Математика. Уравнения математической физики: Учебно-методическое пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МАТЕМАТИКА УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Учебно-методическое пособие для вузов

Составители: Ю.Б. Савченко, С.А. Ткачева

Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета 2007

Утверждено научно-методическим советом математического факультета 29 мая 2007 г., протокол № 9

Рецензент: д-р физ-мат. наук, проф. Ю.И. Сапронов

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского государственного университета

Рекомендуется для студентов 2 курса дневного отделения геологического факультета

Для по специальности 020302 (011200) – Геофизика

2

ВВЕДЕНИЕ Уравнение, связывающее неизвестную функцию u ( x1 , x2 ,..., xn ) , независимые переменные x1, x2 ,..., xn и частные производные от неизвестной функции, называется дифференциальным уравнением с частными производными. Общий вид этого уравнения следующий:

⎛ ⎞ ∂u ∂u ∂u ∂ku ⎜ ⎟ = 0, F ⎜ x1, x2 ,..., xn , u, , ,..., , k k kn ⎟ 1 2 ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂x1 ∂x2 ...∂xn ⎠ ⎝ где F – заданная функция. Наивысший порядок частной производной, входящей в уравнение, называется порядком этого уравнения. Общее уравнение с частными производными первого порядка с двумя независимыми переменными x и y может быть записано в виде

⎛ ∂u ∂u ⎞⎟ F ⎜ x, y, u, , =0 ⎜ ⎟ . ∂ x ∂ y ⎝ ⎠ Общее уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными x и y имеет вид 2 2 2 ⎞ ⎛ ∂ u ∂ u ∂ u ∂ u ∂ u F ⎜ x1, y, u, , ,..., 2 , , 2 ⎟ = 0. ⎜ ∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂y ⎟⎠ ⎝

Уравнение с частными производными называется квазилинейным, если оно линейно зависит от старших производных неизвестной функции. Так, уравнение ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u A(x, y, u , u x , u y ) 2 + B (x, y, u , u x , u y ) + C (x, y, u , u x , u y ) 2 + ∂x∂y ∂x ∂y + f (x, y, u , u x , u y ) = 0 есть квазилинейное уравнение второго порядка. Уравнение с частными производными называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и всех ее частных производных. Общий вид линейного уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными следующий: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u A ( x, y ) 2 + B ( x, y ) + C ( x, y ) 2 + D ( x, y ) + E ( x, y ) + G ( x, y ) u = F ( x, y ) . ∂x ∂x∂y ∂y Решением уравнения с частными производными называется всякая функция u = u ( x1 , x2 ,..., xn ) , которая, будучи подставлена вместо неизвестной функции и ее частных производных, обращает это уравнение в тождество по независимым переменным. 3

Многие задачи механики и физики приводят к исследованию дифференциальных уравнений частными производными второго порядка. І. Изучение колебательных явлений приводят к волновому уравнению: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞ 2⎛ ∂ u − a ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ = f (t , x, y, z ) , ∂t 2 ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x где a – скорость распространения волны в данной среде. ІІ. Процессы распространения тепла в однородном изотропном теле и явления диффузии описываются уравнением теплопроводности: 2 ∂u ∂ 2u ∂ 2 u ⎞ 2⎛∂ u − a ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ = f ( t,x, y,z ) . ∂t ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ІІІ. Рассмотрение установившегося теплового состояния в однородном изотропном теле, приводит к уравнению Пуассона: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + = f ( x, y , z ) . ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 При отсутствии источников тепла внутри тела уравнение (4) переходит в уравнение Лапласа ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + = 0. (5) ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 Уравнения (2)–(5) называют основными уравнениями математической физики. Их изучение дает возможность решать ряд физических и технических задач. Уравнения (2)–(5) имеют, вообще говоря, не единственное решение. При решении конкретной физической задачи из всех таких решений необходимо выбрать то, которое удовлетворяет некоторым дополнительным условиям, вытекающим из физического смысла задачи. Такими дополнительными условиями являются начальные условия, относящиеся к моменту времени, с которого начинается изучения явления, и граничные условия, т.е. условия, заданные на границе рассматриваемой среды, где протекает данный физический процесс. Задача математической физики корректно поставлена, если решение 1) существует, 2) единственно, 3) устойчиво, т.е. малые изменения данных задачи вызывают малые изменения решения. Эти требования объясняются с практической точки зрения тем, что 1) уравнение лишь приближенно отражает рассматриваемый физический процесс; 2) начальные и граничные условия не могут быть определены с абсолютной точностью.

4

Уравнения колебаний

Уравнение 2 ∂ 2 u( x, t ) 2 ∂ u( x, t ) =a + f ( x, t ), x ∈ [0, l ) , t > 0 (1) ∂t 2 ∂x 2 описывает малые поперечные колебания натянутой струны и продольные колебания упругого стержня. Приведем краткий вывод этих уравнений. Поперечные колебания струны. Струной называется упругая нить, не сопротивляющаяся изгибу. Пусть струна длиной l натянута с силой T . Направим ось Ox вдоль струны, находящейся в положении равновесия, и пусть x = 0 – левый конец струны. Тогда x = l – правый конец струны. Возьмем Ou ⊥ Ox и будем рассматривать лишь поперечные колебания струны, когда каждая точка x смещается только перпендикулярно оси Ox . Обозначим u ( x, t ) смещение точки x струны в момент t . Предположим, что углы, образуемые струной с Ox, малы: α , β  1. Докажем, что u ( x, t ) удовлетворяет уравнению (1). Для этого запишем второй закон Ньютона в проекции на Ou для участка струны оси Ox [ x, x + Δx] :

(a)

u

( )

⋅m = F

u.

(2)

∂ 2u ( x, t ) Здесь a n ≈ (ускорение), m = μΔx, ∂t 2 μ – плотность (линейная) струны, F u = F л + F п + if ( x, t ) ⋅ Δx .

( ) ( ) ( F ) обозначена u

Через F л

u

п

сила, действую-

щая на участок [ x, x + Δx ] со стороны левого (правого) куска струны, au – проекция ускорения на Оu; ( FΛ )u , ( Fn )u – проекция сил на Оu; f ( x, t ) – плотность поперечных внешних сил. Например, в поле тяжести Земли f ( x, t ) = gμ , где g ≈ 9,8 м / с . Подставляя au , m и Fu в (2), получаем ∂ 2u μΔx = ( FΛ )u + ( Fn )u + f ( x, t ) ⋅ Δx. 2 ∂t

(3)

Далее, для гибкой струны сила натяжения T направлена в каждой точке по касательной к струне. Примем, что T постоянна по величине. Тогда 5

( FΛ )u = −T sin β ; ( Fn )u = T sin α .

(3’)

Уравнение (3) принимает вид ∂ 2u μΔx = −T sin β + T sin α + f ( x, t ) ⋅ Δx. (4) 2 ∂t Поскольку мы рассматриваем «малые» колебания струны, при которых α , β  1, то с точностью до бесконечно малых высшего порядка по α и β ∂u ∂u sin β ≈ tg β = ( x, t ) ; sin α ≈ tgα = ( x + Δx, t ). ∂x ∂x Подставляя эти выражения в (4), имеем с той же точностью ∂ 2u ∂u ⎛ ∂u ⎞ μΔx ≈ T ⎜ ( x + Δx, t ) − ( x, t ) ⎟ + f ( x, t ) ⋅ Δx . (5) 2 ∂t ∂x ⎝ ∂x ⎠ f ( x, t ) T ; f ( x, t ) = Делим на Δx , при Δx → 0 получаем (1), в котором a =

μ

μ

(если плотность μ постоянна). Замечание 1. Так как ( FΛ ) x = −T cos β ; ( Fn ) x = T cos α , их сумма есть T ( cos α − cos β ) = 0 (α 2 + β 2 ) , следовательно, проекция на ось Ox равно-

действующей сил на участке [ x, x + Δx ] есть бесконечно малая более высокого порядка. С точностью до этих бесконечно малых, малые колебания струны являются поперечными.

Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными Линейное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными имеет следующий вид: ∂ 2u ( x , y ) ∂ 2u ( x , y ) ∂ 2u ( x , y ) ∂u ∂u a ( x, y ) + 2 b ( x , y ) + c ( x , y ) + Φ ( x, y, u , , ) = 0 , (1) 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y

где a ( x, y ), b( x, y ), c( x, y ) – коэффициенты при старших производных, Φ ( x, y , u ,

∂u ∂u , ) – младшие члены уравнения, независимые переменные∂x ∂y

( x, y ) ∈ R 2 . В соответствие с общей классификацией уравнений в частных производных второго порядка, уравнение (1) принадлежит гиперболическому типу, если b 2 ( x, y ) − a ( x, y )c( x, y ) > 0, эллиптическому типу, если b 2 ( x, y ) − a ( x, y )c( x, y ) < 0, параболическому типу, если b 2 ( x, y ) − a ( x, y )c( x, y ) = 0. 6

Для того, чтобы привести уравнение (1) к каноническому виду, введем независимые переменные (2) (ξ ,η ) : ξ = ξ ( x, y ), η = η ( x, y ), причем предполагается, что якобиан преобразования ∂ξ ( x, y ) ∂η ( x, y ) ∂ξ ( x, y ) ∂η ( x, y ) ⋅ − ⋅ ≠ 0. δ ( x, y ) = ∂x ∂y ∂y ∂x

(3)

Говорят, что уравнение (1) приведено в новых переменных (ξ ,η ) к каноническому виду, если оно имеет вид в гиперболическом случае ∂ 2v(ξ ,η ) ∂ 2v(ξ ,η ) ∂v ∂v ∗ − + Φ ( , , v , , )=0 ξ η ∂ξ 2 ∂η 2 ∂ξ ∂η

(31)

или ∂ 2v(ξ ,η ) ∂v ∂v + Φ ∗ (ξ ,η , v, , ) = 0, ∂ξ∂η ∂ξ ∂η

(32)

∂ 2v(ξ ,η ) ∂ 2v(ξ ,η ) ∂v ∂v ∗ + + Φ ( , , v , , ) =0, ξ η ∂ξ 2 ∂η 2 ∂ξ ∂η

(4)

в эллиптическом случае

в параболическом случае ∂ 2v(ξ ,η ) ∂v ∂v + Φ ∗ (ξ ,η , v, , ) = 0 2 ∂η ∂ξ ∂η

(51)

или ∂ 2v(ξ ,η ) ∂v ∂v + Φ ∗ (ξ ,η , v, , ) = 0 . 2 ∂ξ ∂ξ ∂η

(52)

Здесь v(ξ ( x, y ),η ( x, y )) = u ( x, y ). Для того, чтобы найти преобразование (2) с условием (3), приводящее уравнение (1) к одному из трех канонических видов, совершим преобразование, обратное (2): x = ψ 1 (ξ ,η ), y = ψ 2 (ξ ,η ) . Тогда ∂u ∂v ∂ξ ∂v ∂η ∂u ∂u ∂ξ ∂v ∂η ; = + = + ; ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y

⎛ ∂v ∂ξ ∂v ∂η ⎞ ⎟⎟ ∂⎜⎜ + ∂ ∂ ∂ ∂ x x ξ η ∂ u ∂ ⎛ ∂v ⎞ ∂ξ ∂v ∂ 2ξ ∂ ⎛ ∂v ⎞ ∂η ∂v ∂ 2η ⎝ ⎠ + + ⎜ ⎟ + = = = ⎜⎜ ⎟⎟ ∂x 2 ∂x ∂x ⎝ ∂ξ ⎠ ∂x ∂ξ ∂x 2 ∂x ⎜⎝ ∂η ⎟⎠ ∂x ∂η ∂x 2 2

2

∂ 2 v ⎛ ∂ξ ⎞ ∂ 2 v ∂ξ ∂η ∂ 2 v + + 2 ⎜ ⎟ ∂ξ 2 ⎝ ∂x ⎠ ∂ξ∂η ∂x ∂x ∂η 2

2

∂v ∂ 2ξ ∂v ∂ 2η ⎛ ∂η ⎞ + + ; ⎜ ⎟ 2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x x x ξ η ⎝ ⎠ 7

⎛ ∂v ∂ξ ∂v ∂η ⎞ ∂⎜ + ∂ξ ∂y ∂η ∂y ⎟⎠ ∂ ⎛ ∂v ⎞ ∂ξ ∂v ∂ 2ξ ∂ ⎛ ∂v ⎞ ∂η ∂v ∂ 2η ∂u ⎝ = = ⎜ ⎟ + + + = ∂y 2 ∂y ∂y ⎝ ∂ξ ⎠ ∂y ∂ξ ∂y 2 ∂y ⎜⎝ ∂η ⎟⎠ ∂y ∂η ∂y 2 2

2

2

∂ 2v ⎛ ∂ξ ⎞ ∂ 2v ∂ξ ∂η ∂ 2v ⎛ ∂η ⎞ ∂v ∂ 2ξ ∂v ∂ 2η + + + 2 . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ∂ξ 2 ⎝ ∂y ⎠ ∂ξ∂η ∂y ∂y ∂η 2 ⎝ ∂y ⎠ ∂ξ ∂y 2 ∂η ∂y 2 ⎛ ∂v ∂ξ ∂v ∂η ⎞ ⎟ + ∂⎜⎜ ∂ξ ∂x ∂η ∂x ⎟⎠ ∂ ⎛ ∂v ⎞ ∂ξ ∂v ∂ 2ξ ∂ ⎛ ∂v ⎞ ∂η ∂v ∂ 2η ∂ u ⎝ + + ⎜ ⎟ + = ⎜⎜ ⎟⎟ = = ∂y ⎝ ∂ξ ⎠ ∂x ∂ξ ∂x∂y ∂x ⎜⎝ ∂η ⎟⎠ ∂x ∂η ∂x∂y ∂y ∂x∂y ∂v ∂ 2η ∂ 2 v ⎛ ∂ξ ∂ξ ⎞ ∂ 2 v ⎛ ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ⎞ ∂ 2 v ⎛ ∂η ∂η ⎞ ∂v ∂ 2ξ ⎟+ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ ⎜ ; + + ∂ξ 2 ⎜⎝ ∂x ∂y ⎟⎠ ∂ξ∂η ⎜⎝ ∂x ∂y ∂y ∂x ⎟⎠ ∂η 2 ⎜⎝ ∂x ∂y ⎟⎠ ∂ξ ∂x∂y ∂η ∂x∂y 2

Таким образом, после замены переменных (1) запишется в виде ∂ 2v(ξ ,η ) ∂ 2v(ξ ,η ) ∂ 2v(ξ ,η ) ∂v ∂v A + 2B +C + Φ∗ (ξ ,η , v, , ) = 0, 2 2 ∂ξ ∂ξ∂η ∂η ∂ξ ∂η

(6)

где A = A( x, y ) x =ψ 1 (ξ ,η ), ; B = B( x, y ) x =ψ1 (ξ ,η ), ; C = C ( x, y ) x =ψ 1 (ξ ,η ), y =ψ 2 (ξ ,η )

y =ψ 2 (ξ ,η )

y =ψ 2 (ξ ,η )

и 2

2

2

2

⎛ ∂ξ ⎞ ∂ξ ∂ξ ⎛ ∂ξ ⎞ A( x, y ) = a ⎜ ⎟ + 2b ⋅ + c⎜ ⎟ ; ∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎛ ∂η ⎞ ∂η ∂η ⎛ ∂η ⎞ C ( x, y ) = a ⎜ ⋅ + c⎜ ⎟ + 2b ⎟ ; ∂x ∂y ∂ y ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ∂ξ ⎞⎛ ∂η ⎞ ⎛ ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ ⎞ ⎛ ∂ξ ⎞⎛ ∂η ⎞ B( x, y ) = a ⎜ ⎟⎜ ⋅ + ⋅ ⎟ + c ⎜ ⎟⎜ ⎟ + b⎜ ⎟. ⎝ ∂x ⎠⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂x ∂y ⎠ ⎝ ∂y ⎠⎝ ∂y ⎠

(7)

Непосредственно проверяется равенство B 2 ( x, y ) − A( x, y )C ( x, y ) = (b 2 ( x, y ) − a ( x, y )c( x, y ))δ 2 ( x, y ) .

(8)

Из (8), условия (3) и определения типа уравнения следует, что уравнение (1) не меняет типа при неособой замене переменных. Дальнейший выбор преобразования (2) зависит от типа уравнения (1). 1. Гиперболический тип уравнения: b 2 − ac > 0 . Подберем преобразование (2) таким образом, чтобы A = 0 и C = 0 для рассматриваемых значений ξ = ξ ( x, y ), η = η ( x, y ). Будем предполагать, не ограничивая общности, что для рассматриваемых ( x, y ) a ( x, y ) ≠ 0 (в против8

ном случае можно считать c( x, y ) ≠ 0, так как если a ( x, y ) = c( x, y ) = 0, то b 2 ( x, y ) > 0 и уравнение (1) уже имеет канонический вид. Как видно из (7), для выполнения условий A = 0 и C = 0 следует найти решения ξ = ξ ( x, y ) и η = η ( x, y ) уравнения 2

2

⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ϕ ∂ϕ ⎛ ∂ϕ ⎞ a ( x, y ) ⎜ ⋅ + c ( x, y ) ⎜ ⎟ + 2b( x, y ) ⎟ = 0, ∂x ∂y ∂ y ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ⎠

(9)

удовлетворяющие условию (3). Однородное (второй степени однородно∂ϕ ∂ϕ уравнение (9) легко разложить на множители и сти) относительно , ∂x ∂y записать в виде (ниже Δ = b 2 − ac ) ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ⎜ a ( x, y ) ∂x + ∂y (b( x, y ) + Δ( x, y )) ⎟⎜ a ( x, y ) ∂x + ∂y (b( x, y ) − Δ ( x, y )) ⎟ = 0. ⎝ ⎠⎝ ⎠ Таким образом, нелинейное уравнение (9) распалось на совокупность двух линейных уравнений первого порядка: ∂ϕ ∂ϕ ⎡ ⎢ a ( x, y ) ∂x + ∂y (b( x, y ) + Δ( x, y )) = 0; ⎢ (10) ∂ϕ ∂ϕ ⎢ ⎢ a ( x, y ) ∂x + ∂y (b( x, y ) − Δ( x, y )) = 0. ⎣

Для решения уравнений (10) составим соответствующую им совокупность обыкновенных дифференциальных уравнений из следующих соображений. Найдем первые интегралы для этих уравнений, т.е. функции ϕ ( x, y ), при которых уравнения (10) будут равносильны однопараметрическим функциональным уравнениям ϕ ( x, y ) = const. Имеем из (10):

⎡ ady − (b + Δ )dx = 0; (11) ⎢ ady − ( b − Δ ) dx = 0. ⎢⎣ После деления уравнений совокупности (11) на dx получаем совокупность обыкновенных дифференциальных уравнений: ⎡ a ( x, y ( x)) y ′ ( x) − (b( x, y ( x)) + Δ ( x, y ( x)) = 0; 1 1 1 1 ⎢ ⎢ a ( x, y2 ( x)) y2′ ( x) − (b( x, y2 ( x)) − Δ( x, y2 ( x)) = 0. ⎣

9

(12)

При условии достаточной гладкости коэффициентов a ( x, y ), b( x, y ), c( x, y ) у уравнений (12) существуют однопараметрические семейства решений: ⎡ y = y1 ( x) + const ⎢ y = y ( x) + const. 2 ⎣ Обозначим ϕ1 ( x, y ) = y − y1 ( x); ϕ 2 ( x, y ) = y − y2 ( x). Очевидно, ϕ1 ( x, y ) и

ϕ2 ( x, y ) – первые интегралы соответствующих уравнений совокупности (10). Определение. Кривые ϕ1 ( x, y ) = const и ϕ 2 ( x, y ) = const называются характеристиками уравнения (1), а уравнение (9) – уравнением характеристик. По построению функций ϕ1 ( x, y ) и ϕ2 ( x, y ) при замене

ξ = ϕ1 ( x, y ), η = ϕ 2 ( x, y )

(13)

коэффициенты A = 0, C = 0, а коэффициент B в силу замечания 1 имеет вид B 2 = Δ ( x, y )δ 2 ( x, y ) > 0 ( δ ( x, y ) ≠ 0 ). Так как B ≠ 0 , то после деления уравнения (6) на 2 B, мы приходим к каноническому виду (32) уравнения (1). Отметим также, что новая замена переменных ξ = ξ% + η%; η = ξ% − η% позволяет перейти от канонического вида (32) к каноническому виду (31). 2. Эллиптический тип уравнения: b 2 − ac < 0. Уравнение (9) в этом случае можно записать (после умножения на a ( x, y ) ≠ 0 ) в виде ⎛ ⎞ ∂ϕ ∂ϕ ⎜ a ( x, y ) ∂x + ∂y (b( x, y ) + i | Δ ( x, y ) |) ⎟ ⋅ ⎝ ⎠

(14) ⎛ ⎞ ∂ϕ ∂ϕ (b( x, y ) − i | Δ( x, y ) |) ⎟ = 0. ⋅ ⎜ a ( x, y ) + x y ∂ ∂ ⎝ ⎠ Как и в первом случае гиперболического уравнения, равенство (14) равносильно совокупности двух уравнений первого порядка. Рассмотрим первое из них: ∂ϕ ∂ϕ (15) a ( x, y ) (b( x, y ) + i | Δ ( x, y ) |) = 0. + ∂x ∂y Исследуя это уравнение аналогично уравнениям (10), отметим, что его решения комплекснозначны. Пусть решение уравнения (15) представлено в виде 10

ϕ ( x, y ) = ϕ1 ( x, y ) + iϕ2 ( x, y ),

(16)

где ϕ1 ( x, y ),ϕ2 ( x, y ) − вещественнозначные функции. Легко убедиться в том, что решения второго из уравнений совокупности ∂ϕ ∂ϕ a ( x, y ) (b( x, y ) − i | Δ( x, y ) |) = 0 + ∂x ∂y

(17)

представимы в виде ϕ ( x, y ) = ϕ1 ( x, y ) − iϕ2 ( x, y ). Таким образом, достаточно рассмотреть лишь уравнение (16). С помощью функций ϕ1 ( x, y ),ϕ2 ( x, y ) построим преобразование

ξ = ϕ1 ( x, y ), η = ϕ 2 ( x, y ).

(18)

Как и в гиперболическом случае, можно показать, что якобиан преобразования (18) отличен от нуля. Учитывая, что функция (16) по построению является решением уравнения (9): 2

2

∂ϕ ⎞ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ⎛ ∂ϕ a ⎜ 1 + i 2 ⎟ + 2b ⎜ 1 + i 2 ⎟ ⋅ ⎜ 1 + i 2 ⎟ + c ⎜ 1 + i 2 ⎟ = 0, (19) ∂x ⎠ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ∂y ⎠ ⎝ ∂y ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎝ ∂x и разделяя вещественную и мнимую части в (19), находим 2

2

2

⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ⎞ a ⎜ 1 ⎟ + 2b 1 1 + c ⎜ 1 ⎟ = a ⎜ 2 ⎟ + 2b 2 2 + c ⎜ 2 ⎟ ,2 ∂x ∂y ∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂y ⎠

(20)

∂ϕ 1 ∂ϕ 2 ∂ϕ ∂ϕ 2 ⎛ ∂ϕ ∂ϕ 2 ∂ϕ 2 ∂ϕ 1 ⎞ ⎟⎟ + c 1 =0. (21) + b⎜⎜ 1 + ∂x ∂x ∂x ∂y ⎠ ∂y ∂y ⎝ ∂x ∂y Из (20) и (7) следует A = C , а из (21) и (7), что B = 0. Также получаa

ем, что B 2 − AC = (b 2 − ac)δ 2 < 0 при δ ≠ 0. Так как по построению преобразования (18) величина δ ≠ 0 , то A = C ≠ 0. Следовательно, после преобразования (18) и деления на A уравнение (1) переходит в уравнение (4) канонического вида. 3. Параболический тип уравнения: b 2 − ac = 0. Заметим, что в этом случае хотя бы один из коэффициентов a ( x, y ) или c( x, y ) отличен от нуля (в противном случае и b = 0 и уравнение (1) вырождается в уравнение первого порядка). Предположим, что a ( x, y ) ≠ 0 и рассмотрим уравнения (14) при Δ( x, y ) = b 2 − ac = 0 . Так как в этом случае оба уравнения совпадают, то мы приходим к уравнению ∂ϕ ( x, y ) ∂ϕ ( x, y ) a ( x, y ) + b ( x, y ) = 0. ∂x ∂y 11

(22)

Заметим, что всякое решение уравнения (22) является также решением уравнения ∂ϕ ( x, y ) ∂ϕ ( x, y ) (23) b ( x, y ) + c ( x, y ) =0 ∂x ∂y и наоборот. Пусть ϕ1 ( x, y ) ≠ const – решение уравнения (22) (или уравнения (23)). Положим

ξ = ϕ1 ( x, y ) .

(24)

Обозначим k ( x, y ) = b( x, y ) / a ( x, y ). Из (7) имеем 2 ⎛ ⎛ ∂ξ ⎞2 2b ∂ξ ∂ξ c ⎛ ∂ξ ⎞2 ⎞ ⎛ ∂ξ ∂ξ ⎞ ⎟ = a⎜ ⋅ + +k A( x, y ) = a ⎜ ⎜ ⎟ + ⎟ ; ⎜ ⎝ ∂x ⎠ a ∂x ∂y a ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ⎟ ∂ ∂ x y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(25)

2 ⎛ ⎛ ∂η ⎞2 2b ∂η ∂η c ⎛ ∂η ⎞2 ⎞ ⎛ ∂η ∂η ⎞ ⎟ = a⎜ + ⋅ + +k C ( x, y ) = a ⎜ ⎜ ⎟ ; ⎜ ⎝ ∂x ⎟⎠ a ∂x ∂y a ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ⎟ ∂ ∂ x y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(26)

⎛ ∂ξ ∂η b ⎛ ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ ⎞ c ∂ξ ∂η ⎞ B ( x, y ) = a ⎜ ⋅ + ⎜ ⋅ + ⋅ ⎟+ ⋅ ⎟= x x a x y x y a y y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (27) ⎛ ∂ξ ∂η ⎛ ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ ⎞ 2 ∂ξ ∂η ⎞ ⎛ ∂ξ ∂ξ ⎞⎛ ∂η ∂η ⎞ =a ⎜ ⋅ +k⎜ ⋅ + ⋅ ⎟ +k ⋅ +k +k ⎟ =a ⎜ ⎟⎜ ⎟. x x x y x y y y x y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ В качестве второй функции η = ϕ 2 ( x, y ) (28)

можно взять, вообще говоря, любую гладкую функцию ϕ 2 ( x, y ) , обеспечивающую отличие от нуля якобиана преобразования исходного уравнения к уравнению с коэффициентами (25)–(27). После проведенных преобразова∂η ∂η ний из (22) и (23) получаем A = B = 0 , C = a −1 (a + b ) 2 , что приводит ∂x ∂y уравнение (1) к каноническому виду (51). Гиперболические уравнения Бесконечная струна. Рассмотрим уравнение Даламбера (1) на всей числовой оси: 2 ∂ 2u 2 ∂ u =a , −∞ < x < ∞, t > 0. ∂t 2 ∂x 2 12

(18)

Это соответствует физической задаче о струне больших размеров. Для простоты считаем, что f ( x, t ) ≡ 0, т.е. внешних сил нет. Мы покажем, что (18) имеет бесконечно много решений: и для однозначного задания движения струны здесь достаточно задать начальные положения и скорости всех точек струны: ∂u u ( x,0) = ϕ ( x) ; ( x,0) = ψ ( x), x ∈ R . (19) ∂x Задача (18)–(19) называется задачей Коши (или начальной задачей) для уравнения (1). Равенства (19) называются начальными условиями, а функции ϕ ,ψ – начальными данными. Решение Даламбера. Как будет доказано далее, общее решение уравнения (18) имеет вид u ( x, t ) = f ( x − at ) + g ( x + at ), (20) где f и g – произвольные функции одной переменной. Решение (20) уравнения (18) называется решением Даламбера. Чтобы доказать (20), сделаем замену переменных в дифференциальном уравнении (18): ξ = x − at ; η = x + at (21) Выразим функцию u ( x, t ) в новых координатах: u ( x, t ) x = 1 (ξ +η ) = V (ξ ,η ) t=

2 1 (η −ξ ) 2a

Сделать замену переменных в (18) – значит, найти дифференциальное уравнение для V (ξ ,η ) , эквивалентное (18). Подставим эти представления в уравнения в (18), приходим к уравнению в новых переменных следующего вида: ∂ 2v = 0. (22) ∂ξ∂η Это есть канонический вид уравнения (18). ∂v Обозначим (ξ , η )=W(ξ , η ) . Уравнение (22) запишется в виде ∂η ∂W d ≡ W η =const = 0 ∂ξ dξ Отсюда следует, что W η =const не зависит от ξ , т.е. W (ξ ,η ) = c (η ) или

(

)

∂v (ξ , η )=c(η ). ∂η

(23)

V (ξ ,η ) = ∫ c(η )dη + c1 (ξ ).

(24)

Интегрируем (23):

13

Таким образом, V (ξ ,η ) = g (η ) + f (ξ ) где, g и f – некоторые функции одной переменной. Проведем в этом представлении замены ξ = x − at ,η = x + at , получим u ( x, t ) = f ( x − at ) + g ( x + at ) . Замечание 2. График функции f ( x − at )( g ( x + at )) при любом t > 0 получается из графика функции f ( x)( g ( x)) с помощью параллельного переноса вправо (влево) вдоль Ox на at . Таким образом, форма графика функции f ( x − at ) , как функции от x при разных фиксированных t одна и та же. Само явление, описываемое функцией f ( x − at ) , называется распространением прямой волны (волна распространяется в положительном направлении оси x со скоростью a ). Точно так же функция g ( x + at ) представляет обратную волну, которая распространяется в отрицательном направлении оси x со скоростью a . Такие функции в физике называются бегущими волнами. Решение (20) является суммой прямой и обратной волн. Решение задачи Коши для уравнения Даламбера Заменим уравнение (18) равносильным представлением (20). Остается учесть начальные условия (19). Из них мы найдем неизвестные функции g и f по заданным ϕ и ψ . Подставим (20) в (19), получим (25) ⎧ f ( x) + g ( x) = ϕ ( x). ⎨ ' ' (26) ⎩−af ( x) + ag ( x) = ψ ( x), x ∈ R1. Интегрируем (26) 1 x c − f ( x) + g ( x) = ∫ ψ (ξ )dξ + . a 0 a Из последнего уравнения и уравнения (25) имеем 1 1 x c ψ ( s )ds + . g ( x) = ϕ ( x) + ∫ 2 2a 0 2a x 1 1 c 1 1 0 c = ϕ ( x) + ψ ( s )ds − . f ( x) = ϕ ( x) − ∫ ψ ( s )ds − ∫ 2 2a 0 2a 2 2a x 2a Подставим эти представления в (20). Имеем ϕ ( x − at ) + ϕ ( x + at ) 1 x+ at ψ ( s )ds. (27) u ( x, t ) = + 2 2a ∫x −at Формула (27) дает решение задачи Коши (18),(19) и называется формулой Даламбера. Решение задачи Коши получаем в случае, если ϕ ( x) дважды, а ψ ( x) один раз непрерывно дифференцируемы по x. Рассмотрим два частных случая. 1. Начальные скорости ψ ( x) = 0, а начальное смещение ϕ ( x) имеет место лишь в конечном промежутке suppϕ ⊂ ( −α ,α ) . Решение (27) в этом случае имеет вид 14

u ( x, t ) =

ϕ ( x − at ) + ϕ ( x + at )

. (28) 2 Уже отмечалось, что это сумма двух бегущих волн, распространяющихся влево и вправо со скоростью a . Пусть точка x лежит правее ( −α ,α ) , т.е. x −α x > α . При x − at > α , т.е. t < из вида ϕ ( x) и формулы (28) следует, a что u ( x, t ) = 0, т.е. до точки x волна еще не дошла. С момента времени x −α t= точка x начинает колебаться (момент прохождения переднего a x +α фронта прямой волны). При x − at < −α , т.е. t > , из (28) следует, что a x +α u ( x, t ) ≡ 0. Моменту t = соответствует прохождение заднего фронта a прямой волны через точку x , после чего в этой точке u ( x, t ) обращается в нуль. Аналогичные рассуждения можно провести для точек струны, лежащих внутри промежутка ( −α ,α ) или левее его. Таким образом, для каждой точки струны в некоторый момент наступает покой. 2. Начальное смещение равно ϕ ( x) = 0, а начальные скорости ψ ( x) отличны от нуля лишь в некотором промежутке ( −α ,α ) . В этом случае говорят, что струна имеет только начальный импульс. Решение (27) принимает вид 1 x + at u ( x, t ) = ψ ( z )dz (29) 2a ∫x −at 1 x Положим Θ( x) = ψ ( z )dz . Получим u ( x, t ) = Θ( x + at ) − Θ( x − at ). То есть 2a ∫0 по струне распространяются две волны: прямая и обратная. Исследуем решение (29) более подробно. Пусть точка x лежит правее ( −α ,α ) . При t = 0 промежуток интегрирования ( x − at , x + at ) вырождается в точку x , а затем при увеличении t он расширяется в обе стороны x −α со скоростью a . При t < он не будет иметь общих точек с ( −α ,α ) , a функция ψ ( z ) = 0 и формула (29) даст u ( x, t ) = 0 , т.е. покой в точке x . Наx −α , промежуток ( x − at , x + at ) будет накладываться чиная с момента t = a на ( −α ,α ) , в котором ψ ( z ) отлична от нуля, и точка x начнет колебаться (момент прохождения переднего фронта волны через точку x ) .

15

x +α промежуток ( x − at ; x + at ) будет содержать a целиком промежуток (−α ;α ) , интегрирование по ( x − at ; x + at ) будет сводиться к интегрированию по (−α ;α ) , так как вне него ψ ( z ) = 0 , т.е. при x +α t> мы имеем постоянное значение u ( x, t ) , равное a α 1 ψ ( z ) dz . (*) 2a −∫α Таким образом, действие начального импульса сводится к тому, что с Наконец, при t >

течением времени точки струны сдвигаются на отрезок, длина которого выражается интегралом (*) и остается без движения в этом новом положении. Волны оставляют после себя как бы след своего прохождения. Вывод уравнения распространения тепла в изотропном твердом теле.

Рассмотрим твердое тело, температура которого в т. ( x, y, z ) в момент t > 0 есть u ( x, y, z , t ). Если различные части тела находятся при различной температуре, то в теле будет происходить движение тепла от более нагретых к менее нагретым частям. Возьмем некую поверхность S внутри тела и на ней малый элемент ΔS . В теории теплопроводности принимается, что количество тепла ΔQ , проходящее через элемент ΔS за время Δt , пропорционально Δt ⋅ ΔS ⋅

∂u , т.е. ∂n

ΔQ = − K

∂u ΔS Δt , ∂n

(1)

здесь u – направление нормали к элементу ΔS в направлении движения тепла, K > 0 – коэффициент внутренней теплопроводности. Будем считать тело изотропным в отношении теплопроводности, т.е. что K зависит лишь от ( x, y, z ) и не зависит от

∂u . Обозначим через q тепловой поток, т.е. ∂n

количество тепла, проходящее через единицу площади поверхности в единицу времени. Тогда из (1) q = − K

∂u . ∂n

Для вывода уравнения распространения тепла выделим внутри тела произвольный объем V , ограниченный гладкой замкнутой поверхностью S , и рассмотрим изменение количества тепла в этом объеме за время [t1; t2 ]. 16

Нетрудно видеть, что через поверхность S за это время, согласно (1), проходит количество тепла, равное t2 ⎡ ∂u ⎤ Q1 = − ∫ ⎢∑ k ( x, y , z ) dS ⎥dt , t1 ∂n ⎦ ⎣S

где n – внутренняя нормаль к S . Рассмотрим элемент объема ΔV . На изменение температуры этого объема на Δu за время Δt нужно затратить количество тепла, равное

ΔQ2 = [u ( x, y, z, t + Δt ) − u ( x, y, z, t )]γ ( x, y, z ) ρ ( x, y, z )ΔV , где ρ ( x, y , z ) – плотность, γ ( x, y , z ) – теплоемкость вещества. Следовательно, количество тепла, необходимое для изменения температуры V на Δu = u ( x, y, z, t2 ) − u ( x, y, z, t1 ) , равно Q2 = ∫ [u ( x, y, z, t2 ) − u ( x, y, z , t1 )]γρdV V

или t2 ⎡ ⎤ ∂u Q2 = ∫ ⎢ ∫ γρ dV ⎥dt. t1 ⎣V ∂t ⎦ Предположим, что внутри тела имеются источники тепла. Обозначим через F ( x, y , z , t ) плотность тепловых источников (количество тепла, поглощаемого или выделяемого единицей объема тела в единицу времени). Тогда количество тепла, поглощаемого либо выделяемого в объеме V за время [t1; t2 ] , будет равно

t2 ⎡ ⎤ Q3 = ∫ ⎢ ∫ F ( x, y, z )dV ⎥dt. t1 ⎣V ⎦

Составим теперь уравнение баланса тепла для выделения объема V . Очевидно, Q2 = Q1 + Q3 , т.е.

∫

t2

t1

t2 t2 ⎡ ⎤ ∂u ∂u γρ = − + dV dt k dSdt F ( x, y, z )dVdt. ⎢∫ ⎥ ∫ ∫ t1 ∫ ∂n t1 ∫ n ∂ S V ⎣V ⎦

Применяя формулу Остроградского ко второму интегралу, будем иметь (знак «–» появится, так как n – внутренняя, а не внешняя нормаль).

∫

t2

t1

⎡ ∂u ⎤ − ⋅ − γρ ( , , , ) div k gradu F x y z t [ ] ∫V ⎢⎣ ∂t ⎥⎦ dVdt = 0.

17

В силу произвольности промежутка времени [t1; t2 ] и объема V , для любой точки ( x, y, z ) тела в любой момент времени t получаем

γρ

∂u = div ( k ⋅ gradu ) + F ( x, y , z , t ). ∂t

Это уравнение теплопроводности неоднородного изотропного тела. Если тело неоднородно, то γ , s, k = const и ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞ ∂u = a 2 ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ + f ( x, y, z, t ), ∂t ∂y ∂t ⎠ ⎝ ∂x

где

f ( x, y, z , t ) = F ( x, y, z, t ) / γρ ; a = k / (γρ ). Если в однородном теле нет источников тепла, то ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞ ∂u = a 2 ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ − однородное уравнение теплопроводности. ∂t ∂y ∂t ⎠ ⎝ ∂x

В частном случае, когда U = u ( x, y , t ), что, например, имеет место в 2 ∂u ∂ 2u ⎞ 2⎛∂ u = a ⎜ 2 + 2 ⎟ . Наконец, для линейнотонкой однородной пластине, ∂t ⎝ ∂x ∂y ⎠ 2 ∂u 2 ∂ u . = a го тела (однородный стержень) ∂t ∂x 2

Первая краевая задача для уравнения теплопроводности Постановка задачи. Пусть Ω – конечная область в  3 . Обозначим Q = Ω × ( 0; ∞ ) , QT = Ω × ( 0;T ) , T > 0. Часть границы QT , состоящую из ниж-

него основания ( t = 0 ) и боковой поверхности, обозначим через Г . Рассмотрим следующую задачу: найти в QT решение уравнения 2 ∂u ∂ 2u ∂ 2 u ⎞ 2⎛∂ u = a ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ , ( x, y, z ) ∈ Ω, t ∈ ( 0, T ) , ∂t ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x удовлетворяющее начальному условию u t = 0 = ϕ ( x, y , z ) ( x , y , z ) ∈ Ω

(

)

и граничному условию u s = ψ ( x, y, z , t ) , ( x, y, z ) ∈ S = ∂Ω, t ∈ [ 0, T ) .

(1)

(2) (3)

Предположим, что функции ϕ ,ψ непрерывны, причем выполнено условие согласования ϕ ( x , y , z )∈S = ψ t =0 . Задача (1) − ( 3) называется первой краевой

задачей для уравнения теплопроводности. 18

Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности в QT = [ 0 ≤ x ≤ l ;0 ≤ t ≤ T ]

Задача 1. Найти непрерывную в QT функцию u ( x, t ) , удовлетворяющую в QT уравнению теплопроводности

начальному условию

и краевым условиям

∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ) ∂t ∂x

(4)

u t =0 = ϕ ( x ) ,0 ≤ x ≤ l

(5)

u x =0 = μ1 ( t ) , u x=l = μ 2 ( t ) , 0 ≤ t ≤ T .

(6)

f ,ϕ , μ1 , μ2 − непрерывные и удовлетворяют условиям ϕ ( 0 ) = μ1 ( 0 ) ,ϕ ( l ) = μ2 ( 0 ) . Изучение этой задачи начнем с простейшей: найти в прямоугольнике QT решение однородного уравнения 2 ∂u 2 ∂ u =a , ∂t ∂x 2

(7)

удовлетворяющее начальному условию u t =0 = ϕ ( x ) и однородным краевым условиям, u x =0 = 0;

u x =l = 0,

(8)

(9)

где ϕ ( x ) – имеет кусочно-непрерывную ϕ ′ ( x ) и ϕ ( 0 ) = ϕ ( l ) = 0. Докажем существование решения (7)–(9) методом Фурье для прямоугольника QT . Будем искать частные решения (7) в виде u ( x, t ) = T ( t ) X ( x ) . (10) Подставляя это в (6), имеем X ( x ) T ′ ( t ) = a 2T ( t ) X ′′ ( x ) или T ′(t ) X ′′ ( x ) = = −λ , a 2T ( t ) X ( x ) откуда получаем два уравнения 19

T ′ ( t ) + a 2λT = 0; X ′′ ( x ) + λ X ( x ) = 0.

(11) (12)

Чтобы получить нетривиальные решения u ( x, t ) вида (10), удовлетворяющие краевым условиям (9), необходимо найти нетривиальные решения уравнения (12), удовлетворяющие краевым условиям X ( 0 ) = 0; X ( l ) = 0. Таким образом, для определения X ( x ) мы приходим к задаче о собственных значениях X ′′ ( x ) + λ X ( x ) = 0; X ( 0 ) = 0; X ( l ) = 0 (13) 1.

λ < 0 . Общее решение

X (ϕ ) = c1e − λ x + c2e − λ x , удовлетворяющее краевым условиям c1 + c2 = 0 ; c1e − λ x + c2e − λ x = 0 ⇒ c1 = c2 = 0 ⇒ X ( x ) ≡ 0 . 2.

X ( x ) = c1 + c2 x

λ =0

c1 + c2 ⋅ 0 = 0 ; c1 + c2l = 0 ⇒ c1 = c2 = 0 ⇒ X ( x ) ≡ 0

3.

( λ x ) + c sin ( λ x ). На границе: c ⋅ 1 + c ⋅ 0 = 0; c cos ( λ l ) + c sin ( λ l ) = 0. c = 0; c sin ( λ l ) = 0. Надо, чтобы c ≠ 0 ⇒ sin ( λ l ) = 0; X ( x ) = c1 cos

λ >0 1

1

2

2

1

2

2

2

λl = π k; λ =

πk l

;

2

⎛πk ⎞ (14) λk = ⎜ ⎟ , k = 1, 2,3,... ⎝ l ⎠ Этим собственным значениям соответствуют собственные функции π kx X k ( x ) = sin , (15) l определяемые с точностью до постоянного множителя (заметим, что положительные и отрицательные k дают λk = λk ⇒ , можно брать не k ∈ Z, а k ∈  ). При λ = λn решение уравнения (10 ) есть Tn = ane

⎛ anπ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ l ⎠

2

.

(16)

Итак, все функции ⎛ anπ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ l ⎠

2

nπx l удовлетворяют уравнению (7) и граничным условиям (9). u n ( x, t ) = Tn (t ) X n ( x) = an e 20

sin

(17)

Составим ряд: ∞

u ( x, t ) = ∑ anl

2

⎛ nπ a ⎞ ⎟ t ⎝ l ⎠

−⎜

n =1

sin

nπ x . l

(18)

Требуя выполнения начального условия (8), получим ∞

u ( x,0 ) = ϕ ( x ) = ∑ an sin n=1

nπ x l

(19)

Написанный ряд есть разложение ϕ ( x ) по синусам в ( 0,l ) , где l

2 nπ x an = ∫ ϕ ( x ) sin dx (20) l0 l Так как мы предположили, что ϕ ( x ) имеет кусочно-непрерывную первую производную и ϕ (0) = ϕ (l ) = 0 , то ряд (18 ) с коэффициентом an , определяемым по (20), равномерно и абсолютно сходится к ϕ ( x ) , что известно из теории тригонометрических рядов. Так как при ⎛ anπ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ l ⎠

2

t≥0

0<e ≤ 1 , то ряд (18) также при t ≥ 0 сходится абсолютно и равномерно. Поэтому функция u ( x, t ) , определяемая рядом (18), непрерывна при 0 ≤ x ≤ l ,0 ≤ t и удовлетворяет начальному и граничному условиям. Осталось показать, что функция u ( x, t ) удовлетворяет (7). Для этого достаточно показать, что ряды, получаемые из (18) почленным дифференцированием по t один раз и по x два раза, также равномерно и абсолютно сходятся в QT . Это последнее утверждение следует из того, что при ∀t > 0 : 0 <

2 2

2

a nπ e l2

⎛ anπ ⎞

2

⎛ anπ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ l ⎠

2

< c;

a 2 n 2π 2 −⎜⎝ l ⎟⎠ 0< e < c при c = const ( u ) . l2 Совершенно так же можно показать, что у функции u ( x, t ) существуют непрерывные производные любого порядка в [0; l ] × ( 0; ∞ ) . Единственность решения задачи (7)–(9) и непрерывная зависимость от начальной функции ϕ ( x ) были установлены, как следствие теоремы о максимуме и минимуме. Таким образом, задача (7)–(9) поставлена корректно для t > 0 , если начальное условие задано при t = 0 . Задача 2. Найти в прямоугольнике Q решение неоднородного уравнения 2 ∂u 2 ∂ u =a + f ( x, t ) . (21) ∂t ∂x 2 21

удовлетворяющее начальному условию u t =0 = 0 и однородным краевым условиям u x =0 = 0; u x =l = 0

(22) (23)

при этом предполагается, что непрерывная функция f ( x, t ) имеет кусочно-непрерывную первую производную и что при всех t > 0 выполняются условия f ( 0, t ) = f ( l , t ) = 0 . Будем искать решение u ( x, t ) задачи (21)-(22) в виде ряда Фурье nπ x l n =1 по собственным функциям задачи ( X ′′ + λ X = 0; X ( 0 ) = X ( l ) = 0 ) . ∞

u ( x, t ) = ∑ Tn ( t ) sin

(24)

Разлагая функцию f ( x, t ) в ряд Фурье по синусам, будем иметь ∞

f ( x, t ) = ∑ f n ( t ) sin n =1

nπ x , l

(25)

где l

2 nπ x f n ( t ) = ∫ f ( x, t ) sin dx (26) l 0 l Подставим ряд (24) в уравнение (21), с учетом (25) получим 2 ∞ ⎡ ⎤ anπ ⎞ nπ x ⎛ =0 ⎢Tn′ ( t ) + ⎜ ∑ ⎟ Tn ( t ) − f n ( t ) ⎥ sin l l ⎝ ⎠ n =1 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Отсюда 2 nπ a ⎞ ⎛ (27) Tn′ ( t ) + ⎜ ⎟ Tn ( t ) = f n ( t ) , n = 1, 2,3,... ⎝ l ⎠ Далее получаем начальное условие для Tn ( t ) из начальных условий (22) для u ( x, t ) : ∞

u ( x,0 ) = ∑ Tn ( 0 ) sin n =1

nπ x =0⇒ l ,

(28)

Tn ( 0 ) = 0, n = 1,2,3,... Решаем (28): t

Tn ( t ) = ∫ l

2

⎛ nπ a ⎞ −⎜ ⎟ ( t −τ ) ⎝ l ⎠

f n (τ ) dτ .

0

Подставляя (29) в(24), получаем решение задачи (21)–(22) в виде

22

(29)

⎡ t −⎛⎜ nπ a ⎞⎟ (t −τ ) ⎤ nπ x . (30) u ( x, t ) = ∑ ⎢ ∫ l ⎝ l ⎠ f n ( t ) dτ ⎥ sin l ⎥ n =1 ⎢ 0 ⎣ ⎦ Замечание 3. Если начальные условия неоднородны, то к решению (30) следует прибавить решение однородного уравнения теплопроводности с заданным начальным условием u ( x,0 ) = ϕ ( x ) и однородными граничными условиями u ( 0, t ) = 0; u ( l , t ) = 0 . Вернемся теперь к общей первой краевой задаче (4)-(6).Введем новую неизвестную функцию V ( x, t ) , положив u ( x, t ) = V ( x, t ) + W ( x, t ) , где x W ( x, t ) = μ1 ( t ) + ⎡⎣ μ2 ( t ) − μ1 ( t ) ⎤⎦ . l Функция V ( x, t ) будет определяться как решение уравнения ∞

где

2

2 ∂V 2 ∂ V =a + f ( x, t ) , ∂t ∂x 2

f ( x, t ) = f ( x , t ) − с начальным условием

(31)

∂W ( x, t ) , ∂t

V ( x,0 ) = ϕ ( x ) − W ( x,0 )

и краевыми условиями

⎧⎪V ( 0, t ) = u ( 0, t ) − W ( 0, t ) = 0, . (32) ⎨ ⎪⎩V ( l , t ) = u ( l , t ) − W ( l , t ) = 0 Таким образом, решение первой начально-краевой задачи общего вида может быть сведено к решению задач, решенных раньше.

23

Литература 1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. – М.: Физматлит, 2003. – 398 с. 2. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: Наука, 1966. – 735 с.

24

Учебное издание

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Учебно-методическое пособие для вузов

Составители: Савченко Юлия Борисовна, Ткачева Светлана Анатольевна Редактор

Подписано в печать Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 1,5. Тираж 50 экз. Заказ 2411. Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. 208-298, 598-026 (факс) http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: [email protected] Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. 204-133. 25