Моделирование зонной структуры полупроводников: Учебное пособие по лекционному курсу ''Физика полупроводников''

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

М О Д ЕЛ И Р О ВА Н И Е ЗО Н Н О Й С Т Р У К Т У Р Ы П О Л У П Р О ВО Д Н И К О В У чебноепособи е по лекци онномукурсу «Ф и зи каполупроводни ков» Специ альност ь 014100 - «М и кроэ лект рони каи полупроводни ковы епри боры » О П Д .Ф .02

В О РО Н Е Ж 2003

2 У т верж дено научно-мет оди чески м ф акульт ет а9 января 2003 г. (прот окол № 1)

совет ом

ф и зи ческого

Сост ави т ели : Бормонт овЕ .Н ., Бы кадороваГ.В . Гаври ловА .Е .

У чебное пособи е подгот овлено на каф едре ф и зи ки полупроводни ков и ми кроэ лект рони ки ф и зи ческого ф акульт ет а В оронеж ского государст венного уни верси т ет а. Рекомендует ся для ст удент ов3 курсаф и зи ческого ф акульт ет а.

3 Содерж ани е 1. О сновны епредполож ени я зонной т еори и … … … … … … … … … … … … … 4 2. В олновая ф ункци я э лект ронавпери оди ческом поле… … … … … … … … .5 3. Зоны Бри ллю э на… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..9 4. М ет оды расчет аэ нергет и ческой ст рукт уры кри ст аллов… … … … … … ..11 4.1. П ри бли ж ени еси льносвязанны х э лект ронов.… … … … … … … … … 12 4.2. П ри бли ж ени есвободны х э лект ронов. Э нергет и чески й спект р э лект ронавпрямоугольной пот енци альной яме… … … … ..14 4.3. П ри бли ж ени еслабосвязанны х э лект ронов… … … … … … … … … … 18 5. М одель К рони га–П енни … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .19 6. Заполнени езон э лект ронами . М ет аллы , ди э лект ри ки , полупроводни ки … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 25 7. П ракт и чески езадани я… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..28

4 1. О с новные предполож ениязоннойтеории К ак и звест но и з квант овой мех ани ки , для т еорет и ческого и сследовани я лю бой си ст емы част и ц, в част ност и для вы чи слени я возмож ны х значени й ееэ нерги и , надо реш и т ь соот вет ст вую щ ееуравнени е Ш реди нгера. П оследнеепредст авляет собой ди ф ф еренци альноеуравнени е в част ны х прои зводны х , содерж ащ ее ст олько переменны х , сколько ст епеней свободы и меет рассмат ри ваемая си ст ема. В ф и зи кет вердого т ела вэ т уси ст емувходят , ст рого говоря, всеэ лект роны и ат омны еядраат омов, сост авляю щ и е кри ст алл. Т аки м образом, чи сло ст епеней свободы , асни м и чи сло переменны х вуравнени и Ш реди нгера, оказы вает ся очень больш и м – порядка 1022–1023. В результ ат е взаи модей ст ви я меж ду част и цами переменны е не разделяю т ся, и мы при х оди м к мат емат и ческой задаче и склю чи т ельной т рудност и . П рямое реш ени е ее в наст оящ ее время невозмож но. Более т ого, даж е если бы реш ени е пост авленной задачи удалось най т и , ф и зи ческая и нт ерпрет аци я его предст ави лабы , ви ди мо, не меньш е т рудност ей , чем сам процесс реш ени я, и бо объем и нф ормаци и , т аки м пут ем полученной , бы л бы необы чай но вели к. П о э т и м при чи нам современная квант овая т еори я т вердого т ела вы нуж дена основы ват ься на ряде упрощ ени й . П оследни е вы би раю т ся с т аки м расчет ом, чтобы сох рани т ь ли ш ь наи более х аракт ерны е черт ы си ст емы , и склю чи ввсе, сравни т ельно мало сущ ест венное. Зонная т еори я бази рует ся на следую щ и х основны х предполож ени ях , сост авляю щ и х в своей совокупност и т ак назы ваемое«зонноепри бли ж ени е»: 1. П ри и зучени и дви ж ени я э лект ронов ат омны е ядра, вви ду и х больш ой массы , мож но рассмат ри ват ь как неподви ж ны е и ст очни ки поля, дей ст вую щ и енаэ лект роны . И ны ми словами , дви ж ени еэ лект роновмож но счи т ат ь незави си мы м, прои сх одящ и м без обмена э нерги ей с ат омны ми ядрами . П оскольку процесс, прои сх одящ и й без обмена э нерги ей с окруж аю щ ей средой , назы вает ся ади абат и чески м, т о э т о допущ ени е обы чно назы ваю т ади абат и чески м при бли ж ени ем. 2. Рассмат ри вает ся и деальны й кри ст алл. Располож ени е ядер счи т ает ся ст рого пери оди чески м: они размещ аю т ся в узлах и деальной реш ет ки данного кри ст алла. 3. Э нерги я попарного взаи модей ст ви я э лект ронов заменяет ся взаи модей ст ви ем каж дого э лект ронасусредненны м полем всех ост альны х э лект ронов. П оскольку э т о поле определяет не т олько дви ж ени е данного э лект рона, но и само зави си т от его дви ж ени я, т о оно получи ло названи е самосогласованного. В ведени е самосогласованного поля позволяет рассмат ри ват ь э лект роны как невзаи модей ст вую щ и е част и цы , т . е. вви де и деального газа и , следоват ельно, задачу многи х част и ц свест и к задаче для одного э лект рона. П оэ т ому т акое упрощ ени е получи ло названи е одноэ лект ронного при бли ж ени я.

5 П ервое предполож ени е позволяет рассмат ри ват ь поведени е э лект ронов, неи нт ересуясь дви ж ени ем т яж елы х част и ц. Э т авозмож ност ь не являет ся самоочеви дной , т ак как врезульт ат е взаи модей ст ви я меж ду э лект ронами и ядрами дви ж ени я и х не незави си мы : ст рого говоря, располож ени е ядер не задано, а и зменяет ся с и зменени ем сост ояни я э лект ронов. Смы сл предполож ени я 1) заклю чает ся в ут верж дени и , что последни й э ф ф ект мал. В т ороепредполож ени еограни чи вает классрассмат ри ваемы х си ст ем: речь и дет т олько о кри ст алли чески х т верды х т елах , а не о ж и дкост ях , ст еклах и т . п. Н аконец, т рет ье предполож ени е своди т многоэ лект ронную задачу к одноэ лект ронной . В мест о одного уравнени я Ш реди нгерадля всей си ст емы ат омны х ядер и э лект ронов мы получаем т еперь совокупност ь и дент и чны х , не связанны х меж ду собой уравнени й Ш реди нгера для каж дого э лект рона в от дельност и . И наче говоря, вмест о э лект ронной ж и дкост и – си ст емы взаи модей ст вую щ и х друг с другом част и ц – мы рассмат ри ваем и деальны й э лект ронны й газ вэ ф ф ект и вном внеш нем поле. Замет и м, что вбольш и нст ве э лект ри чески х , магни т ны х и опт и чески х явлени й в т верды х т елах э лект роны внут ренни х ат омны х оболочек не и граю т акт и вной роли . Д ей ст ви т ельно, э нерги я связи э т и х э лект роновсо «свои ми »ядрами –порядканескольки х десят кови ли даж есот ен э лект ронвольт (на э лект рон). Э т о значи т ельно больш е средней э нерги и взаи модей ст ви я и х со многи ми внеш ни ми полями , равно как и э нерги и квант ов э лект ромагни т ного поля в ви ди мой и более дли нноволновы х област ях . П оэ т ому во многи х задачах оказы вает ся возмож ны м другое (т акж е при бли ж енное) разделени е част и цна т яж елы е и легки е. И менно, в «си ст ему э лект ронов», рассмат ри ваемы х явно, мож но вклю чи т ь т олько валент ны е э лект роны ат омов, сост авляю щ и х реш ет ку; э лект роны ж е внут ренни х оболочек вмест е с ядрами образую т ат омны е ост овы , сост ояни я кот оры х практ и чески не и зменяю т ся в рассмат ри ваемы х явлени ях . П ри э т ом роль неподви ж ны х и ст очни ковполя и граю т уж е не ядра, а ат омны е ост овы . Соот вет ст венно предполож ени я 1) и 2) надо переф ормули роват ь, замени в вни х слова «ат омны е ядра» на «ат омны е ост овы ». П оследнеепри бли ж ени еназы ваю т валент ной аппрокси маци ей . 2. Волноваяфункцияэлектронавпериодичес ком поле К ак мы ви дели в преды дущ ем параграф е, в рамках зонного при бли ж ени я задача о си ст еме э лект ронов в т вердом т еле своди т ся к задаче об одном э лект роне, дви ж ущ емся в заданном внеш нем поле. О бозначи м пот енци альную э нерги ю э лект рона внем через U (r). Я вны й ви д ф ункци и U (r) нам неи звест ен. О днако оказы вает ся, что многи е важ ны е особенност и рассмат ри ваемой си ст емы мож но вы ясни т ь, не задавая явного ви да э т ой ф ункци и , а пользуясь ли ш ь услови ем ее пери оди чност и . И менно э т и м, по сущ ест ву, и объясняет ся успех зонного

6 при бли ж ени я при и нт ерпрет аци и э кспери мент альны х данны х . М ы будем рассмат ри ват ь т олько ст аци онарны есост ояни я э лект ронов. Соот вет ст венно уравнени еШ реди нгераи меет ви д h2 2 (1) − ∇ ψ + V (r )ψ = Eψ , 2m при чем ф ункци я V(r) обладает пери оди чност ью кри ст алли ческой реш ет ки : V (r) = V (r + n),

(2)

гдеn = n1a + n2b + n3c; a, b, c –вект оры еди ни чны х т рансляци й ; n1, n2, n3 – прои звольны е целы е чи сла. П ри смещ ени и кри ст алла на вект ор n он совмещ ает ся сам ссобой . И з услови я т рансляци онной си ммет ри и (2) следует , что волновы е ф ункци и э лект рона ψ (r) и ψ (r + n) могут от ли чат ься ли ш ь пост оянны м множ и т елем, т . е. ψ (r + n) = С ψ (r). (3) К роме т ого, поскольку обе они долж ны бы т ь норми рованы , абсолю т ная вели чи наС долж набы т ь равнаеди ни це: C = 1. (4) У слови ю (4) мож но удовлет вори т ь, если полож и т ь С = exp(ikn), где k –прои звольны й вект ор. Т огдаи з(3) следует , что от куда где

ψ (r + n) = exp(ikn)ψ (r), ψ (r) = exp(-ikn)ψ (r + n) = exp(ikr)Uk (r), Uk (r) = exp[-ik(r + n)]ψ (r + n).

(5) (6) (7)

Ф ункци я Uk (r) обладает т рех мерной пери оди чност ью кри ст алли ческой реш ет ки , т ак как, согласно (5) и (7), Uk (r + m) = exp[-ik(r + n + m)]ψ (r + n + m) = = exp[-ik(r + n + m)]exp(ikm)ψ (r + n) = exp[-ik(r + n)]ψ (r + n) = Uk (r). Т аки м образом, волновая ф ункци я э лект рона впери оди ческом поле кри ст алла и меет ви д: ψk (r) = Uk (r) exp(ikr) , (8) где Uk (r) –ф ункци я коорди нат , и мею щ ая пери оди чност ь реш ет ки : Uk (r) = Uk (r + n).

(9)

7 Равенст ва (8), (9) сост авляю т содерж ани е т еоремы Блох а: волновая ф ункци я э лект рона, дви ж ущ егося в пери оди ческом поле, предст авляет собой плоскую волну, модули рованную некот орой ф ункци ей с пери оди чност ью реш ет ки . Сами ф ункци и ви да (8) и ногда назы ваю т ф ункци ями Блох а. В х одящ и й в ф ункци ю Блох а вект ор k назы ваю т волновы м. О чеви дно, его компонент ы и мею т размерност ь [см – 1]. М одуль вект ора k назы ваю т волновы м чи слом. Е го ф и зи чески й смы сл – чи сло дли н волн, уклады ваю щ и х ся на от резке 2π, т . е. k = 2π/λ. В задаче о дви ж ени и э лект рона в пери оди ческом поле кри ст алла волновой вект ор k и грает т акую ж е роль, какую и грает волновой вект ор в задаче о дви ж ени и свободного э лект рона. Сост ояни е свободно дви ж ущ егося э лект рона с массой m х аракт ери зует ся э нерги ей Е и и мпульсом р. П ри э т ом E = p2/(2m). Э т омуэ лект ронусоот вет ст вует волнадеБрой ля дли ной λ = h/p = h/(mv), гдеv – скорост ь э лект рона. О т сю да, учи т ы вая, что k = 2π/λ, получи м p = hk, где h=h/(2π). В и дно, что волновой вект ор пропорци онален и мпульсу э лект рона. Э нерги я свободного э лект рона связана с волновы м вект ором соот нош ени ем E = h2k2/(2m). Е сли на э лект рон ни каки е си лы не дей ст вую т , т о его э нерги я ост ает ся пост оянной , т . е. E (k) = const. Э т о означает , что неменяет ся k и ост ает ся пост оянны м и мпульс р. П о сущ ест ву, э т о ест ь законы сох ранени я э нерги и и и мпульса. Н а э лект рон, дви ж ущ и й ся в кри ст алле, всегда дей ст вует пери оди ческое поле реш ет ки . Э нерги я э т ого взаи модей ст ви я являет ся пери оди ческой ф ункци ей коорди нат . Следоват ельно, э нерги я и и мпульс э лект ронавкри ст аллеи зменяю т ся со временем под дей ст ви ем э т ого поля, т . е. несох раняю т ся. О днако, пользуясь понят и ем волнового вект ора k, введенного для э лект ронавкри ст алле, т . е. входящ его вф ункци ю Блох а(8), мож но ввест и х аракт ери ст и ку, аналоги чную и мпульсу, но сох раняю щ ую ся во времени : Р = hk.

(10)

8 Ч т обы подчеркнут ь сх одст во и одновременно от мет и т ь от ли чи е ф и гури рую щ ей в(10) вели чи ны hk от и ст и нного и мпульса, э т у вели чи ну назы ваю т квази и мпульсом э лект рона. Eсли какая-ли бо ф и зи ческая вели чи насох раняет ся, т о операт ор э т ой вели чи ны коммут и рует с операт ором Гами льт она. Т аки м образом, квази и мпульсу долж ен соот вет ст воват ь некот оры й операт ор, коммут и рую щ и й с гами льт они аном кри ст алли ческой реш ет ки . Следоват ельно, мож но ут верж дат ь, что при дви ж ени и э лект рона в пери оди ческом поле кри ст алли ческой реш ет ки собст венны е ф ункци и операт оровквази и мпульсаи Гами льт онадолж ны бы т ь оди наковы , амеж ду и х собст венны ми значени ями долж на бы т ь определенная ф ункци ональная связь: Е = Е (Р ). Э т о означает , что э нерги я э лект рона долж на бы т ь ф ункци ей квази и мпульса, а значи т , с учет ом (10), и ф ункци ей волнового вект ора, т . е. Е = Е (k). (11) О брат и м т еперь вни мани е на т о, что волновой вект ор э лект рона в кри ст алле в от ли чи е волнового вект ора свободного э лект рона неоднозначен. Ч т обы показат ь э т о, рассмот ри м т рансляци онное услови е (5), наклады ваемое на волновую ф ункци ю э лект рона, дви ж ущ егося в пери оди ческом полереш ет ки : ψ (r + n) = exp(ikn)ψ (r). Э т о услови е не наруш и т ся, если волновой вект ор k замени т ь навект ор k + 2πg, гдеg = ha* + kb* + lc* –вект ор обрат ной реш ет ки . Д ей ст ви т ельно, exp [i(k + 2πg)n] = exp (ikn) exp (i2πgn) = exp (ikn) вси лут ого, что (gn) = m и exp (i2πm) = 1. Т аки м образом, мы при х оди м к вы воду, что квант овы е сост ояни я, х аракт ери зуемы е волновы ми вект орами k и k + 2πg, ф и зи чески э кви валент ны . Следоват ельно, э нерги я э лект ронов, нах одящ и х ся в э т и х двух сост ояни ях , оди накова. Д руги ми словами , и волновая ф ункци я и э нерги я э лект рона в кри ст алле являю т ся пери оди чески ми ф ункци ями волнового вект ораk спери одом 2πg: Е (k) = Е (k + 2πg).

(12)

Н ах ож дени езави си мост и Е (k) являет ся одной и з важ ней ш и х задачф и зи ки т вердого т ела.

9 3. Зоны Бриллю эна Е сли вk-прост ранст ве пост рои т ь обрат ную реш ет ку, раст янут ую в 2π раз, т . е. реш ет ку с вект орами 2πa*, 2πb*, 2πc*, т о все k-прост ранст во мож но раздели т ь наобласт и , вкот оры х и мею т ся ф и зи чески э кви валент ны е сост ояни я. Э т и област и назы ваю т зонами Бри ллю э на. М ногогранни к ми ни мального объема, пост роенны й в k-прост ранст ве вокруг начала коорди нат и содерж ащ и й все возмож ны е разли чны е сост ояни я, назы ваю т первой , и ли основной , зоной Бри ллю э на. Д ля пост роени я зон Бри ллю э на обы чно и спользует ся следую щ и й способ. К акой -т о узел обрат ной реш ет ки , раст янут ой в2π раз, вы би раю т в качест ве начала коорди нат и соеди няю т его прямы ми ли ни ями с бли ж ай ш и ми к немуузлами . Ч ерез середи ны э т и х ли ни й перпенди кулярно к ни м проводят плоскост и . О грани ченны й э т и ми плоскост ями наи меньш и й многогранни к, содерж ащ и й внут ри себя начало коорди нат , и являет ся первой зоной Бри ллю э на. Д руги ми словами , первая зона Бри ллю э на предст авляет собой э лемент арную ячей ку В и гнера – Зей т ца для обрат ной реш ет ки , раст янут ую в2π раз. Рассмот ри м в качест ве при мера прост ую куби ческую реш ет ку с парамет ром ячей ки , равны м а. О брат ная реш ет ка для нее т акж е прост ая куби ческая, при чем a* = 1/a. Я чей ка В и гнера – Зей т ца вk-прост ранст ве, т . е. первая зона Бри ллю э на, предст авляет собой в э т ом случае куб объемом (2π)3/a3. В се неэ кви валент ны е значени я компонент оввект ора k при э т ом леж ат ви нт ервалах : π π π π π π − ≤ kx ≤ ; − ≤ ky ≤ ; − ≤ kz ≤ . (13) a a a a a a П ервы е э оны Бри ллю э на для прост ой , объемноцент ри рованной и гранецент ри рованной куби чески х реш ет ок показаны на ри с.1. Э кви валент ност ь ф и зи чески х сост ояни й , при надлеж ащ и х разли чны м зонам Бри ллю э на, позволяет при дви ж ени и э лект рона в k-прост ранст ве рассмат ри ват ь его т раект ори ю т олько впределах первой зоны Бри ллю э на.

a)

б)

с)

Ри с. 1. П ервая зона Бри ллю э на для прост ой (а), объемноцент ри рованной (б ) и гранецент ри рованной (с ) куби чески х реш ет ок.

10 Л ю бой реальны й кри ст алл являет ся ограни ченны м. Э т о обст оят ельст во при води т к т ому, что волновой вект ор э лект рона мож ет при ни мат ь т олько ди скрет ны й ряд значени й . Д ля т ого, чтобы подсчи т ат ь чи сло допуст и мы х значени й k в зоне Бри ллю э на, необх оди мо учест ь грани чны е услови я. В оспользуемся для э т ого ци кли чески ми грани чны ми услови ями Борна–К армана. П редполож и м, что кри ст алл и меет ф орму параллелепи педа с размерами по осям x, y, z соот вет ст венно Lx, Ly, Lz. П уст ь реш ет капрост ая куби ческая спарамет ром а. Т огда Lx = Nx a ;

Ly = Ny a ;

Lz = Nz a ,

(14)

где Nx, Ny, Nz – чи сло ат омов, располагаю щ и х ся на ребрах Lx, Ly и Lz соот вет ст венно. П от ребуем, чтобы волновая ф ункци я удовлет воряла услови ям Борна–К армана: ψ ( x , y , z ) = ψ (x + L x , y + L y , z + L z ). (15) У чи т ы вая, что волновая ф ункци я э лект рона в кри ст алле и меет ви д ф ункци и Блох а, услови е(15) мож но перепи сат ь вви де ψk(x+Lx, y+Ly, z+Lz)=Uk(x, y, z)exp[i (kxLx+kyLy+kzLz)]exp(i kr)= ψk(x, y, z), от кудаследует , что и ли

exp[i (kxLx+kyLy+kzLz)] ≡1

exp (i kxLx) = exp (i kyLy) = exp (i kzLz) = 1. П оследнееравенст во вы полняет ся, если 2π 2π 2π kx = n1 ; k y = n2 ; k z = n3 , Lx Ly Lz

(16)

где n1 , n2 , n3 –лю бы ецелы ечи сла(0, ±1, ±2, … ). Т аки м образом, дей ст ви т ельно, множ ест во возмож ны х квант овы х сост ояни й э лект рона в k-прост ранст ве, т . е. множ ест во допуст и мы х значени й компонент ов волнового вект ора k, определено ди скрет но. В соот вет ст ви и с э т и м оказы вает ся квант ованной и э нерги я э лект ронов в разреш енной э нергет и ческой зоне. Д ля подсчет а чи сла квант овы х сост ояни й (и ли чи сла уровней в э нергет и ческой зоне) замет и м, что, согласно (14), полное чи сло ат омовв кри ст алле N = NxNyNz, а э лемент арны й объем, при х одящ и й ся на одно квант овоесост ояни е, ест ь 3 3 ( ( 2π ) 2π ) ∆k x ∆k y ∆k z = = , Lx L y Lz Na 3 поскольку разност ь двух соседни х целы х чи сел n1 , n2 и ли n3, входящ и х в равенст ва (15), очеви дно, равна еди ни це. Т огда, раздели вобъем зоны

11 Бри ллю э на (равны й (2π)3/a3) на объем, при х одящ и й ся на одно квант овое сост ояни е (равны й (2π)3/Na3), получи м, что взоне Бри ллю э на и меет ся N разреш енны х сост ояни й , т . е. чи сло квант овы х сост ояни й определяет ся чи слом э лемент арны х ячеек (ат омов) вкри ст алле. И т ак, для полного опи сани я всей совокупност и сост ояни й э лект рона в кри ст алле дост ат очно рассмат ри ват ь т олько област ь значени й k, ограни ченную первой зоной Бри ллю э на. Т ем не менее, и ногда полезно счи т ат ь, что волновой вект ор мож ет и зменят ься по всему k-прост ранст ву. П оскольку для лю бы х значени й k, от ли чаю щ и х ся на вект ор 2πg, все волновы е ф ункци и и уровни э нерги и оди наковы , э нергет и чески м уровням мож но при пи сат ь и ндекс n т ак, чтобы при заданном n собст венны е значени я уравнени я Ш реди нгера бы ли пери оди чески ми ф ункци ями вект ораk вобрат ной реш ет ке: Е n (k) = Е n (k + 2πg). Совокупност ь всех э нергет и чески х уровней э лект рона, опи сы ваемы х ф ункци ей Е n (k) при ф и кси рованном значени и n, назы ваю т э нергет и ческой зоной . Т ак как каж дая ф ункци я Е n (k) пери оди чнаи квази непреры вна, т о у нее сущ ест вую т ни ж ни й и верх ни й пределы . В се уровни данной разреш енной э нергет и ческой зоны заклю чены ви нт ервале меж ду э т и ми двумя пределами . О намож ет бы т ь от деленаот соседни х разреш енны х зон запрещ енны ми э нергет и чески ми зонами . В озмож но т акж еперекры т и еэ т ой зоны сдруги ми зонами . Д ет альноеповедени езон (перекры т и еи ли нали чи е запрещ енны х зон и впоследнем случае ш и ри на э т и х запрещ енны х зон) определяет э лект ронны е свой ст ва конкрет ного мат ери ала. Зонная ст рукт ура – э т о т а важ ней ш ая х аракт ери ст и ка, кот орая от ли чает друг от другапроводни ки , ди э лект ри ки и полупроводни ки . 4. М етоды рас четаэнерг етичес койс труктуры крис таллов Д ля нах ож дени я э нергет и ческого спект ра э лект ронов в кри ст алле необх оди мо реш и т ь одноэ лект ронное уравнени е Ш реди нгера (1) с пери оди чески м пот енци алом реш ет ки V (r). Собст венны еф ункци и ψ k (r) и собст венны езначени я Е n (k) э т ого уравнени я взначи т ельной мерезави сят от ви да пери оди ческого пот енци ала. В т о ж е время т очны й ви д V(r) определи т ь практ и чески невозмож но. В э т и х услови ях для нах ож дени я реш ени я уравнени я Ш реди нгера при х оди т ся при менят ь разли чны е при бли ж енны емет оды , делая определенны епредполож ени я от носи т ельно ви даф ункци и V (r). П о способуопределени я пот енци алаV (r), леж ащ его в основе всех мет одоврасчет а э нергет и ческой ст рукт уры кри ст аллов, э т и мет оды мож но раздели т ь нат ри группы : 1) самосогласованны е расчет ы , в кот оры х в качест ве парамет ров и спользую т т олько ат омны е конст ант ы . О дни м и з т аки х мет одовявляет ся

12 мет од орт огонали зованны х плоски х волн (О П В ); 2) э мпи ри чески е мет оды , в кот оры х для наи лучш его согласовани я т еори и и э кспери мент а при расчет е и спользую т э кспери мент альны е данны е. К э т и м мет одам от носят ся разли чны еи нт ерполяци онны есх емы и мет од псевдопот енци ала; 3) мет оды , воснове кот оры х леж и т вы бор пот енци ала некот орого специ ального ви да. Сю да от носят ся мет оды ф ункци й Гри на и при соеди ненны х плоски х волн (П П В ), а т акж е мет од ли ней ны х комби наци й ат омны х орби т алей (Л К А О ). О т мет и м, что с помощ ью указанны х мет одов не удает ся провест и расчет анали т и чески . Д ля получени я зави си мост ей E(k) при х оди т ся и спользоват ь чи сленны е мет оды расчет ов и бы ст родей ст вую щ и е Э В М . В мест е с т ем, наряду с чи сленны ми (коли чест венны ми ) мет одами расчет а э т и х зави си мост ей , и мею т ся при бли ж енны е мет оды , позволяю щ и е уст анови т ь общ и й (качест венны й ) х аракт ер зави си мост ей E(k) спомощ ью т еори и возмущ ени й . Сущ ест вует т ри при бли ж ени я при реш ени и э т ой задачи , от ли чаю щ и еся вы бором нулевого при бли ж ени я и моделью пот енци ала реш ет ки . Е сли за нулевое при бли ж ени е взят ь э лект рон в и золи рованны х ат омах , и з кот оры х пост роена реш ет ка кри ст алла, при дем к т ак назы ваемому при бли ж ени ю си льносвязанны х э лект ронов. Беря в качест ве нулевого при бли ж ени я свободны й э лект рон и счи т ая пот енци ал реш ет ки пост оянны м, при дем к при бли ж ени ю свободны х э лект ронов. Н аконец, если за нулевое при бли ж ени е взят ь свободны й э лект рон и рассмат ри ват ь пери оди ческое поле реш ет ки как возмущ ени е, при дем к при бли ж ени ю слабо связанны х э лект ронов. Рассмот ри м т еперь, к какому х аракт еруэ нергет и ческого спект раэ лект роноввкри ст аллепри водят т аки е при бли ж ени я. 4.1. П риб лиж ение с ильнос вязанных электронов И звест но, что в и золи рованном ат оме э лект рон, нах одящ и й ся под воздей ст ви ем кулоновского пот енци ала ат омного ядра, мож ет и мет ь т олько вполнеопределенны еразреш енны езначени я э нерги и . В част ност и , э лект рон мож ет зани мат ь оди н и з последоват ельност и э нергет и чески х уровней En = (Z2m0q4)/(8ε02h2n2), (17) располагаю щ и х ся ни ж е некот орого уровня с от носи т ельной э нерги ей , при ни маемой за нуль. Здесь Z – чи сло прот онов в ядре, m0 – масса свободного э лект рона, q – заряд э лект рона, ε0 – ди э лект ри ческая прони цаемост ь вакуума, h – пост оянная П ланка, n – полож и т ельное целое чи сло. Д ля ат омаводорода Z = 1, аразреш енны езначени я э нерги и равны –2,19⋅1018/n2 Д ж , и ли –13,6/n2 э В от носи т ельно нулевого уровня. П ри

13 ни зки х т емперат урах , если с ат омом связано более одного э лект рона, э лект роны заполняю т разреш енны е уровни , начи ная с ни зки х значени й э нерги и . В соот вет ст ви и спри нци пом П аули оди н э нергет и чески й уровень могут зани мат ь неболеедвух э лект ронов(спрот и вополож ны ми спи нами ). Разли чи е меж ду кри ст аллом и от дельны м ат омом сост ои т в следую щ ем. В т о время, как в и золи рованном ат оме каж ды й э нергет и чески й уровень, определяемы й уравнени ем (17), являет ся еди нст венны м, в кри ст алле сост оящ ем и з N ат омов, в нулевом при бли ж ени и каж ды й уровень повторяет ся N раз. Д руги ми словами , каж ды й э нергет и чески й уровеннь и золи рованного ат ома вкри ст алле при нулевом при бли ж ени и оказы вает ся N-крат но вы рож денны м. Т акое вы рож дени е, как и звест но, назы вает ся перест ановочны м. У чтем т еперь поправку (возмущ ени е) вкулоновском пот енци алеядра и золи рованного ат ома. П о мере сбли ж ени я и золи рованны х ат омов и образовани и и з ни х кри ст алли ческой реш ет ки каж ды й ат ом попадает во все возраст аю щ ее поле свои х соседей , с кот оры ми он взаи модей ст вует . Э т о взаи модей ст ви е при води т к снят и ю перест ановочного вы рож дени я. В результ ат е э нергет и чески й уровень, невы рож денны й всвободном ат оме, оказы вает ся расщ епленны м на N бли зко располож енны х друг от друга подуровней , образую щ и х э нергет и ческую зону. Расст ояни е меж ду подуровнями в зоне для кри ст аллов обы чны х размеров очень мало. В кри ст алле размером в 1 см3 содерж и т ся ~1022 ат омов. П ри ш и ри не зоны ~1 э В расст ояни е меж ду уровнями взоне сост авляет ~ 10-22 э В , т . е. много меньш е kT. П оэ т ому э нергет и чески й спект р э лект роноввзоне счи т аю т квази непреры вны м. О днако т от ф акт , что чи сло уровней взонеявляет ся все-т аки конечны м, и грает важ ную роль вопределени и х аракт ерараспределени я э лект роновпо сост ояни ям. Н аи больш ее вли яни е поле реш ет ки мож ет оказат ь, очеви дно, на внеш ни е э лект роны ат омов. П оэ т ому сост ояни е э т и х э лект ронов в кри ст алле прет ерпевает наи больш ее и зменени е, а э нергет и чески е зоны , образованны е и з э нергет и чески х уровней э т и х э лект ронов, оказы ваю т ся наи болееш и роки ми . В нут ренни еж еэ лект роны , си льносвязанны есядром, и спы т ы ваю т ли ш ь незначи т ельное возмущ аю щ ее дей ст ви е от соседни х ат омов, вследст ви е чего и х э нергет и чески е уровни вкри ст алле ост аю т ся практ и чески ст оль ж еузки ми , как и ви золи рованны х ат омах . Т аки м образом, как э т о следует и з качест венного анали за зонной ст рукт уры кри ст алла впри бли ж ени и си льной связи , каж дому квант овому сост ояни ю и золи рованного ат ома в кри ст алле, содерж ащ ем N ат омов, соот вет ст вует зона разреш енны х э нерги й , сост оящ ая и з N уровней . Зоны разреш енны х э нерги й разделены област ями запрещ енны х э нерги й – запрещ енны ми зонами . С увели чени ем э нерги и э лект рона ват оме ш и ри на разреш енной зоны увели чи вает ся, ш и ри назапрещ енной –уменьш ает ся. П озж е, на при мере одномерной модели К рони га – П енни , мы рассмот ри м некот оры еособенност и э т ого при бли ж ени я болееподробно.

14 4.2. П риб лиж ение с воб одных электронов. Э нерг етичес кийс пектр электроноввпрямоуг ольнойпотенциальнойяме В при бли ж ени и свободны х э лект роновпот енци ал реш ет ки счи т ает ся пост оянны м. П оэ т ому с э нергет и ческой т очки зрени я кри ст алл в э т ом случае предст авляет собой оди ночную пот енци альную яму с гладки м дном. Д ей ст ви т ельно, вне кри ст алла пот енци альная э нерги я свободного э лект рона V = 0, а внут ри кри ст алла V0 = -q ϕ0 , где ϕ0 – полож и т ельны й пост оянны й пот енци ал поля, созданного узлами реш ет ки . Э лект рон не мож ет свободно поки нут ь кри ст алл. Д ля вы х ода и з него э лект рону необх оди мо соверш и т ь работ у, чи сленно равную V0. Х аракт ер э нергет и ческого спект ра э лект ронов в кри ст алле (в пот енци альной яме) обсуди м напри мере одномерной модели , поскольку для вы яснени я важ ней ш и х особенност ей э нергет и ческого спект ра одномерного случая вполне дост ат очно. Н апомни м, что для его нах ож дени я нам нуж но реш и т ь одноэ лект ронное уравнени е Ш реди нгера (1), кот ороеводномерном случаеи меет ви д: h 2 d 2ψ − + V ( x )ψ = Eψ . (18) 2m dx 2 Реш и м э т о уравнени е для двух т и пов пот енци альной э нерги и , показанны х на ри с. 2. Случай , когда V(x)=0 при –a<xa, что соот вет ст вует бесконечно вы соки м ст енкам прямоугольной пот енци альной ямы , располож енны м вт очках x=±a, показан на ри с. 2, а. П от енци альная э нерги я, и зображ енная на ри с 2, б , и зменяет ся у ст енки скачкообразно, но на конечную вели чи ну, т ак что при x>a V(x)=V0. Д ля обои х т и повпот енци альной э нерги и дви ж ени е класси ческой част и цы с полной э нерги ей Е
V(x)

+∞

+∞

V0

-a

0 а)

a

x

-a

0 б)

a

x

Ри с. 2. Э нергет и ческая ди аграммапрямоугольной пот енци альной ямы сбесконечно вы соки ми ст енками (а) и сконечны м скачком пот енци ала(б )

15 Бес конечно выс окие с тенки. В нут ри пот енци альной ямы (при x
α = 2mE / h.

(20)

В ы би рая в качест ве грани чного услови я обращ ени е в нуль волновой ф ункци и вт очках x = ± a, получаем A sin αa + B cos αa = 0 , − A sin αa + B cos αa = 0, от куда A sin αa = 0 ,

B cos αa = 0.

Реш ени е, для кот орого конст ант ы А и В равны нулю , непредст авляю т ф и зи ческого и нт ереса, т ак как при э т ом ψ=0 влю бой т очке. Н ельзя т акж е одновременно при равнят ь нулю sinαa и cosαa при одном и т ом ж е значени и α (т . е. Е ). П оэ т омуи меет ся двавозмож ны х классареш ени й . Д ля первого класса A = 0 и cosαa = 0, адля второго класса В = 0 и sinαa = 0. Т аки м образом, αa=nπ/2, гдедля первого классаn– нечет ное, адля второго класса – чет ное чи сло. Следоват ельно, собст венны е ф ункци и обои х классови при надлеж ащ и еи м собст венны езначени я э нерги и и мею т ви д nπx ψ ( x ) = B cos , где n нечет ное; 2a nπx ψ ( x ) = A sin , где n чет ное; 2a π2h 2n2 E= вобои х случаях . 8ma 2 Я сно, что при n=0 получает ся ф и зи чески неи нт ересноереш ени еψ=0, а реш ени я с от ри цат ельны ми и полож и т ельны ми значени ями n ли ней но связаны друг с другом. К онст ант ы А и В легко нах одят ся и з услови я норми ровки собст венны х ф ункци й ψ(x). Т аки м образом, мы получаем бесконечную си ст ему ди скрет ны х уровней э нерги и , соот вет ст вую щ и х всем полож и т ельны м целы м значени ям квант ового чи слаn. К аж домууровню при надлеж и т т олько одна собст венная ф ункци я; чи сло узлов (внут ри пот енци альной ямы ) у n-й собст венной ф ункци и равно n – 1.

16 К онечный с качок потенциала. Е сли пот енци альная э нерги я и меет ви д, показанны й на ри с. 2, б , т о общ ее реш ени е (20), по-преж нему справедли воепри xa. В э т ой област и (вне пот енци альной ямы ) волновоеуравнени еи меет ви д h 2 d 2ψ − + V0 ψ = Eψ , 2m dx 2 и его общ ее реш ени е при E < V0 (для связанного сост ояни я) дает ся ф ормулой ψ ( x ) = Ce −βx + De βx ,

β = 2m(V0 − E ) / h ,

(21)

при чем, вси лу ограни ченност и волновой ф ункци и на бесконечност и в област и x>a нуж но при нят ь равной нулю конст ант уD, авобласт и x<–a – конст ант уС . Н алож и м т еперь на реш ени я (20) и (21) услови я непреры вност и волновой ф ункци и ψ и еепрои зводной dψ/dx вграни чны х т очках x=±a: A sin αa + B cos αa = Ce −βa , αA cos αa − αB sin αa = −β Ce −βa , − A sin αa + B cos αa = De −βa , О т сю даполучаем 2 A sin αa = (C − D )e −βa , 2 B cos αa = (C + D )e − βa ,

αA cos αa + αB sin αa = βDe −βa . 2αA cos αa = −β(C − D )e −βa ,

2αB sin αa = β(C + D )e − βa .

(22) (23)

П ри А ≠ 0 и С ≠ D и з уравнени й (22) следует : αctgαa = −β.

(24)

А налоги чно при В ≠ 0 и С ≠ –D и з уравнени й (24) получи м αtgαa = β.

(25)

У равнени я (24) и (25) нельзя удовлет вори т ь одновременно, т ак как, и склю чи ви з ни х β, мы получи м tg2 αa = –1, от кудавпрот и воречи и с(21) следует , что α – мни мое, а β – от ри цат ельное чи сло. Н ельзя т акж е т ребоват ь, чтобы всепост оянны е A, B, C и D обращ али сь внуль. П оэ т ому реш ени я сновамож но раздели т ь надвакласса. Д ля первого класса A = 0, C = D и α tg αa = β, адля второго класса B = 0, C = –D и α ctg αa = β. Э нергет и чески й спект р э лект ронов(разреш енны е уровни э нерги и ) нах оди т ся пут ем чи сленного и ли граф и ческого реш ени я уравнени й (24) и (25), гдеα и β определяю т ся вы раж ени ями (20) и (21). Рассмот ри м граф и чески й мет од реш ени я, позволяю щ и й с полной ясност ью вы яви т ь зави си мост ь чи слади скрет ны х уровней от V0 и а. П олож и м ξ = αa, η = βа; т огдауравнени е(25) при мет ви д ξ tgξ = η, при чем

17 2mV0 a 2 ξ +η = . h2 П оскольку вели чи ны ξ и η могут при ни мат ь т олько полож и т ельны е значени я, уровни э нерги и определяю т ся (леж ащ и ми впервом квадрант е) т очками пересечени я кри вой η = ξ tgξ с окруж ност ью э аданного ради уса (2mV0a2/h2)1/2. Н а ри с. 3 и зображ ено необх оди мое пост роени е для т рех значени й V0a2. Д вум меньш и м значени ям э т ого прои зведени я при надлеж и т по одному, абольш ему–двареш ени я уравнени я (25). Н а ри с. 4 аналоги чное пост роени е проведено для уравнени я (24), когда уровни э нерги и определяю т ся пересечени ем т ех ж е окруж ност ей с кри вой η = – ξ tgξ (впервом квадрант е). Д ля наи меньш его значени я V0a2 реш ени е от сут ст вует , а двум други м при надлеж и т по одному реш ени ю . Т аки м образом, всего для т рех последоват ельно возраст аю щ и х значени й V0a2 и меет ся соот вет ст венно оди н, дваи т ри уровня э нерги и . И з ри с. 3 и 4 ясно, что при заданной массечаст и цы уровни э нерги и зави сят от парамет ровпот енци альной ямы через прои зведени е V0a2. Е сли значени е V0a2 леж и т меж ду нулем и π2h2/8m, т о и меет ся ли ш ь оди н уровень э нерги и первого класса; вобласт и π2h2/8m≤ V0a2≤ π2h2/2m и меет ся по одномууровню э нерги и каж дого класса, т . е. всего двауровня. П о мере возраст ани я V0a2 уровни э нерги и последоват ельно появляю т ся т о для одного классареш ени й , т о для другого. С помощ ью (20) нет рудно ви дет ь, что если располож и т ь собст венны е ф ункци и в порядке возраст ани я собст венны х значени й , т о уn-й собст венной ф ункци и будет n-1 узел. 2

2

Ри с. 3. Граф и ческоереш ени еуравнени я (25) для т рех значени й V0a2. В ерт и кальны епункт и рны ели ни и предст авляю т первы едве аси мпт от ы кри вы х η = ξ tgξ .

18

Ри с. 4. Граф и ческоереш ени еуравнени я (24) для т рех значени й V0a2. В ерт и кальны епункт и рны ели ни и предст авляю т первы едве аси мпт от ы кри вы х η = –ξ tgξ . 4.3. П риб лиж ение с лаб ос вязанных электронов П ри бли ж ени е слабосвязанны х э лект ронов и сх оди т и з т ого, что пот енци ал реш ет ки внулевом при бли ж ени и V0(r) являет ся пост оянной вели чи ной , а возмущ ени е δV(r) << V0(r) – пери оди ческой ф ункци ей с пери одом, равны м пост оянной реш ет ки . П оэ т ому модель кри ст алла в т аком при бли ж ени и мож но предст авлят ь в ви де т рех мерного пот енци ального ящ и касо слабори ф лены м дном. Т ак как пот енци ал реш ет ки в при бли ж ени и слабосвязанны х э лект ронов мало от ли чает ся от пот енци ала реш ет ки в при бли ж ени и свободны х э лект ронов, т о ест ест венно и скат ь реш ени е уравнени я Ш реди нгера (1) в ви де плоски х волн. О днако нали чи е пери оди чески меняю щ ей ся сост авляю щ ей пот енци ала реш ет ки долж но и змени т ь э т о реш ени е т ак, чтобы оно ст ало т акж е пери оди ческой ф ункци ей спери одом пост оянной реш ет ки , поскольку т олько вэ т ом случае волновая ф ункци я будет прави льно вы раж ат ь пери оди чески повторяю щ ееся распределени е плот ност и э лект ронны х облаковвячей ках кри ст алла. Т аки м образом, и з свой ст впери оди чност и си лового поля кри ст алла вы т екает , что реш ени ем уравнени я Ш реди нгера (1) являет ся ф ункци я Блох а(8) ψk (r) = Uk (r) exp(ikr),

19 предст авляю щ ая собой плоскую волну, ампли т уда кот орой модули рована пери оди ческой ф ункци ей Uk (r) с пери одом, равны м пост оянной реш ет ки . К онкрет ны й ви д ф ункци и Uk (r) определяет ся ви дом пот енци альной ф ункци и V (r), входящ ей вуравнени еШ реди нгера(1). Д ля более полной и ллю ст раци и мет одовслабой и си льной связи и уст ановлени я особенност ей э нергет и ческого спект ра э лект ронов в кри ст алле, вы т екаю щ и х и з э т и х при бли ж ени й , обрат и мся к модели ли ней ного кри ст алла, впервы ерассмот ренной К рони гом и П енни . 5. М одель К рониг а– П енни Х аракт ерны е особенност и э нергет и ческого спект ра мож но узнат ь, рассмат ри вая прост ей ш ую одномерную модель пери оди ческого пот енци ала, предлож енную Р. К рони гом и В . П енни . В основу э т ой модели полож енаправи льная цепочкапрямоугольны х пот енци альны х ям и барьеров, показанная нари с. 5. Ш и ри накаж дой пот енци альной ямы равна а, и они от делены друг от друга пот енци альны ми барьерами т олщ и ной b и вы сот ой V0. П ери од пот енци алареш ет ки при э т ом равен с =а+b, т . е. V ( x ) = V ( x + c ) = V ( x + 2c ) = ... V (x) V0

-b 0 a a+b x Ри с. 5. Зави си мост ь пот енци альной э нерги и э лект рона вмодели К рони га–П енни . Д ля опи сани я сост ояни я э лект рона вэ т ом пот енци але необх оди мо реш и т ь одномерноеволновоеуравнени е(18) h 2 d 2ψ − + V ( x )ψ = Eψ , 2m dx 2 при чем, учи т ы вая пери оди чност ь пот енци ала V(x), реш ени е следует и скат ь вви деф ункци и Блох а (26) ψ ( x ) = U ( x )e ikx , гдеU(x) - пери оди ческая ф ункци я спери одом реш ет ки c: U ( x ) = U ( x + c ) = U ( x + 2c ) = ...

20 Н ай дем уравнени е, кот орому долж на удовлет ворят ь ф ункци я U(x). П одст авляя (26) в(18), получи м для област и 0 < x < a, ат акж едля лю бой другой ямы d 2U dU + 2ik + (α 2 − k 2 )U = 0, (27) 2 dx dx адля област и a < x < a+b (и ли лю бого другого пот енци ального барьера) d 2U dU + 2 ik − (β 2 + k 2 )U = 0, (28) 2 dx dx где α = 2mE / h ,

β = 2m(V0 − E ) / h .

(29)

Реш ени я уравнени й (28) и (29) и мею т ви д U 1 = Ae i ( α − k ) x + Be −i (α + k ) x ,

0 ≤ x ≤ a;

(30)

U 2 = Ce (β −ik ) x + De − (β + ik ) x ,

a ≤ x ≤ a + b.

(31)

П оследни е вы раж ени я содерж ат чет ы ре неи звест ны х : A, В , С и D. И х мож но и склю чи т ь, пользуясь услови ями непреры вност и ф ункци и ψ (х) и ее первой прои зводной dψ /dx (и ли U и dU/dx). Т ребовани е непреры вност и означает , что U1 = U2 при x = n (a+b), dU1/dx = dU2/dx при x = a +n (a+b). (32) Запи сы вая (32) с учет ом (30) и (31), получи м си ст ему чет ы рех ли ней ны х однородны х уравнени й с чет ы рьмя неи звест ны ми A, В , С и D. У слови ем сущ ест вовани я нет ри ви ального реш ени я си ст емы являет ся равенст во нулю дет ерми нант а, сост авленного и з коэ ф ф и ци ент ов при неи звест ны х . Э т о при води т к уравнени ю β2− α2 (33) cos k(a + b) − sh (β b) sin(α a) − ch(β b) cos(α a) = 0, 2 αβ связы ваю щ ему вели чи ны α и β, содерж ащ и е собст венны е значени я э нерги и э лект рона Е , с волновы м вект ором k. Т аки м образом, равенст во (33) мож но рассмат ри ват ь как соот нош ени емеж дуЕ и k. Реш и т ь уравнени е (33) довольно слож но. П оэ т ому вводят дополни т ельны е упрощ аю щ и е предполож ени я. Следуя К рони гу и П енни , рассмот ри м вы соки ет онки ебарьеры . П уст ь b → 0, a V0 → ∞ , но т ак, чтобы прои зведени е ш и ри ны барьера на вы сот у bV0 ост авалось конечны м. Э т о означает , что β2b конечно, но βb → 0. П ри b → 0 ch βb → l, sh βb → βb. Т аки м образом, вмест о (33) запи ш ем: β2 − α 2 β b sin α a + cos α a = cos ka 2 αβ

(34)

21 и ли β 2 ab sin αa + cos αa = cos ka . 2 αa

(35)

О бозначи м lim ( β 2 ab / 2 ) = P.

(36)

b →0 ,β → ∞

Замет и м, что Р в(36) –э т о неквази и мпульс. П арамет р Р предст авляет собой меру э ф ф ект и вной площ ади каж дого барьера. О н х аракт ери зует ст епень прозрачност и барьера для э лект рона, и ли , други ми словами , ст епень связанност и э лект ронавпот енци альной яме. С учет ом э т ого P

sin αa + cos αa = cos ka . αa

(37)

П реж де чем нах оди т ь реш ени е уравнени я (37), обрат и м вни мани е на следую щ ее обст оят ельст во. П оскольку cos ka — ф ункци я чет ная, замена k на-k неменяет уравнени я (37). Э т о означает , что э нерги я э лект ронат акж е являет ся чет ной ф ункци ей k, т . е. E (− k ) = E (k ).

(38)

Ри с. 6. Зави си мост ь левой част и уравнени я (37) от парамет раαа. И нт ервалы допуст и мы х значени й αазаш т ри х ованы . Н а ри с. 6 и зображ ена зави си мост ь левой част и уравнени я (37) от парамет ра αа. П оскольку cos ka, ст оящ и й вправой част и уравнени я (37), мож ет при ни мат ь значени я т олько в и нт ервале от +1 до -1, т о допуст и мы ми значени ями αа являю т ся т аки е, для кот оры х левая част ь уравнени я не вы х оди т и з указанны х пределов. Н а ри с. 6 и нт ервалы разреш енны х значени й αа заш т ри х ованы . Ш и ри на э т и х и нт ервалов зави си т от парамет ра Р . Ч ем меньш е Р , т ем они ш и ре. К роме т ого, и х

22 ш и ри на зави си т и от αа. П ри лю бом ф и кси рованном значени и Р э т и и нт ервалы расш и ряю т ся с увели чени ем αа. В си лу соот нош ени я (29) меж ду α и э нерги ей э лект рона Е сказанное от носи т ся и к э нерги и . Т аки м, образом, э нерги я э лект рона в кри ст алле не мож ет при ни мат ь лю бое значени е. Е ст ь зоны разреш енны х и зоны запрещ енны х э нерги й . Рассмот ри м, как и зменяет ся э нергет и чески й спект р в двух предельны х случаях Р → 0 и Р → ∞ . Случай Р → 0 соот вет ст вует услови ю V0→ 0, т . е. почти свободному э лект рону (при бли ж ени е слабой связи ). И з (37) получаем αа=kа, т . е. a=k, и наосновани и (29): h 2α2 h 2k 2 = (39) E= . 2m 2m К ак и следовало ож и дат ь, последнее вы раж ени е совпадает с зави си мост ью E(k) для свободного э лект рона. П оскольку на k в э т ом случае ни каки х ограни чени й не наклады вает ся, кри вая E(k) предст авляет собой непреры вную параболу. В другом предельном случае Р → ∞ в си лу т ого, что V0→ ∞ . Э т о означает , что э лект рон локали зован вбесконечно глубокой пот енци альной яме. П ри Р=∞ и з уравнени я (37) нах оди м, что sin αa = 0 , т .е. αa = πn, (40) αa гдеn = ±1, ±2,… , а и з (29) h 2π2 2 E= n . (41) 2ma 2 Т аки м образом, при Р → ∞ си ст емаэ нергет и чески х зон вы рож дает ся в ди скрет ны еуровни . П опы т аемся т еперь най т и явны й ви д закона ди сперси и E(k) для э лект рона, дви ж ущ егося впери оди ческом поле реш ет ки . Д ля э т ого надо реш и т ь от носи т ельно Е уравнени е (37). Э т о мож но сделат ь т олько при бли ж енно. Д опуст и м, что Р >>1. Э т о соот вет ст вует при бли ж ени ю си льной связи . Д ля больш и х Р , согласно (40), мож но запи сат ь: αa = πn + ∆(αa), (42) где ∆(αa) << αa. Разлагая левую част ь уравнени я (37) в ряд и ограни чи ваясь ли ней ны ми от носи т ельно Δ (αа) членами , получи м (− 1)n 1 + ∆ (αa ) P  = cos ka πn   πn (− 1)n cos ka − 1 . и ли ∆ (αa ) = (43) P П одст авляя (43) в(42), нах оди м  1 n cos ka  αa = πn 1 − + (− 1) . (44) P   P

[

]

23 У чи т ы вая связь меж дуα и э нерги ей э лект ронаЕ (29) и ограни чи ваясь ли ней ны ми от носи т ельно 1/Р членами при возведени и (44) в квадрат , получи м вы раж ени е, связы ваю щ ееЕ и k: h 2π2n2  2 n 2 cos ka  1 − + (− 1) E= (44) 2  2ma  P P  E = E 0 n − C n + (− 1) An cos ka.

и ли

n

(45)

Здесь обозначено h 2π2n2 h 2π2n2 ; Cn = ; E 0n = 2ma 2 ma 2 P An –коэ ф ф и ци ент перед (–l)n cos ka, вобщ ем случаенеравны й Cn. П ервы й член в(45) предст авляет собой э нерги ю n-го э нергет и ческого уровня э лект рона ви золи рованной бесконечно глубокой пот енци альной яме, определяемую ф ормулой (41). В т орой и т рет и й члены связаны с дей ст ви ем пери оди ческого поля реш ет ки .

Ри с. 7. Зави си мост ь E (k) для э лект ронаводномерной реш ет кев пери оди ческой зонной сх еме. В и дно, что в пери оди ческом поле реш ет ки э нергет и чески е уровни опускаю т ся назначени еС n (перед С n ст ои т знак «–»!). Э т о сви дет ельст вует о т ом, что объеди нени е ат омоввцепочку э нергет и чески вы годно. Т рет и й член в (45) определяет зонны й х аракт ер э нергет и ческого спект ра, поскольку cos ka ограни чи вает пределы его и зменени я. Н ари с. 7 показана зави си мост ь E(k) для э лект рона, нах одящ егося в одномерной реш ет ке. Здесь наглядно ви дно, что для всех k, от ли чаю щ и х ся на (2π /а)п , э нерги я одна и т а ж е. И нт ервал значени й k от –π /а до π /а предст авляет собой первую зону Бри ллю э на, два от резка от –2π /а до –π /а и от π /а до 2π /а – вторую зонуБри ллю э наи т . д.

24 В се возмож ны е значени я э нерги и в каж дой э нергет и ческой зоне мож но получи т ь пут ем и зменени я k впределах первой зоны Бри ллю э на. П оэ т ому зави си мост ь E(k) част о ст роят т олько для первой зоны Бри ллю э на. В се ост альны е значени я Е могут бы т ь при ведены вэ т у зону. Т акой способ и зображ ени я E(k), и ллю ст ри руемы й ри с. 8, б , получи л названи е сх емы при веденны х зон. В от ли чи е от него зави си мост ь, показанную нари с. 7, назы ваю т пери оди ческой зонной сх емой . К роме э т и х двух способов и зображ ени я э нергет и чески х зон и спользую т ещ е оди н способ, получи вш и й названи е расш и ренной зонной сх емы (ри с. 8, а). Здесь разли чны е э нергет и чески езоны размещ аю т ся вkпрост ранст вевразли чны х зонах Бри ллю э на. И з ри с. 7 х орош о ви дно, что вкаж дой нечет ной э нергет и ческой зоне, т . е. вкаж дой зоне, определяемой чи слами n = 1, 3, 5, ..., и меет ся оди н ми ни мум э нерги и в цент ре зоны Бри ллю э на и два э кви валент ны х макси мума на краях зоны Бри ллю э на. В чет ны х э нергет и чески х зонах в цент рекаж дой зоны Бри ллю э на, наоборот , и меет ся макси мум э нерги и , ана грани цах –ми ни мумы .

Ри с. 8. И зображ ени е э нергет и чески х зон ли ней ной цепочки ат омовв расш и ренной зонной сх еме(а) и впредст авлени и при веденны х зон (б ) Разры вы в э нергет и ческом спект ре э лект рона, как мы ви ди м, появляю т ся при дост и ж ени и волновы м вект ором k значени й nπ /a, т . е. на грани цах зон Бри ллю э на. К акова ф и зи ческая при рода э т и х разры вов? В ы рази м волновой вект ор через дли ну волны э лект рона λ и запи ш ем услови е, при кот ором ф ункци я E(k) т ерпи т разры в:

25 2π nπ = и ли nλ= 2a. (46) λ a П оследнее вы раж ени е предст авляет собой услови е В ульф а – Брэ гга для э лект ронной волны , падаю щ ей нареш ет ку перпенди кулярно ат омны м плоскост ям. П ри вы полнени и э т ого услови я ф ункци я Блох а предст авляет уж е не бегущ ую , а ст оячую волну, т ак как э лект рон с т аки м волновы м вект ором при его дви ж ени и (в реальном прост ранст ве) и спы т ы вает брэ гговское от раж ени е. П адаю щ ая и от раж енная волны могут склады ват ься двумя способами , образуя си ммет ри чную и ант и си ммет ри чную комби наци и : π  ψ 1 ( x ) = U ( x )[e i ( π / a ) x + e −i ( π / a ) x ] = 2U ( x )cos x  , (47) a  k=

π  ψ 2 ( x ) = iU ( x )[e i ( π / a ) x − e −i ( π / a ) x ] = 2iU ( x ) sin x . (48) a  В ы раж ени я (47) и (48) запи саны для значени й волновы х вект оров k±π /а. В олновая ф ункци я ψ 1 неи зменяет ся при заменех на–х, аψ 2 меняет знак. Ф ункци я ψ 2 являет ся мни мой , однако плот ност ь э лект ри ческого заряда, связанная с волновой ф ункци ей ψ соот нош ени ем –е|ψ|2, вэ т ом случае т ак ж е, как и для ψ 1, предст авляет собой вещ ест венную от ри цат ельную вели чи ну. В олновы м ф ункци ям ψ 1 и ψ 2 соот вет ст вую т разны е э нерги и . Реш ени ю ψ 1 от вечает меньш ая э нерги я, кот орая соот вет ст вует верх ней грани це первой зоны (т очка A на ри с. 8, а), а реш ени ю ψ 2 — э нерги я, соот вет ст вую щ ая ни ж ней грани це второй зоны (т очка А'). П ри k<π /а э лект рон обладает э нерги ями меньш и ми , чем Е A, апри k>π /а— э нерги ями , больш и ми , чем Е A' . В и нт ервале от Е A до EA' нет ни одного собст венного значени я э нерги и э лект рона, т . е. э т а област ь предст авляет собой запрещ енную зону. В заклю чени е от мет и м некот оры е особенност и э нергет и ческого спект ра э лект роноввт рех мерном случае. Зонная ст рукт ура здесь мож ет бы т ь значи т ельно слож нее, чем в рассмот ренной вы ш е одномерной модели . Зави си мост ь E(k) вт рех мерном кри ст алле мож ет бы т ь разли чна для разны х направлени й в зоне Бри ллю э на. Э т о связано с т ем, что т рех мерны й пот енци ал V(r), зави сящ и й от ст рукт уры кри ст алла, в разли чны х направлени ях не оди наков. Следст ви ем э т ого мож ет бы т ь перекры т и е разреш енны х зон. Т ак, напри мер, запрещ енная зона водном направлени и мож ет совпадат ь сразреш енной зоной вдругом направлени и . П ерекры т и еразреш енны х зон нельзя получи т ь водномерном случае.

26 6. Заполнение зон электронами. М еталлы, диэлектрики, полупроводники В ы ш е бы ло показано, что каж дая разреш енная зона содерж и т конечное чи сло (N) уровней . В соот вет ст ви и с при нци пом П аули на каж дом уровне мож ет нах оди т ься ли ш ь два э лект рона с прот и вополож но направленны ми спи нами . П ри ограни ченном чи сле э лект ронов, содерж ащ и х ся в кри ст алле, заполненны ми окаж ут ся ли ш ь несколько наи болеени зки х э нергет и чески х зон. В сеост альны езоны будут пуст ы . Рассмот ри м разли чны евари ант ы заполнени я зон э лект ронами . 1. П редполож и м, что последняя зона, в кот орой ест ь э лект роны , заполнена част и чно. П оскольку э т а зона заполняет ся валент ны ми э лект ронами ат омов, ее назы ваю т валент ной . П од дей ст ви ем внеш него э лект ри ческого поля э лект роны , зани маю щ и е уровни вбли зи грани цы заполнени я, начнут ускорят ься и перех оди т ь на более вы соки е свободны е уровни т ой ж езоны . В кри ст аллепот ечет т ок. Т аки м образом, кри ст аллы с част и чно заполненной валент ной зоной х орош о проводят э лект ри чески й т ок, т . е. являю т ся мет аллами . Рассмот ри м в качест ве при мера нат ри й . К аж ды й ат ом нат ри я содерж и т 11 э лект ронов, распределенны х по сост ояни ям следую щ и м образом: 1s22s22p23s1. П ри объеди нени и ат омоввкри ст алл э нергет и чески е уровни ат омов превращ аю т ся в зоны . Э лект роны внут ренни х оболочек ат омаполност ью заполняю т зоны , образованны еи зуровней 1s, 2s и 2р, т ак как вни х на 2N, 2N и 6N сост ояни й при х одят ся соот вет ст венно 2N, 2N и 6N э лект ронов. В алент ная зонаобразованаи з 3s сост ояни й . В ней и меет ся всего 2N сост ояни й , на кот оры е при х оди т ся N э лект ронов (по одному валент номуэ лект ронунаат ом). Т аки м образом, вкри ст алли ческом нат ри и валент ная зона заполнена т олько наполови ну. Е ст ест венно, что все сказанное от носи т ся к т емперат уре абсолю т ного нуля. А налоги чны м образом заполняю т ся зоны и удруги х щ елочны х э лемент ов. 2. Д опуст и м, что валент ная зона заполнена э лект ронами полност ью , но она перекры вает ся со следую щ ей разреш енной зоной , не занят ой э лект ронами . Е сли к т акому кри ст аллу при лож и т ь внеш нее э лект ри ческое поле, т о э лект роны начнут перех оди т ь на уровни свободной зоны и возни кнет т ок. Д анны й кри ст алл т акж е являет ся мет аллом. Т и пи чны й при мер мет алласуказанной зонной ст рукт урой –магни й . У каж дого ат ома Mg (1s22s22p23s2) в валент ной оболочке и меет ся два э лект рона. В кри ст алли ческом магни и валент ны е э лект роны полност ью заполняю т 3sзону. О днако э т а зона перекры вает ся со следую щ ей разреш енной зоной , образованной и з Зр - уровней . 3. Рассмот ри м т еперь случай , когда валент ная зона заполнена э лект ронами полност ью и от делена от следую щ ей за ней свободной зоны ш и рокой (больш е 2–3 эВ ) запрещ енной зоной (э нергет и ческой щ елью ).

27 В кри ст алле с т акой зонной ст рукт урой внеш нее поле не мож ет создат ь э лект ри чески й т ок, т ак как э лект роны в заполненной зоне не могут и змени т ь свою э нерги ю . Следоват ельно, вещ ест во предст авляет собой ди э лект ри к. Т и пи чны м ди э лект ри ком являет ся и онны й кри ст алл NaCl. П олож и т ельны е и оны нат ри я Na+ и мею т э лект ронную конф и гураци ю (ls22s22p2), а от ри цат ельны е и оны х лора Cl– – (1s22s22p23s23p6). Зоны , образую щ и еся и з полност ью заполненны х ат омны х уровней т ож е оказы ваю т ся полност ью заполненны ми . П оследней заполненной зоной являет ся зона Зр С l–, а следую щ ей за ней свободной зоной – зона 3s Na+. Э нергет и ческая щ ель меж дуэ т и ми зонами сост авляет около 9 э В . Е сли ш и ри на запрещ енной зоны меньш е 2–3 э В , т о кри ст алл назы ваю т полупроводни ком. В полупроводни ках засчет т епловой э нерги и kТ замет ное чи сло э лект роновоказы вает ся переброш енны м всвободную зону, назы ваемую зоной проводи мост и . П ри очень ни зки х т емперат урах лю бой полупроводни к ст анови т ся х орош и м ди э лект ри ком. Т аки м образом, меж ду мет аллами и ди э лект ри ками сущ ест вует качест венное разли чи е, а меж ду ди э лект ри ками и полупроводни ками – т олько коли чест венное. Значени я ш и ри ны запрещ енной зоны для некот оры х ди э лект ри кови полупроводни ковпри ведены вт абли це1. Т абли ца1. Ш и ри назапрещ енной зоны некот оры х кри ст аллов К ри ст алл

Eg, эВ

К ри ст алл

Eg, эВ

С (алмаз) BN А 12O3 Si

5,2 4,6 7,0 1,11

Ge GaAs InSb Sn (серое)

0,66 1,43 0,17 0,08

В заклю чени е от мет и м, что э лект ронная ст рукт ура ат омов, образую щ и х т вердое т ело, не еди нст венны й ф акт ор, обусловли ваю щ и й разли чи евзаполнени и зон. Н апри мереNaCl мы ви дели , что важ ную роль и грает при рода х и ми ческой связи . Х аракт ер заполнени я э нергет и чески х зон зави си т т акж е и от ст рукт уры кри ст алла. Т ак, напри мер, углерод в ст рукт уре алмаза – ди э лект ри к, а углерод вст рукт уре граф и т а обладает мет алли чески ми свой ст вами .

28 7. П рактичес кие задания Ц ель практ и чески х задани й –и зучени еособенност ей э нергет и ческого спект ра э лект ронови зонной ст рукт уры кри ст алли чески х т верды х т ел с помощ ью одномерной модели К рони га – П енни , позволяю щ ей наи более наглядно проследи т ь образовани е зонной ст рукт уры при взаи модей ст ви и сбли ж аю щ и х ся ат омов. Задача мат емат и ческого модели ровани я зонной ст рукт уры с помощ ью модели К рони га – П енни вклю чает т ри э т апа, кот оры е на персональном компью т еререали зованы вт рех модулях . 1. М одели ровани есост ояни й свободного э лект ронави золи рованном и скусст венном «ат оме». 2. М одели ровани е си льносвязанны х э лект ронны х сост ояни й для цепочки и скусст венны х «ат омов» (Е < V0, E – э нерги я э лект рона, V0 – вы сот апот енци ального барьера). 3. М одели ровани еслабосвязанны х э лект ронны х сост ояни й (E > V0). П ервый этап. И золи рованны й «ат ом». В одномерном случае моделью э лект рона в и скусст венном и золи рованном «ат оме» являет ся свободны й э лект рон в прямоугольной пот енци альной яме с конечной вы сот ой барьера V0, показанной на ри с.2. У равнени я для собст венны х (разреш енны х ) значени й э нерги и (24) и (25), вы т екаю щ и е и з уравнени я Ш реди нгерапри E < V0 , и мею т ви д αa α ctg = −β, (24 ’ ) 2 αa α tg = β, (25 ’ ) 2 где α = 2mE / h , β = 2m(V0 − E ) / h , а – ш и ри на ямы , и разреш енны е ди скрет ны еуровни э нерги и э лект ронавси ммет ри чной пот енци альной яме вы раж аю т ся ф ормулой h 2 α 2n En = , (49) 2m гдеαn - реш ени я уравнени й (24’ ) и (25’ ) . П ри E > V0 э лект рон и меет непреры вны й э нергет и чески й спект р. Н апервом э т апереш ени я задачи необх оди мо смодели роват ь нуж ны й и золи рованны й «ат ом», т . е., подби рая ш и ри ну пот енци альной ямы и вы сот у пот енци ального барьера, доби т ься т ого, чтобы у э лект рона, нах одящ егося внут ри ямы , получи лось 5 –10 разреш енны х э нергет и чески х уровней . Второй этап. М одель К рони га – П енни (E < V0). М одель предст авляет собой одномерную си ст ему чередую щ и х ся прямоугольны х пот енци альны х ям и барьеров (ри с. 5). П ри реш ени и уравнени я Ш реди нгера и сш и вани и реш ени й для ямы и барьера с учет ом пери оди чност и для нах ож дени я собст венны х значени й э нерги и получено

29 уравнени е(33), и мею щ ееви д: β2− α2 (33 ’ ) sh (β b) sin(α a) + ch(β b) cos(α a) = cos k (a + b ). 2 αβ П ри анали т и ческом анали зе э т ого уравнени я, вы полненном вп. 5, мы , и спользуя упрощ аю щ и е услови я b→0, V0 →∞ , при т ребовани и конечност и э ф ф ект и вной площ ади каж дого барьера, уж е убеди ли сь вт ом, что спект р э лект роноввпери оди ческом полеи меет зонную ст рукт уру. П ри менени е чи сленного модели ровани я с помощ ью Э В М позволяет от казат ься от упрощ аю щ и х услови й b→0, V0 →∞ и уви дет ь, что разреш енны еэ нергет и чески еуровни и золи рованного ат ома(уравнени я (24’ ), (24’ ) и (49)) впери оди ческой ст рукт уре расщ епляю т ся взоны , т . е. при и зменени и ш и ри ны барьера меж ду ат омами от бесконечност и до некот орой конечной вели чи ны ш и ри на разреш енной зоны и зменяет ся от нуля (от дельны й э нергет и чески й уровень) до нескольки х э лект ронвольт. Н а втором э т апе модели ровани я, задавая последоват ельно значени я ш и ри ны барьера от 10 а до 0,01 а (а – ш и ри на ямы ), необх оди мо провери т ь, леж ат ли уровни э нерги и и золи рованного ат ома(рассчи т анны е на э т апе 1) вразреш енны х зонах и как меняет ся ш и ри на зон. П ри э т ом нуж но помни т ь, что и з-за ограни ченной т очност и вы чи сленны х значени й э нерги и разреш енны х уровней ат ома ш и ри ну барьера не следует брат ь больш е 10а. Зат ем, задавая через определенны й ш аг значени я э нерги и э лект рона, нуж но пост рои т ь зави си мост ь левой част и уравнени я (33’ ) от э нерги и . Э т а и нф ормаци я для наглядност и чи сленного модели ровани я мож ет вы води т ься в ви де граф и ков с указани ем разреш енны х и запрещ енны х зон. Т ретий этап. М одель К рони га – П енни (E > V0). В э т ом случае аналоги чно э т апу2 получает ся уравнени е γ2 − α2 − sh ( γ b) sin(α a) + ch( γ b) cos(α a) = cos k (a + b ), (50 ) 2α γ где α = 2mE / h , γ = 2m(E − V0 ) / h. Н а т рет ьем э т апе чи сленного модели ровани я, варьи руя ш и ри ну пот енци альной ямы , вы сот у и ш и ри ну пот енци ального барьера, необх оди мо проследи т ь возни кновени еи сущ ест вовани езапрещ енны х зон для квази свободны х э лект ронов.

30 О пис ание прикладнойпрог раммы «Зонная с труктура» П ри кладная программа«Зонная ст рукт ура»позволяет : 1) рассчи т ы ват ь разреш енны е э нергет и чески е уровни вуеди ненной пот енци альной ямепо заданны м ш и ри непот енци альной ямы и её глуби не; 2) для цепочки т аки х пот енци альны х ям проследи т ь превращ ени е э нергет и чески х уровней в разреш енны е зоны для э нерги й э лект ронов меньш и х вы сот ы пот енци альной ямы , задав дополни т ельно ш и ри ну пот енци альны х барьеров; 3) для квази свободны х э лект ронов проследи т ь возни кновени е разреш енны х зон при и сх одны х данны х пункт а2). О кно программы и меет ст андарт ны й и нт ерф ей сWindows, понят ны й для пользоват елей . Н а ф орме располож ены две закладки . Закладка «Д анны е»(ри с. 10) предназначенадля вводапарамет роврасчет а, т аки х как глуби на пот енци альной ямы , ш и ри на пот енци альной ямы и ш и ри на пот енци ального барьера.

Ри с. 10. Закладка«Д анны е».

31 П осле ввода данны х наж и мает ся одна и з кнопок ли бо для расчет а разреш енны х уровней э лект ронов, ли бо для расчет а зонной ст рукт уры валент ны х , ли бо квази свободны х э лект ронов. Д ля задачи 1) вт абли це, располож енной здесь ж е, помещ аю т ся э нерги и разреш енны х уровней в зави си мост и от глуби ны и ш и ри ны пот енци альной ямы . Д ля задач2) и 3) в э т ой т абли цепомещ аю т ся результ ат ы расчет авви дезави си мост и ф ункци и f (левы ечаст и ф ормул (33), (55)) от э нерги и . Закладка «Граф и к» (ри с. 11) от ображ ает результ ат ы расчет а зонны х ст рукт ур для валент ны х и квази свободны х э лект ронов в граф и ческой ф орме. М асш т аб граф и ков уст анавли вает ся автомат и чески . О днако пользоват ель мож ет наж ат ь впределах площ ади граф и ка левую кнопку мы ш и и пот янут ь курсор вни з и вправо, вы деляя на граф и ке некот орую прямоугольную област ь, начи ная с ее верх него левого угла. К огда он от пуст и т кнопку мы ш и , вы деленная област ь раст янет ся на все поле граф и ка и пользоват ель смож ет в дет алях посмот рет ь вы деленны й ф рагмент граф и ка. Е сли т еперь пользоват ель наж мет правую кнопку мы ш и , он смож ет осущ ест ви т ь прокрут ку граф и ка. Е сли пользоват ель зах очет вернут ься к преж нему масш т абу, позволяю щ ему смот рет ь весь граф и к, он долж ен провест и курсором при наж ат ой левой кнопке мы ш и рамкувверх и влево. М асш т аб восст анови т ся.

Ри с. 11. Закладка«Граф и к».

32 К онтрольные вопрос ы 1. Н азови т еосновны епредполож ени я зонной т еори и , сост авляю щ и е всвоей совокупност и «зонноепри бли ж ени е». 2. В чем сут ь ади абат и ческого и одноэ лект ронного при бли ж ени й при реш ени и уравнени я Ш реди нгерадля э лект роноввкри ст алле? 3. В чем сост ои т при нци пи альное от ли чи е пот енци альной ф ункци и э лект рона в кри ст алле от пот енци альной ф ункци и э лект рона в и золи рованном ат оме? 4. Сф ормули руй т ет еоремуБлох а. 5. Ч т о т акоеквази и мпульсэ лект рона? 6. В чем при чи ны сх одст ва и разли чи я меж ду и мпульсом и квази и мпульсом? 7. Д ай т еопределени еи укаж и т еспособ пост роени я зон Бри ллю э на? 8. Н ари суй т е первы е т ри зоны Бри ллю э на для прост ой двумерной квадрат ной реш ет ки . 9. К аки м образом ограни ченны е размеры кри ст алла вли яю т на допуст и мы е значени я волнового вект ора и э нергет и чески й спект р э лект роноввкри ст алле? 10. Ч ем определяет ся чи сло квант овы х сост ояни й вкри ст алле? 11. Сф ормули руй т е сущ ност ь основны х при бли ж ени й , кот оры е и спользую т ся при расчет еэ нергет и ческого спект раэ лект роноввкри ст алле спомощ ью т еори и возмущ ени й . 12. В чем сущ ност ь и основны едост ои нст вамодели К рони га–П енни ? 13. К аковы разли чи я взонной ст рукт уре мет аллов, ди э лект ри кови полупроводни ков? 14. К ак зави си т ш и ри наразреш енной э нергет и ческой зоны от ст епени связи э лект ронасядром?

33

Сост ави т ели : Бормонт овЕ вгени й Н и колаеви ч Бы кадороваГали наВ лади ми ровна Гаври ловА лександр Е вгеньеви ч Редакт ор

Буни наТ .Д .