Рациональная аппроксимация и классы рациональных функций (автореф. дисс. на соиск. уч. ст. д-ра физ.мат.н.)

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УДК 517.5

С ТАРОВОЙТОВ Александр Павлович РАЦИОНАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ И КЛАССЫ ФУНКЦИЙ

01.01.01 – математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Минск, 2003

Работа выполнена в Белорусском государственном университете Научный консультант — доктор физико-математических наук, профессор Русак Валентин Николаевич Белорусский государственный университет, кафедра высшей математики и математической физики Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Шевчук Игорь Александрович Киевский национальный университет им. Т. Шевченко, кафедра математического анализа доктор физико-математических наук, профессор Ровба Евгений Алексеевич Гродненский государственнй университет им. Я. Купалы, кафедра теории функций, функционального анализа и прикладной математики доктор физико-математических наук, профессор Зверович Эдмунд Иванович Белорусский государственный университет, кафедра теории функций Оппонирующая организация — Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, г. Москва Защита состоится 19 декабря 2003 года в 10 часов на заседании совета по защите диссертаций Д 02.01.07 при Белорусском государственном университете по адресу: 220050, г. Минск, пр. Ф.Скорины, 4, ауд. 206. Телефон ученого секретаря: 226-55-41 С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Белорусского государственного университета Автореферат разослан “___”______ 2003 года Ученый секретарь совета по защите диссертаций, доктор физ.-мат. наук, профессор

А.А. Килбас

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы диссертации. Основой для развития современной теории рациональной аппроксимации послужили классические работы П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, Е. И. Золотарева, К. Вейерштрасса, К. Рунге. На первом этапе своего становления теория приближения рациональными дробями развивалась в основном в рамках исследований полиномиальной теории приближений. При этом при приближении функций вместо полиномов – рациональных функций с фиксированными полюсами в бесконечности – рассматривались рациональные дроби, полюса которых фиксированы и лежат в конечной комплексной плоскости. Глубокие результаты в этом случае получены П. Л. Чебышевым, А. А. Марковым, С. Н. Бернштейном, Дж. Уолшем, С. Н. Мергеляном, М. М. Джрбашяном, В. С. Виденским, В. Н. Русаком, Е. А. Ровба и др. и частично отражены в монографиях [1], [2], [3], [4]. Итогом этих исследований стало понимание того, что содержание теории аппроксимации рациональными функциями с фиксированными полюсами не выходит далеко за пределы тех возможностей, которые дают апробированные при решении задач полиномиальной теории приближений методы анализа. Начало развитию современной теории приближения рациональными дробями со свободными полюсами положили А. А. Гончар и Е. П. Долженко, установив с 1955 по 1966 год целый ряд принципиальных результатов, описывающих связь между структурными свойствами функции и скоростью убывания к нулю их наилучших рациональных приближений. Отметим также интересные работы А. Г. Витушкина [5] и В. Д. Ерохина [6], в которых рассматриваются некоторые проблемы рациональной аппроксимации в комплексной плоскости. Исследования указанных математиков вызвали огромный интерес у широкого круга специалистов как новизной в постановке задач, так и сенсационностью полученных результатов. Прежде всего, стало ясно, что в вопросах представления непрерывных функций рациональными дробями со свободными полюсами имеется существенная специфика, обнаружить и исследовать которую во многих случаях достаточно сложно. В связи с этим возник целый ряд совершенно новых как по форме, так и по содержанию задач, не имеющих аналогов в полиномиальном случае. В частности, выяснилось, что никакая скорость стремления к нулю наилучших рациональных приближений Rn (f ) функции f не может обеспечить аналитичности f ни в одной точке отрезка [a, b], а сколь угодно быстрое убывание наилучших раци-

2 ональных приближений совместимо со сколь угодно медленным стремлением к нулю модуля непрерывности аппроксимируемой функции. Это означает, что классы функций H ω , определяемые мажорантой ω их модулей непрерывности, играющие основную роль в полиномиальной теории приближений, совершенно не отражают особенностей рациональной аппроксимации. В то же время фиксированная скорость убывания рациональных приближений обеспечивает соответствующие (как и в случае полиномов) дифференциальные свойства функции, с той лишь разницей, что эти свойства гарантируются не всюду, а почти всюду. В дальнейшем изучением специфики обратных теорем рациональной аппроксимации занимались В. Н. Русак, Е. П. Долженко, Е. А. Севастьянов, А. А. Пекарский, В. И. Данченко, Ю. А. Брудный, В. В. Пеллер и др. А. А. Гончар [7] обнаружил существование непрерывных функций, для которых Rn (f ) стремится к нулю сколь угодно быстро, в то время как En (f ) убывает к нулю сколь угодно медленно. В связи с этим особый интерес у специалистов вызвала задача отыскания как индивидуальных функций, так и классов функций, которые бы отражали преимущества рациональной аппроксимации в сравнении с полиномиальной. В таких исследованиях активное участие принимали Д. Ньюмен, П. Туран, Г. Фройд, П. Сюс, Дж. Сабадос, А. А. Гончар, Е. П. Долженко, А. П. Буланов, В. А. Попов, П. П. Петрушев, В. Н. Русак А. А. Пекарский, Е. А. Ровба, Н. С. Вячеславов, А. А. Хатамов, А. А. Абдугаппаров, Г. Шталь, К. Н. Лунгу и др. Однако, несмотря на значительные усилия, предпринятые в этом направлении, здесь до сих пор нет ответа на главный вопрос о том, каким необходимым и достаточным условиям должна удовлетворять непрерывная функция для того, чтобы для нее имел место эффект выигрыша в скорости рациональной аппроксимации в сравнении с полиномиальной. Особое место в полиномиальной теории приближений занимает "обратная задача" С. Н. Бернштейна о построении в конкретном банаховом пространстве функции с произвольно заданной невозрастающей и сходящейся к нулю последовательностью ее наилучших полиномиальных приближений. Как известно, ее полное решение в самой общей постановке было получено самим С. Н. Бернштейном [8] еще в 1938 году. Тем не менее, задача конструктивного построения такой функции, также поставленная С. Н. Бернштейном, в полиномиальном случае остается нерешенной и в настоящее время. Если же говорить об обратной задаче С. Н. Бернштейна для рациональных приближений, то здесь даже в

3 случае классических банаховых пространств C2π , C[a, b] после работы [8] существенных результатов не было вплоть до настоящего времени. Отметим результаты А. А. Гончара (см. главу 2), Б. Боэма [9], А. Л. Левина и В. М. Тихомирова [10], [11], из которых, во-первых, следует, что в случае рациональной аппроксимации решение обратной задачи нельзя получить, опираясь на теорему С. Н. Бернштейна, а, во-вторых, само решение в каждом банаховом пространстве может быть индивидуальным. Частичный аналог теоремы С. Н. Бернштейна был получен Е. П. Долженко [12] только в 1967 году. Существенное продвижение в решении обратной задачи в случае приближения комплекснозначных функций рациональными функциями с комплексными коэффициентами имеется в работе А.А.Пекарского [13] (см. также [14]). Среди наиболее перспективных нелинейных методов суммирования степенного ряда и локализации его особых точек является метод аппроксимаций Паде. Направления исследований в этой области в большей степени определяются работами А. А. Гончара и его учеников. В настоящее время теория аппроксимаций Паде превратилась во вполне самостоятельный раздел теории приближений, а сами эти аппроксимации нашли разнообразные применения как непосредственно в теории рациональных приближений, так и в теории чисел, теории несамосопряженных операторов, исследовании дифференциальных уравнений, зависящих от малого параметра, в теории возмущений и др. Как известно, аппроксимации Паде являются также локально наилучшими рациональными аппроксимациями заданного степенного ряда. В 70-х годах Э. Саффом было обнаружено (эффект Саффа), что для экспоненты это свойство носит глобальный характер. В дальнейшем В. К. Дзядык, А. Л. Левин, Д. Любински, В. Н. Русак, Л. Л. Березкина, Та Хонг Куанг, Н. А. Старовойтова и автор установили ряд других функций, для которых имеет место эффект Саффа. Рассматриваемый в данной диссертационной работе вопрос о нахождении условий на коэффициенты Тейлора степенного ряда, при которых для его суммы указанное локальное свойство аппроксимаций Паде имеет глобальный характер, тесно связан с вейерштрассовским подходом к понятию аналитической функции, исследованиями Адамара в теории степенных рядов и является одним из самых не изученных в теории аппроксимаций Паде. Таким образом, тема диссертации является актуальной и важной.

4 Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертация выполнялась в рамках госбюджетной темы Гомельского государственного университета им. Ф. Скорины "Исследование аддитивных функций множеств, непрерывных функций и их аппроксимаций", выполняемой в соответствии с республиканской программой фундаментальных и прикладных исследований в области математики и широкого применения методов математического моделирования в отраслях народного хозяйства на период до 2000-го года, утвержденной постановлением президиума АН БССР от 2 января 1985 г. № 2 (раздел 1, шифр научного направления 1.1.8), а также госбюджетных научных тем Белорусского государственного университета: 1. Исследование рациональных аппроксимаций с подходящими полюсами и их приложений к решению уравнений (№ гос. регистрации 19992325); 2. Исследование рациональных приближений со свободными полюсами и их приложений к решению интегро-дифференциальных уравнений (№ гос. регистрации 20012145). Цель и задачи исследования — развитие теории рациональной аппроксимации в классических банаховых пространствах, а именно: – эффективное построение непрерывных периодических функций с заданной строго убывающей последовательностью наилучших равномерных рациональных приближений; – эффективное построение непрерывных, в том числе периодических функций, с заданной асимптотикой и заданным порядком убывания наилучших равномерных рациональных приближений; – решение обобщенной задачи о плотности последовательности натуральных чисел, для которой наилучшие равномерные полиномиальные и рациональные приближения совпадают; – нахождение точных порядков наилучших рациональных приближений на свертках ядер Римана - Лиувилля, Вейля и функций из Lp; – описание асимптотического поведения последовательностей элементов таблиц Паде и Чебышева для суммы экспонент и целых функций с регулярно убывающими коэффициентами Тейлора. Объект и предмет исследования. Объектом предпринятого в диссертации исследования являются взаимосвязь структурных свойств непрерывных и интегрируемых функций и их наилучших рациональных приближений.

5 Методология и методы проведенного исследования. В диссертации используются методы функционального анализа, теории функций действительной и комплексной переменных, пространств Харди, теории интегральных уравнений, линейной алгебры, а также аппарат классической теории аппроксимации. Научная новизна и значимость полученных результатов. Все основные результаты диссертации являются новыми. В ней впервые получено решение известной проблемы Бернштейна–Долженко об эффективном построении непрерывной периодической функции с заданным порядком убывания наилучших равномерных тригонометрических рациональных приближений и известной задачи Е. П. Долженко о плотности последовательности натуральных чисел, для которой наилучшие тригонометрические равномерные полиномиальные и рациональные приближения совпадают. Дается положительный и эффективный ответ на вопрос о том, может ли строго убывающая и сходящаяся к нулю числовая последовательность быть последовательностью наилучших равномерных рациональных приближений для некоторой непрерывной и периодической функции. В полиномиальном случае для невозрастающей сходящейся к нулю последовательности аналогичная задача была поставлена С. Н. Бернштейном в 1938 году и получила название "обратной задачи теории наилучшего приближения непрерывных функций". Получены точные порядки и асимптотика наилучших рациональных приближений для новых классов функций, отражающих особенности рациональной аппроксимации по сравнению с полиномиальной. Диссертация носит теоретический характер. Вошедшие в нее результаты существенно расширяют знания о специфике взаимосвязи структурных свойств функций и скорости убывания их наилучших рациональных приближений и могут быть использованы в конструктивной теории функций для получения асимптотических представлений ортогональных многочленов, в теории интегральных уравнений, в численном анализе и, в частности, для создания оптимальной на данный момент библиотеки стандартных программ для вычисления функций. Они могут быть использованы также в учебном процессе в качестве спецкурсов в университетах и пединститутах. Отдельные результаты диссертации цитировались в монографии [15], цитировались и использовались в работах других авторов (см., например, [16], [18], [33]).

6 Основные положения диссертации, выносимые на защиту. 1. Доказано существование непрерывной периодической функции с произвольно заданной строго убывающей к нулю последовательностью наилучших равномерных тригонометрических рациональных приближений. Конструктивным образом построены непрерывные периодические функции, наилучшие равномерные тригонометрические рациональные приближения которых имеют произвольно заданный порядок убывания к нулю, в том числе получено эффективное решение проблемы Бернштейна–Долженко. В алгебраическом случае получено частичное решение этой проблемы. 2. В периодическом и алгебраическом случаях решена обобщенная задача Е. П. Долженко о плотности последовательности натуральных чисел, для которой имеет место совпадение наилучших равномерных полиномиальных и рациональных приближений. 3. Найдены точные порядки наилучших равномерных рациональных приближений классов непрерывных функций, представимых в виде свертки ядра Римана–Лиувилля и функций из Lp. Обнаружен и описан эффект o-малого при приближении индивидуальных функций из указанных классов. 4. Установлены точные порядки наилучших рациональных приближений классов функций, интегрируемых по Лебегу и представимых в виде свертки ядер Римана–Лиувилля, Вейля и функций из Lp, относительно интегральной нормы. Обнаружен и описан эффект o-малого при приближении индивидуальных функций из указанных классов. 5. Получены асимптотические равенства для равномерных уклонений от суммы экспонент с одной доминирующей компонентой и целых функций с регулярно убывающими коэффициентами Тейлора строчных и параболических последовательностей элементов таблиц Паде и Чебышева указанных функций. Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором лично. Результаты разделов 5.2, 5.3, 5.5, 5.6, 5.7 главы 5 опубликованы в совместных работах [57], [58] автора с Русаком В.Н., которому принадлежит научная идея, постановка задачи и обсуждение полученных результатов. Раздел 5.4 содержит некоторые результаты из совместных работ [47], [51] диссертанта со Старовойтовой Н.А., принадлежащие лично автору диссертации.

7 Апробация результатов диссертации. Вошедшие в диссертацию результаты докладывались на Всесоюзных школах по теории функций (Тбилиси, 1985 г.; Баку, 1989 г.; Одесса, 1991 г.); Саратовских зимних математических школах по теории функций (1986 г., 1988 г., 1994 г., 1996 г., 2000 г., 2002 г.); Воронежских зимних математических школах по теории функций (1997 г., 1999 г., 2001 г.); Международной конференции по конструктивной теории функций (Махачкала, 1994 г.); II и III Всесоюзных конференциях "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений"(Дрогобыч, 1987 г.; Дрогобыч, 1991 г.); Международной конференции "Еругинские чтения VI"(Гомель, 1998 г.); Международной конференции по теории приближений и гармоническому анализу (Тула, 1988 г.); 10-ой Международной конференции по теории аппроксимации (США, St. Louis, Missouri, 2001 г.); конференциях математиков Беларуси (Гродно, 1980 г.; Гродно, 1992 г.; Минск, 1996 г.; Минск, 2000 г.); Международной конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И. Лобачевского (Минск, 1992 г.); Всеукраинской научной конференции "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений"(Дрогобыч, 1994 г.); Международной конференции "Проблемы математики и информатики"(Гомель, 1994 г.); Международных школахсеминарах по непрерывным дробям (Верхне Синевидне, 1994 г.; Ужгород, 2002 г.); Международной конференции по краевым задачам, специальным функциям и дробному исчислению (Минск, 1996 г.); Международной конференции по вычислительным методам (Гомель, 1998 г.); Международных конференциях "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений"(Минск, 1999 г.; Минск, 2001 г.; Минск, 2003 г.); Международной конференции по теории приближений, посвященной памяти В. К. Дзядыка (Киев, 1999 г.); Международной конференции, посвященной М. А. Лаврентьеву (Киев, 2000 г.); Международной конференции "Функциональные методы в теории приближений, теории операторов и стахостическом анализе"(Киев, 2001 г.); II Международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения"(Абрау-Дюрсо, 2002 г.); Международной конференции "Колмогоров и современная математика"(Москва, 2003 г.), а также на научных семинарах по теории функций и функциональному анализу в Белорусском государственном университете (рук. проф.: Я. В. Радыно, А. А. Килбас, Э. И. Зверович, В. Г. Кротов, В. Н. Русак); Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова (рук. проф. Е. П. Долженко); Саратовском государственном университете (рук. проф. А. А. Привалов); Донецком государственном уни-

8 верситете (рук. проф. Р. М. Тригуб); Институте математики АН Украины (рук. проф. В. И. Белый); Гродненском государственном университете (рук. проф. Е. А. Ровба) и Санкт-Петербургском городском семинаре по конструктивной теории функций (рук. проф. Г. И. Натансон, В. С. Виденский) . Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 57 научных работах, среди которых 20 статей в научных журналах, 4 статьи в рецензируемых научных сборниках, 1 статья депонирована в ВИНИТИ, 32 тезисов докладов научных конференций. Общее количество страниц опубликованных материалов — 194. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня условных обозначений, введения, общей характеристики работы, пяти глав основной части, заключения и списка использованных источников, расположенных в алфавитном порядке фамилий первых авторов. Объем диссертации — 201 страниц. Список использованных источников содержит 258 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ В главе 1 дается обзор литературы по теме диссертации и обосновывается выбор направления исследований. В главе 2 изучается поведение последовательностей наилучших тригонометрических и алгебраических рациональных приближений функций в классических банаховых пространствах C2π и C[−1, 1]. В частности, исследуется возможность конструктивного построения непрерывной функции с заданными наилучшими рациональными приближениями. Постановки рассматриваемых в этой главе задач принадлежат С. Н. Бернштейну [8] и Е. П. Долженко [12]. ¨ разделов. Глава состоит из четырeх В разделе 2.1 рассматривается поведение наилучших рациональных приближений в банаховом пространстве C2π . Центральной здесь является теорема 2.2.1, в которой дается положительный и эффективный ответ на вопрос о том, может ли строго убывающая и сходящаяся к нулю последовательность быть последовательностью наилучших равномерных рациональных приближений для некоторой непрерывной и периодической

9 функции. В полиномиальном случае для невозрастающей и сходящейся к нулю последовательности {an }∞ n=0 (равносильная запись — an ↓ 0) аналогичная задача была поставлена С. Н. Бернштейном [8] в 1938 году и получила название "обратной задачи теории наилучшего приближения непрерывных функций". 2.1.1. Теорема [54]. Пусть последовательность an ↓ 0 строго убывает к нулю, либо найдется такой номер n, что a0 > a1 > ... > an = an+1 = ... = 0. Тогда существует такая нечетная функция g ∈ C2π , для которой Rn (g, C2π ) = an ;

n = 0, 1, 2, ... .

Доказательство существования функции с указанными в теореме свойствами осуществляется с помощью принципа Шаудера о неподвижной точке, а в основу конструкции искомых функций положены алгебраические дроби Чебышева-Маркова. Конструктивность метода позволила найти эффективное решение известной проблемы Бернштейна– Долженко (см. [8]; [12], стр. 317) о построении непрерывной периодической функции с произвольно заданным порядком и асимптотикой убывания ее наилучших равномерных тригонометрических рациональных приближений. Именно, имеет место следующая 2.1.11. Теорема [54]. Для произвольной числовой последовательности an ↓ 0 существует такая нечетная функция g ∈ C2π , для которой Rn (g, C2π ) ∼ an . Более того, для произвольной числовой последовательности an ↓ 0 существует эффективный пример нечетной функции g ∈ C2π , для которой Rn (g, C2π )  an . P∞ Если при этом ряд k=0 ak сходится, то нечетная функция g является также абсолютно непрерывной на всей числовой прямой. В разделе 2.2 дается решение обобщенной задачи (см. [12]) Е. П. Долженко о плотности последовательности натуральных чисел, для которых имеет место совпадение наилучших равномерных полиномиальных и рациональных приближений. Основными результатами раздела являются теоремы 2.2.1 и 2.2.5.

10 ∞ 2.2.1. Теорема [55]. Пусть последовательности {nk }∞ k=0 , {mk }k=0 неотрицательных целых чисел удовлетворяют условию:

nk+1 ≥ nk + mk + 1, k = 0, 1, 2, ... . Тогда существует такая функция f ∈ C2π , для которой Rnk , mk (f, C2π ) = Enk (f, C2π ) = ank ,

k = 0, 1, 2, ... .

Несколько неожиданным результатом, вытекающим из доказательства теоремы 2.2.1, является следствие 2.2.2. 2.2.2. Cледствие [55]. Для любого фиксированного n = 0, 1, 2, ... и любого сколь угодно большого натурального m существует такая функция f ∈ C2π , что Rn, m (f, C2π ) = En (f, C2π ). B частности, для n = 0 при сколь угодно большом m существует такая функция f ∈ C2π , что R0, m (f, C2π ) = E0 (f, C2π ). Это означает, во-первых, что для некоторых функций из пространства C2π аппроксимация дробями вида  1/pm (x) : pm ∈ PTm не эффективна, во-вторых, расширение множества аппроксимирующих функций с PTn до RTn, m для любого сколь угодно большого m не дает выигрыша в скорости аппроксимации на всем пространстве C2π . Отметим, что аналогичное поведение наилучших приближений функций множествами Pn , Rn и PTn , RTn на всем пространстве C[a, b] и C2π соответственно было обнаружено и детально исследовано в работах А. А. Гончара и Е. П. Долженко (см., например, [7], [12], [19], [20]). 2.2.5. Теорема [55]. Пусть для f ∈ C2π и наборов {mj }kj=0 , {nj }kj=0 целых чисел 0 ≤ n0 < n1 < ... < nk имеют место соотношения: 1) Rnj , mj (f, C2π ) = Enj (f, C2π ), j = 0, 1, ..., k; 2) Enk (f, C2π ) < ... < En1 (f, C2π ) < En0 (f, C2π ). Тогда найдется набор {n0j }kj=0 таких целых неотрицательных чисел , что n0j ≤ nj и n0j+1 ≥ n0j + mj + 1 при j = 0, 1, 2, ..., k − 1.

11

Особый интерес представляют случаи, когда mk = nk и mk = m при k = 0, 1, 2, ... . 2.2.6. Cледствие [55]. Для последовательности nk = 2k − 1 и некоторой f ∈ C2π имеют место равенства Rnk (f, C2π ) = Enk (f, C2π ) = ank ,

k = 0, 1, 2, ... .

Обратно, если для f ∈ C2π и 0 ≤ n0 < n1 < ... < nk справедливы соотношения: 1) Rnj (f, C2π ) = Enj (f, C2π ), j = 0, 1, 2, ..., k; 2) Enk (f, C2π ) < ... < En1 (f, C2π ) < En0 (f, C2π ), то nk ≥ 2k − 1. Следствие 2.2.6 решает известную задачу Е. П. Долженко о "плотности последовательности" в случае пространства C2π . 2.2.7. Cледствие [55]. Для любого фиксированного m = 0, 1, 2, ... существует такая функция f ∈ C2π , что R(m+1)k, m (f, C2π ) = E(m+1)k (f, C2π ) = a(m+1)k ,

k = 0, 1, 2, ... .

В частности, при m = 1 существует такая функция f ∈ C2π , что R2k, 1 (f, C2π ) = E2k (f, C2π ) = a2k , k = 0, 1, 2, ... . Обратно, если для функции f ∈ C2π выполняются условия: 1) Rnj , m (f, C2π ) = Enj (f, C2π ), j = 0, 1, ..., k; 2) Enk (f, C2π ) < ... < En1 (f, C2π ) < En0 (f, C2π ), то nk ≥ (m + 1)k. Таким образом, можно сделать следующий вывод. 2.2.8. Cледствие [55]. Когда рассматриваются диагoнальные рациональные аппроксимации, самой "медленной последовательностью" {nk }, удовлетворяющей равенствам Rnk (f, C2π ) = Enk (f, C2π ) = ank

(k = 0, 1, 2, ... )

12 вместе с некоторой функцией f ∈ C2π , является {2k − 1}∞ k=0 (с точностью до константы – геометрическая прогрессия). В случае mой строки такая последовательность совпадает с арифметической прогрессией {(m + 1)k}∞ k=0 . В разделе 2.3 рассматривается задача (ослабленный вариант обратной задачи Бернштейна при приближении непрерывных функций алгебраическими рациональными дробями; по поводу постановки см. [12]) построения функции f ∈ C[−1, 1] c заданным порядком убывания к нулю величин Rn (f, C) при n → ∞. Основным результатом раздела является теорема 2.3.1, которая дает частичное решение известной проблемы Бернштейна–Долженко [12]. 2.3.1. Теорема [62]. Для любой последовательности an ↓ 0 существует такая нечетная функция g ∈ C[−1, 1], для которой R 2n (g, C)  an . При доказательстве этой теоремы в основу конструкции искомой функции, как и в случае пространства C2π , положены алгебраические дроби Чебышева-Маркова, наименее уклоняющиеся от нуля на отрезке [-1, 1]. В разделе 2.4 в пространстве C = C[−1, 1] получен ответ на вопрос о плотности в множестве натуральных чисел последовательности {nk }∞ k=0 , для которой при любом выборе an ↓ 0 существует функция f ∈ C, что Rnk , mk (f, C) = Enk (f, C) = ank ,

k = 0, 1, 2, ... .

Доказанные здесь теоремы 2.4.1 и 2.4.5 являются точными аналогами теорем 2.2.1, 2.2.5. Приведем ряд следствий из них. 2.4.2. Cледствие [62]. Для любого фиксированного n = 0, 1, 2, ... и любого сколь угодно большого натурального m существует такая функция f ∈ C, что Rn, m (f, C) = En (f, C). B частности, для n = 0 при сколь угодно большом m существует такая функция f ∈ C, что R0,m (f, C) = E0 (f, C). Это означает, во-первых, что для некоторых функций из пространства C аппроксимация дробями вида {1/pm (x) : pm ∈ Pm } не эффективна, во-вторых, расширение множества аппроксимирующих функций с Pn

13 до Rn, m для любого сколь угодно большого m не дает выигрыша в скорости аппроксимации на всем пространстве C. 2.4.6. Cледствие [62]. Для последовательности nk = 2k − 1 и некоторой функции f ∈ C имеют место равенства Rnk (f, C) = Enk (f, C) = ank ,

k = 0, 1, 2, ... .

Обратно, если для функции f ∈ C и 0 ≤ n0 < n1 < ... < nk справедливы соотношения (для краткости C в Rnk (f, C), Enk (f, C) опускаем): 1) Rnj (f ) = Enj (f ), j = 0, 1, 2, ..., k; 2) Enk (f ) < ... < En1 (f ) < En0 (f ), то nk ≥ 2k − 1. 2.4.7. Cледствие [62]. Для любого фиксированного m = 0, 1, 2, ... существует такая функция f ∈ C, что R(m+1)k, m (f ) = E(m+1)k (f ) = a(m+1)k ,

k = 0, 1, 2, ... .

В частности, при m = 1 существует такая функция f ∈ C, что R2k, 1 (f ) = E2k (f ) = a2k , k = 0, 1, 2, ... . Обратно, если для функции f ∈ C выполняются условия: 1) Rnj , m (f ) = Enj (f ), j = 0, 1, ..., k; 2) Enk (f ) < ... < En1 (f ) < En0 (f ), то nk ≥ (m + 1)k. Заметим, что следствие 2.4.6 ранее доказано А. А. Пекарским [21], а М. А. Назаренко в [14] построил пример такой функции f из класса Харди H2 , для которой R2k, 1 (f, H2 ) = E2k (f, H2 ), k = 0, 1, 2, ... . Таким образом, в случае пространства C[−1, 1] также можно сделать следующий вывод. 2.4.8. Cледствие. Когда рассматриваются диагoнальные рациональные аппроксимации, самой "медленной последовательностью" {nk }, удовлетворяющей равенствам Rnk (f, C) = Enk (f, C) = ank вместе с некоторой функцией f ∈ C, является {2k − 1}∞ k=0 . В случае

14 m-ой строки такая последовательность совпадает с арифметической прогрессией {(m + 1)k}∞ k=0 . В главе 3 доказывается ряд новых прямых теорем рациональной аппроксимации. В частности, показывается, что при приближении непрерывных на отрезке функций относительно равномерной нормы большинство известных теорем рациональной аппроксимации (П. Туран, П. Сюс [22], Г. Фройд [23], В. А. Попов [24], П. П. Петрушев [25], А. А. Абдугаппаров, А. Хатамов, П. П. Петрушев (см. [26]), А. А. Пекарский [27], В. А. Попов [28], В. А. Попов, П. П. Петрушев (см. [29], стр. 294, теорема 10.6 )) сохраняются, если в них обычную производную заменить на производную дробного порядка в смысле Римана-Лиувилля. Глава состоит из пяти разделов. В разделе 3.1 определяются основные классы функций и рассматриваются их свойства. Именно, для функций G ∈ L1 [a, b] и h ∈ L1 [a, b] определим свертку Z b (G ∗ h) (x) = G(x − t)h(t)dt a

и при α > 0 введем в рассмотрение следующие классы функций:  W±α Lp [a, b] := P±α ∗ h : khkLp [a,b] ≤ 1 , W±α V [a, b] := {P±α ∗ h : h(a) = 0, ν(h, I) ≤ 1} , где P±α (t) := (max{±t, 0})α−1 /Γ(α) – ядра Римана-Лиувилля, Γ(α) – гамма-функция Эйлера, а ν(h, I) = Vab h – вариация h на отрезке I = [a, b]. В дальнейшем будем писать α f = I±α h = Ia± h = P±α ∗ h ,

называя f – интегралом дробного порядка α от h, а h – дробной производной порядка α функции f (в смысле Римана-Лиувилля). Если в предыдущих определениях положить [a, b] = [0, 2π], а ядро РиманаЛиувилля P±α заменить ядром Вейля (α) D± (t)

∞ 1 X cos(kt ∓ απ/2) = , π kα k=1

то получим соответствующие классы периодических функций: W±α L2π p , α W± V2π . В этом случае дробные интегралы Вейля порядка α от h будем (α) (α) обозначать I± h := D± ∗ h.

15 В разделе 3.2 сформулированы основные результаты главы 3. В дальнейшем, если две бесконечно малые (б.м.) αn и βn имеют одинаковый порядок при n → ∞, то будем писать αn  βn . Запись αn = o(βn ) означает, что при n → ∞ б.м. αn имеет более высокий порядок убывания к нулю, чем б.м. βn , а αn ∼ βn равносильно тому, что αn /βn → 1 при n → ∞. 3.2.1. Теорема [48]. Если f ∈ W α Lp [a, b], f = Iaα h, 1 ≤ p ≤ ∞ и α > 1/p, то для любого натурального n (b − a)α−1/p khkLp [a, b] , Rn (f ) ≤ c3 (α, p) nα

(3.3)

где постоянная c3 (α, p) определяется только значениями параметров α и p. 3.2.2. Теорема [48]. Пусть 1 ≤ p ≤ ∞ и α > 1/p. Тогда Rn (f ) 

sup f ∈W α Lp [a, b]

sup f ∈W α Lp [a, b]

En (f ) 

1 , nα 1

nα−1/p

(3.4) .

(3.5)

Сравнивая соотношения (3.4), (3.5) , видим, что при α > 0 и p = ∞ полиномиальная и рациональная аппроксимации на классе W α L∞ [a, b] имеют одинаковый порядок. По мере уменьшения p происходит расширение класса W α Lp [a, b], что ухудшает скорость полиномиальной аппроксимации. Рациональная аппроксимация на эти изменения не реагирует. Поэтому при уменьшении p увеличивается преимущество рациональной аппроксимации в сравнении с полиномиальной. В периодическом случае для α ≥ 1 данный эффект ранее обнаружил В. Н. Русак [30]. При целых α = 1, 2, ... первые результаты в рациональной аппроксимации функций с производной из Lp были получены именно в непериодическом случае. Подробный обзор их имеется в [29]. В частности, авторы этой монографии отмечают, что как при α = 1, p > 1, так и в случае α = 2, 3, ..., p ≥ 1 доказательство оценки сверху (3.3) впервые опубликовано в [28]. Однако, подробное доказательство (3.3) в указанных случаях имеется и в более ранней работе А. А. Пекарского [27]. Следующая теорема 3.2.3 является следствием теоремы 3.2.1. Другое ее доказательство получено в кандидатской диссертации автора. В 1998 году Е. А. Ровба установил неравенство (3.6) с помощью рациональных операторов типа Валле Пуссена.

16 3.2.3. Теорема [40]. Пусть α > 0, f ∈ W α V [a, b] и f = Iaα h. Тогда для любого натурального n (b − a)α Vab h Rn (f ) ≤ c(α) , nα+1

(3.6)

где постоянная c(α) зависит только от α. 3.2.4. Теорема [40]. При произвольном α > 0 sup f ∈W α V

Rn (f ) 

[a,b]

sup f ∈W α V [a,b]

En (f ) 

1 nα+1

,

1 . nα

(3.7)

(3.8)

Cоотношение (3.8) являются следствием теоремы Джексона и следующего результата С. М. Никольского (α = 1, 2, ...) и И. И. Ибрагимова (общий случай α > 0) : если f ∈ W α L1 [−1, 1] и h имеет на отрезке [−1, 1] разрывы только первого рода (предполагается наличие по крайней мере одного разрыва), то lim nα En (f, [−1, 1]) = n→∞

cα max |h(x + 0) − h(x − 0)| (1 − x2 )α/2 , (3.9) Γ(α + 1) −1≤x≤1 где cα – известная постоянная. При целых α = 1, 2, ... неравенство (3.6) установлено в [24]. Этот результат В. А. Попова завершил цепочку исследований рациональной аппроксимации класса W α V [a, b], начатую в работах Р. Турана, П. Сюс [22] и Г. Фройда [23]. Он является исторически первым результатом, устанавливающим точный порядок рациональной аппроксимации на классе (точная нижняя оценка для этого класса при натуральных α ранее получена Г. Фройдом). До сих пор остается нерешенной проблема А. А. Гончара [7] об описании множества =

G := {f ∈ C[a, b] : Rn (f ) = o (En (f ))} , состоящего из непрерывных функций, отражающих особенности рациональной аппроксимации. В частности, не известны термины, с помощью

17 которых можно охарактеризовать все функции из G. Доказательство следующей теоремы 3.2.5 существенно опирается на неравенство (3.6). 3.2.5. Теорема [43]. Если f = Iaα h, h(a) = 0, α > 0, и h-ограничена на отрезке [a, b], то для всех натуральных n Rn (f ) ≤ c(α)

(b − a)α κ(n; h) , nα+1

(3.10)

где κ(n; h) – модуль изменения порядка n функции h на отрезке [a, b], т.е. κ(n; h) =

sup a=x0 ≤x1 ≤...≤xn =b

n X

|h(xk ) − h(xk−1 )| .

k=1

Известно, что ограниченная функция h не имеет на отрезке [a, b] разрывов второго рода тогда и только тогда, когда κ(n; h) = o (n) при n → ∞. Следовательно, если при некотором α > 0 f = Iaα h, и h имеет разрывы только первого рода (предполагается наличие по крайней мере одного разрыва), то в таком случае из (3.9) и (3.10) получим, что f ∈ G. Итак, показано, что всякая функция, имеющая на отрезке ограниченную производную (обычную или дробную в смысле Римана-Лиувилля) с разрывами только первого рода, отражает преимущества рациональной аппроксимации в сравнении с полиномиальной, т. е. принадлежит множеству G. Сформулированные теоремы дают точные порядки рациональной аппроксимации рассматриваемых в них классов функций. Для индивидуальных функций из этих классов имеют место более точные утверждения. 3.2.7. Теорема [41]. Справедливы следующие импликации: f ∈ W α V [a, b], α > 0 =⇒ Rn (f ) = o (1/nα+1 ) , f ∈ W α Lp [a, b], α ≥ 1, α > 1/p =⇒ Rn (f ) = o (1/nα ).

(3.12) (3.13)

Эффект о-малого в рациональной аппроксимации индивидуальных функций класса W α V [a, b] при α ∈ N был обнаружен П. П. Петрушевым [25]. Его доказательство является технически весьма сложным. В разделе 3.5 данной главы показано, что при натуральных α теорема П. П. Петрушева является достаточно простым следствием теоремы

18 В. А. Попова [24], а в общем случае α > 0 теорема 3.2.7 является следствием теоремы А. А. Гончара [31] и теоремы 3.2.3. В разделе 3.3 доказаны леммы 3.3.5 и 3.3.6 о "склеивании" рациональных функций, играющие в дальнейшем важную роль при доказательстве основных теорем главы 3. Метод "склеивания" в теории рациональных приближений получил признание в середине 60-х годов прошлого столетия благодаря работам П. Турана, П. Сюс, Г. Фройда, Дж. Сабадоса. Его отличие от хорошо известного полиномиального аналога "склеивания", который приводит к новой неаналитической конструкции приближающей функции — сплайну, состоит в том, что результатом процедуры склеивания рациональных функций является также рациональная функция (аналитическая на отрезке приближения), наследующая при этом хорошие аппроксимационные свойства исходных рациональных функций. В основе этой процедуры лежат известные результаты Д. Ньюмена и Е. И. Золотарева, относящиеся к рациональной аппроксимации функции |x| на отрезке [−1, 1]. Раздел 3.4 посвящен доказательству основных теорем 3.2.1–3.2.5 главы 3. Специфика доказательств, полученных в этом разделе при рассмотрении дробного случая, состоит в сочетании метода "склеивания" Попова-Петрушева [29] с методом аналитического продолжения А. А. Гончара [31]. Тригонометрическая рациональная аппроксимация классов периодических функций, представимых в виде свертки с ядром Вейля, обстоятельно изучалась В. Н. Русаком [30], [32], [33]. Доказательства в этих работах основаны на развитии метода А. А. Гончара, связанного с применением кругового произведения Бляшке и принципа аналитического продолжения и проводятся с помощью рациональных операторов Русака. При этом объектом аналитического продолжения является ядро Вейля. В непериодическом случае возникает необходимость аналитического продолжения в соответствующую область ядра Римана-Лиувилля. Раздел 3.5 посвящен доказательству теоремы 3.2.7, описывающей эффект o-малого при дробном дифференцировании. В главе 4 рассматривается другой подход к исследованию скорости рациональной аппроксимации дифференцируемых функций. Он основан на теоремах А. А. Пекарского, описывающих связь между аппроксимационными пространствами Я. Петре, Г. Спарра и пространствами ХардиСоболева в единичном круге. Метод пространств Харди из [34] позволяет

19 доказать ряд новых теорем (в том числе и обратную), а также получить усиления и обобщения уже известных утверждений из главы 3. Такой подход охватывает и периодический случай. При этом вместо дробного интеграла Римана-Лиувилля следует рассматривать дробный интеграл Вейля. Заметим, что при целых α эффективность данного метода при получении прямых теорем рациональной аппроксимации на отрезке в некоторых частных случаях продемонстрирована ранее в [35] и [36]. Глава 4 состоит из четырех разделов. В разделе 4.1 даются формулировки основных теорем главы. 4.1.3. Теорема [61]. Пусть K α является одним из классов функций W±α Lp [a, b] при α > 1/p, 1 ≤ p ≤ ∞. Тогда, если f ∈ K α , то для любого достаточно малого ε > 0 ∞ X 1 α (n Rn (f, C[a, b]))max{2, ε+1/α} < c(α, p) , n n=1

(4.1)

где c(α, p) зависит только от α и p и одна и та же для всех f . 4.1.4. Следствие [61]. Пусть f ∈ K α , где K α – один из классов предыдущей теоремы. Тогда при α > 1/p Rn (f, C[a, b]) = o (1/nα ) .

(4.2)

Более того, (4.2) допускает эффективное уточнение для некоторой подпоследовательности. Именно, существует такая подпоследовательность {mk }∞ k=1 натуральных чисел, вообще говоря, зависящая от функции f , что ! 1 при k → ∞ . (4.3) Rmk (f, C[a, b]) = o 1/ max{2, ε+1/α} mαk ln mk Соотношение (4.2) непосредственно следует из неравенства (4.1), а (4.3) получаем из (4.1) методом от противного. В алгебраическом случае, когда f ∈ W+α Lp [a, b] и α = 1, p > 1, либо α = 2, 3, ... , 1 ≤ p ≤ ∞, утверждение (4.2) доказано А. А. Пекарским в [27]. Позже другое доказательство этого результата было дано В. А. Поповым и П. П. Петрушевым [29]. Ими же установлено, что на всем классе W+α Lp [a, b] соотношение (4.2) усилить нельзя. Вместе с тем, следствие 4.1.4 показывает, что для подпоследовательности соотношение (4.2) можно уточнить. При дробных

20 α ≥ 1, α > 1/p, когда f ∈ W+α Lp [a, b] утверждение (4.2) доказано в теореме 3.2.7 главы 3. 4.1.5. Теорема [61]. Пусть K α является одним из классов W±α Lp [a, b], α > 1/p, 1 ≤ p ≤ ∞. Тогда sup Rn (f, C[a, b])  f ∈K α

1 . nα

Теорема 4.1.5 является следствием теоремы 4.1.3. Для класса утверждение теоремы 4.1.5 доказано в разделе 3.4.2. 4.1.6. Теорема [61]. Пусть f ∈ K α V , где K α V является одним из классов функций W±α V [a, b] при α > 0. Тогда W+α Lp [0, 1]

∞ X
2 1 nα+1 Rn (f, C[a, b]) < c(α) , n n=1

где постоянная c(α) зависит только от α и одна и та же для всех f. 4.1.7. Следствие [61]. Пусть f ∈ K α V , где K α V – один из классов предыдущей теоремы и α > 0. Тогда
Rn (f, C[a, b]) = o 1/nα+1 . (4.4) Более того, (4.4) допускает эффективное уточнение для некоторой подпоследовательности. Именно, существует такая подпоследовательность {mk }∞ k=1 , вообще говоря, зависящая от функции f , что ! 1 при k → ∞ . Rmk (f, C[a, b]) = o 1/2 mα+1 ln m k k В случае, когда K α V = W+α V [a, b] (α = 1, 2, ...) теорема 4.1.6 и следствие 4.1.7 доказаны А. А. Пекарским [35]. При дробных α > 0, когда K α V = W+α V [a, b] (4.4) установлено в теореме 3.2.7 главы 3. Рассмотрим ситуацию, когда для дробных интегралов справедливы теоремы Харди-Литтлвуда с предельным показателем. В этом случае, в силу свойств дробных интегралов, естественно ограничиться рассмотрением только классов функций W+α Lp [a, b] и W+α L2π p .

21 4.1.8. Теорема [61]. Пусть K α является одним из классов функций W α Lp [a, b], W α L2π p , где 0 < α < 1/p, 1 < p < ∞ и q = p/(1 − αp). Тогда 1 (4.5) sup Rn (f, Xq )  α , n f ∈K α где Xq = Lq [a, b] в алгебраическом случае и Xq = L2π q – в периодическом. Оценку сверху в (4.5) дает следующая 4.1.9. Теорема [61]. Пусть f ∈ K α , где K α – один из классов предыдущей теоремы и 0 < α < 1/p, 1 < p < ∞, q = p/(1 − αp). Тогда ∞ X 1 α (n Rn (f, Xq ))max{2, p} < c1 (α, p) , (4.6) n n=1 где постоянная c1 (α, p) зависит только от α и p и одна и та же для всех функций f , а Xq = Lq [a, b] в алгебраическом случае и Xq = L2π q – в периодическом. 4.1.10. Следствие [61]. Если f ∈ K α , где K α – один из классов предыдущей теоремы, 0 < α < 1/p, 1 < p < ∞, q = p/(1 − αp), то Rn (f, Xq ) = o (1/nα ) .

(4.7)

Более того, (4.7) допускает эффективное уточнение для некоторой подпоследовательности. Именно, существует такая подпоследовательность {mk }∞ k=1 , вообще говоря, зависящая от функции f , что ! 1 при k → ∞ . Rmk (f, Xq ) = o mαk ln1/ max{2, p} mk В теории дробного интегрирования важной является задача нахождения таких условий, при выполнении которых функцию f можно представить в виде дробного интеграла от некоторой функции из Lp . Обзор результатов в этом направлении исследований для интегралов РиманаЛиувилля и Вейля имеется в монографиях [15], [37]. В формулировках этих результатов достаточные условия возможности такого представления, как правило, записываются либо в терминах интегрального модуля

22 непрерывности функции f , либо в терминах усеченных дробных производных этой функции. Следующую обратную теорему можно рассматривать как новое утверждение такого типа. В ней достаточное условие представления функции в указанном виде формулируется в терминах ее наилучших рациональных приближений. 4.1.11. Теорема [61]. Пусть f ∈ L2π q , 0 < α < 1/p, 1 < p < ∞ и q = p/(1 − αp). Тогда, если ряд ∞ X
min{2, p} 1 nα Rn (f, L2π ) q n n=1 (α) сходится, то существует такая функция h ∈ L2π h. p , что f = I В разделе 4.2 устанавливается связь между классами функций, представимых в виде дробных интегралов Римана–Лиувилля, и пространствами Харди–Соболева. Важной с этой точки зрения является лемма 4.2.4 о мультипликаторах. 4.2.2. Определение. Последовательность {λk }∞ k=0 называется мультипликатором в Hp , если для любой функции f ∈ Hp имеем

kgkHp ≤ c kf kHp , P ˆ k где c > 0 и не зависит от функции f , а g(z) = ∞ k=0 λk fk z . 4.2.4. Лемма [61]. Пусть {α} – дробная часть числа α > 0. Тогда последовательности λ∗k =

1 Γ(k + 1 − {α}) Γ(k + α + 1) , µ∗k = ∗ , k = 0, 1, 2, ... Γ(k + [α] + 1) Γ(k + 1) λk

являются мультипликаторами в пространствах Hp , 0 < p ≤ ∞. Раздел 4.3 посвящен доказательству теорем 4.1.3, 4.1.5, 4.1.6, 4.1.8, 4.1.9. Кроме этого, в периодическом случае получен аналог теоремы 4.1.8 для сопряженного класса функций. В разделе 4.4 доказывается обратная теорема 4.1.11. В главе 5 найдена асимптотика равномерных уклонений в круге от суммы экспонент с одной доминирующей компонентой и целых функций с регулярно убывающими коэффициентами Тейлора их аппроксимаций Паде и рациональных функций наилучшего приближения.

23 Будем рассматривать функции f аналитические в некоторой области G, содержащей замкнутый единичный круг D = {z : |z| ≤ 1}, и представимые в D степенным рядом f (z) =

∞ X

fn z n .

(5.1)

n=0

Введем в рассмотрение определители Адамара fn−m+1 fn−m+2 f f Dn, m = Dn, m (f ) = n−m+2 n−m+3 . . fn fn+1

... fn ... fn+1 . ... . ... fn+m−1

(5.2)

Обозначим через Aαβ (q), α ∈ N, β ≥ 1, q ∈ C – множество всех функций f , представимых в виде (5.1), коэффициенты {fn }∞ n=0 которых не равны нулю и удовлетворяют следующим ограничениям: для любого j, 1 ≤ j ≤ m(n), где [m(n)]2+β = 0, (5.12) lim n→∞ n (j)

существует такая последовательность комплексных чисел {bk }∞ k=1 , что (j)

|bk | ≤ (cj β )k , c = const, k = 1, 2, ... и при n ≥ n0 fn+j fn

 q j = nα

( 1+

∞ (j) X b k=1

k nk

Будем рассматривать и функции вида X∞ g(z) = fn z ln , n=0

(5.13)

) .

(5.14)

(5.15)

где {ln }∞ n=0 – арифметическая прогрессия, членами которой являются целые неотрицательные числа, а разность d – натуральное число, т.е. ln = l0 + dn, n = 0, 1, 2, ... . При этом коэффициенты fn степенного ряда (5.15) не равны нулю и удовлетворяют условиям (5.12)-(5.14). Сделаем замену ξ = z d . Тогда, X∞ l0 g(z) = z fn ξ n = z l0 f ( z d ) , (5.16) n=0

24 где f ∈ Aαβ (q). Глава состоит из семи разделов. В разделе 5.1 даются основные определения и формулируется постановка задач. Здесь также дается анализ результатов, полученных ранее другими авторами, устанавливается связь рассматриваемых вопросов с другими известными задачами анализа (нахождение асимптотических выражений для ортогональных многочленов, получение оценок роста собственных значений ограниченных интегральных операторов). Основным результатом раздела 5.2 является теорема 5.2.2, устанавливающая асимптотику определителей Коши → − ∆m ( λ ) := |fm−i (λj )|m i, j=1 , где fi (z) =

X∞ k=0

(i)

ak z k , i = 1, m,

— степенные ряды, сходящиеся в круге Dρ = {z : |z| < ρ}, коэффициен(i) ты ak которых растут не очень быстро, и zj ∈ Dρ , j = 1, m. 5.2.2. Теорема [58]. Если c1 , c2 > 0, β ≥ 1, 1 1 ≤ λj ≤ , j = 1, m, c1 n + c2 m c1 n − c2 m и выполняется условие [m(n)]2+β lim = 0, n→∞ n

(5.12)

то для каждого m, 0 ≤ m ≤ m(n) при n → ∞ Y − →α → − α(m−i) m ∆m ( λ ) ∼ Wm ( λ ) = λj = (λαi − λαj ) . i, j=1

1≤i<j≤m

В разделе 5.3, в частности, доказываются теоремы 5.1.3 и 5.3.4, устанавливающие асимптотику определителей Адамара для целых функций из Aαβ (q). 5.1.3. Теорема [58]. Если f ∈ Aαβ (q), α ∈ N, β ≥ 1, q ∈ C, и выполняется условие (5.12), то для каждого m, 0 ≤ m ≤ m(n) при n → ∞  m−1 Y Y  1 1 m(m−1)/2 − . Dn, m ∼ (−q) fn−k α α (n + 1 − j) (n + 1 − i) 1≤i<j≤m k=0

25

5.3.4. Теорема [58]. Пусть f ∈ Aαβ (q), α ∈ N, β ≥ 1, q ∈ C и выполняется условие (5.12). Тогда для каждого m, 0 ≤ m ≤ m(n) при n→∞ m(m+1)/2

Dn, m, k ∼ (−q )

fn+k

m−1 Y

fn−ν

ν=0

где λi = 1/(n + 1 − i), i = 1, m; λ0 fn−m+1 fn−m+2 fn−m+2 fn−m+3 . Dn, m, k = . fn fn+1 fn+k fn+k+1

Y

(λαj − λαi ) ,

(5.44)

0≤i<j≤m

= 1/(n + k), k = 1, 2, ... и ... fn fn+1 ... fn+1 fn+2 ... . . . ... fn+m−1 fn+m ... fn+m+k−1 fn+m+k

А. И. Аптекаревым в [38] подробно рассмотрена задача (постановка принадлежит Е. М. Никишину; по этому поводу см. [38]) о сходимости аппроксимаций Паде функций, представимых в виде f (z) =

Xk j=1

eλj z ,

λj ∈ C .

Им, в частности, установлено, что когда сумма содержит одну доминирующую компоненту, при фиксированном m и n → ∞ аппроксимации Паде πn, m (z; f ) сходятся к функции f на любом компакте комплексной плоскости. Основным содержанием раздела 5.4 является следующая теорема 5.4.1, которая описывает асимптотическое поведение строк таблиц Паде и Чебышева для указанной суммы экспонент относительно равномерной нормы и тем самым дает исчерпывающий ответ на вопрос Е. М. Никишина. 5.4.1. Теорема [51]. Пусть функция f определена равенством (5.7) и |λ1 | > |λj | при всех j ∈ {2, 3, ... , k}. Тогда при каждом фиксированном m = 0, 1, 2, ... и n → ∞ справедливы следующие соотношения ∗ kf − rn, m (· ; f )k ∼ kf − πn, m (· ; f )k ∼

26

∼ |Dn+1, m+1 /Dn,m | ∼

m! |λ1 |n+m+1 . n2m (n + m)!

На самом деле справедливо более сильное утверждение. 5.4.10. Теорема [78]. Пусть функция f определена соотношением (5.7) и |λ1 | > |λj | при всех j ∈ {2, 3, ... , k}. Тогда для любого комплексного числа z ∈ D и m = O(lnp n), где p – произвольное фиксированное положительное число, при n → ∞ справедливы следующие асимптотические равенства (−1)m m! (λ1 z)n+m+1 (1 + O(1/n)) , f (z) − πn, m (z; f ) = n2m (n + m)! ∗ kf − rn, m (· ; f )k ∼ kf − πn, m (· ; f )k ∼

∼ |Dn+1, m+1 /Dn,m | ∼

m! |λ1 |n+m+1 . n2m (n + m)!

В разделе 5.5 исследовано поведение параболических последовательностей таблиц Паде и Чебышева для целых функций из класса f ∈ Aαβ (q). В частности, обнаружено наличие для таких функций f эффекта Саффа: аппроксимации Паде πn, m (· ; f ) имеют величины уклонения от f в замкнутом единичном круге относительно равномерной нормы, асимптотически совпадающие с наименьшими равномерными рациональными уклонениями. В этом разделе доказываются следующие теоремы. 5.1.4. Теорема [58]. Если f ∈ Aαβ (q), α ∈ N, β ≥ 1, q ∈ C, и выполняется условие (5.12), то для каждого m, 0 ≤ m ≤ m(n) при n → ∞ Rn, m (f ) ∼ kf − πn, m (· ; f )k ∼  ∼ |Dn+1, m+1 /Dn, m | ∼ m! |fn+1 |

α |q| nα+1

m .

(5.18)

5.1.5. Теорема [58]. Если функция g представима в виде (5.15), где ln = l0 + dn, d ∈ N, n = 0, 1, 2, ... – арифметическая прогрессия, а числа {fn }∞ n=0 являются коэффициентами Тейлора функции f ∈ α Aβ (q), α ∈ N, β ≥ 1, q ∈ C, и выполняется условие (5.12), то для каждого m, 0 ≤ m ≤ m(n) при n → ∞ Rln +i, dm+j (g) ∼ kg − πln +i, dm+j (· ; g)k ∼

27  ∼ |Dn+1, m+1 /Dn, m | ∼ m! |fn+1 |

α |q| nα+1

m ,

(5.19)

где 0 ≤ i + j ≤ d − 1. Аналогичные теоремы установлены и для произвольного круга Dr . В разделе 5.6 приводится целый ряд целых функций f , для которых предыдущие результаты позволяют получить точную асимптотику уклонения от f их аппроксимаций Паде и рациональных функций наилучшего приближения. Здесь показано, что к таким функциям, в частности, относятся: ez , cos z, sin z, sh z, ch z, функции Бесселя Jν , Iν , интеграл вероятности Erf z, функция Миттаг-Леффлера и др. В. К. Дзядык [39] высказал гипотезу о том, что диагональные аппроксимации Паде для функций sinz, cosz не дают ощутимого выигрыша в скорости в сравнении с наилучшими полиномиальными приближениями. В настоящее время эта гипотеза не доказана и не опровергнута. До сих пор остается неясным как ведут себя, например, величины уклонений sin z − π2n+1, 2n (z; sin ξ) при достаточно больших n. В частности, остается открытым вопрос о том, имеют ли диагональные аппроксимации Паде для указанных функций выигрыш в скорости приближения в сравнении с многочленами Тейлора, как это установлено для экспоненты. Неясно также, какие именно отличительные свойства (в сравнении с экспонентой) функций sin z, cosz приводят к ухудшению аппроксимационных свойств их диагональных аппроксимаций Паде и рациональных функций наилучшего приближения. Полученные в главе 5 теоремы 5.5.1 – 5.5.4 позволяют ответить на этот вопрос по крайней мере в случае, когда 0 ≤ m ≤ m(n), n → ∞, а последовательность m(n) → ∞ и удовлетворяет условию [m(n)]4 = 0. lim n→∞ n В частности, показано, что для этих функций ухудшение аппроксимационных свойств дробей Паде и рациональных функций наилучшего равномерного приближения является следствием лакунарности последовательностей коэффициентов их степенных рядов. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В диссертации получены следующие результаты.

28 1. Доказано существование непрерывной периодической функции с произвольно заданной строго убывающей к нулю последовательностью наилучших равномерных тригонометрических рациональных приближений. Конструктивным образом построены непрерывные периодические функции, наилучшие равномерные тригонометрические рациональные приближения которых имеют произвольно заданный порядок убывания к нулю, в том числе получено эффективное решение проблемы Бернштейна–Долженко. В алгебраическом случае получено частичное решение этой проблемы [52–54, 56, 59, 60, 63, 64, 82–84, 87–90, 94, 95]. 2. В периодическом и алгебраическом случаях решена обобщенная задача Е. П. Долженко о плотности последовательности натуральных чисел, для которой имеет место совпадение наилучших равномерных полиномиальных и рациональных приближений [55, 62, 85, 86]. 3. Найдены точные порядки наилучших равномерных рациональных приближений классов непрерывных функций, представимых в виде свертки ядра Римана–Лиувилля и функций из Lp. Обнаружен и описан эффект o-малого при приближении индивидуальных функций из указанных классов [40–43, 48–50, 65, 66, 70, 71, 73, 74]. 4. Установлены точные порядки наилучших рациональных приближений классов функций, интегрируемых по Лебегу и представимых в виде свертки ядер Римана–Лиувилля, Вейля и функций из Lp, относительно интегральной нормы. Обнаружен и описан эффект o-малого при приближении индивидуальных функций из указанных классов [61], [96]. 5. Получены асимптотические равенства для равномерных уклонений от суммы экспонент с одной доминирующей компонентой и целых функций с регулярно убывающими коэффициентами Тейлора строчных и параболических последовательностей элементов таблиц Паде и Чебышева указанных функций [47, 51, 57, 58, 68, 69, 75, 76, 78, 79]. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Уолш Дж. Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. – М.: ИЛ, 1961. – 508 с. 2. Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. – М.–Л.: Наука, 1964. – 438 с.

29 3. Русак В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения. – Минск: БГУ , 1979. – 174 с. 4. Ровба Е.А. Интерполяция и ряды Фурье в рациональной аппроксимации. – Гродно: ГрГУ, 2001. – 106 с. 5. Витушкин А.Г. Условия на множество, необходимые и достаточные для возможности равномерного приближения аналитическими (или рациональными) функциями всякой непрерывной на этом множестве функции // ДАН СССР. – 1959. – Т. 128, № 1. – С. 17 – 20. 6. Ерохин В.Д. О наилучшем приближении аналитических функций посредством рациональных дробей со свободными полюсами // ДАН СССР. – 1959. – Т. 128, № 1. – С. 29 – 32. 7. Гончар А.А. Скорость приближения рациональными дробями и свойства функций // Труды Международного конгресса математиков, 1966. – М.: Наука, 1968. – С. 329 – 356. ´ ´ 8. Бернштейн С.Н. Sur le probleme inverse de la theorie de la meilleure approximation des fonctions continues // C. R. Acad. Sc. – 1938. – V. 206. – P. 1520—1523. 9. Boehm B. Functions, whose best rational Chebyshew approximations are polinomials // Numer.Math. – 1964. – Bd. 6, Heft 3. – P. 235 – 42. 10. Левин А.Л., Тихомиров В.М. О приближении аналитических функций рациональными // Доклады АН СССР. – 1967. – Т. 174, №2. – C. 279 – 282. 11. Левин А.Л. Приближение рациональными функциями в комплексной области // Матем. заметки. – 1971. – Т.9, №2. – С. 121 – 130. 12. Долженко Е.П. Сравнение скоростей рациональной и полиномиальной аппроксимаций// Матем. заметки. – 1967. – Т. 1, вып.3. – C. 313 – 320. 13. Пекарский А.А. Cуществование функции с заданными наилучшими равномерными рациональными приближениями // Изв. АН Беларуси. Сер. физ.-мат. н. – 1994. – № 1. – C. 23 – 26. 14. Назаренко М.А. Некоторые свойства рациональных аппроксимаций: Дис. ... к.ф.-м.наук: 01.01.01. – Mосква, 1997. – 126 с. 15. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 c.

30 16. Лукашов А.Л. Рациональные интерполяционные процессы на двух отрезках // Известия высших учебных заведений. Математика. – 1998. – № 5(432). – С. 35 – 42. 17. Русак В.Н. Точные порядковые оценки для наилучших рациональных приближений на классах функций, представимых в виде свертки // Матем. сб. – 1985. – Т. 128(170), № 4. – С. 492 – 515. 18. Ровба Е.А. О приближении рациональными операторами типа Фурье и Валле-Пуссена функций с производной ограниченной вариации // Ряды Фурье. Теория и приложения: Працi Iнституту математики НАН Украiны. – 1998. – Т. 20. – С. 204 – 217. 19. Гончар А.А. Обратные теоремы о наилучших приближениях на замкнутых множествах // ДАН СССР. – 1959. – Т. 128, № 1. – С. 25 – 28. 20. Гончар А.А. Обратные теоремы о наилучших приближениях рациональными функциями // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1961. – Т. 25, № 3. – С. 347 – 356. 21. Пекарский А.А. О случаях совпадения наилучших равномерных полиномиальных и рациональных приближений // Journal of the Technical University at Plovdiv. – 1996. – V. 2. – P. 41 – 44. ¨ P., Turan P. On the constructive theory of functions. II // Stud. 22. Szusz Sci. Math. Hung. – 1966. – V. 1. – P. 65 – 69. ¨ 23. Freud G. Uber die Approximation reeler Functionen durch rationale gebrochene Functionen // Acta Math. Acad. Sci. Hung. – 1966. – V. 17. – P. 313 – 324. 24. Popov V.A. Uniform rational approximation of the class Vr and its applications// Acta Math. Acad. Sci. Hung. – 1977. – V. 29, № 1-2. – P. 119 – 129. 25. Петрушев П.П. Равномерные рациональные аппроксимации функций класса Vr // Матем. сб. – 1979. – Т. 108(150), № 3. – С. 419 – 432. 26. Петрушев П.П. О рациональной аппроксимации функций с выпуклой производной // Докл. Болг. АН. – 1976. – Т. 29, № 9. – С. 1249 – 1252. 27. Пекарский А.А. Рациональная аппроксимация и пространства Орлича / Белорусский госуниверситет.- Мн., 1978.– 28 с. – Деп. в ВИНИТИ. 26.01.78. – № 314 – 78 // Рж: 03. Математика. – 1978. – № 7. – 7Б730ДЕП. – С. 110.

31 28. Popov V.A. On the connection between rational uniform approximation and polynomial Lp approximation of functions // Quantitative approximation. – New York: Academic Press, 1980. – P. 267 – 277. 29. Petrushev P.P., Popov V.A. Rational approximation of real functions. – Cambridge: University Press, 1987. – 371 p. 30. Русак В.Н. Точные порядки наилучших рациональных приближений свертки ядра Вейля и функций из Lp // ДАН СССР. – 1990. – Т. 315, № 2. – С. 313 – 316. 31. Гончар А.А. О скорости рациональной аппроксимации непрерывных функций с характерными особенностями // Матем. сб. – 1967. – Т.78(115), № 4. – С. 630 – 638. 32. Русак В.Н. Точные порядки рациональных приближений на классах функций, представимых в виде свертки // ДАН СССР. – 1984. – Т. 279, № 4. – С. 810 – 812. 33. Русак В.Н. Точные порядковые оценки для наилучших рациональных приближений на классах функций, представимых в виде свертки // Матем. сб. – 1985. – Т. 128(170), № 4. – С. 492 – 515. 34. Пекарский А.А. Классы аналитических функций, определяемые наилучшими рациональными приближениями в Hp // Матем. сб. – 1985. – Т. 127, № 1. – С. 3 – 20. 35. Пекарский А.А. Скорость рациональной аппроксимации и дифференциальные свойства функций // Analysis Mathematica. – 1991. – Т. 17. – С. 153 – 171. 36. Lorentz G., v. Golitschek M., Makavoz Y. Constructive Approximation. Advanced Problems. – New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1996. – 651 p. 37. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. 2. – 538 с. 38. Аптекарев А.И. Асимптотика определителей Адамара и сходимость строк аппроксимаций Паде для суммы экспонент// Матем. сб. – 1980. – Т.113(155), № 4(12). – С. 520 – 537. 39. Дзядык В.К. Об асимптотике диагональных аппроксимаций Паде функций sin z , cos z, sh z и ch z // Матем. сб. – 1979. – Т. 108(150), № 2. – С. 247 – 267. СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ АВТОРОМ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

32 Статьи в научных журналах и рецензируемых сборниках 40. Старовойтов А.П. Рациональные аппроксимации функций представимых в виде дробного интеграла в смысле Римана-Лиувилля // ДАН БССР. – 1985. – Т. 29, № 12. – С. 1079 – 1081. 41. Старовойтов А.П. Рациональная аппроксимация функций из W r V [a, b] // Труды семинара Института прикладной математики им. И.Н.Векуа Тбилиского госуниверситета. – Тбилиси: Тбилиский гос. ун-т, 1985. – Т. 1, № 2. – С. 129 – 133. 42. Старовойтов А.П. О рациональной аппроксимации функций, дифференцируемых в смысле Римана-Лиувилля // Теория функций и приближений. Труды 2-ой Саратовской зимней школы. Межвуз. научн. сб. В 4 ч. – Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1986. – Ч. 3. – С. 99 – 102. 43. Старовойтов А.П. Сравнение скоростей наилучших рациональных и полиномиальных аппроксимаций // Матем. заметки. – 1988. – Т. 44, № 4. – С. 528 – 535. 44. Старовойтов А.П. Оценки типа Бернштейна для производных рациональных функций / Белорусский госун-т. – Мн., 1988. – 14 с. – Деп. в ВИНИТИ 15.07.88. – № 5719 – В88 // Рж: 03. – Математика. – 1988. – № 11. – 11Б156ДЕП. – С. 23. 45. Старовойтов А.П. Λ – распределенные последовательности и рациональная интерполяция // Изв. АН БССР. Сер. физ.-матем. наук. – 1989. – № 4. – С. 114 – 115. 46. Старовойтов А.П. Об одной оценке типа Бернштейна для производных рациональных функций // Теория функций и приближений. Труды 4-ой Саратовской зимней школы. Межвуз. научн. сб. В 4 ч. – Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1990. – Ч. 3. – С. 85 – 87. 47. Старовойтов А.П., Старовойтова Н.А. Поведение строк таблиц Паде и Чебышева для суммы экспонент // ДАН Беларуси. – 1992. – Т.36, № 3-4. – С. 202 – 204. 48. Старовойтов А.П. Точные порядки рациональных приближений свертки ядра Римана-Лиувилля и функций из Lp // ДАН Беларуси. – 1994. – Т. 38, № 1. – С. 27 – 30. 49. Старовойтов А.П. Рациональная аппроксимация функций, дифференцируемых в смысле Римана-Лиувилля // Конструктивная теория функций и ее приложения. Межвуз. научн. сб. – Махачкала: Изд-во Дагестанского ун-та, 1994. – С. 107 – 109.

33 50. Старовойтов А.П. Аппроксимация свертки ядра Римана-Лиувилля и функций из Lp // Теория функций и приближений. Труды 7-ой Саратовской зимней школы. Межвуз. научн. сб. В 4 ч. – Саратов: Издво Саратовского ун-та, 1995. – Ч. 3. – С. 102 – 105. 51. Старовойтов А.П., Старовойтова Н.А. Асимптотика определителей Адамара и поведение строк таблиц Паде и Чебышева для суммы экспонент // Матем. сборник. – 1996. – Т. 187, № 2. – С. 141 – 157. 52. Старовойтов А.П. К проблеме описания последовательностей наилучших тригонометрических рациональных приближений // Доклады НАН Беларуси. – 2000. – Т. 44, № 2. – С. 16 – 18. 53. Старовойтов А.П. Об одном приложении принципа Шаудера в теории рациональной аппроксимации// Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений. Труды Института математики НАН Беларуси. – Минск: Институт матем. НАН Беларуси, 2000. – Т. 5. – С. 119-123. 54. Старовойтов А.П. К проблеме описания последовательностей наилучших тригонометрических рациональных приближений // Матем. сборник. – 2000. – Т. 191, № 6. – С. 145 – 154. 55. Старовойтов А.П. О совпадении наилучших рациональных и полиномиальных тригонометрических аппроксимаций// Весцi Нацыянальнай академii навук Беларусi, серыя фiзiка-матэматычных навук. – 2001. – № 3. – С. 18-22. 56. Старовойтов А.П. К проблеме описания последовательностей наилучших тригонометрических рациональных приближений// Матем. заметки . – 2001. – Т. 69, № 6. – С. 919 – 924. 57. Старовойтов А.П., Русак В.Н. О свойствах таблиц Паде и Чебышева целых функций с правильным убыванием коэффициентов Тейлора // Доклады НАН Беларуси. – 2002. – Т. 46, № 3. – С. 24 – 27. 58. Старовойтов А.П., Русак В.Н. Аппроксимации Паде для целых функций с регулярно убывающими коэффициентами Тейлора // Матем. сборник. – 2002. – Т. 193, № 9. – С. 63 – 92. 59. Старовойтов А.П. Существование абсолютно непрерывных функций с заданной последовательностью наилучших рациональных приближений// Вестник Белорусского. ун-та. Сер. 1. Физика, математика, информатика. – 2002. – № 2 . – С. 75 – 77.

34 60. Старовойтов А.П. Примеры непрерывных функций с заданным порядком наилучших рациональных приближений// Вестник Белорусского. ун-та. Сер. 1. Физика, математика, информатика. – 2003. – № 1. – С. 53 – 57. 61. Старовойтов А.П. Скорость рациональной аппроксимации дробных интегралов Римана-Лиувилля и Вейля // Доклады НАН Беларуси. – 2003. – Т. 47, № 3. – С. 18 – 23. 62. Старовойтов А.П. О совпадении наименьших равномерных уклонений функции от полиномов и рациональных дробей // Матем. заметки. – 2003. – Т. 74, № 4. – С. 612 – 617. 63. Старовойтов А.П. Замечание к одной проблеме рациональной аппроксимации // Матем. заметки. – 2003. – Т. 74, № 3. – С. 446 – 448. 64. Старовойтов А.П. Существование непрерывных функций с заданным порядком убывания наименьших уклонений от рациональных функций // Матем. заметки. – 2003. – Т. 74, № 5. – С. 745 – 751. Тезисы докладов 65. Старовойтов А.П. О сравнении наилучших рациональных и полиномиальных аппроксимаций // Новые подходы к решению дифференциальных уравнений: Тез. докл. II Всесоюзн. конф., Дрогобыч, 21-26 мая 1987 г./ Вычислит. центр АН СССР. – Москва, 1987. – С. 109 – 110. 66. Старовойтов А.П. Сравнение наилучших полиномиальных и рациональных приближений // Constructive Theory of Functions 87. Abstracts International Conference, Varna, May 25-31. 1987./ Institute of Mathematics and Informatics, Bulgarian Academy of Sciences. – Varna, 1987. – P. 102. 67. Старовойтов А.П. Оценки производных рациональных функций // Современные проблемы теории функций: Тез. докл. Всесоюзн. школы по теории функций., Баку, 19-29 мая 1989 г./ Матем. ин-т им. В.А. Стеклова АН СССР. – Баку, 1989. – С. 99. 68. Старовойтов А.П., Старовойтова Н.А. Асимптотика строк таблицы Паде для суммы экспонент // Новые подходы к решению дифференциальных уравнений: Тез. докл. III Всесоюзн. конф., Дрогобыч, 17-21 июня 1991 г./ Вычислит. центр АН СССР. – Москва, 1991. – С. 128.

35 69. Старовойтов А.П., Старовойтова Н.А. Рациональная аппроксимация суммы экспонент // Конференция математиков Беларуси: Тез. докл., Гродно, 29 сентября - 2 октября 1992 г. / АН Бел. Минобр. Респ. Бел. Гр.ГУ им. Я. Купалы – Гродно, 1992. – Ч. 2: Вещественный и комплексный анализ. – С. 64. 70. Старовойтов А.П. Точные порядки рациональных приближений свертки ядра Римана-Лиувилля и функций из Lp // Международная конференция, посвященная 200 -летию со дня рождения Н.И. Лобачевского: Тез. докл., Минск, 4-8 декабря 1992 г. / Акад. наук Беларуси. – Минск, 1993. – Ч. 2. – С. 13. 71. Старовойтов А.П. Рациональная аппроксимация свертки ядра Римана-Лиувилля и функций из Lp // Новi пiдходи до розв’язання дифференцiальних рiвнянь. Всеукраiнська наукова конференцiя: Тези доповiдей, Дрогобич, 25-27 сiчня, 1994 р. / Iнститут матем. АН Украiни. – Киiв, 1994. – С. 159. 72. Старовойтов А.П., Кушнерова И.В. О принадлежности дробного интеграла классу Зигмунда // Проблемы математики и информатики: Материалы междунар. науч конф., посвященной 25-летию Гомельского госуниверситета им. Ф. Скорины, Гомель, 1994 г./ Гомельский гос. ун-т. – Гомель, 1994. – Ч. 1: Фундаментальные проблемы математики. – С. 146. 73. Старовойтов А.П. Точные порядки рациональных и полиномиальных приближений свертки ядра Римана-Лиувилля и функций из Lp // Ланцуговi дробi, iх узагальнення та застосування: Тези доп. мiжн. школы-семiнара , Верхне Синевидне, 18-25 вересня, 1994 р./ Держав. ун-т Львiвська полiтех. – Львiв, 1994. – С. 14. 74. Старовойтов А.П. Рациональная аппроксимация функций с выпуклой производной // Проблемы математики и информатики: Материалы междунар. науч конф., посвященной 25-летию Гомельского госуниверситета им. Ф. Скорины, Гомель, 1994 г./ Гомельский гос. ун-т. – Гомель, 1994.– Ч. 1: Фундаментальные проблемы математики. – С. 169. 75. Старовойтов А.П., Старовойтова Н.А. Рациональная аппроксимация суммы экспонент // Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление: Тез. докл. междунар. конф., Минск, 16-20 февраля 1996 г. / Белорус. гос. ун-т. – Минск, 1996. – С. 94.

36 76. Старовойтов А.П., Старовойтова Н.А. Об одной задаче рациональной аппроксимации суммы экспонент // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 8-ой Саратовской зимней школы, Саратов, 28 января - 4 февраля 1996 г. / Матем. инст. им. В.А. Стеклова, МГУ, Саратовский гос. ун-т. – Саратов, 1996. – С. 104. 77. Старовойтов А.П., Старовойтова Н.А. Поведение элементов таблицы Паде для суммы экспонент // VII Белорусская математическая конференция: Тез. докл., Минск, 18-20 ноября 1996 г./ Институт матем. АН Беларуси, Белорус. гос. ун-т.– Минск, 1996. – Ч. 2. – С. 21. 78. Старовойтов А.П., Старовойтова Н.А. Об одной задаче Е.М. Никишина // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронежской зимней матем. школы, Воронеж, 28 января - 4 февраля 1997 г. / Матем. инст. им. В.А. Стеклова, МГУ, Воронежский гос. ун-т. – Воронеж, 1997. – С. 155. 79. Старовойтов А.П., Кульбакова Ж.Н. Рациональная аппроксимация функций, представленных суммой экспонент // Теория приближения и гармонический анализ: Тез. докл. междунар. конф., Тула, 2629 мая 1998 г. / Матем. инст. им. В.А. Стеклова, МГУ, Тульский гос. ун-т. – Тула, 1998. – С. 243 – 244. 80. Старовойтов А.П., Яшина Ж.Н. О рациональной аппроксимации некоторых функций // Вычислительные методы и производство: реальность, проблемы и перспективы: Материалы межд. науч. конф., Гомель, 1998 г. / Гомельский гос. ун-т. – Гомель, 1998. – С. 155 – 156. 81. Старовойтов А.П. Об одной задаче Е.П. Долженко // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронежской зимней матем. школы, Воронеж, 28 января - 4 февраля 1999 г. / Матем. инст. им. В.А. Стеклова, МГУ, Воронежский гос. ун-т. – Воронеж, 1999. – С. 104. 82. Старовойтов А.П. Об одном приложении алгебраических дробей Чебышева-Маркова // Еругинские чтения VI: Тез. докл. межд. науч. конф., Гомель, 20-21 мая 1999 г./ Институт матем. АН Беларуси, Белорус. гос. ун-т, Гомельский гос. ун-т. – Гомель, 1999. – Ч. 2. – С. 60 – 62.

37 83. Старовойтов А.П. Об одной проблеме Бернштейна-Долженко // International Conference on Approximation Theory and its Applications Dedicated to the Memory of V.K. Dzjadyk: Abstracts, Kyiv, May, 26-31, 1999 / Institute of Mathematics Nat. Acad. Sci. Ukraine. – Kyiv, 1999. – P. 78. 84. Старовойтов А.П. Описание последовательностей наилучших тригонометрических рациональных приближений // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: Тез. докл. межд. науч. конф., Минск, 14-18 сентября 1999 г./ Институт матем. АН Беларуси, Белорус. гос. ун-т, Московский гос. ун-т. – Минск, 1999. – С. 213 – 214. 85. Старовойтов А.П. Сравнение скоростей рациональных и полиномиальных тригонометрических аппроксимаций // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 10-ой Саратовской зимней школы, Саратов, 28 января - 2 февраля 2000 г. / Российская Акад. наук, Матем. инcт. им. В.А. Стеклова, Саратовский гос. ун-т. – Саратов, 2000. – С. 133. 86. Старовойтов А.П. Cравнение скоростей рациональных и полиномиальных тригонометрических аппроксимаций // VIII Белорусская математическая конференция: Тез. докл. конф., Минск, 19-24 июня 2000 г./ Институт матем. АН Беларуси, Белорус. гос. ун-т. – Минск, 2000. – С. 46. 87. Starovoitov A.P. Absolutely continuous functions with the given sequence of the best rational approximations // International conference dedicated to M.A. Lavrentyev on the occasion of his birthday centenary: Abstracts, Kyiv, 31 October - 3 November 2000 / Institute of Mathematics Nat. Acad. Sci. Ukraine. – Kyiv, 2000. – P. 80-81. 88. Старовойтов А.П. Абсолютно непрерывные функции с заданной последовательностью наилучших рациональных приближений // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронежской зимней матем. школы, Воронеж, 28 января - 4 февраля 2001 г. / Матем. инст. им. В.А. Стеклова, МГУ, Воронежский гос. ун-т. – Воронеж, 2001. – С. 101. 89. Старовойтов А.П. О свойствах функций, имеющих заданные наилучшие рациональные приближения // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: Тез. докл. межд. науч. конф.,

38 Минск, 15-19 февраля 2001 г. / Институт матем. АН Беларуси, Белорус. гос. ун-т. – Минск, 2001. – С. 156. 90. Starovoitov A.P. On the problem of the description of sequences of best rational trigonometric approximations // Tenth International Conference on approximation Theory: Abstracts, St. Louis, Missouri, March 26-29, 2001./ Department of Mathematics and Computer Science, University of Missouri-St. Louis. – St. Louis, Missouri, 2001. – P. 62. 91. Старовойтов А.П., Русак В.Н. Рациональная аппроксимация целых функций с правильным убыванием коэффициентов Тейлора // Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics: Abstracts, Kyiv, October 19-22, 2001 / Kyiv National Taras Shevchenko University, Inst. of Mathem. Nat. Acad. Sci. Ukraine, Internat. Mathem. Centre of NAS of Ukraine. – Kyiv, 2001. – P. 69-70. 92. Старовойтов А.П., Русак В.Н. Асимптотика определителей Адамара целых функций с правильным убыванием коэффициентов Тейлора // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 11-ой Саратовской зимней школы, посвященной памяти профессоров МГУ Н.К. Бари и Д.Е. Меньшова, Саратов, 28 января 2 февраля 2002 г. / Российская Акад. наук, Матем. инcт. им. В.А. Стеклова, Саратовский гос. ун-т. – Саратов, 2002. – С. 173 – 174. 93. Старовойтов А.П., Русак В.Н. Об одной гипотезе В.К. Дзядыка в теории аппроксимаций Паде // Continued Fractions, their Generalization and Application: Abstracts International SchoolSeminar dedicated to the 75th birthday of professor V. Ya. Skorobogatko, Uzhhorod, August 19-24, 2002./ National Acad. of Sciences of Ukraine. – Uzhhorod, 2002. – P. 44 – 46. 94. Старовойтов А.П. Примеры непрерывных функций с заданным порядком наилучших рациональных приближений // Ряды Фурье и их приложения: Тез. докл. II Международного симпозиума, АбрауДюрсо, 27 мая - 2 июня 2002 г./ Матем. инcт. им. В.А. Стеклова РАН, Ростовский гос. ун-т. – Ростов-на-Дону, 2002. – C. 106 – 107. 95. Старовойтов А.П. Об одной проблеме рациональной аппроксимации // Kolmogorov and contemporary mathematics. International conference in commemoration of the centennial of A.N. Kolmogorov:

39 Abstracts, Moscow, June 16 – 21, 2003 / Russian Academy of Sciences, Moscov State University. – Moscow, 2003. – P. 343 – 344. 96. Старовойтов А.П. Аппроксимационные свойства дробных интегралов Римана-Лиувилля и Вейля// Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: Тез. докл. межд. науч. конф., Минск, 4-9 сентября 2003 г. / Институт матем. НАН Беларуси. – Минск, 2003. – С. 165 – 166.

40 РЕЗЮМЕ Старовойтов Александр Павлович Рациональная аппроксимация и классы функций Ключевые слова: равномерная норма, наилучшие равномерные приближения, рациональные функции наилучшего приближения, дробные интегралы Римана-Лиувилля, дробные интегралы Вейля, пространства ¨ Харди, аппроксимации Паде, таблица Паде, таблица Чебышeва. Объектом исследования является взаимосвязь структурных свойств функций и скорости убывания их наилучших рациональных приближений. Цель работы – развитие теории рациональной аппроксимации в классических банаховых пространствах. При исследовании используется аппарат классического анализа, общие подходы теории полиномиальных и рациональных приближений. В диссертации исследована взаимосвязь структурных свойств функций и скорости убывания их наилучших рациональных приближений, найдены точные порядки убывания величин наилучших рациональных приближений для новых классов функций, установлена асимптотика наименьших равномерных уклонений целых функций от их аппроксимаций Паде и рациональных дробей наилучшего приближения. Все основные результаты диссертации являются новыми. Они имеют теоретический характер и могут быть использованы в теории функций, теории ортогональных многочленов, теории аппроксимации Паде, теории интегральных уравнений, численном анализе, а также при чтении спецкурсов в университетах и педагогических институтах. РЭЗЮМЭ Старавойта˘y Аляксандар Па˘yлавiч Рацыянальныя прыблiжэннi i класы функцый Ключавыя словы: ро˘yнамерная норма, найлепшыя ро˘yнамерныя прыблiжэннi, рацыянальныя функцыi найлепшага прыблiжэння, дробныя iнтэгралы Рымана-Лi˘yвiля, дробныя iнтэгралы Вейля, прасторы Хардзi, прыблiжэннi Падэ, таблiца Падэ, таблiца Чабышова. А’бектам даследавання з’я˘yляюцца узаемасувязь унутраных уласцiвасцей функцый i хуткасцi змяншэння iх найлепшых рацыянальных прыблiжэння˘y. Мэта работы – развiцце тэорыi рацыянальнай апраксiмацыi ˘y класiчных банахавых прасторах. Пры даследаваннi выкарысто˘yваецца апарат класiчнага аналiзу, агульныя падыходы тэорыi палiнамiальных i рацыянальных прыблiжэння˘y.

41 У дысертацыi даследавана узаемасувязь унутраных уласцiвасцей функцый i хуткасцi змяншэння iх найлепшых рацыянальных прыблiжэння˘y, знойдзены дакладныя ацэнкi хуткасцi змяншэння велiчынь найлепшых рацыянальных прыблiжэння˘y для новых класа˘y функцый i асiмптотыка найменшых ро˘yнамерных адхiлення˘y цэлых функцый ад iх прыблiжэння˘y Падэ i рацыянальных дроба˘y найлепшага прыблiжэння. Усе асно˘yныя вынiкi працы з’я˘yляюцца новымi. Яны маюць тэарэтычны характар i могуць быць выкарыстаны ˘y тэорыi функцый, тэорыi артаганальных шматчлена˘y, тэорыi прыблiжэння˘y Падэ, тэорыi iнтэгральных ро˘yнасцей, лiчбавым аналiзе, а таксама пры чытаннi спецкурса˘y ва унiверсiтэтах i педагагiчных iнстытутах. SUMMARY Starovoitov Alexander Pavlovich Rational approximation and classes of functions Key words: uniform norm, best uniform approximation, rational functions of the best approximation, Riemann-Liouville fractional integral, Weyl fractional integral, Hardy spaces, Pade´ approximations , Pade´ table, Chebyshev table. The object of the present study is the interrelation of structural properties of functions and speeds decrease of their best rational approximations. The present study aims to develop theory of rational approximation in classic Banach Spaces. The study involves application of classical analysis apparatus, general approaches in theory of polynomial and rational approximation. In the dissertation the interrelation of structural properties of functions and speeds decrease of their best rational approximations is investigated, exact orders decrease of the best rational approximations for new classes of functions are found, the least uniform evasion of the entire functions from their Pade´ approximations and rational fractions of the best approximation asymptotic equalities are established. All main results of the dissertation are new. They are of the theoretical character and can be used in the theory of functions, theory of orthogonal multinominals, Pade´ approximations theory, theory of integrated equations, the numerical analysis, and also in teaching of special courses in universities and pedagogical institutes.

Подписано в печать ......2003. Бумага офсетная № 1. Формат 60 × 84 1/16. Тираж 100 экз. Заказ № .... Белорусский государственный университет. Лицензия ЛВ № 315 от 14.07.1998. 220050, Минск, пр. Скорины, 4. Отпечатано с готового оригинал-макета заказчика в Республиканском унитарном предприятии "Издательский центр Белорусского государственного университета". Лицензия ЛП; № 461 от 14.08.2001. 220030, Минск, ул. Красноармейская, 6.