ.こ
の 定 数 をExと
第1項
は 定 数 とな
お い て,
(9) (10) とい う二 つ の微 分 方程 式 が 得 られ る.上 記 の 式(9)は 系 の 重 心 の 運 動 を記 述 し,そ の解 は 平 面 波 で 与 え られ る.式(10)は 以 下,式(10)に
重 心 座 標 で の 系 の 運 動 を記 述 す る.
つ い て 考 え る.こ れ に対 し式(3)の 座 標 変 換 を行 お う.式(4)で
行 った の と同様 に して,{x,y,z}と{r,θ,φ}の
間 の 偏 微 分 の 関 係 は 次 の よ うに
行 列 を使 っ て ま とめ られ る.
(11)
こ の 行 列 をAと
お く と,
(12) と な る. 逆 行 列A-1は
(13)
と な る か ら,結
局
(14) を 得 る. ラ プ ラ シ ア ンΔ は
で あ る か ら,式(14)を
代 入 し少 々 た い くつ な 計 算 の 後 に,
(15) を 得 る.こ
れ は ま た,
(16) と も書 け る. 以 上 の 計 算 は か な り面 倒 だ と思 う が,一 き もの で あ る.ま
た 問 付.3に
生 に一 度 く らい ち ゃ ん と行 っ てみ るべ
別 の 導 き 方 を 示 し た.
問 3.2 球 対 称 ポ テ ン シ ャ ルV(r)を ガ ー 方 程 式 の 波 動 関 数 をψ(r,θ,φ)と
もつ 系 を 考 え る .こ の 系 の シ ュ レー デ ィ ン す る.
(1) と して動 径 方 向R(r)と
θ方 向Θ(θ)と φ 方 向Φ(φ)に 変 数分 離 した と き,そ れ ぞ
れ の 満 た す 微 分 方程 式 を導 け. 方 針 シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方程 式 に 式(1)を 代 入 し変数 分 離 を行 う.ま ず 動 径 方 向,次
に θ と φ 方 向 につ い て考 え よ.
解 シ ュ レ ーデ ィ ンガ ー 方 程 式 は(前 問 参 照)極 座 標 表 示 で
(2) で あ る.こ
れ に 式(1)を
代 入 す る.
(3) と お く と,式(2)は
(4) と な る か ら,両
辺 をRYで
割 っ て,
(5) を 得 る.左
辺 第3項
の(1/Y)ΛYはrに
こ こ でΛ の 固 有 値 を-λ もr依
依 存 しな い.
と お く.Λ は θ と φ に しか 依 存 し な い の で,固
存 性 を も た な い.固 有 値 問 題 と してΛY=-λYを
有値 λ
解 く こ と は,後 の 問 題 と
し て お こ う. 式(5)を
λ を 使 っ て 書 き か え て,
(6)
こ れ がR(r)の
従 う微 分 方程 式 で あ る.
次 に θ と φ 方 向 に つ い て 考 え る.
(7) に 対 し,Y(θ,φ)=Θ(θ)Φ(φ)を にsin2θ
代 入 す る.得
ら れ た 式 の 両 辺 をΘΦ で 割 り,さ ら
を か け る と,
(8) とな る.左 辺 第2項
は φ だ け の 関 数 で あ り,そ の 他 の 部 分 は θだ け の 関 数 で あ る
か ら,そ れ ぞ れ 定 数 と等 し い.こ の 定 数 をν とお く.よ っ て式(8)は
(9) (10) の 二 つ に 分 割 さ れ る.式(9)がΦ(φ)の
従 う べ き方 程 式,式(10)がΘ(θ)の
従 うべ き
方 程 式 で あ る.
問3.3
問3.2で
方 針 問3.2の
求 め たΦ(φ)の
従 う 微 分 方 程 式 を 解 け.
式(9)は
(1) で あ っ た.解
の 規 格 化 と解 の1価 性 を考 慮 せ よ.
解 式(1)を 形 式 的 に解 く と,
(2) と な る.Φ0は
規 格 定 数.解
の1価
性 よ り
(3) よ っ て,
(4) と な る.さ
ら に 規 格 化(φ
は-π
か ら π ま で)す る こ と に よ り定 数Φ0が 求 ま り,
(5) とな る.よ っ て規 格 化 され た解 と して
(6) を得 る.mを
磁 気 量 子 数 とい う.
直交 性 を調 べ る と,
(7) で あ る か ら,Φm(φ)は
問3.4
問3.2で
直 交 性 を もつ.証
明 は省 略 す る が 完 全 系 に もな っ て い る.
求 め たΘ(θ)の 満 た す 微 分 方程 式 を解 け.
方 針 Θ(θ)の 満 た すべ き微 分 方 程 式 は
(1) で あ っ た.こ
こ で 問3.3の
結 果√ν=imを
使 っ た.m=0,±1,±2…
cosθ=xと
お き変 数 変 換 を す る こ と に よ り,式(1)が
の 陪 微 分 方 程 式 と な る こ と を 確 か め よ.ま 解 θ を 変 数 変 換 す る.Θ
はmに
で あ る.
ル ジ ャ ン ドル(Legendre)
た そ の 解 を 求 め よ.
依 存 す る の で 以 下 で はΘmと
書 く こ と に す る.
(2) を使 っ て 式(1)は,
(3) と書 き か え ら れ る.θ ∈[0,π]で あ っ た か ら,x∈[-1,1]で ン ドル の 陪 微 分 方 程 式 で あ る.m=0の る.式(1)はmに 式(3)でm=0と
対 しm2の お く.
と き,ル ジ ャン
依 存 性 を も つ の で,m〓0の
あ る.こ
の式 がル ジャ
ドル の 微 分 方 程 式 と 呼 ば れ 場 合 の み 考 え れ ば よ い.
(4) こ れ をm回
微分す る と
(5) と な る.一
方,式(3)に〓
を代 入 し て
(6) を 得 る.式(5)と が わ か る.す
式(6)を
比 較 す れ ば,〓
と い う関係 が あ る こ と
な わ ち,
(7) で あ る か ら,Θ0(x)が さ て 式(3)を
求 ま ればΘm(x)が
解 い てΘ0(x)を
求 ま る こ と に な る.
求 め よ う.級
数 に よ る 解 法 を使 う.
(8) とお い て式(3)に 代 入 し,各xkの
係 数 を比 較 す る と
(9) と い う 関 係 が あ る.こ
れ よ りC0とC1を
任 意 定 数 と して 式(3)の
一般解 は
(10) と な る. 次 に 解(式(10))の
妥 当 性 を 考 え よ う.い
限 な 物 理 的 に 意 味 を もつ 解 で あ る.こ あ る.あ
る 整 数S0に
ま 求 め た い の はx∈[-1,1]の
範 囲で有
の 条 件 を 満 足 す る の は 次 の2通
りの 場 合 で
対 し,
ｉ) λ=2S0(2S0+1)を
満 た し,か
つC1=0,
ⅱ)
満 た し,か
つC0=0.
λ=2S0(2S0-1)を
(11)
す な わ ち,Θ0(x)はxの も し 式(11)が
多 項 式 で あ る(ν の 和 は 無 限 ま で 続 か な い).な
満 た さ れ な い と す る と,式(9)よ
りkが
ぜ な ら ば,
十 分 大 き い とこ ろで
(12) で あ る か ら,
(13) と な り,Θ0(x)はx=±1で 以 上 よ り,微
対 数 発 散 し,有
分 方 程 式(4)の
解で
限 な 解 と な ら な い か ら で あ る.
「物 理 的 に 許 さ れ る 」 もの は,
(14) の と き の み 存 在 す る.lを Plmと
方 位 量 子 数 と い う.し た が っ て,以 下 で はΘ0をPl,Θmを
書 くこ と にす る と (l=偶
(15)
数 の と き),
(l=奇
数 の と き)
(16) で 与 え ら れ る.Pl(x)を
ル ジ ャ ン ドル の 多 項 式 と い う.任 意 定 数C0とC1は
一般的
な 定 義 に 合 う よ う に と っ た. 結 局,式(3)の
解 は 式(7)と(15)よ
りmが
正 の整 数 の と き
(17) で あ る.Plm(x)を
ル ジ ャ ン ドル の 陪 多 項 式(陪 関 数)と い う.
補 ル ジ ャ ン ドル の 多 項 式Pl(x)は,次
の よ う に も表 現 で き る. (ロ
ド リ ー グ(Rodrigues)の
公 式).
(18) 証 明 は 式(1)を
直 接 微 分 す る こ と に よ りで き る.l=偶
数 と し て,
(19)
lが 奇 数 の と き も同 様 に して で き る. した が っ て,ル
ジ ャ ン ドル の 陪 関 数Plm(x)は
(20) と 表 さ れ る.m=0,1,2… Plm(x)の
直 交 性
で あ る. も との 座 標 系(r,θ,φ)と
の関係か ら
(21) で あ る.
PlmとPkmは,そ
れ ぞ れ ル ジ ャ ン ドル の 陪 微 分 方程 式 の 解 で あ る か ら,
(22) (23) 式(22)にPkmを
か け た も の か ら式(23)にPlmを
か け た もの を 差 し 引 い て,xで
積 分
す る.
(24) こ の左 辺 を部 分 積 分 す る.
式(7)の
左 辺=
(25) 第1項
は,Pkm,dPlm/dx,Plm,dPkm/dxが
有 限 な の で0と
な る.第2項
そ れ ぞ れxの
は 明 ら か に0.よ
多 項 式 で あ り,x=±1で
っ て 式(7)=0よ
り
(26) した が っ てl≠kの
Plm(x)の
と き,Plm(x)とPkm(x)は
規格化
直 交 して い る.
2乗 積 分 を す る.
(27) これ も部 分 積 分 を く り返 す こ と に よ り,
(28) と な る.こ
こ で[ ]内 のxの
あ る か ら,xでl+m回
最 高 次 はxm+lで,係
微 分 し た と き,こ
数 は(-1)m(2l)!/(l-m)!で
の 項 の み 残 る.よ
っ て,
式(28)=
(29) 積分 は (30) こ こ でu=(1-x)/2と
お いて
(31) を 得 る.よ
って
(32) とな る. 以 上 よ り,規 格 直 交 化 され た θ方 向(x)の 波 動 関 数 と して(Θm=Plm)
(33) を 得 る.lとmが
小 さ い と こ ろで は
(34) な ど で あ る.
(35) に よ り定 義 さ れ る. 問3.3で
求 め た φ 方 向 の 波 動 関 数Φm(φ)と,上
を あ わ せ て,Ylm(θ,φ)=ylm(θ)Φm(φ)と と呼 ぶ.図3.1はlとmが 距 離 と し て 書 い た も の で あ る.す た と え ば,l=m=0の 0で は θ=0と 定 で あ る.
で 求 め た θ 方 向 波 動 関 数ylm(θ)
書 き,球
面 調 和 関 数(spherical
小 さ い と き の￨Ylm(θ,φ)￨2の
harmonics)
値 を原 点 か らの
な わ ち 角 度 に 関 し て の 電 子 の 存 在 確 率 を 表 す.
場 合 ど の 方 向 に も同 じ確 率 で 電 子 が 存 在 す る.l=1,m=
θ=π の 近 傍 に 電 子 が い る 確 率 が 高 い.ま た す べ て φ に 関 して は 一
(a) l=0,m=0
(f) l=2,m=2
(e) l=2,m=1
(h) l=3,m=1
(d) l=2,m=0
(c) l=1,m=1
(b) l=1,m=0
(i) l=3,m=2
(g) l=3,m=0
(j) l=3,m=3
図3.1 ￨Ylm(θ,φ)￨2 問
3.5 問3.2で
求 め た動 径 方 向R(r)の
従 う微 分 方 程 式 を解 け.た だ し
(ク ー ロ ン ポ テ ン シ ャ ル,MKS単
位 系)
(1)
と し,E＜0で
考 え よ.Zは
方 針 問3.2の
式(6)に
原 子 番 号 でZ=1と
す れ ば 水 素 原 子 の 問 題 と な る.
式(1)を 代 入 す る.
(2) こ こで
(2') で あ り,λ r=0お
に は 問3.4の よ びr=∞
結 果(問3.4の
式(14))よ
り λ=l(l+1)を
代 入 し た.
の 近 傍 に お け る 解 の 漸 近 形 を 議 論 し,物 理 的 に 意 味 の あ る 解
(発 散 しな い 解)を 求 め る. 解E＜0よ
りA＜0の
と き を 考 え る.変
数rをr=ρ/2√-Aに
よ りρに変数
変 換 す る こ と に よ り,式(2)は
(3) と な る. さ て,ρ=0の
近 傍 で 式(3)は
(4) と 近 似 で き る.R(ρ)∼ρkと
お い て特 解 を求 め る と
(5) が 求 ま る.R2は る の はR1で ρ=∞
原 点(ρ=0)の
近 くで 発 散 す る の で 物 理 的 で な い.解
と して許 され
あ る.
の 近 傍 で は 式(3)よ
り
(6) を 得,こ れ か ら特 解 と して
(7) を 得 る.こ
の と き も ま た,ρ=0の
近 傍 の 場 合 と 同 様,発
散 す る 解R-は
捨 てな け
れ ば な ら な い. 以 上 を ま と め る と,わ れ わ れ に 許 さ れ る 解 は ρ=0の
近 傍 でR1=ρlと
な り,ρ=∞
の 近 傍 で はR+=e2-ρ/2と
な る 解 で あ る.以
下 で こ の よ う に 振 舞 う 解 を さ が す.
まず
(8) とお き,L(ρ)の
従 う微 分 方程 式 を求 め る と
(9) と な る.こ
れ を ラ ゲ ー ル(Laguerre)の
微 分 方 程 式 と い う.前
問 と同 様 に
(10) と お き 式(9)に 代 入 し,ρ
の 各 べ き の 係 数 を0と
す る と,bkに
つ いての漸 化式
(11) を 得 る. こ れ で 式(9)の
一 般 解 が 求 ま っ た.こ の 中 か ら 許 さ れ る 解 を 見 つ け だ さ な く て は
な ら な い.式(11)よ
りk→∞
で
(12) こ れ はL(ρ)∼eρ っ て,L(ρ)は
を 意 味 す る.こ
れ で はRが
ρ=∞
有 限 項 の 和 で な くて は な ら な い.そ
で 発 散 し て し ま う.し
の た め に は,あ
るk0に
たが
おい て
(13) が 成 立 す れ ば よ い.そ
し て,こ
の と きbk=0(k＞k0)と
な る.よ
って
(14) が 解 で あ る. さ て,式(13)の
意 味 は 重 要 で あ る.AとBに
式(2')を
入れ て
(15) を得 る.す な わ ち,エ ネ ル ギー(固 有 値)は 整 数k0+l+1で
決 ま る とび とび の 値 し
か も ち え な い.
(16) と書 く こ と に す る.nは め る と,lはk0〓0と
主 量 子 数 と 呼 ば れ,1,2,3,… 式(16)よ
の 値 を と り う る.nを
決
り
(17) の 値 を と り う る. 式(16)を
使 っ て 式(15)は
(MKS単
(cgs単 と書 け る.水
素 原 子Z=1の
位 系)
(18)
位 系)
エ ネル ギー は
(19) の 値 と な る. 式(14)は
ラ ゲ ー ル の 多 項 式Lm(x)を
用 い て 表 さ れ る.Lm(x)の
は
(20) で 定 義 さ れ る.Lm(x)をxで
α回微分 す ると
(21) と な る.L(α)mを
ラ ゲ ー ル の 陪 多 項 式 と い う.こ
れ を 式(14)と
比べ て
(22) と お け ば,式(14)のL(ρ)は
(23) で あ る こ と が わ か る. こ れ で 動 径 方 向 波 動 関 数R(r)が
ρ=2√-Arと
して,式(8)と
式(23)よ
り
(24)
と求 め られ た.こ
こ でN0は
規 格 化 因 子 で あ る.
規 格 化 条 件 は (25) で あ る.ρ=2√-Arと
変 数 変 換 して
(26) か らN0を
定 め る.
(27) を 用 い て(証 明 は 補 に あ る),
(28)
式(26)= よ って
(29) と な り,規
格 化 さ れ た.
ま と め る と,動
径 方 向 波 動 関 数 は 式(24)と
式(29)よ
り
(30) で あ る.こ
こ でa0は
(31) で 定 義 さ れ,ボ
ー ア 半 径 と 呼 ば れ る.nとlが
げ て お く(図3.2参
照).
小 さ い と き のRnl(r)を
い くつ か あ
図3.2
Z=1と
した と きのr方
向 波 動 関 数Rnl(r)
(32)
補 問3.5の
式(27)の
証 明
初 め に積 分
(33) を求 め て お く.部 分 積 分 に よ り
(34) 第1項
はe-t×[tの
多 項 式]で あ る か ら0と
な る.部
分 積 分 を く り返 し て
(35)
を 得 る。 よ っ て n＞kの
と き,
(36)
n〓kの と き,
とな る. 積 分Jmnに
対 して も部 分 積 分 を く り返 す こ とに よ り,
(37) と変形 で きる.こ れ に積 分Iknの 結 果 を使 う.Jmnに 寄 与 す るの は
(38) の う ち,tβe-t(β〓n)の
項 で あ る.L(m)nの
定 義 式(式(21))を
式(38)に
代 入 して微 分
を 実 行 す る.
(39) した が っ て,こ
の う ち 残 る の は,r+s+1〓nの
項 で あ る.一
方
な の で,
また は
(40)
を満 足 す る項 の み 残 る こ と にな る.こ れ を満 足 す るの は
① の3通
②
③
り だ け で あ る.
結 局,Jmnは
式(36),(37),(41)よ
り
(41)
(42) これ で証 明 で き た. Rnlの 直 交性
RnlとRmlは
それぞれ微分 方程式
(43) を 満 た す.し
た が っ て,
(44) が成 立 す る.左 辺 は 部 分 積 分 に よ り
(45) と な る.第1項,第2項
と も に0で
あ る か ら,
な らば
(46)
が成 立 す る. 水 素 型 原 子 問3.2∼ 問3.5を
通 じて 水 素 型 原 子 に対 す る シュ レーデ ィ ンガー 方
程 式 の 固 有 値 と固 有 関 数 が 求 め られ た.そ れ を ま とめ て お こ う.主 量 子 数n.方 量 子 数l.右
気 量 子 数mの
位
波動 関数 は
(47) で あ る.動
径 方 向 波 動 関 数Rは
問3.5の
式(30)よ
り,
(48) θ 方 向 は 問3.4の
補 式(33)よ
り,
(49) φ 方 向 は 問3.3の
式(6)よ
り
(50) で あ る.固
有 値 は 主 量 子 数nの
み に 依 存 し(問3.5の
(MKS単
式(18))
位 系)
(51)
で あ る. 注 式(49)の
代 わ りに
(52) と と っ て い る 本 も あ る が そ れ で も 差 し支 え な い .
問 3.6 水 素 原 子 の 電 子軌 道 半径 をaと 〓a と考 え た と き,エ
す る.不 確 定 性 原 理ΔpΔr〓
ネ ル ギ ー を 最 小 に す るaの
(MKS単 と な る こ と を 示 せ.こ の 値 は ボ ー ア 半 径(問3.5の 電 子 の 質 量 で あ り,磁
を用 いΔr
値 は
位 系) 式(31))と
(1) 一 致 す る(本 問 のmは
気 量 子 数 と混 同 し な い こ と).
解 ハ ミル トニ ア ン は
(2) で あ る.円 軌 道(軌 道 量 子 数l=0,磁 動 関 数 は球 対 称 で あ るか ら=0.
気 量 子 数m=0)を
考 え よ う.こ の と きの 波
エ ネ ル ギ ーの 期 待 値 は
(3) で あ る.い
ま
=0よ
り,=<(p-)2>=<(⊿p)2>.ま
たr=aよ
り,
(4) 不確 定 性 原 理 よ り,⊿p〓h/aを
使 って
(5) と な る.こ
れ をaに
つ い て 変 分 し,最
小 のEを
さが す と
(6)
の と き,
を 得 る.こ
問 3.7
の エ ネ ル ギ ー の 値 は 問3.5の
式(18)の
最 低 値E1と
水 素 型 原 子(ク ー ロ ン ポ テ ン シ ャ ル)を 考 え る.基
位 置 の 期 待 値お 方 針 問3.5の
よ び そ の ゆ ら ぎ√<(⊿r)2>を 式(47)よ
一 致 す る.
底 状 態 に お け る電 子 の
求 め よ.
り基 底 状 態 の 波 動 関 数Ψ100(r,θ,φ)は
(1) で あ る.こ
れを用いて
(2) を計 算 せ よ. 解 まず 期 待 値は
(3) と な る.途
中2Zr/a0=ρ
と お い た.
同様 に しては
(4) で あ る. よ っ て ゆ ら ぎは
(5) とな る.ま た 平 均 値に 対 す るゆ ら ぎの 相 対 比 を計 算 して み る と,
(6) を得 る.こ れ で は基 底 状 態 の 電 子 の 軌 道 を も し見 て もぼ や け て い そ うで あ る.
問3.8 半 径aの
箱(球)の 中 の 自由 粒 子 を考 え る.3次 元 シュ レー デ ィンガ ー 方
程式 (1) を解 き,解
を求 め よ.た だ し極 座 標 を使 って 表 せ.境
し,u(a,θ,φ)=0と
界 条 件 は任 意 の θ,φ に対
す る.
方針 水 素 原 子 を扱 っ た と き と同 様 にΔ を極 座 標 表 示 す る と
(2) で あ る.こ
こ で ε=2mE/h2と
お い た.u(r)=R(r)Y(θ,φ)と
おいて変数分離 す
る.
(3) (4) をそ れ ぞ れ解 け ば よい.
解 式(4)に
関 し て は,す
で に 問3.3と
問3.4で
扱 っ た の で,式(3)に
つ いて の
み 議 論 す る.
(5) と お い て 式(3)に 代 入 す る.
(6) と な る.こ
こで
(7) と変 数 変 換 す る と
(8) を 得 る.こ れ は べ ッ セ ル(Bessel)の
微 分 方 程 式 と 呼 ば れ,ν 次 の 第1種
ベ ッセ ル 関
数
(9) を解 と して もつ.後
で こ の こ と を示 す.
した が っ て,動 径 方 向 の 波 動 関 数 (10) が 得 ら れ た.Clは さ て,境
規 格 化 因 子 で あ る.
界 条 件 ：r=aでR(a)=0す
な わ ち,
(11) に よ り許 さ れ るkの
値 が 決 ま り,そ れ ら は 離 散 的 で あ る.た
と え ば,l=0の
とき
(12) (式(33)参
照)よ
り,
(13) で あ る.kが
離 散 的 で あ る こ と に と も な い,エ
ネ ル ギ ーEも
式(7)よ
り
(14) と,離
散 的 な 値 しか と り え な く な る.kはnに
た.こ
の 系 の 最 低 エ ネ ル ギ ー はn=1,l=0の
もlに
も依 存 す る の でknlと
状 態 でE10=h2π2/2ma2で
記 し
あ る.
全 系 の 波 動 関 数 は θ と φ 方 向 の 波 動 関 数 を 合 わ せ て,
(15) で 与 え られ る. 補 ベ ッセ ル 関 数(式(9))が 微 分 方 程 式(式(8))を 満 た す こ との 証 明 まず 準 備 をす る.次 の 二 つ の 式 が 成 立 す る.
(16) (17) 証 明:式(15)を
用 い て 式(16)の
右 辺 を表 す と
(18) 式(16)証 式(15)を
明 終 り.
微 分 す る.
(19) 式(17)証 式(16)と る.以
式(17)を
用 い て 式(15)が
下 引 数 を 省 略 して 書 く.
式(8)を
明 終 り.
満 足 す る こ と を 示 す.式(17)を
微分 す
(20) こ こ で,式(17)を
用 い た.式(8)の
左 辺 は 式(16)と
式(20)か
ら
(21) と な る.こ
こ で 式(16)と
式(17)を
用 い た.よ
程 式 の 解 で あ る こ と が 示 さ れ た.式(9)の
っ て,Jν(式(9))は
級 数 の 収 束 半 径 は∞
べ ッ セル の微 分 方 で,Jν(z)は
整 関数
で あ る. Rnl(r)(式(10))の
規格直交性
ま ず 直 交 性 に つ い て 調 べ る.す
な わ ち,
(22) を 示 す.式(10)よ
り
(23) こ こ でCnl規
格 化因子
で あ る.ま たlは
方位量 子 数 で あ っ た.以下,ν=l+1/2と
お く. ベ ッ セ ル 関 数Jν は 式(8)を
満 た す の で,
(24) が 成 立 す る.同
様 の 式 がJν(kmlr)に
knlJν(kmlr)とkmlJν(knlr)を
対 して も成 立 す る の で,そ
か け て 区 間[0,a]で
積 分 し,そ
れぞれ に
の 差 を と る と,
(25) が成 立 す る. 右 辺=
(26)
左 辺 は部 分 積 分 に よ り 左 辺= (27)
こ こ で 境 界 条 件Jv(knla)=Jv(kmls)=0=Jv(0)を な わ ち,knl2≠kml2 (n≠m)の
と き,直
用 い れ ば,式(27)=0と
な る.す
交性
(28) が 示 さ れ た. 次 に 規 格 化 因 子Cnlを て,ε
→0の
求 め る.式(26)と
極 限 を 考 え よ う.ま
ず 式(26)よ
式(27)に り,ε
お い て,knl=kml+ε の1次
まで で
式(26) と な る.一
方,式(27)の
とお い
(29) 方は
式(27)
(30)
と な る.こ こ でJv(kmla)=0お を比 べ て
よ び 式(16)と
式(17)を
用 い た.結 局,式(28)と
式(29)
(31) を得 る.し た が って,規 格 直 交 化 され た波 動 関 数 は
(32) と な る.lが 録4参
整 数 の と きJl+1/2(x)はxの3角
関 数 と 有 理 式 の 組 合 せ で 表 さ れ る(付
照).
lが 小 さ い と き のRnl(r)を
い くつ か あ げ て お く(n=1,2,…).
(33) (34) た だ し,
(35)
た だ し,
図3.3 a=1と
した と き の 動 径 方 向 波 動 関 数
(式(33)のn=1と2の
場 合)
こ こ で は 式(32)そ
の ま ま で な く,符
図3.4
a=1の
号 は 無 視 した(図3.3,図3.4参
場 合 の動 径方 向 波動 関数
(式(34)のn=1と2の
場 合)
照).
第 4章 角
運
動
量
前 章 で は シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式 の 角 部 分 の 問題 を微 分 方程 式 の 解 と して 扱 っ た.こ の 節 で は 角 運 動 量 の 演 算 子 と して の性 質 を中 心 に考 え て み よ う. 軌 道 角 運 動 量 演 算 子l={lx,ly,lz}をl≡r×pよ
り
(4.1)
と定 義 す る.こ れ か ら演 算 子 と して の 交 換 関 係 (4.2) が 導 か れ る(問4.2参
照).l2=lx2+ly2+lz2の
た は 正 の 整 数 と な る(問4.3).lを 式(4.1)を
前 提 と し な い で,交
固 有 値 をh2l(l+1)と
す る とlは0ま
角 運 動 量 の 大 さ と い う. 換 関 係(4.2)か
ら 出 発 し よ う.す
な わ ち,
(4.3) を 満 た す 量Jを せ よ.J2の
考 え る.こ
れ を 一 般 化 さ れ た 角 運 動 量 と呼 ぶ.問4.3の
固 有 値 をh2j(j+1)と
数(0,1,2…)の
す る と,角
他 に 半 奇 数(1/2,3/2,…)も
一 般 化 さ れ た 角 運 動 量 の 例 と し て,粒
運 動 量 の 大 き さjの
補 を参 照
値 と し て は正 整
許 さ れ る. 子 の 固 有 の 角 運 動 量 が あ る.こ
ン と 呼 び,Jの
か わ り にsと
ら れ て い る.電
子 が ス ピ ン と い う 自 由 度 を もつ こ と は 相 対 論 的 量 子 力 学 を 用 い る
と必 然 的 に 導 か れ る(問9.2参
書 く,電 子 は 大 き さs=1/2の
れ をス ピ
照).ス
ス ピ ン を もつ こ とが 知
ピ ン は 粒 子 の 自転 に た と え ら れ る が,正
し
くは粒 子 の もつ 内 部 自由 度 で あ る. 粒 子 が 二 つ 以上 存 在 す る場 合,お こ る.さ
らに は粒 子1個
え られ る.粒 子1と はJ=J1+J2と
の お の が もつ 角 運 動 量 の 合 成 とい う 問題 が 起
の 場 合 で も軌 道 角 運 動 量 とス ピ ン角 運 動 量 との 合 成 が 考
粒 子2の
角 運 動 量 をJ1とJ2と
な る.J1とJ2は
す る と,合 成 され た角 運 動 量J
各 成分 が 可 換 で あ る.各 粒 子 の 波 動 関 数 をψj1m1とψj
2m2と して,合 成 され た系 の波 動 関 数 をψjmと し よ う.
(4.4) で あ る.角 運 動 量 の 合 成 とは,合 成 され た 系 の 波 動 関 数ψjmを 各 粒 子 の 波 動 関 数 で 表 す 問 題 で あ る.各 粒 子 の 角 運 動 量 の 各 成 分 は互 い に 可 換 な の で,合 成 系 の 波 動 関数ψjmはψj1m1とψj2m2の 積 の 線 形 和
(4.5)
と表 さ れ る.和 はJz=J1z+J2zよ
数 字 はM=m1+m2を を 表 す.
りm=m1+m2を
満 足 す る も の の み と る.係 数Cjm
表 し,破 線 はJ=j1+j2,j1+j2-1,… ￨j1-j2￨の
図4.1 角 運動 量 の合 成
値 に よ る区分
を ク レ プ シ ュｰゴ ー ダ ン(Clebsch‐Gordan)係 例 と してj1=9/2,j2=2の
場 合 を 考 え よ う.横
と り う る値 を 書 き 込 ん だ も の が 図4.1で っ て い る.さ ら に〓
数 と い う.
で 囲 ん で 各jの
軸 をm1,縦
軸 をm2と
あ る .斜 め の 線 上 で はmが
と な っ て い る.次
た が ってj=13/2で
=￨j1-j2￨=7/2と
あ る.こ のjの
り のmの 値 はj=j1+j2=9/2+2=13/2
の グ ル ー プ で は,m=-11/2,-9/2,…,9/2の12通
j1+j2-1=11/2.最
一 定 の値 を と
値 ご と に グ ル ー プ 分 け を して あ る.最 大 の グ
ル ー プ で は,m=-13/2,-11/2,…,11/2,13/2で13/2×2+1=14通 値 を と っ て い る.し
してmが
り で,j=
小 の グ ル ー プ で は,m=-7/2,-5/2,…,7/2の6通 な っ て い る .よ
りで,j
って全部で
通り
(4.6)
あ る.こ の 数 は 各 粒 子 が それ ぞ れ独 立 に もつ 自由 度 の 積
(4.7) と一 致 して い る.す
な わ ち,合 成 さ れ た 波 動 関 数 のjの 値 は
(4.8) の い ず れ か の 値 を と り,mは-j,-j+1,…,jの を 参 照 し て ほ し い.そ
問4.1 y軸
い ず れ か の 値 を と る.問4.11
こ で ク レ プ シ ュ‐ ゴ ー ダ ン 係 数 を 具 体 的 に 求 め る.
の ま わ り に 角 度 θだ け 回 転 さ せ る 操 作 は
(1) と して ユ ニ タ リー 変 換Ry(θ)を
用 い て 与 え ら れ る.こ
の 変 換Ry(θ)は
(2) で あ る こ とを 示 せ.lyは
角 運 動 量 演 算 子 で あ る.
方 針 空 間 を無 限 小 ε=(εx,εy,εz)変 化 させ る演 算 子 をTε と書 くこ と に す る.
(3) で あ る.右
辺 を テ ー ラ ー 展 開 し,ε の1次
ま で 求 め る.
(4) 有 限 の 距 離aに
つ い ての 変 換 は無 限 小 変 換 の 重 ね 合 わせ で あ る と考 え て
(5) と す る.a/nはn→∞
で 無 限 小 だ と考 え て,式(4)を
用 い る と,
(6) を得 る. εを空 間 の 回 転 に あ て はめ れ ば題 意 を満 足 す る. 解 y軸 の ま わ りに微 小 角 度 εだ け 回 転 させ る と,座 標 は
(7)
と な る.よ
っ て,い
まの 場 合
(8) と と れ ば よ い.こ
れ を(4)に 代 入 し,Tε
をRy(ε)と
書 く と,結
果 は
(9) とな る.有 限 な角 度 θだ け の 回 転 は式(5)と 式(6)と 同様 に考 え て (10) と な る.
問4.2
軌 道 角 運 動 量 演 算 子l={lx,ly,lz}はl≡r×pよ
り
(1) と 定 義 す る(式(4.1)).以 1) lx,ly,lzを
下 の 問 に 答 え よ.
極 座 標 表 示 で 表 せ.
2) [lx,ly]=ihlz,[ly,lz]=ihlx,[lz,lx]=ihlyを 3) l2=lx2+ly2+lz2とlzの 4) l±=lx±ilyを
交 換 関 係[l2,lz]を
示 せ. 求 め よ.
定 義 す る.[lz,l±]=±hl±,[l+,l-]=2hlz,l-l+=l2-lz2-hlz
を 示 せ. 方 針 問3.1の
式(13)を
使 え ば2)は
わ か る.2)の
結 果 を 使 っ て3)と4)に
答 え
る. 解 1)問3.1の
式(14)を
式(1)に 代 入 し て 計 算 す る と,
(2)
を 得 る. 2)式(1)を
使 っ て 直 接 計 算 し よ う.
(3) 第1項
を求 め よ う.演 算 子 の 計 算 は間 違 え や す い の で,後 に 被 演 算 子ψ を お ぎ な
っ て考 え る と よい.
(4) よ っ て 式(3)の
第1項
は-y∂/∂xで
あ る.以
下 同様 に して
(5) とな るか ら
(6) 以 下 同 様 に して 他 の 二 つ も求 ま る. 3) 2)を 使 っ て
4)
(7)
(8) また
(9) ゆ えに
(10) 一 方
,
(11) を 得 る.さ
らに
(12) と も書 け る. 補 l2を
式(2)を
用 い て θ と φ で表 す と
(13) と な る.こ
問
こ でΛ
は 問3.2の
式(3)で
定 義 し た 演 算 子 で あ る.
4.3 軌 道 角 運 動 量 演 算 子 に つ い て,[l2,lz]=0よ
Ylm (θ,φ)が
存 在 す る.こ
りl2とlzの
同時固有 関数
れ を
(1) と 書 く こ と に す る.h2l(l+1),hmは 1) mの
そ れ ぞ れ 固 有 値 で あ る.
値 は-√l(l+1)〓m〓√l(l+1)で
あ る こ と を 示 せ.
2) Ylm(θ,φ)=Θlm(θ)Φm(φ)と
変 数 分 離 す る.問4.2の
-ih ∂/∂φ を 使 っ てΦm(φ)を 3) l±Ylmがlzの 4) 1)と3)の
求 め,mが
固 有 関 数 で あ り,固
有 値h(m±1)を
結 果 よ り,l'=[√l(l+1)]([
ら,l=l'で
あ り,lは
5)
l-Ylm=almYlm-1,l+Ylm=blmYlm+1と
6)
4)よ
りl+Yll=0で
も つ こ と を 示 せ.
]は ガ ウ ス の 記 号 す な わ ち√l(l+1) あ る こ と を 示 し,こ
の こ と と
整 数 で あ る こ と を 示 せ. 置 い た と き,almとblmを
あ る.ま
り,lz=
整 数 で あ る こ と を 示 せ.
を 越 え な い 最 大 の 整 数)と 置 い た と きl+Yll'=0で l-l+Yll'=0か
式(2)よ
た 問4.2の
式(2)よ
求 め よ.
り
(2) を使 っ て,Θll(θ)に 関 す る微 分 方程 式 を導 き,そ れ を解 け. 7) Θlm(θ)を 方 針 問4.2の ト演 算 子 の2乗
求 め よ. 結 果 よ りl2,lz,l+,l-な 和l2=lx2+ly2+lz2で
て,l2の
固 有 値h2l(l+1)は
lやmは
整 数 と は 限 ら れ な い.た
ど の 間 の 関 係 式 を 使 う.l2は
あ り,lx等
正(ま た は0)の
の 固 有 値 は 実 数 で あ る.し
実 数 と な る.式(1)を
だ しlはl〓0と
エ ル ミー たが っ
与 え た 時 点 で は,
し て お け ば,l(l+1)〓0を
満 足
す る. 解 1)l2-lz2=lx2+ly2で 固 有 値 は 非 負 で あ る.し
あ り,こ
の 右 辺 は エ ル ミ ー ト演 算 子 の2乗
た が っ て 式(1)よ
り
和 なの で
2)
(3) (4)
で あ るか ら〓
,を 解 け ば よ い.こ
れは簡単 で
(5) と す れ ば よ い.φ
に 関 す る 一 価 性 す な わ ちΦm(φ+2π)=Φm(φ)を
に よ っ て,m=整
数
が わ か る.ま
た,φ
要 請す るこ と
に 関 し て 規 格 化 を す れ ば,
(6) を 得 る. 3) l+Ylmにlzを
演 算 させ る と 問4.2の
式(8)か
ら
lzl+Ylm=(l+lz+hl+)Ylm=hl+(m+1)Ylm=h(m+1)l+Ylm と な る.し
た が っ て,l+Ylmはlzの
てl+Ylm∝Ylm+1.l-Ylmに
(7)
固 有 関 数 で あ り 固 有 値h(m+1)を
も つ.よ
っ
つ い て も 同 様 に 固 有 値h(m-1)でl-Ylm∝Ylm-1を
得
る. 4) 3)の 結 果 を 使 え ば,(l+)2Ylmもlzの
固 有 関 数 で あ り 固 有 値h(m+2)を
こ と が 示 さ れ る.こ れ を く り返 す と,あ る と こ ろ で(l+)kYlmの を越 え て し ま う.と (l+)kYlm=0と
こ ろ が1)よ
り そ れ は 許 さ れ な い.よ
な ら な く て は な ら な い.す
もつ
固 有 値 がh√l(l+1)
っ て,あ
るkの
ところで
な わ ちkは
(8) を 満 た す 整 数 で あ る.mも
整 数 で あ る か らk+m=l'+1.よ
っ てl+Yll'=0.
一 方
(9) と,Yll'は0で
ない ことよ り
(10) こ れ か ら,l=l'(〓0)を
得 る.す
な わ ちlは
整 数 で な くて は な ら な い.
5) l-l+=l2-lz2-hlzを
使 って
(11) (12) 一 方
,
(13) よ
り,
(14) の 関 係 が あ る.よ
っ て,式(11),(12),(14)よ
り
(15) (16) を 得 る.blmは
実 数 に と っ た.almは
これ よ り
(17) と な る.こ
れ ら を ま と め て,
(18) と書 い て お こ う(複 号 同 順). 6) 〓で
あ る.こ
れ にl+を
演 算 させ て
(19) とな る か ら,微 分 方 程 式
(20) を得 る.こ れ も簡 単 に解 けて
(21) よ り
(22)
と な る.規
格 化 定 数cは
問3.4の
式(30)と
同 様 に して
(23) よ り定 ま る.結
局
(24) を 得 る. 7) Θlmは
式(18)の
関 係 を 使 え ば 求 め ら れ る.
(25) をYlm=Θlm(θ)Φm(φ)に
演 算 させ る と
(26) で あ り,一
方l-Ylmは
式(18)を
みたすか ら
(27) と い う漸 化 式 を得 る.左 辺 を変 形 して(Θ に は θ依 存 しか な い の で ∂/∂θ をd/dθ と書 い て)
(28) よ っ て 式(27)と
式(28)よ
り
(29)
(30)
(31) を 得 る. 得 ら れ た 式(31)は,問3.4の た だ しmが-mにcosθ
式(20)の がxに
ル ジ ャ ン ドル の 関 数Plm(x)と
お き か わ っ て い る.微
一 致 す る.
分 方 程 式 を解 くか わ りに
以 上 の よ う に 計 算 し て も よ か っ た の で あ る.
補 こ こで は軌 道 角 運 動 量 を扱 った ので,波 動 関 数Φmに 対 して一 価 性Φm(φ)= Φm (φ+2π)を 要 請 し,そ の結 果lが
整 数 で あ る こ とを 導 い た.一 般 の 角 運 動 量J
の 場 合,波 動 関 数 の 一価 性 を要 請 しな い とjは 整 数 の 他 に 半 奇 数 も許 され る.以 下 で そ の こ と を示 そ う.出 発 点 は 式(4.2)の 交 換 関係 で あ る. 1) 交 換 関係 はlとJは
同 じな の で,
(32) 3) に つ い て も同様 に
(33) が 成 立 す る.違 式(33)を
い は,こ
使 っ て4)と
て,式(32)の
こ で はmは
整 数 と は か ぎ ら な い 点 に あ る.
同 様 の 議 論 が で き る.す
な わ ち,あ
る 正 整 数kとpに
対 し
条 件 よ り,
(34) が 成 立 す る.以
下,(J+)k-1ΨjmをΨjm,(J-)p-1ΨjmをΨjmと
〓か つ〓
書
く こ と に し よ う.
で あ る.
さて
(35) (36) で あ り,Ψjm≠0,Ψjm≠0で
あ る か ら,
(37)
が 成 り立 つ.こ
れ に よ りj(j+1)を
消去 す る と
(38) を 得 る.m〓mよ
り
(39) が 導 か れ る.mの
値 は 一 つ ず つ 変 わ る こ とが 許 さ れ て い るの で,
(40) と お け る.よ
っ て 式(39)と
式(40)よ
り
(41) が 得 ら れ る.こ
れ と 式(37)か
ら
(42) す な わ ち,jの 値 と して は式(40)のsの
値(半 奇 数 と整 数)が 許 さ れ る こ とが導 か れ
た.
問 4.4 角 運 動 量 の 大 き さLがL=1,2の
と き,Lx,Ly,Lzの
行 列 表 現 をそ
れ ぞ れ 求 め よ. 解 L2とLzの
同 時 固 有 関 数 を￨l,m＞
と 書 く.
(複 合 同 順) で あ る.ゆ
え にl=1の
(1)
と き(-1〓m〓1)
(2) よ って
(3)
と行 列 表 現 で き る.同 様 にL+は
(4)
で あ る.
(5) を使 っ て
(6)
を得 る.Lzは
(7) よ り
(8)
を得 る. た だ し状 態￨l,m>の
行列表現 は
(9)
で 表 さ れ る. l=2の
場 合(-2〓m〓2),結
果 の み 記 す.
(10)
問4.5
電 子 は大 き さが1/2の
角 運 動 量 を もつ.こ
の 角 運 動 量 演 算 子 をsと
し,
sとszと の 同 時 固 有 関 数 を考 え る.こ の 固 有 関 数 は一 般 角 運 動 量 で の べ た とこ ろ か ら(問4.3)
で あ る.こ れ を そ れ ぞ れ α お よ び β と記 す と
(1) (2) で あ る.s+=sx+isy,s-=sx-isyを
定 義 して
(3)
と な る.こ
れ よ りsx,sy,sz,s+,s-の
行 列 表 現 を求 め よ.
解 α と β の 行 列 表 現 を そ れ ぞ れ
(4) とす る と 5) 6)
で あ る こ と は容 易 に わ か る.こ れ か ら
(7) を 得 る. 注 szの
固 有 値 をmshと
書 く とms=±1/2で
こ れ を ス ピ ン 磁 気 量 子 数 と い う.
また
(8) を パ ウ リ(Pauli)行
列 と い う.
式(5),(7),(8)よ
り
(9) が 得 ら れ る.ま
た
(10) で あ る.
(
問4.6 Lx,Ly,Lzを
角 運 動 量 演 算 子 とす る.次
の 式 を 証 明 せ よ.
(1) 方 針 あ る 演 算 子aとbに
つ い て[a,b]≠0と
す る.こ
の と き公 式
(2)
が 成 立 す る.こ
れ は リー(Lie)の
公 式 と 呼 ば れ て い る(注 参 照).
こ の 公 式 を 用 い,[Ly,Lz],[Ly,[Ly,Lz]]等 解 a=iθLy,b=Lzと
お い て 式(2)の
の 値 を 代 入 せ よ. 各 項 を 求 め る.
(3) (4) (5) な ど を 得 る. 式(5)で
は,再
る と,LxとLzし
びLzが
現 れ た こ と に 注 目 し よ う.こ の こ と は 式(2)の
か 現 れ な い こ と を 意 味 す る.し
た が っ て,LxとLzに
各 項 を求 め ま とめ られ
て,
(6)
(7) を得 る. 注 リー の 公 式 の 証 明
(8) と お く.こ
れ を λ で 微 分 す る と[a,ｂ]≠0に
注 意 して
(9) と な る.さ
ら に 微 分 を 続 け る と,
(10) な ど で あ る. F(λ)を
λ=0の
ま わ り で テ ー ラ ー 展 開 した 式 は,
(11) で あ る.F(0)=b,F(1)=eabe-aを
使 っ て,λ=1と
お き
(12) を得 る.証 明 終 り(付 録 に 別 証 を与 え て あ る.問 付5参 照).
問 4.7 Lkを
角 運 動 量 演 算 子,pkを
運 動 量 演 算 子 とす る.pk’ を
(1) で 定 義 した と き,pk’ はpkをz軸
の ま わ りに θだ け 回 転 させ た もの で あ る こ と を
示 せ.
方 針 次 式 が 示 され れ ば よい.
(2)
こ の 変 換 行 列 はz軸
の まわ りに θだ け回 転 させ る もの で あ る.ま た問4.1も
参照
せ よ.
解 式(1)よ
が,こ
りLzとpkの
交 換 関 係 を 使 い,θ に つ い て 展 開 して ま と め れ ば よ い
こ で は次 の 方 法 で計 算 して み よ う.
まずLは (3) で 定 義 さ れ て い る.式(1)を
θ で 微 分 す る.
(4) 式(3)よ
り,[Lz,pk]は
計 算 で き て,
(5)
と そ れ ぞ れ な る.よ
っ て,
(6)
を 得 る. さ ら に も う 一 度 θ で 微 分 す る と,
(7)
とな る.式(7)は2階
の 常 微 分 方程 式 で あ り,簡 単 に解 け る.す な わ ち
(8) と お い て,AとBを
決 め れ ば よ い.一
方,py’=−dpx'/dθ
で あ る か ら,
(9) で あ る.θ=0の
と き,px’=px,py’=pyな
の で,
(10) と 求 ま る.よ
っ て,px'とpy'はpxとpyを
用 い て
(11) と表 さ れ た.
次 にpz'に
つ い て 考 え る.式(6)の3番
とが わ か っ た.す
な わ ち,式(1)に
い の だ か ら,θ=0と
目 の 式 よ り,pz'は
θ依 存 性 を も た な い こ
お い て ど ん な θ を 与 え て もpz'の 値 は 変 わ ら な
お い て よ い.よ
って
(12) を 得 る.式(11)と
式(12)を
ま と め て,式(2)を
得 る.
注1 座 標 に つ いて も
(13) と お け ば,
(14)
と な る.
注2 い まLzを やy軸
用 い た が,同 様 に してLx,Lyを
使 え ば そ れ ぞ れx軸
の まわ り
の まわ りの 回 転 が得 られ る.
問 4.8 L=1の
角 運 動 量 演 算 子LxとLzを
用 い て 演 算 子Kを
(1) と定 義 す る(図4.2).Kの 方 針 問4.4よ
固 有 値 を 求 め よ.
りLxとLzは,そ
れ ぞれ
(2)
と行 列 表 現 され る.こ れ を式(1)に 代 入 して 固 有 値 を求 め て も よ いが,こ こで は別 の 方 法 を 示 そ う. 解 Lzをy軸
の まわ りに θだ け回 転 させ てKを
表 そ う.つ ま り
(3) と 書 く.こ こ でU(θ)=eiθLyで
あ り(問4.6を
参 照 の こ と),kは
実 数 で あ る.Lξ は
Lzを 単 に 回 転 させ た もの だ か ら,や は りL=1の Lξ は ξ 方 向 に つ い て 対 角 的 で,固 問4.3に
角 運 動 量 演 算 子 で あ る.さ ら に
有 値 はh,0,−hを
と る.
おいて
(4) で あ っ た.し
た が っ て,式(1),(3),(4)を
あ わせ て
(5) と な る.Lx,Lzそ
れ ぞ れ の 係 数 を 等 しい と し て
(6) を 得 る.こ
れ よ りk2=a2+2b2と
Lξ の 固 有 値 はh,0,−hで
な る.
あ っ た の で,結
局Kの
固有 値 と して は
(7) を 得 る. こ の 結 果 は 図4.2の 向 の 長 さaの
よ う に も理 解 さ れ る.x方
向 の 長 さ√2bの
ベ ク トル とz方
ベ ク トル の 合 成 と し て,ξ 方 向 を 向 い た 長 さk=√a2+2b2の
ベ ク ト
ル が 作 ら れ る.
図4.2
LxとLzの
合成
問 4.9 z方
向 に 磁 束 密 度B=(0,0,B)の
の 角 運 動 量 のx成
分jxに つ い て,そ
解 ハ ミ ル トニ ア ン は
磁 場 が か か っ て い る と き,大 き さ1/2
の ハ イ ゼ ンベ ル グ 表 示 を具 体 的 に求 め よ.
(1) で あ る.*ま た,jxの
ハ イ ゼ ンベ ル グ 表 示 は
(2) で 与 え ら れ る.
Hの 第1項〓
Δはjに
依 存 しな い で,
(3) これ を用 い て 式(2)は
(4) と な る.以
下,具
体 的 に 計 算 し よ う.
い ま,角 運 動 量 の 大 き さ はh/2な
の で,行 列 表 現 す る と
(5) と な る.こ
れ を 式(4)に
入 れ て,
(6) を 得 る.
同 様 に して ＊ 考 え て い る 粒 子 が 電 子 の と き γ=e/mcで
あ る.
(7) と な る.
問
4.10
二 つ の 角 運 動 量J1とJ2が
動 量 が もつ べ き性 質 をJが
あ る.J=aJ1+bJ2を
満 足 す るた め のaとbの
定 義 し た と き,角
運
条 件 を考 え よ.
方 針 Jが 一 般 化 され た 角 運 動 量 で あ る か否 か は,式(4.3) (1) を満 た す か ど うか で 決 ま る. 解 交 換 関 係 を求 め る.
(2) これ が 式(1)を
満足 す るために は
(3) が 成 立 す れ ば よ い.し
た が っ て,
(4) の3通
りの 場 合 にの み 満 足 す る こ とが わ か る.後 の 二 つ の場 合 は あ ま り意 味 が な
い が,第1の
場 合 J=J1+J2は
角 運 動 量 の 合 成 と して 重 要 で あ る.
問 4.11 角 運 動 量 の 合 成 につ い て 考 え る.2個 ぞ れj1とj2を
も っ て い た とす る.j1=1,j2=1/2と
角 運 動 量JはJ=j1+j2と
な る.そ
Ψ1(j1,m1),Ψ2(j2,m2)と
の 粒 子 が 角 運 動 量 と して,そ し よ う.こ の と き2粒
子の合 成
れ ぞ れ の 粒 子 の 角 運 動 に 関 す る波 動 関 数 を
し た と き,合 成 系 の 波 動 関 数Ψ(J,M)は
ダ ン係 数CJM(j1,m1,j2,m2)を
れ
ク レ ブ シ ュ‐ ゴ ー
用 いて
(1)
と 表 さ れ る(式(4.4)参
照).こ
の 係 数CJMを
求 め よ.
方 針 波 動 関 数Ψi(ji,mi),i=1,2は
それぞれ
(2) を満 足 す る.合 成 系 の 波 動 関 数 も また (3) で あ る.こ
の 関 係 式 に 式(1)を
代 入 し,CJMを
求 め る.こ
の とき
(4)
(5) な どの 関 係 式 を使 う. 解 ま ずJとMの
と り う る値 を 決 め よ う.Jz=j1z+j2zよ
た が っ てm1=1,0,−1,m2=1/2,−1/2と り う る.Jの J
合 わ せ てM=3/2,1/2,−1/2,−3/2と
方 は こ れ か らJ=3/2,1/2の2通
=3/2,M=3/2の
と き ,式(1)よ
り,M=m1+m2.し な
り の 値 を と る. り
(6) Ψ とΨ1とΨ2は
そ れ ぞ れ 規 格 化 され て い る と して
(7) が結 論 され る. J
=3/2
,M=1/2に
つ い て は 式(4)を
使 っ てΨ(3/2,3/2)よ
り構 成 す る.
(8) の関係 か ら
(9)
な の で,
(10) を 得 る.
M=−1/2,−3/2の
場 合 は対 称 性(こ の 意 味 は次 問 を参 照 せ よ)よ り
(11) と な る.
J
=1/2
,M=1/2の
と き,J2を
式(1)の
両 辺 に 演 算 させ る.左
辺 は
(12) 右辺 は
(13) と な る.式(12)と
式(13)を
比 べCに
つ い て解 くこ と に よ り
(14) を 得 る. J
=1/2,M=−1/2に
つ い て は 対 称 性 よ り,
(15) で あ る. 以 上 で す べ て の 係 数 が 求 ま っ た.粒
子1の
っ た の で 合 成 系 の 自 由 度 は6=3×2と
な る .ち
補 j1=l,j2=1/2の
自 由 度 は(2j1+1)=3,粒 ゃ ん と6個Ψ
子2は2だ
が 求 ま っ て い る.
と き の 一 般 形 を 書 い て お こ う.
(16) 問 4.12 l=2の
軌 道 角 運 動 量 の 固 有 関 数 と,s=1/2の
して,合 成 角 運 動 量j=5/2お
よびj=3/2と
ス ピ ンの 固有 関 数 を合 成
な る 固 有 関 数 をす べ て 求 め よ.
方針 合 成角運動 量は (1) で定 義 され,そ
の 大 き さjは
を と り う る.い
まl=2,s=1/2だ
(2)
ま ずj=5/2で
か ら,j=5/2ま
磁 気 量 子 数mj=5/2で
u2α と も 書 け る.umlは
た はj=3/2で
あ る 固 有 状 態￨5/2,5/2>を
あ る.
考 え る.こ れ は
軌 道 角 運 動 量 の 固 有 関 数 で,l=2でml=±2,±1,0の
ず れ か の 値 を もつ 状 態 を 表 す.α
は ス ピ ン 関 数 でms=1/2の(上
向 き)状 態 を 示 し
て い る. こ の 状 態 にj-=l-+s-と 5/2か
らmj=−5/2ま
解 一 般 に,
い う演 算 子 を つ ぎ つ ぎ に 作 用 させ る こ と に よ っ て,mj= で の 固 有 関 数 が 作 ら れ る.
い
(3) で あ る.こ
れ はjをlに
変 え て も同 じ.こ
れ よ り,
(4) と な る.一
方,
(5) だ か ら,
(6) を得 る.
以 下 同 様 に して
(7)
よ り,
(8) と な る.
対 称 性 を考 慮 す る こ と に よ り,他 のmjの
値 に対 して
(9)
を得 る.対 称 性 の 意 味 は以 下 の とお りで あ る. 角 運動 量 演 算 子 を次 の よ う に変 換 す る.
(10) l'も 交 換 関 係 式(4
.2)を 満 た す.ス
合成 角運 動量演算 子 は
ピ ン に つ い て も 同 様 に 変 換 す る.し
た が っ て,
(11) と な る.こ
の こ と はjzの
固 有 値 方 程 式 に つ い て,
(12) す な わ ち,
(13) が 成 り立 つ こ と を 示 し て い る.軌 じ で あ る.つ
ま りjz',lz',Sz'を
道 お よ び ス ピ ン角 運 動 量 に つ い て も ま っ た く同 用 い た と き とjz,lz,szを
使 っ た と き と の 対 応 は,
固有状 態に おいて
(14) と お き か え れ ば よ い.こ 次 にj=3/2の
の 規 則 に の っ と り,式(9)は
場 合 を 考 え よ う.ま ずmj=3/2を
とu2β が 候 補 に 上 が る.こ
式(6)と
式(8)よ
もつ も の を 作 る.こ
の 二 つ の 状 態 か ら￨5/2,3/2>と
り得 ら れ る . れ に はu1α
直 交 す る もの を作 る と
(15) と な る.
以 下,前
と同 様 に して
(16) よ り,
(17) を 得 る.
ま た対 称 性 を使 っ て
(18)
を得 る.
以上 の結果 を行 列表 示 で示 す と
(19)
と な る.
問
4.13
ス ピ ン1/2を
も つ2個
の 粒 子 を 考 え る.そ
れ ぞ れ の ス ピ ン演 算 子 をs1,s2
と す る. 1) s1・s2の
固 有 値 を 求 め よ.た
の 大 き さsとz成 2)
だ し合 成 系 の ス ピ ン をs=s1+s2と
し,ス
ピン
分 の 固有 値szと で分 類 せ よ.
(s1・s2)n=An十Bn(s1・s2)
と書 け る こ と を 示 し,AnとBnを
(nは 自然 数)
(1)
求 め よ.
方 針 2通 りの や り方 が あ る.一 つ は ス ピ ン演 算 子 の 性 質
を使 う.合 成 系 の ス ピ ンは
の 大 き さ を も つ.つ
ま りs=1か0か
で あ る.
も う一 つ のや り方 は,直 接s1・s2の 固 有 値,固 算 して い く方法 で あ る.
解 方法1
有 関 数 を求 め,そ
れ を用 い て 計
1) 合 成 系 の ス ピ ンsを 用 い て
左 辺 はs2=h2s(s＋1),右
辺 は(3/2)h2+2s1・s2で
あ る か ら,
(2)
こ れ が,s1・s2の
固 有 値 で あ る. s=0の
h,0,−hの3通
場 合sz=0の1通
り あ り,s=1の
り の 状 態 が 縮 退 して い る.
2) s1・s2は1)で
見 た よ う に 二 つ の 値 しか と り え な い.し
ラ メ ー タAnとBnを
用 い て 式(1)の
s=0の る.ま
場sz=
場 合 とs=1の
ずs=0の
た が っ て,二
よ う に 書 け る.
場 合 が と もに成 立 す る ため の 条 件 と して,AnとBnが
と き,式(2)を
つのパ
決ま
使 って
(3) が 成 立 す る.s=1の
ときには
(4) で あ る,こ
の2式
を連 立 させ て 解 くこ とに よ り
(5) を 得 る.
方 法2
s1・s2を行 列 表 示 す る と
(6)
と な る.
右 側 に 書 い たの は基 底 で あ る.こ れ を対 角 化 す る こ とに よ り,固 有 値 と固 有 関 数 が 決 ま る.
固有値
固有 関数
(7) 固 有 関 数 か らs1・s2を 対 角 化 す る ユ ニ タ リ ー 行 列 を 作 る と
(8)
で あ る. 固 有 値 を 対 角 線 上 に がh2/4,h2/4,-3h2/4,h2/4と U-1s1・s2U=Λ 2)
1)よ
で あ る. り
並 べ た 行 列 をΛ
と す れ ば,
(9)
を 得 る.
これ を式(6)と
見 比べて み ると
(10) と お い て よ さ そ う で あ る.事
実
(11) を 満 た すAnとBnの
問 4.14
組 は 存 在 して,式(5)を
ス ピ ン1/2を
もつ2個
得 る.
の 粒 子 を 考 え る.そ
す る.二 つ の粒 子 間 の 相 対 位 置 ベ ク トル をrと
の ス ピ ン 演 算 子 をs1,s2と
す る と,こ の2粒
子間 の 双極 子 相
互作 用 は (1) で 与 え ら れ る.こ
れ が 合 成 ス ピ ンs=s1+s2を
用 いて
(2) と表 せ る こ と を 示 せ. 解 式(1)の
第1項
に お い て(s1・s2)は
(3) よ り,
(4) と表 せ る.式(2)の
第2項
は
よ り
(5) で あ る.
第1項
を各 成 分 に展 開 して 計 算 す る と
(6) と な る.こ
こで
(7) な ど を 使 っ た.第2項 し た が っ て,式(5)よ
に つ い て も同 様 で あ る. り,式(6)を
用 いて
(8) と式(1)第2項 式(4)と(8)を
が 表 せ る. ま と め て,式(1)は
(9) と な る.
問
4.15
Lを
軌 道 角 運 動 量,sを
1) 合 成 角 運 動 量J=L+sは,球 ンH0と
ス ピ ン 角 運 動 量 と し て,以 対 称 ポ テ ン シ ャ ルV(r)を
下 の 問 に 答 え よ. 含 む ハ ミル トニ ア
可 換 で あ る こ と を 示 せ.
2) こ の ハ ミル トニ ア ンH0に 加 え られ た と す る.こ
ス ピ ン‐軌 道 相 互 作 用(問9.3参
の と きJとH=H0+H'の
照)H'=ξL・sが
交 換 関 係 は ど う な る か.
方針
(1) とJの
各 成 分Jx, Jy, Jzに
つ い て 直 接 に 交 換 関 係 を計 算 せ よ.
解 1) ス ピ ンsは 座 標 と運 動 量 に依 存 しな い の で,[H0,s]=0で 軌 道 角 運 動 量 のz成
分 はLz=ypx−xpyで
あ る.
あ る.こ れ を用 い て
(2) を 求 め て い く. ま ず,
(3) 同様 に (4) と な る.さ
らに
(5) と な る.こ こ で は{x,y,z}変
数 を{r,θ,φ}の
極 座 標 変 数 に 変 換 して 偏 微 分 を 行 っ
て い る.ま
た,ポ
テ ン シ ャ ルVは
球 対 称 だ か ら∂V/∂
θ=∂V/∂
φ=0を
使 っ た.
以 上 よ り
(6) が 得 ら れ た.い
ま,H0はx,y,z方
と 可 換 で あ る.し
向 に 対 し 対 称 な の で,Lx,Lyも
同 様 にH0
た が っ て,
(7) が示 され た. 2) H'に
つ い て の み 計 算 す れ ば よ い.Jxに
つい ては
(8) を 計 算 す る.使 う 道 具 は [Lx,Ly]=iLz,[Lα,sβ]=0 関 係 で あ る.Jx,Jy,Jzそ
(α,β=x,y,z)な
どの 交 換
れ ぞ れ につ い て
(9) で あ るか ら,結 局
(10) を得 る. す な わ ち,全
ハ ミ ル トニ ア ン に 対 し
(11) とな り,ス ピ ン‐軌 道 相 互 作 用H'が
加 わ っ て もJとHは
可 換 で あ る.
問 4.16
あ る ス ピ ンsが,そ
の ま わ り のn個
互 作 用 し て い る.ま わ り の ス ピ ンsi(i=1∼n)の
の ス ピ ン と交 換 エ ネ ル ギ ーJで
sに は 磁 場H,ま
わ りの ス ピ ンsiに
は 磁 場Gがz方
間 の 相 互 作 用 は 考 え な い.ス
相 ピン
向 に か か っ て い る と す る.こ
の と き 全 系 の ハ ミル トニ ア ンHは
(1) と な る(式(5.14)参 た め にh=1と
照).こ
す る.
の 系 の 固 有 エ ネ ル ギ ー を 求 め よ.た
だ し,以
下簡 単の
方 針 〓 と,ハ
と お き,lとsの
合 成 ス ピ ンL=l+sを
ミル トニ ア ン は あ た か も2個
考 え る.こ
のlを
使 う
の ス ピ ン しか存 在 しな い か の よ う に
(2) と 書 け る.こ
こ でh=g0μBH/h,g=g0μBG/hと
ピ ンｌ と ス ピ ンsの
解 n個 あ る.全
お い た.問4
合 成 系 の 固 有 関 数 を求 め,Hの
.11で 行 っ た よ う に ス
期 待 値 を計 算 す る.
の ス ピ ンの 和ｌ の 固 有 関 数 をxｌ,mと お こ う.sの 固 有 関 数 は α と β で 系 の 固 有 関 数ΨL,Mはxl,mと
α,β
を用 い て
(3) と 表 せ る.(問4.11の
式(16)でm⇒M−1/2,Ψ1(l,m)⇒χl,M−1/2,Ψ2(1/2,1/2)
⇒α,Ψ2(1/2,−1/2)⇒
一 方
,ハ
β と す る).
ミル トニ ア ン は
(4) と表 せ る.式(4)を 示 さ せ よ う.そ
式(3)に
演 算 さ せ,式(3)を
の 前 に ハ ミ ル トニ ア ン とLzと
基 底 と して ハ ミ ル トニ ア ン を 行 列 表 の 交 換 関 係 を 計 算 し て お く.
(5) す な わ ち ハ ミル トニ ア ン とLzは
交 換 す る.よ
Mご と に ブ ロ ッ ク 対 角 化 さ れ る.そ し てMが い こ と に よ り,各 さ て,
ブ ロ ッ ク は 最 大2×2の
っ て ハ ミル トニ ア ン はLzの 等 し い 基 底 は 式(3)の2通
行 列 と して 表 現 さ れ る .
固有 値 り しか な
(6) と な る.2番
目 の 等 号 は 式(3)を
表 し整 理 し た も の で あ る.同
用 い てχl,M−1/2βとχl,M−1/2αをΨl+1/2,MとΨl−1/2,Mで
様 に
(7) と な る.式(6)と
式(7)を
行 列 表 現 して
(8)
と な る か ら,こ
れ を 対 角 化 す る こ と に よ り,固
有 値Eを
得 る.
(9) た だ しM=l−1/2,l−3/2,…,−l+1/2を 対 し て は(Mの
と れ る 最 大 値 と 最 小 値)式(3)よ
と る.M=l+1/2とM=−l−1/2に り
(10) で あ る か ら,
(11)
(12) とな る. 以 上 が 系 の と り う る固 有 値 の す べ て で あ る.lは
もち ろ ん
(nが 奇 数 の と き)
(13)
(nが 偶 数 の と き) の 値 を と り う る.
問 4.17
電 子(s=1/2)が
磁 場H中
与 え られ て い る.時刻t=0で 状 態 に あ る確 率Pα α
に 存 在 す る.ハ ミル トニ ア ン がH=σxHで
電 子 が￨α 〉状 態 で あ っ た とす る と き,t時 間 後 に￨α〉
と￨β〉状 態 に あ る確 率Pαβ(t)をそ れ ぞ れ 求 め よ.
方 針 シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方程 式 は
(1) で あ る.波 動 関 数 を (2) とお い て代 入 し,a(t)とb(t)に
つ い ての1階
連 立 微 分 方 程 式 を解 け.a(t)とb(t)
は そ れ ぞ れ ス ピ ン上 向 きの 確 率 振 幅,下 向 きの 確 率 振 幅 で あ るか ら,￨α〉状 態 に あ る確 率 は
(3) ￨β〉状 態 に あ る確 率 は
(4) と し て 得 ら れ る. 解 式(2)を
式(1)に
代 入 して
(5) を得 る.両
辺 に 左 か ら ＜α￨ま た は ＜β￨を か け る と,〈 α￨β 〉=0よ
り
(6)
とい う1階 連 立 微 分 方 程 式 を 得 る. こ こ で
(7) と お き,式(6)へ
代 入す ると
(8) と な る.式(8)を
行 列 表 現 す る.
(9) こ れ が,[a0,b0]≠[0,0]と
い う 解 を もつ た め の 条 件 と し て
(10) を 得 る.ま
た,こ
の と き 固有 状 態 は
(符 号 は 式(10)と
と な る.以
同 順)
(11)
上 よ り
(12)
を得 る.
初 期 条 件 よ り定 数AとBは
定 ま っ て,
(13) から
(14) と な る.ま
とめ る と
(15) で あ る. 式(3)と
式(4)に
式(14)と
式(15)を
代 入 す る こ と に よ り,そ
れ ぞれの存 在確 率
(16) を 得 る.ま
た 当 然Pαα(t)+Pα
β(t)=1を
満 足 す る.
補 も と も と ス ピ ン が 上 向 き(￨α>),下
向 き(￨β>)と
Hσxの 固有 状 態 で は な か っ た.そ の 結 果,t=0で￨α>状 つ につ れ,￨α>と￨β>の も しt=0で
い う状 態 は ハ ミル トニ ア ン
態 で あ っ た系 は時 間 が た
両 方 の 状 態 へ 遷 移 して ゆ く.
系 が 固 有 状 態 φ+に あ っ た とす る とど うな るか.前
と同 様 に
(17) と して(aとbは
前 と 異 な る),式(1)は
(18) と な る.両
辺 に 左 か ら φ+t=［1/√2,−1/√2]を
かけ ると
(19) を 得,こ
れ を 解 い て,
(20) と な る.b(t)に
つ い て も同 様 に して
(21) を 得 る. 初 期 条 件a(0)=1,b(0)=0か
ら,結
局
(22) すなわ ち
(23) を得 る.つ い て,φ_状
ま りt=0で
φ+で あ っ た な ら ば,t時
態 へ の状 態 遷 移 は起 こ らな い .
間 後 も確 率1で
φ+に と ど ま っ て
第5 章
変分法 と摂動論
前 章 まで は シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式 の 固 有 値 と固 有 関 数 が 厳 密 に求 め られ る 例 を扱 っ た.実
際 の 問 題 で は む しろ厳 密 に 解 け な い の が 大 部 分 で あ る.そ の よ う
な と きの 近 似 解 を求 め る代 表 的 な 方 法 が 変分 法 と摂 動 論 で あ る. 変 分 法 で は ま ず 適 当 なパ ラ メ ー タ λ を もつ 試 行 関 数Ψ(λ)を 用 意 す る.こ の 関 数 を用 い て エ ネ ル ギ ーE(λ)=〈Ψ(λ)￨H￨Ψ(λ)〉 を最 小 にす る よ うにパ ラメ ー タ λを 選 ぶ(∂E/∂λ=0).試
行 関 数 を選 ぶ と き は,系 の 対 称 性 な ど に 関 す る事 前 の物 理 的
考 察 が 重 要 で あ る.E(λ)が
計 算 可 能 で か つ 真 の 固 有 状 態 に 近 い もの が よ い.ま た
こ う して 求 ま っ た エ ネ ル ギー は 必 ず 真 の エ ネル ギー よ り も高 い(問5.2参 摂 動 論 は 与 え られ た ハ ミル トニ ア ンHをH＝H0+H'と
照).
分 割 す る とこ ろか ら
始 ま る.摂 動 論 に つ い て の 公 式 を導 い て お こ う.無 摂 動 ハ ミル トニ ア ンH0の
固有
値 と固 有 関 数 は 知 られ て い る もの とす る. H0の
固 有 関 数un(0)が ρ重 に縮 退 して い る とす る.す な わ ち,固 有値En(0)に 属 す
る 固有 関 数 をunα(0)(α=1,2,…,ρ)と す る.unα(0)の 線 形 結 合un(0)=〓もH0 の 固 有 関 数 で あ る.近 く こ と に す る.λ=1と
似 の 目 安 と し て パ ラ メ ー タ λを 導 入 し,H=H0+λH'と
書
す れ ば 解 き た い ハ ミル トニ ア ン に な る.
固 有 値 と固 有 関 数 も,そ
れぞれ
(5.1) と お く.λ →0で
無 摂 動 系H0の
固 有 値,固
有 関 数 と な る.こ
れ ら を シ ュ レー デ ィ
ンガ ー方 程 式Hun=Enunに
代 入 し,λ の 各 べ きご とに両 辺 が等 しい とす るこ とに
より λの0次:
(5.2)
λの1次: λの2次: な ど を 得 る.
〓が 完 全規 格 直 交 系 を なす とす る と,〓
な どは〓
で展 開 す るこ と
が で き る.
(5.3) こ れ を 式(5.2)に
代 入 し て,λ の1次
の式 よ り
(5.4) を得 る.こ の 式 に 左 か ら〓
を乗 じて積 分 す ると,規 格 直 交 性
よ り
(5.5) と な る.以 n=kの
下 で は〓 と き 式(5 .5)は〓
と 略 記 す る こ と に し よ う.
の連 立 線 形 方 程 式 で あ るか ら,〓
が0で な い解
は永年方程式
(5.6) に よ り与 え られ る.こ れ か らEn(1)が 求 ま る.も しEn(1)が すべ て 異 な れ ば 初 め に あ った縮 退 が 完 全 に解 け た こ とに な るが,一 部 また は 全 部 が 重根 だ と縮 退 が残 る こ と に な る.
n≠ kの
と き の 式(5.5)よ
りCnkβ(1)が求 ま る.
(5.7) Cnnβ(1)は 規 格 化 条 件 よ り決 ま る.い
ま λの1次
まで の計 算 な の で,
(5. 8) 〓
=1よ
り
(5.9) を 満 た す よ う にCnnα(1)を決 め れ ば よ い.通 例Cnnα(1)=0(α=1,2,…,ρ)と
上 が摂 動 計 算1次
と る.以
まで の 結 果 で あ る.
2次 摂 動 の 計 算 も 同 様 に 行 う.式(5.2)の
λの2次
式 か ら
(5.10) 左 か らukβ(0)*を 乗 じ積 分 す る こ と に よ り
(5.11) を 得 る. n=kの
と き上 式 は{Cnkβ(1)}の連 立 線 形 方 程 式 な の で,自 明 で な い 解 を得 る た め に
は 以 下 の 永 年 方 程 式 が 成 立 し な け れ ば な ら な い.Cnnα(1)=0(α=1,2,…,ρ)と う.式(5.7)を
式(5.11)に
代 入 し て,Cnβ(0)≠0の 条 件 か ら 永 年 方 程 式 を 得 る.
と お こ う.こ こ で Σ'はm≠nに は
しよ
つ い て の 和 を 意 味 す る.し た が っ て,永 年 方 程 式
(5.12)
と な る,こ
れ をEn(2)に つ い て 解 け ば,2次
摂 動 に よ るエ ネ ル ギ ー の 変 化 が わ か
る.
n≠kの と き は 式(5.11)か
ら
(5.13) を得 る.Cnnβ(2)はCnnβ(1)と 同様 に規 格 化 条 件(2次
ま で)に よ っ て 定 ま る.Cnnβ(2)の 条
件は
(5.14) と な る か ら,た
と えば
(5.15) と と っ て お け ば よ い.
縮 退 の な い 場 合 縮 退 が な い とい う こ とは縮 退 度 ρが1だ よ っ て ρ=1の
と考 えれ ば よ い.
場 合 の エ ネ ル ギ ー と波 動 関 数 の 係 数 を ま と め 直 し て お こ う.い ま 添
え 字 の α と か β は1し
か な い の で そ れ ら を 省 略 して 書 くこ と に す る.ま たCnα(0)=1
と な る. 1次 の 摂 動 エ ネ ル ギ ー は
(5.16) この と きの 波 動 関 数 の係 数 は
(5.17) 2次 の 摂 動 エ ネ ル ギ ー は(Σ'はm≠nに
つ い て 和 を と る こ と を 意 味 す る)
(5.18) この と きの 波 動 関 数 の係 数 は
(5.19) と な る. 基 底 状 態 の エ ネ ル ギ ー を 摂 動 で 計 算 す る と,摂 動 の2次(式(5.18))で よ り必 ずEn(2)＜0と
な っ て い る こ と に 注 意 し よ う(問5.2も
の 計 算 は 摂 動 項H'がH0に た 計 算 の 場 合,摂
はEn(0)＜Em(0)
参 照 せ よ).さ
比 べ て 「小 さ い 」こ と を 仮 定 して い る.つ
ら に以 上
ま りこ う し
動 を無 限 次 ま で 求 め た も の が 収 束 す る こ と を 前 提 に し て い る.
一 般 に は漸 近 展 開 で あ るが
,低
れ ら の 話 に 関 連 して 場 の 理 論 の
次 で とめ た も の は 実 用 的 に 意 味 を も っ て い る.こ 「く り込 み 」 な ど の 話 が あ る が,そ
れ らは ま た 別
の 本 で 学 ん で も ら い た い. 時 間 に 依 存 した シ ュ レー デ ィ ン ガー 方 程 式 に 対 す る 摂 動 計 算 も 同 様 に 進 め る こ と が で き る.く
わ し く は 問5.7を
参 照 の こ と.
問 5.1 ハ ミル トニ ア ンHに
対 し,あ
る 関 数Ψ
を 考 え る.
(1) を定 義 す る.変 分 原 理 よ り (2) を導 け. 解 K=I−
εJ
(3)
と お く.
(4)
と微 小 変化 させ た と き,Kの
変 化 分δKは
次 の よ うに与 え られ る.
(5) こ こ で,変
分 原 理 δK=0を
用 い て,
(6) で あ る か ら,任 意 の 微 小 変 化 δΨ*と δΨに 対 して上 式 が 成 立 す る ため の 条 件 を 得 る.す な わ ち
(7) を 得 る.こ
こ でΨ
は 一 般 に 複 素 数 で あ る か ら,δΨ*と
δΨ は 独 立 に と れ る こ と を
用 い た.
補 変分 原理
物理学 の基礎 法則 は微 分方程 式 によって局時的,局 所 的 な法
則 の 形 に か か れ るこ とが 多 い が,そ
れ と対 照 的 に積 分 型 汎 関数 の極 値 問題 の 形 に
表 され る もの を 変分 原 理 とい う.た
とえ ば,古 典 力 学 にお い て ラ グ ラ ン ジア ン を
Yと した と きの 最 小 作 用 の 原 理
は ニ ュ ー トンの 運 動 法 則 と同 等 な 内 容 を もっ て い る.
問 5.2 変 分 法 に よっ て 求 め た エ ネ ル ギ ーEnは,真 こ とを 示せ.基
の 値Enに
比べ て必ず高 い
底 状 態 と励起 状 態 そ れ ぞ れ の 場 合 につ い て考 え て み よ.
解 試行 関 数 をΨnと お く.変 分 法 に よ る エ ネ ル ギ ー は
(1) で あ る.Ψnを
真 の 固 有 関 数Ψn.で 展 開 す る.
(2) これ を式(1)に 代 入 す る と
(3)
と書 け る.こ れ か ら真 の エ ネ ル ギ ーEn=Σ￨Cl￨2Enを
引 く と,
(4) で あ る.
まず 基 底 状 態n=0の
場 合,
(5) 励 起 状 態n=1の C0=0な
場 合,試
行 関 数 Ψn真
の 基 底 状 態 と直 交 す る よ うに と る*と
の で,
(6) が い え る.一 般 のn番
問 5.3
目の 励 起 状 態 に つ い て も同様 で あ る.
ハ ミル トニ ア ンHが
パ ラ メ ー タ λ に 依 存 す る と き,固
有 値Eα
と固 有
関 数Ψα も ま たλに依 存 す る.こ の と き以 下 の 関係 式 が 成 立 す る こ と を示 せ.た だ 1)
(1)
2)
し λは 実 数 とす る.ま た 固 有 値Eα は縮 退 して い な い もの とす る.
(2)
方 針 1)Eα=∫Ψα*HΨαdυ
を直接λ で微 分 せ よ.
2) 固 有 関 数 の組{Ψα}は 完 全 系 だ か ら,∂Ψα/∂ λとい う関 数 は{Ψα}を使 って 展 開 で き る.そ の 展 開係 数 を求 め よ. 解 1)Eα
を微 分 す る と,
* た とえ ば,1次 元 の ポ テ ンシ ャル 問題(問2.2)で
は基底 状 態 は偶 関 数 で あ っ た.第1励 起 状 態
の 試行 関数 と して奇 関数 を も って くれ ば,こ の 条件 は満 足 され る.
(3) と な る.右 辺 第2項
は,波 動 関 数 が規 格 化 され て い る こ と に よ り0と な る.
(4) よ っ て 式(1)を
得 る.
2) ∂Ψα/∂ λ を{Ψ α}に よ っ て
(5) と展 開す る.こ の 両 辺 に左 か らハ ミル トニ ア ンHを
作 用 させ る と
(6) と な る.左
辺は
(7) と な る.し
た が っ て,式(1)と
式(6)と
式(7)よ
り
(8) を得 る.こ の 式 の 両 辺 にΨ γ*をか けて 積 分 す る と,波 動 関数 の 直 交 性 よ り 右 辺= 左 辺=
(9) と な る.し
た が っ て α≠ γ の と き
(10) を 得 る.α=γ
の と き に は 式(9)で
は 係 数Cα αは 決 ま ら な い.Cα
αは 規 格 化 条 件 よ
り
(11) で あ る か ら,純
虚 数 で な く て は な ら な い.こ
こ でCα α=0と
お い て よ い(補 を 参 照
の こ と)
結 局,
(12) を 得 る. 注 ハ ミル トニ ア ンH(λ)を
解 説 で 述 べ た よ う にH(λ)=H0+λH'と
ネ ル ギ ー と波 動 関 数 も式(5.1)で
お き,エ
与 え ら れ る も の と し よ う.式(1)は
(13) で あ る か ら,左
辺=Eα(1)+…
と あ わ せ て λ の0次
の項 は
(14) と な り,式(5.6)の
摂 動 計 算 の 答 を 再 び 導 く.式(2)に
つ い て も 同 様 で あ る.
補 Cααが 純 虚 数 な らば任 意 で よ い こ と を示 す.
(15) と お く.こ
れ を λ で 微 分 す る と,
(16) と な る.こ
れ に 式(12)を
代 入 す る と,
(17) を 得 る.つ
ま り 式(17)は,式(2)でΨ
をΨ
に お き か え た もの と な っ て い る.
固 有 関 数 は 常 に 位 相 に 関 す る 不 定 性 を も っ て い る.式(15)で 間 の 関 係 は,Ψ し,Cα
とΨ が “同 じ”で あ る こ と を 意 味 す る.結
定 義 したΨ
論,Ψα
とΨ
は 式(2)を
の
満 た
αは 純 虚 数 で あ れ ば 何 で も よ く位 相 の 意 味 しか も た な い.よ っ てCα α=0と
お い て よ い.
問 5.4 調 和 振 動 子 が あ る.こ れ に 摂 動H'を す る か.摂
動 の2次
ま で 求 め よ.た
だ し,無
加 え た と きエ ネ ル ギー は ど う変 化 摂 動 と 摂 動 の ハ ミル トニ ア ン は,そ
れ ぞれ
(1) で 与 え ら れ る も の とす る. 方 針 問2.1の
と書 け る.ま さ れ た.そ
式(2)に
よ り,生
成 消 滅 演 算 子a+とaを
た 調 和 振 動 子 の 固 有 関 数￨n>は こ で 問2.11で
は
問2.11に
用 い て 式(1)は
お い てaとa+を
使 っ て表
(2) で あ り,さ
ら にaとa+は
交 換 関 係[a,a+]=1を
満 足 す る こ とが 示 さ れ た.こ
れ
ら を 用 い て 計 算 せ よ.
摂 動 計 算 の1次 の エ ネ ル ギ ー は,い
まの 場 合 縮 退 が な いの で 式(5.16)よ
り
(3) 2次 で は 式(5.18)
(4) で 与 え ら れ る. 解 摂 動H'をa+とaで
表 す と,式(1)よ
り
(5) で あ る.し
た が っ て,式(3)を
用 い れ ば よ い.無
摂動系の エネル ギーは
(6) で あ る.1次
の エ ネル ギ ー は
(7) この うち 寄 与 す るの はa+の
数 とaの 数 が 同 数 の もの だ けで あ る.し た が っ て寄 与
す る もの だ けあ げ る と,
(8) の6通
り で あ る.そ
れ ぞ れ 式(2)の
関 係 を 用 い て 求 め よ う.n〓2と
仮 定 す る.
(9)
以 下 同様 に して,
(10) を 得 る. い まn〓2と
仮 定 して 計 算 を 進 め た. n=0と
た と え ば,式(9)の あ る.式(9)の
右 辺 を見 る とa￨0>=0で
右 辺 も0と
な っ て い る.つ
かn=1の
場 合 は ど う で あ ろ う か.
あ る か ら,こ の 項 の 寄 与 は な い は ず で ま り 式(10)はn=0ま
た は1で
も正 し
い.
2次 の 摂 動 エ ネル ギ ー は式(4)を 使 えば よい.た だ し,￨j>は￨n>以 外 の す べ て の 状 態 を と りう る.し た が っ て,今 度 は逆 に 式(8)で あ げ た 項 は 寄与 しな い. a+を 含 ま な い項
(11) a+を 一 つ だ け 含 む 項
(12) a+を 三 つ 含 む 項
(13) a+を 四つ 含 む 項
(14) 以 上 すべ て を ま とめ て,
(15) と な る.〈n￨k〉=δn,kよ
り
(16) を 得 る.
問 5.5 ハ ミ ル トニ ア ンH=H0+λH'が
与 え られ た と す る.無 摂 動 系H0の
固
有 値 と固有 関 数 と して (1) が わ か っ て い た とす る.摂 動 部 分 が{un(0)}を基 底 と して
(2)
と 与 え られ た と き,全 ハ ミル トニ ア ンHを
対 角 化 し て 厳 密 な 固 有 値 を 求 め よ.ま
た そ の 結 果 を,摂 動 計 算 に よ っ て 求 め た 値 と 比 較 せ よ.た す る.ま
たH'は
だ し,ε1(0)=ε2(0)≠ε3(0)と
エ ル ミ ー トで あ る.
方 針 全 系 の ハ ミル トニ ア ン は{un(0)}を基 底 と して
(3)
と書 け る.こ れ を 対 角 化 し 固 有 値 を 求 め よ.一 方,ε1(0)=ε2(0)だか ら 縮 退 し て い る と き の 摂 動 計 算 を 実 行 せ よ.
解 厳 密 な取 り扱 い.式(3)よ
りHの
固有 値 と して
(4) を 得 る. 摂 動 計 算(縮 退 の あ る場 合) は 式(5.6)を
λ に つ い て1次
の 計 算 を行 う.ε1(0)=ε2(0)につ い て
用 いて
(5) よ り,ε1(1)=0.ε3(1)に
つ い て も,
(6) す な わ ち,1次
で は 変 化 は な い.
2次 の 計 算.ε1(0)=ε2(0)に 対 し て 式(5.12)を
用 いて
(7)
よ り,
(8) ε3(2)につ い て は,
(9) 以 上 よ り,Hの
エ ネル ギ ー は λの2次
まで の 計 算 で
(10) と な る.こ
れ は 厳 密 解 式(4)を
λ に つ い て2次
ま で 展 開 し た 値 と 一 致 して い る.
問 5.6 図5.1の
よ う に 電 荷Zeを
もつ 原 子 核 が 作 る ク ー ロ ン 場 中 に 二 つ の 電 子
が 存 在 す る と き(ヘ リウ ム 原 子),基 i)摂
底 状 態 の エ ネ ル ギ ー を求 め よ.
動 論 を使 っ て計 算 せ よ.ⅱ)変
二 つ の 電 子 の 位 置 ベ ク トル をr1とr2と
分 法 で 計 算 せ よ.
よ び 問 付7の
式(2))を
し た と き,次
の 式 が 成 り立 つ こ と(補 お
用 い よ.
図5.1
ヘ リウ ム 原 子
(1) (1') (1") こ こ にPlは
ル ジ ャ ン ドル 関 数,Plmは
ル ジ ャ ン ドル の 陪 関 数 で あ る(問3.4の
補 を
参 照 の こ と).
方 針 ハ ミル トニ ア ンは
(2)
で 与 え ら れ る,
i)無
摂 動 系H0の
固有 関 数Ψ(0)は (3)
で 与 え られ る.こ こ にu1(0)とu2(0)は水 素 型 原 子 での1粒
子 の 固 有 関数(問3.5の
(47)参 照)で あ る.こ れ を 出 発 点 と して摂 動 計 算 を行 えば よい. ⅱ )変 分 法 の 試 行 関 数 と して
式
(4) を 考 え る.い ま 基 底 状 態 を 考 え て い る の で 問3.5の
式(47)でn=1,l=m=0の
と
きの 波 動 関 数 を も と に して
(5) と す る.変
分 パ ラ メ ー タ と し てZを
用 い る.こ
れ よ り
(6) が最 小 の 値 を もつ よ う にZを 解 i)摂 式(51))を
動 計 算
決 め る.
0次 で は独 立 な二 つ の 水 素 型 原 子 の 問 題 なの で(問3.5の
用 いて
(7) と な る. 摂 動1次
の エネル ギー は
(8) で あ る か ら,こ れ に 式(1)と πa0 3)1/2で あ る
式(1")を
代 入 し て 積 分 を 計 算 す る .こ
こ で,C0=(Z3/
.
ま ず φ1と φ2に つ い て
(9) よ り,m=0の
項 の み 残 る.次
に,θ1と
θ2に つ い て
(10)
で あ るか ら,l=0の
み 寄 与 す る.最 後 にr1とr2に
囲 を0∼r1とr1∼∞
に分 割 して
つ い て計 算 す る.r2で の 積 分 範
(11) と な る. 以 上 を ま とめ て
(12) を 得 る.全
系 の エ ネ ル ギ ー は,
(13) で あ る. ⅱ)変
分法
式(5)で
定 義 した 試 行 関 数ui(i=1,2)は,次
の 水 素 原 子 型 ハ ミル
トニ ア ン の 固 有 関 数 で あ る.
(14) そ して 固 有 値 は
(15) を と る.し
た が っ て,式(6)で
定 義 さ れ た 関 数I(Z)は
(16) に対 して
(17) と な る.
第1項
は,も
ち ろ ん2Z2εHを
与 え る.第2項
は
(第2項)
(18) と な る.第3項
は,摂
動 論 で の 計 算 で す で に 求 め ら れ て い て,式(8)と
い てZをZに
お き か え れ ば よ い .よ
式(12)に
お
って
(第3項)
(19)
と な る. 以 上 を ま とめ て,〈Ψ￨Ψ 〉=1を
用 い ると
(20) を 得 る.後
は 変 分 原 理 に 従 い ∂I(Z)/∂Z=0か
と な り,全
系 エ ネ ル ギ ー と して
ら
(21)
(22) を 得 る. 変 分 法 に よ る 式(22)の
結 果 は,任 意 のZの
よ り低 い エ ネ ル ギ ー を 与 え る.変 い の で,式(22)は
式(13)よ
値 に 対 し て 摂 動 論 に よ る 結 果 式(13)
分 法 で 得 ら れ る エ ネ ル ギ ー は 真 の 値 よ り必 ず 高
り真 の 値 に 近 い .
補 式(1)の 証 明
(23) ま ずr1とr2の
間 の 角 度 γを使 っ て
(24) と変 形
し,r1/r2=t,cosγ=xと
お い て
(25) こ れ をt2−2txで
展 開 す る.
(26) こ こ でn+kをnと
お き直 して
(27) と な る.[n/2]はn/2を
越 え な い 最 大 の 整 数 を 表 す.
(n=偶
数)
(n=奇
数)
(28) よ っ て 式(1)が
示 さ れ た(問3.4の
式(15)お
よ び 式(16)).
問 5.7 問4.17の
ハ ミル トニ ア ンH=Hσxに
る.こ の と き,時 刻0で
時 刻0か
ら摂 動H'=ε
の ス ピ ン 状 態 が 状 態￨α>に あ り,時 刻tで
を と っ て い る確 率Pα α(t)を 求 め よ.摂
動 展 開 の2次
σzを 加 え
ス ピ ン が 状 態￨α>
ま で 計 算 せ よ.
方 針 時 間 に 依 存 す る場 合 の摂 動 計 算 を行 う.波 動 関 数Ψ(t)は
(1) に従 う.こ
こ でH0=Hσxで
あ る.
Ψ
(t)はH0の
固 有 関 数un(0)を 使 っ て
(2) と 展 開 で き る.un(0)は
φ+と
φ-で あ る(問4.17の
式(11)参
照).こ
れ を 式(1)に
入 し て 両 辺 にuk(0)*eiEk(0)t/hを か け て 積 分 す る こ と に よ り,係 数Cn(t)の
代
微 分方程
式
(3) を 得 る.こ
こ で,
(4) と お い た. H 'を λH'と
書 き か え(後 で λ=1と
す る)
,
(5) と展 開 して 式(3)に 代 入 し,両 辺 の λの 各 べ きの 係 数 を等 しい とお け ば,
(6) と な る.こ
れ か らCk(0)(t),Ck(1)(t),…
解 H'knを
ま ず 求 め よ う.い
と 順 番 に 解 い て ゆ け ば よ い.
ま の 場 合,H0の
固 有 関 数 と し て は 問4.17の
式
(11), (7) で,そ
れ ぞ れ 固 有 値E+(0)=H,E_(0)=−Hを
もつ.よ
って
(8) と な る.同
様 に
(9) で あ る.ま
た
(10) 初 期 条 件 よ り,t=0で￨α>状
態 に あ る の だ か ら,
(11) を 得 る. 式(11)の
条 件 の も と で,式(6)を
積 分 し てCk(1)(t),Ck(2)(t),…(k=+,−)を
て ゆ く.ま
ず0次
式(11)よ
はCk(0)(t)=0と
求め
り
(12) と な る.1次
は
(13) と な る.同
様 に し て,
(14) を 得 る. 式(13)と
式(14)を
式(6)に
代 入 し て,2次
は
(15) を 得 る. 以 上 を ま と め て 式(2)と
式(5)よ
り,摂
動 展 開2次
ま で で,
(16) と な る. し た が っ て,時
刻tに￨α>状
態 に あ る確 率Pα α(t)は
(17)
とな る. た だ し摂 動 計 算 の 成 立 す る た め に は,式(17)に
お い て,第1項
に比 べ 第2項
以
下 は小 さ くな くて は な らな い.す な わ ち
(18) が 成 立 す る と きに だ け,式(17)は
意 味 を もち う る.
補 この 問 題 は摂 動 計 算 に 頼 らな くと も正 確 に 解 け る. 全 系 の ハ ミル トニ ア ンH=H0+H'は
と して 表 せ る か ら,問4.17で
行 っ た 計 算 を く り返 せ ば 答 を 得 る .結
果 は
(19) と な る.こ
こ で,ω1=√H2+ε2/h.こ
す れ ば,式(17)を
得 る.
れ を ε に つ い て 式(18)の
条 件 の も とで 展 開
問 5.8 原 子 が 一 横 な 外 部 磁 場B=(0,0,B)中
に あ る と き,縮 退 し て い た エ ネ ル
ギ ー レ ベ ル が 分 離 す る.こ れ を ゼ ー マ ン(Zeeman)効
果 と い う.水 素 原 子 の ゼ ー マ
ン 効 果 を し ら べ よ. 1) 磁 場 が 強 い と き,ハ
ミル トニ ア ン は
(1) で 与 え ら れ る こ と を 示 せ.こ
こ に βB=−e/2mcで
2) d-状 態 の ゼ ー マ ン 効 果 を 調 べ よ.す
あ る.
な わ ち,d状
ベ ル の 磁 場 依 存 性 を求 め よ.た だ し簡 単 の た めh=1と 方 針 一 様 な外 部磁 場Bの
態 の 電 子 の エ ネル ギ ー レ
す る.
中 に あ る水 素 原 子 の ハ ミル トニ ア ン は
(2) で 与 え ら れ る.こ
こ でAは
ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル で,ゲ
ー ジを
(3) と と る こ と に す る.sは
電 子 の ス ピ ン を 表 す.磁
ン は 磁 場 に 平 行 に な ろ う と す る.そ 解 1) 式(2)を
れ が 式(2)の
場Bを 第3項
か け る こ と に よ り,ス で あ る.
展 開 す る.
(4) 第1項
は 磁 場 が な い と き の 水 素 原 子 の ハ ミル トニ ア ン で あ る.ま
小 さ い((e/c)2の
大 き さ)の で 無 視 す る.さ
てH'に
式(3)を
た 第3項H"は
代 入 して
(5) を 得 る.こ
こ でp・(B×r)=0,(B×r)・p=B・(r×p)を
用 い た.よ
って
ピ
(6) と な る.し
た が っ て,考
察 す べ き ハ ミル トニ ア ン は
(7) で あ る. さ て 水 素 原 子 のd-状 ら,状
態￨lz,sz>の
2) B=0の
態 は 方 位 量 子 数l=2で
記 述 さ れ る.ス
数 はlz=2,1,0,−1,−2とsz=1/2,−1/2よ
と き の ハ ミ ル トニ ア ンH0は,角
ピ ン は1/2で り計10個
運 動 量 演 算 子lを
あ るか
あ り 得 る.
使 っ て書 く と
(8) で あ っ た(問3.2の
式(2),式(3)お
で あ る の でH0とH'は
よ び 問4.2の
可 換([H0,H']=0)で
の 固 有 関 数￨lz,sz>はH'の
式(12)).H'は
あ る(問4.15参
照).し た が っ てH0
固 有 関 数 で も あ る.
(9) で あ る か ら,Bに
よ るエ ネル ギ ー レベ ル の 変 化 は
(10) と な る.こ
れ を 各lz,szに
図5.2
磁 場Bに =3
つ い てBを
横 軸 に グ ラ フ に す る と 図5.2の
よ る エ ネ ル ギ ー レベ ル の 分 離.上
,2,1,0,−1,−2,−3で
あ る.(βB=1と
よ う に な る.
か ら順 にml+2ms し た.)
(11) の 計7通
りの 値 を と る.
結 局10重
に 縮 退 し て い た エ ネ ル ギ ー レ ベ ル が 磁 場 に よ り七 つ に 分 解 さ れ た.Δ
E=±βBBとΔE=0は
注
ま だ 二 重 の 縮 退 を も っ て い る.
以 上 の 結 果 は 磁 場 が 強 い場 合 で あ り,正 常 ゼ ー マ ン効 果 と呼 ば れ て い る.
磁 場 が 弱 い場 合 は異 常 ゼ ー マ ン効 果 と呼 ば れ,次
問 で取 り扱 わ れ る.
問 5.9 水 素 原 子 のp状
態 に お け る 異 常 ゼ ー マ ン 効 果 に つ い て,エ ネ ル ギ ー レ ベ
ル と磁 場 との 関係 を求 め よ.前 問 で扱 った よ う に,磁 場 が 強 い場 合 は ハ ミル トニ ア ン と して 問5.8の
式(1)を 使 用 す れ ば よか っ た が,磁 場 の 弱 い場 合 は (1)
を使 用 す る.第3項 で あ る(問9.3参
は 相 対 論 的 量 子 力学 の 章 で 導 か れ る"ス
照).磁
場 が 弱 い と第2項
に比 べ て 第3項
ピ ン‐軌 道 相 互 作 用"
を無 視 で きな くな る.
H0は 磁 場 が な い ときの 非相 対 論 的 な ハ ミル トニ ア ンで あ る.こ こでB=(0,0,B) とす る. 方 針 す べ て を 正 し く扱 うた め に は相 対 論 的 なハ ミル トニ ア ン(問9.3の に磁 場 の項 を加 え た もの)を 使 用 しな けれ ば な らな い.問9.3で
式(1)
示 す よ う に,式(1)
は光 速 が 電 子 の 速 度 に比 べ 十 分 大 きい とい う近 似 の 結 果 得 られ る.し た が っ て こ の 近 似 の範 囲 で,第2項 て よい.H0に
と第3項
は非 相 対 論 的 なH0に
対 す る摂 動 と して 取 り扱 っ
はス ピ ンは含 ま れ て い な いの で,軌 道 角 運 動 量 空 間 とス ピ ン空 間 の
直 積 空 間 を基 底 と して と る こ とが で き る. 解 p状
態 は軌 道 角 運 動 量l=1で
あ り,ス ピン はs=1/2で
あ るか ら
(2) 次 元 の 空 間 を考 え れ ば よ い.そ の 基 底 は,ml=1,0,−1に 固 有 状 態{u1,u0,u-1}と
ス ピ ンの 固 有 状 態{α,β}か
対 応 す る軌 道 角 運 動 量 の ら 作 ら れ る.そ
の 結 果,摂
動項 は
(3)
と表 され る.こ れ を対 角 化 して
(4) と6個
の 固 有 値 を 得 る.こ
図5.3
れ を 図 示 す る と 図5.3と
ξ=1と
な る.
した と きの エ ネ ル ギ ー 変 化
B=0の
と き
(5) で あ り,(l・s)の
固 有 値 と な る.Bが
大 き い と,前
問 と 同 じ で あ る か ら(lz+2sz)の
固 有 値 と 一 致 す る.
問 5.10 水 素 型 原 子 のd-レ 縮 退 し て い る.ス
ベ ル の 固 有 状 態 は電 子 の ス ピン を考 慮 して10重
に
ピ ン ー軌 道 相 互 作 用 に よ る 固 有 値 の 分 離 に つ い て 調 べ よ.固 有 関
数 も求 め よ. 方 針 d-レ -1,-2の
ベ ル の 軌 道 角 運 動 量 はl=2で
五 つ 存 在 し,同
u0,u-1,u-2と
記 す.ス
下h=1と
じ固 有 値 を も っ て い る.こ
の10個
の 状 態 が,(l・s)に
有 状 態 はml=2,1,0,
の 状 態 を そ れ ぞ れ,u2,u1,
ピ ン‐軌 道 相 互 作 用 は,(l・s)で
u2α,u2β,u1α,…,u-2β よ.以
あ る か ら,固
あ る(s=1/2).よ
っ て
よ っ て ど う 変 化 す る か を調 べ
す る.
解 合 成 角 運 動 量jを
作 る.
(1) よ り,
(2) で あ る.こ
こ でjは5/2と3/2の2通
りの 値 を と り う る か ら, の と き の と き
(3)
と な る. こ の こ と よ り,縮
退 し て い た レベ ル が 二 つ に 分 離 さ れ る こ とが わ か る.10重
縮 退 し て い た う ち の,6個
はj=5/2で
(jzの 固 有 値)を 含 ま な い の で,mjを u-2β を 使 っ てl・sを い る.ブ れ る.
あ り4個 はj=3/2で 変 え な い.つ
行 列 表 示 し た と き,mjの
ロ ッ ク はmj=5/2,3/2,1/2,-1/2,-3/2,-5/2の6通
あ る.ま
ま り,10個
に
た,式(3)はmj
の 基 底u2α,…,
値 に よ っ て ブ ロ ック 対 角 化 さ れ て りの値 で分 類 さ
mj=5/2の
と き は,1通
り でu2α
し か な い.こ
の状 態 に
(4) を作 用 さ せ る と,
(5) と な る.
mj=3/2の
と き,u1α
とu2β
が あ る.l・sを
作 用 させ る と
(6) で あ る.こ れ を行 列 の 形 に書 く と
(7) と 表 現 で き る.
mj=1/2の
と き,u1β
とu0α
が あ る.上
と同様 に して
(8) と な る. mj=−1/2の
と き は,u-1α
とu0β
よ り,
(9) mj =−3/2
の と き は ,u-1β
とu-2α
よ り,
(10) mj =−5/2の
と き は ,u-2β
の み で,
(11) で あ る.
以 上 がl・sの る.式(5)と よ う.以
す べ て の 行 列 要 素 で あ る.残
式(11),式(7)と
式(10),式(8)と
り の 行 列 要 素 は す べ て0と 式(9)の
なってい
そ れ ぞ れ の 対 称 性 に注 意 し
上 の 行 列 を そ れ ぞ れ 対 角 化 し て 固 有 値 と 固 有 関 数 を 求 め る.
式(5)と
式(11)よ
りmj=5/2,−5/2の
で あ り,そ
の 固 有 値 は と も に1で
mj=3/2,−3/2の
と き式(6)と
と き は,u2α
とu-2β
が それ ぞれ 固 有 関 数
あ る. 式(10)よ
り
(12) も ち ろ ん,こ
れ は 先 に 求 め た 式(3)の
値 に 等 し い.
(13)
(14) 以 下,同 様 に して
(15)
(16) 補 この 系 に磁 場 が か か る とエ ネル ギ ー レベ ル の さ らな る分 離 が お こ る.前 問 と 同 様 に,B=(0,0,B)と
して
(17) の 固有 値 を求 め る と
(18) と な る.こ
れ ら を 横 軸 をBと
し て 図5.4に
こ れ が 異 常 ゼ ー マ ン 効 果 で あ る.B=0の
示 す. と こ ろ が ス ピ ン‐軌 道 相 互 作 用 に よ る
分 離 で あ る.
図5.4
固有 値 の 式(18)の
磁 場B依
存 性(ξ=1と
した.)
問 5.11
一 様 な 外 部 電 場E=(0,0,E)中
に あ る水 素 原 子 を 考 え る.摂 動 論 を 用
い て基 底 状 態 に お け る分 極 率 を求 め よ.電 場 に よ りエ ネ ル ギ ー が 変 わ る こ の 現 象 を シ ュ タル ク(Stark)効 果 と呼 ぶ. 方 針 水 素 原 子 の 電 子 の ハ ミル トニ ア ン (1) に 対 し,摂
動 と して
(2) を考 え る.分 極 率 α は位 置 座 標zの
期 待値 を用いて
(3) と して 求 め ら れ る.す
な わ ち 〈z〉を 電 場Eの1次
の オ ー ダ ー まで 計 算 す れ ば よ い .
解 無 摂 動 系 で の 水 素 の 電 子 の 波 動 関 数Ψnlm(0)は 第3章 n =1
,l=m=0で
で求 め た.基
底状 態 は
あ り,
(4) で 与 え ら れ る(問3.5の
式(47)).こ
れ が 電 場 の 影響 で
(5) と な る.第2式 Eだ
は エ ネ ル ギ ー で あ る.λ
は摂 動 展 開 をす るた め のパ ラメ ー タ で 電 場
と思 っ て よ い.
まず 固有 値 は 摂 動 論 に 従 い,
(6) な の で,1次
摂 動 で は エ ネ ル ギ ー の 変 化 は な い.
固有関数 を (7) と展 開 した と き,展 開 係 数Cnlm(1)は
(8)
で 与 え ら れ る. さ て こ れ を 計 算 す れ ば よ い の だ が,実 際 に 実 行 す る とn〓2の (た だ しl=1,m=0)が
非 零 と な り,非 常 に や や こ しい.そ
す べ て の 係 数C(1)nlm
こ で 以 下 で は 直 接Ψ
を
求 め る こ と に す る. は じめ に 式(8)で 計 算 さ れ る 係 数 の う ち,l=1か こ と を 示 す.固 有 関 数Ψ(0)nlm=Rnl(r)ylm(cosθ)Φm(φ)を 式(8)の 分 子=(定
つm=0の
もの しか 寄 与 し な い
式(8)の
分 子に代入 す る と
数)
(9) と書 け る.φ に 関 す る積 分 は (10) よ り,m=0し
か 残 ら な い.θ
に 関 す る積 分 は
(11) と な る.よ
っ てl=1し
以 上 よ り,l=1か
か 残 ら な い. つm=0し
か 寄 与 しな い こ と が わ か っ た.こ の こ と は 式(7)が
(12) と書 け る こ と を 意 味 す る((問3.4の さ て,式(1),(2),(5)よ
式(34)〓
り
(13) が 成 立 す るΨ(1)を 求 め る.式(12)を
式(13)に
代 入 し てf(r)の
満 た す べ き方程 式 を
求 め る と,
(14) を 得 る. 以 下 式(14)を
解 く.ま
ずr/a0=ξ
と 変 数 変 換 を し よ う.
(15)
こ こ で,
(16) と な る.ξ
の 各 べ き の 係 数 を0と
お いて
(17) を 得 る.こ
れ か らf(r)は
(18) とな る. 以上 よ り,1次
摂 動 の 波 動 関 数Ψ=Ψ0+Ψ(1)は
(19) と 求 め ら れ た.こ
れ を 用 い てzの
期 待 値を
計 算 す る.
(20) で あ る.途
中,Eの1次
ま で の 近 似 を 行 っ た.
あ と は 分 極 率 α の 定 義(式(3))に
従 っ て,
(21) を得 る.2次 以上 の 摂 動 の 効 果 は α に は 影 響 が な い か ら,こ れ は 分 極 率 の 正 しい 値 で あ る.
問 5.12 基 底 状 態 で の 水 素 原 子 の シ ュ タル ク効 果 を 変 分 法 を用 い て議 論 せ よ. 前 問 で は摂 動 論 で 扱 っ た. 方 針 ハ ミ ル トニ ア ン はH=H0+eEzで
扱 い た い の で,Eを0に
与 え ら れ る.電 場Eが
小 さい と き を
した と き に元 の波 動 関 数 に滑 らか につ な が る よ う な 関 数
を試 行 関 数 と して 選 ぶ べ きで あ る.こ こ で は
(1) と お い て み よ う.γ は 変 分 パ ラ メ ー タ で,E=0の E=0の
と き の 水 素 原 子 の 基 底 状 態(問3.5の
と き γ=0が
期 待 さ れ る.Ψ0は
式(47))
(2) で あ る.変 分 法 の 原 理 に従 い,関 数I(γ)
(3) を最 小 に す る γを選 ぶ. 解 式(3)分 子 は
(4) とな る.こ
こ でzに
つ い て 奇 数 次 の 項 は0と
よ り明 ら か で あ る が,実 一 方
,式(3)の
な る こ と を 用 い た.そ
れ は対称性 に
際 に 計 算 し て も す ぐわ か る.
分母 は
(5) で あ る. さ て,式(4)と
式(5)の
各 項 を 式(2)を
代 入 し て 計 算 して い く.
(6)
(基 底 エ ネ ル ギ ー),
(7) 残 り の 〈Ψ0￨zH0z￨Ψ0〉
の 項 の 計 算 は 少 し厄 介 で あ る.ま
ず
(8) よ り
(9) 第1項
は (10)
と な り,第2項
は
(11) と な る.式(10)と
式(11)よ
り式(9)は
(12) と な る. 以 上 を ま と め て,
(13) が 得 ら れ た. さ て こ れ を γ で 微 分 し て 最 小 値 を さ が す.∂Ｉ(γ)/∂ γ=0よ
り
(14) を 得 る.方
針 で も 述 べ た が,E=0で
γ=0と
な る よ う に 符 号 は マ イ ナ ス を と る.
ま た,Eが
小 さ い と き を 問 題 に し て い る の で,式(14)をEで
展 開 し て,
(15) と 評 価 で き る.こ
れ よ り
(16) を 得 る.こ
れ が 変 分 法 に よ る エ ネ ル ギ ー で あ る.
分 極 率 αは, (17) を 得 る.こ の 値 は 摂 動 論 で 求 め た 正 し い 値18π ε0a03(問5.11の
式(21))よ
りや や 低
い.
問 5.13
水 素 分 子 で は,2個
わ っ て い る.そ
の 原 子 核aとbの
ま わ り に2個
の 電 子1と2が
ま
の ハ ミル トニ ア ン は
(1) で 与 え ら れ る.こ
こ でra1は
原 子 核aと
電 子1と
の 距 離 で あ り,Rは
原 子 核aと
bの 間 の 距 離 で あ る(図5.5). 水 素 原 子 の 固 有 関 数 をΨa(r)とΨb(r)と bを 用 い て 近 似 的 に 定 め よ.さ Ψbは 基 底 状 態(1s軌
し よ う.水 素 分 子 の 波 動 関 数 をΨaとΨ
ら に そ の と き の エ ネ ル ギ ー を 求 め よ.た だ し,Ψaと
道)と す る.
図5.5
水 素 分 子(a,bは
原 子 核,1,2は
方 針 パ ウ リの 原 理 を満 た す た め に は,電
電 子)
子 の 入 れ か え に 対 し波 動 関 数 は 反 対
称 で な けれ ば な らな い.電 子 に は ス ピ ン 自 由 度 が あ り,全 系 の 波 動 関 数 は軌 道 関 数Ψ
とス ピ ンの 関 数 との 積 で表 され る.こ の 全 系 の 波 動 関 数 が 反 対 称 と な れ ば よ
い.
解 対 称 と反 対 称 の 軌 道 関 数 は(Ψa(r1)をΨa(1)と 書 く こ と に す る)
上 号 は対称 (2)
下号 は反対 称 で あ り,ス
ピ ン につ い て は
(3) が 対 称,
(4) が 反 対 称 の 波 動 関 数 で あ る.し た が っ て,全 系 の 反 対 称 な 波 動 関 数 と して 次 の4種 類 (5)
(6) (7) (8) を 作 る こ と が で き る.こ
れ を 上 か ら順 にΦ1,Φ2,Φ3,Φ4と
し よ う.
(9) とお く.こ れ らは 水 素 原 子 の ハ ミル トニ ア ン な の で 厳 密 に
(10) が 成 立 す る.ハ
ミ ル トニ ア ン式(1)を
式(9)を
用 い て 書 き な お して お こ う .
(11) と な る. さ てHをΦ1∼
Φ4に 作 用 さ せ よ う.Hに
は ス ピ ン 演 算 子 は 含 ま れ な い の で,i
≠jの と き
(12) が 成 立 す る.ま たΦiの 中の 軌 道 部分 の み着 目す れ ば よ い.ま ず￡〈Φi￨Φi〉 は
(13) で あ る.こ
こで
(14) は 重 な り積 分 と呼 ばれ,二 つ の波 動 関 数ΨaとΨbの
重 な りの 度 合 を表 す .式(13)
よ り,規 格 化 され た波 動 関 数 は
(15) と な る.そ し て こ れ が 無 摂 動 系H0=Ha1+Hb2の る. さ てΦ1に
つ い て 〈Φ1￨H￨Φ1〉
を求 め よ う.
規 格 直 交 化 され た 固 有 関 数 で あ
(16) 第1項
は 式(13)よ
り
(17) と な る.第2項
は
(18) と な る.た
だ し
(19) と お い た.
他 の項 につ い て も同様 に分 解 して
(20) を 用 い る と,式(16)の
第3,第4,第5項
は それ ぞ れ
(21) と な る か ら.式(17),式(18),式(21)を
合 わ せ て 式(16)は
(22) を 得 る.2C'+C"を
ク ー ロ ン 積 分,2γJ'+J"を
交 換 積 分 と い う.
以 上 よ り
(23) を得 る.Φ2,Φ3,Φ4に よ い.よ
つ い て は 式(16)の
う ち 第3項
と 第4項
の 符 号 を負 とす れ ば
って
(24) と な る.こ
の 三 つ は 一 致 す る の で3重
縮 退 を し て お り,3重
項 と い う.Φ1を1重
項 と い う. 補 水 素 原 子 の1s軌
道 の 波 動 関 数 を Ψa,Ψbと
し て 用 い て,γ,C',…
等 を計
算 す る と以 下 の よ う に な る.
(25) J"は き れ い な 形 に ま と ま ら な い 実 際 に 距 離Rを
与 え,式(23）
の 方 が 低 い 値 と な る.J'＞0で と す る と 重 な り積 分 γ→0と
. と(24)の
エ ネ ル ギ ー を 数 値 計 算 し て み る と 式(23)
あ る がJ"＜0で な り,式(23)と
あ っ て こ の 項 が き い て い る.R→∞ 式(24)は
同 じ値 に 近 づ く.水 素 分 子 は
式(23)の
方 が 低 い 値 を と る こ と か ら,二
つ の 電 子 の ス ピ ン は互 い に反 対 の 方 向 を
向 い て い る 状 態 を と っ て い る と 結 論 され る.こ の 理 論 は ハ イ トラー‐ ロ ン ドン(Heitler - London)の
理 論 と呼 ば れ る.
一 般 に ク ー ロ ン積 分2C'+C"と
交 換 積 分2γJ'+J"を
それぞれ
(26) と 記 す.式(23)と(24)は
(27) と書 か れ る.
問 5.14 前 問 に お け る 水 素 分 子 の エ ネ ル ギ ー は 行 列σa,σｂ
を用いて
(1) と か け る こ と を 示 し,Jeffを 求 め よ.こ 式(8))を
こ にσaとσｂ
は,パ
ウ リ行 列σ(問4.5の
用いて
(2)
(3) と定 義 され る.〓 は 行 列 の 直積 で あ る. 解 式(1)の
右 辺 を 計 算 して み よ う.σa・σbを
行 列 表 示 す る.
(4)
(5)
式(5)の 行 列 の 固 有 値 は1,1,1,−3で
あ る か ら,式(1)の
固 有 値 と して
1重,
E=定
数
(6)
3重 縮 退 が 得 ら れ る. 一 方,問5.13の
式(27)は 1重, (7)
3重 縮 退 で あ る か ら,式(6)と(7)が
そ れ ぞ れ の 場 合 に 等 し い と し て 式(6)の
定 数 とJeffを 求
め る. 1重, (8)
3重 縮 退.
こ れ を解 い て
定数
(9)
と 決 ま る.し
た が っ て,式(1)が
示 さ れ た.
補 (1)の 定 数 部 分 を 省 略 し,ハ
ミ ル トニ ア ンHと
し て(JeffもJと
書 い て)
(10) と書 く こ と が あ る.ま
た ス ピ ン 演 算 子sを
用い て
(11) と も書 く.こ こ でJ/h2をJと
さ らに 書 き直 して い る.
前 問 と本 問 は2個 の 電 子(水 素 分 子)の 問 題 で あ っ たが,こ の 一 般 化 と してN個 の 電 子 の 問 題 を考 え る こ と もで き る.こ の 場 合 も原 理 的 に は 式(11)の 一 般 化 と し て
(12) と表 す こ と が で き る.こ こ で の 交 換 積 分Jabは 問5.13の
式(20)で
ら にsa・sbをsazsbzで
(統 計 力 学 演 習 第7章
の 値 と は 異 な る が,や
は り
定 義 し た よ う な 電 子 の 位 置 の 交 換 を 表 す 積 分 で あ る.式(12)を
ハ イ ゼ ン ベ ル グ 模 型 と 呼 び,磁 で あ る.さ
式(11)で
参 照).
性 体 の 問 題 に 対 しハ イ ゼ ン ベ ル グ が 提 示 し た も の お き か え た も の を イ ジ ン グ(Ising)模
型 とい う
章 6 第 散
入 射 粒 子 が 標 的(粒 子,原
乱
子 核 な ど,こ れ を散 乱 体 とい う)に 衝 突 して 散 乱 さ
れ る問 題 を考 え よ う.す で に第2章
にお い て,1次 元 の 場 合 の 入 射 粒 子 が ポ テ ン シ
ャ ル 障 壁 に衝 突 した と きの 散 乱 の様 子 や 透 過 係 数 や 散 乱 係 数 を 求 め た.こ の 章 で は3次 元 の 場 合 を扱 う. シ ュ レー デ ィ ン ガー 方程 式 は (6.1) で 与 え られ る.rは
入 射 粒 子 の座 標,qは
の 運 動 エ ネ ル ギ ー で あ り,第2項
散 乱 体 の 座 標 とす る.第1項
は入射粒 子
は散 乱 体 の ハ ミル トニ ア ン,第3項
は入射粒子
と散 乱 体 との 相 互 作 用 を表 す. 入射 粒 子 と散 乱 体 の 運 動 エ ネル ギ ー の 総 計 が 散 乱 の 前 後 で 変化 しな い場 合 を弾 性 散 乱 と い う.散 乱 に よ って 散 乱 体 の 内 部 状 態 が 変 化 す る と,運 動 エ ネル ギ ー の 総 計 が 変 化 す る.こ の 場 合 を非 弾 性 散 乱 と い う.散 乱 に よ っ て散 乱 体 にエ ネ ル ギ ー を与 えな い と き は
,式(6.1)の
第2項H(q)は
定 数 と して よいの で取 り扱 い が 簡
単 に な る.本 章 で は この 場 合 の み を扱 う こ と に す る. 問6.2で る.問6.1か
は散 乱 の最 も簡 単 な 近 似 で あ る ボル ン(Born)近 似 を使 っ た例 が 示 され らわ か る よ う に,こ れ は ポ テ ン シ ャ ルV(r)に
つ い て第1次
の摂動
展 開 で あ る.部 分 波 の 方 法 と呼 ば れ る方 法 も散 乱 を取 り扱 うた め の 有 力 な 手 法 の 一 つ で あ る(問6
.4参 照).
加 速 器 を用 い た素 粒 子 や 原 子 核 の 実験 で は,散 乱 され た 粒 子 を観 測 す る こ と に
よっ て 散 乱 体 や 被 散 乱 体 の 構 造 を調 べ て い る.さ
らに近 年 で は 数 理 物 理 学 の 分 野
で も,逆 散 乱 法 と呼 ば れ る方 法(散 乱 され た粒 子 か ら散 乱 体 の 状 態 を調 べ る方 法) に よ り,物 理 や 数 学 の 非 線 形 問 題 を解 くこ とが な さ れ て い る.
問 6.1 標 的(原 子 核,結 晶 な ど)に 粒 子 が 衝 突 して 弾 性 散 乱 され る問 題(図6.1) を 考 え よ う.入 射 波 はz方 と す る.こ
向 に 進 む 平 面 波eikzで
あ り,散 乱 ポ テ ン シ ャ ル をV(r)
の と き 散 乱 波 は,
(1)
(1') で 表 され るこ と を示 せ.2番
目 の 等 号 は 始 のu(r')にu(r)を
繰 り返 し代 入(iteration)
して 得 ら れ た もの で あ る.
図6.1
標 的 に よ る散 乱
方 針 シ ュ レー デ ィ ン ガ ー 方 程 式 は
(2) で あ る.入 射 粒 子 が 標 的 か ら遠 く離 れ て い る と き,V(r)→0(r→ ら,入
射 粒 子 は 平 面 波eikzと
し て お く).入
思 っ て よ い(V(r)は￨rV(r)￨→0(r→
射 粒 子 の エ ネ ル ギ ー は,し
解 解 くべ き方程 式 は
た が っ てE=h2k2/2mで
±∞)で ± ∞)と あ る.
あるか 仮定
(3) で あ る.わ
ず ら わ し い の で(h2/2m)Vを
グ リー ン(Green)関
しば ら くVと
書 くこ と にす る.
数G(r−r')は
(4) の 解 と し て 定 義 さ れ る.こ
の 両 辺 にu(r')V(r')を
か け てr'で
積分 す ると
右辺 (5) 左辺 (6) よ っ て 式(3),(5),(6)よ
り
の解} で あ る こ と が わ か る.式(4)の
解 の う ち,外
(7)
向 きの 波 は
(8) で あ る か ら(補 で 示 す),こ
れ を 式(7)に
代 入 す る .さ
す な わ ち 入 射 平 面 波eikzを
加 え て 式(1)を
ら に(Δ+k2)u(r)=0の
得 る.u(r')にu(r)を
解,
く り返 し代 入 す る
こ と に よ り(1')が 得 ら れ る. 式(1)に
お い て,第2項
ま で で展 開 を 打 ち切 っ た も の
(9) を ボル ン(Born)近 似 と呼 ぶ.こ の近 似 は,入 射 粒 子 の エ ネル ギ ー が ポ テ ン シ ャル に比 べ て十 分 大 きい と き よ い近 似 で あ る. 補 式(8)の 証 明 〓に 対 し,
〓 の フ ー リエ 変 換
(10)
を代 入 す る と, (11) と解 け る.こ
こ で 技 巧 的 で は あ る が,正
の 微 小 量 ε を 導 入 す る .後
で ε→0+と
す る.
(12) こ れ を フ ー リエ 逆 変 換 し,Gε(r)を
求 め る.
(13) この 積 分 は 図6.2の
よ うな積 分 路 で 複 素 積 分 す れ ば よ い.
図6.2
式(13)の
積 分路
で の 留 数) で,大
円Rで
の 寄 与 はR→∞
(14)
で 消 え るの で,
(15)
を 得 る. こ こ で,は
じめ に 導 入 し た ε＞0は 外 向 き の 波 を と りだ す た め で あ っ た.も し ε＜
0と す る と 内 向 き の 波
(16) を 得 る.
問 6.2 図6.3の
よ う にz方
向 に 入 射 し た 粒 子 が,ポ テ ン シ ャ ルV(r)に
散 乱 され た とす る.ボ ル ン近 似 の 範 囲 で,r方
向 の 立 体 角dΩ=sinθdθdφ
よって
内に
散 乱 され る 単位 時 間 当 た りの 粒 子 数 を求 め よ.
図6.3
ポ テ ン シ ャル に よ る散 乱
方針 単 位 時 間,単 位 面 積 当 た りN個 dΩ内 に散 乱 さ れ る粒 子 数 がJ個
の 入射 粒 子 が あ り,r方
あ る と き,JはNとdΩ
向 の立 体 角
に比 例 す る.こ れ を
(1) と書 く.比 例 係 数dσ/dΩ にdΩ を 乗 じたdσ は面 積 の 次 元 を もち,微 分 散 乱 断面 積 とい う.微 分 散 乱 断 面 積 を全 立 体 角 に つ い て 積 分 した もの を 全散 乱 断 面積 とい う. 問2.4で
定 義 した確 率 密 度 の 流 れｊ は
(2) は 入射 粒 子eikzに つ い て
(3) で あ るか ら,N=ｈk/mで
あ る.
一 方,散 乱 され た粒 子 の 波 動 関 数 のr→
∞ に お け る漸 近 形 を
(4) の よ う に表 す.f(θ,φ)を
散 乱 振 幅 とい う.こ の と きr方
向の確率 密度の流 れ は
(5) と な る(c.c.は 複 素 共 役).し
た が っ て,単 位 時 間 に 立 体 角dΩ
内 に 散 乱 さ れ る粒 子
数Jは (6) で あ り,微
分 散 乱 断 面 積dσ(θ,φ)は
式(1)と
式(3)よ
り
(7) と 表 さ れ る. 解 ボ ル ン 近 似 で はu(r)は
前 問6.1の
式(9)よ
り
(8) で あ る.い
まrが
十 分 大 きい と こ ろ で は
(9) と 展 開 で き て(nはr方
向 の 単 位 ベ ク トル),
(10) と な る.こ
こ でkn=k0と
お い た.kはk・r'=kz'と
した が っ て,q=k0−kと
な る ベ ク トル で あ る.
おい て
(11) こ れ を 式(6)に
入 れ れ ば,求
ポ テ ン シ ャ ルV(r)が
め る 解 と な る.
中 心 力(球 対 称)の 場 合,式(11)は
も う少 し計 算 が 進 め ら れ
る.
(12) こ こで
(13) よ って
(14) を得 る.こ の と き微 分 散 乱 断面 積dσ は φ 依 存性 が な く,θ に しか 依 存 しな い. 問 6.3 球 対 称 な ポ テ ン シ ャルV(r)＝Ce−kr/r(こ
う)に
れ を湯 川 ポ テ ン シ ャル とい
よ る散 乱 を考 え る.前 問 の 結 果 を 用 い て ボル ン近 似 の 範 囲 で,散 乱 振 幅,
微 分散 乱 断 面積 お よび 全 散 乱 断 面積 を求 め よ. 解 簡 単 の た め がh2/2m=1と 2の 式(11)と
式(12)よ
い う単 位 系 を と る こ と に し よ う.散 乱 振 幅 は 問6.
り
(1) と な る.微
分 散 乱 断 面 積 は 問6.2の
式(7)か
ら
(2) これ を全 立 体 角 につ い て積 分 す る と,全 散 乱 断 面 積 σ を得 る.
(3) た だ し,こ
こ でq=2ksin(θ/2)(問6
κ →0でC=ee'と あ る.こ
.2の
式(13))を
用 い た.
す る と,静 電 ポ テ ン シ ャ ルe'/rに
れ を ラ ザ フ ォ ー ド(Rutherford)散
射 粒 子 の 速 度 をυ
と し てmυ=hkと
よ る 電 荷eの
乱 と い う.単
粒子 の散乱 で
位 系 を も と に も ど し,入
す る と
(4) を 得 る.こ
れ は,古
典 力 学 で 求 め て も 同 じ結 果 と な る .
問 6.4 球 対 称 ポテ ンシ ャル に よる弾 性 散 乱 を考 え る.波 動 関 数 を球 面 調 和 関 数 で 展 開 す る と(第3章
問3.8を
参 照 の こ と),
(1) と な る.
1) χl(r)の 2) r→
したが う微 分 方 程 式 を求 め,
∞ で の 散 乱 波 の 漸 近 形 が 問6.2の
式(4)と
一 致 す る よ う にf(θ)を
決 定
方 針 極 座 標 で の シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式 に式(1)を 代 入 して,xl(r)の
従う
せ よ.
3) 微 分 散 乱 断 面 積 と全 散 乱 断 面 積 を求 め よ. こ れ を部 分 波 の 方法 とい う.
微 分 方程 式 を求 め る.こ れ をr→∞
と考 え て 解 き,問6.2の
式(4)と 一 致 す る よ う
にf(θ)を 求 め よ.前 問 と同 様 に球 対 称 ポ テ ンシ ャル な らば φ 依 存 性 は な い の で
式(1)はm=0と
して
(2) と な る.
解 1）
式(1)を 極 座 標 で の シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方程 式 に代 入 す る と (3)
と な る.こ
こ で 散 乱 の エ ネ ル ギ ー を ε と し た.弾
性 散 乱 なの で ε は 入射 粒 子 の も
っ て い た 運 動 エ ネ ル ギ ー と等 しい.
した が っ て,
(4) が,χlの 満 た す べ き微 分 方 程 式 で あ る. 2) r→∞
で 式(4)は
(5) と な る か ら,
(6) こ れ がr→∞
で のχlの 漸 近 形 で あ る.
係 数alとblの
関係 を求 め よ う.入 射 粒 子 は散 乱 にお い て吸 収 され な い か ら,確
率 の 保 存 の 式(問2.4の
式(6))は 成 立 し,
(7) と な る.式(7)は
ガ ウスの定理 より
(8) と も書 か れ る.jrはr方
向 の 確 率 の 流 れ で あ る.式(2)と
式(6)よ
りjrを 求 め る.
(9) こ れ を 式(8)に
代 入 して,Plの
直 交 性(問3.4参
照)
(10) を使 う と
(11) と な る か ら,￨al￨2=￨bl￨2を
得 る.
さ て
(12) と お い て み よ う.式(2),(6),(12)か
らu(r,θ)の
漸 近 形
(13) が 求 め られ る.こ こ で 導 入 したδlに つ い て は後 述 す る. 式(13)と
問6.2の
式(4)
(14) を 比 べ よ う.そ
の た め に 入 射 波eikzのr→∞
で の 振 舞 い を調 べ る.
(15) と展 開 す る.Plの
直 交 性 を用 い て
(16) cos θ=xと
お い て 左 辺 を部 分 積 分 す る と
(17) した が っ て
(18) を 得 る.散
乱 振 幅f(θ)もPlで
展 開 し て お こ う.
(19) 以 上 を 使 っ て 式(13)と
式(14)を
等 し い と し て,
(20) を 得 る.こ
れか ら
(21) よって
(22) と な る.こ
れ を 式(19)に
代 入 す る こ と に よ り散 乱 振 幅
(23) が 求 め られ た.δlの 具 体 的 な 形 は 問6.5で 3) さ て 後 は,微
求 め る.
分 散 乱 断 面 積 を 定 義(問6.2の
式(7))に
従 っ て 求 め れ ば よ い.
(24) とな る.全 断 面積 は こ れ を積 分 して,
(25) を得 る. δlの物 理 的 意 味 を考 察 しよ う.ポ テ ン シ ャルVが
な い と き を考 え て み る と シュ
レー デ ィ ンガ ー 方程 式 は 自由粒 子 の そ れ で あ る.式(4)は, (26) と な る.こ
の 式 は す で に 問3.8の
ッ セ ル 関 数jlを
式(6)と
式(10)で
考 察 した.す
な わ ち,解
は球 ベ
用 いて
(27) と 得 ら れ て い る. V≠0の
と き のχl(r)のr→
∞ で の 振 舞 い は 式(6)と
式(12)よ
り
(28) で あ る.一
方 式(27)のr→∞
での振舞 いは
(29) で あ る(付B4.4).式(28)と る とχl(r)の
式(29)を
比 較 す る こ と に よ り,ポ
テ ン シ ャ ルVが
あ
位 相 す な わ ち 散 乱 波 の 位 相 が δlだ け ず れ て い る こ と が わ か る.δlを
位 相 の ず れ(phase
shift)と い う.
散 乱 振 幅 の 式(23)の
虚 数 部 を 求 め よ う.
(30) を 用 い て,
(31) した が っ て 式(25)と あ わせ て,θ=0で
の 値(前 方 散 乱 の 振 幅)と 全散 乱 断 面 積 との
間の関係式
(32)
が 得 られ る.こ れ を光 学 定 理 と呼 ぶ. 問 6.5 部 分 波 の 方 法 に お け る位 相 の ず れ δlをポ テ ン シ ャ ルV(r)が
小 さい 場
合 に ボル ン近 似 で求 め よ.た だ しポ テ ン シ ャ ル は 中 心 力 とす る. 方 針 ボ ル ン近 似 で の散 乱 振 幅(問6.2の 幅(問6.2の
式(23))を
効 で あ る.ま
た,位
解 問6.2の
式(11))と,部
分 波 の 方 法 で の散 乱 振
比 較 せ よ.ボ ル ン近 似 は ポ テ ン シ ャ ルVが
小 さい と きに有
相 の ず れδlも 十 分 小 さ い と考 え て よ い.
式(11)と
問6.2の
式(12)よ
り,ボ ル ン 近 似 の 散 乱 振 幅 をfB(θ)と
す
る と
(1) で あ っ た.た
一 方
,部
だ しq=2ksin(θ/2)で
あ る.
分 波 の 方 法 に よ る 散 乱 振 幅 をfP(θ)と す る と,問6.4の
式(23)に
よ り
(2) で あ る. 式(1)をPl(cosθ)で
展 開 し よ う.
(3) を用 い て(参 考 文 献17)犬 井 に証 明 が あ る)
(4) 式(2)と 式(4)を 比 較 す れ ば
(5) と な り,ポ
テ ン シ ャ ルVもδlも
小 さ い と して
(6) を 得 る.
章
7 第
多
体
問 題
自然 また は 物 質 は 多 くの 粒 子 か ら構 成 され て お り,そ れ ぞ れ の 粒 子 が 相 互 作 用 を しな が ら運 動 して い る.た と え ば,1個
の 原 子 核 とN個
の電子 が クー ロン力で
相 互 作 用 して い る原 子 を考 えて み よ う.こ の 系 の シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式 は
(7.1) で 与 え られ る.Mは
原 子 核 の 質 量,Rは
そ の位 置,mは
置 で あ る.ま たZeを
原 子 核 の 電 荷 と した.N=1,Z=1の
電 子 の 質 量,riは
その位
場 合が水 素原子 に あた
る.水 素 原 子 の 場 合 は 第3章 で 見 た よ う に波 動 関 数 とエ ネル ギ ー が厳 密 に 求 め ら れ た が,N〓2に
な る とい わ ゆ る 三体,四
体 … 問題 と な り(ヘ リウ ム 原 子 の 問5.6
を 参 照),厳 密 に解 くこ とが で きな くな る.そ こ で 問7.2で リー(Hartree)近
示 され る よ う な ハ ー ト
似 また はハ ー トリー-フ ォ ック(Hartree-Fock)近
似 な どの近 似 法
が 必 要 とな っ て くる. 量 子 力 学 と古 典 論 の 達 い の 一 つ と して,同 一 粒 子 が 区 別 で き る か ど うか と い う 点 が あ る.量 子 力 学 で は 同種 粒 子 は 区 別 で きな い.同 種 粒 子 で あ る粒 子1と 2が,そ
粒子
の 座 標(一 般 に は量 子 状 態)を 入 れ か えて も系 の 状 態 は同 じで あ る.こ れ は
不 確 定 性 原 理 に 由 来 す る もの で あ る.古 典 論 で は,あ る時 刻tに お い て 粒 子 に 番 号 を つ け,そ の軌 跡 を追 求 す る こ とが 原 理 的 に 可 能 で あ る.し か しな が ら,量 子 論
で は この 古 典 的 な軌 跡 の 概 念 は 意 味 を 失 っ て し ま う.番 号 をつ け られ た粒 子 の 波 束 は 時 間 が た つ と広 が っ て ゆ き,他 の 粒 子 の 波 束 と重 な っ て しま うの で,後
の時
刻 に あ る位 置 で粒 子 を見 出 して も,そ れ が どの 粒 子 で あ っ た か を知 る方 法 が な い. 2個 の 粒 子 か らな る系 を考 え て み よ う.波 動 関 数 はΨ(1,2)で で は1と2を
入 れ か え た波 動 関 数Ψ(2,1)は
表 せ る.量 子 力 学
位 相 の 違 い をの ぞ い て 同 じ状 態 を 表
す か ら,
(7.2) で あ る.も
う 一 度 入 れ か え て,
(7.3) よって
(7.4) と な る.す
なわち
(7.5) 波 動 関 数 は 粒 子 の 入 れ か え に対 し,対 称 か 反 対 称 か の どち らか の 対 称 性 を もつ. これ は3個 以 上 の粒 子 系 に対 して も一 般 的 に 成 立 す る性 質 で あ る.波 動 関 数 が 粒 子 の 入 れ か え に対 して 対 称 で あ る粒 子 を ボー ズ(Bose)粒 を フ ェル ミ(Fermi)粒 子 と い う.よ
り詳 し くは 問7.1を
子,反 対 称 で あ る粒 子
参 照 の こ と.
問 7.1 N個
の 同 種 の 自由 粒 子 が1辺Lの
箱 の 中 に あ る.フ ェル ミ粒 子 の 場 合
と ボ ー ズ粒 子 の場 合 につ い て そ れ ぞ れ の系 全 体 の 波 動 関 数 とエ ネル ギ ー を求 め よ. 個 々 の 粒 子 は相 互 作 用 して い な い もの とす る. 方 針 個 々 の 粒 子 は 独 立 に運 動 して い るの で,そ 数分 離 が 可 能 で あ る.い い か え る と,1個
れ ぞ れ の粒 子 の 座 標 ご とに 変
の粒 子 の 問 題 に帰 着 させ う る.さ
ら に,
い ま考 え て い る粒 子 は 同 種 粒 子 で あ る こ と を考 慮 す る.解 説 で 述 べ た よ う に,個 々 の粒 子 の 交 換 に対 し波 動 関 数 は対 称 か また は反 対 称 で な け れ ば な ら な い. 解 ハ ミル トニ ア ン は
(1)
で あ る.波 動 関 数 をΨ(r1,r2,…,rN)と
し て シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式HΨ=EΨ
を 解 け ば よ い.
(2) とお い て 変 数 分 離 をす る と
(3) と な る.こ
こ で は エ ネ ル ギ ーEは
(4) で あ る.さ
ら に φλ(ri)を 変 数 分 離 し て
(5) と お き式(3)に
代 入 す る と,解
くべ き 方 程 式 と して
(6) を 得 る.Y,Zに 数1次
つ い て も同 様.こ
こ で ελ=ελx+ελy+ελzを満 た す.式(6)は1変
元 の 自 由 粒 子 の 方 程 式 で あ る か ら 簡 単 に 解 け て,
(7) とな る.こ
こで 境 界 条 件 (8)
を 考 慮 した. 結 局 全 系 の 波 動 関 数 は 式(2),(5),(7)よ
り
(9) で あ り(λi=λ,μ,…,ξ),エ
ネ ル ギ ー は
(10) で 与 え られ る. 式(9)は 方針 で 述 べ た波 動 関 数 の 対 称 性 を考 慮 して い な い.式(9)を
反 対称化 ま
た は 対 称 化 した もの が正 しい 波 動 関 数 とな る. フ ェル ミ粒 子 の 場 合 波 動 関 数 は反 対 称 性 を もつ.反
対 称 化 して お け ば,二 つ の 粒 子 が 同 一 の 量 子 状
態 を とれ な い(パ ウ リの 排 他 律)こ と を満 足 す る.N個
の 粒 子 の 入 れ か え はN!通
りあ るの で,規 格 化 され た 波 動 関 数 は
(11)
と表 さ れ る,た
だ し,λ,μ,…,ξ
あ り,ス レー ター(Slater)行 し,偶 ri
置 換 な ら(−1)P=1,奇
=rjな
らばΨ(r1,…
の 中 に 同 じ も の は な い.最
列 式 と呼 ば れ て い る.Pは 置 換 な ら(−1)P=−1で
,ri,…,rj…,rN)=0で
あ る.各
後 の式 は行列式 で
粒 子 の(riの)入 あ る.行 波動関数
れ か え を表
列 式 の 性 質 よ り, φζ(ri)は 式(3)の
解
(12) で あ る.
ボ ー ズ 粒 子 の 場 合 波 動 関 数 は対 称 で あ る.ま
た二 つ 以 上 の 粒 子 が 同一 状 態 を とっ て も よ い の で,
(13)
こ れ が 規 格 化 さ れ た 波 動 関 数 で あ る.￨￨+は
パ ー マ ネ ン ト(permanent,行
列 式 の
展 開 に お い て,す べ て の 負 符 号 を正 符 号 に した もの で 定 義 され る)を 表 す.nζ は 積 の 中 に 同 じ φζが 現 れ る個 数 で あ り,同 一 量 子 状 態 ζに あ る粒 子 の個 数 で あ る.φ ζ(r)はや は り式(12)で 与 え られ る. 基 底 エ ネ ル ギ ー(最 低 エ ネ ル ギ ー)を 求 め よ う.エ る の で{nζx,nζy,nζz}の
ネ ル ギ ー は 式(10)で
与 え られ
組 を 定 め れ ば よ い.
フ ェ ル ミ粒 子 の 場 合(ス
ピ ン を もた な い場 合)
二 つ 以 上 の 粒 子 が 同 じ量 子 状 態 を と り え な い の で,ζ≠ μ の と き(nζx,nζy,nζz)≠ (nμx,nμy,nμz)で
あ る.す
な わ ち,最
低 エ ネ ル ギ ー 状 態 は3次
点 を 下 か ら順 序 よ く う め て い っ た 状 態 で あ る.た る.Lお
よ びEが
十 分 大 き い と き,こ
計 力 学 演 習 」 の 問5.1参
の 状 態 は3次
元格 子の各格 子
だ し,nζa≠0(α=x,y,z)で 元 球 の 体 積 の1/8と
あ し て(「統
照)
(14) で 近 似 で き る.こ
こ でn0=Max{√(nζx)2+(nζy)2+(nζz)2}で
あ る.よ
っ て
(15) と な り,エ
ネ ル ギ ー と して
(16) を 得 る.
ボ ー ズ 粒 子 の 場 合 二 つ 以 上 の 粒 子 が 同 一 状 態 を と っ て よ い の で,最 粒 子 に つ い て(nζx,nζy,nζz)=(1,1,1)の
低 エ ネ ル ギ ー 状 態 は す べ ての
と き で あ る.よ
って
(17) 補 電 子 の 場 合
電 子 は(nζx,nζy,nζz)の
もっ た フ ェル ミ粒 子 で あ る.こ の た めnが
ほか に ス ピ ン と い う内 部 自 由度 を
同 じで もス ピ ン状 態 が 異 な れ ば 異 な る
量 子 状 態 と な る.式(14)∼ す る 式 で あ っ た.電
式(16)は,ス
ピ ン 自 由 度 を も た な い フ ェル ミ粒 子 に 対
子 の ス ピ ン はs=1/2な
の で 自 由 度 が2,よ
っ て 同 じn状
態
に 二 つ 電 子 が 入 り得 る か ら 式(14) 式(15) 式(16)
(18)
と それ ぞれ 変更 され る.
(19) と お く と,
(20) と な る.こ
こ で εFを,フ
ェ ル ミ準 位 と い いkFを
フ ェ ル ミ波 数 と い う .系
が最 低
エ ネ ル ギ ー 状 態 に あ る と き,個 々 の 電 子 が も ち う る 最 高 の エ ネ ル ギ ー が εFで あ る (統 計 力 学 演 習 問6.2式(11)). 注 式(11)と
式(13)で
は,粒
子 の 自 由 度 と し て 座 標rの
う に 他 の 自 由 度(ス ピ ン な ど)を もつ 場 合 に は,そ 称 化 を し な くて は な ら な い.こ の と き はrを
み 考 慮 した.電
子の よ
の 自 由 度 も含 め て 対 称 化 や 反 対
τ=(r,σ)と
置 き か え れ ば よ い.σ は
ス ピ ン な ど の 他 の 自 由 度 を 表 す.
問
7.2 ス レー ター 行 列 式(問7
.1の 式(11))は1粒
子 の 波 動 関 数φi(τi)を 使 っ て
(1) と定 義 さ れ て い る.一 般 の ハ ミル トニ ア ンHの 1(i=1,2,…,N)の
期 待 値 〈Ψ￨H￨Ψ
〉を 条 件 〈φλi￨φλi〉=
も と に 極小 に す る こ と に よ り(変 分 原 理),次
ー-フ ォ ッ ク(Hartree-Fock)の
方 程 式 を導 け
.
のハ ー トリ
(2) こ こで 全 系 の ハ ミル トニ ア ンHは
(3) で 与 え ら れ る も の と す る.H(0)(τｋ)は
一 自 由 粒 子 の ハ ミル トニ ア ン で あ る.ま
g(τk,τl）は 相 互 作 用 を 表 す 項 でg(τk,τl)=g(τl,τk)を
た,
満 た す も の と す る.
方 針 ラ グ ラ ン ジ ュの 未 定 乗 数法 を使 う.「 統 計 力学 演 習 」の 第3章 解 説 の 補 参 照.未
定 乗 数 を ελ1,ελ2,…,ε λNと し て 変 分 が
(4) と な る よ う に す れ ば,〈 φλ￨φλ 〉=1を 関 数 の 組{φ
満 た し,か つ 〈Ψ￨H￨Ψ
〉 を極 小 と す る 波 動
λ(τi)}が 求 ま る.
解 期 待 値 を 求 め る.式(1)と
式(3)か
ら
(5) を考 え よ う.定 積 分 は 変 数 を ど う書 い て も結 果 は 同 じだ か ら,式(5)の
第2の[]
内 が も との 順 序 φλ(τ1)… φξ(τN)とな る よ うな 番 号 の つ け か え を しよ う.こ れ はQ の 逆 置 換Q-1を
被 積 分 関 数 全 体 につ い て 行 うこ とで あ る.
式(5)
(6) で
ここ
(7)
と書 け る. とおくと
(8) こ れ はPを
含 ま な い か ら Σ=N!を
P
与 え る.P'を
改 め てPと
書 いて
(9) を得 る.す な わ ち 二 つ の ス レー タ行 列 式 で 演 算 子 を は さん で 積 分 を計 算 す る と き は,一 方 の み を反 対 化 した 行 列 式 の形 と し,他 方 は変 数 の 順 序 を固 定 した 単 な る 積 の 形 と す れ ば よ い.こ さ て,H(0)(τ1)を
の と き1/N!は
不 要 で あ る.
考 え よ う.
(10) は{φζ(τi)}の 規 格 直 交 性 よ りPが 恒 等 置 換 以 外 の もの は す べ て 消 え て 式(10)
(11) と な る.こ
れ をIλ
次 にg(τ1,τ2)を
〓 〓であり〓となるから
と 置 く.
考 え よ う.上
と同 様 に
(12) と な り,恒
等 置 換 と(1,2)の
入 れ 換 え の 項 しか 残 ら な い .ゆ
えに
(13) と お い て, 式(12)=(kλμ−Jλ
μ
を 得 る.Jλμ を 見 て み る と,λ
粒 子 と μ 粒 子 が 座 標 τ1と τ2を 交 換 し て い る .そ
で.Jλμは 交 換 積 分 と呼 ば れ る.こ 以 上,式(11)と
式(14)を
れ は 問5.13のJ"の
れ
一 般 化 に な っ て い る.
ま と め る と期 待 値 は
(15) と な る.さ
て,こ
れ に 対 し変 分 原 理 を 適 用 す る.式(4)よ
り
(16) と 微 小 変 化 し た と き のI,J,Kの
微 小 変 化 分δI,δJ,δKは,そ
れぞ れ
(17)
と な る.ま
た
(18) よ っ て δφλ ＊,δ φλそ れ ぞ れ ま と め る と,
(19) と な る.δ φλ と δφλ＊は そ れ ぞ れ 独 立 で あ る か ら(も と も と波 動 関 数 は 複 素 数 な の で,実
部 と虚 部 は 独 立),任
意 の δφλ,δφλ＊ に 対 し式(19)が
成 立 す る こ と よ り,
(20) と そ の 複 素 共 役 を 得 る.こ
れ は 式(2)の
(20)に お い て μ に つ い て の 和 に μ=λ 項 と 第3項
ハ ー ト リ ー-フ ォ ッ ク の 方 程 式 で あ る .式 の 項 も含 ま せ て よ い.μ=λ
の 項 は左 辺 第2
と で 打 ち 消 し合 う.
実 際 に 式(2)を
解 く に は,ま
ず 適 当 な1体
波 動 関 数{φ
ζ(τ)}を1組
用 意 す る.
た だ し,〈 φλ￨φμ〉=δλμ.式(2)を
(21) と 書 く こ と に す る.用 に 式(21)を
意 し た{φ ζ}を使 っ て 作 用HF({φ
ζ})を決 め る .そ
れ を も と
解 い て 新 しい{φ ζ}の 組 を 求 め る .こ
の 組 が は じめ に 用 意 し た{φ ζ}
と一 致 す れ ば つ じつ ま の あ っ た(self-consistent)解
が 求 ま つ た こ と に な る .一 致 し
な か っ た 場 合 は,新 返 す.実
し い{φ ζ}を使 っ て ま たHFを
際 に は 数 値 計 算 に よ る.
決 め,こ
れ を収 束 す る まで く り
問 7.3 N個
の ボー ズ粒 子 よ りな る系 を考 え る.各 粒 子 はkで
を と り う る と す る.N個
の 粒 子 の う ち 状 態kに
き 全 系 の 状 態 は￨n0,n1,n2,…
〉sで 記 述 さ れ,こ
れ た 状 態 ベ ク トル に 作 用 す る消 滅 演 算 子bk,生
区別 され る状 態
あ る粒 子 数 をnkと
す る.こ
れ を 数 表 示 と い う.数 成 演 算 子bk+を
の と
表 示 で表 さ
次 の よ う に定 義 す
る.
(1) (2) 添 字Sは
対 称 波 動 関 数 を意 味 す る.bkは
bk+は 状 態kに 1) bk+bkの
あ る粒 子 を1個 へ らす 演 算 子,
あ る粒 子 を1個 ふ や す演 算 子 で あ る. 固 有 値 がnkで
あ る こ と を 示 せ.
2) bkとbk+の
交 換 関 係 を 求 め よ.
3) bkとbk+の
行 列 表 示 を 求 め よ.
こ のbk,bk+の
状 態kに
こ と を ボ ー ズ 演 算 子 と い う.
解 1)bk+bkを
状 態￨n0,n1…
〉sに作 用 さ せ る 式(1)と
式(2)よ
り,
(3) ゆ え に 証 明 さ れ た. 2)以
下,変 化 しな い状 態 の 粒 子 数 を書 くこ と を省 略 す る.上
と同 様 に して
(4) を 得 る. 式(3),(4)よ
り
(5) ま たk≠sの
と き
(6)
bs+bkも
同 じ結 果 を 与 え る.ゆ
え に 式(5)と
合わせ て
(7) と ま と め ら れ る. 同 様 に し て,k≠s,k=sの
い か ん に か か わ らず
(8) 3)
が成 立 す る. (9)
(10) で あ る か ら,状 態￨n0,n1,…,nk,…
〉と 演 算 子bkとbk+を
以 下 の よ う に行 列 で表 す
こ とが で き る.
(11)
この と き
(12)
こ こ に1,b,b+は
無 限次 元 の 行 列
(13)
で あ り,〓
は そ の 直 積 を 示 す.式(12)を
(14)
の よ う に 略 記 す る. さ ら に 式(3)か
と な る.
ら,bk+bk=nkと
して 演 算 子nkを
定 義 す る.そ
の 行列 表 現 は
問 7.4 N個
の フ ェル ミ粒 子 か らな る系 を考 え る.1粒 子 系 の 状 態 に 番 号 をつ け
て 番 号 順 に 並 べ,こ
れ をk=0,1,2…
と す る(ボ ー ズ 粒 子 の 場 合 は,kは
り,順 序 を 示 す 番 号 で あ る 必 要 は な か っ た).状 と す る.数
態kあ
表 示 に お け る 状 態 ベ ク トル｜n0,n1,…,nk,…
αk +を 次 の よ う に 定 義 す る
.添
字Aは
名 前であ
る 粒 子 の 数 をnk(=0,1) 〉Aに 作 用 す る 演 算 子αk,
反 対 称 波 動 関 数 を 意 味 す る.
(1) (2) さ ら にnk￨nk〉=nk￨nk〉
で 演 算 子nkを
定 義 して
(3) を導 入 す る.こ れ を 符 号 関数 とい い,0∼k−1番 が偶 数 な らば+1,奇
まで の 状 態 に あ る 粒 子 の 総 数m
数 な らば−1の 値 を と る.こ のνkを 用 い て
(4) を 定 義 す る.こ
の とき
1) αkとαk+の 2) akとak+の 3) ak,ak+の こ のak,ak+の 解
交 換 関 係 を 求 め よ. 交 換 関 係 とnkと
行 列 表 示 を 求 め よ. こ と を フ ェ ル ミ粒 子 に 対 す る 消 滅 演 算 子,生
1)nkは0ま
つ.αkαk+を を￨nk〉
の 関 係 を 求 め よ.
た は1で
成 演 算 子 と い う.
状 態 ベ ク トル￨…,nk,…
あ る か ら,nk2=nk,(1−nk)2=(1−nk)が 〉Aに 作 用 さ せ よ う.前
成 り立
問 と 同 様 に￨…,nk,…
〉A
と 略 記 す る.
(5)
(6) ゆ えに
(7) が 成 り立 つ.た
だ し,{αk,αk+}≡αkαk++αk+αkで
反 交 換 子(anticommutator)と
い う.ま
た 式(6)よ
り演 算 子nkの
定 義か ら
(8) と表 さ れ る こ と が わ か る. 一 方
,k≠s(k＜s)の
と き は
(9) で あ る か ら,
(10) す な わ ち,演
算 子 αkと αs+はk≠sの
と き 可 換 と な る.さ
らに
(11) で あ る.状
態 ベ ク トル は
(12) と表 さ れ る.式(12)の
各 因 子 はnk=0,1な
の で
の い ず れ か で あ る.αk,αk+は
(13)
こ こ に,
で 与 え ら れ る.式(13)を
(14)
と略 記 す る. 2) さ て,k＜sと
して
(15) とな る.し
た が って
(16) を 得 る. k=sの
と き式(4)よ
り
(17) と な る.た
だ し,こ
こ で 式(3)か
ら
(18) お よ び,式(10)と
式(11)か
ら
(19) で あ る こ と を 用 い た.式(16)と
式(17)を
ま とめ て
(20) と記 す. 演 算 子nkをakとak+で
表 す と,上
と 同 じ理 由 で 式(8)か
ら
(21) と な る.
3)
νを
(22) と す る と,akとak+の
表示 は
(23)
で 与 え られ る. 例 a2a4++a4+a2
(24)
(25) で,こ
れ は 式(16)を
満 足 す る.
問 7.5 二 つ の フ ェ ル ミ 演 算 子C1とC2を
考 え る.こ
れ らは
(1) を満 足 す る.
(2) と して 演 算 子Aを 定 義 した と き,
(3) を 満 た す こ と を 示 せ.た
だ し,niはi粒
さ れ る(問7.4式(21)参
照).
子 の 数 を 表 す 演 算 子 で,ni=Ci+Ciで
定義
方 針 式(1)よ
り,Ci+Ci+=CiCi=0で
≡￨0〉 と し た と き,系
あ る こ と が わ か る.よ
っ て￨n1,n2〉=￨0,0〉
の状 態 は
(4) の4通
りあ る.こ れ ら を基 底 に してAの
解 交 換 関 係 式(1)とC1￨0>=C2￨0〉=0を
行 列 表 現 を求 め て み よ. 用 いて
(5) と な る.し
た が っ て,Aの
行 列 表 現 を求 め る と
(6)
と な る.Aは す る.
エ ル ミ ー ト行 列 な の で,こ
れ を 対 角 化 す る ユ ニ タ リ ー 行 列Uが
存在
(7)
した が っ て
(8) よ り
(9) を 得 る. こ れ よ り
(10) を 用 い て,etAを
求 め れ ば よ い.式(10)の
右 辺 を計 算 して
(11)
を 得 る. 一 方
,n1とn2とn1n2の
行 列 表 現 を求 め る と
(12) で あ る.式(12)と
単 位 行 列 お よ びAを
α,β,γ,δ,η
使 っ て 式(11)を
表 す こ と を 考 え よ う.ま
ず,
を パ ラ メ ー タ と し て,
(13) と お い て み る.式(13)の
右 辺 は
と な る か ら,式(11)=式(13)が
成立す るためには
(14) が 成 立 して い れ ば よ い.式(14)を
解 い て,結
局
(15) と な り,式(3)が
示 さ れ た.
注 ボ ー ズ 演 算 子 の と きに は 無 限 次元 行 列 とな るの で こ う う ま くは ゆ か な い. ス ピ ン演 算 子 の と きに は 似 た よ う な こ とが で きる. 問 7.6 主 量 子 数n,方 を(nx)kと
表 す.こ
位 量 子 数lの 軌 道 に 電子 がk個
こ でxはlに
よ っ て 決 ま る 記 号 で,慣
存 在 して い る と き,こ れ 例 と して
と い う よ う に 対 応 して い る.
(ns)1お よび(ns)2の と り う る状 態 を,電 子 の ス ピ ン状 態 まで 考 慮 して 調 べ よ.た だ し,合 成 軌 道 角 運 動 量L=Σiliと J=L+Sを
合 成 ス ピ ンS=Σisiを
合 成 した 全 角 運 動 量
用 い て表 現 せ よ.
方 針 (ns)1は 主 量 子 数n,方 位 量 子 数l=0の 態 で あ る.ス (ns)2に
ピ ン は 上 向 き α と下 向 き β の2通
は 電 子 が2個
能 で あ る.し
軌 道 に 電子 が1個 存 在 して い る状
あ る か ら,ス
りの 状 態 を もつ.
ピ ン状 態 と し て4通
か しパ ウ リの 排 他 律 に よ り,同
り(αα,α β,β α,β β)可
じ状 態 に 電 子 は 一 つ 以 上 存 在 し え な
い こ と を 考 慮 し な く て は な ら な い.
解 (ns)1の 場 合 l=0で JはJ=1/2で が っ て,状
あ り,そ のz成
あ るか ら,合 成 角 運 動 量 のＪ=L+S=ｌ+sの 分 はMJ=1/2,−1/2の2通
態 を￨J,MJ,L,ML〉
大 きさ
り の 値 を も ち う る.し た
で 表 す こ と に す る と(MLはLのz成
分 の 固 有 値),
(1) の2通
りの 状 態 が 可 能 で あ る.ま
たMJ=ML+MSで
で は ス ピ ン が 上 向 き,￨1/2,−1/2,0,0〉 (ns)2の
あ る か ら,￨1/2,1/2,0,0〉
で は ス ピ ン が 下 向 き を 向 い て い る.
場 合 パ ウ リの 排 他 律 に よ り 同 一 状 態 に 二 つ 以 上 電 子 は 存 在 で き な い.
こ の こ と を 波 動 関 数 を 用 い て 表 す と,「2電 子 系 の 波 動 関 数Ψ(τ1,τ2） 初 は反 対 称 で な く て は な ら な い 」 と い う こ とで あ る.す れ ぞ れ の 波 動 関 数 をui(x)σi(i=1,2)と ピ ン状 態 α,β を 表 す.反
な わ ち,Ψ(τ1,τ2)=−Ψ(τ2,τ1）.電 表 そ う.ui(x)は
子 そ
座 標 依 存 の 部 分,σiは
対 称 性 を 満 足 す る 波 動 関 数 は 以 下 の4通
ス
り で あ る.
(2)
(3) さ て,問
題 で は 軌 道 角 運 動 量l1とl2は
りu=RnlymlΦm.い た が っ て,式(2)は
まnは
共 通 でl=0よ
恒 等 的 に0で
あ る.
と も に0だ りm=0.よ
か ら,u1(x)=u2(x)(問3.5よ っ てu1=u2=Rn0y00Φ0).し
式(3)の 状 態 の 全 角 運 動 量JとMJを
求 め よ う.
(4) よ り,
(5) す な わ ち,合
成 角 運 動 量 の 大 きさ はJ=0で
あ る.よ
っ て式(3)は
(6) 状 態 と して 表 さ れ る.た 補 l≦2の
だ し,φ0(x)=u1(x)=u2(x)で
と き,(nl)kの
左 の 欄 の 小 文 字 のs,p,dは
配 置 か ら で き る(L,S)状
あ る. 態 は 次 の よ う に な る.
個 々の 粒 子 の軌 道 角 運 動 量 を表 し,右 の欄 の 大 文
字 のS,P,…
な ど は 全 軌 道 角 運 動 量 を 表 す.た
の 角 運 動 量 を もつ 電 子1個 と 記 す.記
と え ば(np)1で
は,p軌
道(l=1)
の 系 の 全 軌 道 角 運 動 量 で あ る か らL=1,こ
れ を"P"
号 は こ れ も慣 例 に よ り
と定 め ら れ て い る.左 肩 の 数 字 は ス ペ ク トル 項 の 多 重 度 と 呼 ば れ る 数2S+1を 味 す る.全 2S+1で
角 運 動 量Jの あ る.さ
と り う る 値L+S,L+S−1,…,￨L−S￨の
ら に 右 下 にJの
0,S=1/2,J=1/2で
場 合 の数 が
値 を 記 す こ と も あ る.し
あ り,2P3/2はL=1,S=1/2,J=3/2で
意
た が っ て,2S1/2はL= あ る.
問 7.6 主 量 子 数 の異 な る二 つ のp軌 を 作 る.可
道 に電 子 を2個 入 れ,電 子 配 置(np)(n'p)
能 な 状 態 を 量 子 数L,ML,S,MSを
用 い て 分 類 せ よ,
方 針 ス レー ター 行 列 を用 い て 可 能 な 反 対 称 波 動 関 数 を作 る と (1) と な る.こ
こ でψiは
状 態iの
ス ピ ン と 軌 道 の 関 数 で あ り,τiは 粒 子 の 位 置 と ス ピ
ン 座 標 を ま とめ た も の で あ る.p軌 の 場 合 が あ る.ス
道 はl=1で
ピ ン 状 態 は αと βの2通
あ る か ら,ml=1,0,−1の3通
り あ る.し
り
た が っ て,
(2) の 各6通
りず つ の場 合 が あ る.φmlで(np)の 軌 道 波 動 関 数 を,χmlで(n'p)の 軌 道 波
動 関 数 を表 す.式(2)を
式(1)に そ れ ぞ れ代 入 して,36通
りの 反 対 称 波 動 関 数 が 得
られ る. 量 子 数 に よ る分 類 は 演 算 子L2とs2を
Ψ に作 用 す る こ とに よ って で き る.
解 簡 単 の た め に Ψ を￨ψ1,ψ2￨と 書 く こ と に し よ う.た
と え ば,￨φ1α,χ1β￨な ど
で あ る.
まず 量 子 数MLで
分 類 す る.ス ピ ン変 数 はLzに 依 存 しな い の で 省 略 し よ う.
(3)
と な る.各
項 で ス ピ ン は 独 立 に αか β を と り う る.そ
れ ぞ れ にL2を
作 用 させ る.
(4) を 用 い て,
(5) を 得 る.L2=ｈ2L(L+1)よ
り,￨φ1,χ1￨状 態 はL=2で
あ る こ と が わ か る.以 下 同 様
に
(6) そ の 他 は 対 称 性 m〓−m,φ〓xよ る.た
と え ば,式(6)の
第1式
り得 ら れ る.こ と そ の φ1をχ0にχ0を
れ か らL2の
固有 関数 を作
φ1に 入 れ か え た 式 は
(7) と行 列 表 現 で き る. これ を対 角 化 して
(8) を得 る. 式(8)の
第1式
はL=2の
状 態 で あ り,第2式
以 上 を す べ て の￨φm,χm'￨に
はL=1の
状 態 で あ る.
対 して 行 う と以 下 の よ う に ま と め る こ と が で き る.
(9)
こ れ で 全 軌 道 角 運 動 量 に よ る 分 類 が で き た.式(9)は
反対 称関数 の和 なのでや は り
反 対 称 関 数 で あ る. 次 に 全 ス ピ ン 角 運 動 量 に よ っ て 分 類 す る.や
り方 は 軌 道 角 運 動 量 の 場 合 と 同 じ
で あ る.{φ1,φ0,φ−1}を φmで,{χ1,χ0,χ−1}をχm'で
代 表 させ る.
(10)
そ れ ぞ れ にS2=(s1+s1)2=3h2/2+s1+s2-+s1-s2++2s1zs2zを 各 状 態 のSの
値 が 求 め ら れ る.結
局
作 用 さ せ る こ と に よ り,
(11)
を 得 る. 以 上 を ま と め よ う.式(9)と る.た
だ し 座 標r1とr2を
式(11)か
ら 直 積 を 作 る こ と に よ っ て,以
そ れ ぞ れ1と2で
下 の 表 を得
書 く こ と に す る.
(12)
(13) (14)
(15)
(16) 以 下 同様 に して
(17) 〓の α を β に お き か え た も の.
(18)
(19)
(20)
(21) 〓の α を β に お きか え た もの.
(22)
(23) の φ1を φ-1に,x1をx-1に
お きか え た もの.他
は同 じ
(24) (25) (26) (27) (28) (29) (30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
(37) (38)
(39) (40) (41) (42) (43)
(44)
(45) (46)
(47)
以 上 計36個.式(9)と
式(11)か ら直積 を作 っ たの で 当然 で は あ る が,式(12)∼
式
(47)の 波 動 関 数 はす べ て,(反 対 称 軌 道 波 動 関 数)×(対 称 ス ピン関 数)か(対 称 軌 道 波 動 関 数)×(反 対 称 ス ピ ン関 数)と して表 され て い る.も ち ろ ん,全 体 で 反 対 称 に な って い る. 問 7.7 電 子 配 置(np)2に
電 子 を 入 れ,可
能 な 状 態 を量 子 数L,ML,S,MSを
用
い て 分 類 せ よ. 方 針 前 問 の 結 果 を 用 い れ ば 簡 単 で あ る.前 間 の 結 果(問7.6の に お い て φm=χmと 解 φm=χmと
式(12)∼
式(47))
す れ ば よ い.
す る こ と に よ っ て 問7.6の
式(12)は
(1) とな り,￨L, ML, S, MS〉=￨12211>で
あ る この 状 態 は 存 在 しな い.同 様 に36個
の 式 す べ て に対 して 考 察 す る と,L=2とL=0の
場 合は 軌 道 波 動 関 数 が反 対 称 の
状 態 は す べ て存 在 しな い こ とが わ か る.す な わ ち ス ピ ン関 数 が反 対 称 とな っ て い るS=0の
状 態 の み が 存 在 し得 る.一 方L=1の
で ス ピ ン波 動 関 数 が 対 称 で あ るS=1の
場 合 は逆 に軌 道 波 動 関 数 が 反 対 称
状 態 の み が 存 在 し う る.結 局
(2)
の 計15個
の 状 態 が 存 在 す る.た
と え ば｜2200〉 は 問7.6の
式(15)よ
り
(3) と な り,0と
は な ら な い.規
格 化 を して
(4) を 得 る.他
も同 様 で あ る.
章
8 第
場の量子論の初歩
現 代 量 子 力学 は場 の量 子 論 抜 きに は 語 れ な い.場
とは 電 磁 場 や 電 子 場 な どの 場
で あ る.こ の 章 で は 電磁 場 の 量 子 化 を考 え る. 電磁 場 はマ ッ ク ス ウ ェル の 方 程 式 に 従 う.真 空 中の 場 合 光 速 をCと
(Cgs単 ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ルAと
して
位 系)
(8.1)
ス カ ラ ー ポ テ ン シ ャ ル φ を 使 っ て,電
場 と磁 場 は
(8.2) と表 せ る.以
下 で は ク ー ロ ン ゲ ー ジ(φ=0と
(8.1)と 式(8.2)よ
す る)を
と る こ と に す る.Aは
式
り
(8.3) と い う 方 程 式 に 従 う. こ の ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ルAを
フ ー リエ 展 開 し よ う.
(8.4) こ こ でeλkは 電 磁 場 の 偏 り を 表 す 単 位 ベ ク トル で あ り,電 磁 場 の 進 行 方 向kに
対 し
垂 直 な 向 き を もつ よ う に と る(図8.1).Vは
の よ
う に 展 開 す る とbkλ
い ま 考 え て い る 空 間 の 体 積.上
とb*kλ は 無 次 元 の 量 と な っ て い る.式(8.4)を
式(8.3)に
代 入す
kの 関 係.ek3〓kと
ek2 図8.1 ek1, ,ek3,
す る.
る と
(8.5) (8.6) を 得 る.式(8.6)はekλ
の 定 義 よ り満 た さ れ て お り,電
磁 場 に縦 波 成 分 が な い こ と
を 示 して い る. 式(8.4)を
使 っ てEとHを
表 して み よ う.式(8.2)に
式(8.4)を
代 入 して
(8.7)
(8.8) とな る.電 磁 気 学 に よ り,電 磁 場 の エ ネル ギ ーUは
で 与 え ら れ る か ら,式(8.7)と
式(8.8)を
代 入 し式(8.5)と
式(8.6)の
関 係 を用 い て
ま とめ る と
(8.9)
を得 る. さて,こ
こ ま で は 古 典 論 で あ る.量 子 力 学 へ 移 行 しよ う.以 下 で は,古 典 論 と
区 別 す る ため にbkλ をakλ,b*kλをa+kλと書 くこ とに す る.第1章 続 き と して 運 動 量P→ih∇,エ た.こ
ネ ル ギ ーE→〓
で は量 子 化 の 手
とお き か え る こ とを説明 し
こで は別 のや り方 を示 す,
ま ず ベ ル トル ポ テ ン シ ャルA(r,t)に
つ い て ハ イ ゼ ンベ ル グ の 運 動 方 程 式 を 要 請
す る.
(8.10) ハ ミル トニ ア ンHは
い ま 式(8 .9)で 与 え ら れ て い る エ ネ ル ギ ーUで
が 成 立 す る よ う にakλ
あ る.こ の 式
とa+kλ(bkλ とb*kλ)を 演 算 子 と して 見 な し,そ れ ら の 間 の 交
換 関 係 を 見 出 し て み よ う.式(8.10)の
右 辺 と 左 辺 は そ れ ぞ れ 以 下 の よ う に な る.
(8.11) この 二 つ の 式 が 等 しい た め の 十 分 条 件 と して
(8.12) が 成 立 し て い れ ば よ い.こ っ た[x,p]=ih碗
に 相 当 して い る.た だ し 式(8.12)は
要 条 件 で は な い.事 式(8.12)を
れ は ボ ー ズ 粒 子 の 交 換 関 係 で あ り,こ
実,他
れ が 第1章
で行
あ くま で 十 分 条 件 で あ り,必
の と り 方 も あ る.
使 っ て 式(8.9)を
書 き 直 そ う.
(8.13)
こ れ は 問2.12で よ う に,調
扱 っ た 調 和 振 動 子 の エ ネ ル ギ ー に ほ か な ら な い.そ こ で も述 べ た
和 振 動 子 は エ ネ ル ギ ーhωkを
電 磁 場 の 場 合 の こ の 粒 子 を 光 子(フ り λ1の 光 子 がn1個,波
数k2で
も つ 粒 子 と し て1個2個
ォ ト ン(photon))と
偏 り λ2の 光 子 がn2個
い う.さ
と 数 え ら れ る. ら に,波
数k1で
偏
な ど 存 在 す る 状 態(場 の 状 態)
は
(8.14) と表 す こ とが で き る.Φ0は 光 子 が な い(電 磁 場 の な い真 空)状 態 を示 して い る.ま た (8.15) が 成 立 す るの で,a+kλakλ は波kで と も問2.11と
偏 り λ の 光 子 の 数nkλ を表 す 演 算 子 で あ る こ
同 様 に して理 解 で き る.
問 8.1 電 磁 気 学 で はE×Hを ー の 流 れ を表 して い る
.こ
ポ イ ン テ ィ ン グ ベ ク トル と 呼 び,放
射 エネル ギ
れ を使 っ て
(1) に よ り定 義 さ れ るGを
電 磁 場 の 運 動 量 と い う.こ の 運 動 量Gが
式(8.13)のakλ
と
a+k λを使 っ て
(2) と表 され る こ と を示 せ.こ れ は波kで
偏 り λ を もつ 光 子 は運 動 量hkを
もって い
る こ と を示 して い る. 方 針 ク ー ロ ン ゲ ー ジ の も と で,電 式(1)に
代 入 す れ ば よ い.ま
場Eと
磁 場Hをa+kλ
たa+kλ とakλ は 交 換 関 係 式(8.12)を
とakλ を 使 っ て 表 し, 満 た して い る こ と
に 注 意 せ よ. 解 ク ー ロ ン ゲ ー ジ の も と で,電 れ る.た
だ しb→aへ
場 と磁 場 は そ れ ぞ れ 式(8.6)と
と お き か え る.こ
れ ら を代 入 し て
式(8.8)で
表 さ
を 得 る.さ
ら に ベ ク トル の 公 式(付 録B2.2)よ
り
を用 い る と
を 得 る.akλa−kλ
とa+kλa+−kλ の 項 はkに
で 打 ち 消 し合 う.1/2の
つ い て の 和 を と る と,kの
項 も同 様 で あ る.ま
正 と負 の 部 分
た 交 換 関 係 式(8.12)を
考 慮 し て い る.
問 8.2 電磁 場 中 の 電 子 の 運 動 につ い て考 え る.電 磁 場 の ハ ミル トニ ア ンHphは 式(8.13)よ
り
(1) で 与 え ら れ て い る.電
磁 場 中 の 電 子 の ハ ミ ル トニ ア ンHeは
式(1.8)
(2) で あ っ た.し
た が っ て,全
系 の ハ ミル トニ ア ン は 式(1)と
式(2)の
和
(3) で あ る.電
子 だ け の ハ ミル トニ ア ン をH0eと
の と き 電 磁 場 と電 子 の 相 互 作 用H'を
し てH=H0e+Hph+H'と
す る.こ
求 め よ.
方 針 電 子 だ けの ハ ミル トニ ア ンH0eは
(4)
で あ るか ら,相 互 作 用 部 分H'は
(5) で あ る.こ れ に ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ルA(rj,t)の
フ ー リエ 展 開(式(8.4))を
代 入す
れ ば よ い. 解 式(5)を
展 開 す る.
(6) ク ー ロ ン ゲ ー ジ の も と で はdivA=0で
あ る か らPj・A=A・Pjが
成 立 す る.よ っ て
(7) を 得 る.式(7)の
第1項
をH(1),第2項
式(7)にA(rj,t)(式(8.4))を
目 をH(2)と
代 入 す る(bをaに
す る. お き か え る)と,
(8)
(9) と な る. 電 子 系 の 状 態 をuα(r1,r2,…,rN)で
表 す こ と に し よ う.添 え 字 α で 状 態 を 区 別 す
る.uα は 電 磁 場 が な い と き のH0eの
固 有 関 数 で あ る.全 系 の 状 態 はuα と 電 磁 場 の
状 態Φ(n1,n2,…)(式(8.14))で
表 さ れ る.以
下 の 量 を 計 算 して み る.
(10) こ こ で のΦm=Φ(m1,m2,…)と
略 記 し た .さ
て 式(10)の
うち
(11) の項 は,電 子 系 が波 数kで
偏 り λ の 光 子 を1個 放 出 しuα状 態 か らuβ状 態へ と遷 移
す る過 程 を表 して い る.同 様 に
(12) の項 は 光 子 を1個 吸 収 す る過 程 で あ る.そ の 他,
(13) が 現 れ るが,こ
れ ら は2個 の 光 子 が 関 与 す る過 程 を表 して い る.
補 電 子 の 波 動 関 数u(r1,…,rN)を
フ ー リエ 展 開 し よ う.
(14) こ れ を 式(10)に
代 入 す る.た
と え ば,式(10)の
第1項
の
(15) の部分 は 式(15)
(16) と 表 さ れ る.式(15)に
対 応 す る 式(10)の
電磁 場 の 項 は
(17) で あ る.式(16)と
式(17)を 合 わせ て 考 え る.式(10)の
Φnuα が運 動 量hKを
も っ て い た とす る と,式(17)で 表 され る よ う に運 動 量hkの
光 子 を吸 収 し,運 動 量h(K+k)の
終 状 態Φmuβ へ 遷 移 した こ と を表 して い る.こ
れ を図 で表 現 した もの をフ ァ イ マ ン(Feynman)グ 子 が 関 与 す る過 程 を示 す.a)が あ る.2個
こ の項 は,始 め の 系 の 状 態
運 動 量hkの
ラ フ とい う.図8.2に1個
光 子 の 吸 収 過 程 で,b)が
放 出過程 で
以上 の 光 子 の 関 与 した 過程 も同様 に表 す こ とが で き る.
(a) 図8.2
フ ァ イ ン マ ン グ ラ フ.実 線 は 電 子,破
の光
(b) 線 は 光 子 を意 味 す る.
9
第
相対論 的量子 力学
相 対 論 に よれ ば 自由粒 子 の エ ネル ギ ー と運 動 量pと
の間 に
(9.1) とい う関 係 が あ る.cは 光 の速 度 で あ る.粒 子 が この 速 度 を無 視 で き な い くら い速 く運 動 して い る と きに は,量 子 力 学 も式(9.1)か ら 出発 しな け れ ば な らな い.量 子 力学 へ の 移 行 は,非 相 対 論 的 量 子 力学 で 行 っ た よ う に(第1章) (9.2) と お き か え る こ と で 達 成 さ れ る.そ
の 結 果,
(9.3) を 得 る.こ れ は ク ラ イ ン-ゴ ル ドン(Klein‐Gordon)の レ ー デ ィ ン ガ ー 方 程 式 で は 時 間 の1階 た が,ク り,そ
方 程 式 と呼 ば れ て い る.シ ュ 間 の2階
微 分 が 対 応 して い
ラ イ ン-ゴ ル ド ン 方 程 式 で は 時 間 と 空 間 は と も に2階
の 微 分 とな っ て お
の 結 果 式(9.3)は,ロ
微 分 に 対 し,空
ー レ ン ツ(Lorentz)変
換 に 対 して 不 変 で あ る と い う 相
対 論 の 要 請 を 満 た して い る.ク ラ イ ン-ゴ ル ド ン の 方 程 式 は ス ピ ン0の
粒子 の式 と
し て 議 論 さ れ て い る. こ れ に 対 し て デ ィ ラ ッ ク(Dirac)は,時 方 程 式(デ
間 に 対 して も空 間 に 対 して も1階
微分 の
ィ ラ ッ ク 方 程 式)を 考 え た.
(9.4)
章
た だ し,左
辺 は エ ネ ル ギ ー に 対 応 し て い る の で,
(9.5) が 成 立 す る よ う に α と β を 決 め な け れ ば な ら な い.こ 電 子 が 中 心 力 場U(r)の トニ ア ン は,式(9.4)に
れ が 問9.2で
中 で 運 動 して い る 場 合 を 考 え よ う.こ ポ テ ン シ ャ ル 場U(r)を
あ る.
の と き の ハ ミル
加 え
(9.6) で 与 え ら れ る.こ の と き,合 成 運 動 量j=l+sは (問9.2参
照).lは
軌 道 角 運 動 量 で あ り,sは
論 的 な 量 子 力 学 で は,[HNR,l]=0(こ 思 い だ そ う.ハ
ハ ミル トニ ア ンHと
方程式ih〓=[HNR,l]で
粒 子 の も つ 角 運 動 量 で あ る.非 相 対
のHNRは
ミル トニ ア ンHNRと
問4.15のH)で
あ ったこ とを
可 換 で あ る と い う こ と は,ハ
右 辺=0と
可 換 とな る
い う こ と で あ る.つ
イ ゼ ン ベ ル グ の運動
ま り軌道 角運動 量
lは 時 間 に 依 存 し な い 定 常 な 値 を と る.そ し て こ れ は 原 子 が 安 定 に 存 在 し て い る と い う 実 験 事 実 と 符 号 す る.と
こ ろ が 相 対 論 的 に 取 り扱 う と,[H,l]≠0と
成 角 運 動 量 と は 可 換 と な り,[H,j]=0で
あ る(問9.3参
照).こ
な る が合
う して ス ピ ン の存
在 を 考 慮 す る と 実 験 が う ま く 説 明 で き る.
問9.3の
補 にお い て,デ ィラ ッ ク方 程 式 か らス ピ ン-軌 道 相 互 作 用 を導 く.こ の
相 互 作 用 は 問5.9で
異 常 ゼ ー マ ン効 果 を 引 き起 こ した もの で あ っ た.
相 対 論 的 な取 り扱 い の 例 と して 水 素 原 子 の ス ペ ク トル の微 細 構 造 が あ る.シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式(問3.5)で し,方位 量 子 数lと 磁 気 量 子 数mに い て縮 退 して い た.し
は,エ
ネル ギ ー レベ ル は 主 量 子数nに
の み依存
は無 関係 で あ っ た.い い か え る とlとmに
つ
か しデ ィ ラ ッ ク方 程 式 を用 い て水 素 原 子 を取 り扱 う と,ス
ピ ン-軌 道相 互 作 用 に よ りこの 縮 退 が 解 け,ス ペ ク トル の微 細 な構 造 がlとmに
も
よ る と い う事 実 が 説 明 で き る. 補
ロ ー レ ン ツ(Lorentz)変
換
二 つ の 座 標 系A(x,y,z,t)とB(x',y',z',t')が 速 度 をx方
向 にu(一
定)で
あ る と し,A系
あ る.A系 の 原 点OとB系
に 対 す るB系 の 原 点O'が
の相対 一 致 した
図9.1 等速 運 動 をす る二 つの 座標 系 と き二 つ の 系 の 時 刻 を あ わ せ,t=t'=0に に お き た 出 来 事 をA系
で は(x,y,z,t)とB系
る.Pのx軸
へ の(x'軸
も 同 じ)射 影 をQと
でO'Q=x'で
あ る.ニ
選 ぶ.い
ま 図9.1の
点Pで,あ
では(x',y',z',t')と す る.す な わ ちA系
ュ ー ト ン の 力 学 で は,時
る時 刻
記 録 した とす でOQ=x,B系
間はすべての座標 系で共 通 に とる
の で
(9.7) で あ る.い
ま時 間 は す べ て の 座 標 で 共 通 に と る(t=t')と
わ りに 光 速 不 変 の 原 理*を 採 用 してx,y,z,tとx',y',z',の間
い う 立 場 を 捨 て,そ
の代
の 変 換 法 則(ロ ー レ
ン ツ 変 換)を 求 め よ う. ま ず,A系
とB系
は 互 い に 等 速 直 線 運 動 な して い る か ら,変 換 は1次
け れ ば な ら な い.A系
か らB系
変換 でな
を 観 測 す る と し よ う.
の 条件 を満 た す た め に (9.8) とお く.逆 にB系
か らA系
を観 測 す る と,AはBに
対 して −uで 等 速 運 動 して
い るか ら
(9.9) *
どの 座 標 系 で も光 の 速 度cは
同 じ値 で あ る とい う こ と.こ
れ よ り式(9.10)が
成 立 つ.
t=t=0にO=O'か
ら 出 た 光 が 速 度cでQに
到 達 して い る の で
(9.10) で あ る. 式(9.8)∼
式(9.10)か
らxとx'を
消 去 す る こ とに よ り
(9.11) を 得 る.し
た が っ て,式(9.8)は
(9.12) と 表 さ れ る.こ
の 結 果 に 式(9 .10)を 合 わ せ て
(9.13) を 得 る.y方
向,z方
向 は 運 動 に関 係 な い か ら (9.14)
式(9.12)∼
式(9.14)を
ま とめ て
(9.15)
と表 せ る.こ
の 変 換 を ロ ー レ ン ツ 変 換 と い う.逆
変換 は
(9.16)
と な る.
〓 と す れ ば,〓
と な る の で,式(9.15)は
(9.17)
と も表 さ れ る.
(9.18) と い う 量 を 定 義 し よ う.こ
の 量 は 式(9.16)を
用 い てx'で
表 す と
(9.19) と な り,こ
の ロ ー レ ン ツ 変 換 に 対 し不 変 量 と な っ て い る.
そ の 成 分A1,A2,A3,A0が
ロ ー レ ン ツ 変 換 に 際 し てx1,x2,x3,x0(x,y,z,ct)と
じ 変 換 則 に 従 う ベ ク ト ル を ミ ン コ フ ス キ ー(Minkowski)空 う.二
つ の4元
間 の4元
同
ベ ク ト ル(A1,A2,A3,A0)と(B1,B2,B3,B0)が
ベ ク トル と い
あ る と き
(9.20) が 不 変 量 で あ る.こ
れ を ミ ン コ フ ス キ ー 空 間 の ス カ ラ ー 積 と い う.
ミ ン コ フ ス キ ー 空 間 に お け る 関 数Fの
微分〓は4元
(dx1,dx2,dx3,dx0)と (〓
ベ ク トル
)の ス カ ラ ー積 と な る.す な わ ち (9.21)
を4元
ベ ク トル の 成 分 と考 え る こ と が で き る.こ
れ に −ihを
か けて
(9.22) が 一 つ の4元
ベ ク トル と な る.し
た が っ て,
(9.23) が ロ ー レ ン ツ 変 換 に お け る 不 変 量 で あ る.こ
れ を −m2c4と
お いて
(9.24)
を 得 る.mc2は
運 動 量 が0の
と き の エ ネ ル ギ ー で, mは
静 止 質 量 で あ る.
問 9.1 座 標 系x'y'z'が 座 標 系xyzに き,ロ ー レ ン ツ 変 換 はx4=ix0=ictと
対 して 速 度uでx方
向 に相 対 運 動 す る と
す る とx1,x2,x3,x4の4次
元 空 間 の虚 の 回 転
と な る こ と を 示 せ. 解 x0=ctと
す る 上 述 の ロ ー レ ン ツ 変 換 は 式(9.17)よ
り
(1) で 与 え ら れ る.こ
こに
(2) で あ る.ix0=x4と
お く と
(3) と な り,η=iφ
と お く とcoshη=cosφ,sinhη=isinφ
とな るか ら
(4) こ れ はx1,x4平
面 の 角 φ の 回 転 で あ る.
問 9.2 デ ィ ラ ッ ク 方 程 式(9.4)よ と β と を 定 め よ.た 方 針 式(9.5)よ
り式(9.5)が
だ し,αx,αy,αz,β
導 か れ る よ う に,α=(αx,αy,αz)
は そ れ ぞ れ4行4列
の 行 列 と す る.
り
(1) 式(1)がm2c4+c2p2に
等 し い た め に はk,l=x,y,zと
して
ⅱ)
(2) (3) (4) で な け れ ば な ら な い.以
下 の よ う に{α,β}を
と れ ば,式(2)∼
式(4)を
満 た して い
る こ と を確 か め る. ⅰ)
(5)
または (6)
または ⅲ)
(7)
た だ し,こ
こ で σxな ど は2行2列
の パ ウ リ 行 列 で あ り,1は2行2列
の単位行列
で あ る. 解 ⅰ)に
つ い て 調 べ て み よ う.ま
明 ら か に 満 た さ れ て い る.式(3)に
ず,式(2)は
σx2=σy2=σz2=1で
あ る か ら,
つ いては
(8) よ っ て 満 た さ れ て い る.こ は{z,x,y}と 式(4)に
こ でk≠1で
あ り{k,a,m}={x,y,z},{y,z,x},ま
た
巡 回 的 に と る. つ い て.
(9) よ っ て こ れ も満 た さ れ て い る.よ
っ て 条 件(式(2)∼
式(4))は
す べ て満 た され て い
る. ⅱ ),ⅲ)に
つ い て も 同 様 に 調 べ ら れ る.一
般 に はⅰ)が
注 ハ ミル トニ ア ン が αx,αy,αz,β と い う4行4列 こ れ が 作 用 す るΨ(r,t)が
よ く使 わ れ て い る.
の 行 列 を 含 む と い う こ と は,
単 な る一 つ の ス カ ラー 関 数 で は な くて
(10)
とい う形 の行 列 で あ るこ と を意 味 す る. ⅰ )を
あ らわ に 書 き下 す と
(11)
で あ る. 補
式(11)のαx,αy,αzを
α1,α2,α3と
書 き,
(12) で デ ィ ラ ッ ク の γ 行 列 を 定 義 す る.こ
の とき
1は4次 元 単 位 行 列 (13) が 成 り立 つ.γ
行 列 を用 い る とデ ィラ ッ ク方 程 式 は
(14) の形 に 書 くこ とが で き る. 問 9.3 中 心 力 場 中 の デ ィ ラ ッ ク 電 子 の ハ ミル トニ ア ン は
(1) で 与 え られ る.次 の よ う に σ(4)行列 を議
した と き,Hとl+h/2σ(4)は
可換 であ
る こ と を示 せ.
(2) (σkはパ ウ リ行 列) 方 針 H=H0+U(r)と わ か っ て い る.ま
お く.問4.15に た当然[U(r),σ(4)]=0で
お い て,[U(r),l]=0で あ る.よ
あ る こ とが
っ て 残 りの部分[H0,l+h/2σ(4)]
を 調 べ れ ば よ い.
解 x成
分 につ い て 調 べ る.
(3) を使 っ て 書 き下 す.
(4) よ っ て[H0,lx]≠0で
あ る.σx(4)に
つ い て は
(5) こ こ で 問9.2のⅰ)で
定 義 し たαx,αy,αzを
用 い,ま
た 式(2)を
用 いて
(6) な ど を得 る.他 の 項 も同 様 に計 算 で き る.よ っ て
(7) を 得 る.こ
こ で も[H0,σx(4)]≠0で
しか し な が ら,式(4)と(7)を
あ る.
合 わせ る と
(8) と な る.y,z成
分 に つ い て も 同 じ 結 果 を 得 る.
式(2)で
さ れ た σ(4)を 使えば,ス
る.す
議
な わ ち,合
成 角 運 動 量j=l+sは
ピ ンsがs=h/2σ(4)と
し て 関 係づげ
ハ ミル トニ ア ンHと
可 換 で あ る.
られ
注 非 相 対 論 的 な 場 合 に は,軌 道 角 運 動 量l自 体 が ハ ミル トニ ア ン と可 換 で あ っ た(問4.15)こ
と を 思 い 出 そ う.
補 光 速cが
十 分 大 き い と して,デ ィ ラ ック 方程 式 か らス ピ ン-軌 道 相 互 作 用 を
導 い て み よ う.ポ テ ン シ ャ ル は 中 心 力U(r)と の 行 列 の 式 で あ る か ら,具
体 的 に は 式(1)よ
す る.デ ィ ラ ッ ク 方 程 式 は4行4列 り
(9)
と書 け る.こ
れか ら
(10) を導 入 し,2行2列
の パ ウ リ行 列σ を使 っ て 表 す と
(11)
(11.2) と書 け る.よ
って
(12) で あ る か ら,χ を消 去 した 方程 式 (13) を 得 る. エ ネ ル ギ ー をE=mc2+E'と ≫
E'で
書 こ う .光 速cが
十 分 大 き い と した 近 似 で はmc2
あ る か ら,
(14) と展 開 して 式(13)に
代 入 す る.
(15) こ こ で演 算 子AとB(非
可 換 で よ い)の 間 の 公 式*
(16) を使 う と
(17) よ っ て 式(15)は
(18) と な る.
い まポ テ ン シ ャルUは
中心 力 な の で
(19) を使 っ て
(20) を 得 る.も
う 一 度 公 式(16)よ
り
(21) を 代 入 す る と,式(20)第3項
は
(22) と な る.
(23) を代 入 して ま とめ る と最 終 的 に
(24) を 得 る. 式(24)に る.1/c2の 用 で あ る.
お い てc→∞
と す れ ば,非 相 対 論 的 な シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 方 程 式 と な
項 が 相 対 論 的 補 正 項 を 表 し て い る.最 後 の 項(s・l） が ス ピ ン-軌 道 相 互 作
録
付
数 学 的 補 遺
問 付.1
δΔ(x)を
(1) に よ り定 義 され た 関 数 とす る と き
(2) で あ る.こ
の と き"お
と な し い"関
数f(x)に
対 して
(3) (4) が 成 り立 つ す る こ とを 証 明 せ よ.
解 に お い てf(x)をaの
ま わ りで テ ー ラ ー 展 開 を 行 う と
(5) こ こ
で
を用いて
A
(6) と な る か らlimΔ→0を と り式(3)を
得 る.式(4)に
つ いては部分積分 によ り
(7) と な る.式(7)の
第1項
は 消 え る.第2項
に 式(3)を
用 い てlimΔ→0の 極 限を とる と
を得 る. 注1
証 明 の 過 程 よ り明 らか な よ うに,f(x)と
して はebx4やebx3の
よ う に￨x￨→ ∞
で ∞ に な る 関 数 に 対 して は 適 用 さ れ な い. 関 数f(x)に 作 用 す る超 関数 の 意 味 で,dxを
積 分記 号の直後 に置い て
(8) と書 く こ と が あ る.こ
れは
(8') の 意 味 で あ る.δ(x−a)を
δ 関 数 と い う.
注2 δ関 数 を
(9) を満 た す 関数 と して 定 義 す る こ とが広 く行 わ れ て い る が,こ の 定 義 は,リ (Riemann)積
ーマ ン
分 の 定 義 と 矛 盾 す る.
注3 次 の 関数 を定 義 す る. (9')
(10) とす れ ば
(11) (12) が 成 り立 つ.式(12)を
(13) と略 記 す る.θ(x)を
階 段 関 数(ス テ ッ プ フ ァ ン ク シ ョ ン)と い う.
注4 δΔ(x)の 代 りに
(14) を用 い,超 関 数
に よ っ て〓dxδ(x)を定義
し て もよい.
補 δ 関数 に 関 す る公 式 を あ げ て お く.た だ し δ関 数 の 微 分 は,δ 関 数 自体 が そ うで あ る よ うに 積 分 の 中 で の み意 味 を もつ.
(15)
h(t)=0の
根 が す べ て 単根 で あ り,そ のi番
目の 根 をtiと す る と き
(16) 座 標 変 換:直
交 座 標(x,y,z)に
対 して δ(r−r')は
(17) に よ り定 義 さ れ,円
筒 座 標(r,θ,z)に
対 して は
(18)
と,球
座 標(r,θ,φ)に
対 して は
(19) と 変 換 さ れ る.
問 付.2 f(z)が 複 素 上 半 面(Rez≧0)で K〓(α
＞0,Kは
極 を もた ず,上 半 面 の 無 限 遠 で￨f(z)￨〓
定 数)で あ る よ うな 正則関数 とす る.ε を 正 の 無 限 小 と し た と
き
(1) が 成 り立 つ こ と を示 せ.た
だ し,Pは
積 分 の 主値 を意 味 し,
で 定 義 さ れ る.式(1)を (2) と 書 く.
解
付 図1 式(3)の 積 分路.
(3) を 考 え る.被 ゆ え に,[−R,−
積 分 関 数 は1次 ρ],原
の 極z=iε
を も ち,そ
の 他 に 特 異 点 は な い.
点 を 中 心 と し た 半 径 ρ の 下 半 円,[ρ,R],原
点 を中 心 と
した半 径Rの
上 半 円 よ りな る閉 曲 線 をCと
半 径 ρ の 小 円上 でz=ρeiψ,半 径Rの
して 式(3)の 積 分 の 値 を考 え る.
大 円 上 でz=Reiθ と お く と
式(3)=
(5)
式(5)の
右 辺 第3項
の 絶 対 値 は ε →0の
とき
(6) と な る.し 式(5)の
た が っ て,R→ 右 辺 第2項
∞ で 消 え る.
は
(7) 式(5)の
右 辺 第1項
は ε →0,ρ
→0,R→
∞ で
(8) を 与 え る. ゆ えに
(9) す な わ ち,式(1)が 注1
成 り立 つ.
同 様 に して
(10) が 成 立 つ. 注2
(11)
を 定 義 す る と,式(2)と
式(10)を
用 いて
(12) と な る.
問 付.3
プ ラ シ ア ン(Laplacian)
(1) を 極 座 標(r,θ,φ)で
表 せ.
方針 直交座標 を極座 標で表 す と (2) で あ る が,こ
れ を
(3) と
(4) の2段
に分 け,円 座 標 と直 交 座 標 の 間 の 変 換 と して見 る.
解 式(4)の 逆 変 換 は
(5) で あ る.ま ず ∂2/∂x2+∂2/∂y2を 式(4)の
円 座 標(ρ,φ)に 変 換 す る.適 当 な 関 数fに
対 して
変 換 に よ り ∂f/∂xは
(6) と な る.以
下
な ど と略 記 す る.す な わ ち,式(6)は
(7) と書 か れ る.そ の 他 の 変 数 に よ る微 分 は
(8) ゆえに
(9) と な る.式(5)よ
り ρxど
を求 め て
(10) 式(9)に
代 入 す れ ば よ い.こ
こ で 式(10)か
ら
(11) が 成 立 す る こ とを 用 い て,
す なわ ち
(12) を 得 る. 次 に 式(4)の
変 換 を 行 う.式(12)の
変換 において
x→z,y→
ρ,ρ
→r,φ
→
とお きか えれ ば よい の で
(13) と な る こ とが わ か る. 式(12)と
式(13)を
加 えて
θ
(14) 式(3)よ り ρ で の 偏 微 分 をrと
θに つ い ての 偏 微 分 で表 す と
(15) と な る.こ
れ を 式(14)に
代 入 して
(16)
(17) を 得 る.
注 この 方法 は2段 に 分 け ず に1回 で 行 う方法 に く らべ て 簡 単 で あ る.
問 付.4Hを
ハ ミル トニ ア ン,Eを
エ ネ ル ギ ー と す る と き,
(1) を グ リ ー ン(Green)関 こ と を 示 せ.ε
解 Hの
数 と い う.〓G(E−iε)の
虚部 の対角和 は状態密度 を与 える
は 正 の 微 小 量 で あ る.
固有 値 をEk,固
有 関 数 を￨k>と す る.
(2) よ り
(3) と な る か ら,公
式(問 付.2の
式(2))
(4) を用 い て
(5) 式(5)の
右 辺 をE1か
態 の 数 を 与 え る.よ
らE1+dE1ま
で 積 分 す れ ばE1とE1+dE1と
の 間 にお け る固 有 状
っ て 題 意 が 証 明 さ れ た.
注 グ リー ン関 数 に は 種 々 の 定 義 の もの が あ る.
問 付.5 A,Bを
非 可 接 の 演 算 子 とす る と き,リ
ー(Lie)の
公式
(1) を 証 明 せ よ(問4.6の A×B=[A,B]で
式(2)の
別 証).
定 義 さ れ る 演 算 子"×"(バ
ッ テ ン と読 む)を 用 い れ ば,式(1)は
(2) と書 く こ と が で き る. 解 式(1)の
左 辺 はeλAを 展 開 し て
(3) す な わ ち,
(4) を証 明 す れ ば よ い.式(4)はl=0で
正 し い.あ
るlで
式(4)が
成 立 す る とす る と
l+1に 対 し て は
(5) を用 い て
(6) と な り,成
立 す る.ゆ
え に 数 学 的 帰 納 法 に よ り式(4)は
常 に 成 り立 つ .
注 式(2)は さ ら に形 式 的 に
(7) と 書 け る.
問 付.6 次 の微 分 方程 式
(1) を 非 線 形 シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー 方 程 式 と い う.式(1)は こ と で 知 ら れ て い る.式(1)の1−
方 針 φ が 波 動 部 分exp[i(kx−
ソ リ ト ン解(注 参 照)を 有 す る
ソ リ ト ン 解 を 求 め よ.
ωt)]と 包 絡 線 部 分f(x,t)の
積
(2) で 表 せ る と お き,fを 解 式(2)よ
解 く.
り
(3) (4) (5) 式(2)∼
式(5)を
式(1)に
入 れ,ei(kx− ωt)の係 数 よ りfの
み た す べ き方程 式
(6) を 得 る.式(6)の
実 部 お よ び 虚 部 を 別 々 に0と
お く.虚
部 よ り
(7) す な わ ち,fはz≡x−2ktの
関 数 で あ るか ら これ を
(8) と お く.実
部 よ り
(9) さらに
(10) とお くと
(11) で あ るか らhの 満 た す 方 程 式 は,
(12) と な る.さ
て
(13) とお くと
(14) で あ るか らTの
関 数 は微 分,和,積
の演 算 に対 して 閉 じて い る.
(15) と お く.aとkを
任 意 定 数 と し て ω とbを
求 め る.
(16) (17) で あ る. 式(15),(16),(17)を
式(12)に
代 入 し て,
(18) を 得 る.こ
〓で割 って
れ を
(19) と な る.T0,T2の
係 数 を0と
おい て
(20) (21)
が 成 立 す る.
〓で あ る か ら
(22) とな る.式(22)は
式(1)の 一 つ の 特解 で あ り,包 絡 線sech{(〓}を
2kで 進 行 して い る局 在 した 孤 立 波 す な わ ち1− ソ リ トン解 を表 す.
付 図2 ソ リ トン の衝 突
も ち速 度
補 空 間 的 に 局在 した波 が,形 や 速 度 な ど の そ の 性 質 を変 え る こ とな く伝 搬 し, 互 い の 衝 突 に 対 して 安 定 で お の お の の 個 性 を 保 つ と き,こ ソ リ ト ン(soliton)と
い う(付 図2).1834年
の よ う な非 線 形 波 動 を
ラ ッ セ ル(Russell)が
馬 上 よ り運 河 を 伝 搬
す る 孤 立 波 を観 測 した とい う報 告 が あ る.こ れ は コ ル トべ ー ク-ド ・フ リー ス(Kortveg de Vries)の
方 程 式(略 し てKdV方
を解 くこ とに よ り確 認 さ れ た.こ
程 式)と い わ れ る 方 程 式
こ で は 孤 立 波 の 解 析 的 な特 解 が 初 等 的 に得 られ
る例 と して,非 線 形 シ ュ レ ー デ ィ ンガ ー の 方 程 式 を と りあ げ た.式(1)の 特 解 に は 付 図2の
よ う な 二 つ の 孤 立 波 が衝 突 す る解 も存 在 す る.こ れ を2-ソ リ トンの 解 と
い う.一 つ だ け 弧 立 派 の 存 在 す る解 を1-ソ リ トンの 解 とい う.
問 付.7 し,原
付 図3の
点 をOと
極 座 標 表 示 に お い て,2点
す る.角AOBの
付 図3
をA=(1,θ,φ),B=(1,θ',φ')と
な す 角 を γ と す る.こ
γ,θ,θ',φ,φ'の
関係
の とき
1)
2)
(1) (2)
解
1)
を示 せ(問5.6の
式(1")). と す る. 3角 法 の 余 弦 公 式
を 用 い る.a=1,b=1で
あ る.ベ
ク トルOAをx軸
に 射 影 し た 長 さ を(OA)xと
す る.
(3) ゆえに
(4) 2) 球 面 調 和 関 数Ylmを 用 い て 式(1)を 表 す.
(5) よ り,式(1)は
(6) と 書 き な お さ れ る.こ
の 式 を 証 明 す る.
Ylm(θ,φ)を(θ',φ')座
標 か ら見 る と
(7) と展 開 で き る.た だ し,ψ は(θ,φ)座 標 と(θ',φ')座標 の 適 当 な 回 転 に よ っ て0と れ る.式(7)よ
り γ=0の
と き(θ=θ',φ=φ')
さ
(8) が 成 り立 つ.こ
こ でPl(1)=1,Plm(1)=0(m≠0)を
式(7)にYl0*(γ,ψ)を
用 い た.
か け て 全 立 体 角 で 積 分 す る.
(9) これ は ま たsinθdθdφ
に よ る 全立 体 角 に つ いて の 積 分 と して も値 は 変 わ ら な い .
(10) さ て,Pl(cosγ)をYlmで
展 開 す る.
(11) も ち ろ ん,blmは(θ',φ')の
関 数 で あ る.式(11)にYlm*(θ,φ)を
か け て 積 分 して
(12) を 得 る.式(5)か
ら
(13) を 式(12)に
代 入 し,式(10)と
比 較 す る こ と に よ り,
(14) を 得 る.さ
て 式(8)か
らal0*はYlmで
表 せ る の で,結
局
(15) と な る.こ 注
れ を 式(11)に
式(1)に
代 入 し て 式(6)す
お い てl=1と
な わ ち 式(1),(2)の
す る とP1(cosγ)=cosγ,P11(cosγ)=sinγ
が 再 現 され る.
問 付.8 規 格 直 交 系￨k>が
完全 であ る とき
証 明 が 終 る. か ら
で あ る こ と を 示 せ.
解 任 意 の状 態 ベ ク トル￨f〉 は完 全 系￨k〉 で展 開 で きる. (2) 両 辺 か ら〈l￨を か け る こ と に よ り,
(3) と 求 め ら れ る.こ
のCkを
式(2)に
入れて
(4) 右 辺=左
辺 よ り式(1)が
成 り立 つ.
録
付
公
式
B1 微 分 と 積 分* 1. 2. 3. 4. * 微 積分 学 の 公 式 は,三 角関 数 と指 数関 数 と対 数 関 数 で書 い て あ る場 合 が 多 い が,双 曲 線 関数 と逆 双 曲線 関 数 を用 い る こ とに よ り見 通 しが よ くな るこ とが 多 い.
B
5.
で も よい
で も よい
6.
7.
8.
と して
9. 10.
11.
12.
B2 ベ ク トル の 公 式 (1) (2)
(3) ベ ク トル 演 算 子 の 公 式.A,Bは
ベ ク トル 関 数,φ
は ス カ ラ ー 関 数 とす る.
(4) (5) (6) (7)
(8) ス カ ラ ー 場 に 対 す るΔ φ はdivgradφ divA−rotrotAに
よ り定 義 さ れ る.直
で あ る.ベ ク トル 場 に 対 す るΔAはgrad 交 座 標 の と き式(8)が
成立す る.
ラプ ラ シア ン
直交座標
(9)
円柱座標
(10)
極 座標 (11)
B3
2行2列
の エ ル ミー ト行 列Hの
対 角化
(1) とす る.Hを
対 角 化 す るユ ニ タ リー 行 列Sを
(2) と な る よ う に 作 ろ う.
(3) と お く と,Sは
ユ ニ タ リー 行 列
で あ る.式(3)のsinθ は,φ=0の
とcosθ
と きS-1=Sな
を 通 常 の 回 転 行 列 と異 な る よ う に と っ て あ るの
ら しめ る た め で あ る.
(4) か ら,式(4)の
非 対 角 要 素 が0と
な る ため に は θを
(5) と な る よ う に 決 め れ ば よ い.こ
れ よ りsinθ
とcosθ
は
(6) (7) 固 有 値 は, (8) と 求 め ら れ る.
B4 1.ル
特
殊
関
数
ジ ャ ン ドル の 多項 式 お よび 陪 多 項 式(cosθ=x)
2. エ ル ミー トの 多 項 式
3.ラ
ゲ ール の 多 項 式 お よび 陪 多 項 式
4.球
ベ ッセ ル 関 数
〓はv次
x→ ∞
の とき
の 漸 近 展 開 を もつ.
の べ ッ セル 関 数
B5 行 列 の 直 積
で あ る と きAとBの
直積A〓Bを
で 定 義 す る.
AとBの
内 積 をA・Bと
が 成 立 つ.た だ しAとCの
記 す と内積 と直積 につ い て
列 の 要 素 の 数 が そ れ ぞ れBとDの
しい と す る.
AとBが
が 成 立 つ.
正 方 行 列 で あ る と き対 角 和 に つ い て
行 の 要 素 の 数 に等
12
参
考
書
こ こに あ げ た教 科 書 は,本 書 を 書 くに あ た っ て わ れ わ れ が参 考 に させ て い た だ い た代 表 的 な もの で あ る.他 1) 金 沢 秀 夫,量 2)
に も良 書 は た く さん あ る.
子 力 学,朝
小 出 昭 一 郎,量
倉 書 店(1965).
子 力 学Ⅰ,Ⅱ,裳
華 房(1990).
3) 湯 川 秀 樹,井 上 健,豊 田 利 幸 編,量 子 力 学(岩 波 講 座 現 代 物 理 学 の 基 礎)第 2版,岩
波 書 店(1978).
4) 小 谷 正 雄,梅 5)
沢 博 臣,大 学 演 習 量 子 力学,裳
ラ ン ダ ウ(L.D.Landau),リ
フ シ ツ ツ(E.M.Lifshitz),量
論 物 理 学 教 程)(佐 々 木 健,好 6)
華 房(1959).
メ シ ア(A.Messiah),量
子 力 学Ⅰ,Ⅱ(理
村 滋 洋 訳),東
京 図 書(1983).
子 力 学Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ(小
出 昭 一 郎,田
村 次 郎 訳)東 京 図
書(1971∼1972).
7)
シ ッ フ(L.I.Schiff),量
8) 小 出 昭 一 郎,水
野 幸 夫,量
9) 伏 見 康 治,内 10) 岡 崎 誠,藤
山 竜 興,量 原 毅 夫,演
11) 朝 永 振 一郎,量 ) 高 橋 康,物
子 力学
上 ・下(井
子 力 学 演 習,裳 子 力 学 演 習,共
習 量 子 力 学,サ
上 健 訳),吉
岡 書 房(1985)
.
華 房(1978). 立 出 版(1955).
イ エ ン ス 社(1983)
子 力 学 的 世 界 像(朝 永 振 一 郎 著 作 集),み
性 研 究 者 の た め の 場 の 量 子 論Ⅰ,Ⅱ,培
.
す ず 書 房(1982).
風 館(1974,1976).
13) 荒 木 不 二 洋,量 子 場 の 数 理(岩 波 講 座 現 代 の物 理 学)岩 波 書 店(1993) . 14) 森 口 繁 一,宇
田 川 鍾 久,一
15)
ア ル フ ケ ン(J.Alfken),基
16)
マ グ ヌ ス(W.Magnus)オ
und
Satze
松 信,数
学 公 式.Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ
礎 物 理 数 学,1,2,3講
談 社(1977)
ー バ ー へ ッ テ ィ ン ガ ー(F.
fur die speziellen Funktionen
岩 波 書 店(1987). .
Oberhettinger),Formeln
der mathematischen
Phyzik,
Springer(1948). 17) 犬 井 鉄 郎,球
関 数,円
筒 関 数,超
幾 何 関 数,河
出書 房(1948).
3)の シ リー ズ が 絶 版 に な った の は残 念 で あ る 最 近13)の て い る.本 書 を読 み終 え られ て,さ ら に先 へ 進 み た い方 は7)の
シ リー ズ が 発 売 され 後 半 や12)が 参 考
に な る. 特 殊 関 数 に つ い て は14)∼17)の
ほ か に5)や6)の
巻 末 に も 説 明 が あ る.
索引 光 学 定 理
あ 行 異 常 ゼ ー マ ン 効 果 イ ジ ン グ模 型 位 相 の ず れ
交 換 子
158
189 5
交 換 積 分
176
光 子
188
173,176
222
合 成 軌 道 角 運 動 量
1重 項 173 一 般 化 さ れ た 角 運 動 量 エ ネ ル ギ ー の 帯 域
光 速 不 変 の 原 理 95
固有 関 数
50
固 有 値
4 ,16 52 ,55 エ ー レ ン フ ェ ス トの 定 理 26
210 229
4 3
エ ル ミー ト演 算 子
さ 行
エ ル ミー トの 多 項 式
作 用 量 子 3重 項
か 行
1 173
散 乱 振 幅
182
階 段 関 数
241
磁 気 量 子 数
角 運 動 量
95
自 己 共 役 演 算 子
72 4 164,167
角 運 動 量 の 大 き さ
95
シ ュ タ ル ク 効 果
確 率 の 流 れ の 密 度
42
主 量 子 数
重 な り積 分 完 全性
171
シ ュ レー デ ィ ン ガ ー の 波 動 方 程 式
6
2
軌 道 角 運 動 量 演 算 子 逆 散 乱 法
178
吸 収 過 程
226
95,98
共 役 演 算 子
シ ュ レー デ ィ ンガ ー 表 示 準 粒 子
88
真 空
4
グ リー ン 関 数
227
クー ロ ンゲー ジ
ク ー ロ ン積 分 ケ ッ トベ ク トル
ニ ー 模 型 219 173 4
水 素 原 子 水 素 分 子
179,246 ー ダ ン 係 数
ク ロー ニ ッ ヒ-ペ
60,200,203
222
水 素 型 原 子
ク ラ イ ン-ゴ ル ドンの 方 程 式
19
28
消 滅 演 算 子
球 の 中 の 自 由粒 子
ク レ ブ シ ュ-ゴ
81
85,87,160 86 169
97,116
ス ピ ン
95,228
50
ス ピ ン-軌 道 相 互 作 用 ス ピ ン磁 気 量 子 数
ス ペ ク トル の微 細 構 造 静 止 質 量
232
158,228,236
109 228
ハー
正 常 ゼ ー マ ン効 果 生 成 演 算 子
非 弾性 散乱
158
60,200,203
ゼ ー マ ン効 果
156
零 点 エ ネ ル ギ ー 零 点 振 動
210 181
双 極 子 相 互 作 用 相 対 運 動
67
ソ リ トン
250
125
38
不確 定性原 理 部 分波 の 方法
5,14,18,31,61
ブ ラベ ク トル
4
分 極率
89
ヘ リウ ム 原 子
148
ボー ア半径
27,50,55,60,143
デ ィ ラ ッ ク 方 程 式
放出過 程
227
240
δ 関 数 型 ポ テ ン シ ャル
電磁 場 の運動 量 電磁 場 の量 子化
44
139 64 82,86
226
ボー ズ粒子
191.193
ボル ン近似
177,179
222 219
ま 行 ミンコ フスキ ー空間
42
ト ンネ ル 効 果
ハ イ ゼ ンベ ル グ の 運 動 方 程 式 ハ イ ゼ ンベ ル グ表 示
18
ハ イ ゼ ンベ ル グ模 型
176
ハ イ ト ラー-ロ
ン ド ン 理 論
パ ウ リ行 列
109
183
174
ラ グ ラ ン ジ ュの 未 定 乗 数 法
193,210
ハ ー ト リ ー-フ
ォ ッ ク 近 似
場の 量 子論
リ ドベ リー 定 数
190 190
219
パ ーマ ネ ン ト
193
203
非 線 形 シ ュ レー デ ィ ンガ ー 方 程 式
リー の 公 式
80
184
ラ ン ダ ウゲ ー ジ
2
196
81
ラ ゲ ー ル の 微 分 方 程 式 ラ ザ フ ォ ー ド散 乱
ト リー 近 似
248
湯 川 ポ テ ン シ ャル
ら 行
11,26
反 交 換 子
19
ラ ゲ ー ル の 多 項 式
パ ウ リの 排 他 律
波動 関 数
231
や 行
は 行
波束
46
164
ボー ア磁子
240
調和 振 動子
177,184,189
ベ ッセル関 数
変分 原理
177
226
191,193
ブロ ッ ホの 定 理
た 行
δ関数
181
ヒル ベ ル ト空 間 フ ェル ミ粒 子
全 散 乱 断 面 積
弾性 散乱 超関 数
微 分散 乱断 面積 フ ァ イ マ ン グ ラ フ
28
28
全 角 運 動 量
177
62 66
110
ル ジ ャ ン ドル の 多 項 式
74
ル ジ ャ ン ドル の 陪 微 分 方 程 式 ル ジ ャ ン ドル の 微 分 方 程 式 ロ ー レ ン ツ の 運 動 方 程 式 23 ロ ー レ ン ツ 変 換
227,228
72
72
〈著 者紹 介 〉
桂 重俊 学
歴
東北帝国大学工学部 通信工学科 卒業(1944年) 東 北 大 学 大 学 院 第2期
特 別研 究 生 終 了(1949年)
工 学 博 士(1958年)
職
歴
東北大学教授(1961年) 東京電機 大学教授(1986年) 東北工 科情報専門学校校 長(1993年)
井上 真 学
歴
千葉大 学理学部物理学科卒業(1983年) 東京大学 大学院理学系研究科修 了(1988年) 理学 博 士(1988年)
職
歴
東京電機 大学理工学部助手(1988年)
Shigetoshi
量子 力学演 習 1993年9月10日
Makoto 第1版1刷
発行
著
者
発行者 著者承認 検印省略
Katsura
1993
Inoue
桂 重 井 上
俊 真
学校法人 東 京 電 機 大 学 代 表 者 廣
川
利
男
発行所 東 京 電 機 大 学 出 版 局 〒101
東京 都 千 代 田区 神 田錦 町2-2 振 替 電話
口 座
東 京6-71715
03(5280)3433(営
業)
03(5280)3422(編
集)
Printed in Japan
印刷 三立工芸（株）
製本 （株） 徳住製本所
*無 断 で 転 載 す る こ と を禁 じます。 *落 丁 ・乱 丁 本 はお取 替 えい た します 。 ISBN 4-501-61320-3
C3042
〓
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