Приложения кратных интегралов: Учебно-методическое пособие

М И Н И СТ Е РСТ В О О Б РА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н ЫЙ У Н И В Е РСИ Т Е Т

ПРИ ЛО Ж Е Н И Я К РА Т Н ЫХ И Н Т Е ГРА ЛО В У чебн о-методическое пособие для студен тов по специаль н ости “ М атематика” 010101(010100) и н аправлен ию “ М атематика. Прикладн ая математика” 010200(511200)

В орон еж 2006

2

У т верж д ен о н а у чн о-м ет од ическим совет ом м а т ем а т ического ф а ку льт ет а , п рот окол № 4 от 9.12.2005 г.

Сост а вит ель д оц. Зу бова С.П.

У чебн о-м ет од ическое

п особие

п од гот овлен о

на

ка ф ед ре

м а т ем а т ического а н а лиза м а т ем а т ического ф а ку льт ет а Ворон еж ского госу д а рст вен н ого у н иверсит ет а . Реком ен д у ет ся д ля ст у д ен т ов

вт орого ку рса

д н евн ого и

вечерн его от д елен ий в п ом ощ ь п ри решен ии за д а ч м а т ем а т ического а н а лиза .

3

В п особии реша ю т сяза д а чи н а хож д ен ияобъем а т ела и п лощ а д и п оверхн ост и с п ом ощ ью д вой н ы х и т рой н ы х ин т егра лов. Для лу чшего

п он им а н ия ра ссм а т рива ем ы х м н ож ест в

п ривлека ю т ся

гра ф ические обра зы .

1. О сн овн ы е сведен ия Исп ользу ю т сяслед у ю щ ие осн овн ы е ф а кт ы (см . [1],[2]). Если т ело V - ест ь совоку п н ост ь т очек ( x , y , z ) п рост ра н ст ва R 3 , у д овлет воряю щ их

соот н ошен иям

z1( z , y ) ≤ z ≤ z2 ( z , y )

( x , y ) ∈ D ∈ R 2 , т о объем υ т ела V ра вен υ = ∫∫ ( z 2 ( x , y ) − z1( x , y ))dxdy .

(1)

D

Или  z2 ( x , y ) υ = ∫∫∫ dxdydz = ∫∫  ∫ dz dxdy . V D  z1( x , y ) 

(2)

В свою очеред ь, если D = {( x , y ) ∈ R 2 : a ≤ x ≤ b , y1( x ) ≤ y ≤ y2 ( x )},

то b  y2 ( x )

  = f ( x , y ) dxdy f ( x , y ) dy dx. ∫∫ ∫  ∫  D a   y1 ( x )

Если D = {( x , y ) ∈ R 2 : c ≤ y ≤ d , x1( y ) ≤ x ≤ x2 ( y )},

(3)

и

4

то d x2 ( y )

∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫ { D

∫ f ( x , y )dx }dy .

(4)

c x1 ( y )

Зд есь и д а лее все ра ссм а т рива ем ы е ф у н кции п ред п ола га ю т ся н еп реры вн ы м и н а соот вет ст ву ю щ ихм н ож ест ва х. Площ а д ь Ps п оверхн ост и S т а кой , чт о S = {( x , y , z ) ∈ R 3 : z = z( x , y ),( x , y ) ∈ D },

н а ход ит сяп о ф орм у ле PS = ∫∫ 1 + ( z ′x )2 + ( z ′y )2 dxdy .

(5)

D

Для более п рост ого вы числен ия ин т егра лов ча ст о исп ользу ет ся п ереход от д ека рт овы х коорд ин а т ( x , y ) к п олярн ы м коорд ин а т а м (ϕ ,r ) п о ф орм у ла м x = r cos ϕ , y = r sin ϕ (рис. 1,2).

Тогд а

∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫∫ f ( r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕ , D

D*

(6)

5

гд е D* = {( ϕ , r ) : x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ,( x , y ) ∈ D } , т о есть D* - э то м н ож ест во D , оп иса н н ое в п олярн ы хкоорд ин а т а х. На п рим ер,

если

D = {( x , y ) ∈ R 2 : ( x − a )2 + y 2 ≤ a 2 ,a > 0 },

то

D* = {( ϕ , r ) ∈ R 2 : ( r cos ϕ − a )2 + r 2 sin 2 ϕ ≤ a 2 } , т о ест ь D* = {( ϕ , r ) ∈ R 2 : 0 ≤ r ≤ 2 a cos ϕ } (рис. 3, 4).

Переход от д ека рт овы х коорд ин а т ( x , y , z ) к сф ерическим коорд ин а т а м ( ϕ ,θ , ρ ) осу щ ест вляет сяп о ф орм у ла м x = ρ cos ϕ cos θ , y = ρ sin ϕ cos θ , z = ρ sin θ (рис.5, 6).

6

Им еет м ест о ф орм у ла 2 ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz = ∫∫∫ f ( ρ cos ϕ cos θ , ρ sin ϕ cos θ , ρ sin θ )ρ cos θdϕdθdρ , V*

V

(7)

т о т ело V , оп иса н н ое в сф ерическихкоорд ин а та х. гд е V * - э На п рим ер,

если

2

2

2

2

то

V = {( x , y , z ) : x + y + z ≤ R } ,

V * = {( ϕ ,θ , ρ ) : ρ 2 cos 2 ϕ cos 2 θ + ρ 2 sin 2 ϕ cos 2 θ + ρ 2 sin 2 θ ≤ R 2 } , т о ест ь

V * = {( ϕ ,θ , ρ ) : 0 ≤ ρ ≤ R ,0 ≤ ϕ ≤ 2π ,−

π π ≤θ ≤ } 2 2

(ша р ра д иу са

R

с

цен т ром в н а ча ле коорд ин а т ). 2. В ы числен ие объема тела с помощ ь ю двой н ого ин теграла Прим ер1. Вы числит ь с п ом ощ ью д вой н ого ин т егра ла объем υ т ела V : V : y ≥ z 2 , x ≤ y ≤ a , x ≥ 0.

7

На рису н ке 7 изобра ж ен а п оверхн ост ь S1 U S 2 - э то ча ст ь цилин д рической

п оверхн ост и

y = z2

п ри

x ≥ 0 . На п ра вляю щ ей

лин ией э т ой п оверхн ост и являет сялин ия y = x 2 , а обра зу ю щ а ялин ия п а ра ллельн а оси OX . На рису н ке 8 изобра ж ен ы ча ст и п лоскост ей y = x , y = a , x = 0.

М н ож ест во {( x , y , z ) : x ≤ y ≤ a , x ≥ 0 } - э т о м н ож ест во т очек, леж а щ ихм еж д у э т им и п оверхн ост ям и и т очек, п рин а д леж а щ ихэ т им п оверхн ост ям . Та ким обра зом , т ело V - ест ь м н ож ест во т очек п рост ра н ст ва R 3 , огра н ичен н ы хп оверхн ост ям и Si ,i = 1,5 (рис. 9).

8

Им еем : V = V1 U V2 , гд е V1 : 0 ≤ z ≤

y , x ≤ y ≤ a, x ≥ 0,

V2 : − y ≤ z ≤ 0 , x ≤ y ≤ a , x ≥ 0.

О бъем ы т ел V1 и V2 од ин а ковы е в силу сим м ет ричн ост и т ела от н осит ельн о п лоскост и XOY , п оэ т ом у п о ф орм у ле (1) п олу ча ем : υ = 2 ∫∫ y dxdy . D

С п ом ощ ью рису н ка 10 и ф орм у лы (3) ра сст а вляем п ред елы ин т егрирова н ияв п ослед н ем ин т егра ле: a

a

υ = 2∫ { ∫ 0

y dy }dx .

x

За д а н ие 1. У бед ит ься, чт о υ =

6 2 a a. 15

Прим ер2. Вы числит ь объем т ела x2 + y 2 V: ≤ z ≤ x 2 + y 2 , a > 0. a

9

x2 + y2 На рису н ке 11 изобра ж ен а ча ст ь п оверхн ост и S1 : z = a

(п а ра болоид вра щ ен ия, кру говой п а ра болоид ), а н а рису н ке 12 ча сть кон ической п оверхн ост и S 2 : z = x 2 + y 2 .

Поверхн ост и S1 и S 2 п ересека ю т ся в т очке ( 0 ,0 ,0 ) и п о лин ии x2 + y2 = x2 + y 2 , a

то

ест ь

по

окру ж н ост и

x 2 + y 2 = a 2 , z = a.

След ова т ельн о, т ело V ест ь т ело, изобра ж ен н ое н а рису н ке 13.

Исп ользу ем ф орм у лу (1):

10

x2 + y 2 υ = ∫∫ ( x + y − )dxdy , a D 2

2

гд е D - кру г с цен т ром в т очке ( 0 ,0 ) ра д иу са a (рис. 14), или, в силу сим м ет ричн ост и т ела V от н осит ельн о п лоскост ей XOZ и YOZ , 2 2 2 2 a a2 − x2 x + y 2 2 x +y 2 2 υ = 4 ∫∫ ( x + y − )dxdy = 4 ∫ { )dy }dx. ∫ ( x +y − a a D 0 0 1

В п ослед н ем ин т егра ле у д обн ее п ерей т и к п олярн ы м коорд ин а т а м (ф орм у ла (6)). За д а н ие 2. У бед ит ься, чт о объем υ т ела V , ра ссм от рен н ого в π 2

r2 4 ∫ { ∫ (r − )rdr }dϕ . a 0 0

п рим ере 2, ра вен

a

На й т и зн а чен ие υ . За д а н ие 4. На й т и объем т ела , огра н ичен н ого п а ра болоид ом вра щ ен ия z = x 2 + y 2 , коорд ин а т н ы м и п лоскост ям и и п лоскост ью x + y = 1 . О т вет :

1 . 6

3. В ы числен ие площ ади поверхн ости с помощ ь ю двой н ого ин теграла Прим ер 3. На й т и п риближ ен н о п лощ а д ь п оверхн ост и z =

xy , 2

1 если x 2 + y 2 ≤ 8 xy , z ≥ , x ≥ 0. 4

Ч а ст ь п оверхн ост и S : z =

xy (гип ерболический п а ра болоид ) п ри 2

1 z ≥ , x ≥ 0 изобра ж ен а н а рису н ке 15. 4

11

Поверхн ост ь п оверхн ост ь

с

S : ( x 2 + y 2 )2 = 8 xy

н а п ра вляю щ ей

γ1,

-

э то

цилин д рическа я

оп исы ва ем ой

у ра вн ен ием

( x 2 + y 2 )2 = 8 xy н а п лоскост и XOY , и обра зу ю щ ей , п а ра ллельн ой оси OZ .

У д обн ее у ра вн ен ие обра зу ю щ ей

γ1

за п иса т ь в п олярн ы х

коорд ин а т а х: r 4 = 8 r 2 cos ϕ sin ϕ , т о ест ь r = 2 sin 2ϕ (рис. 16). Л ин ия γ 2 п ересечен ияп оверхн ост ей z = у ра вн ен иям и

xy 1 1 = и z= . 2 4 4

В соот н ошен ии коорд ин а т а м :

xy 1 и z = оп исы ва ет ся 2 4

xy 1 = т ож е у д обн ее п ерей т и к п олярн ы м 2 4

r 2 cos ϕ sin ϕ =

1 1 , или r = . На рису н ке 16 2 sin 2ϕ

изобра ж ен а п роекция э т ой лин ии н а п лоскост ь XOY и м н ож ест во D:

1 ≤ r ≤ 2 sin 2ϕ . sin 2ϕ

12

Л ин ии

γ1

и

γ2

п ересека ю т ся п ри

у д овлет воряю щ ихсоот н ошен ию 2 sin 2ϕ = след ова т ельн о, ϕ1 = В э т ом

зн а чен иях ϕ1 ,ϕ 2 ,

1 1 , от ку д а sin 2ϕ = , 2 sin 2ϕ

1 5 π , ϕ2 = π . 12 12

п рим ере ра ссм а т рива ет ся ча ст ь п оверхн ост и

S,

за клю чен н а я м еж д у цилин д рическим и п оверхн ост ям и S1 и S 2 (рис. 17), т о ест ь ча ст ь п оверхн ост и S , изобра ж ен н а ян а рису н ке 18.

По ф орм у ле (5) им еем : PS = ∫∫ 1 + ( D

y 2 x ) + ( )2 dxdy . 2 2

Переход я зд есь к п олярн ы м коорд ин а т а м и ра сст а вляя п ред елы ин т егрирова н ия, п олу ча ем : 5 π 12 2 sin 2ϕ

PS = ∫ { π 12

∫

1 sin 2ϕ

r2 1 + rdr }dϕ . 4

13

Та к

ка к

ра ссм а т рива ем а я

п оверхн ост ь

сим м ет ричн а

от н осит ельн о п лоскост и y = x , т о π 4

2 sin 2ϕ

π 12

1 sin 2ϕ

PS = 2 ∫ {

∫

r2 1 + rdr }dϕ . 4

Вн у т рен н ий ин т егра л ра вен 2 sin 2ϕ

∫

2

1 sin 2ϕ

1 3 r2 2 r2 4 r 2 2 2 sin 2ϕ (1+ ) d( 1 + ) = (1+ = ) 1 4 4 3 4 sin 2ϕ

3  3  4 1 =  (1 + sin 2ϕ ) 2 − ( 1 + )2  . 3 4 sin 2ϕ   

Поэ т ом у π 8 4

π 3 3 4 8  1 2 PS = ∫ (1 + sin 2ϕ )2 dϕ − ∫  1 +  dϕ . 3π 3π  4 sin 2ϕ  12 12

Ра ссм от рим

п ервы й

ин т егра л.

(8)

Поскольку

1 + sin 2ϕ = (sin ϕ + cos ϕ )2 , т о π 4

3

π 4

2 ∫ (1 + sin 2ϕ ) 2 dϕ = ∫ (sin ϕ + cos ϕ ) dϕ .

π 12

π 12

За д а н ие 5. Вы числит ь п ослед н ий ин т егра л и у бед ит ься, чт о он 2 3

ра вен ( +

3 2 3 ) 2 + 3 −( − ) 2− 3. 12 3 12

14

(восп ользова т ьсяф орм у ла м и

cos

π = 12

π π 1 − cos 6 , sin π = 6 ). 2 12 2

1 + cos

Верн ем сяко вт ором у ин т егра лу в (8). За д а н ие 6. О цен ит ь вт орой

ин т егра л в (8) с п ом ощ ью

н ера вен ст ва β

min

ϕ∈[ α ,β ]

f ( ϕ )( β − α ) ≤ ∫ f ( ϕ )dϕ ≤ α

max

ϕ∈[ α ,β ]

f ( ϕ )( β − α )

и п олу чит ь оцен ку π 4

3

5 5 1 6 π ≤ ∫ (1+ ) 2 dϕ ≤ π. 48 4 sin 2 ϕ 8 π 12

Та ким обра зом , им еет м ест о оцен ка 8 2 3 2 3 6 (( + ) 2 + 3 −( − ) 2− 3 − π ) ≤ PS ≤ 3 3 12 3 12 12 8 2 3 2 3 5 5 ≤ (( + ) 2 + 3 −( − ) 2− 3 − π ). 3 3 12 3 12 48

Прим ер 4. соот н ошен иям и:

На й т и

п лощ а д ь

п оверхн ост и

S,

x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , z = hϕ ,0 ≤ r ≤ a ,0 ≤ ϕ ≤

э т ой п оверхн ост и п ред ст а влен а н а рису н ке 19 (геликоид ).

за д а н н ой π . 2

Ч а ст ь

15

Восп ользу ем ся ф орм у лой (5). Ч т обы вы числит ь z ′x и z ′y , y x

y x

за п ишем ϕ в вид е: ϕ = arctg , т огд а z = harctg . На ход им : hy

z ′x = − (1+

y

2

x2

= )x 2

h

z′y = (1+

y

=

2

x2

)x

hy 2

x +y hx

2

x +y

2

2

,

.

Тогд а 1 + ( z′x )2 + ( z′y )2 =

h2 + x2 + y 2 x2 + y2

Теп ерь иском а яп лощ а д ь ра вн а Ps = ∫∫ D

h + x2 + y 2 x2 + y2

dxdy .

.

16

Зд есь у д обн ее п ерей т и к п олярн ы м коорд ин а т а м : π a 2

Ps = ∫ ∫

0 0

h2 + r 2 πa rdϕdr = ∫ r 20

h 2 + r 2 dr .

За д а н ие 7. Вы числив п ослед н ий ин т егра л, у бед ит ься, чт о π a + a 2 + h2 Ps = ln . 4 h

За д а н ие 8. На й т и п лощ а д ь п оверхн ост и т ела , огра н ичен н ого цилин д ра м и x 2 + z 2 = a 2 и y 2 + z 2 = a 2 (рис 21).

За д а н ие

9.

Дока за т ь,

чт о

п лощ а д ь

ча ст и

сф еры

x 2 + y 2 + z 2 = 4 Rz − 3 R 2 , за клю чен н ой вн у т ри z 2 = 4( x 2 + y 2 ) , ра вн а 92 3 πR . 75

17

4.Н ахож ден ие объема тела с помощ ь ю трой н ого ин теграла Прим ер5. На й т и объем υ т ела 3 V = {( x , y , z ) : x 2 + y 2 − 1 ≤ z 2 ≤ ( x 2 + y 2 + 1 )}. 5

Поверхн ост ь S1 , оп исы ва ем а я у ра вн ен ием x 2 + y 2 − 1 = z 2 - э то од н оп олост н ы й гип ерболоид с осью сим м ет рии OZ (рис. 22). Поверхн ост ь

3 S2 : z 2 = ( x2 + y 2 + 1 ) 5

- э т о д ву п олост н ы й

гип ерболоид с осью сим м ет рии OZ (рис. 23).

Поверхн ост и S1 и S 2 п ересека ю т ся п о лин иям , оп исы ва ем ы м 3 5

у ра вн ен иям и x 2 + y 2 − 1 = ( x 2 + y 2 + 1 ) и z = ± x 2 + y 2 − 1 , реша я которы е, п олу ча ем : x 2 + y 2 = 4 и z = ± 3 . Тело V , ра ссм а т рива ем ое в

18

э т ом п рим ере, изобра ж ен о н а

рису н ке 24. Тело сим м ет ричн о

от н осит ельн о п лоскост ей XOZ , XOY ,YOZ , п оэ т ом у υ = 8υ1 , гд е υ1 объем т ела V1 - ча ст и V , ра сп олож ен н ой в п ервом окт а н т е (рис. 25).

Тело V1 п роект иру ет ся н а чет верт ь кру га D1 и чет верт ь кольца D1 им еем : 0 ≤ z ≤

D2 (рис. 26). На д

(

)

3 2 x2 + y2 − 1 ≤ z ≤ x + y 2 + 1 (рис. 27). 5

(

)

3 2 x + y2 + 1 , а н а д 5

D2 :

19

По ф орм у ле (2) п олу ча ем :

(

)

(

)

 3 x 2 + y 2 +1   3 x 2 + y 2 +1   5   5      υ = 8( ∫∫  ∫ dz dxdy + ∫∫  ∫ dz dxdy ) .  D1  0 D2  x 2 + y 2 −1     

Вы числив вн у т рен н ие ин т егра лы , им еем : υ = 8( ∫∫ D1

(

)

(

)

 3 2  3 2 x + y 2 + 1 dxdy + ∫∫  x + y 2 + 1 − x 2 + y 2 − 1 dxdy ). 5  D2  5

За д а н ие 10. Перей д я в п ослед н их ин т егра ла х к п олярн ы м коорд ин а т а м , н а й т и зн а чен ие υ . У бед ит ься, чт о υ =

π ( 2 3 − 1 ). 6

Прим ер6. Вы числит ь объем т ела , огра н ичен н ого п оверхн остью ( x 2 + y 2 + z 2 )2 = z .

20

Перей д ем к цилин д рическим коорд ин а т а м : ρ 4 = ρ sinθ , т о ест ь ρ 3 = sinθ . Поскольку э т о у ра вн ен ие н е сод ерж ит п ерем ен н ой ϕ , т о

п оверхн ост ь сим м ет ричн а

от н осит ельн о оси OZ

сист ем е

рис.

коорд ин а т

(см .

5).

в д ека рт овой

След ова т ельн о,

д ост а т очн о

изобра зит ь п ересечен ие э т ой п оверхн ост и с ка кой -либо п лоскост ью ϕ = const (н а п рим ер, ϕ =

π ) и вра щ ен ием э т ой лин ии вокру г оси OZ 2

п олу чит ь вид за д а н н ой п оверхн ост и. Изобра зим лин ию ρ = 3 sinθ . При θ1 = 0 им еем ρ1 = 0 , π − 1 cos 6 π 6 ≈ 0 ,64 , п ри θ 2 = им еем ρ 2 = 12 2 π

1

π

1

п ри θ 3 = им еем ρ3 = 3 ≈ 0 ,79 , 6 2 п ри θ 4 = им еем ρ4 = 6 ≈ 0 ,89 , 4 2 п ри θ 5 =

3 π им еем ρ5 = 6 ≈ 0 ,95 , 3 4 π

п ри θ6 = им еем ρ6 = 1 . 2

На рису н ке 28 изобра ж ен а лин ия ρ = 3 sin θ ,ϕ = 29 – т ело V .

π и н а рису н ке 2

21

В силу сим м ет ричн ост и т ела от н осит ельн о оси OZ его объем ра вен чет ы рем объем а м т ела V * , гд е V * - ча ст ь т ела V , леж а щ а я в п ервом окт а н т е: V = {( ϕ ,θ , ρ ) : 0 ≤ ϕ ≤

π π ,0 ≤ θ ≤ ,0 ≤ ρ ≤ 3 sin θ }. 2 2

Тогд а ππ 3 2 2 sinθ

υ =4∫ ∫

∫

00

0

ρ 2 cos θdρdθdϕ .

За д а н ие 11. Вы числив п ослед н ий ин т егра л, у д ост оверит ься, чт о объем т ела , изобра ж ен н ого н а рису н ке 26, ра вен

π . 3

За д а н ие 12. С п ом ощ ью сф ерических коорд ин а т н а й т и объем т ела , огра н ичен н ого п оверхн ост ью ( x 2 + y 2 )2 + z 4 = z . У ка за н ие: восп ользова т ьсяф орм у лой 1 cos 4 θ + sin 4 θ = 1 − sin 2 2θ . 2 π2 О т вет : . 2

22

Содерж ан ие

1. О сн овн ы е свед ен ия

3

2. Вы числен ие объем а т ела с п ом ощ ью д вой н ого ин т егра ла

6

3. Вы числен ие п лощ а д и п оверхн ости с п ом ощ ью д вой н ого ин т егра ла

10

4. На хож д ен ие объем а т ела с п ом ощ ью т рой н ого ин т егра ла

17

Литература 1. Ильин В.А . М а т ем а т ический а н а лиз / В.А .Ильин , В.А .Са д овн ичий , Бл.Х .Сен д ов. – М . : Изд -во М оск. у н -т а , 2004. – Ч .2. - 357 с. 2. Вин огра д ова И.А . За д а чи и у п ра ж н ен ияп о м а т ем а т ическом у а н а лизу / И.А .Вин огра д ова , С.Н.О лехн ик, В.А .С а д овн ичий . – М . : Вы сш. шк., 2002. - К н . 1. – 736 с. 3. К у д рявцев Л .Д. К ра т кий ку рс м а т ем а т ического а н а лиза / Л .Д.К у д рявцев. – М . : Ф изм а т лит , 2003. - Т. 2. - 424 с. 4. Дем ид ович Б.П. Сборн ик за д а ч и у п ра ж н ен ий п о м а т ем а т ическом у а н а лизу / Б.П.Дем ид ович. – М . : А СТ* А ст рель, 2002. – 558 с.

23

Сост а вит ель д оц. Зу бова Свет ла н а Пет ровн а Ред а кт ор Тихом ирова О .А .