Дифференциальная геометрия и расслоения

Р.Зуланке, П.Винтген ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И РАССЛОЕНИЯ В основу книги положен курс лекций, прочитанных авторами в последние годы в Университете им. Гумбольдта в Берлине. Она содержит развернутое и подробное введение, в современную дифференциальную геометрию и может использоваться как учебное пособие. Этому способствует большое количество упражнений и подробное изложение всех вспомогательных результатов из теории групп Ли и групп преобразований. Книга вполне доступна студентам старших курсов университетов и пединститутов. Последние главы, содержащие приложения развитых методов к интегральной геометрии и к доказательству теоремы Гаусса — Бонне — Чжэня, заинтересуют и специалистов. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к русскому изданию 5 Из предисловия к немецкому изданию 6 Некоторые указания к пользованию книгой 8 Глава I. Дифференцируемые многообразия 9 § 1. Определение дифференцируемых многообразий 9 § 2. Дифференцируемые отображения 15 § 3. Касательное и кокасательное расслоения 20 § 4. Ориентируемость 29 § 5. Подмногообразия 35 § 6. Группы Ли 41 § 7. Группы Ли преобразований 44 § 8. Инварианты 49 § 9. Векторные поля 54 § 10. Алгебра Ли группы Ли 64 § 11. Факторпространства и факторгруппы 76 § 12. Присоединенные представления 82 Глава II. Дифференцируемые расслоения 90 § 1. Определение дифференцируемых расслоений 90 § 2. Ассоциированные расслоения и инварианты расслоений 99 § 3. Гомоморфизмы расслоений 107 § 4. Дифференциальные формы 117 § 5. Теорема Фробениуса 127 § 6. Применения к группам Ли 133 § 7. Связности на главных расслоениях 146 § 8. Параллельный перенос 151 § 9. Абсолютный дифференциал и структурные уравнения 160 § 10. Линейные связности 178 § 11. Риманова геометрия и G-структуры 193 § 12. Теория голономии 206 § 13. Инвариантные связности 210 § 14. Подмногообразия 220

Глава III. Интегрирование § 1. Интегрирование по Лебегу на многообразии § 2. Теорема Фубини § 3. Теорема Стокса § 4. Лемма Пуанкаре § 5. Когомологии форм § 6. Степень отображения Глава IV. Интегральная формула Гаусса — Бонне — Чжэня § 1. Особенности векторных полей. § 2. Формула Гаусса — Бонне — Чжэня § 3. Приложения и частные случаи Глава V. Интегральная геометрия § 1. Пространства плоскостей и плотности § 2. Формулы Крофтона § 3. Интегральная геометрия гиперповерхностей § 4. Интегральная геометрия m-поверхностей Приложение § 1. Категории и функторы § 2. Некоторые основные топологические понятия § 3. Вспомогательные результаты из теории меры Примечания Список литературы Указатель

234 234 243 248 254 255 258 261 261 270 279 287 287 292 297 313 320 320 321 324 326 333 340

УКАЗАТЕЛЬ — максимальный 12 Абсолютный параллелизм 160 — ориентированный 29 Автоморфизм внутренний 83 — полный 9 Акилов Г. П. 324 — расслоения 90 Алгебра внешняя 118 — — максимальный 92 — голономии 209 Атласы одинаково ориентированные — Картана на дифференцируемом 29 многообразии 119 — Cr-эквивалентные 12 — Ли 59 Атья (Atiyah M. F.) 328 — — группы Ли 64 Аффинный параметр 183 — — линейной группы 73 База расслоения 90 — тензорная 52 Базис касательного пространства, — функций 17 отвечающий карте 24 — эндоморфизмов 165 — топологии 323 Александров П. С. 261 Барицентрическое подразделение 267 Аллендёрфер (Allendoerfer С. В.) 282, Бернар (Bernard D.) 329 331 Бесконечно удаленная Амброз (Ambrose W.) 209 гиперплоскость 47 Атлас 9 Бляшке (Blaschke W.) 168, 287, 330 — класса Cr 11

Боль (Bol G.) 330 Борель (Borel A.) 328 Букур (Bucur I.) 99 Бурау (Burau W.) 38, 47 Бурбаки (Bourbaki N.) 20, 44, 52, 321, 324, 326 Вагнер В. В. 330 Вагнер Л. (Wagner L.) 330 Ван (Wang H. С.) 211 Вейль A. (Weil A.) 44, 282, 331 Вейль Г. (Weyl H.) 247, 319 Вектор касательный 23 Векторное поле 55 — — инвариантное 62 — — левоинвариантное 64 — — полное 56 — — проектируемое 59 — — симметричное относительно вращений 54 — — стандартное 191 — — фундаментальное 86 Векторные поля F-связанные 59 Винберг Э. Б. 329 Гелер В. (Gahler W.) 13 Гелер С. (Gahler S.) 13 Геодезическая 182 Геометрия аффинная 47 — внутренняя поверхности 200 — евклидова 49 — Минковского 194 — псевдоевклидова 48 — проективная вещественная 46 — эквиаффинная 194 Gr -геометрия 50 Гиперповерхность 37 — алгебраическая 38 Глисон (Gleason A. M.) 41 Гомеоморфизм 17, 322 Гомоморфизм алгебр Ли 69 — аналитический 41 — связностей 154 — расслоений 107 Градиент 264

Граф ориентированный 32 — ориентируемый 32 — связный 32 Громол (Gromoll D.) 329 Группа аффинная 47 — голономии 206, 207 — — ограниченная 206, 207 — евклидова 49 — изотропии точки 46 — когомологий форм 256 — Ли 41 — — автоморфизмов расслоения 210 — — — — послойно транзитивная 212 — — преобразований 44 — — — действующая слева 44 — — — — справа 44 — — — просто транзитивная 45 — — — транзитивная 45 — — — тривиальная 45 — — — эффективная 45 — линейная специальная 43 — — — комплексная 43 — Лоренца 49 — ортогональная вещественная 43 — — специальная 43 — преобразований однопараметрическая 57 — — — локальная 55, 57 — — топологическая 46 — проективная вещественная 46 — псевдоевклидова 49 — псевдоортогональная 48 — структурная расслоения 92 — топологическая 44 Гуревич Б. Л. 324 Деляну (Deleanu A.) 99 Деривационные уравнения 137 — — Кодапци 228, 232 Деформация связности 165 Джекобсон (Jacobson N.) 327 Диффеоморфизм 17 — локальный 36

Дифференциал вещественной векторфункции 20 — внешний 123 — — абсолютный тензорного поля 172 — — — формы со значениями в векторном пространстве 166 — — — — со значениями в векторном расслоении 172 — отображения многообразий 25 Дифференцирование 58 Дифференпируемость формы со значениями в векторном расслоении 162 Длина вектора 199 — дуги кривой 199 Дринфельд Г. И. 331 Дьедонне (Diedonne J.) 20, 35, 262, 324 Ених (Janich К.) 146, 328 Закон преобразования локальных форм связности 149 Закс (Sachs H.) 32 Замена переменных 325 Запись локальная абсолютного дифференциала тензорного поля 180 — — форм со значениями в векторных расслоениях 162 — отображения при помощи карт 15 — функции в локальных координатах 11 Зингер (Singer I. M.) 209 Зиппин (Zippin L.) 41 Значение ребра 31 — маршрута 31 Зуланке (Sulanke R.) 243, 328, 331 Идеал алгебры Ли 69 Изгибание 200 Изоморфизм 320 Изоморфизмы слоев 102 — — ассоциированные 103 Инвариант в классическом смысле слова 50

— дискретный 51 — расслоений 103 G-инвариант 50 Инверсия 64 Индекс векторного поля 261, 262, 264 — Морса 264 — сечения векторного расслоения 270 Интегралы поперечных мер Минковского 304 Исчисление Картана 126 — точечно-векторное 48 Камке (Kamke E.) 132 Кантор Л. 217 Карта 9 — расслоения 90 Картан Э. (Cartan E.) 138, 147, 329 Касательная 37 Категория 320 — групп преобразований 49 Келли (Kelley J. L.) 15, 20 Керне (Cairns S. S.) 257-, 258 Класс расслоений, ассоциированных с главным расслоением 101 — эйлеров характеристический 278 Клейн (Klein F.) 53, 193, 199 Клингенберг (Klingenberg W.) 329 Кобазис, приспособленный к полю подпространств 128 Кобаяси (Kobayashi S.) 6, 8, 147, 154, 206, 279, 327, 329, 330, 331 Кованцов Н. И. 330 Кольцо когоыологий форм 256 Коммутатор векторных полей 59 — дифференциальных форм со значениями в алгебре Ли 135 Композиция 320 — функторов 321 Компонента связная 323 — — графа 32 Кон (Cohn P. M.) 326 Конец кривой 21 Координаты канонические 68 — криволинейные 13

— нормальные 185 — относительно карты 10 Коцепь сингулярная 257 Край многообразия 252 — — k-кратный 253 Красносельский M. А. 261 Кривая дифференцируемая 21 — регулярная 37 Кривизна абсолютная полная 285 — гауссова 231 — средняя 231 Кривизны главные в точке на гиперповерхности 231 Критическая точка функции 264 Кульк (Kulk v. d. W.) 328 Кураниси (Kuranischi M.) 328 Кюйпер (Kuipcr N. Н.) 326 Лаптев Г. Ф. 158, 329 Лашоф (Lashof R.) 331 Левин (Levine Н.) 330 Ленг (Lang S.) 12, 39, 58, 327 Либер А. Е. 330 Линия координатная 24 — кривизны 231 Лист Мёбиуса 34 Лифт поля 174 Лихнерович (Lichnerowicz A.) 52, 206, 329 Луч 265 Макаров Б. M. 324 Маршрут 31 Матрица Якоби 21 Мейер (Меуег W.) 329 Метод коренных букв и индексов 11 — подвижного репера 138 Милнор (Milnor J). 285 Многообразие дифференцируемое 12 — грассманово 114 — интегральное поля подпространств 128 — — — — максимальное 132 — комплексное 13 — га-мерное 9 — односвязное 169

— ориентированное 30 — ориентируемое 29 — параллелизуемое 192 — с краем 262 — Штифеля 288 Множество замкнутое 322 — измеримое 234 — открытое 322 — m-спрямляемое 296 0-множество 234 Монтгомери (Montgomery D.) 41 Морфизм 320 — расслоений 117 — — векторных 327 — функторов 321 Мостерт (Mostert P. S.) 328 Направления главных кривизн 231 Неявное задание подмногообразия 38 Номидзу (Nomizu К.) 6, 8, 58, 147, 154, 206, 216, 279, 327, 329, 330, 331 Норден А. П. 165, 190, 330 Нормализация погружения 221 Область интегрирования 248 — с гладкой границей 279 Оболочка линейная множества коммутаторов 65 Образ гомоморфизма алгебры Ли 69 Объект 320 Объем параллелепипеда 199 — риманова многообразия 242 Ограничение группы преобразований 49 — расслоения 93 — связности 169 — G-структуры 195 Оператор линейный дифференциальный 58, 135 — оболочки 322 — свертывания 167 Опускание индексов 202 Орбита группы преобразований 143 Ориентация на многообразии 29

Особенность неявно заданного подмногообразия 38 — устранимая 265 Отображение дифференцируемое 16 — изменяющее ориентацию 47 — — — в точке 246 — изометрическое 200 — непрерывное 322 — расслоений 113 — регулярное 35 — — в точке 35 — сохраняющее длину 200 — — ориентацию 47 — — — в точке 246 — экспоненциальное 66 Отображения гомотопные 257 Охват 332 Пале (Palais R. S.) 328 Параллельный перенос 153 Переориентация вершины графа 32 — карты 30 Петля 31 Петровский И. Г. 183 Лидо (Pedoe D.) 39 Пиккерт (Pickert G.) 48 Плоскость касательная 37 Плотность 242 — веса р 52 — вращательная 288 — кинематическая 287 — тензорная типа k, l и веса р 52 Поверхность 37 m-поверхность 292 Погорелов А. В. 329 Погружение 37 — неизотропное 221 Подалгебра Ли 65 Подгруппа замкнутая 140 — Ли 42 — — топологическая 42 — открытая 43 — стационарная 46 Подкатегория 320 Подмногообразие 36

— нульмерное 36 — открытое 15 — с самопересечениями 37 Подмногообразия трансверсальные 292 Поднятие индексов 202 — отображения 152 — пути 152 Покрытие 324 — вписанное 324 — локально конечное 324 Поле лучей 265 — — слабо сингулярное в точке 265 — подпространств на многообразии 127 — — вполне интегрируемое 128 — — горизонтальное 147 — — инволютивное 128 — — левоинвариантное 126 Понтрягин Л. С. 44, 326 Постников М. М. 256, 330 Поток стационарный 55 Представление (линейное) 82 — — алгебры Ли 84 — линейное изотропии пространства Клейна 108 — присоединенное группы Ли 83 — — алгебры Ли 84 — точное 82 Представления линейные эквивалентные 86 Преобразование 62 — естественное 321 — инфинитезимальное 58 — координат 10 Проблема эквивалентности для Gструктур 329 Продолжение группы преобразований 108 Проекция расслоения 90 — — касательного 25 . — — кокасательного 27 — точки на множество 332 Произведение атласов 14

— в категории групп преобразований 50 — внешнее 118 — — дифференциальных форм со значениями в векторном пространстве 185 — многообразий 14 — полупрямое 48 — путей 153 — тензорное расслоений 328 Производная ковариантная частная 189 — обобщенная частная 182 Прообраз связности 156 Пространство векторное n-мерное 13 — — — комплексное 13 — групповое 45 — касательное 23 — — вертикальное 23 — — горизонтальное 147 — Клейна 45, 95 — кокасательное 27 — Минковского 49 — нормальное погружения 221 — однородное 45 — проективное 14 — псевдориманово 197 — расслоения 90 Пространство редуктивное 216 — ν-редуктивное 217 — риманово 197 — с внутренней метрикой 329 — топологическое 322 — — компактное 324 — — линейно связное 323 — — локально компактное 324 — — нормальное 323 — — паракомпактное 324 — — регулярное 323 — — связное 323 — — счетное в бесконечности 324 — — хаусдорфово 323 T1-пространство 323 Прямая времениподобная 52

— пространственноподобная 52 — световая 52 Путь, гомотопный нулю 206 — горизонтальный 152 — замкнутый 169 — лежащий над некоторым путем 152 — на многообразии 151 Разбиение единицы 19 — множества 238 Развертка кривой 205 де Рам (de Rham G.) 256 Расслоение векторное 104 — — ассоциированное с помощью представления 160 — главное 93 — — ассоциированное с данным расслоением 101 — — — — — с помощью гомоморфизма 109 — — сводимое к подгруппе Ли 110 — голономии 209 — дифференцируемое 92 — единичное нормальное 284 — индуцированное 112 — касательное 27 — кокасательное 27 — на сферы 265 — нормальное погружения 116 — ортогональное 197 — реперов 94 — тензоров, ассоциированное с расслоением реперов 106 — тривиальное 92 — q-форм 117 Расслоения ассоциированные 101 — эквивалентные 92 Расширение расслоения 110 Рашевский П. К. 48, 49, 52, 216, 326, 328 Ребро графа 31 Рейхардт (Reichardt H.) 52,126, 151, 166, 180, 181, 225, 250 Репер 94

— ортонормированный 1'97 — подвижный 97 — сопровождающий 97 Ринов (Rinow W.) 329 Рухти (Ruchti R.) 217 Самопересечение 37 Сантало (Santalo L. A.) 287 Сведение главного расслоения 110 Свойство глобальное 36 — инфинитезимальное 35 — локальное 36 Связность инвариантная 211 — индуцированная с помощью гомоморфизма расслоений 156 — — — нормализации 223 — каноническая линейная в редуктивном пространстве 217 — Леви-Чивита 272 — линейная 151 — локально плоская 169 — на главном расслоении 147 — плоская 160 — полная 185 — риманова 203 — сводимая 200 G-связность 203 Сдвиг левый 42 — правый 42 Семейство локальных сечений расслоения, накрывающее многообразие 93 Серр (Serre J.-P.) 326 Сеть кривизны 231 Сечение 93 — локальное 93 — — отвечающее данной карте 98 — — приспособленное к полю подпространств 128 Символы Кристоффеля 202 Симплекс класса Cr 250 — сингулярный 250 Синг (Synge J. L.) 49 Система пфаффова 128 — — специального вида 128

Скляренко Е. Г. .326 Слебодзиньский (Slebodziriski W.) 328 Слой 91 — типичный 90 Смейл (Sinale S.) 331 Соглашение о суммировании 10 Спеньер (Spanier Е.) 258, 265 Степень локальная отображения 246 Стернберг (Sternberg S.) 12, 236, 329 Стинрод (Steenrod N.) 93, 99, 198, 277 Структура дифференцируемая 12 G-структура 194 — локально плоская 195 — плоская 194 Структурные константы 65 — уравнения Маурера — Картана 134 — — линейной связности 186 — — связности 167 G-структуры изоморфные 194 — локально эквивалентные 195 Сумма прямая алгебр Ли 66 — Уитни 328 Сфера 13 Схоутен (Schouten J. А.) 8, 11, 151, 180, 190, 328, 329, 330 Телеман (Teleman С.) 17, 256, 258 Тело с гладкой границей 283 — параллельное 312 Тензор градиентный 182 — деформации связности 165 — ковариантный 52 — контравариантный 52 — кривизны 190 — кручения 190 — типа k, l 52 — фундаментальный 202 Тензорный анализ 178 Теорема Брауэра о неподвижной точке 260, 281 — Кернса 257 — Лебега 325 — Леви 325

— локальная основная для гиперповерхностей 233 — о голономии 209 — о гомоморфизме для алгебр Ли 70 — — — групп Ли 81 — о еже 275 — Радемахера 332 — де Рама 256 — Сарда 236 — сведения 208 — Стокса 248, 251 — Фробениуса 132 — фубини 244, 325 — «эгрегиум» Гаусса 228, 231 Тите (Tits J.) 68, 326 Тождество Бьянки 172 — — первое 187 — — второе 187 — Якоби 59 Том (Thorn R.) 330 Тендер (Tondeur Ph.) 326 Топология 321 — более сильная 322 — — слабая 322 — дискретная 322 — индуцированная 323 — относительная 323 Top 37 — re-мерный 14 Траектория поля 56 Триангуляция многообразия 257 Тутаев Л. К. 330 Угол между двумя векторами 199 — — — кривыми 199 Уитни (Whitney H.) '256, 257, 258, 330, 332 Условие интегрируемости деривационных уравнений 137 Условия ортогональности 43 Фавар (Favard J.) 329, 330 Факторпространство 76 Фактортопология 77, 323 Федерер (Federer H.) 319, 332 Фельдман (Feldman E.) 330 Ферус (Ferus D.) 285

Фиников С. П. 328, 330 Форма Гессе 264 — дифференциальная 118 — — абсолютная 237 — — замкнутая 255 — — со значениями в векторном расслоении 161 — — степени q 118 — — тензорная 164 — — типа p 164 — — точная 255 — каноническая 185 — Киплинга 218 — кривизны связности 167 — кручения связности 186 — Маурера — Картана групы Ли 134 — пфаффова 118 — связности 148 — — локальная 149 — структурная группы Ли 136 — суммируемая 238 — фундаментальная 197 — —вторая гиперповерхности 231 — — — подмногообразия 230 Формула интегральная Гаусса — Бонне — Чжэня 272 — Крофтона 295 — основная кинематическая Сантало, Бляшке и Чжэня 304 Формула Штейнера 313 Функтор ковариантный 321 — контравариантный 321 Функция аналитическая 12 — измеримая 234 — инвариантная при инфинитезимальных преобразованиях 61 — не вырожденная в критической точке 264 — суммируемая 238 Функции перехода 92 Хавин В. П. 324 Хадвигер (Hadwiger H.) 287, 304 Халмош (Halmos P.) 324

Хелгасон (Helgason S.) 58, 73, 141, 190, 217, 219, 326, 328, 329 Херманн (Hermann R.) 329, 330 Хирпебрух (Hirzebruch F.) 256, 330 Ходж (Hodge W. V. D.) 39 Хопф (Hopf H.) 261, 329 Хохшильд (Hochschild G.) 326 Хьюзмоллер (Husemoller D.) 99 Центр алгебры Ли 84 — группы Ли 83 Цепь сингулярная 251 Цикл 31 Чеботарев Г. H. 330 Чжэнь (Chern S. S.) 5, 13, 194, 201, 243, 271, 285, 297, 304, 319, 329, 331 Шафаревич И. Р. 39 Шварц (Schwartz-J. T.) 236, 330 Швейкин П. И. 330 Швец (Svec A.) 329

Шевалле (Chevalley С.) 12, 58, 132, 326 Шилов Г. Е. 324 Широков А. П. 330 Широков П. А. 330 Шольц (Scholz G.) 215 Эйлерова характеристика 258 Эйлерово число 272 Эквивариантная пара отображений 49 Экспоненциал группы Ли 66 Элемент длины дуги 197 — объема 242 — — ориентированный 242 Эресман (Ehresmann С.) 147 Эрлангенская программа Ф. Клейна 53, 193, 199 Ядро гомоморфизма алгебр Ли 69 Якобиан 21 Ямабе (Yamabe H.) 207 Яно (Yano К.) 13, 326