Анализ временных рядов (промежуточный уровень)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ФОНД ПОДГОТОВКИ КАДРОВ ИННОВАЦИОННЫЙ ПРОЕКТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ Программа «Совершенствование преподавания социально-экономических дисциплин в вузах»

Международный институт экономики и права Государственный университет – Высшая школа экономики

Программа дисциплины

Анализ временных рядов (промежуточный уровень)

Москва 2003 1

Программа дисциплины «Анализ временных рядов (промежуточный уровень)» составлена в соответствии с требованиями (федеральный компонент) к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированного специалиста (бакалавра, магистра) по циклу «Общие гуманитарные и социально-экономические дисциплины» государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования второго поколения, а также требованиями, предъявляемыми НФПК к новым и модернизированным программам учебных курсов, разработанным в рамках программы «Совершенствование преподавания социально-экономических дисциплин в вузах» ИнноваFионного проекта развития образования. Программа подготовлена при содействии НФПК – Национального Фонда подготовки кадров в рамках программы «Совершенствование преподавания социальноэкономических дисциплин в вузах» Инновационного проекта развития образования.

Авторы (составители)

Канторович Г.Г., к.ф.-м..н., профессор, МИЭФ ГУ-ВШЭ Турунцева Марина Юрьевна, преподаватель, ГУ-ВШЭ (ФИО, ученая степень, ученое звание, вуз)

Рецензенты: __________________________________________________________________ (ФИО, ученая степень, ученое звание, вуз)

I.

Организационно-методический раздел

«Анализ временных рядов (промежуточный уровень)» – односеместровый курс для студентов 4-го года обучения МИЭФ. Это - промежуточный курс теории временных рядов для студентов, специализирующихся в области экономики. Его пререквизиты – курсы математической и прикладной статистики, эконометрики, а также курсы экономической теории и информатики. Курс преподается на русском и английском языках. Акцент в курсе делается на содержательном смысле фактов, методов и подходов анализа временных рядов. Выводы и доказательства даются для ряда базовых формул и моделей, что позволяет студентам понять принципы построения эконометрической теории. Главный акцент делается на экономической интерпретации и приложениях рассматриваемых эконометрических моделей. Цель и задачи курса Студенты должны получить знания и навыки анализа временных рядов. Они должны уметь применять их в исследовании экономических процессов, а также понимать методы, идеи, результаты и выводы, встречаемые в большинстве экономических книг и статей. В данном курсе студенты должны освоить традиционные методы анализа временных рядов, предназначенные в основном для работы с данными временных рядов. Студенты должны понимать содержательные различия данных перекрестных выборок и временных рядов и те специфические эконометрические проблемы, которые возникают при работе с данными этих типов. Студенты должны приобрести навыки анализа и моделирования случайных процессов в рамках класса моделей ARIMA(p, d, q), познакомиться с коинтеграционными моделями, моделями коррекции ошибок и авторегрессионными моделями с распределенными лагами, понимая область и границы их применения в экономике. Рассматриваемые методы и модели должны быть освоены на практике с использованием реальных массивов экономических данных и современного эконометрического программного обеспечения. Методическая новизна курса (новые методики, формы работы, авторские приемы в преподавании курса) В курсе используются следующие методы и формы работы: - Лекции (2 часа неделя) - Практические занятия в компьютерном классе (2 часа в неделю, выполняются задания на компьютерах и обсуждаются основные вопросы домашних заданий) - консультации преподавателя - самостоятельная работа в компьютерном классе, в том числе в Интернет (выполнение домашних заданий с использованием программ Excel и Econometric Views; работа с массивами экономических данных, пособиями для студентов в Интернет); - самостоятельная работа с литературой. По курсу имеется большое количество различных методических материалов и пособий, как авторских, так и подготовленных зарубежными специалистами. В нашем курсе используется авторское пособие (Канторович Г.Г.), задания для работы в классе и домашние задания и комментарии к ним. Особенностью по сравнению с другими курсами является совмещение семинарских занятий в аудитории и практических занятий в компьютерном классе со специально подготовленными заданиями.

3

Новизна курса (научная, содержательная; сравнительный анализ с подобными курсами в России и за рубежом). Данный курс является промежуточным курсом анализа временных рядов, поэтому с точки зрения его теоретического содержания он достаточно стандартен и близок, к курсам, читаемым в зарубежных университетах. Стоит отметить, что во многих российских университетах данный курс редко выделен в отдельную дисциплину: он, как правило, включен в курс эконометрики отдельным разделом, или не читается вообще. В то же время, особенностью курса является его интенсивность: в зарубежных университетах изучение подобного курса анализа временных рядов занимает как минимум год. Этому способствует тот факт, что студенты МИЭФ до курса эконометрики в течение двух лет изучают математичекскую и прикладную статистику. В результате их статистическая подготовка, а также высокий уровень знаний экономической теории, позволяют в рамках данного курса рассматривать прежде всего эконометрические вопросы, опираясь на глубокое понимание студентами концептуального аппарата статистики и экономики. Наконец, освоение курса требует большого объема самостоятельной работы студентов, превосходящей по объему как минимум вдвое их аудиторную работу. Очень важно то, что студенты овладевают на практике применением всех методов, подходов и моделей, изучаемых в курсе, выполняя практические задания в классе и дома. II.

Содержание курса

1. Понятие случайного процесса и его основные характеристики Понятие случайного (стохастического) процесса. Временной ряд, как дискретный случайный процесс. Стационарные в широком и узком смысле случайные процессы. Характеристики случайных процессов (математическое ожидание, автоковариационная и автокорреляционная функции). Разложение Вольда. Оператор лага. 2. Модели авторегрессии-скользящего среднего ARMA (p, q) Модели скользящего среднего MA(q). Условие обратимости. Модели авторегрессии AR(p). Уравнения Юла-Уокера. Условие стационарности. Модели авторегрессиискользящего среднего ARMA (p, q). Автокорреляционная и частная автокорреляционная функции. 3. Методы оценивания коэффициентов моделей авторегрессии-скользящего среднего ARMA (p, q). Метод Бокса-Дженкинса Оценивание коэффициентов авторегрессионных моделей. Оценивание коэффициентов моделей скользящего среднего методами наибольшего правдоподобия и поиска на сетке. Оценивание коэффициентов процессов ARMA (р). Качество подгонки моделей временных рядов. Информационный критерий Акаике (AIC). Критерий Шварца (BIC). "Портмонто"-статистика. Подход Бокса-Дженкинса к идентификации моделей стационарных временных рядов. 4. Прогнозирование с модели Бокса -Дженкинса Прогнозирование в модели Бокса-Дженкинса. Тренд и сезонность в модели БоксаДженкинса. Коэффициент множественной детерминации в моделях временных рядов. 5. Нестационарные временные ряды Нестационарные временные ряды. Случайное блуждание. Ряды с нестационарной дисперсией. Нестационарное среднее. Процессы, приводимые к стационарным, 4

выделением тренда (TSP) и взятием последовательных разностей (DSP). Модели АRIМА (р,1, q). Подход Бокса-Дженкинса к определению степени интеграции временного ряда. 6. Тесты на единичные корни Кажущиеся тренды и регрессионные зависимости. Тест Дикки-фуллера на наличие единичных корней. Мощность теста Дикки-фуллера и выбор альтернативной гипотезы. ADF тест и выбор числа лагов. Непараметрический тест Филлипса и Перрона. 7. Единичные корни и структурные сдвиги Методика исследования типа нестационарности временного ряда TS или DS. Использование специализированного компьютерного пакета Eviews. Сегментированные тренды и структурные изменения. Тест Эндрюса-Живота. 8. Регрессионные динамические модели Регрессионные динамические модели. Авторегрессионые модели с распределенными лагами (ADL). Понятие экзогенности. 9. Модель векторной авторегрессии и коинтеграция Модель векторной авторегрессии. Коинтеграция временных рядов. Коинтеграционная регрессия. Тестирование коинтеграции. Векторная авторегрессия (VAR(p)) и коинтеграция. Коинтеграция и модель коррекции ошибок (Error Correction Model). 10. Причинные зависимости во временных рядах Причинность по Грэнджеру (Granger causality). Проверка гипотезы о рациональных ожиданиях. Проверка гипотезы об эффективности рынка. III. Распределение часов курса по темам и видам работ №№ Название темы Всего

В том числе

часов 6

лекции 2

семинаров 4

1

Временной ряд, как дискретный случайный процесс. Стационарность случайных

2

Модели авторегрессии-скользящего среднего ARMA (р,q). Автокорреляционные и частные автокорреляционные функции. Оценивание коэффициентов процессов ARMA (p,q). Информационные критерии.

12

6

6

6

4

2

Прогнозирование в модели БоксаДженкинса

4

2

2

3 4

Промежуточный экзамен

2

2

5

Нестационарные временные ряды. Подход Бокса-Дженкинса к определению степени интеграции временного ряда

8

4

4

6

Тест Дикки-Фуллера на наличие единичных корней (unit root tests)

6

4

2

5

7

Методика исследования типа нестационарности временного ряда TSP или DSP.

6

4

2

8

Авторегрессионные модели с распределенными лагами. Понятие экзогенности.

4

2

2

9

Векторная авторегрессия. Коинтеграция временных рядов. Коинтеграционная регрессия.

12

6

6

10

Причинность по Грэнджеру (Granger causality). Проверка гипотезы о рациональных ожиданий. Проверка гипотезы об эффективности рынка.

4

2

2

Экзамен Всего

IV.

2 72

2 36

36

Формы промежуточного и итогового контроля

В рамках данного курса предусмотрено проведение 2 контрольных работ и сдача одного эссе. Основная форма контроля – письменный экзамен. Необходимым условием отличной оценки на экзамене является отлично выполненные контрольные работы (20% итоговой оценки), сдача всех домашних заданий в течение семестра (5% итоговой оценки) и эссе (20% итоговой оценки), полное владение теоретическим материалом, отлично выполненная экзаменационная работа (55% итоговой оценки). Необходимым условием хорошей оценки на экзамене является твердое знание основ курса, сдача всех домашних заданий и эссе, хорошо выполненные контрольные работы и экзаменационное исследование. V. Учебно-методическое обеспечение курса Основная литература: 1. Enders W. Applied Econometric Time Series. John Wiley & Sons, Inc., 1995 2. Mills, T.C. The Econometric Modelling of Financial Time Series. Cambridge University Press, 1999 3. Andrew C. Harvey. Time Series Models. Harvester wheatsheaf, 1993. 4. Andrew С. Harvey. The Econometric Analysis of Time Series. Philip Allan, 1990. 5. Канторович Г.Г. Лекции по курсу «Анализ временных рядов». Экономический журнал ВШЭ, 2002 Дополнительная литература: 1. Econometric Views 4.0 User's Guide. Quantitative Micro Software, LLC. 6

2. Banerjee, A., J.J. Dolado, and D.V. Hendry. Co-Integration, Error Correction, and Econometric Analysis of Non-Stationary Data. Oxford University Press, 1993 3. Maddala, G.S. And Kim In-Moo. Unit Roots, Cointegration, and Structural Change. Cambridge University Press, 1998 4. P. J. Brockwell, R. A. Davis, Introduction to Time Series and Forecasting. Springer, 1996 5. J. Johnston, J. DiNardo. Econometric Methods. McGraw-Hill, 1997. 6. W. Charemza, D. Deadman. New Directions in Econometric Practice. Edward Elgar Publishing Limited, 1997. 7. R. I. D. Harris. Using Cointegration Analysis in Econometric Modeling. Prentice Hall, 1995 Компьютерные программы: Основной компьютерной программой, используемой в курсе, является программа Econometric Views (версии 3.1 и последующие). Используются также электронные таблицы Excel.

Приложение 1. Примеры заданий для семинарских занятий Оператор запаздывания 1. Пусть L – оператор запаздывания, т.е. Lm yt ≡ y t −m . Покажите, что оператор запаздывания обладает следующими свойствами: I). Lc = c ; II). Li + L j yt = y t −i + y t − j (дистрибутивный закон);

(

)

III). Li L j yt = yt −i − j (ассоциативный закон умножения); IV). L−i = yt +i ;

(

)

V). Если a < 1 , то 1 + aL + a 2 L2 + a 3 L3 + K yt =

(

yt ; 1 − aL

)

VI). Если a > 1 , то 1 + (aL )−1 + (aL )−2 + (aL )−3 + K yt = −

aL yt . 1 − aL

2. Найдите значения следующих выражений: 2 а). 1 − 0,6 L −1 б). 1 − 0,9 L 2,6 в). 1 + 0,3L −3 г). 1 + 0,5L 0,7 д). 1 − 1,1L + 0,24 L2 − 2,88 е). 1 + 0,2 L − 0,24 L2 − 2,1 ж). 1 − 0,3L − 0,4 L2

7

2,04

з).

1 + 0,9 L + 0,14 L2 Ответ: а) 5; б) –10; в) 2; г) –2; д) 5; е) –2; ж) –7; з) 1

3. Перепишите случайные процессы с использованием операторов запаздывания ε t ~ WN 0, σ 2 : а). yt = a0 + a1 y t −1 + a 2 yt −2 + K + a p yt − p + ε t ;

(

(

))

б). yt = a0 + ε t + β1ε t −1 + β 2ε t −2 + K + β q ε t −q ; в). yt = a0 + a1 yt −1 + a 2 yt −2 + K + a p yt − p + ε t + β1ε t −1 + β 2ε t −2 + K + β q ε t −q ; г). y t = 0,3 + 0,7 y t −1 + ε t ; д). y t = 6 − 0,5 y t −1 + ε t ; е). y t = −5 − 21 y t −1 + 7 y t − 2 + ε t ; ж). y t = 4 + y t −1 + ε t ; з). y t = 1 + 0,4 y t −1 − y t − 2 + 0,7 y t −3 + ε t ; и). y t = 3 y t − 2 − 3 y t −3 + ε t ; к). y t = −1 + ε t + 0,3ε t −1 + 0,6ε t − 2 ; л). y t = 7 + 2 y t −1 + 2 y t − 2 + 4 y t − 4 + ε t + ε t − 2 + 3ε t −3 − ε t −5 .

(

))

(

))

4. Покажите, что процесс yt = a0 + a1 yt −1 + ε t , ( a1 < 1 и ε t ~ WN 0, σ ε2 , эквивалентен процессу MA(∞ ) . ∞ a Ответ: yt = 0 + ε t ∑ a1i Li 1 − a1 i =0

5. Покажите, что процесс yt = a0 + ε t + β1ε t −1 , ( β1 < 1 и ε t ~ WN 0, σ ε2 ,

эквивалентен процессу AR(∞ ) . ∞ a0 ⎛ ⎞ + εt Ответ: yt ⎜1 + ∑ (− β1 )i Li ⎟ = ⎝ i =1 ⎠ 1 + β1 Стационарность и обратимость случайных процессов 6. При каких условиях процесс авторегрессии первого порядка yt = a0 + a1 yt −1 + ε t ,

(

)

где ε t ~ WN 0, σ ε2 , является слабо стационарным? Покажите по определению. 7. 8. Выведите формулы для вычисления математического ожидания (μ ) , дисперсии (γ 0 ) и ковариаций (γ s ) следующих случайных процессов при условии их слабой

(

)

стационарности, если ε t ~ WN 0, σ ε2 и E (ε t yt − s ) = 0, ∀ s ≥ 1 : а). б). в). г). д).

yt yt yt yt yt

= a0 + a1 yt −1 + ε t ; = a0 + a1 yt −1 + a 2 yt −2 + ε t ; = a0 + ε t + β1ε t −1 ; = a0 + ε t + β1ε t −1 + β 2ε t −2 ; = a0 + ε t + β1ε t −1 + β 2ε t −2 + K + β q ε t −q ; ∞

е). yt = a0 + ε t + ∑ β i ε t −i ; i =1

8

ж). yt = a0 + a1 y t −1 + ε t + β1ε t −1 ; з). yt = a0 + a1 y t −1 + a 2 yt −2 + ε t + β1ε t −1 ; и). yt = a0 + a1 yt −1 + ε t + β1ε t −1 + β 2ε t −2 ; к). yt = a0 + a1 yt −1 + a 2 yt −2 + ε t + β1ε t −1 + β 2ε t −2 . Ответ: а) μ =

γ0 =

a0 a0 a1s 1 2 2 , γ0 = σ , γ = σ , ∀ s ≥ 1 ; б) μ , = ε ε s 1 − a1 1 − a1 − a 2 1 − a12 1 − a12

1 − a2

(1 + a 2 )((1 − a 2 )2

⎧ a1 γ 0, ⎪ σ , γ s = ⎨1 − a 2 ε − a12 ⎪a γ ⎩ 1 s −1 + a 2γ s −2 ,

)

2

s =1

.

s ≥2

9. Пусть ε t ~ WN (0, 1) . Найдите математическое ожидание, дисперсию и ковариации следующих случайных процессов: А). yt = 0,1 + 0,9 yt −1 + ε t ; Б). yt = −0,4 yt −1 + ε t ; В). y t = 1 + 1,3 y t −1 − 0,4 y t − 2 + ε t ; Г). y t = 1,2 y t −1 − 0,61y t −2 + ε t ;

Д). y t = 1 + ε t + 0,5ε t −1 ; Е). yt = ε t − ε t −1 ; Ж). yt = −1 + ε t − 1,3ε t −1 − 0,4ε t −2 ; И). yt = 3 + ε t − 1,2ε t −1 − 0,61ε t −2 ; К). yt = −1 + 0,5 yt −1 + ε t − 0,7ε t −1 ; Л). yt = 1,7 − 0,6 yt −1 − 0,1yt −2 + ε t − ε t −1 . 10. При каких условиях на параметры модели следующие случайные процессы являются обратимыми: А). yt = a0 + a1 y t −1 + ε t ; Б). yt = a0 + a1 y t −1 + a 2 yt −2 + K + a p yt − p + ε t ; В). yt = a0 + ε t + β1ε t −1 ; Г). yt = a0 + ε t + β1ε t −1 + β 2ε t −2 ; Д). yt = a0 + ε t + β1ε t −1 + β 2ε t −2 + K + β q ε t −q ; Е). yt = a0 + a1 y t −1 + ε t + β1ε t −1 ; Ж). yt = a0 + a1 y t −1 + a 2 yt −2 + K + a p yt − p + ε t + β1ε t −1 ; З). yt = a0 + a1 y t −1 + a 2 yt −2 + K + a p y t − p + ε t + β1ε t −1 + β 2ε t −2 . 11. При каких условиях случайный процесс ARMA(p, q) является стационарным второго порядка и обратимым? 12. Является ли стационарным в широком смысле процесс авторегрессии первого порядка, если ε t ~ WN 0, σ ε2 ? Почему? В случае если процесс является ковариационно стационарным, вычислите средний уровень его значений. А). yt = 0,1 + 0,9 yt −1 + ε t ; Б). yt = 3 − 0,5 yt −1 + ε t ;

(

(

))

9

В). Г). Д). Е).

yt yt yt yt

= −6 + 0,7 y t −1 + ε t ; = −0,4 y t −1 + ε t ; = −1 + y t −1 + ε t ; = 4 − y t −1 + ε t .

13. Для следующих процессов авторегрессии второго порядка: А). yt = 1 + 1,3 y t −1 − 0,4 yt −2 + ε t ; Б). yt = −0,3 yt −1 + 0,28 yt −2 + ε t ; В). yt = 10 − 1,1yt −1 − 0,3 y t −2 + ε t ; Г). yt = 7 + 0,2 y t −1 + 0,8 yt −2 + ε t ; Д). yt = 13 − 1,3 yt −1 − 0,3 yt −2 + ε t ; Е). yt = −3 − 0,5 y t −1 + 0,5 yt −2 + ε t ; Ж). yt = 1,2 yt −1 − 0,61y t −2 + ε t ; З). yt = 6 − 1,6 yt −1 − y t −2 + ε t ; И). yt = −0,49 + 0,6 yt −1 − 0,58 yt −2 + ε t ; К). yt = −2 − y t −2 + ε t

(

)

при условии, что ε t ~ WN 0, σ ε2 , I). Найдите характеристические корни соответствующего однородного уравнения λi . 1 . II). Покажите, что корни обратного характеристического уравнения равны

λi

III). Является ли данный стохастический процесс стационарным второго порядка? Почему? IV). Если случайный процесс является стационарным в широком смысле, найдите средний уровень его значений. Ответы: I). а). (α 1 = 0,5; α 2 = 0,8) ; б). (α 1 = −0,7; α 2 = 0,4 ) ; в). (α 1 = −0,5; α 2 = −0,6 ) ; г). (α 1 = 1; α 2 = −0,8 − UR ) ; д). (α 1 = −1; α 2 = −0,3 − UR ) ; е). (α1 = −1; α 2 = 0,5 − UR ) ; ж). (α1,2 = 0,6 ± 0,5i ) ; з). (α1,2 = −0,8 ± 0,6i − UR ) ; и).

(α1,2 = 0,3 ± 0,7i ) ; к). (α1,2 = i − UR ) .

14. Для каждой из следующих моделей: А). yt = 1,2 + 0,7 yt −1 + ε t − 0,2ε t −1 ; Б). yt = 2 + y t −1 + ε t + 0,6ε t −1 ; В). yt = 1 − 0,5 yt −1 + ε t − ε t −1 ; Г). yt = −2 yt −1 + ε t + 3ε t −1 ; Д). y t = 0,6 + 0,3 y t −1 + 0,4 y t − 2 + ε t − 0,7ε t −1 Е). y t = 3 + 0,5 y t −1 + 0,5 y t − 2 + ε t + 0,5ε t −1 Ж). y t = 1,2 + 0,9 y t −1 − 0,2 y t − 2 + ε t − ε t −1 З). y t = −2 + 2 y t −1 − y t − 2 + ε t + ε t −1 И). y t = −3.2 − 0,6 y t −1 + ε t + 0,1ε t −1 − 0.3ε t − 2 К). y t = −1,3 − y t −1 + ε t − 1,1ε t −1 + 0.3ε t − 2 Л). y t = 1 + 0,9 y t −1 + ε t + ε t −1 + ε t − 2 М). y t = −5 + y t −1 + ε t − 2ε t −1 + ε t − 2 y t = −3.2 − 0,6 y t −1 + ε t + 0,1ε t −1 − 0.3ε t − 2 10

(

)

при условии, что ε t ~ WN 0, σ ε2 : I). Проверьте, является ли данный процесс стационарным в широком смысле; II). Проверьте, является ли данный процесс обратимым; III). Представьте процесс в виде MA(∞ ) , если это возможно; IV). Представьте процесс в виде AR(∞ ) , если это возможно. Автокорреляционная и частная автокорреляционная функции 15. Пусть ε t ~ WN 0, σ ε2 , η t ~ WN 0, σ η2 . Покажите, что автокорреляционные функции следующих случайных процессов совпадают: А). yt = a0 + a1 y t −1 + ε t и xt = a1 xt −1 + η t ;

(

)

(

)

Б). yt = a0 + a1 y t −1 + a 2 yt −2 + ε t и xt = a1 xt −1 + a 2 xt −2 + η t ; В). yt = a0 + a1 y t −1 + a 2 yt −2 + K + a p yt − p + ε t и xt = a1 xt −1 + a 2 xt −2 + K + a p xt − p + η t .

16. Выведите автокорреляционную функцию случайного процесса yt , если известно,

(

)

что ε t ~ WN 0, σ ε2 : А). yt = a0 + a1 y t −1 + ε t ; Б). yt = a0 + a1 y t −1 + a 2 yt −2 + ε t . 17. При каких значениях a 2 следующие случайные процессы являются

(

)

стационарными в широком смысле, если ε t ~ WN 0, σ ε2 ? Выведите 1 автокорреляционные функции данных случайных процессов при a 2 = − . 2 А). yt = yt −1 + a 2 yt −2 + ε t ; Б). yt = − yt −1 + a 2 y t −2 + ε t . 18. При каких условиях на параметры a1 и a 2 процесс авторегрессии второго порядка является ковариационно стационарным? 19. Покажите, что если процесс авторегрессии второго порядка является слабо стационарным, то ρ1 < 1 .

(

)

(

)

20. Пусть ε t ~ WN 0, σ ε2 , η t ~ WN 0, σ η2 Покажите, что автокорреляционные функции следующих случайных процессов совпадают: А). yt = a0 + ε t + β1ε t −1 и xt = η t + β1η t −1 ; Б). yt = a0 + ε t + β1ε t −1 + β 2ε t −2 и xt = η t + β1η t −1 + β 2η t −2 ; В). yt = a0 + ε t + β1ε t −1 + β 2ε t −2 + K + β q ε t −q и xt = η t + β1η t −1 + β 2η t −2 + K + β qη t −q .

11

21. Выведите автокорреляционную функцию случайного процесса yt , если известно,

(

)

что ε t ~ WN 0, σ ε2 : А). yt = ε t + β1ε t −1 ; Б). yt = ε t + β1ε t −1 + β 2ε t −2 ; В). yt = ε t + β1ε t −1 + β 2ε t −2 + β 3ε t −3 ; Г). yt = ε t + β1ε t −1 + β 2ε t −2 + K + β q ε t −q . 22. Для процесса скользящего среднего первого порядка y t = ε t + β 1ε t −1 покажите, что I). ρ 1 < 1 для ∀ β 1 ; II). sign ρ 1 = sign β 1 . 23. Для процесса скользящего среднего второго порядка yt = ε t + β1ε t −1 + β 2ε t −2 I). Выведите автокорреляционную функцию ρ s ; II). Найдите условия на коэффициенты β1 , β 2 , при которых выполняется соотношение ρ1 > ρ 2 . ⎧ β1 (1 + β 2 ) , s = 1; ⎪ 2 2 1 + + β β 1 2 ⎪ ⎪⎪ β2 β2 II). . Ответ: I). ρ s = ⎨ , = 2 ; > s β 1 2 2 1 + β 1 + + β β 2 ⎪ 1 2 ⎪0, s ≥ 3; ⎪ ⎪⎩

24. Для процесса скользящего среднего порядка q покажите, что sign ρ q = sign β q .

(

)

(

)

25. Пусть ε t ~ WN 0, σ ε2 , η t ~ WN 0, σ η2 Покажите, что автокорреляционные функции следующих случайных процессов совпадают: а). yt = a0 + a1 y t −1 + ε t + β1ε t −1 и xt = a1 xt −1 + η t + η1ε t −1 ; б). yt = a0 + a1 y t −1 + a 2 yt −2 + K + a p yt − p + ε t + β1ε t −1 + β 2ε t −2 + K + β q ε t −q и xt = a1 xt −1 + a 2 xt −2 + K + a p xt − p + η t + β1η t −1 + β 2η t −2 + K + β qη t −q .

(

)

26. Пусть процесс ARMA(1, 1) является слабо стационарным и ε t ~ WN 0, σ ε2 . Покажите, что выполняются следующие соотношения: ⎧ (1 + a1 β1 )(a1 + β1 ) , s = 1; ⎪ 2 а). ρ s = ⎨ 1 + β1 + 2a1 β1 , ⎪ s −1 s ≥ 2. ⎩a1 ρ1 , б). ρ s < ρ s −1 для ∀s ≥ 1 .

(

)

27. Найдите параметры модели AR(2), если: 13 113 ; а). ρ 0 = 1 , ρ 1 = , ρ 2 = 14 140

12

13 113 , ρ2 = ; 14 140 11 41 ; в). ρ 0 = 1 , ρ 1 = , ρ 2 = 13 65 11 41 г). ρ 0 = 1 , ρ 1 = − , ρ 2 = ; 13 65 2 д). ρ 0 = 1 , ρ 1 = , ρ 2 = 0 ; 3 2 е). ρ 0 = 1 , ρ 1 = − , ρ 2 = 0 ; 3 1 7 ж) ρ 0 = 1 , ρ 1 = , ρ 2 = ; 3 15 1 7 з). ρ 0 = 1 , ρ 1 = − , ρ 2 = ; 3 15 1 13 и). ρ 0 = 1 , ρ 1 = , ρ 2 = − ; 7 15 1 13 к). ρ 0 = 1 , ρ 1 = − , ρ 2 = − . 7 15 Ответ: а). a1 = 1,3; a 2 = −0,4 ; б). a1 = −1,3; a 2 = −0,4 ; в). a1 = 1,1; a 2 = −0,3 ; г). a1 = −1,1; a 2 = −0,3 ; д) a1 = 1,2; a 2 = −0,8 ; е). a1 = −1,2; a 2 = −0,8 ; ж). a1 = 0,2; a 2 = 0,4 ; з). a1 = −0,2; a 2 = 0,4 ; и). a1 = 0,2; a 2 = −0,4 ; к). a1 = −0,2; a 2 = −0,4 . б). ρ 0 = 1 , ρ 1 = −

28. Найдите обратимый процесс, автокорреляционная функция которого имеет следующий вид: а). ρ 0 = 1 , ρ 1 = 0,25 , ρ s = 0 для ∀s ≥ 2 ; б). ρ 0 = 1 , ρ 1 = −0,25 , ρ s = 0 для ∀s ≥ 2 ; 2 в). ρ 0 = 1 , ρ 1 = , ρ s = 0 для ∀s ≥ 2 ; 5 2 г). ρ 0 = 1 , ρ 1 = − , ρ s = 0 для ∀s ≥ 2 ; 5 15 , ρ s = 0 для ∀s ≥ 2 ; д). ρ 0 = 1 , ρ 1 = 34 15 е). ρ 0 = 1 , ρ 1 = − , ρ s = 0 для ∀s ≥ 2 . 34 1 1 Ответ: а). β 1 = 2 − 3 ; б). β 1 = −2 + 3 ; в). β 1 = ; г). β 1 = − ; д). β 1 = 0,6 ; е). 2 2 β 1 = −0,6 . 29. Покажите, что случайные процессы, автокорреляционные функции которых обладают следующими свойствами, являются необратимыми: а). ρ 0 = 1 , ρ1 = 0,5 , ρ s = 0 для ∀s ≥ 2 ; б). ρ 0 = 1 , ρ 1 = −0,5 , ρ s = 0 для ∀s ≥ 2 . Ответ: а). β 1 = 1 ; б). β 1 = −1 . 30. Найдите параметры модели ARMA(1, 1), если

13

13 91 ; ρ2 = − ; 19 190 11 11 ; ρ2 = − ; б). ρ 0 = 1 ; ρ1 = 175 350 31 93 в). ρ 0 = 1 ; ρ1 = ; ρ 2 = ; 41 205 38 134 ; ρ2 = ; г). ρ 0 = 1 ; ρ1 = − 155 775 38 134 ; ρ2 = ; д). ρ 0 = 1 ; ρ1 = 155 775 31 93 ; е). ρ 0 = 1 ; ρ1 = ; ρ 2 = − 41 205 31 62 ж). ρ 0 = 1 ; ρ1 = ; ρ2 = ; 46 230 19 19 ; ρ2 = − ; з). ρ 0 = 1 ; ρ1 = 110 275 19 19 ; ρ2 = − ; и). ρ 0 = 1 ; ρ1 = − 110 275 31 62 к). ρ 0 = 1 ; ρ1 = ; ρ2 = − ; 46 230 Ответ: а). a1 = 0,7, β1 = −0,5 ; б). a1 = −0,5, β1 = 0,9 ; в). a1 = 0,6, β1 = 0,4 ; г) a1 = −0,6, β1 = 0,4 ; д). a1 = 0,6, β1 = −0,4 ; е). a1 = −0,6, β1 = −0,4 ; ж). a1 = 0,4, β1 = 0,6 ; з). a1 = −0,4, β1 = 0,6 ; и). a1 = 0,4, β1 = −0,6 ; к). a1 = −0,4, β1 = −0,6 . а). ρ 0 = 1 ; ρ1 = −

31. Пусть q

(

2

)

y t = ε t + ∑ β i ε t −i , i =1

где ε t ~ WN 0, σ ε и 1 а). β i = , ∀i = 1, q ; 1+ q q б). β i = , ∀i = 1, q ; 1+ q 1 в). β i = , ∀i = 1, q ; 1+ i i г). β i = , ∀i = 1, q . 1+ i В каждом из случаев(а-г) выясните: I). Является ли данный процесс стационарным в широком смысле? Почему? II). Выведите его автокорреляционную функцию. 32. Выведите частную автокорреляционную функцию слабостационарного случайного процесса y t , т.е. выразите k-е значение частной автокорреляционной функции φ kk через 1-е,…, k-е значение автокорреляционной функции ρ1 ,K, ρ k . (Примечание: найдите φ11 , φ 22 , φ 33 , φ kk ). 14

(

)

(

)

33. Пусть ε t ~ WN 0, σ ε2 , η t ~ WN 0, σ η2 . Покажите, что частные автокорреляционные функции следующих слабо стационарных случайных процессов совпадают: а). yt = a0 + a1 y t −1 + ε t и xt = x1 y t −1 + η t ; б). yt = a0 + a1 y t −1 + a 2 yt −2 + ε t и xt = a1 xt −1 + a 2 xt −2 + η t ; в). yt = a0 + a1 y t −1 + a 2 yt −2 + K + a p yt − p + ε t и xt = a1 xt −1 + a 2 xt −2 + K + a p yt − p + η t .

г). yt = a0 + ε t + β1ε t −1 и xt = η t + β1η t −1 ; д). yt = a0 + ε t + β1ε t −1 + β 2ε t −2 и xt* = η t + β1η t −1 + β 2η t −2 ; е). yt = a0 + ε t + β1ε t −1 + β 2ε t −2 + K + β q ε t −q и xt = η t + β1η t −1 + β 2η t −2 + K + β qη t −q .

Ж). yt = a0 + a1 y t −1 + ε t + β1ε t −1 и xt = a1 xt −1 + η t + β1η t −1 ; З). yt = a0 + a1 y t −1 + a 2 yt −2 + K + a p yt − p + ε t + β1ε t −1 + β 2ε t −2 + K + β q ε t −q и xt = a1 xt −1 + a 2 xt −2 + K + a p xt − p + η t + β1η t −1 + β 2η t −2 + K + β qη t −q .

34. Для модели AR(1) yt = a0 + a1 y t −1 + ε t

( a1 < 1 и ε t ~ WN (0, σ ε2 )) , покажите, что

⎧a1 , k = 1; ⎩0, k ≥ 2.

φ kk = ⎨

(

)

35. Пусть процесс AR(2) является стационарным в широком смысле и ε t ~ WN 0, σ ε2 . Покажите, что ⎧ a1 k = 1; ⎪1 − a , 2 ⎪ ⎪⎪ a12 a 2 + a 2 (1 − a 2 )2 k = 2; φ kk = ⎨ , ( )( ) − − + − a a a a 1 1 1 2 1 2 ⎪ ⎪0, k ≥ 3. ⎪ ⎪⎩

(

)

36. Пусть процесс AR(p) является стационарным в широком смысле. Покажите, что φ p +1, p +1 = 0 . Примеры заданий для практических занятий в компьютерном классе

Семинар №1 Автокорреляционная и частная автокорреляционная функции

1. Откройте файл T:\CP-1-Generated-Students.wf 2. Постройте графики процессов WN* (любых 2-3). Постройте ACF и PACF данных процессов. Есть ли значимые автокорреляции __________________ частные автокорреляции____________

15

Проверьте, являются ли данные процессы нормальными. Какой тест будете использовать для проверки нормальности процесса? __________________________. Являются ли процессы нормальными? ___________. 3. Постройте графики процессов AR1*, AR2*, MA11, MA2, ARMA11. Постройте ACF и PACF данных процессов. Есть ли значимые AR1* автокорреляции __________________ частные автокорреляции____________ AR2* автокорреляции __________________ частные автокорреляции____________ MA11 автокорреляции __________________ частные автокорреляции____________ MA2 автокорреляции __________________ частные автокорреляции____________ ARMA11 автокорреляции __________________ частные автокорреляции____________ Проверьте, являются ли остатки данных процессов нормальными. Какой тест будете использовать для проверки нормальности остатков процесса? __________________________. Являются ли остатки данных процессов нормальными? ___________. Проверьте, являются ли остатки данных процессов автокоррелированными. Какой тест будете использовать для проверки автокоррелированности остатков процесса? __________________________. Являются ли остатки данных процессов автокоррелированными? ___________. 4. Постройте графики процессов Y1-Y9. Постройте ACF и PACF данных процессов. Есть ли значимые Y1 автокорреляции __________________ частные автокорреляции____________ Y2 автокорреляции __________________ частные автокорреляции____________ Y3 автокорреляции __________________ частные автокорреляции____________ Y4 автокорреляции __________________ частные автокорреляции____________ Y5 автокорреляции __________________ частные автокорреляции____________ Y6 автокорреляции __________________ частные автокорреляции____________ Y7 автокорреляции __________________ частные автокорреляции____________ Y8 16

автокорреляции __________________ частные автокорреляции____________ Y9 автокорреляции __________________ частные автокорреляции____________ Для каждого из процессов оцените модели ARMA(p, q), (p, q<=2). Выберете лучшую модель с точки зрения информационных критериев Акаике и Шварца. Y1 Критерий p\q 0 1 2 0 AIC 1 2 BIC

Y2 Критерий AIC

BIC

Y3 Критерий AIC

BIC

Y4 Критерий AIC

BIC

Y5 Критерий AIC

BIC

0 1 2 p\q 0 1 2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0 1 2 p\q 0 1 2 0 1 2 p\q 0 1 2 0 1 2 p\q 0 1 2 0 1

17

2

Y6 Критерий AIC

BIC

Y7 Критерий AIC

BIC

Y8 Критерий AIC

BIC

Y9 Критерий AIC

BIC

p\q 0 1 2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0 1 2 p\q 0 1 2 0 1 2 p\q 0 1 2 0 1 2 p\q 0 1 2 0 1 2

Проверьте, являются ли остатки выбранных моделей нормальными. Какой тест будете использовать для проверки нормальности остатков процесса? __________________________. Являются ли остатки нормальными? ___________. Проверьте, являются ли остатки выбранных моделей автокоррелированными. Какой тест будете использовать для проверки автокоррелированности остатков? __________________________. Являются ли остатки автокоррелированными? ___________. Семинар №2 Нестационарные случайные процессы

18

1. Создайте файл Eviews, воспользовавшись данными из файла MExcel (c:\TSA\CP-2WN). В файле представлены 10 последовательностей из 1000 наблюдений, ε t ≈ GWN (0, 1) . 2. В созданном файле постройте графики данных процессов (любых 2-3). Постройте ACF и PACF данных процессов. Есть ли значимые автокорреляции __________________ частные автокорреляции____________ Проверьте нормальность процесса. Какой тест будете использовать для проверки нормальности процесса? ______________________________________. Являются ли процессы нормальными? ___________. 3. Сгенерируйте процессы AR(1): y t = a 0 + a1 y t −1 + ε t , ε t ≈ GWN (0, 1) с различными ε t и параметрами a0 и a1 равными: 3.1. a 0 = 0, a1 = 0,5 ; 3.2. a 0 = 0, a1 = −0,9 ; 3.3. a 0 = 0, a1 = 0,99 ; 3.4. a 0 = 0, a1 = 1 ; 3.5. a 0 = 5, a1 = −0,5 ; 3.6. a 0 = −7, a1 = 0,9 ; 3.7. a 0 = 5, a1 = 0,99 ; 3.8. a 0 = 2, a1 = 1 . 4. Постройте: Графики процессов. В чем состоит разница между ними? ______________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ______________________________________________________________ Постройте ACF и PACF. Можно ли сделать однозначные выводы о типе процесса в случаях 3.4 и 3.8? Почему?________________________________________________ _____________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ В остальных случаях? Почему? _________________________________________________ _____________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ Измените количество наблюдений до 500 (250, 100, 50, 10) и посмотрите как при этом изменяются графики автокорреляционных и частных автокорреляционных функций данных процессов. _______________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Постройте графики первых разностей процессов? Какова разница между ними и графиками самих процессов?____________________________________________________ _____________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ Постройте ACF и PACF первых разностей. Какова разница между ними и ACF и PACF самих процессов?______________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ Оцените AR(1): y t = a 0 + a1 y t −1 + ε t , ε t ≈ GWN (0, 1) для каждого из случаев 3.1.–3.8: 19

a0

a1

t-стат.

RSS

AIC

BIC

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Сформулируйте гипотезу о наличии единичного корня и альтернативную: ________________________________________________________________________ Можно ли отвергнуть H 0 в каждом из восьми случаев? Почему? 3.1. ________________________________________________ 3.2. ________________________________________________ 3.3. ________________________________________________ 3.4. ________________________________________________ 3.5. ________________________________________________ 3.6. ________________________________________________ 3.7. ________________________________________________ 3.8. ________________________________________________ Какую статистику необходимо использовать для проверки нулевой гипотезы? ____ Оцените AR(1): Δy t = a 0 + γy t −1 + ε t , ε t ≈ GWN (0, 1) для каждого из случаев 3.1.–3.8: γ t-стат. RSS AIC BIC a0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Сформулируйте гипотезу о наличии единичного корня и альтернативную: ________________________________________________________________________ Какую статистику необходимо использовать для проверки нулевой гипотезы? __________ Можно ли отвергнуть H 0 в каждом из восьми случаев? Почему? 3.1. ________________________________________________ 3.2. ________________________________________________ 3.3. _______________________________________________ 3.4. ________________________________________________ 3.5. ________________________________________________ 3.6. ________________________________________________ 3.7. ________________________________________________ 3.8. ________________________________________________ Оцените AR(1): Δy t = a 0 + a 2 t + γy t −1 + ε t , ε t ≈ GWN (0, 1) для случаев 3.2.–3.4 и 3.5–3.8: γ t-стат. RSS AIC BIC a2 a0 3.2 3.3 3.4 3.6

20

3.7 3.8 Сформулируйте гипотезу о наличии единичного корня и альтернативную: ________________________________________________________________________ Какую статистику необходимо использовать для проверки нулевой гипотезы? ____ Можно ли отвергнуть H 0 в каждом случае? Почему? 3.2. ________________________________________________ 3.3. ________________________________________________ 3.4. ________________________________________________ 3.6. ________________________________________________ 3.7. ________________________________________________ 3.8. ________________________________________________ Оцените AR(1): Δy t = γy t −1 + ε t , ε t ≈ GWN (0, 1) для случаев 3.2.–3.4 и 3.5–3.8: γ t-стат. RSS AIC BIC 3.2 3.3 3.4 3.6 3.7 3.8 Сформулируйте гипотезу о наличии единичного корня и альтернативную: ________________________________________________________________________ Какую статистику необходимо использовать для проверки нулевой гипотезы? ____ Можно ли отвергнуть H 0 в каждом случае? Почему? 3.2. _______________________________________________ 3.3. ________________________________________________ 3.4. ________________________________________________ 3.6. ________________________________________________ 3.7. ________________________________________________ 3.8. ________________________________________________ Постройте статистики ϕ i для тестирования гипотез: 9.1. H 0 : γ = a0 = 0 9.2. H 0 : γ = a 0 = a 2 = 0 9.3. H 0 : γ = a 2 = 0 Как вычисляются соответствующие статистики?

Какими статистиками Вы будете пользоваться для тестирования каждой гипотезы? 9.1. _________________________ 9.2. _________________________ 9.3. _________________________ Отвергается ли нулевая гипотеза в каждом случае? 9.1. _________________________ 9.2. _________________________ 9.3. _________________________ Какую регрессию Вы выберете в каждом из случаев? (Напишите уравнение в общем виде.) 3.2. ______________+_________________________________ 3.3. ________________________________________________ 21

3.4. ________________________________________________ 3.6. ________________________________________________ 3.7. ________________________________________________ 3.8. ________________________________________________ Проверьте адекватность выбранных регрессий: Постройте ACF и PACF остатков. Можно ли сказать, что остатки являются «белым шумом»? Почему? 3.2. ____________________________________________________________ 3.3. ____________________________________________________________ 3.4. ____________________________________________________________ 3.6. ____________________________________________________________ 3.7. ____________________________________________________________ 3.8. ____________________________________________________________ Проверьте автокоррелированность остатков. Какой тест будете использовать для этого? __________________________________________________________________ Являются ли остатки автокоррелированными? 3.2. ____________________________________________________________ 3.3. ____________________________________________________________ 3.4. ____________________________________________________________ 3.6. ____________________________________________________________ 3.7. ____________________________________________________________ 3.8. ____________________________________________________________ Проверьте нормальность остатков. Можно ли по результатам теста сделать вывод о том, что остатки являются «гауссовым белым шумом»? 3.2. ____________________________________________________________ 3.3. ____________________________________________________________ 3.4. ____________________________________________________________ 3.6. ____________________________________________________________ 3.7. ____________________________________________________________ 3.8. ____________________________________________________________ Что можно сказать об адекватности подобранных моделей? 3.2. ____________________________________________________________ 3.3. ____________________________________________________________ 3.4. ____________________________________________________________ 3.6. ____________________________________________________________ 3.7. ____________________________________________________________ 3.8. ____________________________________________________________ Семинар №3 Нестационарность случайных процессов. Тест Дикки-Фуллера Компьютерная практика № 3

1. Откройте файл Eviews C:\Time Series Analysis\CP-3.wf. 2. В файле даны временные ряды m2, db (денежной базы), ppi (индекса цен производителей), cpi (индекса потребительских цен), ex_rate (обменного курса, руб/$), ppp (паритета покупательной способности). Постройте графики всех рядов. Можно ли по графикам сделать выводы о наличии тренда? о стационарности данных рядов?___________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 22

3. Проверьте все ряды на стационарность при помощи теста Дикки-Фуллера на интервале 1992:09 – 2000:12. Каков порядок интегрированности рядов (если они нестационарны)? Модели с каким количеством лагов Вы выбираете? Ряд Стационарен или нет Пор-к интегрированности Кол-во лагов M2 DB PPI CPI Ex_rate PPP 4. Постройте ряды логарифмов (log_y). Постройте графики всех рядов. Можно ли по графикам сделать выводы о наличии тренда? о стационарности данных рядов?__________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 5. Проверьте все ряды на стационарность при помощи теста Дикки-Фуллера на интервале 1992:09 – 2000:12. Каков порядок интегрированности рядов (если они нестационарны)? Модели с каким количеством лагов Вы выбираете? Ряд Стационарен или нет Пор-к интегрированности Кол-во лагов Log_M2 Log_DB Log_PPI Log_CPI Log_Ex_rate Log_PPP 6. Постройте ряды логарифмов (y_gr). Постройте графики всех рядов. Можно ли по графикам сделать выводы о наличии тренда? о стационарности данных рядов?__________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 7. Проверьте все ряды на стационарность при помощи теста Дикки-Фуллера на интервале 1992:09 – 2000:12. Каков порядок интегрированности рядов (если они нестационарны)? Модели с каким количеством лагов Вы выбираете? Ряд Стационарен или нет Пор-к интегрированности Кол-во лагов M2_gr DB_gr PPI_gr CPI_gr Ex_rate_gr PPP_gr Приложения Статистика Dickey-Fuller Вероятность меньшего значения

23

Размер выборки 25 50 100 250 500 ∞ 25 50 100 250 500 ∞

0,01

0,025

Вероятность меньшего значения 0,05 0,10 0,90 0,95

-2.66 -2.62 -2.60 -2.58 -2.58 -2.58

-2.26 -2.25 -2.24 -2.23 -2.23 -2.23

-1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95

-3.75 -3.58 -3.51 -3.46 -3.44 -3.43

-3.33 -3.22 -3.17 -3.14 -3.13 -3.12

-3.00 -2.93 -2.89 -2.88 -2.87 -2.86

τ -1.60 -1.61 -1.61 -1.62 -1.62 -1.62 τμ

-2.62 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -2.57

0.92 -0.91 -0.90 -0.89 -0.89 -0.89 -0.37 -0.40 -0.42 -0.42 -0.43 -0.44

1.33 1.31 1.29 1.29 1.28 1.28 0.00 -0.03 -0.05 -0.06 -0.07 -0.07

0,975

0.99

1.70 1.66 1.64 1.63 1.62 1.62

2.16 2.08 2.03 2.01 2.00 2.00

0.34 0.29 0.26 0.24 0.24 0.23

0.72 0.66 0.63 0.62 0.61 0.60

ττ 25 50 100 250 500 ∞

-4.38 -4.15 -4.04 -3.99 -3.98 -3.96

-3.95 -3.80 -3.73 -3.69 -3.68 -3.66

-3.60 -3.50 -3.45 -3.43 -3.42 -3.41

-3.24 -3.18 -3.15 -3.13 -3.13 -3.12

-1.14 -1.19 -1.22 -1.23 -1.24 -1.25

-0.80 -0.87 -0.90 -.092 -0.93 -0.94

-0.50 -0.58 -0.62 -0.64 -0.65 -0.66

-0.15 -0.24 -0.28 -0.31 -0.32 -0.33

Вероятность меньшего значения 0,05 0,10 0,90 0,95

0,975

0.99

Проверка совместных гипотез

Размер выборки

0,01

0,025

25 50 100 250 500 ∞

0.29 0.29 0.29 0.30 0.30 0.30

0.38 0.39 0.39 0.39 0.39 0.40

0.49 0.50 0.50 0.51 0.51 0.51

φ1 0.65 0.66 0.67 0.67 0.67 0.67 φ2

25 50 100 250 500 ∞

0.61 0.62 0.63 0.63 0.63 0.63

0.75 0.77 0.77 0.77 0.77 0.77

0.89 0.91 0.92 0.92 0.92 0.92

1.10 1.12 1.12 1.13 1.13 1.13

4.12 3.94 3.86 3.81 3.79 3.78

5.18 4.86 4.71 4.63 4.61 4.59

6.30 5.80 5.57 5.45 5.41 5.38

7.88 7.06 6.70 6.52 6.47 6.43

4.67 4.31 4.16 4.07 4.05 4.03

5.68 5.13 4.88 4.75 4.71 4.68

6.75 5.94 5.59 5.40 5.35 5.31

8.21 7.02 6.50 6.22 6.15 6.09

5.91 5.61 5.47 5.39 5.36

7.24 6.73 6.49 6.34 6.30

8.65 7.81 7.44 7.25 7.20

10.61 9.31 8.73 8.43 8.34

φ3 25 50 100 250 500

0.74 0.76 0.76 0.76 0.76

0.90 0.93 0.94 0.94 0.94

1.08 1.11 1.12 1.13 1.13

1.33 1.37 1.38 1.39 1.39

24

∞

0.77

0.94

1.13

1.39

5.34

6.25

7.16

8.27

Семинар №4 Коинтеграция

1. Откройте файл C:\TSA\CP-2-wn.wf. 2. Сгенерируйте следующие ряды: rwy t : rwy 0 = −2, rwy t = rwy t −1 + wn1 yt : y t = rwyt + wn 2 rwz t : rwz t = rwy t + wn3 z1t : z1t = rwz t + wn 4 z 2 t : z 2 t = 1 + rwz t + wn5 z 3t : z 3t = @ trend + rwz t + wn6 z 4 t : z 4 t = −2 + @ trend + rwz t + wn7 3. Постройте кореллограммы процессов yt , zit . Какие выводы можно сделать о свойствах кореллограммы процесса случайного блуждания на основе полученных графиков. Процесс Свойства ACF Свойства PACF yt z1t z 2t z 3t z 4t

4. Найдите разности yt − zit . Является ли полученный процесс стационарным? стационарным около тренда? Процесс Является ли стационарным? Выражение для yt − zit yt − z1t yt − z 2 t y t − z 3t yt − z 4 t

5. Используя метод Энгла-Гренджера, найдите коинтеграционные соотношения между yt и zit , если они существуют (критическое значение соответствующей статистики равно –3,93). Процесс Коинтеграционное соотношение yt и z1t yt и z 2 t y t и z 3t yt и z 4 t

6. При помощи теста Йохансена проверьте наличие коинтеграционных соотношений между процессами yt и zit . Процесс Коинтеграционное соотношение 25

yt и z1t yt и z 2 t y t и z 3t yt и z 4 t

7. Проверьте совпадают ли коинтеграционный соотношения, построенные при помощи методов Энгла-Гренджера и Йохансена. Процесс Коинтеграционные соотношения yt и z1t yt и z 2 t y t и z 3t yt и z 4 t

8. Сгенерируйте следующие случайные процессы: yt zt

wt

rwy 0 = 0

rwz 0 = 0

rwy t = rwy t −1 + wn1

rwz t = rwz t −1 + wn 2

Стационарная «добавка»

sy 0 = 0

sz 0 = 0

sw0 = 0

sy t = 0,5syt −1 + wn3

sz t = 0,5sz t −1 + wn 4

swt = 0,5swt −1 + wn5

Серия

yt = rwy t + syt

z t = rwz t + sz t + 0,5sy t

wt = rwwt + swt +

Тренд

rwwt = rwy t + rwz t

+ 0,5sy t + 0,5sz t

9. Являются ли данные процессы слабо стационарными?______________ _________________________________________________________________________ _____________________________________________________ 10. При помощи метода Энгла-Гренджера оцените коинтеграционные соотношения, если они существуют. Оцените три зависимости ( yt от z t и wt , z t от yt и wt , wt от yt и z t ). Все с константой. Зависимая Коинтеграционное соотношение переменная yt zt wt

11. Оцените модели коррекции ошибки в виде 3

Δx1t = c + αe wt −1 + ∑ β i Δxit −1 + ε it , i =1

где xi = y, z , w , e wt −1 = коинтеграционное соотношение для wt . Зависимая Модель коррекции ошибки переменная Δyt Δz t Δwt

26

12. Откройте файл Eviews C:\Time Series Analysis\CP-3.wf. 13. В файле даны временные ряды m2, db (денежной базы), ppi (индекса цен производителей), cpi (индекса потребительских цен), ex_rate (обменного курса, руб/$), ppp (паритета покупательной способности). Постройте графики всех рядов. Можно ли по графикам сделать выводы о наличии тренда? о стационарности данных рядов?_____________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ _________________________________________________________ 14. Проверьте все ряды на стационарность при помощи теста Дикки-Фуллера на интервале 1992:09 – 2000:12. Каков порядок интегрированности рядов (если они нестационарны)? Модели с каким количеством лагов Вы выбираете? Ряд Стационарен или нет Пор-к интегрированности Кол-во лагов M2 DB PPI CPI Ex_rate PPP 15. Постройте ряды темпов прироста (log_y). Постройте графики всех рядов. Можно ли по графикам сделать выводы о наличии тренда? о стационарности данных рядов?__________________________________ ________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 16. Проверьте все ряды на стационарность при помощи теста Дикки-Фуллера на интервале 1992:09 – 2000:12. Каков порядок интегрированности рядов (если они нестационарны)? Модели с каким количеством лагов Вы выбираете? Ряд Стационарен или нет Пор-к интегрированности Кол-во лагов Log_M2 Log_DB Log_PPI Log_CPI Log_Ex_rate Log_PPP 17. Постройте ряды логарифмов (y_gr). Постройте графики всех рядов. Можно ли по графикам сделать выводы о наличии тренда? о стационарности данных рядов?____________________________________________________________________ 18. __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 19. Проверьте все ряды на стационарность при помощи теста Дикки-Фуллера на интервале 1992:09 – 2000:12. Каков порядок интегрированности рядов (если они нестационарны)? Модели с каким количеством лагов Вы выбираете? Ряд Стационарен или нет Пор-к интегрированности Кол-во лагов M2_gr DB_gr 27

PPI_gr CPI_gr Ex_rate_gr PPP_gr 20. Постройте группы переменных: Gr1=(M2 и DB), Gr2=(PPI и CPI), Gr3=(Ex_rate и PPP). 21. Получите сводную таблицу по различным модификациям теста Йохансена на коинтеграцию. Выберете лучшую модель с точки зрения информационных критериев Акаике и Шварца. Группа Критерий Акаике Критерий Шварца M2_gr DB_gr PPI_gr CPI_gr Ex_rate_gr PPP_gr 22. Проверьте существование коинтеграционных соотношений между парами рядов. Запишите их если они существуют. Группа Коинтеграционные соотношения M2_gr DB_gr PPI_gr CPI_gr Ex_rate_gr PPP_gr 23. Постройте модели коррекции ошибки (в случаях, когда это возможно) в виде Δy t = const + α Δxt + β ⋅ (коинтеграционное соотношение ) + ( запазд. разности ) Группа Модель коррекции ошибки M2_gr DB_gr PPI_gr CPI_gr Ex_rate_gr PPP_gr 24. Выберете любые два стационарных ряда и оцените модель векторной авторегрессии. _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ______

28